Capıtulo 1

Funciones vectoriales de una variable

real

Por lo dicho en los preliminares, en este capitulo trabajaremos con funciones vectoriales de

una variable real, es decir con funciones del tipo Xα−−→ R, donde X ⊂ Rn es un conjunto no

vacio. Una funcion es tal que

α(t) = (α1(t) , α2(t) , · · · , αn(t)) , para t ∈ X

donde Xαi−−−→ R, i = 1, . . . , n., son funciones reales de variable real ya estudiadas en un primer

curso de calculo.

Es necesario hacer incapie que una funcionXα−−−→ R esta consituida por tres cosas: Primero

un conjunto de partida X, llamado dominio de la funcion y denotado por Dom(f). Segundo un

conjunto de llegada. Este conjunto de llegada es, en nuestro caso, la recta real R. Tercero Una

regla de correspondecia, denotada por f , que asigna a cada elemento t ∈ X un unico elemento

α(t) en el conjunto de llegada R. Este elemento α(t) es llamado imagen de t via la funcion α.

Convenimos en llamar traza de α al rango de la funcion, es decir a la coleccion de las imagenes

α(t), con t variando en X. Segun esto se tiene

Traza(α) = Rang(α) = {α(t) : t ∈ X}

Ejemplo 1.0.1 .

1. Las funciones R/{±1} α−−−→ R2 y Rβ−−−→ R2 definidas como α(t) =

(1

t2 − 1, t

)

y β(t) =

1

(t2 , , t2), son tal que

Dom(α) = R− {−1, 1} Traz(α) =

{

(x , t) ∈ R2 : x =1

t2 − 1

}

Dom(β) = R Traz(β) ={(t2 , t2) : t ∈ R

}={(t , t) ∈ R2 : t ≥ 0

}

2. La funcion Rα−−−→ R2 definida como α(t) = (cos t , sent) es tal que

Traz(α) = S1 = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 = 1}

En efecto. Es claro que Traz(α) ⊂ S1, puesto que para cada t ∈ Dom(α) = R se tiene

cos2 t + sen2t = 1. Recıprocamente, dado (x , y) ∈ S1, sabemos que existe t ∈ R tal que

x = cos(t), y = sin(t), esto es, (x , y) = α(t). Esto prueba la inclusion S1 ⊂ Traz(α).

A esta altura es preciso aclarar que la grafica de una funcion Xα−−→ Rn viene dada por

Graf(α) = {(t , f(t)) : t ∈ X}. Es muy importante que usted tenga claro que

Dom(α) ⊂ R Traz(α) ⊂ Rn Graf(α) ⊂ X × Rn ⊂ Rn+1

Ejemplo 1.0.2 .

1.] La funcion [−1 , 1] α−−−→ R definida como α(t) = t2, es tal que

Dom(α) = [−1 , 1] Traz(α) = Ranf(α) = [0 , 1] Graf(α) = {(t , t2) ∈ R2 : t ∈ [−1 , 1]}

2.] La funcion Rα−−−→ R2 definida como α(t) = (t , t2) es tal que

Dom(α) = [−1 , 1] Traz(α) = {(t , t2) ∈ R2 : t ∈ [−1 , 1]}

Graf(α) ={(t , t , t2) : t ∈ [−1 , 1]} = {t(1 , 1 , 0) + t2(0 , 0 , 1) : t[−1 , 1]

}

3.] Para la funcion Rα−−−→ R2 definida como α(t) = (cos t , sent) se tiene

Traz(α) = S1 = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 = 1} Graf(α) = {(t , cos t , sent) : t ∈ R}

Propiedad 1 Sean las funcionesXf−−→ Rn, Y

g−−→ Rn. Si X ∩ Y 6= {}, entonces se definen

las funciones suma f + g y diferencia f − g.

Ejemplo 1.0.3 1. Las funciones Rf−−→ R3 y R

g−−→ R3 definidas como f(x) =

(

x,1

x− 2, x2)

y g(x) =

(

cos x,1

x2 − 1,1

x

)

, son tal que f ∈ F(R − {2},R3) y g ∈ F(R − {±1, 0},R3).

Luego la funcion Rf+g−−−−→ R3 definida como

(f + g)(x) = f(x) + g(x) =

(

x+ cos x,1

x− 2+

1

x2 − 1, x2 +

1

x

)

pertenece a F(R − {±1, 2, 0},R2) = F(Dom(f) ∩Dom(g),R2)

2

2. Las funciones f, g : R −→ R2 definidas como f(x) =(√

x− 1, x, x)y g(x) =

(√x2 − 2, x, x2

)

son tal que

Dom(f) = [1,∞〉 Dom(g) = 〈−∞,−√2] ∪ [

√2,∞〉

f ∈ F([1,∞〉,R3

)g ∈ F

(〈−∞,−

√2] ∪ [

√2,∞〉R3

)

De ahi que f + g : R −→ R3, definida como

(f + g)(x) =(√

x− 1 +√

x2 − 2, 2x, x+ x2)

esta en F([√2,∞〉

).

1.1 Conjuntos especiales de R2 y R3

En la recta real R los conjuntos bonitos son por excelencia los intervalos, los cuales pueden

ser abiertos, cerrados, compactos (cerrados y acotados). Estos son importantes porque sobre

ellos se establecen casi todos los teoremas para funciones reales de variable real.

En espacios de dimension mayor tal clasificacion un tanto complicada. Empezamos dando al-

gunos

U es abierto si y solo si para cada x ∈ A, existe ε > 0 tal que 〈x− ε, x+ ε〉 ⊂ A

A es cerrado, si y solo si todo x ∈ R con

Sigamos. Planteo el siguiente problema. Sea f : X −→ R una funcion derivable tal que

f ′(x) = 0 para todo x ∈ X. ¿f es constante?. . .NO, pues para X = 〈−1, 0〉 ∪ 〈0, 1] con

f(x) =

−1, x ∈ 〈−1, 0〉

1, x ∈ 〈0, 1]

Tenemos que f ′(x) = 0 para todo x ∈ X y sin embargo la funcion no es constante. Aquı el prob-

lema lo esta causando el conjunto el cual es partido en x = 0. Una forma vulgar de nombrarlo

es: textitesta desconectado. El nombre tecnico es disconexo, y los intervalos reciben el nombre

de conjuntos conexos.

Extendemos la idea de intervalo abierto, cerrado, compacto .

Definicion 1.1 Un subconjunto X de Rn es

• Abierto cuando cualquier x ∈ X posee una vecindad abierta contenida en X

• Cerrado cuando toda sucesion convergente (xn) ⊂ X, es tal que limx→∞ xn ∈ X

3

• Compacto cuando es cerrado y acotado a la vez

• Conexo cuando los unicos conjuntos abiertos y disjuntos A B con X = A∪B, son A = {}y B = X.

Ejemplos 1.1.1 1. f : R −→ R2 con f(x) = (x, 1) Su traza no esta partida. Es decir todos

los puntos bien cerca del rango estan no se salen del rango. Ademas el rango no es abierto

y no esta acotado.

2. g : R −→ R2 con

g(x) =

(x, x+ 1), x < 0

(x, 1), x ≥ 0

La traza esta partida. Ademas hay un punto muy cerca de la traza que no esta en la traza.

Ademas la traza no esta acotado.

3. h : R −→ R3 con h(x) = (cos x, senx, 1) La traza no esta partida. Es decir todo punto

cerca del rango esta el rango. Ademas el conjunto esta acotado.

1.2 Lımites

Consideremos las funciones Rα−−−→ R2 y R

β−−−→ R2 definidas como α(t) = (t , 1), t 6= 0,

α(0) = (4 , 4) y β(t) = (t , 1), respectivamente. En ambas casos sucede que que a medida que

t se aproxima a a = 0, los α(t) y los β(t) se aproximan al valor L = (0 , 1). Esto nos tienta a

decir que

L es el limite de la funcion α y de β cuando t se aproxima a a = 0

Por una cuestio de sintesis lo anterior se escribe como

limt−→a

α(t) = (0 , 1) limt−→a

β(t) = (0 , 1)

Esto motiva la siguiente definicion

Definicion 1.2 Sea Xα−−−→ Rn, a ∈ R un punto de acumulacion del dominio X. Decimos que

α posse limite cuando t se aproxima a ”a”, cuando , y solo cuando, existe L ∈ Rn de modo tal

que a toda bola abierta B centrada en L hay asociado un intervalo abierto I centrado en ”a”

tal que todo t ∈ X ∩ I verifica la pertenencia α(t) ∈ B. En terminos de cuantificadores, esto se

escribe asi

∀ ε > 0 : ∃ δ > 0 /∀ t ∈ X , 0 < |t− a| < δ : ‖α(t)− L‖ < ε

Cuando ocurra esto escribimos limt−→a

α(t) = L.

4

Dado ε > 0, debemos encontrar δ > 0. Seguidamente debemos tomar t ∈ Dom(f) con la

condicion 0 < |t− a| < δ y vefificar la desigualdad ‖α(t) − L‖ < ε.

Observe que en la definicion se consideran los x satisfaciendo 0 < |x − a| < δ. El ejemplo

siguiente ilustra esto

Ejemplo 1.2.1 Dada la funcion Rα−−−→ R2 definida como α(t) =

(t, 1), t 6= 0

(4, 4), t = 0

, sucede que

a medida que t se aproxima a a = 0, los α(t) se aproximan el valor L = (0 , 1). Afirmo que L

es el limite de la funcion cuando t se aproxima a a = 0 ¿Como se prueba esta afirmacion?.

Veamos. Segun los datos del ejercicio, fijado ε > 0 convenimos en tomar δ = ε. Seguidamente

tomando t ∈ R con la condicion 0 < |t− 0| < δ, vemos que

0 < |t− 0| < δ =⇒ ||(t , 0)|| < δ =⇒ ||(t− 0 , 1− 1)|| < δ =⇒ ||(t , 1)− (0 , 1)|| < δ

=⇒ ‖α(t)− (0 , 1)‖ < ε

Observe que la primera desigualdad de 0 < |t − 0| < δ es sumamente importante ¿Por que?.

Si esta desigualdad no se considerara se tendria |t − 0| < δ, lo cual significa que t puede tomar

el valor a = 0. De este modo considerando las implicaciones dadas arriba, para t = a = 0 se

tendria ‖α(0) − (0 , 1)‖ < ε, lo cual es absurdo puesto que α(0) = (4 , 4) y ε es una distancia

infinitamente pequea.

El procedimiento para este ejemplo y para todos lo demas ejemplos de limites, ha sido y sera

siempre el siguiente: En el primer paso se empieza tomando ε > 0. El segundo paso consiste

en encontrar δ > 0. En el paso tercero se toma t ∈ R con la condicion 0 < |t− a| < δ. Y en el

cuarto y ultimo paso se debe hacer notar que el valro de t tomando en el tercer paso verifica

la desigualdad ‖α(t) − L‖ < ε.

Ejemplo 1.2.2 Sea Iα−−−→ Rn con α(t) = c para todo t ∈ I. Demuestre que lim

t−→aα(t) = c.

Ejemplo 1.2.3 Sea Rα−−−→ R2 definida por α(t) =

(t , t2 − 1), t 6= 0

(3, 0), t = 0

. Probemo que cuando t

tiende a 0, α(t) lo hace a L = (0 , −1). En efecto. Dado ε > 0 ¿Como tomamos δ > 0?. Bien,

imaginemos que por algun criterio hemos sido capaces de escoger adecuadamente tal numero

δ . . . (sobre los puntos suspensivos van las condiciones sobre δ, las misma que son halladas en el

proceso de demostracion del limite). Asumiendo o aceptando la existencia de δ > 0, en el paso

siguiente tomamos un t ∈ R con la condicion 0 < |t − 0| < δ y deberiamos proceder a verificar

la desigualdad

‖α(t) − (0 , −1)‖ < ε (∗)

5

En efecto: 0 < |t − 0| < δ =⇒ ‖α(t) − (0 , −1)‖ = ‖(t , t2)‖ = |t| ‖(1 , t)‖ < δ√1 + t2.

Ahora bien. Si imponemos δ < 1, la que seria una primera condicion sobre δ, tendriamos

0 < |t− 0| < δ = 1 =⇒ 0 < t2 < 1 =⇒ 1 < 1 + t2 < 2 =⇒√1 + t2 <

√2

Esto nos permite establecer que cuando δ < 1 se tiene ‖α(t) − (0 , −1)‖ <√2 δ. Pero como

nosotros no queremos esta desigualdad sino la dada en (*), es ncesario imponer una segunda

condicion sobre δ ¿Cual es esta otra? Esta es la siguiente√2 δ < ε o equivalentemente

δ < ε/√2 ¿Por que?....

Ejemplo 1.2.4 Sea Rα−−−→ R2 definida como α(t) =

(1/t , 1/t2

). Probemos que cuando t

tiende a 1, α(t) lo hace a (1 , 1). Veamos. Dado ε > 0 ¿Como tomamos δ > 0?. Bien,

imaginemos que por algun criterio hemos sido capaces de escoger adecuadamente tal numero

δ . . . (sobre los puntos suspensivos van las condiciones sobre δ, las misma que son halladas en el

proceso de demostracion del limite). Asumiendo o aceptando la existencia de δ > 0, en el paso

siguiente tomamos un t ∈ R con la condicion 0 < |t − 1| < δ y deberiamos proceder a verificar

la desigualdad

‖α(t) − (1 , 1)‖ < ε (∗)

En efecto

0 < |t− 1| < δ =⇒ ‖α(t) − (1 , 1)‖ =∥∥(−1 + 1/t , −1 + 1/t2

)∥∥ = |t− 1|

∥∥∥∥

(1

t,t+ 1

t2

)∥∥∥∥

=⇒ ‖α(t) − (1 , 1)‖ < δ

√2t2 + 2t+ 1

t2

Ahora bien. Si imponemos δ < 1/2, la que seria una primera condicion sobre δ, tendriamos

0 < |t− 1| < δ < 1/2 =⇒ 1/2 < t < 3/2 =⇒

∣∣∣∣∣∣

√2t2 + 2t+ 1 <

√34/2

1/t2 < 4

Esto nos permite establecer que cuando δ < 1/2 se tiene ‖α(t)− (1 , 1)‖ < 2√34 δ. Pero como

nosotros no queremos esta desigualdad sino la dada en (*), es ncesario imponer una segunda

condicion sobre δ ¿Cual es esta otra? Esta es la siguiente 2√34 δ < ε o equivalentemente

δ < ε/2√34 ¿Por que?....

Teorema 1.1 Sea Xα−−−→ Rn con α(t) = (α1(t) , . . . , αn(t)) y a un punto de acumulacion

de X. Entonces el limite limt−→a

α(t) existe cuando, y solo cuando, existe cada uno de limites

limt−→a

αi(t), i = 1, . . . , n. Siendo esto asi, se tiene

limt−→a

α(t) =(

limt−→a

α1(t) , . . . limt−→a

αn(t))

6

Ejemplo 1.2.5 Sea Rα−−−→ R3 definida como α(t) =

(

cos(t) + t2 ,sen(t)

t+ 1 ,

(t+ 1)2

(t2 − 2)4

)

. Se

observa que Dom(α) = R−{0,±√2} y que cuando t tiende a 0, α(t) lo hace a L = (1 , 2 , 1/16).

En este caso es dificil probar

∀ ε > 0 ∃ δ > 0/∀ x ∈ Dom(α), 0 < |τ | < δ :

∣∣∣∣

(

cos(t) + t2 − 1 ,sen(t)

t− 1 ,

(t+ 1)2

(t2 − 2)4− 1

16

)∣∣∣∣< ε

En esta caso usamos el teorema anterior. El calculo diferencial para funciones reales de una

variable real muestran

limt−→0

α1(t) = 1 limt−→0

α2(t) = 2 limt−→0

α3(t) =1

16

Teorema 1.2 Sea a un punto de acumulacion de X ⊂ R, Xh−−→ R una funcion real de

variable real acotada tal que limt−→a

h(t) = 0. Si Xα−−−→ Rn es una funcion acotad, entonces

limt−→a

h(t)α(t) = 0.

1.3 Continuidad

Sea X ⊂ R un subconjunto no vacıo de la recta real. Una funcion Xα−−−→ R es continua en

un punto a ∈ X cuando, y solo cuando, para los t ∈ X bien cerca de a, sucede que las imagenes

α(t) estan bien cerca de α(a). Es decir

∀ ε > 0 : ∃ δ > 0 /∀ t ∈ X , |x− a| < δ : ‖α(t) − α(a)‖ < ε (1.1)

No se debe confundir esto con la definicion de limite en t = a. En otras palabras no se vaya a

cometer el error de decir que la funcion α es continua en a ∈ X si, y solo si, limt−→a

α(t) = α(a)

¿Por que? Aclaremos esto con el siguiente ejemplo

Ejemplo 1.3.1 Estudiemos la continuidad de la funcion Rα−−−→ R3 definida como α(t) =

(

t, 0,√

(t+ 1)2t)

, cuyo dominio es, obviamente, Dom(α) = {−1} ∪ [0 , +∞[. El analisis en un

punto dado a ∈ Dom(α) se hace como sigue.

Si a es punto de acumulacion del dominio (En este caso este punto es a ≥ 0). En

este caso tiene sentido analizar el limite limt→a

α(t). En este caso tal limite existe y coincide,

afortunadamente, con α(a). Esto es

limt−→a

α(t) = α(a) = (a , 0 ,√

(a+ 1)2a)

De esto se tiene que

∀ ε > 0 : ∃ δ > 0 /∀ t ∈ Dom(α) , 0 < |x− a| < δ : |α(t)− α(a)| < ε

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Debido a que la desigualdad |α(t)− α(a)| < ε se verifica para t = a, es correcto escribir

∀ ε > 0 : ∃ δ > 0 /∀ t ∈ Dom(α) , |x− a| < δ : |α(t)− α(a)| < ε

Esto dice que α es continua en a.

Si a no es punto de acumulacion del dominio (En este caso este punto es a = −1). Siendoesto asi, se tiene

∃ δ > 0 /X ∩ 〈a− δ , a+ δ〉 /{a} = {}

¿Como analizamos la continuidad en un punto donde no tiene sentido analizar el

limite limt−→a

α(t)?. La unica herramienta que tenemos es la misma definicion. En este caso

afirmamos que α es continua en a. En efecto. Dado ε > 0, tomemos el δ > 0 dado arriba.

Seguidamente tomamos t ∈ Dom(α) con la condicion |t− a| < δ (note que el unico t con estas

condiciones es t = a) y observamos indefectiblemente que ‖α(t) − α(a)‖ = 0 < ε.

Note que lo que hemos hecho en la segunda parte del ejemplo anterior es totalmente independi-

ente de que el punto a sea −1. Es decir una funcion es continua en cada uno punto aislado. Asi

por ejemplo la funcion

X︷ ︸︸ ︷{1

n: n ∈ N

}

∪ {0} α−−−→ R2 definida como α(n) =

(2, 0), n = 0

(2 + 1n , 0), n ≥ 1

es continua en cada punto aislado a = 1/n, n 6= 0. ¿Sera tambien continua en a = 0?

Observacion: El hecho que una funcion α sea continua en a no implica la existencia del limt→a

α(t)

a ∈ X

a es punto de

acumulacion de X=⇒

tiene sentido

analizar limt−→a

α(t)

∃ limt−→a

α(t) = L

L = α(a) =⇒α es continua

en a ∈ X

L 6= α(a) =⇒α no es continua

en a ∈ X

∄ limt−→a

α(t) =⇒α no es continua

en a ∈ X

a no es punto de

acumulacion de X=⇒

No tiene sentido

analizar limt−→a

α(t)

Teorema 1.3 Una funcion Xα−−−→ Rn, con α(t) = (α1(t), . . . , αn(t)), es continua en a ∈ X si,

y solo si, cada una de las funciones coordenadas αi, i = 1, . . . , n. es continua en a.

Teorema 1.4 Sea Xα−−−→ Rn una funcion continua. Si X es un intervalo, entonces Trz(α) es

conexo. Si X es un conjunto compacto, entonces Trz(α) es compacto.

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1.4 Derivadas

Empecemos con algunos ejemplos

Ejemplo 1.4.1 La funcion 〈−1, 1〉 α−−−→ R definida como α(t) = t2 es tal que α′(t) = 2t Luego

• Para τ < 0, α′(τ) < 0 la partıcula desciende.

• Para τ > 0, α′(τ) > 0 la partıcula asciende.

• para τ = 0, α′(τ = 0) la partıcula esta estatica.

Ejemplo 1.4.2

Imaginemos una via, una calle, una avenida, un camino que tiene la forma de un trozo de

parabola. MAs precisamente imaginemos que este es esta dado por el trozo de parabaola com-

prendido entrre los puntos A(−1 , 1) y B(1 , 1). Imaginemos tambien que sobre este camino

se desplaza una particula. Naturalemente el dezplazamiento puede ser cualquiera, pero para

fijar ideas supongamso que la posicion de la particula en el instante −1 ≤ t ≤ 1 esta dada por

α(t) = (t , t2). Asi por ejemplo, la particula estuvo en la posicion A hace una hora, esto es

α(−1) = A. En este preciso instante esta en la posicion α(0) = (0 , 0). Y de aqui a una hora

este estara ubucado en el punto B, es decir α(1) = B. ¿En que direccion y a que veloci-

dad de desplaza la partıcula en el instante t = a, es decir cuando esta se encuentra

ubicada en la posicion α(a)? Para esto tomamos t ∈ Dom(α), lo suficientemente cerca de a

y consideramos las identidades

α(t)− α (a)

t− a=

1

t− a

[(t , t2

)−(a , a2

)]=

1

t− a(t− a , (t− a)(t+ a)) = (1 , t+ a)

Luego es natural considerar el limite limt→a

α(t)− α (a)

t− a= (1 , 2a). Este vector recibe el nombre

de vector velocida de α en t = a, e indica la direccion en que la particula se esta desplazando en

el instante t = a. La norma de este vector velocidad, es decir

∣∣∣∣limt−→a

α(t)− α (a)

t− a

∣∣∣∣=√1 + 4a2 es

la velocidad a la que se desplaza la particula en el instante t = a

Definicion 1.3 Sea X ⊂ R un subconjunto no vacıo. Un camino Xα−−−→ Rn es diferenciable

en a ∈ X ∩X ′ si, y solo si, el limite limt−→a

α(t)− α(a)

t− aexiste. Tal limite es denotado por α′(a) y

llamado derivada de α en t = a.

Nos referimos a α como camino diferenciable cuando este es diferenciable en cada punto de su

dominio X.

Geometricamente, el vector α′(a) aplicado en el punto α(a), indica el sentido de desplazamiento

de la particula en el instante t = a. El modulo de este vector, es decir, ‖α′(a)‖ es la velocidad a

la que se desplaza esta particula en este instant t = a.

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Ejemplo 1.4.3 Analicemos la diferenciabilidad en t = 0 del camino Rα−−−→ R3 definido como

α(t) = (t, cos(t), sen(t)).

limt−→0

α(t)− α(0)

t= lim

t−→0

(t, cos(t), sen(t))− (0, 1, 0)

t= lim

t−→0

(t, cos(t)− 1, sen(t))

t= (1 , 0 , 1)

De este modo α′(0) = (1 , 0 , 1) indica la direccion a la que se desplaza la particula en el instante

en que t = 0. La velocidad de desplazamiento es√2 unidades de longitud por unidad de tiempo.

En un primer curso de calculo, donde se realiza el estudio de las funciones reales de varibale real,

se nos ensea o aprendemos que una funcion Xf−−→ R, X ⊂ R, es no diferenciable en aquellos

puntos t ∈ X donde la grafica alcanza un vertice o una esquina en (t , f(t)); mas debemos ser

cautelosos al momento de intentar generalizar esta idea a funciones vectoriales de una variable

real ¿Por que?, puesto que en este tipo de funciones trabajamos con la traza de la funcion mas

no con su grafica. Mas precisamente, el hecho que la traza del camino Xα−−−→ Rn posea una

esquina o un vertice en (t , f(t)), no es razon suficiente para cocluir que α no es diferenciable en

t ∈ X. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.4.4 .

1.] Analicemos la diferenciabilidad del camino Rα−−−→ R2 definido como α(t) = (t , |t|). Veamos.

Para a ∈ R se tiene

limt−→a

α(t)− α(a)

t− a=

(

1 , limt−→a

|t| − |a|t− a

)

Luego α′(a) es (1 , −1) cuando a < 0 y (1 , 1) para a > 0. El camino no es diferenciable eb

a = 0, puesto que en este caso el limite anterior no existe.

2.] Analicemos la diferenciabilidad del camino Rα−−−→ R2 definido como α(t) = (t3, |t|t2).

Veamos. Para a ∈ R se tiene

limt−→a

α(t)− α(a)

t− a=

(

limt−→a

t3 − a3

t− a, limt−→a

|t|t2 − |a|a2t− a

)

=

(

3a2 , limt−→a

|t|t2 − |a|a2t− a

)

De esto tenemos α′(a) = (3a2 , −3a2) para a < 0, y α′(a) = (3a2 , 3a2) cuando a > 0. Para

a = 0 se tiene α′(0) = (0 , 0).

1.4.1 Cualidades de las funciones diferenciables

Finalmente, antes de dar paso a las propiedades de las funciones direnciables es util hacer

notar que la identidad

α(t) − α(a)

t− a=

(α1(t)− α1(a)

t− a, . . . ,

αn(t)− αn(a)

t− a

)

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dice el camino Xα−−−→ R es diferenciable en a cuando, y solo cuando, cada una de las funciones

coordenadas Xαi−−−→ R, i = 1, . . . , n. es diferenciable en a. De ser este el caso resulta

α′(a) = (α′1(a) , . . . , α′

n(a)) (1.2)

Ası, si cada funcion coordenada es diferenciable en a, entonces de nuestros conocimientos de

funciones reales de varaible real inferimos que que cada una de estas tendrıa que ser continua

en dicho punto, resultando, de este modo, la continudidad de α en a. En otras palabras: Difer-

enciabilidad implica continuidad. El ejemplo desarrollado lıneas arriba muestra que el recıproco

de esta afirmacion no es cierta.

Denotando por F(X,Rn) a la coleccion de todas las funciones de X en Rn. Agrupamos en

C(X,Rn) a las funciones continuas y en D(X,Rn) a las que son diferenciables, lo dicho hasta

ahora puede escribirse como la secuencia de inclusiones

D(X,Rn) C(X,Rn) F(X,Rn)

Es importante mencionar que el conjunto D(X,Rn) es cerrado con respecto a la suma de fun-

ciones y a la multiplicacion de un escalar real λ y una funcion. En otras palabras si α y β son

diferenciables en a ∈ X, entonces la suma α+ β y λ · α tambien lo son. En efecto

limh−→0

α(a + h)− α(a)

h= α′(a) lim

h−→0

β(a+ h)− β(a)

h= β′(a)

Considerando que

limh−→0

α(a+ h)− α(a)

h+ lim

h−→0

β(a+ h)− β(a)

h= A+B

= limh−→0

α(a+ h) + β(a+ h)− (α(a) + β(a))

h

= limh−→0

(α+ β)(a + h)− (α+ β)(a)

h

ası α + β es diferenciable en a: α + β ∈ D(X,Rn). Sea λ ∈ R y α ∈ D(X,Rn). pdq

λα ∈ D(X,Rn), jejercicio !!!

Dadas dos caminos Iα, β−−−−→ Rn, podemos considerar la funcion real de variable real I

〈 , 〉−−−−→ R

definida como t 7−→ 〈α(t) β(t)〉 = α1(t)β1(t) + α2(t)β2(t) + · · · + αn(t)βn(t). De este modo,

siendo α y β caminos diferenciables en a, resulta la difenciabilidad de 〈 , 〉 en dicho punto. En

el caso n = 2 se tiene

〈α(t) , β(t)〉′ = α′1(t)β1(t) + α1(t)β

′1(t) + α′

2(t)β2(t) + α2(t)β′2(t)

= α′1(t)β1(t) + α′

2(t)β2(t) + α1(t)β′1(t) + α2(t)β

′2(t)

= 〈α′(t), β(t)〉 + 〈α(t), β′(t)〉

11

Para el caso general veamos

〈α(t), β(t)〉′ =

(n∑

i=1

αi(t)β

i(t)

)′

=

n∑

i=1

(αi(t)β

i(t))′ =

n∑

i=1

α′i(t)β

i(t) + α

i(t)β′

i(t)

=n∑

i=1

α′i(t)β

i(t) +

n∑

i=1

αi(t)β′

i(t)

= 〈α′(t) β(t)〉+ 〈α(t) β′(t)〉

Del mismo modo, siendo Iα−−−→ Rn un camino diferenciable, consideremos la funcion real de

varibale real I‖ ‖◦α−−−−−→ R dada por t 7−→ ‖α(t)‖ =

√

〈α(t) , α(t)〉. Debido a que la funcion raız

cuadrada no es diferenciable en 0, resulta que esta funcion es diferenciable en aquellos t ∈ I

donde α(t) 6= 0. En este caso se tiene

‖α(t)‖′ =(

〈α(t) , α(t)〉 12)′

=1

2〈α(t) , α(t)〉− 1

2 〈α(t) , α(t)〉′ = 〈α′(t) , α(t)〉‖α(t)‖

Por otro lado, supongamos que el camino no pase por el origen de coordenadas y que los vectores

α(t) y α′(t) sean perpendiculares, esto es 〈α′(t) , α(t)〉 = 0, cualquiera que sea t ∈ I. Si esto es

asi, entonces de la formula dada para la derivada del prodcuto interno se tiene necesariamente

que ‖α(t)‖ = K, , cualquiera que sea t ∈ I, para alguna constante K > 0. Esto dice la particula

se esta moviendo sobre la circunferencia de radio K centrada en el origen de coordenadas.

Afortunadamente el reciproco es tambien cierto. Resumimos lo dicho en el siguiente teorema

Teorema 1.5 Sea Iα−−−→ Rn un camino diferenciable. Existe una constante c ≥ 0 tal que

‖α‖ = c si, y solo si, 〈α(t), α′(t)〉 = 0, cualquiera que sea t ∈ I.

Prueba: No hay nada que probar cuando K = 0. En el caso K > 0 se tiene

∀ t ∈ I : ‖α(t)‖ = c ⇐⇒ ∀ t ∈ I : ‖α(t)‖′ = 0 ⇐⇒ ∀ t ∈ I :〈α(t), α′(t)〉‖α(t)‖ = 0

⇐⇒ ∀ t ∈ I : 〈α(t), α′(t)〉 = 0

Ejemplo 1.4.5 Sea α : R −→ R2 con α(τ) = (cos τ, senτ). Vemos que α′(τ) = (−senτ, cos τ) yque 〈α,α′〉 = 0

Teorema 1.6 (Regla de la cadena) Sea la composicion Iβ−−−→ J

α−−−→ Rn donde β es una

funcion real de variable real diferenciable en a y α un camino diferenciable en β(a). Entonces

α ◦ β es diferenciable en a ∈ I. Ademas (α ◦ β)′ (a) = α′(β(a)).β′(a).

Prueba: La diferenciabilidad de la composicion en el punto a se deduce de la identidad

(α ◦ β)(t) = ((α1 ◦ β)(t) , . . . , (αn ◦ β)(t))

puesto que por ser cada funcion coordenada αidiferenciable, necesariamente tambien lo es α

i◦β

en a. Mas aun

(α ◦ β)′(t) = ((α1 ◦ β)′(b), . . . , (αn ◦ β)′(b)) =(α′1(β(b))β

′(b), . . . , α′n(β(b))β

′(b))= α′(β(a))β′(a)

12

Ejemplo 1.4.6 Sean ] − ∞ , 0[∪]0 , +∞[β−−−→ R y [0 , +∞[

α−−−→ R3 definidas como β(t) =1

ty α(t) = (cos(t) , sen(t) , 0) respectivamente. El dominio de la composicion viene dado por

]0 , +∞[ y esta esta definida como (α ◦ β)(t) =(

cos

(1

t

)

, sen

(1

t

)

, 0

)

. Consecuentemente

(α ◦ β)′(t) = β′(t)α′(β(t)) = − 1

t2

(

−sen(1

t

)

, cos

(1

t

)

, 0

)

1.4.2 Otro modo de definir diferenciabilidad

Un camino Iα−−−→ R2 es diferenciable a ∈ I cuando, y solo cuando, existe un vector v =

(v1 , v2) ∈ R2 de modo tal que limt−→a

α(t)− α(a)

t− a= (v1 , v2) o equivalentemente cuando

limt−→a

α(t) − α(a) − (t− a)(v1 , v2)

t− a= 0

Asimismo decir que este ultimo limite es 0 es lo mismo a decir que la expresion r(t) que hace

posible la igualdad α(t) = α(a) + (t− a)(v1 , v2) + r(t) es tal que limt−→a

r(t)

t− a= 0 (esta implıcito

que la expresion r(t) es pequea cuando t esta cerca de a. Esto es porque ‖r(t)‖ es mucho mas

pequeno que |t− a|) Por una cuestion de comodidad y de plasmar en un dibujo lo que se dice,

esto ultimo se suele escribir ası: ”La traza de α en un entorno de α(a) se parece a recta cuyo

punto de paso P0 = α(a) y vector direccion v = (v1 , v2). Este parecido es en el sentido de que

la expresion r(t) que le falta a α (a)+(t−a)(v1 , v2) para llegar ser α(t) es tal que limt−→a

r(t)

t− a= 0.”

El razonamiento el basicamente el mismo si consideramos este otro limite limh−→0

α(a+ h)− α(a)

h=

(v1 , v2). En este caso ”La traza de α en un entorno de α(a) se parece a recta cuyo punto de paso

P0 = α(a) y vector direccion v = (v1 , v2). Este parecido es en el sentido de que la expresion

r(h) que le falta a α (a) + h(v1 , v2) para llegar ser α(a+ h) es tal que limh−→0

r(h)

h= 0.”

Esto es fundamental para cuando se intente generalizar el concepto de derivada en un punto

de una funcion del tipo Rm f−−→ R y Rm f−−→ Rn. Pensando en esto es que damos una segunda

definicion de diferenciablidad. Esta esta motivada, obviamente, por lo hecho lineas arriba

Teorema 1.4.1 un camino Iα−−−→ Rn es diferenciable a ∈ I cuando, y solo cuando, existe un

vector v = (v1 , . . . , vn) ∈ Rm de modo tal que la expresion r(t) ∈ Rm que hace posible la

igualdad α(t) = α(a)+ (t−a)(v1 , . . . , vn)+ r(t) es tal que limt−→a

r(t)

t− a= 0. O equivalentemente,

cuando la expresion r(h) ∈ Rm que hace posible la igualdad α(a+h) = α(a)+h(v1 , . . . , vn)+r(h)

es tal que limh−→0

r(h)

h= 0.

Corolario 1.1 Si α : X −→ R es diferenciable en a, entonces γ : H = {h ∈ R/a+ h ∈ X} −→Rn con γ(h) = α(a+ h)− α(a) − hα′(a) es tal que lim

h→0γ(h) = 0

13

1.5 Integrales

Un ejemplo concreto: Concentracion de sal en un recipiente con agua Un deposito

contiene 200 litros de agua en los que estan disueltos, de manera uniforme, 40 kilogramos de sal.

En un determinado momento se habre la llave del surtidor y empieza a ingresar agua a razon de

10L/m, conteniendo cada litro 2 kilogramos de sal disuelta y mezclandose tambien de manera

uniforme con lo que hay inicialmente. Sabiedo que esta mezcla uniforme sale a razon de 5L/m

nos preguntamos ¿Que cantidad de sal hay en el tanque en un determinadao instante t?. Segun

estos datos se tiene la igualdad

x(t)︷ ︸︸ ︷

Cantidad de sal que

hay en el deposit

desde el tiempo t0hasta t

=

P0︷ ︸︸ ︷

Cantidad de sal que

hay al inicio del

experimento

+

E(t)︷ ︸︸ ︷

Cantidad de sal que

ha ingresado hasta

el instante t

−

S(t)︷ ︸︸ ︷

Cantidad de sal que

ha salido hasta

el instante t

De los datos se ve tambien que P0 = 40 y E(t) = 20(t − t0), con lo que la ecuacion anterior

quedaria reducida a

x(t) = 40 + 20(t − t0)− S(t)

Por lo dicho, nos damos cuanta que para solucionar el problema basta calcular S(t) ¿Como calcu-

lamos esta valor?. Para tal proposito es bastante natural considerar la siguiente descomposicion

S(t) =

Cantidad de sal que

sale en el intervalo

de tiempo [t0, t

1]

+

Cantidad de sal que

sale en el intervalo

de tiempo [t1, t

2]

+ · · · +Cantidad de sal que

sale en el intervalo

de tiempo[tn−1

, t]

donde los puntos

P = {a = t0 , t1, t2, · · · , tn−1, tn = b} (1.3)

representan una particion del intervalo cerrado [a , b] (a = t0 y t = b). Pero si nos damos cuenta

la dificulta se mantiene. Aprarentmente no hemos aavnzado nada en el intneto de calcular S(t).

Decimos que esto es aparente porque si suponemos que los subintervalos son sumamente pequeos,

entonces es natural pensar en la siguiente aproximacion

Cantidad de sal que

sale en el intervalo

de tiempo[ti−1 , ti

]

≈

R(ξi)(Kg/s)

︷ ︸︸ ︷

Razon a la que sale

la sal en el instante

ξi∈[ti−1 , ti

]

×

ti−t

i−1︷ ︸︸ ︷

total de tiempo

transcurrido

desde ti−1 hasta t

i

donde el punto ξies tomado en el subintervalo [t

i, t

i−1 ]. Esta coleccion de puntos ξies denotada

por Ξ y llamada puntillacion de la particion P . En otras palabras, una puntillacion de la

14

particion P es cualquier coleccion de puntos verificando la condicion

Ξ = {ξ1, · · · , ξn} tal que ξ1 ∈ [t0 , t1], ξ2 ∈ [t2 , t1], . . . , ξn ∈ [tn , tn−1] (1.4)

Por tanto una aproximacion esta dada por

x(t) ≈ 40 + 20(t− t0)−

S(R ,P ,Ξ)︷ ︸︸ ︷n∑

i=1

R(ξi)(t

i− t

i−1)

La sumatoria que aparece se llama suma asociada a la funcion R conjuntamente con la particion

P y su puntillacion Ξ, y es denotada, como alli se inidica, como S(R , P , Ξ).

Asi, si tomamos particiones P1 , P2 , . . . con norma convergiendo a cero, esto es limn−→+∞

‖Pn‖ = 0,

y puntillaciones Ξ1 , Ξ2 , . . . , resulta bastante natural considerar la importante igualdad

x(t) = 40 + 20(t − t0)− limn−→∞

S(R ,Pn ,Ξn)︷ ︸︸ ︷n∑

i=1

R(ξi)(t

i− t

i−1)

Pero ¿Es esto lo que queremos? Pues no. Es mas ahora el problema aparentemente se ha

complicado mas de como era al inicio, puesto que ahora tenemos dos variables dependientes; a

saber x(t) y R(ξi). Decimos aparentemente porque en realidad el valor R(ξ

i) se puede calcular

como sigue

R(r) =

5L/s︷ ︸︸ ︷

razon a la que

sale la mezcla

del deposito

×

Kg/L︷ ︸︸ ︷

Cantidad de sal contenida

en un litro de solucion (en

el instante r)

= 5×

Cantidad de sal en el

deposito (en el instante r)

♯ de litros de solucion en el

deposito (en el instante r)

= 5× x(r)

Cantidad inicial

de solucion︸ ︷︷ ︸

200

+♯ de litros que han

ingresado hasta el instante r︸ ︷︷ ︸

10r

−♯ de litros que han

salido hasta el instante r︸ ︷︷ ︸

5r

Por tanto

x(t) = 40 + 20(t − t0) − limn−→∞

n∑

i=1

x(ξi)

40 + ξi

(ti− t

i−1) (1.5)

Definicion 1.5.1 Una funcion [a , b]f−−→ R es Riemman - Integrable si, y solo si, las sumas

de riemman S(f , P , Ξ) asociadas a aquellas particiones P con norma infinitamente pequena se

acumulan, todas, alrededor de cierto numero real S, cualquiera que sea la puntillacion Ξ de P .

Esto es equivalente a decir que existe un numero real S de modo tal que cualquiera que sea

15

ε > 0 siempre es posible encontrar δ > 0 de modo que toda particion P con |P |< δ verifica la

desigualdad |S(f , P , Ξ)− S|< ε, cualquiera que sea la puntillacion Ξ de P .

Esto expresado en terminos de cuantificadores se escribe como

∃S ∈ R /∀ ε > 0 : ∃ δ > 0 /∀(P Ξ) , ‖P‖ < δ : |S(f , P , Ξ)− S|< ε (1.6)

Tal numero S, de existir, se llama integral de f de a a b y lo denotamos por S :=

∫ b

af(t) dt.

Segun esta definicion, resulta que la ecuacion anterior puede ser reescrita como

x(t) = 40 + 20(t− t0) −∫ t

t0

x(r)

40 + rdr

Esta igualdad por contener una integral es llamda ecuacion integral. Observe que aplicando el

teorema fundamental del calculo para funciones reales de variable real esta ecuacion puede ser

reescrita como ∣∣∣∣∣∣

x′(t) +1

40 + tx(t) = 20

x(t0) = 40

La cual es llamada ecuacion diferencial con condicion inicial x(t0) = 40.

Definicion 1.4 Una funcion vectorial de variable real [a , b]α−−−→ Rn es integrable segun Rie-

mann si y solo si cada una de sus funciones coordenadas [a , b]αi−−−→ R (las cuales son funciones

reales de variable real) es integrable segun Riemman. De ser este el caso escribimos∫ b

aα(t)dt =

(∫ b

aα1(t)dt ,

∫ b

aα2(t)dt , . . . ,

∫ b

aαn(t)dt

)

Propiedad 2 Sean [a , b]α, β−−−−→ Rn funciones integrables. Entonces las funciones α + λ · β

tambien lo es. Ademas

∫ b

aα+ λ · β =

∫ b

aα+ λ ·

∫ b

aβ

Prueba: De que son integrables no hay duda, puesto que cada una de sus funciones coordenadas

αi+ λ · β

i, i = 1, . . . , n lo son. Luego

∫ b

a(α+ λ · β)(t) =

(∫ b

a(α1 + λ · β1)(t) , . . . ,

∫ b

a(αn + λ · βn)(t)

)

=

(∫ b

aα1 + λ ·

∫ b

aβ1)(t) , . . . ,

∫ b

aαn + λ ·

∫ b

aβn)(t)

)

=

∫ b

aα(t) +

∫ b

aβ(t)

Ejemplo 1.5.1 La funcion [0, 1]α−−−→ R2 definidac como α(t) = (t2 + 1 , t3) es integrable, pues

sus funciones coordenadas α1(t) = t2 + 1 y α2(t) = t3 lo son. Es mas

∫ 1

0α(t)dt =

(∫ 1

0t2 + 1 ,

∫ 1

0t3)

=

(

t3

3+ t

∣∣∣∣

1

0

,t4

4

∣∣∣∣

1

0

)

=

(3

4,1

4

)

16

Ejemplo 1.5.2 El camino [a, b]u−−→ R3 definido como α(t) =

(t , 1), t ∈ Q

(t , 0), t ∈ Ino es inte-

grables, pues la segunda coordenada α2 , definida por α2(t) =

1, t ∈ Q

0, t ∈ Ino lo es.

Teorema 1.7 (cambio de variable para funciones reales de variable real) Sean las funciones

[c, d]µ−−→ [a , b]

α−−−→ R donde µ tiene derivada continua y α es integrable. Entonces

1.] Si µ(c) < µ(d) =⇒∫ µ(d)

µ(c)α(r)dr =

∫ d

c(α ◦ µ)(t)µ′(t) dt

2.] Si µ(c) > µ(d) =⇒∫ µ(c)

µ(d)α(r)dr = −

∫ d

c(α ◦ µ)(t)µ′(t) dt.

Ejemplo 1.5.3 Probemo la igualdad

∫ 1

0et

2+1 2t dt =

∫ 2

1erdr. Para esto hacemos µ(t) = t2+1.

Segun esto se tiene∫ 1

0et

2+1 2t dt =

∫c=1

c=0

eµ(t) µ′(t) dt =∫

µ(1)=2

µ(0)=1

er dr

Ejemplo 1.5.4 Sea las funciones [−1, 1] µ−−→ [−1, 1] α−−−→ R2 definidas como µ(t) = −t y

α(r) = (r , r3), respectivamente. Como µ(−1) > µ(1), por la parte 2.] del torema anterior se

tiene

∫ 1

−1

α(r)dr = −∫ 1

−1(α ◦ β)(t)(−1)dt =

∫ 1

−1α(−τ) =

∫ 1

−1(−τ,−τ2) = −

∫ 1

−1α(τ)

Teorema 1.8 (Fundamental del calculo) Sea [a , b]α−−−→ Rn un camino, con derivada inte-

grable. Entonces∫ b

aα′(t)dt = α(b)− α(a)

1.6 Caminos Rectificables

Imaginemos una partıcula p desplazandose sobre un segmento de recta durante dos unidades

de tiempo. Representando esta cantidad de tiempo por el intervalo [−1 , 1] y que en el instante

t ∈ [−1 , 1] la particula p se ubica en el punto α(t) = t2+1 cabe preguntarse ?Cuantas unidades

de longitud ha recorrido la particula p en el periodo de tiempo [−1 , 1]?.Formulamos esta misma pregunta para una part’ıcula p que se desplaza sobre una linea recta

durante 4π unidades de tiempo, donde el desplazamiento puede ser de modo tal que el instante

t ∈[

−5

2π ,

3

2π

]

la partıcula p esta ubicada en el punto α(t) = sen(t).

Veamos este otro ejemplo un ligeramente diferente. Una partıcula p se desplaza sobre la

17

curva C ={(t , t2 + 1) : t ∈ [−1 , 1]

}durante 2 unidades de tiempo. Suponiendo que estas

dos unidades de tiempo pueden ser representadas por el intervalo [−1 , 1], y el desplazamiento es

de modo tal que en el instante t ∈ [−1 , 1] la partıcula p se ubica en el punto α(t) = (t , t2 + 1).

¿Cuantas unidades de longitud ha recorrido la particula p?. Este caso no tiene la simplesa de

los ejemplos anteriores, puesto que en este caso la particula no se desplaza sobre una linea recta.

De manera generica. Dado un camino Iα−−−→ Rn y un punto a ∈ I nos interesa resolver la

siguiente situacion: Dados dos instantes a, b ∈ I con b > a ¿Cuantas unidades de longitud

recorre la particula p desde el instante a hasta el instante b?.Para contestar a esta pregunta

tomamos una particion P = {a = t0 , t1, t2, · · · , tn−1, tn = b} del intervalo cerrado [a , b] ⊂ I

y observamos que

Distancia recorrida

por la particula

durante el intervalo

de tiempo [a , b]

≈ ‖α(t1)− α(t0)‖+ ‖α(t2)− α(t1)‖+ ...+ ‖α(tn)− α(tn−1)‖

Denotando por ℓ(

α/[a , b], P)

la sumatoria del lado derecho, y agrupando todas estas sumas en

un conjunto A, esto es A ={

ℓ(

α/[a , b], P)

: Pesparticion}

, resulta bastante natural postular

lo siguiente

Si el conjunto A

es acotado=⇒

Distancia recorrida por la particula

durante el intervalo de tiempo [a , b]= Supremo A

Entonces es natural plantearse la pregunta ¿Bajo que condiciones resulta acotado el conjunto A?.

Un poco de intuicion nos permite descartar los caminos no acotados. Por ejemplo tal con-

junto A no esta acotado para el camino [0 , 1]α−−−→ R2 definida por α(t) =

(

t,1

t

)

y α(0) = 1.

Por lo tanto la distancia recorrida por la particula es infinita. Visto este ejemplo sera que ¿todo

camino acotado es tal que A es acotado? O en otras palabras ¿siempre es posible calcular la

distacia recorrida de un camino acotado? La respuesta es no siempre. Para esto veamos los

siguientes ejemplos

Ejemplo 1.6.1 Un poco de intuicion nos permite afirmar que el conjunto A es acotado para

el camino [0 , 2]α−−−→ R2 definido como α(t) =

(t , 0) t 6= 1

(1 , 1) t = 1¿Cual es el valor de ℓ(α)?

Para responder esta pregunta tomamos una particion P y observamos lo siguiente: Si P no

posee a 1, entonces ℓ(α,P ) = 2. Caso contrario, es decir si la particion P fuese de la forma

18

P = {t0, t1, ...tk−1, tk = 1, tk+1, ..., tn}, entonces

ℓ(α,P ) = ‖α(t1)− α(t0)‖+ · · ·+ ‖α(tk−1)− α(t

k−2)‖+ |α(1) − α(t

k−1)‖

+ |α(tk+1

)− α(1)‖ + |α(tk+2

)− α(tk+1

)‖+ · · ·+ ‖α(tn)− α(tn−1)‖

= tk−1

+ ‖(1, 1) − (tk−1, 0)‖ + ‖(tk+1, 0)− (1, 1)‖ + 2− tk+1

= tk−1

+√

(1− tk−1

)2 + 1 +√

(tk+1− 1)2 + 1 + 2− t

k+1

≈ 4

donde la aproximacion ≈ es porque nos interesa aquellas particiones P con norma casi 0. De

todo esto resulta que ℓ(α) = Supremo(A) = 4.

Este es un ejemplo donde se indica que rectificabilidad no implica continuidad. El reciproco

tampoco es cierto, es decir continuidad no implica rectificabilidad

Ejemplo 1.6.2 El conjunto A no es acotado para el camino continuo [0 , 1]α−−−→ R definido

como α(t) =

0 t = 0

t sen( π

2t

)

t 6= 0. En efecto. Fijado el numero natural m ≥ 1 consideramos

la particion

P =

{

0,1

4m,

1

4m− 1, ...,

1

3,1

2, 1

}

Segun esto se tiene

ℓ(α,P ) =

∣∣∣∣β

(1

4m

)

− β(0)

∣∣∣∣+

∣∣∣∣β

(1

4m− 1

)

− β

(1

4m

)∣∣∣∣+ · · ·+

∣∣∣∣β

(1

2

)

− β

(1

3

)∣∣∣∣+

∣∣∣∣β(1)− β

(1

2

)∣∣∣∣

=1

4m− 1+

1

4m− 1+

1

4m− 3+

1

4m− 3+

1

4m− 5+

1

4m− 5+ · · · + 1

3+

1

3+ 1

=1

k+

1

k+

1

k − 2+

1

k − 2+

1

k − 4+

1

k − 4+ · · ·+ 1

3+

1

3+ 1 donde k = 4m− 1

≥ 1

k + 1+

1

k+

1

k − 1+

1

k − 2+

1

k − 3+

1

k − 4+ · · · + 1

4+

1

3+

1

2

=k+1∑

n=2

1

n=

4m∑

n=2

1

n

De esto se deduce que parapara todo natural m ≥ 1 se tiene

4m∑

n=2

1

n< ℓ(α,P ). Considerando el

hecho que limm−→+∞

4m∑

n=2

1

n= +∞, resulta que el conjunto A (para la funcion β ) es no acotado y

de esto resulta la no rectificabilidad de α.

Hecho este preambulo, presentamos esta situacion de manera formal.

19

Definicion 1.5 Un camino [a , b]α−−−→ Rn es rectificable si y solo si el conjunto

A ={

ℓ(

α/[a , b], P)

: P es particion}

es acotado. En caso afirmativo el supremo de A es la distancia recorrida por la particula p

durante el intervalo de tiempo [a , b]. Convenimos en escribir ℓ(α) = Sup(A).

Teorema 1.6.1 El camino [a , b]α−−−→ Rn es rectificable si, y solo si, cada una de sus funciones

coordenadas es recticable.

Ejemplo 1.6.3 El camino continuo [0 , 1]α−−−→ R2 definido como α(t) =

(0 , 0) t = 0(

t , tsen( π

2t

))

t 6= 0

es no rectificable. ¿Por que? pues su funcion segunda coordenada [0 , 1]α−−−→ R dada por

β(t) =

0 t = 0

t sen( π

2t

)

t 6= 0es no rectificable.

Teorema 1.6.2 Si [a , b]α−−−→ Rn es un camino continuo y rectificable, entonces ℓ(α) = lim

‖P‖→0l(α,P )

Teorema 1.6.3 Todo camino [a, b]α−−−→ Rn de clase C1 es rectificable. Ademas ℓ(α) =

∫ b

a‖α′(t)‖ dt

Antes de dar la prueba puntualizamos dos cosas. Lo primero (1) es que la continuidad de

α′ garantiza la existencia de la integral que aparece en la tesis del teorema. Esta integral,

a la que por motivos de comodidad vamos a denotar por I, puede expresarse como un limite

de sumas, esto es I = lim‖P‖−→0

k∑

i=1

‖α′(ti)‖(t

i− t

i−1). Lo segundo (2) es que en la prueba

se hara uso de un resultado del Analisis real en varias variable, que a la letra dice: Si α′

es un camino continuo, entonces para todo ε > 0 existe δ de modo tal que la desigualdad

‖α(t)− α(r)− α′(r)(t− r)‖ < ε

2(b− a)(t− r) es verificada por todo r, t ∈ [a , b] con |r− t| < δ.

Prueba: Fijado ε > 0, vamos a encontrar δ > 0 que haga que toda particion P con ‖P‖ < δ

verique la desigualdad |ℓ(α , P )− I| < ε. Para tener una idea de como realizar la prueba

tomamos una particion arbitaria P y observamos que

|ℓ(α,P ) − I| ≤∣∣∣∣∣

k∑

i=1

‖α(ti)− α(ti−1)‖ −k∑

i=1

‖α′(ti−1)‖(ti − ti−1)

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣

k∑

i=1

‖α′(ti−1)‖(ti − ti−1)− I

∣∣∣∣∣

≤k∑

i=1

∣∣‖α(ti)− α(ti−1)‖ − ‖α′(ti−1)‖(ti − ti−1)

∣∣+

∣∣∣∣∣

k∑

i=1

‖α′(ti−1)‖(ti − ti−1)− I

∣∣∣∣∣

≤k∑

i=1

‖α(ti)− α(ti−1)− α′(ti−1)(ti − ti−1)‖+∣∣∣∣∣

k∑

i=1

‖α′(ti−1)‖(ti − ti−1)− I

∣∣∣∣∣

20

Por tanto, para el ε > 0 fijado tomamos un delta δ al que le sea aplicable el limite en (1) y la

desigualdad en (2). Hecho esto vemos que toda particion P con ‖P‖ < δ se tiene

|ℓ(α,P )− I| ≤k∑

i=1

ε

2(b− a)(ti − ti−1) +

ε

2=

ε

2

Ejemplo 1.6.4 Calculemos ℓ(α) para cada uno de los siguientes caminos.

1.] Sea [−√π,√π] α−−−→ R2 definido como α(t) = (cos t2 , sen t2)

Vemos que l(α) =

∫ sqrtπ

−√π‖(−2 t sen t2 , 2 t cos t2)‖ = 2π

2.] Sea [0 , 2π]α−−−→ R3 definido como α(t) = (t cos t , sen t)

Vemos que l(α) =

∫ 2π

0‖(1 , −sen t , cos t)‖ = 2π

√2

Definicion 1.6 Una reparametrizacion de un camino [a , b]α−−−→ Rn es cualquier composicion

α ◦ β de la forma [c , d]β−−−→ [a , b]

α−−−→ Rn, donde β es una funcion monotona y suryectiva

(recordar el teorema: Toda funcion monotona y suryectiva es continua).

Teorema 1.6.4 Un camino [a , b]α−−−→ Rn es rectificable si y solo si cualquier reparametrizacion

tambien lo es. En este caso se tiene, ademas, que el recorrido es invariante. Esto es ℓ(α) =

ℓ(α ◦ β).

Ejemplo 1.6.5 Hallemos ℓ(α) para cada uno de los siguientes caminos de clase C1

1.] [0 , 2π]α−−−→ R3 definido como α(t) = (mcos(t) , msen(t) , n t), donde m,n son ambos

diferentes de cero. Considerando que ‖α′(t)‖ = ‖(−msen(t) , m cos(t) , n)‖ =√m2 + n2 resulta

ℓ(α) =

∫ 2π

0‖α′(t)‖dt = 2π

√

m2 + n2

2.] [1 , 2]α−−−→ R2 definido como α(t) = (t2 , t2). En este caso se tiene α′(t) = (2t , 2t),

‖α′(t)‖ =√4t2 + 4t2 = 2

√2t y por tanto

ℓ(α) =

∫ 2

0‖α′(t)‖dt =

∫ 2

1

√

4t2 + 4t2 = 3√2

Considerando el camino 2.] del ejemplo anterior, deseamos encontrar una reparametrizacion

[a , b]β−−−→ [1 , 2]

α−−−→ R2 de modo tal que α ◦ β tenga velocidad constante e igual a 1. Una tal

reparametrizacion hace que

ℓ(α) = ℓ(α ◦ β) =∫ b

a‖(α ◦ β)′(t)‖dt =

∫ b

adt = b− a

21

Esto dice que la distancia recorrida por al particula sobre la traza de α es igual al tiempo

empleado en movilizarse. ¿Como encontramos la funcion β que haga esto posible?

Para esto consideramos la funcion [1 , 2]S−−−→ R definida como S(t) =

∫ t

1‖α′(x)‖dx =

√2(t2−1)

y estudiemos sus caracteristicas. Por ser esta continua y creciente, pues S′(t) = ‖α′(t)‖ = 2√2t >

0, cualquiera que sea t ∈ [1 , 2], tal funcion puede ser escrita como [1 , 2]S−−−→ [0 , 3

√2], donde

S(1) = 0 y S(2) = 3√2. De este modo S resulta ser una biyeccion diferenciable con inversa

[0 , 3√2]

S−1

−−−−→ [1 , 2] monotona (creciente) y sobreyectica. En realidad esta inversa es tambien

diferenciable debido a que S′ no se anula sobre [1 , 2]. Mas precisamente, la funcion S−1, la cual

en este caso concreto esta definida como S−1(t) =

√t√2+ 1, es tambien diferenciable. Ademas

(S−1

)′(S(t)) =

1

S′(t)=

1

‖α′(t)‖ =1

2√2 t

De esto se tiene que la composicion [0 , 3√2]

S−1

−−−−→ [1 , 2]α−−−→ R2 resulta ser una reparametrizacion

diferenciable de α, con velocidad constante e igual a 1, esto es∥∥∥

(α ◦ S−1

)′(t)∥∥∥ = 1. Esto es

porque

(α ◦ S−1

)′(t) = α′ (S−1(t)

).[S−1

]′(t) = α′ (S−1(t)

).[S−1

]′ (S(S−1(t)

))

= α′ (S−1(t)).

1

‖α′ (S−1(t)) ‖

Por tanto esta reparametrizacion es tal que ℓ(α ◦ S−1

)=

∫ 3√2

0

∥∥(α ◦ S−1)′(t)

∥∥ = 3

√2. Por

tanto la funcion β buscada en S−1. De este modo acaba lo que queriamos.

Note, haciendo a un los lado los calculos, que las razones por la cual la funcion β = S−1

fue hallada es que esta tiene las siguientes caracteristicas. Estas son

1. que S′(t) = ‖α′(t)‖ > 0 (esto asegura la diferenciabilidad de S−1)

2. que α sea de clase C1, puesto que asegura que S(t) =

∫ t

1‖α′(t)‖dx exista.

Todo esto es un fundamento para

Teorema 1.6.5 Sea α : [a , b] → Rn un camino de clase C1 y regular(i.e α′ no se anula en

ningun punto). Entonces

1. La funcion [a , b]S−−−→ R definida como S(t) :=

∫ t

a‖α′(t)‖dx esta bien definida.

2. S es estrictamente creciente

3. el rango de S es [0 , l(α)]

22

4. S−1 es diferenciable y S−1(S(t)) =1

S′(t), cualquiera que sea t ∈ [a , b]

5. [0 , ℓ(α)]α◦S−1

−−−−−−→ Rn es una reparametrizacion de α

6. α ◦ S−1 es diferenciable y ‖(α ◦ S−1)′(t)‖ = 1 cualqueira que sea t ∈ [0 , l(α)]

7. ℓ(α ◦ S−1) =

∫ ℓ(α)

0‖(α ◦ S−1)′(t)‖dt =

∫ ℓ(α)

0dt = ℓ(α)

Teorema 1.6.6 Un camino diferenciable [a , b]α−−−→ Rn C1 es tal que ℓ

(α/[a , t]

)= t − a,

cualquiera que sea t ∈ [a , b] si, y solo si, ‖α′(t)‖ = 1 cualquiera que sea t en [a , b].

Prueba: Veamos la ida. Si α es tal que ℓ(α/[a , t]

)= t − a, cualquiera que sea t en [a , b],

entonces, por ser α es de clase C1, se tiene

ℓ(α/[a , t]

)=

∫ t

a‖α′(r)‖dr = t− a

Derivando con respecto a t resulta ‖α′(t)‖ = 1. La vuelta es simple. Si α es de clase C1, entonces

cada t en [a , b] verifica la igualdad l(α/[a , t]

)=

∫ t

a‖α′(t)‖ = t− a Un camino [a , b]

α−−−→ Rn

esta parametrizado por longitud de arco si y solo si este verifica cualquiera de las condiciones

dadas en el teorema anterior.

Corolario 1.6.1 Todo camino de clase C1 y regular se puede parametrizar po longitud de arco

Ejemplo 1.6.6 La funcion [0 ,√2]

α−−−→ R2 definida como

(1− t2 , 1− t2) t ∈ [0 , 1]

(t2 − 1 , t2 − 1) t ∈ [1 ,√2]

no

esta parametrizada por longitud de arco, puesto que para t =√2 se tiene que l

(α/[a , t]

)6=√2−0

1.7 El triedro de frenet

Imaginemos que entre nuestros dedos tenemos un alfiler cuya punta esta situada en el punto

A y que al mover nuestra mano a travez del espacio esta se traslada a la posicion B. Estamos

interesados en escudriar entre las caracterısticas propias de la curva C ⊂ R3 descrita por la punta

del alfiler. ¿Que es lo que queremos dar a ennteder cuando nos referimos a carac-

terısticas propias?. Veamos. Debe estar claro que el conjunto C es totalmente independiente

de la velocidad a la que movemos nuestra mano y tambien del sentido en que lo hacemos. Mas

precisamente, puede suceder que otra persona tome el mismo alfiler y se mueva sobre la curva

pero a una velocidad diferente y de modo erratico, es decir puede avanzar, luego puede retrocede,

se puede deterner y luego retomar el movimiento; mas todo no importa. Lo que importa en si

es el conjunto por donde se desplaza la punta del alfiler. Estamos interesados en el estudio de

sus caracteristicas sin importar como se ha realizado el desplazamiento.

23

¿Que tipo de caracteristicas deseamos conocer o identificar de la curva?. Una de

las cosas que nos gustarıa cuantificar es lo que se curva una curva C en un determinado punto.

Tomemos por ejemplo el conjunto C ={(x , y , z) : y = 0, x2 + z2 = 1

}. No es dificil observar

y comprender que esta se curva de manera constante en cada uno de sus puntos. En cam-

bio si consideramso la curva C ={(x , y , z) : z = 0, y = x4

}observamos que esta se curva

mas en en el origen de coordenadas que en el punto (1 , 1 , 0). ¿Que podemos deicr de la

C ={(x , y , z) : y ∈ R, x2 + z2 = 1

}Esta ultima curva es una helice que se envuelve al rede-

dor del eje Y , y podemos observar, aunque con un poco esfuerzo, que tambien se curv de manera

constante ¿Por que?. Finalmente la curva C = {(x , x , x) : x ∈ R}, la misma que es una linea

recta, no se curva en ningun punto. Es decir, tiene curvatura cero en todo punto.

Hasta ahora solo nos hemos basado en la intuicion y en la observacion. En todo esto hay

dos puntos claves: El primero es enteder lo que significa curva y Lo segundo es restringir

nuestro estudio a un tipo particular de curvas. lo tercero es encontrar una herramienta matem-

atica que permita cuantificar de manera precisa y sin ambiguedades lo que se curva una curva

C en un determinado punto p ∈ C.

En el segundo paso porjemplo descartamos aquellas curvas que posean angulos o vertices ¿Por

que?. La razon es que alli lo correcto no es utilizar la expresion ”La curva se curva” sino ”la

curva se quiebra”. Empecemos dando una primera definicion

Definicion 1.7.1 Un conjunto C ⊂ Rn es una curva si existe un camino regular de clase C1

Iα−−−→ Rn de modo tal que traz(α) = C.

De ser este el caso diremos que C esta parametrizada por α.

El hecho que α′(t) 6= 0, cualquiera que sea t ∈ I, descarta de planos aquellas curvas con esquinas

o vertices. Como es facil ver, La parametrizacion α no necesariamente es tal que ‖α′(t)‖ = 1, es

decir no necesariamente es una parametrizacion por longitud de arco.

Como ya se ha dicho la diferenciabilidad de α no brinda mas informacion que aquella que

nos dice que la traza alrededor de cada punto α(t) se parece a la recta cuyo punto de paso es

α(t) y vector direccion α′(t). Quisieramos encontrar mucha mas informacion que lo mencionado.

Asi por ejemplo los conjuntos anteriores C son curvas puesto que pueden ser parametrizados

por un camino regular. En efecto. Para el primero consideramos 〈0 , 2π〉 α−−−→ R3 definido

24

como α(t) = (cos(t) , 0 , sen(t)). Para el segundo consideramos el camino Rα−−−→ R2 definido

como α(t) = (t , t4). Para el tercero consideramos la parametrizacion Rα−−−→ R3 definido

como α(t) = (cos(t) , t , sen(t)). Finalmente para el cuarto C consideramos la parametrizacion

Rα−−−→ R3 definida como α(t) = (t , t , t).

Con tales propositos en mente es que para un camino Iα−−−→ Rn, n = 1, 2, 3., definimos el

vector tangente a α en t ∈ I como T (t) =α′(t)‖α′(t)‖ . De esto consideramos de manera natural la

funcion tangente IT−−−→ Rn definida como se inidica arriba. La diferenciabilidad de esta funcion

tangente se da simpre y cuando sea posible derivar el camino α hasta el orden 2. En este caso

se tiene

T ′(t) =1

‖α′(t)‖α′′(t)+

(1

‖α′(t)‖

)′α′(t) =

α′′(t)‖α′(t)‖ −

‖α′(t)‖′‖α′(t)‖2

α′(t) =α′′(t)‖α′(t)‖ −

〈T (t) , α′′(t)〉‖α′(t)‖ T (t)

Observe decir que T ′(a) = 0 es equivalentemente a decir que el vector tangenteα′(t)‖α′(t)‖ varia

muy poco o nada cuando t 7−→ a. Considerando que estos vectores tangentes esta sobre la

esfera de radio 1, resulta que esto es equivalente a decir que la direccion del vector α′(t) varia

muy poco o nada, cuando t 7−→ a. Lo que a su vez es equivalente a decir que existen vectores

v, w ∈ R3 de modo tal que para valores t cercanos de a se tiene α(t) ≈ λ(t) v+w. Por tanto nos

atrevemos a decir que T ′(a) = 0 es lo mismo que decir que la traza al rededor de α(a) no se curva.

Motivados por este preambulo introducimos el concepto de curvatura. La curvatura de α en

el punto α(t) es el numero K(t) definido por K(t) =‖T ′(t)‖‖α′(t)‖ . Observe que la curvatura K(t)

es nula cuando la traza, alrededor de α(t) se parece a una recta. La curvatura en el punto, por

tanto, mide lo que se curva la traza alrededor de α(t). Esto origina, de manera natural, una

funcion curvatura IK−−−→ R la cual verifica K(t) =

∥∥∥∥

T ′(t)‖α′(t)‖

∥∥∥∥=

∥∥∥∥

α′′(t)

‖α′(t)‖2− 〈T (t) , α

′′(t)〉‖α′(t)‖2

T (t)

∥∥∥∥

Ejemplo 1.7.1 Calculemos la curvatura K(t) para cada uno de los caminos dados a continua-

cion

1.] Rα−−−→ R3 definido como α(t) = (t , t2 , 0). En este caso se tiene α′(t) = (1 , 2t , 0). De ahi

que ‖α′(t)‖ =√1 + 4t2. Luego

T (t) =

(1√

1 + 4t2,

2t√1 + 4t2

, 0

)

T ′(t) =

(

− 4t√

(1 + 4t2)3,

2√

(1 + 4t2)3, 0

)

Luego la curvatura en el punto α(t) esta dada por K(t) = 2

√4t2 + 1

(1 + 4t2)2. Muy particularmente

K(0) = 2. Ademas observe que limt−→±∞

K(t) = 0. Esto dice que la curva en el infinito se parece

a una recta.

25

2.] [0 , 2π]α−−−→ R3 definido como α(t) = (cos(t) , t , sen(t)). En este caso se tiene α′(t) =

(−sen(t) , 1 , cos(t)), con lo que ‖α′(t)‖ =√2. Luego T (t) =

(

−sen(t)√2

,1√2,cos(t)√

2

)

y T ′(t) =(

−cos(t)√2

, 0 , −sen(t)√2

)

. Por tanto, en cualquier punto t ∈ [0 , 2π] se tiene K(t) =1

2. Esto dice

que la traza se curva de modo constante.

3.] La traza de una camino de clase C2 [a , b]α−−−→ R3 esta contenida en una recta si, y solo

si, α tiene kurvatura nula en todo punto t ∈ [a , b].

Sea Iβ−−−→ J un difeomorfismo y J

α−−−→ R3 un camino. Entonces el vector tangente al camino

Iα◦β−−−−→ R3 en el instante r ∈ I esta dado por

T (r) =(α ◦ β)′(r)‖(α ◦ β)′(r)‖ =

α′(β(r))‖α′(β(r))‖

β′(r)‖β′(r)‖ = [±1] (T ◦ β) (r)

Esto dice que el vector tangente es invariante cuando β es creciente. En este caso el signo que

queda es (+). Si fuese el caso que β sea decreciente, el sentido cambia. En este caso el signo

que queda es (−). Al margen de estos casos, debido a que tanto T como β son diferenciables, T

tambien lo es.

Teorema 1.7.1 (Invarianza de la curvatura) Sea Iα−−−→ R3 un camino regular y de clase C2

(no necesariamente parametrizada por longitud de arco) y Jβ−−−→ I un difeomorfismo. Entonces

para r ∈ J ocurre que la curvatura de α ◦ β en r y la de α en α(β(r)) son iguales.

Prueba:

K(r) =

∥∥∥∥∥

T′(r)

(α ◦ β)′(r)

∥∥∥∥∥=

∥∥∥∥

(T ◦ β)′(r)(α ◦ β)′(r)

∥∥∥∥=

∥∥∥∥

T ′(β(r))‖α′(β(r))‖

β′(r)‖β′(r)‖

∥∥∥∥= (K ◦ β)(r)

La curvatura, como su nombre lo dice, solo indica cuanto se curva la traza alrededor de un

determinado punto. Esta curva de la traza puede ocurrir en un plano o en el espacio. No brinda

mas informacion.

Con el proposito de obtener mas informacion, introducimos un nuevo concepto que es el de

vector normal. Para esto es necesario suponer que α es un camino donde T ′(t) 6= 0, o lo que es

lo mismo decir con curvatura K no nula.

Segun esto definimos el vector normal a α en el instante t como η(t) =T ′(t)‖T ′(t)‖ . Observe que los

vectores normal y tangente son ortogonales, es decir forman un angulo igual a 900, puesto que

〈T (t) η(t)〉 = 1

‖T ′(t)‖⟨T (t) T ′(t)

⟩= 0. Del mismo modo para que la funcion normal I

η−−→ Rn

sea difernciable es necesario que α sea derivable hasta el orden 3.

26

El plano generado por los vectores tangente T (t) y normal η(t), al que de ahora para adelanta

denotamos por O(t) y llamamos plano osculador a α en el en el instante t, es el que contiene a

la curva C alrededor del punto α(t). Por ejemplo si la curva esta contenida toda en un plano P ,

entonces el plano osculador O(t) es siempre P , cualquiera que sea t ∈ I.

Con el proposito de obsetner mayor informacion es que vamos a averiguar cuanto cambia de

inclinacion este plano. ?Como medir esta variacion?. Es importante observar que estudiar tal

variacion es lo mismo que estudriar la variacion del vector normal unitario b(t) a O(t). Natural-

mente, esto pasa por estudiar b′(t).

Pero antes damos algunas observaciones. En el caso que α este parametrizado por longitud

de arco se tiene naturalmente T (t) = α′(t), T ′(t) = α′′(t), η(t) =α′′(t)‖α′′(t)‖ .

Teorema 1.7.2 Sea Iα−−−→ R3 un camino regular de clase C2 con curvatura no nual en todo

punto. Sea tambien Jβ−−−→ I un difeomorfismo. Entonces para r ∈ J ocurre que el vector

normal a α ◦ β en el punto (α ◦ β)(r) es igual al vector normal a α en el putno α(β(r))

Prueba: Sea η(t) el vector normal para α ◦ β en el punto t ∈ J . Entonces

η(r) =T′(r)

‖T ′(r)‖

= ± (T ◦ β)′(r)‖(T ◦ β)′(r)‖ = ± T ′(β(r))

‖(T ′(β)(r)‖β′(r)|β′(r)| =

T ′(β(r))‖T ′(β(r))‖

donde el signo se escoge segun β sea creciente o decreciente. Cualquiera que sea el caso siempre

se tiene η(r) = η(β(r)). Esto es η = η ◦ β.

Definicion 1.7 El vector binormal a α en el instante t ∈ I es aquel vector unitario b(t) ∈ R3

que hace que el conjunto {T (t), n(t), b(t)} sea una base de R3, y que la transformacion lineal

R3 T−−−→ R3 definida como T (e1) = T (t), T (e2) = η(t) y T (e3) = b(t) sea tal que de(T ) > 0.

La terna (T (t) , η(t) , b(t)) se llama Triedro de Frenet de α en el instante t.

El hecho que det(T ) sea > 0, significa que e triedro ortonormal {T (t), η(t), b(t)} se puede obtenerde {e1 , e2 , e3} por simple rotacion. Asi, como la operacion rotacion es invertible y continua,

podemos decir que la condicion det(T ) > 0 siginifica que dos triedros diferentes {T (t), η(t), b(t)}y {T (r), η(r), b(r)} se obtienen el uno del otro por una rotacion.

No esta demas recordar que el determinante de la tranformacion lineal T que apararece en

la definicion anterior esta dado por el determinante de su matriz asociada a la base canonica de

27

R3. Es decir

det(T ) = det

T1(t) T2(t) T3(t)

η1(t) η2(t) η3(t)

b1(t) b2(t) b3(t)

> 0

Para efectos de calculo es util saber o conocer que el vector binormal b(t) puede ser expresado

como

b(t) = det

e1 e2 e3

T1(t) T2(t) T3(t)

η1(t) η2(t) η3(t)

Por cuestiones de simplicidad convenimos en escribir b(t) = T (t) × η(t). De este modo queda

definida la funcion binormal Ib−−→ R3.

Para un camino Iα−−−→ R3 clase C3, regular y con curvatura no nula en todo punto defini-

mos. El Plano Rectificante (resp. Normal) a α en el instante t es aquel plano generado por T (t)

y b(t) (resp. η(t) y b(t)) y al que denotamos por R(t) (resp.N(t)).

Es precis indicar aqui algunas propiedades

1. ‖u× v‖ = ‖u‖ ‖v‖ sen(θ), donde 0 ≤ θ ≤π es el angulo formado por u y v.

2. ‖u× v‖ = 0←→ u//v

3. v × u = −(a× b)

4. u× (v + w) = (u× v) + (u× w)

5. (λu)× v = λ(u× v)

6. u× (v × w) = v 〈u , w〉 − w 〈u , v〉

Proposicion 1.7.3 La funcion normal tiene las siguientes caracteristicas

1.] ‖b(t)‖ = ‖T (t)‖.‖η(t)‖

2.] b′(t) = T ′(t)× η(t) + T (t)× η′(t) = T (t)× η′(t)

De este modo b′(t), por ser ortogonal a T (t) y a b(t), resulta ser multiplo de η(t). Es asi que

existe para cada t ∈ I un numero real ν(t) que hace posible la igualdad

b′(t)‖α′(t)‖ = ν(t).η(t) (1.7)

El numero ν(t) es llamdo torsion de α en el instate t. La razon de ser el numero1

‖α′(t)‖ , es quela torsion debe ser invariante por reparametrizaciones. Esto se traduce en el siguiente teorema

28

Teorema 1.7.4 (invarianza de la torsion) Sea Iα−−−→ R3 un camino regular de clase C2 con

curvatura no nula en todo punto. Si Jβ−−−→ I es un difeomorfismo, entonces la torsion de α ◦ β

en el punto r es igual a la torsion de α en el punto β(r), cualquiera que sea r inJ .

Prueba: Considerando que b(r) = T (r)× η(r) = [±] [T (β(r))× η(β(r)] = [±](b ◦β)(r), resulta

b′(r) = [±]b′(β(r))β′(r) = [±]β′(r)

[T (β(r))× η′(β(r))

]

Luego la torsion ν(r) para α ◦ β en r es tal que

ν(r)η(r) =b′(r)

‖(α ◦ β)′(r)‖ = [±] β′(r)‖β′(r)‖

T (β(r))× η′(β(r))‖α′(β(r))‖ =

b′(β(r))‖α′(β(r))‖ = ν(β(r)).η(β(r))

De donde considerando que η(r) = η(β(r)) resulta ν(r) = ν(β(r)). Aqui el signo [±] es segun β

sea creciente o decreciente.

Teorema 1.7.5 (Formulas de Frenet) Sea Iα−−−→ R3 un camino regular de clase C2 con cur-

vatura no nula en todo punto. Entonces

a.]T ′(t)‖α′(t)‖ = K(t).η(t) b.]

η′(t)‖α′(t)‖ = −K(t).T (t)− ν(t).b(t) c.]

b′(t)‖α′(t)‖ = ν(t).η(t)

Prueba: La parte c.] es la misma definicion de torsio. La parte a.] es porque

T ′(t)‖α′(t)‖ =

‖T ′(t)‖‖α′(t)‖

T ′(t)‖T ′(t)‖ = K(t)η(t)

Probemos 2. De η(t) = b(t)× T (t) se tiene η′(t) = b′(t)× T (t) + b(t)× T ′(t). Luego

η′(t) = (ν(t)‖α′(t)‖η(t)) × T (t) + (T (t)× η(t))× T ′(t)

= ν(t)‖α′(t)‖(η(t) × T (t)) + 〈T (t) , T ′(t)〉 η(t)− 〈η(t) , T ′(t)〉T (t)

= −ν(t)‖α′(t)‖b(t) − 〈η(t) , T ′(t)〉T (t)

= −ν(t)‖α′(t)‖b(t) − ‖η(t)‖‖T ′(t)‖cos(< (η(t) , T ′(t)))T (t)

= −ν(t)‖α′(t)‖b(t) − ‖T ′(t)‖T (t)

De esto se deduce que1

‖α′(t)‖η′(t) = −K(t).T (t)− ν(t).b(t).

Teorema 1.7.6 Sea Iα−−−→ R3 un camino regular de clase C2 con curvatura no nual en todo

punto. Entonces α(I) esta contenido en un plano si y solo si ν es identicamente nula.

29

Prueba: Veamos la Ida. Si α(I) esta contenido en el plano

Pu v = L{u, v}+ C = {xu+ yv + C : x, yinR}

Entonces para cada t ∈ I se tiene α(t) = x(t)u + y(t)v + C. Luego las funciones x, y : I → R

son diferenciables y α′(t) = x′(t)u + y′(t)v ∈ L{u, v} Luego de T (t) ∈ L{u, v} se tiene T (t) =

h(t)u + w(t)v es decir T ′(t) = h′(t)u+ w′(t)v ∈ L{u, v}. Y consecuentemente T (t) y η(t) estan

en L{u, v}. En otras palabras se concluye que

b(t)⊥L{u, v}

cualquiera que sea t en I. Por otro lado como ‖b(t)‖ = 1, se tiene que b(t) solo puede tomar dos

valores. Y como b es una funcion continua, entonces b ≡ cte. por tanto

b′(t)‖α′(t)‖ = 0 = 0.η(t)

Es decir ν(t) es cero cualquiera que sea t en I.

Probemos la vuelta. Si ν(t) = 0, cualqueira que sea t en I, entonces de

b′(t)‖α′(t)‖ = 0 = 0.η(t)

se tiene que b′(t) = 0. Es decir b es constante. Por otra parte como

〈b(t) , T (t)〉 =⟨

C ,α′(t)‖α′(t)‖T (t)

⟩

=1

‖α′(t)‖⟨C , α′(t)

⟩= 0

Entonces para cualquier t en I se tiene

c1α′1(t) + c2α

′2(t) + c3α

′3(t) = 0

y consecuentemente

c1α1(t) + c2α2(t) + c3α3(t) = cte = k

Esto permite concluir la pertenencia

α(t) ∈ Plano = {(x , y , z) ∈ R3 : c1x+ c2y + c3z = k}

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