Министерство образования и науки РФ

Южно-Российский государственный политехнический

университет (НПИ) имени М.И. Платова

Шахтинский институт (филиал) ЮРГПУ(НПИ)

им. М.И. Платова

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению расчетно-графической работы

по дисциплине

«Прикладная математика»

для направления

23.03.01 «Технология транспортных процессов»

Новочеркасск

ЮРГПУ(НПИ)

2015

2

УДК 519.6

Рецензент – канд. техн. наук И.В. Бреславцева

Составитель Бондаренко А.И.

Методические указания к выполнению расчетно-графи-

ческой работы по дисциплине «Прикладная математика»/

Южно-Российский государственный политехнический универси-

тет (НПИ) имени М. И. Платова. – Новочеркасск: ЮРГПУ(НПИ),

2015. – 16 с.

Методические указания Содержит краткие рекомендации и

порядок выполнения расчетно-графической работы. Даны зада-

ния для самостоятельного решения, содержание которых будут

способствовать формированию компетенций у студентов.

Предназначены для студентов заочной формы обучения,

обучающихся по направлению 23.03.01 «Технология транспорт-

ных процессов»

УДК 519.6

© Южно-Российский государственный

политехнический университет (НПИ)

имени М.И. Платова, 2015

3

ВВЕДЕНИЕ

Математика и ее методы стали обязательным предметом при

подготовке специалистов любого профиля. Она является универ-

сальным языком описания различных процессов и явлений. Ог-

ромный опыт человечества убедительно доказал, что математика

является незаменимым и мощным орудием познания мира. С

компьютеризацией всех областей человеческой деятельности

pоль математических методов еще больше возрастает.

Важным фактором, определяющим роль математики в раз-

личных приложениях, является возможность описания наиболее

существенных черт и свойств изучаемого объекта на языке мате-

матических символов и соотношений. Такое описание принято

называть математическим моделированием или формализацией.

С помощью математических методов исследуются сложные

прикладные задачи описательного, оптимизационного и управ-

ленческого типов, которые нельзя решить с помощью других бо-

лее простых методов или основываясь только лишь на опыте и

"здравом смысле".

Одной из важнейших форм самостоятельной работы являет-

ся выполнение расчетно-графической работы. Для её успешного

выполнения студентам необходимо изучить теоретический мате-

риал по дисциплине и решить задачи расчетно-графической ра-

боты. Количество задач и вариант расчетно-графической работы

выбирается преподавателем. К зачету могут быть допущены сту-

денты с прорецензированной расчетно-графической работой.

Тема 1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Задача численного решения уравнения складывается из двух

этапов. На первом (этапе отделения корней) необходимо опреде-

лить интервалы [a,b], в которых заданное уравнение содержит

один и только один корень. На втором этапе необходимо уточ-

нить значение корня, принадлежащего интервалу изоляции [a,b].

Одним из самых простых способов сужения интервала явля-

ется метод половинного деления, который заключается в сле-

дующем: вычисляем значение функции f(x) в точке x=(a+b)/2 и в

качестве нового интервала изоляции корня выбираем ту из двух

половинок интервала [a,b], на концах которого функция имеет

4

разные знаки. Этот процесс продолжают до тех пор, пока на ка-

ком-то шаге f(x)<, где - заданная точность нахождения корня.

Рассмотрим уравнение x3

- x - 1 = 0 на отрезке [1,2]. Одним из

эффективных методов уточнения корня является метод Ньютона

или метод касательных. На концах этого отрезка функция

f(x)= x3 - x - 1 имеет разные знаки: f(1)<0, f(2)>0. Так как при х=2

вторая производная этой функции положительна, то начальное

приближение корня x0=2. Последовательность приближений

корня определяется формулой

xn+1= xn - (xn3 - xn - 1)/(3xn

2 - 1)

и имеет вид: x0=2, x1=1,5454, x2=1,3596, x3=1,3258, x4=1,3247,

x5=1,3247.

Так как |x4 - x5| <0,0001, то корень уравнения равен 1,3247.

Реализация метода Ньютона на языке QBasic имеет вид:

CLS

eps = .001

PRINT "Нахождения корня уравнения методом Ньютона"

x0 = 2

3 :

x1 = x0 - (x0 ^ 3 - x0 - 1) / (3 * x0 ^ 2 - 1)

IF ABS(x0 - x1) < eps THEN PRINT "Корень уравнения

равен "; x1: END

x0 = x1

GOTO 3

Задачи для самостоятельного решения. Составить про-

грамму для нахождения корня данного уравнения с точностью

=0,001 известным численным методом.

1) (x+1) 3

+ lnx=0; 2) x2x=1;

3) x-cosx=0; 4) 3x+cosx+1=0;

5) 3x - e x =0; 6) x+lnx=0,5;

7) (2-x)e x =0,5; 8) x

2 =ln(x+1);

9) 5x-8lnx=8; 10) x+cosx=1.

5

Тема 2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Пусть дана система двух уравнений с двумя неизвестными

,0),(

,0),(

yxG

yxF (1)

действительные корни которых требуется найти с заданной сте-

пенью точности. Число этих корней и их приближенные значения

можно установить, построив кривые F(x,y)=0 и G(x,y)=0 и опре-

делив координаты их точек пересечения. Для применения метода

итераций систему (1) приводят к виду

).,(

),,(

2

1

yxy

yxx

(2)

Алгоритм решения задается формулами

).,(

),,(

21

11

nnn

nnn

yxy

yxx

n=0,1,2... (3)

где x0,, y0 - некоторые начальные приближения.

Справедлива теорема. Пусть в прямоугольнике a x b, c y d

имеется одно и только одно решение x= и y= системы (2). То-

гда если в указанном прямоугольнике выполняются условия

1

1

22

11

yx

dyx

(4)

то процесс последовательных приближений (3) сходится к реше-

нию x= и y= системы, т.е.

nn

xlim и

nn

ylim

Рассмотрим систему уравнений

.2sin2

7,0)1cos(

xy

xy

Запишем ее в виде

).1cos(7,0

2/)sin(1

yx

xy

6

Из рис.1 видно, что данная

система имеет единственное

решение в области -2 x 0,

0 y 2.

Условия 111 yx

и

122 yx

выполняются для любых

значений х и у, так как

-1 sinx 1 и -1 cos(y-1) 1. Рис. 1. Графическое решение системы

Полагая x0=-0,5 и y0=0,5 составим программу, реализующую ме-

тод итерации.

CLS

PRINT "Решение системы нелинейных уравнений методом

итераций"

eps = .001: x0 = - .5: y0 = .5

1 :

x1 =.7 - cos(y0-1)

y1 = 1- sin(x0)/2

IF ABS(x0 - x1) < eps AND ABS(y0 - y1) < eps THEN PRINT

x1, y1: END

x0 = x1

y0 = y1

GOTO 1

Результат работы программы: x=-.2898 y= 1.1429.

Для проверки решим эту систему с помощью ППП “Эврика.

******************************************************

Эврика: Решатель , Верс. 1.0r

Имя файла ввода: NONAME

******************************************************

COS(Y-1)+X=.7

2*Y+SIN(X)=2

********************************************************

Решение :

7

Переменные Значения

X = -.289815

Y = 1.14291

Задачи для самостоятельного решения. Решить систему урав-

нений методом итераций с точностью =0,001.

1)

2)5,0cos(

12sin

xy

xy 2)

9,0cos3

6,1)6,0sin(

yx

yx

3)

2cos2

2,1)1sin(

yx

yx 4)

1cos

2)1sin(

yx

yx

5)

3cos

5,0)1cos(

yx

yx 6)

0)2cos(

1)5,0sin(

yx

yx

7)

0)2cos(2

1sin

yx

yx 8)

6,12sin

8,0)5,0cos(

xy

yx

9)

8,0)1sin(

3,1)1sin(

yx

yx 10)

1cos2

42)1sin(

yx

yx

Тема 3. АНАЛИЗ ТАБЛИЧНЫХ ДАННЫХ

Пусть функция y=f(x) задана таблицей своих значений {xi,yi}.

Это означает, что дискретному множеству аргумента {xi} постав-

лено в соответствие множество значений функции {yi}

(i=0,1,2,…,n). Эти значения – либо результаты расчетов, либо

экспериментальные данные.

Задача интерполирования обычно ставится в следующей

форме: найти аналитическую зависимость определенного вида,

которая принимает заданные значения в заданных узлах. Этот

процесс может быть назван аналитической заменой. Классиче-

ский численно-аналитический подход заключается в том, что

табличная зависимость заменяется многочленом, с которым легко

можно выполнить любые действия.

Определим многочлен

Pn(x)=c0xn+ c1x

n-1+ … + cn-1x+ cn ,

значения которого в точках xi (i=0,1,…,n) совпадают со значе-

ниями данной функции, т.е. Pn(xi) = yi(xi). Геометрически это оз-

8

начает, что нужно найти кривую вида y= Pn(x), график которой

проходит через заданное множество точек.

Многочлен Pn(x) называется интерполяционным многочле-

ном. Точки {xi,yi} называются узлами интерполяции. Доказано,

что в указанной постановке задача интерполирования всегда

имеет единственное решение.

Интерполяционные формулы обычно используются при на-

хождении неизвестных значений f(x) для промежуточных значе-

ний аргумента.

Пусть, например, некоторая функциональная зависимость

задана таблицей

Если эти табличные значения

изобразить на координатной

плоскости (рис.2), то, соединив

их отрезками прямых, получим

ломаную 1-2-3-4. Ставится зада-

ча: интерполировать эту таблич-

ную зависимость многочленом

3-й степени

DCxBxAxy 23

т.е. найти такие коэффициенты

A,B,C,D чтобы график много

члена прошел через эти точки. Рис.2. График многочлена

Эти коэффициенты можно найти из решения системы y(xi) = yi

( i=1,2,3,4).

241664

33927

1248

4

DCBA

DCBA

DCBA

DCBA

В матричной форме эта система будет иметь вид ХK=Y:

x 1 2 3 4

y 4 1 3 2

9

4

3

2

1

422

34

322

33

222

32

121

31

1

1

1

1

y

y

y

y

D

C

B

A

xxx

xxx

xxx

xxx

Матричный способ решения системы линейных уравнений

достаточно прост. Обе части матричного равенства ХK=Y ум-

ножим слева на обратную матрицу Х-1

. Получим решение систе-

мы K = X -1

Y. Т.е. для решения системы (вычисления вектора-

столбца K) необходимо найти для матрицы X обратную X -1

и ум-

ножить ее справа на вектор-столбец Y свободных членов.

Решим эту систему с помощью электронных таблиц.

Рис. 3. Рабочий лист Excel

Задав матрицы Х и Y (Рис.3), воспользуемся функциями

Excel. Выделим диапазон A9:D12, начиная с ячейки, содержащей

формулу =МОБР(A2:D5). Нажмём клавишу F2, а затем клавиши

CTRL+SHIFT+ENTER. Далее выделим диапазон A9:D12 и введем

формулу =МУМНОЖ(A9:D12;F2:F5) Нажмем клавишу F2, а за-

тем клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.

Решив эту систему, получим искомый многочлен

20166,255,10333,1 23 xxxy .

10

Рассмотренную задачу можно решить, используя различные ком-

пьютерные программы (пакеты прикладных программ для реше-

ния задач вычислительной математики: EUREKA, DERIVE,

MATHCAD, MATLAB и др.). Задачи для самостоятельного решения. Интерполировать за-

данную табличную зависимость (xi,yi) кубическим многочленом

P(x)=Аx3+Bx

2+Cx+D. Значения аргумента во всех вариантах

x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4.

Вариант y1 y2 y3 y4 Вариант y1 y2 y3 y4

1 5 2 4 7 6 3 1 5 2

2 3 1 5 2 7 2 5 1 6

3 1 4 3 6 8 3 4 6 2

4 2 3 5 4 9 1 3 2 4

5 1 5 3 4 10 5 1 2 4

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Во многих случаях определенный интеграл удается вычис-

лить по формуле Ньютона-Лейбница. Но в двух случаях она не

применима:

когда первообразную подынтегральной функции нельзя

выразить в элементарных функциях,

когда функция f(x) задана в виде таблицы.

В этих случаях используют методы численного интегрирования.

Простейшей формулой численного интегрирования является

формула трапеций.

Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т.е.

график функции y=f(x) представляется в виде ломаной, соеди-

няющей точки (xi,yi). Площадь криволинейной трапеции склады-

вается из площадей

iii

i hyy

s2

1 i=1,2,...,n

Складывая все эти равенства, получаем формулу трапеций:

n

iiii

b

a

yyhdxxf1

1 )(2

1)(

Важным частным случаем формулы является применение ее при

11

постоянном шаге hi=h:

1

1

0

2)(

n

ii

nb

a

yyy

hdxxf

Вычислим интеграл

2

11

sin

x

xdx по формуле трапеций с помощью

программы

CLS

DEF FNF (x) = SIN(x) / (x+1)

A = 1: B = 2: N = 500: H = (B - A) / N

s = (FNF(A) - FNF(B)) / 2

FOR x = A + H TO B - H STEP H

s = s + FNF(x)

NEXT x

PRINT "Интеграл равен ";

PRINT s * H

Результаты вычисления интеграла при N=500 по приведенной

программе 0,3563 (точное значение 0,3863).

Задачи для самостоятельного решения.

Вычислить следующие интегралы по известным квадратур-

ным формулам с точностью = 0,001.

1) x

xdx

14

9

2)x

xdx

10

1

3) xdx

x13

8

4) xdx

x10

1

5) x

xdx

2

2 3

0

1

1( ) 6) x

xdx

2

1

2

1

7) ( )1 2 3

0

1

x dx 8) x x dx2 2

0

1

1

9)dx

x x 1 2

0

1

10) ( )

,

25 2 3

4

2 5

5

x

xdx

12

Тема 5. РЕШЕНИЕ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ

Одной из самых распространенных проблем во всех облас-

тях экономики является транспортировка груза или товара с ми-

нимальными материальными и временными затратами. Так как

огромное количество возможных вариантов перевозок затрудняет

получение самого экономичного плана эмпирическим или экс-

пертным путем, то появилась необходимость применения мате-

матических методов в планировании перевозок.

Пример. Составить математическую модель и решить транспорт-

ную задачу, исходные данные которой приведены в таблице

ai bi 20 30 40

40 3 5 7

50 4 6 8

1. Вводим переменные задачи (матрицу перевозок):

232221

131211

xxx

xxxX .

2. Записываем матрицу стоимостей:

164

753С .

3. Целевая функция задачи равняется сумме произведений всех

соответствующих элементов матриц C и X.

Z(X)=3x11+5 x12+7 x13+4x21+6x22+x23 .

Данная функция, определяющая суммарные затраты на все пере-

возки, должна достигать минимального значения.

4. Составим систему ограничений задачи.

Сумма всех перевозок, стоящих в первой строке матрицы X,

должна равняться запасам первого поставщика, а сумма перево-

зок во второй строке матрицы X равняться запасам второго по-

ставщика:

x11+ x12+ x13=40,

x21+ x22+ x23=50.

Это означает, что запасы поставщиков вывозятся полностью.

Суммы перевозок, стоящих в каждом столбце матрицы X, долж-

ны быть равны запросам соответствующих потребителей:

13

x11+ x21=20,

x12+ x22=30,

x13+ x23=40.

Это означает, что запросы потребителей удовлетворяются полно-

стью. Необходимо также учитывать, что перевозки не могут быть

отрицательными: xij ≥0, i=1,2; j=1,2,3.

Для того чтобы транспортная задача линейного программи-

рования имела решение, необходимо и достаточно, чтобы сум-

марные запасы поставщиков равнялись суммарным запросам по-

требителей, т.е. задача должна быть сбалансированной.

Математическая модель рассматриваемой задачи записыва-

ется следующим образом: найти переменные задачи, обеспечи-

вающие минимум целевой функции Z(X) и удовлетворяющие

системе ограничений и условиям неотрицательности.

Для решения транспортных задач разработано множество

программ. Например, решение может быть выполнено с помо-

щью программы TZ.

Общая стоимость составленного плана перевозок есть сумма

произведений объемов перевозок на соответствующие стоимо-

сти: Z=203+205+106+401=260.

14

Задачи для самостоятельного решения

Составить математическую модель и решить транспортную

задачу, исходные данные которой приведены в таблице.

Вариант № 1 Вариант № 2 Вариант № 3

Вариант № 4 Вариант № 5 Вариант № 6

Вариант № 7 Вариант № 8

Вариант № 9 Вариант № 10

15

Библиографический список

1. Бахвалов Н.С.: Численные методы в задачах и упражнениях. -

М.: Высш. шк., 2010.

2. Болгаев Ю.П. Вычислительная математика и программирова-

ние. –М.: Высш. шк., 2004.

3. Хазанова Л.Э., Математические методы в экономике. Учебное

пособие. М.: изд. «ВЕК», 2001.

4. Замков О.О. и др. Математические методы в экономике. Учеб-

ник. – М.: Дело и Сервис, 2001.

5. Пантелеев А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах:

учебное пособие для втузов. - М.: Высшая школа, 2002.

6. Галеев Э.М. Оптимизация. Теория. Примеры. Задачи. – Моск-

ва: КомКнига, 2006.

16

Учебно-методическое издание

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению расчетно-графической работы

по дисциплине

«Прикладная математика»

Составитель Бондаренко Александр Иванович

Отв. за выпуск И.И. Кузнецова

Подписано в печать 19.09.2015 г.

Формат 60х841/16. Бумага офсетная. Ризография.

Усл.-печ.л. 0,93. Уч.-изд. л.1,0. Тираж 50 экз.

Южно-Российский государственный политехнический

университет (НПИ) имени М.И. Платова

Адрес ун-та: 346428, г. Новочеркасск, ул. Просвещения, 132

Отпечатано в Шахтинском институте (филиале)

ЮРГПУ(НПИ) им. М.И. Платова