Julie.Chavanne.pdf - Ressources actuarielles

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P R O M O T I O N 2 0 1 0

Mémoire présenté devant

L ’ I n s t i t u t d e S t a t i s t i q u e De l'Université Pierre et Marie Curie

Pour l'obtention du

D i p l ô m e d e S t a t i s t i c i e n

M e n t i o n A c t u a r i a t A s s u r a n c e �� F i n a n c e ��

Par Mlle Julie CHAVANNE Sujet : SOLVABILITE II – Provisionnement stochastique des garanties en cas d’arrêt de travail

Lieu du stage : PRO-BTP Responsable du stage : Jacqueline BARBU Invité(s) : Mr

CONFIDENTIEL ��

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REMERCIEMENTS .............................................................................................................. 7

RESUME ............................................................................................................................ 9

ABSTRACT ....................................................................................................................... 11

PARTIE I : CADRE DE L’ETUDE .......................................................................................... 13

Chapitre I : Présentation des garanties en prévoyance ............................................................. 14

1. Les prestations de la Sécurité Sociale ............................................................................................ 14

1.1 Maladie non professionnelle et accident de la vie privé .......................................................... 14

1.1.1 Incapacité temporaire de travail ............................................................................................ 14

1.1.2 Pension d’invalidité ................................................................................................................ 15

1.2 Maladie professionnelle et accident du travail ......................................................................... 16

1.2.1 Incapacité temporaire de travail ............................................................................................ 16

1.2.2 Incapacité permanente de travail .......................................................................................... 16

2. Les prestations complémentaires .................................................................................................. 18

2.1 Maladie non professionnelle et accident de la vie privée ........................................................ 18

2.1.1 Indemnités journalières .......................................................................................................... 18

2.1.2 Rentes d’invalidité .................................................................................................................. 19

2.2 Maladie professionnelle et accident du travail ......................................................................... 19

2.2.1 Indemnités journalières .......................................................................................................... 19

2.2.2 Rentes d’invalidité .................................................................................................................. 19

CHAPITRE II : Les normes réglementaires de solvabilité ........................................................... 21

1. Rappel sur le système actuel ......................................................................................................... 21

2. La réforme Solvabilité II ................................................................................................................. 22

2.1 Principes et objectifs du projet .................................................................................................. 22

2.2 Les acteurs .................................................................................................................................. 22

2.3 La structure en trois piliers ........................................................................................................ 23

2.4 Les principes d’évaluation des Actifs et des Passifs .................................................................. 24

2.4.1 Les Actifs ................................................................................................................................. 24

2.4.2 Les Provisions techniques ....................................................................................................... 24

3. Calcul du SCR : Formule Standard .................................................................................................. 25

3.1 Calcul du SCR Global ................................................................................................................... 25

3.2 Calcul du SCR de base ................................................................................................................. 26

3.2.1 Principe de calcul du SCR pour une institution de Prévoyance .............................................. 26

3.3 Calcul des éléments de couverture ............................................................................................ 27

PARTIE II : Présentation et analyse des données .............................................................. 29

Chapitre I : Présentation des données ..................................................................................... 30

1. Description du portefeuille ............................................................................................................ 30

1.1 Les sinistres en Incapacité Temporaire de travail ..................................................................... 30

1.2 Les sinistres en Incapacité Permanente de travail (Invalidité) ................................................. 33

2. Extraction et analyse des données................................................................................................. 35

2.1 Bases des prestations : PRCGEM ............................................................................................... 36

2.2 Bases des sinistres : DWACTT .................................................................................................... 36

2.3 Montants issus des bases de sinistres ....................................................................................... 36

2.4 Montants issus des bases de prestations .................................................................................. 37

Chapitre II : Models points ...................................................................................................... 39

4

Partie III : Les méthodes déterministes de provisionnement ............................................ 43

Chapitre I : Généralités ........................................................................................................... 44

1. Introduction .................................................................................................................................. 44

2. Provisionnement tête par tête ...................................................................................................... 46

2.1 Provision de l’Incapacité temporaire de travail ........................................................................ 47

2.2 Provision de l’Incapacité permanente de travail ...................................................................... 49

3. Provision Pour Sinistres A Payer (PSAP) ......................................................................................... 49

Chapitre II : Méthode de Chain-Ladder .................................................................................... 51

1. Principe de la méthode .................................................................................................................. 51

2. Application numérique .................................................................................................................. 53

2.1 Exemple 1 : Méthode de Chain Ladder appliquée à l’incapacité temporaire de travail .......... 53

2.2 Exemple 2 : Méthode de Chain Ladder appliquée à l’Incapacité permanente de travail ....... 58

Chapitre III : Les Modèles Linéaires Généralisés (GLM) ............................................................. 62

1. Principe du modèle ........................................................................................................................ 62

2. Estimation ..................................................................................................................................... 64

3. Validation du modèle .................................................................................................................... 65


4.1 Exemple 1 : Méthode GLM appliquée à l’Incapacité temporaire de travail ............................. 66

Exemple 2 : Méthode GLM appliquée à l’Incapacité permanente de travail ........................................ 70

Partie IV : Les méthodes stochastiques de provisionnement ............................................ 75

Chapitre I : Les mesures de risques .......................................................................................... 77

Chapitre II : Le modèle de Mack .............................................................................................. 78

1. Hypothèses et théorèmes du modèle ............................................................................................ 78

2. Estimation de la variance des réserves .......................................................................................... 79


3.1 Exemple 1 : Méthode de Mack appliquée à l’Incapacité temporaire de travail ...................... 80

3.2 Exemple 2 : Méthode de Mack appliquée à l’Incapacité permanente de travail .................. 83

Chapitre III : Le bootstrap ........................................................................................................ 84

1. Principe ......................................................................................................................................... 84

2. Mise en œuvre .............................................................................................................................. 85


3.1 Exemple 1 : Méthode de Bootstrap appliquée à l’Incapacité temporaire de travail ............... 86

3.2 Exemple 2 : Méthode de Bootstrap appliquée à l’Incapacité permanente de travail ............ 88

Chapitre IV : Simulation de Monte Carlo .................................................................................. 90

1. Introduction .................................................................................................................................. 90

2. Mise en place de la méthode ......................................................................................................... 91


3.1 Exemple 2 : Simulation de Monte Carlo appliquée à l’Incapacité permanente de travail ..... 93

PARTIE V : CALCUL DU BEST ESTIMATE ET DU SCR HEALTH ............................................... 95

Chapitre I : Best Estimate et marge de risque ........................................................................... 96

1. La Provision Best Estimate ............................................................................................................. 96

2. La Marge de Risque ....................................................................................................................... 97


3.1 Exemple 1 : Calcul de la Provision Best Estimate pour l’Incapacité temporaire de travail ...... 98

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3.2 Exemple 2 : Calcul de la Provision Best Estimate pour l’Incapacité permanente de travail .... 99

Chapitre II : Le module SCR Health ......................................................................................... 101

1. Classement des différentes garanties .......................................................................................... 101

2. Formule standard ........................................................................................................................ 102

2.1 Health SLT .............................................................................................................................. 102

2.2 Health NSLT ............................................................................................................................ 104

3. Application numérique ................................................................................................................ 107

3.1 Exemple 1 : Calcul du SCR Health NSLT avec les paramètres de la formule standard ........... 107

3.2 Exemple 1 : Sensibilité du SCR Health NSLT aux écarts types de primes et des réserves ...... 107

Conclusion ..................................................................................................................... 108

Bibliographie ................................................................................................................. 110

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REMERCIEMENTS

En préambule à ce mémoire, je souhaite adresser tous mes remerciements aux personnes qui m’ont apporté leur aide et qui ont ainsi contribué, de près ou de loin, à l’élaboration de ce mémoire.

Tout d’abord, je tiens à faire part de ma gratitude à toute l’équipe dirigeante de la direction de l’actuariat de PRO-BTP de m’avoir accueillie pour la deuxième fois au sein de leur équipe et de m’avoir fait confiance dans la réalisation de ce projet : M. Olivier CHAMBAZ, M. Cédric CORNU et Mme Jacqueline BARBU (responsable du mémoire).

Je remercie toute l’équipe de m’avoir accompagné au cours de ces 6 mois et fait partagé leur expérience. Mes remerciements vont également à M. Arnaud COHEN pour sa disponibilité, ses conseils et l’intérêt qu’il a porté à mon mémoire.

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RESUME

La garantie arrêt de travail a été mise en place par la Sécurité Sociale et permet d’indemniser un employé pendant sa période de convalescence. Cette couverture reste très insuffisante et c’est pourquoi le marché privé des assurances complémentaires est en plein essor.

Le sujet du mémoire s’inscrit dans un cadre d’évolution réglementaire de la solvabilité des organismes d’assurances dont l’un des objectifs est de quantifier le niveau et la prudence des provisions techniques grâce aux notions de « Provision Best Estimate » et de « Marge de Risque ».

La première partie du mémoire sera consacrée à la description des garanties et des prestations versées en cas d’arrêt de travail ainsi qu’à l’évolution du contexte réglementaire en matière de solvabilité, en prenant en considération les évolutions apportées par les spécifications techniques du QIS5 du projet Solvabilité II.

Après une étape de traitement et de vérification de la qualité des données, qui est décrite dans la deuxième partie, il est nécessaire de mettre en place des modèles statistiques décrivant le plus précisément possible la sinistralité du portefeuille étudié.

La nouvelle réforme « Solvency II » demande aux organismes assureurs de calculer la Provision Best Estimate à l’aide d’une démarche stochastique appliquée aux passifs d’assurance. Dans certains cas, cette évaluation peut être remplacée par une méthode déterministe ou analytique.

Les différentes méthodes de calcul de ces provisions seront étudiées dans la troisième partie pour les méthodes déterministes et dans la quatrième partie pour les méthodes stochastiques.

La cinquième partie présente le calcul des provisions Best Estimate et de la marge de risque et une étude de sensibilité du SCR Health aux paramètres spécifiques aux entreprises.

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ABSTRACT

The income protection for employees during illness recovery has been long imposed by the French Social Security. However, means and amounts related to this cover remain largely insufficient, which is why complementary insurance market has been constantly growing.

The present study is linked to the evolution of solvency rules for insurance companies in Solvency II project, mainly in quantifying of the level and the conservativeness of reserves using provision best estimate and security margin.

The first part of the study describes guaranties and sums paid in case of illness, as well as evolution in rules of solvency, namely changes brought up by technical specifications in QIS5 of the Solvency II project.

The second part of the study describes steps in processing and quality check for data.

The study then introduces reserve models:

- deterministic models, such as Chain Ladder (third part)

- stochastic models, such as Mack, Bootstrap, and Monte Carlo (fourth part).

The final part of the study presents computation of Best Estimate reserve and risk margin, as well as a study of SCR Health sensitivity with respect to business specific parameters.

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PARTIE I : CADRE

DE L’ETUDE

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Chapitre I : Présentation des

garanties en prévoyance

L’étude menée sur l’évaluation des provisions techniques couvre les garanties suivantes :

• L’Incapacité temporaire de travail : Versement d’indemnités journalières (notée IJ)

• L’Incapacité permanente de travail : Versement d’une rente d’invalidité

Une Institution de Prévoyance intervient sur ces garanties après le versement des prestations de la Sécurité Sociale. Dans un premier temps, l’exposé présente les prestations versées par la Sécurité Sociale puis les prestations complémentaires versées par BTP Prévoyance.

Puisque les prestations sont différentes en cas de maladie non professionnelle ou d’accident de la vie privée et en cas d’accident de travail ou de maladie professionnelle, il faut distinguer la cause de l’incapacité de travail.

1. Les prestations de la Sécurité Sociale

1.1 Maladie non professionnelle et accident de la vie privé

1.1.1 Incapacité temporaire de travail

Après un délai de carence de trois jours et sous certaines conditions, l’assurance maladie verse à l’assuré, temporairement jugé incapable par le médecin d’exercer son travail, des indemnités journalières sur une période maximale de trois ans.

Les droits aux indemnités journalières sont ouverts pendant les six premiers mois si l’assuré :

• justifie avoir travaillé au moins 200 heures pendant les trois mois civils précédents ou les 90 jours précédents;

• Ou justifie avoir cotisé sur un salaire supérieur ou égal à 1015 fois le SMIC horaire pendant les trois mois civils précédents.

Les droits aux indemnités journalières sont ouverts après les six premiers mois si l’assuré:

• justifie avoir travaillé au moins 800 heures pendant les douze mois civils précédents dont 200 heures pendant les trois mois civils précédents ;

• ou justifie avoir cotisé sur un salaire supérieur ou égal à 2 030 fois le SMIC horaire pendant les douze mois civils précédents dont 1 015 fois au cours des trois mois civils précédents.

Le salaire de base défini par la Sécurité Sociale est le salaire brut de l’assuré soumis à cotisation, dans la limite du plafond de la Sécurité Sociale, et calculé en général sur les trois mois antérieurs à l’arrêt de travail.

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Le montant des indemnités journalière est de :

• 50% du salaire journalier de base ; • 66,66% du salaire journalier de base, à compter du 31ème jour, si l’assuré a au moins

trois enfants à charge.

Limitation :

• Si la maladie de l’assuré n’est pas considérée comme une maladie de longue durée (MLD) alors l’assuré ne peut pas recevoir plus de 360 indemnités journalières sur une période de trois années glissantes.

1.1.2 Pension d’invalidité

La pension d’invalidité est une aide financière pour les victimes d’une maladie non professionnelle ou d’un accident de la vie privé qui entraîne une diminution des ressources de l’assuré.

Les critères d’attribution :

• Avoir moins de 60 ans (étude réalisée au 31/12/2009) ; • Capacité de travail réduite d’au moins 2/3 ; • Etre immatriculé à la Sécurité Sociale depuis au moins 12 mois ; • Avoir travaillé au moins 800 heures (dont 200 heures pendant les trois mois civils

précédents) ou avoir cotisé sur un salaire supérieur ou égal à 2 030 fois le SMIC horaire (dont 1 015 fois au cours des trois mois civils précédents), pendant les douze mois civils précédents;

Les catégories d’invalidité :

Catégories 1 : personnes invalides et capables d’exercer une activité rémunérée.

Catégories 2 : personnes invalides et incapables d’exercer une activité rémunérée.

Catégories 3 : personnes invalides, incapables d’exercer une activité rémunérée et d’accomplir la majorité des gestes de la vie courante. Cette personne a besoin d’une assistance dans la vie de tous les jours.

Montant de l’indemnité :

Les montants minimum et maximum sont limités au plafond mensuel de la sécurité Sociale. Dans le tableau ci-dessous, il est utilisé le plafond au 1/04/2010 soit 2 885€/mois.

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Fig. 1 : Montant des indemnités mensuelles de la Sécurité Sociale en cas d’invalidité

La majoration pour une tierce personne est égale à 1 038,36€.

1.2 Maladie professionnelle et accident du travail

1.2.1 Incapacité temporaire de travail


Les droits aux indemnités journalières sont ouverts sans conditions à tous les assurés.

Le montant des indemnités :

• 60% du salaire journalier de base (salaire brut soumis à cotisation calculé en général sur le mois antérieur à l’arrêt de travail) pendant les 28 premiers jours, sans dépasser 10% du plafond mensuel de la Sécurité sociale

• 80% du salaire journalier de base, sans dépasser 10% du plafond mensuel de la Sécurité sociale, à compter du 29ème jour.

Il n’y a pas de montant minimum pour ces indemnités, mais elles ne peuvent pas être supérieures au salaire net journalier de l’assuré.

1.2.2 Incapacité permanente de travail


Cette indemnité est versée par la Sécurité sociale seulement si l’incapacité relève d’une maladie professionnelle ou d’un accident de travail.

Le médecin conseil définit alors un taux d’incapacité permanente selon la nature de l’infirmité, l’état général, l’âge et les facultés physiques et mentales de l’assuré mais aussi selon des critères d’ordre professionnel.

Le montant de l’indemnité : Si le taux d’incapacité est strictement inférieur à 10%, alors la Sécurité Sociale verse un capital en pourcentage du plafond mensuel (ou annuel) de la Sécurité Sociale à l’assuré.

Dans le tableau ci-dessous, il est utilisé le plafond au 1/04/2010 soit 2 885€/mois (ou par an).

CatégorieCalcul de pension (en % du salaire annuel

moyen sur les 10 meilleures années)Montant minimum

mensuelMontant maximum

mensuel

1 30% 265,14 € 865,50 €2 50% 265,14 € 1 442,50 €3 50%+majoration pour tierce personne 1 303,50 € 2 480,86 €

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Fig. 2 : Capital de la Sécurité Sociale en cas d’incapacité permanente inférieure à 10%

Si le taux est supérieur ou égal à 10%, alors l’assuré recevra une rente d’incapacité permanente jusqu'à son décès. Une majoration de 40% de la rente est prévue si le taux d’incapacité permanente est supérieur à 80% et que l’assuré a besoin d’une assistance.

Le montant de la rente est :

Si ��é 50% � �� é ! " #$%$&'� $��(�% Si ��é ) 50% � �� *+��é2 - . /��é 0 50%12 " #$%$&'� $��(�%

Réglementation sur le plafond des salaires:

Le salaire minimum pris en compte pour le calcul des rentes d’incapacité est environ égal à 50% du plafond de la Sécurité Sociale.

Si le salaire de l’assuré est compris entre 50% et 100% du plafond de la Sécurité Sociale, alors l’intégralité de son salaire sera pris en compte dans le calcul des prestations. Enfin, si son salaire dépasse le plafond de la Sécurité Sociale, alors un tiers de l’excédent du salaire est pris en compte, dans la limite de trois fois le plafond de la Sécurité Sociale.

Plafond et tranches de salaire retenues par la Sécurité Sociale :

Le Plafond Annuel de la Sécurité Sociale (PASS) au 1er avril 2010 est égal à 34 620€.

Salaire annuel de base minimum � 345 6 � 17 310€

Salaire annuel de base maximum � 34 620 . <3 " 3 " 34 620 � 69 240€

Taux d'incapacité permanent Montant de l'indemnité

1% 388,56 €2% 631,53 €3% 922,85 €4% 1 456,54 €5% 1 845,14 €6% 2 282,13 €7% 2 767,47 €8% 3 301,76 €9% 3 884,38 €

Tranche A Tranche B Tranche C

1 PSS 3 PSS 8 PSS

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Le Plafond Mensuel de la Sécurité Sociale (PMSS) au 1er avril 2010 est égal à 34 620€.

• Salaire mensuel de base minimum � >>? � 1442.5€

• Salaire mensuel de base maximum � 2885 . <3 " 3 " 2885 � 5770€

2. Les prestations complémentaires

Les organismes assureurs prennent en charge des prestations pour compléter en partie l’écart entre la rémunération du salarié et les remboursements da la Sécurité Sociale.

Le souscripteur du contrat d’assurance peut être :

� l’entreprise pour ses salariés et/ou leurs bénéficiaires : ce sont des contrats collectifs ; � un individu : ce sont des contrats individuels.

Il existe plusieurs types de contrats, qui prennent en charge :

� des garanties définies par des régimes nationaux de prévoyance. Ces contrats sont à adhésion obligatoire. Chez PRO BTP, il s’agit de régimes tels que le RNPO (Régime National de Prévoyance des Ouvriers) et le RNPE (Régime National de Prévoyance des ETAM) ;

� des garanties définies par l’entreprise en accord avec les syndicats. Ces contrats peuvent êtres à adhésion obligatoire ou facultative. Ce sont des contrats de prévoyance supplémentaire. Chez PRO BTP, il s’agit de régimes supplémentaires des Ouvriers, des ETAM et des Cadres.

Pour le RNPO, les garanties d’incapacité de travail et d’invalidité sont décrites ci-dessous.

2.1 Maladie non professionnelle et accident de la vie privée

2.1.1 Indemnités journalières

Dans le cadre d’une interruption de travail totale et continue, le salarié couvert perçoit une indemnité journalière complémentaire à celle de la Sécurité Sociale à compter du 90ème jour dans la majorité des cas.

Les conditions d’ouverture des droits :

• avoir acquis 3 mois d’ancienneté dans une ou plusieurs entreprises adhérentes au régime au cours des 12 derniers mois.

• avoir acquis 5 ans d’ancienneté dans une ou plusieurs entreprises entrant dans le champ d’application du régime et une affiliation à ce régime au cours de la dernière année civile.

Cette indemnité sera versée à compter du 91ème jour de l’interruption de travail. Si le salarié couvert ne peut plus prétendre au maintien de son salaire alors l’indemnité complémentaire est versée à compter du dernier jour indemnisé par l’employeur.

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Le montant de cette indemnité :

• (75% S)/365 par jour sous déduction des indemnités journalières de la Sécurité Sociale (sans être inférieur à SR ou S/2000).

Si au cours d’une période d’indemnisation, l’incapacité de travail devient partielle pour des raisons médicales, l’indemnité journalière complémentaire est réduite de 50% (cas des mi-temps thérapeutiques).

2.1.2 Rentes d’invalidité

Si le participant est atteint d’une incapacité permanente totale de catégorie 2 ou 3 et qu’il perçoit à ce titre une pension d’invalidité de la sécurité sociale, alors une rente annuelle lui est versée.

Le montant de la rente :

• la rente est égale à 10% de S.

• la rente est majorée de 5% de S pour chaque enfant à charge.

La rente cesse dès que la Sécurité Sociale ne verse plus les prestations, et au plus tard à la date d’effet de la pension de retraite du régime général.

2.2 Maladie professionnelle et accident du travail

2.2.1 Indemnités journalières

Dans le cas d’une maladie professionnelle ou d’un accident du travail, tous les salariés couvert ont droit à une indemnité journalière complémentaire à celle de la Sécurité Sociale et ce sans aucune condition d’ancienneté.

Le montant des indemnités :

• S / 4 000 par jour (sans être inférieur à SR).

Le versement cesse dès lors que la Sécurité sociale cesse de verser les prestations d’indemnités journalières et au plus tard à la date de liquidation de la retraite du régime général.

2.2.2 Rentes d’invalidité

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Si le participant appartient à une entreprise des travaux publics, le régime de prévoyance verse une rente d’invalidité. Cette rente varie selon un taux d’incapacité permanent qui est défini par la Sécurité sociale.

Le montant de la rente :

• pour un taux d’incapacité permanente compris entre 25% et 50%, la rente est égale à : (taux d’incapacité – 25%)* 1.4% de S.

• pour un taux d’incapacité permanente supérieur à 50%, la rente est égale à : [100% - [0.7*(100% - taux d’incapacité)]]* S – rente SS.

Cette rente est versée depuis la date de reconnaissance d’incapacité de la Sécurité Sociale et prend fin au 60ème anniversaire du salarié couvert.

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CHAPITRE II : Les normes

réglementaires de solvabilité

La directive Solvabilité II a été adoptée le 22 avril 2009 par le Parlement Européen et approuvée par les ministres des Finances de l’UE le 5 mai 2009. Cette réforme européenne du monde de l’assurance a pour objectif de mieux adapter les exigences de fonds propres demandées aux organismes d’assurance en fonctions des risques auxquels elles sont soumises dans leurs activités. L’application de cette nouvelle réglementation est prévue pour le 31 Octobre 2012.

1. Rappel sur le système actuel

Les principes fondateurs du système actuel reposent sur trois piliers :

• Provisions prudentes, • Actifs sûrs, liquides et rentables, • Exigence minimale de Marge de solvabilité.

La formule utilisée pour déterminer la marge de solvabilité dépend d’un pourcentage des primes, des sinistres, des provisions mathématiques et des capitaux sous risques. Cette vision purement forfaitaire ne reflète pas réellement les risques supportés par les organismes d’assurance.

Les limites de ce système :

La directive Solvabilité I date de 1973 et depuis cette date, certains événements (tempêtes, ouragans, 11/09/2001, faillite de Lehmann Brothers …) ont montré les limites de cette réglementation :

• Apparition de nouveaux risques, • Retrait progressif des institutions publiques de certains domaines (retraite, santé), • Manque d’harmonisation des normes et des pratiques au niveau européen et aussi au niveau groupe, • Concurrence accrue, • Innovations et développements internationaux, • Évolution des techniques de gestion des risques, • Nouvelles normes comptables (IFRS).

De plus certaines contradictions de cette règlementation ont été mises en lumière :

• En assurance Vie, plus les provisions sont calculées de manière prudente et plus le besoin de marge de solvabilité est élevé, car le calcul est forfaitaire, et en pourcentage des provisions.

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• En assurance Non-Vie, pour un risque équivalent, une hausse tarifaire implique une augmentation du besoin de fonds propres, donc la sous-tarification des contrats est favorisée.

Ces insuffisances ont conduit à la réflexion puis à la mise en place d’une nouvelle réforme du monde des assurances : Solvabilité II. Cette réforme a pour objectif une meilleur appréhension et compréhension des risques inhérents à l’activité de chaque organisme d’assurance afin de pouvoir allouer suffisamment de capital pour les couvrir.

2. La réforme Solvabilité II

2.1 Principes et objectifs du projet

Le principe de cette réforme est l’amélioration, pour chaque organisme d’assurance, de la protection de ses assurés, et ceci à l’aide d’une meilleure compréhension et d’une meilleure gestion des risques inhérents à son activité. Il s’avère que le processus de mise en place d’une telle réforme est beaucoup plus complexe. En effet, cette réforme amène les organismes d’assurance européens à revoir les méthodes d’évaluation et de couverture des engagements pris envers leurs assurés.

Les assureurs garantissent une protection aux assurés mais réinjectent aussi l’argent perçu sur les marchés financiers. Il leur est donc demandé une forte connaissance de ces marchés de plus en plus complexes et risqués.

2.2 Les acteurs

La Commission Européenne : elle dirige le projet et sollicite le CEIOPS1 sur des avis techniques. Les Etats Membres : ils sont représentés par des ministres ou des autorités de contrôle et ils préparent les réponses pour la Commission Européenne. Les Professionnels : Ils sont représentés par l’AMICE2, le CEA3, les actuaires (Groupe Consultatif Actuariel), les agences de notation... Ils peuvent être consultés sur les projets d’avis du CEIOPS et de la Commission.

Pour instituer les nouvelles règles du domaine de l’assurance et prendre en compte la réalité des entreprises concernées, la Commission Européenne et le CEIOPS mettent en place un dialogue continu avec les différents acteurs de l’assurance :

• Publication de tous les projets de la Commission Européenne et du CEIOPS et récolte des différentes observations,

• Organisation de journées d’auditions publiques, • Elaboration d’études d’impacts quantitatives et

contribution des assureurs et réassureurs.

1 Committee of European Insurance and Occupational Pensions Supervisors. 2 Association of Mutual Insurers and Insurance Cooperatives in Europe. 3 Comité Européen des Assurances.

2.3 La structure en trois piliers

Solvabilité II repose sur trois piliers

• 1er pilier : Les exigences quantitatives

� Evaluation des actifs et des passifso Les provisions doivent être calculées en Best

cash flows futurs probables actualisés) ajouté d’une marge de risque (représentant le coût du capital).

o Les actifs sont cohistorique (valeur d’achat).

� Capital de solvabiliabsorber des pertes imprévues importantes

� Capital minimum requis (MCR)détenir, en dessous duquel les sup

• 2ème pilier : Les exigences qualitatives

� Contrôle interne : évaluation des risque et de la solvabilité (ORSA = and Solvency Assesment

� Contrôle externe : processus de supervision

• 3ème pilier : Les exigences d’information

� Transparence financière� Publication d’information

diffusées aux assurés

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La structure en trois piliers

Solvabilité II repose sur trois piliers :

s exigences quantitatives

ctifs et des passifs : Les provisions doivent être calculées en Best Estimate (moyenne pondérée des cash flows futurs probables actualisés) ajouté d’une marge de risque (représentant le coût du capital).

ctifs sont comptabilisés en valeur de marché et non plus en valeur historique (valeur d’achat).

Capital de solvabilité requis (SCR) : il représente le capitale cible nécessaire pour absorber des pertes imprévues importantes à un horizon un an dans 99.5% des cas.Capital minimum requis (MCR) : c’est le montant minimum de fonds propres à détenir, en dessous duquel les superviseurs pourront retirer l’agrément.

es exigences qualitatives

: évaluation des risque et de la solvabilité (ORSA = and Solvency Assesment)

: processus de supervision

s d’information

Transparence financière : publication et reporting. Publication d’information : coordination et harmonisation des infdiffusées aux assurés.

moyenne pondérée des cash flows futurs probables actualisés) ajouté d’une marge de risque

et non plus en valeur

: il représente le capitale cible nécessaire pour à un horizon un an dans 99.5% des cas.

: c’est le montant minimum de fonds propres à erviseurs pourront retirer l’agrément.

: évaluation des risque et de la solvabilité (ORSA = Own Risk

: coordination et harmonisation des informations

24

2.4 Les principes d’évaluation des Actifs et des Passifs

2.4.1 Les Actifs Les actifs doivent être évalués selon la méthode de la juste valeur dite « fair value » à la date de clôture du bilan. Cette approche s’oppose à la « valorisation au coût historique » utilisé en comptabilité et qui retient le prix d’achat des actifs.

Hiérarchie du mode d’évaluation :

• Les Actifs sont évalués au prix du marché à l’aide de la méthode baptisée « mark–to-market ». Cette méthode s’appuie sur le prix auquel on peut vendre ou acheter ces actifs immédiatement, on parle alors d’actifs liquides.

• Si la valeur de marché n’existe pas, la valeur des actifs sera évaluée selon la méthode dite « mark-to-model ». Cette méthode consiste à se référencer à un modèle de valorisation alimenté par des données de marché tout en prenant en compte des données plus subjectives comme le risque de contrepartie.

2.4.2 Les Provisions techniques

Les provisions technique doivent être évaluées à leur valeur de transfert, c'est-à-dire la valeur à laquelle deux organismes d’assurance s’échangeraient ces engagements. Cette valeur dite « valeur actuelle de sortie » est basée sur les informations des marchés financiers, et calculée de manière prudente, fiable et objective. Ce calcul doit prendre en compte tous les flux futurs associés aux engagements de l’assureur, pour la durée de vie des contrats. Cette quantité aussi appelé « Best Estimate » n’est pas suffisante pour trouver preneur sur le marché, c’est pourquoi une quantité complémentaire, appelée « Marge de Risque » doit être ajoutée pour pouvoir vendre ces passifs immédiatement. La « Marge de Risque » représente le coût du capital qu’un organisme d’assurance devrait immobiliser pour continuer à gérer les passifs jusqu’à leurs extinction. L’ensemble représente donc la valeur de marché des provisions.

BCDEFGFDHG IJKLHFMNJG � OJGI PGIFQRIJSCDEFGFDHG . TRCUJ VJ WFGMNJ

Les «Provisions Best Estimate » et la « Marge de Risque » doivent être calculés séparément si les engagements sont non couvrables, c'est-à-dire quand les flux futurs associés aux engagements ne sont pas répliquables par des instruments financiers.

Lorsque les engagements sont couvrables, c'est-à-dire quand les flux futurs associés aux engagements sont répliquables par des instruments financiers, la valeur des provisions techniques est la valeur de marché de ces instruments.

25

3. Calcul du SCR : Formule Standard

3.1 Calcul du SCR Global

Suivant les spécifications techniques de la cinquième étude d’impact quantitative, la formule standard de calcul du SCR est décomposée de la façon suivante :

Mortality

CAT

BSCRAdj

Health

SLT Health

CAT Non-SLT Health

Default Life

Mortality

Longevity

DisabilityMorbidity

Lapse

Expenses

Revision

Non-life

Premium Reserve

Lapse

Market

SCR

Op

Intang

= included in the adjustment for the loss-absorbing capacity of technical provisions under the modular approach

CAT

Illiquidity

Interestrate

Equity

Property

Spread

Currency

Con-centration

Premium Reserve

Lapse

Longevity

DisabilityMorbidity

Lapse

Expenses

Revision

XYW � OXYW 0 ZV[ . XYW\S

Avec SCR = Chargement global en capital selon la formule standard BSCR= Capital de solvabilité requis de base Adj = Ajustement de l’effet d’absorption des risques des futurs PB et de l’impôt différé #]�^ = Chargement en capital au titre du risque opérationnel

26

3.2 Calcul du SCR de base

Le BSCR est le capital de solvabilité requis avant tout ajustement, c’est l’agrégation des chargements en capital au titre des cinq grandes catégories de risque.

Les données requises : #]�_`� = Chargement en capital au titre du risque de marché #]�abc = Chargement en capital au titre du risque de contrepartie #]�d�cb = Chargement en capital au titre du risque de souscription vie #]��d = Chargement en capital au titre du risque de souscription non vie #]�e = Chargement en capital au titre du risque de souscription santé YDCC XYWC,K = Matrice de corrélation des risques (taille 5"5)

OXYW � gh YDCC XYWC,K " XYWC " XYWKC,K

3.2.1 Principe de calcul du SCR pour une institution de Prévoyance

L’étude sera utile particulièrement dans le calcul du SCR de la branche santé. Cette branche se décompose en trois parties :

• Health SLT : Branche santé pour laquelle les engagements d'assurance sont calculés sur une base technique semblable à celle de l'assurance-vie

• Health NSLT : Branche santé pour laquelle les engagements d'assurance ne sont pas calculés sur une base technique semblable à celle de l'assurance-vie

• Health CAT : Branche santé qui prend en compte le risque de catastrophe

Le module de la branche Santé SLT couvre les risques suivants :

• Mortalité • Longévité • Invalidité, morbidité • Rachat • Frais • Révision

• Défaillance (perte de valeur du passif)

Les risques couverts dans le module Santé NSLT sont :

• Tarification et provisionnement • Rachat

Le chargement en capital associé est calculé par rapport aux volumes de primes et de réserves et sera détaillé dans la cinquième partie du mémoire.

Le chargement en capital associé est calculé par rapport à une variation de la valeur de l’actif net à la suite d’un choc sur un paramètre.

27

3.3 Calcul des éléments de couverture

Le calcul des éléments de couverture implique une réévaluation de l’ensemble des postes du bilan. L’évaluation comptable se transforme en valorisation économique qui implique que toutes les entrées et sorties de flux futurs attendus doivent être constatées au bilan de solvabilité.

29

PARTIE II :

Présentation et

analyse des

données

30

Chapitre I : Présentation des

données

1. Description du portefeuille

1.1 Les sinistres en Incapacité Temporaire de travail

Les bases de données vues au 31/12/2009 regroupent un historique de 8 années de fait générateur (entre 2002 et 2009) pour le risque incapacité temporaire de travail, avec 347 248 sinistres répertoriés.

Plus particulièrement, le Régime National de Prévoyance des Ouvriers (RNPO), principal produit de BTP Prévoyance, compte 222 510 sinistres sur cette période.

Statistiques descriptives sur les sinistres :

Fig. 3

Le nombre de sinistres par année de fait générateur est stable bien que pour l’année 2009 une diminution soit remarquée. Cela peut être expliqué par des retards de déclaration de sinistres.

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

Nombre de sinistres par année de fait générateur

L’incapacité temporaire de travail commence à partir du 91majorité des produits. Il s’agit donc d’arrêt90% des sinistres ont une ancienneté

Statistiques descriptives sur la population en Incapacité

La population en incapacité temporaire de travail est quasique le Régime National de Prévoyance des Ouvriers (RNPO) s’adresse aux ousecteur du Bâtiment et des Travaux Publiques.

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

[0 - 3 mois] ]3 - 4 mois]

-

50 000

100 000

150 000

200 000

250 000

31

Fig. 4

L’incapacité temporaire de travail commence à partir du 91 ème jour d’arrêt de travail pour la grande l s’agit donc d’arrêts de travail relativement longs. On remarque qu’environ

90% des sinistres ont une ancienneté supérieure à 3 mois.

tatistiques descriptives sur la population en Incapacité Temporaire :

Fig. 5

La population en incapacité temporaire de travail est quasi-totalement masculine, ce quique le Régime National de Prévoyance des Ouvriers (RNPO) s’adresse aux ouvriers travaillant

avaux Publiques.

4 mois] ]4 - 5 mois] ]5 - 6 mois] ]6 - 12 mois]

Nombre de sinistres ancienneté

FEMME HOMME

Répartion des sinistres par sexe

travail pour la grande On remarque qu’environ

totalement masculine, ce qui est dû au fait vriers travaillant dans le

12 mois] Plus de 12 mois

32

Fig. 6

La population en incapacité temporaire de travail augmente avec l’âge à l’entré jusqu’au départ en retraite, avec un pic à l’âge à l’entrée de 55 ans.

Fig. 7

Dans leur grande majorité, les franchises sont de 90 jours. Toutefois certaines franchises sont inférieures (cas de certains contrats particuliers). En moyenne les franchises associées aux données sont d’environ 83 jours.

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69

Répartition des sinistres par âge à l'entrée

Année de FG Age moyen

à l'arrêt Franchise moyenne

Nombre moyen de jours indemnisés

2001 45,56 83,37 277,142002 45,63 82,43 279,092003 45,61 82,62 261,562004 45,32 82,64 245,022005 45,10 82,74 244,062006 44,98 83,12 241,402007 44,75 83,18 235,642008 44,30 82,92 209,552009 44,27 82,50 133,67

33

Pour les années 2007, 2008 et 2009 la diminution importante du nombre moyen de jours indemnisés s’explique par le fait que le paiement des sinistres n’est pas fini (le paiement dure 36 mois, le nombre de jours restant à payer étant provisionné).

L’âge moyen à l’entrée en incapacité de travail est en diminution constante depuis 2003. Il s’agit ici d’un rajeunissement du portefeuille suite à des années de plein emploi suivies des d’embauches dans le BTP. On observe un tassement de cette diminution en 2009, suite à la crise économique qui a commencé en 2008 (conséquence de la crise financière de 2007).

Le nombre moyen de jours indemnisés est aussi en diminution, d’une part suite au rajeunissement du portefeuille et d’autre part puisque le taux de chômage dans le BTP était plus faible pendant la période 2003-2007 (car nous constatons une corrélation positive entre le nombre moyen de jours indemnisés et le taux de chômage).

1.2 Les sinistres en Incapacité Permanente de travail (Invalidité)

Les bases de données comptent 33 872 invalides au 31 décembre 2009.

Plus particulièrement, le Régime National de Prévoyance des Ouvriers (RNPO) dénombre 25376 personnes invalides, ce qui correspond à 75% de la population invalide.

Statistiques descriptives sur les sinistres :

Fig. 8

La majorité des personnes invalides aujourd’hui sont entrées en invalidité dans les 10 dernières années. L’augmentation d’entrées en invalidité des années 1997 à 1999 s’explique par des reprises de systèmes de gestion informatique. Dans ce cas la date de fait générateur n’est pas celle de la maladie initiale qui a générée l’invalidité, mais celle de l’effet de la rente d’invalidité, quand l’invalidité s’est consolidée à partir de 1997.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

Nombre de sinistres par année de fait générateur

34

Fig. 9

Statistiques descriptives sur la population en Incapacité permanente:

Fig. 10

La population en invalidité est quasi-totalement masculine car il s’agit d’ouvriers du BTP.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839

Nombre de sinistres par période d'exposition

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

Homme Femme

Répartition des sinistres par sexe

35

Fig. 11

La population en invalidité augmente avec l’âge jusqu’au départ en retraite, comme pour le risque d’incapacité temporaire. L’âge moyen à l’entré en invalidité est de 47.2 ans, ce qui correspond à l’âge moyen d’entré en incapacité (44,2 en 2009) auquel on ajoute la durée maximale d’incapacité temporaire (3 ans).

2. Extraction et analyse des données

Pour évaluer la liquidation des provisions techniques, et notamment des provisions mathématiques (PM) et des provisions pour sinistres à payer (PSAP), il est nécessaire de disposer de données fiables. Dans le cadre de cette étude, les données sont représentées par les provisions mathématiques et les prestations versées pour les garanties incapacité et invalidité. Il existe deux bases permettant d’extraire les prestations versées dans le passé par l’entreprise :

• les bases des prestations (appelé PRCGEM) contenant les montants comptables versés aux assurés,

• les bases techniques de sinistres (appelé DWACTT) où sont répertoriées l’ensemble des informations connues pour chaque sinistre, comme les montants journaliers des prestations ainsi que le nombre de jours indemnisés. Il est alors possible de réestimer les prestations.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60

Répartition des sinistres par âge à l'entrée

36

2.1 Bases des prestations : PRCGEM

Les bases de prestations donnent le détail de toutes les prestations réellement versées par PRO BTP. Plus précisément, on retrouve dans ces bases l’identifiant du bénéficiaire de la prestation, le type de prestation, le montant de celle-ci, le contrat au titre duquel on reçoit la prestation, l’année du fait générateur et le mois de paiement de la prestation. Ces bases sont également piste d’audit comptable ; le niveau de détail de cette base permet de retrouver le détail des prestations payées au titre d’un contrat à un participant.

2.2 Bases des sinistres : DWACTT

Les bases techniques comportent les renseignements nécessaires à l’inventaire, tête par tête, pour tous les participants ayant bénéficié, dans l’année au moins, d’une prestation d’indemnités journalières ou d’invalidité servie par l’Institution. Ces bases présentent une image1 trimestrielle des sinistres renseignés dans le système d’information par les gestionnaires et mise à disposition du service de l’actuariat par la Direction des Systèmes d’Information. L’information de ces bases techniques d’inventaire doit être contrôlée pour ne pas exposer l’Institution à un risque de sous ou sur provisionnement. C’est la raison pour laquelle il est mis en œuvre au sein du Département de l’Actuariat une procédure de contrôle visant à assurer l’exhaustivité de ces bases avant l’opération d’inventaire proprement dite. Dans cette procédure, une des procédures consiste à comparer la liste des participants ayant bénéficié d’une prestation dans la période de référence du risque avec la liste des participants issues des bases d’inventaire.

2.3 Montants issus des bases de sinistres

Les tables techniques ne donnent aucune information sur la date de versement des prestations. Il faut donc calculer pour chaque image trimestrielle, une estimation du montant versé par l’Institution au vu des informations relatives au sinistre. Des vérifications sont indispensables pour s’assurer que les informations retenues pour effectuer notre étude sont correctes. Pour ces vérifications, les montants sont agrégés annuellement.

1 Images obtenues par extraction, en application de chaînes informatiques.

37

Fig. 12 : Vérification des montants réestimés issus des bases de sinistres

Des écarts très important sont remarqués pour les années de paiement 2006 et 2007. Au vu des informations précédentes concernant l’acheminement des données de sinistres, ces différences peuvent être expliquées par la non-exhaustivité des bases construites en 2006 et 2007, ou des informations erronées relatives aux sinistres. Après cette vérification, la qualité des données obtenue semble insatisfaisante, et l’utilisation des ces prestations estimées est abandonnée.

2.4 Montants issus des bases de prestations

Dans ces bases, un historique de 6 ans est disponible pour le risque Incapacité Temporaire et pour l’utilisation des données comptables, un retraitement s’impose car le trimestre de survenance du sinistre n’est pas renseigné. Il faut donc fusionner les bases de sinistres et de prestations pour récupérer cette information.

Si un individu a déclaré plusieurs arrêts de travail durant la même année, alors les prestations versées pour ces différents faits générateurs seront renseignés dans les bases des prestations par année de fait générateur et par date de fait générateur dans les bases des sinistres.

delaisurvenance

15 074 819 35 684 875 17 070 832 5 579 632 1 055 285 450 793 131 251 50 354 15 667 691 35 037 043 14 784 073 4 759 776 966 665 414 018 179 288 15 524 872 32 583 582 13 166 436 4 419 637 946 154 373 813 15 554 068 31 889 888 13 139 302 4 554 053 1 128 453 15 571 428 33 192 715 13 695 718 4 730 796 15 968 562 34 416 763 14 792 731 17 863 270 39 651 936 20 200 770

delaisurvenance

15 160 957 35 942 503 17 388 812 5 711 884 1 256 030 226 427 151 673 64 492 15 680 232 35 524 931 15 133 410 4 991 876 408 685 425 450 209 469 15 554 290 33 094 775 14 260 955 1 510 397 937 819 417 881 15 593 341 34 477 836 5 419 637 4 563 406 1 170 499 19 637 638 14 474 533 13 803 664 4 808 189 13 450 547 34 687 239 15 220 734 17 546 862 40 332 642 20 022 934

delaisurvenance

0,57% 0,72% 1,86% 2,37% 19,02% -49,77% 15,56% 28,08%0,08% 1,39% 2,36% 4,88% -57,72% 2,76% 16,83%0,19% 1,57% 8,31% -65,83% -0,88% 11,79%0,25% 8,12% -58,75% 0,21% 3,73%26,11% -56,39% 0,79% 1,64%-15,77% 0,79% 2,89%-1,77% 1,72%-0,88%

20052006200720082009

N+5 N+6 N+7

200220032004

2006200720082009

Ecart relatif (RNPO)

N N+1 N+2 N+3 N+4

N+6 N+7

2002200320042005

N N+1 N+2 N+3 N+4 N+5

200720082009

Montants non cumulés des prestations d'incacité issus des Comptes de résultat (RNPO)

Montants non cumulés des prestations d'incacité réestimés à partir de la base DWACTT (RNPO)

N+7N

2003200420052006

N+1

2002

N+2 N+3 N+4 N+5 N+6

38

Fig. 13

Les assurés ayant plus d’un sinistre la même année représentent environs 6% de l’ensemble des sinistrés. Pour les individus dans cette situation, la première date de fait générateur dans l’année est retenue.

Après ces traitements, la fusion des deux bases peut être mise en place et le trimestre de fait générateur est disponible. La qualité des données est assurée, car les bases de prestations sont définies comme piste d’audit comptable.

Année Effectif Effectif total % 2002 3286 51541 6,38%2003 3686 56662 6,51%2004 3706 55705 6,65%2005 3504 54780 6,40%2006 3451 55274 6,24%2007 3826 56529 6,77%2008 4191 61637 6,80%2009 2800 42491 6,59%Total 28450 434619 6,55%

Part des assurés ayant plus d'un sinistre la même année

39

Chapitre II : Models points

Dans un premier temps, l’étude d’évaluation des provisions technique Best Estimate est réalisée sur le Régime National de Prévoyance des Ouvriers (RNPO). Ce régime représente une part très importante des salariés couverts, mais il existe d’autres types de contrat restant à étudier. Par rapport à la taille des portefeuilles, et des caractéristiques des garanties et des salariés couverts, l’objectif de ce chapitre est de regrouper de façon homogène les risques en fonction des caractéristiques de chaque contrat. Dans l’Institution, les contrats sont regroupés par sections pour des raisons d’analyse et de suivi comptable. Il s’agit ici déjà d’un premier regroupement par :

� catégories socioprofessionnelles (ouvriers, ETAM, cadres) ; � type de contrat couvrant des garanties différentes.

28 sections différentes sont répertoriées. Le tableau ci-dessous résume les principales caractéristiques de ces sections :

Fig. 14

Fig. 15

Ouvrier Etam CadrePST3 PMV2 PCB1PSV3 PEC2 PCS1PTP3 POV2 PCV1PSB3 PSV2 PIV1POV3 PIV2

Sections des contrats standards

Ouvrier Etam CadreEUC3 EUC2 PAV1

PAV3 SOC2 CEC1

GTC2 PPI1

PAV2 SOC1

GTC1

EUC1

EUI1

SPC1

Sections des contrats particuliers

40

Plusieurs regroupements sont possibles. 1/ Le tableau ci-dessus est un regroupement en fonction du collège de l’adhérent et du type de contrat standard ou particulier. 2/ Une répartition plus fine est préférable en fonction du :

- collège de l’adhérent - type de régime : conventionnel (obligatoire), supplémentaire. - type de contrat : standard ou particulier - type de souscription : collective, individuelle - type de réassurance des contrats

Fig. 16 : Regroupement des différentes sections pour l’étude

Numéro regroupement

Collège Type de contrats Section

PAV1CEC1

PPI1

SOC1

GTC1

EUC1

EUI1

3 Cadre Contrats particuliers pour un grand groupe Y SPC1

PCB1PCS1PCV1PIV1

Cadre

Cadre

Cadre4Contrats Conventionnels (Régime National de Prévoyance des Cadres)

1 Contrats particuliers

2 Contrats particuliers pour un grand groupe X

41

Numéro de regroupement


EUC2SOC2 GTC2

PMV2

PEC2

9 Etam Contrats standards supplémentaires (collectifs) PSV2

10 Etam Contrats standards supplémentaires (individuels) PIV2

Etam

Etam

Etam

Etam

PAV2

7 Contrat standards supplémentaires

8Contrats Conventionnels obligatoires (Régime National de Prévoyance des Etam)

POV2

5 Contrats particuliers pour un grand groupe X

6 Contrats particuliers

Numéro regroupement


PST3

PSV3

PTP3

PSB3

15 OuvrierContrats Conventionnels obligatoires (Régime National de Prévoyance des Ouvriers)

POV3

Ouvrier

Ouvrier

Ouvrier

Ouvrier

13 Contrats standards

14 Contrats standards supplémentaires

11 Contrats particuliers pour un grand groupe X EUC3

12 Contrats particuliers PAV3

43

Partie III : Les

méthodes

déterministes de

provisionnement

Chapitre I

1. Introduction

Dans les normes comptables actuellesréglementation en vigueur de constituer des provisions techniques afin de couvrir les engagements qu’ils ont pris vis-à-vis de leurs assurés. Les provisions techniques à constituer

� Les provisions mathématiques (PM)� Les provisions pour sinistres à payer (PSAP)

A la date d’inventaire, en fonction de la date d’échéance de paiement des prestations,situations de provisionnement peuvent se résumer dans l’arbre de décision ci

Provisions Mathématiques

Prestations à payer en 2010, 2011 ....

Sinistres survenus et connus

Provisions pour sinistres en cours

Sinistres survenus et non connus

Provisions pour prestations non échues et non

44

Chapitre I : Généralités

ntroduction

Dans les normes comptables actuelles, les organismes d’assurance sont contraints par la réglementation en vigueur de constituer des provisions techniques afin de couvrir les engagements

vis de leurs assurés.

à constituer sont divisées en deux grandes familles de provisionsLes provisions mathématiques (PM)

ovisions pour sinistres à payer (PSAP)

en fonction de la date d’échéance de paiement des prestations,situations de provisionnement peuvent se résumer dans l’arbre de décision ci-dessous

Mathématiques Provisions pour Sinistres à Payer

Charge globale

Echéance de paiement des

prestations

Prestations à payer en 2010, 2011 ....


Provisions pour prestations non échues et non

connues

Prestations à payer en 2009

Sinistres survenus et connus

Provisions pour prestations dues


Provisions pour sinistres tardifs

, les organismes d’assurance sont contraints par la réglementation en vigueur de constituer des provisions techniques afin de couvrir les engagements

sont divisées en deux grandes familles de provisions :

en fonction de la date d’échéance de paiement des prestations, les différentes dessous :

Provisions pour Sinistres à Payer

Prestations à payer


Provisions pour sinistres tardifs

(IBNR)

45

Comme le montre le schéma ci-dessus :

� les PM seront constituées pour des sinistres survenus et connus pour toutes les échéances de prestations futures et calculées tête par tête,

� alors que les PSAP seront calculées globalement pour toutes les autres situations où un calcul tête par tête ne peut pas être effectué.

Ces provisions sont aussi utilisées dans les normes de Solvabilité I pour le calcul de la marge de solvabilité.

Pour mettre en application la nouvelle directive européenne du projet Solvabilité II (article 77), les organismes d’assurance doivent calculer des Provisions Best Estimate à l’aide d’une évaluation stochastique de leurs engagements. Par dérogation et dans certains cas précis, cette évaluation stochastique peut être remplacée par une méthode déterministe ou analytique. Ces Provisions Best Estimate englobent les provisions pour les sinistres survenus et connus et aussi les provisions des sinistres survenus et non connus, de ce fait une seule évaluation globale peut être faite. Trois techniques sont proposées par les spécifications techniques du questionnaire d’impact de solvabilité (QIS5) :

� Simulations stochastiques, � Techniques déterministes, � Techniques analytiques.

Il est possible d’associer ces méthodes pour obtenir de meilleurs résultats. Les techniques déterministes sont très rependues en particulier en assurances non vie. Ces méthodes restent simples mais des tests de sensibilité sont nécessaires pour valider la Provision Best Estimate. Les méthodes les plus connues :

� Chain Ladder � Bornhuetter -Ferguson, � Méthode de provisionnement tête par tête.

L’étude prend comme référence la méthode de Chain Ladder et le provisionnement tête par tête. Les techniques analytiques se basent sur la loi de distribution des flux futurs. Dans le cadre de cette étude, le provisionnement sera estimé selon la technique des modèles linéaires généralisés, noté GLM (Generalised Linear Models). Les méthodes déterministes et analytiques qui s’appliqueront pour le calcul des Provision Best Estimate peuvent être aussi appliquées pour le calcul des PSAP.

46

La méthode de Chain Ladder et la méthode de GLM permettent de : � estimer les prestations futures par fait générateur et échéances de paiement � déterminer les résidus entre les prestations réelles (déjà payées) et ces mêmes prestations

reéstimées par le modèle. Ces résidus pourront être utilisés ensuite via une modélisation stochastique avec la méthode de Bootstrap, afin de déterminer des provisions stochastiques (et donc une distribution de ces provisions).

2. Provisionnement tête par tête

La provision mathématique est déterminée pour chaque sinistre survenu et est calculée comme l’espérance des flux de prestations futurs actualisés. C’est une méthode de provisionnement dite « tête par tête ». Pour chaque type de garantie, la provision est définie en fonction de la prestation associée. L’arrêté du 28 mars 1996 impose aux institutions de prévoyance de calculer cette provision à partir des éléments suivant :

• Des lois de maintien (en incapacité et/ou invalidité) fournies par le Bureau Commun des Assurances Collectives ou d’une loi dite d’expérience certifiée par un actuaire Indépendant de l’entreprise,

• Un taux technique i tel que : & i j$�k75% �lm2 ; 4,5%o.

La mise en place de Solvabilité II introduit la Provision Best Estimate représentant la moyenne des flux probables actualisés à l’aide la courbe des taux de référence (courbe des taux swap fournie par la Commission Européenne). Dans ce cas, la provision technique est la somme de la Provision Best Estimate et d’une marge de risque. Notations : �� : Age de l’entrée dans le risque d’incapacité. $�� : Ancienneté en incapacité. ��p : Age de l’entrée dans le risque d’invalidité. $��p : Ancienneté en invalidité. %��/��, $�� 1 : Nombre d’individus en incapacité temporaire entrés à l’âge �� et avec $�� mois

d’ancienneté. qFHE/rFHE, RFHE1 � Nombre d’individus en invalidité entrés à l’âge rFHE et avec RFHE années d’ancienneté en invalidité. GsrFHK : Nombre d’individus en incapacité temporaire qui deviennent invalides au cours du tuèwx mois. i : Taux technique annuel Is � Taux swap de référence à la date k.

2 Taux Moyen des Emprunts de l’Etat français

47

2.1 Provision de l’Incapacité temporaire de travail

Pour cette garantie, il existe trois provisions de natures différentes:

� une provision pour « l’incapacité en cours » correspondant à l’ensemble des prestations futures à servir au titre de la garantie d’incapacité.

� une provision pour « l’invalidité en attente » représentant les prestations futures d’invalidité, en cas d’évolution de l’état de l’assuré de l’incapacité à l’invalidité.

� et une provision pour « le maintien des garanties décès » associée aux prestations versées au bénéficiaire, suite au décès de l’assuré incapable. La liquidation de cette provision n’est pas prise en compte dans cette étude et elle ne sera pas décrite par la suite.

Ces provisions sont constituées au 31 décembre de chaque exercice, pour tous les assurés qui ont un sinistre incapacité de travail en cours à cette date.

Les provisions sont fonction de l’âge de l’assuré à la date du sinistre (date de fait générateur) et de la durée du sinistre en nombre de mois (ancienneté) à la date d’inventaire.

Elles peuvent être présentées sous la forme d’un tableau à deux entrées (âge à l’entrée et ancienneté) pour 1 € de prestation mensuelle.

Pour un assuré entré dans le risque à l’âge yuz{ et avec une ancienneté en mois noté |uz{,, la provision pour une prestation mensuelle de 1€ se définie comme suit :

BFHK /rFHK, RFHK1 � h /qFHK/rFHK, s1 " /} . F1~+s~RFHK}� - . qFHK/rFHK, s . }1 " /} . F1~+s�}~RFHK}� -� " qFHK/rFHK, RFHK1

��~}s�RFHK

Afin de lisser les résultats obtenus et obtenir les coefficients |yuz{,|uz{ d’incapacité temporaire de

travail, une moyenne mobile est calculée en 9 points :

|yuz{,|uz{ � }/� " �uz{ /yuz{, |uz{1 . }/}� ��uz{ /yuz{ 0 }, |uz{ 0 }1 . �uz{ /yuz{ 0 }, |uz{1 .�uz{ /yuz{ 0 }, |uz{ . }1 . �uz{ /yuz{, |uz{ 0 }1 . �uz{ /yuz{, |uz{ . }1 . �uz{ /yuz{ . }, |uz{ 0 }1 .�uz{ /yuz{ . }, |uz{1 . �uz{ /yuz{ . }, |uz{ . }1� Cette provision correspond en moyenne au nombre de mois où l’individu reste en incapacité.

Pour un assuré entré dans ce risque à l’âge rFHK et avec une ancienneté en mois noté RFHK, la provision de passage entre un état d’incapacité et un état d’invalidité pour une prestation d’invalidité de 1€ annuelle est donnée par la formule suivante :

48

BFHE_RII /rFHK, RFHK1 � ∑ �GsrFHK"/}�F1�+s�RFHK}� -�Gs�}rFHK"/}�F1�+s�}�RFHK}� -�"B�FHEFHIJCSDqéé/rFHK�RFHK��s}� 1�"qFHK/rFHK,RFHK1��~}s�RFHK

B�FHEFHIJCSDqéé �rFHK . RFHK��s}� ! � �/} 0 /rFHK . RFHK��s}� 1 " BFHE ��rFHK . RFHK��s}� � , � � . /rFHK .RFHK��s}� 1 " BFHE ��rFHK . RFHK��s}� � . } , � �!

Avec :

� ��p��b��déé/�� . ��5�`< ) l’interpolation linéaire de la provision d’invalidité

pour un assuré d’âge �� . ��5�`< au moment du passage.

� �� . ��5�`< � : représente la partie entière de � . ��5�`<

� ��p �� . ��5�`< � , 0 � la provision pour une rente annuelle d’invalidité de 1€ pour un

assuré entré en invalidité à l’âge �� . ��5�`< � et aucune ancienneté.

L’obtention des coefficients d’invalidité en attente $��_��,�� est basée sur la même méthode de

lissage que pour l’incapacité temporaire

49

2.2 Provision de l’Incapacité permanente de travail

Comme pour la garantie d’incapacité, les provisions d’invalidité sont constituées au 31 décembre de chaque exercice, pour tous les assurés présents à cette date dans le risque. Les provisions sont fonction de l’âge de l’assuré à l’entrée dans le risque et de son ancienneté dans le risque (en années) à la date d’inventaire. Les provisions sont présentées sous la forme d’un tableau à deux entrées (âge à l’entré et ancienneté) pour 1 € de prestation annelle.

Pour un assuré entré dans ce risque à l’âge yuz� et avec une ancienneté en années noté |uz�, la provision pour une prestation d’invalidité de 1€ annuelle est définie comme suit :

BFHE /rFHE, RFHE1� h /qFHE/rFHE, s1 " /} . F1~/s~RFHE1 . qFHE/rFHE, s . }1 " /} . F1~/s�}~RFHE1

� " qFHE/r, RFHE1��~r~}s�RFHE

Pour déterminer les RrFHE,RFHE , la même méthode de moyenne mobile sur 9 points est utilisée.

3. Provision Pour Sinistres A Payer (PSAP)

Les PSAP sont répertoriées selon deux types de sinistres :

� Les sinistres survenus et connus et pour lesquels certains mouvements de trésorerie restent à générer.

� Les sinistres tardifs ou IBNR (Incurred But Not Reported), c'est-à-dire survenus antérieurement à la date de clôture de l’exercice mais connus par l’assureur seulement après la date de clôture.

Les PSAP sont calculées globalement pour une famille de contrat. Plusieurs méthodes peuvent être employées :

� Méthode de cadences de règlements – en nombre : par rapport à un historique de cadences, on estime le nombre de sinistres restant à payer et qui ne sont pas couverts par les PM, qu’on multiplie par un coût moyen par sinistre.

� Méthode du S/P cible : par rapport à un historique de S/P atteint par fait générateur, on estime les S/P des nouveaux faits générateurs. Pour déterminer les PSAP, à partir de la charge de prestations totale qui en découle, on enlève les prestations déjà payées et les PM déjà constituées.

50

� Méthode de charge ultime : Il s’agit des méthodes type « Chain-Ladder », où à partir d’un historique de prestations réglées, on détermine la somme de prestations totales à payer par fait générateur et on détermine les PSAP en enlevant de cette charge totale les prestations déjà payées et les PM déjà constituées.

Par la suite, l’évaluation de la charge globale est retenue à l’aide la méthode déterministe de référence : « Chain Ladder ».

51

Chapitre II : Méthode de Chain-

Ladder

1. Principe de la méthode

La méthode de Chain Ladder est une méthode déterministe permettant d’évaluer les montants des provisions pour sinistre à payer en se basant sur l’historique de paiement des sinistres tardifs.

Les triangles de liquidation sont donnés en fonction des montants cumulés des sinistres, avec en ligne les trimestres de survenance des sinistres et en colonne le délai de paiement en trimestres depuis la survenance.

Fig. 17 : Exemple de triangle de liquidation

Notation :

i : indice de survenance, i=1…..n ;

j : indice des délais de paiement, j=1…..n ;

n : délai maximal pour payer entièrement un sinistre ;

�F,[ : montant cumulé pour les sinistres survenus en i et payés jusqu’en j.

�[ : coefficient de passage du délai de paiement j en j+1.

Les Hypothèses de la méthode :

� H1 : La cadence des règlements est régulière. � H2 : Les années de survenances sont indépendantes.

délaisurvenance

X(1,1) X(1,2) X(2,15) X(1,16) R(1)X(2,1) X(2,2) X(1,15) R(2)

X(i,j) R(i)

X(15,2) X(15,1) R(n-1)X(16,1) R(n)

R

f(1) f(2) f(j) f(n-1)

n Réserves

1

1 2

2

j n-1

n-1n

Coefficients de passage

i

52

Ces hypothèses seront vérifiées dans l’application numérique pour chaque triangle soumis à cette méthode.

L’objectif de cette méthode est de déterminer les réserves nécessaires à l’assureur pour faire face à ces engagements par rapport à tous les sinistres survenus avant la date d’inventaire. Cette méthode repose sur la relation suivante :

�F,[ � �F,[~} " ��~} SDNC F � } … . H JI [ � } … . H 0 }

Calculs :

��[ � ∑ �F,[�}H�sF�}∑ �F,[H�sF�} SDNC [ � } … . H 0 }

� F,[ � �F,[~} " ��~} et donc par récurrence � F,[ � �F,H�}~F " ��H�}~F " … " ��~} SDNC [ �} … . H

W F � � F,H 0 �F,H�}~F SDNC F � � … . H JI W � � �

Finalement, le montant global de la provision :

W � h W FH

F��

Cette méthode très populaire et simple à mettre en place montre ses limites dans certains cas :

� L’estimation des coefficients de passage pour les délais de paiement maximums repose sur très peu de données et peut donc être biaisé ;

� Les cadences de paiement peuvent être modifiées par des politiques de gestion ; � La survenance d’un événement exceptionnel ; � Des changements d’ordre juridique dans des contrats ; � Des cadences de règlement irrégulières ;

De plus la méthode de Chain Ladder ne permet pas d’obtenir une mesure de précision des estimateurs.

53

2. Application numérique

2.1 Exemple 1 : Méthode de Chain Ladder appliquée à l’incapacité temporaire de travail

Application de la méthode de Chain Ladder sur un triangle trimestriel pour le risque d’incapacité temporaire de travail vu au 31/12/2009 pour le régime RNPO.

La charge de prestations futures est composée :

� des prestations des sinistres déclarés (pour lesquels d’habitude, la charge se retrouve dans les Provisions Mathématiques).

� des prestations des sinistres tardifs (pour lesquels d’habitude, la charge se retrouve dans les Provision pour Sinistre A Payer).

Ce risque peut être considéré comme «court» car la couverture maximale de cette garantie est de 3 ans. On peut de ce fait utiliser les triangles de prestations pour l’estimation de la charge des prestations futures.

Les PSAP correspondent à l’écart entre la charge ultime calculée par la méthode de Chain Ladder et la charge cumulée à la date d’inventaire (qui correspond aux PM et aux prestations déjà payées).

Puisque pour la plupart des contrats, la garantie d’arrêt de travail temporaire commence à partir du 91ème jour, le premier délai de paiement (1) est le trimestre suivant le trimestre de fait générateur.

Le triangle de liquation pour un délai de paiement de 16 trimestres est de la forme suivante :

Fig. 18 : Triangle de liquation pour 16 trimestres de paiement

Dans un premier temps, les hypothèses sont vérifiées:

� H1 : La cadence des règlements est régulière.

Les points /X¢,£�< , X¢,£1 doivent être alignés sur une droite passant par l’origine. Cette hypothèse est

vérifiée à l’aide d’une régression linéaire pour chaque trimestre de délai de paiement. L’hypothèse sera acceptée si ces points sont sensiblement alignés sur une droite passant par l’origine.

délaisurvenance

1 421,0 4 353,3 - 14 307,6 14 375,3 1 699,6 5 648,0 - 19 913,2

- - - 2 214,5 6 526,4 1 970,7

2005 T42006 T1………2009 T22009 T3

T+1 T+2 ………. T+15 T+16

54

Fig. 19 : Régularité des cadences des règlements pour le premier délai de paiement

Les points sont relativement proches de la droite de régression et le coefficient R² est proche de 1.

Fig. 20 : Régularité des cadences des règlements pour le deuxième délai paiement

Pour tous les délais de paiement, l’hypothèse est acceptée. Les points sont alignés sur la droite de régression passant par l’origine et le coefficient de détermination � est très proche de 1 (cette droite de régression explique significativement les données).

� H2 : Les années de survenances sont indépendantes.

Aucun changement majeur de politique de gestion, d’ordre juridique ou d’événement exceptionnel n’interviennent dans l’étude. Cette hypothèse est confirmée par l’ensemble des départements de l’entreprise.

Nous disposons d’un historique des prestations passées de 6 années (soit 24 trimestre) et nous analyserons le pourcentage cumulé des sinistres réglés par délai de paiement.

Hypothèse supplémentaire :

� H3 : les sinistres sont réglés en totalité en 16 trimestres.

Le tableau ci-dessous reprend les cadences cumulées des règlements des prestations par délai de paiement.

y = 3,170x

R² = 0,823

-

1 000 000

2 000 000

3 000 000

4 000 000

5 000 000

6 000 000

7 000 000

8 000 000

- 500 000 1 000 000 1 500 000 2 000 000 2 500 000

y = 1,534x

R² = 0,989

-

2 000 000

4 000 000

6 000 000

8 000 000

10 000 000

12 000 000

14 000 000

- 2 000 000 4 000 000 6 000 000 8 000 000

55

Fig. 21 : Cadences cumulées des règlements des prestations par délai de paiement

Le délai maximum de déclaration en incapacité temporaire de travail pour un paiement rétroactif des prestations étant de 2 ans après la date de fait générateur, on remarque qu’après un délai de 8 trimestres, plus de 80% des sinistres sont connus et réglés.

De plus, la période d’incapacité temporaire prend fin en général au bout de 3 ans. La majorité des sinistres (96%) sont payés au 12ème trimestre.

Dans la suite de l’étude, le choix du délai de règlement maximum est de 16 trimestres, car pour le régime RNPO, 99% des sinistres sont réglés à la fin du 16ème trimestre et pour les autres contrats 99,9% des sinistres sont réglés au bout de 16 trimestres.

Ce choix est fait afin d’améliorer le temps de calcul de l’étude stochastique. Pour un provisionnement réel, il est plus juste de prendre 24 trimestres pour le régime RNPO.

Délai % des sinistres réglés

1 8,38%2 29,14%3 45,90%4 58,85%5 68,14%6 75,89%7 81,99%8 86,78%9 90,28%10 93,18%11 95,40%12 96,91%13 97,72%14 98,21%15 98,71%16 98,96%17 99,13%18 99,30%19 99,45%20 99,57%21 99,70%22 99,80%23 99,85%24 100,00%

56

Calculs des coefficients estimés :

Fig. 22 : Triangle des prestations payées (en K€) et coefficients estimés

Le but de l’étude étant de déterminer la charge ultime au 31/12/2009, il est indispensable de prendre en compte les sinistres survenus pendant le quatrième trimestre de l’année 2009. Or on ne connaît aucune prestation associée à ces sinistres à la date d’inventaire à cause de la franchise de 90 jours.

Une estimation des prestations à payer au premier trimestre de l’année 2010 est obtenue par la formule suivante :

¤ 66¥ �4,��< � ¤ 66¥ �<,��< . ¤ 66¥ � ,��< . ¤ 66¥ �3,��<¤ 66> �<,��< . ¤ 66> � ,��< . ¤ 66> �3,��< " ¤ 66> �4,��<

Après l’estimation de ce montant, et pour garder un triangle de liquidation symétrique, on décale le triangle d’un trimestre en supprimant la première ligne de survenance du quatrième trimestre de l’année 2005.

délaisurvenance

1 362,3 4 319,4 6 621,6 8 374,0 9 754,6 10 840,1 11 727,4 12 433,4 12 994,0 13 437,3 13 762,6 14 006,7 14 132,4 14 234,8 14 308,1 14 375,8

1 895,9 6 011,1 9 215,1 11 653,8 13 575,1 15 085,8 16 320,6 17 303,0 18 083,2 18 700,2 19 152,9 19 492,6 19 667,5 19 810,0 19 912,0

1 531,6 4 856,0 7 444,2 9 414,3 10 966,4 12 186,8 13 184,3 13 978,0 14 608,2 15 106,7 15 472,3 15 746,8 15 888,1 16 003,2

1 553,2 4 924,4 7 549,2 9 547,1 11 121,0 12 358,6 13 370,2 14 175,0 14 814,2 15 319,6 15 690,5 15 968,8 16 112,1

1 415,7 4 488,5 6 880,8 8 701,8 10 136,4 11 264,5 12 186,5 12 920,1 13 502,6 13 963,3 14 301,3 14 555,0

1 942,3 6 158,3 9 440,8 11 939,3 13 907,6 15 455,4 16 720,4 17 726,9 18 526,2 19 158,3 19 622,0

1 631,8 5 173,8 7 931,5 10 030,5 11 684,2 12 984,5 14 047,3 14 892,9 15 564,4 16 095,4

1 557,8 4 939,2 7 571,9 9 575,8 11 154,4 12 395,8 13 410,4 14 217,6 14 858,7

1 534,3 4 864,7 7 457,6 9 431,3 10 986,2 12 208,8 13 208,1 14 003,2

2 074,4 6 577,2 10 082,9 12 751,3 14 853,5 16 506,5 17 857,6

1 874,8 5 944,2 9 112,4 11 524,0 13 423,9 14 917,8

1 864,5 5 911,5 9 062,5 11 460,8 13 350,3

1 788,3 5 670,1 8 692,3 10 992,7

2 358,7 7 478,3 11 464,3

2 058,3 6 526,1

1 970,7

3,171 1,533 1,265 1,165 1,111 1,082 1,060 1,045 1,034 1,024 1,018 1,009 1,007 1,005 1,005

2009 T12009 T22009 T3


2007 T42008 T12008 T22008 T32008 T4

2006 T32006 T42007 T12007 T22007 T3

T+16

2005 T42006 T12006 T2

T+11 T+12 T+13 T+14 T+15T+6 T+7 T+8 T+9 T+10T+1 T+2 T+3 T+4 T+5

57

Apres cette estimation, on déduit la charge ultime au 31/12/2009 à l’aide des coefficients estimés précédemment :

Fig. 23 : Estimations des prestations futures (en K€)

Montant estimé par rapport à la sinistralité passée

La méthode de Chain Ladder estime à 99 972 K€ le montant de réserve (charge ultime diminuée des prestations déjà payées) nécessaire à l’Institution de prévoyance pour faire face à ces engagements sur le risque d’incapacité.

On peut déduire le montant des PSAP de l’incapacité temporaire de travail en retranchant au montant de la réserve calculée ci-dessus le montant de PM déterministe.

99 972.9 ¦€ 0 66 449.8 ¦€ � 33 523.1 ¦€

Le montant des PSAP nécessaire pour l’incapacité temporaire de travail est de �� . } ¨€

délaisurvenance

1 699,6 5 648,0 8 919,1 11 435,1 13 379,6 14 947,5 16 204,4 17 218,9 17 977,8 18 626,0 19 119,5 19 477,5 19 659,5 19 816,3 19 913,2 20 007,4 94,2

1 540,8 4 924,9 7 593,5 9 488,0 11 029,4 12 212,5 13 216,3 14 020,3 14 614,9 15 078,1 15 475,4 15 749,6 15 887,5 16 002,8 16 085,2 16 161,3 158,5

1 558,6 5 136,6 7 752,9 9 700,6 11 211,9 12 476,2 13 417,1 14 189,6 14 807,6 15 297,7 15 674,0 15 979,6 16 111,6 16 228,3 16 311,9 16 389,1 277,5

1 581,7 4 670,6 7 075,9 8 878,6 10 358,8 11 430,0 12 315,2 12 994,9 13 584,0 14 030,6 14 342,5 14 554,7 14 685,3 14 791,7 14 867,9 14 938,2 383,5

1 754,5 5 888,8 9 186,6 11 864,6 13 853,0 15 422,0 16 665,2 17 705,9 18 503,6 19 159,6 19 621,9 19 969,9 20 149,1 20 295,1 20 399,7 20 496,2 874,2

1 705,5 5 171,7 7 953,7 9 977,3 11 616,0 12 876,1 13 975,6 14 824,1 15 517,8 16 095,5 16 485,1 16 777,5 16 928,0 17 050,6 17 138,5 17 219,6 1 124,1

1 449,1 5 044,6 7 605,0 9 604,4 11 146,5 12 368,5 13 366,7 14 181,9 14 859,2 15 366,2 15 738,2 16 017,3 16 161,0 16 278,1 16 362,0 16 439,4 1 580,2

1 613,8 4 963,6 7 495,4 9 383,8 10 968,3 12 191,2 13 194,7 14 003,1 14 634,5 15 133,8 15 500,2 15 775,1 15 916,6 16 032,0 16 114,5 16 190,8 2 187,7

1 957,6 6 410,7 9 880,2 12 653,9 14 741,6 16 434,1 17 857,0 18 931,9 19 785,5 20 460,6 20 955,9 21 327,6 21 519,0 21 674,9 21 786,5 21 889,6 4 032,6

1 965,7 5 963,6 9 109,5 11 441,4 13 399,9 14 917,4 16 138,4 17 109,8 17 881,3 18 491,4 18 939,0 19 274,9 19 447,9 19 588,8 19 689,7 19 782,8 4 865,4

1 826,2 6 039,8 9 134,6 11 537,1 13 350,8 14 836,4 16 050,8 17 017,0 17 784,2 18 391,1 18 836,2 19 170,3 19 342,3 19 482,5 19 582,8 19 675,5 6 324,7

1 934,7 5 728,5 8 709,5 10 993,2 12 805,5 14 230,5 15 395,3 16 322,0 17 058,0 17 640,0 18 067,0 18 387,4 18 552,4 18 686,8 18 783,1 18 872,0 7 878,8

2 220,8 7 371,9 11 464,3 14 498,4 16 888,7 18 768,1 20 304,2 21 526,4 22 497,0 23 264,6 23 827,8 24 250,4 24 468,0 24 645,3 24 772,2 24 889,4 13 425,1

2 214,5 6 526,4 10 005,0 12 652,8 14 738,8 16 379,0 17 719,6 18 786,2 19 633,3 20 303,2 20 794,6 21 163,5 21 353,4 21 508,1 21 618,9 21 721,1 15 194,8

1 970,7 6 248,4 9 578,8 12 113,9 14 111,0 15 681,3 16 964,8 17 986,0 18 797,0 19 438,3 19 908,9 20 262,0 20 443,8 20 591,9 20 698,0 20 795,9 18 825,1

2 155,6 6 834,4 10 477,2 13 250,1 15 434,5 17 152,1 18 555,9 19 673,0 20 560,0 21 261,5 21 776,2 22 162,4 22 361,3 22 523,3 22 639,3 22 746,4 22 746,4

99 972,9

2009 T22009 T32009 T4

2008 T12008 T22008 T32008 T42009 T1

2006 T42007 T12007 T22007 T32007 T4

T+16 Réserves

2006 T12006 T22006 T3

T+11 T+12 T+13 T+14 T+15T+6 T+7 T+8 T+9 T+10T+1 T+2 T+3 T+4 T+5

58

2.2 Exemple 2 : Méthode de Chain Ladder appliquée à l’Incapacité permanente de travail

Application de la méthode de Chain Ladder sur un triangle annuel pour le risque d’incapacité permanente de travail vu au 31/12/2009 pour le RNPO.

Nous disposons d’un historique des prestations payées pour 10 années de fait générateur et pendant 10 années de paiement.

Remarque : la date de survenance n’est pas la date d’entrée en invalidité, c’est la date d’entrée en incapacité, c’est pourquoi les prestations d’invalidité sont importantes à partir de la troisième année de paiement.

Fig. 24 : Triangle annuel des prestations non cumulées payées en incapacité permanente (en K€)

Comme pour l’incapacité temporaire de travail, la charge de prestations futures est composée des :

� prestations des sinistres déclarés (pour lesquels d’habitude, la charge se retrouve dans les Provisions Mathématiques).

� prestations des sinistres tardifs (pour lesquels d’habitude, la charge se retrouve dans les Provisions pour Sinistres A Payer).

Pour ce risque, il existe deux types de PM :

� La provision pour invalidité en attente : cette provision doit être intégrée dans la liquidation de la charge d’invalidité car elle représente le capital constitutif de l’invalidité future, compte tenu de sa probabilité de survenance sachant que l’assuré est en incapacité. En effet, des assurés aujourd’hui en incapacité recevront des prestations pour l’invalidité au plus tard dans trois ans.

� La provision pour l’invalidité en cours représente la provision constituée pour les prestations futures des sinistres d’invalidité en cours.

Ce risque est dit « long » et de ce fait on ne peut pas utiliser seulement les triangles de prestations pour l’estimation de la charge ultime par la méthode de Chain Ladder.

En effet, la couverture maximale d’invalidité est de 40 ans (un assuré de 20 ans peut être invalide jusqu’à 60 ans) et donc les 10 années d’historique de prestations payées en invalidité n’englobent pas

délaisurvenance

247,6 1 472,6 4 119,2 6 479,9 7 443,9 6 897,5 6 179,9 5 460,4 4 287,3 4 060,0 147,1 1 477,2 4 160,4 6 584,4 7 621,3 6 910,6 6 179,2 4 912,5 4 745,7 203,7 1 592,2 4 301,8 7 162,4 8 123,1 7 431,3 6 094,3 5 738,0 179,5 1 558,2 4 545,8 7 200,1 7 844,8 6 484,7 6 303,7 208,1 1 818,0 4 761,6 7 107,6 7 054,6 7 001,4 223,2 1 963,9 4 860,1 6 570,9 7 809,1 232,6 1 831,4 4 256,4 6 887,1 231,3 1 428,2 4 212,2 158,0 1 503,3 160,3

20052006200720082009

20002001200220032004

N+5 N+6 N+7 N+8 N+9N N+1 N+2 N+3 N+4

59

la totalité des prestations payées pour un sinistre. Pour ce cas à la fin de la 10ème année, il faut prendre encore en compte la charge des prestations futures déjà connue, soit la provision mathématique déjà constituée.

A titre d’exemple, on remarque que pour les sinistres survenus en 2000, il existe encore des provisions d’invalidité en cours au 31/12/2009.

La charge cumulée pour le risque d’incapacité permanente de travail se définit alors par année de survenance et année de paiement comme la somme des prestations passées et des PM existantes au 31/12 de l’année de paiement.

Cette charge cumulée est actualisée au 31/12/N dans le but de comparer les montants des différentes années de paiement sans l’influence de la dévalorisation des prestations.

L’écart entre la charge ultime et la charge cumulée à la date d’inventaire ne représente que des PSAP.

Dans ce cas, les provisions globales pour cette garantie seront constituées par les PM déjà calculées contrat par contrat et les PSAP calculées par la méthode de Chain Ladder.

Notations :

�F,[ : montant des prestations cumulées pour les sinistres survenus en i et payées jusqu’en j.

©F,[ : montant des prestations non cumulées pour les sinistres survenus en i et payées en j.

BTF,[ : provision au titre de l’année i calculée l’année j (invalidité en attente + invalidité en

cours)

ª : le taux technique annuel (2.5%)

¤�,« � BTF,[/1 . ¬1«~< . h ©F,s/1 . ¬1`~<£~<`�<

Fig. 25 : Triangle annuel de la charge cumulée d’incapacité permanente (en K€)

A partir du fait générateur 2004, on remarque que la charge cumulée de l’année N+1 est inférieure à la charge cumulée de l’année N, et aussi que la charge cumulée de l’année N+2 est inférieure à la charge cumulée de l’année N+1.

délaisurvenance

40 357,6 43 477,6 40 342,3 45 477,3 48 113,8 49 010,7 45 920,6 46 580,4 46 779,6 47 139,1 42 116,7 45 495,6 48 244,7 45 062,8 47 484,1 45 299,8 46 255,1 46 517,2 46 590,1 45 460,6 57 462,5 51 004,7 49 212,9 47 373,5 48 633,6 49 020,8 49 643,9 55 619,7 56 712,7 51 040,5 44 020,5 46 176,8 47 028,9 47 947,9 57 661,4 56 898,3 46 138,5 43 989,3 45 839,8 47 224,5 57 089,6 52 028,0 46 526,9 43 603,0 46 533,9 57 187,8 51 667,5 44 457,5 42 770,4 55 489,9 52 526,4 47 109,0 61 779,9 63 347,2 70 078,7

2006200720082009

200020012002200320042005

N+9N N+1 N+2 N+3 N+4 N+5 N+6 N+7 N+8

60

Ceci est dû au fait que la provision d’invalidité en attente est trop importante les deux premières années (N et N+1), alors qu’à partir de la troisième année les invalidités commencent à être déclarées et la provision d’invalidité en attente est remplacée par la provision d’invalidité en cours qui est beaucoup plus juste. Ce phénomène est dû aux tables réglementaires de maintien en incapacité qui surestiment le maintien en incapacité pendant les deux premières années par rapport à la réalité du portefeuille. Cette surestimation peut être évaluée à 18% de la provision d’invalidité en attente.

L’application de la méthode de Chain Ladder donne les montants de PSAP suivants :

Fig. 26 : Estimation de la charge cumulée d’incapacité permanente (en K€)

Les PSAP déterminées sont actualisées au 31/12/N et donc les PSAP vu au 31/12/2009 sont calculées de la façon suivante :

�#��,p® b� 66¥ � BZXBF " /1 . ¬1 66¥~� Cette méthode évalue un montant de PSAP vu au 31/12/2009 à 8 608 K€

Prenons par exemple le fait générateur 2009, la charge ultime est de 65,4 M€ alors que la charge atteinte au 31/12/2009 est de 70,1M€. Par différence le montant des PSAP devrait être négatif soit -4,7M€. Dans ce cas, le montant des PSAP est limité à 0. C’est aussi le cas pour le fait générateur 2008.

Fig. 27

délaisurvenance

40 357,6 43 477,6 40 342,3 45 477,3 48 113,8 49 010,7 45 920,6 46 580,4 46 779,6 47 139,1 -

42 116,7 45 495,6 48 244,7 45 062,8 47 484,1 45 299,8 46 255,1 46 517,2 46 590,1 46 948,1 358,0

45 460,6 57 462,5 51 004,7 49 212,9 47 373,5 48 633,6 49 020,8 49 643,9 49 789,0 50 171,6 527,7

55 619,7 56 712,7 51 040,5 44 020,5 46 176,8 47 028,9 47 947,9 48 472,6 48 614,2 48 987,8 1 039,9

57 661,4 56 898,3 46 138,5 43 989,3 45 839,8 47 224,5 47 018,5 47 533,0 47 671,9 48 038,3 813,8

57 089,6 52 028,0 46 526,9 43 603,0 46 533,9 46 971,4 46 766,5 47 278,3 47 416,4 47 780,8 1 247,0

57 187,8 51 667,5 44 457,5 42 770,4 44 371,1 44 788,3 44 592,9 45 080,9 45 212,6 45 560,1 2 789,7

55 489,9 52 526,4 47 109,0 45 151,5 46 841,3 47 281,8 47 075,5 47 590,7 47 729,7 48 096,5 987,5

61 779,9 63 347,2 57 046,3 54 675,9 56 722,2 57 255,5 57 005,8 57 629,6 57 798,0 58 242,2 -

70 078,7 71 094,5 64 023,0 61 362,7 63 659,3 64 257,8 63 977,6 64 677,6 64 866,6 65 365,1 -

7 763,7

1,014 0,901 0,958 1,037 1,009 0,996 1,011 1,003 1,008

2009


20042005200620072008

20022003

N+5 N+6 N+7 N+8 N+9N N+1 N+2 N+3 N+4 Réserves

20002001

-

10 000 000

20 000 000

30 000 000

40 000 000

50 000 000

60 000 000

70 000 000

1 2 3 4

Cadences des règlements de N à N+3 pour les faits

générateurs de 2000 à 2003

2000

2001

2002

2003

61

Dans le tableau et le graphique ci-dessus (fig. 26 et 27), on remarque que les charges cumulées pour les quatre premières années de paiement, des années de fait générateur 2000 à 2003 sont irrégulières de N à N+3, alors que pour les faits générateurs de 2004 à 2009 les charges cumulées diminuent de N vers N+3.

Suite à cette discordance et pour prendre en compte l’expérience la plus récente, nous allons calculer les 6 premiers coefficients de Chain Ladder sur les faits générateurs de 2004 à 2009.

Pour calculer les trois derniers coefficients de Chain Ladder, nous allons utiliser les faits générateurs de 2000 à 2003.

Dans ce cas, le montant des PSAP augmente de 50%, à 11 857K€.

Fig. 28 : Estimation de la charge cumulée d’incapacité permanente (en K€)

Les PSAP vu au 31/12/2009 s’élève à 13 006K€.

Compte tenu de l’augmentation des sinistres sur les 6 dernières années, le montant de PSAP retenu pour le risque d’incapacité permanente de travail est de 13 006K€.

délaisurvenance

40 357,6 43 477,6 40 342,3 45 477,3 48 113,8 49 010,7 45 920,6 46 580,4 46 779,6 47 139,1 -

42 116,7 45 495,6 48 244,7 45 062,8 47 484,1 45 299,8 46 255,1 46 517,2 46 590,1 46 948,1 358,0

45 460,6 57 462,5 51 004,7 49 212,9 47 373,5 48 633,6 49 020,8 49 643,9 49 789,0 50 171,6 527,7

55 619,7 56 712,7 51 040,5 44 020,5 46 176,8 47 028,9 47 947,9 48 472,6 48 614,2 48 987,8 1 039,9

57 661,4 56 898,3 46 138,5 43 989,3 45 839,8 47 224,5 47 018,5 47 533,0 47 671,9 48 038,3 813,8

57 089,6 52 028,0 46 526,9 43 603,0 46 533,9 47 939,6 47 730,5 48 252,8 48 393,8 48 765,7 2 231,8

57 187,8 51 667,5 44 457,5 42 770,4 45 105,1 46 467,6 46 264,9 46 771,2 46 907,9 47 268,4 4 498,0

55 489,9 52 526,4 47 109,0 44 786,5 47 231,2 48 658,0 48 445,8 48 975,9 49 119,0 49 496,5 2 387,5

61 779,9 63 347,2 54 760,5 52 060,8 54 902,6 56 561,1 56 314,4 56 930,7 57 097,0 57 535,8 -

70 078,7 66 991,4 57 910,7 55 055,7 58 061,0 59 815,0 59 554,0 60 205,7 60 381,7 60 845,7 -

11 856,8

0,956 0,864 0,951 1,055 1,030 0,996 1,011 1,003 1,008

200720082009


20022003200420052006

N+8 N+9 Réserves

20002001

N+3 N+4 N+5 N+6 N+7N N+1 N+2

62

Chapitre III : Les Modèles Linéaires

Généralisés (GLM)

1. Principe du modèle

Contrairement à la méthode de Chain Ladder, les modèles GLM s’appliquent à des triangles de liquidation non cumulés. Ainsi, chaque ©F[ représente le montant des sinistres payés l’année i + j pour

une survenance en i.

Soit ̄ �« l’ensemble des paramètres du modèle.

Les montants des sinistres sont supposés suivre une loi de probabilité appartenant aux lois de la famille exponentielle, d’où :

°k±�« , ¯�« , ²o � ��³ ´±�«¯�« 0 µ/¯�«1² . ¶/±�« , ²1·

©F[~ °k±�« , ¯�«, ²o

©F[ ¹ ©sq º /F, [1 » /s, q1

Avec ² paramètre de dispersion ou d’échelle, limitant la variance de la distribution des ©F[ autour de

la moyenne ¼ .

Pour un même fait générateur, les montants de sinistres sont indépendants entre eux. L’indépendance ligne à ligne à été démontré au Chapitre 1.2.3.

Pour un tel modèle, les variables explicatives sont supposées qualitatives et paramétrées selon une relation spécifiée par l’espérance du modèle :

E¾©F[¿ � K/α¢, β£, µ1

Avec :

K - fonction déterministe pouvant inclure le paramètre de dispersion . Ä� - paramètre pour les périodes de fait générateur ;

Å« - paramètre pour les délais de paiement ;

¼ - paramètre constant représentant l’inflation des sinistres ;

63

Les fonctions de lien les plus couramment utilisées sont les suivantes :

• Le lien identité : K(x)=x. Ce lien est utilisé dans le modèle linéaire classique. Il conduit à un

modèle additif.

• Le lien logarithmique : K(x)=ln(x). Il s’agit alors du modèle multiplicatif, pour expliquer une

variable positive.

Pour le calcul de réserves, les lois les plus couramment utilisées sont la loi Poisson surdispersé, la loi Gamma, la loi binomiale négative et la loi log-normale. Le choix de la loi retenue est déterminé à l’aide de différents critères, comme le � par exemple.

Exemple de modèle pour les lois les plus répandues :

� Loi de Poisson B/Æ1 :

�/Ç � ±1 � ÈÉÊ! �~È c��_b b��b��bddbÌÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÎ �/Ç � ±1 � ��³Ï/± Ð ln/Ó1 0 Ó1 . ¶/±1Ô

Identification : ̄ � ln/Ó1 ; ² � 1 ; µ/¯1 � Ó � �Õ Moments : m/Ç1 � ¼ � Ó � �Õ et Ö/Ç1 � ¼ � Ó � �Õ Fonction de Lien : ¼ � �Õ

� Loi de Poisson surdispersé BGNC/Æ1 : ©~�×®�/Ó1 éØ®�p®� àÌÍÍÍÍÍÍÎ ©Ú ~� �ÈÛ!

� �ÜÛ � ÊÛ! � �È ÛÝ !ÞÊ! �~ßà c��_b b��b��bddbÌÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÎ �/Ç � ±1 � ��³ ��ÊÐáâ/È1~ÈÛ ! . ¶/±, ²1�

Identification : ̄ � ln/Ó1 ; ² � ² ; µ/¯1 � Ó � �Õ Moments : m/Ç1 � ¼ � Ó � �Õ et Ö/Ç1 � ²Ó Fonction de Lien : ¼ � �Õ

64

2. Estimation

L’estimation de l’ensemble ¯�« � �¼, /Ä�1��<..�, kÅ«o«�<..�� des paramètres du modèle est basée sur la

méthode du maximum de vraisemblance.

La vraisemblance du modèle est notée ãk±�«; ¯�«o. ãk±�«; ¯�«o � ä °k±�« , ¯�«, ²o

�,«

ã�¾ãk±�«; ¯�«o¿ � h ã�¾°k±�« , ¯�«, ²o¿�,«

ã�¾ãk±�«; ¯�«o¿ � h ±�«¯�« 0 µ/¯�«1² . ¶/±�« , ²1�,«

L’estimateur du maximum de vraisemblance å̄æç � �¼̂, /Äé�1��<..�, kÅê«o«�<..��, est solution des

équations suivantes :

ëã�¾ãk±�«; ¯�«o¿ë¼ � 0 ëã�¾ãk±�«; ¯�«o¿ëÄ� � 0 ³ì(' & � 1 … �

ëã�¾ãk±�«; ¯�«o¿ëÅ« � 0 ³ì(' í � 1 … �

Une estimation du montant est déduite par invariance des estimateurs du maximum de vraisemblance:

EkYïðoñ � ¼̂�« � �òó�ôõö�÷øç

Il en résulte l’espérance de la provision totale R :

E/R1ñ � h E/Rï1ñâ¢�<

� h h EkYïðoñâð�â~ï�<

úâ¢�<

E/R1ñ � h h �òó�ôõö�÷øçâð�â~ï�

úâ¢�<

65

L’hypothèse d’indépendance des Y¢£ permet de calculer la variance et l’écart type de la provision totale R :

V/R1ñ � h V/Rï1ñâ¢�<

� h h VkYïðoñâð�â~ï�<

úâ¢�<

VkYïðoñ � ²Vk¼̂åæoñ

Le calcul des variances et covariances des ¼ó �« est trop long et laborieux. C’est pourquoi des méthodes

stochastiques seront retenues pour déterminer la variance de la provision totale R.

3. Validation du modèle

Dans un premier temps, la qualité du modèle repose sur une hypothèse concernant les résidus. Le graphique des résidus en fonction des montants observés devrait montrer une structure aléatoire centrée en 0.

Les résidus étudiés sont les résidus de Pearson. Leur spécificité est qu’ils sont normalisés :

��« � ±�«0¼̂�«üVk¼̂åæoñ

De plus, contrairement aux modèles précédents, l’utilisation des méthodes par régression permettent de quantifier la qualité des projections effectuées et les évaluations obtenues à l’aide de différents indicateurs. Dans le cas ou ² ý 1 il y a surdispersion du modèle, alors que les indicateurs non corrigés sont trop significatifs.

La déviance : Cette mesure est basée sur le rapport de vraisemblance suivant :

�/¯1 � ã/Ç; ¯1ãkÇ; �̄o

La déviance d’un modèle est construite à partir de ce ratio :

þ/¯1 � ã�/�/¯1 1 þ/¯1 � 02¾ãkÇ; �̄o 0 ã/Ç; ¯1¿

La déviance standardisée :

þÐ/¯1 � 02�ã/Ç; ¯1 0 ãÐ/Ç1�

66

Ou ãÐk±�«o est la vraisemblance du modèle saturé, c'est-à-dire un modèle avec autant de paramètres

explicatifs que d’observations. Asymptotiquement, þÐk¯�«o suit une loi du χ à n-p degrés de libertés.

La statistique du test de Pearson :

χ � ∑ /Ê��~òó��1�ü�kòóõøoñ¢�£��

La statistique standardisée de Pearson est égale à χ �� et sous certaines conditions de régularité, cette

statistique suit une loi du χ .


4.1 Exemple 1 : Méthode GLM appliquée à l’Incapacité temporaire de travail

Il s’agit de l’application de la méthode GLM sur un triangle trimestriel pour le risque d’incapacité temporaire de travail vu au 31/12/2009 sur le régime RNPO.

La modélisation des prestations passées est testée sur trois lois exponentielles : Poisson, Poisson surdispersée et Gamma.

Critères des modèles :

Fig. 29

Selon les différents critères définis, c’est le modèle de Poisson surdispersé qui explique le mieux les données, parce que :

� le Scaled Déviance est de 1.002 ce qui est très proche de 1, alors que pour le modèle de Poisson cet indicateur est de 3 006 (très éloigné de 1) et pour la loi Gamma il est de 1.30 (plus éloigné de 1 que l’indicateur issu de la loi de Poisson surdispersé)

DF Valeur Value/DF DF Valeur Value/DF DF Valeur Value/DFDeviance 105,00 315 632,07 3 006,02 105,00 315 632,07 3 006,02 105,00 0,30 0,00 Scaled Deviance 105,00 105,18 1,00 105,00 315 632,07 3 006,02 105,00 136,05 1,30 Pearson Chi-Square 105,00 315 090,28 3 000,86 105,00 315 090,28 3 000,86 105,00 0,29 0,00 Scaled Pearson X2 105,00 105,00 1,00 105,00 315 090,28 3 000,86 105,00 134,19 1,28 Log Likelihood 1 005 933,16 3 018 664 332,70 1 675,02 - Full Log Likelihood 52,95 - 158 890,54 - 1 675,02 - AIC (smaller is better) 167,90 317 843,08 3 414,05 AICC (smaller is better) 186,97 317 862,15 3 434,55 BIC (smaller is better) 258,19 317 933,37 3 507,25

loi de Poisson surdispersé loi de Poisson loi GammaCriterion

67

� le Scaled Pearson X2 est égal à 1, alors que pour le modèle de Poisson cet indicateur est égal à 3 006 (très éloigné de 1) et pour la loi Gamma il est de 1.28 (plus éloigné de 1 que l’indicateur issu de la loi de Poisson surdispersé)

� le AIC est de 167.9 ce qui inférieur à l’indicateur du modèle de Poisson qui est égal à 317843 et à l’indicateur du modèle Gamma qui est de 3 414.

� le AICC est de 186.97 ce qui inférieur à l’indicateur du modèle de Poisson qui est égal à 317862 et à l’indicateur du modèle Gamma qui est de 3 434.

� le BIC est de 258.19 ce qui inférieur à l’indicateur du modèle de Poisson qui est égal à 317933 et à l’indicateur du modèle Gamma qui est de 3 507.

Les résidus de Pearson obtenus, qui sont fonction des valeurs observées et des valeurs modélisées par la loi de Poisson surdispersée, présentent une structure aléatoire autour de l’axe des abscisses. L’allure du graphique valide cet élément concluant de la qualité du modèle.

Fig. 30 : Résidus de Pearson (loi de Poisson surdispersée)

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 1 000 000 2 000 000 3 000 000 4 000 000 5 000 000 6 000 000

Résidus de Pearsons standardisés

68

Fig. 31 : Estimation des paramètres

Ce tableau présente les estimations des paramètres de régression, leurs écarts-type, un intervalle de confiance et les résultats du test de significativité (χ de Wald) de ces estimateurs.

L’hypothèse nulle (H0) de ce test est la non-significativité du paramètre (paramètre = 0).

L’hypothèse alternative (H1) de ce test est la significativité du paramètre (paramètre ≠ 0).

La colonne « Pr>Khi2 » (pvalue du test de χ de Wald) est le niveau significatif le plus bas où l'hypothèse nulle peut-être rejetée.

Le niveau de confiance de ce test est défini à 95%. On peut alors conclure que :

� si pvalue > 5% alors on ne rejette pas H0 et donc le coefficient estimé n’est pas significatif

� si pvalue < 5% alors on rejette H0 et donc le coefficient estimé est significatif

Dans notre cas, les paramètres estimés sont significatifs à l’exception de ��,��, �}� et }�.

Le modèle GLM utilisant la loi de Poisson surdispersée renvoie exactement les mêmes résultats que la méthode de Chain Ladder (résultat démontré par Renshaw et Verrall).

Inférieur Supérieur

µµµµ 11,49 0,21 11,07 11,91 2859,96 <,0001

α 1 -0,37 0,04 -0,45 -0,29 73,98 <,0001

α 2 -0,04 0,04 -0,12 0,04 0,84 0,36

α 3 -0,25 0,04 -0,34 -0,17 34,92 <,0001

α 4 -0,24 0,04 -0,32 -0,15 31,18 <,0001

α 5 -0,33 0,04 -0,41 -0,25 59,54 <,0001

α 6 -0,01 0,04 -0,10 0,07 0,12 0,73

α 7 -0,19 0,04 -0,27 -0,11 19,60 <,0001

α 8 -0,24 0,04 -0,32 -0,15 30,17 <,0001

α 9 -0,25 0,04 -0,33 -0,17 34,00 <,0001

α 10 0,05 0,04 -0,03 0,13 1,46 0,23

α 11 -0,05 0,04 -0,13 0,03 1,37 0,24

α 12 -0,06 0,04 -0,14 0,03 1,66 0,20

α 13 -0,10 0,04 -0,18 -0,01 4,98 0,03

α 14 0,18 0,04 0,09 0,26 17,21 <,0001

α 15 0,04 0,05 -0,05 0,13 0,92 0,34

α 16 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

β 1 3,00 0,21 2,59 3,42 201,82 <,0001

β 2 3,78 0,21 3,36 4,19 319,91 <,0001

β 3 3,53 0,21 3,11 3,94 278,81 <,0001

β 4 3,25 0,21 2,84 3,67 237,17 <,0001

β 5 3,02 0,21 2,60 3,43 203,50 <,0001

β 6 2,77 0,21 2,36 3,19 172,12 <,0001

β 7 2,57 0,21 2,16 2,99 147,77 <,0001

β 8 2,34 0,21 1,93 2,76 122,36 <,0001

β 9 2,11 0,21 1,70 2,53 99,12 <,0001

β 10 1,88 0,21 1,46 2,30 77,92 <,0001

β 11 1,57 0,21 1,15 1,99 53,79 <,0001

β 12 1,28 0,22 0,86 1,71 35,25 <,0001

β 13 0,62 0,22 0,18 1,06 7,72 0,01

β 14 0,41 0,23 -0,04 0,86 3,24 0,07

β 15 0,08 0,25 -0,41 0,57 0,10 0,75

β 16 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

φφφφ 54,78 0,00 54,78 54,78 - -

Pr > Khi-2Paramètre NiveauValeur

estiméeEcart type Khi-2

Interval de confiance à 95%

69

Fig. 32 : Triangle complet estimé par la loi de Poisson surdispersé (en K€)

Finalement, la réserve obtenue est :

E/R1ñ � ∑ ∑ �òó�ôõö�÷øçâð�â~ï� úâ¢�< � 77 226.5 K€

L’ajout des prestations futures associées aux sinistres survenus lors du 4ème trimestre de l’année 2009 donne le même résultat que celui de la méthode de Chain Ladder :

77 226.5 ¦€ . 22 746.4 ¦€ � 99 972.9 ¦€

délaisurvenance

1 362,3 4 319,4 6 621,6 8 374,0 9 754,6 10 840,1 11 727,4 12 433,4 12 994,0 13 437,3 13 762,6 14 006,7 14 132,4 14 234,8 14 308,1 14 375,8 - 1 895,9 6 011,1 9 215,1 11 653,8 13 575,1 15 085,8 16 320,6 17 303,0 18 083,2 18 700,2 19 152,9 19 492,6 19 667,5 19 810,0 19 912,0 20 006,2 94,2 1 531,6 4 856,0 7 444,2 9 414,3 10 966,4 12 186,8 13 184,3 13 978,0 14 608,2 15 106,7 15 472,3 15 746,8 15 888,1 16 003,2 16 085,6 16 161,8 158,6 1 553,2 4 924,4 7 549,2 9 547,1 11 121,0 12 358,6 13 370,2 14 175,0 14 814,2 15 319,6 15 690,5 15 968,8 16 112,1 16 228,8 16 312,4 16 389,6 277,5 1 415,7 4 488,5 6 880,8 8 701,8 10 136,4 11 264,5 12 186,5 12 920,1 13 502,6 13 963,3 14 301,3 14 555,0 14 685,6 14 792,0 14 868,2 14 938,6 383,6 1 942,3 6 158,3 9 440,8 11 939,3 13 907,6 15 455,4 16 720,4 17 726,9 18 526,2 19 158,3 19 622,0 19 970,1 20 149,3 20 295,2 20 399,8 20 496,3 874,3 1 631,8 5 173,8 7 931,5 10 030,5 11 684,2 12 984,5 14 047,3 14 892,9 15 564,4 16 095,4 16 485,0 16 777,4 16 928,0 17 050,6 17 138,5 17 219,6 1 124,2 1 557,8 4 939,2 7 571,9 9 575,8 11 154,4 12 395,8 13 410,4 14 217,6 14 858,7 15 365,7 15 737,6 16 016,7 16 160,5 16 277,5 16 361,4 16 438,8 1 580,1 1 534,3 4 864,7 7 457,6 9 431,3 10 986,2 12 208,8 13 208,1 14 003,2 14 634,6 15 133,9 15 500,2 15 775,1 15 916,7 16 032,0 16 114,6 16 190,9 2 187,7 2 074,4 6 577,2 10 082,9 12 751,3 14 853,5 16 506,5 17 857,6 18 932,5 19 786,2 20 461,3 20 956,6 21 328,3 21 519,7 21 675,6 21 787,2 21 890,4 4 032,8 1 874,8 5 944,2 9 112,4 11 524,0 13 423,9 14 917,8 16 138,8 17 110,3 17 881,8 18 492,0 18 939,6 19 275,5 19 448,5 19 589,4 19 690,3 19 783,4 4 865,6 1 864,5 5 911,5 9 062,5 11 460,8 13 350,3 14 836,0 16 050,3 17 016,5 17 783,8 18 390,5 18 835,7 19 169,8 19 341,8 19 481,9 19 582,3 19 675,0 6 324,7 1 788,3 5 670,1 8 692,3 10 992,7 12 805,0 14 230,0 15 394,8 16 321,5 17 057,4 17 639,4 18 066,4 18 386,8 18 551,8 18 686,2 18 782,5 18 871,4 7 878,7 2 358,7 7 478,3 11 464,3 14 498,3 16 888,6 18 768,0 20 304,2 21 526,5 22 497,1 23 264,7 23 827,8 24 250,4 24 468,0 24 645,3 24 772,3 24 889,6 13 425,2 2 058,3 6 526,1 10 004,5 12 652,2 14 738,1 16 378,3 17 718,8 18 785,4 19 632,5 20 302,3 20 793,8 21 162,6 21 352,5 21 507,2 21 618,0 21 720,2 15 194,1 1 970,7 6 248,3 9 578,7 12 113,7 14 110,8 15 681,1 16 964,6 17 985,8 18 796,8 19 438,1 19 908,6 20 261,7 20 443,6 20 591,7 20 697,7 20 795,7 18 825,0

77 226,5

2008 T32008 T42009 T12009 T22009 T3

2007 T22007 T32007 T42008 T12008 T2

2006 T12006 T22006 T32006 T42007 T1

T+14 T+15 T+16 Réserves

2005 T4

T+9 T+10 T+11 T+12 T+13T+4 T+5 T+6 T+7 T+8T+1 T+2 T+3

70

Exemple 2 : Méthode GLM appliquée à l’Incapacité permanente de travail

Il s’agit de l’application de la méthode GLM sur un triangle annuel pour le risque d’incapacité permanente de travail vu au 31/12/2009 sur le régime RNPO.

Fig. 33 : Triangle de la charge annuelle décumulée d’Incapacité permanente de travail (en K€)

Pour ce risque, les montants décumulés de la charge totale peuvent être négatifs, et dans ce cas les lois proposées ne prendront pas en considération ces montants négatifs.

Ceci est dû au fait que la charge cumulée de l’année N est plus grande par rapport à celles des années N+1 et N+2 puisque la provision mathématique d’invalidité en attente est mal estimée par les tables règlementaires en vigueur.

Le fait d’obtenir des montants décumulés négatifs fait que les lois de Poisson, Poisson surdispersé et Gamma ne peuvent pas être appliquées car ces lois analytiques expliquent seulement des variables (montants de prestations) positives.

Pour palier à ce problème, il est envisagé de :

� modéliser ensemble l’incapacité temporaire de travail et l’incapacité permanente de travail afin de retrouver les provisions des deux risques;

� enlever du montant de provisions calculé ci-dessus, le montant des provisions de l’incapacité temporaire de travail, afin de déterminer le montant des provisions afférentes à l’incapacité permanente de travail.

De ce fait, les triangles de charge cumulée intègreront le triangle de charge incapacité temporaire de travail et le triangle de charge cumulée incapacité permanente de travail.

Pour ceci, le triangle de charge d’incapacité temporaire de travail doit être annuel puisque le triangle de charge cumulée de l’incapacité permanente de travail est annuel. Les provisions de l’incapacité temporaire de travail sont réestimées à partir de ce triangle annuel avec les modèle GLM.

Fig. 34 : Triangle de charge annuelle décumulée d’Incapacité temporaire de travail (en K€)

délaisurvenance

40 357,6 3 120,0 3 135,2 - 5 134,9 2 636,5 896,9 3 090,1 - 659,8 199,2 359,5 42 116,7 3 379,0 2 749,1 3 181,9 - 2 421,3 2 184,3 - 955,2 262,2 72,8 45 460,6 12 001,9 6 457,8 - 1 791,8 - 1 839,4 - 1 260,1 387,2 623,1 55 619,7 1 092,9 5 672,2 - 7 020,0 - 2 156,3 852,1 919,0 57 661,4 763,1 - 10 759,8 - 2 149,2 - 1 850,5 1 384,8 57 089,6 5 061,7 - 5 501,1 - 2 923,9 - 2 930,9 57 187,8 5 520,3 - 7 210,0 - 1 687,1 - 55 489,9 2 963,5 - 5 417,5 - 61 779,9 1 567,4 70 078,7

20052006200720082009

20002001200220032004

N+5 N+6 N+7 N+8 N+9N N+1 N+2 N+3 N+4

71

Pour l’incapacité temporaire de travail, l’application de la méthode GLM sur le triangle annuel estime 99 907 K€ de provision.

Fig. 35 : Triangle de charge annuelle décumulée d’incapacité temporaire et permanente de travail (en K€)

Le triangle ci-dessus est obtenu par addition des triangles des figures 33 et 34. Comme pour l’exemple 1 de l’incapacité temporaire de travail, le modèle de Poisson surdispersé explique le mieux les données.

Fig. 36 : Critères des différents modèles testés

délaisurvenance

12 273,9 27 937,8 12 703,5 4 354,8 893,9 341,1 132,7 42,4 28,0 12,4

12 317,5 31 855,6 14 018,7 5 054,8 966,6 327,3 92,9 45,6 26,8

15 074,8 33 998,5 15 495,6 4 839,6 872,1 355,3 98,6 35,7

15 667,7 33 381,3 13 459,2 4 128,5 799,6 326,3 133,5

15 524,9 31 135,0 11 986,6 3 837,2 782,6 292,2

15 554,1 30 382,9 11 938,5 3 942,3 923,0

15 571,4 31 655,1 12 444,0 4 061,6

15 968,6 32 790,4 13 317,1

17 863,3 37 467,1

20 200,8

20082009

200220032004200520062007

N+6 N+7 N+8 N+9

20002001

N N+1 N+2 N+3 N+4 N+5

délaisurvenance

52 631,5 31 057,8 9 568,2 9 489,7 3 530,4 1 237,9 2 957,4 - 702,2 227,2 371,9 54 434,1 35 234,6 16 767,8 1 872,8 3 387,9 1 857,0 - 1 048,1 307,7 99,6 60 535,4 46 000,5 9 037,7 3 047,8 967,3 - 1 615,3 485,7 658,8 71 287,4 34 474,3 7 787,1 2 891,5 - 2 955,9 1 178,4 1 052,5 73 186,3 30 371,9 1 226,7 1 688,0 2 633,1 1 676,9 72 643,7 25 321,2 6 437,4 1 018,4 3 853,9 72 759,2 26 134,8 5 234,0 2 374,5 71 458,5 29 826,9 7 899,7 79 643,1 39 034,5 90 279,5

20052006200720082009

20002001200220032004

N+5 N+6 N+7 N+8 N+9N N+1 N+2 N+3 N+4

DF Valeur Value/DF DF Valeur Value/DF DF Valeur Value/DFDeviance 36 62 852 123,1 1 745 892,31 36 62 852 123,1 1 745 892,3 32 6,5 0,20

Scaled Deviance 36 36,7 1,02 36 62 852 123,1 1 745 892,3 32 52,1 1,63

Pearson Chi-Square 36 61 584 595,4 1 710 683,21 36 61 584 595,4 1 710 683,2 32 6,2 0,19

Scaled Pearson X2 36 36,0 1,00 36 61 584 595,4 1 710 683,2 32 49,5 1,55

Log Likelihood 10 735,5 18 364 955 764,0 819,1 -

Full Log Likelihood 18,4 - 31 426 507,8 - 819,1 -

AIC (smaller is better) 74,7 62 853 053,5 1 678,3

AICC (smaller is better) 96,5 62 853 075,2 1 706,3

BIC (smaller is better) 112,9 62 853 091,7 1 716,9

Criterionloi de Poisson surdispersé loi de Poisson loi Gamma

72

Selon les différents critères définis, c’est le modèle de Poisson surdispersé qui explique le mieux les données, parce que :

� le Scaled Déviance est de 1.02 ce qui est très proche de 1, alors que pour le modèle de Poisson cet indicateur est de 1 745 892 (très éloigné de 1) et pour la loi Gamma il est de 1.63 (plus éloigné de 1 que l’indicateur issu de la loi de Poisson surdispersé)

� le Scaled Pearson X2 est égal à 1, alors que pour le modèle de Poisson cet indicateur est égal à 1 710 683 (très éloigné de 1) et pour la loi Gamma il est de 1.55 (plus éloigné de 1 que l’indicateur issu de la loi de Poisson surdispersé)

� le AIC est de 74.7 ce qui inférieur à l’indicateur du modèle de Poisson qui est égal à 62 853 053 et à l’indicateur du modèle Gamma qui est de 1 678.

� le AICIC est de 96.5 ce qui inférieur à l’indicateur du modèle de Poisson qui est égal à 62 853 075 et à l’indicateur du modèle Gamma qui est de 1 706.

� le BIC est de 112 ce qui inférieur à l’indicateur du modèle de Poisson qui est égal à 62 853 091 et à l’indicateur du modèle Gamma qui est de 1 716.

Fig. 37 : Triangle des résidus estimé par la loi de Poisson surdispersée

Fig. 38 : Triangle estimé par la loi de Poisson surdispersée (en K€)

délaisurvenance

-1,579968 0,0755936 0,6112072 3,5006355 0,4961552 0,1322393 -0,682272 0,2230749 0,1801019 5,43E-09

-1,693044 0,5562283 2,6698936 -0,447697 0,3563669 -0,908954 0,4608973 -0,306067 -0,180102

-1,455467 1,9163151 0,1593392 0,0385314 -1,452042 0,3213241 -0,209961 0,0840001

0,3428815 0,1216717 -0,165097 -1,434227 0,0544849 -0,006676 0,4188543

1,3174391 -0,21885 -1,998654 -0,53001 -0,02023 0,457255

1,2793323 -1,063073 -0,414446 -0,864373 0,6176346

1,3313999 -0,923341 -0,777851 -0,177608

0,5815105 -0,561661 -0,090168

-0,011542 0,0115417

0

N+4 N+5 N+6 N+7 N+8 N+9

20082009

N N+1 N+2 N+3

20002001200220032004200520062007

délaisurvenance

62 645,7 30 619,4 7 576,1 2 648,5 2 584,6 1 077,1 606,2 527,4 159,9 371,9

65 365,2 31 948,7 7 905,0 2 763,5 2 696,8 1 123,8 632,6 550,2 166,9

70 222,3 34 322,7 8 492,4 2 968,8 2 897,2 1 207,3 679,6 591,1

69 027,8 33 738,8 8 347,9 2 918,3 2 847,9 1 186,8 668,0

64 768,9 31 657,2 7 832,9 2 738,3 2 672,2 1 113,6

64 535,8 31 543,3 7 804,7 2 728,4 2 662,6

64 469,4 31 510,8 7 796,7 2 725,6

67 829,1 33 153,0 8 203,0

79 715,1 38 962,5

90 279,5

200420052006200720082009

N+8 N+9

2000200120022003

N N+1 N+2 N+3 N+4 N+5 N+6 N+7

73

Les résidus de Pearson obtenus, qui sont fonction des valeurs observées et des valeurs modélisées par la loi de Poisson surdispersée, présentent une légère structure aléatoire autour de l’axe des abscisses.

Le graphe des résidus ci-dessous ne permet pas d’affirmer que le modèle ajuste mal les données.

Fig. 39 : résidus de Pearson de d’incapacité temporaire et permanente de travail (loi de poisson surdispersé)

Les résidus du premier délai de paiement sont bien dispersés entre -2 et 2 autour du montant de prestations estimé de 70 000 K€ (abscisse).

Les résidus du deuxième délai de paiement sont aussi bien dispersés entre -2 et 2 autour du montant de prestations estimé de 30 000 K€ (abscisse).

Alors que les résidus de tous les autres délais sont plutôt dispersés entre -1 et 1 autour des montants des prestations estimés inférieurs à 10 000 K€ (abscisse).

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 20 000 40 000 60 000 80 000 100 000

R

é

s

i

d

u

s

Montants estimés par la loi de Poisson Surdispersée

Résidus de Pearson standardisés

74

Fig. 40 : Estimation des paramètres

Ce tableau présente les estimations des paramètres de régression, leurs écarts-type, un intervalle de confiance et les résultats du test de significativité (χ de Wald) de ces estimateurs.

Dans ce cas, les paramètres estimés sont non-significatifs à l’exception de ¼ , Å< et Å . Ceci peut être expliqué par l’importance des montants des années de paiement N et N+1 par rapport aux années suivantes et n’entraine pas la conclusion que le modèle ajuste mal les données.

Finalement, la réserve obtenue est :

E/R1ñ � ∑ ∑ �òó�ôõö�÷øçâð�â~ï� úâ¢�< � 109 394 K€

En retranchant la réserve associée à l’incapacité temporaire de travail, le montant des PSAP pour la garantie d’invalidité est de :

109 394.9 K€ – 99 907.7 K€ = 9 487.2 K€

Ce modèle prend en considération l’inflation globale des sinistres (et pas seulement à partir de l’année 2004). Le résultat obtenu est proche de la première estimation de Chain Ladder.

Inférieur Supérieur

µµµµ 13.1918 2.1531 8.9719 17.4118 37.54 <.0001

α 1 -0.3654 0.1898 -0.7374 0.0066 3.71 0.0542

α 2 -0.3229 0.1881 -0.6915 0.0457 2.95 0.0859

α 3 -0.2512 0.1853 -0.6144 0.1119 1.84 0.1751

α 4 -0.2684 0.1861 -0.6331 0.0963 2.08 0.1491

α 5 -0.3321 0.1888 -0.7020 0.0379 3.10 0.0785

α 6 -0.3357 0.1892 -0.7066 0.0352 3.15 0.0761

α 7 -0.3367 0.1901 -0.7094 0.0360 3.14 0.0766

α 8 -0.2859 0.1890 -0.6563 0.0844 2.29 0.1302

α 9 -0.1245 0.1852 -0.4874 0.2385 0.45 0.5015

α 10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 . .

β 1 5.1266 2.1487 0.9153 9.3379 5.69 0.0170

β 2 4.4107 2.1493 0.1981 8.6234 4.21 0.0402

β 3 3.0141 2.1542 -1.2080 7.2362 1.96 0.1618

β 4 1.9631 2.1682 -2.2865 6.2127 0.82 0.3653

β 5 1.9387 2.1720 -2.3184 6.1957 0.80 0.3721

β 6 1.0633 2.2163 -3.2806 5.4073 0.23 0.6314

β 7 0.4886 2.2963 -4.0121 4.9894 0.05 0.8315

β 8 0.3492 2.3739 -4.3036 5.0020 0.02 0.8831

β 9 -0.8438 3.1372 -6.9925 5.3049 0.07 0.7879

β 10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 . .

φφφφ 1307.931 0.0000 1307.931 1307.931 _ _

Paramètre NiveauValeur

estiméeEcart type

Interval de confiance à 95%Khi-2 Pr > Khi-2

75

Partie IV : Les

méthodes

stochastiques de

provisionnement

76

L’évaluation déterministe d’un risque d’assurance utilise la valeur moyenne comme base du scénario le plus probable. L’évaluation de ce même risque, par une approche stochastique, est en théorie basée sur les mêmes données qu’une approche déterministe. Cette évaluation utilise une ou plusieurs variables aléatoires afin de définir un ensemble de scénarios possibles, conduisant à un modèle probabiliste dont les paramètres sont basés sur les mêmes statistiques que l’évaluation déterministe. Le caractère stochastique, révélant un grand nombre de chemins de réalisation du risque, dessine selon les propriétés de la théorie de Monte-Carlo une loi de distribution de la variable indicatrice choisie. Ce résultat est alors considérablement plus riche et plus robuste que la vision déterministe et apporte des informations notamment sur les queues de distribution de la variable étudiée. Les simulations stochastiques sont utilisées pour déterminer un ensemble de scénarios futurs possibles. Le QIS5 cite plusieurs méthodes :

� Modèle de Mack � Simulations de Monte-Carlo � Bootstrap � Simulation des pertes au-delà d’un certain seuil � Statistiques Bayésiennes

Les méthodes stochastiques étudiées ci-après sont le modèle de Mack, les simulations de Monte-Carlo et le Bootstrap.

77

Chapitre I : Les mesures de risques

Les méthodes stochastiques permettent de déterminer la distribution des provisions ainsi que les estimateurs de mesure de risque comme la Value At Risk et la Tail Value At Risk .

La Value At Risk est définie pour un seuil � et une distribution de probabilité notée �. Elle représente le quantile d’ordre � de cette distribution.

RW/�,�1 � ��~}/�1 La Tail Value At Risk est définie pour un seuil � et une distribution de probabilité notée �. Elle représente la moyenne des Value At Risk de seuil strictement supérieur à �.

�RW/�,�1 � }} 0 �� RW/�, 1}� V

Fig. 41 : Exemple graphique de la loi Normale

Dans le graphique, les traits bleus représentent la VaR et les traits verts la TVaR

�RW/�, �.��1 � �.�J . �

�RW/�, �.��1 � �. �J . �

RW/�, �.��1 � �. �J . � RW/�, �.��1 � �. }J . �

78

Chapitre II : Le modèle de Mack

Comme nous l’avons vu précédemment (Chapitre II de la partie III), la méthode de Chain Ladder a des limites. En effet, l’estimation des réserves pour les dernières années de survenance est trop sensible aux variations des données observées, puisque l’estimation est basée sur un seul élément connu.

Il est donc nécessaire de mesurer l’écart type de l’estimation des réserves déterminées par la méthode de Chain Ladder, qui s’interprète comme une mesure de l’incertitude associée aux données.

Dans son article « Distribution-Free calculation of the standard error of Chain Ladder reserve estimates » Thomas Mack propose une formule relativement simple pour le calcul de cet écart type.

Notations :

i : indice de survenance, i=1…..n ;

j : indice des délais paiement, j=1…..n ;

n : délai maximal pour payer entièrement un sinistre ;

�F,[ : montant cumulé pour les sinistres survenus en i et payés jusqu’en j ;

�[ : coefficient de passage du délai de paiement j en j+1 ;

�z : ensemble des données historiques pour l’année de fait générateur n ;

�[� : variance du coefficient de passage �[ ; QGJ/ Ri1 : erreur quadratique moyenne de la réserve de l’année de fait générateur i ;

1. Hypothèses et théorèmes du modèle

Le modèle de Thomas Mack repose sur trois hypothèses :

� H1 : Indépendance des facteurs lignes à lignes. � H2 : L’espérance de X¢,£�< (connaissant le montant des sinistres déjà payé les années

précédentes) est égale à la dernière observation X¢,£, à un facteur multiplicatif près.

� H3 : La variance de X¢,£�< (connaissant le montant des sinistres déjà payé les années

précédentes) est égale à la dernière observation X¢,£, à un facteur multiplicatif près.

Traduction mathématique des hypothèses :

� H1 : EkX¢,£�X�,£o � E/X¢,£1 º i » k

� H2 : EkX¢,£�<�X¢,< … … X¢,£o � f£ " X¢,£ � H3 :VarkX¢,£�<�X¢,< … … X¢,£o � σ£ " X¢,£

79

Pour chaque triangle de liquidation soumis à ce modèle la vérification de ces trois hypothèses sera mise en place à l’aide de tests graphiques ou statistiques.

Théorème n°1 : º i, j tel que i + j > n

EkX¢,£�Hâo � f£~< " f£~ " … " fâ~¢ " X¢,â~¢ Se pose alors la question de l’estimation des f£ Théorème n°2 : Sous (H1 U H2) les estimateurs de Chain Ladder : �ê£ sont sans biais et non corrélés

entre eux.

2. Estimation de la variance des réserves

Sous les 3 hypothèses du modèle, les quantités associées à l’erreur de précision des réserves seront déterminées, selon les formules suivantes:

� Variance des coefficients de passage :

�ó[� � }H~[�} ∑ �s,[H~[s�} " +�s,[�}�s,[ 0 ��[-� SDNC [ � } … . H 0 �

�óH~}� � wuz��óH~��óH~�� ; QFHk�óH~�� ;�óH~�� o

� Erreur quadratique moyenne des réserves par date de survenance :

QGJkW Fo � � F,H� " h �ós��s�çH~}

s�H�}~F" ! }� F,s . }∑ �q,sH~sq�} " SDNC F � �, … , H

Par cette formule, on obtient l’estimateur de l’erreur de provisionnement par date de survenance. Or,

contrairement aux �# les �ê£ sont corrélés. Ainsi, pour obtenir l’erreur totale j$�/�1ç il ne suffit pas

de sommer les QGJkW Fo. On applique :

QGJkW o � h QGJkW Fo .HF��

� F,H " % h � q,HH

q�F�}&" h

��ós� ��s��∑ �Q ,sH~sQ�}

H~}s�H�}~F


3.1 Exemple 1 : M éthode de Mack appliquétravail

Il s’agit de l’application de la méthodtemporaire de travail vu au 31/12/2009

Vérification des hypothèses :

� H1 : Indépendance des facteurs lignes à lignes

Cette hypothèse est proche de l’hypothèse de Chain Ladder,

alignés sur la droite passant par l’origine et de pente

� H2 : Indépendance entre les

º F » s /�F,}Cette hypothèse est la même hypothèse que phypothèse car aucun changement maj

� H3 : Les estimateurs des coefficients de passage sont de variance minimale RC

La vérification de cette hypothèse peut se faire par le calc

Résidus issu d’une estimation par les moindres carrés :

Pour que l’hypothèse soit vérifiée, les résidus doivent être aléatoires

Les graphiques des résidus '�,«'(dessous deux exemples :

80

Application numérique

éthode de Mack appliquée à l’Incapacité temporaire de

Il s’agit de l’application de la méthode de Mack sur un triangle trimestriel pour le risque d’incapacité temporaire de travail vu au 31/12/2009 sur le régime RNPO.

: Indépendance des facteurs lignes à lignes ;

Pk�F,[�}��F,}, … … , �F,[o � �F,[ " �[ proche de l’hypothèse de Chain Ladder, les points (/X¢,£�

alignés sur la droite passant par l’origine et de pente��~}. Dans ce cas l’hypothèse sera acceptée

: Indépendance entre les trimestres de survenance ;

} … … �F,H1 x)* uz+é,xz+|z* +x /�s,} … … �s,Hême hypothèse que pour le modèle de Chain Ladder :

hypothèse car aucun changement majeur ou événement exceptionnel n’interviennent

: Les estimateurs des coefficients de passage sont de variance minimale

RCk�F,[�}��F,} … … �F,Ho � �[� " �F,[ La vérification de cette hypothèse peut se faire par le calcul des résidus.

Résidus issu d’une estimation par les moindres carrés :

CF,[TY � /�F,[�} 0 �F,[ " ��[1-�F,[

Pour que l’hypothèse soit vérifiée, les résidus doivent être aléatoires.

'( en fonction de ¤�,« sont tracés pour chaque délais de paiement. Ci

ncapacité temporaire de

pour le risque d’incapacité

�< , X¢,£1 doivent être

’hypothèse sera acceptée.

H1 : acceptation de cette

eur ou événement exceptionnel n’interviennent.

: Les estimateurs des coefficients de passage sont de variance minimale :

délais de paiement. Ci-

81

Les résidus n’ont pas de structure particulière pour ces points, cette troisième hypothèse est acceptée.

Résultats obtenus :

L’erreur quadratique moyenne et l’écart type sont obtenus par fait générateur et peuvent être appréciés par rapport à la réserve.

Fig. 42 : Estimation et risque d’erreur pour la réserve (en K€)

La variance et l’écart type de la réserve totale sont ainsi obtenus et permettent de calculer la Value At Risk et la Tail Value At Risk pour différents niveaux de confiances.

Fig. 43 : Mesure de risque pour la réserve (en K€)

Fig. 44 : Mesure de risque pour la réserve (en % de la réserve)

survenance Réserves Mean Square Error Ecart typeEcart type en %

des réserves

1 94,2 2 158,5 10,6 3,3 2,05%3 277,5 43,8 6,6 2,39%4 383,5 140,0 11,8 3,08%5 874,2 314,0 17,7 2,03%6 1 124,1 1 242,8 35,3 3,14%7 1 580,2 2 047,4 45,2 2,86%8 2 187,7 3 190,4 56,5 2,58%9 4 032,6 5 666,6 75,3 1,87%10 4 865,4 6 892,0 83,0 1,71%11 6 324,7 10 659,6 103,2 1,63%12 7 878,8 14 416,6 120,1 1,52%13 13 425,1 28 451,0 168,7 1,26%14 15 194,8 74 090,5 272,2 1,79%15 18 825,1 155 697,3 394,6 2,10%16 22 746,4 1 505 659,2 1 227,1 5,39%

Total 99 972,9 1 965 025,5 1 401,8 1,40%

Value At Risk Tail Value At Risk Value At Risk Tail Value At Risk75% 100 897,2 101 746,7 100 931,6 101 802,6 90% 101 770,2 102 426,8 101 799,8 102 512,3 95% 102 298,2 102 830,1 102 341,6 102 984,3

99,50% 103 442,0 103 859,2 103 727,3 104 124,0

QuantileLoi Normale Loi LogNormale

Value At Risk Tail Value At Risk Value At Risk Tail Value At Risk75% 100,92% 101,77% 100,96% 101,83%90% 101,80% 102,45% 101,83% 102,54%95% 102,33% 102,86% 102,37% 103,01%

99,50% 103,47% 103,89% 103,76% 104,15%

QuantileLoi Normale Loi LogNormale

82

Intervalles de confiance :

Finalement, on peut construire des intervalles de confiance pour le montant de réserve.

� Si le montant de réserve suit une loi Normale (� , j$�/�11 : .Y��% � /W 0 1¥2.?% " üQGJkW o3 .Y��,�% � /W 0 1¥¥.2?% " üQGJkW o3

Avec 1¥2.?% � 1.96

1¥2.?% � 2.81

� Si on suppose que le montant de réserve suit une loi Lognormale( 4,��1 alors

P/W1 � JrS ò��/ JI /W1 � JrS "ò��/JrS�� 0 11.

En remplaçant P/W1 et /W1 par leurs estimateurs respectifs, on obtient :

µó � LnkR o 0 12 Ln!msekR oR . 1" et ��ç � Ln/ msekR oR . 11

.Y��% � ¾JrS òó 0 Ø:;.<% �ó ¿

Ces intervalles de confiance peuvent être utilisés comme des indicateurs stochastiques trimestriels de suivi des risques, ce qui répond aux exigences du pilier II du projet Solvabilité II.

Intervalle de confiance

Borne inférieure Borne supérieure

95% 97 225,3 102 720,4 99,5% 96 033,8 103 911,9



95% 97 253,3 102 748,3 99,5% 96 101,2 103 980,1

83

-8000

-7000

-6000

-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

42000000 44000000 46000000 48000000 50000000

Résidus pour le délai 4

3.2 Exemple 2 : Méthode de Mack appliquée à l ’Incapacité permanente de travail

Il s’agit de l’application de la méthode de Mack sur un triangle annuel pour le risque d’incapacité permanente de travail vu au 31/12/2009 sur le régime RNPO.

Vérification des hypothèses :

L’hypothèse H1 est proche de l’hypothèse de Chain Ladder, les points (/X¢,£�< , X¢,£1 doivent être

alignés sur la droite passant par l’origine et de pente ��~}. Dans ce cas l’hypothèse sera acceptée.

L’hypothèse H2 est la même hypothèse que pour le modèle de Chain Ladder : acceptation de cette hypothèse car aucun changement majeur ou événement exceptionnel n’interviennent. L’hypothèse H3 doit être vérifiée par le graphique des résidus issus d’une estimation par les moindres carrés. Vérification de l’hypothèse 3 :

L’hypothèse H3 n’est pas validée, les résidus issus des moindres carrés ne semblent pas aléatoires.

L’erreur quadratique moyenne et l’écart type estimé des réserves sont déterminés mais comme l’hypothèse H3 n’est pas validée, ces estimations sont très mauvaises (écart type en % des réserves égal à 177%).

Ces résultats ne seront pas pris en compte.

-10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

0 20000000 40000000 60000000 80000000

Résidus pour le délai 1

84

Chapitre III : Le bootstrap

1. Principe

Le Bootstrap permet d’estimer les caractéristiques d’un échantillon. Cette méthode est fréquemment choisie parmi les méthodes stochastiques de provisionnement car elle fournie des meilleurs estimateurs pour les échantillons de petite taille, le but étant d’obtenir une distribution de la variable étudiée afin de déterminer l’écart-type, un intervalle de confiance et les différentes mesures de risque (VaR et TVaR).

Il s’agit d’une méthode récente (1979), non paramétrique et nécessitant l’usage de calculateurs puissants.

Cette méthode est adéquate pour notre étude car dans les triangles supérieurs des prestations payées par fait générateur et par délai de paiement, nous avons 136 données pour un triangle 16x16 (incapacité temporaire de travail par trimestre) où 55 données pour un triangle 10x10 (incapacité permanente de travail par trimestre)

Soit un échantillon de données de taille �/��<1 , noté =F,[ � k=},}, … ,=H,}o.

Le principe du bootstrap est le reéchantillonnage de =F,[, par tirage aléatoire avec remise, répété N

fois (N grand).

Il en résulte N échantillons Bootstrap notés : =F,[s � k=},}s, … ,=H,}so SDNC s � } …>.

Les échantillons ainsi obtenus sont tous de même taille que l’échantillon initial. Seule la fréquence des données diffère selon l’échantillon Bootstrap, et ce de manière aléatoire.

Fig. 44 : Illustration du Bootstrap sur un échantillon initial de taille n=5

Données initiales

Reéchantillonnage

Tirage aléatoire

avec remise

Echantillon 1

Echantillon 2

Echantillon N

85

2. Mise en œuvre

La variable étudiée et simulée est l’ensemble des résidus.

Nous allons utiliser les résidus issus du modèle GLM pour l’incapacité temporaire de travail et pour l’incapacité permanente de travail.

Les résidus du modèle GLM sont indépendants et suivent tous la même loi. Il est donc possible d’utiliser la méthode du Bootstrap sur les résidus d’un Modèle Linéaire Généralisé (GLM).

Le modèle GLM permet de déterminer les résidus de Pearson, par la formule :

'�« � ±�« 0 ¼̂�«-Ö/¼̂�«1

D’où

±�«� � ¼̂�« . '�«,�üÖ/¼̂�«1

Où

� /r¢£?,�1F�[@Hest le k ème échantillon bootstrap des résidus de Pearson

� /y¢£�1F�[@H est le montant estimé de /y¢£1F�[@H

Remarque : il est aussi possible d’utiliser les résidus issus du modèle de Chain Ladder.

Les différentes étapes du bootstrap :

Afin d’obtenir la distribution des réserves, il faudrait effectuer un grand nombre de simulations qui pourrait varier de 500 à 10 000. Pour chaque simulation, il faut appliquer la procédure suivante :

� Reéchantillonnage des résidus de Pearson.

� Reconstitution des montants de sinistres ±�«� du triangle supérieur en fonction des résidus

mélangés. � Estimation des prestations futures par la méthode de Chain Ladder (triangle inférieur) � Estimation de la réserve

Les estimateurs obtenus :

A partir des montants des réserves obtenus pour chacune des simulations, on peut tracer une distribution empirique et calculer:

� L’écart entre la réserve déterministe et la moyenne des réserves stochastique

� Un intervalle de confiance pour la réserve stochastique: B]¥?%C��/��1 � L’écart type de la réserve stochastique: #mC��/��1 � Les VaR et TVaR de la réserve stochastique.

86


3.1 Exemple 1 : Méthode de Bootstrap appliquée à l’Incapacité temporaire de travail

Suite à l’application de la méthode GLM sur un triangle trimestriel pour le risque d’incapacité temporaire de travail vu au 31/12/2009 sur le RNPO, les prestations passées d’incapacité sont modélisés par la loi de Poisson surdispersé et il en résulte les résidus de Pearson standardisés.

Il s’agit, à présent d’appliquer la procédure du bootstrap, sur les résidus de Pearson prédits par le modèle de Poisson surdispersé.

Fig. 45 : Résidus de Pearson issus de la loi de Poisson surdispersé

Pour quelques éléments, les résidus sont supérieurs à 2 ce qui montre une différence significative entre les montants estimés et les montants réels. Il s’agit de 6 éléments sur 155 et on considère que cela ne présage pas d’une mauvaise estimation de la réserve par la méthode de Bootstrap.

Le graphique des résidus ainsi obtenus montre que ces derniers sont centrés autour de l’axe des abscisses et aléatoires.

Fig. 46 : Graphique des résidus de Pearson

délaisurvenance

-0,46 -1,64 0,08 -0,40 -0,06 0,69 0,79 -0,31 0,51 1,14 1,03 2,87 0,52 0,00 0,00 0,00-1,93 -1,93 -0,33 -0,13 2,44 0,43 0,68 4,17 -0,91 -0,66 -0,57 -1,08 0,12 0,00 0,000,92 3,31 0,08 -1,27 -1,06 -0,82 -0,72 -0,90 -0,67 -0,56 -0,49 -0,27 -0,46 0,000,59 0,73 0,96 0,36 -0,04 -0,93 -0,34 -1,01 -0,75 -0,64 -0,55 -0,30 -0,520,84 0,60 -0,66 0,00 -0,81 0,39 0,93 -0,85 0,42 -0,63 -0,09 -0,72

-1,37 -0,82 1,81 0,07 -0,32 -0,64 -0,31 -1,58 2,11 1,86 0,461,00 0,56 -0,20 1,69 0,19 -0,28 -0,94 -1,75 -1,20 -1,101,52 2,14 0,76 -1,61 -1,11 -0,58 -0,60 -1,61 -0,46

-0,62 0,76 -0,93 0,15 -0,30 -0,08 -0,10 1,19-0,24 0,43 1,00 -0,70 -0,75 0,13 -0,230,34 -1,59 0,26 0,85 -0,01 0,690,74 -0,51 -0,03 -0,26 0,300,79 0,48 -1,37 0,23

-0,20 0,72 -0,590,07 -0,070,00

2009 T12009 T22009 T3

2007 T32007 T42008 T12008 T22008 T32008 T4

T+16T+1

2005 T4

T+8 T+9 T+10 T+11 T+12 T+13T+2 T+3 T+4 T+5 T+6 T+7

2007 T2

T+14 T+15

2006 T12006 T22006 T32006 T42007 T1

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Résidus de Pearson standardisés

87

Il en résulte une distribution empirique, composée de 5000 estimations de la réserve totale, ainsi que certaines statistiques d’intérêt obtenues à l’aide des formules classiques suivantes :

� m/��1 � �D � <?666 ∑ ��`?666`�<

� Ek��oñ � ü<F∑ k��` 0 �Do ?666`�< est un estimateur biaisé de Ek��o.

� Un intervalle de confiance pour le Best Estimate : B]¥?%C��/��1 � Différents quantiles empirique permettant d’évaluer la VaR et la TvaR : 75%, 95%, 99.5%.

Fig. 47 : Caractéristiques de la réserve stochastique (en K€)

On remarque une très légère augmentation de l’estimation de la charge globale stochastique par rapport à l’estimation déterministe :

Fig. 48 : Comparaison des résultats déterministes et stochastiques (montants en K€)

L’écart type obtenu par le bootstrap est inférieur à celui estimé par la méthode de T. Mack. Cette amélioration est due à l’utilisation d’un grand nombre de scénarios dans la méthode de Bootstrap.

L’histogramme ci-dessous représente la distribution empirique des réserves totales. Aussi, la superposition des courbes des lois Normale et LogNormale permet de tester graphiquement la Normalité et/ou la LogNormalité des réserves. Dans ce graphique les deux courbes sont presque superposées.

ChargeRéserve moyenne

boostrap Ecart-type Bootstrap

Ecart-type Bootstrap en % des réserve

Quantile empirique 95%

Quantile empirique 99,5%

Incapacité 99 976,7 1 058,9 1,06% 101 719,5 102 888,9

Incapacité Méthode T. Mack

BootstrapEcart relatif

(déterministe ; stochastique)

Réserves 99 972,9 99 976,7 0,004%

Ecart type 1 401,8 1 058,9 -24,464%

102 298,2 101 719,5

102,33% 101,74%

103 442,0 102 888,9

103,47% 102,91%

Quantile 95% (en %de la réserve

déterministe)

Quantile 99,5% (en %de la réserve

déterministe)

-0,566%

-0,535%

Fig. 49 : Distribution empirique

On peut valider l’hypothèse que la

Fig. 50

Les intervalles de confiance cirisques, afin de répondre aux exigences

3.2 Exemple 2 : Méthode de Bootstrap appliquéde travail

Pour déterminer la distribution des PSAP de l’incapacité permanente, on procède en trois étapes

� 1. On applique la méthode GLM pour le ristriangle annuel de charge d’invalidité en cours et d’invalidité en attente. Cette charge cumulée est modélisée par la loi de Poisson surdispersé et il en résulte les résidus de Pearson standardisés.Bootstrap sera appliquée sur ces résidus pour obtenir une distribution des PSAP de l’incapacité permanente et de la réserve totale travail.

� 2. De plus, on applique la méthode de Bootstrap sur l’incapacité temporaire de travail sur des résidus de Pearson obtenus par GLM sur des triangles annuels.

� 3. On déduit pour chaque scénariosobtenue au point 2 ci-dessus.


95%99,5%

88

Distribution empirique de la réserve pour 5 000 simulations

la distribution des réserves suit une loi Normale.

Fig. 50 : Intervalles de confiance pour la réserve

ci-dessus peuvent être utilisés comme des indicateurs de suivi des aux exigences du pilier II de Solvabilité II.

éthode de Bootstrap appliquée à l’Incapacité permanente

Pour déterminer la distribution des PSAP de l’incapacité permanente, on procède en trois étapes

la méthode GLM pour le risque d’incapacité permanente de travail de charge qui cumule les prestations d’incapacité, d’invalidité et les PM

d’invalidité en cours et d’invalidité en attente. Cette charge cumulée est modélisée par la loi et il en résulte les résidus de Pearson standardisés.

Bootstrap sera appliquée sur ces résidus pour obtenir une distribution des PSAP de l’incapacité permanente et de la réserve totale (PSAP + PM) de l’incapacité temporaire de

plus, on applique la méthode de Bootstrap sur l’incapacité temporaire de travail sur des résidus de Pearson obtenus par GLM sur des triangles annuels.

pour chaque scénarios, la différence entre la réserve obtenue au point 1 et celle dessus.



97 872,8 102 550,8 99,5% 96 944,9 103 004,3

réserve pour 5 000 simulations

e.

peuvent être utilisés comme des indicateurs de suivi des

e à l’Incapacité permanente

Pour déterminer la distribution des PSAP de l’incapacité permanente, on procède en trois étapes :

ncapacité permanente de travail sur un les prestations d’incapacité, d’invalidité et les PM

d’invalidité en cours et d’invalidité en attente. Cette charge cumulée est modélisée par la loi et il en résulte les résidus de Pearson standardisés. La méthode de

Bootstrap sera appliquée sur ces résidus pour obtenir une distribution des PSAP de de l’incapacité temporaire de

plus, on applique la méthode de Bootstrap sur l’incapacité temporaire de travail sur des

la réserve obtenue au point 1 et celle

89

Fig. 51 : Caractéristiques des réserves

La méthode de Bootstrap estime le montant de PSAP d’incapacité permanente de travail à 16 610.9 K€ alors que la méthode déterministe de Chain Ladder (prenant en compte l’inflation des sinistres à partir de 2004) l’estime à 13 006 K, soit une différence de 28%.

Fig. 52 : Distribution empirique de la réserve des PSAP d’incapacité permanente (5000 simulations)

� On constate une queue de distribution épaisse : la fréquence des sinistres les plus sévères est plus importante dans la distribution empirique que dans le cas d’une distribution Normale.

� On constate une densité asymétrique : les mesures de risque de type quantiles, VaR seront plus pertinentes qu’une espérance ou un écart type.

� La distribution empirique ne s’ajuste pas à la loi Normale à cause de son asymétrie.

� La distribution empirique ne s’ajuste pas à la loi Lognormale à cause des valeurs négatives présentent dans la distribution.

Fig. 53 : Intervalles de confiance(en k€)

L’intervalle de confiance des PSAP d’invalidité est très grand, ce qui pourrait être dû à la mauvaise estimation des provisions pour l’invalidité en attente.

ChargeRéserve moyenne

boostrap Ecart-type Bootstrap

Ecart-type Bootstrap en % des réserve

Quantile empirique 95%

Quantile empirique 99,5%

Incapacité+Invalidité 119 598,2 12 111,6 10,13% 141 293,2 159 044,0 Incapacité 102 987,3 1 787,1 1,74% 105 981,5 107 657,3

PSAP Invalidité 16 610,9 11 831,4 71,23% 38 050,1 55 619,3

Intervalle de confiance à 95%


Incapacité+Invalidité 99 575,300 152 981,700 Incapacité 99 460,700 107 234,600

PSAP Invalidité 2 611,400 - 50 401,000

90

Chapitre IV : Simulation de Monte

Carlo

1. Introduction

La simulation de Monte Carlo est une méthode probabiliste utilisée quand, à défaut de pouvoir déterminer analytiquement une loi de probabilité, on en simule une distribution empirique. Cette méthode se définit comme une procédure numérique permettant de créer un échantillon aléatoire d’un processus stochastique sur la base de scénarios, tirés aléatoirement et supposés équiprobables. Il est alors possible d’estimer les caractéristiques de la loi empirique. Ces simulations apportent une perception plus précise du risque étudié.

Comme il a été vu dans le chapitre concernant le calcul des provisions par des méthodes déterministes, dans le cas de l’incapacité temporaire de travail, l’évaluation de la charge des sinistres à l’aide de triangle de liquidation intègre les PM et les PSAP. Pour ce risque court, l’application d’une méthode de Bootstrap autour de la méthode de Chain-Ladder pourra donner des mesures de risques pour la l’intégralité des PM et PSAP.

Il n’est donc pas nécessaire pour ce type de risque d’utiliser une méthode de type Monte Carlo associée à la probabilité de maintien en incapacité temporaire de travail, afin d’estimer les mesures de risques autour de la PM, car dans tous les cas il faudrait passer par une méthode de Boostrap / Chain-Ladder pour les PSAP.

Par contre, la méthode de Monte Carlo pourrait être très utile dans l’estimation des indicateurs de risques de la provision mathématique (PM) de l’incapacité permanente de travail en cours et en attente, car pour ce risque long, seulement les mesures de risques des PSAP pourront être étudiées avec une méthode de type Bootstrap/Chain-Ladder (voir l’explication de l’exemple 2 de l’application sur le Bootstrap dans le chapitre précédent).

Ici, la loi à caractériser est la distribution de la provision d’invalidité d’un portefeuille, le but étant de quantifier le montant de cette provision le plus prudemment possible.

La provision d’invalidité d’un portefeuille est calculée à la date d’inventaire, pour tous les assurés ayant un sinistre en cours à cette date et est calculée tête par tête.

Cette provision est calculée en fonction de :

� tables réglementaires de maintien en invalidité � taux technique � âge de l’assuré à l’entrée en invalidité � ancienneté en invalidité (en années) à la date d’inventaire � montant de la rente versée.

91

Notation :

rFHE : L’âge d’entrée en invalidité d’un assuré.

RHKFHE : L’ancienneté en invalidité (en années) d’un assuré, à la date d’inventaire.

q/rFHE; RHKFHE1 : Le nombre d’individus en invalidité, issu de la table réglementaire, entrés à

l’âge rFHE et avec RHKFHE d’ancienneté en invalidité.

Ys � q/rFHE; RHKFHE�s1q/rFHE; RHKFHE�s~}1 : La probabilité de maintien en invalidité l’année k, pour un assuré entré

à l’âge rFHE et avec RHKFHE d’ancienneté, sachant que l’assuré était invalide l’année k-1.

BQFHE : La provision d’invalidité d’un portefeuille, à la date d’inventaire.

2. Mise en place de la méthode

La méthode déterministe du calcul de la provision d’invalidité s’appuie sur les probabilités de maintien en invalidité et détermine le montant de l’engagement de l’assureur envers chaque individu.

La méthode stochastique de Monté Carlo simule pour chaque invalide, en fonction des probabilités de maintien associées, son état année après année.

Les différents états sont :

� Maintien en invalidité � Sortie de l’invalidité (retraite ou décès)

Une simulation stochastique de l’état d’un invalide après une année est déterminé par rFHE, RHKFHE, la probabilité de maintien en invalidité associée, et la réalisation d’une variable uniforme définie sur l’intervalle [0;1].

Soit U ~ Uniforme [0,1] et u la réalisation de U.

Etat d'entré Etat de sortie

Maintien en invalidité

Invalide

Sortie de l'invalidité

92

La fonction de répartition de U est de la forme suivante :

0 $& ( i 0 G/(1 � ( $& 0 ( i 1 1 $& ( ) 1

Après une année, l’état d’un invalide entré à l’âge rFHE et d’ancienneté RHKFHE, est déterminé selon la formule suivante:

Si ( 3 i C3 � q/rFHE; RHKFHE�}1q/rFHE; RHKFHE1 alors l’état d’invalidité est maintenu.

Si ( 3 ý C3 � q/rFHE; RHKFHE�}1q/rFHE; RHKFHE1 alors sortie de l’invalidité et donc fin de paiement de la rente

Fig. 54 : Illustration des simulations de Monte Carlo

Stop l'algorithme

Invalide( , +2 )

Invalide( , +1 ) Décédé

Invalide( , ) Décédé Retraité

Retraité

t=0 t=1 t=2

93


3.1 Exemple 2 : Simulation de Monte Carlo appliquée à l’Incapacité permanente de travail

Pour ce risque les triangles de liquidation permettent une évaluation des PSAP mais pas des PM. La méthode de Monte Carlo est appliquée dans ce cas pour déterminer la PM stochastique de l’incapacité permanente de travail en cours.

Pour mettre en place cette méthode, il n’y a pas besoin de regrouper les contrats par famille homogènes, car elle pourra être appliquée contrat par contrat. Pour les besoins d’analyse qui suivront aux calculs stochastique, on pourra effectuer ensuite des regroupements.

Fig. 55

Ces résultat sont exprimés en euros et calculés à partir d’un taux d’actualisation constant à 2.5%

La moyenne des provisions stochastiques est très proche de la provision déterministe, par contre nous remarquons que la VaR à 99 ,5% diffère en fonction du nombre des simulations.

Fig. 57 : RNPO –Mesures de risque de la PM (montants en K€)

-

10 000 000,00

20 000 000,00

30 000 000,00

40 000 000,00

50 000 000,00

60 000 000,00

70 000 000,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

Pre

sta

tio

n fu

ture

s R

NP

O

Flux moyens des prestations futures du RNPO(10 000 simulations)

Nombre de simulation PM déterministe PM stocahstique Ecart relatif

(Pm déterministe ; Pm stochastique)

Ecart type Ecart type en % de la PM stochastique

Quantile 95%Value At Risk

99,5%Tail Value At Risk 99,5%

10000 323 322,1 -0,0192% 1 648,5 0,510% 324 590,7 324 890,1 324 989,6 5000 323 270,9 -0,0273% 2 115,4 0,654% 325 030,9 325 894,0 326 407,2 1000 323 243,8 -0,0315% 2 029,4 0,628% 324 902,3 325 855,4 326 107,4 100 323 257,2 -0,0294% 2 046,3 0,633% 324 920,8 325 829,0 326 075,2

323 444,8

94

Fig. 58 : RNPO - Distribution empirique de la PM pour 10 000 simulations

On constate :

� Une queue de distribution normale: la fréquence des sinistres les plus sévères dans la distribution empirique est semblable à ceux d’une distribution Normale.

� Une densité symétrique.

� La distribution empirique s’ajuste à la loi Normale.

320000000 320500000 321000000 321500000 322000000 322500000 323000000 323500000 324000000 324500000 325000000 325500000 326000000

0

2

4

6

8

10

12

14

Per

cent

reserve

95

PARTIE V : CALCUL

DU BEST

ESTIMATE ET DU

SCR HEALTH

96

Chapitre I : Best Estimate et marge

de risque

1. La Provision Best Estimate

• La « Provision Best Estimate » est déterminée comme la moyenne des futurs flux de trésorerie pondérés par des probabilités de survenance et actualisés avec la courbe des taux sans risque. La Provision Best Estimate doit être calculée brute, c'est-à-dire sans déduire la provision des contrats réassurés, et selon une méthode actuarielle pertinente et fiable.

Les flux futurs intègrent :

� les prestations futures � les primes futures (y compris les chargements d’acquisition) � les frais généraux futurs

Dans notre cas, les contrats sont des contrats annuels à tacite reconduction et les assurés n’ont pas d’obligation de payer les primes les années suivantes. De ce fait il n’y pas de primes futures.

Les principes d’évaluation des flux sont les suivants:

� déterminer et évaluer tous les flux futurs des prestations pour honorer l’ensemble des engagements ;

� et les primes futures résultant de contrats en cours si leurs paiement est légalement exigible ; � l’horizon retenu doit couvrir la durée de vie total du portefeuille ; � utiliser la meilleure méthode actuarielle retenue.

Les hypothèses à utiliser dans le calcul de la provision sont :

� modéliser chacun des risques séparément et diviser les contrats par famille homogène � prendre en compte les évolutions démographiques, juridiques, médicales technologiques,

sociales ou économiques ; � prendre en compte l’inflation future (au niveau des prix et des salaires) ; � effectuer l’actualisation sur la base de la courbe des taux sans risque pertinente ; � prendre en compte l’augmentation future des charges (facteur significatif surtout pour les

rentes d’invalidité) ; � prendre en compte tous les frais de l’ensemble des flux qui font partie de ce calcul.

Dans notre étude les taux zéro-coupon ne sont pas modélisés en stochastique, de ce fait la provision Best Estimate sera calculée comme suit :

�'ìI&$&ì� JK � h G%(�`/1 . �/0,L11`46

`�<

où R(0,k) est le taux d’intérêt sans risque pour une maturité k prévalant à la date t=0.

97

2. La Marge de Risque

La marge de risque est une garantie afin que la valeur des provisions Best Estimate soit suffisante pour honorer les engagements. Elle correspond au coût de la mobilisation d’un montant de fonds propres (le Capital de Solvabilité Requis - SCR), nécessaire pour faire face aux engagements. Selon les spécifications techniques du QIS5, la marge de risque sera calculée à partir des SCR issus de la formule standard. Les risques à prendre en compte dans le calcul de la marge de risque sont:

� Risque Opérationnel ; � Risque de souscription par rapport à l’ensemble du portefeuille ; � Risque de contrepartie relatif aux cessions en réassurance.

•

• La Marge de risque est calculée selon la méthode dite du « coût du capital » comme suit :

• � Calcul du #]��,` pour chaque segment i et pour chaque année future k;

� Calcul du coût du capital pour chaque segment et année future k: #]��,` * COC (dans QIS5,

le coût du capital, noté COC, est fixé à 6% pour tous les assureurs) � Actualisation avec la courbe des taux sans risque prévalant à la date t=0.

Pour chaque branche ou segment i:

l�� ]M] " ∑ N(O�,P/<�O/6,`11P�̀�<

où R(0,k) est le taux d’intérêt sans risque pour une maturité k prévalant à la date t=0. La marge de risque totale est :

l� � h l��

��<


3.1 Exemple 1 : Calcul de la Provision Best Estimate pourtemporaire de travail

Flux annuels

Comme nous l’avons vu dans les chapitres précédents, lecontiennent les flux issus des PM et ceux issus des PSAP.

Deux simulations de flux stochastiques ont été effectué

• Une première simulation faite par la méthode de Bootstrap à partir des triangles trimestriels de 16 trimestres de fait générateurs sur 16 trimestres de paiement, pouflux non actualisés est de 99chapitre III, 3.1

• Une deuxième simulation faite par la méthode de Bootstrap à partir des triangles annuels de 10 années de fait génératactualisés est de 102 987 Kchapitre III, 3.2

On peut remarquer que la première estimation est plus précise que la seconde car plus petit. Cela a aussi une influence sur la moyenne, ainsi la moyenne des simulation est supérieure de 3% à la moyenne de la première simulation.

N’oublions toutefois pas, que les 16 trimestres de paiement utilisén’expliquent que 99% des prestations payées, alors que les 10 années de délais de paiement utilisées dans la deuxième simulation explique 100% des prestations. Si on retranche cet écart «1% des 3% d’écart constaté entre les deuavec un pas annuel dans la deuxième simulation par rapport à la première qui est en pas trimestriel.

Une solution plus juste aurait été d’utiliser au moins 20 trimestres de paiemecontrats. Cette solution est réalisable, déjà intégrée dans les programmes de calcul utilisés et allongerait les temps de calcul de 20%.

Par prudence nous retenons dans les calculs qui suivent la deuxième méthode (en pas annuel).

Fig. 59 : Distribution empirique Cas 1 : Données trimestrielles

98

Application numérique

Calcul de la Provision Best Estimate pourtemporaire de travail

Comme nous l’avons vu dans les chapitres précédents, les flux moyens stochastiques détees PM et ceux issus des PSAP.

de flux stochastiques ont été effectuées :

Une première simulation faite par la méthode de Bootstrap à partir des triangles trimestriels de 16 trimestres de fait générateurs sur 16 trimestres de paiement, pour laquelle la somme des flux non actualisés est de 99 977 K€ et l’écart type de 1,06% de la somme des flux

Une deuxième simulation faite par la méthode de Bootstrap à partir des triangles annuels de 10 années de fait générateurs sur 10 années de paiement, pour laquelle la somme des flux non

987 K€ et l’écart type de 1,74% de la somme des flux

On peut remarquer que la première estimation est plus précise que la seconde car plus petit. Cela a aussi une influence sur la moyenne, ainsi la moyenne des

st supérieure de 3% à la moyenne de la première simulation.

N’oublions toutefois pas, que les 16 trimestres de paiement utilisés dans la première simulation n’expliquent que 99% des prestations payées, alors que les 10 années de délais de paiement utilisées dans la deuxième simulation explique 100% des prestations. Si on retranche cet écart «

té entre les deux simulations, on obtient un écart de 2% dû à la simulation avec un pas annuel dans la deuxième simulation par rapport à la première qui est en pas trimestriel.

solution plus juste aurait été d’utiliser au moins 20 trimestres de paiement pour cette famille de contrats. Cette solution est réalisable, déjà intégrée dans les programmes de calcul utilisés et allongerait les temps de calcul de 20%.


Distribution empirique de la réserve pour 5 000 simulations: Données trimestrielles Cas 2 : Données annuelles

Calcul de la Provision Best Estimate pour l’Incapacité

s flux moyens stochastiques déterminés

Une première simulation faite par la méthode de Bootstrap à partir des triangles trimestriels de r laquelle la somme des

€ et l’écart type de 1,06% de la somme des flux – Partie IV,

Une deuxième simulation faite par la méthode de Bootstrap à partir des triangles annuels de eurs sur 10 années de paiement, pour laquelle la somme des flux non

€ et l’écart type de 1,74% de la somme des flux – Partie IV,

On peut remarquer que la première estimation est plus précise que la seconde car son écart type est plus petit. Cela a aussi une influence sur la moyenne, ainsi la moyenne des flux de la deuxième

s dans la première simulation n’expliquent que 99% des prestations payées, alors que les 10 années de délais de paiement utilisées dans la deuxième simulation explique 100% des prestations. Si on retranche cet écart « justifié » de

rt de 2% dû à la simulation avec un pas annuel dans la deuxième simulation par rapport à la première qui est en pas trimestriel.

nt pour cette famille de contrats. Cette solution est réalisable, déjà intégrée dans les programmes de calcul utilisés et


réserve pour 5 000 simulations : Données annuelles

99

Provision Best Estimate

La provision Best Estimate se calcule facilement en appliquant la formule présentée au-dessus.

Le tableau suivant reprend les différentes étapes du passage de la provision déterministe à la provision Best Estimate.

Fig. 60 : Tableau des PM actualisées

La provision stochastique au taux de 2.50% est plus importante de 3.2% que la provision déterministe calculée au même taux.

La provision Best Estimate est plus grande que la provision calculée avec les flux stochastiques et au taux de 2,50%, car les taux de la courbe ZC des années récentes sont plus petit que le taux de 2,50%.

Calcul de la marge de risque

L’estimation de la marge de risque pour le risque incapacité du régime RNPO est de 4.3M€.

3.2 Exemple 2 : Calcul de la Provision Best Estimate pour l’Incapacité permanente de travail

Flux annuels

Dans les chapitres précédents, nous avons estimés les flux moyens stochastiques issus des PM à l’aide du modèle de Monte Carlo et ceux issus des PSAP à l’aide du modèle de Bootstrap et compte-tenu de 10 000 simulations. Les flux annuels moyens obtenus par ces simulations seront utilisés par la suite pour le calcul des provisions Best Estimate de l’invalidité.

Le tableau ci-dessous reprend le passage de la provision technique constituée de PM et de PSAP, des normes actuelles à la PM BE des normes Solvabilité II.

Fig.61 Tableau des PM (RNPO)

Méthode TauxProvisions Mathématiques

(en K€)

Déterministe 0,00% 99 907

Déterministe 2,50% 96 289

Stochastique 2,50% 99 258

Stochastique Courbe ZC 100 565

Méthode Taux Flux issus des PM Flux issus des PSAP Total

Déterministe 2,50% 323 445 13 006 336 451

Stochastique 2,50% 323 322 16 610 339 932

Stochastique Courbe ZC 314 075 13 870 327 945

Provisions (en K€)

100

La provision Best Estimate est plus petite que la provision calculée avec les flux stochastiques et au taux de 2,50%, car les taux de la courbe ZC sont plus important en moyenne que le taux de 2,50%. En effet l’actualisation à un taux de 2,50% intègre une marge de prudence, car dans le calcul des provisions mathématiques suivant les normes actuelles il n’y a pas de provision pour marge de risque calculée de manière explicite.

Calcul de la marge de risque

L’estimation de la marge de risque pour le risque invalidité en cours du régime RNPO est de 5.6 M€.

101

Chapitre II : Le module SCR Health

1. Classement des différentes garanties

La question qui se pose est la suivante : Dans quel module ou sous-module faut-il traiter les contrats contenant des garanties incapacité et invalidité ?

Lors de la quatrième étude d’impact quantitatif, le module Santé du calcul du SCR n’était pas présenté de la même façon que pour la cinquième étude d’impact quantitatif.

QIS4 : Trois sous-modules

• Health LT : « long terme »

• Health & Accident ST : accident et maladie « court terme » (assurance santé)

• Workers compensation (incapacité/invalidité)

Le sous-module Workers compensation est aussi composé de trois sous-catégories :

� General : risque de primes et de réserves

� Annuity : risque associé aux rentes à payer

� Catastrophe :

QIS5 : Deux sous-modules

• Health SLT : base technique similaire à l’assurance vie

• Health NSLT : base technique non similaire à l’assurance vie

Le sous-module Health SLT est composé de sept sous-catégories (traitement identique au module vie):

� Mortalité � Longévité � frais � Etc.

Le sous-module Health NSLT est composé de deux sous-catégories (traitement identique au module santé « court terme ») :

� General : risque de primes et de réserves

102

Lors du QIS4, les garanties incapacité et invalidité était rattachées au module Workers Compensation. Mais pour le QIS5, la classification des ces garanties n’est pas si simple. La ventilation entre Health SLT et Health NSLT se forme selon les techniques de provisionnement utilisées.

L’ACP répond à cette question de façon plus directe et classe en catégorie Health NSLT l’ensemble des engagements ne constituant pas encore une rente et en catégorie Health SLT les engagements constituant une rente.

Finalement, la segmentation des garanties est la suivante :

� Incapacité en cours : Health NSLT � Invalidité en attente : Health NSLT (rente non consolidée) � Invalidité en cours : Health SLT (rente consolidée)

Les différents résultats obtenus seront comparés aux méthodes actuelles, et la plus prudente sera retenue.

2. Formule standard

2.1 Health SLT

Les sous-modules pris en compte dans le module Health SLT concernent les risques de longévité et de frais. Le chargement en capital nécessaire est simulé par des chocs définis par CEIOPS lors de la cinquième étude d’impact quantitatif :

Le choc de longévité :

On suppose que les seules sorties d’invalidité sont le décès ou le départ à la retraite. Le risque de longévité s’applique à tous les contrats prévoyant une prestation en cas de vie de l’assuré.

Le chargement en capital associé est calculé par rapport à une variation de la valeur de l’actif net à la suite d’une diminution du taux de mortalité.

Notations : Q�$%�RS��TNS� � Chargement en capital au titre du risque de longévité. ∆_Ö � Variation de l’actif net, c'est-à-dire la variation de l’estimation des passifs à la suite d’un choc de mortalité.

SCR RISQUE CHOCS Garanties BTP-P

LongévitéDiminution permanente de 20%

des taux de mortalité pour chaque âge

Rente d’invalidité

FraisAugmentation de 10% des frais

futurs la première année puis 1% par an

Rente d’invalidité

Health SLT

103

ãì�c�I&�±�$Rì¶L � Augmentation /permanente1 de 20 % /QIS51 des taux de mortalité pour chaque âge.

Q�$%�RS��TNS� � h/∆_Ö/ãì�c�I&�±�$Rì¶L1 �

Et i est l’indice représentant chacun des contrats.

Le choc de frais :

Le risque de frais correspond à la variation des dépenses engagées par les services qui traitent les contrats d’assurances.

Le chargement en capital associé est calculé par rapport à une variation de la valeur de l’actif net à la suite d’une augmentation des frais futurs.

Notations : Q�$%�RK�NS� � Chargement en capital au titre du risque de frais. ∆_Ö � Variation de l’actif net, c'est-à-dire la variation de l’estimation des passifs à la suite d’un choc de mortalité.

m�³$Rì¶L � Augmentation (permanente) de 10 % (QIS5) des frais la première année et de 1% pour chacune des années suivantes.

Q�$%�RK�NS� � h/∆_Ö/m�³$Rì¶L1 �

Et i est l’indice représentant chacun des contrats.

La formule standard concernant le module Health SLT s’écrit donc: Q�$%�RNS� � ü]ì''S��T,K�NS� " Q�$%�RS��TNS� " Q�$%�RK�NS�

Avec ]ì''S��T,K�NS� : le coefficient de corrélation entre les module Q�$%�RS��TNS� et Q�$%�RK�NS� La matrice de corrélation entre le risque de longévité et le risque frais et la suivante

104

On en déduit que ]ì''S��T,K�NS� � 0.25

2.2 Health NSLT

Les sous-modules pris en compte dans le module Health NSLT du SCR concernant les prestations d’incapacité en cours et les provisions d’invalidité en attente sont les risques de « primes et réserves » et de « catastrophe ». Dans notre étude seul le risque de « primes et réserves » est pris en compte. Le risque de primes prend en compte le risque de variations de la fréquence et du coût moyen des sinistres. Il représente le risque de sous tarification et inclut aussi le risque lié à l’augmentation des frais. Le risque de réserve résulte des variations des montants et de délais de paiement des sinistres. Le chargement en capital pour le module Health NSLT au titre du risque « primes et réserves » Q�$%�R�FNS� � i/Ejbd�e FNS�1 " Öjbd�e FNS� Avec Öjbd�e FNS� : Mesure de volume

Ejbd�e FNS� : Ecart type provenant d’une combinaison des écarts type des primes et réserves

i/. 1 : Fonction de l’écart type Ejbd�e FNS� fixée de manière à produire un chargement en capital conforme au standard de Value At Risk à 99.5%

i/E1 � exp /_6.¥¥? "-log /E . 11√E . 1 0 1

_6.¥¥? : le quantile à 99.5% de la distribution normale standard La mesure de volume et l’écart type du portefeuille sont déterminés en deux étapes :

105

Première étape : mesure de l’écart type Ö/�b_,S�C1 : Mesure de volume du risque de tarification dans la branche considérée Ö/�b×,S�C1 : Mesure de volume du risque de provisionnement dans la branche considérée E/�b_,S�C1 : Ecart type du risque de tarification dans la branche considérée E/�b×,S�C1 : Ecart type du risque de provisionnement dans la branche considérée Ö/�b×,S�C1 � �]MS�C Ö/�b_,S�C1 � j$�k�S�C�,l��b�; �S�C�,b��ba; �S�C�~<,l��b�o . �S�Cmm Avec �]MS�C : Provisions Best Estimate des sinistres à payer dans la branche considérée

�S�C�,l��b� : Estimation des primes nettes émises dans la branche considérée au cours de l’exercice à venir �S�C�,b��ba : Estimation des primes nettes acquises dans la branche considérée au cours de l’exercice à venir (portion de la prime consommée au titre de la période d’observation) Hypothèse : �S�C�,b��ba � �S�C�,l��b� �S�C�~<,l��b� : Estimation des primes nettes émises dans la branche considérée au cours de l’exercice précédent �S�Cmm : Valeur actuelle des primes nettes des contrats existants attendues pour l’exercice suivant Hypothèse : �S�Cmm � 0 (contrats annuels)

Pour la branche d’arrêt de travail (noté « Income Protection »), les écart-type du risque de provisionnement et de tarification sont définit par le CEIOPS lors du QIS5 :

E/�b_,nm1 � 8.5% _�S�C (Où _�S�C est un facteur d’ajustement prenant en compte les

pertes possibles dues à la réassurance proportionnel, égal à 1 dans notre étude)

E/�b×,nm1 � 14%

Finalement, l’écart type combiné Enm de la branche « Income Protection » est définit en agrégeant les écarts type des deux sous risque :

Enm � ükE/�b_,nm1 " Ö/�b_,nm1o . 2ÄE/�b_,nm1Ö/�b_,nm1Ö/�b×,nm1 . kE/�b×,nm1 " Ö/�b×,nm1o Ö/�b_,nm1 . Ö/�b×,nm1

106

Deuxième étape : mesure de volume

Öjbd�e FNS� � h ÖS�CS�C

ÖS�C � kÖ/�b_,S�C1 . Ö/�b×,S�C1o " /0.75 . 0.25 " þBÖS�C1

Avec :

þBÖS�C � ∑ kÖ/�b_,«,S�C1 . Ö/�b×,«,S�C1o «k∑ kÖ/�b_,«,S�C1 . Ö/�b×,«,S�C1o« o

Ou j représente une segmentation géographique.

Pour finir, l’écart type global est calculé comme suit :

Ejbd�e FNS� � -∑ ]ì''%ìµFN�S�"� " E� " E� " Ö� " Ö��,� ∑ Ö��

Ou r et c représente les différentes branche du module. Pour la garantie arrêt de travail, seule la branche « Income Protection » du module Health NSLT est prise en compte donc

Ejbd�e FNS� � -Önm " EnmÖnm

Paramètres spécifiques

En QIS5, les entreprises sont encouragées à calculer les paramètres spécifiques à l'entreprise (écarts type). Les paramètres spécifiques sont un élément important de la norme et permettent aux entreprises d’augmenter le besoins en capital des risques sensibles ou de diminuer le besoin en capital des risques plus stables.

La connaissance plus approfondie des risques facilitera la gestion des risques des entreprises et permettre une meilleure évaluation du risque de souscription auquel les entreprises sont exposées.

Les paramètres calculés par les pourront être regroupés au niveau des marché nationaux et aideront à réviser le calibrage du modèle standard.

107


3.1 Exemple 1 : Calcul du SCR Health NSLT avec les paramètres de la formule standard

V/?opq,rst1 � 61.1 M€ V/opv,rst1 � 100.5 M€

Vwpxáyh z{r| � 161.6 M€

σ}~ � 7.72%

ρ/σwpxáyh z{r|1 � 21.65%

�JRqILSC>X�� .� T€

Compte tenu des paramètres standards d’écart-type des réserves (14%) et des primes (8.5%) le SCR est de 49.9 M€, soit 31% du volume des primes et des réserves.

3.2 Exemple 1 : Sensibilité du SCR Health NSLT aux écarts types de primes et des réserves

La baisse de 1 point de l’écart-type des primes et la baisse de 2 points de l’écart-type des réserves entraine une diminution du SCR de 15% (cas 3).

De ce fait les entreprises ont tout intérêt d’effectuer des calculs propres pour les écart-types des primes et des réserves.

σ prime σ reserve SCR (en M€) Variation SCR

cas 1 8,50% 14% 49,9

cas 2 7,50% 14% 48,6 -3%

cas 3 7,50% 12% 42,4 -15%

cas 4 8,50% 12% 43,8 -12%

cas 5 6,50% 10% 35,1 -30%

108

Conclusion Le principe de la nouvelle directive Solvabilité II c’est l’amélioration, pour chaque organisme d’assurance, de la protection de ses assurés. Cette réforme a pour objectif de mieux adapter les exigences de fonds propres demandées aux organismes d’assurance en fonction des risques auxquels elles sont soumises dans leurs activités.

Cela implique que chaque organisme d’assurance doit avoir une meilleure appréhension et compréhension des risques inhérents à son activité afin de pouvoir allouer suffisamment de capital pour les couvrir.

En effet, les organismes d’assurance européens sont amenés à revoir les méthodes d’évaluation et de couverture des engagements pris envers leurs assurés.

Ainsi, les organismes d’assurance doivent calculer des Provisions Best Estimate (PBE) à l’aide d’une évaluation stochastique de leurs engagements et une Marge de Risque (MR) qui soit externe aux Provisions Best Estimate (alors qu’auparavant les provisions techniques étaient évaluées par des méthodes déterministes). L’évaluation des Provisions Best Estimate et de la Marge de Risque sont très importante, car elles permettent de déterminer les fonds propres nécessaires à la couverture du capital de solvabilité requis (SCR). Soit,

Fonds Propres = Actif – PBE - MR De ce fait, si les PBE et MR sont mal estimées et trop grandes, alors les FP seront diminués et le taux de couverture du SCR sera amoindri. A l’inverse si les PBE et MR sont mal estimées et trop petites, cela peux entrainer une insuffisance de couverture des engagements envers les assurés. Il en résulte que l’étude de mise en place d’un calcul de PBE est très importante. L’étude menée dans ce mémoire met en évidence des différences entre les évaluations des provisions suivant la méthode utilisée. Ainsi pour l’incapacité temporaire de travail, plusieurs méthodes de provisionnement ont été mises en place sur l’ensemble du portefeuille et les résultats montrent que:

• pour une provision déterministe de 100,

• la provision stochastique déterminée par la méthode du Bootstrap est de 100.5,

• la VaR à 95% est de 102.9

• et la VaR à 99.5% est de 105.5

109

Pour l’incapacité permanente de travail, plusieurs méthodes de provisionnement ont été mises en place sur le plus gros portefeuille (55% des provisions) et les résultats montrent que:

• pour une provision déterministe de 100,

• la provision stochastique déterminée par les méthodes Bootstrap et Monte-Carlo est de 101,

• la VaR à 95% est de 107.8

• et la VaR à 99.55% est de 113.1

Les écart-types constatés sur les réserves sont plus importants en incapacité permanente qu’en incapacité temporaire de travail, ce qui génère des VaR plus importantes pour l’incapacité permanente de travail. Ceci met en évidence un provisionnement moins précis pour l’incapacité permanente de travail qui est du à l’utilisation des tables de provisionnement réglementaire. Une amélioration de ce provisionnement pourrait être faite en utilisant des tables d’expériences.

110

Bibliographie

Ouvrage :

� Michel DENUIT & Arthur CHARPENTIER, Mathématique de l’Assurance Non-Vie, Tome II : Tarification et Provisionnement, Economica (2005)

� Thomas MACK, Distribution-free calculation of the standard error of Chain Ladder reserve estimates, ASTIN bulletin vol. 23 (1993)

� Bradley EFRON & Robert J. TIBSHIRANI, An introduction to the bootstrap, Chapman&Hall (1993)

� Christophe EBERLE, Solvabilité II : le stochastique au service des modèles internes, La tribune de l’assurance (2006)

� C. HUBER, Une méthode de rééchanntillonage : le bootstrap, (2004)

Mémoires :

� Jean-Baptiste CROGUENNEC, Méthode de calcul des provisions techniques en prévoyance, arrêt de travail, EURIA (2009)

� Cécilia SAUVET, Quelle modélisation stochastique des provisions techniques prévoyance et non-vie ? ISFA (2006)

� Christophe Bonnefoy & Bruno Devictor, Calcul stochastique de provisions techniques d’assurance non-vie, ENSAE (2007)

� Nicoleta TRIPA, Quantification de la variabilité des provisions pour les sinistres à payer, EURIA (2009)

Site Internet :

� www.ressources-actuarielles.net � www.ceiops.eu � www.ameli.fr

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