Centre de Ressources de Mécanique & Ingénieries

Centre de Ressources

de Mécanique & Ingénieries

TP de Mécanique

Fluides / Solides

Ecole ENSEIRB-MATMECA, Dpt. MATMECA (MMK2)

SOMMAIRE

TP Fluides / Solides

1. Réaction d’un jet

2. Perte de charge dans une conduite de petit

diamètre

3. Cylindre circulaire en soufflerie

4. Etude d’un réservoir sous pression

5. Etude de la flexion d’une poutre viscoélastique

6. Houle sinusoïdale

Annexes

1. Comportement des matériaux

2. Photoélasticimétrie

3. Extensomètrie par jauges

4. Calculs d’erreur

TP de Mécanique

Note Générale à l’usage des étudiants

Déroulement des séances de travaux pratiques

• Présence obligatoire et contrôlée. Toute absence non justifiée (par un certificat médical

daté et signé, un courrier de convocation à un entretien, etc.) entraînera la note de 0/20

qui sera prise en compte dans le calcul de la moyenne du module concerné. Une copie du

justificatif d’absence doit être remise à l’enseignant à la séance suivante, l’original

étant donné à la scolarité.

• Manipulations effectuées en binôme ou trinôme, selon le cycle des permutations défini en

début d’année par les enseignants.

• A la fin de chaque séance, une fiche de synthèse doit être remise en mains propres à

l’enseignant ayant encadré le groupe.

• IL EST STRICTEMENT INTERDIT DE DEPLACER DU MATERIEL D’UN POSTE A

UN AUTRE - EN CAS DE PANNE, FAIRE APPEL A L’ENSEIGNANT OU AU

TECHNICIEN.

Evaluation

Les travaux pratiques seront évalués en cours d’année. Pour cette évaluation seront pris en

compte l’assiduité (retards, pauses exagérément prolongées, départs avant la fin de la séance sans

accord de l’enseignant, etc…), la prestation des étudiants le jour du TP (au sein d’un binôme, si

l’un des deux élèves effectue 75% du travail, il est évident que la note attribuée à chaque élève

sera différente), la rédaction des comptes-rendus (qualité de la présentation, clarté de la

rédaction, calculs d’erreurs, clarté des courbes et des résultats, pertinence des discussions et des

conclusions, etc…). La note globale sera donc basée pour 50 % sur la note de la fiche de

synthèse et pour 50 % sur la note du compte-rendu.

Compte-rendu

Il sera remis à la fin de la séance ou, au plus tard, à la séance suivante, à l’enseignant

présent en TP. Tout retard non justifié entraînera une note de 0 au compte-rendu.

Rédigé sur feuilles A4, il sera restreint à 3 ou 4 pages, les graphiques étant inclus (voir directives

détaillées page suivante). Il comportera en évidence :

• Le titre de la manipulation,

• La date de la séance du TP,

• Le certificat préparé (MASTER MI, MATMECA, …) et le groupe d’appartenance (Gr. 1, 2 …)

• Les noms de tous les participants au TP, le rédacteur étant mentionné en premier.

• Le nom de l’enseignant.

Ne pas oublier à la fin des manipulations :

• D’éteindre les appareils (oscilloscopes, ordinateurs, amplificateurs, …).

• De laisser la paillasse propre et en bon ordre.

• De couper les arrivées d’eau.

• De remettre les capuchons des feutres de tables traçantes.

Compte-Rendu de TP Mécanique (environ 4-5 pages)

Titre de la manipulation

Nom et prénom du rédacteur principal Date de la séance du TP

Nom et prénom des autres participants

Certificat préparé (MM1, MM2, Licence MI, Master MI, …) + n° groupe

Nom de l’enseignant

Introduction *

Décrire brièvement et clairement le contexte expérimental ainsi que tous les objectifs du TP,

sans recopier le fascicule. Ce doit être une introduction personnelle.

Préparation des mesures

Dans la mesure du possible, indiquer les réglages et essais préliminaires qui ont été

nécessaires avant de passer aux mesures principales (montage, étalonnage, équilibrage, etc …).

Théorie

Sans recopier intégralement toute la partie théorique fournie dans le fascicule, rappeler les

hypothèses et les équations principales utilisées dans le cadre du TP. Présenter brièvement la

procédure de calcul utilisée pour vos applications numériques (Maple, Matlab, Excel, autre, …).

Manipulation *

Présenter le schéma de votre montage et expliquer la méthodologie suivie pour effectuer les

mesures demandées.

Résultats et exploitation / discussion des résultats *

Dans la mesure du possible, présenter les résultats de calculs ou de mesures sous forme de

graphes plutôt que sous forme de tableaux, généralement longs et fastidieux à écrire et à lire. Ne

pas oublier de préciser les noms et les unités des grandeurs représentées sur les axes, ainsi que les

échelles. Lorsque plusieurs courbes sont tracées sur une même figure, légender clairement

chacune d’elles (par des couleurs par exemple). Sous chaque figure (ou tableau si vous devez

impérativement présenter un tableau), indiquer explicitement sa légende complète ainsi que son

numéro par ordre d’apparition dans le compte-rendu.

Exemple de tableau :

Fréquence (MHz) Temps écho 1 (s) Temps écho 2 (s) Vitesse onde 1 (mm/µs) Vitesse onde 2 (mm/µs)

0.8 150.3 322.6 3.2 6.3

1.0 151.2 326.4 3.3 6.4

1.2 158.4 354.2 3.4 6.2

1.4 157.1 324.6 3.2 6.5

1.6 155.2 336.4 3.6 6.1

1.8 159.4 344.1 3.4 6.3

Tableau 1 – Mesures de la position temporelle des échos et calculs correspondant aux vitesses de deux ondes.

Exemple de graphe :

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Vitesse 1 (mm/µs)

Vitesse 2 (mm/µs)

Vit

ess

e (

mm

/µs)

Fréquence (MHz) Figure 1 – Evolution de la vitesse des ondes en fonction de la fréquence.

Calculs d’erreur : Estimer systématiquement les erreurs de vos mesures et leurs conséquences sur

les grandeurs calculées.

Exemple : A la fréquence 1.4 MHz, les temps d’arrivée des échos 1 et 2 valent

respectivement 157.1 ± 0.5 µs et 324.6 ± 0.6 µs, ce qui induit une erreur de 5% (à calculer) sur

les vitesses des ondes 1 et 2. Le même ordre de grandeur d’erreur existe sur l’ensemble des

mesures de temps d’arrivée et de calculs de vitesse.

Discuter clairement les résultats obtenus, en essayant toujours de rechercher leur sens

physique et de voir si les valeurs mesurées ou calculées sont cohérentes par rapport à ce qui était

attendu. Vos commentaires doivent être scientifiquement pertinents.

Le texte du compte-rendu doit faire référence aux n° des légendes que vous avez inscrites

sous les figures ou tableaux, sinon cela signifie que vous ne commentez pas vos résultats.

Lorsque vous comparez un résultat de mesure à un résultat de calcul, la différence ne

s’appelle pas une erreur mais un écart. Vous devez commenter ces écarts.

Conclusion *

Dire si les objectifs fixés ont été atteints ou pas et discuter la qualité ces résultats. Un résultat

de mesure inattendu n’est pas forcément un mauvais résultat, surtout s’il est reproductible. Vos

conclusions doivent être fondées sur l’ensemble de vos résultats.

(*) Ces rubriques doivent impérativement être présentes et correctement développées dans les

comptes-rendus.

L’ORTHOGRAPHE, LA CLARTE ET LA TOURNURE DES PHRASES, AINSI QUE LA QUALITE DE LA

PRESENTATION SERONT PRISES EN COMPTE DANS LA NOTE. VOUS DEVEZ CHERCHER A REDIGER

DE MANIERE CONCISE ET CLAIRE POUR QU’UNE PERSONNE NE CONNAISSANT PAS VOTRE

TRAVAIL PUISSE FACILEMENT ET RAPIDEMENT EN COMPRENDRE LA TENEUR AINSI QUE VOTRE

ANALYSE DES RESULTATS OBTENUS.

REACTION D'UN JET CENTRE DE RESSOURCES DE MECANIQUE ET INGENIERIES

NB, CG – PL mise à jour le 13/09/2011 1/8

R E A C T I O N D ' U N J E T

* * * * *

I - INTRODUCTION

On se propose de déterminer la résultante des actions de pression exercées par un

jet sur deux obstacles différents, une plaque plane circulaire et une plaque hémisphérique, en

utilisant le théorème des quantités de mouvement encore appelé théorème d'Euler.

II - RAPPELS THEORIQUES

II - 1 . THEOREME DES QUANTITES DE MOUVEMENT. EXPRESSION GENERALE.

En mécanique, on connaît la relation classique entre le torseur des forces

extérieures Fe et le torseur des quantités de mouvement Q , à savoir:

Fd Q

dte

En représentation dite Lagrangienne la dynamique du fluide est décrite par la

dynamique des particules déduite de leur trajectoire respective (approche comparable à la

mécanique du point classique). On travaille couramment, en mécanique des fluides, en

représentation d'Euler c'est-à-dire que l'on étudie l'évolution du champ de vitesse dans l'espace

en fonction du temps comme on peut étudier l'évolution d'un champ de pression ou de

température.

De ce fait, en représentation Eulérienne, une grandeur physique étant fonction

des variables d'espace (x,y,z) et du temps t, la différentielle totale d'une telle fonction est

définie par:

dt

dtx

dxy

dyz

dz

soit

d

dt t x

dx

dt y

dy

dt z

dz

dt

d/dt s'appelle "dérivée particulaire" et s'écrit vectoriellement sous la forme:

d

dt tV grad

.

Le théorème des quantités de mouvement ou théorème d'Euler traduit plus

spécifiquement la relation qui existe entre les résultantes des torseurs des forces extérieures et

des quantité de mouvement sur un volume de contrôle noté V, soit:

dQ

dtFe

avec Q V M d ( ) V

Voù

V M d( ) V est la quantité de mouvement élémentaire attachée

à l'élément de volume dV.



D'après la définition de la dérivée particulaire, dQ dt

/ s'exprime par:

dQ

dt

d

dtVd

d

dtV d

tV d V grad V d

V V V V

V V V V( ) ( ) . ( )

En utilisant la propriété vectorielle: div V V V grad V V divV( ) . ( ) ( ).

,

et l'équation de conservation de la masse pour un fluide incompressible (équation de

continuité):

divV 0

la seconde intégrale de la dérivée particulaire s'écrit encore sous la forme:

V grad V d div V V d V V n dS

d aprèsOstrograsdkyS

. ( ) ( ) ( ) .'

V V

V V

La résultante des forces extérieures agissant sur le système comprend:

- les forces de surface FS :

F dSS

S

- les forces de volume FV :

F g dv

VV

Le théorème d'Euler sous sa forme générale s'exprime donc par:

F F

tV d V V n dSS

S V

VV

( ) ( ) .

II - 2 . APPLICATION A UN TUBE DE COURANT EN ECOULEMENT PERMANENT

Par hypothèse, le fluide est incompressible et l'écoulement est permanent. Isolons

un tube courant suffisamment étroit pour que dans chaque section perpendiculaire à

l'écoulement les vitesses, les pressions et les masses volumiques puissent être considérées

comme constantes.

V

V

1

2

1

2

z

z

S

S

1

2

L'écriture du théorème d'Euler dans ce cas particulier se traduit par:

F P V V n S V V n S V V ndSS

SL ( ) . ( ) . ( ) . 1 1 1 1 2 2 2 2



Dans cette relation, SL, S1, S2 désignent respectivement la surface latérale, la

section d'entrée, et la section de sortie. F et Ps représentent les forces de surface et le poids du

fluide contenu dans le tube de courant. Les vecteurs unitaires n1 ,

n2 et

n , normaux

respectivement aux surfaces d'entrée, de sortie et aux surfaces latérales, sont orientés vers

l'extérieur du domaine (d'après le théorème d'Ostrogradsky), d'où: V n V V n V V n1 1 1 2 2 2 0. ; . ; .

ce qui conduit à: F P V S V V S VS 1 1 1 2 2 2

Le fluide étant incompressible, on a conservation du débit massique soit: q V S V Sm 1 1 2 2

Le théorème d'Euler appliqué à un tube de courant se traduit donc par:

F P q V VS m ( )2 1

III . APPLICATION A LA DETERMINATION DE LA FORCE EXERCEE PAR UN JET FRAPPANT UN

OBSTACLE

III.1 CAS DU FLUIDE PARFAIT

Considérons un jet circulaire frappant une plaque de révolution. Le jet se réfléchit

sur la plaque et sa trajectoire est déviée d'un angle par rapport à sa direction initiale.

Plaque de

révolution

Volume de contrôleA

BC

D

V

V

1

2

x

y

n1

2n

CD

AB

n

n

Schéma d'impact du jet sur une plaque

Nous nous proposons en appliquant le théorème d'Euler de déterminerFj SAB ,

résultante des actions de contact du jet sur la plaque.

Isolons un volume de contrôle ABCD du domaine fluide tel qu'il est représenté sur

la figure ci-dessus. Compte-tenu des hypothèses, dans la section d'entrée S1=SAD les lignes de

courant sont rectilignes et parallèles. Par conséquent la répartition des pressions est

hydrostatique sur S1 et la vitesse du fluide sera notée V1 . De même, dans la section de sortie

S2=SBC les lignes de courant sont encore rectilignes et parallèles, la répartition des pressions



est donc hydrostatique sur S2 et la vitesse, notéeV2 , fait l'angle avec la direction initiale du

jet. Appliquons le théorème d'Euler.

F P P S n P S n p M dSn q V Vj SAB CD

CDm1 1 1 2 2 2 2 1( ) ( )

Le volume de contrôle étant petit, les forces de volume, c'est à dire le poids du

fluide peut être négligé devant l'action des forces de pression. Par ailleurs P1=P2=Pat et

P(M)=Pat avec Pat pression atmosphérique, d'où:

F P S n P S n P dS n q V Vj SAB at at at CD

CDm 1 1 2 2 2 1( )

En fait, seule la force totale F appliquée sur la plaque est mesurable et cette force

résulte de la superposition de l'effet du jet sur la plaque et de l'effet de la pression

atmosphérique sur la surface libre de la plaque. Par conséquent: F F P dS n P S n P S n P dSn P dSn q V Vj S at ABAB at at at CD at ABABCD mAB 1 1 2 2 2 1( )

La résultante des forces de pression sur un contour fermé est nulle si la pression

est uniforme, par conséquent:

P S n P S n P dS n P dS nat at at CD at ABABCD1 1 2 2 0

et F q V Vm ( )2 1

ce qui donne en projection sur les axes 0x et 0y: F q V V

F q V

x m

y m

( cos )

sin

2 1

2

Compte-tenu des hypothèses, entre 2 points situés l'un sur (S1), l'autre sur (S2),

d'une même ligne de courant, le théorème de Bernoulli peut être appliqué:

1

2

1

21

2

1 1 2

2

2 2 V gz P V gz P

Si on néglige, comme on l'a fait précédemment les forces de volume c'est-à-dire les

termes en gz, on en déduit V1 =V2. De ce fait:

F q V

F q V

x m

y m

1

1

1(cos )

sin

III.2 . CAS D'UN FLUIDE REEL

Si l'écoulement dans le jet est permanent "en moyenne" pour le fluide réel, si les

forces de volume peuvent être effectivement négligées dans le cas étudié, l'hypothèse de fluide

non visqueux est peu réaliste. Ainsi la vitesse V2 n'est pas égale à V1 et par conséquent la

résultante réelle en module F' est inférieure à la résultante théorique F.

Pour tenir compte des pertes de charge liées à la viscosité du fluide, on introduit

un coefficient de correction C (C<1), souvent appelé coefficient de rendement, tel que:

F'=CF



IV - DISPOSITIF EXPERIMENTAL

sortie

tuyère

cylindre transparent

ressort de rappel

du levier

masse mobile

évacuation

de l'eau

réservoir de la

balance hydraulique

règle graduée

obstacle

alimentation en eau

axe de rotation

de la règle

d y

A OP M

I

jet

Z

Schéma d'ensemble du dispositif

Un tuyau vertical alimenté par un banc hydraulique est terminé par une tuyère

conique qui produit un jet d'eau vertical à grande vitesse. Ce jet vient frapper un obstacle sur

lequel il se réfléchit. On dispose ici de deux types d'obstacle, une plaque plane circulaire ou une

plaque hémisphérique. La résultante des forces d'action sur l'obstacle peut être déterminée par

équilibrage d'un bras de levier muni d'un ressort de rappel et dont l'axe de rotation est A.

La tuyère et l'obstacle sont enfermés dans un cylindre transparent dont la base

possède un orifice d'évacuation de l'eau vers une balance hydraulique destinée à la mesure du

débit.

On donne: - le diamètre de sortie de la tuyère: D=0.953 cm

- la distance de la tuyère à l'obstacle: Z=3,85cm 0,5 cm.

- la distance de l'axe du jet à l'axe de rotation: d=15,25 cm



V MODE OPERATOIRE

Mise en place de l'obstacle:

On dispose de deux obstacles qui peuvent être interchangés en ôtant la vis située

au-dessus du bras de levier et en soulevant l'obstacle pour le dégager du montage. Dans les

deux cas, les obstacles sont positionnés de telle sorte que la trajectoire du jet est confondue

avec l'axe de symétrie de l'obstacle comme le montrent les schémas ci-dessous:

V1

V2V

2

x

ydisque plan

volume de

contrôle

sortie tuyère

Plaque plane circulaire

V1

volume de

contrôle

sortie tuyère

V2

x

y

V2

plaque

hémisphérique

Plaque hémisphérique

Montrer que, dans ces deux cas de figure, la composante suivant y de la résultante

des forces d'action sur la plaque est nulle. En déduire que les expressions de F et F' se réduisent

alors à:

. plaque plane: F q V et F C q Vm m 1 1'

. plaque hémisphérique: F q V et F C q Vm m 2 21 1' ( )

Réglage du bras de levier pour la mesure de F':

En l'absence du jet, placer la charge d'équilibrage de l'obstacle, m, sur le zéro de la

règle et régler l'horizontalité du levier en agissant si nécessaire sur le ressort de rappel (cf

schéma d'ensemble du dispositif). Dans cet état d'équilibre au repos, le moment résultant des

forces appliquées au système par rapport à l'axe de rotation de la règle s'annule.

M A mg

moment dela ch e dé quilibrage

AG m g

moment dupoids de la

règle

AP R

moment dela force exercé epar le ressort

A r

0 0

arg '

Noter que les charges diffèrent suivant l'obstacle étudié:

.m=600g 1g pour la plaque hémisphérique

.m=300g 1g pour la plaque plane circulaire

Lorsque le jet frappe l'obstacle, le levier subit un déséquilibre dû à l'action de la

force du jet, déséquilibre qu'il faut rétablir en déplaçant la charge de sorte que soit rétablie

l'horizontalité du bras de levier. Dans ce nouvel état d'équilibre, le moment résultant des forces



appliquées au système par rapport à l'axe de rotation de la règle s'annule, ce qui conduit à la

relation:

M A OM mg

moment dela ch e dé quilibrage

AG m g

moment dupoids de la

règle

AP R

moment dela force exercé epar le ressort

AI F

moment dela force exercé e

par le jet

r

( )

arg '

'0 0

Montrer que l'expression de la force F' peut être déduite de la relation précédente sous la

forme:

Fmgy

d'

Mesure du débit par la balance hydraulique

Evacuation de l'eau

Alimentation en eau

Bouchon de vidange

du réservoir de la balance

Axe de rotation

Plateau de chargement

L L1 2

Schéma de principe de la balance hydraulique

La balance hydraulique est constituée par un bras de levier dont le rapport des

longueurs L1/L2 est conçu de telle manière qu'une surcharge de 1,650kg (masse unitaire dont

on dispose en TP) disposée sur le plateau de chargement est équilibrée par la masse de 5 litres

d'eau écoulés dans le réservoir de la balance.

La mesure du débit se déroule donc de la manière suivante. A l'instant initial c'est-

à-dire sans charge sur le plateau et sans eau dans le réservoir, le levier est en déséquilibre et le

plateau de chargement est alors en position basse. On alimente le dispositif en eau et le poids

de l'eau écoulée dans le réservoir va conduire à un basculement du plateau vers le haut. A cet

instant, on charge le plateau avec une masse correspondant à n fois 1,650 kg suivant l'intensité

du débit à mesurer. Le plateau ainsi chargée bascule vers le bas. On déclenche le chronomètre

et l'on mesure le temps mis pour que l'accroissement d'eau écoulée dans le réservoir de la

balance compense la charge du plateau. Ce temps t correspondra à n fois 5 litres d'eau

écoulés et le débit pourra être déduit de la relation:

Qv=5n/t (l/s)

NB: il faut vidanger le réservoir de la balance entre chaque mesure. Pour de forts débits

on pourra être amené à soulever manuellement la bonde de vidange pour vider

totalement la balance avant la mesure du débit.



La vitesse V0 en sortie de tuyère peut être déterminée à partir du débit mesuré. En

appliquant le théorème de Bernoulli, donner l'expression de la vitesse V1 dans la section S1 en

fonction de cette vitesse V0.

VI MESURES EXPERIMENTALES ET EXPLOITATION DES RESULTATS

Pour différentes valeurs du débit et pour chacun des deux obstacles:

-Relever la valeur du déplacement de la charge, y, en fonction du débit qui sera

mesuré à l'aide de la balance hydraulique. On notera à ce propos que la charge de la balance

hydraulique doit être suffisante pour que le temps de mesure soit supérieur à 30s afin de limiter

les incertitudes surtout pour les forts débits.

- Déterminer F'.

- Calculer V1 et F.

- Déduire la valeur du coefficient de rendement C.

Effectuer un calcul d'incertitude pour estimer la précision avec laquelle sont

déterminés les forces F et F' ainsi que le coefficient de rendement C.

Représenter l'évolution de F et F' sur un même graphique en fonction du nombre de

Reynolds, Re, dont on rappelle qu'il peut être défini ici par:

Re=V0D/

Les valeurs de sont données dans la table suivante:

T(°C) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 1,310 1,273 1,239 1,206 1,175 1,145 1,116 1,087 1,060 1,034

20 1,009 0,984 0,961 0,938 0,916 0,895 0,875 0,855 0,836 0,818

30 0,800 0,783 0,767 0,751 0,736 0,721 0,706 0,692 0,697 0,666

Viscosité dynamique de l'eau liquide (10-3

kg m-1

s-1

), en fonction de la température.

(d'après International Critical Tables, 1929)

Représenter l'évolution de C en fonction du nombre de Reynolds.

Commenter les courbes obtenues par rapport aux évolutions théoriques attendues.

Que pouvez-vous en déduire sur la validité des hypothèses initiales.

_____________________________

PERTES DE CHARGES DANS UNE CONDUITE DE PETIT DIAMETRE CENTRE DE RESSOURCES DE MECANIQUE ET INGENIERIES

NB, CG- PL mise à jour le 13/09/2011 1/6

P E R T E S D E C H A R G E D A N S

U N E C O N D U I T E D E P E T I T D I A M E T R E

* * *

I - INTRODUCTION

I.1 . DIFFERENTS REGIMES D’ECOULEMENT EN FONCTION DU NOMBRE DE

REYNOLDS

Il existe plusieurs régimes d'écoulement qui présentent des différences essentielles.

L'expérience de Reynolds, qui consiste à introduire un colorant au sein d'un fluide en

écoulement dans un tube de section constante et à observer la forme des lignes de courant

permet de mettre en évidence ces différents régimes.

Tant que la vitesse est suffisamment faible, on observe un filet coloré parfaitement

net. Les filets liquides restent juxtaposés, parallèles entre eux, sans le moindre enchevêtrement.

C'est le régime laminaire.

Si la vitesse d'écoulement s'accroît dans le tube, le filet coloré oscille et devient

sinueux. Une augmentation encore plus importante entraîne une rupture du filet et les

particules fluides décrivent des trajectoires désordonnées. Il s'agit du régime turbulent.

Le régime d'écoulement est fortement lié au nombre de Reynolds, nombre sans

dimensions, défini dans le cas d'un écoulement dans une conduite par:

Re=Vdh/µ

où dh est le diamètre hydraulique défini par: dh=4rh=4S/p, S section de la conduite et p

périmètre mouillé. Dans le cas d’une section circulaire, dh est égal au diamètre de la conduite.

Re représente le rapport entre les forces d'inertie et les forces de viscosité.

Dans cette configuration géométrique, si Re < 2000 soit si les forces de viscosité

sont prépondérantes par rapport aux forces d'inertie, le régime est laminaire et si Re>2000, le

régime est turbulent, les forces d'inertie devenant alors prépondérantes par rapport aux forces

de viscosité. En fait la valeur de transition n'est pas aussi précise mais elle définit la valeur au

voisinage de laquelle on peut s'attendre à une transition de régime d'écoulement.

I.2 . PERTES DE CHARGE ET REGIMES D'ECOULEMENT

Les différents régimes d'écoulement peuvent aussi être mis en évidence par l'étude

des pertes de charge en fonction du débit. Lorsqu’un fluide s’écoule dans une conduite, il doit

vaincre des forces liées aux frottements sur les parois, aux frottements intermoléculaires du

fluide lui-même. Ces forces se manifestent par une dissipation d'énergie volumique (ou perte

de charge).

Les pertes de charge peuvent en fait avoir deux origines. Elles peuvent provenir,

comme nous venons de le mentionner, de la dissipation d'énergie liée à la viscosité du fluide en

contact avec les parois. On dira alors qu'il s'agit de pertes de charge linéaires, régulières ou

réparties. Les pertes de charge peuvent être dues aussi à des "accidents hydrauliques" à savoir

la présence d'un coude, d'un rétrécissement, d'un embranchement, etc., dans le circuit



hydraulique étudié. Dans ce cas, on dira qu'il s'agit de pertes de charge singulières car elles

sont liées à une singularité localisée contrairement aux pertes de charge régulières.

On se propose, ici, de déterminer les pertes de charge linéaires se produisant dans

une conduite cylindrique de faible diamètre et ce, en fonction de la vitesse moyenne

d’écoulement du fluide c'est-à-dire en fonction du type d'écoulement.

II - RAPPELS THEORIQUES

Le théorème de Bernoulli, relatif à un écoulement de fluide parfait, traduit la

conservation de l'énergie le long d'une ligne de courant et définit ainsi la charge (énergie

ramenée à l'unité de poids) dans toute section perpendiculaire à l'écoulement par:

HP

gz

V

g

2

2

Cette charge reste constante le long d'une ligne de courant pour un fluide parfait

(pas de dissipation visqueuse), elle diminue pour un fluide réel visqueux. La variation de

charge, c'est à dire les pertes de charge liées aux forces de viscosité lors d’un écoulement, de

vitesse moyenne V, dans un tube cylindrique de diamètre D et de longueur L s’exprime par:

HL

D

V

g

2

2

est appelé coefficient de pertes de charge linéaires. est sans dimensions. est

une fonction de deux nombres sans dimensions, à savoir le nombre de Reynolds et le rapport

entre rugosité et diamètre des canalisations D, soit:

fD

(Re, )

En effet, une surface rugueuse comporte des aspérités qui ont une action directe

sur les forces de contact et donc sur l'intensité de la turbulence. La rugosité influence donc le

régime d'écoulement et par conséquent l'importance de l'énergie dissipée au contact de la

paroi. est définie comme une longueur qui correspond à l'ordre de grandeur de la hauteur des

aspérités de la paroi considérée.

Les différentes expressions de sont regroupées dans le tableau ci-dessous en

fonction du type d'écoulement:

Ecoulement laminaire Re<2000

Formule de Poiseuille

64

Re

Ecoulement turbulent lisse

2000<Re<105

Formule de Blasius

0 316

14

.

Re

(conduites lisses) Re>105

Formule de Karman-Prandtl

12

2 51

Log

Re

.

Ecoulement turbulent rugueux

(conduites rugueuses) Formule de Karman-Prandtl

12

3 71

Log

D(

.)



On remarque qu'en régime turbulent rugueux, ne dépend plus du nombre de

Reynolds mais du seul paramètre /D.

III - DISPOSITIF EXPERIMENTAL

air

BA

manomètre à eau

manomètre

à mercure

prise de

pression

prise de

pression

pointeau de

réglage du débit

connecteur

eau/mercure

bécher

alimentation

en eau

Schéma général de l'installation

château

d'eau

trop plein

château d'eau

alimentation

château d'eau

vanne 1

vanne 2

robinet 1robinet 2

pompe

trop plein

réservoir

Evier

alimentation réservoir

Schéma de l'alimentation en eau



L’appareil est composé d’une conduite cylindrique de faible section (de diamètre

intérieur D=3 mm et de longueur de L=524 mm entre les deux prises de pression A et B).

Montrer que, dans ce cas particulier où la conduite est horizontale et de diamètre

constant, la perte de charge qui se produit sur la longueur L, séparant les points A et B,

s'exprime par:

HL

D

V

g

P P

g

A B

2

2

La variation de pression entre les points A et B peut être mesurée à l'aide soit d'un

manomètre à mercure soit d'un manomètre à eau. La sélection du mode de fonctionnement se

fait par l’intermédiaire d’un connecteur comme le montre la figure ci-dessous.

circulation de l'eau

manomètre

à eaumanomètre à mercure

circulation de l'eau

manomètre à eau

manomètre à mercure

Position mercure Position eau

Le circuit est alimenté en eau avec un débit qui peut être réglé grâce au pointeau

situé à l'extrémité droite de la conduite. La valeur du débit peut être déterminée en mesurant le

volume d'eau récupéré dans le bécher pendant un temps donné. Pour les mesures à faible débit,

l'alimentation en eau du circuit est effectuée par le château d'eau et la mesure de pression est

effectuée par le manomètre à eau. Pour les mesures à forts débits, on puise dans un réservoir

par l'intermédiaire d'une pompe et la mesure de pression est effectuée par le manomètre à

mercure.

IV - MANIPULATION

Les mesures seront effectuées du débit le plus faible au débit le plus important.

Justifier pourquoi cet ordre. Justifier la nécessité de disposer de deux dispositifs de mesure

distincts suivant qu'on travaille à fort ou faible débit.

IV.1 . MESURES A FAIBLES DEBITS

Vérifier que la pompe est arrêtée, que le robinet 2 et la vanne 2 soient fermés.

Sélectionner le manomètre à eau à l'aide du connecteur prévu à cet effet. Pour alimenter le

circuit en eau, ouvrir la vanne 1 et le robinet 1 compensant la perte d'eau dans le château d'eau.

Régler le débit à l'aide du pointeau. La valeur du débit peut être déterminée en

mesurant le volume d'eau récupéré dans le bécher pendant un temps donné.



Pour chaque débit, relever la valeur des hauteurs de prises de pression en A et B,

et la température de l’eau donnée par un thermomètre plongeant dans le réservoir.

Il est conseillé de faire un nombre de lectures suffisant (environ 15 pour chaque

système d’alimentation). A justifier.

IV.2 . MESURES A FORTS DEBITS

Refermer le robinet 1 et la vanne 1. Sélectionner maintenant le manomètre à

mercure. Pour alimenter le circuit en eau, ouvrir le robinet 2 compensant la perte d'eau dans le

réservoir, puis la vanne 2 et mettre la pompe en marche.

Effectuer une série de mesures comme précédemment.

AVANT TOUTE MANIPULATION, S’ASSURER QUE LES VANNES ET

ROBINETS SOIENT TOUS FERMES.

LA POSITION DE LA SORTIE D’EAU AU NIVEAU DU BECHER DOIT

ETRE MAINTENUE IDENTIQUE PENDANT TOUTE LA DUREE DES

MESURES.

PENSEZ A VERIFIER QUE LES RESERVOIRS SONT PLEINS, QU’ILS

SONT ALIMENTES EN CONTINU PENDANT VOS MESURES, TOUT EN

S’ASSURANT QU’ILS NE DEBORDENT PAS !

NE LAISSEZ PAS COULER DE L’EAU SI VOUS N’EFFECTUEZ PAS DE

MESURES…

V - RESULTATS ET CALCULS

1 - Calculer le coefficient de pertes de charge linéaires pour chacun des essais

réalisés et présenter les résultats dans un tableau en précisant bien tous les relevés effectués.

On rappelle la masse volumique du mercure: =13600 kg m-3

.

2 - Tracer la courbe log = f (log Re).

3 - Mettre en évidence les différents régimes d'écoulement et les comparer avec les

courbes de Nikuradse. Donner les valeurs des nombres de Reynolds de transition entre les

zones I et II (laminaire / transition), et II et III (transition/ turbulent). Commentaires.



T(°C) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1,794 1,732 1,674 1,619 1,568 1,519 1,473 1,429 1,387 1,348

10 1,310 1,273 1,239 1,206 1,175 1,145 1,116 1,087 1,060 1,034

20 1,009 0,984 0,961 0,938 0,916 0,895 0,875 0,855 0,836 0,818

30 0,800 0,783 0,767 0,751 0,736 0,721 0,706 0,692 0,697 0,666

40 0,654 0,641 0,630 0,618 0,607 0,597 0,587 0,577 0,567 0,558

50 0,549 0,540 0,532 0,524 0,515 0,507 0,499 0,592 0,484 0,477

60 0,467 0,463 0,456 0,449 0,443 0,437 0,431 0,424 0,419 0,422

70 0,407 0,402 0,396 0,391 0,386 0,381 0,376 0,371 0,366 0,361

80 0,357 0,353 0,348 0,344 0,340 0,336 0,332 0,328 0,324 0,320

90 0,317 0,313 0,309 0,306 0,303 0,299 0,296 0,293 0,290 0,287

100 0,284 0,282 0,279 0,276 0,273 0,270 0,267 0,264 0,262 0,259

Viscosité dynamique de l'eau liquide (10-3

kg m-1

s-1

), en fonction de la température.

(d'après International Critical Tables, 1929)

Re=2000

laminaireLog Re

Log

hydrauliquement lisse hydrauliquement rugueux

turbulent

Courbes de Nikuradse

CYLINDRE CIRCULAIRE EN SOUFFLERIE CENTRE DE RESSOURCES DE MECANIQUE ET INGENIERIES

NB,CG – PL mise à jour le 13/09/2011 1/7

C Y L I N D R E C I R C U L A I R E E N S O U F F L E R I E

* * *

I - INTRODUCTION

L’objectif de ce TP est d’étudier la répartition des pressions autour d’un cylindre

circulaire immobile dans un écoulement d’air, de déterminer son coefficient de traînée CX et sa

traînée RX.

II - DISPOSITIF EXPERIMENTAL

Ecoulement V 8

0° 180°

sonde de Pitot

prises depression

Un cylindre de longueur L=320 mm, de diamètre D=100 mm est placé à l’intérieur

d’une soufflerie qui génère un écoulement d’air stationnaire. La sonde de Pitot sert à mesurer

la vitesse de l’écoulement V. Sur le cylindre, quatre trous ont été percés sur une même

génératrice pour permettre la mesure de la pression. Un dispositif permet la rotation du

cylindre par rapport à son axe, donnant ainsi accès à la répartition des pressions autour du

cylindre.

III - RAPPEL

III - 1 . MESURE DE LA VITESSE DE L’AIR PAR TUBE DE PITOT

m

h

A

B

V

M

N

Tube de Pitot : Tube destiné à mesurer la vitesse de l’écoulement d’un fluide.



A VA

= O

P au point d'arrê t B

V

P dans le fluide

A

B

B

Principe : Soit l’écoulement stationnaire d’un fluide incompressible dont on

suppose que la vitesse V et la pression P sont uniformes. Le tube de Pitot est la combinaison

de deux prises de pression, l’une statique au point d’arrêt A, l’autre totale en B donnée par

une prise latérale. La différence des deux pressions est mesurée à l’aide d’un tube en U et

permet de déduire la vitesse de l'écoulement.

Le tube de Pitot, très allongé et de petit diamètre, est introduit parallèlement aux

lignes de courant. On peut alors supposer qu'au point B, V VB , et qu'au point A la vitesse

est nulle.

Le théorème de Bernoulli relatif aux fluides parfaits, à savoir:

PA + V

2+ gz = P +

V

2gz

A

2

A B

2

B

s'écrit le long de la ligne de courant passant par les points A et B:

PA + gz = P + V

2gzA B

2

B

d'où

V PA

= - P B

*2

*

avec P*=P+gz, pression étoilée

La différence PA* - PB

* peut être déduite de la dénivellation h du manomètre

différentiel en U. En effet, en se référant au schéma de la page précédente:

P P

P P

P P gz

P P gz

P P P P g z zA M

B N

A M M

B N N

A B M N

m g h

N M

* *

* *

*

*

* *( )

Par conséquent : P P g hA B m* *

( )

où m est la masse volumique du liquide manométrique et la masse volumique du fluide en

écoulement. Ici, il s'agit d'un écoulement d'air dont la masse volumique est négligeable par

rapport à celle du liquide manométrique (ici de l'eau), par conséquent:

P P g h g hA B m m* *

( )

On en déduit l’expression de la vitesse de l’écoulement :

V = 2

g hm

avec m : masse volumique de l’eau (m = 1001 kg/m3)

: masse volumique de l’air ( = 1.225 kg/m3)



III - 2 . DIFFERENTS REGIMES D’ECOULEMENT EN FONCTION DU NOMBRE DE

REYNOLDS

Le nombre de Reynolds basé sur le diamètre du cylindre Re = V D

est le

paramètre caractéristique du régime d’écoulement autour d’un cylindre.

Pour des faibles valeurs du nombre de Reynolds, les forces de viscosité sont

prépondérantes. L'écoulement est alors symétrique sans oscillations (écoulement visqueux non

décollé).

Deux tourbillons symétriques se forment derrière le cylindre lorsque le nombre de

Reynolds est compris entre 5 et 40. Pour une valeur du nombre de Reynolds supérieure à 40

mais inférieure à 160, les tourbillons se détachent l’un après l’autre formant ce que l’on appelle

une allée de Von Karmann. Dans ces conditions, l'écoulement n'est plus symétrique et, à la

traînée (composante parallèle à la vitesse de la résultante des forces de pression) s'ajoute une

portance (composante perpendiculaire à la vitesse de la résultante des forces de pression). Au

delà de Re=300, l’écoulement devient turbulent et comprend plusieurs phases comme

l'illustrent les schémas ci-dessous. Entre Re=160 et Re=300, le régime est transitoire.

Re<5 5<Re<40

40<Re<150 à 300 300<Re<2 à 3 105

2 à 3 10 <Re<2 à 3 1065

Re>3 106

Une visualisation expérimentale de ces différents régimes se développant dans le sillage

d'un cylindre peut être réalisée à l'aide de traceur comme l'illustrent les photos suivantes:



Re=32

Re=55

Re=73

Re=102

Re=161Re=65

Re 160 Régime laminaire

160 < Re < 300 Régime Transitoire



Re > 300 Régime Turbulent

IV - ETUDE DE LA REPARTITION DES PRESSIONS AUTOUR D’UN CYLINDRE

Le coefficient de traînée CX est défini par la relation :

CX = R

1

2 V S

X

2

S étant la surface projetée du cylindre sur un plan perpendiculaire à

l'écoulement

la masse volumique du fluide à l’infini amont

V la vitesse du fluide à l’infini amont

RX est la traînée, projection de la résultante aérodynamique sur un axe

parallèle à V et de même sens.

On définit aussi le coefficient de pression locale Kp tel que :

Kp = P - P

1

2 V

2

où P est la pression statique en un point de la paroi du cylindre

P la pression statique à l’infini amont de l'écoulement.

L’application du théorème de Bernoulli, entre un point situé à l’infini et un point

situé à la frontière de la couche limite, nous donne après avoir comme précédemment négligé

les termes en gz:

P + 1

2 V = P +

1

2 V

2 2 d’où Kp = 1 -

V

V

2



Remarque : au point d’arrêt, V = 0, Kp = 1.

A partir de ces définitions, et en considérant un élément de surface dS sur lequel

s’exerce une force de pression dF = (P - P) dS, on démontrera la formule :

dS

dF

V 8

CX = Kp cos d

0

V - MODE OPERATOIRE

Vérifier à l’aide du tube de Pitot que l’écoulement est uniforme et calculer le

nombre de Reynolds. La vitesse V sera préalablement mesurée à l’aide du tube de Pitot.

Comparer la mesure de vitesse avec celle obtenue avec le vélocimétre digital.

Pour déterminer le CX du cylindre, on mesurera pour diverses valeurs de (de 0 à

180° et tous les 5°) la valeur de (P - P) au manomètre différentiel.

Préalablement, on vérifiera qualitativement la symétrie de répartition des pressions

par rapport à l'axe du cylindre. Cette phase d'observation doit permettre de repérer la position

du cylindre telle que les prises de pression soient effectivement dans l'alignement de

l'écoulement c'est-à-dire telle que =0. On notera, s'il en existe un, le décalage avec la position

0 du disque gradué et l'on corrigera par la suite les valeurs de lues en tenant compte de ce

décalage de l'origine.

PENSEZ A REMETTRE L’APPAREIL EN CHARGE APRES VOS

MESURES !

UNE FOIS VOS MESURES TERMINEES, DEMANDEZ A L’ENCADRANT

D’ETEINDRE LA SOUFFLERIE AVANT D’ENTAMER L’ANALYSE DE

VOS MESURES…

Ceci étant, pour chaque valeur de , on effectuera la moyenne des valeurs des

quatre prises de pressions.

Ainsi P eau- P = P = g

h

4- h ( )

ii=1

4

stat



On tracera le diagramme Kp()

comme ci-contre, puis la courbe (Kp cos )

en fonction de et on déterminera la valeur

du CX par intégration graphique. Il est alors

possible de calculer RX connaissant les

caractéristiques géométriques du cylindre (L

et D).

1

V 8

Kp( 1)

Kp( 2)

2

Enfin, on vérifiera que le CX expérimental est en accord avec la formule de

Lamb dont la représentation graphique est donnée ci-dessous. Il s'agit d'une formule donnant

les variations du coefficient de traînée en fonction du nombre de Reynolds pour un cylindre

d'allongement infini:

Re

Représentation graphique de la formule de Lamb

Température

(°C)

Masse volumique

(kg m-3

)

Viscosité dynamique

(kg m-1

s-1

)

0 1.293 1.71 10-5

10 1.247 1.76 10-5

15 1.225 1.78 10-5

20 1.205 1.81 10-5

30 1.165 1.86 10-5

Propriétés de l'air sec en fonction de la température (Batchelor)

PHOTOELASTICIMETRIE CENTRE DE RESSOURCES DE MECANIQUE ET INGENIERIES

FG - YG, OC mise à jour le 16/09/2011 1 / 6

P H O T O E L A S T I C I M E T R I E

* * *

I - INTRODUCTION

I - 1 . RAPPEL

Dans le cas de structures aux géométries simples (ex : une éprouvette

rectangulaire, un cylindre…) et soumises à des sollicitations simples (ex : traction simple,

flexion pure…), un modèle analytique suffit à prédire l’état de contrainte/déformation de la

structure. Cependant, dans des domaines industriels tels que l’aéronautique, la géométrie des

structures à concevoir ainsi que la nature des sollicitations auxquelles ces structures sont

soumises peuvent devenir extrêmement complexes.

Pour contourner ces difficultés, une approche numérique basée sur des calculs de

type éléments finis est possible. De façon complémentaire, il existe des approches

expérimentales couramment utilisées dans l’industrie qui permettent aussi de visualiser l’état

de contrainte/déformation du matériau. Parmi ces techniques expérimentales, les principales

reposent soit sur l’analyse d’image (méthode de la grille, corrélation d’images) soit sur les lois

optiques (photoélasticimétrie).

I - 2 . PHOTOELASTICIMETRIE

Dans un matériau qualifié de photoélastique, il existe un couplage entre la lumière

incidente et ses propriétés élastiques : quand ce matériau est soumis à des efforts, ses

propriétés optiques varient proportionnellement aux déformations induites. La

photoélasticimétrie permet donc de visualiser par voie optique l’état de contrainte du

matériau. C’est par exemple un moyen extrêmement efficace pour repérer les zones de

concentration de contrainte.

Les matériaux photoélastiques les plus courants sont le plexiglas, la résine époxy,

le polyester et le polyuréthane. Ces matériaux sont caractérisés par une constante

photoélastique qui quantifie l’importance du couplage photoélastique. Le polyuréthane

présente par exemple un couplage 800 fois élevé que le plexiglas.



I - 3 . OBJECTIF

L’objectif de ce TP est de se familiariser avec les concepts sous-jacents à la

photoélasticimétrie afin de déterminer le vecteur contrainte agissant en différents points d’une

poutre à inertie variable.

Dans un premier temps, la constante photoélastique du matériau constitutif de la

poutre sera déterminée indépendamment au travers de deux sollicitations simples pour

lesquelles l’état de contrainte est connu théoriquement : une traction uniaxiale et une flexion 4

points.

Dans un deuxième temps, les vecteurs contraintes en différents points de la poutre

à inertie variable seront déterminées grâce à une combinaison de mesures expérimentales, de

considérations théoriques et d’utilisation du cercle de Mohr.

I - 4 . PRINCIPE ET DISPOSITIF EXPERIMENTAL

Le principe et les lois de la photoélasticité sont étroitement liés à des phénomènes

optiques (polarisation de la lumière, biréfringence, trajet optique) et mécaniques (état de

contrainte, déformation du matériau).

L’éprouvette d’essai est soumise à une charge par l’intermédiaire d’un cadre placé

entre un polariseur et un analyseur.

Les bases d’optique indispensable à la compréhension de ce TP sont détaillées

dans l’annexe intitulée « Principe de la photoélasticimétrie ».

2. TRAVAIL PREPARATOIRE

II - 1 . TRACTION UNIAXIALE

Le schéma ci-contre présente une éprouvette soumise à une traction

pure.

Q1- Soit la différence des contraintes principales. Déterminer

en fonction de F et de S0 (section de l’éprouvette soumise à la traction).



II - 2 . FLEXION 4 POINTS

L’éprouvette est maintenant soumise à une flexion 4 points.

Q2- Déterminer le torseur de cohésion en tout point de l’éprouvette.

Q3- En utilisant l’expression du moment fléchissant, établir l’expression de , différence des

contraintes principales, en tout point de l’éprouvette.

3. ETUDE EXPERIMENTALE

III - 1 . DETERMINATION DE LA CONSTANTE PHOTOELASTIQUE C

Dans la suite, la constante photoélastique

C est définie telle que k C, avec k l’ordre de la

frange isochromatique et la différence des

contraintes principales (cf la formule encadrée en

rouge en dernière page de l’annexe).

III – 1.1 . TRACTION UNIAXIALE

Mettre en place l’éprouvette destinée à

l’expérience de traction uniaxiale comme sur le

schéma ci-contre. La force appliquée est mesurée à

l’aide d’un dynamomètre.

ATTENTION : pour cette expérience, ne pas dépasser l’ordre k=3. Au-delà,

l’éprouvette risque d’être endommagée !

Q4- A chaque valeur de k correspond une force appliquée F. Lors de la

détermination de cette force, quelles sont les principales causes d’incertitude ? Au regard de

ces incertitudes, proposer une démarche expérimentale pertinente pour déterminer cette force

et l’erreur de mesure de cette force.



Q5- En s’appuyant sur le travail préparatoire et en suivant la démarche proposée à

la question précédente, déterminer la différence des contraintes principales pour k=1 et

k=2.

Q6- Au moyen d’un graphique approprié, en déduire la valeur de la constante

photoélastique C caractéristique de l’éprouvette.

Q7- Existe-t-il des zones de l’éprouvette sujettes à des concentrations de

contraintes ?

Q8- Pour que cette méthode soit applicable, quelle hypothèse doit être faite sur la

valeur de la contrainte dans l’épaisseur de l’éprouvette ?

III – 1.2 . FLEXION 4 POINTS

Mettre en place l’éprouvette destinée à

l’expérience de flexion 4 points comme sur la photo

ci-contre.

ATTENTION : pour cette expérience,

ne pas dépasser l’ordre k=3, au risque

d’endommager l’éprouvette !

Q9- Lors de la mise en place de

l’éprouvette, à quoi faut-il veiller pour se trouver

dans une situation comparable à celle modélisée aux

questions Q2 et Q3.

Q10- En s’appuyant sur les résultats des questions Q2 et Q3, justifier le choix du

point de l’éprouvette où les mesures seront effectuées.

Q11- En suivant la démarche proposée à la question Q4 et en s’appuyant sur le

travail préparatoire, déterminer la différence des contraintes principales pour k=1, k=2 et

k=3.

Q12- Au moyen d’un graphique approprié, en déduire la valeur de la constante

photoélastique C caractéristique de l’éprouvette.



III – 1.3 . COMPARAISON

Q13- Comparer les valeurs de la constante photoélastique C déduites aux

questions Q6 et Q12. Commenter en analysant, en particulier, les sources d’erreurs des deux

méthodes de mesure de C.

II - 2 . POUTRE A INERTIE VARIABLE

L’objectif est de déterminer le vecteur contrainte en un point quelconque d’une

poutre à inertie variable sollicitée à son extrémité O par une force verticale. L’amplitude de

la force est mesurée avec un dynamomètre. Pour les mesures, choisir = 25 daN.

Dans le cadre de ce TP, les vecteurs contraintes seront déterminés pour une facette

de normale : les deux composantes à déterminer sont donc xx et xy. De plus, pour illustrer

le principe, deux mesures seront effectuées : l’une en un point M(x,y) d’abscisse x = 7 cm et

l’autre en un point M(x,y) d’abscisse x = 12 cm.

III – 2.1 . MESURE EN X = 7 CM

Q14- Le point M doit être situé sur une frange isochromatique d’ordre k connu.

Préciser l’ordre k retenu et mesurer l’ordonnée du point M correspondant.

Q15- Mesurer l’angle .

Q16- En utilisant la valeur de la constante photoélastique déterminée à la partie

3.1, déterminer la différence des contraintes principales pour l’ordre k retenu. Quelle

caractéristique géométrique du cercle de Mohr correspond à ?

Q17- En tournant le polariseur et l’analyseur de façon judicieuse, montrer

expérimentalement que la direction OM est une isocline.



Q18- La photoélasticimétrie ne donnant que la différence des contraintes, on

utilisera l’expression théorique de xx obtenue par un calcul de RdM : 3

3

2xx

Fxy

bh . Dans cette

dernière expression, b correspond à l’épaisseur de la poutre. En se rappelant qu’une ligne

isocline indique la direction d’une des contraintes principales et en s’appuyant sur les

questions Q15, Q16 et Q17, construire le cercle de Mohr au point M.

Q19- Au regard de considérations géométriques simples, quelle valeur particulière

devrait prendre l’une des deux contraintes principales ? Comparer à la valeur relevée sur le

cercle de Mohr.

Q20- Expliquer en quoi la photélasticimétrie permet d’avoir directement accès

aux contraintes de cisaillement maximales.

III – 2.1 . MESURE EN X = 12 CM

Q21- Reprendre les questions Q14 à Q17 en x = 12 cm.

RESERVOIR CYLINDRIQUE SOUS PRESSION CENTRE DE RESSOURCES DE MECANIQUE ET INGENIERIES

YG, OC mise à jour le 26/09/2011 1 / 5

R E S E R V O I R C Y L I N D R I Q U E S O U S P R E S S I O N

* * *

I - INTRODUCTION

Comme le suggère l’observation des bulles de savon, la forme géométrique

naturellement appropriée pour une structure devant résister à une pression interne serait une

sphère. Cependant, pour des raisons pratiques, l’utilisation d’une géométrie cylindrique est

souvent privilégiée dans le cadre du transport (pipeline, canalisation) ou du stockage

(extincteur, chaudière, citerne, silo) de matière. De telles structures cylindriques sous pression

se retrouvent aussi dans le domaine du transport de passagers (fuselage d’avion, coque d’un

sous-marin).

Tandis qu’un grand nombre d’applications industrielles ont vu le jour, la

recherche dans ce domaine est toujours active, comme le montre l’existence de deux revues

scientifiques spécialisées dans ce domaine : Journal of Pressure Vessel Technology and

International Journal of Pressure Vessels and Piping.

Dans ce TP, vous êtes mis en situation d’expert arrivant après un accident sur une

bombonne sous pression (bombonne jaune). Pour comprendre les événements ayant menés à

cette rupture une maquette instrumentée a été reconstituée. Les mesures menées permettront

d’aider à la compréhension de l’accident.

II - TRAVAIL PREPARATOIRE

L’objectif de ce travail préparatoire est d’établir l’équation dite des chaudières

donnant le rapport entre la contrainte circonférentielle et la contrainte longitudinale dans le

cas d’une bonbonne sous pression. Ce travail préliminaire est à réaliser avant la séance.

II - 1 . RAPPEL

Les contraintes sont reliées aux déformations selon la loi de Lamé :

Tr I 2 ,

où et sont les coefficients de Lamé et I est le tenseur identité.

Connaissant le module d’Young E et le coefficient de Poisson du matériau :

1 2 1

E

et

2 1

E

.



II - 2 . HYPOTHESE

L’objet de l’étude est un réservoir cylindrique fermé aux deux extrémités (Fig. 1).

Les différentes quantités physiques utiles dans la suite sont :

- la pression interne P,

- la pression atmosphérique P0,

- le rayon extérieur r,

- l’épaisseur t de la coque.

Figure 1 : géométrie du réservoir

Caractéristiques élastiques de l’acier constituant l’enveloppe :

- module d’Young : E = 210 GPa

- Coefficient de Poisson : = 0.30

Q1- Montrer qu’en un point de la surface extérieure du réservoir, la normale à

cette surface est une des directions principales de contrainte. On note r,e la contrainte

principale radiale associée à cette direction.

Q2- Les pressions internes appliquées dans la suite varieront de 1 MPa à 18 MPa.

Justifier que l’influence de la pression atmosphérique peut être négligée. En déduire la valeur

de r,e.

Q3- De même, montrer qu’en un point de la surface intérieure du réservoir, la

normale à cette surface est une des directions principales de contrainte et donner la valeur de

la contrainte principale associée (appelée contrainte radiale r,i).



II - 3 . EXPRESSION DES CONTRAINTES LONGITUDINALES ET CIRCONFERENTIELLES

Les deux autres contraintes principales en un point de la surface du réservoir

sont la contrainte circonférentielle ϴ (i.e. associée à la direction tangentielle à la surface et

perpendiculaire à l’axe du cylindre) et la contrainte longitudinale z (i.e. associée à la

direction tangentielle à la surface et colinéaire à l’axe du cylindre).

Q4- Dans le cas d’une coque à paroi mince (i.e. ), l’hypothèse d’une

contrainte circonférentielle ϴ uniforme dans l’épaisseur de la coque est autorisée. Calculer

ϴ en réalisant une coupure par un plan contenant puis en écrivant l’équilibre local.

Q5- Calculer la contrainte longitudinale z en réalisant une coupure centrale par

un plan de normale et en écrivant l’équilibre local. Que vaudrait z dans le cas d’un

cylindre ouvert (ex : un pipeline) ?

Q6- En utilisant écrire le lien entre ϴ et z. Y aurait-il un intérêt à utiliser

pour l’enveloppe des matériaux élastiquement anisotropes ?

Q7- Faire une représentation des contraintes sur un cercle de Mohr. Déterminer la

contrainte de cisaillement maximale et la direction associée.

III - ETUDE EXPERIMENTALE

III - 1 . JAUGES DE DEFORMATION

On utilise des jauges de déformation à fils résistants collées sur la surface du

réservoir. Les jauges de déformation permettent de mesurer des extensions (cf. annexes).

Dans un plan, la mesure de trois extensions selon trois directions différentes (l’ensemble des

trois jauges constituant une rosette) permet de caractériser l’état de déformation dans ce plan

en un point de la structure.

Dans ce TP, on utilise en chaque point trois jauges disposées à 120° les unes par

rapport aux autres. Les extensions sont mesurées relativement à une direction contenue dans

le plan tangent à la surface au point considéré.



III - 2 . GEOMETRIE DU RESERVOIR

Q7- Mesurer r et t en supposant que la bonbonne endommagée et la bonbonne de

la maquette ont les même dimensions. On parle de coque à paroi mince (resp. épaisse) lorsque

r/t > 10 (resp. r/t < 10). Vérifier que le réservoir étudié possède une paroi mince.

Q8- L’analyse menée dans le travail préparatoire est valable en tout point de la

surface du réservoir, excepté au voisinage des zones présentant des concentrations de

contraintes. Existe-t-il de telles zones sur le réservoir étudié ?

Q9- De plus, cette analyse suppose implicitement que le poids du réservoir peut-

être négligé devant la force exercée par la pression. Est-ce le cas ? (pour l’application

numérique, supposer une masse volumique de 8000 kg.m-3

pour le matériau constituant la

coque).

III - 3 . MESURES

ATTENTION : La valeur maximum de la pression interne à ne pas dépasser est de

18 MPa pour ne pas endommager le matériel (bonbonne, système de mesure et de mise sous

pression).

Q10- Pour une dizaine de valeurs de pression croissantes puis décroissantes,

relever successivement les indications fournies par les jauges.

III - 4 . DEFORMATION ELASTIQUE / PLASTIQUE

Q11- Au moyen d’un graphique approprié, mettre en évidence le comportement

élastique du matériau constitutif de la coque dans l’intervalle de pression interne considéré.

III - 5 . LINEARITE DE LA REPONSE

Q12-a Tracer sur un même graphique l’évolution de la déformation mesurée par

les jauges en fonction de la pression interne. Comparer la déformation de chacune des jauges

pour une pression interne donnée. Commenter.

Q12-b Observez la bonbonne endommagée et décrire le mode de rupture.

Interprétez la morphologie de la rupture en utilisant vos résultats.



III - 6 . DETERMINATION DES DIRECTIONS PRINCIPALES

Q13- Pour deux valeurs de la pression interne, par exemple 9 MPa et 18 MPa,

tracer le tricercle de Mohr des déformations de la rosette centrale. L’utilisation des mesures de

déformations sur une rosette à 120° pour tracer un cercle de Mohr est détaillée en annexe.

Q14- En déduire la direction des axes principaux, la valeur des déformations

principales associées ainsi que celle des contraintes principales associées. Comparer aux

résultats de la partie 2.3.

Q15- Selon quelles directions le module de la contrainte de cisaillement est-il

maximum ?

Q16- Observez plus finement le réservoir endommagé. En déduire le mode de

rupture du matériau utilisé pour la fabrication de cette bonbonne et élaborer un scénario

d’accident.

NB : l’étudiant curieux pourra se documenter sur quelques accidents de

« bonbonne sous pression » dans divers domaines (canalisations, aéronautique, sous

marins…).

CALCULS D’ERREUR CENTRE DE RESSOURCES DE MECANIQUE ET INGENIERIES

PL mise à jour le 13/09/2011 1/6

C a l c u l s d ’ e r r e u r

* * *

I - INTRODUCTION

Le calcul d'erreur, ou calcul d'incertitudes est un ensemble de techniques

permettant d'estimer l'erreur faite sur un résultat numérique, à partir des incertitudes ou des

erreurs faites sur les mesures qui ont conduit à ce résultat. Ceci permet donc d'estimer la

propagation des erreurs.

Il faut considérer trois sources d'erreur (uncertainty en anglais) :

la précision de la mesure 1, ou l'incertitude (resolution en anglais) ;

la dispersion statistique 2 (precision en anglais) ;

l'erreur systématique 3 (accuracy en anglais).

L’erreur totale étant = 1 + 2 + 3.

I.1 . PRECISION DE MESURE

Sur un appareil analogique, la première limitation est la distance séparant les

graduations ; on peut améliorer ceci avec un vernier, comme sur un pied à coulisse ou certains

goniomètres, ou bien avec une vis micrométrique comme sur un Palmer. Sur un appareil

numérique, cette précision est donnée par le nombre de chiffres de l'affichage.

1 est l'espacement entre les graduations, ou bien la valeur d'une unité du dernier

chiffre de l'affichage.

Mais il se peut que le phénomène soit instable ou bien perturbé par un phénomène

extérieur aléatoire. Alors, on verra l'aiguille osciller ou bien les derniers chiffres de l'affichage

numérique changer. Ceci réduit la précision de mesure, on ne peut considérer que la partie

stable du nombre obtenu.

Lorsque l'on utilise des publications très anciennes pour évaluer un événement non

reproductible (l'objet a disparu ou s'est altéré, ou bien il s'agit d'un événement unique), on doit

parfois avoir recours à une échelle empirique, comme par exemple l'échelle de Mercalli ou de

Rossi-Forel pour les séismes ou l'échelle de Mohs pour la dureté d'un matériau, l'évaluation de

1 devient alors difficile ; cela n'est possible que si l'on peut établir une correspondance avec

une échelle « moderne » basée sur une mesure physique. Par exemple, on essaie d'établir une

correspondance entre les dégâts d'un séisme décrits dans des écrits antiques et l'énergie des

ondes sismiques.



De même, lorsque la mesure consiste à classifier un phénomène dans une catégorie

(cas par exemple d'un sondage d'opinion ou du recensement des pathologies), il n'est pas

possible de définir 1.

I.2 . DISPERSION STATISTIQUE

Si l'on mesure plusieurs fois le même phénomène avec un appareil suffisamment

précis, on obtiendra chaque fois un résultat différent xi. Ceci est dû à des phénomènes

perturbateurs ou, pour les mesures extrêmement précises, à la nature aléatoire du phénomène

(chaos, incertitude quantique).

Parmi les phénomènes perturbateurs, on peut dénombrer :

l'erreur d'échantillonnage : c'est lorsque l'on prélève un échantillon qui n'est pas

représentatif de ce que l'on veut mesurer ; le résultat dépend alors de la manière

dont on choisit l'échantillon ;

l'erreur de préparation : c'est lorsque la préparation de l'échantillon introduit un

biais ; l'échantillon s'altère pendant le transport, le stockage ou la manipulation

(pollution, dégradation, transformation physique ou chimique) ;

la stabilité de l'appareil : celui-ci peut être sensible aux variations de température,

de tension d'alimentation électrique, aux vibrations, aux perturbations

électromagnétiques des appareils environnants… ou bien présenter un défaut de

conception ou une usure (bruit de fond électronique, pièce instable…)

Sur un grand nombre de mesures, on peut considérer que l'on a une probabilité

dont la distribution est gaussienne. Le résultat de la mesure sera alors la moyenne empirique

des résultats :

n

i

i 1

1E X x

n

le carré de l'écart type 2 de la gaussienne peut s'évaluer avec la variance empirique

corrigée 2 :

n2 2

i

i 1

1ˆ (x X)

n 1

L'erreur due à la dispersion statistique est alors estimée par :

2ˆk.

k étant une constante dépendant du niveau de confiance, c'est-à-dire de l'erreur admissible.

En physique, on prend souvent k = 3, ce qui correspond à un intervalle de confiance de

99,73%, c'est-à-dire que 99,73% des valeurs xi sont comprises entre ˆ ˆE x et E x et 0,27%

seront hors de cet intervalle ; sur 1 000 mesures, seules trois seront en dehors de l'intervalle.



Dans de nombreux cas, on se contente de prendre k = 2, soit un niveau de confiance de 95%

(5 mesures hors intervalle pour cent mesures).

I.3 . ERREUR SYSTEMATIQUE

L'erreur systématique comprend des phénomènes comme l'erreur

d'échantillonnage, l'erreur de préparation ; ces problèmes peuvent introduire une dispersion

statistique ou bien un décalage des résultats si l'erreur commise est toujours la même. Les

appareils dérivent avec le temps, ce qui rend nécessaire leur réétalonnage régulier. On peut

avoir une très faible dispersion statistique, et avoir toutefois un résultat faux... On peut aussi

tout simplement mesurer un paramètre qui ne représente pas de manière pertinente ce que l'on

veut évaluer.

II – CRITERES DE DISPERSION

En mesure physique (métrologie), la dispersion est estimée par l'écart type, qui sert

à calculer l'erreur de mesure. De manière plus générale, il est important de savoir si les valeurs

sont groupées ou au contraire dispersées, ce qui indique si la population est uniforme ou pas

vis-à-vis du critère testé.

L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale du

caractère statistique.

Etendue = xmax – xmin

Après avoir calculé la moyenne X , on peut chercher à savoir de quelle façon les

valeurs s'éloignent de cette moyenne. On crée alors une nouvelle série statistique: la série des

écarts.

i ie x X

Le premier réflexe serait de calculer la moyenne de ces écarts. Mais les propriétés

de la moyenne nous assurent que la moyenne des écarts est nulle. En effet, certains de ces

écarts sont négatifs et d'autres sont positifs, la somme des écarts positifs compensant

exactement la somme des écarts négatifs. Il faut donc s'abstraire du signe et calculer alors la

moyenne de la valeur absolue des écarts. C’est ce que l'on appelle l'écart moyen.

n

i

i 1

1x X

n

, dans le cas d'une série discrète non triée.

n

i i n

i 1

i in

i 1

i

i 1

n x X

f (x X)

n

, dans le cas d'une série discrète regroupée.

n

i i n

i 1

i in

i 1

i

i 1

n m X

f (m X)

n

, dans le cas d'une série continue.



III – Variance

L'utilisation des valeurs absolues est souvent une impasse en mathématique (parce

que la fonction valeur absolue n'est pas dérivable). Pour rendre positifs les écarts, un autre

outil est à notre disposition: la mise au carré. On ne va donc pas calculer la moyenne des écarts

mais la moyenne des écarts au carré. C'est ce qu'on appelle la variance :

n

2

i

i 1

1(x X)

n

, dans le cas d'une série discrète non triée.

n

2

i i n2i 1

i in

i 1

i

i 1

n x X

f (x X)

n

, dans le cas d'une série discrète regroupée.

n

2

i i n2i 1

i in

i 1

i

i 1

n m X

f (m X)

n

, dans le cas d'une série continue.

En statistique et probabilité, la variance est une mesure arbitraire servant à

caractériser la dispersion d'un échantillon ou d'une population. On la définit comme le carré de

l'écart type. La variance représente la moyenne des carrés des écarts à la moyenne : elle permet

de caractériser, tout comme l'écart type, la dispersion des valeurs xi par rapport à la moyenne.

Dans le cas général, si X est une variable aléatoire :

2 2 2E(x ) E(x)

(moyenne des carrés – carrés des moyennes)

IV - Ecart-type

En mathématiques, l'écart type est une quantité réelle positive, éventuellement

infinie, utilisée dans le domaine des probabilités pour caractériser la répartition d'une variable

aléatoire autour de sa moyenne. En particulier, la moyenne et l'écart type caractérisent

entièrement les lois gaussiennes à un paramètre réel, de sorte qu'ils sont utilisés pour les

paramétrer. Plus généralement, l'écart type, à travers son carré appelé variance, permet de

caractériser des lois gaussiennes en dimension supérieure. Ces considérations ne sont pas sans

importance, notamment dans l'application du théorème central limite.

En statistiques, l'écart type ou déviation standard est défini au contraire pour un

ensemble fini de données numériques interprétées comme la réalisation d'une variable aléatoire.

Il est alors utilisé pour mettre en place des tests, autrement dit, il permet de décider si une

probabilité est plausible compte tenu des valeurs disposées avec une certaine marge d'erreur.

L'écart type est aussi utilisé dans les problèmes de régression linéaire.

Les écarts types connaissent de nombreuses applications, tant dans les sondages,

qu'en physique, ou en biologie. Ils permettent en pratique de rendre compte des résultats

numériques d'une expérience répétée.



De par la mise au carré des écarts, l'unité de la variance est le carré de celle du

caractère (si le caractère est en kg, sa moyenne est en kg mais sa variance est en kg2) d'ou

l'impossibilité d'additionner la moyenne et la variance. On a donc défini l'écart type noté .

L’écart type est la racine carrée de la variance (et donc son unité est la même que celle de la

moyenne. Cela a l'air anecdotique mais la possibilité d'additionner moyenne et écart type est

fondamentale, en particulier pour le calcul d'intervalle de confiance.

L'écart type n'est pas modifié si on ajoute ou retranche une constante à la série

statistique. L'écart type est toujours positif et est nul si la série statistique est constante.

Comme la moyenne, l'écart type est sensible aux valeurs extrêmes ou aberrantes et il est

parfois nécessaire d'éliminer ces valeurs avant de faire le calcul de l'écart type.

Lorsque le caractère statistique a une distribution normale gaussienne,

grossièrement en forme de cloche, l'écart type prend tout son sens.

Dans l'intervalle X ;X , on trouve 68% de la population.

Dans l'intervalle X 2 ;X 2 , on trouve 95% de la population.

Dans l'intervalle X 3 ;X 3 , on trouve 99,7% de la population.

On appelle ces intervalles les plages de normalité à niveau de confiance de 68%,

95%, 99,7%.

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