Introducción a la optimización de operaciones militares

Introducción a laOptimización deOperaciones Militares

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Rafael García MartínMINISTERIO DE DEFENSA

Introducción a laOptimización deOperaciones Militares

Rafael García MartínMINISTERIO DE DEFENSA

SECRETARÍAGENERALTÉCNICA

CATÁLOGO GENERAL DE PUBLICACIONES OFICIALEShttp://publicacionesoficiales.boe.es/

© Autor y editor, 2018

NIPO: 083-18-041-1 (edición en línea)NIPO: 083-18-040-6 (impresión bajo demanda)

Fecha de edición: marzo, 2018Maqueta e imprime: Ministerio de Defensa

Edita:

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https://publicaciones.defensa.gob.es/

III

DEDICATORIA

A los componentes de la XXXIII promoción de la Academia General del Aire.

A los alumnos presentes y futuros de la Academia General del Aire

del nuevo modelo de enseñanza de oficiales. El esfuerzo merecerá la pena.

V

NOTA SOBRE EL AUTOR

El coronel (CINEA) Rafael García Martín pertenece a la XXXIII promoción de la Aca-demia General del Aire.

Entre sus destinos profesionales están el de investigador operativo en el Estado Mayor del Aire; técnico superior en la Unidad de Estadística del Ministerio de Defensa; con-sejero técnico del Área de Información y Ayuda a la Decisión, jefe del Centro de Investiga-ción Operativa de la Defensa y jefe de la Sección de Planeamiento Logístico del MALOG.

Obtuvo un doctorado por la Universidad Nacional de Educación a Distancia (1996), siendo también diplomado en Investigación Operativa (UCM, 1985); diplomado en Estadís-tica Matemática (UCM, 1986) y master en Ingeniería del Conocimiento e Inteligencia Artifi-cial (UPM, 1989).

Ha sido, durante más de 15 años, profesor del Departamento de Estadística y Eco-nometría de la Universidad Carlos III de Madrid, de la Universidad Abierta de Cataluña y de la Universidad Rey Juan Carlos. Ha sido acreedor de los siguientes premios: primer premio de Investigación Operativa “General Fernández Chicarro” (1995); 2º Premio NEUMOMA-DRID (1998); Premio a la Actividad Investigadora (1999). Es autor de numerosas publica-ciones en el ámbito civil y en el militar.

En la actualidad es docente e investigador del Centro Universitario de la Defensa en la Academia General del Aire.

ÍNDICE POR TEMAS1 INTRODUCCIÓN ............................................................................. XI

2 REPARACIÓN Y MANTENIMIENTO DE EQUIPOS ............................. 1

3 ADMINISTRACIÓN DEL RECURSO FINANCIERO ............................. 69

4 LOGÍSTICA DE PERSONAL ............................................................. 91

5 LOGÍSTICA DE MATERIAL .............................................................. 130

6 OPTIMIZACIÓN DE OPERACIONES AÉREAS .................................... 188

7 OPTIMIZACIÓN DE OPERACIONES NO AÉREAS .............................. 369

8 CLASIFICACIÓN DE LOS PROBLEMAS ............................................ 508

Introducción a la Optimización de Operaciones Militares VII

ÍNDICE DETALLADO1 INTRODUCCIÓN .............................................................. XI 1.1 Descriptores de los problemas ........................................................ XIII 1.2 Sobre el código de colores de las soluciones ..................................... XIV 1.3 Somera estadística de los problemas ............................................... XV 1.4Autoríadeimágenes,gráficosyproblemas ....................................... XVI 1.5 Formulación de programas lineales: tipos de formulación .................... XVII 1.5.1 Formulación explícita ............................................................. XVII 1.5.2 Formulación simbólica ............................................................ XVIII

2 REPARACIÓN Y MANTENIMIENTO DE EQUIPOS ............... 1 2.1 Tareas en MAESAL (1/SO/PLG) ........................................................ 2 2.2 Trabajo inesperado en el CLOTRA (1/SO/PLE).................................... 9 2.3 Tareas de mantenimiento operativo en MAESE (3/SO/PLE) .................. 13 2.4 Instrucción del JEMA (2/SO/PLE) ..................................................... 22 2.5 Plan de contratación en MAESMA (3/OS/PLE) .................................... 26 2.6 Plan de mantenimiento de un escuadrón de FFAA (2/OS/PLE).............. 34 2.7 MAESMA se reorganiza (2/SO/LOC) ................................................. 50 2.8PlanificacióndelmantenimientodeunescuadróndeFFAA(4/OS/PLE) .. 56

3 ADMINISTRACIÓN DEL RECURSO FINANCIERO ............... 69 3.1 Compra de JP8 para las aeronaves del EA (2/SO/PLG) ........................ 70 3.2 Impacto del precio del JP8 en las unidades aéreas (2/ST/PLG) ............ 74 3.3 Flota de vehículos acorazados (2/SO/PLE) ........................................ 79 3.4 Inversión en programas de Defensa (2/SO/PLE) ................................ 83

4 LOGÍSTICA DE PERSONAL ............................................... 91 4.1 El galonista prudente (1/SO/PLE) .................................................... 93 4.2 Creación de una comisión de alumnos (2/SO/PLE) ............................. 96 4.3 Reclutamiento de tropas (2/SO/PLE) ................................................ 99 4.4NecesidadesdeOperadoresdeMandoyControl(2/SO/PLE) ............... 103 4.5Comisióndeoficiales(2/SO/PLE) .................................................... 109 4.6 Pilotos aliados en la batalla de Inglaterra (3/SO/PLE) ......................... 113 4.7PlanificacióndemisionesenelALA35(2/OS/PLE) ............................. 119

5 LOGÍSTICA DE MATERIAL ................................................ 130 5.1 Repatriación de material tras el repliegue en una misión. (2/OS/PLE) ... 132 5.2 Despliegue de equipos (3/OS/PLE) .................................................. 137 5.3 Kit de despliegue (2/SO/PLE) .......................................................... 144 5.4 Mejora de una red logística (2/SO/RED) ........................................... 153 5.5Transportedesdefuentesnofiables(2/SO/PLE) ................................ 159 5.6 El Camino Español (2/OS/RED) ....................................................... 164 5.7 Despliegue a bases avanzadas (2/OS/RED) ....................................... 171 5.8Organizacióndeltráficorodado(3/OS/RED) ..................................... 178

6 OPTIMIZACIÓN DE OPERACIONES AÉREAS ...................... 188 6.1 Carga de aviones (1/SO/PLG) ........................................................ 192 6.2 Una primera aproximación al Plan de Acción del EA (1/SO/PLG) ......... 196 6.3 Asignación de blancos (1/SO/PLE) .................................................. 200 6.4 Asignación de vuelos (1/SO/PLE) ................................................... 203 6.5 Asignación arma-blanco. Varias armas vs. un blanco (2/ST/PLE) ........ 206 6.6 Asignación arma-blanco. Varias armas vs. varios blancos (2/SO/PLE) . 211

Introducción a la Optimización de Operaciones Militares IX

6.7Configuracióndeunaplataformaaérea(1/SO/PLE) .......................... 222 6.8 Secuenciación de misiones aéreas (2/OS/PLE) ................................. 225 6.9Planificacióndevuelos(2/SO/PLE) ................................................. 232 6.10 Ataque a un objetivo con defensas desconocidas (2/SO/PLE) ............. 236 6.11 Decisiones con criterio basado en la prudencia (2/SO/PLE) ................ 243 6.12 Ataque con condiciones lógicas_1 (2/SO/PLE) ................................. 249 6.13 Ataque con condiciones lógicas_2 (3/SO/PLE) ................................. 253 6.14 Ataque a varios objetivos (2/SO/PLE) ............................................. 258 6.15 Campaña aérea (3/OS/PLE) .......................................................... 267 6.16 Modelo simple atacante-defensor-atacante (3/OS/PLE) ..................... 272 6.17 Piloto derribado (2/SO/RED) ......................................................... 278 6.18 Rutas de ataque (2/SO/RED) ........................................................ 283 6.19 Diseño de una breve campaña aérea (2/SO/RED) ............................ 286 6.20 Ataque a un objetivo terrestre (3/ST/RED)...................................... 290 6.21 Despliegue de unidades aéreas (2/SO/RED) .................................... 297 6.22 Inhabilitación de nodos en una red logística (2/ST/RED) ................... 301 6.23 La batalla de las Ardenas (2/SO/RED) ............................................ 310 6.24 Interdicción de la red de ferrocarril soviética (3/OS/RED) .................. 316 6.25 Interdicción óptima en red no dirigida (1/ST/RED) ........................... 321 6.26ModelodeWood-Kennedyconatrición(2/OS/RED) .......................... 328 6.27 Evacuación de fuerzas de operaciones especiales (2/ST/LOC) ............ 338 6.28 Detección de objetivo en movimiento (3/OS/RED) ........................... 343 6.29Planificaciónóptimadeunamisiónaire-tierra(3/SO/PLE) ................. 352

7 OPTIMIZACIÓN DE OPERACIONES NO AÉREAS ................ 369 7.1 Un problema de despliegue de unidades (2/SO/PLG) ........................ 373 7.2 Decisión militar en ausencia de información (2/SO/PLG) ................... 376 7.3 Asignación de defensas antimisil (2/SO/PLE) ................................... 385 7.4 Ruta más segura (1/SO/RED) ........................................................ 390 7.5Recogidayescoltaaundiplomático(2/SO/RED) .............................. 393 7.6 Ruta óptima de un UAV (2/SO/RED) ............................................... 401 7.7 ¿Tenemos un plan B? (2/OS/RED) .................................................. 405 7.8 Visita de inspección a 36 destacamentos (3/OS/RED) ....................... 411 7.9 Supervivencia de una red de telecomunicaciones (3/OS/RED) ............ 417 7.10 Desactivación de IED (2/OS/RED) .................................................. 421 7.11 Desplazamiento de tropas (2/SO/RED) ........................................... 430 7.12Planlogísticodeunaoperaciónanfibia(3/OS/RED) .......................... 433 7.13 Video vigilancia de un acuartelamiento (1/OS/LOC) ......................... 441 7.14 Puestos medicalizados en una zona de operaciones (2/SO/LOC) ........ 445 7.15 Instalación de medios DQCI (2/OS/LOC) ........................................ 456 7.16 Control del espacio aéreo (2/OS/LOC) ............................................ 463 7.17 Instalación de centrales de comunicación de campaña (2/SO/LOC) .... 472 7.18Desplieguedesistemasdedefensasuperficieaire(2/SO/LOC) .......... 477 7.19 Sistema genérico de defensa antiaérea_1 (2/OS/LOC) ...................... 487 7.20 Sistema genérico de defensa antiaérea_2 (2/OS/LOC) ...................... 491 7.21 Localización de polvorines en un despliegue (2/OS/LOC) ................... 493 7.22 MEDEVACS en acción (2/OS/LOC) .................................................. 498 7.23 Unidad Militar de Emergencias (2/OS/LOC) ..................................... 504

8 CLASIFICACIÓN DE LOS PROBLEMAS .............................. 508 8.1 Relación de problemas por orden alfabético ...................................... 508 8.2Relacióndeproblemaspordificultad ................................................ 510 8.3 Relación de problemas por rama ..................................................... 513

X Introducción a la Optimización de Operaciones Militares

XI

1 INTRODUCCIÓN

El militar que se encuentre desempeñando funciones técnicas realizará su trabajo con entrega, conocimientos adecuados y precisión,

ya que armamento y material son instrumentos necesarios para que las Fuerzas Armadas puedan cumplir sus misiones.

Artículo 151 de las Reales Ordenanzas de las FAS

Una definición simple de optimización (matemática) sería la de «aquel conjunto de métodos matemáticos mediante los cuales es posible determinar los valores de las variables que intervienen en un proceso, o sistema, para que el resultado sea el mejor posible».

La programación lineal es la rama de la optimización mediante cuya aplicación es posible op-timizar un objetivo numérico, expresado como una función lineal de los parámetros que definen su comportamiento, cuando las variables que constituyen la decisión a tomar están sujetas a un con-junto de restricciones expresadas mediante un sistema de ecuaciones o inecuaciones también linea-les. El método tradicionalmente usado para resolver problemas de programación lineal es el método Simplex.

La relación entre la programación lineal y los Ejércitos, en general, y las Fuerzas Aéreas, en particular, no podría ser más directa: sencillamente, George B. Dantzig (1914-2005), considerado como el padre de la disciplina, era el jefe de la División de Operaciones de Combate de la USAF cuando, en 1947, concibió el método Simplex, piedra angular de la programación lineal y conside-rado como uno de los diez algoritmos más influyentes en el desarrollo técnico de la humanidad.

Tras ese afortunado inicio, aún serían muchas las situaciones en las que los analistas milita-res hubieron de recurrir a la optimización, con base cuantitativa, para resolver los problemas a los que habitualmente se enfrentaban durante el desarrollo de las operaciones militares.

Esta relación entre la programación lineal y la actividad militar alcanzó su culmen durante las operaciones realizadas en las últimas décadas en Irak, Afganistán y otros teatros. Operaciones cuyo éxito se debe, en primer lugar, al desempeño de los combatientes que en ellas intervinieron, pero también, y en esto no existe opinión en contra, a la aplicación intensiva de las técnicas de optimiza-ción en campos que, como las operaciones logísticas, hace mucho tiempo que por su elevada com-plejidad requieren de una planificación y ejecución basadas en una metodología eficaz.

Este texto ha sido realizado con la intención de servir de material didáctico de apoyo a los alumnos de las academias militares que se inician, por la vía del grado en Ingeniería en Organiza-ción Industrial, en las técnicas de optimización en general y en la programación lineal en particular. El nivel de dificultad, que en ocasiones sobrepasa el correspondiente al del grado, lo hace también adecuado para aquellos oficiales que cursen el máster universitario en Técnicas de Ayuda a la Deci-sión, con intención de acceder a la titulación de Investigación Militar Operativa, o que simplemente deseen aumentar su bagaje de conocimientos en las técnicas básicas de optimización.

El texto pretende mostrar a estos eventuales lectores las enormes posibilidades de esta téc-nica —la programación lineal— para la resolución de problemas de índole militar, enunciando, for-mulando y resolviendo una amplia variedad de problemas, a escala reducida, como paso previo a la profundización en esta materia, que les permita posteriormente abordar con éxito la resolución de problemas a tamaño real como los que sin duda se encontrarán durante el ejercicio de su profesión.

No es fácil conciliar en un texto, que como este tiene un carácter introductorio, el nivel de conocimientos que se espera que tengan quienes lo consulten con la presentación de aplicaciones reales. No obstante, pensamos que la esencia de la aproximación cuantitativa a los problemas plan-teados, el grado de abstracción necesario para su planteamiento y la dificultad de algunos de ellos sí se corresponden con situaciones reales, aun cuando por motivos obvios el tamaño de los proble-mas presentados sea el propio de situaciones didácticas que permitan que sean abordados y resuel-tos con éxito por todos aquellos que lo intenten.

Introducción a la Optimización de Operaciones Militares XI

XII

Los problemas se han agrupado en seis capítulos, cada uno dedicado a una temática dife-rente, con un número también diferente de situaciones planteadas en función del mayor o menor grado de aplicación de las técnicas expuestas. Estos capítulos son los siguientes:

Capítulo Temática Problemas 1 REPARACIÓN Y MANTENIMIENTO DE EQUIPOS 8 2 ADMINISTRACIÓN DEL RECURSO FINANCIERO 4 3 LOGÍSTICA DE PERSONAL 7 4 LOGÍSTICA DE MATERIAL 7 5 OPTIMIZACIÓN DE OPERACIONES AÉREAS 29 6 OPTIMIZACIÓN DE OPERACIONES NO AÉREAS 23

A su vez, de forma transversal, cada capítulo aborda diferentes ramas concretas de la pro-gramación lineal, según aquellos epígrafes comúnmente utilizados por los libros de texto. Estas ra-mas de la programación lineal y una breve descripción de sus características son las siguientes:

Acrónimo Rama Descripción

PLG Programación lineal General

Generalized Linear Programming

Problemas cuyas variables de decisión son todas reales.

PLE Programación lineal con enteros

Integer linear programming Mixed integer linear programming Binary linear programming

Problemas para cuya formulación es necesario el empleo, bien como principales bien como instru-mentales, de variables enteras y especialmente binarias.

RED Optimización en redes

Network optimization (using linear programming)

Problemas definidos sobre la topología de una red entendida esta como un conjunto de nodos que representan cualquier tipo de objetos que se rela-cionan entre sí mediante aristas.

LOC Localización de instalaciones Facility Locations

Problemas que giran en torno a la elección óptima de las localizaciones en las que habilitar instala-ciones que dan algún tipo de servicio a clientes que lo demandan.

Aun cuando queramos evitar los anglicismos al máximo, con frecuencia daremos la termino-logía en inglés de las técnicas o los problemas frecuentemente tratados en la literatura. Dado que la gran mayoría de esta literatura está publicada en lengua inglesa, su conocimiento es indispensable para la búsqueda de material suplementario, o seminal, relacionado con los temas aquí presenta-dos.

Todos los problemas que se presentan en este texto han sido planteados y resueltos sobre un entorno de trabajo basado en hoja de cálculo, concretamente en Excel de Microsoft, aunque es posible hacer lo propio sobre cualquier alternativa de código abierto a este producto.

La idea de que Excel, el entorno de trabajo basado en hoja de cálculo en general, es una herramienta de capacidades muy limitadas, con carencias graves en el tratamiento científico de los datos, es —las mayoría de las veces— un prejuicio sin fundamento y no pocas veces sesgado.

Es cierto que en el caso concreto de la programación lineal que ahora nos ocupa, el software de alto nivel y los lenguajes de modelado algebraico (GAMS, AMPL, AIMMS, MPL, Zimpl, OptimJ, etc.), que han sido desarrollados específicamente al efecto, permiten una mayor flexibilidad y no están sujetos a limitación alguna sobre el tamaño de los problemas que pueden resolver. Pero no es menos cierto que su dominio, en el caso de los lenguajes, exige al usuario que comienza en las técnicas de programación lineal un aprendizaje muy costoso tanto en tiempo como en esfuerzo. Por no hablar del desembolso económico que supone su adquisición, que los sitúa fuera del alcance del estudiante, e incluso de organizaciones con recursos limitados, desembolsos que no se justifican para un empleo ocasional de las técnicas de programación lineal. Esfuerzo y recursos que muchos solo considerarán hacer e invertir después de haber adquirido una cierta destreza en la formulación y resolución de problemas, destreza que será adquirida de forma más rápida y más accesible cuan-to menor sea el coste y el esfuerzo empleado en el necesario dominio del entorno de trabajo.

XII Introducción a la Optimización de Operaciones Militares

XII

Los problemas se han agrupado en seis capítulos, cada uno dedicado a una temática dife-rente, con un número también diferente de situaciones planteadas en función del mayor o menor grado de aplicación de las técnicas expuestas. Estos capítulos son los siguientes:

Capítulo Temática Problemas 1 REPARACIÓN Y MANTENIMIENTO DE EQUIPOS 8 2 ADMINISTRACIÓN DEL RECURSO FINANCIERO 4 3 LOGÍSTICA DE PERSONAL 7 4 LOGÍSTICA DE MATERIAL 7 5 OPTIMIZACIÓN DE OPERACIONES AÉREAS 29 6 OPTIMIZACIÓN DE OPERACIONES NO AÉREAS 23

A su vez, de forma transversal, cada capítulo aborda diferentes ramas concretas de la pro-gramación lineal, según aquellos epígrafes comúnmente utilizados por los libros de texto. Estas ra-mas de la programación lineal y una breve descripción de sus características son las siguientes:

Acrónimo Rama Descripción

PLG Programación lineal General

Generalized Linear Programming

Problemas cuyas variables de decisión son todas reales.

PLE Programación lineal con enteros

Integer linear programming Mixed integer linear programming Binary linear programming

Problemas para cuya formulación es necesario el empleo, bien como principales bien como instru-mentales, de variables enteras y especialmente binarias.

RED Optimización en redes

Network optimization (using linear programming)

Problemas definidos sobre la topología de una red entendida esta como un conjunto de nodos que representan cualquier tipo de objetos que se rela-cionan entre sí mediante aristas.

LOC Localización de instalaciones Facility Locations

Problemas que giran en torno a la elección óptima de las localizaciones en las que habilitar instala-ciones que dan algún tipo de servicio a clientes que lo demandan.

Aun cuando queramos evitar los anglicismos al máximo, con frecuencia daremos la termino-logía en inglés de las técnicas o los problemas frecuentemente tratados en la literatura. Dado que la gran mayoría de esta literatura está publicada en lengua inglesa, su conocimiento es indispensable para la búsqueda de material suplementario, o seminal, relacionado con los temas aquí presenta-dos.

Todos los problemas que se presentan en este texto han sido planteados y resueltos sobre un entorno de trabajo basado en hoja de cálculo, concretamente en Excel de Microsoft, aunque es posible hacer lo propio sobre cualquier alternativa de código abierto a este producto.

La idea de que Excel, el entorno de trabajo basado en hoja de cálculo en general, es una herramienta de capacidades muy limitadas, con carencias graves en el tratamiento científico de los datos, es —las mayoría de las veces— un prejuicio sin fundamento y no pocas veces sesgado.

Es cierto que en el caso concreto de la programación lineal que ahora nos ocupa, el software de alto nivel y los lenguajes de modelado algebraico (GAMS, AMPL, AIMMS, MPL, Zimpl, OptimJ, etc.), que han sido desarrollados específicamente al efecto, permiten una mayor flexibilidad y no están sujetos a limitación alguna sobre el tamaño de los problemas que pueden resolver. Pero no es menos cierto que su dominio, en el caso de los lenguajes, exige al usuario que comienza en las técnicas de programación lineal un aprendizaje muy costoso tanto en tiempo como en esfuerzo. Por no hablar del desembolso económico que supone su adquisición, que los sitúa fuera del alcance del estudiante, e incluso de organizaciones con recursos limitados, desembolsos que no se justifican para un empleo ocasional de las técnicas de programación lineal. Esfuerzo y recursos que muchos solo considerarán hacer e invertir después de haber adquirido una cierta destreza en la formulación y resolución de problemas, destreza que será adquirida de forma más rápida y más accesible cuan-to menor sea el coste y el esfuerzo empleado en el necesario dominio del entorno de trabajo.

XIII

1.1 Descriptores de los problemas En todos los problemas presentados, junto con su título, aparece un código de descripción

formado por tres campos: dificultad, software necesario para su resolución y rama de la programa-ción lineal en que se encuadra el problema. Por ejemplo, el último problema aparece descrito de la forma siguiente:

7.23 Unidad Militar de Emergencias (2/OS/LOC)

Se trata del problema n.º 23 del séptimo capítulo, descrito con un nombre relacionado con el tema que aborda y catalogado como de dificultad 2, que requiere el empleo de Open Solver (OS) y pertenece al epígrafe de «Localización de instalaciones (LOC)».

La calificación de la dificultad de los problemas es, desde luego, subjetiva y atiende a razo-nes que, antes que con el número de variables y parámetros, están más relacionadas con el esfuer-zo necesario para su correcta formulación y para convertir en lineales todas las relaciones que describen cuantitativamente el modelo subyacente a la situación planteada. Esta dificultad del pro-blema se indica mediante un único dígito, correspondiendo el valor 1 a los de dificultad baja; el 2, a los de media; el 3, a los de dificultad alta y el 4, a los de dificultad muy alta. La distribución de los setenta y ocho problemas propuestos respecto a esta característica es la siguiente:

Dificultad Número de problemas

Baja (1) 11 Media (2) 51

Alta (3) 15 Muy alta (4) 1

Para el segundo campo, relacionado con el software necesario para su resolución, hemos usado tres abreviaturas: SO, que hace referencia al complemento Solver; OS, que se refiere al software Open Solver, y ST para el software Solver Table. Software cuyas características describi-mos brevemente a continuación.

— Solver (SO) es un complemento para Excel que se vincula al mo-tor de optimización desarrollado por la compañía Frontline. Se trata de un complemento gratuito, incluido en todas las versiones de la hoja de cálculo, que presenta limitaciones en cuanto al tamaño de los problemas que podemos abordar con él, ya que se haya res-tringido a problemas con un máximo de doscientas variables de decisión; suficiente, no obstante, para la mayoría de los problemas presentados en este texto.

Aunque Solver cuenta con tres métodos de resolución entre los que el usuario puede elegir (SimplexLP, Evolutionary y GRG), es importante notar que, para la resolución de los problemas propues-tos, deberá elegirse en todo caso el método SimplexLP, ya que es el único de los tres que proporciona una respuesta que sabemos seguro que es óptima en el sentido definido y que su elección es posible dada la naturaleza lineal de todas las relaciones que inter-vienen en los problemas.

— Open Solver (OS) usa el motor de optimización CBC (coin or branch and cut) de código abierto, escrito en C++, desarrollado y mantenido, con ayuda de sus estudiantes, por el profesor Andrew Mason, de la Universidad de Auckland (NZ) y con colaboradores del MIT.

A diferencia de Solver, no presenta limitación alguna en cuanto a las dimensiones del problema, por lo que podrán abordarse los de gran tamaño, además de ser notablemente rápido en su ejecución.

Introducción a la Optimización de Operaciones Militares XIII

XIV

— Solver Table (ST) es un complemento imprescindible para quien resuelva problemas de programación lineal que permite obtener, de manera automática, la solución de cualquier problema plantea-do previamente cuando se varía alguno, dos a los sumo, de los elementos que intervienen en él, ya sea un coeficiente de la fun-ción objetivo, un coeficiente tecnológico o un recurso que afecte a una restricción.

Al tratarse también de una iniciativa sin ánimo de lucro, desarro-llada por Christian Albright, antiguo profesor de la Kelley School of Business (Indiana, EE. UU.), puede utilizarse de forma gratuita tras su descarga de la página web en que se aloja.

1.2 Sobre el código de colores de las soluciones El lector apreciará que se haya mantenido una disciplina de formatos idéntica en la presen-

tación de la solución de todos los problemas. Este formato genérico de representación sigue las pautas siguientes:

Los datos del problema aparecerán en co-lor negro sin destacar. Este formato seaplicará tanto a los valores de los paráme-tros como a los textos que los identifiquen.Los datos del problema, generalmente, nocontendrán fórmulas, sino valores introdu-cidos por el usuario.

Las variables de decisión aparecerán enazul y resaltadas en negrita.

Los cálculos intermedios, que serán enmuchas ocasiones también los resulta-dos finales de la manipulación de las va-riables que intervienen en el modelo,aparecerán en negro y destacados en negrita.

La función objetivo aparecerá destacada sobre el resto de las celdas con fondo ama-rillo rodeado con un borde negro.

Finalmente, las restricciones aparecerán en rojo y destacadas con negrita.

XIV Introducción a la Optimización de Operaciones Militares

XIV

— Solver Table (ST) es un complemento imprescindible para quien resuelva problemas de programación lineal que permite obtener, de manera automática, la solución de cualquier problema plantea-do previamente cuando se varía alguno, dos a los sumo, de los elementos que intervienen en él, ya sea un coeficiente de la fun-ción objetivo, un coeficiente tecnológico o un recurso que afecte a una restricción.

Al tratarse también de una iniciativa sin ánimo de lucro, desarro-llada por Christian Albright, antiguo profesor de la Kelley School of Business (Indiana, EE. UU.), puede utilizarse de forma gratuita tras su descarga de la página web en que se aloja.

1.2 Sobre el código de colores de las soluciones El lector apreciará que se haya mantenido una disciplina de formatos idéntica en la presen-

tación de la solución de todos los problemas. Este formato genérico de representación sigue las pautas siguientes:

Los datos del problema aparecerán en co-lor negro sin destacar. Este formato seaplicará tanto a los valores de los paráme-tros como a los textos que los identifiquen.Los datos del problema, generalmente, nocontendrán fórmulas, sino valores introdu-cidos por el usuario.

Las variables de decisión aparecerán enazul y resaltadas en negrita.

Los cálculos intermedios, que serán enmuchas ocasiones también los resulta-dos finales de la manipulación de las va-riables que intervienen en el modelo,aparecerán en negro y destacados en negrita.

La función objetivo aparecerá destacada sobre el resto de las celdas con fondo ama-rillo rodeado con un borde negro.

Finalmente, las restricciones aparecerán en rojo y destacadas con negrita.

XV

La siguiente figura muestra la solución del problema 2.1 en la que se ha empleado el forma-to descrito anteriormente:

1.3 Somera estadística de los problemas La distribución de los problemas según el tipo de programación lineal principal y la temática

tratada es la siguiente: TIPO DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Programación lineal

general (PLG)

Programación lineal general con enteros

(PLE)

Optimización en redes (RED)

Localización de

instalaciones (LOC) TOTAL

REPARACIÓN Y MANTENIMIENTO DE EQUIPOS 1 6 0 1 8 ADMINISTRACIÓN DEL RECURSO FINANCIERO 2 2 0 0 4

LOGÍSTICA DE PERSONAL 0 7 0 0 7 LOGÍSTICA DE MATERIAL 0 3 4 0 7

OPTIMIZACIÓN DE OPERACIONES AÉREAS 2 15 11 1 29 OPTIMIZACIÓN DE OPERACIONES NO AÉREAS 2 1 9 11 23

TOTAL 8 28 25 12 73

Introducción a la Optimización de Operaciones Militares XV

XVI

La distribución de los problemas según su dificultad estimada y la temática tratada es la si-guiente:

DIFICULTAD DE LOS PROBLEMAS Baja Media Alta Muy alta TOTAL




TOTAL 11 51 15 1 78

1.4 Autoría de imágenes, gráficos y problemas Excepto cuando se hace mención expresa de la fuente, todas las fotografías e imágenes que

ilustran los enunciados de los problemas provienen del dominio del Ministerio de Defensa de España (mde.es).

Todos los gráficos, tablas y capturas de pantalla que aparecen en las soluciones de los pro-blemas son de elaboración propia y pueden encontrase en los ficheros que acompañan al texto.

Todos los problemas planteados se encuentran resueltos en los ficheros que acompañan a esta publicación habiendo sido, en su totalidad, elaborados por el autor.

Excepto cuando se indica otra cosa, los enunciados de los problemas planteados son de ela-boración propia.

XVI Introducción a la Optimización de Operaciones Militares

XVI

La distribución de los problemas según su dificultad estimada y la temática tratada es la si-guiente:

DIFICULTAD DE LOS PROBLEMAS Baja Media Alta Muy alta TOTAL




TOTAL 11 51 15 1 78

1.4 Autoría de imágenes, gráficos y problemas Excepto cuando se hace mención expresa de la fuente, todas las fotografías e imágenes que

ilustran los enunciados de los problemas provienen del dominio del Ministerio de Defensa de España (mde.es).

Todos los gráficos, tablas y capturas de pantalla que aparecen en las soluciones de los pro-blemas son de elaboración propia y pueden encontrase en los ficheros que acompañan al texto.

Todos los problemas planteados se encuentran resueltos en los ficheros que acompañan a esta publicación habiendo sido, en su totalidad, elaborados por el autor.

Excepto cuando se indica otra cosa, los enunciados de los problemas planteados son de ela-boración propia.

XVII

1.5 Formulación de programas lineales: tipos de formulación Cuando tratamos con un problema de programación lineal (PPL), resolverlo, es decir, obte-

ner una solución válida para los datos concretos del problema planteado, no es suficiente. Antes de resolverlo, lo que constituirá solo el último hito del proceso, deberemos formularlo adecuadamente.

La formulación de un PPL es un proceso riguroso que comienza con la definición exacta, en términos algebraicos, de todos los elementos que intervienen en él, ya sean los de naturaleza exó-gena —externos a nosotros y que vienen determinados por el enunciado del problema— ya sea los elementos endógenos —aquellos que nosotros mismos definimos como elementos principales o au-xiliares a la formulación—.

La formulación debe ser tal que la totalidad del problema quede contenida en ella sin que sea necesario recurrir a nada más para poder resolverlo.

Veremos que existen dos enfoques de formulación diferente: el primero de ellos, la llamada formulación explícita, es el menos riguroso. Está orientado a resolver el problema concreto que se nos plantea, problema que consideramos como un caso particular de una clase más general de problemas.

La segunda aproximación, conocida como formulación simbólica, resulta mucho más ri-gurosa y también considerablemente más complicada de llevar a cabo. Esta formulación se orienta al planteamiento de problemas genéricos que mantengan con el analizado en ese momento concre-to una estructura común, y del que aquel que en este momento se pretende resolver no es sino un ejemplo concreto.

Este método se aplica a problemas de los que se sabe que constituyen situaciones comunes que bajo una concreción de parámetros diferentes pueden aparecer.

1.5.1 Formulación explícita

La formulación de estos problemas está hecha a medida del enunciado y no será, en gene-ral, válida nada más que para el problema concreto planteado, ya que no hace separación entre los datos y las variables estructurales a las que estos están asociados ofreciéndolos de manera explícita como elementos constituyentes del problema.

Esta formulación, ad hoc, deberá, exclusivamente, contener los elementos mínimos que permitan su traslación al motor de resolución. Estos elementos son los siguientes:

1. Variables de decisión2. Función objetivo3. Restricciones4. Forma compacta

Introducción a la Optimización de Operaciones Militares XVII

XVIII

1.5.2 Formulación simbólica

Las directrices de actuación que damos a continuación (del tipo defínase antes de usar) son lo suficientemente genéricas para permitir el traspaso directo del PPL desde una formulación alge-braica adecuada a cualquier software de resolución, ya sea directo, como en el caso de Solver u Open Solver, ya sea a través de un lenguaje de codificación (OPL, GAMMS, etc.). Es también la forma universalmente aceptada de presentar los PPL en cualquier publicación científica, congreso, etc. Los pasos necesarios para la formulación de un modelo son los siguientes:

1. Definir claramente los conjuntos de elementos que intervienen en el pro-blema describiendo el índice que usaremos para enumerarlos.

2. Describir, con expresión de las unidades en que se encuentren, los datos delproblema, es decir, los elementos exógenos del modelo que vienen impuestospor el enunciado y sobre los que no cabe ninguna variación. Usaremos, prefe-riblemente, letras minúsculas y los índices anteriores.

3. Determinar, con expresión de las unidades en que se encuentran, las varia-bles de decisión, que son los factores sujetos a cambio y sobre los cuales setiene control. Las representaremos usando los índices del apartado 1 y las es-cribiremos, preferiblemente, en mayúsculas.

4. Determinar la función objetivo, que será una función lineal de las variablesde decisión, la cual queremos optimizar (maximizar o minimizar).

5. Determinar las restricciones, expresadas como ecuaciones o inecuacioneslineales en las variables de decisión y los datos del modelo.

6. Escribir la forma compacta del problema. Empezaremos con el sentido de laoptimización usando los términos «max» o «min»; en el renglón siguiente ycon tabulación, la función objetivo; a continuación, el término «s.a.» (sujetoa, «s.t.» cuando lo leamos en inglés); en el renglón siguiente, con tabulacio-nes, las restricciones.

;1;0;Z0,Y,XLD,LILD,LI

.a.s.O.Fminmax

rr

11

7. Describir mediante texto las restricciones y la función objetivo cuando susentido no sea obvio, ligando la formulación algebraica con los términos enlos cuales se enuncia el problema.

El resultado final de este proceso de formulación simbólica será, como mínimo, la cumpli-mentación de cuatro apartados, que se expondrán siempre en el mismo orden, en los que se des-criben en términos algebraicos, de forma inequívoca: los elementos del problema; el objetivo principal que perseguimos; las relaciones entre unos y otros; y las restricciones que afectan a la consecución de dicho objetivo. Estos cuatro apartados son los siguientes:

1) ÍNDICES y CONJUNTOS2) DATOS3) VARIABLES4) FORMA COMPACTA

XVIII Introducción a la Optimización de Operaciones Militares

XVIII

1.5.2 Formulación simbólica

Las directrices de actuación que damos a continuación (del tipo defínase antes de usar) son lo suficientemente genéricas para permitir el traspaso directo del PPL desde una formulación alge-braica adecuada a cualquier software de resolución, ya sea directo, como en el caso de Solver u Open Solver, ya sea a través de un lenguaje de codificación (OPL, GAMMS, etc.). Es también la forma universalmente aceptada de presentar los PPL en cualquier publicación científica, congreso, etc. Los pasos necesarios para la formulación de un modelo son los siguientes:

1. Definir claramente los conjuntos de elementos que intervienen en el pro-blema describiendo el índice que usaremos para enumerarlos.

2. Describir, con expresión de las unidades en que se encuentren, los datos delproblema, es decir, los elementos exógenos del modelo que vienen impuestospor el enunciado y sobre los que no cabe ninguna variación. Usaremos, prefe-riblemente, letras minúsculas y los índices anteriores.

3. Determinar, con expresión de las unidades en que se encuentran, las varia-bles de decisión, que son los factores sujetos a cambio y sobre los cuales setiene control. Las representaremos usando los índices del apartado 1 y las es-cribiremos, preferiblemente, en mayúsculas.

4. Determinar la función objetivo, que será una función lineal de las variablesde decisión, la cual queremos optimizar (maximizar o minimizar).

5. Determinar las restricciones, expresadas como ecuaciones o inecuacioneslineales en las variables de decisión y los datos del modelo.

6. Escribir la forma compacta del problema. Empezaremos con el sentido de laoptimización usando los términos «max» o «min»; en el renglón siguiente ycon tabulación, la función objetivo; a continuación, el término «s.a.» (sujetoa, «s.t.» cuando lo leamos en inglés); en el renglón siguiente, con tabulacio-nes, las restricciones.

;1;0;Z0,Y,XLD,LILD,LI

.a.s.O.Fminmax

rr

11

7. Describir mediante texto las restricciones y la función objetivo cuando susentido no sea obvio, ligando la formulación algebraica con los términos enlos cuales se enuncia el problema.

El resultado final de este proceso de formulación simbólica será, como mínimo, la cumpli-mentación de cuatro apartados, que se expondrán siempre en el mismo orden, en los que se des-criben en términos algebraicos, de forma inequívoca: los elementos del problema; el objetivo principal que perseguimos; las relaciones entre unos y otros; y las restricciones que afectan a la consecución de dicho objetivo. Estos cuatro apartados son los siguientes:

1) ÍNDICES y CONJUNTOS2) DATOS3) VARIABLES4) FORMA COMPACTA

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2 REPARACIÓN Y MANTENIMIENTO DE EQUIPOS El EA necesita una flota de aeronaves adaptada a los riesgos que España debe afrontar, así como a los re-cursos financieros disponibles, con un menor número de sistemas de armas, pero con una sostenibilidad y operatividad óptima de los mismos y de sus elementos asociados. La convergencia hacia la simplicidad lo-

gística y de entrenamiento, así como el fomento del sostenimiento orgánico, han de ser constantes.

Visión del JEMA

Breve descripción de los problemas que aborda este capítulo

Este apartado contiene ocho problemas, de los que seis pertenecen al epígrafe «Programa-ción lineal con enteros», y los dos restantes al de «Programación lineal general y localización de instalaciones».

Los problemas 2.1, 2.2 y 2.4 plantean tres situaciones diferentes de planificación de tareas de reparación/fabricación en centros logísticos, cuyo objetivo es maximizar la utilidad operativa lo-grada por la realización de dichas tareas cuando aparecen restricciones bien sean de medios huma-nos bien de los recursos materiales de producción.

El problema 2.3 propone la maximización de la utilidad operativa lograda por la plena opera-tividad de las aeronaves involucradas en tareas de fabricación o reparación cuando el personal dis-ponible está sometido a restricciones derivadas de sus diferentes capacitaciones para la realización de dichas tareas. Aborda, de manera simplificada, una situación en la que una posible opción es la de recurrir, para la realización de determinadas funciones, a personal inorgánico (pertenecientes a empresas ajenas al EA) cuando el personal orgánico resulta insuficiente para la realización de todas las tareas necesarias. Este problema aborda, mediante una aproximación cuantitativa, una cuestión crítica para el EA cual es la progresiva descapitalización del personal laboral de los centros logísti-cos. Esta descapitalización supone una pérdida, no solo de una capacidad productiva que única-mente puede ser paliada mediante dotación presupuestaria, sino la desaparición de un bagaje de conocimientos y experiencia en el mantenimiento de aeronaves militares acumulado por este per-sonal laboral a lo largo de toda una vida profesional.

El problema 2.5 plantea la optimización de una planificación multiperiodo con decisiones de fabricación y almacenamiento y la eventual contratación de medios humanos a través de empresas de trabajo temporal para hacer frente a los trabajos necesarios. El problema 2.6 trata, de manera simplificada, la planificación de las operaciones de mantenimiento programado de una flota aérea y supone una excelente introducción a modelos que abordan el proceso, mediante programación li-neal, de forma completa como el que se desarrollará en el último problema de este capítulo.

El problema 2.7 es una versión reducida de los problemas de asignación cuadrática y está relacionado con el problema genérico de la planificación de plantas de trabajo (facility layout). Este problema ha sido tomado íntegramente del texto de Taha1 y exige, para su resolución, la utilización de las funciones matriciales de la hoja de cálculo.

Finalmente, el problema 2.8, basado en el modelo de Kozanidis2, plantea y resuelve para una flota de tamaño medio el que, en la literatura científica, recibe el nombre de aircraft mainte-nance planning and scheduling problem. Su complejidad es mayor que la del resto de problemas planteados y aparece como consecuencia de la necesidad de tratar un buen número de predicados lógicos que es necesario convertir en restricciones lineales para lograr su resolución mediante pro-gramación lineal. Este esfuerzo, que lleva aparejada una considerable carga computacional, permite la resolución exacta de uno de los problemas más exigente del mantenimiento de aeronaves milita-res como es el de conseguir un esfuerzo de vuelo determinado de antemano, respetando las res-

1 TAHA, H. A. Investigación de operaciones. 9.ª edición. Pearson 2012. 2 Kozanidis, G., Skipis, A. «Flight and Maintenance Planning of Military Aircraft for Maximum Fleet Availability: A Bi-objective Model». Proceedings of International Conference on Multiple Criteria Decision Making 2006, 18.

Introducción a la Optimización de Operaciones Militares 1

2

tricciones de capacidad de mantenimiento de la flota y logrando tener a los aviones tan próximos a la diagonal como sea posible.

2.1 Tareas en MAESAL (1/SO/PLG) La Maestranza Aérea de Albacete (MAESAL) tiene una

dependencia orgánica del Mando Aéreo General (MAGEN) y una dependencia operativa del Mando del Apoyo Logístico (MALOG). Su misión principal consiste en el apoyo a los sistemas de ar-mas a nivel de 3.er escalón. Es un centro de sostenimiento de aeronaves con tres funciones fundamentales: ingeniería, cabe-cera técnica de sistemas, con responsabilidad para desarrollar cambios y modificaciones al diseño original, con el objeto de so-lucionar problemas detectados por los usuarios o incorporar mejoras y actualizaciones; mantenimiento, se realizan revisio-nes y reparaciones mayores de aeronaves y equipos, incluida la fabricación de piezas de repuesto; abastecimiento y depósito responsable de artículos, actividad consistente en la adquisición, recepción, almacenamiento y distribución del material del re-puesto necesario para el mantenimiento de sistemas de primer y segundo escalón que se realiza en las bases aéreas y el de tercer escalón, responsabilidad de las maestranzas Aéreas.

(Fuente: www.ejercitodelaire.mde.es)

ENUNCIADO

Suponga que en la actualidad MAESAL es la unidad responsable del mantenimiento de cua-tro elementos reparables concretos (Elem_1…, Elem_4) montados en aeronaves en servicio en el EA. Realiza sobre estos elementos una serie de tareas sucesivas (desmontaje, decapado, pintura y montaje), cada una de las cuales requiere un número diferente de horas de trabajo.

La tabla A, que aparece a continuación, recopila esta información. Por ejemplo, la operación dedesmontaje del elemento 1 requiere 0,30 horas de trabajo.

Las diferentes tareas se realizan en talleres en los que hay un determinado número de personallaboral por lo que las horas que es posible dedicar a cada tarea están limitadas por el númerode jornadas de trabajo disponibles de este personal (El taller de desmontaje dispone mensual-mente de 750 horas de trabajo, por ejemplo). Esta información también aparece en la tabla A.

El TGMALOG ha determinado cuál será, para el próximo mes, la demanda de cada uno de loscuatro elementos. La División de Logística del EMA, por su parte, es capaz de dar una cifra rela-cionada con la utilidad de cada uno de los elementos a partir de la trascendencia operativa delas misiones que realizan las aeronaves en la que van montados los elementos.

El jefe de MAESAL, por su parte, tiene un criterio por el que penaliza los elementos que, ha-biendo sido demandados por MALOG, no pueden, sin embargo, ser atendidos por falta de tiem-po disponible de los talleres. De nuevo esta información aparece en la tabla.

Tabla A Operación Elem_1 Elem_2 Elem_3 Elem_4 (Horas máximas) Desmontaje 0,30 0,30 0,25 0,15 750

Decapado 0,25 0,45 0,40 0,10 650 Pintura 0,45 0,45 0,40 0,22 800

Montaje 0,15 0,25 0,15 0,05 350 Demanda (MALOG) 900 950 800 500

Utilidad (EMA) 30 32 31 25 Penalización (Jefe) 17 18 15 8

Realice las siguientes actividades:

Suponga que se desea maximizar la utilidad de los elementos reparados, y que dicha utili-dad se calcula como la suma de la utilidad operativa establecida por el EMA, menos la penalización que, por cada elemento demandado y no atendido, aplica el jefe de MAESAL.

2 Introducción a la Optimización de Operaciones Militares

2

tricciones de capacidad de mantenimiento de la flota y logrando tener a los aviones tan próximos a la diagonal como sea posible.

2.1 Tareas en MAESAL (1/SO/PLG) La Maestranza Aérea de Albacete (MAESAL) tiene una

dependencia orgánica del Mando Aéreo General (MAGEN) y una dependencia operativa del Mando del Apoyo Logístico (MALOG). Su misión principal consiste en el apoyo a los sistemas de ar-mas a nivel de 3.er escalón. Es un centro de sostenimiento de aeronaves con tres funciones fundamentales: ingeniería, cabe-cera técnica de sistemas, con responsabilidad para desarrollar cambios y modificaciones al diseño original, con el objeto de so-lucionar problemas detectados por los usuarios o incorporar mejoras y actualizaciones; mantenimiento, se realizan revisio-nes y reparaciones mayores de aeronaves y equipos, incluida la fabricación de piezas de repuesto; abastecimiento y depósito responsable de artículos, actividad consistente en la adquisición, recepción, almacenamiento y distribución del material del re-puesto necesario para el mantenimiento de sistemas de primer y segundo escalón que se realiza en las bases aéreas y el de tercer escalón, responsabilidad de las maestranzas Aéreas.


ENUNCIADO

Suponga que en la actualidad MAESAL es la unidad responsable del mantenimiento de cua-tro elementos reparables concretos (Elem_1…, Elem_4) montados en aeronaves en servicio en el EA. Realiza sobre estos elementos una serie de tareas sucesivas (desmontaje, decapado, pintura y montaje), cada una de las cuales requiere un número diferente de horas de trabajo.

La tabla A, que aparece a continuación, recopila esta información. Por ejemplo, la operación dedesmontaje del elemento 1 requiere 0,30 horas de trabajo.

Las diferentes tareas se realizan en talleres en los que hay un determinado número de personallaboral por lo que las horas que es posible dedicar a cada tarea están limitadas por el númerode jornadas de trabajo disponibles de este personal (El taller de desmontaje dispone mensual-mente de 750 horas de trabajo, por ejemplo). Esta información también aparece en la tabla A.

El TGMALOG ha determinado cuál será, para el próximo mes, la demanda de cada uno de loscuatro elementos. La División de Logística del EMA, por su parte, es capaz de dar una cifra rela-cionada con la utilidad de cada uno de los elementos a partir de la trascendencia operativa delas misiones que realizan las aeronaves en la que van montados los elementos.

El jefe de MAESAL, por su parte, tiene un criterio por el que penaliza los elementos que, ha-biendo sido demandados por MALOG, no pueden, sin embargo, ser atendidos por falta de tiem-po disponible de los talleres. De nuevo esta información aparece en la tabla.

Tabla A Operación Elem_1 Elem_2 Elem_3 Elem_4 (Horas máximas) Desmontaje 0,30 0,30 0,25 0,15 750

Decapado 0,25 0,45 0,40 0,10 650 Pintura 0,45 0,45 0,40 0,22 800

Montaje 0,15 0,25 0,15 0,05 350 Demanda (MALOG) 900 950 800 500

Utilidad (EMA) 30 32 31 25 Penalización (Jefe) 17 18 15 8


Suponga que se desea maximizar la utilidad de los elementos reparados, y que dicha utili-dad se calcula como la suma de la utilidad operativa establecida por el EMA, menos la penalización que, por cada elemento demandado y no atendido, aplica el jefe de MAESAL.

3

1) Identifique las variables de decisión, las restricciones y la función objetivo del problemapara maximizar la utilidad según se ha descrito en el apartado anterior teniendo encuenta la restricción respecto al número de horas disponibles en cada taller. Escriba elPPL en forma compacta utilizando la notación habitual. Utilice los siguientes descriptorespara los elementos del problema:

Xi las unidades atendidas del elemento i-ésimo, ui la utilidad EMA del elemento i, di la demanda según MALOG del elemento i, pi la penalización según el JMAESAL del elemento no atendido i, tij el tiempo de trabajo de un elemento i en el taller j, hj las horas de trabajo disponibles en el taller j.

2) A partir de la forma compacta deducida en el apartado anterior calcule el número deelementos de cada tipo que han de ser tratados (aquellos sobre los que se realizarán lascuatro tareas consecutivas) para que se maximice la utilidad lograda y al mismo tiempono se atiendan más artículos de los que serán demandados según las previsiones delMALOG y no se sobrepasen las horas disponibles de cada taller.

3) Suponga que la carga de trabajo descrita para el mes se corresponde con la que de for-ma habitual realiza la unidad. ¿Qué taller estrangula la capacidad productiva de la maes-tranza actualmente?

4) Suponga que pudiera contratar 2 operarios, cada uno de los cuales aportaría mensual-mente 100 horas de trabajo a un único taller al que sería destinado. ¿Cómo se vería au-mentada la utilidad lograda si dichos operarios fueran destinados a los talleres que en lasituación actual estrangulan la capacidad productiva de la maestranza?

Desde el año 2009, fecha en la que obtiene la certificación de calidad exigida por la OTAN (PECAL 2120), MAESAL se convierte en un centro tecnológico de mantenimiento y producción a la vanguardia de la tecnología aeronáutica.

De este pasado más reciente, cabe destacar dos acontecimientos. En julio de 2013 se re-novaron los certificados de calidad emitidos en 2009 y, además, se obtuvo el mismo tipo de certifi-cación para los trabajos realizados en los asientos eyectables y, en julio de 2014, la maestranza ha completado la primera acción de mantenimiento sobre un EF-2000 Eurofighter (C.16), en la actuali-dad, el sistema de armas más avanzado del Ejército del Aire.

El personal laboral de los centros logísticos del Ejército del Aire tiene una altísima preparación y una dilatada experiencia que lo convierte en un activo fundamental dentro de la institución.

(Foto personal de MAESAL. Fuente: www.ejercitodelaire.mde.es)


4

SOLUCIÓN

Apartado 1)

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iE Elementos E = {Elem_1…, Elem_4} jT Talleres T = {desmontaje, decapado, pintura y montaje}

2. DATOS ui Utilidad EMA lograda por cada unidad montada del elemento i di Demanda según MALOG del elemento i pi Penalización según el JMAESAL del elemento no atendido i tij Tiempo de trabajo de un elemento i en el taller j hj Horas de trabajo disponibles en el taller j

3. VARIABLES Xi Unidades atendidas del elemento i-ésimo

4. FORMA COMPACTALa forma compacta del problema es:

Ei0XEidX

TjhtX

.a.s

pXduX

max

i

ii

jEi

iji

Eiiiiii

Nótese que no estamos exigiendo que el número de elementos reparados sea entero.

Apartado 2)

El aspecto de la hoja de Solver podría tener el aspecto siguiente:


4

SOLUCIÓN

Apartado 1)

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iE Elementos E = {Elem_1…, Elem_4} jT Talleres T = {desmontaje, decapado, pintura y montaje}

2. DATOS ui Utilidad EMA lograda por cada unidad montada del elemento i di Demanda según MALOG del elemento i pi Penalización según el JMAESAL del elemento no atendido i tij Tiempo de trabajo de un elemento i en el taller j hj Horas de trabajo disponibles en el taller j

3. VARIABLES Xi Unidades atendidas del elemento i-ésimo


Ei0XEidX

TjhtX

.a.s

pXduX

max

i

ii

jEi

iji

Eiiiiii

Nótese que no estamos exigiendo que el número de elementos reparados sea entero.

Apartado 2)

El aspecto de la hoja de Solver podría tener el aspecto siguiente:

5

El menú de Solver es el siguiente:

La solución encontrada es la siguiente:

Nótese que al no haber forzado a que la variable de decisión sea entera, la solución con-tiene decimales.


6

Apartado 3)

De la solución encontrada en el apartado anterior, observamos que respecto del número de elementos demandados por MALOG, MAESAL no es capaz de satisfacer las demandas del prime-ro y segundo elemento (repara 450 unidades del primero cuando debería reparar 900, y 372 del segundo cuando debería reparar 950).

Al analizar la utilización de los talleres según la solución obtenida observamos que la dife-rencia entre horas disponibles (capacidad) y horas invertidas en reparaciones es la siguiente:

Es decir, los talleres que respecto de la solución encontrada, tienen horas suficientes son el de montaje y, sobre todo, el de desmontaje, mientras que los talleres que parecen estrangular la producción y evitar que se reparen todos los elementos demandados son el de pintura y el de de-capado.


6

Apartado 3)

De la solución encontrada en el apartado anterior, observamos que respecto del número de elementos demandados por MALOG, MAESAL no es capaz de satisfacer las demandas del prime-ro y segundo elemento (repara 450 unidades del primero cuando debería reparar 900, y 372 del segundo cuando debería reparar 950).

Al analizar la utilización de los talleres según la solución obtenida observamos que la dife-rencia entre horas disponibles (capacidad) y horas invertidas en reparaciones es la siguiente:

Es decir, los talleres que respecto de la solución encontrada, tienen horas suficientes son el de montaje y, sobre todo, el de desmontaje, mientras que los talleres que parecen estrangular la producción y evitar que se reparen todos los elementos demandados son el de pintura y el de de-capado.

7

Apartado 4)

Más adelante, cuando estudiemos la utilización de variables binarias como variables de de-cisión y su utilización para activar o desactivar restricciones, veremos que podremos incluir la deci-sión de cómo incorporar a los dos nuevos trabajadores para que la utilidad de la producción se optimice directamente en el problema.

Si directamente los incorporáramos a los talleres deficitarios (decapado y pintura), el menú de Solver tendría ahora el siguiente aspecto:

Y la solución nueva sería la siguiente:


8

Las tasas de utilización de los talleres y de los elementos reparados serían las siguientes:


8

Las tasas de utilización de los talleres y de los elementos reparados serían las siguientes:

9

2.2 Trabajo inesperado en el CLOTRA (1/SO/PLE) El Centro Logístico de Transmisiones (CLOTRA) es el encarga-

do del mantenimiento, en el ámbito electrónico, de los sistemas de ar-mas del Ejército del Aire. La unidad centra su actividad en las tareas de mantenimiento de todos los elementos que componen el Sistema de Mando y Control de la Defensa Aérea de España (radares, redes de co-municaciones, centros de control…), los instrumentos de a bordo de los aviones (aviónica), los sistemas de comunicaciones terrestres, las ayu-das a la navegación instaladas en las bases aéreas, la calibración de equipos de media, y muchos otros sistemas siempre relacionados con la electrónica y las comunicaciones. (Imagen: escudo del CLOTRA, fuente: www.ejercitodelaire.mde.es)

ENUNCIADO

Hasta la fecha, en el CLOTRA se ha estado montando un sistema deaviónica (que llamaremos dispositivo D1) a bordo de una deter-minada plataforma, en un plan de producción que se encuentra ac-tualmente en marcha y del que aún queda disponibilidad de tiempode trabajo en los talleres. Necesidades sobrevenidas y urgentes hanllevado al TGMALOG, con la autorización previa del JEMA, a ordenarque además de D1 se monten otros dos dispositivos (que llamaremos D2 y D3) en otros tantostipos de aeronaves diferentes.

No se dispone de experiencia en el montaje de estos dos últimos dispositivos, pero el jefe de laSección de Ingeniería, tras analizar la carga de trabajo que especifica el fabricante de los equi-pos, estima que dada su menor complejidad los operarios del CLOTRA tardarán la mitad detiempo en montar los dispositivos D2 que lo que tardan en montar los dispositivos D1, y la ter-cera parte del tiempo en montar los dispositivos del tipo D3. La disponibilidad del plan actual detrabajo es tal que en el tiempo aún disponible se podrían montar un total de 1 600 dispositivosdel tipo D1.

La disposición actual de los talleres aconseja a que por cada 3 dispositivos D1 que se monten, almenos se monten 4 dispositivos del tipo D2 y al menos 5 del tipo D3, es decir, se debe superarla relación 3:4:5 respectivamente. El montaje de los dispositivos requiere de manera adicionalmontar también, entre otros de menor precio, dos componentes (C1 y C2) de los que existe unacantidad limitada. Las cantidades de cada componente que necesita cada dispositivo y la limita-ción de estos viene dada en la tabla A siguiente:

Tabla A D1 D2 D3 Máximo disponible C1 5 4 6 5.000 C2 3 7 6 6.000

El CLOTRA monta también estos dispositivos en aeronaves de países aliados y el compromisocon estos países y con nuestras propias necesidades obliga a que, en total —en el tiempo queaún queda disponible— se monten al menos 185 dispositivos tipo D1; 250 tipo D2 y 200 de tipoD3. Finalmente, se ha cuantificado el valor operativo del montaje de cada dispositivo y se hallegado a la conclusión de que este puede expresarse mediante un índice de 0 a 100 (con 100como el valor más alto posible), y que para los diferentes equipos dicho valor operativo sería elque figura en la tabla B:

Tabla B D1 D2 D3 Valor Operativo 50 40 45

Necesidades mínimas 185 250 200


1) Formule el problema que se describe en el apartado siguiente en su forma compacta.

2) Determine el plan de actuación óptimo de manera que se respeten las restricciones de tiem-po disponible en los talleres, de satisfacción de la demanda, de los ratios de fabricación,etc., y se maximice el valor operativo de los equipos que se decida montar.


10

SOLUCIÓN Apartado 1)

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iD Dispositivos a montar, D = {D1, D2, D3} jC Componentes, C = {C1, C2}

2. DATOS mj Cantidad máxima disponible de componentes de cada tipo nij Número de componentes tipo j que requiere el dispositivo tipo i vi Valor operativo de cada dispositivo montado ui Necesidades mínimas de montaje de cada dispositivo t Tiempo disponible de trabajo hj Horas de trabajo disponibles en el taller j

3. VARIABLES Xi Número de dispositivos montados del tipo i-ésimo


DiXDiuX

CjmXc0X3X50X3X4

600.1X3̂,0X5,0X

.a.s

Xv

max

i

ii

jDi

iij

31

21

321

Diii

Las restricciones que pueden suponer algún problema son las referidas al tiempo disponi-ble y al ratio de fabricación que debe respetarse. Es necesario linealizarlas para poder resolverlas mediante programación lineal. La primera de ellas es la relativa al tiempo disponible y se ha enun-ciado de la forma siguiente:

Los operarios del CLOTRA tardarán la mitad de tiempo en montar los equipos D2 que loque tardan actualmente en montar los equipos D1, y la tercera parte del tiempo enmontar los equipos del tipo D3. La disponibilidad del plan actual de trabajo es tal queen el tiempo aún disponible se podrían montar un total de 1 600 equipos del tipo D1.

Siendo X1, X2 y X3 las unidades de cada tipo a montar, y siendo t el tiempo, desconocido, que se tarda en montar un equipo D1, esta restricción tiene la forma siguiente:

0t1600Xt3̂,0Xt5,0Xtt1600X3tX

2tXt 321321

Es decir:

600.1X3̂,0X5,0X 321


10


1. ÍNDICES y CONJUNTOS iD Dispositivos a montar, D = {D1, D2, D3} jC Componentes, C = {C1, C2}

2. DATOS mj Cantidad máxima disponible de componentes de cada tipo nij Número de componentes tipo j que requiere el dispositivo tipo i vi Valor operativo de cada dispositivo montado ui Necesidades mínimas de montaje de cada dispositivo t Tiempo disponible de trabajo hj Horas de trabajo disponibles en el taller j

3. VARIABLES Xi Número de dispositivos montados del tipo i-ésimo


DiXDiuX

CjmXc0X3X50X3X4

600.1X3̂,0X5,0X

.a.s

Xv

max

i

ii

jDi

iij

31

21

321

Diii

Las restricciones que pueden suponer algún problema son las referidas al tiempo disponi-ble y al ratio de fabricación que debe respetarse. Es necesario linealizarlas para poder resolverlas mediante programación lineal. La primera de ellas es la relativa al tiempo disponible y se ha enun-ciado de la forma siguiente:

Los operarios del CLOTRA tardarán la mitad de tiempo en montar los equipos D2 que loque tardan actualmente en montar los equipos D1, y la tercera parte del tiempo enmontar los equipos del tipo D3. La disponibilidad del plan actual de trabajo es tal queen el tiempo aún disponible se podrían montar un total de 1 600 equipos del tipo D1.

Siendo X1, X2 y X3 las unidades de cada tipo a montar, y siendo t el tiempo, desconocido, que se tarda en montar un equipo D1, esta restricción tiene la forma siguiente:

0t1600Xt3̂,0Xt5,0Xtt1600X3tX

2tXt 321321

Es decir:

600.1X3̂,0X5,0X 321

11

La otra restricción que es necesario linealizar es la relativa a los ratios de fabricación exigidos:

La disposición actual de los talleres aconseja que por cada 3 equipos D1 que se mon-ten, al menos se monten 4 equipos del tipo D2 y al menos 5 del tipo D3, es decir, se debe superar la relación 3:4:5 respectivamente.

0X3X50X3X4

X3X5X3X4

5X

3X

4X

3X

31

21

31

21

31

21

La forma compacta puede también expresarse de la forma siguiente mediante una formu-lación explícita:

321

3

2

1

321

321

31

21

321

321

X,X,X0200X0250X0185X0000.6X6X7X30000.5X9X4X60X3X50X3X401600X3̂,0X5,0X

.a.sX45X40X50

max

Apartado 2)

El aspecto de Solver sería el siguiente:


12

Una posible solución es la siguiente:

La representación gráfica de la solución es la siguiente:


12



13

2.3 Tareas de mantenimiento operativo en MAESE (3/SO/PLE) La misión de la Maestranza Aérea de Sevilla es la del manteni-

miento de diferentes sistemas de armas. Además, tiene encomendada la expedición y renovación de los certificados militares de aeronavegabilidad (normales y provisionales) de las aeronaves de la Armada con base en Ro-ta (Cádiz), así como de los aviones de la Fundación Vara de Rey. De los trabajos realizados por la maestranza hay que destacar los dedicados a la revisión y reparación de accesorios y componentes de aviones, motores y equipo auxiliar de tierra.

(Imagen: escudo de MAESE, fuente: www.ejercitodelaire.mde.es)

ENUNCIADO

Suponga que la Maestranza Aérea de Sevilla (MAESE) debe realizar enlos próximos tres meses una serie de tareas de mantenimiento pro-gramado sobre varias aeronaves de diferentes tipos. Para ello disponede cinco equipos de personal laboral (A, B..., E) habilitados para reali-zar solo determinadas tareas en función de su categoría laboral y ex-periencia profesional.

Las aeronaves sobre las que los diferentes equipos pueden realizar tareas son las que figuranen la tabla A:

Tabla A (Habilitación)

Equipo A B C D E

Hércules C-130 T10 Si No Si Si Si Casa C-295 T21 Si Si No Si No

Casa CN-235 T19 Si Si Si No No Casa C-101 E25 No Si Si Si No

F18 C15 No No No Si Si Los equipos están formados por un número diferente de operarios. Cada operario puede traba-

jar un máximo de 7 horas diarias, en semanas que se supondrán siempre de 5 días laborables,en meses de 4 semanas. El número de trabajadores de cada equipo es el siguiente (tabla B):

Tabla B (Componentes) Equipo

Equipo A B C D E Nº de operarios 3 4 8 6 4

Ante la imposibilidad de asumir la carga de trabajo pendiente contando exclusivamente con losmedios orgánicos del EA (los trabajadores de MAESE) se ha habilitado un crédito extraordinarioque permitiría la posibilidad de recurrir a medios externos.

El número de aeronaves de cada tipo que es necesario reparar en los próximos tres meses; lashoras de trabajo que cada aeronave individual requiere para completar la tarea de manteni-miento requerida; la prioridad que para el EMA tiene la disponibilidad de las aeronaves y elcoste de la hora hombre (€/h) a contratar de forma externalizada son los que figuran en la ta-bla C:

Tabla C Aeronave

Aeronaves a reparar

Horas por aeronave

Prioridad para EMA

Coste Externalización

(€/h) Hércules C-130 T10 8 400 1,00 90

Casa C-295 T21 6 350 0,75 108 Casa CN-235 T19 4 650 0,50 98

Casa C-101 E25 3 600 0,85 110 F18 C15 8 200 1,25 120


14

Realice las siguientes actividades: 1) Formule y resuelva el problema, escribiendo la forma compacta, para la situación en la

que se realizan las reparaciones del total de las aeronaves, minimizando el coste dela externalización.

2) Formule y resuelva el problema, escribiendo la forma compacta, para la situación en laque se realizan las reparaciones posibles con un presupuesto de externalización de50 000 €, maximizando la prioridad acumulada de las aeronaves reparadas.

3) El personal laboral de este centro logístico está próximo a la edad de retirada. Para lassiguientes campañas el personal disponible será aún menor que el expresado en la tablaB anterior, ya que muchos de ellos se jubilarán en los próximos años. La tabla D muestrael personal que constituirá los equipos de reparación en las próximas campañas de man-tenimiento programado:

Tabla D Equipos A B C D E

Nº de operarios 3 4 8 6 4 Retiros 2 2 3 3 2

En activo 1 2 5 3 2 Como consecuencia de esta pérdida de personal se pierde también capacitación de los

equipos formados por el personal que queda en activo. La tabla E muestra la capacitación del per-sonal no jubilado disponible para las próximas campañas:

Tabla E Equipo

A B C D E Hércules C-130 T10 Si No Si Si No

Casa C-295 T21 No No No No No Casa CN-235 T19 No No No No No

Casa C-101 E25 No Si No No No F18 C15 No No No No Si

Suponga que se decide suprimir la externalización por ser demasiado costosa para los es-casos recursos presupuestarios de los que dispone el EA y recurrir, para este tipo de tareas, a los medios orgánicos de forma exclusiva. Para ello sería necesario contratar nuevo personal laboral y posiblemente habilitar algunos talleres para que puedan realizar operaciones de mantenimiento so-bre un mayor número de tipos de aeronaves.

La tabla F muestra los costes anuales de la contratación del personal laboral que se incor-poraría a la plantilla de la maestranza (en euros por persona contratada) y los costes de capacita-ción que habría que satisfacer para capacitar a los diferentes equipos en las tareas de mantenimiento de las diferentes aeronaves:

Tabla F Equipos Coste Capacitación A B C D E

Hércules C-130 4.250 3.200 3.260 3.650 3.420 Casa C-295 4.580 3.110 4.590 3.530 3.160

Casa CN-235 3.130 3.280 4.030 3.920 3.270 Casa C-101 4.970 4.390 4.650 3.210 4.360

F18 4.110 3.970 3.470 4.650 4.620 Coste Contratación 5.500 4.250 5.250 5.500 4.100

Calcule cuántos operarios nuevos habría que incorporar a la plantilla actual, en qué equi-pos integrarlos y qué capacidades habría que habilitar para que, minimizando el coste total de ca-pacitación y contratación, se alcancen los objetivos de mantenimiento programados.


14

Realice las siguientes actividades: 1) Formule y resuelva el problema, escribiendo la forma compacta, para la situación en la

que se realizan las reparaciones del total de las aeronaves, minimizando el coste dela externalización.

2) Formule y resuelva el problema, escribiendo la forma compacta, para la situación en laque se realizan las reparaciones posibles con un presupuesto de externalización de50 000 €, maximizando la prioridad acumulada de las aeronaves reparadas.

3) El personal laboral de este centro logístico está próximo a la edad de retirada. Para lassiguientes campañas el personal disponible será aún menor que el expresado en la tablaB anterior, ya que muchos de ellos se jubilarán en los próximos años. La tabla D muestrael personal que constituirá los equipos de reparación en las próximas campañas de man-tenimiento programado:

Tabla D Equipos A B C D E

Nº de operarios 3 4 8 6 4 Retiros 2 2 3 3 2

En activo 1 2 5 3 2 Como consecuencia de esta pérdida de personal se pierde también capacitación de los

equipos formados por el personal que queda en activo. La tabla E muestra la capacitación del per-sonal no jubilado disponible para las próximas campañas:

Tabla E Equipo

A B C D E Hércules C-130 T10 Si No Si Si No

Casa C-295 T21 No No No No No Casa CN-235 T19 No No No No No

Casa C-101 E25 No Si No No No F18 C15 No No No No Si

Suponga que se decide suprimir la externalización por ser demasiado costosa para los es-casos recursos presupuestarios de los que dispone el EA y recurrir, para este tipo de tareas, a los medios orgánicos de forma exclusiva. Para ello sería necesario contratar nuevo personal laboral y posiblemente habilitar algunos talleres para que puedan realizar operaciones de mantenimiento so-bre un mayor número de tipos de aeronaves.

La tabla F muestra los costes anuales de la contratación del personal laboral que se incor-poraría a la plantilla de la maestranza (en euros por persona contratada) y los costes de capacita-ción que habría que satisfacer para capacitar a los diferentes equipos en las tareas de mantenimiento de las diferentes aeronaves:

Tabla F Equipos Coste Capacitación A B C D E

Hércules C-130 4.250 3.200 3.260 3.650 3.420 Casa C-295 4.580 3.110 4.590 3.530 3.160

Casa CN-235 3.130 3.280 4.030 3.920 3.270 Casa C-101 4.970 4.390 4.650 3.210 4.360

F18 4.110 3.970 3.470 4.650 4.620 Coste Contratación 5.500 4.250 5.250 5.500 4.100

Calcule cuántos operarios nuevos habría que incorporar a la plantilla actual, en qué equi-pos integrarlos y qué capacidades habría que habilitar para que, minimizando el coste total de ca-pacitación y contratación, se alcancen los objetivos de mantenimiento programados.

15


FORMULACIÓN

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iA Aeronaves, A = {C-130, C-295, CN-235, C-101, F18} jE Equipos, E = {A, B, C, D, E}

2. DATOS cij Binaria. Capacitación del equipo j para trabajar sobre la aeronave i ai Aeronaves del tipo i a reparar pj Personal que compone el equipo j hi Horas de trabajo necesarias para reparar una aeronave del tipo i i Prioridad a las reparaciones de las aeronaves del tipo i ei Coste de la hora de trabajo externalizada de la aeronave del tipo i dj Número de horas totales disponibles del equipo j ri Número de aeronaves del tipo i reparadas

3. VARIABLES Xij Horas que al equipo j se le asignan trabajos sobre aeronaves tipo i Ii Número de horas externalizadas para las aeronaves del tipo i Uij Número máximo de horas que puede dedicar el equipo j a aeronaves tipo

i

4. FORMA COMPACTA

Suponiendo un período de 3 (meses) por 4 (semanas) por 5 (días) por 7 (horas diarias), tendremos que las horas disponibles por equipo son:

jjj p420p3457d

La restricción sobre el número de horas orgánicas disponibles es entonces:

EjdX jAi

ij

El número de aeronaves reparadas se calcula como:

Ejiij

ii IX

h1

r

Para modelizar la capacitación de los trabajadores, hemos introducido una variable auxiliar Uij, que calculamos multiplicando cij (1 o 0) por las horas disponibles de cada equipo dj

cij A B C D E Uij A B C D E 1 0 1 1 1 d1 0 d3 d4 d5 1 1 0 1 0 d1 d2 0 d4 0 1 1 1 0 0 d1 d2 d3 0 0 0 1 1 1 0 0 d2 d3 d4 0 0 0 0 1 1 0 0 0 d4 d5

Con lo que tendríamos la siguiente matriz Uij:

Uij (Horas máximas)

Equipo A B C D E

T10 Hércules C-130 1.260 0 3.360 2.520 1.680 T21 Casa C-295 1.260 1.680 0 2.520 0 T19 Casa CN-235 1.260 1.680 3.360 0 0 E25 Casa C-101 0 1.680 3.360 2.520 0 C15 F18 0 0 0 2.520 1.680


16

Finalmente, la forma compacta sería la siguiente:

Ej,Ai0I;XEj,AiUX

EjhaIX

EjdX

.a.s

eI

min

iij

ijij

iiEj

iij

jAi

ij

Aiii

La función objetivo es la suma de horas hombre externalizadas multiplicada por loscostes según sus tarifas, es decir, el coste de externalización.

La primera restricción supone que las horas del personal orgánico dedicadas a cadaplataforma no deben ser superiores a las horas máximas disponibles de este personal.

La segunda impone que se revise la totalidad de los aviones con la aportación de horasconsecuencia de la contratación externa a los medios orgánicos.

iEj i

iij ah

IX

reparadasAeronaves

La tercera impone, por una parte, que los medios orgánicos solo puedan realizar tareassobre aquellos tipos de aeronaves para los que se encuentran habilitados y, por otra,que el reparto de horas de los equipos entre las diferentes aeronaves no sea superior ala máxima dedicación de cualquier equipo a cualquier plataforma.

Es importante notar que no se restringe ningún valor al dominio de los enteros.

El aspecto del menú de Solver es el siguiente:


16

Finalmente, la forma compacta sería la siguiente:

Ej,Ai0I;XEj,AiUX

EjhaIX

EjdX

.a.s

eI

min

iij

ijij

iiEj

iij

jAi

ij

Aiii

La función objetivo es la suma de horas hombre externalizadas multiplicada por loscostes según sus tarifas, es decir, el coste de externalización.

La primera restricción supone que las horas del personal orgánico dedicadas a cadaplataforma no deben ser superiores a las horas máximas disponibles de este personal.

La segunda impone que se revise la totalidad de los aviones con la aportación de horasconsecuencia de la contratación externa a los medios orgánicos.

iEj i

iij ah

IX

reparadasAeronaves

La tercera impone, por una parte, que los medios orgánicos solo puedan realizar tareassobre aquellos tipos de aeronaves para los que se encuentran habilitados y, por otra,que el reparto de horas de los equipos entre las diferentes aeronaves no sea superior ala máxima dedicación de cualquier equipo a cualquier plataforma.

Es importante notar que no se restringe ningún valor al dominio de los enteros.


17

La s

oluc

ión

sería

la s

igui

ente

:


18

Apartado 2) Forma compacta:

Ej,Ai0XEj,AiUX

PeI

EjhaIX

EjdX

.a.s

IXhp

min

ij

ijij

Aiii

iiEj

iij

jAi

ij

Ai Ejiij

i

i

Se ha sustituido la función objetivo por la suma de prioridades de las aeronaves repa-radas, se ha relajado la exigencia de reparar todas las aeronaves y se ha añadido la restricción de que la externalización no debe superar un presupuesto P.



18

Apartado 2) Forma compacta:

Ej,Ai0XEj,AiUX

PeI

EjhaIX

EjdX

.a.s

IXhp

min

ij

ijij

Aiii

iiEj

iij

jAi

ij

Ai Ejiij

i

i

Se ha sustituido la función objetivo por la suma de prioridades de las aeronaves repa-radas, se ha relajado la exigencia de reparar todas las aeronaves y se ha añadido la restricción de que la externalización no debe superar un presupuesto P.


19

La s

oluc

ión

es la

sig

uien

te:


20

Apartado 3)

Sin posibilidad de externalizar los trabajos y tras la retirada del personal laboral de mayor edad la situación es la siguiente:

A la formulación anterior habría que añadir algunos nuevos elementos:

1. DATOS (NUEVOS) vij Costes de capacitación del equipo j para trabajar sobre la aeronave i

2. VARIABLES (NUEVAS) Wij Binaria. Habilitación del equipo j en la aeronave tipo i Nj Entera. Número contratados en el equipo j

3. FORMA COMPACTA

Ej,Ai0I;XEj,AiUX

EjhaIX

EjdX

.a.s

eI

min

iij

ijij

iiEj

iij

jAi

ij

Aiii


20

Apartado 3)

Sin posibilidad de externalizar los trabajos y tras la retirada del personal laboral de mayor edad la situación es la siguiente:

A la formulación anterior habría que añadir algunos nuevos elementos:

1. DATOS (NUEVOS) vij Costes de capacitación del equipo j para trabajar sobre la aeronave i

2. VARIABLES (NUEVAS) Wij Binaria. Habilitación del equipo j en la aeronave tipo i Nj Entera. Número contratados en el equipo j

3. FORMA COMPACTA

Ej,Ai0I;XEj,AiUX

EjhaIX

EjdX

.a.s

eI

min

iij

ijij

iiEj

iij

jAi

ij

Aiii

21

La s

oluc

ión

es la

sig

uien

te:


22

2.4 Instrucción del JEMA (2/SO/PLE) El Centro Logístico de Material de Apoyo (CLOMA) como centro

de tercer Escalón con mayor capacidad del Ejército del Aire para el man-tenimiento de material automóvil realiza todo tipo de trabajos de sustitu-ción, reparación o fabricación de elementos de este tipo de material.

(Imagen: escudo del CLOMA, fuente: www.ejercitodelaire.mde.es)

ENUNCIADO Imagine que, recientemente, una norma sobre seguridad vial

del Ministerio de Industria ha establecido la obligatoriedad de la instala-ción, en todos los vehículos oficiales, de un dispositivo economizador de combustible que, dependiendo de la naturaleza del vehículo, será del ti-po A, B o C. El JEMA ha cursado una instrucción para que, durante los próximos

seis meses, se proceda a dar cumplimiento a la normativa, instalandolos dispositivos en todos los vehículos a motor del Ejército del Aire.

Para realizar la tarea el CLOMA cuenta con tres talleres T1, T2 y T3que, debido a su diferente equipamiento, tendrán costes y tiempos de instalación de los disposi-tivos que serán diferentes. La Tabla A muestra para cada taller algunas cifras relevantes al pro-blema: los costes unitarios de instalación (en € por dispositivo); los costes de habilitaciónde los talleres (en € y referidos a la compra de equipamiento para que puedan realizar la insta-lación); los tiempos medidos en días que cada taller tarda en instalar cada dispositivo; los díasdisponibles de cada taller con el personal que en la actualidad está destinado en él. Finalmen-te aparece el número de dispositivos requeridos de cada tipo que habrán de ser instalados.

Tabla A Costes unitarios Costes de Tiempos (Días) Días de trabajo disponibles A B C Habilitación A B C

T1 15 13 10 11.000 0,12 0,10 0,10 350 T2 16 12 9 20.000 0,21 0,15 0,11 150 T3 14 14 10 12.000 0,10 0,10 0,10 150

Requeridos 750 1.000 2.000 Se da la circunstancia de que es posible contratar una ampliación del número de horas disponi-

bles del taller T1 lo que permitiría que, por un importe de 12 000 €, se ampliara en 100 días detrabajo la capacidad disponible de dicho taller.


1) Formule el problema que se describe enel apartado siguiente de la forma habi-tual.

2) Determine el plan de actuación óptimode manera que se consiga instalar la to-talidad de los dispositivos requeridos acoste mínimo. Deberá decidir de mane-ra simultánea qué talleres se habilitan,qué cantidad de dispositivos debe insta-lar cada taller de los habilitados y si esrentable la ampliación de T1 o no lo es.

3) Suponga ahora que el coste de amplia-ción del taller T1 pasa de 12 000 € a11 000 €, ¿se produce algún cambio enel plan óptimo?



22

2.4 Instrucción del JEMA (2/SO/PLE) El Centro Logístico de Material de Apoyo (CLOMA) como centro

de tercer Escalón con mayor capacidad del Ejército del Aire para el man-tenimiento de material automóvil realiza todo tipo de trabajos de sustitu-ción, reparación o fabricación de elementos de este tipo de material.

(Imagen: escudo del CLOMA, fuente: www.ejercitodelaire.mde.es)

ENUNCIADO Imagine que, recientemente, una norma sobre seguridad vial

del Ministerio de Industria ha establecido la obligatoriedad de la instala-ción, en todos los vehículos oficiales, de un dispositivo economizador de combustible que, dependiendo de la naturaleza del vehículo, será del ti-po A, B o C. El JEMA ha cursado una instrucción para que, durante los próximos

seis meses, se proceda a dar cumplimiento a la normativa, instalandolos dispositivos en todos los vehículos a motor del Ejército del Aire.

Para realizar la tarea el CLOMA cuenta con tres talleres T1, T2 y T3que, debido a su diferente equipamiento, tendrán costes y tiempos de instalación de los disposi-tivos que serán diferentes. La Tabla A muestra para cada taller algunas cifras relevantes al pro-blema: los costes unitarios de instalación (en € por dispositivo); los costes de habilitaciónde los talleres (en € y referidos a la compra de equipamiento para que puedan realizar la insta-lación); los tiempos medidos en días que cada taller tarda en instalar cada dispositivo; los díasdisponibles de cada taller con el personal que en la actualidad está destinado en él. Finalmen-te aparece el número de dispositivos requeridos de cada tipo que habrán de ser instalados.

Tabla A Costes unitarios Costes de Tiempos (Días) Días de trabajo disponibles A B C Habilitación A B C

T1 15 13 10 11.000 0,12 0,10 0,10 350 T2 16 12 9 20.000 0,21 0,15 0,11 150 T3 14 14 10 12.000 0,10 0,10 0,10 150

Requeridos 750 1.000 2.000 Se da la circunstancia de que es posible contratar una ampliación del número de horas disponi-

bles del taller T1 lo que permitiría que, por un importe de 12 000 €, se ampliara en 100 días detrabajo la capacidad disponible de dicho taller.


1) Formule el problema que se describe enel apartado siguiente de la forma habi-tual.

2) Determine el plan de actuación óptimode manera que se consiga instalar la to-talidad de los dispositivos requeridos acoste mínimo. Deberá decidir de mane-ra simultánea qué talleres se habilitan,qué cantidad de dispositivos debe insta-lar cada taller de los habilitados y si esrentable la ampliación de T1 o no lo es.

3) Suponga ahora que el coste de amplia-ción del taller T1 pasa de 12 000 € a11 000 €, ¿se produce algún cambio enel plan óptimo?


23


FORMULACIÓN

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iT Talleres T = {T1, T2, T3} jD Dispositivos D = {A, B, C}

2. DATOS cij Coste unitario instalación dispositivo j en taller i (€) dj Tiempo disponible de cada taller (días) rj Demanda de cada dispositivo (unidades) chi Costes de habilitación taller i (€) cT1 Coste aumento de la capacidad del taller 1 (€) aT1 Días extras al aumentar la capacidad del taller 1 tij Días de instalación dispositivo j en taller i M Un número suficientemente grande

3. VARIABLES Xij Dispositivos de tipo j instalados en taller i (unidades) Yi Binaria. con valor 1 si se habilita el taller i HT1 Binaria. con valor 1 si se contrata el aumento del taller 1

4. FORMA COMPACTA

Dj1;0Y,HTDj,Ti0X

DjYX

DjaTHTdtX

DjdtX

DjrX

.a.s

cTHTXcYch

min

i1

ij

iij

11jjTjT

jT,Ti

ijij

jTi

ij

11Ti Dj

ijijTi

ii

11

32

M

La función objetivo es de carácter económico, ya que se pretende minimizar el coste total de la operación, y tiene tres componentes descritos en la fórmula siguiente como C1, C2 y C3:

3

11

2

Ti Djijij

1

Tiii

C

cTHT

C

Xc

C

Ych

El coste de habilitación (C1) de cada taller que se decida equipar para poder instalarlos nuevos dispositivos.

El coste de instalación (C2) de cada dispositivo en cada taller. El coste (C3) que tendría la decisión de aumentar la capacidad del taller 1.


24

Las restricciones, en el orden en que aparecen en la forma compacta, tienen el siguiente significado:

Se reparan todos los dispositivos requeridos:

DjrX jTi

ij

Se respetan las horas disponibles en cada taller (se trata diferente el taller 1 dadala decisión que hay que tomar sobre el aumento de su capacidad):

DjaTHTdtX

DjdtX

11jjTjT

jT,Ti

ijij

11

32

Se relacionan las variables de decisión que hacen referencia a la carga de trabajode un taller Xij y al hecho de que si dicha carga no es nula respecto a algún dispo-sitivo a instalar, entonces forzosamente el taller correspondiente ha debido ser ha-bilitado. Si no incluyéramos esta restricción, no habría manera de evitar que lasvariables binarias Yi fueran cero (para minimizar la función objetivo) y que, sin em-bargo, se le exigiera a un taller no habilitado la instalación de dispositivos para po-der cumplir con las cifras requeridas.

DjYX iij M

Nótese que esta restricción hace que se cumpla la implicación siguiente:

0X0X00Y

X0X01Y

ijiji

ijiji M

Finalmente, las tres últimas restricciones fijan la naturaleza, real o binaria, de lasvariables de decisión.

Apartado 2)



24

Las restricciones, en el orden en que aparecen en la forma compacta, tienen el siguiente significado:

Se reparan todos los dispositivos requeridos:

DjrX jTi

ij

Se respetan las horas disponibles en cada taller (se trata diferente el taller 1 dadala decisión que hay que tomar sobre el aumento de su capacidad):

DjaTHTdtX

DjdtX

11jjTjT

jT,Ti

ijij

11

32

Se relacionan las variables de decisión que hacen referencia a la carga de trabajode un taller Xij y al hecho de que si dicha carga no es nula respecto a algún dispo-sitivo a instalar, entonces forzosamente el taller correspondiente ha debido ser ha-bilitado. Si no incluyéramos esta restricción, no habría manera de evitar que lasvariables binarias Yi fueran cero (para minimizar la función objetivo) y que, sin em-bargo, se le exigiera a un taller no habilitado la instalación de dispositivos para po-der cumplir con las cifras requeridas.

DjYX iij M

Nótese que esta restricción hace que se cumpla la implicación siguiente:

0X0X00Y

X0X01Y

ijiji

ijiji M

Finalmente, las tres últimas restricciones fijan la naturaleza, real o binaria, de lasvariables de decisión.

Apartado 2)


25

La solución para 12 000 € es la siguiente (la decisión óptima supone no ampliar T1):

Apartado 3)

Al disminuir el coste de aumento de T1, la solución cambia y ahora ya sí interesa la am-pliación del taller 1:


26

2.5 Plan de contratación en MAESMA (3/OS/PLE) La Maestranza Aérea de Madrid (MAESMA), que depende

orgánicamente del Mando Aéreo General (MAGEN) y operativa-mente del Mando del Apoyo Logístico (MALOG), está unida al na-cimiento de la aviación española desde que, en 1911, comenza-ron a funcionar los talleres de Cuatro Vientos. En la actualidad, es uno de los centros logísticos del Ejercito del Aire más importan-tes.

(Imagen: escudo de MAESMA, fuente: www.ejercitodelaire.mde.es)

ENUNCIADO

Suponga que MAESMA tiene el encargo de fabricar, du-rante los próximos quince meses (enero-marzo), una serie de dis-positivos de bajo coste que serán embarcados en las aeronaves del Ejército del Aire. La tabla A muestra la cantidad de dispositi-vos que han de ser fabricados y entregados al final de cada mes a los primeros escalones de mantenimiento de las unidades para su instalación:

Tabla A

Mes Ener

o

Febr

ero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Julio

Agos

to

Septi

embr

e

Octub

re

Novie

mbre

Dicie

mbre

Ener

o

Febr

ero

Marzo

Dispositivos 2.400 2.000 1.620 1.680 2.100 1.680 1.760 1.920 2.180 2.040 2.280 2.380 2.380 2.200 1.960

La maestranza no cuenta con capacidad orgánica suficiente para atender a esta carga de traba-jo, ya que dispone únicamente de 20 trabajadores habilitados para realizar esta tarea, siendocapaz, cada uno de ellos, de fabricar 25 artículos por mes. Dada esta carencia de personal or-gánico, MAESMA se ve obligada a contratar con una ETT (Empresa de trabajo temporal) a per-sonal de apoyo para poder asumir la carga de trabajo descrita.

La ETT que ha ganado el concurso ofrece las siguientes condiciones:

a) Contratará y despedirá, al principio de cada mes, a un número no limitado de trabaja-dores, según las indicaciones recibidas por el responsable en MAESMA del plan de fa-bricación.

b) Las contrataciones de personal han de ser por períodos mínimos de un mes.c) La empresa garantiza una capacidad productiva por parte de dichos trabajadores de 18

artículos fabricados por trabajador y mes.d) El coste de contratación que satisfará MAESMA a la ETT será de 200 unidades moneta-

rias al mes por cada trabajador que se encuentre activo y de 400 unidades monetariasen concepto de indemnización por despido (independientemente del tiempo trabajado,y que será abonado una única vez en el momento del despido).

e) Debe tener en cuenta que, a principios del mes siguiente al último del período de 15meses que dura la revisión, deberá hacer efectivo el despido de todos los trabajadorestemporales que tuviera activos el último día del período de revisión.

Debe satisfacer la demanda mensual descrita con anterioridad, pero puede fabricar más artícu-los de los estrictamente necesarios para entregarlos a las unidades con posterioridad.

Los artículos fabricados en exceso sobre la demanda mensual habrán de ser almacenados hastasu posterior entrega a un coste de 50 unidades monetarias por artículo y mes.

El coste de las materias primas para la fabricación es despreciable, y los únicos gastos compu-tables están referidos a los de contratación y despido del personal temporal y al almace-namiento de los artículos.


26

2.5 Plan de contratación en MAESMA (3/OS/PLE) La Maestranza Aérea de Madrid (MAESMA), que depende

orgánicamente del Mando Aéreo General (MAGEN) y operativa-mente del Mando del Apoyo Logístico (MALOG), está unida al na-cimiento de la aviación española desde que, en 1911, comenza-ron a funcionar los talleres de Cuatro Vientos. En la actualidad, es uno de los centros logísticos del Ejercito del Aire más importan-tes.

(Imagen: escudo de MAESMA, fuente: www.ejercitodelaire.mde.es)

ENUNCIADO

Suponga que MAESMA tiene el encargo de fabricar, du-rante los próximos quince meses (enero-marzo), una serie de dis-positivos de bajo coste que serán embarcados en las aeronaves del Ejército del Aire. La tabla A muestra la cantidad de dispositi-vos que han de ser fabricados y entregados al final de cada mes a los primeros escalones de mantenimiento de las unidades para su instalación:

Tabla A

Mes Ener

o

Febr

ero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Julio

Agos

to

Septi

embr

e

Octub

re

Novie

mbre

Dicie

mbre

Ener

o

Febr

ero

Marzo

Dispositivos 2.400 2.000 1.620 1.680 2.100 1.680 1.760 1.920 2.180 2.040 2.280 2.380 2.380 2.200 1.960

La maestranza no cuenta con capacidad orgánica suficiente para atender a esta carga de traba-jo, ya que dispone únicamente de 20 trabajadores habilitados para realizar esta tarea, siendocapaz, cada uno de ellos, de fabricar 25 artículos por mes. Dada esta carencia de personal or-gánico, MAESMA se ve obligada a contratar con una ETT (Empresa de trabajo temporal) a per-sonal de apoyo para poder asumir la carga de trabajo descrita.

La ETT que ha ganado el concurso ofrece las siguientes condiciones:

a) Contratará y despedirá, al principio de cada mes, a un número no limitado de trabaja-dores, según las indicaciones recibidas por el responsable en MAESMA del plan de fa-bricación.

b) Las contrataciones de personal han de ser por períodos mínimos de un mes.c) La empresa garantiza una capacidad productiva por parte de dichos trabajadores de 18

artículos fabricados por trabajador y mes.d) El coste de contratación que satisfará MAESMA a la ETT será de 200 unidades moneta-

rias al mes por cada trabajador que se encuentre activo y de 400 unidades monetariasen concepto de indemnización por despido (independientemente del tiempo trabajado,y que será abonado una única vez en el momento del despido).

e) Debe tener en cuenta que, a principios del mes siguiente al último del período de 15meses que dura la revisión, deberá hacer efectivo el despido de todos los trabajadorestemporales que tuviera activos el último día del período de revisión.

Debe satisfacer la demanda mensual descrita con anterioridad, pero puede fabricar más artícu-los de los estrictamente necesarios para entregarlos a las unidades con posterioridad.

Los artículos fabricados en exceso sobre la demanda mensual habrán de ser almacenados hastasu posterior entrega a un coste de 50 unidades monetarias por artículo y mes.

El coste de las materias primas para la fabricación es despreciable, y los únicos gastos compu-tables están referidos a los de contratación y despido del personal temporal y al almace-namiento de los artículos.

27


1) Escribir el problema descrito en el apartado siguiente en forma compacta.

2) Establecer un plan de contratación/despido/fabricación/ que garantice la satisfacción de lademanda mensual de artículo y sea óptima en coste.

3) Imagine ahora que la legislación le impide despedir al comienzo de un mes a una cantidadde empleados temporales superior al 90 % del número de este tipo de trabajadores que seencontraran activos durante el mes anterior. ¿Cómo incide esta nueva legislación sobre elplan propuesto y sobre el gasto total de la revisión?

4) Existe la posibilidad de adoptar medidas tendentes a aumentar la productividad de los me-dios orgánicos. Calcule cómo variaría el número de trabajadores de la ETT que sería necesa-rio contratar para satisfacer la demanda y cómo variaría el coste total si dicha productividadorgánica estuviera entre los valores 15 y 20 (artículos por trabajador y día, ambos inclusive).¿Qué disminución de coste se observa por unidad de productividad aumentada?


28

SOLUCIÓN

Apartado 1)

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iM Meses M = {1…,15}, |M|=15

2. DATOS cCon Coste contratación de un trabajador temporal por mes (€/mes) cDes Coste despido de un trabajador (€) cAlm Coste de almacenamiento (€/unidad y mes) ri Artículos requeridos durante el mes i pE Productividad de los trabajadores de la ETT (artículos/mes y trabajador)

3. VARIABLES

Las variables de decisión son las siguientes: Ci Trabajadores contratados al principio del mes i Di Trabajadores despedidos al principio del mes i

Las variables auxiliares que necesitaré para plantear el problema, pero que se deducen de las variables de decisión son las siguientes:

Xi Trabajadores (ETT) en activo durante el mes i Si Dispositivos que se me exigen y puedo fabricar con medios orgánicos Ii Dispositivos almacenados durante el mes i

4. FORMA COMPACTA

MiZD,C0X,I

Mi0I,XXD

MiSXpIIMiDCXXMi2520rS

.a.s

cIDcDcC

min

ii

00

ii

M1M

iiE1ii

ii1ii

ii

Almacena

MiAlmi

final mensual Despide

Mi1MDesi

Contrata

MiConi

5. EXPLICACIÓN

Vemos que, en la formulación anterior, las variables de decisión, en contra de lo que pu-diera parecer intuitivo, no son el número de artículos fabricados por los medios orgánicos e inorgá-nicos, sino el número de trabajadores de la ETT contratados y despedidos al principio de cada mes del período de planeamiento.

Supondremos que los medios orgánicos trabajan al máximo de sus capacidades, fabricando cada trabajador el número máximo de artículos según su tasa de productividad (lo que convierte la fabricación mensual por medios orgánicos en una constante a lo largo del período), y que el resto de los artículos demandados han de ser fabricados por los medios inorgánicos, es decir por los tra-bajadores de la ETT.

El número de artículos fabricados en un mes es entonces la suma de los fabricados por medios orgánicos (constante), más los fabricados por medios no orgánicos, a los que supondremos


28

SOLUCIÓN

Apartado 1)

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iM Meses M = {1…,15}, |M|=15

2. DATOS cCon Coste contratación de un trabajador temporal por mes (€/mes) cDes Coste despido de un trabajador (€) cAlm Coste de almacenamiento (€/unidad y mes) ri Artículos requeridos durante el mes i pE Productividad de los trabajadores de la ETT (artículos/mes y trabajador)

3. VARIABLES

Las variables de decisión son las siguientes: Ci Trabajadores contratados al principio del mes i Di Trabajadores despedidos al principio del mes i

Las variables auxiliares que necesitaré para plantear el problema, pero que se deducen de las variables de decisión son las siguientes:

Xi Trabajadores (ETT) en activo durante el mes i Si Dispositivos que se me exigen y puedo fabricar con medios orgánicos Ii Dispositivos almacenados durante el mes i

4. FORMA COMPACTA

MiZD,C0X,I

Mi0I,XXD

MiSXpIIMiDCXXMi2520rS

.a.s

cIDcDcC

min

ii

00

ii

M1M

iiE1ii

ii1ii

ii

Almacena

MiAlmi

final mensual Despide

Mi1MDesi

Contrata

MiConi

5. EXPLICACIÓN

Vemos que, en la formulación anterior, las variables de decisión, en contra de lo que pu-diera parecer intuitivo, no son el número de artículos fabricados por los medios orgánicos e inorgá-nicos, sino el número de trabajadores de la ETT contratados y despedidos al principio de cada mes del período de planeamiento.

Supondremos que los medios orgánicos trabajan al máximo de sus capacidades, fabricando cada trabajador el número máximo de artículos según su tasa de productividad (lo que convierte la fabricación mensual por medios orgánicos en una constante a lo largo del período), y que el resto de los artículos demandados han de ser fabricados por los medios inorgánicos, es decir por los tra-bajadores de la ETT.

El número de artículos fabricados en un mes es entonces la suma de los fabricados por medios orgánicos (constante), más los fabricados por medios no orgánicos, a los que supondremos

29

también trabajando al máximo de su capacidad productiva. Al no introducir como variable de deci-sión los artículos a almacenar al final de cada mes estamos suponiendo de forma implícita que estos son automáticamente almacenados. Veamos ahora cómo se actualizan las variables que definen el estado del proceso de fabricación:

La variable Si (demanda neta de artículos del mes i), se refiere al número de artículos que se exige entregar al final del mes i, pero que no puedo fabricar con medios orgánicos y por tanto tengo que fabricar a través de los trabajadores contratados a la ETT.

Su expresión es la siguiente:

MAESE

dadProductivireal

Demanda

i

netaDemanda

i 2520rS

La denominamos demanda neta porque se refiere a aquella que se produce en relación con la gestión de contrataciones y despidos de la ETT y se calcula como la demanda real (ri) menos la demanda que puedo satisfacer con medios orgánicos.

Para el cálculo de la variable auxiliar, Xi, que se refiere al número de trabajadores (ETT) en activo al principio del mes i, simplemente añadimos a los que había al final del mes anterior los con-tratados al principio de mes y le restamos los despedidos al principio de mes:

ii1ii DCXX

Para calcular el valor de la variable auxiliar (Ii), que se refiere al número de artículos que tenemos almacenados para su posible entrega posterior, simplemente sumamos los almacenados cada mes (ai), que calculamos mediante la expresión siguiente:

ijij

Sobrantes

Neta Dem.

i

ETT

iE

Demanda

i

hechos Total

OrgánicoETT

iE

Almacén

i

aI

MiSXpr2520Xpa

Es decir, el número de artículos que están almacenados al final de cada mes (Ij) es el de las existencias de los almacenes a finales del mes anterior, más los fabricados durante dicho mes (igual al número de trabajadores inorgánicos Xi, con una productividad dada por pE), menos la de-manda neta de dicho mes que supondremos que somos capaces de satisfacer.

La exigencia de que, al final del período, ha de despedirse a todos los trabajadores de la ETT que estuvieran contratados se formula mediante la siguiente expresión (|M| se refiere el cardi-nal del conjunto M, es decir los 15 meses que comprenden el período de planeamiento).

M1M XD

Expresión que indica que al principio del mes siguiente al último de planeamiento se despi-de a todos los trabajadores activos.

Al exigir que las variables Xi, e Ii sean no negativas hacemos no solo que se respete la lógi-ca del problema (no puede haber activos un número de trabajadores inferior a cero), sino que se contrate un número necesario de trabajadores para satisfacer la demanda mensual.

Mi0I,X ii

Finalmente es necesario dar valores iniciales nulos a X0 e I0, y que el número de contrata-dos y despedidos sea entero.


30

La función objetivo tiene un carácter económico, ya que se debe minimizar los costes. Este coste total tiene tres componentes:

El coste de contratación (C1) de los nuevos empleados que realizo cada mes. El coste de despido (C2) en el que incurro cada mes. El coste de almacenamiento (C3).

321 C

Ti

1iAlmi

C

1Ti

1iDesi

C

Ti

1iConi cIcDcC

Apartado 2)

El aspecto de la hoja de Solver sería el siguiente:


30

La función objetivo tiene un carácter económico, ya que se debe minimizar los costes. Este coste total tiene tres componentes:

El coste de contratación (C1) de los nuevos empleados que realizo cada mes. El coste de despido (C2) en el que incurro cada mes. El coste de almacenamiento (C3).

321 C

Ti

1iAlmi

C

1Ti

1iDesi

C

Ti

1iConi cIcDcC

Apartado 2)


31

La solución del segundo apartado es la siguiente:

Nótese que hemos fabricado 32 artículos en exceso.


32

Apartado 3)

Para resolver el tercer apartado basta calcular una nueva variable (mdi) referida al número máximo de despidos posibles al principio de cada mes, calculada como:

K

1M

1

i1i

md0md

15,..2iX1,0md

Siendo K un número suficientemente grande, y se debe añadir a la forma compacta ante-rior la restricción siguiente:

16,15,..2imdD 1ii

La solución al tercer apartado es:

Lógicamente más costosa que la del apartado anterior y con más artículos remanentes al final del período.


32

Apartado 3)

Para resolver el tercer apartado basta calcular una nueva variable (mdi) referida al número máximo de despidos posibles al principio de cada mes, calculada como:

K

1M

1

i1i

md0md

15,..2iX1,0md

Siendo K un número suficientemente grande, y se debe añadir a la forma compacta ante-rior la restricción siguiente:

16,15,..2imdD 1ii

La solución al tercer apartado es:

Lógicamente más costosa que la del apartado anterior y con más artículos remanentes al final del período.

33

Apartado 4)

La solución al cuarto apartado es:

La pendiente de la recta de regresión que explica la variación del coste en función de la productividad orgánica es de valor 5 967,9. Esto supone que por cada unidad que los trabaja-dores de MAESMA fueran capaces de producir más al día, los costes de producción dis-minuirían en 5 970 euros.


34

2.6 Plan de mantenimiento de un escuadrón de FFAA (2/OS/PLE) El 793 Escuadrón de Vuelo Básico es el encargado

de impartir la asignatura Sistemas y Procedimientos de Vuelo II, que corresponde con la fase de vuelo básico pa-ra los alumnos de la AGA que realizan su formación como pilotos.

Durante el desarrollo de esta fase, los alumnos-pilotos realizan un total de ciento diez horas de vuelo en el avión a reacción de enseñanza E-25 (Casa C-101) de fabricación nacional.

El principal objetivo del vuelo básico se puede concretar en la formación y capacitación de los alumnos para ejercer los cometidos de preparación y empleo de la fuerza, en todo aquello relacionado con el aspecto aero-náutico.

ENUNCIADO

Un escuadrón de FFAA dispone de 20 aeronaves del mismo tipo sobre las que será necesario realizar, en las próximas 24 semanas, una determinada tarea de mantenimiento programado de du-ración diferente para cada aeronave. La tabla A da la duración (en semanas) del mantenimiento al que ha de someterse cada aeronave:

Tabla A Aeronave 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Semanas 2 2 4 3 4 3 3 2 2 2 3 2 3 2 2 4 2 3 2 2

Por su parte, la tabla B da, para cada semana del período de mantenimiento, la disponibili-dad máxima de equipos de revisión (Max_en_Mto), capaces, cada uno de ellos, de atender a una única aeronave. La misma tabla da también el número (Requeridas) de aeronaves que han de es-tar operativas en cada semana (una aeronave se supondrá operativa si no está siendo sometida a la tarea de mantenimiento).

Tabla B Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Requeridas 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14

Max_en_Mto 4 4 4 4 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

El número de horas de vuelo que cada avión realiza a la semana está fijado en 50 (hS). To-do avión que no se encuentre en tareas de mantenimiento deberá realizar, semanalmente, dicho número de horas de vuelo. La tabla C da las horas de vuelo (hi) que tiene cada aeronave al inicio del período de planeamiento (Semana 0).

Tabla C Aeronave 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 hi 433 688 628 427 376 776 186 582 274 72 386 137 439 0 672 431 235 676 580 527

Otras consideraciones que deben tenerse en cuenta son las siguientes:

Ninguna aeronave debe sobrepasar las 1 200 horas de vuelo (hM), es decir, debe serrevisada antes de que se llegue a dicha cifra, teniendo en cuenta las HV ya realiza-das y las 50 que realizará cada semana hasta que empiece su mantenimiento.

Una vez que se comienza el mantenimiento de una aeronave, este deber realizarsecompletamente (no es posible interrumpir el trabajo sobre una aeronave para conti-nuarlo más adelante).

Las tareas de mantenimiento comienzan al principio de la semana.


34

2.6 Plan de mantenimiento de un escuadrón de FFAA (2/OS/PLE) El 793 Escuadrón de Vuelo Básico es el encargado

de impartir la asignatura Sistemas y Procedimientos de Vuelo II, que corresponde con la fase de vuelo básico pa-ra los alumnos de la AGA que realizan su formación como pilotos.

Durante el desarrollo de esta fase, los alumnos-pilotos realizan un total de ciento diez horas de vuelo en el avión a reacción de enseñanza E-25 (Casa C-101) de fabricación nacional.

El principal objetivo del vuelo básico se puede concretar en la formación y capacitación de los alumnos para ejercer los cometidos de preparación y empleo de la fuerza, en todo aquello relacionado con el aspecto aero-náutico.

ENUNCIADO

Un escuadrón de FFAA dispone de 20 aeronaves del mismo tipo sobre las que será necesario realizar, en las próximas 24 semanas, una determinada tarea de mantenimiento programado de du-ración diferente para cada aeronave. La tabla A da la duración (en semanas) del mantenimiento al que ha de someterse cada aeronave:

Tabla A Aeronave 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Semanas 2 2 4 3 4 3 3 2 2 2 3 2 3 2 2 4 2 3 2 2

Por su parte, la tabla B da, para cada semana del período de mantenimiento, la disponibili-dad máxima de equipos de revisión (Max_en_Mto), capaces, cada uno de ellos, de atender a una única aeronave. La misma tabla da también el número (Requeridas) de aeronaves que han de es-tar operativas en cada semana (una aeronave se supondrá operativa si no está siendo sometida a la tarea de mantenimiento).

Tabla B Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Requeridas 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14

Max_en_Mto 4 4 4 4 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

El número de horas de vuelo que cada avión realiza a la semana está fijado en 50 (hS). To-do avión que no se encuentre en tareas de mantenimiento deberá realizar, semanalmente, dicho número de horas de vuelo. La tabla C da las horas de vuelo (hi) que tiene cada aeronave al inicio del período de planeamiento (Semana 0).

Tabla C Aeronave 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 hi 433 688 628 427 376 776 186 582 274 72 386 137 439 0 672 431 235 676 580 527

Otras consideraciones que deben tenerse en cuenta son las siguientes:

Ninguna aeronave debe sobrepasar las 1 200 horas de vuelo (hM), es decir, debe serrevisada antes de que se llegue a dicha cifra, teniendo en cuenta las HV ya realiza-das y las 50 que realizará cada semana hasta que empiece su mantenimiento.

Una vez que se comienza el mantenimiento de una aeronave, este deber realizarsecompletamente (no es posible interrumpir el trabajo sobre una aeronave para conti-nuarlo más adelante).

Las tareas de mantenimiento comienzan al principio de la semana.

35


1) Deduzca la forma compacta del problema y diseñe un plan de mantenimiento óptimo dandola semana en que deben comenzar las tareas a realizar sobre cada aeronave, de maneraque no se supere el número máximo de equipos disponibles, se cumpla la restricción relativaal número de aeronaves operativas cada semana y la relativa al número máximo de horasde vuelo antes de la revisión (≤ hM). El criterio de optimalidad es el de maximizar el pro-medio semanal del número de aeronaves disponibles a lo largo de las 24 semanasdel período de planeamiento.

2) Igual que el primer apartado, pero ahora maximizando el número de semanas en elque las aeronaves se encuentran operativas.

3) Igual que el primer apartado, pero ahora maximizando el número de horas de vuelohechas por las aeronaves antes de entrar en mantenimiento.

4) Igual que el primer apartado, pero ahora maximizando el número de horas de vuelohechas por las aeronaves después de entrar en mantenimiento

5) Igual que el primer apartado, pero ahora maximizando el mínimo número de aerona-ves operativas en cualesquiera de las semanas del período.

6) Igual que el primer apartado, pero ahora minimizando el máximo número de estacio-nes de mantenimiento ocupadas en cualesquiera de las semanas del período.

7) Igual que el primer apartado, pero ahora haciendo que la fecha de entrada en mante-nimiento más temprana, sea lo más tardía posible.

8) Igual que el primer apartado, pero ahora haciendo que la fecha de salida de manteni-miento más tardía, sea lo más temprana posible.

9) Compare todas las soluciones anteriores y determine si hay alguna mejor que otra.


36

SOLUCIÓN

Apartado 1)

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iA Aeronaves del escuadrón, A = {1…, 20} jT Semanas del período de mantenimiento, T = {1..., 24}

2. DATOS mi Semanas que debe durar el mantenimiento de la aeronave i rj Aeronaves que deben estar operativas durante la semana j ej Estaciones de mantenimiento disponibles durante la semana j hi Horas de vuelo al principio del período de la aeronave i hM Máximo número de hv posibles antes del mantenimiento hS Horas de vuelo semanales que realizan las aeronaves operativas

3. VARIABLES

Las variables de decisión son las siguientes: Xij Binaria. 1 si la aeronave i está en mantenimiento la semana j Cij Binaria. 1 si la aeronave i entra en mantenimiento al principio de j

4. FORMA COMPACTA

Tj;Ai1;0C;XTj;AiCXX

Ai1C

Aih

hhECj

TjeX

AimX

TjrXA

.a.s

XTA

max

ijij

1jiij1ji

Tjij

S

iM

Tjij

jAi

ij

iTj

ij

jAi

ij

Ai Tjij

5. EXPLICACIÓN

La elección de las variables de decisión, que puede parecer poco intuitiva, permite sin em-bargo un control absoluto sobre todos los aspectos relevantes del problema y su linealización.

Estos aspectos son los siguientes:

Número de aviones no operativos (en mantenimiento) en la semana j:

Ai

ijj XM

Número de aviones operativos en la semana j:

Ai

ijj XAO


36

SOLUCIÓN

Apartado 1)

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iA Aeronaves del escuadrón, A = {1…, 20} jT Semanas del período de mantenimiento, T = {1..., 24}

2. DATOS mi Semanas que debe durar el mantenimiento de la aeronave i rj Aeronaves que deben estar operativas durante la semana j ej Estaciones de mantenimiento disponibles durante la semana j hi Horas de vuelo al principio del período de la aeronave i hM Máximo número de hv posibles antes del mantenimiento hS Horas de vuelo semanales que realizan las aeronaves operativas

3. VARIABLES

Las variables de decisión son las siguientes: Xij Binaria. 1 si la aeronave i está en mantenimiento la semana j Cij Binaria. 1 si la aeronave i entra en mantenimiento al principio de j

4. FORMA COMPACTA

Tj;Ai1;0C;XTj;AiCXX

Ai1C

Aih

hhECj

TjeX

AimX

TjrXA

.a.s

XTA

max

ijij

1jiij1ji

Tjij

S

iM

Tjij

jAi

ij

iTj

ij

jAi

ij

Ai Tjij

5. EXPLICACIÓN

La elección de las variables de decisión, que puede parecer poco intuitiva, permite sin em-bargo un control absoluto sobre todos los aspectos relevantes del problema y su linealización.

Estos aspectos son los siguientes:

Número de aviones no operativos (en mantenimiento) en la semana j:

Ai

ijj XM

Número de aviones operativos en la semana j:

Ai

ijj XAO

37

Semanas de disponibilidad en el período (disponibilidad total):

jM

Ai Tjij

480

2420

XTA

D

Semanas de operatividad que le quedan a una aeronave antes de entrar en mante-nimiento:

S

iM

hhh

E

Semanas de operatividad de una aeronave que entra en mantenimiento al principiode la semana j-ésima:

Tj

ijCj

La función objetivo del primer apartado es la disponibilidad total (Oj), es decir, el núme-ro de aviones que se encuentran operativos a lo largo de las 24 semanas del período de mante-nimiento. El sentido de la optimización es el de maximizar este número, equivalente a minimizar el número de aviones no disponibles (Mj) durante el mismo período:

jj MminOmax

La restricción que impone que el número de aviones operativos a lo largo de una sema-na sea no inferior al de aeronaves que deben estar operativas en dicha semana es:

TjrXA j

Oj

Aiij

La restricción que impone que el número de semanas que una aeronave está en mante-nimiento sea exactamente igual a la duración de las tareas que es necesario realizar sobre dicha aeronave es:

AimX iTj

ij

La restricción que impone que el número de aviones en revisión a lo largo de una se-mana sea menor que el de estaciones de mantenimiento disponibles en dicha semana es:

TjeX jAi

ij


38

La restricción que impone que al menos una aeronave se encuentre en tareas de man-tenimiento es:

Tj1XAi

ij

La restricción que impone que ninguna aeronave realice, antes de entrar en manteni-miento, más horas de vuelo que el máximo disponible es:

S

iM

Tjij h

hhECj

La parte derecha de la restricción es la parte entera del número de semanas que un avión con hi horas de vuelo, que vuela hS horas a la semana hasta un máximo de hM (se toma la parte entera dada la obligatoriedad de que los mantenimientos comiencen siempre al principio de semana). La parte izquierda es la semana en la que la aeronave entra en mantenimiento.

La restricción que todas las aeronaves sean revisadas al menos una vez es la siguiente:

Tj1CAi

ij

La restricción que obliga a que las variables binarias de decisión mantengan un compor-tamiento coherente es la siguiente:

1jiij1ji CXX

Para deducir la restricción es necesario entender que responde a una imposición de ca-rácter lógico: si los valores de la variable X, en dos semanas consecutivas, Xij e Xi(j+1), son 0 y 1 respectivamente es porque la aeronave en cuestión, que se encontraba operativa durante la se-mana j (Xij=0), entra en mantenimiento al principio de la semana j+1 (X i(j+1) = 1), por lo que el valor de la variable C i(j+1) ha de ser igual a 1. Expresado como condición lógica tendríamos:

1ji1jiij CXX

Deduciendo la forma normal conjuntiva del predicado anterior tenemos:

FNC1ji1jiij

1ji1jiij

1ji1jiij

1ji1jiij

CXXCXX

CXXCXX

Que supone que ha de verificarse la siguiente igualdad:

1jiij1ji

1jiij1ji

1ji1jiij

1ji1jiij

CXX0CXX

1CXX1CXX

Finalmente, aparece la restricción que impone el carácter binario de las variables de decisión.


38

La restricción que impone que al menos una aeronave se encuentre en tareas de man-tenimiento es:

Tj1XAi

ij

La restricción que impone que ninguna aeronave realice, antes de entrar en manteni-miento, más horas de vuelo que el máximo disponible es:

S

iM

Tjij h

hhECj

La parte derecha de la restricción es la parte entera del número de semanas que un avión con hi horas de vuelo, que vuela hS horas a la semana hasta un máximo de hM (se toma la parte entera dada la obligatoriedad de que los mantenimientos comiencen siempre al principio de semana). La parte izquierda es la semana en la que la aeronave entra en mantenimiento.

La restricción que todas las aeronaves sean revisadas al menos una vez es la siguiente:

Tj1CAi

ij

La restricción que obliga a que las variables binarias de decisión mantengan un compor-tamiento coherente es la siguiente:

1jiij1ji CXX

Para deducir la restricción es necesario entender que responde a una imposición de ca-rácter lógico: si los valores de la variable X, en dos semanas consecutivas, Xij e Xi(j+1), son 0 y 1 respectivamente es porque la aeronave en cuestión, que se encontraba operativa durante la se-mana j (Xij=0), entra en mantenimiento al principio de la semana j+1 (X i(j+1) = 1), por lo que el valor de la variable C i(j+1) ha de ser igual a 1. Expresado como condición lógica tendríamos:

1ji1jiij CXX

Deduciendo la forma normal conjuntiva del predicado anterior tenemos:

FNC1ji1jiij

1ji1jiij

1ji1jiij

1ji1jiij

CXXCXX

CXXCXX

Que supone que ha de verificarse la siguiente igualdad:

1jiij1ji

1jiij1ji

1ji1jiij

1ji1jiij

CXX0CXX

1CXX1CXX

Finalmente, aparece la restricción que impone el carácter binario de las variables de decisión.

39

El aspecto de la hoja con ambas variables a cero es el siguiente:


40

La s

oluc

ión

al p

rimer

apa

rtad

o es

la s

igui

ente

:


40

La s

oluc

ión

al p

rimer

apa

rtad

o es

la s

igui

ente

:

41

La r

epre

sent

ació

n gr

áfic

a de

la s

oluc

ión

al p

rimer

apa

rtad

o es

la s

igui

ente

:


42

Apartado 2)

El enunciado del segundo apartado es:

Igual que el primer apartado, pero maximizando el mínimo número de aeronavesoperativas en cualesquiera de las semanas del período.

La función objetivo es ahora el número total de semanas que todos los aviones están operativos:

Ai Tj

ijXTAD

Por lo que la forma compacta es ahora la siguiente:

La solución es la siguiente:


42

Apartado 2)

El enunciado del segundo apartado es:

Igual que el primer apartado, pero maximizando el mínimo número de aeronavesoperativas en cualesquiera de las semanas del período.

La función objetivo es ahora el número total de semanas que todos los aviones están operativos:

Ai Tj

ijXTAD



43

Apartado 3)

El enunciado del tercer apartado es:

Igual que el primer apartado, pero maximizando el número de horas de vuelo hechaspor las aeronaves antes de entrar en mantenimiento.




44

Apartado 4)

El enunciado del cuarto apartado es:

Igual que el primer apartado, pero maximizando el número de horas de vuelo hechaspor las aeronaves después de entrar en mantenimiento.

La forma compacta es ahora la siguiente:



44

Apartado 4)

El enunciado del cuarto apartado es:

Igual que el primer apartado, pero maximizando el número de horas de vuelo hechaspor las aeronaves después de entrar en mantenimiento.



45

Apartado 5)

El enunciado del quinto apartado es:

Igual que el primer apartado, pero ahora maximizando el mínimo número de aerona-ves operativas en cualesquiera de las semanas del período.

La forma compacta es ahora del tipo maximin:

La expresión algebraica es la siguiente:

Tj;Ai1;0C;X

Tj;AiCXX

Ai1C

Aih

hhECj

TjeX

AimX

TjZXA

.a.sZ

max

ijij

1jiij1ji

Tjij

S

iM

Tjij

jAi

ij

iTj

ij

1Ai

ij

1


46


Cuya representación gráfica es la siguiente:


46



47

Apartado 6)

El enunciado del sexto apartado es:

Igual que el primer apartado, pero ahora minimizando el máximo número de estacio-nes de mantenimiento ocupadas en cualesquiera de las semanas del período.

La forma compacta es ahora del tipo minimax:

Tj;Ai1;0C;X

Tj;AiCXX

Ai1C

Aih

hhECj

TjZX

AimX

TjrXA

.a.sZ

min

ijij

1jiij1ji

Tjij

S

iM

Tjij

2Ai

ij

iTj

ij

jAi

ij

2


48

Apartados 7) y 8)

El enunciado de estos apartados es:

Igual que el primer apartado, pero ahora haciendo que la fecha de entrada en manteni-miento más temprana sea lo más tardía posible.

Igual que el primer apartado, pero ahora haciendo que la fecha de salida de mantenimientomás tardía sea lo más temprana posible.

Por lo que son problemas minimax y maximin, cuyas soluciones son las siguientes:


48

Apartados 7) y 8)

El enunciado de estos apartados es:

Igual que el primer apartado, pero ahora haciendo que la fecha de entrada en manteni-miento más temprana sea lo más tardía posible.

Igual que el primer apartado, pero ahora haciendo que la fecha de salida de mantenimientomás tardía sea lo más temprana posible.

Por lo que son problemas minimax y maximin, cuyas soluciones son las siguientes:

49

La comparativa entre las soluciones es la siguiente:


50

2.7 MAESMA se reorganiza (2/SO/LOC) ENUNCIADO

La figura que aparece a continuación muestra la distribución esquemática (parcial) de la Maestranza Aérea de Madrid con algunos de sus talleres existentes designados por los cuadrados 1, 2, 3 y 4. Para realizar trabajos relacionados con la MLU (mid life upgrade o Programa de Moderni-zación de Media Vida) de una nueva aeronave se tienen que agregar cuatro nuevos talleres (I, II, III y IV) que habrán de colocarse en alguno de los lugares designados por los círculos a, b, c y d.

El objetivo es asignar los nuevos talleres a los lugares posibles (a, b, c y d) para minimizar el tráfico total de materiales entre los talleres existentes y los talleres nuevos. La tabla A muestra la frecuencia media diaria de los viajes que se espera que tengan lugar entre los talleres nuevos y los anteriores.

Tabla A Frecuencias de los viajes

Taller Nuevo I II III IV

Taller existente 1 10 2 4 3 2 7 1 9 5 3 0 8 6 2 4 11 4 0 7

El equipo que maneja los materiales viaja a lo largo de los pasillos rectangulares que se cor-tan en las ubicaciones de los centros siempre por el camino más corto posible. Por ejemplo, la dis-tancia del viaje, solo en un sentido (en metros) entre el taller 1 y la ubicación b es 30 + 20 = 50 m.


1) Escribir el PLE descrito en el siguiente apartado en forma compacta.

2) Determinar la asignación óptima de los nuevos talleres a las cuatro posibles localizacio-nes de manera que se minimice el tráfico total diario de materiales.


50

2.7 MAESMA se reorganiza (2/SO/LOC) ENUNCIADO

La figura que aparece a continuación muestra la distribución esquemática (parcial) de la Maestranza Aérea de Madrid con algunos de sus talleres existentes designados por los cuadrados 1, 2, 3 y 4. Para realizar trabajos relacionados con la MLU (mid life upgrade o Programa de Moderni-zación de Media Vida) de una nueva aeronave se tienen que agregar cuatro nuevos talleres (I, II, III y IV) que habrán de colocarse en alguno de los lugares designados por los círculos a, b, c y d.

El objetivo es asignar los nuevos talleres a los lugares posibles (a, b, c y d) para minimizar el tráfico total de materiales entre los talleres existentes y los talleres nuevos. La tabla A muestra la frecuencia media diaria de los viajes que se espera que tengan lugar entre los talleres nuevos y los anteriores.

Tabla A Frecuencias de los viajes


Taller existente 1 10 2 4 3 2 7 1 9 5 3 0 8 6 2 4 11 4 0 7

El equipo que maneja los materiales viaja a lo largo de los pasillos rectangulares que se cor-tan en las ubicaciones de los centros siempre por el camino más corto posible. Por ejemplo, la dis-tancia del viaje, solo en un sentido (en metros) entre el taller 1 y la ubicación b es 30 + 20 = 50 m.



2) Determinar la asignación óptima de los nuevos talleres a las cuatro posibles localizacio-nes de manera que se minimice el tráfico total diario de materiales.

51

SOLUCIÓN

Apartado 1)

FORMULACIÓN

1. ÍNDICES y CONJUNTOS eEx Talleres existentes, Ex = {1, 2, 3, 4} nNu Talleres nuevos, Nu = {I, II, III, IV} uUb Ubicaciones posibles, Ub = {a, b, c, d}

2. DATOS du,e Distancia entre ubicaciones y talleres existentes fe,n Frecuencia operaciones entre talleres tu,n Auxiliar. Tráfico ponderado entre ubicaciones y talleres nuevos

3. VARIABLES Xn,u Asignación binaria con valor 1 si el taller n se coloca en u Du,e Matriz de distancias entre ubicaciones y talleres existentes Fe,n Matriz de frecuencia de operaciones entre talleres Tu,n Matriz de tráfico ponderado entre ubicaciones y talleres nuevos Xn,u Matriz de asignación formada por los elementos Xn,u

4. FORMA COMPACTA

Ubu,Nun1;0X

Ubu1X

Nun1X

.a.s

fdX

min

un

Nunu,n

Ubuu,n

Nun Ubu Exen,ee,uu,n

De forma matricial:

Ubu,Nun1;0X

Ubu1X

Nun1X

.a.s

min

un

Nunu,n

Ubuu,n

n,u

n,ee,uu,n

T

FDX

5. EXPLICACIÓN

Calcularemos primero la matriz de distancias entre ubicaciones y los talleres existentes:

e,ue,ud D


52

Las distancias entre ubicaciones posibles (a, b, c, d) y talleres existentes (1, 2, 3, 4) y son las de la tabla siguiente (se han calculado a partir del plano de la planta de los talleres descrito en la figura del enunciado):

Distancia entre posibles ubicaciones y talleres existentes

Du,e

Taller existente

1 2 3 4

Ubicación a 50 30 70 100 b 50 30 50 60 c 95 55 25 55 d 45 65 55 25

Dado que se trata de un problema de asignación, una solución al problema es una matriz de asignación de cada taller nuevo a una ubicación posible, en este caso una matriz 4x4, con valores binarios, cuyas filas y columnas deben sumar la unidad, ya que, por una parte, todos los talleres deben recibir una única asignación y, de forma equivalente, todas las ubicaciones han de ser cu-biertas. La tabla siguiente muestra una posible solución:

ASIGNACIÓN Xn,u

Ubicación a b c d

Taller nuevo

I 0 0 0 1 1 II 0 0 1 0 1 III 0 1 0 0 1 IV 1 0 0 0 1

1 1 1 1 Una disposición adecuada de los datos permite obtener el tráfico total para cualquier asigna-

ción de los nuevos talleres a las posibles ubicaciones de estos. Este tráfico se obtiene por la multi-plicación matricial de las matrices de distancias y frecuencias, definidos de la forma siguiente:

n,ee,un,u FDT

En nuestro ejemplo tendríamos:

FRECUENCIAS Fe,n


Taller existente

1 10 2 4 3 2 7 1 9 5 3 0 8 6 2 4 11 4 0 7

DISTANCIAS Du,e

Taller Existente 1 2 3 4

Ubicación

a 50 30 70 100 b 50 30 50 60 c 95 55 25 55 d 45 65 55 25

Obteniendo los siguientes resultados:

TRÁFICO Tu,n


Ubicación a 1.810 1.090 890 1.140 b 1.370 770 770 820 c 1.940 665 1.025 995 d 1.180 695 1.095 745


52

Las distancias entre ubicaciones posibles (a, b, c, d) y talleres existentes (1, 2, 3, 4) y son las de la tabla siguiente (se han calculado a partir del plano de la planta de los talleres descrito en la figura del enunciado):

Distancia entre posibles ubicaciones y talleres existentes

Du,e

Taller existente

1 2 3 4

Ubicación a 50 30 70 100 b 50 30 50 60 c 95 55 25 55 d 45 65 55 25

Dado que se trata de un problema de asignación, una solución al problema es una matriz de asignación de cada taller nuevo a una ubicación posible, en este caso una matriz 4x4, con valores binarios, cuyas filas y columnas deben sumar la unidad, ya que, por una parte, todos los talleres deben recibir una única asignación y, de forma equivalente, todas las ubicaciones han de ser cu-biertas. La tabla siguiente muestra una posible solución:

ASIGNACIÓN Xn,u

Ubicación a b c d

Taller nuevo

I 0 0 0 1 1 II 0 0 1 0 1 III 0 1 0 0 1 IV 1 0 0 0 1

1 1 1 1 Una disposición adecuada de los datos permite obtener el tráfico total para cualquier asigna-

ción de los nuevos talleres a las posibles ubicaciones de estos. Este tráfico se obtiene por la multi-plicación matricial de las matrices de distancias y frecuencias, definidos de la forma siguiente:

n,ee,un,u FDT

En nuestro ejemplo tendríamos:

FRECUENCIAS Fe,n


Taller existente

1 10 2 4 3 2 7 1 9 5 3 0 8 6 2 4 11 4 0 7

DISTANCIAS Du,e

Taller Existente 1 2 3 4

Ubicación

a 50 30 70 100 b 50 30 50 60 c 95 55 25 55 d 45 65 55 25

Obteniendo los siguientes resultados:

TRÁFICO Tu,n


Ubicación a 1.810 1.090 890 1.140 b 1.370 770 770 820 c 1.940 665 1.025 995 d 1.180 695 1.095 745

53

Por ejemplo, si decidimos instalar el taller nuevo I en la ubicación a, incurriremos en los si-guientes costes con respecto a los cuatro talleres existentes:

810.1111000707301050fdExe

I,ee,aI,a

T

Podemos ver gráficamente este cálculo en la figura siguiente:

Volviendo a la forma compacta del problema, tenemos que la función objetivo se calcula como la suma producto de la asignación por el tráfico calculado:

DISTANCIA TOTAL RECORRIDA 3 755


54

Apartado 2)

El aspecto de Solver sería parecido al siguiente:


Que se corresponde a la siguiente asignación: (I → c; II → d; III →b; IV → a) con un coste combinado de valor 3 555.


54

Apartado 2)



Que se corresponde a la siguiente asignación: (I → c; II → d; III →b; IV → a) con un coste combinado de valor 3 555.

55

Dado que únicamente hay 24 (4!) posibles asignaciones es factible obtener el valor de la función objetivo para cada una de ellas:


56

2.8 Planificación del mantenimiento de un escuadrón de FFAA (4/OS/PLE) ENUNCIADO

Debe planificar de manera óptima el mantenimiento programado de una flota de 48 aviones dividida en 3 escuadrones de 16 aviones cada uno.

En el primer escuadrón están encuadrados los avos del 1 al 16; en el 2.º, los avos del 17al 32; en el 3.º, los 16 últimos, del 33 al 48.

El horizonte de planeamiento es de un año, dividido en 12 períodos mensuales.

La tabla A ofrece para cada uno de los 48 avos el estado inicial de la aeronave (OP =operativo; MT = en mantenimiento) y el número de horas remanentes en dicho estado;si el avión está actualmente operativo el número de horas de vuelo (HV) que aún es ca-paz de hacer hasta que se encuentre cumplido de horas y deba entrar en mantenimien-to; si el avión no está operativo, el número de horas de trabajo (HM) que aún le quedanpara completar todas las tareas de mantenimiento pendientes.

Tabla A. Estado de la flota al comienzo del período de planeamiento N.º Cola Estado HV HM N.º Cola Estado HV HM N.º Cola Estado HV HM

1 OP 273 0 17 OP 300 0 33 OP 127 0 2 OP 154 0 18 OP 210 0 34 OP 174 0 3 OP 132 0 19 OP 93 0 35 OP 297 0 4 OP 214 0 20 OP 216 0 36 OP 108 0 5 OP 230 0 21 OP 68 0 37 OP 264 0 6 OP 259 0 22 OP 215 0 38 OP 123 0 7 OP 129 0 23 OP 203 0 39 OP 224 0 8 OP 89 0 24 OP 71 0 40 OP 216 0 9 OP 35 0 25 OP 249 0 41 OP 29 0 10 OP 190 0 26 OP 127 0 42 OP 45 0 11 OP 123 0 27 OP 174 0 43 OP 181 0 12 OP 224 0 28 OP 297 0 44 MT 0 50 13 OP 216 0 29 OP 108 0 45 MT 0 100 14 OP 29 0 30 OP 264 0 46 MT 0 181 15 OP 45 0 31 OP 71 0 47 MT 0 306 16 OP 181 0 32 OP 249 0 48 MT 0 210

Así, por ejemplo, el avión n.º 1 se encuentra al comienzo del primer mes en estado operati-vo y tiene la capacidad de realizar, hasta que sea necesario empezar con su mantenimiento, un to-tal de 273 horas. El avión 44 se encuentra no operativo y sobre él aún quedan pendientes de realizar tareas de mantenimiento por un total de 50 horas.

Otros datos del problema son los siguientes:

Concepto Nombre Valor Nº de horas de vuelo a realizar por escuadrón y mes st = 325

Umbral inferior de esfuerzo sobre el nominal umax = 0,9 Umbral superior de esfuerzo sobre el nominal umin = 1,1

Nº de horas de vuelo que un avo puede realizar tras salir de mto y = 300 Nº de horas que dura el mto de cualquier avo g = 380

Talleres disponibles emax = 5 Máximo nº de hv que un avo puede hacer en cualquier período xmax = 60

Nº mínimo de hv remanentes para que un avo esté operativo ymin = 0,1 Nº mínimo de hv remanentes para que un avo esté operativo gmin = 0,1

Los tres primeros datos se refieren al esfuerzo de vuelo que debe realizar la flota, lo cual supone que, durante cada uno de los 12 meses del período considerado, cada uno de los tres es-cuadrones debe realizar un número de horas de vuelo que verifique que:


56

2.8 Planificación del mantenimiento de un escuadrón de FFAA (4/OS/PLE) ENUNCIADO

Debe planificar de manera óptima el mantenimiento programado de una flota de 48 aviones dividida en 3 escuadrones de 16 aviones cada uno.

En el primer escuadrón están encuadrados los avos del 1 al 16; en el 2.º, los avos del 17al 32; en el 3.º, los 16 últimos, del 33 al 48.

El horizonte de planeamiento es de un año, dividido en 12 períodos mensuales.

La tabla A ofrece para cada uno de los 48 avos el estado inicial de la aeronave (OP =operativo; MT = en mantenimiento) y el número de horas remanentes en dicho estado;si el avión está actualmente operativo el número de horas de vuelo (HV) que aún es ca-paz de hacer hasta que se encuentre cumplido de horas y deba entrar en mantenimien-to; si el avión no está operativo, el número de horas de trabajo (HM) que aún le quedanpara completar todas las tareas de mantenimiento pendientes.

Tabla A. Estado de la flota al comienzo del período de planeamiento N.º Cola Estado HV HM N.º Cola Estado HV HM N.º Cola Estado HV HM

1 OP 273 0 17 OP 300 0 33 OP 127 0 2 OP 154 0 18 OP 210 0 34 OP 174 0 3 OP 132 0 19 OP 93 0 35 OP 297 0 4 OP 214 0 20 OP 216 0 36 OP 108 0 5 OP 230 0 21 OP 68 0 37 OP 264 0 6 OP 259 0 22 OP 215 0 38 OP 123 0 7 OP 129 0 23 OP 203 0 39 OP 224 0 8 OP 89 0 24 OP 71 0 40 OP 216 0 9 OP 35 0 25 OP 249 0 41 OP 29 0 10 OP 190 0 26 OP 127 0 42 OP 45 0 11 OP 123 0 27 OP 174 0 43 OP 181 0 12 OP 224 0 28 OP 297 0 44 MT 0 50 13 OP 216 0 29 OP 108 0 45 MT 0 100 14 OP 29 0 30 OP 264 0 46 MT 0 181 15 OP 45 0 31 OP 71 0 47 MT 0 306 16 OP 181 0 32 OP 249 0 48 MT 0 210

Así, por ejemplo, el avión n.º 1 se encuentra al comienzo del primer mes en estado operati-vo y tiene la capacidad de realizar, hasta que sea necesario empezar con su mantenimiento, un to-tal de 273 horas. El avión 44 se encuentra no operativo y sobre él aún quedan pendientes de realizar tareas de mantenimiento por un total de 50 horas.

Otros datos del problema son los siguientes:

Concepto Nombre Valor Nº de horas de vuelo a realizar por escuadrón y mes st = 325

Umbral inferior de esfuerzo sobre el nominal umax = 0,9 Umbral superior de esfuerzo sobre el nominal umin = 1,1

Nº de horas de vuelo que un avo puede realizar tras salir de mto y = 300 Nº de horas que dura el mto de cualquier avo g = 380

Talleres disponibles emax = 5 Máximo nº de hv que un avo puede hacer en cualquier período xmax = 60

Nº mínimo de hv remanentes para que un avo esté operativo ymin = 0,1 Nº mínimo de hv remanentes para que un avo esté operativo gmin = 0,1

Los tres primeros datos se refieren al esfuerzo de vuelo que debe realizar la flota, lo cual supone que, durante cada uno de los 12 meses del período considerado, cada uno de los tres es-cuadrones debe realizar un número de horas de vuelo que verifique que:

57

358

tmaxEsc

293

tmin suHVsu

Por cada 300 horas de vuelo realizadas (y), cada avión necesita 380 horas de mantenimien-to (g) que podrán realizarse en alguno de los cinco talleres disponibles (emax) teniendo en cuenta que en ningún período se puede asignar un número de horas de vuelo superior a 60 (xmax).

Aunque es posible considerar diferentes figuras de mérito sobre el estado de una flota aé-rea, nos centraremos exclusivamente en dos:

La operatividad se refiere al número de aviones que, al principio de cada período, estánoperativos (full mission capable).

La disponibilidad se refiere al número de horas de vuelo disponibles al principio de cadaperíodo, es decir, al potencial de esfuerzo de la flota que podría desarrollar hasta que todoslos aviones operativos tuvieran que entrar a realizar tareas de mantenimiento programado.

La forma en que se representan gráficamente estas dos variables es: mediante un índice deoperatividad porcentual referido al ratio de aviones operativos sobre el número total de aviones y mediante el gráfico conocido como la diagonal de la flota. Para nuestro ejemplo estos dos gráficos son los siguientes:



2) Planifique la actividad de vuelo/mantenimiento de manera tal que se consiga realizar unnúmero de horas de vuelo por escuadrón dentro de los umbrales exigidos, no se sobre-pase la capacidad de mantenimiento de la flota y se logre que, en cualesquiera de los 12períodos mensuales considerados, la mínima operatividad y disponibilidad conseguidas,sea lo mayor posible.


58

SOLUCIÓN

Apartado 1)

Abreviaturas utilizadas hv Horas de vuelo hm Horas de mantenimiento avo Aeronave mto Mantenimiento

1. ÍNDICES y CONJUNTOS nN Aviones, N = {1, 2...} tT Periodos, T = {1, 2...}

2. DATOS wAD Peso en la solución del número mínimo de avos disponibles wHV Peso en la solución del número de horas de vuelo disponibles st Hv a realizar durante el período t bt Hm máximas disponibles durante el período t emax Máximo número de aviones en mantenimiento en cualquier período y Número de hv que un avo puede realizar tras salir de mantenimiento g Número de hm que dura el mantenimiento de cualquier avo xmax Máximo número de hv que un avo puede hacer en cualquier período ymin Número mínimo de hv remanentes para que un avo esté operativo M Un número entero suficientemente grande a1n Operatividad (0;1) en el primer período del avo n y1n Hv disponibles en el primer período del avo n g1n Hm remanentes en el primer período del avo n

3. VARIABLES Ant Bin., dec. Valor 1 si el avo n está operativo en período t Ynt Real, aux. Hv disponibles del avo n al comienzo de t Xnt Real, dec. Hv realizadas por el avo n durante el período t Gnt Real, aux. Hm remanente del avo n al comienzo de t Hnt Real, dec. Hm realizadas sobre avo n durante el período t Dnt Bin, aux. 1 si avo n sale de mto al principio de t Fnt Bin, aux. 1 si avo n entra en mto al principio de t Qt Bin, aux. 1 si en t las hm necesarias ≥ que las hm disponibles Pnt Bin, aux. 1 si avo tiene hv remanentes al principio de t Rnt Bin, aux. 1 si avo tiene hm remanentes al principio de t ZAD Relacionada con minimax (aviones disponibles) ZHV Relacionada con minimax (horas de vuelo remanentes)


58

SOLUCIÓN

Apartado 1)

Abreviaturas utilizadas hv Horas de vuelo hm Horas de mantenimiento avo Aeronave mto Mantenimiento

1. ÍNDICES y CONJUNTOS nN Aviones, N = {1, 2...} tT Periodos, T = {1, 2...}

2. DATOS wAD Peso en la solución del número mínimo de avos disponibles wHV Peso en la solución del número de horas de vuelo disponibles st Hv a realizar durante el período t bt Hm máximas disponibles durante el período t emax Máximo número de aviones en mantenimiento en cualquier período y Número de hv que un avo puede realizar tras salir de mantenimiento g Número de hm que dura el mantenimiento de cualquier avo xmax Máximo número de hv que un avo puede hacer en cualquier período ymin Número mínimo de hv remanentes para que un avo esté operativo M Un número entero suficientemente grande a1n Operatividad (0;1) en el primer período del avo n y1n Hv disponibles en el primer período del avo n g1n Hm remanentes en el primer período del avo n

3. VARIABLES Ant Bin., dec. Valor 1 si el avo n está operativo en período t Ynt Real, aux. Hv disponibles del avo n al comienzo de t Xnt Real, dec. Hv realizadas por el avo n durante el período t Gnt Real, aux. Hm remanente del avo n al comienzo de t Hnt Real, dec. Hm realizadas sobre avo n durante el período t Dnt Bin, aux. 1 si avo n sale de mto al principio de t Fnt Bin, aux. 1 si avo n entra en mto al principio de t Qt Bin, aux. 1 si en t las hm necesarias ≥ que las hm disponibles Pnt Bin, aux. 1 si avo tiene hv remanentes al principio de t Rnt Bin, aux. 1 si avo tiene hm remanentes al principio de t ZAD Relacionada con minimax (aviones disponibles) ZHV Relacionada con minimax (horas de vuelo remanentes)

59

4. FORMA COMPACTA

1T,,2t;Nn1;0F;D;A31

Tt;Nn1;0Q;R;P301T,,2t;Nn0G;Y29

Tt;Nn0H;X28NngG27NnyY26NnaA25

Tt;NnGH24Tt;NnYX23

1T,,2t;NnA1gG221T,,2t;NnAyY21

Tt;NnAxX201T,,2t;NnA1gG191T,,2t;NnAyY18

Tt;NnRHGA117Tt;NnRG16Tt;NnPXYA15Tt;NnPY14

TtGQH13

TtbQ1H12

1T,,2t;NneA111

TtbH10

TtsX9Tt;Nn1,0F11,1AA8Tt;NnAAF7Tt;NnFgHGG6Tt;Nn1,0D11,1AA5Tt;NnAAD4Tt;NnDyXYY3

1T,,2tZY2

1T,,2tZA1

.a.sZwZw

max

ntntnt

tntnt

ntnt

ntnt

n11n

n11n

n11n

ntnt

ntnt

ntminnt

ntminnt

ntmaxnt

ntnt

ntnt

ntntnt1nt

ntnt

ntntnt1nt

ntnt

Nnntt

Nnnt

ttNn

nt

maxNn

nt

tNn

nt

tNn

nt

1nt1ntnt

1ntnt1nt

1ntntnt1nt

1ntnt1nt

nt1nt1nt

1ntntnt1nt

HVNn

nt

ADNn

nt

HVHVADAD

MMMM

MMMM

M

M


60

5. EXPLICACIÓNFO)

HVHVADAD ZwZwmax

La función objetivo, cuyo sentido es el de maximización, es la suma ponderada de dos as-pectos fundamentales de la flota: su operatividad y su disponibilidad.

La operatividad se refiere al número de aviones que, a principio de cada período, están ope-rativos (full mission capable), más exactamente al número mínimo de dichos aviones en al-gún período del horizonte de planeamiento, incluido el último período (T+1) que recogería elestado final de la flota en este aspecto. Este número está recogido en la variable ZAD.

La disponibilidad se refiere al número de horas de vuelo disponible a principio de cada pe-ríodo, es decir, al potencial de esfuerzo de la flota; de nuevo, más exactamente al númeromínimo de dichas horas, representado mediante la variable ZHV.

1, 2)

1T,,2tZY

ZA

HVNn

nt

ADNn

nt

Estas dos restricciones imponen a las variables ZAD y ZHV —términos que aparecen, según acabamos de ver, ponderados en la función objetivo— el que se refieran a la operatividad y dispo-nibilidad mínimas observadas en algún período del horizonte de planeamiento, incluido el último pe-ríodo.

La conjunción de las dos restricciones anteriores y su papel en la función objetivo nos dicen que el problema a resolver consiste en realidad en un maximin ponderado:

ponderada mínima idadDisponibil

idadDisponibil

Nnnt

TtHV

ponderada mínima adOperativid

adOperativid

Nnnt

TtAD

HVHVADAD

YminwAminw

max

ZwZwmax

3)

Tt;NnDyXYY 1ntntnt1nt

Actualiza para cada avo, en el período siguiente, las hv disponibles restándole a las dispo-nibles al comienzo del período actual las que realizará en dicho período o reseteando al valor y si el avo sale de mantenimiento al inicio del período actual. Recordemos la definición de las variables y parámetros que intervienen en la restricción:

y Número de hv que un avo puede realizar tras salir de mantenimiento Ynt Real, aux. Hv disponibles del avo n al comienzo de t Xnt Real, dec. Hv realizadas por el avo n durante el período t Dnt Bin, aux. 1 si avo n sale de mantenimiento al principio de t


60

5. EXPLICACIÓNFO)

HVHVADAD ZwZwmax

La función objetivo, cuyo sentido es el de maximización, es la suma ponderada de dos as-pectos fundamentales de la flota: su operatividad y su disponibilidad.

La operatividad se refiere al número de aviones que, a principio de cada período, están ope-rativos (full mission capable), más exactamente al número mínimo de dichos aviones en al-gún período del horizonte de planeamiento, incluido el último período (T+1) que recogería elestado final de la flota en este aspecto. Este número está recogido en la variable ZAD.

La disponibilidad se refiere al número de horas de vuelo disponible a principio de cada pe-ríodo, es decir, al potencial de esfuerzo de la flota; de nuevo, más exactamente al númeromínimo de dichas horas, representado mediante la variable ZHV.

1, 2)

1T,,2tZY

ZA

HVNn

nt

ADNn

nt

Estas dos restricciones imponen a las variables ZAD y ZHV —términos que aparecen, según acabamos de ver, ponderados en la función objetivo— el que se refieran a la operatividad y dispo-nibilidad mínimas observadas en algún período del horizonte de planeamiento, incluido el último pe-ríodo.

La conjunción de las dos restricciones anteriores y su papel en la función objetivo nos dicen que el problema a resolver consiste en realidad en un maximin ponderado:

ponderada mínima idadDisponibil

idadDisponibil

Nnnt

TtHV

ponderada mínima adOperativid

adOperativid

Nnnt

TtAD

HVHVADAD

YminwAminw

max

ZwZwmax

3)

Tt;NnDyXYY 1ntntnt1nt

Actualiza para cada avo, en el período siguiente, las hv disponibles restándole a las dispo-nibles al comienzo del período actual las que realizará en dicho período o reseteando al valor y si el avo sale de mantenimiento al inicio del período actual. Recordemos la definición de las variables y parámetros que intervienen en la restricción:

y Número de hv que un avo puede realizar tras salir de mantenimiento Ynt Real, aux. Hv disponibles del avo n al comienzo de t Xnt Real, dec. Hv realizadas por el avo n durante el período t Dnt Bin, aux. 1 si avo n sale de mantenimiento al principio de t

61

Dependiendo del valor de la variable D, tendremos el sentido de la actualización:

yY

XYY10

D1nt

ntnt1nt1nt

Es necesario tener en cuenta que las restricciones 18 y 21, que veremos más adelante, im-ponen que tanto Ynt como Xnt sean cero si el avión está en mantenimiento.

4)

Tt;NnAAD nt1nt1nt

Es la traslación de la implicación lógica que define la naturaleza de la variable Dnt en su re-lación con la variable Ant en cualquiera de dos períodos consecutivos y que se puede expresar de la forma siguiente:

Si un avo estaba en mantenimiento en el período t, y operativo en el período inmediatamente posterior, entonces la variable D, para este segundo período, debe valer 1.

1D1A0A 1nt1ntnt

La tabla siguiente muestra las cuatro posibles combinaciones para los valores de la variable A en dos períodos consecutivos (t; t+1) y las consecuencias sobre la variable D (por claridad se ha suprimido el subíndice n):

At At+1 Situación (At+1-At) Dt+1 Situación 0 0 No operativo en ambos períodos 0 0;1 … 0 1 De mantenimiento a operativo 1 1 Sale mtto. 1 0 De operativo a mantenimiento -1 0;1 … 1 1 Operativo en ambos períodos 0 0;1 …

La restricción puede deducirse por aplicación de la forma normal conjuntiva (FNC) del pre-dicado compuesto siguiente:

r

1nt

q

1nt

p

nt 1D1A0A

La FNC de este predicado es:

qpr1rq1prqpii

rqpiirqp0

FNC

Es decir:

nt1nt1nt

AAD

AADpqrnt1nt1nt

5)

Tt;Nn1,0D11,1AA 1ntnt1nt

Es, como la anterior, la traslación de la implicación lógica que define la naturaleza de la va-riable Dnt en su relación con la variable Ant en dos períodos consecutivos cualesquiera y que se puede expresar de la forma siguiente:


62

Si no ocurre que un avo estaba en mantenimiento en el período t, y operativo el período inme-diatamente posterior, entonces la variable D, para este segundo período, debe valer 0.

El predicado compuesto es:

r

1nt

q

1nt

p

nt 0D1A0A


0rq

1rp1r1q1r1p1

rqrpiiirqpiirqpii

rqp0

Cuya tabla de verdad es:

At (p) At+1 (q) qp Dt+1 V o F Situación del avo1 1 V 1 F Operativo en ambos períodos 1 1 V 0 V Operativo en ambos períodos 1 0 V 1 F De operativo a mantenimiento 1 0 V 0 V De operativo a mantenimiento 0 0 V 1 F No operativo en ambos períodos 0 0 V 0 V No operativo en ambos períodos

Tabla de verdad que es idéntica a la que se deduce de la restricción:

At At+1 Dt+1 1ntnt1nt D11,1AA V o F Situación del avo 1 1 1 0,0 F Operativo en ambos períodos 1 1 0 1,1 V Operativo en ambos períodos 1 0 1 -1,0 F De operativo a mantenimiento 1 0 0 0,1 V De operativo a mantenimiento 0 0 1 0,0 F No operativo en ambos períodos 0 0 0 1,1 V No operativo en ambos períodos

La expresión utilizada en la formulación para trasladar el predicado compuesto presenta la ventaja de condensar en una única restricción una situación que, resuelta a través del procedimien-to FNC, requeriría de dos restricciones; por el contrario, tiene la desventaja de ser menos clara en su interpretación.

En definitiva, las dos restricciones implican que:

1D1A0A

0D1A0A1D1A0A

1nt1ntnt1nt1ntnt

1nt1ntnt

Es decir, la variable D vale 1, si y solo si (↔) el avión sale de mantenimiento.


62

Si no ocurre que un avo estaba en mantenimiento en el período t, y operativo el período inme-diatamente posterior, entonces la variable D, para este segundo período, debe valer 0.

El predicado compuesto es:

r

1nt

q

1nt

p

nt 0D1A0A


0rq

1rp1r1q1r1p1

rqrpiiirqpiirqpii

rqp0

Cuya tabla de verdad es:

At (p) At+1 (q) qp Dt+1 V o F Situación del avo1 1 V 1 F Operativo en ambos períodos 1 1 V 0 V Operativo en ambos períodos 1 0 V 1 F De operativo a mantenimiento 1 0 V 0 V De operativo a mantenimiento 0 0 V 1 F No operativo en ambos períodos 0 0 V 0 V No operativo en ambos períodos

Tabla de verdad que es idéntica a la que se deduce de la restricción:

At At+1 Dt+1 1ntnt1nt D11,1AA V o F Situación del avo 1 1 1 0,0 F Operativo en ambos períodos 1 1 0 1,1 V Operativo en ambos períodos 1 0 1 -1,0 F De operativo a mantenimiento 1 0 0 0,1 V De operativo a mantenimiento 0 0 1 0,0 F No operativo en ambos períodos 0 0 0 1,1 V No operativo en ambos períodos

La expresión utilizada en la formulación para trasladar el predicado compuesto presenta la ventaja de condensar en una única restricción una situación que, resuelta a través del procedimien-to FNC, requeriría de dos restricciones; por el contrario, tiene la desventaja de ser menos clara en su interpretación.

En definitiva, las dos restricciones implican que:

1D1A0A

0D1A0A1D1A0A

1nt1ntnt1nt1ntnt

1nt1ntnt

Es decir, la variable D vale 1, si y solo si (↔) el avión sale de mantenimiento.

63

6) Tt;NnFgHGG 1ntntnt1nt

Es análoga al apartado 3, pero referida a las horas de mantenimiento pendientes en vez de a las hv remanentes. Actualiza para cada avo, en el período siguiente, las hm remanentes restándo-le a las remanentes al comienzo del período actual las que se realizarán sobre el avo o reseteando al valor g si el avo estaba operativo y entra en mantenimiento.

Las dos situaciones posibles en función del valor de la variable F son:

gG

HGG10

F1nt

ntnt1nt1nt

7) Tt;NnAAF 1ntnt1nt

Es análoga al apartado 4, ya que es la traslación de la implicación lógica que define la na-turaleza de la variable Fnt en su relación con la variable Ant en dos períodos consecutivos cuales-quiera y que se puede expresar de la forma siguiente:

Si un avo estaba operativo en el período t, y no operativo el período inmediatamente posterior, entonces la variable F, para este segundo período, debe valer 1.

1F0A1A 1nt1ntnt

La tabla siguiente muestra las cuatro posibles combinaciones para los valores de la variable A en dos periodos consecutivos y las consecuencias sobre la variable D:

At At+1 Situación (At-At+1) Ft+1 Situación 0 0 No operativo en ambos períodos 0 0;1 … 0 1 De mantenimiento a operativo -1 0,1 … 1 0 De operativo a mantenimiento 1 1 Sale de mtto. 1 1 Operativo en ambos períodos 0 0;1 …

8) Tt;Nn1,0F11,1AA 1nt1ntnt

Es análoga al apartado 5 y es la formulación correspondiente a la restricción lógica siguiente:

0F0A1A 1nt1ntnt

Por lo que la conjunción de ambas restricciones equivale a la proposición lógica siguiente:

1F0A1A 1nt1ntnt

Es decir, la variable F vale 1, si y solo si (↔) el avión entra en mantenimiento.

9) TtsX t

Nnnt

Establece que las horas voladas por todos los avos durante un período deben superar el mínimo establecido en dicho período.


64

Un planteamiento más general es el que, en vez de considerar un umbral mínimo de hv a realizar, establece umbrales de cumplimiento, de manera que las horas realizadas cumplan la doble restricción siguiente:

TtsuXsu tmaxNn

nttmin

Umbrales que suelen ser simétricos, por ejemplo:

Tts%110Xs%90 tNn

ntt

10) TtbH t

Nnnt

Establece que las horas de mantenimiento en un período no deben superar la capacidad de mantenimiento por período de la flota.

11) 1T,,2teA1 max

Nnnt

Establece que el número de aviones en mantenimiento, en cualquier período, no es supe-rior al número de talleres disponibles.

12 y 13)

TtGQH

TtbQ1H

Nnntt

Nnnt

ttNn

nt

M

M

Recordemos que la restricción 10 establecía que:

TtbH tNn

nt

Y, por otra parte, la naturaleza de la variable Qt, que es la de variable auxiliar, binaria, que vale 1 si en el período t la suma de las hm requeridas por todos los avos es un número mayor o igual que la suma de las hm disponibles, es decir, en función de dicho valor tendremos una de las dos posibles situaciones:

tNn

ntt

tNn

ntt

bG1Q

bG0Q

Si unimos las tres restricciones, 10, 12 y 13, tendremos, en el caso de que Qt=0, que:

tNn

ntNn

nt

tNn

nt

Nnnt

Nnnt

tNn

nt

t bHG

bH

GH

bH

0Q

M


64

Un planteamiento más general es el que, en vez de considerar un umbral mínimo de hv a realizar, establece umbrales de cumplimiento, de manera que las horas realizadas cumplan la doble restricción siguiente:

TtsuXsu tmaxNn

nttmin

Umbrales que suelen ser simétricos, por ejemplo:

Tts%110Xs%90 tNn

ntt

10) TtbH t

Nnnt

Establece que las horas de mantenimiento en un período no deben superar la capacidad de mantenimiento por período de la flota.

11) 1T,,2teA1 max

Nnnt

Establece que el número de aviones en mantenimiento, en cualquier período, no es supe-rior al número de talleres disponibles.

12 y 13)

TtGQH

TtbQ1H

Nnntt

Nnnt

ttNn

nt

M

M

Recordemos que la restricción 10 establecía que:

TtbH tNn

nt

Y, por otra parte, la naturaleza de la variable Qt, que es la de variable auxiliar, binaria, que vale 1 si en el período t la suma de las hm requeridas por todos los avos es un número mayor o igual que la suma de las hm disponibles, es decir, en función de dicho valor tendremos una de las dos posibles situaciones:

tNn

ntt

tNn

ntt

bG1Q

bG0Q

Si unimos las tres restricciones, 10, 12 y 13, tendremos, en el caso de que Qt=0, que:

tNn

ntNn

nt

tNn

nt

Nnnt

Nnnt

tNn

nt

t bHG

bH

GH

bH

0Q

M

65

Y en el caso de que Qt=1 que:

tNn

nt

tNn

nt

Nnnt

Nnnt

tNn

nt

t bH

bH

GH

bH

1Q

M

En definitiva, las tres restricciones establecen que el número de horas totales de manteni-miento en cualquier período ha de ser, como mucho, el mínimo entre las horas necesarias y las dis-ponibles:

tNn

ntNn

nt b;GminH

14 y 15)

TtPXYATtPY

ntntnt1nt

ntnt

MMMM

Recordemos que Pnt es una variable auxiliar, binaria, que vale 1 si el avo n tiene hv rema-nentes al principio de t. La restricción 14 impone que si el avo tiene hv remanentes no nulas (Ynt>0), entonces Pnt tome valor cero, es decir, se corresponde con la implicación lógica siguiente:

0P0Y ntnt

Para los dos posibles valores de Ynt tendremos:

0PPY0Y

1;0PP0Y

ntntntnt

ntntnt

MMMM

Para entender 15) deberemos tener en cuenta que al principio de un período cualquiera t, a un avo que tenga hv disponibles (Ynt>0) se le programarán, para realizar durante dicho período, una serie de hv a realizar Xnt (que pueden ser cero aunque el avión este operativo), de manera que pueden ocurrir solo dos cosas: que se le programen menos horas de las que le quedan disponibles (lo que supondrá que al principio del período siguiente se mantendrá operativo); o bien que se le programen la totalidad de las hv disponibles en cuyo caso, al principio del período siguiente, no po-drá estar operativo. La restricción 15 determina el estado del avo (a través de la variable A) en fun-ción de la asignación de hv y las remanentes:

0APXYA0PXY

1nt

0

nt

0

ntnt1ntnt

ntnt

MM

O bien:

1;0AAPXYA1PXY

1nt1nt

1

nt

0

ntnt1ntnt

ntnt

MMM

Es decir, la restricción 15 se corresponde con la implicación lógica siguiente:

0AXY 1ntntnt


66

16 y 17)

TtRHGA1TtRG

ntntnt1nt

ntnt

MMMM

Esta pareja de restricciones es similar a las dos anteriores: tan pronto como las hm pen-dientes se igualen a cero en un período (el avión está listo, ya que se han realizado sobre él todas las tareas de mantenimiento pendientes), debe estar operativo el período siguiente.

Recordemos que Rnt es una variable auxiliar, binaria, que vale 1 si el avo tiene hm rema-nentes al principio de t. La restricción 16 hace que si el avo tiene hm remanentes no nulas (Gnt>0), entonces Rnt sea nula:

0RRG ntnt

0

nt

MM

Es decir, se corresponde con la implicación lógica siguiente:

0R0G ntnt Siguiendo un razonamiento similar al hecho para 14 y 15, al principio de un período cual-

quiera t, a un avo que tenga hm disponibles (Gnt>0) se le programarán, para realizar su manteni-miento durante dicho período, una serie de hm a realizar Hnt, de manera que pueden ocurrir solo dos cosas: que se le dediquen menos de las necesarias para acabar el mantenimiento (lo que su-pondrá que al principio del período siguiente se mantendrá no operativo); o bien que se le dediquen la totalidad de las hm remanente, en cuyo caso, al principio del período siguiente, podrá estar ope-rativo. La restricción 17 determina el estado del avo en función de la asignación de hm dedicadas y las hm remanentes:

1ARHGA10RGH

1nt

0

nt

0

ntnt1ntnt

ntnt

MM

O bien:

1;0ARHGA11RGH

1nt

1

nt

0

ntnt1ntnt

ntnt

MM


1AHG 1ntntnt

18)

1T,,2t;NnAyY ntnt

Recordemos que el parámetro y es el número de hv que un avo puede realizar tras salir de mantenimiento. La restricción establece que las hv disponibles del avo n al comienzo de t no pue-den ser superiores al valor de dicho parámetro. La restricción 21, que aún no hemos analizado, es-tablecerá que dichas horas han de ser superiores al umbral ymin:

1T,,2t;NnAyY ntminnt

Al considerar las dos restricciones conjuntamente tendremos que:

0Y0Y0Y

0A ntnt

ntnt


66

16 y 17)

TtRHGA1TtRG

ntntnt1nt

ntnt

MMMM

Esta pareja de restricciones es similar a las dos anteriores: tan pronto como las hm pen-dientes se igualen a cero en un período (el avión está listo, ya que se han realizado sobre él todas las tareas de mantenimiento pendientes), debe estar operativo el período siguiente.

Recordemos que Rnt es una variable auxiliar, binaria, que vale 1 si el avo tiene hm rema-nentes al principio de t. La restricción 16 hace que si el avo tiene hm remanentes no nulas (Gnt>0), entonces Rnt sea nula:

0RRG ntnt

0

nt

MM


0R0G ntnt Siguiendo un razonamiento similar al hecho para 14 y 15, al principio de un período cual-

quiera t, a un avo que tenga hm disponibles (Gnt>0) se le programarán, para realizar su manteni-miento durante dicho período, una serie de hm a realizar Hnt, de manera que pueden ocurrir solo dos cosas: que se le dediquen menos de las necesarias para acabar el mantenimiento (lo que su-pondrá que al principio del período siguiente se mantendrá no operativo); o bien que se le dediquen la totalidad de las hm remanente, en cuyo caso, al principio del período siguiente, podrá estar ope-rativo. La restricción 17 determina el estado del avo en función de la asignación de hm dedicadas y las hm remanentes:

1ARHGA10RGH

1nt

0

nt

0

ntnt1ntnt

ntnt

MM

O bien:

1;0ARHGA11RGH

1nt

1

nt

0

ntnt1ntnt

ntnt

MM


1AHG 1ntntnt

18)

1T,,2t;NnAyY ntnt

Recordemos que el parámetro y es el número de hv que un avo puede realizar tras salir de mantenimiento. La restricción establece que las hv disponibles del avo n al comienzo de t no pue-den ser superiores al valor de dicho parámetro. La restricción 21, que aún no hemos analizado, es-tablecerá que dichas horas han de ser superiores al umbral ymin:



0Y0Y0Y

0A ntnt

ntnt

67

yYyyYyY

1A ntminminnt

ntnt

19)

1T,,2t;NnA1gG ntnt

Es análoga a la anterior, pero para las hm programadas y se considera junto con la restric-ción 22, que establece que:

1T,,2t;NnA1gG ntminnt


0G0G0G

1A

gGggGgG

0A

ntnt

ntnt

ntminminnt

ntnt

20)

Tt;NnAxX ntmaxnt

Esta restricción limita el número máximo de hv a hacer por un avión durante cualquier pe-ríodo en función de su estado al principio de dicho período. Al considerarla junto con la 23, que es-tablece que:

Tt;NnYX ntnt

De manera que tendremos:

ntmaxntntnt

maxntnt

ntntnt

ntnt

Y;xminXYXxX

1A

0XYX0X

0A

Es decir: un avión no operativo al comienzo de un período no puede hacer ninguna hv en dicho período; un avo operativo no puede hacer más horas en un período que el mínimo entre las que le quedan disponibles y las máximas posibles a realizar en cualquier período.

21)


Véase lo dicho para la restricción 18.

22)

1T,,2t;NnA1gG ntminnt



68

23)

Tt;NnYX ntnt


24)

Tt;NnGH ntnt

Las hv realizadas por un avo en cualquier período no pueden superar las disponibles.

25, 26, 27)

NngGyYaA

n11n

n11n

n11n

Estas tres restricciones trasladan los datos iniciales del estado de la flota a las variables co-rrespondientes en el primer período.

28, 29)

1T,,2t;Nn0G;YTt;Nn0H;X

ntnt

ntnt

Estas dos restricciones imponen la no negatividad de las variables no binarias.

30, 31)

1T,,2t;Nn1;0F;D;A

Tt;Nn1;0Q;R;P

ntntnt

tntnt

Estas dos restricciones imponen el carácter binario de algunas variables.


68

23)

Tt;NnYX ntnt


24)

Tt;NnGH ntnt

Las hv realizadas por un avo en cualquier período no pueden superar las disponibles.

25, 26, 27)

NngGyYaA

n11n

n11n

n11n

Estas tres restricciones trasladan los datos iniciales del estado de la flota a las variables co-rrespondientes en el primer período.

28, 29)

1T,,2t;Nn0G;YTt;Nn0H;X

ntnt

ntnt

Estas dos restricciones imponen la no negatividad de las variables no binarias.

30, 31)

1T,,2t;Nn1;0F;D;A

Tt;Nn1;0Q;R;P

ntntnt

tntnt

Estas dos restricciones imponen el carácter binario de algunas variables.

69

3 ADMINISTRACIÓN DEL RECURSO FINANCIERO El dinero es el nervio de la guerra.

Marco Tulio Cicerón

Para hacer la guerra solo hacen falta tres cosas: dinero, dinero y dinero.

Napoleón Bonaparte

Breve descripción de los problemas que aborda este capítulo

Este apartado contiene cuatro problemas, dos de ellos pertenecientes al epígrafe «Progra-mación lineal general» y los otros dos al de «Programación lineal con enteros».

El problema 3.1 plantea la planificación óptima de adquisición de combustible para las aero-naves del EA cuando se considera un escenario en el que la compra oportunista es posible, abrien-do así la posibilidad de compra anticipada y el almacenamiento del combustible adquirido que no será utilizado de forma inminente. Las restricciones del problema son la capacidad limitada de al-macenamiento y las necesidades previstas que están sometidas a una demanda altamente irregular.

El problema 3.2 plantea la planificación óptima de la actividad de las unidades de Fuerzas Aéreas con metas de actividad previstas y restricciones económicas que afectan al sostenimiento de las aeronaves que componen la flota de dichas unidades. Particularmente interesante es el apartado en el que se pide el análisis de la variación del precio del combustible respecto del precio previsto al inicio, y su impacto en la operatividad de la flota a la que dicho combustible está destinado.

Este problema es una aproximación elemental, ya que deja de lado las consideraciones rela-tivas a los compromisos de personal que ha de encontrarse capacitado para la realización de dife-rentes tipos de misiones, al anexo del PAEA (Plan de Acción del Ejército del Aire) en el que se especifican las horas de vuelo que anualmente deberán realizar las unidades del EA.

El problema 3.3 propone la determinación de la composición óptima de una flota de vehícu-los acorazados para renovar los medios existentes bajo restricciones de carácter económico que afectan tanto al momento de la adquisición como al de su posterior mantenimiento y con necesida-des mínimas a cubrir en diferentes tipos de misiones operativas que los vehículos habrán de realizar una vez se encuentren operativos.

El problema 3.4 propone la optimización de la inversión en programas de inversión bajo una óptica multiperiodo, plurianual, con restricciones de interdependencia entre las diferentes alternati-vas que obligan a utilizar restricciones basadas en proposiciones lógicas.


70

3.1 Compra de JP8 para las aeronaves del EA (2/SO/PLG) ENUNCIADO

Una de las responsabilidades del MALOG, a través de su Dirección de Adquisiciones, es la adquisición del com-bustible JP8 necesario para la operación de las aeronaves del Ejército del Aire.

(Fuente imagen: http://acronymsandslang.com)

Suponga que esta adquisición se hace, mensualmente, teniendo en cuenta tres factores:

a) Las necesidades mensuales de combustible (en litros), necesidades que se conocen deforma exacta y que deben ser satisfechas puntualmente por el modelo de adquisición.

b) El hecho de que el precio mensual de venta es conocido de antemano gracias a la formaen que se diseñó la contratación del citado combustible.

c) La notable capacidad de almacenamiento de combustible de que dispone el EA, lo que lepermite, por una parte, realizar compra oportunista si el precio así lo aconseja (adqui-riendo una cantidad superior a la estrictamente necesaria para satisfacer la demanda delmes en curso); y por otra, mantener las reservas de guerra que permitirían una opera-ción mínima en caso de interrupción de los suministros de combustible.

La tabla A muestra las necesidades mensuales en litros de JP8 (necesario) para el año quecomienza y el precio cierto de cada mes (€/litro) al que el operador que ganó el concurso desuministro se ha comprometido. Sobre estos datos cabe hacer dos comentarios:

Las necesidades varían considerablemente de mes a mes debido a los ejercicios progra-mados (fundamentalmente el Tactical Leadership Programme y las campañas estaciona-les como las de los apagafuegos), lo que incide de forma considerable en el número dehoras de vuelo a realizar de un mes a otro.

El precio varía cada mes porque el operador que suministra el combustible está sometidoa diferentes demandas por partes de otros compradores y realiza el transporte del com-bustible a través de rutas diferentes y en buques de diferentes tamaños.

Mes Precio

(€/l) Necesario

(l) Mes Precio

(€/l) Necesario

(l)

Tabla A

Enero 0,750 10 330 Julio 0,750 10 280 Febrero 0,745 25 320 Agosto 0,745 25 340 Marzo 0,755 19 370 Septiembre 0,755 19 510 Abril 0,778 14 610 Octubre 0,748 14 580 Mayo 0,762 22 600 Noviembre 0,752 22 450 Junio 0,755 11 360 Diciembre 0,750 11 520

La capacidad máxima de almacenamiento es de 25 000 litros; la reserva de guerra, refe-rida al stock permanente que debe existir siempre en los depósitos es de 7 500 litros; el pre-cio del almacenamiento del combustible comprado y no gastado es de 0,0025 €/litro y mes.El combustible comprado se recibe el primero de cada mes. El stock el primero de enero es de12 000 litros.


Suponga que se desea adquirir el combustible en las condiciones más ventajosas de mane-ra que el precio total pagado (tanto el de adquisición como el de almacenaje) sea el mínimo posi-ble.

1) Identifique las variables de decisión, las restricciones y la función objetivo y escriba elPPL en su forma compacta.

2) Diseñe un plan óptimo de compra de combustible que satisfaga las necesidades mensua-les.


70

3.1 Compra de JP8 para las aeronaves del EA (2/SO/PLG) ENUNCIADO

Una de las responsabilidades del MALOG, a través de su Dirección de Adquisiciones, es la adquisición del com-bustible JP8 necesario para la operación de las aeronaves del Ejército del Aire.

(Fuente imagen: http://acronymsandslang.com)

Suponga que esta adquisición se hace, mensualmente, teniendo en cuenta tres factores:

a) Las necesidades mensuales de combustible (en litros), necesidades que se conocen deforma exacta y que deben ser satisfechas puntualmente por el modelo de adquisición.

b) El hecho de que el precio mensual de venta es conocido de antemano gracias a la formaen que se diseñó la contratación del citado combustible.

c) La notable capacidad de almacenamiento de combustible de que dispone el EA, lo que lepermite, por una parte, realizar compra oportunista si el precio así lo aconseja (adqui-riendo una cantidad superior a la estrictamente necesaria para satisfacer la demanda delmes en curso); y por otra, mantener las reservas de guerra que permitirían una opera-ción mínima en caso de interrupción de los suministros de combustible.

La tabla A muestra las necesidades mensuales en litros de JP8 (necesario) para el año quecomienza y el precio cierto de cada mes (€/litro) al que el operador que ganó el concurso desuministro se ha comprometido. Sobre estos datos cabe hacer dos comentarios:

Las necesidades varían considerablemente de mes a mes debido a los ejercicios progra-mados (fundamentalmente el Tactical Leadership Programme y las campañas estaciona-les como las de los apagafuegos), lo que incide de forma considerable en el número dehoras de vuelo a realizar de un mes a otro.

El precio varía cada mes porque el operador que suministra el combustible está sometidoa diferentes demandas por partes de otros compradores y realiza el transporte del com-bustible a través de rutas diferentes y en buques de diferentes tamaños.

Mes Precio

(€/l) Necesario

(l) Mes Precio

(€/l) Necesario

(l)

Tabla A

Enero 0,750 10 330 Julio 0,750 10 280 Febrero 0,745 25 320 Agosto 0,745 25 340 Marzo 0,755 19 370 Septiembre 0,755 19 510 Abril 0,778 14 610 Octubre 0,748 14 580 Mayo 0,762 22 600 Noviembre 0,752 22 450 Junio 0,755 11 360 Diciembre 0,750 11 520

La capacidad máxima de almacenamiento es de 25 000 litros; la reserva de guerra, refe-rida al stock permanente que debe existir siempre en los depósitos es de 7 500 litros; el pre-cio del almacenamiento del combustible comprado y no gastado es de 0,0025 €/litro y mes.El combustible comprado se recibe el primero de cada mes. El stock el primero de enero es de12 000 litros.


Suponga que se desea adquirir el combustible en las condiciones más ventajosas de mane-ra que el precio total pagado (tanto el de adquisición como el de almacenaje) sea el mínimo posi-ble.

1) Identifique las variables de decisión, las restricciones y la función objetivo y escriba elPPL en su forma compacta.

2) Diseñe un plan óptimo de compra de combustible que satisfaga las necesidades mensua-les.

71


1. ÍNDICES y CONJUNTOS iM Meses considerados, M = {1..., 12}

2. DATOS ni Cantidad de combustible (l) necesaria en el mes i pi Precio del combustible adquirido (€/l) en el mes i cmax Capacidad máxima de almacenamiento (l) c Coste de almacenamiento (€ por litro y mes) S0 Cantidad (l) de combustible al inicio del período rG Reserva de guerra (l)

3. VARIABLES Xi Combustible adquirido el mes i Si Calculada. Stock disponible al final del mes i

4. FORMA COMPACTA

Las únicas variables necesarias son Xi = cantidad adquirida cada mes, ya que la canti-dad almacenada en su caso es la diferencia entre la cantidad comprada y la necesaria(Ni), ya que se supone que se consume siempre la cantidad necesaria.

El cálculo de la cantidad almacenada (stock o Si) al final de cada mes se calcula median-te la expresión:

vuelosparaunidades aEnviado

i

curso en mesdel inicio al

Comprado

i

anteriormes del

final a Stock

1i

curso enmes del

final al Stock

i nXSS

La forma compacta del problema es entonces la siguiente:

Mi0XMirSMicSMinXSS

000.12S.a.s

caSpX

min

i

i

i

ii1ii

0

Miii

Miii

G

max


72

El aspecto del Solver sería parecido al siguiente:

Nótese que la restricción relativa al cálculo del stock mensual que debe figurar en la forma compacta ya que constituye una parte fundamental del planteamiento del problema, no figura sin embargo en el menú de restricciones de Solver. Esto es así porque al estar estos cálculos implícitos en la hoja se realizan de forma automática sin necesidad de que figuren como restricciones del pro-blema.

La solución sería la siguiente:


72

El aspecto del Solver sería parecido al siguiente:

Nótese que la restricción relativa al cálculo del stock mensual que debe figurar en la forma compacta ya que constituye una parte fundamental del planteamiento del problema, no figura sin embargo en el menú de restricciones de Solver. Esto es así porque al estar estos cálculos implícitos en la hoja se realizan de forma automática sin necesidad de que figuren como restricciones del pro-blema.


73



74

3.2 Impacto del precio del JP8 en las unidades aéreas (2/ST/PLG) ENUNCIADO

La tabla de esta página muestra información referente a varias unidades del EA, en concreto la relacionada con los aspectos siguientes (todos los datos son ficticios):

ORGÁNICA TIPO: Misión principal que realiza la unidad (combate, apoyo al combate, misiones auxiliares). UNIDAD: Número del escuadrón de FFAA. AVO: Material del que está dotada la unidad.

LÍMITES HV MAX: Horas máximas de vuelo que puede realizar la unidad en un año (este factor depende del núme-

ro de aeronaves que componen la flota, del número de pilotos con las calificaciones adecuadas y de lascapacidades máximas de sostenimiento de los centros logísticos).

MIN: Horas mínimas de vuelo por año (este factor es consecuencia de la obligación de mantener unnúmero mínimo de pilotos operativos con la acreditación aeronáutica adecuada según los estándaresde la OTAN).

GASTO COMB: Consumo medio de combustible por hora de vuelo (l/HV). SOST: Gasto (€/HV) calculado a partir de las estimaciones históricas del MALOG (incluye el manteni-

miento, abastecimiento y los gastos de personal directamente imputables).

ORGÁNICA LÍMITES HV COMB SOST TIPO UNIDAD AVO MAX MIN l/hv €/HV

COMB

ATE

111 SQN C-16 7 977 271 4 250 85 000 113 SQN C-16 7 980 271 4 250 85 000

121&2 SQN C-15 9 099 580 4 387 66 000 141 SQN C-14 3 402 386 3 032 66 000 142 SQN C-16 800 80 3 032 85 000

151&2 SQN C-15 9 436 500 4 387 66 000 153 SQN C-15 9 436 500 4 387 66 000 221 SQN P-3 2 918 225 2 321 23 000 462 SQN C-15A 6 740 320 4 387 70 000

APOY

O

311&2 SQN T-10 9 345 540 2 778 50 000 352&3 SQN T-21 8 680 570 566 12 000

472 SQN T-12 580 25 327 5 000 TM-11 1 826 60 982 13 500

471 SQN TM-17 3 572 210 6 515 130 500

AUXI

LIAR

ES

231&2 SQN AE-9 4 178 300 1 630 36 000 371 SQN T-12 B 580 80 327 6 000 402 SQN HT-21/27 3 318 180 468 5 500

403 SQN TR-19A 1 178 60 380 4 000 T-20 1 419 110 629 12 500

ALA 49 D-3 1 777 90 327 4 000 D-4 1 659 90 380 7 000

HD-19 2 241 120 564 5 500

802 SQN D-2 1 786 145 836 16 000 HD-21 1 659 79 468 4 500

803 SQN D-4 1 106 120 380 8 000

D-4 (G.C.) 1 106 120 400 10 000 HD-21 3 318 210 468 6 000

(Todos los datos de consumo son ficticios y los valores elegidos responden únicamente a su utilidad docente).


74

3.2 Impacto del precio del JP8 en las unidades aéreas (2/ST/PLG) ENUNCIADO

La tabla de esta página muestra información referente a varias unidades del EA, en concreto la relacionada con los aspectos siguientes (todos los datos son ficticios):

ORGÁNICA TIPO: Misión principal que realiza la unidad (combate, apoyo al combate, misiones auxiliares). UNIDAD: Número del escuadrón de FFAA. AVO: Material del que está dotada la unidad.

LÍMITES HV MAX: Horas máximas de vuelo que puede realizar la unidad en un año (este factor depende del núme-

ro de aeronaves que componen la flota, del número de pilotos con las calificaciones adecuadas y de lascapacidades máximas de sostenimiento de los centros logísticos).

MIN: Horas mínimas de vuelo por año (este factor es consecuencia de la obligación de mantener unnúmero mínimo de pilotos operativos con la acreditación aeronáutica adecuada según los estándaresde la OTAN).

GASTO COMB: Consumo medio de combustible por hora de vuelo (l/HV). SOST: Gasto (€/HV) calculado a partir de las estimaciones históricas del MALOG (incluye el manteni-

miento, abastecimiento y los gastos de personal directamente imputables).

ORGÁNICA LÍMITES HV COMB SOST TIPO UNIDAD AVO MAX MIN l/hv €/HV

COMB

ATE

111 SQN C-16 7 977 271 4 250 85 000 113 SQN C-16 7 980 271 4 250 85 000

121&2 SQN C-15 9 099 580 4 387 66 000 141 SQN C-14 3 402 386 3 032 66 000 142 SQN C-16 800 80 3 032 85 000

151&2 SQN C-15 9 436 500 4 387 66 000 153 SQN C-15 9 436 500 4 387 66 000 221 SQN P-3 2 918 225 2 321 23 000 462 SQN C-15A 6 740 320 4 387 70 000

APOY

O

311&2 SQN T-10 9 345 540 2 778 50 000 352&3 SQN T-21 8 680 570 566 12 000

472 SQN T-12 580 25 327 5 000 TM-11 1 826 60 982 13 500

471 SQN TM-17 3 572 210 6 515 130 500

AUXI

LIAR

ES

231&2 SQN AE-9 4 178 300 1 630 36 000 371 SQN T-12 B 580 80 327 6 000 402 SQN HT-21/27 3 318 180 468 5 500

403 SQN TR-19A 1 178 60 380 4 000 T-20 1 419 110 629 12 500

ALA 49 D-3 1 777 90 327 4 000 D-4 1 659 90 380 7 000

HD-19 2 241 120 564 5 500

802 SQN D-2 1 786 145 836 16 000 HD-21 1 659 79 468 4 500

803 SQN D-4 1 106 120 380 8 000

D-4 (G.C.) 1 106 120 400 10 000 HD-21 3 318 210 468 6 000

(Todos los datos de consumo son ficticios y los valores elegidos responden únicamente a su utilidad docente).

75

Anualmente, como uno de los pasos principales del planeamiento del EA es necesario de-terminar el Plan de Acción del Ejército del Aire (PAEA) uno de cuyos aspectos es la determinación del número de horas de vuelo (HV) que deben realizar las unidades del EA.

Suponga que en dicha determinación deberían respetarse las siguientes restricciones: a) Las HV de cada unidad deben estar comprendidas entre los límites dados en la tabla

(MAX y MIN).b) El gasto total del combustible no debe superar el crédito presupuestario para dicho

concepto, fijado en 25 millones de euros.c) El gasto total de sostenimiento no debe superar el crédito presupuestario para dicho

concepto, fijado en 550 millones de euros.d) El número total de HV de combate debe ser superior o igual a 6 000.e) El número total de HV de las unidades auxiliares debe ser inferior o igual a 15 000 y

las de apoyo, inferior a 2 000.f) El total de HV de todas las unidades debe ser superior a 18 000.


Considere el litro de combustible a un precio de 0,765 €. Suponga también que el objetivo del PAEA fuera realizar el mayor número posible de horas de vuelo considerando el total de las unidades, respetando todas las restricciones expuestas.

1) Resuelva el problema, es decir, calcule el número de horas de vuelo a realizar por lasunidades del EA respetando las restricciones y consideraciones anteriores para que elnúmero total de HV sea el máximo posible. Represente el modelo en su forma compacta.

2) Analice el impacto del precio del combustible (JP8) en la operatividad de las unidades delEA; grafique el número máximo de horas de vuelo que es posible hacer respetando lasrestricciones anteriores y suponiendo que el precio del combustible varía un 20 % arribao abajo sobre el precio actual (tome como escala el céntimo de euro). Realice la mismagráfica para los tres tipos de unidades (combate, apoyo y auxiliares).

Vista de un C15 Eurofighter en el momento del despegue.


76


1. ÍNDICES y CONJUNTOS iE Escuadrón de FFAA, E = (111..., 803) Com E Escuadrones de combate Apo E Escuadrones de apoyo Aux E Escuadrones de fuerzas auxiliares

2. DATOS ci Consumo en litros por HV del escuadrón i si Gasto de sostenimiento en euros por HV del escuadrón i cM Techo de gasto en combustible sM Techo de gasto en sostenimiento pC Precio (euros/litro) del combustible hmaxi Máximo número de HV que puede realizar el escuadrón i hmini Mínimo número de HV que puede realizar el escuadrón i

3. VARIABLES Xi Horas de vuelo asignadas al escuadrón i

4. FORMA COMPACTA

MEi

i

EAuxii

EApoii

EComii

MEi

ii

MEi

Cii

ii

ii

Eii

hvtX

000.15X

000.2X

000.6X

ssX

cpcX

hminX

hmaxX

.a.s

X

max


76


1. ÍNDICES y CONJUNTOS iE Escuadrón de FFAA, E = (111..., 803) Com E Escuadrones de combate Apo E Escuadrones de apoyo Aux E Escuadrones de fuerzas auxiliares

2. DATOS ci Consumo en litros por HV del escuadrón i si Gasto de sostenimiento en euros por HV del escuadrón i cM Techo de gasto en combustible sM Techo de gasto en sostenimiento pC Precio (euros/litro) del combustible hmaxi Máximo número de HV que puede realizar el escuadrón i hmini Mínimo número de HV que puede realizar el escuadrón i

3. VARIABLES Xi Horas de vuelo asignadas al escuadrón i

4. FORMA COMPACTA

MEi

i

EAuxii

EApoii

EComii

MEi

ii

MEi

Cii

ii

ii

Eii

hvtX

000.15X

000.2X

000.6X

ssX

cpcX

hminX

hmaxX

.a.s

X

max

77

El aspecto de la hoja de cálculo con el valor de la variable de decisión igual a la unidad es el si-guiente:

El menú de Solver tendría un aspecto como el siguiente:



78

Apartado 2) Analice el impacto del precio del combustible (JP8) en la operatividad de las unidades del EA;

grafique el número máximo de horas de vuelo que es posible hacer respetando las restriccio-nes anteriores y suponiendo que el precio del combustible varía un 20 % arriba o abajo sobreel precio actual (tome como escala el céntimo de euro). Realice la misma gráfica para los trestipos de unidades (combate, apoyo y auxiliares).

Nos servimos de Solver Table para realizar el análisis, obteniendo los siguientes resultados:


78

Apartado 2) Analice el impacto del precio del combustible (JP8) en la operatividad de las unidades del EA;

grafique el número máximo de horas de vuelo que es posible hacer respetando las restriccio-nes anteriores y suponiendo que el precio del combustible varía un 20 % arriba o abajo sobreel precio actual (tome como escala el céntimo de euro). Realice la misma gráfica para los trestipos de unidades (combate, apoyo y auxiliares).

Nos servimos de Solver Table para realizar el análisis, obteniendo los siguientes resultados:

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3.3 Flota de vehículos acorazados (2/SO/PLE) ENUNCIADO

Necesita renovar su flota de vehículos acorazados. Existen cinco modelos candidatos para su adquisición (VehAco1..., VehAco5). La tabla A muestra algunas características de estos cinco mode-los: el coste de adquisición; el coste anual de abastecimiento; el coste anual del personal de mantenimiento y el número de días de mantenimiento que cada unidad adquirida, de cada tipo de vehículo, requeriría por año (todos los costes son en unidades monetarias y para una unidad de vehículo).

Tabla A TIPO

Coste unitario de adquisición

Coste anual del abastecimiento

Coste anual de personal

Días de mtto.

VehAco1 3 000 280 18 38 VehAco2 4 200 350 20 45 VehAco3 2 750 300 19 42 VehAco4 3 200 290 10 30 VehAco5 4 500 350 8 35

Por otra parte, existen cinco tipo de tareas (T1...,T5) que realizarán habitualmente estos vehículos una vez hayan sido adquiridos. En la tabla B se indican aquellas tareas que cada tipo de vehículo puede llevar a cabo. Aunque la flota adquirida debe poder realizar todas las tareas, no to-das son igualmente importantes para el desempeño de las misiones que nuestro Ejército tiene en-comendadas. La tabla B también muestra la trascendencia operativa (TO) de cada tarea y el número mínimo de vehículos (NMV) con los que debe contar la flota capaces de realizar las dife-rentes tareas.

Tabla B T1 T2 T3 T4 T5 TO NMV VehAco1 Si Si Si Si No T1 Reconocimiento avanzado 10 8 VehAco2 Si No Si Si Si T2 Capacidad de mando y control 12 12 VehAco3 Si Si No Si Si T3 Misiones ofensivas en profundidad 15 10 VehAco4 No Si Si Si Si T4 Capacidad como re abastecedor 5 10 VehAco5 Si Si Si Si Si T5 Compatibilidad con Leopard 2 20 15

Otras consideraciones que debe tener en cuenta son las siguientes:

El presupuesto para la adquisición de vehícu-los es de 75 000 (unidades monetarias); elpresupuesto anual para abastecimiento es de10 000 (uds. monetarias); el presupuestoanual para personal es de 1 000 (uds. moneta-rias).

Dispone de una capacidad de mantenimientode 800 días anuales; sin embargo, es posibleaumentar dicha capacidad hasta 1 250 días siinvierte 1 000 (uds. monetarias) en un nuevotaller. Dicha cantidad debería ser minorada delpresupuesto de adquisición.

Por motivos de eficiencia, un tipo de vehículo debe ser preferente al resto, de maneraque, de dicho tipo, se deben adquirir al menos diez vehículos. Sin embargo, se deseatambién poder adquirir experiencia sobre el resto de tipos, de manera que, de aquellosque no pertenezcan al tipo preferente, se deberá adquirir un mínimo de dos unidades.


1) Formule el problema descrito en el apartado siguiente, identificando primero sus compo-nentes y escribiendo después el PPL en forma compacta.

2) Diseñe un plan de compra que, verificando todas las restricciones impuestas, maximicela trascendencia operativa total de la flota adquirida (sumando la TO acumulada del totalde vehículos adquiridos capaces de realizar cada tarea).


80

SOLUCIÓN

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iV Tipos de vehículo, V = (VehAco1..., VehAco5) jT Tipos de tarea, T = (T1...,T5).

2. DATOS ij 1 si el vehículo tipo i puede realizar la tarea j; 0 en caso contrario cui Coste unitario de un vehículo del tipo i cai Coste de abastecimiento anual para un vehículo del tipo i cpi Coste de personal anual para un vehículo del tipo i toj Trascendencia operativa de la tarea j moi Horas de mantenimiento anuales para un vehículo del tipo i

3. VARIABLES Xi Número de vehículos comprados de cada tipo (fundamental, entera) Yi 1 si el tipo i es preferente; 0 en caso contrario (auxiliar, binaria) 1 si se construye el taller; 0 en caso contrario (auxiliar, binaria)

4. FORMA COMPACTA

Número total de vehículos capaces de realizar la tarea j:

Vi

ij,i X

Trascendencia operativa lograda con los vehículos adquiridos capaces de realizar la tarea j:

jVi

ij,i TOX

Función objetivo:

jVi Tj

ij,i TOXmax

Restricciones:

El coste total de la adquisición de los vehículos, y en su caso el aumento de la capacidad demantenimiento, no debe superar el presupuesto disponible:

0cuX000.1000.75

RealizadoGasto

Viii

Disponible

El coste anual de abastecimiento no supera el presupuesto disponible:

0caX000.10

RealizadoGasto

Viii

Disponible

El coste anual de personal no supera el presupuesto disponible:

0cpX000.1

RealizadoGasto

Viii

Disponible


80

SOLUCIÓN

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iV Tipos de vehículo, V = (VehAco1..., VehAco5) jT Tipos de tarea, T = (T1...,T5).

2. DATOS ij 1 si el vehículo tipo i puede realizar la tarea j; 0 en caso contrario cui Coste unitario de un vehículo del tipo i cai Coste de abastecimiento anual para un vehículo del tipo i cpi Coste de personal anual para un vehículo del tipo i toj Trascendencia operativa de la tarea j moi Horas de mantenimiento anuales para un vehículo del tipo i

3. VARIABLES Xi Número de vehículos comprados de cada tipo (fundamental, entera) Yi 1 si el tipo i es preferente; 0 en caso contrario (auxiliar, binaria) 1 si se construye el taller; 0 en caso contrario (auxiliar, binaria)

4. FORMA COMPACTA

Número total de vehículos capaces de realizar la tarea j:

Vi

ij,i X

Trascendencia operativa lograda con los vehículos adquiridos capaces de realizar la tarea j:

jVi

ij,i TOX

Función objetivo:

jVi Tj

ij,i TOXmax

Restricciones:

El coste total de la adquisición de los vehículos, y en su caso el aumento de la capacidad demantenimiento, no debe superar el presupuesto disponible:

0cuX000.1000.75

RealizadoGasto

Viii

Disponible

El coste anual de abastecimiento no supera el presupuesto disponible:

0caX000.10

RealizadoGasto

Viii

Disponible

El coste anual de personal no supera el presupuesto disponible:

0cpX000.1

RealizadoGasto

Viii

Disponible

81

Por las horas anuales de mantenimiento disponibles:

0moX450850

RealizadoGasto

Viii

Disponible

Por la existencia de un único tipo de vehículo preferente:

Vi

i 1Y

Por la cantidad mínima de vehículos a adquirir:

0Y82X ii

La forma compacta del problema es entonces:

VV

V

V

V

V

V

V T

i1;0;YiZX

i1Y

i0Y82X

0moX450850

0cpX000.1

0caX000.10

0cuX000.1000.75

.a.s

toX

max

i

i

Vii

ii

Viii

iii

iii

iii

ji j

ij,i


82

El aspecto de la hoja de Solver debería ser parecido al siguiente:

La solución es:


82

El aspecto de la hoja de Solver debería ser parecido al siguiente:

La solución es:

83

3.4 Inversión en programas de Defensa (2/SO/PLE) ENUNCIADO

Tiene que planificar la inversión en catorce programas de I+D+i diferentes (P1…, P14) du-rante un período de cinco años (A1…, A5). La tabla A muestra la inversión necesaria (en miles de uds. monetarias) para desarrollar cada programa en cada año del período; el presupuesto máxi-mo (en miles de uds. monetarias) para cada año y el porcentaje (expresado como tanto por 1) al objetivo nacional de Defensa (OND) que aporta la realización de cada uno de los programas.

Tabla A Inversión A1 A2 A3 A4 A5 Aporta

P1 6 0 0 0 0 0,13 P2 2 3 0 0 0 0,02 P3 3 3 0 0 0 0,04 P4 0 0 0 9 10 0,08 P5 0 5 8 0 0 0,06 P6 0 0 1 8 4 0,02 P7 1 8 0 0 0 0,04 P8 0 0 0 5 0 0,03 P9 4 5 0 0 0 0,13

P10 0 8 1 0 0 0,11 P11 0 0 2 7 0 0,04 P12 5 7 0 0 0 0,03 P13 0 1 4 1 1 0,15 P14 0 4 5 3 3 0,12

Presupuesto 10 12 14 14 14


Para cada uno de los cuatro apartados siguientes escriba la forma compacta del problema y resuélvalo (tenga en cuenta que desarrollar un programa supone invertir en él la cantidad corres-pondiente todos los años en que esta sea necesaria, de manera que hacerlo parcialmente, solo algunos años, no es posible).

1) Determine qué programas deben ser acometidos para que, sin sobrepasar el presupues-to anual, la aportación total al OND sea la máxima posible.

2) Igual que el problema anterior, pero suponga también que:

a) Existen las siguientes incompatibilidades entre programas: la incompatibilidadentre dos programas P1 y P2 supone que si se realiza P1, entonces no se puederealizar P2 y viceversa, es decir, se debe verificar P1P2).

(P5 y P4); (P8 y P11); (P9 y P13)

b) Existen las siguientes dependencias: P1 y P2 son programas dependientes oexiste entre ellos una equivalencia lógica cuando si se realiza P1, entonces esobligatorio realizar P2 y viceversa, es decir, P1↔P2.

(P3 y P4); (P3 y P5); (P3 y P6); (P3 y P7)

3) Igual que los anteriores, pero añadiendo a las restricciones ya expresadas las siguientes:

a) P1 implica la realización de P2.b) Si no se hiciera P3, habría que hacer obligatoriamente P14.c) Si se hiciera P4, no habría que hacer P13.

4) Descartando las restricciones del segundo y tercer apartado resuelva el problema queverifique las siguientes condiciones:

a) Si se dan P1 y P3, entonces debe darse P4.b) Si se dan P5 o P6, entonces debe darse P7.


84

SOLUCIÓN

Apartado 1)

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iP Programa, P = (P1…, P14) jA Horizonte de planeamiento, A = (A1…, A5)

2. DATOS cij 1 si el programa i requiere inversión el año j; 0 en caso contrario api Aportación al OND del programa i pj Presupuesto disponible en el año j

3. VARIABLES i Binaria. 1 si se acomete el programa i

4. FORMA COMPACTA

La forma compacta del primer apartado es la siguiente:

Pi1;0

Ajpc

.a.s

ap

max

i

jPi

iij

Piii



84

SOLUCIÓN

Apartado 1)

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iP Programa, P = (P1…, P14) jA Horizonte de planeamiento, A = (A1…, A5)

2. DATOS cij 1 si el programa i requiere inversión el año j; 0 en caso contrario api Aportación al OND del programa i pj Presupuesto disponible en el año j

3. VARIABLES i Binaria. 1 si se acomete el programa i

4. FORMA COMPACTA

La forma compacta del primer apartado es la siguiente:

Pi1;0

Ajpc

.a.s

ap

max

i

jPi

iij

Piii


85



86

Apartado 2)

Veremos en primer lugar cómo se trata la incompatibilidad de pares de programas (la in-compatibilidad entre dos programas P1 y P2 supone que si se realiza P1, entonces no se puede rea-lizar P2 y viceversa), es decir, que se verifica que:

21 pp

Tenemos dos formas de deducir cómo ha de ser la forma de la expresión aritmética de la restricción anterior a partir de las variables binarias asociadas a la puesta en marcha de los dos programas. Como la proposición es cierta en todos los casos, excepto en el caso de que se desarro-llen ambos programas a la vez, es fácil construir la tabla de verdad de la proposición:

p1 p2 21 pp 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Por lo que la restricción sería:

1pp 2121

La segunda forma de llegar a deducir esta restricción es a través de la forma normal conjun-tiva de la expresión:

CON21

21

ppipp0

Que nos lleva a que:

1111pp 212121

Así pues, la incompatibilidad que afecta a los pares de programas P5 y P4, P8 y P11, y P9 y P13 supone que es necesario añadir las restricciones siguientes:

1;0111

i

139

118

45

Trataremos a continuación la dependencia (P1 y P2 son programas dependientes o existe entre ellos una equivalencia lógica cuando, si se realiza P1, entonces es obligatorio realizar P2 y vi-ceversa, es decir, P1↔P2).

Como en el caso anterior, podemos deducir la restricción a través de la tabla de verdad o mediante la FNC de la expresión. En el primer caso tenemos que:

p1 p2 21 pp 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Es decir, la proposición es cierta si ambos predicados son iguales, por lo que la restricción es:

2121 pp 2121 pp


86

Apartado 2)

Veremos en primer lugar cómo se trata la incompatibilidad de pares de programas (la in-compatibilidad entre dos programas P1 y P2 supone que si se realiza P1, entonces no se puede rea-lizar P2 y viceversa), es decir, que se verifica que:

21 pp

Tenemos dos formas de deducir cómo ha de ser la forma de la expresión aritmética de la restricción anterior a partir de las variables binarias asociadas a la puesta en marcha de los dos programas. Como la proposición es cierta en todos los casos, excepto en el caso de que se desarro-llen ambos programas a la vez, es fácil construir la tabla de verdad de la proposición:

p1 p2 21 pp 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Por lo que la restricción sería:

1pp 2121


CON21

21

ppipp0


1111pp 212121

Así pues, la incompatibilidad que afecta a los pares de programas P5 y P4, P8 y P11, y P9 y P13 supone que es necesario añadir las restricciones siguientes:

1;0111

i

139

118

45

Trataremos a continuación la dependencia (P1 y P2 son programas dependientes o existe entre ellos una equivalencia lógica cuando, si se realiza P1, entonces es obligatorio realizar P2 y vi-ceversa, es decir, P1↔P2).

Como en el caso anterior, podemos deducir la restricción a través de la tabla de verdad o mediante la FNC de la expresión. En el primer caso tenemos que:

p1 p2 21 pp 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Es decir, la proposición es cierta si ambos predicados son iguales, por lo que la restricción es:

2121 pp 2121 pp

87


FNC1221

1221

21

ppppiippppi

pp0


21

21

12

12

211221 11

11pppp

Así pues, la dependencia que afecta a los pares de programas P3 y P4, P3 y P5, P3 y P6, y P3 y P7 supone que es necesario añadir las restricciones siguientes:

1;0i

76543

La forma compacta del segundo apartado es la siguiente:

1;0

111

PC

.a.s

Ap

max

i

76543

139

118

45

ji

iij

iii


88

Apartado 3)

Deduzcamos las restricciones asociadas a la segunda y tercera condición del enunciado:

a) Si no se hiciera P3, habría que hacer obligatoriamente P14.

CON143

143

143

ppiippi

pp0

Vemos que la FNC es en realidad una simple conjunción, de manera que la restricción es de la forma:

1pp 143143

b) Si se hiciera P4, no habría que hacer P13.

CON134

134

ppipp0


11111pp 134134134134

Por su parte la primera implicación se modeliza, como ya sabemos, de la forma siguiente:

1221212121 011pppp

La forma compacta del tercer apartado es entonces la siguiente:

1;0

11

111

PC

.a.s

Ap

max

i

76543

134

143

12

139

118

45

ji

iij

iii


88

Apartado 3)

Deduzcamos las restricciones asociadas a la segunda y tercera condición del enunciado:

a) Si no se hiciera P3, habría que hacer obligatoriamente P14.

CON143

143

143

ppiippi

pp0


1pp 143143

b) Si se hiciera P4, no habría que hacer P13.

CON134

134

ppipp0


11111pp 134134134134

Por su parte la primera implicación se modeliza, como ya sabemos, de la forma siguiente:

1221212121 011pppp

La forma compacta del tercer apartado es entonces la siguiente:

1;0

11

111

PC

.a.s

Ap

max

i

76543

134

143

12

139

118

45

ji

iij

iii

89

Apartado 4)

a) Si se dan P1 y P3, entonces debe darse P4:

CON431

431

431

431

pppiiipppii

pppippp0

Es decir:

1111ppp 431431431

b) Si se dan P5 o P6, entonces debe darse P7:

FNC7675

765

765

765

ppppiiipppii

pppippp0


67

57

76

757675 11

11pppp

La forma compacta del cuarto apartado es la siguiente:

Pi1;0

1

AjPC

.a.s

Ap

max

i

67

57

431

jPi

iij

Piii


90




90



91

4 LOGÍSTICA DE PERSONAL El elemento esencial de nuestra organización es su capital humano:

los hombres y mujeres que forman sus filas. Documento institucional. Visión del JEMA

Problemas concretos que aborda este capítulo

En el Ejército del Aire, el Mando de Personal es el órgano del Apoyo a la Fuerza, bajo la de-pendencia directa del jefe de Estado Mayor del Ejército del Aire, responsable de la dirección, ges-tión, administración y control en materia de recursos humanos. Desarrolla las actividades relacionadas con el planeamiento, a su nivel, la gestión y la obtención del recurso humano, la asis-tencia al personal, la enseñanza y la sanidad logística operativa. También asesora al jefe de Estado Mayor en estas materias y le corresponde, asimismo, la administración de los recursos financieros que tenga asignados. También es responsable de la instrucción, adiestramiento y evaluación de las unidades aéreas de fuerzas auxiliares bajo su dependencia operativa, excepto cuando realicen co-metidos de combate o apoyo al combate.

Los problemas típicos de la gestión de personal, abordados mediante técnicas de programa-ción lineal, pertenecen a cuatro categorías no exhaustivas: problemas de asignación, problemas de emparejamiento, problemas de gestión de turnos de trabajo y problemas de determinación de ne-cesidades futuras. Por la naturaleza de las variables que habitualmente se manejan en ellos, la ma-yoría de los problemas que recoge la literatura se encuadran dentro de la llamada programación lineal con enteros (PLE).

Los llamados problemas de asignación (assignment problems o human resource allocation problems), profusamente tratados desde 1950, persiguen de forma general la asignación de tareas a individuos, bien para maximizar alguna medida de desempeño bien para minimizar aspectos eco-nómicos o relacionados con los tiempos de ocupación de los individuos, al tiempo que deben satis-facerse restricciones de muy variada naturaleza. En los últimos años han aparecido numerosos artículos que revisan las aplicaciones publicadas de las técnicas de optimización a la gestión del re-curso de personal, la más conocida de estas revisiones es la debida a Pentico3 quien analiza el esta-do del arte desde la publicación, en 1955, por parte de Kuhn4 del llamado método húngaro.

Los problemas de emparejamiento (matching problems), que pueden ser considerados una variante de los anteriores, implican por lo general formar combinaciones de individuos, normalmen-te parejas, de nuevo para maximizar un desempeño o minimizar el empleo de recursos.

Los problemas de turnos de trabajo (workforce allocation problems o personnel scheduling problems) abordan un aspecto particularmente crítico en cualquier organización y que, de manera general, pueden definirse como aquellos en los que se busca cumplir los objetivos encomendados al personal de una organización con recursos humanos escasos y en los que, además, es necesario considerar restricciones de muy diferente naturaleza, tanto derivadas de las limitaciones que la le-gislación laboral imponga como las debidas a la propia capacidad de trabajo de los individuos, así como las inevitables restricciones de carácter económico.

Finalmente, los problemas de determinación de necesidades (workforce planning o manpo-wer planning) pretenden cubrir, bajo consideraciones que abarcan diferentes períodos de tiempo, las necesidades de personal de una organización con restricciones similares a las de los problemas anteriores.

Este apartado contiene siete problemas, todos ellos pertenecientes al epígrafe «Programa-ción lineal con enteros». Los problemas 4.1, 4.2 y 4.5 plantean la determinación de comisiones, grupos de individuos, en las que sus componentes han de reunir, de forma conjunta, una serie de condiciones. Se trata básicamente de problemas de asignación de individuos a grupos, con restric-ciones de varios tipos: económicas, operativas y de capacitación.

3 Pentico, D. «Assignment problems: A golden anniversary survey». European Journal of Operational Research. N.º 176, pp. 774–793, 2007. 4 Kuhn, H. «The Hungarian Method for the assignment problems». Naval Research Logistic Quarterly. Vol. 2, pp. 83-97, 1955.


92

El problema 4.3 propone el cálculo del número óptimo de plazas para dotar de una nueva especialidad al personal de Tropa y Marinería, bajo las restricciones económicas impuestas por las limitaciones propias de la oferta pública de empleo, al objeto de satisfacer las necesidades previstas en un horizonte plurianual.

El problema 4.6 es una curiosidad histórica, tomado de Guéret5, que refleja las dificultades de organización a las que se enfrentaron los responsables de la RAF para formar grupos homogé-neos de pilotos durante la batalla de Inglaterra en la IIGM, pilotos que provenían de los países ocu-pados por el eje, con muy diferente experiencia operativa y diferentes dominios de idiomas.

Finalmente, los problemas 4.4 y 4.7 plantean situaciones conocidas de forma genérica como de turnos de personal, problemas que constituyen una aplicación típica de la PLE. El último de ellos es una aproximación a la gestión de turnos de misiones, tanto en territorio nacional como en el ex-tranjero, al que con frecuencia se enfrentan numerosas unidades de FFAA, cuyas obligaciones en estos ámbitos han de ser abordadas con plantillas de pilotos, a veces exiguas y sometidas a conti-nuo desgaste. El problema propuesto se argumenta en el Ala 35, aunque encarna una situación común a numerosas otras unidades.

5 Guéret C. Applications of optimization with Xpress-MP. Dash Optimization Ltd. 2000.


92

El problema 4.3 propone el cálculo del número óptimo de plazas para dotar de una nueva especialidad al personal de Tropa y Marinería, bajo las restricciones económicas impuestas por las limitaciones propias de la oferta pública de empleo, al objeto de satisfacer las necesidades previstas en un horizonte plurianual.

El problema 4.6 es una curiosidad histórica, tomado de Guéret5, que refleja las dificultades de organización a las que se enfrentaron los responsables de la RAF para formar grupos homogé-neos de pilotos durante la batalla de Inglaterra en la IIGM, pilotos que provenían de los países ocu-pados por el eje, con muy diferente experiencia operativa y diferentes dominios de idiomas.

Finalmente, los problemas 4.4 y 4.7 plantean situaciones conocidas de forma genérica como de turnos de personal, problemas que constituyen una aplicación típica de la PLE. El último de ellos es una aproximación a la gestión de turnos de misiones, tanto en territorio nacional como en el ex-tranjero, al que con frecuencia se enfrentan numerosas unidades de FFAA, cuyas obligaciones en estos ámbitos han de ser abordadas con plantillas de pilotos, a veces exiguas y sometidas a conti-nuo desgaste. El problema propuesto se argumenta en el Ala 35, aunque encarna una situación común a numerosas otras unidades.

5 Guéret C. Applications of optimization with Xpress-MP. Dash Optimization Ltd. 2000.

93

4.1 El galonista prudente (1/SO/PLE)

«El alumno galonista tiene como finalidad servir de estímulo y ejemplo a sus compañeros. Será el espejo en el cual puedan mirarse el resto de los alumnos y constituirá un honor ser nombrado como tal».

Ejército del Aire, AGA, Normas De Régimen Interior PO, 60-40

ENUNCIADO

Un galonista tiene cinco tareas que encomendar a otros tantos cadetes de 2.º curso de la AGA.

Con esto en mente y atendiendo a experiencias pasadas, el ga-lonista construye una tabla en la que, para cada cadete, anota las ta-reas que este podría desempeñar con más eficacia. La tabla es la siguiente:

Cadete Desempeño

óptimo C. C. Rodríguez 3,4,5

D. C. Martínez 1 C. C. Benítez 1 o 2 D. C. García 1,2, 5

C. C. Domínguez 2


1) Escribir el PPL descrito en el apartado siguiente en forma compacta utilizando la notaciónhabitual.

2) Dar una asignación para realizar la mayor parte posible de tareas, respetando al máximolas preferencias dadas en la tabla.


94

SOLUCIÓN

Apartado 1)

Sea la variable (binaria) Xij con valor 1 si se asigna al cadete i-ésimo la tarea j-ésima y 0 en caso contrario:

iji C j T

ij ij

iji C

ijj T

ij

maxX

s.a.X P i C; j T

X 1 j T

X 1 i C

X 0;1 i C; j T

Apartado 2)

El aspecto de la hoja y el menú de Solver será parecido al siguiente (hemos denominado asignación al vector de las variables de decisión):


94

SOLUCIÓN

Apartado 1)

Sea la variable (binaria) Xij con valor 1 si se asigna al cadete i-ésimo la tarea j-ésima y 0 en caso contrario:

iji C j T

ij ij

iji C

ijj T

ij

maxX

s.a.X P i C; j T

X 1 j T

X 1 i C

X 0;1 i C; j T

Apartado 2)

El aspecto de la hoja y el menú de Solver será parecido al siguiente (hemos denominado asignación al vector de las variables de decisión):

95


Otra posible solución es la siguiente:


96

4.2 Creación de una comisión de alumnos (2/SO/PLE) ENUNCIADO

La tabla A muestra algunas características de un grupo de diez alumnos de la AGA destacados por su desempeño académi-co en el último cuatrimestre.

En concreto, para cada uno de ellos se muestra si se trata de una DC o un CC y el curso en el que se encuentran (el valor 1 se asocia a la característica correspondiente).

Tabla A GARC

ÍA

MART

ÍNEZ

PÉRE

Z

SÁNC

HEZ

LÓPE

Z

RODR

ÍGUE

Z

FERN

ÁNDE

Z

NAVA

RRO

GONZ

ÁLEZ

GÓME

Z

CC 1 1 1 1 1 DC 1 1 1 1 1 1º 1 1 1 1 2º 1 1 3º 1 1 1 1

El alcalde de una localidad cercana a la AGA ha enviado una invitación al CODIRAGA para que designe una comisión de alumnos que asista a las fiestas locales próximas a celebrarse. El co-ronel ha decidido que los asistentes deberán ser algunos o todos de los alumnos que figuran en el cuadro de honor descrito anteriormente.

La concejalía de festejos ha expresado su deseo de que la comisión tenga las siguientes ca-racterísticas:

Que haya al menos un representante de cada curso. Que esté formada por un número igual de DC y CC. Que no haya más alumnos de 1.º que de 3.º. Que no haya más alumnos de 2.º que de 3.º.

El coronel, molesto por la injerencia, ha decidido que, aunque respetará las exigencias de la concejalía, mandará al mínimo número posible de alumnos.


1) Formule el problema descrito en el apartado siguiente, identificando primero sus compo-nentes y escribiendo después el PPL en forma compacta utilizando la notación habitual.

2) Nombre una comisión que cumpla los requisitos y esté formada por el menor númeroposible de alumnos.

3) Imagine que quiere presentar varias alternativas, ¿cuántas soluciones del mismo númerode componentes es capaz de presentar?


96

4.2 Creación de una comisión de alumnos (2/SO/PLE) ENUNCIADO

La tabla A muestra algunas características de un grupo de diez alumnos de la AGA destacados por su desempeño académi-co en el último cuatrimestre.

En concreto, para cada uno de ellos se muestra si se trata de una DC o un CC y el curso en el que se encuentran (el valor 1 se asocia a la característica correspondiente).

Tabla A GARC

ÍA

MART

ÍNEZ

PÉRE

Z

SÁNC

HEZ

LÓPE

Z

RODR

ÍGUE

Z

FERN

ÁNDE

Z

NAVA

RRO

GONZ

ÁLEZ

GÓME

Z

CC 1 1 1 1 1 DC 1 1 1 1 1 1º 1 1 1 1 2º 1 1 3º 1 1 1 1

El alcalde de una localidad cercana a la AGA ha enviado una invitación al CODIRAGA para que designe una comisión de alumnos que asista a las fiestas locales próximas a celebrarse. El co-ronel ha decidido que los asistentes deberán ser algunos o todos de los alumnos que figuran en el cuadro de honor descrito anteriormente.

La concejalía de festejos ha expresado su deseo de que la comisión tenga las siguientes ca-racterísticas:

Que haya al menos un representante de cada curso. Que esté formada por un número igual de DC y CC. Que no haya más alumnos de 1.º que de 3.º. Que no haya más alumnos de 2.º que de 3.º.

El coronel, molesto por la injerencia, ha decidido que, aunque respetará las exigencias de la concejalía, mandará al mínimo número posible de alumnos.


1) Formule el problema descrito en el apartado siguiente, identificando primero sus compo-nentes y escribiendo después el PPL en forma compacta utilizando la notación habitual.

2) Nombre una comisión que cumpla los requisitos y esté formada por el menor númeroposible de alumnos.

3) Imagine que quiere presentar varias alternativas, ¿cuántas soluciones del mismo númerode componentes es capaz de presentar?

97


1. ÍNDICES y CONJUNTOS iA Alumnos, A = (A1…, A10) iCC A Alumnos caballeros cadetes iDC A Alumnas damas cadetes iC1 A Alumnos de primer curso iC2 A Alumnos de segundo curso iC3 A Alumnos de tercer curso

2. VARIABLES Y i Binaria. 1 si el alumno i-ésimo es elegido para la comisión.

3. FORMA COMPACTALa forma compacta es la siguiente:

1;0Y

1Y

1Y

1Y

0YY

0YY

0YY

.a.s

Y

min

i

3Cii

2Cii

1Cii

A3Cii

A1Cii

A2Cii

A1Cii

ADCii

ACCii

Aii

Apartado 2) El aspecto de la hoja de Solver sería parecido al siguiente:


98

Una posible solución sería la siguiente:

Apartado 3)

Para encontrar varias soluciones conviene identificar cada una de las encontradas previa-mente en un único índice y añadir la restricción de que el índice correspondiente a la nueva solu-ción encontrada sea diferente a todos los anteriores. Con variables binarias, como es nuestro caso, un identificador eficaz consiste en transformar el vector solución en un número binario y convertirlo en número decimal para poder descartar soluciones ya repetidas.

10i

1i

1iii 2YYID

Aplicando este proceso obtenemos una segunda solución:

Y una tercera:


98


Apartado 3)

Para encontrar varias soluciones conviene identificar cada una de las encontradas previa-mente en un único índice y añadir la restricción de que el índice correspondiente a la nueva solu-ción encontrada sea diferente a todos los anteriores. Con variables binarias, como es nuestro caso, un identificador eficaz consiste en transformar el vector solución en un número binario y convertirlo en número decimal para poder descartar soluciones ya repetidas.

10i

1i

1iii 2YYID

Aplicando este proceso obtenemos una segunda solución:

Y una tercera:

99

4.3 Reclutamiento de tropas (2/SO/PLE) ENUNCIADO

Para un período de planeamiento que comprende los próximos siete años (A1…, A7), los responsables del proceso de reclutamiento de Tropa y Marinería del MINISDEF conocen las necesi-dades de un nuevo tipo de especialista que es necesario incorporar a las especialidades ya existen-tes. Estas necesidades aparecen en la tabla A:

Tabla A Período de planeamiento Año A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7

Necesidades 400 650 1 500 1 300 800 350 100 El Gobierno ha establecido que los compromisos de tiempo a los que podrán acogerse los

que se incorporen a esta especialidad podrán ser de 1, 2 y 3 años (C1, C2 y C3). Se supone que to-das las plazas que se publiquen serán cubiertas.

Dado que el acceso a la Tropa y Marinería profesional está sometido a la oferta pública de empleo (OPE), el número máximo de plazas que se puede convocar, en el total de los tres tipos de compromiso, está limitado a 800 plazas por año. Los diferentes tipos de compromiso suponen un coste diferente y vienen expresados (en uds. monetarias) en la tabla B:

Tabla B Tipos de compromiso C1 C2 C3

Coste 1,0 2,5 5,0


1) Escriba la forma compacta de los PPL descritos enlos dos apartados siguientes para un problema gené-rico, es decir, usando parámetros en vez de los datosconcretos del problema.

2) Establezca una oferta de plazas en los diferentes ti-pos de compromiso que se publicarán cada uno delos siguientes cinco años (las plazas se convocanel primer día del año y se supone que se cubren in-mediatamente) para que se satisfagan las necesida-des previstas, se respeten las restricciones de la OPEy el coste total del proceso sea el mínimo posible.

3) Idéntico al apartado anterior, pero minimizando elexceso de contingente (calculado como el contingen-te logrado menos el contingente necesario descritoen la tabla A).

Tenga en cuenta que la programación de publicación de plazas es para los siguientes cin-co años, mientras que el período de las necesidades es para los próximos siete años.

Utilice los nombres siguientes para los parámetros del problema:

iP Índice del año de publicación de plazas, Pub = (1…, 5) jC Índice del tipo de compromiso kH Índice del año perteneciente al período de planeamiento, Per = (1…, 7)

nk Contingente necesario en el año i cj Precio del tipo de compromiso

mk Contingente alcanzado en el año i OPE Máximo total anual fijado por la oferta pública de empleo.


100


1. ÍNDICES y CONJUNTOS iP Año de publicación de plazas, P = (1…, 5) jC Tipo de compromiso, C = (C1, C2, C3) kH Año del período de planeamiento H = (A1…, A7)

2. DATOS nk Contingente necesario en el año i cj Coste unitario, por plaza, del tipo de compromiso j mk Contingente alcanzado en el año k OPE Máximo según oferta pública de empleo

3. VARIABLES Xij Plazas para el compromiso j que se publicarán para el año i Uijk 1 si la tropa que se incorporó en i con compromiso j está en activo en k

4. FORMA COMPACTA

Siendo la matriz U(ij)k la siguiente (por comodidad hemos agregado los índices i y j en un único vector):

U(ij)k A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7

A1 X11 1 0 0 0 0 0 0 X12 1 1 0 0 0 0 0 X13 1 1 1 0 0 0 0

A2 X21 0 1 0 0 0 0 0 X22 0 1 1 0 0 0 0 X23 0 1 1 1 0 0 0

A3 X31 0 0 1 0 0 0 0 X32 0 0 1 1 0 0 0 X33 0 0 1 1 1 0 0

A4 X41 0 0 0 1 0 0 0 X42 0 0 0 1 1 0 0 X43 0 0 0 1 1 1 0

A5 X51 0 0 0 0 1 0 0 X52 0 0 0 0 1 1 0 X53 0 0 0 0 1 1 1

La forma compacta del problema es la siguiente:

Hk;Cj;Pi1;0UCj;PiX

PinUX

PiOPEX

.a.s

XC

min

ijk

ij

kHk Cj

ijkij

Cjij

Cj Piijj


100


1. ÍNDICES y CONJUNTOS iP Año de publicación de plazas, P = (1…, 5) jC Tipo de compromiso, C = (C1, C2, C3) kH Año del período de planeamiento H = (A1…, A7)

2. DATOS nk Contingente necesario en el año i cj Coste unitario, por plaza, del tipo de compromiso j mk Contingente alcanzado en el año k OPE Máximo según oferta pública de empleo

3. VARIABLES Xij Plazas para el compromiso j que se publicarán para el año i Uijk 1 si la tropa que se incorporó en i con compromiso j está en activo en k

4. FORMA COMPACTA

Siendo la matriz U(ij)k la siguiente (por comodidad hemos agregado los índices i y j en un único vector):

U(ij)k A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7

A1 X11 1 0 0 0 0 0 0 X12 1 1 0 0 0 0 0 X13 1 1 1 0 0 0 0

A2 X21 0 1 0 0 0 0 0 X22 0 1 1 0 0 0 0 X23 0 1 1 1 0 0 0

A3 X31 0 0 1 0 0 0 0 X32 0 0 1 1 0 0 0 X33 0 0 1 1 1 0 0

A4 X41 0 0 0 1 0 0 0 X42 0 0 0 1 1 0 0 X43 0 0 0 1 1 1 0

A5 X51 0 0 0 0 1 0 0 X52 0 0 0 0 1 1 0 X53 0 0 0 0 1 1 1


Hk;Cj;Pi1;0UCj;PiX

PinUX

PiOPEX

.a.s

XC

min

ijk

ij

kHk Cj

ijkij

Cjij

Cj Piijj

101

Apartado 2)




102

Apartado 3)

Utilizamos las mismas variables que en el problema anterior y, por comodidad, calculamos el número de especialistas conseguido cada año como:

Comj

ijkijk UXL

La forma compacta del problema es la siguiente (nótese que es necesario añadir la fórmula anterior a la forma compacta para que esta sea auto explicativa):

Perk;Comj;Pubi1;0UComj;PubiX

PubiNUX

PubiOPEX

UXL

.a.s

NL

min

ijk

ij

iPerk Comj

ijkij

Comjij

Comjijkijk

Perkkk

La solución, idéntica a la del apartado anterior, es la siguiente:


102

Apartado 3)

Utilizamos las mismas variables que en el problema anterior y, por comodidad, calculamos el número de especialistas conseguido cada año como:

Comj

ijkijk UXL

La forma compacta del problema es la siguiente (nótese que es necesario añadir la fórmula anterior a la forma compacta para que esta sea auto explicativa):

Perk;Comj;Pubi1;0UComj;PubiX

PubiNUX

PubiOPEX

UXL

.a.s

NL

min

ijk

ij

iPerk Comj

ijkij

Comjij

Comjijkijk

Perkkk

La solución, idéntica a la del apartado anterior, es la siguiente:

103

4.4 Necesidades de Operadores de Mando y Control (2/SO/PLE) ENUNCIADO

La vigilancia y control del espacio aéreo es responsabilidad del Ministerio de Defensa, a través del Mando de Defensa y Operaciones Aéreas. El general jefe del Mando Aéreo de Combate del Ejército del Aire es el comandante del Mando de Defensa y Operaciones Aéreas, responsable del planeamiento y conducción de las operaciones de vigi-lancia, control, seguridad y policía aérea en y desde los espacios aé-reos de soberanía, responsabilidad e interés nacional. Esta misión la realizará en el marco nacional y en el de la Defensa Aérea Integrada de la Organización del Tratado del Atlántico Norte. Suponga que en el Grupo Central de Mando y Control (GRUCE-

MAC) conocen las necesidades de Operadores de Alerta y Control(OAC) durante un día cualquiera; estas cifras son las que aparecenen el gráfico siguiente y se refieren al número de operadores quedeben estar prestando servicio durante la hora indicada.

Existen tres posibles turnos en los que los controladores se incorporan al destino: el primeroempieza al comienzo de la hora 1.ª hasta el final de la 8.ª; el segundo, de la 9.ª a la 16.ª; eltercero, de la 17.ª hasta la 24.ª. En cada turno los operadores pueden seguir uno de cuatro po-sibles patrones de turnos trabajo (A, B, C y D). Estos patrones son los que figuran a continua-ción (+1h significa la hora siguiente a la de entrada, etc.):

Patrones El patrón indica la condición (servicio o descanso) de las 8 horas de duración del turno (aquellos que siguen al patrón A trabajan 6 horas (1.ª,2.ª,3.ª,5.ª,6.ª,8.ª), y descansan la 4.ª y 7.ª.

0h +1h +2h +3h +4h +5h +6h +7h A Ser Ser Ser Des Ser Ser Des Ser B Ser Ser Ser Des Ser Des Ser Ser C Ser Ser Des Ser Des Ser Ser Ser D Ser Des Ser Ser Ser Ser Des Ser

Realice las siguientes actividades: 1) Planifique los turnos dando el número de operadores que deben entrar en cada turno y

el patrón de servicio al que deben acogerse para que se satisfagan las necesidades depersonal de servicio y se minimice el número de operadores totales necesarios.

2) Igual que el anterior, pero minimizando la diferencia máxima entre los operadores nece-sarios y los que están de servicio que tenga lugar en alguna de las 24 horas (minimax).

3) Suponga que puede sustituir alguno de los patrones de trabajo A, B, C o D por este:

N Des Ser Ser Ser Ser Ser Ser Des ¿Supondría ese cambio una disminución en el número mínimo necesario de operadores?


104


Consideraremos una variable Xi, (entera) definida como el número de operadores que en-tran en cada turno/patrón, definido de la forma siguiente:

D,C,B,A3Turno

D,C,B,A2Turno

D,C,B,A1Turno

i 12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1iX

Necesitaremos también la variable auxiliar (binaria) Uij que tendrá el valor 1 si el turno o patrón i-ésimo tiene personal en servicio durante la hora j-ésima del día. Esta matriz es la siguiente:

TURNO 1 TURNO 2 TURNO 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

A 1 1 1 1 1 1 1 B 2 1 1 1 1 1 1 C 3 1 1 1 1 1 1 D 4 1 1 1 1 1 1 A 5 1 1 1 1 1 1 B 6 1 1 1 1 1 1 C 7 1 1 1 1 1 1 D 8 1 1 1 1 1 1 A 9 1 1 1 1 1 1 B 10 1 1 1 1 1 1 C 11 1 1 1 1 1 1 D 12 1 1 1 1 1 1



104


Consideraremos una variable Xi, (entera) definida como el número de operadores que en-tran en cada turno/patrón, definido de la forma siguiente:

D,C,B,A3Turno

D,C,B,A2Turno

D,C,B,A1Turno

i 12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1iX

Necesitaremos también la variable auxiliar (binaria) Uij que tendrá el valor 1 si el turno o patrón i-ésimo tiene personal en servicio durante la hora j-ésima del día. Esta matriz es la siguiente:

TURNO 1 TURNO 2 TURNO 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

A 1 1 1 1 1 1 1 B 2 1 1 1 1 1 1 C 3 1 1 1 1 1 1 D 4 1 1 1 1 1 1 A 5 1 1 1 1 1 1 B 6 1 1 1 1 1 1 C 7 1 1 1 1 1 1 D 8 1 1 1 1 1 1 A 9 1 1 1 1 1 1 B 10 1 1 1 1 1 1 C 11 1 1 1 1 1 1 D 12 1 1 1 1 1 1


105

Siendo una posible solución la siguiente:

Es decir, el número mínimo para cubrir las necesidades son 89 operadores, repartidos en los siguientes turnos y patrones:

T1 T2 T3 Total A 12 4 12 28 B 6 4 3 13 C 12 8 11 31 D 6 0 11 17

Total 36 16 37 89


106

Apartado 2)

Minimizando el número máximo de los presentes menos los que son necesarios en alguna de las veinticuatro horas del día se obtiene la solución siguiente:

Que requiere 107 operadores para bajar la diferencia máxima anterior de 26 operadores hasta 25, cifra que es imposible rebajar.


106

Apartado 2)

Minimizando el número máximo de los presentes menos los que son necesarios en alguna de las veinticuatro horas del día se obtiene la solución siguiente:

Que requiere 107 operadores para bajar la diferencia máxima anterior de 26 operadores hasta 25, cifra que es imposible rebajar.

107

Apartado 3)

Para resolver el tercer apartado necesitaremos añadir el nuevo turno a la nueva matriz bi-naria anterior y añadir una nueva variable de decisión (binaria) Yi que tomará el valor 1 si el patrón i-ésimo se desactiva al añadir el nuevo patrón N. La forma compacta de este problema es la si-guiente:

TPi1;0Y

Hj;TPi1;0UTPi1;0X

HjnXUTPiYX

3Y

.a.s

X

min

i

ij

i

jTPi

iij

ii

TPii

TPii

M



108

Una solución, posiblemente única, es la siguiente:

Vemos que el nuevo patrón, sustituyendo al patrón A, supone una notable disminución en el número de operadores necesarios para satisfacer las necesidades de operadores.

Nuevo turno Solución anterior T1 T2 T3 Total

A 0 0 0 0 B 0 3 9 12 C 6 7 5 18 D 12 4 6 22 E 12 2 12 26

Total 30 16 32 78

T1 T2 T3 Total A 12 4 12 28 B 6 4 3 13 C 12 8 11 31 D 6 0 11 17

Total 36 16 37 89


108

Una solución, posiblemente única, es la siguiente:

Vemos que el nuevo patrón, sustituyendo al patrón A, supone una notable disminución en el número de operadores necesarios para satisfacer las necesidades de operadores.

Nuevo turno Solución anterior T1 T2 T3 Total

A 0 0 0 0 B 0 3 9 12 C 6 7 5 18 D 12 4 6 22 E 12 2 12 26

Total 30 16 32 78

T1 T2 T3 Total A 12 4 12 28 B 6 4 3 13 C 12 8 11 31 D 6 0 11 17

Total 36 16 37 89

109

4.5 Comisión de oficiales (2/SO/PLE) ENUNCIADO

Es usted el jefe de un escuadrón de las Fuerzas Aéreas y tiene bajo sus órdenes a nueve pi-lotos cada uno de los cuales ha sido evaluado en una serie de características: dominio con fluidez de un idioma extranjero (I = inglés; F = francés; A = alemán), más otras cuatro relativas a su desempeño profesional (tiro, navegación, liderazgo y disciplina), evaluadas mediante un índice de 1 a 3 (1 = medio; 2= alto; 3 = excepcional).

Personal de mantenimiento de la patrulla Aspa

Las características de los nueve oficiales se resumen en la tabla siguiente:

Piloto nº Idiomas Tiro Navegación Liderazgo Disciplina P1 I 2 1 3 3 P2 A 3 3 1 2 P3 I, F 2 3 2 2 P4 F, A 1 3 3 1 P5 I, F 1 3 1 2 P6 F, A 3 1 2 3 P7 I, F 3 2 2 1 P8 I 2 1 3 2 P9 F 3 3 1 3

El coronel jefe del ala al que pertenece su escuadrón le ordena que forme una comisión que cumpla, estrictamente, las siguientes condiciones:

a) La comisión estará formada por cinco miembros.b) La puntuación media en el concepto disciplina será la máxima posible.c) Debe haber al menos dos oficiales que hablen inglés y dos que hablen francés.d) Debe haber, exactamente, un oficial que hable alemán.e) La puntuación media de los elegidos en los conceptos de tiro, navegación y liderazgo

no debe ser inferior a 2.f) Si incluye al piloto P3, entonces no puede incluir al P6.g) Debe incluir al P8 o al P9, pero no a los dos al mismo tiempo.


1. Formule el problema identificando primero sus componentes y escribiendo después elPPL en forma compacta utilizando la notación habitual.

2. Determine qué pilotos deben formar la comisión.


110

SOLUCIÓN

Apartado 1)

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iP Pilotos, P = (P1…, P9)

2. DATOS ii, fi, ai Binaria, auxiliar. Con valor 1 si el piloto i habla inglés, francés, alemán ti, ni, li Puntuaciones en el desempeño profesional

3. VARIABLES Yi Binaria. Con valor 1 si el oficial i-ésimo es elegido para la comisión

4. FORMA COMPACTAIremos deduciendo las restricciones del problema una a una:

La comisión estará formada exactamente por cinco miembros.

5YPi

i

Debe haber al menos dos pilotos que hablen inglés y dos que hablen francés.

2fY

2iY

Piii

Piii

Debe haber exactamente un piloto que hable alemán.

1aYPi

ii

La puntuación media de los elegidos en los conceptos de tiro, navegación y liderazgo no de-be ser inferior a 2 (expondremos únicamente la relativa al tiro, siendo las otras tres caracte-rísticas idénticas en su planteamiento):

10tY2Y

tY

Piii

Pii

Piii

Si incluye al P3, entonces no puede incluir al P6.

1YY1Y1Y1PP

PPiiPPi

63636363

63

CON

Debe incluir al P8 o al P9, pero no a los dos al mismo tiempo. Esta condición es el o exclusi-vo, o también disyunción exclusiva:

989898 PPPPPP De la tabla de verdad de la proposición obtenemos fácilmente la forma en que debe plan-

tearse la restricción: p8 p9 98 pp 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

De lo que deducimos que:

1YYPP 9898


110

SOLUCIÓN

Apartado 1)


2. DATOS ii, fi, ai Binaria, auxiliar. Con valor 1 si el piloto i habla inglés, francés, alemán ti, ni, li Puntuaciones en el desempeño profesional

3. VARIABLES Yi Binaria. Con valor 1 si el oficial i-ésimo es elegido para la comisión

4. FORMA COMPACTAIremos deduciendo las restricciones del problema una a una:

La comisión estará formada exactamente por cinco miembros.

5YPi

i

Debe haber al menos dos pilotos que hablen inglés y dos que hablen francés.

2fY

2iY

Piii

Piii

Debe haber exactamente un piloto que hable alemán.

1aYPi

ii

La puntuación media de los elegidos en los conceptos de tiro, navegación y liderazgo no de-be ser inferior a 2 (expondremos únicamente la relativa al tiro, siendo las otras tres caracte-rísticas idénticas en su planteamiento):

10tY2Y

tY

Piii

Pii

Piii

Si incluye al P3, entonces no puede incluir al P6.

1YY1Y1Y1PP

PPiiPPi

63636363

63

CON

Debe incluir al P8 o al P9, pero no a los dos al mismo tiempo. Esta condición es el o exclusi-vo, o también disyunción exclusiva:

989898 PPPPPP De la tabla de verdad de la proposición obtenemos fácilmente la forma en que debe plan-

tearse la restricción: p8 p9 98 pp 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

De lo que deducimos que:

1YYPP 9898

111


1;0Y1YY1YY

10lY

10nY

10tY

1aY

2fY

2iY

5Y

.a.s

dY

max

i

98

63

Piii

Piii

Piii

Piii

Piii

Piii

Pii

Piii

Apartado 2)



112



112


113

4.6 Pilotos aliados en la batalla de Inglaterra (3/SO/PLE) Durante la llamada batalla de Inglaterra, que tuvo lugar durante la II Guerra Mundial, entre

julio y octubre de 1940, cuando la Luftwaffe se enfrentó a la RAF por la superioridad aérea que permitiera la posterior invasión de las Islas Británicas por parte de la fuerzas terrestres alemanas, numerosos pilotos de los países que habían sido pre-viamente ocupados y que habían conseguido escapar, se presentaron voluntarios para luchar contra los ale-manes.

La RAF integró rápidamente a estos pilotos en sus escuadrones, aunque la tarea no era trivial ya que hablaban diferentes lenguas y tenían experiencia de vuelo muy variada.

ENUNCIADO6

Suponga que dispone de ocho pilotos cuyo ni-vel de idioma y experiencia en vuelo (evalua-dos mediante un índice que va desde 0 el másbajo, hasta 20 el más alto) se da en las tablasA y B siguientes:

Nivel de idioma Tabla A P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8

Inglés 20 14 0 13 0 0 8 8 Francés 12 0 0 10 15 20 8 9

Danés 0 20 12 0 8 11 14 12 Noruego 0 0 0 0 17 0 0 16

Experiencia en misión Tabla B P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 Reconocimiento 18 12 15 0 0 0 9 0

Transporte 10 0 9 14 15 8 12 13 Bombardeo 0 17 0 11 13 10 0 0

Caza 0 0 14 0 0 12 16 0 Apoyo 0 0 0 0 12 18 0 18


1) Forme cuatro parejas de pilotos con la condición de que las parejas tengan una compati-bilidad en idioma y en misión de al menos 10 puntos y la suma de los índices de compa-tibilidad conjunta sea la máxima posible. Esta suma se refiere a la de todas lascaracterísticas, tanto de idioma como de misión que compartan (siempre que el índicesea superior a 10), por ejemplo, la compatibilidad conjunta de los pilotos 1 y 2 es la si-guiente:

PILO

TO

Inglés

Fr

ancé

s Da

nés

Noru

ego

Reco

nocim

iento

Tran

spor

te Bo

mbar

deo

Caza

Ap

oyo

COMP

ATIB

ILID

AD

1 20 12 18 10 2 14 20 12 17

34 30 64

6 Este problema está tomado de: Guéret C. Applications of optimization with Xpress-MP. Dash Optimization Ltd. 2000.

Póster de H. M. Stationery Office (dominio público).


114


A partir de los datos originales creamos dos matrices binarias (CIB y CMB) con valores 1 si se dan para cada piloto los niveles exigidos tanto de idioma como de experiencia en vuelo (valores iguales o superiores a 10 puntos):

1 2 3 4 5 6 7 8

CIB

Inglés 1 1 0 1 0 0 0 0 Francés 1 0 0 1 1 1 0 0

Danés 0 1 1 0 0 1 1 1 Noruego 0 0 0 0 1 0 0 1

CMB

Reconocimiento 1 1 1 0 0 0 0 0 Transporte 1 0 0 1 1 0 1 1

Bombardeo 0 1 0 1 1 1 0 0 Caza 0 0 1 0 0 1 1 0

Apoyo 0 0 0 0 1 1 0 1

A partir de ellas calculamos otras (CI, CM) en las que se acumulan el número de idiomas y de misiones respectivamente que comparten cada piloto con el resto de los otros pilotos, para lo cual bastará multiplicar (matricialmente) las matrices binarias traspuestas por las originales sin trasponer:

CMBCMBCIBCIB

T

T

CMCI

Así, la matriz CI tiene los siguientes valores:

CI Compatibilidad Idioma 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 1 0 2 1 1 0 0 2 1 2 1 1 0 1 1 1 3 0 1 1 0 0 1 1 1 4 2 1 0 2 1 1 0 0 5 1 0 0 1 2 1 0 1 6 1 1 1 1 1 2 1 1 7 0 1 1 0 0 1 1 1 8 0 1 1 0 1 1 1 2

Así, por ejemplo, la compatibilidad de idioma del piloto 1 y el 4 es 2 porque ambos se desenvuelven perfectamente en inglés y francés; la compatibilidad entre 1 y 3 es 0 porque no com-parten conocimientos de ningún idioma.

La matriz es lógicamente simétrica y los elementos de la diagonal principal corresponden al número de idiomas que cada piloto domina (la puntuación es mayor que 10).

Por su parte la matriz CM tiene los siguientes valores:

CM Compatibilidad misión 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 1 1 1 1 0 1 1 2 1 2 1 1 1 1 0 0 3 1 1 2 0 0 1 1 0 4 1 1 0 2 2 1 1 1 5 1 1 0 2 3 2 1 2 6 0 1 1 1 2 3 1 1 7 1 0 1 1 1 1 2 1 8 1 0 0 1 2 1 1 2


114


A partir de los datos originales creamos dos matrices binarias (CIB y CMB) con valores 1 si se dan para cada piloto los niveles exigidos tanto de idioma como de experiencia en vuelo (valores iguales o superiores a 10 puntos):

1 2 3 4 5 6 7 8

CIB

Inglés 1 1 0 1 0 0 0 0 Francés 1 0 0 1 1 1 0 0

Danés 0 1 1 0 0 1 1 1 Noruego 0 0 0 0 1 0 0 1

CMB

Reconocimiento 1 1 1 0 0 0 0 0 Transporte 1 0 0 1 1 0 1 1

Bombardeo 0 1 0 1 1 1 0 0 Caza 0 0 1 0 0 1 1 0

Apoyo 0 0 0 0 1 1 0 1

A partir de ellas calculamos otras (CI, CM) en las que se acumulan el número de idiomas y de misiones respectivamente que comparten cada piloto con el resto de los otros pilotos, para lo cual bastará multiplicar (matricialmente) las matrices binarias traspuestas por las originales sin trasponer:

CMBCMBCIBCIB

T

T

CMCI

Así, la matriz CI tiene los siguientes valores:

CI Compatibilidad Idioma 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 1 0 2 1 1 0 0 2 1 2 1 1 0 1 1 1 3 0 1 1 0 0 1 1 1 4 2 1 0 2 1 1 0 0 5 1 0 0 1 2 1 0 1 6 1 1 1 1 1 2 1 1 7 0 1 1 0 0 1 1 1 8 0 1 1 0 1 1 1 2

Así, por ejemplo, la compatibilidad de idioma del piloto 1 y el 4 es 2 porque ambos se desenvuelven perfectamente en inglés y francés; la compatibilidad entre 1 y 3 es 0 porque no com-parten conocimientos de ningún idioma.

La matriz es lógicamente simétrica y los elementos de la diagonal principal corresponden al número de idiomas que cada piloto domina (la puntuación es mayor que 10).

Por su parte la matriz CM tiene los siguientes valores:

CM Compatibilidad misión 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 1 1 1 1 0 1 1 2 1 2 1 1 1 1 0 0 3 1 1 2 0 0 1 1 0 4 1 1 0 2 2 1 1 1 5 1 1 0 2 3 2 1 2 6 0 1 1 1 2 3 1 1 7 1 0 1 1 1 1 2 1 8 1 0 0 1 2 1 1 2

115

Por ejemplo, la compatibilidad de misión del piloto 1 y 6 es 0 porque no tienen experiencia común en ninguna misión; la compatibilidad entre 4 y 5 es 2 porque ambos tienen experiencia en misiones de transporte y de bombardeo.

Como en el caso anterior, la matriz es simétrica y los elementos de la diagonal principal co-rresponden al número de misiones que cada piloto domina (la puntuación es mayor que 10).

Al multiplicar, no matricialmente, sino elemento a elemento, las matrices anteriores, obte-nemos una nueva matriz (CC) cuyos elementos son cero si los pilotos considerados no tienen com-patibilidad conjunta en idioma y misión, y un número entero que indica las posibilidades de combinación de cada pareja. (La matriz sigue siendo simétrica, pero ahora los elementos de la dia-gonal principal no son de utilidad).

Los valores de la matriz CC son los siguientes:

CC Compatibilidad común 1 2 3 4 5 6 7 8

1 4 1 0 2 1 0 0 0

Pj;iCMCICC ijijij

2 1 4 1 1 0 1 0 0 3 0 1 2 0 0 1 1 0 4 2 1 0 4 2 1 0 0 5 1 0 0 2 6 2 0 2 6 0 1 1 1 2 6 1 1 7 0 0 1 0 0 1 2 1 8 0 0 0 0 2 1 1 4

Cualquier emparejamiento que hagamos tiene que corresponderse con una entrada no nula de esta matriz, en caso contrario los pilotos no tendrían un idioma común, una experiencia de vuelo común, o ambas cosas.

Dado que el problema implica maximizar el emparejamiento con mayor compatibilidad con-junta, calculamos una nueva matriz U que recoja dicho valor para las combinaciones de todos los pilotos:

Compatibilidad conjunta (puntuación) 1 2 3 4 5 6 7 8

1 64 33 79 52 32 22 23 2 64 59 55 30 58 34 32 3 33 59 0 0 49 56 24 4 79 55 0 78 51 26 27 5 52 30 0 78 88 27 91 6 32 58 49 51 88 53 59 7 22 34 56 26 27 53 51 8 23 32 24 27 91 59 51

El cálculo de los elementos de esta matriz no es trivial, ya que están involucradas las ma-trices CIB, CMB y CIP, CMP descritas anteriormente.

La fórmula para el cálculo del elemento uij de esta matriz es:

jijiij CMBCIBCIPCIPu

Calculada la matriz U, ya solo queda asignar las parejas, lo cual haremos a través de una variable binaria Xij que tomará valor 1 si el piloto i y el j se emparejan.

Para asegurarnos de que la asignación es realmente un emparejamiento, es decir, que se verifica la relación siguiente:

jiij XX

creamos una nueva matriz T, de elementos tij, utilizando la función transponer de Excel, y añadire-mos la restricción que obligue a que ambas matrices sean idénticas.


116

La formulación del problema es la siguiente:


2. DATOS uij Elemento de la matriz U de puntuación de la compatibilidad entre pilotos cij Elemento de la matriz CC (binaria) de compatibilidad entre pilotos

3. VARIABLES Xij Binaria. Con valor 1 si se emparejan los pilotos i con j

4. FORMA COMPACTA

Pi1;0XPj,icXPj,iXX

Pi1X

Pj1X

.a.s

uX

max

ij

ijij

jiij

Vjij

Piij

Piijij

El aspecto de la hoja sería parecido al siguiente:


116



2. DATOS uij Elemento de la matriz U de puntuación de la compatibilidad entre pilotos cij Elemento de la matriz CC (binaria) de compatibilidad entre pilotos

3. VARIABLES Xij Binaria. Con valor 1 si se emparejan los pilotos i con j

4. FORMA COMPACTA

Pi1;0XPj,icXPj,iXX

Pi1X

Pj1X

.a.s

uX

max

ij

ijij

jiij

Vjij

Piij

Piijij

El aspecto de la hoja sería parecido al siguiente:

117

El menú de Solver sería el siguiente:


Las parejas son entonces las siguientes:

Pilotos Compatibilidad 1 y 4 79 2 y 6 58 3 y 7 56 5 y 8 91


118

1 y 4) Datos compatibilidad idioma Datos compatibilidad misión 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

Inglés 20 14 0 13 0 0 8 8 Reconocimiento 18 12 15 0 0 0 9 0 Francés 12 0 0 10 15 20 8 9 Transporte 10 0 9 14 15 8 12 13

Danés 0 20 12 0 8 11 14 12 Bombardeo 0 17 0 11 13 10 0 0 Noruego 0 0 0 0 17 0 0 16 Caza 0 0 14 0 0 12 16 0

Apoyo 0 0 0 0 12 18 0 18 2 y 6)

Datos compatibilidad idioma Datos compatibilidad misión 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8



Apoyo 0 0 0 0 12 18 0 18

5 y 8, y 3 y 7) Datos compatibilidad idioma Datos compatibilidad misión 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8



Apoyo 0 0 0 0 12 18 0 18


118

1 y 4) Datos compatibilidad idioma Datos compatibilidad misión 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8



Apoyo 0 0 0 0 12 18 0 18 2 y 6)

Datos compatibilidad idioma Datos compatibilidad misión 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8



Apoyo 0 0 0 0 12 18 0 18

5 y 8, y 3 y 7) Datos compatibilidad idioma Datos compatibilidad misión 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8



Apoyo 0 0 0 0 12 18 0 18

119

4.7 Planificación de misiones en el ALA 35 (2/OS/PLE) El Ala 35 tiene una dependencia orgánica y operativa del

Mando Aéreo de Combate. Le corresponde la realización de las mi-siones de transporte aéreo que se le encomienden.

Dispone de material T.21 habiendo cumplido las 55 000 ho-ras de vuelo en 2015. El ala tiene asignado el rol de Special Air Operations (EATC).

Últimamente el Ala 35 ha formado parte del destacamento Marfil, cuya misión es contribuir al transporte estratégico de las ca-pacidades regionales de los países participantes de AFISMA y Fran-cia. AFISMA (African-led International Support Mission to Mali) es una fuerza militar con liderazgo africano cuyo objetivo es el de apo-yar a Mali en su lucha contra la insurgencia yihadista.

ENUNCIADO Suponga que es el jefe de Operaciones del Ala 35. Ha de asignar cinco tipos de misión

(V1…, V5), que han de realizarse repetidamente, en número variable, cada mes, durante lospróximos siete meses, a alguno de los veinte pilotos (P1…, P20) destinados en la unidad.

La tabla A muestra la adecuación de cada uno de los veinte pilotos a los diferentes tipos demisión mediante un índice que es más alto cuanto mayor es dicha adecuación (el valor 0 seasigna los pilotos que nunca han realizado dicha misión y por tanto no tienen experiencia enella; los valores siguientes se asignan también en función de la experiencia del piloto en esetipo de misiones).

En la misma tabla aparecen los requerimientos (req) del número de misiones de cada tipoque han de realizarse mensualmente y el número de horas de vuelo que son necesarias paracompletar cada misión (horas).

Debido a su alta exigencia, en un mes concreto, cada piloto solo puede ser asignado comomáximo a una única misión.

Tabla A Adecuación

Pilotos del Ala 35 a su vuelta de Mali (foto http://www.defensa.com).

V1 V2 V3 V4 V5 P1 8 6 5 1 8 P2 10 6 2 2 4 P3 0 9 5 1 10 P4 2 3 8 2 1 P5 5 8 7 1 7 P6 9 8 10 9 3 P7 7 4 6 3 7 P8 0 1 1 2 9 P9 10 8 2 3 6

P10 0 10 2 3 10 P11 0 3 7 7 7 P12 5 9 2 4 6 P13 8 1 9 9 5 P14 9 2 0 8 0 P15 0 4 6 3 4 P16 0 9 9 2 1 P17 0 1 10 5 7 P18 1 7 10 10 1 P19 1 7 10 0 8 P20 1 3 7 7 7 Req 2 3 2 1 2

Horas 25 34 22 35 19


120


1) Determine la asignación óptima de pilotos a misiones durante los siete meses del períodode planeamiento, de manera que se realicen todas las misiones y que la adecuacióntotal conseguida sea la máxima posible. Escriba la forma compacta del problema.

2) Suponga que desea que la asignación sea tal que el piloto que menos misionesrealice haga el mayor número posible de ellas. Escriba la forma compacta del pro-blema.

3) Suponga que desea que la asignación sea tal que la diferencia del número de misio-nes del piloto que más tenga asignadas y el que menos sea la mínima posible.Escriba la forma compacta del problema.

4) Suponga que junto a la consideración del apartado anterior el coronel jefe del ala le im-pone la restricción de que ningún piloto realice durante dos meses seguidos lamisma misión. Escriba la forma compacta del problema.

5) Idéntico al apartado anterior, pero ahora teniendo en cuenta no las misiones reali-zadas, sino las horas voladas por cada piloto. Es decir, encuentre la asignación quehaga que:

a) se cumplan todas las misiones,b) la diferencia entre el número de horas de vuelo realizadas por el piloto que más

vuela y las realizadas por el que menos, sea la mínima posible,c) ningún piloto repita misión dos meses consecutivos.


120


1) Determine la asignación óptima de pilotos a misiones durante los siete meses del períodode planeamiento, de manera que se realicen todas las misiones y que la adecuacióntotal conseguida sea la máxima posible. Escriba la forma compacta del problema.

2) Suponga que desea que la asignación sea tal que el piloto que menos misionesrealice haga el mayor número posible de ellas. Escriba la forma compacta del pro-blema.

3) Suponga que desea que la asignación sea tal que la diferencia del número de misio-nes del piloto que más tenga asignadas y el que menos sea la mínima posible.Escriba la forma compacta del problema.

4) Suponga que junto a la consideración del apartado anterior el coronel jefe del ala le im-pone la restricción de que ningún piloto realice durante dos meses seguidos lamisma misión. Escriba la forma compacta del problema.

5) Idéntico al apartado anterior, pero ahora teniendo en cuenta no las misiones reali-zadas, sino las horas voladas por cada piloto. Es decir, encuentre la asignación quehaga que:

a) se cumplan todas las misiones,b) la diferencia entre el número de horas de vuelo realizadas por el piloto que más

vuela y las realizadas por el que menos, sea la mínima posible,c) ningún piloto repita misión dos meses consecutivos.

121

SOLUCIÓN

Apartado 1)

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iP Pilotos destinados, P = {P1…, P20} jV Misiones a realizar, V= {V1…, V5} kM Meses del período de planeamiento, M = {M1…, M7}

2. DATOS aij Adecuación del piloto i a la misión j hv Horas de vuelo de la misión v nv Número de misiones mensuales del tipo v a realizar

3. VARIABLES Xijk Binaria. 1 si se le asigna al piloto i la misión j en el mes k


Mk;Vj;Pi1;0X

Mk;Pi1X

Mk;VjnX

.a.s

aX

max

ijk

Vjijk

vPi

ijk

Pi Vj Mkijijk



122

Con las instrucciones dadas por:

La solución encontrada sería la siguiente:

Apreciamos que en la solución encontrada solo intervienen once pilotos, algunos de los cua-les hacen hasta siete misiones, esto es, vuelan todos los meses, mientras que los menos cualifica-dos no son asignados a ninguna misión.

La asignación encontrada, aunque proporciona el índice de adecuación máximo, está muy desequilibrada en cuanto a la carga de trabajo de los pilotos.

Es muy razonable suponer que existen numerosas soluciones con el mismo índice de ade-cuación total.

Utilizaremos esta solución, no aceptable por lo desequilibrada respecto al reparto de misio-nes, únicamente para tener el valor alcanzado en el índice de adecuación (679) como referencia del máximo valor posible y poder así saber cuánto se alejan de este máximo posible otras soluciones más equilibradas.


122

Con las instrucciones dadas por:

La solución encontrada sería la siguiente:

Apreciamos que en la solución encontrada solo intervienen once pilotos, algunos de los cua-les hacen hasta siete misiones, esto es, vuelan todos los meses, mientras que los menos cualifica-dos no son asignados a ninguna misión.

La asignación encontrada, aunque proporciona el índice de adecuación máximo, está muy desequilibrada en cuanto a la carga de trabajo de los pilotos.

Es muy razonable suponer que existen numerosas soluciones con el mismo índice de ade-cuación total.

Utilizaremos esta solución, no aceptable por lo desequilibrada respecto al reparto de misio-nes, únicamente para tener el valor alcanzado en el índice de adecuación (679) como referencia del máximo valor posible y poder así saber cuánto se alejan de este máximo posible otras soluciones más equilibradas.

123

Apartado 2)

Al exigir que el piloto que menos misiones realice haga el mayor número posible de ellas convertimos el problema anterior en un problema maximin, cuya forma compacta es la siguiente:

Mk;Vj;Pi1;0X

PiLX

Mk;Pi1X

Mk;VjnX

.a.sL

max

ijk

Vj Mkijk

Vjijk

vPi

ijk

El menú de Solver sería ahora el siguiente:

Cuyo resultado es:

Al aplicar el criterio maximin hemos conseguido que el piloto que menos misiones realice haga tres misiones durante los siete meses del planeamiento, equilibrando así mucho más la carga de trabajo. Sin embargo, la solución, aunque equilibrada, tiene un desempeño muy bajo (la ade-cuación acumulada es 372, es decir un 55 % del máximo posible).


124

Podemos pensar que la solución recién expuesta no es única y que estaríamos interesados en aquella que, respetando el mínimo logrado de tres misiones asignadas al piloto que menos mi-siones realiza, logre el mayor índice de adecuación posible.

Dado que sabemos que 3 es la asignación de la solución maximin, podemos incluir esta car-ga como restricción y recuperar como función objetivo la que maximiza el desempeño total logrado.

Mk;Vj;Pi1;0X

Pi3X

Mk;Pi1X

Mk;VjnX

.a.s

aX

max

ijk

Vj Mkijk

Vjijk

vPi

ijk

Pi Vj Mkijijk

El resultado ahora es el siguiente:

Vemos que la solución mantiene en 3 el número mínimo de misiones realizadas, pero ahora el desempeño es considerablemente más elevado ya que es un 92 % del resultado máximo posible.

Sin embargo, a pesar de haber elevado el número mínimo de misiones a realizar a 3, equili-brando así la solución obtenida, vemos que aún hay un piloto que realiza 7 misiones. En el apartado siguiente intentaremos disminuir aún más esta diferencia.


124

Podemos pensar que la solución recién expuesta no es única y que estaríamos interesados en aquella que, respetando el mínimo logrado de tres misiones asignadas al piloto que menos mi-siones realiza, logre el mayor índice de adecuación posible.

Dado que sabemos que 3 es la asignación de la solución maximin, podemos incluir esta car-ga como restricción y recuperar como función objetivo la que maximiza el desempeño total logrado.

Mk;Vj;Pi1;0X

Pi3X

Mk;Pi1X

Mk;VjnX

.a.s

aX

max

ijk

Vj Mkijk

Vjijk

vPi

ijk

Pi Vj Mkijijk

El resultado ahora es el siguiente:

Vemos que la solución mantiene en 3 el número mínimo de misiones realizadas, pero ahora el desempeño es considerablemente más elevado ya que es un 92 % del resultado máximo posible.

Sin embargo, a pesar de haber elevado el número mínimo de misiones a realizar a 3, equili-brando así la solución obtenida, vemos que aún hay un piloto que realiza 7 misiones. En el apartado siguiente intentaremos disminuir aún más esta diferencia.

125

Apartado 3)

Aunando los criterios minimax y maximin, están los criterios llamados balanceados, con los cuales se pretende que la diferencia entre el máximo y el mínimo sea lo menor posible.

Mk;Vj;Pi1;0X

PiVX

PiLX

Mk;Pi1X

Mk;VjnX

.a.sVL

min

ijk

Vj Mkijk

Vj Mkijk

Vjijk

vPi

ijk

La solución encontrada, una de las posibles, es la siguiente:

Con la solución balanceada (que puede llegar a ser muy costosa de obtener en tiempo de cálculo) llegamos a la conclusión de que los pilotos deben realizar entre 3 y 4 misiones para mante-ner el máximo equilibrio posible en las cargas de trabajo.

Pero de nuevo nos preguntamos si es posible mantener las cotas encontradas para el núme-ro mínimo y máximo de misiones a realizar y conseguir un mayor desempeño que el logrado con la solución encontrada que es apenas un 56 % del máximo posible.

Siguiendo una estrategia similar a la empleada en el apartado anterior, (añadiendo las cotas 3 y 4 encontradas en la solución balanceada como restricciones y recuperando la función objetivo relacionado con el índice de adecuación), vemos que, manteniendo el mayor equilibrio posible entre las cargas de trabajo de los pilotos, somos capaces de alcanzar un elevado desempeño. La solución encontrada es ahora la siguiente:


126

Apartado 4)

La solución encontrada en el apartado anterior es equilibrada respecto al número de misio-nes que realiza cada piloto y consigue un desempeño muy alto. Sin embargo, vemos que muchos pilotos realizan sus misiones concentradas en un corto espacio de tiempo, incluso en tres meses continuados.

La restricción impuesta por el coronel (no realizar dos meses consecutivos la misma misión) intenta espaciar a lo largo del período la carga de trabajo asignada a los pilotos.

La forma algebraica de la restricción se consigue sumando las cargas de trabajo de los pilo-tos durante dos meses consecutivos (recordemos que el valor máximo de dicha carga es 1) y for-zando a que dicha suma sea inferior a la unidad. La restricción tiene entonces la forma siguiente:

Pi1XX

k a siguiente mes elen i pilotodel Carga

Vj Mk1ijk

k mes elen i pilotodel Carga

Vj Mkijk

Asumimos los valores 3 y 4 como las cargas mínima y máxima respectivamente, e intenta-mos maximizar el desempeño con la nueva restricción de continuidad.


126

Apartado 4)

La solución encontrada en el apartado anterior es equilibrada respecto al número de misio-nes que realiza cada piloto y consigue un desempeño muy alto. Sin embargo, vemos que muchos pilotos realizan sus misiones concentradas en un corto espacio de tiempo, incluso en tres meses continuados.

La restricción impuesta por el coronel (no realizar dos meses consecutivos la misma misión) intenta espaciar a lo largo del período la carga de trabajo asignada a los pilotos.

La forma algebraica de la restricción se consigue sumando las cargas de trabajo de los pilo-tos durante dos meses consecutivos (recordemos que el valor máximo de dicha carga es 1) y for-zando a que dicha suma sea inferior a la unidad. La restricción tiene entonces la forma siguiente:

Pi1XX

k a siguiente mes elen i pilotodel Carga

Vj Mk1ijk

k mes elen i pilotodel Carga

Vj Mkijk

Asumimos los valores 3 y 4 como las cargas mínima y máxima respectivamente, e intenta-mos maximizar el desempeño con la nueva restricción de continuidad.

127

Mk;Vj;Pi1;0X

M,..,Mk;Pi1XX

Pi4X

Pi3X

Mk;Pi1X

Mk;VjnX

.a.s

aX

max

ijk

61Vj Mk

1kijVj Mk

ijk

Vj Mkijk

Vj Mkijk

Vjijk

vPi

ijk

Pi Vj Mkijijk


Vemos ahora que los pilotos realizan sus 3 o 4 misiones, en función de su grado de ade-cuación, de manera espaciada sin que se acumule la carga de trabajo en un corto espacio de tiem-po.

La solución encontrada es muy equilibrada y proporciona una adecuación total que es el 90 % del máximo posible. Cualquier intento de mejorar este valor habrá de hacerse, necesariamen-te, a costa de renunciar al equilibrio en las cargas de trabajo de los pilotos de la unidad.

No obstante, aunque equilibrada en relación con el número de misiones, dado que estas no suponen el mismo número de horas de vuelo, podríamos preguntarnos si somos capaces de encon-trar soluciones con un alto grado de adecuación pero que sean equilibradas no respecto del número de misiones, sino del número de horas realizadas.

En el apartado siguiente resolvemos este problema.


128

Apartado 5)

Para resolver este apartado necesitamos calcular, para una asignación mensual concreta, la carga de horas de vuelo que dicha asignación impone a cada piloto. Para el piloto u, en el mes m, la asignación de misiones es un vector de la forma:

Vj

ujmX

Las horas de vuelo correspondientes a esta asignación son:

Vj

vujmmu hXHV

Sin embargo, es mucho más cómodo hacer el cálculo matricialmente:

Tvmm

Pi Vjvijm

m hXHVhXHV

Veamos cómo la asignación de misiones dada por la solución vigente se traduce en el núme-ro de horas de vuelo realizadas por los pilotos:

Gráficamente tenemos la distribución de esfuerzo siguiente:


128

Apartado 5)

Para resolver este apartado necesitamos calcular, para una asignación mensual concreta, la carga de horas de vuelo que dicha asignación impone a cada piloto. Para el piloto u, en el mes m, la asignación de misiones es un vector de la forma:

Vj

ujmX

Las horas de vuelo correspondientes a esta asignación son:

Vj

vujmmu hXHV

Sin embargo, es mucho más cómodo hacer el cálculo matricialmente:

Tvmm

Pi Vjvijm

m hXHVhXHV

Veamos cómo la asignación de misiones dada por la solución vigente se traduce en el núme-ro de horas de vuelo realizadas por los pilotos:

Gráficamente tenemos la distribución de esfuerzo siguiente:

129

Antes de intentar resolver el problema completo, debemos tener en cuenta que, aunque sus dimensiones son reducidas, el espacio de posibles soluciones es inmenso y, en consecuencia, la resolución directa supondría un esfuerzo computacional muy grande que se traducirá en que nece-sitaremos un gran número de horas (o un superordenador) para obtener la solución.

Es mejor adoptar una estrategia de acercamiento progresivo, intentando encontrar cotas del número máximo y mínimo de horas de vuelos que sean razonables. La mejor solución (posible-mente no óptima) usando esta estrategia es la siguiente:

El reparto de horas de vuelo entre los pilotos es el siguiente:


130

5 LOGÍSTICA DE MATERIAL La amarga experiencia de la guerra ha enseñado la máxima de que el

arte de la guerra es el arte de lo posible logísticamente. Hyman G. Rickover, almirante de la Armada de Estados Unidos


Este capítulo consta de ocho problemas; cuatro de ellos pertenecen al epígrafe de «Pro-gramación lineal con enteros» (PLE) y otros tantos al de «Optimización de redes» (RED).

El problema 5.1 es una variación del conocido como problema de la mochila (knapsack problem) en el que se pide organizar el repliegue de una misión, en territorio alejado de las bases logísticas principales, de un conjunto de equipos de alto coste, de los que se conocen características como su peso, volumen y utilidad. El repliegue debe hacerse mediante el alquiler de contenedores, sujetos a restricciones de peso y capacidad, minimizando el coste total del transporte, respetando las restricciones de peso y volumen, y teniendo en cuenta las restricciones impuestas por el Estado Mayor en cuanto a la inclusión obligada de determinados equipos. Junto con las restricciones logís-ticas tradicionales de este tipo de problemas aparecen otras planteadas en términos de la lógica de predicados.

El problema 5.2 es análogo al anterior, pero ahora, en vez de un repliegue o repatriación de equipos, se considera un despliegue. Junto a las restricciones propias de los problemas de mo-chila se plantean otras que afectan al momento en que los equipos deben estar disponibles en la ZO, así como otras, de carácter operativo, que afectan a la obligatoriedad de que determinados equipos hayan de ser transportados de forma agrupada por motivos de eficacia o, por el contrario, de forma separada por motivos de seguridad.

El problema 5.3 plantea el diseño óptimo de un kit de despliegue para unidades que, pu-diendo ser integradas en una FA táctica expedicionaria, deberán disponer de forma permanente de dichos módulos logísticos para facilitar un rápido despliegue.

El problema 5.4 se refiere a una situación en la que una red logística, de capacidades limi-tadas, debe ser mejorada para ser capaz de soportar las exigencias futuras en cuanto al trasiego de medios logísticos con una inevitable restricción respecto del presupuesto disponible para ello.

El problema 5.5 plantea una situación propia de transporte en condiciones de combate, lo que obliga a considerar la probabilidad de que las fuentes de suministro logísticas, aun cuando dis-pongan de capacidad para ello, no sean capaces de efectuar las entregas porque la acción ofensiva del enemigo se lo impida.

El problema 5.6 tiene un trasfondo histórico que nos resulta muy cercano. Durante las lla-madas guerras de Flandes (la guerra de los Cien Años en realidad) los responsables de la logística de los tercios se enfrentaban a un extraordinario reto de carácter logístico cuya magnitud asombra incluso hoy en día a los estudiosos de la ciencia militar. El llamado Camino Español, que no era sino la ruta logística seguida por estas unidades, puso a prueba no solo la capacidad ofensiva y defensi-va de estas unidades de infantería, que llenaron páginas gloriosas de la historia militar española, sino su capacitación técnica, que se demostró extraordinaria.

Desde el punto de vista de la optimización, el problema se plantea para aunar dos técnicas que comúnmente se presentan de forma separada dentro de la PL: por una parte, la optimización en redes por la vía de los requerimientos de flujo logístico; por otra, los problemas de localización, por la vía de los problemas de habilitación óptima de instalaciones.

El problema 5.7 no es original del autor, ya que está tomado de un artículo aparecido en INFORMS (Institute for Operations Research and the Management Sciences), publicado por un miembro de la Army Logistics University de los EE. UU. Se trata de la planificación de un despliegue desde bases situadas en la costa del Pacífico hasta bases de la OTAN en Europa, pasando por aero-puertos civiles y con destino final en territorio afgano.

A pesar de lo aparatoso de la situación planteada, que no es sino un débil reflejo del reto logístico real durante las recientes operaciones en esta parte del planeta, la metodología propia de la optimización en redes proporciona una herramienta extraordinariamente eficaz para su resolución


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5 LOGÍSTICA DE MATERIAL La amarga experiencia de la guerra ha enseñado la máxima de que el

arte de la guerra es el arte de lo posible logísticamente. Hyman G. Rickover, almirante de la Armada de Estados Unidos


Este capítulo consta de ocho problemas; cuatro de ellos pertenecen al epígrafe de «Pro-gramación lineal con enteros» (PLE) y otros tantos al de «Optimización de redes» (RED).

El problema 5.1 es una variación del conocido como problema de la mochila (knapsack problem) en el que se pide organizar el repliegue de una misión, en territorio alejado de las bases logísticas principales, de un conjunto de equipos de alto coste, de los que se conocen características como su peso, volumen y utilidad. El repliegue debe hacerse mediante el alquiler de contenedores, sujetos a restricciones de peso y capacidad, minimizando el coste total del transporte, respetando las restricciones de peso y volumen, y teniendo en cuenta las restricciones impuestas por el Estado Mayor en cuanto a la inclusión obligada de determinados equipos. Junto con las restricciones logís-ticas tradicionales de este tipo de problemas aparecen otras planteadas en términos de la lógica de predicados.

El problema 5.2 es análogo al anterior, pero ahora, en vez de un repliegue o repatriación de equipos, se considera un despliegue. Junto a las restricciones propias de los problemas de mo-chila se plantean otras que afectan al momento en que los equipos deben estar disponibles en la ZO, así como otras, de carácter operativo, que afectan a la obligatoriedad de que determinados equipos hayan de ser transportados de forma agrupada por motivos de eficacia o, por el contrario, de forma separada por motivos de seguridad.

El problema 5.3 plantea el diseño óptimo de un kit de despliegue para unidades que, pu-diendo ser integradas en una FA táctica expedicionaria, deberán disponer de forma permanente de dichos módulos logísticos para facilitar un rápido despliegue.

El problema 5.4 se refiere a una situación en la que una red logística, de capacidades limi-tadas, debe ser mejorada para ser capaz de soportar las exigencias futuras en cuanto al trasiego de medios logísticos con una inevitable restricción respecto del presupuesto disponible para ello.

El problema 5.5 plantea una situación propia de transporte en condiciones de combate, lo que obliga a considerar la probabilidad de que las fuentes de suministro logísticas, aun cuando dis-pongan de capacidad para ello, no sean capaces de efectuar las entregas porque la acción ofensiva del enemigo se lo impida.

El problema 5.6 tiene un trasfondo histórico que nos resulta muy cercano. Durante las lla-madas guerras de Flandes (la guerra de los Cien Años en realidad) los responsables de la logística de los tercios se enfrentaban a un extraordinario reto de carácter logístico cuya magnitud asombra incluso hoy en día a los estudiosos de la ciencia militar. El llamado Camino Español, que no era sino la ruta logística seguida por estas unidades, puso a prueba no solo la capacidad ofensiva y defensi-va de estas unidades de infantería, que llenaron páginas gloriosas de la historia militar española, sino su capacitación técnica, que se demostró extraordinaria.

Desde el punto de vista de la optimización, el problema se plantea para aunar dos técnicas que comúnmente se presentan de forma separada dentro de la PL: por una parte, la optimización en redes por la vía de los requerimientos de flujo logístico; por otra, los problemas de localización, por la vía de los problemas de habilitación óptima de instalaciones.

El problema 5.7 no es original del autor, ya que está tomado de un artículo aparecido en INFORMS (Institute for Operations Research and the Management Sciences), publicado por un miembro de la Army Logistics University de los EE. UU. Se trata de la planificación de un despliegue desde bases situadas en la costa del Pacífico hasta bases de la OTAN en Europa, pasando por aero-puertos civiles y con destino final en territorio afgano.

A pesar de lo aparatoso de la situación planteada, que no es sino un débil reflejo del reto logístico real durante las recientes operaciones en esta parte del planeta, la metodología propia de la optimización en redes proporciona una herramienta extraordinariamente eficaz para su resolución

131

aun cuando intervienen diferentes tipos de plataformas, restricciones derivadas del uso de aero-puertos civiles por aeronaves militares, consumos de combustibles, etc., que han de ser optimiza-dos.

Finalmente, el problema 5.8 está basado en otro que aparece en el texto de la asignatura Investigación Operativa, que se cursa en el CUD de la Academia General Militar, si bien plantea difi-cultades añadidas. A partir del plano de las calles de una ciudad próxima a una zona de operaciones se nos enfrenta a una situación en la que se producirían dos tipos de flujos: un flujo de refugiados civiles que huyen del enfrentamiento armado; otro de medios logísticos que, en sentido contrario al primero, se dirige precisamente a abastecer a las unidades inmersas en el combate.

Se trata de un problema de optimización en redes, pero con una particularidad: las aristas, que en principio son bidireccionales —permitiendo originalmente el trasiego en ambas direcciones—, deben ser convertidas en unidireccionales mediante la ordenación de su tráfico, lo que nos obliga a usar una formulación diferente a la habitual.


132

5.1 Repatriación de material tras el repliegue en una misión (2/OS/PLE) ENUNCIADO

El MALOG ha identificado los 45 equipos principales (E1…, E45) que podrían ser repatriados tras el fin de la misión de las tropas españolas en una de las bases en territorio afgano.

De cada equipo se sabe los metros cúbicos que ocupará una vez embarcado (M3), el peso en kg (peso) y el valor, en miles de euros, descontada la amortización y las eventuales reparacio-nes que fueran necesarias para devolver el equipo a la plena operatividad (valor).

El transporte habrá de ser externalizado. La compañía transportista ofrece hasta 7 con-tenedores, cada uno de los cuales es capaz de alojar 160 m3 de material y soportar unpeso máximo de 20 000 kg.

El coste de alquilar un contenedor es de 800 000 €.

El Estado Mayor ha determinado también qué equipos habrán de ser obligatoriamenterepatriados independientemente de cualquier consideración económica (aparecen seña-lados con el valor 1 en la variable forz con el valor 1).

Tabla A (parcial) Nº E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10

……

E37 E38 E39 E40 E41 E42 E43 E44 E45 M3 25 17 19 13 15 26 34 19 21 34 30 25 10 33 32 12 25 25 18

Peso 2.800 3.920 3.330 1.720 3.990 4.280 3.290 1.700 4.270 4.550 4.510 1.080 4.390 4.930 1.230 2.040 4.060 2.570 1.740 Valor 364 333 206 373 393 291 153 414 198 413 455 410 327 161 297 220 218 432 400 Forz 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1


1) Diseñe un plan de transporte respondiendo a las siguientes preguntas:

¿Cuántos contenedores serán necesarios para el traslado? ¿Qué equipos habrá que repatriar? ¿En qué contenedores transportarlos?

Siempre teniendo en cuenta que se deberán respetar las restricciones de peso y volumen así como las indicaciones del Estado Mayor en lo relativo a los equipos de repatriación forzosa y que el objetivo último es maximizar la diferencia entre el valor del material repatriado y los costes de la operación.


132

5.1 Repatriación de material tras el repliegue en una misión (2/OS/PLE) ENUNCIADO

El MALOG ha identificado los 45 equipos principales (E1…, E45) que podrían ser repatriados tras el fin de la misión de las tropas españolas en una de las bases en territorio afgano.

De cada equipo se sabe los metros cúbicos que ocupará una vez embarcado (M3), el peso en kg (peso) y el valor, en miles de euros, descontada la amortización y las eventuales reparacio-nes que fueran necesarias para devolver el equipo a la plena operatividad (valor).

El transporte habrá de ser externalizado. La compañía transportista ofrece hasta 7 con-tenedores, cada uno de los cuales es capaz de alojar 160 m3 de material y soportar unpeso máximo de 20 000 kg.

El coste de alquilar un contenedor es de 800 000 €.

El Estado Mayor ha determinado también qué equipos habrán de ser obligatoriamenterepatriados independientemente de cualquier consideración económica (aparecen seña-lados con el valor 1 en la variable forz con el valor 1).

Tabla A (parcial) Nº E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10

……

E37 E38 E39 E40 E41 E42 E43 E44 E45 M3 25 17 19 13 15 26 34 19 21 34 30 25 10 33 32 12 25 25 18

Peso 2.800 3.920 3.330 1.720 3.990 4.280 3.290 1.700 4.270 4.550 4.510 1.080 4.390 4.930 1.230 2.040 4.060 2.570 1.740 Valor 364 333 206 373 393 291 153 414 198 413 455 410 327 161 297 220 218 432 400 Forz 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1


1) Diseñe un plan de transporte respondiendo a las siguientes preguntas:

¿Cuántos contenedores serán necesarios para el traslado? ¿Qué equipos habrá que repatriar? ¿En qué contenedores transportarlos?

Siempre teniendo en cuenta que se deberán respetar las restricciones de peso y volumen así como las indicaciones del Estado Mayor en lo relativo a los equipos de repatriación forzosa y que el objetivo último es maximizar la diferencia entre el valor del material repatriado y los costes de la operación.

133

SOLUCIÓN

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iE Equipos de posible repatriación, E = {E1…, E45} jC Contenedores disponibles, C = {C1…, C7}

2. DATOS vi Volumen del equipo i-ésimo pi Peso del equipo i-ésimo ei Valor del equipo i-ésimo mP Máximo peso a transportar en un contenedor mV Máximo volumen a alojar en un contenedor eC Coste de alquiler de contenedor fi Binaria. 1 si el artículo i es de repatriación forzosa

3. VARIABLES Xj Binaria. 1 si se alquila el contendor j-ésimo Yij Binaria. 1 si el artículo i se embarca en el contendor j


Cj;Ei1;0Y;X

Ei0fY

Ei1Y

CjmXvY

CjmXpY

.a.s

XevY

max

ijj

iCj

ij

Cjij

ViEi

iij

PiEi

iij

CjjC

Cj Eiiij

Cuya explicación es la siguiente:

La función objetivo es la diferencia, que hay que maximizar, entre el valor de los equiposrepatriados y el coste de la operación de repatriación:

ónrepatriacila de Coste

CjjC

srepatriadoartículos deValor

Cj Eiiij XevY

Las restricciones 1 y 2 hacen que el peso y volumen de los equipos incluidos en un de-terminado contenedor no superen la capacidad de este.

La restricción 3 impide que un mismo equipo se incluya en más de un contenedor. La restricción 4 asegura que se incluyen en algún contenedor los equipos de repatriación

forzosa. La restricción 5 asegura que solo se asignen equipos a un contenedor que esté habilita-

do. La restricción 6 se refiere a la naturaleza binaria de las variables de decisión.


El a

spec

to d

e la

hoj

a de

cál

culo

ser

ía e

l sig

uien

te (

teng

a en

cue

nta

que

se h

an o

miti

do la

s fil

as f

inal

es d

e la

tab

la):


El a

spec

to d

e la

hoj

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cál

culo

ser

ía e

l sig

uien

te (

teng

a en

cue

nta

que

se h

an o

miti

do la

s fil

as f

inal

es d

e la

tab

la):


Open Solver emplea más de cien segundos en encontrar la solución óptima:


136

Nota a la solución anterior

En ocasiones es posible simplificar un problema de forma drástica convirtiendo una deci-sión a tomar sobre determinados valores de una o varias variables de decisión por una asigna-ción sistemática de dichos valores y resolviendo los problemas parciales, generalmente mucho más simples, para cada una de estas posibles combinaciones.

El presente problema es un claro exponente de esta situación. Tal como está planteado originalmente, la decisión del número de contenedores a habilitar forma parte del problema (las variables Xj son, junto con las de asignación Yij, las variables de decisión del problema). Sin embargo, esto hace que el problema sea muy costoso de resolver, lo cual se traduce en un tiempo de CPU muy elevado para obtener una solución (lógicamente este es un factor que tam-bién depende del procesador empleado).

Teniendo en cuenta que el precio de habilitación es el mismo para todos los contenedo-res, el problema se puede simplificar, resolviendo los siete problemas menores en los que el número de contendores se va aumentando progresivamente, y analizando cómo varía la solu-ción cuando varía esta cifra.


136

Nota a la solución anterior

En ocasiones es posible simplificar un problema de forma drástica convirtiendo una deci-sión a tomar sobre determinados valores de una o varias variables de decisión por una asigna-ción sistemática de dichos valores y resolviendo los problemas parciales, generalmente mucho más simples, para cada una de estas posibles combinaciones.

El presente problema es un claro exponente de esta situación. Tal como está planteado originalmente, la decisión del número de contenedores a habilitar forma parte del problema (las variables Xj son, junto con las de asignación Yij, las variables de decisión del problema). Sin embargo, esto hace que el problema sea muy costoso de resolver, lo cual se traduce en un tiempo de CPU muy elevado para obtener una solución (lógicamente este es un factor que tam-bién depende del procesador empleado).

Teniendo en cuenta que el precio de habilitación es el mismo para todos los contenedo-res, el problema se puede simplificar, resolviendo los siete problemas menores en los que el número de contendores se va aumentando progresivamente, y analizando cómo varía la solu-ción cuando varía esta cifra.

137

5.2 Despliegue de equipos (3/OS/PLE) ENUNCIADO

Tiene que planificar un despliegue de unidades desde una MOB a una FOB. Cuenta para su posible despliegue con un total de 25 equipos (tabla A, los datos completos en el fichero Ex-cel), cada uno de ellos con cuatro características relevantes al problema de despliegue: su peso (pes) dado en kg; su volumen (vol) dado en m3; su valor táctico (valor) dado en unidades monetarias (um) y el número de días que, como máximo, pueden transcurrir desde el comienzo de la operación de transporte hasta que el equipo al que se refiere se encuentre en la FOB a la que será finalmente desplegado una vez se produzca la operación (necesario).

Tabla A Equipo

Pes (kg)

Vol (m3)

Valor (um)

Necesario (días)

1 12 18 33 60 Por ejemplo, el equipo número 1 tiene un peso de 12 kg, un volumen de 18 m3, un valor de 22 um y debe encon-trarse en la FOB antes de 60 días des-de el comienzo de la operación.

2 10 13 33 60 3 10 17 34 60

…….. 24 17 12 46 60 25 17 19 41 60

Para transportar todos, o algunos de los veinticinco equipos, dispone de ocho medios de transporte diferentes (T1…, T8) cuyas características relevantes para el problema (tabla B) son las siguientes:

Partida, que se refiere al número de días, contados a partir del inicio de la ope-ración, en la que el transporte puede ser utilizado.

Viaje, que se refiere al número de días que, contados a partir del momento dellegada del transporte a la base de despliegue, dicho transporte tardará en hacerel viaje entre la MOB y la FOB (por ejemplo, si utilizamos el transporte T1 paratransportar algunos equipos, estos estarán disponibles en la FOB al cabo de0+30 días, mientras que si utilizamos T2, estarán disponibles al cabo de 12+30días).

Tabla B Transporte T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 Partida 0 12 15 1 6 0 2 5

Viaje 30 30 30 50 50 50 60 65 C. Alquiler 264 292 263 159 172 90 97 50

PM 197 145 165 159 104 112 200 160 VM 113 134 167 167 142 170 162 121

Las otras tres características de los transportes que figuran en la tabla son:

C. Alquiler que se refiere al coste (en uds. monetarias) de externalización deltransporte.

PM, que se refiere al peso máximo (en kg) que puede transportar. VM, que se refiere al volumen máximo (en m3) que puede transportar.

Otras restricciones que se han de verificar son las siguientes: a) Los equipos 1 y 2 son, respectivamente, espoletas y cargas explosivas de una

determinada munición, por lo que, por motivos de seguridad, no pueden viajaren el mismo transporte. Los equipos 5 y 6 están en las mismas circunstancias, nopueden ir en el mismo transporte.

b) Los equipos 9 y 10, en caso de que se decida su transporte, deberán hacerlo enel mismo medio, no pueden viajar separados.

c) Los equipos 3 y 7 deben llegar a la FOB antes que los equipos 4 y 8 respectiva-mente.

d) Si se decide transportar el equipo 9, entonces también ha de transportarse almenos uno de los equipos 13 y 14 (en el mismo transporte o en transportes dife-rentes).

e) Todo transporte debe contar al menos con un equipo del 18 al 25 (ambos inclu-sive).


138

f) El valor de los equipos transportados debe ser igual o superior a 800 uds. mone-tarias.


1. Escriba la forma compacta del problema descrito en el apartado siguiente.

2. Diseñe un plan que asigne equipos a transportes, que cumpla las restricciones y seaóptimo en coste (diferencia entre el valor de los equipos y el coste de su transporte).


138

f) El valor de los equipos transportados debe ser igual o superior a 800 uds. mone-tarias.


1. Escriba la forma compacta del problema descrito en el apartado siguiente.

2. Diseñe un plan que asigne equipos a transportes, que cumpla las restricciones y seaóptimo en coste (diferencia entre el valor de los equipos y el coste de su transporte).

139

SOLUCIÓN

Apartado 1)

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iE Equipos a transportar, E = {E1…, E25} jT Transportes disponibles, T = {T1…, T7}

2. DATOS vi Volumen del equipo i-ésimo pi Peso del equipo i-ésimo ei Valor del equipo i-ésimo ti Tiempo más tardío de llegada del equipo i-ésimo pmj Máximo peso a transportar en el transporte j-ésimo vmj Máximo volumen a alojar en el transporte j-ésimo caj Coste de alquiler del transporte j-ésimo tpj Instante de partida del transporte j-ésimo tvj Tiempo de viaje del transporte j-ésimo

3. VARIABLES Xij Binaria. 1 si el artículo i se embarca en el transporte j Yj Binaria. 1 si se alquila el transporte j-ésimo

4. FORMA COMPACTAAnalizaremos las restricciones del problema antes de construir la forma compacta.

1) La restricción que impide que un artículo sea asignado a más de un medio detransporte es:

Ei1XTj

ij

2) La que impone que el valor de los equipos desplegado sea mayor que 800 es la si-guiente:

800eXEi Tj

iij

3) Aparte de las anteriores, existen tres tipos más de restricciones: las relativas a lascaracterísticas físicas de los equipos, las que hacen referencia al tiempo de empleoy las derivadas de las incompatibilidades por la naturaleza de los equipos. Las deri-vadas de las características físicas suponen que los equipos embarcados en un de-terminado transporte no deben vulnerar el peso y volumen máximo que estospueden soportar y se enuncian en la forma habitual:

TjYvmvX

TjYpmpX

jjEi

iij

jjEi

iij

4) Las que hacen referencia a los tiempos de llegada de los equipos son las siguien-tes:

Cumplimiento del tiempo más tardío en que los equipos han de encontrarse desplega-dos:

EittvXtpX iEi Tj

jijEi Tj

jij


140

Los equipos 3 y 7 deben llegar a la FOB antes que los equipos 4 y 8 respectivamente.

Tjjjj8

Tjjjj7

Tjjjj4

Tjjjj3

tvtpXtvtpX

tvtpXtvtpX

5) Finalmente están las restricciones relacionadas con las incompatibilidades de losequipos:

Los equipos 1 y 2 son, respectivamente, espoletas y cargas explosivas de una determi-nada munición, por lo que, por motivos de seguridad, no pueden viajar en el mismotransporte.

La forma más directa de deducir la restricción lineal asociada a esta imposición es construir la tabla de verdad de la proposición y ver si de ella podemos deducir la restricción. En el caso que nos ocupa, la tabla de verdad sería la siguiente (por co-modidad prescindimos de los segundos subíndices en la variable X):

X1 X2 Proposición 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Que inmediatamente nos lleva a enunciar la restricción como:

Tj1XX j2j1

No obstante, la manera formal de hacerlo sería deducir la forma normal conjuntiva y a partir de ella construir la restricción:

1XX1X1X1 j2j1j2j1jiji

Los equipos 5 y 6 están en las mismas circunstancias, no pueden ir en el mismo trans-porte.

Tj1XX j6j5

Los equipos 9 y 10, en caso de que se decida su transporte, deberán hacerlo en elmismo medio de transporte, no pueden viajar separados.La tabla de verdad es la siguiente:

X9 X10 Proposición 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1


TjXX j10j9

La forma compacta nos lleva, por un camino algo más largo, a la misma conclu-sión:

j9j10

j10j9

j9j10

j9j10

j10j9

910109

910109

109

XXXXXX

1XX11XX1

FNC

FNC


140

Los equipos 3 y 7 deben llegar a la FOB antes que los equipos 4 y 8 respectivamente.

Tjjjj8

Tjjjj7

Tjjjj4

Tjjjj3

tvtpXtvtpX

tvtpXtvtpX

5) Finalmente están las restricciones relacionadas con las incompatibilidades de losequipos:

Los equipos 1 y 2 son, respectivamente, espoletas y cargas explosivas de una determi-nada munición, por lo que, por motivos de seguridad, no pueden viajar en el mismotransporte.

La forma más directa de deducir la restricción lineal asociada a esta imposición es construir la tabla de verdad de la proposición y ver si de ella podemos deducir la restricción. En el caso que nos ocupa, la tabla de verdad sería la siguiente (por co-modidad prescindimos de los segundos subíndices en la variable X):

X1 X2 Proposición 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0


Tj1XX j2j1

No obstante, la manera formal de hacerlo sería deducir la forma normal conjuntiva y a partir de ella construir la restricción:

1XX1X1X1 j2j1j2j1jiji

Los equipos 5 y 6 están en las mismas circunstancias, no pueden ir en el mismo trans-porte.

Tj1XX j6j5

Los equipos 9 y 10, en caso de que se decida su transporte, deberán hacerlo en elmismo medio de transporte, no pueden viajar separados.La tabla de verdad es la siguiente:

X9 X10 Proposición 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1


TjXX j10j9

La forma compacta nos lleva, por un camino algo más largo, a la misma conclu-sión:

j9j10

j10j9

j9j10

j9j10

j10j9

910109

910109

109

XXXXXX

1XX11XX1

FNC

FNC

141

Si se decide transportar el equipo 9, entonces también ha de transportarse al menosuno de los equipos 13 y 14 (en el mismo transporte o en transportes diferentes).

La FNC es la siguiente (nótese que ahora, al poder viajar los equipos en cual-quier transporte, el subíndice j ha de estar agregado y sustituir la variable Xijpor su sumatorio en j):

Tjj9

Tjj14

Tjj13

Tjj14

Tjj13

Tjj914139

14139

XXX

1XXX1

Es decir, la restricción es:

Tjj9

Tjj14

Tjj13 XXX

Todo transporte debe contar al menos con un equipo del 18 al 25 (ambos inclusive).

TjYX j

25,,18iij


Tj1;0Y

Tj;Ei1;0X

Tj;25,,18iYX

XXX

Tj0tvtpXtvtpX

Tj0tvtpXtvtpXTjXXTj1XXTj1XX

EittvXtpX

TjYvmvX

TjYpmpX

800eX

Ei1X

a.s

caYeX

max

j

ij

jij

Tjj9

Tjj14

Tjj13

Tjjjj8

Tjjjj7

Tjjjj4

Tjjjj3

j10j9

j6j5

j2j1

iEi Tj

jijEi Tj

jij

jjEi

iij

jjEi

iij

Ei Tjiij

Tjij

Tjjj

Ei Tjiij

i


142

Apartado 2) El aspecto de Solver es el siguiente:


142

Apartado 2) El aspecto de Solver es el siguiente:

143

La s

oluc

ión

es la

sig

uien

te:


144

5.3 Kit de despliegue (2/SO/PLE) El concepto expedicionario se asocia al de «grupo organizado de personas que, con los

medios adecuados, emprenden un viaje con una misión común».

El Ejército del Aire ha establecido el concepto de Fuerza Aérea táctica expedicionaria como el de la agrupación de medios humanos y materiales capaz de actuar lejos de sus bases permanentes para enfrentarse a los nuevos retos que presenta el entorno cambiante del mun-do.

En España, y de acuerdo con la última revisión estratégica, el Ejército del Aire deberá disponer de unidades aéreas para operar allá donde fuera necesario, tanto para defender los in-tereses nacionales como para participar en la seguridad y defensa de nuestros aliados, en el momento y lugar en que se necesiten y en el menor tiempo posible.

Esta idea comprende el despliegue integrado de aviones de combate, así como otros de apoyo, personal y equipos necesarios para cumplir la misión. Una característica de esta fuerza expedicionaria es, entre otras, la disponibilidad de los recursos necesarios.

Las unidades susceptibles de ser integradas en una FA táctica expedicionaria deberán disponer de forma permanente de módulos, también llamados kits de despliegue, para facilitar un rápido despliegue7.

ENUNCIADO

Para realizar una misión internacional cuya duración se estima en seis meses, tiene que establecer una plataforma aérea en una base improvisada que se encuentra muy lejana de sus bases de aprovisionamiento principales. La plataforma necesitará repuestos pequeños, fácil-mente transportables, cuyo acceso, en caso de necesidad, esté asegurado. Sin embargo, de-terminados equipos también necesarios son muy voluminosos y, debido a las condiciones extremas en las que se desarrollará la misión, tienen una alta probabilidad de avería.

Estos repuestos han de ser enviados inicialmente con la aeronave para que, en caso de que sea necesaria su reposición, se encuentren a disposición del primer escalón de manteni-miento y la aeronave pueda ser devuelta al estado operativo, in situ, sin necesidad de esperar a la llegada del repuesto desde las lejanas bases nacionales. Son repuestos críticos para el desa-rrollo de la misión, ya que atienden a equipos cuya inoperatividad impediría la operación de la aeronave. El problema surge porque son repuestos caros, escasos, voluminosos, que no pueden ser transportados fácilmente y demandados también por las aeronaves que operan en territorio nacional y no han sido desplegadas, por lo que la decisión de cuántos es necesario transportar requiere un cuidadoso análisis.

Se ha concluido que existen ocho equipos con esas características (E1…, E8) de los que conoce, además del peso, las probabilidades de avería (tabla A):

Tabla A E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 Peso 100 110 90 120 100 90 80 105

n

0 0,0007 0,0007 0,0010 0,0003 0,0000 0,0000 0,0018 0,0000 1 0,0109 0,0085 0,0107 0,0045 0,0004 0,0005 0,0223 0,0004 2 0,0705 0,0498 0,0547 0,0274 0,0042 0,0086 0,1174 0,0047 3 0,2557 0,1737 0,1719 0,1020 0,0273 0,0815 0,3529 0,0333 4 0,5798 0,4059 0,3770 0,2616 0,1138 0,4095 0,6809 0,1480 5 0,8824 0,6846 0,6230 0,4956 0,3215 1,0000 0,9246 0,4233 6 1,0000 0,8936 0,8281 0,7340 0,6329 1,0000 0,7903 7 0,9832 0,9453 0,9004 0,8999 1,0000 8 1,0000 0,9893 0,9767 1,0000 9 0,9990 0,9975 10 1,0000 1,0000

7 Kindelán. La fuerza aérea expedicionaria. Cátedra 2013.


144

5.3 Kit de despliegue (2/SO/PLE) El concepto expedicionario se asocia al de «grupo organizado de personas que, con los

medios adecuados, emprenden un viaje con una misión común».

El Ejército del Aire ha establecido el concepto de Fuerza Aérea táctica expedicionaria como el de la agrupación de medios humanos y materiales capaz de actuar lejos de sus bases permanentes para enfrentarse a los nuevos retos que presenta el entorno cambiante del mun-do.

En España, y de acuerdo con la última revisión estratégica, el Ejército del Aire deberá disponer de unidades aéreas para operar allá donde fuera necesario, tanto para defender los in-tereses nacionales como para participar en la seguridad y defensa de nuestros aliados, en el momento y lugar en que se necesiten y en el menor tiempo posible.

Esta idea comprende el despliegue integrado de aviones de combate, así como otros de apoyo, personal y equipos necesarios para cumplir la misión. Una característica de esta fuerza expedicionaria es, entre otras, la disponibilidad de los recursos necesarios.

Las unidades susceptibles de ser integradas en una FA táctica expedicionaria deberán disponer de forma permanente de módulos, también llamados kits de despliegue, para facilitar un rápido despliegue7.

ENUNCIADO

Para realizar una misión internacional cuya duración se estima en seis meses, tiene que establecer una plataforma aérea en una base improvisada que se encuentra muy lejana de sus bases de aprovisionamiento principales. La plataforma necesitará repuestos pequeños, fácil-mente transportables, cuyo acceso, en caso de necesidad, esté asegurado. Sin embargo, de-terminados equipos también necesarios son muy voluminosos y, debido a las condiciones extremas en las que se desarrollará la misión, tienen una alta probabilidad de avería.

Estos repuestos han de ser enviados inicialmente con la aeronave para que, en caso de que sea necesaria su reposición, se encuentren a disposición del primer escalón de manteni-miento y la aeronave pueda ser devuelta al estado operativo, in situ, sin necesidad de esperar a la llegada del repuesto desde las lejanas bases nacionales. Son repuestos críticos para el desa-rrollo de la misión, ya que atienden a equipos cuya inoperatividad impediría la operación de la aeronave. El problema surge porque son repuestos caros, escasos, voluminosos, que no pueden ser transportados fácilmente y demandados también por las aeronaves que operan en territorio nacional y no han sido desplegadas, por lo que la decisión de cuántos es necesario transportar requiere un cuidadoso análisis.

Se ha concluido que existen ocho equipos con esas características (E1…, E8) de los que conoce, además del peso, las probabilidades de avería (tabla A):

Tabla A E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 Peso 100 110 90 120 100 90 80 105

n

0 0,0007 0,0007 0,0010 0,0003 0,0000 0,0000 0,0018 0,0000 1 0,0109 0,0085 0,0107 0,0045 0,0004 0,0005 0,0223 0,0004 2 0,0705 0,0498 0,0547 0,0274 0,0042 0,0086 0,1174 0,0047 3 0,2557 0,1737 0,1719 0,1020 0,0273 0,0815 0,3529 0,0333 4 0,5798 0,4059 0,3770 0,2616 0,1138 0,4095 0,6809 0,1480 5 0,8824 0,6846 0,6230 0,4956 0,3215 1,0000 0,9246 0,4233 6 1,0000 0,8936 0,8281 0,7340 0,6329 1,0000 0,7903 7 0,9832 0,9453 0,9004 0,8999 1,0000 8 1,0000 0,9893 0,9767 1,0000 9 0,9990 0,9975 10 1,0000 1,0000

7 Kindelán. La fuerza aérea expedicionaria. Cátedra 2013.

145

En esta tabla, para cada equipo, aparece la probabilidad de necesitar, durante la dura-ción de la misión, un número de repuestos que sea menor o igual que n.

Por ejemplo, para el primer equipo E1, la probabilidad de que no necesite reponerlo nunca durante la misión, P(R1) = 0, es 0,0007; sin embargo, si traslada a la base de despliegue n = 5 equipos, tiene una probabilidad de que la plataforma deje de estar operativa por falta de este equipo igual a 1-0,8824, ya que esta última cifra es la probabilidad de que necesite seis o más repuestos del equipo.


1) Formule el problema dando su forma compacta y determine el número mínimo de re-puestos totales que ha de enviar junto con la plataforma (kit de despliegue) para que laprobabilidad de que esta no pueda operar por falta de dichos repuestos sea inferior al5 %.

2) Imagine que las características de peso de los repuestos son los que aparecen en la ta-bla y que únicamente puede transportar 5 000 kg. Formule el problema dando su formacompacta y determine la composición del kit de despliegue para maximizar la probabili-dad de mantenerse operativo durante la duración de la misión.

3) Formule el problema dando su forma compacta y determine la composición del kit dedespliegue que se ha de enviar junto con la plataforma aérea para minimizar la probabi-lidad de que el equipo que más probabilidad de fallar tenga lo haga.

Misiones exteriores de las FAS a principios de 2017. (Fuente: Ministerio de Defensa).


146

SOLUCIÓN

Apartado 1)

Es necesario recurrir al cálculo de probabilidades para plantear y resolver correctamen-te el problema: siendo Xj el número de repuestos del equipo j-ésimo que se desplegarán. Un vector solución es del tipo:

821 X,,X,X S

A partir de este vector podemos calcular la probabilidad de que la misión falle PF(j), por falta de repuestos del equipo j, y de que no lo haga, PO(j), probabilidades que son respectiva-mente:

Tabla

jjFjOijF XRPP1P;XRPP

Siendo R el número, desconocido a priori, de elementos que sufrirán una avería duran-te el desarrollo de la misión.

Si consideramos independencia entre los fallos de los equipos, la probabilidad total de que no falle la misión es:

Ejjj

Ejjj XRPXRP

Esta expresión es no lineal, ya que se trata de un producto, en este caso de probabilida-des.

Para facilitar la tarea de linealización, trabajaremos con variables binarias, del tipo Uij, con i{0,1…, 10} y jE, variable que valdrá la unidad si para el equipo j-ésimo se decide enviar con la aeronave un número de repuestos igual a i del equipo j.

Al usar esta variable binaria conseguimos calcular P(Rj ≤ Xi), expresión que o bien des-conocemos, como en este ejemplo en donde partimos de una tabla de valores que nos dan di-rectamente las probabilidades, o bien conocemos (en realidad la tabla está construida a partir de los valores correspondientes a una distribución binomial de parámetros n y p diferentes para cada equipo).

Notemos que si exigimos que se verifique que:

Ej1U

10,..,0iij

tendremos la siguiente equivalencia:

1;0U

10,..,0iij

10,..,0X

ij

ij

j

iUX

Por lo que podremos fácilmente acceder a los valores P(Xj) de los datos sin más que

crear una variable, del mismo rango que Uij, que llamamos, por ejemplo, Pij y hacer que:

10,..,0i

ijijj PUXP

Con:

jij XPLogP


146

SOLUCIÓN

Apartado 1)

Es necesario recurrir al cálculo de probabilidades para plantear y resolver correctamen-te el problema: siendo Xj el número de repuestos del equipo j-ésimo que se desplegarán. Un vector solución es del tipo:

821 X,,X,X S

A partir de este vector podemos calcular la probabilidad de que la misión falle PF(j), por falta de repuestos del equipo j, y de que no lo haga, PO(j), probabilidades que son respectiva-mente:

Tabla

jjFjOijF XRPP1P;XRPP

Siendo R el número, desconocido a priori, de elementos que sufrirán una avería duran-te el desarrollo de la misión.

Si consideramos independencia entre los fallos de los equipos, la probabilidad total de que no falle la misión es:

Ejjj

Ejjj XRPXRP

Esta expresión es no lineal, ya que se trata de un producto, en este caso de probabilida-des.

Para facilitar la tarea de linealización, trabajaremos con variables binarias, del tipo Uij, con i{0,1…, 10} y jE, variable que valdrá la unidad si para el equipo j-ésimo se decide enviar con la aeronave un número de repuestos igual a i del equipo j.

Al usar esta variable binaria conseguimos calcular P(Rj ≤ Xi), expresión que o bien des-conocemos, como en este ejemplo en donde partimos de una tabla de valores que nos dan di-rectamente las probabilidades, o bien conocemos (en realidad la tabla está construida a partir de los valores correspondientes a una distribución binomial de parámetros n y p diferentes para cada equipo).

Notemos que si exigimos que se verifique que:

Ej1U

10,..,0iij

tendremos la siguiente equivalencia:

1;0U

10,..,0iij

10,..,0X

ij

ij

j

iUX

Por lo que podremos fácilmente acceder a los valores P(Xj) de los datos sin más que

crear una variable, del mismo rango que Uij, que llamamos, por ejemplo, Pij y hacer que:

10,..,0i

ijijj PUXP

Con:

jij XPLogP

147

La formulación del problema correspondiente al primer apartado sería entonces la siguiente:

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iZ+ Un número entero jE Equipos críticos, E = {E1…, E8}

2. DATOS vi Peso del equipo i-ésimo pij Probabilidad de que los fallos del equipo j-ésimo sean i o menos uo Umbral de operatividad durante la misión

3. VARIABLES Uij Binaria. 1 si del equipo j se incluyen i repuestos

4. FORMA COMPACTA

j

Ejjj

Ejj

X

uoXRP

.a.s

X

max

Para transformar esta restricción no lineal en una restricción lineal, bastará convertir las probabilidades en sus (menos) logaritmos y trabajar con la suma de estos, en vez de con el producto:

i

Eijj

Ejj

jj

j

Ejjj

Ejj

X10LoguoLogXRP

.a.s

X

min

XPU

X

uoXRP

.a.s

X

max

Aunque es posible tomar cualquier base para los logaritmos, hemos usado, como hare-mos habitualmente en este tipo de problemas, la base 10. Es importante notar que el signo de la restricción ha cambiado


Ej;10,..,0i1;0U10LoguoLogpiU

Ej;10,..,0i1U

.a.s

iU

min

ij

Ei 10,..,0iijij

10,..,0iij

Ei 10,..,0iij


148

En la página siguiente vemos la implementación en Excel. El rango de celdas que con-tienen los datos del problema son las siguientes (véase los valores Uij correspondientes a una solución en la que las respuestas para los ocho equipos tienen los valores {0, 1, 2, 3, 4, 4, 3, 2}:


148

En la página siguiente vemos la implementación en Excel. El rango de celdas que con-tienen los datos del problema son las siguientes (véase los valores Uij correspondientes a una solución en la que las respuestas para los ocho equipos tienen los valores {0, 1, 2, 3, 4, 4, 3, 2}: 14

9

Apa

rtad

o 2

)

El a

spec

to d

e So

lver

ser

ía e

l sig

uien

te:


150

La s

oluc

ión

sería

la s

igui

ente

:


150

La s

oluc

ión

sería

la s

igui

ente

:

Apartado 3)

La forma compacta es la siguiente:

1;0U

000.5WiU

1U

.a.s

PU

min

ij

10,..,0ijij

10,..,0iij

Ei 10,..,0iijij



La solución sería la siguiente: 5.4 Mejora de una red logística (2/SO/RED) ENUNCIADO

Considere la red logística cuya topología está descrita en la figura de esta página. Cons-ta de trece nodos (O, 1, 2…, 11, D) de los cuales, el nodo O se considera nodo origen y el D nodo destino.

La capacidad máxima de las aristas son las cifras que aparecen sobre estas en lafigura.

En un momento determinado esta red deberá ser capaz de permitir un flujo má-ximo de 200 unidades de flujo entre el nodo O y el nodo D.

Aunque conoce la capacidad de las aristas, desconoce el flujo máximo que es ca-paz de ser trasladado por la red en el sentido indicado. Si con la configuraciónactual, la capacidad se demuestra incapaz de sostener el flujo máximo indicado,tiene la posibilidad de aumentar la capacidad de cada arista invirtiendo un costeque aparece a continuación:

Origen O O 1 1 2 2 3 …

6 6 6 7 7 8 8 9 10 11 Destino 1 2 3 4 3 5 4 7 8 9 9 10 9 11 D D D

Coste aumento 66 77 55 70 80 100 41 63 78 78 31 55 33 43 32 72 41 En donde la fila coste aumento se refiere al coste de aumentar la capacidad de la

arista entre origen y destino en una unidad más de flujo.


1) Calcular el flujo máximo que puede circular por la red desde el nodo O hasta el Dcon las capacidades actuales sin introducir ninguna mejora. Deduzca la forma com-pacta del problema.

2) ¿Qué aristas deberá mejorar y en qué cantidad para que el flujo máximo que puedacircular por la red sea igual o superior a 200 unidades, invirtiendo el mínimo costeposible? Deduzca la forma compacta del problema.


SOLUCIÓN

Apartado 1)

Se trata de un problema típico de flujo máximo que se resuelve de la forma habitual. La formulación es la siguiente:

1. ÍNDICES y CONJUNTOS D, O Nodos destino y origen respectivamente, iN Nodos de la red, N = {O, 1…, 11, D}, (ij)A Aristas (originales) de la red (ij)A* Aristas ampliadas de la red, incluyendo la arista ficticia (DO)

2. DATOS uij Capacidad máxima de flujo que puede circular por la arista (ij) f Flujo máximo capaz de circular por la red

3. VARIABLES Xij Cantidad (Entera) de flujo que se envía por la arista (ij)

4. FORMA COMPACTA

*

ij

*ijij

Aji:jji

Aij:jij

DO

AijXAijuX

Ni0XX

.a.s

X

max

**

Alternativamente, se puede utilizar también la siguiente formulación en la que no es necesario añadir la arista ficticia:

AijuX

OifD,ONi0

OifXX

.a.sf

max

ijij

Aji:jji

Aij:jij

Nótese que hemos prescindido también de la exigencia de que las cantidades enviadas hayan de ser enteras.


SOLUCIÓN

Apartado 1)


1. ÍNDICES y CONJUNTOS D, O Nodos destino y origen respectivamente, iN Nodos de la red, N = {O, 1…, 11, D}, (ij)A Aristas (originales) de la red (ij)A* Aristas ampliadas de la red, incluyendo la arista ficticia (DO)


3. VARIABLES Xij Cantidad (Entera) de flujo que se envía por la arista (ij)

4. FORMA COMPACTA

*

ij

*ijij

Aji:jji

Aij:jij

DO

AijXAijuX

Ni0XX

.a.s

X

max

**

Alternativamente, se puede utilizar también la siguiente formulación en la que no es necesario añadir la arista ficticia:

AijuX

OifD,ONi0

OifXX

.a.sf

max

ijij

Aji:jji

Aij:jij

Nótese que hemos prescindido también de la exigencia de que las cantidades enviadas hayan de ser enteras.

El aspecto del menú de Solver sería el siguiente:

La solución encontrada supone que actualmente por la red el flujo máximo es 130:

Es importante tener en cuenta que aunque la solución única es 130, en determinadas circunstancias pueden existir diferentes formas de enviar dicho flujo a través de las aristas con


idéntico resultado. La representación gráfica que aparece a continuación se corresponde a una solución alternativa a la anteriormente expuesta. Los dos números sobre las aristas son la can-tidad máxima que puede circular (situada encima y en color rojo) y la capacidad de la arista (si-tuada debajo y en cursiva); cuando ambas cantidades coinciden aparece un único número:

Puesto que el flujo máximo que actualmente puede circular por la red (130) es inferior al requerido (200) será necesario realizar una inversión para mejorar las capacidades de algunas aristas.

Apartado 2)

Para resolver este apartado debemos crear un nuevo conjunto de variables (aumento) que indicarán las unidades en que se aumenta la capacidad de cada arista y añadir a las restric-ciones propias del problema la que establece que el flujo máximo conseguido tras el aumento es el solicitado. Deberemos, lógicamente, cambiar también la función objetivo. El menú de Sol-ver y la solución son los siguientes:

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iN Nodos de la red, N = {O, 1…, 11, D} (ij)A Aristas (originales) de la red (ij)A* Aristas ampliadas de la red, incluyendo la arista ficticia (DO)

2. DATOS uij Capacidad máxima de flujo que puede circular por la arista (ij) cij Coste de aumento en una unidad capacidad de la arista (ij) f Flujo máximo capaz de circular por la red

3. VARIABLES Xij Cantidad de flujo que se envía por la arista (ij) Yij Aumento de la capacidad de flujo de la arista (ij)


idéntico resultado. La representación gráfica que aparece a continuación se corresponde a una solución alternativa a la anteriormente expuesta. Los dos números sobre las aristas son la can-tidad máxima que puede circular (situada encima y en color rojo) y la capacidad de la arista (si-tuada debajo y en cursiva); cuando ambas cantidades coinciden aparece un único número:

Puesto que el flujo máximo que actualmente puede circular por la red (130) es inferior al requerido (200) será necesario realizar una inversión para mejorar las capacidades de algunas aristas.

Apartado 2)

Para resolver este apartado debemos crear un nuevo conjunto de variables (aumento) que indicarán las unidades en que se aumenta la capacidad de cada arista y añadir a las restric-ciones propias del problema la que establece que el flujo máximo conseguido tras el aumento es el solicitado. Deberemos, lógicamente, cambiar también la función objetivo. El menú de Sol-ver y la solución son los siguientes:

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iN Nodos de la red, N = {O, 1…, 11, D} (ij)A Aristas (originales) de la red (ij)A* Aristas ampliadas de la red, incluyendo la arista ficticia (DO)

2. DATOS uij Capacidad máxima de flujo que puede circular por la arista (ij) cij Coste de aumento en una unidad capacidad de la arista (ij) f Flujo máximo capaz de circular por la red

3. VARIABLES Xij Cantidad de flujo que se envía por la arista (ij) Yij Aumento de la capacidad de flujo de la arista (ij)

4. FORMA COMPACTA

Cualquiera de las dos posibles formulaciones es correcta:

*

ij

*ijijij

Aji:jij

Aij:jij

DO

Aijijij

AijXAijcYX

Ni0XX

200X

.a.s

cY

min

**

AijuYX

200f

OifD,ONi0

OifXX

.a.s

cY

min

ijijij

Aji:jji

Aij:jij

Aijijij

La solución obtenida es la siguiente:


El menú de Solver y la representación gráfica de la solución son las siguientes:


El menú de Solver y la representación gráfica de la solución son las siguientes: 5.5 Transporte desde fuentes no fiables (2/SO/PLE) ENUNCIADO

Se enfrenta a un problema logístico en el que cinco unidades operativas que actúan co-mo destino final de un determinado flujo de material de guerra (dest 1…) reciben dicho material desde seis posibles destacamentos logísticos que actúan como orígenes (origen 1…).

En la tabla A figuran algunos datos relevantes al problema: en el centro de la tabla figu-ran los costes cij, (en uds. monetarias por unidad de flujo) del envío desde los orígenes a los destinos; en la fila inferior, las demandas (dj) de los destinos, y en las columnas de la derecha, la fiabilidad de cada origen (pi) referida a la probabilidad de que dicho origen se encuentre ope-rativo en el momento de la petición de transporte (y por tanto sea capaz de enviar el flujo soli-citado) y el stock (si) con que cuenta cada origen al comienzo de la operación.

Tabla A COSTES DE TRANSPORTE (cij) Fiabilidad (pi)

Stock (si) Dest 1 Dest 2 Dest 3 Dest 4 Dest 5

Origen 1 190 128 147 151 163 0,90 25 000 Origen 2 278 265 242 179 181 0,95 15 000 Origen 3 174 115 176 139 124 0,35 35 000 Origen 4 293 278 254 235 252 0,99 5 000 Origen 5 145 100 104 108 181 0,45 25 000 Origen 6 150 183 143 125 119 0,85 15 000

Demanda neta (dj) 11 200 8 850 11 350 9 300 6 575


Indique las formas compacta de cada apartado junto con la solución.

1) Determine un plan óptimo de transporte, estableciendo qué cantidades deben en-viarse desde cada origen a cada destino, de manera que se satisfagan las demandasde los destinos, se respete la disponibilidad de los orígenes y el coste total de laoperación sea el mínimo posible.

2) Igual que el anterior, pero garantizando que cada unidad recibe material, exacta-mente desde dos orígenes diferentes y suponiendo que la cantidad mínima que pue-de conformar un envío es de 250 unidades de flujo.

3) Sin tener en cuenta la restricción relativa al envío mínimo, determine un plan óptimode transporte en el que coste total de la operación sea el mínimo posible, es-tableciendo qué cantidades deben enviarse desde cada origen a cada destino, demanera que se respete la disponibilidad de los orígenes y se garantice que la pro-babilidad de que cada unidad reciba al menos el 20 % de la demanda ori-ginal sea superior al 95 %.


SOLUCIÓN

Daremos en primer lugar los elementos de la formulación:

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iO Orígenes, O = {O1…, O5} jD Destinos, D = {D1…, O6}

2. DATOS cij Coste del transporte de una unidad entre i y j si Disponibilidad inicial del origen i pi Fiabilidad de la entrega por parte del origen i dj Demanda neta del origen j

3. VARIABLES Xij Flujo que se envía desde el origen i al destino j Yij Binaria. Con valor 1 si se produce un envío desde i al destino j

Apartado 1) Determine un plan óptimo de transporte, estableciendo qué cantidades deben enviarse

desde cada origen a cada destino, de manera que se satisfagan las demandas de losdestinos, se respete la disponibilidad de los orígenes y el coste total de la operación seael mínimo posible.

Se trata de un problema de transporte trivial cuya forma compacta es la siguiente:

OidX

DjsX

.a.s

cX

min

iOi

ij

iDj

ij

Oi Djijij

Nótese que no se ha incluido la restricción de que la variable de decisión sea entera, ya que es sabido que cuando las demandas son enteras, las soluciones también lo son.



SOLUCIÓN

Daremos en primer lugar los elementos de la formulación:

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iO Orígenes, O = {O1…, O5} jD Destinos, D = {D1…, O6}

2. DATOS cij Coste del transporte de una unidad entre i y j si Disponibilidad inicial del origen i pi Fiabilidad de la entrega por parte del origen i dj Demanda neta del origen j

3. VARIABLES Xij Flujo que se envía desde el origen i al destino j Yij Binaria. Con valor 1 si se produce un envío desde i al destino j

Apartado 1) Determine un plan óptimo de transporte, estableciendo qué cantidades deben enviarse

desde cada origen a cada destino, de manera que se satisfagan las demandas de losdestinos, se respete la disponibilidad de los orígenes y el coste total de la operación seael mínimo posible.

Se trata de un problema de transporte trivial cuya forma compacta es la siguiente:

OidX

DjsX

.a.s

cX

min

iOi

ij

iDj

ij

Oi Djijij

Nótese que no se ha incluido la restricción de que la variable de decisión sea entera, ya que es sabido que cuando las demandas son enteras, las soluciones también lo son.


Apartado 2)

El enunciado del apartado es el siguiente: Igual que el anterior, pero garantizando que cada unidad recibe material, exactamente

desde dos orígenes diferentes y suponiendo que la cantidad mínima que puede confor-mar un envío es de 250 unidades de flujo.

Para resolver este apartado es necesario introducir la variable binaria Yij que en la formu-lación anterior hemos definido como binaria, con valor 1 si se produce un envío desde i al des-tino j. De esta forma será muy sencillo exigir al plan de transporte que cada unidad destino reciba flujo al menos desde dos orígenes diferentes. También es necesario añadir la restricción que recoja la relación lógica que existe entre la nueva variable Yij y la anterior Xij asociada a la cantidad transportada desde cada origen a cada destino. Al unir la relación lógica entre varia-bles con la existencia de un umbral mínimo de unidades monetarias para cualquier envío llega-mos a la siguiente desigualdad lineal:

ijijijm YXYu M

Al ser la variable Yij binaria tendremos que:

M

ijmij

ijijij

Xu1Y

0X0X00Y


Dj;Oi1;0YDj;OiXDj;OiYXYu

Oi2Y

OidX

DjsX

.a.s

cX

min

ij

ij

ijijijm

Oiij

iOi

ij

iDj

ij

Oi Djijij

M

El aspecto de Solver es el siguiente:



Apartado 3)

El enunciado del apartado es el siguiente: Sin tener en cuenta la restricción relativa al envío mínimo, determine un plan óptimo de

transporte en el que coste total de la operación sea el mínimo posible, estableciendoqué cantidades deben enviarse desde cada origen a cada destino, de manera que serespete la disponibilidad de los orígenes y se garantice que la probabilidad de que cadaunidad reciba al menos el 20 % de la demanda original sea superior al 95 %.


Dj;Oi1;0YDj;OiXDj;OiYXYd

Dj1logplogY

OidX

DjsX

.a.s

cX

min

ij

ij

ijijiji

Oiiij

iOi

ij

iDj

ij

Oi Djijij

M



Apartado 3)

El enunciado del apartado es el siguiente: Sin tener en cuenta la restricción relativa al envío mínimo, determine un plan óptimo de

transporte en el que coste total de la operación sea el mínimo posible, estableciendoqué cantidades deben enviarse desde cada origen a cada destino, de manera que serespete la disponibilidad de los orígenes y se garantice que la probabilidad de que cadaunidad reciba al menos el 20 % de la demanda original sea superior al 95 %.


Dj;Oi1;0YDj;OiXDj;OiYXYd

Dj1logplogY

OidX

DjsX

.a.s

cX

min

ij

ij

ijijiji

Oiiij

iOi

ij

iDj

ij

Oi Djijij

M

La s

oluc

ión

es la

sig

uien

te:


5.6 El Camino Español (2/OS/RED) El llamado Camino Español era una

ruta terrestre de carácter logístico utilizada por España para enviar tropas a la guerra de Flandes. En esta guerra, también conoci-da como la guerra de los Ochenta Años (1568-1648), se enfrentaban las provincias de los Países Bajos contra su soberano, el rey de España. A causa de la imposibilidad, por diferentes motivos, de utilizar el trans-porte marítimo, se abrió un corredor militar desde Milán hasta Bruselas, pasando por te-rritorios seguros. La ruta fue utilizada por primera vez en 1567 y el último ejército es-pañol en circular por él lo hizo en 1622. La ruta principal comenzaba en el Milanesado, cruzaba los Alpes, el Franco Condado, Lore-na, Luxemburgo, Lieja y Flandes hasta lle-gar a Bruselas.

Las operaciones asociadas a la gue-rra de Flandes a través de esta ruta fueron, sin ninguna duda, las de mayor dificultad logística de la Edad Media. Hoy en día, mediante la expresión poner una pica en Flandes, cuyo sig-nificado original estaba asociado a la dificultad de trasladar a un combatiente básico de los tercios (piquero) hasta el frente, nos referimos a la consecución de algo muy difícil de lograr. (Imagen: boceto del óleo sobre lienzo “Rocroi, el último tercio” obra del artista español Augusto Ferrer-Dalmau. Fuente: www.commons.wikimedia.org)

ENUNCIADO

La figura de la página siguiente muestra una red formada por 30 nodos y 61 aristas. Es po-sible viajar desde el nodo 1, nodo origen, hasta el nodo destino, 30, a través de las aristas en el sentido en el que indican las flechas.

Los nodos están asociados a lugares de descanso en los que una tropa que viaja a pie desde el origen al destino puede acampar para hacer noche. Cerca de los nodos existen 14 ciudades en las cuales es posible contratar los suministros necesarios para el mantenimiento diario de la tropa.

El fichero de datos contiene, para cada posible etapa, asociadas a cada una de las 61 aristas de la red, la distancia (kilómetros) que separa los nodos que unen la arista determinada y el tiempo (horas) que la tropa, caminando, tardaría en recorrer la arista (debido a la diferente oro-grafía de las etapas, ambas variables, aunque relacionadas, no mantienen una relación perfecta). La tabla A es una representación (parcial) de estos datos de distancia y tiempo entre nodos:

Arista 1 2 3 … 59 60 61 De 1 1 1

…. 28 28 29

Tabla A A 2 3 4 29 30 30 Distancia 35 60 55 90 55 75

Tiempo 9 15 14 23 14 19 La tabla B muestra, parcialmente, el coste de abastecimiento (maravedís), desde cual-

quiera de las 14 ciudades que atraviesa la ruta, hasta cada uno de los posibles puntos de parada. Una vez planeada la ruta a seguir, los oficiales de abastecimiento contratarán en las ciudades en que resulte más ventajoso hacerlo el suministro de los pertrechos necesarios para la tropa. Otras consideraciones que se deben tener en cuenta para planear la ruta son las siguientes:

a) La distancia máxima que pueden recorrer las tropas en una única jornada es de 55 km.b) El tiempo máximo caminando en una jornada es de 14 horas.c) El presupuesto máximo de abastecimiento es de 8 000 maravedís.


5.6 El Camino Español (2/OS/RED) El llamado Camino Español era una

ruta terrestre de carácter logístico utilizada por España para enviar tropas a la guerra de Flandes. En esta guerra, también conoci-da como la guerra de los Ochenta Años (1568-1648), se enfrentaban las provincias de los Países Bajos contra su soberano, el rey de España. A causa de la imposibilidad, por diferentes motivos, de utilizar el trans-porte marítimo, se abrió un corredor militar desde Milán hasta Bruselas, pasando por te-rritorios seguros. La ruta fue utilizada por primera vez en 1567 y el último ejército es-pañol en circular por él lo hizo en 1622. La ruta principal comenzaba en el Milanesado, cruzaba los Alpes, el Franco Condado, Lore-na, Luxemburgo, Lieja y Flandes hasta lle-gar a Bruselas.

Las operaciones asociadas a la gue-rra de Flandes a través de esta ruta fueron, sin ninguna duda, las de mayor dificultad logística de la Edad Media. Hoy en día, mediante la expresión poner una pica en Flandes, cuyo sig-nificado original estaba asociado a la dificultad de trasladar a un combatiente básico de los tercios (piquero) hasta el frente, nos referimos a la consecución de algo muy difícil de lograr. (Imagen: boceto del óleo sobre lienzo “Rocroi, el último tercio” obra del artista español Augusto Ferrer-Dalmau. Fuente: www.commons.wikimedia.org)

ENUNCIADO

La figura de la página siguiente muestra una red formada por 30 nodos y 61 aristas. Es po-sible viajar desde el nodo 1, nodo origen, hasta el nodo destino, 30, a través de las aristas en el sentido en el que indican las flechas.

Los nodos están asociados a lugares de descanso en los que una tropa que viaja a pie desde el origen al destino puede acampar para hacer noche. Cerca de los nodos existen 14 ciudades en las cuales es posible contratar los suministros necesarios para el mantenimiento diario de la tropa.

El fichero de datos contiene, para cada posible etapa, asociadas a cada una de las 61 aristas de la red, la distancia (kilómetros) que separa los nodos que unen la arista determinada y el tiempo (horas) que la tropa, caminando, tardaría en recorrer la arista (debido a la diferente oro-grafía de las etapas, ambas variables, aunque relacionadas, no mantienen una relación perfecta). La tabla A es una representación (parcial) de estos datos de distancia y tiempo entre nodos:

Arista 1 2 3 … 59 60 61 De 1 1 1

…. 28 28 29

Tabla A A 2 3 4 29 30 30 Distancia 35 60 55 90 55 75

Tiempo 9 15 14 23 14 19 La tabla B muestra, parcialmente, el coste de abastecimiento (maravedís), desde cual-

quiera de las 14 ciudades que atraviesa la ruta, hasta cada uno de los posibles puntos de parada. Una vez planeada la ruta a seguir, los oficiales de abastecimiento contratarán en las ciudades en que resulte más ventajoso hacerlo el suministro de los pertrechos necesarios para la tropa. Otras consideraciones que se deben tener en cuenta para planear la ruta son las siguientes:

a) La distancia máxima que pueden recorrer las tropas en una única jornada es de 55 km.b) El tiempo máximo caminando en una jornada es de 14 horas.c) El presupuesto máximo de abastecimiento es de 8 000 maravedís.


1) Escriba la forma compacta del problema descrito en el apartado siguiente.

2) Determine el plan logístico óptimo para trasladar la tropa desde el nodo 1 al nodo 31,dando los nodos en los que se debe hacer noche, y las ciudades en las que contratar elabastecimiento de manera que, respetando las restricciones de tiempo, distancia y pre-supuesto, el número de jornadas necesarias para realizarlo sea el mínimo posible.

3) Igual que el anterior, pero suponiendo que las tropas deben, obligatoriamente, acamparen el nodo.

Tabla B Centros de abastecimiento (ciudades) C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14

Posi

bles

par

adas

de

la r

uta

(n

odos

, exc

epto

orig

en y

des

tino)

2 1.120 6.340 6.980 5.720 7.940 7.670 7.890 5.120 7.320 7.470 6.400 5.250 6.880 6.290 3 1.030 6.450 5.880 7.500 7.250 5.350 6.870 6.530 6.840 7.650 5.640 7.260 7.450 7.380 4 1.200 7.230 7.460 5.520 7.440 6.640 6.130 6.520 6.090 6.610 5.960 7.770 7.810 5.040 5 5.260 1.750 5.740 7.450 7.730 7.600 5.450 6.080 6.650 6.310 5.660 6.310 6.210 6.530 6 6.800 1.850 6.640 6.160 5.120 6.280 7.190 6.380 6.470 6.110 6.350 7.210 6.390 6.470 7 6.480 5.860 1.360 6.240 6.620 7.370 6.780 5.450 7.690 6.620 7.910 5.720 6.010 5.650

……………. 24 6.810 5.830 7.960 6.110 7.020 6.430 1.670 5.320 6.470 6.990 5.540 6.730 7.410 7.900 25 6.840 7.100 5.290 7.070 7.710 6.190 7.790 5.050 7.080 6.940 6.800 5.600 1.930 5.760 26 5.090 5.800 5.910 6.050 6.800 7.330 7.130 7.990 5.930 6.070 5.900 1.610 6.490 5.860 27 7.430 5.500 7.640 5.620 7.510 6.510 7.710 5.560 7.770 6.900 5.810 6.860 7.130 1.200 28 5.630 7.250 5.190 6.500 7.290 7.620 5.610 5.700 5.840 6.820 6.570 6.940 7.350 1.330 29 5.130 6.030 7.130 7.930 6.050 7.550 5.810 6.330 5.850 5.070 1.020 7.520 7.590 6.240


SOLUCIÓN

Apartado 1)

1. ÍNDICES y CONJUNTOS i,jN Nodos de la red, N = {1…, 31} (i;j)A Aristas de la red kC Ciudades, C = {C1…, C14}

2. DATOS dij Distancia desde i hasta j a través de la arista (i, j) tij Tiempo desde i hasta j a través de la arista (i, j) cik Coste de abastecimiento del nodo i desde la ciudad k tM Tiempo máximo a recorrer en una jornada dM Distancia máxima a recorrer en una jornada pM Presupuesto máximo disponible para el abastecimiento

3. VARIABLES Xij Binaria. 1 si se transita la arista desde i hasta j Yik Binaria. 1 si se abastece al nodo i desde la ciudad k


1;0X,Y

0XY

0XX

1X

1XttXddX

pcY

.a.s

X

min

ijik

Aj,iij

Niik

Aj,iij

Aj,iij

Aj,iij

Aj,iij

Mijij

Mijij

MNi

ikik

Aj,i

ij


SOLUCIÓN

Apartado 1)

1. ÍNDICES y CONJUNTOS i,jN Nodos de la red, N = {1…, 31} (i;j)A Aristas de la red kC Ciudades, C = {C1…, C14}

2. DATOS dij Distancia desde i hasta j a través de la arista (i, j) tij Tiempo desde i hasta j a través de la arista (i, j) cik Coste de abastecimiento del nodo i desde la ciudad k tM Tiempo máximo a recorrer en una jornada dM Distancia máxima a recorrer en una jornada pM Presupuesto máximo disponible para el abastecimiento

3. VARIABLES Xij Binaria. 1 si se transita la arista desde i hasta j Yik Binaria. 1 si se abastece al nodo i desde la ciudad k


1;0X,Y

0XY

0XX

1X

1XttXddX

pcY

.a.s

X

min

ijik

Aj,iij

Niik

Aj,iij

Aj,iij

Aj,iij

Aj,iij

Mijij

Mijij

MNi

ikik

Aj,i

ij

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uien

te:


La s

oluc

ión

es la

sig

uien

te:


La s

oluc

ión

es la

sig

uien

te:

169

Con mayor detalle vemos la ruta óptima:


170

Y el plan de abastecimiento es el siguiente:


170

Y el plan de abastecimiento es el siguiente:

171

5.7 Despliegue a bases avanzadas (2/OS/RED) ENUNCIADO

Considere la red logística cuya topología está descrita en la figura de esta página. Cons-ta de 14 nodos de los cuales 8 son bases de acuartelamiento de tropas (cuadrados); 2 son ae-ropuertos civiles (hexágonos) y 4 son bases avanzadas (círculos). El sentido en que se recorren las aristas es siempre de izquierda a derecha sobre la figura8.

Debe realizar un despliegue de 100 unidades homogéneas de tropas (de tipo compañía) desde las bases de acuartelamiento hasta las bases avanzadas según el detalle que se descri-ben en la tabla A:

Tabla A Bases avanzadas

Manas Bagram Kandahar Doha

Base

s de

acua

rtelam

iento

Campbell 2 6 5 1 Lewis 3 4 5 2 Bragg 5 9 8 1

Polk 6 7 8 2 Dix 4 4 7 2

Ramstein 1 1 0 2 Lakeheath 1 0 0 2

Rota 0 1 0 1

Para ello cuenta con tres tipos de plataformas aéreas de transporte: C5 Galaxy, Boeing 777 y Hércules C-130, cuyas características se describen en la tabla B:

Tabla B C5G B777 C130 Litros/HV 4,1 6,4 1,7

Capacidad 3 4 2 Disponibles 60 50 70

Litros/HV son los litros de combustible por hora de vuelo que consume cada una; capacidad es el número máximo de compañías que la plataforma puede transportar y dispo-

8 Adaptado a partir de: Dillenburger, S. P. «US Army Deployment to the Middle East». Army Logistics University. IN-FORMS Transactions on Education 2016.


172

nibles es el número máximo de plataformas de cada tipo que se encuentran disponibles para realizar la operación.

La tabla C da las horas de vuelo (idénticas para todas las plataformas) que separan cada uno de los nodos de la red:

Tabla C Baltimore Norfolk Campbell 10 10

Lewis 14 14 Bragg 9 9

Polk 11 11 Dix 9 10

Ramstein Lakeheath Rota Baltimore 17 16 17

Norfolk 17 17 17 Manas Bagram

Ramstein 15 15 Lakeheath 16 16

Rota 16 16 Manas Bagram Kandahar

Doha 12 11 11

Otras características que debe tener en cuenta para planificar la operación son las siguientes: Para no interferir en el tráfico del aeropuerto civil de Baltimore, en él no podrán to-

mar tierra, ni despegar, más de 50 aeronaves militares de cualquier tipo. No se pueden realizar, en total, más de 95 vuelos transatlánticos (desde Baltimore o

Norfolk a Ramstein, Lakeheath o Rota). Desde Baltimore o Norfolk no pueden partir más de 20 rutas para cualquier tipo de

avión. El B777 no puede tomar tierra en Doha. Dispone de un máximo de 6 000 litros de combustible para realizar la operación.


1) Diseñe la hoja de cálculo para que pueda monitorizar los siguientes resultados:

a) Número total de plataformas empleadas.b) Número total de horas de vuelo invertidas en la operación.c) Combustible utilizado en la operación.d) Capacidad de transporte no aprovechada (en ocasiones puede que tenga que

programar rutas para transportar un número de unidades menor que la capa-cidad que le ofrecen los aviones programados para realizarlas, este resultadose refiere a la diferencia entre una capacidad y otra).

2) Diseñe la operación de transporte, asignando plataformas de cada tipo a las posiblesrutas para que se satisfaga el despliegue dado en la tabla A y se minimice el nú-mero total de plataformas empleadas. Escriba la forma compacta del problema.

3) Igual, pero de manera que se minimice el número total de horas de vuelo em-pleadas. Escriba la forma compacta del problema.

4) Igual, pero de manera que se minimice la cantidad de combustible empleado.Escriba la forma compacta del problema.

5) Igual, pero de manera que se minimice la capacidad de transporte no aprove-chada. Escriba la forma compacta del problema.


172

nibles es el número máximo de plataformas de cada tipo que se encuentran disponibles para realizar la operación.

La tabla C da las horas de vuelo (idénticas para todas las plataformas) que separan cada uno de los nodos de la red:

Tabla C Baltimore Norfolk Campbell 10 10

Lewis 14 14 Bragg 9 9

Polk 11 11 Dix 9 10

Ramstein Lakeheath Rota Baltimore 17 16 17

Norfolk 17 17 17 Manas Bagram

Ramstein 15 15 Lakeheath 16 16

Rota 16 16 Manas Bagram Kandahar

Doha 12 11 11

Otras características que debe tener en cuenta para planificar la operación son las siguientes: Para no interferir en el tráfico del aeropuerto civil de Baltimore, en él no podrán to-

mar tierra, ni despegar, más de 50 aeronaves militares de cualquier tipo. No se pueden realizar, en total, más de 95 vuelos transatlánticos (desde Baltimore o

Norfolk a Ramstein, Lakeheath o Rota). Desde Baltimore o Norfolk no pueden partir más de 20 rutas para cualquier tipo de

avión. El B777 no puede tomar tierra en Doha. Dispone de un máximo de 6 000 litros de combustible para realizar la operación.


1) Diseñe la hoja de cálculo para que pueda monitorizar los siguientes resultados:

a) Número total de plataformas empleadas.b) Número total de horas de vuelo invertidas en la operación.c) Combustible utilizado en la operación.d) Capacidad de transporte no aprovechada (en ocasiones puede que tenga que

programar rutas para transportar un número de unidades menor que la capa-cidad que le ofrecen los aviones programados para realizarlas, este resultadose refiere a la diferencia entre una capacidad y otra).

2) Diseñe la operación de transporte, asignando plataformas de cada tipo a las posiblesrutas para que se satisfaga el despliegue dado en la tabla A y se minimice el nú-mero total de plataformas empleadas. Escriba la forma compacta del problema.

3) Igual, pero de manera que se minimice el número total de horas de vuelo em-pleadas. Escriba la forma compacta del problema.

4) Igual, pero de manera que se minimice la cantidad de combustible empleado.Escriba la forma compacta del problema.

5) Igual, pero de manera que se minimice la capacidad de transporte no aprove-chada. Escriba la forma compacta del problema.

173

SOLUCIÓN

Apartado 1)

Se trata de un problema de optimización en redes, concretamente es un problema de trasiego con restricciones, por lo que utilizaremos la estructura de resolución habitual para este tipo de problemas (lista de aristas y lista de nodos).

Comenzamos trasladando los datos del problema a la hoja. En primer lugar, creamos la lista de aristas que contendrá, para cada una de las que aparecen en la figura que describe la topología de la red, los nodos origen y destino, así como las horas de vuelo necesarias para completarla. A esta lista le añadimos las variables de decisión del problema y la capacidad de las aristas, que describiremos posteriormente:

VARIABLES DATOS (TABLA C)

Xi Yij

Ruta Desde Hasta Desde Hasta HV C5G B777 C130 Cap 1 1 12 Campbell Baltimore 10 1 1 1 1 9 2 2 12 Lewis Baltimore 14 1 1 1 1 9 3 3 12 Bragg Baltimore 9 1 1 1 1 9 4 4 12 Polk Baltimore 11 1 1 1 1 9 5 5 12 Dix Baltimore 9 1 1 1 1 9 6 1 13 Campbell Norfolk 10 1 1 1 1 9 7 2 13 Lewis Norfolk 14 1 1 1 1 9 8 3 13 Bragg Norfolk 9 1 1 1 1 9 9 4 13 Polk Norfolk 11 1 1 1 1 9 10 5 13 Dix Norfolk 10 1 1 1 1 9 11 12 6 Baltimore Ramstein 17 1 1 1 1 9 12 12 7 Baltimore Lakeheath 16 1 1 1 1 9 13 12 8 Baltimore Rota 17 1 1 1 1 9 14 13 6 Norfolk Ramstein 17 1 1 1 1 9 15 13 7 Norfolk Lakeheath 17 1 1 1 1 9 16 13 8 Norfolk Rota 17 1 1 1 1 9 17 6 14 Ramstein Doha 15 1 1 1 1 9 18 6 9 Ramstein Manas 15 1 1 1 1 9 19 7 14 Lakeheath Doha 16 1 1 1 1 9 20 7 9 Lakeheath Manas 16 1 1 1 1 9 21 8 14 Rota Doha 16 1 1 1 1 9 22 8 9 Rota Manas 16 1 1 1 1 9 23 14 9 Doha Manas 12 1 1 1 1 9 24 14 10 Doha Bagram 11 1 1 1 1 9 25 14 11 Doha Kandahar 11 1 1 1 1 9

A continuación, creamos la lista de nodos, en la que calcularemos, de la manera habi-tual, los flujos de entrada y salida de cada uno. Los flujos que aparecen en la tabla que se muestra a continuación corresponden a valores de las variables de decisión iguales a la unidad. Los datos para el vector O/D los extraemos de los datos del problema dados en la tabla A:

CÁLCULO DE FLUJOS NODOS Entran Salen Flujo O/D

1 Campbell 0 2 -2 -14 2 Lewis 0 2 -2 -14 3 Bragg 0 2 -2 -23 4 Polk 0 2 -2 -23 5 Dix 0 2 -2 -17 6 Ramstein 2 2 0 -4 7 Lakeheath 2 2 0 -3 8 Rota 2 2 0 -2 9 Manas 4 0 4 22

10 Bagram 1 0 1 32 11 Kandahar 1 0 1 33 12 Baltimore 5 3 2 0 13 Norfolk 5 3 2 0 14 Doha 3 3 0 13

DATOS (TABLA A) Manas Bagram Kandahar Doha

Campbell 2 6 5 1 14 Lewis 3 4 5 2 14 Bragg 5 9 8 1 23

Polk 6 7 8 2 23 Dix 4 4 7 2 17

Ramstein 1 1 0 2 4 Lakeheath 1 0 0 2 3

Rota 0 1 0 1 2 22 32 33 13


174

El aspecto general de la hoja sería el siguiente:

La forma en que se calculan los diferentes aspectos de la operación como el tiempo to-tal de vuelo, combustible utilizado, etc., se describen en la forma compacta de los problemas.

Apartado 2)

1. ÍNDICES y CONJUNTOS i,jN Nodos de la red, N = {1…, 14} (i;j)A Aristas de la red A = {1…, 25} kT Tipos de avión T = {C5G, B777, C130}

2. DATOS hij Horas de vuelo empleadas en recorrer la arista ij ck Consumo de combustible (l/h) de cada tipo de avión uk Número de compañías que puede transportar cada tipo de avión nk Número máximo de aviones disponibles de cada tipo de avión cT Combustible máximo disponible para la operación mVT Máximo número de vuelos transatlánticos

3. VARIABLES Xij Compañías que se trasladarán por la arista (ij) Yijk Vuelos en la arista (ij) hechos por el tipo k de avión


174

El aspecto general de la hoja sería el siguiente:

La forma en que se calculan los diferentes aspectos de la operación como el tiempo to-tal de vuelo, combustible utilizado, etc., se describen en la forma compacta de los problemas.

Apartado 2)

1. ÍNDICES y CONJUNTOS i,jN Nodos de la red, N = {1…, 14} (i;j)A Aristas de la red A = {1…, 25} kT Tipos de avión T = {C5G, B777, C130}

2. DATOS hij Horas de vuelo empleadas en recorrer la arista ij ck Consumo de combustible (l/h) de cada tipo de avión uk Número de compañías que puede transportar cada tipo de avión nk Número máximo de aviones disponibles de cada tipo de avión cT Combustible máximo disponible para la operación mVT Máximo número de vuelos transatlánticos

3. VARIABLES Xij Compañías que se trasladarán por la arista (ij) Yijk Vuelos en la arista (ij) hechos por el tipo k de avión

175

4. FORMA COMPACTA

ZY

i0Y

Tk;j;i20Y

Tk;j;imY

Aij0YcX

cYhc

AijDOXX

TknY

.a.s

Y

min

ijk

777B,Doha,i

ijk

VTAij Tk

ijk

Tkijkkij

TAij Tk

ijkijk

ijAji:j

ijAij:j

ij

kAij

ijk

Aij Tkijk

LakRam,Rot,

LakRam,Rot,Nor,Bal

LakRam,Rot,Nor,Bal

5. EXPLICACIÓN La función objetivo se refiere al número de plataformas totales involucradas en la opera-

ción que hay que hacer mínimo. La primera restricción impone que la suma de los aviones empleados de cada tipo no

supere el máximo disponible por tipo. La segunda restricción es la de mantenimiento de flujo en los nodos, típica de los pro-

blemas de redes, que obliga a que el flujo neto en cada nodo se iguale con el especifi-cado en los datos del problema.

La tercera impone que el combustible total empleado en la operación no supere la canti-dad máxima disponible.

La cuarta especifica la relación que existe entre las dos variables de decisión e imponeque el número de unidades de tropa (compañías) que se decide que han de circular porcada arista (Xij) tengan cabida en los aviones que se ha decidido activar para transpor-tarlos (Yijk) y que cuentan con una capacidad ck:

AijYcX

Númerox

Capacidad

Tkijkkij

Nótese que la restricción se refiere al número total de unidades transportadas y a la capacidad total de las aeronaves destinadas a una ruta, pero no específica cómo ha de repartirse el esfuerzo de transporte entre las diferentes aeronaves que hacen una misma ruta.

La quinta y sexta están relacionadas con las restricciones que afectan las rutas trans-atlánticas: la quinta impone que no se realicen, en total, más vuelos transatlánticos delnúmero máximo posible; la sexta, que por ninguna de esas rutas circulen aviones ennúmero inferior a 20.

Finalmente, la séptima habilita la restricción que impide que ningún B777 tome tierra enDoha.


176

La s

oluc

ión

enco

ntra

da p

ara

el p

robl

ema

expu

esto

en

el s

egun

do a

part

ado

es la

sig

uien

te:


176

La s

oluc

ión

enco

ntra

da p

ara

el p

robl

ema

expu

esto

en

el s

egun

do a

part

ado

es la

sig

uien

te:

177

Apartados 3) y 4) Las soluciones para mínimo tiempo de vuelo y mínimo combustible consumido son, lógi-

camente, las mismas:

Apartado 5) Dado que las soluciones anteriores dan una capacidad excedentaria de transporte nula, la

solución al apartado quinto es la misma que para los dos anteriores:


178

5.8 Organización del tráfico rodado (3/OS/RED) ENUNCIADO

Acaba de tomar el control de una ciudad tras una serie de acciones en una zona de ope-raciones en un despliegue en el extranjero. La organización internacional que dirige la opera-ción le ha ordenado que organice el tráfico rodado en una ciudad recientemente liberada. La red de calles de la ciudad está descrita en la figura de esta página. Consta de 40 nodos, corres-pondientes a las intersecciones de las calles, de los cuales el 1 y el 40 son nodos de entrada y el 7 y 36 son de salida. Las cifras que aparecen sobre las aristas son las capacidades9.


Teniendo en cuenta que todas las aristas son bidireccionales y que el tráfico solo puede circular en una dirección:

1) Determine el sentido que debe darse a la circulación de las calles (obligando a que eltráfico circule únicamente en dicho sentido) para maximizar el flujo que puede circu-lar desde los nodos orígenes (1 y 40) hacia los nodos destino (7 y 36).

2) Idéntico al anterior, pero suponiendo que los nodos tienen una capacidad máxima de60 vehículos, excepto los nodos de entrada y salida, cuya capacidad es infinita.

3) Suponga ahora que debe preparar un plan para organizar el tráfico en caso de quese produjera la toma de una ciudad próxima a esta. Se producirían dos tipos de flu-jos: un flujo de refugiados civiles que entrando por el nodo 36 deberían encontraruna vía para llegar al nodo 7, desde el que saldrían de la ciudad, y otro flujo de me-dios de abastecimiento hacia la ciudad próxima, que entraría por el nodo 1 y saldríade la ciudad por el nodo 40. Maximice el flujo en estas dos direcciones suponiendoque una arista puede albergar flujo de ambos tipos al mismo tiempo.

4) Idéntico al anterior, pero suponiendo que una arista no puede albergar flujo de am-bos tipos al mismo tiempo.

9 Adaptado a partir de un problema del libro de la asignatura Investigación Operativa. CUD/AGM.


178

5.8 Organización del tráfico rodado (3/OS/RED) ENUNCIADO

Acaba de tomar el control de una ciudad tras una serie de acciones en una zona de ope-raciones en un despliegue en el extranjero. La organización internacional que dirige la opera-ción le ha ordenado que organice el tráfico rodado en una ciudad recientemente liberada. La red de calles de la ciudad está descrita en la figura de esta página. Consta de 40 nodos, corres-pondientes a las intersecciones de las calles, de los cuales el 1 y el 40 son nodos de entrada y el 7 y 36 son de salida. Las cifras que aparecen sobre las aristas son las capacidades9.


Teniendo en cuenta que todas las aristas son bidireccionales y que el tráfico solo puede circular en una dirección:

1) Determine el sentido que debe darse a la circulación de las calles (obligando a que eltráfico circule únicamente en dicho sentido) para maximizar el flujo que puede circu-lar desde los nodos orígenes (1 y 40) hacia los nodos destino (7 y 36).

2) Idéntico al anterior, pero suponiendo que los nodos tienen una capacidad máxima de60 vehículos, excepto los nodos de entrada y salida, cuya capacidad es infinita.

3) Suponga ahora que debe preparar un plan para organizar el tráfico en caso de quese produjera la toma de una ciudad próxima a esta. Se producirían dos tipos de flu-jos: un flujo de refugiados civiles que entrando por el nodo 36 deberían encontraruna vía para llegar al nodo 7, desde el que saldrían de la ciudad, y otro flujo de me-dios de abastecimiento hacia la ciudad próxima, que entraría por el nodo 1 y saldríade la ciudad por el nodo 40. Maximice el flujo en estas dos direcciones suponiendoque una arista puede albergar flujo de ambos tipos al mismo tiempo.

4) Idéntico al anterior, pero suponiendo que una arista no puede albergar flujo de am-bos tipos al mismo tiempo.

9 Adaptado a partir de un problema del libro de la asignatura Investigación Operativa. CUD/AGM.

179

SOLUCIÓN

Apartado 1)

Se trata de un problema de optimización en redes, concretamente es un problema de flujo máximo, pero con una particularidad: las aristas, que en principio son bidireccionales per-mitiendo el trasiego en ambas direcciones, deben ser convertidas en unidireccionales mediante la ordenación de su tráfico. Esto nos obliga a usar una formulación diferente a la habitual con la inclusión de una variable de decisión que determine en qué sentido se debe producir el tránsito por la arista. Deberemos también tener en cuenta que no existen nodos únicos de entrada y sa-lida.

En primer lugar, deberemos ampliar la topología original de la red con un nodo ficticio origen, que llamaremos E, unido a los nodos de entrada originales de la red (1 y 40), un nodo ficticio de salida, que llamaremos S, unido a los nodos de salida originales de la red (7 y 36), con sus correspondientes aristas ficticias, incluida la que una el nodo S con el E por la que cir-culará, de regreso, todo el flujo que llegue a los nodos originales de salida. Estas aristas tienen capacidad infinita, y maximizar el flujo consiste en hacer máximo el que circule por esta arista ficticia si imponemos la restricción de que el balance de flujo en todos los nodos sea igual a ce-ro.

La formulación del problema sería la siguiente:

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iN Nodos de la red, N = {1…, 40} (ij)A Aristas (originales) de la red (ij)A* Aristas ampliadas de la red, incluyendo la aristas ficticias



180

3. VARIABLES Xij Cantidad de flujo por la arista (ij) en el sentido (i j) Xji Cantidad de flujo por la arista (ij) en el sentido (j i) ij Binaria. 1 si se habilita el sentido (i j), valor 0 es caso contrario

4. FORMA COMPACTA

Aij1;0

Aiju1XAijuX

Ni0XXXX

.a.sX

max

ij

*ijijji

*ijijij

Aij:jji

Aji:jij

Aji:jji

Aij:jij

SE

****

5. EXPLICACIÓN

La función objetivo se refiere al flujo que circula por la arista ficticia que cierra el bucle llevando todo el flujo que llega a los nodos orígenes de nuevo a los nodos destino. Esta arista soportará el flujo máximo que puede circular por la red si se exige que el balance de flujo en los nodos sea nulo.

La ecuación de balance de flujo tiene ahora dos componentes dobles: el flujo que entra, tanto en sentido (i j) como en sentido (j i), y el que sale, también en ambos sentidos:

SALIENTE FLUJO

ij

Aij:jji

ji

Aji:jij

ENTRANTE FLUJO

ij

Aji:jji

ji

Aij:jij

****

XXXX

La segunda y tercera restricciones imponen que, por una arista, si se decide enviar al-gún flujo, solo se pueda hacer en un único sentido. Como la variable ij es binaria, al combinarla con la capacidad de la arista se anula, o no, el flujo que puede circular por ella en un determi-nado sentido:

ijjiijijji

ijijijijij

jiijijji

ijijijijijij

uXu1Xanulado0XuX

0

anulado0Xu1XuXuX

1


180

3. VARIABLES Xij Cantidad de flujo por la arista (ij) en el sentido (i j) Xji Cantidad de flujo por la arista (ij) en el sentido (j i) ij Binaria. 1 si se habilita el sentido (i j), valor 0 es caso contrario

4. FORMA COMPACTA

Aij1;0

Aiju1XAijuX

Ni0XXXX

.a.sX

max

ij

*ijijji

*ijijij

Aij:jji

Aji:jij

Aji:jji

Aij:jij

SE

****

5. EXPLICACIÓN

La función objetivo se refiere al flujo que circula por la arista ficticia que cierra el bucle llevando todo el flujo que llega a los nodos orígenes de nuevo a los nodos destino. Esta arista soportará el flujo máximo que puede circular por la red si se exige que el balance de flujo en los nodos sea nulo.

La ecuación de balance de flujo tiene ahora dos componentes dobles: el flujo que entra, tanto en sentido (i j) como en sentido (j i), y el que sale, también en ambos sentidos:

SALIENTE FLUJO

ij

Aij:jji

ji

Aji:jij

ENTRANTE FLUJO

ij

Aji:jji

ji

Aij:jij

****

XXXX

La segunda y tercera restricciones imponen que, por una arista, si se decide enviar al-gún flujo, solo se pueda hacer en un único sentido. Como la variable ij es binaria, al combinarla con la capacidad de la arista se anula, o no, el flujo que puede circular por ella en un determi-nado sentido:

ijjiijijji

ijijijijij

jiijijji

ijijijijijij

uXu1Xanulado0XuX

0

anulado0Xu1XuXuX

1

181

La lista de aristas y la de nodos (se muestran parcialmente) y el administrador de nombres de la hoja tendrían el siguiente aspecto:


Aij1;0

Aiju1XAijuX

Ni0XXXX

.a.sX

max

ij

*ijijji

*ijijij

Aij:jji

Aji:jij

Aji:jji

Aij:jij

SE

****


182

La solución encontrada es la siguiente (se ha ordenado la lista de arista para que apa-rezcan únicamente aquellas por las que circula flujo y por el sentido de dicho flujo):

La representación gráfica de la solución encontrada es la siguiente (hay que tener en cuenta que existen varias soluciones posibles con un flujo máximo de valor 281):


182

La solución encontrada es la siguiente (se ha ordenado la lista de arista para que apa-rezcan únicamente aquellas por las que circula flujo y por el sentido de dicho flujo):

La representación gráfica de la solución encontrada es la siguiente (hay que tener en cuenta que existen varias soluciones posibles con un flujo máximo de valor 281):

183

Apartado 2)

La forma compacta incluye ahora la restricción de entrada a cualquier nodo:

Aij1;0

Aiju1XAijuX

Ni60XX

Ni0XXXX

.a.sX

max

ij

*ijijji

*ijijij

Aji:jji

Aij:jij

Aij:jji

Aji:jij

Aji:jji

Aij:jij

SE

**

****

El resultado es el siguiente:


184

Apartado 3) Suponga ahora que debe preparar un plan para organizar el tráfico en caso de que se produjera

la toma de una ciudad próxima a esta. Se producirían dos tipos de flujos: un flujo de refugiadosciviles que entrando por el nodo 36 deberían encontrar una vía para llegar al nodo 7 desde el quesaldrían de la ciudad; otro flujo de medios de abastecimiento hacia la ciudad próxima que entra-ría por el nodo 1 y saldría de la ciudad por el nodo 40. Maximice el flujo en estas dos direccionessuponiendo que una arista puede albergar flujo de ambos tipos al mismo tiempo.

El problema es ahora mucho más complicado, ya que existen dos flujos diferentes, con entradas y salidas también distintas, que deben ser maximizados de forma simultánea.

La formulación incluye ahora nuevas variables:

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iN Nodos de la red, N = {1…, 40} (ij)A Aristas (originales) de la red


3. VARIABLES Xij Cantidad de flujo 1 por la arista (ij) en el sentido (i j) Xji Cantidad de flujo 1 por la arista (ij) en el sentido (j i) Yij Cantidad de flujo 2 por la arista (ij) en el sentido (i j) Yji Cantidad de flujo 2 por la arista (ij) en el sentido (j i) Z Relacionada con el minimax ij Binaria. 1 si se habilita el sentido (i j), valor 0 en caso contrario


184

Apartado 3) Suponga ahora que debe preparar un plan para organizar el tráfico en caso de que se produjera

la toma de una ciudad próxima a esta. Se producirían dos tipos de flujos: un flujo de refugiadosciviles que entrando por el nodo 36 deberían encontrar una vía para llegar al nodo 7 desde el quesaldrían de la ciudad; otro flujo de medios de abastecimiento hacia la ciudad próxima que entra-ría por el nodo 1 y saldría de la ciudad por el nodo 40. Maximice el flujo en estas dos direccionessuponiendo que una arista puede albergar flujo de ambos tipos al mismo tiempo.

El problema es ahora mucho más complicado, ya que existen dos flujos diferentes, con entradas y salidas también distintas, que deben ser maximizados de forma simultánea.

La formulación incluye ahora nuevas variables:

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iN Nodos de la red, N = {1…, 40} (ij)A Aristas (originales) de la red


3. VARIABLES Xij Cantidad de flujo 1 por la arista (ij) en el sentido (i j) Xji Cantidad de flujo 1 por la arista (ij) en el sentido (j i) Yij Cantidad de flujo 2 por la arista (ij) en el sentido (i j) Yji Cantidad de flujo 2 por la arista (ij) en el sentido (j i) Z Relacionada con el minimax ij Binaria. 1 si se habilita el sentido (i j), valor 0 en caso contrario

185

4. FORMA COMPACTA

Aij1;0

Aiju1YXAijuYX

ZFZF

did,oNi

oi

F0

FYYYY

did,oNi

oi

F0

FXXXX

.a.sZ

max

ij

ijijjiji

ijijijij

Y

X

Y

YY

Y

Y

Y

Aij:jji

Aji:jij

Aji:jji

Aij:jij

X

XX

X

X

X

Aij:jji

Aji:jij

Aji:jji

Aij:jij



186

Apartado 4) Suponga ahora que debe preparar un plan […]. Maximice el flujo en estas dos direcciones supo-

niendo que una arista NO puede albergar flujo de ambos tipos al mismo tiempo.

Se añade una nueva complicación, dado que ahora los flujos de material y refugiados no pueden compartir ninguna arista de la red. Es necesario añadir una nueva variable binaria (ij) que determine si la arista, en su caso, será utilizada para flujo X o para el flujo Y, y dos nuevas restricciones que impidan que el total de flujo, de cada tipo, sea menor que la capaci-dad de la aristas. La forma compacta es la siguiente:

Aij1;0

Aij1;0Aiju1YYAijuXXAiju1YXAijuYX

ZFZF

did,oNi

oi

F0

FYYYY

did,oNi

oi

F0

FXXXX

.a.sZ

max

ij

ij

ijijjiij

ijijjiij

ijijjiji

ijijijij

Y

X

Y

YY

Y

Y

Y

Aij:jji

Aji:jij

Aji:jji

Aij:jij

X

XX

X

X

X

Aij:jji

Aji:jij

Aji:jji

Aij:jij

El flujo de X (desde 1 a 40) es el siguiente:


186

Apartado 4) Suponga ahora que debe preparar un plan […]. Maximice el flujo en estas dos direcciones supo-

niendo que una arista NO puede albergar flujo de ambos tipos al mismo tiempo.

Se añade una nueva complicación, dado que ahora los flujos de material y refugiados no pueden compartir ninguna arista de la red. Es necesario añadir una nueva variable binaria (ij) que determine si la arista, en su caso, será utilizada para flujo X o para el flujo Y, y dos nuevas restricciones que impidan que el total de flujo, de cada tipo, sea menor que la capaci-dad de la aristas. La forma compacta es la siguiente:

Aij1;0

Aij1;0Aiju1YYAijuXXAiju1YXAijuYX

ZFZF

did,oNi

oi

F0

FYYYY

did,oNi

oi

F0

FXXXX

.a.sZ

max

ij

ij

ijijjiij

ijijjiij

ijijjiji

ijijijij

Y

X

Y

YY

Y

Y

Y

Aij:jji

Aji:jij

Aji:jji

Aij:jij

X

XX

X

X

X

Aij:jji

Aji:jij

Aji:jji

Aij:jij

El flujo de X (desde 1 a 40) es el siguiente:

187

El flujo de Y (desde 36 a 7) es el siguiente:

El balance en los nodos y los flujos máximos de ambos tipos son los siguientes:


188

6 OPTIMIZACIÓN DE OPERACIONES AÉREAS El general que gana la batalla hace muchos cálculos antes de pelear.

El general que pierde hace pocos cálculos. El arte de la guerra. Sun Tzu

Tal como señalábamos en la introducción, la dificultad inherente a la planificación y el desarrollo de las operaciones aéreas de todo tipo ha sido tradicionalmente una cuestión tratada mediante técnicas de optimización en general, y mediante programación lineal en particular, desde el comienzo del desarrollo de la disciplina a mediados de la década de los años cincuenta cuando Dantzig desarrolló, en el seno de la Fuerza Aérea de Estados Unidos, el método princi-pal que da soporte computacional a la programación lineal.

Son muy numerosas las referencias al uso de la programación lineal en la planificación de operaciones aéreas aun cuando, como cabía esperar, los grandes desarrollos permanecen fuera de la literatura científica por motivos obvios.

Los problemas abordados en este capítulo pueden ser clasificados como pertenecientes a alguna clase determinada de problemas genéricos. Estos tipos genéricos, que describimos brevemente a continuación, serían los siguientes:

Secuenciación y planificación de misionesProblemas en los que se busca la determinación de una o varias secuencias de vuelo, o de misiones, que resulten óptimas respecto de alguna medida de desempeño, estando sometidas a restricciones de diferente naturaleza, normalmente relacionadas con la es-casez de medios aéreos para su realización.

Planificación en ausencia de informaciónProblemas en los que nos vemos forzados a tomar una o varias decisiones, de carácter ofensivo o defensivo, aun cuando desconocemos todos los aspectos relevantes involu-crados en el desarrollo de las consecuencias que esta decisión tendrá. Situación harto común que aparece bien por ausencia total de fuentes de inteligencia bien porque di-chas fuentes no pueden recoger información con absoluta fiabilidad. Estos problemas, derivados directamente de la teoría de la decisión, se resuelven en general atendiendo al procedimiento conocido como minimax, procedimiento que en-carna la actuación de un decisor que actúa, ante todo, bajo criterios de prudencia y efectividad.

Asignación arma-blancoEl denominado en la literatura como weapon-target assignment problem es un viejo conocido de la optimización de operaciones militares. Se trata de un problema NP-completo (es decir, que requiere un tiempo de resolución que crece exponencialmente con el número de elementos involucrados) para el que se han propuesto un buen nú-mero de algoritmos y heurísticas en busca de soluciones exactas o aproximadas10.

Interdicción óptima de una red logísticaEl problema denominado comúnmente network interdiction problem, tratado mediante técnicas de optimización, se remonta a los años cincuenta cuando la amenaza del Pac-to de Varsovia obligaba a la OTAN a la planificación de acciones tendentes a cortar las vías de suministros de las fuerzas de la vanguardia enemiga. Renacido en la década de los setenta para cortar las vías de introducción en EE. UU. de los cárteles de la droga, volvió a acaparar el interés de los investigadores operativos militares tras los sucesos del 11S, en el que las redes consideradas eran ahora las redes sociales formadas por terroristas.

10 Ahuja, R. et al. «Exact and Heuristic Algorithms for the Weapon-Target Assignment Problem». Operations Re-search 2007, 55(6), pp. 1136–1146.


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6 OPTIMIZACIÓN DE OPERACIONES AÉREAS El general que gana la batalla hace muchos cálculos antes de pelear.

El general que pierde hace pocos cálculos. El arte de la guerra. Sun Tzu

Tal como señalábamos en la introducción, la dificultad inherente a la planificación y el desarrollo de las operaciones aéreas de todo tipo ha sido tradicionalmente una cuestión tratada mediante técnicas de optimización en general, y mediante programación lineal en particular, desde el comienzo del desarrollo de la disciplina a mediados de la década de los años cincuenta cuando Dantzig desarrolló, en el seno de la Fuerza Aérea de Estados Unidos, el método princi-pal que da soporte computacional a la programación lineal.

Son muy numerosas las referencias al uso de la programación lineal en la planificación de operaciones aéreas aun cuando, como cabía esperar, los grandes desarrollos permanecen fuera de la literatura científica por motivos obvios.

Los problemas abordados en este capítulo pueden ser clasificados como pertenecientes a alguna clase determinada de problemas genéricos. Estos tipos genéricos, que describimos brevemente a continuación, serían los siguientes:

Secuenciación y planificación de misionesProblemas en los que se busca la determinación de una o varias secuencias de vuelo, o de misiones, que resulten óptimas respecto de alguna medida de desempeño, estando sometidas a restricciones de diferente naturaleza, normalmente relacionadas con la es-casez de medios aéreos para su realización.

Planificación en ausencia de informaciónProblemas en los que nos vemos forzados a tomar una o varias decisiones, de carácter ofensivo o defensivo, aun cuando desconocemos todos los aspectos relevantes involu-crados en el desarrollo de las consecuencias que esta decisión tendrá. Situación harto común que aparece bien por ausencia total de fuentes de inteligencia bien porque di-chas fuentes no pueden recoger información con absoluta fiabilidad. Estos problemas, derivados directamente de la teoría de la decisión, se resuelven en general atendiendo al procedimiento conocido como minimax, procedimiento que en-carna la actuación de un decisor que actúa, ante todo, bajo criterios de prudencia y efectividad.

Asignación arma-blancoEl denominado en la literatura como weapon-target assignment problem es un viejo conocido de la optimización de operaciones militares. Se trata de un problema NP-completo (es decir, que requiere un tiempo de resolución que crece exponencialmente con el número de elementos involucrados) para el que se han propuesto un buen nú-mero de algoritmos y heurísticas en busca de soluciones exactas o aproximadas10.

Interdicción óptima de una red logísticaEl problema denominado comúnmente network interdiction problem, tratado mediante técnicas de optimización, se remonta a los años cincuenta cuando la amenaza del Pac-to de Varsovia obligaba a la OTAN a la planificación de acciones tendentes a cortar las vías de suministros de las fuerzas de la vanguardia enemiga. Renacido en la década de los setenta para cortar las vías de introducción en EE. UU. de los cárteles de la droga, volvió a acaparar el interés de los investigadores operativos militares tras los sucesos del 11S, en el que las redes consideradas eran ahora las redes sociales formadas por terroristas.

10 Ahuja, R. et al. «Exact and Heuristic Algorithms for the Weapon-Target Assignment Problem». Operations Re-search 2007, 55(6), pp. 1136–1146.

189

Optimización en redesEn estos problemas el objetivo es el conocimiento del desempeño de una red de distri-bución, propia o enemiga, para preservar o anular su capacidad logística. Estas redes, no necesariamente logísticas, tienen una topología cuyos elementos representan, de forma esquemática pero muy eficaz, los aspectos relevantes de un enfrentamiento, lo que permite la aplicación de técnicas sobradamente conocidas como la determinación de la ruta más corta, la ruta más segura o el flujo máximo.


El problema 6,1 es una aplicación elemental del PLG en el que se pide diseñar el reparto de un conjunto de cargas de las que se conoce su peso, volumen y valor entre las bodegas de una aeronave de transporte; bodegas con limitaciones diferentes en cuanto a volumen y peso disponibles. Junto con un reparto óptimo —respecto al valor total de lo embarcado—, se pide también una asignación de tipo minimax que, en prevención de posibles deterioros de la carga que se supone sensible a las condiciones de vuelo, minimice la posible pérdida de lo embarcado en alguna de las bodegas, garantizando el embarque de un porcentaje mínimo de la carga total.

El problema 6.2 pide optimizar la asignación del número de horas de vuelo que deben realizar una serie de escuadrones de caza, transporte y fuerzas aéreas auxiliares, conocidos los consumos por hora de vuelo en los conceptos de mantenimiento, abastecimiento y combustible. La asignación debe hacerse respetando las restricciones presupuestarias para dichos conceptos, así como una serie de relaciones de carácter operacional entre los diferentes tipos de misión. Es una aplicación sencilla de PLG y plantea tres objetivos diferentes bajo otros tanto criterios: ma-ximizar el número de horas realizadas respetando las restricciones sobre los recursos, minimizar los costes adquiriendo unos niveles mínimos de actividad y, finalmente, planteando un objetivo minimax en el que el escuadrón al que menos horas le sean asignadas realice el mayor número de horas posibles.

El problema 6.3 es el primero de los dedicados a la asignación arma-blanco. Se nos pide planificar el ataque de una serie de plataformas aéreas contra un conjunto de posibles blancos, de manera que, por un lado, maximicemos el daño causado (bajo restricciones relativas al tiempo de recuperación de las plataformas) y, por otro, determinemos el tiempo total de recu-peración de la flota atacante (bajo la imposición de que todos los blancos sean atacados).

El problema 6.4 es el primero de los dedicados a la planificación de vuelos. Se nos pide organizar el transporte de un grupo de oficiales que han de trasladarse desde las bases en la que han realizado una comisión de servicio hasta sus bases de destino, optimizando las secuen-cias de vuelos necesarias para completar la operación.

Los problemas 6.5 y 6.6, del tipo asignación arma-blanco, piden la composición óptima de un ataque utilizando las armas más apropiadas para ello, bajo restricciones que afectan a la eficacia del armamento, su coste (en un sentido no monetario), y el número máximo de unida-des disponibles para el ataque. El 6.7, análogo a los anteriores, se refiere a la configuración óp-tima del armamento de una única plataforma que logre una mayor eficacia en el ataque.

El problema 6.8 pide la secuenciación óptima de una serie de ataques bajo restricciones de tiempo que afectan a la disponibilidad de la flota atacante. El 6.9 pide la planificación de un conjunto de vuelos de manera que se cumplan los objetivos operativos y se minimice el empleo de los medios dedicados al transporte. El 6.10 presenta una situación en la cual debemos llevar a cabo un ataque desconociendo la entidad de las defensas enemigas y buscando un compro-miso entre el daño causado por nuestras fuerzas y la previsible atrición a la que dichas fuerzas se verán sometidas.

El problema 6.11 plantea una situación en la que existen dos agentes bien diferencia-dos: atacante y defensor. El primero debe diseñar un ataque sobre un conjunto de objetivos te-niendo en cuenta dos factores: el daño que dicho ataque causará, que dependerá lógicamente del tipo y número de las plataformas que intervengan en él, y la atrición que sufrirán dichas plataformas, dado que los objetivos se encuentran defendidos por medios antiaéreos. En con-traposición, el defensor, al que se le pide diseñar su defensa entre posibles alternativas, deberá tener en cuenta el daño sufrido y la atrición causada a los medios atacantes.


190

Se actúa bajo los dos roles y, dado que en ningún caso se conoce la alternativa elegida por el enemigo, ya sea este el defensor o el atacante, se deberá hacer uso de una estrategia basada en la prudencia. Se pide formular los cuatro tipos de problemas posibles y resolverlos para una situación concreta.

En los problemas 6.12 y 6.13 se imponen ciertas condiciones lógicas para llevar a cabo un ataque bajo condiciones derivadas de la naturaleza de los objetivos a atacar y su reacción defensiva, por lo que será necesario recurrir a la conversión de dichas condiciones a restriccio-nes lineales mediante la técnica de la forma normal conjuntiva aplicada a los predicados lógicos deducidos de las restricciones. El primero de ellos, 6.12, plantea una situación en la que el ata-que se restringe mediante la imposición de condiciones relativamente simples. El problema 6.13 va un paso más allá, complicando la situación para cuya adecuada formulación será necesario recurrir al uso de variables binarias auxiliares y, como en el caso anterior, a la lógica formal de predicados.

El problema 6.14 se refiere a la composición óptima de una flota de ataque sobre una serie de objetivos con tres tipos de aviones y restricciones sobre la dotación máxima de las pla-taformas que intervienen, su consumo de combustible y la obtención de un umbral mínimo de destrucción sobre los objetivos atacados.

En el 6.15 se debe diseñar, de nuevo, un ataque a varios objetivos con plataformas que pueden llevar a cabo únicamente determinadas misiones de ataque durante una campaña de tres días de duración en la que se deberá optimizar el valor de los objetivos destruidos.

El problema 6.16 presenta una situación que responde a un modelo simple atacante-defensor-atacante en la que deberá planificar el ataque a un conjunto de objetivos terrestres defendidos por defensas antiaéreas de baja cota, bajo diferentes escenarios de información dis-ponible.

El problema 6.17 presenta la situación en la cual se ha diseñar la ruta de escape óptima que debe seguir —en territorio enemigo— un piloto que ha sido derribado durante la realización de una misión, con restricciones que afectan al tiempo máximo para recorrer la ruta y a la pro-babilidad de que sea descubierto y capturado por el enemigo. En 6.18, utilizando los principios de optimización en redes, se pide el diseño de diferentes rutas de ataque definidas mediante corredores aéreos seguros que actúan como las aristas de una red orientada.

En 6.19 se recupera el tema del diseño de una campaña aérea en la que se deberá de-terminar las bases de despegue y aterrizaje que emplearán las plataformas ofensivas que ac-túan en la campaña para minimizar el número de horas de vuelo llevadas a cabo a lo largo de los tres días de duración de dicha campaña.

El problema 6.20, también relacionado con la optimización en redes, plantea el diseño de rutas de ataque cuando los corredores aéreos por los que pueden volar las aeronaves tienen diferentes tasas de atrición y los objetivos situados en los nodos de la red, diferentes valores tácticos.

En 6.21 se pide la optimización de un despliegue de medios aéreos desde las bases prin-cipales hasta las de vanguardia desde las que dichos medios deberán llevar a cabo ataques. Los aeródromos intermedios en los que se deberá tomar tierra y despegar, antes de completar el despliegue, están sometidos a restricciones de capacidad.

El problema 6.22 presenta una red logística propia para la que se requiere el cálculo de su flujo máximo y la determinación de una política óptima de mantenimiento tendente a mejo-rar su capacidad de trasiego de medios logísticos. Es el primero de los problemas en el que es necesario aplicar la metodología para la determinación de la interdicción óptima de una red me-diante medios aéreos.

El problema descrito en 6.23 rememora una situación real que tuvo lugar durante la II Guerra Mundial, cuando el general Patton recibió la orden del general Eisenhower de contra-rrestar la ofensiva alemana que más tarde daría lugar a la que se conocería como la batalla de las Ardenas. No es un problema original del autor, ya que es uno de los casos de estudio (the battle of the Bulge) que aparece recogido en el texto de Taylor11.

11 Bernard W. T. Introduction to Management Science. Pearson Education 2016.


190

Se actúa bajo los dos roles y, dado que en ningún caso se conoce la alternativa elegida por el enemigo, ya sea este el defensor o el atacante, se deberá hacer uso de una estrategia basada en la prudencia. Se pide formular los cuatro tipos de problemas posibles y resolverlos para una situación concreta.

En los problemas 6.12 y 6.13 se imponen ciertas condiciones lógicas para llevar a cabo un ataque bajo condiciones derivadas de la naturaleza de los objetivos a atacar y su reacción defensiva, por lo que será necesario recurrir a la conversión de dichas condiciones a restriccio-nes lineales mediante la técnica de la forma normal conjuntiva aplicada a los predicados lógicos deducidos de las restricciones. El primero de ellos, 6.12, plantea una situación en la que el ata-que se restringe mediante la imposición de condiciones relativamente simples. El problema 6.13 va un paso más allá, complicando la situación para cuya adecuada formulación será necesario recurrir al uso de variables binarias auxiliares y, como en el caso anterior, a la lógica formal de predicados.

El problema 6.14 se refiere a la composición óptima de una flota de ataque sobre una serie de objetivos con tres tipos de aviones y restricciones sobre la dotación máxima de las pla-taformas que intervienen, su consumo de combustible y la obtención de un umbral mínimo de destrucción sobre los objetivos atacados.

En el 6.15 se debe diseñar, de nuevo, un ataque a varios objetivos con plataformas que pueden llevar a cabo únicamente determinadas misiones de ataque durante una campaña de tres días de duración en la que se deberá optimizar el valor de los objetivos destruidos.

El problema 6.16 presenta una situación que responde a un modelo simple atacante-defensor-atacante en la que deberá planificar el ataque a un conjunto de objetivos terrestres defendidos por defensas antiaéreas de baja cota, bajo diferentes escenarios de información dis-ponible.

El problema 6.17 presenta la situación en la cual se ha diseñar la ruta de escape óptima que debe seguir —en territorio enemigo— un piloto que ha sido derribado durante la realización de una misión, con restricciones que afectan al tiempo máximo para recorrer la ruta y a la pro-babilidad de que sea descubierto y capturado por el enemigo. En 6.18, utilizando los principios de optimización en redes, se pide el diseño de diferentes rutas de ataque definidas mediante corredores aéreos seguros que actúan como las aristas de una red orientada.

En 6.19 se recupera el tema del diseño de una campaña aérea en la que se deberá de-terminar las bases de despegue y aterrizaje que emplearán las plataformas ofensivas que ac-túan en la campaña para minimizar el número de horas de vuelo llevadas a cabo a lo largo de los tres días de duración de dicha campaña.

El problema 6.20, también relacionado con la optimización en redes, plantea el diseño de rutas de ataque cuando los corredores aéreos por los que pueden volar las aeronaves tienen diferentes tasas de atrición y los objetivos situados en los nodos de la red, diferentes valores tácticos.

En 6.21 se pide la optimización de un despliegue de medios aéreos desde las bases prin-cipales hasta las de vanguardia desde las que dichos medios deberán llevar a cabo ataques. Los aeródromos intermedios en los que se deberá tomar tierra y despegar, antes de completar el despliegue, están sometidos a restricciones de capacidad.

El problema 6.22 presenta una red logística propia para la que se requiere el cálculo de su flujo máximo y la determinación de una política óptima de mantenimiento tendente a mejo-rar su capacidad de trasiego de medios logísticos. Es el primero de los problemas en el que es necesario aplicar la metodología para la determinación de la interdicción óptima de una red me-diante medios aéreos.

El problema descrito en 6.23 rememora una situación real que tuvo lugar durante la II Guerra Mundial, cuando el general Patton recibió la orden del general Eisenhower de contra-rrestar la ofensiva alemana que más tarde daría lugar a la que se conocería como la batalla de las Ardenas. No es un problema original del autor, ya que es uno de los casos de estudio (the battle of the Bulge) que aparece recogido en el texto de Taylor11.

11 Bernard W. T. Introduction to Management Science. Pearson Education 2016. 191

Como en el caso anterior, el problema 6.24 tiene también un trasfondo histórico, ya que presenta una situación que trajo de cabeza a los analistas de operaciones aéreas de la OTAN durante los peores años de la Guerra Fría, cuando la única posibilidad de frenar una ofensiva a gran escala llevada a cabo por la fuerzas del Pacto de Varsovia en Europa central, pasaba por anular, de manera eficaz, la capacidad logística de las fuerzas enemigas.

Relacionado con los anteriores, el problema 6.25 presenta el ejemplo utilizado por Wood para describir su formulación de la interdicción óptima de una red12. El problema 6.26 presenta una situación también de interdicción óptima, pero con restricciones determinadas por la atri-ción que sufrirían los medios aéreos que la llevaran a cabo.

En 6.27 se presenta una aplicación de los problemas de localización en el ámbito militar. En él se plantea el diseño de un plan de evacuación de pelotones de fuerzas especiales que, tras llevar a cabo misiones ofensivas, han de ser extraídos —de forma óptima— desde territorio enemigo.

El problema 6.28 es una aplicación conjunta de las técnicas de optimización en redes y de localización de instalaciones y es un buen ejemplo de cómo estas dos técnicas pueden ser usadas, de forma conjunta, bajo el paradigma común de la programación lineal para resolver un problema táctico que puede llegar a ser considerablemente complicado de tratar por otros me-dios. La maximización de la detección, mediante el uso de un UAV (vehículo aéreo no tripulado, por sus siglas en inglés), de un terrorista que se mueve por una amplia zona, siguiendo una ru-ta desconocida.

Finalmente, el problema 6.29 plantea la planificación de una misión aire-tierra en la que las plataformas que intervienen pueden ser equipadas solo en un número determinado de con-figuraciones de ataque, lo que supone que la cantidad de armas que lanzarán contra los objeti-vos está condicionada por dicha configuración. Se consideran varias posibilidades para la función objetivo, que puede ser desde el mérito total del ataque hasta la minimización del nú-mero de plataformas necesarias para alcanzar unos umbrales mínimos de destrucción de los ob-jetivos

Se consideran restricciones que afectan al número máximo de plataformas disponibles, al arsenal de armas con que se cuenta para la misión y a la atrición máxima esperada que pue-de sufrir la fuerza atacante.

La consideración, en el último apartado, de probabilidades de destrucción arma-blanco diferentes para cada combinación de estos factores, obliga a usar trasformaciones logarítmicas para poder convertir en lineales restricciones que en principio no lo son. La dificultad del pro-blema es elevada, aunque un uso eficiente de las operaciones matriciales disponible en la hoja de cálculo facilita considerablemente la obtención de los cálculos intermedios.

12 Wood, R. K. «Deterministic network interdiction». Operations Research Department, Naval Postgraduate School. Mathematical and Computer Modelling, vol. 17, issue 2, Pages 1-18, 1993.


192

6.1 Carga de aviones (1/SO/PLG) ENUNCIADO

Es el responsable de la carga de un avión que aún dispone de capacidad remanente en sus8 bodegas de carga (B1…, B8). La tabla A muestra, para cada una de las 8 bodegas en lasque aún queda capacidad de carga disponible, el peso máximo (P_Max) y el volumen má-ximo disponibles (V_Max) en cientos de kg y m3 respectivamente.

Tabla A P_Max V_Max B1 625 2.100 B2 1.170 2.700 B3 1.725 1.500 B4 550 1.500 B5 1.500 1.200 B6 1.280 2.700 B7 2.060 900 B8 625 750

Para cargar las bodegas dispone de 12 cargamentos diferentes cuyas características vienendadas en la tabla B. Siendo pes, vol. y valor, el peso, volumen y valor económico de cadacargamento (en cientos de kg, m3 y unidades monetarias respectivamente).

Tabla B Cargamento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Pes 598,5 658 551,3 665 759,5 572,3 672 609 750,8 614,3 675,5 679 Vol. 1 215 931 1 521 1 694 1 248 1 680 1 220 1 194 1 437 1 348 1 418 1 626

Valor 38,76 25,12 33,6 30,68 23,44 31,64 34,08 26,56 29,16 26,28 32,96 20,4 Los cargamentos son completamente divisibles y mantienen las proporcionalidades de todas

sus características al ser fraccionados.


Suponiendo que el objetivo es asignar a cada bodega la fracción de cargamento que, respetando las limi-taciones de peso y volumen, haga má-ximo el valor económico de lo embar-cado:

1) Formule completamente elPPL utilizando la notaciónhabitual.

2) Resuelva la asignación óp-tima de las fracciones decargamento a embarcar encada bodega.

3) Suponga que los cargamen-tos son de sustancias quedeben transportarse en unambiente de presión, temperatura y humedad controladas y muy estrictas. Deseaminimizar el riesgo de que, por fallo en los sistemas de control del ambiente en lasbodegas, se pierda el cargamento embarcado en alguna de ellas. Para ello deseaminimizar el máximo valor embarcado en una bodega, al mismo tiempo que aseguraque al menos el 75 % de cada cargamento es embarcado. Especifique la forma com-pacta de este nuevo problema y encuentre la asignación óptima.

Un C-130 Hércules del Ala 31 del Destacamento Aero Táctico Mamba para Operación en Apoyo a Centroáfrica. (Fuente: EA)


192

6.1 Carga de aviones (1/SO/PLG) ENUNCIADO

Es el responsable de la carga de un avión que aún dispone de capacidad remanente en sus8 bodegas de carga (B1…, B8). La tabla A muestra, para cada una de las 8 bodegas en lasque aún queda capacidad de carga disponible, el peso máximo (P_Max) y el volumen má-ximo disponibles (V_Max) en cientos de kg y m3 respectivamente.

Tabla A P_Max V_Max B1 625 2.100 B2 1.170 2.700 B3 1.725 1.500 B4 550 1.500 B5 1.500 1.200 B6 1.280 2.700 B7 2.060 900 B8 625 750

Para cargar las bodegas dispone de 12 cargamentos diferentes cuyas características vienendadas en la tabla B. Siendo pes, vol. y valor, el peso, volumen y valor económico de cadacargamento (en cientos de kg, m3 y unidades monetarias respectivamente).

Tabla B Cargamento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Pes 598,5 658 551,3 665 759,5 572,3 672 609 750,8 614,3 675,5 679 Vol. 1 215 931 1 521 1 694 1 248 1 680 1 220 1 194 1 437 1 348 1 418 1 626

Valor 38,76 25,12 33,6 30,68 23,44 31,64 34,08 26,56 29,16 26,28 32,96 20,4 Los cargamentos son completamente divisibles y mantienen las proporcionalidades de todas

sus características al ser fraccionados.


Suponiendo que el objetivo es asignar a cada bodega la fracción de cargamento que, respetando las limi-taciones de peso y volumen, haga má-ximo el valor económico de lo embar-cado:

1) Formule completamente elPPL utilizando la notaciónhabitual.

2) Resuelva la asignación óp-tima de las fracciones decargamento a embarcar encada bodega.

3) Suponga que los cargamen-tos son de sustancias quedeben transportarse en unambiente de presión, temperatura y humedad controladas y muy estrictas. Deseaminimizar el riesgo de que, por fallo en los sistemas de control del ambiente en lasbodegas, se pierda el cargamento embarcado en alguna de ellas. Para ello deseaminimizar el máximo valor embarcado en una bodega, al mismo tiempo que aseguraque al menos el 75 % de cada cargamento es embarcado. Especifique la forma com-pacta de este nuevo problema y encuentre la asignación óptima.

Un C-130 Hércules del Ala 31 del Destacamento Aero Táctico Mamba para Operación en Apoyo a Centroáfrica. (Fuente: EA)

193

SOLUCIÓN

Apartado 1)

FORMULACIÓN

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iB Bodegas, B = {1…, 8} jC Cargamentos, C = {1, 2…, 12}

2. DATOS pxi Peso máximo a cargar en la bodega i vxi Volumen máximo disponible en la bodega i pej Peso del cargamento j voj Volumen del cargamento j vaj Valor del cargamento j

3. VARIABLES Xij Fracción del cargamento j alojado en la bodega i

4. FORMA COMPACTA

Cj;Bi0X

BipxpeX

BivxvoX

Bi1X

.a.s

vaX

max

ij

ijCj

ij

ijCj

ij

Cjij

Bi Cjjij

Apartado 2)

Reparto

El aspecto de la hoja y del menú de Solver son los siguientes:


194


Apartado 3)


Bi75,0X

BipxpeX

BivxvoX

Bi1X

BiZXva

.a.sZ

min

Cjij

ijCj

ij

ijCj

ij

Cjij

Cjiji


194


Apartado 3)


Bi75,0X

BipxpeX

BivxvoX

Bi1X

BiZXva

.a.sZ

min

Cjij

ijCj

ij

ijCj

ij

Cjij

Cjiji

195

Una

pos

ible

sol

ució

n es

la s

igui

ente

:


196

6.2 Una primera aproximación al Plan de Acción del EA (1/SO/PLG) ENUNCIADO Suponga que tiene que planificar las horas de vuelo anuales que deben realizar seis escua-

drones dotados de diferentes tipos de aeronaves. Cada hora de vuelo supone un gasto en tres concep-

tos diferentes: mantenimiento, abastecimiento ycombustible, gastos cuyas cuantías dependen del tipode aeronave del que está dotado cada escuadrón. Latabla A muestra los datos de consumos en estos tresconceptos por los diferentes escuadrones (así comosu adscripción a las diferentes tareas básicas: caza,transporte y auxiliares).

Gasto en uds. monetarias por hora de vuelo Tabla A Mantenimiento Abastecimiento Combustible

Caza y Ataque

Escuadrón 11 18,2 12,5 0,605 Escuadrón 12 10,2 16,5 0,835

Trasporte Escuadrón 21 17,1 16,3 0,585 Escuadrón 22 18,9 17,0 0,680

Auxiliares Escuadrón 31 13,1 17,8 0,675 Escuadrón 32 11,8 12,5 0,595

Dado que se trata de conceptos presupuestarios diferentes, cada uno tiene una disposiciónde crédito distinto. La tabla B da las cantidades presupuestadas (en uds. monetarias) en losdiferentes conceptos y que no deberán ser sobrepasadas al hacer la planificación.

Tabla B Mantenimiento Abastecimiento Combustible Créditos disponibles 25 000 30 000 1 500

El Estado Mayor ha establecido una serie de criterios operativos básicos:

a) El número de horas de vuelo planificadas para los escuadrones de caza deben ser, almenos, el doble de las planificadas para las unidades de transporte.

b) El número de horas de vuelo planificadas para los escuadrones de caza deben ser, almenos, el triple de las planificadas para las unidades auxiliares.

c) El Escuadrón 11 debe tener planificadas, al menos, tantas horas de vuelo como elEscuadrón 12.

d) El número mínimo de horas de vuelo a realizar por los escuadrones para mantener laacreditación de los pilotos se da en la tabla C siguiente:

Tabla C Caza y ataque Trasporte Auxiliares Escuadrón 11 12 21 22 31 32

Horas mínimas 200 200 180 20 210 120


1) Haga una planificación que respete las restricciones presupuestarias y las restriccio-nes operativas, maximizando el número total de horas voladas por todos losescuadrones. Escriba la forma compacta.

2) Haga una planificación que respete las restricciones presupuestarias y las restriccio-nes operativas, minimizando los costes totales y realizando, en total, más de1 500 horas de vuelo. Escriba la forma compacta.

3) Haga una planificación que respete las restricciones presupuestarias y las restriccio-nes operativas, maximizando el mínimo número de horas de vuelo que reali-cen los escuadrones. Escriba la forma compacta.


196

6.2 Una primera aproximación al Plan de Acción del EA (1/SO/PLG) ENUNCIADO Suponga que tiene que planificar las horas de vuelo anuales que deben realizar seis escua-

drones dotados de diferentes tipos de aeronaves. Cada hora de vuelo supone un gasto en tres concep-

tos diferentes: mantenimiento, abastecimiento ycombustible, gastos cuyas cuantías dependen del tipode aeronave del que está dotado cada escuadrón. Latabla A muestra los datos de consumos en estos tresconceptos por los diferentes escuadrones (así comosu adscripción a las diferentes tareas básicas: caza,transporte y auxiliares).

Gasto en uds. monetarias por hora de vuelo Tabla A Mantenimiento Abastecimiento Combustible

Caza y Ataque

Escuadrón 11 18,2 12,5 0,605 Escuadrón 12 10,2 16,5 0,835

Trasporte Escuadrón 21 17,1 16,3 0,585 Escuadrón 22 18,9 17,0 0,680

Auxiliares Escuadrón 31 13,1 17,8 0,675 Escuadrón 32 11,8 12,5 0,595

Dado que se trata de conceptos presupuestarios diferentes, cada uno tiene una disposiciónde crédito distinto. La tabla B da las cantidades presupuestadas (en uds. monetarias) en losdiferentes conceptos y que no deberán ser sobrepasadas al hacer la planificación.

Tabla B Mantenimiento Abastecimiento Combustible Créditos disponibles 25 000 30 000 1 500

El Estado Mayor ha establecido una serie de criterios operativos básicos:

a) El número de horas de vuelo planificadas para los escuadrones de caza deben ser, almenos, el doble de las planificadas para las unidades de transporte.

b) El número de horas de vuelo planificadas para los escuadrones de caza deben ser, almenos, el triple de las planificadas para las unidades auxiliares.

c) El Escuadrón 11 debe tener planificadas, al menos, tantas horas de vuelo como elEscuadrón 12.

d) El número mínimo de horas de vuelo a realizar por los escuadrones para mantener laacreditación de los pilotos se da en la tabla C siguiente:

Tabla C Caza y ataque Trasporte Auxiliares Escuadrón 11 12 21 22 31 32

Horas mínimas 200 200 180 20 210 120


1) Haga una planificación que respete las restricciones presupuestarias y las restriccio-nes operativas, maximizando el número total de horas voladas por todos losescuadrones. Escriba la forma compacta.

2) Haga una planificación que respete las restricciones presupuestarias y las restriccio-nes operativas, minimizando los costes totales y realizando, en total, más de1 500 horas de vuelo. Escriba la forma compacta.

3) Haga una planificación que respete las restricciones presupuestarias y las restriccio-nes operativas, maximizando el mínimo número de horas de vuelo que reali-cen los escuadrones. Escriba la forma compacta.

197

SOLUCIÓN

Apartado 1)

FORMULACIÓN

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iE Escuadrones, E = {11, 12…, 32} jC Conceptos, C = {mantenimiento, abastecimiento, combustible}

2. DATOS pj Presupuesto máximo para el concepto j cij Consumo del escuadrón i en el concepto j hvmi Horas de vuelo mínimas a hacer por el escuadrón i

3. VARIABLES Xi Horas de vuelo programadas para el escuadrón i

4. FORMA COMPACTA

0XX

0X3X

0X2X

EihvmX

CjpcX

.a.s

X

max

1211

32,31ii

12,11ii

22,21ii

12,11ii

ii

jEi

iji

Eii



198

Apartado 2)

La forma compacta para el segundo apartado es la siguiente:

0XX

0X3X

0X2X

EihvmX

500.1X

.a.s

cX

min

1211

32,31ii

12,11ii

22,21ii

12,11ii

ii

Eii

Ei Cjiji



198

Apartado 2)

La forma compacta para el segundo apartado es la siguiente:

0XX

0X3X

0X2X

EihvmX

500.1X

.a.s

cX

min

1211

32,31ii

12,11ii

22,21ii

12,11ii

ii

Eii

Ei Cjiji


199

Apartado 3)

La forma compacta para el tercer apartado es la siguiente:

0XX

0X3X

0X2X

EihvmX

ZX

.a.sZ

max

1211

32,31ii

12,11ii

22,21ii

12,11ii

ii

Eii



200

6.3 Asignación de blancos (1/SO/PLE) ENUNCIADO Suponga que debe planificar el ataque de 7 plataformas aéreas (Av1…, Av7) contra 14 blan-

cos (B1…, B14). Las dos tablas que aparecen a continuación son las del tiempo total que tardaría cada pla-

taforma en realizar el ataque (contado en minutos, e incluidos los tiempos de recorrer la ru-ta de ida, el de realización del ataque y el de recorrer la ruta de vuelta) y el daño que cadaplataforma ocasionaría en cada blanco (expresado como un número que será mayor cuantomayor sea dicho daño).

Cada plataforma puede hacer un máximo de dos ataques contra otros tantos objetivos.

Ningún blanco puede ser atacado más de una vez.

Suponga que todas las plataformas comienzan el ataque en el mismo instante de tiempo yque el tiempo de preparación para la siguiente misión que pudiera tener que hacer cadaplataforma es de veinte minutos.

TIEMPO B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 Av1 51 89 87 62 98 74 89 81 66 90 54 93 83 97 Av2 71 71 65 78 98 53 54 77 100 89 62 53 84 70 Av3 57 70 80 64 99 98 72 72 77 54 62 54 100 78 Av4 87 87 79 62 62 83 66 56 60 83 71 58 86 89 Av5 77 92 62 72 87 86 51 67 66 85 53 93 54 80 Av6 70 92 91 75 60 70 91 79 70 58 91 74 87 70 Av7 62 93 98 88 85 75 60 95 97 87 84 86 61 78

DAÑO B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 Av1 4,90 2,81 2,87 4,03 2,55 3,38 2,81 3,09 3,79 2,78 4,63 2,69 3,01 2,58 Av2 3,52 3,52 3,85 3,21 2,55 4,72 4,63 3,25 2,50 2,81 4,03 4,72 2,98 3,57 Av3 4,39 3,57 3,13 3,91 2,53 2,55 3,47 3,47 3,25 4,63 4,03 4,63 2,50 3,21 Av4 2,87 2,87 3,16 4,03 4,03 3,01 3,79 4,46 4,17 3,01 3,52 4,31 2,91 2,81 Av5 3,25 2,72 4,03 3,47 2,87 2,91 4,90 3,73 3,79 2,94 4,72 2,69 4,63 3,13 Av6 3,57 2,72 2,75 3,33 4,17 3,57 2,75 3,16 3,57 4,31 2,75 3,38 2,87 3,57 Av7 4,03 2,69 2,55 2,84 2,94 3,33 4,17 2,63 2,58 2,87 2,98 2,91 4,10 3,21


1) Escriba la forma compacta del problema y deduzca una asignación de plataformas ablancos tal que el daño ocasionado sea el máximo posible y todos los avio-nes estén de vuelta en sus bases de partida antes de que transcurran 140minutos desde la partida.

2) ¿Cuál habría de ser el tiempo máximo de misión para que todos los blancosfueran atacados? Deduzca la forma compacta y resuelva la asignación.


200

6.3 Asignación de blancos (1/SO/PLE) ENUNCIADO Suponga que debe planificar el ataque de 7 plataformas aéreas (Av1…, Av7) contra 14 blan-

cos (B1…, B14). Las dos tablas que aparecen a continuación son las del tiempo total que tardaría cada pla-

taforma en realizar el ataque (contado en minutos, e incluidos los tiempos de recorrer la ru-ta de ida, el de realización del ataque y el de recorrer la ruta de vuelta) y el daño que cadaplataforma ocasionaría en cada blanco (expresado como un número que será mayor cuantomayor sea dicho daño).

Cada plataforma puede hacer un máximo de dos ataques contra otros tantos objetivos.

Ningún blanco puede ser atacado más de una vez.

Suponga que todas las plataformas comienzan el ataque en el mismo instante de tiempo yque el tiempo de preparación para la siguiente misión que pudiera tener que hacer cadaplataforma es de veinte minutos.

TIEMPO B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 Av1 51 89 87 62 98 74 89 81 66 90 54 93 83 97 Av2 71 71 65 78 98 53 54 77 100 89 62 53 84 70 Av3 57 70 80 64 99 98 72 72 77 54 62 54 100 78 Av4 87 87 79 62 62 83 66 56 60 83 71 58 86 89 Av5 77 92 62 72 87 86 51 67 66 85 53 93 54 80 Av6 70 92 91 75 60 70 91 79 70 58 91 74 87 70 Av7 62 93 98 88 85 75 60 95 97 87 84 86 61 78

DAÑO B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 Av1 4,90 2,81 2,87 4,03 2,55 3,38 2,81 3,09 3,79 2,78 4,63 2,69 3,01 2,58 Av2 3,52 3,52 3,85 3,21 2,55 4,72 4,63 3,25 2,50 2,81 4,03 4,72 2,98 3,57 Av3 4,39 3,57 3,13 3,91 2,53 2,55 3,47 3,47 3,25 4,63 4,03 4,63 2,50 3,21 Av4 2,87 2,87 3,16 4,03 4,03 3,01 3,79 4,46 4,17 3,01 3,52 4,31 2,91 2,81 Av5 3,25 2,72 4,03 3,47 2,87 2,91 4,90 3,73 3,79 2,94 4,72 2,69 4,63 3,13 Av6 3,57 2,72 2,75 3,33 4,17 3,57 2,75 3,16 3,57 4,31 2,75 3,38 2,87 3,57 Av7 4,03 2,69 2,55 2,84 2,94 3,33 4,17 2,63 2,58 2,87 2,98 2,91 4,10 3,21


1) Escriba la forma compacta del problema y deduzca una asignación de plataformas ablancos tal que el daño ocasionado sea el máximo posible y todos los avio-nes estén de vuelta en sus bases de partida antes de que transcurran 140minutos desde la partida.

2) ¿Cuál habría de ser el tiempo máximo de misión para que todos los blancosfueran atacados? Deduzca la forma compacta y resuelva la asignación.

201


1. ÍNDICES y CONJUNTOS iA Plataformas aéreas, A = {Av1…, Av7} jB Blancos a atacar, B = {B1…, B14}

2. DATOS tij Tiempo de misión de plataforma i contra blanco j dij Daño causado por plataforma i contra blanco j tM Tiempo máximo total para los ataques (tM = 120) nM Número máximo de ataques por plataforma (nM = 2)

3. VARIABLES Xij Binaria. Si plataforma i-ésima ataca a blanco j

4. FORMA COMPACTA

Bj;Ai1;0X

AittX

Ai1X

BjnX

.a.s

dX

max

ij

MBj

ijij

Bjij

MAi

ij

Ai Bjijij



202


Apartado 2) El problema sería ahora del tiempo minimax y habrá que modificar las restricciones. La

forma compacta sería ahora la siguiente:

Bj;Ai1;0X

AiZtX

Ai1X

BjnX

.a.sZ

min

ij

Bjijij

Bjij

MAi

ij



202


Apartado 2) El problema sería ahora del tiempo minimax y habrá que modificar las restricciones. La

forma compacta sería ahora la siguiente:

Bj;Ai1;0X

AiZtX

Ai1X

BjnX

.a.sZ

min

ij

Bjijij

Bjij

MAi

ij


203

6.4 Asignación de vuelos (1/SO/PLE) «Más y más lejos». Representa el espíritu de

la movilidad aérea, de acudir con más capacidad, más allá del estricto cumplimiento de la misión y por tanto con la máxima eficacia y entusiasmo y, final-mente, más lejos geográficamente a lo largo y ancho de todo el mundo. La Jefatura de Movilidad Aérea (JMOVA) es el órgano, bajo la directa dependencia del general jefe del Mando Aéreo de Combate (MA-COM), responsable de dirigir y coordinar el empleo operativo de los medios de transporte aéreo no transferidos al Mando de Transporte Aéreo Europeo (EATC) incluidos los VIP y de apoyo al despliegue del Ejército del Aire, promover la doctrina de empleo de estos y gestionar las necesidades de carácter logísti-co que se le planteen.

ENUNCIADO

Actualmente se encuentran, a punto de des-pegar, 6 aviones ligeros de transporte de personal en los que viajarán grupos de oficiales, gru-pos de diferente número de personas, que han realizado varias comisiones de servicio. Estos grupos partirán cada uno de una base diferente (Talavera, Matacán, Morón, etc.).

Los pasajeros de cada avión, aunque hayan partido de la misma base, tienen destinos finales diferentes (Gando, San Javier, Getafe, etc.) tal como figura en la tabla A siguiente:

Tabla A Destino

Avión Origen Gan

do

San

Javie

r

Geta

fe

Villa

nubla

Los l

lanos

C. V

ientos

Pasa

jeros

1 Talavera 35 12 16 38 5 2 108 2 Matacán 25 8 9 24 6 8 80 3 Morón 12 8 11 27 3 2 63 4 Zaragoza 38 15 14 30 2 9 108 5 Armilla 0 9 8 25 10 5 57 6 Son San Juan 0 0 0 14 6 7 27

Así, por ejemplo, en el avión n.º 1 partirá de Talavera con 108 pasajeros, de los que 35 de ellos tienen Gando como destino final; 12, San Javier, etc.

Su misión es asignar el destino final de estos vuelos dando la base (Gando, San Javier, etc.) en la que cada avión debe tomar tierra.


1) Suponga que desea transportar el mayor número posible de personas desde los orí-genes hasta sus destinos finales, asignando a cada avión un único destino y sin queen una base de destino pueda tomar más de un avión. Aquellos oficiales que no ten-gan el destino asignado a su vuelo como destino final, deberán viajar por otros me-dios de transporte. En definitiva, debe asignar los destinos finales para que elnúmero de oficiales que deban usar un segundo medio para llegar a su destino finalsea el mínimo posible. Escriba la forma compacta y resuelva la asignación.

2) Si no obliga a que todos los destinos reciban un único avión y permite la posibilidadde que en alguna de las bases tome más de un avión, ¿se mejoraría el número depersonas que es capaz de dejar en el origen al que se dirigen? Escriba la formacompacta y resuelva la asignación.


204

SOLUCIÓN

Apartado 1)

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iO Bases de partida, O = {Talavera…, Son San Juan} jD Bases de destino, D = {Gando…, C. Vientos}

2. DATOS oij Oficiales con partida en i y destino final en j

3. VARIABLES Xij Binaria. Con valor 1 si se asigna domo destino de i la base j

4. FORMA COMPACTA

Dj;Oi1;0X

Oi1X

Dj1X

.a.s

oX

max

ij

Djij

Oiij

Oi Djijij



204

SOLUCIÓN

Apartado 1)

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iO Bases de partida, O = {Talavera…, Son San Juan} jD Bases de destino, D = {Gando…, C. Vientos}

2. DATOS oij Oficiales con partida en i y destino final en j

3. VARIABLES Xij Binaria. Con valor 1 si se asigna domo destino de i la base j

4. FORMA COMPACTA

Dj;Oi1;0X

Oi1X

Dj1X

.a.s

oX

max

ij

Djij

Oiij

Oi Djijij


205

Apartado 2)

La formulación es idéntica al apartado anterior eliminando la restricción del número de llegadas a una base:

Dj;Oi1;0X

Dj1X

.a.s

oX

max

ij

Oiij

Oi Djijij


Las soluciones de ambos apartados son las siguientes:

Apartado 1 Apartado 2

Es decir, se mejora la solución en el segundo supuesto.


206

6.5 Asignación arma-blanco. Varias armas vs. un blanco (2/ST/PLE) ENUNCIADO Dispone de varias unidades de armas de cinco tipos diferentes (A1…, A5) que puede embar-

car en las plataformas aéreas con las que atacará un determinado objetivo.

Los datos relevantes de dichas armas son los siguientes:

Número máximo de unidades de cada tipo que puede embarcar, ni. Coste de cada unidad de arma tipo i, ci. Probabilidad de que una unidad del arma tipo i destruya el objetivo, pi.

Bajo el término coste se incluyen todos aquellos motivos que suponen una diferenciación para el atacante por la preferencia de uso de unas armas respecto a otras, por aquellos otros aspectos ajenos a la eficacia destructiva del arma sobre el objetivo concreto ahora considerado, y no solo los relativos al coste de adquisición del arma.

Para el objetivo actual los datos concretos son los de la tabla siguiente:

Tabla A TIPO DE ARMA A1 A2 A3 A4 A5

pi = 0,550 0,350 0,225 0,425 0,500 ci = 4 3 7 3 20 ni = 5 4 7 3 10

Imágenes: Paweway y GBU-24 (fuente www.commons.wikimedia.org).


1) Describa un modelo probabilístico para la probabilidad de destrucción del objetivo enfunción de la configuración de ataque elegida.

2) Escriba la forma compacta correspondiente y determine la configuración, óptima encoste, que logre una probabilidad de destrucción del objetivo superior al 99,95 %respetando la restricción del número de armas disponibles.

3) Analice tabular y gráficamente la variación de la probabilidad de destrucción del ob-jetivo en función del coste de la configuración elegida. Deduzca un modelo para es-timar la probabilidad de destrucción del objetivo en función del coste del armamentoempleado.


206

6.5 Asignación arma-blanco. Varias armas vs. un blanco (2/ST/PLE) ENUNCIADO Dispone de varias unidades de armas de cinco tipos diferentes (A1…, A5) que puede embar-

car en las plataformas aéreas con las que atacará un determinado objetivo.

Los datos relevantes de dichas armas son los siguientes:

Número máximo de unidades de cada tipo que puede embarcar, ni. Coste de cada unidad de arma tipo i, ci. Probabilidad de que una unidad del arma tipo i destruya el objetivo, pi.

Bajo el término coste se incluyen todos aquellos motivos que suponen una diferenciación para el atacante por la preferencia de uso de unas armas respecto a otras, por aquellos otros aspectos ajenos a la eficacia destructiva del arma sobre el objetivo concreto ahora considerado, y no solo los relativos al coste de adquisición del arma.

Para el objetivo actual los datos concretos son los de la tabla siguiente:

Tabla A TIPO DE ARMA A1 A2 A3 A4 A5

pi = 0,550 0,350 0,225 0,425 0,500 ci = 4 3 7 3 20 ni = 5 4 7 3 10

Imágenes: Paweway y GBU-24 (fuente www.commons.wikimedia.org).


1) Describa un modelo probabilístico para la probabilidad de destrucción del objetivo enfunción de la configuración de ataque elegida.

2) Escriba la forma compacta correspondiente y determine la configuración, óptima encoste, que logre una probabilidad de destrucción del objetivo superior al 99,95 %respetando la restricción del número de armas disponibles.

3) Analice tabular y gráficamente la variación de la probabilidad de destrucción del ob-jetivo en función del coste de la configuración elegida. Deduzca un modelo para es-timar la probabilidad de destrucción del objetivo en función del coste del armamentoempleado.

207

Apartado 1)

Si la probabilidad de que utilizando una unidad del arma tipo i destruyamos el objetivo es pi, la probabilidad de no destruirlo es qi = 1-pi.

Suponiendo siempre independencia entre los sucesos, la probabilidad de que lanzando Xi armas del tipo i el objetivo no sea destruido es entonces:

ii Xi

Xii

S qp1XP

La probabilidad de que no consigamos destruir el objetivo con una configuración de armamento dada por el vector X = {X1…, Xn}, iA (armas) es entonces:

Ai

Xi

Ai

Xi

S ii qp1P X

Para poder trabajar de manera que las expresiones queden linealizadas hacemos una transformación logarítmica sobre las probabilidades, de manera que:

Aiii

XAi

Xi

X

qlogXmaxqmini

i

i

Apartado 2)

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iA Tipo de arma, A = {A1…, A5}

2. DATOS: ni Número máximo de armas que puede embarcar del tipo i ci Coste de cada unidad de arma tipo i pi Probabilidad de que una unidad del arma tipo i destruya el objetivo U Umbral mínimo de destrucción linealizado, U = -log (0,9995)

3. VARIABLES Xi Número de armas embarcadas del tipo i

4. FORMA COMPACTA

AiX

qlogXAinX

.a.s

Xc

min

i

Aiii

ii

Aiii

U


208




208



209

Apartado 3)

Utilizando Solver Table maximizando la probabilidad de supervivencia sujeto a que el coste varía entre los valores máximo y mínimo posible, obtenemos la siguiente tabla de valores y la representación gráfica pedida.


210

Aprovechando la facilidad de Excel para ajustar modelos vemos como al tomar logarit-mos sobre la probabilidad de destrucción del objetivo este valor aparece como linealmente rela-cionado con el coste del armamento empleado.

El modelo es el siguiente:

CX 285,0S e5737,0PCon un coeficiente de determinación muy alto, lo cual indica que se trata de un modelo válido.


210

Aprovechando la facilidad de Excel para ajustar modelos vemos como al tomar logarit-mos sobre la probabilidad de destrucción del objetivo este valor aparece como linealmente rela-cionado con el coste del armamento empleado.

El modelo es el siguiente:

CX 285,0S e5737,0PCon un coeficiente de determinación muy alto, lo cual indica que se trata de un modelo válido.

211

6.6 Asignación arma-blanco. Varias armas vs. varios blancos (2/SO/PLE) ENUNCIADO Dispone de varias unidades de armas de cinco tipos (A1…, A5) que puede embarcar en una

plataforma aérea con la que atacará un conjunto de siete objetivos terrestres (B1,.., B7).

Algunas configuraciones de armas del Eurofighter (fuente: http://www.airrecognition.com)

Los datos relevantes de dichas armas (tabla A) son los siguientes: Probabilidad de que una unidad del arma tipo i destruya el objetivo j, pij

Número máximo total de unidades de cada tipo que puede embarcar, ni

Coste de cada unidad, ci

Bajo el término coste se incluyen todos aquellos motivos que suponen una diferenciación para el atacante por la preferencia de uso de unas armas respecto a otras por aquellos otros aspectos ajenos a la eficacia destructiva del arma sobre el objetivo concreto ahora considerado, no solo los relativos al coste de adquisición del arma.

Los datos relevantes para los objetivos (tabla A) son:

Valor táctico del objetivo (VTO), vj

Umbral de destrucción, Uj. Definido como la probabilidad mínima de destrucción queha de lograrse en el ataque

VTO (vj) 95 80 75 65 85 90 85 Umbral Destr. (UDj) = 0,990 0,950 0,900 0,950 0,990 0,900 0,990

Prob. Destr. (pij) B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 ni ci A1 0,445 0,415 0,325 0,450 0,440 0,250 0,350 10 45 A2 0,365 0,355 0,335 0,395 0,395 0,120 0,120 10 51

Tabla A A3 0,445 0,445 0,345 0,305 0,445 0,215 0,115 10 45 A4 0,375 0,340 0,345 0,445 0,390 0,100 0,100 8 50 A5 0,405 0,315 0,360 0,325 0,380 0,215 0,200 6 50


212

Los datos de la tabla A nos dan información como la siguiente:

La probabilidad de que lanzando una única arma del tipo A1 contra el primerobjetivo B1 se consiga destruirlo es 0,445

Del arma A5 puedo embarcar un máximo de 6 unidades El coste del arma A4 son 50 uds. monetarias por unidad empleada El objetivo B2 tiene un valor táctico de 80 unidades (de mérito) y debo ata-

carlo de manera que la probabilidad de destrucción lograda sea al menos del95 %

Etc.Realice las siguientes actividades:

1) Describa un modelo probabilístico que permita crear un índice de efectividad delataque, ponderando la probabilidad de destrucción de cada objetivo con su valor tác-tico.

2) ¿Es posible respetar la restricción relativa al número máximo de armas de cada tipoque puede embarcar en la plataforma y la consecución de los umbrales mínimos dedestrucción para todos los objetivos?

3) Sin respetar la restricción relativa al número máximo de armas de cada tipo quepuede embarcar, determine la configuración de armas que logre una probabilidadde destrucción superior al umbral dado para todos los objetivos, minimi-zando el coste del armamento empleado.

4) Sin respetar la restricción relativa al número máximo de armas de cada tipo quepuede embarcar, determine la configuración de armas que logre una probabilidadde destrucción superior al umbral dado para todos los objetivos, minimi-zando el número total de armas empleadas.

5) Sin respetar la restricción relativa al umbral mínimo de destrucción, determine laconfiguración óptima que logre maximizar la menor probabilidad de destruiralguno de los objetivos, con la restricción del número máximo de armasque es posible embarcar y que suponga un coste inferior a 2 000 unidadesmonetarias. Deduzca la cota máxima para dicho número relajando la condición deoptimalidad sobre la variable Xij.

6) Suponga que renuncia al ataque de todos los objetivos y selecciona solo un conjuntode ellos. Determine la configuración que logre maximizar el número de objetivosatacados, respetando la restricción del número máximo de armas que esposible embarcar y logrando los umbrales de destrucción de los objetivosatacados. Escriba la forma compacta.


212

Los datos de la tabla A nos dan información como la siguiente:

La probabilidad de que lanzando una única arma del tipo A1 contra el primerobjetivo B1 se consiga destruirlo es 0,445

Del arma A5 puedo embarcar un máximo de 6 unidades El coste del arma A4 son 50 uds. monetarias por unidad empleada El objetivo B2 tiene un valor táctico de 80 unidades (de mérito) y debo ata-

carlo de manera que la probabilidad de destrucción lograda sea al menos del95 %

Etc.Realice las siguientes actividades:

1) Describa un modelo probabilístico que permita crear un índice de efectividad delataque, ponderando la probabilidad de destrucción de cada objetivo con su valor tác-tico.

2) ¿Es posible respetar la restricción relativa al número máximo de armas de cada tipoque puede embarcar en la plataforma y la consecución de los umbrales mínimos dedestrucción para todos los objetivos?

3) Sin respetar la restricción relativa al número máximo de armas de cada tipo quepuede embarcar, determine la configuración de armas que logre una probabilidadde destrucción superior al umbral dado para todos los objetivos, minimi-zando el coste del armamento empleado.

4) Sin respetar la restricción relativa al número máximo de armas de cada tipo quepuede embarcar, determine la configuración de armas que logre una probabilidadde destrucción superior al umbral dado para todos los objetivos, minimi-zando el número total de armas empleadas.

5) Sin respetar la restricción relativa al umbral mínimo de destrucción, determine laconfiguración óptima que logre maximizar la menor probabilidad de destruiralguno de los objetivos, con la restricción del número máximo de armasque es posible embarcar y que suponga un coste inferior a 2 000 unidadesmonetarias. Deduzca la cota máxima para dicho número relajando la condición deoptimalidad sobre la variable Xij.

6) Suponga que renuncia al ataque de todos los objetivos y selecciona solo un conjuntode ellos. Determine la configuración que logre maximizar el número de objetivosatacados, respetando la restricción del número máximo de armas que esposible embarcar y logrando los umbrales de destrucción de los objetivosatacados. Escriba la forma compacta.

213

Apartado 1) Empezaremos dando los elementos que nos permitirá la posterior formulación del problema:

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iA Tipo de arma, A = {A1…, A5} jO Objetivo, O = {O1…, O6}

2. DATOS ni Número máximo de armas que se puede embarcar del tipo i ci Coste de cada unidad de arma tipo i pij Probabilidad de que una unidad del arma tipo i destruya el objetivo j vj Valor táctico del objetivo j Uj Umbral mínimo de destrucción del objetivo j

3. VARIABLES Xij Número de armas del tipo i con las que se atacará el objetivo j

El modelo probabilístico que describe los resultados del ataque es el siguiente:

Cada vez que lanzamos una determinada arma i contra un objetivo j, existe unaprobabilidad pij de que este quede destruido y una probabilidad complementariaqij = (1-pij) de que quede intacto.

Si lanzamos Xij armas tipo i contra un objetivo j, basta con que al menos unaacierte para que el objetivo quede destruido. La única forma de que el objetivoquede intacto, después de atacarlo con Xij armas del tipo i, es que todas ellas fa-llen. Para un determinado objetivo de tipo j, la probabilidad de que no consiga-mos destruirlo o probabilidad de supervivencia Pij

S (Xij) es entonces:

ijij Xij

Xijij

Sij qp1XP

La probabilidad de destruirlo (PijD) empleando solo armas Xij del tipo i es enton-

ces:

ijij Xij

Xijij

Sij

Dij q1p11XP1P

Un razonamiento análogo nos dice que si empleamos contra el objetivo j un con-junto de armas de los diferentes tipos, dado por el vector X = {X1j, X2j…, X5j}, ylos efectos de dichas armas son independientes entre sí, entonces la probabilidadde destruirlo es:

Ai

Xij

Dj

ijp11P

Un índice de la efectividad (destrucción causada) del ataque sobre todos los ob-jetivos existentes, ataque que queda definido por el vector X = {Xij}, se consigueponderando la probabilidad de destrucción de cada objetivo por el valor táctico vjde cada uno, y tendría la siguiente expresión:

Bj Ai

Xijj

Bj Ai

Xijj

Bjij

Djj

ijij q1vp11vXPvID

Para un atacante las expresiones siguientes son equivalentes:

No linealizado Linealizado

Maximizar Daño

Bj Ai

Xijj

X

ij

ij

q1vmax

Bj Ai

ijijjX

q1logXvminij

Minimizar Supervivencia

Bj Ai

Xijj

X

ij

ij

qvmin

Bj Ai

ijijj

X

qlogXvmaxij


214

Apartado 2)

Antes de resolver el problema crearemos en la hoja una estructura de datos haciendo lo siguiente:

I. Trasladamos a la hoja todos los datos del problema dados en la tabla A. II. Habilitamos los cálculos relativos a los logaritmos de las probabilidades

que nos permitirán tratar un problema que inicialmente no es lineal comouno que sí lo es.

III. Para tener la información en bruto añadimos los cálculos hechos sobre lasprobabilidades de destrucción conseguidas. Estos cálculos los usaremosúnicamente a efectos de información.

IV. Finalmente añadiremos los resúmenes del ataque y la descripción gráficade la solución obtenida.

El aspecto final de la hoja, en donde las variables de decisión toman valores igual a la unidad, es el siguiente:

El enunciado del apartado segundo es el siguiente:

¿Es posible respetar la restricción relativa al número máximo de armas de cada tipo quepuede embarcar en la plataforma y la consecución de los umbrales mínimos de destruc-ción para todos los objetivos?


214

Apartado 2)

Antes de resolver el problema crearemos en la hoja una estructura de datos haciendo lo siguiente:

I. Trasladamos a la hoja todos los datos del problema dados en la tabla A. II. Habilitamos los cálculos relativos a los logaritmos de las probabilidades

que nos permitirán tratar un problema que inicialmente no es lineal comouno que sí lo es.

III. Para tener la información en bruto añadimos los cálculos hechos sobre lasprobabilidades de destrucción conseguidas. Estos cálculos los usaremosúnicamente a efectos de información.

IV. Finalmente añadiremos los resúmenes del ataque y la descripción gráficade la solución obtenida.

El aspecto final de la hoja, en donde las variables de decisión toman valores igual a la unidad, es el siguiente:

El enunciado del apartado segundo es el siguiente:

¿Es posible respetar la restricción relativa al número máximo de armas de cada tipo quepuede embarcar en la plataforma y la consecución de los umbrales mínimos de destruc-ción para todos los objetivos?

215

FORMA COMPACTA

El enunciado no establece cuál ha de ser la función objetivo, de hecho, tal función no existe pues se trata de un problema de factibilidad en el que la exigencia radica en el cumpli-miento conjunto de las restricciones que imponen, simultáneamente, superar el umbral de des-trucción y respetar los stocks de armas existentes. La forma compacta, teórica, de este problema es la siguiente:

Bj;Ai

Bj

Ai

X

1log-Xp1log-

nX

.a.s

min

ij

jAi

ijij

iBj

ij

U

Dado que Solver exige que rellenemos el campo correspondiente a la celda a optimizar, consideraremos la función objetivo hacer mínimo el coste de las armas empleadas. La primera restricción impone que el número de armas de cada tipo que se empleen en el ataque no debe ser superior al máximo permitido; la segunda restricción es la linealización de la restricción, consecuencia de lograr sobre cada objetivo un umbral de destrucción superior el exigido; la ter-cera impone el carácter entero de la variable de decisión. Si intentamos resolver el problema:

Obtenemos el siguiente mensaje de Solver:

Es decir, el problema es irresoluble: con la restricción del número de armas es imposible lograr el objetivo de destrucción simultáneamente para todos los objeti-vos.


216

Apartado 3)

El enunciado del apartado es el siguiente:

Sin respetar la restricción relativa al número máximo de armas de cada tipo que puedeembarcar, determine la configuración de armas que logre una probabilidad de destruc-ción superior al umbral dado para todos los objetivos, minimizando el coste del arma-mento empleado.

La forma compacta es, pues, la siguiente:

Bj;AiX

Bj1log-Xp1log-

.a.s

Xc

min

ij

jAi

ijij

Bj Aiiji

U


Es decir, la configuración óptima en coste que conseguiría los objetivos de destrucción en todos los objetivos supondría usar 26 unidades del arma A1 y 28 del arma A3, a un coste to-tal de 2 430 unidades monetarias.


216

Apartado 3)


Sin respetar la restricción relativa al número máximo de armas de cada tipo que puedeembarcar, determine la configuración de armas que logre una probabilidad de destruc-ción superior al umbral dado para todos los objetivos, minimizando el coste del arma-mento empleado.


Bj;AiX

Bj1log-Xp1log-

.a.s

Xc

min

ij

jAi

ijij

Bj Aiiji

U


Es decir, la configuración óptima en coste que conseguiría los objetivos de destrucción en todos los objetivos supondría usar 26 unidades del arma A1 y 28 del arma A3, a un coste to-tal de 2 430 unidades monetarias.

217


Apartado 4)

El enunciado del apartado es el siguiente: Sin respetar la restricción relativa al número máximo de armas de cada tipo que puede

embarcar, determine la configuración de armas que logre una probabilidad de destruc-ción superior al umbral dado para todos los objetivos, minimizando el número total dearmas empleadas.


Bj;AiX

Bj1log-Xp1log-

.a.s

X

min

ij

jAi

ijij

Ai Bjij

U


218

El r

esul

tado

del

apa

rtad

o 4

es e

l sig

uien

te:

Es d

ecir,

no

cons

egui

mos

min

imiz

ar e

l nú

mer

o to

tal d

e ar

mas

em

plea

das

y ob

tene

mos

una

sol

ució

n qu

e im

plic

a un

may

or c

oste

de

las

arm

as e

mpl

eada

s en

el a

taqu

e.


218

El r

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a un

may

or c

oste

de

las

arm

as e

mpl

eada

s en

el a

taqu

e.

219

Apartado 5)


Sin respetar la restricción relativa al umbral mínimo de destrucción, determine la configu-ración óptima que logre maximizar la menor probabilidad de destruir alguno de los obje-tivos, con la restricción del número máximo de armas que es posible embarcar y quesuponga un coste inferior a 2 000 unidades monetarias. Deduzca la cota máxima para di-cho número relajando la condición de optimalidad sobre la variable Xij.

Se trata de un problema minimax, cuya forma compacta es la siguiente:

ij

Ai Bjiji

Aiijij

iBj

ij

X

Xc

ZXp1log-

nX

.a.sZ

max

C



220

Apartado 6)


Suponga que renuncia al ataque de todos los objetivos y selecciona solo un conjunto deellos. Determine la configuración que logre maximizar el número de objetivos atacados,respetando la restricción del número máximo de armas que es posible embarcar y lo-grando los umbrales de destrucción de los objetivos atacados. Escriba la forma compac-ta.

Para resolver este apartado es necesario introducir una nueva variable de decisión, de manera que el apartado de la forma compacta relativo a las variables de decisión quedaría aho-ra de la forma siguiente:

VARIABLES Xij Entera. Número de armas tipo i con las que se atacará el objetivo j Yj Binaria. Con valor 1 si el objetivo j es atacado

Y la forma compacta del problema sería la siguiente:

1;0Y

X

YX

Y1log-Xp1log-

nX

.a.s

Y

max

j

ij

jBj

ij

jjAi

ijij

iAi

ij

Bjj

M

U

El aspecto de la hoja sería el siguiente:


220

Apartado 6)


Suponga que renuncia al ataque de todos los objetivos y selecciona solo un conjunto deellos. Determine la configuración que logre maximizar el número de objetivos atacados,respetando la restricción del número máximo de armas que es posible embarcar y lo-grando los umbrales de destrucción de los objetivos atacados. Escriba la forma compac-ta.

Para resolver este apartado es necesario introducir una nueva variable de decisión, de manera que el apartado de la forma compacta relativo a las variables de decisión quedaría aho-ra de la forma siguiente:

VARIABLES Xij Entera. Número de armas tipo i con las que se atacará el objetivo j Yj Binaria. Con valor 1 si el objetivo j es atacado

Y la forma compacta del problema sería la siguiente:

1;0Y

X

YX

Y1log-Xp1log-

nX

.a.s

Y

max

j

ij

jBj

ij

jjAi

ijij

iAi

ij

Bjj

M

U

El aspecto de la hoja sería el siguiente:

221

El r

esul

tado

del

apa

rtad

o 6

es e

l sig

uien

te:

Es d

ecir,

ata

cand

o lo

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uno

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peta

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ricci

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da t

ipo

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eada

s en

el a

taqu

e.


222

6.7 Configuración de una plataforma aérea (1/SO/PLE) ENUNCIADO Una gran plataforma atacante puede portar 6 tipos diferentes de armas. Debido a la dispo-

sición de los anclajes externos de la plataforma, las armas solo pueden ser embarcadas enla plataforma de alguna de las 6 diferentes configuraciones que aparecen en la tabla si-guiente:

Tabla A Config1 Config2 Config3 Config4 Config5 Config6 Daño (por

unidad) Peso (kg por

unidad) Arma 1 0 2 4 5 6 8 42 650 Arma 2 0 3 5 8 11 14 49 735 Arma 3 0 3 6 8 9 12 60 900 Arma 4 0 3 6 9 12 15 56 840 Arma 5 0 3 5 8 10 13 53 795 Arma 6 0 1 4 7 10 11 33 495

Por ejemplo, para el arma 1, puede elegir: no adosar ninguna unidad (Config1), adosar 2 (Config2), 4 (Config3), etc.; sin embargo, no puede elegir llevar exactamente 3 unidades porque tal posibilidad no está presente en ninguna de las 6 configuraciones posibles del ar-ma 1.

Cada unidad embarcada en la plataforma produce un daño diferente sobre el objetivo se-gún su tipo (daño medido mediante un índice numérico de 0 a 100 por unidad embarcada,con 100 como el valor más alto posible) y tiene también un peso diferente, característicasque figuran también en la tabla A.

Otras restricciones son que el peso máximo que puede transportar la plataforma es de30 000 kg y que el número máximo de armas individuales que puede transportar es de 40.

Panoplia que pude portar el AV-8B Harrier (Fuente www.armada.mde.es)


1) Dar la configuración óptima de la plataforma (eligiendo una configuración de embar-que para cada arma), que respete las restricciones anteriores en cuanto al númeromáximo de unidades y el peso máximo embarcado y cause el mayor daño posible.Escribir la forma compacta del problema.


222

6.7 Configuración de una plataforma aérea (1/SO/PLE) ENUNCIADO Una gran plataforma atacante puede portar 6 tipos diferentes de armas. Debido a la dispo-

sición de los anclajes externos de la plataforma, las armas solo pueden ser embarcadas enla plataforma de alguna de las 6 diferentes configuraciones que aparecen en la tabla si-guiente:

Tabla A Config1 Config2 Config3 Config4 Config5 Config6 Daño (por

unidad) Peso (kg por

unidad) Arma 1 0 2 4 5 6 8 42 650 Arma 2 0 3 5 8 11 14 49 735 Arma 3 0 3 6 8 9 12 60 900 Arma 4 0 3 6 9 12 15 56 840 Arma 5 0 3 5 8 10 13 53 795 Arma 6 0 1 4 7 10 11 33 495

Por ejemplo, para el arma 1, puede elegir: no adosar ninguna unidad (Config1), adosar 2 (Config2), 4 (Config3), etc.; sin embargo, no puede elegir llevar exactamente 3 unidades porque tal posibilidad no está presente en ninguna de las 6 configuraciones posibles del ar-ma 1.

Cada unidad embarcada en la plataforma produce un daño diferente sobre el objetivo se-gún su tipo (daño medido mediante un índice numérico de 0 a 100 por unidad embarcada,con 100 como el valor más alto posible) y tiene también un peso diferente, característicasque figuran también en la tabla A.

Otras restricciones son que el peso máximo que puede transportar la plataforma es de30 000 kg y que el número máximo de armas individuales que puede transportar es de 40.

Panoplia que pude portar el AV-8B Harrier (Fuente www.armada.mde.es)


1) Dar la configuración óptima de la plataforma (eligiendo una configuración de embar-que para cada arma), que respete las restricciones anteriores en cuanto al númeromáximo de unidades y el peso máximo embarcado y cause el mayor daño posible.Escribir la forma compacta del problema.

223

SOLUCIÓN

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iA Tipo de arma, A = {A1…, A6} jC Configuración, C = {C1…, C6}

2. DATOS cij Unidades del arma i en la configuración j (Tabla A) nM Número máximo de armas que puede embarcar la plataforma pi Peso unitario del arma del tipo i di Daño casusa por cada unidad embarcada del tipo i

3. VARIABLES Xij Binaria. Valor 1 si para el arma i-ésima se elige la configuración j

4. FORMA COMPACTA

Bj;Ai1;0X

nXc

pXp

Ai1X

.a.s

Xd

min

ij

MAi Cj

ijij

MAi Cj

ijij

Cjij

Ai Cjijij

El aspecto de la hoja y del menú del Solver sería parecido al siguiente:


224



224


225

6.8 Secuenciación de misiones aéreas (2/OS/PLE) ENUNCIADO

Durante un período de veinticuatro horas debe asignar una serie de misiones aéreas de diferentes tipos a sus plataformas ofensivas. La tabla A da los datos de cada tipo de misión:

Misión: El tipo de misión de que se trata (1…,10)

Valor: Un índice de la utilidad obtenida para el atacante cuando se ejecuta lamisión

Ejecución: Horas que tarda en completarse la misión

Recuperación: Horas que han de transcurrir hasta que la plataforma está ope-rativa de nuevo y en condiciones de realizar cualquier otra misión

Máximas/mínimas: Número máximo y mínimo de misiones de cada tipo querequiere la campaña aérea durante el período de veinticuatro horas

Tabla A Misión 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Valor 13 12 13 11 10 12 14 14 10 11

Ejecución 4 3 5 4 4 4 4 3 3 4 Recuperación 3 4 3 3 5 4 5 4 2 4

Máximas 34 35 27 32 24 29 21 12 14 15 Mínimas 1 2 2 3 5 3 3 3 2 2

Una restricción que debe respetar a toda costa es que al finalizar el período de ejecución de veinticuatro horas, todas las plataformas deben estar preparadas para realizar una nueva misión.

Dispone de 35 plataformas aéreas ofensivas a las que durante un período de veinticua-tro horas puede asignar una, o varias, de estas misiones.


1) Disponga la hoja para que se pueda conocer, dada una posible solución, el número de mi-siones realizadas, el porcentaje de las realizadas sobre el máximo posible, el número de ho-ras involucradas en el total de las operaciones (ejecución y recuperación) y el porcentaje deocupación respecto al tiempo total disponible (24 h x 25 plataformas).

2) Determine una asignación de misiones a las plataformas que sea óptima en el sentido deque se maximice el valor total logrado con las plataformas disponibles, respetando los tiem-pos de ejecución y recuperación y dejando, al final del período, todas las plataformas encondiciones de ser asignadas a una nueva misión.

3) ¿Cuál es el número máximo de horas que puede operarse (incluidos los tiempos de ejecu-ción y recuperación)?

4) Suponga ahora que las 35 plataformas disponibles son de 4 tipos (A, B, C y D) y que cadatipo de plataforma solo puede realizar determinadas misiones según se recoge en la tabla B(el valor 1 indica que el tipo indicado puede realizar la misión correspondiente).

Tabla B Misiones (j) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Plataformas

Tipo

A 1 1 1 1 1 a 11 B 1 1 1 1 12 a 17 C 1 1 18 a 27 D 1 1 1 1 1 28 a 35


226

SOLUCIÓN

Apartados 1) y 2)

Describimos en primer lugar la formulación del problema

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iP Plataforma, P = {P1…, P35} jM Misión, M = {M1…, M10}

2. DATOS vj Valor obtenido al realizar la misión j ej Horas de ejecución de la misión j rj Horas de recuperación tras realizar la misión j uj Número mínimo de misiones tipo j de la campaña sj Número máximo de misiones tipo j de la campaña

3. VARIABLES Xij Entera. Número de misiones tipo j asignadas a la plataforma i

4. FORMA COMPACTA

Bj;AiX

PiuX

PisX

Pi24reX

.a.s

Xv

min

ij

jMj

ij

jMj

ij

Mjjjij

Pi Mjijj

La función objetivo hace referencia al valor total logrado por las misiones realizadas; la primera restricción impone que la duración de las fases de ejecución y recuperación de las mi-siones asignadas a cada plataforma no supere la duración máxima de 24 h.; la segunda y terce-ra establecen los límites máximos y mínimos sobre las misiones de cada tipo a realizar.

Para una configuración de la campaña dada por el vector X de elementos Xij, el resu-men podría ser el siguiente (se han asignado misiones al azar solo a las dos primeras platafor-mas):


226

SOLUCIÓN

Apartados 1) y 2)

Describimos en primer lugar la formulación del problema

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iP Plataforma, P = {P1…, P35} jM Misión, M = {M1…, M10}

2. DATOS vj Valor obtenido al realizar la misión j ej Horas de ejecución de la misión j rj Horas de recuperación tras realizar la misión j uj Número mínimo de misiones tipo j de la campaña sj Número máximo de misiones tipo j de la campaña

3. VARIABLES Xij Entera. Número de misiones tipo j asignadas a la plataforma i

4. FORMA COMPACTA

Bj;AiX

PiuX

PisX

Pi24reX

.a.s

Xv

min

ij

jMj

ij

jMj

ij

Mjjjij

Pi Mjijj

La función objetivo hace referencia al valor total logrado por las misiones realizadas; la primera restricción impone que la duración de las fases de ejecución y recuperación de las mi-siones asignadas a cada plataforma no supere la duración máxima de 24 h.; la segunda y terce-ra establecen los límites máximos y mínimos sobre las misiones de cada tipo a realizar.

Para una configuración de la campaña dada por el vector X de elementos Xij, el resu-men podría ser el siguiente (se han asignado misiones al azar solo a las dos primeras platafor-mas):

227

Los ratios de ocupación y realización son el cociente entre las horas totales asignadas a las plataformas y las horas máximas del período y el cociente entre el número total de misiones asignadas y el número máximo de misiones de la campaña:

La solución para el segundo apartado es la siguiente:

El resumen de la asignación es:


228

El ratio de ocupación es muy alto, ya que se emplean en la campaña prácticamente el total de horas disponibles:

El resumen gráfico de la asignación es el siguiente:


228

El ratio de ocupación es muy alto, ya que se emplean en la campaña prácticamente el total de horas disponibles:

El resumen gráfico de la asignación es el siguiente:

229

Apartado 3)

Si la función objetivo pasa de ser el valor obtenido por las misiones realizadas al núme-ro de horas de campaña, la solución que obtenemos es la siguiente:

Supone una mejora en el ratio de ocupación, que pasa del 98,7 % al 99,4 % a costa de disminuir el valor de las misiones realizadas (de 1 471 a 1 323).


230

Apartado 4) Lo más sencillo es reproducir, dividiendo según su tipo, el número de misiones realiza-

das y los límites de misiones mínimas y máximas para cada tipo de plataforma. La solución ob-tenida es la siguiente:


230

Apartado 4) Lo más sencillo es reproducir, dividiendo según su tipo, el número de misiones realiza-

das y los límites de misiones mínimas y máximas para cada tipo de plataforma. La solución ob-tenida es la siguiente:

231

El resumen es el siguiente:


232

6.9 Planificación de vuelos (2/SO/PLE) La Jefatura de Movilidad Aérea, bajo la directa depen-

dencia del general jefe del MACOM, es el órgano responsable de dirigir y coordinar el empleo operativo de los medios de transporte aéreo no transferidos al Mando de Transporte Aé-reo Europeo (EATC). Asimismo, es el encargado de la coordi-nación del transporte multimodal en el ámbito de la logística operativa del MACOM.

ENUNCIADO Como responsable de una sección de la Jefatura de

Movilidad Aérea (JMOBA), debe planificar la realización de 11 vuelos entre cinco bases aéreas. Estos vuelos aparecen en la tabla siguiente:

Nº Vuelo Nº Vuelo 1 Zaragoza a Getafe 7 Morón a Talavera 2 Zaragoza a Torrejón 8 Torrejón a Zaragoza 3 Zaragoza a Talavera 9 Torrejón a Morón 4 Getafe a Morón 10 Talavera a Zaragoza 5 Getafe a Zaragoza 11 Talavera a Getafe 6 Morón a Torrejón

Las distancias aproximadas (en km) entre estas bases son las siguientes:

Getafe Torrejón Morón Talavera Zaragoza 340 315 760 703

Getafe 34 473 366 Torrejón 496 400

Morón 278

Para realizar los 11 vuelos dispone de solo 3 aviones. Estos aviones pueden encadenarviajes, así una secuencia (Zaragoza-Getafe-Morón) supondría completar los vuelos 1 y4 en un solo día, haciendo 2 saltos (un salto por cada base en la que se toma tierra).Ninguna secuencia puede repetir base, excepto la de salida, que ha de coincidir con lade llegada del último salto.

El tiempo total de una secuencia encadenada de varios vuelos puede calcularse comola suma de los tiempos parciales (entre cada origen y cada destino parcial que con-forman el vuelo) cada uno calculado mediante la expresión siguiente:

60D35,050T D,OD,O

Siendo D(O;D) la distancia entre origen y destino según la tabla anterior.

Las restricciones operativas imponen tres condiciones sobre la distancia máxima deuna secuencia de vuelo, el número máximo de saltos y el tiempo máximo de duracióndel vuelo completo, en los términos siguientes:

Distancia máxima (dm): 1 800 km Saltos máximos (sm): 4 Tiempo máximo (tm): 15 horas


1) Compruebe si es posible realizar los 11 vuelos con las 3 aeronaves disponibles cum-pliendo las restricciones operativas. En caso afirmativo, determine las secuencias deorigen y destino para los vuelos de los tres aviones.

2) Compruebe si existe una solución factible en la que en ninguna ruta se hagan másde 3 saltos.


232

6.9 Planificación de vuelos (2/SO/PLE) La Jefatura de Movilidad Aérea, bajo la directa depen-

dencia del general jefe del MACOM, es el órgano responsable de dirigir y coordinar el empleo operativo de los medios de transporte aéreo no transferidos al Mando de Transporte Aé-reo Europeo (EATC). Asimismo, es el encargado de la coordi-nación del transporte multimodal en el ámbito de la logística operativa del MACOM.

ENUNCIADO Como responsable de una sección de la Jefatura de

Movilidad Aérea (JMOBA), debe planificar la realización de 11 vuelos entre cinco bases aéreas. Estos vuelos aparecen en la tabla siguiente:

Nº Vuelo Nº Vuelo 1 Zaragoza a Getafe 7 Morón a Talavera 2 Zaragoza a Torrejón 8 Torrejón a Zaragoza 3 Zaragoza a Talavera 9 Torrejón a Morón 4 Getafe a Morón 10 Talavera a Zaragoza 5 Getafe a Zaragoza 11 Talavera a Getafe 6 Morón a Torrejón

Las distancias aproximadas (en km) entre estas bases son las siguientes:

Getafe Torrejón Morón Talavera Zaragoza 340 315 760 703

Getafe 34 473 366 Torrejón 496 400

Morón 278

Para realizar los 11 vuelos dispone de solo 3 aviones. Estos aviones pueden encadenarviajes, así una secuencia (Zaragoza-Getafe-Morón) supondría completar los vuelos 1 y4 en un solo día, haciendo 2 saltos (un salto por cada base en la que se toma tierra).Ninguna secuencia puede repetir base, excepto la de salida, que ha de coincidir con lade llegada del último salto.

El tiempo total de una secuencia encadenada de varios vuelos puede calcularse comola suma de los tiempos parciales (entre cada origen y cada destino parcial que con-forman el vuelo) cada uno calculado mediante la expresión siguiente:

60D35,050T D,OD,O

Siendo D(O;D) la distancia entre origen y destino según la tabla anterior.

Las restricciones operativas imponen tres condiciones sobre la distancia máxima deuna secuencia de vuelo, el número máximo de saltos y el tiempo máximo de duracióndel vuelo completo, en los términos siguientes:

Distancia máxima (dm): 1 800 km Saltos máximos (sm): 4 Tiempo máximo (tm): 15 horas


1) Compruebe si es posible realizar los 11 vuelos con las 3 aeronaves disponibles cum-pliendo las restricciones operativas. En caso afirmativo, determine las secuencias deorigen y destino para los vuelos de los tres aviones.

2) Compruebe si existe una solución factible en la que en ninguna ruta se hagan másde 3 saltos.

233

SOLUCIÓN

Apartado 1) Necesitará, en primer lugar, deducir algunas secuencias de vuelos posibles para crear

una matriz binaria aij (de cobertura) con valor 1 si el vuelo i está incluido en la secuencia j. Algunas secuencias posibles

Secuencia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 Zaragoza a Getafe 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 Zaragoza a Torrejón 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 3 Zaragoza a Talavera 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 4 Getafe a Morón 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 5 Getafe a Zaragoza 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 6 Morón a Torrejón 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 7 Morón a Talavera 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 8 Torrejón a Zaragoza 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 9 Torrejón a Morón 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0

10 Talavera a Zaragoza 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 11 Talavera a Getafe 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1

A partir de esta matriz, para facilitar los cálculos, creamos la matriz dij en la que apare-cen las distancias origen-destino de cada uno de los vuelos que componen las secuencias ante-riores.

Secuencia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 Zaragoza a Getafe 340 340 340 340 2 Zaragoza a Torrejón 315 315 315 315 3 Zaragoza a Talavera 703 703 703 703 4 Getafe a Morón 473 473 473 473 473 5 Getafe a Zaragoza 340 340 340 340 6 Morón a Torrejón 496 496 496 7 Morón a Talavera 278 278 278 278 278 8 Torrejón a Zaragoza 315 315 315 315 9 Torrejón a Morón 496 496 496

10 Talavera a Zaragoza 703 703 703 703 11 Talavera a Getafe 366 366 366 366 366


1. ÍNDICES y CONJUNTOS iV Vuelos a realizar, V = {1…, 11} jS Secuencias posibles, S = {1…, 12}

2. DATOS dij Distancia del vuelo i, incluido en la secuencia j dm Distancia máxima de una secuencia de vuelos sm Máximo número de saltos de una secuencia de vuelos tm Tiempo máximo de vuelo de una secuencia

3. VARIABLES Yj Binaria. Con valor 1 si se realiza la secuencia j


234

4. FORMA COMPACTA

Sj1;0Y

Vi1Ya

Sjt6050Yd35,0

SjdYda

Sjs1Ya

3Y

.a.s

Y

min

j

Sjjij

mVi

jij

mVi

jijij

mVi

jij

Sjj

Sjj

La función objetivo pretende minimizar el número de vuelos necesarios. La primera restricción impone la condición de que únicamente se pueden utilizar

tres aviones (uno para cada secuencia de vuelos). La segunda limita en número de saltos a la cifra sm (saltos máximos). La tercera impone la condición de que ninguna secuencia cuya distancia acumu-

lada sea mayor que dm (distancia máxima) sea posible. La cuarta restricción impone la condición de que el tiempo total empleado sea in-

ferior al tiempo máximo tm. La quinta impone la condición de que se realicen todos los vuelos.



234

4. FORMA COMPACTA

Sj1;0Y

Vi1Ya

Sjt6050Yd35,0

SjdYda

Sjs1Ya

3Y

.a.s

Y

min

j

Sjjij

mVi

jij

mVi

jijij

mVi

jij

Sjj

Sjj

La función objetivo pretende minimizar el número de vuelos necesarios. La primera restricción impone la condición de que únicamente se pueden utilizar

tres aviones (uno para cada secuencia de vuelos). La segunda limita en número de saltos a la cifra sm (saltos máximos). La tercera impone la condición de que ninguna secuencia cuya distancia acumu-

lada sea mayor que dm (distancia máxima) sea posible. La cuarta restricción impone la condición de que el tiempo total empleado sea in-

ferior al tiempo máximo tm. La quinta impone la condición de que se realicen todos los vuelos.


235

Una posible solución con un máximo de cuatro saltos (secuencia 10) sería la siguiente:

Apartado 2)

Es posible encontrar una solución con tres saltos como máximo:


236

6.10 Ataque a un objetivo con defensas desconocidas (2/SO/PLE)

C.15 perteneciente al Escuadrón 151 del Ala 15 (fuente http://aerochifladuras.blogspot.com.es)

ENUNCIADO

Ha de diseñar la composición de una fuerza de ataque a un objetivo terrestre del que, aunque se sabe que está fuertemente defendido, se desconoce el tipo exacto de las defensas antiaéreas que lo protegen.

Dispone de cinco tipos diferentes de aeronaves de ataque (Av1…, Av5) que presen-tan diferentes vulnerabilidades a las posibles defensas desplegadas (AAA1…, AAA4) yque, por la naturaleza del armamento que transportan, pueden causar diferentesdaños en los objetivos.

Para evaluar unos y otros —el daño causado al objetivo y el daño recibido por partede la fuerza de ataque—, se usan como índices números enteros (que van del 0 parael valor nulo, hasta el 15 para el valor máximo) que se ofrecen como datos del pro-blema.

Para formar la fuerza de ataque dispone de un máximo de 40 aviones que puedenser de cualquier tipo.

Las tablas del daño causado y el daño recibido para las combinaciones de loscinco tipos de aeronaves de que dispone para formar la fuerza y los cinco tipos posi-bles de defensas antiaéreas desplegadas son las siguientes:

Tabla A Daño recibido en la fuerza propia

Daño causado en el objetivo

AAA1 AAA2 AAA3 AAA4 AAA1 AAA2 AAA3 AAA4 Av1 2 8 1 2 5 10 4 3 Av2 2 7 6 7 3 8 7 12 Av3 0 10 4 3 7 2 5 5 Av4 12 2 4 2 8 4 2 5 Av5 5 0 8 8 5 3 1 2


1) Escriba las formas compactas de los cuatro problemas que se describen a continua-ción.

2) Diseñe una fuerza de ataque que haga mínimo el máximo daño recibido.

3) Diseñe una fuerza de ataque que haga máximo el mínimo daño causado.

4) Suponga que asigna igual probabilidad al despliegue de las cuatro defensas, diseñeuna fuerza de ataque que haga máxima la diferencia entre daño esperado causa-do y daño esperado recibido.

5) Diseñe una fuerza de ataque que haga máxima la diferencia entre el mínimo dañocausado y el máximo daño recibido.


236

6.10 Ataque a un objetivo con defensas desconocidas (2/SO/PLE)

C.15 perteneciente al Escuadrón 151 del Ala 15 (fuente http://aerochifladuras.blogspot.com.es)

ENUNCIADO

Ha de diseñar la composición de una fuerza de ataque a un objetivo terrestre del que, aunque se sabe que está fuertemente defendido, se desconoce el tipo exacto de las defensas antiaéreas que lo protegen.

Dispone de cinco tipos diferentes de aeronaves de ataque (Av1…, Av5) que presen-tan diferentes vulnerabilidades a las posibles defensas desplegadas (AAA1…, AAA4) yque, por la naturaleza del armamento que transportan, pueden causar diferentesdaños en los objetivos.

Para evaluar unos y otros —el daño causado al objetivo y el daño recibido por partede la fuerza de ataque—, se usan como índices números enteros (que van del 0 parael valor nulo, hasta el 15 para el valor máximo) que se ofrecen como datos del pro-blema.

Para formar la fuerza de ataque dispone de un máximo de 40 aviones que puedenser de cualquier tipo.

Las tablas del daño causado y el daño recibido para las combinaciones de loscinco tipos de aeronaves de que dispone para formar la fuerza y los cinco tipos posi-bles de defensas antiaéreas desplegadas son las siguientes:

Tabla A Daño recibido en la fuerza propia

Daño causado en el objetivo

AAA1 AAA2 AAA3 AAA4 AAA1 AAA2 AAA3 AAA4 Av1 2 8 1 2 5 10 4 3 Av2 2 7 6 7 3 8 7 12 Av3 0 10 4 3 7 2 5 5 Av4 12 2 4 2 8 4 2 5 Av5 5 0 8 8 5 3 1 2


1) Escriba las formas compactas de los cuatro problemas que se describen a continua-ción.

2) Diseñe una fuerza de ataque que haga mínimo el máximo daño recibido.

3) Diseñe una fuerza de ataque que haga máximo el mínimo daño causado.

4) Suponga que asigna igual probabilidad al despliegue de las cuatro defensas, diseñeuna fuerza de ataque que haga máxima la diferencia entre daño esperado causa-do y daño esperado recibido.

5) Diseñe una fuerza de ataque que haga máxima la diferencia entre el mínimo dañocausado y el máximo daño recibido.

237


1. ÍNDICES y CONJUNTOS iA Tipo de plataforma aérea, A = {Av1…, Av5} jD Tipo de defensa antiaérea, D = {AAA1…, AAA4}

2. DATOS rij Daño recibido por un avo tipo i enfrentado a un sistema tipo j cij Daño causado por un avo tipo i enfrentado a un sistema tipo j am Máximo número de plataformas utilizadas

3. VARIABLES Z Auxiliar. Minimax o maximin Ur Auxiliar. Máximo daño recibido Uc Auxiliar. Máximo daño causado Xi Número de aeronaves de cada tipo que componen el ataque

Minimizar el máximo daño recibido:

AiX

DjZrX

aX

.a.sZ

min

i

Aiiji

mAi

i

Maximizar el mínimo daño causado:

AiX

DjZcX

aX

.a.sZ

min

i

Aiiji

mAi

i

Maximizar la diferencia daño esperado causado-daño esperado recibido:

AiX

aX

.a.s

rcX

max

i

mAi

i

Ai Djijiji


238

Maximizar la diferencia entre el mínimo daño causado y el máximo daño recibido:

AiX

DjUrX

DjUcX

aX

.a.sUU

max

i

cAi

iji

cAi

iji

mAi

i

rc

Apartado 2) Minimizar el máximo daño recibido. El aspecto de Solver sería el siguiente:



238

Maximizar la diferencia entre el mínimo daño causado y el máximo daño recibido:

AiX

DjUrX

DjUcX

aX

.a.sUU

max

i

cAi

iji

cAi

iji

mAi

i

rc

Apartado 2) Minimizar el máximo daño recibido. El aspecto de Solver sería el siguiente:


239

Apartado 3)

Maximizar el mínimo daño causado. El aspecto de Solver sería el siguiente:



240

Apartado 4) Maximizar la diferencia daño esperado causado-daño esperado recibido. El aspecto de Solver sería el siguiente:



240

Apartado 4) Maximizar la diferencia daño esperado causado-daño esperado recibido. El aspecto de Solver sería el siguiente:


241

Apartado 5) Maximizar la diferencia daño esperado causado menos daño esperado recibido.




242

Podemos apreciar que las soluciones de los cuatro apartados son muy diferentes:


242

Podemos apreciar que las soluciones de los cuatro apartados son muy diferentes:

243

6.11 Decisiones con criterio basado en la prudencia (2/SO/PLE) ENUNCIADO

Suponga la situación definida en los términos genéricos siguientes:

Existe un conjunto de D líneas posibles de defensa (D1…, Dn) para defender unaserie de objetivos terrestres y un conjunto A de líneas de ataque aéreo (A1…, Am)a dichos objetivos.

El atacante debe elegir una única línea de ataque y el defensor una única líneade defensa.

Para cada combinación (i, j) de línea de defensa iD y línea de ataque jA so-mos capaces de determinar dos valores:

dij Definido como el daño causado por el atacante en el total de los objetivos cuando se dan la línea de ataque j y la línea de defensa i.

aij Definido como la atrición que sufren los medios aéreos cuando se dan la línea de ataque j y la línea de defensa i.

Estos dos valores son positivos, con valores más grandes cuanto mayor es lamagnitud del daño causado o la atrición sufrida.

Si se actúa como atacante, se desconoce la línea de defensa que habrá elegido eldefensor y viceversa; si se actúa como defensor, se desconoce la línea de ataqueque habrá elegido el atacante.


1) Suponga que únicamente considera uno de los dos factores (daño o atrición) a lavez. Determine la forma en que deben expresarse los objetivos, tanto si actúa comodefensor, como si lo hace como atacante, cuando su criterio de decisión se base enla prudencia (minimax o maximin).

2) Exprese la forma compacta de los cuatro problemas anteriores.

3) Resuelva para el caso de que existan 5 objetivos y 4 posibles líneas de ataque y am-bos índices fueran los que aparecen en las dos tablas siguientes:

Daño recibido A1 A2 A3 A4

D1 45 74 26 16 D2 80 39 18 47 D3 28 16 21 34 D4 66 78 82 84 D5 43 82 42 22

Atrición causada A1 A2 A3 A4

D1 33 26 23 57 D2 82 47 52 82 D3 52 75 18 20 D4 61 22 53 63 D5 77 34 26 30


El comportamiento prudente, en las cuatro circunstancias posibles, se describe de la forma siguiente:

ATACANTE DEFENSOR

DAÑO EN LOS

OBJETIVOS

Elegir la línea de ataque que haga máximo el mínimo daño en los

objetivos, independientemente de la actuación del defensor.

Elegir la línea de defensa que haga mínimo el máximo daño en los

objetivos, independientemente de la actuación del atacante.

ATRICIÓN EN LOS

MEDIOS AÉREOS

Elegir la línea de ataque que haga mínima la máxima atrición en los medios aéreos, independientemente

de la actuación del defensor.

Elegir la línea de defensa que haga máxima la mínima atrición en los medios aéreos, independientemente

de la actuación del atacante.


244

Apartado 2)

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iD Línea de defensa i, D = {D1…, D5} jA Línea de ataque, A = {A1…, A4}

2. DATOS dij Daño para la combinación ij aij Atrición para la combinación ij

3. VARIABLES ZDD Auxiliar. Relacionada con la linealización en el caso defensor/daño ZDA Auxiliar. Con la linealización en el caso defensor/atrición ZAD Auxiliar. Con la linealización en el caso atacante/daño ZAA Auxiliar. Con la linealización en el caso atacante/atrición XDi Bin. 1 si el defensor, respecto al daño, elige la línea de defensa i XAi Bin. 1 si el defensor, respecto a la atrición, elige la línea de defensa i YDj Bin. 1 si el atacante, respecto al daño, elige la línea de ataque j YAj Bin. 1 si el atacante, respecto a la atrición, elige la línea de ataque j

4. FORMA(S) COMPACTA(S)

ATACANTE DEFENSOR

DAÑO EN LOS

OBJETIVOS

Elegir la línea de ataque que haga máxi-mo el mínimo daño en los objetivos, in-dependientemente de la actuación del defensor.

Aj1;0YD

DiZdYD

1YD

.a.sZ

max

j

ADAj

ijj

Ajj

AD

Elegir la línea de defensa que haga míni-mo el máximo daño en los objetivos, in-dependientemente de la actuación del atacante.

Di1;0XD

AjZdXD

1XD

.a.sZ

min

i

DDDi

iji

Dii

DD

ATRICIÓN EN LOS

MEDIOS AÉREOS

Elegir la línea de ataque que haga mínima la máxima atrición en los medios aé-reos, independientemente de la actuación del defensor.

Aj1;0YA

DiZaYA

1YA

.a.sZ

min

j

AAAj

ijj

Ajj

AA

Elegir la línea de defensa que haga má-xima la mínima atrición en los medios aéreos, independientemente de la actua-ción del atacante.

Di1;0XA

AjZaXA

1XA

.a.sZ

max

i

DADi

iji

Dii

DA


244

Apartado 2)

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iD Línea de defensa i, D = {D1…, D5} jA Línea de ataque, A = {A1…, A4}

2. DATOS dij Daño para la combinación ij aij Atrición para la combinación ij

3. VARIABLES ZDD Auxiliar. Relacionada con la linealización en el caso defensor/daño ZDA Auxiliar. Con la linealización en el caso defensor/atrición ZAD Auxiliar. Con la linealización en el caso atacante/daño ZAA Auxiliar. Con la linealización en el caso atacante/atrición XDi Bin. 1 si el defensor, respecto al daño, elige la línea de defensa i XAi Bin. 1 si el defensor, respecto a la atrición, elige la línea de defensa i YDj Bin. 1 si el atacante, respecto al daño, elige la línea de ataque j YAj Bin. 1 si el atacante, respecto a la atrición, elige la línea de ataque j

4. FORMA(S) COMPACTA(S)

ATACANTE DEFENSOR

DAÑO EN LOS

OBJETIVOS

Elegir la línea de ataque que haga máxi-mo el mínimo daño en los objetivos, in-dependientemente de la actuación del defensor.

Aj1;0YD

DiZdYD

1YD

.a.sZ

max

j

ADAj

ijj

Ajj

AD

Elegir la línea de defensa que haga míni-mo el máximo daño en los objetivos, in-dependientemente de la actuación del atacante.

Di1;0XD

AjZdXD

1XD

.a.sZ

min

i

DDDi

iji

Dii

DD

ATRICIÓN EN LOS

MEDIOS AÉREOS

Elegir la línea de ataque que haga mínima la máxima atrición en los medios aé-reos, independientemente de la actuación del defensor.

Aj1;0YA

DiZaYA

1YA

.a.sZ

min

j

AAAj

ijj

Ajj

AA

Elegir la línea de defensa que haga má-xima la mínima atrición en los medios aéreos, independientemente de la actua-ción del atacante.

Di1;0XA

AjZaXA

1XA

.a.sZ

max

i

DADi

iji

Dii

DA

245

Apartado 3)

ATACANTE DAÑO

EN LOS OBJETIVOS

Elegir la línea de ataque que haga máximo el mínimo daño en los ob-jetivos, independientemente de la actuación del defensor.

Forma compacta

Aj1;0YD

DiZdYD

1YD

.a.sZ

max

j

ADAj

ijj

Ajj

AD

Menú de Solver

Resultado


246

ATACANTE ATRICIÓN

EN LOS MEDIOS AÉREOS

Elegir la línea de ataque que haga mínima la máxima atrición en los medios aéreos, independientemente de la actuación del defensor.

Forma compacta

Aj1;0YA

DiZaYA

1YA

.a.sZ

min

j

AAAj

ijj

Ajj

AA

Menú de Solver

Resultado


246

ATACANTE ATRICIÓN


Elegir la línea de ataque que haga mínima la máxima atrición en los medios aéreos, independientemente de la actuación del defensor.

Forma compacta

Aj1;0YA

DiZaYA

1YA

.a.sZ

min

j

AAAj

ijj

Ajj

AA

Menú de Solver

Resultado

247

DEFENSOR DAÑO

EN LOS OBJETIVOS

Elegir la línea de defensa que haga mínimo el máximo daño en los obje-tivos, independientemente de la actuación del atacante.

Forma compacta

Di1;0XD

AjZdXD

1XD

.a.sZ

min

i

DDDi

iji

Dii

DD

Menú de Solver

Resultado


248

DEFENSOR ATRICIÓN


Elegir la línea de defensa que haga máxima la mínima atrición en los medios aéreos, independientemente de la actuación del atacante.

Forma compacta

Di1;0XA

AjZaXA

1XA

.a.sZ

max

i

DADi

iji

Dii

DA

Menú de Solver

Resultado


248

DEFENSOR ATRICIÓN


Elegir la línea de defensa que haga máxima la mínima atrición en los medios aéreos, independientemente de la actuación del atacante.

Forma compacta

Di1;0XA

AjZaXA

1XA

.a.sZ

max

i

DADi

iji

Dii

DA

Menú de Solver

Resultado

249

6.12 Ataque con condiciones lógicas_1 (2/SO/PLE) ENUNCIADO

Ha de determinar el número de plataformas aéreas ofensivas con las que atacará un conjunto de 10 objetivos terrestres (OB1…, OB10) bajo las siguientes condicionantes operati-vas:

Para cada objetivo conoce su valor táctico (VTO, un índice entero que es mayor cuantomás importante es la destrucción de dicho objetivo), el número mínimo (min) y máximo(max) de plataformas aéreas que pueden realizar el ataque al objetivo:

OBJ1 OBJ2 OBJ3 OBJ4 OBJ5 OBJ6 OBJ7 OBJ8 OBJ9 OBJ10 VTO 59 65 74 69 79 64 59 59 70 54 Min 3 3 2 4 2 2 4 1 1 1 Max 9 9 6 12 6 6 12 3 3 3

Para llevar a cabo el ataque dispone de un máximo de 24 plataformas idénticas. El VTOes acumulativo por plataformas atacantes: si ataca OBJ1 con 9 plataformas, obtendrá unVTO total de 9,59 puntos.

Deben cumplirse, en todo caso, las siguientes relaciones:a) OBJ6 puede atacarse o no, excepto en el caso en el que se ataquen bien OBJ1

bien OBJ4 o bien ambos, en cuyo caso también debe atacarse OBJ6.b) OBJ9 puede atacarse o no, excepto en el caso en el que no se ataquen ni OBJ1

ni OBJ2, en cuyo caso tampoco se debe atacar OBJ9.c) OBJ5 puede atacarse o no, excepto en el caso en el que se ataque OBJ8, en

cuyo caso debe atacarse obligatoriamente.d) OBJ10 puede atacarse o no, excepto en el caso en el que se ataquen conjun-

tamente OBJ3 y OBJ8, en cuyo caso también debe atacarse OBJ10.Realice las siguientes actividades:

1) Escriba la forma compacta del problema para determinar el número de plataformasque deberá atacar cada objetivo, respetando las restricciones en cuanto al númeromáximo y mínimo de plataformas y las cuatro restricciones lógicas (a…, d) para ma-ximizar el valor táctico logrado en el ataque.

2) Determine la composición del ataque y el valor táctico logrado para un número va-riable de plataformas ofensivas comprendido entre 12 y 30.

Fuente: STANAG 2887.


250


Definiremos en primer lugar los elementos necesarios para formular el problema:

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iO Objetivos, O = {O1…, O10}

2. DATOS amin

i Número mínimo de plataformas que deberán usarse sobre i amax

i Número máximo de plataformas que deberán usarse sobre i Vi Valor táctico del objetivo i n Número máximo de plataformas

3. VARIABLES Xi Plataformas que atacarán el objetivo i i Binaria. Valor 1 si el objetivo i-ésimo es atacado

Antes de escribir la forma compacta del problema derivaremos las restricciones lógicas sobre el ataque a los diferentes objetivos, usaremos la notación pi para referirnos al predicado lógico simple «se ataca el objetivo i-ésimo».

a) OBJ6 puede atacarse o no, excepto en el caso en el que se ataquen bien OBJ1bien OBJ4 o bien ambos, en cuyo caso también debe atacarse OBJ6.La restricción corresponde a una implicación del tipo (p1p4) → p6 que resolvemos mediantela reducción a forma normal conjuntiva del predicado compuesto:

6461

641

641

641

ppppppp

pppppp

Introducimos las variables binarias definidas en la formulación anterior y deducimos las res-tricciones lineales individuales:

11:

11:

64

61

2

1

RR

b) OBJ9 puede atacarse o no, excepto en el caso en el que no se ataquen ni OBJ1 niOBJ2, en cuyo caso tampoco se debe atacar OBJ9.

921

921

921

921

pppppp

pppppp

Es decir:

11: 9213 R

c) OBJ5 puede atacarse o no, excepto en el caso en el que se ataque OBJ8, en cuyocaso debe atacarse obligatoriamente.

5858 pppp

Es decir: 0:11pp 855858 4R


250


Definiremos en primer lugar los elementos necesarios para formular el problema:


2. DATOS amin

i Número mínimo de plataformas que deberán usarse sobre i amax

i Número máximo de plataformas que deberán usarse sobre i Vi Valor táctico del objetivo i n Número máximo de plataformas

3. VARIABLES Xi Plataformas que atacarán el objetivo i i Binaria. Valor 1 si el objetivo i-ésimo es atacado

Antes de escribir la forma compacta del problema derivaremos las restricciones lógicas sobre el ataque a los diferentes objetivos, usaremos la notación pi para referirnos al predicado lógico simple «se ataca el objetivo i-ésimo».

a) OBJ6 puede atacarse o no, excepto en el caso en el que se ataquen bien OBJ1bien OBJ4 o bien ambos, en cuyo caso también debe atacarse OBJ6.La restricción corresponde a una implicación del tipo (p1p4) → p6 que resolvemos mediantela reducción a forma normal conjuntiva del predicado compuesto:

6461

641

641

641

ppppppp

pppppp

Introducimos las variables binarias definidas en la formulación anterior y deducimos las res-tricciones lineales individuales:

11:

11:

64

61

2

1

RR

b) OBJ9 puede atacarse o no, excepto en el caso en el que no se ataquen ni OBJ1 niOBJ2, en cuyo caso tampoco se debe atacar OBJ9.

921

921

921

921

pppppp

pppppp

Es decir:

11: 9213 R

c) OBJ5 puede atacarse o no, excepto en el caso en el que se ataque OBJ8, en cuyocaso debe atacarse obligatoriamente.

5858 pppp

Es decir: 0:11pp 855858 4R

251

d) OBJ10 puede atacarse o no, excepto en el caso en el que se ataquen conjunta-mente OBJ3 y OBJ8, en cuyo caso también debe atacarse OBJ10.

111:

pppppp

ppp

1038

1038

1038

1038

5R

Cuando, como es este caso, se utilizan dos grupos variables de decisión que están rela-cionadas es necesario hacerlas compatibles añadiendo las restricciones que hagan que su de-finición sea coherente. En caso contrario, podríamos encontrarnos con que algún Xi es mayor que cero siendo i o viceversa, que siendo j igual a uno el valor de Xj sea cero.

La manera en que relacionamos ambas variables es forzando que se cumpla el siguiente predicado compuesto:

OBJiAtacoNO

ii

OBJiAtaco

iiii 00X10X10X

Lo que hacemos añadiendo las siguientes restricciones que fuerzan a que ambas varia-

bles sean consistentes en sus valores:

minamenosalEnvio

maxii

minimax

ii

minii

Ataco

i

splataformaenvioNo

ii

i

imaxii

iminii

atacoNo

i

imaxii

iminii

aXaaX

aX1

0X0X0X

aX

aX0

aXaX

En definitiva, la forma compacta del problema es la siguiente:

OiXOi1;0OiaXOiaX

24X010000

.a.s

VX

max

i

i

maxiii

miniii

Oii

1083

58

921

46

16

Oiii


252

El aspecto de Solver con la solución al primer apartado sería el siguiente:

Apartado 2) Utilizando Solver Table obtenemos los siguientes resultados:

Apreciamos que determinados objetivos no serían atacados en ningún caso, otros, lo se-rían siempre, independientemente del número de plataformas de que dispusiéramos, y otros se atacarían solo para determinados valores del número de plataformas disponibles.


252

El aspecto de Solver con la solución al primer apartado sería el siguiente:

Apartado 2) Utilizando Solver Table obtenemos los siguientes resultados:

Apreciamos que determinados objetivos no serían atacados en ningún caso, otros, lo se-rían siempre, independientemente del número de plataformas de que dispusiéramos, y otros se atacarían solo para determinados valores del número de plataformas disponibles.

253

6.13 Ataque con condiciones lógicas_2 (3/SO/PLE) ENUNCIADO

Se encuentra en una situación en la que dispone de un número, desconocido a priori, de plataformas aéreas con las que deberá atacar un conjunto de 9 blancos (T1…, T9) que se ha-yan defendidos por un conjunto de 4 sistemas de defensa (D1…, D4) según el esquema descri-to en la figura siguiente:

Para poder atacar un blanco debe destruir previamente las defensas que lo protegen. La tabla siguiente muestra qué blancos están defendidos por cada defensa:

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 D1 D2 D3 D4 D1 Si Si Si mj 2 3 2 4 D2 Si Si Si D3 Si Si Si D4 Si Si Si

VTOi 88 75 95 100 79 71 120 62 50 mi 2 3 2 1 2 1 1 3 1 ni 6 9 6 3 6 3 3 9 3

En la tabla también aparece para cada blanco su valor táctico (VTOi, un índice entero que es mayor cuanto más importante es la destrucción de dicho objetivo), y el número mínimo necesario (m) y máximo posible (n) de plataformas aéreas que debe emplear para destruir ca-da blanco y cada defensa. El VTOi es acumulable en los blancos, ya que se añade dicha canti-dad al mérito total del ataque por cada plataforma que ataque el objetivo i-ésimo que supere el mínimo necesario (mi) y no sea superior al máximo posible (ni).


1) Determine un plan de ataque para el caso de que disponga, finalmente, de un nú-mero de plataformas aéreas comprendido entre 2 y 59. Para cada caso determinequé defensas, qué blancos y con qué cantidad de plataformas debe atacar cada unode ellos para maximizar la suma de los valores tácticos de los blancos atacados. Es-criba la forma compacta del problema.


254

SOLUCIÓN


1. ÍNDICES y CONJUNTOS iT Blancos a atacar, T = {T1…, T9} jD Defensas, D = {D1…, D4}

2. DATOS VTOi Valor táctico del blanco i mi Número mínimo de plataformas necesarias para atacar el blanco i mj Número mínimo de plataformas necesarias para destruir la defensa j ni Número máximo de plataformas para atacar el blanco i n Número de plataformas disponibles totales para el ataque

3. VARIABLES Xi Entera. Plataformas con las que se ataca el blanco i j Binaria. Valor 1 si se destruye la defensa j i Binaria. Valor 1 si se puede atacar el blanco i

4. FORMA COMPACTA

Dj;Ti1;01;0

ZX5

Dj;Ti04

Tk;Dj,i0100

3

nX2

TinX

1MmX1

.a.s

VTOX

max

j

i

i

ij

jik

kj

ki

Tiii

iii

iii

Tiii

5. EXPLICACIÓNEl primer bloque de restricciones establece los umbrales para el número de plataformas

con las que es posible atacar un blanco en función del valor de la variable de decisión i que de-termina si es posible atacarlo (porque sus defensas han sido destruidas) o no:

iiii

iiiiiii nXm1

0X00nX1Mm

El segundo bloque, con una única restricción, se refiere el número máximo de platafor-mas que pueden componer el ataque. Nótese que mientras que para los blancos la variable que determina el número de plataformas atacantes es Xi, para las defensas este número será siem-pre del de plataformas mínimas necesarias para destruirlo.


254

SOLUCIÓN


1. ÍNDICES y CONJUNTOS iT Blancos a atacar, T = {T1…, T9} jD Defensas, D = {D1…, D4}

2. DATOS VTOi Valor táctico del blanco i mi Número mínimo de plataformas necesarias para atacar el blanco i mj Número mínimo de plataformas necesarias para destruir la defensa j ni Número máximo de plataformas para atacar el blanco i n Número de plataformas disponibles totales para el ataque

3. VARIABLES Xi Entera. Plataformas con las que se ataca el blanco i j Binaria. Valor 1 si se destruye la defensa j i Binaria. Valor 1 si se puede atacar el blanco i

4. FORMA COMPACTA

Dj;Ti1;01;0

ZX5

Dj;Ti04

Tk;Dj,i0100

3

nX2

TinX

1MmX1

.a.s

VTOX

max

j

i

i

ij

jik

kj

ki

Tiii

iii

iii

Tiii

5. EXPLICACIÓNEl primer bloque de restricciones establece los umbrales para el número de plataformas

con las que es posible atacar un blanco en función del valor de la variable de decisión i que de-termina si es posible atacarlo (porque sus defensas han sido destruidas) o no:

iiii

iiiiiii nXm1

0X00nX1Mm

El segundo bloque, con una única restricción, se refiere el número máximo de platafor-mas que pueden componer el ataque. Nótese que mientras que para los blancos la variable que determina el número de plataformas atacantes es Xi, para las defensas este número será siem-pre del de plataformas mínimas necesarias para destruirlo.

255

El tercer bloque se refiere a aquellos blancos k defendidos por dos defensas i, j y se de-duce de la lógica que implica que «el blanco k puede ser atacado si la defensa i y la j han sido destruidas», cuyo predicado es:

kji Del que, al convertirlo a su forma normal conjuntiva, se deducen las tres restricciones li-

neales:

0100

jik

kj

ki

FNCkji

El cuarto bloque contiene una única restricción y se refiere a aquellos blancos j defendi-dos por solo una defensa j, y se deduce de la lógica que implica que «el blanco j puede ser ata-cado si la defensa i ha sido destruida», cuyo predicado es:

ji Que por la vía de la FNC se convierte en una única restricción lineal:

0kiFNC

ji

El último bloque declara la naturaleza de las variables. El aspecto de la hoja de Solver, y la solución para un número máximo de 12 plataformas, es el siguiente:


256

Para resolver el problema es necesario recurrir a Solver Table:

La evolución del mérito total logrado en función del número de plataformas disponibles es la si-guiente:

El plan exacto aparece descrito en la tabla de la página siguiente.


256

Para resolver el problema es necesario recurrir a Solver Table:

La evolución del mérito total logrado en función del número de plataformas disponibles es la si-guiente:

El plan exacto aparece descrito en la tabla de la página siguiente.

257

Plan de ataque a las defensas y a los objetivos en función del número de plataformas disponibles

D1 D2 D3 D4 T3 T4 T7 T1 T2 T5 T6 T8 T9 Avos Mérito 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 3 88 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 4 176 2 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 5 264 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 6 326 2 0 0 0 0 0 0 3 2 0 0 0 0 7 414 2 0 0 0 0 0 0 3 3 0 0 0 0 8 489 2 0 0 0 0 0 0 3 4 0 0 0 0 9 564 2 0 0 0 0 0 0 3 5 0 0 0 0 10 639 2 0 0 0 0 0 0 3 6 0 0 0 0 11 714 0 0 2 4 0 0 6 0 0 0 0 0 0 12 720 0 0 2 4 0 0 6 0 0 0 0 0 1 13 770 0 0 2 4 0 0 6 0 0 0 0 0 2 14 820 0 0 2 4 0 0 6 0 0 0 0 3 0 15 906 0 0 2 4 0 0 6 0 0 0 0 4 0 16 968 0 0 2 4 0 0 6 0 0 0 0 5 0 17 1.030 2 0 2 4 4 0 6 0 0 0 0 0 0 18 1.100 2 0 2 4 5 0 6 0 0 0 0 0 0 19 1.195 2 0 2 4 6 0 6 0 0 0 0 0 0 20 1.290 2 0 2 4 6 0 6 1 0 0 0 0 0 21 1.378 2 0 2 4 6 0 6 2 0 0 0 0 0 22 1.466 2 0 2 4 6 0 6 3 0 0 0 0 0 23 1.554 0 3 2 4 0 9 6 0 0 0 0 0 0 24 1.620 2 0 2 4 6 0 6 3 2 0 0 0 0 25 1.704 2 0 2 4 6 0 6 3 3 0 0 0 0 26 1.779 0 3 2 4 0 9 6 0 0 3 0 0 0 27 1.857 2 0 2 4 6 0 6 3 5 0 0 0 0 28 1.929 2 0 2 4 6 0 6 3 6 0 0 0 0 29 2.004 0 3 2 4 0 9 6 0 0 3 3 0 0 30 2.070 2 0 2 4 6 0 6 3 5 0 0 3 0 31 2.115 2 0 2 4 6 0 6 3 6 0 0 3 0 32 2.190 2 3 2 4 6 9 6 1 0 0 0 0 0 33 2.278 2 3 2 4 6 9 6 2 0 0 0 0 0 34 2.366 2 3 2 4 6 9 6 3 0 0 0 0 0 35 2.454 2 3 2 4 6 9 6 3 0 1 0 0 0 36 2.533 2 3 2 4 6 9 6 3 0 2 0 0 0 37 2.612 2 3 2 4 6 9 6 3 0 3 0 0 0 38 2.691 2 3 2 4 6 9 6 3 2 2 0 0 0 39 2.762 2 3 2 4 6 9 6 3 2 3 0 0 0 40 2.841 2 3 2 4 6 9 6 3 3 3 0 0 0 41 2.916 2 3 2 4 6 9 6 3 4 3 0 0 0 42 2.991 2 3 2 4 6 9 6 3 5 3 0 0 0 43 3.066 2 3 2 4 6 9 6 3 6 3 0 0 0 44 3.141 2 3 2 4 6 9 6 3 6 3 1 0 0 45 3.212 2 3 2 4 6 9 6 3 6 3 2 0 0 46 3.283 2 3 2 4 6 9 6 3 6 3 3 0 0 47 3.354 2 3 2 4 6 9 6 3 6 3 3 0 1 48 3.404 2 3 2 4 6 9 6 3 6 3 3 0 2 49 3.454 2 3 2 4 6 9 6 3 6 3 3 3 0 50 3.540 2 3 2 4 6 9 6 3 6 3 3 4 0 51 3.602 2 3 2 4 6 9 6 3 6 3 3 5 0 52 3.664 2 3 2 4 6 9 6 3 6 3 3 6 0 53 3.726 2 3 2 4 6 9 6 3 6 3 3 7 0 54 3.788 2 3 2 4 6 9 6 3 6 3 3 8 0 55 3.850 2 3 2 4 6 9 6 3 6 3 3 9 0 56 3.912 2 3 2 4 6 9 6 3 6 3 3 9 1 57 3.962 2 3 2 4 6 9 6 3 6 3 3 9 2 58 4.012 2 3 2 4 6 9 6 3 6 3 3 9 3 59 4.062 2 3 2 4 6 9 6 3 6 3 3 9 3 59 4.062


258

6.14 Ataque a varios objetivos (2/SO/PLE)

En algún momento el A-10 fue considerado como alternativa al F-5. Recreación de http://aerochifladuras.blogspot.com.es

ENUNCIADO

Ha de diseñar la composición de una fuerza de ataque a un conjunto de 4 objetivos te-rrestres en las siguientes condiciones:

Dispone de 3 tipos diferentes de aviones (A1, A2 y A3) cuyos consumos de combustible(en litros por milla) y dotación máxima de cada tipo disponible para el ataque se danen la tabla A.

Debe atacar un conjunto de 4 objetivos (O1, O2, O3 y O4) cuyas características son: dis-tancia (en millas) a la base de la que partirá el ataque (Dis); probabilidad de destruircada objetivo por el ataque de un único avión, según su tipo (Pkill). Finalmente se da,para cada objetivo, un umbral mínimo de destrucción (Uj). Todas estas característicasvienen dadas en la tabla B.

Tabla A Tipo Avo

Consumo (litros/milla)

Dotación máxima (Avos)

A1 12,2 20 A2 10,8 25 A3 9,7 20

Tabla B

Dis

Pkill (según Avo) Umbral de destrucción

(Uj) Objetivo A1 A2 A3 O1 100 0,433 0,220 0,360 80% O2 120 0,373 0,353 0,327 75% O3 150 0,520 0,207 0,507 95% O4 135 0,247 0,333 0,360 99%

Para la operación dispone de un máximo de 30 000 litros de combustible.


1) Escriba la forma compacta del PPL y determine la composición del ataque (indicandocuántos aviones de cada tipo han de atacar a qué objetivos) para minimizar elnúmero de aviones necesarios, asegurando una probabilidad de destrucción decada objetivo superior al umbral (Uj) establecido en los datos y respetando tanto lalimitación de combustible como la del número máximo de plataformas de cada tipo aemplear.

2) Igual que el anterior, pero para maximizar la probabilidad de destruir el obje-tivo cuya destrucción sea la más improbable.

3) Suponga ahora que, en vez de salir desde una única base, sus aviones pueden partirde cualquiera de las tres bases (B1, B2 y B3) que su coalición dispone en el teatrode operaciones. Responda al apartado 1 anterior, estableciendo desde qué baseshan de partir los ataques. La matriz de distancias de estas bases a los objetivos vie-ne dada en la tabla C:

Tabla C Distancia (millas) Objetivo B1 B2 B3

O1 90 110 105 O2 125 90 95 O3 105 115 105 O4 135 109 105


258

6.14 Ataque a varios objetivos (2/SO/PLE)

En algún momento el A-10 fue considerado como alternativa al F-5. Recreación de http://aerochifladuras.blogspot.com.es

ENUNCIADO

Ha de diseñar la composición de una fuerza de ataque a un conjunto de 4 objetivos te-rrestres en las siguientes condiciones:

Dispone de 3 tipos diferentes de aviones (A1, A2 y A3) cuyos consumos de combustible(en litros por milla) y dotación máxima de cada tipo disponible para el ataque se danen la tabla A.

Debe atacar un conjunto de 4 objetivos (O1, O2, O3 y O4) cuyas características son: dis-tancia (en millas) a la base de la que partirá el ataque (Dis); probabilidad de destruircada objetivo por el ataque de un único avión, según su tipo (Pkill). Finalmente se da,para cada objetivo, un umbral mínimo de destrucción (Uj). Todas estas característicasvienen dadas en la tabla B.

Tabla A Tipo Avo

Consumo (litros/milla)

Dotación máxima (Avos)

A1 12,2 20 A2 10,8 25 A3 9,7 20

Tabla B

Dis

Pkill (según Avo) Umbral de destrucción

(Uj) Objetivo A1 A2 A3 O1 100 0,433 0,220 0,360 80% O2 120 0,373 0,353 0,327 75% O3 150 0,520 0,207 0,507 95% O4 135 0,247 0,333 0,360 99%

Para la operación dispone de un máximo de 30 000 litros de combustible.


1) Escriba la forma compacta del PPL y determine la composición del ataque (indicandocuántos aviones de cada tipo han de atacar a qué objetivos) para minimizar elnúmero de aviones necesarios, asegurando una probabilidad de destrucción decada objetivo superior al umbral (Uj) establecido en los datos y respetando tanto lalimitación de combustible como la del número máximo de plataformas de cada tipo aemplear.

2) Igual que el anterior, pero para maximizar la probabilidad de destruir el obje-tivo cuya destrucción sea la más improbable.

3) Suponga ahora que, en vez de salir desde una única base, sus aviones pueden partirde cualquiera de las tres bases (B1, B2 y B3) que su coalición dispone en el teatrode operaciones. Responda al apartado 1 anterior, estableciendo desde qué baseshan de partir los ataques. La matriz de distancias de estas bases a los objetivos vie-ne dada en la tabla C:

Tabla C Distancia (millas) Objetivo B1 B2 B3

O1 90 110 105 O2 125 90 95 O3 105 115 105 O4 135 109 105

259


Sea Xij el número de aviones del tipo i con los que atacamos el objetivo j y pij la proba-bilidad de destruir el objetivo j atacando con un único avión de dicho tipo.

La probabilidad de no destruir el objetivo con un único ataque es qij = (1-pij), y la proba-bilidad, supuesta independencia, de no destruir el objetivo atacándolo con Xij aviones es:

ijij

j

Xij

Xijnokill qp1P

En consecuencia, la probabilidad de destruir el objetivo j-ésimo cuando este es atacado por un número de aviones de cada tipo (X1j; X2j; X3j) es:

i

Xijkill

ij

jq1P

Dado que se trata de una expresión no lineal, esta probabilidad, tal como está expresa-da, no puede aparecer ni en la función objetivo ni formando parte de ninguna restricción. Pero, como ya sabemos, es posible linealizar la expresión anterior tomando logaritmos, con lo que tendríamos que, en el caso de una función objetivo:

iji

iji

Xij p1logXminp11max ij

Análogamente, si el problema impone cotas sobre las probabilidades de destrucción bajo la forma de umbrales de destrucción, dado que trabajaremos con las expresiones linealizadas, es necesario transformar también dichos umbrales, tomando de nuevo logaritmos para que se adapten a la misma escala. Tendríamos que:

iónLinealizac

diji

ij

Umbral

d

adProbabilid

i

Xij U1logp1logXUp11 ij

Si queremos hacer la transformación inversa para convertir los valores a los que hemos aplicado logaritmos obteniendo las probabilidades a los que estos están asociados, bastará con deshacer la operación (hemos supuesto que los logaritmos son decimales, no neperianos):

ij

iij

ijp1logX

i

Xij 101p11

La página siguiente muestra una hoja de cálculo en la que se obtiene el número de pla-taformas necesario para lograr una probabilidad de destruir el objetivo superior al umbral cuan-do conocemos los datos del problema:

pk Probabilidad de que un único avión destruya el objetivo X Número de aviones que atacan el objetivo Ud Umbral de destrucción necesario

La hoja contiene los resul-tados en función del número de aviones empleados en el ataque, la representación gráfica tanto de la probabilidad de destrucción como de su transformación logarítmica (para el logaritmo decimal y el neperiano), y las fórmulas empleadas para el cálculo de unos y otros.

k

k

p1lnXdk

k

p1logXdk

k

dX

k

Xk

e1HU1lnp1lnXG

p1lnXFNepLog

101EU1logp1logXD

p1logXCDecLog

Up11Bp11A

linNo


260

La h

oja

mue

stra

un

ejem

plo

para

una

Pki

ll de

l 23,

3 %

por

pla

tafo

rma

atac

ante

y u

n um

bral

de

dest

rucc

ión

del 9

9 %

. Vem

os q

ue e

s ne

cesa

-rio

env

iar

un m

ínim

o de

17

plat

afor

mas

par

a as

egur

ar d

icho

um

bral

. Ap

arec

en la

s do

s tr

ansf

orm

acio

nes,

dec

imal

y n

eper

iana

, y

los

valo

res

segú

n la

s fó

rmul

as a

nter

iore

s.


260

La h

oja

mue

stra

un

ejem

plo

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una

Pki

ll de

l 23,

3 %

por

pla

tafo

rma

atac

ante

y u

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bral

de

dest

rucc

ión

del 9

9 %

. Vem

os q

ue e

s ne

cesa

-rio

env

iar

un m

ínim

o de

17

plat

afor

mas

par

a as

egur

ar d

icho

um

bral

. Ap

arec

en la

s do

s tr

ansf

orm

acio

nes,

dec

imal

y n

eper

iana

, y

los

valo

res

segú

n la

s fó

rmul

as a

nter

iore

s.

261

A partir de lo anterior podemos formular el problema:

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iA Tipo de plataforma aérea, A = {A1, A2, A3} jO Objetivo, O = {O1…, O4}

2. DATOS pij Probabilidad de destruir j por el ataque de un único avión tipo i cij Combustible usado cuando un avión tipo i ataque al objetivo j ni Número máximo de plataformas del tipo i Cm Combustible máximo disponible para el ataque Uj Umbral de destrucción mínimo de cada objetivo

3. VARIABLES Xij Aeronaves de tipo i que atacan el objetivo j

4. FORMA COMPACTA

Las formas compactas, sin linealizar y linealizada, del primer apartado son las siguientes:

Oj;AiX

OjU1logp1logX

AiCcX

AinX

.a.s

X

max

Oj;AiX

OjUp11

AiCcX

AinX

.a.s

X

min

ij

dijAi

ij

mOj

ijij

iOj

ij

Ai Ojij

ij

jAi

Xij

mOj

ijij

iOj

ij

Ai Ojij

ij

La justificación de las restricciones es la siguiente:

La primera establece que para el ataque no se planifique un número de aerona-ves mayor que el disponible para cada tipo (ni).

La segunda establece que el consumo total de combustible no supere el máximodisponible (Cm).

La tercera, que se alcance, para cada objetivo, el umbral mínimo de destrucciónespecificado (Uj).

La cuarta hacer referencia a la naturaleza, entera, de la variable de decisión.

Para resolver el problema es necesario organizar de la forma más eficiente posible los datos y los cálculos intermedios necesarios en la hoja de cálculo. Lo hemos hecho de la forma que aparece al final de la página siguiente:

Las tres tablas superiores recogen los datos del problema: consumo (Con), nú-mero máximo de aviones disponibles (ni), probabilidad de destrucción (pij) y elmenos logaritmo del complementario de esta probabilidad (-LOG (qij)), transfor-mación necesaria para linealizar el problema.

A continuación, resaltada en fondo azul, la variable de decisión (Xij) y el cálculode los consumos parciales por avión cuando ataca cada objetivo teniendo encuenta la distancia desde la única base a los objetivos y, debajo de esta, el con-sumo de cada avión. Para hacer este último cálculo hemos utilizado las funcionesMMULT y transponer en la forma siguiente:


262

Tijc DistConC

Siendo C la matriz de elementos cij de consumo del avión i al objetivo j, Con el vector de consumo de los aviones y Dist el vector (que es necesario transponer para efectuar la multiplicación matricial) de la distancia a los objetivos.

A continuación la matriz (-LOG (qij))T traspuesta de la anteriormente calculadapara que tenga igual dimensión que la variable de decisión.

El cálculo del consumo total a partir de la solución vigente:

Oj

ijij cX

El factor de éxito de la misión, calculado como:

Ai Oj

ij10ij qlogXFEM

Finalmente, datos calculados necesarios para introducir las restricciones del pro-blema, relativos a las probabilidades de no destrucción logradas con la soluciónvigente y a los umbrales de destrucción requeridos.


262

Tijc DistConC

Siendo C la matriz de elementos cij de consumo del avión i al objetivo j, Con el vector de consumo de los aviones y Dist el vector (que es necesario transponer para efectuar la multiplicación matricial) de la distancia a los objetivos.

A continuación la matriz (-LOG (qij))T traspuesta de la anteriormente calculadapara que tenga igual dimensión que la variable de decisión.

El cálculo del consumo total a partir de la solución vigente:

Oj

ijij cX

El factor de éxito de la misión, calculado como:

Ai Oj

ij10ij qlogXFEM

Finalmente, datos calculados necesarios para introducir las restricciones del pro-blema, relativos a las probabilidades de no destrucción logradas con la soluciónvigente y a los umbrales de destrucción requeridos.

263




264

Apartado 2) Se trata de un problema maximin cuya forma compacta es la siguiente:

OjAiX

OjZp1logX

AicX

AinX

.a.sZ

max

ij

ijAi

ij

Ojijij

iOj

ij

C


Con la solución siguiente:


264

Apartado 2) Se trata de un problema maximin cuya forma compacta es la siguiente:

OjAiX

OjZp1logX

AicX

AinX

.a.sZ

max

ij

ijAi

ij

Ojijij

iOj

ij

C


Con la solución siguiente:

265

Los gráficos de las soluciones del apartado 1 y 2 son los siguientes:


266

Apartado 3)

Para resolver el problema es necesario añadir un nuevo sub índice a la variable de decisión, que ahora es:

Xijk Aeronaves de tipo i que atacan el objetivo j, desde la base k

La forma compacta es análoga a la anterior:

OjAiX

OjZqlogX

AicX

AinX

.a.sZ

max

ijk

Bk Aiij10ijk

Bk Ojijkijk

iBk Oj

ijk

C



266

Apartado 3)

Para resolver el problema es necesario añadir un nuevo sub índice a la variable de decisión, que ahora es:

Xijk Aeronaves de tipo i que atacan el objetivo j, desde la base k

La forma compacta es análoga a la anterior:

OjAiX

OjZqlogX

AicX

AinX

.a.sZ

max

ijk

Bk Aiij10ijk

Bk Ojijkijk

iBk Oj

ijk

C


267

6.15 Campaña aérea (3/OS/PLE) ENUNCIADO

Durante tres días {d1, d2, d3} deberá atacar, realizando un conjunto de misiones aéreas ofensivas, una serie de 20 objetivos diferentes {Obj1…, Obj20}, cada uno de los cuales tiene un valor táctico diferente, sufriendo pérdidas también diferentes para cada objetivo. El número de plataformas de cada tipo {PT1…, PT8} que deberán emplearse en las diferentes misiones (pre-vias, concurrentes al ataque o posteriores a este) para completar el ataque a cada uno de los objetivos es diferente dependiendo de la naturaleza de estos y se dan junto con el valor táctico y la atrición esperada en la tabla A:

Tabla A Air

Refueling Fighter Sweep SEAD AWACS Escort

Surface Strike SAR

Battle Damage Assess.

VTO (vj)

ATRICIÓN (aj)

Obj1 1 0 0 0 0 6 0 0 60 0,10 Obj2 0 4 1 0 2 10 0 1 195 0,28

(La totalidad de los datos aparecen en el fichero Excel del enunciado)

Obj19 1 2 1 0 2 6 0 1 85 0,26 Obj20 0 0 0 0 2 4 0 0 30 0,04

Así, por ejemplo, para atacar al objetivo n.º 1 necesitará 1 plataforma capaz de hacer reabaste-cimiento en vuelo (air refueling) y 6 para realizar el ataque a tierra (surface strike); para el obje-tivo n.º 18 necesitará 2 plataformas de interceptación ofensiva (fighter sweep), 1 en tareas SEAD, 1 AWACS, 2 escoltas y 4 para realizar el ataque a tierra (surface strike).

La dos últimas filas de la tabla A se refieren al valor táctico (vj) y a (aj) la atrición quesufrirán nuestras fuerzas al atacar cada objetivo. Este valor aparece expresado como unporcentaje (tanto por uno en los datos) de las fuerzas atacantes, aplicable a todas lasplataformas, sean del tipo que sean, que participen en el ataque al objetivo al que apa-recen relacionados.

Para realizar los ataques dispone de número determinado de plataformas aéreas, cadauna de ellas capaz de llevar a cabo un único tipo de misión diferente según aparece enla tabla B (el valor 1 indica que la plataforma es capaz de realizar la misión; cero, queaparece como blanco en la tabla, en caso contrario):

Tabla B Air

Refueling Fighter Sweep SEAD AWACS Escort

Surface Strike SAR

Battle Damage Assess. ni

PT1 1 0 0 0 0 0 0 0 5 PT2 0 0 1 0 0 0 0 0 20 PT3 0 1 0 0 0 0 0 0 10 PT4 0 0 0 0 1 0 0 0 5 PT5 0 0 0 1 0 0 0 0 20 PT6 0 0 0 0 0 0 0 1 30 PT7 0 0 0 0 0 0 1 0 15 PT8 0 0 0 0 0 1 0 0 15

La última fila de la tabla se refiere al número máximo (ni), diario, de plataformas dis-ponibles, de cada tipo, para la realización de las misiones planeadas. Por ejemplo, dis-pone diariamente de 5 plataformas del tipo PT1, capaces de realizar misiones de repostaje en vuelo.

Los objetivos pueden ser atacados, en caso de que así se decida, una única vez a lo lar-go de la campaña.

Realice las siguientes actividades (utilizando tanto como sea posible las operaciones matri-ciales de que dispone Excel):

1) Prepare la hoja de cálculo para obtener los datos de interés relativos a la campaña.

2) Escriba la forma compacta del problema descrito en el apartado siguiente.

3) Determine qué objetivos atacar cada día para que, respetando las restricciones relativasal número máximo diario disponible de plataformas y las misiones que estas puedenrealizar, se maximice el VTO total de los objetivos atacados.


268

SOLUCIÓN

Apartado 1)

Veamos, en primer lugar, de qué datos disponemos y qué otros necesitaremos para con-trolar todos los aspectos del problema.

Utilizaremos la notación matricial porque es así como nos ofrecen los datos y porque, de esta manera, podremos aprovechar, a través de las funciones matriciales incorporadas a Excel, las facilidades de este soporte para representar el problema todos los aspectos numéricos del problema. Vemos que las cuatro variables fundamentales del problema son las siguientes:

iP Tipos de plataforma, P = {PT1…, PT8} jO Objetivos, O = {Obj1…,Obj20} kM Misiones, M = {M1 (air refueling)…, M8 (battle damage assessment)} dD Días de la campaña, D = {d1…, d3}

Los datos que figuran en el enunciado son los siguientes:

Tabla A: Número de plataformas necesarias para realizar una misión del tipo kcuando se ataca al objetivo j, datos que integraremos en la matriz O:

jkoO Tabla B: Variable binaria con valor 1 si la plataforma tipo i puede realizar una

misión del tipo k, integrada en la matriz M:

ikmM

VTOj: Valor táctico del objetivo j. A diferencia de las dos anteriores, se trata deun vector, ya que se desarrolla alrededor de una única variable principal:

1jj vv V

ni: Máximo número disponible diariamente de plataformas tipo i.

1inN

Las matrices que necesitaremos para controlar los aspectos de la operación son las siguientes:

Xjd: Esta es la única variable de decisión del problema, ya que es la que de-terminará los objetivos a atacar cada día. Se trata de una variable binaria defini-da de la forma siguiente:

caso. otro en0

d; día el j ataca Se1Xjd

Esta variable de decisión está integrada en la matriz X:

jdXX

tji: Número esperado de plataformas del tipo i que se perderán al realizar unamisión del tipo j una vez determinado el valor de Xij. Esta variable está integradaen la matriz T y también necesitaremos calcularla a partir de los datos anterioresutilizando una matriz intermedia (u) de la forma siguiente:

jjijji

jj

T

jikijkT

uata

umo

MOT

MOu


268

SOLUCIÓN

Apartado 1)

Veamos, en primer lugar, de qué datos disponemos y qué otros necesitaremos para con-trolar todos los aspectos del problema.

Utilizaremos la notación matricial porque es así como nos ofrecen los datos y porque, de esta manera, podremos aprovechar, a través de las funciones matriciales incorporadas a Excel, las facilidades de este soporte para representar el problema todos los aspectos numéricos del problema. Vemos que las cuatro variables fundamentales del problema son las siguientes:

iP Tipos de plataforma, P = {PT1…, PT8} jO Objetivos, O = {Obj1…,Obj20} kM Misiones, M = {M1 (air refueling)…, M8 (battle damage assessment)} dD Días de la campaña, D = {d1…, d3}

Los datos que figuran en el enunciado son los siguientes:

Tabla A: Número de plataformas necesarias para realizar una misión del tipo kcuando se ataca al objetivo j, datos que integraremos en la matriz O:

jkoO Tabla B: Variable binaria con valor 1 si la plataforma tipo i puede realizar una

misión del tipo k, integrada en la matriz M:

ikmM

VTOj: Valor táctico del objetivo j. A diferencia de las dos anteriores, se trata deun vector, ya que se desarrolla alrededor de una única variable principal:

1jj vv V

ni: Máximo número disponible diariamente de plataformas tipo i.

1inN

Las matrices que necesitaremos para controlar los aspectos de la operación son las siguientes:

Xjd: Esta es la única variable de decisión del problema, ya que es la que de-terminará los objetivos a atacar cada día. Se trata de una variable binaria defini-da de la forma siguiente:

caso. otro en0

d; día el j ataca Se1Xjd

Esta variable de decisión está integrada en la matriz X:

jdXX

tji: Número esperado de plataformas del tipo i que se perderán al realizar unamisión del tipo j una vez determinado el valor de Xij. Esta variable está integradaen la matriz T y también necesitaremos calcularla a partir de los datos anterioresutilizando una matriz intermedia (u) de la forma siguiente:

jjijji

jj

T

jikijkT

uata

umo

MOT

MOu

269

u’dk: Misiones del tipo k que, una vez determinada Xij, se realizarán el día d dela campaña. Esta variable está integrada en la matriz U’ y también necesitare-mos calcularla a partir de los datos anteriores:

jkdjdkT oX'u' OXU

uid: Número de plataformas del tipo i que, una vez determinada Xij, se utilizaráncada día d de la campaña. Esta variable está integrada en la matriz U y necesita-remos calcularla a partir de los datos anteriores:

'kdikid

T umu' UMU

p’di: Porcentaje de plataformas del tipo i que, una vez determinado el valor deXij, se perderán cada día d de la campaña aérea. Esta variable está integrada enla matriz P’ y necesitaremos calcularla a partir de los datos anteriores:

jidjdiT tX'p' TXP

pid: Número esperado de plataformas del tipo i que, una vez determinado el va-lor de Xij, se perderán cada día d de la campaña aérea. Esta variable está inte-grada en la matriz P’ y necesitaremos calcularla a partir de los datos anteriores,pero ahora no será a través de una multiplicación matricial, sino de la multiplica-ción de los elementos de las dos matrices necesarias.

Construimos primero la matriz complementaria de los valores de la atrición quesufre cada tipo de plataforma en cada día (que vienen en tantos por uno) comoel complementario a la unidad de los valores anteriormente calculados:

'8PT,3d

'8PT,1d

'1PT,3d

'1PT,1d

T

P1P1

P1P1'P1

Los multiplicamos, término a término, por los elementos de la matriz U:

'8PT,3d

'8PT,1d

'1PT,3d

'1PT,1d

T

P1UP1U

P1UP1U'P1U

Finalmente, le restamos a la matriz U la calculada en el paso anterior, con lo cual habremos deducido, de las plataformas usadas cada día, la atrición sufrida:

'8PT,3d

'8PT,1d

'1PT,3d

'1PT,1d

T

P1UUP1UU

P1UUP1UUP'1UUP

did: Número esperado de plataformas del tipo i que, una vez determinado el va-lor de Xij y la atrición del día anterior, están disponible al comienzo del nuevo día.Esta variable está integrada en la matriz D y la calcularemos como la diferencia,elemento a elemento, de la matriz de plataformas disponibles menos la de plata-formas perdidas por atrición:

ididid pud PUD


270

Apartado 2)

FORMULACIÓN

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iP Plataformas, P = {P1…, P8} jO Objetivo, O = {Obj1…, Obj20} kM Misiones, M = {M1 (air refueling)…, M8 (battle damage assessment)} dD Días de campaña, D = {d1…, d3}

2. DATOS ojk Entera. Número de plataformas en misión k para atacar al objetivo j mik Binaria. Capacidad para realizar la misión k de la plataforma i vj Valor táctico del objetivo j ni Máximo número disponible de plataformas tipo i

3. VARIABLES Xjd Principal, binaria. Con valor 1 si el día d se ataca al objetivo j Uid Auxiliar, binaria. Plataformas del tipo i empleadas el día d Dd,k Auxiliar, entera. Misiones tipo k realizadas el día d

4. FORMA COMPACTA

Una vez deducidas las matrices anteriores, la forma compacta del tercer apartado es la siguien-te:

Dd;Oj1;0XDd;Aipu

Oj1X

.a.s

Xv

max

jd

idid

Ddjd

Oj Ddjdj

La función objetivo maximiza el VTO de las misiones encomendadas a lo largo de la campaña; la primera restricción evita que una misión se repita; la segunda impone que cada día no se utilicen más plataformas de las disponibles tras calcular las pérdidas por atrición que se producen cada día.


270

Apartado 2)

FORMULACIÓN

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iP Plataformas, P = {P1…, P8} jO Objetivo, O = {Obj1…, Obj20} kM Misiones, M = {M1 (air refueling)…, M8 (battle damage assessment)} dD Días de campaña, D = {d1…, d3}

2. DATOS ojk Entera. Número de plataformas en misión k para atacar al objetivo j mik Binaria. Capacidad para realizar la misión k de la plataforma i vj Valor táctico del objetivo j ni Máximo número disponible de plataformas tipo i

3. VARIABLES Xjd Principal, binaria. Con valor 1 si el día d se ataca al objetivo j Uid Auxiliar, binaria. Plataformas del tipo i empleadas el día d Dd,k Auxiliar, entera. Misiones tipo k realizadas el día d

4. FORMA COMPACTA

Una vez deducidas las matrices anteriores, la forma compacta del tercer apartado es la siguien-te:

Dd;Oj1;0XDd;Aipu

Oj1X

.a.s

Xv

max

jd

idid

Ddjd

Oj Ddjdj

La función objetivo maximiza el VTO de las misiones encomendadas a lo largo de la campaña; la primera restricción evita que una misión se repita; la segunda impone que cada día no se utilicen más plataformas de las disponibles tras calcular las pérdidas por atrición que se producen cada día.

271

Apartado 3)

El aspecto de la hoja con la solución encontrada sería el siguiente:


272

6.16 Modelo simple atacante-defensor-atacante (3/OS/PLE) ENUNCIADO

Suponga que está planeando el ataque a un conjunto de 15 objetivos terrestres para el cual podrá utilizar un máximo de 15 plataformas ofensivas.

De cada objetivo conocemos las siguientes características.

VTO: Valor táctico del objetivo, expresado como un índice vi (cuanto más alto mejor)del daño logrado en cada objetivo por cada avión atacante que no resulte derribadopor las defensas desplegadas.

ai: Número máximo de plataformas que pueden atacar el objetivo. si: Número máximo de sistemas SAM que el enemigo puede haber desplegado para

defender el objetivo i-ésimo.

Tabla A OBJ (i) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 VTO (vi) 62 83 75 74 63 92 91 55 56 63 52 80 61 51 65

Max Avos (ni) 3 2 2 4 4 4 6 2 2 3 2 5 2 2 3 Max SAM (si) 1 2 1 1 2 2 3 1 1 1 1 3 1 1 1

Batería de cañones Skydor 35/90.

Por cada sistema SAM que defienda un objetivo se anulará el efecto de una plataforma aérea atacante; de esta manera, el daño (Di) logrado por el atacante (y en consecuencia sufri-do por el defensor) al atacar el objetivo i-ésimo puede expresarse en función del número Xi de plataformas que lo atacan e Yi, el número de sistemas SAM que lo defienden, de la forma si-guiente:

ii

iiiiii YXsi0

YXsiYXVTOD


1) Suponga que desconoce la posibilidad de que los objetivos se encuentren defendi-dos. Diseñe un ataque que haga máximo el daño total infligido sobre los 15 objeti-vos, sujeto a las restricciones del número máximo de plataformas que pueden atacarcada objetivo y del número máximo total de plataformas empleadas y bajo la suposi-ción de que el defensor no dispone de medios SAM.


272

6.16 Modelo simple atacante-defensor-atacante (3/OS/PLE) ENUNCIADO

Suponga que está planeando el ataque a un conjunto de 15 objetivos terrestres para el cual podrá utilizar un máximo de 15 plataformas ofensivas.

De cada objetivo conocemos las siguientes características.

VTO: Valor táctico del objetivo, expresado como un índice vi (cuanto más alto mejor)del daño logrado en cada objetivo por cada avión atacante que no resulte derribadopor las defensas desplegadas.

ai: Número máximo de plataformas que pueden atacar el objetivo. si: Número máximo de sistemas SAM que el enemigo puede haber desplegado para

defender el objetivo i-ésimo.

Tabla A OBJ (i) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 VTO (vi) 62 83 75 74 63 92 91 55 56 63 52 80 61 51 65

Max Avos (ni) 3 2 2 4 4 4 6 2 2 3 2 5 2 2 3 Max SAM (si) 1 2 1 1 2 2 3 1 1 1 1 3 1 1 1

Batería de cañones Skydor 35/90.

Por cada sistema SAM que defienda un objetivo se anulará el efecto de una plataforma aérea atacante; de esta manera, el daño (Di) logrado por el atacante (y en consecuencia sufri-do por el defensor) al atacar el objetivo i-ésimo puede expresarse en función del número Xi de plataformas que lo atacan e Yi, el número de sistemas SAM que lo defienden, de la forma si-guiente:

ii

iiiiii YXsi0

YXsiYXVTOD


1) Suponga que desconoce la posibilidad de que los objetivos se encuentren defendi-dos. Diseñe un ataque que haga máximo el daño total infligido sobre los 15 objeti-vos, sujeto a las restricciones del número máximo de plataformas que pueden atacarcada objetivo y del número máximo total de plataformas empleadas y bajo la suposi-ción de que el defensor no dispone de medios SAM.

273

2) Suponga que el enemigo conoce su intención de atacar y es, además, consciente deque usted no sabe que los objetivos podrían estar defendidos. Si el enemigo dispo-ne de un máximo de 10 sistemas SAM, ¿cómo los desplegará para minimizar eldaño total sufrido en un ataque según la premisa del apartado anterior?

3) Suponga ahora que usted sabe que el enemigo dispone de sistemas SAM y que losdesplegará (pensando que usted no dispone de dicha información) de la manera quese ha deducido en el apartado anterior. ¿Cómo ha de atacar ahora en este supuesto?


274

SOLUCIÓN

Apartado 1)

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iO Objetivo, O = {Obj1…, Obj15}

2. DATOS vi Valor táctico del objetivo i ni Máximo número de plataformas tipo que pueden atacar i si Número de sistemas SAM que pueden defender i n Número máximo de plataformas disponibles s Número máximo de sistemas SAM disponibles por el enemigo

3. VARIABLES Xi Número de plataformas que atacarán el objetivo i Yi Número de sistemas SAM que defienden i

4. FORMA COMPACTALa forma compacta del primer apartado es la siguiente:

OiXOinX

nX

.a.s

Xv

max

i

ii

Oii

Oiii


Es decir, si los objetivos no están defendidos, el máximo valor que podremos lograr será 1 320 atacando los objetivos 2, 6, 7 y 12 con 2, 4, 6 y 3 plataformas respectivamente.


274

SOLUCIÓN

Apartado 1)

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iO Objetivo, O = {Obj1…, Obj15}

2. DATOS vi Valor táctico del objetivo i ni Máximo número de plataformas tipo que pueden atacar i si Número de sistemas SAM que pueden defender i n Número máximo de plataformas disponibles s Número máximo de sistemas SAM disponibles por el enemigo

3. VARIABLES Xi Número de plataformas que atacarán el objetivo i Yi Número de sistemas SAM que defienden i

4. FORMA COMPACTALa forma compacta del primer apartado es la siguiente:

OiXOinX

nX

.a.s

Xv

max

i

ii

Oii

Oiii


Es decir, si los objetivos no están defendidos, el máximo valor que podremos lograr será 1 320 atacando los objetivos 2, 6, 7 y 12 con 2, 4, 6 y 3 plataformas respectivamente.

275

Apartado 2) Siendo Xi

* el vector que determina el número de plataformas sobre cada objetivo

deducido en el problema anterior, la forma compacta del problema, desde el punto de vista del defensor, es la siguiente:

OiYOisYOiXY

sY

.a.s

YXVTO

min

i

ii

*ii

Oii

Oii

*ii


Al desplegar los sistemas SAM, el mérito logrado por el atacante pasa de 1 320 a 457. El defensor, suponiendo dicho ataque por parte de las plataformas, no puede conseguir una mayor disminución que esta.


276

Apartado 3)

La forma compacta del tercer apartado es la siguiente:

OiXOinX

15X

.a.s

Dv

max

i

ii

Oii

Oiii

Siendo Di la variable definida como:

ii

iiiii

i

YXsi0

YXsiYXVTOD i

Por lo que la función objetivo es no lineal.

Podemos convertir la diferencia (Zi-Yi) que se refiere al número de plataformas sobre el objetivo i menos el número de sistemas SAM que lo defienden en la diferencia de dos variables auxiliares Wi, una que recoja el componente positivo y otra el negativo, y que se verifique que cuando una tenga un valor positivo la otra sea forzosamente cero, mediante las siguientes res-tricciones:

1;0ZW;W

1WW

WWYZ

i

ii

ii

ii

iiiii

MM

Al separar la variable i en sus componentes, ahora podemos expresar la función objetivo co-mo:

iii WVTOD

Para comprobarlo supongamos los dos casos posibles:

1;0ZW;W0W

W1WW

10W1W

2Y3Z

i

ii

i

i

ii

i

i

i

i

i

M

1;0ZW;W

W0W3WW

03W0W

4Y1Z

i

ii

i

i

ii

i

i

i

i

i M


276

Apartado 3)

La forma compacta del tercer apartado es la siguiente:

OiXOinX

15X

.a.s

Dv

max

i

ii

Oii

Oiii

Siendo Di la variable definida como:

ii

iiiii

i

YXsi0

YXsiYXVTOD i

Por lo que la función objetivo es no lineal.

Podemos convertir la diferencia (Zi-Yi) que se refiere al número de plataformas sobre el objetivo i menos el número de sistemas SAM que lo defienden en la diferencia de dos variables auxiliares Wi, una que recoja el componente positivo y otra el negativo, y que se verifique que cuando una tenga un valor positivo la otra sea forzosamente cero, mediante las siguientes res-tricciones:

1;0ZW;W

1WW

WWYZ

i

ii

ii

ii

iiiii

MM

Al separar la variable i en sus componentes, ahora podemos expresar la función objetivo co-mo:

iii WVTOD

Para comprobarlo supongamos los dos casos posibles:

1;0ZW;W0W

W1WW

10W1W

2Y3Z

i

ii

i

i

ii

i

i

i

i

i

M

1;0ZW;W

W0W3WW

03W0W

4Y1Z

i

ii

i

i

ii

i

i

i

i

i M

277

La forma completa del problema linealizado es la siguiente:

1;0ZW;W

1AWAW

WWYZ

15Z

.a.s

WVTO

max

i

ii

iii

iii

iiii

Oii

Oiii



278

6.17 Piloto derribado (2/SO/RED) ENUNCIADO

Suponga la red de la figura siguiente que consta de 11 nodos y 22 aristas y que es la representación esquemática de un conjunto de vías secundarias de comunicación en un deter-minado territorio enemigo.

Es usted el responsable de la recuperación de un piloto que ha sido derribado en dicho territorio, para lo cual debe planificar la correspondiente operación de rescate con arreglo a los siguientes condicionantes:

a) El piloto se encuentra, actualmente, en el nodo número 1; no ha sido detectado porel enemigo y está en condiciones físicas que le permiten caminar a buen ritmo.

b) El piloto solo podrá ser recuperado por un helicóptero CSAR en el punto de evasión(nodo número 11). Dicho medio de extracción estará disponible, exactamente, trans-curridas 15 horas a partir del momento en que el piloto se encuentre en tierra. Sicuando el helicóptero llegue al punto de extracción, el piloto no ha sido capaz de al-canzar dicho punto, la tripulación del CSAR supondrá que el piloto ha sido capturadoy el helicóptero volverá a la base de partida.

c) La tabla que aparece al lado de la figura ofrece esta información: las cifras que figu-ran sobre las aristas son los números (secuencial) mediante los que se identifican es-tas en la tabla del enunciado (en el fichero Excel correspondiente). Tanto lostiempos (en horas) estimados en recorrer a pie la arista correspondiente como laprobabilidad de que el piloto no sea descubierto cuando transite por dicha aristaestán recogidos en la hoja del enunciado del problema.


1) Determine la ruta que debería seguir el piloto para invertir el mínimo tiempo posibleen alcanzar el punto de evasión.

2) Determine el tiempo que invertiría el piloto en recorrer la ruta más segura.

3) Determine la ruta más segura posible, de manera que el piloto sea capaz de reco-rrerla en menos de 15 horas (contadas a partir del momento en el que usted le envíeel mensaje con la ruta que deberá seguir).


278

6.17 Piloto derribado (2/SO/RED) ENUNCIADO

Suponga la red de la figura siguiente que consta de 11 nodos y 22 aristas y que es la representación esquemática de un conjunto de vías secundarias de comunicación en un deter-minado territorio enemigo.

Es usted el responsable de la recuperación de un piloto que ha sido derribado en dicho territorio, para lo cual debe planificar la correspondiente operación de rescate con arreglo a los siguientes condicionantes:

a) El piloto se encuentra, actualmente, en el nodo número 1; no ha sido detectado porel enemigo y está en condiciones físicas que le permiten caminar a buen ritmo.

b) El piloto solo podrá ser recuperado por un helicóptero CSAR en el punto de evasión(nodo número 11). Dicho medio de extracción estará disponible, exactamente, trans-curridas 15 horas a partir del momento en que el piloto se encuentre en tierra. Sicuando el helicóptero llegue al punto de extracción, el piloto no ha sido capaz de al-canzar dicho punto, la tripulación del CSAR supondrá que el piloto ha sido capturadoy el helicóptero volverá a la base de partida.

c) La tabla que aparece al lado de la figura ofrece esta información: las cifras que figu-ran sobre las aristas son los números (secuencial) mediante los que se identifican es-tas en la tabla del enunciado (en el fichero Excel correspondiente). Tanto lostiempos (en horas) estimados en recorrer a pie la arista correspondiente como laprobabilidad de que el piloto no sea descubierto cuando transite por dicha aristaestán recogidos en la hoja del enunciado del problema.


1) Determine la ruta que debería seguir el piloto para invertir el mínimo tiempo posibleen alcanzar el punto de evasión.

2) Determine el tiempo que invertiría el piloto en recorrer la ruta más segura.

3) Determine la ruta más segura posible, de manera que el piloto sea capaz de reco-rrerla en menos de 15 horas (contadas a partir del momento en el que usted le envíeel mensaje con la ruta que deberá seguir).

279

SOLUCIÓN

Apartado 1)

Se trata de un problema de ruta más corta que se resuelve de la forma habitual. El as-pecto de la hoja de Solver sería el siguiente:



280

Apartado 2)

De nuevo se trata de un problema de ruta más corta, pero ahora respecto a la probabili-dad, por lo que es necesario linealizar mediante logaritmos. El aspecto de la hoja de Solver se-ría el siguiente:



280

Apartado 2)

De nuevo se trata de un problema de ruta más corta, pero ahora respecto a la probabili-dad, por lo que es necesario linealizar mediante logaritmos. El aspecto de la hoja de Solver se-ría el siguiente:


281

Apartado 3)

Análogo al anterior, añadiendo ahora una restricción sobre el tiempo invertido por el pi-loto en recorrer la ruta. El aspecto de la hoja de Solver sería el siguiente:



282

Resumen de resultados

Tipo de ruta Tiempo Probabilidad Ruta más rápida 11,6 0,7058

Ruta más segura 21,5 0,8917 Ruta de rescate 15,0 0,8291

Recreación artística del momento en que el teniente primero Sergio Fernández (Fuerzas Especiales Argentinas, Com-pañía de Comandos 601) derriba con un misil Blowpipe al también teniente de la RAF Jeff Glover (1.º Fighter Squa-

dron), quien pilotaba un Harrier GR.3, en abril de 1982, durante la guerra de las Malvinas. (Fuentes: malvinasguerraaerea.blogspot.com.es y https://i.ytimg.com/vi/eGJTGM1aEoE/maxresdefault.jpg)


282

Resumen de resultados

Tipo de ruta Tiempo Probabilidad Ruta más rápida 11,6 0,7058

Ruta más segura 21,5 0,8917 Ruta de rescate 15,0 0,8291

Recreación artística del momento en que el teniente primero Sergio Fernández (Fuerzas Especiales Argentinas, Com-pañía de Comandos 601) derriba con un misil Blowpipe al también teniente de la RAF Jeff Glover (1.º Fighter Squa-

dron), quien pilotaba un Harrier GR.3, en abril de 1982, durante la guerra de las Malvinas. (Fuentes: malvinasguerraaerea.blogspot.com.es y https://i.ytimg.com/vi/eGJTGM1aEoE/maxresdefault.jpg)

283

6.18 Rutas de ataque (2/SO/RED) ENUNCIADO

La figura de esta página muestra un conjunto de 14 objetivos de igual valor táctico si-tuados sobre los nodos de color azul de la figura.

Su base de partida está situada en el nodo O, desde esta base puede mandar aviones que ataquen los objetivos siguiendo las aristas de la figura en el sentido señalado por las fle-chas, aviones que finalmente tomarán tierra en otra base amiga situada en el nodo D.

Solo puede utilizar los corredores aéreos que se indican mediante las aristas del grafo y en los sentidos que indican las flechas.


1) Determine cuántas rutas de ataque puede crear, de manera que se alcance el mayornúmero de objetivos con la condición de que ningún objetivo puede ser visitado dosveces por un mismo ataque o por dos ataques diferentes (es decir, ninguna ruta de-be compartir ningún nodo, excepto el origen y el destino, con otra ruta).

2) Determine cuántas rutas de ataque puede crear, de manera que ninguna ruta com-parta alguna arista con otra ruta. Compruebe, utilizando el resultado obtenido, quese verifica el siguiente teorema de la teoría de Grafos:

El número de rutas disjuntas (en nodos) de una red coincide con el flujo máximo cuando se limita la capacidad de todas las aristas a la unidad.


284

SOLUCIÓN

Apartado 1)

Para encontrar las rutas disjuntas en nodos puede añadir las restricciones siguientes:

El número de entradas en un nodo es menor o igual que 1 (excepto en O y D). El balance de flujo debe ser nulo 1 (excepto en O y D). El envío por las aristas está limitado a una unidad.

El aspecto de Solver es el siguiente (la lista de aristas se presenta parcialmente):

Puede encontrar hasta tres rutas que cumplan las condiciones de no compartir nodos (la lista de aristas se ha ordenado para que aparezcan en primer lugar aquellas que son activadas según la solución):


284

SOLUCIÓN

Apartado 1)

Para encontrar las rutas disjuntas en nodos puede añadir las restricciones siguientes:

El número de entradas en un nodo es menor o igual que 1 (excepto en O y D). El balance de flujo debe ser nulo 1 (excepto en O y D). El envío por las aristas está limitado a una unidad.

El aspecto de Solver es el siguiente (la lista de aristas se presenta parcialmente):

Puede encontrar hasta tres rutas que cumplan las condiciones de no compartir nodos (la lista de aristas se ha ordenado para que aparezcan en primer lugar aquellas que son activadas según la solución):

285

Una posible la solución (que no es única) sería la siguiente:

Apartado 2)

Basta con encontrar el flujo máximo de la red entre O y D, si se limita la capacidad de las aristas a 1. Una solución (no única) es la siguiente, que muestra las cuatro rutas que se dirigen desde O hasta D sin compartir nunguna arista:


286

6.19 Diseño de una breve campaña aérea (2/SO/RED) ENUNCIADO

Va a efectuar una campaña aérea de tres días de duración durante los cuales atacará una serie de blancos con plataformas que operan desde sus bases principales. El escenario es el siguiente: tres MOB (denominadas X, Y, Z) y cuatro zonas de blancos (denominadas A, B, C y D). El número de ataques que debe efectuar cada día de la campaña sobre las cuatro zonas son los de la tabla siguiente:

Día Zona A Zona B Zona C Zona D Día 1 8 10 10 12 Día 2 11 8 5 21 Día 3 20 6 10 2

La distancia, medida en horas de vuelo, desde las bases a las zonas es la que figura en la tabla siguiente:

MOB Zona A Zona B Zona C Zona D X 1,1 2,3 3,4 4,9 Y 2,1 1,9 2,0 3,3 Z 4,9 2,8 1,9 2,1

La capacidad de las bases es de 10, 20 y 20 aviones para X, Y, Z respectivamente. Ese número supone el despliegue inicial al comenzar el día 1 de campaña. Debe acabar el último día con un número de aviones superior a 10 estacionados en cada base.


1) Planifique el ataque óptimo en horas de vuelo, es decir, establezca para cada día dela campaña qué aviones atacan desde qué bases, a qué zonas y en qué bases hande tomar (el despegue y la toma no han de hacerse en la misma base) para querespetando las capacidades de las bases se alcancen todos los objetivos con el mí-nimo número de horas de vuelo empleadas.

Aproximación para la maniobra de reabastecimiento en vuelo.


286

6.19 Diseño de una breve campaña aérea (2/SO/RED) ENUNCIADO

Va a efectuar una campaña aérea de tres días de duración durante los cuales atacará una serie de blancos con plataformas que operan desde sus bases principales. El escenario es el siguiente: tres MOB (denominadas X, Y, Z) y cuatro zonas de blancos (denominadas A, B, C y D). El número de ataques que debe efectuar cada día de la campaña sobre las cuatro zonas son los de la tabla siguiente:

Día Zona A Zona B Zona C Zona D Día 1 8 10 10 12 Día 2 11 8 5 21 Día 3 20 6 10 2

La distancia, medida en horas de vuelo, desde las bases a las zonas es la que figura en la tabla siguiente:

MOB Zona A Zona B Zona C Zona D X 1,1 2,3 3,4 4,9 Y 2,1 1,9 2,0 3,3 Z 4,9 2,8 1,9 2,1

La capacidad de las bases es de 10, 20 y 20 aviones para X, Y, Z respectivamente. Ese número supone el despliegue inicial al comenzar el día 1 de campaña. Debe acabar el último día con un número de aviones superior a 10 estacionados en cada base.


1) Planifique el ataque óptimo en horas de vuelo, es decir, establezca para cada día dela campaña qué aviones atacan desde qué bases, a qué zonas y en qué bases hande tomar (el despegue y la toma no han de hacerse en la misma base) para querespetando las capacidades de las bases se alcancen todos los objetivos con el mí-nimo número de horas de vuelo empleadas.

Aproximación para la maniobra de reabastecimiento en vuelo.

287

SOLUCIÓN

Aunque el problema se puede enfocar de diferentes formas, veremos cómo podemos representar esta brevísima campaña como una red y solucionar el problema como uno de tra-siego de flujo con restricciones añadidas.

Cada día de la campaña se repite la misma operación: aviones que o bien estaban al inicio o bien tomaron el día anterior después de un ataque atacan los objetivos señalados para ese día y vuelven a una de las bases, que no ha de ser necesariamente la misma que desde la que despegaron (sin que se sobrepase la capacidad de estas).

Si denotamos por Bi (i0;1;2;3) la base en la que un avión está estacionado el día i y por Zi (i1;2;3) la zona a la que ataca el día i, la secuencia para cualquier avión es del tipo:

B0 → Z1 → B1 → Z2 → B2 → Z3 → B2

El ataque completo es entonces una red como la siguiente:

Esta red tiene 81 aristas, ya que hay que considerar la posibilidad de que un avión que se encuentre en una base no necesite ser enviado contra ningún objetivo, lo que originaría un movimiento por la arista Bt → Bt+1.

Una vez construida la red actuamos como lo haríamos con un problema de flujo, calcu-lando los flujos en los nodos e igualando a los valores necesarios.

El vector de oferta/demanda es -10; 15; 15 para los tres primeros nodos, ya que esas serán las aeronaves que salgan el primer día de la tres bases (incluido un movimiento del tipo descrito anteriormente que en realidad supone que el avión permanece en la base); 0 para los nodos intermedios, ya que los aviones no se detienen en los nodos que representan las zonas de ataque ni en las bases, ya que salen al día siguiente para un nuevo destino; finalmente, los tres últimos valores han de satisfacer que sean iguales o superiores a 10, que es el número mí-nimo de plataformas que deban acabar la campaña en cada base.


288

El aspecto de la hoja de Solver es el siguiente:

Nótese que, por comodidad, hemos copiado las celdas implicadas en las restricciones desde su posición en la matriz de nodos a una zona en la que aparecen juntas las que deben verificar restricciones análogas.



288

El aspecto de la hoja de Solver es el siguiente:

Nótese que, por comodidad, hemos copiado las celdas implicadas en las restricciones desde su posición en la matriz de nodos a una zona en la que aparecen juntas las que deben verificar restricciones análogas.


289

Las operaciones del primer día son:

Es decir, 8 aviones atacan A desde X, mientras que 2 permanecen en X para el día si-guiente; desde Y se tiene que 10 atacan B, 2 atacan C, y 8 permanecen en la base, etc. Todos los aviones que atacan A vuelven a X, todos los que atacan B vuelven a Y, 2 de los 10 que ata-can C vuelven a Y, los otros 8 toman en X, y todos los que atacan D toman en Z.

Las operaciones del segundo día son:

Las operaciones del tercer día son:


290

6.20 Ataque a un objetivo terrestre (3/ST/RED) ENUNCIADO

La figura de esta página muestra la disposición sobre el terreno de 13 objetivos terres-tres que pueden ser atacados desde diversas rutas de aproximación y sobrevuelo. El punto de entrada a la zona de operaciones es alguno de los tres iniciales (A, B o C) y el punto de eva-sión, alguno de los tres finales (X, Y o Z).

Para cada objetivo se da su número (1…, 13), su VTO (valor táctico del objetivo) y las probabilidades de supervivencia de la plataforma atacante por las diferentes rutas de aproxima-ción:


1) Encuentre la ruta con mayor VTO acumulado desde A hasta Z.2) Encuentre la ruta con mayor VTO acumulado desde un posible origen (A, B o C)

hasta un punto de evasión (X, Y o Z).3) Encuentre la ruta con menor atrición desde un origen (A, B o C) hasta un punto de

evasión (X, Y o Z).4) Las dos rutas con mayor VTO acumulado desde un origen (A, B o C) hasta un

punto de evasión (X, Y o Z).5) Suponiendo que efectuará un único ataque y que la plataforma atacante destruye

con probabilidad 1 el blanco atacado, hay que discutir cuáles son los posibles cursosde acción y dar una recomendación para la ruta de ataque más conveniente.


290

6.20 Ataque a un objetivo terrestre (3/ST/RED) ENUNCIADO

La figura de esta página muestra la disposición sobre el terreno de 13 objetivos terres-tres que pueden ser atacados desde diversas rutas de aproximación y sobrevuelo. El punto de entrada a la zona de operaciones es alguno de los tres iniciales (A, B o C) y el punto de eva-sión, alguno de los tres finales (X, Y o Z).

Para cada objetivo se da su número (1…, 13), su VTO (valor táctico del objetivo) y las probabilidades de supervivencia de la plataforma atacante por las diferentes rutas de aproxima-ción:


1) Encuentre la ruta con mayor VTO acumulado desde A hasta Z.2) Encuentre la ruta con mayor VTO acumulado desde un posible origen (A, B o C)

hasta un punto de evasión (X, Y o Z).3) Encuentre la ruta con menor atrición desde un origen (A, B o C) hasta un punto de

evasión (X, Y o Z).4) Las dos rutas con mayor VTO acumulado desde un origen (A, B o C) hasta un

punto de evasión (X, Y o Z).5) Suponiendo que efectuará un único ataque y que la plataforma atacante destruye

con probabilidad 1 el blanco atacado, hay que discutir cuáles son los posibles cursosde acción y dar una recomendación para la ruta de ataque más conveniente.

291

Solución 1) Ruta con mayor VTO acumulado desde A hasta Z. Se trata de un problema de ruta

más larga en el que la función objetivo se calcula a partir del flujo entrante en los nodos y no como es habitual a partir de alguna característica asociada a las aristas visitadas.




292

Solución 2) Ruta con mayor VTO acumulado desde un origen (A, B o C) hasta un punto de

evasión (X, Y o Z). Es de nuevo un problema de ruta más larga en el que ahora es necesario añadir un nodo origen ficticio (O) y un nodo destino ficticio (D). La solución encontrada es la si-guiente:

Solución cuya representación gráfica es la siguiente:


292

Solución 2) Ruta con mayor VTO acumulado desde un origen (A, B o C) hasta un punto de

evasión (X, Y o Z). Es de nuevo un problema de ruta más larga en el que ahora es necesario añadir un nodo origen ficticio (O) y un nodo destino ficticio (D). La solución encontrada es la si-guiente:


293

Solución 3) Ruta con menor atrición desde un origen (A, B o C) hasta un punto de evasión

(X, Y o Z). Ruta más corta sobre el logaritmo de las probabilidades de derribo. La solución en-contrada es la siguiente (se ha ordenado la lista de aristas):



294

Solución 4) Dos rutas con mayor VTO acumulado desde un origen (A, B o C) hasta un punto

de evasión (X, Y o Z). Modificamos el vector OD para que desde el origen ficticio salgan dos unidades de flujo (dos rutas) y llegue ese mismo número al destino ficticio. La función objetivo se consigue a partir de la multiplicación del vector de entrada en los nodos por el VTO de estos, para lo cual es necesario añadir la restricción que haga que en un nodo (distinto de origen y destino) solo pueda entrar un avión. La solución encontrada y el menú de Solver son los siguientes (se ha ordenado la lista de aris-tas):



294

Solución 4) Dos rutas con mayor VTO acumulado desde un origen (A, B o C) hasta un punto

de evasión (X, Y o Z). Modificamos el vector OD para que desde el origen ficticio salgan dos unidades de flujo (dos rutas) y llegue ese mismo número al destino ficticio. La función objetivo se consigue a partir de la multiplicación del vector de entrada en los nodos por el VTO de estos, para lo cual es necesario añadir la restricción que haga que en un nodo (distinto de origen y destino) solo pueda entrar un avión. La solución encontrada y el menú de Solver son los siguientes (se ha ordenado la lista de aris-tas):


295

Solución 5)

Discutir cuáles son los posibles cursos de acción y dar una recomendación de ataque.

Para poder contestar a la pregunta es necesario obtener la variación conjunta de las dos variables fundamentales del problema:

El valor táctico acumulado de los objetivos destruidos (SumVTO).

La supervivencia de las plataformas atacantes (supervivencia).

Es decir, analizaremos cómo, al variar el umbral de las pérdidas que estamos dispuestos a soportar en nuestras plataformas atacantes, aumenta el valor táctico de los objetivos destrui-dos a partir de un problema de optimización como el siguiente:

1;0X

1X

PlogX

.a.s

VTOX

max

ij

Aj,i:jij

Aj,iijij

Aj,ijij

P

Siendo Xij la variable binaria que indica si desde el nodo i se ataca el nodo j; Pij la pro-babilidad de supervivencia al recorrer la arista ij; y P el parámetro de atrición máxima.

Puesto que no podemos utilizar las probabilidades directamente, sino sus transformadas, crearemos una tabla de equivalencia para poder variar el valor de P a partir de los valores de su menos logaritmo. Esta será la tabla que introduzcamos en Solver Table para indicar los valo-res que debe tomar P.


296

Al obtener esta variación, para todos los posibles valores de P (0≤P≤1) nos damos cuenta de que solo hay tres posibles rutas (todas las demás posibilidades tienen un valor peor en alguna de las medidas de interés, no siendo el otro mejor), es decir, la frontera eficiente del problema está delimitada por tres posibles rutas: R1, R2 y R3.

R1 es la ruta más arriesgada, pero también la que consigue un mayor VTO; R3 es la más segura a costa de lograr un menor VTO; R2 está a mitad de camino de las anteriores y pa-rece la opción más interesante, ya que tiene un VTO alto y una probabilidad de supervivencia de la plataforma atacante también alta.


296

Al obtener esta variación, para todos los posibles valores de P (0≤P≤1) nos damos cuenta de que solo hay tres posibles rutas (todas las demás posibilidades tienen un valor peor en alguna de las medidas de interés, no siendo el otro mejor), es decir, la frontera eficiente del problema está delimitada por tres posibles rutas: R1, R2 y R3.

R1 es la ruta más arriesgada, pero también la que consigue un mayor VTO; R3 es la más segura a costa de lograr un menor VTO; R2 está a mitad de camino de las anteriores y pa-rece la opción más interesante, ya que tiene un VTO alto y una probabilidad de supervivencia de la plataforma atacante también alta.

297

6.21 Despliegue de unidades aéreas (2/SO/RED) ENUNCIADO

La figura de esta página muestra una red en la que aparecen una serie de elementos:

Cuatro bases principales (B1, B2, B3 y B4), cada una de ellas es la base principal deuna serie de escuadrones de plataformas aéreas.

Cuatro aeródromos intermedios (A1, A2, A3 y A4) de países aliados que se encuen-tran a medio camino entre las bases principales y la zona de operaciones (FF) dondelos escuadrones actuarán.

Cuatro bases de despliegue (F1, F2, F3 y F4) desde las que los escuadrones, una vezdesplazados desde sus bases principales, atacarán a blancos situados en el frente fi-nal (FF).

Aunque no están representados en la figura, son posibles todos los trayectos entre las bases principales y los aeródromos intermedios, y entre estos y las bases de despliegue. Por motivos operativos, en una misma ventana de tiempo, estos corredores aéreos que comunican bases y aeródromos tienen una capacidad de tránsito determinada. La tabla siguiente muestra el número máximo de plataformas que pueden, en un momento dado, desplazarse entre cada una de las bases principales y los aeródromos, y entre estos y las bases de despliegue:

Aeródromos Bases de despliegue A1 A2 A3 A4 F1 F2 F3 F4

Bases principales

B1 11 7 2 8

Aeródromos

A1 5 9 6 4 B2 5 4 8 7 A2 8 7 9 5 B3 7 2 12 7 A3 4 6 7 8 B4 8 9 4 15 A4 12 11 9 7

Nótese que no es posible desplazarse de manera directa desde las bases principales a las bases de despliegue o entre unos aeródromos y otros. Únicamente son posibles los despla-zamientos cuyos datos de capacidad aparecen en las dos tablas anteriores.


298


1) Calcular el número máximo de plataformas que en un momento dado pueden serdesplegadas desde las bases principales (BP) a las bases de despliegue (BD) tenien-do en cuenta la capacidad de los corredores aéreos que permiten ir de unas a otras.

2) En relación con el apartado anterior, determine cuántas plataformas han de despe-gar desde cada BP y cuántas llegan a cada BD.

3) Suponga ahora que puede modificar las capacidades de cualquiera de los corredoresque aparecen en las tablas anteriores. Calcule el mínimo aumento de capacidad quees necesario para que el despliegue final en las bases sea el siguiente:

Despliegue final Llegan a F1 35 Llegan a F2 35 Llegan a F3 30 Llegan a F4 20

4) Repita el apartado anterior, pero suponiendo ahora que el número máximo de plata-formas que pueden tomar en los aeródromos intermedios está limitado por los valo-res siguientes:

Capacidad aeródromos

A1 30 A2 35 A3 30 A4 40

PISTAS

Resuelva el primer apartado como un problema de flujo máximo al que necesitaráañadir un origen ficticio.

El segundo apartado se refiere a los datos de la solución del anterior.

Para el tercer apartado deberá considerar un nuevo programa lineal de optimización:las variables son las anteriores (referidas al flujo máximo que puede circular por ca-da arista) más el aumento de capacidad de cada arista que será necesario añadir pa-ra acomodar las necesidades de despliegue; la función objetivo es minimizar la sumade estos aumentos necesarios; finalmente, a las restricciones anteriores deberá aña-dir una nueva que haga que se respeten las cifras de despliegue pedidas.

Para el cuarto apartado bastará añadir al PL anterior una nueva restricción que hagaque el flujo entrante en los aeródromos intermedios no supere la capacidad de estos.


298


1) Calcular el número máximo de plataformas que en un momento dado pueden serdesplegadas desde las bases principales (BP) a las bases de despliegue (BD) tenien-do en cuenta la capacidad de los corredores aéreos que permiten ir de unas a otras.

2) En relación con el apartado anterior, determine cuántas plataformas han de despe-gar desde cada BP y cuántas llegan a cada BD.

3) Suponga ahora que puede modificar las capacidades de cualquiera de los corredoresque aparecen en las tablas anteriores. Calcule el mínimo aumento de capacidad quees necesario para que el despliegue final en las bases sea el siguiente:

Despliegue final Llegan a F1 35 Llegan a F2 35 Llegan a F3 30 Llegan a F4 20

4) Repita el apartado anterior, pero suponiendo ahora que el número máximo de plata-formas que pueden tomar en los aeródromos intermedios está limitado por los valo-res siguientes:

Capacidad aeródromos

A1 30 A2 35 A3 30 A4 40

PISTAS

Resuelva el primer apartado como un problema de flujo máximo al que necesitaráañadir un origen ficticio.

El segundo apartado se refiere a los datos de la solución del anterior.

Para el tercer apartado deberá considerar un nuevo programa lineal de optimización:las variables son las anteriores (referidas al flujo máximo que puede circular por ca-da arista) más el aumento de capacidad de cada arista que será necesario añadir pa-ra acomodar las necesidades de despliegue; la función objetivo es minimizar la sumade estos aumentos necesarios; finalmente, a las restricciones anteriores deberá aña-dir una nueva que haga que se respeten las cifras de despliegue pedidas.

Para el cuarto apartado bastará añadir al PL anterior una nueva restricción que hagaque el flujo entrante en los aeródromos intermedios no supere la capacidad de estos.

299

SOLUCIÓN

El número máximo de plataformas que puede desplegar es de 128.

Flujo Máximo 128

Desde B1 28 Desde B2 24 Desde B3 28 Desde B4 28

Llegan a F1 29 Llegan a F2 31 Llegan a F3 29 Llegan a F4 19

Tabla 1. Soluciones a los apartados 1 y 2.

Necesitará aumentar la capacidad de los corredores en 12 unidades, en los términos siguientes:


Bases principales

B1 11 7 2 8+2

Aeródromos

A1 5+5 9+2 6 4 B2 5 4 8 7 A2 8 7 9 5 B3 7 2 12 7 A3 4+1 6 7 8 B4 8 9+2 4 15 A4 12 11 9 7

Tabla 2. Solución al apartado 3. (La solución NO es única)

Necesitará aumentar la capacidad de los corredores en 13 unidades, en los términos siguientes:


Bases principales

B1 11 7 2 8+3

Aeródromos

A1 5+5 9+2 6 4 B2 5 4 8 7 A2 8 7 9 5 B3 7 2 12 7 A3 4+1 6 7 8 B4 8 9+2 4 15 A4 12 11 9 7

Tabla 3. Solución al apartado 4. (La solución NO es única)


300

El aspecto de la hoja sería similar al siguiente:


300

El aspecto de la hoja sería similar al siguiente:

301

6.22 Inhabilitación de nodos en una red logística (2/ST/RED) ENUNCIADO

La figura de esta página muestra la topología de una red logística propia en la que el nodo 1 actúa como nodo origen y el nodo 30, como nodo destino.

Las cantidades que figuran sobre las aristas son la capacidad máxima de flujo que pueden soportar y entre paréntesis aparece el número de plataformas aéreas que sería ne-cesario emplear para su completa destrucción.


1) Calcule el flujo máximo que puede circular por la red entre el nodo origen (1) y eldestino (30).

2) Suponga que existe la obligación de inhabilitar, de forma temporal o permanente(por ahorro en los costes de mantenimiento logístico, por mantenimiento de las ins-talaciones, etc.), algunos de los nodos que componen la red. Calcule la pérdida deflujo máximo que sufriría la red en función del número de nodos inhabilitados (bajoel supuesto de que elige, en cualquier caso, la secuencia de nodos a inhabilitar deforma óptima, es decir, que cause la menor pérdida de flujo posible).

3) Suponga ahora que el enemigo decidiese inhabilitar por completo la red evitandocualquier flujo entre origen y destino. ¿Cuál sería el número mínimo de plataformasaéreas que necesitaría?

4) ¿Cómo variaría el flujo que circula por la red en función del número de plataformasatacantes bajo el supuesto de su utilización óptima por parte del enemigo?


302



1. ÍNDICES y CONJUNTOS iN Nodos de la red, N = {1…, 30} (ij)A Aristas (originales) de la red (ij)A* Aristas ampliadas de la red, incluyendo (ij) = (21,1)

2. DATOS cij Capacidad máxima de flujo que puede circular por la arista (ij) f Flujo máximo capaz de circular por la red

3. VARIABLES Xij Cantidad (entera) de flujo que se envía por la arista (ij)

4. FORMA COMPACTA

*

ij

*ijij

Aji:jij

Aij:jij

1,30

AijXAijcX

Ni0XX

.a.s

X

min

**

El menú de Solver y la solución encontrada son los siguientes:

Se deduce que el flujo máximo que puede circular por la red es 220.


302






4. FORMA COMPACTA

*

ij

*ijij

Aji:jij

Aij:jij

1,30

AijXAijcX

Ni0XX

.a.s

X

min

**

El menú de Solver y la solución encontrada son los siguientes:

Se deduce que el flujo máximo que puede circular por la red es 220.

303

Apartado 2)

La respuesta a la segunda pregunta requiere, previo al uso de Solver Table, la introduc-ción de un nuevo conjunto de variables binarias y un par de restricciones.

Las variables i (inhabilitado) son las binarias con valor igual a la unidad si sedeshabilita el nodo correspondiente y cero en caso contrario.

Las restricciones son las que imponen que el número de nodos inhabilitados esigual a k (parámetro que usaremos como variable en Solver Table) y la que im-pone que el flujo entrante en un nodo inhabilitado sea nulo.

1;0

1MX

k

i

iAij:i

ij

Nii

La forma compacta quedaría de la forma siguiente:


2. DATOS cij Capacidad máxima de flujo que puede circular por la arista (ij) f Flujo máximo capaz de circular por la red M Una cantidad entera suficientemente grande

3. VARIABLES Xij Cantidad (entera) de flujo que se envía por la arista (ij) i Binaria. Con valor 1 si se inhabilita el nodo i-ésimo k Entera. Número de nodos inhabilitados

4. FORMA COMPACTA

1;0AijXAijcX

Ni0XX

1X

k

.a.s

X

min

i

*ij

*ijij

Aji:jij

Aij:jij

iAij:i

ij

Nii

1,30

**

M


304

El aspecto de la hoja de Solver para resolver el problema genérico en el que se han in-habilitado k = 1 nodos es el siguiente:

Una solución para k = 7, por ejemplo, es la siguiente:


304

El aspecto de la hoja de Solver para resolver el problema genérico en el que se han in-habilitado k = 1 nodos es el siguiente:

Una solución para k = 7, por ejemplo, es la siguiente:

305

Para obtener la gráfica que expresa la pérdida porcentual del flujo máximo de la red en función del número de nodos inhabilitados recurrimos a Solver Table.

La gráfica que describe la mínima pérdida de flujo en función de k es la siguiente:


306

Apartado 3)

La respuesta a este tercer apartado requiere la aplicación del modelo de Wood en la versión que implica minimizar los recursos aéreos implicados en la interdicción para anular el flujo que puede circular por la red. La formulación del modelo de interdicción óptima es la si-guiente:

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iN Conjunto de los nodos de la red, N = {1…, n} (i,j)A Aristas de la red (A = {1…, m}) desde el nodo i al nodo j

2. DATOS uij Capacidad máxima de la arista (i,j)A rij Coste de interdicción de la arista (i,j)A b Presupuesto máximo de interdicción del atacante

3. VARIABLES Bij Instrumental. Binaria. Introducida para linealizar el modelo. Yij Instrumental. Binaria. Introducida para linealizar el modelo. i Instrumental. Binaria. Introducida para linealizar el modelo.

4. FORMA COMPACTA

Aj,i1;0Y,B

Ni1;0

0Bu01

Aj,i0YB.a.s

Yr

min

ijij

i

Aj,i

ijij

30

1

ijijji

Aj,i

ijij



306

Apartado 3)

La respuesta a este tercer apartado requiere la aplicación del modelo de Wood en la versión que implica minimizar los recursos aéreos implicados en la interdicción para anular el flujo que puede circular por la red. La formulación del modelo de interdicción óptima es la si-guiente:

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iN Conjunto de los nodos de la red, N = {1…, n} (i,j)A Aristas de la red (A = {1…, m}) desde el nodo i al nodo j

2. DATOS uij Capacidad máxima de la arista (i,j)A rij Coste de interdicción de la arista (i,j)A b Presupuesto máximo de interdicción del atacante

3. VARIABLES Bij Instrumental. Binaria. Introducida para linealizar el modelo. Yij Instrumental. Binaria. Introducida para linealizar el modelo. i Instrumental. Binaria. Introducida para linealizar el modelo.

4. FORMA COMPACTA

Aj,i1;0Y,B

Ni1;0

0Bu01

Aj,i0YB.a.s

Yr

min

ijij

i

Aj,i

ijij

30

1

ijijji

Aj,i

ijij


307

Cuya representación gráfica sería la siguiente:

Es decir, para anular por completo la capacidad logística de la red sería necesario em-plear 19 plataformas para efectuar los siguientes ataques:

Arista atacada

Plataformas empleadas

1,2 3 3,9 2 3,14 3 4,14 1 1,5 3 1,6 2 1,7 3 1,8 2

Total 19


308

Apartado 4)

La respuesta al cuarto apartado requiere la aplicación del modelo de Wood en la versión que implica minimizar la capacidad remanente de la red con la restricción de que el coste de in-terdicción, es decir, el número de plataformas implicadas sea inferior a un umbral dado b. La formulación del modelo de interdicción óptima en estas condiciones es la siguiente:

Aj,i1;0Y,B

Ni1;0

bYr01

Aj,i0YB.a.s

Bu

min

ijij

i

Aj,i

ijij

30

1

ijijji

Aj,i

ijij

El resultado para un valor de b = 10 sería el siguiente:

Una vez construido el modelo de Solver, podremos usar Solver Table para obtener la va-riación de la capacidad remanente en función de los costes de interdicción. Los resultados apa-recen recogidos en la página siguiente.


308

Apartado 4)

La respuesta al cuarto apartado requiere la aplicación del modelo de Wood en la versión que implica minimizar la capacidad remanente de la red con la restricción de que el coste de in-terdicción, es decir, el número de plataformas implicadas sea inferior a un umbral dado b. La formulación del modelo de interdicción óptima en estas condiciones es la siguiente:

Aj,i1;0Y,B

Ni1;0

bYr01

Aj,i0YB.a.s

Bu

min

ijij

i

Aj,i

ijij

30

1

ijijji

Aj,i

ijij

El resultado para un valor de b = 10 sería el siguiente:

Una vez construido el modelo de Solver, podremos usar Solver Table para obtener la va-riación de la capacidad remanente en función de los costes de interdicción. Los resultados apa-recen recogidos en la página siguiente.

309

La f

igur

a si

guie

nte

mue

stra

las

solu

cion

es o

bten

idas

(flu

jo r

eman

ente

, pl

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aris

tas

dest

ruid

as)

para

val

ores

del

núm

e-ro

de

plat

afor

mas

ent

re 0

y 2

0. E

l núm

ero

mín

imo

de p

lata

form

as a

érea

s ne

cesa

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para

impe

dir

por

com

plet

o el

tra

sieg

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flu

jo p

or la

red

es,

co

mo

ya s

abía

mos

, de

19

plat

afor

mas

.

De

la f

orm

a de

la f

unci

ón a

prec

iam

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ue la

rel

ació

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tre

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cap

acid

ad lo

gíst

i-ca

es

prác

ticam

ente

line

al, y

sup

one

una

redu

cció

n de

11

,12

unid

ades

de

fluj

o po

r ca

da p

lata

form

a em

plea

da e

n la

inte

rdic

ción

.


310

6.23 La batalla de las Ardenas (2/SO/RED) ENUNCIADO

El 16 de diciembre de 1944, en el último año de la Segunda Guerra Mundial, varias divi-siones acorazadas alemanas, apoyadas por otras de infantería, formando en total un contingen-te de más de 250 000 hombres, iniciaron una contraofensiva masiva en el norte de Francia, en la zona conocida como Las Ardenas, contra las fuerzas aliadas.

La ofensiva se desarrollaba a lo largo del río Our, al norte de la ciudad de Luxemburgo, y estaba dirigida casi en dirección oeste hacia Namur y Lieja, en Bélgica. El resultado, después de varios días de lucha, fue un gran boquete abierto por las tropas alemanas en el frente de los aliados.

El 20 de diciembre, el general Eisenhower, comandante supremo aliado, ordena al gene-ral Patton que contrarreste la ofensiva con la totalidad de su 3.er ejército, que entonces estaba situado cerca de Verdún, aproximadamente 150 km al sur del flanco izquierdo alemán.

El objetivo inmediato de Patton era trasladar la 101 División de Infantería y las divisio-nes blindadas 9.º y 10.º que se encontraban cerca de Verdún hacia la ciudad de Bastogne. Pa-sadas cuarenta y ocho horas tras recibir la orden de Eisenhower, el 22 de diciembre, Patton fue capaz de iniciar la contraofensiva con las tres divisiones, es decir, un total de aproximadamente 57 000 hombres.

Era invierno y, debido a la nieve y la niebla, las carreteras estaban heladas, por lo que el movimiento de tropas, carros y demás equipos era una pesadilla logística. El 26 de diciembre, la ciudad de Bastogne fue liberada, y el 12 de enero de 1945 el éxito en la batalla de las Ardenas supuso una de las grandes victorias aliadas de la guerra.

La figura de esta página muestra la red de carreteras entre Verdún (nodo 1) y Bastogne (nodo 21), con las capacidades estimadas de trasiego de tropas (en miles) en cada ramal entre ambas ciudades.


310

6.23 La batalla de las Ardenas (2/SO/RED) ENUNCIADO

El 16 de diciembre de 1944, en el último año de la Segunda Guerra Mundial, varias divi-siones acorazadas alemanas, apoyadas por otras de infantería, formando en total un contingen-te de más de 250 000 hombres, iniciaron una contraofensiva masiva en el norte de Francia, en la zona conocida como Las Ardenas, contra las fuerzas aliadas.

La ofensiva se desarrollaba a lo largo del río Our, al norte de la ciudad de Luxemburgo, y estaba dirigida casi en dirección oeste hacia Namur y Lieja, en Bélgica. El resultado, después de varios días de lucha, fue un gran boquete abierto por las tropas alemanas en el frente de los aliados.

El 20 de diciembre, el general Eisenhower, comandante supremo aliado, ordena al gene-ral Patton que contrarreste la ofensiva con la totalidad de su 3.er ejército, que entonces estaba situado cerca de Verdún, aproximadamente 150 km al sur del flanco izquierdo alemán.

El objetivo inmediato de Patton era trasladar la 101 División de Infantería y las divisio-nes blindadas 9.º y 10.º que se encontraban cerca de Verdún hacia la ciudad de Bastogne. Pa-sadas cuarenta y ocho horas tras recibir la orden de Eisenhower, el 22 de diciembre, Patton fue capaz de iniciar la contraofensiva con las tres divisiones, es decir, un total de aproximadamente 57 000 hombres.

Era invierno y, debido a la nieve y la niebla, las carreteras estaban heladas, por lo que el movimiento de tropas, carros y demás equipos era una pesadilla logística. El 26 de diciembre, la ciudad de Bastogne fue liberada, y el 12 de enero de 1945 el éxito en la batalla de las Ardenas supuso una de las grandes victorias aliadas de la guerra.

La figura de esta página muestra la red de carreteras entre Verdún (nodo 1) y Bastogne (nodo 21), con las capacidades estimadas de trasiego de tropas (en miles) en cada ramal entre ambas ciudades.

311


1) Determine el número de tropas que deben ser enviadas a lo largo de cada carreteradesde el nodo 1, con el fin de obtener el máximo número de tropas en Bastogne(21). Asimismo, indique el número total de las tropas que sería capaz de enviar aBastogne.

2) En el fichero de datos (en la columna Int (rij) aparece el número de plataformas aé-reas que es necesario enviar contra una arista para neutralizar completamente el flu-jo a través de ella. Una arista no puede ser atacada de forma parcial, si decideatacarla, entonces deberá usar el número exacto de aeronaves que figura en el fi-chero. Calcule la interdicción óptima de la red que minimice el trasiego de flujo entrelos nodos 1 y 21 suponiendo que dispone de un máximo de 20 aeronaves pararealizar la interdicción. Escriba la forma compacta del problema.


312



1. ÍNDICES y CONJUNTOS iN Nodos de la red, N = {O 1…, 11 D} (ij)A Aristas (originales) de la red (ij)A* Aristas ampliadas de la red, incluyendo (ij) = (21,1)



4. FORMA COMPACTA

*

ij

*ijij

Aji:jij

Aij:jij

1,21

AijXAijcX

Ni0XX

.a.s

X

min

**

Actuando de la forma habitual se deduce que el flujo máximo que puede circular por la red es 54.


312



1. ÍNDICES y CONJUNTOS iN Nodos de la red, N = {O 1…, 11 D} (ij)A Aristas (originales) de la red (ij)A* Aristas ampliadas de la red, incluyendo (ij) = (21,1)



4. FORMA COMPACTA

*

ij

*ijij

Aji:jij

Aij:jij

1,21

AijXAijcX

Ni0XX

.a.s

X

min

**

Actuando de la forma habitual se deduce que el flujo máximo que puede circular por la red es 54.

313

Apartado 2)

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iN Nodos de la red, N = {O 1…, 11 D} (ij)A Aristas de la red

2. DATOS cij Capacidad máxima de flujo que puede circular por la arista (ij) rij Plataformas para neutralizar completamente el flujo por la arista (ij) b Presupuesto máximo de interdicción


4. FORMA COMPACTA

Aj,i1;0Y,B

Ni1;0

bYr1

Aj,i0YB.a.s

Bc

min

ijij

i

Aj,iijij

211

ijijij

Aj,iijij

*

ij

*ijij

Aji:jij

Aij:jij

1,21

AijXAijcX

Ni0XX

.a.s

X

min

**


314


La solución obtenida al aplicar el modelo de Wood es la siguiente:


314


La solución obtenida al aplicar el modelo de Wood es la siguiente:

315



316

6.24 Interdicción de la red de ferrocarril soviética (3/OS/RED) ENUNCIADO

La figura de esta página (que aparece en mayor tamaño en la página siguiente) es un esquema de la red de ferrocarriles soviéticos durante la época de la Guerra Fría. La cifra que aparece sobre cada arista es la capacidad de trasiego en toneladas de flujo al día.

La OTAN pretendía destruir la red cortando cualquier camino que permitiera al Pacto de Varsovia enviar tropas desde la región del gran Moscú (nodo 45) al frente occidental (nodo 44). Note que en realidad los nodos orígenes son aquellos ligados mediante aristas ficticias al nodo 45 (1, 2, 3, 5…), y los nodos destinos los ligados al 44 (37, 38…).



2) Diseñe un ataque que anule la capacidad logística de la red (presupuesto ilimitado).

Fuente: Gobierno de Aragón


316

6.24 Interdicción de la red de ferrocarril soviética (3/OS/RED) ENUNCIADO

La figura de esta página (que aparece en mayor tamaño en la página siguiente) es un esquema de la red de ferrocarriles soviéticos durante la época de la Guerra Fría. La cifra que aparece sobre cada arista es la capacidad de trasiego en toneladas de flujo al día.

La OTAN pretendía destruir la red cortando cualquier camino que permitiera al Pacto de Varsovia enviar tropas desde la región del gran Moscú (nodo 45) al frente occidental (nodo 44). Note que en realidad los nodos orígenes son aquellos ligados mediante aristas ficticias al nodo 45 (1, 2, 3, 5…), y los nodos destinos los ligados al 44 (37, 38…).



2) Diseñe un ataque que anule la capacidad logística de la red (presupuesto ilimitado).

Fuente: Gobierno de Aragón

317


SOLUCIÓN

Apartado 1)

Mediante el procedimiento habitual encontramos que el flujo máximo es de 194 tonela-das diarias. Una lista parcial de la solución (ordenada por el tráfico de las aristas) es la siguien-te:


SOLUCIÓN

Apartado 1)

Mediante el procedimiento habitual encontramos que el flujo máximo es de 194 tonela-das diarias. Una lista parcial de la solución (ordenada por el tráfico de las aristas) es la siguien-te:

Apartado 2)

Por aplicación del modelo de Wood, obtenemos el siguiente resultado (la lista de aristas es parcial y se ha ordenado además por el valor de la interceptación que se efectúa sobre ellas).


La r

epre

sent

ació

n gr

áfic

a de

la s

oluc

ión

es la

sig

uien

te:


La r

epre

sent

ació

n gr

áfic

a de

la s

oluc

ión

es la

sig

uien

te:

6.25 Interdicción óptima en red no dirigida (1/ST/RED)

ENUNCIADO

Suponga la red logística enemiga de la figura siguiente. Consta de 12 nodos entre los cuales es posible circular en cualquier sentido. El enemigo envía tropas desde los nodos origen (1, 2, 3, 4) hasta los nodos destino (12, 13, 14)13.

Los números que figuran sobre las aristas son las capacidades máximas de estas y el número de aeronaves atacantes necesarias para destruir la arista, respectivamente. La arista entre el nodo 1 y el 8, por ejemplo, tiene una capacidad de 70 unidades de flujo y es necesario atacarla con 4 aeronaves para reducir esta capacidad a cero.


1) Dispone de 15 aeronaves. Diseñe una operación ofensiva, determinando las aristasde la red logística que deben ser atacadas, de manera que la capacidad enemiga detrasladar tropas a la zona de operaciones quede reducida al mínimo posible.

2) Dibuje la gráfica que muestre el grado de destrucción de la capacidad logísticaenemiga en función del número de aeronaves atacantes (para un número de aero-naves comprendido entre 3 y 35).

3) Suponga ahora que las cifras que aparecen bajo los nodos son las aeronaves necesa-rias para la inhabilitación de estos (el nodo 5 requiere 7 aeronaves para ser destrui-do). Diseñe una operación ofensiva determinando la combinación de aristas y nodosde la red logística que deben ser atacados, de manera que la capacidad enemiga detrasladar tropas a la zona de operaciones quede reducida al mínimo posible si dispo-ne de 34 aeronaves de ataque. Compare esta situación con aquella en la que solo esposible atacar las aristas.

13 Wood, R. K. «Deterministic network interdiction». Operations Research Department, Naval Postgraduate School. Mathematical and Computer Modeling 1993, vol. 17, n.º 2, pp. 1-18.


SOLUCIÓN

Apartado 1)

Utilizamos el modelo de Wood para la interdicción de una red no dirigida con varios orígenes y destinos. La forma compacta del problema es la siguiente:

Aj,i1;0Y,B

Ni1;0

bYrNNj0

NNi1Aj,i0YBAj,i0YB

.a.s

Bt

min

ijij

i

Aj,iijij

dej

ori

ijijij

ijijji

Aj,iijij



SOLUCIÓN

Apartado 1)

Utilizamos el modelo de Wood para la interdicción de una red no dirigida con varios orígenes y destinos. La forma compacta del problema es la siguiente:

Aj,i1;0Y,B

Ni1;0

bYrNNj0

NNi1Aj,i0YBAj,i0YB

.a.s

Bt

min

ijij

i

Aj,iijij

dej

ori

ijijij

ijijji

Aj,iijij


El ataque óptimo para 15 aeronaves deja la red logística con una capacidad remanente de 340 unidades de flujo y queda definido de la forma siguiente:

La interpretación gráfica de la solución obtenida es la siguiente:


Apartado 2)

La función de destrucción de la capacidad logística enemiga en función del número de aeronaves atacantes requiere el empleo de Solver Table. Los resultados obtenidos son los si-guientes:

Vemos que es necesario contar con 34 aeronaves para reducir a cero la capacidad de la red.


Apartado 2)

La función de destrucción de la capacidad logística enemiga en función del número de aeronaves atacantes requiere el empleo de Solver Table. Los resultados obtenidos son los si-guientes:

Vemos que es necesario contar con 34 aeronaves para reducir a cero la capacidad de la red.

Apartado 3) Para poder incorporar los nodos a la decisión debemos desdoblarlos en dos: el compo-

nente que recibe las entradas y aquel del que salen las aristas originales. Estos componentes se encuentran artificialmente unidos por una arista de capacidad infinita y que requiere para su in-habilitación el mismo número de unidades que requiera el nodo desdoblado.

Un nodo genérico x que requiera de 15 aeronaves para ser destruido como el de la fi-gura siguiente:

Quedaría desdoblado de la siguiente forma:


La red original se convertiría entonces en la siguiente red desdoblada:

Sin necesidad de modificar la forma compacta, resolvemos y obtenemos la solución si-guiente (se han ordenado las aristas para que aparezcan en primer lugar aquellas que hayan de ser destruidas):


6.26 Modelo de Wood-Kennedy con atrición (2/OS/RED) ENUNCIADO

Considere la red logística enemiga de la figura siguiente: consta de 15 nodos de los cua-les el número 1 es origen y los números 11, 14 y 15 son destino. Las cifras que figuran sobre las aristas son la capacidad de la arista (en color negro) y el número de plataformas aéreas ne-cesarias para su inhabilitación (en color rojo tras el separador). Por su parte, las cifras que figu-ran bajo los nodos son las plataformas aéreas necesarias para su inhabilitación.

Por ejemplo, la arista, bidireccional, entre 14 y 15 tiene una capacidad de 500 y no pue-de ser atacada, mientras que la arista entre 12 y 13, con capacidad 270, requiere 10 platafor-mas para su destrucción. El nodo 15 no puede ser atacado (necesita infinitos recursos para su destrucción), mientras que el nodo 12 será destruido si es atacado por 10 plataformas.


1) Determine el número mínimo de plataformas necesarias para degradar por completola capacidad logística de la red, de manera que al enemigo le sea imposible comuni-car el nodo origen con cualquiera de los nodos destino. Suponga que únicamentepuede atacar las aristas de la red.

2) Igual que el apartado anterior, pero suponga ahora que es posible atacar tantolas aristas de la red como los nodos. Suponga que para atacar nodos y aristasutiliza el mismo tipo de plataforma aérea.


6.26 Modelo de Wood-Kennedy con atrición (2/OS/RED) ENUNCIADO

Considere la red logística enemiga de la figura siguiente: consta de 15 nodos de los cua-les el número 1 es origen y los números 11, 14 y 15 son destino. Las cifras que figuran sobre las aristas son la capacidad de la arista (en color negro) y el número de plataformas aéreas ne-cesarias para su inhabilitación (en color rojo tras el separador). Por su parte, las cifras que figu-ran bajo los nodos son las plataformas aéreas necesarias para su inhabilitación.

Por ejemplo, la arista, bidireccional, entre 14 y 15 tiene una capacidad de 500 y no pue-de ser atacada, mientras que la arista entre 12 y 13, con capacidad 270, requiere 10 platafor-mas para su destrucción. El nodo 15 no puede ser atacado (necesita infinitos recursos para su destrucción), mientras que el nodo 12 será destruido si es atacado por 10 plataformas.


1) Determine el número mínimo de plataformas necesarias para degradar por completola capacidad logística de la red, de manera que al enemigo le sea imposible comuni-car el nodo origen con cualquiera de los nodos destino. Suponga que únicamentepuede atacar las aristas de la red.

2) Igual que el apartado anterior, pero suponga ahora que es posible atacar tantolas aristas de la red como los nodos. Suponga que para atacar nodos y aristasutiliza el mismo tipo de plataforma aérea.

3) Suponga ahora que las plataformas que atacan las aristas y las que atacan los nodosson diferentes y que solo dispone de 10 de las primeras y de 10 de las segundas.Determine la utilización óptima de dichos medios aéreos para que la capa-cidad logística se deteriore lo máximo posible.

4) Suponga ahora que los nodos están defendidos por medios antiaéreos y causaránuna determinada atrición a las plataformas atacantes. La figura de esta páginamuestra esta atrición para los nodos. Considere la atrición de las aristas como la atri-ción media de los nodos que unen, siempre que ambos sean susceptibles de ataque(en caso de que alguno no sea atacable la arista tampoco lo será). Determine la uti-lización óptima de los ataques que haga mínima la capacidad remanente de la red,sin restricciones en cuanto al número de medios aéreos, pero incluyendo la res-tricción de que no debe sufrir una atrición esperada mayor a 1 plataforma.


SOLUCIÓN

Apartado 1)

Se trata de una aplicación básica del modelo de Wood para el cálculo de la interdicción óptima de una red con aristas bidireccionales. La forma compacta del problema es la siguiente:

1. ÍNDICES y CONJUNTOS

iN Conjunto de los nodos de la red, N = {1…, n} (i,j)A Aristas de la red (A = {1…, m}) desde el nodo i al nodo j

2. DATOS

tij Capacidad máxima de la arista (i,j)A rij Coste de interdicción de la arista (i,j)A b Presupuesto máximo de interdicción del atacante Red La topología de la red forma parte de los datos oNor N Conjunto de nodos origen de los suministros enemigos dNde N Conjunto de nodos destino de los suministros enemigos

3. VARIABLES

Bij Instrumental. Binaria. Introducida para linealizar el modelo Yij Instrumental. Binaria. Introducida para linealizar el modelo i Instrumental. Binaria. Introducida para linealizar el modelo

4. FORMA COMPACTA

Aj,i1;0Y,B

Ni1;0

0YtNNd0NNo1

Aj,i0YBAj,i0YB

.a.s

Br

min

ijij

i

Aj,iijij

ded

oro

ijijij

ijijji

Aj,iijij


SOLUCIÓN

Apartado 1)

Se trata de una aplicación básica del modelo de Wood para el cálculo de la interdicción óptima de una red con aristas bidireccionales. La forma compacta del problema es la siguiente:

1. ÍNDICES y CONJUNTOS

iN Conjunto de los nodos de la red, N = {1…, n} (i,j)A Aristas de la red (A = {1…, m}) desde el nodo i al nodo j

2. DATOS

tij Capacidad máxima de la arista (i,j)A rij Coste de interdicción de la arista (i,j)A b Presupuesto máximo de interdicción del atacante Red La topología de la red forma parte de los datos oNor N Conjunto de nodos origen de los suministros enemigos dNde N Conjunto de nodos destino de los suministros enemigos

3. VARIABLES

Bij Instrumental. Binaria. Introducida para linealizar el modelo Yij Instrumental. Binaria. Introducida para linealizar el modelo i Instrumental. Binaria. Introducida para linealizar el modelo

4. FORMA COMPACTA

Aj,i1;0Y,B

Ni1;0

0YtNNd0NNo1

Aj,i0YBAj,i0YB

.a.s

Br

min

ijij

i

Aj,iijij

ded

oro

ijijij

ijijji

Aj,iijij

La solución encontrada y su representación gráfica son las siguientes:


Apartado 2)

Para resolver este apartado es necesario recurrir al modelo de Wood-Kennedy con pre-supuesto común para aristas y nodos. Su formulación, a la que se le ha añadido la variable bi-naria Yi, es la siguiente:

Aj,i1;0Y;B

Ni1;0Y;Ni;Aj,iYY

0BtNNd0NNo1

Aj,i0YBAj,i0YB

.a.s

YrYrYr

min

ijij

ii

iij

Aj,iijij

ded

oro

ijijji

ijijij

Niii

Aj,iiij

Aj,iijij



Apartado 2)

Para resolver este apartado es necesario recurrir al modelo de Wood-Kennedy con pre-supuesto común para aristas y nodos. Su formulación, a la que se le ha añadido la variable bi-naria Yi, es la siguiente:

Aj,i1;0Y;B

Ni1;0Y;Ni;Aj,iYY

0BtNNd0NNo1

Aj,i0YBAj,i0YB

.a.s

YrYrYr

min

ijij

ii

iij

Aj,iijij

ded

oro

ijijji

ijijij

Niii

Aj,iiij

Aj,iijij


La representación gráfica de la solución es la siguiente: se atacan el nodo 8 y 10 y la arista 9-13; la capacidad de la red queda degradada por completo usando 24 plataformas, bas-tantes menos que las 39 que son necesarias si solo se pueden atacar las aristas:


Apartado 3) Suponga ahora que las plataformas que atacan las aristas y las que atacan los nodos son diferen-

tes y que solo dispone de 10 de las primeras y de 10 de las segundas. Determine la utilizaciónóptima para que la capacidad logística se deteriore lo máximo posible.

De nuevo necesitamos recurrir al modelo de Wood-Kennedy ahora con objetivo diferentey presupuestos distintos. Su formulación es la siguiente:

Aj,i1;0Y;B

Ni1;0Y;Ni;Aj,iYY

bYr

bYrYrNNd0NNo1

Aj,i0YBAj,i0YB

.a.s

0Bt

min

ijij

ii

iij

NNi

ii

AAj,i

iijAj,i

ijij

ded

oro

ijijji

ijijij

Aj,iijij



Apartado 3) Suponga ahora que las plataformas que atacan las aristas y las que atacan los nodos son diferen-

tes y que solo dispone de 10 de las primeras y de 10 de las segundas. Determine la utilizaciónóptima para que la capacidad logística se deteriore lo máximo posible.

De nuevo necesitamos recurrir al modelo de Wood-Kennedy ahora con objetivo diferentey presupuestos distintos. Su formulación es la siguiente:

Aj,i1;0Y;B

Ni1;0Y;Ni;Aj,iYY

bYr

bYrYrNNd0NNo1

Aj,i0YBAj,i0YB

.a.s

0Bt

min

ijij

ii

iij

NNi

ii

AAj,i

iijAj,i

ijij

ded

oro

ijijji

ijijij

Aj,iijij



Por falta de presupuesto, las aristas 7-10 y 2-8 no pueden ser cortadas, y por la red puede circular un flujo máximo de 340 unidades.


Apartado 4) Suponga ahora que los nodos están defendidos por medios antiaéreos y causarán una determi-

nada atrición a las plataformas atacantes. La figura muestra esta atrición para los nodos. Consi-dere la atrición de las aristas como la atrición media de los nodos que unen, siempre que ambossean susceptibles de ataque (en caso de que alguno nos sea atacable la arista tampoco lo será).Determine la utilización óptima de los ataques que haga mínima la capacidad remanente de lared, sin restricciones en cuanto al número de medios aéreos, pero incluyendo la restricción deque no debe sufrir una atrición esperada mayor a 1 plataforma.

La formulación es la siguiente:

Aj,i1;0Y;B

Ni1;0Y;Ni;Aj,iYY

aYrYrYrNNd0NNo1

Aj,i0YBAj,i0YB

.a.s

0Bt

min

ijij

ii

iij

MaxNi

iiAj,i

iijAj,i

ijij

ded

oro

ijijji

ijijij

Aj,iijij



Apartado 4) Suponga ahora que los nodos están defendidos por medios antiaéreos y causarán una determi-

nada atrición a las plataformas atacantes. La figura muestra esta atrición para los nodos. Consi-dere la atrición de las aristas como la atrición media de los nodos que unen, siempre que ambossean susceptibles de ataque (en caso de que alguno nos sea atacable la arista tampoco lo será).Determine la utilización óptima de los ataques que haga mínima la capacidad remanente de lared, sin restricciones en cuanto al número de medios aéreos, pero incluyendo la restricción deque no debe sufrir una atrición esperada mayor a 1 plataforma.

La formulación es la siguiente:

Aj,i1;0Y;B

Ni1;0Y;Ni;Aj,iYY

aYrYrYrNNd0NNo1

Aj,i0YBAj,i0YB

.a.s

0Bt

min

ijij

ii

iij

MaxNi

iiAj,i

iijAj,i

ijij

ded

oro

ijijji

ijijij

Aj,iijij



Las aristas 5-9 y 7-10 no pueden ser cortadas sin superar el umbral máximo permitido de atrición de nuestros medios, y por la red puede circular un flujo máximo de 210 unidades.


6.27 Evacuación de fuerzas de operaciones especiales (2/ST/LOC) ENUNCIADO

Tras haber sido infiltrados en paracaídas y haber llevado a cabo accio-nes ofensivas contra instalaciones enemigas, un conjunto de 20 pelotones pertenecientes a diferentes compañías de operaciones especiales se encuen-tran diseminados en una amplia zona de 100 x 100 kilómetros tal como se describe en la figura de esta página. Necesita planificar una operación de ex-tracción enviando helicópteros de transporte a determinados puntos de la zo-na para evacuar a los citados pelotones.

Puede deducir las coordenadas de los puntos en los que se encuentran los pelotones por simple inspección del gráfico (el pelotón 1 se encuentra en las coordenadas 40,10 por ejemplo). Por otra parte, los posibles puntos de aterrizaje de los helicópteros se corresponden con las esquinas de las 100 ca-sillas, desde 10,10, 10,20…, hasta 100,100.


1) Suponga que los puntos de extracción deben estar situados a menos de una deter-minada distancia máxima de los pelotones, de manera que estos puedan recorrer-la a pie antes de ser interceptados por las fuerzas enemigas. Construya una tablaque determine el número mínimo de helicópteros que son necesarios para evacuar atodos los pelotones si la distancia máxima que estos pueden recorrer está compren-dida entre 10 y 80 kilómetros (con intervalos de 5 kilómetros). Suponga que cual-quiera de los helicópteros tiene capacidad para transportar a los 20 pelotones sifuera necesario.

2) Determine el mínimo número de helicópteros y la posición óptima en que deben to-mar tierra para minimizar la distancia recorrida por los pelotones si estos están com-puestos por 8 operadores, los helicópteros pueden trasladar un máximo de 32operadores con sus correspondientes equipos, y la distancia máxima es 30.


6.27 Evacuación de fuerzas de operaciones especiales (2/ST/LOC) ENUNCIADO

Tras haber sido infiltrados en paracaídas y haber llevado a cabo accio-nes ofensivas contra instalaciones enemigas, un conjunto de 20 pelotones pertenecientes a diferentes compañías de operaciones especiales se encuen-tran diseminados en una amplia zona de 100 x 100 kilómetros tal como se describe en la figura de esta página. Necesita planificar una operación de ex-tracción enviando helicópteros de transporte a determinados puntos de la zo-na para evacuar a los citados pelotones.

Puede deducir las coordenadas de los puntos en los que se encuentran los pelotones por simple inspección del gráfico (el pelotón 1 se encuentra en las coordenadas 40,10 por ejemplo). Por otra parte, los posibles puntos de aterrizaje de los helicópteros se corresponden con las esquinas de las 100 ca-sillas, desde 10,10, 10,20…, hasta 100,100.


1) Suponga que los puntos de extracción deben estar situados a menos de una deter-minada distancia máxima de los pelotones, de manera que estos puedan recorrer-la a pie antes de ser interceptados por las fuerzas enemigas. Construya una tablaque determine el número mínimo de helicópteros que son necesarios para evacuar atodos los pelotones si la distancia máxima que estos pueden recorrer está compren-dida entre 10 y 80 kilómetros (con intervalos de 5 kilómetros). Suponga que cual-quiera de los helicópteros tiene capacidad para transportar a los 20 pelotones sifuera necesario.

2) Determine el mínimo número de helicópteros y la posición óptima en que deben to-mar tierra para minimizar la distancia recorrida por los pelotones si estos están com-puestos por 8 operadores, los helicópteros pueden trasladar un máximo de 32operadores con sus correspondientes equipos, y la distancia máxima es 30.

SOLUCIÓN

Apartado 1)

Se trata de un problema de cobertura total para el que deberá construir, en primer lu-gar, la matriz de cobertura basada en la condición de la distancia máxima a recorrer por los pe-lotones. El primer paso es calcular la matriz de distancias entre los elementos del problema. Si ponemos los posibles puntos de aterrizaje en las filas y las posiciones de los pelotones en las columnas, podremos construir una matriz dij de distancias (euclídeas) entre unos y otros. Una vista parcial, para las 6 primeras posiciones, es la siguiente:

Coordenadas de los pelotones

dij X 40 80 90 100 40 70 80 90 20 10 20 50 60 50 90 30 50 50 90 70 Y 10 10 10 10 20 20 30 30 40 50 60 60 60 70 70 80 80 90 90 100

X Y P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 P13 P14 P15 P16 P17 P18 P19 P20 10 10 1 30,0 70,0 80,0 90,0 31,6 60,8 72,8 82,5 31,6 40,0 51,0 64,0 70,7 72,1 100,0 72,8 80,6 89,4 113,1 108,2 20 10 2 20,0 60,0 70,0 80,0 22,4 51,0 63,2 72,8 30,0 41,2 50,0 58,3 64,0 67,1 92,2 70,7 76,2 85,4 106,3 103,0 30 10 3 10,0 50,0 60,0 70,0 14,1 41,2 53,9 63,2 31,6 44,7 51,0 53,9 58,3 63,2 84,9 70,0 72,8 82,5 100,0 98,5 40 10 4 0,0 40,0 50,0 60,0 10,0 31,6 44,7 53,9 36,1 50,0 53,9 51,0 53,9 60,8 78,1 70,7 70,7 80,6 94,3 94,9 50 10 5 10,0 30,0 40,0 50,0 14,1 22,4 36,1 44,7 42,4 56,6 58,3 50,0 51,0 60,0 72,1 72,8 70,0 80,0 89,4 92,2 60 10 6 20,0 20,0 30,0 40,0 22,4 14,1 28,3 36,1 50,0 64,0 64,0 51,0 50,0 60,8 67,1 76,2 70,7 80,6 85,4 90,6

A partir de la matriz de distancias podemos calcular la matriz de cobertura (aij) que tiene también 100 filas (posibles localizaciones) y 20 columnas (una por cada pelotón) y estará calculada aplicando la condición de máxima distancia sobre la matriz dij previamente calculada.

La formulación es la propia de los problemas de cobertura total:

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iA Puntos de posible aterrizaje, A = {A1…} jP Pelotones a extraer, P = {P1…, P10}

2. DATOS aij Elementos de la matriz binaria de cobertura

3. VARIABLES Xi Binaria. Con valor 1 se elige el punto i para extraer pelotones

4. FORMA COMPACTA

Ai1;0X

Ai1Xa

.a.s

X

min

i

Pjiij

Pii


Una vez que somos capaces de resolver el problema para una distancia máxima dada, por ejemplo, para MaxDis = 30, obtendríamos la solución siguiente:

Utilizamos Solver Table para obtener el número de helicópteros necesarios para extraer a todos los pelotones. La figura siguiente muestra el número de helicópteros necesarios para extraer la totalidad de los pelotones en el eje principal y el número de pelotones que embarca-ría en algún helicóptero:

Apartado 2) Determine el mínimo número de helicópteros y la posición óptima en que deben tomar

tierra para minimizar la distancia recorrida por los pelotones si estos están compuestospor 8 operadores, los helicópteros pueden trasladar un máximo de 32 operadores consus correspondientes equipos y la distancia máxima es 30.

Pudiera parecer que para resolver el problema ahora planteado bastaría con modificar la forma compacta añadiendo una restricción para que el total de los pelotones a recoger desde el punto elegido fuera menor que 4.

4Xa

.a.s

Pjiij

Sin embargo, no será en general posible encontrar puntos a los que solo puedan acce-der cuatro pelotones y, si existieran, probablemente no serían capaces de dar cobertura com-pleta a todos los pelotones. Para resolver el problema es necesario modificar la formulación anterior y forzar a que los pelotones se dirijan, para ser evacuados, no al punto más cercano, sino a aquel que se les asigne en el proceso de optimización, para lo cual es necesario formular


Una vez que somos capaces de resolver el problema para una distancia máxima dada, por ejemplo, para MaxDis = 30, obtendríamos la solución siguiente:

Utilizamos Solver Table para obtener el número de helicópteros necesarios para extraer a todos los pelotones. La figura siguiente muestra el número de helicópteros necesarios para extraer la totalidad de los pelotones en el eje principal y el número de pelotones que embarca-ría en algún helicóptero:

Apartado 2) Determine el mínimo número de helicópteros y la posición óptima en que deben tomar

tierra para minimizar la distancia recorrida por los pelotones si estos están compuestospor 8 operadores, los helicópteros pueden trasladar un máximo de 32 operadores consus correspondientes equipos y la distancia máxima es 30.

Pudiera parecer que para resolver el problema ahora planteado bastaría con modificar la forma compacta añadiendo una restricción para que el total de los pelotones a recoger desde el punto elegido fuera menor que 4.

4Xa

.a.s

Pjiij

Sin embargo, no será en general posible encontrar puntos a los que solo puedan acce-der cuatro pelotones y, si existieran, probablemente no serían capaces de dar cobertura com-pleta a todos los pelotones. Para resolver el problema es necesario modificar la formulación anterior y forzar a que los pelotones se dirijan, para ser evacuados, no al punto más cercano, sino a aquel que se les asigne en el proceso de optimización, para lo cual es necesario formular

el problema no como uno de cobertura total, sino como uno de cobertura máxima con restric-ciones de capacidad, introduciendo dos variables de decisión:

Yi Binaria. Con valor 1 si elige el punto i para extraer pelotones Xij Binaria. Con valor 1 si el pelotón j debe dirigirse al punto i

La forma compacta quedaría entonces de la forma siguiente:

Pj1;0Y

Ai1;0X

Aj4Ya

Aj1Ya

.a.s

Y

min

j

ij

Aiiij

Aiiij

Aii


Es decir, necesitamos un mínimo de 5 helicópteros para efectuar la extracción de todos los pelotones en las condiciones descritas por el problema. Antes de dar el problema por resuel-to debemos darnos cuenta que el enunciado del problema contiene en realidad dos problemas que no pueden ser resueltos simultáneamente:

Determine el mínimo número de helicópteros y la posición óptima en que deben tomar tierra pa-ra minimizar la distancia recorrida por los pelotones si estos están compuestos por 8 operadores,los helicópteros pueden trasladar un máximo de 32 operadores con sus correspondientes equiposy la distancia máxima es 30.

Dado que en la forma compacta del problema expuesto anteriormente solo hemos mi-nimizado el número de helicópteros necesarios, queda aún pendiente por resolver el problema de minimizar la distancia recorrida por los pelotones. La forma compacta del problema es en-tonces la siguiente:

Pj1;0Y

Ai1;0X

Aj4Ya

Aj1Ya

5Y

.a.s

Xd

min

j

ij

Aiiij

Aiiij

Aii

Pj Aiijij


La solución encontrada es ahora la que minimiza la distancia recorrida:



La solución encontrada es ahora la que minimiza la distancia recorrida:


6.28 Detección de objetivo en movimiento (3/OS/RED) ENUNCIADO

Es el jefe de un equipo de operaciones especiales desarrollando una misión en territorio hostil cuyo objetivo es la detección de un importante terrorista. Por los informes de inteligencia sabe que el objetivo a detectar se desplazará por una zona cuya descripción (ver la figura de esta página) es la siguiente14:

Existen tres posibles puntos de entrada (E1, E2 y E3); desde estos, siguiendo las ca-rreteras existentes, el objetivo se desplazará hacia alguna de las aldeas intermediaspara alcanzar finalmente alguno de los puntos de salida (S1, S2 y S3).

La red, formada por los puntos de entrada, los de salida y las aldeas intermedias tieneen total 9 tramos (T1…, T9) para los que se conoce el tiempo (horas) que el objetivoinvertiría en recorrerlos. Así, por ejemplo, para recorrer el tramo T5, entre las aldeasb y c, el objetivo invertiría 11 horas.

Se desconoce la ruta exacta que seguirá el objetivo. Se sabe que ha de entrar por al-guno de los tres puntos de entrada, recorrer algunos de los tramos para dirigirse auna o varias aldeas y que, finalmente, saldrá de la zona por alguno de los tres puntosde salida.

Si el objetivo consigue llegar a alguno de los puntos de salida sin ser detectado, la mi-sión habrá fracasado.

De las posibles combinaciones de tramos dados por la topología de la red se deduceque existen únicamente cinco posibles rutas que el objetivo puede seguir.

Ruta Tramos Tiempo total (horas)

R1 E1 → a → D1 - 28 R2 E2 → a → c → D2 30 R3 E2 → b → c → D2 26 R4 E2 → b → d → D3 30 R5 E3 → d → D3 - 26

14 Este problema está adaptado del presentado en el apartado 9.2 (Washburn, A. y Kress, M. «Routing a UAV». Combat Modeling. Springer 2009).


El equipo cuenta con un UAV apto para tareas de vigilancia que sobrevolará la zona,en un plan de vuelo que ha de ser determinado previamente por el jefe del equipo.

Este plan de vuelo determina qué tramo sobrevolará el UAV durante cada hora del pe-ríodo de 30 horas máximo que puede mantenerse sin repostar. Al final de cada hora,el UAV solo tiene dos opciones: permanecer sobrevolando el tramo en el que se en-cuentra, o abandonarlo para dirigirse a otro tramo contiguo. La matriz que determinalos movimientos posibles entre tramos aparece en la tabla A del enunciado. Así, porejemplo, desde el tramo 1, el UAV puede: seguir sobrevolando el tramo 1 o desplazar-se a alguno de los tramos 2, 3 o 4, pero no puede saltar al resto de tramos.

El UAV se controla desde una unidad en tierra (GCU) que debe mantener, en todomomento, contacto visual con el UAV. Existen solo cuatro posibles zonas (Z1…, Z4) enla que desplegar la GCU. La tabla B, muestra qué tramos de la ruta pueden ser con-trolados desde cada una de las posibles localizaciones de la GCU.

Cuando el objetivo y el UAV, a lo largo de una hora cualquiera en que se ha dividido laduración de la operación, coinciden en el mismo tramo, existe una probabilidad, nonula, de que el UAV detecte al objetivo. Lógicamente, si ambos elementos no coinci-den en el mismo instante de tiempo en el mismo lugar, esta probabilidad de detecciónes nula. Cada tramo tiene una probabilidad de detección diferente y los valores apare-cen en la tabla C.

Tabla A T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9

T1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 T2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 T3 1 1 1 0 1 1 0 0 0 T4 1 0 0 1 1 0 1 0 0 T5 0 0 1 1 1 1 1 0 0 T6 0 0 1 0 1 1 0 0 0 T7 0 0 0 1 1 0 1 1 1 T8 0 0 0 0 0 0 1 1 1 T9 0 0 0 0 0 0 1 1 1

Tabla B Z1 Z2 Z3 Z4

T1 1 1 1 T2 1 1 1 T3 1 T4 1 1 1 T5 1 1 1 T6 1 T7 1 T8 1 T9 1 1 1 1

Tabla C Probabilidades de detección en cada tramo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9

0,500 0,510 0,674 0,615 0,245 0,258 0,678 0,345 0,329


1) Planifique la operación dando: la zona en la que se instalará la GCU y los tramos que ha desobrevolar en cada hora el UAV para que, respetando las restricciones descritas anterior-mente (referidas a los posibles saltos entre tramos y al mantenimiento de la línea visual en-tre UAV y GCU), se haga máxima la mínima probabilidad de detección de la rutadesconocida a priori que seguirá el objetivo.

2) Suponga que Inteligencia le ofrece estimaciones de las probabilidades de que el objetivo si-ga cada una de las posibles rutas. Repita el apartado anterior contando con esta informa-ción.

Ruta Probabilidad R1 0,250 R2 0,147 R3 0,176 R4 0,169 R5 0,258


El equipo cuenta con un UAV apto para tareas de vigilancia que sobrevolará la zona,en un plan de vuelo que ha de ser determinado previamente por el jefe del equipo.

Este plan de vuelo determina qué tramo sobrevolará el UAV durante cada hora del pe-ríodo de 30 horas máximo que puede mantenerse sin repostar. Al final de cada hora,el UAV solo tiene dos opciones: permanecer sobrevolando el tramo en el que se en-cuentra, o abandonarlo para dirigirse a otro tramo contiguo. La matriz que determinalos movimientos posibles entre tramos aparece en la tabla A del enunciado. Así, porejemplo, desde el tramo 1, el UAV puede: seguir sobrevolando el tramo 1 o desplazar-se a alguno de los tramos 2, 3 o 4, pero no puede saltar al resto de tramos.

El UAV se controla desde una unidad en tierra (GCU) que debe mantener, en todomomento, contacto visual con el UAV. Existen solo cuatro posibles zonas (Z1…, Z4) enla que desplegar la GCU. La tabla B, muestra qué tramos de la ruta pueden ser con-trolados desde cada una de las posibles localizaciones de la GCU.

Cuando el objetivo y el UAV, a lo largo de una hora cualquiera en que se ha dividido laduración de la operación, coinciden en el mismo tramo, existe una probabilidad, nonula, de que el UAV detecte al objetivo. Lógicamente, si ambos elementos no coinci-den en el mismo instante de tiempo en el mismo lugar, esta probabilidad de detecciónes nula. Cada tramo tiene una probabilidad de detección diferente y los valores apare-cen en la tabla C.

Tabla A T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9

T1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 T2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 T3 1 1 1 0 1 1 0 0 0 T4 1 0 0 1 1 0 1 0 0 T5 0 0 1 1 1 1 1 0 0 T6 0 0 1 0 1 1 0 0 0 T7 0 0 0 1 1 0 1 1 1 T8 0 0 0 0 0 0 1 1 1 T9 0 0 0 0 0 0 1 1 1

Tabla B Z1 Z2 Z3 Z4

T1 1 1 1 T2 1 1 1 T3 1 T4 1 1 1 T5 1 1 1 T6 1 T7 1 T8 1 T9 1 1 1 1

Tabla C Probabilidades de detección en cada tramo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9

0,500 0,510 0,674 0,615 0,245 0,258 0,678 0,345 0,329


1) Planifique la operación dando: la zona en la que se instalará la GCU y los tramos que ha desobrevolar en cada hora el UAV para que, respetando las restricciones descritas anterior-mente (referidas a los posibles saltos entre tramos y al mantenimiento de la línea visual en-tre UAV y GCU), se haga máxima la mínima probabilidad de detección de la rutadesconocida a priori que seguirá el objetivo.

2) Suponga que Inteligencia le ofrece estimaciones de las probabilidades de que el objetivo si-ga cada una de las posibles rutas. Repita el apartado anterior contando con esta informa-ción.

Ruta Probabilidad R1 0,250 R2 0,147 R3 0,176 R4 0,169 R5 0,258

SOLUCIÓN

Apartado 1)

Comenzaremos dando la formulación del problema:

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iT Tramos de la posible ruta, T = {T1…, T9} jH Tramos horarios, H = {H1…, H30} kU Posibles zonas de despliegue de la GCU, U = {U1…, U4} rR Rutas posibles a seguir por el objetivo, R = {R1…, R5}

2. DATOS ti Duración en horas de la travesía del tramo i (datos en la figura) di Probabilidad de detección en el tramo i (tabla C) pr Probabilidad de que el objetivo siga la ruta r (tabla D) A Binaria. Matriz de adyacencia entre tramos (tabla A) B Binaria. Matriz de cobertura zona-tramo (tabla B) V Matrices de posición hora-ruta (deducidas de los datos)

3. VARIABLES Xij Binaria. 1 si el UAV sobrevuela el tramo i durante la hora j Yk Binaria. 1 si la GCU se despliega en k

4. FORMA COMPACTA

Uk1;0Y

Tj,i1;0X

RrZP1logX

Tj,iCGUYX

30,,2jAXX

1Y

Hj1X

.a.sZ

max

k

ij

Hj Ti

rijij

Ukikkj,i

Tij,j1j,ij,i

Ukk

Tiij

5. EXPLICACIÓN

La variable de decisión principal, Xij se refiere al tramo que sobrevolará el UAV durante la hora j-ésima del período de 30 horas que puede durar la operación. Su representación es la de una matriz de elementos binarios de 9 (tramos) por 30 (horas) del estilo siguiente:

MOVIMIENTOS DEL UAV Xij 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 T1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 T6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 T8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0


La matriz anterior constituye una posible solución al imponerle la primera restricción. Esta solución concreta nos dice que el UAV permanecerá sobrevolando el tramo T1 durante las primeras 12 horas de la operación; al final de la hora 12 saltará al tramo T4 y permanecerá una hora en él; después saltará a T7 para permanecer allí otra hora; saltará a T9 donde permanece-rá desde el comienzo de la hora 15 hasta el final de la hora 23; saltará a T7 para permanecer una hora; finalmente se posicionará sobre el tramo T5 donde permanecerá desde el comienzo de la hora 25 hasta el final de la operación.

La representación gráfica de la solución anterior, que describe la trayectoria del UAV en cada período, es la siguiente:

La restricción:

Hj1XTi

ij

Impone que el UAV ha de encontrarse en una hora concreta sobrevolando un único tramo.

Análogamente, la segunda variable de decisión Yk determina la zona en la que debe desplegarse la GCU. Su aspecto será parecido al siguiente:

U1 U2 U3 U4 Yk 0 0 1 0 1 SFU

La restricción:

1YUk

k

Impone que la GCU debe situarse en una única zona de las cuatro en las que es posible su des-pliegue.

La restricción:

30,,2jAXXTi

j,j1j,ij,i

Impone que al final de una hora, si se decide que el UAV cambie de posición y deje de sobrevo-lar el tramo en el que se encontraba, para dirigirse a otro distinto, el movimiento sea lícito, es decir, que el UAV se mueva para permanecer durante la hora j en un tramo adyacente a aquel en el que se encontraba en la hora j-1.


La matriz anterior constituye una posible solución al imponerle la primera restricción. Esta solución concreta nos dice que el UAV permanecerá sobrevolando el tramo T1 durante las primeras 12 horas de la operación; al final de la hora 12 saltará al tramo T4 y permanecerá una hora en él; después saltará a T7 para permanecer allí otra hora; saltará a T9 donde permanece-rá desde el comienzo de la hora 15 hasta el final de la hora 23; saltará a T7 para permanecer una hora; finalmente se posicionará sobre el tramo T5 donde permanecerá desde el comienzo de la hora 25 hasta el final de la operación.

La representación gráfica de la solución anterior, que describe la trayectoria del UAV en cada período, es la siguiente:

La restricción:

Hj1XTi

ij

Impone que el UAV ha de encontrarse en una hora concreta sobrevolando un único tramo.

Análogamente, la segunda variable de decisión Yk determina la zona en la que debe desplegarse la GCU. Su aspecto será parecido al siguiente:

U1 U2 U3 U4 Yk 0 0 1 0 1 SFU

La restricción:

1YUk

k

Impone que la GCU debe situarse en una única zona de las cuatro en las que es posible su des-pliegue.

La restricción:

30,,2jAXXTi

j,j1j,ij,i

Impone que al final de una hora, si se decide que el UAV cambie de posición y deje de sobrevo-lar el tramo en el que se encontraba, para dirigirse a otro distinto, el movimiento sea lícito, es decir, que el UAV se mueva para permanecer durante la hora j en un tramo adyacente a aquel en el que se encontraba en la hora j-1.

Supongamos que en la hora 1 el UAV se encuentra en el tramo 1; la columna de la va-riable (matriz) de decisión Xi1 será un vector que contiene un único valor 1 en la primera posi-ción, es decir:

Xi1 1 T1 1 T2 0 T3 0 T4 0 T5 0 T6 0 T7 0 T8 0 T9 0

Por su parte, la matriz A, de elementos binarios Aij, que indica la adyacencia entre dos tramos i y j (dada en la tabla A), es la siguiente:

A T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 T2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 T3 1 1 1 0 1 1 0 0 0 T4 1 0 0 1 1 0 1 0 0 T5 0 0 1 1 1 1 1 0 0 T6 0 0 1 0 1 1 0 0 0 T7 0 0 0 1 1 0 1 1 1 T8 0 0 0 0 0 0 1 1 1 T9 0 0 0 0 0 0 1 1 1

Si queremos saber a qué tramos de la ruta podría dirigirse el UAV, al final de esa pri-mera hora, para permanecer allí a lo largo de la segunda hora, bastará que multipliquemos ma-tricialmente la matriz A por el vector (columna) X1, cuyos elementos son los Xi1, para obtener un segundo vector V2, análogo en forma a X1, de movimientos posibles al final de la primera hora, o de manera equivalente, de posiciones posibles a lo largo de la segunda hora:

1,92

1111

1,91

1

9,9

11111111111

11111111

111111111

1111111

12

VXA

XAV

Puesto que este vector tiene valores 1 en las cuatro primeras posiciones, desde el tra-mo T1 el UAV puede moverse a cualquiera de estos cuatro posibles tramos (incluido el propio T1), lo que supondría que el UAV no cambiaría de tramo en la siguiente hora.

Esta operación es válida para cualquier tramo horario del período: el vector columna (binario), resultado de multiplicar matricialmente el vector columna asociado a la solución para un tramo horario j por la matriz A de movimientos posibles, nos dará los movimientos válidos del UAV en el siguiente tramo horario, también como un vector columna binario.

De manera que la restricción:

30,,2jAXXTi

j,j1j,ij,i1jj

AXX

Impone que la solución esté formada únicamente por movimientos válidos.


La restricción de la forma:

Tj,iCGUYXUk

ikkij

Es análoga a la anterior e impone que el UAV se mantenga siempre en un tramo que esté bajo el control de la GCU en toda franja horaria. Los elementos de la matriz GCUik son los que aparecen en la tabla B del enunciado.

La restricción de la forma siguiente junto con la forma de la función objetivo responde al plan-teamiento minimax del primer apartado:

RrZP1logXHj Ti

rijij

Supongamos que el objetivo sigue la ruta R1. La probabilidad de ser encontrado por el UAV en cada tramo y hora es la siguiente (por comodidad hemos representado únicamente las 10 primeras horas):

Pij 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

R1

T1 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 T2 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 T3 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 T4 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 T5 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 T6 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 T7 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 T8 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 T9 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Si la ruta planeada para el UAV durante esas horas fuera la siguiente: Xij 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 T1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 T2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T4 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 T5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

La probabilidad de no detección sería: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,55 0,00 0,55 0,00 0,00 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55

Es decir, respondería, en cada franja horaria j, a la expresión:

Ti

rijij P1X

Y la probabilidad de no detectar el objetivo en esas primeras 10 horas, dado que el primero sigue la ruta R1 y el UAV está situado según Xij, es:

10..1j Ti

rijij P1X

En general, para cualquier ruta r posible que pueda seguir el objetivo, la probabilidad

de no ser encontrado por un UAV que sigue un movimiento dado por Xij es:


La restricción de la forma:

Tj,iCGUYXUk

ikkij

Es análoga a la anterior e impone que el UAV se mantenga siempre en un tramo que esté bajo el control de la GCU en toda franja horaria. Los elementos de la matriz GCUik son los que aparecen en la tabla B del enunciado.

La restricción de la forma siguiente junto con la forma de la función objetivo responde al plan-teamiento minimax del primer apartado:

RrZP1logXHj Ti

rijij

Supongamos que el objetivo sigue la ruta R1. La probabilidad de ser encontrado por el UAV en cada tramo y hora es la siguiente (por comodidad hemos representado únicamente las 10 primeras horas):

Pij 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

R1

T1 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 T2 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 T3 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 T4 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 T5 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 T6 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 T7 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 T8 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 T9 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Si la ruta planeada para el UAV durante esas horas fuera la siguiente: Xij 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 T1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 T2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T4 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 T5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

La probabilidad de no detección sería: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,55 0,00 0,55 0,00 0,00 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55

Es decir, respondería, en cada franja horaria j, a la expresión:

Ti

rijij P1X

Y la probabilidad de no detectar el objetivo en esas primeras 10 horas, dado que el primero sigue la ruta R1 y el UAV está situado según Xij, es:

10..1j Ti

rijij P1X

En general, para cualquier ruta r posible que pueda seguir el objetivo, la probabilidad

de no ser encontrado por un UAV que sigue un movimiento dado por Xij es:

Hj Ti

rijij

r P1XP

Dado que la expresión es no lineal, para incorporar la restricción es necesario lineali-zarla previamente, es decir, la restricción final tendrá la forma siguiente:

RrZP1logXHj Ti

rijij

La solución al primer apartado es la expuesta anteriormente:

Que responde a los valores de la variable de decisión siguientes:

MOVIMIENTOS DEL UAV Xij 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 T1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 T6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 T8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

Para la solución presentada anteriormente, la matriz de movimientos válidos será la siguiente: Vij 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 T1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 T4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 T5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 T6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 T7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 T8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 T9 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0


Las probabilidades de detección del objetivo son:


Las probabilidades de detección del objetivo son: PUNTOS DE LAS DIFERENTES RUTAS

cit 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

R1

T1 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T2 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,29 0,29 0,29 0,29 0,29 0,29 0,29 0,29 0,29 0,29 0,29 0,29 0,29 0,29 0,29 0,29 0,00 0,00 T3 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T5 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T6 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T7 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T8 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T9 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

R2

T1 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T2 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T3 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,17 0,17 0,17 0,17 0,17 0,17 0,17 0,17 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T5 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T6 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,59 0,59 0,59 0,59 0,59 0,59 0,59 0,59 0,59 0,59 T7 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T8 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T9 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

R3

T1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T2 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T3 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T4 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T5 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,61 0,61 0,61 0,61 0,61 0,61 0,61 0,61 0,61 0,61 0,61 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T6 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,59 0,59 0,59 0,59 0,59 0,59 0,59 0,59 0,59 0,59 0,00 0,00 0,00 0,00 T7 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T8 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T9 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

R4

T1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T2 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T3 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T4 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T5 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T6 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T7 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,17 0,17 0,17 0,17 0,17 0,17 0,17 0,17 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T8 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T9 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,48 0,48 0,48 0,48 0,48 0,48 0,48 0,48 0,48 0,48 0,48 0,48 0,48 0,48 0,48 0,48 0,48

R5

T1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T2 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T3 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T5 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T6 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T7 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T8 0,46 0,46 0,46 0,46 0,46 0,46 0,46 0,46 0,46 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 T9 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,48 0,48 0,48 0,48 0,48 0,48 0,48 0,48 0,48 0,48 0,48 0,48 0,48 0,48 0,48 0,48 0,48 0,00 0,00 0,00 0,00


6.29 Planificación óptima de una misión aire-tierra (3/SO/PLE) Es usted el responsable del diseño de una misión de ataque aéreo a un complejo in-

dustrial enemigo formado por varios objetivos terrestres. Cuenta, para llevar a cabo el ataque, con cuatro tipos diferentes de plataformas aéreas (Plat.1…, Plat.4) susceptibles de configurarse en cuanto al armamento abordo que será lanzado sobre el objetivo de diferentes formas (3, 2, 4, y 2 configuraciones posibles para las cuatro plataformas respectivamente).

El diseño de la misión consiste en determinar cuántas plataformas y en qué configura-ciones deben atacar a qué objetivos de los que componen el complejo industrial enemigo.

La tabla A describe, para cada plataforma, sus posibles configuraciones y el armamen-to que portaría en caso de ser configurada de dicha forma. Por ejemplo, la plataforma 1, en su primera configuración C1_1, portaría 2 bombas de tipo BPG-2000, 2 de tipo BRP-250 y 3 GBU-16.

Tabla A CONFIGURACIONES

Plat. 1 Plat. 2 Plat. 3 Plat. 4 C1_1 C1_2 C1_3 C2_1 C2_2 C3_1 C3_2 C3_3 C3_4 C4_1 C4_2

BPG-2000 2 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 BR-200 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 BR-500 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0

BRP-250 2 0 1 0 0 2 0 0 0 2 0 BRPS-250 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0

GBU-10 0 0 0 0 0 0 2 3 0 0 0 GBU-16 3 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 GBU-24 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0

MK-82 0 0 0 0 0 0 3 0 0 2 0 Cohetes FFAR-2.75 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0

Mina MK-52 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 Misil AGM-65 Maverick 0 4 0 0 0 0 0 0 0 3 0 Misil AGM-84 Harpoon 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0

Misil AGM-88 Harm 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 Misil KEPD-350 TAURUS 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 2

El complejo industrial está formado por 10 objetivos de muy diferente naturaleza en todos los aspectos: su vulnerabilidad frente al armamento empleado contra ellos, el grado de defensa antiaérea de que disponen, su valor táctico, etc. Las características del armamento de-terminan la clase de blanco contra el que debe ser empleado para conseguir la máxima eficacia destructiva. El resumen de esta adecuación arma/objetivo se muestra en la tabla B. En ella se muestra un índice de efectividad de cada uno de los tipos de armamento, en función del ob-jetivo sobre el que es empleado, para cada uno de los 10 objetivos que componen el complejo industrial enemigo.

Tabla B EFECTIVIDAD

OBJETIVOS A ATACAR Obj-1 Obj-2 Obj-3 Obj-4 Obj-5 Obj-6 Obj-7 Obj-8 Obj-9 Obj-10

BPG-2000 0,000 0,944 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,892 0,000 0,000 BR-200 0,551 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,570 BR-500 0,000 0,000 0,804 0,000 0,000 0,000 0,000 0,829 0,000 0,000

BRP-250 0,000 0,000 0,000 0,875 0,000 0,000 0,000 0,000 0,875 0,000 BRPS-250 0,000 0,891 0,000 0,000 0,000 0,000 0,815 0,000 0,000 0,000

GBU-10 0,551 0,000 0,000 0,000 0,000 0,660 0,000 0,000 0,000 0,000 GBU-16 0,510 0,000 0,564 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 GBU-24 0,000 0,000 0,000 0,629 0,000 0,526 0,000 0,000 0,629 0,000

MK-82 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,592 Cohetes FFAR-2.75 0,000 0,000 0,655 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,533

Mina MK-52 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 Misil AGM-65 Maverick 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,975 0,000 0,000 0,000 Misil AGM-84 Harpoon 0,000 0,000 0,000 0,530 0,000 0,000 0,000 0,000 0,530 0,000

Misil AGM-88 Harm 0,000 0,000 0,000 0,000 0,910 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 Misil KEPD-350 TAURUS 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,886 0,000 0,000

Este índice es un número real, mayor cuanto mayor sea el grado de destrucción sobre el objetivo. Es acumulativo, es decir, el grado final de efectividad lograda sobre un objetivo,


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dustrial enemigo formado por varios objetivos terrestres. Cuenta, para llevar a cabo el ataque, con cuatro tipos diferentes de plataformas aéreas (Plat.1…, Plat.4) susceptibles de configurarse en cuanto al armamento abordo que será lanzado sobre el objetivo de diferentes formas (3, 2, 4, y 2 configuraciones posibles para las cuatro plataformas respectivamente).

El diseño de la misión consiste en determinar cuántas plataformas y en qué configura-ciones deben atacar a qué objetivos de los que componen el complejo industrial enemigo.

La tabla A describe, para cada plataforma, sus posibles configuraciones y el armamen-to que portaría en caso de ser configurada de dicha forma. Por ejemplo, la plataforma 1, en su primera configuración C1_1, portaría 2 bombas de tipo BPG-2000, 2 de tipo BRP-250 y 3 GBU-16.

Tabla A CONFIGURACIONES


BPG-2000 2 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 BR-200 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 BR-500 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0

BRP-250 2 0 1 0 0 2 0 0 0 2 0 BRPS-250 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0

GBU-10 0 0 0 0 0 0 2 3 0 0 0 GBU-16 3 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 GBU-24 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0

MK-82 0 0 0 0 0 0 3 0 0 2 0 Cohetes FFAR-2.75 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0

Mina MK-52 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 Misil AGM-65 Maverick 0 4 0 0 0 0 0 0 0 3 0 Misil AGM-84 Harpoon 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0

Misil AGM-88 Harm 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 Misil KEPD-350 TAURUS 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 2

El complejo industrial está formado por 10 objetivos de muy diferente naturaleza en todos los aspectos: su vulnerabilidad frente al armamento empleado contra ellos, el grado de defensa antiaérea de que disponen, su valor táctico, etc. Las características del armamento de-terminan la clase de blanco contra el que debe ser empleado para conseguir la máxima eficacia destructiva. El resumen de esta adecuación arma/objetivo se muestra en la tabla B. En ella se muestra un índice de efectividad de cada uno de los tipos de armamento, en función del ob-jetivo sobre el que es empleado, para cada uno de los 10 objetivos que componen el complejo industrial enemigo.

Tabla B EFECTIVIDAD


BPG-2000 0,000 0,944 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,892 0,000 0,000 BR-200 0,551 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,570 BR-500 0,000 0,000 0,804 0,000 0,000 0,000 0,000 0,829 0,000 0,000

BRP-250 0,000 0,000 0,000 0,875 0,000 0,000 0,000 0,000 0,875 0,000 BRPS-250 0,000 0,891 0,000 0,000 0,000 0,000 0,815 0,000 0,000 0,000

GBU-10 0,551 0,000 0,000 0,000 0,000 0,660 0,000 0,000 0,000 0,000 GBU-16 0,510 0,000 0,564 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 GBU-24 0,000 0,000 0,000 0,629 0,000 0,526 0,000 0,000 0,629 0,000

MK-82 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,592 Cohetes FFAR-2.75 0,000 0,000 0,655 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,533

Mina MK-52 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 Misil AGM-65 Maverick 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,975 0,000 0,000 0,000 Misil AGM-84 Harpoon 0,000 0,000 0,000 0,530 0,000 0,000 0,000 0,000 0,530 0,000

Misil AGM-88 Harm 0,000 0,000 0,000 0,000 0,910 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 Misil KEPD-350 TAURUS 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,886 0,000 0,000

Este índice es un número real, mayor cuanto mayor sea el grado de destrucción sobre el objetivo. Es acumulativo, es decir, el grado final de efectividad lograda sobre un objetivo,

asociado al porcentaje de daño posible que se le ha causado, será la suma de la efectividad parcial de todas las armas arrojadas sobre él. Esta efectividad, o daño, podría llegar a sumar 100, lo que supondría que el objetivo atacado quedaría totalmente destruido.

Otras consideraciones a tener en cuenta en el momento de diseñar el ataque son las siguientes:

No debe quedar ningún objetivo sin ser atacado por, al menos, una plataforma.

La tabla C indica las cantidades máximas disponibles (mj), en el momento de iniciarseel ataque, de cada una de las armas.

Tabla C Armamento mj Armamento mj

BPG-2000 80 MK-82 65 BR-200 60 Cohetes FFAR-2.75 25 BR-500 50 Mina MK-52 50

BRP-250 50 Misil AGM-65 Maverick 12 BRPS-250 75 Misil AGM-84 Harpoon 10

GBU-10 50 Misil AGM-88 Harm 25 GBU-16 50 Misil KEPD-350 TAURUS 30 GBU-24 50

La tabla D indica la cantidad máxima disponible, en el momento de iniciarse el ataque,de cada tipo de plataforma aérea:

Tabla D Plataformas C,s_MAX Plataformas C,s_MAX

Plat. 1 20 Plat. 3 10 Plat. 2 12 Plat. 4 10

Debido al terreno en el que están situados los objetivos (y a otras consideraciones queafectan a la seguridad en vuelo y a las acciones de coordinación necesarias para realizarel ataque), la cantidad de plataformas que pueden sobrevolar cada objetivo está limita-da. La tabla E indica la cantidad máxima de plataformas que pueden atacar simultá-neamente cada objetivo:

Tabla E OBJETIVOS A ATACAR Obj-1 Obj-2 Obj-3 Obj-4 Obj-5 Obj-6 Obj-7 Obj-8 Obj-9 Obj-10

Max 15 5 10 15 5 5 5 10 5 5

Cada objetivo tiene para nosotros un valor diferente. La tabla F recoge el valor tácticodel objetivo (VTO) de cada uno de los posibles blancos. Este valor es un número entero(entre 0 y 100, con 100 el máximo valor posible).

Tabla F OBJETIVOS A ATACAR Obj-1 Obj-2 Obj-3 Obj-4 Obj-5 Obj-6 Obj-7 Obj-8 Obj-9 Obj-10

VTO 41 27 33 36 14 25 33 21 20 30

La tabla G recoge la probabilidad (PKILL) de que una plataforma sea derribada por lasdefensas antiaéreas desplegadas en los objetivos.

Tabla G PKILL


Plat. 1 0,050 0,150 0,150 0,350 0,150 0,350 0,250 0,250 0,250 0,150 Plat. 2 0,150 0,150 0,050 0,050 0,050 0,050 0,150 0,150 0,350 0,150 Plat. 3 0,015 0,050 0,050 0,025 0,050 0,050 0,250 0,150 0,150 0,150 Plat. 4 0,150 0,150 0,350 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,010

Realice las siguientes actividades: 1) Escriba la forma compacta del problema y diseñe un plan de ataque, respetando

las restricciones señaladas, que sea de máxima efectividad, es decir, que hagamáxima la suma, ponderada por su valor VTO, de los índices de efectivi-dad parciales logrados sobre cada objetivo.


2) Diseñe un plan de ataque que minimice el número de plataformas emplea-das respetando las restricciones señaladas y garantizando que el daño mínimoa cada objetivo es el que figura en la tabla H siguiente:

Tabla H. Daño mínimo que deben sufrir los objetivos Objetivos Obj. 1 Obj. 2 Obj. 3 Obj. 4 Obj. 5 Obj. 6 Obj. 7 Obj. 8 Obj. 9 Obj. 10

dmin 10 5 12 13 2 3 10 15 2 2 3) Diseñe un plan de ataque, respetando las restricciones señaladas, que sea de

máxima efectividad, es decir, que haga máxima la suma, ponderada por su valorVTO, de los índices de efectividad parciales logrados sobre cada objetivo aña-diendo la restricción de que el número esperado de plataformas derri-badas durante el ataque sea inferior a 6.

4) Elabore un informe que contenga, al menos, las siguientes medidas del ataque: Efectividad (daño) total causado sobre el conjunto de los objetivos. Atrición sufrida por la flota atacante.

Para un número total de plataformas comprendido entre 5 y 50, y sin tener en cuenta la restricción que impone que han de ser atacados todos los objetivos por al menos una plataforma.

5) Suponga ahora que las entradas de la tabla B, en vez de coeficientes de daño,son las probabilidades de que un arma concreta destruya un objetivo determi-nado. (La probabilidad de que al lanzar una unidad de BPG-2000 sobre el objeti-vo 2, este quede destruido, es del 94,4 %, por ejemplo). Suponga también que elataque debe ser tal que se alcancen sobre los objetivos unos valores, umbrales,mínimos de destrucción que se recogen en la tabla I que se muestra a conti-nuación:

Tabla I. Umbral mínimo de la probabilidad de destrucción de los objetivos Objetivos Obj. 1 Obj. 2 Obj. 3 Obj. 4 Obj. 5 Obj. 6 Obj. 7 Obj. 8 Obj. 9 Obj. 10

pmin 75,0 % 87,5 % 82,5 % 90,0 % 92,5 % 77,5 % 92,5 % 92,5 % 92,5 % 80,5 % Diseñe un plan de ataque, añadiendo a las restricciones anteriormente señaladas la de que el número esperado de plataformas derribadas durante el ata-que sea inferior a 6 y que el número de plataformas que intervienen en el ataque sea mínimo.

Esquema de la Operación Tormenta del Desierto (1991) Autor Jeff Dahl. Fuente: Wikimedia Commons


2) Diseñe un plan de ataque que minimice el número de plataformas emplea-das respetando las restricciones señaladas y garantizando que el daño mínimoa cada objetivo es el que figura en la tabla H siguiente:

Tabla H. Daño mínimo que deben sufrir los objetivos Objetivos Obj. 1 Obj. 2 Obj. 3 Obj. 4 Obj. 5 Obj. 6 Obj. 7 Obj. 8 Obj. 9 Obj. 10

dmin 10 5 12 13 2 3 10 15 2 2 3) Diseñe un plan de ataque, respetando las restricciones señaladas, que sea de

máxima efectividad, es decir, que haga máxima la suma, ponderada por su valorVTO, de los índices de efectividad parciales logrados sobre cada objetivo aña-diendo la restricción de que el número esperado de plataformas derri-badas durante el ataque sea inferior a 6.

4) Elabore un informe que contenga, al menos, las siguientes medidas del ataque: Efectividad (daño) total causado sobre el conjunto de los objetivos. Atrición sufrida por la flota atacante.

Para un número total de plataformas comprendido entre 5 y 50, y sin tener en cuenta la restricción que impone que han de ser atacados todos los objetivos por al menos una plataforma.

5) Suponga ahora que las entradas de la tabla B, en vez de coeficientes de daño,son las probabilidades de que un arma concreta destruya un objetivo determi-nado. (La probabilidad de que al lanzar una unidad de BPG-2000 sobre el objeti-vo 2, este quede destruido, es del 94,4 %, por ejemplo). Suponga también que elataque debe ser tal que se alcancen sobre los objetivos unos valores, umbrales,mínimos de destrucción que se recogen en la tabla I que se muestra a conti-nuación:

Tabla I. Umbral mínimo de la probabilidad de destrucción de los objetivos Objetivos Obj. 1 Obj. 2 Obj. 3 Obj. 4 Obj. 5 Obj. 6 Obj. 7 Obj. 8 Obj. 9 Obj. 10

pmin 75,0 % 87,5 % 82,5 % 90,0 % 92,5 % 77,5 % 92,5 % 92,5 % 92,5 % 80,5 % Diseñe un plan de ataque, añadiendo a las restricciones anteriormente señaladas la de que el número esperado de plataformas derribadas durante el ata-que sea inferior a 6 y que el número de plataformas que intervienen en el ataque sea mínimo.

Esquema de la Operación Tormenta del Desierto (1991) Autor Jeff Dahl. Fuente: Wikimedia Commons

SOLUCIÓN

Apartado 1)

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iPC Composición plataforma-configuración, PC = {1…, 11} kP Tipos de plataforma aérea, P = {P1…, P4} jA Armas disponibles, A = {A1…, A15} oO Objetivos, O = {O1…, O10}

Por comodidad en la representación usaremos un único índice i para referirnos a la combinación plataforma-configuración. Este índice tiene los valores siguientes:


Plataforma-configuración 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Cuando sea necesario referirnos a una plataforma k concreta, usaremos el subcon-junto de i que contiene a la plataforma, así Pk será representada mediante:

11,10iiP;9,8,7,6iiP

5,4iiP;3,2,1iiP

43

21

2. DATOS ejo Índice de efectividad del arma j contra el objetivo o (tabla B) mj Máximo disponible de cada tipo de arma (tabla C) up Máximo número de plataformas disponibles (tabla D) no Máximo de plataformas que pueden atacar el objetivo o (tabla E) vo Valor táctico del objetivo o (tabla F) do Daño mínimo que se debe causar en el objetivo o (tabla H) pio Prob. plataforma i sea derribada sobre el objetivo o (tabla G)

3. VARIABLES Djo Calculada. Daño causado en el objetivo o por la combinación i Ujo Calculada. Cantidad de armas tipo j usadas contra el objetivo o Xio Entera. Plataformas-configuración i, atacando el objetivo o

4. FORMA COMPACTA

ZX

Oo1Xc

Pk;OonX

Pk;OouX

AjmXc

.a.s

vXe

max

io

Aj PCiioji

oPCPi

io

kPCPi

io

jOo PCi

ioji

Ooo

PCiioji

k

k


El menú de Solver (con las restricciones en el mismo orden) sería el siguiente:

La efectividad (daño) sobre cada objetivo sería el siguiente:


El menú de Solver (con las restricciones en el mismo orden) sería el siguiente:


La c

ompo

sici

ón ó

ptim

a de

l ata

que

sería

la s

igui

ente

:


Apartado 2) Diseñe un plan de ataque que minimice el número de plataformas empleadas respetando las res-

tricciones señaladas y garantizando que el daño mínimo a cada objetivo es el que figura en la ta-bla H.

La forma compacta del problema recoge ahora la restricción de que el daño (no ponde-rado) causado a los objetivos ha de superar cierto umbral:

ZX

Pk;OouX

Pk;OonX

OodXe

Oo1Xc

AjmXc

.a.s

vXe

max

io

kPCPi

io

oPCPi

io

oAj PCi

ioji

Aj PCiioji

jOo PCi

ioji

Ooo

PCiioji

k

k



Apartado 2) Diseñe un plan de ataque que minimice el número de plataformas empleadas respetando las res-

tricciones señaladas y garantizando que el daño mínimo a cada objetivo es el que figura en la ta-bla H.

La forma compacta del problema recoge ahora la restricción de que el daño (no ponde-rado) causado a los objetivos ha de superar cierto umbral:

ZX

Pk;OouX

Pk;OonX

OodXe

Oo1Xc

AjmXc

.a.s

vXe

max

io

kPCPi

io

oPCPi

io

oAj PCi

ioji

Aj PCiioji

jOo PCi

ioji

Ooo

PCiioji

k

k



La composición óptima que constituye la solución a este apartado se da en la página siguiente.


La c

ompo

sici

ón ó

ptim

a de

l ata

que

sería

la s

igui

ente

:


La c

ompo

sici

ón ó

ptim

a de

l ata

que

sería

la s

igui

ente

:

Apartado 3) Diseñe un plan de ataque, respetando las restricciones señaladas, que sea de máxima efectivi-

dad, es decir, que haga máxima la suma, ponderada por su valor VTO, de los índices de efectivi-dad parciales logrados sobre cada objetivo añadiendo la restricción de que el númeroesperado de plataformas derribadas durante el ataque sea inferior a 6.


La relación entre daño causado y atrición sufrida es muy diferente para cada objetivo:


La c

ompo

sici

ón ó

ptim

a de

l ata

que

sería

la s

igui

ente

:


La c

ompo

sici

ón ó

ptim

a de

l ata

que

sería

la s

igui

ente

:

Apartado 4) El resumen de valores en función del número de plataformas es el siguiente:

Plataformas utilizadas

Atrición total esperada (BRUTA)

Atrición total esperada (RELATIVA)

EFECTIVIDAD TOTAL PONDERADA

5 0,8 16,0 % 764 6 0,8 13,8 % 872 7 0,9 12,1 % 981 8 0,9 10,9 % 1 089 9 0,9 10,0 % 1 197 10 0,9 9,3 % 1 305 11 1,0 8,6 % 1 414 12 1,0 8,1 % 1 522 13 1,0 7,7 % 1 630 14 1,2 8,2 % 1 721 15 1,3 8,7 % 1 811 16 1,5 9,1 % 1 901 17 1,6 9,4 % 1. 99218 1,8 9,7 % 2 082 19 1,9 10,0 % 2 173 20 2,1 10,3 % 2 263 21 2,2 10,5 % 2 353 22 2,4 10,7 % 2 444 23 2,5 10,9 % 2 534 24 2,7 11,0 % 2 624 25 2,8 11,2 % 2 715 26 3,2 12,1 % 2 803 27 3,5 13,0 % 2 892 28 3,9 13,8 % 2 981 29 4,2 14,5 % 3 044 30 4,6 15,2 % 3 107 31 4,6 14,8 % 3 170 32 4,7 14,5 % 3 232 33 4,7 14,2 % 3 295 34 4,7 13,7 % 3 344 35 4,8 13,7 % 3 400 36 5,0 13,8 % 3 455 37 5,1 13,8 % 3 511 38 5,3 13,8 % 3 567 39 5,4 13,8 % 3 623 40 5,6 13,9 % 3 679 41 5,7 13,9 % 3 735 42 6,1 14,4 % 3 774 43 6,2 14,4 % 3 811 44 6,4 14,4 % 3 849 45 6,5 14,4 % 3 886 46 6,7 14,5 % 3 923 47 6,8 14,5 % 3 960 48 7,0 14,5 % 3 997 49 7,1 14,5 % 4 035 50 7,3 14,5 % 4 072 51 7,4 14,5 % 4 109


La figura siguiente muestra el comportamiento de la efectividad agregada total del ataque en función del número de plataformas que intervienen en él. Observamos que el com-portamiento de esta magnitud se aproxima muy bien mediante una función cuadrática. Puesto que esta tiene coeficiente negativo en el término cuadrático, la aproximación asintótica al valor total máximo posible, que se obtendría con un número suficientemente grande de plataformas atacantes, es cada vez más lenta.

La figura siguiente muestra el comportamiento de la atrición absoluta (medida en nú-mero bruto de plataformas derribadas) en función del número de plataformas que intervienen en el ataque. Observamos que el comportamiento de esta cifra es aproximadamente lineal con un valor medio del 13 % de aviones derribados, cifra que puede llegar al 15 %.


La figura siguiente muestra el comportamiento de la efectividad agregada total del ataque en función del número de plataformas que intervienen en él. Observamos que el com-portamiento de esta magnitud se aproxima muy bien mediante una función cuadrática. Puesto que esta tiene coeficiente negativo en el término cuadrático, la aproximación asintótica al valor total máximo posible, que se obtendría con un número suficientemente grande de plataformas atacantes, es cada vez más lenta.

La figura siguiente muestra el comportamiento de la atrición absoluta (medida en nú-mero bruto de plataformas derribadas) en función del número de plataformas que intervienen en el ataque. Observamos que el comportamiento de esta cifra es aproximadamente lineal con un valor medio del 13 % de aviones derribados, cifra que puede llegar al 15 %.

Las figuras siguientes muestran el comportamiento de la atrición en función del núme-ro de plataformas que intervienen en el ataque. Observamos que el comportamiento de esta ci-fra varía según la forma en que la consideremos: es prácticamente lineal si consideramos aviones derribados (bruta), pero tiene un comportamiento no lineal si la consideramos en tér-minos relativos. Antes señalábamos que la media era del 13 % y que podría llegar hasta el 15 %, esa variación queda patente en el gráfico de la atrición relativa, es decir, en el porcentaje de aviones derribados sobre el total de los que participan en el ataque.


Apartado 5) Suponga ahora que las entradas de la tabla B, en vez de coeficientes de daño, son las probabili-

dades de que un arma concreta destruya un objetivo determinado. Suponga también que el ata-que debe ser tal que se alcancen sobre los objetivos unos valores, umbrales, mínimos dedestrucción que se recogen en la tabla I. Diseñe un plan de ataque, añadiendo a las restriccionesanteriormente señaladas la de que el número esperado de plataformas derribadas duran-te el ataque sea inferior a 6 y que haga mínimo el número de plataformas que inter-vienen en el ataque.

Suponiendo independencia en la efectividad de los lanzamientos, la probabilidad con-junta PD

o de que un objetivo o sea destruido cuando sobre él se lanza un número de unidades de cada arma dado por la variable nio es:

Aj

njo

Do

jo1P

Siendo la variable jo aquella cuyos valores aparecen descritos en la tabla B, y a la que hemos cambiado el nombre anterior, ejo, referido al índice de daño sobre el objetivo, ya que ahora indica la probabilidad de destrucción del objetivo. La restricción que impone que dicha probabilidad sea, para cada objetivo, superior al umbral especificado por el decisor es:

mino

Aj

Xcjo

mino

Aj

njo p1p1 Aj PCi

iojijo

Cuya linealización es la siguiente:

mino

Oojo

Aj PCiioji plog1logXc

La forma compacta del problema, a la que se han añadido las restricciones correspon-dientes al número máximo de aviones derribados y al umbral de destrucción mínimo sobre cada objetivo, es ahora la siguiente:

ZX

plog1logXc

Pk;OouX

Pk;OonX

OodXe

Oo1Xc

AjmXc

.a.s

X

max

io

mino

Oojo

Aj PCiioji

kPCPi

io

oPCPi

io

oAj PCi

ioji

Aj PCiioji

jOo PCi

ioji

PCi Ooio

k

k


Apartado 5) Suponga ahora que las entradas de la tabla B, en vez de coeficientes de daño, son las probabili-

dades de que un arma concreta destruya un objetivo determinado. Suponga también que el ata-que debe ser tal que se alcancen sobre los objetivos unos valores, umbrales, mínimos dedestrucción que se recogen en la tabla I. Diseñe un plan de ataque, añadiendo a las restriccionesanteriormente señaladas la de que el número esperado de plataformas derribadas duran-te el ataque sea inferior a 6 y que haga mínimo el número de plataformas que inter-vienen en el ataque.

Suponiendo independencia en la efectividad de los lanzamientos, la probabilidad con-junta PD

o de que un objetivo o sea destruido cuando sobre él se lanza un número de unidades de cada arma dado por la variable nio es:

Aj

njo

Do

jo1P

Siendo la variable jo aquella cuyos valores aparecen descritos en la tabla B, y a la que hemos cambiado el nombre anterior, ejo, referido al índice de daño sobre el objetivo, ya que ahora indica la probabilidad de destrucción del objetivo. La restricción que impone que dicha probabilidad sea, para cada objetivo, superior al umbral especificado por el decisor es:

mino

Aj

Xcjo

mino

Aj

njo p1p1 Aj PCi

iojijo

Cuya linealización es la siguiente:

mino

Oojo

Aj PCiioji plog1logXc

La forma compacta del problema, a la que se han añadido las restricciones correspon-dientes al número máximo de aviones derribados y al umbral de destrucción mínimo sobre cada objetivo, es ahora la siguiente:

ZX

plog1logXc

Pk;OouX

Pk;OonX

OodXe

Oo1Xc

AjmXc

.a.s

X

max

io

mino

Oojo

Aj PCiioji

kPCPi

io

oPCPi

io

oAj PCi

ioji

Aj PCiioji

jOo PCi

ioji

PCi Ooio

k

k

Los

resu

ltado

s de

l ata

que

en r

elac

ión

con

la p

roba

bilid

ad d

e de

stru

cció

n de

los

obje

tivos

son

los

sigu

ient

es:


La c

ompo

sici

ón ó

ptim

a de

l ata

que

es la

sig

uien

te:


La c

ompo

sici

ón ó

ptim

a de

l ata

que

es la

sig

uien

te:

7 OPTIMIZACIÓN DE OPERACIONES NO AÉREAS Problemas concretos que aborda este capítulo

Este apartado contiene 23 problemas, de los que dos pertenecen al epígrafe «PLG», uno a «PLE», nueve a «Optimización en redes» y 11 a «Localización de Instalaciones». Problemas que describiremos brevemente a continuación.

El problema 7.1 no es original del autor, está tomado del excelente texto de Taha15, quien a su vez lo toma de Shephard16. Presenta una situación en la que las fuerzas azules de-ben retrasar el avance de las fuerzas rojas, mediante el adecuado despliegue tanto de fuerzas principales como de reserva.

El problema 7.2 retoma una situación ya tratada antes: la toma óptima de decisiones cuando desconocemos no la intención del enemigo del que sabemos a ciencia cierta que pre-tenderá causarnos el mayor daño posible, sino la forma en que dicho enemigo concretará dicha intención. Al presentar una situación de enfrentamiento, muy simplificada, podremos analizar la variedad de comportamientos por los que podemos optar. En este ejemplo se pondrá de mani-fiesto que la composición de nuestra fuerza de defensa, objeto último de la optimización, es al-tamente dependiente de la naturaleza concreta del objetivo que perseguimos y que, por tanto, la forma en que lo definamos será muy relevante en el desarrollo del problema.

El problema 7.3 es análogo al anterior, en este se nos plantea una situación aún más contraria a nuestros intereses: no solo no sabremos qué hará nuestro enemigo, aunque poda-mos sostener hipótesis razonables a este respecto, sino que además el enemigo conocerá nues-tros planes y las consideraciones que nos han llevado a ellos, es decir, conocerá la valoración que hacemos de los objetivos que hemos de defender y, en consecuencia, el uso concreto de nuestros medios de defensa.

Como en anteriores problemas, en este la función objetivo tiene un carácter no lineal, ya que se trata de una fracción cuyo denominador es una variable de decisión. Aunque existen procedimientos concretos para deshacer este tipo de no linealidades y convertirlas en lineales hemos optado por un procedimiento alternativo que, aunque más trabajoso en cuanto a su desarrollo, es más intuitivo para el alumno: la utilización conjunta de una tabla, a modo de ma-triz de cobertura, construida por aplicación directa de la no linealidad para cada una de nues-tras posibles acciones y un conjunto eficaz de variables binarias que representen adecuadamente nuestra decisión, convirtiendo de esta manera un problema no lineal en un problema simple de asignación mucho más sencillo de resolver.

Este procedimiento que usaremos también en otros problemas de asignación arma-blanco facilita la resolución de problemas no lineales, evitando procedimientos de linealización más enrevesados debido al aumento del número de variables que intervienen en el problema.

Los problemas 7.4 y 7.5 plantean una variación del tradicional problema de optimización en redes conocido como el de la ruta más segura. En este tipo de problemas utilizamos la re-presentación típica de redes (nodos y aristas), pero a diferencia de las situaciones habituales los valores asociados a las aristas no están relacionados con el empleo de recursos escasos (tiem-po, distancia, etc.), sino con la probabilidad de ejercer con éxito la acción a la que la arista está asociada, generalmente el hecho de atravesarla para dirigirse desde su nodo inicio a su nodo fi-nal.

Al aparecer, como consecuencia de la necesaria hipótesis de independencia de sucesos, términos que son productos de probabilidades (consecuencia de la elección de un camino con-creto de la red y su tránsito), aparecen en consecuencia no linealidades que desharemos me-diante la oportuna transformación logarítmica. El primero de ellos, 7.4, presenta una situación simple: encontrar el camino más seguro para llegar de un punto A a otro punto B, transitando por aristas de las que conocemos su peligrosidad.

15 Taha, H. Investigación De Operaciones. Prentice Hall Iberia 2012. 16 Shephard, R. W. et al. Applied operations research (examples from defense assessment). Plenum Press 1988.


El segundo, 7.5, se refiere a una situación más complicada que no suele ser tratada en la literatura, ya que la decisión que plantea consiste no solo en determinar las aristas que es necesario atravesar, sino también cuáles, de un posible conjunto de candidatos, han de ser el nodo origen y el nodo destino de la ruta más segura.

Este problema comparte con el siguiente una característica interesante sobre la que es necesario llamar la atención del que se inicia en la optimización en redes mediante programa-ción lineal: la metodología genérica, basada en el cálculo de balance de nodos consecuencia de nuestras decisiones, no evita un peligro que subyace en determinadas situaciones en las que se fuerza a que el camino elegido pase por determinados nodos. Este peligro es la aparición de circuitos, desconectados del camino principal, que suponen situaciones no lógicas respecto de la solución buscada, soluciones que, aun siendo válidas en cuanto a las restricciones del problema lineal, no son razonables.

Las llamadas condiciones de Miller-Tucker-Zemlin, fueron desarrolladas con la intención de evitar la aparición de este tipo de circuitos en las soluciones de los programas lineales. Des-afortunadamente, su implementación en la hoja de cálculo es demasiado compleja para un cur-so de introducción y marca la frontera que separa aquellos problemas abordables mediante hojas de cálculo de los que no lo son. El del viajante de comercio o TSP (travelling salesman problem) es el paradigma de esta situación. Problemas que no pueden ser resueltos, mediante programación lineal y sus métodos principales asociados Simplex y ramificación y acotamiento, en un tiempo razonable y para los que se han desarrollado heurísticas que son capaces de abordar grandes instancias de este tipo de problemas en tiempos extraordinariamente breves y que logran soluciones muy próximas al óptimo absoluto.

El problema 7.6 es, pues, análogo a los dos que lo preceden y se plantea con la inten-ción de mostrar las limitaciones del procedimiento general basado en el balance de flujos, pro-cedimiento que siendo muy efectivo para la resolución de problemas de trasiego, de satisfacción de requerimientos, de flujo máximo o de ruta más corta, no debería ser utilizado, sin las debidas precauciones, cuando la decisión, en vez de afectar exclusivamente a la cantidad de flujo que se envía por las aristas elegidas, incluye también restricciones sobre qué nodos se deben visitar.

El problema 7.7 plantea una situación relacionada con un aspecto de la red que habi-tualmente no es foco de atención: su grado de conectividad y, en consecuencia, la mayor o menor capacidad de los nodos para permanecer conectados tras una acción hostil tendente a aislar, tanto como sea posible, unos nodos de otros. La conectividad de una red en la que se supone siempre un origen y un destino, entendida como el número de caminos entre dichos nodos que no comparten ninguna arista (edge disjoints paths), es una extensión del problema de flujo máximo y, como tal, es resoluble mediante el procedimiento habitual basado en el ba-lance de flujo en los nodos. Este problema en concreto plantea una situación en la que se de-ben elegir los dos nodos de una red cuya topología se conoce, con nodos que actuarán indistintamente como origen y destino, tales que su vulnerabilidad ante una desconexión como consecuencia de la acción enemiga sea la mínima posible, es decir, los nodos cuya conectividad sea máxima. Los primeros trabajos sobre este aspecto de las redes, de particular interés para las redes militares de comunicación, se deben a Menger, quien en 1927, mucho antes de la aparición del algoritmo del Simplex y del tratamiento de redes mediante programación lineal, formuló un teorema que lleva su nombre: «el máximo número de rutas disjuntas en aristas es igual al mínimo número de aristas que es necesario inhabilitar para evitar cualquier posible co-nexión entre origen y destino».

El problema 7.8 está también relacionado con el problema de la ruta más segura en si-tuaciones en las cuales dicha seguridad puede ser incrementada mediante el empleo de recur-sos escasos. El problema plantea una situación, propia de un despliegue en territorio hostil, en la que la peligrosidad de las aristas proviene de la acción del enemigo, que coloca artefactos explosivos improvisados (IED, por sus siglas en inglés) al paso de los convoyes que transitan las diferentes aristas. Se nos plantea el reparto óptimo del esfuerzo propio, concretado en la acción de equipos de desactivación de explosivos, para optimizar la probabilidad de transitar determi-nada ruta con la máxima seguridad. Desde el punto de vista de la programación lineal, se trata de un problema en el que deberemos aplicar de forma conjunta procedimientos que habitual-mente se presentan de forma separada: la optimización de redes (por la vía de la determinación


El segundo, 7.5, se refiere a una situación más complicada que no suele ser tratada en la literatura, ya que la decisión que plantea consiste no solo en determinar las aristas que es necesario atravesar, sino también cuáles, de un posible conjunto de candidatos, han de ser el nodo origen y el nodo destino de la ruta más segura.

Este problema comparte con el siguiente una característica interesante sobre la que es necesario llamar la atención del que se inicia en la optimización en redes mediante programa-ción lineal: la metodología genérica, basada en el cálculo de balance de nodos consecuencia de nuestras decisiones, no evita un peligro que subyace en determinadas situaciones en las que se fuerza a que el camino elegido pase por determinados nodos. Este peligro es la aparición de circuitos, desconectados del camino principal, que suponen situaciones no lógicas respecto de la solución buscada, soluciones que, aun siendo válidas en cuanto a las restricciones del problema lineal, no son razonables.

Las llamadas condiciones de Miller-Tucker-Zemlin, fueron desarrolladas con la intención de evitar la aparición de este tipo de circuitos en las soluciones de los programas lineales. Des-afortunadamente, su implementación en la hoja de cálculo es demasiado compleja para un cur-so de introducción y marca la frontera que separa aquellos problemas abordables mediante hojas de cálculo de los que no lo son. El del viajante de comercio o TSP (travelling salesman problem) es el paradigma de esta situación. Problemas que no pueden ser resueltos, mediante programación lineal y sus métodos principales asociados Simplex y ramificación y acotamiento, en un tiempo razonable y para los que se han desarrollado heurísticas que son capaces de abordar grandes instancias de este tipo de problemas en tiempos extraordinariamente breves y que logran soluciones muy próximas al óptimo absoluto.

El problema 7.6 es, pues, análogo a los dos que lo preceden y se plantea con la inten-ción de mostrar las limitaciones del procedimiento general basado en el balance de flujos, pro-cedimiento que siendo muy efectivo para la resolución de problemas de trasiego, de satisfacción de requerimientos, de flujo máximo o de ruta más corta, no debería ser utilizado, sin las debidas precauciones, cuando la decisión, en vez de afectar exclusivamente a la cantidad de flujo que se envía por las aristas elegidas, incluye también restricciones sobre qué nodos se deben visitar.

El problema 7.7 plantea una situación relacionada con un aspecto de la red que habi-tualmente no es foco de atención: su grado de conectividad y, en consecuencia, la mayor o menor capacidad de los nodos para permanecer conectados tras una acción hostil tendente a aislar, tanto como sea posible, unos nodos de otros. La conectividad de una red en la que se supone siempre un origen y un destino, entendida como el número de caminos entre dichos nodos que no comparten ninguna arista (edge disjoints paths), es una extensión del problema de flujo máximo y, como tal, es resoluble mediante el procedimiento habitual basado en el ba-lance de flujo en los nodos. Este problema en concreto plantea una situación en la que se de-ben elegir los dos nodos de una red cuya topología se conoce, con nodos que actuarán indistintamente como origen y destino, tales que su vulnerabilidad ante una desconexión como consecuencia de la acción enemiga sea la mínima posible, es decir, los nodos cuya conectividad sea máxima. Los primeros trabajos sobre este aspecto de las redes, de particular interés para las redes militares de comunicación, se deben a Menger, quien en 1927, mucho antes de la aparición del algoritmo del Simplex y del tratamiento de redes mediante programación lineal, formuló un teorema que lleva su nombre: «el máximo número de rutas disjuntas en aristas es igual al mínimo número de aristas que es necesario inhabilitar para evitar cualquier posible co-nexión entre origen y destino».

El problema 7.8 está también relacionado con el problema de la ruta más segura en si-tuaciones en las cuales dicha seguridad puede ser incrementada mediante el empleo de recur-sos escasos. El problema plantea una situación, propia de un despliegue en territorio hostil, en la que la peligrosidad de las aristas proviene de la acción del enemigo, que coloca artefactos explosivos improvisados (IED, por sus siglas en inglés) al paso de los convoyes que transitan las diferentes aristas. Se nos plantea el reparto óptimo del esfuerzo propio, concretado en la acción de equipos de desactivación de explosivos, para optimizar la probabilidad de transitar determi-nada ruta con la máxima seguridad. Desde el punto de vista de la programación lineal, se trata de un problema en el que deberemos aplicar de forma conjunta procedimientos que habitual-mente se presentan de forma separada: la optimización de redes (por la vía de la determinación

de la ruta más segura) y la asignación de tareas por la vía de la asignación a determinadas aris-tas de los equipos de desactivación de explosivos.

El problema 7.9, de trasiego de flujo, presenta una característica interesante desde el punto de vista militar: en determinadas situaciones, no todo el flujo que sale de un nodo y tran-sita por una arista para llegar al nodo final de dicha arista consigue llegar a su destino. Las aris-tas, en esta formulación, presentan una característica nueva, distinta de la habitual, relacionada con el tiempo, la distancia o la peligrosidad, y es la de la merma del flujo que la atraviesa. Cuando las aristas son atravesadas por medios propios, ya sean terrestres o aéreos, esta mer-ma no es sino la atrición asociada a la actividad que representa dicha arista. Este tipo de pro-blemas, conocidos en la literatura como problemas generalizados de trasiego de flujo (generalized tranship problems), implican la modificación del cálculo del balance de flujo para tener en cuenta en dichas ecuaciones la merma, atrición en nuestro caso, sufrida.

El problema 7.10 está relacionado con el anterior. Plantea la determinación de un plan logístico óptimo que, en una red cuyas aristas están sometidas a atrición por acción del enemi-go, minimice dichas pérdidas esperadas y satisfaga las necesidades logísticas de las fuerzas combatientes en beneficio de las cuales se realiza la acción logística. Está inspirado en los desa-rrollos recientes de la Armada y el Cuerpo de Marines de EE. UU. para retrasar las vías de abas-tecimiento en operaciones anfibias al objeto de minimizar las pérdidas sufridas. Desde el punto de vista técnico, es una ampliación de los problemas tradicionales de flujo, ya que plantea una situación multiperiodo (la acción ofensiva se desarrolla a lo largo de un período de tres días) y multiproducto, ya que no se refiere a un único tipo de flujo, sino a varios: personal, munición, combustible, etc.

Los problemas 7.11 y 7.12 presentan versiones militares de problemas conocidos como de cobertura total (set covering) o de máxima cobertura (maximal covering), y ambas represen-tan las aplicaciones elementales de la rama de la optimización conocida como problemas de lo-calización de instalaciones (facility locations problems). En el caso del primero de ellos la situación planteada es simple: cómo minimizar el empleo de recursos escasos (cámaras de vi-deo vigilancia en el ejemplo) cuando dichos recursos pueden ser utilizados en diferentes zonas para conseguir la cobertura en la vigilancia de un acuartelamiento. El segundo plantea una si-tuación análoga a la anterior, pero añadiendo una complicación: la matriz de cobertura ha de ser deducida previamente a su resolución a partir de los propios datos del enunciado del pro-blema.

El problema 7.13, como los anteriores, es una aplicación de los problemas de cobertura con una rama emergente que podríamos denominar respuesta óptima ante emergencias.

El problema 7.14 plantea una situación militar que se ha simplificado al máximo: el con-trol del espacio aéreo por la aplicación, mediante procedimiento de LOC, al despliegue de me-dios de seguimiento y control de amenazas aéreas. Plantea una situación que es harto común en este tipo de problemas de máxima cobertura y que aparecen cuando el conjunto de posibles soluciones del problema es elevado y se exige escoger la mejor de entre todas ellas. Esta situa-ción, más frecuente cuanto más escasos son los recursos respecto al conjunto de instalaciones a cubrir, plantea dos retos interesantes: en primer lugar, la obtención de forma sistemática de todas las posibles soluciones del problema (para lo cual deberemos añadir a la formulación tra-dicional propia de la PL algún mecanismo de identificación de la solución obtenida y de repeti-ción del proceso de optimización en busca de una nueva solución diferente de las ya obtenidas); por otra parte, la aplicación de criterios basados únicamente en la racionalidad que se le supone a cualquier decisor (incluso cuando este ejerce la profesión militar) para ordenar las posibles alternativas. Plantearemos procedimientos sencillos que permitan abordar estos dos aspectos.

El problema 7.15, también de localización de instalaciones, es del tipo de coste fijo (fi-xed costs) y plantea no solo la localización óptima de centrales militares de comunicación, sino las características que estas deberían tener para lograr un objetivo táctico a coste mínimo.

Los problemas 7.16, 7.17 y 7.18 plantean de manera simplificada una situación común en determinados ambientes tácticos en los cuales el adecuado despliegue de nuestros medios de defensa antiaérea tendrá un papel trascendente en el éxito de la operación defensiva. El primero es una aplicación directa de los problemas de cobertura en el que es necesario calcular la matriz de cobertura; el segundo presenta como particularidad el hecho de que el objetivo de


la optimización recae sobre la configuración básica del sistema de defensa antiaéreo por la vía de las dos variables asociadas a su desempeño: el número de baterías que dicho sistema tiene y el número de amenazas que cada batería es capaz de neutralizar simultáneamente. Estas dos variables se evalúan ante un despliegue que forma parte también de la decisión a tomar. El úl-timo, 7.18, incorpora a la mecánica de la decisión aspectos aleatorios relacionados con la pro-babilidad de detectar un blanco hostil y a la probabilidad de, una vez identificado como tal, derribarlo por los medios antiaéreos desplegados.

El problema 7.19 presenta una situación típica de la localización de instalaciones conoci-do en la literatura como de p-dispersión (p-dispersion problems), y se argumenta en una situa-ción propia de una misión como es la de elegir, de entre un posible conjunto de localizaciones candidatas, el emplazamiento óptimo de los depósitos de material explosivo (munición terrestre aérea o combustible) para lograr su máxima separación y minimizar así el riesgo de una explo-sión en cadena por simpatía.

El problema 7.20 presenta una interesante aplicación militar de los problemas de locali-zación: el despliegue de las bases intermedias desde las que operaran helicópteros medicaliza-dos (MEDEVACS) para atender eventuales bajas que hayan de ser evacuadas desde diferentes posiciones de vanguardia hasta los hospitales situados a retaguardia de dichas bases interme-dias. Para su resolución es necesario hacer un uso exhaustivo de variables binarias.

El problema 7.21 plantea, como los anteriores, una situación propia de los modelos de localización, en esta ocasión relacionada con el despliegue óptimo de medios de lucha contra el fuego, cuando dichos medios son de dos tipos diferentes, pero han de actuar conjuntamente con restricciones relativas al tiempo necesario para entrar en posición efectiva y puedan hacer su labor en una zona.


la optimización recae sobre la configuración básica del sistema de defensa antiaéreo por la vía de las dos variables asociadas a su desempeño: el número de baterías que dicho sistema tiene y el número de amenazas que cada batería es capaz de neutralizar simultáneamente. Estas dos variables se evalúan ante un despliegue que forma parte también de la decisión a tomar. El úl-timo, 7.18, incorpora a la mecánica de la decisión aspectos aleatorios relacionados con la pro-babilidad de detectar un blanco hostil y a la probabilidad de, una vez identificado como tal, derribarlo por los medios antiaéreos desplegados.

El problema 7.19 presenta una situación típica de la localización de instalaciones conoci-do en la literatura como de p-dispersión (p-dispersion problems), y se argumenta en una situa-ción propia de una misión como es la de elegir, de entre un posible conjunto de localizaciones candidatas, el emplazamiento óptimo de los depósitos de material explosivo (munición terrestre aérea o combustible) para lograr su máxima separación y minimizar así el riesgo de una explo-sión en cadena por simpatía.

El problema 7.20 presenta una interesante aplicación militar de los problemas de locali-zación: el despliegue de las bases intermedias desde las que operaran helicópteros medicaliza-dos (MEDEVACS) para atender eventuales bajas que hayan de ser evacuadas desde diferentes posiciones de vanguardia hasta los hospitales situados a retaguardia de dichas bases interme-dias. Para su resolución es necesario hacer un uso exhaustivo de variables binarias.

El problema 7.21 plantea, como los anteriores, una situación propia de los modelos de localización, en esta ocasión relacionada con el despliegue óptimo de medios de lucha contra el fuego, cuando dichos medios son de dos tipos diferentes, pero han de actuar conjuntamente con restricciones relativas al tiempo necesario para entrar en posición efectiva y puedan hacer su labor en una zona.

7.1 Un problema de despliegue de unidades (2/SO/PLG) ENUNCIADO

Un teatro de operaciones se puede descomponer en dos frentes (norte y sur) y tres líneasde defensa (I, II y III) en cada uno de ellos. El bando rojo (R), desde el oeste, pretende in-vadir el territorio defendido por usted, que maneja el ejército azul (A) situado al este, elcual tiene 200 unidades de combate regulares y una reserva de otras 200 unidades. Las 200unidades de reserva con las que cuenta A solo pueden ser desplegadas en las líneas II y III.

El ejército rojo planea atacar simultáneamente los dos frentes, el norte y el sur en las treslíneas, por lo que el ejército azul deberá desplegarse también en las tres líneas de defensade los dos frentes. El propósito de las líneas de defensa es demorar el ataque del ejércitorojo para maximizar la duración total de la batalla y permitir la recuperación de las fuerzasde A y la llegada al teatro de otras unidades de refresco.

El retraso originado a las fuerzas de R puede considerarse lineal y función del tipo de te-rreno y de las fuerzas de ambos bandos que hayan sido desplegadas y responde a la si-guiente fórmula:

RAbadías avance de Tasa

Siendo A y R las unidades que en cada frente/línea se enfrentan por parte del ejérci-to azul y el rojo respectivamente.

Las constantes a y b son diferentes para cada línea de defensa y frente (dependen del tipode terreno), y se dan en la Tabla 4. Inteligencia prevé que las unidades desplegadas por Ren cada línea y cada frente serán las que aparecen también en la tabla.

Valor de a Valor de b Despliegue de R I II III I II III I II III

Norte 0,50 0,75 0,55 8,8 7,9 10,2 30 60 20 Sur 1,10 1,30 1,50 10,5 8,1 9,2 30 40 20

Tabla 4. Valores de los parámetros de avance del ejército R.


1) Suponga que se desea maximizar el mínimo retraso causado en los dos frentes.Identifique las variables de decisión, las restricciones y la función objetivo. Escriba elPPL en forma compacta utilizando la notación habitual y calcule el despliegue ópti-mo.

2) Calcule el despliegue en cada línea de cada frente de manera que el retraso logradoen cada frente sea al menos de 30 días y se emplee el menor número de unidadesposible.


SOLUCIÓN

Apartado 1)

Sean Xi,j e Yi,j las unidades regulares y de reserva respectivamente desplegadas en el frente i (iN,S), línea j (jI,II,III). La forma compacta del problema sin linealizar es:

III,II,Ij;S,Ni0Y,X

III,II,Ij;S,NiR

YXbat

200Y

200X

.a.s

tminmax

j,ij,i

ji,

ji,ji,ji,ji,ji,

S,Ni III,IIjj,i

S,Ni III,II,Ijj,i

j,i

Una vez introducida la linealización propia del minimax tendremos:

III,II,Ij;S,Ni0Y,X

III,II,Ij;S,NiZt

200Y

200X

.a.sZ

max

j,ij,i

ji,

S,Ni III,IIjj,i

S,Ni III,II,Ijj,i

El planteamiento del primer apartado es el siguiente:


SOLUCIÓN

Apartado 1)

Sean Xi,j e Yi,j las unidades regulares y de reserva respectivamente desplegadas en el frente i (iN,S), línea j (jI,II,III). La forma compacta del problema sin linealizar es:

III,II,Ij;S,Ni0Y,X

III,II,Ij;S,NiR

YXbat

200Y

200X

.a.s

tminmax

j,ij,i

ji,

ji,ji,ji,ji,ji,

S,Ni III,IIjj,i

S,Ni III,II,Ijj,i

j,i

Una vez introducida la linealización propia del minimax tendremos:

III,II,Ij;S,Ni0Y,X

III,II,Ij;S,NiZt

200Y

200X

.a.sZ

max

j,ij,i

ji,

S,Ni III,IIjj,i

S,Ni III,II,Ijj,i

El planteamiento del primer apartado es el siguiente:

La solución del primer apartado es:

El planteamiento y la solución del segundo apartado son los siguientes:


7.2 Decisión militar en ausencia de información (2/SO/PLG) Una función objetivo del tipo minimax o maximin es la mejor manera

de encarar la incertidumbre propia del combate.

G. C. Beare. «The Use of Linear Programming in Military Operational Analysis». Journal of the Operational Research Society

ENUNCIADO

Supongamos un enfrentamiento en el que usted es el defensor de un conjunto de 8 objetivos terrestres que van a ser atacados por una fuerza aérea enemiga. El combate que se producirá queda definido, de forma esquemática, como sigue:

Dispone de un potencial de defensa antiaérea que debe repartir entre los 8 objetivos (Obj1…, Obj 8) en proporciones dadas por Pj con la restricción lógica de que:

j1P0;1P j

8j

1jj

El valor táctico que para usted tiene cada objetivo (VTO) es el que figura en la primera lí-nea de la tabla A. Cuanto mayor es dicho valor más importante es para usted ese objetivo.

Una vez desplegada la defensa, el enemigo elegirá una cualquiera (y solo una) de entre las15 posibles líneas ofensivas para atacar conjuntamente los 8 objetivos estratégicos.

Para calcular el resultado del ataque por la línea ofensiva i contra el objetivo j, que se en-cuentra defendido por una proporción Pj del potencial total de defensa antiaérea, aplicamosel siguiente cálculo (siendo ai,j el valor que figura en el cuerpo de la tabla A). La cantidad vijes el valor táctico que permanece intacto tras el ataque:

ijjjij aPVTOv

El resultado total del ataque en la línea ofensiva i (Vi) se calcula entonces como:

8j

1jiji vV

Los resultados Vi representan el VTO total remanente que queda intacto tras un ataqueenemigo que siga la línea ofensiva i, motivo por el cual deberemos maximizarlo.

Tabla A OBJ Obj. 1 Obj. 2 Obj. 3 Obj. 4 Obj. 5 Obj. 6 Obj. 7 Obj. 8 VTO 120 236 180 254 138 130 254 138

POSI

BLES

LÍNE

AS

OFEN

SIVA

S

1 0,640 0,695 0,635 0,520 0,885 0,545 0,980 0,855 2 0,690 0,940 0,915 0,755 0,880 0,615 0,635 0,965 3 0,615 0,680 0,875 0,685 0,755 0,575 0,525 0,670

…………. 12 0,645 0,585 0,605 0,940 0,990 0,690 0,860 0,810 13 0,710 0,570 0,735 0,575 0,695 0,860 0,875 0,915 14 0,720 0,585 0,855 0,570 0,735 0,550 0,795 0,695 15 0,750 0,525 0,510 0,715 0,725 0,725 0,805 0,875


1) Un reparto del esfuerzo de defensa que pudiera parecer adecuado sería aquel queasignara los pesos Pj a cada objetivo en idéntica proporción a su valor táctico respec-to del total del valor de todos los objetivos. Es decir, un reparto tal que:

jVTO

VTOP

jj

jj

Sin embargo, esta asignación no es óptima a priori. Explique los motivos.


7.2 Decisión militar en ausencia de información (2/SO/PLG) Una función objetivo del tipo minimax o maximin es la mejor manera

de encarar la incertidumbre propia del combate.

G. C. Beare. «The Use of Linear Programming in Military Operational Analysis». Journal of the Operational Research Society

ENUNCIADO

Supongamos un enfrentamiento en el que usted es el defensor de un conjunto de 8 objetivos terrestres que van a ser atacados por una fuerza aérea enemiga. El combate que se producirá queda definido, de forma esquemática, como sigue:

Dispone de un potencial de defensa antiaérea que debe repartir entre los 8 objetivos (Obj1…, Obj 8) en proporciones dadas por Pj con la restricción lógica de que:

j1P0;1P j

8j

1jj

El valor táctico que para usted tiene cada objetivo (VTO) es el que figura en la primera lí-nea de la tabla A. Cuanto mayor es dicho valor más importante es para usted ese objetivo.

Una vez desplegada la defensa, el enemigo elegirá una cualquiera (y solo una) de entre las15 posibles líneas ofensivas para atacar conjuntamente los 8 objetivos estratégicos.

Para calcular el resultado del ataque por la línea ofensiva i contra el objetivo j, que se en-cuentra defendido por una proporción Pj del potencial total de defensa antiaérea, aplicamosel siguiente cálculo (siendo ai,j el valor que figura en el cuerpo de la tabla A). La cantidad vijes el valor táctico que permanece intacto tras el ataque:

ijjjij aPVTOv

El resultado total del ataque en la línea ofensiva i (Vi) se calcula entonces como:

8j

1jiji vV

Los resultados Vi representan el VTO total remanente que queda intacto tras un ataqueenemigo que siga la línea ofensiva i, motivo por el cual deberemos maximizarlo.

Tabla A OBJ Obj. 1 Obj. 2 Obj. 3 Obj. 4 Obj. 5 Obj. 6 Obj. 7 Obj. 8 VTO 120 236 180 254 138 130 254 138

POSI

BLES

LÍNE

AS

OFEN

SIVA

S

1 0,640 0,695 0,635 0,520 0,885 0,545 0,980 0,855 2 0,690 0,940 0,915 0,755 0,880 0,615 0,635 0,965 3 0,615 0,680 0,875 0,685 0,755 0,575 0,525 0,670

…………. 12 0,645 0,585 0,605 0,940 0,990 0,690 0,860 0,810 13 0,710 0,570 0,735 0,575 0,695 0,860 0,875 0,915 14 0,720 0,585 0,855 0,570 0,735 0,550 0,795 0,695 15 0,750 0,525 0,510 0,715 0,725 0,725 0,805 0,875


1) Un reparto del esfuerzo de defensa que pudiera parecer adecuado sería aquel queasignara los pesos Pj a cada objetivo en idéntica proporción a su valor táctico respec-to del total del valor de todos los objetivos. Es decir, un reparto tal que:

jVTO

VTOP

jj

jj

Sin embargo, esta asignación no es óptima a priori. Explique los motivos.

2) Calcule un reparto de la defensa que maximice el promedio de los Di tras un úni-co ataque por una línea desconocida a priori. Deduzca la forma compacta del pro-blema.

3) Para comprobar la poca adecuación del reparto propuesto en el primer apartado (re-parto del potencial de defensa entre los objetivos proporcional a sus valores tácticos)tenga en cuenta el siguiente concepto, propio de la teoría de la decisión bajo incerti-dumbre, que enunciamos ahora particularizado para el caso que nos ocupa:

Un reparto del potencial de defensa B se dice que está dominado por otro reparto A si para cualquier línea ofensiva que elija el enemigo, los resultados de A son siempre mejores que los obtenidos según el reparto B (en el caso extremo todos los resultados de A son no peores que los de B y al menos uno es estrictamente mejor).

Deduzca una estrategia de reparto que domine a la del reparto proporcio-nal a los valores tácticos y demuestre, por tanto, que dicha estrategia está dominada por al menos un reparto alternativo.

4) Suponga ahora que es capaz de asociar a cada línea ofensiva que el enemigo puedaseguir una probabilidad de ocurrencia. Estas probabilidades se dan en la tabla B.¿Cómo habría de plantear el reparto de las defensas para maximizar la esperanzadel valor residual tras el ataque? Deduzca la forma compacta del problema.

Tabla B POSIBLES LÍNEAS OFENSIVAS (Probabilidades de ejecución) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Pi 0,141 0,037 0,052 0,086 0,038 0,084 0,052 0,028 0,120 0,089 0,066 0,100 0,028 0,078 0,001

5) Calcule un reparto de la defensa que minimice el máximo de los Di tras un únicoataque por una línea desconocida a priori. Deduzca la forma compacta del problema.

6) Suponga ahora que el enemigo plantea su ataque a partir de la consideración de quela defensa planteada a priori por usted es la descrita en el apartado anterior ¿Cómodebería ser el ataque enemigo (qué línea ofensiva deberá emplear) para que la des-trucción de objetivos fuera máxima? ¿Cómo debería entonces ser su defensa bajo lahipótesis anterior?

7) Compare todos los resultados obtenidos hasta el momento y especifique los motivospara elegir una alternativa concreta.



El reparto del esfuerzo de defensa proporcional a los valores tácticos supone un repar-to con los siguientes valores:

jj

jj VTO

VTOP Obj 1 Obj 2 Obj 3 Obj 4 Obj 5 Obj 6 Obj 7 Obj 8

Pj 0,08276 0,1628 0,1241 0,1752 0,0952 0,0897 0,1752 0,0952

Para esta solución obtenemos los siguientes resultados:

El valor táctico remanente medio de este reparto proporcional es 145 (el valor rema-nente total es 2 175,1), con el peor resultado para el objetivo 3 (131,0) y el mejor para el obje-tivo n.º 7 (166,4).

El reparto proporcional del potencial de la defensa antiaérea proporcional al valor tácti-co de los objetivos sería la elección más razonable en ausencia de otros parámetros que influye-ran en la supervivencia de estos. En nuestro caso, sin embargo, la destrucción de un objetivo está determinada por dos parámetros: el propio valor táctico y los coeficientes de daño (aij) que afectan a cada línea posible de ataque. Al tener este último parámetro una dimensión que afecta a la decisión desconocida a priori del enemigo, los resultados del reparto proporcional, como demostraremos en un apartado siguiente, no son los óptimos.

Apartado 2)

El objetivo de este apartado es deducir un reparto para maximizar el promedio de los Di.

Formularemos primero el problema:

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iL Línea de ataque elegida por el enemigo, L = {1…, 15} jO Objetivos a defender, O = {Obj1…, Obj8}

2. DATOS aij Factor de cálculo del daño en objetivo i, línea j vij Calculado. Valor tras ataque por la línea i en objetivo j Vi Calculado. Valor tras ataque en objetivo j V Calculado. Valor total tras el ataque

3. VARIABLES Pj Fracción del potencial de defensa antiaérea dedicada al objetivo j



El reparto del esfuerzo de defensa proporcional a los valores tácticos supone un repar-to con los siguientes valores:

jj

jj VTO

VTOP Obj 1 Obj 2 Obj 3 Obj 4 Obj 5 Obj 6 Obj 7 Obj 8

Pj 0,08276 0,1628 0,1241 0,1752 0,0952 0,0897 0,1752 0,0952

Para esta solución obtenemos los siguientes resultados:

El valor táctico remanente medio de este reparto proporcional es 145 (el valor rema-nente total es 2 175,1), con el peor resultado para el objetivo 3 (131,0) y el mejor para el obje-tivo n.º 7 (166,4).

El reparto proporcional del potencial de la defensa antiaérea proporcional al valor tácti-co de los objetivos sería la elección más razonable en ausencia de otros parámetros que influye-ran en la supervivencia de estos. En nuestro caso, sin embargo, la destrucción de un objetivo está determinada por dos parámetros: el propio valor táctico y los coeficientes de daño (aij) que afectan a cada línea posible de ataque. Al tener este último parámetro una dimensión que afecta a la decisión desconocida a priori del enemigo, los resultados del reparto proporcional, como demostraremos en un apartado siguiente, no son los óptimos.

Apartado 2)

El objetivo de este apartado es deducir un reparto para maximizar el promedio de los Di.

Formularemos primero el problema:

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iL Línea de ataque elegida por el enemigo, L = {1…, 15} jO Objetivos a defender, O = {Obj1…, Obj8}

2. DATOS aij Factor de cálculo del daño en objetivo i, línea j vij Calculado. Valor tras ataque por la línea i en objetivo j Vi Calculado. Valor tras ataque en objetivo j V Calculado. Valor total tras el ataque

3. VARIABLES Pj Fracción del potencial de defensa antiaérea dedicada al objetivo j

4. FORMA COMPACTA

Oj1P0

1P

.a.s

V

max

j

Ojj

Lii

Lo más práctico es que, una vez habilitadas las variables del problema (los porcentajes Pj de defensa asignados a cada objetivo), calcule los valores vij y, después, sume los valores Vi.


El empleo óptimo de los recursos antiaéreos, en caso de querer optimizar el valor tácti-co total remanente, tras un ataque por una línea desconocida a priori, sería dedicar la totalidad de dichos recursos a la defensa del objetivo 4, logrando un valor táctico residual total de 2 796,5 (promedio = 186,4). La peor situación se daría si el enemigo eligiera alguna de las lí-neas 1 o 6, con un peor resultado posible de la línea de ataque n.º 6 con un valor residual de 128,3.

Apartado 3)

Para deducir un reparto de resultados Vi que sea dominante sobre el proporcional, cu-yos resultados representamos mediante Vi

P, bastará con maximizar las diferencias positivas y exigirle que, para cualquier línea ofensiva, los resultados del nuevo sean mejores que los del proporcional:


Oj1P0

1PLiVV

.a.s

VV

max

j

Ojj

Pii

Li

Pii


La solución obtenida, comparada con la del reparto proporcional, es la siguiente: Prop Vi 143,2 143,2 156,7 196,4 131,0 169,7 140,0 195,8 143,9 224,1 135,6 135,6 166,4 203,0 143,0 206,3 138,0 151,2 158,4 194,4 153,0 231,1 154,2 218,2 141,1 147,0 134,7 145,8 136,1 171,3

Media 145,0 182,2 Min 131,0 135,6

Max 166,4 231,1


Oj1P0

1PLiVV

.a.s

VV

max

j

Ojj

Pii

Li

Pii


La solución obtenida, comparada con la del reparto proporcional, es la siguiente: Prop Vi 143,2 143,2 156,7 196,4 131,0 169,7 140,0 195,8 143,9 224,1 135,6 135,6 166,4 203,0 143,0 206,3 138,0 151,2 158,4 194,4 153,0 231,1 154,2 218,2 141,1 147,0 134,7 145,8 136,1 171,3

Media 145,0 182,2 Min 131,0 135,6

Max 166,4 231,1

Como vemos, el reparto conseguido es mejor en todas las líneas ofensivas, excepto en la primera y sexta, en que ambos ofrecen iguales resultados. El nuevo reparto es claramente dominante del proporcional, en consecuencia, el reparto proporcional se halla dominado y es, bajo cualquier circunstancia, una elección ineficaz.

Apartado 4) La forma compacta y el menú de Solver serían los siguientes:

Oj1P0

Oj1P

.a.s

Vp

max

j

Ojj

Liii

El resultado sería el siguiente:

El empleo óptimo de los recursos antiaéreos, en caso de querer optimizar la esperanza del valor táctico tras un ataque por una línea desconocida a priori, sería dedicar la totalidad de dichos recursos a la defensa del objetivo 7, logrando un valor táctico residual promedio (ponde-rado) de 189,5. La peor situación se daría si el enemigo eligiera cualquiera de las líneas de ata-que 3, 4, 5 o 6, con un valor pésimo de 130,8 si elige la línea de ataque n.º 6.


Apartado 5) El problema ahora es del tipo maximin. La forma compacta y el menú de Solver serían

los siguientes:

Oj1P0

1P

LiZV.a.sZ

max

Oj1P0

1P

.a.s

Vminmax

j

Ojj

i

j

Ojj

i

Li



Apartado 5) El problema ahora es del tipo maximin. La forma compacta y el menú de Solver serían

los siguientes:

Oj1P0

1P

LiZV.a.sZ

max

Oj1P0

1P

.a.s

Vminmax

j

Ojj

i

j

Ojj

i

Li


La diferencia entre las soluciones a los apartados 1 y 3 puede apreciarse en la siguien-te comparación:

Vemos que la solución de tipo minimax ofrece mejores resultados, en el peor de los casos posibles, que las soluciones que consideran el daño agregado, ya sea ponderado o no.


Apartado 6)

La respuesta es evidente: a la vista de la tabla de resultados anteriores el enemigo atacaría por alguna de las líneas ofensivas 3 u 8, ya que es en estas donde el valor residual es más bajo.


Apartado 6)

La respuesta es evidente: a la vista de la tabla de resultados anteriores el enemigo atacaría por alguna de las líneas ofensivas 3 u 8, ya que es en estas donde el valor residual es más bajo.

7.3 Asignación de defensas antimisil (2/SO/PLE) ENUNCIADO

Suponga que actúa como defensor y debe decidir la localización de un número (N = 35) de sistemas idénticos de defensas antimisil para defender, ante un enemigo que le atacará con misiles tierra-tierra, un número (M = 25) de objetivos propios (O1…, O25). Suponga también que se dan las siguientes circunstancias:

El ataque se producirá tras su decisión de asignación y despliegue de los sistemas dedefensa antimisil.

Cada objetivo propio puede ser valorado mediante un índice VTO, (valor táctico delobjetivo), que es un valor entero, mayor cuanto más útil sea el objetivo para usted.Este índice representa la pérdida que sufriría si el objetivo fuera destruido por un misiltierra-tierra tras el ataque del enemigo.

OBJ VTO OBJ VTO OBJ VTO OBJ VTO OBJ VTO O1 30,393 O6 89,694 O11 92,028 O16 5,171 O21 73,052

(Datos completos en el fichero del enunciado) O4 80,695 O9 71,201 O14 0,755 O19 28,297 O24 9,883 O5 65,342 O10 13,647 O15 27,150 O20 18,483 O25 36,404

Los sistemas de armas cuya utilización se está considerando son defensas antimisiltierra-tierra (SSM). Un sistema de esta naturaleza, situado en las proximidades de unobjetivo, anulará y destruirá, con absoluta certeza, un único misil SSM que lance elenemigo contra dicho objetivo. En consecuencia, un objetivo será finalmente destruidosi usted le asigna un número de sistemas de defensa que sea menor que el de misilesque el enemigo, tras su decisión, lance contra él.

Debido a su corto alcance, estos sistemas de defensa solo pueden anular amenazasdirectamente dirigidas contra el objetivo que defienden, pero no contra otro, aunquese encuentre en las proximidades.

Está en territorio hostil, de manera que el enemigo tiene una inteligencia perfecta so-bre cualquier aspecto de su despliegue. En concreto debe dar por seguro que elenemigo conoce perfectamente la ponderación que usted ha hecho de sus objetivos (através del índice VTO) y que conocerá el despliegue de sus armas de defensa antimisilen el momento en que este se lleve a cabo.

En contraposición a esta inteligencia perfecta de la situación, el enemigo dispone depocos medios e intentará sacar el mayor partido posible de ellos. En concreto el plande ataque enemigo será atacar un único objetivo de manera que la relación entre el valor táctico del objetivo y el número de misiles necesario para des-truirlo sea el máximo posible. De esta manera, el objetivo que el enemigo elegiráserá aquel que resuelva la relación:

1X

VTOMax

i

i

Oi

Siendo: iO el subíndice del objetivo, O={1,2,…,25}, Vi el valor táctico del objetivo i, Xi el nº de sistemas de defensa desplegados en el objetivo i.


1) Despliegue los 35 sistemas de defensa antimisil tierra-tierra sobre los 25 objetivosdados en la tabla, de manera que la ganancia del enemigo, medida por la fórmulaanterior, sea la mínima posible.

2) Representar gráficamente el beneficio obtenido por el atacante para un número dedefensas antimisil entre 5 y 45. Ajustar una función que describa dicho beneficio apartir del número de defensas.


SOLUCIÓN

Apartado 1)

Se trata de un problema minimax con una función que contiene una fracción de una va-riable, por lo que es no lineal. El planteamiento original en su forma compacta sería el siguien-te:

OiZX

35X

.a.s

1XVTOmaxmin

.O.F

i

Oii

i

i

OiOi

Para resolverlo mediante programación lineal es necesario realizar dos linealizaciones: la correspondiente a la función objetivo y la correspondiente al planteamiento minimax.

Para evitar ambas, haremos constantes los valores de la función objetivo original crean-do una tabla de doble entrada formada con los resultados de aplicar la fórmula para cada obje-tivo y suponiendo un número de misiles atacantes entre 0 y 5. Esta tabla cuyos valores denotaremos mediante rij es la siguiente:

OBJ VTO Misiles atacantes 0 1 2 3 4 5

O1 30,393 30,393 15,197 10,131 7,598 6,079 5,066 O2 63,760 63,760 31,880 21,253 15,940 12,752 10,627 O3 11,269 11,269 5,635 3,756 2,817 2,254 1,878 O4 80,695 80,695 40,348 26,898 20,174 16,139 13,449

(datos omitidos) O20 18,483 18,483 9,242 6,161 4,621 3,697 3,081 O21 73,052 73,052 36,526 24,351 18,263 14,610 12,175 O22 56,418 56,418 28,209 18,806 14,105 11,284 9,403 O23 65,164 65,164 32,582 21,721 16,291 13,033 10,861 O24 9,883 9,883 4,942 3,294 2,471 1,977 1,647 O25 36,404 36,404 18,202 12,135 9,101 7,281 6,067

Deberemos también cambiar la forma de la variable de decisión, definida hasta ahora como:

Xi Entera. Número de sistemas de defensa desplegados en el objetivo i

A otra, Xij, también binaria, pero de dos dimensiones, definida como:

Xij Binaria. Valor 1 si se asignan j sistemas antimisil al objetivo i-ésimo

La formulación lineal es entonces la siguiente:


2. DATOS rij Beneficio (del atacante) al atacar el objetivo i con j misiles sM Número máximo de sistemas de defensa a desplegar vi VTO del objetivo i


SOLUCIÓN

Apartado 1)

Se trata de un problema minimax con una función que contiene una fracción de una va-riable, por lo que es no lineal. El planteamiento original en su forma compacta sería el siguien-te:

OiZX

35X

.a.s

1XVTOmaxmin

.O.F

i

Oii

i

i

OiOi

Para resolverlo mediante programación lineal es necesario realizar dos linealizaciones: la correspondiente a la función objetivo y la correspondiente al planteamiento minimax.

Para evitar ambas, haremos constantes los valores de la función objetivo original crean-do una tabla de doble entrada formada con los resultados de aplicar la fórmula para cada obje-tivo y suponiendo un número de misiles atacantes entre 0 y 5. Esta tabla cuyos valores denotaremos mediante rij es la siguiente:

OBJ VTO Misiles atacantes 0 1 2 3 4 5

O1 30,393 30,393 15,197 10,131 7,598 6,079 5,066 O2 63,760 63,760 31,880 21,253 15,940 12,752 10,627 O3 11,269 11,269 5,635 3,756 2,817 2,254 1,878 O4 80,695 80,695 40,348 26,898 20,174 16,139 13,449

(datos omitidos) O20 18,483 18,483 9,242 6,161 4,621 3,697 3,081 O21 73,052 73,052 36,526 24,351 18,263 14,610 12,175 O22 56,418 56,418 28,209 18,806 14,105 11,284 9,403 O23 65,164 65,164 32,582 21,721 16,291 13,033 10,861 O24 9,883 9,883 4,942 3,294 2,471 1,977 1,647 O25 36,404 36,404 18,202 12,135 9,101 7,281 6,067

Deberemos también cambiar la forma de la variable de decisión, definida hasta ahora como:

Xi Entera. Número de sistemas de defensa desplegados en el objetivo i

A otra, Xij, también binaria, pero de dos dimensiones, definida como:

Xij Binaria. Valor 1 si se asignan j sistemas antimisil al objetivo i-ésimo

La formulación lineal es entonces la siguiente:


2. DATOS rij Beneficio (del atacante) al atacar el objetivo i con j misiles sM Número máximo de sistemas de defensa a desplegar vi VTO del objetivo i

3. VARIABLES Xij Binaria. Valor 1 si se asignan j sistemas antimisil al objetivo i-ésimo Z Auxiliar. Relacionada con el minimax/maximin.

4. FORMA COMPACTA

La forma compacta del problema, una vez linealizado, es la siguiente:

5,,1,0j;Oi1;0X

sjX

1X

ZrX

.a.sZ

min

ij

MOi 5,,1,0j

ij

Oiij

Oiijij

5. EXPLICACIÓN La primera restricción es la correspondiente al planteamiento minimax. La segunda impone que, para cada objetivo i, solo podamos elegir un valor de j (que

puede ser cero). La tercera se refiere al máximo número de sistemas de defensa que podemos desplegar. Finalmente, la cuarta declara el carácter binario de la variable de decisión.

El menú de Solver (con todas las variables de decisión iguales a 1) sería el siguiente:


La solución al primer apartado es la siguiente:

Los resultados de los ataques son los siguientes:

Es decir, con el despliegue propuesto, el enemigo podría, en el mejor de los casos para él, lograr una puntuación de 26,55 atacando con dos misiles el objetivo n.º 8.


La solución al primer apartado es la siguiente:

Los resultados de los ataques son los siguientes:

Es decir, con el despliegue propuesto, el enemigo podría, en el mejor de los casos para él, lograr una puntuación de 26,55 atacando con dos misiles el objetivo n.º 8.

Apartado 2) Usando Solver Table contestamos a la segunda pregunta:

La función que describe el daño máximo posible causado por el ataque en función del número de sistemas de defensa desplegados es la siguiente:

iXln45,173,86 MaxD

Función que describe la relación observada con un alto grado de fidelidad (R2=96%).


7.4 Ruta más segura (1/SO/RED) ENUNCIADO

La figura de esta página muestra una red de 7 nodos de los que el nº.1 es origen y el nº.7, destino. Las cifras que aparecen sobre las aristas son las probabilidades de que dichas aristas sean atravesadas con éxito al circular por ellas.

Ataque talibán a camiones cisterna de las fuerzas de la OTAN en la provincia de Wardak (Afganistán).

(Fuente: es.globedia.com)


1) Calcular la ruta que saliendo del nodo 1 termine en el nodo 7 maximizando la proba-bilidad de concluir el viaje.


7.4 Ruta más segura (1/SO/RED) ENUNCIADO

La figura de esta página muestra una red de 7 nodos de los que el nº.1 es origen y el nº.7, destino. Las cifras que aparecen sobre las aristas son las probabilidades de que dichas aristas sean atravesadas con éxito al circular por ellas.

Ataque talibán a camiones cisterna de las fuerzas de la OTAN en la provincia de Wardak (Afganistán).

(Fuente: es.globedia.com)


1) Calcular la ruta que saliendo del nodo 1 termine en el nodo 7 maximizando la proba-bilidad de concluir el viaje.

SOLUCIÓN

El problema puede formularse como un modelo de ruta más corta por medio de una transformación logarítmica para convertir el producto de las probabilidades de las aristas que forman el camino elegido en la suma de los logaritmos de dichas probabilidades.

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iN Nodos de la red, N = {1…, 7} (i,j)A Aristas de la red (i,j)PA Aristas que formarán el camino elegido

2. DATOS pij Probabilidad de atravesar con éxito la arista (ij)

3. VARIABLES Xij Binaria. Con valor 1 si se atraviesa la arista (ij)

4. FORMA COMPACTA

Aij1;0X

7;1Ni0XX

Ni1XX

Ni1XX

.a.s

plog

min

ij

Ajiji

Aijij

Ajii7

Aij7i

Ajii1

Aij1i

APijij

Las dos primeras restricciones establecen que desde el origen solo puede partir una aris-ta y que al destino solo puede llegar una:

1XX1XX

1XX1XX01XX

5767

Aji

i7

Aij

7i

13121312

Aji

i1

Aij

1i

El balance de flujo en el resto de nodos que no son ni origen ni destino ha de ser nulo, bien porque no entra ni sale flujo (la arista no forma parte de la ruta) bien porque entra una unidad de flujo para salir hacia el destino (la arista forma parte de la ruta y no contiene ni al nodo origen ni al nodo final):

7;1Ni0XX

Ajiji

Aijij

Para deshacer el cambio de variable y calcular la probabilidad asociada al camino ele-gido como solución, tenemos en cuenta que:

APijijplog

APijij 10p





7.5 Recogida y escolta a un diplomático (2/SO/RED) ENUNCIADO

La que aparece en la fi-gura es la red de carreteras en-tre algunas localidades y otros puntos de interés de una zona de operaciones en la que se en-cuentra desplegada su unidad. Las cifras que aparecen sobre las aristas son las probabilida-des de que no haya sido colo-cado, en ningún punto de esa ruta, un artefacto explosivo im-provisado.

Realice las siguientes acti-vidades:

1) Calcule la ruta más segu-ra para desplazarse desdeel nodo 8, su actual situa-ción, hasta el nodo 19. Re-presente gráficamente lasolución obtenida.

2) Suponga que debe escoltar a un diplomático de la ONU que se encuentra en la zona som-breada de la nueva figura (las cifras sobre las aristas en esta figura son ahora los tiemposen minutos necesarios para atravesarlas), recogerlo en un punto de dicha zona y escoltarlohasta el nodo 19. Deduzca un plan de escolta determinando los aspectos siguientes:

El nodo de recogida, dentro de la zona sombreada, al que debe dirigirse el di-plomático.

La ruta más corta desde el nodo 8 en el que se encuentra su unidad hasta elnodo de recogida determinado en el apartado anterior.

La ruta más segura desde el nodo de recogida hasta el nodo 19.



El problema puede formularse como un modelo de ruta más corta por medio de una transformación logarítmica para convertir el producto de las probabilidades de las aristas que forman el camino elegido en la suma de los (menos) logaritmos de dichas probabilidades.

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iN Nodos de la red, N = {1…} (i,j)A Aristas de la red (i,j)PA Aristas que formarán el camino elegido



4. FORMA COMPACTA

Aij1;0X

19;8Ni0XX

Ni1XX

Ni1XX

.a.s

plog

min

ij

Ajiji

Aijij

Ajii19

Aij19i

Ajii8

Aij8i

APijij

La solución encontrada es la siguiente (se han ordenado las aristas en función del resul-tado para que aparezcan en primer lugar las que son transitadas según la solución):



El problema puede formularse como un modelo de ruta más corta por medio de una transformación logarítmica para convertir el producto de las probabilidades de las aristas que forman el camino elegido en la suma de los (menos) logaritmos de dichas probabilidades.

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iN Nodos de la red, N = {1…} (i,j)A Aristas de la red (i,j)PA Aristas que formarán el camino elegido



4. FORMA COMPACTA

Aij1;0X

19;8Ni0XX

Ni1XX

Ni1XX

.a.s

plog

min

ij

Ajiji

Aijij

Ajii19

Aij19i

Ajii8

Aij8i

APijij

La solución encontrada es la siguiente (se han ordenado las aristas en función del resul-tado para que aparezcan en primer lugar las que son transitadas según la solución):

La representación gráfica de la solución encontrada es la siguiente:


Apartado 2)

Es necesario resolver el problema en dos fases: búsqueda de la ruta más corta (en tiempo) desde el nodo 8 hacia alguno de los nodos incluidos en la zona de posible recogida, uti-lizando los datos de la segunda figura; búsqueda de la ruta más corta (más segura) desde cual-quiera de los nodos de la zona hasta el nodo 19, utilizando los datos de la primera figura.

Para encontrar todos los posibles valores usaremos Solver Table y analizaremos ambas fases, teniendo en cuenta que, para cada posible fase, el vector O/D (balance deseado de flujo en los nodos) ha de variar. La tabla de la página siguiente muestra, para cada fase, los valores que ha de tomar el vector O/D.

También es necesario tener en cuenta la naturaleza del problema de cada fase: ruta más corta en tiempo para la primera; ruta más segura para la segunda.

Los resultados obtenidos en ambas fases son los siguientes:

Fase 1 Nodo candidato 7 9 10 13 16 17 20 22 23 25

Distancia = 174 184 204 186 NF

293 281 NF

262 176 Probabilidad = 0,005 0,005 0,004 0,005 0,003 0,003 0,003 0,449

Probabilidad (LOG) = -2,308 -2,328 -2,362 -2,343 -2,491 -2,475 -2,472 -0,348

Vemos que para los nodos 16 y 22 el problema es no factible. Al inspeccionar la topolo-gía de la red observamos que no existen aristas que permitan conectar el nodo 8 con ninguno de estos dos nodos.

Para la fase 2 los resultados son los siguientes:


Distancia = 259 249 229 247 270 NF NF

290 NF NF Probabilidad = 0,324 0,339 0,367 0,351 0,277 0,313

Probabilidad (LOG) = -0,490 -0,470 -0,436 -0,454 -0,557 -0,505

De nuevo, vemos que hay nodos para los cuales el problema es no factible:

Fase 1 Fase 2 O/D 7 9 10 13 16 17 20 22 23 25 O/D 7 9 10 13 16 17 20 22 23 25

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0

10 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 13 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 16 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 17 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 17 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 19 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 20 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 20 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 22 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 22 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0


Apartado 2)

Es necesario resolver el problema en dos fases: búsqueda de la ruta más corta (en tiempo) desde el nodo 8 hacia alguno de los nodos incluidos en la zona de posible recogida, uti-lizando los datos de la segunda figura; búsqueda de la ruta más corta (más segura) desde cual-quiera de los nodos de la zona hasta el nodo 19, utilizando los datos de la primera figura.

Para encontrar todos los posibles valores usaremos Solver Table y analizaremos ambas fases, teniendo en cuenta que, para cada posible fase, el vector O/D (balance deseado de flujo en los nodos) ha de variar. La tabla de la página siguiente muestra, para cada fase, los valores que ha de tomar el vector O/D.

También es necesario tener en cuenta la naturaleza del problema de cada fase: ruta más corta en tiempo para la primera; ruta más segura para la segunda.

Los resultados obtenidos en ambas fases son los siguientes:


Distancia = 174 184 204 186 NF

293 281 NF

262 176 Probabilidad = 0,005 0,005 0,004 0,005 0,003 0,003 0,003 0,449

Probabilidad (LOG) = -2,308 -2,328 -2,362 -2,343 -2,491 -2,475 -2,472 -0,348

Vemos que para los nodos 16 y 22 el problema es no factible. Al inspeccionar la topolo-gía de la red observamos que no existen aristas que permitan conectar el nodo 8 con ninguno de estos dos nodos.

Para la fase 2 los resultados son los siguientes:


Distancia = 259 249 229 247 270 NF NF

290 NF NF Probabilidad = 0,324 0,339 0,367 0,351 0,277 0,313

Probabilidad (LOG) = -0,490 -0,470 -0,436 -0,454 -0,557 -0,505

De nuevo, vemos que hay nodos para los cuales el problema es no factible:

Fase 1 Fase 2 O/D 7 9 10 13 16 17 20 22 23 25 O/D 7 9 10 13 16 17 20 22 23 25

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0

10 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 13 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 16 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 17 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 17 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 19 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 20 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 20 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 22 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 22 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0

Fase 1 Fase 2 23 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 23 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Variación del vector O/D según la fase.

Un resumen de los resultados de ambas fases es el siguiente:


Distancia = 174 184 204 186 NF NF NF NF NF NF Probabilidad = 0,324 0,339 0,367 0,351 En el gráfico de la página siguiente, en el que se representan conjuntamente los valores

de tiempo y probabilidad de los cuatro únicos nodos de la zona para los cuales existe una solu-ción factible, vemos que ambos valores están correlacionados positivamente: un menor tiempo implica una menor probabilidad y viceversa.

Ninguno de los cuatro nodos candidatos está dominado por otro, de manera que la elec-ción del más recomendable para efectuar la recogida del diplomático dependerá de la decisión final del oficial al mando, ya que la variación de los valores no es significativa.


La solución para el nodo 7, elegido arbitrariamente como nodo de recogida, sería la siguiente:


La solución para el nodo 7, elegido arbitrariamente como nodo de recogida, sería la siguiente: Un comentario sobre el cálculo de rutas con nodos fijos

Supongamos que en el apartado primero se hubieran añadido dos restricciones al cálculo de la ruta pedida:

Encontrar la ruta más segura (el razonamiento que haremos es válido para cual-quier problema de ruta más corta) entre el nodo 8 (origen) y el nodo 19 (des-tino) que pase obligatoriamente por el nodo 13.

Idéntico al anterior, pero sustituyendo el nodo 13 por el 30.

Para resolver cualquiera de estos dos puntos tenemos al menos dos opciones: resolver el problema en una única fase forzando a que la ruta pase por el nodo 13 (30); resolver el pro-blema en dos fases, una primera ruta desde el origen a nodo 13 (30) y una segunda desde el 13 (30) hasta el destino.

La única forma de forzar a la ruta obtenida a que pase por un nodo determinado es añadir una restricción que fuerce a que, en la lista de nodos, la entrada a dicho nodo de visita obligatoria valga 1. La restricción a añadir, en el caso del nodo 13, sería la siguiente:

Ni1X

Aij13i

La solución que obtendríamos sería la siguiente:

Vemos que la solución obtenida es válida: parte de 8, pasa por 13 y termina en 19. Al añadir la restricción que antes no existía la ruta es más peligrosa que la obtenida anteriormen-te.

Desgraciadamente, esta restricción, que ha funcionado bien para el nodo 13, no lo haría en el caso de que el nodo a visitar fuera el 30.


En ese caso obtendría una solución como la siguiente que, evidentemente, no es válida:

La solución obtenida para este nodo, que verifica todas las restricciones de la forma compacta, no es válida porque incluye un circuito (25→29→39→25→…) que está desconec-tado de la ruta principal.

En el problema siguiente volveremos sobre este aspecto y señalaremos la forma en que deben evitarse este tipo de circuitos.


En ese caso obtendría una solución como la siguiente que, evidentemente, no es válida:

La solución obtenida para este nodo, que verifica todas las restricciones de la forma compacta, no es válida porque incluye un circuito (25→29→39→25→…) que está desconec-tado de la ruta principal.

En el problema siguiente volveremos sobre este aspecto y señalaremos la forma en que deben evitarse este tipo de circuitos.

7.6 Ruta óptima de un UAV (2/SO/RED) ENUNCIADO

La figura siguiente muestra los posibles rumbos que, desde el nodo origen 7 desde el que será lanzado, es capaz de seguir un UAV que debe realizar una misión de exploración sobre territorio hostil. Cada uno de los obje-tivos representados por los otros nodos a los que se puede llegar desde el nodo 7 tiene asignado un valor que se corresponde con la utilidad de su reconocimiento (a mayor valor del objetivo, mayor ventaja en la misión de ataque que se realizará a continuación). Estos valores son las cifras en rojo que aparecen junto al nodo.

Las cifras que aparecen sobre las aristas son lostiempos (medidos en horas) que el UAV tardaríaen desplazarse de un nodo a otro.

Desafortunadamente, el UAV dispone de una au-tonomía de 150 horas, transcurridas las cualesdejará de mandar información.


1) Determine la ruta que, partiendo del nodo 7, recorra otros nodos de manera que el valorde exploración total sea el máximo posible y no suponga un tiempo total de vuelo supe-rior a la autonomía del UAV. Para calcular el valor total de exploración tenga en cuentaque solo se sumaría al total explorado la primera visita a un objetivo en caso de que seseleccione una ruta que visite cualquier nodo más de una vez.

Fuente: General Atomics Aeronautics


SOLUCIÓN

El problema se puede resolver a partir de un modelo similar al de flujo máximo, pero te-niendo en cuenta las especiales características que presenta el enunciado.

Deberemos primero considerar el vector O/D dividido en dos trozos distintos: uno referi-do al nodo 7 en exclusiva (que llamaremos OD7) y el resto referido a los nodos distintos del 7 (que llamaremos ODR).

Gracias a que podemos añadir una restricción sobre el balance final de flujo de los no-dos (que en el caso de un problema de flujo máximo haría que este balance fuera nulo), pode-mos representar el hecho de que el vehículo sale del nodo 7 (por lo que este nodo tendrá un balance negativo, OD7 = -1), recorre una serie de nodos (que tendrán balance nulo, toda vez que el vehículo los atraviesa, ODR = 0), y finalmente acaba en un nodo desconocido a priori, cuando el tiempo máximo de viaje se agote (este nodo tendrá balance positivo, ya que el vehículo entrará en él, pero no saldrá).

Dado que no sabemos a priori la secuencia de nodos a visitar, el vector ODR, que habi-tualmente figura como una restricción del problema, figurará ahora como una variable de deci-sión (junto con el vector Uso), pero será necesario para mantener el balance que la suma de este vector para los nodos candidatos sea igual a la unidad (crearemos una variable llamada balance que obligaremos a que tome el valor 1).

Solo resta crear una función objetivo (EXPLORACIÓN), que recogerá la utilidad de los nodos visitados, y una variable duración, que recogerá el tiempo invertido en visitar los nodos elegidos, que obligaremos a que sea menor que la duración máxima del viaje.


La solución encontrada (que puede no ser única) es la siguiente:


SOLUCIÓN

El problema se puede resolver a partir de un modelo similar al de flujo máximo, pero te-niendo en cuenta las especiales características que presenta el enunciado.

Deberemos primero considerar el vector O/D dividido en dos trozos distintos: uno referi-do al nodo 7 en exclusiva (que llamaremos OD7) y el resto referido a los nodos distintos del 7 (que llamaremos ODR).

Gracias a que podemos añadir una restricción sobre el balance final de flujo de los no-dos (que en el caso de un problema de flujo máximo haría que este balance fuera nulo), pode-mos representar el hecho de que el vehículo sale del nodo 7 (por lo que este nodo tendrá un balance negativo, OD7 = -1), recorre una serie de nodos (que tendrán balance nulo, toda vez que el vehículo los atraviesa, ODR = 0), y finalmente acaba en un nodo desconocido a priori, cuando el tiempo máximo de viaje se agote (este nodo tendrá balance positivo, ya que el vehículo entrará en él, pero no saldrá).

Dado que no sabemos a priori la secuencia de nodos a visitar, el vector ODR, que habi-tualmente figura como una restricción del problema, figurará ahora como una variable de deci-sión (junto con el vector Uso), pero será necesario para mantener el balance que la suma de este vector para los nodos candidatos sea igual a la unidad (crearemos una variable llamada balance que obligaremos a que tome el valor 1).

Solo resta crear una función objetivo (EXPLORACIÓN), que recogerá la utilidad de los nodos visitados, y una variable duración, que recogerá el tiempo invertido en visitar los nodos elegidos, que obligaremos a que sea menor que la duración máxima del viaje.


La solución encontrada (que puede no ser única) es la siguiente:


PRECAUCIÓN (CIRCUITOS) De nuevo debemos advertir de los peligros de un razonamiento como el que nos ha lle-

vado a la solución expuesta dada su imposibilidad para evitar —si la topología de la red reuniera determinadas condiciones— la formación de circuitos (un circuito es un camino que empieza y acaba en un mismo nodo).

Para comprobar esta posibilidad, sustituyamos en los datos del problema el tiempo aso-ciado al recorrido entre el nodo 5 y el 6 (en ese sentido, desde 5 a 6 y no en sentido contrario) su valor original de 65 por uno más bajo, por ejemplo, 35, y obtengamos la nueva solución. Vemos que es la siguiente:



Vemos que esta solución contiene un circuito de longitud 2 en los nodos 5 y 6, solución que no vulnera el razonamiento seguido para encontrar la solución original, ya que el flujo en todos los nodos, excepto en el final de la ruta, es nulo.

Remitimos al alumno a la descripción del problema del agente viajero (travelling sales-man problem o TSP) incluido en el manual de la asignatura en el que se describen las restric-ciones necesarias para evitar la formación de circuitos. Estas restricciones fueron desarrolladas por Dantzig, Fulkerson y Jhonson en 1954, y mejoradas posteriormente por Miller, Tucker y Zemlin, por lo que en ocasiones son también conocidas mediante el término restricciones MTZ.



Vemos que esta solución contiene un circuito de longitud 2 en los nodos 5 y 6, solución que no vulnera el razonamiento seguido para encontrar la solución original, ya que el flujo en todos los nodos, excepto en el final de la ruta, es nulo.

Remitimos al alumno a la descripción del problema del agente viajero (travelling sales-man problem o TSP) incluido en el manual de la asignatura en el que se describen las restric-ciones necesarias para evitar la formación de circuitos. Estas restricciones fueron desarrolladas por Dantzig, Fulkerson y Jhonson en 1954, y mejoradas posteriormente por Miller, Tucker y Zemlin, por lo que en ocasiones son también conocidas mediante el término restricciones MTZ.

7.7 ¿Tenemos un plan B? (2/OS/RED) La figura de esta página muestra una red que consta de 15 nodos unidos por una serie

de aristas bidireccionales. Los números que figuran sobre las aristas son los tiempos necesarios para atravesarlas cuando se circula por ellas en cualquier sentido.


1) Determine la ruta más corta para ir del nodo 1 al nodo 15.

2) Suponga ahora que el enemigo puede inhabilitar, impidiendo su circulación a travésde ella, una única arista de la red. No sabrá que dicha arista está inhabilitada hastaencontrarse en alguno de los dos nodos que dicha arista une. Prepare un plan paraobtener una ruta alternativa más corta, en caso de que, durante el trayecto calcula-do en el apartado anterior, encontrara alguna de las aristas que tenía previsto utili-zar inhabilitada por la acción del enemigo.

3) Si el enemigo solo dispone de capacidad para anular una arista, ¿cuál debe inhabili-tar para que el trayecto más corto seguido por usted, desde el nodo 1 al 15, sea lomás largo posible?

4) Si el enemigo actúa de acuerdo con lo determinado en el apartado anterior, ¿cuáldeberá ser su ruta?


SOLUCIÓN

Apartado 1)

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iN Nodos de la red, N = {1…, 15} (ij)A Aristas de la red

2. DATOS tij Tiempo invertido al transitar la arista (ij)

3. VARIABLES Xij Binaria. Con valor 1 si se incluye la arista (ij) en la solución

4. FORMA COMPACTA

La ruta más rápida entre el nodo 1 y el nodo 15:

Aj,i1;0X

15i115;1Ni0

1i1XX

.a.s

Xt

min

ij

Aij:j

ij

Aji:j

ji

Aj,i

ijij

La solución obtenida es la siguiente (se ha ordenado la lista de aristas para que aparez-can en primer lugar las aristas implicadas en la solución y se ha añadido un formato para que no aparezcan los valores nulos en la hoja):


SOLUCIÓN

Apartado 1)


2. DATOS tij Tiempo invertido al transitar la arista (ij)


4. FORMA COMPACTA

La ruta más rápida entre el nodo 1 y el nodo 15:

Aj,i1;0X

15i115;1Ni0

1i1XX

.a.s

Xt

min

ij

Aij:j

ij

Aji:j

ji

Aj,i

ijij

La solución obtenida es la siguiente (se ha ordenado la lista de aristas para que aparez-can en primer lugar las aristas implicadas en la solución y se ha añadido un formato para que no aparezcan los valores nulos en la hoja):

La representación gráfica de la solución encontrada es la siguiente:

Apartado 2) Suponga ahora que el enemigo puede inhabilitar, impidiendo su circulación a través de

ella, una única arista de la red. No sabrá que dicha arista está inhabilitada hasta encon-trarse en alguno de los dos nodos que dicha arista une. Prepare un plan para obteneruna ruta alternativa más corta, en caso de que, durante el trayecto calculado en el apar-tado anterior, encontrara alguna de las aristas que tenía previsto utilizar inhabilitada porla acción del enemigo.

Es evidente que si el enemigo no corta ninguna de las aristas incluidas en la solución an-terior, no es necesario un plan alternativo. Para contestar a este segundo apartado repetiremos el ejercicio del apartado anterior, pero impidiendo que la solución contenga, una a una, todas las aristas de la ruta óptima. Para ello añadimos una nueva variable binaria Yij con valor 1 si se puede incluir la arista (ij) en la solución y 0 en caso contrario. La nueva formulación es la si-guiente:

Aj,i1;0X

Aj,iYX

15i115;1Ni0

1i1XX

.a.s

Xt

min

ij

ijij

Aij:j

ij

Aji:j

ji

Aj,i

ijij


El aspecto de la hoja de cálculo sería el siguiente:

La solución encontrada en el caso de que la arista inhabilitada por enemigo fuera la n.º 1 (entre 1 y 2) es la siguiente:


El aspecto de la hoja de cálculo sería el siguiente:

La solución encontrada en el caso de que la arista inhabilitada por enemigo fuera la n.º 1 (entre 1 y 2) es la siguiente:

Repitiendo el procedimiento obtenemos las variaciones en la ruta óptima inicial en fun-ción de la acción enemiga:

El plan es el siguiente:

Tomar la ruta marcada por las aristas(1→2), (2→6), (6→11), (11→13), (13→15). Tiempo invertido: 56 minutos.

Si la arista (2→6) está inhabilitada, tomar la ruta:(1→2), (2→5), (5→6), (6→11), (11→13), (13→15). Tiempo invertido: 85 minutos.

Si la arista (6→11) está inhabilitada, tomar la ruta:(1→2), (2→6), (6→7), (7→12), (12→15). Tiempo invertido: 73 minutos.





Apartado 3)

Si el enemigo actúa de acuerdo con lo determinado en el apartado anterior, ¿cuál deberáser su ruta?

La solución al apartado anterior es la respuesta a este tercer apartado. La arista cuya inhabilitación es la que supone un mayor aumento del tiempo de ruta es la n.º 1, que une los nodos 1 con 2, y que hace que la ruta más corta pase de 56 a 85 minutos.

Apartado 4)

Si el enemigo solo dispone de capacidad para anular una arista, ¿cuál debe inhabilitar pa-ra que el trayecto más corto seguido por usted, desde el nodo 1 al 15, sea lo más largoposible?

La solución al apartado anterior es la respuesta a este cuarto apartado. La arista cuya inhabilitación es la que supone un mayor aumento del tiempo de ruta es la n.º 1, que une los nodos 1 con 2, y que hace que la ruta más corta pase de 56 a 85 minutos.


Apartado 3)

Si el enemigo actúa de acuerdo con lo determinado en el apartado anterior, ¿cuál deberáser su ruta?

La solución al apartado anterior es la respuesta a este tercer apartado. La arista cuya inhabilitación es la que supone un mayor aumento del tiempo de ruta es la n.º 1, que une los nodos 1 con 2, y que hace que la ruta más corta pase de 56 a 85 minutos.

Apartado 4)

Si el enemigo solo dispone de capacidad para anular una arista, ¿cuál debe inhabilitar pa-ra que el trayecto más corto seguido por usted, desde el nodo 1 al 15, sea lo más largoposible?

La solución al apartado anterior es la respuesta a este cuarto apartado. La arista cuya inhabilitación es la que supone un mayor aumento del tiempo de ruta es la n.º 1, que une los nodos 1 con 2, y que hace que la ruta más corta pase de 56 a 85 minutos.

7.8 Visita de inspección a 36 destacamentos (3/OS/RED) La figura de esta página muestra la situación de 36 destacamentos militares de diferente

entidad que, por comodidad, se han reescalado —respetando las distancias reales— sobre una cuadrícula de 100 x 100 km. La tabla siguiente muestra, parcialmente, la matriz de distancias entre los destacamentos. (Las coordenadas de las 36 localidades aparecen en el fichero de da-tos del problema).

dij 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …. 1 0,0 53,0 35,4 35,0 62,7 77,2 26,9 83,2 76,6

….

2 53,0 0,0 26,9 23,4 25,0 40,8 40,2 43,3 55,9 3 35,4 26,9 0,0 28,3 48,5 41,8 38,6 47,8 44,8 4 35,0 23,4 28,3 0,0 27,8 60,8 16,8 64,7 70,7 5 62,7 25,0 48,5 27,8 0,0 63,6 39,8 64,4 80,6 6 77,2 40,8 41,8 60,8 63,6 0,0 76,1 7,3 22,8 7 26,9 40,2 38,6 16,8 39,8 76,1 0,0 80,4 83,2 8 83,2 43,3 47,8 64,7 64,4 7,3 80,4 0,0 28,4 9 76,6 55,9 44,8 70,7 80,6 22,8 83,2 28,4 0,0 … ……………. 0,0


1) Diseñe un circuito que empiece en alguno de los destacamentos, recorra todos losrestantes y finalice en aquel del que partió originalmente, haciendo que la distanciatotal recorrida sea la mínima posible.


SOLUCIÓN

Apartado 1)


2. DATOS dij Distancia entre el nodo i y el nodo j al transitar la arista (ij)


4. FORMA COMPACTA

Supongamos que no añadimos más restricciones que las vistas hasta el momento, ten-dríamos la forma compacta siguiente:

Aij1;0X

Aij1X

Aij1X

.a.s

dX

min

ij

Aijij

Aijij

Aijijij

La solución que obtendríamos sería, ya que las distancias d(ii) son siempre nulas:

jiAij0jiAij1

Xij

No es una solución válida. Forzar a que d(ii) tomase un valor arbitrariamente grande no solucionaría el problema, ya que obtendríamos una solución con circuitos.

Necesitamos, pues, restricciones que impidan la aparición de circuitos en las soluciones encontradas. Estas restricciones se conocen en la literatura como subtour elimination constrai-nts, y existen diferentes planteamientos. Las restricciones originales fueron planteadas por Dan-tzig en 1954 y su formulación es la siguiente:

SNS1SXSij

ij

Esta restricción impone que para ningún subconjunto posible S, no vacío, del conjunto N de los nodos, la suma de las aristas habilitadas en S debe ser menor que su cardinal (el número de nodos que contiene S) menos 1. Supongamos que hubiéramos obtenido una solución parcial, en los cuatro primeros nodos, con los siguientes resultados:

Xij 1 2 3 4 1 0 1 0 0 2 0 0 1 0 3 0 0 0 1 4 1 0 0 0


SOLUCIÓN

Apartado 1)


2. DATOS dij Distancia entre el nodo i y el nodo j al transitar la arista (ij)


4. FORMA COMPACTA

Supongamos que no añadimos más restricciones que las vistas hasta el momento, ten-dríamos la forma compacta siguiente:

Aij1;0X

Aij1X

Aij1X

.a.s

dX

min

ij

Aijij

Aijij

Aijijij

La solución que obtendríamos sería, ya que las distancias d(ii) son siempre nulas:

jiAij0jiAij1

Xij

No es una solución válida. Forzar a que d(ii) tomase un valor arbitrariamente grande no solucionaría el problema, ya que obtendríamos una solución con circuitos.

Necesitamos, pues, restricciones que impidan la aparición de circuitos en las soluciones encontradas. Estas restricciones se conocen en la literatura como subtour elimination constrai-nts, y existen diferentes planteamientos. Las restricciones originales fueron planteadas por Dan-tzig en 1954 y su formulación es la siguiente:

SNS1SXSij

ij

Esta restricción impone que para ningún subconjunto posible S, no vacío, del conjunto N de los nodos, la suma de las aristas habilitadas en S debe ser menor que su cardinal (el número de nodos que contiene S) menos 1. Supongamos que hubiéramos obtenido una solución parcial, en los cuatro primeros nodos, con los siguientes resultados:

Xij 1 2 3 4 1 0 1 0 0 2 0 0 1 0 3 0 0 0 1 4 1 0 0 0

Tendríamos que:

4XXXXX4,3,2,1S 41342312

Sij

ij

Por lo que estaríamos ante un circuito de longitud 4 que, partiendo del nodo 1, pasa-ra por los nodos 2, 3 y 4, volviendo de nuevo al origen.

Al aplicar la restricción anterior veríamos que no se verifica, ya que:

SNS1SX314

4XXXX

Sij

ij

41342312

Una versión menos exigente es la debida a Miller, Tucker y Zemlin, quienes en 1964 presentaron una formulación alternativa que solo (!) necesita (n-2)2 restricciones nuevas y n2 nuevas variables binarias y cuya formulación es la siguiente:

1iAj,iX11n1UU ijji

Siendo las variables Ui un nuevo conjunto de variables auxiliares, enteros consecutivos, que recogerán el orden en el que, en la solución encontrada, son visitadas las ciudades y que están sometidas, por tanto, a la siguiente restricción:

1inU2 i La formulación completa que permite resolver el TSP como un problema lineal es la si-

guiente:


2. DATOS dij Distancia entre el nodo i y el nodo j al transitar la arista (ij) n Número de nodos de la red (cardinal de N)

3. VARIABLES Xij Binaria. Con valor 1 si se incluye la arista (ij) en la solución Ui Entera = 1…, n, orden en el que se visita el nodo i

4. FORMA COMPACTA

Aij1;0X1NinU2

Nj1X

Ni1XNj,i2n1nXUU

.a.s

dX

min

ij

i

Niij

Njij

ijji

Ni Njijij


Veamos cómo aparecerían en la hoja los elementos del problema. En primer lugar, ten-dríamos la matriz de distancias (dij) entre nodos:

A continuación, aparecería la matriz que alberga a la variable binaria Xij, que constituye parte de la solución y que tendría, una vez resuelto el problema, un aspecto como el siguiente (nótese en los márgenes de esta matriz las sumas de filas y columnas que sabemos han de ser iguales a la unidad en todos los casos):


Veamos cómo aparecerían en la hoja los elementos del problema. En primer lugar, ten-dríamos la matriz de distancias (dij) entre nodos:

A continuación, aparecería la matriz que alberga a la variable binaria Xij, que constituye parte de la solución y que tendría, una vez resuelto el problema, un aspecto como el siguiente (nótese en los márgenes de esta matriz las sumas de filas y columnas que sabemos han de ser iguales a la unidad en todos los casos):

A continuación, aparecería el espacio dedicado a comprobar la verificación de la restric-ción para evitar circuitos, que tendría un aspecto como el siguiente:

En el margen derecho aparece la variable de decisión Ui y, en el centro, los resultados de los cálculos relativos a la primera restricción. Finalmente, el menú de Solver que contiene la forma compacta del problema:


La figura siguiente muestra la solución encontrada, óptima en distancia:

Si tenemos la precaución de pedirle a Open Solver que resuma la ejecución del modelo, tendremos una figura como la siguiente:

Observamos que se han tardado 2 820 segundos, es decir, 47 minutos en resolver un problema extraordinariamente sencillo de apenas 36 ciudades, lo cual nos lleva a desaconsejar el enfoque lineal como forma de resolver el TSP y otros problemas de análoga naturaleza.


La figura siguiente muestra la solución encontrada, óptima en distancia:

Si tenemos la precaución de pedirle a Open Solver que resuma la ejecución del modelo, tendremos una figura como la siguiente:

Observamos que se han tardado 2 820 segundos, es decir, 47 minutos en resolver un problema extraordinariamente sencillo de apenas 36 ciudades, lo cual nos lleva a desaconsejar el enfoque lineal como forma de resolver el TSP y otros problemas de análoga naturaleza.

7.9 Supervivencia de una red de telecomunicaciones (3/OS/RED) ENUNCIADO

La red que aparece en la figura de esta página corresponde a la distribución espacial de localizaciones (nodos) en las que es posible desplegar dos destacamentos de tropas que es-tarán conectados por alguna de las aristas existentes.


1) Resolver mediante Solver u Open Solver el problemapara determinar qué dos emplazamientos tienen unamayor conectividad ante un ataque a la red de comu-nicaciones, es decir, aquellos dos nodos que permane-cerán conectados tras un ataque enemigo en el que sedestruyeran una, dos, tres… aristas. Dicho de otro mo-do, ¿entre qué dos nodos es mayor el número derutas que unen uno con otro, tal que las rutas nocomparten entre sí ninguna arista?

2) ¿Cuál es el número mínimo de aristas que debe destruirun enemigo para cortar la conexión entre los dos pun-tos elegidos en el apartado anterior? (Suponiendo queactúa de forma óptima y no ataca aristas innecesarias).


SOLUCIÓN

Apartado 1)

Se trata de un problema de flujo máximo en el que deberá introducir algunas modifica-ciones. En primer lugar, las 11 x 11 variables binarias que determinarán el carácter de cada no-do: entrante y saliente (que serán los nodos elegidos para el despliegue de los destacamentos sin que, dado que la red es simétrica, sea relevante cuál es uno y cuál es el otro); los restantes nodos que llamaremos resto.

Las condiciones que determinan la máxima conectividad de los nodos elegidos como en-trante y saliente son las siguientes:

Maximizar el flujo que sale del nodo saliente. Igualar el flujo que entra en el nodo entrante a la cantidad anterior. Hacer nulos el flujo que sale de entrante y el que entra en saliente para forzarlos

a que sean origen y destino. Hacer el balance de flujo de los nodos resto nulo. Hacer nulos los flujos que entran en los nodos resto.



SOLUCIÓN

Apartado 1)

Se trata de un problema de flujo máximo en el que deberá introducir algunas modifica-ciones. En primer lugar, las 11 x 11 variables binarias que determinarán el carácter de cada no-do: entrante y saliente (que serán los nodos elegidos para el despliegue de los destacamentos sin que, dado que la red es simétrica, sea relevante cuál es uno y cuál es el otro); los restantes nodos que llamaremos resto.

Las condiciones que determinan la máxima conectividad de los nodos elegidos como en-trante y saliente son las siguientes:

Maximizar el flujo que sale del nodo saliente. Igualar el flujo que entra en el nodo entrante a la cantidad anterior. Hacer nulos el flujo que sale de entrante y el que entra en saliente para forzarlos

a que sean origen y destino. Hacer el balance de flujo de los nodos resto nulo. Hacer nulos los flujos que entran en los nodos resto.



Es decir, hay que colocar los destacamentos en los nodos 4 y 10, ya que entre ellos exis-ten cuatro rutas posibles que no comparten nodos.


El enemigo tendría que destruir un mínimo de cuatro nodos (distintos de aquellos en los que se encuentran los destacamentos) para romper las comunicaciones entre los nodos elegi-dos.


El enemigo tendría que destruir un mínimo de cuatro nodos (distintos de aquellos en los que se encuentran los destacamentos) para romper las comunicaciones entre los nodos elegi-dos.

7.10 Desactivación de IED (2/OS/RED) Los denominados artefactos explosivos improvisados (IED, en sus siglas en inglés) pre-

sentan una serie de características que los convierten en un grave riesgo para los soldados de las misiones internacionales en teatros de operaciones hostiles como fueron Irak o Afganistán.

Los IED son baratos de producir, fáciles de usar y se pueden adaptar para evitar las con-tramedidas electrónicas habituales; se pueden fabricar a partir de componentes comerciales de fácil acceso; tienen baja probabilidad de ser detectados; se pueden fabricar de múltiples for-mas, con diferentes contenedores, modos de envío, conceptos de operación, etc.

En escenarios de estabilización hay una gran disponibilidad de materiales para fabricar-los, incluyendo explosivos. Pueden usarse explosivos comerciales, militares o caseros, artillería militar o cualquier otro material que pueda explotar, como tanques de combustible. Los IED se experimentan cada día, permitiendo una rápida evolución y adaptación de estos a las soluciones usadas por las Fuerzas Armadas para contrarrestarlos. El empleo táctico con efecto estratégico, el impacto mediático de sus efectos y el relativo bajo riesgo asociado a su uso hacen de los IED un arma muy efectiva. (Fuente: Ministerio de Defensa)

ENUNCIADO

El mapa de la figura es el de la red de carreteras de una provincia en el que se haya desplegada su unidad. Consta de 30 nodos (de los cuales el 1 es origen y el 30 es destino) y de 61 aristas que unen los diferentes nodos en el sentido en que indican las flechas. Debe deter-minar una ruta que, partiendo del nodo origen, llegue al nodo destino.

Los informes de inteligencia señalan que en los diferentes tramos de carretera (aristas) el enemigo puede haber colocado artefactos explosivos improvisados (IED). La probabilidad de que una determinada arista contenga uno de dichos artefactos aparece en los datos del enunciado del problema junto con el tiempo estimado (en minutos) en recorrer la arista. Dis-pone de un determinado número de equipos de desactivación que podrían limpiar los tra-mos de carretera, y reducir la probabilidad de que estalle un explosivo al paso del convoy.


Cuando los equipos de desactivación actúan sobre un tramo de la ruta minoran la pro-babilidad de que un IED explote al paso del convoy. Desafortunadamente, no es posible anular por completo el riesgo, de manera que siempre, incluso tras las tareas de desactivación, existe una pequeña probabilidad (5 %) de que una ruta revisada contenga un artefacto.

El grado de minoración depende del número de equipos que se asignen a la ruta, así si p0

i es la probabilidad de que la ruta contenga un artefacto explosivo, dicha probabilidad dismi-nuye, en función del número de equipos asignados, según los datos de la tabla A:

Tabla A Equipos de desactivación asignados a la ruta 0 1 equipo 2 equipos 3 equipos

0ijp 995,0;p65,1minp 0

i1i 995,0;p50,1minp 1

i2i 999,0;p85,1minp 2

i3i

Por ejemplo, si Inteligencia supone probabilidades iniciales iguales al 25 %; 50 % y 75 % en tres aristas diferentes, estas probabilidades disminuirían, según el número de equipos asig-nados, de la forma siguiente:

Equipos de desactivación asignados a la ruta 0 (Inicial) 1 equipo 2 equipos 3 equipos

0,250 0,413 0,619 0,999 0,500 0,825 0,995 0,999 0,750 0,995 0,995 0,999


1) Determine la ruta más segura en el caso de que no contara con ningún equipo dedesactivación y no se imponga ninguna restricción en cuanto al tiempo total inverti-do en la ruta. Escriba la forma compacta del problema.

2) Determine la ruta más segura en el caso de que el tiempo máximo empleadopara completar la ruta no deba ser superior a 150 minutos.

3) Determine la ruta más segura en el caso de que cuente con 4 equipos de des-activación y no tenga restricciones respecto al tiempo.

4) Deduzca cómo variarían la probabilidad de atravesar la ruta y el tiempo necesariopara un número de equipos de desactivación entre 0 y 10. Grafique la relación deambas variables (tiempo y probabilidad) con el número de equipos.

Miembros de la Brigada de la Legión D. Antonio Navarro, D. Manuel Velasco y D. José Francisco Prieto, fallecidos en acto de servicio en 2013 mientras efectuaban prácticas de desactivación de explosivos. Los tres tenían una amplísima experiencia profesional y habían

participado en numerosas misiones en el extranjero.


Cuando los equipos de desactivación actúan sobre un tramo de la ruta minoran la pro-babilidad de que un IED explote al paso del convoy. Desafortunadamente, no es posible anular por completo el riesgo, de manera que siempre, incluso tras las tareas de desactivación, existe una pequeña probabilidad (5 %) de que una ruta revisada contenga un artefacto.

El grado de minoración depende del número de equipos que se asignen a la ruta, así si p0

i es la probabilidad de que la ruta contenga un artefacto explosivo, dicha probabilidad dismi-nuye, en función del número de equipos asignados, según los datos de la tabla A:

Tabla A Equipos de desactivación asignados a la ruta 0 1 equipo 2 equipos 3 equipos

0ijp 995,0;p65,1minp 0

i1i 995,0;p50,1minp 1

i2i 999,0;p85,1minp 2

i3i

Por ejemplo, si Inteligencia supone probabilidades iniciales iguales al 25 %; 50 % y 75 % en tres aristas diferentes, estas probabilidades disminuirían, según el número de equipos asig-nados, de la forma siguiente:

Equipos de desactivación asignados a la ruta 0 (Inicial) 1 equipo 2 equipos 3 equipos

0,250 0,413 0,619 0,999 0,500 0,825 0,995 0,999 0,750 0,995 0,995 0,999


1) Determine la ruta más segura en el caso de que no contara con ningún equipo dedesactivación y no se imponga ninguna restricción en cuanto al tiempo total inverti-do en la ruta. Escriba la forma compacta del problema.

2) Determine la ruta más segura en el caso de que el tiempo máximo empleadopara completar la ruta no deba ser superior a 150 minutos.

3) Determine la ruta más segura en el caso de que cuente con 4 equipos de des-activación y no tenga restricciones respecto al tiempo.

4) Deduzca cómo variarían la probabilidad de atravesar la ruta y el tiempo necesariopara un número de equipos de desactivación entre 0 y 10. Grafique la relación deambas variables (tiempo y probabilidad) con el número de equipos.

Miembros de la Brigada de la Legión D. Antonio Navarro, D. Manuel Velasco y D. José Francisco Prieto, fallecidos en acto de servicio en 2013 mientras efectuaban prácticas de desactivación de explosivos. Los tres tenían una amplísima experiencia profesional y habían

participado en numerosas misiones en el extranjero.

SOLUCIÓN

Apartado 1)

Empecemos por describir cómo habría que organizar la hoja para que esta contuviera los cálculos necesarios para resolver el problema. La organización de los datos elegida se muestra (parcialmente) a continuación:

En primer lugar, como es habitual en los problemas de flujo en redes comenzaríamos con la construcción de la lista de aristas determinada por la topología de la red, dando un se-cuencial para identificar la arista (Sec), el nodo origen de la arista (De), el nodo destino (A) y el tiempo (T) necesario para recorrerla, todos ellos datos del problema. Esta información apare-ce en la figura siguiente bajo el epígrafe Red.

A continuación, añadiríamos los datos correspondientes a la probabilidad de que no se produjera una activación en la arista considerada (IED) y la minoración, según la fórmula dada en el enunciado, de que se produjera una explosión si la arista ha sido revisada por uno, dos o tres equipos (1Eq, 2Eq, 3Eq). Estos cálculos aparecen bajo el epígrafe Probabilidad/NO EXP. Por ejemplo, los datos para la primera arista (entre el nodo 1 y el 2) son:

Arista 1(del nodo 1 al 2) Probabilidad Inicial

(p10) con 1 equipo

(p11) 2 equipos

(p12) 3 equipos

(p13) 0,515 85 % 99,5 % 99,9 %

Y se obtienen por aplicación directa de las fórmulas dadas en el enunciado:

999,0995,0850,0515,0pppp

999,0999,0;

p

265,085,1minp

995,0995,0;

p

365,050,1minp

850,0995,0;

p

515,065,1minp

31

21

11

01

21

31

11

21

01

11

A continuación, bajo el epígrafe –LOG(Probabilidad) aparecen los menos logaritmos de las probabilidades originales. En el ejemplo se han usado logaritmos decimales correspon-dientes a la función de Excel LOG, sin especificar la base.

A continuación, aparecen las dos variables de decisión:

Yij Binaria. Con valor 1 si la ruta contiene la arista (ij) Xijk Binaria. Con valor 1 si se asignan k equipos a la arista (ij)


En la descripción parcial hecha anteriormente, podemos apreciar que se corresponde con una situación en la cual se decide usar la arista 1.ª, desde el nodo 1 al 2 (Y12=1), arista a la que se dedican dos equipos (X122=1), y la arista 9 (entre 2 y 17), a la que se dedica un equipo de desactivación.

Las columnas siguientes (SumX; Eq y TInvert) se refieren a las restricciones y cálculos de tiempo, y las veremos cuando describamos la forma compacta del problema.

Una vez añadida la lista de aristas, añadimos la lista de nodos, en donde calcularemos de la forma habitual el flujo entrante y saliente. El aspecto (parcial) de esta lista sería parecido al siguiente:

Una vez descrita la organización de los datos enunciaremos, a continuación, la forma compacta del problema.

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iN Nodos de la red, N = {1…, 30} (ij)A Aristas de la red kE Equipos asignados a una arista, K = {0, 1, 2, 3}

2. DATOS pij Probabilidad inicial de existencia de un IED en la arista (ij) k

ijp Prob. de IED en (ij) tras la revisión por k equipos de desactivación

tij Tiempo necesario para completar el trayecto por la arista (ij) bm Número máximo de equipos de desactivación tm Tiempo máximo para recorrer el total de la ruta

3. VARIABLES Xijk Binaria. Con valor 1 si se asignan k equipos a la arista (ij) Yij Binaria. Con valor 1 si la ruta contiene la arista (ij)

4. FORMA COMPACTA

Ek;Aij1;0Y;X

AijYX

ttY

ekXDj1ODi0

Oi1YY

.a.s

plogX

min

ijijk

ijEk

ijk

mAij:i

ijij

mAij Ek

ijk

Aji:jij

Aij:iij

Aij Ek

kijijk


En la descripción parcial hecha anteriormente, podemos apreciar que se corresponde con una situación en la cual se decide usar la arista 1.ª, desde el nodo 1 al 2 (Y12=1), arista a la que se dedican dos equipos (X122=1), y la arista 9 (entre 2 y 17), a la que se dedica un equipo de desactivación.

Las columnas siguientes (SumX; Eq y TInvert) se refieren a las restricciones y cálculos de tiempo, y las veremos cuando describamos la forma compacta del problema.

Una vez añadida la lista de aristas, añadimos la lista de nodos, en donde calcularemos de la forma habitual el flujo entrante y saliente. El aspecto (parcial) de esta lista sería parecido al siguiente:

Una vez descrita la organización de los datos enunciaremos, a continuación, la forma compacta del problema.

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iN Nodos de la red, N = {1…, 30} (ij)A Aristas de la red kE Equipos asignados a una arista, K = {0, 1, 2, 3}

2. DATOS pij Probabilidad inicial de existencia de un IED en la arista (ij) k

ijp Prob. de IED en (ij) tras la revisión por k equipos de desactivación

tij Tiempo necesario para completar el trayecto por la arista (ij) bm Número máximo de equipos de desactivación tm Tiempo máximo para recorrer el total de la ruta

3. VARIABLES Xijk Binaria. Con valor 1 si se asignan k equipos a la arista (ij) Yij Binaria. Con valor 1 si la ruta contiene la arista (ij)

4. FORMA COMPACTA

Ek;Aij1;0Y;X

AijYX

ttY

ekXDj1ODi0

Oi1YY

.a.s

plogX

min

ijijk

ijEk

ijk

mAij:i

ijij

mAij Ek

ijk

Aji:jij

Aij:iij

Aij Ek

kijijk

5. EXPLICACIÓNEmpezaremos analizando la forma en que ambas variables de decisión, Xijk e Yij, han de

comportarse conjuntamente y deduciendo las restricciones que de esta relación se derivan. Las variables de decisión están definidas de la forma siguiente:

Xijk Binaria. Con valor 1 si se asignan k equipos a la arista (ij) Yij Binaria. Con valor 1 si la ruta contiene la arista (ij)

Esto supone que si una arista no forma parte de la solución, es decir, no va a ser inclui-da en la ruta, entonces ha de verificarse que:

0X;0YEk

ijkij

Mientras que si la arista está incluida en la solución, entonces ha de verificarse que:

1X;1YEk

ijkij

Es decir, la variable Yij ha de valer 1, y al mismo tiempo, a la arista (ij) hay que asignarle un número de equipos que ha de ser un único valor del conjunto K = {0, 1, 2, 3}.

Es necesario entonces mantener una relación de coherencia entre las variables de deci-sión que se expresaría de la forma siguiente: si una arista tiene asignada un número determi-nado de equipos (que puede ser cero), entonces debe estar incluida en la solución (debe ser visitada) y viceversa. En términos de lógica de predicados y calculando la forma normal conjun-tiva del predicado (FNC) tendríamos que (recuérdese que ambas variables son binarias):

ijEk

ijk

FNC

ijEk

ijk YXYX

Volviendo a la forma compacta tenemos que la función objetivo proviene de la linealiza-ción de un objetivo, inicialmente no lineal, que tendría la forma siguiente:

min

Aij Ek

kijijk

max

Aijijij plogXpY

La primera restricción se refiere a la ecuación genérica de la conservación del flujo de la red. Ya que estamos ante un problema del tipo ruta más corta (en su versión ruta más fiable), la ruta que diseñemos a través de la variable de decisión Yij ha de ser tal que salga del nodo origen (O, cuyo balance de flujo habrá de ser negativo e igual a una unidad); pase por una se-rie de nodos (cuyos balances han de ser nulos, ya que son nodos de trasiego); y acabe en el nodo destino (D, cuyo flujo será positivo e igual a la unidad):

Di1D;Oi;Ni0

Oi1YY

Aji:j

ij

Aij:i

ij

La segunda y tercera restricciones imponen que no se empleen más equipos de los ne-cesarios y que el tiempo empleado en atravesar la ruta no sea superior al tiempo máximo esta-blecido:

mAij:i

ijijmAij Ek

ijk ttY;ekX

En la hoja de cálculo aparecen los lados izquierdos de las restricciones en las columnas SumX y Eq correspondientes a las fórmulas (k es el vector {0, 1, 2, 3} que aparece debajo del nombre de la variable Xijk):

Aij Ek

ijkAij Ek

ijk X;kX SumXEq

Por ejemplo, la figura siguiente muestra una solución parcial en la que la arista n.º 7 se visita, pero no se le asigna ningún equipo (SF = 1; Eq = 0), y la arista n.º 18 es visitada y tiene un equipo de desactivación asignado (SF = 1; Eq = 1).


La cuarta restricción es la consecuencia de la implicación lógica descrita anteriormente entre las variables de decisión y la última impone el carácter binario a ambas variables de deci-sión. Volvamos al enunciado del primer apartado:

Determine la ruta más segura en el caso de que no contara con ningún equipo de desactiva-ción y no se imponga ninguna restricción en cuanto al tiempo total invertido en la ruta. Escriba laforma compacta del problema.

Para resolverlo basta desactivar la utilización de equipos (eM = 0) y la restricción de tiempo (tM= 9999). La solución obtenida (se exponen únicamente las aristas de la ruta óptima) es la si-guiente:


La cuarta restricción es la consecuencia de la implicación lógica descrita anteriormente entre las variables de decisión y la última impone el carácter binario a ambas variables de deci-sión. Volvamos al enunciado del primer apartado:

Determine la ruta más segura en el caso de que no contara con ningún equipo de desactiva-ción y no se imponga ninguna restricción en cuanto al tiempo total invertido en la ruta. Escriba laforma compacta del problema.

Para resolverlo basta desactivar la utilización de equipos (eM = 0) y la restricción de tiempo (tM= 9999). La solución obtenida (se exponen únicamente las aristas de la ruta óptima) es la si-guiente:

Apartado 2) Determine la ruta más segura en el caso de que el tiempo máximo empleado para completar la

ruta no sea superior a 150 minutos.

Activando la variable tM y haciéndola igual a 150 obtenemos la solución siguiente:

Vemos que la ruta ahora es considerablemente más corta pero más insegura que la anterior.


428

Apartado 3)

El enunciado de este apartado es: Determine la ruta más segura en el caso de que cuente 4 equipos de desactivación.

Activando la variable em obtenemos la solución siguiente:

Los cuatro equipos disponibles se han asignado a las aristas entre los nodos (5;10), (19;22), (22;26) y (26;30), con lo que se obtiene una probabilidad de atravesar la red sin inci-dentes del 42,91 %.


428

Apartado 3)

El enunciado de este apartado es: Determine la ruta más segura en el caso de que cuente 4 equipos de desactivación.

Activando la variable em obtenemos la solución siguiente:

Los cuatro equipos disponibles se han asignado a las aristas entre los nodos (5;10), (19;22), (22;26) y (26;30), con lo que se obtiene una probabilidad de atravesar la red sin inci-dentes del 42,91 %.

Apartado 4)

El enunciado de este apartado es: Deduzca cómo variarían la probabilidad de atravesar la ruta y el tiempo necesario para un núme-

ro de equipos de desactivación entre 0 y 10. Grafique la relación de ambas variables (tiempo yprobabilidad) con el número de equipos.

No podemos utilizar Solver Table, ya que el problema es demasiado grande para tra-tarlo con Solver, de manera que lo resolvemos mediante Open Solver cambiando la variable re-lativa al número máximo de equipos. Los resultados obtenidos son los siguientes:


7.11 Desplazamiento de tropas (2/SO/RED) ENUNCIADO

Está moviendo tropas en un teatro de operaciones. Dispone de tres MOB (B1, B2 y B3)que se comunican con los cuatro frentes a los que las tropas pueden llegar (F1, F2, F3y F4) a través de diferentes corredores (aristas) jalonados por puntos intermedios (no-dos) llamados genéricamente I1, I2,… I7.

Cada corredor tiene asociado un coeficiente de supervivencia asociado al porcentaje defuerzas que quedarían operativas tras la acción enemiga al circular por él (al desplazar-se, por ejemplo, desde B1 hasta I5 perderá el 20 % de sus tropas).

En las bases iniciales dispone de una cantidad suficiente de tropas.


1) Determine los contingentes de efectivos que han de salir desde cada una de las ba-ses y las rutas que han de seguir para que, tras las pérdidas sufridas, lleguen a losdiferentes frentes los siguientes efectivos:

F1 F2 F3 F4 30.000 30.000 25.000 20.000

La operación debe ser óptima en el sentido de que se minimice el número de efecti-vos perdidos en el total de los movimientos, es decir, la diferencia entre los efectivos que salen de las bases y los que consiguen llegar a los frentes.


7.11 Desplazamiento de tropas (2/SO/RED) ENUNCIADO

Está moviendo tropas en un teatro de operaciones. Dispone de tres MOB (B1, B2 y B3)que se comunican con los cuatro frentes a los que las tropas pueden llegar (F1, F2, F3y F4) a través de diferentes corredores (aristas) jalonados por puntos intermedios (no-dos) llamados genéricamente I1, I2,… I7.

Cada corredor tiene asociado un coeficiente de supervivencia asociado al porcentaje defuerzas que quedarían operativas tras la acción enemiga al circular por él (al desplazar-se, por ejemplo, desde B1 hasta I5 perderá el 20 % de sus tropas).

En las bases iniciales dispone de una cantidad suficiente de tropas.


1) Determine los contingentes de efectivos que han de salir desde cada una de las ba-ses y las rutas que han de seguir para que, tras las pérdidas sufridas, lleguen a losdiferentes frentes los siguientes efectivos:

F1 F2 F3 F4 30.000 30.000 25.000 20.000

La operación debe ser óptima en el sentido de que se minimice el número de efecti-vos perdidos en el total de los movimientos, es decir, la diferencia entre los efectivos que salen de las bases y los que consiguen llegar a los frentes.

SOLUCIÓN

Se trata de un problema de trasiego de flujo a coste mínimo con varias particularidades:

a. A diferencia de los problemas tradicionales, no todo el flujo que sale de un nodo ha-cia otro adyacente entra en dicho nodo, ya que se produce una merma del flujo en-trante.

b. Desconoce cuál es la oferta de los nodos (MOB), ya que esas cifras constituyen pre-cisamente el dato pedido.

c. El coste no es ni la distancia ni el tiempo, sino la pérdida total de tropas al circularestas por aristas de diferente peligrosidad.

Por lo demás, el planteamiento es el habitual en los problemas de redes por lo que de-berá construir la lista de aristas y la de nodos y adecuar los flujos a los requerimientos del pro-blema. La figura siguiente muestra la numeración dada a las aristas.

Nótese que al desconocer a priori las cantidades que han de salir de las bases (que forman parte del vector O/D con cifras negativas), el vector O/D en este problema no con-templa dichas cantidades, pero sí las correspondientes a los otros dos tipos de nodos: los de trasiego, cuyo ba-lance de flujo ha de ser nulo, y los de demanda, cuyo balance han de ser las cantidades relativas a las tropas que finalmente llegan a ellos.

Hay que tener en cuenta también que los balances de flujo en los nodos no se pueden calcular como se hace habitualmente (cuando no hay merma de flujo): para calcular lo que sale de un nodo se suman los va-lores de uso, pero para calcular lo que llega se suman los valores de efectivo, que es el flujo saliente por el coeficiente de supervivencia asociado a la arista correspondiente. El aspecto de Solver sería el siguiente:


La solución es la siguiente (las cifras sobre las aristas se corresponden con las tropas que salen de cada nodo):


La solución es la siguiente (las cifras sobre las aristas se corresponden con las tropas que salen de cada nodo):

7.12 Plan logístico de una operación anfibia (3/OS/RED) ENUNCIADO

La figura de esta página muestra el esquema de una red logística asociada a una opera-ción anfibia en la que aparecen una serie de elementos:

Tres buques de acción marítima (O1, O2 y O3) que actúan como origen logísticode una serie de recursos que habrán de ser desembarcados.

Cuatro posiciones terrestres retrasadas (I1…, I4) que actúan como depósitos in-termedios.

Cinco posiciones terrestres avanzadas (D1…, D5) que actúan como destinos lo-gísticos finales.

La distribución solo es posible entre nodos que se encuentren conectados mediante las correspondientes aristas del grafo y en el sentido que estas marcan. Es importante notar que las aristas que unen los nodos intermedios entre ellos son bidireccionales.

Existen cinco productos (P1…, P5) que han de ser transportados desde los orígenes (BAM = O1, O2, O3) hasta los puestos avanzados (D1…, D5):

1. Personal de combate2. Munición3. Medios de infraestructura para defensa de posiciones4. Comida5. Agua


La operación tendrá una duración de tres días durante los cuales las necesidades logís-ticas y las restricciones que afectan a su distribución pueden ser diferentes.

La tabla A muestra las necesidades, durante los tres días de campaña, de cada producto por parte de cada posición terrestre avanzada.

Tabla A Día 1 Día 2 Día 3 P1 P2 P3 P4 P5 P1 P2 P3 P4 P5 P1 P2 P3 P4 P5

D1 250 25 100 750 1.250 400 40 50 1.200 2.000 1.000 100 25 3.000 5.000 D2 250 25 100 750 1.250 400 40 50 1.200 2.000 2.000 200 25 6.000 10.000 D3 500 50 100 1.500 2.500 400 40 50 1.200 2.000 3.000 300 25 9.000 15.000 D4 400 40 100 1.200 2.000 400 40 50 1.200 2.000 2.000 200 25 6.000 10.000 D5 250 25 100 750 1.250 400 40 50 1.200 2.000 1.000 100 25 3.000 5.000

Existen restricciones en cuanto a la cantidad de material que puede ser suministrado diariamente por los BAM. La tabla B muestra las cantidades máximas diarias de cada producto que pueden ser requeridas diariamente desde cada BAM origen:

Tabla B SALIDAS MÁXIMAS DIARIAS de ORIGEN P1 P2 P3 P4 P5

BAM O1 2.500 450 300 5.000 10.000

O2 5.000 500 300 15.000 25.000 O3 4.500 450 300 15.000 25.000

Análogamente, existen restricciones en cuanto a la cantidad de material que puede ser almacenado en los puntos intermedios (I1…, I5). La tabla C muestra dichas restricciones:

Tabla C STOCKS MÁXIMOS DIARIOS P1 P2 P3 P4 P5

INT

I1 4.000 400 200 15.000 20.000 I2 4.000 400 200 15.000 20.000 I3 4.000 400 200 15.000 20.000 I4 4.000 400 200 15.000 20.000

Las cifras que aparecen en la figura en la que se describe la red, asociadas a las diferen-tes vías de distribución (aristas), representan el porcentaje de supervivencia esperado sobre los recursos que circulen por dicha arista. Así, por ejemplo, se espera que se pierda el 15 % de los recursos que se trasladen, cualquier día de la campaña, entre el nodo intermedio I2 y la posi-ción avanzada D4.

Por otra parte, no todos los recursos son igualmente valiosos para el éxito de la opera-ción. La tabla D muestra el peso asociado a cada recurso (con 1,00 el valor máximo y con 0,00 el valor mínimo).

Tabla D IMPORTANCIA RELATIVA DE LOS RECURSOS Prod Peso Naturaleza P1 1,00 Personal de combate P2 0,75 Munición P3 0,35 Medios de infraestructura P4 0,25 Comida P5 0,95 Agua


1) Defina los movimientos diarios de productos que deben circular por los diferentesnodos de la red logística, de manera que la pérdida total ponderada de recursostrasladados sea la mínima posible, satisfaciendo las demandas diarias por pro-ducto de las unidades terrestres avanzadas y respetando las restricciones expuestasanteriormente.


La operación tendrá una duración de tres días durante los cuales las necesidades logís-ticas y las restricciones que afectan a su distribución pueden ser diferentes.

La tabla A muestra las necesidades, durante los tres días de campaña, de cada producto por parte de cada posición terrestre avanzada.

Tabla A Día 1 Día 2 Día 3 P1 P2 P3 P4 P5 P1 P2 P3 P4 P5 P1 P2 P3 P4 P5

D1 250 25 100 750 1.250 400 40 50 1.200 2.000 1.000 100 25 3.000 5.000 D2 250 25 100 750 1.250 400 40 50 1.200 2.000 2.000 200 25 6.000 10.000 D3 500 50 100 1.500 2.500 400 40 50 1.200 2.000 3.000 300 25 9.000 15.000 D4 400 40 100 1.200 2.000 400 40 50 1.200 2.000 2.000 200 25 6.000 10.000 D5 250 25 100 750 1.250 400 40 50 1.200 2.000 1.000 100 25 3.000 5.000

Existen restricciones en cuanto a la cantidad de material que puede ser suministrado diariamente por los BAM. La tabla B muestra las cantidades máximas diarias de cada producto que pueden ser requeridas diariamente desde cada BAM origen:

Tabla B SALIDAS MÁXIMAS DIARIAS de ORIGEN P1 P2 P3 P4 P5

BAM O1 2.500 450 300 5.000 10.000

O2 5.000 500 300 15.000 25.000 O3 4.500 450 300 15.000 25.000

Análogamente, existen restricciones en cuanto a la cantidad de material que puede ser almacenado en los puntos intermedios (I1…, I5). La tabla C muestra dichas restricciones:

Tabla C STOCKS MÁXIMOS DIARIOS P1 P2 P3 P4 P5

INT

I1 4.000 400 200 15.000 20.000 I2 4.000 400 200 15.000 20.000 I3 4.000 400 200 15.000 20.000 I4 4.000 400 200 15.000 20.000

Las cifras que aparecen en la figura en la que se describe la red, asociadas a las diferen-tes vías de distribución (aristas), representan el porcentaje de supervivencia esperado sobre los recursos que circulen por dicha arista. Así, por ejemplo, se espera que se pierda el 15 % de los recursos que se trasladen, cualquier día de la campaña, entre el nodo intermedio I2 y la posi-ción avanzada D4.

Por otra parte, no todos los recursos son igualmente valiosos para el éxito de la opera-ción. La tabla D muestra el peso asociado a cada recurso (con 1,00 el valor máximo y con 0,00 el valor mínimo).

Tabla D IMPORTANCIA RELATIVA DE LOS RECURSOS Prod Peso Naturaleza P1 1,00 Personal de combate P2 0,75 Munición P3 0,35 Medios de infraestructura P4 0,25 Comida P5 0,95 Agua


1) Defina los movimientos diarios de productos que deben circular por los diferentesnodos de la red logística, de manera que la pérdida total ponderada de recursostrasladados sea la mínima posible, satisfaciendo las demandas diarias por pro-ducto de las unidades terrestres avanzadas y respetando las restricciones expuestasanteriormente.

SOLUCIÓN Se trata de un problema de transbordo de flujo por redes con algunas características

especiales:

a) Existe merma en el trasiego por las aristas: no todo el flujo que sale de un nodo llega ensu totalidad al nodo contiguo.

b) Es multiproducto: en vez de un único producto que circula por la red, son cinco, con di-ferentes demandas, relevancia, etc.

c) Es multiperiodo: en vez de un único movimiento de flujo, se producirán tres movimien-tos secuenciales, y se puede almacenar, de un día para otro, determinado material enlos puntos intermedios de la red.

Dado que es un problema de redes, empezaremos creando la lista de nodos y la lista de aristas, teniendo en cuenta que diferenciamos los nodos en función del día de la operación y que deberemos habilitar una columna para el cálculo del balance de flujo en los nodos diferente para cada producto. El aspecto de la lista de aristas, para el primer día de la operación, sería el siguiente:

Por su parte el aspecto de la lista de nodos, también para ese primer día, es el siguiente:

El aspecto total de la hoja aparece en la página siguiente:


Es necesario también añadir las restricciones del problema y algunos cálculos intermedios:


La solución obtenida es la siguiente: Q

ue p

ropo

rcio

na lo

s si

guie

ntes

res

ulta

dos:


El resumen del plan logístico es el siguiente:


El resumen del plan logístico es el siguiente: 7.13 Video vigilancia de un acuartelamiento (1/OS/LOC)

ENUNCIADO

La figura siguiente muestra la matriz de cobertura binaria (1 = Sí; 0 = No) que desde 25 posibles puntos (P1…, P25), en los cuales se podría colocar una cámara de video vigilancia, se tiene de los 30 sectores (S1…, S30) en los que se ha dividido una determinada base aérea.

Cada sector tiene una importancia diferente. Esta se da en la variable IMP, que es un índice entero, más alto cuanto más importante es la vigilancia del sector.

Puntos de posible localización aij P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 P13 P14 P15 P16 P17 P18 P19 P20 P21 P22 P23 P24 P25 IMP

Sect

ores

a cu

brir

S1 1 1 1 10 S2 1 1 1 42 S3 1 1 1 21 S4 1 1 1 68 S5 1 1 1 69 S6 1 1 1 73 S7 1 1 1 48 S8 1 1 1 41 S9 1 1 1 45 S10 1 1 85 S11 1 1 1 1 1 1 19 S12 1 1 1 1 21 S13 1 1 1 1 60 S14 1 1 1 1 1 1 26 S15 1 1 1 1 1 1 30 S16 1 1 1 73 S17 1 1 1 86 S18 1 1 1 1 46 S19 1 1 1 1 1 36 S20 1 1 1 1 1 33 S21 1 1 1 1 1 1 1 66 S22 1 1 1 82 S23 1 1 1 86 S24 1 1 1 1 30 S25 1 1 1 1 1 35 S26 1 1 1 1 1 1 1 47 S27 1 1 1 88 S28 1 1 1 69 S29 1 1 1 1 10 S30 1 1 1 1 77


1) Determine el mínimo número de cámaras necesariaspara cubrir todos los sectores del acuartelamien-to.

2) Análogo al problema anterior, pero colocando lascámaras de manera que los sectores que se hallencubiertos por dos cámaras sean los más posibles.

3) Suponga que únicamente dispone de 4 cámaras,¿dónde habría que colocarlas para que cubrieran lossectores más importantes?


SOLUCIÓN

Apartado 1)

Se trata de un problema de cobertura máxima cuya formulación es la siguiente:

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iS Sectores del acuartelamiento, S = {S1…, S20} jP Puntos de posible emplazamiento de las cámaras, P = {P1…, P25}


3. VARIABLES Xj Binaria. Con valor 1 se instala una cámara en el punto j

4. FORMA COMPACTA

Si1;0X

Si1Xa

.a.s

X

min

j

Pjjij

Sjj

El aspecto del menú de Solver y de la hoja en la que figura una solución es el siguiente:

Como vemos son necesarias un mínimo de 6 cámaras (en los puntos 4, 6, 9, 10, 13 y 19) para cubrir la totalidad del acuartelamiento.

La encontrada es, posiblemente, una de las múltiples posibles soluciones al problema (volveremos sobre este aspecto en problemas posteriores).


SOLUCIÓN

Apartado 1)

Se trata de un problema de cobertura máxima cuya formulación es la siguiente:

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iS Sectores del acuartelamiento, S = {S1…, S20} jP Puntos de posible emplazamiento de las cámaras, P = {P1…, P25}


3. VARIABLES Xj Binaria. Con valor 1 se instala una cámara en el punto j

4. FORMA COMPACTA

Si1;0X

Si1Xa

.a.s

X

min

j

Pjjij

Sjj

El aspecto del menú de Solver y de la hoja en la que figura una solución es el siguiente:

Como vemos son necesarias un mínimo de 6 cámaras (en los puntos 4, 6, 9, 10, 13 y 19) para cubrir la totalidad del acuartelamiento.

La encontrada es, posiblemente, una de las múltiples posibles soluciones al problema (volveremos sobre este aspecto en problemas posteriores).

Apartado 2)

Análogo al problema anterior, pero colocando las cámaras de manera que los sectoresque se hallen cubiertos por dos cámaras sean los más posibles.

Sin ponderar los sectores cubiertos por su importancia, es evidente que entre dos solu-ciones que consigan la cobertura completa con el mismo número de cámaras, será preferible aquella que ofrezca además cobertura doble a más puntos. La formulación de la variante del problema de la cobertura total que persigue maximizar la cobertura total doble es la siguiente (se muestran únicamente los elementos nuevos):

1. ÍNDICES y CONJUNTOS I=#P Cardinal del conjunto P

2. VARIABLES Xj Binaria. Con valor 1 si se instala una cámara en el punto i Di Binaria. Con valor 1 si el sector i está cubierto por dos cámaras

3. FORMA COMPACTA

Si1;0D

Pj1;0X

Si1DXa

.a.s

DX1I

min

i

j

Sjijij

Sii

Pjj

Como vemos, son necesarias un mínimo de 6 cámaras (en los puntos 4, 6, 9, 10, 13 y 19) para cubrir la totalidad del acuartelamiento.

Esta solución mejora la obtenida en el apartado anterior, ya que, con el mismo número de cámaras, consigue que los puntos doblemente cubiertos sean uno más.


Apartado 3)

Suponga que únicamente dispone de 4 cámaras, ¿dónde habría que colocarlas para que cubrie-ran los sectores más importantes?

El problema es ahora de máxima cobertura, cuya formulación es la siguiente (se mues-tran solo los elementos nuevos):

1. DATOS hi Importancia del sector i C Número máximo de cámaras a utilizar

2. VARIABLES Xj Binaria. Con valor 1 si se instala una cámara en el punto j Zi Binaria. Con valor 1 si el sector i está cubierto por una cámara

3. FORMA COMPACTA

Si1;0Z

Pj1;0X

Si1Xa

CX

.a.s

Zh

min

i

j

Pjjij

Pji

Siii

El aspecto de la hoja y el menú de Solver, en el que figura una de las posibles solucio-nes encontradas, es el siguiente:

Observamos que las 4 cámaras han de estar situadas en los sectores 4, 10, 13 y 19, logrando con ello una cobertura ponderada de valor 1 294.


Apartado 3)

Suponga que únicamente dispone de 4 cámaras, ¿dónde habría que colocarlas para que cubrie-ran los sectores más importantes?

El problema es ahora de máxima cobertura, cuya formulación es la siguiente (se mues-tran solo los elementos nuevos):

1. DATOS hi Importancia del sector i C Número máximo de cámaras a utilizar

2. VARIABLES Xj Binaria. Con valor 1 si se instala una cámara en el punto j Zi Binaria. Con valor 1 si el sector i está cubierto por una cámara

3. FORMA COMPACTA

Si1;0Z

Pj1;0X

Si1Xa

CX

.a.s

Zh

min

i

j

Pjjij

Pji

Siii

El aspecto de la hoja y el menú de Solver, en el que figura una de las posibles solucio-nes encontradas, es el siguiente:

Observamos que las 4 cámaras han de estar situadas en los sectores 4, 10, 13 y 19, logrando con ello una cobertura ponderada de valor 1 294.

7.14 Puestos medicalizados en una zona de operaciones (2/SO/LOC) El hospital de campaña (HOC) es una formación lo-

gística sanitaria desplegable de diagnóstico y de tratamiento médico-quirúrgico y hospitalización, así como de servicios especializados y farmacéuticos, constituida sobre la base de la Agrupación de Hospital de Campaña (AGRUHOC), con ca-pacidad para prestar asistencia sanitaria en operaciones con capacidades de ROLE 3 a unidades tipo división (aprox. 20 000 personas). Viene a cubrir un hueco importante en nuestra cadena de apoyo sanitario dentro del teatro de ope-raciones (TO) al permitir realizar el tratamiento quirúrgico y médico de las bajas, antes de su traslado a territorio nacio-nal (TN), en donde recibirán el tratamiento definitivo com-pleto en los hospitales militares (ROLE 4).

El término ROLE se aplica a las capacidades médicas de una unidad sanitaria militar. ROLE 1 implica la atención básica y las primeras curas para una inmediata evacuación posterior; ROLE 2 suma a estas capacidades consulta médica, análisis e intervenciones quirúrgi-cas y evacuación del paciente, una vez intervenido y estabilizado; y ROLE 4 es la capacidad de un hospital general. Lo que permite un hospital de ROLE 3 es obtener todas las capacidades del 4, pero sobre el terreno, sin necesidad de que el paciente sea evacuado de la zona de opera-ciones, dado que puede ser intervenido, tratado, medicado y pasar la convalecencia en él sin necesidad de evacuación a un escalón superior (fuente: Ministerio de Defensa). ENUNCIADO

Suponga una zona de operaciones (ZO) en la que existen 32 regiones diferentes según el mapa esquemático de la figura de esta página. En dicha ZO existe una red de carreteras y caminos que une cada región con todas las regiones adyacentes a ella (por ejemplo, existe una carretera que une la región 16, en la esquina superior izquierda, con la región 10, la 17 y la 29).


Realice las siguientes actividades: 1) Deduzca el grafo de la red de comunicaciones de la ZO, determinando la matriz de

adyacencia de dicho grafo. A partir de esta matriz determine el número mínimo depuestos médicos que deben instalarse y la región en que deben estar situados paraque cualquiera de ellas esté atendida, bien por su propio puesto bien por uno situa-do en una región contigua o adyacente.

2) Suponga ahora que el coste de habilitar cada puesto varía según la región en la quese instale, y que en cada región existe un número diferente de pacientes, de acuerdocon la tabla siguiente:

Coste de habilitación y pacientes estimados Región Coste Pacientes Región Coste Pacientes Región Coste Pacientes Región Coste Pacientes

1 11 1 250 9 14 1 680 17 13 1 352 25 12 1 344 2 19 2 166 10 16 1 712 18 17 2 023 26 16 1 744 3 14 1 428 11 11 1 232 19 13 1 378 27 11 1 188 4 12 1 260 12 14 1 526 20 12 1 392 28 17 1 887 5 13 1 417 13 13 1 339 21 11 1 199 29 17 1 734 6 17 1 819 14 18 2 088 22 19 1 976 30 15 1 590 7 19 1 976 15 19 2 052 23 19 2 090 31 20 2 120 8 12 1 296 16 20 2 160 24 10 1 160 32 15 1 650

Calcule la nueva distribución de puestos de manera que se cumpla la condición ante-rior (adyacencia) y el coste de instalación sea el mínimo posible.

3) Resuelva el mismo problema suponiendo que se relaja la condición de adyacencia demanera que, ahora, para pasar de una región con puesto a una región que requieraservicio debe atravesarse, como máximo, una única región (existe un camino de lon-gitud 2).

4) Suponga ahora que la decisión no radica únicamente en decidir el número y las re-giones en la cuales deben instalarse los puestos, sino que también debe decidir —encaso de que una región no tenga puesto en su propia región, pero tenga varias al-ternativas, ya que hay puestos instalados en más de una región adyacente— a cuálde ellas deben dirigirse los pacientes. En estas circunstancias resuelva el primerapartado añadiendo la restricción de que ningún puesto debe tener asignada unacantidad de pacientes superior a 10 000.

5) Determine la posición de los puestos de manera que no se instale un número mayorque 9, el coste de habilitación sea inferior a 100 y el número máximo de pacientesasignados a cualquier puesto sea el menor posible.


Realice las siguientes actividades: 1) Deduzca el grafo de la red de comunicaciones de la ZO, determinando la matriz de

adyacencia de dicho grafo. A partir de esta matriz determine el número mínimo depuestos médicos que deben instalarse y la región en que deben estar situados paraque cualquiera de ellas esté atendida, bien por su propio puesto bien por uno situa-do en una región contigua o adyacente.

2) Suponga ahora que el coste de habilitar cada puesto varía según la región en la quese instale, y que en cada región existe un número diferente de pacientes, de acuerdocon la tabla siguiente:

Coste de habilitación y pacientes estimados Región Coste Pacientes Región Coste Pacientes Región Coste Pacientes Región Coste Pacientes

1 11 1 250 9 14 1 680 17 13 1 352 25 12 1 344 2 19 2 166 10 16 1 712 18 17 2 023 26 16 1 744 3 14 1 428 11 11 1 232 19 13 1 378 27 11 1 188 4 12 1 260 12 14 1 526 20 12 1 392 28 17 1 887 5 13 1 417 13 13 1 339 21 11 1 199 29 17 1 734 6 17 1 819 14 18 2 088 22 19 1 976 30 15 1 590 7 19 1 976 15 19 2 052 23 19 2 090 31 20 2 120 8 12 1 296 16 20 2 160 24 10 1 160 32 15 1 650

Calcule la nueva distribución de puestos de manera que se cumpla la condición ante-rior (adyacencia) y el coste de instalación sea el mínimo posible.

3) Resuelva el mismo problema suponiendo que se relaja la condición de adyacencia demanera que, ahora, para pasar de una región con puesto a una región que requieraservicio debe atravesarse, como máximo, una única región (existe un camino de lon-gitud 2).

4) Suponga ahora que la decisión no radica únicamente en decidir el número y las re-giones en la cuales deben instalarse los puestos, sino que también debe decidir —encaso de que una región no tenga puesto en su propia región, pero tenga varias al-ternativas, ya que hay puestos instalados en más de una región adyacente— a cuálde ellas deben dirigirse los pacientes. En estas circunstancias resuelva el primerapartado añadiendo la restricción de que ningún puesto debe tener asignada unacantidad de pacientes superior a 10 000.

5) Determine la posición de los puestos de manera que no se instale un número mayorque 9, el coste de habilitación sea inferior a 100 y el número máximo de pacientesasignados a cualquier puesto sea el menor posible.

SOLUCIÓN Apartado 1) El grafo de la red y la matriz de incidencia son los siguientes:


1. ÍNDICES y CONJUNTOS i,jL Localizaciones (regiones), L = {1…, 32}

2. DATOS aij Elementos de la matriz de adyacencia entre cada dos regiones ci Coste de una instalación médica en la posición i pi Pacientes potenciales en la posición i

3. VARIABLES Yi Binaria. Con valor 1 si se instala un puesto en la localización i

4. FORMA COMPACTA

Li1;0Y

Li1Ya

.a.s

Y

min

i

Ljiij

Lii

Es posible cubrir todas las regiones con un máximo de seis puestos. Una, de entre las posibles soluciones, es la siguiente:


1. ÍNDICES y CONJUNTOS i,jL Localizaciones (regiones), L = {1…, 32}

2. DATOS aij Elementos de la matriz de adyacencia entre cada dos regiones ci Coste de una instalación médica en la posición i pi Pacientes potenciales en la posición i

3. VARIABLES Yi Binaria. Con valor 1 si se instala un puesto en la localización i

4. FORMA COMPACTA

Li1;0Y

Li1Ya

.a.s

Y

min

i

Ljiij

Lii

Es posible cubrir todas las regiones con un máximo de seis puestos. Una, de entre las posibles soluciones, es la siguiente:


Apartado 2)

La forma compacta del apartado es ahora la siguiente:

Li1;0Y

Li1Ya

.a.s

Yc

min

i

Ljiij

Liii


El menú de Solver con la solución es el siguiente:



El menú de Solver con la solución es el siguiente:


Apartado 3) Resuelva el mismo problema suponiendo que se relaja la condición de adyacencia de

manera que, ahora, para pasar de una región con puesto a una región que requiera ser-vicio debe atravesarse, como máximo, una única región (existe un camino de longitud 2).

El problema permite sacar provecho de una propiedad de la matriz de adyacencia no demasiado conocida. Esta propiedad posibilita la obtención, mediante una sencilla operación matricial, de los caminos de longitud 2 a partir de la matriz de adyacencia, es decir, de los ca-minos de longitud 1. Un concepto interesante en teoría de grafos es el de cerradura transiti-va (transitive closure) y se basa en la transitividad de la relación de adyacencia entre los vértices de un grafo, propiedad que podría expresarse como:

Si existe un camino (de longitud 1) entre los nodos u y v, y entre los nodos v y w, entonces exis-te un camino (de longitud 2) entre los nodos u y w.

Para calcular la cerradura transitiva de orden 2 de un grafo expresado, mediante su matriz de adyacencia M, basta multiplicar matricialmente M por sí misma para encontrar los nodos unidos mediante caminos de longitud 2.

Dado que el resultado de la multiplicación no es binario, ya que lo que se obtiene es el número de caminos de un orden igual a la potencia de la matriz de adyacencia obtenida, habría que convertir dichos valores en binarios haciendo igual a la unidad aquellos elementos mayores que cero. La matriz de adyacencia para caminos dobles es la siguiente:


La solución de mínimo coste es la siguiente:



La solución de mínimo coste es la siguiente:


Apartado 4) Suponga ahora que la decisión no radica únicamente en decidir el número y las regiones

en la cuales deben instalarse los puestos, sino que también debe decidir —en caso deque una región no tenga puesto en su propia región, pero tenga varias alternativas (yaque hay puestos instalados en más de una región adyacente)— a cuál de ellas deben di-rigirse los pacientes. En estas circunstancias resuelva el primer apartado añadiendo larestricción de que ningún puesto debe tener asignada una cantidad de pacientes superiora 10 000.

El problema, que hasta ahora era de cobertura, pasa a ser de tipo p-centro por lo que debemos modificar su formulación introduciendo nuevas variables de decisión y teniendo en cuenta la nueva matriz de cobertura para adyacencias con caminos de longitud menor o igual que 2. DATOS

a2ij Matriz de adyacencia para caminos de longitud o igual que 2

pmax Número máximo de pacientes a atender en cualquier región VARIABLES

Xij Binaria. 1 si se instala un puesto en i para atender a j Xii Caso particular de la anterior, binaria, 1 si se habilita el puesto en i


Lj;i1;0X

Lj;iaX

LipXp

Lj;i0XX

Li1X

.a.s

Xc

min

ij

ij2

ij

maxLj

iji

ijii

Ljij

Liiii

La primera restricción asegura que todas las regiones estén atendidas; la segunda que cualquier región en la que no se habilite un puesto esté atendida por una que lo tenga habili-tad; la tercera que no se vulnere el máximo de pacientes que es posible atender; la cuarta que no se asigne una región a un puesto que esté a mayor distancia de 2 en la red del problema. El menú de Solver con la solución es el siguiente:


La solución encontrada es la siguiente: Apartado 5) Determine la posición de los puestos de manera que no se instale un número mayor que

9, el coste de habilitación sea inferior a 100 y el número máximo de pacientes asignadosa cualquier puesto sea el menor posible.

La forma compacta del problema (minimax) es ahora la siguiente:

Lj;i1;0X

Lj;iaX

9X

100Xc

LiZXp

Lj;i0XX

Li1X

.a.sZ

min

ij

ij2

ij

Liii

Liiii

Ljiji

ijii

Ljij

Una solución es la siguiente:


7.15 Instalación de medios DQCI (2/OS/LOC) ENUNCIADO

En una determinada base aérea se desea mejorar la distribución de los medios de defensa química y contra incendios instalando nuevos puestos de motobombas antiincendios. Dentro de las instalaciones de la BA se han señalado 10 zonas de alta peligrosidad (Z1…, Z10) en las que a su vez podrían habilitarse los puestos para las motobombas.

Se ha determinado que, si se declara un incendio, este de-berá ser atendido por una motobomba en un plazo detiempo dado, plazo que, haciendo los cálculos pertinentes,supone que la distancia máxima entre el incendio y la mo-tobomba más cercana ha de ser 3 000 metros.

El coste total de habilitar una estación de motobomba as-ciende a 200 000 euros.

Las distancias entre las zonas de alta peligrosidad se conocen y son las que apa-recen en la tabla siguiente:

Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Z7 Z8 Z9 Z10

Dist

ancia

s

Z1 4.880 6.640 940 5.980 7.800 5.900 7.760 6.860 7.820 Z2 4.880 2.640 3.640 2.960 3.080 1.900 3.740 4.800 3.380 Z3 6.640 2.640 5.420 2.220 2.780 1.020 1.440 3.280 2.180 Z4 940 3.640 5.420 4.760 6.580 4.680 6.540 5.640 6.600 Z5 5.980 2.960 2.220 4.760 3.220 1.480 3.320 5.240 2.840 Z6 7.800 3.080 2.780 6.580 3.220 1.820 2.400 1.380 340 Z7 5.900 1.900 1.020 4.680 1.480 1.820 2.120 2.340 1.440 Z8 7.760 3.740 1.440 6.540 3.320 2.400 2.120 3.800 2.060 Z9 6.860 4.800 3.280 5.640 5.240 1.380 2.340 3.800 1.760

Z10 7.820 3.380 2.180 6.600 2.840 340 1.440 2.060 1.760 Realice las siguientes actividades:

1) ¿Cuántas motobombas es necesario tener para cubrir las 10 zonas cumpliendo larestricción de los 3 000 metros? ¿Dónde deben estar colocadas?

2) En relación con el apartado anterior, deduzca cómo variaría el número de motobom-bas mínimas necesarias al variar la distancia máxima entre 1 000 y 4 000 metros (enincrementos de 500 m). Analice los resultados obtenidos.

3) Suponga ahora que cada zona contiene instalaciones de diferente función y que, unavez consideradas, se ha podido establecer un índice de la importancia de cada zonamediante un valor entero que es mayor cuanto más importante es la protección anti-incendios que debe darse a las instalaciones contenidas en dicha zona y que se pre-senta en la tabla siguiente:

Zonas Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Z7 Z8 Z9 Z10 Importancia 10 45 35 22 31 37 18 45 40 11

Si se desean colocar exactamente 3 motobombas, ¿en qué zonas deberían estar para que, siendo la distancia máxima de 2 000 metros, la cobertura ponderada por la im-portancia sea lo mayor posible?

4) Deduzca cómo varía la importancia ponderada de las instalaciones protegidas pa-ra un número de motobombas entre 1 y 8 y una distancia máxima de 1 250 metros.

5) Suponga que determina no solo la situación de las motobombas, sino también quézonas de responsabilidad tienen asignadas cada una. Deduzca cómo varía la distan-cia máxima de protección para un número de motobombas entre 1 y 9.


7.15 Instalación de medios DQCI (2/OS/LOC) ENUNCIADO

En una determinada base aérea se desea mejorar la distribución de los medios de defensa química y contra incendios instalando nuevos puestos de motobombas antiincendios. Dentro de las instalaciones de la BA se han señalado 10 zonas de alta peligrosidad (Z1…, Z10) en las que a su vez podrían habilitarse los puestos para las motobombas.

Se ha determinado que, si se declara un incendio, este de-berá ser atendido por una motobomba en un plazo detiempo dado, plazo que, haciendo los cálculos pertinentes,supone que la distancia máxima entre el incendio y la mo-tobomba más cercana ha de ser 3 000 metros.

El coste total de habilitar una estación de motobomba as-ciende a 200 000 euros.

Las distancias entre las zonas de alta peligrosidad se conocen y son las que apa-recen en la tabla siguiente:

Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Z7 Z8 Z9 Z10

Dist

ancia

s

Z1 4.880 6.640 940 5.980 7.800 5.900 7.760 6.860 7.820 Z2 4.880 2.640 3.640 2.960 3.080 1.900 3.740 4.800 3.380 Z3 6.640 2.640 5.420 2.220 2.780 1.020 1.440 3.280 2.180 Z4 940 3.640 5.420 4.760 6.580 4.680 6.540 5.640 6.600 Z5 5.980 2.960 2.220 4.760 3.220 1.480 3.320 5.240 2.840 Z6 7.800 3.080 2.780 6.580 3.220 1.820 2.400 1.380 340 Z7 5.900 1.900 1.020 4.680 1.480 1.820 2.120 2.340 1.440 Z8 7.760 3.740 1.440 6.540 3.320 2.400 2.120 3.800 2.060 Z9 6.860 4.800 3.280 5.640 5.240 1.380 2.340 3.800 1.760

Z10 7.820 3.380 2.180 6.600 2.840 340 1.440 2.060 1.760 Realice las siguientes actividades:

1) ¿Cuántas motobombas es necesario tener para cubrir las 10 zonas cumpliendo larestricción de los 3 000 metros? ¿Dónde deben estar colocadas?

2) En relación con el apartado anterior, deduzca cómo variaría el número de motobom-bas mínimas necesarias al variar la distancia máxima entre 1 000 y 4 000 metros (enincrementos de 500 m). Analice los resultados obtenidos.

3) Suponga ahora que cada zona contiene instalaciones de diferente función y que, unavez consideradas, se ha podido establecer un índice de la importancia de cada zonamediante un valor entero que es mayor cuanto más importante es la protección anti-incendios que debe darse a las instalaciones contenidas en dicha zona y que se pre-senta en la tabla siguiente:

Zonas Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Z7 Z8 Z9 Z10 Importancia 10 45 35 22 31 37 18 45 40 11

Si se desean colocar exactamente 3 motobombas, ¿en qué zonas deberían estar para que, siendo la distancia máxima de 2 000 metros, la cobertura ponderada por la im-portancia sea lo mayor posible?

4) Deduzca cómo varía la importancia ponderada de las instalaciones protegidas pa-ra un número de motobombas entre 1 y 8 y una distancia máxima de 1 250 metros.

5) Suponga que determina no solo la situación de las motobombas, sino también quézonas de responsabilidad tienen asignadas cada una. Deduzca cómo varía la distan-cia máxima de protección para un número de motobombas entre 1 y 9.

SOLUCIÓN

Apartado 1)

Se trata de un problema de cobertura total. La formulación del problema es la siguiente:

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iZ Zonas de la BA, Z = {Z1…, Z10}

2. DATOS dij Elementos de la matriz de distancias entre zonas dc Distancia máxima (crítica) i aij Elementos de la matriz de cobertura

3. VARIABLES Xi Binaria. Con valor 1 si se instala una motobomba en la zona i

4. FORMA COMPACTA

Zi1;0X

Zi1Xadcd0dcd1

a

.a.s

X

min

i

Zjiij

ij

ijij

Zii


Es decir, con dos motobombas situadas en las zonas Z1 y Z7 se cubren todas las zo-nas respetando la distancia máxima de 3 000 metros.


Apartado 2) En relación con el apartado anterior, deduzca cómo variaría el número de motobombas

mínimas necesarias al variar la distancia máxima entre 1 000 y 4 000 metros (en incre-mentos de 500 m). Analice los resultados obtenidos.

Utilizando Solver Table obtenemos las soluciones para cada valor pedido de la distancia máxima de servicio y que aparecen a continuación. Observamos que se necesita un máximo de 8 motobombas para una distancia de 1 000 metros y un mínimo de 2 para distancias entre 2 500 y 3 500 metros.

Al analizar la frecuencia con que las zonas aparecen en las soluciones como posiciones en las que colocar una motobomba, vemos que la zona Z1 forma parte de cualquier solución mientras que Z4 no aparece nunca asociada a ninguna solución. La explicación se debe a que Z1 es la única que cubre a Z4, mientras que esta última se encuentra demasiado lejos del resto de zonas.

En relación con la solución encontrada en el primer apartado, vemos ahora que, aun-que dicha solución fue obtenida para una distancia crítica de 3 000 metros, es válida también para una distancia de 2 500 metros.

Es interesante señalar también que las soluciones encontradas para 3 250 y 3 500 me-tros no suponen disminución del número de motobombas necesarias respecto a la solución en-contrada para 2 500 metros. Las dos últimas soluciones son ineficientes respecto de la solución (Z1; Z7). Esto nos indica que antes que variar la distancia máxima y encontrar el número míni-mo de motobombas necesarias, el análisis debería ser en sentido inverso: variar el número de motobombas desplegadas y calcular la máxima distancia de servicio estando cubiertas todas las zonas.


Apartado 2) En relación con el apartado anterior, deduzca cómo variaría el número de motobombas

mínimas necesarias al variar la distancia máxima entre 1 000 y 4 000 metros (en incre-mentos de 500 m). Analice los resultados obtenidos.

Utilizando Solver Table obtenemos las soluciones para cada valor pedido de la distancia máxima de servicio y que aparecen a continuación. Observamos que se necesita un máximo de 8 motobombas para una distancia de 1 000 metros y un mínimo de 2 para distancias entre 2 500 y 3 500 metros.

Al analizar la frecuencia con que las zonas aparecen en las soluciones como posiciones en las que colocar una motobomba, vemos que la zona Z1 forma parte de cualquier solución mientras que Z4 no aparece nunca asociada a ninguna solución. La explicación se debe a que Z1 es la única que cubre a Z4, mientras que esta última se encuentra demasiado lejos del resto de zonas.

En relación con la solución encontrada en el primer apartado, vemos ahora que, aun-que dicha solución fue obtenida para una distancia crítica de 3 000 metros, es válida también para una distancia de 2 500 metros.

Es interesante señalar también que las soluciones encontradas para 3 250 y 3 500 me-tros no suponen disminución del número de motobombas necesarias respecto a la solución en-contrada para 2 500 metros. Las dos últimas soluciones son ineficientes respecto de la solución (Z1; Z7). Esto nos indica que antes que variar la distancia máxima y encontrar el número míni-mo de motobombas necesarias, el análisis debería ser en sentido inverso: variar el número de motobombas desplegadas y calcular la máxima distancia de servicio estando cubiertas todas las zonas.

Apartado 3) Si se desean colocar exactamente 3 motobombas, ¿en qué zonas deberían estar para

que, siendo la distancia máxima de 2 000 metros, la cobertura ponderada por la impor-tancia sea lo mayor posible?

El problema se convierte ahora en uno de máxima cobertura, para el que la formula-ción es ligeramente diferente y contiene los nuevos elementos siguientes:

1. DATOS hi Importancia de la zona i p Número máximo de motobombas a emplear

2. VARIABLES Yi Binaria. Valor 1 si la zona i está cubierta

3. FORMA COMPACTA

Zi1;0Y

Zj1;0X

Zi0YaX

pX

.a.s

Yh

max

i

j

iZj

ijj

Zjj

Ziii

La función objetivo busca maximizar la cobertura, ponderada por la importancia, logra-da. Nótese que la introducción de la variable Yi respecto a la formulación anterior se hace para evitar que aquellas zonas que pudieran estar cubiertas por más de una motobomba cuenten una única vez en la función objetivo y no tantas como veces estén cubiertas. No hay otro modo de hacerlo. La solución encontrada es la siguiente (Z3, Z6 y Z7):


Apartado 4) Deduzca cómo varía la importancia ponderada de las instalaciones protegidas para un

número de motobombas entre 1 y 8 y una distancia máxima de 1 250 metros.

Utilizando Solver Table y la forma compacta del apartado anterior obtenemos los resul-tados siguientes:


Apartado 4) Deduzca cómo varía la importancia ponderada de las instalaciones protegidas para un

número de motobombas entre 1 y 8 y una distancia máxima de 1 250 metros.

Utilizando Solver Table y la forma compacta del apartado anterior obtenemos los resul-tados siguientes:

Apartado 5) Suponga que determina no solo la situación de las motobombas, sino también qué zonas

de responsabilidad tienen asignadas cada una. Deduzca cómo varía la distancia máximade protección para un número de motobombas entre 1 y 9.

El problema se convierte ahora en uno de tipo P_Mediana, para el que la formulación es la siguiente:

VARIABLES Xj Binaria. Valor 1 si se habilita la localización j-ésima Yij Binaria. 1 si el nodo i-ésimo es asignado a la localización j-ésima

FORMA COMPACTA

El aspecto de la hoja con la solución para 2 motobombas es el siguiente:

Jj;Ii1;0Y

Jj1;0XJj;Ii0XY

Ii1Y

pX

.a.s

Ydh

min

ij

j

jij

Jjij

Jjj

Ii Jjijiji


Debido al tamaño del problema no es posible usar Solver Table, por lo que usaremos Open Solver y copiamos los resultados obtenidos al variar el número de motobombas utilizadas.



Debido al tamaño del problema no es posible usar Solver Table, por lo que usaremos Open Solver y copiamos los resultados obtenidos al variar el número de motobombas utilizadas.


7.16 Control del espacio aéreo (2/OS/LOC) ENUNCIADO

La figura de esta página muestra la distribución sobre un teatro de operaciones de dos tipos de elementos: por una parte, 15 objetivos propios (círculos azules) que pueden ser atacados por incursiones aéreas del enemigo; por otra, 20 posibles localizaciones (cuadrados rojos) en las que podrían ser habilitadas bases desde las que despegarían aviones en misión de interceptación para de-fender los objetivos. Las bases deben habilitarse en aquellos lugares que permitan que el tiempo de respuesta de los interceptadores sea suficiente para cumplir su misión.

La matriz de distancias dij (nm) entre unos y otros es co-nocida. Se conoce también un índice de la vulnerabilidad (VUL) de cada localización en la que puede habitarse la BA (este índice es más alto cuanto más probable es un ataque enemigo sobre dicha posición). Finalmente, se conoce también el valor táctico de los ob-jetivos (VTO), un índice más alto cuanta más importancia tiene su defensa. Los datos completos se dan en el fichero correspondiente al enunciado de este pro-blema y aparecen de forma parcial en la siguiente tabla:

dij O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8 O9 O10 O11 O12 O13 O14 O15 VUL B1 80,5 103,4 17,7 68,9 85,9 26,9 38,1 82,0 10,1 47,6 61,4 34,0 85,3 104,7 43,1 11 B2 57,3 42,2 65,9 39,4 35,9 44,9 63,0 20,2 76,6 44,2 26,9 49,4 40,4 38,9 24,1 13 B3 79,0 20,3 105,2 58,3 38,4 82,4 96,0 32,0 115,9 74,6 58,2 87,4 54,2 15,2 63,6 12

(los datos completos en el fichero del problema) B18 57,9 35,2 78,1 47,3 36,9 58,6 76,0 11,1 89,9 56,2 32,0 60,0 36,3 25,2 37,0 12 B19 74,8 21,2 85,4 35,1 20,0 58,9 71,4 28,2 93,6 50,1 46,8 70,2 53,6 31,8 43,6 15 B20 69,7 62,2 46,4 32,5 45,4 16,4 35,2 48,2 51,1 21,1 39,3 38,9 61,8 67,6 15,6 15 VTO 51 41 163 60 49 116 110 49 510 82 62 98 48 40 80



1) Suponga que hace abstracción de las dos variables que hacen referencia al valor delos objetivos (VTO) y a la vulnerabilidad de las localizaciones (VUL). Elija las localiza-ciones en las que habilitar bases de aviones interceptadores de manera que todoslos objetivos estén doblemente cubiertos por una base que se encuentre a unadistancia inferior a 26 nm y el número de bases habilitadas sea el menor posible.Deduzca la forma compacta y determine el mínimo número de bases necesarias.

2) Determine todas las soluciones del apartado anterior y ofrezca una respuesta razo-nada a las siguientes preguntas:

a. ¿Cuántas soluciones diferentes existen?b. ¿Son todas las soluciones igualmente interesantes?c. ¿Qué localizaciones para las bases descartaría?d. ¿Cómo cambiaría el número mínimo necesario de bases si la distancia fuera

35 nm?e. ¿Cómo cambiaría el número mínimo necesario de bases si la cobertura tuvie-

ra que ser triple en vez de doble (distancia 26 nm)?

3) Entre las soluciones posibles encontradas en el apartado anterior, ¿cuál o cuáles sonpreferibles si se consideran el valor del objetivo (VTO) y la vulnerabilidad de las ba-ses (VUL)?

Sala de Control del GRUCEMAT



1) Suponga que hace abstracción de las dos variables que hacen referencia al valor delos objetivos (VTO) y a la vulnerabilidad de las localizaciones (VUL). Elija las localiza-ciones en las que habilitar bases de aviones interceptadores de manera que todoslos objetivos estén doblemente cubiertos por una base que se encuentre a unadistancia inferior a 26 nm y el número de bases habilitadas sea el menor posible.Deduzca la forma compacta y determine el mínimo número de bases necesarias.

2) Determine todas las soluciones del apartado anterior y ofrezca una respuesta razo-nada a las siguientes preguntas:

a. ¿Cuántas soluciones diferentes existen?b. ¿Son todas las soluciones igualmente interesantes?c. ¿Qué localizaciones para las bases descartaría?d. ¿Cómo cambiaría el número mínimo necesario de bases si la distancia fuera

35 nm?e. ¿Cómo cambiaría el número mínimo necesario de bases si la cobertura tuvie-

ra que ser triple en vez de doble (distancia 26 nm)?

3) Entre las soluciones posibles encontradas en el apartado anterior, ¿cuál o cuáles sonpreferibles si se consideran el valor del objetivo (VTO) y la vulnerabilidad de las ba-ses (VUL)?

Sala de Control del GRUCEMAT

SOLUCIÓN Apartado 1) FORMULACIÓN 1. ÍNDICES y CONJUNTOS

iL Localizaciones, L = {B1…, B20} jO Objetivos, O = {O1…, O15}

2. DATOS dij Distancia (en nm) de la localización i al objetivo j aij Binaria. Valor 1 se hay cobertura del objetivo j por la localización i hj VTO del objetivo j vi Vulnerabilidad de la localización i

3. VARIABLES Xi Binaria. Valor 1 si se habilita una base en la localización j-ésima

4. FORMA COMPACTA

Se trata de un problema de cobertura (doble) máxima:

Li1;0X

Oj2aX

.a.s

X

min

i

Liiji

Lii

El aspecto de la hoja con una posible solución es la siguiente:

Observamos que el mínimo número de localizaciones en las que habilitar una base de interceptadores es de 12. Aparece también el código de la solución que necesitaremos para responder al apartado siguiente.


Apartado 2)

Si la variable de decisión es binaria y de una dimensión no muy elevada (en este pro-blema, por ejemplo, la variable de decisión es un vector binario de dimensión 12), podemos asignar a cada combinación de unos y ceros que constituyan una solución candidata un número entero, simplemente convirtiendo el número binario asociado al vector de decisión, en un nú-mero en base 10. De esta manera, el código correspondiente a una solución X = {Xi} cualquiera se calcula como:

20i

1i

1ii

0,1,0,1,0

2XX

Esta asignación, que identifica mediante un código único a cada una de las 220 solucio-nes posibles, nos permitirá llevar a cabo un procedimiento, algo tedioso por cierto, para encon-trar todas las soluciones del problema. Este procedimiento consta únicamente de dos pasos, el segundo de los cuales agrega una nueva solución en cada iteración y debe de repetirse hasta encontrar una solución infactible:

i. Una vez conocido el valor del número mínimo necesario de bases resolviendo elproblema de cobertura máxima (p = 12), calculamos la solución que tenga unmenor índice asociado, resolviendo el problema siguiente:

Ji1;0X

Ij2aX

pX

.a.s

2X

min

i

Jiiji

Jii

Ji

1ii

ii. Determinamos la totalidad de las posibles soluciones resolviendo, de forma sis-temática, el problema siguiente (siendo S*

k-1 el código de la solución encontradaen el apartado anterior):

Ji1;0X

Ij2aX

2X

pX

.a.s

2X

min

i

Jiiji

*1k

Ji

1ii

Jii

Ji

1ii

S

La realización del proceso anterior nos permite responder a la pregunta siguiente: ¿Cuántas soluciones diferentes existen?

Existen 32 soluciones para el problema de la cobertura doble con mínimos recursos. Cada solución es distinta de cualquier otra, ya que implica desplegar los interceptadores en 12 localizaciones diferentes.

La tabla de la página siguiente muestra estas 32 soluciones posibles en el orden en que fueron obtenidas. Debemos, no obstante, profundizar en esta respuesta. Las 32 soluciones son diferentes, pero únicamente en un sentido concreto: imponen despliegues en localizaciones


Apartado 2)

Si la variable de decisión es binaria y de una dimensión no muy elevada (en este pro-blema, por ejemplo, la variable de decisión es un vector binario de dimensión 12), podemos asignar a cada combinación de unos y ceros que constituyan una solución candidata un número entero, simplemente convirtiendo el número binario asociado al vector de decisión, en un nú-mero en base 10. De esta manera, el código correspondiente a una solución X = {Xi} cualquiera se calcula como:

20i

1i

1ii

0,1,0,1,0

2XX

Esta asignación, que identifica mediante un código único a cada una de las 220 solucio-nes posibles, nos permitirá llevar a cabo un procedimiento, algo tedioso por cierto, para encon-trar todas las soluciones del problema. Este procedimiento consta únicamente de dos pasos, el segundo de los cuales agrega una nueva solución en cada iteración y debe de repetirse hasta encontrar una solución infactible:

i. Una vez conocido el valor del número mínimo necesario de bases resolviendo elproblema de cobertura máxima (p = 12), calculamos la solución que tenga unmenor índice asociado, resolviendo el problema siguiente:

Ji1;0X

Ij2aX

pX

.a.s

2X

min

i

Jiiji

Jii

Ji

1ii

ii. Determinamos la totalidad de las posibles soluciones resolviendo, de forma sis-temática, el problema siguiente (siendo S*

k-1 el código de la solución encontradaen el apartado anterior):

Ji1;0X

Ij2aX

2X

pX

.a.s

2X

min

i

Jiiji

*1k

Ji

1ii

Jii

Ji

1ii

S

La realización del proceso anterior nos permite responder a la pregunta siguiente: ¿Cuántas soluciones diferentes existen?

Existen 32 soluciones para el problema de la cobertura doble con mínimos recursos. Cada solución es distinta de cualquier otra, ya que implica desplegar los interceptadores en 12 localizaciones diferentes.

La tabla de la página siguiente muestra estas 32 soluciones posibles en el orden en que fueron obtenidas. Debemos, no obstante, profundizar en esta respuesta. Las 32 soluciones son diferentes, pero únicamente en un sentido concreto: imponen despliegues en localizaciones

diferentes. Pero basta una mirada a las consecuencias que sobre la cobertura de los objetivos tiene cada solución para apreciar que, en el dominio de la cobertura, no todas las 32 soluciones son diferentes.

8779

9 95

486

9750

2 21

8743

22

6430

22

8446

34

9927

35

7614

35

9630

4246

33

4808

71

4885

58

4905

74

5542

38

5708

76

5831

64

5870

04

6851

82

6853

08

7018

20

7141

08

7179

48

8163

66

8330

04

8452

92

8491

32

9473

10

9474

48

9484

72

9639

48

9762

36

9800

76

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15 S16 S17 S18 S19 S20 S21 S22 S23 S24 S25 S26 S27 S28 S29 S30 S31 S32 B1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 B3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 B4 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B5 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 B6 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B8 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 B9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0

B10 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 B12 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 B13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 B14 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 B16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 B17 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B18 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 B19 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Las 32 posibles soluciones al problema de la cobertura doble de objetivos.

Si atendemos a la cobertura que sobre los objetivos procuran estas 32 soluciones diferentes, encontramos lo siguiente (se han destacado en rojo las coberturas superiores a 2):

O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8 O9 O10 O11 O12 O13 O14 O15 S1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 S3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S5 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 S6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S7 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S8 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 S9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

S10 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S11 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S12 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 S13 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S14 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 S15 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 S16 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 S17 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 S18 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 S19 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 S20 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 S21 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 S22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 S23 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 S24 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 S25 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 S26 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 S27 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 S28 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S29 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 S30 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 S31 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 S32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2


Dado que, por ejemplo, las soluciones S1 y S3 son, en el dominio de los objetivos, in-distinguibles, lo cierto es entonces que, a efectos prácticos (recordemos que estamos haciendo abstracción de la variables VTO y VUL, que priorizan objetivos y localizaciones) ambas solucio-nes son idénticas.

La tabla siguiente da el conjunto de soluciones que son diferentes, en el sentido de que procuran coberturas distintas a los objetivos, independientemente desde qué localizaciones se logre proporcionar dicha cobertura:

O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8 O9 O10 O11 O12 O13 O14 O15 S17; S22; S2 ; S32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2

S2; S5;S8; S12 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 S29 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2

S14; S18; S23; S27 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 S15; S16; S20; S21; S24; S25; S30; S31 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2

S28 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S19 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2

S1; S3; S4; S6; S7; S9; S10; S11; S13 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Las 8 posibles soluciones al problema en función de la cobertura de objetivos.

De manera que somos capaces de dar una respuesta más precisa a la pregunta anterior:

¿Cuántas soluciones diferentes existen? Existen 32 combinaciones factibles para el problema de la cobertura doble, cada una

implica desplegar los interceptadores en localizaciones diferentes; sin embargo, el resultado fi-nal es que existen solo 8 posibles formas de elegir la cobertura de los objetivos empleando el mínimo número posible de bases de despliegue.

La siguiente pregunta, ¿son todas las soluciones igualmente interesantes?, requiere una revisión rápida de la estructura de las 8 soluciones que hemos deducido con anterioridad. Observamos que todas las soluciones proporcionan cobertura doble a todos los objetivos y triple a algunos de ellos, mientras que el último grupo proporciona solo cobertura doble a todos los objetivos. Este último grupo de 9 soluciones (S1…, S13) está dominado por las demás (ya que son peores o iguales en todos los objetivos no siendo estrictamente mejores en al menos uno). La consecuencia es que bajo ningún supuesto de racionalidad dichas 9 soluciones pue-den ser consideradas válidas.

Observamos que aún existe otro subgrupo de soluciones, las presentadas en la prime-ra línea (S17…, S32) que proporcionan cobertura triple a dos objetivos (11 y 13), mientras que el resto solo es capaz de proporcionar cobertura triple a un único objetivo. Si no tenemos en cuenta ninguna consideración sobre los objetivos, las soluciones pertenecientes al primer grupo son, de nuevo bajo cualquier supuesto de racionalidad, preferibles a las demás. La respuesta a la pregunta anterior es pues la siguiente:

¿Son todas las soluciones igualmente interesantes? De las 8 posibles formas de elegir la cobertura de los objetivos empleando el mínimo

número posible de bases, es preferible aquella que proporciona un mayor número coberturas triples. Las soluciones (iniciales) S17, S22, S2 y S32 son preferibles al resto.

Para contestar a la segunda pregunta del apartado es necesario analizar la presencia de las posibles localizaciones en las soluciones no dominadas. El gráfico de la página siguiente muestra esta distribución de frecuencias en la que para cada localización se da el número de veces que aparece en alguna solución factible. De manera que estamos en condiciones de res-ponder la pregunta.

¿Qué localizaciones para las bases descartaría? Las localizaciones B1 y B10 no aparecen en ninguna solución razonable, por lo que

pueden ser descartadas.


Dado que, por ejemplo, las soluciones S1 y S3 son, en el dominio de los objetivos, in-distinguibles, lo cierto es entonces que, a efectos prácticos (recordemos que estamos haciendo abstracción de la variables VTO y VUL, que priorizan objetivos y localizaciones) ambas solucio-nes son idénticas.

La tabla siguiente da el conjunto de soluciones que son diferentes, en el sentido de que procuran coberturas distintas a los objetivos, independientemente desde qué localizaciones se logre proporcionar dicha cobertura:

O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8 O9 O10 O11 O12 O13 O14 O15 S17; S22; S2 ; S32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2

S2; S5;S8; S12 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 S29 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2

S14; S18; S23; S27 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 S15; S16; S20; S21; S24; S25; S30; S31 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2

S28 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S19 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2

S1; S3; S4; S6; S7; S9; S10; S11; S13 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Las 8 posibles soluciones al problema en función de la cobertura de objetivos.

De manera que somos capaces de dar una respuesta más precisa a la pregunta anterior:

¿Cuántas soluciones diferentes existen? Existen 32 combinaciones factibles para el problema de la cobertura doble, cada una

implica desplegar los interceptadores en localizaciones diferentes; sin embargo, el resultado fi-nal es que existen solo 8 posibles formas de elegir la cobertura de los objetivos empleando el mínimo número posible de bases de despliegue.

La siguiente pregunta, ¿son todas las soluciones igualmente interesantes?, requiere una revisión rápida de la estructura de las 8 soluciones que hemos deducido con anterioridad. Observamos que todas las soluciones proporcionan cobertura doble a todos los objetivos y triple a algunos de ellos, mientras que el último grupo proporciona solo cobertura doble a todos los objetivos. Este último grupo de 9 soluciones (S1…, S13) está dominado por las demás (ya que son peores o iguales en todos los objetivos no siendo estrictamente mejores en al menos uno). La consecuencia es que bajo ningún supuesto de racionalidad dichas 9 soluciones pue-den ser consideradas válidas.

Observamos que aún existe otro subgrupo de soluciones, las presentadas en la prime-ra línea (S17…, S32) que proporcionan cobertura triple a dos objetivos (11 y 13), mientras que el resto solo es capaz de proporcionar cobertura triple a un único objetivo. Si no tenemos en cuenta ninguna consideración sobre los objetivos, las soluciones pertenecientes al primer grupo son, de nuevo bajo cualquier supuesto de racionalidad, preferibles a las demás. La respuesta a la pregunta anterior es pues la siguiente:

¿Son todas las soluciones igualmente interesantes? De las 8 posibles formas de elegir la cobertura de los objetivos empleando el mínimo

número posible de bases, es preferible aquella que proporciona un mayor número coberturas triples. Las soluciones (iniciales) S17, S22, S2 y S32 son preferibles al resto.

Para contestar a la segunda pregunta del apartado es necesario analizar la presencia de las posibles localizaciones en las soluciones no dominadas. El gráfico de la página siguiente muestra esta distribución de frecuencias en la que para cada localización se da el número de veces que aparece en alguna solución factible. De manera que estamos en condiciones de res-ponder la pregunta.

¿Qué localizaciones para las bases descartaría? Las localizaciones B1 y B10 no aparecen en ninguna solución razonable, por lo que

pueden ser descartadas.

¿Cómo cambiaría el número mínimo necesario de bases si la distancia fuera 35 nm? Sería necesario un número menor de localizaciones. Los resultados obtenidos muestran

que únicamente sería necesario habilitar 8 bases para tener una doble cobertura de todos los objetivos en un radio de 35 millas náuticas.

La figura siguiente muestra una de las múltiples soluciones del problema:


¿Cómo cambiaría el número mínimo necesario de bases si la cobertura tuviera que ser triple en vez de doble (distancia 36 nm)?

Sería necesario un número mayor de localizaciones. Los resultados obtenidos muestran que sería necesario habilitar prácticamente todas las bases (19 de 20) para tener una triple co-bertura de todos los objetivos en un radio de 26 millas náuticas.

La figura siguiente muestra una solución del problema:

Apartado 3) De las soluciones posibles encontradas anteriormente, ¿cuál o cuáles son preferi-

bles si se considera el valor del objetivo (VTO) y la vulnerabilidad de las bases(VUL)?

Si representamos las soluciones encontradas en un plano en el que los ejes sean la vulnerabilidad agregada de las localizaciones elegidas por la solución y la importancia agregada de la cobertura total de los objetivos, tendremos el gráfico de la figura de la página siguiente.

En este espacio, los mejores lugares están en la esquina inferior derecha, ya que las soluciones allí colocadas procuran una mejor defensa de los objetivos y los interceptadores des-pegan desde bases más seguras.

Atendiendo de nuevo al concepto de dominancia, encontramos que las soluciones que aparecen destacadas en color azul no están dominadas por alguna otra, mientras que las seña-ladas en rojo sí se encuentran dominadas por alguna otra, ya que existe, al menos, una solu-ción que procura una cobertura más interesante y una menor vulnerabilidad.

Los despliegues que habría que considerar son, únicamente, los proporcionados por las soluciones no dominadas, y la elección de una solución concreta dependerá del balance que haga el decisor final entre efectividad y seguridad.


¿Cómo cambiaría el número mínimo necesario de bases si la cobertura tuviera que ser triple en vez de doble (distancia 36 nm)?

Sería necesario un número mayor de localizaciones. Los resultados obtenidos muestran que sería necesario habilitar prácticamente todas las bases (19 de 20) para tener una triple co-bertura de todos los objetivos en un radio de 26 millas náuticas.

La figura siguiente muestra una solución del problema:

Apartado 3) De las soluciones posibles encontradas anteriormente, ¿cuál o cuáles son preferi-

bles si se considera el valor del objetivo (VTO) y la vulnerabilidad de las bases(VUL)?

Si representamos las soluciones encontradas en un plano en el que los ejes sean la vulnerabilidad agregada de las localizaciones elegidas por la solución y la importancia agregada de la cobertura total de los objetivos, tendremos el gráfico de la figura de la página siguiente.

En este espacio, los mejores lugares están en la esquina inferior derecha, ya que las soluciones allí colocadas procuran una mejor defensa de los objetivos y los interceptadores des-pegan desde bases más seguras.

Atendiendo de nuevo al concepto de dominancia, encontramos que las soluciones que aparecen destacadas en color azul no están dominadas por alguna otra, mientras que las seña-ladas en rojo sí se encuentran dominadas por alguna otra, ya que existe, al menos, una solu-ción que procura una cobertura más interesante y una menor vulnerabilidad.

Los despliegues que habría que considerar son, únicamente, los proporcionados por las soluciones no dominadas, y la elección de una solución concreta dependerá del balance que haga el decisor final entre efectividad y seguridad.

O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8 O9 O10 O11 O12 O13 O14 O15 VTO VUL 29 S29 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3200 173 12 S12 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3228 167 5,8 S5 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3228 166

2 S2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3228 165 27 S27 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3198 165 10 S10 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3118 169

18,2 S18 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3198 164 32 S32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 3228 162 28 S28 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3167 165 14 S14 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3198 163

22,3 S22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 3228 161 17 S17 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 3228 160 11 S11 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3118 165

30,3 S30 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3180 161 19 S19 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3158 162

4,7,13 S4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3118 164 20,21,24,25 S20 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3180 160

1,6,9 S1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3118 163 15,2 S15 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3180 159

3 S3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3118 162


7.17 Instalación de centrales de comunicación de campaña (2/SO/LOC) ENUNCIADO

En una determinada zona de operaciones de 120 km2, se encuentran desplegadas 10 unidades cuyas coordenadas, que se han reescalado respecto a un origen arbitrario, son las que aparecen en la tabla siguiente:

Pos X Y 1 10 21 2 47 10 3 23 36 4 87 70 5 75 8 6 70 33 7 86 88 8 43 99 9 100 63 10 32 86

En cada una de estas 10 posiciones, es posible situar una central de un equipo de co-municaciones tácticas. El objetivo es que las 10 unidades queden bajo la cobertura de la central de comunicaciones. Una central instalada en una posición determinada ofrece cobertura a dicha unidad y a todas aquellas que se encuentren a una distancia menor que un determinado valor (que viene dado por la variable DisMax) propio de la central. La variable DisMax, que será idéntica para todas las centrales establecidas, influye en su coste de adquisición.

El coste unitario de una central, en función de su alcance (DisMax), viene dado en la si-guiente tabla proporcionada por el fabricante, y no son posibles otras configuraciones:

Franja Coste 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Var_DisMax 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 CostexCentral 9 25 44 66 90 116 145 174 206 239 273 308 345 382

A este coste, que como hemos señalado depende de sus características de alcance, hay que añadirle un coste fijo de 145 unidades monetarias por cada central instalada, sea cual sea su alcance. El coste total de la operación es, pues, una función del número de centrales que sean necesarias para conseguir una cobertura completa de las 10 unidades y de la distancia, DisMax, que se haya determinado que dichas centrales hayan de tener. Así, por ejemplo, si de-cide que con 3 centrales de DisMax = 45 km puede dar cobertura, tendrá un coste total de la operación definido por:

053.12061453VariableFijok

coste defranja

SegúnFijo

CT


1) Dar la configuración óptima al menor coste posible. La configuración óptima consisteen dar:

a) el número de centrales necesarias;b) las posiciones en las que estas deben estar instaladas;c) la distancia DisMax para la que han sido configuradas;d) el coste total de la operación;e) la justificación de que la solución propuesta es óptima.


7.17 Instalación de centrales de comunicación de campaña (2/SO/LOC) ENUNCIADO

En una determinada zona de operaciones de 120 km2, se encuentran desplegadas 10 unidades cuyas coordenadas, que se han reescalado respecto a un origen arbitrario, son las que aparecen en la tabla siguiente:

Pos X Y 1 10 21 2 47 10 3 23 36 4 87 70 5 75 8 6 70 33 7 86 88 8 43 99 9 100 63 10 32 86

En cada una de estas 10 posiciones, es posible situar una central de un equipo de co-municaciones tácticas. El objetivo es que las 10 unidades queden bajo la cobertura de la central de comunicaciones. Una central instalada en una posición determinada ofrece cobertura a dicha unidad y a todas aquellas que se encuentren a una distancia menor que un determinado valor (que viene dado por la variable DisMax) propio de la central. La variable DisMax, que será idéntica para todas las centrales establecidas, influye en su coste de adquisición.

El coste unitario de una central, en función de su alcance (DisMax), viene dado en la si-guiente tabla proporcionada por el fabricante, y no son posibles otras configuraciones:

Franja Coste 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Var_DisMax 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 CostexCentral 9 25 44 66 90 116 145 174 206 239 273 308 345 382

A este coste, que como hemos señalado depende de sus características de alcance, hay que añadirle un coste fijo de 145 unidades monetarias por cada central instalada, sea cual sea su alcance. El coste total de la operación es, pues, una función del número de centrales que sean necesarias para conseguir una cobertura completa de las 10 unidades y de la distancia, DisMax, que se haya determinado que dichas centrales hayan de tener. Así, por ejemplo, si de-cide que con 3 centrales de DisMax = 45 km puede dar cobertura, tendrá un coste total de la operación definido por:

053.12061453VariableFijok

coste defranja

SegúnFijo

CT


1) Dar la configuración óptima al menor coste posible. La configuración óptima consisteen dar:

a) el número de centrales necesarias;b) las posiciones en las que estas deben estar instaladas;c) la distancia DisMax para la que han sido configuradas;d) el coste total de la operación;e) la justificación de que la solución propuesta es óptima.

SOLUCIÓN:

Para poder resolver el problema debe, en primer lugar, calcular la matriz de distancias (euclídeas) entre cada una de las posiciones. Esta matriz es la siguiente:

dij 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 0 38,6 19,8 91,3 66,3 61,2 101 84,7 99,3 68,6 2 38,6 0 35,4 72,1 28,1 32,5 87,2 89,1 75 77,5 3 19,8 35,4 0 72,5 59,1 47,1 81,7 66,1 81,6 50,8 4 91,3 72,1 72,5 0 63,2 40,7 18 52,7 14,8 57,3 5 66,3 28,1 59,1 63,2 0 25,5 80,8 96,5 60,4 89,1 6 61,2 32,5 47,1 40,7 25,5 0 57,3 71,3 42,4 65,2 7 101 87,2 81,7 18 80,8 57,3 0 44,4 28,7 54 8 84,7 89,1 66,1 52,7 96,5 71,3 44,4 0 67,4 17 9 99,3 75 81,6 14,8 60,4 42,4 28,7 67,4 0 71,8 10 68,6 77,5 50,8 57,3 89,1 65,2 54 17 71,8 0

A partir de esta matriz de distancias necesita crear, para cada valor posible de la va-riable DisMax, la matriz de cobertura que indicará qué posiciones se encuentran cubiertas por cada una de las restantes. Por ejemplo, para una DisMax de 45 km la matriz es:

aij 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 3 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 5 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 6 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 7 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 8 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 9 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1

Junto a la matriz de cobertura se habilita el espacio para el vector solución (Xi) y a partir de él se calculan las coberturas proporcionadas por la solución.

aij 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Xi 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 3 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 4 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 5 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 6 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 7 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 8 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 9 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1

10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 Cobertura 3 5 3 4 3 5 4 3 4 2

La fórmula para el cálculo de la cobertura es:

i

ijijij

ijij

2Lj

Oi

2Lj

Oiij aXCob

rd1rd0

ayyxxd


Supongamos que fijamos un valor de DisMax = 45. Encontrar el número mínimo de centrales necesarias para cubrir todas las unidades implica resolver un problema de cobertura total:

Li1;0X

Oj1aX

.a.s

X

min

i

Liiji

Lii


La solución encontrada supone instalar dos centrales en 2 y 7, posiciones desde las que se cubrirían todas las unidades.

Una opción inmediata para resolver el problema pedido es a través de Solver Table al objeto de obtener la configuración óptima para cada valor posible de la variable DisMax:

Li1;0X

Lj,i1aX

XS

.a.s

CCS

min

i

Liiji

ii

VS

FS


Supongamos que fijamos un valor de DisMax = 45. Encontrar el número mínimo de centrales necesarias para cubrir todas las unidades implica resolver un problema de cobertura total:

Li1;0X

Oj1aX

.a.s

X

min

i

Liiji

Lii


La solución encontrada supone instalar dos centrales en 2 y 7, posiciones desde las que se cubrirían todas las unidades.

Una opción inmediata para resolver el problema pedido es a través de Solver Table al objeto de obtener la configuración óptima para cada valor posible de la variable DisMax:

Li1;0X

Lj,i1aX

XS

.a.s

CCS

min

i

Liiji

ii

VS

FS

Para enlazar los valores de DisMax y de coste x central según la franja de coste uti-lizamos funciones ÍNDICE:

El aspecto de Solver Table sería el siguiente:

El resultado obtenido sería el siguiente:


Gráficamente tendríamos:

Vemos que el valor óptimo de DisMax es de 55 km, con 2 centrales necesarias para cubrir las 10 posiciones. La situación de estas dos centrales es la siguiente:


Gráficamente tendríamos:

Vemos que el valor óptimo de DisMax es de 55 km, con 2 centrales necesarias para cubrir las 10 posiciones. La situación de estas dos centrales es la siguiente:

7.18 Despliegue de sistemas de defensa superficie aire (2/SO/LOC) El Mando de Artillería Antiaérea (MAAA) es un conjunto de unidades, bá-sicamente de artillería, puestas bajo un mando único y constituidas, adiestradas y equipadas para contribuir, en el marco conjunto o conjun-to-combinado, al control del espacio aéreo y defensa aérea del territorio nacional y, en su caso, reforzar a otras organizaciones, de acuerdo con la doctrina conjunta y la específica terrestre.

ENUNCIADO

Tiene que desplegar baterías propias de misiles superficie ai-re (SAM) para defender un conjunto de 10 objetivos (O1,O2…, O10) que serán atacados en las próximas horas porplataformas aéreas enemigas.

Para desplegar los sistemas SAM dispone de un conjunto de12 posibles localizaciones (L1, L2…, L12).

Todo objetivo que no se encuentre defendido por un sistemaSAM será destruido por el enemigo.

Cada objetivo tiene un valor táctico (VTO) diferente, expresado mediante un índice(de 0 a 100) que es más alto cuanto más importante sea para usted mantenerlo asalvo del ataque. Estos valores tácticos son los siguientes:

OBJ O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8 O9 O10 VTO 64 52 27 92 74 31 65 57 29 50

Las coordenadas de los emplazamientos y los objetivos son las siguientes:

Emplazamientos X Y Objetivos X Y L1 95 50 O1 10 80 L2 34 52 O2 33 87 L3 46 40 O3 54 89 L4 90 90 O4 38 29 L5 20 95 O5 89 40 L6 60 74 O6 6 5 L7 20 42 O7 50 50 L8 13 65 O8 75 12 L9 24 5 O9 92 71

L10 5 30 O10 50 10 L11 85 20 L12 46 28

El rango de efectividad de los sistemas SAM es de 35 kilómetros, es decir, dentrode esa distancia, cualquier plataforma enemiga que acceda a la zona será derribadacon absoluta certeza antes de efectuar ningún ataque, es decir, cualquier objetivo,que tenga al menos un sistema SAM a menos de dicha distancia, permanecerá librede ataque.


1) Escriba la forma compacta y resuelva el problema para determinar el número mínimode sistemas SAM que deberá desplegar para defender la totalidad de los objetivos.¿Existen varias soluciones? En caso afirmativo, valórelas.

2) Escriba la forma compacta y resuelva el problema para maximizar el VTO de los ob-jetivos no destruidos, si únicamente dispone de 3 sistemas SAM.

3) Suponga ahora que uno de los 3 sistemas a los que se refiere el apartado anterior hasido mejorado y su rango de efectividad es de 50 kilómetros. ¿Cómo sería la nuevasolución?


SOLUCIÓN Apartado 1) La disposición de los elementos en el terreno es la siguiente

El primer paso debe ser calcular las distancias (euclídeas) entre estos elementos creando una tabla en la que aparezca el resultado de dicho cálculo. En nuestro caso, las dis-tancias (en kilómetros) entre los 10 objetivos a defender y las 12 localizaciones en las que puede desplegar los SAM aparecen en la tabla:

O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8 O9 O10 L1 90,1 72,2 56,6 60,7 11,7 99,7 45,0 42,9 21,2 60,2 L2 36,9 35,0 42,1 23,3 56,3 54,7 16,1 57,3 61,0 44,9 L3 53,8 48,8 49,6 13,6 43,0 53,2 10,8 40,3 55,5 30,3 L4 80,6 57,1 36,0 80,2 50,0 119,5 56,6 79,4 19,1 89,4 L5 18,0 15,3 34,5 68,4 88,2 91,1 54,1 99,6 75,9 90,1 L6 50,4 30,0 16,2 50,1 44,7 87,6 26,0 63,8 32,1 64,8 L7 39,3 46,8 58,0 22,2 69,0 39,6 31,0 62,6 77,6 43,9 L8 15,3 29,7 47,5 43,8 80,0 60,4 39,9 81,6 79,2 66,3 L9 76,3 82,5 89,2 27,8 73,8 18,0 52,0 51,5 94,8 26,5

L10 50,2 63,5 76,7 33,0 84,6 25,0 49,2 72,3 96,2 49,2 L11 96,0 84,8 75,6 47,9 20,4 80,4 46,1 12,8 51,5 36,4 L12 63,2 60,4 61,5 8,1 44,6 46,1 22,4 33,1 63,0 18,4

Para lo cual deberemos únicamente aplicar la fórmula de la distancia euclídea:


SOLUCIÓN Apartado 1) La disposición de los elementos en el terreno es la siguiente

El primer paso debe ser calcular las distancias (euclídeas) entre estos elementos creando una tabla en la que aparezca el resultado de dicho cálculo. En nuestro caso, las dis-tancias (en kilómetros) entre los 10 objetivos a defender y las 12 localizaciones en las que puede desplegar los SAM aparecen en la tabla:

O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8 O9 O10 L1 90,1 72,2 56,6 60,7 11,7 99,7 45,0 42,9 21,2 60,2 L2 36,9 35,0 42,1 23,3 56,3 54,7 16,1 57,3 61,0 44,9 L3 53,8 48,8 49,6 13,6 43,0 53,2 10,8 40,3 55,5 30,3 L4 80,6 57,1 36,0 80,2 50,0 119,5 56,6 79,4 19,1 89,4 L5 18,0 15,3 34,5 68,4 88,2 91,1 54,1 99,6 75,9 90,1 L6 50,4 30,0 16,2 50,1 44,7 87,6 26,0 63,8 32,1 64,8 L7 39,3 46,8 58,0 22,2 69,0 39,6 31,0 62,6 77,6 43,9 L8 15,3 29,7 47,5 43,8 80,0 60,4 39,9 81,6 79,2 66,3 L9 76,3 82,5 89,2 27,8 73,8 18,0 52,0 51,5 94,8 26,5

L10 50,2 63,5 76,7 33,0 84,6 25,0 49,2 72,3 96,2 49,2 L11 96,0 84,8 75,6 47,9 20,4 80,4 46,1 12,8 51,5 36,4 L12 63,2 60,4 61,5 8,1 44,6 46,1 22,4 33,1 63,0 18,4

Para lo cual deberemos únicamente aplicar la fórmula de la distancia euclídea:

FORMULACIÓN 1. ÍNDICES y CONJUNTOS

iO Objetivos, O = {O1…, O10} jL Localizaciones, L = {L1…, L12 }

2. DATOS r Rango de efectividad de los sistemas SAM xi,yi Coordenadas de los elementos aij Cobertura del objetivo j por la localización i hj VTO del objetivo j

3. VARIABLES Xi Binaria. Valor 1 si se habilita la localización j-ésima

4. FORMA COMPACTA

Para calcular aij usaremos los datos del enunciado:

rd1rd0

a

yyxxd

ij

ijij

2Lj

Oi

2Lj

Oiij


Jj1;0X

Ii1aX

.a.s

X

min

j

Jjijj

Jjj




Para obtener otras soluciones diferentes, distintas de la anterior, podemos seguir va-rias estrategias. De forma inmediata podemos añadir nuevas restricciones, de manera que una de las localizaciones escogidas en la primera solución se fuerce a ser nula para que la nueva so-lución sea diferente.

Forzando a que X1 sea nula obtenemos:

Forzando X5 obtenemos:



Para obtener otras soluciones diferentes, distintas de la anterior, podemos seguir va-rias estrategias. De forma inmediata podemos añadir nuevas restricciones, de manera que una de las localizaciones escogidas en la primera solución se fuerce a ser nula para que la nueva so-lución sea diferente.

Forzando a que X1 sea nula obtenemos:




Una manera más sistemática consiste en aprovechar el hecho de que la variable de de-cisión es binaria para crear un código de identificación de la solución, convirtiendo el número binario asociado a la solución encontrada en un numero en base 10, añadir una nueva restric-ción para forzar a que el número de sistemas sea igual a 4, convertir la función objetivo en mi-nimizar el código obtenido con la solución e ir añadiendo una restricción para aumentar dicho valor.

De esta manera iremos, sistemáticamente, obteniendo todas las posibles soluciones del problema, tal como se muestra en la página siguiente.


Solución 2 656:

Solución 2 880:

Solución 4 642:

Solución 5 154:

Al no poder continuar aumentando el código de solución, ahora tenemos la certeza de que las posibles soluciones son únicamente 4.


Solución 2 656:

Solución 2 880:

Solución 4 642:

Solución 5 154:

Al no poder continuar aumentando el código de solución, ahora tenemos la certeza de que las posibles soluciones son únicamente 4.

Analicemos estas cuatro soluciones respecto de la cobertura lograda por cada una de ellas sobre la totalidad de los objetivos:

Vemos que dos de ellas (X1 y X3) cubren doblemente dos objetivos, mientras que las otras dos cubren doblemente a un único objetivo. Apreciamos que la solución X1 domina a la X2, y la X3 domina a la X4, y lo hacen porque las dominantes tienen el mismo patrón de cober-tura doble en un objetivo más una doble cobertura que no tiene la otra. Estas dos soluciones, X2 y X4, no son buenas bajo ninguna racionalidad posible.

Elegir entre X1 y X3 supone ponderar los VTO de los objetivos doblemente cubiertos.

Objetivo N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9 N10 VTO 64 52 27 92 74 31 65 57 29 50

SC_1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 620 SC_2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 593 SC_3 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 683 SC_4 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 633


Apartado 2)

Dado que aun cuando un objetivo esté cubierto por dos sistemas de defensa, solo po-demos tenerlo en cuenta una vez a la hora de contabilizar el VTO agregado, necesitamos una nueva variable de decisión para resolver el problema.

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iO Objetivos, O = {O1…, O10} jL Localizaciones, L = {L1…, L12 }

2. DATOS r Rango de efectividad de los sistemas SAM xi, yi Coordenadas de los elementos aij Cobertura del objetivo j por la localización i hj VTO del objetivo j

3. VARIABLES Xi Binaria. Valor 1 si se habilita la localización j-ésima Zj Binaria. Valor 1 si el nodo i-ésimo está cubierto

4. FORMA COMPACTA

Ii1;0Z

Jj1;0X

Ii0ZaX

pX

.a.s

Zh

max

i

j

iJj

ijj

Jjj

Iiii



Apartado 2)

Dado que aun cuando un objetivo esté cubierto por dos sistemas de defensa, solo po-demos tenerlo en cuenta una vez a la hora de contabilizar el VTO agregado, necesitamos una nueva variable de decisión para resolver el problema.


2. DATOS r Rango de efectividad de los sistemas SAM xi, yi Coordenadas de los elementos aij Cobertura del objetivo j por la localización i hj VTO del objetivo j

3. VARIABLES Xi Binaria. Valor 1 si se habilita la localización j-ésima Zj Binaria. Valor 1 si el nodo i-ésimo está cubierto

4. FORMA COMPACTA

Ii1;0Z

Jj1;0X

Ii0ZaX

pX

.a.s

Zh

max

i

j

iJj

ijj

Jjj

Iiii



Apartado 3)

Es necesario añadir una nueva variable de decisión para el nuevo sistema. La formula-ción del problema es la siguiente

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iO Objetivos, O = {O1…, O10} jL Localizaciones, L = {L1…, L12 } sS Sistemas de defensa, S = {S1, S2}

2. DATOS rs Rango de efectividad de los sistemas SAM pis Número máximo de sistemas del tipo s a desplegar aijs Cobertura del objetivo j por la localización i con un sistema tipo s hj VTO del objetivo j

3. VARIABLES Xis Binaria. 1 si se habilita la localización j-ésima con un sistema tipo s Zj Binaria. 1 si el nodo i-ésimo está cubierto

4. FORMA COMPACTA

Ii1;0Z

Ss;Jj1;0X

Ii0ZaX

pX

.a.s

Zh

max

i

js

iJj Ss

ijsj

sJj

js

Iiii



Es decir, en estas condiciones conseguiriamos la cobertura completa del conjunto de objetivos.



Es decir, en estas condiciones conseguiriamos la cobertura completa del conjunto de objetivos.

7.19 Sistema genérico de defensa antiaérea_1 (2/OS/LOC) ENUNCIADO

Suponga una situación en la cual debe emplear un sistema de defensa antiaérea para defender una serie de objetivos propios, con arreglo a los siguientes condicionantes:

En la zona geográfica a considerar hay 10 objetivos (O1…, O10) y 15 posibles lo-calizaciones en la que situar el sistema de defensa (L1…, L15). La matriz aij da lacobertura desde las diferentes localizaciones a los objetivos, supuesto un rangodado de efectividad de los sistemas de defensa (el valor 1 en aij indica que un siste-ma desplegado en la localización i-ésima podría defender el objetivo j-ésimo):

aij Objetivos O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8 O9 O10

Loca

lizac

ione

s L1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 L2 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 L3 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 L4 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 L5 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 L6 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 L7 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 L8 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 L9 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1

L10 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 L11 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 L12 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 L13 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 L14 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 L15 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0

Las dos características fundamentales del sistema de defensa son:a) sM = número de baterías a emplear;b) bM = número de blancos simultáneos que cada batería puede asumir.

Una vez establecida una batería en una localización, se le deben asignar los objeti-vos a defender. Este número de objetivos asignados deber ser menor o igual que elde blancos simultáneos que la batería puede asumir).

Un objetivo se considera defendido si al menos una de las baterías lo tiene asignadopara su defensa.

El valor táctico de cada objetivo (expresado mediante un índice de 0 a 100, con 100como el objetivo más valioso posible) es conocido y se da en la tabla A siguiente:

Tabla A Valor Táctico del Objetivo (VTO) Objetivo O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8 O9 O10

VTO 52 71 66 64 61 73 73 68 86 68 Para medir la efectividad del despliegue debe considerar la suma de los VTO de

aquellos objetivos que se hallan defendidos (independientemente del número de ba-terías a los que esté asignado, es decir, solo debe considerar el VTO de un objetivocuando al menos está asignado a una batería).


1) Escriba la forma compacta del problema consistente en establecer, con la mayorefectividad posible, un sistema de defensa definido por sus valores genéricos dadospor sM y bM.

2) Aplicando la forma compacta del apartado anterior, resuelva el despliegue óptimopara las siguientes situaciones:

Tipo A B C D E sM 1 2 3 4 5 bM 5 4 3 2 1


SOLUCIÓN

Apartado 1)


2. DATOS aij Binaria. 1 si el objetivo j está dentro del rango de la localización j sM Número de baterías a emplear bM Número de blancos simultáneos que cada batería puede asumir hj VTO del objetivo j

3. VARIABLES Xij Binaria. Valor 1 si el sistema i se asigna al objetivo j Zj Binaria. Valor 1 si el objetivo j-ésimo está defendido Ui Binaria. Valor 1 si en la localización j se despliega una batería

4. FORMA COMPACTA

Ii1;0U

Lj1;0ZJj;Ii1;0XJj;Ii0aX

Lj0XZ

Ii0bUaX

0sU

.a.s

Zh

max

i

j

ij

ijij

Liijj

MiJj

ijij

MLi

j

Iiii

La primera restricción obliga a que no se empleen más baterías de las que dispone el sistema:

sdisponibleBaterías

M

sdesplegadaBaterías

Lij sU

La segunda obliga a que, si se coloca una batería en i, a dicha batería no se le asignen más objetivos de los que puede asumir:

0X0aX0U

baX1UbUaX

ijJj

ijiji

MJj

ijiji

MiJj

ijij


SOLUCIÓN

Apartado 1)


2. DATOS aij Binaria. 1 si el objetivo j está dentro del rango de la localización j sM Número de baterías a emplear bM Número de blancos simultáneos que cada batería puede asumir hj VTO del objetivo j

3. VARIABLES Xij Binaria. Valor 1 si el sistema i se asigna al objetivo j Zj Binaria. Valor 1 si el objetivo j-ésimo está defendido Ui Binaria. Valor 1 si en la localización j se despliega una batería

4. FORMA COMPACTA

Ii1;0U


Lj0XZ

Ii0bUaX

0sU

.a.s

Zh

max

i

j

ij

ijij

Liijj

MiJj

ijij

MLi

j

Iiii

La primera restricción obliga a que no se empleen más baterías de las que dispone el sistema:

sdisponibleBaterías

M

sdesplegadaBaterías

Lij sU

La segunda obliga a que, si se coloca una batería en i, a dicha batería no se le asignen más objetivos de los que puede asumir:

0X0aX0U

baX1UbUaX

ijJj

ijiji

MJj

ijiji

MiJj

ijij

La tercera obliga a que si Zj vale 1 sea porque el objetivo esté defendido por al menos un sistema:

jLi

ijLi

ijj ZX0XZ

Y se obtiene directamente de la implicación lógica:

0XZZXqp

qp

q

1X

p

1ZLi

ijjjLi

ij12

CONLiijj

La cuarta obliga a que no se asigne un objetivo a una localización que no esté dentro del alcance efectivo del arma:

0aX ijij

Equivalente a la implicación lógica siguiente:

1a1X ijij

Apartado 2)


La solución para el primer caso (sM = 1; bM = 5) es la siguiente:

Las soluciones para el resto de casos se dan la página siguiente.


7.20 Sistema genérico de defensa antiaérea_2 (2/OS/LOC) ENUNCIADO

A partir del ejercicio anterior, suponga ahora que cada objetivo tiene dos características más de interés:

pi: probabilidad de ser atacado por el enemigo. qi: probabilidad de ser destruido al ser atacado por el enemigo.

O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8 O9 O10 VTO 52 71 66 64 61 73 73 68 86 68

Prob. ataque (p) 0,77 0,95 0,93 0,95 0,82 0,85 0,90 0,89 0,77 0,95 Prob. destrucción (q) 0,82 0,85 0,90 0,89 0,77 0,95 0,93 0,95 0,80 0,83

En el ejemplo anterior suponíamos que el ataque enemigo se hacía sobre todos los obje-ticos con absoluta certeza y que el enemigo destruiría todos aquellos que no estuvieran defen-didos por sistema de defensa. En estas circunstancias, la función objetivo que hacía referencia al mérito del despliegue se calculaba como el total de los VTO de los objetivos que no serían destruidos tras un ataque.

Ii

ii Zh

Sin embargo, en la situación actual, la destrucción de los objetivos tiene un carácter aleatorio, consecuencia de la aparición de las probabilidades anteriores. El mérito ya no es de-terminista, sino aleatorio, lo cual nos fuerza a considerar no el valor de los objetivos supervi-vientes al ataque, sino el valor esperado de dicho valor, es decir, la esperanza matemática del valor superviviente.

La función objetivo tiene entonces dos componentes: uno determinista, dado por la su-ma del VTO de aquellos objetivos que, puesto que se encuentran defendidos, no serán destrui-dos en ningún caso; otro aleatorio dado por la suma de aquellos objetivos que no estando defendidos, no son sin embargo destruidos, bien porque no son atacados o bien porque siendo atacados no son destruidos tras el ataque. El árbol siguiente describe los componentes de la función objetivo:


1) Escriba la forma compacta y resuelva el problema consistente en establecer, con lamayor efectividad posible, un sistema de defensa con valores sM = 3 y bM = 3.

2) Aplicando la forma compacta del apartado anterior determine el despliegue óptimo.


SOLUCIÓN

Apartado 1)

La única diferencia de la forma compacta respecto del problema anterior es que ahora la función objetivo tiene dos componentes y un carácter de esperanza de variable aleatoria antes que de valor determinista:

Ii1;0U


Lj0XZ

Ii0bUaX

0sU

.a.s

ZVTOp1q1pZ1VTO

max

i

j

ij

ijij

Liijj

MiJj

ijij

MLi

j

DEFENDIDOS

Jjjj

DESTRUIDOSNO pero DEFENDIDOS NO

Jjjjjjj

Apartado 2) La solución es la siguiente:


SOLUCIÓN

Apartado 1)

La única diferencia de la forma compacta respecto del problema anterior es que ahora la función objetivo tiene dos componentes y un carácter de esperanza de variable aleatoria antes que de valor determinista:

Ii1;0U


Lj0XZ

Ii0bUaX

0sU

.a.s

ZVTOp1q1pZ1VTO

max

i

j

ij

ijij

Liijj

MiJj

ijij

MLi

j

DEFENDIDOS

Jjjj

DESTRUIDOSNO pero DEFENDIDOS NO

Jjjjjjj

Apartado 2) La solución es la siguiente:

7.21 Localización de polvorines en un despliegue (2/OS/LOC)

ENUNCIADO

Está diseñando un despliegue para una misión internacional. La figura de esta página muestra 20 posibles localizaciones donde colocar los polvorines que alojarán las municiones y otro material peligroso necesarios para la misión. (La matriz de distancias entre localizaciones se da en el fichero de datos del problema).

Dada la naturaleza del material que contendrán dichos polvo-rines, se pretende que la distancia entre ellos sea la máxima posible para minimizar la posibilidad de que una explosión accidental en uno de ellos cause, por simpatía, una deflagración en cadena del resto.


1) Elija las 5 localizaciones para otros tantos polvorines tales que la distancia mínimaentre cualesquiera de ellos sea lo mayor posible. Escriba la forma compacta del pro-blema.


SOLUCIÓN

Se trata de un problema tipo P-Dispersión. La formulación es la siguiente:

1. ÍNDICES y CONJUNTOS i,jL Localizaciones, L = {L1…, L20}

2. DATOS dij Elemento de la matriz de distancias entre la localización i y la j p Número de polvorines a desplegar M Un número entero suficientemente grande

3. VARIABLES Yi Binaria. Valor 1 si la localización i alberga un polvorín Z Relacionada con el minimax

4. FORMA COMPACTA

Li1;0Y

LjiZY1Y11d

LipY

.a.sZ

max

i

jiij

Lii

MM

La función objetivo responde al planteamiento minimax; la primera restricción impone que no se desplieguen más unidades de las posibles y la tercera determina el carácter binario de la única variable de decisión. Es importante señalar que la segunda restricción impone un dominio de j solo para valores estrictamente mayores que i y que se aplica solo cuando en am-bas localizaciones hay un polvorín, obligando a que la distancia entre ellos sea lo mayor posible. Puesto que Yi, Yj valen 1, solo en el caso de que ambas sedes (i,j) estén habilitadas, la restric-ción hace que solo se active para casos en que ambos valores son la unidad.

ActivaZd1Y1Y

Z

Z1d1Y0Y

Z1d0Y1Y

Z21d0Y0Y

JjiZY1Y11d

ijji

aDesactivadijji

ijji

ijji

jiij

M

M

M

MM

La consideración triangular de la matriz de distancias dij de la forma compacta original puede simplificarse si se adapta a las particularidades de la hoja de cálculo de la forma siguien-te:

Ji1;0YJidJj;iZY1Y11d

pY

.a.sZ

max

i

ii

jiij

Jii

MMM


SOLUCIÓN

Se trata de un problema tipo P-Dispersión. La formulación es la siguiente:

1. ÍNDICES y CONJUNTOS i,jL Localizaciones, L = {L1…, L20}

2. DATOS dij Elemento de la matriz de distancias entre la localización i y la j p Número de polvorines a desplegar M Un número entero suficientemente grande

3. VARIABLES Yi Binaria. Valor 1 si la localización i alberga un polvorín Z Relacionada con el minimax

4. FORMA COMPACTA

Li1;0Y

LjiZY1Y11d

LipY

.a.sZ

max

i

jiij

Lii

MM

La función objetivo responde al planteamiento minimax; la primera restricción impone que no se desplieguen más unidades de las posibles y la tercera determina el carácter binario de la única variable de decisión. Es importante señalar que la segunda restricción impone un dominio de j solo para valores estrictamente mayores que i y que se aplica solo cuando en am-bas localizaciones hay un polvorín, obligando a que la distancia entre ellos sea lo mayor posible. Puesto que Yi, Yj valen 1, solo en el caso de que ambas sedes (i,j) estén habilitadas, la restric-ción hace que solo se active para casos en que ambos valores son la unidad.

ActivaZd1Y1Y

Z

Z1d1Y0Y

Z1d0Y1Y

Z21d0Y0Y

JjiZY1Y11d

ijji

aDesactivadijji

ijji

ijji

jiij

M

M

M

MM

La consideración triangular de la matriz de distancias dij de la forma compacta original puede simplificarse si se adapta a las particularidades de la hoja de cálculo de la forma siguien-te:


pY

.a.sZ

max

i

ii

jiij

Jii

MMM

El menú de Solver para la formulación original, de carácter triangular, sería el siguiente:




Una manera alternativa, más cómoda, ya que no tendremos que introducir las restric-ciones minimax refiriéndonos a cada columna de la matriz triangular, pasa por cambiar las dis-tancias di,j haciéndolas suficientemente grandes, construir la matriz de restricciones no de forma triangular, sino completa y referirnos a dicha matriz completa en la restricción.

La matriz de distancias quedaría de la forma:

1 2 3 4 5 6 1 99,0 44,3 52,4 64,0 49,5 23,1 2 44,3 99,0 16,0 36,1 60,2 54,5 3 52,4 16,0 99,0 20,2 53,5 67,0 4 64,0 36,1 20,2 99,0 47,0 82,3 5 49,5 60,2 53,5 47,0 99,0 72,6 6 23,1 54,5 67,0 82,3 72,6 99,0



Una manera alternativa, más cómoda, ya que no tendremos que introducir las restric-ciones minimax refiriéndonos a cada columna de la matriz triangular, pasa por cambiar las dis-tancias di,j haciéndolas suficientemente grandes, construir la matriz de restricciones no de forma triangular, sino completa y referirnos a dicha matriz completa en la restricción.

La matriz de distancias quedaría de la forma:

1 2 3 4 5 6 1 99,0 44,3 52,4 64,0 49,5 23,1 2 44,3 99,0 16,0 36,1 60,2 54,5 3 52,4 16,0 99,0 20,2 53,5 67,0 4 64,0 36,1 20,2 99,0 47,0 82,3 5 49,5 60,2 53,5 47,0 99,0 72,6 6 23,1 54,5 67,0 82,3 72,6 99,0

Siendo Rest la matriz completa a la que se refiere la restricción minimax.


pY

.a.sZ

max

i

ii

jiij

Jii

MMM


7.22 MEDEVACS en acción (2/OS/LOC) ENUNCIADO

La figura de esta página muestra una descripción esquemática de un teatro de operaciones que contiene varios tipos de elementos:

20 posiciones avanzadas (cuadrados rojos numerados delP1 al P20) en los que nuestras fuerzas pueden requerirevacuaciones médicas.

16 posibles asentamientos para bases intermedias (círcu-los azules numerados del B1 al B16) desde las cuales po-drían operar helicópteros medicalizados que atenderían losrequerimientos de evacuación realizados desde las posicio-nes anteriores.

7 posibles asentamientos (rombos verdes numerados delH1 al H7) en los que se podrían habilitar hospitales a los que se trasladarían las bajas pro-ducidas en las posiciones adelantadas.

El proceso de evacuación es sencillo:

A cada posición se le ha asignado una base intermedia. A cada base intermedia se le haasignado un hospital.

Cuando en una posición avanzada se produce una baja que requiere su traslado a unhospital, desde la base intermedia que se le haya asignado despega un helicóptero me-dicalizado con destino a dicha posición.,

El helicóptero recoge al herido y lo traslada al hospital que la base intermedia tieneasignada. Realizado el traslado, el helicóptero regresa a la base desde la que partió.


7.22 MEDEVACS en acción (2/OS/LOC) ENUNCIADO

La figura de esta página muestra una descripción esquemática de un teatro de operaciones que contiene varios tipos de elementos:

20 posiciones avanzadas (cuadrados rojos numerados delP1 al P20) en los que nuestras fuerzas pueden requerirevacuaciones médicas.

16 posibles asentamientos para bases intermedias (círcu-los azules numerados del B1 al B16) desde las cuales po-drían operar helicópteros medicalizados que atenderían losrequerimientos de evacuación realizados desde las posicio-nes anteriores.

7 posibles asentamientos (rombos verdes numerados delH1 al H7) en los que se podrían habilitar hospitales a los que se trasladarían las bajas pro-ducidas en las posiciones adelantadas.

El proceso de evacuación es sencillo:

A cada posición se le ha asignado una base intermedia. A cada base intermedia se le haasignado un hospital.

Cuando en una posición avanzada se produce una baja que requiere su traslado a unhospital, desde la base intermedia que se le haya asignado despega un helicóptero me-dicalizado con destino a dicha posición.,

El helicóptero recoge al herido y lo traslada al hospital que la base intermedia tieneasignada. Realizado el traslado, el helicóptero regresa a la base desde la que partió.

Las distancias que deben recorrerse en el proceso de evacuación son, en la secuencia en que se producen, las siguientes:

dBP: distancia entre base y posición dPH: distancia entre posición y hospital dHB: distancia entre hospital y base

Los valores de las distancias son conocidos y se dan (completos) en el enunciado Excel del problema:

Posiciones avanzadas dij P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 P13 P14 P15 P16 P17 P18 P19 P20

Base

s int

erm

edias

B1 45 52 34 64 45 36 37 64 64 57 53 72 46 59 55 42 49 54 51 42 B2 35 66 37 84 59 33 52 51 53 52 43 89 57 66 42 48 43 71 48 42 B3 49 44 33 53 37 38 29 68 66 59 56 62 39 54 60 39 51 44 51 42 B4 60 22 38 26 17 46 16 76 72 61 65 34 25 40 71 34 57 16 51 44 B5 60 48 43 50 41 48 35 79 77 69 67 62 46 61 71 47 62 45 61 52 B6 55 35 35 40 28 42 22 73 71 61 61 50 33 49 66 37 55 32 52 44 B7 64 32 42 30 28 50 24 81 78 67 69 43 35 50 75 41 62 26 58 50 B8 41 61 36 76 54 35 46 58 60 56 48 82 53 64 49 46 47 64 51 43 B9 45 32 25 46 25 32 17 63 60 51 51 52 27 42 56 28 44 34 42 33

B10 36 29 14 50 21 22 14 53 50 40 41 51 20 33 47 17 34 34 31 23 B11 75 43 55 31 39 62 37 93 90 80 81 49 47 62 86 54 74 35 70 62 B12 27 43 16 64 36 16 29 46 45 38 34 66 34 44 38 26 30 49 31 23 B13 24 60 28 82 53 23 46 40 42 40 31 83 50 57 31 40 32 67 38 32 B14 14 55 21 80 49 14 43 31 32 30 21 78 44 48 22 32 21 63 28 23 B15 71 29 48 18 27 57 27 87 83 72 75 33 35 49 81 44 68 19 62 55

Hospitales dik H1 H2 H3 H4 H5 H6 H7

Posic

ione

s ava

nzad

as

P1 84 72 66 57 60 70 58 P2 68 68 79 50 84 50 64 P3 68 59 61 42 60 52 48 P4 59 67 86 55 95 45 71 P5 63 61 72 43 76 44 57 P6 73 62 60 46 57 57 50 P7 58 54 65 36 69 39 50 P8 ## 90 83 76 74 88 76 P9 ## 90 85 75 78 86 77

P10 94 84 81 67 76 77 71 P11 91 79 74 64 67 77 66 P12 78 82 97 66 ## 61 82 P13 69 65 74 47 76 50 59 P14 84 80 87 62 87 66 73 P15 94 82 74 68 66 81 68 P16 72 65 70 47 70 54 56 P17 86 76 72 60 67 71 63 P18 62 64 79 48 86 44 64 P19 85 76 76 59 72 69 65 P20 76 67 68 50 66 60 56


Bases intermedias dkj B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15

Hosp

itales

H1 40 61 35 47 25 35 36 50 44 55 29 57 66 72 44 H2 27 45 26 48 20 33 39 34 38 48 36 46 52 59 49 H3 28 32 36 64 36 47 56 26 47 54 57 45 43 53 68 H4 14 37 9 33 6 16 25 26 20 30 28 30 41 46 37 H5 32 25 42 71 46 55 65 24 52 56 69 44 36 46 77 H6 30 53 21 29 10 17 18 42 27 38 15 43 56 60 28 H7 14 29 20 48 21 32 41 19 32 40 43 34 37 45 53

Otros condicionantes del problema son los siguientes:

El número máximo de hospitales que se pueden habilitar es 2. El número máximo de bases intermedias que se pueden habilitar es 3. El número máximo de posiciones que pueden estar asignadas a una base es 7. El número máximo de posiciones que pueden estar asignadas a un hospital es 10. El número máximo de bases que pueden estar asignadas a un hospital es 4.


1) Determine:

a) Cuántas bases intermedias y cuántos hospitales es necesario habilitar y enqué localizaciones deben situarse.

b) Desde qué bases deben despegar los helicópteros para atender peticionesque se produzcan en cada posición. Hacia qué hospital dirigirse desde unaposición.

La asignación debe ser tal que la distancia ponderada recorrida, desde todas las po-siciones, al efectuar una evacuación, sea la mínima posible. Para ponderar las dis-tancias se usarán los pesos BP y PH.


Bases intermedias dkj B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15

Hosp

itales

H1 40 61 35 47 25 35 36 50 44 55 29 57 66 72 44 H2 27 45 26 48 20 33 39 34 38 48 36 46 52 59 49 H3 28 32 36 64 36 47 56 26 47 54 57 45 43 53 68 H4 14 37 9 33 6 16 25 26 20 30 28 30 41 46 37 H5 32 25 42 71 46 55 65 24 52 56 69 44 36 46 77 H6 30 53 21 29 10 17 18 42 27 38 15 43 56 60 28 H7 14 29 20 48 21 32 41 19 32 40 43 34 37 45 53

Otros condicionantes del problema son los siguientes:

El número máximo de hospitales que se pueden habilitar es 2. El número máximo de bases intermedias que se pueden habilitar es 3. El número máximo de posiciones que pueden estar asignadas a una base es 7. El número máximo de posiciones que pueden estar asignadas a un hospital es 10. El número máximo de bases que pueden estar asignadas a un hospital es 4.


1) Determine:

a) Cuántas bases intermedias y cuántos hospitales es necesario habilitar y enqué localizaciones deben situarse.

b) Desde qué bases deben despegar los helicópteros para atender peticionesque se produzcan en cada posición. Hacia qué hospital dirigirse desde unaposición.

La asignación debe ser tal que la distancia ponderada recorrida, desde todas las po-siciones, al efectuar una evacuación, sea la mínima posible. Para ponderar las dis-tancias se usarán los pesos BP y PH.

SOLUCIÓN La formulación del problema es la siguiente:

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iP Localizaciones posibles para las posiciones, P = {P1…, P20} jB Localizaciones posibles para las bases, B = {B1…, B15} kH Localizaciones posibles para los hospitales, H = {H1…, H7}

2. DATOS dij Elemento de la matriz de distancias bases-posiciones dik Elemento de la matriz de distancias hospitales-posiciones mH Número máximo de hospitales mB Número máximo de bases mPB Máximo de posiciones que pueden asignarse a una base mPH Máximo de posiciones que pueden asignarse a un hospital BP Ponderación de la distancia base-posición PH Ponderación de la distancia posición-hospital

3. VARIABLES Xpb

ij Binaria. Valor 1 si la posición i se asocia a la base j Xph

ik Binaria. Valor 1 si la posición i se asocia al hospital k Yb

j Binaria. Valor 1 si se habilita una base en la localización j Yh

z Binaria. Valor 1 si se habilita un hospital en la localización k Z Relacionada con el minimax

4. FORMA COMPACTA

Hk;Bj1;0Y;Y

Hk;Bj;Pi1;0X;X

HkmYX

mY

Pi1X

BjmYX

mY

Pi1X

.a.sdd

min

hk

bj

phik

pbij

PHhk

Pi

phik

HHk

hk

Hk

phik

PBbj

Pi

pbij

BBj

bj

Bj

pbij

PHPHBPBP


El aspecto de la hoja con una solución posible para el primer apartado es el siguiente:


El aspecto de la hoja con una solución posible para el primer apartado es el siguiente: La representación gráfica de la solución es la siguiente:


7.23 Unidad Militar de Emergencias (2/OS/LOC) ENUNCIADO

La UME ha asumido la responsabilidad de vigilar el posible rebrote de un incendio forestal de gran magnitud, ya extinguido, que ha afectado a una amplia zona del centro peninsular. Los expertos, tras analizar la orografía de la zona afectada y otras características sociodemográficas, han llegado a las siguientes conclusiones (véase la figura de esta página):

Existen 25 focos en los que podría reiniciarse el incendio (señalados me-diante un icono de llama y numerados del 1 al 25 en la figura).

Si en alguno de estos 25 focos se originase un rebrote del incendio, elprotocolo de actuación determina lo siguiente: en menos de 35 minu-tos deberá encontrarse en la zona una motobomba; en menos de 30minutos acudirá también a la zona una cuadrilla de apoyo; la moto-bomba no acudirá al foco si no es posible que acuda también la cuadrillaen el tiempo señalado.

Existen 20 posibles localizaciones (señaladas en el mapa mediante círculos azules) paradesplegar los medios necesarios: motobombas y cuadrillas de apoyo. Únicamente se dis-pone de pA motobombas y de pB cuadrillas de apoyo.

Cada uno de los 25 focos en los que el incendio puede rebrotar tiene un índice de peli-grosidad (PEL) diferente (que se da en el fichero de datos). Este índice, que es más altocuanto más peligroso sería el rebrote del incendio, deberá usarse para ponderar los diferen-tes despliegues.

Realice las siguientes actividades: 1) Determine en qué localizaciones es necesario colocar cada uno de los equipos de

apoyo para que la cobertura, ponderada por la peligrosidad de los focos, sea la má-xima posible.


7.23 Unidad Militar de Emergencias (2/OS/LOC) ENUNCIADO

La UME ha asumido la responsabilidad de vigilar el posible rebrote de un incendio forestal de gran magnitud, ya extinguido, que ha afectado a una amplia zona del centro peninsular. Los expertos, tras analizar la orografía de la zona afectada y otras características sociodemográficas, han llegado a las siguientes conclusiones (véase la figura de esta página):

Existen 25 focos en los que podría reiniciarse el incendio (señalados me-diante un icono de llama y numerados del 1 al 25 en la figura).

Si en alguno de estos 25 focos se originase un rebrote del incendio, elprotocolo de actuación determina lo siguiente: en menos de 35 minu-tos deberá encontrarse en la zona una motobomba; en menos de 30minutos acudirá también a la zona una cuadrilla de apoyo; la moto-bomba no acudirá al foco si no es posible que acuda también la cuadrillaen el tiempo señalado.

Existen 20 posibles localizaciones (señaladas en el mapa mediante círculos azules) paradesplegar los medios necesarios: motobombas y cuadrillas de apoyo. Únicamente se dis-pone de pA motobombas y de pB cuadrillas de apoyo.

Cada uno de los 25 focos en los que el incendio puede rebrotar tiene un índice de peli-grosidad (PEL) diferente (que se da en el fichero de datos). Este índice, que es más altocuanto más peligroso sería el rebrote del incendio, deberá usarse para ponderar los diferen-tes despliegues.

Realice las siguientes actividades: 1) Determine en qué localizaciones es necesario colocar cada uno de los equipos de

apoyo para que la cobertura, ponderada por la peligrosidad de los focos, sea la má-xima posible.


Se trata de un problema de cobertura máxima (de dos equipos) cuya formulación es la siguiente:

1. ÍNDICES y CONJUNTOS iL Localizaciones posibles para los equipos, L = {L1…, L20} jF Focos en los que podría producirse un rebrote, F = {F1…, F25}

2. DATOS aij Elemento de la matriz de cobertura de equipos A (motobombas) bij Elemento de la matriz de cobertura de equipos B (cuadrillas) pA Número máximo de equipos A pB Número máximo de equipos B hj Peligrosidad del foco i

3. VARIABLES XA

i Binaria. Valor 1 si se despliega un equipo A en la localización j XB

i Binaria. Valor 1 si se despliega un equipo B en la localización j Yj Binaria. 1 si el foco j está cubierto por ambos tipos de equipos

4. FORMA COMPACTA

Fj1;0Y

Pi1;0X;X

pX

pX

FjYXb

FjYXa

.a.s

Yh

max

j

Bi

Ai

BLi

Bi

ALi

Ai

jLi

Biij

jLi

Aiij

jjj


El aspecto de la hoja de cálculo con la solución del problema es la siguiente:

El aspecto de la hoja de cálculo con la solución del problema es el siguiente:


El aspecto de la hoja de cálculo con la solución del problema es la siguiente:

El aspecto de la hoja de cálculo con la solución del problema es el siguiente:

El despliegue de las motobombas (equipo A) y de las cuadrillas (equipo B) es el siguiente:


8 CLASIFICACIÓN DE LOS PROBLEMAS 8.1 Relación de problemas por orden alfabético

Título Pág. Descriptor DIF EPI RAMA ¿Tenemos un plan B? 404 (2/OS/RED) 2 OS RED Asignación arma-blanco. Varias armas vs. un blanco 207 (2/ST/PLE) 2 ST PLE Asignación arma-blanco. Varias armas vs. varios blancos 212 (2/SO/PLE) 2 SO PLE Asignación de blancos 201 (1/SO/PLE) 1 SO PLE Asignación de defensas antimisil 385 (2/SO/PLE) 2 SO PLE Asignación de vuelos 204 (1/SO/PLE) 1 SO PLE Ataque a un objetivo con defensas desconocidas 237 (2/SO/PLE) 2 SO PLE Ataque a un objetivo terrestre 290 (3/ST/RED) 3 ST RED Ataque a varios objetivos 259 (2/SO/PLE) 2 SO PLE Ataque con condiciones lógicas_1 250 (2/SO/PLE) 2 SO PLE Ataque con condiciones lógicas_2 254 (3/SO/PLE) 3 SO PLE Campaña aérea 268 (3/OS/PLE) 3 OS PLE Carga de aviones 193 (1/SO/PLG) 1 SO PLG Comisión de oficiales 110 (2/SO/PLE) 2 SO PLE Compra de JP8 para las aeronaves del EA 70 (2/SO/PLG) 2 SO PLG Configuración de una plataforma aérea 223 (1/SO/PLE) 1 SO PLE Control del espacio aéreo 461 (2/OS/LOC) 2 OS LOC Creación de una comisión de alumnos 96 (2/SO/PLE) 2 SO PLE Decisión militar en ausencia de información 376 (2/SO/PLG) 2 SO PLG Decisiones con criterio basado en la prudencia 244 (2/SO/PLE) 2 SO PLE Desactivación de IED 420 (2/OS/RED) 2 OS RED Desplazamiento de tropas 429 (2/SO/RED) 2 SO RED Despliegue a bases avanzadas 172 (2/OS/RED) 2 OS RED Despliegue de equipos 138 (3/OS/PLE) 3 OS PLE Despliegue de sistemas de defensa superficie aire 475 (2/SO/LOC) 2 SO LOC Despliegue de unidades aéreas 297 (2/SO/RED) 2 SO RED Detección de objetivo en movimiento 343 (3/OS/RED) 3 OS RED Diseño de una breve campaña aérea 286 (2/SO/RED) 2 SO RED El Camino Español 165 (2/OS/RED) 2 OS RED El galonista prudente 93 (1/SO/PLE) 1 SO PLE Evacuación de fuerzas de operaciones especiales 338 (2/ST/LOC) 2 ST LOC Flota de vehículos acorazados 79 (2/SO/PLE) 2 SO PLE Impacto del precio del JP8 en las unidades aéreas 74 (2/ST/PLG) 2 ST PLG Inhabilitación de nodos en una red logística 301 (2/ST/RED) 2 ST RED Instalación de centrales de comunicación de campaña 470 (2/SO/LOC) 2 SO LOC Instalación de medios DQCI 454 (2/OS/LOC) 2 OS LOC Instrucción del JEMA 22 (2/SO/PLE) 2 SO PLE Interdicción de la red de ferrocarril soviética 316 (3/OS/RED) 3 OS RED Interdicción óptima en red no dirigida 321 (1/ST/RED) 1 ST RED Inversión en programas de defensa 83 (2/SO/PLE) 2 SO PLE Kit de despliegue 145 (2/SO/PLE) 2 SO PLE La batalla de las Ardenas 310 (2/SO/RED) 2 SO RED Localización de polvorines en un despliegue 491 (2/OS/LOC) 2 OS LOC MAESMA se reorganiza 50 (2/SO/LOC) 2 SO LOC MEDEVACS en acción 496 (2/OS/LOC) 2 OS LOC Mejora de una red logística 154 (2/SO/RED) 2 SO RED


8 CLASIFICACIÓN DE LOS PROBLEMAS 8.1 Relación de problemas por orden alfabético

Título Pág. Descriptor DIF EPI RAMA ¿Tenemos un plan B? 404 (2/OS/RED) 2 OS RED Asignación arma-blanco. Varias armas vs. un blanco 207 (2/ST/PLE) 2 ST PLE Asignación arma-blanco. Varias armas vs. varios blancos 212 (2/SO/PLE) 2 SO PLE Asignación de blancos 201 (1/SO/PLE) 1 SO PLE Asignación de defensas antimisil 385 (2/SO/PLE) 2 SO PLE Asignación de vuelos 204 (1/SO/PLE) 1 SO PLE Ataque a un objetivo con defensas desconocidas 237 (2/SO/PLE) 2 SO PLE Ataque a un objetivo terrestre 290 (3/ST/RED) 3 ST RED Ataque a varios objetivos 259 (2/SO/PLE) 2 SO PLE Ataque con condiciones lógicas_1 250 (2/SO/PLE) 2 SO PLE Ataque con condiciones lógicas_2 254 (3/SO/PLE) 3 SO PLE Campaña aérea 268 (3/OS/PLE) 3 OS PLE Carga de aviones 193 (1/SO/PLG) 1 SO PLG Comisión de oficiales 110 (2/SO/PLE) 2 SO PLE Compra de JP8 para las aeronaves del EA 70 (2/SO/PLG) 2 SO PLG Configuración de una plataforma aérea 223 (1/SO/PLE) 1 SO PLE Control del espacio aéreo 461 (2/OS/LOC) 2 OS LOC Creación de una comisión de alumnos 96 (2/SO/PLE) 2 SO PLE Decisión militar en ausencia de información 376 (2/SO/PLG) 2 SO PLG Decisiones con criterio basado en la prudencia 244 (2/SO/PLE) 2 SO PLE Desactivación de IED 420 (2/OS/RED) 2 OS RED Desplazamiento de tropas 429 (2/SO/RED) 2 SO RED Despliegue a bases avanzadas 172 (2/OS/RED) 2 OS RED Despliegue de equipos 138 (3/OS/PLE) 3 OS PLE Despliegue de sistemas de defensa superficie aire 475 (2/SO/LOC) 2 SO LOC Despliegue de unidades aéreas 297 (2/SO/RED) 2 SO RED Detección de objetivo en movimiento 343 (3/OS/RED) 3 OS RED Diseño de una breve campaña aérea 286 (2/SO/RED) 2 SO RED El Camino Español 165 (2/OS/RED) 2 OS RED El galonista prudente 93 (1/SO/PLE) 1 SO PLE Evacuación de fuerzas de operaciones especiales 338 (2/ST/LOC) 2 ST LOC Flota de vehículos acorazados 79 (2/SO/PLE) 2 SO PLE Impacto del precio del JP8 en las unidades aéreas 74 (2/ST/PLG) 2 ST PLG Inhabilitación de nodos en una red logística 301 (2/ST/RED) 2 ST RED Instalación de centrales de comunicación de campaña 470 (2/SO/LOC) 2 SO LOC Instalación de medios DQCI 454 (2/OS/LOC) 2 OS LOC Instrucción del JEMA 22 (2/SO/PLE) 2 SO PLE Interdicción de la red de ferrocarril soviética 316 (3/OS/RED) 3 OS RED Interdicción óptima en red no dirigida 321 (1/ST/RED) 1 ST RED Inversión en programas de defensa 83 (2/SO/PLE) 2 SO PLE Kit de despliegue 145 (2/SO/PLE) 2 SO PLE La batalla de las Ardenas 310 (2/SO/RED) 2 SO RED Localización de polvorines en un despliegue 491 (2/OS/LOC) 2 OS LOC MAESMA se reorganiza 50 (2/SO/LOC) 2 SO LOC MEDEVACS en acción 496 (2/OS/LOC) 2 OS LOC Mejora de una red logística 154 (2/SO/RED) 2 SO RED

Título Pág. Descriptor DIF EPI RAMA Modelo de Wood-Kennedy con atrición 328 (2/OS/RED) 2 OS RED Modelo simple atacante-defensor-atacante 273 (3/OS/PLE) 3 OS PLE Necesidades de operadores de mando y control 104 (2/SO/PLE) 2 SO PLE Organización del tráfico rodado 179 (3/OS/RED) 3 OS RED Piloto derribado 278 (2/SO/RED) 2 SO RED Pilotos aliados en la batalla de Inglaterra 114 (3/SO/PLE) 3 SO PLE Plan de contratación en MAESMA 26 (3/OS/PLE) 3 OS PLE Plan de mantenimiento de un escuadrón de FFAA 34 (2/OS/PLE) 2 OS PLE Plan logístico de una operación anfibia 432 (3/OS/RED) 3 OS RED Planificación de misiones en el ALA 35 120 (2/OS/PLE) 2 OS PLE Planificación de vuelos 233 (2/SO/PLE) 2 SO PLE Planificación del mantenimiento de un escuadrón de FFAA 56 (4/OS/PLE) 4 OS PLE Planificación óptima de una misión aire-tierra 352 (3/SO/PLE) 3 SO PLE Puestos medicalizados en una zona de operaciones 444 (2/SO/LOC) 2 SO LOC Reclutamiento de tropas 99 (2/SO/PLE) 2 SO PLE Recogida y escolta a un diplomático 393 (2/SO/RED) 2 SO RED Repatriación de material tras el repliegue en una misión 133 (2/OS/PLE) 2 OS PLE Ruta más segura 390 (1/SO/RED) 1 SO RED Ruta óptima de un UAV 400 (2/SO/RED) 2 SO RED Rutas de ataque 283 (2/SO/RED) 2 SO RED Secuenciación de misiones aéreas 226 (2/OS/PLE) 2 OS PLE Sistema genérico de defensa antiaérea_1 485 (2/OS/LOC) 2 OS LOC Sistema genérico de defensa antiaérea_2 489 (2/OS/LOC) 2 OS LOC Supervivencia de una red de telecomunicaciones 416 (3/OS/RED) 3 OS RED Tareas de mantenimiento operativo en MAESE 13 (3/SO/PLE) 3 SO PLE Tareas en MAESAL 2 (1/SO/PLG) 1 SO PLG Trabajo inesperado en el CLOTRA 9 (1/SO/PLE) 1 SO PLE Transporte desde fuentes no fiables 160 (2/SO/PLE) 2 SO PLE Un problema de despliegue de unidades 373 (2/SO/PLG) 2 SO PLG Una primera aproximación al Plan de Acción del EA 197 (1/SO/PLG) 1 SO PLG Unidad Militar de Emergencias 503 (2/OS/LOC) 2 OS LOC Video vigilancia de un acuartelamiento 440 (1/OS/LOC) 1 OS LOC Visita de inspección a 36 destacamentos 410 (3/OS/RED) 3 OS RED


8.2 Relación de problemas por dificultad

DIFICULTAD: BAJA Título del problema Pág. Descriptor Tareas en MAESAL 2 (1/SO/PLG)

Trabajo inesperado en el CLOTRA 9 (1/SO/PLE) El galonista prudente 93 (1/SO/PLE)

Carga de aviones 193 (1/SO/PLG) Una primera aproximación al Plan de Acción del EA 197 (1/SO/PLG)

Asignación de blancos 201 (1/SO/PLE) Asignación de vuelos 204 (1/SO/PLE)

Configuración de una plataforma aérea 223 (1/SO/PLE) Interdicción óptima en red no dirigida 321 (1/ST/RED)

Ruta más segura_1 390 (1/SO/RED) Video vigilancia de un acuartelamiento 440 (1/OS/LOC)

DIFICULTAD: MEDIA Título del problema Pág. Descriptor Instrucción del JEMA 22 (2/SO/PLE)

Plan de mantenimiento de un escuadrón de FFAA 34 (2/OS/PLE) MAESMA se reorganiza 50 (2/SO/LOC)

Compra de JP8 para las aeronaves del EA 70 (2/SO/PLG) Impacto del precio del JP8 en las unidades aéreas 74 (2/ST/PLG)

Flota de vehículos acorazados 79 (2/SO/PLE) Inversión en programas de defensa 83 (2/SO/PLE)

Creación de una comisión de alumnos 96 (2/SO/PLE) Reclutamiento de tropas 99 (2/SO/PLE)

Necesidades de operadores de mando y control 104 (2/SO/PLE) Comisión de oficiales 110 (2/SO/PLE)

Planificación de misiones en el ALA 35 120 (2/OS/PLE) Repatriación de material tras el repliegue en una misión 133 (2/OS/PLE)

Kit de despliegue 145 (2/SO/PLE) Mejora de una red logística 154 (2/SO/RED)

Transporte desde fuentes no fiables 160 (2/SO/PLE) El Camino Español 165 (2/OS/RED)

Despliegue a bases avanzadas 172 (2/OS/RED) Asignación arma-blanco. Varias armas vs. un blanco 207 (2/ST/PLE)

Asignación arma-blanco. Varias armas vs. varios blancos 212 (2/SO/PLE) Secuenciación de misiones aéreas 226 (2/OS/PLE)

Planificación de vuelos 233 (2/SO/PLE) Ataque a un objetivo con defensas desconocidas 237 (2/SO/PLE)

Decisiones con criterio basado en la prudencia 244 (2/SO/PLE) Ataque con condiciones lógicas_1 250 (2/SO/PLE)

Ataque a varios objetivos 259 (2/SO/PLE) Piloto derribado 278 (2/SO/RED)

Rutas de ataque 283 (2/SO/RED) Diseño de una breve campaña aérea 286 (2/SO/RED)

Despliegue de unidades aéreas 297 (2/SO/RED) Inhabilitación de nodos en una red logística 301 (2/ST/RED)

La batalla de las Ardenas 310 (2/SO/RED) Modelo de Wood-Kennedy con atrición 328 (2/OS/RED)

Evacuación de fuerzas de operaciones especiales 338 (2/ST/LOC) Un problema de despliegue de unidades 373 (2/SO/PLG)

Decisión militar en ausencia de información 376 (2/SO/PLG)


8.2 Relación de problemas por dificultad

DIFICULTAD: BAJA Título del problema Pág. Descriptor Tareas en MAESAL 2 (1/SO/PLG)

Trabajo inesperado en el CLOTRA 9 (1/SO/PLE) El galonista prudente 93 (1/SO/PLE)



Configuración de una plataforma aérea 223 (1/SO/PLE) Interdicción óptima en red no dirigida 321 (1/ST/RED)

Ruta más segura_1 390 (1/SO/RED) Video vigilancia de un acuartelamiento 440 (1/OS/LOC)

DIFICULTAD: MEDIA Título del problema Pág. Descriptor Instrucción del JEMA 22 (2/SO/PLE)

Plan de mantenimiento de un escuadrón de FFAA 34 (2/OS/PLE) MAESMA se reorganiza 50 (2/SO/LOC)


Flota de vehículos acorazados 79 (2/SO/PLE) Inversión en programas de defensa 83 (2/SO/PLE)



Planificación de misiones en el ALA 35 120 (2/OS/PLE) Repatriación de material tras el repliegue en una misión 133 (2/OS/PLE)

Kit de despliegue 145 (2/SO/PLE) Mejora de una red logística 154 (2/SO/RED)

Transporte desde fuentes no fiables 160 (2/SO/PLE) El Camino Español 165 (2/OS/RED)

Despliegue a bases avanzadas 172 (2/OS/RED) Asignación arma-blanco. Varias armas vs. un blanco 207 (2/ST/PLE)

Asignación arma-blanco. Varias armas vs. varios blancos 212 (2/SO/PLE) Secuenciación de misiones aéreas 226 (2/OS/PLE)


Decisiones con criterio basado en la prudencia 244 (2/SO/PLE) Ataque con condiciones lógicas_1 250 (2/SO/PLE)

Ataque a varios objetivos 259 (2/SO/PLE) Piloto derribado 278 (2/SO/RED)

Rutas de ataque 283 (2/SO/RED) Diseño de una breve campaña aérea 286 (2/SO/RED)


La batalla de las Ardenas 310 (2/SO/RED) Modelo de Wood-Kennedy con atrición 328 (2/OS/RED)

Evacuación de fuerzas de operaciones especiales 338 (2/ST/LOC) Un problema de despliegue de unidades 373 (2/SO/PLG)

Decisión militar en ausencia de información 376 (2/SO/PLG)

DIFICULTAD: MEDIA Asignación de defensas antimisil 385 (2/SO/PLE)

Recogida y escolta a un diplomático 393 (2/SO/RED) Ruta óptima de un UAV 400 (2/SO/RED)

¿Tenemos un plan B? 404 (2/OS/RED) Desactivación de IED 420 (2/OS/RED)

Desplazamiento de tropas 429 (2/SO/RED) Puestos medicalizados en una zona de operaciones 444 (2/SO/LOC)

Instalación de medios DQCI 454 (2/OS/LOC) Control del espacio aéreo 461 (2/OS/LOC)

Instalación de centrales de comunicación de campaña 470 (2/SO/LOC) Despliegue de sistemas de defensa superficie aire 475 (2/SO/LOC)

Sistema genérico de defensa antiaérea_1 485 (2/OS/LOC) Sistema genérico de defensa antiaérea_2 489 (2/OS/LOC)

Localización de polvorines en un despliegue 491 (2/OS/LOC) MEDEVACS en acción 496 (2/OS/LOC)

Unidad Militar de Emergencias 503 (2/OS/LOC)


DIFICULTAD: ALTA Título del problema Pág. Descriptor

Tareas de mantenimiento operativo en MAESE 13 (3/SO/PLE) Plan de contratación en MAESMA 26 (3/OS/PLE)

Pilotos aliados en la batalla de Inglaterra 114 (3/SO/PLE) Despliegue de equipos 138 (3/OS/PLE)

Organización del tráfico rodado 179 (3/OS/RED) Ataque con condiciones lógicas_2 254 (3/SO/PLE)

Campaña aérea 268 (3/OS/PLE) Modelo simple atacante-defensor-atacante 273 (3/OS/PLE)

Ataque a un objetivo terrestre 290 (3/ST/RED) Interdicción de la red de ferrocarril soviética 316 (3/OS/RED)

Detección de objetivo en movimiento 343 (3/OS/RED) Planificación óptima de una misión aire-tierra 352 (3/SO/PLE)

Visita de inspección a 36 destacamentos 410 (3/OS/RED) Supervivencia de una red de telecomunicaciones 416 (3/OS/RED)

Plan logístico de una operación anfibia 432 (3/OS/RED) Tareas de mantenimiento operativo en MAESE 13 (3/SO/PLE)

Plan de contratación en MAESMA 26 (3/OS/PLE) Pilotos aliados en la batalla de Inglaterra 114 (3/SO/PLE)

Despliegue de equipos 138 (3/OS/PLE) Organización del tráfico rodado 179 (3/OS/RED)

Ataque con condiciones lógicas_2 254 (3/SO/PLE) Campaña aérea 268 (3/OS/PLE)

DIFICULTAD: MUY ALTA Título del problema Pág. Descriptor

Planificación del mantenimiento de un escuadrón de FFAA 56 (4/OS/PLE)


DIFICULTAD: ALTA Título del problema Pág. Descriptor

Tareas de mantenimiento operativo en MAESE 13 (3/SO/PLE) Plan de contratación en MAESMA 26 (3/OS/PLE)

Pilotos aliados en la batalla de Inglaterra 114 (3/SO/PLE) Despliegue de equipos 138 (3/OS/PLE)

Organización del tráfico rodado 179 (3/OS/RED) Ataque con condiciones lógicas_2 254 (3/SO/PLE)

Campaña aérea 268 (3/OS/PLE) Modelo simple atacante-defensor-atacante 273 (3/OS/PLE)

Ataque a un objetivo terrestre 290 (3/ST/RED) Interdicción de la red de ferrocarril soviética 316 (3/OS/RED)

Detección de objetivo en movimiento 343 (3/OS/RED) Planificación óptima de una misión aire-tierra 352 (3/SO/PLE)

Visita de inspección a 36 destacamentos 410 (3/OS/RED) Supervivencia de una red de telecomunicaciones 416 (3/OS/RED)

Plan logístico de una operación anfibia 432 (3/OS/RED) Tareas de mantenimiento operativo en MAESE 13 (3/SO/PLE)

Plan de contratación en MAESMA 26 (3/OS/PLE) Pilotos aliados en la batalla de Inglaterra 114 (3/SO/PLE)

Despliegue de equipos 138 (3/OS/PLE) Organización del tráfico rodado 179 (3/OS/RED)

Ataque con condiciones lógicas_2 254 (3/SO/PLE) Campaña aérea 268 (3/OS/PLE)

DIFICULTAD: MUY ALTA Título del problema Pág. Descriptor

Planificación del mantenimiento de un escuadrón de FFAA 56 (4/OS/PLE)

8.3 Relación de problemas por rama

PROGRAMACIÓN LINEAL GENERAL Pág. Descriptor Tareas en MAESAL 2 (1/SO/PLG)



Un problema de despliegue de unidades 373 (2/SO/PLG) Decisión militar en ausencia de información 376 (2/SO/PLG)

PROGRAMACIÓN LINEAL CON NÚMEROS ENTEROS Pág. Descriptor Trabajo inesperado en el CLOTRA 9 (1/SO/PLE)

Tareas de mantenimiento operativo en MAESE 13 (3/SO/PLE) Instrucción del JEMA 22 (2/SO/PLE)

Plan de contratación en MAESMA 26 (3/OS/PLE) Plan de mantenimiento de un escuadrón de FFAA 34 (2/OS/PLE)

Planificación del mantenimiento de un escuadrón de FFAA 56 (4/OS/PLE) Flota de vehículos acorazados 79 (2/SO/PLE)

Inversión en programas de defensa 83 (2/SO/PLE) El galonista prudente 93 (1/SO/PLE)



Pilotos aliados en la batalla de Inglaterra 114 (3/SO/PLE) Planificación de misiones en el ALA 35 120 (2/OS/PLE)

Repatriación de material tras el repliegue en una misión 133 (2/OS/PLE) Despliegue de equipos 138 (3/OS/PLE)

Kit de despliegue 145 (2/SO/PLE) Transporte desde fuentes no fiables 160 (2/SO/PLE)


Asignación arma-blanco. Varias armas vs. un blanco 207 (2/ST/PLE) Asignación arma-blanco. Varias armas vs. varios blancos 212 (2/SO/PLE)

Configuración de una plataforma aérea 223 (1/SO/PLE) Secuenciación de misiones aéreas 226 (2/OS/PLE)


Decisiones con criterio basado en la prudencia 244 (2/SO/PLE) Ataque con condiciones lógicas_1 250 (2/SO/PLE) Ataque con condiciones lógicas_2 254 (3/SO/PLE)

Ataque a varios objetivos 259 (2/SO/PLE) Campaña aérea 268 (3/OS/PLE)

Modelo simple atacante-defensor-atacante 273 (3/OS/PLE) Planificación óptima de una misión aire-tierra 352 (3/SO/PLE)

OPTIMIZACIÓN EN REDES Pág. Descriptor Mejora de una red logística 154 (2/SO/RED)

El Camino Español 165 (2/OS/RED) Despliegue a bases avanzadas 172 (2/OS/RED) Organización del tráfico rodado 179 (3/OS/RED)

Piloto derribado 278 (2/SO/RED) Rutas de ataque 283 (2/SO/RED)


Diseño de una breve campaña aérea 286 (2/SO/RED) Ataque a un objetivo terrestre 290 (3/ST/RED)


La batalla de las Ardenas 310 (2/SO/RED) Interdicción de la red de ferrocarril soviética 316 (3/OS/RED)

Interdicción óptima en red no dirigida 321 (1/ST/RED) Modelo de Wood-Kennedy con atrición 328 (2/OS/RED)

Detección de objetivo en movimiento 343 (3/OS/RED) Ruta más segura 390 (1/SO/RED)


¿Tenemos un plan B? 404 (2/OS/RED) Visita de inspección a 36 destacamentos 410 (3/OS/RED)

Supervivencia de una red de telecomunicaciones 416 (3/OS/RED) Desactivación de IED 420 (2/OS/RED)

Desplazamiento de tropas 429 (2/SO/RED) Plan logístico de una operación anfibia 432 (3/OS/RED)

LOCALIZACIÓN DE INSTALACIONES Pág. Descriptor MAESMA se reorganiza 50 (2/SO/LOC)

Evacuación de fuerzas de operaciones especiales 338 (2/ST/LOC) Video vigilancia de un acuartelamiento 440 (1/OS/LOC)

Puestos medicalizados en una zona de operaciones 444 (2/SO/LOC) Instalación de medios DQCI 454 (2/OS/LOC)

Control del espacio aéreo 461 (2/OS/LOC) Instalación de centrales de comunicación de campaña 470 (2/SO/LOC)

Despliegue de sistemas de defensa superficie aire 475 (2/SO/LOC) Sistema genérico de defensa antiaérea_1 485 (2/OS/LOC) Sistema genérico de defensa antiaérea_2 489 (2/OS/LOC)




Diseño de una breve campaña aérea 286 (2/SO/RED) Ataque a un objetivo terrestre 290 (3/ST/RED)


La batalla de las Ardenas 310 (2/SO/RED) Interdicción de la red de ferrocarril soviética 316 (3/OS/RED)

Interdicción óptima en red no dirigida 321 (1/ST/RED) Modelo de Wood-Kennedy con atrición 328 (2/OS/RED)

Detección de objetivo en movimiento 343 (3/OS/RED) Ruta más segura 390 (1/SO/RED)


¿Tenemos un plan B? 404 (2/OS/RED) Visita de inspección a 36 destacamentos 410 (3/OS/RED)

Supervivencia de una red de telecomunicaciones 416 (3/OS/RED) Desactivación de IED 420 (2/OS/RED)

Desplazamiento de tropas 429 (2/SO/RED) Plan logístico de una operación anfibia 432 (3/OS/RED)

LOCALIZACIÓN DE INSTALACIONES Pág. Descriptor MAESMA se reorganiza 50 (2/SO/LOC)

Evacuación de fuerzas de operaciones especiales 338 (2/ST/LOC) Video vigilancia de un acuartelamiento 440 (1/OS/LOC)

Puestos medicalizados en una zona de operaciones 444 (2/SO/LOC) Instalación de medios DQCI 454 (2/OS/LOC)

Control del espacio aéreo 461 (2/OS/LOC) Instalación de centrales de comunicación de campaña 470 (2/SO/LOC)

Despliegue de sistemas de defensa superficie aire 475 (2/SO/LOC) Sistema genérico de defensa antiaérea_1 485 (2/OS/LOC) Sistema genérico de defensa antiaérea_2 489 (2/OS/LOC)



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Introducción a la optimización de operaciones militares

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