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INTERACCION ESTATICA SUELO ESTRUCTURA ANALISIS CON EL METODO DE ELEMENTOS FINITOS
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INTERACCION ESTATICA SUELO
ESTRUCTURA ANALISIS CON EL METODO
DE ELEMENTOS FINITOS
INTERACCION ESTATICA SUELO
ESTRUCTURA ANALISIS CON EL METODO
DE ELEMENTOS FINITOS
JUAN PABLO LEON ALVARADO
Ingeniero Civil
Graduado en la Carrera de Ingeniería Civil
Facultad de Ingenieria
Universidad Estatal de Cuenca
DIRIGIDO POR:
Ángel Julver Pino Velázquez
Ingeniero Civil, Máster en Estructuras
Universidad de Cuenca
Cuenca-Ecuador
DEDICATORIA
Para mi Esposa Priscila
Para mis hijos León Vega
PREFACIO
Al inicio los ingenieros estructurales y hasta la fecha algunos analaizan las estructuras
como si tuvieran un apoyo fijo, que no sufre asentamiento, o un asentamiento diferencial, pero
no se han tomado en consideración las fuerzas internas producto de los asentamientos producto
de la interacción suelo-estructura.
La presente tesis está encaminada para aquellos colegas que quieren incluir este efecto
en las estructuras tradicionales, además de ser un precursor de un análisis sobre rocas simples,
ya que si algún investigador quiere desarrollar el análisis para diferentes tipos de suelos, en
régimenes especiales.
Cabe indicar que los programas tradicionales ya incluyen esta situación en las
estructuras estudiadas, pero este producto es de desarrollo investigativo para desenvolver todos
los principios básicos utilizados en la interacción suelo-estructura.
Se presenta en esta tesis un valioso programa desarrollado en matlab, el cual es un
valioso aporte para los tradicionales programas de enlace de elementos isoparamétricos de
cuatro nodos, ya que la programación de estos elementos no se realiza en el pregrado por la
complejidad que representa.
Esta tesis tiene un amplio espectro, inicialmente tratamos principios básicos que se
basan en la mecánica del medio continuo, y que se aplican en la modelación de los suelos,
luego se analizan los elementos de interfase, y después se analiza la superestructura y sus
ensamblajes
El desarrollo del software es reslizado en Mat- Lab, y puede calcular estructuras
aporticadas con los elementos isoparamétricos de cuatro nodos, el suelo en cualquier
dimensión, y los ensambles de cada uno de estos a la interfase y la resolución de F=Kd.
PROLOGO
El estudio de la interacción suelo estructura, generalmente inicial con la concepción
del suelo que va a servir de cimiento, para esto el análisis de los suelos es muy extenso, ya que
se tienen diversos tipos de suelos y con comportamientos diferentes en esta obra se consideran
los suelos que consideran la ley de Hooke (rocas), Modelo Mohr-Coulomb, Suelo Endurecido,
modelos de suelos endurecidos con pequeñas deformaciones, modelo de suelo suave, estos
suelos son los principales, pero tenemos comportamientos de suelos plásticos, elásticos
hiperelasticos, hiperplásticos, y las combinaciones que nos traen extensos capítulos por
resolver.
Se tomó un suelo de comportamiento elástico lineal, para simplificar el estudio, la
superestructura se dividió en elementos isoparamétricos de cuatro nodos, y la interfase se
modeló como un elemento de ancho cero, con cuatro nodos, el desarrollo del software está
explicado en la última sección de la tesis, y su desarrollo se aplica para este problema, que es
muy común a las estructuras existentes en la actualidad.
Espero sea de un aporte valioso para seguir desarrollando estas técnicas de diseño
nuevas en si para mi desarrollo, el inicio de este estudio se puede complementar para quien
desee desarrollar programas que calculen diversos comportamientos de suelos.
AGRADECIMIENTO
A Dios sobre todas las cosas, a mi amigo Angel Julver Pino
A toda la familia
Datos de Catalogación bibliográfica
JUAN PABLO LEON ALVARADO
Interacción estática suelo-estructura análisis con el MEF
Universidad Politécnica Salesiana, Cuenca-Ecuador, 2011
Formato 170 x 240 mm Paginas 168
Breve Reseña de Autores e información de contacto
Juan Pablo León Alvarado
Ingeniero Civil, Universidad de Cuenca
Facultad de Ingenieria
e-mail: [email protected]
Ángel Julver Pino Velázquez
Ingeniero Civil, Máster en Estructuras Universidad de Cuenca Métodos Numéricos y
Análisis Estructural. Diseño Estructural de Edificaciones. Tecnologías Constructivas.
e-mail: [email protected]
INDICE
INTERACCION ESTATICA SUELO-ESTRUCTURA ANALISIS CON
EL MEF
1. INTRODUCCION
PAG
INTRODUCCION 1
ANTECEDENTES 2
OTROS METODOS 5
JUSTIFICACION 5
VIABILIDAD 6
CONSECUENCIAS DE LA INVESTIGACION 6
PROTOCOLO DE INVESTIGACION 7
OBJETIVO GENERAL 9
2. FORMULACION DE ECUACIONES BASICAS
2.1 PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES 11
2.2 ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN EL CONTORNO 14
2.3 MEDIDAS DEL TENSOR DE TENSIONES 20
2.3.1 TASA DE TENSION DE JAUMANN 24
2.3.2 TASA DE TENSION DE HILL 24
2.3.3 TASA DE TENSION DE TRUESDELL 25
2.4 MEDIDAS DE LAS TRACCIONES EN LA SUPERFICIE 27
2.5 ECUACIONES CONSTITUTIVAS DE ESTRUCTURAS ELASTOPLASTICAS 29
2.6 ECUACIONES QUE GOBIERNAN EL PROBLEMA 33
2.7 DISCRETIZACION POR ELEMENTOS FINITOS 36
APENDICE A 42
3. APLICACIÓN DE ELEMENTOS DE INTERFASE
3.1 INTERFASE DE ELEMENTOS EN INTERACCIÓN SUELO-ESTRUCTURA 46
3.2 FORMULACION DE ELEMENTOS DE INTERFASE 47
3.2.1 RELACION CONSTITUTIVA 47
3.2.2 DISCRETIZACIÓN POR ELEMENTOS FINITOS 52
4. SUELO
4.1 DETERMINACIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS DEL SUELO Y SU
MATRIZ DE RIGIDEZ 56
4.2 CONSIDERACIONES NUMÉRICAS. (INTERACCIÓN SUELO
-SUBESTRUCTURA) 57
4.2.1 APROXIMACIÓN DE VIGA DE RESORTE 57
4.2.2DESARROLLO DE LA FORMULACIÓN DE LA DEFORMACIÓN
DEL SUELO POR MEDIO DE LA MECANICA DEL CONTINUO 61
4.2.2.1 ECUACIONES BÁSICAS DE DEFORMACIÓN Y MODELOS
DE SUELOS 61
4.2.2.2 LIMITACIONES DE LOS MODELOS DESCRITOS 65
4.2.2.3 PRELIMINARES DE MODELACION DE MATERIAL 67
4.2.2.3.1 DEFINICIÓN GENERAL DE ESFUERZOS 67
4.2.2.3.2 DEFINICIÓN GENERAL DE DEFORMACIONES 71
4.3. DEFORMACIONES ELASTICAS 73
4.3.1 SUELO NO DRENADO ANALISIS DE ESFUERZOS 75
4.3.2 ECUACIONES BÁSICAS DE DEFORMACIÓN DEL CONTINUO 78
4.4 DISCRETIZACIÓN EN ELEMENTOS FINITOS 79
4.5 INTEGRACIÓN IMPLICITA DE MODELOS DIFERENCIALES DE PLASTICIDAD 81
4.5.1 PROCEDIMIENTO GLOAL ITERATIVO 84
4.6 CONSOLIDACIÓN 85
4.6.1 DISCRETIZACION POR ELEMENTOS FINITOS. 86
4.7 CONSOLIDACIÓN ELASTOPLÁSTICA 90
5.0 MODELACIÓN DE UNA ESTRUCTURA Y SU ANALISIS PARA
DETERMINAR LA INTERACCIÓN DEL SUELO Y LA ESTRUCTURA.
5.1 PRESENTACIÓN DEL MODELO 92
5.2 ESTUDIO DEL ELEMENTO RECTANGULAR DE CUATRO NODOS 94
5.3 RELACIÓN ENTRE ESFUERZO-DEFORMACIÓN 99
5.4 ELEMENTOS DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ K
101
6. ANÁLISIS DE ELEMENTOS DE INTERFASE
6.1 TEORIA BÁSICA 104
6.2 FORMULACIÓN CON ELEMENTOS FINITOS 107
6.3 PROBLEMAS QUE SURGEN EN LA INTERFASE DEL
SUELO-ESTRUCTURA 111
6.4 CONDICIONES DE FRONTERA DEL SUELO. 112
7.0. SUPERESTRUCTURA E INTERFASE DESARROLLO DE LAS
MATRICES DE RIGIDEZ
7.1 DIMENSIONAMIENTO Y NUMERACION DE NODOS DE LA
SUPERESTRUCTURA 117
7.2 DERIVACION DE LOS ELEMENTOS DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ
USANDO APROXIMACION DE ELEMENTOS FINITOS 123
7.3 DESARROLLO DE LA MATRIZ DE INTERFASE 132
7.3.1 DESARROLLO DEL PRIMER ELEMENTO DE INTERFASE
(UNA DIMENSIÓN) 133
7.4 ENSAMBLAJE DE MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA MATRIZ
DE LA SUPERESTRUCTURA Y DE LA DE INTERFASE. 139
7.5 MATRIZ DE RIGIDEZ DEL SUELO. 140
7.6 ENSAMBLAJE MATRIZ DE RIGIDEZ DEL SISTEMA
SUPERESTRUCTURA INTERFASE-SUELO 144
7.6 PRESION DE TIERRA PARA CONDICIONES USUALES DE CARGA. 147
8. DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA 150
9. CONCLUSIONES 158
10. RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS FUTUROS 160
BIBLIOGRAFIA 161
LISTA DE FIGURAS
PAG
Figura 1 Asentamiento diferencial 1
Figura 2 Teoría Winkler 3
Figura 3 Viga Flexible 3
Figura 4 Viga Rígida 4
Figura 5. Contacto entre dos cuerpos 11
Figura 6 Rotacion de una barra bajo esfuerzos iniciales 20
Figura 7 –Interpretación de la tasa convectiva del tensor Cauchy 22
Figura 8 Resultados de las tres tasas de medición del tensor cauchy 26
Figura 9 Relacion de Configuraciones t0 y t1 durante la deformación de un cuerpo 44
Figura 10. Sistema Mohr Coulomb 48
Figura 11 Geometria del elemento de diez nodos de interfase 52
Figura 12 Tipos de cimentaciones 56
Figura 13 Vigas Resorte representando al suelo 57
Figura 14 a) modelo de winkler b) continuo elástico o inelástico 58
Figura 15 Cimentaciones basadas en resortes de winkler y en el continuo
a) balsa rigida b) balsa flexible 59
Figura 16 Modelos de elementos finitos en balsas de cimentación 60
Figura 17 Principales modos de interacción suelo-Estructura 61
Figura 18 Sistema de coordenadas tridimensional convención de signos 68
Figura 19 Espacio de Esfuerzos Principales 70
Figura 20 Modelo a estudiar (Catedral) 92
Figura 21 Discretización del suelo 93
Figura 22 Discretización de una viga Pared con elementos rectangulares de cuatro
nodos , definición de ejes locales r y s 94
Figura 23 Elemento Rectangular con Fuerzas aplicadas en nodos 95
Figura 24 Interfase Suelo estructura usando elementos finitos 104
Figura 25 Elementos continuos para modelar la interfase 105
Figura 26 Uso del resorte para modelar la interfase 105
Figura 27 Uso de elementos especiales para modelar la interfase 105
Figura 28 Elementos de interfase de seis y ocho nodos 106
Figura 29 Elementos de interfase con seis nodos 108
Figura 30 Origen de funciones seno y coseno 111
Figura 31 Condiciones de frontera del suelo 112
Figura 32 Transformación de coordenadas 116
Figura 33 Discretización de la superestructura por elementos finitos 117
Figura 34 Estructura analizada enlazada (suelo y superestructura) 118
Figura 35 Superestructura 119
Figura 36 Superestructura Discretizada 120
Figura 37 Elemento Rectangular, modo de ingreso de datos 121
Figura 38 Discretización utilizada en el programa en MatLab 122
Figura 39 Elemento triangular de tres nodos 122
Figura 40 Elemento Triangular de tres nodos usado en nuestro ejemplo 130
Figura 41 Numeración de nodos de la superestructura 131
Figura 42 Numeración de elementos de pilar derecho 132
Figura 43 Primer desarrollo del elemento de interfase (Goodman-1968) 133
Figura 44 elemento # 1 de interfase de la estructura estudiada 134
Figura 45 Elemento de ancho cero con cuatro nodos (elemento 1 de interfase) 135
Figura 46 Esquema de los elementos de Interfase 138
Figura 47 nodos de enlace de interfase-suelo 140
Figura 48 Numeración de elementos del suelo 141
Figura 49 Ensamblaje de los elementos de la esquina inferior izquierda 141
Figura 50 Ensamblaje de elementos interiores 142
Figura 51 Ensamblaje de interfase y suelo 143
Figura 52 Contabilización de nodos del suelo 145
Figura 53 Numeración de nodods de Interfase 145
Figura 54 Ensamble Interfase Suelo 146
Figura 55 Presión de Tierra Lateral 148
1
INTERACCION ESTATICA SUELO-ESTRUCTURA ANALISIS
CON EL MEF
INTRODUCCION
A través del camino de la Ingeniería Civil, en los análisis estructurales de las cimentaciones se sintetizó el hecho de suponer que sobre estos actúan las fuerzas provenientes de la estructura, calculada a partir de la suposición de apoyos fijos. Llamaré subestructura a la cimentación, es decir a la parte de la estructura que va en la parte bajo el terreno, y que transmite las cargas al suelo o roca subyacente. Estos suelos se comprimen produciendo asentamientos.
Los requisitos fundamentales en el cálculo común son: que el asentamiento total de la estructura sea pequeño, y que el asentamiento diferencial de las partes de la estructura se elimine. Se limitan los asentamientos transmitiendo la carga de la estructura hasta un estrato de suelo con resistencia suficiente y distribuyendo la carga sobre un área grande de este estrato para minimizar las presiones de contacto.
Estos análisis estructurales sufren una variación a la hora de calcular las fuerzas internas que se generan en la estructura ya que no se ha considerado la interacción del suelo con la subestructura.
Figura 1 Asentamiento diferencial
2
Para resolver este problema se han propuesto modelar el sistema suelo estructura, analizando la subestructura como un todo, o discretizada en elementos lineales, realizando diferentes modelaciones del suelo, considerándolo un medio discontinuo o continuo, de acuerdo a que el suelo tenga un comportamiento tenso deformacional lineal o no lineal.
ANTECEDENTES
La primera vez que fue propuesto un procedimiento considerando la interacción de un suelo con la subestructura fue realizado por Winkler en el año de 1867. Este modela las cimentaciones como una viga flexible, en el cual se supone el terreno como un conjunto infinito de muelles situados bajo una viga deformable, la cimentación. La constante de deformación de cada muelle es Ks (módulo de balasto), valor obtenido del cociente entre la presión de contacto (q) y el desplazamiento, en nuestro caso (δ).
El método se creó inicialmente para el análisis de las traviesas del ferrocarril, donde el balasto es la capa de grava que se tiende sobre la explanación de los ferrocarriles para asentar y sujetar las traviesas. El creador de este modelo de interacción estructura-terreno fue Winkler, y tiene múltiples aplicaciones, no sólo en el campo de las cimentaciones, sino en cualquiera problema que pudiese adaptarse a este modelo.
La aplicación de la teoría del módulo de balasto ha ganado aceptación en los últimos tiempos, ya que permite una fácil asimilación del modelo de la interacción estructura-terreno utilizando los métodos matriciales de cálculo.
Bastará con incluir muelles en los nudos con la rigidez correspondiente al balasto, en elementos lineales mediante su discretización en varias barras cuyos nudos incluyen bielas, en elementos superficiales mediante un emparrillado de barras con las bielas en los nudos. Esto ha supuesto que el método de Winkler sea el que usa la mayor del software de cálculo de estructuras, principalmente para vigas y losas de cimentación.
Ks= q / δ
3
Figura 2 Teoría Winkler
Hasta los inicios de los años 1950, la mayoría de las soluciones de los problemas elásticos eran resueltas por métodos analíticos formulados localmente, puesto que los problemas variacionales eran muy laboriosos.
En la actualidad el uso del computador nos ha permitido resolver eficientemente las ecuaciones variacionales, poniendo en práctica métodos numéricos como el de las Diferencias Finitas, Elementos Finitos y Elementos de Contorno.
La solución de estas ecuaciones por métodos conocidos como, el de las Diferencias Finitas y Elementos Finitos, han sido ampliamente estudiados y han servido para encontrar la solución de muchos problemas de ingeniería.
Veamos ahora lo que pasa en la figura 2, consideremos un problema plano en donde una viga se apoya sobre un suelo semi-infinito continuo y es cargada uniformemente, si el valor de la rigidez de la viga es bajo tendremos entonces una viga que presenta una deflexión mayor en el centro y de menor valor en los extremos.
Figura 3 Viga Flexible
4
En el otro caso en que la viga se presente demasiado rígida comparada con el suelo, la deflexión a lo largo de la viga se presentará uniforme, mientras la distribución de presiones varia desde lo infinito en los extremos hasta un valor finito en el centro. Esta situación se ilustra en la figura 3. En estos casos el radio de presión de deflexión no es constante en la interface suelo estructura entonces los enunciados del valor de ks quedan demostrados.
Con estos problemas, Pasternak en su publicación “On a New Method of Analysis of an Elastic Foundation by Means of Two Foundation Constants” y Vlasov y Leont'ev en su publicación "Vigas y Placas sobre cimentaciones elásticas”, revelan dos parámetros a tomar en consideración para el análisis. Pero la evaluación de estos nuevos parámetros trae nuevas confrontaciones con ingenieros geotécnicos. Realmente sabemos que el valor de ks depende de la continuidad del suelo, de la rigidez de la estructura y de la distribución de la carga
Figura 4 Viga Rígida
Muchos investigadores usan las ecuaciones de Boussinesq, asumiendo la continuidad del suelo como semi-infinita. Si existe la presencia de un estrato de roca dura en una capa finita, el concepto de uso de una masa de suelo semi-infinita puede traer sustanciales errores.
Por el efecto de estas limitaciones para el análisis moderado de estructuras simples, el concepto de la constante de no linealidad ks es usado por ingenieros. Pero cuando los conceptos cambian para estructuras grandes como un presa hidráulica una
5
mejor y más detallada determinación de las rigideces del suelo basado en estas relaciones constitutivas, dan resultados positivos.
OTROS METODOS
Un alternativo y mejor método es aquel que considera al suelo como un medio continuo en su dominio, la resolución matemática es demasiado tediosa, pero las computadoras hacen el trabajo de analizar los problemas numéricos, usando métodos como diferencias finitas, y elementos finitos, algunos autores (21), usan el método de elementos finitos para resolver problemas de interacción suelo-estructura.
Como siempre, en estos métodos crecen confusamente el número de incógnitas, y van más lejos cuando las discretizaciones del continuo son alteradas para mas correctas representaciones de el suelo continuo, es decir que si obtenemos un mallado más denso por decirlo así se van a tener muchas más incógnitas. El hecho de establecer una normal discretización en la interacción suelo-estructura resulta a veces problemático en el caso de que el mallado se lo haga un tanto grosero, en este caso se pueden tomar ciertos métodos alternativos, como es el caso del método de elementos de contorno.
JUSTIFICACION
A partir del año 1867, y hasta la fecha se vienen utilizando los cálculos clásicos de las estructuras, es decir se supone que la estructura está sustentada en apoyos fijos que no se mueven. O que tienen unos asentamientos despreciables. El justificativo de esta investigación es desarrollar un software en el cual se analize la estructura, subestructura y suelo como un solo cuerpo, y considerando la interacción del suelo con la cimentación modelada a partir de muelles, se calculen las reacciones internas de la superestructura en base a los efectos del suelo en la subestructura, se analizará el suelo mediante soluciones de la mecánica clásica como un medio continuo suponiéndolo homogéneo y linealmente deformable. Cuando el suelo se muestre estratificado se utilizará la mecánica de suelos clásica
6
VIABILIDAD
El tema es de gran interés, lastimosamente no se encuentra en la bibliografía una modelación única del sistema suelo-estructura que permita analizar estructuras apoyadas en cimientos corridos a aislados, donde se considera al suelo como un medio continuo o discontinuo, con comportamiento tensional lineal o no lineal, pero esto motiva lo suficiente para que la investigación este desarrollándose en un entorno apasionante y totalmente moderno
La bibliografía existente acerca de la interacción suelo estructura está disponible en idioma inglés, italiano, y español, con una abundante información en pdfs, y trabajos de tesis e investigación localizados en varios portales de ingeniería en internet. Además se cuenta con el apoyo y el respaldo del Ing. Julver Pino quien me ha dotado de un valioso escrito en donde se sintetiza la investigación ahora viene el proceso expansivo y de investigación
CONSECUENCIAS DE LA INVESTIGACION
Esta investigación pretende dar un claro entendimiento de la necesidad de conocer el verdadero comportamiento de una estructura y el cambio de las fuerzas internas al momento en el que la estructura se asiente, es sabido por todos que las estructura en cierto momento de su vida útil, por lo general al comienzo una vez edificada sufren asentamientos, estos influyen directamente en el diseño de los elementos de la estructura.
La idea es presentar un software en donde el usuario que será una persona comprometida con el MEF y con conocimientos adecuados para inicialmente ingresar las características de la estructura, luego el tipo de cimentación a emplear (cimientos aislados o corridos), y las características del suelo, estas últimas se basan en detalles existentes de libros, o en algún cálculo de la mecánica de suelos clásica.
Para el efecto de este programa se piensa utilizar MatLab o algún otro, ya que el entorno es amigable y los resultados se pueden presentar de manera gráfica.
7
Además que con la experiencia y los métodos de construcción de nuestro medio, el software resolvería aplicaciones de acuerdo a los métodos constructivos locales.
PROTOCOLO DE INVESTIGACION
• PROBLEMAS A RESOLVER
1. Entender el MEF como método de resolución poderoso capaz de dispara soluciones que sirvan para el posterior diseño de las estructuras
2. Aplicar los conocimientos a suelos existentes en la zona, arcillas, limos, materiales rocosos.
3. Entender los resultados para estructuras bi y tri dimensinales. 4. Comprender mediante un software la solución de problemas de
análisis de interacción suelo estructural con el Método de Elementos Finitos.
• SITUACION PROBLEMÁTICA
En la actualidad se desarrollan las prácticas comunes de la ingeniería con excelentes resultados, el desarrollo de este estudio nos permitirá, comprender que existen estructuras que vienen funcionando en nuestra ciudad sin ningún problema aparentemente. La ventaja de este método es simplificar el cálculo y la economía ya que en un estudio común se necesitaría de un técnico estructural y un geotécnico por separado, trabajando en estas aplicaciones de una manera investigativa, y con un apoyo de un especialista geotécnico, el programa resultaría ser de amplia ventaja, conozco que existen programas como Plaxis, Sap 2000, etc. Que han desarrollado la interacción del suelo estructura en detalles, pero sería muy valioso tener un programa poderoso a nivel local con todo el conocimiento nuevo y tecnología de punta que se puede desarrollar en base a esta investigación
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• FORMULACION DEL PROBLEMA
El problema a tratar será la “INTERACCION ESTÁTICA DEL SUELO ESTRUCTURA CON EL METODO DE ELEMENTOS FINITOS”.
• HIPOTESIS
La hipótesis básica en que se fundamenta la investigación son:
El suelo se considera como continuo o discontinuo.
- El MEF analiza el suelo con un comportamiento tenso deformacional lineal o no lineal, utilizando elementos finitos bidimensionales y tridimensionales
- Se consideran cimientos corridos o aislados - Se dispondrá de la información disponible que se tenga del suelo .
• OBJETO
El objetivo principal de esta investigación es proponer la modelación del sistema suelo estructura mediante la cual se pueda investigar la interacción estática del suelo con las estructuras, considerando al suelo como un medio continuo o discontinuo, tensional deformacional lineal o no lineal, y usar las soluciones clásicas o del MEF dependiendo de la información que se tenga del suelo.
• CAMPO DE ACCION
La presente investigación se sustenta en el MEF, la modelación del suelo como un medio discontinuo es muy simple por lo que el cálculo de los asentamientos y de la presión de contacto, entre el suelo y subestructura, a este modelo se le han producido cambios de acuerdo al tipo de subestructura. Estos cambios se irán analizando para diferentes tipos de cimentación. Se utilizará el MEF para analizar el
9
suelo con comportamientos tensos deformacional lineal o no lineal utilizándose elementos finitos bidimensionales y tridimensionales.
OBJETIVO GENERAL
El objetivo general es el tratamiento de las estructuras como ocurre en la realidad es decir dejar de suponer que la superestructura se asienta sobre apoyos fijos en donde el asentamiento es despreciable, sino considerar este efecto para analizar adecuadamente las reacciones internas de los elementos de una estructura y para su posterior diseño de cálculo.
• OBJETIVOS ESPECIFICOS - La superestructura, la subestructura o cimiento y el suelo en
conjunto se consideran como un solo cuerpo, el mismo que se comporta como un sistema único en su comportamiento ingenieril y tenso deformacional.
- La presente tesis demuestra la fascinante complejidad del sistema de suelo - estructura y de las muchas variables geotécnias y estructurales que contribuyen al fenómeno de la interacción estática. Desarrollo de un software
- VARIABLES
Existirán 2 tipos de variables que intervendrán en el desarrollo de esta investigación: - Variables Cuantitativas; Dimensión de los elementos, magnitud de
cargas, magnitud de las deformaciones y esfuerzos. - Variables Cualitativas; Características del suelo, que se deben
conocer previo al manejo del software
10
- METODOS En el desarrollo de la tesis se procederá de la siguiente manera:
- Descripción de las características del suelo a partir de conocimientos clásicos
- Desarrollo Matemático de la Ley general de MEF F= K.δ - Solución numérica de la ecuación general a través de un software
poderoso programado en MAtLab. - Desarrollo de un software para la solución de problemas. - Validación de resultados obtenidos mediante la aplicación de software
comercial con el método de los elementos finitos.
- TAREAS - Recopilación de información del método de elementos Finitos - Selección de información del MEF - Recopilación de información de las características del suelo - Desarrollo teórico y matemático del método de elementos de
elementos finitos para el calculo de la interacción suelo estructura - Creación de subrutinas y comprobación para ensamblaje de programa
principal. - Implementación de programa principal que permita la solución de los
problemas planteados. - Comparación de resultados mediante software comercial. - Exposición y defensa de la tesis ante el tribunal.
11
2. FORMULACION DE ECUACIONES BÁSICAS
En este capítulo las ecuaciones básicas para el problema de grandes deformaciones elastoplasticas y su discretización en elementos finitos van a ser estudiadas. Las ecuaciones de equilibrio en el contorno, describen los cambios que se producen en los esfuerzos y las deformaciones cuando el equilibrio cambia. Para las grandes deformaciones elastoplasticas se evalúan las relaciones constitutivas en un trabajo posterior. Finalmente la discretización en elementos finitos de las ecuaciones de gobierno es la discusión final.
2.1 PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES
Figura 5. Contacto entre dos cuerpos
Ahora vamos a considerar dos cuerpos sometidos a contacto, es decir suponemos que tenemos dos cuerpos como el suelo-estructura. Considérense los cuerpos sometidos sus superficies a contacto, y en equilibrio, como indica la figura 5, los cuerpos están descritos como a y como b. Incluimos un valor residual ri para describir cada uno de los puntos en el interior de cada uno de los cuerpos (14):
12
, 0a a ai ji j ir σ γ= + = , 0b b b
i ji j ir σ γ= + = (6)
Donde jiσ es el vector de tensiones de Cauchy, y, iγ , el tensor de fuerzas, si
observamos estas expresiones residuales, nos damos cuenta que es la simple ecuación
de Cauchy ( 0σ ρ∇ + = )(2), aplicada la condición de equilibrio interno, se somete
cada uno de los cuerpos a esta condición. Esta condición se conoce como la ecuación de equilibrio interno del medio continuo. Ahora vamos a aplicar el principio de los Trabajos virtuales (14), es decir tenemos un factor residual ri, y lo multiplicamos por
un diferencial iuδ . El principio de los trabajos virtuales puede ser obtenido a partir
de las ecuaciones (6):
a bi i i iW
Va Vb
r u dv r u dvδ δ δ= +∫ ∫ (7)
Donde iuδ es un pequeño desplazamiento.
Tomando la definición (6), aplicando el teorema de la divergencia de Gauss(1), y la
fórmula de Cauchy ji j in tσ = ; transformamos la ecuación (7) en.
, 0a bji i j i i i i i i
V V Sa Sb
t tu dv u dv u dS u dSσ δ γ δ δ δ− ++ + =∫ ∫ ∫ ∫ (8)
El volumen V es el total de los dos cuerpos. Las superficies vienen denotadas por a y b, Sa y Sb, y el tensor ti es la tracción asociada. Si dividimos la superficie tenemos una superficie externa Se, y una superficie común de contacto Sc, entones el
término de trabajo en la superficie sWδ describe a los términos de cada cuerpo a y b,
y de su superficie común Sca y Scb, y de la superficie externa Se, entonces la superficie dividida en la ecuación (8) queda como:
13
a bi i i i i iWs
Se Sca Scb
t tt u dS u dS u dSδ δ δ δ= + +∫ ∫ ∫ (9)
El principio de acción y reacción de Newton nos describe (2):
a bi i it t τ= − = (10)
Reemplazando en (9) tenemos:
i i i i i iWsSe Sca Scb
t u dS u dS u dSτ τδ δ δ δ= + −∫ ∫ ∫ (11)
Recordando que el trabajo virtual interno donde las tensiones jiσ permanecen
constantes, establecemos el trabajo virtual total interno como la suma del trabajo
realizado por las tensiones Wσδ , el trabajo de las superficies comunes Wcδ , el trabajo
de las fuerzas, y Wtδ , el trabajo de la superficie externa(14):
0W Wc W Wtσ γδ δ δ δ− + + =− (12)
Donde:
,ji i jWV
u dVσδ σ δ= ∫
14
i i i iWcScaScb
u dS u dSδ τ δ τ δ−= ∫ ∫
i iWV
u dVγδ γ δ= ∫
i iWtSe
t u dSδ δ= ∫
2.2 ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN EL CONTORNO
Los cambios de esfuerzos y de deformación hacen que la ecuación (12)
0W Wc W Wtσ γδ δ δ δ− + + =−
sea válida en todas las condiciones. Excepto
cuando:
(13)) 0( Wδ • =
La condición necesaria y suficiente para que una superficie móvil en el espacio, definida implícitamente por la función f(x,y,z,t)=0, sea material, es decir que esté constituída siempre por las mismas partículas; es que la derivada material de f(x,y,z,t) sea nula: (2)
. 0( , )
v fdf x t df
dt dt= + ∇ =
(14)
15
La condición es necesaria puesto que si la superficie es material, su
descripción material no depende del tiempo ( ( ))F F X≡ y por consiguiente, su
descripción espacial tiene derivada material nula. La condición de suficiencia se fundamenta en que si, la derivada material de f(x,t) es nula, la correspondiente
descripción material no depende del tiempo ( ( ))F F X≡ y por consiguiente, el
conjunto de partículas (identificadas por sus coordenadas materiales) que cumplen la condición F(X)=0 es siempre el mismo.(2)
Poniendo otra notación a (14) y diferenciando esta tenemos:
,k kFF u Ft
• •∂≡ +∂
(15)
, , , ,( )j j k j kFF u F•
••
−≡ (16)
Ahora bien necesitamos recordar la tasa de cambio de las integrales de superficies y de volumen (1)
(17)
Los detalles de las anteriores expresiones de las derivadas de integrales nos trae (1) , transformemos ahora (17) a otra notación: (2)
16
KK
V V
Fdv F F dVε•
• • = + ∫ ∫ (18)
( )kk k kll
S S
FdS F F n n dSε ε•
• • • = + −
∫ ∫ (19)
En donde klε•
es el tensor de deformaciones y el kn es la normal a un elemento de
Area ds.
Con estas condiciones, se puede hacer cumplir (13) para el primer término de (12):
,ji i jWV
u dVσδ σ δ= ∫ (Primer término de (12))
, , , ,( ( ) )ji i j ji i j ji i j k k
V
W u u u u dVσδ σ δ σ δ σ δ•• • •= + +∫ (20)
Utilizando la relación (16), la tasa de cambio material del gradiente de desplazamientos virtuales (2), puede ser expresado como dos términos:
, , , , , ,( )i j i j k j i k k j i kuu u u u uδδ δ δ•
− −• •• = = (21)
17
El primero de estos dos términos es cero ya que iuδ es constante cuando el material está moviéndose, sustituyendo el resultado de (21) en (20) tengo:
, , ,( )ji ki j k ji k k i j
V
W u u u dVσδ σ σ σ δ•• • •
= − +∫ (22)
El término dentro de los paréntesis se identifica como la derivada material del primer tensor de Piola Kirchoff (1), por tanto:
, ,ji ji ki j k ji k ku uσ σ σ• • ••Σ = − + (23)
Por tanto la ecuación (22) ahora se escribe:
,ji
V
i jW u dVσδ δ••Σ= ∫ (24)
Usando la diferenciación de la integral de superficie para el término que determina el trabajo en la interface a-b tenemos para el término δWc:
Wc i i i iScb Sca
u dS u dSδ τ δ τ δ= −∫ ∫ (14)
(( ))i b ac i i i i
Sc
u J JW u u dSδδ τ τ δ δ• •
∆ += −∫ (25)
18
Aquí J determina la deformación en la interface de los dos elementos
( ) JdSds • = , y iuδ∆ , determina el desplazamiento relativo de ib ai iu u uδ δ δ∆ = − .
Para los dos restantes miembros de la ecuación (12), aplicamos directamente los postulados de diferenciación de integrales de Área y Volumen (2) expresados en (18)(19), y se obtiene:
,( )i i k k i
V
W u udVγδ γ γ δ•• •
= +∫ (26)
)(t i i i
S
JW t t u dSδ δ• •
+= ∫ (27)
En esta tesis de interacción estática, del suelo-estructura, solo se consideran las cargas muertas, en consecuencia iγ es una carga por unidad de masa
i igγ γρ= ; i i iggγ γ γ ρρ• • •
+= (28)
Aquí iγ es una carga, y ρ es la densidad del material, de la conservación de
la masa y ecuación de la continuidad sabemos que(2):
,k kuρ ρ• •
= − (29)
Aplicando estas consideraciones en (26), tenemos entonces que (14):
i i
V
W g u dVγδ γρ δ• •
= ∫ (30)
19
También asumiremos que la tracción es resultado de una carga aplicada, que implica que:
s it i
S
nW t u dSρδ δ• •
= ∫ (31)
El valor de sρ es definido por la expresión s sJρ ρ•
= − , t es la intensidad de
carga y in determina la dirección de la tracción.(2)
Las condiciones de equilibrio continuo están ahora determinadas y se pueden cumplir con lo que dice la ecuación (13)
, (( )) 0ji i b a i s i
V
i j i i i i i i
Sc V S
u J J nu dV u u dS g udV t u dSδ ρδ τ τ δ δ γρ δ δ• • • •
− Σ ∆ +− − + + =∫ ∫ ∫ ∫
Se puede considerar también que (i b ai i i iu J JIc u uδτ τ δ δ•
∆ += − ), en (3), (van der
Lugt), por tanto:
, 0ji i s i
V
i j i i
Sc V S
nu dV IcdS g u dV t u dSρδ γρ δ δ• • •
− Σ − + + =∫ ∫ ∫ ∫ (32)
Este valor Ic también se escribe como: i ri i iu JIc uδτ τ δ•
∆ += ∆ , donde
( )12
r a bJ J J= + , que es la deformación en la superficie de contacto(2). Esta
expresión coincide con (25). Cuando los cuerpos toman contacto y tienen la misma deformación Ja=Jb. En general la expresión (32) se usa cuando no existen diferencias en las deformaciones de contacto.
20
La relación (32), incrementa los esfuerzos por los incrementos de carga para el establecimiento de las ecuaciones constitutivas (14).
2.3 MEDIDA DE TENSOR DE TENSIONES
Para explicar el objetivo de la tasa de variación (derivada) del tensor de tensiones de Cauchy, consideraremos un rodillo o una varilla mostrada en la figura 6. Suponga el caso de una tasa de ecuación constitutiva usada, conocida una ley hipoelástica donde la tasa de esfuerzo es linealmente relativa a la tasa de deformación.(1)(2)
(AT.1)
Figura 6 Rotacion de una barra bajo esfuerzos iniciales
La pregunta aquí gira en torno a: ¿Son válidas las ecuaciones constitutivas?
La respuesta es No, y va a ser explicada a continuación, considérese un sólido
como en la figura 6 donde sus tensiones en la configuración inicial 0xσ σ= . Ahora
21
vemos que la barra a rotado manteniendo su longitud constante, también no ha tenido ninguna deformación por tanto D=0. Recuérdese que en el movimiento del cuerpo rígido un estado de tensión inicial (o pre-tensión) se presenta en el sólido, de igual manera la deformación no cambia en la rotación del cuerpo rígido, el esfuerzo es visto por un observador que cabalga con el cuerpo y no debería cambiar. Pero el tensor de Cauchy expresado en el nuevo sistema de coordenadas cambia durante la rotación, entonces la derivada material del tensor no es cero. Como siempre en la rotación del cuerpo rígido, el lado derecho de la ecuación descrita (AT.1) debería anularse en el movimiento. Nosotros debemos demostrar que la tasa de deformación desaparece en el movimiento del cuerpo rígido.
Esta situación explicada en el párrafo anterior no es solo hipotética, sino que presenta lo que realmente sucede en simulaciones realizadas. Un cuerpo puede estar en un estado de tensión sometido a esfuerzos térmicos o preesfuerzos; un ejemplo son los esfuerzos presentes en una barra pretensada.
Entonces el factor que falta en la ecuación (AT1), es el que no aparece para medir la rotación del material. La rotación material puede ser medida correctamente usando una objetiva tasa del tensor de tensiones, esta también se le conoce como la tasa de invariantes. Se considerará tres tasas objetivas: Jaumann, Truesdell y Hill. (1)(14).
Las ecuaciones constitutivas revisadas nos han traído hasta ahora datos de deformación, el objetivo ahora es conocer medidas de tensiones. Algo parecido las medidas de tensiones aseguran que para el instante que el cuerpo rígido se mueve no influye sobre el estado tensional del material. Muchas definiciones de esfuerzos se encuentran en (1,2). Tres de las definiciones hemos escogido para discutirlas aquí ellas son Jaumann, Hill y Truesdell.
Para llegar a una verdadera definición de la tasa de esfuerzo nosotros consideraremos que la tasa de cambio del tensor de tensiones de Cauchy no es causa solo de la deformación elástica, sino también por convección que el tensor Cauchy presente antes de cambiar su medida.(1)
ijij ijσ σ σ•
= +o (
(33)
22
El primer término ijσo
, lo llamaremos la tasa constitutiva del tensor de
tensiones de Cauchy, y el segundo término ijσ( , la tasa convectiva del tensor de
tensiones de Cauchy (1). Estos nombres no son utilizados en la bibliografia, pero ayudarán a aclarar conceptos de estas líneas. Las definiciones de tasa de tensiones no se encuentran de la interpretación de la tasa de tensiones convectiva.
Supongamos un elemento de un material cualquiera cargado por las fuerzas 0
1df sobre la superficie del elemento 01dA , figura 7 . La correspondiente fórmula de
Cauchy para este caso resulta:
0 01 1ij dA dfσ = (34)
Figura 7 –Interpretación de la tasa convectiva del tensor Cauchy
Durante una deformación, las fuerzas aplicadas en la superficie del elemento encuentran el movimiento del cuerpo. Las fuerzas buscan la dirección de la línea del elemento alineándose a éste en la configuración t=t0. La superficie del elemento rota y se deforma. Para obtener el cambio convectivo del vector de Cauchy, las componentes que conforman la fuerza y los vectores en la superficie en la correspondiente configuración t=t1, deben expresarse relativamente al marco de referencia. En el apéndice A las derivadas de estos componentes están dadas por:( 1)(14)
1 0 01 ij j ij kj kC Cdf df dAσ= = (35)
23
1 1 01 0 1/ ji jCdA dAρ ρ −=
El Tensor ijC es el gradiente de deformación y 0 1/ρ ρ es el radio de
densidades, La tasa convectiva de cambio del tensor Cauchy describe la deformación en la superficie producto de la fuerza aplicada en la misma.
1 11)( jijij dt dA dfσ σ =+ (
(36)
Estas tensiones están relacionadas con las tensiones en la configuración t=t0, que combinando las ecuaciones (35 y 36), tenemos: 14)(1)(15)
1 0) /( ik jl klijij dt C Cρ ρ σσ σ =+ ( (37)
En el apéndice A se muestra que la matriz ijC y el radio de densidades se
pueden relacionar con el tensor de deformación del material en el punto considerado
1 0/ (1 )kk dtρ ρ ε•
= − ; ( ( ) )ijij ij ijC dtδ ε•
= + − Ω (38)
Donde el tensor de deformaciones y el tensor spin son definidos como:
, ,( )12ij i j j iu uε
• • •= +
(39)
, ,( )j i i jij u u• •
Ω = −
24
2.3.1 TASA DE TENSIÓN JAUMANN
La definición de Jaumann para medir el esfuerzo considera solo los cambios convectivos durante la rotación. Consecuentemente los términos sometidos a deformación deben borrar de la expresión (38) lo siguiente (14)(1)(15):
1 0/ 1ρ ρ = ; ( )ij ij ijC dtδ= − Ω (40)
Ahora bien la combinación de estas condiciones en la ecuación (37), nos trae:
ij
Jik jkkj kiσ σ σ= Ω + Ω(
(41)
La tasa de medición de Jaumann del tensor de Cauchy es definida como la correspondiente tasa constitutiva de esfuerzos la cual se define por la siguiente expresión:
ij
JJ
ij ijσ σ σ•
= −o (
(42)
Sustituyendo el cambio convectivo de tensiones tenemos entoces la definición de la medida de esfuerzo de Jaumann:
J
ij ij ik jkkj klσ σ σ σ•
= − Ω − Ωo
(43)
2.3.2 TASA DE TENSION DE HILL
Cuando la dilatación es tomada en cuenta , pero los cambios de la fuerza y de los vectores superficiales estan direccionados solo con la rotación rígida solamente, encontramos que(14)(1)(15):
25
1 0/ (1 )kk dtρ ρ ε•
= − ; ( )ij ij ijC dtδ= − Ω (44)
De estas expresiones y tomando la ecuación (37), el cambio convectivo del tensor de Cauchy se obtiene como:
ij ij
H Jkk ik jk kkij ijkj klσ ε σ σ σ ε σ σ
• •= − + Ω + Ω = − +( (
(45)
Con estos resultados encontramos la tasa de tensión constitutiva:
H J
ij ij kk ijσ σ ε σ•
= +o o
(46)
Esta definición convenientemente fue llamada la tasa de tensión de Hill. En la Literatura se puede encontrar otros nombres como el co-rotacional del tensor Kirchoff y medida de la tensión de Biezeno-Hencky .
2.3.3 TASA DE TENSIÓN DE TRUESDELL
Finalmente todos los efectos de la deformación están tomados en la tasa de tensión de TRUESDELL:
1 0/ (1 )kk dtρ ρ ε•
= − ; ( ( )ijij ij ljC dtδ ε•
= + − Ω (47)
Quien encuentra el cambio convectivo del tensor de Cauchy:
ij
Tkk ik jk lk kj jk klij kj klσ ε σ σ σ σ ε σ ε
• • •+ += − + Ω + Ω(
26
ij
Jkk lk kj jk klijε σ σ ε σ ε σ
• • •+ += − + (
(48)
Y la medida constitutiva de tensión de Truesdell se escribe:
T J
ij ij kk ik kj jk kiijσ σ ε σ σ ε σ ε• • •
= + − −o o
(49)
La definición de Truesdell no se va a usar en esta tesis debido a que ésta involucra y presenta un modelo con características no físicas cuando usa la Ley de Hooke para incrementos de esfuerzo y deformación. Para el efecto se usará la ecuación de Hill que presenta simetría con el las ecuaciones del método de elementos finitos. Entonces para definir las ecuaciones constitutivas usaremos el modelo de Hill para medir el tensor de Cauchy(14).
Figura 8 Resultados de las tres tasas de medición del tensor cauchy
La figura 8 muestra los resultados de una simulación de una prueba a compresión. La curva que representa a Truesdell en su definición de la medición de la tensión está descrita por la expresión :
( 1)E eεσ = − (50)
Aquí E es el módulo de Young, mientras ε es el logaritmo tensión(14) el cual se encuentra de la integración del estado de tensión. Note que el radio de Poisson fue escogido como cero. Esto demuestra que la deformación decrece cuando la
27
densidad incrementa. Un expectador puede ver esto desde cualquier punto físico. Como sea la curva de Hill que mide la tasa de tensión, agrega bien esta condición. Ahora la relación esfuerzo-deformación viene dad por:
(1 )E e εσ −= − (51)
Aquí la Ley de hooke para incrementos de esfuerzos y deformaciones puede basarse mejor en la tasa de tensión de Hill. La Mejora del modelo de Truesdell puede ser solo improvisado para adoptar un incremento no-lineal elástico.
2.4 MEDICION DE LAS TRACCIONES EN LA SUPERFICIE
La formulación de una relación constitutiva para la superficie en contacto entre los dos cuerpos requiere la definición de una objetiva medida de la tracción.(14)(1)(15) Esta medida puede desarrollarse a lo largo de esta tesis como se hizo con la tasa de medida del tensor de tensiones. Como En la ecuación (33),
podemos distinguir entre un cambio constitutivo, ito
, y un cambio convectivo,it(
, de la
superficie de tracción
ii it t t•
= +o (
(52)
Por definición la tracción it , es la fuerza aplicada en la superficie del
elemento, por tanto
0 01i dA dft = (53)
Durante la deformación las componentes de la fuerza cambian de acuerdo a la ecuación (35) en relación a un punto de referencia fijo. A mas de esto los elementos de superficie cambian por.(14)(1)(15):
28
01 (1 )dA Jdt dA= + (54)
J Representa la superficie distorsionada, el cambio convectivo de la tracción describe la superficie sometida a esta, llamada.(14)(1)(15):
11
1)( i i dt dft t dA+ =(
(55)
Sustituyendo de ecuaciones (35,53,54), producen los siguientes arreglos:
rr r
kii k ki i kt t J tt ε•
= Ω − +(
(56)
El superíndice r describe que la deformación se deriva de un movimiento producto del contacto en la superficie.
Solo cuando la rotación rígida es considerada en el desarrollo de la ecuación, la tasa de tracción de Jaumann es obtenida:
Jaumann i i
Jr
k kit t t•
= − Ωo
(57)
Acorde a Hill los cambios direccionales son derivados de una rotación rígida, en suma, la distorsión de la superficie es tomada como:
Hill i
H Jr
i it t t J= −o o
(58)
Finalmente , todos los efectos de la deformación son tomados por la definición de Truesdell respecto a la tasa de tracción:
Truesdell i i
T J rr
kii kt t t J t ε•
= + −o o
(59)
29
Para evaluar la ecuación (56), es necesario conocer la deformación de contacto presente en la superficie. Como se observó anteriormente, siempre las dos superficies en contacto pueden deformarse independientemente. Consecuencia de esto necesitamos un plano de referencia en el cual se produce la deformada. Este plano puede ser definido por:
( )12
r a b
i i iu u u• • •
= + (60)
Notese que cuando los dos planos se deforman el mismo instante, la correcta deformación se obtiene, con esta definición, el alargamiento y el tensor spin se escriben como:
( )12
r a bJ J J= + ( )12
r a bij ij ijΩ = Ω + Ω (61)
2.5. ECUACIONES CONSTITUTIVAS DE ESTRUCTURAS ELASTOPLASTICAS
Una adecuada medida de la deformación es la tasa del tensor de pequeñas
deformaciones ijε•
, este tensor es la parte simétrica del tensor gradiente de
velocidad.(12)(1)(15).
, ,( )12
i j j iij u uε• ••
= + (62)
30
Todas las relaciones constitutivas en esta tesis están basadas en la teoría de plasticidad, consecuentemente el tensor de deformaciones se puede dividir en una parte elástica y en una parte plástica.(12)(1)(15)
e p
ij ij ijε ε ε• • •
= + (63)
De éstas la primera parte significan cambios objetivos de esfuerzos. La singular teoría de plasticidad superficial de KOITER, generalizada por MANDEL.(12)(1)(15), encuentra estos cambios. En esta teoría la deformación plástica divide su medida en las siguientes contribuciones:
p pk
ijij
k
εε••
=∑ (64)
Una componente de esta deformación pk
ijε•
se une a estas condiciones:
0pk
ijε•
= cuando 0kf p o cuando 0kf = y 0kf•
p
0pk
ijε•
≠ cuando 0kf = y 0kf•
= con 0kλ•
f (65)
Donde kf es una función conocida y kλ es un multiplicador positivo el cual
indica la tasa de deformación de una función potencial plástica ( )k k ijg g σ=
pk
kij
ij
gg
λε••
= ∂∂
(66)
MANDEL .(12)(1)(15)adopta estos conceptos de deformaciones asumienfo
kf como una función de el estado de tensión y de los multiplicadores mλ
31
( , )k k ij mf f σ λ= (67)
Como resultado, los multiplicadores puedfen ser resueltos de las condiciones:
0k kij mk
ij m
ff fσ λσ λ
• •= + =∂ ∂
∂ ∂o
(68)
Para materiales isotrópicos, la relación entre la tasa de esfuerzos y la parte elástica del tensor de deformaciones viene dado por (14):
e eij ijkl klDσ ε
•
=o
(69)
Donde: ( )eijkl ij kl ik jl il jkD λδ δ µ δ δ δ δ= + + (70)
Los parámetros λ y µ son las constantes de Lame y ijδ representa la delta
de Kroenecker. Algunos investigadores argumentan que estas definiciones de respuesta elástica son válidas solo para pequeñas deformaciones en régimen elástico. Para grandes deformaciones (elasticidad), un ciclo cerrado de carga y unas disipación de energía en algunos casos. Como siempre esta restricción no se usa mucho en la mecánica de suelos, donde la grande deformación es causa de la tensión plástica.
Combinando las ecuaciones (63 y 66-69), conseguimos después de una elaboración:
ekmkm ijpq pq
ij
B Dfλ εσ
••= ∂
∂ (71)
Donde ek m kkm ijpq
ij pq m
B Dgf f
σ σ λ= −∂∂ ∂∂ ∂ ∂
(72)
32
La ecuación (71) representa un sistema de ecuaciones lineales de un
desconocido multiplicador mλ•
, el cual se soluciona por:
1 ekm mk ijpq pq
ij
B Dfλ εσ
••−= ∂
∂ (73)
por definición 1ij jk ikB B δ− = (74)
Combinando las ecuaciones (63,66,69,73) llegamos a la formal expresión de la relación constitutiva.(12)(1)(15),
epij ijkl klDσ ε
•
=o
(75)
Donde: 1ep e e em nijkl ijkl ijrs mn pqkl
rs pq
D D D B Dg fσ σ
−= − ∂ ∂∂ ∂
(76)
La ecuación (75) sirve como fundamento para más detalles de la descripción de comportamiento material.
La relación constitutiva para el contacto entre cuerpos fue desarrollado en completa analogía a la relación del continuo. En este caso la velocidad relativa de el contacto de superficies puede servir como una medida de deformación(14).
b ai i iu u u
• ••∆ = − (77)
Paralelamente a esta deformación se divide en una parte reversible y en otra ireversible:
e pi i iu u u
• ••∆ = ∆ − ∆ (78)
33
La irreversible, o parte plástica de esta expresión es derivada de una función potencial plástica g = g(ti), donde se convierte en una función de la tracción de superficie ti
pi
i
ugt
λ• •
∆ = ∂∂
(79)
Una función de producción f(ti), es introduida para distinguir entre la respuesta elástica y elastoplástica.
Una simple relación lineal es escogida para describir una tasa objetiva de tracción en la superficie a la parte elástica de velocidad relativa
ee
j kjkt D u•
= ∆o
(80)
La relación constitutiva completa para el comportamiento de contacto es obtenido por la combinación de ecuaciones (78-80)
epj kjkt D u
•= ∆
o
(81)
2.6 ECUACIONES QUE GOBIERNAN EL PROBLEMA
Para obtener las ecuaciones que gobiernan el problema de grandes deformaciones elastoplásticas, la ecuación de equilibrio en el contorno debe de complementarse con las relaciones constitutivas vistas en la sección anterior.
En ecuación (32), los primeros dos términos indican el trabajo virtual realizados por los esfuerzos internos. La tasa de cambio material de el primer tensor de Piola Kirchoff (2), ecuación (23), comenta la tasa de Hill del tensor Cauchy,(15) ecuación(46), encontrando esto:
34
, 0ji i s i
V
i j i i
Sc V S
nu dV IcdS g udV t u dSρδ γρ δ δ• • •
− Σ − + + =∫ ∫ ∫ ∫ (32)
H J
ij ij kk ijσ σ ε σ•
= +o o
(46)
, ,ji ji ki j k ji k ku uσ σ σ• • ••Σ = − + (23)
,ji j k ik kj jk kl
H
ji ki u σ σσ σ• •Σ = − + Ω + Ω
o
(82)
Consecuentemente el primer término de la ecuación (32) puede ser escrito de la siguiente forma . 14)
, ,( )H
ji ki j k ik kj jk kl i j
V
W u u dVσδ σ σ σ σ δ• •
= − + Ω + Ω∫o
(83)
Para llegar a una expresión más trabajable para usar en la formulación de los elementos finitos volvemos a escribir (83) como:
H GW W Wσ σ σδ δ δ• ••
= + (84)
Donde:
35
HH
ji ij
V
W dVσδ σ δε•
= ∫o
, , ,(2 ) ( )Gki j k ij j i ik kj jk kl i j
V
W u u u dVσδ σ δε δ σ σ δ• •
= − − + Ω + Ω ∫
En donde ijδε es la parte simétrica del gradiente de desplazamientos. El
término geométrico G
Wσδ•
, se puede arreglar y nos da:
, , 2G
ki j k jkj i kl ij
V
W u u dVσ σ δ σ ε δε• • •
= − ∫ (85)
La contribución en la interfase a la ecuación de trabajo virtual (32) también se puede dividir en una parte material y una parte geometrica para la introducción de la tasa de tracción de Hill de la ecuación (58) .(12)(1)(15)
H G
C C CW W Wδ δ δ• • •
= + (86)
Donde 1
H H
C i
Sc
W u dSδ τ δ•
= ∆∫o
( )G
r rC k ki i i i
Sc
W u J u dSδ τ δ τ δ•
= Ω ∆ + ∆∫
Aqui se introduce la diferencia en alargamiento J∆ y el desplazamiento virtual de la
superficie de referencia riuδ (14)
36
b aJ J J∆ = − 1
( )2
r a bi i iu u uδ δ δ= + (87)
2.7 DISCRETIZACIÓN POR ELEMENTOS FINITOS
Las ecuaciones que gobiernan el problema de grandes deformaciones elastoplásticas, deben ser discretizados en el sentido de los desplazamientos basados en el método de los elementos finitos. Los términos en las ecuaciones de tensiones resultantes, describen los desplazamientos nodales ubicados en las fuerzas nodales, que nosotros identificaremos. Haremos una distinción entre los términos que necesitamos en un análisis típico de pequeñas deformaciones y una grande deformación respectivamente. Para pequeñas deformaciones los conceptos que adoptaremos respecto a las ecuaciones de elementos finitos los tomaremos (5), Para grandes deformaciones tomaremos conceptos de libros especializados en grandes deformaciones. La notación indicial es usada para la elaboración de la ecuaciones de elementos finitos, porque es mas claro para las estructuras. Por otra parte es indispensable la introducción de notaciones simbólicas adicionales. Siempre como la ecuación de continuidad de equilibrio es al final discretizada como una matriz , una transicion de notación matriz y vector se hará al final de esta sección.
El campo de velocidades iu•
es interpolado de los desplazamientos nodales de
los elementos finitos con la ayuda de las funciones de forma ijN . El desplazamiento
virtual esta restringuido entonces a este set de funciones(5)(14):
i jiju N a• •
= ; i ij ju N aδ δ= (88)
ja•
y jaδ son las velocidades nodales y virtual desplazamiento nodal
respectivamente. El índice j abarca todos los grados de libertad nodales. De esta
37
expresión para el gradiente de velocidad ,i ku•
, el tensor de deformación ikε•
y el tensor
spin ikΩ se obtienen asi en funcion de las funciones de forma(15)(1):
, ,i k j jij k ijku N a L a• • •
= =
1( )
2ik j jijk kji ijkL L a B aε
• • •= + = (89)
1( )
2j jik kji ijk ijkL L a C a
• •Ω = − =
De la misma forma para econtrar la expresión del gradiente de desplazamientos
virtuales ,i juδ y la parte simétrica de ,i jδε se encuentra como(15)(1):
,i j ijk ju L aδ δ= ; ik ijk jB aδε δ= (90)
Las expresiones 88,89 y 90 se usan para discretizar la ecuación de continuidad de equilibrio
0c tW W W Wσ γδ δ δ δ• • • •
− − + + = (91)
El primer término de esta expresión fue tratado en (84). Haciendo la sustitución de las expresiones 88,89,90, la parte material de este término nos da(14):
38
H HH
ij ijij q iqj
V V
W dV a B Vσδ σ δε δ σ δ•
= =
∫ ∫o o
(92)
Una diferenciación mas avanzada en la parte lineal material y lineal no-material es posible cuando las ecuaciones 69 y 75 se utilizan:
H e pp pq qp q qpW a K a a K aσδ δ δ
• • •= − (93)
Donde: e eqp iqj ijkl kpl
v
K B D B dV= ∫
( )p e epqp iqj ijkl ijkl kpl
v
K B D D B dV= −∫
Notese que en la definición (89), ijkB , es simétrico con respecto al primero y
último índice ijk kjiB B= . Consecuentemente este par de matrices son simétricas(2), al
menos cuando consideramos comportamientos isotrópicos y fluidos plasticos derivados en asociación a las leyes de fluidos. Para no relacionar la plasticidad, la segunda matriz resulta no simetrica.
Sobre este punto, la formulación ha sido clásica y debe tener igual buen desarrollo en la notación estándar de matrices y vectores. Como siempre el tratamiento de la parte geométrica del termino del esfuerzo en la ecuación (91), requiere la introducción de notaciones simbólicas especiales. Pero no son necesarios cuando la notación indicial es usada. La discretización de la ecuación (85) produce la siguiente ecuación entonces:
G Gpq qpW a K aσδ δ
• •= (94)
Donde:
39
( 2 )Gqp jpk ki jqi jpk ki iqj
V
K L L B B dvσ σ= −∫
También esta matriz es simétrica(2)
Para la contribución de la interfase en la ecuación de trabajos virtuales, necesitan
introducirse nuevas funciones. La velocidad de referencia de la superficie r
iu•
, la
ecuacion (60) ( )12
r a b
i i iu u u• • •
= +,
y este virtual desplazamiento
riuδ
que es interpolado de los desplazamientos nodales
con la función forma
rijN
rr
i jiju N a• •
= ; r ri ij ju N aδ δ= (95)
El desplazamiento virtual es derivado de las funciones de forma ijN∆(5)
i ij ju N aδ δ∆ = ∆ (96)
Paralelamente el tensor spin (2)de la superficie de referencia rijΩ , se puede
expresar como:
, ,
1( )
2r r r r
j jij kj i ij k ijkN N a C a• •
Ω = − = (97)
40
La ecuacion (86) para la parte geométrica de la contribución de la interfase a la ecuación de trabajos virtuales contiene la diferencia entre la distorsión de los cuerpos en contacto(14)
KK klk lJ n nε ε• •
∆ = ∆ − ∆ (98)
Donde kl
b a
kl klε ε ε• • •
∆ = − . La diferencia en tasa de deformación es interpolada
sobre los valores nodales con las funciones de forma de (96):
, ,
1( )
2ik j jij k kj i ijkN N a B aε
• • •∆ = ∆ + ∆ = ∆ (99)
El segundo término de la ecuación de continuidad de equilibriopuede ser discretizada con las ecuaciones (95 y 96). Para la parte material de este término, ecuación (86), sustituyendo resulta(14):
H H Hc i i q iq i
Sc Sc
W u dS a N dSδ τ δ δ τ•
= ∆ = ∆
∫ ∫o o
(100)
Las ecuaciones (80 y 81) son usadas para dividir este resultado en una parte lineal material y en otra no lineal(2)
H e pp pc q qp q qpW a K a a K aδ δ δ
• • •= − (101)
Donde:
41
e eqp iq ij jp
Sc
K N D N dS= ∆ ∆∫
( )p e epqp iq ij ij jp
Sc
K N D D N dS= ∆ − ∆∫
El par de matrices son simétricas cuando e eij jiD D= y cuando se considera un
fluido, y tambien ep epij jiD D= . La parte geométrica de los términos de la interfase se
encuentran de la sustitución de ecuaciones (95 y 96)en la definición de este término (86)
G Gpc q qpW a K aδ δ
• •= (102)
Donde: ( )G r rqp jpi j iq kpk k i kpi i iq
Sc
K C N B n n B N dSτ τ = ∆ + ∆ − ∆ ∫
Esta matriz no es simétrica de la relación constitutiva usada.
Los terminos de carga en la ecuación (91), no difieren del uso que se le da también para pequeñas deformaciones cuando solo la carga muerta es la considerada.
i i q iq i q q
V V
W g u dV a N g dV a fγ
γδ γ ρ δ δ γ ρ δ• • • •
= = =
∫ ∫ (103)
t
t s i i q iq s i q q
S S
W t n u dS a N t n dS a fδ ρ δ δ ρ δ• • • •
= = =
∫ ∫ (104)
42
La ecuacion de equilibrio continuo en esta forma discretizada es obtenido cuando cada término en la ecuación (91) es reemplazado por la contraparte como elemento finito(14).
Por notación, matrices y vectores se expresan:
( ) ( ) 0t
T e p G Ta K K K a a f fγ
δ δ• • •
= = =− − − −− −− − + + + = (105)
La contribución de las interfase a sido incluida en los términos del continuo. La expresión anterior puede ser cero para cada desplazamiento virtual entre el grupo
de las funciones de forma y para cada aδ−
. Como consecuencia de esto la continuidad
del equilibrio requiere que:
t
TK a f f
γ• • •
= − − −= + (106)
Donde:
e p G
TK K K K= = = =
= − +
TK=
es la matriz de fuerzas tangenciales, matriz GK
= es usualmente
despreciada en pequeñas deformaciones, excepto cuando se estudia cierto fenómeno (buckling). Todos los efectos de no-linealidad están incorporados en la matriz plástica
de reducción pK
=
APÉNDICE A
Es este apéndice se tratará las derivaciones de las ecuaciones (35) y (38)donde son necesarias para el desarrollo de la sección (2.3) Tasa de tensiones.
43
Durante una deformación de configuración actual en t=t0 a otra en t=t1, figura 9, las componentes del vector de superficie cambian de acuerdo a la fórmula de Nanson
01 00
11 1
ji j
xdA dA
x
ρρ
∂=
∂ (A1)
Una observación para la sección 2.3 Tasa de Tensiones, la fuerza sobre la superficie del elemento busca la dirección de la línea del elemento con quien este fue alineado en la configuración t=t0. Esto implica que los componentes de la fuerza cambian en un similar camino que los componentes de la linea material del elemento
11 0
0i
i jj
xdx dx
x
∂=∂
y 1
1 00i
i jj
xdf df
x
∂=∂
(A2)
Si introducimos el gradiente de deformación Cij :
1
0i
ijj
xC
x
∂=∂
(A3)
Entonces, por aplicación en el cambio de la diferenciación, es fácil comprobar que la inversa del gradiente (usada en primera expresión), viene dada por:
01
1i
ijj
xC
x− ∂=
∂ (A4)
44
Figura 9 Relacion de Configuraciones t0 y t1 durante la deformación de un cuerpo
Donde por definición 1ijC − es:
1ij jk ikC C δ− = (A5)
Cuando estas notaciones son usadas en las fórmula (A1) y (A2) y en la ecuación (35) se obtiene
1 0i ij jdf C df=
(35)
1 1 00
1i ji jdA C dA
ρρ
−=
La deformación de la configuración en t=t0 a la otra configuración en t=t1 está dada por:
45
1 0i i ix x u dt
•= + (A6)
Este resultado puede usarse para elaborar el gradiente de deformación para diferenciales de tiempo dt
, ( )i j ijij ij ij ijC u dt dtδ δ ε• •
= + = + − Ω (A7)
El tensor spin esta definido por:
, ,1
( )2
j i i jij u u• •
Ω = − (A8)
El radio de las densidades encontramos de la ecuación de la continuidad
,1 0 0(1 )m mdt u dtρ ρ ρ ρ• •
= + = − (A9)
O el equivalente: 1,
0
(1 )m mu dtρρ
•= − (A10)
Todas los términos de la ecuación (38) han sido derivados entonces.
46
3. APLICACIÓN DE ELEMENTOS DE INTERFASE
Este capítulo discute la aplicación de elementos de interfase en el análisis de interacción suelo-estructura. Como los elementos de interfase son usados para modelar la zona de contacto entre la estructura y el suelo. Para este propósito unos 10 nudos de elementos finitos son formulados y su integración numérica es discutida.(6)(9)(14)
Algunos problemas de interacción suelo-estructura involucran temas especiales donde el campo de la deformación juega un papel singular, un ejemplo sería un flujo de suelo alrededor de una esquina. Un convencional elemento finito malla deficientemente la flexibilidad para modelar este problema. Consecuentemente los elementos finitos están distorsionando este concepto, por lo tanto producen resultados de esfuerzos no esperados. Una solución a este problema es presentado en la sección 3.4 donde es tocado un especial uso de interfase de elementos. Tres problemas de interacción suelo estructura son discutidos, todos involucran puntos de singular deformación, que serán discutidos. Se va a dar especial atención a la calidad de las tensiones resultantes y a los límites de carga.(6)(9)
3.1 INTERFASE DE ELEMENTOS EN INTERACCIÓN SUELO-ESTRUCTURA
En el análisis de interacción suelo estructura el desarrollo de singulares desplazamientos y zonas de alta distorsión requiere atención particular. Elementos Finitos especiales serán usados para modelar estas zonas. El primer estudio de estos elementos de interfase o de nudos de elementos fue realizado en el análisis de masas de roca con nudos predefinidos. Más tarde el problema de la interfase fue aplicado al problema de interacción suelo estructura. Independientemente de esto, el análisis de la fractura del concreto conduce al desarrollo de toda la interfase de elementos, en donde el contacto de las caras son acopladas nudo a nudo.
Roughly ha tocado el tema de dos aproximaciones que pueden ser encontradas en la Literatura. Una aproximación es tratar directamente el problema de la interfase
47
como compatibilidad. Los requerimientos de la compatibilidad son exigir exactitud. Por ejemplo por el aproximado de los multiplicadores de Lagrange, se deberá considerar una corrección de la formulación debido a esta circunstancia. La segunda aproximación usa el concepto físico de de los elementos de interfase. Las ecuaciones constitutivas describen el esfuerzo de contacto para dividirse y comprimirse. Desde el punto de vista matemático esta aproximación y la corrección de las ecuaciones coinciden. Un detalle de la formulación de interfase está dada por Honberg, un investigador suizo en un tratado (1988) Zürich. La segunda aproximación será escogida para esta tesis. Un elemento de interfase puede ser incorporado fácilmente a cualquier programa de elementos finitos el cual necesita para su buen funcionamiento la introducción de los multiplicadores de Lagrange o la actualización de las constantes cinemática.
3.2 FORMULACIÓN DE ELEMENTOS DE INTERFASE
3.2.1 RELACION CONSTITUTIVA
La ecuación constitutiva para el comportamiento de la interfase está basado en la ecuación (80) (9)(14)
( )e p
e e
c ct D u D u u
• • •
= =− − − −= ∆ = ∆ − ∆
o
(3.1)
Donde t−
o
describe una objetiva tasa de tracción, e
u•
−∆ es el desplazamiento
relativo en la superficie de interfase. La matriz e
cD=
describe la simple expresión:
0
0e
c
KsD
Kn=
=
(3.2)
48
Vease que la matriz de rigidez elastoplástica, la cual es derivada del mayor desarrollo de la ecuación (3.1), generalmente contiene términos solo en la diagonal principal. Para programas computacionales en el régimen plástico la definición de matríz D, no es muy importante. La división elástica comienza muy pequeña dando
como resultado que c
t•
−desaparezca. Boulon presenta un incrementado modelo
constitutivo no linear. El cual puede ser usado para dar una mayor correcta predicción del comportamiento de la interfase en el rango de pre-falla.
Las matrices de interfase Ks y Kn pueden ser escogidas en la parte inicial de la curva carga-desplazamiento, guardando semejanza con lo que pasa con la interfase. En esta camino la influencia de las interfases se limita al caso de la división plástica, donde esta aumenta la flexibilidad del modelo. Sobre la vinculación de los valores de Kn y Ks son determinados por las condiciones de una simple matriz de rigidez. Es decir que para formar la matriz de rigidez de interfase necesitamos conocer la longitud del elemento l, Modulo de corte del suelo G, y el valor de Poisson ν, encontrando ahora que:
GKs
lµ= ;
(1 2 )
GKn
lµ
ν=
− (3.3)(14)(9)
Para la presente tesis usaremos el valor de µ =50. Adecuados valores de Ks y
Kn, son difíciles de encontrar para modelos avanzados, como resultado, la solución elástica se comprueba con las consideraciones propuestas.
Ahora se considera el simple sistema de Mohr-Coulomb (2) descrito en la figura 10
Figura 10. Sistema Mohr Coulomb
49
( ) tans n i if t t t cφ−
= + − (3.4)
Este sistema involucra la presión de contacto nt y la presión de corte st .
Parámetros φ y ic representan el ángulo de fricción y adhesión (interfase). La parte
plástica del desplazamiento relativo alrededor de la superficie de interfase, p
u•
−∆ , llega
a no ser cero cuando el incremento de tracción es tal que
( ) 0f t−
= y 0T
ec
fD u
t
•
−=−
∂ ∆ ≥∂
(3.5)
La tasa de la división plástica viene de la función potencial plástica g(14)
( ) tans n ig t t t ψ−
= + (3.6)
Expresión que contiene el ángulo de dilatación iψ . La ley no constitutiva de
fluidos con la regla i iψ φ< predice una dilatación plástica. En problemas de
confinamiento se producirá una sobre estimación de presión de contacto y por lo tanto un corte de fuerza.
La relación entre la parte plástica del desplazamiento relativo y de la función plástica potencial esta dad por:
50
p gu
tλ
• •
−−
∂∆ =∂
(3.7)
El multiplicador λ•
puede encontrarse de la condición de consistencia 0f•
= ,
obteniendo lo siguiente (14):
1 Tec
fD u
d tλ• •
−=−
∂= ∆∂
; T
ec
f gd D
t t=− −
∂ ∂=∂ ∂
(3.8)
La relación constitutiva incremental es obtenida por la combinación de expresiones (3.1) a (3.8)
epct D u
•
− −== ∆
o
(3.9)
Donde para valores positivos de st
tan tan tan
tan 1ep s nc
K KD
d
φ ψ φψ=
− = −
; tan tans nd K K φ ψ= + (3.10)
Para valores negativos de st los términos de la diagonal cambian el signo.
Observando la matriz epcD=
vemos que para tann su u ψ• •
∆ = ∆ el incremento de
tracción desaparece, como en efecto esto es esperado. Para comportamiento de
material no asociado, también para ψ φ≠ , esta matriz ya no es simétrica.
51
Una relación para incrementos finitos de esfuerzo y deformación se obtiene por la integración de la ecuación (3.9). Si el esfuerzo interseca la zona durante una etapa de carga, el comportamiento del material cambia de elástico a elastoplástico. Entonces la integración de la ecuación (3.9) puede incorporar la determinación de esta intersección. Esta complicación es eliminada si hacemos uso de un proyecto de integración implícita.
Sobre la integración de la ecuación (3.1) tenemos:
( )pect D u u
− − −=∆ = ∆ − ∆ ; u udt
•
− −∆ = ∆∫ (3.11)
Si ahora definimos:
0( )e ecf f t D u
−− =≡ + ∆ (3.12)
Entonces la ecuación (3.8) puede simplificarse a
1 e
fd
λ• •
= (3.13)
También después de la integración
0
1( )
ee e f
f fd d
λ∆ = − = (3.14)
Como el estado inicial del esfuerzo 0t−
siempre satisface la ecuación 0( ) 0f t−
= , el
término 0ef puede ser borrado de esta expresión. Cuando esta relación para λ∆ , se
sustituye en la ecuación (3.11), y se obtiene:
52
( )ec
gt D u
tλ
− −=−
∂∆ = ∆ − ∆∂
(3.15)
Esta relación es utilizada en los programas computacionales para incremento de esfuerzos.
3.2.2 DISCRETIZACIÓN POR ELEMENTOS FINITOS
En la sección 2.7 (DISCRETIZACIÓN POR ELEMENTOS FINITOS) se discutió la discretización de la ecuación de equilibrio continuo. En este capítulo no se consideran los efectos de grandes deformaciones, y como consecuencia de esto, la matriz de rigidez de la interfase de los elementos es completamente definida por la ecuación (101). Los Métodos de rigidez inicial, cuando se usan en procesos de iteración dan características para problemas elastoplásticos de pequeñas deformaciones, por tanto Los métodos de rigidez iniciales son usados en el análisis numérico de problemas elastoplasticos de pequeñas deformaciones.
Consecuentemente, solo la matriz de rigidez elástica necesita ser derivada.
Figura 11 Geometria del elemento de diez nodos de interfase
La figura 11 muestra el ancho de banda de los 10 nudos que se analizarán en este estudio. Este elemento particular se escogió por la compatibilidad con el elemento
53
triangular de 15 nudos. De acuerdo a la ecuación (101) (e eqp iq ij jp
Sc
K N D N dS= ∆ ∆∫ )
(5)la matriz de rigidez para este elemento puede ser escrita como:
e T e
c cSc
K N D N dS= == =
= ∆ ∆∫ (3.16)
Donde la interpolación de la matriz N=
∆ , es encontrada en la ecuación
i ij ju N aδ δ∆ = ∆ (96); esta matriz interpola el desplazamiento relativo sobre los
valores nodales.
1
1
10
10
( )( )
( )
r
z
r
z
r
z
a
a
uN
u
a
a
ξ ξξ =
∆ = ∆ ∆
M
M (3.17)
Donde ξ es una coordenada local del elemento, figura (4.2). La matriz de
interpolación N=
∆ se obtiene de una manera sencilla(5). Con la conoceda definición
de interpolación encontramos que:
1 1 5 5
1 1 5 5
0 0 0 0
0 0 0 0
N N N NN
N N N N=
− − ∆ = − −
L
L (3.18)
Las funciones de forma N1 a N5 se definen:
54
1
2 1 1( ) ( ) ( )( 1)
3 2 2N ξ ξ ξ ξ ξ= + − −
2
8 1( ) ( 1) ( )( 1)
3 2N ξ ξ ξ ξ ξ= − + − −
3
1 1( ) 4( 1)( )( )( 1)
2 2N ξ ξ ξ ξ ξ= + + − − (3.19)
4
8 1( ) ( 1) ( )( 1)
3 2N ξ ξ ξ ξ ξ= − + + −
5
2 1 1( ) ( ) ( )( 1)
3 2 2N ξ ξ ξ ξ ξ= + − +
Los elementos de la matriz de rigidez pueden ahora ser elaborados para el caso
del eje de simetria ( )ξ (5)
2e T e
c cK N D N rJd
ξ
π ξ= == =
= ∆ ∆∫ (3.20)
Donde r es la coordenada radial y J el Jacobiano de la transformación de coordenadas globales a locales(5):
2 21
2
r zJ L
ξ ξ ∂ ∂= + = ∂ ∂
(3.21)
Para un elemento continuo, este Jacobiano es igual a la mitad de su longitud.
55
También se debe notar que por la definición (3.17), la matriz e
cD=
describe
componentes globales de tracción a componentes globales de desplazamientos relativos(5)(14).
2 2
2 2
e s r n z s r z n r z
cs r z n r z s z n r
K n K n K n n K n nD
K n n K n n K n K n=
+ −= − +
(3.22)
Nr y Nz son los componentes de un vectore unitario en la dirección de la
interface de los elementos. Una mejora de esta definición es que la matríz e
cK=
en la
ecuación (3.20) no debe ser transformada a cordenadas globales antes de la adición a la matriz de rigidez global del sistema
En el caso de condiciones para deformaciones planas, la matriz de rigidéz se reduce a:
e T e
c cK N D N Jd
ξ
ξ= == =
= ∆ ∆∫ (3.23)
56
4. SUELO
4.1 DETERMINACIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS DEL SUELO Y SU MATRIZ DE RIGIDEZ
Ahora vamos a considerar el análisis de estructuras geotécnicas. Son presentados los requerimientos de diseño, consideraciones teóricas serán discutidas. Aquí vamos a ver de manera general el potencial de los elementos finitos sobre los métodos convencionales.
Figura 12 Tipos de cimentaciones
57
Todos los ingenieros estructurales de cierta manera tienen que considerar el efecto del suelo sobre todo en los diques o presas de tierra y en los cortes en material rocoso, este suelo desestabiliza y estabiliza las fuerzas para mantener el equilibrio. En cambio las balsas y los pilotes transfieren la carga de las estructuras al suelo. El diseño de estas estructuras debe considerar las fuerzas que existen en el suelo y en los miembros de la estructura y los potenciales desplazamientos de la estructura y del suelo que la circunda. Generalmente se consideran cargas de trabajo y de última resistencia.
4.2 CONSIDERACIONES NUMÉRICAS. (INTERACCIÓN SUELO-SUBESTRUCTURA)
4.2.1 APROXIMACIÓN DE VIGA DE RESORTE
Esta viga de aproximación es usada para la investigación de problemas de interacción suelo-estructura. Por ejemplo se puede utilizar para estudiar el comportamiento de pilas o pilotes lateral y axialmente cargados, balsas de cimentación muros y túneles. El comportamiento del suelo es aproximado por un set de resortes interconectados verticales y horizontales (Borin-1989), o por un set de factores lineal elásticos (Papin-1985). Solo simples estructuras pueden ser acomodadas en este análisis. Consecuencia de esto una simple pila o una pared de contención pueden ser analizadas. Aproximaciones paralelas se introdujeron para los casos de interacción suelo-estructura. La figura 13 muestra estas aproximaciones (6):
Figura 13 Vigas Resorte representando al suelo
58
En el diseño de balsas de cimentación, el suelo puede presentar dos simulaciones (figura 14): a) como un set de resortes (Winkler) b) como un continuo referido a un espacio elástico. De acuerdo a las hipótesis de Winkler, la presión de contacto ρ en un punto enm la base de la cimentación es proporcional al asentamiento
w por (6):
Kwρ = (4.0)
Figura 14 a) modelo de winkler b) continuo elástico o inelástico
Como se indica en la figura 14, la constante de proporcionalidad k es llamada comúnmente módulo de reacción del sistema de resortes de Winkler. Esta forma de llamado también hace referencia al modelo de fluidos densos, porque este sistema de resortes es análogo a lo que sucede en los fluidos densos como se ve en FIGURA 14 (a), con u se denomina a la presión hidrostática. Por lo tanto la unidad del modulo de reacción de winkler es el mismo que el usado en la unidad de peso γ .(6)
Alternativamente a estos resortes de Wilkler, el suelo se puede representar como un continuo, siendo elástico o inelástico (figura 14(b)), El primer caso mejor conocido como un medio elástico (Módulo de Young E, y coeficiente de Poisson υ , puede ser investigado y solucionado por las teorías de la Elasticidad. El segundo caso
que adiciona los parámetros de cohesión c, y del ángulo de fricción φ , es utilizado en
59
cada día de prácticas de ingeniería y se resuelve por métodos numéricos como el (MEF).(9)(6)
La respuesta de los diferentes modelos se observa en la figura (15), para los dos casos extremos desde cero hasta infinitas rigidez de la cimentación, relativo al suelo. La diferencia es notable para presiones de contacto bajo cimentaciones rígidas y para los asentamientos de cimentaciones flexibles.
Figura 15 Cimentaciones basadas en resortes de winkler y en el continuo a) balsa rigida b) balsa flexible
El método de los elementos finitos utiliza elementos de 2 y 3 dimensiones, como pueden ser platos y elementos de resorte. Un diseñador que busca el uso de los MEF, debe primero estudiar la teoría general del método, para luego familiarizarse con los elementos codificados. El segundo paso no es simple ya que se deben estudiar varios elementos disponibles, las cargas y la capacidad de las restricciones. Se
60
recomienda que el investigador en un proyecto real, debe probar las soluciones para muchos casos para ganar la experiencia necesaria.
Un importante aspecto del análisis de elementos finitos es la selección del modelo para las dos estructuras la balsa misma y el suelo. El modelo depende de tres factores básicos a considerar: a)tipo de balsa (simple, o con vigas, o tipo caja), b)características del suelo c) tipo de análisis (sofisticación). La pregunta de sofisticación del análisis debe considerar no solo el tiempo y presupuesto disponible sino también la calidad de datos del suelo. Este es un pequeño punto que se adopta para un modelo sofisticado si los parámetros disponibles son de baja calidad, y los diseñadores no deben caer en la trampa de pensar que por tener un modelo de cálculo sofisticado puede compensar la deficiencia en los datos de entrada.(6)(9)
Para balsas simples planas, se usa normalmente los elementos tipo platos soportados por resortes,(figura 16(a)). Para sólidos en 3 dimensiones, (figura 16(b)). La primera opción es la más comúnmente utilizada, y siempre un suelo estratificado puede ser considerado `para la selección del modulo de reacción de winkler. La segunda opción permite la consideración de variaciones espaciales en las propiedades del suelo, pero requiere mayor trabajo computacional.
Figura 16 Modelos de elementos finitos en balsas de cimentación
61
Figura 17 Principales modos de interacción suelo-Estructura
4.2.2 DESARROLLO DE LA FORMULACIÓN DE LA DEFORMACIÓN DEL SUELO POR MEDIO DE LA MECANICA DEL CONTINUO
Ahora vamos a desarrollar las ecuaciones de la deformación estática del suelo, las mismas que son resultado del trabajo de la mecánica del continuo. Una restricción inicial se hace en el sentido de que las deformaciones son muy pequeñas. Esto hace que se desarrolle una formulación en base a una geometría original no deformada. La descripción del continuo es discretizada de acuerdo al método de los elementos finitos.
4.2.2.1 ECUACIONES BÁSICAS DE DEFORMACIÓN Y MODELOS DE SUELOS
El equilibrio estático de un continuo puede ser escrito como: (2)
_0
T
L bσ= − −
+ = (4.1)
62
Esta ecuación relaciona las derivadas espaciales de las seis componentes del
tensor de esfuerzos, ensamblados al vector σ−
, a las tres componentes del tensor b−
.
El tensor T
L=
es la transpuesta del operador diferencial definido como.(2)
0 0 0
0 0 0
0 0 0
T
x y z
Ly x z
z y x
=
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(4.2)
Adicional a la ecuación de equilibrio, la relación Cinemática puede formularse como:
Luε=− −
= (4.3)
Esta expresión describe las seis componentes de deformación, ensambladas en
el vector ε−
, como las derivadas espaciales de los tres componentes de
desplazamientos, ensamblados en el vector u−
, usando la definición del operador
diferencial L=
, se pueden relacionar la ecuación (4.1) y (4.3), y se forma la relación
constitutiva que representa el comportamiento del material. Las relaciones constitutivas también conocidas como relaciones entre tasas de esfuerzo y deformación, se repiten aquí para completar el modelo como. 6)(9)
Mσ ε• •
=− −= (4.4)
63
El comportamiento mecánico de los suelos puede ser modelado para varios comportamientos. Por ejemplo la ley de Hooke describe un comportamiento lineal, elasticidad isotrópica, relaciona de manera lineal el esfuerzo y la deformación. Involucra dos términos conocidos como el módulo de Young, y el coeficiente de Poisson, (E y v), este modelo por lo general recopila de manera general el comportamiento de suelos y rocas. Para suelos que recopilan más información este modelo ya no se aplica por el comportamiento de los mismos. Ahora vamos a estudiar unos preliminares de varios tipos de modelos de suelos.
- Modelo de Mohr-Coulomb (MC)
El modelo elasto-plástico de Mohr Coulomb (17)(18)involucra cinco parámetros, Modulo de Young Ε , el coeficiente de Poisson ν , que son usados en el comportamiento elástico del suelo, el ángulo de fricción y la cohesión ϕ y c, y ψ
conocido como el ángulo de dilatancia. Este modelo de Mohr Coulomb representa la aproximación de primer orden del comportamiento de rocas y suelos. Este modelo se usa para el primer análisis en el estudio del comportamiento del suelo. Considera una constante de rigidez (Ε ) promedio en el suelo. Debido a esta situación los programas computacionales calculan rápidamente la primera estimación de deformaciones.
- Modulo de suelo endurecido (HS)(Hardening soil)
El modelo de suelo endurecido (17) (18) es un avanzado modelo para la simulación del comportamiento del suelo. Como para el modelo de Mohr-Coulomb, limitados estados de tensión son descritos por el ángulo de fricción y la cohesión ϕ y
c, y ψ conocido como el ángulo de dilatancia. Como siempre la rigidez del suelo es
descrita mucho más exacta usando tres diferentes datos de rigidez; la carga triaxial
50Ε , la triaxial descargada urΕ , y la carga de Odometro eodΕ . Como valores
promedios para varios tipos de suelos se toman: 503urΕ ≈ Ε y 50eodΕ ≈ Ε , estos
valores se pueden tomar por defecto, pero para suelos muy suaves o muy rígidos se
64
dan otros radios de 50/eodΕ Ε , que pueden ser estudiados por investigadores. En
contraste con el modelo de Mohr Coulomb, el modelo de suelo endurecido describe la dependencia del esfuerzo del módulo de rigidez. Esto hace que toda la rigidez se incrementa con la presión. Por lo tanto todos los tres datos del modulo de rigidez relacionados al esfuerzo usualmente toman el valor de 100 KPa (1 bar).
Comparando los parámetros de los modelos mencionados, las condiciones iniciales del suelo son de preconsolidación, jugando un esencial rol en problemas de deformación de suelos. Esto puede ser tomado en cuenta al inicio de la generación del esfuerzo.
- Modelo de suelo endurecido con pequeña deformación de rigidez (HSsmall)
El modelo de suelo endurecido con pequeña deformación de rigidez (HSsmall)(17)(18) es una modificación del mencionado modelo de suelo endurecido que describe para el incremento de la rigidez del suelo a pequeñas deformaciones. En bajas niveles de deformación casi todos los suelos muestran una alta rigidez, y esta rigidez varia no linealmente con la deformación. Este comportamiento es descrito en el (HSsmall) usando un parámetro histórico de deformación y dos parámetros
adicionales referentes al material, estos parámetros son: 0refG y 0.7γ .
0G es el módulo de corte de pequeñas deformaciones y 0.7γ es el nivel de
deformación al cual el módulo de corte ha reducido alrededor del 70% del módulo de corte de pequeñas deformaciones. Las avanzadas características del (HSsmall) se aprecian en el estado de cargas de trabajo, aquí el modelo calcula desplazamientos más confiables que el modelo de suelo endurecido.
65
- Modelo de suelo suave (SSC)
El modelo antes descrito de suelo endurecido es recomendable para todos los suelos, pero este no se aplica para efectos de viscosidad. Estos suelos tienen una compresión primaria. Como ejemplo tenemos las arcillas de normal consolidación, sedimentos. Este es u nuevo modelo para el análisis de asentamientos de cimentaciones. Este modelo (18)se aplica para problemas que no soportan carga como excavaciones de túneles, reemplazando al modelo de mohr coulomb.
4.2.2.2 LIMITACIONES DE LOS MODELOS DESCRITOS
- MODELO ELASTICO LINEAL
El comportamiento del suelo es altamente no lineal e irreversible. El modelo elástico por tanto es insuficiente para capturar las esenciales características del suelo. El modelo elástico puede ser considerado para modelar estructuras masivas en el suelo o sobre capas de roca.
-MODELO MOHR-COULOMB
El modelo Mohr-Coulomb es de primer orden, incluye limitadas características que el comportamiento del suelo muestra en realidad. Aunque el incremento de rigidez con la profundidad puede ser tomada en consideración, el modelo Mohr-Coulomb no incluye la dependencia del esfuerzo.
66
-Modulo de suelo endurecido (HS)(Hardening soil)
Este es un modelo avanzado, hay características del suelo que no considera este modelo como son: la suavidad a la dilatancia del suelo, en efecto este es un modelo isotrópico. Lo mas limitante es que el modelo no distingue entre grandes rigideces y pequeñas deformaciones. El modelo del suelo se lo hace en mucho tiempo, la determinación de la matriz de rigidez se hace y deshace en cada paso que da el modelo.
- Modelo de suelo endurecido con pequeña deformación de rigidez (HSsmall)
Este modelo incorpora la historia de carga del suelo, el modelo puede usar ciclos de carga. Aquí no se consideran en los ciclos la dilatancia del suelo. Es mas demorado que el modelo anterior.
- Modelo de suelo suave (SSC)
Este modelo tiende a predecir el comportamiento elástico del suelo, este es el caso para problemas de excavaciones, por tanto se utiliza en ciertas ocasiones.
-ELEMENTOS DE INTERFASE.
Los elementos de interfase son generalmente modelados por el modelo bilinear de Mohr-Coulomb. Cuando un modelo más avanzado es usado para el correspondiente conjunto de datos, el elemento de interfase solo puede suministrar los datos de (c, ϕ ,ψ ,Ε ,ν ) para usarlo en Mohr Coulomb. Es asi que la rigidez de la
67
interfase es igual que la rigidez elástica. Entonces Ε = urΕ donde urΕ es el nivel de
esfuerzo dependiente, encontrando una ley con urΕ proporcional a σm.
4.2.2.3 PRELIMINARES DE MODELACION DE MATERIAL
Una modelación de material es descrita por un set de ecuaciones matemáticas que dan una relación entre esfuerzo y deformación. Los modelos de material son expresados en una forma en la cual los incrementos infinitesimales de esfuerzo, o tasa de esfuerzos, estan relacionados a los incrementos infinitesimales de deormación o tasa de deformación, en esta tesis todas la modelación del material se hara en base a la relación entre la efectiva tasa de esfuerzos y la tasa de deformaciones.
4.2.2.3.1 DEFINICIÓN GENERAL DE ESFUERZOS
El tensor de esfuerzos se representa como una matriz en coordenadas cartesianas asi. 17)
(4.5)
En la teoria de deformación estandar, el tensor de tensiones es simétrico dado que σxy=σyx, σyz=σzy, σzx=σxz, en este caso el tensor en notación vectorial involucra seis componenetes:
(4.6)
68
Figura 18 Sistema de coordenadas tridimensional convención de signos
De acuerdo al principio de Terzaghi(5), el esfuerzo en el suelo está dividido en el esfuerzo efectivo σ’, y presiones de poro σw
(4.7)
La presión de poros está generalmente definida por el agua contenida en los poros. El agua es considerada una sustancia que no produce ningún esfuerzo de corte. Como resultado el esfuerzo de corte efectivo es igual al esfuerzo total de corte. Las componentes del esfuerzo normal positivo son consideradas para representar la tensión, donde las componentes del esfuerzo normal negativas indican presión (compresión). El agua es considerada isotropica, por tanto tadas las componentes de presión son iguales, entonces la presión de poros pùede representarse por un simple valor pw.
(4.8)
Las modelaciones materiales de suelo y roca son generalmente expresadas como una relación entre incrementos infinitesimales de esfuerzos efectivos y incrementos infinitesimales de deformación. En efecto una relación de incrementos infinitesimales de esfuerzos efectivos son representados por la tasa de esfuerzos :
69
(4.9)
Esta es la obtención útil para aplicaciones de esfuerzos principales en coordenadas cartesianas cuando se formula la modelación del material. Los esfuerzos principales son los esfuerzos que van por la dirección del sistema de coordenadas todo los esfuerzos de corte son cero. Los esfuerzos principales son en efecto los eigenvalores de el tensor de tensiones. Los principales esfuerzos efectivos pueden ser determinados por:
(4.10)
Donde es la matriz identidad esta ecuacion da tres soluciones para , los principales
esfuerzos efectivos , los esfuerzos efectivos son arreglados en forma algebraica:
(4.11)
Donde , es el grande esfuerzo principal de compresion y , es el pequeño esfuerzo principal de compresion, la modelación se hará en base a la referencia de los esfuerzois principales como indica la figura (19).
70
Figura 19 Espacio de Esfuerzos Principales
En suma a los esfuerzos principales se definen los invariantes de esfuerzos, los cuales miden los esfuerzos independientes de la orientación del sistema de coordenadas. Dos invariantes de esfuerzos utilizados son:
(4.12)
Donde p’ es la efectiva tensión isotrópica, o también la tensión efectiva, y q es la equivalente tensión de corte. La equivalente tensión de corte q, tiene la importante
propiedad que esta reduce a para estados de esfuerzo triaxial con
Los esfuerzos de tensiones principales pueden ser escritos en funcion de sus invariantes:
71
(4.13)
En donde θ es conocido como el angulo (Lodes) un tercer invariante definido por:
(4.14)
Donde:
(4.15)
4.2.2.3.2 DEFINICIÓN GENERAL DE DEFORMACIONES
El tensor de deformaciones es definido en coordenadas cartesianas como(17):
(4.16)
Las deformaciones son las derivadas de las componentes de los desplazamientos
, donde i y j, son los mismo que x, y ,o, z. De acuerdo a la teoria
72
de pequeñas deformaciones, solo la suma de las componentes del tensor cartesiano de
corte y resulta en el tensor de corte. Esta suma es denotada como el tensor de
corte . Entonces en lugar de , y , las componentes del tensor
de corte y son usados respectivamente. Bajo las anteriortes condiciones, las deformaciones son escritas en notación vectorial, quien involucra solo seis diferentes componentes:
(4.17)
De igual manera como para los esfuerzos, las componentes del tensor deformación positivas se refieren a tensión, y las componentes negativas del tensor deformación indican compresión.
En la formulación de modelación de materiales, donde los incrementos infinitesimales de deformación son considerados, estos incrementos son representados por las tasas de deformación.
(4.18)
73
En analogia a los invariantes de esfuerzos, este es también usado para definir los invariantes de deformación. Un invariante de deformación que es usualmente utilizado como la deformación volumétrica el cual es definido com la suma de todas las componentes normales de deformación:
(4.19)
La deformación volumetrica es definida como negativa para compactación y como positiva para dilatancia.
Para modelos elastoplásticos, la deformación es descompuesta en la parte elática y plástica:
(4.20)
Ya se conoce que el subindice e es elasticidad y el subindice p plasticidad.
4.3. DEFORMACIONES ELASTICAS
Las modelaciones materiales para suelos y rocas son generalmente expresadas como una relación entre incrementos infinitesimales de tensiones efectivas (tasa de tension efectivas) y incrementos infinitesiomales de deformación (tasas deformación). Esta relación se expresa en la forma(14)(17)(18):
(4.21)
es la matriz de rigidez del material. Note que en este tipo de aproximación la presión de poros son explicitamente excluidas de la relación esfuerzo-deformación.
74
La modelación material es basada en la ley de Hooke para materiales con comportamiento lineal elástico isotrópico. Este modelo se llama Modelo Lineal elástico, pero este es también la base para otros modelos. La ley de Hooke puede ser escrita así:
(4.22)
La matriz de rigidez del material elástico es ahora escrita como . Dos parámetros
son usados es este modelo, el efectivo modulo de Young , y el efectivo coeficiente
de Poisson , estos parámetros son denotados con (‘).
De acuerdo a la ley de Hooke la relación entre el módulo de Young, y otros módulos de rigidez, como el módulo de Corte, el módulo bulk K, y el módulo eodómetro están dados por(17):
(4.23)
75
4.3.1 SUELO NO DRENADO ANALISIS DE ESFUERZOS
La presencia de agua en los poros de un cuerpo,(17) contribuye a un nivel total de esfuerzos. Según Terzaghi el esfuerzo total se divide en el esfuerzo efectivo y en el esfuerzo por la presión de poros. Como se sabe el agua no produce ninguna presión de corte y entonces el efectivo esfuerzo de cortre es igual al total esfuerzo de corte.
(4.24)
Notese que, de forma similar a el total y efectivo componentes de tensión, pw es considerado negativo para presión.
Una distinción mas avanzada es hecha entre la presión de poros constante Psteady, y el exceso de presión de poros pexcess:
(4.25)
Psteady, es considerado dato del problema, el exceso de presión de poros se calcula y genera durante el cálculo plástico para el caso del comportamiento de material no drenado o durante una consolidación.
76
La derivada de el Psteady da componentes de cero, entonces encontramos:
(4.26)
La ley de Hooke invertida es:
(4.27)
Sustituyendo las ecuaciones (4.24) obtenemos:
(4.28)
Considerando un poco de agua compresible, la tasa de exceso de presión de poros es escrita como(14)(17):
(4.29)
77
En donde Kw es el módulo bulk del agua y n es la porosidad del suelo
La forma invertida de la ley de Hooke puede ser escrita en términos del esfuerzo total y de parámetros de suelo no drenado Eu y Vu:
(4.30)
Donde:
(4.31)
Los parámetros G y v se transforman en los parámetros de suelo no drenado Eu y Vu según (5.31), el subindice u indica parámetros de suelo no drenado.
Para comportamiento incompresible Vu=0.5. como siempre tomando Vu=0.5, se da una singularidad a la matriz de rigidez. En efecto el agua es no compresible, pero un real modulo bulk para agua es muy grande, Vu es tomado 0.495, para describir un suelo no drenado compresible. Kw>>nK’. Esta condicion cumple para v’≤0.35(12)(13)(17)
Para material no drenado el modulo bulk del agua esta dado por:
78
(4.32)
Luego de este analisis generalizado del estudio de los suelos, retomamos el punto 4.2.2.1
4.3.2 ECUACIONES BÁSICAS DE DEFORMACIÓN DEL CONTINUO
La combinación de las ecuaciones (4.1), (4.3) y (4.4) puede llevarnos a una ecuación diferencial parcial de segunda orden en los desplazamientos
Como siempre en lugar de una combinación de dirección, la ecuación de equilibrio es reformulada en forma débil de acuerdo al principio variacional de Galerkin (Zinkiewicz,1967) (5)(2):
(4.33)
En esta formulación representa una variación admisible cinemática de desplazamientos, aplicando el teorema de Green (2)para parcial integración para el primer término de la ecuación (4.33) tenemos:
(4.34)
Este teorema introduce una integral del contorno en donde la tracción de contorno aparece. Las tres componentes de la tracción de superficie de contorno están
ensambladas en el vector , la ecuación 4.34 está referida a la ecuación de trabajos virtuales (2).
El desarrollo del estado de tensión (17)(14)puede ser considerado como un proceso incremental:
79
(4.35)
En esta relación representa el estado actual de la tensión el cual es incógnita y , representa el estado previo de tensión el cual es conocido. El incremento de tensión
es la tasa de tensión integrada sobre un pequeño incremento de tiempo.
Si la ecuación (4.34) es considerada para el actual estado i, el esfuerzo
desconocido puede ser reemplazado usando (4.35):
(4.36)
Esto debe notarse que todas las condiciones aparecidas en (4.33) a (4.36) son funciones de posición en un espacio de tres dimensiones.
4.4 DISCRETIZACIÓN EN ELEMENTOS FINITOS
De acuerdo al método de los elementos finitos un continuo es dividido en un número de (volumen) elementos. Cada elemento contiene un número de nudos. Cada nudo tiene un número de grados de libertad que corresponden a valores discretos de las incógnitas en la frontera a ser resueltas. En el presente la teoría de la deformación los grados de libertad corresponden a las componentes de desplazamientos. Un elemento de desplazamiento en juego , es obtenido de los valores discretos nodales
en un vector usando funciones de interpolación ensambladas en la matriz :
(4.37)
80
Las funciones de interpolación en la matriz , son conocidas como las funciones de forma.(5) Sustituyendo la ecuación (4.37), en la ecuación cinemática (4.3), tenemos:
(4.38)
En esta relación , es la matriz de interpolación de deformación,(5) la cual contiene las derivadas espaciales de las funciones de interpolación. Las ecuaciones (4.37) y (4.38) pueden ser usadas en los incrementos variacionales de tasa satisfactoriamente.
La ecuación (4.36) puede ser ahora reformulada en forma discreta como(17)(18)(12)(5):
(4.39)
El desplazamiento discreto puede ser sacado fuera de las integrales así:
(4.40)
Aplicando la cinemática de desplazamientos admisibles tenemos:
La ecuación anterior es elaborada en condiciones de equilibrio en forma discreta. El primer término del lado derecho, conjuntamente con el segundo término representan el vector de fuerzas externas, y el resto de términos representan el vector
81
de reacción interna del paso previo. Una diferencia entre el vector de fuerza externa y el vector de reacción interna puede ser balanceado por un incremento de esfuerzo
(17)(18)(12)(5)
La relación entre el incremento de esfuerzos y el incremento de deformación es usualmente no lineal. Como un resultado los incrementos de deformación pueden generalmente no ser calculados directamente y un procedimiento global iterativo es requerido para satisfacer la condición de equilibrio (4.40) para todos los puntos materiales. (17)(18)(12)(5)
4.5 INTEGRACIÓN IMPLICITA DE MODELOS DIFERENCIALES DE PLASTICIDAD
Los incrementos de esfuerzos son obtenidos por la integración de las tasas de esfuerzos descritos en la ecuación (4.35). Para modelos diferenciales plásticos los incrementos de esfuerzos pueden generalmente ser escritos como:
(4.41)
En esta relación , representa la matriz de elasticidad material para el actual
incremento de esfuerzos. Los incrementos de deformación son obtenidos de los incrementos de desplazamientos usando la matriz de funciones de interpolación
similar a la ecuación (4.38) (17)(18)(12)(5):
Para comportamiento de material elástico, el incremento de deformación
plástica es cero. Para el comportamiento de material plástico, el incremento de deformación plástica puede ser escrito de acuerdo a Vermeer (1979), como(17)(18)(12)(5):
82
(4.42)
Donde:
Multiplicador plástico
Parámetro que indica el tiempo de integración , integración explicita e igual a 1 se denomina implícita
Vermeer demostró que para se obtiene mayores ventajas, entonces para ω=1, la ecuación (4.42) se reduce a:
(4.43)
Sustituyendo la ecuación (4.43) en la ecuación (4.41) y sucesivamente en la ecuación (4.35) tenemos:
con (4.44)
En esta relación , es un vector auxiliar de tensión, referido a un esfuerzo elástico o un esfuerzo trial, el cual es un nuevo estado de esfuerzo cuando considera el comportamiento de un material lineal elástico (17)(18)(12)(5).
83
El incremento del multiplicador plástico que es usado en (4.44) se resuelve cumpliendo con la condición de un nuevo estado de esfuerzo que satisface la condición:
(4.45)
Para plasticidad perfecta y modelos lineales endurecidos, el multiplicador plástico se escribe como (17)(18)(12)(5):
(4.46)
Donde:
(4.47)
El símbolo h describe el parámetro de endurecimiento, donde es cero para modelos de plasticidad perfecta y constante para modelos lineales endurecidos. En el caso anterior el nuevo estado de tensión puede ser formulado como:
(4.48)
Los brackets denotan los parámetros de endurecimiento, los cuales responden a (17)(18)(12)(5):
Para y para
84
Para modelos no lineales con endurecimiento el incremento del multiplicador plástico se obtienen utilizando el proceso iterativo de Newton, regulado con control de convergencia.
4.5.1 PROCEDIMIENTO GLOBAL ITERATIVO
La sustitución de las relaciones entre los incrementos de esfuerzos e
incrementos de deformación dentro de la ecuación de equilibrio llegamos a (17)(18)(12)(5):
(4.49)
Aquí K es la matriz de rigidez, es el vector de incremento de desplazamientos,
, es el vector externo de fuerzas y , es el vector de reacción interna, el superíndice i se refiere al número de paso. Como siempre la relación entre incrementos de esfuerzos e incrementos de deformación es generalmente no lineal, la matriz de rigidez no puede ser formulada exactamente con anterioridad. Entonces un global procedimiento iterativo es requerido para satisfacer dos condiciones, de equilibrio y la relación constitutiva. El proceso global iterativo puede ser escrito como (17)(18)(12)(5):
(4.50)
El superíndice j se refiere al numero de iteración , es el vector que contiene los desplazamientos subincrementales, los cuales contribuyen al incremento de desplazamientos del paso i:
(4.51)
85
Donde n es el número de iteraciones antes de iteración i, La matriz de rigidez K representa el comportamiento del material, en esta simple propuesta la matriz K representa una respuesta lineal elástica, en ese caso la matriz de rigidez se formula como:
(Matriz de rigidez elástica) (4.52)
4.6 CONSOLIDACIÓN
Las ecuaciones que gobiernan la consolidación en este estudio son las de Biot 1956. La ley de Darcy para ecuaciones de fluidos y elástico comportamiento del suelo son también asumidas. La formulación se basa en la teoría de pequeñas deformaciones. De acuerdo con el principio de Terzaghi, el esfuerzo se divide en la presión efectiva y en la presión de poros (17)(18)(12)(5):
(4.53)
Donde:
Y (4.54)
es el tensor de tensiones, es el esfuerzo efectivo , es el exeso de la presión de poros y m es el vector que contiene los términos unitarios para las componentes del tensor de esfuerzos y los términos cero para los componentes del tensor de corte. El estado “steady” es el fin del proceso de consolidación.
La ecuación constitutiva es escrita en forma incremental como (17)(18)(12)(5):
(4.55)
Donde:
86
(4.56)
4.6.1 DISCRETIZACION POR ELEMENTOS FINITOS.
Para aplicar la aproximación por elementos finitos nosotros usamos la notación estándar (5):
(4.57)
Donde , es el vector de desplazamientos nodales, es el vector de presión de poros en exceso es el vector de desplazamientos continuos y p es la presión de
poros. La matriz contiene las funciones de interpolación y , es la matriz de interpolación de deformación.
Partiendo de la ecuación de equilibrio incremental y aplicando la aproximación de los elementos finitos se obtiene (17)(18)(12)(5):
(4.58)
Donde:
(4.59)
87
Donde son las fuerzas aplicadas al cuerpo, y t representa las tracciones en la superficie. En general el vector residual de fuerza ro debe ser igual a cero, pero las soluciones de cargas previas pueden ser incorrectas.
Dividiendo el esfuerzo total en la presión de poros y en esfuerzos efectivos e introduciendo las relaciones constitutivas tenemos la siguiente ecuación de equilibrio:
(4.60)
Donde K es la matriz de rigidez, L es la matriz de acoplamiento, es el vector de incrementos de carga:
(4.61)
La formulación del problema de fluidos, la ecuación de continuidad es adoptada en la conocida forma (17)(18)(12)(5):
(4.62)
Donde R es la matriz de permeabilidad:
88
(4.63)
N es la porosidad, Ki es el modulo bulk de la presión del fluido de poros, , es la densidad de los fluido de poros . Esta ecuación de continuidad incluye la convención de signos para psteady y p son considerados positivos para tensión.
El estado consolidado “steady” está definido por: (17)(18)(12)(5):
(4.64)
La ecuación de continuidad toma la forma:
(4.65)
Aplicando la discretización de elementos finitos usando el procedimiento de Galerkin e incorporando las condiciones prescrritas de frontera se obtiene:
(4.66)
Donde:
89
(4.67)
es el vector que describe la salida de flujo en la frontera.
El módulo bulk se define como (17)(18)(12)(5):
(4.68)
Donde vu =0.495 por defecto.
Las ecuaciones de equiibrio y continuidad se agrupan en un bloque matricial asi (17)(18)(12)(5):
(4.69)
Una simple integración paso a paso se utiliza para resolver esta ecuación, utilizando el símbolo , que describe incrementos finitos, la integración da:
90
(4.70)
Donde:
(4.71)
y , describen valores al comienzo del paso del tiempo, el parámetro αes el coeficiente de integración de tiempo, este varia de cero a uno.
4.7 CONSOLIDACIÓN ELASTOPLÁSTICA
En general cuando se estudia un material no lineal, se necesitan iteraciones para arrivar a una correcta solución. Entonces la ecuacion del equilibrio es escrita en funcion de su forma subincremental (17)(18)(12)(5):
(4.72)
Donde rn es el vector global residual de fuerzas, el total incremento de
desplazamientos es la sumatoria de sub incrementos en todos los pasos de iteraciones:
(4.73)
91
Donde:
y (4.74)
Enla primera iteración consideramos ,es la tensión inicial.
92
5.0 MODELACIÓN DE UNA ESTRUCTURA Y SU ANALISIS PARA DETERMINAR LA
INTERACCIÓN DEL SUELO Y LA ESTRUCTURA .
5.1 PRESENTACIÓN DEL MODELO En este capítulo presentaré un modelo propuesto de una estructura sobre un
terreno rocoso:
Figura 20 Modelo a estudiar (Catedral)
En este modelo se ve la típica estructura sobre un terreno en el cual se supone soportado por los lados para evitar deslizamientos con un muro de hormigón ciclópeo u otro muro de hormigón con contrafuertes. Los materiales que se van a estudiar son los muros de hormigón y el suelo que para iniciar la programación se va a considerar como rocoso y que responde a la ley de Hooke como un caso de elasticidad lineal, si el
93
tiempo nos da el apoyo suficiente se considerarán otros tipos de suelos, pero en realidad el interés de mi tesis no se inclina por el estudio profundo de los suelos sino del efecto estático de la interacción suelo estructura, el mero hecho de iniciar un estudio en cada tipo de suelo, es un estudio delicado y profundo. Ahora voy a presentar el modelo de la estructura anterior modelado para la utilización del MEF, se verá en primera instancia el comportamiento del suelo, y sus teorías afines, como también los nudos de interacción suelo-estructura:
Figura 21 Discretización del suelo
En esta discretización se ha tratado de optimizar los elementos para que tengan igual dimensión pero existen dos puntos donde se han reducido un tanto las dimensiones, por ejemplo en los elementos 1,2,10 y 11, por necesidad de diseño se han hecho mas pequeños los elementos, y los elementos 36,37 por el efecto de la interacción suelo estructura, que es una de las razones de rigor en elementos 1,2,10 y
94
11, a continuación vamos a realizar un análisis del suelo mencionado y un ejemplo de la aplicación de las funciones de forma para esta discretización.
5.2 ESTUDIO DEL ELEMENTO RECTANGULAR DE CUATRO NODOS
El elemento rectangular de cuatro nodos es el más simple de los elementos
cuadriláteros. Este elemento fue desarrollado por Argyris y Kelsey, este elemento fue desarrollado justo después del elemento triangular de Turner, es un elemento sencillo para aplicar en problemas de elasticidad bidimensional. La forma de un cuadrilátero se le atribuye a Taig. Como siempre el irregular comportamiento del modelo standard del elemento de cuatro nodos ha motivado muchas investigaciones, las cuales se detallarán aquí. En la figura 22, se muestra un viga de gran canto discretizada en elementos de 4 nodos. Consideremos un elemento aislado de esta figura, con el sistema de coordenadas locales r,s como se indica(7)(9)(8)(2):
Figura 22 Discretización de una viga Pared con elementos rectangulares de cuatro nodos , definición de ejes locales r y s
Consideremos el elemento aislado de la figura 27, con el sistema de
coordenadas locales r,s que se indica. Por tener cuatro desplazamientos nodales en cada dirección hay que definir el campo de cada desplazamiento en el interior del elemento por un polinomio de cuatro coeficientes en r y s.
La interpolación más simple que cumple las condiciones de compatibilidad interelemental y de invariancia geométrica es la siguiente: (7)(9)(8)(2)
95
u(x; y) = α1 + α 2 r + α 3 s + α 4rs v(x; y) = α 5 + α 6r + α 7s + α 8rs
(5.1) Se desprende de (5.1) que la distribución de u y v a lo largo de cada lado es
lineal y depende solo de los valores de los desplazamientos en los dos nodos que conectan cada lado con el elemento contiguo. Por tanto, la interpolación escogida garantiza la compatibilidad del campo de desplazamientos.
Veamos ahora la figura 23, en donde se detalla un elemento tipo cuadrilátero
de cuatro nodos, en donde el origen del elemento esta en (1) con coordenadas (0,0), en cada nodo se aplicará una fuerza y un desplazamiento descrito con el numero del nodo así por ejemplo para el nodo 1 tenemos ∆1, F1 (7)(9)(8)(2)
Figura 23 Elemento Rectangular con Fuerzas aplicadas en nodos
Vamos a hacer cumplir las cuatro condiciones para los desplazamientos horizontales u
u(x; y) = α1 + α 2 r + α 3 s + α 4rs (5.1)
u(0,0)=∆1 ; ∆1=α1
u(0,b)= ∆3 ; 3 1 3.bα α∆ = + ; 3 1
3b
α ∆ − ∆=
96
u(a,0)= ∆7 ; 7 1 2.aα α∆ = + ;7 1
2a
α ∆ − ∆= 5.2
u(a,b)=∆5; 5 1 2. 3. 4. .a b a bα α α α∆ = + + + ;
5 7 3 14
.a bα ∆ − ∆ − ∆ + ∆=
Reemplazando estos valores en la ecuación (6.1) para el desplazamiento horizontal u, tenemos, agrupando y simplificando términos:
1 1 1 1 3 5 1 7r s r s rs r s
ua b a b ab a b
= − − ∆ + − ∆ + ∆ + − ∆
(5.3)
Análogamente a esta expresión se obtiene para los desplazamientos verticales v que:
1 1 2 1 4 6 1 8r s r s rs r s
va b a b ab a b
= − − ∆ + − ∆ + ∆ + − ∆
(5.4)
Matricialmente las ecuaciones (5.3) y (5.4) se escriben como:
(5.5)
Donde:
97
1 1 1 ; 2 1 ; 3 ; 4 1r s r s rs r s
N N N Na b a b ab a b
= − − = − = = −
(5.6)
Considerándose que:
(5.7)
Siendo las funciones de forma expresadas matricialmente como:
1 1 0
1
0 1 1
r s
a bN
r s
a b
− − = − −
1 0
2
0 1
r s
a bN
r s
a b
− = −
(5.8)
03
0
rs
abNrs
ab
=
98
1 0
4
0 1
r s
a bN
r s
a b
− =
−
Interpretando a r y s respectivamente como x y y, tenemos que para problemas en el plano el vector de deformación esta expresado por:
x
y
xy
u
xv
y
v u
x y
εε ε
γ
∂
∂ ∂= = ∂ ∂ ∂+ ∂ ∂ (5.9)
Donde:
1 11 0 0 0 1 0x
s s s s
a b ab ab a bε = − − − − ∆
1 10 1 0 1 0 0y
r r r r
a b a b ab abε = − − − − ∆
(5.10)
1 1 1 11 1 1 1xy
r s r s r s r s
a b a b a b ab ab ab ab a bγ = − − − − − − − − ∆
En notación matricial:
[ ] Bε = ∆ (5.11)
99
Donde ahora definimos la matriz [ ]B como:
[ ]
1 11 0 0 0 1 0
1 10 1 0 1 0 0
1 1 1 11 1 1 1
s s s s
a b ab ab a b
r r r rB
a b a b ab ab
r s r s r s r s
a b a b a b ab ab ab ab a b
− − − −
= − − − −
− − − − − − − −
5.3 RELACIÓN ENTRE ESFUERZO-DEFORMACIÓN
La relación entre esfuerzo y deformación viene dada por [ ] σ ψ ε= ,
recordando que el material es homogéneo e isotrópico (7)(9)(8)(2). Donde para problemas de elasticidad plana tenemos:
x
y
xy
σσ σ
τ
=
; x
y
xy
εε ε
γ
(5.12)
Y [ ]ψ es la matriz de elasticidad (3 x 3), los términos de la matriz [ ]ψ ,
dependen si el problema es de tensión plana o si es de deformación plana. Para problemas de tensión plana tenemos:
100
[ ] 2
1 0
1 01
10 0
2
νψ ν
νν
Ε= − −
(5.13)
Y para problemas de deformación plana:
[ ]
1 01
(1 )1 0
(1 )(1 2 ) 11 2
0 02(1 )
νν
ν νψν ν ν
νν
−
Ε − = + − − − −
(5.14)
Para conveniencia en la formulación de problemas de elasticidad plana, la
matriz de elasticidad [ ]ψ se expresa como:
[ ]11 12
21 22
33
0
0
0 0
ψ ψψ ψ ψ
ψ
=
(5.15)
Para problemas de tensión plana tenemos que:
11 22 21ψ ψ
νΕ= =
−
12 21 21
νψ ψνΕ= =
− (5.16)
101
33 2(1 )ψ
νΕ=+
Y para problemas de deformación plana tenemos que:
11 22
(1 )
(1 )(1 2 )
νψ ψν ν
− Ε= =+ −
12 21 (1 )(1 2 )
νψ ψν ν
Ε= =+ −
(5.17)
33 2(1 )ψ
νΕ=+
5.4 ELEMENTOS DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ [ ]K
Los elementos de la matriz [ ]K son de (8x8), y son expresados como
(7)(9)(8)(2):
[ ] [ ] [ ][ ]T
V
K B B dVψ= ∫ (5.18)
Sabiendo que los elementos pertenecen a un mismo conjunto de espesor
constante, se puede expresar (5.18) como:
[ ] [ ] [ ][ ]TK t B B dxdyψ= ∫∫ (5.19)
Revisando la ecuación (5.19), sabemos que el cálculo de los elementos de esta
matriz requieren la integración de las variables x y y, la matriz [ ]B es una matriz de
función de estas variables. Entonces primero el producto de [ ] [ ][ ]TB Bψ es evaluado
y luego se calcula la integración de la matriz término a término, sobre el elemento de
102
área. A continuación se van a evaluar algunos términos, se recomienda aplicar con MATLAB, este sencillo cálculo para relacionarse con el mismo.
2 2
11 11 330 0 0 0
1 1a b a by xK t dxdy t dxdy
a ab b abψ ψ = − + + − +
∫ ∫ ∫ ∫
2
11 330 0
1 1b ay xat dy bt dx
a ab b abψ ψ = − + + − +
∫ ∫
111 334 4
12
t ψ β ψ β − = + (5.20)
Donde β=b/a y es conocido como radio de orientación
32 12 330 0 0 0
1 11 1 1
a b a by x x yK t dxdy t dxdy
ab a b ab a bψ ψ = − − − −
∫ ∫ ∫ ∫
Integrando resulta:
[ ]32 12 333 312
tK ψ ψ= −
De manera similar el resto de elementos se irán encontrando para el resto de la
matriz, y se llegará a la siguiente forma:
103
Esta matriz fue calculada en MATLAB, los términos T1,T2,T3 hacen referencia a
[ ]11 12
21 22
33
0
0
0 0
ψ ψψ ψ ψ
ψ
=
Sabemos que estos términos se calculan en base a si el problema es de tensión plana o deformacional plano, la matriz es de (8x8), simétrica y es el paso principal ya para emplazar el resto de matrices que componen el sistema de interacción suelo estructura.
104
6. ANÁLISIS DE ELEMENTOS DE INTERFASE.
6.1 TEORIA BÁSICA
En cualquier situación de una interacción suelo estructura, el movimiento
relativo de la estructura con respecto al suelo puede ocurrir. El uso de elementos continuos, con compatibilidad de desplazamientos, en un análisis de elementos finitos restringe los desplazamientos relativos de la interfase suelo-estructura, figura 24. La compatibilidad nodal del método de elementos finitos restringe los elementos adyacentes del suelo y estructura para moverse a la vez. La interfase, o elementos de nudo como se llaman a veces, pueden ser usados para modelar la frontera del suelo-estructura, como los lados de una pared o pila, o la parte baja de una zapata.
Figura 24 Interfase Suelo estructura usando elementos finitos
Ventajas particulares son la habilidad para variar el comportamiento constitutivo de la interfase suelo-estructura (el valor máximo del ángulo de fricción) y el movimiento diferencial permitido del suelo y de la estructura (deslizamiento y separación). Algunos métodos se han propuesto modelar comportamientos discontinuos de la interfase suelo estructura, entre ellos los más importantes: Figura 25- Uso de elementos continuos con leyes constitutivas standard, Pande y Sharma (1979), Griffiths (1985) (12)(13)(9)
105
Figura 25 Elementos continuos para modelar la interfase
Figura 26 elementos interconectados, en donde solo las conexiones entre los nudos opuestos son consideradas (Hermann (1978), Frank et al (1982)). Usualmente los nudos opuestos son conectados entre sí por un sistema discreto de resortes (12)(13)(9):
Figura 26 Uso del resorte para modelar la interfase
Figura 27 uso de elementos especiales, o elementos de nudo para representar la interfase, estos elementos se conocen como de ancho finito, o grueso cero (Goodman et al.(1968), Ghaboussi(1973), Carol y Alonso (1983), Wilson (1977), Desai(1984), Beer (1985) (12)(13)(9)
Figura 27 Uso de elementos especiales para modelar la interfase
El uso de los métodos híbridos donde el suelo y la estructura son modelados por separado, y son conectadas por ecuaciones de forma para mantener la compatibilidad de las fuerzas y desplazamientos en la interfase (Francavilla y Zienkiewicz (1975), Sachdeva y Ramakrishnan (1981), Katona (1983), Lai y Booker (1989)) (12)(13)(9).
106
De todas estas alternativas el uso del elemento de grueso cero o ancho finito es el más popular, tanto que un elemento ha sido desarrollado por el grupo de investigación numérica geotécnica en el imperial college (1990). Una breve descripción se hará para el elemento de 2D y eje simétricas condiciones es presentado a continuación. (12)(13)(9) El elemento de interfase isoparamétrica es descrito por Berr (1985) y Carol y Alonso (1983). El elemento (figura 28) con cuatro o seis nodos es totalmente compatible con el elemento cuadrilátero de cuatro o seis nodos, y con el elemento triangular isoparamétrico de tres y seis nodos en 2D. (12)(13)(9)
Figura 28 Elementos de interfase de seis y ocho nodos
El esfuerzo de interfase consiste de una normal y una tangencial componente, la tensión normal σ , y la tensión de corte τ , son descritas por la ecuación constitutiva para la deformación normal y tangencial del elemento ε y γ .(12)(13)(9)
(6.1)
Para comportamiento lineal elástico isotrópico la matriz [ ]D toma la forma:
107
(6.2)
Donde Ks y Kn son la rigidez elástica y rigidez normal respectivamente. Los elementos de deformación de interfase están definidos como el desplazamiento relativo de la parte de arriba (top) y de la parte de abajo (bottom) del elemento de interfase: (12)(13)(9)
(6.3) Donde:
(6.4)
Donde u y v son los desplazamientos globales en las direcciones xg y yg respectivamente Entonces:
(6.5)
6.2 FORMULACIÓN CON ELEMENTOS FINITOS
La figura 29 muestra un elemento cuadrilátero de seis nodos, que representa un elemento de interfase: (12)(13)(9)
108
Figura 29 Elementos de interfase con seis nodos
Las deformaciones son definidas como:
(6.6)
La transformación de desplazamientos locales a globales es escrita en forma matricial como (fig 29) :
(6.7)
Reemplazando en (6.6) tenemos:
(6.8)
Los desplazamientos globales (u,v) en cualquier punto del elemento de interfase están expresados en términos del desplazamiento nodal, usando las funciones de forma isoparamétricas Ni, tenemos: (12)(13)(9)
109
(6.9)
Donde el subíndice indica el número de nodo Las funciones de forma isoparamétricas vienen dadas por:
(6.10)
Donde s es la ordenada natural que varía de -1 a 1 sobre la longitud del elemento (fig 29). Sustituyendo las ecuaciones (6.9) en (6.8) tenemos:
(6.11)
Donde es el vector de desplazamientos nodales (grados de libertad) definido como:
(6.12)
Y
(6.13)
La matriz de rigidez del elemento viene dada por: (12)(13)(9)
110
(6.14)
Donde l es la longitud del elemento y la matriz constitutiva del material está dada por las ecuaciones (7.1) o (7.2). La integral es evaluada en la coordenada natural, dando:
(6.15)
Donde |J| viene dado por:
(6.16) Las coordenadas de la parte de arriba y de debajo de la interfase están definidas en términos de las coordenadas nodales, usando las funciones de forma ec (6.10), Para análisis de pequeños desplazamientos, en los cuales los cálculos son basados en la geometría original, las coordenadas x y y son:
(6.17) Donde (‘) denota la derivada con respecto a s. Las funciones de sin y cos están dads por :
111
(6.18) Que se originan de:
Figura 30 Origen de funciones seno y coseno
6.3 PROBLEMAS QUE SURGEN EN LA INTERFASE DEL SUELO ESTRUCTURA
En el método convencional de elementos finitos, el desplazamiento a lo largo de la frontera entre los elementos adyacentes puede ser compatible, no son desplazamientos relativos. Pero en la realidad estos desplazamientos son relativos entre el suelo y la estructura, y juegan un rol importante en el análisis de la interacción. Los problemas que surgen en la interface son los siguientes: (12)(13)(9)
1. Las diferentes características del esfuerzo-deformación del suelo y de la
estructura 2. La dificultad de interpretar los resultados de esfuerzos en la superficie de
contacto entre las dos medias. Esto se da porque, al comienzo del proceso de consolidación del suelo el esfuerzo en la estructura es mucho más grande que el esfuerzo efectivo en el suelo circundante.
3. La necesidad de obtener la presión de contacto explícitamente. Esto es porque esto ayuda a explicar el mecanismo de transferencia de carga entre las dos medias.
112
4. La necesidad de simular los movimientos relativos entre el suelo y la estructura, ya que considerarlos insignificantes trae problemas cuando existe altas tensiones en la superficie de contacto.
5. El problema de prescribir las condiciones de la frontera de interfase. 6. Otro de los problemas y quizá el que se deba tener un cuidado especial es
que cuando tomamos elementos de ancho cero como elementos de interfase, se presentan problemas durante la generación de las mallas, ya que los nodos adyacentes en cada lado de el elemento tienen idénticas coordenadas. Estos problemas también surgen cuando los elementos de la interfase se intersecan.
6.4 CONDICIONES DE FRONTERA DEL SUELO.
La figura siguiente describe lo que lo que se llaman las condiciones de frontera del suelo (12)(13)(9)
Figura 31 Condiciones de frontera del suelo
Las condiciones de esfuerzos de frontera tienden a convertirse en fuerzas equivalentes en los nodos. En algunos programas de elementos finitos el cálculo de las fuerzas nodales equivalentes es desarrollado automáticamente para esfuerzos de frontera distribuidos y para arbitrarias formas de fronteras, como se ve en la figura 31.
Para ilustrar esto la figura 31, muestra un ejemplo del tipo de esfuerzos en la frontera, los cuales deben ser definidos; entre los puntos 1- 2, una decreciente linealidad de esfuerzos de corte es aplicada; entre 2-3 una variación general normal de
113
esfuerzos es aplicada. Para determinar las fuerzas nodales, las cuales son equivalentes a los esfuerzos de frontera, las expresiones para la contribución en la superficie de tracción del elemento al lado derecho utiliza la siguiente expresión: (12)(13)(9)
(6.19)
Donde [N] son las funciones de forma, ∆T es el incremento global del vector tracción en la superficie (tensiones de contorno) y Srf la superficie, es el lado del elemento sobre el cual las tracciones son prescritas. La Integral (6.19) puede ser evaluada numéricamente para cada lado de los elementos, del lado sobre el que actúan las tracciones. El primer paso es la transformación de la Integral de superficie a una integral de una dimensión en el sistema de coordenadas naturales. (12)(13)(9)
(6.20)
Donde t es unidad para problemas de deformación plana e igual a 2πr para problemas eje-simétricos. [N’] contiene las funciones de interpolación del lado del elemento, y |J’| es el determinante del Jacobiano, obtenido del mapeo del lado del elemento de los elementos globales al elemento pariente. Por ejemplo para un elemento isoparamétrico de 4 nodos [N’] toma la forma:
(6.21)
Donde:
(6.22)
114
Son las funciones de interpolación para los lados del elemento. El determinante del Jacobiano para cada punto del lado del elemento está dado por:
(6.23)
Donde las coordenadas de las derivadas son obtenidas por diferenciar las relaciones isoparamétricas simplificadas:
(6.24)
Y Xi y Yi son las coordenadas globales de los dos nodos en el elemento de lado.
El paso final en el cálculo de las fuerzas nodales es evaluando la ecuación (6.20), usando el proceso de Integración de Gauss en una dimensión. Para determinar
el valor de la integración del vector de tracción ∆T, la tensión aplicada debe ser transformada de acuerdo a la orientación del elemento de superficie en la integración se define el signo para tensión. Una convención del esfuerzo normal es positivo si se orienta fuera de las paredes del cuerpo. Mientras que el esfuerzo d corte es positivo si se orienta en una tangencial antihoraria dirección respecto a la superficie del cuerpo. Usando esta convención tenemos:
(6.25)
Si los esfuerzos normales son prescritos, o
(6.26)
115
Si los esfuerzos de corte son prescritos donde θΙ es el ángulo entre la normal a la superficie y el eje global Xg, y el subíndice I describe el valor del punto de integración. El ángulo θΙ es determinado invirtiendo la expresión: (12)(13)(9)
(6.27)
La cual es obtenida por la diferenciación de la ecuación (6.24). En todos los casos el cálculo de las fuerzas nodales se hace a través de (6.20), son inicialmente descritas en ejes globales. Si las fuerzas nodales son definidas en ejes locales, las fuerzas nodales son transformadas se acuerdo a
(6.28)
Siendo:
(6.29)
116
Los angulos α se definen como la orientación de los nudos de ejes locales a ejes globales, se muestra en la figura siguiente lo explicado (4nodos): (12)(13)(9)
Figura 32 Transformación de coordenadas
117
7.0. SUPERESTRUCTURA E INTERFASE DESARROLLO DE LAS MATRICES DE
RIGIDEZ
7.1 DIMENSIONAMIENTO Y NUMERACION DE NODOS DE LA SUPERESTRUCTURA
Para el análisis de la superestructura se definirán dos situaciones, en el desarrollo de los elementos finitos encontramos que para estructuras aporticadas, el modelo a desarrollarse es conocido ampliamente por todos los ingenieros, para dar un mayor énfasis a esta tesis se desarrollarán los sistemas de superestructura para el elemento cuadrangular isoparamétrico de cuatro nodos. Disponiendo el sistema de la superestructura como se indica a continuación en base al estudio del sistema descrito anteriormente como indica la figura 33:
Figura 33 Discretización de la superestructura por elementos finitos
118
La superestructura descrita por la figura 33 es un conjunto de elementos rectangulares isoparamétricos, de cuatro nodos, con una cúpula en donde se podría simular un elemento isoparamétrico triangular de tres nodos, o tres barras como se indica en la figura.
Ahora vamos a ver la superestructura enlazada al suelo mediante los elementos de ancho cero o ancho finito, en donde se tienen los nudos con las coordenadas muy similares, el ensamblaje de la estructura entera es el siguiente, la numeración de los nodos superiores se realizara más adelante.
Figura 34 Estructura analizada enlazada (suelo y superestructura)
119
Ahora vamos a determinar el dimensionamiento y las cargas aplicadas en la superestructura. Llegaremos a definir la matriz de rigidez de la misma, para esto vamos a considerar una mezcla de elementos isoparamétricos cuadriláteros de cuatro nodos, y el ensamblaje con elementos lineales tipo barra de dos nodos, debemos recordar que los elementos de la parte baja se enlazan con la matriz del elemento de ancho cero o de largo finito:
Figura 35 Superestructura
Según se vayan requiriendo datos se irá indicando el tipo de material, este problema se tratará como de tensión plana, ya que el ancho y el alto son notoriamente mayores al espesor, y la carga exterior es perpendicular a este, aunque en ciertas bibliografías se trata el problema de tensión plana y de deformación plana como unificado.
Vamos a describir en idea lo que será el programa de elementos finitos aplicados a una interacción suelo estructura:
120
1. Vamos a ingresar los datos de la superestructura, como son coordenadas de nodos, dimensiones de los elementos (a,b), orientación de elementos (ejes locales respecto a los ejes globales), definir si los elementos con de tipo cuadrangular isoparamétrico, triangular isoparamétrico, o como se plantea en este caso una mezcla de rectangulares con tipo barra.
2. Se van a ingresar datos de la interfase, como son: numero de elementos, nodos, dimensiones de elementos, comportamiento de la interfase.
3. Se ingresarán datos del suelo para formar la matriz de rigidez del suelo 4. Se ensamblaran la matriz de rigidez del sistema 5. Se resuelve
En el primer paso, para identificar el sistema, es colocar un origen para poder leer las coordenadas nodales así:
Figura 36 Superestructura Discretizada
121
Así por ejemplo ya se define para el nodo 2, la coordenada (0,0.4), entonces para este caso se definen 37 nodos que describen 19 elementos 16 cuadrangulares isoparamétricos y tres elementos tipo barra.
Como el desarrollo del programa se hace en paralelo al desarrollo de la tesis, es indispensable definir todas las consideraciones que se hacen, para el uso de problemas de igual consideración, o en el caso en el que se pueda seguir ampliando el problema, se irán dando todos los detalles de rigor.
Inicialmente consideraremos que los elementos cuadriláteros del tipo isoparamétrico, se van introduciendo de la siguiente manera:
Figura 37 Elemento Rectangular, modo de ingreso de datos
Por tanto debemos recordar que la numeración de los nodos se hace para la superestructura como indica la figura anterior, cabe recalcar que el ancho del elemento es llamado a, y el alto es llamado b, que son además los límites de integración de las funciones de forma. Estas funciones fueron demostradas y calculadas en 5.2, debo indicar también que para esta demostración se siguieron paso a paso con el matlab el desarrollo de las mismas, que coinciden con lo que describe (8), indico que para el pilar izquierdo del grafico estudiado se discretizó en ocho elementos, lo que nos da una matriz de rigidez de [36x36] elementos, además siguiendo la indicación anterior se ha numerado nuevamente la superestructura:
122
Figura 38 Discretización utilizada en el programa en MatLab
Ahora se han analizado prácticamente los pilares de la superestructura, para la
parte superior de la misma vemos en el gráfico que se tratan de elementos tipo barra, pero para dar más énfasis a lo estudiado en la maestría vamos a tratar este elemento como un elemento triangular isoparamétrico de tres nodos, para el efecto vamos a definir sus funciones de forma y demás tal como se hizo para el elemento rectangular:
Figura 39 Elemento triangular de tres nodos
123
Considere un elemento triangular plano en dos dimensiones como el mostrado en la figura 39. El elemento se presume que tiene un ancho constante (t), sujeto únicamente a fuerzas planas, y en la frontera del interior del elemento están apegados a la continuidad de los elementos circundantes. Cada elemento tiene tres nodos con dos grados de libertad en cada nodo. Entonces el grado total de libertad de este elemento plano es seis. Los nodos del elemento son numerados arbitrariamente en dirección horaria como (1,2 y3), la figura 39 muestra la orientación de los elementos con respecto al sistema global de coordenadas, las coordenadas nodales, los desplazamientos nodales, y la correspondiente fuerza nodal asociada en los tres nodos del elemento. Se nota que la no restricción ha sido impuesta sobre la orientación del sistema global de coordenadas, excepto que la orientación del plano x-y y el plano del continuo son paralelos entre ellos. Las fuerzas y los desplazamientos nodales para un elemento triangular plano vienen dadas por:
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
;
F
F
FF
F
F
F
∆ ∆ ∆ = ∆ = ∆ ∆
∆
(7.1)
7.2 DERIVACION DE LOS ELEMENTOS DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ USANDO APROXIMACION DE ELEMENTOS FINITOS Paso 1. Desplazamientos o Funciones Forma Referidos a la figura 39, los desplazamientos u y v en un punto (x,y), dentro del dominio del elemento se asume como:
1 2 3
4 5 6
u c x c y c
v c x c y c
= + += + +
(7.2)
124
Donde u y v son desplazamientos en las direcciones x y y respectivamente; y c1-c6 son constantes desconocidas que necesitan ser determinadas usando las condiciones de frontera en los tres nodos del elemento. Entonces, tenemos:
( 1, 1) 1 1 1 1 2 1 3;x yu c x c y c= ∆ ∆ = + +
( 2, 2) 3 3 1 2 2 2 3;x yu c x c y c= ∆ ∆ = + + (7.3)
( 3, 3) 5 5 1 3 2 3 3;x yu c x c y c= ∆ ∆ = + +
Y
( 1, 1) 2 2 4 1 5 1 6;x yv c x c y c= ∆ ∆ = + +
( 2, 2) 4 4 4 2 5 2 6;x yv c x c y c= ∆ ∆ = + + (7.4)
( 3, 3) 6 6 4 3 5 3 6;x yv c x c y c= ∆ ∆ = + +
Usando la regla de Cramer, la solución del set de ecuaciones se resuelven para
las constantes c1 a c3 y c4 a c6. Sustituyendo los valores de estas constantes en las ecuaciones (7.2) y arreglando términos se obtiene:
( ) ( ) ( )1 23 32 1 2 31 13 3 3 12 21 5
1
2u a y x x y a y x x y a y x x y
A= + + ∆ + + + ∆ + + + ∆
(7.5)
( ) ( ) ( )1 23 32 2 2 31 13 4 3 12 21 6
1
2v a y x x y a y x x y a y x x y
A= + + ∆ + + + ∆ + + + ∆
(7.6)
Donde:
1 2 3 3 2a x y x y= − ; 2 3 1 1 3a x y x y= − ; 3 1 2 2 1a x y x y= − (7.7)
ij i jy y y= − ; ij i jx x x= − ; para i,j de 1 a 3 (7.8)
125
Y A es el area del elemento triangular dada como:
1 1
2 2
3 3
11
12
1
x y
A x y
x y
= (7.9)
Las ecuaciones (7.5) y (7.6) describen un punto que asume los
desplazamientos, en términos de desplazamientos nodales que varian linealmente a lo largo del contorno del elemento triangular. Más alla estos desplazamientos dependen solo de los desplazamientos nodales de los dos nodos sobre cualquier punto. Estos garantizan la satisfacción de la compatibilidad de los desplazamientos en dos elementos adyacentes con una superficie común. Usando las ecuaciones (7.5) y (7.6),
los desplazamientos o funciones forma f pueden ser espresados en forma matricial
como:
[ ]
1
2
31 2 3
1 2 3 4
5
6
0 0 010 0 02
uf N
v A
α α αα α α
∆ ∆ ∆ = = = ∆ ∆ ∆
∆
(7.10)
Donde:
1 1 23 32
2 2 31 13
3 3 12 21
a y x x y
a y x x y
a y x x y
ααα
= + += + += + +
y
1
2
3
4
5
6
∆ ∆ ∆ ∆ = ∆ ∆
∆
(7.11)
En la ecuación (7.10) la matriz de las funciones de forma [N] de orden (2x6) pueden definirse en términos de las submatrices de los tres nodos como:
126
(7.12)
Donde las submatrices de orden (2x2), están definidas. Los subindices de N definen el primer, segundo y tercer nodo del elemento
(7.13)
[ ] 11
1
0102
NA
αα
=
; [ ] 22
2
0102
NA
αα
=
; [ ] 33
3
0102
NA
αα
=
Paso 2. Relación Deformación-desplazamiento Las asumidas funciones de forma en términos de los desplazamientos nodales son conocidas, y ahora nosotros podemos encontrar las relaciones entre la deformación y el desplazamiento nodal. Para problemas de deformación plana se dividen en dos clases, los llamados problemas de tensión plana y los de deformación plana, para problemas planos el vector de deformación se escribe: (5.9)
x
y
xy
u
xv
y
v u
x y
εε ε
γ
∂
∂ ∂= = ∂ ∂ ∂+ ∂ ∂ (7.14)
Diferenciando la ecuación (7.10) y usando la ecuación (7.14), las componentes de la deformación en la matriz pueden ser expresadas como:
127
23 31 12
10 0 0
2x y y yA
ε = ∆ (7.15)
[ ] 32 13 21
10 0 0
2y x x xA
ε = ∆ (7.16)
[ ] 32 23 13 31 21 12
1
2xy x y x y x yA
γ = ∆ (7.17)
Trabajando en base a las ecuaciones (7.15)-(7.16)-(7.17), se encuentra la relación entre deformación y desplazamiento como:
[ ] Bε = ∆ (7.18)
Donde la matriz [B] esta definida como:
[ ]23 31 12
32 13 21
32 23 13 31 21 12
0 0 0
0 0 0
y y y
B x x x
x y x y x y
=
(7.19)
Paso 3 Relación Esfuerzo-deformación Asumiendo el material homogéneo e isotrópico tenemos:
[ ] σ ψ ε= (7.20)
Donde para problemas de elasticidad plana:
128
x
y
xy
σσ σ
τ
=
; x
y
xy
εε ε
γ
(7.21)
Y [ ]ψ es la matriz de elasticidad (3 x 3), los términos de la matriz [ ]ψ ,
dependen si el problema es de tensión plana o si es de deformación plana. Para problemas de tensión plana tenemos:
[ ] 2
1 0
1 01
10 0
2
νψ ν
νν
Ε= − −
(7.22)
Y para problemas de deformación plana:
[ ]
1 01
(1 )1 0
(1 )(1 2 ) 11 2
0 02(1 )
νν
ν νψν ν ν
νν
−
Ε − = + − − − −
(7.23)
Para conveniencia en la formulación de problemas de elasticidad plana, la
matriz de elasticidad [ ]ψ se expresa como:
[ ]11 12
21 22
33
0
0
0 0
ψ ψψ ψ ψ
ψ
=
(7.24)
129
Para problemas de tensión plana tenemos que:
11 22 21ψ ψ
νΕ= =
−
12 21 21
νψ ψνΕ= =
− (7.25)
33 2(1 )ψ
νΕ=+
Y para problemas de deformación plana tenemos que:
11 22
(1 )
(1 )(1 2 )
νψ ψν ν
− Ε= =+ −
12 21 (1 )(1 2 )
νψ ψν ν
Ε= =+ −
(7.26)
33 2(1 )ψ
νΕ=+
Paso 4 ELEMENTOS DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ [ ]K
Los elementos de la matriz [ ]K son de (6x6), y son expresados como:
[ ] [ ] [ ][ ]T
V
K B B dVψ= ∫ (7.27)
Tomando las constantes fuera de la integral tenemos:
130
[ ] [ ] [ ][ ]T
V
K B B dVψ= ∫ (7.28)
Donde si el ancho del elemento es considerado constante, la ecuación (7.28),
se reduce a:
[ ] [ ] [ ][ ]( )T
K At B Bψ= (7.29)
Donde A= área del elemento triangular de tres nodos, y t es el espesor del
elemento plano. El término A fue obtenido en función de las coordenadas nodales en (7.9), finalmente luego de sacar fuera de la integral en (7.29) , obtenemos la matriz de rigidez del elemento triangular isoparamétrico de tres nodos. Como ejemplo para el elemento triangular en la cúspide de la superestructura, supondremos un elemento triangular de coordenadas:
Figura 40 Elemento Triangular de tres nodos usado en nuestro ejemplo
Recordamos que este elemento se enlazará a los pilares de composición de la
superestructura, a los nodos siguientes:
131
Figura 41 Numeración de nodos de la superestructura
Se enlaza a la parte inferior de la superestructura en los nodos 18 y 20, aquí se
produce el ensamblaje de la matriz de rigidez, el triangulo es el elemento numero nueve, enlazado a los nodos 18 y 20 y con una carga de 10000Kn en la parte superior, la matriz de rigidez de este elemento presenta la siguiente forma:
Esta matriz es de (6x6), y se enlazará al pilar izquierdo en el nodo 18 que se encuentra evaluado para su matriz de rigidez, se enlazará al último de los cuatro nodos del elemento rectangular isoparamétrico # 8, y voy a hacer el enlace al primer nodo del elemento # 10
132
Los elementos del pilar derecho se numerarán de la siguiente manera:
Figura 42 Numeración de elementos de pilar derecho
La matriz de rigidez de la parte superior o superestructura tratada con elementos triangular y rectangulares de elementos isoparamétricos de tres y cuatro nodos respectivamente, para una discretización de 8 elementos para los pilares y un elemento triangular principal en la parte alta, nos arroja una matriz de (76x76), ahora vamos a determinar la matriz de rigidez de la interfase entre el suelo y la estructura, para lo cual seguiremos ciertos principios prácticos así como se irá indicando con la misma tónica paso a paso. 7.3 DESARROLLO DE LA MATRIZ DE INTERFASE
Hasta el momento se han desarrollado teorías de elementos de interfase en dos ocasiones en las secciones 4 y 8, ahora se verán más detalles que nos lleven a un correcto modelamiento, ya que en la discontinuidad entre elementos el método de elementos finitos no es tan aplicable.
Los elementos de interfase son poderosas armas para modelar las diferentes discontinuidades en diferentes tipos de estructuras, donde los convencionales elementos finitos no son aplicables. El fenómeno físico modela deslizamientos y/o vínculos a lo largo de la discontinuidad. El término vínculo describe la separación de los dos bloques de superficies continuas, donde inicialmente están en contacto. Luego otro contacto puede desarrollarse por el movimiento de los dos bloques o en relación el uno al otro. El término deslizamiento define el movimiento relativo a lo largo de la
133
superficie, cuando las fuerzas de corte exceden la carga de corte de los nodos, en la mecánica de suelos y la geotecnia los elementos de interfase se utilizan para modelar nodos de roca, e interacción suelo estructura, etc.
La implementación de elementos de interfase es esencial para esta tesis, se desarrollarán estudios para elementos de interfase que se aplicarán en 2D, aunque si se han encontrado estudios para 3D, pero la literatura es similar en ambos casos.
7.3.1 DESARROLLO DEL PRIMER ELEMENTO DE INTERFASE (UNA DIMENSIÓN)
Figura 43 Primer desarrollo del elemento de interfase (Goodman-1968)
Ya nos encontramos familiarizados con este elemento, se le llama de una dimensión, ya que las dimensiones de este elemento son largo y ancho, pero el “zero thickness” es de ancho cero, por eso se dice que el elemento tiene una sola dimensión. (12)(13)(9)
El primer elemento de interfase fue desarrollado por Goodman (1968), para modelar nodos de rocas. Como se ve en la figura 48 el elemento de interfase es una línea larga con un ancho cero. La principal característica de este elemento es que la relación constitutiva esfuerzo-deformación en el convencional elemento continuo es reemplazado con la relación entre esfuerzos y desplazamientos relativos entre la parte de arriba (top) y la parte baja (bottom) de las capas de la interfase: (12)(13)(9)
Cuσ = (7.30)
134
Donde [ ]T
s nσ σ σ= donde los esfuerzos de corte y normal son sobre la
interfase; u es el desplazamiento relativo en coordenadas locales (sistema x’,y’), entre las partes de arriba y de debajo de la capa de la interfase:
(7.31)
Donde uT y vT, son los desplazamientos de corte y normales de la capa de arriba de la interfase; y uB y vB, son los respectivos desplazamientos de la capa de abajo. Los cuatro desplazamientos pueden ser determinados usando las conocidas funciones de forma explicadas anteriormente.
La matriz constitutiva C se define como:
(7.32)
Donde Ks y Kn son las respectivas rigideces de corte y normales de la interfase, Ks y Kn no son constantes generalmente y dependen de los desplazamientos relativos. Estos valores son grandes cuando el nodo es rígido, y tienden a cero estos valores cuando el nodo no es rígido. Asignando un pequeño valor a Ks, también permite modelar una interfase de deslizamiento. Usando un procedimento standard (Zienkiewicks, 1983), se encuentra la matriz de rigidez de los elementos.
Figura 44 elemento # 1 de interfase de la estructura estudiada
135
En la figura 44, se ha localizado el primer elemento de interfase, vamos a desarrollar el estudio de uno de los elementos, y luego vamos a ingresar para el resto de elementos el programa en MAtLab, para el desarrollo del elemento # 1, se seguirán los pasos y definiciones exploradas en el capítulo 7, por tanto definiendo las coordenadas para el nodo 1 tenemos:
Figura 45 Elemento de ancho cero con cuatro nodos (elemento 1 de interfase)
Las funciones de forma de este elemento se definieron como:
1(1 ) 0
21 21
0 (1 )2
SN N
S
− = =
−
1( 1) 0
23 41
0 ( 1)2
sN N
s
+ = =
+
Estas son las funciones de forma de un elemento lagrangiano de dos nodos con s1=-1 y s2=+1 se deduce entonces que:
2
1 2
11 (1 )
2N
ξ ξ ξξ ξ−
−= = −
136
1
2 1
12 (1 )
2N
ξ ξ ξξ ξ−
−= = +
Ahora que se tienen las funciones de forma establecidas para cuatro nodos, vamos a conseguir la matriz de rigidez de los elementos de interfase, cabe indicar que se desplazó la idea de usar el elemento rectangular isoparamétrico de interfase de seis nodos, ya que quedan nodos libres en el medio, y nos trae inestabilidad al momento de resolver el sistema, por eso de una manera más sencilla y totalmente eficaz trabajamos con este elemento que es el elemento lineal arreglado para trabajar como un elemento de ancho cero. Recordemos que este elemento de interfase tiene la particularidad de que se ensamblará por el lado derecho, es decir los nudos 3 y 4 y por la parte baja los nudos 1 y 4 con los elementos del suelo.
Los nudos de la parte baja del elemento de interfase (1 y 3) vienen descritos por las siguientes ecuaciones de forma:
1 3
1 1 3 3u N u N u− = +
1 3
1 1 3 3v N v N v− = +
De la misma manera con los nodos (2 y 4) para los desplazamientos de la parte superior del elemento de interfase tenemos:
2 42 2 4 4u N u N u− = +
2 4
2 2 4 4v N v N v− = +
Hacemos cumplir (6.6) entonces tenemos que:
Que en la notación efectuada antes tenemos:
137
1 3 2 4
1 3 2 4
u u
v v
− −
− −
−
−
Reemplazando los valores de las ecuaciones de forma tenemos:
1 3 2 41 1 3 3 2 2 4 4u u N u N u N u N u− −− = + − −
1 3 2 41 1 3 3 2 2 4 4v v N v N v N v N v− −− = + − −
Donde
Siendo 1 1 2 2 3 3 4 4
Tu v u v u v u vδ =
Por tanto [B] se define como: (12)(13)(9)
[ ] 1 2 3 4
1 2 3 4
0 0 0 0cos
0 0 0 0cos
N N N NsenB
N N N Nsen
α αα α
− − = − −−
Con esta definición, y establecidos los parámetros para el análisis de los
elementos isoparamétricos rectangulares de cuatro nodos, se consigue la matriz de rigidez, la cual presenta la siguiente forma:
138
Cabe recordar que los valores de KN y KS son rigidez normal y de corte, estos datos se indicarán más adelante cuando se determinen las matrices numéricas de este programa, esta matriz esta hecho para un elemento rectangular de ancho cero con coordenadas (-2,-3), la coordenada inicial corresponde al inicio del elemento es decir a -3 y la coordenada final a la coordenada que determina el final del elemento (-2); como vemos esta matriz de rigidez es de (8x8), porque se modelaron desplazamientos en x y y de los cuatro nodos, de la figura (49) recabamos que los nodos (3 y 4) se ensamblan a la siguiente matriz de rigidez para el elemento 2 de interfase, los nodos (1 y 4), se ensamblan a la matriz del suelo que viene bajo de este elemento, y en dos de los elementos de la interfase se articulan con la superestructura, de donde se transmiten las cargas de peso y de fuerzas que actúan en la cúspide de la misma. Tenemos en total diez elementos de interfase, los cuales se han numerado en el esquema general, pero para nuestro proyecto se vuelven a numerar, y se van a contar de izquierda a derecha. Se van a ensamblar los diez elementos, y vamos a presentar la matriz de rigidez de los elementos der la interfase, para luego ensamblar a la superestructura, después se determinará la matriz de rigidez del suelo, para el ensamblaje total, a continuación muestro el esquema de la modelación de los elementos de interfase que se aplicaraán para el análisis y armado de la matriz de rigidez:
Figura 46 Esquema de los elementos de Interfase
139
Cabe indicar que en el análisis previo los nodos que están remarcados con azul
son elementos estructurales de hormigón que corresponden a cimentaciones superficiales y a diferentes muros. En la parte baja de la figura 46 se encuentran las abscisas de los nodos de los diferentes elementos de interfase, recalcamos que por cada elemento tenemos una matriz de (8x8), que nos da como resultado una matriz de [44x44 ], esta matriz se ensamblará a los elementos de la superestructura y a los elementos del suelo, para el ensamblaje de los elementos de la superestructura, se hará únicamente a los nodos (1,2 del pilar izquierdo y (36,37 del pilar derecho, es decir se adicionaran los valores de la matriz de interfase a los valores de la matriz de rigidez de la superestructura en las filas y columnas (1,2) y (36,37) y se continuaran con el resto de nodos a continuación como nodos de incógnitas, indicamos que en el bucle de la interfase los nodos de ensamblaje para el pilar izquierdo son (7,9) y los nodos de ensamblaje para el pilar derecho son (13,15), es decir que para la matriz ensamblada el nodo uno de la matriz de interfase es el nodo 38, en la matriz general, y en la misma situación los nodos siguientes de la interfase.
7.4 ENSAMBLAJE DE MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA MATRIZ DE LA SUPERESTRUCTURA Y DE LA DE INTERFASE.
Para el ensamblaje de estas matrices, debemos considerar las siguientes circunstancias: MATRIZ DE SUPERESTRUCTURA [74X74] MATRIZ DE INTERFASE [44X44] NODOS COMUNES ENTRE LA SUPERESTRUCTURA Y LA INTERFASE.- Para el ensamblaje se suman las cooperaciones, de la matriz de la superestructura tenemos las aportaciones de los nodos (1,2) y (36,37), y de la matriz de interfase los elementos (8,10) y (14,16) forman las aportaciones para el ensamblaje de la matriz de rigidez, es decir en función de las filas y columnas tendríamos que realizar las siguientes aportaciones
11 15,15 12 15,16
21 16,15 22 16,16
A B A B
A B A B
+ + + +
140
Llamando [A] la matriz de rigidez de superestructura y [B] la matriz de interfase, la anterior expresión es la manera de ensamblar el nodo 1 de la superestructura y nodo 8 de la interfase, recordemos que como tenemos una matriz de superestructura de [74x74], por los 37 nodos existentes, tenemos una matriz de interfase de [44x44], por los 22 nodos que representan la interfase, por la interacción de 4 nodos de superestructura e interfase tenemos que ensamblar una matriz de [118x118], pero quitando las interacciones de los nodos de interfase tenemos una matriz de [110x110], esta matriz es la que recibe las aportaciones de rigidez de la superestructura y de la interfase. En el programa desarrollado en MatLab, vamos a preguntar el número de nodos de ensamblaje, el número de nodo de la superestructura, y el número de nodo de la interfase, para realizar la búsqueda de las filas y columnas en las matrices de rigidez, y luego asumir las contribuciones de cada una, para conseguir la matriz de ensamble total.
Una vez desarrollado el planteamiento anterior se ha llegado a la matriz de rigidez del sistema superestructura-interfase, el cual presenta una dimensión de [110x110], ya que son 55 nodos los desarrollados entre estos dos sistemas.
7.4 MATRIZ DE RIGIDEZ DEL SUELO. El desarrollo de la matriz de rigidez del suelo, se da a partir de tener lista la matriz de ensamble de la superestructura y la interfase, el desarrollo de las funciones de forma de elementos cuadriláteros se encuentra desarrollada ya para el programa de la superestructura y de la interfase, la numeración de los elementos se hará en base a lo establecido en la numeración del pilar derecho de la superestructura, es decir de arriba hacia abajo y de derecha a la izquierda, espero que esta forma de numeración de la fase del suelo, no me traiga complicaciones al momento de ensamble con la matriz de rigidez de la interfase y de la superestructura, recordemos que vamos a ensamblarnos en once nodos de la matriz superior a la matriz del suelo, tenemos que establecer que los nodos de la matriz de interfase se contabilizaron así:
Figura 47 nodos de enlace de interfase-suelo
141
En donde podemos apreciar que nos vamos a enlazar a los nodos [1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21], para lo cual estas posiciones tienen que ser guardadas y especificadas en la matriz ensamblada de interfase-superestructura, ventajosamente los nodos de la matriz del suelo se van a enumerar así:
Figura 48 Numeración de elementos del suelo
Con esto espero lograr que los nodos en la parte de la interfase-suelo, se
ensamblen con nodos del elemento del suelo continuos, y que para el ensamble de los elementos se guarden una concordancia que nos ayude computacionalmente, para el desarrollo de los mismos esto lo traduzco, de la siguiente manera, veamos por ejemplo como va a desarrollarse el ensamble de la esquina inferior izquierda, veamos como se va a idear el ensamble de estos elementos:
Figura 49 Ensamblaje de los elementos de la esquina inferior izquierda
142
Por ejemplo con esta ilustración vemos claramente que los nodos van a ensamblarse siempre con la condición [1 2 3 4], por lo que la numeración de los mismos se hará en sentido horario desde la parte superior izquierda. A continuación observemos el elemento 7 que es uno de los internos, y que recibe la aportación de 8 elementos, observemos como se comporta este al momento de su ensamblaje
Figura 50 Ensamblaje de elementos interiores
Lo que podemos observar es que se tratará de guardar una regla de ensamblaje para [1 2 3 4], siempre y cuando los elementos se generen de acuerdo a lo establecido, para esto vamos a detallar el desarrollo de los elementos y de sus nodos:
143
Figura 51 Ensamblaje de interfase y suelo
Debemos mencionar que el numero de columnas de elementos de la discretización a la que fue sometida el suelo, es igual al número de elementos de la interfase, y lógicamente las coordenadas de x también lo son, por lo que únicamente debemos ingresar el numero de filas de elementos en los que se van a dividir el bloque de suelo, supongamos que vamos a querer analizar un bloque rocoso de 2m de profundidad, entonces las coordenadas para cada bloque en y son de -0.25, los vectores que guardan las posiciones de los elementos de interfase son los siguientes:
144
matxin
matxfin
-3 -2
-2 -0,8
-0,8 0
0 0,3
0,3 1,2
1,2 3
3 3,3
3,3 4,3
4,3 5,3
5,3 6
Donde tenemos la coordenada inicial del elemento por ejemplo para el primer
elemento tenemos (-3,-2), en total la longitud de estos elementos vienen desde -3 hasta 6, por lo que se van a analizar en 9m de longitud, por tanto los archivos que guardan las coordenadas de x y y, cumplirán con estas condiciones y el nombre de estos archivos es matxs (coordenadas de x) y matys (coordenas de y). Una vez ingresados los datos de las coordenadas de los elementos que conforman el suelo analizado, vamos a ensamblar las matrices por columnas, y luego vamos a enlazar estas columnas, conociendo que para la primera columna se enlaza a la segunda, y este ensamble conseguido se ensamblará a la tercera columna hasta la i-1, para esto necesitamos los datos de cuantas filas y columnas de elementos esta discretizado el suelo, con este dato vamos a ensamblar las columnas con de la misma manera que se ensamblo para la columna que conforma el pilar derecho.
7.6 ENSAMBLAJE MATRIZ DE RIGIDEZ DEL SISTEMA SUPERESTRUCTURA INTERFASE-SUELO Se tienen reunidas ahora dos matrices la matriz de rigidez de la superestructura-interfase, y la matriz del suelo, vamos a definir las matrices en sus dimensiones y aclarar un poco el número de nodos y volver a indicar como están distribuidos los nodos para su interpretación previo al ensamblaje.
145
MATRIZ DEL SUELO.- La matriz de rigidez del suelo tiene una dimensión de [198x198], distribuidos como muestra la figura 51, en donde podemos apreciar que tenemos ochenta (80) elementos y 99 nodos, por esta razón para los desplazamientos (u,v), tenemos 198 maneras de desplazamientos de los nodos del sistema suelo, más adelante veremos las restricciones y fuerzas equivalentes en los nodos del contorno del suelo, en este sistema la contabilización de los nodos se hizo así:
Figura 52 Contabilización de nodos del suelo Por tanto los nodos que corresponden al ensamblaje de la matriz del suelo son:
[1, 2, 19, 20, 37, 38, 55, 56, 73, 74, 91].
MATRIZ DEL SISTEMA INTERFASE-SUPERESTRUCTURA. La matriz de rigidez que controla este sistema es de [110x110], es decir tenemos un sistema de 55 nodos, por supuesto en la superestructura tenemos 18 nodos en cada pilar de la superestructura, mas el nodo central correspondiente al triángulo de enlace de estos dos tenemos un total de 37 nodos, mas los 22 nodos de la interfase, y restando los cuatro nodos de esta que se ensamblan a la matriz de la superestructura tenemos un sistema de 55 nodos, los elementos de la interfase se numeran de la siguiente manera:
Figura 53 Numeración de nodods de Interfase
146
Por tanto para la matriz del sistema interfase-superestructura, los nodos que corresponden a los de ensamblaje con la matriz del suelo son [38 40 42 44 45 46 48 49 50 52 54], es decir son la nueva numeración una vez realizado el primer ensamble de la superestructura y del suelo, por tanto en esta fase del programa se pedirán los nombres de los archivos que guardan las matrices de rigidez del suelo y del sistema antes descrito, luego se solicitarán también el numero de nodos de ensamble, que son once (11), y el nombre del archivo que guarda los nodos de ensamble que son las posiciones en las matrices para realizar el ensamblaje total del sistema suelo-estructura.
Figura 54 Ensamble Interfase Suelo
Estos dos sistemas van a ser ensamblados, en la matriz que corresponde al sistema del suelo, no vamos a tener ningún problema, únicamente que el nodo 1 va a ser el nodo 56, en el sistema general y así sucesivamente hasta llegar al nodo 99 del sistema del suelo, que en el sistema general corresponde al nodo 154, con lo que tendremos un sistema total de [308x308], pero se tienen que descontar los 11 nodos
147
de ensamble, por lo tanto tendremos un sistema total de 143 nodos con una matriz de rigidez de [286x286] que es el sistema total de rigidez.
El ensamble de esta matriz es el ensamble total del sistema, por lo tanto el sistema de 143 nodos, guarda la rigidez de la superestructura, interfase y suelo, ahora vamos a analizar los esfuerzos, o el vector de fuerzas que nos sirvan para cumplir [F]=[K][d], para de esta manera desarrollar este típico sistema y encontrar, los desplazamientos, que en este caso de estudio en el plano son u y v, para esto tomo los conocimientos de la mecánica de suelos clásica, debido a que según 8.4, se indica como calcular los esfuerzos en la zona de frontera, pero al tener un suelo con comportamiento elástico lineal, no veo necesario la aplicación de elementos finitos, sino la mecánica clásico, que nos va a dar resultados similares.
7.7 PRESION DE TIERRA PARA CONDICIONES USUALES DE CARGA.
En el cálculo de las presiones de tierra generalmente vamos a encontrara tres condiciones de carga: 1) relleno con superficie horizontal en la parte superior del muro 2) relleno con superficie inclinada con pendiente hacia arriba y hacia atrás desde la parte superior del muro y 3) relleno con superficie horizontal que soporta una carga adicional uniformemente distribuida (sobre-carga) como la que generan mercancías en patios de almacenamiento o por tráfico de autos.
Existen datos para iniciar los cálculos en base a nivel freático, peso unitario
del suelo, y del ángulo de fricción φ, en nuestro caso voy a solicitar lo más simple, que sería:
- nivel freático =0 - relleno con superficie horizontal en la parte superior del muro - densidad del relleno, se considera una grava densa p=51 kn/m3, φ=35º, - altura de suelo 2m, bloque de elemento finito, 0.25m c/u - Cah (presión activa) = (1-senφ)/(1+senφ) = 0.271
148
Por lo tanto en el siguiente gráfico voy a detallar lo escrito en este punto:
Figura 55 Presión de Tierra Lateral
Entendemos que son los nodos [1 3 5 7 9 11 13 15 17] y [91 92 93 94 95 96 97 98 99], los que llevan la carga, claro que por el modelo utilizado, los nodos [1 91] son iguales a cero, entonces el cálculo para las presiones del relleno son:
Presión Activa: Cah=0,271
altura ( h) presión
0 0,00
0,25 0,43
0,5 1,73
0,75 3,89
1 6,91
1,25 10,80
1,5 15,55
1,75 21,16
2 27,64
149
Por lo tanto para los nodos [1 3 5 7 9 11 13 15 17] y [91 92 93 94 95 96 97 98 99], se ejecutan los valores de presión para cada uno de estos, las unidades de estos valores son kn/m2, por lo tanto en el tensor de fuerzas se colocarán para u1=0, u3=0.43, y así respectivamente, se coloca valores en las filas u, debido a que van en la dirección horizontal.
150
8. DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA
Ahora voy a detallar lo que he realizado en la programación del estudio de la interacción suelo-estructura. Inicialmente indico que todos los datos que se van a ingresar son bases de datos en archivos de Excel, no es factible el ingreso vía teclado debido a que sería demasiado tedioso, para el inicio de este programa he creado el archivo “super2.m”, este archivo fue creado en MAtLAb, es el que recoge el armado de la matriz de rigidez de la superestructura, como ya se vio antes tenemos 8 elementos en los pilares y un elemento triangular que los une, el programa desarrolla todas las funciones de forma para cada uno de estos elementos, y los va ensamblando uno a uno, hasta conseguir la matriz de rigidez del sistema mencionado, mandamos a corres a super2 y nos envía lo siguiente:
Le damos un enter, y lo que el programa hace es borrar la pantalla y nos presenta:
El programa indica que debemos ingresar el número de elementos del pilar izquierdo, sabemos que tenemos 8 elementos en el pilar izquierdo, por tanto le damos 8 y el programa nos pide el nombre del archivo que guarda las componentes de x de los elementos del pilar izquierdo, el nombre de el archivo es “matx1”, este archivo
151
está guardado en el directorio de archivos de “MATLAB”, ingreso el nombre del archivo y pulso enter con lo que la pantalla me presenta el archivo de datos de los valores de x de los elementos cuestionados, y me pregunta inmediatamente el nombre del archivo que guarda las coordenadas de y de los elementos que forman el pilar izquierdo, el nombre del archivo que guarda las y en este caso se llama “maty1”, entonces debemos recordar que para un dato de la matriz en este caso de los datos de x, corresponde el dato que se guarda la misma posición en la matriz de las coordenadas de las y:
Así por ejemplo para el elemento 1 tenemos sus coordenadas [(0,0) (0.3,0)
(0,0.4) (0.3,0.4)], guardando la forma de numeración que se explicó anteriormente de la siguiente manera:
152
Además el programa imprime los datos de estas matrices en pantalla para revisar que hayan sido ingresados correctamente, luego de esto el programa nos pide que ingresemos los triángulos que están en la zona superior de la superestructura, en este caso es 1, además me solicitan los archivos de datos de las coordenadas de x del triangulo, y los datos de coordenadas de y del mismo, el archivo de coordenadas x del triangulo lleva por nombre “mattx1”, y el tensor que guarda las y por nombre “matty1”, luego de esto me pide el numero de elementos del pilar derecho, que igual es de 8 y a continuación las matrices que guardan las coordenadas x y y de los elementos que componen este pilar, los cuales son matx2 y maty2 respectivamente, además nos presenta en pantalla estos datos para verificar la correcta administración de estos, así:
Al momento el programa ya tiene ensamblada la matriz de rigidez de los
elementos que conforman la superestructura, esta matriz se mostró anteriormente, además que se deben pulir datos concretos por lo que no creo que sea necesario presentarla de nuevo, ya que en un anexo final presentaré las matrices de todo el sistema.
153
Ahora el programa comienza a trabajar con la interfase, y nos pide que
ingresemos el número de elementos de interfase, siendo este de 10, y nos pide el nombre del archivo que guarda las coordenadas finales de los elementos de interfase el cual se llama “matxfin”, y luego de presentarnos a este archivo nos pide el nombre del archivo que guarda las coordenadas iniciales de los elementos de interfase que se llama “matxin”:
El programa tiene calculada la matriz de rigidez de la superestructura y
también la de la interfase, y nos pregunta el numero de elementos de ensamble que es 4, ya que las matrices tienen 4 nodos de ensamble que son [1 2 36 37] para la matriz de la superestructura y de [8 10 14 16] los nodos de la interfase, además debemos ingresar el nombre del archivo que guarda los nodos descritos anteriormente, el cual es un archivo tipo Excel llamado “ensamble1.xls”, además veamos un extracto de la matriz de rigidez en la imagen siguiente:
154
Esta matriz encontrada es la matriz de ensamble de la superestructura y la
interfase (llamada en un archivo para usar mas tarde llamado “matsi”. Para el suelo se han separado en otro programa que se llama “matsuelo.m”, este programa lo que hace es en base a las funciones de forma de cada uno de los 64 elementos que componen el suelo, calcular las matrices de rigidez de las filas de elementos que componen el suelo en mención, es decir tenemos 8 elementos que conforman una fila de las diez que componen el suelo estudiado, en “matsuelo.m” lo que se hace es evaluar las funciones de forma para cada elemento y ensamblar para cada columna los ocho elementos, es decir tenemos una matriz que contiene los ensambles verticales de los elementos que forman las diez columnas del suelo, el programa solicita lo siguiente:
# de elementos del suelo = 64 ingrese nombre archivo matriz x.. matxs ingrese nombre archivo matriz y.. matys ingrese el numero de numero de filas de elementos:...8 ingrese el numero de numero de columnas de elementos:...10
matxs y matys, son las matrices que guardan las coordenadas de los elementos del suelo, el numero de filas son las filas que hay en el suelo, en este caso son ocho, y el numero de columnas 10, el programa nos devuelve una matriz de [360x36], es decir esta matriz ensambla los 8 elementos de columna por fila, y como son 10 filas guarda en una sola matriz las 10 matrices de [36x36] (esto debido a que una columna de 8
155
elementos me arroja una matriz de 36x36, al ser 10 columnas tengo entonces guardadas las diez matrices) ,del ensamble de los ocho elementos de cada fila, esta matriz se exporta, para evaluar el ensamble horizontal de las filas de cada una de estas matrices.
El resultado [360x36], se exporta como archivo “matrigsuelo”, es un archivo de Excel que guarda los datos de las 10 columnas de ocho elementos, ahora vamos a un tercer programa llamado “mrs1.m”, el mismo que se encarga de ensamblar la matriz de rigidez del suelo.
Como vemos únicamente ingresamos el archivo de Excel de nombre matrigsuelo, y a continuación, nos calcula la matriz de rigidez del suelo [198 x198].
El último archivo es llamado “rigidez.m”, archivo de matlab que realiza el ensamble de la matriz de superestructura-interfase guardada en el archivo Excel “matsi”, con la matriz del suelo guardada en el archivo “matsuelo”
Este programa nos pregunta estos datos:
ingrese nombre archivo rigidez suelo ensamblada.. matsuelo
ingrese nombre archivo rigidez superestructura-interfase.. matsi
ingrese el numero de nodos de ensamble suelo-interfase-superestructura:...11
156
ingrese nombre archivo que contiene nodos de ensamble.. ensamble2
>>
Donde “matsuelo” es la matriz del suelo, “matsi” es la matriz de interfase-superestructura, 11 son el numero de nodos que se ensamblan, y ensamble2 son los nodos que corresponden a los nodos comunes de los dos sistemas.
Con este ensamblaje de los tres sistemas, suelo, interfase y superestructura, tenemos un sistema global de [308 x 308], claro vamos a detallar las dimensiones de las matrices
Matriz interfase-superestructura ensamblada 55 nodos [110 x 110]
Matriz de suelo 99 nodos [198x198]
Nodos de ensamble 11
Matriz resultante [286x286], para un sistema de 143 nodos
Ahora vamos a evaluar el tensor de fuerzas externas, que necesitamos para la resolución del sistema [A]x=[B], tenemos entonces para la fila y columna de v19 el valor de -1000 Kn con el signo negativo, y para los nodos [1 3 5 7 9 11 13 15 17] y [91 92 93 94 95 96 97 98 99] los valores de [0 0.43 1.73 3.89 6.91 10.8 15.55 21.16 27.64] para el primer grupo de nodos en la dirección u (filas y columnas de u), y con el signo negativo para el segundo grupo de nodos, esta numeración de los nodos es en la matriz del suelo, para la matriz general tenemos:
U38=-u54=0
U56=-u136=0.43
U58=-u137=1.73
U60=-u138=3.89
U62=-u139=6.91
U64=-u140=10.8
U66=-u141=15.55
U68=-u142=21.16
157
U70=-u143=27.64
El valor de la fuerza colocada en la punta del vértice del techo de -1000kn, por la rigidez de los materiales y por ser la fuerza que organiza los desplazamientos en la estructura, al ser los mismos pequeños le dimos un aumento a -10000kn, los valores de los desplazamientos se encuentran en el programa adjunto a la tesis.
158
CONCLUSIONES.
- Se realizaron análisis por separado del suelo, superestructura, y la interfase, pero al final se termino modelando este sistema como un solo cuerpo, dándole las características de cada uno de los materiales que conforman este sistema.
- El análisis del suelo es muy diverso, es decir existen suelos que tienen comportamientos muy distintos, por lo que el estudio de ellos se puede extender hacia muchos campos, el objetivo no era asociar a un suelo en especial sino desarrollar un sistema suelo-estructura, y analizar su comportamiento. Por tanto se tomo un suelo con un comportamiento elástico lineal como se tratan a las rocas por ejemplo y en base a este concepto se ejecuto la programación.
- El desarrollo del programa se hizo enteramente en Mat Lab, el desenvolvimiento del programa se vuelve un tanto problemático al manejar matrices de rigidez grandes, ya que en algunas ocasiones se cometieron errores y para remediarlos, el control de los mismos resulta muy tedioso.
- El método de winkler que fue uno de los élites al modelar la interacción suelo-estructura, se ha reemplazado por decirlo de alguna forma, por los elementos de “ancho cero”, que son los que evalúan y guardan ese efecto de cimbras entre el suelo y la estructura, debo indicar que las rigideces de estos elementos ks y kn, horizontales y normales a los elementos, que he sacado de varias tesis, son o reemplazan a las rigideces de las cimbras, existen tablas de valores de ks y kn.
- El estudio del comportamiento de los suelos es muy laborioso de definir, en resumidas instancias existen los suelos con comportamienlo elástico lineal, mohr coulomb, modelo hardening soil o suelo endurecido, modelo de suelo endurecido con pequeña deformación rigidez, modelo de suelo suave. En realidad estudiar el comportamiento del suelo para cada caso de estos resultaría ser un modelo de tesis, para cada uno de ellos, existen tesis para cada modelo de suelo, por este motivo se tomo el modelo mas sencillo de suelo que es el de elasticidad lineal, donde se necesito únicamente verificar los datos del modulo de elasticidad y el coeficiente de Poisson.
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- En teoría quedo escrito mucho acerca del comportamiento de los suelos, se deb desmenuzar cada uno de estos detalles.
- La bibliografía que se presenta nos da pautas para que se tome en consideración que el uso de los elementos finitos cuando se propone hacer un mallado denso crea confusión por lo que se recomiendan otros métodos de cálculo que no están desarrollados en este estudio, pero en el programa creado se ha visto el potencial del método de elementos finitos, el cual es de bastante utilidad.
- El trabajo de programación fue bueno, existen libros que nos acomodan procesos para la programación de elementos finitos de componentes isoparamétricos de varios nodos.
- El objetivo de esta tesis fue logrado ya que el programa desarrollo el problema planteado.
- El desarrollo del software puede aplicarse a otros problemas similares, pero habría que mover o acomodar ciertos ficheros dentro del programa, ya que este se lo realizó con el fin de resolver un problema planteado.
- Tenemos el amplio concepto que en estos tiempos existen software que han evolucionado lo suficiente, como es el plaxxis, sap2000, etc, pero el criterio utilizado en la programación fue de muy buen nivel.
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RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS FUTUROS
- Definir inicialmente el estudio que se va a desarrollar, es decir, establecer la superestructura y el tipo de suelo que se va a estudiar, para dar un enfoque directo al suelo en especial que es el que toma diversos comportamientos, es decir vamos a estudiar un suelo plástico, elastoplástico, elástico, endurecido, blando, saturado, etc, para establecer criterios de entrada en los suelos, y si se acomoda a suelos existentes en la zona mejor aún.
- Así también definir los tipos de superestructuras que se pueden aplicar al estudio, y el tipo de elemento que se va a aplicar para el desarrollo del MEF, en el caso de mi tesis se utilizo el elemento isoparamétrico rectangular de cuatro nodos, bidimensional, se podría aplicar tal vez en estudios más desarrollados elementos más sofisticados, con mas nodos, y tal vez tridimensional.
- Desarrollar estudios más objetivos acerca de las rigideces de los elementos de interfase (ks,kn), ya que estos valores los conseguí en base a tablas que acomode del internet, pero vale la pena saber cómo se establecen los mismo y en base a qué.
- Establecer conocimientos previos de programación para el desarrollo objetivo de la modelación de estos sistemas, se entiende por ello que la persona tiene que aplicar conocimientos diversos de programación al momento de desarrollar un software de este tipo.
- Este tipo de temas se pueden aplicar para todas las estructuras, presas, túneles, puentes, por lo que se pueden plantear temas de ciertas estructuras con ciertos tipos de suelos.
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