ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

ПАВЛОДАР МЕМЛЕКЕТТІК ПЕДАГОГИКАЛЫҚ ИНСТИТУТЫ

А.Ж. Асамбаев

ИНФОРМАТИКАНЫҢ ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ. ПРАКТИКУМ

Павлодар

2014

2

А 87

УДК 519.862.5 (075)

ББК 32.973

А 87

Баспаға Павлодар мемлекеттік педагогикалық институтының

Ғылыми кеңесі шешімімен ұсынылған

Пікір жазғандар:

техника ғылымының кандидаты, профессор – А.Д. Тастенов

физика-математика ғылымының кандидаты, профессор – А.Т. Тоқметов

А.Ж. Асамбаев Информатиканың теориялық негіздері. Практикум. Оқу құралы. –

Павлодар, 2014. – 70 б.

ISBN 978-601-267-295-4

Оқу құралында «Информатиканың теориялық негіздері. Практикум» пәні бойынша

тәжірибелік курсы ұсынылған. Оқу құралы 5В011100 Информатика мамандығына арналған

және Қазақстан Республикасының мемлекеттік білім беру стандартының негізінде

құрастырылды.

Оқу құралы «Информатика» мамандығының күндізгі және сыртқы оқу бөлімінің

студенттері үшін арналған.

ISBN 978-601-267-295-4

© А.Ж. Асамбаев, 2014.

© Павлодар мемлекеттік педагогикалық институты, 2014.

3

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ ......................................................................................................................................... 4

1 АҚПАРАТ ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚАСИЕТТЕРІ .......................................................................... 5 1.1 Теңықтималды мүмкіндіктері бар есептерді шешу ............................................................. 5 1.2 Теңықтималды емес мүмкіндіктері бар есептерді шешу .................................................... 6

1.3 Алфавит көлемін өлшеу туралы есептерді шешу ................................................................ 6 ӨЗІНДІК ЖҰМЫС ТАПСЫРМАЛАРЫ .................................................................................... 8

2 САНДЫҚ АҚПАРАТТЫ БЕЙНЕЛЕУ ................................................................................ 9 2.1 Санау жүйелері ........................................................................................................................ 9

2.2 Бүтін ондық сандарды басқа санау жүйелеріне ауыстыру ............................................... 11

2.3 Бөлшек ондық сандарды басқа санау жүйелеріне ауыстыру ............................................ 12 2.4 Екілік сандарды 2n негізі бар санау жүйелеріне ауыстыру ............................................... 13

2.5 Сандарды қосу ....................................................................................................................... 14 ӨЗІНДІК ЖҰМЫС ТАПСЫРМАЛАРЫ .................................................................................. 16 2.6 Символдық ақпаратты ұсыну ............................................................................................... 16 ӨЗІНДІК ЖҰМЫС ТАПСЫРМАЛАРЫ .................................................................................. 19

2.7 Графикалық ақпаратты ұсыну ............................................................................................. 20 ӨЗІНДІК ЖҰМЫС ТАПСЫРМАЛАРЫ .................................................................................. 21

3 ЛОГИКА АЛГЕБРАСЫНЫҢ НЕГІЗГІ ҰҒЫМДАРЫ .................................................. 22 3.1 Логикалық өрнектерді оңайлату .......................................................................................... 23

3.2 Ақиқаттық кестелерді құрастыру ........................................................................................ 25

3.3 Логикалық сұлбаны құрастыру ........................................................................................... 26 ӨЗІНДІК ЖҰМЫС ТАПСЫРМАЛАРЫ .................................................................................. 28 3.4 Бақылау тест тапсырмалары ................................................................................................ 30

4 АҚПАРАТТЫҚ ҮДЕРІСТЕРДІ АВТОМАТТАНДЫРУ АБСТРАКТІЛІ АВТОМАТТАР ............................................................................................. 34 4.1 Тьюринг машинасы ............................................................................................................... 34 4.2 Пост машинасы ..................................................................................................................... 37

4.3 Тьюринг және Пост машинасы көмегімен «алгоритм» ұғымын анықтау ....................... 38 4.4 Марковтың нормальды алгоритмдері ................................................................................. 39

4.5 Бақылау тест тапсырмалары ................................................................................................ 41

5 АЛГОРИТМДЕР ТЕОРИЯСЫНЫҢ НЕГІЗГІ ҰҒЫМДАРЫ ...................................... 45 5.1 Алгоритмнің қасиеттері........................................................................................................ 45

5.2 Алгоритмді жазу тәсілдері ................................................................................................... 45 5.3 Блок – схемалар ..................................................................................................................... 47 5.4 Алгоритм құрылыстары ....................................................................................................... 51 ӨЗІНДІК ЖҰМЫС ТАПСЫРМАЛАРЫ .................................................................................. 57

6 АҚПАРАТТЫҚ МОДЕЛЬДЕУ ........................................................................................... 60 6.1 Модельдерді әр түрлі белгілеріне қатысты топтастыру ................................................... 60 6.2 Компьютерлік модельдеудің кезеңдері............................................................................... 62

ӨЗІНДІК ЖҰМЫС ТАПСЫРМАЛАРЫ .................................................................................. 68

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ....................................................................................... 69

4

КІРІСПЕ

Теориялық информатика – математикалық ғылым. Ол математиканың

бірнеше бөлімдеріне негізделген: автоматтар мен алгоритмдер теориясы,

математикалық логика, формалды тілдердің және грамматикалардың теориясы,

ақпарат теориясы және т.б. Теориялық информатика ақпаратты сақтау және

өндеу кезінде пайда болатын негізгі сұрақтарға дәл талдау әдістері арқылы

жауап беруге тырысады, мысалы, кейбір ақпараттық жүйеде жинақталған

ақпарат саны неге тең, сақтау немесе іздеу үшін ақпаратты тиімді

ұйымдастыру, сонымен қатар ақпаратты түрлендіру алгоритмдердің бар болу

және қасиеттер туралы. Ай сайын деректерді сақтауға арналған ең үлкен көлемі

бар жаңа құрылғылар пайда болуда, бұл ақпарат теориясы мен кодтау

теориясының дамуымен түсіндіріледі. Қолданбалы есептерді шешу үшін жақсы

программалар бар, бірақ сауатты түрде қолданбалы есепті қою үшін, оны

компьютерге түсінікті түрге келтіру үшін ақпараттық және математикалық

модельдеу негіздерін және т.б. білу керек. Информатиканың тек осы бөлімдерін

меңгере отырып, өзіңізді осы ғылымның маманы деп есептей аласыз.

Информатиканың теориялық негіздері курсы информатиканың

фундаментальді ұғымдары: ақпараттар теориясының негізі, сандық автоматтар

теориясы, алгоритмдер теориясы, алгоритмдер тиімділігінің анализі, ақпараттық

модельдеу және информатиканың семантикалық негізі туралы түсінікті

қалыптастыру және машықтандыру; логикалық айнымалылар және арифметикалық

амалдардың моделі және ЭЕМ-нің элементтік базасын ықшамдау; салыстыру

операцияларын және арифметикалық операцияларды танып-білу; берілген

алфавиттер мен сандарды кодтау, алгоритмді іздеу және таңдау, алгоритмдердің

тиімділігі мен күрделілігіне анализ жасау, сұрыптауды түсіндіру; көпіршік

сұрыптауды түсіндіріп, анализ жасау және пирамидалық сұрыптаудың

тиімділігі мен күрделілігіне анализ жасау мәселелерін қамтиды.

5

1 АҚПАРАТ ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚАСИЕТТЕРІ

Ақпаратты алғаннан кейін жоғалатын белгісіздік дәрежесі – бұл

ақпараттың сандық сипаттамасы болып табылады және оны ақпарат мөлшері

деп атайды. Хабардағы ақпарат мөлшерін өлшеу және бағалау үшін әр түрлі

әдістер пайдаланылады. Олардың арасында статистикалық пен алфавитті

әдістерді белгілеуге болады.

Статистикалық әдістеме. Белгісіздікті немесе Н энтропияны сандық

бағалау үшін американ инженеры Р.Хартли мына формуланы ұсынды, бұл

формулаға N теңықтималды мүмкіндетердің логарифмы кіреді:

H = log2N, (1.1)

оны келесі түрде жазуға болады:

2H = N, (1.2)

мұнда Н — ақпарат мөлшері.

Бит деп аталатын ақпарат мөлшерінің ең кіші бірлігі екі мүмкіндіктен

таңдауды орындайды.

Егер теңықтималды емес таңдау мүмкіндетері орын алса, онда i нөмірі бар

таңдаудын Рi меншік ықтималдығына тәуелді hi ақпарат мөлшері К.Шеннон

формуласы арықылы есептеледі

hi = log2(1/Pi), (1.3)

оны мына түрге өзгертуге болады

2hi = (1/Pi). (1.4)

Ақпарат мөлшерінің өлшем ретінде hi мәнінің орнына ақпарат мөлшерінің

орта мәнің пайдалану ыңғайлы

. (1.5)

Алфавиттық әдістеме мәтіндік ақпараттың санын анықтауға мүмкіндік

береді. Әрбір символ алатын ақпарат мөлшері мына формула арқылы

есептеледі

i = log2N, (1.6)

мұнда N — алфавит қуаты, ол алфавит ішіндегі символдар санына тең.

К символы бар мәтіннің ақпарат көлемі тең болады

I = Ki. (1.7)

N қуаты бар алфавит көмегімен m әріптен тұратың максимал сөздер саның

L былайша анықтауға болады

L = Nm. (1.8)

1.1 Теңықтималды мүмкіндіктері бар есептерді шешу М 1.1. 32 әр түрлі картасы бар карт колодасы болсын. Бір картаны таңдау

үшін 32 мүмкіндік бар. Колодадан қиық королі алынғаны қанша ақпарат алады?

Шешім. Мүмкіндіктер саның N = 32 (1.1) формулаға қойғанда ақпарат

мөлшерін береді Н = 5(2H = 25).

6

М 1.2. Ақша мәнетін лақтырғанда бір нәтиженің таңдауы (мысалы, бүктің түсуі) бір бит ақпарат алады, себебі теңықтималды мүмкіндіктер саны N = 2 (бүк немесе шік). Шік түскені деген хабарда ақпарат мөлшерін анықтаңыз.

Шешім. N = 2 (1.1) формулаға қойып, аламыз Н = 1 бит.

М 1.3. Белгісіздікті 4 есе азайтатын хабарда қандай ақпарат көлемі бар? Шешім. Білімнің белгісіздігі 4 есе азаяды, сондықтан ол 4-ке тең болды,

яғни 4 теңықтималды оқиға болған деп айтуға болады. Осылардың біреуі орын алғаны 2 бит ақапарат әкеледі (4 = 22).

М 1.4. Қорапта 16 кубик жатыр. Барлық кубиктардың түсі әр түрлі.

Қораптан қызыл кубик алынды деген хабарда қанша ақпарат бар? Шешім. 16 теңықтималды оқиғалардан біреуін таңдап алу керек. Сондықтан

N = 16, осыдан Н = 4 (16 = 24).

М 1.5. Сіздің досыңыз 10-шы қабатта тұрады деген хабарда 4 бит ақпарат

бар. Бұл үйде неше қабат бар? Шешім. N = 24 = 16 қабат.

1.2 Теңықтималды емес мүмкіндіктері бар есептерді шешу М 1.6. Себетте Nқ = 8 қара шар және Nа = 24 ақ шар жатыр. Себеттен қара

шар алынды деген хабарда қанша Нқ ақпарат бар? Шешім. 1) N = 8 + 24 = 32 шар барлығы; 2) Рқ = 8/32 = 1/4 - қара шарды алу ықтималдығы; 3) Нқ = log2(l/(l/4)) = 2 бит.

М 1.7. Қорапта N = 64 түрлі түсті қарындаш жатыр. Ақ қарындаш алынды

деген хабарда На = 4 бит ақпараты бар. Қорапта неше Nа ақ қарындаш бар болған?

Шешім. 1) На = log2(l/Pа); 4 = log2(l/Pа); 1/Ра = 16; Ра = 1/16 - ақ қарындашты алу ықтималдығы;

2) Ра = Nа/N; l/16 = Nа/64; Nа = 64/16 = 4 ақ қарындаш.

М 1.8. Себетте ақ және қара шарлар жатыр. Олардың арасында Nа = 18

қара шар. Себеттен ақ шар алынды деген хабарда На = 2 бит ақпарат бар. Себетте барлығы неше N шар бар?

Шешім. 1) 1/Ра = 2На, 1/Ра = 22 = 4, Ра = 1/4 - ақ шарды алу ықтималдығы; 2) Ра = Nа/N = Nа/(Nа + Nқ), 1/4 = Nа/(Nа + 18), Nа + 18 = 4Nа, 18 = 3Nа, Nа = 6

ақ шар; 3) N = Nа + Nқ = 18 + 6 = 24 шар себетте болған.

1.3 Алфавит көлемін өлшеу туралы есептерді шешу М 1.9. Алфавиті N = 128 символдан тұратын тілде жазылған мәтіннің Нм

көлемін анықтаңыз. Хабарда К = 2000 символ бар.

7

Шешім. 1) Н = log2N = log2128 = 7 бит — бір символдың көлемі;

2) Нм = Н К = 7 2000 = 14 000 бит — хабардың көлемі.

М 1.10. Кейбір тілдің алфавитінде барлығы N = 2 әріп бар, тілдегі әрбір сөз

дәл m = 7 әріптен тұрады. Тілдегі ең үлкен сөздер қоры қанша болады?

Шешім. Егер алфавит қуаты N, ал осы алфавит көмегімен жазылған сөздегі

максимал әріптер саны m болса, онда мүмкін болатын ең үлкен сөздер саны

(1.8) формула арқылы анықталады, осыдан N = 27, сондықтан, N = 128.

М 1.11. Шахмат тақтасы 64 өрістен тұрады: 8 баған және 8 жол. Бір

шахмат өрістің координатасын кодтау үшін қанша ең аз бит қажет болады?

Шешім.

Шахмат өрісінің 64 торын ажырату үшін екілік кодтың 64 мәні қажет

болады. 64=26 болғандықтан, екілік кодта алты разряд қажетті.

8

ӨЗІНДІК ЖҰМЫС ТАПСЫРМАЛАРЫ

1.1. Бүтін санды кейбір диапазонда ойлап тапқан кезде 8 бит ақпарат

алынған болатын. Осы диапазонда неше сан бар?

1.2. Мектеп кітапханасында 16 стеллаж кітап бар. Әрбір стеллаждың

8 сөресі бар. Қайрат өзіне қажетті кітап бесінші стеллажда үстінен санағанда

үшінші сөреде жатыр деп кітапханашыдан естіді. Қайратқа кітапханашы қанша

ақпарат берді?

1.3. Бүтін санды 1 ден N–ға дейін диапазонда ойлап тапқан кезде 9 бит

ақпарат алынған болатын. N неге тең болады?

1.4. Топта N = 30 студент оқиды. Математикадан бақылау жұмыс бойынша

мынадай бағалар алынды: N5 = 15 бес баға, N4 = 6 төрт баға, N3 = 8 үш баға

және N2 = 1 екі. Мұқанов бес алды деген хабарда қанша Н5 ақпарат мөлшері

бар?

1.5. Семестр бойынша студент N = 100 баға алды. Ол бес алды деген

хабарда Н5 = 2 бит ақпарат мөлшері бар. Семестр бойынша студент қанша

N5 бес баға алды?

1.6. Жәшікте қолғаптар (ақ және қара түсті) жатыр. Олардың ішінде Nқ = 2

қос қара қолғап бар. Жәшіктен екі қара қолғап алынды деген хабарда Нқ = 4 бит

ақпарат мөлшері бар. Жәшікте неше Nа қос ақ қолғаптар болды?

1.7. Бөлмені жөндеу үшін ақ, көк және қоныр бояулар пайдаланды. Ақ пен

көк бояулар банкісі бірдей жұмсалды Nа = Nк. Ақ бояу банкісі бітті деген

хабарда На = 2 бит ақпарат мөлшері бар. Көк бояудың шығыны Nк = 8 банкі.

Бөлмені жөндеуге қоңыр бояудың Nк неше банкісі жұмсалды?

1.8. Аялдамада әртүрлі нөмірлері бар трамвай тоқтайды. Аялдамаға нөмірі

Nl трамвай келді деген хабарда HNl = 4 бит ақпарат мөлшері бар. Аялдамаға

нөмірі N2 трамвай келетін ықтималдығы нөмірі Nl трамвай келетін

ықтималдығынан екі есе аз (PN1 = 2РN2). Аялдамаға нөмірі N2 трамвай келді

деген хабарда қанша HN2 ақпарат мөлшері бар?

1.9. Мәтінді жазу үшін 256-символды алфавит пайдаланды. Әрбір парақта

30 жолы және әрбір жолда 70 символы бар. Мәтіннің 5 парағында қанша

ақпарат көлемі бар?

1.10. Кейбір тілдің алфавитінде екі әріп қана бар: А мен Б. Осы тілде

жазылған барлық сөздер 11 әріптен тұрады. Осы тілдің максимал сөздер қоры

қанша болу мүмкін?

9

2 САНДЫҚ АҚПАРАТТЫ БЕЙНЕЛЕУ

2.1 Санау жүйелері Сандарды бейнелеу әдісін және оған сәйкес сандарға қолданылатын

ережелер жинағы санау жүйесі деп аталады. Барлық санау жүйелері позициялы және позициясыз болып екіге бөлінеді. Сандарды бейнелеуге қолданылатын таңбалар цифрлар деп аталады.

Позициясыз санау жүйесінде сандардың көлемі берілген санның жазылу орнына байланыссыз. Мысалы, римдік санау жүйесінде цифрлар ретінде латын әріптері қолданылады:

I V X L С D М

1 5 10 50 100 500 1000

М 2.1. CCXXXII саны екі жүздіктен, үш ондықтан және екі бірліктен

құралады. Рим сандарында цифрлар солдан оңға қарай кему тәртібімен жазылады. Бұл жағдайда олардың мәндері қосылады. Егер де сол жақта кіші цифр жазылып, оң жақта үлкен цифр жазылса, бұлардың мәндері кемиді, мысалы:

VI = 5 + 1 = 6, IV = 5 - 1 = 4.

М 2.2. Рим саның MCMXCVIII ондық жуйесінде жазыңыз. MCMXCVIII = 1000 + (-100 + 1000) + (-10 + 100) +5+1+1+1= 1998. Позициялы санау жүйесінде бір ғана берілген цифр санның жазылуындағы

орнына байланысты әр түрлі мәнді анықтайды. Қолданылатын цифрлардың саны позициялық санау жүйесінің негізі деп аталады.

Қазіргі математикада ондық позиция жүйесі кең тараған. Оның негізі болып он саны алынады, себебі кез келген санды осы он цифрлар арқылы жаза аламыз: 0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9.

Бұл жүйенің позициялық сипатын келесі мысал жақсы көрсетеді. 333 деген санның жазылуында сол жақтағы бірінші “3” цифры – үш жүздікті, екінші “3” цифры - үш ондықты, үшінші “3” цифры – үш бірлікті белгілейді.

Позициялық жүйеде n – негізді санды жазу үшін n цифрдан тұратын алфавит керек. n – оннан кіші болған жағдайда (n<10), көбінесе, бірінші он араб цифрларын қолданады, ал n – оннан үлкен болғанда (n>10), он араб цифрларына әріптерді қосып қолданады. Кейбір жүйелердің алфавиттер мысалдары 2.1-кестеде көрсетілген.

Жүйенің негізін көрсету қажет болса, онда ол берілген санның төменгі индексі ретінде жазылады. Мысалы: 1011012, 36718, 3B8F16.

2.1-кесте

Негізі Атауы Алфавит

n = 2 екілік 0, 1

n = 3 үштік 0, 1, 2

n = 8 сегіздік 0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7

n = 16 он алтылық 0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

10

Кез келген q негізді санау жүйесінде разряд бірліктері ретінде q

санының тізбектелген көрсеткіштері қолданылады. q негізді санау жүйесінде

сандарды жазу үшін 0,1,. . . q-1 сандарын бейнелейтін әр түрлі q белгісі қажет.

Берілген санды төмендегідей өрнектеуге болады, бұл - санды жазудың

жайылған түрі деп аталады

Aq = (an-1 qn-1 + an-2 q

n-2 +…+ a0 q0 + a-1 q

-1 +…+ a –m q-m).

Мұндағы Aq - берілген сан, q - санау жүйесінің негізі, аі - санау

жүйесіндегі цифрлар, n - бүтін бөліктегі разрядтар саны, m - бөлшек бөліктегі

разрядтар саны.

Мына түрдегі санның жазылуы оралған түрі деп аталады

Aq = an-1an-2…a1a0a-1…a –m,

Ол кәдімгі жағдайда қолданылады.

М 2.3. А10 = 4718,63 санды жайылған түрде жазыңыз.

Шешім.

А10 = 4103 + 7102 + 1101 + 8100 + 610-1 + 310-2.

М 2.4. A8 = 7764,1 санды жайылған түрде жазыңыз.

Шешім. A8 = 783 + 782 + 681 + 480 + 18-1.

М 2.5. А16 = 3AF санды жайылған түрде жазыңыз.

Шешім. А16 = 3163 + 10161 + 15160.

М 2.6. Мына барлық сандарды 1123, 1011012, 15FC16, 101,112 ондық

жүйеге ауыстырыңыз.

Шешім.

1123 = 132 + 131 + 230 = 9 + 3 + 2 = 1410,

1011012 = 125 + 024 + 123 + 122 + 021 + 120 = 32 + 8 + 4 + 1 = 4510,

15FC16 = 1163 + 5162 + 15161 + 12 = 4096 + 1280 + 240 + 12 = 562810,

101,112 = 122 + 021 + 120 + 12-1 + 12-2 = 4 + 1 + 1/2 + 1/4 = 5 + 0,5 + 0,25 = 5,7510.

М 2.7. Ондық емес ауылдың тұрғындарында 120 бас ірі мал бар, олардың

ішінде 53 сиыр және 34 бұқа бар. Ауыл тұрғындары қандай санау жүйесін

пайдаланады: негізі 4, 5, 6 немесе 7?

Шешім. Берілген сандарда ең үлкен цифр – 5. Сондықтан ол анықталатын

санау жүйесінің алфавитіне кіріп отыр. Онда санау жүйесінің негізі 5-тен артық

болу керек. Есепті 6 мен 7 негізін ауыстырып қою әдісі арқылы немесе

математикалық түрде шешуге болады.

Анықталатын санау жүйесінің негізін х деп алып келесі теңдікті жазамыз:

120x = 53x + 34х.

11

Оң және сол жақтағы сандарды ондық санау жүйесіне ауыстырғаннан

кейін мына теңдікті аламыз х2 + 2х = 5х + 3 + 3х + 4. Өзгерістерді жүргізіп х2 -

6х - 7 = 0 теңдеуді аламыз, оның түбірі х = 7.

2.2 Бүтін ондық сандарды басқа санау жүйелеріне ауыстыру

1. Берілген санды және толымсыз бөлшектерді біртіндеп жаңа санау

жүйесінің негізіне бөлу қажет. Бұл амалдарды бөлгіштен (жаңа санау жүйесінің

негізінен) кіші толымсыз бөлшек шыққанша орындау қажет.

2. Алынған қалдықтар берілген санның жаңа санау жүйесіндегі түрін құрайды.

3. Соңғы бөлшектен бастап, жаңа санау жүйесіндегі санды жазу керек.

М 2.8. 3710 санды екілік санау жүйесіне ауыстырыңыз, ал 31510 санды -

сегіздік және он алтылық санау жүйесіне.

Шешім.

Осыдан шығады 3710 = 1001012, 31510 = 4738 = 13В16.

М 2.9. 32510 = 1010001012

Шешім.

325 2

-324 162 2

1 -

162

81 2

0 -80 40 2

1 -40 20 2

0 -20 10 2

0 -10 5 2

0 -4 2 2

1 -2 1

М 2.10. 2510 саны екілік санау жүйесінде қалай жазылады?

Шешім.

25 2

24 12 2

1 -12 6 2

0 -6 3 2

0 -2 1

2510=100112. 1

12

2.3 Бөлшек ондық сандарды басқа санау жүйелеріне ауыстыру

1. Берілген санды көбейтіндінің бөлшек бөлігінің разрядтарының мәндері

нөлге тең болғанша (берілген дәлдік алынғанша) бірнеше рет жаңа санау

жүйесінің негізіне көбейту керек.

2. Алынған көбейтінділердің бүтін бөліктері берілген санның жаңа санау

жүйесіндегі түрін құрайды.

3. Жаңа санау жүйесіндегі санның дұрыс бөлшегінің разряд мәндері

ретінде ең бірінші шыққан бүтін бөліктен бастап соңғы шыққан бүтін бөлікке

дейін алу керек.

М2.11. 0,562510 = 0,10012.

Шешім.

0, 5625

х 2

1 1250

х 2

0 2500

х 2

0 5000

х 2

1 0000

М 2.12. Бөлшек ондық санды 0,1875 екілік, сегіздік және он алтылық

санау жүйесіне ауыстырыңыз.

Шешім.

Мұнда вертикаль сызық санның бүтін бөлігін бөлшек бөлігінен

ажыратады. Осыдан 0,187510 = 0,00112 = 0,148 = 0,316.

М2.13. 0,710 ≈ х 2

Шешім.

0, 7

х 2

1 4

х 2

0 8

х 2

1 6

х 2

1 2

х 2

0 4

… Әрине бұл процесті шексіз жалғастыра

беруге болады. Процесті қажетті есептеу

дәлдігін (үтірден кейін таңбалар саны)

алынған кезде аяқтайды).

0,710 ≈ 0,10110 2

13

Аралас сандардың өрнектеуі екі сатыдан тұрады. Бастапқы санның бүтін

және бөлшек бөліктері жеке-жеке сәйкес алгоритмдер арқылы өрнектеледі.

Нәтижеде, жаңа санау жүйесіндегі санның бөліктері үтір арқылы ажыратылады.

Мысалы, 315,1875 сегіздік және он алтылық санау жүйесіне ауыстырғанда,

бүтін жағын 315 (М 2.8 сәйкес) және бөлшек жағын 0,1875 (М 2.12 сәйкес) жеке

ауыстырамыз. Аламыз 315,187510 = 473,148 = 13В,316.

2.4 Екілік сандарды 2n негізі бар санау жүйелеріне ауыстыру

Екілік бүтін санды q=2n (4, 8, 16 және т.с.с.) негізді санау жүйесінде

өрнектеу үшін мына жұмыс түрлерін орындау керек:

1) берілген екілік санын он жақтан сол жаққа қарай n цифрдан тұратын

топтарға бөлу керек;

2) егер сол жақтағы соңғы топтағы цифрлар саны n-нен аз болса, санның

орны сол жағынан нөлдермен толықтырылады;

3) әрбір топ n-разрядтық екілік сан ретінде қарастырылып, q=2n негізді

санау жүйесіндегі сәйкес санмен белгіленеді.

М 2.14. 11001010011010101112 санды сегіздік санау жүйесіне ауыстырыңыз.

Шешім. Санды оң жағынан бастап үш цифрлы топтарға (триадаға)

бөлеміз (себебі q = 8, 8 = 2n, n = 3). Сәйкес сегіздік цифрларды жазамыз:

001 100 101 001 101 010 111

1 4 5 1 5 2 7

және аламыз 11001010011010101112 = 14515278.

М 2.15. 11001010011010101112 санды он алтылық санау жүйесіне

ауыстырыңыз.

Шешім. Санды оң жағынан бастап төрт цифрлы топтарға (тетрадаға)

бөлеміз (себебі q = 16, 16 = 2n, n = 4). Сәйкес он алтылық цифрларды жазамыз:

0110 0101 0011 0101 0111

6 5 3 5 7

және аламыз 11001010011010101112 = 6535716.

М 2.16. Егер осындай теңдік 175x = 7D16 орын алса, санау жүйесінің

негізінің х мәні канша болады?

Шешім. 175x және 7D16 сандарды ондық санау жүйесінде жазамыз:

175x = x2 + 7х + 5, 7D16 = 716 + 13 = 125.

Осы сандар тең болғандықтан, онда x2 + 7х + 5 = 125.

14

Алынған квадраттық теңдеудің түбірлері: х = 8 және х = -15 (бұл түбір

келмейді, өйткені санау жүйесінің негізі теріс шама болмайды). Сондықтан

санау жүйесінің негізі 8-ге тең.

q = 2n негізі бар санау жүйесіндегі кез келген санды екілік санау жүйесіне

өрнектеу үшін, осы санның әрбір цифрын екілік санау жүйесіндегі n-разрядтық

эквивалентімен ауыстыру қажет.

Компьютерлік ақпарат үшін жиі қолданылады 8 (сегіздік) немесе 16 (он

алтылық) негізі бар жүйелер.

М 2.17. Екілік санды

1101111010111011112

он алтылық санау жүйесіне ауыстырыңыз.

Шешім. Берілген санды оң жағынан бастап төрт цифрлы топтарға

бөлеміз. Егер сол жақтағы соңғы топтағы цифрлар саны төртен кем болса, онда

оны нөлдермен толтырамыз:

0011 0111 1010 1110 1111.

Енді нөлден және бірден тұратын әрбір екілік топты сәйкес он алтылық

цифрымен ауыстырамыз: 3 7 А Е F.

Сонымен, 1101111010111011112 = 37AEF16.

2.5 Сандарды қосу

Әр түрлі санау жүйеде жазылған сандарды қосқанда оларды бір санау

жүйесіне ауыстыру керек (нәтижесінің санау жүйесіне аустырған ыңғайлы).

М 2.18. Ондық санау жүйесінде қосындының мәнін табыңыз:

102+108+1016 = ?10

Шешім.

Барлық сандарды ондық санау жүйесіне ауыстырамыз:

102+108+1016 = (1*21+0*20) + (1*81+0*80) + (1*161+0*160) = 2+8+16=2610.

М 2.19. x+y қосындыны табыңыз, егер x=11101012 , y=10110112. Жауапты

сегіздік санау жүйесінде беріңіз.

Шешім.

Кесте көмегімен қосындыны табамыз: 11101012 + 10110112 :

Бірлікті толықтырып жазу 1 1 1 1 1 1

Бірінші қосылғыш 1 1 1 0 1 0 1

Екінші қосылғыш 1 0 1 1 0 1 1

Қосынды 1 1 0 1 0 0 0 0

11101012 + 10110112 = 110100002

15

Алынған санды екілік санау жүйесінен сегіздік санау жүйесіне

ауыстырамыз:

11 010 000 → 3208.

3 2 0

М 2.20. Кейбір негізі бар санау жүйесінде 12 саны 110 түрде жазылады.

Осы негізін табыңыз.

Шешім.

Қажетті негізін n деп белгілейік. Позициялық санауда сандарды жазу

ережесі бойынша 110n=n2+n1+0. Теңдеу құрастырамыз: n2+n=12, түбірлерін

табамыз: n1=-4, n2=3. n1=-4 түбірі келмейді, өйткені санау жүйесінің негізі

бірден үлкен натурал сан. Екінші түбірдің n=3 келетінін тексереміз:

1103=1*32+1*31+0=9+3=1210

Жауап: 3.

М 2.21. Класта 11112 қыз және 11002 ұл бала оқиды. Класта неше оқушы бар?

Шешім.

11112=1*23+1*22+1*21+1*20→8+4+2+1=1510.

11002=1*23+1*22+0*21+0*20→8+4=1210

1510+1210=2710

Жауап: класта 27 оқушы.

М 2.22. 17 санының жазуы 2-ге аяқталатын санау жүйелерінің негізін өсу

ретімен жазыңыз.

Шешім.

Санның жазуында соңғы цифр - бұл санау жүйесінің негізіне бөлудің

қалдығы. 17-2=15 болғандықтан, ізделіп отырған санау жүйелерінің негіздері

15-тің бөлгіші болып табылады, бұл: 3, 5, 15.

17-ні сәйкес санау жүйелерінде жазып жауапты тексерейік:

17 3 17 5 17 15

-

15

5 2 -

15

3 2 -

15

1

2 -4 2 2 2 -2 1 2

1 -2 1 1

0

1710 = 10123 1710 = 1125 1710 = 1215

Жауап: 3, 5, 15.

16

ӨЗІНДІК ЖҰМЫС ТАПСЫРМАЛАРЫ

Ондық санды Х10 екілік санға Y2 ауыстырыңыз (Х10 Y2), екілік санды Х2

сегіздік санға Y8 ауыстырыңыз (Х2 Y8), ондық санды Y10 (Х2 Y10) он

алтылық санға Y16 ауыстырыңыз (Х2 Y16).

2.1. Х10 = 35,2510, Х2 = 101011012.

2.2. Х10 = 22,37510, Х2 = 1111010102.

2.3. Х10 = 39,7510, Х2 = 1101010112.

2.4. Х10 = 18,62510, Х2 = 1101011012.

2.5. Х10= 17,37510, Х2 = 1101101112.

2.6. Х10 = 28,510, Х2 = 1001011012.

2.7. Х10 = 30,7510, Х2 = 1010101112.

2.8. Х10 = 21,2510, Х2 = 1101010112.

2.9. Х10 = 24,12510, Х2 = 11010110012.

2.10. Х10 = 44,12510, Х2 = 110101112.

2.6 Символдық ақпаратты ұсыну

Символдық ақпаратты (алфавит әріптері және басқа символдар) ұсыну

ережесінің мағынасы мынадай – компьютерде әрбір символға екілік код (нөль

мен бірдің жиынтығы) сәйкестендіріледі.

Мысалы, 1 бит (0, 1 мәнің алатын) 2 символды кодтай алады, 2 бит (00,

01, 10, 11) – 4 символды, 3 бит (000, 001, 010,100, 011,101,110,111) – 8

символды, және n бит - 2n символды. N символды кодтау үшін минимал бит

саны n мына формула арқылы анықталады

N 2n. (2.1)

Символды мәліметтермен келесі амалдар жүргізуге болады: екілік

кодтарды салыстыру (>, <, =, ), мәтінді қосылу және жеке символдарға

немесе символдар тобына бөлу.

Символдық (мәтіндік) ақпаратты компьютер ішінде ұсыну үшін 256

символы бар алфавит пайдаланады. Осындай алфавиттің бір символы жадта 8

бит немесе 1 байт алады.

Символдар мен және олардың компьютер алфавитіндегі рет санының

арасындағы сәйкестікті анықтайтын кесте кодтау кестесі деп аталады.

17

Компьютер алфавитінің барлық символдары 0 ден 255-ке дейін

нөмірленген. Әрбір нөмірге 8-разрядты екілік коды сәйкес: 00000000 ден

11111111-ге дейін. Дербес компьютерлер үшін халықаралық стандарт ретінде

ASCII (American Standard Code for Information Interchange) - Ақпараттық

алмасу үшін Америкалық стандартты код деп аталатын кодтау кестесі болды.

Бұл кестеде стандартты тек алғашқы 128 символ болады, яғни нөмірлері

нөлден (екілік код 00000000) 127-ге (01111111) дейін символдар. Мұнда кіреді

латын алфавиттың әріптері, цифрлер, тыныс белгілері, жақшалар және кейбір

басқа символдар. Қалған 128 код, 128-ден (екілік код 10000000) бастап 255-пен

аяқталатын (11111111), ұлттық алфавиттерді (мысалы, кестенің осы бөлімінде

қазақ алфавиттің әріптері орналасады), псевдографика символдарды және ғылыми

символдарды (мысалы, >, < немесе символдар) кодтау үшін пайдаланады.

Алфавитті тізбектік (жүйелі) кодтау принципы: ASCII кодтық кестеде

латын әріптері (бас және кіші әріптер) алфавит ретімен орналасады. Цифрлер де

мәндері өсу бойынша реттелген. Бұл ереже басқа кодтау кестелерде де орын

алады. Сондықтан, символдық ақпарат үшін машиналық ұсынуда да «алфавит

реті» деген ұғым сақталынады.

Қазір көбінесе жаңа стандарт пайдаланады – Unicode. Бұл стандарт әрбір

символдың кодтауын екі байтпен анықтайды.

М 2.24. 33 кіші және бас әріпті кодтау үшін қанша бит саны қажетті.

Шешім. Барлығы кодтау керек N = 66 әріп, ол үшін (2.1) теңсіздікке

сәйкес

66 27

n = 7 бит қажет болады.

М 2.25. ABBA сөзді екілік, ондық және он алтылық кодпен кодтаңыз.

Шешім. 1) екілік кодта:

АВВА2 = 01000001 01000010 01000010 01000001;

2) ондық кодта:

А10 = 027 + 126 + 025 + 024 + 023 + 022 + 021 + 120 = 65,

В10 = 027 + 126 + 025 + 024 + 023 + 022 + 121 + 020 = 66,

АВВА10 = 65666665;

3) он алтылық кодта:

А16 = 41, В16 = 42,

АВВА16 = 41424241.

М 2.26. Кодтық кестеде максимал символдар саны қанша болу мүмкін,

егер сақтаған кезде осы кестенің бір символы жадтың 10 битын алатын болса?

Шешім. Мына формуланы пайдаланамыз 2i = N, мұнда i = 10 бит. Сонда

N = 210 = 1024 - кодтық кестедегі символдар саны.

18

М 2.27. Берілген сөздерден ASCII кодтау кестедегі ең үлкен символдар

кодтарының қосындысын алатын сөзді таңдап алыңыз: окно; кино; ника; конь;

ночь.

Шешім. Осы есепті шешкен кезде алфавитті тізбектік (жүйелі) кодтау

принципі пайдаланады. Кодтау кестеде әріптер алфавит ретімен орналасады.

Сондықтан әрбір әріптің кодын білмесе де болады. Мысалы, «кино» және

«ника» сөздерін салыстырайық. Олар тек бір әріппен айрықша болады. «о»

әріптің коды (нөмірі) «а» әріптің кодынан үлкен. Осыдан «кино» сөздің

символдар кодының қосындысы үлкенірек болады. Осылай басқа сөздерді де

талдауға болады. Ең үлкен кодтар қосындысы «ночь» сөзінде болады.

М 2.28. Микропроцессор деген сөз компьютер жадының қанша битын

алады?

Шешім. Сөз 14 әріптен тұрады. Әрбір әріп компьютер алфавитінің

символы болып табылады және 1 байт жадын алады. Сөз жадынан 14 байт =

112 бит алады, өйткені 1 байт = 8 бит.

М 2.29. Кодтау кестеде i әріптің ондық коды 105. Ондық кодтар

жүйелілікпен 108 105 110 107 не шифрланған?

Шешім. Берілген жүйелілікті ашып оқығанда символдарды кодтау кестені

пайдаланбаса да болады. Алфавитті тізбектік кодтау принципін және латын

алфавитіндегі әріптер ретін еске алу керек: i, j, k, l, m, n, о және т.б. j әріптің

коды 106, k - коды 107 және т.б. Демек, кодталған сөз link.

М 2.30. Ондық кодтар 99 111 109 112 117 116 101 114 тізбегі көмегімен

computer сөзі шифрланған. Егер бұл сөз бас әріптер арқылы жазылса, ондық

кодтар тізбегі қандай болады?

Шешім. Сөзді шифрланған кезде символдар кодтау кестесін пайдаланбаса

да болады. Тек кіші әріптің ондық кодының және оған сәйкес бас әріптің ондық

кодының арасындағы айырмашылық 32-ге тең болғаның ұмытпау керек. Егер с

әріпке 99 коды сәйкес болса, онда С бас әріптің ондық коды 67 = 99 - 32.

Сондықтан COMPUTER сөзіне сәйкес болатын кодтар тізбегі

67 79 77 80 85 84 69 82.

М 2.31. Екілік кодтар тізбегі 01110011 01110100 01101111 01110000 stop

сөзге сәйкес. Осы сөздің ішкі он алтылық ұсынуын құрыңыз.

Шешім. Әрбір он алтылық цифрды төрт таңбалы екілік санмен көрсетуге

болатынын еске алу керек, яғни 01110011 екілік кодқа екі он алтылық цифр

сәйкес болады: 7 (0111) және 3 (0011). Сондықтан он алтылық кодтың түрі

73 74 6F 70.

19

ӨЗІНДІК ЖҰМЫС ТАПСЫРМАЛАРЫ

2.11. Мәтін компьютер жадының 0,25 Кбайт алады. Бұл мәтінде қанша

символ бар?

2.12. ASCII символдар кодтау кестесінде е әріптің ондық коды (нөмірі)

тең 101. Ондық кодтардың қандай тізбегі мына сөздерге сәйкес болады: 1) file;

2) help?

2.13. ASCII символдар кодтау кестесінде о әріптің ондық коды (нөмірі)

тең 111. Ондық кодтар тізбегі көмегімен не шифрланған:

1) 115 112 111 114 116; 2) 109 111 117 115 101?

2.14. ASCII символдар кодтау кестесінде i әріптің ондық коды (нөмірі)

тең 105. Бас әріптермен жазылған INFORMATION сөзге қандай ондық кодтар

тізбегі сәйкес болады?

2.15. Ондық кодтар тізбегі көмегімен

66 65 83 73 67

BASIC сөзі шифрланған. Кіші әріптермен жазылған осы сөзге қандай ондық

кодтар тізбегі сәйкес болады?

2.16. ASCII кестеде ең кіші кодтар қосындысын алатын мәтін фрагментін

таңдап алыңыз: 2b2d; файл; file; 1999; 2001.

2.17. ASCII символдар кодтау кестесін пайдаланып, он алтылық кодтар

көмегімен келесі сөздерді кодтаңыз: 1) Norton; 2) Manager.

2.l8. ASCII символдар кодтау кестесін пайдаланып, символдардың он

алтылық кодтар түрінде жазылған мәтінді ашып оқыңыз:

1) 57 69 6Е 64 6F 77 73 2D 39 35;

2) 63 6F 6D 65 2D 4F 4Е 2D 6С 69 6Е 65.

2.19. ASCII символдар кодтау кестесін пайдаланып, екілік кодтар

көмегімен келесі сөздерді кодтаңыз: 1) EXCEL; 2) Word.

2.20. Он алтылық коды бойынша екілік кодты қалпына келтіріңіз және

символдар кодтау кестесін пайдаланып мына сөздерді ашып оқыңыз:

1) 42 61 73 69 63; 2) 50 61 73 63 61 6С.

20

2.7 Графикалық ақпаратты ұсыну Графикалық ақпарат бұл пиксел деп аталатын нүктелерден жасалынған

бейне. Бейненің сапасы бейнені құрайтын нүктелер мен түстер санына тәуелді. Пиксель — экрандағы (экрандағы нүкте) бейненің ең кіші элементі. Растр — экрандағы тікбұрышты пикселдер торы. Экранның аыйру қабілеті — растр торының мөлшері, ол көбейтінді

түрінде беріледі MN, мұндағы М — горизонтал бойынша нүктелер саны, N — вертикал (жолдар саны) бойынша нүктелер саны. Айыру қабілетінің негізгі мәндері: 640x480, 800x600, 1024x768, 1280x1024.

Видеоақпарат — компьютер экранына шығатын бейне туралы ақпарат, компьютерлік жадында сақталынады.

Видеожад — бейнені экранға шығарған кезде видеоақпаратты сақтайтын жедел жад.

Графикалық файл — бұл графикалық ақпаратты сақтайтын файл. Нүктенің түсін кодтау үшін бит саны биттік түс тереңдігі деп аталады. Биттік түс тереңдігінің ең жиі таралған мәндері 4, 8, 16 және 24 бит бір

нүктеге. Түстер санын мына формула арқылы есептеуге болады N = 2i, мұндағы i — биттік түс тереңдігі.

Түсті кодтау кезінде көбінесе екі түс моделі пайдаланылады: RGB (R, Red — қызыл; G, Green — жасыл; В, Blue — көк) және CMYK (С, Cyan — көк; М, Magenta — қызылкүрен; Y, Yellow — сары; К, Black — қара).

М 2.32. Бейненің төрт парағын сақтау үшін видеожадының қандай көлемі қажет? Дисплейдің айыру қабілеті 640x480 нүкте, пайдаланатын түстер саны — 32.

Шешім. 1) N = 2i, 32 = 2i, i = 5 бит — түс тереңдігі;

2) 64048054 = 6144000 = 750 Кбайт — видеожад көлемі. М 2.33. Видеожад көлемі 1875 Кбайт және ол екі параққа бөлінген. Егер

монитор экранының айыру қабілеті 800x600 болса, қанша ең үлкен түстер санын пайдалануға болады?

Шешім. 1) 187510248 = 30720000 бит — видеожад көлемі; 2) 30720000 : 800 : 600 : 2 = 16 бит — түс тереңдігі; 3) N = 2i = 216 = 65536 — ең үлкен түстер саны. М 2.34. 265-түсті суретте 1 Кбайт ақпарат бар. Бұл сурет неше нүктеден

тұрады? Шешім. 1) N = 2i, 256 = 2i, i = 8 бит — бір нүктенің ақпараттық көлемі;

2) 10248 = 8192 бит — бейне көлемі; 3) 8192 : 8 = 1024 нүкте — бейнедегі.

М 2.35. Графикалық бейнені өзгерткеннен кейін түстер саны 256-дан 32-ге дейін азайды. Орын алатын жад көлемі неше есе азайды?

Шешім. 1) N1 = 2i, 256 = 2i, i1 = 8; 2) N2 = 2i, 32 = 2i, i2 = 5; 3) i1/i2 = 8/5 = 1,6 есе.

21

ӨЗІНДІК ЖҰМЫС ТАПСЫРМАЛАРЫ

2.21. Егер дисплейдің айыру қабілеті 640x350 пиксел, ал пайдаланатын

түстер саны – 16 болса, бейненің екі парағын сақтау үшін видеожадының

қандай көлемі қажет?

2.22. Егер дисплейдің айыру қабілеті 800x600 пиксел, ал биттік тереңдігі

24 болса, бейненің төрт парағын сақтау үшін видеожадының қандай көлемі

қажет?

2.23. Егер видеожад екі параққа бөлінсе, видеожад көлемі 1 Мбайт.

Дисплейдің аыйру қабілеті – 800x600. Қанша ең үлкен түстер саның

пайдалануға болады?

2.24. Биттік тереңдігі 32, видеожад екі параққа бөлінеді, дисплейдің

айыру қабілеті – 800x600. Видеожад көлемін есептеңіз.

2.25. Егер 256-түсті палитраны пайдаланатын болсақ, видеожад көлемінде

мөлшері 640x480 пиксел 4-түсті бейне сақталыну мүмкін. Осы видеожад

көлемінде қандай мөлшерді бейнені сақтауға болады?

2.26. Монитор экранында 1024 сұр түстің реңктерін алу қажет. Түс

тереңдігі қандай болу керек?

2.27. егер видеожад екі параққа бөлінсе, видеожад көлемі – 2 Мбайт,

дисплейдің айыру қабілеті 800x600. Экранда сұр түстің қанша реңктерін алуға

болады?

2.28. Видеожад көлемі тең 2,5 Мбайт, түс тереңдігі – 16, монитор

экранының айыру қабілеті – 640x480 нүкте. Осы жағдайда пайдалануға

болатын ең үлкен парақтар санын табыңыз.

2.29. Егер 512-түсті палитраны пайдаланатын болсақ, видеожад көлемінде

мөлшері 640x350 нүкте 8-түсті бейне сақталыну мүмкін. Осы видеожад

көлемінде қандай мөлшері бар бейнені сақтауға болады?

2.30. Графикалық бейнені өзгерткеннен кейін түстер саны 256-дан 65536-

ға дейін өсті. Орын алатын жад көлемі неше есе көбейді?

22

3 ЛОГИКА АЛГЕБРАСЫНЫҢ НЕГІЗГІ ҰҒЫМДАРЫ

Логикалық мәліметтерді компьютерде ұсыну үшін буль алгебрасы

пайдалынады – бұл формалды математикалық жүйеге элементтер, олармен

жүргізілетін амалдар және логика заңдары кіреді. Буль алгебрасының

элементтер жиыны бинарлық болып алынады: {0, 1}. 0 немесе 1 мәнін алатын

айнымалыларды бульдік деп атаймыз және латын алфавитінің бас әріптерімен

белгілейміз А, В, С,..., X, Y, Z. Буль алгебрасының негізгі амалдары:

1. Логикалық көбейту — конъюнкция (, , •, ЖӘНЕ (И), AND).

2. Логикалық қосу — дизъюнкция (, +, НЕМЕСЕ (ИЛИ), OR).

3. Логикалық терістеу — инверсия (, , ЕМЕС (НЕ), NOT).

3.1-кесте

X Y X Y X Y X X Y X Y X Y

1 1 1 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 1 0 0

0 1 0 1 1 1 1 0

0 0 0 0 1 0 1 1

3.2-кесте

Өрнек Аты

1. А В = В А

2. A В = В А

Коммутативтілік, ауыстыру заңдары

3. А (В С) = (А В) С

4. A (В С) = (A В) С

Ассоциативтілік, тіркесу заңдары

5. A (В C) = (A В) (A С)

6. А (В С) = (А В) (А С)

Дистрибутивтілік, үлестіру заңдары

7. А А = А

8. A А = А

Идемпотенттілік заңдары

9. А 0 = 0

10. А 1 = А

11. A 0 = А

12. A 1 = 1

13. 1 = 0

14. 0 = 1

Логикалық константалармен амалдар

15. A А = 1

16. А А = 0

Үшіншіні шығарылу заңы.

Қайшылық заңы

17. (А В) = A В

18. (A В) = А В

де Морган заңдары

19. A (А В) = A

20. A (A В) = А

Жұту заңдары

21. А = А Қосарлы терістеу заңы

22. А В = A В

23. А В = (A В) (A В)

Инфолюция заңдары

23

Одан басқа келесі логикалық амалдар жиі пайдалынады:

4. Логикалық эквиваленттілік емес — шығарылу ИЛИ (, неИЛИ (XOR)).

5. Логикалық импликация немесе шығу (, , ЕГЕР...ОНДА (ЕСЛИ...ТО)).

6. Логикалық эквиваленттілік (, , , ).

3.1-кестеде жоғарыда көрсетілген логикалық амалдардың ақиқаттық

кестесі келтірілген.

Амалдарды орындағанда теңдік қатынастар «=» және жақшалар «( )»

қолданылады, олар амалдарды орындау ретін анықтайды. Егер жақшалар

болмаса, онда амалдар келесі тізбек бойынша орындалады: терістеу,

конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленттілік.

Бульдік функция деп екілік айнымалы F аталады, оның мәні аргумент деп

аталатын басқа екілік айнымалыларына Х1, Х2,…, Хn тәуелді:

F = F(Х1, Х2,…, Хn).

Бульдік функцияны беру – бұл әрбір мүмкін болатын аргументтердің

екілік мәндерінің тіркестеріне нақты екілік F мәнің сәйкеске қою дегеніміз. n

аргумент болғанда тіркестердің жалпы саны N = 2n. Логика алгебраның негізгі

заңдары 3.2-кестеде келтірілген. Логикалық амалдар және логика заңдары

логикалық өрнектерді оңайлату үшін, ақиқаттық кестелерді және логикалық

сұлбаны құру үшін жиі пайдаланылады.

3.1 Логикалық өрнектерді оңайлату

М 3.1. Логикалық өрнекті оңайлатыңыз

.

Шешім. 1) де Морган заңды пайдаланып терістеуден құтыламыз (3.2-

кестеде формула 17):

.

2) формулаға операндты жұту заңды (формула 19)

қолданамыз, онда

.

М 3.2. Логикалық өрнекті оңайлатыңыз

F = (A B) (B A).

Шешім. 1) Инфолюция заңың (формула 22) пайдаланып (A B) және (B

A), импликациядан құтыламыз:

24

(A B) (B A) = (A B B A).

2) Топтастырамыз (A A), (B B) және үшіншіні шығарылу заңды

(формула 15) қолданамыз:

(A A) (B B) = 1 1 = 1.

М 3.3. ¬(A ¬B) өрнекке қандай логикалық өрнек сәйкес болады?

Шешім.

Өрнекті түрлендіру үшін (18), (21) заңдарды пайдаланамыз:

(18) (21)

¬(A ¬B) = ¬A ¬(¬B) = ¬A B.

М3.4. F символ арқылы төменде көрсетілген үш аргументтен X, Y, Z

тұратын логикалық өрнектің біреуі белгіленген. F өрнегі үшін ақиқаттық

кестенің фрагменті берілген:

X Y Z F

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

F-қа қандай өрнек сәйкес болады?

Шешім.

1-ші әдіс. F бағанда екі бірліктің болуы логикалық өрнекте дизъюнкцияның

пайдалануын көрсетеді. F мәні 0 болады, егер X=0, Y=0, Z=1, бұл логикалық

қосындыға сәйкес XY¬Z. Осы формуланы тексергенде бірінші және үшінші

жолдағы мәні үшін F мәні де дұрыс болады.

2-ші әдіс. Берілген жауаптарды тексереміз:

1) F=¬X¬YZ=0 X=0, Y=0, Z=0 болғанда, кестенің бірінші жолына сай

келмейді.

2) F=¬X¬YZ=1 X=0, Y=0, Z=1 болғанда, кестенің екінші жолына сай

келмейді.

3) XY¬Z өрнегі берілген X,Y,Z барлық мәндерінде F-қа сай болады.

4) F=XYZ=1 X=0, Y=0, Z=1 болғанда, кестенің екінші жолына сай

келмейді.

Сонымен, дұрыс жауабы №3.

М 3.5. Қандай X саны үшін мына өрнек ақиқат болады

X>1 ((X<5)→(X<3))

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

(15)

1) ¬X¬YZ 2) ¬X¬YZ 3) XY¬Z 4) XYZ

25

Шешім.

Өрнекке кіретін импликацияны (22) тепе-теңдікті пайдаланып ауыстырамыз:

(22)

(X>5)→(X<3) = ¬ (X<5) (X<3)

Алынған өрнекті (15) қоямыз:

(X>1)((X<5)→(X<3)) = (X>1) (¬ (X<5) (X<3)) =

=(X>1) ((X>=5) (X<3))

(16)

Берілген X (=1; 2; 3; 4) мәндерінде (16) өрнектің мәнін табамыз

X=1: (1>1) ((1>=5) (1<3)) = 0(11) = 01=0

X=2: (2>1) ((2>=5) (2<3)) = 1(01) = 11=1

X=3: (3>1) ((3>=5) (3<3)) = 1(00) = 10=0

X=4: (4>1) ((4>=5) (4<3)) = 1(00) = 10=0

Дұрыс жауабы №2.

М 3.6. ¬(¬AB) өрнекке қандай логикалық өрнек сәйкес болады?

Шешім.

Өрнекті түрлендіру үшін (17), (21) заңдарды пайдаланамыз:

(17) (21)

¬(¬AB) = ¬(¬A)¬B = A¬B.

3.2 Ақиқаттық кестелерді құрастыру

Логикалық өрнектің есептеуі көбінесе ақиқаттық кестелер түрінде

орындалады — осындай кестелерде әр түрлі айнымалылар жиынтығы болғанда

алынатын логикалық өрнектің мәндері көрсетіледі.

Кестені құрастыру үшін қажет:

1) кестедегі жолдар санын анықтау (2n деп есептеледі, мұндағы n –

айнымалылар саны);

2) бағандар санын анықтау (айнымалылар саны плюс логикалық

операциялар саны ретінде есептеледі);

3) логикалық операциялардың орындау ретін орнату;

4) бағандар атын және бастапқы айнымалылардың мүмкін болатын

мәндер жиынтығын белгілеп кестені құру;

5) бағандар бойынша ақиқат кестені толтыру.

М 3.7. Өрнек үшін ақиқат кестені құрастырыңыз:

F = (A B) (A B).

Шешім. 1) Жолдар саны = 22 (2 айнымалы) + 1 (бағандар аты) = 5.

26

2) Бағандар саны = 2 логикалық айнымалылар (А, В) + 5 логикалық

операциялар (, , , , ) = 7.

3) Операцияларды орындау ретін қоямыз:

1 5 2 4 3

(A B) (A B).

4) Ақиқаттық кестені құрамыз (3.3-кесте).

3.3-кесте

A B A B A В A B (A B) (A B)

0 0 0 1 1 1 0

0 1 1 1 0 1 1

1 0 1 0 1 1 1

1 1 1 0 0 0 0

3.3 Логикалық сұлбаны құрастыру

Конъюнктор, дизъюнктор және инвертор элементтер (3.4-кесте) арқылы

орындалатын сәйкес үш логикалық (конъюнкция, дизъюнкция және инверсия

(терістеу)) операциялардан кез келген логикалық өрнектерді жүзеге асыруға

болады.

3.4-кесте

A B Нәтижесі A B Нәтижесі A A

1 1 1 1 1 1 1 0

1 0 0 1 0 1

0 1 0 0 1 1 0 1

0 0 0 0 0 0

Конъюнктор Дизъюнктор Инвертор

Логикалық сұлбаны құрастыру ережесі:

1) логикалық айнымалылар санын анықтау;

2) логикалық операциялар санын және олардың ретін анықтау;

3) әрбір логикалық операция үшін оған сәйкес вентильді бейнелеу;

4) логикалық операцияларды орындау реті бойынша вентильдерді қосу.

М 3.8. Логикалық өрнекке сәйкес логикалық сұлбаны құрастырыңыз:

.

X = 1, Y = 0 үшін өрнектін мәнін есептеңіз.

А B

В

А + А А А B

В

А

27

Шешім. 1) Айнымалылар екеу: X және Y .

2) Логикалық операциялар төртеу: конъюнкция, терістеу және екі

дизъюнкция. Реті:

1 4 3

3) Логикалық операциялардың ретіне сәйкес сұлбаны сол жақтан оңға

қарай саламыз:

4) Өрнек мәнін есептейміз: .

28

ӨЗІНДІК ЖҰМЫС ТАПСЫРМАЛАРЫ

Логикалық өрнекті оңайлатыңыз.

3.1. .

3.2. .

3.3. .

3.4. .

3.5. .

3.6. .

3.7. .

3.8. .

3.9. .

3.10. .

Логикалық формула үшін ақиқаттық кестені құрастырыңыз.

3.11. X Y.

3.12. X (X Y).

3.13. (X Y) (X Y).

3.14. X (Y Z).

3.15. X (Y Z).

3.16. (X Y) Z.

3.17. ((X Y) X) Y.

3.18. ((X Y) X) Y.

3.19. ((X Y) X) Y.

3.20. (X Y) (Y Z).

29

Логикалық сұлба бойынша логикалық өрнекті құрастырыңыз.

3.21.

3.22.

3.23.

3.24.

Логикалық өрнекке сәйкес логикалық сұлбаны салыңыз және логикалық

өрнектің мәнін табыңыз.

3.25. , егер А = 1, В = 1, С = 1.

3.26. , егер А = 0, В = 1, С = 1.

3.27. , егер А = 1, В = 0, С = 1.

3.28. , егер А = 0, В = 1, С = 0.

3.29. , егер А = 0, В = 0, С = 1.

3.30. , егер А = 0, В = 0.

30

3.4 Бақылау тест тапсырмалары

Т 3.1. Себетте 32 шумақ жүн жатыр. Олардың ішінде – 4 қызыл. Қызыл

шумақ жүн алынды деген хабарда қанша ақпарат бар: а) 1 бит; б) 2 бит;

в) 3 бит; г) 4 бит?

Т 3.2. Себетте қызыл және жасыл шарлар жатыр. Олардың ішінде

15 қызыл шар. Себеттен жасыл шар алғаны деген хабарда 2 бит ақпарат бар.

Себетте барлығы қанша шар жатыр: а) 18; б) 20; в) 22; г) 24?

Т 3.3. Жәшікте жатыр N = 20 шар. Олардың ішінде: Кқар = 10 қара, Кақ = 5

ақ, Ксар = 4 сары және Кқыз = 1 қызыл шар. Жәшіктен кездейсоқ жолмен қара

шар Нқар, ақ шар Нақ, сары шар Нсар, қызыл шар Нқыз алғаны хабарларда қанша

ақпарат саны бар?

а) Нқар = 1 бит, Нақ = 2 бит, Нсар = 2,236 бит, Нқыз = 4,47 бит.

б) Нқар = 2 бит, Нақ = 4 бит, Нсар = 2,6 бит, Нқыз = 4,47 бит.

в) Нқар = 1 бит, Нақ = 2 бит, Нсар = 3 бит, Нқыз = 4 бит.

г) Нқар = 3 бит, Нақ = 2 бит, Нсар = 2,236 бит, Нқыз = 4,47 бит.

Т 3.4. Себетте барлығы 128 қызыл, көк және ақ шар жатыр, қызыл

шарлардың саны көк шарлардан үш есе артық. Ақ шар алынған хабарда 3 бит

ақпарат бар. Себетте қанша көк шар бар: а) 24; б) 28; в) 32; г) 36?

Т 3.5. Көлде бар 12500 алабұға, 25000 теңге балық, ал мөңке балық пен

шортан балық саны 6250-ден. Қандай болмасын балықты ұстап алғанда біз

қанша ақпарат аламыз: а) 1,5 бит; б) 1,75 бит; в) 2 бита; г) 2,25 бит?

Т 3.6. 64-символды алфавиттің әріптерімен жазылған хабарда 20 символы

бар. Бұл хабардың ақпарат көлемі қандай: а) 100 бит; б) 110 бит; в) 120 бит;

г) 130 бит?

Т 3.7. Көлемі 1,5 Кбайт ақпараттық хабарда 3072 символ бар. Осы

хабарды жазу үшін пайдаланған алфавитте қанша символ бар: а) 8; б) 16; в) 24;

г) 32?

Т 3.8. Кейбір тілдің сөздік қорында 256 сөз бар, олардың әрбіреуі дәл 4

әріптен тұрады. Тіл алфавитінде қанша әріп бар: а) 8; б) 4; в) 64; г) 1024; д) 256?

Т 3.9. Бақшада 100q жеміс ағашы бар, олардың ішінде 33 таңқурай

бұтасы, 22 қызыл қарақат бұтасы, 16 қара қарақат бұтасы және 17 қарлыған

бұтасы. Ағаштар қандай санау жүйесінде есептелген: а) 7; б) 9; в) 11; г) 13?

Т 3.10. Қандай сан үлкен: а) 1527; б) 15210; в) 15212; г) 15216?

T 3.11. Екілік сандарды сегіздік және он алтылық санау жүйесіне

ауыстырыңыз:

31

а) 110000110101,1010101;

б) 11100001011001,1000010101.

Т 3.12. Аралас ондық сандарды екілік, сегіздік және он алтылық санау

жүйесіне ауыстырыңыз: а) 18,3410 А2, б) 71,510 A8; в) 124,2610 А16.

Т 3.13. Он алтылық сандарды екілік санау жүйесіне ауыстырыңыз: а)

1АС7; б) FACC.

Т 3.14. Сегіздік санау жүйесіндегі сандарды он алтылық санау жүйесіне

ауыстырыңыз: а) 774; б) 665.

Т 3.15. 26 бас және кіші латын әріптерді кодтау үшін қанша ең азу бит

саны қажет болады: а) 5 бит; б) 6 бит; в) 7 бит; г) 8 бит?

Т 3.16. Қандай ретімен мәтін фрагменттері «excel», «байт», «8 в», «10 г»,

«9 а», «10 а» жазылады, егер оларды азаю ретімен реттейтін болсақ?

а) байт, excel, 9 а, 8 в, 10 г, 10 а;

б) байт, excel, 8 в, 9 а, 10 а, 10 г;

в) 10а, 10г, 9 а, 8 в, байт, excel;

г) байт, excel, 10 г, 10 а, 9 а, 8 в;

д) excel, байт, 10 г, 10 а, 9 а, 8 в.

Т3.17. Windows 1251 (кодтау кестесінде 256 символ бар) кодировкасынан

Unicode (кодтау кестесінде 65536 символ бар) кодировкасына өзгерткен кезде

мәтін парағының ақпараттық көлемі неше есе артады: а) 2; б) 4; в) 6; г) 8?

Т3.18. Видеожад көлемінде мөлшері 640x480 нүкте 256-түсті бейне

сақталыну мүмкін. Егер 512-түсті палитраны пайдалансақ, осы видеожад

көлемінде қандай мөлшерді бейнені сақтауға болады: а) 151245; б) 182434;

в) 253624; г) 273066?

Т3.19. Графикалық бейнені өзгерткеннен кейін түстер саны 256-дан

65536-ға дейін көбейді. Орын алатын жад көлемі неше есе артты: а) 3,5; б) 2,5;

в) 1,5; г) 0,5?

Т3.20. Растрлы графикалық редактор не үшін арналған: а) сызбаларды

жасау үшін; в) диаграммаларды құру үшін; б) графиктерді құру үшін;

г) суреттерді жасап редакциялау үшін.

Т3.21. Берілген тізімде қайсылары графикалық форматтар: 1) TIFF; 2) TXT;

3) MPI; 4) JPG; 5) BMP.

Дұрыс жауаптардың нұсқалары:

а) 2, 3, 5; б) 1, 4, 5; в) 4, 5; г) 1, 2.

32

Т3.22. Информатикадағы энтропия – бұл ненің қасиеті: а) мәліметтердің;

б) білімнің; в) ақпараттың; г) іздеу жағдайлардың.

Т3.23. CMYK дегеніміз: а) графикалық редактор; б) түсті ұсыну жүйесі;

в) графикалық файлдардың форматы; г) монитор типі.

Т3.24. Егер 1110 = 23x, онда санау жүйесінің негізі х тең: а) 4; б) 8; в) 10;

г) 16,82.

Жауаптар және шешімдер

Т 3.1. в.

Т 3.2. б.

Т 3.3. а.

Шешім. 1) Рқар = Kқар/N = 10/20 = 1/2 — қара шарды алу ықтималдығы;

2) Рақ = Kақ/N = 5/20 = 1/4 — ақ шарды алу ықтималдығы;

3) Рсар = Kсар/N = 4/20 = 1/5 — сары шарды алу ықтималдығы;

4) Рқыз = Kқыз/N = 1/20 — қызыл шарды алу ықтималдығы;

5) Нқар = log2(l/(l/2)) = 1 бит;

6) Нақ = log2(l/(l /4)) = 2 бит;

7) Нсар = log2(l/(l/5)) = 2,236 бит;

8) Нқыз = log2(l/(l/20)) = 4,47213 бит.

Т 3.4. б.

Т 3.5. б.

Шешім. 1) Көлдегі жалпы балықтар саны:

К = 12500 + 25000 + 2•6250 = 50000;

2) әрбір балықтың қармаққа түсу ықтималдығы:

Ра = 12500/50000 = 0,25; Рт = 25000/50000 = 0,5;

Рм = 6250/50000 = 0,125; Рш = 6250/50000 = 0,125;

3) ақпарат көлемі:

Н = -(0,25•log20,25 + 0,5•log20,5 + 0,125•log20,125 + 0,125•log20,125) = 1,75 бит.

T 3.6. в.

Т 3.7. б.

Т 3.8. б.

Т 3.9. б.

33

Т 3.10. г.

T 3.11. а) 6065,5248, С35,АА16; б) 34131,41248, 3859,85416.

Т 3.12. а) 10010,01012; б) 107,48; в) 7С,416.

Т 3.13. а) 11010110001112; б) 11111010110011002.

Т 3.14. a) 1FA; б) 1В5. Түсініктеме: алдымен сегіздік жүйесінен екілік жүйесіне

ауыстырыңыз, сосын он алтылық санау жүйесіне.

Т 3.15. б.

Т 3.16. а. Түсініктеме: осы есепті шешкен кезде тізбектік (жүйелі) кодтау

принципін пайдалану керек.

Т 3.17. а.

Т 3.18. г.

Шешім. 1) N = 2i, 256 = 2i, i = 8 бит — бірінші бейненің түс тереңдігі;

2) 640•480•8 = 2 457 600 бит — видеожад көлемі;

3) 512 = 2i, i = 9 бит — екінші бейненің түс тереңдігі;

4) 2 457 600 : 9 = 273 066 нүкте — екінші бейненің мөлшері.

Т 3.19. г.

Шешім. 1) N1 = 2i, 256 = 2i, i1 = 8;

2) N2 = 2i, 65536 = 2i, i2 = 16;

3) i1/i2 = 8/16 = 0,5 есе.

Т 3.20. г.

Т 3.21. б.

Т 3.22. в.

Т 3.23. б. Т 3.24. а.

34

4 АҚПАРАТТЫҚ ҮДЕРІСТЕРДІ АВТОМАТТАНДЫРУ.

АБСТРАКТІЛІ АВТОМАТТАР

Абстрактілі (яғни тек адам қиялында ғана болатын) Пост және Тьюринг

машиналары бағдарламалардың қасиеттері туралы әр түрлі тұжырымдарды

дәлелдеу үшін ойлап шығарылды. Бұл бір-біріне тәуелсіз екі есептеу

машиналарының моделін (практикада бір уақытта) 1937 жылы Алан Тьюринг

ұсынды. Бұл машиналар толық детерминделген әмбебап орындаушылар болып

табылады. Олар алғашқы деректерді енгізіп, бағдарлама орындалғаннан кейін

нәтижені оқуға мүмкіндік береді. Тьюринг машинасына қарағанда Пост

машинасы қарапайым болғанымен кең таралмаған.

4.1 Тьюринг машинасы

Бұл елестегі машина - яғни ― «қағаз бетіндегі» машина немесе

машинаның математикалық моделі.

Тьюринг машинасы - таза абстракция және ешқашан жасалмаған. Оның

пайдасы түрлі есептер шешімінің алгоритмі бар немесе жоқ екендігін

дәлелдеуге болады. Машина белгілі бір алгоритмді орындайтын болғандықтан,

бұл машинаға алгоритмнің қасиеттерінен талаптар қойылады. Біріншіден,

машина толықтай детерминенделген (есептеулер нақты және жалпы түсінікті)

болуы қажет және тапсырылған ережелер жүйесі негізінде әрекет етуі керек.

Екіншіден, - бастапқы мәліметтерді енгізуге мүмкіндік беруі қажет. Үшіншіден,

берілген машинаның жұмыс жасау ережелерінің жүйесі және шешілетін

есептердің класы машина жұмысы нәтижесін оқи алатындай болып келістірілуі

керек.

Тьюринг тезисі кез келген алгоритмді Тьюринг машинасына салып

шешуге болатынға негізделген.

Тьюринг машинасының жұмыс істеу принципі, сипаттамасы.

Бір ленталы Тьюринг машинасын кибернетикалық құрылғы ретінде

қарастырады және ол келесі элементтерден тұрады:

– ұяшықтарға бөлінген шексіз лента;

– лента ұяшықтарында болатын символдарды оқи алатын басқарушы

головка;

– Тьюринг машинасының жағдайын көрсететін ішкі алфавит символы бар

жадының ұяшығы.

– лента бойымен головканың қозғалысын қамтамасыз ететін басқарудың

механикалық құрылғысы

– тек оқуға болатын Тьюринг машинасының бұйрықтарынан тұратын

функционалды схема - жады аймағы.

Әдетте, Тьюринг машинасы схемалық түрде мынадай түрде көрсетіледі:

35

Лентаны магниттік жол немесе баспаның қағаз лентасы деп қарастырайық,

ол бірнеше ұяшыққа бөлінген. Жұмыс барысында машина бар ұяшықтарға

жаңа ұяшықтарды қоса алады, сондықтан лента екі жағынан да шексіз деп

айтуға болады. Лентаның әрбір ұяшығы көп жағдайдың бірінде болуы мүмкін.

Бұл жағдайларды біз а0, а1,...,аm символдарымен немесе басқа символдармен

белгілейміз. Осы символдар лента ұяшықтарында жазылған. Мұндай символдардың

жиынтығы машинаның сыртқы алфавиті деп, ал лентаның өзі машинаның

сыртқы жадысы деп аталады. Егер ұяшық бос болса, ол жерде шарты

символы орналасқан деп есептейміз. Машинаның жұмысы кезінде лентаның

ұяшықтары өздерінің жағдайын өзгертуі де, өзгертпеуі де мүмкін. Жаңа

қосылатын барлық ұяшықтар бос болады. Сонымен, егер қандай да бір уақытта

лентаның r ұяшығы болса және машинаның сыртқы алфавиті мынадай

символдардан тұрса а0, а1,...,аm, онда лентаның жағдайы былай жазылады:

аi0, аi1,...,аim.

аi1 - солдан бастап орналасқан бірінші ұяшықтың жағдайы, аi2 - екіншісінің

жағдайы, т.с.с.

Басқару головкасы. Бұл лентаның бетімен қозғалатын және белгілі бір

уақытта лентаның белгілі бір ұяшығында тұрады. Кейде керісінше басқару

головкасы қозғалмайды, оған сәйкес лента қозғалады деп есептеледі. Ондай

кезде головкаға лентаның ұяшығының біреуі әлде келесісі кіреді деп есептеледі.

Егер лентаның ұяшығы головкада болса, машина бұл ұяшықты оқып немесе

қабылдап жатыр деп есептеледі.

Машинаның ішкі жадысы - әрбір қараған уақытта белгілі бір жағдайда

болатын құрылғы. Ішкі жадының жағдайының саны машинамен есептеліп

отырады. Ішкі жадының жағдайын мынадай символдармен көрсетеміз S0, S1,…,

Sn, олар машинаның сыртқы алфавитіне кірмейді. Ішкі жадының жағдайының

символдарының жиынтығы машинаның ішкі алфавиті деп аталады.

Ішкі жадының жағдайын көбінесе машинаның ішкі жағдайлары деп

атайды. Бұл жағдайлардың біреуі бастапқы деп аталады, бұл жағдайдан машина

өз жұмысын бастайды, ол S0 жағдайы болсын. Тағы да бір арнайы жағдай -

аяқтаушы соңғы жағдай. Соңғы жағдайды көрсететін символ стоп-символ деп

аталады. Стоп-символ өрнектеледі. Егер қандай да бір уақытта машинаның

ішкі жадысы келсе, ол жұмысын тоқтатқан болып есептеледі. Машинаның Sі

қандай да бір ішкі жағдайында ешқандай өзгеріс болмауы мүмкін, олай болса,

машина шексіз жасайды деп есептеледі.

Машина ерекше механизммен жабдықталған деп есептеледі. Ол

қабылданатын ұяшық пен ішкі жады жағдайына қарай ішкі жады жағдайын,

ұяшық орнын өзгерте алады деп есептеледі.

Машинаның (Тьюринг) ағымдағы жағдайы немесе оның конфигурациясы

деп ағымдағы ұяшық аj және ішкі жады S1 жағдайларының жиынтығын айтамыз.

Тьюринг машинасының командасы, яғни машина жұмысы бір жағдайдан

белгілі бір уақытта механикалық құрылғының бір такті жұмысынан соң жаңа

36

бір жағдайға өтуіне негізделген, содан соң тағы бір такті жұмысынан жаңа бір

жағдайға өтуі т.с.с. Егер машина Sі ішкі жағдайында аі символды лентаның

ұяшығын қабылдап, ішкі жады жағдайын келесіге Sb аударып сонымен бірге

қабылданған ұяшықтың мазмұнын аr символына аударып, ал басқару головкасы

(H) орнында тұрып, бір ұяшыққа оңға қарай (R), солға қарай (L) қозғалса, онда

машина мынадай команда орындап жатыр деп айтады:

Sі аі аs Sb H

Sі аі аs Sb R

Sі аі аs Sb L

Машина орындай алатын барлық командалардың жиынтығы бағдарлама

деп аталады. Машина жұмысы шарт бойынша толықтай оның ішкі жадысының

S және қабылданатын ұяшықтың aj жағдайымен анықталатын болғандықтан,

барлық Sі aj (і=1,…, n; j=0, 1,…, m) үшін машина бағдарламасы тек қана бір aіaj

сөзінен басталатын командадан тұруы қажет. Сонымен {a0, a1,…, an} символды

және {S0, S1,…, Sm} жағдайдағы машина бағдарламасы максимум (n+1)(m+1)

командаларынан тұрады. Бағдарламада мынадай жолдардың өңделуі мүмкін

емес, бірақ формалды түрде олардың болуы қате болып саналмайды.

Тьюринг машинасының қарапайым түрінде кейбір алгоритмдерді құру

қиындық туғызады. Мысалы, аралық мәліметтерді бір жерде сақтау немесе

бірнеше элемент топтарының символын салыстыру және т.б. Кей жағдайда

қосымша лентаның болуы немесе сөздерді бірнеше лентаға орналастыру дұрыс

шешім қабылдауға көмектеседі.

Көпленталы машина әрбір лентаға арналған алфавитке ие. Машинадағы

ленталар бір-бірінен тәуелсіз қозғалады. Алайда машина лентасының жағдайы

бірдей, ол жағдай басқару механизмі болып табылады. Бір ленталы машинаны

қарастырғанда лента қозғалмайды, ал головка берілген бағытта қозғалады деп

есептелді. Бірақ көп ленталы машинаны қарастырғанда бұл жағдай ыңғайлы

емес. Себебі ленталар бір-бірінен тәуелсіз, ал бір басқару механизмінде түрлі

бағыттағы қозғалысты көрсету қиын. Сонымен басқару механизмі қозғалмайды,

ал ленталар оңға, солға бір-бірінен тәуелсіз қозғалады деп есептеледі.

Көп ленталы машинаның бағдарламасы - шешімге қарай келесі жазба

тәртібі қолданылады: Sі{a,b,c}→{a',b',c'}{R,L,H}Sj

Тьюринг белгілі бір U есептеу машинасының құрылысының мүмкіндігін

көрсетті, U машинасы универсалды деп аталу себебі онда түрлі есептеулерді

жасауға болады.

Тьюринг машинасының ерекшелігі сәйкес келетін кодтау жолымен кез

келген есептеуді берілген Тьюринг машинасында орындай алуында. Кодтау

жеңіл болуы керек.

Тьюринг машинасының бағдарламасының кодталуы.

Тьюрингтің универсалды машинасы (ТУМ) лентасында берілген Тьюринг

машинасының (ТМ) код номері жазылады. ТУМ осы код номерін оқып, оның

лентасында бағдарламасы жазылған машинаның барлық жұмысын атқаруы

қажет. Осыған сәйкес мұндай машиналарға белгілі бір әдіспен жазылған кіріспе

37

сөз қажет. Мүмкін белгілердің саны көп болғандықтан, барлық символдар басқа

белгілердің ретімен кодталады. Егер А машинасы m символға ие Aі және n

ішкі жағдайға Sj ие болса, кодты былай көрсету керек:

Aі = 1…1 (A1=1, A2=11, A3=111 және т.б.)

Sj = 2…2 (S1=2, S2=22, S3=222 және т.б.)

R = 3

L = 33

H = 333

Мұндай жағдайда машина жұмысының бағдарламасын белгілі бір санмен

жазуға болады. Жазбаның екі нұсқасы бар:

1. Команданың бөлу белгісі болмайды. Мұндай жағдайда командаларды

мынадай форматта жазу қажет Aold Sold Anew R Snew сонда бірінен соң бірі

орналасқан екі командалар элементар анализатормен бөлінеді.

2. Команда бөлгіші бар. Мысалы Х саны оны 4 саны кодтаймыз.

4.2 Пост машинасы

Абстрактілі Пост машинасы шексіз лента түрінде болады, ол жеке

ұяшықтарға бөлінген, оған белгіні енгізеді немесе бастиек көмегімен белгіні

жазады немесе оқиды.

Лента немесе бастиек командаға байланысты бір қадам солға немесе оңға

жылжиды. Лента бастиек қарама-қарсы ұяшыққа орналасатындай тоқтайды.

Абстрактілі автоматтың құрамына төмендегі әрекеттердің біреуі кіреді:

Әрбір команданың өзінің і нөмірі болады. Стрелка жылжу бағытын

көрсетеді. Команда соңындағы екінші j саны жөнелту (жіберу) деп аталады.

Басқаруды беру командасында екі жөнелту болады. Сондықтан абстрактілі

автомат екі қасиетке ие:

Команда Лентаның қалып-күйі

командаға дейін командадан кейін

Бастиекті оңға жылжыту

m

Бастиекті оңға жылжыту

m

Белгіні жазу M m

Белгіні өшіру C m

Басқаруды беру 2

1?

m

m

Тоқта (стоп) n

i-2 i-1 i i+1 i+2

38

1) бірінші орында нөмір 1 команда, екінші орында 2 нөмірі және т.с.с

2) кез келген командадан жөнелту бағдарлама командасы алынады.

Лентаны солға немесе оңға жылжытқаннан кейін бастиек ұяшықтың

қалып күйін оқиды (бос немесе белгі жазылған). Бос секциялар немесе белгіленген

секциялар туралы ақпарат лентаның қалып күйін немесе автоматтың қалып

күйін құрады. Автоматтың бағдарламасы деп командалардың бос емес

шектелген тізімін айтамыз.

Абстрактілі автоматтың жұмыс істеуі үшін бағдарлама және бастапқы

күйін беру керек, яғни бастиектің орны мен лента ұяшықтарының күйін беру

керек. Әрбір команда бір қадамда орындалады, одан кейін жөнелтуде

көрсетілген нөмірлі команданың орындалуы басталады. Егер команда екі

жөнелтуден тұрса, егер бүркеншік бос ұяшықта тұрса, онда жоғарғы жөнелту

орындалады. Егер бүркеншік белгісі бар ұяшықта тұрса, онда төменгі жөнелту

орындалады. Басқаруды беру командасының орындалуы автоматтың күйін

өзгертпейді (белгілердің бірде біреуі жойылмайды, қойылмайды және лента

қозғалыссыз қалады). Автоматты іске қосқанда төмендегі жағдайлардың біреуі

болуы мүмкін:

1) автомат орындалмайтын командаға жетті (белгіні бос емес ұяшыққа

жазу, бос ұяшықтағы белгіні өшіру); бұл жағдайда орындалу аяқталады, автомат

тоқтайды, нәтижесіз тоқтату болады.

2) автомат тоқта командасына жетті, бағдарлама орындалды деп

есептеледі, нәтижелі тоқтату болады.

3) автомат нәтижелі тоқтатуға да, нәтижесіз тоқтатуға да жетпейді, шексіз

жұмыс істеледі.

Пост машинасының типтік бағдарламасын орындау кезіндегі автомат

жұмысын қарастырамыз. Бастиектің бастапқы күйі берілген және бос лентаға

екі белгі жазу керек.

Бастапқы күйі

M 2

3

M 3

Тоқта (Стоп) 3

Пост машинасында қолданылатын сандар позициялық емес.

4.3 Тьюринг және Пост машинасы көмегімен «алгоритм» ұғымын

анықтау

Тьюринг және Пост машиналар толығымен детерминделген универсалды

орындаушылар болып табылады. Олардың көмегімен алғашқы деректер

енгізілгеннен кейін нәтижені «оқуғаң болады. Тьюринг және Пост машиналарында

орындалатын есептеулерге шектеулер бар ма деген сұраққа Пост былайша

39

жауап берген: «егер кез келген бойынша нәтижеге әкелетін жалпы әдіс болса

ғана программа құруға берілген есептердің шешімі болады».

Постың анықтамасы алгоритм ұғымына және осы алгоритмді цифрлы

автомат көмегімен шешуге болатындығына әкеледі.

4.4 Марковтың нормальды алгоритмдері

Алгоритм ұғымын тұрпаттандыру үшін Россия математигі А.А. Марков

ассоциативтік қисапты пайдалануды ұсынды.

Ассоциативтік қисаптың кейбір ұғымдарын қарастырайық. Әріппе

(әртүрлі таңбалардың ақырлы жиынтығы) бар болсын. Оны құраушы

таңбаларды әріптер деп атаймыз. Әріппе әріптерінің кез келген ақырлы тізбегі

(олардың сызықты қатары) осы әріппедегі сөз деп аталады. Әлдебір А

әріппесіндегі N және M екі сөзін қарастырайық. Егер N M-нің бөлігі болса, онда

N M-ге енеді дейді.

Әлдебір әріппеде алмастырулардың ақырлы жүйесі берілсін: N-M, S-Т, ...,

мұндағы N, M, S, T,... – осы әріппедегі сөздер. Кез келген N-M алмастыруын

әлдебір К сөзіне былай қолдануға болады: егер К-да N-сөзінің бір немесе

бірнеше кірістері болса, онда олардың кез келгенін М-мен алмастыруға болады

және керісінше, егер М-нің кірісі бар болса, онда оны N-мен алмастыруға болады.

Р1 және Р2 сөздері әлдебір ассоциативтік қисапта сыбайлас аталады, егер

олардың біреуі екіншісінен мүмкін алмастыруды бір ғана қолданғанда

түрлендірілетін болса.

Р, Р1, Р2,..., М cөздерінің тізбегі Р сөзінен М сөзіне әкелетін дедуктивті

тізбек аталады, егер осы тізбектің қатар тұрған екі сөзінің әрқайсысы сыбайлас

болса.

Егер Р-дан М-ге тізбек және кері тізбек бар болса, онда Р және М сөздері

эквивалентті аталады.

Мысал:

Әріппе Алмастырулар

{а,в,с,d,e} ac-ca; abac-abace

аd-da; eca-ae

bc-cb; eda-be

bd-db; edb-be

abcde және acbde сөздері-сыбайлас (bc-cb алмастыру) abcde-cadbe сөздері

эквивалентті.

Алмастырулары бағытталған болып келетін: MN (жебеше алмастыруды

солдан оңға қарай жүргізуге рұқсат етілетіндігін білдіреді) ассоциативтік

қисаптың арнайы түрін қарастыруға болады. Әрбір ассоциативтік қисап үшін

мынадай есеп бар: кезкелген екі сөз үшін олардың эквивалентті немесе емес

екендігін анықтау керек.

Формулаларды шығарудың кез келген үрдісі, математикалық есептеулер

мен түрлендірулер де әлдебір ассоциативтік қисапта дедуктивті тізбектер

болып табылады. Ассоциативтік қисапты құру ақпаратты анықталған қайта

40

өңдеудің әмбебап әдісі болып табылады және алгоритм ұғымын тұрпаттандыруға

мүмкіндік береді.

Ассоциативтік қисап негізінде алгоритм ұғымын енгізейік: А әріппесінде

Алгоритм деп, А-дағы сөздерге үрдіс анықтайтын және бастапқы сөз ретінде

кез келген сөзді мақұлдайтын түсінікті дәл ұйғарым. А әріппесінде алгоритм

мақұл алмастыруларды қай тәртіппен қолдануға болатындығы және қашан

тоқтайтындығы туралы дәл ұйғарыммен толықтырылған мақұл алмастырулар

жүйесі түрінде беріледі.

Мысал:

Әріппе В алмастырулар жүйесі

А={a,b,c} cb-cc

cca-ab

ab-bca

Алмастыруларды қолдану туралы ұйғарым: кез келген Р сөзінде

алмастырулардың сол жағын оң жағына ауыстырып, мүмкін алмастырулар

жасау керек; жаңа алынған сөзбен үрдісті қайталау керек. Осылай, қарастырылған

мысалдағы алмастырулар жүйесін ваваас және всасавс сөздеріне қолданып,

мынаны аламыз:

babaac bbcaaac тоқтау

bcacabc bcacbcac bcacccac bcacabc ақырсыз үрдіс (тоқтау жоқ),

осымен біз бастапқы сөзді алдық.

А.А.Марков ұсынған алгоритм ұғымын анықтау тәсілі мына төмендегідей

анықталатын қалыпты алгоритм ұғымына негізделген.

А әріппесі және В алмастырулар жүйесі берілсін. Кез келген Р сөзі үшін

В-дағы алмастырулар сол В-дағы өз ретімен алынады. Егер келісті алмастыру

табылмаса, үрдіс тоқтатылады. Керісінше жағдайда келісімді алмастырулардың

біріншісі алынып, оның Р-дағы солжақ бөлігінің бірінші кірісі оның оңжақ

бөлігімен ауыстырылады. Сонаң соң барлық әрекет жаңадан алынған Р1 үшін

қайталанады. Егер В жүйесінің соңғы алмастыруы қолданылатын болса, үрдіс

тоқтатылады. Мұндай ұйғарымдар жиыны А әріппесімен және В алмастырулар

жиынымен қалыпты алгоритмді анықтайды. Үрдіс екі жағдайда ғана тоқтайды:

1) тиімді алмастыру табылмаған жағдайда; 2) олардың жиынындағы соңғы

алмастыру пайдалынылған жағдайда. Әртүрлі қалыпты алгоритмдер бір-бірінен

әріппелері және алмастырулар жүйесі арқылы ерекшеленеді.

Натурал сандарды (бірлер жиынымен берілген) қосуды сипаттайтын

қалыпты алгоритмге мысал келтірейік.

Мысал:

Әріппе Алмастырулар жүйесі 1,A 11

11

11 P сөзі: 11+11=111

41

Р сөзін Марковтың қалыпты алгоритмі арқылы біртіндеп қайта өңдеу

мына кезеңдер арқылы өтеді:

Р=11+11+111 P5=+1+111111

P1=1+11+111 Р6=++1111111

P2=+1111+111 P7=+1111111

P3= +111+1111 Р8=1111111

P4=+11+11111 P9=1111111

Марковтың қалыпты алгоритмін кез келген алгоритм берілуінің әмбебап

түрі ретінде қарастыруға болады. Қалыпты алгоритмдер әмбебаптығы

қалыптастыру принципі арқылы жарияланады: кез келген ақырлы А әріппесінде

кез келген алгоритм үшін оған пара-пар А әріппесі бойынша қалыпты алгоритм

құруға болады.

Соңғы тұжырымды түсіндірейік. Кейбір жағдайларда алмастыруларында

тек А әріппесінің әріптерін пайдаланатын болсақ, А әріппесінде берілген

алгоритмге эквивалент қалыпты алгоритм құрылмайды. Дегенмен А әріппесін

кеңейту арқылы (оған жаңа әріптерді қосу арқылы) қажетті, қалыпты алгоритм

құруға болады. Бұл жағдайда, бастапқы А әріппесіндегі сөздерге ғана қолданы-

латын болса да құрылған алгоритмді А әріппесі бойынша алгоритм дейді.

Егер N алгоритмі А әріппесінің кейбір кеңейімінде берілген болса, онда

N А әріппесі бойынша қалыпты алгоритм дейді.

4.5 Бақылау тест тапсырмалары

1 Тьюринг машинасын қандай түрде көрсетуге болады?

A) ақырлы автомат

B) КБ-тіл

C) грамматика

D) жүйе

E) алгоритмдік тіл

2 Жүйе түрінде қандай машинаны көрсетуге болады?

A) ақырлы автомат

B) Пост машинасы

C) автомат

D) Тьюринг машинасы

E) Пост-Тьюринг машинасы

3 m командасын орындағаннан кейін Пост машинасының лентасының күйі

қандай болады?

бастапқы командадан кейін

42

4 m командасын орындағаннан кейін Пост машинасының лентасының күйі

қандай болады?

бастапқы командадан кейін

5 M m командасын орындағаннан кейін Пост машинасының лентасының күйі

қандай болады?

бастапқы командадан кейін

6 C m командасын орындағаннан кейін Пост машинасының лентасының күйі

қандай болады?

бастапқы командадан кейін

7 Тоқта n командасын орындағаннан кейін Пост машинасының лентасының

күйі қандай болады?

бастапқы командадан кейін

43

8 Пост машинасының автоматын іске қосқанда төмендегі жағдайдың қайсысы

туындамайды

A) автомат орындалмайтын командаға дейін орындап жетті (бос емес ұяшыққа

белгіні жазу, бос ұяшықта белгіні өшіру); программаның орындалуы тоқтатылады,

автомат тоқтайды, нәтижесіз тоқтату болады

B) автомат тоқта командасына дейін жетті, программа орындалды деп

есептеледі, нәтижесі бар тоқтату болады

C) автомат нәтижелі де, нәтижесіз де тоқтатуға жетпеді, шексіз жұмыс істеу

болады (автомат «тұрып қалады»)

D) автомат лента аяғына дейін жетті; программа жұмысы тоқтайды, автомат

тоқтайды, нәтижесіз тоқтау болады

E) автомат лентада белгіні жазуды жүзеге асырды және келесі команданы

орындауға көшеді

9 Тьюринг машинасының қай жерінде жазу орындалады?

A) жады;

B) лента;

C) процессор

D) қатар.

E) бастиекте

10 Тьюринг машинасының жұмыс істеу процесінде не байқалады?

A) жұмысты басынан бастау;

B) жұмысты тоқтату;

C) кіріс жолын сырғыту;

D) жолдан шығу.

E) жұмысты екінші жолдан сырғыту

11 Тьюринг машинасының келтірілген функционалды схемасы қандай есепті

шешеді

a 0 1 2 3 4 5

q z1S z2S z3S z4S z5S q0L z1S

A) бестік санау жүйесіндегі екі санды қосу

B) бестік санау жүйесіндегі екі санды азайту

C) бестік санау жүйесіндегі санға бірді қосу

D) бестік санау жүйесіндегі саннан бірді азайту

E) ондық санау жүйесіндегі санды бестік санау жүйесіне ауыстыру

12 Тьюринг машинасының келтірілген функционалды схемасы қандай есепті

шешеді

A q

z S

a qbR

b qaR

44

A) бірінші таңбаны сөз соңына ауыстыру

B) соңғы таңбаны сөз басына ауыстыру

C) a символын b символымен ауыстыру

D) b символын a символымен ауыстыру

E) a символын b символымен ауыстыру және b символын a символымен

ауыстыру

13 Пост машинасы үшін келтірілген программа көмегімен қандай есеп шешіледі

1. М 2

2. 3

3. М 4

4. тоқта

A) бос лентаға екі белгі жазу

B) бастиекті солға бірінші бос позицияға дейін қозғалту

C) бірнеше санның біреуіне бірді қосу

D) екі көрші ұяшыққа анализ жасау (кіріс ұяшықтары) және үшінші ұяшықты

өзгерту (шығыс ұяшығы). Егер кіріс ұяшықтары белгіленген болса, онда

шығысында белгі өшіріледі; егер кіріс ұяшықтарының ең болмағанда біреуінде

белгі болмаса, онда шығыс ұяшықта белгі қойылады

E) лентада кез келген ара қашықтықта жазылған a және b екі санын қосу

45

5 АЛГОРИТМДЕР ТЕОРИЯСЫНЫҢ НЕГІЗГІ ҰҒЫМДАРЫ

Алгоритм деп алдын ала анықталған мақсатқа жету үшін, есептің

шешімін табу үшін орындаушыға (адамға, компьютерге және т.б.) берілген

түсінікті нұсқаулардың тізбегін айтады.

5.1 Алгоритмнің қасиеттері

Алгоритмді кез келген басқа жазулардан мына мағыналық қасиеттері

арқылы ажыратамыз. Олар алгоритмнің түсініктілігі, дискреттігі (жалғыздығы),

анықтығы, нәтижелігі, жалпыға бірдейлігі. Берілген орындаушы үшін

алгоритмнің түсініктілігі деп, орындаушының жарлықтарының жүйесіне,

құрамына енетін іс-әрекеттерді орындау, тексеру туралы жазбалар мазмұнын

айтады. Алгоритм ЭЕМ қабылдайтын және сол бойынша қажетті амалдарды

орындай алатын нұсқаулар түрінде берілуі керек.

Дискреттілігі – деп алгоритм жарлықтарының тізбектелген ретпен

орындалуын айтады. Оның бір жарлығының орындалуының соңы мен келесі

жарлықтың басына сілтеме дәл, нақты анықталады. Алгоритм, әрқайсысы

ЭЕМ-ді белгілі бір қадам, әрекет жасататын нұсқаулардың тізбегінен тұрады.

Әрбір жарлықты орындағанда алгоритмнің орындалуы аяқталды ма не келесі

қандай жарлық орындалады, сол туралы дәл мәлімет болуы шарт, яғни

алгоритмде нұсқаулардың орындалу реті анықталған болуы керек. Себебі

ЭЕМ үшін әрбір нұсқауды орындағаннан кейін келесі қай жарлықты орындау

(не істеу керектігі) анық көрсетілуі қажет.

Алгоритм – шектеулі қадамдарды орындап болған соң нәтижеге алып

келеді. Нәтижеде, алгоритм орындалған соң есептің шешуінің аяқталуы, не

қандай да бір себептерге байланысты есепті шешуді жалғастыру мүмкін

еместігі туралы мәлімет болуы мүмкін. Алгоритмнің жалпылығы деп оны

бірдей типтегі (түрдегі) есептерді шешу үшін қолдануға болатындығын айтады.

5.2 Алгоритмді жазу тәсілдері

Алгоритмдегі жарлықтардың, нұсқаулардың берілу түріне қарай

алгоритмді жазу әдістерін ажыратуға болады. Орындаушының өзіне тән

біліміне байланысты арнайы таңбалар, сөздер, іс-қимылдар, схемалар арқылы

алгоритмдерді жазудың тәсілдерін ұйымдастыруға болады.

Мысалы, цирктегі құстар мен жануарларға алгоритмдер арнайы дауыстар,

іс-қимылдар арқылы, автокөлікті жүргізу алгоритмі, телевизор, магнитофонды

жұмыс істету алгоритмі арнайы пернелерді басу, бұрау арқылы жүзеге асырылады;

т.с.с. әртүрлі таңбалармен, белгілермен берілген алгоритмдер көп кездеседі.

Орындаушы – адам болатын жағдайда алгоритм көбінесе сөзбен

жазылады. Сөзбен жазылған алгоритмдер, ретпен орналасқан сөйлемдерден

(нұсқаулардан) тұрады. Сонымен бірге алгоритмдер арнайы таңбалар, блок-

схемалар, формулалар, кесте түрінде, ноталар (сазгерлер үшін) арқылы

жазылады.

Енді сөзбен жазылған алгоритмге мысалдар қарастырайық.

46

1-мысал. Екі бүтін санның ең үлкен ортақ бөлгішін (ЕYОБ) табу керек. Бұл есепті шешу, үлкен санды кішісінен бөлу арқылы, сонан соң кіші санды қалдыққа бөлу, бірінші қалдықты екінші қалдыққа бөлу және т.с.с. қалдық нөл болғанша тізбектей бөлу арқылы жүзеге асырылады. Саны бойынша ең соңғы бөлгіш нәтиже болып табылады.

Бастапқы берілген екі бүтін санды М және N деп белгілейік. Бөлуді қайталанып отыратын азайту амалымен алмастырайық. Онда алгоритмді келесі түрде ұйымдастыруға болады:

1. Басы 2. (M, N) енгізіңдер. 3. Егер M ≠ N болса, онда 4 пунктке, әйтпесе 7 пунктке өтіңдер. 4. Егер M > N болса, онда 5 пунктке, әйтпесе 6 пунктке өтіңдер. 5. M := M − N; 3 пунктке өтіңдер. 6. N := N − M; 3 пунктке өтіңдер. 7. EYOБ := M 8. EYOБ := M жауапқа шығару. 9. Соңы. 2-мысал. Максимум мен минимумды іздеу (табу) алгоритмі. Ол үшін

бізге кез келген n нақты саннан тұратын шекті тізбек а1, а2,..., аі,…, аn берілсін. Сандардың саны аз болған жағдайда максимум мен минимумды оңай көрсетуге болады. Ал, егер n үлкен болса, онда есеп қиындайды. Бірнеше жүздеген көпразрядты сандардың ішінен максимум мен минимумын табудың қиындығы жоғары болады. Сондықтан, бір анықталған (тәртіпке) жүйеге сүйену қажет.

Мысалы, алғашқы мән ретінде максимум үшін де, минимум үшін де алғашқы тұрған санды алайық. Ары қарай ретімен әрбір санды максимумның мәнімен салыстырамыз. Егер келесі сан максимумнан үлкен болса, онда оны максимумның жаңа мәні ретінде қабылдаймыз (алғашқы мән «ұмытылып» отырады), онан соң келесі тұрған санға өтеміз. Егер қарастырылып отырған сан максимумнан үлкен болмаса, онда оны минимум ретінде алынған санмен салыстырамыз. Егер осы сан минимумнан кіші болса, оны минимумның жаңа мәні ретінде қабылдаймыз; егер бұл сан минимумнан кіші болмаса, келесі санды таңдауға өтеміз. Осындай әдіспен сандардың бәрін салыстыру арқылы максимум мен минимумның соңғы мәнін табамыз. Осы айтылған ережені сөзбен жазу тәсілімен былай жазуға болады:

1. Басы 2. (ai, i = 1, 2,..., n) енгізіңдер. 3. min := a1; max := a1. 4. i := 2 5. Егер ai > max, онда 6 п. өтіңдер, әйтпесе 7 п. өтіңдер. 6. max := ai; 9 пунктке өтіңдер. 7. Егер ai < max, онда 8 п. өтіңдер, әтпесе 9 п. өтіңдер 8. min := ai. 9. i := i +1. 10. Егер i < n, онда 5 пунктке өтіңдер, әйтпесе 11 пунктке өтіңдер. 11. (max, min) жауапқа шығарыңдар. 12. Соңы.

47

5.3 Блок-схемалар

Блок-схема – арнайы геометриалық фигуралар, нұсқамалар арқылы

орындалатын әрекеттер мен олардың орындалуы ретін көрсететін графиктік

схемалармен берілетін алгоритм. Алгоритмнің әр пункті геометриялық фигура

– блоктың ішінде бейнеленеді. Орындалатын іс-әрекеттердің түріне қарай

оларға әр түрлі геометриялық фигуралар сәйкес келеді. Геометриялық

фигуралар арасындағы байланыс жолдары нұсқама арқылы көрсетіледі.

Алгоритмді блок-схема түрінде жазғанда арнайы қабылданған мемлекеттік

үлгі бойынша мына блоктарды пайдаланады: алгоритмнің басы мен соңын элиппс

(алгоритмнің аргументтері мен нәтижелерін), алгоритмде мәліметтерді енгізу

мен шығаруды параллелограмм, ақпаратты өңдеуді (есептеулерді) тіктөртбұрыш,

шарттарды тексеру ромб фигураларының ішіне жазылады (5.1-кесте).

Блоктардың атқаратын қызметіне байланысты олардың ішіне және

жанына түсініктеме сөздер жазылады. Олар оқуға ыңғайлы болуы керек.

Блок-схема алгоритмді сипаттаудың графикалық тәсілі. Блок-схема деп,

бағыталған байланыс нұсқамалармен геометриялық фигуралар формасында

алгоритмді графикалық түрде жазуды айтады. Ал әрбір фигура алгоритмнің бір

әрекетін бейнелейді олардың арасындағы нұсқамалар фигурадан фигураға

алмасуды білдіреді. Блок-схемада алгоритмді басқару көрнекілігін анық көруге

болады.

Блок-схема пайдаланатын геометриялық фигуралар блоктық - таңбалар,

ал, байланыс – нұсқамалар ағын сызығы деп аталады. Ағын сызығы фигурадан

фигураға өту жолын көрсету, яғни ақпараттарды және мәліметтерді өңдеудің

ретін көрсету үшін пайдаланылады.

Әрбір блок-схеманың басы және соңы болады. Барлық блоктар ағыны

сызықтармен байланысады. Әрбір блокта, «басы», «соңы» - қызметші блоктардан

басқасында, ақпарат ағынының бір кіру және бір немесе екі шығу сызықтары

болады.

Енді жоғарыда келтірілген есептердің алгоритмдерін блок–схема түрінде

жазайық.

5.1-кесте

Алгоритмді блок-схема түрінде жазуда қолданылатын геометриялық фигуралар

№ Таңбаның аталуы Таңба Атқаратын қызметі

1 Басы – соңы

(кіру - шығу)

Алгоритмнің басы мен

соңы, көмекші

программаға кіру мен

шығу

2 Есептеу блогы

(процесс)

Есептеулер немесе

есептеулер тізбегі

(ақпаратты өңдеу)

48

3 Логикалық блок

жоқ иә

Шартқа байланысты

алгоритмнің орындалу

бағытын таңдау

4 Енгізу – шығару

блоктары

Берілген деректерді

ендіру және нәтижені

жауапқа шығару

5 Нұсқама Байланыс бағытын

көрсету

1-есеп. Екі бүтін санның ең үлкен ортақ бөлгішін табу.

49

2-есеп. Шекті сандық тізбектің максимумы мен минимумын табу

алгоритмінің блок-схемасы.

Сонымен, блок-схема алгоритмді бейнелеудің, жазудың ыңғайлы әрі

көрнекі тәсілі болып табылады. Мұнда алгоритмді бейнелеуде неғұрлым анық

болу үшін бөліктерге қадамдарға бөлуге ешқандай шектеу қойылмайды.

50

3-есеп. Герон формуласы бойынша үшбұрыштың ауданын есептеңдер:

, p = (a + b + c)/2

Есептеу алгоритмін блок-схема түрінде былай бейнелеуге болады:

4-есеп. Төмендегі теңдеулер жүйесінің мәнін есептеңдер

51

5.2-сур.

2. іс-әрекет 1. іс-әрекет

Шарт иә жо

қ

Іс-әрекет

Шарт иә

Іс-әрекет

Шарт жоқ

5.3-сур.

5.4 Алгоритм құрылыстары

Егер әрбір команда алгоритмнің орындалу барысында рет-ретімен тек бір

рет орындалатын болса, осындай алгоритм сызықты түрдегі алгоритм болып

табылады. 5.1-суретте екі қадамнан тұратын сызықты алгоритм фрагменті

көрсетілген.

Егер алгоритмнің жазылуында шарттың орындалуына тәуелді командалар

бар болса, онда оны тармақталушы алгоритм деп атайды. 5.2-суретте

тармақталудың блок-схемасы келтірілген.

Егер шарт айқын болса, онда 1-ші іс-әрекет орындалады, егер шарт

жалған болса, онда 2-ші іс-әрекет орындалады. Осындай алгоритм толық деп

аталады.

Егер тармақталуда тек айқын немесе жалған шарттары бар болса, онда

бұл алгоритм толық емес (қысқартылған) түрде жазылған деп аталады.

5.3-суретте тармақталудың екі блок-схемасы қысқартылған түрде келтірілген.

Осындай алгоритм келесі түрде орындалады. Егер іс-әрекеті жоқ бағыт

таңдап алынса, онда тармақталу орныдалмайды және осы шарттан кейін

орналасқан команда орындалады.

2 іс-әрекет.

1 іс-әрекет.

5.1-сур.

52

Цикл денесі

Параметрлердің

жаңа мәндерін

беру

Циклдың бастапқы

параметрлерін беру

Циклдың

аяқталу

шарты

Иә Жоқ

Циклдан шығу

5.4-сур.

Бірдей қадамдар реттілігі (бұл цикл денесі) көп рет орындалатын

алгоритмдік құрылысты циклдік (қайталанушы) алгоритм деп атайды. Циклдің

әрбір бір рет орындалуы итерация деп аталады. Егер цикл денесі N рет

орындалса, онда N итерация жүргізілді деп айтады.

Екі циклдың түрі бар: қайталануының саны алдын ала белгілі циклдер

және қайталануының саны алдын ала белгісіз циклдер. Қайталануының саны

алдын ала белгілі циклды параметрі бар цикл деп атайды. Блок-схемасы 5.4-

суретте көрсетілген.

Қайталануының саны алдын ала белгісіз циклдарда цикл денесінің

орындалуының аяқтау мерзімін анықтау үшін цикл шарты пайдаланады. Егер

шарт айқын болғанда цикл жалғаса берсе, онда осындай шарт циклдің жалғасу

шарты деп аталады.

Егер шарт айқын болғанда цикл тоқталса, онда осындай шарт циклдің

аяқталу шарты деп аталады. Бұл жағдайда цикл орындала береді шарт айқын

болғанша.

Егер циклда шарт кезекті итерацияны жүргізудің алдында тексерілсе,

онда ол алдын ала шарты бар цикл деп аталады (5.5-сур.), егер шарт итерациядан

кейін тексерілсе онда ол кейнгі шарты бар цикл деп аталады (5.6-сур.).

53

5.8-сур.

серия 2 серия 1

Шарт иә жоқ

5.6-сур.

Іс--әрекет

Шарт

иә

жоқ

5.5-сур.

Іс--әрекет

Шарт иә жоқ

Алгоритмдік құрылыс салынған деп аталады, егер ол басқа алгоритмдік

құрылыстың ішіне салынатын болса. 5.7-суретте тармақталу командасы цикл

ішіне салынған.

Есеп 1.

Блок-схеманың фрагментінде қандай алгоритмдік құрылыс көрсетілген

(5.8-сур.):

1) сызықты; 2) циклдік; 3) тармақталу; 4) көмекші.

Шешім. 8-суретте ромб көрсетілген, оның ішінде шарт жазылған және екі

нұсқама шығып тұр. Сондықтан бұл тармақталу блогі (3 жауап).

5.7-сур.

жоқ

y:=y-x x:=x-y

иә x>y

x<>y жоқ

иә

54

5.9-сур.

Серия 3 Серия 2

жоқ иә

Шарт 2

Шарт 1

Серия 1 иә жоқ

Есеп 2.

Блок-схеманың фрагментінде (5.9-сур.) тармақталу командалары бар

қандай алгоритм көрсетілген:

1) қысқартылған тармақталу командасы, оған толық түрдегі тармақталу

командасы салынған;

2) екі толық түрде жазылған тармақталу командалар, олардың біреуі

басқаға салынған;

3) екі қысқартылған түрде жазылған тармақталу командалар, олардың

біреуі басқаға салынған;

4) толық түрде жазылған тармақталу командасы, оған қысқартылған

тармақталу командасы салынған.

Шешім. 9-суреттегі блок-схемадаға тармақталу командаларының екеуі де

толық және олардың біреуі басқаға салынған. Сондықтан дұрыс жауабы №2.

Есеп 3.

Блок-схеманың (5.10-сур.) фрагменті орындалғаннан кейін бүтін санды

айнымалының х мәнің анықтаңыз.

1) 1; 2) 5; 3) 10; 4) 15.

Шешім. Блок-схемада қайталанатын әрекеттер тізбегі (цикл) бар.

Қателікті болдырмау үшін кесте құрамыз (5.2-кестені қара), оған әрбір

қадамдағы айнымалылардың мәндерін және шартты тексеру нәтижелерін

жазып отырамыз.

55

5.10-сур.

жоқ

y:=y-x x:=x-y

иә x>y

x<>y

x:=55; y:=75

жоқ

иә

5.2-кесте. итерация

№

x мәні y мәні x <>y x>y

0 55 75 55<>75 – иә

Цикл денесін орындаймыз

55>75 – жоқ,

y:= y-x = 75-55 = 20

1 55 20 55<>20 – иә

Цикл денесін орындаймыз

55>20 – иә

x:= x-y = 55-20 = 35

2 35 20 35<>20 – иә

Цикл денесін орындаймыз

35>20 – иә

x:= x-y = 35-20 = 15

3 15 20 15<>20 – иә

Цикл денесін орындаймыз

15>20 – жоқ,

y:= y-x = 20-15 = 5

4 15 5 15<>5 – иә

Цикл денесін орындаймыз

15>5 – иә

x:= x-y = 15-5 = 10

5 10 5 10<>5 – иә

Цикл денесін орындаймыз

10>5 – иә

x:= x-y = 10-5 = 5

6 5 5 5<>5 – жоқ

Циклдан шығу; алгоритмның

аяқталуы

Сонымен, программаның осы фрагменті орындалғаннан кейін х

айнымалының мәні 5, яғни жауап №2.

Есеп 4.

Бағдарламаның фрагменті орындалғаннан кейін бүтін санды

айнымалылардың x, y және t мәндерін анықтаңыз (кестеде бұл бағдарлама

Паскаль тілінде және алгоритмдік тілде берілген. Қалағаныңызды пайдаланыңыз):

56

Паскаль тілі Алгоритмдық тілі

x:= 5; y:= 7; t:= x; x:= y Mod x; y:= t;

x:= 5 y:= 7 t:= x x:= mod (x,y) y:= t

1) x=2; y=5; t=5; 2) x=7; y=5; t=5; 3) x=2; y=2; t=2; 4) x=5; y=5; t=5.

Шешім. Бұл тапсырманы шешу үшін кесте құрғаны ыңғайлы:

Қадам Қадамнан кейін х мәні

Қадамнан кейін y мәні

Қадамнан кейін t мәні

x= 5 5 Анықталмаған Анықталмаған

y= 7 5 7 Анықталмаған

t= x 5 7 5

x= y MOD x 2 7 5

y= t 2 5 5

Сонымен, дұрыс жауабы №1.

Есеп 5. Бағдарламаның фрагменті орындалғаннан кейін бүтін санды айнымалылардың

a және b мәндерін анықтаңыз (кестеде бұл бағдарлама Паскаль тілінде және алгоритмдық тілде берілген. Қалағаныңызды пайдаланыңыз):

Паскаль тілі Алгоритмдық тілі

a:= 42; b:= 14; a:= a Div b b:= a*b a:= b Div a

a:= 42 b:= 14 a:= Div (a,b) b:= a*b a:= Div (b,a)

1) a=42; b=14; 2) a=1; b=42; 3) a=0; b=588; 4) a=14; b=42.

Шешім. Бұл тапсырманы шешу үшін кесте құрғаны ыңғайлы:

Қадам Қадамнан кейін a мәні

Қадамнан кейін b мәні

a= 42 42 Анықталмаған

b= 14 42 14

a= a\b 3 14

b= a*b 3 42

a= b\a 14 42

Сонымен, дұрыс жауабы №4.

57

иә

a:=1

b:=2

c:=1

b:=a+b

c:=c+1

c<4 жоқ

5.11-сур.

ӨЗІНДІК ЖҰМЫС ТАПСЫРМАЛАРЫ

5.1. Алгоритмнің келесі фрагменті орындалғаннан кейін (5.11-сур.) b

айнымалы мәнін анықтаңыз:

1) 6;

2) 5;

3) 3;

4) 4.

5.2. Алгоритм орындалғаннан кейін (5.12-сур.) a айнымалы мәнін

анықтаңыз: 1) 5; 2) 11; 3) 23; 4) 47.

a:=2

b:=3

b:=b-1

a=a*2+1

b>0 иә жоқ

5.12-сур.

басы

соңы

58

5.3. Алгоритмнің фрагменті орындалғаннан кейін (5.13-сур.) s айнымалы

мәнін анықтаңыз

5.4. Бағдарламаның фрагменті орындалғаннан кейін бүтін санды

айнымалылардың x, y және t мәндерін анықтаңыз:

Паскаль тілі Алгоритмдық тілі

x:= 4;

y:= 16;

t:= x;

x:= y Mod x;

y:= t+1;

x:= 4

y:= 16

t:= x

x:= MOD (y,x)

y:= t+1

1) x=4; y=1; t=0;

2) x=0; y=5; t=4;

3) x=0; y=4; t=5;

4) x=4; y=1; t=5.

5.5. Бағдарламаның фрагменті орындалғаннан кейін бүтін санды

айнымалылардың b және c мәндерін анықтаңыз:

Паскаль тілі Алгоритмдық тілі

a:= 37;

b:= a Mod 10;

c:= a Div 10;

a:= 37

b:= Mod (a,10)

c:= Div (a,10)

s=s+n

n>100 иә жоқ

5.13-сур.

n:=0

s:=0

n:=n+1

n жұп иә

жоқ

59

1) b=3; c=7;

2) b=7; c=3;

3) b=3; c=4;

4) b=4; c=3.

5.6. Бағдарламаның фрагменті орындалғаннан кейін бүтін санды

айнымалылардың a және b мәндерін анықтаңыз:

Паскаль тілі Алгоритмдық тілі

a:= 20;

b:= 7;

a:= a Div b

b:= a*b;

a:= b Div a;

a:= 20

b:= 7

a:= Div (a,b)

b:= a*b

a:= Div (b,a)

1) a=7; b=21;

2) a=7; b=7;

3) a=7; b=14;

4) a=3; b=21.

Жауаптар

Тапсырма 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Жауап 2 3 2550 2 2 3 3990 25 4 3 2 72

60

6 АҚПАРАТТЫҚ МОДЕЛЬДЕУ

Табиғи және әлеуметтік шындықтың, адам мәдениеті тудырған

нәтиженің, концептуальды-теориялық білімнің т.б. белгілі бір көрінісінің

аналогін (сұлбасын, құрылымын, таңбалар жүйесін) модель деп айтады.

Модель - бұл зерттеу процесінде әлгі түпнұсқаның аталмыш зерттеу үшін

кейбір маңызды типтік белгілерін сақтай отырып, түпнұсқа - объектіні

алмастыратын материалдық немесе ойша көзге елестететін объект.

Құрылу тәсілдеріне және құрылымдарына қарай барлық модель

материалдық және идеал модель болып екіге бөлінеді.

Материалдық модельге объективті тіршілік ететін, адам қолымен

жасалған немесе осы модельдерге тән белгілі қасиеттерге бара-бар адам

іріктеп алған модельдер жатады. Материалдық модельдер объектінің көлемдік

қасиеттерін немесе байланыстарын қалыпқа келтіреді немесе бейнелейді.

Мұндай модельдердің түпнұсқаға геометриялық жағынан ұқсас болуы міндетті

шарт болып табылады. Бұл топқа әр түрлі макеттер, кристалдық торлардың

көлемдік модельдері жатады. Мұндай модельдерді мектепте иллюстративтік

модельдер деп те атайды.

Адам ойындағы физикалық заңдылықтарға, математикалық ережелерге

және логикалық ақыл-ойға сүйеніп жасалатын модельді идеал модель дейді.

Олар: суреттер, белгілі бір таңбалар, символдар арқылы берілуі мүмкін.

Бірақ элементтердің барлық өзгерісі адам миында логикалық, математикалық,

физикалық ережелер мен заңдар арқылы өтеді.

Идеал модельді екіге бөлуге болады: түсінік модель және таңбалық

модель.

Түсінік модель - объективтік шындықтың адам миындағы бейнесі. Адам

бейне арқылы ойлайды. Сондықтан оқушыларда бейнелер қорын толтыру -

физиканы оқытудың басты міндеттерінің бірі. Түсінік модель әсіресе

микробөлшектерді, тікелей сезім мүшелері арқылы қабылдауға болмайтын

объектілерді зерттеуде керек.

Таңбалық модельдерде объектінің элементтері, олардың қатынастары мен

қасиеттері белгілі таңбалардың көмегімен беріледі. Таңбалық модельдердің

ерекшелігі - модельдің элементтері мен түпнұсқаның элементтерінің арасында

ешбір ұқсастықтың болмауында.

6.1 Модельдерді әр түрлі белгілеріне қатысты топтастыру

1. Пайдалану саласы бойынша:

– оқулық - көрнекі құралдар, оқыту бағдарламалары, әр түрлі тренажерлер;

– тәжірибелік - кеме моделі (шайқалыс кезінде кеменің орнықтылығын

анықтау үшін бассейнде сыналады);

– ғылыми-техникалық - радиоқондырғыларды тексеруге арналған стенд;

электрондардың үдеткіші; жайтартқыш;

– ойындық - әскери, экономикалық, спорттық, іскерлік және басқа

ойындар;

61

– имитациялық - шынайы объектіге әлдебір әрекеттің әсерін зерттеу мен

бағалау үшін сан рет қайталанатын, болмаса бір-біріне ұқсас, бірақ әр басқа

жағдайға қойылған көптеген объектілермен бір мезгілде өткізілетін тәжірибе

(эксперимент).

2. Уақыт факторын ескеруі бойынша модельдер статикалық және динамикалық

болып екіге бөлінеді.

Статикалық - объектінің ағымдағы жағдайдағы - бір сәттік кесіндісін береді;

Динамикалық - объектінің уақыт ішіндегі өзгеруін көруге мүмкіндік береді.

3. Ғылым салалары бойынша: экономикалық; экологиялық; ғарыштық;

әлеуметтік, т.б.

4. Объектіні түйсіну тәсілі бойынша: материалдық; ақпараттық.

Аталмыш топтардың атаулары модельдердің неден істелгенін көрсетеді.

Материалдық (заттық, физикалық) модельдер түпнұсқаның геометриялық

және физикалық қасиеттерін көз алдына келтіреді және әрқашанда шынайы

нақты түрде болады.

Материалдық модельдер объектіні, құбылысты не процесті зерттеуге

материалдық тұрғыдан (ұстау, иіскеу, көру, есту) келуді жүзеге асырады.

Ақпараттық модельдерді ұстауға не көзбен көруге болмайды, олардың

материалдық нақты түрі жоқ.

Ақпараттық модель – объекті мен процестің, құбылыстардың қасиеті мен

жағдайын, сондай-ақ оның сыртқы дүниемен өзара байланысын сипаттайтын

ақпараттар жиынтығы.

Объекті мен процесті сипаттайтын ақпараттың әр түрлі көлемі мен

түсіндіру формасы болуы, әр түрлі құралдармен берілуі мүмкін.

Ақпараттық модельдердің өзін таңбалық және вербальдық (ауызша

айтылған) модельдер деп бөлуге болады.

Таңбалық модель – арнайы белгілермен берілген ақпараттық модель, яғни

кез келген формальды тіл құралымен берілген. Таңбалық модельдер бізді

барлық жерде қоршап алған. Бұл суреттер, мәтіндер, графиктер мен сұлбалар.

Таңбалық модельдер де таңбалы оқудың белгілі ережелері арқылы

оқушының санасында объектінің бейнесін жасауға мүмкіндік береді. Таңбалық

модельдің ерекшелігі – нәрсенің сезімдік бейнесі тек таңбалардың мәнін ашқан

соң ғана пайда болады.

Іске асыру тәсілі бойынша таңбалық модельдерді компьютерлік және

компьютерлік емес деп ажыратуға болады.

6.1-сурет. Объектіні түйсіну тәсілі бойынша модельдерді топтастыру

62

Вербальдік модель - ойша немесе ауызекі формамен берілген ақпараттық

модель.

Бұл модельдер ойлау мен тұжырымдау нәтижесінде алынған модельдер.

Олар сол ойша күйінде қалуы немесе сөзбен берілуі мүмкін.

Таңбалық және вербальдік модельдер, әдетте, өзара байланысты. Адамның

миында туған ойша бейне белгілік формада көрінуі мүмкін. Керісінше,

таңбалық модель санада ойша бейнені жасауға көмектеседі.

Мысалы: Аңызға сәйкес, Ньютонның басына құлап түскен алма оның

санасында заттардың жерге тартылысы туралы ойдың тууына ықпал етті. Бұл

ой тек кейін ғана заң болып шықты, яғни таңбалық формаға ие болды.

Ақпараттық модельдер де статикалық және динамикалық болып бөлінеді.

Статикалық модель объектінің құрылысы мен аумағын көрсетеді, сол

себепті оны құрылымдық деп те атайды (6.2-сурет).

6.2-сурет. Статикалық модельдің түрлері

6.2 Компьютерлік модельдеудің кезеңдері

Құбылысты компьютер көмегімен модельдеуге кіріспес бұрын ізденуші

құбылыстың шығу себептерін, шамалар мен олардың арасындағы тәуелділікті,

сондай-ақ өтетін процестердің кезеңдерін өзінше айқын түсініп алуы тиіс. Бұл

жерде бастапқы кезең - прототип. Ол өмір сүретін немесе жобалайтын объект

не процесс болуы мүмкін. Модельдеудің ақырғы кезеңі - объект жөніндегі білім

негізінде шешім қабылдау.

Компьютерлік модельдеу – шығармашылық процесс. Оны белгілі бір

формаға сыйғызу өте қиын. Себебі оның мазмұны тереңде, ол адам ойында

жатыр. Анағұрлым жалпы түрде оны төмендегідей кезең-кезеңмен түсіндіруге

болады (6.3-сурет):

Нақты тапсырманы шешу кезінде бұл сұлба бірқатар өзгерістерге

ұшырауы мүмкін: қайсыбір блок алынып тасталады не жетілдіріледі, әлдебірі -

қосылады. Кезеңдердің мазмұны қойылған тапсырма мен модельдеу мақсаттарына

орай айқындалады. Модельдеудің негізгі кезеңдерін толығырақ қарастырайық.

Мысалы, қандай да бір физикалық құбылысты сипаттайтын есеп берілсін.

1-кезең. Есептің қойылуы.

Есеп астарынан шешуге тиісті әлдебір мәселе түсініледі. Есепті қою

кезеңінде: есептің жазбасы; модельдеу мақсатын анықтау; объект немесе

процесті талдау қажет.

63

Есептің жазбасында процесс түсінікті болуы үшін есептің шарты әдеттегі

тілде беріледі. Бұл жерде бастысы - модельдеу объектісін анықтап, нәтижесінде

не алынатынын білу, түсіну.

Модельдеу мақсаты.

1. Объектіні талдау. Бұл кезеңде модельденуші объектінің негізгі қасиеттерін,

элементтері мен олардың арасындағы байланыстарды айқын ажыратып алады.

2. Белгілі қасиеттерімен объектілерді құру. Бұл кезеңде нақты объект

қалай жасалған, оның құрылымы, негізгі қасиеттері, даму және қоршаған

әлеммен өзара қарым-қатынас заңдары қандай екенін түсіну.

3. Объектіге ықпал жасаудың тікелей және жанама салдарын анықтап

болжай білу, дұрыс шешім қабылдау.

4. Объектіні басқарудың тиімділігі. Бұл кезеңде объектіні басқаруды

үйрену және қойылған мақсаттар мен критерийлер бойынша осы басқарудың ең

тиімді әдістерін анықтау.

6.3-сурет. Компьютерлік модельдеу кезеңдері

2-кезең. Модельді жасау.

1. Ақпараттық модель. Модельдер заттық әлемнің объектілерінің ең бір

негізгі белгілерін, қасиеттері мен жағдайын, қатынастарын білдіруі тиіс. Объект

жайлы толық ақпаратты нақ солар береді. Бұл кезеңде кез келген формадағы

қарапайым объектілердің қасиеттері, жағдайы, іс-әрекеті, т.б. сипаттары анықталады.

Мұнда ақпараттың нақты объектіден оқшаулануы жүреді, маңызды ақпарат

бекітіліп, елеусізі алынып тасталады. Объектінің іс-әрекеті немесе процестің

барысына бағынышты шамалар (кірістік шамалар) және де модель жасау

нәтижесінен алынуға тиісті шамалардың (шығыстық шамалар) тізімі жасалады.

Бір есеп үшін елеусіз ақпарат, басқасы үшін маңызды болуы мүмкін және одан

64

айырылу есептің дұрыс шешілмеуіне әкелетінін немесе қажет шешімді алуға

мүмкіндік бермейтінін атап өту маңызды. Елеусіз ақпараттың тіркелуі қосалқы

қиындықтар әкеледі, шешімге жетелейтін жолда кедергілер жасайды. Кірістік

параметрлерді олардың шығыстық параметрлерге әсерінің маңыздылығы

бойынша бөлу маңызды.

Ақпараттық модель объектіні ешқашан да толық сипаттамайды. Бір ғана

объекті үшін әр түрлі ақпараттық модель құруға болады.

Ақпараттық модельді құру модельді жасау кезеңінің бастапқы кезеңі

болып табылады. Талдау кезінде бөліп алынған объектілер аумағының бүкіл

мәліметі маңыздылығының өсу ретімен орналастырылады және модельдеу

мақсатына сәйкес модельді жеңілдетуге алып келеді.

2. Таңбалық модель. Модельдеу процесіне кіріспес бұрын, адам қағазға

алдын-ала сызбалардың болмаса сұлбалардың моделін түсіреді, есептеу

формулаларын шығарады, яғни қайсыбір таңбалық формада ақпараттық модель

құрады, ол не компьютерлік, не компьютерлік емес болуы мүмкін.

3. Компьютерлік модель. Компьютерлік модель - бұл бағдарламалық орта

құралдарымен іске асырылған модель.

Компьютерлік модельдерге (модельдеуге) зерттеу жүргізуге мүмкіндік

беретін көптеген бағдарламалық кешендер бар. Әрбір бағдарламалық ортаның

өз құралдары бар және олар ақпараттық объектілердің белгілі бір түрлерімен

жұмыс істеуге мүмкіндік береді.

3-кезең. Компьютерлік эксперимент.

Жаңа конструкторлық зерттеулерге өмір беру үшін, жаңа техникалық

шешімдерді өндіріске енгізу үшін немесе жаңа ойларды тексеру үшін

эксперимент қажет. Бұдан біраз уақыт бұрын мұндай тәжірибені не сол үшін

әдейі жасалған қондырғыларда зертханалық жағдайда, не табиғи түрде, яғни

оны жан-жақты сынап, заттың нағыз үлгісінде өткізу мүмкін болатын.

Есептеу техникаларының дамуымен зерттеудің жаңа, ғажап тамаша әдісі

пайда болды, ол - компьютерлік тәжірибе. Компьютерлік тәжірибе модельмен

жұмыс істеудің қайсыбір жүйелілігін, компьютерлік модельді пайдаланушының

мақсатты бағыттағы іс-әрекетінің жиынтығын қамтиды.

1. Модельдеу жоспары. Бұл кезеңде модельденіп жатқан объект туралы

ақпарат құрылымданып, компьютерде өңделуге дайындалады, модельдің

абстрактілі сипаттау тұжырымдамасынан нақты толыққан тұжырымдамасына

өту қажет. Модельдеу тұжырымдалған кезде оны зерттеу әдісі пайда болады.

2. Модельдеу технологиясы. Бұл шығармашылық және қиын жобаланатын

процесс. Қазіргі кезде құрылымдық және объектіге бағытталған бағдарламалаудың

амалдары кеңінен таралған. Бағдарламалау тілін таңдау әдетте программистің

тәжірибесіне, стандарттық бағынқы бағдарламалар және ашық кітапханалар

болуына байланысты. Кейбір жағдайларда есептеулерді дайын бағдарламалық

өнімдерді (мысалы, электронды кестелерді немесе арнайы математикалық

пакеттерді) пайдаланып өткізу ыңғайлы. Бағдарлама құрастырғаннан кейін

оның көмегімен кездесетін қателерді түзету мақсатында қарапайым тестілік

есептер (жауабы алдын ала белгілі) шешіледі.

65

4-кезең. Модельдеу нәтижелерін талдау.

Модельдеудің соңғы кезеңі - алынған нәтижелерді жан-жақты талдау

негізінде түзілуі тиіс шешім қабылдау. Бұл кезең шешуші – сіз зерттеуді не

жалғастырасыз не тоқтатасыз.

Егер ЭЕМ-де алынған кейбір объектілердің (процестердің) сипаттамалары

эксперимент нәтижелерімен нақтылықтың берілген дәрежесінде сәйкестенсе,

модель нақты процеске тепе-тең. Модель нақты процеске сәйкес келмеген

жағдайда алдыңғы кезеңдердің біріне қайтып ораламыз. Қайтудың мүмкін

нүктелері сұлбада көрсетілген: модельдеу процесінде қайсыбір маңызды

факторлар алынып тасталған немесе елеусіз факторлар тым көп алынған.

Осыған орай модельді нақтылау қажет. Зерттеу әдісін таңдау онша сәтті

болмаған, сондықтан оның неғұрлым күрделісін және нақтысын қолдану қажет.

Өзгерістерді енгізгеннен кейін технологиялық тізбек бөлігінен тағы

өтеміз де, қолайлы нәтижелер алғанша қайталай береміз.

Егер нәтижелер эксперименттік деректерге немесе біздің интуициялық

деректерімізге сай болса, бағдарлама бойынша есептеулер жүргіземіз.

Нәтижелер жинақталып өңделеді.

Оқыту үрдісінде демонстрациялық модельдер жиі пайдаланылады.

Олардың міндеті – белгілі бір ғылыми мәселелерді толық меңгеру үшін

қолайлы жағдайлар жасау. Сондықтан мұндай модельдерді пайдаланғанда

түпнұсқаның күрделілік дәрежесін, сонымен қатар психологиялық және

дидактикалық кезеңдерді есепке алу керек. Демонстрациялық модельдер белгілі

бір зерттелетін заттың, құбылыстың қажетті элементтерін бөліп алуға

мүмкіндік береді.

М6.1. Көрші темір жол станциясының арасындағы тасымалдау құны

кестеде келтірілген. Кестеге сай болатын сұлбаны көрсетіңіз.

A B C D

A 4 5

B 4 3 6

C 3

D 5 6

1) 2) 3) 4)

Шешім.

Кестені келесі түрде жазайық: «қос көрші станциялар – олардың арасында

тасымалдау құны». Берілген жағдайда көрші станциялар арасында тасымалдау

66

құны бағытқа тәуелсіз болғандықтан, XY станцияны жазып оған симметриялық

YX станцияны жазбаса да болады. Сонымен:

AB – 4

AD – 5

BC – 3

BD – 6

Біз сұлба элементтерінің толық тізімін алдық. Осы тізімге тек бір сұлба

сай болады – нөмір 4.

М6.2. Келтірілген графиктердің қайсысы архив мөлшерінің бастапқы

файлдың мөлшеріне тәуелділігін ең жақсы сипаттайды?

1)

3)

2)

4)

Шешім.

4 график-модельдер бар:

1. Архивтелетің файлдың мөлшері өскен кезде архив мөлшері сызықты өседі.

2. Архив мөлшері архивтелетің файлдың мөлшеріне тәуелді емес.

3. Архивтелетің файлдың мөлшері өскен кезде архив мөлшері сызықты азаяды.

4. Архив мөлшері архивтелетің файлдың мөлшеріне циклдық тәуелді.

Әрине, архив мөлшері архивтелетің файлдың мөлшері өскен кезде сызықты

өсетіндіктен, дұрыс жауап №1.

М6.3. Электронды кестенің фрагменті берілген:

А В

1 =B2 1

2 =A1+2 2

3 =B2-1

4 =A3

0

Архив мөлшері

Файл мөлшері

0

Архив мөлшері

Файл мөлшері

0

Архив мөлшері

Файл мөлшері

0

Архив мөлшері

Файл мөлшері

67

Есептерді орындағаннан кейін A1:A4 ұяшықтар диапазонындағы мәндер

арқылы диаграмма салынған. Болып шыққан диаграмманы көрсетіңіз.

1)

2)

3)

4)

Шешім.

А1-А4 ұяшықтар мәндерін есептейік:

А1= B1+1=1+1=2

А2= А1+2=2+2=4

А3= В2-1=2-1=1

А4=А3=1

Енді келтірілген диаграмма-модельдерін қарастырайық.

1) 2, 4, 1, 3 мәндерін бейнелейді – келмейді.

2) 2, 4, 1, 1 мәндерін бейнелейді – еселі жауап.

3) 2, 4, 5, 3 мәндерін бейнелейді – келмейді.

4) 3, 3, 1, 1 мәндерін бейнелейді – келмейді.

Дұрыс жауап №2.

68

ӨЗІНДІК ЖҰМЫС ТАПСЫРМАЛАРЫ

6.1. Көрші темір жол станциясының арасындағы тасымалдау құны

кестеде келтірілген. Кестеге сай болатын сұлбаны көрсетіңіз.

A B C D

A 4 6

B 4 3

C 3 5

D 6 5

1) 2) 3) 4)

6.2. Электронды кестенің фрагменті берілген:

А В

1 =А4-B1 1

2 =A1+2 2

3 =А2+В1

4 =В1+В2

Есептерді орындағаннан кейін A1:A4 ұяшықтар диапазонындағы мәндер

арқылы диаграмма салынған. Болып шыққан диаграмманы көрсетіңіз.

1)

2)

3)

4)

Жауаптар:

Тапсырма 1 2

Жауап 3 2

A

6 4

D B

5 3

A 3 D

4 6

C 5 B

5

C

6 3

A D

B

4

B 4 A

6 3

C 5

D С

69

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР

1. Стариченко Б.Е. Теоретические основы информатики: Учебное

пособие для вузов. – М.: Телеком, 2003. – 312 с.

2. Могилев А.В., Пак Н.И., Хеннер Е.К. Информатика: учебное пособие

для студ. педвузов. – М.: Академия, 2004. – 848 с.

3. Могилев А.В., Пак Н.И., Хеннер Е.К. Практикум по информатике. –

М.: Академия, 2005. – 608 с.

4. Дюсембаев А.Е. Информатика. Учебное пособие. – Алматы: ТОО

«Даур», 2006. – 145 с.

5. Макарова Н.В., Волков В.Б. Информатика: Учебник для вузов. – СПб.:

Питер, 2011. – 576 с.

6. Койбағарова Т.К., Нургазинова Г.Ш. Информатика: Учебно-

методическое пособие. – Павлодар, 2010. – 322 с.

7. Кудинов Ю.И., Пащенко Ф.Ф. Основы современной информатики:

Учебное пособие. 2-е изд. - СПб.: Издательство «Лань», 2011. - 256 с.

8. Кудинов Ю.И., Пащенко Ф.Ф., Келина А.Ю. Практикум по основам

современной информатики: Учебное пособие. - СПб.: Издательство «Лань»,

2011. - 352 с.

70

А.Ж. Асамбаев

ИНФОРМАТИКАНЫҢ ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ.

ПРАКТИКУМ

Басуға қол қойылды 27.08.2014 г.

Гарнитура Times New Roman.

Форматы 29,7 х 42 ½. Офсеттiк қағазы.

Көлемi 2,3 шартты б.т. Таралымы 300 дана.

Тапсырыс №0816

Павлодар мемлекеттiк педагогикалық институтының

редакциялық-баспа бөлiмi

140000, Павлодар қ., Мир көшесi, 60

E-mail: rio@ppi.kz