S3# 4 ?

лК. П. Я К О В Л Е В

№ Ж \

Ф И З И Ч Е С К И ЙП Р А К Т И К У М

О Г П З * Г 0 0 Т Е Х П З Д А Т . 1 9 4 3

Проф. К. П. ЯКОВЛЕВ

ФИЗИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ

РУКОВОДСТВО К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ В ФИЗИЧЕСКИХ ЛАБОРАТОРИЯХ

ТОМ ПЕРВЫЙ

МЕХАНИКА И ОБЩИЕ СВОЙСТВА ТЕЛ. УПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ. АКУСТИКА

О Г И З

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 1943 ЛКНИНГРАД

^ ед^ктор Б. н . Манцея. Подписано к печати 28(V 1943 г. 15 печ. 36,13 яят. л. 70 ООО тип. -------------Л‘ Т ираж 10000 экэ. Л38591 Ц ена книги lfi пуб. З а к а з № 2474,

0 бРаз1«>вая ти п о гр аф и я О ги за Р С Ф С Р тр е ста „П ол и гр аф к п и га- . М «сква. В ал о в ая , 28.

ОТ АВТОРА

Классическим курсом лабораторных работ по физике вполне заслуженно можно считать руководство проф. А. П. Соколова. В его «Физическом Практи­куме», напечатанном впервые в 1908 г., были собраны описания всех задач, установленных в Физической лаборатории Московского государственного уни­верситета; их удачный подбор и большое разнообразие делали руководство проф. А. II. Соколова достаточно полным для того времени курсом лабо­раторных занятий по физике.

Вследствие этого «Физический Практикум» А. П. Соколова быстро приоб­рел широкую популярность.

Учебные лаборатории по физике, которые впоследствии начали организо­вываться в высших учебных заведениях, в основном повторяли физический практикум Московского университета. В соответствии с этим различные «руко­водства» к практическим занятиям в физических лабораториях, которые издава­лись в последние десятилетия, в большинстве представляют собой также более или менее удачные подражания курсу А. П. Соколова.

Во втором издании, вышедшем в двадцатых годах, «Физический Практикум» был совершенно переработан проф. А. П. Соколовым совместно со мной и до­полнен рядом новых задач; благодаря этому курс проф. А. П. Соколова вновь оказался вполне удовлетворительным руководством для студенческих работ по физике, не исключая и ее разделов, новых в то время. Два следующих издания «Физического Практикума», вышедшие уже после смерти автора, оказались, к сожалению, менее удачными, и в настоящее время руководство проф. А. П. Со­колова приходится считать сильно устаревшим. Вследствие этого Совет Физи­ческого факультета МГУ предложил мне взять на себя работу по составлению нового руководства к лабораторным работам по физике, которое отвечало бы уровню современной науки. Результатом выполнения этого предложения Совета и является настоящий труд, по существу которого я считаю необходимым сделать несколько замечаний.

Реорганизация Практикума по физике является очень сложной задачей, причем осложнения возникают как при выборе новых работ, так и при их по­становке в лаборатории. Выбор работ затрудняется, главным образом, двумя обстоятельствами. Во-первых, новейшие методы измерительной Техники, наи­более интересные для работающих в лаборатории, очень часто основаны на сложных физических явлениях, которые обыкновенно изучаются в конце курса физики, — таковы, например, методы измерения больших скоростей, мгновенных сил, напряжений в упругих телах при их деформациях и многие другие; вводить работы, основанные на таких методах, в первой половине «Практикума»- представляется весьма трудным. Во-вторых, можно указать такие работы, кото­рые по своей методике совершенно устарели, — таковы, например, измерения с прибором Атвуда или с тангенс-буссолью, определение ускорения силы тяжести методом Борда и многие другие; однако подобные работы, которые, каза­лось бы, давно следовало исключить из практики физических лабораторий,иногда продолжают оставаться очень полезными, как учебные работы; часто оказы­вается, например, что при выполнении этих работ какое-нибудь физическое явление очень хорошо усваивается, или быстро приобретаются навыки в лабо­раторной работе. В настоящем руководстве я решил оствить ряд подобных работ, представляющих интерес только с учебной стороны, несмотря на их

3

полную архаичность. Вместе с тем я считал необходимым уже в начале курса ввести некоторые работы, основанные на применении новых методов, более сложных, чтобы таким образом ознакомить работающих, хотя бы немного, с современной измерительной техникой. Это, конечно, может вызвать упреки в методической непоследовательности руководства, поскольку подобные работы остаются в деталях не вполне ясными для работающих. Однако большой беды я в этом не вижу, так как впоследствии, при выполнении дальнейших работ, эта неясность неизбежно должна исчезать сама собой. При таком подборе работ создается их некоторая пестрота, которую, однако, как мне кажется, в связи с тем, что было сказано, нет оснований считать органическим недостат­ком настоящего руководства.

Все, что касается элементарных измерений, как то: отсчеты нониусов, точ­ное взвешивание, измерение температуры, знакомство с основной электроизме­рительной аппаратурой и т. п., вынесено мной во вводную часть руководства. Я считаю, что практическое знакомство с этими основными измерениями сильно облегчает всю дальнейшую работу практикантов. Остальные работы система­тизированы по главам, которые охватывают основные физические явления или •основные разделы физики. В начале каждой главы дана небольшая вводная часть, где излагаются основные понятия и законы из того раздела физики, который в работах данной главы служит предметом детального изучения. Не следует думать, что вводные замечания являются простым повторением того, что можно найти в общих курсах физики: в них собрано только то, что безус­ловно необходимо для сознательного выполнения лабораторных работ и лучшего понимания методики измерений; последние вопросы в общих курсах физики излагаются обыкновенно очень коротко, а иногда и совершенно не затрагива­ются, поэтому я считаю, что такие введения к главам могут быть очень полезны Д™ работающих.

Каждая глава представлена несколькими работами, в которых описываются и применяются для измерений различные методы; их систематическое перечис­ление и общая характеристика обыкновенно даются во вводной части. Такая трактовка материала, как мне кажется, дает наглядное и правильное представ­ление о всем разнообразии современной измерительной техники. Здесь необхо­д и м о , однако, отметить, что настоящее руководство ни в какой мере не претендует на роль энциклопедического справочника по методике измерений или на исчер­пывающую полноту изложения этих вопросов. Подобной задачи я перед собой не ставил, и настоящее руководство остается все же не более, как учебным пособием, в котором только собрано большое число различных работ. Это чи­сло может показаться даже излишне большим, так как оно явно выходит за пределы возможностей, которыми обычно располагают учебные лаборатории по физике в высшей школе. Но я и не предполагаю, что физические лаборатории всех высших учебных заведений освоят все работы, описанные в настоящем руководстве; наоборот, естественно думать, что каждая лаборатория ограни­чится выбором работ, наиболее интересных для нее, например, тех, которые ближе отвечают целям и задачам ее института.

При описании всех работ я руководствовался одной и той же схемой, но первые работы описаны более детально, в особенности в отношении измерений; эти описания носят даже несколько рецептурный характер, повидимому, неиз­бежный для начинающих работать в лаборатории, во всяком случае, очень удобный для них. При изложении теоретических вопросов я не избегал при­менения элементов высшей математики там, где это оказывается полезным; эти места выделены в тексте звездочками.

В настоящем руководстве осталось много таких работ, которые прочно вошли в практику физической лаборатории МГУ. В отношении этих работ я ограничился только составлением их новых описаний, что было необходимо сделать, чтобы выдержать единство стиля во всем руководстве. Отсюда следует, что быстрым окончанием всего труда по составлению руководства я во многом обязан громадной работе нескольких поколений преподавателей Физического института У, которые на протяжении почти полустолетия непрерывно улуч­шали и обновляли его «Физический Практикум».

Общий объем руководства оказался очень большим, поэтому весь материал пришлось расположиTb B ipex томах. В первом томе, кроме вводной части и описания основных физических измерений, собраны работы по механике, уп­

4

ругим колебаниям и акустике; во втором томе — работы по всем остальным раз­делам физики. Третий том содержит все справочные и вспомогательные мате­риалы; к числу последних я отношу элементы номографии и гармонического анализа, а также основные сведения по лабораторной технике. Знакомство с номографией и методами гармонического анализа я считаю необходимым для студентов высшей школы, а рецептура по лабораторной технике может ока­заться полезной для работников физических лабораторий.

Рукопись руководства была просмотрена по поручению Совета Физического факультета группой моих коллег по работе, от которых я получил ряд ценных указаний на различные дефекты и упущения, оказавшиеся в рукописи; всем этим лицам я приношу свою искреннюю благодарность. С неменьшей благо­дарностью будут приняты мной и все указания, которые могут последовать после выхода руководства из печати.

К. П. ЯковлевФизический институт

МГУ

При работе над первым, томом мне пришлось воспользоваться помощью некоторых моих коллег по Университету, что выразилось в следующем.

Отдел аэро-гидродинамики был составлен доцентом кафедры аэродинамики Московского университета С. Г. Поповым; в его рукопись мне пришлось только внести ряд изменений и упрощений, что оказалось необходимым как для того, чтобы сделать изложение доступным для студентов младших курсов, так и для того, чтобы выдержать во всем руководстве единство описаний и общего стиля. Вывод формулы трифиляра изложен в том виде, как он был дан доцентомН. И. Струтинским, а теория баллистического гальванометра изложена в форме, данной ассистентом Е. С. Четвериковой. Я глубоко признателен этим лицам за оказанную мне помощь. Считаю необходимым также отметить, что при обработке материала пяти работ, а именно работ 4Ъ, 4с, 5а, На и 17Ь, я частично воспользовался их литографированными описаниями, имевшимися в Физической лаборатории МГУ.

Автор

ОГЛАВЛЕНИЕВ В Е Д Е Н И Е . ФИЗИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ

I. Физические измерения и обработка их р е з у л ь т а т о в ......................... 91. Физические измерения (9). 2. Теория ошибок и обработка ре­зультатов измерений (12). 3. Графические методы (21). 4. Системы единиц и анализ размерностей (24). 5. Несколько советов начи­нающим (28).

II. Измерение длины и у г л о в .............................................................................. 29A. Л и н е й н ы е и з м е р е н и я (29). 1. Метод линейного нони­

уса (30). 2. Метод микрометрического винта (32). 3. Метод ком­паратора (32). 4. Оптические (интерференционные) методы (33).

B. У г л о в ы е и з м е р е н и я (33). 1. Метод углового нониу­са (33). 2. Метод зеркала и шкалы (37).

C. О с н о в н ы е о п т и ч е с к и е п р и б о р ы д л я у в е л и ч е ­н и я (38). 1. Лупа (38). 2. Оптические трубы (39). 3. Микро­скоп (40).

III. Измерение м а с с ы ..................................................... ........................................ 421. Весы для больших нагрузок (42). 2. Аналитические весы (42).3. Микровесы (43). 4. Основные приемы точного взвешивания (43).

IV. Измерение в р е м е н и .......................................................................................... 491. Механические методы (50). 2. Стробоскопические методы (51).3. Электрические методы (51).

V. Измерение т е м п е р а т у р ы .................................................................................. 511. Газовый термометр (51). 2. Ртутный термометр (52). 3. Элек­трические термометры (55). 4. Оптические термометры (55).

VI. Измерение давлений ..........................................................................................551. Атмосферное давление (56). 2. Высокие давления (58). 3. Низ­кие давления (58).

VII. Основные электроизмерительные п р и б о р ы ......................................... 59A. С и л а т о к а (59). I. Сильные токи: 1. Вольтаметры (59).

2. Амперметры (59). II. Слабые токи (61).B. Р а з н о с т ь п о т е н ц и а л о в : 1. Электродинамические ме­

тоды (69). 2. Компенсационные методы (70).3. Электростатические методы (70).

C. С о п р о т и в л е н и е : 1. Метод вольт-амперметра (71). 2. Ме­тод замещения (71). 3. Метод мостика (71).

D. В с п о м о г а т е л ь н ы е э л е к т р о п р и б о р ы : 1. Гальвани­ческие элементы и аккумуляторы (73). 2. Реостаты, потенцио­метры, выпрямители и усилители (74).

Ч А С Т Ь П Е Р В А Я . МЕХАНИКА И ОБЩИЕ СВОЙСТВА ТЕЛ

Г л а в а 1. Поступательное д в и ж ен и е................................. ........................... 77Работа 1а. Определение начальной скорости пули методом фото­

реле ......................................................... .................................... 78Работа lb. Определение скорости пули методом баллистического

м а я т н и к а ...................................................................................... 79Работа 1с. Проверка второго закона Ньютона на приборе Атвуда. Я1

Г л а в а 2. Вращательное д в и ж е н и е ......................... ..................................... 85Работа 2а. Определение момента инерции махового колеса дина­

мическим м етодом ..................................................................... 87Работа 2Ь. Определение момента инерции махового колеса мето­

дом к о л е б а н и й .......................................................................... gg6

Работа 2с. Определение момента инерции динамическим методом. 90 Работа 2d. Определение момента инерции методом трифилярного

п о д в е с а ......................................................................................... 91Г л а в а 3. Колебательное д в и ж е н и е ............................................................. 93

Работа За. Определение декремента затухания упругих колебаний 97 Работа ЗЪ. Определение декремента затухания при колебаниях

м а я т н и к а ..................................................................................... 98Работа Зс. Изучение законов сложения гармонических колебаний

методом двойного м а я т н и к а .................................................101Г л а в а 4. Резонансные явления ....................................................... 103

Работа 4а. Изучение резонансных явлений при колебаниях пру­жинного м аятника..................................................................... 105

Работа 4Ь. Изучение резонансных явлений при колебаниях свя­занных м аятников.....................................................................1С6

Работа 4с. Изучение явлений резонанса на приборе Поля . . . . 108 Работа 4d. Определение частоты и гармонических составляющих

вибраций методом резонанса ................................................. 109Г л а в а 5. Мгновенные с и л ы ...........................................................................110

Работа 5а. Определение продолжительности упругого удара бал­листическим гальванометром ................................................. 111

Работа 5Ь. Определение изменения давлений при взрывах пьезо­электрическим м е т о д о м ......................................................... 115

Г л а в а 6. Сила т я ж е с т и .................................................................... 117Работа 6а. Определение ускорения силы тяжести методом обо­

ротного м аят н и к а .....................................................................119Работа 6Ь. Определение ускорения силы тяжести методом Борда. 122 Работа 6с. Определение ускорения силы тяжести при помощи

гравиметра Л э ж е й ..................................................................... 124Г л а в а 7. Плотность твердых т е л ......................................................126

Работа 7а. Определение плотности твердых тел методом гидроста­тического в зв е ш и в а н и я .........................................................128

Работа 7Ъ. Определение плотности твердых тел методом пикно­метра ............................................................................................. 130

Г л а в а 8. Плотность жидких т е л .................................................................. 131Работа 8а. Определение плотности жидкостей при помощи весов

Вестфаля-Мора ......................................................................... 131Работа 8Ь. Определение плотности жидкостей методом гидроста­

тического взвешивания .........................................................134Работа 8с. Определение плотности жидкостей методом пикнометра. 135

Г л а в а 9. Плотность газообразных т е л ................................................. 136Работа 9а. Определение плотности сухих газов методом взвеши­

вания ............................................................................................. 139Работа 9Ь. Определение плотности сухого газа при различных

давлениях при помощи микровесов Сальвиони . . . . 141 Работа 9с. Определение плотности газов методом Бунзена . . . . 143

Г л а в а 10. Элементы вакуум-техники ................................................... 147Работа 10а. Получение высокого вакуума и его измерение при

помощи манометра М а к -Л е о д а .........................................149Работа 10Ь. Измерение высокого вакуума термоэлектрическим ма­

нометром ..................................................................................... 153Г л а в а 11. Упругие деформации твердых т е л ..........................................155

Работа 11а. Определение модуля упругости методом растяжения. 166Работа lib . Определение модуля упругости методом изгиба . . . 168Работа 11с. Определение модуля сдвига статическим методом . . 169Работа lid . Определение модуля сдвига методом колебаний . . . 170Работа lie . Определение коэффициента Пуассона интерференци­

онным м етодом .........................................................................172Работа 1 If. Изучение внутренних напряжений в твердых телах

оптическим методом ............................................................. 1737

Г л а в а 12. Гидро-аэродинамика........................................................................ 175Работа 12а. Изучение стационарного течения жидкости в трубе

переменного сечения ............................................................. 180Работа 12Ь. Изучение формы течения жидкости в трубе и опре­

деление критического числа Рейнольдса визуальнымм е т о д о м ..................................................................................... 182

Работа 12с. Определение давлений и профиля скоростей прл ла­минарном и турбулентном течении воды в цилиндри­ческой т р у б е ............................................................................. 185

Работа 12d. Изучение поля скоростей свободной воздушной струипри помощи термоанемометра.............................................189

Работа 12е. Изучение воздушных потоков около цилиндра и кры­ла аэроплана оптическим методом ..................................... 192

Работа 12f. Изучение эффекта Магнуса и определение полярыкрыла аэр о п л ан а ..................................................................... 194

Ч А С Т Ь В Т О Р А Я . АКУСТИКА

Г л а в а 13. Частота звуковых к о л е б а н и й .....................................................208Работа 13а. Определение частоты колебаний методом биений . . 209Работа 13d. Определение частоты колебаний при помощи моно­

хорда ..........................................................................................210Г л а в а 14. Длина звуковых в о л н ..................................................................... 212

Работа 14а. Определение длины звуковых волн в газах методомК винке......................................................................................... 213

Работа 14Ь. Определение длины звуковых волн в воздухе мето­дом интерферометра ............................................................. 214

Г л а в а 15. Скорость з в у к а ................................................................................. 215Работа 15а. Определение скорости звука в воздухе при помощи

миллисекундомера ................................................................. 218Работа 15Ь. Определение скорости звука в воздухе методом стоя­

чей в о л н ы ..................................................................................218Работа 15с. Определение скорости звука в газах методом Кундта 219Работа lod. Определение скорости звука в твердых телах мето­

дом Кундта ..............................................................................221Г л а в а 16. Затухание звуковых к о л е б а н и й ...............................................222

Работа 16а. Определение декремента затухания камертона припомощи м и к р о с к о п а ............................................................. 222

Г л а в а 17. Акустический р е з о н а н с ...............................................................224Работа 17а. Определение резонансной частоты воздушного резо­

натора при помощи стоячей в о л н ы ................................... 224Работа 17Ь. Исследование колебаний струны методом резонанса . 225

Г л а в а 18. Анализ з в у к а ....................................................................................228Работа 18а. Анализ сложных звуков при помощи резонаторов

Г ел ьм го л ьц а ............................................................................. 228Работа 18Ь. Изучение акустического спектра сложных звуков

при помощи прибора П. Н. Л е б е д е в а .............................229Г л а в а 19. Сила з в у к а ........................................................................................23J

Работа 19а. Изучение звукового поля камертона при помощи ра­диометра ..................................................................................... 232

Г л а в а 20. Элементы архитектурной а к у с т и к и ........................................233Работа 20а. Определение коэффициента поглощения звука при

помощи стоячей в о л н ы ......................................................... 234Работа 20Ь. Определение времени реверберации методом непо­

средственного о т с ч е т а ......................................................... 235П р е д м е т н ы й у к а з а т е л ь ............................................................................. 237

В В Е Д Е Н И Е

ФИЗИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ

I. ФИЗИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ И ОБРАБОТКА ИХ РЕЗУЛЬТАТОВ

1. Физические измерения. Для количественного изучения физических явле­ний в процессе лабораторных, работ необходимо, во-первых, разработать методы измерений всех физических величин, и, во-вторых, установить для всех физиче­ских величин определенные единицы, так как каждое физическое измерение, как известно, является сравнением данной величины с однородной величиной, условно принятой за единицу.

Измерительная техника постепенно совершенствуется, давая возможность получать при измерениях все более точные результаты. Отличительной чертой современной измерительной техники является очень широкое использование для повышения точности измерений самых разнообразных физических явлений, иногда достаточно сложных и специальных. Так, при точном измерении длины широко применяются оптические (интерференционные) явления; внутренние на­пряжения, возникающие в твердых телах при деформациях, исследуются поля­ризационными методами на специальных моделях; при изучении мгновенных, сил (удар, взрыв) применяются пьезоэлектрические явления; для измерения очень коротких промежутков времени пользуются модуляцией света неоновой лампы в колебательном контуре и т. п. Благодаря этому физика теперь распо­лагает обширной, часто очень сложной измерительной аппаратурой и громадным количеством различных методов измерений, так что для изучения каждого отдельного физического явления или для измерения отдельной физической ве­личины можно применять различные методы; они отличаются между собой как своей точностью, так обыкновенно и теми интервалами измеряемой величины, в которых могут применяться. Так, для измерения температуры обыкновенно пользуются ртутным термометром, но для температуры выше 600° С ртут­ные термометры оказываются мало пригодными, и приходится прибегать к элек­трическим методам измерения температуры; последние можно применять, однако, лишь до температур приблизительно около 1600° С, поэтому в области еще более высоких температур применяют третий метод, оптический, поль­зуясь так называемыми оптическими пирометрами. Эти три метода измерения температуры одновременно отличаются и своей точностью.

Точность измерения обыкновенно определяется той наименьшей частью выбранной при изм ерениях единицы, до которой с уверенностью в правиль­ности результат а можно произвести измерения. Точность измерений, как известно, всегда является ограниченной и результат измерения, как бы точно оно ни было выполнено, дает нам не истинное значение измеряемой величины, а лишь приближенное, т. е. более или менее близкое к ее истинному значению; иными словами каждое физическое измерение может быть сделано лишь с некоторым приближением. Так, например, измеряя толщину стеклянной пластинки обыкновенным штанген-циркулем, можно оценить ее с точностью до 0,1 мм\ винтовой микрометр дает в этом случае точность приблизительно до 0,01 мм\ пользуясь компаратором, можно ту же величину измерить с точ­ностью до 0,001 мм, а интерференционные методы измерения длины могут дать еще более точный результат приблизительно до 0,11»; однако и здесь по­лучается лишь приближенное значение измеряемой величины, и можно быть уверенным только в том, что полученное в последнем случае значение тол­щины стеклянной пластинки отличается от истинного на величину меньшую 0,1 ц.

1ем точнее метод измерений, тем, вообще говоря, сложнее его примене- “ие, тем большее количество различных факторов должно быть принято во

9

внимание при измерениях. Так, в указанном выше примере при первых двух ме­тодах измерения (штанген-циркуль, сферометр) надо принять во внимание только ■правильность показаний этих приборов, а температура, при которой происходит измерение, может не приниматься в расчет, так как обычные колебания темпера­туры в данном случае (стеклянная пластинка) на первом и втором десятичных знаках не отражаются. При работе с компаратором, кроме его проверки, при­ходится принять во внимание влияние температуры, для чего необходимо знать коэффициент расширения стекла или обеспечить выполнение измерений при по­стоянной температуре, т. е. применять термостат. Наконец, при применении интерференционных методов, кроме уже указанных факторов, надо принять во внимание ряд других, например обеспечить монохроматичность освещения, убе­диться, в какой мере поверхность пластинки удовлетворяет условию зеркаль­ности, не искривлена ли она и т. д., что потребует большой предваритель­ной работы.

Отсюда видно, что, приступая к какому-либо измерению, следует из раз­личных методов выбирать тот, который дает результат, достаточно точ­ный для данного случая, не осложняя работы применением особенно точных методов, если в том нет необходимости.

Измерять данную величину непосредственно приходится сравнительно очень редко; такие измерения мы встречаем только в простейших случаях — при обыч­ных измерениях длины, при определении веса тел на обыкновенных весах, при измерении промежутков времени секундомерами. В большинстве же случаев приходится непосредственно измерять не искомую величину, а некоторые дру­гие величины, связанные с ней известными математическими соотношениями (формулами), которые определяются законами данного явления и дают возмож­ность из результатов измерений вычислить искомую величину. Прибегать к такому приему приходится потому, что непосредственное определение физи­ческих величин в этих случаях оказывается недоступным. Так, ускорение силы тяжести вычисляется по длине маятника и периоду его колебаний на основа­нии известной формулы маятника, так как непосредственное определение g из опытов над свободным падением тел было бы очень сложным и недостаточно точным; точно так же электрическое сопротивление проводника определяется по отношению длин двух частей измерительной проволоки мостика Уитстона и т. п.

Итак, при слож ных методах измерений определение искомой величины требует измерения нескольких других величин, которые участвуют вместе с ней в данном физическом явлении. В этих случаях окончательная точность результата измерений или точность метода, естественно, зависит от точ­ности отдельных измерений, выполняемых при его применении. Различные физические измерения, как оказывается, могут быть выполнены с различной степенью точности. Так, взвешивание тел принадлежит к числу чрезвычайно точных физических измерений: взвешивая на точных весах тело весом до 200 г, нетрудно получить точность до ± 0 ,1 мг, т. е. произвести измерение с точно­стью до 0,00005% измеряемой величины. При других же измерениях получить даже значительно меньшую точность не удается. К числу таких мало точных измерений относятся, например, измерения температуры: точность даже очень хороших термометров в области средних температур обычно не превышает0,01° С; таким образом, если наблюдаемое изменение температуры составляет 5° С, то точность измерения оказывается всего лишь 0,2%.

Отсюда следует, что при сложных методах измерения, в которых прихо­дится произвести несколько отдельных измерений различных величин (напри­мер, длины и периода колебаний маятника при определении g, или массы и температуры при калориметрических работах), необходимо прежде всего уста­новить пределы точности, которые .могут быть получены в каждом от­дельном измерении. Если пределы возможной точности для каждой измеряемой величины оказываются различными, то нет оснований в отдельных измере­ниях выходить далеко за пределы точности наименее точного измерения, т. е. можно пользоваться относительно простыми приемами. Например, при калориметрических измерениях определение массы воды можно было бы сде­лать с точностью, как указано выше, до 0,00005%, если воспользоваться точ­ными весами и произвести взвешивание со всей тщательностью; однако в данном случае нет оснований добиваться такой точности, и можно ограничиться взве­шиванием на более грубых весах с точностью, например, до 0,01%, так как при измерении температуры в калориметре точность, как сказано выше, не10

превысит 0,2°/о, т. е. точность результата измерений (удельной теплоты какого- либо тела) все равно будет не велика, как бы точно ни было выполнено взве­шивание воды в калориметре. Для всех подобных вопросов оказалось возмож­ным разработать точную математическую теорию, элементы которой изложены дальше (стр. 15 и сл.).

При измерении любой физической величины обыкновенно приходится вы­полнить три последовательных операции: 1) проверку и уст ановку приборов, 2) наблюдение и х показаний и отсчет и 3) вычисление искомой величины из результатов измерений.

\. Проверка приборов необходима для того, чтобы получить уверенность в правильности их показаний, т. е. уверенность в том, что отсчет показаний прибора дает, в пределах его точности, правильное значение измеряемой вели­чины. Так, приступая к измерению температуры, необходимо проверить нуле­вую точку термометра, иначе измерение температуры может оказаться грубо неверным; точно так же, пользуясь при измерениях амперметром или вольт­метром, необходимо предварительно убедиться, в какой мере правильны их показания, или, как говорят, градуировать их шкалу, и т. п. Установка при­боров требует их правильного расположения, причем должны быть приняты во внимание все обстоятельства, которые могут оказать влияние на результат из­мерения; например, очень часто требуется установить прибор так, чтобы опре­деленное направление в нем было вертикально, или определенная плоскость горизонтальна; или необходимо несколько электрических приборов — гальвано­метров, реостатов, выключателей — расположить в цепи по определенной схеме и т. п. Точно так же может оказаться, что ряд внешних факторов, например, температура, барометрическое давление, влажность воздуха, его ионизация, постороннее освещение и т. п., оказывает при измерениях заметное влияний. В таком случае необходимо их влияние или устранить или принять во внима­ние при вычислении результатов, для чего необходимо одновременно с изме­рениями определить температуру помещения, давление атмосферы и т. д.

Проверка и установка приборов являются очень ответственными опера­циями, и от тщательности их выполнения зависит в большинстве случаев успешность всего измерения. Поэтому эти операции часто оказываются очень сложными и обыкновенно требуют большой затраты времени.

2. При наблюдении показаний приборов часто требуется постепенно из­менять положение какой-либо части прибора, что вызывает изменения в его показаниях, которыми приходится руководствоваться при отсчете. Например, при фотометрических измерениях постепенно перемещают фотометр или источ­ник света до получения равенства освещенностей в поле зрения; при измере­ниях электрического сопротивления перемещают ползушку мостика до исчез­новения отклонений гальванометра; при спектральных исследованиях часто приходится вращать головку микрометрического винта так, чтобы на кресте нитей оптической трубы появилась определенная линия спектра, и т. п. Эти операции иногда также называются установкой или подготовкой прибора для отсчета. Когда эти операции в приборе закончены, следует отсчет его по­казаний, который обычно состоит в отсчете или измерении некоторой длины или угла и иногда в измерении некоторого промежутка времени.

Эти операции — подготовку прибора к отсчету и самый отсчет — безусловно необходимо при измерениях повторять несколько раз, иначе из­мерение, как бы тщательно оно ни было выполнено, не может считаться надежным.

Отсчет показаний прибора следует производить с достаточной точностью, однако при этом необходимо иметь в виду, что точность измерения не всегда определяется точностью отсчета, иначе говоря, повышение точности отсчета не всегда повышает точность измерения; последняя величина определяется, как видно из предыдущего, качеством приборов, применяемых при измерении, и тщательностью их проверки и установки. Так, при измерении температуры положение кончика ртутного столбика на термометрической шкале можно от­считать с очень большой точностью (точность отсчета велика), но результаты измерения температуры могут быть совершенно неправильными (точность из­мерения мала), если применяется недостаточно чувствительный термометр или его нулевая точка предварительно не была проверена.

6. Когда все операции с приборами (проверка, установка для отсчета и от­чет) закончены, следует вычисление из'результатов измерения искомой вели»

11

чины по формулам, которыми определяются законы данного физического явле­ния. При этом приходится произвести ряд чисто арифметических операций, для более быстрого и успешного выполнения которых следует руководство­ваться некоторыми общими соображениями.

a) Все вычисления следует вести приближ енно, не выходя за пределы той точности, которая имеет место при измерениях, хотя арифметические операции иногда могут быть продолжены как угодно далеко, иначе говоря, точность вычислений должна вполне соответствовать точности измере­ний. Так, например, если некоторая величина может быть измерена с точно­стью до второго десятичного знака (точность метода), то и вычисление резуль­татов измерения следует вести точно так же до второго десятичного знака, так как при указанной точности метода уже третий знак не является точным, поэтому при вычислении все дальнейшие знаки, сколько бы их ни было, точ­ности измерения не повышают, т. е. являются излишними. Определить цифру, следующую за последней, гарантируемой методом измерений (в данном примере второй), полезно только потому, что, как известно, принято, отбрасывая ненужные цифры, увеличивать последнюю цифру на единицу, если отбрасывае­мая больше пяти.

b) Вследствие этого при вычислении следует пользоваться всеми прие­мами приближ енных вычислений. Так, если вычисления производятся при по­мощи таблиц логарифмов, то четырехзначные таблицы в большинстве случаев оказываются вполне достаточными. Очень полезными являются готовые таб­лицы для вычислений (квадраты, кубы чисел и пр.); точно так же следует пользоваться известными формулами и приемами приближенных вычислений 1) там, где это оказывается возможным.

Чрезвычайно большим облегчением при вычислениях является применение логарифмической линейки, которой приходится широко пользоваться; поэтому техникой вычислений при помощи логарифмической линейки необходимо овладеть вполне. Очень полезными следует считать также различные счетные машины, например арифмометры *), в особенности при выполнении большого числа однообразных арифметических операций.

c) Очень часто результаты измерений, как уже было указано, зависят от внешних условий, и устранить это влияние не представляется возможным. В таких случаях в результаты измерений принято вводить соответствующие поправки. Иногда при этом приводят рёзультаты измерений к определенным внешним условиям, например, к температуре 0° С, к нормальному атмосферному давлению или к пустоте и т. п. Эти поправочные члены обычно бывают неве­лики по сравнению со всей измеряемой величиной. В таких случаях прежде всего необходимо определить величину поправочных членов и при вычислении окончательного результата принять во внимание только те из них, величина которых лежит в пределах точности метода измерений, так как, очевидно, нет необходимости вводить в результат те поправки, влияние которых рыхо- дит за пределы точности измерений, т. е. могло бы изменить окончательный результат измерений в тех знаках, которые отбрасываются как ненадежные.

2. Теория ошибок и обработка результатов измерений. Как видно из предыдущего, при всех измерениях мы получаем приближенные результаты; отсюда следует, что, повторяя какое-либо измерение несколько раз, мы неиз­бежно должны получать несколько различные результаты. Однако, при тща­тельном выполнении измерений результаты отдельных измерений должны отличаться меж ду собой на величины, не превышающие пределов точно­сти измерений.

Таким образом результаты измерений содержат некоторые погрешности, пли ошибки', они могут зависеть не только от ограниченной точности измере­ний, но и от ряда других причин — ошибочности показаний прибора, непра­вильно рассчитанного влияния внешних факторов, недостаточно точных отдель­ных отсчетов и т. п. Ошибки измерений бывают систематические и случайные.

а) Систематические ошибки вызываются большей частью неправильно­стью показаний самих приборов, или ошибочностью метода измерений, или,

*) М. Ф р а н к , Элементарные приближенные вычисления, М. — Л., 1932; А. В в н ъ е р о я , Обработка результатов физико-химических наблюдений. Изд. 2-е, М., 1936.

*)Ф. Д р о з д о в , Счетные машины и производство вычислений механическим путем* М., 1926.12

наконец, постоянным, по односторонним впешиим воздействием. Так, измере­ние температуры термометром, у которого нулевая точка смещена, будет си­стематически неправильным, пока в результаты измерений не будет внесена соответствующая поправка; точно так же неравномерное нагревание коромысла весов, например, лучами солнца, будет давать систематическую ошибку при взвешивании. Обнаруживать и исключать систематические ошибки при измере­ниях является очень сложной задачей; это достигается в результате очень тщательного изучения приборов, путем их проверки и исправлений и введения, если необходимо, соответствующих поправок в результаты измерений.

Ъ) Случайные ошибки вызываются главным образом той неточностью, ко­торая неизбежно имеет место при наблюдении показаний прибора и их отсчете; эти ошибки не следуют какой-либо постоянной закономерности, так как при каждом измерении одинаково возможны случайные ошибки как в сторону уве­личения измеряемой величины, так и в сторону ее уменьшения. Вследствие этого к случайным ошибкам следует применять законы, установленные теорией вероятностей по отношению к многократному повторению так называемых слу­чайных явлений. Исключить при измерениях случайные ошибки, конечно, не­возможно, но теория вероятностей разработала приемы, которые позволяют уменьшить влияние этих ошибок на окончательный результат измерений; эле­менты теории ошибок могут быть изложены следующим образом.

Если, произведя п раз измерение некоторой величины, мы получили я зна­чений для нее: аь а2, а3, . . . , а п, то можно допустить, что среднее арифме­тическое из всех полученных значений, т. е.

А = fli — • • ‘ ° п — г \п п ’

будет приблизительно соответствовать истинному значению измеряемой ве­личины.

Это предположение становится тем более достоверным, чем больше изме­рений было сделано. Отсюда о тд у ет , как безусловно необходимое правило, что каждое физическое измерение должно быть повторено несколько раз,о. чем уже было сказано раньше; при достаточно большом числе измерений наиболее вероятное значение измеряемой величины определяется средним ариф­метическим из всех ее значений, полученных в каждом отдельном измерении.

Хот я в дальнейшем при описании лабораторных работ это основное правило вновь не повторяется, однако его всегда необходимо придержи­ваться при всех измерениях.

Разности между средним значением А измеряемой величины и значениями ее, полученными при отдельных измерениях, т. е. величины

А — а, = S], А — <72 = 6.,, А — а3 = Ез, . . . , А — а а = еа,

называются абсолютными ош ибками отдельных измерений и могут быть, очевидно, положительными и отрицательными. Их сумму при большом числеизмерений принимают равной нулю, что следует из случайности ошибок; в этомпредположении выведена, очевидно, и приближенная формула (1).

Среднее арифметическое абсолютных значений ошибок всех измерений, независимо от их знака, т. е. выражение

л I £i 1Ч-1 е21 ~4~ I Ез I -Ь • • • ~Н епI 2е ГГ)п п ' '* ;

называется средней абсолютной ошибкой результ ат а.Отношения абсолютных ошибок отдельных измерений к соответствующим

значениям аь а2, с3, т. е. отношения

l i i2 1л.(22 #3 CLn

называются относительными ошибками отдельных измерений.Гочно так же отношение средней абсолютной ошибки результата к его

среднему значению, определяемому формулой (1), т, е. отношение

13

дает среднюю относительную ошибку Е результат а измерений. Относитель­ные ошибки принято выражать в процентах.

Абсолютные ошибки не зависят от размеров измеряемой величины, т. е. определяются только точностью измерений, тогда как в выражение относи­тельных ошибок, например в формулу (2), входит измеряемая величина А, т. е. при одинаковой точности измерений и х относительная ошибка в различ­ных случаях может быть различной. Так, например, при измерении толщины каких-либо пластинок винтовым микрометром, точность которого равна 0,01 мм, абсолютная ошибка при всех измерениях будет одна и та же, а именно не больше 0,01 мм, но относительная ошибка измерения двух пластинок с тол­щиной 1 м ч и 1 см будет, согласно формуле (2), совершенно различной: в пер­вом случае не более 1°/0, а во втором — не более 0,1®/0. Вычисление относи­тельных ошибок, как мы видим, дает возможность очень наглядно оценить точность измерений, поэтому при всех измерениях принято вычислять отно­сительную ошибку результата.

Это вычисление можно производить по формуле (2), определив предвари­тельно абсолютную ошибку результата по формуле (I1). Теория вероятностей !) выводит, однако, более точную формулу для вычисления абсолютной ошибки результата, устанавливая понятие так называемой средней квадратичной ошибки Ет результат а, для которой получается выражение:

т. е. для вычисления средней квадратичной ошибки результата надо извлечь квадратный корень из частного, получаемого от деления суммы квадратов аб­солютных ошибок всех измерений на выражение п(п — 1), где п попрежнему число измерений. Определять ошибки результата (абсолютную и относитель­ную), пользуясь средней квадратичной ошибкой, т. е. формулой (3), более целе­сообразно, но самое вычисление оказывается несколько кропотливым.

Наконец, теория вероятностей дает возможность подойти еще несколько ближе к истинному значению измеряемой величины, вычисляя так называемую вероятную ошибку результат а. Все ошибки измерений, очевидно, заключаются между наибольшими по абсолютной величине положительными и отрицатель­ными значениями е, причем большие случайные ошибки в ту и другую сторону менее вероятны, чем малые, т. е. должны реже встречаться. Поэтому есть основание сузить пределы погрешности, определяемой формулой (3), вводя не­который коэффициент, меньший 1; по теории вероятностей он равен 0,6745 (или приближенно 2/3). Отсюда для вероятной ошибки Ew результата получаем выражение: ________

В формулах (3) и (З1) принято ставить два знака, так как оба знака одина­ково вероятны, т. е. истинное значение измеряемой величины может быть и больше и меньше (одинаково вероятно) значения, определяемого формулой (1); оно может отличаться на величину Ет, но вероятно отличается не больше, чем па величину Ew. Далее из формулы (3) и (3') видно, что ошибка результата при увеличении п уменьшается пропорционально корню квадратному из п(п — 1), т. е. при достаточно большом числе измерений ошибку результата можно сде­лать очень малой.

Таким образом для окончательного значения измеряемой величины на осно­вании формул (1) и (3') можно написать:

Первый член второй части этого выражения определяет наиболее вероятное значение измеряемой величины, а второй член дает величину вероятной ошибки результата измерений.

(3)

(3')

(4)

‘) Г л и в е н к о , Теория в ер о ятн о сте й ; А. М а р к о в , И счи сл ен и е вер о ятн о стей . М., 1924.

14

П р и м е р : Измерялось электрическое сопротивление R катушки.Измерения лили повторены десять раз; их результаты, выраженные в омах, оказались таковы: 6,270; 6,277; 6,271; 6,273; 6,276; 6,272; 6,278,6,275; 6,277; 6,274. По фор­муле (1) находим среднее значение результата:

^ = — = 6,274(3) ома. п '

Отсюда находим абсолютные ошибки Д/? всех измерений и вычисляем их. квадраты ДR 2'.

ЛЯ + 0,004 — 0,003 + 0JD03 + 0,001 — 0,002 + 0,002 — 0,004 — 0,001 — 0,003 0,000

&R' 16.10—« 9.10—“ 9.10—« 1-10—• 4*10—в 4-10—' 16.10-» 1.10—“ 9 .1 0 - ' 0

Из последней строчки находим сумму квадратов всех ошибок:

2(ДЯ2) = 0,000069.

По формулам (3) и (З1) вычисляем среднюю и вероятную ошибки результата:

Ет = ± ] / - ’̂ ^ - = ±0,0009, Ew— r t 0,6745• 0,0009 = ± 0,0006.

Окончательный результат измерений можно написать так:

# = 6 ,2 7 4 + 0,0006 ома.

Первый член в правой части этого равенства дает наиболее вероятное значение сопротивления R катушки, а второй — вероятную ошибку его из­мерения.

* При точных измерениях ошибки оказываются настолько малыми, что вто­рые (и более высокие) степени ошибок лежат за пределами точности измере­ний. Поэтому можно ошибки условно считать бесконечно малыми величинами и применить к их анализу методы дифференциального исчисления, что во многих отношениях представляет большие преимущества. В частности, можно: 1) вы­числить максимальную (абсолютную и относительную) ошибку результата при сложных измерениях и 2) определить в некоторых случаях наиболее выгод­ные условия измерения.

1. М аксимальная ошибка результата, абсолютная и относительная, при простых измерениях определяется, в зависимости от и х точности, на основа­нии формул (1') и (2). Но в случае сложных методов измерений, при которых для определения искомой величины необходимо произвести измерения несколь­ких других (вспомогательных) величин, определение ошибки результата пред­ставляется более сложным. Для рассмотрения этого вопроса удобно в отдель­ности разобрать два случая: а) если для получения искомой величины надо произвести измерение одной (вспомогательной) величины и Ь) если для полу­чения искомой величины надо произвести измерение нескольких, хотя бы двух (вспомогательных), величин.

а) В первом случае измерение некоторой величины А, непосредственно не­доступное, заменяют измерением другой величины х , связанной с величиной А определенным соотношением. Поэтому мы можем величину А считать функцией величины х , т. е. можно написать:

A = f (х). (5)

^ fiCTb J измеРении величины х средняя абсолютная ошибка оказалась равной i t ах; эта ошибка при вычислении величины А по формуле (5) дает писать"™^10 0Ш кУ в опРеДелении А, равную z t dA. Очевидно, можно на-

А ± dA = / {х+ dx).15

Разлагая правую часть этого уравнения по формуле Тэйлора и отбрасывая члены, содержащие d x в степенях выше первой, находим:

A ± d A = f ( x ) ± d x .d xОтсюда, принимая во внимание формулу (5), получаем:

dA = (6)d xт . е. абсолютная ошибка при определении функции (dA) равняется абсо­лютной ошибке, допущенной при измерении аргумента (dx), умнож енной на производную этой функции.

Относительная ошибка в определении А на основании формул (2) и (6) <5удет равна:

Р dA _ d x d f(x )А ~ f ( x ) “ = f ( x ) ’

Правая часть этого уравнения представляет собой дифференциал натурального логарифма f ( x ) , поэтому можно написать:

dAB = - X = d l a f ( x ) , (7)

т . е. относительная ошибка при определении функции равна дифференциалу нат урального логарифма этой функции.

Ь) Во втором случае для определения некоторой величины А надо произ­вести измерения нескольких (вспомогательных) величин, допустим двух х г и х 2, связанных с величиной А также определенным соотношением. В таком случае величину А можно рассматривать как функцию двух независимых переменных *1 и х 3, т. е. можно написать:

A = f ( x 1, х 2). (8)

Абсолютные ошибки, допущенные при измерении х^ и х о, обозначим через dx-i и d x 2. Каждая из этих ошибок вызывает свою частную абсолютную ошибку при определении А\ эти частные абсолютные ошибки обозначим соответственно через дАг и дА2. Очевидно, чтобы найти дАх, надо применить формулу (6), считая х 2 постоянной величиной, а чтобы найти дА2, надо вновь применить ту же формулу, считая х, постоянной величиной; иными словами, для опреде­ления dAt и дА2 надо найти частные дифференциалы функции (8) по х± И х г; получаем:

dAt «= ‘d x j и дА2 — Хг) d x 2 . . . (9)

Допустим, что имеет место наиболее неблагоприятный случай, т. е. что абсолютная ошибка dA окончательного результата оказывается равной сумме абсолютных значений частных ошибок, иначе говоря, вычислим максималь­ное возможное значение абсолютной ошибки результ ат а dA max\ имеем:

dM p i H d x ,д х ,d A max = I дА{\ - f -1 дА2 1 = dfbbJblL dx.\ +

dxj 11(10)

Для вычисления максимального значения относительной ошибки результата делим, согласно формуле (2), обе части этого уравнения на А и, принимая во внимание формулу (8), находим:

( dA\ - df (xb x j dxy | , \ df (xv xj) dx2 IV А ) тах dxi f ( x l, x 2) I 1 I dx2 f ( x b x 2) 1

Правая часть этого выражения, очевидно, равна полному дифференциалу нату­рального логарифма функции (8), в котором взята сумма абсолютных значе­ний всех членов, т. е. окончательно можно написать:

( ~ г ) = d \ n f ( x b x ^ . (11)\ Л / max

16

Те же самые рассуждения можно, очевидно, применить и к случаю, когда определение некоторой величины требует измерения не двух, а нескольких (вспомогательных) величин, т. е. когда величина А является функцией несколь­ких независимых переменных (jrlf jc2> х„), или

A — f i X i , x v х п).

При этом получаются формулы, аналогичные (10) и (11), т. е.:

d A max —

, | d f ( x b x , ..........x n) ' _______ fix ,I d x t ’ f ( x i, x v . . . , x„)

( ~ ) = d \ \ n f ( x lt x ^ x aj\. (Ю\ л ' max

Отсюда следует такой вывод: при определении какой-либо величины, требую­щей измерения нескольких (вспомогательных) величин:

1) Максимальное значение абсолютной ошибки результата равно полному дифференциалу функции , определяющей зависимость данной величины от изме­ряемых (вспомогательных) величин, причем при вычислении дифференциала cjiedyem брать сумм у абсолютных значений всех частных дифференциалеш (все частные ошибки складываются), и

2) Максимальное значение относительной ошибки результата равно пол­ному дифференциалу нат уральною логарифма функции, определяющей за­висимость данной величины от измеряемых (вспомогательных) величин, причем при вычислении дифференциала следует брать сумму абсолютных значений дифференциалов всех членов логарифма (все частные ошибки складываются).

П р и м е р ы . I. У с к о р е н и е с и л ы т я ж е с т и определяется методом оборотного маятника (том 1, работа 6а). Из формулы маятника для периода простого колебания:

/ Igнаходим формулу для вычисления g:

g=^ji' (12)

Измерение величин, входящих в правую часть формулы (12), дало следую­щие результаты:

1. Длина (I) маятника, измеренная с точностью до 0,1 мм, оказалась рав­ной 50,02 см\ таким образом ошибки измерения длины оказались равны: абсо­лютная ill) -±0,1 мм, или •£ 0,01 см, и относительная {11 : /), определяемая па формуле (2), ш 0,0002, или -t 0,02°/0.

2. Период простого колебания, измеренный с точностью до 10/10—* секунды,оказался равным 0,7098 сек., таким образом ошибки измерения периода равны: абсолютная (Лt) : t 10/10~4 сек. и относительная ±0,00014, или r t 0,0140/^.

Требуется вычислить максимальное значение: а) абсолютной и Ь) относи­тельной ошибки в определении g.

а) Максимальное значение абсолютной ошибки. Для вычисления частных ошибок в определении е, вызываемых ошибками при измерении l u t e отдель­ности, налодим частные дифференциалы функции (12) по / и £

д__ \ с- / чгй - \ гг / Т2/

й Ш---- d l = - j d l и dg, = ------- -----d t = - 2 ^ d t

ференциалов^ поручаем: Ф° рМуле (10) сумм у абсолютных величин частных диф-

^Smax — — dt.

Физический практикум jy

Вставляя в это выражение значения I и dl (или М), t и dt (или Д/), находим:

* * n m I „ * * ’ 5 0 . 0 2 СМ . л — 4 n , m с м I п о - 7Д,е»„,.- = 7Г̂ Г5----- s ’0,01 см -f-2 -тг т̂о--------ч“ 10 « « = 0,197-----=-4-0,277 — т„ (121)smox 0,71s сек* 0,71® сек3 се/с2 c^kj

т. е. максимальное значение абсолютной ошибки при определении g с данными приборами приближенно оказывается равным:

^ , = * 0 . 4 7 ^ .

Ь) Максимальное значение относительной ошибки. Берем натуральный логарифм выражения (12):

In g-= 2 In я -f- In / — 2 In f

и находим его дифференциал, причем в правой части берем сум м у абсолютных значений его членов:

d in £■==«* In / + 2d In t.

Выполняя дифференцирование, получаем:

dg; d l . „ dt7 = 7 + ^ T -

Подставляем в это выражение значения относительных ошибок в определе­нии I и С:

(¥), = : £ 0,0002 ;£ 2 • 0,00014.£ / тах

Отсюда получаем максимальное значение относительной ошибки при опреде­лении g с данными приборами:

( = a t 0,00048,\ 8 ' т ах

или приближенно

Y = ± 0,050/о.

Все вычисления в этом примере выполнены согласно изложенной выше теории; однако на практике их можно произвести проще, так как, определив одну из ошибок (абсолютную или относительную), другую можно найти непо­средственно из формулы (2), если значение искомой величины уже определено, хотя бы приближенно. Так, в этом примере, разделив найденное значение абсо­лютной ошибки i t 0,47 см/сек3 на среднее значение g (т. е. 980 см/сек2), полу­чаем непосредственно значение относительной ошибки.

Далее следует обратить внимание на то, что, хотя относительная ошибка при измерении t (0,014°/0) меньше относительной ошибки при измерении /(0,02°/о), но ее влияние на величину ошибки результата оказывается больше; это объ­ясняется тем, что в формуле (12) t входит во второй степени и его ошибка в окончательном результате удваивается.

II. К о э ф ф и ц и е н т в н у т р е н н е г о т р е н и я ж и д к о с т и т, опре­деляется методом капиллярной трубки (том II, работа 23а); для вычисления т) из результатов измерения применяется формула Пуазейля:

кпгЧ1 — 8йГ ’ (13)

где р — давление, под которым находится жидкость, — радиус капилляра, I — его длина и t — время, в течение которого вытекает объем жидкости, равный V .

18

Значения этих величии и ошибки их измерений, как показало предвари­тельное исследование приборов, оказались таковы:

Д *1р приб. равно 20 см Hg, абс. о т . Д^ = ± 0,1 м м Hg, отн. ош. — = ± 0 ,0 0 0 5 ,

г . . 1 мм . . Д г = ± 0 ,0 1 , , . ^ - = ± 0 ,01 ,

I . . 10 см . , Д/ = ± 0 ,1 . „ . ~ z = z ± 0,001,

t , , 2 5 сек , , At = ± 0,1 сек , , — = ± 0,004,

v

t5 см* . . Дг» == ± 1 м м 3 . . — = ± 0,0002.

По этим данным требуется вычислить относительную ошибку в опреде­лении 1). Логарифмируем формулу (13):

1п 71 = In ic -(- In р -}- 4 In г -j- In t — In 8 — In I — In v.

Берем дифференциал этого выражения:d In 7] == d In p -f- 4rf In r -f- d In t — rf In / — d In v.

Выполняем дифференцирование, причем в правой части берем сумм у абсолют­ных значений всех членов (все ошибки складываются); находим:

d t\ _dp , , dr , d t . dl . dvГ) p 1 "* r 1 t 1 I v '

Подставляя в правую часть этого выражения найденные выше относительныеошибки всех измерений, получаем:

^ = ± (0,0005 + 4-0,01 + 0,001 + 0,004 + 0,0002),Ч

т. е. относительная ошибка определения т] равна:Дт)

или приближенно:

: ± 0,0457, ■0

^ = ± 4,60/0.I)

В данном случае, как мы видим, наибольшее влияние на ошибку результата оказывает ошибка в измерении радиуса капилляра (г), во-первых, потому, что относительная ошибка при его измерении больше других ошибок, и, во-вторых, потому, что в формуле (13) г входит в четвертой степени и его ошибка в окон­чательном результате возрастает в четыре раза. Отсюда следует, что, желая повысить точность определения коэффициента внутреннего трения этим методом, следует прежде всего уменьшить ошибку в измерении г, т. е. произвести изме­рение радиуса капилляра с возможно более высокой степенью точности.

_ Ш . Д л и н а с в е т о в о й в о л н ы X определяется методом диффракцнон- нои решетки (том II, работа 69 Ь) по углу отклонения <р, который может быть измерен на спектрометре с точностью до 1', т. е. абсолютная ошибка измере­ния у, выраженная в радианах, равна 0,0003 (Ду = 0,0003). Длина волны вычис­ляется по формуле решетки:

, 1 . а = — с sin п

с^ял* Г" и°Рядок спектра, с — постоянная решетки и ? — угол отклонения луча ктпгТгл волны> Равной а. Из измерений было найдено, что угол ? в спектре о г ш е п е л р я и и Р авен Требуется вычислить относительную ошибку втолько п** - ак к а к я и ‘ -величины постоянные, то X оказывается функцией лпй п \ Пл°Г° !?езависим°го переменного f, и мы можем воспользоваться форму-

К ,. логарифмируем данное нам выражение и берем его дифференциал:A In X = d In sin у.

19

Выполняя дифференцирование, получаем:ей d sm « cos f dy , ,•v = ~ :— ' = — i — ~ = ctg ? dp.I sin f sin f

Подставляя в правую часть этого выражения значения f и d<f (или А?), нахо­дим относительную ошибку в определении к

~ = 0,001, или

Из этих примеров видно, какое влияние на ошибку результата может ока­зывать вид функциональной зависимости между вычисляемой величиной и не­посредственно измеряемыми. Поэтому очень полезно заранее определить ма­ксимальные значения абсолютных и относительных ошибок результата для определенных функций.

2. Наиболее выгодные условия измерения, очевидно, будут иметь место в том случае, когда ошибка результата оказывается наименьшей. Отсюда сле­дует, что с математической стороны вопрос приводится к нахождению условий минимума выражений (7) в простейшем случае и (11) или (11') в общем слу­чае. Для этого надо воспользоваться общими правилами, принятыми в диффе­ренциальном исчислении для нахождения минимумов функции одного или нескольких переменных, а именно:

a) в первом случае надо найти производную выражения (7) по х и, при­равняв ее нулю, определить отсюда соответствующее значение х\ пусть оно оказалось равным а. Берем вторую производную функции (7) по х и 6 ее вы­ражение вставляем вместо х его значение а\ если при х, равном а, вторая производная оказывается положительной, то функция (7) при х, равном а, имеет минимум.

b) Во втором случае надо найти частные производные первого порядка выражений (11) или (11') по всем независимым переменным и из полученных уравнений, приравнивая их нулю, определить значения всех переменных. До­полнительными условиями минимума вновь будет определение знака частных производных второго порядка при найденных значениях переменных.

Отсюда мы видим, что при большем числе переменных, т. е. при большем числе (вспомогательных) величин, определение наиболее выгодных условий измерения может представляться очень сложной задачей, которая, кроме того, как оказывается, не всегда имеет определенное решение, так как не все функ­ции имеют минимум. Но в некоторых частных случаях определение условий минимума ошибки, т. е. определение наиболее выгодных условий измерения, может быть выполнено очень просто.

П р и м е р . При определении сопротивления проводников методом мостика Уитстона (том I, стр. 71 и том II, работа 41 Ь) сопротивление Rx вычисляется по формуле:

R x = R o lj , (И)

где Я0 — эталон сопротивления, a /j и /5 — части измерительной проволоки мостика, на которые ее делит подвижной контакт при его установке на нулевое отклонение гальванометра. Определим наиболее выгодное положение подвиж­ного контакта (т. е. относительную длину /, и U), при котором ошибка изме­рения оказывается наименьшей.

Длину всей измерительной проволоки будем считать постоянной; обозначим ее через L. Очевидно,

— Lи формулу (14) можно написать так:

7т Ь т г 14Находим натуральный логарифм этого выражения:

In R x =»= In /?0 -(- In li — In (L — /j).Вычисляем дифференциал этого выражения, причем в первой части берем сумму абсолютных величин всех членов, т. е. находим, согласно формуле (7), значение 20

( г + г ^ ) *

относительной ошибки измерения:d R x

Это выражение будет иметь минимум при минимуме коэффициента, стоящего при dl; обозначая его через Z, т. е. полагая

- 1 . 1 „ г* - - г L _ / , • (!5)

находим первую и вторую производные Z по 1г:d Z _ 1 1 d*Z _ 2 , 2Л, (L -/ J * I? " d/,2 (£ - /О3 ' i f

При всех возможных значениях /, вторая производная положительна, так какЛ всегда меньше L. Поэтому функция (15) имеет минимум при том значении 1Ъкоторое п о л у ч и т с я , если первую производную положить равной нулю; таким образом можно написать:

- ! ------ Л = °;

отсюда получаем:

т. е. наиболее выгодные условия измерения будут иметь место в том случае, когда подвижной контакт находится по середине (/, = /2 = L j2 ) измерительной проволоки. Согласно формуле (14) для этого необходимо, чтобы эталон R0 и измеряемое сопротивление R x были (приблизительно) равны по величине*.

3. Графические методы. Очень часто при обработке результатов измере­ний пользуются графическими методами, которые служат как для более нагляд­ного изображения полученных результатов, так и для различных вычислитель­ных операций. Так, часто требуется проследить зависимость одной физической величины от другой, например, зависимость плотности тела от его температуры, или угла отклонения луча от его длины волны, или радиоактивной силы какого- либо препарата от времени и т. п. В таких случаях, рассматривая исследуемую величину у как функцию второй величины х , т. е. полагая

У = / ( * ) , (16)выбирают определенные значения х и, выполняя измерения, находят соответ­ствующие значения у . Так, измеряют плотность тела при определенных темпе­ратурах, или угол отклонения лучей, соответствующих спектральным линиям, определенной длины волны, или радиоактивную силу препарата через опреде­ленные промежутки времени и т. п. В результате таких измерений получаются соответственные парные значения обеих величин, например, и у ь и у 2, х з и Уь • ■ • и т. д. Эти парные значения х и у изображают затем графически, пользуясь в громадном большинстве случаев обычной прямоугольной системой координат; значительно реже применяют другие системы координат,— так ино­гда полыуются полярными коортинатами (например, том И, работа 61 Ь). Через нанесенные на графике точки .у,), В (х ь у ^ \ С (х я, у я), . . . (рис. 1) проводят кривую, которая представляет собой графическое изображение функции / в выра­жении (lb). При построении таких графиков чре*вычайным облегчением является применение миллиметровой бумаги. Далее необходимо иметь в виду следующее.

1. При нанесении результатов измерений на графике следовало бы прини­мать во внимание ошибки измерений. Так, для первой пары значений мы полу­чаем из измерений х г z t е'х и у х nz cj,, где t'x и е'у ошибки х и у, допущен­ные в этом измерении; вследствие этого на графике следовало бы наносить ■е точки, а небольшие прямоугольники, например, для первой точки — прямо­

угольник со сторонами, равными 2е'л и 2гу (рис. 2). Соответственно этому можно ыло бы провести две предельные кривые, между которыми, очевидно, проходит

21

Рис. I. График кривой. Рис. 2. График ошибок.

кривая, определяющая истинный вид функции / . На практике обыкновенно ограничиваются нанесением точек и затем строят плавную кривую, без резких искривлений и углов , так чтобы она проходила возможно ближе ко всем точкам. Вначале кривая вычерчивается карандашом в виде достаточно широкой

полоски, которая постепенно вы­равнивается стиранием резинкой и подрисовкой; затем кривая окон­чательно вычерчивается по частям при помощи лекал, карандашом или тушью.

2. Выбор масштаба при гра­фическом изображении совершен­но произволен, но чертить кривые в слишком большом масштабе, вообще говоря, нет оснований, и, нзяв оси координат длиной 8—10 см, получаем в большинстве слу­чаев вполне подходящий масштаб. Что же касается относительного масштаба на той или другой коор­динатной оси, то их следует под­

бирать так, чтобы кривая не получала слишком пологий, т. е. растянутый вдоль одной из осей, вид; кривые такого вида являются менее наглядными и могут затруднить последующую обработку результатов измерений.

3. При составлении графика иногда оказывается, что некоторые пары зна­чений дают точку, несоразмерно удаленную от кривой, т. е. некоторые значе­ния у , полученные из измерений при определенных значениях х , отклоняются от кривой на величину, значительно превышающую возможную погрешность из­мерений. Если нет оснований предполагать, что в данной области происходит резкое изменение в ходе изучаемой зависимости у от х , то такие отклонения можно объяснить только какими-нибудь грубыми ошибками — в измерениях, отсчетах или в вычислениях. В этих случаях следует прежде всего проверить вычисления; если в них ошибок не оказывается, то приходится для этой точки все измерения повторить еще раз. Если же последнее не представляется возможным, го при окончательной обработке результа­тов такую точку обыкновенно совершенно не принимают во внимание.

Разобранный случай функциональной зависимости между двумя физическими ве­личинами является наиболее простым. Если же закон некоторого физического явления выражается формулой, которая связывает три величины х, у и г, то очень часто одной из них, например, г, дают определен­ные значения z 1. *2> и каждый раз

11 \11 \1 \V \/с

1 S sJO\\ \\ ч

1 2f \\N \

\ VЯГ xj

чч

(Г

исследуют взаимную зависимость двух дру-1 ,1х величин, а затем графически строят семейство кривых, каждая из которых изо­бражает зависимость двух величин при определенном значении третьей. Например, на рис. 3 изображены изотермы углекисло­ты в системе координат р (давление) и V (объем), т. е. изменение объема одного и того же количества углекислоты в за­висимости от изменения давления приопределенных температурах, которые указываются при каждой кривой.

В случаях еще более сложной зависимости между физическими величинами приходится пользоваться более сложными приемами графических построений. Эти вопросы рассматриваются в особом отделе математики, так называемой номографии '), задачей которой является не только изучение законов графиче-

') М. Ф р а н к, НоноггафическиО спрагочтгк, М ,—Л.. 1933; Н. А. Г л а г о л е в , Теоретиче­ские осяо^ы помографии. Над. 2-е, М.—Л., 1936.

Рис. 3. Изотермы углекислоты.

22

ского изображения функциональных зависимостей, но и составление особого графика (номограммы), с помощью которого все задачи, относящиеся к вычи­слению данной функции, могут быть решены посредством чисто механического отсчета.

Точно выполненное графическое изображение результатов измерений дает возможность производить еще целый ряд измерительных и вычислительных операций. Так, очень часто при измерениях требуется найти значение у в вы­ражении (16) при вполне определенном значении х а, например, определить со­противление проводника при температуре 0° С или какой-либо другой; иногда осуществление такого измерения непосредственно оказывается очень сложно. В таких случаях пользуются так называемой интерполяцией, или интерполи­рованием, которое заключается в следующем: измеряют два значения у при значениях х г и х 2, близких к л , и расположенных по возможности по обе сто­роны от него; обозначим полученные значения v\ и у%. Если есть основания предполагать, что в интервале (х2— д-,) изменение у пропорционально измене­нию х, что, очевидно, отвечает на" графике прямой линии, то можно написать пропорцию:

СУо — -Vi): (*0 — *|) = (У2 — У\): (хг — х г),откуда получаем:

Л = Л - М * о (17)Ху — -а. |т. е. можно определить значение не производя его непосредственного из­мерения. Это, однако, становится неприменимым, если в интервале (х2 — *1) линейная зависимость, т. е. прямая пропорциональность между у и х , не имеет

• У

0 ' Рис.

места; в таких случаях прибегают к графическому интерполированию , т. е. на точно выполненном графике непосредственно отсчитывают по масштабу значение у0, соответствующее лг0.

Далее, по графику можно определить значения одной величины, которые соответствуют максимальным или минимальный значениям другой величины, хотя бы последние и не были измерены непосредственно.

Если в некоторой точке (х', у') кривой АВ (рис. 4), соответствующей функ­ции (16), провести к ней касательную и продолжить ее до пересечения с осью абсцисс, то тангенс угла у, образуемого касательной с осью абсцисс, дает зна­чение первой производной функции (16) для точки (х', у 1). Таким образом мы получаем возможность выполнять графическое дифп еренциривани , которое, однако, в большинстве случаев дает лишь приближенные результаты и обычно применяется только для предварительных подсчетов.

Наконец, при помощи кривых можно выполнять графическое интегриро­вание, т. е. определение площади, заключенной между осью абсцисс, частью кривой аЬ и двумя ординатами у х и (рис. 5). Графическое интегрирование выполняется при помощи последовательного сложения площадей узких прямо­угольников (рис. 6), у которых основание, равное Ах, выбирается произвольно, а высота у д подбирается так, чтобы заштрихованные площади на глаз были бы

23

4. Графическое дифферен- Рис. 5. Графическое ннтегрнрова- Рис. 6. Графиче- цирование. ние. ское интегрирона*

ние (п большом масштабе).

равны. Чем меньше берутся интервалы Ддг, тем точнее можно выполнить эту операцию. Однако и здесь необходимо иметь в виду, что графическое инте­грирование дает лишь приближенные результаты; поэтому следует, определив зависимость у от х, выполнить интегрирование математическими приемами, если эго представляется возможным.

4. Системы единиц и анализ размерностей. Так как различных физиче­ских величин чрезвычайно много и для каждой величины должна быть уста­новлена особая единица, представленная особым эталоном, то система единиц в физике должна была бы быть очень сложной, а число эталонов очень ве­лико. Работы в этом отношении исторически были направлены на возможно полную унификацию единиц, на разработку такой системы единиц, которая, во-первых, охватывала бы всю физику и, во-вторых, была бы абсолютной, т. е. определялась бы самой природой физических явлений, независимо от на­шего выбора.

Результаты этих работ привели к заключению, что для измерения физиче­ских величин можно установить такую систему единиц, в которой только три разнородные величины имеют независимые друг от друга значения, — это так на шваемые основные единицы системы', для них необходимо иметь соответ­ствующие эталоны. Единицы остальных физических величин, например, уско­рения, работы, потенциала и т.. д., могут быть поставлены в определенную зависимость от основных единиц системы и поэтому носят название производных единиц. Только в учении о тепловых явлениях оказалось необходимым ввести четвертую независимую единицу (для измерения температуры), которая не при­водится к трем основным единицам системы. Зависимость между производными и основными единицами устанавливается законами физических явлений, которые связывают между собой различные величины; количественным выражением за­висимости производных единиц от основных единиц системы служат формулы размерности физических величин.

Что касается вопроса о возможности создания абсолютной системы единиц, то в этом направлении были проделаны чрезвычайно интересные работы !), которые, однако, к удовлетворительному решению вопроса не привели, и в фи­зике продолжают пользоваться системой единиц, которая хотя и называется абсолютной, но совершенно условно, так как не отвечает понятию абсолютности.

В этой системе основными величинами выбраны длина, масса и время, или, символически, L, М, Т, а их единицами служат сантиметр (см), грамм (г) и секунда (сек). Абсолютная система единиц, или система CGS, на практике оказалась неудобной, и поэтому были разработаны еше две другие системы единиц: 1) техническая или система MKS, в которой основными величинами выбраны длина, сила и время, а их единицами служат метр (м), килограмч-вес (кГ) и секунда (сек), и 2) практическая, в которой основными величинами выбраны, так же как и в абсолютной системе, длина, масса и время, но их еди­ницами служат метр (м), тонна (т) и секунда (сек).

Кроме этих трех систем единиц, которые можно в настоящее время счи­тать общеизвестными, иногда пользуются другими системами или другими еди­ницами. Так, при изучении деформаций твердых тел единицей площади служит квадратный миллиметр, в учении о диффузии и иногда в вопросах электротех­ники вместо секунды пользуются минутой или часом; в оптике применяютсяособые единицы длины, например, миллимикрон, равный 10-7 см, или единицаАнгстрема, равная 10~8 См, и т. д.

Переход от одних единиц к другим или от одной системы единиц к дру­гой производится на основании определенных положений, установленных в ре­зультате математического анализа этих вопросов, который в элементарной форме может быть изложен следующим образом:

Результатом каждого физического измерения является приближенное число, которое показывает в пределах точности измерений, сколько раз выбранная при измерениях единица содержится в измеряемой величине. Обозначая послед­нюю величину через А, единицу, выбранную при измерении, через ах и резуль­тат измерений через п1г очевидно, можно написать:

A = n tai. (18)

‘) П. В. Ь р и д ж и е п, Анализ размерностей. Пер- с англ., М.—Л., 1934, стр. 93.24

Если для измерения той же величины А взять другую единицу а2, то полу­чится другой числовой результат п5, причем попрежнему можно написать:

Л = л2й2. OS')Из этих двух уравнений находим:

г̂ — аЛ . (19)п 1 а 2 ’

ИЛИ

Пъ — п \ ' ~ » О 9 ')а ъ

Из уравнения (19) видно, что числовые результаты измерений одной и той зке величины различными единицами обратно пропорциональны вем чинам этих единиц. Отсюда следует, что, выполнив измерение некоторой величина в определенных единицах, нет оснований, в случае изменения единиц, вновь производить измерение, так как его результат, согласно формуле (19'), можно, вычислить теоретически, зная отношение прежней и новой единиц.

При непосредственной замене какой-либо прежней единицы новой их отно­шение обыкновенно бывает нетрудно установить простым сопоставлением. Но вопросы об изменении единиц производных величин при изменении основныхединиц системы, так же как и вопросы о переходе от одной системы еди­ниц к другой, представляются более сложными, и при решении их необходимо' применять формулы размерности. Для обозначения размерности пользуются или символом dim или, чаше, квадратными скобками, причем при математиче­ском анализе размерностей принимают, что размерность бесконечно малых при­ращений физических величин должна отвечать размерности самых величин; это непосредственно следует из того, что складывать или вычитать мы можем только однородные величины, т. е. имеющие одинаковую размерность. Таким образом в теории размерностей пользуются, например, формулой:

Так, определяя силу F по второму закону Ньютона, как произведение массы тела на сообщаемое ему силой ускорение, т. е. полагая:

dh' = т da,

находим формулу размерности силы в системе LMT:[Z7] = [т] [а ] = LM T-2. (20)

Точно так же, определяя работу, как прои>ведение силы на путь, т. е. полагаяdA = F ds,

находим формулу размерности работы в той же системе, принимая во внима­ние формулу (20):

[/1] = [/=■]■ [s] = L2M T -2. (21)

Формулы (20) и (21) будут, очевидно, справедливы для любой системы, в которой основными единицами выбраны L, М и Т (длина, масса и время), на­пример, для систем CGS и MTS. Но если в системе выбраны иные основные единицы (например, в технической), то формулы размерности тех же величин, очевидно, должны иметь иной вил. Типичным примером этого может служить размерность массы. В системе CGS масса М выбрана величиной основной, и ее размерность может быть выражена такой полной формулой:

[Mj = UW T».В системе MKS масса является величиной производной, и ее зависимость

аакпСН0ВнЫХ единиц этой системы (длина, сила, время) определяется вторым коном Ньютона, т. е. на основании формулы (20) можно написать:

F

Получается совершенно иная размерность массы по сравнению с системой CQS.

Из аналогичных соображений можно установить и единицу массы в техни­ческой системе, иногда называемую тем. Применяя второй закон Ньютона к случаю свободного падения тел под действием тяжести, получаем известное соотношение между весом и массой тела:

р = m g = т • 9,81 м/сек^,

где g выражено в единицах технической системы. Из этой формулы видно, что число, выражающее массу какого-либо тела в технических единицах массы, в 9,81 раза меньше числа, выражающего вес того же тела в килограммах, а отсюда следует, согласно формуле (19'), что техническая единица массы в 9,81 раза больше массы килограмма, т. е. можно написать:

1 тем — 1 м ~ 1-кГ -сек2 — 9,81 кг.

Формулу размерности какой-либо проичводной физической величины а, согласно сказанному выше, в общем виде можно написать так:

[я] = 1Л\1°П (22)

где L, М и Т (длина, масса и время) служат основными единицами данной си­стемы, а показатели a, ji, у являются некоторыми числами целыми или дроб­ными, положительными или отрицательными; в частных случаях некоторые из них (иногда в виде исключения все три) могут быть равны нулю.

Всякая другая величина А, однородная с а, имеет ту же размерность, т. е. одинаковые показатели «, 5, ц в правой части выражения (22). Обозначая отно­шение А к а буквой п, имеем на основании того же равенства (22j:

Л = л а = л(1ЛМрГ).В этом выражении мы можем, согласно равенству (18), считать величину а

единицей для измерения величины А, а п — числовым результатом такого из­мерения.

Допустим, что вместо прежних основных единиц L, М и Т мы вводим новые основные единицы Llt Mt и Tt ; их отношение к прежним единицам обозначим соответственно х , у и г, т. е. положим:

Li М, Т, „„L М ~ у ’ х ~ 2' (23)

При этом, очевидно, прежняя единица а измерения величины А заменится новой единицей а ! и прежний результат измерений п новым результатом пх.

Так как новая единица а х служит для измерения той же величины А и получается в результате перехода к новым единицам Lb Mj и Ть то можно написать:

а\ = L* MjTj.

Отсюда на основании уравнений (23) и (22) находим:

aj = : x ay h \ L aМ? 11) = x ' y h f ■ а. (24)Итак, при переходе к новым основным единицам системы новая единица какой- либо производной величины равняется ее прежней единице, умнож енной на ф орм улу размерности данной величины, в которую вместо основных единиц системы следует подставить отношения новых основных единиц к прежним.

Точно так же на основании уравнений (19) и (24) имеем:п\ _ а _ а __ 1п ах « л « у 2т л"у ,г т '

откуда находим:

х у ?г ‘т. е. при переходе к новым основным единицам системы результат изме­рения какой-либо производной величины новой единицей равен результ ат у2i5

ее измерений прежней единицей, разделенном у на формулу размерности данной величины, в которую вместо основных единиц системы следует под­ставить отношения новых основных единиц к прежним.

Эти правила можно, очевидно, применять и при переходе от одной системы единиц к другой, так как такой переход можно рассматривать как замену в од­ной снстеме’прежних основных единиц новыми единицами, взятыми из другой системы.

П р и м е р ы . I. Н а й т и о т н о ш е н и е е д и н и ц с и л ы в п р а к т и ч е ­с к о й (стен) и а б с о л ю т н о й (дина) с и с т е м а х . Рассматриваем эту задачу, как замену основных единиц абсолютной системы {см, г, сек) новыми единицами (м, w, сек), взятыми из практической системы.

Вычисляем отношения основных единиц той и другой системы, т. е. на­ходим значения х, у и г в уравнениях (23), причем, очевидно, z равно едшшце, так как единица времени в обеих системах одинакова:

1 м 100 см 1 т 1 000000 г 1П6х — -— = —------- = 102, у = - ;------- =10®.1 см 1 см 1 г 1 гНа основании уравнения (24), полагая в нем

Я! = 1 сн н а = 1 дн

и применяя формулу (20) размерности силы, находим:1 сн = (102)* (10е) • ( I ) -2 дн, или 1 е « = 1 0 8 дн.

Этим отношением, согласно формуле (24'), следует пользоваться в тех случаях, когда результат какого-либо измерения, данный в степах, надо пе­речислить в дины или обратно.

II. Н а й т и о т н о ш е н и е е д и н и ц р а б о т ы в т е х н и ч е с к о й (ки­лограммометр) и а б с о л ю т н о й (эрг) с и с т е м а х . Так как единица времени в обеих системах одинакова, т. е. г равно единице, то эту задачу можно рас­сматривать как замену основных единиц абсолютной системы см и г новыми единицами м и 9,Ы кг (техническая единица массы, см. выше).

Определяем значения х и у:х = = Ю2, __ _ g 81 .1 о \

1 см 1 г

На основании уравнения (24), полагая в нема 1 = 1 кГм и а = 1 э

и применяя формулу (21) размерности работы, находим:

1 /сГл*=(Ю 2)2 . (9,81-103). (1)“ 2э „ли 1 кЛ к = 9,81.107 э.

III. Н а й т и о т н о ш е н и е м е ж д у е д и н и ц а м и д а в л е н и я в т е х ­н и ч е с к о й и а б с о л ю т н о й с и с т е м а х . Давление определяется, как сила, отнесенная к единице площади, т. е.

Отсюда находим размерность давления в абсолютной системе:

[Я] = = L “ iM T-*. (25)l^J

Единицей давления в абсолютной системе служит бар (б), равный давлению д н е к - 2; единицей давления в технической системе служит обыкновенно дав­ление, равное 1 к Г -м ~2. Поставленную задачу можно рассматривать как замену основных единиц абсолютной системы см и г новыми единицами м и 9,81 кг\ отношение этих единиц только что было вычислено. Поэтому, полагая в урав­нении (24)

= 1 к Г -м ~ 2 и а = 1 дн-см ~2и принимая во внимание формулу (25) размерности давления, получаем: }к Г -м ~ г = (102) - 1 -9,81 • 103-1 - 2 ан-см ~2 или 1 к Г ■л_:! = 98,1 дН'СМ~‘г — 98,1 б.

27

IV. М е х а н и ч е с к и й э к в и в а л е н т т е п л о т ы п е р е в е с т и из а б с о л ю т н о й с и с т е м ы в т е х н и ч е с к у ю . В этом случае задача сво­дится к тому, чтобы результат измерения некоторой физической величины в одной системе единиц выразить в единицах другой системы; поэтому сле­дует применить уравнение (24'). Механический эквивалент теплоты Е в абсо­лютной системе имеет значение:

Е = 4,19.10’! — .кал

При переходе к технической системе надо, кроме замены основных еди­ниц абсолютной системы см и г единицами технической системы м и 9,81 кг, ввести еще вместо малой калории большую, т. е. положить:

1 ккад = 1000 кал.

Принимая во внимание формулу (21) размерности работы, на основании формулы (24') получаем:

и __ 4,19-107- 1000 к Гм __ „ к Гм*" 9,81-Ю7 я к а л " “ и к а л '

т. е. общеизвестное значение механического эквивалента теплоты в единицах технической системы.

Кроме только что указанного применения анализ размерностей оказывается чрезвычайно полезным и в ряде других вопросов. Вследствие этого учениео размерностях привлекает к себе большое внимание. Так, анализ размерностей оказывается наиболее надежным методом контроля результатов, получаемых как при решении физических задач, так и при математической обработке соот­ношений между физическими величинами. Возможность такого контроля сле­дует из того, что все члены уравнения, выражающего зависимость между какими-либо физическими величинами, должны быть однородными, т. е. должны иметь одинаковую размерность; примером этого может служить разобранное раньше уравнение (12 ). Далее, анализ размерностей служит прекрасным методом при нахождении функциональной зависимости между различными величинами, участвующими в данном явлении.

5. Несколько советов начинающим. Быстрое и успешное выполнение лабораторных работ требует от работающих большой предварительной подготовки: необходимо, чтобы работающие, во-первых, были вполне зна­комы с теорией и законами тех явлений, которые изучаются в работах, и, во-вторых, имели бы достаточный навык и уменье в обращении с приборами.

Первое условие требует от работающих, прежде чем приступить к работе, подробно ознакомиться с данным явлением, вспомнить его теорию и законы, вполне разобраться в методе работы и в плане предстоящих измерений. Если при этом того, что изложено по этим вопросам в настоящем руководстве, оказывается недостаточно, и что-нибудь остается неясным, то необходимо обра­титься за справками к общим руководствам по физике. Никогда не следует приступать к выполнению лабораторной работы, если в ней что-либо оста­лось непонятным, так как обыкновенно это ведет к непроизводительной трате времени.

Второе условие достигается только опытом и практикой, так как уменье производить ” точные и правильные измерения приобретается далеко не быстро и требует значительной работы. Поэтому очень полезно вначале овладеть теми измерительными операциями, которые можно назвать основными измерениями, т. е. вполне овладеть применением нониусов линейных и угловых, термометров, основной электроизмерительной аппаратуры и т. п., так как все эти измерения часто встречаются в дальнейшем в различных лабораторных работах.

Вначале очень часто работы кажутся трудными, утомительными, иногда неинтересными, их выполнение отнимает много времени, а результаты изме­рений часто получаются совершенно ошибочными. Этими обстоятельствами никогда не следует смущаться, так как причиной таких неудач является, прежде всего, отсутствие навыка и практики. В частности, если при повторных изме­рениях получаются результаты, сильно отличающиеся между собой, что очень часто наблюдается у начинающих, то следует, проверив правильность выпол-28

нения работы, продолжать измерения, пока не начнут получаться результаты, отличающиеся между собой уже в пределах точности измерений. В особенности большое внимание следует обращать на ту операцию, которая выше была названа установкой приборов (стр. 11). В некоторых лабораторных работах эту операцию необходимо делать особенно тщательно, так как очень часто получаются ошибочные результаты измерений только потому, что установка приборов была выполнена недостаточно надежно. Иногда главная трудность работы состоит именно в установке приборов, а измерения выполняются очень просто и быстро приводят к правильным результатам, если в установке приборов не было допущено дефектов.

Очень нежелательно, чтобы, закончив лабораторную работу, убеждались в правильности ее выполнения только потому, что результат соответствует ответу, т. е. табличному значению измеряемой величины, или результату, уже раньше полученному другими. Необходимо, чтобы уверенность в правильности результата была следствием сознания, что вся работа была выполнена точно и тщательно и в измерениях не было допущено ошибок, — иначе говоря, у окончившего работу должна быть уверенность в том, что результат правилен потому, что ни один из этапов работы не мог внести в него никаких ошибок. Этого можно достичь как внимательным выполнением работы во всех ее де­талях, так и безусловно необходимым повторением всех отдельных измере­ний. несколько раз, причем они должны выполняться каждый раз одинаково тщательно.

После этих общих советов следует сделать еще несколько более деталь­ных указаний, которые могут быть полезны и которых следует поэтому при­держиваться.

1. Знакомясь с описанием какой-либо работы, следует убедиться в наличии всех принадлежностей, необходимых для ее выполнения; не следует брать принадлежностей одной работы для выполнения другой, так как они могут со­вершенно не годиться для второй работы, хотя бы по внешнему виду и каза­лись одинаковыми.

2. Обращаться с приборами следует очень осторожно, не разбирать и не развинчивать их, даже если бы казалось, что они не в исправности; в послед­них случаях всегда необходимо обращаться к руководителю занятий. Никогда не-следует приступать к измерениям, если нет полной уверенности в том, что все приборы собраны и установлены вполне правильно по схеме, данной в работе. В частности, никогда не следует включать электрический ток, если он необходим для выполнения работы, пока не проверена правильность соедине­ний всех приборов в электрической цепи, так как иначе можно вызвать порчу приборов, в особенности таких, как чувствительные гальванометры, иногда совершенно непоправимую.

3. Все отдельные измерения и отсчеты необходимо записывать, хотя бы некоторые из них и казались неправильными; записи следует вести в опре­деленном порядке, который предварительно надо установить, знакомясь с пла­ном измерений. Это необходимо для того, чтобы при вычислении окончатель­ных результатов все необходимые данные было бы легко находить. При вы­числении результата необходимо наИти его абсолютную, относительную и ве­роятную ошибки, пользуясь формулами O '),(2) и (3'). Чрезвычайно полезно также познакомиться на практике со всей изложенной выше теорией ошибок, в част­ности с применением формул (7) и (11).

4. Некоторые лабораторные работы бывает более удобным выполнять вдвоем, иногда это является безусловно необходимым; однако злоупотреблять этим не следует, и, если возможно, рекомендуется работу выполнять одному.

II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫ И УГЛОВА. ЛИНЕЙНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

Для непосредственного измерения длины применяются различные линейки с Делениями (масштабы). Пользоваться деревянными линейками, если они не проверяются периодически, можно только при очень грубых приближенных измерениях (точность порядка 1 мм). Для более точных измерений необходимы линейки металлические (сталь, латунь); еще надежнее линейки с небольшим температурным коэффициентом, например, линейки из инвара или элинвара

29

(сплав Fe, Ni и Ст). Длина наименьших делений на таких линейках, или, как принято говорить, цена одного деления масштаба, обыкновенно бывает рав­ной 1 мм. Если, измеряя какую-либо длину подобным масштабом, находят, что она заключается между п и n - f - l делениями, то, деля мысленно 1 мм на 10 частей, оценивают на глаз, сколько таких частей занимает избыток длины над п делениями. Таким приемом мы получаем возможность непосредственно измерять длины с точностью до 0,1 мм, однако надежная оценка достигается здесь только продолжительным навыком.

Для получения при линейных измерениях большей точности применяется несколько других методов, из которых основными являются: 1) метод линей­ного нониуса, 2) метод микрометрического винта, 3) метод компаратора и 4) оп­тические (интерференционные) методы.

1. Метод линейного нониуса. Нониусом или верньером называют неболь­шую линейку N (рис. 7,а), которая может перемещаться вдоль основного мас-

5 Я Г п

11 1 1 I ' * 1 1 | * 1— "1 * ' 1 М5 .0 * ^ " ...................................

L___0 и111------- IMlT Г 1 • 1--- i

дJ

Рис. 7. Линейный нониус.

штаба М. На нониусе нанесено некоторое число п делений; цена деления но­ниуса 1п находится в определенном отношении к цене деления масштаба /_; обыкновенно общая длина всех п делений нониуса равна длине п — 1 делении масштаба, т. е.

— (1)

Отсюда находим разность между длиной одного деления масштаба и одного деления нониуса:

= (2)

Формула (2) дает выражение точности нониуса, которая, как показывает эта формула, определяется ценой деления 1т масштаба и числом делений п нониуса. Очень часто применяются миллиметровые масштабы с нониусами, у которых п равно 10, т. е. общая длина всех 10 делений, нанесенных на но­ниусе, равна 9 мм\ точность нониуса в этом случае, очевидно, равна 0,1 мм. Кроме этого типа нониуса часто применяются и другие (см. табличку).

Более мелкие деления на масштабах и нониусах приме­няются крайне редко, так как отсчеты очень мелких деле­ний становятся затруднитель­ными и точность измерений по­вышается лишь незначительно.

Измерения с помощью но­ниуса производятся так:

К измеряемой длине L (рис. 7,Ь) прикладывают масштаб так, чтобы его нулевое деление

совпало с одним концом L\ к другому концу L, который, допустим, приходится между k и (Л-f-l) делениями масштаба, прикладывают нониус N его нулевым делением. Так как цена делений масштаба М и нониуса N различна, то на некотором расстоянии от начала нониуса одно из его делений совпадает с некоторым делением масштаба; допустим, что это оказывается /и-ое деление 30

Цена деления мас­штаба ( 1т) в мм . . 1 1 1 0,5

Число делений но­ниуса ................. 10 20 50 25

Точность нониуса (Гт1п) в м м ............ ои 0,05 0,02 0,02

нониуса. В таком случае расстояние от нулевого деления масштаба до т-ого де­лен и я нониуса, с одной стороны, можно считать равным (k-\-m ) делениям мас­штаба (рис. 7,Ъ), с другой стороны, его можно рассматривать, как сумму изме­ряемой длины L и т делений нониуса, т. е. можно написать:

(к + т) lm — L -j- т /„.Отсюда

L — k lm -j- т (1т /д),

или на основании формулы (2):

L = k l„ — т. 1 п (3;

"МГП-

Рис. 8. Раздвижной толстомер.

Последнее выражение можно формулировать так: измеряемая длина L равна числу целы х делений масштаба, содержащихся в ней [klm), слож енному с точностью нониуса (1т1п), умнож енной на номер (т) его деления, совпа­дающего с делением масштаба.

Иногда полного совпадения делений нониуса и масштаба не наблюдается; в этих случаях берут номер того деления нониуса, для которого наблюдается лучш ее совпадение; очевидно, при этом мы делаем ошибку меньше половины величины 1т\п. Отсюда следует, что ошиб­ка при измерениях с нониусом не может превышать половины его точности.

Из приборов, в которых применяется линейный нониус,можно указать: а) раздвижной толстомер, Ь) штанген-циркуль и с) катетометр,

а) Раздвижной толстомер применяется при измерении длины (толшины) небольших предметов (до 8—10 см). Он состоит из двух массивных вертикаль­ных стоек, укрепленных на подставке, в верхних концах которых через соот­ветствующие отверстия проходят два горизонтальных стержня а и b (рис. 8); их оси расположены на одной прямой. Короткий стержень а укреплен непод­вижно, а стержень Ь может перемещаться продольно и на своей верхней пло­ской стороне имеет миллиметровый масштаб. Ноннус N помещен в вырезе правой стойки прибора. Если концы стержней а и b довести до взаимного соприкосновения, то нуль нониуса должен совпадать с нулем масштаба (так называемая нулевая точка прибора). Измерения на толстомере выполняются настолько просто, что описывать их подробно нет необходимости; следует только отметить, что, приступая к измерениям, необходимо предварительно определить

точность нониуса и проверить нулевую точку прибора. Обычная точность прибора 0,1 мм.

Ь) Ш танген-циркуль обыкновенно при­меняется для измерения длин до 25—30 см, но есть приборы этого типа, рассчитанные и на ббльшие длины. Штанген-циркуль (рис. 9) состоит из масштаба М, на одном конце которого укреплена перпендикулярно к нему неподвижная ножка а. Вторая такая же ножка Ь, которая может перемещаться вдоль масштаба, снабжена зажимным вин-

Рис. 9. Штанген-циркуль. том Сх и иногда микрометрическим вин­том S, также с зажимом Сг. На муфте под­

вижной ножки в ее вырезе нанесены деления нониуса. Концы ножек штанген­циркуля с внешней стороны закруглены; этим пользуются при внутренних проме­рах, например, внутреннего диаметра труб, колец и т. п. Измеряемый предмет вводят между ножками штанген-циркуля, которые затем сдвигаются до соприкос­новения с его поверхностями; закрепив в этом положении подвижную ножку, устанавливают ее более точно при помощи винта S и, закрепив винтом Clt про­изводят отсчет. При внутренних промерах закругленные концы ножек вводят внутрь трубки, кольца и т. п. и, раздвинув их до соприкосновения с внутренней поверхностью предмета, производят отсчет также при закрепленной подвиж­

31

ной ножке. В этом случае надо принять во внимание толщину концов обеих ножек штанген-циркуля; она обычно дается как постоянный параметр прибора. При измерениях необходимо предварительно определить точность нониуса и проверить нулевую точку прибора; все отсчеты его показаний производятся, как уже было указано, при закрепленных винтах С\ и С2. Обычная точность при­бора 0,0‘2 мм.

с) Катетометр применяется для измерения расстояний между двумя точ­ками по вертикальному направлению; точность обычно 0,01 мм. Описание при­бора и производство измерений см. том II, работа 32 а.

2. Метод микрометрического винта. Микрометрическим винтом называют очень тщательно изготовленный винт с соответствующей гайкой, который имеет особую головку с делениями, называемую обыкновенно барабаном ; шаг винта, возможно более постоянный на всем его протяжении, точно известен и дается, как постоянная прибора. Метод микрометрического винта дает возможность производить измерения с очень большой точностью. Так, в лучших приборах этого тина при шаге винта, равном 0,5 мм, на барабане наносится 500 делений, и точность измерений может быть таким образом доведена до 0,001 мн. Микро­метрический винт очень часто применяется в различных приборах, из которых можно указать: а) винтовой микрометр, Ь) сферометр, с) делительную машину; сюда же можно отнести и винтовые окулярные микрометры (том 11, работа 26 d).

a) Винтовой микрометр, обыкновенно называемый просто микро метром, применяется для измерений главным образом небольших длин (толшины проволок, пластинок и т. п.) размерами до 25—30 мм, хотя есть такие же приборы, рассчи­

танные для измерения значи­тельно больших длин, иногда до нескольких дециметров. Ми­крометры наиболее распростра- неиного типа представляют со­бой массивную металлическую скобу (рис. 10), в концах кото­рой находятся друг против друга неподвижный упор а и микрометрический винт*,концы которых, обращенные друг к другу, срезаны по плоскости, перпендикулярной их длине.

Шаг винта равен одному миллиметру (иногда 0,5 мм), а на барабане нанесено 100 (иногда 50 или 25) делений. Измеряемый предмет вводят между концами а и Ь и, вращая микрометрический винт, доводят их до соприкосновения с по­верхностями измеряемого предмета. Показания прибора отсчитываются: целые миллиметры по линейной шкале, нанесенной на удлиненном конце гайки микро­метрического винта, а доли миллиметра — по делениям барабана.

Главными источниками ошибок служат мертвый ход винта и неравномерный нажим кончика винта на поверхность измеряемых предметов. Для устранения последнего недостатка микрометр обыкновенно снабжается фрикционной it е. основанной на трении) головкой N. При измерениях необходимо: 1) определить шаг винта и число делений на барабане и 2) проверить нулевую точку при­бора. Точность таких приборов обыкновенно 0,01 мм.

b) Сферометр предназначен для измерения толщины пластинок и главным образом для измерения радиусов кривизны оптических линз. Точность измере­ний может быть доведена до 0,001 мм. Описание прибора и производство из­мерений см. том II, работа 26 Ь и работа 62 а.

c) Делит ельная машина служит для нанесения делений на масштабах, нониусах, для изготовления диффракционных решеток, но одновременно может применяться и для измерения длины. Точность измерений может быть доведена до 0,001 мм *).

3. Метод компаратора применяется для сравнения длин, например, иссле­дуемого масштаба и эталона длины, и для измерения температурных коэффи­циентов твердых тел. Точность отсчета может быть доведена до 0,1 ц. Описание и производство измерений, см. том II, работа 26 d.

') Техническая энциклопедия, т. VI, 1-е изд., стр. 376.32

4. Оптические (интерференционные) методы измерения длины следует считать наиболее точными. Исследования в этом направлении, начатые класси­ческими работами Майкельсона ]), были повторены затем Фабри и Перо, кото­рыми было установлено соотношение между метром и длиной световых волн; затем уже в позднейшее время были выработаны различного типа интерферен­ционные компараторы2), которые находят применение при самых точных изме­рениях длины. К работам того же ряда можно отнести и измерение интерфе­ренционными методами длины световых волн (том II, работа 69 Ь).

В. УГЛОВЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

Основные направления, вертикальное и горизонтальное, с достаточной при лабораторной работе точностью устанавливаются: первое — направлением неподвижной нити отвеса и второе — при помощй точного уровня, в котором пузырек воздуха занимает среднее положение.

Из двух видов уровней, круглого и цилиндри­ческого, первый значительно менее чувствителен и обычно прим-еняется лишь для приближенной уста­новки приборов или их отдельных частей. Цилин­дрические уровни (рис. 11), в особенности наполнен­ные жидкостью с небольшим коэффициентом трения (алкоголь, толуол, эфир), более чувствительны и могут применяться для точного измерения небольших углов (точности до 1"). Продольное сечение трубки таких уровней с вну­тренней стороны представляет собой дугу окружности большого радиуса; на верхней части трубки посредине наносится несколько делений, обыкно­венно с интервалами 2 мм, без обозначения делений цифрами.

При работе с точными цилиндрическими уровнями необходимо соблюдать следующие предосторожности: 1) при определении положения пузырька необ­ходимо лроизводить отсчет по обоим его концам и брать затем среднее и 2) температура различных частей уровня должна быть одинакова, так как при неравномерном нагревании пузырек не будет, занимать среднее положение при горизонтальном положении уровня.

Как метод контроля горизонтальности направления уровень очень широк» применяется на практике, но его применение как угломерного прибора очень

ограничено. Для угловых измерений в физике применяются два основных метода: 1) метод углового нониуса и2) метод зеркала и шкалы.

1. Метод углового нониуса. Основ­ной частью всех угломерных приборов служит металлический круг, разделен­ный на градусы и их части, — так назы­ваемый лимб', изготовление точныхлимбов производится на особых круго­вых делительных машинах и представ­ляет собой очень сложную задачу. Для большей точности измерений лимбы снабжаются угловыми нониусами (вер­ньерами), которые в принципе ничем не отличаются от линейного нониуса. Угловой нониус представляет собой не­

большую дуговую линейку (рис. 12, а), которая укреплена на особой штанге,так называемой алидаде, и может скользить по окружности лимба; на нониусенанесено л делений; их общая длина равна длине (л — 1) делений лимба. Поэтому вполне аналогично формуле (1) можно написать:

р„ . л = р,(л — 1), (1*)

где ])/ и {!„ обозначают цены делений, соответственно, лимба и нониуса, выра-менные в угловых мерах.

Ч А, А. М я й к е л ь с о н, Световые волны и их применение. Пер. с англ., М. — Л., 1934.а) Handbuch d. P hyslk ,В. II, S. 61, Beilin, 1928.

Рис. 12. У г л о в о й нониус.

fi Г|:■-------------------1

Рис. 11. Цилиндрический уро­вень.

3S

Точность углового нониуса аналогично точности линейного нониуса опре­деляется выражением:

h ~ h = ~ - (20

Если f обозначает измеряемый угол, величина которого лежит между k и А-f-l (рис. 12, Ь) делениями лимба, и т деление нониуса совпадаете (Л + /я)-м делением лимба, то, очевидно,

т = k$, + т (р,— + hm, O')

т. е. измеряемый угол равен числу целых делений лимба, содержащихся в нем слож енному с точностью нониуса fojn, умнож енной на номер (т) его деления, совпадающего С делением лимба, что вполне аналогично соотношению для линейного нониуса.

Применение углового нониуса на практике является, по сравнению с но­ниусом линейным, более сложным, и при измерениях, кроме тех указаний, ко­торые были сделаны в отношении линейного нониуса, необходимо иметь в виду еще следующее:

а) Так как углы выражаются в градусах, минутах и секундах, то угловые нониусы, основанные на десятичной системе, т. е. указывающие десятые или сотые доли градуса, употребляются очень редко; угловые нониусы принято рассчитывать так, чтобы результат получался непосредственно в минутах или секундах. Наиболее употребительные типы угловых нониусов таковы:

Цена деления лииба в гра­дусах (P i) ......................... 1° 1° */я° ч,° ч .°

Число делений нониу­са (Л )................................. 12 30 30 20 15 30 60 60

Точность нониуса в угло­вых мерах (Й{I n ) ............ 5' 2' 1' 1' 1' 30* 10» 5"

Наиболее точные нониусы (правый конец таблицы) применяются лишь при особенно точных измерениях, например, в лучших астрономических приборах.

b) Ось вращения нониуса должна совпадать с центром лимба; этого, однако, на практике в полной мере достичь не удается, и даже лучшие угло­мерные приборы не вполне свободны от так называемого эксцентриситета, который мог бы при измерениях внести заметные ошибки. Чтобы устранить влияние эксцентриситета, принято применять не один, а два нониуса , располо­женные в двух диаметрально противоположных точках лимба. При измерениях отсчитывают показания обоих нониусов, и окончательный результат вычис­ляют как среднее из двух значений угла, полученных при отсчетах того и другого нониуса.

c) Очень часто измерения приходится делать при таких условиях, когда ни одна из сторон измеряемого угла не проходит через нулевое деление лимба; в таком случае измеряемый угол получается как разность двух отсче­тов по нониусу (или четырех в случае двойного нониуса). При этом необходимо убедиться, не проходил ли нониус при его перемещении через нулевое деление лимба, и принять во внимание это обстоятельство при вычислении результата.

Деления на угловых нониусах часто бывают настолько мелкими, что их отсчет невооруженным глазом становится очень затруднителен. Во многих приборах это обстоятельство учитывается заранее, и они снабжаются лупами, прикрепленными к нониусам; если этого приспособления в приборе не имеется, то при отсчетах часто приходится пользоваться обыкновенными карманными лупами.

Угловой нониус применяется почти во всех угломерных приборах, кон­струкция которых бывает чрезвычайно разнообразной в зависимости от их спе­циального назначения. Сюда относятся некоторые чертежные приборы, ряд геодезических приборов — буссоль, кипрегель, теодолит, оптические приборы — 34

спектрометр, рефрактометр, приборы для кристаллографических работ и мно­гие другие.

а) Чертежный углом ер служит для измерения углов между двумя линиями на чертежах и графиках. Он состоит (рис. 13) из лимба L, центр которого О обозначен пересечением двух штрихов на целлулоидной пластинке. По внеш­ней стороне лимба движется нониус; он укреплен на алидаде А, часть кото­рой ab соответствует направлению радиуса лимба.

Измерения углов производятся следующим образом:1) определяется точность нониуса;2) центр лимба (точка О) совмещается с вершиной измеряемого угла;3) алидада устанавливается по направлению одной из сторон угла и про^

изводится отсчет по нониусу;4) при том же положении центра лимба алидада устанавливается по на­

правлению другой стороны угла и вновь производится отсчет.Разность первого и второго отсчетов дает величину измеряемого угла.

Обычно точность таких приборов равна 1', иногда 30".

Ь) Буссоль применяется при геодезических работах для измерения угло­вых расстояний точек, лежащих в одной горизонтальной плоскости; этот при­бор состоит из горизонтального лимба L (рис. 14), укрепленного на тренож­ном штативе с установочными винтами SS; они дают возможность установить лимб в горизонтальной плоскости, что проверяется по круглому уровню V.

На алидаде прибора расположены два нониуса AW и укреплены две вер­тикальные пластины dd с продольными щелями, так называемые диоптры', один из диоптров (объектный) имеет более широкую щель, по середине которой натянута вертикальная нить. В некоторых приборах вместо второй щели Г ла з­ной) имеется ряд мелких отверстий, расположенных на одной прямой перпен­дикулярно к плоскости лимба. Плоскость, проходящая через середину узкой (глазной) щели, глаз наблюдателя и нить объектной щели, служит визирной плоскостью. Точность буссоли не велика и обыкновенно не превышает 5'.

Измерения на буссоли производятся следующим образом:1) определяется точность нониуса;2) при помощи винтов SS лимб устанавливается в горизонтальное положе­

ние, что проверяется по уровню;3) не сдвигая прибора с места, поворотами одной алидады устанавливают

ее так, чтобы нить объектного диоптра проходила через одну из точек, угло­вое расстояние между которыми измеряется: например, метки на степах ком- нлты; при этом глаз наблюдателя должен находиться непосредственно вблизи глазной щели. В этом положении прибора производят отсчет по обоим нониусам;

4) аналогично наводят диоптры последовательно на все остальные визи­руемые точки, производя каждый раз отсчеты по обоим нониусам.

Из результатов отсчетов вычисляют угловые расстояния между всеми точками, причем для каждого расстояния берут, как окончательный результат, среднее из двух углов, полученное при отсчетах по каждому из нониусов в отдельности.

С) Кипрегель применяется также при геодезических работах для измере­ния угловых расстояний точек, лежащих в одной вертикальной плоскости.3* 35

В кипрегеле (рис. 15) вертикальный лимб L вращается около горизонтальной оси, на конце которой укреплена оптическая труба R с крестом нитей в ее окуляре. Ось лимба действием винта F может закрепляться в кольце а, к ко­торому присоединен длинный рычаг В\ его нижний конец можно медленно перемешать винтом 5 ', что облегчает точную установку трубы R, направление которой отсчитывается по нониусам NN, укрепленным неподвижно.

Прибор можно вращать около вертикальной оси, закрепляя его в любом положении винтом К. Кроме того, при помощи винтов 5S ось прибора можно устанавливать в горизонтальной плоскости, что контролируется уровнем V; при этом лимб L располагается вертикально. Точность кипрегеля обычно равняется 2'.

Измерения на кипрегеле производятся в той же последовательности, как и в случае буссоли. В начале производят общую проверку и установку при­бора. Затем, не сдвигая прибор с места, устанавливают пересечение нитей «го оптической трубы последовательно на все визируемые точки, например, метки на стенах комнаты, которые должны лежать в одной вертикальной плоскости; отсчет производится каждый раз по обоим нониусам лимба.

d) Теодолит , применяемый также при геодезических работах, является более совершенным и точным прибором. Он имеет два лимба — вертикальный и го­ризонтальный и может служить для измерения угловых расстояний точек как по горизонтальному направлению (азимуты), так и по вертикальному (высоты).О т а из наиболее простых конструкций теодолита изображена на рис. 16. На треножном основании прибора, снабженном установочными винтами 555 и уров­нями VV креплена вертикальная ось, вокруг которой вращается горизонтальный лимб L. Алидада с нониусами и лупами II служит для отсчета углов поворота прибора в горизонтальной плоскости, т. е. для определения азимутов; зажим­ной вннт В закрепляет только алидаду прибора, оставляя свободным лимб. В верхней части прибора на опорах КК лежит горизонтальная ось, которая несет на себе оптическую трубу R с крестом нитей в ее окуляре и верти­кальный лимб Lv Его алидада, снабженная нониусами N N и иногда лупами, закреплена неподвижно* при помощи зажимного винта fi, трубу и лимб можно вакреплять в любом положении. Эта часть прибора служит для измерения углов расположенных в вертикальной плоскости, т. е. для определения высот. Кроме зажимных винтов В и 5 , прибор снабжен еще микрометрическими винтами М и Afj, при помощи которых лимбам L и Z.1 можно сообщать даже при зажатых винтах ВВ-у медленное движение; этим облегчается более точ­ная и быстрая установка прибора на измеряемый объект. Точность теодо­лита значительно больше, чем точность у буссоли или кипрегеля, и часто достигает 20".

Измерения на теодолите выполняются так же, как в случае буссоли и кипрегеля; необходимо только иметь в виду, что большая точность прибора требует большей тщательности при его проверке и установке. В частности.

Рис. 1S. Кипрегель. Рис. 16. Теодолит.

36

необходимо весьма точно установить лимб L в горизонтальной плоскости; в соответствии с этим на теодолитах применяются чувствительные уровни не круглой, а цилиндрической формы (стр. 33).

e) Спектрометр служит для определения главным образом преломляю­щих углов призм и коэффициентов преломления твердых тел. Описание при­бора и производство измерения см. том II, работа 64 Ь.

f) Рефрактометр применяется при определении коэффициентов прелом­ления— главным образом жидких тел. Описание прибора и производство изме­рений см. том II, работа 64 d.

2. Метод зеркала и шкалы или зеркальный отсчет при физических рабо­тах чрезвычайно распространен; он применяется главным образом для измере­ния тех небольших углов, на которые поворачиваются подвижные части в не­которых приборах, например, стрелки и катушки в гальванометрах, стрелки

в электрометрах и т. д. При этом способе на подвижную, вращающуюся чагть прибора прикрепляется небольшое, обыкновенно круглое (диаметр от 10 до 2 мм) плоское зеркальце М. Для измерения углов поворота можно пользо­ваться или оптической трубой с крестом нитей в ее окуляре — субъективный зеркальный отсчет — или двояковыпуклой линзой — объективный зеркальный отсчет.

В первом случае (рис. 17) на расстоянии одного-лвух метров от прибора устанавливают горизонтально миллиметровую шкалу S для зеркального отсчета; на ней номера делений напечатаны в перевернутом виде; ярко осветив шкалу, наблюдают в оптической трубе R ее изображение, даваемое зеркальцем М, укрепленным на подвижной части прибора.

Во втором случае (рис. 18) пользуются источником света А в виде узкой вертикальной полоски, например, волоском лампочки накаливания, узкой ос­вещенной щелью и т. п., их изображение, отраженное от зеркальца прибора М, или так называемый зайчик, при помощи линзы L проецируют на горизон­тальную миллиметровую шкалу S.

37

При повороте зеркальца М около вертикальной оси в первом случае (субъ­ективный отсчет) изображение шкалы в оптической трубе перемещается, и соответственно этому изменяется номер того деления шкалы, на котором на­ходится крест нитей трубы; во втором случае (объективный отсчет) изображе­ние щели на шкале (зайчик) перемещается в ту или другую сторону, также на некоторое число делений.

Отсчет при помощи трубы более точен, так как положение нитей на шкале можно отсчитывать на глаз с точностью до десятых долей деления шкалы, тогда как точность отсчета положения зайчика на шкале обыкновенно не пре­вышает половины ее деления.

Если зеркальце М (рис. 17) отклонилось на угол у, то из геометрических данных, принимая во внимание закон отражения света, находим, что

tg 2 f = y , (4)

где 2 ? — угол между прежним и новым направлением отраженного луча, п — число делений, на которое переместился зайчик по шкале 5 , и d — ее рас­стояние от зеркальца. Это выражение остается справедливым, очевидно, и для случая объективного отсчета.

Этим методом обыкновенно измеряют очень небольшие углы (не более 5°). Поэтому в формуле (4) тангенс можно заменить дугой, т. е. положить 2<р — njd, или

В большинстве случаев этим методом приходится измерять ряд последова­тельных отклонений прибора при одинаковых условиях, т. е. d остается по­стоянным; в этом случае углы отклонения, согласно формуле (4'), можно счи­тать пропорциональными числу делений, ртсчитанных по шкале. При более точных измерениях, а также при больших углах отклонения надо вести вычис­ления по формуле (4) или применять шкалу, изогнутую по дуге окружности радиуса, равного d.

Метод зеркального отсчета является чрезвычайно точным, и даже в его простой описанной здесь форме точность измерения углов может быть дове­дена до 10". Иногда применяются более сложные схемы зеркального отсчета, например, двойяой зеркальный отсчет (том I, работа 11 Ь).

С. ОСНОВНЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ ДЛЯ УВЕЛИЧЕНИЯ

При физических измерениях часто приходится прибегать к помощи оптиче­ских увеличивающих приборов, как это можно видеть иа примере линейных и угловых измерений. За меру увеличения оптических приборов обыкновенно при­нимают так называемое линейное увеличение, которое измеряется отношением

линейных размеров изображения, даваемого прибором, к соответствующим размерам самого предмета, при­чем те и другие отсчитываются в направлении, пер­пендикулярном к оптической оси прибора. Линейное увеличение оптических приборов, часто называемое просто увеличением, можно, во-первых, вычислять по формулам, если известны фокусные расстояния линз, образующих оптическую систему прибора, и, во-вторых, определять опытным путем. В последнем случае применяются такие приспособления, при кото­рых можно видеть одновременно некоторый масштаб и его изображение, даваемое прибором. Основны­ми увеличивающими приборами являются: 1) лупа,2) оптическая труба и 3) микроскоп.

I. Лупа, применение которой общеизвестно, в простейшем виде состоит из одной собирательной лин­зы. Рассматриваемый предмет ей (рис. 19) помещают от

лупы на расстоянии, меньшем ее главного фокусного расстояния OF; глаз на­блюдателя, находящийся по другую сторону лупы, видит в плоскости M N прямое 38

изображение предмета a'b', увеличенное вследствие преломления лучей в линзе. Увеличение Y, даваемое лупой, зависит не только от ее оптических данных, но и от ее расстояния до рассматриваемого предмета и глаза наблюдателя. Если лупа находится очень близко от глаза, то ее увеличение Y определяется прибли­женной формулой

Y = j . (5)

где Д — расстояние ясного видения, для нормального глаза равное 25 см, и F — главное фокусное расстояние лупы в сантиметрах.

В лупах, состоящих из одной линзы, в особенности при большом увеличе­нии (малое F), сильно выражены все основные недостатки линз, так что только средняя часть изображения практически свободна от искажений. Поэтому очень часто применяют лупы более сложного вида, составленные из двух (иногда трех) линз, что дает возможность уменьшить влияние ошибок, вносимых аберрацией (сферической и хроматической) и астигматизмом (том II, работа 62 с).

Увеличение, даваемое такой сложной лупой, можно вычислить по формуле(5), предполагая, что сложная лупа заменена одной линзой с тем же увеличением, так называемой эквивалентной линзой. Фокусное расстояние F эквивалентной линзы определяется приближенно формулой:

1 1 . 1F ^ F ^ F , , /уу Ы

где Fj и F2 — фокусные расстояния обеих линз сложной лупы и d — расстояние между ними. Увеличение, даваемое простыми лупами, обыкновенно не превы­шает 5—6 раз; сложные лупы могут давать значительно большее увеличение, до 50 раз и более.

2. Оптические трубы , применяемые в физических лабораториях, дают обратное изображение предметов, т. е. относятся к числу так называемых астро-

ifРис. 20. Ход лучей в об-кттж м оптической трубы.

номических труб. Объектив оптической трубы обычно делается ахроматическим, т. е. свободным от хроматической аберрации, с достаточно большим фокусным расстоянием, например, фокусное расстояние 20 см при диаметре объектива 2,5 см.

Оптическая труба применяется для рассматривания предметов, находящихся на значительных расстояниях, — во всяком случае больше двойного фокусного расстояния объектива; поэтому объектив трубы (рис. 20) дает действительное, обрат­ное и уменьшенное изображение а'Ь' предмета ab, которое затем увеличивается действием окуляра. При очень большом расстоянии до предмета можно практически считать, что его изображение лежит в главной фокальной плоскости объектива.

Для измерительных целей окуляры оптических труб снабжаются крестом нитей, т. е. двумя тонкими нитями, проволочками или двумя штрихами на стек­лянной пластинке, установленными в фокальной плоскости окуляра обыкновенно под прямым углом друг к другу (иногда под острым) так, что их пересечение находится по середине поля трубы.

Окуляр оптической трубы обыкновенно представляет собой сложную лупу, состоящую из двух линз: линза, обращенная к объективу, называется коллек­тивом, а линза, обращенная к глазу наблюдателя, глазной линзой. Наиболее распространенными типами окуляров являются а) окуляр Рамсдена и Ь) окуляр Гюйгенса.

а) О куляр Рамсдена (часто называется положительным) состоит из двух плоско-выпуклых линз (рис. 21, а) одинаковой силы, обращенных своими сфери­ческими сторонами друг к другу. Изображение а'Ь' предмета, даваемое объек­тивом трубы, должно быть расположено вблизи передней плоской стороны

а9

коллектива; здесь же должен помещаться и крест нитей, фокусировка которого достигается продольным перемещением всего окуляра.

Ь) О куляр Гюйгенса (часто называется отрицательным) состоит из двух плоско-выпуклых линз (рис. 21, Ь), обращенных своими сферическими сторонами к объективу. Изображение а'Ь' предмета должно быть расположено между лин­зами на середине их расстояния; здесь же должен помещаться крест нитей, фокусировка которого достигается перемещением одной глазной линзы.

Увеличение У оптической трубы может быть вычислено по приближенной формулеь'I г

1 ' 'о' ; V = FJ/V (7)

Рис. 21. Окуляры Рамсдена и Гюй­генса.

I

где Fy и F2 — фокусные расстояния объектива и окуляра; последняя величина вычисляется по формуле (6) для эквивалентной линзы, за­

меняющей окуляр. В практике лабораторной работы применяются оптические Грубы, увеличение которых обыкновенно не превышает 10 раз.

Для определения увеличения оптической трубы опытным путем применяется несколько способов, из которых наиболее простым является следующий.

Трубу направляют на масштаб с достаточно большими четко видными деле­ниями, который устанавливается вертикально на расстоянии нескольких метров. Затем смотрят на масштаб одним глазом через трубу, другим непосредственно, добиваясь того, чтобы оба изображения налагались друг на друга. В этом слу­чае бывает нетрудно определить то число делений (/V) масштаба, которое совпа­дает с целым числом делений (я) его изображения. Отсюда г ̂находим увеличение У трубы: Y = N /n . ■ 1

Очевидно, что этим приемом мы сравниваем изображение делений масштаба, даваемое трубой, с его делениями, видимыми непосредственно, т. е. находим линейное увеличение трубы.

3. Микроскоп, подобно оптической трубе, состоит из двух основных частей, окуляра и объектива; кроме того, в микро­скопе имеются еще осветительные приспособления, так на­зываемые конденсоры. Объектив микроскопа имеет неболь­шое фокусное расстояние, обыкновенно несколько миллимет­ров. Рассматриваемый предмет ab (рис. 22) помещается на столике микроскопа вблизи объектива на расстоянии, немного большем его фокусного расстояния; таким образом объектив дает действительное, обратное, сильно увеличенное изображе­ние предмета а'Ь', которое затем еще увеличивается дейст­вием окуляра. К объективу микроскопа предъявляются очень высокие требования в оптическом отношении, — исключение сферической и хроматической аберрации, высокая апертура и т. д. Вследствие этого объективы микроскопов, предназна­ченных для получения очень больших (предельных) увеличе­ний, представляют собой весьма сложные системы линз, чрез­вычайно точно рассчитанных, которые и)гоговляются из опре­деленных сортов стекла с точно и «местными коэффициентами преломления; иногда применяются линзы из флуорита (плави­ковый шпат). Расчет и изготовление таких объективов явля­ются отной из наиболее сложных задач прикладной оптики.Окуляры у микроскопов применяются сложные, почти всегда типа Г юйгенса. Увеличение микроскопа Y определяется про­изведением увеличений его объектива и окуляра в отдельности и может быть вы­числено по приближенной формуле:

v 25 ЛЪ'К’ (8)

где Fy и Fj — фокусные расстояния (в сантиметрах) объектива и окуляра, т. е. его эквивалентной линзы, и d — расстояние между верхним фокусом объектива и нижним фокусом окуляра (эквивалентной линзы). Последняя величина, так называемая оптическая длина микроскопа, на практике обыкновенно при.ш- 40

Рис. 22. Хоч лучей в объективе ми­

кроскопа.

иается равной расстоянию между объективом и окуляром (эквивалентной лин­зой) микроскопа.

Обыкновенно при микроскопе имеется набор объективов и окуляров. Для объективов даются их фокусные расстояния, так что увеличение объектива, т. е. первый множитель в правой части формулы (8), легко вычисляется; уве­личение окуляров условно обозначается их номером, который приближенно равен увеличению, даваемому окуляром, т. е. подбирается так, чтобы произведе­ние номера окуляра на увеличение объектива непосредственно давало увеличе­ние микроскопа. На практике в настоящее время применяются чрезвычайно разнообразные типы микроскопов, увеличение которых изменяется в очень ши­роких пределах.

Для измерительных целей окуляры микроскопов снабжаются некоторыми приспособлениями, из которых необходимо указать на: а) окулярный микрометр и Ь) винтовой окулярный микрометр.

a) Окулярный микрометр представляет собой тонкую стеклянную пластин­ку, вырезанную в форме круга, посредине которой нанесена точная шкала с очень мелкими делениями, например, 1 см разделен на 100 частей; иногда при­меняются окулярные микрометры с такой же мелкой координатной сеткой, на­несенной также на стекле. Эта пластинка устанавливается в фокальной плос­кости окуляра микроскопа. Таким образом в поле микроскопа одновременно видны шкала (координатная сетка) и измеряемый объект, который должен иметь очень небольшие размеры. Очевидно, что при этом мы измеряем величину не самого предмета, а его действительного изображения, даваемого объективом микроскопа, причем результаты измерений выражаются в делениях шкалы окулярного микрометра. Поэтому для определения действительной величины измеряемого объекта необходимо окулярный микрометр калибрировать, т. е. определить в абсолютных единицах цену одного деления его шкалы. Для этого надо на столик микроскопа вместо измеряемого объекта поместить точный масштаб с мелкими делениями и опреде­лить то число делений шкалы окулярного микрометра, которое соответствует одному делению масштаба, видимого в поле микроскопа.

Если в результате оказалось, что на протяжении N делений масштаба укладывается п делений микрометра, то, очевидно, можно написать: N l — nl, где I и к — цена делений, соответственно, масштаба и микрометра. Из этой формулы находим: \ = Nl/n, т. е. цену одного деления окулярного микрометра.

b) Винтовой окулярный микрометр представляет со­бой применение метода микрометрического винта к микро­скопу. Описание и применение для измерения см. том II, работа 26 d.

При определении увеличения микроскопа опытным пу­тем обыкновенно применяют следующий прием.

На столик MHKp~>CKoija (рис. 23) кладут стеклянную пластинку, на которой, так же как и в окулярном микро­метре, нанесены очень мелкие деления; обыкновенно на протяжении одного миллиметра наносится 100 (иногда 50)делений; такой масштаб на стекле, помещаемый на столике микроскопа, принято называть объектным микрометром. Установив микроскоп на ясное видение объ­ектного микрометра и подобрав освещение (зеркало S и диафрагма), ставят на окуляр микроскопа оправу с зеркальцем М, установленным под углом 45° к горизонту; в середине этого зеркала серебряный слой снят, так что присутст­вие зеркальца на окуляре микроскопа не мешает видеть изображение объект­ного микрометра. На расстоянии ясного видения (25 см) от микроскопа устанав­ливают вертикально миллиметровый масштаб СС так, чтобы его изображение в зеркальце М и видимое в микроскоп изображение объектного микрометра покры­вали друг друга; при этом следует подобрать освещение так, чтобы оба изоб­ражения были видны одинаково отчетливо. После этого отсчитывают, как и при определении увеличения оптической трубы, сколько делений (/V) масштаба СС соответс;вует целому числу делений (п) объектного микрометра. Если цена деления объектного микрометра равна \ мм, цена деления масштаба I мм, то увеличение Y микроскопа определяется по формуле: Y — Nll(n\).

Рис. 23. Увеличение микроскопа.

41

При выполнении этого измерения необходимо иметь в виду, что фокусировка микроскопа при больших увеличениях является очень важной операцией; для ее быстрого выполнения следует, перемещая трубу (тубус) микроскопа, вначале пользоваться кремальерой, а затем особым микрометрическим винтом, который имеется на штативе микроскопов с большим увеличением.

III. ИЗМЕРЕНИЕ МАССЫИзмерение массы тела принято заменять измерением его веса, т. е. того

статического давления, которое оказывает тело на неподвижную опору; это оказывается возможным потому, что вес и масса тела связаны известным' соот­ношением:

P = mg, (1)т. е. равенство веса двух тел обозначает одновременно и равенство их масс. Для определения веса тел пользуются почти всегда приборами, действие кото­рых основано на законе рычага, а именно весами с коромыслом или рычажными весами.

Иногда применяется метод, основанный на измерении упругих деформаций твердых тел; на этом методе основаны так называемые пружинные весы, а также некоторые типы микровесов (см. ниже). Такие весы предварительно не­обходимо калибрировать; для этого их нагружают последовательно гирями ве­сом в 1, 2, 3 и т. д. единиц и составляют, таким образом, шкалу масс. При этом надо иметь в виду, что правильность показаний пружинных весов будет нару­шена, если ускорение силы тяжести получит иное значение, что может иметь место, например, при переноске весов в другое место. Отсюда следует, что ■показания пружинных весов могут считаться правильными только в том месте-, где было произведено их калибрирование, т. е. при изменении места наблюде­ния калибрирование пружинных весов должно быть выполнено вновь. Рычаж­ные весы дают одни и те же показания независимо от места наблюдения.

Рычажные весы, обыкновенно называемые просто весами, по своей конст­рукции бывают чрезвычайно разнообразными, что объясняется главным образом разнообразием требований, предъявляемых к ним в отношении точности взве­шивания, предельной нагрузки и т. п. Принято различать 1) весы для больших нагрузок (нагрузка до 10 кг и больше), 2) весз! для точных лабораторных работ,

так называемые аналитические весы (нагрузка до 250—500 г) и3) весы для очень легких тел, так называемые микровесы (нагрузка от 1 г до нескольких мг).

1. Весы для больших нагру­зок в научных работах применя­ются сравнительно редко. Для приближенного не особенно точ­ного взвешивания в этих случаях можно пользоваться общеизвест­ными весами Роберваля. Более точное взвешивание тяжелых тел производится на весах, подобных аналитическим, но значительно бо­лее прочной конструкции, в осо­бенности в отношении коромысла весов, которое не должно проги­баться при больших нагрузках.

Такие весы дают возможность взвешивать тела до 10 кг весом с точностью до 0,1 мг, т. е. до 10-7 измеряемой величины.

2. Аналитические весы . Главной частью точных аналитических весов (рис. 24) является коромысло, в середине которого укреплена перпендикулярно к его плоскости трехгранная стальная призма; ее нижнее ребро опирается на шлифованную пластину (подушку) из твердого материала (стекла, кварца, агата, 42

стали), укрепленную горизонтально на верху колонки весов А. Две другие призмл, обращенные своими ребрами кверху, укреплены на концах коромысла параллельно средней призме на равных расстояниях от нее и служат для под­веса чашек весов СС, дуги которых для этого вверху снабжены пластинками из тех же твердых материалов. Центр тяжести коромысла расположен ниже ребра средней призмы, т. е. коромысло находится в устойчивом равновесии. Для наблюдения положения коромысла служит длинный легкий указатель — стрелка весов h, нижний конец которой перемещается вдоль горизонтальной шкалы S. На ней наносится 20 (реже 10) делений без обозначения их цифрами; при горизонтальном положении коромысла стрелка весов должна указывать на среднее деление шкалы.

В то время когда весы не употребляются, их арретируют, т. е. действием особого механизма в колонке весов, управляемого головкой В, коромысло и чашки весов несколько приподнимаются, что освобождает ребра призм от дав­ления на плоскости опоры и предохраняет их от напрасного изнашивания.

Каждые весы рассчитаны на определенную предельную нагрузку, которая на них указывается. Соответственно этому при весах имеется полный набор разновесков, начиная от наибольших, вес которых зависит от предельной на­грузки весов, и до нагрузок, определяемых миллиграммами; на разновесках циф­рами обозначен и х истинный вес (т. е. вес в пустоте, см. дальше). Примене­ние нагрузок, меньших 10 мг, практически затруднительно, так как их размеры оказываются очень незначительны. Поэтому, вместо применения таких мелких разновесков, пользуются так называемым рейтером, который тоже представляет собой разновесок, согнутый из прово­локи, как показано на рис. 25, и весом равный обыкновенно 10 мг.Действием особой штанги N (рис. 24) вверху весов рейтер можно поместить в любой точке правой и левой половин коромысла, на котором вверху имеется горизонтальная шкала с делениями; ее нулевое деление соответствует середине коромысла, а последние рИс. 26.деления (обыкновенно десятые) приходятся на его концах, над Рейтер,точками подвеса чашек. Эго приспособление дает возможность, помещая рейтер на первое, второе, третье и т. д. деления коромысла, со­общать соответствующей чашке нагрузку в 1, 2, 3 и т. д. мг.

Весы помещаются в ящике с подъемными стеклянными стенками для до­ступа большого количества света; этот ящик предохраняет весы от пыли, воз­душных токов и случайных толчков.

3. Микровесы. Очень чувствительные микровесы можно построить на прин­ципе обычных весов, сведя к возможному минимуму вес коромысла и силы трения в его опорах. Точность таких микровесов можно довести до 10~6г при нагрузке порядка 1 г. Из микровесов других типов можно указать следующие:

a) Микровесы Сальвиони, основанные на упругих свойствах кварцевой нити. Точность до 10~в г при нагрузке около 0,1 г. Описание и производство измере­ний см. том I, работа 9 Ь.

b) Микровесы Нернста, основанные на том же принципе, но более слож­ной конструкции1). Точность до 10~8 г, при нагрузке около 0,02 г.

c) Микровесы Рам зая и Грея 2), основанные на принципе Архимеда (потеря веса тела в газе). Точность до 10-в г при нагрузке порядка 0,2 г.

4. Основные приемы точного взвешивания. От аналитических весов тре­буется высокая чувствительность и верность показаний.

Чувствительность весов и> определяется тем углом, на который откло­няется их стрелка, если на одну из чашек положить перегрузок, равный еди­нице веса (обыкновенно 1 м г\ т. е. можно написать:

где р — угол, на который отклоняется стрелка при перегрузке, равном р мг. На практике угол ji обыкновенно измеряется числом делений п, на которое

*) О с т в а л ь д - Л ю т е р - Д р у к е р , Физико-химические измерения. Пер. с нем., ч. I, А, 1934, стр. 75.

■) Там ж е .

43

перемещается кончик стрелки весов по шкале S при их отклонении, т. е. можно написать также:

» = — . (20 Р

Теория весов в элементарном виде может быть изложена следующим обра- эом. Пусть точки А, В и О (рис. 26) соответствуют точкам подвеса чашек и точке •поры коромысла, причем мы предполагаем, что плечи коромысла АО и ВО

образуют с горизонтальной линией А 'в

1 В,t а А В

4р D D, Р

Ъ«У

Рис. 26. Теория весов.

плеча коромысла будем считать одинако­вой; обозначим ее через L. Расстояние между центром тяжести коромысла D и его точкой опоры О обозначим через d\ вес коромысла будем считать равным Pk. К точ­кам подвеса чашек А и В приложены неко­торые силы, одинаковые при их равнове­сии; обозначим их Р. Если на одну из ча­шек положить небольшой перегрузок, рав­ный р, то весы отклоняются на некоторый угол [I. Равновесие весов в новом положе­

нии наступает в том случае, когда моменты сил, действующих на оба плеча коромысла, взаимно уравновешиваются; для этого необходимо, как видно из рисунка, чтобы

(Р + Р ) • ОА' — Р . OB' + Pk • OD'влв

(Р + Р ) L cos (а + Р) = PL cos (а — J) -J- Р к ■ d sin

Отсюда после некоторых преобразований находим:

pL cosa______tgP =(2Р -\-р) L sin a —J— Pkd '

Так как угол p на практике всегда очень мал, то его тангенс можно заменить дугой; поэтому, разделив обе части последнего уравнения на р, находим на основании формулы (2):

L cos 1 тШ (2Р -Ь/7) Z, sin a + Phd ‘ (<3)

Таким образом чувствительность весов, вообще говоря, зависит от их нагрузки (2Р-\-р). Но формула (3) значительно упрощается, если допустить, что точки подвеса чашек и точка опоры коромысла лежат на одной прямой,т. е. что ребра всех трех призм коромысла лежат в одной плоскости, в этомслучае а равно нулю и формула (6) получает вид:

Pbd (3')

Таким образом в этом случае чувствительность весов не зависит от их нагрузки; она прямо пропорциональна длине плеча коромысла L и обратно пропорциональна произведению веса коромысла Р * на расстояние d между его центром тяжести и точкой опоры. При d, равном нулю, чувствительность весов становится бесконечно большой, что и понятно, так как при этом условии точка опоры коромысла совпадает с его центром тяжести, и коромысло приходит в состояние безразличного равновесия. Что касается длины плеч коромысла и его веса, т. е. величин L и Рк, то условие высокой чувствительности при­водит к противоречивым требованиям (Z. большие, Рк малое). На практике ста­раются примирить оба эти требования: применяют коромысла с короткими плечами и очень небольшим весом, искусственно уменьшая его при помоши различных вырезов такой формы, чтобы сохранилась достаточная прочность ко­ромысла на изгиб. Однако при больших нагрузках весов, близких к предельной, изгиб коромысла неизбежно имеет место, и основное условие при выводе фор­44

мулы (З^ — ребра трех призм коромысла лежат в одной плоскости — оказы­вается нарушенным. Вследствие этого в знаменателе формулы в соответствии с выражением (3) появляется новый член, зависящий от нагрузки весов. Таким образом область применения формулы (З1) ограничена небольшими нагрузками, т. е. ч\>вствительность весов на практике зависит от и х нагрузки; с ее уве­личением чувствительность весов уменьшается.

Верность показаний весов требует выполнения определенных условий. Теория весов предполагает, что их коромысло является равноплечим рычагом, который при равновесии должен быть расположен горизонтально; отсюда вы ­текает ряд условий верности показаний весов: плечи коромысла должны иметь одинаковую длину и одинаковый вес, ребра все* призм коромысла должны быть параллельны и др. На практике не представляется возможным удовлетво­рить с полной строгостью всем этим условиям, а также требованиям фор­мулы (3'); поэтому были разработаны особые методы взвешивания, которые следует применять, если взвешивание необходимо произвести с большой точ­ностью. Таких методов известно три: а) метод двойного взвешивания, Ь) метод тарирования и с) метод постоянной нагрузки.

а) Метод двойного взвешивания (Гаусс). Тело взвешивают два раза, по­мещая его один раз на левой чашке весов, а другой — на правой. Если длина плеч коромысла неодинакова, то в обоих случаях получится несколько различ­ный вес тела. Обозначая через 1\ и /« длину правого и левого плеч коромысла, через Ру и Р 2 — вес тела при первом и втором взвешивании, можно на осно­вании теоремы о моментах сил написать:

где Р обозначает неизвестный нам вес тела. Из этих уравнений находии:

Так как величины P t и Pt обыкновенно очень мало отличаются друг от друга, то последние формулы, на основании правил приближенных вычислений (стр. 12), можно заменить выражениями:

т. е. при двойном взвешивании вес тела можно считать равным среднему арифметическому из Значений, полученных при обоих взвешиваниях. Двой­ное взвешивание рекомендуется применять при проверке разновесков.

b) Метод тарирования (Борда). Тело помещают на правую чашку весов и уравновешивают его какой-либо подходящей тарой — мелкой дробью, песком, — прибавляя к ней для окончательного равновесия, если оказывается необходи­мым, кусочки станиоли. Если затем снять тело и на его место поместить раз­новески до восстановления равновесия, то, очевидно, их вес будет равен весу тела. При методе тарирования влияние неравенства плеч коромысла, очевидно, также устраняется.

c) Метод постоянной нагрузки (Менделеев). На левую чашку весов по­мещают гирю приблизительно предельного веса, указанного для данных весов, а на правую— мелкие разновески, обший вес которых равняется весу гири на левой чашке, и при помощи рейтера достигают возможно полного равновесия. Эти нагрузки на чашках могут оставаться все время. При взвешивании гело помещают на правую чашку, одновременно снимая с нее разновески в таком количестве, чтобы равновесие весов вновь восстановилось. Вес снятых разно­весков равен, очевидно, весу тела, причем неравенство плеч коромысла и дру­гие дефекты весов не оказывают никакого влияния. Этот метод представляет преимущество еще в двух отношениях: во-первых, взвешивание всегда проис­ходит при одной и той же нагрузке весов, поэтому их чувствительность остается неизменной, и, во-вторых, каждый раз требуется только одно взвеши-

PU = Pih, P%h = Ph<

P = V P f ' l.

Из тех же уравнений можно определить отношение плеч коромысла:

45

1 1 Г "o p t

11

вание, что дает значительную экономию времени. Вследствие этого есть все основания считать метод Менделеева лучшим и наиболее надежным.

При взвешивании приходится определять положение равновесия весов или их установку, т. е. то деление шкалы весов, на котором должна остановиться их стрелка в отсутствии трения, если коромысло придет в состояние покоя. Определение установки весов при точном взвешивании принято всегда произ­водить несколько своеобразным приемом, который заключается в следующем: коромысло весов, освобожденное от арретира, начинает совершать колебания, постепенно затухающие; но процесс этот протекает очень медленно, поэтому при взвешивании никогда не дожидаются прекращения колебаний коромысла и установку весов находят вычислением , наблюдая колебание их стрелки на шкале 5. Для этого определяют последовательные амплитуды колебаний стрелки,

отсчитывая по шкале точки ее поворотов, причем от­счеты делаются с точностью до десятых долей деления шкалы, оценивая и х на глаз. При этом обыкновенно

. , крайнее левое деление шкалы обозначают цифрой О,ii|i I I I среднее деление шкалы цифрой 10 и крайнее правое —

цифрой 20. Иногда (реже) среднее деление шкалы при­нимают за 0 и считают отклонения влево отрицатель-

Рис. 27. Колебания стрел- ными, а вправо — положительными; та или другая нуме-*“• рация делений шкалы во всех дальнейших расчетах не

вносит никаких существенных изменений. Так как вследствие затухания каждое последующее отклонение стрелки меньше преды­дущего, то среднее арифметическое из двух последовательных отклонений (вправо и влево) не может дать правильного значения установки весов, так как стрелка окажется всегда сдвинутой в сторону большего (первого) откло­нения. Поэтому необходимо отсчитать точки поворота нечетного числа после­довательных колебаний стрелки — трех, пяти, семи; обыкновенно ограничи­ваются пятью колебаниями. Обозначим их точки поворота, отсчитанные по шкале S соответственно аъ а2, а3, а4 и аБ (рис. 27). По одну сторону от сред­него деления шкалы окажется первое, третье и пятое колебания (точки пово­рота ах, я 3 и аь), а по другую — второе и четвертое (точки поворота а« и а4), причем ах соответствует наибольшей амплитуде и аъ— наименьшей. Отсюда становится ясным, что среднее арифметическое из отсчетов на каждой стороне

а-i — Да 4 “ Де а о -I- а а .в отдельности, т. е. величины —-г?-1— г и ——;— 4, очень близко соответ-о 2

ствует условию равенства амплитуд по ту и другую сторону от положения равновесия весов. Поэтому для определения установки е весов берут среднее арифметическое из этих величин, т. е. полагают:

ai ~Ь аз 4- Qj | Д; -f- Qj3 1 2

2 (4)

Отсюда становится ясным, почему при определении установки весов всегда необходимо брать нечетное число последовательных отклонений: при этом влияние наибольшей амплитуды первого колебания компенсируется влиянием наименьшей амплитуды последнего колебания, которое при нечетном числе колебаний всегда оказывается на той же стороне.

При точном взвешивании на аналитических весах приходится выполнять следующие операции: 1) определить нулевую точку весов, 2) определить их чувствительность, 3) произвести самое взвешивание и вновь определить нуле­вую точку весов и 4) ввести в результаты поправку на потерю веса тела в воздухе.

1) Нулевой точкой весов называется положение равновесия или уст а­новка ненагруж енных весов; практика показывает, что нулевая точка весов обыкновенно несколько смещена в ту или другую сторону от среднего деления шкалы S ' (на одно-два деления). Это может зависеть от ряда причин: колонка весов может быть установлена не вполне вертикально, или стрелка весов мо­жет быть несколько искривлена и т. п. Далее оказывается, что нулевая точка весов с течением времени может изменять свое положение на шкале. По­этому при каждом точном взвешивании необходимо прежде всего определить нулевую точку весов, что выполняется указанным выше приемом, и нулевая 46

точка весов вычисляется по формуле (4). Пусть ее значение оказалось равным <?0.

2) Д ля определения чувствительности весов необходимо, согласно фор­муле (2'), найти то число делений шкалы S, на которое переместится стрелка весов, если на одну из чашек положить нагрузку, равную 1 мг. Для этого помещают рейтер на первое деление коромысла (безразлично с какой стороны), что сообщает весам перегрузку, равную 1 мг, и, освободив весы от арретира, определяют их установку тем же приемом, вычисляя ее вновь по формуле (4). Пусть она оказывается равной е'. Очевидно, что разность е' — е0 и определяет собой чувствительность (ненагруженных) весов, т. е. согласно формуле (2*) можно написать

После этих предварительных операций приступают к взвешиванию.3) Взвешивание. Поместив тело на левую чашку весов, нагружают правун>

чашку разновесками, причем путем нескольких последовательных проб арре­тиром (неполное опускание арретира) нетрудно определить два числа граммов р и р - f- l , между которыми заключается вес тела. Оставив на чашке р грам­мов, переходят к нагрузке весов дециграммами, затем сантиграммами и, нако­нец, миллиграммами; последнее необходимо производить при помощи рейтера. Помещая рейтер на деления коромысла, отмеченные цифрами, надо найти такие два соседние деления, чтобы на одном из них рейтер давал н агрузку весов, меньшую веса тела, а на другом — нагрузку, большую веса тела.

Необходимо при этом заметить следующее: при большой разнице в весе тела и разновесков (граммы и дециграммы) перевес одной из чашек наблюдать легко, — коромысло весов при опускании арретира явно наклоняется в одну сторону. Но если разница в весе тела и разновесков становится малой (сан­тиграммы и в особенности миллиграммы), то коромысло начинает совершать- колебания, и не всегда удается сразу заметить, в какую сторону от нулевой точки весов размах стрелки больше; поэтому приходится определять установку весов тем же приемом, применяя формулу (4). Только в зависимости от того, где окажете? установка весов (вправо или влево от их нулевой точки), удается установить, какая чашка перевешивает, и соответственно этому передвигать, рейтер.

В конечном результате, после нескольких проб, всегда можно найти такие два положения рейтера на соседних делениях коромысла, при которых полу­чаются установки весов ех и ег, расположенные по разные стороны от их нулевой точки е0. Пусть установка ех соответствует меньшей нагрузке весов, которую обозначим Р. Очевидно, что нагрузка весов, отвечающая установке равна Р - f -1 мг, так как при переходе от е1 к е2 рейтер передвигается на одно деление, т. е. нагрузка весов изменяется на 1 мг. Для того чтобы весы от уста­новки ву перешли к нулевой точке еп, т. е. для того, чтобы наступило равно­весие весов (их нагрузка равна весу тела), надо к нагрузке Р прибавить очень- небольшую добавочную нагрузку р (очевидно, меньше 1 мг), которую принято- не определять из опыта, а вычислять теоретически, пользуясь методом интер­поляции (стр. 23).

Для этого принимают, что при отклонениях стрелки в пределах шкалы ве­личина отклонения пропорциональна величине нагрузки, т. е. что можно напи­сать:

где последний член правой части выражен в миллиграммах.Если бы чувствительность весов была постоянной при всех нагрузках, ТО'

вычисление р можно было бы производить из одной установки (ег или е^), так

ш ~ ( е ' — е$) м г-1 . (5)

Таким образом вес тела оказывается равным

Р0 = Р + р = Р Л- J — ^ мг,— 2

(6)

47

как знаменатель формулы (6) можно было бы взять как результат определения чувствительности ненагруженных весов, т. е. из формулы (4). Но так как чув­ствительность весов изменяется с нагрузкой, то определение двух установок (f, и г*) по обе стороны от нулевой точки оказывается необходимым, чтобы выполнить интерполяцию. Предварительное определение чувствительности не­нагруженных весов необходимо только для того, чтобы быстрее определить, какие нагрузки следует прибавить к имеющейся на чашке, чтобы найти обе установки и ег; кроме того, определение чувствительности ненагруженных весов представляет интерес в том отношении, что мы получаем возможность выяснить, в какой мере чувствительность данных весов зависит от их нагрузки.

После окончания взвешивания весы Освобождают от нагрузок и вновь опре­деляют нулевую точку весов. Если обнаруживается ее изменение, то для окон­чательного значения нулевой точки берут среднее арифметическое из ее зна­чений до и после взвешивания.

4) Поправки при взвешивании. Источниками ошибок при взвешивании, кроме внешних влияний, служат различные дефекты весов и разновесков, — неравен­ство плеч коромысла, различный вес чашек, неточный вес разновесков и т. п. Устранить эти ошибки можно внимательным изучением весов, применением указанных выше искусственных методов взвешивания, проверкой разновесков и т. д. Однако независимо от этого в результаты взвешивания необходимо ввести еще одну поправку, если требуется определить истинный вес тела, т. е. его вес в пустоте. Поправка на потерю веса тела в воздухе может быть вы­числена теоретически на основании следующих соображений.

Введем такие обозначения: истинный вес тела (вес его в пустоте) G, истин­ный вес разновесков (указан на них цифрами) Р, объем тела V, объем разновес­ков v, удельный вес тела fj, разновесков и воздуха S.

При равновесии весов в воздухе на основании закона Архимеда имеем:G — V- & = Р — v&.

Подставив в это уравнение вместо V и v их выражения через вес и удельиый вес, находим:

о — - • 1 — Р — ~ . г,71 ь

откуда определяем О:

1 - 1Ti

Величины 8/fj и 5/fj очень малы; поэтому, выполняя деление в правой части этого выражения и отбрасывая члены, содержащие 4 в степенях, выше первой, находим:

G = P ( l\ Т» Ti /

Отсюда для вычисления истинного веса тела (в пустоте) получаем окончательно выражение:

_ / 1 1 \(7)0 = р + и ( 1 - 1 ) .

В этом выражении Р обозначает вес разновесков, отмеченный на них циф­рами; при равновесии весов мы считаем его равным весу тела, т. е. Я обо­значает одновременно и вес тела, полученный непосредственно при взвешивании. Величина & зависит от атмосферного давления, влажности и температуры воз­духа, т. е. ее следовало бы при каждом взвешивании отдельно находить по таблицам, но обыкновенно ее считают постоянной и равной 0,0012 Г - см ~ 3', такая точность в большинстве случаев достаточна. Разновески обыкновенно приго­товляются из латуни, удельный вес которой принимают равным 8,4 Л • см~К

Если эти величины вставить в уравнение (7), то оно получает вид:

48

Выражение, стоящее в скобках в правой части уравнения ГV), может быть поло­жительным и отрицательным. Положительное значение получается в том случае, если удельный вес тела меньше удельного веса разновесков (fi < 72)! в этом случае тело теряет в воздухе больше, чем разновески, и поправка имеет поло­жительный знак. Отрицательное значение получается, если удельный вес тела больше удельного веса разновесков (ti > Тг)! тело теряет в воздухе меньше, чем разновески, и поправка становится отрицательной. Если же удельные веса тела и разновесков равны, то поправочный член обращается в нуль, так как в этом случае потери в весе тела и разновесков одинаковы, т. е. поправки на потерю в весе тела в воздухе вводить не приходится.

Из всего, что было сказано выше относительно точного взвешивания, видно, что это измерение требует очень большой осторожности, уменья и навыка. Поэтому, приступая к работе с аналитическими весами, необходимо с самого начала приучиться тщательно выполнять определенные правила и приемы точ­ного взвешивания, которые состоят в следующем:

1. Никогда нельзя выходить за пределы той максимальной нагрузки, на которую рассчитаны данные весы, так как иначе можно вызвать появление в коромысле остаточных деформаций и неизбежную при этом порчу весов.

2. Нагрузку чашек и ее изменение, не исключая и операций с рейтером, можно производить только при арретированных весах, если весы не аррети- рованы, не следует даже открывать и закрывать их дверцы.

3. Нагрузки на чашках следует располагать так, чтобы общий центр тя­жести нагрузок приходился приблизительно посредине чашки.

4. Не следует вполне опускать арретир, пока чашки весов еще мало урав­новешены; коромысло вначале освобождается от арретира лишь настолько, чтобы можно было видеть, какая нагрузка (взвешиваемое тело или разновески) больше. После этого немедленно поднимают арретир и соответственно изме­няют нагрузку разновесков. Если разница между нагрузками чашек мала, то коромысло, освобожденное от арретира, начинает совершать колебания, и даль­нейшая нагрузка весов производится рейтером.

5. Опускать и поднимать арретир всегда следует очень медленно и плавно', если коромысло совершает колебания, то поднимать арретир надо в тот мо­мент, когда стрелка весов проходит через среднее положение, иначе коромысло получает резкие толчки.

6. Если при опускании арретира чашки весов (обе или одна) начинают ка­чаться маятникообразно, то следует, не опуская вполне арретира, приоткрыть дверцу весов и успокоить чашки, прикасаясь к их краю кусочком бумаги; после этого, закрыв дверцу, можно вполне опустить арретир.

7. Если после освобождения коромысла амплитуда его колебаний оказывается слишком малой (достаточна амплитуда в 3—4 деления в ту и другую сторону от среднего деления шкалы), то следует, подняв арретир, вторично его опу­стить; при этом устанавливается достаточно большая амплитуда колебаний.

8. Все наблюдения колебаний коромысла необходимо производить исключи­тельно при опущенных (закрытых) дверцах весов.

9. Разновески брать руками не следует', дли этого служит пинцет с ко­стяными наконечннками; разновески берут пинпетом за их шейку, а мелкие разновески плоской формы (доли грамма) за загнутые уголки. Снимая разно­вески, следует и х класть непременно в ящик, каждую на свое место.

10. Не следует оставлять нагрузки на чашках долгое время, в особенности при опущенном арретире; поэтому, несмотря на большую сложность точного взвешивания, необходимо научиться выполнять его достаточно быстро. Когда взвешивание закончено, весы следует арретировать, освободить чашки от на­грузок и закрыть дверцы весов.

IV. ИЗМЕРЕНИЕ ВРЕМЕНИПри измерении времени могут встретиться две задачи: во-первых, опреде­

лить истинное время в момент наступления определенного явления, что имеет зна­чение главным образом при астрономических и геофизических работах и, во-вторых, определить промежуток времени между двумя моментами,например, между началом и концом какого-либо явления; последние измерения при физических исследо-1 аниях встречаются очень часто. В зависимости от величины измеряемых про­межутков времени здесь применяются весьма разнообразные методы, которые4 Физический практикум 49

можно разделить на три группы: 1) механические, 2) стробоскопические и 3) элек­трические.

1. Механические методы обыкновенно применяются при измерении про­межутков времени достаточно продолжительных. Для таких измерений служат приборы, отчасти общеизвестные, а именно: часы и хронометры, секундомеры и хронографы; сюда же можно отнести метроном, которым также иногда при­ходится пользоваться.

а) Часы обыкновенно применяются для определения промежутков времени весьма продолжительных. В каждых часах имеется двигатель и регулятор дви­жения. В качестве двигателя в часах применяется: 1) упругая сила закрученной спиральной пружины (часы обычного типа), 2) вес падающего (опускающегося) груза (часы с гирями) и 3) электрический ток (электрические часы).

Часы первого типа не имеют достаточно постоянного хода; только лучшие из них, известные под названием хронометров, практически говоря, свободны от этого недостатка. Часы последних двух типов дают возможность получить несравненно большее постоянство хода и поэтому преимущественно приме­няются для научных работ.

Для регулирования хода в точных часах применяется маятник, главным образом секундный, т. е. период его простого колебания равен 1 секунде; в таких часах маятник четко отбивает секунды (иногда полусекунды), а на

груз Р. Положение верхнего груза р можно изменять, устанавливая его по шкале S; в связи с этим изменяется период колебаний метронома. Небольшой заводной механизм, помещенный в нижней части прибора, поддерживает коле­бания маятника и одновременно громко отбивает каждый его размах. Прибор следует устанавливать на горизонтальной поверхности, но и в этих условиях отсчеты прибора являются не всегда точными, так как действие заводного ме­ханизма не отличается большим постоянством.

с) Секундомер применяется в лаборатории очень часто для измерения про­межутков времени от нескольких секунд до нескольких минут. В наиболее распространенной форме секундомеры напоминают по устройству обыкновенные карманные часы (рис. 29) с минутной стрелкой а и секундной стрелкой Ь. Дви­жение стрелок вызывается силой закрученной спиральной пружины; иногда пользуются секундомерами, приводимыми в движение электрическим током. Для завода секундомера и одновременно для его управления служит головка В: при первом нажатии головки В стрелки приходят в движение, при втором ее нажатии стрелки останавливаются, и отсчет по циферблату дает промежуток времени между нажатиями головки. Наконец, при третьем нажатии головки В стрелки секундомера возвращаются к нулевому делению.

В некоторых конструкциях секундомеров нажатие головки вызывает вклю­чение всего его механизма, который только с этого момента приходит в дви­

циферблате, кроме обычных двух стрелок, имеется третья секундная стрелка (том I, работа 6 Ь). Обычная точ­ность измерения промежут­ков времени по часам по­рядка 0,5 сек.

Ь) Метроном в основ­ном служит для музыкаль­ных целей; в лабораторной работе он может применять­ся для отсчета равных про­межутков времени неболь­шой величины, приблизи­тельно от двух секунд до десятых долей секунды. Метроном состоит из маят­ника А (рис. 28), который со­вершает колебания около горизонтальной оси О и имеет два груза, неболь­шой грузр и более тяжелый

>Рис. 28. Метроном. Рис. 29. Секундомер.

50

жение; в других конструкциях механизм секундомера работает непрерывно, с момента его завода, п нажатие головки включает только стрелки секундо­мера. Последние конструкции имеют значительные преимущества, так как включение при нажатии головки В всего механизма секундомера, вследствие инерции его частей и мертвого хода, вызывает заметные ошибки при измере­ниях. Есть секундомеры и более сложной конструкции с двумя секундными стрелками, которые последовательными нажатиями кнопок можно приводить в действие и останавливать.

Измерения при помощи секундомера выполняются настолько просто, что описывать их нет оснований; обычная точность таких приборов 0,2 секунды.

d) Хронографы применяются для автоматической регистрации определенных моментов времени и последующего измерения промежутков времени между ними. По своей конструкции хронографы чрезвычайно разнообразны; точность измерений может быть доведена до 2-10-6 сек. Описание одного из типов хроно­графов см. том I, работа 20 Ь.

2. Стробоскопические методы применяются главным образом для наблю­дения быстрых периодических процессов и измерения их частоты. Наиболее совершенным типом стробоскопа можно считать так называемый неоновый стробоскоп, его описание и применение см. том II, работа 56 с.

3. Электрические методы применяются для точного измерения наи­более коротких промежутков времени. В качестве приборов здесь применяются: а) баллистический гальванометр, Ь) конденсаторы и с) осциллографы.

a) Баллистический гальванометр применяется при измерении промежут­ков времени от 10-1 до 10~3 сек. Описание прибора и производство измерений см. том I, работа 5 а.

b) Конденсаторный метод может применяться при измерении еще более коротких промежутков времени от 10-1 до 10-6 сек.

c) Осциллографы применяются главным образом для изучения очень быст­рых периодических процессов и по своему устройству весьма разнообразны 2). Наиболее совершенной формой осциллографов являются так называемые без- инерционные осциллографы, к числу которых относится электронный или катод­ный осциллограф 8); его действие основано на электронных процессах в раз­рядных трубках. Схема и конструкция катодных осциллографов метут быть чрезвычайно разнообразными в зависимости от их назначения и условий изме­рения. Описание некоторых типов этих приборов см. том I, работы 1 а и 5 b и том II, работа 55 Ь. В соединении с фотореле катодный осциллограф может применяться для измерения самых коротких промежутков времени до 10-9 сек.; описание этого метода и производство измерений см. том I, работа 1 а.

V. ИЗМЕРЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ

Температуры, с которыми в настоящее время приходится встречаться на практике, охватывают очень широкий интервал от самых низких температур, близких к абсолютному нулю, до температур в несколько тысяч градусов. Та­кой широкий интервал потребовал большого разнообразия в приборах для из­мерения температур, термометров в широком смысле этого слова; они отлича­ются как своей точностью, так и теми пределами температур, в которых ока­зываются применимыми. Основными приборами можно считать: 1) газовый термометр, 2) ртутный (обыкновенный) термометр, 3) электрические термометры и 4) оптические термометры (пирометры).

1. Газовый термометр может применяться в очень широком температур­ном интервале от самых низких температур до 1500° С (приблизительно). Шкала нормального газового термометра, выраженная в градусах Цельсия, в настоящее время принята как международная температурная шкала. Один градус этой шкалы соответствует тому повышению температуры, при котором упругость идеального газа, нагреваемого при постоянном объеме, возрастает на ]/етз часть

■)■ Handbuch d. Phys., В. II, SS. 217 und 243, Berlin, 1926.*) А. Л и н к е р , Электротехнические измерения, М., 1927.*) В. П. Р в а ч е в, Катодный осциллограф, Харьков, 1936.

4»

своей первоначальной величины. На практике для самых низких температур, до — 260,5° С, применяют в газовых термометрах гелий; для температур не выше 200° применяется водород; для температур выше 200°, вследствие силь­ной диффузии и химической активности водорода, применяют азот и воздух. При этом для полной определенности принимают, что упругость газа в нормаль­ном термометре при 0° С должна быть равна 1000 мм ртутного столба. Нор­мальный газовый термометр прибор очень сложный и непосредственно для измерения температур применяется редко; он служит главным образом для проверки показаний других термометрических приборов, например, ртутных тер­мометров, и определения их поправок. Описание простой лабораторной формы газового термометра и производство измерений см. том II, работа 28 а.

2. Ртутный термометр, устройство которого общеизвестно, может приме­няться для измерения тех температур, при которых ртуть остается в жидком состоянии, т. е. приблизительно в интервале от — 38° до 350° С. Если же про­странство над ртутью в термометре наполнить химически нейтральным газом (азот, углекислота, аргон и т. п.) и для изготовления термометра пользоваться тугоплавкими сортами стекол, то его можно применять до температур 650° и даже до 750° С (при так называемом кварцевом стекле). Однако в этих усло­виях показания ртутных термометров становятся значительно менее надеж­ными, поэтому их редко применяют для температур выше 300° С, но при из­мерении средних температур, например в интервале от 0° до 100° С, ртутный термометр является наиболее распространенным прибором, главным обра­зом вследствие удобства и быстроты отсчета. Однако точное измерение тем­пературы ртутным термометром представляет большие трудности, так как в не­посредственный отсчет температуры по термометру необходимо внести ряд поправок. Главные из них вызываются следующими причинами: а) термическое последействие стекла, Ь) неполная цилиндричность капилляра термометра,с) неравномерное нагревание верхней части стстлбика ртути и d) мертвый ход термометра.

а) Термическое последействие стекла. Стекло, нагретое до температуры размягчения, что необходимо при изготовлении термометров, и затем охлажден­ное до прежней температуры, очень медленно возвращается к своему перво­начальному объему. Поэтому резервуар термометра после его изготовления продолжает очень медленно, иногда годами, изменяться в объеме; это явление и получило название термического последействия стекла. Термическое после­действие систематически нарушает правильность показаний термометра, его шкала оказывается смещенной, или, как обыкновенно говорят, обнаруживается изменение основных точек термометра (0° и 100°), которое иногда может до­стигать одного градуса и больше. Кроме этого систематического изменения основных точек термометра обнаруживается также временное их изменение (понижение) после каждого нагревания термометра, которое, однако, исчезает по истечении 2—3 дней. Термическое последействие проявляется у различных сортов стекла в очень различной степени; наименьшую величину оно имеет у так называемого нормального термометрического стекла, которое и принято применять для изготовления точных ртутных термометров. Однако и в этом случае изменение основных точек все же имеет место; отсюда следует, что для каждого термометра необходимо периодически определять полож ение его основных точек, т. е. их поправки, в особенности точки нуля, от которой ведется отсчет температур; поэтому точку нуля принято при каждом точ­ном измерении температуры проверять два раза — до и после измерения. Определение основных точек термометра производится следующим образом.

Определение точки 0°. Прибор, которым можно пользоваться при этих измерениях, состоит из большого стеклянного колокола А (рис. 30), укреплен­ного на штативе горлышком книзу. Колокол наполняется чистым снегом или мелко раздробленным льдом, которые предварительно промываются дестилли- рованной водой, охлажденной до 0° С; на чистоту снега (льда) следует обра­щать очень большое внимание, так как даже незначительные примеси различ­ных солей могут заметно изменять температуру таяния снега. Снег (лед) в колоколе смачивается затем дестиллированной водой комнатной температуры; избыток воды можно выпускать в чашку В через каучуковую трубку г с зажи­мом, вставленную в горлышко колокола. Иногда применяют более сложные приборы с двойными стенками, пространство между которыми также запол- 52

няется тающим снегом. Термометр укрепляют в зажимах штатива вертикально и устанавливают на такой высоте, чтобы весь резервуар термометра и часть его шкалы (несколько выше нулевой точки) были погружены в снег; в этом положении термометр оставляют в продолжение 10—15 минут. При отсчетах нулевой точки снимают сверху немного снега, чтобы был виден кончик ртут­ного столбика, быстро производят отсчет и вновь закрывают термометр снегом, если необходимо повторение отсчета. Среднее из отсчетов термометра дает поправку (изменение) его нулевой точки.

Определение точки 100°. Прибор, применяемый для этого, состоит из металлического сосуда (кипятильника) А (рис. 31), который нагревается элек­трической или газовой горелкой и имеет двойные стенки; в пространстве между ними проходит пар, выделяемый водой при кипении. Отверстие О для выхода пара делают достаточно широ­ким, чтобы избежать повышения давления внутри сосуда, что вызвало бы повышение точки кипения. Термометр вводят (на пробке) внутрь сосуда через верхнее отверстие В, устана­вливая его вертикально на та­кой высоте, 'чтобы точка 100° была несколько ниже пробки, и затем наливают в сосуд воду в таком количестве, чтобы ре­зервуар термометра был выше уровня воды на несколько сан­тиметров, т. е. резервуар тер­мометра и вся его шкала, включая точку 100°, должны находиться в парах кипящей воды. Если применяется газо­вая горелка, то ее пламя ре­гулируют так, чтобы оно не охватывало стенок сосуда вы­ше уровня воды. После 10—15 минут выдвигают термометр настолько, чтобы был виден кончик ртутного столбика, бы­стро производят отсчет и вновь опускают термометр на прежнее место, если необходимо повторение отсчета. Из результатов этих отсчетов определить не­посредственно поправку точки 100° еще не представляется возможным, так как температура кипения воды зависит от атмосферного давления. Поэтому необ­ходимо одновременно определить показание барометра (с точностью до 0,1 мм), привести его к 0° С (стр. 57 и сл.) и найти соответствующую температуру кипе­ния воды.

После определения точки 100° С термометр охлаждают до 40—50° С и, погружая его вновь в тающий лед, повторяют определение точки нуля, так как при нагревании термометра она может измениться. Если окажется, что это действительно имеет место, то окончательно берут среднее арифметическое из обоих значений точки нуля. Определив точки нуля и ста градусов, следует вычислить поправки всей термометрической шкалы (например через каждые 10°), что можно сделать на основании следующих соображений.

Если ай и а100 — значения точки 0° С и точки 100° С, отсчитанные по тер­мометру, то на протяжении ат — д0 делений его шкалы должно уложиться 100 градусов; отсюда следует, что цена одного деления шкалы термометра со­ответствует разности температур Af, равной:

' * = 10° . - . й100 — с0

Поэтому, если термометр показывает температуру то истинная темпе­ратура будет отличаться от нее, так как, во-первых, отсчет температуры сле­дует вести не от нуля шкалы, а от нуля термометра, т. е. от его нулевой

53

К

Рис. 30. Определение точ­ки 0° термометра.

иРис. 31. Определение точ­

ки 100° термометра.

точки ц. и, во-вторых, ц ен а одного деления шкалы соответствует не одному градусу, а указанной выше разности температур поэтому измеряемая тем­пература tx равна:

100ат — ао ’ 0)

где / — температура, непосредственно отсчитанная по термометру. Полагая в этой формуле t равным 10°, 20°, 30°, . . . (до 90°), находят поправки термо­метра in этих температур; поправки для промежуточных температур вычи­сляются методом интерполяции (стр. 23).

b) Неполная цилиндричность капилляра термометра служит источником значительных ошибок, до десятых долей градуса, которые могут быть исклю­чены так называемым калибрированием термометра, что достигается постепенным перемещением по капилляру термометра столбиков ртути определенной длины !). Эта операция является очень кропотливой и требует большого внимания и на­выка. Позтому очень часто е е заменяют сравнением данного термометра (обык­новенно его показаний м еж ду 0° и 100° С) с газовым термометром или (чаще) с так называемым норм альны м ртутным термометром, т. е. с таким тер­мометром, для которого все поправки были предварительно чрезвычайно тща­тельно определены.

c) Неравномерное нагревание столбика ртути может давать ошибки в несколько сотых долей градуса. Оно вызывается тем, что при измерениях температуры обыкновенно только часть термометра находится в пространстве, температура которого определяется, а остальная часть столбика ртути выдается наружу, т. е. находится при иной температуре; очень часто это является необ­ходимым для производства отсчета. В этих случаях принято определять вычи­слением то изменение длины выступающей части столбика, которое должно было бы иметь место, если бы температура столбика по всей его длине стала равной измеряемой температуре. Для вычисления соответствующей поправки At обыкновенно пользуются формулой

где р и а— коэффициенты расширения ртути и стекла, t — измеряемая тем­пература, t\ — средняя температура выступающей части столбика и L — его длина, выраженная в градусах термометрической шкалы. При вычислении этой поправки трудно бывает установить среднюю температуру выступающей части столбика. Очень часто ее определяют, помещая около середины выступающей части столбика второй (вспомогательный) термометр, иногда специального типа. Величина i для различных сортов стекла различна; для нормального иенского термометрического стекла а =0,000156 град.- i .

d) Мертвый ход т ерм ом ет ра может быть источником ошибок в несколько сотых градуса. Это явление состоит в том, что в термометрах, в особенности с очень узкими капиллярами, столбик ртути при своем движении встречает вследствие трения очень больш ое сопротивление. Поэтому если отсчеты термо­метра производятся при непрерывном изменении температуры, то его показа­ния при равных температурах могут оказаться различными, в зависимости от того, имеет ли место повышение температуры или ее понижение; в первом случае показания термометра ниже, чем во втором. Мертвый ход особенно сильно обнаруживается при понижении показаний термометра. Отсюда следует, что при измерениях разности температур (например, в калориметрических рабо­тах) следует производить измерение при движении столбика всегда в одном на­правлении и притом, если возможно, в процессе повышения температуры. Вли­яние мертвого хода обычно устраняют, производя непосредственно перед отсче­том легкое встряхивание термометра слабыми ударами резинового молоточка.

Из всего изложенного выше видно, что точное определение температуры ртутным термометром является очень сложной операцией, и точность измерения, даже в области обычных температур (от 0° до 100° С) при применении лучших термометров и введении всех необходимых поправок, все же обыкновенно не превышает 0,01° С. В некоторых случаях, применяя специальные типы термомет-

Д* = (? — a) (< — tj) L, (2)

1)Ф. Т а р н а р н д е р , О писание методов калибрирования термометров, М., 1904.54 ^

ров, например термометры Бекмана, можно получить большую точность; опи­сание этих термометров и производство измерений см. том II, работа 26 а.

3. Электрические термометры применяются как для измерения очень низ­ких температур, практически говоря, до температуры абсолютного нуля, так и для высоких температур до 1500е1 С. Они разделяются на термоэлектрические термометры и термометры сопротивления.

Термоэлектрические термометры , обыкновенно называемые термопарами, основаны на термоэлектрических явлениях, при которых нагревание места спая двух проволочек из различных металлов сопровождается возникновением на их свободных концах электродвижущей силы. Нормальной термопарой служит термоэлемент Ле-Шателье, в котором применяются проволоки из чистой платины и сплава платины с родием (90% Pt + Ю°/о КФ- Применяются так же термопары: золото — платина (область низких температур), никель — нихром (до 900° С), железо — йонстантан и некоторые другие. Описание и производство измерений см. том I, работа 10 b и том II, работа 26 Ь.

Термометры с сопротивлением основаны на изменении электрического сопротивления металлической проволоки с температурой. Применяется преиму­щественно платиновая проволока (возможно чистая платина). Описание и произ­водство измерений см. том II, работа 26 с.

4. Оптические термометры, обычно называемые пирометрами, применя­ются до самых высоких температур и известны в очень разнообразных формах. Описание одной из форм оптического пирометра и производство измерений см. том II, работа 26 d.

Подсобными приборами, играющими большую роль при измерениях темпе­ратуры, являются а) термостаты и Ь) терморегуляторы.

a) Термостаты служат для поддержания в некотором объеме постоянной температуры; задачу такого рода мы уже встретили при определении основных точек термометра. К числу таких приборов относятся, например, различного рода сушильные шкафы, в которых обыкновенно при помощи электрического подогревателя поддерживается постоянная температура; ее можно регулиро­вать при помощи реостата, включенного в цепь подогревателя. Сушильные шкафы очень часто имеют стенки, сделанные из надежного термоизолятора, и могут служить хорошими термостатами.

b) Терморегуляторы применяются для того, чтобы уменьшать по возмож­ности колебания температуры в термостатах. Действие терморегуляторов осно­вано на том, что при каждом изменении температуры термостата в терма регуляторе так же возникает некоторое изменение, например, изменяется объем какой-либо его части; это автоматически вызывает такое изменение в количестве теплоты, поступающей в термостат, что его температура восстанавливается ’).

При лабораторной работе очень часто бывает необходимо иметь жидкость, например воду, определенной температуры. Иногда этого можно достичь при помощи термостата, установив его температуру на соответствующей высоте, по часто прибегают также к простому процессу смешения: одну часть жидкости нагревают до температуры несколько выше той, которая требуется, и затем смешивают ее с остальной жидкостью в такой пропорции, чтобы получилась необходимая температура. Аналогичным приемом можно пользоваться и в тех случаях, когда требуется иметь жидкость при температуре ниже комнатной; одну часть жидкости охлаждают, поместив ее на некоторое время в сосуд со снегом, а затем смешивают с остальной частью жидкости.

VI. ИЗМЕРЕНИЕ ДАВЛЕНИЙ

Абсолютной единицей давления принято считать бар, равный давлению1 дн-см~~. Эта единица редко применяется, и на практике давление принято выражать в таких единицах:

1. Нормальная атмосфера (А) — давление (вес) ртутного столба, высотой 760 мм при 0° С, на уровне моря и географической широте 45°, равное давле­нию 1,0333 кГ-см~К

*) О с т в а л ь д . Л ю.т е р - Д р у к е р. Фиэико-химнческне измерения. Пер. с нем., ч. I, Л., 1934, стр. 92.

55

2. Техническая атмосфера (am), равная давлению 1 кГ -см ~ *, или 0,9678 нормальной атмосферы.

3. Мегабар, равный давлению 10е бар, или 0,98703 нормальной атмо­сферы.

4. Наконец, величину давления часто обозначают высотой ртутного стол­ба (Л Hg), как, например, при отсчете показаний барометра; в частности, ма­лые давления в газах при вакуум-технических работах принято выражать в мм Hg.

Общеизвестными приборами для измерения статических давлений служат манометры с жидкостями, открытые и закрытые, а также манометры металли­ческие, основанные на законах упругих деформаций твердых тел. Приборы этих типов могут применяться в интервале от нескольких мм Hg (открытые мано­метры с жидкостью) и до давлений в несколько тысяч кГ -см ~ % (металлические манометры). За пределами этого интервала, т. е. при измерении очень малых и очень больших давлений, приходится применять иные типы манометров. Особые приборы применяются также при измерении давления атмосферы. Таким образом

в отдельности можно говорить о методах изме­рения 1) атмосферного давления, 2) очень боль­ших давлений и 3) очень малых давлений. Кроме того, если величина давления не остается по­стоянной, а быстро изменяется со временем, что, например, имеет место в случае так на­зываемых мгновенных сил, то необходимо применять также иные методы. Их описание и производство измерений см. том I, работа5 а и 5 Ь.

1. Для измерения атмосферного давлення применяются барометоы разнообразных ти­пов, которые можно разделить на барометры ртутчые и барометры металлические, или анероиды. Показания металлических баромет­ров не отличаются большим постоянством, по­этому при точных измерениях атмосферного давления применяются почти исключительно ртутные барометры различных конструкций. Ртутный барометр, очень тщательно устано­вленный и проверенный, в котором предусмот­рена возможность учета всех ошибок при из­мерениях, называется нормальным-, точность определения атмосферного давления нормаль­ным барометром достигает 0,01 мм Hg. В ртут­ных барометрах обычного типа точность изме­рения ограничивается 0,1 мм Hg.

Весьма удобной формой ртутного барометра Рис. 32. Барометр Рис. зз. Баро- является барометр Фортена. Этот прибор от-Фортена (чашка) часгьК личается особой конструкцией его нижней

* " ’ чашки, в которой находится ртуть. Конец баро­метрической трубки R, несколько оттянутый

(рис. 32), входит в отверстие металлической крышки СС, к которой прикреплен сте­клянный цилиндр D; через его стенки свободно виден уровень ртути, находящейся в чашке. Дном цилиндра D служит замшевый мешочек, который своей нижней частью лежит на верхнем конце подъемного винта 5. Это приспособление дает возможность изменять высоту уровня ртути в цилиндре D; кроме того, если винт S приподнять настолько, что кончик барометрической трубки окажется закрытым, то в таком положении барометр можно переносить без опасности проникновения воздуха внутрь барометрической трубки. Барометрическая трубка по всей длине заключена в охранную металлическую трубку В (рис. 33); вблизи ее верхнего конца сделаны два прямоугольных выреза, один против другого, через которые можно видеть конец ртутного столба в барометрической трубке; длина вырезов рассчитана так, что при всех колебаниях атмосферного давления уровень ртути свободно виден. На правом краю переднего выреза нанесена точная шкала, деления которой соответствуют расстояниям в миллиметрах от заостренного кончика костяного штифтика А (рис. 32), укрепленного в крышке СС;56

таким оЗразом нулевой точкой в барометре Фортена служит кончик штифтика А. Барометрическая шкала выверяется при 0°С, при этой температуре цена ее Селения равна 1 мм. Вдоль шкалы движется по кремальере короткая трубка L, на которой нанесен нониус; его нулевое деление совпадает с нижним краем трубки L. Барометр подвешивается вертикально; температура при отсчете его показаний определяется по термометру, укрепленному на оправе или подставке барометра.

При измерении атмосферного давления необходимо прежде всего определить температуру (t°), при которой происходит наблюдение, так как иначе показания термометра на барометре могут измениться вследствие присутствия вблизи наблюдателя. Затем, действуя винтом S, следует установить ртуть в чашке ба­рометра так, чтобы ее уровень касался кончика штифтика А\ для этого следует постепенно повышать уровень ртути, наблюдая момент, когда копчик штифта и его изображение в ртутном зеркале коснутся друг друга. Если поверхность ртути достаточно чистая, то, пользуясь лупой, можно эту установку выполнить очень точно.

Необходимо при этом иметь в виду, что при движении ртути в стеклян­ной трубке капиллярная депрессия ртути изменяется, что сопровождается изменением формы мениска; поэтому необходимо, закончив установку уровня ртути, привести ее в сотрясение легким постукиванием по барометру, что дает возможность мениску образоваться свободно. Если при этом положе­ние уровня ртути в чашке заметно изменится, то необходимо его вновь по­править винтом S.

По окончании этой установки отсчитывают показание барометра. Для этого поднимают трубку нониуса выше уровня ртути в барометрической трубке и, после легкого ее постукивания, устанавливают нониус так, чтобы его нулевое деление совпало с вершиной ртутного мениска. При этой установке необходимо, во избежание параллакса, глиз располагать на одной высоте с мениском ; при правильном положении глаза передний и задний край нижнего конца трубки нониуса должны совпадать друг с другом. Отсчитав показание нониуса, мы находим с точностью до 0,1 мм расстояние в делениях шкалы между кончиком штифта А , т. е. между нулем барометрической шкалы и вершиной ртутного мениска. Для того чтобы из этого отсчета определить величину атмосферного давления в мм Hg, надо ввести поправки на температуру и капиллярную де­прессию.

а) Поправка на температуру. Температура изменяет длину барометриче­ской шкалы и плотность ртути. Поэтому показания барометра принято при­водить к 0°С, что выполняется следующим образом: обозначим результат непо­средственного отсчета показаний барометра при температуре наблюдения t через Н/, так как шкала барометра выверена при 0 , то это число делений (Ht) в дей­ствительности соответствует Ht (\- \-a t\ миллиметрам, где а — коэффициент рас­ширения материала шкалы (обыкновенно латунь). Если Нй обозначает высоту барометра, приведенную к 0°С, a d0 и d, — плотность ртути соответственно' при 0° и *°С, то, очевидно, можно написать:

Н п d.H t ( \ + a t ) rf0 ’

причем, по закону изменення плотности тел с температурой, имеем:

d t _ 1 . d0 1 + p f

где р — коэффициент расширения ртути. Из этих формул находим:

1 -(-a tl t \ + ргН 0 = Н ,

Отсюда, отбрасывая члены, содержащие а и р в степенях второй и выше, по­лучаем:

Я„ = Я ,[1 - ( ? -» )< ] . <1>37

Подставляя в это выражение значение коэффициентов расширения ртути и латуни (шкала барометра), получаем окончательно:

Нй — Н ( (1 — 0,000163 t), U'

т. е. для всех температур выше нуля поправка равна — 0,000163 H tt.b) Поправка на капиллярную депрессию , а также поправки на некоторые

другие ошибки барометра обыкновенно устанавливаются при помощи сравнений показаний данного прибора с показаниями нормального барометра и даются для каждого барометра как некоторый постоянный параметр.

2. Весьма высокие давления измеряются металлическими манометрами типа Бурдона, которые пригодны до давлений порядка 5000 к Г -см ~ 2. Кроме того, употребляются поршневые манометры и электрические манометры сопротив­ления.

a) Поршневые манометры, основанные на принципе гидравлического прес­са, применялись при давлениях до 16 000 к Г •см ~ 2; точность — до 0,1<70 1).

b) Электрические манометры сопротивления основаны на изменении со­противления металла при всестороннем сжатии. Применялись при самых высо­ких давлениях до 21 000 к Г •см - 2, точность — до 0,1 о/0 2).

3. Очень низкие давления и малые разности давлений измеряются при яомощи так называемых микроманометров, а те чрезвычайно незначительные

давления газа, которые имеют место при различных вакуумных работах, измеря­ются при помощи очень разнообразных манометров, часто называемых ваку­уммет рами. Из этих приборов наибо­лее распространенными являются: а) ми­кроманометры с жидкостью, Ь) мано­метр Мак-Леода, с) манометр с тре­нием, d) манометр термоэлектрический и е) ионизационные манометры.

а) Микроманометры с жидкостью основаны на том же принципе, как и обыкновенные манометры, но их трубка L (рис. 34) устанавливается не верти­кально, а под небольшим углом а к горизонту. Если при изменении давленияпоказания вертикального манометра изменяются на L мм, то в случае наклон­ного манометра мениск жидкости перемещается в его трубке на большее рас­стояние; обозначая его через /, очевидно, имеем:

(2)

При небольших углах а манометры этого типа, наполненные жидкостью с не­большим удельным весом (вода, спирт, ксилол), дают возможность измерять давления с точностью до 10 -3 мм Hg.

b) М анометр (вакуумметр) М ак-Леода, основанный на законе Б о й л я - М а - риотта, чрезвычайно широко применяется при вакуум-технических работах. Описание и производство измерений см. том I, работа 10 а.

c) Манометр с т рением3) основан на затухании колебаний упругой (квар­цевой) нити в атмосфере разреженного газа; пределы применимости от сотых долей мм Hg до 10~6 мм Hg.

d) Термоэлектрический манометр является очень распространенным. Описание и производство измерений см. том 1, работа 10 Ь.

e) Ионизационные манометры основаны на явлениях п р о х о ж д е н и я элек­трического тока через разреженные газы и в принципе имеют у с т р о й с т в о , одинаковое с катодной лампой; пределы применимости от нескольких т ы с я ч н ы х М М Hg ДО 10-8 м м Hg 4).

ГГ- Б р и д ж м е н , Ф изи ка вы соких давлени й . П ер. с ан гл ., М .-Л ., 1935.М Т а м ж е. _я) Н, А. К а п п о в , Физические явления в вакууме и разреженных газах. Изд. 2-е, М.-Л**

1937, с т р . 73.') Гам же.

58

VII. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРОИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ

Электрические методы измерений в настоящее время находят очень широкое применение во всех отделах физики; поэтому надо уже вначале ознакомиться с употреблением основных электрических приборов, к числу которых, кроме соб­ственно измерительных приборов, можно отнести также некоторые вспомогатель­ные электроприборы, особенно широко применяемые на практике. При лабора­торных работах очень часто приходится определять три основные электрические величины: силу тока, разность потенциалов (напряжение) и сопротивление.

А. СИЛА ТОКА

Сила тока измеряется при помощи приборов очень разнообразной конструк­ции, которые основаны на различных действиях тока: тепловых, магнитных и индукционных. Наиболее часто применяются приборы, основанные на взаимо­действии магнитного поля измеряемого тока с полем постоянного магнита, ко­торый имеется в приборе: этот метод оказывается пригодным в чрезвычайно широких интервалах, начиная от очень слабых токов, едва доступных измере­нию, и до весьма сильных токов, порядка десятков ампер.

Все подобные приборы принято характеризовать их чувствительностью; она измеряется или тем числом делений шкалы, на которое отклоняется указа­тель (стрелка) прибора при изменении силы, тока на единицу, или той наимень­шей силой тока, которая вызывает отклонение стрелки прибора на одно деле­ние шкалы. Последнюю величину, как более наглядную, чаще применяют на практике; иногда она называется постоянной прибора. Методы измерения сильных и слабых токов во многом являются одинаковыми; но вместе с тем в том и другом случае встречаются некоторые особенности, поэтому удобно разобрать оба эти случая в отдельности.

I. Сильные токи можно измерять при помощи вольтаметров и амперметров.1. Вольтаметры применяются для измерения количества электричества,

протекающего в цепи за определенный промежуток времени; поэтому их иногда называют кулонометрами. Вычисляя количество электричества, протекающего через вольтаметр в единицу времени, мы определяем силу тока. Действие воль­таметров основано на электролитических процессах. Описание одного из ти­пов вольтаметров и производство измерений см. том II, работа 42 а.

2. Амперметры бывают различных типов; основными из них можно считать магнито-электрические, электродинамические и тепловые.

a) Магнито-электрические амперметры системы д’Арсонваля имеют сле­дующую конструкцию: рамка R (рис. 35) с витками проволоки (катушка), по которой проходит измеряемый ток, находится в зазоре между полюсными на­конечниками ns стального магнита и железным цилиндром В\ последний служит для лучшей концентрации магнитных силовых линий. Рамка вращается на оси О; к ней прикреплена стрелка прибора; она удерживается на шкале S в опре­деленном положении (крайнем левом) силой двух плоских спиральных пру­жин; последние одновременно служат для подвода тока. Рамка обыкновенно делается из алюминия, для облегчения веса; возникающие в ней при движении в магнитном поле индуктивные токи создают тормозящий момент, поэтому при­бор обнаруживает хорошее демпфирование, т. е. при отклонениях успокаивается почти без колебаний. Этот тип амперметра, очевидно, пригоден для измерений только в цепях постоянного тока.

b) Электродинамические амперметры вместо постоянного магнита имеют катушку А (рис. 36), закрепленную неподвижно, в которой при прохождении тока создается магнитное поле. Внутри этой катушки находится вторая подвиж­ная катушка R с двумя спиральными пружинами, которая вращается около оси О и несет на себе стрелку прибора N. Измеряемый ток проходит через обе катуш­ки; вследствие взаимодействия их магнитных полей подвижная катушка R полу­чает отклонение под действием направляющего момента, величина которого оказывается пропорциональной квадрату силы т ока-, вследствие квадратичной зависимости направление вращающего момента не изменяется при перемене на­правления тока, что делает амперметры этого типа вполне пригодными для из­мерений в цепях не только постоянного, но и переменного тока любой частоты.

59

Рис. 35. Мягннто-электряческий амперметр. Рис. 36. Электродинамический амперметр.

Вследствие этого электродинамические амперметры находят очень широкое применение в особенности при измерениях переменных токов.

с) Тепловые амперметры основаны на ином принципе; в этих приборах измеряемый ток проходит по тонкой проволочке &В (рис. 37), диаметром около

0,1 мм, обыкновенно из сплава платины с иридием или серебром. Проволока АВ закреплена по концам, а посредине оттягивается нитью EF; последняя в свою очередь натягивается нитью CD, перекинутой через небольшой блок R, к которому присоединена стрелка прибора N. Второй конец нити CD прикре­плен к концу легкой пружины К. При прохождении тока по проволочке АВ она вследствие нагревания удлиняется, натяжение нитей EF и CD несколько ослабевает, и пружина К отходит влево, что вызывает отклонение стрелки N. Так как количество теплоты, выделяемое током, пропорционально квадрату силы тока, то тепловые амперметры, очевидно, пригодны, подобно электродина­

мическим, для измерения силы как постоян­ного, так и переменного тока любой частоты.

При измерениях амперметр А (рис. 38) включается в цепь последовательно, т. е. весь измеряемый ток / проходит через амперметр; отсюда следует, что сопротив­ление амперметров должно быть очень малым, чтобы включение их в цепь не изменяло в ней заметно силы тока. В тех случаях, когда сила тока в цепи больше предельной нагрузки амперметра, и следо­вательно, его нельзя включать непосред-

/Г/ " ствеино в цепь, принято применять так на­зываемое шунтирование', к нему особенно

* часто приходится прибегать при работахРис. 37. Тепловой амперметр. с тепловыми амперметрами, предельная на­

грузка которых обыкновенно не превышает0,5 ампера. Шунт 5 (рис. 39) представляет собой сопротивление, точно измеренное, которое включается в цепь параллельно амперметру А, вследствие чего сила тока Iа, проходящего через амперметр, уменьшается. Допустим, что мы хотим уменьшить ее в п раз по сравнению с общей силой тока / в цепи, т. е. допу­СТИМ’ ЧТ0 / = п ! а. (1)

На основании законов Кирхгофа можно написать:

1 = 1 4 - 1 и -5 —1 — ' f l T ' l и j — д '

где Ra и Rs — сопротивления, соответственно, амперметра и шунта, а / , — сила тока в цепи последнего.60

Из этих формул находим:/ — /

откуда на основании формулы (1) имеем:

Rn 4- R . R, 'п = -

или окончательно:

R — - Ra- ,,<s п — 1* (20

(2)

Число п, которое показывает, во сколько раз мы расширяем при помощи шунта пределы измерений амперметра, называется коэффициентом или мно­жите ем шунта. На практике обыкновенно коэффициент п делают равным 10, или 100, или 1000, так как при этих условиях для измерения силы тока в цепи / достаточно показания амперметра /д умножить на 10, или 100, или 1000, как

г—

- 7 7 ^^JvWVWVV^—

'7! RРис. 38. Амперметр и вольтметр в цепи. Рис. 39. Шунт в цепи амперметра.

это следует из формулы (1). Формула (2) показывает, что сопротивление шунта R s при этом должно быть меньше сопротивления амперметра в 9, или 99, или 999 раз.

Правильность показаний амперметра зависит от ряда причин — технических совершенств прибора, срока его службы, постоянства магнитного поля в маг- нито-электрических амперметрах, температурных влияний в тепловых приборах и т. п. Поэтому при точных измерениях показания амперметров необходимо проверять, или, как принято говорить, амперметры необходимо градуировать. Методы градуировки амперметров см. том II, работа 37а.

II. Слабые токи силой приблизительно до 1 0 -6 А измеряются приборами, подобными описанным выше магнито-электрическим амперметрам, которые, бла­годаря конструктивным улучшениям, приобретают более высокую чувствитель­ность. Такие приборы обыкновенно называются миллиамперметрами (токи до 10~3 А) и микроамп ’рметрами (токи до 10-6 А). Включение их в цепь и ме­тоды шунтирования остаются теми же, что и для обычных амперметров. Для измерения токов еще более слабых до предельных сил тока, доступных измере­нию, приблизительно до Ю-12 А, применяются чувствительные гальванометры. различных типов, из которых наибольшее распространение имеют: а) гальвано­метр с подвижной катушкой, Ь) баллистический гальванометр, с) гальванометр с подвижным магнитом и d) струнный гальванометр.

а) Гальванометры с подвижной катушкой по своей конструкции вполне соответствуют микроамперметрам, но вес их катушек делается возможно ма­лым, вследствие чего чувствительность прибора удается повысить до 10- 8 А. При измерении токов еще более слабых применяют приборы того ж е типа, но их катушку R, чрезвычийно легкую, подвешивают на очень то н к о й проволочке (рис. 40) или чаще на металлической ленте, которая одновременно служит одним из проводников, подводящих измеряемый т о к . О тк л о н е н и я катушки измеряются методом зеркала и шкалы (стр. 37), для чего служит небольшое зеркальце М, диаметром в несколько миллиметров, укрепленное на стерженьке катушки. Приборы такого типа принято называть зеркальными гальваномет­рами. В то время когда зеркальный гальванометр не употребляется, его необ­ходимо арретировать действием особого механизма; при этом катушка прибора несколько приподнимается и оказывается закрепленной, что освобождает нить

61

подвеса от нагрузки. Чувствительность таких приборов может быть доведена до 10_ 11 А, причем в этом случае чувствительность принято определять той

наименьшей силой тока, которая вызы­вает отклонение, равное одному делению шкалы, при ее расстоянии от зеркальца прибора, равном одному метру. Гальвано­метры этого типа оказываются на практике чрезвычайно удобными и очень широко при­меняются при измерениях. Теория этих приборов в элементарной форме может быть изложена следующим образом.

Направление силовых линий в простран­стве между полюсными наконечниками и железным цилиндром В (рис. 41) можно считать радиальным. Поэтому при враше- нии катушки ее плоскость остается па­раллельной силовым линиям поля, вследст­вие чего чувствительность прибора ш дол­жна оставаться постоянной; поэтому, обо­

значая через ат предельный угол, на который отклоняется катушка прибора под действием тока силой /, можно написать:

причем, при малых углах отклонения, ат можно заменить делениями шкалы (стр. 38).

цПри возникновении в катушке тока / на нее начинает действовать вращаю­щий момент (пара сил) М ь величина которого равна силе F, действующей на боковую сторону катушки, умноженной на плечо пары, т. е. на ширину катуш­ки d\ поэтому можно написать

Му — Fd. (4)

Для вычисления силы F предполагаем, что напряженность Н поля в той части зазора, где вращается катушка, постоянна и что боковые стороны катушки расположены перпендикулярно к силовым линиям поля; в таком случае на осно­вании формулы Ампера можно написать:

F — IHln,

где I — длина боковой стороны катушки и п — число ее витков.На основании последней формулы из выражения (4) находим:

Му = IHnld.

В этом выражении произведение Id равно площади катушки 5. Таким образом для значения вращающего момента Му окончательно получаем:

Му = IHnS. (5)

Из этого выражения мы видим, что вращающий момент пропорционален силе тока в катушке и не зависит от угла ее от клонения , т. е. при постояннойсиле тока остается постоянным при всех значениях угла отклонения а катушки.

При отклонении катушки одновременно появляется противодействующий или направляющий момент, который зависит от упругой силы нити подвеса, возни­кающей при ее закручивании. Величина направляющего момента М2 равна про­изведению угла отклонения катушки а на так называемый удельный момент кручения D, который равен моменту упругой силы нити при закручивании ее па угол, равный единице. Таким образом можно написать:

М2 = Da. (6)

Из этого выражения мы видим, что величина направляющего момента воз­растает по мере возрастания угла отклонения катушки. В результате этого движение катушки должно прекратиться при ее отклонении на предельный угол i trl, при котором моменты вращающий и направляющий становятся равными

//

/

Р и с . 40. З ер к ал ьн ы й [а л ьва н о м етр .

Рис. 41. Зеркаль­ный гальвано­

метр.

62

по абсолютной величине, для этого состояния системы на основании формуя (5) и (6) можно написать:

D im = IHSn, (7)

где ат — предельный угол отклонения, при достижении которого катушка останавливается. Отсюда в соответствии с формулой (3) находим выражение чувствительности гальванометра:

HSn /о,“ = - / > - • (8)

Таким образом чувствительность гальванометра с подвижной катушкой пропорциональна напряженности магнитного поля , площади поперечного сечения катушки, числу витков проволоки на ней и обратно пропорциональна удельному моменту кручения нити подвеса. Эти условия находятся в неко­тором противоречии друг с другом; так, при увеличении 5 и л чувствитель­ность гальванометра возрастает, но одновременно возрастает вес катушки; поэтому потребуется более прочная нить подвеса с большим значением удель­ного момента кручения D, и чувствительность прибора должна понизиться. На практике приходится выбирать наиболее выгодные условия взаимного соотноше­ния между величинами в правой части формулы (8)

*Более строгая теория зеркального гальванометра дает возможность значи­тельно детальнее выяснить условия наилучшего действия прибора. В основу этой теории положены следующие соображения.

При отклонении катушки гальванометра, кроме направляющего момента нити подвеса Мъ возникает еще тормозящий момент М 3 сил сопротивления;, они вызываются, во-первых, сопротивлением воздуха и, во-вторых, противодей­ствием индукционных токов, которые возникают вследствие движения в маг­нитном поле, как в каркасе катушки, так и в ее обмотке, если последняя замкнута. Наибольшее действие оказывают индукционные токи, возникающие в обмотке катушки, так что на практике сопротивлением воздуха и индук­ционными токами в каркасе катушки обыкновенно пренебрегают.

При этом предположении не трудно вычислить тормозящий момент Мя сил сопротивления, возникающих при вращении катушки в магнитном поле галь­ванометра. Действительно, электродвижущая сила индукции Е , возникающая в обмотке катушки при ее отклонении, на основании закона индукции может быть представлена таким выражением:

Е = H n S - ^ , at

где Н — напряженность магнитного поля, которое попрежнему будем считать- однородным, п — число витков в обмотке катушки, S — площадь ее вертикаль­

наного сечения и — — угловая скорость вращения катушки, которую пишем.в дифференциальной форме, так как движение катушки неравномерно. Если цепь гальванометра замкнута, то силу индукционного тока I, возникающегов обмотке катушки, можно вычислить по закону Ома; таким образом, прене­брегая самоиндукцией обмотки, имеем:

. Е H nS da. ,n.' - 7 ^ S - d t ’ (9)

где R — общее сопротивление самой обмотки и внешней цепи.Силу взаимодействия между индукционным током катушки / и магнитным

полем гальванометра Н и момент этой силы относительно оси вращения ка­тушки, т. е. тормозящий момент М 3, можно определить совершенно так же, как был определен вращающий момент Afj. На основании этого, в соответствие с формулой (5), получаем:

М 3 iHnS.Вставляя в это выражение значение / из формулы (9), находим:

(10)

63

где для сокращения введен коэффициент Р, который обыкновенно называют коэффициентом торможения, равный:

р _ HbfiS* (Ю1)R '

Определяя момент силы М, действующий на катушку при ее отклонениипод влиянием тока I, следует из вращающего момента Му [формула (5)] вычестьнаправляющий момент Мг [формула (6)], сложенный с тормозящим моментом Ма сил сопротивления [формула (10)J. Таким образом получаем:

M = I H n S - ( D a + P j t y (И)

С другой стороны, момент силы при вращательном движении некоторой системы определяется произведением ее момента инерции на угловое ускорение, которое равно второй производной углового перемещения а по времени. Таким образом для момента М силы, действующей на катушку при ее вращении, можно написать еще такое общее выражение:

(ПО

где J — момент инерции катушки относительно оси вращения, т. е. нити под­веса.

Приравняв правые части выражений (11) и (ПО, находим:

Отсюда получаем дифференциальное уравнение движения катушки:

J W* + p f t + Da = IHnS- (,2)

Если катушка достигает своего крайнего положения и ее движение пре­кращается, то первые два члена в уравнении (12) становятся равными нулю, и мы получаем:

Dam - - IHnS,

т. е. уравнение (7), причем ат попрежнему обозначает предельный угол откло­нения катушки.

Выражение (12) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка; для его решения надо найти некоторую функцию а от t такого вида, чтобы ее первая и вторая производные, подставленные в уравнение 02), удо­влетворяли ему. Оказывается, что этому условию удовлетворяет выражениевида: __________

' ' . (13)а = ат — чте- [ V (lf+ bSin (W + arctg| )которое таким образом и является решением уравнения (12), причем коэффици­енты а и Ъ, введенные для сокращения, определяются такими в ы р а ж е н и я м и :

(И)

* = V l - U b - <15>

Сравнивая уравнение (13) с формулой затухающего гармонического колеба­ния (стр. 94), мы видим, что а соответствует коэффициенту затухания 8, а о соответствует частоте колебания 2 ^1'Г, или ш; таким образом можно также 64

Р0 = 0

~~ 2 J

2* ,г — 1V -J ■

п

• (15')

Па основании уравнения (13) и относящихся к нему формул можно сделать следующие выводы:

1. Во второе слагаемое правой части выражения (13) входит множитель e~ at, величина которого непрерывно уменьшается‘при возрастании t, достигая в пре­деле значения, равного пулю. Отсюда следует, что отклонение катушки галь­ванометра стремится к предельному отклонению ат. но достигает его, говоря теоретически, только по истечении бесконечно большого времени. Вместе с тем наличие во втором члене правой части периодической функции (синуса) пока­зывает, что катушка при этом совершает колебательное движение, которое является затухающим, благодаря присутствию множителя e~ at. Так как знак синуса при изменении аргумента изменяется, то второй член правой части может быть и положительным, it отрицательным', отсюда следует, что по­следовательные отклонения катушки при этих колебаниях будут то больше, то меньше предельного отклонения ат.

Таким образом, если весь процесс отклонения катушки изобразить графи­чески, откладывая по оси абсцисс время, а по оси ординат отклонения, то по­лучается периодическая затухающая кривая I (рис. 42); в начале отклонения возрастают до значений, больших предельного отклонения ат, которое соот­ветствует прямой A0V, а затем катушка начинает совершать колебания около предельного отклонения, асимптотически приближаясь к нему. Период этих колебаний определяется коэффициентами уравнения (12) и может быть вычислен по формуле (150, из которой находим:

Г - — . (16)

написать:

(14’)

V ° 7 -? L4 Л

Если мы размыкаем цепь гальванометра после того, как катушка достигла предельного отклонения чт, то она возвращается к своему положению покоя, вновь совершая около него ряд затухающих колебаний (рис. 42, кривая II), период которых, однако, не вполне соответствует периоду колебаний кривой /,

Л -/v

V /Р и с. 42. О ткл он ен и я гал ьван ом етр а. Р и с . 43. А п ер и о д и ч е ск и е отк л он ен и и га л ь ­

ван ом етра.

т. е. формуле (16). Действительно, отклонения катушки по кривой / происходят при замкн той цепи гальванометра, а возвращается катушка к нулевому по­ложению по кривой II при разомкнут ой цепи , и в последнем случае индукци­онные токи в обмотке катушки не могут возникать. Вследствие этого коэф­фициент торможения Р в формуле (16) можно считать равным нулю, так как его величина, как было ун*е сказано, определяется почти исключительно токам.■ в обмотке катушки. При этом условии период колебания катушки, очевидно, становится меньше; из формулы (16) мы находим значение периода колебаний 7а при этих условиях:

г.-* i/£. (17)

Период колебания катушки при разомкнутой цепи 7о принято называть периодом свободных или незат ухаю щ их колебаний гальванометра. Последнее5 Ф и зи ч еск и й п рак ти к ум 65

название объясняется тем, что декремент затухания колебаний (стр. 95) при разомкнутой цепи гальванометра оказывается меньше, чем при замкнутой, как это можно установить, определяя декременты затухания в том и другом слу­чаях из формулы (13). Отсюда видно, что для более быстрого прекращения колебаний катушки около нулевого положения цепь гальванометра следует замыкать на некоторое сопротивление; возникающие при этом условии в об­мотке катушки индукционные токи быстро прекращают ее колебания.

2. Эти общие выводы совершенно изменяются в некоторых частных случаях, которые мы получаем, предполагая, что между коэффициентами уравнения (13) имеет место определенная зависимость. Наиболее интересным на практике представляется случай, когда коэффициенты уравнения (13) связаны соотно­шением:

Р 2 = 4JD. (18)

При этом условии частота колебаний, как видно из уравнения (15*), стано­вится равной нулю, а их период, как видно из уравнения (16), получает бес­конечно большое значение; иными словами движение катушки перестает быть, периодическим или, как принято говорить, становится апериодическим. Выра­жение, стоящее в квадратных скобках в правой части уравнения (13), при Ь, равном нулю, получает неопределенное значение, но эта неопределенности только кажущаяся, и если ее устранить обычными приемами дифференциального исчисления, то уравнение (13) в этом случае получает такой вид:

“ = «от — ame ~a tQ — (13')

В этом уравнении тригонометрическая функция отсутствует, что объясняется тем, что движение катушки потеряло периодический харзктер, и ее отклонение, как видно из уравнения (13'), соответствует некоторой экспоненциальной кри­вой I (рис. 43), которая асимптотически приближается к предельному отклоне­нию а, т. е. к прямой NN. Тот же вид имеет кривая, по которой катушка во (вра­щается к своему положению равновесия, если мы размыкаем цепь гальванометра

после достижения им предельного отклонения ат (рис. 43, кривая //).Из формулы (18) мы видим, что эти условия имеют место в том случае,

если коэффициент торможения Я получает вполне определенную величину, в соответствии с значением момента инерции катушки J и удельного момента кручения D нити подвеса. Так как одновременно коэффициент торможения зависит от силы / индукционных токов в обмотке катушки [формула (9)], то, очевидно, для каждого гальванометра можно подобрать такое сопротивле­ние Якр, при котором условие (18) оказывается выполненным, и отклонения гальванометра приобретают апериодический характер, отвечающий кривым / и II рис. 43. В этом случае режим гальванометра принято называть критически успокоенным, а то сопротивление /?кр, которое отвечает этому режиму, принято называть критическим сопротивлением. Если сопротивление в цепи гальвано­метра оказывается меньше критического, то индукционные токи в катушке усиливаются, и ее отклонения, продолжая оставаться апериодическими, совер­шаются медленнее, т. е. катушка достигает предельного отклонения ат через более длинный промеж уток времени", режим гальванометра в этом случае принято называть переуспокоенным. Если же имеет место обратный случай, т. е. сопротивление в цепи катушки оказывается больше критического, то сила индукционных токов в ее обмотке уменьшается, и движение катушки приобретает периодичский характ ер-, режим работы гальванометра в этом случае принято называть недоуспокоенным В соответствии с этими выводами на практике оказывается, что наиболее удобным при измерениях является критически успокоенный реж им гальванометра или режим, несколько недо- успокоенный, но близкий к критическому.

3. Формулу (8), определяющую чувствительность гальванометра, можно на основании выражения (17) представить в виде

H SnTl

■=W I Tf.r,

откуда получаем:HS.nl*

(О = - -

Таким образом мы видим, что чувствительность гальванометра пропорциональна второй степени периода его свободных колебаний и обратно пропорцио­нальна моменту инерции катуш ки относительно оси вращения.

Приведенные выше выводы и соотношения не являются вполне точными, тем не менее они хорошо оправдываются на опыте; поэтому ими часто поль­зуются на практике *.

Ь) Баллистический гальванометр представляет собой видоизменение зеркального и применяется в тех случаях, когда требуется определить весьма небольшое количество электричества, которое протекает в цепи за очень корот­кий промежуток времени, например в случае мгновенных токов при разряде конденсатора, при индукционных явле­ниях и т. п.

От обычных типов зеркальных гальванометров баллис­тический гальванометр отличается очень большой величиной момента инерции своей катушки; ее момент инерции часто искусственно увеличивают, прикрепляя несколько ниже каркаса катушки легкую горизонтальную рейку К (рис. 44), с углублениями на концах, в которые вкладывают неболь­шие медные шарики. При большом моменте инерции ка­тушки R период ее свободных колебаний, как это следует из формулы (17), достигает также большой величины; на ° г \практике часто применяются баллистические гальвано- gjметры, период которых Г,, превышает 20 сек. В резуль- ?тате оказывается, что продолжительность тех мгновенныхимпульсов тока, которые проходят в катушке баллисги- Рис-_44- Баллистичес ческого гальванометра, является очень малой величиной К1Ш гальпаноме;гР-по с равнению с периодом его колебаний, вследствиечего весь измеряемый импульс тока проходит ^ерез катушку гальвано­метра прежде чем она успевает отклониться от положения равновесия на за­метный угол.

Под действием полученного импульса катушка совершает отклонение, или баллистический отброс, а затем возвращается в нулевое положение. Величину баллистического отброса а0 катушки считают пропорциональной количеству электричества q, которое прошло через гальванометр; таким образом можно написать:

<? = Са0, (19)

где С — некоторый коэффициент, который принято называть баллистической постоянной прибора\ эта величина, очевиню, определяется тем количеством электричества, которое, проходя через катушку, вызывает баллистический от­брос гальванометра, равный одному миллиметру шкалы, если она находится iu расстоянии одного метра от прибора.

^Выражение (19) можно вывести на основании следующих соображений.Так как сила тока при мгновенном импульсе непрерывно изменяется, то

количество электричества, протекающего через катушку, необходимо опреде­лять, пользуясь формулой:

- = idt, (20)

где г — мгновенное значение силы тока, t — время и т — продолжительность импульса.

К движению катушки баллистического гальванометра мы можем применить общее уравнение (12), но при этом необходимо всегда иметь в виду следу­ющее: ' ’

1. Движение катушки совершается по инерции, т. е. в отсутствии вращаю­щего момента, так как оно начинается, практически говоря, после окончания импульса измеряемого тока; в этих условиях правую часть уравнения (12)5* ‘ 67

• ' S + p S + D‘ =°*

2. Однако в начальный момент времени правая часть уравнения (12), строго говоря, не равна нулю, так как катушка находится под действием некоторого переменного импульса, определяемого выражением (20); но так как в этот мо­мент движение катушки, практически говоря, еще не началось, то втором и третий член в левой части уравнения (12) можно считать равным нулю; на осно­вании этого для началыювб момента имеем:

J g = UinS. (21)

Выполняя интегрирование уравнения (21), находим в соответствии с выра­жением (20):

Т

J UJ = H nS i' i d t = HnSq. (22)о

Кинетическая энергия катушки Ek на основании общего выражения кине­тической энергии вращающегося тела определяется формулой:

. < 3 ) ’

м о ж н о считать р а в н о й н улю, т. е. имеем:

da _где — — угловая скорость вращения катушки. Эта энергия затрачивается назакручивание, т. е. на упругую деформацию нити подвеса; по общему выраже­нию потенциальной энергии упруго деформированного тела потенциальная энергия Ер нити подвеса при отклонении катушки на угол а0 определяется выражением

Е р - 2 .

где П — удельный момент кручения нити подвеса.Hi двух последних уравнений на основании закона сохранения энергии

имеем:

u d oИз этого выражения, пользуясь формулой (22) и исключая — , находим:

----- J-----= Z )a o •

Подставляя в это выражение значение J из формулы (17), получаем:

(2*)V/*nsS V г, 2------- -7-------- --- ^ а() •г р 0

Отсюда определяем q:

(23)

Все величины, которые входят в коэффициент при а0 в правой части этого выражения, являются постоянными для данного гальванометра; поэтому можно написать:

q = Са0, ДО')где С — некоторый коэффициент, который на основании формулы (19) является 68

баллистической постоянной прибора', она оказывается равной:

С' Ш ' 1241

т. е. баллистическая постоянная определяется периодом колебания катушки и удельным моментом кручения нити подвеса, а также напряженностью магнитного поля, размерами катушки и числом витков в ее обмотке.

Приведенный вывод и все формулы не являются вполне точными, но они хорошо оправдываются на опыте и поэтому ими обычно пользуются на прак­тике*.

c) Гальванометр с подвижным магнитом имеет две или четыре непод­вижные катушки, через которые проходит измеряемый ток; между катушками на чрезвычайно тонкой кварцевой нити, диаметром иногда меньше одного ми­крона, подвешена очень легкая магнитная (астатическая) стрелка, снабженная зеркальцем для зеркального отсчета. Этот тип гальванометров обнаруживает чрезвычайно высокую чувствительность до 10_12А. Недостатком прибора являет­ся очень высокая чувствительность к посторонним магнитным полям, напри­мер, вызываемым трамвайными токами2) Этот недостаток можно частично устранить, защищая гальванометры железными экранами.

d) Струнный гальванометр также чрезвычайно чувствителен, до 10“ 12А на одно деление шкалы. В этих приборах при помощи микроскопа с окулярным микрометром наблюдается отклонение под действием очень сильного магнитного поля тончайшей металлической нити, диаметром в несколько микронов, по ко­торой проходит измеряемый ток 2).

В. РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ

Разность потенциалов (напряжение) можно измерять методами: 1) электро­динамическими, 2) компенсационными и 3) электростатическими.

1. При электродинамических методах цепь, в которой измеряется раз­ность потенциалов, бывает замкнута. При таких измерениях применяются различ­ного типа вольтметры, которые, так же как и амперметры, характеризуются их чувствительностью (ин01да называемой постоянной воль M e i p a ) , т. е. той раз­ностью потенциалов, которая вызчвает отклонения вол тметра на одно деле­ние его шкалы. Волым.тры большой чувствительности (порядка 10—3V) обык­новенно называются милливольтметрами. Вольтметр V включается в ц< пь паралл.-льно (см. рис. 38), т. е. во :ьтм тр соединяется с теми точками а и Ь цепи, ра.шость потенциалов которых измеряется. Сопротивлен"е вольтметра, очевидно, должно быть очень велико по сравнению с сопротивлением R части цепи аЬ, так чтобы его включение не изменяло заметно ее режима. При постоянном сопротивлении воль метра сила тока, проходящего через вольт­метр, будет пропорциональна разности потенциалов между точками а и Ь. Сле­довательно, шка.ту этих приборов, пока яш м которых .зависят от силы тока, можно npoi раду ровать непосредственно в вольтах.

Если ралю гть потенциалов между точками а и Ь превышает пределы, на которые рассчитан волы м еф , то их можно расширить, пользуясь приемом, аналогичным шунтированию амперм.тра (стр. 60). Для эю го в цепь вольт­метра, последовательно с ним, как э о показано на ри:. 39, вкгючают так называемое добавочное сопротивление Rg, величина которого должна быть изв.стна; в результате этого разность потенциалов Uv на к :еммах вольтметра умен шается. Допустим, что мы хотим уменьшить ее в п ра ■ по сравнению с разностью потенциалов U м.жду точками а и Ь, т. е. допустим, что

. . .. Uab = nUv. (25)Из закона Ома имеем:

U и — 11 4 - I I У v —Uab Uv-hU/r, Ug — Rg’

г д е U g — п а л е н и е п о т е н ц и а л а н а д о б а в о ч н о м с о п р о т и в л е н и и R g .

*) Е* А . С в и р с к и й, О бщ ий к у р с эл е к тр и ч еск и х и м агни тн ы х и зм ер ен и й . И зд. 4-е. Л .-М 1939, стр . 136. " **

J) Т а м ж е , с т р . 139,

69

gОтлода на основании фор-

Rv Ч" Rg п — ---- п----- (26)

тRg = ( n — 1) R v.

Число п, которое показывает, во сколько раз мы рагш 'ряем при ппмощи добавочного сопротивления |ределы измерений гольтметра, называется коэф­фициентом или множ ителем добавочного сопротивлении. На практике обыкновенно коэффициент делают равным 10 (или 100, или 1000), так как при этом уел вии для измерения разности пот нииал >в между точкгмч а и Ь достаточно показания вольтметра Uv умножить на 10 (или 100, или 1000), как это сл.дует из формулы (25). Формула (261) показывает, что добавочное сопротивление Rs при этом должно быть больше сопротивления волыметра в 9 (или 99 или 99у раз). Правильность показаний вольтметров зависит от многих причин, как это было \казано по отношению к амперметрам (стр. 61). Поэтому при точных изме­рениях показания вольтметров необходимо проверять, т. е. подобно амперметрам вольтметры необходимо градуировать. Методы градуировки вольтметров см. том II, работа 38 а.

Из различных типов вольтметров наибольшее распространение имеют вольт­метры с подвижной катушкой и вольтметры тепл вые, а в последнее время также вольтметры катодные. Первые два типа приборов по конструкции вполне аналогичны соответствующим типам ампе- метров, но их сопротивление делается достаточно большим. Вольтметры с подвижной катушкой пригодны для измерения только постоянного напряжения, тепловые вольтметры могут применяться для измерения как постоян ого, так и переменного напряжения.

Катодный вольтметр, который часто называют также электронным или ламповым, основан на свойствах катоднчх ламп. Катодные вольтметры при­меняются при измерении переменных токов высокой частотыа). Описание прибора и производство измерений см. том II, работа 38 е.

2. При компенсационных методах цепь бывает замкнутой, но в момент отсчета сила тока в цепи измерительного прибора падает практически до нуля. Э т методы применяются главным образом для измерения небольших разностей потенциалов, например, при определении электродвижущих сил гальванических элементов. Точность измерений очень высока (до 0,01°/0). Описание метода и производство измерений см. том II, работа 38 d.

3. При электростатических методах цепь остается разомкнутой. Приме­няемые здесь приборы носят название электрометров; их действие основано главным образом на тех силах, которые возникают между двумя проводниками, заряженными статически до различного потенциала; иногда применяются и другие явления, например электрокапиллярпые, пьезоэлектрические. Электро­статические методы могут применяться для измерения весьма больших разно­стей потенциалов, до нескольких десятков киловольт2). При измерении неболь­ших разностей потенциалов наибольшее применение находят: электрометры с листочком, капиллярный электрометр и квадратный электрометр.

Электрометры с листочком или с металлизированной кварцевой нитью, иногда с тончайшей металлической, так называемой волластдновой нитью, основаны на принципе обычных электроскопов, но снабжены микроскопом с окулярным микрометром для точного отсчета отклонений. Описание прибора и производство измерений см. том II, работа 58 Ь.

Капиллярный электрометр (Оствальда)' основан на изменении коэффи­циента поверхностного натяжения ртути под действием электрических сил. Описание прибора и производство измерений см. том II, работа 38 с.

Квадрантный электрометр является наиболее точным прибором и может применяться для измерения разности потенциалов до 10~4V 3).

f) Е . А. С в и р с к и й , 1. с . , с т р . 98: А . Г у н д , И зм ер ен и я при вы сокой ч а сто те . П ер . с н ем ., М . - Л . , 1931.

а) Е . А. С в и р с к и й, 1. с . , с т р . 93.3) К. А. С в и р с к и й , 1. с ., с т р . 139.

7 0

С. СОПРОТИВЛЕНИЯ

Измерение сопротивлений составляет одну из наиболее полно разработан­ных оОластей электрометрии, которая располагает здесь рядом точных и на­дежных методов. Выбор метода измерений определяется как величиной изме­ряемого сопротивления, так и условиями измерения. При измерении обычных сопротивлений (омы — тысячи ом) и при измерении малых сопротивлений (омы — тысячные доли ома) можно применять метод вольт-амперметра, метод замещения и метод мостика.

1. Метод вольт-амперметра основан на непосредственном применении закона Ома.Измеряемое сопротивление R x (рис. 45) вклю­чают в цепь, в которую одновременно вводят амперметр А и вольтметр V\ последний вклю­чается параллельно с измеряемым сопротив­лением (стр. 69). Сила тока в цепи регулируется дополнительным сопротивле­нием R, величина которого может оставаться неизвестной. При этих условиях очевидно:

'II* , = 7 . (27)

где U и I — показания, соответственно, вольтметра и амперметра.Этот метод, чрезвычайно простой, применяется очень часто. Однако необ­

ходимо иметь в виду, что выражение (27) можно считать справедливым только в том случае, если сила тока в цепи вольтметра чрезвычайно мала по сравне­нию с силой тока на участке ah, иначе говоря, измеряемое сопротивление Rx должно быть очень мало по сравнению с сопротивлением вольтметра.

2. Метод за м е щ е н и я состоит в следующем. В электрическую цепь вклю­чают последовательно измеряемое сопротивление и точный амперметр, показа­ния которого отсчитываются. Затем вместо измеряемого сопротивления в цепь включают сопротивление переменной величины, точно калибрированиое; если подобрать его величину так, чтобы в цепи восстановилась прежняя сила тока, то, очевидно, тем самым мы непосредственно определяем величину измеряемого сопротивления.

3. Метод мостика или мостика Уитстона, который иногда называют нуле­вым методом, основан на следующем.

Измеряемое сопротивление гг (рис. 46) и три других сопротивления пере­менной величины гъ rf и г4 соединяются так, что образуется замкнутый четы­рехугольник сопротивлений. Источник электрической энергии Е (гальванический элемент) через выключатель К присоединяется к двум противоположным вер­шинам этого четырехугольника, например к точкам А и В, а между двумя другими вершинами С и D включается гальванометр G (или чувствительный микроамперметр). При замыкании тока гальванометр, вообще говоря, должен обнаружить отклонение, но если подобрать величины сопротивлений гъ гъ и г<. так, чтобы потенциалы точек С и D сделались равными, то тока в цепи галь­ванометра не обнаружится, т. е. гальванометр при замыкании выключателядолжен оставаться в покое (на нулевом делении). При этом условии должныбыть равны: во-первых, силы тока на участках (АС и СВ) и (AD и DB)\ во- вторых, падение напряжения на участках (АС и AD) и (СВ и DB), т. е. можно написать:

/ l = /2. / , = /*. (28)h r \ — h ri< h r2 — Isr3> (28^

причем в уравнениях (28') разность потенциалов на концах каждой стороны четырехугольника сопротивлений заменена произведением силы тока на соот- иетствующее сопротивление.

Взяв отношение двух последних равенств и принимая во внимание урав­нения (28) получаем / i /̂ 2 = r4/ /8. Отсюда находим

= (29)

—vww'— :0 - Цлллллр-

Рис. 45. Метод вольг-амперметра.

71

т. е. для того чтобы определить сопротивление гь надо знать величину од­ного сопротивления г2 (или г4) и отношение двух других.

На практике сопротивлением г2 (рис. 47) служит точный магазин сопро­тивлений (стр. 75). Двумя другими сопротивлениями и л4 служат части длинной (обыкновенно 1 м) калибрированной проволоки ADB, натянутой вдоль точного масштаба; такой прибор часто называется реохорд. По проволоке пе­ремешается подвижной контакт D, который соединяется с гальванометром; таким образом проволока оказывается разделенной на две части, соответствую­щие сопротивлениям г3 и г±, длину частей проволоки можно определять по масштабу. Для проволоки из однородного материала, тщательно калибрирован­ной, сопротивление обыкновенно считают пропорциональным длине, поэтому формулу (29) окончательно можно написать в виде:

r\ = 'V-r , (29')‘2

где /, и /2 — длина двух частей проволоки, на которые ее делит подвижной контакт при его установке на нулевое отклонение гальванометра.

Так как наиболее выгодные усло­вия при работе методом мостика полу-

Ряс, 46. Мостик Уитстона (схема). Рис. 47. Мостик Уитстона (схема).

чаются при условии равенства 7t и /2 (СТР- 21), то следует вначале, поместив подвижной контакт посредине проволоки, подобрать такую величину сопро­тивления магазина (г2), чтобы гальванометр почти не обнаруживал отклонения. После этого небольшим перемещением подвижного контакта нетрудно добиться полного отсутствия отклонений гальванометра.

Метод мостика является очень точным и весьма часто применяется в ла­бораторной практике. Точность измерений может достигать 10~40/0 измеряемой величины. Имеются удобные формы мостиков Уитстона, приспособленные для быстрых измерений. Описание и применение см. том I, работа 12 d, том II, работа 41 Ь.

Видоизменением метода мостика Уитстона является метод двойного мо­стика Томсона, который обыкновенно применяется для измерений очень ма­лых сопротивлений. Описание метода и производство измерений см. том II, работа 41 d.

D. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕКТРОПРИБОРЫ

При электрических методах измерений применяется большое число самых разнообразных вспомогательных электроприборов; сюда можно отнести приборы, которые служат для изменения силы тока в цепи, — реостаты, сопротивления — приборы для получения высокого напряжения — трансформаторы, индукторы, а также такие приборы, как коммутаторы, выключатели, рубильники и т. д. Боль­шинство этих приборов можно считать общеизвестными; некоторые особые фор­мы вспомогательных приборов, например коммутаторы особого типа, двойные выключатели и др., описаны отдельно в работах. Здесь же дано лишь краткое описание тех приборов, которые служат, во-первых, для получения небольших количеств электрической энергии и, во-вторых, для изменения режима электри­ческой цепи, например, изменения в ней силы тока или разности потенциалов.72

1. Для получения небольших количеств электрической энергии применяются гсльванические элементы (часто называются первичными элементами) и ак ­кумуляторы (часто называются вторичными элементами).

a) В гальванических элемент ах источником электрической энергии являются электрохимические процессы, которые происходят на границе электродов и окру­жающей среды, так называемого электролита. Величина электродвижущей силы гальванических элементов при замкнутой цепи, так называемое рабочее напря­жение элемента, даже при постоянном режиме внешней цепи, не остается, вообще говоря, постоянным. В простейших элементах оно очень быстро падает, иног.га весьма значительно. Это является результатом поляризации гальвани­ческих элементов, вследствие которой, во-первых, возрастает внутреннее со­противление элемента и, во-вторых, возникает электродвижущая сила поляри­зации, направленная всегда обратно электродвижущей силе самого элемента. Для уменьшения действия поляризации в гальванические элементы вводят различные деполяризаторы , которые в большинстве случаев действуют хими­чески, поглощая газообразные продукты (главным образом водород), выделяю­щиеся при работе элементов. Действие деполяризаторов всегда ограничено, и при продолжительном замыкании гальванических элементов их рабочее на­пряжение падает; поэтому гальванические элементы обыкновенно применяются при измерениях, которые заканчиваются в очень короткое время (мгновенное замыкание цепи). Из разнообразных типов гальванических элементов наиболь­шее применение находят следующие:

Э.гемент Лекланш е: цинк Zn (катод), уголь С (анод); раствор хлористого аммония, или нашатыря NH4Cl (электролит); деполяризатором служит перекись марганца М л02 в твердом состоянии. Очень часто электролит в элементах Лекланше вводится в полусухом состоянии; для этого раствором нашатыря смачивают особую пасту, разделяющую электроды. Таким приемом приготовляют так называемые сухие элементы. Электродвижущая сила элемента Лекланше равна (приблизительно) 1,5 V; при замыкании цепи она быстро падает и восста­навливается через несколько минут после размыкания.

Элемент Гренэ: цинк Zn (катод), уголь С (анод), раствор серной кислотыH.,S04 (электролит); деполяризатором служит двухромокислый калий К2Сг207, который вводится в электролит в количестве 15°/0. Катод в этом элементе принято погружать в электролит только во время действия элемента. Электро­движущая сила элемента Гренэ равна (приблизительно) 2V; при замыкании цепи она заметно падает, деполяризация происходит очень быстро.

Элемент Д аниэля , гальванический элемент с двумя электролитами: цинк Zn (катод) и раствор сернокислого цинка ZnS04 (первый электролит) нахо­дятся в пористом сосуде, который опущен во второй (стеклянный) сосуд; в нем находятся пластина меди Си (анод) и раствор сернокислой меди C uS04 (вто­рой электролит), который одновременно служит деполяризатором, реагируя с газообразным водородом, выделяющимся при действии элемента. Электро­движущая сила элемента Даниэля равна (приблизительно) 1,1 V; при замыкании цепи она остается почти постоянной.

Нормальные элементы служат эталонами электродвижущей силы. В ка­честве международоого эталона электродвижущей силы в настоящее время, принят нормальный элемент Вестона, в котором анодом служит металли­ческая ртуть Hg, катодом — металлический кадмий Cd, вводимый в элемент в виде ртутной, амальгамы; электролитом служит насыщенный раствор серно­кислого кадмия C dS04, а в качестве деполяризатора применяется сернокислая закись ртути Hg2S 0 4. Элементам Вестона обыкновенно придают форму Н-об- разпых сосудов (рис. 48), герметически закрытых, в нижних концах которых впаяны платиновые вводы; они отведены к клеммам а и Ь на эбонитовой крышке футляра, в котором помещается весь элемент. Электродвижущая сила- элемента Вестона принимается равной 1,01829 V. Ее температурный коэффи­циент крайне незначителен, и значение электродвижущей силы остается чрез­вычайно постоянным при условии очень осторожного обращения с прибором. В частности, от элемента Вестона не следует брать ток больше 10 еА.

b) В аккум улят орах источником электрической энергии служит электро­движущая сила поляризации; она создается в них предварительным действием внешней электродвижущей силы и при работе аккумулятора постепенно осла­бевает. Поэтому аккумуляторы требуют периодической зарядки, т. е. возоб­новления их электрической энергии; при этом в аккумуляторе совершаются

72

определенные химические процессы, которые при разряде аккумулятора про­текают в обратном направлении. Поэтому принято говорить, что в аккумуля­торах имеет место обратимый процесс. При зарядке аккумулятор соединяют п а р а ллем н о с источником постоянной электродвижущей силы и затем про­пускают через аккумулятор ток определенной силы; сила зарядного тока зависит

от размеров и тина аккумуляторов и для каж­дого типа аккумуляторов указывается отделено.

В лаборатории находят широкое примене­ние как отдельные аккумуляторы, так, в осо­бенности, небЪльшие переносные батареи аккумуляторов, в которых несколько отдель- ныхаккумуляторов соединены последовательно. В зависимости от размеров и конструкции аккумуляторы имеют различную емкость', она определяется тел! количеством электричества, которое можно получить от аккумулятора, раз­ряжая его при нормальном режиме до опре­деленного предела, ё м к о с т ь аккумуляторов принято выражать в амнерчасах (Ah); 1 Ah равен 3600 амперсекундам, т. е. 3600 кулона^.

В настоящее время применяются аккуму­ляторы двух типов: свинцовые и железо-нике- левые. Свинцовые аккумуляторы, называе­мые также кислотными, имеют электроды из губчатого свинца РЬ (катод) и перекиси свин­ца РЬ20 5 (анод); электролитом служит раствор серной кислоты H2S 0 4, концентрация которого

для аккумуляторов различного типа несколько различна. Электродвижущая сила свинцовых аккумуляторов немедленно nocjje зарядки равна приблизительно 2,5V; при разряде она вначале быстро падает до 2V, затем некоторое время остается (по­чти) постоянной, а при дальнейшем разряжении вновь начинает быстро уменьшать­ся. Не следует допускать падения электродвижущей силы ниже 1,85V, во избежа­ние быстрой порчи аккумулятора. При достижении этого предела а ккум уля­тор считается разряж енным и его необходимо немедленно вновь заря­дить. Таким образом свинцовые аккумуляторы требуют непрерывного наблю­дения; в частности, они не могут оставаться в незаряж енном состоянии. Кроме того, свинцовые аккумуляторы всегда рассчитаны на некоторую мак­симальную силу разрядного тока, выхолить за пределы которой также не следует; поэтому, например, короткое замыкание свинцовых аккумуляторов оказывает на них вредное действие. Внутреннее сопротивление свинцовых ак­кумуляторов очень незначительно.

”Щелочные или железо-никелевые аккумуляторы имеют электроды из мелко размельченного железа Fe (катод) и окиси никеля Ni50 3 (анод); электро­литом служит раствор едкого кали, КОН, с концентрацией около 20о/0. Щелоч- чые аккумуляторы не вполне удовлетворяют условию обратимости. Электро­движущая сила шелочных аккумуляторов немедленно после зарядки равна приблизительно 1,3V; при разрядке она постепенно падает. Железо-никелевые аккумуляторы не требуют строгого соблюдения режима при разряде; в част­ности, они без порчи могут долгое время оставаться в незаряженном состоя­нии и допускают очень сильные разрядные токи. Внутреннее сопротивление щелочных аккумуляторов значительно больше, чем свинцовых.

2. Для изменения режима работы электрической цепи применяются: рео­статы , потенциометры, выпрямители и усилители.

а) Реостаты способ включения которых в электрическую цепь обще­известен, служат для изменения силы тока в цепи. Тип, конструкция и размеры реостатов бывают весьма разнообразными. В зависимости от назначения реоста­тов их можно разделить на пусковые для постепенного увеличения силы тока в цепи при пуске каких-либо двигателей, динамо-машин и пр., регулировочные, которые служат для установления в цепи необходимой силы тока и измеритель­ные, сопротивление которых должно быть точно известно. В зависимости от применяемого для изготовления реостатов материала их можно разделить на металлические, жидкие, графитовые и т. п.; в зависимости от величины со­74

противления принято выделять в особую группу реостаты, имеющие очень большое сопротивление, измеряемое сотнями или тысячами мегом; это так на­зываемые высокоомные сопротивления. Особенно широкое применение в ла­бораторной практике находят реостаты со скользящим контактом, ламповые реостаты и так называемые магазины сопротивлений.

Реостат со скользящим контактом, часто называемый реостатом Рустрата, схематически изображен на рис. 49; эти реостаты состоят из одного

или иногда двух изолирующих цилиндров (фарфор, шифер), на которых намотана проволока (железо, нихром) без изоляции, по так, что соседние витки не прикасаются друг к другу; по проволоке скользит кон­такт А (ползушка), который можно устана­вливать иа любом участке обмотки. Реостат включается в цепь так, что ток проходит

Рис. 49. Реостат Рустрата.

(j)Z (Ju (j)/ cj)/ (j)Z <J>/

Рис. 50. Л амповый реостат.

по части реостата в И, а далее через контакт А идет практически без сопро­тивления по толстому металлическому стержню В, укрепленному над рео­статом.

Ламповый реостат, схематически изображенный на рис. 50, состоит из ряда лампочек накаливания LLL, Соединенных параллельно, и включается в цепь, как показано на рисунке. Сила тока регулируется числом лампочек, вклю­чаемых в цепь; сопротивление лампового реостата можно изменять, очевидно, только скачками. Применяются также ламповые реостаты, в которых лам­почки включены последовательно', сопротивление реостата в этом случае, оче­видно, равно сумме сопротивлений всех лампочек. При применении ламповых реостатов необходимо иметь в виду, что со­противление волоска лампочки в холодном и раскаленном состоянии различно.

Магазины сопротивлений, которые от­носятся к числу измерительных реостатов, представляют собой набор катушек из про­волоки с хорошей изоляцией. О ни находятся внутри деревянного ящика и соединен:>1 друг с другом последовательно (рис. 51); для этого на крышке ящика укрепляются массивные латунные пластинки LLL, и концы каждой из катушек гг соединяются с двумя сосед­ними пластинками, между которыми можно устанавливать непосредственный контакт при помощи конических штепселей ЬЪ. Если штеп­сель поставлен на место, т. е. в гнездо меж­ду пластинками, то соответствующую катуш­ку практически можно считать выключенной, так как сопротивление латунных пластинок чрезвычайно мало. Сопротивления отдельных катушек точно измеряются и подбираются в определенной последовательности подобно тому, как это принято в наборах разновесок; величина сопротивления каждой катушки указывается на крышке ящика. Магазины сопротивлений из­готовляются различных типов, которые отличаются между собой числом кату­шек и величиной их сопротивления. Лучшие образцы магазинов сопротивле­ний, обыкновенно называемые прецизионными, в отличие от обычных или т ехнических магазинов, изготовляются с чрезвычайно высокой степенью точности, для чего необходимо принять ряд предосторожностей; так, крышка ящика в таких магазинах изготовляется из надежного изолятора (эбонит), для катушек применяется проволока из сплавов с небольшим температурным коэффициентом сопротивления (манганин, константен), сопротивление катушек

Рис. 81. Магазин сопротивления.

75

очень тщательно измеряется и выверяется для определенной температуры (о б ы к н о в е н н о при 15° или 20°С), проволока на катушках наматывается бифи- лярно, т. е. ток дважды проходит через катушку в прямом и обратном напра­влении, что имеет ■большое значенне при работах с переменным током и т. д. При измерении сопротивления с помощью лучших прецизионных магазинов можно достичь точности до 10-5 измеряемой величины.

Ь) Потенциометры применяются для изменения разности потенциалов из концах ответвления от основной цепи, в которой напряжение остается постоян­ным. Потенциометр состоит из реостата R с большим сопротивлением (рис. 52),который имеет подвижной контакт А с клеммой. Потенциометр включается в основную цепь, причем один из его концов служит общим полюсом основной

цепи и ответвления, вторым полюсом кото­рого является контакт А. Разность по­тенциалов в ответвлении, очевидно, зави­сит от положения контакта А и может принимать все значения от нуля до полно­го напряжения на концах потенциометра. Если обозначить силы тока в основной це­пи, на ее участке ЬА и в ответвлении, соответственно /, i и i lt то, очевидно,

/= г '~ М ,

где V — разность потенциалов на концах всего потенциометра и R — его соп­ротивление, v и г — те же величины между точками Ь и А и гх — сопротивле­ние ответвления. Из последней формулы получаем:

v " • (30)RЕсли в частном случае rt очень велико по сравнению с г, то выражение (30) можно, очевидно, заменить приближенной формулой

v — V rjR. (30')

Иногда изготовляются более сложные потенциометры с двумя подвижными контактами, которые отводятся к ответвлению; расчеты такого потенциометра столь же элементарны. Надежными потенциометрами могут служить магазины сопротивлений, так как в этом случае величины А? и г определяются с большой точностью; однако разность потенциалов можно изменять при этом только скачками.

c) Выпрямители применяются для преобразования переменного тока в по­стоянный; действие выпрямителей основано на очень разнообразных физических процессах ■). В настоящее время при лабораторных работах очень широко при­меняются высоковакуумные катодные выпрямители или кенотроны; их дейст­вие основано на односторонней проводимости электронных ламп, т. е. на так называемом эффекте Эдиссона2). Типы катодных выпрямителей бывают весьма разнообразны; описание некоторых из них и их изучение см. том 11, работа 78 Ь.

d) Усилители позволяют, при помощи местных источников энергии, повы­шать напряжение, или мощность, или силу тока, которые подводятся к прибору. Такое действие может быть основано на различных физических процессах3). В настоящее время исключительную роль во всей измерительной технике играет усиление при помощи катодных или электронных ламп; катодные усилители бывают весьма разнообразных типов4). Их применение см. том I, работа 1 b и 5 Ь; изучение катодных усилителей см. том II, работа 56 а.

*) В. В о л с д и н, В ы п р ям и тел и , М. — Л ., 1936.“) Э. В п и л ы о к , Э л ек тр о н н ы е лам пы и их п р и м е н ен и е . П ер . с а н г л .. М ., 1937.э) А- Г у н д , И зм ер е н и я при вы сокой частоте . П ер . с н ем ., М. — Л ., 1931, стр . 101.*) Э. Э п и л ь г о н , 1. с.

76

Ч А С Т Ь П Е Р В А Я

МЕХАНИКА И ОБЩ ИЕ СВО Й СТВА ТЕЛ

Г Л А В А 1

ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕОсновными величинами, которыми принято определять поступательное

движение, являются скорость v и ускорение а. С уравнениями динамики эти величины связаны вторым законом движения Ньютона, который приводит к уста­новлению динамического определения силы и обыкновенно выражается элемен­тарной формулой:

f — ma, (1)

где а — ускорение, которое получает тело с массой т под действием силы / .*Путь s, проходимый телом, и его скорость v связаны с ускорением опре­

деленными соотношениями, которые в общем случае произвольного движения следует писать в дифференциальной форме

dv (T-s а d t d t '•'

Поэтому формулу (1) можно наиисать еще в таком виде:, dv

f = m di> (Пили

, il2sО")

Из этих формул вытекает ряд следствий. Так, из формулы (Г) находим/ dt = m dv. (3)

Из этого выражения мы видим, что элементарный импульс силы f d t измеряется изменением количества движения т dv тела, вызванным действием силы. Если н частном случае два тела с массами и т2 испытали действие двух одина­ковых по величине импульсов силы (случай удара двух тел) то, очевидно,

От] d v | = т-2 dvо, (4)

т. е. полученные ими количества движения по абсолютной величине должны быть раины.*

Вторым законом динамики приходится очень часто пользоваться на практике при решении различных задач прикладной механики; точно так же при лабо­раторных работах в области механики часто применяют приборы, теория кото­рых целиком основана на втором законе динамики или следствиях, из него вытекающих; таковы, например, баллистический маятник, прибор Атвуда и не­которые другие.

Определение скорости движения тела можно производить методами кине­матическими и динамическими. Первые методы основаны на измерении про­межутка времени, в течение которого тело проходит определенное расстояние.: в результате измерений получается среднее значение скорости за данный про­межуток времени. Во вторых методах используются различные процессы взаи­модействия (удар, деформация пружины) между движущимся- телом и вторым

77

телоч, вначале неподвижном; результаты измерений дают мгновенное значение скорости в некоторый момент времени. Динамические методы имеют преиму­щество при определении очень больших скоростей, например, скорости полета ружейных пуль и артиллерийских снарядов; при последних измерениях особенно часто применяется метод баллистического маятника, основанный на теории не­упругого удара.

РАБОТА 1а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ СКОРОСТИ ПУЛИ МЕТОДОМФОТОРЕЛЕ

1 ) К атодны й осц и л ло гр аф с д вум я парам и катуш ек , 2 ) к н ем у яш и к у п р ав л ен и я , 3 ) два ф о­т о э л е м е н т а с освети телям и , А) р ео с тат , 5) дух о в о е р у ж ь е , 6) стан ок для его за к р еп л е н и я , ?) мас­ш т а б 1 м ДЛИНОЙ.

Описание метода и приборов. Непосредственное определение очень боль­ших скоростей, например скоростей ружейных пуль или артиллерийских снаря­дов, требует точного измерения весьма коротких промежутков времени. При таких измерениях очень надежным оказывается метод катодного осциллографа в со динепии с фотореле. Фотореле представляет собой фотоэлемент (т. II, гл. 60), соединенный с прибором, который отмечает каждое изменение силы фотоэлектрического тока; оно может быть вызвано, например, ослаблением или прекращением освещения, во^уждающего фотоэлемент. Если применяется ка­тодный осциллограф (см. том II, работа 55 Ь), то весь процесс протекает практи­

чески мгновенно, т. е. момент, который отмечает катодный осциллограф, насту­пает одновременно с прекращением освещения фотоэлемента. Это и дает возможность точно измерять весьма короткие промежутки времени. Расположе­ние приборов, которые необходимы при таких измерениях, схематически изо­бражено на рис. 53. Два фотоэлемента Я, и Рг установлены на определенном расстоянии один от другого и возбуждаются осветителями Л, и L2, которые снабжены линзами. Духовое ружье F устанавливается в станке так, что его пуля гролетает через ф ’Кус той и другой л и т ы и па мгновенье прекращает освещение фотоэлементов. Оба фотоэлемента соединены с ящиком управления D осциллографа К, электронный пучок которого достигает флуоресцирующего экрана, пройдя предварительно систему четырех катушек, не показанных на рисунке, и магнитную линзу М. Катушки питаются переменным током и уста­новлены так, что магнитное поле одной нары катушек развертывает колебания электронного пучка в вертикал' no i плоскости, а дру| ой — в горизонталь ой, причем амплитуды обоих колебаний взяты равными, а разность их фаз подо­брана равной я/2; вследствие Э'ого флуоресцирующее пятнышко на эк мне осциллографа совершает равномерное кругов )е движение с периодом, равным периоду переменного тока (стр. 96), питающего катушки. Магнитная линза М включена в цепь управ ения катодного осциллографа; при прекращении тока в цепи того или другого элемента в ма> нигно-t линзе в зникает ток, магнитное поле которого, действуя на электронный пучок, заставляет его стягиваться7S

к центру экрана. При мгновенном прекращении освещения того или другого фотоэлемента в момент прохождения пули через фокус линзы Ц или £2 'ф у­говой след флуоресцирующего пятнышка на экране получает резки i изгиб или зубец с острым углом, направленным к центру экрана; сопротивление R, вклю­ченное в цепь одного из фот' элементов, дает возможность установить для каждого из них несколько различную глубину зубцов. Их положение на экране отсчитывается го особой шкале, которая состоит из окружности, разделенной радиусами на 20 частей. При периоде переменного тока, равном 0,02 сек., каж­дое деление шкалы на экране соответствует, очевидно, 0,001 сек; более мелкие части секунды оцениваются на глаз по положению зубца по отношению к со­седним делениям шкалы.

Если обозначить расстояние между фокусами обеих линз через I, а время, в течение которою пуля пролетает это расстояние, через t, то можно написать* считая движение пули равномерным:

® = т- Ф)

где v — скорость пули. Если конец ружейного дула установлен вблизи фокуса линзы, то можно считать с достаточным приближением, что эта формула дает значение той скорости, с которой пуля вылетает из ружья, или так называе­мой начальной скорости пули.

Измерения. 1. Включив вилку А в цепь переменного тока, проверяют дей­ствие катодного осциллографа. При правильно собранной схеме прибора след флуореецнгующего пятнышка на экране должен описывать окружность, кон­центрическую с той, которая начерчена на экране, .но несколько меньшего диаметра. После проверки осциллографа вилку А выключают.

2. Включают осветители фотоэлементов и, пользуясь масштабом, измеряют с точностью до 1 мм расстояние межту фокусами обеих линз; это расстоя­ние обыкновенно берут рапным 1 м. Затем проверяют действие всего прибора, в н о р ь включая вилку А. Флуоресцирующее пятнышко на экране при действии осве­т и т е л е й должно описывать окружность, которая почти накладывается на ко'нтуры. окружности, начерченной на экране. Если выключать тот или другой освети­тель в отдельности, то флуоресцирующая окружность на экране должна умень­шаться в Д " а м е т р е , стягинаясь к центру; диаметр окружности при выключении осветителя Ln должен быть больше, чем при выключении осветителя L h что достигается регулировкой сопротивления R.

3. Производят несколько пробных выстрелов, наблюдая показания пятнышка на экране; пробные выстрелы необходимы, так как отсчет положения на экране одновременно двух зубчиков обыкновенно в начале кажется затруднительным и часто сопровождается различными ошибками.

4. Производят несколько окончательных выстрелов, отсчитывая каждый раз положение зубчиков на экране на глаз с точностью до десятых долей де­ления шкалы. Отсюда находят среднее значение f; необходимо при этом иметь в виду, что более длинный зубец отвечает фотоэлементу Р ь т. е. моменту прохождения пули через фокус осветителя /.]. Из этих результатов по указан­ной выше формуле (5) вычисляют начальную скорость пули v.

РАБОТА lb. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПУЛИ МЕТОДОМ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

1) Б ал л и сти чески й м ая т н и к , 2) дух о в о е р у ж ь е , 3) стан ок для его за к р еп л е н и я .

Описание метода и приборов. Баллистический маятник состоит из боль­шого цилиндра (рис. 54), заполненного вязким веществом (воск, парафин), ко­торый закреплен в металлической раме; она может свободно, с очень неболь­шим трением, вращаться около оси О, перпендикулярной к плоскости рисунка. Выстрел производится из духового ружья, укрепленного в станке так, чтобы скорость пули была направлена горизонтально по прямой, проходящей через пентр тяжести маятника и перпендикулярной к его оси вращения. Со стороны выстрела цилиндр М открыт; поэтому пуля, проникая внутрь заполняющей ею вязкой среды, теряет свою начальную скорость и одновременно сообщает маят­нику некоторый импульс, под действием которого он отклоняется от вертикаль-

79

ной линии АО на некоторый удол а; углы отклонения я измеряются методом черкала и шкалы (стр. 37); применяется объективный отсчет, причем расстояние до шкалы дается как некоторый постоянный параметр прибора. Вследствие тре­ния и вызываемого им затухания колебаний маятника значения а, непосред­ственно полученные из отсчетов, всегда несколько меньше действительной

величины, поэтому при измерениях углов отклонения необходимо вводить соответствующие поправки.

Рассматривая этот процесс как иеупругпй удар, можно на основании формулы (4) написать:

mvtfi == (та- - j- /) ш0, (6)

где т и Vq — масса и скорость пули до удара, а I и ю0 “-мймент ынерцин маятника (стр.8б ) относительно оси вращения и его начальная угловая скорость; что касается величины д, то с достаточной степенью точ­ности можно считать, что а равно расстоянию от оси вращения маятника как до его центра тяжести, так, одновременно, и до точки удара пули.

Рис. 54. Б ал л и сти чески й в уравнении (6) левая часть дает выражение мо-м аятн и к . мента количества движения пули относительно оси вра­

щения при начале удара, правая часть дает выражение момента количества движения маятника вместе с засевшей в нем пулей также относительно оси вращения после окончания удара.

С другой стороны, применяя к процессу, происходящему в системе после удара, закон сохранения энергии, имеем:

4- (/ + та"-) и>1=2(М т) ga sin’ у . (O')

В уравнении (б') левая часть дает выражение кинетической энергии системы в первый момент но окончании удара, правая часть дает выражение потен­циальной энергии системы в момент достижения наибольшего отклонении, причем М обозначает массу баллистического маятника.

Из уравнения (6), принимая во внимание уравнение (6'), находим:

sin? / т -------------------------= 2 —— у ~ (М + т) ( / + та*). (7)

Величины Ж, и и а в этой формуле находятся из измерений, а величины / н а даются как некоторые постоянные прибора.

Измерения. 1. Наполняют цилиндр парафином (воском) и определяют с точ­ностью до 0,1 г его начальный вес. Затем взвешивают 10 пуль духового ружья, также с точностью до 0,1 г, и отсюда находят средний вес одной пули. Эти измерения дают значения М и т.

2. Производят несколько выстрелов и каждый раз измеряют угол откло­нения маятника, отсчитывая начальное положение зайчика на шкале и его по­казание при достижении максимального отклонения (точка поворота).

3. Для того, чтобы можно было ввести поправку на уменьшение отклонения маятника вследствие трения (затухание, колебаний), необходимо, наблюдая коле­бания маятника, произвести отсчеты его точек поворота для нескольких (пяти­шести) последовательных колебаний и определить отсюда величину ряда после­довательных амплитуд.

Применяя для вычислений формулу (7), необходимо принять во внимание следующее:

1. После каждого выстрела пуля остается внутри цилиндра, поэтому с ка­ждым выстрелом масса цилиндра возрастает на величину т и, соответственно этому, момент инерции маятника относительна оси вращения возрастает на ве­личину та2. Таким образом при вычислении v0 из отдельных наблюдений не­обходимо каждый раз в правой части формулы (7) вводить соответствующие поправки в значения М и /.

2. Значения а, полученные из непосредственных измерений, должны быть исправлены на затухание колебаний. Для этого из результатов измерений рядаS0

последовательных амплитуд вычисляют относительное уменьшение амплитуды за одну четверть периода (одно отклонение) и среднее относительное значе­ние этой величины в процентах\ на этот процент следует увеличивать зна­чения а, непосредственно получаемые при измерениях.

SС,

г ' 0.V,

РАБОТА 1с. ПРОВЕРКА ВТОРОГО ЗАКОНА НЬЮТОНА НА ПРИБОРЕАТВУДА

1) Прибор Атвула, при нем: кольцевая платформа, сплошная платформа, соленоид, основ­ные грузы, набор перегрузков и мелких разновесков, 2) метроном, 3) замыкатель тока, 4) штан- ген-циркуль, б) секундомер.

Описание метода и приборов. Прибор Атвуда (рис. 55) состоит из длин­ной. вертикальной шкалы А, разделенной на сантиметры; на ее верхнем копие укреплен легкий алюминиевый блок В , который вращается около горизонтальной оси с очень небольшим трением. Через блок пере­кинута тонкая нить с двумя одинаковыми грузами на Концах, так что вся система находится в равновесии. Левый груз имеет внизу железную пластинку, которая притягивается действием соленоида S, укрепленного на подвижной платформе; таким обра­зом при замкнутой цепи соленоида система грузов остается не­подвижной (начальное положение грузов). Если же на правый груз положить дополнительный груз (перегрузок) и разомкнуть цепь соленоида, то система приходит в движение, которое про­должается пока правый груз не достигнет сплошной платформы С\, последнюю можно закреплять в любой точке шкалы А. Пере­грузки имеют форму или плоского кольца d или удлиненной пластинки I. При помощи особой кольцевой платформы С2, которую также можно закреплять в любом месте шкалы Л, перегрузки второй формы могут быть сняты с груза в про­цессе движения; начиная с этого момента, движение системы совершается по .инерции с той скоростью, которую имела си­стема в момент снятия перегрузка.

Вес основных грузов в граммах, так же -как н вес перегрузков, которых при приборе имеется несколько, обозначен на них цифрами.При работе с прибором необходимо следить за тем, чтобы оба груза плавно двигались вдоль шкалы А, не совершая маятникообраз­ных колебаний.

Элементарная теория прибора Атвуда вы­водится в предположении, что силами трения и инерцией блока можно пренебречь. При этом условии движущей силой можно считать вес перегрузка, а движущейся массой массу обоих грузов и перегрузка. Таким образом, обозначая массу левого груза через m lt а массу правого груза вместе с перегрузком — через тг, можно на основании формулы (1) написать:

(от2 — тх) g = (от, - f тх) а,

где а — ускорение, с которым движется систе­ма грузов, и ^ — ускорение силы тяжести.

Из этой формулы находим:

Рис. 55. Прибор Атвуда.

Так как все величины в правой части этого выражения, при определенной массе перегрузка, остаются во время движения постоянными, то движение си­стемы должно совершаться равномерно-ускоренно. Если же в некоторый момент времени перегрузок снять при помощи кольцевой платформы , то числитель

Физический практикум HI

формулы (8) оказывается равным нулю, т. е., начиная с этого момента движение системы становится равномерным.

Пользуясь этими соображениями, можно на приборе Атвуда проверить основные законы равномерно-ускоренного движения и второй закон динамики; однако вследствие заметного влияния сил трения эта проверка носит прибли­женный характер.

Измерения. Измерения начинаются с установления по метроному (стр. 50) произвольной единицы времени; не следует брать слишком короткую единицу (меньше 0,5—0,6 сек.), так как это могло бы увеличить относительную ошибку измерений. Далее производят следующие измерения:

I. П р о в е р к а з а к о н а с к о р о с т е й : v = at.1. На правый груз тг кладут перегрузок (2 г или 4 г) формы I, замыкают

ток в цепи соленоида и устанавливают грузы в начальное положение, при ко­тором груз Wi находится внизу и удерживается соленоидом S.

2. С одним из ударов метронома (нулевой удар) размыкают ток в цепи соленоида и, наблюдая движение груза т2, находят такое положение кольцевой платформы С\, при котором перегрузок снимается с груза то с первым (после нулевого) ударом метронома. Так как скорость груза т , в этот момент опре­деляется длиной того пути, который в дальнейшем проходит система за (услов­ную) единицу времени, то необходимо одновременно найти такое положение сплошной платформы С\, при котором груз т2 ударяется об нее со вторым (после нулевого) ударом метронома. При этом условии расстояние между платформами С\ и Сь за вычетом высоты груза т<>, определяет его скорость (в условных единицах) в конце первой единицы времени. Высоту груза /и2 из­меряют штан! ен-циркулем; ее необходимо принимать во внимание, так как перегрузок снимается с верхнего основания груза, а ударяется груз о плат­форму С] своим нижним основанием.

3. Те же измерения повторяют, находя такие положения кольцевой плат­формы, при которых перегрузок снимается с груза /л, со вторым, третьим и т. д. ударами метронома, и определяют указанным приемом каждый раз ско­рость груза и 2 в конце второй, третьей и т. д. единиц времени.

Из результатов измерений вычисляют отношения скоростей к соответствую­щим промежуткам времени. Теоретически эти отношения, как видно из закона скоростей, должны оставаться постоянными, что при правильно выполненных измерениях приближенно подтверждается. (itII. П р о в е р к а з а к о н а п у т и : — .

1. Кольцевую платформу снимают с прибора и перегрузок формы I заме­няют наименьшим из перегрузков формы d; установив грузы в начальное поло­жение при замкнутой цепи соленоида, отсчитывают по шкале А положение нижнего основания груза /л2.

2. С одним из ударов метронома (нулевой удар) размыкают цепь соленоидаи, наблюдая движение груза т 2, находят такие положения сплошной платформы С\, при которых груз тг ударяется об нее соответственно с первым, вторым, третьим и т. д. ударами метронома.

3. Те же измерения повторяют с другими перегрузками формы d. На осно­вании результатов измерений проверяют закон пути, вычисляя отношение пути к квадрату (условных) промежутков времени; при правильных измерениях эти отношения остаются приближенно постоянными.

III. П р о в е р к а в т о р о г о з а к о н а Н ь ю т о н а : f = ma. В этом слу­чае необходимо, чтобы при изменении движущей силы / движущаяся масса оста­валась неизменной, что можно выполнить следующим образом:

1. На оба груза, тх и т 2 кладут перегрузки формы d, на левый груз кла­дут 1 г, а на правый 3 г, и только что укашшым приемом определяют отно­шение пути к квадрату (условного) промежутка времени, ранного, например, трем ударам метронома. Это отношение даст нам величину, пропорциональную ускорению системы а( в этих условиях.

2. Перегрузок 1 г с левого груза перекладывают на правый и повторяют те же измерения, определяя повое значение ускорения о, системы.

Движущей силой являются в первом случае вес, равный 2 г, а во втором вес, равный 4 г; движущаяся масса в обоих случаях одна и та же. Гаким обра­зом числитель в формуле (8) изменяется, а знаменатель остается постоянным. Отсюда следует, что отношение полученных (относительных) значений ускоре-8 2

ний в обоих случаях, т. е. ах и а ,, должно быть пропорциональным действую­щим силам, что при правильно произведенных измерениях приближенно под­тверж даем -

*Более строгая теория прибора Атвуда лает возможность точнее определить у с к о р е н и е , с которым движется система основных грузов под действием пе­р е г р у з к а , и вычислить натяжение нитей при движении с ускорением. Соответ­с т в у ю щ и е формулы в предположении, что скольжение нити на блоке не имеет места, можно вывести из следующих соображений.

Силой, вызывающей движение на приборе Атвуда, следует считать вес перегрузка, несколько ослабленный действием силы трения т), которую пред­полагаем постоянной, т. е. допускаем, что сила трения г) не зависит от скорости движения системы. Таким образом движущую силу можно считать равной:

(т2 — m f ig — т),

где попрежнему т2 — масса левого груза вместе с перегрузкой и тх— масса правого груза. Так как движущая сила остается постоянной, то движение грузов должно совершаться, согласно формуле (1), с некоторым постоянным ускорением а. Его величину можно определить, если найти движущуюся массу, при вычислении которой необходимо принять во внимание движение блока В. Вращение блока происходит с ускорением, причем линейное ускоре­ние точек на периферии блока, очевидно, равно ускорению грузов, т. е. также равно а\ это следует из того, что точки периферии блока и точки нити, при отсутствии скольжения, всегда имеют одинаковую скорость.

Массу блока можно вычислить, зная его момент инерции J относительно оси вращения; для этого можно воспользоваться формулами (6) или (6') стр. 86, применяя формулу (6), если блок сплошной, и формулу (6'), если вся его масса была сосредоточена на периферии. Так как в действительности блок па г)рибо- рах Атвуда имеет спицы и вырезы, т. е. ни та, ни другая формула к нему не применимы, то, очевидно, следует положить:

J = а тг2,

где т — масса блока, г — его радиус и а — некоторый коэффициент, меньший 1, величина которого зависит от формы блока. Из этой формулы находим:

Jт = а - 3.

Таким образом можно считать, что движущаяся масса равна:J

т \ + тг + а *

причем ускорение (одно и То же для всех частей системы) равно а. Вследствие этого на основании формулы (1) можно написать:

(m2~ m i ) g — ti = ^ml + m, + a а .

Из этого уравнения находим:

« = (8»)Щ + тч + « уг

Что касается натяжения нитей, то при равновесии системы или при равно­мерном движении оно определяется, очевидно, весом гручов на концах нитей.П-сли же движение происходит с ускорением, то натяжение нитей зависит еще от сил инерции грузов и блока. Обозначая натяжение левой нити через ТЛ HMeMt-7” 1 поднимается)> натяжение правой нити через Т2 (груз т2 опускается),

T\ — m y g - \-m ia, (9)T2 = m2g — т2а. (10)

В правой части уравнения (9) взят знак плюс, так как левый груз подни- ается с ускорением а, т. е, его вес mxg и сила инерции тха имеют одно и то

83

же направление; точно так же в правой части уравнения (10) взят знак минус так как правый груз опускается с тем же ускорением, т. е. его вес mtg и сила, инерции т2а имеют противоположные направления.

Разность натяжений нити справа и слева, Тг — Ть определяется одно­временным действием двух сил: силы янерцни блока и силы трения. Для момен­тов этих сил относительно оси вращения можно написать:

mТ ,=

j L + Tir= :( r , - T 1)r. (П)

«ии формулы (8')'опр<

1 ( 2m2g - r , + a ^ g ]

г

Из формул (9) и (10) на основании формулы (8')'определяем Тх и Г2:

J

Щ "4~ mi -)- а —гч

02)

щ { 2 « 1£ + т ) 4 - а ^ ИТг - — '------------------------------------J---------- ( 1 3 )

т\ + т2 аг 2

При этом из формулы (11) видно, что

Если в этих формулах, а также в формуле (S') положить rj = 0 и ^ = 0 ,т. е. пренебречь силой трения и инерцией блока, то для ускорения а вместоформулы (в*) получается элементарная формула (8), а натяжения обеих нитей оказываются одинаковыми и равными

Г1 = 7-2= - У g . (1301 2 /Я1 + /Лг '

Формулы (8), (12) и (13) показывают, что для определения ускорения а и на­тяжений нитей 7\ и Тъ необходимо определить предварительно силу трения т) и величину (аУ/л’1

Измерения. При определении величины а //г2 необходимо знать абсолют­ную величину ускорения а. Для этого определяют абсолютное значение пе­риода колебания метронома, измеряя по секундомеру промежуток времени, в 'течение которого метроном совершает определенное’ число, например 50 или 100 колебаний; отсюда вычисляют период колебания метронома в секундах После этого проделывают следующие измерения:

I. О п р е д е л е н и е с и л ы т р е н и я т). Согласно формуле (S') сила тре­ния т) равна весу такого перегрузка и, при котором система, получившая пред­варительно небольшой импульс, движется далее по закону равномерного дви­жения; это следует из того, что при равномерном движении а равно нулю, и из формулы (8') находим:

j)= (m 2 — m1) g - . v.g.

Для того, чтобы определить величину перегрузка ц, выполняют следующее:1. На правый груз кладут наименьший из перегрузков формы /, устанав­

ливают грузы в начальное положение и замыкают ток в цепи соленоида. Этот перегрузок сооб1цает системе начальный импульс, необходимый при опре­делении силы трения т).

2. С одним из ударов метронома размыкают ток в цепи соленоида и пу­тем нескольких проб находят такое положение кольцевой платформы, что­бы перегрузок / снимался с груза при следующем ударе метронома (нуле­вой удар).

3. Определяют затем пути, проходимые правым грузом в одну, две, три и т. д. единицы времени по метроному, находя каждый раз такое положение сплошной платформы, чтобы груз ударялся об нее, соответственно, с первым, вторым, третьим и т. д. ударом метронома. Эти измерения дают возможность84

в ы я с н и т ь , насколько сила трения при движении системы по инерции нарушает з а к о н равномерного движения.

4. Нагружая правый груз мелкими разновесками и производя каждый раз такие же измерения, как только что было описано, подбирают такое количе­ство мелких разновесок, чтобы закон равномерного движения выполнялся воз­можно точно. Согласно сказанному выше вес этих разновесок определяет силу трения т).

II. О п р е д е л е н и е н а т я ж е н и я н и т е й . Для определения величины а / / г 2, необходимой при вычислении натяжения нитей, измеряют ускорение системы при определенном перегрузке, например 2г. Эти измерения производят в полном соответствии с тем, что было указано при проверке закона пути. Из результатов измерений вычисляют абсолютную величину ускорения а. Для этого необходимо период колебания метронома выразить в секундах, как уже было сказано. Подставляя абсолютную величину а и найденное раньше значе­ние т| в формулу (8'), находят величину a J /r2; натяжения нитей Тх и вычис­ляют по формулам (12) и (13).

III. П р о в е р к а в т о р о г о з а к о н а Н ь ю т о н а произбодится так же, как было описано выше, но при вычислении отношения с х к аг применяется формула (8 1), что требует введения поправки на силу трения т) при вычислении движущей силы.»

Г Л А В А 2

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

В динамике вращательного движения принято оперировать не с силами, а с их моментами по отношению к оси вращеиия; это оказывается удобным потому, что действие силы на тело, способное вращаться, определяется не только величиной силы, но и расстоянием ее точки приложения до оси вра­щения.

♦Основными величинами, которыми характеризуют вращательное движение, являются угловая скорость о> и угловое ускорение е. Для общего случая про­извольного движения эти величины определяются выражениями:-S- «

rfo) di-f „„

где ® — угол, который описывает радиус-вектор вращающегося тела, или так называемое угловое перемещение тела.

Из формул (1) и (2) видно, что в каждый момент времени псе точки вра­щающегося тела имеют одну и ту же угловую скорость и одно и то же угло­вое ускорение, так как угловое перемещение всех точек вращающегося тела всегда одно и то же.

Линейная скорость v точек вращающегося тела связана с их угловой ско­ростью соотношением

ds rd<sV = d t = - a f ^ ra>’ (3)

гДе г — расстояние точек от оси вращения.Из этой формулы видно, что линейная скорость различных точек вращаю­

щегося тела различна, изменяясь пропорционально их расстояниям до оси вра­щения ».

Вращение называется равномерным, если угловая скорость остается по­стоянной; угловое ускорение е в этом случае равно нулю. Равномерное враще­ние происходит по инерции, т. е. в тех случаях, когда момент вращающих сил Равен нулю или же он уравновешивается моментом сил сопротивления.

При равномерно-переменном вращении угловое ускорение остается по­стоянным-, равномерно-переменное движение может быть ускоренным (а поло­

85

жительно, угловая скорость возрастает) и замедленным (е отрицательно, угловая скорость уменьшается). Равномерно-ускоренное движение вызывается действием вращающих сил, момент которых остается по величине постоянным, а по на­правлению совпадает с направлением вращения. Равномерно-замедленное дви­жение вызывается действием вращающих сил, момент которых также постоя­нен по величине, но направлен против вращения.

Кинетическая энергия вращающегося тела определяется выражением:./со*

Ek — ~2 ~ ■ (4)

Здесь J обозначает момент инерции тела относительно оси вращения, величина которого дается выражением:

J = myr\ -f m2r\ -f m -fl-f . . . = 2 mr-,

где ть т2, щ , . . . — массы всех материальных точек, образующих данное тело, а г ь гь . . . — их расстояния до оси вращения.

Момент инерции тела можно вычислять относительно различных осей вра­щения, которые могут проходить как внутри тела, так и вне его. При этом значение момента инерции изменяется, при замене одной оси вращения другой. Задачи этого рода для случая двух параллельны х осей решаются на основании теоремы Штейнера, согласно которой момент инерции тела относительно любой оси равняется моменту инерции тела относительно оси, проходящей параллельно данной оси через центр тяжести тела, сложенному с произведением массы тела па квадрат расстояния между осями, т. е.

7 = У 0-1- M d \ (5)

Здесь J — момент инерции тела относительно некоторой оси, / 0 — момент инер­ции тела относительно оси, параллельной первой оси и проходящей через центр тяжести тела, М — масса тела и d — расстояние между осями.

Вычисление моментов инерции однородных тел простых геометрических форм не представляет больших трудностей; оно может быть выполнено как приемами элементарной математиких), так и методами интегрального исчисле­ния 2).

Значения моментов инерции для некоторых тел простых форм, которые далее применяются в работах, таковы:

1. Момент инерции однородного круглого цилиндра относительно оси, совпадающей с его геометрической осью:

Цилиндр сплошной:

тг'> (б)

где т — масса цилиндра и г — его радиус/j Цилиндр полый:

J ^ m ( г ] + 4 ) > (6'>

где т — попрежнему масса цилиндра, а гх и г2 — его наружный и внутренний радиусы.

2. Момент инерции однородного круглого цилиндра относительно оси, про­ходящей через его центр тяжести перпендикулярно к геометрической оси;

, ml-1 Г ’ (7)

где т — масса цилиндра и I — его длина. Эта формула выведена в предполо­жении, что радиус основания цилиндра мал по сравнению с его длиной.

3. Момент инерции однородного прямоугольного Параллелепипеда относи­тельно оси, проходящей через его центр тяжести перпендикулярно к осно­

М Э. Э д с е р , Общая физпкпу стр. 46, 1913.*) О. X в о л ь с о н , Курс физики, т, I, стр . 86, 1923­

8 6

ванию выражается формулой:' г *2 + 62 /т

(8)

где т — масса параллелепипеда, а а и Ь — длины сторон его основания. Таккак а2 -(- Ь2 равно квадрату диагонали основания параллелепипеда, то, обозна­чая эту диагональ через а, можно также написать:

J = m ^ . (S')

4. Момент ипериии однородного шара относительно оси, совпадающей с одним из его диаметров:

J = ^ тг2, (9)

где т — масса шара и г — его радиус.Для определения моментов инерции опытным путем применяется несколько

методов. Из них главнейшими являются: 1) динамический метод, или метод раз­гона, и 2) метод колебания, который известен в различных видоизменениях.

РАБОТА 2а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВОГО КОЛЕСА ДИНАМИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

1) Маховое колесо на горизонтальной оси, 2) два груза, 3) штанген-циркуль, 4) сантиме­тровый масштаЗ длиною около 2 м, 5) секундомер.

Описание метода и пр\сборов. Прибор представляет собой маховое колесо М (рис. 56) небольшого диаметра (шкив), которое может вращаться с очень малым трением около горизонтальной оси, расположенной на высоте около 1,5 м от пола. Ось вращения проходит через центр тяжести махового колеса, которое таким образом находится в безразличном равновесии. На оси маховика укреплен де­ревянный вал В, снабженный шпилькой. Один из двух грузов, имеющихся при приборе, прикрепляется к шнурку; на втором конце шнурка делается петля, которая надевается на шпильку вала. Если, надев петлю на шпильку, вращать маховое коле£о, то шнурок навивается на вал, груз поднимается на некоторую высоту, и вся система, которую можно закрепить в этом положении, получает некоторый запас потенциальной энергии, равный произведению веса груза на высоту поднятия. Если затем освободить колесо, то груз начинает опускаться, приводя маховое колесо во вращение, которое можно считать равномерно­ускоренным. При этом процессе потенциальная энергия системы превращается в кинетическую энергию, во-первых, поступательного движечия груза и, во- вторых, вращательного движения махового колеса. Потенциальная энергия Ер груза, поднятого на высоту /г, и его кинетическая энергия Ek определяются обычными выражениями:

Рис. 56. М аховое к о л ес о .

Ер = mgh, m v‘~ Т

где m — масса груза и v — его скорость. Что же касается кинетической энер­гии Ek вращения махового колеса, то, согласно формуле (4), имеем:

ej Juj2 * = ~2 ~ ’

где J — момент инерции колеса относительно оси вращения, а и> — его угловая скорость.

Если пренебречь силами трения в подшипниках и сопротивлением воздуха, то можно, на основании закона сохранения энергии, написать:

Ep = E k + Ek,87

или, Л)2 mv3

mgh = - F + ~ - ~ ,

причем в этом выражении значения v и <о следует взять для последнегомомента движения груза (удар о пол).

Так как шнур намотан на вал В, то, очевидно, скорость поступательного движения шнура (или груза) всегда равна линейной скорости точек, лежащих на поверхности вала; поэтому, на основании формулы (3), имеем: v = шг, где г — радиус вала.

Для .определения v применяем к движению груза формулы равномерно­ускоренного движения без начальной скорости, которые в данном случае полу­чают такой вид: v = a t и h = a t2j2 . Отсюда находим:

2 h 2 h ... .V Z = J и w = ~ . (11)

Вследствие этого выражение (10) можно написать в такой форме:

ь 2Jh? , 2 mh* mSH — ~P2J2 1-----•

откуда для момента инерции махового колеса (вместе с осью и валом) находим:(10,

Эта формула может служить для вычисления J, так как все величины в ее пра­вой части доступны непосредственным измерениям; ускорение силы тяжести g считается известным.

Измерения. 1. На технических весах определяют массу грузов тг и тъс точностью до 0,5 г и измеряют штанген-циркулем диаметр вала, определяяотсюда его радиус г.

2. Петлю шнурка, длина которого должна быть равна расстоянию от оси колеса до пола, надевают на шпильку вала и прикрепляют ко второму концу шнурка один из' грузов. Вращая затем колесо, поднимают груз до наиболее высокого положения и измеряют масштабом (с точностью до 0,1 см) высоту его поднятия h, отсчитывая расстояние от пала до нижнего основания груза.

3. Отпуская колесо, одновременно приводят в действие секундомер и опре­деляют промежуток времеии t, в течение которого груз опускается до пола.

Те же самые измерения повторяют, пользуясь вторым грузом т2.Из результатов этих измерений находят момент инерции вращающейся

системы по формуле (10'). Чтобы найти момент инерции одного махового ко­леса, следует из полученного значения вычесть момент инерции вала и оси. Их Значения находят вычислением по формулам (6) и (6'), для чего предвари­тельно определяют штанген-циркулем диаметр и длину оси и вала, вычисляя их массу как произведение объема на плотность, значение которой берут и» таблиц.

РАБОТА 2Ь. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВОГО КОЛЕСАМЕТОДОМ КОЛЕБАНИЙ

1) М атовое колесо на го р и зо н т ал ьн о й о си , 2) вспом огательны й. Лиарик, 3) ш такген -ц и ркул ь»4) м асш таб длиной 50 см, 5) с е к у н д о м ер .

Описание метода и приборов. В этой работе применяется тот же прибор, который был описан в предыдущей работе. Если на обод махового колеса при­крепить при помощи винта вспомогательный шарик В (рис. |57), имеющийся при приборе, то безразличное равновесие системы заменяется устойчивым; поэтому маховое колесо, выведенное из положения равновесия, начинает со­вершать колебания с некоторым периодом Т, амплитуда которых отсчитывается по шкале, имеющейся при приборе.

* Если угловая амплитуда колебаний равна о, то угловую скорость системы при прохож дении точки равновесия можно определить следующим образом:£8

Допуская, что колебания махового колеса следуют закону гармонического движения, можно на основании формулы (2'), стр. 94, написать:

G = a sin 2к у ,

где в — угловое смещение в момент времени ( и i — угловая амплитуда коле­баний; начальную фазу колебаний у0 мы считаем равной нулю.

Дифференцируя это выражение по t, находим, согласно формуле (1), угло­вую скорость о» колеблющейся точки:

d9 2п „ t _ ш = -г, тр a cos k a t T 1

При прохождении колеблющейся точкой положения равновесия фаза ко­лебания становится равной нулю и косинус в последнем выражении получает значение, равное единице.*

Таким образом угловая скорость махового колеса при прохождении положения равновесия оказывается равной;

2 - л(12)

отсюда длр кинетической энергии Ек системы в этот мо­мент времени, на основании формулы (4), получаем:

(13)Рис. 57 Маховое колесо.-

где J и / — моменты инерции махового колеса и вспомогательного шарика от­носительно оси вращения.

С другой стороны, потенциальная энергия Ер системы в ее крайнем поло­жении (рис. 57) очевидно равна:

Ер = mgh,

где m — масса вспомогательного шарика и Л, равное АС, — высота его подня­тия по отношению к начальному положению; эта величина, как видно из ри­сунка, равна:

h — d — rf cos и = d (1 — cos а),

причем d, очевидно, равно r-j-p , т. е. радиусу махового колеса г, сложенному с радиусом вспомогательного шарика р. Последнее выражение при помощи тригонометрических преобразований можно привести к такому виду:

h — a (1 — cos2 -i- sin2 ~r j. ч * /

Для небольших амплитуд косинус можно принять равным едииине, а си­нус заменить углом, т. е. можно положить: /z = tfa2/4, и для потенциальной энергии системы в крайнем положении находим:

г а2 .Ep = m g ~ d . (13')

Если пренебречь силами трения и сопротивлением воздуха, то из формул (13) и (13') на основании закона сохранения энергии находим:

отсюда получаем:

1 , 1 , m о” .

(и;

Все величины в первом члене правой части этого 'выражения, т. е. m, d и г > Доступны непосредственному измерению; что же касается величины1 J', т. е.

89

момента инерции вспомогательного гаарйка относительно оси враиьния системы, т о на основании теоремы Штейнера (5) и формулы (9), имеем:

J ' — х Щ г + w d2, (15)о

где р — радиус шарика и d — расстояние его центра тяжести до оси враще­ния, т. е. величина, равная л-(-р.

Измерения. Взвесив вспомогательный шарик на технических весах с точ­ностью .до 0,5 г, укрепляют его на ободе махового колеса, сообщают системе небольшие колебания (не более 8°—10°) и, определив по секундомеру продол­жительность 40—50 колебаний, вычисляют отсюда период одного колебания Т. После этого измеряют штанген-циркулем диаметр махового колеса и диаметр вспомогательного шарика, вычисляя отсюда величины г, р и d. Момент инерции махового колеса вычисляют по формуле (14), найдя предварительно момент инерции вспомогательного шарика по формуле (15) и вводя поправки на момент инерции оси махового колеса и вала, как было указано в предыдущей работе.

РАБОТА 2с. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ДИНАМИЧЕСКИММЕТОДОМ

1) Прибор для определения моментов инерции динамическим метолом с двумя грузами,2) ш тан ген -ц и р к у л ь , 3) электри ческ и й секу н д о м ер , 4) разъ ем н ы й м еталлический параллелеш . л ед .

Описание метода и приборов. Прибор для определения моментов инерции гел произвольной формы состоит из горизонтального диска (платформы) В

(рис. 58), который может вращаться около вертикальной оси. Вращение диска вызывается действием груза р, при­крепленного на шнурке, который перекинут через легкий блок г и навит вокруг вала М, укрепленного на оси прибора; на верхнем конце шнурьа сделана петля, которая свободно накинута на шпильку, имеющуюся на вале. Груз р в своем верхнем положении опирается на откидную плат­форму С\, имеющую спусковой механизм; при нажатии его кнопки груз р освобождается и начинает опускаться, вращая диск В, и одновременно приходит в действие ялектрический секундомер. В момент достижения грузом р своего нижнего положения (удар о нижнюю платформу с2) секундомер оста­навливается; одновременно шнурок "соскальзывает со шпильки вала, и диск продолжает некоторое время вра­щаться по инерции. В предположении, что сила трения постоянна, вращение диска под действием груза р можно считать равномерно-ускоренным, а вращение диска по инер­ции — равномерно-замедленным.

Тело, момент инерции которого определяют, помеща­ется на диске В так, чтобы ось, по отношению к кото­рой определяется момент инерции, совпадала с осью враще­

ния прибора; в этом положении тело иногда закрепляется легкими хомутиками.Этот прибор, снабженный электрическим секундомером, дает возможность

производить измерения с большой степенью точности; поэтому при измерениях необходимо принять во внимание влияние трения. Кроме того, необходимо оп­ределить момент инерции самого прибора, т. е. диска В, вместе с его осью, валом и хомутиками, если они применяются. Вследствие этого теория прибйра, в общем аналогичная той, которая изложена в работе 2 а, является все же несколько более сложной. Обозначая работу, затраченную на преодоление трения, через А, можно, по аналогии с формулой (10), написать^

(У04- J) mv2 ,т & - - ~ ■Г- + - 2 - + Л.

где т — масса груза р, h — расстояние между платформами £j и с3, J0 и J — моменты инерции самого прибора и измеряемого тела относительно оси вра­щения, ш — угловая скорость вращения прибора в момент достижения грузом своего нижнего положения и v — скорость груза р в тот же момент.ЭО

Рис. 58. О п р ед ел е н и е м ом ен та и нерции ди - « ам и ч еск и м м етодом .

Если в этом выражении заменить а> и v их выражениями через Л и радиус вала г, т. е. если воспользоваться формулами (11), то получаем:

I r v 2/l2 | 2Ла I иmgh — + J,) ^ + 771 7Г А'

Чтобы исключить работу трения А, следует измерения произвести для двух различных грузов с массами Ш] и тг. В этом случае, полагая, что А не зави­сит от скорости вращения, получаем:

/>2 hi yfi улntigh = 2 (У0 -(- 2тх~-^ -f- Л, = 2 (J0 -j- /,) — j -f- 2m2 — -f- Л,

r2ff q r-fj

где tx и U_ — отсчитанные по секундомеру промежутки времени, в течение ко­торых грузы тх и т 2 проходят расстояние Л, соответственно, при первом и втором измерениях. Вычитая последние уравнения одно из другого, находим:

( « ! - « , ) « * = 2 (У0 4 - / 1 ) ^ ( - ^ -----У (16)

Величины, входящие в уравнение (16), а именно т1} т 2, Л, tx и U, доступны не­посредственным измерениям; отсюда следует, что это уравнение может слу­жить для определения моментов инерции, причем влияние силы трения исклю­чено. Из уравнения (16) мы находим значение величины Уо~ЬЛ> т- е< суммы моментов инерции прибора Ja и измеряемого тела Jx. Чтобы определить первую величину в отдельности, необходимо снять тело с платформы В и повторить те же измерения для ненагруженного прибора; в этом случае Jx равно нулю и формула (16) дает значение У0.

Измерения. 1. Обе половины прямоугольного параллелепипеда, имею­щегося при приборе, составляют вместе и помещают его в центре диска В, пользуясь шпильками, имеющимися в основании параллелепипеда.

2. Прикрепляют на шнурок один из грузов (нипример т{) и, навивая шну­рок на барабан, устанавливают этот груз на верхней платформе сх. Затем, пользуясь спусковым приспособлением, определяют время tb в течение ко­торого груз проходит расстояние Л между платформами сх и сг. Такие же из­мерения повторяют со вторым грузом т 2.

3. Разняв половины параллелепипеда, устанавливают их по краям диска в тех точках, где имеются отверстия для шпилек, и повторяют те же измерения.

4. Сняв параллелепипед с диска, еще раз повторяют такие же измерения с ненагруженным прибором, вновь пользуясь последовательно обоими гру­зами тх и тг.

5. Измеряют штанген-циркулем диаметр вала, вычисляя отсюда его радиус г, затем измеряют размеры параллелепипеда и расстояние от центра диска В до центра тех отверстий в диске, в которые входят шпильки.

При всех измерениях моментов инерции следует пользоваться последователь­но обоими грузами, так как каждый раз необходимо исключать работу трения, величина которой может изменяться в зависимости от нагрузки диска В.

Из результатов этих измерений определяют момент инерции параллелепи­педа относительно оси, проходящей через средние точки его оснований, и проверяют теорему Штейнера (5). Результаты измерений сравнивают с теоре^ тическими расчетами, пользуясь для вычислений формулой (8) или (8').

РАБОТА 2d. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МЕТОДОМ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА

1)_Трифилярный подвес, 2) осветительная лампа с линзой, 3) миллиметровая шкала на шта­тиве, 4) секундомер, 5) штанген-циркуль, 6) металлический разъемный цилиндр.

Описание метода и прибора. Трифилярный подвес состоит из трех метал­лических нитей (рис. 59), расположенных симметрично по вершинам равносто­роннего треугольника и равномерно нагруженных весом диска В. На этот диск помещают тело, момент инерции которого определяется, располагая его так, чтобы равномерное натяжение нитей не нарушалось. Если диск повернуть на небольшой угол около вертикальной оси, проходящей через его центр, то все три нити принимают наклонное положение и центр тяжести системы не-

91

сколько приподнимается. Вследствие этого предоставленный самому себе при­бор начинает совершать колебания около вертикальной оси, период которых зависит от момента инерции подвешенной системы.

Верхние концы нитей подвеса, расположенных несколько наклонно, прикре­плены к небольшой горизонтальной шайбе С, которую можно при помощи AiHvp- ка поворачивать около вертикальной оси на небольшие углы. Это дает возмож­ность сообщать диску В поворот около вертикальной оси, не вызывая его ма­ятникообразных колебаний. Отклонения диска В отсчитываются методом зер­

кала и шкалы (стр. 37). Зеркало М -укреплено на оси враще­ния прибора, несколько ниже диска В\ применяется объектив­ный отсчет. Для получения зайчика на шкале служит лампа

со щелью и линза. Обозначим длину нитей через / (рис. 60) и расстояния от точек их прикрепления до центров диска В и шайбы С, соответственно, через R и г. При повороте диска на некоторый угол а относительно верхней шайбы, точ­ка прикрепления нити В переходит в положение Вг и диск приподнимается на некоторую высоту К, которая равна:

h ^ O O ^ A C — A ^ .

Это выражение можно написать в виде: , _ А С 1 — А ХС2 П~ А С -\-А гС •

Из геометрических данных имеем:А С- = ВС 2 — АВ- = I2 — (R - r)s,

А гС2 z= ВгС2 — -^jSj =£= Г- — (R2 4 - г2 — 2Rr cos а).

На основании этих уравнений выражение для h можно привести к такому виду:

пп /1 ч 2/?r-2sin2-̂ -2R r(\ — cos а) 2----- А С + А ХС А С -\-А хС ‘

В этом выражении величины А С и А гС считают равными 1, я синус угла заме­няют дугой; при большой длине нитей и малых углах отклонения диска эти допущения не вносят заметных ошибок.

Таким образом окончательно имеем:

А= т г - №На основании этого выражения для потенциальной энергии Ер системы при

отклонении на угол а получаем: /? аЕр — тё *

где т — масса диска А.С другой стороны кинетическая энергия Ek системы при прохождении по­

ложения равновесия, на основании уравнения (4), равна:

Рас. 59, Трифилар. Рис. 6 0 , Трифиляр (те­ория). *

Ек = — J * 2 V T Vпричем значение .угловой скорости диска А в этот момент определяется тем приемом, который был указан при выводе формулы (12).

Пренебрегая силами трения, из последних двух уравнений на основании вакона сохранения энергии имеем:

Rra3 1 t ( 2ira \ J'ИГ ~

92m g ~ = 2 J \ ~ T )

откуда находим:т_Г2 mgRr

* i t I - (18)

Все величины в правой части этой формулы; доступны непосредственному измерению, и, таким образом, формула (18) может служить для определения мо­мента инерции J.

Измерения. 1. Вначале необходимо определить момент инерции ненагру- женного прибора У0. Для этого зажигают осветительную лампу и устанавли­вают миллиметровую шкалу горизонтально на расстоянии приблизительно 1 м от прибора, располагая ее так, чтобы зайчик, даваемый зеркальцем прибора, приходился по середине шкалы. Затем, сообщив прибору при помощи шнурка небольшое отклонение (40—50 см по шкале), наблюдают точки поворота зай­чика н измеряют при помощи секундомера продолжительность 40—50 колеба­ний; отсюда находят период одного колебания Т. Величины ш0 для ненагру- женного прибора, I, R и г, даются как некоторые постоянные прибора. Из ре­зультатов определения Т вычисляют по формуле (18) У0, т. е. момент инерции ненагруженного прибора.

2. После этого на диск прибора помещают одно из тел, момент инерции которого определяют, располагая его центр тяжести на оси прибора; для этой установки тело снабжено шпилькой, которая входит в отверстие в диске В. Вновь сообщая прибору колебания, тем же приемом определяют их период.

Такие же измерения проделывают и со вторым телом.Из результатов этих измерений по' формуле (18) находят момент инерции

всей системы, т. е. сумму моментов инерции самого прибора /0 и лежащего на нижнем диске тела У; чтобы определить последнюю величину в отдельности, нздо из полученного значения вычесть У0.

При вычислении момента инерции всей системы, У’о'Ь 'А ее масса опреде* ляется как сумма масс ненагруженного прибора т 0 и массы измеряемого тела; последнюю величину находят, взвешивая тело на технических весах с точ­ностью до 0,5 г.

3. При проверке на этом приборе теоремы Штейнера (5) пользуются двумя одинаковыми грузами, например, двумя половинами разъемного цилиндра; измерения выполняются при двух положениях тел на диске В. В начале опре­деляют момент инерции одного из т ел относительно вертикальной оси, про­ходящей через его центр тяжести, т. е. при центральном положении тела по отношению к диску В. Затем оба тела помещают симметрично по краям диска в тех точках, где имеются отверстия для шпилек; расстояние между центрами этих отверстий предварительно измеряют штанген-циркулем с точностью до 0,1 мм. Определив момент инерции системы при таком положении тел, на­ходят момент инерции одного из них по отношению к вертикальной оси, кото­рая лежит от центра тяжести тела на расстоянии, равном половине расстояния между центрами шпилек. Полученное значение момента инерции тела сравни­вают с теоретическим, которое находят на основании теоремы Штейнера.

Г Л А В А 3

КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Простейшим видом колебательных движений является гармоническое или синусоидальное колебание; оно возникает в том случае, если на тело, выведен­ное из положения равновесия, непрерывно действует сила, направленная всегда обратно к положению равновесия, а по величине пропорциональная расстоянию тела от этого положения, или так называемому смещению тёла. Таким образом можно написать:

f = — ks,где / — сила, под действием которой тело совершает гармоническое колебание, s — смещение тела из положения равновесия и k — некоторый постоянный коэффициент.

93

Это выражение, в соответствии с формулой (1") (стр. 77), можно написать в таком виде:

rf3?m d ti = ~ kS- <’>

Здесь т — масса колеблющегося тела и — его ускорение, которое вы­ражено в дифференциальной форме, так -как в колебательном движении оно является величиной переменной.

Если колебания совершаются при наличии сил сопротивления, то энергия системы частично затрачивается на их преодоление; вследствие этого ампли­туда колебаний постепенно уменьшается, т. е. возникают затухающие коле­бания. Таким образом затухающие колебания совершаются при одновременномдействии двух сил: силы, пропорциональной смешению колеблющейся точки, и силы сопротивления. Последнюю силу обыкновенно считают пропорциональнойскорости движения точки, т. е. значению производной Отсюда следует, чтоуравнение затухающих колебаний можно написать в таком виде:

d2s dsm m = - k s - n d t '

где я — второй постоянный коэффициент.Из последней формулы имеем:

m 1rn+n jt+ks= 0* wРешение аналогичного уравнения было дано на стр. 64; оно имеет вид:

s = ae-3<sin(u>f-}-®0). (2)В этом выражении а — амплитуда колебаний, <о — их угловая частота, рав­

ная 2тс/7\ где Т — период колебаний, ?0 — начальная фаза и 8 — так называемыйкоэффициент зат уха-

S | Л ния. Частота колебанийсвязана с коэффициента-

г \ ми уравнения (Г) соотно-^ -------- - шением:

01

Г У т (3)

Рис. 62. Затухающая синусоида. Е сли в частном слу­чае силы сопротивления

отсутствуют, то колебания совершаются без затухания, т. е. коэффициент за­тухания равен нулю, и уравнение (2) получает вид:

s = « S in ^ 2 * - + To) . (2')

Если допустить, что начальная фаза колебания <р0 равна нулю, то получаем более простое уравнение колебания:

s — a e -ы sin 2*-^-. (2й)

Графически гармоническое колебание, в системе координат t (абсциссы) из (ординаты), изображается синусоидой (рис. 61). В случае затухающих колеба­ний получается волнообразная кривая, амплитуды которой постепенно умень­шаются, т. е. затухающая синусоида (рис. 62).

С гармоническими колебаниями мы встречаемся очень часто на практике; таковы, например, колебания, которые совершаются под дейстнием силы тя­жести (колебания маятника при малых амплитудах), упругих сил, подчиняю­щихся /закону Гука (упругие колебания), переменных сил электромагнитногохарактера (колебании в цепях переменного тока) и мн. др.

При изучении колебательных движений наибольший интерес представляют вопросы затухания колебаний и их сложения.94

Зат ухание колебаний. Применим уравнение (2") к моментам времен» г Т Т

^ /2 = 3--j-, <3 = 5 - - j , . . . и т. д. и вычислим для этих моментов рядсоответствующих амплитуд а ь аг, ая, . . . Если взять затем отношения дву* последовательных амплитуд одного знака, т. е. направленных в одну сторону, то получаем ряд равенств:

£l = e*r Ъ — е\т <Ь—еът а3 ’ аъ

Отсюда мы видим, что отношение двух последовательных амплитуд одного знака оказывается постоянным; это отношение называют декрементом зату­хания D :

D = е«г. (4)а п + г

Очевидно, чем больше декремент затухания, тем быстрее убывают амплитуды колебаний. Очень часто колебания характеризуют натмральным логарифмом декремента затухания; это так называемый логарифмический декремент за­т ухания D, который, очевидно, равен;

Ь = In — — - = In еьт — I t . (41)а п + 2

Для незатухающих колебаний декремент затухания равен единице, а лога­рифмический декремент равен нулю.

Из сказанного выше следует, что для определения декремента затухания надо измерить амплитуды ряда последовательных колебаний; отношение двух последовательных амплитуд одного знака определяет декремент затухания ко­лебаний, а натуральный логарифм этого отношения — их логарифмический де­кремент.

Сложение„ колебаний. При изучении вопросов сложения гармонических колебаний обыкновенно ограничиваются анализом двух наиболее простых- слу­чаев, а именно, сложением колебаний одного направления, или параллельных колебаний, и сложением колебаний, взаимно перпендикулярных. Кроме того, в том и другом случаях периоды колебаний могут быть одинаковы или различны.

Основные выводы, которые получаются в этих предположениях, приведены! дальше для случая незатухающих колебаний.

I. С л о ж е н и е д в у х г а р м о н и ч е с к и х к о л е б а н и й о д н о г с п е р и о д а . Уравнения колебаний в этом случае имеют такой вид:

Sj — c i sin ( Ъ - j + Т о )- = а 2 sin ( 2к j + <Ро) • (2Ч

А. Колебания одного направления (параллельны е). В результате сложении получается также гармоническое колебание, амплитуда А которого опреде­ляется выражением:

/42 = a? + a^ -f-2 a1a 2cos(ifo — Тц). (5).Из формулы (5) видно, что амплитуда результирующего колебания зависит

от разности начальных фаз обоих складываемых колебаний; отсюда получаютсячастные случаи:

a) Если разность фаз равна нулю или четному числу*, т. е. ?0 — f 0 = 2n% то из формулы (5) находим:

А = а1-\~ аг, (5')

т, е. в этом случае амплитуда результирующего колебания равна сумме ампли туд складываемых колебаний (рис. 63). J „ , _ ,

b) Если разность фаз равна нечетному числу г, т. е. т0 — <Ро— (2 л -г !)* то из того же уравнения находим:

А = а1 — аьт. е. в этом случае амплитуда результирующего колебания равна разности ам­плитуд складываемых колебаний (рис. 64).

95

с) Если в последнем случае амплитуды обоих складываемых колебаний равны, то получаем: /4 = 0, т. е. колеблющееся тело в результате сложения колебаний остается в покое (рис. 65).

А -Л -VII , * » / %

" V v* »*•- •+ ■.! )

Рис. 63. Сложение ко­лебаний.

Рис. 64. Сложение ко­лебаний, 2-Й случай.

Рис. 65. Слпжейпе ко­лебаний, 3-й случай.

В. Колебания, взаимно перпендикулярные. Исключая t из уравнений (2'), получаем выражение:

Ро — То) = sin2 (То — ?п). (6)( Sa S + { a S ~ f S C0S^ 0 - Ж = sinS(То -

т. е. уравнение эллипса в системе координат j t, s.2. Параметры этого эллипса •эвисят от разности начальных фаз — ®0 складываемых колебаний. Отсюда получаем частные случаи:

а) Если разность фаз колебаний равна нулю или четному числу тс, т. е. ®0 — в0 = 2пк, то из уравнения (б) находим:

й = Ч (6-)“ 1 “2

г. е. уравнение прямой, которая геометрически изображается диагональю АС прямоугольника ABCD (рис. 66 а), построенного на складываемых колебаниях. .Диагональ А С следует рассматривать как эллипс предельного вида, вытянутый в отрезок прямой линии, т. е. с малой осью, равной нулю.

В С В С В С

Рис. 66. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

b) Если разность фаз колебаний равна нечетному числу-п, т. е. — f0 = = (2гс- f - 1)it, то из того>же уравнения находим:

& = - ? ’ (6"> “ 1 а 2т. е. то же уравнение прямой, второй диагонали JBD того же прямоугольника (рис. 66 D), которая также является предельным случаем эллипса.

c) Если разность начальных фаз складываемых колебаний равна я/2, то получаем:

(У+(У’=‘.т. е. уравнение эллипса, отнесенного к осям shst (рис. 66. с).Э6

d) Если, кроме того, в последнем случае амплитуды обоих колебаний равны то получаем:

т. е. уравнение окружности (рис. 66 d) радиуса а.II. С л о ж е н и е д в у х г а р м о н и ч е с к и х к о л е б а н и й р а з л и ч ­

н о г о п е р и о д а . В этом случае траектория колебания, получаемого в резуль­тате сложения, оказывается значительно более сложной; она определяется от­носительной величиной амплитуд обоих колебаний, отношением их периодов и разностью начальных фаз.При сложении колебаний, одинаково направленных, получаются периодические (волнообразные} кривые различного вида, иногда очень сложные. Некото­рые из них даны на рис. 67, где графически произ­ведено сложение двух одинаково направленных гар­монических колебаний разностью начальных фаз, равной нулю и и; отношение амплитуд и периодовs ' s

Рис, 67. Сложение одинаково направленных колебаний разного периода.

Р и с , 68. С лож ени е взаи м н о п ерп ен ди к ул ярн ы х кол еб ан и й

р азн о го п ери од а .

принято равным 1:2. При сложении колебаний взаимпо-перпендикулярных полу­чаются периодические (замкнутые) кривые, также различного вида. Некоторые из них даны на рис. 68; отношение амплитуд вновь принято равным 1:2, отно­шение периодов указано на рисунке.

Я

РАБОТА За. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕКРЕМЕНТА ЗАТУХАНИЯ УПРУГИХКОЛЕБАНИЙ

1) Прибор для наблюдения упругих (крутильных) колебаний, 2) оптическая труба, 3) шкала для зеркального отсчета на шташве, 4) настольная лампа, 5) секундомер.

Описание метода и приборов. Прибор для наблюдения упругих колебаний состоит из металлической проволоки А (рис. 69), верхний конец которой закреп­лен. На ее нижнем конце подвешен груз Р, центр тяжести которого располо­жен на продолжении оси проволоки А; в верху груза Р на его оси вращения прикреплено зеркальце М. Если груз Р повер­нут на некоторый угол около вертикальной оси, то проволока закручивается, и в ней поянляются упругие силы. Вследствие этого система, предоставленная самой себе, начинает совершать упругие (крутильные) колебания около вертикальной оси, посте­пенно затухающие. Момент инерции груза Р сделан достаточно большим, так что период крутильных колебаний достшает 5—6 секунд. Наблюдение колебаний и измерение их амплитуд произ­водится методом зеркала и шкалы; применяется субъективный отсчет (стр. 37). Для того чтобы можно было груз Р приво­дить в крутильные колебания, не сообщая ему одновременно ма­ятникообразных колебаний, верхний конец нити А прикреп­лен к горизонтальной шайбе с, укрепленной на кронштейне, которую можно при помощи шнурка поворачивать на небольшой угол около вертикальной оси; после этого шайба с действием спиральной пружины возвращается в прежнее положение.

При приборе имеются две проволоки для подвеса груза, стальная и медная. Соответственно различным коэффициентам упругости стали и меди декремент затухания в том и другом случаях имеет различную величину.

Измерения . Миллиметровую шкалу укрепляют горизонтально на шта­тиве и, поместив его на расстоянии приблизительно 1 л от прибора, освещают

сз= ОРис. 69. Зату­хание упругих

колеОаний.

Физический практикум 97

шкалу лампой. Затем устанавливают оптическую трубу так, чтобы в ней было видно изображение шкалы, даваемое зеркальцем прибора, причем крест нитей трубы должен указывать приблизительно на среднее деление шкалы.

Отсчитав положение нитей на шкале, т. е. нулевую точку прибора, сооб­щают ему крутильные колебания и, наблюдая их в оптическую трубу, измеряют ряд (не менее 10—12) последовательных точек поворота прибора по обе сто­роны от его нулевой точки. Отсюда вычисляют величину последователь­ных амплитуд по ту и другую сторону от нулевой точки в отдельности. Одновременно следует определить период колебания системы, измеряя по се­кундомеру продолжительность 40—50 колебаний.

Такие измерения следует произвести последовательно для обеих (стальной и медной) проволок.

Из этих результатов вычисляют по формулам (4) и (4*) декремёнт затухания колебаний D, логарифмический декремент затухания 0 и коэффициент зату­хания о.

РАБОТА ЗЬ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕКРЕМЕНТА ЗАТУХАНИЯ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ МАЯТНИКА

I) Маятник с дпумя соленоидами, 2) аккумулятор, 3) амперметр, 4) реостат, 5) выключатель, 6) оптическая труба, 7) шкала для зеркального отсчета на штативе, 8) настольная лампа»0) секундомер.

Описание метода и приборов. Маятник, который применяется в даннойработе, кроме тяжелого груза р х (рис. 70) на нижнем конце имеет еще до­полнительный груз р ъ расположенный выше точки опоры маятника; груз pt

можно передвшать вдоль штанги В, закре­пляя его в любом положении. Колебания ма­ятника наблюдаются методом зеркала и шка­лы (стр. 37); при этом применяется субъек­тивный отсчет. Шкала расползается верти­кально на расстоянии приблизительно 1 м от прибора.

Трение в точках опори маятника (ребро стальной трехгран.юЗ при»иы) очень незначи­тельно, т а к что котебання маятника происхо­дят с весь\п малы 1атуханием. Чтобы его увеличить, применяется эл ;ктромагнитное тор­можение: нижним грузом маятника служит м^ссинная металлическая пластина, которая при колебаниях маятника днижется в магнит­ном поле между полюсами двух соленоидов S 5. Вследст ие этог > в ней возникают токи Фуко, которые производят тормозящее дейст­вие и увеличивают затухание колебаний. Де­кремент зэтухания в этих условиях зависит от напряженности магнитного поля в про­странстве межту полосами соленоидов; отсю­да следует, что декремент затухания будет из­меняться при изменении силы тока в цепи сол^ноидо , котор1Я измеряется по показа­ниям амперметра А. Магнитное поле, д а в а е м о е соленоидами, не является однородным, вслед-

Рис. 70. Маитннк в магнитном поле, ствие этог ) декремент затухания зависит отамплитуды колебаний. Отсюда следует, что

все измерения с прибором следует п оизводить но возможности, при одно« и той же амплитуде колебаний. С это целью, сообщая маятнику коле­бания, его отклоняют всегда на один и тот же угол, до упора С, та­ким образом начальная амплитуда колебаний маятника остается всегда постоянной. 0

•Считая колебания маятника гармоническими, мы можем применить к е движению уравнение (1'). Однако, необходимо иметь в виду, что маятник пр колебаниях совершает вращательное движение, и поэтому в уравнении ^98

следует ввести моменты сил относительно оси вращения (стр. 85;, т. е. точки опоры маятника. Вследствие этого в уравнении (1'):

a) первый член следует заменить произведением момента инерции J маят­ника относительно его точки опоры на угловое ускорение ~ t где ? — угло­

вое перемещение маятника;b) второй член оказывается равным произведению коэффициента торможе-

dtaния Р (ср. стр. 64) на угловую скорость вращения — и

c) наконец, момент силы, действующей на маятник, относительно точки опоры можно считать равным произведению его веса m g на расстояние d от центра тяжести маятника до его точки опоры; по общему свойству гармони­ческих колебаний момент действующей силы должен изменяться пропорциональ­но угловому перемещению <р маятника.

Таким образом уравнение колебания маятника следует написать в виде:

J w + p s + m^ = < > - и

Решение этого уравнения в соответствии с формулой (2") можно, считая начальную фазу равной нулю, написать в таком виде:

- К . о t <t = ae s iп 2jtyr >

где a — угловая амплитуда колебаний.Коэффициент затухания 8 в последнем уравнении зависит от параметров

уравнения (7); эта зависимость выражается так (ср. стр. 64):. Р (8)

2 /

В соответствии с этим, на основании формулы (40, находим величину лога­рифмического декремента затухания:

Для того чтобы определить зависимость коэффициента торможения Р от электрических и магнитных параметров системы, можно воспользоваться фор­мулами, вполне аналогичными тем, которые были выведены в теории зеркаль­ного гальванометра (стр. 63), а именно:

Тормозящий момент можно считать пропорциональным произведению силы токов Фуко и напряженности Н магнитного поля, т. е. можно написать:

p * L = k liH , (9)

где ft) — некоторый коэффициент пропорциональности, a i — сила токов Фуко.Так как напряженность магнитного поля Н в различных точках может бытьразличной, то величина i представляет собой некоторую интегральную силу тока всех элементарных индукционных токов, возникающих в отдельных точках пластины p v

Величину i можно определить, если электродвижущую силу индукции раз­делить на омическое сопротивление пластины р х. В соответствии с этим можно написать:

■ — L — ъ Н d f l _ R _ * 2 R ^ ,

где E — электродвижущая сила индукции, определяемая общим выражением, —коэффициент пропорциональности и R — омическое сопротивление пластины.

Взяв абсолютное значение силы тока /, на основании формулы (9), полу­чаем:

7»

I Г*)Р = к

99

На основании этого выражения находим из формулы (8) значение логариф­мического декремента затухания: - ~ . -

Н 2Т& = *2 27?? .

Напряженность магнитного поля Н, создаваемого соленоидом, при отсут­ствии в нем железного сердечника, можно считать пропорциональной силе тока в соленоиде; кроме того, величины Т и Упри определенном положении верхнего груза маятника рг остаются постоянными. Вследствие этого последнее выраже­ние можно', написать в таком виде:

пт* = * & , , (Ю)

где k — некоторый постоянный коэффициент, а / — сила тока в цепи соле­ноида.*

Формула (10) показывает, что логарифмический декремент затухания при колебаниях маятника в магнитном поле соленоида должен изменяться прямо пропорционально квадрату силы тока в цепи соленоида и обратно пропор­ционально омическому сопротивлению пластины р х, при условии, что период колебаний и момент инерции маятника остаются постоянными. При прибореимеется три пластины, сделанные из меди, латуни и цинка, одинакового раз­мера; при этом условии омическое сопротивление пластин можно считать пропорциональным удельному сопротивлению их материала. Таким образом, применяя формулу (10) к двум пластинам одинакового разм ера, но из р а з ­личны х материалов, можно для одной и той же силы тока написать (при условии, если отношение Г/У для различных пластин сохраняет постоянное значение):

-1 = —'•=&- (11)» . /?, Р1’ (11)

где Р] и р2 — удельные сопротнЬления той и другой пластины.Измерения. 1. Оба соленоида соединяют параллельно и включают в их

цепь источник тока Е, выключатель К, реостат R и амперметр А, как показано на рис. 70. Шкалу укрепляют на штативе вертикально, освещают ее настольной лампой и устанавливают на расстоянии около 1 м от прибора на такой высоте, чтобы в поле зрения трубы были видны средние деления шкалы, если маятник находится в покое.

2. Устанавливают на маятник медную пластину и подбирают такое положе­ние груза р«, чтобы период колебания маятника был равен 4—5 сек.; в этом положении груз рг остается при всех дальнейших измерениях с медной пла­стиной. Затем, приведя маятник в колебание, из непосредственного измерения промежутка времени, в течение которого маятник совершает 30—40 колебаний, находят период его колебания Т. При этих измерениях цепь соленоида должна оставаться разомкнутой.

3. Продолжая наблюдать в трубу колебания маятника также при разомкну­той цепи соленоида, отсчитывают ряд последовательных (не менее 8—10) точек попорота маятника. Затем останавливают маятник и отсчитывают его нулевую точку; отсюда находят последовательные амплитуды колебаний и вычисляют по формуле (4') логарифмический декремент затухания колебаний в отсутствие магнитного поля.

4. Поставив реостат на наибольшее сопротивление, замыкают цепь солено­ида и измеряют силу тока в его цепи, отсчитывая показания амперметра А. Затем, приведя маятннк в колебание, вновь определяют тем же приемом декре­мент затухания. Начальная амплитуда колебаний устанавливается всегда одина­ковой, как было указано выше.

5. Такие же измерения повторяют при 6—8 различных положениях пол- зушки реостата, постепенно увеличивая силу тока в цепи соленоида и от­считывая каждый раз показания амперметра. При больших силах тока ампли­туды колебаний быстро уменьшаются, поэтому, определяя декремент зату­хания, следует ограничиваться отсчетом первых 4—о точек поворота, так как дальнейшие амплитуды ни в какой степени не могут удовлетворить условию их постоянства.100

При всех измерениях необходимо проверять нулевую точку прибора (при за м к н у т о й цепи соленоида); если она изменилась, следует при вычислении ампли­т у д брать ее среднее значение.

Р е 1ультаты определения декремента затухания при различных силах тока изображают гргфически, откладывая по оси абсцисс логарифмический декремент затухания, а по оси ординат силу тока.

Те же самые измерения повторяют с латунной и цинковой пластинами, причем необходимо при перемене пластин проверять период колебания маятника. Если период заметно изменился по сравнению с его начальным значением при медной пластине, то необходимо привести его к прежнему значению, соответ­ственно изменяя положение груза р 2■ Определять декременты затухания для латунной и цинковой пластин следует при тех же силах тока в соленоиде, какие применялись для медной пластины. На основании результатов этих изме­рений вычисляют для различных пластин при одной и той же силе тока отношения логарифмических декрементов; эти отношения, согласно фор­муле (11), должны быть равны обратным отношениям удельных сопротивлений материала пластин или отношению их удельных проводимостей.

РАБОТА Зс. ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СЛОЖЕНИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ МЕТОДОМ ДВОЙНОГО МАЯТНИКА

1) Двойной маятник, 2) аккумулятор, 3) прерыватель, 4) индуктор, 5) два рубильника,6) реостат, 7) секундомер. °

Описание метода и приборов. Двойной маятник, который применяется в этой работе, состоит из основного маятника (рис. 71) с массивной шайбой В на нижнем конце, в отверстии которой на­ходится второй пружинный маятник. Последний представляет собой вертикальный диск А, ко­торый свободно вращается на горизонтальной оси; колебания диска А совершаются под дейст­вием упругой силы плоской спиральной пру­жины. Оба маятника при помощи шпилек можно закреплять неподвижно в их средних положениях.В нижней части диска А укреплено острие L, которое служит для записи колебаний. Непосред­ственно под острием I. на расстоянии 1—2 м м от него находится бумажная лента, натянутая горизонтально, которую можно приводить в рав­номерное движение при помощи электрического мотора. Движением бумаги приходится пользо­ваться при сложении колебаний, одинаково на­правленных; при сложении колебаний, взаимно перпендикулярных, бумага остается неподвижной.Соответственно этому оправу пружинного маят­ника можно закреплять на шайбе В в двух взаимно перпендикулярных положениях, так что плоскости колебаний обопх маятников или совпадают по направлению или располагаются взаимно пер­пендикулярно. Период колебания пружинного маятника остается постоянным; период колеба­ния основного маятника можно изменять в широ­ких пределах, что достигается перемещением груза Р на верхней части штанги маятника; шка­ла, нанесенная на ней, дает возможность отсчи­тывать положение груза Р. Начальные амплитуды колебаний того и другого маятника всегда остаются постоянными; для этого служат соответствующие упоры. Упор пру­жинного маятника снабжен электромагнитным механизмом, так что маятник, от­клоненный до упора, остается в этом положении; при р а з м ы к а н и и цепи элек­тромагнита маятник освобождается, начиная совершать колебания.

Острие К, укрепленное на шайбе основного маятника, служит для наблю­дения моментов прохождения системы через положение равновесия (фаза ос-

101

новпого маятника в этот момент равна нулю или к) и через крайние поло­жения, т. е. точки поворота (фаза основного маятника в эти моменты равна г/2 или 3-/2).

Что касается разности начальных фаз при одновременном колебании обоих маятников, то она определяется моментом начала колебаний пружинного маят­ника. Действительно, пружинный маятник, отклоненный до упора, т. е. до сво­его крайнего положения, всегда начинает колебаться при фазе, равной it/2. Поэтому, если включить пружинный маятник в тот момент, когда основной маятник находится также в своем крайнем положении, то разность фаз обоих маятников будет равна или нулю, если оба маятника находятся на одной сто­роне от положения равновесия и движутся в одном направлении, или я, если оба маятника находятся на противоположных сторонах от положения равновесия. Если же пружинный маятник включить в тот момент, когда основной маятник проходит через положение равновесия, то разность их фаз будет равна или п/2, если маятники движутся в одном направлении, или Зя/2, если маятники движутся в противоположных направлениях.

Включение пружинного маятника в какие-либо другие моменты по отно­шению к колебаниям основного маятника дает некоторую произвольную раз­ность их начальных фаз.

Затухание при колебаниях обоих маятников очень незначительно; таким образом амплитуды 4—6 последовательных колебаний практически остаются постоянными.

Запись траектории колебаний производится при помощи электрической искры. Для этого непосредственно под бумажной лентой находится горизон­тальный металлический столик, хорошо изолированный; он присоединяется к одному из полюсов небольшой индукционной катушки. Ее второй полюс, так же как и все металлические части прибора, отведен к земле; вследствие этого, несмотря на наличие высокого потенциала, можно безопасно касаться руками всех частей прибора, кроме столика.

При замыкании цепи индуктора между концом острия L и металлической поверхностью под ним образуется искра; она оставляет на бумаге очень ясный след. Поэтому цепь индуктора достаточно замыкать на короткие промежутки времени, так что искра вдоль каждого направления в отдельности проходит только 1—2 раза. Этот метод записи колебаний совершенно не увеличивает их затухания.

Измерения. С этим прибором производят следующие измерения.1. С л о ж е н и е к о л е б а н и й о д и н а к о в о н а п р а в л е н н ы х .А. Колебания одного периода. 1. Закрепив основной маятник неподвижно

при помощи шпильки, приводят в колебание пружинный маятник и изме­ряют по секундомеру промежуток времени, в течение которого совершается 40—50 колебаний; отсюда будет легко определить период колебания пружин­ного маятника.

2. Закрепив пружинный маятник в среднем положении, приводят в колеба­ние основной маятник и, определяя тем же приемом период его колебания, на­ходят путем последовательных проб такое положение груза Р на штанге маят­ника, при котором период колебания основного маятника оказывается равным периоду колебания пружинного маятника; груз Р при этом приходится поместить вблизи верхнего конца штанги маятника. Соответствующее положение груза Р отсчитывается,

3. Укрепив на приборе лист бумаги, проверяют положение координатных осей. Для этого, закрепив оба маятника в их среднем положении, приво­дят бумагу в движение и, замыкая цепь индуктора, наносят ось абсцисс (ось времени t); затем, остановив движение бумаги и передвинув ее несколько назад, приводят в колебание один основной маятник; вновь замыкая цепь индуктора при неподвижной бумаге, наносят ось ординат (ось смещений s). При правильном положении маятников угол между осями должен быть равен прямому углу.

4. После этого следует записать синусоиды, отвечающие колебаниям того и другого маятника в отдельности. Для этого приводят в движение бумагу, сообщают колебания основному маятнику и, замыкая цепь индукционной катушки, записывают его синусоиду. Цепь индуктора при этом следует держать замкнутой в течение 3—4 полных колебаний маятника. Такие же наблюдения повторяют в отдельности с пружинным маятником; основной маятник при этом должен быть102

закреплен. При правильно подобранных периодах колебаний обоих маятников точки пересечения оси абсцисс той и другой синусоидой при их наложении должны совпадать.

5. Для того, чтобы произвести сложение колебаний, следует записать кри­вую при одновременном колебании обоих маятников, давая им определенную разность начальных фаз, как это было указано выше, т. е. наблюдая за коле­баниями основного маятника, следует включать пружинный маятник в опре­деленные моменты времени; после включения пружинного маятника следует пропустить 3—4 колебания, наблюдая непосредственно глазом, насколько пра­вильно они совершаются, и только после этого можно замыкать цепь ин­дуктора.

Следует получить кривые, соответствующие разностям фаз, равным 0 и я, тс/2 и 3i:/2. Весьма интересно сравнить их с кривыми, отвечающими некоторым произвольным разностям фаз.

В. Колебания разны х периодов. Описанные выше измерения следует повто­рить при различных периодах колебания основного маятника. Для этого следует, опуская груз Я, найти такое его положение, при котором период колебания основного маятника уменьшается в 2 раза, так что отношение периодов коле^ баний того и другого маятника становится равным 1:2. Положение груза Р от­считывают по шкале и затем производят запись кривых, наблюдая за тем, чтобы разность начальных фаз обоих маятников вновь имела определенные значения, т. е. О, it, к/2 и Зг/2. Те же измерения следует произвести и при от­ношении периодов 1:3 и 1:4. Весьма интересные кривые можно получить, если отношение периодов выражается более сложной дробью; этого можно достичь, если, например, груз Р поместить на штанге вблизи того положения, которое отвечает равенству периодов обоих маятников.

II. С л о ж е н и е к о л е б а н и й в з а и м н о п е р п е н д и к у л я р н ы х . В этом случае бумага остается неподвижной. Оправу пружинного маятника поворачивают на шайбе В в то положение, при котором плоскости колебаний обоих маятников расположены взаимно перпендикулярно. Вначале следует про­верить направление координатных осей (оси смешений Sj и sA записывая ко­лебания того и другого маятника в отдельности. Затем записывают кривые (фигуры Лиссажу), получаемые цри одновременном колебании обоих маятников, в начале так же при равенстве их периодов (эллипс в различных фазах), а за­тем при тех же отношениях периодов, какие применялись в первой серии из­мерений. При этом вновь определять периоды колебаний основного маятника нет необходимости, так как положения груза Р на штанге, отвечающие опреде­ленному отношению периодов, установлены предыдущими измерениями. Что же касается разности начальных фаз, то Следует во всех случаях получать кривые, отвечающие разностям фаз 0, т., тс/2 и Зт/2, а также некоторой произвольной разности фаз. Весьма интересные траектории получаются вновь в тех случаях, когда отношение периодов обоих маятников выражается сложными числами.

Г Л А В А 4

РЕЗОНАНСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Если систему, спдсобную совершать колебания, вывести из положения рав­новесия и затем предоставить сам' й себе, то колебания, которые она начинает совершать, принято называть cei бобными. Период свободных колебаний опре­деляется параметрами системы; что же касается амплитуды свободных колеба­ний, то она определяется как параметрами системы, так, одновременно, и дей­ствием сил сопротивления.

С другой стороны, в колебательных системах могут возникать так назы­ваемые ьынужоеиные колебания; в этом случае колебательная система должна находиться под действием внешней силы, или внешнего возбуждения, имеющего периодический характер. Период установившихся вынужденных колебаний оп­ределяется не только параметрами самой системы, но и периодом внешней силы; что же касается амплитуды вынужденных колебаний, то она зависит поп 'ежнему от параметров системы и действия сил с о п р о т и в л е н и я , а кроме того, от периода

103

и амплитуды внешней силы. При определенных соотношениях между парамет­рами системы и внешнего возбуждения амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума, тем яснее выраженного, чем меньше силы сопротивления; в этих случаях принято говорить, что имеют место явления резонанса. Резо­нансные явления обыкновенно изображают графически, откладывая по оси

абсцисс частоту внешнего возбуждения или, лучше, отношение частота возбуж­дения v к собственной частоте системы v0, а по оси ординат амплитуды ее колебаний А. Получаются характерные кривые (рис. 72), имеющие один макси­мум, который отвечает равенству частот v и vft. Кривая а, с бесконечно большой амплитудой в этой точке, получается при отсутствии сил сопротивления. При на­личии последних получаются кривые с ко­нечным максимумом (кривые Ь, с и d); его величина тем меньше, чем больше силы сопротивления.

В простейшем случае резонансных явлений предполагают, что колебания системы имеют синусоидальный харак­тер и что внешняя периодическая сила изменяется во времени также по закону синуса.

♦При таком предположении ускорение колеблющегося тела определяется одновременным действием трех сил: во-первых, согласно тому, что было сказано на стр. 94, действием силы, пропорциональной смещению s (первая сила), во-вторых, силы трения, пропорциональной скорости — (вторая сила), и, наконец,применительно к случаю вынужденных колебаний, еще действием внешней пе- риодилеской силы (третья сила). Поэтому в соответствии с тем, что было ска­зано на стр. 94, можно написать

d s и ds .т — = — ks — п — + F sin wt. a t- at 0)Последний член в правой части этого уравнения выражает внешнюю пери­

одическую силу; ее максимальное значение равно F, ее частота равна ш, причем,по общему определению угловой частоты, (о = 2г/Г, где Т — период внешнейсилы. Угловую частоту свободных колебаний системы обозначим <о0, а их пе­риод 7"0; таким образом имеем и>0 = 2я/7о, причем в соответствии с формулой (3) стр. 94 можно написать:

2 к“5 = ™ ■ <2>

Из уравнения (1) имеем:

m ‘̂ + ks + n ~ t -F s\ri«> t = Q. (!<)

Решение этого уравнения имеет вид:s = a sin (шt — Р), (3)

где а обозначает амплитуду вынужденных колебаний, а р— разность между фазой системы и фазой внешней силы, или так называемый сдвиг фазы.

Подставляя это значение 5 в уравнение (1'), получаем после некоторых преобразований выражение:

(ak — amufi — F cos P) sin (cof — P) -f- (anw — F sin P) cos (a>t ■ P) = 0. (30Так как это выражение должно быть справедливо при всех значениях t, то

необходимо, чтобы коэффициенты при sin (u>t — Р) и cos (со̂ — р) были равны нулю, т. е. необходимо, чтобы

104a k — amufi — Ft ob^ и ana> = / :'sinp.

Подставляя в первое из этих уравнений значение k из уравнения (2) и решая затем уравнения относительно а и р, находим:

Я*а - = ------------------5--------- , (4)Я20>2 + От2 ( ; ^ _ 0)2)2 И

. - птт (юд — <о-)

Первое из этих выражений показывает, что максимум амплитуды вынуж­денных колебаний, т. е. резонанс, наступает при равенстве частот ш0 и «о, таккак при этом условии знаменатель формулы (4) имеет наименьшее значение; отсюда следует, что при резонансе имеет место равенство периодов Т0 и Т:

То — Т,т. е. при вынужденных колебаниях резонанс наблюдается в том случае, если период внешней силы равен периоду собственных колебаний системы. Величина резонансной амплитуды аг колебаний, согласно уравнению (4), оказы­вается равной

а , = — . (6)

Отсюда следует, что величина резонансной амплитуды обратно пропорцио­нальна п, т. е. зависит от сил сопротивления (стр. 94). Очевидно, что в слу­чае незатухающих колебаний, когда п равно нулю, резонансная амплитуда по­лучает бесконечно большое значение, как это изображено на рис. 72.

При условии резонанса из уравнения (5) следует, что tg ji равен бесконеч­ности, т. е. что р = я/2. Таким образом при наступлении резонанса сдвиг фазы, т. е. разность между фазой системы и фазой внешней силы, оказы­вается равным 90°.

Разобранный случай резонанса является наиболее простым. В действитель­ности резонансные явления могут возникать и при других условиях, более сложных, например, если колебательная система находится под действием сложного периодического возмущения не синусоидального характера. В этих случаях считают, что внешнее возмущение можно разложить на ряд гармони­ческих, т. е. синусоидальных колебаний кратных частот; если среди этих со­ставляющих, или гармоник, есть колебания с частотой, равной собственной частоте колебательной системы, то резонансные явления возникают в полной мере. Этим часто пользуются на практике при анализе сложных периодических процессов (том I, работа 4d). Далее следует указать, что резонанс принад­лежит к числу явлений, очень широко распространенных; он наблюдается в явлениях механических (том I, работы 4 а, b и с ), в явлениях акустических (том I, работа 17 а и Ъ), при электромагнитных колебаниях (том 1Г, ра­боты 54 а, b и с) и т. д. Во всех этих случаях указанные выше соотношения и выводы находят полное применение; таким образом теория резонансных яв­лений во всех случаях остается, в основном, одной и той же, и только физи­ческое значение параметров в уравнении (10 в каждом отдельном случае ока­зывается различным в зависимости от природы данного явления.

РАБОТА 4а. ИЗУЧЕНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ ЯВЛЕНИЙ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА

1) Пружинный маятник, 2) мотор постоянного тока с эксцентриком, 3) реостат, 4) рубиль- никт 5) секундомер.

Описание метода и приборов. Пружинный маятник, применяемый в дан­ной работе, состоит из цилиндрической спиральной пружины R (рис. 73) с гру­зом р на нижнем конце; такой маятник может совершать вертикальные коле­бания, период которых зависит от упругих свойств пружины R и величины груза р. Верхний конец пружины R прикреплен к шнурку, который перекинут через небольшой блок г и присоединен к горизонтальному стержню N. Стер­жень jV, соединенный с эксцентриком мотора постоянного тока, совершает синусоидальные колебания, которые при помощи пружины R передаются грузу р.

105

Таким образом груз р находится под действием внешней периодической силы сину­соидального характера; ее амплитуда, определяемая ходом эксцентрика, остается постоянной, так же как и ее величина, которая определяется упругой силой пру­жины. Что же касается периода внешнего возбуждения, то его можно изменять в широких пределах соответствующим изменением числа оборотов мотора; для этого в цепь мотора введен реостат. Амплитуда вертикальных колебаний, которые совершает груз р, измеряется по шкале 6; для лучшего отсчета груз р внизу снабжен указателем (стрелкой). Металлические диски, укрепленные вверху и внизу груза р, служат для того, чтобы несколько увеличить силы сопротивле­ния, возникающие при его колебаниях.

И змерения. При помощи этого прибора, несмотря на его большую про­стоту, можно вполне отчетливо проследить ход резонансной кривой, причем вследствие небольших сил сопротивления получаются кривые с резко выра­

женным максимумом, подобные кривым а и b рис. 72. Изме­рения на приборе производятся следующим образам:

1. Определяют период свободных колебаний Г0 пружин­ного маятника. Для этого, не включая мотора, сообщают грузу р легкий толчок в вертикальном направлении и изме­ряют по секундомеру промежуток времени, в течение кото­рого маятник совершает 40—50 (простых) колебаний. Отсюда вычисляют период свободных колебаний Т0 маятника.

2. Поставив реостат мотора на наибольшее сопротивле­ние, замыкают рубильник и определяют период колебаний Г стержня N. Для этого вновь измеряют по секундомеру про­межуток времени, в течение которого стержень совершает 40—50 колебаний; при полном сопротивлении реостата период колебаний стержня N обычно оказывается приблизительно в два раза» больше периода свободных колебаний груза р. Затем, не размыкая рубильника, наблюдают колебания груза р, отсчитывая по шкале 5 среднюю амплитуду его колебаний А.

3. Такие измерения повторяют для 15—20 точек, посте­пенно уменьшая сопротивление в цепи мотора и каждый раз измеряя период колебаний стержня N и амплитуду колебаний груза р. Измерения амплитуды груза р следует начинать через некоторое время (2—3 минуты) после начала его колебаний, когда они уже установились, так как в начале амплитудаимеет не постоянный характер. При приближении к резонан­су, т. е. к равенству периодов колебаний стержня N и груза р,

амплитуда колебаний последнего очень сильно возрастает, что может вызвать появление остаточных деформаций в пружине поэтому устанавливать прибор на полный резонанс не следует. Измерения заканчивают, когда период колебаний стержня N оказывается приблизительно в два раза меньше периода свободных колебаний груза р.

Вычисляя и з результатов всех измерений частоту собственных свободных к о л е б а н и й (v0) груза р и все частоты (v) колебаний стержня N, строят резо­нансную кривую, как это было указано выше.

Рис. 73. Резонанс на пружинном ма­

ятнике.

РАБОТА 4Ь. ИЗУЧЕНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ ЯВЛЕНИЙ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ СВЯЗАННЫХ МАЯТНИКОВ

]) Дпа связанных маятника, 2) секундомер.

Описание метода и приборов. Прибор для наблюдения резонансных явле­ний, применяемый в данной работе, состоит из двух маятников обычного типа А и В (рис. 74), которые связаны между собой легкой спиральной пружинкой г ; оба маятника совершают колебания в одной и той же плоскости, а именно в плоскости чертежа. Таким образом колебания одного маятника, например А, передаются пружинкой г другому маятнику В, т. е. возбуждают его колебания; тот же процесс протекает и в обратном направлении, маятник В возбуждает колебания маятника А. Точки прикрепления пружинки г можно перемешать вдоль штанги маятников. Этим достигается изменение силы взаимной связи между маятниками. Очевидно, что при опускании пружинки г взаимная связь между маятниками возрастает; это следует из того, что хотя сила взаимного 106

Рис. 74. Колебания свя­занных маятников.

действия маятников, определяемая упругими свойствами пружинки г, остается постоянной, но момент этой силы относительно точки подвеса маятников, воз­растает при опускании пружинки. Для того чтобы можно было устанавливать пружинку г в определенных положениях, на штангах маятников нанесено несколько черточек на равных расстояниях одна от другой. Чечевицы обоих ма­ятников можно закреплять в любой точке их штанги; этим достигается изменение периодов колебания маятников.

Для возбуждения колебаний в системе при произволь­ных начальных условиях следует оба маятника вывести из положения равновесия, отклонив их на некоторые углы, и затем предоставить им совершать колебания. Наблюдая колебания маятников, не трудно заметить, что амплитуды каждого из маятников обнаруживают медленные периоди­ческие изменения, так называемые биения. При этом, в соответствии с законом сохранения энергии, в тот мо­мент, когда амплитуда одного из маятников достигает мак­симума, амплитуда второго маятника имеет минимум, и обратно. Таким образом происходит непрерывная передача энергии от одного маятника к другому, и обратно. Это явление в наиболее отчетливой форме обнаруживается при наличии резонансных условий, которые вытекают из формул (4) и (5), т. е. во-первых, периоды обоих маятни­ков должны быть равны, и, во-вторых, разность фаз обоих маятников должна быть равна я/2, т. е. в начальный момент один из маятников должен быть в положении равновесия, а другой отклонен на некоторый (максимальный) угол. При этих условиях наблюдается полная передача энергии, и попеременно то один, то другой маятник останавливаются, т. е. возникают явления резонанса. Если же фазы обоих маятников в начальный момент оказываются одинаковыми или отличаются на it, т. е. если маятники в начальный момент находятся в положе­ниях, которые схематически изображены на рис. 75 а и Ь, то передача энергии

не происходит, и оба ма­ятника совершают коле­бания с одинаковыми ам­плитудами, которые по­степенно уменьшаются, вследствие затухания.

Измерения. 1. Пру­жинку г снимают с маят­ников, их чечевицы ста­вят в одинаковое поло­

жение, пользуясь черточками на штангах маятников, и затем определяют пери­оды колебания того и другого маятника в отдельности, измеряя по секундо­меру промежуток времени, в течение которого маятник совершает 40—50 коле­баний. Периоды колебаний обоих маятников должны быть равны с точностью приближенно до 0,01 сек. Если периоды оказываются различными, необхо­димо добиться их равенства, постепенно передвигая чечевицу одного из маятников.

2. Накладывают на маятники пружинку г, устанавливая ее на одно из средних делений i u f a H r H , и приводят маятники в колебания при произвольных начальных условиях. Из наблюдений определяют частоту биений, измеряя по секундомеру промежуток времени, который протекает между двумя последова­тельными максимумами (или минимумами) амплитуд одного и того же маят­ника. Следует убедиться также в том, что частота биений не зависит от Начальных условий, т. е. от углов начального отклонения того и другого Маятника.

3. Вызывая колебания маятников при начальных условиях, соответствующих рис. 75 а и Ь, следует убедиться в отсутствии биений в этих случаях. Одно­временно при этих наблюдениях определяют периоды колебания системы в первом (рис. 75 а) и во втором (рис. 75 Ь) случаях. В последнем случае пе­риод колебания системы должен быть короче, так как в этом случае колебания совершаются при одновременном действии двух сил, силы тяжести и упругой силы пружинки г.

107

Рис. 75. Колебания связанных маятников.

4. Остановив один из маятников, приводят другой в колебание и наблю­дают полную передачу энергии, измеряя по секундомеру частоту s t o i о про­цесса. Такие наблюдения производят при различной связи между маятниками; для этого постепенно перемещают пружинку л, каждый раз на "одно деление штанги. При ослаблении связи частота обмена энергией, или частота биений, уменьшается. Результаты этих измерений изображают графически, откладывая по оси абсцисс относительные расстояния пружинки г от точки подвеса маят­ников, а по оси ординат — частоту биений.

РАБОТА 4с. ИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЙ РЕЗОНАНСА НА ПРИБОРЕ ПОЛЯ1) Прибор Поля, 2) секундомер.

Описание метода и приборов. В приборе Поля для изучения резонанса при механических колебаниях применяется пружинный маятник; он имеет форму медного колеса В (рис. 76), укрепленного на горизонтальной оси, которое со­

вершает колебания под действиём упругой силы плоской спиральной пружины. Один конец ее прикреплен к оси колеса О, а другой к рычагу N, который при помощи шарнира соединяется с длин­ным стерЖнем А, имеющим свободное движение в горизонтальном направлении. Второй конец стержня А присоединен к эксцентрику, укреплен­ному на оси электрического мотора постоянного тока. При вращении мотора стержень А совер­шает горизонтальные колебания, и конец спи­

М ральной пружины получает периодические им-Рис. 76. Прибор поля. пульсы, которые при равномерном вращении мото­

ра отвечают синусоидальному закону; их частота определяется числом оборотов мотора в секунду. В цепи мотора включен рео­стат, что дает возможность изменять число оборотов мотора, т. е. частоту внешней силы, возбуждающей пружинный маятник. Затухание при колебаниях маятника В вызывается действием токов Фуко. Для этого служит электро­магнит М, установленный так, что колесо В совершает колебания в проме­жутке между его полюсами. Реостат, включенный в цепь электромагнита, дает возможность, регулируя силу тока, изменять напряженность магнитного по­ля между полюсами электромагнита; в соответствии с этим изменяется декре­мент затухания колебаний. Амплитуда колебаний маятника В отсчитывается по дуговой шкале 5; для более точного отсчета колесо В имеет указатель (стрелку).

Так как в данном случае колебания маятника имеют вращательный харак­тер, то в уравнение (1') следует ввести моменты сил (стр. 85) относительно оси вращения маятника. В результате скорость и ускорение заменяются угло­вой скоростью и угловым ускорением, а масса заменяется моментом инерции маятника относительно его оси вращения, как это имело место при выводе уравнения (7) (стр. 99); соответственно этому изменяются значения параметров в формулах (4) и (5), которые получают вид:

М 2а = ----------------- 5---------, (4^

Я 2.02 J2 Ц _

Р<аtgS = TT2------ v (5')J((O0 — to-)

Что же касается условий резонанса, то, как видно из этих формул, они остаются прежними, т. е. при наступлении резонанса период внешней возму­щающей силы и период свободных колебаний маятника должны быть равны, а сдвиг фазы оказывается равным 90°’

Измерения. 1. Определяют период свободных колебаний маятника. Для этого маятнику сообщают отклонение при неподвижном шатуне и разомкнутой цепи электромагнита; наблюдая колебания маятника, в момент наибольшего откло­нения (точка поворота) приводят в действие секундомер и определяют проме­жуток времени, в течение которого маятник совершает 40—50 колебаний. От­сюда находят период свободных колебаний маятника, т. е. величину Т0.108

2. После этого, приведя в действие мотор, измеряют период колебания шатуна и амплитуду вынужденных колебаний маятника. Для определения пе­риода колебания шатуна вновь пользуются секундомером, а амплитуды коле­бания маятника измеряются их непосредственным отсчетом по шкале прибора. Эти измерения проделывают при различных силах тока в цепи мотора, т. е. при различных периодах колебания шатуна (или различной частоте возбужде­ния). Результаты измерений изображают графически, откладывая по оси абсцисс период возбуждающей силы (шатуна), а по оси ординат — амплитуды колеба­ния маятника. При совпадении частоты возбуждения и собственной частоты маятника его амплитуда испытывает очень резкое увеличение, как это показано на рис. 72 (кривая а).

3. Те же самые измерения повторяют, приводя в действие электромагнит­ное торможение, т. е. устанавливая определенное затухание колебаний. В этом случае резонансная кривая сохраняет свой общий вид, но ее максимум оказы­вается выраженным не так резко; чем больше декремент затухания, тем менее резко выражен максимум кривой (рис. 72, кривые с и d). Поэтому измерения следует повторить для нескольких (3—4) значений декремента затухания, по­степенно. увеличивая силу тока в цепи электромагнита; декремент затухания определяется каждый раз в отдельности из отсчетов ряда последовательных амплитуд (стр. 95 и 98) для свободных колебаний маятника, т. е. при выклю­ченном моторе (шатун неподвижен).

Чрезвычайно интересно проследить, в процессе наблюдений, за изменением сдвига фаз, т. е. исследовать формулу (5'). Если частота возбуждения мала (период колебаний шатуна велик), то стрелка прибора и ведущий конец шатуна колеблются почти совершенно одинаково, т. е. сдвиг фазы равен нулю. При возрастании частоты возбуждения (период колебания шатуна уменьшается) сдвиг фазы начинает постепенно возрастать. При резонансе ясно видно, что сдвиг фазы достигает значения г./2, т. е. в тот момент, когда ведущий конец шатуна проходит, например, положение равновесия, двигаясь направо , стрелка прибора находится в своем крайнем левом положении и должна начать дви­жение также направо. Если еще далее увеличивать частоту возбуждения (уменьшать период колебания шатуна), то сдвиг фазы продолжает возрастать и может сделаться равным it; в этом случае конец шатуна и стрелка прибора проходят положение равновесия одновременно, но с противополож ных сто- poHv т. е. двигаясь навстречу друг другу. Из этих наблюдений становится ясным, что при сдвиге фаз, равном п/2, который имеет место при резонансе, амплитуда колебаний маятника должна достигать максимального значения, как это было разъяснено на стр. 105.

РАБОТА 4d . ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ И ГАРМОНИЧЕСКИХ СОСТАВЛЯЮЩИХ ВИБРАЦИЙ МЕТОДОМ РЕЗОНАНСА

1) Вибром етр; Ф рам а , 2) электри ческ и й м отор п о сто ян н о го то к а , 3) рео стат , 4) рубильник» 5) тяж елы й груз .

Описание метода и приборов. Метод резонанса применяется очень широко при определении частот колебаний (вибраций), которые возникают при работе различных машин как в самих машинах и их деталях, так и в их фундаментах. Приборы, которые служат для подобных измер< ний, обыкновенно называются измерителями частот или виброметрами. Большинство виброметров по своей конструкции являются очень простыми приборами; так же просто выпол­няются и соответствующие измерения. Но в результате измерений обыкновенно удается определять только частоту колебаний, что же касается их амплитуды, то для ее измерения необходимы приборы иных типов, значительно более сложные !).

Наиболее простым типом виброметра является прибор Фрама, иногда назы­ваемый вибрационным тахометром. Он состоит из набора плоских сталь­ных пружин (рис. 77), или язычков NN, укрепленных вертикально своими ниж­ними концами на общем основании. На верхнем свободном конце пружин прикреплены грузы различной величины, которые подобраны так, что период колебания (частота) последовательных пружин постепенно изменяется; таким

1) С. Т и м о ш е н к о , Теория колебаний в инженерном деле. М. — Л., 1931.

109

образом прибор охватывает некоторый диапазон частот,, которые определены для каждой пружины и непосредственно даются на приборе. Прибор прикре­пляется к вибрирующей машине; та пружина, собственная частота которой сов­падает с частотой вибраций, окажется в резонансе; поэтому она начинает колебаться с очень большой амплитудой, тогда как соседние пружины остаются почти в покое. Если система совершает сложный колебательный процесс, кото-

нескольких простых (синусоидальных) колебаний с различ­ной частотой, то в виброметре начинают резонировать не­сколько пружин, соответственно составу вибраций. Такимобразом можно сложные вибрации разлагать на ряд гармони­ческих составляющих, или определять их спектральный со­став. как об этом уже было сказано (стр. 105).

Измерения. 1. Виброметр укрепляют на крышке стола,которая получает вибрации под действием электрическогомотора постоянного тока; скорость мотора можно изменять при помощи реостата, который состоит из нескольких секций, так что его сопротивление изменяется скачками. Включая последо­вательно одну секцию за другой, наблюдают показания ви­брометра, записывая частоту тех язычков, которые обнару­живают сильные колебания.

2. Помещают на стол тяжелый груз и вновь наблюдают показания виброметра при тех же скоростях вращения мо­

тора. Присутствие на крышке стола тяжелого груза изменяет период вибрацийкрышки, и таким образом показания виброметра при тех же скоростях мотора,как и в первой серии наблюдений, оказываются иными.

Г Л А В А 5

МГНОВЕННЫЕ СИЛЫ

Силы, действие которых продолжается очень короткий промежуток вре­мени, принято называть мгновенными; такие силы возникают при ударе, взрыве, при индукционных процессах и т. п. Результатом действия мгновенной силы является некоторый мгновенный импульс , величина которого, как показывают наблюдения, имеет конечное значение. Абсо- _ лютная величина промежутка времени, в течет ние которого действует мгновенная сила, в различных случаях может быть различна, но всегда оказывается очень малой, равной в сре­днем тысячным долям секунды. Поэтому при математическом анализе мгновенных сил очень часто предполагают, что мгновенная сила бес­конечно велика, а время ее действия беско­нечно мало, так что импульс мгновенной силы остается конечным. О^ -------------------------------------- 1

Однако такое предположение не вполне отвечает действительности, так как время Рис- 7& Мгновенная сила, действия мгновенной силы, хотя и очень не­значительное, все же имеет конечную величину, причем в течение этого вре­мени мгновенная сила, в начале равная нулю, возрастает, достигая некоторого максимума, конечного по величине, и вновь падает до нуЛя (рис. 78). Таким обра­зом мгновенная сила F, строго говоря, является переменной силой, т. е. неко­торой функцией времени:

г = № 0 )

♦Конечный импульс, получаемый каким-либо телом в результате действия мгновенной силы, определяется выражением

Т

K = \ f ( t ) d t ,IS

r \

рый состоит из

Рис. 77. Виброметр Ф рама.

н о

где т — продолжительность действия мгновенной силы. В результате скорость движения тела под действием мгновенной силы изменяетсяви но общему опре­делению импульса можно написать:

где т — масса теля, а и v t — скорость движения тела до и после действия? мгновенной силы.*

При исследовании мгновенных сил опытным путем можно поставить три’ основные задачи: во-первых, определить максимальное значение Fm мгновенной силы, во-вторых, измерить продолжительность ее действия т и, в-третьих, найти зависимость мгновенной силы от времени, т. е. определить вид функции f (t) в формуле (1).

Для решения задач первого рода применяются различные методы, как ста­тические, так и динамические; н шример, весьма часто применяются методы, основанные на измерении величины пластической деформации, вызываемой в мягком металле (медь, свинец) действием мгновенной силы.

При измерении продолжительности действия мгновенных сил необходимо' применять более сложные методы, вследствие чрезвычайно малой величины тех промежутков времени, которые приходится измерять. Метод конденсатора в сое­динении с баллистическим гальванометром является очень точным (том I, рабо­та 5 а).

Наконец, третья задача, определение вида функции /(/) , оказалась наиболее трудной, и для ее решения пришлось разработать очень сложные методы изме­рений; из них пьезоэлектрический метод в соединении с катодным осцилло­графом в настоящее время является наиболее надежным (том ], работа 5Ь).

РАБОТА 5а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ УПРУГОГО УДАРА БАЛЛИСТИЧЕСКИМ ГАЛЬВАНОМЕТРОМ

1) П р и б о р для у п р у го г о у д ар а , 2) баллистич ески й гальваном етр* 3) м агази н соп роти в л ен и й на 10 000 ом , 4) ко н д ен са то р 0,1 н-г, 5) батарея ак к у м у л я то р о в на 4,75V, 6) б атар ея на 4,5V м алой е м к о с т и , 7) двух п о л ю сн ы й п ер ек л ю ч ател ь , 8) два одн о п о л ю сн ы х вы клю чателя , 9) о п ти ч еская труба на ш тати ве , 10) м и л л и м етровая ш кала для зер к ал ь н о го отсчета на ш тати ве , 11) н астол ьн ая л ам п а , 12) се ку н д о м ер .

Описание метода и приборов. При ударе двух тел промежуток времени, протекающий от первого момента соприкосновения поверхностей ударяющихся тел до последнего момента их соприкосновения, обыкновенно называется про­должительностью удара. Если удар носит упругий характер, например, удар двух стальных шаров, то явления, которые при этом возникают, могут быть описаны следующим образом. В течение первой половины удара оба шара деформируются взаимно, так что точка их соприкосновения заменяется круглой площадкой; при этом кинетическая энергия шаров переходит в потенциальную энергию упругой деформации. Упругие силы, возникающие в шарах, постепенно нарастают, по мере увеличения деформации, и достигают максимума в момент наибольшего сжатия шаров, когда их кинетическая энергия становится минималь­ной или, в частном случае, равной нулю. После этого начинается вторая половина упругого удара, при которой процессы протекают в обратном направлении, т. е. вследствие упругих сил шары начинают восстанавливать свою форму и по­тенциальная энергия упругой деформации постепенно переходит вновь в кинети­ческую энергию. В результате этого шары, под действием равных по величине, по обратных по направлению импульсов, отталкиваются друг от друга. Из того, что было сказано, нетрудно видеть, что продолжительность удара шаров зави­сит от их упругих свойств, т. е. от их материала, от их скоростей в момент начала удара и, наконец, от их радиуса.

Для определения продолжительности удара в настоящей работе приме­няется метод конденсатора; измерения при этом методе сводятся к тому, _чтобы точно определить количество электричества, которое теряет заряженный кон­денсатор определенной емкости, если его обкладки оказываются замкнутыми в течение промежутка времени, равного продолжительности удара двух иссле­дуемых шаров.

о

111

Если начальный заряд конденсатора определенной емкости С обозначить че­рез 90> то можно цаписать:

9о-С С /о. (2)где U0 — начальное значение разности потенциалов, наложенной на обкладки конденсатора.

Пусть, далее, обкладки конденсатора оказываются замкнутыми на сопро­тивление R в течение времени т, равного продолжительности удара. За этот промежуток времени конденсатор частично потеряет свой заряд, и разностьпотенциалов на его обкладках уменьшится до некоторого значения U. Очевидно,имеем:

9 = CU, (2')

где q — заряд, оставшийся в конденсаторе.Предполагая, что в течение времени т разрядка конденсатора совершается

равномерно, т. е. с постоянной силой тока, можно считать, что по проводнику ■с сопротивлением R проходит ток I, который определяется выражением:

причем по закону Ома можно положить:

/ =i ( U 0 + U)

R ’

где в числителе взята средняя разность потенциалов конденсатора за время т. Из последних двух выражений имеем:

т_ (?о — ? ) #1 •

"2 (Ц . "Г U )

или, подставляя в это выражение значения £/0 и U из формул (2) и (20, нахо­дим: “ “ ”

т = 2С/?_Ц - 0 (3)

Для измерения зарядов конденсатора qQ и q применяется баллистический гальванометр, из теории которого (стр. 67) следует, что первое отклонение его катушки пропорционально количеству электричества, протекшему через нее. Поэтому, если разряжать конденсатор через баллистический гальванометр, тоего отклонения будут пропорциональны зарядам конденсатора.

Если начальный заряд конденсатора вызывает отклонение гальванометра, равное щ , а остаточный заряд q вызывает отклонение, равное п, то на основа­нии формулы (23') (стр. 68) в выражение (3) вместо величин q0 и q можнолодставить величины гг0 и п. Таким образом окончательно получаем:

т = 2 С У ? ^ = ^ . (3')па + п ' '

Величины С и R в правой части этого выражения можно считать извест- иыми, а величины п0 и п определяются из наблюдений. Формула (3') является приближенной, так как она выведена в предположении, что разряд конденсатора в промежутке времени t совершается ровномерно; это оправдывается доста­точно точно только при условии, что q незначительно отличается от q0, т. е. что в процессе разряда через проводник проходит лишь небольшая часть начального заряда конденсатора. Последнее обстоятельство требует, чтобы емкость конденса­тора С и сопротивление R были достаточно велики.

В приборе, который применяется в данной работе, два стальных шара тх и тг (рис. 79) подвешены бифилярно, т. е. на двух тонких проволоках; одна из этих проволок одновременно служит для подвода тока к шару. Оба шара дол­жны быть установлены на одинаковой высоте, а линия их центров должна итти 112

параллельно рейкам, на которых перемещаются электромагнит М и стопор S. Если при помощи ключа Кг (рис. 80) замкнуть цепь электромагнита и подвести к нему шар ть то последний притягивается и остается в отклоненном положе­нии. При размыкании ключа /С, шар rti\ освобождается и ударяет шар /я2; по­следний, отскакивая, должен зацепить штифтиком а за стопор S (рис. 79), который следует установить на таком расстоянии, чтобы зацепление происходило бел отказа.

Все приборы соединяются по схеме, указанной на рис. 80. Баллистический гальванометр О установлен на отдельной консоли: его отклонения измеряются методом зеркала и шкалы (стр. 37); применяется субъективный отсчет. При замы­кании ключа /Ci конденсатор включается в цепь батареи малой емкости В н по­лучает от нее заряд. Если после этого, разомкнув ключ Кь нажать двойной ключ то весь заряд конденсатора, полученный от батареи, т. е. его началь­ный заряд <?о> проходит через гальванометр G. Если же, вновь зарядив конден­сатор, вызывать удар шаров, то в процессе удара часть заряда конденса­тора стекает через шары и сопротивление /?. Таким образом, при нажи­ме ключа АТз после удара ша­ров через гальванояетр проходит только остаточный заряд кон­денсатора. Если ключ Кз остает­ся ненажатым, то он замыкает £

■Рис. 79. Баллистический метод определи. Рис. S0. Баллистический метод определения мгно-ния мгновенных сил. венных сил, о шая схема.

иепь гальванометра накоротко; вследствие этого в катушке гальванометра воз­никают токи Фуко большой силы, и ее колебания быстро затухают (стр. 66).

При выполнении всех указанных операций необходимо очень внимательно следить за тем, чтобы нажатие ключа Kg происходило только после размыкания ключа К\, так как иначе гальванометр окажется включенным непосредственно в цепь батареи Вх, что мржет вызвать его порчу.

Измерения, Пользуясь этими приборами, можно определить продолжи­тельность удара шаров и зависимость этой величины от их относительной скорости. '

а) О п р е д е л е н и е п р о д о л ж и т е л ь н о с т и у д а р а требует определе­ния отклонений гальванометра, отвечающих зарядам <f0 и д. Для этого выпол­няют следующее:

1. Отсчитав нулевую точку гальванометра, замыкают ключ К\ и заряжают конденсатор; для полного заряда конденсатора требуется держать ключ А', на­жатым в течение времени не менее одной секунды.

2. Размыкают ключ К\<, нажимая ключ /С3 и наблюдал вызванное этим от­клонение гальванометра, отсчитывают, его точку поворота (наибольшее отклоне­ние). Ключ Кз следует удерживать нажатым до окончания отсчета, после чего ключ /<з размыкают. Из отсчетов пулевой точки и точки поворота гальваномет­ра определяют величину его отклонения я 0.

3. Замыкают ключ К? и подводят шар тх к электромагниту, установив последний так, чтобы расстояние между шарами было около 15 см.

4. Вновь отсчитав нулевую точку гальванометра, замыкают ключ At на вре­мя не менее одной секунды и затем его размыкают. После этого размыкают ключ /С>, вызывая удар шаров; вслед за этим нажимают ключ К3 и вновь, так же, как при измерении пп, отсчитывают точку поворота гальванометра. Из отсчетов нулевой точки и точки поворота определяют отклонение гальваномет­ра п под действием остаточного заряда q конденсатора.8 Физический практикум

Определение величин я0 и п следует произвести не менее, чем по 10 ра^, сначала при одном значении R, затем при значении Rit в два раза большем R. Из результатов измерений находят среднее значение пй и п в отдельности для значении R и Rj и вычисляют т по формуле-(З').

Ь) О п р е д е л е н и е з а в и с и м о с т и м е ж д у п р о д о л ж и т е л ь ­н о с т ь ю у д а р а и о т н о с и т е л ь н о й с к о р о с т ь ю ш а р о в .

Продолжительность удара т зависит от относительной скорости v шаров в момент начала удара, причем очевидно, что продолжительность удара дол­жна возрастать при уменьшении относительной скорости шаров. Теория дает для зависимости - от в такую формулу;

- = kvz, (4)

где k и г — некоторые коэффициенты, постоянные для данных двух шаров, причем г имеет отрицательное значение. Для того чтобы проверить формулу (4), определяют продолжительность удара при трех различных значениях скорости, которые не трудно определить, исходя из следующих соображений.

Предполагая, что маятникообразные колебания шара тх происходят по за­кону гармонического движения, т. е. что шар тх колеблется как математический маятнйк, можем на основании формулы (2'), стр. 95, написать:

s = a sin 2тг ~ ,

где а — амплитуда колебания шара и Т — его период, причем, очевидно, начальный момент времени соответствует прохождению шара т\ через положе­ние равновесия, так как из этой формулы видно, что при t, равном нулю, s также равно нулю.

♦Из последнего уравнения, дифференцируя его по t, находим уравнение для определения скорости шара ту

ds 2 т.а _ tV==dT = -T с03 2 - f •

Максимальную скорость, равную 2ад/7\ шар тх имеет при прохождении положения равновесия, т. е. непосредственно в момент удара, если шары уста­новлены так, что в положении равновесия они (почти) касаются друг друга. Поэтому для скорости в момент удара имеем:

2 г.аv m ax — ■]' (5)

Допуская, что колебания шара происходят изохронно, т. е. что при измене­нии амплитуды колебаний их период сохраняет постоянное значение, из послед­ней формулы мы видим, что относительная скорость шаров в момент их удара оказывается пропорциональной начальной амплитуде а шара mv Таким образом, определив период колебания шара ть можно по формуле (5) вычислить относи­тельную скорость шаров в момент удара при различных начальных амплитудах шара /Л].

В соответствии с изложенным проделывают следующие измерения:1. Шар т2 отводят за стопор и, сообщив шару тх небольшие колебания

(амплитуда 8— 10 см), определяют их период; для этого измеряют по секундо­меру промежуток времени, в течение которого шар т-у совершает 30—40 коле­баний, и отсюда вычисляют период одного колебания. Необходимо иметь в виду при этом, что величина Т в формуле гармонического колебания обозначает период полного колебания.

2. Измеряют продолжительность удара при различных начальных ампли­тудах шара m-у, для этого электромагнит устанавливают последовательно в трех различных положениях так, чтобы начальная амплитуда шара т ( была (при­ближенно) равна: я, = 15 см, я , = 10 см и а 3 = 5 см. Для каждого значения начальной амплитуды определяют изложенным выше приемом продолжитель­ность улара; пусть ее значения оказываются, соответственно, равными тх, т2 и т3.

На основании формулы (4) имеем:■c1 = k(vly, = k (»*)*, т„ = £ (vtf. (6)

114

Из первых двух уравнений находим:

откуда, = i g i / l g^ . (7)

Величины t>2 и к3 вычисляют по формуле (5) на основании результатов измерения периода колебаний шара и значений его начальных амплитуд.

Определив z по формуле (7) и подставив его значение в третье из урав­нений (6), находят коэффициент пропорциональности к.

РАБОТА 5Ь. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ДАВЛЕНИЙ ПРИ ВЗРЫВАХ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

I) Взрынная камера с пьезоэлектрическим манометром и катодным усилителем, 2) катодный осциллограф, 3) к нему батарея накала, трансформатор и управление, 4) индукционная катушка,5) аккумулятор, 6) прибор для наполнений камеры вэрырчтгой смесью, ?) сосуд с кислородом.

Описание метода и приборов. При сжатии или растяжении некоторых кристаллов на их поверхности появляются электрические заряды. Эти явления, т. е. возникновение электрических зарядов примеханической деформации тела, получили на- | Iзвание пьезоэлектрических; соответственно t Iэтому и кристаллы, обнаруживающие такие свойства, называются пьезоэлектрическими. Та­ковы, например, некоторые естественные кри-

+ + + +т ++ + + 4 +

сталлы (кварц, турмалин) или кристаллы, полу- v j i 1чаемые искусственно (сегнетова соль, тростни- ■ »ковый сахар). Таким образом, если на пьезо- Рис 81- пьезокристаллы, электрическую пластинку наложить некоторое давление (рис. 81, а), то на ее сторонах, пер­пендикулярных к действующей силе, появляются электрические заряды, равные по абсолютной величине и противоположные по знаку. При перемене знака деформации, в данном случае при замене сжатия пластинки растяжением, знаки зарядов изменяются (рис. 81,6). Изучение пьезоэлектрических явлений привело к выводу, что их законы в наиболее простой форме проявляются в естествен­ных кристаллах; наибольшее применение на практике находят в настоящее время пластинки пьезоэлектрического кварца.

Электрический заряд, который возникает на той и другой поверхности пьезоэлектрической пластинки, оказывается пропорциональным давлению на пластинку; таким образом можно написать:

9 — kP, (8)

где q — электрический заряд, Р — давление, a k — некоторый коэффициент, который назырается пьезоэлектрической постоянной; она имеет для каждого пьезоэлектрического тела определенную величину и характеризуется некоторой размерностью, которая определяется из формулы (8).

Абсолютная величина промежутков времени, в течение которых в кристал­лах протекают пьезоэлектрические процессы, оказывается чрезвыча&ю малой Даже по сравнению с продолжительностью дей<*Гвия мгновенных сил (стр. 110). Это обстоятельство, в связи со строгой пропорциональностью между пьезо­электрическим зарядом и величиной внешнего давления, позволяет восполь­зоваться пьезоэлектрическим эффектом в кристаллах для исследования мгновен­ных сит, а именно для определения вида функции / в формуле (1). При этих исследованиях применяются различного типа пьезоэлектрические манометры; один из них, применяемый в данной работе, схематически изображен на рис. 82. Две пьезоэлектрические кварцевые пластинки ВВг положены так, чтобы оди­наковые по знаку заряды, возникающие на них при давлении, передавались Металлической пластинке А, которая служит одним из электродов. Вторым 8лектродом является металлический корпус манометра, который прочно при­крепляется к взрывной камере N, соединяясь с ней небольшим отверстием

115

в стейке камеры; вследствие этого давление и его изменения, возникающие в камере в процессе взрыва, немедленно воспринимаются манометром. Камеру / / наполняют какой-либо газообразной взрывчатой смесыо, например, смесью рав­ных объемов светильного газа и кислорода, которая взрывается при действии электрической искры между двумя электродами, введенными внутрь камеры; искра получается при помощи небольшой индукционной катушки. Для наполне­ния камеры взрывчатой смесыо служат два крана, Кх и Kv Заряды, возникаю­щие на пластинке А, в результате давлений при взрывё, перелаются по очень хорошо изолированному-проводнику R на сетку катодного усилителя (стр. .76); напряжение, возникающее в результате усиления, поступает на один из кон­денсаторов катодного осциллографа (стр. 51 и 78). В этом приборе (рис. 83) узкий пучок электронов, испускаемых накаленным катодом (металлической нитью) проходит последовательно через два конденсатора Ег и Е2 и падает на флуо­ресцирующий экран Q, образуя на нем резкое светящееся пятнышко; на эк­ране Q нанесена координатная сетка. Первый конденсатор Ег установлен так, что силовые линии его поля направлены вертикально. Если его полюсы сое­динить с источником переменного тока, то электроны, проходя через переменное поле этого конденсатора, будут совершать колебания в вертикальной плос­кости. Следовательно, флуоресцирующее пятнышко на экране развертывается в вертикальную линию', вследствие ничтожно малой инерции пучка катодных

лучей фаза колебания пятнышка на экране чрезвычайно точно отвечает фазе переменного тока.

Второй конденсатор Е2 получает напряжение от катодного усилителя; для этого одну его пластинку соединя­ют с проводником, идущим от усилите­

ля, а другую отводят к земле. Этот конденсатор установлен так, что его силовые линии направлены горизонтально, и вследсавпе этого отклонение флуоресцирую­щего пятнышка под действием зарядов на конденсаторе Еп совершаются также в горизонтальном направлении. В результате на экране катодного осциллографа мы получаем отклонение пятнышка по двум взаимно перпендикулярным коор­динатным осям: по оси давлений, отвечающей зарядам на конденсаторе Ег, и по оси времени, отвечающей зарядам на конденсаторе Еь причем последние откло­нения имеют синусоидальный характер. Таким образом, наложив на конденсатор Ех переменное напряжение определенной частоты и вызвав затем взрыв в камере, мы можем подметить на экране мгновенный след кривой изменения давления при взрыве. Для количественных измерений этих кривых их записывают на фотографических пластинках, которые обычно вводят внутрь катодного осциллографа, помещая их на месте флуоресцирующего экрана. Для того чтобы полученные,,фотограммы можно бмло обработать количественно, т. е. для того, чтобы определить абсолютную величину давления и его изменение при взры­ве, прибор предварительно необходимо градуировать, т. е. необходимо, во-пер- иых, отклонения по оси давлений привести к определенным единицам давления, во-вторых, точно измерить период переменного тока и, наконец, синусоидальный масштаб оси времени перечислить на обыкновенный линейный масштаб.

Измерения. Приборы соединяют как было указано выше; при этом необ­ходимо соединить с землей корпус взрывной камеры вместе с манометром, катод усилителя, корпус катодного осциллографа и ту пластину конденсатора Е.}, которая остается свободной. Вслед за этим выполняют следующее.

1. Конденсатор £ \ присоединяют к трансформатору переменного тока и под­бирают такое напряжение, чтобы пятнышко на экране размывалось в прямую лилию в 5—6 см длиной.1 1 6

2. Разомкнув цепь конденсатора Еь наполняют камеру N взрывчатой смесьюи, закрыв Ц5аны в камере, производят пробный взрыв, наблюдая одновременно положение пятнышка на экране. В момент взрыва пятнышко должно смещаться в правую сторону по отношению к наблюдателю; этого достигают правильным расположением полюсов на конденсаторе Е2. Пробный взрыв, если это оказы­вается необходимым, повторяют еще 2—3 раза.

3. Вновь наполнив камеру взрывчатой смесью, замыкают цепь трансформа­тора, накладывая напряжение на конденсатор Еь и, наблюдая за флуоресцирую­щим экраном, производят взрыв. В момент взрыва на экране замечается мгно­венный след кривой, описанной пятнышком, которую стараются возможно точнее нанести на память на координатной бумаге, повторяя этот процесс несколько раз. Внешний вид кривых в различных случаях может быть несколь­ко различен, в соответствии с синусоидальным масштабом на оси времени. Тем не менее, зная, что вся ось времени отвечает определенному промежутку времени, соответственно частоте переменного тока на конденсаторе Еь можно прибли­женно найти общую продолжительность вм два и качественно установить закон изменения давления в этом процессе.

4. F-сли в катодном осциллографе ест^цЩ способление для получения фото­грамм, то производят фотографическую заптеьЛфивых давления; обработка фото­грамм требует некоторых дополнительных измбрений и математических расчетов.

Направление силы тяжести обыкновенно определяется направлением ни­ти о т в е с а однако при этом необходимо иметь в виду, что эти направления совпадают только на полюсах и экваторе, так как в промежуточных широтах направление нити отвеса несколько отклонено действием центробежной силы вращения земли (на широте 45° около I I 1'). Напряж ение силы тяжести зависит от ускорения силы тяжести g, которое определяется отношением веса тела к его массе, причем берется истинный вес тела, т. е. вес тела, приведенный к пустоте (стр. 48). Ускорение силы тяжести g часто называют ускоршшем свободного па­дения тела (т. е. падения в пустоте). Величина ускорения силы тяжести изме­няется в зависимости от географической широты места и его высоты над уровнем моря; кроме того, часто наблюдаются местные аномалии силы тяжести, объясняе­мые неравномерным распределением плотностей внутри земли. Ускорение силы тяжести принято выражать в см -сек - 2 или в м -сек~2; нормальным считается ускорение силы тяжести, равное

Это значение gQ относится к географической широте 45° и к уровню моря. Для большого числа пунктов на поверхности земли значения g определены с весьма высокой степенью точности.

При определении ” на практике применяются методы: динамические, из ко­торых наиболее распространенным является метод маятника, и статические, основанные на наблюдении показаний различного тина гравиметрических весов или гравиметров. Первые методы применяются для определения как абсолют­ных, так и относительных значений вторые методы обыкновенно дают лишь относительные значения g.

1. М е т о д м а я т н и к а основан на зависимости периода колебания маят­ника от ускорения силы тяжести; период простого колебания маятника с доста­точной точностью определяется формулой:

Г Л А В А 6

СИЛА ТЯЖЕСТИ

g0 = 980,665 с м -с е к -2.

(1)

где / —длина маятника, g—ускорение силы тяжести и а—угловая амплитуда маятника, т. е. угол его отклонения от вертикали.

117

При очень малых амплитудах колебаний второй член п скобках правой ча­сти формулы (1) можно считать равным нулю; в этом случае полу§оем обычную формулу маятника:

( и

Формулы (1) и (Г) можно применять как к математическому маятнику, так и к физическому, по в последнем случае величина I обозначает так называе­мую приведенную длину физического маятника', ее определяют как длину некоторого воображаемого математического маятника, который имеет тот же период колебаний, что и данный физический маятник. На практике приведен­ная длина физического маятника обыкновенно определяется расстоянием меж­ду точкой подвеса маятника и его центром качания. Эти две точки лежат на одной прямой с центром тяжести маятника, находясь по разные стороны от него, и обладают свойством сопряженности, т. е. если, повернув маятник, его центр качания сделать точкой подвеса, то прежняя точка подвеса становится центром качания, и таким образам период колебания маятника сохраняет преж­нее значение. Приведенная длина физического маятника может быть вычис­лена по формуле:

1 = Ш ' <->

где J—момент инерции маятника относительно точки подвеса, т—масса маят­ника и d—расстояние между точкой подвеса маятника и его центром тяжести. Если воспользоваться теоремой Штейнера (стр. 86), т. е. положить J=z J 0 -±-md2, то формулу (2) можно привести к виду:

{ _ Jn4 - m d i m d *

или

о

В этих формулах / 0— момент инерции маятника относительно оси, проходя­щей через его центр тяжести параллельно прежней оси, a d попрежнему—рас­стояние между точкой подвеса маятника и его центром тяжести.

Из формулы (1') находим:' r .-t

g ~ - T2 - t3>

Таким образом для определения g методом маятника необходимо, соглас­но формуле Й), определить, во-первых, приведенную длину маятника I, во-вто­рых, его период колебаний Т и, наконец, в-третьих, угловую амплитуду коле­баний а, если необходимо ввести поправки, определяемые более точной фор­мулой (1)

Первая величина (приведенная Длина I) или определяется опытным путем (метод оборотного маятника, работа 6а), или находится вычислением в случае маятника особой формы (метод маятника Борда, работа 6Ь). Вторая величина (период колебания Т) измеряется или непосредственным определением проме­жутка времени, в течение которого маятник совершает некоторое число коле­баний, или по методу совпадений (работа 6Ь). Третья величина (угловая ампли­туда колебаний а) определяется непосредственным измерением.

Определение g методом маятника является очень точным, и при введении ряда поправок значение g можно установить с точностью до третьего десятич­ного знака.

2. Г р а в и м е т р ы различного типа применяются главным образом для сравнительного определения g в различных точках земной поверхности, напри­мер при исследовании аномалий силы тяжести; этот метод также можно счи­тать очень точным. Описание одного из типов гравиметров и производство из­мерения см. работу 6с.llii

РАБОТА 6а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ МЕТОДОМ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

1) Оборотный маятник, 2) к нему штатив, 3) секундомер.

Описание метода и прибора. Из трех величин в правой части формулы (3) наиболее сложным является точное определение I, т. е. приведенной длины физического маятника. Эта задача в методе оборотного маятника решается не­посредственным измерением приведенной длины, в основе которого положена теорема о сопряженности точки подвеса и центра качания физического маятника (стр. 118); расстояние между этими точками, как уже было сказано, равно при­веденной длине физического маятника. Для того, чтобы можно было это рассто­яние определить, необходимо найти положение центра качания маятника, иными словами, необходимо найти две точки маятника, лежащие по разные стороны его центра тяжести, которые обладают свойством сопряженности, т. е. такие две точки, чтобы, поворачивая маятник и подвешивая его последовательно за ту или другую из них, мы получали бы один и тот же период ко­лебания. Расстояние между такими двумя точками и дает приведен­ную длину физического маятника, т. е. величину I в формуле (3); определив одновременно абсолютную величину периода колебаний этого маятника и, если нужно, его амплитуду, мы можем вычислить абсолютное значение g.

Маятники, основанные на этом принципе, получили название оборотных. Их конструкция и детали бывают очень разнообразны­ми; но во всех случаях положение центра колебаний оборотного маятника можно определить с большой точностью в результате сра­внительно несложных наблюдений. Один из наиболее простых ти­пов оборотного маятника, применяемый в данной работе, изображен на рис. 84. Этот прибор состоит из прочной металлической штанги А с остриями па концах, длиной около I м, на которой укреплены две опорные призмы Оу и 0 2; они расположены перпендикулярно к штанге А и своими острыми ребрами обращены друг к другу.Кроме призм на штанге маятника находятся три груза А» Рг и Ръ которые можно передвигать вдоль штанги и закреплять в любом положении. Два груза P-у и А, имеют обыкновенно форму чечевиц и расположены на концах штанги за призмами; по внешнему виду они одинаковы, но их вес различен, так как одна из чечевиц имеет внутри свободную полость. Третий груз Р0 расположен между приз­мами, несколько ближе к легкой чечевице. Очевидно, что период колебания маятника будет изменяться с изменением положения грузов на штанге; при работе с прибором все необходимые изменения его периода колебаний до­стигаются перемещением крайних чечевиц, и положение среднего груза обыкно­венно остается неизменным.

Для наблюдения колебаний маятника его подвешивают последовательно ребром той и другой призмы на стальную пластинку, укрепленную горизон­тально на очень прочном штативе или стенном кронштейне, и затем, несколько отклонив маятник от вертикали, сообщают ему колебание небольшой амплиту­ды; таким образом ребра призм служат попеременно точками подвеса маят­ника.

В оборотном маятнике этого типа опорные призмы укреплены на штанге неподвижно, и расстояние между их острыми ребрами обыкновенно дается, как некоторая постоянная прибора. Это расстояние будет равно приведенной длине маятника /, если мы подберем такое положение грузов Р х и Р 3 на штанге, при котором период колебания маятника остается одним и тем жеГ независимо от того, какая из призм, или 0 2, служит для подвеса маятника. Действительно, при равенстве периодов в первом и во втором положениях маятника ребро од­ной из призм всегда, очевидно, соответствует центру качания маятника, а ребро другой призмы служит его точкой подвеса, и расстояние между ребрами призы определяет приведенную длину маятника /.

Отсюда следует, что для определения g оборотным маятником данного типа необходимо, во-первых, установить грузы на штанге в такое положение, при котором наблюдается равенство периодов колебания в первом и втором поло­жениях маятника, т. е. при его повороте, и, во-вторых, определить абсолютную

119

су.

р /Р и с. 84.

О боротны й м аятн и к .

величину этого периода. После этого значение g можно вычислить но формуле(3), так как I соответствует расстоянию между ребрами призм, которое дается как постоянная прибора, а соответствующее ей значение Т определяется из измерений.

Так как, однако, достичь полного равенства периодов колебания в обоих положениях маятника не представляется возможным, то на практике принято ограничиваться лишь приближ енным равенством периодов, т. е. наблюдения над колебаниями манишка прекращают, когда его периоды, 7\ и 7а, в первом и втором положениях, становятся близкими друг к другу, например, отличаются один от другого на Ю- * или 10-4 сек. При этом условии мож1К> с достаточ­ной точностью вычислить значение периода Т, которое мы получили бы при полном совпадении периодов колебания маятника в первом и втором положе­ниях. Для этого при определениях g не особенно высокой точности достаточно взять среднее арифметическое величин Тг и Т*. т. е. положить;

(4)

♦При более точных определениях например с точностью до 0,001 с м -с е к -ъ, для вычисления Т применяют более точную формулу, которую можно вывести из следующих соображений:

На основании формулы (3) можно написать три очевидных равенства:

г? Я Т? T i т? T i

~g= T ' 7 = 7 Г ’ (5)

где и обозначают (приведенные) длины маятника, соответствующие пери­одам Ту и 7",, т. е. его колебаниям в прямом и обратном положениях. Величины

и /2 остаются неизвестными, а так как Т и g тоже подлежат определению, то в дополнение к уравнениям (5) необходимо составить четвертое уравнение; для этого применим теорему Штейнера, т. е. выражение (20 или (2"), к колеба­ниям маятника в прямом и обратном положениях; в соответствии с формулой (2") можно написать:

_ 4- md* г Jq~t md\1 mdx ' md2 '

Здесь величины dx и tf2 обозначают расстояния от центра тяжести маятника до точек опоры, т. е. до рёбер призм, так что, очевидно,

а \ + d2 = Л (6)

Что касается величины / 0, то она остается одной и той же в обоих уравне?п»гх.Вставляя эти значения /, и /2 в последние два из уравнений (5), получаем

после небольших преобразований:

Ц) + md\) = Т\ mdb ^ (У0 4 - md\) = Т% md2.

Вычитая эти уравнения одно из другого, находим также после, некоторых преобразований:

it* dxT \— d j \

d j - 4 ‘

Это выражение на основании равенства (6) можно написать так:

its d j ] — d.,T?2

~gl ~ dy — dt •

Наконец, принимая во внимание первое из уравнений (5), находим:

rf.r?

Последней формулой в таком виде редко пользуются, заменяя ее прибли­женным выражением, достаточно точным для практических целей; оно выво­дится в предположении; что оба периода 7\ и очень близки один к другому, как это и имеет место в действительности, так что второй и более высокими степенями величины (Тх — Т3) можно пренебречь. Эту приближенную формулу обычно пишут в таком виде”:

у — . 7 V + j j I h —J i L 2 ^ 2 d x - d 2 ‘ V'*)

Выражение (J1) дает возможность более точно, по сравнению с выраже­нием (4), вычислять значения Г по данным 7\ и Г2. Однако для этого необхо­димо знать величины dx и d2, т. е. знать положение центра тяжести маятника, а именно его расстояния до точек опоры. В маятнике описываемого типа эти величины вместе с I обычно даются как некоторые постоянные прибора. Их значение остается приближенно постоянным только в том случае, если при работе с маятником положение среднего груза Р0 остается неизменным, и из­менение периода колебаний достигается перемещением только двух крайних грузов Рх и Р2.»

В значение Т, вычисленное по формуле (4) или (7') нужно ввести поправку на амплитуду а, которую вычисляют по формуле (1), приводя период колебания маятника к бесконечно малой амплитуде. Величину амплитуды непосредственна определяют по градусной шкале 5, которая укрепляется внизу штатива так, чтс нижнее острие штанги А при колебаниях маятника проходит вблизи Шкалы.

Если g определяется с большой точностью, так что необходимо, вычисляя Т, вводить поправку, определяемую формулой (?'), то одновременно необходимо ввести еще некоторые поправки, из которых главнейшей является поправка на температуру. Она вызывается изменением с температурой длины маятника , а вместе с тем и его периода колебаний. Значение приведенной длины маят­ника, которое дается как постоянная прибора, соответствует 0° С, тогда как наблюдения, ведутся при температуре лаборатории. Отсюда следует, что при вычислении g по формуле (3), вводя поправку на температуру, надо поставить не длину I, т. е. постоянную прибора, а величину lt, которая может быть вычи­слена по обычной формуле линейного расширения твердых тел:

It — 1(1 -{-at),

где I—постоянная прибора, t—температура помещения, которая отсчитывается! при производстве наблюдений, и а—коэффициент расширения материала, из ко­торого сделана штанга маятника; значение а берется из таблиц.

Измерения. 1. Подвесив маятник на штатив ребром одной из призм, сооб­щают ему колебания небольшой амплитуды (размах нижнего острия штанги 6—8 см) и, пользуясь секундомером, определяют период колебания маятника затем, повернув маятник, подвешивают его ребром вторрй призмы и вновь про­изводят те же измерения. При этих предварительных промерах начального зна­чения периодов колебаннл маятника в двух положениях, измерения ведут приб­лиженно, ограничиваясь определением промежутка времени, в течение которого маятник делает 10—15 колебаний.

2. После этого, оставляя маятник в том же положении, несколько переме­щают вдоль штанги А один из грузов, например Ръ и при новом положении груза P i вновь определяют период колебания маятника, также приближенно. Этими наблюдениями удается установить, в каком направлении следует пере­мещать по штанге грузы Р х и Р 2 для того, чтобы периоды колебаний маятника сближались один с другим.

3. Продолжают те же измерения, перемещая каждый раз тот или другой груз и определяя периоды колебания маятника Тх и Т2 в его прямом и обрат­ном положениях; передвижение грузов следует делать осторожно, так чтобы периоды Тх и 7", изменились незначительно, постепенно сближаясь один с дру­гим. Определения периодов при этих наблюдениях необходимо делать весьма тщательно и точность измерения должна постепенно возрастать по мере сбли­жения значений Г, и Г2. Для этого необходимо брать большее число колебании (100—200), возможно точно улавливая по секундомеру начальный и конечный моменты времени. Обыкновенно секундомер включают и выключают в те мо­менты, когда маятник находится в одном из крайних положений, так как в этот

ГГ.

момент скорость его движения наименьшая. Необходимо также внимательно следить за правильным счетом числа колебаний. Наблюдение прекращают, ког­да периоды Г, и Г2 отличаются один от другого приблизительно на 10_3 сек. Для вычисления Т при такой точности измерений можно ограничиться формулой <4). При определении окончательных значений Т\ и Т2 необходимо вести наблю­дения при небольших амплитудах (размах нижнего острия штанги А 5—6 сч), начальную величину которых при всех наблюдениях следует брать (прибли­женно) одинаковой. Далее необходимо найти среднюю величину амплитуды ко­лебаний, определяя в каждом из окончательных наблюдений ее начальное и ко­нечное значения и вычисляя отсюда их среднее арифметическое. Это значение средней амплитуды служит для вычисления поправки на амплитуду, которую вводят в окончательные значения Тх и Tit пользуясь формулой (1). При этом

условии точность измерения Т достигает приближенно 5-10—4 сек.

Вычисление g производят по формуле (3), вводя в нее исправленное на амплитуду значение Г и постоянную при­бора I. Вводить в последнюю величину поправку на темпе­ратуру, при указанной выше точности измерения, нет необ­ходимости, так как обычное колебание комнатной темпера­туры изменяет период колебания маятника, пе превышаю­щий 1 сек., при бронзовой или латунной штанге на величину, меньшую 10~4 сек.

/

РАБОТА 6Ь. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ МЕТОДОМ БОРДА

1) Маятник Борла (л атунны й шарик с крючком, подвес, тонкая проволока), 2) часы с секундным маятннком, 3) линейка с зеркальными шкалами на концах, 4)_ штанген-циркуль, 5) секундомер, 6) оптическая труба на штативе, 7) застольная лампа, 8) штатив.

Описание метода и приборов. Маятник Борда (рис. 85а) состоит из металлического шарика В , подвешенного на очень тонкой проволоке; ее второй конец прикреплен к под­весу L, который помещен на верхней крышке часов, имеющих секундный маятник. Подвес L состоит из горизон­

тальной стальной призмы р (рис. 85Ь) и стержня д, к которому прикрепляется верхний конец про­волоки маятника. Стержень а мо­жно вращать, навивая вокруг него проволочку подвеса, и закреплять в любом положении зажимом; этик достигается изменение длины нити подвеса маятника.

Для подвеса маятника берут отрезок проволоки длиной около 110 см и на одном его конце де­лают петлю, перекручивая прово­локу; в эту петлю вставляют

крючок на шарике маятника. Второй конец проволоки прикрепляют к стерж­ню а подвеса и навивают на него проволоку настолько, чтобы длина маятника, считая ее от ребра призмы подвеса до центра шарика В, равнялась 101 — 102 см (первая серия наблюдений) или 97—98 см (вторая серия наблюдений). В пер­вом случае период колебания маятника будет несколько больше 1 секунды, а во втором случае — несколько меньше 1 секунды.

Колебания маятника Борда должны происходить в плоскости, параллельной плоскости колебания секундного маятника часов, приблизительно с той же ам­плитудой; ее величина определяется по шкале S, укрепленной на дверце часов.

Что£>ы привести маятник в колебание, не сообщив ему бокового толчка, пользуются следующим приемом: на одном конце небольшого отрезка топкой катушечной нитки делают широкую петлю, так чтобы она свободно охватывала .шарик маятника по экватору. Второй конец нитки прикрепляют к штативу,122

Рис. 85. Метод Борда.

устанавливая его так, чтобы шарик отклонился на угол, равный приблизительно углу отклонения секундного маятника. После этого нить пережигают, предва­рительно успокоив шарик маятиика, если это оказывается необходимым. Если шарик маятника сделан из железа, то часто применяют электромагнит, который устанавливают несколько сбоку часов. Шарик, приложенный к сердечнику электромагнита при замкнутой цепи последнего, удерживается магнитными си­лами, а при размыкании цепи начинает совершать колебания без бокового тол­чка, если электромагнит установлен правильно.

Маятник Борда представляет преимущество в том отношении, что его при­веденную длину нетрудно определить, если пренебречь массой проволочки, слу­жащей для подвеса, по сравнению с массой шарика; при таком предположении, которое не вносит значительных ошибок в результат измерений, центр тяжести маятника будет совпадать с центром шарика, а приведенная длина маятника / будет равна длине нити подвеса 1\ сложенной с радиусом шарика г, т. е. имеем: Поэтому на основании формулы (3) можно написать:

где /' = длина нити подвеса и г — радиус шарика.Измерения. Из формулы (8) видно, что для определения g надр измерить

период колебаний Т маятиика Борда, длину нити подвеса /', радиус шарика г и угловую амплитуду колебаний а:

1. И з м е р е н и е п е р и о д а к о л е б а н и й Т производится по методу совпадений. Для этого устанавливают оптическую трубу на расстоянии около 1,5 м от часов так, чтобы в трубу был виден лист бумаги с вертикальной чер­той, укрепленный на маятнике часов. Приведя затем в колебание маятник Бор­да (при длине нити подвеса 101 —102 см) и наблюдая в трубу колебания обоих маятников, выжидают момент, когда оба маятника в поле трубы, т. е. проволока и -черта па листе бу\;аги, проходят совпадая (оба маятника движутся при этом в одном направлении); в этот момент пускают в ход секундомер. Затем маятники расходятся, но через некоторое время вновь проходят поле зрения одновременно в одном направлении; в этот момент секундомер останавливают. Таким образом находят промежуток времени между двумя последовательными совпадениями маятников в процессе их колебаний, или промежуток времени между двумя последовательными моментами, когда оба маятника находятся в одинаковых фазах. Если этот промежуток времени, измеренный секундомером равен /1) секундам, то секундный маятник часов совершил за это время пх про­стых колебаний, а маятник Борда пх — 2 простых колебания, так как его пе­риод колебания 7 ,̂ при взятой длине нити подвеса, несколько больше одной секунды. Очевидно, можно написать:

Вслед зз этим необходимо определить приведенную длину маятника /] тем приемом, который указан ниже. После этого производят вторую серию наблю­дений, уменьшив длину маятника Борда до 97 — 98 см, так что его период ко­лебаний становится меньше 1 сен. (см. выше). Если при этих наблюдениях бу­дет найдено, что последовательные совпадения колебаний маятников происхо­дят через промежуток времени равный п„ секундам, то для определения пери­ода маятника Борда в этом случае находим формулу, аналогичную (9), кото­рая, очевидно, будет иметь вид:

так как в этом случае маятник Борда, имея период колебания меньше 1 сек., в течение л2 секунд сделает п -\- 2 простых колебаний. Эти наблюдения заканчи­ваются также определением приведенной длины маятника /s.

2. Для о п р е д е л е н и я п р и в е д е н н о й д л и н ы м а я т н и к а измеряют длину нити подвеса и радиус шарика. При измерении первой величины позади

(8)

(пх-^ 2 )Т 1 = п1-\ сек.,откуда

123

маятника Борда подвешивается вертикально зеркальная линейка с делениями на концах; расстояние между нулевыми делениями на зеркальных шкалах линейки дается. При помощи этой линейки отсчитывают положение ребра призмы под­веса (точка подвеса маятника) и положение нижнего края шарика маятника. Первый отсчет производят с точностью до десятых долей миллиметра непо­средственно на глаз, причем необходимо глаз располагать на такой высоте, что­бы ребро призмы и его изображение в зеркале шкалы лежали на одной прямой. Второй отсчет, также с точностью до десятых долей миллиметра, можно делать, или непосредственно на глаз, располагая его па соответствующей высоте, или при помощи оптической трубы. Радиус шарика определяют, измеряя его- диа­метр, также с точностью до 0,1 мм, при помощи штанген-циркуля. Из этих из­мерений, принимая во внимание расстояние между нулевыми делениями шкал на концах линейки и величину диаметра шарика, находят приведенную длину I маятника.

Радиус г шарика определяют, измеряя его диаметр, также с точностью до0,1 мм, при помощи штанген-циркуля.

3. А м п л и т у д а к о л е б а н и й маятника измеряется по шкале, укреплен­ной на дверце часов. Так как в течение наблюдений амплитуда колебаний уменьшается незначительно, то принято пользоваться при вычислениях средней амплитудой, определяя ее величину в начале и в конце каждого наблюдения и вычисляя среднее арифметическое из этих величин. Абсолютная величина ам­плитуды обыкновенно бывает очень не велика, поэтому в формуле (1) вместо синуса можно ввести угол, выраженный в радианах.

Из результатов всех проделанных измерений по формуле (8) вычисляют два значения g для первой и второй серий наблюдений в отдельности и затем бе­рут их среднее арифметическое.

*Если все измерения сделаны с большой степенью точности, в частности, длина маятника определена с большей точностью, чем указано, то в полученное по формуле (8) значение g необходимо ввести поправку, так как колебания маятника совершаются в воздухе и его шарик, согласно закону Архимеда, испы­тывает кажущуюся потерю веса, равную весу воздуха в объеме шарика; вслед­ствие этого значение g, непосредственно полученное из наблюдений, оказывает­ся несколько меньше его истинной величины, т. е. величины, приведенной к пустоте. Обозначая вес шарика в пустоте и в воздухе соответственно G и Р, ускорение силы тяжести g0, а его кажущееся значение в воздухе g, имеем:

G — g0m, P = gm,

где т — масса шарика, которая в обоих случаях, очевидно, остается одной и той же. Далее, по закону Архимеда имеем:

Р = G — щ ,

где V — объем шарика, а у — удельный вес воздуха при температуре наблюде­ния. Из этих формул находим:

So = g Q ~ - * <10>

Величину G определяют из взвешивания на аналитических весах, пользуясь при­емами точного взвешивания (стр. 43); v вычисляют из результатов измерения диа­метра шарика, наконец, значение удельного веса воздуха у берется из таблиц.

РАБОТА 6с. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ПРИ ПОМОЩИ ГРАВИМЕТРА ЛЭЖЕЙ

1) Гравиметр Л эж еЙ , 2) секундомер.

Описание методов и приборов. Гравиметр Лэжей (рис. 8G) представляет собой упругий маятник, который состоит из кварцевого цилиндра Л, длиной 10 см, укрепленного вертикально на плоской пружине Ь из элинвара, т. е. сплава же­леза, никеля и хрома (стр. 29). Такая система, находясь под действием силы тяжести, с одной стороны, и упругой силы пружины, — с другой, может совер­шать колебания, если ее вывести предварительно из положения равновесия.124

цесь прибор помещается внутри зппаяниого стеклянного сосуда, из которого воздух выкачан до высоких степеней разрежения. Арретир с дает возможности останавливать колебания маятника и предохранять прибор от опасных сотрясе­ний. Колебания маятника вызываются действием особого пускового приспосо­бления. Для наблюдения колебаний кварцевый цилиндр имеет вверху тонкую иглу, против которой расположена зеркальная шкала с делениями.

Температурные коэффициенты расширения кварца и элин- рара чрезвычайно малы, кроме того, температурный коэффи­циент упругости элинвара также мал; таким образом влияние ■температуры на показание прибора чрезвычайно незначительно.

Находясь внутри эвакуированного сосуда, прибор надеж­но защищен от внешнего барометрического давления и влия­ния влажности. Прибор должен быть чрезвычайно тщательно установлен на прочном основании, имея вполне определен­ное положение; при переносе на другое место прибор должен быть проверен. При соблюдении этих условий показания гра­виметра Лэжей носят очень постоянный характер.

‘ Уравнение движения такого упругого маятника при не­больших амплитудах может быть написано в таком виде (ср. стр. 99):

— ?0) 4 - m ^ /s in T. (11)

К этом выражении J обозначает момент инерции колеблющей­ся системы относительно точки опоры, <р — угол отклонения маятиика при колебаниях, т. е. его угловая амплитуда, С — по­стоянная величина, зависящая от упругих свойств элинварной пружины, т — масСа колеблющейся системы и I — длина квар­цевого стержня.

Решая уравнение (И), находим для периода простого колебания Т маятника выражение: ____

(1Э

где k — некоторый постоянный коэффициент, который определяется для каж­дого прибора в отдельности и дается, как некоторая постоянная прибора; вели­чина I также дается как вторая постоянная прибора.#

Выражение (12) показывает, что, подбирая соответствующее значение к, можно сделать период колебания системы достаточно большим, например, в не­которых приборах он превышает 6 сек. Это обстоятельство дает возмож­ность определять Т с большой точностью, измеряя по секундомеру промежуток времени, в течение которого маятник совершает достаточно большое число ко­лебаний.

Определив Т и зная I и k для данного прибора, находим значение g, опре­делив его из формулы (12):

Метод гравиметра Лэжей является очень точным; пользуясь прибором, тща­тельно проверенным, можно определять ускорение силы тяжести g с точностью до Ю -з см -сек .-2.

Измерения. Определение g гравиметром Лэжей, установленным и прове­ренным, требует только измерения периода колебаний системы Т. Для этого приводят прибор в колебание и определяют по секундомеру промежуток вре­мени, в течение которого маятник совершает достаточно большое число коле­баний, не менее 100. Сёкундомер следует включать и останавливать в те моменты, когда маятник находится в своем крайнем положении; неооходимо, кроме того, внимательно следить за правильностью отсчет? числа колебании маятнвка.

При периоде колебания около 5 сек, каждое отдельное измерение g зани­мает приблизительно Л минут.

125

Г Л А В А 7

ПЛОТНОСТ^ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Плотностью D тела называется масса единицы объема тела; поэтому для случая однородного тела можно написать:

D = ~ . (1)где М и V — масса и объем тела.

Удельным весом f тела называется вес единицы объема тела, приведенный к пустоте (стр. 48); поэтому можно написать:

7 = 7 . (2>

п е G — чес тела в пустоте, а V — тюпрсжнему объем тела.Из этих формул, на основании выражения (1) стр. 42, определяющего от­

ношение между весом и массой тела, находим:М ег __

1 = - у = Dg, <3>

т. е. между удельным весом и плотностью тела имеет место то же соотноше­ние, что и между весом и массой тела. Поэтому при неизменном значении g,иначе говоря в одном и том же месте земной поверхности, во-первых,, плгг-ность и удельный вес какого-либо тела пропорциональны друг другу и, во- вторых, отношение плотностей двух каких-либо тел можно заменить отноше­нием их удельных весов, и обратно.

Соответственно формулам (1) и (2) размерности плотности и удельного веса в системе CGS таковы:

[ / ) ] = г-см~3, [ f ] = г -с м - з - се к- 2.

Но удельный вес обыкновенно выражают в Г -см ~ 3, т. е. в граммах веса, деленных на смъ\ в этом случае числовые значения плотности и удельного веса оказываются одинаковыми. Однако, обе эти величины различаются своими раз­мерностями, т. е. плотность и удельный вес, при одинаковом числовом значении в единицах г-см ~ 3 и Г -с м -9, как физические величины остаются различными.

Размерность плотности в практической системе определяется формулой

[£>] = т - м - 3,

причем числовые значения плотности в абсолютной и практической системах очевидно совпадают. Что касается технической системы, то,, в соответствии с размерностью массы в этой системе (стр. 25), размерность плотности имеет выражение:

[D] = к Г -м -* -сек 2,

причем числовое значение плотности в технической системе оказывается иным, по сравнению с системами абсолютной и практической, так как единица массы в технической системе определяется выражением, в знаменателе которого нахо­дится ускорение силы тяжести, выраженное в м -сек~2.

Далее необходимо иметь в виду, что вследствие теплового расширения тел знаменатель формул (1) и (2) изменяется с температурой, т. е. плотность и удель­ный вес тел зависят от температуры. Эта зависимость определяется законом теплового расширения тел, который выражается обычно формулой

V / = V 0(l + $t).

Отсюда, на основании формулы (1), находим закон изменения плотности тел с температурой:

= г ,4>126

где D t и Da — плотность тела при температурах, соответственно, t° и 0°С а 3 — (средний) объемный коэффициент расширения тела в интервале темпера­туры 0° и t° С.

' Закон, аналогичный формуле (4), получается, очевидно, и для температурной зависимости удельного веса тел.

В громадном большинстве случаев выражение (4) можно считать вполне точным, и только некоторые тела представляют исключение; к числу таких тел принадлежит вода, плотность которой изменяется с температурой по более слож­ному закону. Значения плотности воды, тщательно очищенной от всяких при­месей, при различных температурах определены с весьма большой точностью; при 4° С плотность воды и^еет максимальное значение, которое обычно считают равным 1 г-см ~ s. Такое определение единицы плотности в соответствии с фор­мулой (1) предполагает, что масса одного кубического сантиметра воды, взятой при 4° С, равна 1 грамму. Это предположение в действительности, строго го­воря, не оправдывается, и плотность воды при 4° С оказывается несколько меньше единицы; она равна 0,99997 г-см ~%. Однако это расхождение настолько незначительно, что его приходится принимать во внимание только при исклю­чительно точных измерениях, какие в описанных дальше работах не встречаются. Поэтому в дальнейшем предполагается, что плотность воды при «° С равна 1 г-см ~г\ в этом предположении составлены и все таблицы плотностей (том III).

Из этих соображений следует, что плотности (удельные веса) тел необхо­димо всегда относить к определенной температуре, что принимается во внимание и при составлении табличных значений плотности (удельного веса); переход от одной температуры к другой выполняется на основании формулы (4), и только для воды значения плотности при различных температурах берутся непосред­ственно из таблиц.

Применяя формулу (I) к двум различным телам, взятым в одинаковом объеме V, находим: = Af1/A/2, где Dx и — плотности, соответственно,первого и второго тела, а М х и М *— их массы. Заменяя в этой пропорции отно­шение масс тел отношением их весов в пустоте, Gy и G3, находим:

= (5)

Из формул (1) и (5) следует, что для того, чтобы определить плотность какого-либо тела, необходимо:

1) или определить массу тела М и его объем V [формула (])],2) или определить вес тела Gy и вес другого тела 0 2, взятого в том же

объеме. Если плотность этого второго тела Dt известна, то плотность первого тела рычисляется по формуле (5).

На практике при определении плотностей различных тел пользуются преи­мущественно вторым способом, т. е. формулой (5), причем телом с извести й плотностью в громадном большинстве случаев выбирается вода при определен­ной температуре. Однако, пользуясь формулой (5), надо всегда иметь в виду, что в ней величины Gу и G2 обозначают истинные веса того или другого тела, т. е. веса, Приведенные к пустоте.

В соответствии с этим для определения плотностей твердых тел при лабо­раторных работах применяются методы: I) волюмпметра, 2) ареометра с постоян­ным объемом, 3) гидростатического взвешивания и 4) пикнометра.

1. М е т о д в о л ю м о м е т р а , при котором измеряется масса тела и его объем, применяется сравнительно редко; этим методом пользуются главным образом при определении плотностей тел очень сложной неправильн й формы, например, тел губчатых, порошкоббразных или тел, очень легко растворимых0 воде. Точность метода невелика, обычно около 0,5%.

2. М е т о д а р е о м е т р а с постоянным объемом при определении плот­ностей твердых тел применяется также не особенно часто. Им пользуются главным образом при быстрых определениях плотностей твердых тел, если не требуется большой точности, которая для этого метода обыкновенно не превышает ОЛ°/о-

3. М е т о д г и д р о с т а т и ч е с к о г о в з в е ш и в а н и я основан на опре­делении той кажущейся потери в весе исследуемого тела, которую оно испы­тывает при погружении в жидкость; эта потеря веса равна по закону Архимеда весу жидкости в объеме тела. В громадном большинстве случаев при этих из—

12?

мерениях пользуются чистой (дестнллированной) водой, плотность которой и ее температурный коэффициент хорошо известны. Метод гидростатического взвеши- нания чрезвычайно точен и поэтому па практике он играет очень большую роль, как один из наиболее надежнгах методов определения плотности. Пользуясь этим методом, можно определять плотность твердых тел с точностью до пятого деся­тичного знака, а при особенно точных и тщательных измерениях даже до ше­стого десятичного знака. Описание метода и производство измерений см. том I. работа 7 а.

4. М е т о д п и к н о м е т р а , основанный на определении веса жидкости, взятой в объеме, равном объему исследуемого тела, является столь же точным и надежным, как и гидростатический метод, и очень часто применяется на прак­тике; его точность может быть доведена также до пятого, а в исключительных случаях до шестого десятичного знака. Описание метода и производство изме­рений см. том I, работа 7Ь.

РАБОТА 7а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО ВЗВЕШИВАНИЯ

1) А н ал и ти чески е в еси , 2) р азн о в ес ,- .3) стекл ян н ы й ц и л и н д р , 4) п о дставка, 5) тер м о м етр , I) два сплава P b-Sn р азл и ч н о го состава, 7) то н кая п ровол ока.

Описание метода и приборов. Основным прибором в этом методе служат сочные аналитические весы; все операции с ними выполняют, пользуясь прие­

мами точного взвешивания (стр. 43). Каждое из исследуемых тел необходимо взвешивать два раза: один раз в воздухе и второй раз в воде. В по­следнем случае тело подвешивается на тонкой проволоке к крючку левой чашки весов, над кото­рой на подставке помещают стеклянный цилиндр В с дестнллированной водой (рис. 87), наливая ее в таком количестве, чтобы все тело и неболь­шая часть проволочки были погружены в воду. Одновременно необходимо определить темпера­туру воды в цилиндре; температура взвешивае­мого тела принимается равной температуре воды.

Так как объем тела и объем вытесненной им воды равны, то, применяя формулу (5), находим:

&)

где G и GB обозначают вес тела и вес вытес­ненной им воды, приведенные к пустоте, a dt — плотность воды при температуре наблюдения.

Измерения. С каждым из исследуемых тел 3(сплавы РЬ и Sn) последовательно проделывают следующие измерения:

Р и с . 87. Г и дростати ч еское в зяеш и - 1. Взвешивают сплав с точностью д о 1 мг.Ra Н И С. m о1ак как удельный вес сплава остается неизвест­

ным, то вычислить поправку на потерю веса сплава я воздухе по обычной формуле (стр. 48) было бы затруднительно; поэтому при взвешивании ограничиваются определением (кажущегося) веса сплава в воздухе; пусть он оказался равным Р. Что касается веса сплава, приведенного к пустоте, т. е. G, то, вычисляя по закону Архимеда потерю в весе сплава в воздухе, можно написать:

G = P + V f , (6)

где V — объем сплава и у — удельный вес воздуха.2. Взвешивают сплав вторично (с той же точностью) в воде, подвесив его на

тонкой проволочке в стеклянном цилиндре с дестиллнрованной водой, как было указано; температуру воды предварительно необходимо измерить термометром. При этом взвешивании необходимо принять некоторые предосторожности: тело 128

должно висеть свободно на проволочке внутри воды, не касаясь дна или сте­нок цилиндра; на поверхности тела не должно быть пузырьков воздуха; нако­нец, через поверхность воды, для уменьшения капиллярного действия должна проходить тонкая, т. е. не перекрученная, часть проволочки. В результате взве­шивания получают (кажущийся) вес сплава в воде, не приводя его к пустоте; пусть он оказался равным Р х.

3. Наконец, определяют вес одной проволочки, которая служила для подвеса сплава, при условии, что ее нижний конец погружен в воду (приблизительно) на ту же глубину, что и в предыдущем взвешивании. Для этого, сняв сплавс проволочки и вновь повесив ее на крючок левой чашки весов, прибавляютв цилиндр немного воды так, чтобы проволочка была погружена в нее до преж­ней глубины, и находят (кажущийся) вес проволочки в этих условиях, но при­водя его к пустоте; пусть он оказался равным р.

Из результатов этих взвешиваний находим вес Рв воды, вытесненной спла­вом; очевидно он равен

P . = P + P ~ P i , (7)причем это выражение дает (кажущийся) вес воды, вытесненной сплавом. Для того чтобы найти истинный вес G„ воды, надо, согласно формуле (6), к Р я прибавить вновь величину Kf; это следует из того, что объемы сплава и вы­тесненной им воды одинаковы, т. е. величина поправки на потерю их веса в воздухе также одинакова. Поэтому можно написать:

Ов = Яв + П . (8)Вследствие этого из формул (5') на основании формул (6) и (8) находим:

л, + ̂ Y dt- (?)

В этом выражении остается неизвестной величина V, т. е. объем сплава (или вытесняемой им воды). Приближенно можно принять, что V, выраженное в куб. сантиметрах, численно равно Р в, выраженному в граммах; это следует из того, что вес одного куб. сантиметра воды, даже не приведенный к пустоте, весьма близок к 1 грамму. Более точное значение V можно получить из выра­жения:

Рв — ^("Гв — т)> (Ю)где Тв и -[■ обозначают удельный вес воды и воздуха при температуре наблю­дения.

Это выражение, которое является прямым следствием закона Архимеда, можно вывести из формулы (2), если применить ее один раз к воде и второй раз к воздуху, предполагая, что то и другое тело взяты в объеме, равном V.

Определяя V из формулы (10) и вставляя его значение в выражение (9), находим:

г> _ Р (Тв — Т) 4- Рв1 j " l ~ Р ^ Г ~ Л‘-

В правой части этого выражения отношение удельных весов (■' и тв), согласно сказанному выше, можно заменить отношением соответствующих плотностей (р и dfc на основании этого получаем окончательное выражение для вычисления плотности сплава при температуре t:

Dt — ^ j (dt ~ Р) + Р- (11>1 В

В этом выражении величина Р (вес сплава в воздухе) определяется непо­средственно из первого взвешивания, величина Р в (вес воды в объеме сплава) вычисляется из результатов трех взвешиваний но формуле (7), а величины dt и р (плотность воды и плотность воздуха при температуре наблюдения) берутся из таблиц.

Производя измерения последовательно для обоих сплавов, обыкновенно Удается выполнить все взвешивания, пользуясь одной и той же проволочкой; таким образом третье взвешивание (для определения р) приходится выполнить только один раз.9 Ф изический практикум 129

РАБОТА 7Ь. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ МЕТОДОМПИКНОМЕТРА

1) Аналитические весы, 2) разновес, 3) пикнометр, мометр.

4) известковый шпат в кусках, 5) тер-

н

\ у

Описание метода и прибора. Пикнометрами называются небольшие сосуды различной формы и емкости (рис. 88), внутрь которых можно вводить опреде­ленные объемы жидкости, если наполнять пикнометры до имеющихся на них меток. Пикнометры обыкновенно изготовляются из стекла, иногда из кварца и часто снабжаются термометром, для наблюдения за температурой наполняющей нх жидкости. Пикнометры последнего типа, т. е. снабженные "термометром, счи­таются наиболее совершенными. При определении плотности твердых тел при­меняются пикнометры с широкими горлышками, т. е. типа а и с. Их наполняют водой при помощи пипетки, причем необходимо след’ за тем, чтобы внутри пикнометра на его стенка" не оставалось пузырьков воздуха; для чтого при наполнении пикнометра заставляют жидкость стекать по его стенкам. Очень часто, в осо­

бенности при точных измерениях, напол­ненный жидкостью пикнометр нагре­вают, не закрывая его пробкой, в термо­стате до кипения жидкости, чтобы уда­лить содержащийся в ней воздух; в этих случаях измерения производятся после охлаждения пикнометра до комнатной температуры. Пикнометр наполняется жидкостью почти до краев его горлыш­ка; в этом случае при введении Пришли­фованной пробки пикнометра избыток жидкости выливается наружу (форма а) или поднимается в боковую воронку (форма с). После этого пикнометр следует тщательно высушить снаружи при помо­

щи фильтровальной бумаги, удалив всю жидкость из зазора между горлышком и пробкой, а затем, также при помощи фильтровальной бумаги собрать избыток жидкости в пикнометре так, чтобы ее уровень соответствовал метке на горлышке пикнометра. Все взвешивания пикнометров производят на аналитических весах, пользуясь приемами точного взвешивания (стр. 43).

Измерения. 1. Несколько небольших кусочков известкового шпата, пред­назначенных для исследования, взвешивают с точностью до 1 мг\ пусть их (кажущийся) 'вес в воздухе оказался равным Р.

2. Наполняют пикнометр чистой дестнллированной водой, температуру ко­торой предварительно измеряют отдельным термометром, если пикнометр его не имеет. При наполнении пикнометра необходимо соблюдать указанные выше пре­досторожности. После этого пикнометр вместе с наполняющей его жидкостью взвешивают также с точностью до 1 мг\ пусть его (кажущийся) вес в воздухе оказался равным Р у

3. Снимают пикнометр с весов и вводят в него все взвешенные кусочки известкового шпата, наблюдая, чтобы на них не оказалось пузырьков воздуха, что могло бы внести большие ошибки в результат измерений. Часть воды при этом выливается из пикнометра; закрыв пикнометр пробкой, его вновь тща­тельно высушивают, доводя уровень воды до метки, й взвешивают еще раз с той же точностью; пусть (кажущийся) вес пикнометра в воздухе (с водой и кусочками шпата) оказался равным Р-2.

Таким образом вес Р в воды, вытесненной кусочками шпата, очевидно, равен:

Рис. 88. Пикнометры.

р а = р + р > - р 2, (12)

причем Р„ обозначает (кажущийся) вес воды в объеме шпата, т. е. не п р и в е д е н ­ный к пустоте.

В результате мы получили вес шпата в воздухе Р, не приведенный к пу­стоте, и вес вытесненной им воды Р в, также не приведенный к пустоте, т. е. определили те величины, которые были найдены в работе 7а по отношению к сплаву. Поэтому путем дальнейших рассуждений, вполне аналогичных тем, которые были изложены в указанной работе, получаем выражение для вычисле­н о

ния плотности известкового шпата при температуре наблюдения, которое вполне соответствует формуле (11), т. е. находим:

Z>, = £ ( r f , - p ) + F. (13>1 В

В этом выражении величина Р (вес шпата в воздухе) определяется непосредст­венно из первого взвешивания, величина Р в (вес воды в объеме сплава) вычис­ляется из результатов трех взвешиваний по формуле (12), а величины dt и р (плот­ность воды и плотность воздуха при температуре наблюдения) берутся из таблиц.

Г Л А В А 8

ПЛОТНОСТЬ ЖИДКИХ ТЕЛ

Все общие положения в отношении плотности и удельного веса твердых тел (стр. 126) в полной мере могут быть применены и к телам жидким; необ­ходимо только иметь в виду, что вследствие значительно бблыних температур­ных коэффициентов расширения жидкостей по сравнению с коэффициентами расширения твердых тел влияние температуры на плотность жидкостей [фор­мула (4) стр. 126] оказывается очень большим; поэтому принято, характеризуя плотность жидкости каким-либо числовым значением, всегда указывать темпе­ратуру, к которой оно относится.

Плотность жидкости определяется в большинстве случаев теми же методами, которые применяются при определении плотности твердых тел; особенно часто применяют методы: 1) ареометра с постоянным весом, 2) гидростатического взвешивания и 3) пикнометра.

1. М е т о д а р е о м е т р а с п о с т о я н н ы м в е с о м для жидких тел чрез­вычайно широко применяется в особенности при быстром определении плот­ности жидкостей, как более легких,- так и более тяжелых, чем вода. При введе­нии поправок на температуру и капиллярные действия метод ареометра является очень надежным, и измерения плотностей можно вести с точностью до треть­его и даже четвертого десятичного знака. Кроме абсолютной ареометрической шкалы, которая дает значения плотностей в г-см ~3, известно большое коли­чество различных условных ареоме-грических шкал, которые'служат для чисто практических целей, например, при определении плотности водных растворов серной кислоты, спирта и т. п.

2. М е т о д г и д р о с т а т и ч е с к о г о в з в е ш и в а н и я является чрезвы­чайно точным, как и в случае твердых тел, если применяются точные аналити­ческие весы; описание метода и производство измерений см. работу 8 Ь. Часто применяются также весы особой формы, так называемые весы Вестфаля (или Мора). В этом случае точность измерений обычно бывает несколько меньше, чем при аналитических весах, но определение плотности выполняется значи­тельно быстрее; описание метода и производство измерений см. работу 8 а.

3. М е т о д п и к н о м е т р а , чрезвычайно точный при хороших аналитиче­ских весах, применяется очень часто для наиболее надежных определений плот­ности жидких тел; точность измерений может доходить до шестого десятичного знака. Описание метода и производство измерений см. работу 8 с.

РАБОТА 8а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ЖИДКОСТЕЙ ПРИ ПОМОЩИВЕСОВ ВЕСТФАЛЯ-МОРА

1) Вссы В естф аля-М ора с набором разн о в еско в и стеклян ны м п оп л авк ом , 2) терм ом етр , 3) стекл ян н ы й ц и л и н д р , 4) п и н ц ет , 5) растпоры серн ой ки слоты и сп и рта разл и ч н о й ко н ц ен трац и и .

Описание метода и приборов. Весы Вестфаля-Мора, которые применяются для определения плотности исключительно жидких тел, состоят из вертикаль­ной колонки N (рис. 89) и неравноплечего коромысла К. Верхнюю часть колон­ки можно устанавливать на различной высоте, закрепляя се ззжимньтм кол_ьцом С; подъемный винт о в основании подставки весов служит для правильной уста­новки их колонки.9* 131

Коромысло весов на коротком плече имеет цилиндрический протиповес М, который оканчивается острием 5; второе острие Si, укрепленное неподвижно на подставке весов, расположено против острия S. При правильной установке весов кончики того и другого острия должны быть расположены на одной вы­соте, т. е. одно против другого.

Длинное плечо коромысла весов разделено на 10 равных частей, отмечен­ных цифрами; точкам деления соответствуют острые вырезы на коромысле, в которые помещаются имеющиеся при весах разновески. Последние согнуты в виде дуги или рейтера и при нагрузке весов накладываются на деления ко­ромысла своей средней частью (рис. 90), которая имеет для этого острый срез в виде ножа; кроме того, на концах разновесков имеются крючки, за которые разновески можно подвешивать друг к другу. Нулевое деление коромысла соответствует его точке опоры, а на десятом делении, на конце коромысла, находится крючок, к которому на тонкой проволоке подвешивается стеклянный поплавок весов. Вес поплавка и противовеса М подобраны так, что коромысло в воздухе без всяких дополнительных нагрузок находится в равновесии. Если

же поплавок погрузить в жидкость, то равновесие ве­сов нарушается, и для того, чтобы его восстановить, не­обходимо коромысло на­грузить некоторым количе­ством разновесков. Обыкно­венно поплавок представляет собой маленький термометр со шкалой, отвечающей не­большому интервалу темпе­ратур, близких к комнатной, например от-(-10° до-4-30°С. Если поплавок не имеет тер­мометра, то температуру жидкостей измеряют отдель­ным термометром.

Исследуемая жидкость наливается в стеклянный ци­линдр, который помещают на подставку так, чтобы по­

- плавок свободно висел вну­три жидкости, не касаясь дна и стенок цилиндра. Глубина, на которую погружается

поплавок в жидкость, не безразлична и при каждой серии измерений должна быть одинаковой; обычно уровень жидкости в цилиндре располагают на такой высоте, чтобы через ее поверхность проходила тонкая, т. е. не перекрученная, часть про­волоки поплавка, и длину се отрезка, догруженного в жидкость, берут (приблизи­тельно) равной длине перекрученной части проволоки. Далее необходимо сле­дить за тем, чтобы на поплавке или проволочке не образовывались воздушные пузырьки, которые могут быть источником грубых ошибок при измерениях. При весах обычно имеются четыре (иногда пять) разновесков или грузов, абсолют­ный вес которых может оставаться неизвестным. Их относительные веса подоб­раны следующим образом:

1) Грузы А 0 и А (рис. 89), несколько различной формы, имеют одинако­вый вес, равный весу вытесняемой поплавком дестиллированной воды, взятой при температуре 15° С, так что равновесие весов не нарушается, если по­плавок погрузить в дестиллированпую воду при 15° С и одновременно на крю­чок коромысла повесить груз А 0, который для этого имеет соответствую­щее ушко. Таким образом можно сказать, что вес воды, взятой при 15° С в объеме поплавка, равен некоторому числу граммов р0, соответствующему весу груза А а.

2) Груз В равен Vio груза А (или Л0), а груз С J/10 груза В, т. е. 1jm гру­за А. Таким образом веса грузов В и С равны, соответственно, 0,1 рп и 0,01 Ро-

Если грузы А, В или С помещать не на конце, а на промежуточных деле­ниях коромысла, то его нагрузка пропорционально уменьшается, а грузы А, В 132

Рис. 89. Весы Вестфали-Мора.

и С дают, соответственно, десятые, сотые и тысячные доли р п, причем номера соответствующих делений коромысла непосредственно указывают число десятых (груз А), сотых (груз В), и тысячных (груз С) долей р 0. Таким образом нагрузку коромысла в этих условиях можно считать равной к.Ро, где К — результат не­посредственного отсчета положения грузов на коромысле. Например, нагрузка коромысла на рис. 90 соответствует 0,747 граммов.

Допустим, что при погружении поплавка весов в некоторую жидкость равновесие весов устанавливается при нагрузке коромысла, равной Крп граммов. Очевидно, что эта нагрузка соответствует весу исследуемой жидкости, взятой в объеме поплавка весов. Таким образом имеем: р 0 — вес воды, взятой при 15° С в объеме поплавка, и Кр0 — вес исследуемой жид­кости, взятой при температуре наблюдения также в объеме поплавка. Поэтому на основании формулы (5), стр. 127, можем написать:

d l5 — K dlb, (1)Рис. 90. Коромысло весов Вест-

где Dt — плотность исследуемой жидкости при тем- фаля-Мора.пературе опыта, К — результат непосредственногоотсчета положения разновесков на коромысле при равновесии весов, a rf16 — плот­ность воды при 15° С; ее значение берется из таблиц.

Так как в формуле (1) величина р п сокращается, то, очевидно, для определе­ния плотности жидкостей BecaMrf Вестфаля-Мора нет необходимости знать абсолютный вес их разновесков.

Последний вывод н формула (1) являются не вполне точными. Это объяс­няется тем, что в формулу (5), стр. 127, входит истинный вес того и другого тела, т. е. вес, приведенный к пустоте, тогда как равновесие коромысла весов Вестфаля-Мора мы устанавливаем в воздухе, т. е. величины р 0 и Кро представ­ляют собой кажущийся вес воды и исследуемой жидкости, в который необхо­димо ввести соответствующие поправки. Так как объем той и другой жидкостей одинаков (объем поплавка), то ввести эти поправки можно на основании сооб­ражений, изложенных на стр. 48 и сл. Таким образом более точное выражение для определения плотности жидкостей мы получаем, если воспользуемся фор­мулой (11) стр. 129, которая в данном случае, очевидно, получает такой вид:

Dt = K (d Xb- р) + р, (1<)

где попрежнему плотность воды при температуре 15° С и р — плотность воздуха при температуре измерения; обе эти величины берутся из таблиц.

Если точность измерения плотностей весами Вестфаля-Мора ограничивается третьим десятичным знаком, как это обычно бывает, то для вычисления плот­ностей принято применять формулу (1). Но есть более совершенные конструк­ции весов, при которых точность измерений может быть доведена до четвертого десятичного знака; в этом случае вычисление плотности следует вести по формуле (1').

И змерения. Из сказанного выше видно, что для определения плотности жид­костей весами Вестфаля-Мора достаточно погрузить поплавок весов в иссле­дуемую жидкость и отсчитать то положение разновесков на коромысле, при ко­тором весы приходят в равновесие. Но для того чтобы определение плотности выполнить возможно точнее, необходимо проверить показание прибора, что про­изводится следующим образом:

1. Собирают весы, помещая на их колонку коромысло и уравновешивая егопоплавком. При правильном положении колонки весов оба острия S и ^ должны располагаться одно против другого. Если этого не наблюдается, то установку весов следует исправить, действуя винтом Ь. После этого весы не следует сдви­гать с места. ц

2. Наполняют стеклянный цилиндр дестиллированной водой, температуру которой предварительно делают равной 15° С (стр. 55); затем погружают в воду поплавок весов и одновременно накладывают на крючок коромысла груз При правильной работе равновесие весов не должно нарушаться.

После этого воду в цилиндре заменяют одной из исследуемых жидкостей и определяют ее температуру. Дальнейшие измерения производятся несколько различно в случае жидкостей более плотных и менее плотных, чем вода.

133

a) В случае жидкости более плотной , нем вода (растворы серной кислоты), погружая в нее поплавок, груз А а не снимают с крючка коромысла; эта нз- грузка весов отвечает целой единице перед запятой в значении К , дальнейшие знаки которого определяются положением грузов А, В и С иа коромысле, как это было разъяснено выше.

b) В случае жидкости менее плотной, чем вода (растворы спирта), погру­жая в нее поплавок, груз Л0 снимают с крючка коромысла; соответственно этому в значении К перед запятой ставят ноль; дальнейшие знаки К находят так же, как и в первом случае.

Вычисление плотности жидкостей производится по формуле (1) или (1'), в зависимости от точности измерений.

РАБОТА 8Ь. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ЖИДКОСТЕЙ МЕТОДОМ ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО ВЗВЕШИВАНИЯ

1) А налитические весы, 2) разн ов ес , 3 ) стекл ян н ы й п о п л а в о к , 4) два стекл ян н ы х ц и л и н д р а ,5) п одставка, 6) те р м о м етр , 7) растворы сер н о ки сл о й м еди р азл и ч н о й к о н ц е н т р а ц и и , 8) то н к ая п ровол ока.

Описание метода и приборов. Метод гидростатического взвешивания, в применении к определению плотности жидких тел, требует трех последова­

тельных определений веса некоторого тела, обы­кновенно стеклянного поплавка В с термометром, а именно его веса в воздухе, его веса в чистой (дестиллированной) воде, и, наконец, его веса в исследуемой жидкости; температура воды и исследуемой жидкости должна быть известна. Все взвешивания производят на аналитических весах, пользуясь приемами точного взвешивания (стр. 43), причем поплавок подвешивается к крючку левой чашки весов на тонкой проволочке (рис. 91). Исследуемые жидкости наливаются в стеклянный цилиндр и устанавливаются на подставке над чаш­кой весов так, чтобы поплавок свободно висел внутри жидкости, не касаясь дна и стенок цилин­дра; необходимо также принимать все другие предосторожности, которые были указаны настр. 128 и 129.

Измерения. 1. Подвешивают поплавок на тон­кой проволочке к крючку левой чашки весов; проволочку следует взять такой длины, чтобы по­плавок находился в средней части стеклян­ного цялиндра, предназначенного для иссле­дуемых жидкостей, когда он помещен на под-

Ряс. 91. Гидростатическое взвеши- ставке над чашкой весов. После этого опреде- вание. ляют вес поплавка в воздухе с точностью до

1 мг, не приводя его к пустоте; пусть (кажу­щийся) вес поплавка в воздухе, вместе с проволочкой, служащей для подвеса, оказался равным Ру

2. В стеклянный цилиндр наливают дестиллированной воды и измеряют еетемпературу. Если последняя сильно отличается от комнатной температуры, то при взвещивании температура воды может изменяться; поэтому в таких случаях температуру воды следует предварительно привести к комнатной температуре (стр. 55). Затем, поставив цилиндр на подставку над чашкой весов, погружают в воду поплавок, как это было указано выше, и определяют кажущийся вес поплавка в воде, также с точностью до 1 мг. Пусть он оказался равным Рч.

3. Заменяют дестиллированную воду в цилиндре раствором сернокислоймеди и измеряют его температуру; обыкновенно она оказывается близкой к комнатной температуре, т. е. близкой к равной температуре воды при пре­дыдущем взвешивании. Вновь определяют с той же точностью кажущийся вес поплавка в растворе; пусть он оказался равным Р3. Это взвешивание после­довательно выполняют для всех исследуемых растворов, определяя одновремен­но и их температуру.^ 4

Из результатов всех взвешиваний находим:1) вес воды Р в, взятой при температуре наблюдения £, в объеме, рапной

объему поплавка, равен:

причем Р в обозначает (кажущийся) вес воды в воздухе, и2) вес раствора Р, взятого при температуре наблюдения (обыкновенно точ­

нее t), в том же объеме, т. е. в объеме поплавка, равен:

причем Р обозначает (кажущийся) вес раствора в воздухе.В соответствии с соображениями, подробно изложенными при описании

гидростатического метода определения плотности твердых тел (стр. 128), для Ьычисления плотности раствора необходимо в величины Р и Р в ввести поправку на потерю веса в воздухе, которая для обоих этих величин имеет одинаковое значение, равное Vf, где V — объем поплавка и f — удельный вес воздуха при температуре опыта. В результате получается формула, в точности соответствую­щая выражению (11) стр. 129, т. е. можно написать:

где величины Р и Р в вычисляются по формулам (3) и (2) из результатов, соот­ветственно, первого и третьего и первого и второго взвешиваний; величины df и р берутся из таблиц.

РАБОТА 8с. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ЖИДКОСТЕЙ МЕТОДОМПИКНОМЕТРА

1) Аналитические весы, 2) разновес, 3) пикнометр, 4) термометр, 5) два водных раствора спирта различной концентрации.

Описание метода и приборов. Для определения плотности жидкостей мож­но пользоваться пикнометрами какого угодно типа (рис. 88, стр. 130); очень часто применяются типы б и с . Взвешивание пикнометра выполняют на аналити­ческих весах, пользуясь приемами точного взвешивания (стр. 43), причем необ­ходимо произвести последовательно три взвешивания.

Сначала определяют вес пустого пикнометра, затем определяют вес пикно­метра, наполнив его дестиллированной водой, температуру которой предвари­тельно измеряют, и, наконец, заменив в пикнометре дестиллированную воду исследуемой жидкостью, температуру которой также предварительно измеряют, вновь определяют вес пикнометра вместе с исследуемой жидкостью.

При всех этих трех взвешиваниях поправки на потерю в весе тела в воз­духе не вводят; температура воды и исследуемой жидкости при двух последних взвешиваниях должна быть близкой к комнатной, чтобы при взвешивании не происходило заметного изменения температуры жидкости.

Измерения. 1. Пикнометр, не закрывая его пробкой, прогревают в сушиль­ном шкафу при 100° С в течение 10—15 минут; затем, после охлаждения пикно­метра до комнатной температуры, его взвешивают вместе с пробкой на аналити­ческих весах с точностью до 1 мг, не вводя поправки на потерю его веса в воздухе. Пусть (кажущийся) вес пикнометра в воздухе оказался равным Pj.

2. Наполняют пикнометр до метки дестиллированной водой, температуру которой предварительно измеряют, уравнивая ее, если необходимо, с комнатной температурой (стр. 55). При наполнении пикнометра принимают во внимание все предосторожности, указанные на стр. 130. Пикнометр, наполненный водой, вновь взвешивают с той же точностью, не приводя его вес к пустоте; пусть его (кажущийся) вес в воздухе оказался в этих условиях равным Р».

3. Удалив воду из пикнометра, его осушают новым прогреванием в шкафу при 100° С и, после охлаждения, наполняют исследуемой жидкостью, темпе­ратуру которой предварительно определяют; при наполнении пикнометра необ­ходимо соблюдать те же предосторожности. После этого пикнометр, наполнен­ный исследуемой жидкостью, еще раз взвешивают с той же точностью, не приводя его вес к пустоте; пусть (кажущийся) вес пикнометра оказался в этих

(2)

Р = * Р х - Р г,

D, = р - (dt — р) 4- р,в

(4)

135

условиях равным Р 3. Это третье взвешивание проделывают последовательно со всеми исследуемыми растворами.

Из результатов всех взвешиваний вычисляют:1) вес Р я дестиллированнон воды, взятой при температуре наблюдения,

в объеме пикнометра, равныйP„ = P2 - P i , (5)

причем Р в обозначает (кажущийся) вес воды, и2) вес Р исследуемой жидкости, взягой при температуре наблюдения, также

в объеме пикнометра, равныйР = Р 3 — Р „ (б)

причем Р обозначает, попрежнему, (кажущийся) вес исследуемой жидкости.Таким образом для того, чтобы из этих результатов можно было опреде­

лить плотность исследуемой жидкости, необходимо в величины Р и Р в ввести поправку на потерю веса в воздухе. Это можно сделать на основании техсоображений, которые были изложены на стр. 127, так как в данном случаеобе жидкости взяты в одинаковых объемах, а именно в объеме пикнометра. Поэтому мы можем воспользоваться формулой (11), стр. 129, т. е. для определе­ния плотности исследуемой жидкости при температуре наблюдения имеем вы­ражение:

£>/ = r r Wt — Р) + Р. (7)

где Р и Р„ обозначают веса исследуемой жидкости и дестиллированной воды, которые вычисляются по формулам (6) и (5) из результатов взвешивания, соот­ветственно, третьего и первого (Р) и второго и первого (Р„); значения dt и р Серутся из таблиц.

Г Л А В А 9

ПЛОТНОСТЬ ГАЗООБРАЗНЫХ ТЕЛ

Общее определение плотности и удельного веса, отвечающее формулам (1) и (2), стр. 126, может быть применено к телам газообразным и парообразным; еднако при этом встречается ряд осложнений, которые вызываются, во-первых, большой сжимаемостью газов, во-вторых, большими значениями их температур­ных коэффициентов и, наконец, в-третьих, малыми .абсолютными значениями их плотностей. Вследствие этого на практике оказалось необходимым установить более точное определение плотности газов, а при ее измерениях пользоваться иными методами, по сравнению с теми, которые применяются в случае твердых или жидких тел.

Плотность газов, как видно на основании сказанного, должна в очень силь­ной степени зависеть от условий, при которых газ находится, т. е. от его температуры и давления, и, кроме того, от присутствия паров воды или влаж­ности газа. Поэтому при определении плотности газов прежде всего необходимо указывать температуру газа и его давление; что касается влажности, то обы­кновенно создают такие условия, при которых газ является сухим, т. е. его влажность можно считать равной нулю. Табличные значения плотности газов, выраженные в обычных единицах плотности г-см ~ 3 (стр. 126), даются в пред­положении, во-первых, что газы являются сухими, т. е. свободными от при­сутствия паров воды, и во-вторых, что они взяты при так называемых нор­мальных условиях температуры и давления. Нормальными условиями здесь принято считать температуру, равную 0° С, и давление, равное 760 м м ртутного столба, т. е. нормальное атмосферное давление (стр. 56).

Если температура и давление газа отличаются от их нормальных значений, то, определив плотность газа, можно полученное значение плотности перечис­лить или, как обыкновенно говорят, привести к нормальным условиям, т. е. вычислить то значение плотности газа, которое было бы получено, если бы газ находился при температуре 0° С и давлении 760 мм ртутного столба. Наиболее 136

простое выражение для приведения плотности газов к нормальным условиям выводится в предположении, что газы подчиняются законам Бойля-Мариотта и Гей-Люссака, т. е. в предположении: во-первых, что при постоянной темпе­ратуре плотность газа пропорциональна его давлению (следствие закона Бойля- Мариотта) и, во-вторых, что при изменении температуры газа, его объем опре­деляется произведением объема газа при 0° С на бином расширения (закон Гей-Люссака).

В результате получаем формулу:,, , „ 760 м м /п

Ро= Р(1 -г V » — 77— ’

где р„— плотность газа при нормальных условиях, р — плотность газа при температуре t и давлении Н и ар — коэффициент расширения газа при постоян­ном давлении, величина которого принимается равной 0,00367 град- 1; в этом выражении давление Н, так же как и нормальное давление (760 мм), должно быть выражено в миллиметрах ртутного столба.

Если при выводе формулы (1) воспользоваться уравнением Клапейрона, то получаем выражение:

__760 мм j7.Ро— 273Я ? ' ( ,J

где Т — абсолютная температура газа.Формулу (1) в большинстве случаев можно считать практически вполне

точной, так как при обычных условиях температура и давление газа отличаются от их нормальных значений (0° и 760 мм) относительно мало, так что отступле­ние газов от законов Бойля и Мариотта и Гей-Люссака оказывается очень не­значительным.

Плотность газов, выраженная в обычных единицах плотности (г-см-Щ , т. е. отнесенная к плотности воды при 4° С (стр. 127), обыкновенно называется абсолютной плотностью газов', ее значения для различных газов, очевидно, должны выражаться очень небольшими числами. Например, абсолютная плотность сухого воздуха при нормальных условиях оказывается равной 0,001293 z - c m ~ s . Поэтому на практике очень часто за единицу объема выбирают не см3, а литр, т. е. плотность определяют как массу газа, находящуюся в объеме одно­го литра, и выражают ее в г -л -1 . Очевидно, что плотность газа, выраженная в г -л -1 , равна абсолютной плотности газа, умноженной на 1000; так, плот­ность сухого воздуха при нормальных условиях в этом случае оказывается рав­ной 1,293 г - л - 1!

Кроме абсолютной плотности для газов вводят еще другое определение плотности, а именно, очень часто плотность газов вычисляют по отношению к плотности сухого воздуха, которая таким образом принимается за новую единицу измерения плотностей, причем предполагают, что воздух находится при тех же условиях, как и данный газ, т. е. имеет ту же температуру и то же давление. Эта плотность обыкновенно так и называется плотностью газов по отношению к воздуху. При таком предположении мы должны, в соответствии с общим определением плотности [формула (1) стр. 126], ввести вместо смг новую единицу объема с таким расчетом, чтобы масса сухого воздуха, взятого Чрн нормальных условиях температуры и давления в объеме новой единицы, равнялась 1 г. Величина этой новой единицы объема может быть вычислена из отношения прежней и новой единицы плотности (стр. 24 и сл.), т. е. из отноше­ния абсолютной плотности воды и абсолютной плотности воздуха при нормаль­ных условиях; она оказывается равной (приближенно) 773,4 см3. Плотность любого газа по отношению к воздуху, очевидно, остается п о с т о я н н о й при одинаковом изменении их давления и температуры в тех пределах, в которых законы Бойля-Мариотта и Гей-Люссака оказываются применимыми к воздуху и данному газу.

Наконец, при физико-химических исследованиях газов и паров очень часто, за единицу измерения плотностей принимают плотность водорода, или, точнее, некоторого воображаемого газа, который в 32 раза легче кислорода, так как но­вейшие измерения дают другое значение плотности водорода, чем то, которое было известно при установлении этой единицы. Абсолютная плотность такого газа, в 32 раза иенышя плотности кислорода, была бы равна при нормальных

137

условиях 0,0000446 г-см~з. При таком предположении мы вводим еще одну но­вую единицу объема; она, очевидно, равна такому объему, в котором содержится масса этого воображаемого газа, раупая 1 г, если газ находится при атриальных условиях давления и температуры. Эгот объем, вычисленныГ как только что было указано, оказывается равным 22412 см3, или 22,412 л. В результате соз­дается еще одна шкала плотностей, чрезвычайно удобная при химических и фи­зико-химических исследованиях, так как в ней числовое значение плотности паров и газов оказывается равным значению их молекулярного веса.

В данных работах приходится встречаться с абсолютной плотностью газов и их плотностью по отношению к воздуху.

Применяя формулу (5) стр. 127 для какого-либо газа, взятого при темпера­туре t и давлении И, находим значение его абсолютной плотности р при этих условиях: q

На основании этого выражения формулу (1) можно написать в виде:

G „ , 760 JРо — Q~g (1 + apt) ~pj dt- (2)

Здесь ро — абсолютная плотность исследуемого газа, приведенная к нормальным условиям, G — вес определенного объема газа, взятого при температуре t и давлении Н, GB — вес воды, взятой в том же объеме при температуре г, а„ — коэффициент расширения газа при постоянном давлении и dt — плотность воды при температур? t. Необходимо иметь в виду при этом, что величины G и б , обозначают истинный вес газа и воды, т. е. приведенный к пустоте.

Из формулы (2) мы видим, что для определения абсолютной плотности газа, надо определить величины G, GB, t и Я; величины ар и d t берутся из таблиц.

Что же касается плотности газов по отношению к воздуху, то, применяя формулу (5) стр. 127 к воздуху и какому-либо газу и предполагая, что оба эти газа имеют одинаковый объем, температуру и давление, находим:

р ' = & - <3>

Здесь р! н р — плотность исследуемого газа и воздуха при одинаковой темпе­ратуре г и давлении 11, а и и — истинный, т. е. приведенный к пустоте, вес исследуемого газа и воздуха, взятых в одинаковом объеме.

Из формулы (3) мы видим, что для того, чтобы определить плотность ка­кого-либо газа по отношению к воздуху, достаточно определить истинный, т. е. приведенный к пустоте, вес равных объемов исследуемого газа и воздуха, так как плотность воздуха при температуре наблюдения t берется из таблиц. Но формулой (3) можно* пользоваться только при условии, что воздух и исследуе­мый газ имеют одинаковые объем, температуру и давление.

Все сказанное выше обыкновенно применяется не только для газов, но и для паров, достаточно далеких от насыщения, которые вследствие этого сле­дуют (приближенно) законам Бойля-Мариотта и Гей-Люссака. Поэтому оказы­вается, что и методы определения плотностей для паров и газов отчасти явля­ются общими. Наиболее часто применяются методы, основанные на непосредст­венном взвешивании равных объемов газа и воды или воздуха, но вместе с тем были предложены методы, основанные на совершенно иных явлениях, например на законах истечения газов из отверстий очень малого диаметра. Наибольший интерес представляют следующие методы:

1. Метод непосредственного взвешивания одинаково применяется для определения плотности как газов, так и паров; этот метод является весьма точ­ным; его описание и производство измерения см. работу 9 а.

2. Мегг.од Гей-Люссака применяется исключительно при определении плот­ности паров; этот метод основан на определении веса и объема пара. Точность метода не велика.

3. Метод Дюма, основанный также на определении веса и объема, приме­няется почти исключительно при определении плотности паров; этот метод является значительно более точным по сравнению с предыдущим, вследствие чего им весьма часто пользуются па практике.

4. Метод вытеснения применяется также для паров; этот метод, основанный на измерении веса и объема пара, в большинстве случаев является достаточно точным и часто применяется на практике.

5. Метод, основанный на законе Архим еда, является чрезвычайно точным и может быть применен как для паров, так н для газов; описание метода и производство измерений см. работу 9Ь.

6. Метод истечения газа из отверстия очень малого диаметра применяется преимущественно для газов. Этот метод является весьма интересным как с те­оретической стороны, так и в отношении его практических применений; описа­ние метода и производство измерений см. работу 9 с.

7. Метод акустический, основанный на определении высоты тона, изда­ваемого трубкой, которая наполняется исследуемым газом, неоднократно при­менялся с большим успехом , ).

РАБОТА 9а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ СУХИХ ГАЗОВ МЕТОДОМВЗВЕШИВАНИЯ

1) Аналитические песы, 2) разновес, Я) два стеклянных сосуда для газа, 4) стеклянная ворон- *а с оттянутым кондом, 5) баллон с углекислотой.

Описание метода и приборов. Для определения плотности газов методом взвешивания применяются стеклянные сосуды или шарообразной формы или в форме колбы (рис. 92) емкостью обыкновенно около 500 см3, с двумя кранами, очень хорошо притертыми, так что просачивание газа через них практически совершенно устранено. Измерения, так же как при опре­делении плотности жидкостей методом пикнометра (стр. 135) сво­дятся к тому, чтобы определить, во-первых, вес дестиллированной воды, взятой в объеме данного сосуда, и, во-вторых, вес исследуе­мого газа, взятого в том же объеме; одновременно необходимо опре­делить температуру воды и температуру и давление газа в сосуде.Взвешивание выполняют на аналитических весах, пользуясь при­емами точного взвешивания (стр. 43). Абсолютный вес газа в со­суде очень невелик, поэтому, во-первых, взвешивание необходимо производить с большой степенью точности, так как небольшая абсо- няГгаэов. лютная ошибка при взвешивании может дать большую относитель­ную ошибку результата (стр. 14), и, во-вторых, особенно большое значение приобретает поправка на потерю веса тела в воздухе вследствие не- Сольшого значения плотности газов. Чтобы избежать необходимости вводить эту поправку, при взвешивании применяется метод тарирования, причем тарой служит такой же стеклянный сосуд, помешенный на второй чашке весов. При этом условии потеря веса в воздухе для нагрузок на обеих чашках весов ока­зывается почти в точности одинаковой, вследствие чего поправку на потерю их веса в воздухе можно не вводить. Иными словами, в результате взвешивания в этих условиях, мы получаем истинный вес газа, т. е. вес, приведенный к пу­стоте.

Из результатов взвешивания определяют абсолютную плотность иссле­дуемых газов, т. е. их плотность по отношению к воде при 4° С и их отно­сительную плотность по отношению к воздуху. Первая величина определяется при тех условиях (давлении и температуре), которые имели место при опыте и затем перечисляется к нормальным условиям (0° С и 760 мм); вторая величина определяется по отношению к воздуху, находящемуся при тех же условиях, как и исследуемые газы. Температуру газа внутри сосуда считают равной температуре окружающего помещения, обеспечив предварительно условия, не­обходимые для выравнивания температур. Что же касается давления газа вну­три сосуда, то его считают равным барометрическому давлению, для чего необходимо при лроизводстве измерений один из кранов сосуда не надолго от­крыть.

Измерения, 1. Так как вес сосуда, наполненного водой, оказывается доста­точно большим, то взвешивание в этих условиях обыкновенно приходится вы­полнять на больших аналитических весах, применяемых при взвешивании тяже­лых (более 0,5 кГ) тел. На чашках таких весов, определив предварительно их

<) О. Д. X в о л ь с о н, Курс физики, г. I, стр. 921, Берлин, 1924.139

нулевую точку и чувствительность (стр. 46 и 47), помещают оба стеклянных со­суда, употребляемых при работе, и уравновешивают их при помо.ци мелких разно­весков и рейтера; эту нагрузку весов, которая определяется разностью в весе того и другого сосуда, следует записать. Затем снимают сосуд, который нахо­дится на левой чашке весов, н наполняют его дестиллированной водой, тем­пературу которой предварительно измеряют; она не должна заметно отличаться от комнатной температуры; если это не имеет места, то температуру воды де­лают равной комнатной температуре (стр. 55). При наполнении сосуда воду следует вводить при помощи воронки с оттянутым кончиком через более длин­ную трубку сосуда, открыв оба его крана; при этом вода должна заполнить весь сосуд, а также каналы в пробках обоих кранов. Обыкновенно воду вводят сначала в избытке, так что ее уровень стоит несколько выше кранов, затем их закрывают и излишек воды в трубках собирают при помощи фильтровальной бумаги. Кроме того, необходимо принимать во внимание все предосторожности, которые были указаны при описании метода пикнометра (стр. 130). Сосуд, на­полненный водой, вновь ставят на левую чашку весов и при помощи разновесков восстанавливают их равновесие. Разность между нагрузкой весов во втором случае (сосуд наполнен водой) и в первом случае (сосуд до наполнения водой) определяет (кажущийся) вес воды в сосуде без поправки на его потерю в воз­духе; эту поправку вычисляют на основании формулы (70 стр. 48, причем удель­ный вес воды можно принять равным 1 Г -см ~ ъ. Пусть истинный вес воды (т. е. приведенный к пустоте), взятой при температуре наблюдения t, в объеме со­суда оказался равным GB

2. Освобождают сосуд от воды и ставят оба сосуда с открытыми кранами в сушильный шкаф, где прогревают их при 100°С в течение 20 минут. После этого, предоставив сосудам охладиться приблизительно до комнатной темпера­туры, их протирают снаружи гигроскопической ватой, сначала смоченной дестил­лированной водой, а затем сухой. Вслед за этим краны сосудов следует закрыть, чтобы влажность наружного воздуха не влияла на внутреннюю поверхность сосудов, которые следует поставить также минут на 20 вблизи весов, приме­няемых в работе, например на их консоли, для того, чтобы температура обоих сосудов окончательно установилась.

3. В течение этого времени определяют барометрическое давление и темпе­ратуру помещения.

4. Тот из сосудов, который взвешивался с водой, соединяют резиновой трубкой с вакуумным масляным насосом и выкачивают воздух из сосуда до предельного разрежения, даваемого насосом. По окончании этого конец трубки сосуда, на который была надета резиновая трубка насоса, необходимо протереть сухой гигроскопической ватой. Затем оба сосуда ставят на чашки аналитических весов обыкновенного типа и при помощи мелких разновесов и рейтера приво­дят весы к равновесию. При этом можно отчасти руководствоваться данными, полученными при первом взвешивании на больших весах, но вместе с тем не­обходимо иметь в виду, что все наблюдения следует делать особенно тщатель­но, чтобы точность измерений оказалась возможно более высокой. Нагрузку весов, отвечающую их равновесию, следует записать.

5. Эвакуированный сосуд снимают с весов и наполняют сухим воздухом. Для этого одну трубку сосуда соединяют с осушающими приборами, а другую— с насосом и, открыв краны сосуда, протягивают через него слабую струю воз­духа, продолжая этот процесс "в течение 5—10 минут. При этом необходимо принять некоторые предосторожности, а именно: 1) приступая к наполнению, следует сначала открыть тот кран сосуда, который соединяет его с осушаю­щими приборами; затем приводят в действие насос и открывают второй кран;2) прекращая наполнение, следует вначале закрыть кран, который ведет к на­сосу; после этого, выждав две-три минуты, можно закрыть второй кран и осво­бодить сосуд; 3) сосуд следует брать руками только за верхние концы стеклян­ных трубок, выше кранов, чтобы не вызвать нагревания стенок сосуда и газа в нем; 4) концы стеклянных трубок, на которые надевались резиновые трубки, следует протереть сухой гигроскопической ватой; 5) наконец, перенеся сосуд к весам, следует его оставить там в течение 5—10 минут; после этого один из кранов сосуда необходимо открыть на две-три секунды, чтобы давление газа в сосуде сделать равным наружному.

6. Поставив сосуд на чашку весов, определяем изменение его веса; оче­видно, оно равно весу сухого воздуха, введенного в сосуд; при этом вновь не­140

обходимо иметь в виду особую точность этих измерений. Полученный вес воз­духа можно считать равным его истинному весу, т. е. весу, приведенному к пустоте; обозначим его О.

7. Пользуясь теми же приемами, наполняют сосуд сухим углекислым газом и определяют его вес. При этом необходимо повторить все, что было проде­лано при взвешивании воздуха, т. е. выкачать воздух из сосуда при помощи масляного насоса, проверить установку весов, поместив эвакуированный сосуд на их чашку, наполнить сосуд сухим углекислым газом, принимая во внимание все указанные предосторожности, и, наконец, определить вес углекислоты в сосуде, причем все измерения следует выполнять с предельной точностью. В результате получается истинный вес углекислоты, т. е. вес, приведенный к пустоте; пусть он оказался равным Ох.

Таким образом, в результате всех проделанных измерений мы получаем, во-первых, истинный, т. е. приведенный к пустоте вес GB воды, взятый при температуре t опыта в объеме данного сосуда, и, во-вторых, истинные, т. е. приведенные к пустоте веса воздуха G и углекислоты Gu взятые в том же объеме при температуре, соответственно, и t2 и давлении Нх и Н 2.

Из этих данных по формуле (2) вычисляем абсолютную плотность воздуха и углекислого газа при нормальных условиях. Величины tx и Н х и опре ­деляются по показаниям термометра и барометра при производстве наблюдений, причем обычно оказывается, что температуры и t2 равны f, а давления Нг и

равны между собой.Определив абсолютную плотность воздуха и углекислоты при нормальных

условиях, находим по формуле (3) плотность углекислоты относительно воздуха, взяв отношение величин Ог и G. Полученное значение можно сравнить с отно­шением абсолютных плотностей воздуха и углекислоты, взяв их значения из таблиц.

РАБОТА 9Ь. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ СУХОГО ГАЗА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ДАВЛЕНИЯХ ПРИ ПОМОЩИ МИКРОВЕСОВ САЛЬВИОНИ

1) Микропесы Сальвиони, 2) вакуумная устаноика с манометром и осушителем, 3) оптическая труба на штативе, 4) шкала для зеркального отсчета на штативе.

Описание метода и приборов. При определении плотности газов методом основанным на законе Архимеда, измеряется та кажущаяся потеря в весе тела, которую оно испытывает, находясь внутри исследуемого газа. Так как для тела небольшого объема эта потеря, равная весу газа, вытесняемого телом, по абсолютной величине очень невелика, то для ее измерения необходимо применить микровесы какого-либо типа (стр. 43). Ми­кровесы очень простой формы, предложен­ные Сальвиони, состоят из упругой кварце­вой или стеклянной пружинки’Л (рис. 93), укрепленной горизонтально; на ее свобод­ном конце подвешен небольшой запаянный стеклянный шарик В. Движения пружины передаются горизонтальной оси О, на которой укреплено маленькое зеркальце; таким образом при измерениях пользуются методом зеркала и шкалы (стр. 37); применяется субъективный отсчет. Вся система помещена внутри герметически закрытого стеклянного сосуда Q, передняя стенка которого сделана плоской для того, чтобы возможно было отсчитывать отклонения зеркальца. Сосуд Q при по> мощи стеклянной трубки, имеющей капилляр г и кран с соединяется с осушаю­щими сосудами и вакуумной установкой, которая дает возможность изменять давление газа в сосуде; величина давления отсчитывается по ртутному мано­метру, который имеется при приборе. При изменении плотности газа в сосуда Q потеря в весе шарика В также изменяется, что вызывает изменение в показа­ниях прибора. Для защиты от температурных влияний весь прибор помещен внутри металлического футляра, в котором оставлены окно для наблюдении за показаниями прибора и отверстие для соединительных трубок.

Деформация пружины Л и ее изменения, вызываемые изменением плотности газа в сосуде, по закону упругих деформаций пропорциональна деформирующей

141

силе, которая изменяется пропорциональпо удельному весу газа в сосуде, или пропорционально его плотности (стр. 126). Таким образом, мы в праве сказат>, что показания прибора изменяется пропорционально плотности газа в сосуде! но прибор необходимо градуировать, определив цену одного делышя шкалы] иными словами, определить, насколько должна измениться плотность газа в со­суде, чтобы вызвать изменение в показаниях прибора, равное одному делению шкалы. Это достигается отсчетом показаний прибора при двух определенных значениях плотности воздуха в сосуде. Одно из этих значений соответствует состоянию крайнего разрежения газа в сосуде, которое создается действием вакуумной установки (стр. 147); при этом условии плотность газа в приборе можно считать равной нулю, и отсчет показаний прибора дает его, нулевую точку л0.

Второе определенное значение плотности газа в мы получаем, наполняя сосуд сухим воздухом при определенной температуре t° и определенном давлении Н. Зная нулевую точку прибора п0 и отсчитав его показания гг, во втором случае мы находим, что некоторому числу л — я0 делений шкалы соответствует изме­нение плотности воздуха в приборе на величину р — 0, т. е. на величину р. Отсюда находим цену а одного деления шкалы:

где р — плотность сухого воздуха при температуре t° и давлении Н.Таким образом изменение показаний прибора на одно деление шкалы от­

вечает изменению плотности газа, наполняющего прибор, на величину а, опре­деляемую формулой (4). Если при наблюдении оказалось, что при некоторой плотности газа в приборе отсчет его показаний дает л, делений шкалы, т. е. его показание отстоит от нулевой точки на пх — пй делений, то плотность газа в приборе может быть найдена по формуле:

p1 = p ^ n ^ o = a ( „ i _ „ 0). (5)П---По

Очевидно, что для вычисления этой величины необходимо знать р, а для этого необходимо определить температуру и давление воздуха, который был введен в прибор при его градуировке. Наблюдения с прибором обыкновенно производят при таких условиях, что температура газа в сосуде бывает равна температуре окружающего воздуха; но так как обеспечить такое равенство температур иногда на практике не удается, то прибор часто имеет особый тер­мометр, впаянный в стенку сосуда Q; шкала термометра выведена наружу, что дает возможность легко измерять температуру газа в приборе. Что касается давления газа в сосуде, то при градуировании прибора, наполнив сосуд сухим воздухом и выждав некоторое время, сообщают затем прибор на очень короткое время с внешним пространством, так что внутри сосуда устанавливается давление, равное барометрическому.

Измерения. 1. Устанавливают шкалу на расстоянии около 1 м от прибораи, осветив ее лампой, фокусируют оптическую трубу на отчетливое изображе­ние делений шкалы. Вслед за этим закрывают кран вакуумной установки, со­общающий ее с наружным пространством, и, открыв кран с, приводят в действие насосы. Прибор следует откачать до предельных степеней разрежения, даваемого насосом; при этом условии показания манометра на приборе не должны изме­няться, несмотря на продолжающуюся работу насосов. Когда это достигнуто, кран с закрывают, насос останавливают и отсчитывают показания прибора. После 9joro прибор оставляют под вакуумом в продолжение 10—15 минут, при­чем после первого отсчета показаний прибора все время в течение дальнейших наблюдений шкалу и трубу не следует сдвигать с места. Точно так же не следует поправлять фокусировку трубы, так как отсчет нулевой точки прибора при этом может измениться.

2. В течение этого времени отсчитывают температуру помещения £ и вели­чину атмосферного давления Н.

3. Вследствие выделения стенками сосуда Q окклюдированных газов, пока­зания прибора, оставшегося под вакуумом, могут измениться. Поэтому их не­обходимо проверить, и, если произошло заметное изменение в показаниях при­бора, следует вновь привести в действие насос, открыть кран с и повторить142

откачивание прибора. Обыкновенно после этого показания прибора, остающегося под вакуумом, в дальнейшем не изменяются; это показывает, что в приборе дости­гнуто постоянное разрежение, при хороших насосах достаточно высокое, поэтому плотность остающегося в сосуде газа можно считать равной нулю, и отсчет окончательного показания прибора дает надежное значение его нулевой точки rin.

Показания манометра на приборе при этом также отсчитываются, этот от­счет дает нулевую точку манометра, которая необходима для дальнейших изме­рений давления газа в приборе.

4. Наполняют прибор сухим воздухом. Для этого открывают боковой кран вакуумной установки, соединенный с осушающими приборами, и осторожно открывая кран с, вводят внутрь прибора воздух; при этом необходимо следить за показаниями манометра, столбик которого должен медленно опускаться, так чтобы процесс наполнения прибора воздухом продолжался несколько минут. При первом наполнении прибора в него может попасть из соединительных тру­бок воздух недостаточно сухой; поэтому процесс наполнения следует повторить, вновь откачав прибор до предельного разрежения и еще раз наполнив его сухим воздухом. При этом следует внимательно следить за кранами прибора и вакуумной установки и показаниями манометра, как о том было только что сказано. Когда наполнение прибора закончено, отсчитывают его показания, при­чем боковой кран вакуумной установки должен оставаться открытым. При по­вторении отсчета через несколько минут показания прибора не должны изме­няться; этот отсчет дает величину п в формуле (4).

5. Отсчитывают показания прибора при различных давлениях газа в нем. Для этого закрывают все краны и приводят в действие насос; периодически сообщая с ним прибор осторожным поворотом крана с, уменьшают каждый раз давление в приборе на 6—8 см ртутного столба. Величину давления измеряют по показаниям манометра, принимая во внимание положение его нулевой точки; одновременно отсчитывают показания прибора, причем каждый раз необходимо выжидать в течение нескольких минут, так как при изменении давления в при­боре его показания устанавливаются не сразу. В результате получается ряд отсчетов манометра, которыми определяется давление газа в приборе, и ряд соответствующих показаний прибора, которые дают последовательное значе­ние пг в формуле (5).

6. Постепенно уменьшая давление в приборе, последний отсчет делают при предельных степенях разрежения, т. е. находят второе значение я 0 нуле­вой точки прибора, причем необходимо вновь принять во внимание те предо­сторожности, о которых было сказано выше. При правильно проведенных на­блюдениях значение я0 не должно заметно отличаться от п0. Однако иногда оказывается, что п0 и п'а отличаются между собой, что может быть вызвано некоторыми изменениями в установке прибора в процессе измерений. В этих случаях окончательное значение нулевой точки прибора считают равным сред­нему арифметическому п0 и п0.

Из результатов всех измерений по формуле (5) вычисляют плотность воз­духа для каждого из измеренных давлений; значение р берут из таблиц, считая, что температура и давление воздуха в приборе при его градуировке равня­лись соответственно температуре наружного пространства t и барометриче­скому давлению Н. Результаты всех вычислений изображают графически в пря­моугольной системе координат, откладывая по оси ординат давление воздуха и по оси абсцисс — его плотность.

РАБОТА 9с. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ГАЗОВ МЕТОДОМ БУНЗЕНА1) Эффузнометр Бунзена, 2) секундомер, 3) -осушающие сосуды, 4) баллон с углекислотой.

Описание метода и приборов. Метод Бунзена определения плотности газов основан на измерении промежутков времени, в течение которого через малень­кое отверстие вытекают равные объемы двух различных газов, которые нахо­дятся в одинаковых условиях температуры и давления.

В элементарной теории истечения газов под давлением из малого отвер­стия предполагается, что температура газа при этом процессе не меняется, в результате теория приводит к простому соотношению между скоростью исге-

142

чения газа и его плотностью, которое оправдывается на опыте. Это соотноше­ние можно вывести на основании следующих соображений.

Допустим, что газ, находясь в сосуде под давлением р ь вытекает через узкое отверстие в стенке сосуда внутрь пространства, где давление равно рь причем, очевидно, р\ > р2. Величины давлений р { и р2, и их разность р х— р% будем считать постоянными. Обозначим плотность газа в сосуде, при давле­нии р ъ через р, а скорость его истечения из отверстия — через v. Очевидно, что при постоянных значениях ру и р 2 скорость истечения v должна быть также постоянна, т. е. течение газа будет носить стационарный характер.

Вычисляя количество газа, вытекающее через отверстие в единицу времени, мы можем на основании формулы (1), стр. 126, напнсать:

т — Vp,

где т и V — масса и объем газа, вытекающего из сосуда в единицу времени.Переходя от давления р х к давлению р2, газ совершает некоторую работу А,

величина которой за единицу времени равна:A = V ( p l — pn}.

По закону сохранения энергии, полагая, что кинетическая энергия газа пол­ностью идет на работу расширения, можно написать:

откуда находим

Vp-vt 2— = V<J> \-P &

v-p-гг — Pi — Р*

„= у ^ Е Е З , (6|

т. е. скорость истечения газа из узкого отверстия под постоянным давлением вбратно пропорциональна коршо квадратному из плотности газа.

Допустим, что через одно и то же отверстие последовательно вытекают два различных газа, причем внешние условия истечения, т. е. давления р х и р 2 в обоих случаях остаются одинаковыми. Обозначим время, в течение которого вытекают одинаковые объемы V первого и второго газов, соответственно, че­рез и U и скорости их истечения через vx и v 2. Так как при постоянной скорости истечения объем вытекающего газа определяется произведением ско­рости истечения на время и на площадь поперечного сечения отверстия S, то мы можем написать

V = v xtiS --- v<>t?S.

С другой стороны, применяя к первому и второму газам формулу (6) и вы­числяя отношение скорости истечения обоих газов, находим:

V .J V- Р ,

где pi и р2 — плотности первого и второго газов. Из последних двух формул находим окончательно; " ' “ ~

г="§* (7)pi t \

Из этой формулы мы видим, что плотности газов пропорциональны второй степени времени их истечения из малого отверстия при условии, что вытекают равные объемы газов при одинаковых условиях.

Формула (7) дает возможность определять лишь относительную плотность газов; например, допуская, что первым газом является сухой воздух, мы можем определить плотность любого газа по отношению к воздуху, так как оба газа находятся при одинаковых условиях температуры и давления (стр. 137). Для того чтобы найти абсолютную плотность газа, необходимо знать абсолютную144

плотность воздуха pt; эту величину можно взять из таблиц, если температура и давление воздуха известны.

При выводе выражения (6) ряд явлений не был принят во внимание, на­пример, изменение температуры газа при его расширении, т. е. при переходе от давления р х к давлению рь влияние внутреннего и внешнего трения в газе и др. Таким образом формула (6) и вытекающая из нее формула (7) являются приближенными; тем не менее они хорошо оправдываются на опыте при усло­вии, что разность давлений р х — является малой величиной. Далее оказы­вается, что при истечении газа давления рх и р 2 могут изменяться со време­нем, но если их разность р х — р 2 изменяется в зависимости от времени по линейному закону и все время сохраняет малую величину, то формулы (6) и (7) оказываются вполне применимыми. В методе Бунзена определения плотно­сти газов эти последние условия приняты во внимание.

Прибор Бунзена, часто называемый эффузиомет- ром, состоит из стеклянной открытой снизу трубки А (рис. 94), в верхней части которой находится кран с с тройным ходом. Его верхняя трубка оканчивается ампулкой а , .в которую впаяна платиновая фольга с очень маленьким (микроскопическим) отверстием. Оно служит для сообщения внутренней части трубки А с на­ружным пространством, если поворотом крана с закрыть его .боковой отросток. Когда прибор не употребляется, то ампулку закрывают сверху стеклянным колпачком для предохранения от пыли. Нижний открытый конец трубки А опущен в стеклянный цилиндр В, который резиновой трубкой соединяется с сосудом М; в этой части прибора находится ртуть. Сосуд М можно уста­навливать на различной высоте при помощи его муфты К, которую можно закреплять на штанге N в любом положении; в соответствии с положением сосуда М изменяется высота уровня ртути в цилиндре В. Внутри трубки А находится стеклянный поплавок S, который свободно плавает на ртути; на верхнем и нижнем концах поплавка нанесены три метки (черточки): одна вверху и две внизу. Для наблюдения за движениями поплавка внутри трубки А, в середине цилиндра В вставлены две стеклянные пластинки, имеющие метки (черточки) пх, пь которые нанесены горизонтально и расположены одна против другой.

На штанге N также нанесены две черточки dx и ds. положение которыхрассчитано так, что если нижний край муфты К опустить до черточки йь товерхняя метка поплавка S опускается несколько ниже черточек пъ /г2, а если верхний край муфты К довести до черточки d2, то обе нижние метки поплавка поднимаются несколько выше черточек пь лг. Этим достигается чрезвычайно удобное при измерениях постоянство в крайних положениях уровней ртути в трубке А. Исследуемые газы вводятся внутрь трубки А через боковой от­росток крана с, к которому присоединяются приборы для осушения газов.

Открывая боковой отросток крана с и опуская уровень ртути в цилиндре В почти до нижнего конца трубки А, можно весь внутренний объем ее заполнить газом. Если затем, закрыв боковой отросток крана, повысить уровень ртути в цилиндре В, то газ в трубке А окажется сжатым до некоторого давления Н\, которое равно:

/У, = / /+ /> ,

где Н — давление наружного воздуха и р — дополнительное давление, опре­деляемое разностью уровней ртути в цилиндре В и трубке А.

Повернув кран с так, чтобы трубка А сообщалась с наружным простран­ством только через отверстие в ампулке а, мы заставляем газ медленно выте­кать из трубки А наружу под действием дополнительного давления /^П ри этом уровень ртути в трубке А начинает подниматься, увлекая за собой по­плавок S, метки которого, последовательно одна за другой, проходят перед черточками пх, п2 на стеклянных пластинках сосуда В. Наружное давление при истечении газа все время остается постоянным, равным атмосферному, а давле-Ю Физический практикум 145

Рис. 94. Эффузиометр Бун­зена.

ние внутри трубки А постепенно уменьшается, по мере повышения в ней уровня ртути; уменьшается вследствие этого и разность давлений внутреннею и внешнего, т. е. величина р, под действием которой происходит истечение. Это уменьшение разности давлений можно считать пропорциональным времени, по крайней мере в пределах небольшого интервала давлений; иначе говоря, можно считать, что при указанном условии имеет место линейная зависимость между разностью давлений и временем. Так как, кроме того, разность давлений все время имеет небольшую величину, то имеются все основания применить к процессу истечения газа в приборе Бунзена формулу (7).

Итак, наблюдения с прибором Бунзена сводятся к тому, чтобы, наполняя трубку А различными газами, измерять те промежутки времени, в течение кото­рых через отверстие в ампулке а вытекает всегда один и тот же объем газа, равный объему поплавка между его метками. Для этого приходится отмечать моменты времени, в которые через черточки пь п2 на окнах сосуда В проходят при постепенном поднятии поплавка его верхняя и крайняя нижняя метки.

Измерения. Так как в прибор приходится вводить последовательно раз­личные газы, то необходимо, во-первых, все газы предварительно освобождать от паров воды, которые обычно присутствуют в них в некотором количестве,и, во-вторых, принимать меры для того, чтобы новый газ, введенный в прибор, не оказался загрязненным остатками газов, ранее наполнявших трубку А. Пер­вое достигается применением осушающих приборов, через которые газ прохо­дит медленной струей, прежде чем попадает в трубку А. Что касается осво­бождения прибора от остатков прежних газов, то это достигается тем, что трубку А несколько раз наполняют исследуемым газом и вновь освобождают от него, очищая ее таким образом постепенно от следов прежних газов. Кроме того, нообходимо произвести, для каждого газа в отдельности, несколько пред­варительных измерений времени его истечения, и только в том случае можно приступать к окончательным измерениям, если результаты предварительных измерений оказались достаточно постоянными. Все это создает главные затруд­нения в работе с прибором; что касается самих измерений, то они выполня­ются очень просто и быстро.

1. Наполняют прибор сухим воздухом. Для этого поворачивают кран с так, чтобы был открыт только его боковой отросток, и поднимают сосуд со ртутью М в наиболее высокое положение (доотказа); уровень ртути в трубке А при этом доходит (почти) до крана с, так что почти весь газ из трубки выходит наружу. После этого присоединяют к отростку крана с приборы для осушения воздуха и опускают сосуд М в его наиболее низкое положение (тоже до от­каза). При этом уровень ртути в сосуде В опускается почти до нижнего конца трубки А и она оказывается наполненной сухим воздухом. После этого кран с поворачивают в такое положение, при котором трубка А сообщается с наруж­ным пространством только отверстием в ампулке а, и сосуд М вновь подни­мают в его наиболее высокое положение. Воздух из трубки А постепенно вы­ходит через отверстие в ампулке, и ртуть вновь поднимается почти до крана с. Повернув кран вновь так, чтобы установить сообщение трубки А с боковым отростком, снова вводят в прибор сухой воздух, опуская сосуд М в его нижнее положение. Этот процесс повторяют четыре-пять раз.

2. После этого следует проделать несколько предварительных измерений времени истечения воздуха из прибора; при этом приходится сосуд М пере­двигать не между его крайними положениями, а между двумя метками и d2 на штанге N, как это было указано выше. Опустив сосуд М в нижнее поло­жение (черточка rfj), вводят в прибор еще раз сухой воздух и, повернув кран с так, чтобы трубка А сообщалась только через отверстие в ампулке, поднимают сосуд М до его верхнего положения (черточка d2). Одновременно взяв в руки секундомер, наблюдают за движением поплавка, поместив глаз на такой высоте, чтобы черточки пх, п2 совпадали одна с другой; в тот момент когда верхняя метка поплавка проходит через черточки пь п2, стгедует включить секундомер. Продолжая наблюдать за движением поплавка, приготовляются ко второму от­счету, когда вблизи черточек пь п2 появляется первая из нижних меток по­плавка; для этого располагают глаз на той же высоте (черточки пг, п2 совп ад аю т) , и в тот момент, когда крайняя нижняя метка поплавка проходит через черточки щ, п2, останавливают секундомер; отсчет его показаний непосредственно опре­деляет время истечения воздуха. Таких предварительных измерений следует проделать несколько, каждый раз вновь вводя в прибор сухой воздух. Е сли

146

результаты этих предварительных измерений дают достаточно постоянное зна­чение времени истечения, то можно перейти к окончательным измерениям, ко­торые выполняются совершенно так же, как и предварительные; необходимо только с возможно большей точностью отмечать моменты прохождения меток поплавка через черточки щ, п2.

3. Все, что проделано по отношению к воздуху, повторяют с углекислотой и светильным газом. Углекислоту берут из специального баллона, содержащего этот газ, а светильный газ берется непосредственно из газопровода. Оба газа необходимо освобождать от водяных паров, причем для каждого газа приме­няется отдельный осушительный прибор; прибором, назначенным для осуше­ния одного газа, не следует пользоваться при работе с другими газами , так как это может вызвать сильное загрязнение газа, и потребуется очень про­должительное время для его окончательной очистки. В остальном все измере­ния, предварительные и окончательные, с углекислотой и светильным газом выполняются совершенно так же, как и с воздухом.

В результате измерений мы получаем время истечения воздуха, углекислоты и светильного газа и, пользуясь формулой (7), находим плотность последних двух газов по отношению к воздуху. Вычисление абсолютных плотностей этих газоз несколько затруднено, так как в процессе истечения давление газа изменяется, и установить в этих условиях точное значение абсолютной плотности воздуха без дополнительных измерений его давления не представляется возможным.

Метод Бунзена является очень точным, и при тщательно выполнении измерениях значение относительной плотности газов можно определять с точ­ностью до 0,1%.

Г Л А В А 10

ЭЛЕМЕНТЫ ВАКУУМ-ТЕХНИКИ

В акуум ом называют пространство, заполненное чрезвычайно разрежен­ными газами; такое состояние газа представляет весьма интересный объект для изучения, так как целый ряд физических явлений протекает в нем иначе, чем в газах, которые находятся при условиях, близких к обычным. Кроме того, современная техника чрезвычайно широко пользуется вакуумом, например, при производстве электрических ламп накаливания, катодных ламп, фотоэлементов, трубок Рентгена и т. д. Соответствующий отдел техники получил в настоящее время название вакуум-техники.

Давление газа в большинстве вакуумных приборов бывает очень незначи­тельно; не редки случаи, когда необходимо иметь предельные степени разре­жения. При измерении таких незначительных давлений абсолютная единица да­вления, бар, равная давлению дины на см '2 (стр. 55), применяется очень редко, и давление газов в таких случаях принято выражать в долях миллиметра ртут­ного столба, что обыкновенно обозначается символом мм Hg, подобно тому, как это имеет место при измерении атмосферного давления. Эта условная еди­ница определяется тем давлением, которое уравновешивает давление верти­кального ртутного столба высотой 1 мм. Зная абсолютную величину давления, соответствующего нормальной атмосфере (стр. 55), находим, что

I к Г1 мм = 1,033 —, = 1,33-103 бар,I W СМ‘

и, обратно,1 бар = 0,745-10_3 мм Hg.

Этими соотношениями иногда приходится пользоваться при переходе от абсо­лютных единиц давления к единицам мм Hg, и обратно.

Для получения разреженного пространства применяются вакуумные насосы различных типов; иногда, при получении крайних степеней разрежения, прихо­дится пользоваться некоторыми искусственными приемами, например охлажде­нием, поглощением газов углем и т. п.

В лабораторной и заводской практике в настоящее время применяются ва­куумные насосы двух типов.10» 147

Во-первых, насосы масляные, которые могут выкачивать газы, начи­ная от атмосферного давления, причем откачиваемый газ выбрасывается насо­сом прямо в атмосферу. Эти насосы работают очень быстро, но создают отно­сительно невысокое разрежение, обыкновенно до 10~3 мм Hg, которое в боль­шинстве случаев является только предварительным; вследствие этого насосы такого типа получили название форвакуумных.

Во-вторых, насосы высокого вакуума, которые могут выкачивать газ только после его предварительного разрежения, причем откачиваемый газ по­ступает в область пониженного давления, откуда его приходится затем уда­лять. Эти насосы могут работать также очень быстро и дают чрезвычайно высокие предельные степени разрежения.

В вакуумных установках обычно применяются одновременно насосы того и другого типа; форвакуумные насосы создают предварительное разрежение,

необходимое для работы высоковакуумных насосов. В настоящее время наиболее широкое распространение находят: из насосов первого типа — ро+ациопный масля­

ный насос, а из насосов второго типа— конденсационный насос Лэнгмюра.

1. Ротационный масляный на­сос, часто называемый просто ма­сляным насосом, состоит из метал­лического полого цилиндра А (рис. 95), внутри которого, эксцентрично по отношению к его оси, расположен второй массивный металлический ци­линдр В со сквозным прорезом по

диаметру. В прорезе цилиндра В, который можно приводить в быстрое вращение действием электрического мотора, вставлены две пластины ах и я2! их внешние концы действием спиральной пружины все время плотно прижимаются к внутрен­ней поверхности цилиндра А. Оба основания цилиндра А закрыты массивными плотно пришлифованными металлическими шайбами 55 (рис. 96); таким образом внутренняя полость цилиндра А сообщается с наружным пространством только трубками Oj и 0 2. При вращении цилиндра В в направлении, указанном стрелкой, воздух через отверстие Ох засасывается в полость Nb а воздух внутри полости No сжимается и выходит через отверстие Oit снабженное шаровым клапаном; этот процесс повторяется через каждые полоборота цилиндра В. Таким образом мы получаем практически непрерывное откачивание газа из любого объема, если его присоединить к отростку Oj. Для лучшей изоляции внутренних полостей цилиндра В весь насос заливается снаружи густым смазочным маслом, которым обильно смазываются и внутренние части насоса.

Ротационные масляные насосы представляют собой, как мы видим, даль­нейшее техническое развитие обычных поршневых насосов; поступательное движение поршня обычных насосов заменено в ротационных насосах враща­тельным движением цилиндра с пластинами, и так как скорость его вращения можно сделать очень большой (до 100 оборотов в секунду), то процесс отка­чивания протекает очень быстро.

2. Ртутный конденсационный насос Лэнгмюра основан, во-первых, на из­вестном в аэродинамике явлении, когда струя газа или пара, проходя внутри не­подвижной массы газа, постепенно увлекает его за собой вследствие внутрен­него трения; во-вторых, при действии насосов Лэнгмюра большую роль играет адсорбция газа парами ртути. В насосе Лэнгмюра эти эффекты вызываются не­прерывным действием струи ртутного пара, который затем переходит в жидкое состояние (конденсируется) благодаря искусственному охлаждению. К о н д е н с а ц и ­онные насосы Лэнгмюра изготовляются обычно целиком из стекла, реже из кварца; известны также модели металлических насосов Лэнгмюра. Стеклянный насос Лэнг­мюра, в одной из наиболее обычных форм, состоит из колбы В (рис. 97) с неболь­шим количеством ртути, которая подогревается газовой горелкой или э л е к т р и ч е ­ским нагревателем; образующиеся пары ртути, поднимаясь по трубке А, в ы х о д я т с большой скоростью в виде струи из конца трубки С и попадают в широкую труб­ку D, которая служит холодильником, так как ее стенки непрерывно о м ы в а ю т с я водой. Капли ртути стекают вниз и по соединительной трубке а попадают о б р а т н о в колбу В. Таким образом в насосе Лэнгмюра все время циркулирует одно и то же небольшое количество ртути, непрерывно подвергаясь процессам плро-148

образования и конденсации. Трубка Ог соединяет насос с пространством, которое откачивается, а трубка Оз отводится к форвакуумному насосу. Под действием струи ртутного пара газ из верхней части трубки D увлекается к ее нижней части и отсюда удаляется форвакуумным насосом; одновременно по трубке Oj газ начинает проникать в верхнюю часть трубки D, откуда вновь переносится к ее нижней части и выкачивается форвакуумным насосом; таким образом процесс постепенного выкачивания газа, очевидно, протекает непрерывно. Изучение ра­боты насосов Лэнгмюра показало, что кроме чисто гидродинамического явле­ния здесь протекает, как уже сказано, еще процесс адсорбции газов ртутным паром, который, конденсируясь в виде капелек в нижней части трубки D, вы­деляет адсорбированный газ обратно. Таким образом оба процесса, гидроди­намический и адсорбционный, протекают в одном направлении, создавая некоторую раз­ность (или перепад) давлений в верхней и нижней частях трубки О. Эта разность да­влений, различная в зависимости от конструк­тивных особенностей насоса, обыкновенно бы­вает равна приблизительно 0,1 мм Hg; этой величиной определяется и тот форвакуум, ко­торый необходим для насосов Лэнгмюра обыч­ного типа.

Процесс откачивания конденсационными насосами теоретически может продолжаться (почти) до сколь угодно малого давления; пра­ктический предел вакуума ограничен равнове­сием между производительностью насоса и вы­делением газа внутренней поверхностью сте- ‘ ис' '• Насос Лэнгмюра. нок вакуумной установки. При обычных усло­виях получаются предельные давления порядка 10-? мм Hg, но при этом во всем откачиваемом объеме будут находиться ртутные пары, и приходится при­нимать искусственные меры, чтобы понизить их давление. Вследствие этого обстоятельства, а также ввиду крайне вредного физиологического действия ртутных паров, в последнее время были предприняты работы по замене ртути в конденсационных насосах некоторыми минеральными маслами. Результаты этих работ оказываются, повидимому, весьма удачными, и масляные конденса­ционные насосы Лэнгмюра начинают применяться наряду со ртутными. Насосы Лэнгмюра работают очень быстро и в соединении с ротационными масляными насо­сами являются общепринятым типом современных высоковакуумных установок.

Давление газа при начальных степенях разрежения, в интервале приблизи­тельно от 50 мм Hg до 1 мм Hg, качественно нетрудно определять по виду газового разряда, присоединяя к вакуумной установке небольшую разрядную трубку (работа 10 а). Давления газа при более высоких разрежениях, начиная приблизительно от 1 мм Hg, можно очень точно измерять, пользуясь маномет­ром М ак-Леода (работы 10 а и Ь), который является наиболее распространен­ным прибором при измерении давлений приблизительно до 10-е мм Hg, в этих же пределах очень часто применяется манометр Пирани (работа 10 Ь). Что же ка­сается более высоких, в особенности предельных, степеней разрежения, то точ­ное измерение давлений в этих условиях весьма затруднительно, чем и объ­ясняется большое разнообразие и сложность методов измерения, как это можно видеть из их перечисления (стр. 58).

РАБОТА 10а. ПОЛУЧЕНИЕ ВЫСОКОГО ВАКУУМА И ЕГО ИЗМЕРЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ МАНОМЕТРА МАК-ЛЕОДА

1) Вакуумная установка с манометром Мак-Леода и разрядной трубкой, 2) запасной мано­метр Мак-Леода, 3) небольшая индукционная катушка, 4) аккумулятор, 5) выключатель.

Описание метода и приборов. Вакуумная установка состоит из ротацион­ного форвакуумного насоса V (рис. 98), который через кран К., соединяется с ртутным насосом Лэнгмюра L\ к нему за краном АГа присоединены открытый ртутный манометр U, манометр Мак-Леода М (см. дальше) и два баллона для откачивания В, я « 2; второй баллон Bv объем которого известен, отделяется краном K i. Кран даег возможность отделять часть вакуумной установки

149

с измерительными приборами от насоса Лэнгмюра, кран Кх служит для сообще­ния установки с наружным воздухом.

К вакуумной установке присоединена разрядная трубка R, к полюсам ко­торой подводится высокое напряжение от вторичной обмотки небольшой ин­дукционной катушки, питаемой током аккумулятора. Это дает возможность не­посредственно наблюдать зависимость между давлением газа в разрядной трубке и внешним видом разряда, чем часто пользуются на практике для качественного определения степени разрежения. При давлениях, близких к ат­мосферному, разряда в трубке не наблюдается, так как для образования искры между ее полюсами в обычных условиях необходимо очень высокое напряже­ние, для получения которого небольшая индукционная катушка недостаточна. При уменьшении давления в трубке, до нескольких сантиметров ртутного столба, в ней впервые начинает наблюдаться разряд, вначале в виде тонких слабых искр, которые в большом количестве образуются между электродами. При увеличении разрежения эти искры, сливаясь между собой, образуют ярко

окрашенную непрерывную полосу, которая тянется почти на всем протяжении трубки. При дальнейшем увеличении разрежения, до давлений около 1 мм Hg, эта полоса расширяется, заполняет почти все сечение трубки, и обыкновенно распадается на от­дельные части или страты, с темными про­межутками между ними; это так называемый слоистый разряд. Наконец, при еще более высоких степенях разрежения, начиная от нескольких сотых долей миллиметра ртут­ного столба и выше, разряд сопровождается выделением катодных лучей, которые вы­зывают весьма характерное зеленоватое свечение, или флуоресценцию, на стенках разрядной трубки; яркость флуоресценции постепенно возрастает по мере увеличения степени разрежения. При достижении чрез­вычайно высокого предельного разрежения разряд в трубке прекращается, так как газы в этих условиях теряют свою проводимость,

Измерять давление газа при больших разрежениях с помощью обыкновенного

ртутного U-образного манометра не представляется возможным, так как точность непосредственного отсчета разности уровней в коленах манометра не превышает 0,1 мм.^ Поэтому в настоящей работе применяется манометр Мак-Леода, основанной на законе Бойля-Мариотта. В этом манометре неко­торый объем разреженного газа искусственно сжимается, вследствие чего его давление возрастает, достигая такой величины, которую нетрудно измерить.

Манометр Мак-Леода, очень часто называемый сокращенно Мак-Леодом, состоит из стеклянного баллона М (рис. 99, а), который оканчивается толстостен­ным, запаянным сверху капилляром К х\ второй точно такой же капилляр Кч установлен параллельно первому и своими концами впаян в широкую трубку R x, которая соединена с вакуумной установкой. Нижняя часть трубки Rx впаяна в трубку /?2, которая имеет длину несколько больше барометрической и своим нижним концом, обыкновенно через ловушку Е (рис. 98), присоединена к толсто­стенной (вакуумной) резиновой трубке, на втором конце которой находится подъемный стеклянный сосуд Р. В этой части прибора находится ртуть, ко­торая заполняет сосуд Р, резиновую трубку и часть трубки R %. Высота уровня ртути в трубке R t зависит от разности давлений внутри и снаружи вакуум­ной установки. Однако, даже при полной откачке последней, уровень ртути не достигает места присоединения трубки R x к трубке R 2, если сосуд Р onv- щен в свое нижнее положение; но если его поднимать, то ртуть в трубке к г проходит через ее разветвление, баллон М оказывается отделенным от осталь­ной части вакуумной установки и находящийся в нем газ начинает с ж и м а т ь с я . При дальнейшем повышении уровня ртути она заполняет весь баллон М (рис. 99, Ь)\ воздух, переходя внутрь капилляра К х, оказывается очень сильно i жатым, и его давление пропорционально возрастает. Что касается давления130

газа в остальной части вакуумной установки, то можно считать, что оно не изменяется, так как внутренний объем установки всегда является очень боль­шим по сравнению с тем, который заполняется ртутью при повышении ее уровня в манометре. В результате высота уровней ртути в капиллярах К\ и К<% оказывается различной, так как воздух, сжатый в капилляре, производит избы­точное давление, которое уравновешивается столбиком ртути Л. При большом объеме баллона М и узком капилляре разность уровней Л может достигать, вообще говоря, большой величины, например, оказывается равной несколь­ким сантиметрам. Таким образом ее нетрудно измерить непосредственным отсчетом по миллиметровой шкале, ко­торая укрепляется за капиллярами или наносится на поверхности капилляра Кг. Что касается давления газа внутри вакуумной установки, то оно может быть определено из результатов изме­рения h двумя различными способами.

П е р в ы й с п о с о б . Допустим, что объем верхней части капилляра К\, не занятой ртутью, в п раз меньше общего объема капилляра К\ и баллона М, считая его от разветвления трубки JRV Так как закон Бойля-Мариотта для разреженных газов выполняется очень точно, то можно считать, что давление газа, сжатого в верхней части капилляра К\, т. е. h мм Hg, в п раз больше давления газа р в остальной части установки. Отсюда следует, что

Величина h в этой формуле определяется в мм Hg из непосредственного отсчета по шкале; что же касается величины п, то ее находят при помощи предварительной градуировки каждого манометра в отдельности, что вы­полняется еще до присоединения его к вакуумной устандвке. При градуирова­нии находят и отмечают черточкой такой объем вверху капилляра К х, который составляет одну сотую, или тысячную и т. д. часть общего объема сосуда М и самого капилляра; очень часто наносят две черточки, которые отделяют сотую и тысячную части объема или тысячную и десятитысячную.

В этом случае при измерении давления уровень ртути в капилляре всегда необходимо доводить до одной из его черточек. Давление в установке определяется по формуле (1) весьма просто, так как ее знаменатель п имеет значение соответственно градуировке.

В т о р о й с п о с о б . Допустим, что давление газа в установке попреж- нему равно р\ обозначим через V объем баллона М вместе с капилляром К\ и через S — площадь поперечного сечения капилляра. Если, подняв уровень ртути в капилляре Кг до верхнего конца капилляра К\ (рис. 99, с), мы находим, чта разность уровней оказывается равной Л, то, очевидно, что объем верхней части капилляра К\, не занятой ртутью, равен Sh, а давление газа в нем рав­но hM.uHg. Поэтому, применяя вновь закон Бойля-Мариотта, можем написать:

p V = S h - h = 5Л5,откуда

р = '- р Лг сЛг.

Величину с, которая равна отношению площади поперечного сечения капил ляра к общему объему баллона М и капилляра К\, обыкновенно называют постоянной манометра Мак-Леода. Для ее определения необходимо найти v и S, что выполняется для каждого манометра в отдельности еще до присое­динения его в вакуумной установке. . .

В этом случае при измерении давления уровень ртути в капилляре л , всегда необходимо доводить до высоты верхнего конца капилляра Кх. Давле-

151

Рис. 99. а —Манометр Мак-Леода; b — Пер­вый способ измерений; с — Второй способ

измерений.

ние в установке определяется по формуле (2), причем оно оказывается пропор­циональным второй степени разности уровней ртути в капиллярах К\ и К2.

Измерения. Вначале следует ознакомиться на практике с одним из спо­собов градуировки манометра Мак-Леода, пользуясь запасным манометром, имеющимся при установке; градуировку производят следующим образом:

В манометр при помощи воронки вводят несколько капель ртути, которые легкими постукиваниями переводят внутрь капилляра К\, манометр можно также откачать при помощи форвакуумного насоса, ртуть после этого нетрудно перевести внутрь капилляра, вводя в манометр воздух. Затем заполняют ртутью весь баллон манометра до разветвления трубки всю эту ртуть затем пе­реливают в химический стакан и определяют ее вес на технических весах с точностью до 1 г. Далее поступают различно, в зависимости от того, каким из двух вышеописанных способов будут производиться измерения давления газа внутри вакуумной установки.

При п е р в о м с п о с о б е , пользуясь часовым стеклышком, отвешивают на аналитических весах количество ртути, равное 0,01 или 0,001 общего веса ртути в объеме манометра; таким образом мы даем величине п в формуле (1) определенное значение. Это количество ртути вводят затем внутрь капилляра К\, заполняя им его верхний запаянный конец, и ставят метку на капилляре против конца ртутного столбика.

При в т о р о м с п о с о б е вводят внутрь капилляра манометра некоторое количество ртути так, чтобы внутри его образовался столбик ртути длиной 3—4 см, и измеряют по миллиметровой шкале его длину. Затем, вновь поль­зуясь часовым стеклышком, определяют на аналитических весах вес ртути, которая была введена в капилляр. Взяв табличное значение удельного веса ртути, находят объем этого количества ртути; зная длину ртутного столбика в капилляре, вычисляют площадь его поперечного сечения, т. е. величину S в формуле (2). Совершенно так же, зная вес ртути в манометре и ее удельный вес, находят величину V в той же формуле и затем вычисляют постоянную манометра с.

Далее следует ознакомиться с работой вакуумной установки и измерением степени разрежения при помощи манометра Мак-Леода; одновременно наблю­дают внешний вид разряда в разрядной трубке при различных давлениях.

1. В цепь аккумулятора включают последовательно выключатель и первич­ную обмотку индукционной катушки: полюсы ее вторичной обмотки соединяют с полюсами разрядной трубки К «, замыкая выключатель, убеждаются в том, что при атмосферном давлении разряда в трубке не наблюдается.

2. В вакуумной установке закрывают краны К\ и отделяя последним краном в баллоне Bt определенный объем воздуха под атмосферным давлением,и, при открытых кранах Кг и К& приводят в действие форвакуумный насос, наблюдая одновременно за показаниями открытого U-образного манометра. Когда его показания достигают приблизительно 5 см Hg, замыкают цепь индуктора и наблюдают возникновение в разрядной трубке первых стадий разряда; фор­вакуумный насос при этих наблюдениях продолжает работать.

3. Когда показания U-образного манометра установятся, начинают измерять разрежение при помощи манометра Мак-Леода; через некоторое время показа­ния манометра Мак-Леода также становятся постоянными: этим определяется предельное разрежение, которое дает форвакуумный насос; его величина не должна превышать 0,1 мм Hg. Очень часто форвакуум, даваемый насосом, оказывается настолько высоким, что в разрядной трубке появляется катодное свечение.

4. Не останавливая форвакуумного насоса, пускают воду в холодильник насоса Лэнгмюра и включают его нагревание. Через несколько минут насос Лэнгмюра начинает действовать, что можно непосредственно наблюдать, так как струя ртутного пара и образующиеся в насосе капельки ртути хорошо видны; одновременно в разрядной трубке катодное свечение начинает быстро усиливаться. Во время работы насоса Лэнгмюра следует несколько раз опре­делить показания манометра Мак-Леода; однако вследствие очень быстрого действия насоса Лэнгмюра давление в установке непрерывно изменяется, и такие измерения не являются точными. Поэтому кран л'з следует закрыть и открывать его только периодически на короткие промежутки времени, посте­пенно увеличивая таким образом разрежение в установке; наблюдать показа­ния манометра Мак-Леода следует при закрытом кране К3.152

5. При продолжительном действии насоса Лэнгмюра обыкновенно удается, вновь открыв кран К$, довести разрежение в установке до очень высоких сте­пеней, которые лежат за пределами, доступными измерению манометром Мак­Леода; в этом случае ртуть при ее опускании начинает прилипать к запаянному кончику капилляра Мак-Леода. Давление в установке при этих условиях дости­гает приблизительно 10-? мм Hg; часто удается наблюдать также прекраще­ние разряда в трубке.

6. После этого следует разомкнуть цепь индуктора и остановить оба на­соса, форвакуумный и Лэнгмюра, что необходимо делать в определенной по­следовательности следующим образом: 1) закрывают кран Кч, отделяя таким образом установку от форвакуумного насоса, и, остановив последний, немед­ленно открывают кран Кх, соединяя насос с наружным воздухом, 2) останавли­вают нагревание насоса Лэнгмюра, но циркуляцию воды в его холодильнике необходимо поддерживать еще в течение нескольких минут, так как иначе стеклянные спаи насоса могут получить опасное нагревание.

7. Отсчитывают показание U-оёразного манометра, которое определяет вели­чину барометрического давления, и еще раз проверяют показание мано­метра Мак-Леода; обыкновенно разрежение в установке продолжает оставаться за пределами, доступными манометру Мак-Леода.

8. Медленно открывая кран АГ4, переводят воздух, оставшийся в баллоне Вп под атмосферным давлением, внутрь установки; давление в ней возрастает; его можно определить, вновь измеряя показания U-образного манометра. Если его начальное показание равнялось Щ, а новое показание, после введения воздуха из баллона В2, оказалось равным Нь то давление воздуха в установке можно считать равным Я 0 — Н и так как ничтожно малым давлением воздуха при пре­дельном разрежении в установке можно пренебречь.

На основании закона Бойля-Мариотта можно написать;

Vx (H0 - H l) = V lH0,

где Vx — внутренний объем вакуумной установки, а — объем баллона Из этого уравнения находим:

Формула (3) служит для определения внутреннего объема вакуумной уста­новки; Н 0 и Н х получаются в результате непосредственного отсчета показа­ний U-образного манометра, а величина дается, как некоторая постоянная прибора.

РАБОТА ЮЬ. ИЗМЕРЕНИЕ ВЫСОКОГО ВАКУУМА ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИММАНОМЕТРОМ

1) Вакуумная установка с манометрами Мак-Леола и термоэлектрическим, 2) миллиампер­метр, 3) милливольтметр, 4) небольшая индукционная катушка, 5) аккумулятор, 6) рубильник.

Описание метода и приборов. Применение термоэлемента для измерения давления в газах, т. е. термоэлектрического манометра, основано на тепло­проводности газов при высоких разрежениях. Если внутри газа, заключенного в каком-либо сосуде, находится нагретое тело, то потеря им тепловой энергии (и передача ее стенкам сосуда) зависит главным образом от теплопроводности газа, которая, так же как и внутреннее трение газа, остается постоянной в ши­роком интервале давлений. Но, при уменьшении давления газа постоянство его теплопроводности наблюдается только до некоторого предела, пока разрежение в газе не достигает такой величины, при которой средняя длина свободного, пути молекул газа становится соизмеримой с размерами сосуда; при таких ус­ловиях теплопроводность газа уменьшается с уменьшением давления. Объяс­нение этого мы находим в том, что при большой длине свободного пути моле­кул газа передача ими тепловой энергии от нагретого тела к стенкам сосуда производится непосредственно, без промежуточных столкновении молекул npvi с другом; вследствие этого, с уменьшением числа молекул газа при его даль­нейшем разрежении, уменьшается количество тепловой энергии, передаваемом молекулами газа, что мы определяем, как уменьшение его теплопроводности,

15?

Допустим, что внутри газа, взятого при высоком разрежении, находится тонкая металлическая проволока или нить, нагреваемая электрическим током. Температура проволоки, постоянная при стационарном состоянии, должна опре­деляться относительной величиной прихода и расхода в проволоке тепловой энергии. Первая величина (приход) определяется количеством теплоты, которое выделяется в проволоке при прохождении электрического тока в единицу вре­мени; при постоянной силе тока эту величину можно считать постоянной. Вто­рая величина (расход) определяется количеством теплоты, которое теряет про­волока также в единицу времени, вследствие собственного теплового излучения и теплопроводности газа. Последняя величина, как видно из сказанного, должна <5ыть различной при различных разрежениях в газе, а в соответствии с этим должна быть различной и температура проволоки. Отсюда следует, что можно опреде­

лять давление в газе при высоких разрежениях, измеряя температуру металлической нити, которая нагревается электрическим током всегда одной и той же силы. На этих соображениях основано устрой­ство термоэлектрического манометра, в котором для определения температуры проволоки применяется термоэлектрический метод (стр. 55); для этого тер­моэлемент, находящийся в исследуемом газе, нагре­вают током определенной силы и измеряют, пользуясь электрическим методом, температуру термоэлемента по силе тока, возникающего в его цепи.

Термоэлектрический манометр имеет следующее устройство. Внутри стеклянного баллона (рис. 100 а), соединенного с вакуумной установкой, находится термоэлемент, который состоит из двух тонких проволочек различных металлов, обыкновенно же­леза и платины, расположенных крест накрест и

спаянных в месте соприкосновения. Концы этих проволочек соединены с четырьмя вводами а, Ь, с и d, которые изолированы друг от друга и выведены через ■стеклянную стенку баллона наружу. Электрический ток, который вызывает на­гревание термоэлемента, поступает от источника энергии Е через вводы а и Ь <рис. 100 Ь); его сила регулируется сопротивлением R и измеряется по пока­заниям миллиамперметра тА. Возникающий в результате нагревания спая тер­моток через вводы c u d поступает во вторую электрическую цепь, в которой включен милливольтметр V с очень большим сопротивлением (стр. 69). Таким образом температура термоэлемента здесь определяется практически по вели­чине возникающей в нем термоэлектродвижущей силы. Термоэлектрический манометр может применяться в широком интервале давлений приблизительно от 0,1 мм Hg до 10-4 мм Hg; однако при применении этого прибора на практике возникает ряд осложнений, из которых необходимо иметь в виду следующие:

1. Исследования показали, что передача теплоты от проволочки к стенкам прибора зависит не только от механических и тепловых процессов, но одно­временно и от физических свойств молекул газа, т. е. от его природы. Поэтому показания прибора в различных газах, при совершенно одинаковых остальных условиях, оказываются различными. Таким образом термоэлектрический мано­метр является прибором не абсолютным, а относительным, т. е. этот прибор необходимо градуировать для каждого газа в отдельности, сравнивая его «оказания с показаниями какого-либо абсолютного манометра, например мано­метра Мак-Леода. Из тех же соображений при измерении давления термоэлек­трическим манометром необходимо принимать во внимание состав газов в ва­куумной установке, в частности присутствие в ней ртутных и водяных паров. Вместе с тем, пользуясь таким приемом непосредственной градуировки термо­электрического манометра, очевидно, достаточно ограничиться сравнением по­казаний, даваемых милливольтметром V при различных условиях, с показаниями манометра Мак-Леода при тех же условиях и в дальнейшем определять сте­пень разрежения газов из результатов такой градуировки, т. е. непосредст­венно по показаниям милливольтметра V, не касаясь вопроса об определении температуры проволочек манометра.

2. Температура проволочки зависит, как было сказано, от потери теплоты вследствие излучения; но одновременно сама проволочка получает лучистую теплоту от окружающих тел, и прежде всего от стеклянных стенок баллона.’54

а

</

VРис. 100. Термоэлектрический

манометр и схема.

Таким образом тепловой режим проволочки зависит от температуры стенок баллона, которую, очевидно, в течение всего времени измерений необходимо поддерживать постоянной. Поэтому при точных измерениях баллон прибора принято помещать в термостат, например, водяной, определенной температуры.

3. Проволочки термоэлемента обладают заметной тепловой инерцией, и для достижения стационарного состояния прибора требуется некоторое время. Для уменьшения этого эффекта принято пользоваться очень тонкими проволочками, обыкновенно 0,05 мм диаметром. Однако и в этом случае показания прибора, при быстрых изменениях давления в установке, заметно запаздывают, и резуль­таты измерений в этих условиях: дают приближенное представление о ходе вакуумного процесса.

Измерения. Измерения сводятся к тому, чтобы сравнить показание термо­электрического манометра с показаниями манометра Мак-Леода; одновременно наблюдают внешний вид разряда в разрядной трубке при различных давлениях.

1. Соединяют измерительные приборы по схеме, указанной на рис. 100 Ь; разрядную трубку присоединяют ко вторичной катушке индуктора, как об этом было сказано выше (стр. 152).

2. Приводят в действие форвакуумный насос установки, принимая во вни- маиие все, что было сказано выше (стр. 152), и наблюдают за разрядом в раз­рядной трубке. При достижении предельного разрежения, даваемого форва­куумным насосом, следует произвести первое сравнение показаний обоих мано­метров. Для этого необходимо сначала при помощи реостата R подобрать такую силу тока нагревания, чтобы стрелка милливольтметра отклонялась при­близительно на половину его шкалы. Отсчитав соответствующее показание милливольтметра V, определяют затем давление в установке по Мак-Леоду. Одновременно необходимо определить силу тока нагревания, отсчитав пока­зание миллиамперметра тА, так как при всех дальнейших измерениях давле­ния необходимо, чтобы сила тока нагревания оставалась одной и той же. Поэтому при каждом новом измерении давления необходимо проверять пока­зания миллиамперметра тА и приводить, при помощи реостата R, силу тока к прежнему значению, если это оказывается необходимым.

3. Приводят в действие насос Лэнгмюра и при различных давлениях срав­нивают показания обоих манометров; при отсчете их показаний кран К j (рис. 98) должен быть закрыт, причем отсчет следует производить по истечении несколь­ких минут после того, как был закрыт кран, чтобы обеспечить стационарное состояние термоэлектрического манометра; необходимо также проверять пока­зания миллиамперметра тА, в соответствии с тем, что было сказано. Сравне­ние показаний манометров слевует произвести для 8—10 различных давлений. Одновременно наблюдают разряд в разрядной трубке.

Измерения прекращают при достижении разрежений, выходящих за пределы, доступные определению по манометру Мак-Леода. При прекращении действия вакуумной установки безусловно необходимо принять во внимание все пре­досторожности, которые были указаны выше (стр. 153).

Результаты всех измерений изображают графически в прямоугольной си­стеме координат, откладывая по оси ординат абсолютные величины давлений, т. е. показания манометра Мак-Леода, а по оси абсцисс — показания вольт­метра V.

Г Л А В А И

УПРУГИЕ ДЕФОРМАЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Твердые тела, с которыми нам приходится иметь дело на практике, не от­вечают в полной мере понятию абсолютной твердости и обнаруживают неко­торую упругость, т. е. внешние силы могут изменять объем и форму твердых тел, но начальный объем и форма тела обыкновенно восстанавливаются, как только прекращается действие внешней силы. В теории упругости твердое тело принято рассматривать как сплошную среду; это не мешает одновременно оперировать с понятием частиц тела, физические свойства которых при этом оо - лее детально не определяются. Таким образом можно сказать, что теория упру­гости ограничивается изучением макроскопических явлений, оставляя в стороне

155

молекулярные и атомные процессы, т. е. подходит к изучению твердых тел со­вершенно так, как это имеет место в гидродинамике по отношению к жидко­стям (стр. J75).

Деформацией в теории упругости принято называть всякое изменение в расположении частиц твердого тела, вызванное действием внешней силы; обыкновенно этот процесс сопровождается изменением и объема и формы тела. В случае малых деформаций любую деформацию можно представить как резуль­тат двух главных деформаций: во-первых, деформации объема, предполагая при этом, что изменяется только объем тела, а форма его остается прежней, и, во- вторых, деформации формы, предполагая, что изменяется только форма тела, а объем его остается неизменным. Деформацию первого типа можно наблюдать, например, при всестороннем равномерном сжатии однородного шара, кото­рый при этом сохраняет неизменной свою геометрическую форму, уменьшаясь одновременно в объеме. Деформацию второго тина можно наблюдать, на­пример, при деформации куба, если его нижнее основание остается непод­вижным (рис. 103), а верхнее под действием некоторой силы, параллельной плоскости основания, сдвигается в горизонтальном направлении, оставаясь в прежней плоскости. В результате куб, переходя в параллелепипед с тем же основанием и той же высотой, изменяет свою форму, но сохраняет преж­ний объем.

Каждая деформация в упругом теле сопровождается возникновением в нем особых сил упругости, которые принято называть внутренними напряжениями. Возникновение напряжений в теле можно объяснить следующим образом: каж­дая часть деформированного тела воздействует на окружающие части, которые в свою очередь оказывают на нее равное и противоположное действие; таким образом через любую площадку внутри тела передаются две равные и проти­воположные силы, т. е. действие и противодействие деформированных частей тела, лежащих по обе стороны этой воображаемой площадки. Предельная ве­личина этих сил, когда размеры площадки делаются бесконечно малыми, отне­сенная к единице поверхности, называется напряж ением в данной точке тела; напряжение, очевидно, является векторной величиной. Напряжения в различных точках твердого тела по величине и направлению, вообще говоря, являются различными, и только при некоторых деформациях величину и направление напряжения во всех точках тела можно считать постоянными, например при растяжении или сжатии однородного стержня. В таком случае определение величины напряжения в теле не представляет затруднений, так как для этого достаточно вычислить отношение величины всей внешней силы, действующей на тело, к величине поверхности тела, на которую распространяется действие силы. Что же касается вычисления напряжений в более общих случаях, когда величина и направление напряжений в каждой точке тела изменяются, то эта задача часто является весьма сложной.

Напряжение, как это следует из его определения, имеет размерность дав­ления, т. е. силы, деленной на площадь; таким образом, обозначая напряжение через 'Г, в абсолютной системе единиц можем написать:

гт, дн\Т\ — — = г-см ~ 1-сек~-.1 ‘ см2

Отсюда следует, что единицей напряжения в абсолютной системе единиц является напряжение, равное одному бару ( стр. 55); бар — это очень малая единица, и на практике за единицу напряжения иногда принимают напряжение в 106 раз большее, т. е. мегабар, а еще чаще напряжения выражают в к Г •м м - 2.

При возрастании внешней силы вызываемая ею деформация также воз­растает, возрастают в соответствии с этим и внутренние напряжения в теле; однако при этом возникают в твердых телах очень сложные явления, кото­рые схематически в общих чертах могут быть охарактеризованы следующим образом:

1. В начале, когда деформирующая сила невелика, наблюдается пропорци­ональность между величиной силы и величиной деформации в теле, а значит, и величиной внутренних напряжений в нем, причем деформация и напряжения в теле исчезают вполне, как только прекращается действие деформирующей силы, т. е. тело восстанавливает свою начальную форму или объем. Это — стадияJ56

так называемых упругих деформаций твердого тела; если процесс упругой деформации изобразить графически, откладывая по оси ординат деформирующую силу Р (рис. 101), а по оси абсцисс вызываемые ею деформации Лх, то получается наклонная прямая ОА.

2. При дальнейшем возрастании деформирующей силы эта пропорциональ­ность оказывается нарушенной, и деформация в теле начинает возрастать бы­стрее, причем она не исчезает вполне, если прекращается действие внешней силы. Это — стадия так называемых пластических деформаций твердого тела; они появляются в тех случаях, когда внутренние напряжения, возникающие в теле в результате деформации, переходят за предел упругости т ела , который, таким образом, определяет границу между упругими и пластическими деформациями тела. Деформация, которая в последнем случае сохраняется в теле после прекращения действия внешней силы, по­лучила название остаточной деформации.Изображая процесс пластической деформации графически, мы получаем некоторую кривую АВ, которая является продолжением пря­мой ОА\ ордината AM определяет величину той деформирующей силы и одновременно величину того внутреннего напряжения в теле, при котором мы достигаем предела его упругости. Если допустить, ЧТО В точке N Рис. Ю1. Кривая деформаций,кривой АВ тело освобождается от действиявнешней силы, то деформация в теле исчезает не вполне и процесс возвра­щения тела к начальному состоянию протекает не по линии NAO, а по не­которой прямой NK, которая пересекает ось абсцисс в точке К, не проходя через начало координат; отрезок ОК определяет величину остаточной дефор­мации в теле.

3. Если, несмотря на появление в < теле остаточных деформаций, мы про­должаем увеличивать внешнюю силу, то можно достичь третьей стадии дефор­маций, при которой наблюдается разруш ение тела, в нем появляются трещины или тело оказывается разорванным, раздавленным. Это наступает в том случае, когда внутренние напряжения, возникающие в теле под действием деформирую­щей силы, переходят за так называемый предел прочности тела. Графически предел прочности тела изображается ординатой той точки кривой АВ, в которой касательная становится параллельной оси абсцисс, т. е. ординатой ВС.

В действительности процессы при деформациях твердых тел далеко не всегда протекают в том схематическом виде, как только что было описано, и обыкновенно оказываются значительно более сложными. Так, известен большой класс тел, в которых появление пластических деформаций не наблюдается, т. е. при возрастании внешней силы за упругими деформациями следует непосред­ственно разрушение тела; сюда относятся так называемые хрупкие тела, папри- мер стекло, кварц, кристаллы вообще. Далее известны твердые тела, в которых процесс пластических деформаций при некоторых условиях может не сопро­вождаться разрушением тела; таковы, например, мягкие металлы (свинец, медь). Наконец, необходимо иметь в виду, что при деформациях твердых тел большую роль может играть время, например продолжительность действия внешней силы; так, очень часто деформация в теле достигает постоянного предельного значе­ния только через некоторое время после начала действия внешней силы, иногда через весьма большой промежуток времени в несколько месяцев. Точно так же известны обратные случаи; когда упругая деформация после прекращения дей­ствия внешней силы исчезает в теле не сразу, а через некоторый промежуток времени, иногда также очень большой. Эти явления получили название упру­гого последействия и упругого гистерезиса; их п р и н я т о объяснять неоднород­ностью внутреннего строения твердых тел.

Наиболее простым представляется случай упругих деформаций, которые можно рассматривать как обратимый процесс, если ограничиться их определе­нием, указанным выше. Законы упругих деформаций, установленные 1 уком, лежат в основе всей теории упругости; эти законы можно формулировать сле­дующим образом: •

1. Величина упругой деформации пропорциональна величине деформирую­щей силы.

157

2. Изменение знака деформирующей силы вызывает изменение только знака vnpvroii деформации, в то время как абсолютная величина деформации остается прежней.

3. При действии нескольких деформирующих сил различного знака общая упругая деформация равна алгебраической сумме всех деформаций, вызываемых действием каждой силы в отдельности.

Из этих трех законов основным является первый, так как два других можно рассматривать, как его прямое следствие. Математически первый закон в про­стейшем случае деформации по одному направлению можно выразить так:

Д х = сР\ (1)

здесь через Ах обозначена упругая деформация, через Р — деформирующая сила и с — некоторая постоянная, которая зависит от свойств тела и вида упругой деформации; Р одновременно определяет величину напряжения в теле.

В теории упругости принято деформации различного вида количественно определять коэффициентами и модулям и, присоединяя к ним название соот­ветствующей деформации. Коэффициентом называют отношение величины упругой деформации к величине деформирующей силы: иначе можно сказать, что коэффициент определяется величиной деформации, вызываемой в теле действием единицы деформирующей силы. М одулем называют величину, об­ратную коэффициенту т. е. отношение деформирующей силы к величине вызываемой ею в теле деформации, или, иначе говоря, модуль опреде­ляется величиной деформирующей силы, вызывающей в теле деформацию, равную единице.

Основная задача теории упругости, т, е. вывод уравнений в общем случае упругой деформации твердого тела, является весьма сложной, в особенности если принять во внимание явления упругого гистерезиса; в результате полу­чаются уравнения, в которые входит большое количество коэффициентов и мо­дулей. Эта теория допускает, однако, очень большие упрощения в некоторых

частных случаях, если ограничиваться рассмотрением деформаций 'МЩ Ш \ определенного вида.

В наиболее простой форме может быть изложена теория так называемых элементарных деформаций, к которым на практике приводится много случаев более сложных деформаций. Элементар­ными деформациями обыкновенно считают растяжение, сдвиг, кру­чение и изгиб. Эти четыре элементарные деформации не являются вполне независимыми. Так, например, при деформации изгиба в теле возникает деформация растяжения, при кручении возникает дефор­мация сдвига и пр.

Элементарная теория этих деформаций может быть изложена следующим образом.

а) Деформация растяжения, которую иногда называют про­дольным растяжением, в наиболее простой форме возникает, если верхний конец проволоки или цилиндра (рис. 102) L закреплен, а к его нижнему концу подвешен груз Р, под действием которого

Ряс. Ю2. первоначальная длина стержня L возрастает на некоторую вели-Деформа- чину ДL; весом самого цилиндра мы пренебрегаем. По первому

кия растя- закону Гука можно написать, что величина деформации растяжения пропорциональна деформирующей силе или напряжению в теле. Величину деформации в данном случае считают равной так называе­

мому относительному удлинению цилиндра, т. е. его удлинению Д L, отнесенному к единице длины, или отношению AL к L. Что касается дефор­мирующей силы или внутреннего напряжения в цилиндре, то для их вы­числения считают, что величина внутреннего напряжения во всех точках цилиндра остается постоянной; при таком предположении, мы, очевидно, допускаем, что действие нагрузки Р равномерно распределено по всей площади S поперечного сечения цилиндра. Таким образом величину напряжения в цилиндре можно считать равной отношению Р к 5. В результате, применяя формулу (1), можно написать:

б -

158

Д L РL а S •

Отсюда находим удлинение цилиндра под действием нагрузки Р.LP

а S ’ ®

г. е. общее удлинение ДА цилиндра пропорционально его длине L и напряже­нию в стержне Р /S, или растягивающей силе.

Коэффициент а в правой части выражения, равный

ДД S /41а = Ч (3)

обыкновенно называется коэффициентом упругости тела при растяж ении . Величина Е, обратная а, т. е. величина:

«

получила название модуля упругости при растяжении или модуля Юнга.Из последней формулы можно определить величину внешней силы Р, вы­

зывающей удлинение цилиндра, равное ДL:

P = E S ~ . (4*

Формулы (3) и (4) можно применить на практике при определении величин а и Е опытным путем, так как все величины в правой части этих формул до­ступны непосредственному измерению.

При растяжении цилиндр одновременно испытывает поперечное сжатие и его диаметр уменьшается. Обозначая диаметр цилиндра через d, уменьшение диаметра — через и вновь применяя к поперечному сжатию цилиндра зако1? Гука, т. е. формулу (1), имеем, аналогично уравнению (2),

, . . dP

где р — так называемый коэффициент поперечного сжатия. В теории упру­гости очень большую роль играет отношение коэффициентов р и а, т. е. коэф­фициентов поперечного сжатия и продольного растяжения. Это отношение по­лучило название коэффициента П уассона ; его обозначают буквой ц:

I = bdjd* a \L \L '

Значения коэффициента Пуассона, как показывают теоретические исследования, для всех упругих твердых тел лежат в пределах от 0 до 0,5; опытные данные подтверждают этот вывод. , (

Если внешняя сила Р действует на цилиндр в обрат- В в С___С_ном направлении, то он испытывает деформацию одно­стороннего сжатия. Эту деформацию мы имеем, напри­мер, в том случае, когда нижнее основание цилиндра остается неподвижным, а на его верхнее основание дей­ствует вертикальная сила Р, направленная книзу. Одно­стороннее сжатие рассматривают как деформацию, проти­воположную по знаку продольному растяжению. Поэтому Рис. юз. деформация на основании второго закона Гука для вычисления абсо- сдвига,лютной величины деформации одностороннего сжатияможно применять соответствующие формулы растяжения, т. е. формулы (2), (й),(4), (4% так как все изменения в них ограничиваются переменой знака дефор­мации.

Ь) Деформацию сдвига в простейшем виде можно наблюдать в случае упругого тела кубической формы ABCD (рис. 103), если его нижнее основание закреплено неподвижно, а на верхнее основание действует внешняя сила, равная Р. направленная тангенциально, т. е. параллельно основанию куоа. Под действием этой силы куб принимает форму параллелепипеда AtS С и , соковые

15£

$1 i р

1у if

стороны которого отклоняются от своего начального направления на некоторый угол ?. Этот угол определяет величину деформации сдвига. Что касается де­формирующей силы, то ее величина определяется напряжением, возникающим в кубе в результате деформации; величину напряжения считают постоянной во всех точках куба. Отсюда следует, что действие внешней силы мы считаем равномерно распределенным по всей площади верхнего основания куба; поэтому деформирующую силу и напряжения в кубе можно считать равными отношению всей внешней силы Р к площади основания куба, которую обозначим через S. В результате, применяя к данной деформации закон Гука, т. е. формулу (1), можно написать:

где k — коэффициент сдвига. Из этой формулы мы видим, что величина сдвига в случае деформации куба пропорциональна напряжению и куб* или деформи­рующей силе.

величина N, обратная коэффициенту сдвига, т. е.

д ,k <pS ’

' 6)

называется модулем сдвига. Из последней формулы находим величину внеш­ней силы, которая вызывает сдвиг куба, равный

P = N Sf. (&)

Модуль Юнга Е, коэффициент Пуассона ц и модуль сдвига N связаны между собой соотношением:

N =2 (1 -j- И) ’ (7)

<

о

которое может быть выведено теоретически. Это соотношение играет большую роль в теории упругости.

с) Деформация кручения в наиболее простой форме возникает, если один конец круглого цилиндра А закреплен неподвижно (рис. 104а), а на его вто­

рой конец действует пара сил, плос­кость которой перпендикулярна к оси цилиндра. Под действием пары сил, момент которой обозначим через М, свободный конец цилиндра поворачи­вается на некоторый угол <р, так что образующие цилиндра переходят в винтовые линии; например, обра-» V

' \

! \

о~с~ в

ьРис. 104. Деформация кручения.

зующая АВ переходит в винтовую линию (рис. 104 Ь), отклоняясь от прежнего направления на некоторый угол (i. При этом процессе возникает сдвиг сосед­них слоев цилпдра в плоскостях, перпендикулярных к его оси. Таким образом внутренние напряжения, возникающие в теле при кручении, вызываются дефор­мацией сдвига.

В отличие от случая куба, разобранного выше, величина сдвига в данном случае должна быть различной на различных расстояниях от оси цилиндра. Это следует из того, что при кручении цилиндра его сечения, перпендикулярные к оси, вращаются вокруг нее, и величина сдвига между двумя соседними сече-160

ниями, равная нулю на оси цилиндра, постепенно возрастает при удалении отнее, достигая максимума па боковой поверхности цилиндра. Отсюда следует,что внутренние напряжения в различных точках цилиндра должны быть ралич­ными. Вследствие этого деформация кручения даже в простейшем виде является более сложной, по сравнению с деформацией растяжения и сдвига; ее теорию для данного частного случая круглого цилиндра можно изложить следующим образом.

Элемент поверхности dS свободного нижнего основания цилиндра, находя­щийся на расстоянии х (рис. 104 с) от его центра О, определяется выражением:

dS = x -d x -d a , (8)

где da — угол между двумя бесконечно близкими радиусами основания ОВ и OB'.

При повороте нижнего основания цилиндра на угол <р (рис. 104 Ь) элемент поверхности dS сдвигается на некоторый угол р,, что вызывается действием касательной силы dp, величина которой на основании выражения (6') равна:

dp — dS, (9)

где N — модуль сдвига материала цилиндра; угол как это можно видеть из рис. 104 b и с, определяется выражением:

Pi { L ,

где I — общая длина цилиндра и <р — угол поворота его свободного (нижнего) основания.

Вставляя в выражение (9) значение dS из выражения (8) и значение ^ из последнего выражения, находим:

. N z x 2d x d i dp = — L---------.Момент rfMj этой силы относительно оси цилиндра равен:

Nvx*dx dadMy = d p -x — ■ I ( 10)

Для того,чтобы определить момент силы dM, вызывающий сдвиг всех эле­ментов aS, образующих в плоскости основания цилиндра круглое колыю ра­диуса, равного х, и ширимы dx, надо взять сумму выражений (10) для всех значений а от 0 до 2т., т. ц. выражение (10) следует интегрировать по а в пре­делах от 0 до 2ъ. Это интегрирование выполняется очень просто, так как все величины в множителе при d i в правой части выражения (10) от а не зависят, и их можно вынести за знак интеграла; таким образом можно написать:

dM = N-pxs d x1

da.

Так как определенный интеграл от da в пределах от 0 до 2гс равен 2п, то по­лучаем:

9-Л/вdM — — ’ x*dx. (11)

Наконец, для того чтобы определить общую величину момента пары М, действующего на все основание цилиндра, надо выражение (11) п р о су м м и р о в ат ь по всем значениям .* от 0 (ось цилиндра) до г (его радиус), т. е. выражение (11) следует интегрировать по л в пределах от 0 до г. Вынося за знак интеграла в правой части величины, не зависящие от х , получаем:

М = ^ \ x * d x .

11 Физический практикум 161

Вычисляя определенный интеграл в правой части этого в ыражен ия , находимт г

Xsd x — J ~ х 4 = - - , 5 «И 4

Таким образом получаем окончательное значение момента пары М :zN-fr*М-.

21 ( 12)

С другой стороны, по закону Гука момент пары М для случая упругой деформации должен быть пропорционален углу кручения т. е. можно на­писать:

M = f t , (13)

где / — некоторая постоянная-величина. Из последних двух выражений находим:

(14)

Из формулы (13) мы видим, что постоянная величина / , которую иногда называют модулем кручения цилиндра, определяется моментом пары сил, под действием которого свободный конец цилиндра поворачивается на угол, равный единице, т. е. на угол, равный 1 радиану. Вместе с тем формула (14) показы­вает, что модуль кручения цилиндра изменяется прямо пропорционально мо­дулю сдвига материала цилиндра N и четвертой степени его радиуса г и об­ратно пропорционально длине цилиндра I.

Рис. 105. Деформация изгиба.

d) Деформация изгиба в наиболее простой форме возникает в стержне квадратного или прямоугольного сечения, причем, в зависимости от положения точек опоры стержня и способа его закрепления, возможны три основных случая.

1. Один конец А прямого горизонтального стержня закреплен неподвижно (рис. 105, а); на другом конце находится некоторая нагрузка Р, под действием которой стержень принимает форму дуги АВ.

2. Оба конца прямого горизонтального стержня, оставаясь свободными, ле­жат на неподвижных опорах (рис. 105, Ь), между этими опорами по середине стержня находится некоторая нагрузка Р, под действием которой он принимает форму дуги А СВ.

3. Оба конца прямого горизонтального стержня закреплены неподвижно (рис. 105, с); в средней точке стержня находится некоторая нагрузка Р, иод действием которой стержень принимает форму более сложной кривой АСВ.

Во всех случаях изгиба величину деформации определяют так называемой стрелой или стрелкой прогиба т. е. тем расстоянием, на которое опускается точка приложения силы, действующей на стержень. Стрела прогиба зависит от величины нагрузки стержня, его размеров и вида его поперечного сечения, а также от модуля упругости материала стержня. Что касается трех указанных случаен изгиба, то формулы, определяющие стрелу прогиба для всех трех случаев, при одинаковых прочих условиях, оказываются одинаковыми, и только числовые коэффициенты в них являются различными.

*Разберем первый случай изгиба, т. е. допустим, что прямой горизонтальный стержень длиной I с прямоугольным сечением закреплен одним концом непо­движно, а на втором конце имеет нагрузку, действующую вертикально и рав­162

'оРис. 106. Деформация из­

гиба (детали).

ную Р• Стержень закреплен так, что боковые стороны его поперечного сечения н а п р а в л е н ы вертикально; таким образом нагрузка Р действует параллельно б о к о в ы м сторонам сечения, длину которых обозначим через b (высота сечения) и перпендикулярно к двум другим; их длину обозначим через d (ширина се­чения).

Весом самого стержня мы пренебрегаем и допускаем, кроме того, что при изгибе верхняя и нижняя стороны сторжня принимают форму цилиндрических поверхностей с круглым сечением, так что продольное сечение стержня вер­тикальной плоскостью образует на его верхней и нижней сторонах дуги двух концентрических окружностей с центром в точке О (рис. 106). Возьмем неко­торую часть в середине стержня и проведем в ней два бесконечно близких поперечных сечения на рас­стоянии х и x - \ - d x от закрепленного конца стержня.Эти сечения, параллельные до деформации, после изгиба стержня образуют между собой некоторый бесконечно малый угол d f. Из этого следует, что при деформации изгиба слои стержня, лежащие ближек его выпуклой стороне, должны испытывать раст я­жение, а слои, лежащие ближе к вогнутой стороне стержня, должны испытывать сжатие. Таким образом напряжения, возникающие в стержне при изгибе, опре­деляются деформациями растяжения и сжатия. Оче­видно, что между зонами растяжения и сжатия в стер­жне должен находиться некоторый бесконечно тонкий слой ОхОь длина которого при изгибе не изменяется; этот слой называется нейтральным. Так как по вто­рому закону Гука деформации растяжения и сжатия по абсолютной величине одинаковы, то нейтральныйслой проходит по средней линии стержня, образуя цилиндрическую по­верхность, параллельную его выпуклой и вогнутой сторонам. Напряжения в стержне, величина которых во всех точках нейтрального слоя равнанулю, постепенно возрастают при удалении от него в ту и другую сторону, достигая наибольшего значения на внешних (выпуклой и вогнутой) поверхно­стях стержня. Таким образом напряжения в различных точках внутри стержня оказываются различными, подобно тому, как это имело место при деформации кручения. Величину напряжений во всех точках какого угодно сечения, парал­лельного нейтральному, можно считать постоянной, так как мы предполагаем, что стержень изгибается по поверхности круглого цилиндра и радиус кривизны любого сечения, параллельного нейтральному, во всех точках остается по­стоянным.

Вычисляя удлинение dl, которое будет испытывать некоторый слой, нахо­дящийся на расстоянии у от нейтрального слоя, с бесконечно малой толщи­ной dy, можем написать:

d l — y d f . (15)

Это удлинение создается действием некоторой силы dF, величина которой может быть определена из формулы (4'):

dF — Щ— • (16)d x

В этом выражении S обозначает площадь поперечного сечения деформируемого слоя, которая, как видно из рисунка, равна:

5 = ady.Подставляя в формулу (16) это значение 5 и значение dl из выражения (15) находим: .

dF = E a Tx y d y -

Момент этой силы относительно нейтрального слоя dM± равен произве­дению dF на у , т. е.

d M ^ E a ^ f - d y . (17)

11* 163

Для того чтобы вычислить момент силы М ь вызывающей растяжение стерж­ня по всей верхней половине его поперечного сечения, надо взять сумму мо­ментов, определяемых выражением (07) для всех значений у в пределах от О (нейтральный слой) до Ь/2 (верхняя сторона стержня), т. е. следует интегри­ровать выражение (17) по v в пределах от 0 до Ь/2, причем необходимо при­нять во внимание, что величины, стоящие в правой части этого выражения при y^dy от у не зависят и при интегрировании их можно вынести за знак интеграла. Таким образом, получаем:

*/2

M lS S E a 4 l [ y * d y = 'E a b * p - . d x J 24 d x

о

Если бы мы вычисляли момент силы, вызывающий сжатие нижней поло­вины стержня, принимая во внимание то, что было сказано относительно де­формации одностороннего сжатия, то мы получили бы совершенно такое же выражение. Отсюда следует, что общий момент силы, вызывающей деформа­цию по всему сечению у стержня, мы получим, удвоив величину Му. Таким образом, получаем:

М = 2Му = ^ ЕаЬз ^ . (18)1 12 dx ' '

При равновесии стержня момент, вызываемый напряжениями в сечении х , т. е. М, должен быть равен моменту внешней силы, т. е. Рхг; поэтому можно написать:

М = Рх = ± Е аЬ *% -. (180

Элемент стрелы прогиба Л , очевидно, равен произведению расстояния х на угол d?, т. е. можно написатб: c& = xdy. Определяя из этого выражения d? и подставляя полученное значение в уравнение (18'), находим:

Р х = ~ ЕаЬз -£ JL .12 х d x

Это уравнение решаем относительно ей:

л п р V ,ак-т х -dx.ЕаЬ3

Для того чтобы определить всю стрелу ирогиба следует это уравнение интегрировать по д: в пределах от 0 до /, причем при интегрировании постоян­ные величины выносим за знак интеграла; находим:

4 Р/8

Формулой (19) определяется стрела прогиба \ прямого стержня с прямо­угольным сечением, если имеет место первый случай изгиба (рис. 105 а). Вто­рой случай изгиба также соответствует формуле (19), только числовой коэффи­циент в ней следует изменить. Действительно, во втором случае изгиба действие нагрузки стержня Р перелается на две неподвижные опоры, каждая из которых оказывает на концы стержня противодействие, равное половине нагрузки, так как она расположена по середине между опорами. Таким образом, каждый из концов стержня находится под действием изгибающей силы, равной Я/2, точка приложения которой отстоит от середины стержня на расстоянии, равном по­ловине длины стержня между опорами, т. е. на расстоянии, равном //2. В ре­зультате стержень при втором слу ае изгиба находится в таких условиях, что его середина как бы закреплена неподвижно, а на каждый из концов действует в направлении вверх сила, равная Р)2, которая отстоит от неподвижной точки стержня на расстоянии lj2. Отсюда мы видим, что формулу (19) можно приме­164

нить ко второчу случаю изгиба, но величины Р и / в ней следует уменьшить каждую в 2 раза; в результате получаем:

, Я/3АЕаЬз' i19')

Этой формулой определяется стрела прогиба прямого стержня с прямо­угольным сечением, если имеет место второй случай изгиба (рис. 105 Ь).

Из формул (19) и (19') м,! видим, что стрела прогиба I прямо пропор­циональна величине нагрузки Р стержня и третьей степени его длины I и обратно пропорциональна модулю упругости Е материала стержня, ши­рине его поперечного сечения а и третьей степени высоты сечения Ь. Не­обходимо иметь в виду при этом, что формулы (19) и (19г) можно применять только при условии, что стержень имеет прямоугольное сечение, и изги­бающая сила действует параллельно той стороне сечения, которая входит в знаменатель в третьей степени.

Формулы (19) и (19') могут служить для определения стрелы прогиб1, если модуль упругости материала стержня известен, так как все остальные величин'.! в правой части этих формул доступны непосредственному измерению. Те же формулы могут, очевидно, служить и для определения модуля упругости Е ма­териала стержня, если измерить точно стрелу прогиба, чем часто пользмотся на практике.

В изложенной выше теории элементарных деформаций, мы ввели ряд по­стоянных величин, из которых наибольшее значение на практике имеют: модуль упругости или модуль Юнга Е, модуль сдвига N и коэффициент Пуассона ц; ощИ определяются, соответственно, формулами (4), (6) и (7). Кроме того, громадний практический интерес представляет изучение распределения внутренних напря­жений в твердых телах, в особенности при сложных деформациях, которые трудно поддаются теоретическому расчету.

Вычисляя размерности Е, N и ц, находим следующее:Размерности модуля упругости и м одуля сдвига оказываются одинако­

выми, как это следует из формул (4) и (6):

1 Ч = 1 М = |£ ] ,

Таким образом размерность обоих модулей соответствует размерности внут- тренних напряжений в теле (стр. 156), т. е. в абсолютной системе единиц равна

[f] = M =

На практике, однако, модули принято выражать, подобно внутренним на­пряжениям, в к Г -м м -- . При переходе от значений модулей в технической системе к их значениям в абсолютной системе следует значение модуля в технической системе умножить на 9,81 • 107 (стр. 27).

Размерность коэффициента Пуассона, как видно из формулы (7), оказывается нулевого порядка по отношению ко всем основным единицам; иначе говоря, коэффициент Пуассона является безразмерной величиной.

При определении модулей Е и N, коэффициента ц и при изучении напря­жений в теле пользуются следующими методами:

1. При определении модуля упругости Е применяется метод растяжения и метол изгиба; в обоих случаях необходимо измерить величину деформирую­щей силы, геометрические размеры деформируемого тела и величину деформа­ции. Описание методов и производство измерений см. работы 11а и i l b. Другие методы определения Е основаны на зависимости между модулем упругости твер­дого тела и скоростью распространения в нем звуковых колебании, см. том I, работа 15d.

2. При определении модуля сдвига N применяется метод кручения в дина­мической и статической форме; описание этих методов и производство измерений см. работы 11 с и l i d.

3. Коэффициент Пуассона очень часто определяется по формуле (7) из ре­зультатов измерения модулей Е н N, но одновременно имеется метод непо­

165

средственного определения коэффициента Пуассона, данный Корню; описание этого метода и производство измерений см. работу 11е.

4. Распределение внутренних Напряжений в твердых телах исследуют на прозрачных моделях этих тел при помощи оптического метода, очень широко распространенного в настоящее время; описание метода и производство изме­рений см. работу 11 f.

Наконец, необходимо иметь в виду, что величины Е, N и ц в сильной сте­пени зависят от температуры; поэтому известны методы определения темпера­турных коэффициентов этих величин; описание одного из этих методов и про­изводство измерений см. том II, работу 26 Ь.

РАБОТА Н а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ МЕТОДОМРАСТЯЖЕНИЯ

1) Прибор Лермантова, 2) оптическая труба, 3) миллим строган шкала для зеркального от­счета на штативе, 4) винтовой микрометр, 5) стальная миллиметровая линейка 1 м длиной.

Описание метода и приборов..В приборе Лермантова для определения мо­дуля упругости методом растяжения применяются металлические проволоки, удлинение которых под действием грузов определенного веса измеряется мето-

ЩЛ

Рис. 107. Прибор Лермантова.

дом зеркала и шкалы (стр. 37). Исследуемая проволока, длиной около одного метра, своим верхним концом прочно укреплена в зажиме кронштейна А (рис. 107, а), а на нижнем конце несет груз Р, достаточный для ее выпрямления. Набор дополнительных грузов определенного веса р помещается на особом дер­жателе N (рис. 107, Ь), который при помощи двух проволок подвешен также к кронштейну А, так что, перекладывая грузы р с держателя на груз Р, мы увеличиваем нагрузку только проволоки, а общая нагрузка кронштейна А остается все время постоянной. Это устраняет возможность ошибок от изменения в про­гибе кронштейна А, если бы его нагрузка при наблюдениях изменялась.166

Нижний конец исследуемой проволоки прочно укреплен в цилиидре d (рис. 107, а); на верхнее основание цилиндра d опирается острие маленького изо­гнутого рычага г, который свободно вращается около горизонтальной оси и на своем вертикальном конце имеет небольшое зеркальце М. Вследствие такой кон­струкции рычага г, он послушно следует за всеми вертикальными перемещениями цилиндра d, возникающими при изменении нагрузки проволоки; зеркальце М при этом поворачивается около горизонтальной оси и углы его отклонения отсчитываются по вертикальной шкале 5 при помощи оптической трубы R.

На нижнем кронштейне прибора укреплен арретир / , который приподни­мается действием винта с и освобождает проволоку от нагрузки; это необхо­димо для того, чтобы не вызывать в проволоке опасных напряжений, которые могли бы возникать в ней вследствие толчков при перемене грузов и неиз­бежно искажали бы результаты измерений. Поэтому при всяком изменении в нагрузке проволоки безусловно необходимо предварительно поднимать арретир прибора.

Измерения с прибором производят, сначала постепенно увеличивая на­грузку проволоки, а затем постепенно ее уменьшая. Модуль упругости материала проволоки вычисляют по формуле (4), что требует измерения длины проволоки /, ее удлинения Л/, ее площади поперечного сечения 5 и, на­конец, величины нагрузок р.

Длина проволоки I определяется непосредственным измерением при помощи стальной линейки, которая для этого подвешивается вертикально к верхнему кронштейну прибора; нагрузка проволоки определяется из веса грузов р, кото­рый указывается на них; площадь поперечного сечения проволоки 6' находят, измеряя ее диаметр при помощи винтового микрометра. Что же касается удли­нения проволоки М, то его определяют, пользуясь следующими соображениями. Пусть b обозначает длину горизонтального плеча рычага г (рис. 107, a), D — рас­стояние от шкалы S до зеркала М, а — угол его отклонения при удлинении проволоки; равном А/, и п — число делений шкалы S, отвзчаюшее углу откло­нения а. Нетрудно видеть, что t g a = A l/b. С другой стороны, по формуле зер­кального отсчета (стр. 38), имеем: tg 2i = n lD, причем ввиду очень небольшой величины угла а можно положить tg 2а = 2 tg а. Из последних трех уравнений находим: Mlb = nl2D, т. е. ,

“ = ш - (20)Таким образом, чтобы определить удлинение проволоки, надо знать п, Ь и D\

число делений п отсчитывается на шкале из отклонений зеркальца, длина b го­ризонтального плеча рычага г дается, как постоянная прибора, и, наконец, D — расстояние между зеркалом и шкалой — определяется непосредственным изме­нением его при помощи масштаба.

Измерения. 1. Измеряют диаметр проволоки винтовым микрометром с точ­ностью до 0,01 мм и вычисляют площадь поперечного сечения проволоки S; измерять диаметр проволоки следует в нескольких местах по ее длине и каждый раз по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Затем определяют длину проволоки; для этого подвешивают стальную линейку ^верхнему крон­штейну прибора и, освободив его арретир, измеряют по линейке с точностью до 0,5 мм расстояние между зажимами на верхнем и нижнем конце проволоки. При этих измерениях все грузы р должны находиться на держателе.

2. Оставляя арретир прибора опущенным, устанавливают оптическую трубу и шкалу на расстоянии около одного метра от него и фокусируют трубу на ясное изображение шкалы. Затем, подняв арретир прибора, измеряют при по­мощи масштаба с точностью до 1 мм расстояние D от зеркала до ш алы; после этого шкалу при всех дальнейших измерениях не следует сдвигать с места.

3. Вновь опустив арретир, отсчитывают нулевую точку прибора, т. е. его показания без дополнительной нагрузки проволоки. Затем, подняв арретир прибора, перекладывают один груз с держателя на груз Р, и, опустив арретир, отсчитывают показания прибора при дополнительной нагрузке р. Гакие отсчеты последовательно производят для всех грузов прибора, перекладывая их один за другим с держателя на груз Р. при этом каждый раз предварительно неоохо- димо поднимать арретир прибора.

4. Вслед за эт. м повторяют те же отсчеты в обратном порядке, постепенно возвращая грузы на держатель, что необходимо делать также при поднятом

157

а р р е т и р е ; наконец, сняв последний груз, -опускают арретир и вновь отсчиты­вают нулевую точку прибор. Иногда оказывается, что новый отсчет нулевой точки не соответствует ее начальному отсчету, что например, может быть выз­вано некоторыми изменениями в установке прибора в процессе измерений. В этом случае для окончательною значения нулевой точки берут среднее арифметиче­ское ее обоих значений. Точно так же поступают, если оказываются различными показания прибора при одинаковых нагрузках, полученные при их увеличении и их уменьшении. В результате, определив окончательные значения нулевой точки прибора и его показаний при всех дополнительных нагрузках проволоки, находят число делений шкалы п для всех нагрузок, и по формуле (20) вычи­сляют удлинения Л/ также для всех нагрузок. Отсюда по формуле (4), взяв по­лученные ранее значения / и S, находят для каждой нагрузки значение модуля упругости материала проволоки и для его окончательного значения вычисляют их среднее арифметическое.

РАБОТА ПЬ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ МЕТОДОМ ИЗГИБА1) Прибор Кёнига, к нему набор груэоп и стержня, 2) оптическая труба, 3) вертикаль­

ная шкала лля зеркального отсчета, 4) ипннген-ииркуль, 5) стальная миллиметровая линейка.

Описание метода и приборов. В приборе Кёнига для определения модуля упругости применяется второй случай изгиба (стр. 162), и стрела прогиба измеряет­

ся метопом так называемого двойного зеркаль­ного отсчета, который является очень точным. Прибор состоит из двух одинаковых вертикаль­ных стоек А и В (рис. 108), укрепленных непод­вижно па общей платформе; на верхних концах стоек установлены стальные призмы так, что их острые ребра, обращенные кверху, параллельны межту собой На эти призмы накладывают гори­зонтально исследуемые стержни, которые имеют прямоугольное сечение, причем концы стержней

Рис. 108. Црибор Кенига. остаются срободными. Стержни накладываются та*, чтобы линии их опоры на ребра призм совпадали

с двумя черточками, нанесенными вблизи концов стержней; на третью чер­точку, нанесенную посредине между крайними черточками, подвешивается метал­лическое стремя, создавая некоторую начальную нагрузку стержня; на это стремя можно накладывать дополнительные грузы определенного веса, вызывая изгиб стержня.

Для того чтобы воспользоваться методом двойного зеркального отсчета, па концах стержня в отверстиях устанавливают две небольшие стойки с зеркаль­цами /Я) и т„ которые должны быть обращены одно к другому. Лучи от осве­щенной шкалы S падают на зеркальце ть затем на зеркальце тг и после этого попадают в оптич скую трубу R. Этот ход лучей достигается при помощи уста­новочных вингов в оправах того и другого зеркальца, которые позволяют измен-ть их наклон по отношению к вертикальной плоскости.

Теория двойного зеркального отсчета приводит к простой формуле, кото­рая дает зависимость между стрелой прогиба стержня \ и его длиной /, т. е.расстоянием между его точками опоры; эта формула такова:

а — 1 / п -1 6 2 D + d '

где п — число делений шкалы, соответствующее стреле прогиба D — расстоя­ние от шкалы до зеркальна от3 и d — расстояние ме>йду зеркальцами. На осно­вании этого выражения из формулы (19') находим;

£ = З М (2 р + Л Inab“

Эта формула дает возможность определить модуль упругости материала стержня из результатов отсчета п при различных нагрузках Р; расстояние до шкалы D и расстояние между зеркальцами d даются как некоторые постоянные прибора; расстояние между точками опоры / определяется непосредственным168

измерением при помощи стальной миллиметровой линейки; ширина а и вы­сота Ь сечеиия стержня измеряется при помощи штанген-циркуля.

Измерения. 1. Измеряют при помощи стальной линейки с точностью до0,5 мм расстояние между ребрами стальных призм /; затем при помощи штанген­циркуля измеряют ширину и толщину (а и Ь) исследуемых стержней.

2. Один из стержней кладут на призмы, подвесив к его середине стремя без дополнительных нагрузок ; при этом необходимо следить, чтобы ребра призм совпадали с черточками на стержне, о чем было сказано выше. Устано­вив стойки с зеркальцами на концах стержня, направляют их (зеркальца) так, чтобы обеспечить необходимый ход лучей, и фокусируют трубу R на отчетливое изображение шкалы 5. Отсчет показаний приборов дает его нулевую точку для данного стержня.

3. Постепенно нагружая стержень дополнительными грузами, отсчитывают каждый раз показания прибора. Затем те же измерения повторяют в обратном порядке, постепенно уменьшая нагрузку стержня, и, наконец, освободив стер­жень от дополнительных грузов, вновь определяют нулевую точку прибора.

Иногда оказывается, что вторичный отсчет нулевой точки прибора, полу­ченный при уменьшении нагрузок стержня, не соответствует его начальному значению; точно так же иногда оказываются различными показания прибора при одинаковых нагрузках, полученные при их увеличении и их уменьшении. В этих случаях берут средние значения, как это было указано в работе 11а. Устано­вив окончательное значение нулевой точки прибора и его показаний при всех нагрузках, находят соответствующие значения п и вычисляют по формуле (21) соответствующее Число отдельных значений модуля упругости Е материала стержня. Для окончательного значения берут их среднее арифметическое.

Те же измерения и вычисления повторяют затем с остальными стержнями.

РАБОТА 11 с. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА СТАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ1) Прибор лля определения нолуля сдвига, к нему набор грузов и лве проволоки лля иссле­

дования, 2) винтовой микрометр, 3) штанген-циркуль, 4) стальная миллиметровая линеАка.

Описание метода и приборов. Для определения модуля сдвига статическим методом применяется простой прибор, схематически изображенный на рис. 109. Концы исследуемой проволоки или стержня L прочно закреплены в зажимах А и В, ко­торые расположены на двух стойках, сое­диненных внизу обшей платформой. За­жим А может свободно вращаться вокруг оси, составляющей продолжение оси про­волоки, оставаясь в одной вертикальной плоскости; зажим В может перемешаться в горизонтальном направлении, но его вра­щение исключено соответствующими упо­рами. К зажиму А присоединен диск S, раз­деленный на градусы, углы поворота кото­рого отсчитываются по двум но шусам, укрепленным на концах неподвижной али­дады прибора (стр. 33). Мрашение диска вызывается действием двух грузов Р{ и Р2 одинакового веса, подвешенных, как пока­зано на рисунке, к концам шнурка, нави­того на окружность диска. Изменяя вели­чину нагрузок на концах шнурка при помощи дополнительных грузов, имеющихся при приборе, мы изменяем момент пары сил, который вызывает кручение прово­локи L. При кручении проволока не должна испытывать одновременно дефор­мацию растяжения или сжатия; это устраняется в приборе тем, что зажиму В предоставлена возможность горизонтальных перемещений.

Для определения м о д у л я сдвига N материала проволоки применяют фор­мулу (12), из которой находим;

N = 21 У , (22)т.г* ?

169

Рис. 1СЭ. Молуль сдвига, определениестатическим методом.

-де I — длина проволоки, г — радиус ее поперечного сечения и <р — угол кру­чения, отвечающий моменту пары М. Для определении момента пары М надо знать, кроме веса грузов Ру и Р2, еще диаметр- диска S, который измеряется шгангеп-циркулем; длина проволоки определяется непосредственным измерением при помощи стальной линейки, а радиус проволоки определяют, измеряя ее диаметр при помощи винтового микрометра.

Измерения. Диаметр одной из исследуемых проволок измеряют винтовым микрометром с точностью до 0,01 мм, принимая во внимание то, что было ска­зано об этом измерении на стр. 167. Отсюда находят среднее значение радиуса проволоки. Затем ее устанавливают в зажимах прибора и при помощи стальной линейки измеряют с точностью до 0,5 мм расстояние между зажимами. После этого измеряют штанген-циркулем с точностью до 0,1 мм диаметр диска 5 и на­ходят его радиус R.

2. В этом положении прибора, не накладывая на грузы Рх и Р 2 дополни­тельных грузов, отсчитывают показания нониусов; этот отсчет дает нулевую точку прибора для данной проволоки.

3. Постепенно накладывая на Р х и Р2 дополнительные грузы, всегда оди­накового веса, отсчитывают каждый раз показания обоих нониусов. Затем те же измерения повторяют в обратном порядке, постепенно уменьшая вес грузов, и, на­конец, освободив Ру и Р г от дополнительных грузов, вновь отсчитывают нуле­вую точку прибора. Если оказывается, что оба отсчета нулевой точки разли­чаются между собой, или получаются различные показания прибора при одина­ковых моментах пары сил, полученные при их увеличении и их уменьшении, то следует брать средние значения, как это было указано в работе 11а.

Установив окончательные значения нулевой точки и показаний прибора при всех нагрузках, обыкновенно при пяти, находят отсюда значения углов круче­ния ? и вычисляют соответствующие им моменты пары М. На основании этих результатов по формуле (22) вычисляют пять отдельных значений модуля сдви­га М материала проволоки. Для окончательного значения модуля сдвига N берут среднее арифметическое. Те же измерения и вычисления повторяют затем с остальными проволоками.

РАБОТА I Id. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА МЕТОДОМ КОЛЕБАНИЙ

1) Прибор для определения модуля сдвига из колебаний, 2) оптическая труба, 3) миллиме­тровая шкала для зеркального отсчета на штативе, 4) настольная лампа, б) винтовой микрометр,6) стальная миллиметровая линейка, 7) секундомер.

Описание метода и приборов. Прибор для определения модуля сдвига ме­тодом колебаний состоит из кронштейна, в зажиме которого укрепляется иссле­

дуемая проволока, и горизонтальной рейки К (рис. 110) с зеркальцем М, которая подвеши­вается на нижнем конце проволоки.

Зажим кронштейна можно поворачивать на небольшие углы около вертикальной оси при помощи шнурка, причем действием спи­ральной пружины зажим затем возвра­щается в прежнее положение; это дает воз­можность приводить сжтему в крутильные колебания, не сообщая ей маятпикообраз- ных колебаний. Нижняя часть прибора по­мещается в деревянном футляре для защи­ты ее от толчков и воздушных течений. На рейке К сделано четыре поперечные прореза, расположенные симметри^о на ееконцах, на расстоянии 1Х и 12 от ее

середины. Две цилиндрические гирьки Ру и Р , можно подвешивать к рейке, по­мещая их на прорезы /х (уили/2 ^Равновесие системы при обоих положениях гирек на рейке не нарушается; сохраняется постоять й и общая нагрузка про­волоки, но момент инерции системы относительно оси проволоки изменяется (теорема Штейнера, стр. 86), вследствие чего изменяется и период ее коле­баний. Зависимость между периодом колебаний и моментом инерции системыв данном случае устанавливается ф, рмулами (!') и (2), стр. 118; на основании

Рнс. ПО. Модуль сдвига, определение из колебаний.

170

этих формул для двух положений гирек па рейке, первом на расстояниях / и втором на расстояниях /2, можно написать, принимая во внимание, что имеет место кручение проволоки:

h = 1t] / y и *2 = * ] / у , (23)

где tx и (3 — периоды простого колебания системы, Jx и Jt — ее моменты инер­ции относительно оси проволоки, соответственно, при первом и втором поло­жениях гирек, а / — модуль кручения проволоки (стр. 162), величина которого остается одной и той же при обоих положениях, гирек.

Из этих уравнений находим:<? А

Т л - ™

На основании теоремы Штейнера (стр. 86) для моментов инерции Jx и J2 можно написать:

^1 2/71 ^ - | - Уд, J g = 2 т 1ч - j- ./о,

где т — масса каждой гирьки, a J0 — момент инерции рейки и проволоки отно­сительно оси вращения системы.

Исключая из последних уравнений J0 и подставляя в полученный результат вместо ег0 значение из уравнения (23'), находим:

, _ 2 m t ? ( / | — /?)

1 _ ? ? ----- *2— Г1

Отсюда на основании первого из уравнений (23) получаем:

2к"т ( / 1 — /f)/ = ■

Подставляя сюда значение модуля кручения / из формули (14), получаем:

4г mL(ll — lhN = - ------а—— • (24)

г* (t] - tf) ' '

Величины, которые входят в правую часть этой формулы, доступны непо­средственному измерению; таким образом формула (24) может служить для определения модуля сдвига N материала проволоки. Масса гирьки т опре­деляется из взвешивания; длину проволоки L, а также расстояния прорезов от середины рейки, т. е. величины 1Х и определяют непосредственным измере­нием их при помощи стальной линейки;~радиус проволоки г определяют, измеряя ее диаметр при помощи винтового микрометра; наконец, период колебания определяют, измеряя по секундомеру промежуток времени, в течение которого система совершает определенное число простых колебаний.

Измерения. 1. Определяют длину проволоки, измеряя при помощи стальной линейки с точностью до 0,5 мм расстояние между верхним и нижним зажимами проволоки; при этом измерении линейка подвешивается вертикально к верхнему зажиму прибора. Затем при помощи той же линейки измеряют, с точностьютакже до 0,5 мм, расстояния между прорезами рейки и отсюда находят 1Х и U.После этого измеряют в нескольких местах (стр. 167) диаметр проволоки при помощи винтового микрометра с точностью до 0,01 мм и находят ее радиус г.

2. Поместив гирьки на рейке в первое положение, устанавливают опти­ческую трубу и шкалу на расстоянии около 1,5 м от прибора и фокусируюттрубу на отчетливое изображение шкалы; шкалу устанавливают так. чтобы в поле трубы была видна черная вертикальная черта, нанесенная на середине шкалы. Вслед за этим приводят прибор в колебание и, наблюдая прохождение черной черты шкалы через крест нитей трубы, определяют период колебания системы tx\ для этого в один из моментов прохождения черты через крест

171

нитей приводят в действие секундомер и, отсчитав достаточно большое число простых колебаний (не менее пятидесяти), останавливают секундомер, также в момент прохождения черты через крест нитей. Затем, переместив грузы рейки во второе положение, определяют совершенно так же период колебания си­стемы в этом случае.

Из результатов всех измерений определяют по формуле (24) модуль сдвига N материала проволоки, причем необходимо обратить внимание на единицы, в ко­торых следует выражать величины т, L, I и г, если модуль сдвига вычисляется в абсолютной системе и в единицах кГ/м м 2.

1) Прибор Корню для определения коэффициента Пуассона, к нему осветитель с красным светофильтром и стеклянная пластинка, 2) проекционный прибор, 3) плоско*параллельная пластин­ка, 4) угломерный прибор.

Описание метода и приборов. Интерференционный метод Корню позволяет определять весьма точно те искривления, которые испытывает внешняя поверх­ность тонких пластинок при их изгибе, что дает возможность очень просто определять значение коэффициента Пуассона для материала пластинки. Этот метод обыкновенно применяется для прозрачных тел, но им можно пользоваться и для тел непрозрачных, например металлов.

Прибор Корню схематически изображен на рис. 111. Стеклянная пластинка /, для которой определяют коэффициент Пуассона, около 12 см длиной, положена горизонтально на острые ребра двух трехгранных призм рр, установленных

параллельно на прочной металлической платформе В, причем концы пластинки/ выдаются за ребра призм приблизительно на четверть ее длины. Две другие параллельные призмы Р\Р\, которые обращены своими острыми ребрами книзу, укреплены против концов пластинки и соединены прочными стойками с осно­ванием прибора А. Платформа В соединена с массивным винтом S, который проходит через основание прибора и оканчивается внизу головкой с двумя шпильками. Приподнимая платформу В при помощи этого винта, можно зажать пластинку / межчу ребрами всех четырех призм, которые при дальнейшем поднимании винта начинают оказывать на нее сильное давление. Вследствие этого пластинка / -выгибается, причем деформация пластинки оказывается слож­ной, и кроме продольного изгиба средняя часть пластинки испытывает еще изгиб поперечный, т. е. в направлении, перпендикулярном к длине. В резуль­тате верхняя поверхность пластинки в ее средней части принимает седлообраз­ную форму, так как продольное сечение пластинки дает выпуклую дугу окруж­ности, а поперечное сечение — вогнутую. Это, однако, удается обнаружить только очень точными методами, так как абсолютная величина стрелы прогиба продольной и поперечной деформаций пластинки должна быть очень малой вследствие большой хрупкости стекла. Для того чтобы точно определить при этом сложном изгибе радиусы кривизны двух вертикальных сечений пластинки, продольного и поперечного, Корню воспользовался явлением интерференции света (том II, глава 69), поместив на среднюю часть пластинки / вторую плоско­параллельную стеклянную п •астинку, так что между ними образуется топкий воздушный слой. Если такую систему двух наложенных друг на друга пласти­нок осветить мон ароматическим светом, например, красным, то лучи отражен­ные от обеих поверхностей, ограничивающих воздушный слой между ними, интерферируют вследствие этого поверхность раздела пластинок покрывается

РАБОТА l i e . ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПУАССОНА ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫМ МЕТОДОМ

Рис. 111. Метод Корню.

172

темными и светлыми полосами, вид которых зависит от промежуточного воз­душного слоя между пластинками и резко изменяется при изменении его толщины. При той седлообразной форме, которую приобретает внешняя повер­хность пластинки / при деформации, интерференционные полосы получают вид двух семейств гипербол, имеющих общие асимптоты (рис. 111b), угол между которыми, <р, находится в простой зависимости от отношения радиусов кривиз­ны г и R продольного и поперечного изгиба пластинки. Теория прибора пока­зывает, во-первых, что

ё 2 7?'

и, во-вторых, что отношение радиусов г и R равно коэффициенту Пуассона ц материала пластинки, т. е.

Из этих формул имеем:

Таким образом определение коэффициента' Пуассона методом Корню сво­дится к тому, чтобы, наблюдая интерференционную картину между двумя плас­тинками в отраженном свете, измерить угол <р между общими асимптотами обоих семейств гипербол, которые образуются при изгибе пластинки /.

Для этого в приборе имеется осветитель, снабженный светофильтром, который посылает на пластинки монохроматические лучи почти вертикально, и небольшой проекционный прибор с короткофокусным объективом, который дает изображение интерференционной картины на матовом стекле. Проекционный прибор укреплен на откидном штативе, так что его можно отводить в сторону и вести наблюдение непосредственно глазом. Угол между асимптотами изме­ряют небольшим чертежным угломером (стр. 35).

Измерения с прибором производятся настолько просто, что почти не нуж­даются в объяснениях. В начале следует, отведя в сторону проекционный при­бор, положить стеклянную пластинку вдоль платформы В, симметрично по отношению к ее призмам, и осторожно поднимать винт платформы, пока ребра внешних призм не начнут надавливать на концы пластинки. После этого сле­дует протереть замшей среднюю часть поверхности пластинки и положить па нее плоско-параллельное стекло, также протерев его замшей. Затем включают лампу осветителя, усиливают давление на пластинку, осторожно поднимая платформу В при помощи винта, и наблюдают вначале непосредственно глазом появление гипербол. Затем проекционный прибор ставят на место и устанав­ливают его объектив на отчетливое изображение интерференционной картины на матовом стекле. Наконец, на матовое стекло накладывают угломерный при­бор так, чтобы его центр совпадал с точкой пересечения асимптот, и измеряют (с точностью до Г) угол между ними; следует измерить в отдельности как угол *, так и дополнительный угол 180° — у и отсюда определить окончательное значение угла f . Коэффициент Пуассона вычисляют из этих результатов по формуле (25).

РАБОТА I lf . ИЗУЧЕНИЕ ВНУТРЕННИХ НАПРЯЖЕНИЙ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ ОПТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

1) Поляризационный прибор, 2) проекционный прибор с координатной сеткой на матовом стекле, 3) набор прозрачных моделей из стекла и ксилонита, 4) два винтовых пресса для моделей.

Описание метода и приборов. Тела оптически однородные, например стек­ло, целлулоид, ксилонит, под влиянием деформации обнаруживают свойства двойного преломления света (том II, глава 70), или так называемую оптическую анизотропию, которая легко обнаруживается и исследуется п о л я р и за ц и о н н ы м и методами. Это дает возможность исследовать напряжения, в о з н и к а ю щ и е в твердых телах при деформациях, оптическим методом, к о т о р ы й иногда назы­вается также фотоэластическнм; для этого наблюдают при помощи поляризаци­онных приборов п л о с к и е прозрачные модели различных м е х а н и ч е с к и х образцов.

173

Поляризационный прибор (рис. 112) состоит из поляризатора Р и анализа­тора А, к которому присоединен окуляр О. В качестве поляризатора в данной работе применяют плоскую отполированную пластину нз марблита (черное стекло); анализатором служит призма Николя. Источник света помещается вглавном фокусе линзы L\ таким образом на поляризатор, который устанавли­вается под углом полной поляризации, лучи падают параллельным пучком и, отражаясь, проходят затем через анализатор А. Модели, подвергаемые дефор­мации, устанавливаются в винтовых прессах и вводятся между поляризатором

и анализатором.С Поляризованный луч света, проходя

< через деформированную модель, разде- / ляется вследствие двойного преломле-

/ ния на два луча, обыкновенный и не-U д обыкновенный, которые выходят из пла-

___________________ zJr стинки, имея некоторую разность фаз;* приведенные анализатором к одной

плоскости поляризации, эти лучи интер­Рис. И2. Поляризационный метод. ферирук^т между собой. В результате

в поле зрения прибора появляются хрома­тические оттенки, при освещении белым светом, и теневые, т. е. темные и светлые полосы, если лучи источника света однородны в спектральном отноше­нии, например прошли предварительно через светофильтр.

Разность хода лучей, как оказывается, пропорциональна толщине пластинки и внутренним напряжениям в ней, т. е. можно написать:

i -= c T d ,

где 5 — разность хода лучей, Т — напряжение в пластинке, d — ее толщина и с — коэффициент пропорциональности, который обыкновенно называется опти­ческим коэффициентом напряж ения’, его величина зависит от материала пла­стинки и длины волны лучей.

Так как при сложных деформациях направление и величина напряжений в теле в различных точках могут быть различными, то интерференционная кар­тина, наблюдаемая в поляризационном приборе, оказывается, вообще говоря, весьма сложной. Вследствие этого изучение напряжений в теле, в особенности сложной геометрической формы, требует весьма тщательного исследования ин­терференционных картин при различных условиях, например при различных положениях тела относительно плоскости поляризации луча.

Общую картину распределения напряжений в теле можно составить только для так называемых главных средних нормальных напряжений. Оптически эти места отвечают одной и той же разности хода 8 лучей и при наблюдении в белом свете образуют непрерывные лини и одного цвета, которые принято называть изохроматическими м н иям и . При монохроматическом освещении, т. е. при наличии светофильтра, изохроматические линии представляются рез­ко видимыми линиями соответствующего цвета, разделенными темными про­межутками. В отношении напряжений изохроматические линии, как уже было сказано, представляют собой геометрические места точек, в которых разность главных средних нормальных напряжений имеет постоянную ве.;г"шну.

В данной работе изучение распределения напряжений в моделях, сделан­ных из стекла и ксилонита, ограничивается зарисовкой изохроматических линий при монохроматическом освещении. Для этой зарисовки окуляр прибора заме­няется проекционным прибором, на матовом стекле которого нанесена коорди­натная сетка.

Деформирование моделей производится при помощи винтовых прессов; один из них, напоминающий пресс, который был описан в работе 11 е, служит для изгибания моделей, имеющих вид пластинок, а другой дает возможность подвергать модели растяжению.

Измерения на приборе, ограниченные зарисовкой изохроматических линий, выполняются настолько просто, что почти не нуждаются в объяснениях. Вна­чале пользуются при наблюдениях белым светом и, установив одну из моделей, например толстую сплошную пластинку, в пресс для сжатия, наблюдают цвет­ную картину непосредственно глазом. Затем, заменив окуляр проекционным174

прибором, фокусируют его объектив на резкое изображение интерференционной картины на матовом стекле, которое следует установить так, чтобы изохро\1а- тические линии были расположены по возможности симметрично по отношению- к осям координат. Вставив в осветитель светофильтр, проверяют фокусировку прибора и зарисовывают ход изохроматических линий на листе координатной бумаги. Эти наблюдения повторяют со всеми моделями, исследуя деформацию растяжения и изгиба, причем необходимо проследить за изменением линий при изменениии величины деформирующей силы; при этом, однако, следует избе­гать излишне больших давлений, которые могли бы вызвать порчу моделей. При наблюдениях необходимо обратить внимание на влияние отверстий, имею* щихся в некоторых моделях; кроме того, весьма интересно при деформации изгиба пластинки, во-первых, проследить при белом свете направление черной линии , резко заметной между остальными цветными изохроматическими линия­ми, и, во-вторых, обратить внимание на изгибы линий в тех местах пластинки, на которые непосредственно действуют ребра призм. Черная линия соответ­ствует нейтральному слою при изгибе (стр. 163), а изгибы линий вблизи точек опоры призм указывают па неоднородное распределение напряжений.

Г Л А В А 12

ГИДРО-АЭРОДИНАМИКА

В гидро-аэродинамике изучаются явления, связанные с движением жидко­стей и газов, которые рассматриваются здесь как непрерывные среды; таким образом гидро-аэродинамика, пользуясь понятием частиц жидкости, а также та­ким понятием, как вязкость, давление, плотность и т. д., ограничивается изуче­нием только макроскопических явлений, оставляя в стороне молекулярные и атомные процессы.

Вследствие подвижности жидкостей, в противоположность твердым телам, движение одной или нескольких частиц жидкости не определяет еще движения всей ее массы, которое становится известным только в том случае, если опре­делены координаты всех частиц жидкости в зависимости от времени.

При теоретическом изучении движения жидкостей применяются два основ­ных метода:

1) Метод Лагранж а, при котором определяются в некоторой системе ко­ординат путь, скорость и ускорение всех частиц жидкости для каждого момен­та времени. Для наглядного представления о движении жидкости в целом в этом случае находят траектории различных частиц жидкости.

2) Метод Эйлера, при котором определяются величина и направление ско­рости, с которой частицы жидкости проходят через все точки пространства. Для наглядного представления о движении жидкости в целом в этом случае вводят понятие о так называемых линиях тока, т. е. о таких линиях, касатель­ные в каждой точке которых совпадают с направлением скорости частиц в этих точках.

Траектории, применяемые в методе Лагранжа, и линии тока, применяемые в методе Эйлера, в общем случае произвольного движения отличаются друг от друга, так как траектории показывают направления скоростей, которые имела одна и та же частица жидкости в различные моменты времени, тогда как линии тока показывают направление скоростей, которые имели различные частицы жидкости в один и тот же момент времени', но в некоторых ча­стных случаях движения жидкости траектории и линии тока оказываются иден­тичными.

Траектории и линии тока в жидкостях можно непосредственно наблюдать, вводя, например, внутрь потока воды порошок алюминия и затем фотографируя течение воды. Если ввести в поток воды очень немного порошка и сделать фо­тоснимок с очень продолжительной выдержкой, то на нем п0ЛУчатс^ " 'т : следы движения отдельных зерен алюминия, которые очень хорошоi вое poi з о- дят траектории частиц воды. Если же ввести в поток достаточно оольшое ко­личество порошка и сделать фотоснимок с очень небольшой выдержкой, то по-

17&

лучаются короткие следы небольших перемещений зерен, которые сливаются з сплошные линии и также хорошо воспроизводят линии тока.

Наконец, если внутри жидкости установить неподвижно маленькие кусочки красящего вещества,'например фуксина в случае воды, то вся последователь­ность частиц жидкости, прошедших через одну и ту же красящую точку, обра­зует непрерывную струйку, или линию окрашенной жидкости; это — так назы­ваемые линии отмеченных частиц.

В общем случае произвольного движения жидкости линии отмеченных ча­стиц не идентичны ни траекториям, ни линиям тока, так как они описываются разными частицами, прошедшими неподвижную точку пространства в р а з­ное время.

При движении жидкости на нее действуют, кроме силы тяжести, также си­лы давления и силы трения (вязкости). Силы давления направлены по нормалям к поверхности жидкости и вызывают изменение ее объема (деформацию сжа­тия); силы трения направлены по касательным к поверхности жидкости и вы­зывают изменение формы (деформацию сдвига). При изучении движения жидко­стей очень часто пренебрегают силами трения; это оказывается возможным по­тому, что вязкость большинства жидкостей, в том числе и таких важных в практическом отношении, как вода и воздух, очень мала. Такая воображаемая жидкость, лишенная вязкости, получила название идеальной или совершенной. Она может быть сжимаемой (идеальный газ) или несжимаемой (собственно иде­альная жидкость).

При изучении движения жидкостей принято выделять отдельные формы или виды движения, из которых основными можно считать движения: стационарное, ламинарное и турбулентное.

1. Стационарным или установившимся движением жидкости принято на­зывать такое движение, при котором скорость частиц жидкости в каждой от­

дельной точке пространства не изменяется со временем, как по величине, так и по направ­лению; вместе с тем скорость частиц жид­кости в различных точках пространства может быть различной, т. е. при переходе от одной точки пространства к другой значение скоро­сти, вообще говоря, изменяется. Для стационар­ного движения жидкости установлен ряд общих положений, которыми часто приходится поль­зоваться на практике, а именно:

а) При стационарном движении жидкости траектории Лагранжа, линии тока Эйлера и линии отмеченных частиц, очевидно, совпадают,

что следует из самого определения стационарности движения.b) Если при стационарном движении жидкости взять внутри ее малый зам­

кнутый контур и через все его точки пронести линии тока, то получается так называемая трубка тока (рис. 113), в которой жидкость будет течь как в трубе с жесткими стенками, так как, по определению, течение жидкости про­исходит по линиям тока. Скорость частиц жидкости во всех точках какого-ли­бо сечения трубки тока можно считать постоянной, так как сечение взяго очень малым. В случае несжимаемой жидкости ее масса, протекающая через любое сечение трубки тока в единицу времени, должна быть одна и та же. Поэтому, обозначая через а, и а., площади двух произвольных сечений трубки тока, через vx и v„ — скорости течения жидкости в этих сечениях и через р — плотность жидкости, имеем:

Pslvl — р32̂2>откуда

°1»1 = ®2«г, (1)

т. е. скорость движения жидкости в двух сечениях одной и той же трубки то­ка обратно пропорциональна площадям этих сечений.

c) При стационарном движении идеальной несжимаемой жидкости в поле тя­жести для каждой трубки тока имеет место так называемое уравнение Бернулли, которое выводится на основании закона сохранения энергии. При выводе уравне­ния Бернулли предполагают, что энергия некоторого об ьема жидкости, выде­ленного внутри ее общей массы, в процессе его движения сохраняет все время

Uv

постоянное значение. При этом полную энергию выделенной массы жидкости рассматривают как сумму трех слагаемых: во-первых, ее энергии движения, т. е. кинетической энергии взятой массы жидкости, во-вторых, ее потенциаль­ной энергии и, наконец, в-третьих, ее энергии давления, обусловленной тем, что выделенная масса жидкости испытывает всестороннее давление со стороны соседних масс жидкости. Полную энергию вычисляют, относя ее к единице объ­ема жидкости, обыкновенно к 1 см3, т. е. вычисляют так называемую удельную энергию жидкости; поэтому уравнение Бернулли, в соответствии со сказан­ным, принято писать в таком виде:

^" + '(ft + P = c°nst. (2)

Здесь р и y—плотность и удельный вес жидкости, которые вошли в урав­нение в результате вычисления удельны х значений кинетической и потенциаль­ной энергий v —скорость движения частиц жидкости в рассматриваемом месте, Л—его высота по отношению к некоторому уровню, принимаемому за нулевую высоту, и, наконец, р —удельная энергия давления, равная его величине в дан­ном месте жидкости.

Уравнение Бернулли, а также уравнение (1), выводятся в предположении несжимаемой жидкости, лишенной вязкости. Условия, очень близкие к этим, имеют место для большинства обычных жидкостей. Поэтому уравнением Бер­нулли и формулой (1) очень широко пользуются при исследовании стационар­ного движения жидкостей, например, при течении жидкостей в трубах, или во­ды в каналах, реках и т. д.

2. При ламинарном течении, которое иногда называется также слои­стым, движение жидкости происходит как бы отдельными, очень тонкими па­раллельными слоями, скользящими один по другому; траектории частиц жидко­сти параллельны между собой и все движение жидкости в целом соответствует движению отдельных ее частиц. Ламинарное движение может быть и стацио­нарным и нестационарным, или неустановившимся; последний случай мы имеем, например, при колебаниях жидкости в трубах.

3. При турбулентном движении, которое иногда называется возмущен­ным, движение частиц жидкости совершается беспорядочно, хаотично, частицы движутся с различными скоростями по самым разнообразным траекториям и, хотя существует основное направление течения жидкости в целом, отдельные частицы и группы их могут двигаться во всех направлениях по отношению к направлению главного движения; в каждой точке скорость все время может изменяться, т. е. движение оказывается нестационарным.

Две последние формы движения, т. е. ламинарное и турбулентное, можно непосредственно наблюдать при движении воды в стеклянной цилиндрической трубе, если вводить в нее тонкую струйку подкрашенной воды. Если начать наблюдения с очень малой скорости течения и постепенно ее увеличивать, то можно установить, что ламинарный режим существует при малых скоростях движения воды; при этом резко очерченная струйка окрашенной воды видна на всем протяжении трубы. При постепенном увеличении скоростей наступает мо­мент, когда почти внезапно устанавливается турбулентная форма течения; при этом отчетливо видимая раньше струйка окрашенной воды внезапно исчезает, смешиваясь с остальной массой воды почти на всей длине трубы, за исключе­нием небольшого начального участка; дальнейшее повышение скорости течения воды не приводит к какому-либо существенному изменению режима течения.

Движение жидкостей и газов в природных условиях в большинстве слу­чаев носит турбулентный характер, поэтому на практике турбулентным движе­ниям принадлежит очень большая роль. При переходе ламинарного течения в турбулентное изменяются величины, характеризующие движение, например со­противление течению при движении жидкости в .трубе, распределение скорости в ее сечении и т. д. Отсюда следует, что исследование условий, при которых- ламинарная- форма движения заменяется турбулентной, имеет существенное зна­чение. г ейнольдс показал, что при движении жидкости в трубе форма движения определяется величиной отношения

12 Фнзичиский практикуй

(3)

177

где v —средняя скорость движения жидкости в трубе, г—радиус трубы, a v— отношение коэффициента вязкости жидкости к ее плотности:

VР (4)

Величину v принято называть кинематическим коэффициентом вязкости жид­кости, а самое отношение (3) получило название числа Рейнольдса', оно обоз­начается символом Re. Таким образом можно написать:

Вычисляя из этой формулы размерность числа Рейнольдса, нетрудно убе­диться, что оно имеет нулевую размерность по отношению ко всем основным единицам, т. е. число Рейнольдса является величиной без размерности. Из той же формулы видно, что для одной и той же жидкости число Рейнольдса возра­стает при увеличении скорости движения v. То значение числа Рейнольдса, при котором ламинарная форма течения переходит в турбулентную, получила назва­ние критического числа Рейнольдса. Выяснение условий, от которых зависит критическое число Рейнольдса, и его определение имеет очень большое прак­тическое значение (работа 12Ь).

Если мы имеем сжимаемую жидкость, например, газ, или жидкость с боль­шим значением коэффициента вязкости, например нефть, глицерин, то, применяя уравнения (1) и (2), необходимо учитывать влияние сжимаемости и вязкости.

*Так как плотность газов очень сильно изменяется при изменении давления, то величины р и р в уравнении Бернулли для случая газов оказываются зави­сящими друг от друга; поэтому уравнение Бернулли для этого случая пишут в ином виде, а именно, разделив обе части его на плотность газа р и вводя инте­грал в последнем члене левой части, получают выражение:

где g обозначает ускорение силы тяжести, которое появилось в уравнении в результате деления удельного веса на плотность (стр. 126). Что касается вели­чины, стоящей под знаком интеграла, то, в зависимости от исследуемого явле­ния, применяют то или иное уравнение состояния газа, например применяют уравнение изотермического или адиабатного процесса, для которых зависимость между р и р имеет определенный вид. *

При некоторых условиях можно пользоваться для газов уравнением Бер­нулли и в его обычной форме (2); для большого сжатия газа необходимо боль­шое изменение давления, что не имеет места при небольших скоростях движе­ния; например, изменения объема воздуха не превышают приблизительно 1°/0, если скорость движения не превышает 50 м -сек~ 1; при скоростях до 150 м -сек ~ 1 изменение объема воздуха не превышает приблизительно 10°/0. Таким образом при небольших скоростях движения газы приближенно можно рассмат­ривать как несжимаемые жидкости, т. е. в этих условиях можно пользоваться уравнением Бернулли в обычной форме. Но если скорость движения получает большие значения, то пренебрегать сжимаемостью газов очевидно невозможно, и в этих случаях необходимо применять уравнение Бернулли в форме (6).

При исследовании движения жидкостей и газов на опыте применяются очень часто различные визуальные методы. Так, кроме уже указанных выше методов взвешенного порошка и отмеченных частиц (работа 12 Ь), применяются еще бо­лее точные оптичеькие методы (работа 12 е). Однако все эти методы служат только для качественного анализа движения жидкостей и газов, например, для определения формы движения или областей турбулентности, условий образова­ния вихревых движений и т. д.

Для количественного исследования движений, как видно из уравнения Бер­нулли, даже в простейшем случае несжимаемой жидкости, необходимо измере­ние давлений р и скоростей течения жидкости v. В наиболее простой форме эти вопросы решаются при течении жидкостей по трубам. В этом случае:

1. При измерении давлений р обычно применяются манометры или микро­манометры с жидкостью (стр. 58); их соединяют резиновой трубкой с очень

v r v гр(5)

(6)

178

небольшим отверстием в боковой стенке трубы, в которой течет жидкость. Эти приборы дают величину так называемого статического давления жидкости, которое остается постоянным во всех точках данного сечения трубы.

2. При определении скорости v приходится измерять или среднюю скорость потока или скорость в его отдельных точках. В первом случае обыкновенно измеряют расход жидкости в трубе за определенный промежуток времени (работа 12а). Измерение скоростей в отдельных точках потока является более сложным. Общепринятыми приборами при этих измерениях можно считать т рубку Пито и анемометры.

а) Трубка Пито (рис. 114) представляет собой открытую трубку небольшо­го диаметра, изогнутую под прямым углом, которую устанавливают внутри по­тока изогнутой частью параллельно направлению дви­жения жидкости, как показано на рисунке. Входя внутрь трубки, жидкость поднимается на некоторую высоту, а затем останавливается; в этом случае давле­ние жидкости непосредственно у отверстия трубки Пито уравновешивается обратным давлением столба жидкости, поднявшейся в вертикальной части трубки.Давление жидкости у отверстия трубки Пито можно рассматривать как полное давление жидкости, т. е.как сумму статического давления p s в данной точке Рис. ш . трубка Пию. потока и давления движущихся масс жидкости или такназываемого динамического давления жидкости; величина последнего, согласно уравнению Бернулли, равна ft»2/2. Таким образом для полного давления жид­кости р можно написать:

L

. ..оf v ~

P = P s + S - ’откуда находим:

21 Р — Ря(7)

Из этой формулы мы видим, что для определения скорости в какой-либо точке потока при помощи трубки Пито необходимо измерить давление р, дава­емое трубкой Пито в этой точке, и статическое давление p s в той же точке трубы.

На практике эти измерения выполняют обыкновенно так, что разность дав­лений р — p s получается из результатов одного измерения. Этого можно до-

V

1? мад

Рис. 115. Трубка Пито с манометром. Рис. 116. Аэродинамическая труба.

стичь, если отверстие О (рис. 115) в стенке трубы для измерения статического давления расположить в том же сечении трубы, где находится отверстие трубки Пито; мы предполагаем при этом, что статическое давление во всех точках од­ного и того же поперечного сечения трубы остается постоянным- И этом пред­положении манометр М, включенный, как показано на рисунке, будет опреде­лять непосредственно разность давлений полного р и статического р Г Есть трубки Пито более сложной конструкции, основанной на том же принципе, так называемые трубки Прандтля, которые дают возможность непосредственно измерять также разность давлений р —р*.

Ь) Анемометры, действие которых основано на механических и термоэлек­трических процессах, очень часто применяются при измерении скоростей, в осо- 12» 179

бенности при аэродинамических работах; описание одного из видов термоэлек­трических анемометров и производство измерений см. работу 12d.

Для того чтобы в лабораторных условиях получать потоки газа или жидко­сти, применяются 4"идро- и аэродинамические установки, чрезвычайно разнооб­разные в зависимости от специальных условий исследования. Потоки воздуха получают при помощи так называемых аэродинамических труб, которые ино­гда имеют очень большие размеры, например при работах по вопросам самоле­тостроения. При элементарных лабораторных- работах часто применяется аэро­динамическая труба Экка, небольших размеров и простой формы; она пред­ставляет собой трубу круглого или квадратного сечения (рис. 116), которая плавно суживается к выходному концу. Внутри трубы, по ее оси, укреплен на шести пружинах электрический мотор постоянного тока М с вентилятором 5; число оборотов мотора можно изменять при помощи реостата, чем достигается изменение скоростей воздушного потока. Вблизи выходного конца трубы обык­новенно ставят спрямляющую решетку В, так называемый хонейкомб.

РАБОТА 12а. ИЗУЧЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ТРУБЕ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ

1) Прибор Д. Бернулли, 2) батарея нанометров, 3) секундомер, 4) измерительный цилиндр на 2 л, 5) штанген-циркуль, 6) стальной миллиметровый масштаб.

Описание метода и приборов. Прибор Бернулли, схематически изображен­ный на рис. 117, состоит из двух баков А и В, соединенных стеклянной труб­

кой R переменного сечения, по которой вода из первого бака перетекает во второй под действием силы тяжести; разность уровней в обоих баках Н можно поддерживать постоянной при помощи крана К и сливных отверстий О и Ох. Бак В помещен на винтовом подъемном столе; воду, вытекающую из его слив­ного отверстия Of, можно принимать в большой измерительный цилиндр D, определяя таким образом расход воды в приборе, т. е. ее объем, вытекающий в единицу времени. Трубка R соединена с обоими баками при помощи гибких шлангов, не показанных на рисунке; поэтому ее наклон относительно горизонта можно изменять. Горизонтальное направление в приборе определяется положе­нием штанги N, которая устанавливается по уровню и при помощи винта 5 и служит при измерениях условной плоскостью сравнения. Для измерения давле­ний в нескольких сечениях трубки R сделаны отверстия, диаметром около 1 мм, которые при помощи резиновых шлангов соединены с манометрами, укреплен­ными на общей подставке, или с так называемой батареей манометров. Для правильной установки батареи на ее подставке имеется круглый уровень; кро­ме того, резиновые трубки у места соединения с мамометрами имеют общий зажим, что дает возможности выключать все манометры батареи. На верхнем180

конце трубки R находится подъемный затвор Р, который дает возможность останавливать движение воды.

Если разность уровней в обоих баках поддерживать постоянной, то течение воды в трубке R приобретает стационарный характер, т. е. к этому процессу можно применить уравнение Бернулли (стр. 177). При этом, однако, необходимо иметь в виду следующее.

Для некоторых дпух сечений трубки тока, взятой внутри идеальной жид­кости, уравнение Бернулли можно написать в виде:

2 2V\ Рл V% П0- ^ - + — 4 - Лх = - 1 + - + Л3. (8)2^ Т Ч Y 3

Это выражение показывает, что удельная энергия жидкости, отнесенная к единице веса, сохраняет постоянную величину вдоль всей трубки тока. Это имеет место, однако, только при условии постоянства скоростей в каждом се­чении и отсутствии потерь на преодоление трения (стр. 178). При течении реаль­ных жидкостей в трубках эти условия в полной мере не оправдываются, так как вследствие вязкости развиваются силы сопротивления соседних струй, сте­нок трубки и т п..; в частности, равномерного распределения скоростей в сече­ниях трубы не наблюдается, так как вследствие внутреннего трения скорости частиц жидкости вблизи стенок трубы быстро уменьшаются и на самых стен­ках обращаются в нуль.

В результате этого при течении реальной жидкости в трубе происходит некоторое уменьшение удельной энергии жидкости; поэтому уравнение (8) для этого случая следует написать в следующем виде:

2 2V \ Р л V % р ,

-2i + 7 +/?1==-2ir + f H~/Zl + /l' ^где Р] и v„ обозначают средние значения скоростей в первом и втором сече­ниях трубы, a h’ обозначает величину потерь удельной энергии жидкости на пути между тем и другим сечением, вызываемую силами трения. Из уравнения (8') находим:

А' = Л — v l) + ^ ( P i — P i)+ ( h — n i)- (9)I

Таким образом, если определить величину удельной энергии жидкости для того и другого сечения, то на основании выражения (9) можно вычислить величину ее потерь. В частном случае, если труба установлена горизонтально, то и 1г„ равны, и из выражения (9) получаем:

Л1' = j - (»i — t’s) + у <Pi — P-J- O')

Если в последнем уравнении пренебречь потерей энергии, т. е. допустить, что Л' равно нулю, то находим:

P i - P i = ^ ( v l - v l)- (]0>

Отсюда видно, что таи, где скорости меньше, давления должны быть больше, и, наоборот, где скорости больше, давления должны быть меньше.

Из последних уравнений мы видим, что для того, чтобы проверить прило­жимость уравнения Бернулли для случая течения воды в трубе переменного сечения, нео ходимо определить для различных сечений трубы величины v, р и Л. Величина v—средняя скорость течения — вычисляется по расходу воды, т. е. по ее объему, вытекающему из трубы в единицу времени, и площади п о п ер еч ­ного сечения трубы; очевидно, что:

v = - = - V- <П >S t nr-t ’г -е V — объем воды, вытекающей в течение t секунд, a S и г—площадь попе­речного сечения трубы и ее радиус. _ , , „,4-

Величина р —давление в потоке воды — определяется по показаниям мано­метров, причем абсолютная величина р, для определения которой неоиходимо

181

было бы знать величину атмосферного давления, может оставаться неизвестной, так как в формулы (9) и (9') входит только разность давлений, величина кото! рой определяется непосредственно из показаний манометров.

Что же касается величины Л, высоты положения оси трубки в различных сечениях, то она определяется по отношению к горизонтальной плоскости срав­нения; высота и направление последней соответствуют горизонтальному поло­жению штанги N, которое, очевидно, может быть выбрано совершенно произ­вольно, так как в указанные уравнения вновь входят лишь разности высот.

Измерения следует произвести при трех различных положениях бака В, из которых одно соответствует горизонтальному направлению трубы R.

Измерения. 1. Устанавливают батарею манометров по уровню и затем из­меряют при помощи штанген-циркуля диаметры трубы R в тех сечениях ее, ко­торые соединены с манометрами. Толщина стенок трубы для всех измеряемых сечений дается, таким образом, из этих измерений находят радиусы внутренних сечений трубы, т. е. величины г в формуле (11).

2. Штангу N при помощи винта s устанавливают по уровню и в горизон­тальном положении, затем поднимают бак В на такую высоту, чтобы ось трубы R оказалась расположенной горизонтально. Положение трубы R проверяют при помощи миллиметровой стальной линейки, измеряя на глаз, с точностью приблизительно до 0,5 ми, расстояния от штанги N до средних точек (оси) на концах трубы R; при этих измерениях глаз необходимо располагать на высоте оси трубы. Обыкновенно при установке трубы R на горизонтальность прихо­дится несколько раз изменять высоту бака В, проверяя одновременно установку шганги N.

3. Открыв затвор Р и кран К, регулируют последний так, чтобы в баках А и В установилась постоянная разность уровней. Когда это достигнуто, следует измерить расход воды в приборе. Для этого под сливное отверстие бака В под­ставляют измерительный цилиндр, одновременно включая секундомер, и опре­деляют промежуток времени, в течение которого в измерительный цилиндр по­ступает объем воды, равный 1— 2 л\ отсюда определяют расход воды за одну секунду, т. е. величину v в формуле (11). После этого открывают зажим бата­реи манометров и отсчитывают их показания; по окончании отсчетов зажим ба­тареи закрывают. Этот отсчет дает относительные величины р.

4. Закрыв кран К и затвор Р, опускают бак В на 4—5 см, проверяют установку штанги N на горизонтальность и измеряют, п о л ь з у я с ь попрежнему стальной линейкой, расстояния hb h2, h.3 и ft4 до средних точек тех сечений трубы R, которые соединены с манометрами; эти измерения дают относитель­ные значения h в формуле (9). После этого, открыв затвор Я и кран К и уста­новив постоянную разность уровней в баках, вновь определяют расход воды. Затем, открывая зажим батареи манометров, производят отсчет их показаний и по окончании отсчетов вновь закрывают зажим батареи, затвор Р и кран К.

5. Опустив бак В вновь на 4—5 см, еще раз повторяют те же измерения (высот, расхода воды и давлений), предварительно проверив горизонтальность штанги N.

Из результатов всех измерений вычисляют, для каждого из трех положе­ний трубы R в отдельности, величину потерь удельной энергии между соот­ветственными сечениями, например, между первым и вторым, первым и третьим и т. д. При вычислениях применяют уравнение (9') для горизонтального поло­жения трубы R и уравнение (9) — для ее наклонных положений.

РАБОТА 12Ь. ИЗУЧЕНИЕ ФОРМЫ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ТРУБЕ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКОГО ЧИСЛА РЕЙНОЛЬДСА ВИЗУАЛЬНЫМ

МЕТОДОМ

1) У становка Р ей н о л ь д са , 2) и зм ер и те л ьн ы й ц и л и н д р на 2 л, 3) се к у н д о м е р , 4) тер м о м етр .

Описание метода и приборов. Установка Рейнольдса, схематически изо­браженная на рис. 118, состоит из напорного бака А, наполняемого водой из водопровода через трубу с краном К\, длинной стеклянной трубы R с плавным входом (коллектором), имеющей краны К 2 и Kg, колбы М с топкой изогнутой трубкой Т с краном К 4, и второго бака В со сливным отверстием О: вытекаю­щую из последнего воду можно принимать в большой измерительный цилиндр и182

определять таким образом расход воды в приборе. Регулируя краны К\ и Кг при открытом кране /С3, можно изменять скорость течения воды в трубе R, сохраняя уровень воды в баке А постоянным; для наблюдения за уровнем воды бак А имеет водомерную трубку Ь. При постоянном уровне воды и по­стоянном положении кранов К\ и Ко скорость течения воды в трубе R будет также постоянной. В колбе М находится вода, подкрашенная какой-либо кра­ской; регулируя кран /С4, можно подобрать для струйки подкрашенной воды скорость, одинаковую с общей скоростью течения воды в трубе R; это будет заметно по виду подкрашенной струйки: ее границы, вообще размытые, при совпадении скоростей оказываются совершенно резкими. Средняя скорость

течения волы в трубе может быть определена, если известно количество воды, вытекающей за определенный промежуток времени, и поперечное сечение тру­бы (стр. 181).

Исследование формы течения состоит в том, чтобы, наблюдая вид окра­шенной струйки при различных скоростях течения воды в трубе, найти такую скорость течения, которая соответствует критическому числу Рейнольдса. При этом условии ламинарная форма течения переходит в турбулентную, и резкая граница подкрашенной струйки быстро исчезает.

Исследования однако показывают, что этот процесс может протекать с не­которыми осложнениями. Пока число Рейнольдса не превосходит критического значения (стр. 178), равного приблизительно 1000—1100, в трубе существует ламинарный режим; при значении Re больше критического режим течения пе­реходит от ламинарного к турбулентному, т. е. может быть или тем или дру гим, и, наконец, при очень больших значениях Re устанавливается турбулент­ное течение.

Более поздние исследования показали, однако, что если устранить усло­вия, которые могут вызвать начальные возмущения жидкости в трубе, то можно сохранить ламинарный режим до значений Re около 20 000—25 000 и более.

Далее было установлено, что критическое число Рейнольдса получает различные значения в зависимости от того, в каком направлении протекает процесс: если итти от ламинарной формы к турбулентной, то переход течения в турбулентный режим происходит при значениях Re, много больших, чем те, которые получаются, если итти в обратном направлении от турбулент­ного режима к ламинарному; но если течение происходит в длинной глад­кой трубе, то разница между этими двумя значениями Re становится много меньше.

Очень важным является то обстоятельство, что ламинарное течение оказы­вается неустойчивым при значениях Re, больших критического, т. е. даже малые возмущения, например сотрясение трубы, переводят течение в турбулентную форму; в то же время ламинарные течения при Re, меньших критического, являются вполне устойчивыми, т. е. при этом условии достаточно сильным воз­

183

мущением можно вызвать появление турбулентной формы течения, но лами­нарный режим вновь восстанавливается, как только будет устранена возму­щающая причина.

Таким образом приходится считать, что критическое число Рейнольд­са не является совершенно точно установленным. Но в технике для опре­деленности считается, что критическое число Рейнольдса равно для во­ды 2160, и все течения при Re, большем этого значения, относятся к турбу­лентным.

Из сказанного выше ясно, что при работе с установкой Рейнольдса необ­ходимо определять оба значения критического числа Рейнольдса, производя наблюдения как при постепенном увеличении скорости течения, так и при по­степенном уменьшении ее; в обоих случаях получаются различные значения Re, т. е. получаются верхнее и нижнее значения критического числа Рейнольдса; для их вычисления пользуются формулой (5).

Измерения. 1. При открытом кране /<"я регулируют краны Ку и Кг так, чтобы уровень воды h в напорном баке оставался постоянным; после этого при помощи крана подбирают такую скорость окрашенной струйки, при которой она резко видна на всем протяжении трубы.

2. Постепенно открывая краны К\ и /С2 и поддерживая уровень воды в баке А постоянным, увеличивают скорость течения воды в трубе; одновременно необ­ходимо увеличивать и скорость течения окрашенной струйки так, чтобы рез­кость ее границ не исчезала. Постепенное увеличение скорости продолжают до тех пор, пока не наступает характерное для турбулентного режима вне­запное перемешивание подкрашенной струйки с остальной массой воды в трубе. Эти наблюдения служат для определения верхнего значения критического числа Рейнольдса. Для этого определяют расход воды в приборе при наступ­лении турбулентного режима, пользуясь тем приемом, который был описан в предыдущей работе (стр. 182). Кроме того, необходимо измерить температуру воды в баке.

3. Те же самые наблюдения повторяют при постепенном уменьшении ско­рости воды в трубе. Для этого, постепенно закрывая краны Кх и /С2 и наблю­дая за уровнем жидкости в баке А, устанавливают такую скорость в т^убе, при которой восстанавливается ламинарная форма течения; при этом окрашен­ная струйка на всем протяжении трубы вновь становится прямолинейной, резко очерченной. Этим определяется нижнее критическое значение числа Рейнольдса. При этих измерениях вновь необходимо определить расход воды 8а одну секунДу и проверить ее температуру.

При вычислении числа Рейнольдса по формуле (5) надо знать v, г и у. Радиус трубки г дается, как некоторая постоянная прибора, что же касается величин к и », то они находятся вычислением. Среднюю скорость v определяют по расходу воды за единицу времени, пользуясь формулой (11). Кинематический коэффициент вязкости определяют по формуле (4), причем плотность воды р приближенно принимают равной 1 г-см ~ 3, а коэффициент вязкости воды ti при температуре наблюдения вычисляют, пользуясь прибли­женной формулой Пуазейля:

II = 1«о (1 +0,0338#°),

где но — коэффициент вязкости воды при температуре 0° С, значение которого берется из таблиц, и t° — температура воды при наблюдении.

В соответствии с двумя значениями v, полученными при увеличении ско­рости и при ее уменьшении, вычисляют верхнее и нижнее значения критиче­ского числа Рейнольдса.

При измерениях следует обратить внимание на одно очень интересное явление. Если наблюдения начать с небольших скоростей и медленно их уве­личивать, открывая очень осторожно кран К2, то иногда удается заметить, что перемешивание окрашенной струйки при возникновении турбулентного режима образуется не на всей длине трубы, а только в небольшой ее части, и на остальном протяжении трубы окрашенная струйка продолжает сохранять свой прежний вид. Возникшая турбулентная пробка будет двигаться вдоль трубы; когда она выйдет из трубы, то на ее месте возникнет другая турбулентная пробка и т. д. Это — явление так называемой перемежающейся т урбум нт - ности.184

РАБОТА 12с. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЙ И ПРОФИЛЯ СКОРОСТЕЙ ПРИ ЛАМИНАРНОМ И ТУРБУЛЕНТНОМ ТЕЧЕНИИ ВОДЫ

В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЕ1) Гидродинамическая установка с длинной цилиндрической трубой, 2) батарея манометров

8) две трубки Пито с микрометрическими винтами, 4) секундомер, 5) измерительный цилиндр на 2 л.

Описание метода и приборов. Водонапорный бак А (рис. 119), имеющий водомерную трубу Ь, питается от водопровода при помощи трубы с краном К\,. уровень воды Н в баке при наблюдениях поддержипается постоянным. Вода из бака А течет по длинной латунной трубе R, диаметром около 25 мм, с плавным входом (с коллектором К и краном К2 на втором конце), которая устанавливается горизонтально по уровню и при помощи винта S. Из трубы вода поступает во второй бак В, со сливным отверстием О; вытекающую из него воду можно принимать в большой измерительный цилиндр, определяя таким образом расход воды в приборе, т. е. ее объем, вытекающий в единицу времени, что дает возможность определить среднюю скорость течения воды в трубе /? (стр. 182). Регулируя краны К\ и д 2, можно устанавливать в трубе Н как ламинарный, так и турбулентный режим, переходя за пределы скоростей, от­вечающих критическому числу Рейнольдса (стр. 178). По длиие трубы R в нескольких местах, на равных расстояниях одно от другого, сделаны неболь­

шие отверстия, диаметром около I м и , которые при помощи трубочек и рези­новых шлангов соединяются с батареей открытых манометров М; зажим /> дает возможность выключать одновременно все манометры. В двух сечениях трубы R против отверстий пх и пъ сделаны еще два отверстия, в которые вставлены трубки Пито РР (стр. 179), соединенные резиновыми шлангами с двумя крайними правыми манометрами батареи; микрометрические винты, сое­диненные с трубками Пито, дают возможность перемещать их в направле­нии, перпендикулярном к оси трубы R, т. е. вдоль ее радиуса, причем в каждом положении трубки Пито можно отсчитать расстояние оси ее головки от оси трубы R.

Таким образом на этой установке можно исследовать, во-первых, падение давлений вдоль трубы R (манометры, соединенные с отверстиями в трубе)и, во-вторых, распределение скоростей, или их профиль, в двух сечениях трубы, в области ее средней части (манометры, соединенные с трубками Пито). При этом можно произвести сравнительное исследование этих величин, как прк ламинарном, так и при турбулентном режиме течения. При этих измерениях необходимо иметь в виду следующее (стр. 179).

При ламинарном и турбулентном течении жидкости в цилиндрической трубе оказываются различными как закон изменения давлений вдоль трубьг, так и рас­пределение скоростей (их профиль) в ее поперечных сечениях. Теоретические и опытные исследования этих вопросов привели к следующим о сн о в н ы м выводам:

1. При ламинарном течении жидкостей в длинной цилиндрической трубе с гладкими стенками принято считать, что:

а) падение давления, вообше говоря, определяется формулой, установлен­ной впервые из опытов Пуазейлем:

ЬР=Р\— />2 = 8 ^ , <12'

185

где р\ и р%— давления в двух сечениях трубы, I — расстояние между ними, у. — коэффициент вязкости жидкости, v — средняя скорость ее течения в трубе и г — радиус трубы.

Ь) Распределение скоростей в поперечных сечениях трубы можно выразить уравнением:

v = ^ - d \ ,13)

где Д/7, pi, / и г имеют те же значения, что и в формуле (12), a v обозначает скорость жидкости в точке, находящейся на расстоянии d от оси трубы. Из этой формулы видно, что наибольшая скорость получается в точках, где d равно нулю, т. е. на оси трубы:

(13')

а в точках, где d равно г, т. е. на стенках трубы, v оказывается равной нулю,с) Однако падение давлений, определяемое формулой (12), как оказалось,

имеет место только там, где уста­навливается параболический про­филь скоростей, определяемый формулой (13); последнее, оче­видно, должно происходить не у начала трубы, а на некотором рас­стоянии от него, за пределами так называемого начального участка трубы. Действительно, если обес­печен плавный вход жидкости в трубу, то в ее переднем сечении

профиль скоростей должен быть почти постоянным (рис. 120); далее, вслед­ствие трения о стенки трубы, происходит торможение слоев жидкости вблизи стенок, но так как количество протекающей жидкости в каждом сече­нии трубы должно быть одним и тем же, то вдоль оси трубы скорости, очевидно, должны увеличиваться. Отсюда следует, что в начальном участке трубы профиль скоростей в разных сечениях постепенно изменяется, как по­казано на рисунке; постоянный профиль параболического характера образуется только на некотором расстоянии I от начала трубы, которое зависит от числа Рейнольдса и оказывается приближенно равным:

/ = 0,25r Re. (13")

В приборе первая трубка Пито расположена в области начального участ­ка трубы. Если давления измеряются в сечениях, расположенных в на­чальном участке трубы, то разность давлений не отвечает формуле (12), иопределяется более сложным законом, который может быть выражен урав­нением

P i— P2 ~ 8 p l̂ + c .^ p v * , (12')

где р— плотность жидкости и с — коэффициент, который зависит от положе­ния сечений трубы, отвечающих давлениям р, и р 5.

2. При турбулентном течении жидкости в длинной цилиндрической трубе из опытов было найдено, что:

а) падение давлений следует совершенно иному закону, который прибли­женно выражается формулой:

д/’= л- л= 4 рт’ (14)

к

e lО 0,25 г Яе

Рис. 120. Профиль скоростей при ламинарном те­чении.

где I, г и v имеют прежние значения, р обозначает плотность жидкости и X —186

коэффициент, зависящий от числа Рейнольдса. Для значений числа Рейнольдса, не превышающих 50 ООО, его принимают равным:

л = 0,133 (15)

где Re определяется формулой (5).b) Распределение скоростей в поперечных сечениях также оказывается со­

вершенно иным; профиль скоростей, как видно из рис. 121, круче падает у стенок трубы и оказывается более близок к равномерному, чем в случае ла­минарного течения.

c) Начальный участок в трубе при турбулентном течении имеется, и на его протяжении происходит постепенное изменение профиля скоростей, начиная от равномер юго распределения их у входа в трубу; однако начальный участок при турбулентном течении короче, чем при ламинарном. Вместе с тем оказалось, что предель­ный профиль скоростей при турбулентном течении, так же как и при ламинарном, зависит от числа Рейнольдса.

Все эти выводы можно считать справедливыми только в случае цилиндрических труб с гладкими вну­тренними стенками, и для течения жидкости в трубах с шероховатыми стенками как при ламинарном, так и при турбулентном режиме наблюдаются нные законо­мерности.

Из формул (12) и (14) следует, что для того, чтобы определить изме­нение давления между двумя сечениями трубы, надо знать при лам инарном течении величины ц, /, v и г, а при т урбулент ном течении — вели­чины I V , г и р.

Из этих величин средняя скорость течения v и расстояние между сечения­ми / определяются из измерений; что же касается остальных величин, то зна­чение коэффициента вязкости волы и- при температуре наблюдения берут из таблиц, плотность воды р принимают равной 1 г-см ~ s, радиус внутреннего се­чения трубы г дается как некоторая постоянная прибора и, наконец, значе­ние коэффициента X находят из уравнения (15), вычисляя соответствующее значение числа Рейнольдса по формуле (5). Таким образом правые части уравнений (12) и (14) могут быть вычислены на основании измерений вели­чин I и V.

С другой стороны, значения левых частей уравнений (12) и (14), т. е. раз­ность давлений между двумя сечениями трубы, определяются непосредственно по показаниям манометров. Действительно, давление в некотором сечении, оче­видно, равно атмосферному давлению, сложенному с добавочным давлением, определяемым по показанию соответствующего манометра. Таким образом можно написать:

P = P a + h Т.

где *р — давление в некотором сечении, ра — атмосферное давление, h — пока» зание соответствующего манометра и у — удельный вес воды, который прини­мается равным 1 Г -см -ъ . Отсюда для разности давлений в двух сечениях трубы находим:

Pi — Ръ — t (hi — ^г),

где и /г2 — показания соответствующих манометров.Таким образом значения разности давлений, полученные из уравнений

(12) и (14) на основании измерений величин / и v, можно сравнить с их значе­ниями, полученными из показаний манометров. Такое сопоставление дает воз­можность при ламинарном режиме определить для начального участка труоы величину поправочного члена, определяемого формулой (12'), а при турбулент­ном режиме определить значения I.

Что касается измерений при помощи трубок Пито, то они дают возмож­ность непосредственно определить профиль скоростей в двух сечениях труоы, из которых первое лежит для ламинарного и турбулентного режима в ооласти

187

э/

Рис. 121. П р о ф и л ь скоро­стей при турбулентном

т е ч ен и и .

начального участка трубы, а второе — за его пределами также для обоих р е­жимов, если подобрать соответствующие скорости течения. При измерениях с трубкой Пито скорость течения, в соответствии с выражением (7), может быть определена по формуле:

vr ~ ] / ~ 2 {Р ~ Ps) V ‘I z ih p — h), (17)

где v r — скорость жидкости в данной точке, т. е. на расстоянии г от оси трубьг, hp — показание манометра, соединенного с трубкой Пито (полное давление жидкости), и Л — показания манометра, установленного в том же сечении трубы у ее стенки (статическое давление).

Измерения. 1. Закрывают зажим батареи манометров, микрометрические винты обеих трубок Пито вывинчивают до отказа и, открыв краны К\ и А",, пускают в прибор слабую струю воды. Затем проверяют горизонтальнс поло­жение трубы R, исправляя его, если оказывается необходимым, при помощи винта 5, и измеряют расстояния между сечениями трубы, к которым присоеди­нены манометры. Эти измерения производят на глаз при помощи стальной ли­нейки с точностью приблизительно 0,5 мм.

2. Определяют среднюю скорость течения воды в трубе, измеряя ее расход (стр. 182), и, регулируя краны Кх и К.„ устанавливают в трубе заведомо ламинарный режим так, чтобы числа Рейнольдса не превышало 200—300; в соответствии с этим длина начального участка трубы, согласно формуле (13"), не будет превышать 150 см. Одновременно следует опреде­лить температуру воды в приборе, необходимую для вычисления числа Рей­нольдса.

3. Открывая зажим батареи манометров, отсчитывают их показания во всех сечениях трубы и переходят к измерениям с трубками Пито. Для этого микрометрический винт первой трубки ставят на нулевое деление, микро­метрический винт второй трубки оставляют в прежнем положении (выдвинут до отказа); при этом положении микрометрических винтов головки трубок Пито расположены: первой на оси трубы [величина d в формуле (13) равна нулю] и второй непосредственно у стенки трубы (величина d в той же формуле рав­на г). В этом положении первой трубки Пито производят отсчет ее манометра и одновременно проверяют показание манометра, соединенного с тем же се­чением трубы. Затем, выдвигая постепенно микрометрический винт, каждый раз на один оборот, т. е., смещая головку первой трубки на один милли­метр, производят отсчеты ее манометра и одновременно проверяют показа­ния манометра, соединенного с тем же сечением трубы; последний отсчет делают, когда винт в первой трубке выдвинут до отказа. Затем, оставляя винт первой трубки Пито в этом положении, винт второй трубки ставят на ну­левое деление и повторяют со второй трубкой Пито те же самые измерения.

4. Закрыв зажим батареи манометров, доводят при помощи кранов /С]И Къ скорость течения воды в трубе до такой величины, при которой число Рей­нольдса получает значение, равное приблизительно 2000, так что в трубе уста­навливается турбулентный режим. При этом обыкновенно приходится, определяя скорость течения, несколько раз измерить расход воды; кроме того, необходи­мо еще раз определить ее температуру. После этого повторяют все измерения, которые были проделаны при ламинарном режиме, т. е. отсчитывают показа­ния манометров, соединенных со всеми сечениями трубы, и выполняют измерения скоростей в обоих сечениях последовательно с той и другой труб­кой Пито.

Из отсчетов показаний манометров по формуле (16) определяют разность давлений в двух соседних сечениях трубы, отдельно для ламинарного и турбу­лентного режима, и сопоставляют ее величину с той, которая получается из формул (12) и (14). Из результатов, полученных с трубками Пито, вычисляют по формуле (17) для каждого из сечений значения скорости- на различных рас­стояниях d от оси трубы и строят профиль скоростей при ламинарном и тур­булентном режиме; по оси абсцисс откладывают скорости, а по оси ординат — расстояния d до оси трубы, определяя их по отсчетам микрометрических винтов. При этом допускается, что нулевое положение микрометрических вин­тов обеих трубок Пито отвечает оси грубы, и вторую половину графика строят симметрично с первой, полученной на основании измерений.188

РАБОТА 12d. ИЗУЧЕНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ СВОБОДНОЙ ВОЗДУШНОЙ СТРУИ ПРИ ПОМОЩИ ТЕРМОАНЕМОМЕТРА

1) Аэродинамическая установка лля получения свободной воздушной струи с моторы* Я реостатом, 2) калибрированная трубка Пито с микроманометром, 3) термоанемометр на подстав­к а 4) миллиамперметр, 5) точный реостат, 6) струнный мостик Уитстона с магазином сопротив­лений, ?) микроамперметр, 8) батарея аккумуляторов.

Описание метода и приборов. Небольшая аэродинамическая труба Экка (стр. 189) А (рис. 122) круглого, сечения посылает так называемую сво­бодную струю воздуха, т. е. воздушный поток, который втекает с некоторой постоянной скоростью внутрь окружающих неподвижных масс воздуха; ско­рость вращения вентилятора можно изменять при помощи реостата, получая таким образом воздушные струи с различными значениями начальной скорости. По выходе струи из трубы постоянство скорости быстро нарушается, так как вследствие трения слои воздуха, прилегающие к струе, получают сдвиги, что вызывает образование завихрений как во внешней части струи, так и в ближай­ших к пей слоях воздуха. В результате область струи, в которой скорость

Рис. 122. Профиль скоростей свободной воздушной струи.

сохраняет свое начальное значение, сокращается, величина скоростей в направ­лении к внешней части струи уменьшается до нуля, а сечение струи постепенно расширяется. Таким образом распределение скоростей в свободной воздушной струе, или, как принято говорить, ее поле скоростей, оказывается очень слож­ным, в особенности, если принять во внимание завихрения на внешней стороне струи, где скорость изменяется по величине и направлению. В простейших слу­чаях обыкновенно ограничиваются определением составляющих скорости, парал­лельных оси X, т. е. параллельных оси трубы А, производя измерения на раз­личных расстояниях от ее конца; считая, что при круглом сечении трубы А поле скоростей симметрично относительно оси X, можно эти измерения огра­ничивать, очевидно, каким-либо одним направлением, перпендикулярным к оси X, например направлением, параллельным оси У. • Измерения начинают в точках, которые лежат на оси X, и доводят их до тех точек, где составляющая ско­рости вдоль оси X становится равной нулю.

При исследовании поля скоростей в данной работе применяется так назы­ваемый термоанемометр, который дает возможность определять величину скорости в отдельных точках газовой струи. Действие термоанемометра осно­вано на процессе охлаждения нагретого тела струей газа. Если в струе газа нагревать электрическим током металлическую проволоку, то ее температура при стационарном состоянии будет определяться, во-первых, количеством теп­лоты, выделяемой в проволоке током, и, во-вторых, количеством теплоты, пе­редаваемой струе газа. Первая величина при постоянной силе тока будет также постоянна, а вторая величина, очевидно, будет изменяться при изменении ско­рости струи. Таким образом температура проволоки, нагреваемой током по­стоянной силы, будет изменяться при изменении скорости струи, а с изменением температуры проволоки изменяется ее электрическое сопротивление. Точно так же можно сказать, что для нагревания проволоки до одной и той же тем­пературы при различных скоростях струи потребуются р азл и ч н ы е силы тока. Отсюда следует, что измерение скорости струн таза можно заменить измере­нием силы тока или электрического сопротивления, т. е. тех величин, которые

189

можно измерять с большой степенью точности (стр. 59 и 71). Эти соображения и положены в основу устройства термоанемометров.

В обычной форме этот прибор состоит из небольшого отрезка очень тон­кой платиновой проволочки, диаметром 0,01—0,02 мм, который приварен к двум медным проволокам с клеммами, изолированным друг от друга обшей опра­вой. Термоанемометр Г (рис. 123) включается в цепь мостика Уитстона (стр. /1), причем в цепи аккумулятора Е, питающего мостик, введены последова­тельно точный миллиамперметр тА и реостат /?; это даст возможность регу­лировать и измерять силу тока, посылаемую аккумулятором в цепь мостика. Для измерения скоростей в отдельных точках воздушной струи термоанемометр укрепляется на подставке, которая может двигаться по двум направлениям,

параллельно оси трубы А и перпендикулярно к ней, т. е. по направлениям осей X и / , вдоль которых на подстаике прибора укреплены две миллимет­ровые шкалы.

При работе с прпбором в нем устанавливают такую силу тока, чтобы платиновая проволочка термоанемомстра нагревалась до желтого каления (температура около 1000°С), если прибор нахо­дится в покоящемся воздухе при обычных условиях', эту начальную силу тока /0 изме­ряют миллиамперметром тА. Одновременно уста­навливают мостик Уитстона на нулевое отклоне­ние гальванометра G; отсюда можно определить начальное сопротивление г0 проволочки при темпе­ратуре накала, но для дальнейших измерений в определении абсолютной величины сопротивления термоанемометра нет необходимости, и обыкно­венно ограничиваются только установкой мостикана нулевое отклонение гальванометра. Если затем термоапемометр ввести в струю воздуха, то тем-

Рис. 123. Термоанемометр в цепи пература проволочки понизится, в соответствии мостика. с этим ее сопротивление уменьшится и установка

мостика Уитстона па нулевое отклонение гальва­нометра окажется нарушенной. Если увеличивать силу тока в цепи мостика, то можно восстановить начальную температуру проволочки термоанемометра; при этом условии восстанавливается ее начальное сопротивление г0, и гальванометр мо­стика вновь обнаруживает нулевое отклонение. Силу тока, при которойэто наблюдается, определяют по миллиамперметру тА. Таким образом, изме­рение скоростей воздушной струи сводится к измерению миллиамперметром тА тех сил тока, при которых восстанавливается нулевое отклонение гальвано­метра, установленное при начальных условиях; при этом всегда восстанавли­вается начальная температура ниточки и ее начальное сопротивление л0. Измерение силы тока миллиамперметром тА и установка мостика на нулевое отклонение гальванометра могут быть выполнены с большой точ­ностью.

Хотя при небольших размерах* проволочки термоанемометра можно изме­рять скорости в отдельных точках воздушной струи, т. е. исследовать ее после скоростей, однако при практическом применении прибора встречаются некото­рые затруднения, которые объясняются следующими причинами. Исследования показал*), что отдача тепла накаленной нитью струе газа определяется не толь­ко скоростью струи, но и некоторыми другими величинами, которые зависят от физический природы газа и его состояния, например, теплопроводностью, плот­ностью и др. Таким образом показания термоанемометра в различных газах при совершенно одинаковых прочих условиях будут различными. Выражение для стационарного состояния термоанемомстра в струе газа на основании тео­рии этого прибора можно в общем виде написать в такой форме:

Р г = с1у 1 7 + с 2. (18)

В правую часть этого выражения входит скорость струи v и два коэффи­циента Cj и сг\ левая часть, произведение квадрата силы тока i2 в проволочке на ее сопротивление г, является величиной, по закону Джауля-Ленца, пропорцио-

Т

19 0

налыюй количеству теплоты, выделяемой в проволочке электрическим током. Так как, в соответствии с методом измерений, указанным выше, сопротивление проволочки всегда приводится к его начальному значению г0, то выражение (18) можно написать так:

где с — некоторый новый постоянный коэффициент.Из последнего выражения мы видим, что последний член в правой части

представляет собою квадрат начальной силы тока /0 в термоапемометре, отвечающей скорости струи, равной нулю (р=0). Таким образом выражение (18) можно окончательно написать в виде:

Для того чтобы из выражения (19) можно было определить величину v нг основании измерений величин i и г0, необходимо знать коэффициент с, кото­рый зависит от многих величин, как то: от размеров проволочки термоанемо­метра, ее температуры, от физических условий в струе газа и т. п. Поэтому коэффициент с трудно поддается вычислению, и на практике принято опре­делять его опытным путем, сравнивая показания термоанемометра при опре­деленных скоростях струи с показаниями, которые дает в тех же условиях точно калибрированная трубка Пито (стр. 179). В формулу (19) входит г0, т. е. начальная сила тока, кроме того, при работе в воздухе с зависит от атмосферных условий; отсюда видно, что калибрирование термоанемометра следует повторять при каждой новой серии измерений, так как обеспечить при "всех измерениях с прибором полное постоянство начальных условий яв­ляется невозможным.

Измерения. 1. Термоанемометр устанавливают на оси трубы А непосред­ственно у ее выхода; для этого следует нулевые деления на его подставке совместить с нулевыми делениями на шкалах. Рядом с термоанемометром, на расстоянии около 1 см от него, устанавливают трубку Пито, проверяют ее соединение с микроманометром и устанавливают его по уровню. Затем, собрав приборы по схеме (рис. 123), подбирают в термоанемометре такую силу тока, чтобы ниточка прибора оказалась нагретой до желтого каления; отсчет соответ­ствующих показаний миллиамперметра тА определяет начальную силу тока /0. Одновременно устанавливают мостик Уитстона на нулевое отклонение гальвано­метра G. Эта установка при всех измерениях остается неизменной и поэтому в дальнейшем не следует касаться ползушки мостика.

2. Поставив реостат вентилятора на наибольшее сопротивление и включив мотор, получают слабую струю воздуха; в этих условиях отсчитывают показа­ние микроманометра трубки Пито и показания миллиамперметра тА, подобрав в его цепи такую силу тока, при которой восстанавливается нулевое отклоне­ние гальванометра мостика. Уменьшая сопротивление реостата, постепенно увеличивают скорость вентилятора и каждый раз отсчитывают показания мик­романометра и термоанемометра. Таких сравнительных отсчетов следует сде­лать не менее десяти при возрастающих скоростях струи; последний отсчет де­лают при выключенном вполне реостате вентилятора.

3. После этого трубку Пито убирают, термоанемометр оставляют на преж­нем месте и, несколько уменьшив скорость вентилятора, измеряют показания термоанемометра, перемещая его от оси трубы к ее периферии. Термоанемо­метр перемещают каждый раз приблизительно на 1 см, отсчитывают ею поло­жение на шкале и показания миллиамперметра тА, которые в этом случае остаются постоянными, в соответствии с постоянным значением скорости струи непосредственно у выхода трубы А. , .

4. Термоанемометр возвращают в прежнее положение на ось трубы л . затем отодвинув его по оси X на 20 см, повторяют те же измерения в новом сечении струи, т. е. на расстоянии 20 см от конца трубы А. Отодвигая тер-

p = c Y v + e± ’

Р = с V v -Г 1\(181)

отсюда находим:

(19)

191

■моапемометр к периферии струи, следует дойти до тех точек, где получается нулевое значение скорости, при этом условии отсчет миллиамперметра должен давать начальное значение силы тока /0.

5. Те же самые измерения повторяют еще в нескольких сечениях струи, отодвигая термоанемометр вначале на 20 см, а затем на 30—40 см. При каждом отсчете показаний термоанемометра надо отсчитывать его положение по обеим шкалам; перемещая термоанемометр в направлении к периферии струи, следует доходить до тех точек, в которых получаются нулевые значения скорости. Измерения прекращают на таком расстоянии от конца грубы, при котором от­счеты показаний миллиамперметра тА дают значения, близкие к /0, т, е. на таком расстоянии, где значения скорости становятся близкими к нулю.

Из результатов всех измерений следует, во-первых, построить кривую калибрирования термоанемометра, и, во-вторых, составить графическое изоб­ражение поля скоростей свободной воздушной струи.

Для того чтобы построить кривую калибрирования термоанемометра, вы­числяют из отсчетов микроманометра трубки Пито скорости воздушной струи в м -сек~ 1; эти вычисления производят по формуле (7). Полученные значения скоростей откладывают по оси абсцисс, а по оси ординат откладывают отсчеты миллиамперметра тА, полученные при тех же скоростях в процессе сравнения показаний термоанемометра и трубки Пито. В результате получают кривую калибрирования термоанемометра, по которой можно отсчитать скорость воз­душной струи непосредственно в м -сек - 1 для любой силы тока i в цепи тер­моанемометра.

Пользуясь кривой калибрирования, отсчитывают по ней величину скоростей в м -сек - 1 для всех значений i, полученных при измерении поля скоростей. Эти результаты изображают графически, откладывая по оси абсцисс расстояния меж­ду сечениями и величину скоростей в условном масштабе, а по оси ординат—по­ложение термоанемометра по отношению к оси трубы А, подобно тому, как это изображено на рис. 122. При этом допускают, что ось X соответствует оси трубы А, и вторую половину графика строят симметрично с первой, построен­ной на основании результатов непосредственных измерений.

РАБОТА 12е. ИЗУЧЕНИЕ ВОЗДУШНЫХ ПОТОКОВ ОКОЛО ЦИЛИНДРА И КРЫЛА АЭРОПЛАНА ОПТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

1) Аэродинамическая труба Экка с кронштейном, 2) оптическая установка (конденсор п линза), 3) точечный источник света, 4) электрический нагрепатель на штативе с реостатом, 5) модель круглого цилиндра и крыла аэроплана, 6) модель вращающегося цилиндра, 7) экран.

Описание метода и приборов. Явления, которые возникают при обтекании жидкостью твердых тел, в основном одинаковы в потоках жидкостей и газов. Если в потоке жидкости находится неподвижный цилиндр (рис. 124 а), ось ко­

торого расположена перпендикулярно к направлению движения потока, то в се­редине передней части цилиндра, в так называемой критической точке а, поток раздваивается, обтекая цилиндр симметрично с обеих сторон. На некотором рас­стоянии от точки а, в точках Ьх и Ь2, начинают возникать завихрения; это так называемые точки схода потока, которые расположены на поверхности ци­линдра под некоторым углом по отношению к точке а. Положение точек by и Ьг, симметричное по отношению к потоку при неподвижном цилиндре, изме­192

няется, если цилиндр начинает вращаться относительно своей оси. В этом слу­чае точки Ьх и 62 перемещаются в направлении вращения (рис. 124 Ь) в новые положения Ьх и Ь2- При постепенном увеличении скорости вращения обе точки сближаются и, наконец, сливаются в одну точку, которая затем отходит от по­верхности цилиндра; при дальнейшем увеличении скорости вращения цилиндр оказывается окруженным кольцами вращающейся с ним жидкости, которые об­текаются внешним потоком.

Очевидно, что скорость течения потока вблизи поверхности вращающегося цилиндра в двух противоположных областях А и В должна быть различной; в области А скорость должна быть больше, чем в области В, так как частицы газа увлекаются поверхностью цилиндра, и в области А направление потока и направление вращения цилиндра совпадают, тогда как в области В эти на­правления противоположны. В соответствии с уравнением Бернулли (стр. 176) различное значение скоростей потока около цилиндра вызывает неравномерное распределение давлений жидкости на его поверхность; с той стороны, где ско­рости меньше, давление должно быть больше. Так, при направлении движений, указанном на рисунке, это давление, очевидно, направлено вертикально снизу вверх. Таким образом цилиндр, вращающийся в потоке жидкости, испытывает од­ностороннее давление, направленное перпендикулярно к направлению движения жидкости; это явление получило название эффекта Магнуса.

Рис. 125. Крыло к потоке.

Если в потоке жидкости находится неподвижное тело более сложной гео­метрической формы, например крыло аэроплана, то также могут возникать дав­ления, направленные перпендикулярно к направлению движения потока, вели­чина которых зависит от положения крыла в потоке. Сечение (профиль) крыла аэроплана обыкновенно имеет вид, изображенный на рис. 125 а. Положение крыла в потоке принято определять так называемым угло м атаки, т. е. углом о, который образует направление движения потока с хордой крыла; последним термином называют длину /, равную расстоянию между крайними точками се­чения крыла. При обтекании крыла жидкостью на его поверхности также по­является критическая точка я (рис. 125Ь) в передней части крыла и точки схода О] и У конца его сечения. При некотором угле атаки скорость потока в пограничном слое над крылом становится больше, чем под ним; вследствие этого и в этом случае, так же,как при вращающемся цилиндре, возникает не­которое избыточное давление, направленное в сторону возрастающих скоростей. При положении крыла в потоке, указанном на рис. 125 Ь, это давление направ­лено вертикально снизу вверх; величина этого давления определяет так назы­ваемую подъемную силу крыла аэроплана.

Кроме эффекта Магнуса для вращающегося цилиндра и подъемной силы для крыла необходимо еще принимать во внимание так называемое ло ' овое со­противление, возникающее для всех тел при обтекании их жидкостью вслед­ствие избыточного давления потока на переднюю часть тела.

Для изучения описываемых явлений в данной работе применяется оптиче­ский теневой метод, который основан на следующем явлении: если в расходя­щемся пучке лучей, получаемых от точечного источника света, в некоторых местах возникают небольшие изменения плотности воздуха, то па экране это выявляется как отчетливо видимый теневой эффект; небольшое местное изме­нение плотпости воздуха может быть вызвано его местным нагреванием, вве­дением другого газа и т. п. В данной работе применяется местное нагревание воз­духа при помощи небольшого электрического нагревателя, ток в котором pel у- -шруется при помощи реостата. Оптическая часть установки состоит из точечного

19313 Физический практикум

источника света 5 (рис. 126) и линзы L, которая делает пучок лучей слабо расходя­щимся; лучи падают на экран Е, который должен иметь чисто белую, матовую поверхность. Модели цилиндра или крыла, освещаемые световым пучком, укре­пляются на кронштейне аэродинамической трубы вблизи ее выходного конца, т. е. в равномерном поле скоростей (стр. 189). Электрический нагреватель, вы­зывающий местное изменение плотности воздуха, состоит из нескольких натя­нутых параллельных проволочек (рис. 127), изолированных в общей оправе п нагреваемых электрическим током; над каждой из проволочек образуется вос­ходящий ток воздуха уменьшенной плотности. Нагреватель укрепляют на шта­тиве и устанавливают вблизи моделей с той стороны их, которая исследуется.

Измерения. 1. Устанавливают модель неподвижного цилиндра В (рис. 126) на кронштейне аэродинамической трубы и, зажигая точечную лампу, распола-

ч

\ |Рис. 126, Теневой метод. Рис. 127. Электрический нагреватель.

гают приборы так, чтобы образующая цилиндра была направлена параллельно оси оптической установки; при этом условии на экране получается резко види­мое теневое изображение Р сечения цилиндра, т. е. правильный темный круг. Электрический нагреватель устанавливают так, чтобы его проволочки шли па­раллельно образующей цилиндра. Затем включают мотор аэродинамической трубы п при постоянной скорости потока, подбирая соответствующий ток в нагрева­теле, наблюдают и зарисовывают общую картину обтекания воздухом неподвиж­ного цилиндра, отмечая положение на его поверхности точки раздвоения по­тока а и точек схода Ьг и Ь2.

2. Те же наблюдения повторяют последовательно с моделью вращающегося цилиндра при различных скоростях его вращения и с моделью крыла при раз­личных углах атаки. В обоих случаях следует зарисовать общую картину обтекания, отметить положение точек а, Ьх и Ь2 и проследить за их переме­щением по поверхности цилиндра и крыла.

РАБОТА 12f. ИЗУЧЕНИЕ ЭФФЕКТА МАГНУСА И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯРЫКРЫЛА АЭРОПЛАНА

1) Аэродинамическая труба Экка, 2) аэродинамические весы, 3) трубка Пито с манометром, 4) модель ротора Магнуса с мотором постоянного тока и крыла аэроплана с угломером.

Описание метода и приборов. Вблизи аэродинамической трубы Экка (стр. 179), Несколько сбоку ее, установлены аэродинамические весы, коромысло которых может двигаться в двух плоскостях, в вертикальной и в горизонтальной, при­чем конструкция коромысла такая же, как у весов Роберваля, т. е. основана на принципе шарнирного соединения; вследствие этого тело, укрепленное на кон­цах коромысла весов, при движении в обоих плоскостях остается параллельным самому себе. Два арретира весов позволяют включать каждое из движений в отдельности, так что весы могут двигаться только в вертикальной или только в горизонтальной плоскости; при одновременном выключении обоих арретиров весы освобождаются вполне, т. е. движутся в обеих плоскостях. На одном конце коромысла имеются две чашки, для сообщения весам нагрузки в вер­тикальной и горизонтальной плоскостях; второй конец коромысла оставлен свободным. При наблюдениях с весами на этом конце укрепляют модели исследуемых тел, причем весы располагают так, чтобы модели находи­лись вблизи выходного конца аэродинамической трубы, т. е. в равномер­ном поле скоростей; над моделями в том же сечении поля скоростей поме­шают калибрированную трубку Пито (стр. 179), которая служит для опре­194

деления абсолютного значения скорости воздушного потока в том сечении его, где расположены модели. Исследуются модели так называемого ротора Маг­нуса а крыла аэроплана. Ротор Магнуса представляет собой легкий цилиндр, который можно приводить во вращение при помощи маленького электрического мотора постоянного тока; скорость вращения мотора можно изменять при по­мощи реостата; для уменьшения влияния свободных концов ротора на них укреплены шайбы. Измерения сводятся к тому, чтобы количественно опреде­лить величину эффекта Магнуса на модели ротора, подъемную силу модели крыла и лобовое сопротивление обоих моделей. При измерениях необходимо иметь в виду следующее.

1. Эффект М агнуса. На цилиндр, вращающийся в потоке жидкости (стр. 192), действуют две силы: сила Fx (рис. 128) в направлении движения потока и сила Fv — в направлении, ему перпендикулярном. Для того чтобы в таких условиях цилиндр удержать в равновесии, необходимо приложить к нему две силы, по величине равные силам Fx и Fy, но обратные по знаку, т. е. силы — Fx и — Fy. Эти силы и определяют силу эффекта Магнуса ( — Fy) и силу лобового сопротивления цилиндра ( — Fx). Величина той и другой сил зависит от ско­рости вращения цилиндра и скорости течения потока.

Силы Fx и Fy принято выражать в зависимости от отношения u/v, где и — линейная скорость точек на поверхности цилиндра, a v — скорость движе­ния потока; величина и, очевидно, определяется выражением

и = и>г = 2м г, (20)

где м — угловая скорость вращения цилиндра,/! — число его оборотов в се­кунду и г — радиус цилиндра. Исследования показали, что сила Fy, т. е. эффект Магнуса, при увеличении отношения и к v возрастает, но только до некоторого предела и при дальнейшем увеличении отношения и к v сила Fy начинает уменьшаться. Сила Fx, т. е. лобовое сопротивление цилиндра, при увеличении отношения и к v непрерывно возрастает, вначале очень медленно.

Таким образом измерения, в случае ротора Магнуса, сводятся к тому, чтобы, установив постоянное значение скорости потока v, найти величины сил Fx и Fy при различных скоростях вращения цилиндра и вычертить графически их зави­симость от отношения и к v. Силы Fx и Fy определяют из показаний аэроди­намических весов, а скорость v — из показаний трубки Пито; линейную скорость вращения ротора и вычисляют по уравнению (20), измерив число оборотов мо­тора в секунду.

2. Поляра коыла. Крыло в потоке жидкости (стр. 193) также испытывает действие двух сил: силы Fx (рис. 129) в направлении движения потока и силы Fy в направлении, к нему перпендикулярном. Для того чтобы в таких условиях удержать крыло в равновесии, необходимо, так же как и в случае цилиндра, приложить к нему две силы, — Fy и — Fx. В результате возникает подъемная сила крыла — F y и его лoбoвoJ сопротивление — Fx . На практике первая сила (— Fy) возникает, очевидно, в результате действия веса самого крыла и той нагрузки, которую оно песет. Силы Fx и Fy зависят от угла атаки. Ьсли скорость потока остается постоянной, то, как показывают исследования, эта зависимость выражается следующим образом: сила Fу, т. е. подъемная сила крыла, при увеличении угла атаки а также возрастает, если скорость потока 13* 195

остается постоянной, но только до некоторого предела, и при дальнейшем уве­личении угла атаки « сила Fy начинает уменьшаться. Сила Fx, т. е. лобовое сопротивление крыла, при увеличении угла атаки а, непрерывно возрастает до некоторого предельного значения при а, равном 90°.

Сравнивая эти результаты с тем, что имеет место в случае цилиндра,можно видеть полную аналогию явлений, если сопоставить угол атаки а в случае крыла и отношение скоростей u / v в случае цилиндра. В обоих случаях ло­бовое сопротивление растет непрерывно при увеличении угла а и увеличении отношения u / v , а подъемная сила и эффект Магнуса достигают наибольшей величины при определенном значении а и отношения u / v , а затем начинают уменьшаться.

Подъемную силу крыла и его лобовое сопротивление в аэродинамике при­нято выражать в таком виде:

р у = Су ' \ ?v2 S < FX = C X. \ pvtS , (21)

где p — плотность воздуха, v — скорость движения воздуха, 5 — площадь крыла, а Су и Сх, соответственно, коэффициент подъемной силы и коэффициент лобо­вого сопротивления. Так как силы Fy и Fx зависят от угла атаки а (при по­стоянной скорости потока V , см. выше), то, очевидно, коэффициенты Су и Сх также зависят от угла атаки. Определяя их величину из формул (21), находим:

2 F ,pV'H ' (21 ')

Из этих формул мы видим, что коэффициенты Су и Сх представляют собой удвоенные величины подъемной силы и лобового сопротивления крыла, отне­

сенные к единицам плотности, скорости и площади. Формулы (21) не являются вполне точными, поэтому, применяя их на практике, необходимо вводить некоторые поправки.

Измерения в данной работе сводятся к тому, чтобы определить по показаниям аэродинамических весов значения Fy и Fx при различных углах атаки a :i скорость потока v определяется из пок- " с*к$} трубки Пито, площадь крыла S дается как некото­рая постоянная прибора, а плотность воз­духа р берется из таблиц.

Из результатов измерений F v и Fx по формулам (21') определяют значения коэф­фициентов подъемной силы Су и лобового сопротивления Сх, эти результаты изобра-

чг жают графически, откладывая по оси абс­цисс углы атаки а и по оси ординат значе­ния коэффициентов Су и Сх.

Одновременно принято вычерчивать кривую, откладывая по оси абсцисс Сх

и по оси ординат Су при определенных значениях а. Кривая, которая полу­чается в результате такого построения, называется полярой крыла или поля­рой Лилиент аля ; на ней наносятся и значения углов атаки (рис. 130). Поляра крыла, очевидно, изображает полную силу F аэродинамического действия на крыло, считая, что она определяется выражением:

F = C r ± pv*S .

При этом условии коэффициенты подъемной силы Су и лобового сопротив­ления Сх являются составляющими коэффициента СР полного аэродинамиче­ского действия F по осям у и х . При построении поляры масштаб по оси х, т. е. масштаб значений СХ1 берется в пять раз больший, чем по оси у , т. е. чеммасштаб значений Су. 196

Измерения. 1. Измеряют штанген-циркулем с точностью до 0,1 м м диаметр рютора Магнуса; затем укрепляют ротор на аэродинамических весах, располагая е г о вблизи выходного конца аэродинамической трубы, посредине ее поля равно­мерных скоростей. Вблизи ротора в том же сечении потока помещают трубку Пито. Приведя в действие мотор аэродинамической трубы, отсчитывают пока­зания трубки Пито и определяют отсюда скорость воздушного потока. Ско­рость потока должна оставаться постоянной, поэтому следует при дальнейших измерениях несколько раз проверить показания трубки Пито.

2. Определяют лобовое сопротивление ротора Магнуса в неподвижном со­стоянии; для этого, остановив мотор аэродинамической трубы, освобождают горизонтальный арретир весов и отсчитывают их показание, т. е. их нулевую точку. Затем вновь приводят в действие аэродинамическую трубу, и, наблюдая показания весов, определяют с точностью до 0,1 г ту нагрузку, при которой весы возвращаются к нулевой точке. Этим определяется лобовое сопротивле­ние ротора Магнуса в неподвижном состоянии. Одновременно следует убе­диться в том, что при неподвижном роторе эффект Магнуса отсутствует. Для этого освобождают вертикальный арретир весов, включив предварительно горизонтальный, и наблюдают вторую нулевую точку весов в неподвижном воз­духе и их показания в потоке. При правильной установке приборов вторая нулевая точка весов не должна смещаться в потоке.

3. Ротор Магнуса приводят во вращение и, освобождая тот или другой арретир в отдельности, определяют лобовое сопротивление и эффект Магнуса, каждый раз подбирая такую нагрузку весов, которая возвращает их к соответ­ствующей нулевой точке. Эти измерения следует повторить при 8—10 различ­ных скоростях вращения ротора, угловая скорость которого определяется из числа оборотов мотора ротора.

4. Модель ротора на весах заменяют моделью крыла и повторяют те же измерения для крыла аэроплана при различных углах атаки а, отсчитывая их по угломеру, укрепленному на модели. Измерения подъемной силы и лобового сопротивления крыла следует сделать также при 8— 10 различных углах атаки, определяя каждый раз те нагрузки весов, которые возвращает их к нулевым точкам.

Результаты всех измерений изображают графически. Для модели ротора находят кривые эффекты Магнуса и лобового сопротивления в зависимости от отношения ujv, причем линейную скорость и вычисляют по формуле (20), из результатов измерения диаметра ротора и его угловой скорости. Для модели крыла находят кривые подъемной силы и лобового сопротивления в зависимо­сти от угла атаки а, а затем строят поляру крыла.

Ч А С Т Ь В Т О Р А Я

А К У С Т И К А

Звук, как явление физическое, представляет собою волнообразное движе­ние среды, которое вызывается ее периодической деформацией; такое движе­ние может, очевидно, возникать и распространяться только в среде упругой. Отсюда следует, что акустика в своей теоретической части является лишь от­делом теории упругости, а именно, учением о распространении колебательных движений в упругой среде. Если такое колебание достигает нашего органа слуха, то возникает физиологическое ощущение звука, что, однако, имеет место только при наличии следующих условий.

Во-первых, между источником звука и органом слуха должна находиться среда, передающая колебания; в обычных условиях распространения 8вука та­кой средой является воздух.

Во-вторых, частота колебаний частиц среды должна лежать в определен­ном интервале, в так называемых пределах слышимости; принято считать, что для нормально развитого уха человека пределы слышимости определяются чи­слом колебаний в секунду приблизительно от 20 (нижний предел слышимости) до 25 000 (верхний предел слышимости).

Наконец, количество энергии, получаемой слуховым органом, не должно быть менее некоторой величины, определяемой так называемым порогом сл - шимости; абсолютная величина порога слышимости оказывается различной для различных частот и в интервале средних частот (около 1 000 и 2 000 колебаний в секунду) достигает минимума, т. е. при этих частотах наше ухо обнаружи­вает наибольшую чувствительность.

Колебания звучащего тела и среды, в которой они распространяются, при теоретических расчетах принято считать в простейших случаях гармоническими. Таким образом вся теория гармонических колебаний (стр. 93) полностью может быть применена к звуковым явлениям, причем иногда приходится пользоваться тео­рией затухающих колебаний, так как внутреннее трение или вязкость тел вы­зывает затухание звуковых колебаний. Далее при звуковых явлениях, как и при всяких колебательных процессах, наблюдаются в полной мере явления резо­нанса (стр. 103).

Каждый простой звук можно характеризовать периодом или частотой ко­лебаний и их амплитудой. Период колебаний Г и их частота v, т. е. число ко­лебаний в единицу времени, являются величинами, обратными друг другу; вследствие этого они связаны очевидным равенством:

Т-у— 1. (1)

Физиологическое ощущение высоты звука определяется в основном его частотой, и более высоким звукам соответствует большая частота колебаний. Что же касается амплитуды колебаний, то ею определяется сила или громкость звука; однако эти величины зависят одновременно и от частоты колебаний. Последнее объясняется различной чувствительностью уха к звукам различной частоты. Далее звук принято характеризовать его оттенком или тембром, кото­рый зависит от частотного состава или акустического спектра звука. Простые тона, отвечающие одному гармоническому колебанию определенной частоты, мы наблюдаем только в виде исключения и большинство звуков, например звуки голоса, музыкальных инструментов и т. д., по составу являются очень слож­ными. Кроме основного тона в их состав входит большое количество дополни­тельных тонов, так называемых гармонических составляющих, или обертонов', их числом и относительной силой и определяется тембр лвука. Наконец, среди198

различных звуков принято выделять в особую категорию так называемые шумы. Шумом принято называть весьма сложный комплекс ввуков, которые непре­рывно изменяются по амплитудам и частотам', таким образом шум не яв­ляется периодическим звуковым процессом.

Среда, в которой распространяются звуковые колебания, может быть твер­дой, жидкой и газообразной. Деформация, выбывающая возникновение колеба­ний, может быть одной из главных деформаций (стр. 156), т. е. деформацией объема (сжатие) или деформацией формы (сдвиг). Деформации первого типа вызывают возникновение продольных колебаний, а деформации второго типа— поперечных колебаний; но в обоих случаях деформации должны сопровождаться развитием упругих сил в среде, так как иначе возникновение колебаний невоз­можно. В случае твердой упругой среды деформации сжатия и сдвига одина­ково вызывают появление упругих сил; отсюда следует, что в упругих твер­дых т елах возможно распространение как продольных, так и поперечных звуковых колебаний. В случае жидкой или газообразной среды сдвиг слоев не сопровождается развитием заметных сил упругости, которые возникают в этих те­лах только при деформации ежа- .тия;отсюда следует, что в жид- Вких и газообразных т елахмогут распространяться . _ птолько продольные звуковые —«А-*-*--#колебания. г *

Колебания распространя- ---- ---------- ____ются в любой среде с некото- _(__ ________ ^рой конечной скоростью, кото- 4р у Ю ДЛЯ С р е д ы о д н о р о д н о й с ч и - Р и с . 131. Прогодя/дая продольная волна.тают постоянной, независимойот частоты колебаний и их амплитуды. Если среду представить как систему симме­трично расположенных материальных точек и выделить один ряд их (рис. 131а), то начальное симметричное расположение частиц при возникновении колебаний окажется нарушенным. Если имеют место колебания продольные, то в ряду частиц образуются последовательные сгущения и разрежения, т. е. изменения плотности, которые будут распространяться с некоторой скоростью вдоль ряда частиц; в результате возникает процесс, который принято называть бегущей или проходящей продольной волной. Все частицы при этом совершают гармониче­ские колебания в направлении прямой АВ с одним и тем же периодом и одной и той же амплитудой, если не имеет место затухание колебаний. Расстояние между двумя ближайшими частицами, которые находятся в одинаковых ф азах , например между точками тх и т „ или пх и щ . . . (рис. 131 Ь), называется дли­ной проходящей волны. Очевидно, можно также сказать, что длиной проходящей волны называется то расстояние, на которое распространяется колебательный процесс в течение времени, равного периоду колебаний. Между длиной волны л, периодом колебаний Т и скоростью их распространения v имеет место соотно­шение:

l = vT, (2)

которое вытекает из самого определения длины волны. Это уравнение, в соответ­ствии с выражением (1), можно написать также в виде:

v = l-v. (2 ')

Допустим, что колебание первой точки п определяется уравнением (стр. 94):. ~ * s =: a sin 2ic - j . .

Для некоторой точки m (рис. 131 с), которая находится от первой точки на расстоянии х, можно написать такое же уравнение, но необходимо принять во внимание, что колебания точки m начинаются несколько позднее; это запазды­вание отвечает тому промежутку времени т, в течение которого колебания рас­пространяются на расстояние х . Таким образом для смещения s точки m в мо­мент времени t можно написать:

sx = a sin 2л ^-уг- . (3)

199

Скорость распространения колебаний в однородной среде постоянна, по­этому имеем:

X = V - T .

Из этого выражения, на основании уравнения (2), находимх Т

Т= т -

Вставляя это значение т в уравнение (3), получаем:

sx — a s in 2n ^ — у ) • №

Это выражение обыкновенно называют уравнением проходящей волны ; оно дает возможность вычислить для любого момента времени t смещения sx всех точек волны по отношению к их положению равновесия, если известны рас­стояния точек х от начальной точки, для которой х мы принимаем равным нулю.

Если по одному направлению распространяются две волны с одной и той же частотой, то происходит сложение или интерференция волн. В этом случае при продольных волнах можно применять только теоремы о сложении колебанийодного направления (стр. 95); это следует из того, что единственным направ­лением, в котором могут совершаться продольные колебания, является направ­ление прямой А В (рис. 131). Отсюда следует, что амплитуда результирующего колебания должна зависеть от разности фаз обоих колебаний, которая может появиться, если путь того и другого колебания до момента их встречи в неко­торой точке т оказывается различным. Таким образом для той и другой волны можно написать:

f t х ' \ f t х " \sxr = a sin 2л( — -57 ) * •y^ = a s in 2i t |^ y ------ г- j (5)

где х ' и х" обозначают путь, пройденный, соответственно, первой и второй волной до точки т\ мы предполагаем при этом, что оба колебания имеют оди­наковую амплитуду а.

Вычисляя из уравнения (5) разность фаз обоих колебаний, находим, что она определяется выражением:

В соответствии с выводами стр. 96 мы видим, что если эта величина равна четному числу it, то в результате интерференции произойдет усиление коле­баний; если же эта величина равна нечетному числу к, то в результате интер­ференции произойдет ослабление колебаний, до полного их исчезновения при равенстве амплитуд обоих колебаний. Поэтому для этих двух случаев можно написать:

у ̂ Г 12л - ~ = 2пк, 2к х == (2п + 1) я,

где п обозначает ряд целых чисел, начиная от нуля. Из этих выражений на­ходим:

х ' — х " = 2п ± , х ' — х" = (2л - f - 1) - j • (6)

Величину х ' — х" обыкновенно называют разностью хода двух волн или двух лучей. Таким образом при взаимном наложении или интерференции двух волн происходит усиление колебаний, если разность хода той и другой волны равна четному числу полуволн, и ослабление колебаний, если р а з­ность хода той и другой волны, равна нечетному числу полуволн. Ампли­туда результирующего колебания равна (стр. 96): в первом случае сумме амплитуд обоих колебаний, т. е. 2 а, а во втором случае их разности, т. е. нулю, иными словами при этих условиях колебательный процесс совершенно прекращается. Все эти выводы, очевидно, справедливы для любой точки на200

прямой АВ\ таким образом колебательный процесс, возникающий в результате интерференции двух волн, оказывается одинаковым для всех точек результи­рующей волны, т. е. все ее точки последовательно одна за другой совершают вполне одинаковые колебания, которые в каждый данный момент отличаются друг от друга только своими фазами.

В этот" общий вывод приходится вносить значительные изменения в неко­торых частных случаях интерференции, из которых наибольшее значение имеют: во-первых, интерференция встречных колебаний, при которой образуются так называемые стоячие волны, и, во-вторых, интерференция колебаний с не­сколько различными периодами, при которых возникают так называемые биения.

1. Интерференция встречных колебаний имеет место, если по одному на­правлению распространяются навстречу друг другу две волны с одинаковой частотой; такой случай может возникнуть, на­пример, при отражении колебаний от границы Т ___, __ _двух сред, перпендикулярной к направлению ._______ •- 'распространения колебаний (рис. 132). - Ъ

Явления, которые возникают при этом, оказываются несколько различными в зависи- Рис_ ,32_ Возникновение С10ЯЧИЗ£ мости от плотности той и другой среды, а волн,именно, если вторая среда оказывается болееплотной, то при отражении происходит потеря полуволны, т. е. в момент отра­жения фаза отраженного колебания изменяется по сравнению с фазой падаю­щего колебания на тс.

Для того чтобы выяснить результаты интерференции встречных волн, исследуем колебания некоторой точки т, которая отстоит от границы сред на расстоянии /. Путь, пройденный до точки т падающей волной, обозначим че­рез х\ в таком случае путь, пройденный до точки т отраженной волной, бу­дет равен х-\-21 . Предполагая, что вторая среда является менее плотной, можно, на основании уравнений (5), написать, соответственно, для падающей и отраженной волн:

г х \ и ■ п I * •*-4 ­s' = a sin 2г. ^ — -Л J > 5 — а sin 2я ( f — | •

Смещение s точки т будет определяться алгебраической суммой смещений s ' и s", т. е. имеем:

з = s ' -+- s" = а £ sin 2п — у J + sin 2л ( — — —Т-~-- ) j .

Отсюда после тригонометрических преобразований находим:

s = 2a c o s 2ic у -s in 2n ^ (7)

Выражение (7) принято называть уравнением стоячей волны; рассматри­вая это уравнение, можно сделать ряд выводов, которые показывают неко­торые особенности стоячих волн.

a) Коэффициент, который стоит в правой части перед знаком синуса, пред­ставляет собой амплитуду колебаний точек стоячей волны; величина этого коэффициента изменяется при изменении /, но для данного значения I остается постоянной. Отсюда следует, что различные точки стоячей волны колеблются с различной амплитудой, но амплитуда каждой отдельной точки все время остается одной и той же. Тот же коэффициент показывает, что изменение амплитуды колебаний в зависимости от положения точки, т. е. в зависимости от величины I, следует закону косинуса.

b) Максимальное значение амплитуды колебаний точек равно 2а (косинус равен единице), минимальное значение амплитуды равно нулю (косинус давен нулю). Отсюда в соответствии с первым выводом следует, что н е к о т о р ы е точки стоячей волны все время колеблются с максимальной а м п л и т у д о й , равной 2а, тогда как другие точки все время остаются в покое. Положение пер­вых точек (максимум амплитуды) соответствует так называемым ^пучностям стоячей волны, а положение вторых точек (амплитуда равна нулю) соответ-

2 0 1

«твует узла м стоячей волны. Положение пучностей и узлов на стоячей волне можно найти, определяя те значения, при которых косинус в уравнении (7) становится равным единице или нулю; в соответствии с этим для первого « второго случая имеем:

г* I , „ I „ *cos2i t - r - = l , т. е. 2тс т- = 2п -=■,к Л А

cos 2п у = 0, т. е. 2л = (2п + 1) ,

гд е п обозначает ряд целых чисел, начиная от нуля.Отсюда находим положение узлов и пучностей, отсчитывая их расстояния I

о т границы среды:пучности 1П: 0, ^ , 2 ^ , 3 А . . .

, \ , \ . \ _ \ (8)узлы 1у. — , 3 — , 5 - , 7 Т . . .

Из этих результатов мы видим, что узлы и пучности отстоят друг от друга на расстоянии, равном Х/4, а два соседних узла или две соседние пучности на­ходятся на расстоянии, равном Х/2; последнее расстояние, т. е. расстояние ме­ж ду двумя соседними узлами или пучностями, принято называть длиной стоя­чей волны. Таким образом можно сказать, что длина стоячей волны равна <половине длины волны проходящей, т. е.

*СТ ,= ~2 *пр- (9)

Так как при продольных колебаниях происходит изменение плотности среды, то можно также сказать, что узлы стоячих волн характеризуются наиболь­шими изменениями плотности среды, или, как обыкновенно говорят, ее наи­большими сгущениями и разреж ениями",точно так же можно сказать, что пучность стоячих волн характ еризует ся наибольшими смещениями частиц среды.

с) Наконец, из уравнения (7) можно найти те моменты времени, в которые частицы среды проходят через их положение равновесия; для этих моментоввремени значение синуса в уравнении (7) становится равным нулю. Отсюдаимеем:

где п попрежнему обозначает ряд целых чисел, начиная от нуля. Из этого уравнения находим:

t = ^ J - T + ~ Т. (10)Л 2

Правая часть этого уравнения при данном значении п для всех точек стоя­чей волны имеет одинаковое значение, так как величина х ~ - I для всех точек остается постоянной; отсюда следует, что все точки стоячей волны одновре­менно проходят через их положение равновесия. Можно также сказать, что в любой момент времени все точки стоячей волны находятся в одинаковых фазах. Одновременно второй член правой части уравнения (10) показывает, что моменты последовательных прохождений точек через положение равновесия отделены один от другого промежутками времени, равными 7'/2. При прохождении положения равновесия расположение частиц в среде, очевидно, такое же, как при состоянии покоя среды, и ее плотность во всех точках одинакова.

Все эти выводы мы получили, предполагая, что вторая среда является ме­нее плотной. Если имеет место противоположный случай, т. е. вторая среда оказывается более плотной, то уравнения падающей и отраженной волн, со­гласно тому, что было сказано выше, можно написать в таком виде:

s' = a sin 2к | y — ~ ) , s" = a sin | 2п Г —■ Х ^ ) — я j .

2 0 2

В соответствии с этим, вместо уравнения (7), получаем выражение:

s = 2a s in 2;t y - c o s 2z ( — лг-~~- ) . (7*)А \ I к j

Нетрудно видеть, что общие выводы, которые получаются при анализе этого уравнения, в полной мере соответствуют тому, что было найдено выше, только места пучностей и узлов на волне оказываются иными. Действительно, вычи­сляя расположение пучностей и узлов в этом случае, находим вместо соотно­шений (8) такие значения I:

, X Л с \пучности т , 3 - , 5 ?>

узлы 1у: О, А , 2 j ,

т. е. узлы и пучности сдвинуты по сравнению с первым случаем на Х/4, и на границе более плотной среды образуется не пучность, а узел . Что касается относительного расположения узлов и пучностей, то оно оказывается одинаковым в обоих случаях.

2. При интерференции колеба­ний с несколько различной часто­той возникают своеобразные явле­ния периодического усиления и ослабления колебаний или их пуль­саций.

Допустим, что две волны рас­пространяются по одному направ­лению АВ и имеют различные часто­ты vt и v2, близкие между собой. Ко­лебание в некоторой точке т (рис.133 а) будет определяться одновре­менным действием обеих волн; для того и другого колебания в точке т, заменяя в их уравнениях, на основании формулы (1), период частотой, можнонаписать. sI= = a s in 2mij<, s2 == a sin 2m2t,

причем мы попрежнему предполагаем, что амплитуды обоих колебаний равныи, кроме того, за начало счета времени выбираем тот момент, для которого начальные фазы обоих колебаний в точке т оказываются равными нулю, т. е. оба колебания совпадают по фазе, как это показано на рисунке, где колеба­тельный процесс изображен синусоидой.

Для колебания в точке т в некоторый момент времени t находим:s — Si -f- s 2 = a (sin 2svjf -(- sin 2т г<).

Отсюда после тригонометрических преобразований получаем:

s = 2 а cos2it^ -^ -^ ’ t-sin 2it t. 0 0

Полученное выражение можно рассматривать как уравнение гармониче­ского колебания, частота которого равняется Vl ;) —*, а амплитуда определяется

выражением, стоящим перед знаком синуса, т. е. выражением:

2 а cos 2я — 2~ 2 ^

Таким образом мы видим, что амплитуда колебания точки т является функ­цией времени, изменяясь периодически по закону косинуса, ее крайние зна­чения равны :2: 2а, причем амплитуда периодически получает значение, рав­ное нулю.

203

т

Рис. 133. Биения.

Такое периодическое изменение амплитуды колебаний, очевидно, происхо­дит в любой точке той прямой АВ, вдоль которой распространяются две волны с несколько различными частотами. При этом в каждый данный момент вре­мени амплитуды колебаний различных точек на прямой АВ должны быть раз­личны, в соответствии с различным значением в этих точках разности фаз того и другого колебания. Этот вывод можно получить также непосредственно, если геометрически сложить синусоиды, отвечающие обеим волнам, как это схема­тически показано на рис. 113 Ь; точно так же из выражения (12) непосредственно можно видеть, что места максимальных и нулевых амплитуд должны по­степенно перемещаться вдоль прямой АВ.

При интерференции звуковых волн с несколько различными частотами та­кие периодические изменения амплитуды колебаний мы воспринимаем как пе­риодическое усиление и ослабление силы звука; это явление и получило назва­ние звуковых биений. Очевидно, что можно говорить о некоторой частоте биений, или числе биений N в единицу времени, которое зависит от разности частот (*i — »2) интерферирующих волн. Число биений в единицу времени N, или их ча­стоту, можно определить, если найти промежуток времени т между двумя по­следовательными усилениями или ослаблениями звука; величина т обыкновенно называется периодом биений. Из выражения (12) мы видим, что усиление звука происходит в те моменты времени, когда косинус получает значение, равное единице. Для этого необходимо, чтобы:

2гс V' t = 2n ^ , или (vx — »j) t= n ,

где я попрежнему обозначает ряд целых чисел, начиная от нуля.На основании этого уравнения для двух последовательных усилений звука

можно написать:(»! — Vj) = п, К — *)) f , = / i - | - l ,

где и <2 обозначают два момента времени, в которые происходят последова­тельные усиления звука. Из последних уравнений находим f2 — h> т- е- проме­жуток времени т между двумя последовательными усилениями звука, или период биений:

Отсюда мы видим, что число биений в единицу времени N, или их частота как величина обратная т, оказывается равной:

JV = v j — v2. (13)

Таким образом частота биений, или и х число в единицу времени, рав­няется разности частот интерферирующих волн.

Звуковые биения наиболее отчетливо ощущаются, если источники звука дают синусоидальные колебания с небольшим затуханием; этим условиям удов­летворяют, например, камертоны, при звучании которых наблюдать биения очень легко. Если число биений в единицу времени становится больше 30, то они производят на наше ухо неприятное впечатление. При дальнейшем увели­чении частоты биений мы перестаем ощущать их как пульсации или прерыв­ность звука; при этих условиях биения воспринимаются нами как некоторый тон, высота которого соответствует частоте биений.

Источниками звука могут служить твердые, жидкие и газообразные тела, если они совершают колебательные движения. Колебания звучащего тела мо­гут быть затухающими и незатухающими.

1. В первом случае (затухающие колебания) тело совершает свободные колебания (стр. 103) с периодом, свойственным телу; сообщенная телу перво­начально энергия постепенно расходуется вследствие внутреннего трения и пе­редачи звуковой энергии окружающей среде, что и вызывает затухание колебаний. Такими источниками звука являются обыкновенный камертон, струна, возбу­ждаемая ударом или щипком, и др.; сила звука в этих случаях постепенно ослабевает, переходя через некоторое время за порог слышимости.

2. Во втором случае (незат ухаю щ ие колебания) тело совершает выну­жденные колебания (стр. 103) под действием внешней периодической силы.204

Энергия звучащего тела при этом непрерывно пополняется, и колебания ока­зываются незатухающими. В некоторых случаях частоту вынужденных колеба­ний тела можно изменять в очень широких пределах, изменяя соответственно период внешней возбуждающей силы; при этих условиях один и тот же источ­ник звука может давать звуки весьма различной высоты, иногда почти во всем интервале слышимости. Примерами таких источников звука могут служить си­рены различного типа, применяемые для звуковой сигнализации, устройство которых можно считать общеизвестным. Сюда же относятся такие приборы, как те­лефон, громкоговоритель, граммофон, мембраны которых способны совершать сложные колебания в весьма широком диапазоне частот. В других случаях ча­стота внешней возбуждающей силы должна быть очень близка к частоте соб­ственных колебаний тела. Такие системы принято называть автоколебатель­ными. Примерами таких систем могут служить камертон, возбуждаемый электромагнитным прерывателем, в котором постоянный ток замыкается и раз­мыкается самим камертоном, или струна, возбуждаемая смычком, а также почти все духовые инструменты.

! I. !

а о с

Рис. 134. Камертон на резонансном ящике. Рис. 135. Колебания камертона.

При акустических работах в лаборатории в качестве источников звука очень часто пользуются камертонами, свистком Гальтона и мембранами. Мем­браны применяются в микрофонах и телефонах, а в последнее время также в так называемых генераторах звуковой частоты, которые являются более слож­ными электроакустическими приборами.

1. Камертон представляет сооой согнутый стальной стержень (рис. 134) со свободными концами и ножкой в средней части, который при звучании совер­шает поперечные колебания. Основной тон камертона соответствует форме к о ­лебаний, изображенной схематически на рис. 135 а; наиболее заметные гармони­ческие составляющие соответствуют формам колебаний, изображенным на рис. 135 b и с. При правильно возбужденном камертоне его основной тон зву­чит очень сильно и кисто, а гармонические составляющие выражены чрезвы­чайно слабо, поэтому колебания камертона являются очень близкими к сину­соидальным. Для усиления звука, даваемого камертоном, его помещают на так называемом резонансном ящике. Частота колебаний, даваемых камертоном, за­висит от длины его ветвей, их толщины и от модуля упругости стали (стр. 159). Таким образом при изменении температуры частота колебаний камертона должна изменяться; однако температурный коэффициент частоты оказывается крайне незначительным, равным приблизительно 0,01 град~1\ еще большее посто­янство частоты обнаруживают камертоны из инвара (стр. 29). Вследствие этого камертоны, число колебаний которых точно измерено, могут служить надеж­ными эталонами частоты. В частности эталоном высоты тона, по которому производится настройка музыкальных инструментов, у нас принят тон камертона, который совершает 440 полных колебаний в секунду.

2. Свисток Гальтона, который применяется как источник звуков очень большой частоты, состоит из маленькой цилиндрической трубки А (рис. 136) с острыми краями. Ее длина может изменяться при помощи плотно пригнанного микрометрического винта, который одновременно дает возможность точно из­мерять длину трубки по показаниям головки с делениями В. Против острых краев трубки А расположена узкая щель С в форме окружности; из этой щели на острые края трубки А поступает струя воздуха под постоянным давлением, создавая очень сложный комплекс звуков; из них усиливаются те, для которых трубка А оказывается резонатором (стр. 224). В результате внутри трубки А уста-

205

е е € __-

Рис. 136. Сиисток Гальюна.

навливаются стоячие волны очень большой частоты, и прибор начинает издавать очень высокий резкий свист, неприятный для слуха. Частота звука, даваемого свистком, зависит от длины трубки А, возрастая при ее уменьшении, и без труда может быть доведена до значений, которые лежат далеко за верхним пределом слышимости. Для получения постоянной струи воздуха применяют электрический вентилятор, который нагнетает воздух в большой стеклянный баллон, откуда воздух, струю которого можно регулировать при помощи вин­

тового крана, поступает в В свисток. Свисток Гальтона

дает звуковые колебания с сильно выраженным основ­ным тоном, который близко отвечает синусоидальному закону.

3. Микрофон применя­ется для преобразования звуковой энергии в энергию электрического тока; обрат­ное преобразование энергии

электрического тока в звуковую энергию достигается при помощи телефона. Оба эти прибора, микрофон и телефон, иногда называются электро-акусти- ческими преобразователями. Преобразование энергии в них, звуковой в эле­ктрическую и обратно, достигается при помощи колебаний тонких упругих мем­бран или лент.

В настоящее время применяются микрофоны весьма различных конструк­ций, основанные на очень разнообразных явлениях; широкое применение на­ходят обыкновенный угольный микрофон, электромагнитный микрофон и лен­точный микрофон.

а) Угольный микрофон состоит из угольной мембраны М (рис. 137), которая зажата по краям в капсуле А, но изолирована от нее; промежуток между мембраной и дном капсул» заполнен угольным порошком С, обыкновенно мелкими зернами антрацита. Микрофон включается в электрическую цепь так, чтобы ток проходил от мембраны к капсуле через слой угольного порошка. Если мембрана колеблется под действием звуковых волн, то угольный порошок испытывает переменное давление, что вызывает соответствующее изменение его электрического сопротивления; вследствие этого сила тока в цепи микро­фона также изменяется. В результате в цепи возникают электрические колеба­

ния, которые по частоте и форме соответствуют зву­ковым колебаниям, возбуждающим мембрану.

б) В электромагнитном микрофоне, который одно­временно может служить также телефоном, мембрана М

1

Рис. 137. Угольный мик* рофон.

Рис. 138. Электромагнитный микрофон.

Рис. 139. Ленточный микрофон.

(рис. 138) делается из железа; вблизи мембраны устанавливается сталь­ной магнит NS с изолированной обмоткой К, которая соединяется с внеш­ней цепью микрофона. При колебаниях мембраны, под действием звуковой волны, индукция в магните изменяется, что вызывает появление в его об­мотке переменной электродвижущей силы, и в цепи микрофона возникают206

электрические волны, которые по частоте и форме также соответствуют зву­ковым волнам, возбуждающим мембрану.

с) В ленточном или электродинамическом микрофоне звуковая волна приводит в колебание ленту L (рис. 139), сделанную из очень тонкой алюми­ниевой гофрированной фольги. Лента помещена в магнитном поле NS\ к ее концам а и Ь присоединяется внешняя цепь микрофона. Под действием звуко­вых волн лента колеблется и магнитное поле вызывает в ней переменную электродвижущую силу индукции; в результате в цепи микрофона возникают электрические колебания, соответствующие звуковым колебаниям, возбуждаю­щим мембрану.

Электродвижущая сила, возникающая в микрофонах последних двух типов. очень невелика; она определяется приблизительно миллионными долями вольта при звуке средней силы; вследствие этого ее повышают специальными транс­форматорами. Кроме того, в настоящее время очень часто микрофоны при­меняются в соединении с катодными усилителями (стр. 76).

4. Генераторы звуковой частоты в настоящее время являются наиболее совершенными источниками звуковых колебаний и могут применяться в интер­вале частот, которые лежат далеко за пределами слышимости. В генераторах звуковой частоты широко применяются катодные лампы (стр. 76) как в ка­честве генераторов электрических колебаний, так и в качестве усилителей; описание генераторов звуковой частоты и их теория см. том II, работа 57Ь.

При распространении звуковых колебаний в воздухе для их исследований, как качественных, так и количественных, применяются очень разнообразные приборы. Большое применение находят при качественных наблюдениях так называемая манометрическая капсула, а при количественных — звуковой радиометр.

1. М анометрическая капсула представляет собой небольшую камеру, закрытую с одной стороны тон­кой упругой мембраной или перепонкой. На другой стороне капсулы имеется отверстие, которое соеди­няется резиновой трубкой с тем пространством, где возникают звуковые колебания. Колебания мем­браны, возникающие в результате действия звуковых волн, наблюдаются методом зеркального отсчета (стр. 37) при помощи маленького зеркальца, которое укреплено на середине мембраны или соединено с ней системой очень легких рычагов. Очень часто колебание мембраны в капсуле наблюдается также при помощи так называемого манометрического п.гамени. В этом случае мембрана М укрепляется по середине капсулы А (рис. 140), через ее вторую половину пропускают светильный газ, который горит у выходного отверстия О в виде очень небольшого светлого огонька. При колебаниях мем­браны давление светильного газа в капсуле также испытывает колебания, что сопровождается соответствующими колебаниями высоты пламени. Для того чтобы сделать заметными эти колебания пламени, его рассматривают при помощи зеркального куба или многогранника, которые приводятся в быстрое вращение около вертикальной оси. Спокойное пламя во вращающемся зеркале представ­ляется в виде сплошной светлой полосы: если же высота пламени начинает испытывать колебания, то во вращающемся зеркале мы наблюдаем светлую полосу, на верхнем крае которой ясно видны зубцы. При очень сильных ко­лебаниях пламени светлая полоса в зеркале почти вполне распадается на от­дельные огни. Их высота оказывается одинаковой, если источник звука дает простые (синусоидальные) колебания и различной — при более сложном спектре колебаний. Таким образом по виду полосы во вращающемся зеркале можно качественно определить характер колебаний источника звука.

2. Звуковой радиометр дает возможность измерять то давление, которое производят звуковые волны на тело, падая на его поверхность. Величина этого давления определяется плотностью звуковой энергии у поверхности тела и оказывается пропорциональной силе звука (стр. 231), которую, таким образом, также можно измерять при помощи звукового радиометра. В наиболее простой форме этот прибор состоит из горизонтального стерженька (рис. 141), с зер­кальцем М ,^подвешенного на упругой нити; на одном конце стерженька нахо­дится легкий металлический диск Л, расположенный вертикально, а на другом — противовес такой величины, что центр тяжести системы лежит на ее оси вращения.

20*

Рис. 140. Манометриче­ская капсула.

Звуковые волны направляются на прибор при помощи вогнутого зеркала, которое установлено так, что диск А находится приблизительно в его главном фокусе; отклонения системы под действием давления звуковых волн измеряются методом зеркала и шкалы (стр. 37). Прибор снабжен установочными винтами и помещается внутри футляра, который защищает его от воздушных течений

и внешних звуковых эффектов. Отклонения при­бора совершаются апериодически, что достига­ется действием специального успокоителя или демпфера В внизу подвижной системы, основан­ного на трении. "

Если звуковое давление равно р, поверхность диска равна S , то момент М\ вращающей силы относительно оси вращения равен:

= p S ■ г,

где т — расстояние от оси вращения прибора до центра диска А.

Момент упругой силы нити М2, при отклоне­нии системы на угол », равен:

где D — удельный момент кручения (стр. 62).При достижении предельного отклонения мо­

менты сил М х и М ъ по абсолютной величине стано­вятся равными; отсюда имеем:

p S r = D fили

DP = S r V (14)

Коэффициент перед величиной ? в правой части этой формулы для данного прибора имеет постоянную величину; это так называемая постоянная радио­метра С. Таким образом окончательно имеем:

р = С ? . (15)

Из этой формулы мы видим, что величина звукового давления пропорцио­нальна углу отклонения радиометра. Однако абсолютное измерение давления требует определения постоянной радиометра С, что представляет значительные трудности. Поэтому радиометр обыкновенно применяют главным образом для относительных измерений звукового давления или силы звука.

Г Л А В А 13

ЧАСТОТА ЗВУКОВЫХ КОЛЕБАНИЙ

Частота у звуковых колебаний, или их число в единице времени, как ве­личина, обратная периоду, согласно формуле (1) стр. 198, имеет размерность:

[ч\=^сек~1. (1)

За единицу частоты принят 1 герц (Hz), равный 1 колебанию в секунду, т.е. частоте 1 сек- 1; таким образом частота колебаний определяется непосредствен­но числом герц; 1000 герц, или килогерц (kHz), соответствует частоте 1000 сек ~ 1 «ли 1000 колебаний в секунду. Характеризовать источник звука одной опре­деленной частотой мы можем, очевидно, только в тех случаях, когда он совер­шает простые синусоидальные колебания, что имеет место, например, при звучании камертона. Если же источник звука имеет сложный акустический

'С п ектр , то определение его частоты становится более сложным; в этих случаях звук разлагают на гармонические составляющие и определяют частоту каждой из них, а в простейших случаях определяют частоту основного тона.208

Непосредственные измерения частоты в абсолютной мере применяются при акустических измерениях сравнительно редко; такие измерения требуют очень точного определения абсолютных промежутков времени, что может быть достигнуто, например, применением хронографов (стр. 51).

Значительно чаще применяются сравнительные методы измерения часто­ты, при которых неизвестная частота сравнивается с известной частотой, при­нятой за эталон. Это сравнение может быть произведено различными методами, из которых наибольшее значение имеют метод биений, метод настройки зву­ков в унисон, метод фигур Лиссажу и резонансный метод.

1. Метод биений является наиболее простым; его описание и производство измерений см. работу 13 а.

2. Метод настройки звуков в унисон требует применения эталона пере­менной частоты; описание метода и производство измерений см. работу 13 Ь.

3. Метод фигур Лиссажу является весьма точным, в особенности в соеди­нении с катодным осциллографом, но также требует применения очень надеж­ного эталона переменной частоты]).

4. Резонансный метод основан на применении акустического или элек­трического резонанса, возникновение которого определяется или непосредствен­но на слух или при помощи виброметра Фрама (стр. 109)2).

РАБОТА 13а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ МЕТОДОМ БИЕНИЙ

1) Камертон на штативе (эталон частоты), 2) измеряемый камертон на штативе, 3) опти­ческая труба, 4) лампа на штативе с линзой, 5) секундомер, 6) резиновый молоток.

Описание метода и приборов. Определение частоты колебаний методом биений основано на применеиии формулы (13) стр. 204, согласно которой при одновременном звучании двух источников звука частоту одного из них можно определить по частоте бпений, если частота второго источника звука известна.

В данной работе в качестве источника звука применяются два камертона, один из которых служит эталоном частоты. Второй камертон имеет на одной ветви дополнительный груз, положение которого можно определять по пока­заниям микрометрического винта. При изменении положения груза на ветви камертона частота его колебаний изменяется; целью работы является просле­дить за изменением частоты камертона при изменении положения дополнитель­ного груза на его ветви.

Из формулы (13) стр. 204 имеем:

1>х = у о + М > (2)где vx — измеряемая частота, »0 — частота эталона и N — частота биений, причем мы предполагаем, что измеряемая частота несколько больше частоты эталона.

Из формулы (2) мы видим, что частота биений уменьшается, если часто­ты vx и v0 сближаются между собой, и в пределе, при ух, равном v0, частота биений становится равной ну­лю, иными словами, биения £исчезают.

Определение частоты бие­ний производится визуальным методом. Для этого оба камер­тона А к В (рис. 142), укреп­ленные горизонтально на шта­тивах, имеют на конце одной ветви небольшие зеркальца, причем зеркальце эталонного камертонаснабженодиафрагмой с очень маленьким отверстием;камертоны расположены так, что их колебания происходят в вертикальных плоско­стях. Лучи источника света, установленного в главном фокусе двояковыпуклой линзы L, направляют на зеркальце эталонного камертона А. Отраженный луч падает на зеркальце второго камертона В и после нового отражения проходит

Рис. 142. Метол биений.

1) О л с о н и М а с с а , Прикладная акустика. Пер. с англ., Москва, 1938.2) T в м ж е.

14 Физический практикум 209

в оптическую трубу R, в поле которой свет луча виден, как светлое пят­нышко; при звучании камертонов, одного или обоих, пятнышко растягивается в вертикальную полоску. Ее длина при одновременном звучании обоих камер­тонов зависит от результата сложения их колебаний, т. е. определяется ампли­тудами и разностью фаз того и другого колебания. При полном совпадении частот обоих камертонов разность начальных фаз колебаний остается постоян­ной, и длина полоски в поле трубы лишь очень медленно уменьшается вследствие затухания колебаний. Но если частоты камертонов несколько раз­личны, то длина полоски начинает периодически увеличиваться и уменьшаться вследствие возникновения биений, которые одновременно можно наблюдать и непосредственно на слух. Измерения сводятся к тому, чтобы, определив по секундомеру промежуток времени, в течение которого происходит опре­деленное число биений, вычислить отсюда их частоту N, а затем по формуле (2) и частоту измеряемого камертона чх. Такие измерения повторяются при не­скольких различных положениях дополнительного груза на ветви камертона В.

И&мерения. 1. Приборы собирают по схеме, указанной на рисунке, фокуси­руя трубу R на отчетливое изображение светлого пятнышка. Затем легким ударом резинового молотка приводят в звучание эталонный камертон и, наблюдая в трубу светлую полоску, определяют по секундомеру промежуток времени, в течение которого длина полоски уменьшается приблизительно на половину; затем такие же измерения проделывают в отдельности со вторым камертоном. Эти предварительные наблюдения необходимы для того, чтобы выяснить при­ближенно величину затухания каждого из камертонов в отдельности.

2. Приводят в звучание оба камертона; длина полоски при этом начинает периодически изменяться, в соответствии с частотой биений. Постепенно перемещая груз на ветви камертона В, находят такое положение его, при котором периодические изменения длины полоски прекращаются, и ее длина начинает медленно уменьшаться приблизительно с той же скоростью, как это было определено при предварительных наблюдениях затухания камертона В\ эту скорость вновь следует приближенно определить при помощи секундомера. Соответствующее положение груза на камертоне В, которое можно назвать нулевым, отсчитывают по показанию микрометрического винта; оно соответ­ствует равенству частот камертонов, при котором N равно нулю.

3. Дополнительный груз на камертоне В перемещают на 1 мм в направ­лении к ножке камертона, что вызывает увеличение его частоты и возник­новение биений. Наблюдая полоску, определяют частоту биений, измеряя по секундомеру промежуток времени, в течение которого происходит опре­деленное число биений. Эти измерения повторяют при нескольких положениях груза на камертоне В. прекращая их, когда возникают биения с такой большой частотой, при которой их счет становится затруднительным. При определении частоты биений следует включать и останавливать секундомер в те моменты, когда полоска, постепенно уменьшаясь в длине, обращается на мгновение в неподвижное пятнышко. Этот момент, соответствующий разности фаз колеба­ний, равной it, нетрудно точно фиксировать.

Из результатов измерений вычисляют частоту камертона при различных положениях перегрузка. Кроме того, следует графически изобразить результаты измерений частоты биений, откладывая по оси абсцисс перемещение перегру­зка, отсчитывая их от его нулевого положения, а по оси ординат частоту би­ений N.

РАБОТА 13Ь. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ ПРИ ПОМОЩИ МОНОХОРДА

]) Монохорд (эталон переменной частоты), 2) исследуемая струня, к ней набор грузов»9) деревянный молоточек.

Описание метода и приборов. При определении высоты тона очень часто применяются эталоны с определенной шкалой частот; настраивая их на частоту, одинаковую с исследуемым тоном, определяют отсюда его частоту. Настройка на равенство частот, что соответствует музыкальному термину унисон, может быть выполнена непосредственно на слух, так как музыкально развитое ухо способно очень точно улавливать звучание в унисон; принято считать, что в среднем интервале музыкальных частот порядка 300 Hz ошибка при настройке210

в унисон на слух не превышает приблизительно 0,2% частоты. Простом и удобным эталоном переменной частоты является монохорд, который состоит из стальной струны А (рис. 143), натянутой горизонтально. Один конец струны закреплен неподвижно, а на другом конце, перекинутом через блок, находится груз Ру, который сообщает струне постоянное натяжение. Длина струны опре­деляется расстоянием между ребрами двух трехгранных призм СС, одну из

Рис. 143. М оиоюрд.

которых можно перемещать вдоль струны при помощи микрометрического винта. Наибольшая длина струны £0 при крайнем положении призмы соответ­ствует определенной частоте колебаний v0; величины £.й и v0 даются как неко­торые постоянные прибора.

Измеряемая частота дается второй такой же струной В, натянутой парал­лельно первой при помощи груза Рг. Длина струны В остается постоянной, и частота ее колебаний изменяется при помощи дополнительных грузов, имею­щихся при приборе, величина которых дается. Целью измерений является опре­делить частоту колебаний струны при различном натяжении; его величина опре­деляется непосредственно весом груза на конце струны J3; что касается частоты ее колебаний, то она измеряется по частоте монохорда при помощи настройки обеих струн в унисон на слух.

Законы колебания струны теоретически ^могут быть обоснованы следующими со- ----------------------------------- -ображеннями. При звучании струны в нейвозникают стоячие волны, узлы которых _ „ *образуются В точках закрепления струны. Нис' Колебания струны.Таким образом струна, закрепленная по кон­цам, издает свой основной тон/если колеблется как целое, образуя одну стоя­чую волну, как это схематически изображено на рис. 144. Вычисляя скорость распространения в струне поперечных колебаний, на основании формул (20 и (9) стр. 199 и 202 можно написать:

v — 2Z.V,

где L — длина струны, равная длине стоячей волны в ней при основном тоне, и v — его частота.

Сравнивая это выражение с общим выражением скорости распространения упругих колебаний (формула Ньютона, стр. 215), находим:

2 Ь - / 4 - <3>где D — плотность среды, т. е. материала струны; что же касается величины k, то она определяется в данном случае, во-первых, деформацией растяжения струны действием груза на ее конце и, во-вторых, деформацией ее изгиба при поперечных колебаниях. Упругие силы, возникающие в струне при изгибе, можно считать незначительными по сравнению с упругими силами, вызывае­мыми ее растяжением; при этом предположении можно считать, что величина k равняется модулю упругости при растяжении струны или модулю Юнга (стр. 159), т. е. определяется выражением:

- ? •где Р — вес груза на конце струны и S — площадь ее поперечного сечения. На основании этого формулу (3) можно написать в виде:

14* 211

Подставляя в эту формулу вместо S ее выражение через радиус струны г и определяя частоту колебаний струны v, находим:

(4)

Таким образом частота v основного тона струны оказывается прямо про­порциональной корню квадратному из общего натяжения струны Р и обратно пропорциональной длине струны L, ее радиусу г и корню квадратному нз плотности материала струны D. Формулу (4) часто называют формулой Тэйлора.

Все величины правой части формулы (4) доступны непосредственному из­мерению. Таким образом этой формулой можно пользоваться для изучения за­конов колебания струн; необходимо, однако, иметь в виду, что формула (4) не является вполне строгой. Применяя эту формулу к колебаниям струны моно­хорда, для которой все величины в правой части этого выражения, за исклю­чением L, остаются постоянными, находим:

где — частота колебаний струны, соответствующая некоторой ее длине L, и— начальная частота колебаний, соответствующая начальной длине; струны L0.

Так как величина L0 и v0 известны, то по формуле (5) можно определить частоту струны монохорда, измеряя из отсчетов микрометрического винта перемещение призмы С.

С другой стороны, применяя формулу (4) к струне В, для которой все величины в правой части этого выражения, за исключением Р, остаются по­стоянными, находим:

где чх — частота колебаний струны В при нагрузке Р 2-{-/>, а ур, — частота при начальной нагрузке.

Измерения. 1. Определяют частоту колебаний струны В при начальной нагрузке. Для этого настраивают струну монохорда в унисон со струной В и, определив L, вычисляют по формуле (5) частоту колебаний струны В\ это дает одновременно частоту колебаний струны В при начальных условиях, т. е. ве­личину vPl в формуле (6).

2. Увеличивая постепенно натяжение струны В при помощи дополнитель­ных грузов, определяют тем же приемом каждый раз частоту ее колебаний.

Результаты измерений частоты струны В при различных нагрузках следует сравнить с теоретическими значениями ее частоты; их можно вычислить по формуле (6), подставляя в нее частоту струны vPj при начальном натяжении, полученную при первом измерении, и значения грузов и р.

Основное соотношение между длиной волны, скоростью и частотой, т. е. формула (2') стр. 199, дает возможность определять длину звуковых волн в какой угодно однородной среде, если известны скорость распространения звуковых колебаний в данной среде и их частота. Это вычисление выполняется весьма просто, но только при условии, что источник звука дает простые синусоидаль­ные колебания с постоянной частотой, что, например, имеет место при звучании камертона (стр. 205).

Независимо от этого длину звуковых волн можно определять непосред­ственно на опыте. Методы, применяемые при таких измерениях, основаны на явлениях интерференции и диффракции звука; основными методами можно счи­тать метод Квинке, метод интерферометра и метод диффракционпой решетки.212

(5)

(6)

Г Л А В А 14

ДЛИНА ЗВУКОВЫХ волн

1. Метод Квинке применяется для слышимых звуков в среднем диапазоне частот; описание метода и производство измерений см. работу 14 а.

2. Метод звукового интерферометра, известный в различных видоизме­нениях, применяется для звуков очень большой частоты, которые лежат на пределе слышимости (стр. 198); описание метода и производство измерений см. работу 14 Ь.

3. Метод диффракционной решетки, вполне аналогичный диффракцион- ному методу определения длины световых волн, применяется для слышимых звуков очень большой частоты, а также для звуков за пределами слышимости, т. е. так называемых ультразвуков.

РАБОТА 14а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ЗВУКОВЫХ ВОЛН В ГАЗАХ МЕТОДОМ КВИНКЕ

1) Прибор Квинке, 2) манометрическая капсула с тремя мембранами, 3) вращающийся зер­кальный многогранник, 4) два камертона на резонансных ящиках, 5) резиновый молоток.

Описание метода и приборов. Метод Квинке основан на явлении интер­ференции двух проходящих волн (стр. 200); их разность хода постепенно изме­няют, измеряя ее в тот момент, когда она оказывается равной нечетному числу полуволн, например одной или трем полуволнам. При этом условии, в соответствии с выводами стр. 200, мы будем наблюдать ослабление звука до полного его исчезновения при равенстве амплитуд обеих волн.

Прибор Квинке (рис. 145) состоит из латунной трубы, которая вблизи своих концов 0 ̂ и 0 2, остающихся открытыми, раздваивается, образуя два колена, изог­нутые как показано на рисунке. Одно из колен имеет внутренние трубки, и его длину можно увеличивать, поднимая изогнутую часть трубки; удлинение ко­лена измеряется по миллиметровой шка­ле S.

Источниками звука служат камер­тоны на резонансных ящиках (стр. 205), приводимые в звучание легкими ударами резинового молотка; при измерениях отверстие резонансного ящика камертона помещают вблизи входного отверстия прибора 0\. Звуковые колебания, входя внутрь прибора, разделяются на две части, которые проходят по тому и другому колену и вновь соединяются вместе у выходного отверстия прибора О .̂ Если длина того и другого колена одина­кова, то обе волны подходят к отверстию 0 2, имея разность хода, равную нулю, и при интерференции взаимно усиливаются. Но если увеличивать длину раз­движного колена, то разность хода той и другой волн получает значения, от­личные от нуля, и может оказаться равной одной полуволне; при этом условии звук у отверстия 0 3 почти совершенно исчезает. При дальнейшем удлинении колена можно наблюдать второй минимум звука, когда разность хода волн ока­зывается равной трем полуволнам; при камертонах с большой частотой колеба­ний можно наблюдать еще следующий минимум звука, отвечающий разности хода, равной пяти полуволнам.

Установка на минимум звука производится при помощи манометрической капсулы с пламенем (стр. 207), которая надевается на выходной коней прибора и имеет три мембраны. Две крайние мембраны возбуждаются колебаниями, которые выходят непосредственно из того и другого колена; средняя мембрана соединена с отверстием Ог. Таким образом если рассматривать огоньки во вра­щающемся зеркальном многограннике, то оказывается, что зубцы на средней полоске исчезают (почти совершенно) при установке прибора на минимум звука,

213

Рис. 145. Прибор Квинке.

в то время, как зубцы на крайних полосках сохраняются при всех положениях раздвижного колена.

Если расстояние между, последовательными минимумами, отсчитанное по шкале прибора, равно п, то удлинение колена, равное полуволне, очевидно, равно 2л; отсюда следует, что длина звуковой волны \ t в воздухе при темпе­ратуре наблюдения равна:

Х/ = 4 л. (1)

Так как частота камертона изменяется с температурой очень незначительно (стр. 205), то, считая ее постоянной, на основании формулы (20 стр. 199 и фор­мулы (8) стр. 217, можно написать:

г о _ *о _ J __Vc h V i-{-at

Отсюда, в соответствии с формулой (1), получвем:4 п

“*= F r p i - я

Здесь V, обозначает длину звуковой волны в воздухе при 0° С, / — температуру при изменениях и а — температурный коэффициент расширения воздуха.

Измерения с прибором выполняются настолько просто, что не нуждаются в особых указаниях. Необходимо только найти положение всех минимумов звука, число которых на шкале прибора может быть различно в зависимости от ча­стоты камертонов. Кроме того, следует делать достаточно большое число (не менее десяти) отдельных установок при определении положения каждого ми­нимума.

РАБОТА 14Ь. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ЗВУКОВЫХ ВОЛН В ВОЗДУХЕ МЕТОДОМ ИНТЕРФЕРОМЕТРА

1) Звуковой интерферометр, 2) свисток Галыона> 3) вогнутое зеркало, 4) звуковой радио­метр, 5) миллиметровая шкала с линзой на штативе для зеркального отсчета.

Описание метода и приборов. Звуковыми интерферометрами принято на­зывать группу приборов весьма различного типа, которые применяются для измерения длины звуковых волн; они основаны на принципе прибора Квинке

(работа 14 а): звуковые волны разделяют на две части, которые, проходя пути раз­личной длины, получают некоторую раз­ность хода; обе части затем сводят вместе и наблюдают их интерференцию.

Звуковой интерферометр одного из наиболее простых типов, применяемых в данной работе, схематически изображен на

рис. 146. Свисток Гальтона (стр. 205), который служит источником звуковых волн, установлен перед плоским зеркалом ^; таким образом по направлению ab, перпен­дикулярному к зеркалу, распространяются два ряда волн. Один ряд волн выходит непосредственно от свистка, а другой получается после отражения от плоского зеркала S,; в результате оба луча получают некоторую разность хода, равную удво­енному расстоянию свистка от зеркала, которую затем сохраняют на всем дальней­шем пути. Падая на вогнутое зеркало S, которое устанавливается на большом рас­стоянии от прибора, и отражаясь от него, лучи собираются в фокус на звуковом радиометре R (стр. 207). Его отклонения измеряются методами зеркала и шкалы (стр. 37); применяется объективный отсчет. Подъемная ширма К, которая служит для ващиты прибора от действия звуковых колебаний, дает возможность вклю­чать радиометр только при отсчете его показаний.

Очевидно, что эффект, даваемый радиометром, будет определяться разно­стью хода обоих лучей; ее величину можно изменять, если изменять расстояние между свистком и зеркалом Sj. С этой целью зеркало Sy укрепляется на под­вижной подставке, и его расстояния от свистка можно измерять по миллиметро­вой шкале при помощи нониуса с точностью до 0,2 мм. Перемещая зеркало S it

• t -----------------------^Рис. 146. Метод звукового интерферо­

метра.

214

мы наблюдаем максимумы и минимумы отклонений радиометра, так как разность хода лучей при этом периодически меняется, получая значения, равные четному или нечетному числу полуволн (стр. 200). При большой частоте звуковых коле­баний, получаемых от свистка Гальтона, абсолютная величина его перемеще­ний ограничивается несколькими сантиметрами, причем перемещение зеркала 51р отвечающее двум соседним минимумам отклонений радиометра, очевидно, равно половине длины звуковой волны. Таким образом можно написать:

где X — длина звуковой волны при данной частоте свистка Гальтона и п — пе­ремещение зеркала S lt отвечающее двум соседним минимумам отклонений ра­диометра.

Из формулы (3) мы видим, что измерения с прибором сводятся к тому, чтобы, постепенно перемещая зеркало S it измерять соответствующие отклоне­ния радиометра; на основании результатов измерений строят график, по кото­рому определяют среднюю величину перемещения зеркала Si, отвечающего соседним минимумам отклонений радиометра, т. е. величину п формулы (3).

Измерения. 1. Зеркало S( устанавливают на расстоянии приблизительно 10 см от свистка и, приведя последний в звучание, проверяют действие радиометра, открывая ширму К, которую затем вновь опускают. Затем, постепенно отодви­гая зеркало S t на расстояние 1— 2 мм, отсчитывают каждый раз его положе­ние и измеряют отклонение радиометра. При этом необходимо, во-первых, уменьшать перемещения зеркала при приближении к максимуму или минимуму отклонений радиометра, стараясь установить возможно точнее их положение на кривой, и, во-вторых, ширму К держать опущенной, поднимая ее только при отсчете показаний радиометра. Измерения прекращают, получив пять или шесть последовательных минимумов отклонений.

2. Изменив несколько частоту свистка Гальтона, повторяют те же изме­рения при новой частоте. При достаточной чувствительности радиометра можно перейти за пределы слышимости, и интерференционная картина продолжает получаться вполне отчетливо.

Результаты измерений изображают графически, откладывая по оси абсцисс расстояние между зеркалом Si и свистком, а по оси ординат отклонения радио­метра. По этим графикам находят л, определяя среднее расстояние между со­седними минимумами (или максимумами) отклонений, и вычисляют по формуле (3) длину звуковой волны для каждой исследованной частоты.

Скорость распространения звуковых колебаний, или скорость звука, при­нято выражать в метрах в секунду; таким образом размерность скорости звука определяется выражением:

[v] = м -сек- i . (1)

Скорость звука в какой-либо среде определяется скоростью распростране­ния в ней упругих колебаний, которые в твердых телах могут быть продоль­ными и поперечными, а в жидких и газообразных телах только продольными (стр. 199). Основное соотношение для скорости распространения продольных косебаний в упругих средах было дано Ньютоном; оно имеет вид

где k обозначает соответствующий модуль упругости среды, а р — ее плотность.Формула (2) была выведена Ньютоном в предположении, что при распро­

странении звуковых волн температура среды во всех точках остается постоян­ной, т. е. что распространение звука можно рассматривать как изотермический процесс. В действительности это не всегда имеет место, так как условии ра -

\ ~ 2 п, (3)

Г Л А В А 15

СКОРОСТЬ ЗВУКА

(2)

215

пространения звуковых колебаний в твердых, жидких и газообразных телах оказываются различными; вследствие этого в формулу (2) в некоторых случаях приходится вводить существенные поправки.

1. При распространении упругих колебаний в твердых т елах условия изо- термичности выполняются с достаточной строгостью; поэтому формулу (2) можно применять при вычислении скорости звука в твердых телах. Для случая про­дольных колебаний в твердых телах формулу (2) следует написать в таком виде:

v = V 5 * (3)

где Е обозначает модуль упругости или модуль Юнга (стр. 159) данного тела, a D — его плотность. Формула (3) оказывается справедливой только для длин­ных стержней или проволок, если продольные колебания распространяются в них в направлении длины. Пользуясь формулой (3), необходимо иметь в виду, что v, как было сказано, выражается в м/сек; поэтому значения величин Е и D необходимо выразить в системе MKS (стр. 24), пользуясь соответствующими переводными коэффициентами. Вследствие этого формула (3) получает вид:

v = j /9 8 1б • М" сек- i , (З^

где Е и D — табличные значения модуля Юнга и плотности, взятые в их чи­словой части без размерности.

2. При распространении упругих колебаний в газообразных т елах усло­вия изотермичности не выполняются, так как вследствие плохой теплопровод­ности газов теплового обмена между местами сгущения и разрежения практи­чески не происходит. Вследствие этого формула Ньютона для скорости звука в газах дает значения, не отвечающие опытным данным. Поправку к формуле Ньютона дал Лаплас, который исходил из предположения, что распространение звука в газе происходит адиабатически, т. е. что теплового обмена между слоями сгущений и разрежений совершенно не происходит.

«Эту поправку можно определить на основании следующих соображений. Формулу Ньютона в применении к газам следует написать в таком виде:

где в знаменателе стоит попрежнему плотность газа р, а числитель р обозна­чает давление газа, которое в данном случае играет роль модуля объемной упругости газа. Действительно из закона Бойля-Мариотта:

jp V = const.,дифференцируя его, находим:

p d V V d p = 0.Отсюда получаем:

dpр~ ~ {dVjV)' (<1)

Из этой формулы мы видим, что давление газа р равняется отношению внеш­ней силы dp к вызываемой ей деформации объема (dV jV ), что соответствует общему определению модуля (стр. 158).

Мы применяем закон Бойля-Мариотта, так как формула Ньютона выведена в предположении изотермического процесса в газе. Если же допустить, что распространение звука в газе происходит адиабатически, то для уравнения со­стояния газа следует взять закон Пуассона:

pV "1 = const.,

где р w V обозначают давление и объем газа, a f равняется отношению удель­ных теплоемкостей газа при постоянном давлении ср и при постоянном объеме cv:

216

Дифференцируя уравнение Пуассона, находим:'ipV '1 V"t dp = 0, или ~ { p d V V d p = 0.

Отсюда получаем

р̂ = ~ (dvfv)' (5)

Сравнивая это уравнение с уравнением (4), мы видим, что при адиабатном процессе в газе модулем объемной упругости газа служит не р, а произведе­ние ул т. е. произведение давления газа на отношение его теплоемкостей c j c v. Вследствие этого формулу Ньютона с поправкой Лапласа, или, как обыкновенно говорят, ф ормулу Лапласа следует написать в таком виде:

(6)

Значения скорости звука в газах, вычисленные по формуле Лапласа (6), очень хорошо совпадают с опытными данными.

Подставляя в формулу (6) вместо плотности газа р его удельный объем V = 1 /р, находим: ____

v = - Y w v -В этом выражении произведение p V можно, на основании уравнения Клапей­рона, заменить произведением газовой постоянной R на абсолютную темпера­туру газа Т; в результате получаем:

v — Y W f * (7)

Из этой формулы мы видим, что скорость звука в газах возрастает пропор­ционально корню квадратному из абсолютной температуры газа. Значения ско­рости звука в газах принято относить к температуре 0° С; поэтому при изме­рениях необходимо вносить соответствующую поправку, которую можно найти следующим образом:

Заменяя в формуле (7) абсолютные температуры температурами по шкале Цельсия, можем написать:

/ 273 + 1273 *

где v f и Vq — значения скорости звука, соответственно, при температурах t° и 0° по шкале Цельсия. Из последней формулы имеем:

' ь = ? # а - «

где а означает коэффициент расширения газов. Формула (8) дает возможность вычислить скорость звука при 0°С, если мы определили ее значение при тем­пературе t°C.

При определении скорости звука на опыте применяются различные методы, из которых особого внимания заслуживает метод непосредственного измерения скорости звука, метод стоячих волн и метод интерференционный.

1. Метод непосредственного определения скорости звука основан на из­мерении промежутков времени, в течение которых звук проходит определен­ное расстояние; этим методом была определена скорость звука в воздухе, в воде и в некоторых металлах. При большой точности измерения промежутков времени этим методом можно определять скорость звука в воздухе в закрытых помещениях. Описание метода и производство измерений см. работу 15 а.

2. Метод стоячих волн очень широко распространен, в особенности в форме, предложенной Кундтом. Метод Кундта применяется при определении скорости звука в различных газах и твердых телах; описание метода и произ­водство измерений см. работы 15 Ь, 15 с и 15 d.

3. Интерференционный метод, в форме, предложенной Квинке, приме­няется главным образом для определения длины звуковых волн в газах, но может применяться и для определений скорости звука в газах, описание ме­тода и производство измерений см. работу 14 Ь,

217

РАБОТА 15а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ ПРИ ПОМОЩИ МИЛЛИСЕКУНДОМЕРА

1) Миллпсекундомер, 2) две мембраны с контактами, 3) источник звука (футбольный мяч), 4) деревянный молоток, 5) руле! ка.

Описание метода и приборов. Относительно небольшая скорость распро­странения звука в воздухе дает возможность непосредственно определить ее значение в закрытых помещениях, если применять приборы для точного изме­рения небольших промежутков времени. Для последней цели в данной работе применяется электрический миллпсекундомер mS (рис. 147). Этот прибор имеет неподвижную стрелу N и циферблат, разделенный на тысячные доли секунды, который приводится в равномерное движение током от источника электрической энергии Е. Отсчет по циферблату дает возможность измерять небольшие про­межутки времени (порядка нескольких десятых долей секунды) с точностью до

0,001 сек. Миллисекундомер имеет три пары клемм; средняя пара присоединяется к источнику электрической энергии, а две крайние соединяются с мембранами Му и Ai2 и с их контактами, как это показано на рисунке. Расстояние между мембранами L, равное приблизительно 15—20 м, изме­ряется при помощи рулетки. Внутренние соединения в миллисекундомере рассчитаны так, что при размыкании контакта мембра­ны Му циферблат миллисекундомера прихо­дит в движение, а при размыкании контакта мембраны М 2 он останавливается. Размы­

кание контактов происходит под действием звуковой волны, посылаемой источ­ником звука А, который находится вблизи мембраны Му, звук вызывается ударом деревянного молотка по футбольйому мячу. Скорость звука вычисляется по элементарной формуле v t = Lj t , где L — расстояние между мембранами, а т — промежуток времени между размыканиями обоих контактов, отсчитанный по миллисекундомеру. В результате этих измерений мы получаем значение скоро­сти звука в воздухе vt при температуре наблюдения f; зная t можно, на осно­вании формулы (8), вычислить значение скорости звука в воздухе при 0° С.

Измерения с приборами выполняются настолько просто, что не нуждаются в детальных указаниях. Необходимо только, во-первых, собрав приборы по схеме, указанной на рисунке, произвести несколько пробных ударов по камере и про­верить действие прибора; во-вторых, произвести измерения при нескольких (различных) расстояниях L между мембранами и определить отсюда среднее значение v t\ наконец, в-третьих, определить температуру помещения и, введя соответствующую поправку, найти значение t/0.

РАБОТА 15Ь. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ МЕТОДОМСТОЯЧЕЙ ВОЛНЫ

1) Прибор для получения стоячих волн в воздухе, 2) три камертона на резонансных ящиках,3) резиновый молоток.

Описание метода и приборов. Из формулы (2') стр. 199 следует, что ско* рость звука можно определить, если измерить длину звуковой волны, даваемую источником звука с известной частотой. Измерение длины волны удобнее про­изводить по отношению к стоячим волнам, длина которых, как это видно из формулы (9) стр. 202, находится в простом отношении к длине волны прохо­дящей. Таким образом, на основании этих формул находим:

v = 2ЛСТ. (9)

Применение этой формулы возможно, если источник звука дает простые синусоидальные колебания с постоянной частотой; этим условиям удовлетво­ряет камертон (стр. 205).

При измерении этим методом скорости звука в воздухе применяется очень простой прибор, схематически изображенный на рис. 148. Широкая стеклянная218

труба А, открытая с обоих концов, имеет боковой отросток, на который надета резиновая (слуховая) трубка с наконечником, и поршень Р, который свободно передвигается внутри трубы А. На нижней доске прибора укреплена миллиме­тровая шкала, по которой определяют положение поршня в трубе, отсчитывая его от переднего (свободного) конца. Источниками звука служат камертоны на резонансных ящиках, открытые концы которых при измерениях располагают вблизи свободного конца трубы А; частота камертонов известна. При их зву­чании звуковые волны, входя внутрь трубы, отражаются от переднего конца поршня Р и идут в обратном направлении. В результате возникает явление интерференции встречных колебаний (стр. 201), и внутри трубы образует­ся система плоских стоячих волн; положение их узлов и пучностей зависит от положения поршня в трубе. Таким образом при перемещении поршня сила звука, воспринимаемого через слуховую трубку, изменяется. Измерения сво­дятся к тому, чтобы, перемещая поршень Р вдоль трубы, определить те поло­жения его свободного конца, при которых в слуховой трубке слышны макси­мумы (или минимумы) звука', число их на протяжении всей трубы зависит от

частоты камертона, а расстояние между двумя положениями поршня, отвечаю­щими соседним максимумам (или минимумам), определяет длину стоячей волны данного камертона, т. е. величину Хст в формуле (9).

Измерения. 1. Приборы располагают, как было указано, помещая один из камертонов вблизи свободного конца трубы А. Затем одно ухо плотно закры­вают ватой или стеклянным шариком и, приведя камертон в звучание легким ударом резинового молотка, прикладывают к свободному уху наконечник слу­ховой трубки. Перемещая поршень в трубе, находят все его положения, при которых слышится максимум (минимум) звука. Таких установок для каждого максимума делают не менее 10 и затем берут из них среднее арифметическое. Установку поршня на максимум (минимум) звука следует делать с закрытыми глазами, плотно прижимая наконечник слуховой трубки к уху.

2. Те же самые измерения производят последовательно с другими камер­тонами.

Из результатов измерений определяют длину стоячей волны, отвечающей каждому из камертонов, и по формуле (9) вычисляют значения скорости звука м - с е к полученные при измерениях с каждым из камертонов; из этих резуль­татов берут среднее арифметическое. Полученная величина соответствует ско­рости звука в воздухе при температуре наблюдения. Вследствие этого, опре­делив температуру помещения, приводят полученное значение скорости звука в воздухе к температуре 0° С, пользуясь формулой (8).

РАБОТА 15с. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ГАЗАХ МЕТОДОМ КУНДТА

1) Прибор Кунлта, 2) к нему миллиметровая шкала, 3) латунный стержень с шайбой на конце,4) баллон с углекислотой, 5) осушающие сосуды, 6) водоструйный нэсос, 7) фланель, канифольв порошке и пробковые опилки.

Описание метода и приборов. М е т о д К у н д т а о п р е д е л е н и я с к о р о с т и з в у к а в га з а х о с н о в а н на и н т е р ф е р е н ц и и в с т р е ч н ы х к о л е б а н и й (с т р . 2 01). С т о я ч и е в о л н ы , к о т о р ы е , в о з н и к а ю т в р е з у л ь т а т е и н т е р ф е р е н ц и и , п р и о д н о м и то м ж е и с т о ч н и к е з в у к а в р а з л и ч н ы х г а з а х и м е ю т р а з л и ч н у ю д л и н у . О п р е д е л я я д л и н у С то яче й в о л н ы в в о з д у х е и в и с с л е д у е м ы х га з а х , м о ж н о , на о с н о в а н и и ф о р ­

219

мул (2') и (9) стр. 199 и 202, определить скорость звука в этих газах по отно­шению к скорости звука в воздухе, причем частота источника звука может оставаться неизвестной. Источником звука в методе Кундта служит металличе­ский или стеклянный стержень, который приводится в продольные колебания, а определение положения узлов и пучностей стоячих волн производят при по­мощи так называемых пыльных фигур, или фигур Кундта.

Прибор Кундта состоит из широкой стеклянной трубы А (рис. 149 а, Ь) около 1 м длиной, которая свободно лежит на подставках в горизонтальном положении. Оба конца трубы закрыты металлическими оправами с боковыми отростками, которые служат для наполнения трубы исследуемыми газами; краны в боковых отростках оправ (на рисунке не показаны) дают возможность отде­лить газ в трубе от окружающего пространства. В одной из оправ сделано широкое отверстие, через которое внутрь трубы входит латунный стержень В с шайбой с на конце, соединенный с оправой мягкой резиновой трубкой; это дает возможность несколько перемещать трубу по отношению к стержню, не нарушая герметичности соединения. Стержень В закреплен в двух важимах, которые устанавливаются на расстояниях одной четверти его длины, так что;

а

Рис. 149. Метод Кундта в газах.

ab = 2ca — 2bd. Если стержень натирать продольно в части ab фланелью с по­рошком канифоли, то он начинает звучать, "издавая, при указанном положении зажимов, своей первый обертон; при этом в стержне образуются стоячие волны, узлы которых совпадают с зажимами, а пучности находятся на концах стержня и на середине его, как это показано условно на рис. 149 Ь. При звучании стержня внутри трубы распространяются звуковые волны, которые отражаются от оправы на противоположном концё трубы; в результате внутри трубы обра-. зуется система плоских стоячих волн. Положение их узлов и пучностей можно определить, если внутрь трубы А ввести небольшое количество легкого по­рошка, например мелких пробковых опилок, распределив их равномерно по всей длине трубы. При звучании стержня опилки собираются в узлах, образуя характерные фигуры Кундта, которые приобретают особенно отчетливый вид, если между закрытым концом трубы А и шайбой стержня укладывается целое число стоячих волн; этого можно достичь, несколько перемещая трубу относи­тельно стержня. Измерения сводятся к тому, чтобы получить возможно отчет­ливую картину фигур Кундта в воздухе и в исследуемом газе и определить длину стоячей волны в обоих случаях. Если в результате оказывается, что длина стоячей волны в воздухе и газе равна, соответственно, \ и 1Х, то на основании формул (2') и (9) стр. 199 и 202 можно написать:

v = 2vX, v x = 2ч\х,

где v и vx — скорость звука в воздухе и исследуемом газе при температуре наблюдения. Из этих формул получаем:

Так как табличные значения скорости звука относятся к 0°С, то необхо­димо ввести поправку на температуру, подставив вместо v ее величину, опре­деляемую формулой (8); таким образом получаем окончательно:

— У 1 + < (10)

где vn обозначает скорость звука в воздухе при 0° С, величину которой берут из таблиц, t — температура газа при измерениях и а — температурный коэффи­циент расширения воздуха.2 2 0

Измерения. 1. Латунный стержень закрепляют в зажимах, устанавливая их так, чтобы выполнялось указанное выше условие. Затем, пользуясь осушаю­щими приборами и насосом, наполняют трубу А сухим воздухом. После этого, приводя стержень в звучание, наблюдают фигуры Кундта и, перемещая не­сколько трубу А, добйваются наиболее отчетливого вида их. Измеряя при по­мощи миллиметровой линейки длину определенного числа, например восьми или десяти фигур Кундта, находят отсюда длину стоячей волны в воздухе.

2. Те же измерения повторяют, наполняя трубу А углекислотой, а затем светильным газом. При наполнении трубы газами необходимо пользоваться осу­шающими сосудами и пропускать газ через трубу в течение пяти или шести минут так, чтобы весь прежний газ вышел из нее; после этого краны трубы А следует закрыть. При осушении газов необходимо следить за тем, чтобы для каждого газа применялся тот осушающий прибор, который для него назначен.

Из результатов измерений, пользуясь формулой (10), определяют скорость звука в углекислоте и светильном газе при температуре наблюдения, считая температуру газа равной температуре помещения.

РАБОТА 15d. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХМЕТОДОМ КУНДТА

1) Прибор Кундта, 2) к нему миллиметровая шкала, 3) стержни с шайбой на конце, стеклам^ пый, латунный и железный, 4) фланель, канифоль в порошке и пробковые опилки.

Описание метода и приборов. Метод Кундта, описанный в предыдущей работе, дает возможность определять скорость распространения продольных колебаний (стр. 199) в твердых телах, которую обыкновенно называют ско­ростью звука в твердых телах. При этих измерениях скорость звука в воздухе считают известной. Прибор Кундта для определения скорости звука

_______________*__________________ I____ 8 “ Ь, L L -w -— —-------------------п ------ ^ Д = =

Рис. 150. Метод Кундта в твердых телах,

в твердых телах состоит из широкой стеклянной трубы А (рис. 150 а), длиной около одного метра, один конец которой закрыт пробкой; труба свободно ле­жит на подставках в горизонтальном положении. Стержень В, сделанный из исследуемого материала, входит своим концом, имеющим небольшую шайбу, внутрь трубы, как показано на рисунке, и прочно закрепляется при помощи зажима а в своей средней точке, так что са = ab. В этом случае стержень при звучании издает свой основной тон, при котором в стержне образуется одна стоячая волна с узлом в точке закрепления и пучностями на концах, как это условно показано на рис. 150 Ь. Одновременно в трубе А образуются стоячие волны в воздухе, длина которых зависит от частоты тона, издаваемого стерж­нем, и может быть измерена из наблюдений фигур Кундта, как это было опи­сано в предыдущей работе. В результате, на основании формул (2') и (9) стр. 199 и 202, можно написать:

V* L V* = V T = V l '

где v x и v обозначают скорость звука в исследуемом стержне и в воздухе п р и температуре наблюдения,/. — длину всего стержня иХ — длину стоячей волны в трубке Кундта. Приводя скорость звука в воздухе к температуре 0° С, на основании формулы (8) получаем:

vx = vQ Y У 1 -1- at. (11)

221

Здесь v 0 обозначает скорость звука в воздухе при 0° С, значение которой бе­рется из таблиц t — температура, при которой производятся измерения, и а — температурный коэффициент расширения воздуха.

Измерения. Из формулы (11) мы видим, что для определения v x необхо­димо измерить длину стержня L, длину стоячей волны в трубке Кундта \ и температуру наблюдения t. Эти измерения выполняют последовательно со всеми стержнями, пользуясь указаниями, которые были сделаны в предыду­щей работе; длина стержней определяется при помощи миллиметрового мас­штаба. Значения скорости звука, полученные из результатов измерений по фор­муле (11), следует сравнить с теоретическим значением скорости продольных колебаний в данном теле, вычисляя ее по формуле (3').

Из теоретических соображений следует, что в однородной среде энергия плоской звуковой волны должна сохранять постоянное значение, а энергия шаровой волны должна уменьшаться пропорционально квадрату расстояния. Но эти теоретические выводы па практике в полной мере не оправдываются, и опыт показывает, что во всех случаях происходит более быстрое уменьшение ввуковой энергии с расстоянием; это затухание звуковых волн вызывается глав­ным образом внутренним трением среды и тепловыми явлениями. Если внутрен­нее трение в среде невелико, например в случае воздуха или воды, то зату­хание звуковых волн также невелико. Но, если звук распространяется в пористых материалах, например в таких, как пробка, войлок, вата, то затухание звука может достигать очень большой величины; эти вопросы играют весьма большую роль в архитектурной акустике (стр. 233).

Что касается затухания колебаний звучащего тела, которое также сопро­вождается ослаблением звука, то оно зависит, во-первых, от внутреннего тре­ния колеблющегося тела, и, во-вторых, от того количества энергии, которое оно передает окружающей среде. Таким образом декремент затухания колебаний звучащего тела, который на основании формулы (4) стр. 95 определяется вы­ражением:

должен быть различным при различных условиях звучания. Иначе говоря, коэф­фициент затухания 8 зависит не только от свойств звучащего тела, но и от условий, при которых совершаются его колебания.

РАБОТА 16а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕКРЕМЕНТА ЗАТУХАНИЯ КАМЕРТОНА ПРИ ПОМОЩИ МИКРОСКОПА

1) Два камертона на резонансных ящиках, 2) отсчетный микроскоп с окулярным микроме­тром на штативе, 3) секундомер, 4) настольная лампа, 5) металлические тиски, 6) зажим. 7) ре­ЗИ Н О В Ы Й М О Л О Т О К .

Описание метода и приборов. Декремент затухания колебаний камертона известной частоты можно найти, если измерить уменьшение амплитуды его колебаний за определенный промежуток времени. Эти измерения можно вы­полнить очень просто, определяя тот промежуток времени t, в течение кото­рого амплитуд^ колебаний камертона уменьшается в два раза по отношению к его начальной амплитуде а0; предполагая одновременно, что за время t ка­мертон совершил я колебаний, можно написать:

где ап —амплитуда я-го колебания камертона и »— его частота. При этом на основании общего уравнения затухающих колебаний (стр. 94) можно написать

Г Л А В А 16

ЗАТУХАНИЕ ЗВУКОВЫХ КОЛЕБАНИЙ

(1)

(2)

а „ = а 0е~К222

Отсюда на основании первого из уравнений (2) находим:

!» = * » = 2. (3)и п

Во втором из уравнений (2) частоту колебаний v заменяем их периодом Т [формула (1), стр. 198]; находим:

t — Tn.

Вставляя это значение t в уравнение (3), получаем:е'‘Тп — 2.

Отсюда находим значение декремента затухания колебаний камертона:

D = e ^ = ^ 2 . (4)

Измерения амплитуд колебаний камертона в данной работе производитсяпри помощи микроскопа М (рис. 151) с окулярным микрометром (Стр. 41), шкалакоторого расположена горизонтально. На конце одной ветви камертона укреплено тонкое, отпо­лированное острие А; это изображение наблю­дают в микроскопе, укрепленном горизонтально на штативе; при этом оптическую ось микроскопа направляют перпендикулярно к плоскости коле­бания камертона. При его звучании резкое изо­бражение острия в поле микроскопа растягивается в светлую горизонтальную полоску, длину которой измеряют в относительных единицах по числу делений шкалы окулярного микрометра. Камер­тон приводится в колебание легким ударом резинового молотка; для того чтобы при этом камертон не сдвигался с места, нижнюю доску его резонаторного ящика закрепляют неподвижно при помощи зажима, укрепленного на столе. Такие же наблюдения повторяют для камертона без резонансного ящика, закрепляя его за ножку в массивных металлических тисках; в этом случае звук, даваемый камертоном, значительно ослабевает. Это показывает, что количество звуковой энергии, которое камертон отдает в окружающую среду в единицу времени, при наличии резонансного ящика оказывается значительно больше, что следует также и из теории резонаторов. Измерения в данной работе имеют своей целью выяснить влияние резонансного ящика на затухание камертона; эти измерения выполняются последовательно дЛя двух камертонов различной частоты, которая на них указана.

Измерения. 1. Один из камертонов на резонансном ящике устанавливают в зажиме, укрепленном на столе, и освещают острие камертона настольной лампой. Против острия камертона устанавливают микроскоп так, чтобы его объектив находился на расстоянии около 1 см от острия, причем ось микро­скопа следует направить перпендикулярно к боковым сторонам резонансного ящика. Окуляр микроскопа фокусируют на резкое изображение окулярного микрометра, затем устанавливают тубус микроскопа на резкое изображение острия, которое должно лежать приблизительно на середине шкалы. При уста­новке приборов часто бывает необходимым подобрать наилучшие условия осве­щения. Следует также несколько раз привести камертон в звучание легкими ударами резинового молотка и затем остановить его. При этом изображение острия на шкале микроскопа может перемёщаться; небольшие изменения в его положении, например не более пяти делений шкалы, никаких осложнений при дальнейших измерениях не вносят, но если перемещения- оказываются боль­шими, то следует их уменьшить, прочнее закрепив камертон на резонансном ящике и в зажиме.

2. Приведя камертон в звучание, наблюдают в микроскоп светлую полоску от колеблющегося острия, и в тот момент, когда ее длина оказывается равной простому числу делений шкалы, например 20 или 30, пускают в ход секундо­мер. Продолжая наблюдать за длиной полоски, секундомер останавливают в тот момент, когда ее длина оказывается равной половине начальной длины.

223

г:_____\...... 1 ■ L

Рис. 151. Затухание камертона.

М

3. Те же измерения повторяют со вторым камертоном. Затем камертоны снимают с резонансных ящиков, и вновь повторяют измерения, зажимая камер­тоны в металлические тиски.

Из результатов измерений вычисляют по формуле (3) декремент затухания при звучании камертонов на резонансном ящике и без него и для каждого из камертонов определяют отношение его декрементов в первом и во втором случаях.

Г Л А В А 17 АКУСТИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС

С резонансными явлениями в акустике приходится встречаться очень часто; такие явления очень нетрудно наблюдать, например в случае двух камертонов, настроенных на одинаковую частоту. Опыт показывает, далее, что каждая воз­

душная полость с отверстием является резонатором, т. е. под дей­ствием звуковых колебаний в ней возникают стоячие волны, ампли­туда которых может достигать резко выраженного максимума. Это наблюдается, если имеют место условия, при которых возникают резонансные явления (стр. 105), т. е. частота внешней звуковой волны должна быть равна собственной частоте колебаний воздушной полости; эту частоту колебаний принято называть резонансной ча­стотой.

Такое элементарное описание резонансных явлений не вполне отвечает наблюдениям, и акустический резонанс оказывается значи­тельно более сложным процессом; это объясняется главным обра­зом тем, что в большинстве случаев состав звука является сложным (стр. 198), и резонансные явления наблюдаются не только для основ­ного тона, но и для гармонических составляющих.

Резонансная частота воздушных резонаторов определяется их формой и размерами. Для цилиндрического резонатора простейшей формы, в виде трубы, открытой с одного конца (рис. 152), резонан­сную частоту можно определять на основании формулы (9) стр. 218; при основном тоне узел стоячей волны образуется у дна резона­

тора А, а пучность — у его открытого конца О. Таким образом можно написать

где L — длина резонатора и \ — длина звуковой волны в воздухе, отвечающей основной частоте резонатора. Из этого уравнения на основании формулы (9) стр. 218 получаем:

где v — частота основного тона резонатора.Формула (1), которая дает возможность очень просто определить частоту

цилиндрического резонатора, не является точной, тем не менее ею часто поль­зуются при приближенных расчетах.

РАБОТА 17а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ, РЕЗОНАНСНОЙ ЧАСТОТЫ ВОЗДУШНОГО РЕЗОНАТОРА ПРИ ПОМОЩИ СТОЯЧЕЙ ВОЛНЫ

1) Цилиндрический резонатор переменной длины, 2) монохорд с набором грузов, 3) дере­вянный молоточек.

Описание метода и приборов. Усилением звука, которое вызывается дей­ствием резонатора, можно воспользоваться для определения резонансной ча­стоты воздушных резонаторов. В дайной работе применяется цилиндрический резонатор переменной частоты, который состоит из стеклянной открытой трубы А

Рис. 152. Цилиндри­ческий ре­

зонатор.

224

(рис. 153) с поршнем. Вблизи свободного конца трубы сделан боковой отросток Ь, на который надета резиновая слуховая трубка; ее наконечник при измерениях’ плотно прижимается к уху. Шкала, укрепленная на подставке прибора, позво­ляет измерять длину резонатора, т. е. расстояние от свободного конца трубы А до передней поверхности поршня. В качестве эталона переменной частоты при­меняется монохорд (стр. 210) со струной постоянной длины; частота ее коле­баний изменяется при помощи добавочных грузов и вычисляется по формуле (4) стр. 212. Вес грузов монохорда дается.

Целью работы является проверка формулы (1). Для этого, поставив моно­хорд на определенную частоту, измеряют ту длину резонатора, при которой возникают резонансные явления, что обнаруживается резким усилением звука в слуховой трубе. Полу­ченное значение длины резонатора сравнивают с ее теоретической величиной, которую находят по фор­муле (1).

Измерения. 1. Резонатор устанавливают вблизи середины струны, перпендикулярно к ее длине; поршень резонатора помещают вблизи слухового отверстия. Струну настраивают на наибольшую ча­стоту, применяя все дополнительные грузы моно­хорда, приводят ее в звучание и, пользуясь слухо­вой трубкой, устанавливают поршень резонатора на первый максимум звука. При ЭТОЙ установке второе Рис. 153. Открытый резонатор, ухо следует плотно закрыть ватой или стеклян­ным шариком. Положение передней плоскости поршня отсчитывают, опре­деляя отсюда длину резонатора, отвечающую наибольшей частоте монохорда.

2. Те же измерения повторяют, постепенно снимая один за другим дополнительные грузы монохорда, и каждый раз определяют длину ре­зонатора.

Так как установки на максимум звука не отличаются большой точностью, то каждую из них следует повторять не менее 10—15 раз и для значения L брать их среднее арифметическое; установки на максимум звука рекомендуется производить с закрытыми глазами.

РАБОТА 17Ь. ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ МЕТОДОМ РЕЗОНАНСА

1) Прибор лля исслелования колебаний струны, к нему набор грузоп, 2) два амперметра, 3) два реостата, 4) неоновая лампа на подставке, 5) батарея аккумуляторов, 6) лупа.

Описание метода и приборов. Формула (4) стр. 212 определяет частоту основного тона струны, при котором образуется два узла на ее концах (рис. 154,а). Однако опыт показывает, что кроме основного тона струна при звучании из-

о ---- V-

ь

Рис. 154. Колебания струны.

дает еще ряд обертонов, при которых в струне образуются стоячие волны большей частоты. При первом обертоне образуется д о п о л н и т е л ь н ы й узел в се­редине струны (рис. 154,Ь), и ее две половины находятся всегда в противопо­ложных фазах; таким образом частота колебаний первого обертона оказывается в два раза больше частоты основного тона. При втором обертоне на струне15 Физический практикум 225

образуется два дополнительных узла на расстоянии одной трети струны (рис. 154,с); частота второго обертона, очевидно, в три раза больше частоты основного тона. Нетрудно проследить возникновение обертонов и более высо­кого порядка (рис. 154,d), частота которых постепенно возрастает. Вследствие этого формулу Тэйлора, определяющую частоты колебаний струны, принято писать в таком виде:

где п — натуральный ряд целых чисел, начиная от единицы. Это выражение дает возможность вычислять частоту основного тона струны и всех ее обер­тонов, или, как принято говорить, частоту собственных свободных колеба­ний струны, если известны порядок обертона п, длина струны L , радиус ее поперечного сечения г, общее натяжение струны Р и, наконец, плот­ность материала струны р. Если величину г ввести под знак радикала и по­лученный знаменатель помножить и разделить на L, то формула Тэйлора полу­чает вид:

где I есть линейная плотность струны, т. е. ее масса, отнесенная к единице длины.

Непосредственное исследование собственных свободных колебаний струны представляет значительные трудности; их, однако, удается устранить, если вос-

следования последних. Прибор, который служит для этого, состоит из горизонтальной струны В (рис. 155), которая натягивается действием спираль­ной пружины F', растяжение пружины можно изменять, отсчитывая его вели­чину по шкале 5 ^ В соответствии с этим изменяется сила натяжения струны', его величина определяется при помощи набора грузов р определенного веса, ко­торые служат для калибрирования пружины F. Струна проходит между полюсами небольшого электромагнита М , питаемого постоянным током, в цепи которого включен реостат R x и амперметр A v Зеркальная шкала 5 2 служит для измерения амплитуды колебаний струны; при отсчете амплитуд приходится пользоваться лупой.

По струне пропускается переменный ток, в цепи которого включен рео­стат R t и амперметр Аг', в результате под действием постоянного поля электро­магнита струна начинает совершать вынужденные колебания с частотой, равной частоте переменного тока, т. е. 50 герц. Таким образом частота внешней силы, очевидно, все время при наблюдениях остается постоянной. Струну настраи­вают в резонанс, изменяя ее натяжение пружиной F. При ослаблении натя­жения частота основного тона, как показывает формула (2), уменьшается; та­ким образом постоянная внешняя частота 50 гц по мере уменьшения натя­жения струны оказывается резонансной для ее обертонов, все более вы­сокого порядка; таким приемом можно дойти до третьего или четвертого обертона.

(2)

Ряс. 155. Колебания струны метолом резонанса.

пользоваться явлениями резо­нанса, заставляя струну совер­шать вынужденные колебания (стр. 103). При наступлении ре­зонанса амплитуда вынужден­ных колебаний резко возра­стает, а их частота становится равной одной из частот собст­венных свободных колебаний струны (стр. 105). Таким образом при резонансе вынужденные колебания струны по частоте и распределению амплитуд не от­личаются от ее собственных свободных колебаний, чем и можно воспользоваться для ис-

226

Дальнейшее ослабление натяжения пружины невозможно, так как струна начинает провисать и, кроме того, начинает сказываться сопротивление струны на изгиб. Поэтому для более высоких обертонов применяются струны, обвитые тонкой проволокой; при этих условиях линейная плотность струны значительно возрастает, и ее частота при том же натяжении оказывается меньше. Такие стру­ны, однако, имеют один недостаток, а именно для получения их основного тона требуется сильное натяжение (порядка 10 кГ).

При возбуждении колебаний струны существенную роль играет положение электромагнита, которое определяет точку приложения внешней силы. Если она совпадает с узлом стоячей волны, то внешняя сила, очевидно, не будет в со­стоянии вызвать колебания струны даже при условии строгого резонанса.

Для того чтобы можно было непосредственно наблюдать форму колебаний струны, применяется неоновый стробоскоп (том II, работа 56с). Он состоит из неоновой лампы телевизионного типа, которая включается в цепь переменного тока; вследствие униполярной проводимости такой лампы она действует как выпрямитель и дает в течение одной секунды не 100, а только 50 вспышек. Таким образом при каждой вспышке струна оказывается освещенной в одной и той же фазе и кажется поэтому неподвижной; это, однако, имеет место только при условии строгого резонанса. Последнее объясняется тем, что вспышка неоновой лампы происходит в момент максимума внешней силы; в этот момент скорость струны, при строгом резонансе, совпадает по фазе с внешней силой, и струна представляется неподвижной. Если же разность фаз между внешней силой и скоростью струны изменяется, то изменяется и положение струны, освещаемой неоновой лампой; это нетрудно наблюдать, если постепенно изменять натяжение струны вблизи резонанса.

Этот прибор дает возможность наблюдать также собственные свободные колебания струны; для этого следует, вызвав на резонансной частоте вынуж­денные колебания струны, выключить затем электромагнит. Струна про­должает совершать одно из собственных колебаний, которое, однако, быстро затухает.

Измерения. В данной работе следует, во-первых, определить частоты собственных колебаний струны и сравнить их значение с теоретическими, которые определяются на основании формулы (2), и, во-вторых, исследовать распределение амплитуд для каждого собственного колебания струны. Для этого выполняют следующее:

1. Калибрируют пружину прибора. Для этого ее шнурок перекидывают через блок г и, постепенно увеличивая нагрузку струны при помощи дополни­тельных грузов, отсчитывают каждый раз положение указателя пружины на ее шкале. Результаты изображают графически, откладывая по оси абсцисс положе­ние указателя пружины на шкале и по оси ординат величину нагрузки. Этим графиком пользуются при дальнейших измерениях для определения силы натяжения струны, т. е. величины Р в формуле (2).

2. Собирают приборы по указанной схеме и устанавливают ток в цепи струны силой около 1,5 А, а в цепи электромагнита силою около 1 А. Поместив электромагнит посредине струны, подбирают такое натяжение, чтобы ее основ­ной тон оказался в резонансе; эта установка соответствует максимуму натяже­ния струны, применяемого при наблюдениях. Установку на резонанс проверяют при помощи неонового стробоскопа (струна неподвижна) и отсчитывают соот­ветствующее положение указателя пружины. Затем, помещая шкалу S2 в не­скольких местах вдоль струны, измеряют амплитуду ее колебаний. Из резуль­татов этих измерений вычисляют по формуле (2) теоретическое значение частоты основного тона, причем линейная плотность струны дается; на основании этих измерений строят график распределения амплитуд вдоль струны, сравнивая его с теоретическим.

3. Такие измерения повторяют для двух или трех последовательных обер­тонов, пользуясь каждый раз неоновым стробоскопом для установки на резо­нанс. Следует также проследить за изменением в положении струны при измене­нии ее натяжения вблизи резонанса, когда появляется разность фаз между внешней силой и скоростью струны. При наблюдении обертонов положение электромагнита необходимо изменять, возбуждая струну в той точке, где должна быть пучность соответствующего обертона; из результатов измерений вновь опре­деляют для каждого обертона теоретическое значение частоты и р а с п р е д е л е н и я амплитуд вдоль струны.15* 227

Г Л А В А 18

АНАЛИЗ ЗВУКААкустический состав большинства звуков, с которыми мы встречаемся на

практике, является сложным (стр. 198). Задачей анализа звука является разложе­ние сложных звуков на их гармонические составляющие, т. е. изучение аку­стического спектра звука. При этом мы можем или ограничиться определе­нием частоты гармонических составляющих сложного звука или одновременно измерить и их относительную силу.

1. В.первом случае, при так называемом частотном анализе звука, можно с успехом применять наборы резонаторов, настроенных на различную частоту; описание этого метода и производства наблюдений см. работу 18а.

2. Во втором случае, при так называемом амплитудном анализе звука, задача представляется более сложной. Для ее решения обыкновенно получают

график сложного звука, т. е. записывают его кривую на дви­жущейся бумаге или на фото­пленке; эту кривую затем раз­лагают на гармонические со­ставляющие. Для записи кривых сложного звука применяются

У следующие методы.а) Методы, основанные на

Рис. 156. Диаграмма звука. упругих колебаниях мембран;описание одного из этих ме­

тодов и производство измерений приведены в работе 18Ь.Ь) Более сложные электроакустические методы; некоторые из них дают

возможность автоматически записывать непосредственно акустический спектр звука; описание таких методов и производство измерений см. том II, работа 57с.

Звуковые спектры, получаемые в результате анализа сложных звуков, обыкновенно изображают графически, в виде диаграмм, на которых ось абсцисс служит шкалой частот v; амплитуды гармонических составляющих а изобра­жают отрезками ординат в соответствующих точках оси абсцисс. Такая диаграмма одного из сложных звуков приведена, например, на рис. 156.

1 1

1 _ . 1 1 1 1 I h

РАБОТА 18а. АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ ЗВУКОВ ПРИ ПОМОЩИ РЕЗОНАТОРОВ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

1) Анализатор Кёнига, 2) зеркальный многогранник с мотором и регулятором скорости,S] три источника звука для анализа, к ним штатив, 4) два камертона на резонансных ящиках, Б) резиновый молоток.

Описание метода и приборов. Весьма удобным типом воздушного резона­тора является так называемый, шаровой резонатор Гельмгольца. Такой резо­натор представляет собой полый металлический или стеклянный шар А (рис. 157), в котором имеется два отверстия Oi и 0 2, расположенных по концам одного диаметра. Через более широкое отверстие Ог внутрь резонатора поступают звуковые колебания; узкое отверстие отводится к индикатору звуковых колебаний, например к манометрической капсуле (стр.207), или соединяется слуховой трубкой с ухом, если наблюдения производятся непосредственно на слух.

Каждый шаровой резонатор, в зависимости от его размеров и диаметра отверстия Ог, имеет опре­деленную резонансную частоту. Вследствие этого каждый простой тон, ВХОДЯЩИЙ В состав СЛОЖНОГО Рис- 157- Резонатор Гельм- звука, будет особенно сильно возбуждать резона- гольца,тор, близкий к нему, по частоте.

Для анализа сложных звуков применяются различные наборы резонаторов Гельмгольца с определенными частотами, значение которых непосредственно указывается на резонаторах; их слуховые отверстия обыкновенно отводятся228

к манометрическим капсулам, огоньки которых наблюдаются при помощи вращаю­щегося зеркального многогранника. Приборы такого типа, которые обыкновенно называются анализаторами Кенига (рис. 158), дают возможность весьма про­сто производить частотный анализ звуков. Что же касается ам­плитудного анализа, то при помощи анализаторов Кёнига удается только очень приближенно определять относительную силу от­дельных составляющих сложного звука; это можно установить, наблюдая форму и глубину зубцов на светлых полосках во вра­щающемся зеркале, так как более сильные составляющие харак­теризуются большей глубиной и резкостью очертаний зубцов.

В данной работе исследуется частотный состав звука трех не­больших духовых труб, имеющих различную частоту основного то­на.Трубы приводятся в звучание при помощи непрерывной воздуш­ной струи. Два камертона, которые имеются при приборе, служат для того, чтобы наглядно убедиться в различном действии на ана­лизатор звуков, простых по составу (камертон) и сложных (трубы).

И змерения с прибором выполняются настолько просто, что не нуждаются в детальных указаниях. Необходимо только шта­тив с источником звука помещать достаточно далеко от анали­затора, на расстоянии приблизительно одного—полутора метров, и подобрать такую скорость зеркального многогранника, при кото- кенига!"311" рой отчетливо видны зубцы на полосках, отвечающих наиболее высоким звукам. Результаты наблюдений изображают в виде диаграмм, на которых следует качественно указать относительную силу гармонических составляющих звука (сильный, средний, слабый); на тех же диаграммах сле­дует указать частоты того и другого камертона.

РАБОТА 18Ь. ИЗУЧЕНИЕ АКУСТИЧЕСКОГО СПЕКТРА СЛОЖНЫХ ЗВУКОВ ПРИ ПОМОЩИ ПРИБОРА П. Н. ЛЕБЕДЕВА

1) Прибор Лебедева, 2) лампа на штативе с диафрагмой, 3) зеркальный многогранник с мо­тором и регулятором скорости, 4) линза на штативе, 5) матовое стекло с координатной сеткой на штативе, 6) два камертона на резонансных ящиках, 7) резиновый молоток, 8) три духовые трубы.

Описание метода и приборов. Прибор П. Н. Лебедева состоит из неболь­шого рупора А (рис. 159), дном которого служит тонкая пробковая мембрана К\

она соединена с очень маленьким зеркальцем М, кото­рое может свободно вращаться около горизонтальной оси. Лучи света, вышедшие из узкой диафрагмы, отра­жаются от зеркальца М и падают на зеркальный много­гранник, который отбрасывает их на экран из матового стекла; на нем нанесена координатная сетка. На пути лучей введена линза, которая служит для того, чтобы получить на экране отчетливое изображение светлого пятнышка. Под действием звуковой волны мембрана К приходит в колебательное движение и пятнышко на экране растягивается в вертикальную полоску; при вра­щении зеркального многогранника она развертывается в горизонтально расположенную волнообразную линию, которая весьма точно воспроизводит акустический со­став звука, так как все колеблющиеся части прибора сделаны очень легкими и их инерция большого влия-

, _ ния не оказывает. Получаемые кривые должны бытьТ-___ периодическими, если спектр звука остается постоянным. ̂ В данной работе исследуется акустический спектр

звука трех небольших духовых труб, имеющих различ­ную частоту основного тона; трубы приводятся в зву­чание при помощи непрерывной воздушной струи. Два камертона, которые имеются при приборе, служат для того, чтобы наглядно в ы я с н и т ь различия в характере кри­вой при простых (камертон) и сложных (трубаМ ву^^.

Устанавливают приборы, как было укалапи.

Рис. 159. Прибор Лебедева.

Измерения. 1. Устанавливают приборы, как был о указано, и, линзу и экран, получают на нем резкое изображение пятнышка, егс след^лл

экране, получаемый при вращении зеркального многогранника, должен на всем протяжении совпадать с осыо абсцисс, что достигается соответствующей уста­новкой зеркального многогранника и экрана. Затем, остановив зеркальный много­гранник, приводят в звучание одну из труб и устанавливают ее на таком рас­стоянии от прибора, чтобы вертикальная полоска, получаемая от пятнышка на экране, была равна трем-четырем сантиметрам.

2. Приведя зеркальный многогранник во вращение, подбирают для него такую скорость, при которой период получаемой кривой соответствует целому числу делений на оси абсцисс, например 10 делениям. Эта скорость должна оставаться неизменной при всех дальнейших измерениях. Отсчитывая точки пересечения кривой линиями координатной сетки на экране, вычерчивают гра­фик кривой на миллиметровой бумаге. На том же графике наносят синусоиды, соответствующие обоим камертонам, которые для этого помещаются на место трубы, и приводят в звучание ударами резинового молотка; синусоиды камер­тонов, частота которых дается, определяют масштаб времени на оси абсцисс.

3. Те же измерения повторяют с двумя другими трубами, на графике кото­рых также следует нанести синусоиды камертонов.

Для того чтобы определить акустический спектр труб, необходимо полу­ченные кривые разложить на гармонические составляющие, что достигается приемами гармонического анализа (том III, гл. 84 и 85).

Г Л А В А 19 СИЛА ЗВУКА

Сила звука зависит от энергии колебательного движения частиц, которая при простом синусоидальном колебании пропорциональна квадрату амплитуды.

♦Последний вывод может быть обоснован следующими соображениями. Полную энергию Е колеблющейся частицы в любой момент времени можно рассматривать как сумму ее кинетической и потенциальной энергий, Ek и Ер:

E=Ek-'rEp. (1)При вычислении Ек и Ер пользуемся общими выражениями кинетической

энергии движущегося тела и потенциальной энергии при упругих деформациях:

_ j r w 2 _ 1 f ds \22 2 \ d t ) ’ Р ~ 2 ’

где т — масса колеблющейся частицы,".? — ее смещение из положения равно­весия в момент времени t, v —Скорость ее движения в тот же момент,равная и с — некоторый коэффициент пропорциональности. Величина sопределяется общим уравнением гармонического колебания (стр. 94):

£ — О. Sin 2 ft Jjr- • (3)

Дифференцируя последнее выражение по ( и подставляя значение в первое из уравнений (2), находим:

2it2 t E k — - f T m a i cos2 2r- ~ f > (4)

причем максимальное значение кинетической энергии, при прохождении точкой положения равновесия, оказывается равным

2лг(Ek)max = -у$ - таг. (5)

При вычислении потенциальной энергии Ер необходимо определить коэффи­циент с во втором из уравнений (2). Для этого применяем это уравнение к230

моменту крайнего отклонения колеблющейся частицы; в этом положении смещение s становится равным амплитуде а, кинетическая энергия точки обращается в нуль, а ее потенциальная энергия достигает максимума, который, очевидно, равен:

(Е^тах = . (6)

На основании закона сохранения энергии максимальные значения кинети­ческой и потенциальной энергии колеблющейся точки должны быть равны;поэтому, приравнивая правые части уравнений (5) и (6) и определяя значение коэффициента с, находим:

4п*с = - р - т. (7)

Это значение с вставляем во второе из уравнений (2), одновременно под­ставляя в него значение s из уравнения (3); в результате получаем значение потенциальной энергии Ер.

2it! t Ер = - р - таг sin2 2it - у , (8)

Подставляя значение Ek и Ер из уравнений (4) и (8) в уравнение (1), находим выражение полной энергии колеблющейся частицы:

9-2Е — таг. (9)

Сравнивая выражения (5), (6) и (9), мы видим, что полная энергия колеблю­щейся частицы равна максимальному значению ее кинетической или потенци­альной энергии, что вполне понятно, так как при максимальном значении ки­нетической энергии потенциальная энергия обращается в нуль, и наоборот. Из выражения (9), далее, следует, что энергия колеблющейся точки пропор­циональна квадрату амплитуды колебания, что следует также и из уравне­ний (5) и (6).*

Данное выше определение силы звука становится неприменимым для зву­ков различной частоты, а также для звуков, имеющих сложный акустический спектр, так как в формулу (9) входит период колебаний. Поэтому в общем случае силу звука, как физическую величину, обыкновенно определяют коли­чеством энергии, которая протекает через 1 кв. см в секунду в направле­нии, перпендикулярном к направлению распространения звука. Отсюда следует, что размерность силы звука / в абсолютных единицах определяется выражением:

[}] = э-см ~ 2 -сек~ 1 — г-сек~*.

Таким образом силу звука можно определить как его мощность, отнесенную к 1 см2; в этом случае силу звука обыкновенно выражают в микроваттах на 1 см2, причем очевидно, что

i f l U i o - 9см3 см2 'с е к '

В некоторых случаях это определение силы звука вновь оказывается мало пригодным, например в случае стоячих волн (стр. 201), или при распространении звука в закрытых помещениях, где отраженные звуковые волны могут про­ходить по различным направлениям. Поэтому очень часто пользуются понятием плотности звуковой энергии, т. е. определяют звуковую энергию, содержащуюся в единице объема звукового поля. Наконец, инбгда силу звука определяют еще в зависимости от звукового давления р (стр. 207) и скорости колеблющихся частиц и. Эти величины в плоской волне, распространяющейся в газе, нахо­дятся в постоянном отношении:

— = ft», и ггде р обозначает плотность газа и v — скорость звука в нем. Произведение ро носит название акустического сопротивления данной среды; эта величина играет большую роль в технической акустике.

231

Силу звука следует отличать от его громкости; последним термином при­нято называть величину субъективного звукового ощущения, воспринимаемого нашим органом слуха. Громкость звука зависит от его силы, но одновременно в очень высокой степени зависит от его тембра и частоты; последнее объ­ясняется различной чувствительностью уха к звукам различной частоты (стр. 198).

Непосредственное измерение силы звука на опыте представляется весьма сложным; поэтому измерение силы звука заменяют измерением звукового давления р или скорости частиц и. Основными методами при этих измерениях являются.

1. Метод звукового давления, основанный на применении радиометра (стр. 207); описание метода и производства измерений см. работу 19а.

2. Метод Вина, основанный на колебаниях упругой мембраны.3. Метод диска Рэлея, при котором измеряется скорость колеблющихся

частиц воздуха.4. В последнее время применяются также различные электроакустические

методы более сложные; описание некоторых из них и производство измерений см. т. II, работа 57.

РАБОТА 19а. ИЗУЧЕНИЕ ЗВУКОВОГО ПОЛЯ КАМЕРТОНА ПРИ ПОМОЩИ РАДИОМЕТРА

1) Камертон с электромагнитным возбуждением, 2) шаровой резонатор Гельмгольца, 3) звуковой радиометр, 4) лампа на штативе с линзой, 5) шкала на штативе, 6) секундомер.

Описание метода и приборов. При звучании камертона его ветви одно­временно сближаются или удаляются; вследствие этого образуются две звуко­вые волны, которые в результате интерференции усиливают колебания в части

в части сс до полного исчезновения образом распределение силы звука в пространстве около камертона, или его звуковое поле, оказывается не­равномерным.

В данной работе исследуется зву­ковое поле камертона в плоскости,пер-

пространства ЬЬ (рис. 160) и ослабляют звука в направлении кривых hh. Таким

Л с ,' V ' T - Vт л \

V 4 V

Рис. 160. Поле камертона. Рис. 161. Радиометр в поле камертона.

пендикулярной его ветвям, т. е. определяется относительная сила звука, который посылает камертон в этой плоскости по различным направлениям. Для этого камертон, снабженный электромагнитным возбуждением (рис. 161), укреплен вертикально на подставке, которая может поворачиваться около вертикальной оси и имеет угловую шкалу. Вблизи ветвей камертона расположено отверстие шарового резонатора Гельмгольца А (стр. 228) соответствующей частоты. Звуко­вые колебания, которые выходят из слухового отверстия резонатора, падают на звуковой радиометр R\ этот прибор представляет собой очень легкую мель- ничку с двумя или четырьмя крылышками и очень маленьким зеркальцем М, которая может вращаться около вертикальной оси. Скорость вращения мель- нички зависит от силы звука и одновременно от его частоты; при постоянной частоте источника звука скорость вращения оказывается пропорциональной силе звука, которая, таким образом, может быть без труда измерена, но, очевидно, только в относительных единицах. Для определения скорости вращения мель-232

нички ее зеркальце освещают лампой и, получив от пего зайчик на шкале, измеряют по секундомеру промежуток времени, в течение которого мельничка делает определенное число оборотов.

Измерения. 1. Установив приборы, как указано на рисунке, освещают зер­кальце радиометра лампой и его зайчик направляют на шкалу. Затем устанав­ливают камертон на максимум звукового поля по отношению к резонатору. Для этого следует линию, соединяющую ветви камертона, направить перпендикулярно линии, соединяющей отверстия резонатора; это положение камертона отсчи­тывают по угловой шкале. После этого приводят камертон в звучание и опре­деляют скорость вращения радиометра.

2. Повернув камертон на некоторый угол, например на 10°, вновь опреде­ляют скорость вращения радиометра. Такие измерения продолжают, постепенно поворачивая камертон на одно и то же число градусов, пока его поворот не достигнет 180° по отношению к начальному положению. При определении ско­рости вращения радиометра следует, приводя камертон в звучание, приступать к измерениям через 2—3 минуты. Это необходимо для того, чтобы скорость враще­ния приобрела установившееся значение.

Из результатов измерений определяют относительную силу звука по раз­личным направлениям и строят в полярны х координатах диаграмму звукового поля камертона, откладывая по радиальным направлениям относительную силу звука. Диаграмму вначале строят в пределах исследованного угла, т. е. 180е, а затем вычерчивают вторую половину диаграммы, симметрично первой.

Г Л А В А 20

ЭЛЕМЕНТЫ АРХИТЕКТУРНОЙ АКУСТИКИ

При возникновении звука в закрытых помещениях его сила не устанав­ливается мгновенно, а постепенно нарастает в течение некоторого промежутка времени; это объясняется многократным отражением звуковых волн от внутрен­них поверхностей помещения, что вызывает постепенное повышение плотности звуковой энергии до некоторого предельного значения, при котором энергия, поглощаемая помещением, восполняется энергией, генерируемой источником звука. Таким образом каждый звук в закрытых помещениях мы слышим на фоне еще не успевших отзвучать предшествующих звуков. В результате этого в закрытых помещениях наблюдается явление послезвучапия, или так называ­емой реверберации, которое состоит в том, что при выключении источника звука в закрытых помещениях звучание не прекращается мгновенно, а про­должается некоторое время, постепенно затухая. Явление реверберации не следует смешивать с явлением эхо, которое может возникать и в закрытых помещениях: реверберация, результат многократных отражений звука по самым различным направлениям, воспринимается нами, как неясный остаточный гул в помещении, тогда как эхо, результат отражения звука по одному определенному направлению, состоит в отчетли­вом повторении отдельных слогов, иногда целого слова.

При исследовании явлений реверберации, которая играет исключительно большую роль в акустике помещений, вводят понятие о так назы­ваемой продолжительности или времени ревер- Рис> 162 к „ нарастания в берации помещения. Продолжительностью ревер- ослабления звука,берации называют тот промежуток времени, в тече­ние которого громкость звука, после его прекращения в данном помещении, ослабе­вает до одной миллионной (10-6) своей начальной величины. При этом обыкновенно предполагают для определенности,что звук соответствует простому тону с частотой 512 гц (стр. 208), начальная громкость которого в один миллион (10е) раз больше порога слышимости (стр. 198) тона той же частоты. Ослабление сл ы ш и м о с ти в мил­лион раз может показаться излишне большим, однако н ео б х о д и м о иметь в виду, что громкость обычных звуков речи или музыки в небольших иомеше-

233

ниях почти в миллион раз превышает громкость, минимально необходимую для слышимости; таким образом приближенно можно сказать, что время ревербера­ции служит мерой продолжительности послезвучания обычных звуков в закры­тых помещениях.

Нарастание плотности звуковой энергии в помещении и ее уменьшение после выключения источника звука следуют, вообще говоря, экспоненциальному закону. Таким образом, если эти процессы изобразить графически, откладывая по оси ординат плотность звуковой энергии или громкость звука / (рис. 162), а по оси абсцисс время t, то получаются кривые ОВ (нарастание звука) и ВС (его ослабление). Если ордината i соответствует порогу слышимости, а началь­ная громкость /0 в миллион раз его превышает, то отрезок абсциссы опреде­ляет время реверберации.

Время реверберации зависит от большого числа различных факторов: от числа отражений звука в единицу времени, т. е. от размеров и формы поме­щения, от поглощения звука при каждом отражении, т. е. от акустических свойств внутренних поверхностей помещения, от влажности воздуха в нем, от частоты звука, и т. д. В больших помещениях число отражений звука в единицу времени относительно невелико; если, кроме того, при каждом отражении поглощается небольшая часть звуковой энергии, то время ревербе­рации больших помещений может достигать значительной величины, например 6—7 сек.; время реверберации некоторых помещений, как показали наблюдения, доходило даже до 25 сек. Большая продолжительность реверберации создает условия плохой слышимости звуков в помещении, или его плохой акустики. С другой стороны, отсутствие реверберации, что имеет место, например, на открытом пространстве, или излишне малая ее величина создают также условия пониженной слышимости и требуют усиленной громкости звука. Таким образом для каждого помещения существует некоторый оптимум слышимости, или, как обычно говорят, оптимум реверберации, несколько различный в зависимости от характера звуков (речь, музыка). Время оптимальной реверберации в среднем обычно оказывается несколько больше одной секунды.

При падении звука на внутренние поверхности помещений одна часть звуко­вой энергии, как уже указывалось, отражается, а другая часть ее оказывается поглощенной. Отношение звуковой энергии, поглощенной телом, к общей энергии, падающей на тело, называют коэффициентом поглощения звука а:

а __•Спогл.Е пад.

Время реверберации зависит от поглощения звука внутри помещения, при увеличении поглощения при помощи звукопоглощающих материалов время реверберации в помещении уменьшается. Отсюда следует, что определение коэффициентов поглощения звука различными материалами также играет боль­шую роль в архитектурной акустике.

Наконец, большое значение при строительстве зданий имеют вопросы звукоизоляции, которая зависит как от отражения звука, так и от акустического сопротивления тел (стр. 231).

Методы измерения времени реверберации, коэффициентов поглощения звука и акустического сопротивления, в большинстве случаев основанные на электроакустических процессах, являются обычно весьма сложными, и только некоторые из них, менее точные, можно считать достаточно элементарными.

РАБОТА 20а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОГЛОЩЕНИЯ ЗВУКА ПРИ ПОМОЩИ СТОЯЧЕЙ ВОЛНЫ

1) Цилиндрическая труба с поршнем, 2) камертон с электромагнитным возбуждением, 3) м и к р о ф о н с и з м ер и те л ьн ы м прибор о м .

Описание метода и приборов. Полное отсутствие колебаний в узлах стоячей волны (стр. 201) мы будем наблюдать только в том случае, если амплитуды падающей и отраженной волн равны. Если же при отражении звука происходит его частичное поглощение, то в узлах стоячих волн должен сохраняться колебательный процесс, амплитуда которого определяется р а з­ностью амплитуд падающей и отраженной волн. Отсюда следует, что ам­плитуда колебаний в узлах стоячих волн, при образовании их в результате отражения от некоторой поверхности, должна зависеть от коэффициента погло­234

щения звука этой поверхностью. Теория дает возможность вывести зависимость между коэффициентом поглощения я отражающей поверхности и звуковым давлением в пучностях р„ и узлах р у стоячей волны; эта зависимость опре­деляется выражением:

, __ *РпРч „ ,“ (Рп + Ру)2 • (1)

На этих соображениях основан один из методов определения коэффициен­тов поглощения звука различными телами. Прибор, которым пользуются при этих измерениях, состоит из широкой металлической трубы А (рис. 163), открытой с обоих концов, в которой имеется поршень В. Источником звуковых колебаний служит камертон с электромагнитным возбуждением, который по­мещают вблизи свободного конца трубы. На некотором расстоянии от конца трубы находится очень маленький микрофон М (стр. 206), он соединен с изме­рительным прибором, который показывает зву­ковое давление в относительных единицах.Исследуемые образцы различных материаловв виде круглых шайб укрепляются на свобод- ------- - ' Мном конце поршня В. В настоящей работе иссле­дуются алюминий, пробка и войлок.

Измерения. На конце поршня укрепляют один из исследуемых образцов и, приведя ка­мертон в звучание, устанавливают поршень в такое положение, при котором микрофон обнаруживает максимум давления; соответ- рис- J63. измерение поглощения ствующее показание измерительного прибора звука,отсчитывают. Затем, постепенно отодвигаяноршень, находят такое положение его, при котором измерительный прибор показывает минимум давления.

Эти измерения повторяют последовательно со всеми исследуемыми образ­цами и вычисляют затем по формуле (1) значения их коэффициентов погло­щения.

В

РАБОТА 20Ь. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ РЕВЕРБЕРАЦИИ МЕТОДОМ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ОТСЧЕТА

1) Две органные трубы, 2) к ним установка дла микрофон, 4) телефон, 5) электрический секундомер,

получения воздушной струи, 3) ленточный6) двойной выключатель.

Описание метода и приборов. Один из наиболее простых методов опре­деления продолжительности реверберации, предложенный Сэбином, основан на непосредственном измерении по секундомеру того промежутка времени, который протекает между моментами выключения источника звука и ослабле­ния послезвучания до порога слышимости. Для того чтобы на основании подобных измерений можно было определить время реверберации, необходимо или определить начальную громкость звука, или установить его на определен­

ный уровень, например, миллион раз больше порога слышимости. Таких изме­рений в данной работе не выполняют; таким образом результаты измерений, описываемых ниже, дают лишь чисто относительную характеристику ревербе- рационных свойств помещения.

Расположение приборов, применяе­мых при измерениях, схематически дано на рис. 164. Источником звука служит органная труба R , которая устанав­

ливается в исследуемом помещенииструей воздуха; силу струи можно ________ ____. .трубы R помещается ленточный микрофон М (стр. 207), питаемый источником электрической энергии Ej. Телефон Т, связанный с микрофоном, находится в отдельном помещении, хорошо изолированном акустически; там же находится электрический секундомер, питаемый от батареи Ег В цепи телефона находится

235

и приводится в звучание непрерывной изменять винтовым регулятором. Вблизи

двойной ключ Кл, связанный с краном, подающим воздух в трубу R, и одно­временно с секундомером S, в цени которого имеется еще второй ключ K%. Ключ К\ установлен так, что пока звучит органная труба, цепь микрофона остается разомкнутой. Но в тот момент, когда прекращается звучание трубы, замыкаются одновременно цепь телефона и цепь секундомера, если предвари­тельно был замкнут ключ Кг. Таким образом, если приложить телефон к уху и в некоторый момент прекратить звучание трубы, то секундомер приходит в дви­жение, а в телефоне можно слышать послезвучание, постепенно ослабевающее; в тот момент, когда звучание в телефоне совершенно исчезнет, секундомер следует остановить, размыкая его цепь при помощи ключа К2. Вновь приводя трубу в звучание, ключ Кг следует замкнуть.

Наблюдения производятся последовательно с двумя трубами, которые имеют частоты основных тонов 512 и 128 гц. Для того чтобы начальные условия зву­чания трубы при отдельных измерениях были по возможности одинаковы, необ­ходимо применять воздушную струю всегда постоянной силы. Обыкновенно пользуются той предельной силой воздушной струи, при которой труба звучит еще своим основным тоном, без ясно выступающих обертонов.

Измерения. Приборы собирают по схеме, указанной на рисунке, и прове­ряют их действие, затем устанавливают предельную силу воздушной струи. Для этого регулятор струи открывают настолько, что труба начинает издавать ясно слышимый обертон; постепепно уменьшая силу струн осторожным враще­нием регулятора, устанавливают его в таком положении, при котором обертон исчезает, и начинает громко звучать основной тон трубы. Это положение ре­гулятора остается без изменения при всех дальнейших измерениях с данной трубой. При переходе к измерениям с другой трубой необходимо вновь подо­брать силу воздушной струи. В дальнейшем измерения выполняются настолько просто, что не нуждаются в детальных указаниях. Необходимо только йметь в виду следующее.

1) Приводя трубу в звучание, необходимо затем выжидать некоторое время (около одной минуты), чтобы звук в помещении достиг предельной громкости.

2) Следует производить достаточно большое число (не менее 20) отдельных измерений, которые часто значительно отличаются друг от друга, так как точно уловить момент исчезновения звука в телефоне часто оказывается затрудни­тельным.

3) Следует произвести несколько серий измерений, изменяя место установ­ки микрофона в помещении и его положение относительно трубы.

Такие измерения весьма интересно произвести в двух—трех помещениях, различных по своим размерам.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

(Цифрами обозначены страницы текста)

Аккумулятор 73, железо-никелевый (щелочной)— 74, свинцовый — 74

Акустический спектр 227.Алидада 33.Амперметр 59, магнито-электрический

— 59, тепловой — 60, электродина­мический — 59.

Анализ звука 227, амплитудный — —228, частотный------ 228.

Анемометр 179, тепловой — (термоане­мометр) 189.

Ареометра метод 127.Арретир весов 43.Атвуда прибор 81, теория------ 83.Атмосфера нормальная 55, — техниче­

ская 56.Аэрогидродинамика 175.

Баллистический маятник 79.Баллистический отброс 67.Бар 55, 147.Барометр нормальный 56, — Фортена

56, поправка — на капиллярную де­прессию 58, поправка — на темпе­ратуру 57.

Бернулли уравнение 176 ,------ для га­зов 178.

Биения 203, метод — 209, частота —204.Буссоль 35.

Вакуум-техника 147.Верньер 30.Вес тела истинный 48.Весы 42, — аналитические 42, — Вест-

фаля-Мора 131, верность показаний — 45, нулевая точка—46, теория— 44, установка—46, чувствительность—44.

Взвешивания, основные приемы 43, 45, поправки при — 45.

Виброметр 109, — Фрама 109.Внутренние напряжения в твердых те­

лах 156, изучение------ оптическимметодом 173.

Волна звуковая 199, интерференция ------ 200, проходящая-------19У, стоя­чая ------ 201, определение длины•------методом Квинке 213, опреде­ление д л и н ы ------ иптерферомет-ром 214.

Вольт-амперметра метод 71. Вольтаметр (кулонометр) 59.Вольтметр 69, катодный (электронный)

— 70.Волюмометра метод 127.Вынужденные колебания 103. Выпрямители 76.Высота звука 198.Вычисление результатов измерений 11.

Газовый термометр 51.Гальванометр 61, — баллистический

51, 67, — зеркальный 61, — с подвиж­ной катушкой 61, — с подвижным магнитом 69, — струнный 69, период свободных колебаний — 65, теория— 62, чувствительность — 61.

Гармоники 105.Гармонические колебания 93. Гидро-аэродинамика 175. Гидростатическое взвешивание 127. Гравиметр 117, — Лэжей 124. Графическое дифференцирование 23,

— интегрирование 23.Графические методы 21.Гюйгенса окуляр 40.

Движение вращательное 85, — колеба­тельное 93, — поступательное 77.

Декремент затухания 95,------ логариф­мический 95, определение------ 97,98.

Деполяризатор 73.Деформации твердых тел 155, — оста­

точная 157, — пластическая 158,— упругая 157.

Единиц системы 24.

Законы Гука 158.Затухание колебаний 95, — звуковых

колебаний 222, определение камер­тона 223.

Зеркала и шкалы, метод 37.

Изгиб 161.Инвар 29.Интерполирование 23.Интерференция волн 200, встречных

колебаний 201.Истинный вес тела 48.

237

калибрирование термометра 54.Камертон 205, затухание — 222.Капсула манометрическая 207.Кипрегель 35.Компаратор 32.Компенсационный метод измерения

разности потенциалов 70.Конденсаторный метод измерения про­

межутков времени 51.Коэффициент поглощения звука 234,

— поперечного сжатия 159, —Пуас­сона 159, — упругости 159.

Критические точки 192.Кручение 160.Крыло аэроплана в потоке жидко­

сти 193.Кулонометр (вольтметр) 59.

Лагранжа метод 175.Лапласа формула 217.Лебедева прибор 229.Лермантова прибор 166.Лимб 33.Линза эквивалентная 39.Линии отмеченных частиц 176.Линии тока 175.Лупа 38, — сложная 39.Лэнгмюра насос 148.

Магазин сопротивлений 75.Магнуса эффект 193.Манометр 56.Масляный насос 148.Мегабар 56.Мертвый ход термометра 54.Метод вольт-амперметра 71, — двой­

ного взвешивания 45, — замещения 71, — Лагранжа 171, — нулевой71, — постоянной нагрузки 45, —совпадений 123, — тарирования45, — фотореле 78, — Эйлера175.

Метроном 50.Микроамперметр 61.Микровесы 43, — Сальвиони 43,

141.Микроманометр 58, —■ Мак-Леода 58,

150, — с жидкостью 58, — термо­электрический 58, 153.

Микрометр винтовой 32, — объектный 41, — окулярный 41.

Микроскоп 40, увеличение — 40.Микрофон 206, — ленточный 207, —

угольный 206, — электромагнит­ный 206.

Миллиамперметр 61.Милливольтметр 69.Модуль 158, — сдвига 160, — упруго­

сти (— Юнга) 159.Момент инерции 86.Мостик Уитстона 71, двойной — Том­

сона 72.

Наблюдение показаний приборов 11.

Наиболее выгодные условия измере­ния 20.

Насос масляный 148, — Лэнгмюра (конденсационный) 148.

Нониус 30, — линейный 30, — vrflo- вой 33. '

Нормальный барометр 56.Нормальный термометр 54.Нулевой метод 71.Нулевая точка весов 46.

Окуляр Гюйгенса 40, — Рамсдена 39.Определение точки 0° 52.Определение точки 100° 53.Оптический метод измерения длины

33,------ изучения воздушных пото­ков 192,------ изучения внутреннихнапряжений в твердых телах 166,173.

Оптический пирометр 55.Осциллограф 51.Ошибки измерений 1 2 ,------ абсолют­

ная 13,------ вероятная 14,-------макси­мальная результата 1 5 ,------ относи­тельная 13, теория------ 12.

Пикнометр 127, 130.Пирометр 55.Пламя манометрическое 207.Плотность 126, — газов 136, — жидко­

стей 131,— твердых тел 126.Поляра крыла (поляра Лилиенталя) 196.Поправки при взвешивании 48.Порог слышимости 198.Предел прочности 157, — упругости

157.Пределы слышимости 198.Приведение веса тела к пустоте 48.Приведение плотности газа к нор­

мальным условиям 136.Приведенная длина физического маят­

ника 118.Продолжительность (время) ревербе­

рации 233.Профиль скоростей 185 ,------при ла­

минарном течении 186,------ при тур­булентном течении 187,------ свобод­ной воздушной струи 189.

Проходящая (бегущая) волна 199.Пьезоэлектрический метод 115.Пьезоэлектрическая постоянная 115.

Радиометр звуковой 207, постоян­ная ------ 208.

Растяжение 158.Реверберация 233, продолжительность

(время) — 233.Резонанс 103, — акустический 224, —

связанных маятников 106.Рейнольдса число 177, критическое —

— 178, определение------ 182.Рейтер 43.

238

Реостаты 74, — ламповый 75, — Ру- страта 75.

Рефрактометр 37.Ртутный термометр 52.

Свободные колебания 103.Связанные маятники 106.Сдвиг 159.Секундомер 50.Секундный маятник 50.Сила звука 230, мгновенная 110,

— тяжести 117.Синусоида 94.Системы единиц 24.Скорость звука 215.Спектр акустический 227, изучение —

— 229.Спектрометр 37.Стационарное течение жидкости .176. Стрела (стрелка) прогиба 162. Стробоскоп 51.

Тахометр вибрационный 109.Теодолит 36.Теорема Штейнера 86.Термическое последействие 52. Термоанемометр 189.Термометр газовый 51, — оптический

55, —ртутный 52,— электрический 55. Термопара Ле-Шателье 55. Терморегуляторы 55.Термостаты 55.Течение жидкости 175 ,------ ламинар­

ное 177 ,------стационарное (устано­вившееся) 1 7 6 , ------ турбулентное(возмущенное) 177.

Толстомер 31.Точность измерения 9, — метода 10. Траектории частиц 175.Труба оптическая 39, увеличение------40.

Трубка Пито 179.Трубка тока 176.Тэйлора формула 226.

Угломер чертежный 35.Удар шаров 111.Уравнение Бернулли 1 7 6 ,------ для га­

зов 178.Уровень 33.Усилители 76.Установка приборов 11.

Формула Лапласа 217, — Ньютона 215, — Тэйлора 226.

Формулы размерности 25.

Хронометр 50.Хронограф 51.

Центр качания 118.Цилиндр в потоке жидкости 192, 194.

Частота колебаний 198, 208.Число Рейнольдса 177, критическое

------ 178.

Штанген-циркуль 31.Штейнера теорема 86.Шунт в цепи амперметра 60, — в цепи

вольтметра 69.

Эйлера метод 175.Электрометр 70.Элемент гальванический 73, — Грене

73, — Даниэля 73, — Лекланше 73,— нормальный 73.

Элинвар 29.Эффект Магнуса 193.Эффузиометр Бунзена 143.

ОГИЗ РСФСР

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

„ГОСТЕХИЗДАТ"

Москва, Орликов пер., 3

ВЫШЛИ ИЗ ПЕЧАТИ:

А ндреев Н. Н. Шум самолета и можно ли его заглушить. 1942. Стр. 63. Цена 1 р. 25 к.

К а к о п р е д е л и т ь н а п р а в л е н и е и в р е м я п о с о л н ц у и з в е з д а м (Госуд. астрономический институт им. П. К. Штернберга). 1942 г. Стр. 31. Цена 25 к.

М айзель С. О ., проф. Светомаскировка и маскировка. Общие основы. Согласовано с ГУМПВО НКВД СССР. 1942 г. Стр. 70. Цена 1 руб.

Окунев Б. Н., проф. Определение баллистических характеристик по­роха и давления форсирования. Стр. 100.

Окунев Б. Н .,проф . Вращательное движение артиллерийского снаряда. Стр. 160. Цена 6 руб.

Окунев Б . Н., проф. Изменения элементов траектории артиллерийского снаряда. Стр. 144. Цена 5 руб.

Садовский М. А. Взрывная волна и защита от нее. 1942 г. Стр. 47. Цена 1 руб.

Самойленко В. С. Отчего происходят изменения погоды и какие существуют к тому приметы. Изд. 2-е. 1942. Стр. 30.Цена 40 к.

Фаерман Г. П. Поляризационные светофильтры и их применение в военной технике. 1942. Стр. 40. Цена 2 руб.