University of Business and Technology in Kosovo University of Business and Technology in Kosovo

UBT Knowledge Center UBT Knowledge Center

Theses and Dissertations Student Work

Fall 11-2018

GJENDJA KUFITARE E SHFRYTËZIMIT SIPAS EC-2 PLASARITJET GJENDJA KUFITARE E SHFRYTËZIMIT SIPAS EC-2 PLASARITJET

DHE DEFORMIMET DHE DEFORMIMET

Përparim Neziri

Follow this and additional works at: https://knowledgecenter.ubt-uni.net/etd

Part of the Engineering Commons

Kolegji UBTFakulteti për Inxhinieri Ndërtimore (Ndërtimtari dhe Infrastrukturë)

GJENDJA KUFITARE E SHFRYTËZIMIT SIPAS EC-2PLASARITJET DHE DEFORMIMET

Shkalla Bachelor

Përparim Neziri

Shtator / 2018Prishtinë

Kolegji UBTFakulteti për Inxhinieri Ndërtimore (Ndërtimtari dhe Infrastrukturë)

Punim DiplomeViti akademik 2017/2018

Përparim Neziri

GJENDJA KUFITARE E SHFRYTËZIMIT SIPAS EC-2PLASARITJET DHE DEFORMIMET

Mentori: Prof. Dr. Nebi Pllana

Shtator / 2018

Ky punim është përpiluar dhe dorëzuar në përmbushjen e kërkesave tëpjesshme për Shkallën Bachelor

I

ABSTRAKT

Në shumë situata të projektimit performanca e pranueshme e strukturave përcaktohet

nga kërkesat e shfrytëzueshmërisë. Projektimi sipas shfrytëzueshmërisë në disa aspekte është

më i vështirë për t’u kuptuar gjatë projektimit të strukturave të betonit.

Kërkesat më të zakonshme që duhet të plotësohen për projektimin sipas Gjendjes

Kufitare te Shfrytëzimit janë kufizimi i përkuljes dhe gjerësisë së plasaritjeve sipas kërkesave

të kodit në fuqi. Ky material ofron një diskutim të sjelljes strukturore në ngarkesat e

shfrytëzueshmërisë dhe metodat e thjeshtuara për kontrollin e perkuljes dhe plasaritjeve që

perfshihen në disa nga kodet kryesore të praktikës janë paraqitur, përfshirë Eurokodi 2.

Përkulja e tepërt nuk duhet të pengojë funksionin e strukturës ose të jetë estetikisht e

papranueshme. Plasaritjet nuk duhet të jenë të pa pranueshme ose aq të medha për të çuar në

probleme të qëndrueshmërisë. Për një strukturë betonarme për t'u shfrytezuar, plasaritjet duhet

të kontrollohen dhe përkuljet nuk duhet të jenë të tepruara.

Gjatë projektimit për shfrytezueshmerinë, projektuesi duhet të sigurojë që struktura të

mund të kryejë funksionin e saj të synuar nën ngarkesat e përditshme të shërbimit. Perkulja nuk

duhet të jetë e tepert, plasaritjet duhet të kontrollohen në mënyrë te duhur.

Projektimi i mirë sipas shfrytëzueshmëris do të rezultojë në me pak plasaritje, më pak

deformime, më shumë rehati, më shumë papershkueshmeri dhe dobesime në të njëjtin nivel

sigurie.

II

ABSTRACT

In many design situations the acceptable performance of structures is defined by

serviceability requirements. The design for serviceability is possibility the most difficult and

least well understood aspect of the design of concrete structures.

The most common requirements that need to be satisfied for Serviceability Limit State

design are the limitation of deflections and crack widths to the requirements of the applicable

code. This paper provides a discussion of structural behavior at service loads and the simplified

methods for the control of deflection and cracking contained in several of the major codes of

practice are presented, including, Eurocode 2.

Excessive deflection should not impair the function of the structure or be aesthetically

unacceptable. Cracks should not be unsightly or wide enough to lead to durability problems.

For a reinforced concrete structure to be serviceable, cracking must be controlled and

deflections must not be excessive.

When designing for serviceability, the designer must ensure that the structure can

perform its intended function under the day to day service loads. Deflection must not be

excessive, cracks must be adequately controlled.

Good design for serviceability will result less cracks, less deformations, more comfort,

more tightness and slenderness at the same level of safety.

III

MIRËNJOHJE/FALENDERIME

Në radhë të parë dua të falënderojë familjen time për mbështetje në çdo hap të

shkollimit dhe në realizimin përfundimtar të këtij punimi. Falënderim i veçant për

bashkëshorten time Vlora për durim dhe fjalë inkurajuese gjatë gjithë kësaj periudhe.

Falënderojë dhe çmojë mentorin, Dr.Sc. prof. Nebi PLLANA, për të gjitha këshillat,

rekomandimet për përgatitjen e temës së diplomës.

Gjithashtu falënderojë dhe u jam mirënjohes profesoreve: Dr. Visar Krelani, can.Dr. Driton

Kryeziu, can. Dr. Armend Muja për ndihmën e dhënë gjatë këtij punimi diplome.

IV

PËRMBAJTJA

LISTA E FIGURAVE ..............................................................................................................VI

LISTA E TABELAVE ........................................................................................................... VII

LISTA E TERMAVE ............................................................................................................ VIII

1 HYRJE................................................................................................................................ 1

2 GJENDJA KUFITARE E SHFRYTËZIMIT..................................................................... 4

2.1 Kuptimet e përgjithshme.............................................................................................. 4

2.2 Kërkesat projektuese....................................................................................................5

2.2.1 Jetëgjatësia projektuese e përdorimit....................................................................5

2.2.2 Diferencimi i besueshmërisë ................................................................................ 5

2.3 Verifikimet projektuese ............................................................................................... 6

2.4 Kombinimi i veprimeve ............................................................................................... 7

3 DEKLARIMI I PROBLEMIT............................................................................................ 9

3.1 GJENDJA KUFITARE E SFORCIMEVE ...................................................................... 9

3.2 GJENDJA KUFITARE E PLASARITJEVE............................................................. 11

3.2.1 Sjellja e elementeve të plasaritura nga betoni i armuar.......................................... 12

3.2.2 Kontrolli i plasaritjeve............................................................................................ 14

3.2.2.1 Vlerat kufitare për gjerësinë e llogaritur të plasaritjes....................................14

3.2.2.2 Armatura minimale për kufizimin e gjerësisë së plasaritjeve......................... 15

3.2.3 Kontrolli i plasaritjeve pa llogari direkte ............................................................... 17

3.2.4 Llogaritja e gjerësisë së plasaritjeve....................................................................... 21

3.3 GJENDJA KUFITARE E DEFORMIMEVE................................................................ 25

3.3.1 Kuptimet e përgjithshme ........................................................................................ 25

3.3.2 Rastet kur llogaritjet mund të mos behën............................................................... 27

3.3.3 Kontrollimi i deformimeve me llogaritje ............................................................... 31

3.3.3.1 Efektet e plasaritjeve në reagimin forcë-zhvendosje ...................................... 31

V

3.3.3.2 Kontrollimi i deformimeve sipas AS 3600-2009 dhe ACI 318-08................. 33

3.3.3.2.1 Deformimet afat-shkurtra............................................................................ 33

3.3.3.2.2 Deformimet afatgjata................................................................................... 34

5.3.3 Formulimi i rekomanduar nga Bischoff ............................................................. 35

3.3.3.4 Kontrollimi i deformimeve sipas Eurocodit 2 ................................................ 36

4 METODOLOGJIA ........................................................................................................... 45

5 PREZANTIMI DHE ANALIZA E REZULTATEVE ..................................................... 46

5.1 Kontrollimi i deformimeve me llogaritje...................................................................46

5.2 Llogaritja e gjerësisë së plasaritjeve .......................................................................... 51

5.3 Kontrolli i deformimeve dhe plasaritjeve ..................................................................55

5.4 Prerje drejtkëndëshe (BETONExpress)...................................................................... 58

5.5 Prerje T në fushë (BETONExpress) ........................................................................... 62

5.6 Prerje T mbi mbështetës (BETONExpress) ............................................................... 65

6 KONKLUZIONE DHE REKOMANDIME..................................................................... 67

6.1 Konkluzione............................................................................................................... 67

6.2 Rekomandime ............................................................................................................ 68

7 REFERENCAT ................................................................................................................ 69

VI

LISTA E FIGURAVE

Figura 3.2.1 Diagrami ngarkesë–deformim të një elementi nga betoni i armuar në

tërheqje: (a) fazat e plasaritjeve; (b) shpërndarja e sforcimeve

aksiale) (Gribniak et al. 2015)

13

Figura 3.2.2 Elementi në tërheqje mes dy plasaritjeve-sipërfaqja efektive 13

Figura 3.2.3a Diametrit maksimal i shufrave për kontrollin e plasaritjeve 18

Figura 3.2.3b Distanca maksimal në mes shufrave për kontrollin e plasaritjeve 19

Figura 3.2.4 Gjerësia e plasaritjes dhe diferenca në mes deformimeve në beton

dhe armaturë

22

Figura 3.2.5a Sipërfaqja efektive e traut 23

Figura 3.2.5b Sipërfaqja efektive e pllakës 23

Figura 3.2.5c Sipërfaqja efektive e elementit në tërheqje 23

Figura 3.2.6 Hapësira maksimale ndërmjet plasaritjeve - gjerësia e plasaritjes 24

Figura 3.3.1 Mbingritja dhe deformimet përkatëse 26

Figura 3.3.2 Bllok diagrami - Procedura për vlerësimin e deformimeve 28

Figura 3.3.3 Raporti hapësirë/lartësi efektive 30

Figura 3.3.4 Përcaktimi i sforcimeve në armaturë 31

Figura 3.3.5 Marrëdhënia e forcës (momentit) kundrejt – deformimit (Gilbert

2013)

32

Figura 3.3.6 Koeficient i shpërndarjes së plasaritjeve të prognoza e gjerësisë së

plasaritjeve

37

Figura 3.3.7 Diagrami forcë - deformim dhe lidhja e tyre me koeficientin e

shpërndarjes së plasaritjeve

38

Figura 3.3.8 Llogaritja e koeficientit të zvarritjes (∞, ), për beton nën kushtet

normale mjedisore

39

Figura 3.3.9 Diagrami moment - kurbaturë 40

VII

LISTA E TABELAVE

Tabela 2.1 Treguesi i jetëgjatësisë projektuese të përdorimit 5

Tabela 2.2 Përcaktimi i klasave të pasojave 6

Tabela 2.3 Vlerat projektuese të veprimeve për përdorim në kombinimet e

veprimeve

8

Tabela 2.4 Vlerat e rekomanduara për koeficient 8

Tabela 3.2.1 Vlerat e rekomanduara për gjerësinë e plasaritjeve ( ) 14

Tabela 3.2.2 Diametrit maksimal i shufrave për kontrollin e plasaritjeve 18

Tabela 3.2.3 Distanca maksimal në mes shufrave për kontrollin e plasaritjeve 18

Tabela 3.2.4 Distanca në mes stafave për kontrollin e plasaritjeve nga

transversalet

20

Tabela 3.3.1 Raporti i lejuar hapësirë/lartësi efektive për betonin e armuar 30

Tabela 3.3.2 Koeficienti K për llogaritjen e uljeve 43

VIII

LISTA E TERMAVE

sipërfaqja e prerjes tërthore të betonit

sipërfaqja prerjes tërthorë të betonit brenda zonës në tërhequr

, sipërfaqes efektive e betonit

sipërfaqja e armaturës së tërhequr

, sipërfaqja minimale e armaturës brenda zonës së tërhequr

sipërfaqja e armaturës në zonën e shtypur të prerjes së plasaritur

moduli i elasticitetit

moduli tangjent i elasticitetit

vlerës mesatare sekante e modulit të elasticitetit( ) vlerës mesatare e modulit të elasticitetit në moshë, moduli efektiv

vlerat projektuese e modulit të elasticitetit

moduli i elasticitetit të çelikut

vlera projektuese e një efekti të veprimit

vlera projektuese kufitare

vlera projektuese e një veprimi të përhershëm

moment i inercisë së prerjes

moment i inercisë së prerjes tërthore efektive

moment i inercisë së prerjes pa plasaritje

moment i inercisë së prerjes plotësisht të plasaritur

faktor i cili marrë parasysh sistemet e ndryshme strukturore

momenti i përkuljes sipas gjendje kufitare të shfrytëzimit

momenti i plasaritjes

forca normale në tërheqje sipas gjendje kufitare të shfrytëzimit

lagështia relative e ambientit

momenti statik i sipërfaqes së armaturës ndaj aksit neutral

klasifikimi strukturor

, hapësira maksimale në mes plasaritjeve

gjendja kufitare e shfrytëzimit

IX

gjendja kufitare e thyerjes ose e fundit

gjerësia e plasaritjes

gjerësia kufitare e plasaritjes

gjerësia e prerjes tërthore

shtresa mbrojtëse minimale

rezistenca llogaritëse e betonit

rezistenca karakteristike e betonit në shtypje

vlera mesatare e rezistencën në shtypje të betonit( ) rezistenca në shtypje e betonit në një moshë ( )vlera mesatare e rezistencën në tërheqje të betonit

vlera projektuese e rezistencën në tërheqje llogaritëse të betonit

, . kufiri i poshtëm i vlerës së rezistencës karakteristike në tërheqje

, . kufiri i sipërm vlerës së rezistencës karakteristike në tërheqje

rezistencë karakteristike e rrjedhshmërisë së çelikut

rezistencë llogaritëse e rrjedhshmërisë së çelikutℎ lartësia e prerjes tërthore

koeficient, shpërndarja jo lineare të sforcimeve në tërheqje

koeficient, shpërndarja e sforcimeve para paraqitjes së plasaritjeve

koeficient, ndikimi i kohëzgjatjes së ngarkesës/ raporti hapësirë/ lartësi1/ kurbatura

koeficient i cili varet nga lloji i çimentos, koha

perimetri i prerjes tërthore

/ / koeficient, ndikimi i rezistencës së betonit në shtypje

parametër i një vlere të deformimit

vlera e deformimeve për prerje pa plasaritje

vlera e deformimeve për prerje me plasaritje

koeficient, merr parasysh ndikimin e kohëzgjatjes së ngarkesës( , ) faktor që përshkruan zhvillimin e zvarritjes pas ngarkimit( ) faktor në koeficientin bazë të zvarritjes së betonit

X

( ) funksion i cili varet nga mosha e betonit ( )koeficient që varet nga lagështia relative e ambientit

koeficienti parcial i sigurisë-beton

koeficienti parcial i sigurisë- çelik

zhvendosja, ulja( ) deformimi në varësi të kohës

deformimet në shtypje i betonit

deformimi nga nderja maksimale

deformimi kufitar

vlera maksimale e deformimit

deformimi karakteristik i çelikut

deformimi i betonit nga tkurrja

deformimi nga tkurrja prej tharjes

deformimi nga tkurrja autogjen

, vlera e deformimit bazë të tkurrjes prej tharjes

tkurrje e betonit prej tharjes(∞, ) deformimi i betonit nga zvarritja

deformimi mesatar i armaturës

deformimi mesatar në beton ndërmjet plasaritjeve

koeficient i shpërndarjes së plasaritjeve

këndi i rrotullimit

koeficient, lartësia efektive

, përqindja efektive e armimit

koeficient i nevojshëm i armaturës në tërheqje

koeficienti referent i armimit

sforcimet në shtypje e betonit(∞, ) koeficienti final i zvarritjes( , ) koeficienti i zvarritjes së betonit

diametri i armaturës

koeficienti bazë i zvarritjes

koeficient- lagështia relative në koeficientin bazë të zvarritjes

XI

koeficient reduktues i kombinimeve

koeficient për vlerën e kombinuar të një veprimi të ndryshuar

koeficient për vlerën e shpeshtë të një veprimi të ndryshuar

koeficient për vlerën thuajse të përhershme një v. ndryshuar

1

1 HYRJE

Me gjendje kufitare të shfrytëzimit nënkuptohen gjendjet me dëmtime të tilla që u

referohen parametrave specifik që përcaktojnë funksion normal të strukturës, komoditetin e

njerëzve dhe pamjet e veprës së ndërtimit. Vlerësimet dhe verifikimet që lidhen me gjendjen

kufitare të shfrytëzimit sipas EC2 janë:

Gjendja kufitare e sforcimeve;

Gjendja kufitare e plasaritjeve dhe

Gjendja kufitare e deformimeve.

Duke iu referuar gjendjes së shfrytëzimit, tejkalimi i sforciemeve mund të rezultojë në

efekte negative. Në qoftë se niveli i sforciemeve nga kombinimi karakteristik i ngarkesave

tejkalon një vlerë kritike mund të paraqiten plasaritjet dhe deformime të papranueshme.

Sa janë të dëmshme plasaritjet në elemente prej betoni të armuar është evidente prej

fillimit të ndërtimit dhe vazhdon edhe sot. Vet fakti se elementet e konstruksionit qëndrojnë me

plasaritje, rezulton se duhet të dihet sa është e lejuar gjerësia e plasaritjeve që nuk ka pasoja të

dëmshme. Praktikisht, plasaritjet duhet të kufizohen deri në atë masë sa që nuk do të pengojnë

funksionimin e duhur apo qëndrueshmëria e strukturës ose pamja e saj të jetë e pranueshme. Në

këto rrethana, duhet të ndërmerren masat përkatëse që plasaritjet të ruhen në kufijtë e dëshiruar

e përgjithësisht të arrihet kontrolli i pasqyrës së plasaritjeve.

Në përgjithësi mund të konkludohet se shkaktaret e plasaritjeve të elementet e betonit

të armuar janë të njohur. Por, vështersit paraqiten për faktin se janë shumë parametra me ndikim

dhe të lidhur në mes veti që sipas natyrës së tyre janë të karakterit stohastik, prandaj, është e

vështir të ndahet ndikimi i tyre vetanak. Kështu, problem i plasaritjeve ka vendin qendror në

grupin e detyrave në teorinë e betonit të armuar sipas gjendjes kufitare të shfrytëzimit.

Plasaritjet nuk janë një pengesë në qoftë se ato nuk kalojnë vlerën kufitare të kushtëzuar

nga korrozioni, pamja e jashtme ose papërshkueshmëri ndaj lëngjeve ose gazërave.

Për kontrollin e paraqitjes së plasaritjeve dhe kufizimin e gjerësisë së plasaritjeve tek

elementet e betonit të armuar është e nevojshme të caktohet sipërfaqja e armaturës minimale.

Rregullat e dhëna në EC2 për llogaritjen e gjerësisë së plasaritjeve, mund të paraqiten të

thjeshtuara në formë tabelare duke kufizuar diametrin e shufrave apo hapin e shufrave të

armaturës.

2

Trajtimi i deformimeve u referohet: zhvendosjeve (uljeve), kurbaturës e konceptuar si e

anasjelltë, e rrezes së kurbaturës, zgjatimit, shkurtimit, rrotullimit dhe ndryshimit të këndit të

tangjentës në pikën e caktuar të elementit.

Ka faktorë të shumtë që ndikojnë në madhësinë e deformimit. Këta faktorë janë shumë

herë të lidhur dhe të ndërvarur me njeri tjetrin. Varësia e këtyre faktorëve me njeri tjetrin e bënë

parashikimin e deformimeve të vështirë. Ndër këta faktor të rëndësishëm është efekti i zvarritjes

dhe tkurrjes së betonit.

Gjendja kufitare e deformimeve në përputhje me kërkesat e EC2 mund të kontrollohet

duke kufizuar raportin hapësirë/lartësi efektive ose, duke krahasuar një deformim të llogaritur,

me një vlerë kufitare.

Në paraqitjen e tij tërësore punimi është i ndarë në shtatë kapituj. Në pjesën e titulluar

”Gjendja kufitare e shfrytëzimit” ilustrohen vlerësimet dhe verifikimet që lidhen me gjendjen

kufitare të shfrytëzimit sipas EC2. Kjo pjesë analizon sidomos kërkesat projektuese, verifikimet

projektuese dhe kombinimet e veprimeve.

Kapitulli i tretë i punimit i është kushtuar gjendjes kufitare të sforcimeve. Rëndësi e

veçantë, në këtë pjesë të punimit, duke iu referuar përvojave që kanë gjetur aplikim në praktikën

e projektimit të strukturave nga betoni i armuar, i jepet kufizimit të madhësive të sforcimeve në

beton dhe çelik.

Objektivi i projektimit të një strukturë nga betoni i armuar është se ajo duhet të plotësojë

nevojat për të cilat u ndërtuar. Duke vepruar kështu, projektuesi strukturore duhet të sigurojë

që ajo të është e sigurt dhe e shfrytëzueshme, në mënyrë që mundësitë e saj për të dështuar gjatë

tërë jetës së saj të projektimit janë mjaft të vogla. Për këtë arsye, vlerësimet dhe verifikimet që

lidhen me gjendjen kufitare të plasaritjeve janë dhënë në kapitullin e katërt. Aty prezantohen

kërkesat e armaturës minimale për kufizimin e gjerësisë së plasaritjeve, kontrolli i plasaritjeve

pa llogari direkte dhe llogaritja e gjerësisë së plasaritjeve.

Në kapitullin e pestë të punimit është prezantuar gjendja kufitare e deformimeve në

përputhje me kërkesat e EC2. Për të realizuar analizën e deformimeve, krahas kombinimeve

nga veprimet për gjendjen kufitare të shfrytëzimit, elementet e strukturës u nënshtrohen

efekteve të zvarritjes dhe efekteve të tkurrjes së betonit, dhe atë, për gjendjen e sforcimeve pa

plasaritje dhe gjendjen e sforcimeve me plasaritje.

Për të ilustruar kërkesat që lidhen me gjendjen kufitare të shfrytëzimit sipas EC2 në

kapitullin e gjashtë janë analizuar edhe shembuj numerik. Në bazë të rezultateve të fituara,

3

krahasuar me literaturën inxhinierike përkatëse, është dhënë vlerësimi i parametrave që

ndikojnë në plasaritje dhe në deformimet e elementeve të betonit.

Hapësirë e veçante në punim i është dhënë edhe përfundimit ku është synuar të

prezantohen, sadopak, vlerësime në problemin e gjendjes kufitare të shfrytëzimit.

Punimi u referohet 17 burimeve të ndryshme nga literatura shkencore ndërkombëtare.

4

2 GJENDJA KUFITARE E SHFRYTËZIMIT

2.1 Kuptimet e përgjithshme

Objektivi i projektimit të një strukturë nga betoni i armuar është se ajo duhet të plotësojë

nevojat për të cilat u ndërtuar. Duke vepruar kështu, projektuesi strukturore duhet të sigurojë

që ajo të është e sigurt dhe e shfrytëzueshme, në mënyrë që mundësitë e saj për të dështuar gjatë

tërë jetës së saj të projektimit janë mjaft të vogla. Për këtë arsye qëllimet primare të projektimit

të strukturave janë rezistenca dhe shfrytëzimi.

Kodet bashkëkohore të projektimit të strukturave, duke përfshirë dhe EC, kanë adoptuar

gjendjen e fundit kufitare të projektimit, ku një strukturë duhet projektuar për të kënaqur të

njëjtën kohë një numër të gjendjeve të ndryshme kufitare apo kërkesat e projektimit, duke

përfshirë rezistencën adekuate dhe shfrytëzimin-shërbyeshmërinë. Duke iu referuar situatave

përkatëse të projektimit, përgjithësisht përcaktohen kërkesat e diferencuara sipas dy gjendjeve

kufitare:

Gjendja kufitare e thyerjes ose e fundit (”Ultimate Limit States-ULS”)

Gjendja kufitare e shfrytëzimit ose e shërbimit (”Serviceability Limit States –SLS”)

Kufijtë minimale të performancës janë të specifikuara për secilën nga këto gjendje

kufitare dhe çdo njëra nga këto mund të bëhet kritike dhe të drejtojnë projektimin e një elementi

të veçantë. Për çdo gjendje kufitare, kodet e projektimit specifikoni kombinimet përkatëse të

ngarkesave dhe performancën aktuale strukturore që së bashku të sigurohet një probabilitet i

pranueshme dhe i ulët i dështimit.

Në mënyrë që të plotësohet gjendja kufitare e shfrytëzimit, një strukturë e betonit duhet

të jetë e shfrytëzueshme dhe të kryejë funksionin e saj gjatë gjithë jetës. Që një strukturë nga

betoni të jetë e dobishme, plasaritjet dhe deformimet nuk duhet tejkalojnë vlerat kufitare.

Deformimi nuk duhet të dëmtoj funksionin e strukturës ose të jetë ana estetike e papranueshme.

Plasaritjet nuk duhet të janë të pakëndshme apo të influencojnë në qëndrueshmërinë e

strukturës.

Vlerësimet dhe verifikimet që lidhen me gjendjen kufitare të shfrytëzimit sipas EC2

janë:

Gjendja kufitare e sforciemeve (kufizimi i sforciemve);

Gjendja kufitare e plasaritjeve (kontrolli i gjerësi së plasaritjeve)

5

Gjendja kufitare e deformimeve (kontrolli i deformimeve)

Gjendje të tjera kufitare (të tilla si lëkundjet) mund të jenë të rëndësishme në elemente

të struktura të veçanta, por, nuk janë të mbuluara me EC2.

2.2 Kërkesat projektuese

2.2.1 Jetëgjatësia projektuese e përdorimit

Jetëgjatësia projektuese e përdorimit është periudha gjatë së cilës supozohet se një

strukturë ose pjesë të saj përdoren për qëllimin e planifikuar, me mirëmbajtje të parashikuar,

por pa pasur të domosdoshme riparime të mëdha. Jetëgjatësia projektuese e përdorimit duhet

që të specifikohet, sepse ajo është e nevojshme për përcaktimin e veprimeve të projektimit, të

disa vetive të materialit, për zhvillimin e strategjive të mirëmbajtjes. Në Tabelën 2.1 jepen

kategori orientuese. Vlerat e dhëna në këtë tabelë mund të përdoren për përcaktimin e

performancës në funksion të kohës, shih aneksin A (EN 1990).

Tabela 2.1 Treguesi i jetëgjatësisë projektuese të përdorimit

Kategoria ejetëgjatësisëprojektuese tëpërdorimit

Treguesi ijetëgjatësisëprojektuese tëpërdorimit (në vite)

Shembuj

1 10 Struktura të përkohshme(1)

2 10 deri 25 Pjesë strukturore të zëvendësueshme p.sh. trarë vinçure,aparate mbështetëse

3 15 deri 30 Struktura bujqësore dhe të ngjashme4 50 Struktura ndërtimi dhe struktura të tjera të zakonshme5 100 Struktura ndërtimore monumentale, ura dhe struktura të

tjera të Inxhinierisë civile(1) Këshillohet që strukturat apo pjesët e strukturave që mund të çmontohen me qëllim ripërdorimin, të mos konsiderohen si tëpërkohshme.

2.2.2 Diferencimi i besueshmërisë

Besueshmëria është aftësia e një strukture ose e një elementi strukturor për të

përmbushur kërkesat e specifikuara, duke përfshirë jetëgjatësinë projektuese të përdorimit, për

të cilat ajo është projektuar. Zakonisht, besueshmëria shprehet në terma probabilitarë.

Besueshmëria përmbledh sigurinë, shfrytëzimin dhe durueshmërinë e një strukture.

6

Për qëllimin e diferencimit të besueshmërisë, mund të vendosen klasa të pasojave (CC)

duke pasur parasysh pasojat e shkatërrimit ose keqfunksionimit të strukturës, si ato të dhëna në

Tabelën 2.2.

Kriteri i klasifikimit të pasojave është rëndësia e strukturës ose e elementit strukturor në

fjalë, në terma të pasojave të shkatërrimit. Në varësi të tipit të strukturës dhe vendimeve të

marra gjatë projektimit, elementë të veçantë të strukturës mund të renditen në klasa pasojash të

njëjta, më të larta apo të ulëta se klasa e gjithë strukturës. Aktualisht, kërkesat për

besueshmërinë lidhen me elementët strukturorë të veprave të ndërtimit.

Tabela 2.2 Përcaktimi i klasave të pasojave

Klasa epasojave

Përshkrimi Shembuj të ndërtesave dhe të veprave tëInxhinierisë civile

CC3 Pasoja të rënda në terma të humbjessë jetëve të njerëzve, ose pasojashumë të rëndësishme ekonomike,sociale ose mjedisore

Vendqëndrime me grumbullime të mëdhanjerëzish, ndërtesa publike ku pasojat eshkatërrimit do ishin të mëdha (p.sh. një sallëkoncertesh)

CC2 Pasoja mesatare në terma tëhumbjes së jetëve të njerëzve, pasojatë konsiderueshme ekonomike,sociale ose mjedisore

Ndërtesa banimi dhe administrative, ndërtesapublike ku pasojat e shkatërrimit do ishinmesatare (p.sh. një ndërtesë administrative).

CC1 Pasoja të lehta në terma të humbjessë jetëve të njerëzve dhe pasoja tëlehta apo të papërfillshmeekonomike, sociale ose mjedisore

Ndërtesa bujqësore ku normalisht nuk hyjnënjerëz (p.sh. magazina, serra bujqësore).

2.3 Verifikimet projektuese

Vlerësimet që lidhen me gjendjen kufitare të shfrytëzimit sipas EC2 duhet të

verifikohen që: ≤ (2.1)

ku:

është vlera projektuese e efekteve të veprimit të specifikuar në kriterin e shfrytëzimit

përcaktuar në bazë të kombinimeve përkatëse , kjo vlerë projektuese mund të jetë

sforcim, ulje apo gjerësia e plasaritjeve

është vlera projektuese kufitare e kriterit përkatës të shfrytëzimit, e dhënë nga

rregulloret apo nga kërkesat tjera si vlerë kufitare e lejuar.

7

2.4 Kombinimi i veprimeve

Kombinimet e veprimeve që konsiderohen në situata përkatëse të projektimit duhet të

përcaktohen duke kombinuar vlerat e veprimeve për kërkesat e shfrytëzimit dhe kriteret e

përformancës që janë për tu verifikuar. Këto kombinime fitohen duke shumëzuar ngarkesat

karakteristike (të normuara) me koeficient të përshtatshëm për kombinime. Kombinimet e

veprimeve për gjendjen kufitare të shfrytëzimit përcaktohen simbolikisht nga shprehjet e

mëposhtme.

Kombinimi karakteristik-kombinimi i rrallë:= , ; ; , ; , ; , ≥ 1; > 1 (2.2)

Në të cilin kombinimi i veprimeve në kllapa { } (i quajtur kombinimi karakteristik ose i rrallë)

mund të shprehet si:

, " + " " + " , " + " , , (2.3)

Kombinimi i rrallë përdoret zakonisht për gjendjen e pakthyeshme ( psh. gjendja kufitare e

plasaritjeve).

Kombinimi i shpeshtë := , ; ; , ; , ; , ; , ≥ 1; > 1 (2.4)

Në të cilin kombinimi i veprimeve në kllapa { } (i quajtur kombinimi i shpeshtë) mund të

shprehet si:

, " + " " + " , , " + " , , (2.5)

Kombinimi i shpeshtë përdoret zakonisht për gjendjen e kthyeshme (p.sh. gjendja kufitare e

deformimeve-uljeve).

Kombinimi thuajse i përhershëm - kombinimi kvazi permanent= , ; ; , , ≥ 1; > 1 (2.6)

Në të cilin kombinimi i veprimeve në kllapa { } ( i quajtur kombinimi i shpeshtë) mund të

shprehet si:

, " + " " + " , , (2.7)

8

Kombinimi thuajse i përhershëm përdoret zakonisht për veprime afatgjata.

Vlerat projektuese të veprimeve për përdorim në kombinimet e veprimeve janë dhen në

Tabletën 2.3. Këshillohet që për gjendjen kufitare të shfrytëzimit, koeficientet për ngarkesa të

merren 1.0, me përjashtim të rasteve kur specifikohet ndryshe në EN 1991 deri në EN 1999.

Tabela 2.3 Vlerat projektuese të veprimeve për përdorim në kombinimet e veprimeve

Kombinimi Veprimi i përhershëm Veprimi i ndryshueshëm

Të pafavorshme Të favorshme Kryesore Të tjera

Karakteristik , , , , , , ,I shpeshtë , , , , , , , ,

Thuajsei përhershëm , , , , , , , ,Koeficientet reduktues të kombinimeve , nëse nuk ka të dhëna të mjaftueshme që të

verifikohen koeficientet e tillë, mund të merren vlerat nga tabela Tabelën 2.4

Tabela 2.4 Vlerat e rekomanduara për koeficient

Veprimi

Kategoria A: sipërfaqe banimi, shtëpi 0.7 0.5 0.3Kategoria B: sipërfaqe për zyre 0.7 0.5 0.3Kategoria C: sipërfaqe për grumbullim njerëzish 0.7 0.7 0.6Kategoria D: sipërfaqe tregtare 0.7 0.7 0.6Kategoria E: sipërfaqe magazinimi 1.0 0.9 0.8Kategoria F: sipërfaqe trafiku; pesha e mjetit lëvizës 30kN 0.7 0.7 0.6Kategoria G: sipërfaqe trafiku;

30kN < pesha e mjetit lëvizës<160kN 0.7 0.5 0.3Kategoria H: sipërfaqe kulmi (mbulesa) 0.0 0.0 0.0

Ngarkesa e borës mbi ndërtesa:Për lartësi H>1000mPër lartësi H 1000m

0.70.5

0.50.2

0.20.0

Ngarkesat e erës mbi ndërtesa 0.6 0.2 0.0Temperatura (jo nga zjarri) në ndërtesa 0.6 0.5 0.0

Për gjendjen kufitare të shfrytëzimit, koeficientet për vetit e materialit këshillohet të

merret 1.0, me përjashtim të rastit kur specifikohet ndryshe në EN 1992.

9

3 DEKLARIMI I PROBLEMIT

3.1 GJENDJA KUFITARE E SFORCIMEVE

Duke iu referuar gjendjes së shfrytëzimit, tejkalimi i sforcimeve të konstruksionet e

betonit të armuar duhet të jenë të kufizuara. Në përgjithësi duhet patur parasysh që tejkalimi i

sforcimeve mund të rezultojë në efekte të papranueshme në funksion të strukturës. Në qoftë se

niveli i sforciemeve nga kombinimi karakteristik i ngarkesave tejkalon një vlerë kritike mund

të paraqiten plasaritjet. Plasaritje e tillë mund të çojë në një reduktim të qëndrueshmërisë. Me

kufizimet e sforcimeve në shtypje në beton dëshirohet t’i iket plasaritjeve të shkaktuara nga

forcat e çarjes të lindura për shkak të johomogjinitetit të betonit dhe deformimet e mëdha

plastike të cilat janë shkak nga deformimet e mëdha.

Duke iu referuar përvojave që kanë gjetur aplikim në praktikën e projektimit të

strukturave nga betoni i armuar, EC2 jepë kufizimin e madhësive të sforcimeve në beton dhe

çelik. Vlerat e kufizimeve janë:

Për rastin e kombinimeve karakteristike ose kombinimeve të rralla, konsiderohet e

përshtatshme të kufizohen sforcimet në shtypje me vlerën në sipërfaqet e

ekspozuara në mjediset e klasave të ekspozimit XD, XF dhe XS. Vlera e rekomanduar

e sforcimeve në beton duhet të jetë e kufizuar në = 0.6:≤ 0.6 (3.1.1)

Kjo në realitet ndodh në mungesë të masave të tjera, të tilla si një rritje e shtresës

mbrojtëse të betonit në zonën e shtypur ose shtrëngim i betonit me armaturën tërthore.

Kur kemi kombinim thuajse të përhershëm vlera e rekomanduar e sforcimeve në beton

duhet të jetë e kufizuar në = 0.45:≤ 0.45 (3.1.2)

Në qoftë se nga kombinimi i ngarkesave thuajse i përhershëm, sforcimet në beton janë

më të vogla se , mund të supozohet një deformëkohë lineare. Në qoftë se sforcimet në beton

tejkalon , atëherë konsiderohet deformëkohë jo-lineare.

Gjatë llogaritjeve sipas EC2, sforcimet në tërheqje, në çelik duhet të kufizohen për të

shmangur deformimet joelastike, plasaritjet të papranueshme apo deformimet. Siguria duhet të

kontrollohet mbi bazën e përcaktimeve vijuese:

10

Sforcimet në çelik për kombinime të rralla të ngarkesave duhet të plotësojnë kushtin:≤ 0.8 (3.1.3a)

Sforcimet të shkaktuara nga veprimi indirekt (deformimet e dhunshme) do të vlerësohej

nga shprehja: ≤ 1 (3.1.3b)

Sforcimet në çelik për paranderje, pas humbjeve, duhet të plotësojnë kushtin:≤ 0.75 (3.1.3c)

Me kufizimet e sforcimeve në çelik synohet t’i iket deformimeve të mëdha të

armaturës, e me këtë edhe gjerësisë së plasaritjeve në element. Nëse kufizimet e mësipërme

të sforcimeve në beton dhe armaturë nuk janë plotësuar ose pjesërisht janë plotësuar, atëherë,

duhet të rritet prerja tërthore ose sasia e armaturës.

Për llogarinë e sforcimeve në beton apo çelik mund të përdoren supozimet nga

teoria lineare e elasticitetit, = / = 15, gjegjësisht metoda e sforcimeve të

lejuara.

Llogaria e gjendjes kufitare të sforcimeve mund të mos bëhet nëse janë plotësua këto

kushte:

llogaria në gjendjen kufitare mbajtëse plotëson;

armatura minimale është paraparë sipas EC2;

armimi është krye sipas rregullave të EC2;

llogaria e forcave prerëse është bërë sipas teorisë së elasticitetit me

rishpërndarje të kufizuar më të vogël se 30%.

11

3.2 GJENDJA KUFITARE E PLASARITJEVE

Gjatë llogaritjeve sipas EC2, rezistenca e betonit në tërheqje konsiderohet e barabart

me zero dhe diagrami sforcim-deformim i tij zhvillohet vetëm me vlerat që i korrespondojnë

shtypjes. Kështu, trajtimi i aftësisë mbajtëse të konstruksionit prej betoni të armuar dhe betonit

me paranderje parciale bazohet në supozimin se një pjesë e betonit në zonën e tërhequr nuk

merret parasysh, gjegjësisht rezistenca e betonit në tërheqje është zero. Vetëm ky fakt është i

mjaftueshëm që në kushtet normale të punës së elementeve për një rast ngarkimi specifik të

presim edhe paraqitjen e plasaritjeve.

Nga ana tjetër, konstatohet se në rastin e projektimit dhe realizimit të elementi prej

betoni të armuar pa plasaritje është ekonomikisht jo e arsyeshme dhe praktikisht është e

pamundur. Vetëm me beton të paranderur mund të ndërmerren masa që t’ju ikim plasaritjeve.

Por, edhe ky rast është treguar se është joekonomik dhe në disa raste të caktuara nuk është

teknikisht e arsyeshëm. Plasaritjeve nuk mund t’ju ikim të konstruksionet e betonit të armuar

nga efekti i përkuljes, forcave transversale, torzioni dhe tërheqja. Gjithashtu, shkak të

plasaritjeve mund të jenë sforcimet të shkaktuara nga deformimet e dhunshme të shkaktuara

nga çvendosja e mbështetësit, rrotullimi i shtyllës, ulja e elementeve për shkak të ndryshimeve

temperaturale dhe/ose tkurrja e betonit, veprimeve indirekte si dhe nga shkaqe të tjera më pak

të rëndësishme.

Sa janë të dëmshme plasaritjet në elemente prej betoni të armuar është evidente prej

fillimit të ndërtimit dhe vazhdon edhe sot. Vet fakti se elementet e konstruksionit qëndrojnë

me plasaritje, rezulton se duhet të dihet sa është e lejuar gjerësia e plasaritjeve që nuk ka pasoja

të dëmshme.

Në përgjithësi mund të konkludohet se shkaktaret e plasaritjeve të elementet e betonit

të armuar janë të njohur. Por, vështirësitë paraqitën për faktin se janë shumë parametra me

ndikim dhe të lidhur në mes veti që sipas natyrës së tyre janë të karakterit stohastik, prandaj

është e vështir të ndahet ndikimi i tyre vetanak. Kështu, problem i plasaritjeve ka vendin

qendror në grupin e detyrave në teorinë e betonit të armuar sipas gjendjes kufitare të

shfrytëzimit.

12

3.2.1 Sjellja e elementeve të plasaritura nga betoni i armuar

Plasaritjet e formuara në elementet e betonit mund të klasifikohen në dy kategori

kryesore: plasaritje të shkaktuara nga ngarkesat e jashtme të aplikuara në elementin e strukturës

dhe plasaritje që ndodhin në mënyrë të pavarur nga ngarkesat. Plasaritjet e grupit të dytë

rezultojnë nga sforcime termike për shkak të nxehtësisë dhe nga tkurrja prej tharjes. Plasaritjet

e shkaktuara nga ngarkesat e jashtme mund të janë jo ortogonal në armaturë (nga prerja apo

përdredhje) dhe ortogonale (nga përkulja apo tërheqja).

Figura 3.2.1a paraqet një diagram tipik ngarkesë–deformim të një elementi nga betoni

i armuar i nënshtruar veprimit në tërheqje. Në këtë diagram, faza e parë, deri në fillimin e

plasaritjes. paraqet sjelljen elastike të elementit. Faza e dytë mbulon sjelljen e deformimit nga

plasaritja e parë kryesore deri në pikën përfundimtare të plasaritjes. Faza e tretë synon sjelljen

nga pika përfundimtare e plasaritjes deri në rrjedhjen e armaturës. Në fazën e parë, sforcimet

në tërheqje të betonit rritën në proporcion me ngarkesën (të përfaqësuar nga zona e mbushur

ngjyrë hiri në Figurën 3.2.1a). Kur sforcimet në një prerje të betonit arrin vlerën kufitare të

rezistencës në tërheqje, ndodh plasaritja.

Pas plasaritjes, sforcimet në atë prerje të plasaritur bien në zero. Por, për shkak të

veprimit të lidhjes beton- çelik, ato rriten deri në distancën s nga plasaritja, siç është paraqitur

në Figurën 4.1b. Një rritje relativisht e vogël e ngarkesës do të shkaktojë plasaritjen e dytë, të

zhvilluar në një prerje të elementit në distance , ku ( < ≤ 2 ), (Figura 3.2.1b). Pas formimit

të plasaritjes së parë deri në ato përfundimtare, efekti i betonit vazhdimisht zvogëlohet.

Në mënyrë të ngjashme, si për elementet e betonit në tërheqje, ashtu edhe për elementet

e betonit në përkulje, sjellja e plasaritjeve mund të ndahet në tri faza: faza pa plasaritje, faza me

plasaritje dhe faza e stabilizuar nga plasaritjet. Faza e stabilizuar e plasaritjeve arrihet,

praktikisht, kur nuk mund të formohen plasaritje të reja. Në këtë rast, një rritje e ngarkesës do

të shkaktonte vetëm rritje të gjerësisë së plasaritjeve.

13

Figura 3.2.1 Diagrami ngarkesë–deformim të një elementi nga betoni i armuar në tërheqje:

(a) fazat e plasaritjeve; (b) shpërndarja e sforcimeve aksiale

Pas plasaritjes, ngurtësi e elementit përgjatë gjatësisë së tij ndryshon, gjë që e bën të

ndërlikuar llogaritjen e deformimeve. Në një element të plasaritur, ngurtësia është më e madhe

në pjesën brenda rajonit të pa plasaritur dhe është më e vogël në pjesën e plasaritur. Kjo është

për shkak se, në pjesën e plasaritur betoni në tërheqje nuk kontribuon në mbajtjen e ngarkesës.

Megjithatë, në prerjen në mes të dy plasaritjeve, për shkak të efektit të lidhjeve me armaturën,

betoni mban forca në tërheqje, që në fakt reduktohet deformimi për shkak të ngurtësisë efektive

(Figurën. 3.2.2). Ky efekt është i njohur si ngurtësim në tërheqje.

Figura 3.2.2 Elementi në tërheqje mes dy plasaritjeve-sipërfaqja efektive

N2

N1

Nga

rkes

a N

Deformimi

reagimi ishufrës

plasaritjapërfundimtare

plasaritja eparë

Gjendjapërfundimtare

Plasaritja eshumëfisht

Pa plasaritje

rrjedhja eçeliku

Gjatësi

Sfor

cim

= 0N2 N2

, ≤

Gjatësi

Sfor

cim

N1 N1

14

3.2.2 Kontrolli i plasaritjeve

3.2.2.1 Vlerat kufitare për gjerësinë e llogaritur të plasaritjes

Përfaqësimi i kufizimit të plasaritjeve është ngushtë i lidhur me funksionin dhe

jetëgjatësinë projektuese të objektit. Plasaritjet nuk janë një pengesë në qoftë se ata nuk kalojnë

vlerën kufitare të kushtëzuar nga korrozioni, pamja e jashtme ose papërshkueshmëri ndaj

lëngjeve ose gazeve. Por, ato duhet të kufizohen deri në atë masë sa që nuk do të pengojnë

funksionimin e duhur apo qëndrueshmëria e strukturës ose pamja e saj të jetë e pranueshme.

Praktikisht, duhet të ndërmerren masat përkatëse që plasaritjet të ruhen në kufijtë e dëshiruar,

e përgjithësisht të arrihet kontrolli i pasqyrës së plasaritjeve.

Plasaritjet mund të lejohen pa ndonjë përpjekje për të kontrolluar gjerësinë e tyre, me

kusht që ato të mos dëmtojnë funksionimin e strukturës. Një vlerë kufitare, , për gjerësinë

e llogaritur të plasaritjes, duhet të vendoset duke marrë parasysh funksionin e propozuar dhe

natyrën e strukturës si dhe koston e kufizimit të plasaritjes.

Për gjerësinë kufitare të plasaritjes vlerat e rekomanduara, , për klasat përkatëse

të ekspozimit sipas ENV 1992-01-01 janë dhënë në Tabela 3.2.1

Tabela 3.2.1 Vlerat e rekomanduara për gjerësinë e plasaritjeve,

Klasa e ekspozimit Betoni i armuar dhe betoni i paranderurme kablo pa athezion

Betoni i paranderur me kablome athezion

Kombinimi kvazi permanent Kombinimi i shpeshtë

X0, XC1 0.4(1) 0.2XC2,XC3,XC4 0.3 0.2(2)

XD1,XD2,XS1,XS2,XS3

Dekompresion

Shënimi 1: Për klasën e ekspozimit X0, XC1, gjerësia e plasaritjeve nuk ka ndikim në jetëgjatësinë projektuese të strukturës, prandajkufizimi mund të kërkohet nga ujë papershkrueshmëria dhe dukja e jashtme.

Shënimi 2: Për këto klasa të ekspozimit, si shtesë, dekompresioni duhet të kontrollohet në bazë të kombinimit kuazi- permanent.

Në mungesë të kërkesave të veçanta (p.sh. papërshkueshmëria e ujit), mund të

supozohet që kufizimi i gjerësisë së llogaritur të plasaritjes të dhënë në Tabelën 3.2.1,

nën kombinimin kuazi- permanent të ngarkesave, në përgjithësi do të jetë e kënaqshme për sa i

përket dukjes dhe jetëgjatësisë.

Për ndërtesat që janë të vendosura në një mjedis shumë agresive, vendosen kërkesa

specifike që nuk janë dhënë në ENV 1992-01-01.

15

3.2.2.2 Armatura minimale për kufizimin e gjerësisë së plasaritjeve

Në strukturat e betonit të armuar dhe betonit të paranderur reduktimi i gjerësi së

plasaritjeve mund të arrihet duke inkorporuar sasi të armaturës në zonën e tërhequr më shumë

ose të barabarta më atë minimale dhe me kufizimin e diametrit dhe distancës në mes

armaturave.

Elementet e betonit të armuar dhe ato të paranderura, në zonën e sforcimeve në tërheqje,

duhet gjithmonë të armohen të paktën me armaturë minimal për kufizimin e gjerësi së

plasaritjeve. Kjo kërkohet sidomos nëse priten efekte indirekte të shkaktuar nga pengimi i

tkurrjes së lirë të elementit apo nga rezistenca e deformimeve të detyruara të jashtme

(çvendosjesa e mbështetësit).

Në strukturat e betonit ka dy lloje të sforcimeve që do të shkaktojnë plasaritje:

Përkulja e elementeve – ku gjithnjë ekziston një zone e shtypur dhe një zonë e tërhequr.

Tërheqje qendrore e elementeve – e tërë prerja është në tërheqje.

Për kontrollin e paraqitjes së plasaritjeve dhe kufizimin e gjerësisë së plasaritjeve tek

elementet e betonit të armuar dhe ato të paranderura është e nevojshme të caktohet sipërfaqja e

armaturës minimale. Në prerjet e profilizuara si trarë sanduk ose prerje T, armatura minimale

duhet të përcaktohet për pjesët individuale të prerjes (briut, fletës horizontale). Sipërfaqja

minimale e armaturës së kërkuara për kufizimin e paraqitjes së plasaritjeve mund të llogaritet

si më poshtë. , = , (3.2.1)

ku:, sipërfaqja minimale e armaturës brenda zonës së tërhequr.

sipërfaqja prerjes së betonit brenda zonës në tërhequr. Zona e tërhequr është një pjesë e

prerjes e cili llogaritet të jetë në tërheqje vetëm para se të paraqitet plasaritja e parë.

është vlera absolute e sforcimeve maksimale që lejohet në armuar

menjëherë pas formimit të plasaritjes. Kjo mund të merret si kufiri i rrjedhjes së çelikut

. Munde të merret edhe një vlerë më e ulët, megjithatë, duhet të jetë e nevojshme për

të kënaqur kufijtë e gjerësisë së plasaritjes sipas madhësisë maksimale të shufrës dhe

distancave midis tyre., rezistenca e betonit në tërheqje në kohën e paraqitjes së plasaritjeve të para,

16

, = ose më e ulet, ( ( )), nëse plasaritjet pritën më herët se 28 ditë.

Rekomandohet që ≥ 3.0 .

koeficienti i cili merr parasysh shpërndarjen jo lineare të sforcimeve në tërheqje, të cilat

çojnë në një reduktim, si ndryshimi i temperaturës dhe/ose tkurrja e elementeve.= 1 për prerje drejtkëndëshe me lartësi ℎ ≤ 300 dhe gjerësi ≤ 300= 065 për prerje drejtkëndëshe me lartësi ℎ ≥ 800 dhe gjerësi ≥ 300 ,

vlerat e ndërmjetme mund të interpolohen.

koeficient i cili merr parasysh shpërndarjen e sforcimeve brenda prerjes menjëherë para

paraqitjes së plasaritjeve të para.= 1: për sforcim të shkaktuara nga forca tërheqëse qendrore (tërheqje e pastër).

Në rastin e përkulës së pastër ose në kombinim me forca aksiale ky koeficient mund të llogaritet

nga rasti:

Për prerje drejtkëndëshe, brinjë të prerjes sanduk ose prerjes T:

= 0.4 1 − ℎℎ∗ , ≤ 1 (3.2.2)

Për fletë horizontale të prerjes sanduk dhe prerje T:

= 0.9 , ≥ 0.5 (3.2.3)

ku:

Vlera absolute e forcës në tërheqje brenda fletës horizontale menjëherë para plasaritjeve

për shkak të momentit të plasaritjes, llogaritur me effctf ,

sforcimet në qendrën e rëndesës së prerjes tërthore, ku:= ℎ (3.2.4)

vlera e forcës normale nga gjendja kufitare e shfrytëzimit. Kjo forcë duhet të caktohet

duke marrë parasysh vlerat karakteristike nga kombinimi përkatës i veprimeve.

gjerësia e prerjes.ℎ lartësia e prerjes.ℎ∗ ℎ∗ = ℎ ë ℎ < 1.0ℎ∗ = 1.0 ë ℎ ≤ 1.0koeficient i cili merr parasysh efektet e forcave aksiale në shpërndarjen e sforcimeve.

17

= 1.5 nëse është forcë në shtypje.= 2ℎ ∗ 2ℎ∗/3ℎ nëse është forcë në tërheqje.

Sipërfaqja minimale e armaturës së kërkuara për kufizimin e paraqitjes së plasaritjeve e

dhënë në barazimin (3.2.1) është i ngjashëm me shprehjen e armaturës minimale për pllaka dhe

trarë:

, ≥ 0.26 ≥ 0.013 (3.2.5)

Armatura minimale mund të zvogëlohet, ose të mos vendoset nëse deformimet e

dhunshme janë mjaft të vogëla që nuk shkaktojnë paraqitjen e plasaritjeve. Në kësi raste

duhet të sigurohet vetëm armatura minimale për pranimin e tërheqjes nga kufizimi i

deformimeve.

3.2.3 Kontrolli i plasaritjeve pa llogari direkte

Rregullat e dhëna në pikën 7.3.4 të EC2, për llogaritjen e gjerësisë së plasaritjeve, mund

të paraqiten të thjeshtuar në formë tabelore duke kufizuar diametrin e shufrave apo hapin e

shufrave të armaturës. Kështu, kontrolli i plasaritjeve pa llogari të drejtpërdrejtë mund të arrihet

në dy mënyra:

• Me kufizimin e diametrit maksimal të shufrave - duke përdor Tabelën 3.2.2

• Me kufizimin e distancës maksimale në mes të shufrave të armaturës-duke përdorur

Tabelën 3.2.3

Për elementet e armuara me armature minimale, e cila është siguruar sipas shprehjes së

mësipërme, , , gjerësia e plasaritjes konsiderohet se nuk ka nevoje të kontrollohet nëse

diametri maksimal i armaturës dhe distanca në mes të shufrave të armaturës është më i vogël se

vlerat e dhëna në këto tabela përkatëse. Diametri maksimal i armaturës dhe distanca në mes të

shufrave është dhënë në varësi të sforcimeve në çelik. Në formë grafike një marrëdhënie e tillë

është dhënë në Figurën 3.2.3a, përkatësisht Figurën 3.2.3b. Ku nderja në çelik, , është vlera e

fituar menjëherë pas formimit të plasaritjes nga kombinimi përkatës i veprimeve. Vlera më e vogël

e sforcimeve mundet të jetë me kusht që të plotësohet vlera kufitare e gjerësisë së plasaritjeve të

dhënë në tabelën vijuese.

18

Tabela 3.2.2. Diametrit maksimal i shufrave ∅ për kontrollin e plasaritjeve

Sforcimet në çelik( )

Diametrit maksimal i shufrave (mm)W . W . W .160 40 32 25200 32 25 16240 20 16 12280 16 12 8320 12 10 6360 10 8 5400 8 6 4450 6 5 -

Vlerat në tabelë janë të bazuara në supozimet e mëposhtme:= 25mm; , = 2.9 MPa; ℎ = 0.5h; (ℎ − ) = 0.1ℎ; = 0.8;= 0,5; = 0,4; = 1,0; = 0,4, dhe = 1,0

Figura 3.2.3a Diametrit maksimal i shufrave ∅ për kontrollin e plasaritjeve

Tabela 3.2.3 Distanca maksimal në mes shufrave për kontrollin e plasaritjeve

Sforcimet në çelik( )

Diametrit maksimal i shufrave (mm)

. . .160 300 300 200200 300 250 150240 250 200 100280 200 150 50320 150 100 -360 100 50 -

Sforcimet në çelik, s (N/mm2)

wk=0.2 mm

wk=0.3 mm

wk=0.4 mm

19

Figura 3.2.3b Distanca maksimal në mes shufrave për kontrollin e plasaritjeve

Diametri maksimal i shufrave të dhënë në tabela mund të modifikohet si vijon:

Përkulje (të paktën një pjesë e prerjes në shtypje):

= ∗ ,2.9 ℎ2(ℎ − ) (3.2.6)

Tërheqje (tërheqje aksiale e njëtrajtshme):

= ∗ ,2.9 ℎ8(ℎ − ) (3.2.7)

ku:

diametri maksimale i korrigjuar i shufrës∗ diametri maksimal i shufrës së dhënë në tabelëℎ lartësia e prerjes tërthoreℎ lartësia e zonës së tërhequr para plasaritjeve, duke marrë parasysh vlerat karakteristike

të paranderjes dhe forcave aksiale nga kombinimi thuajse i përhershëm i veprimeve.

lartësia statike e prerjes

Trarët me lartësi 1.0m e më shumë, ku armatura kryesore është e vendosur vetëm në një

pjesë të zonës së tërhequr, për kufizimin e plasaritjeve duhet të kenë armature plotësuese jashtë

zonës së tërhequr të prerjes. Kjo armature duhet të shpërndahet në lartësi të prerjes, mes aksit

neutral dhe armaturës së tërhequr dhe duhet të vendoset brenda stafave.

Sipërfaqja e armaturave nuk duhet të jetë më e vogël se vlera e fituar e , , duke marr

koeficientin = 0.5 dhe = .

Diam

etri

mak

sim

al i

shuf

rave

(mm

)

Sforcimet në çelik (MPa)

400350300250200

50

150

150

100

wk =0.3200

wk = 0.4250

300

wk = 0.2

20

Distancën dhe profili i shufrave mund të merret nga tabelat e dhëna më lartë, duke supozuar

tërheqjen e pastër dhe sforcimet në armature sa gjysma e vlerës së llogaritur të armaturës kryesore

tërheqëse.

Plasaritje për shkak të efekteve të veprimit tangjencial mund të supozohet se jenë të

kontrolluara në mënyrë adekuate nëse janë zbatuar rregullat e dhëna në EC2.

Për elementet pa armature tërthore (pllakat) dhe të elementet për të cilat vlen > ,

kontrolla e gjendjes kufitare të paraqitjes së plasaritjeve nuk është e nevojshme në rastin kur3 > . Në atë rast nuk është e nevojshme të llogaritën plasaritjet që mvaren prej distancës

mes stafave, pasi që për ngarkesa eksploatuese në element nuk do të ketë plasaritje nga

transversalja.

Në tabelën vijuese është dhënë distanca mes stafave për kontrollin e plasaritjeve nga

transversalët.

Tabela 3.2.4 Distanca në mes stafave për kontrollin e plasaritjeve nga transversaletV − 3 /( )(N/mm2)

Distanca në mes shufrave(mm)

≤50 30075 200

100 150150 100200 50

Përqindja e armimit për transversale është:= ( sin ) (3.2.8)

ku:

sipërfaqja e armaturës për transversale në gjatësi

hapi i stafave.

gjerësia e briut apo gjerësia minimale e elementit në lartësinë statike.

këndi mes armaturës për transversale dhe aksit të mbajtësit (për stafa vertikale= 90°).

Nga paraqitja e plasaritjeve ekziston rreziku potencial në prerjet ku paraqitet ndërrimi

rapid i sforcimeve si p.sh.

gjatë ndërrimit të prerjes,

në afërsi të forcës koncentrike,

21

në prerjet ku shufrat janë ndërprerë

në skajet e vazhdimeve të shufrave të shtypura

Në këto prerje duhet të ndërmerren masa shtesë që gjerësia e plasaritjeve të reduktohet

dhe kjo arrihet me armature shtesë të caktuar. Kujdes duhet të tregohet në fusha të tilla për të

minimizuar ndryshimet e sforcimeve kudo që të jetë e mundur. Megjithatë, rregullat për

kontrollin e plasaritjeve të dhënë më lart, normalisht do të sigurojnë kontroll të mjaftueshëm në

këto pika me kusht që rregullat për detalet e armimit të EC2 të zbatohen.

Për pllakat e armuara ose ato të paranderura që punojnë në përkulje, pa tërheqje të

rëndësishme aksiale, nuk janë të nevojshme masa të veçanta për të kontrolluar plasaritjet nëse

trashësia e plakës nuk e kalon vlerën 200 mm dhe nëse janë aplikua masat e parapara për

konstruimin dhe armimin e pllakave sipas EC2.

3.2.4 Llogaritja e gjerësisë së plasaritjeve

Gjerësia e plasaritjes, , mund të llogaritet nga shprehja:= , ( − ) (3.2.9)

ku:, hapësira maksimale në mes plasaritjeve

deformimi mesatar i armaturës nën kombinim përkatëse të ngarkesave, duke

përfshirë edhe efektin e deformimeve të imponuara dhe duke marrë parasysh efektet

e ngurtësisë në tërheqje. Konsiderohet vetëm deformimi shtesë në tërheqje përtej

gjendjes zero të deformimeve të betonit në të njëjtën nivel.

deformimi mesatar në beton ndërmjet plasaritjeve

Gjerësia e plasaritjes dhe diferenca në mes deformimeve në beton dhe deformimeve në

armaturë është dhënë në Figurën 3.2.4

22

Figura 3.2.4 Gjerësia e plasaritjes dhe diferenca në mes deformimeve në beton dhe armaturë

Deformimet efektive mund të llogariten nga shprehja:

− = − ,, 1 + , ≥ 0.6 (3.2.10)

ku:

sforcimet në armaturën e tërhequr duke supozuar një prerje të plasaritur.

raporti /, = / , përqindja efektive e armimit

, = +, (3.2.11)

sipërfaqja e armaturës së tërhequr brenda sipërfaqes efektive ,sipërfaqja e armaturës së paranderur brenda sipërfaqes efektive ,, = / , rasti pa paranderje

Ndikimi i kohëzgjatjes së ngarkesës= 0.6 ë ë0.4 ë ë ℎSipërfaqja efekteve e betonit në tërheqje për trarë, plaka dhe për elemente në tërheqje është

dhënë në Figurën 3.2.5.

Gjatësia

Defo

rmim

i

Plasaritja

≤S

Le Le

= ( − )

23

Figura 3.2.5a Sipërfaqja efektive e traut

Figura 3.2.5b Sipërfaqja efektive e pllakës

Figura 3.2.5c Sipërfaqja efektive e elementit në tërheqje

Për llogaritjen e sipërfaqes efekteve të betonit në tërheqje lartësia efektive merret nga

vlera minimale: ℎ , = min{2.5(ℎ − ); (ℎ − )/3; ℎ/2} (3.2.12)

Në situata ku armatura është e vendosur brenda zonës së tërhequr në distanca ≤ 5( + /2),

hapësira maksimale ndërmjet plasaritjeve llogaritet me anë të shprehjes:

, = + , (3.2.13)

ku:

Vlerat e rekomanduara për dhe janë 3.4 dhe 0.425, përkatësisht.∅ diametri i shufrave të armaturës (kur në prerje paraqiten profile të ndryshme, merret diametri

mesatar, ∅ ,). Për një shufër me diametër ∅ , dhe një shufër tjetër me diametër ∅shprehja pasuese është: = ++ (3.2.14)

shtresa mbrojtëse deri të armatura gjatësore

A

B

A - Niveli i qendrës së armaturës

B - sipërfaqja efektive në tërheqje, Ac,eff

h d

x

hcef

= 0

= 0B

h d

hc,ef

x

- sipërfaqja efektive në tërheqje, Ac,effB

C

h d

hc,ef

- sipërfaqja efektive në tërheqje përsipërfaqen e sipërme, Act,eff

B

d

hc,ef

- sipërfaqja efektive në tërheqje përsipërfaqen e poshtëme, Acb,eff

C

B

24

koeficient që merr parasysh karakteristikat e armaturës:= 0.5 ë ë ë ë1.0 ë ë ë ëkoeficient që merr parasysh shpërndarjen e deformimeve

= 0.5 ë1.0 ë ℎ( + )/2 ë ℎ

Figura 3.2.6 Hapësira maksimale ndërmjet plasaritjeve - gjerësia e plasaritjes

Në rastet kur hapësira ndërmjet shufrave të armaturës tejkalon vlerën 5( + /2), (shih

Figurën 3.2.6) ose kur nuk ka asnjë shufër të armaturës brenda zonës së tërhequr, hapësira maksimale

në mes plasaritjeve mund të caktohet nga shprehja:, = 1.3(ℎ − ) (3.2.15)

Nëse këndi midis aksit të sforcimit kryesor dhe drejtimit të armaturës, për elementet e armuar

në dy drejtime ortogonale, është i rëndësishëm (> 15°), atëherë hapësira midis plasaritjeve mund të

llogaritet nga shprehja e mëposhtme:

, = 1cos, , + sin, , (3.2.16)

ku:

këndi midis armaturës në drejtimin y dhe drejtimit të sforcimit kryesor në tërheqje

, , , , , hapësirat midis plasaritjeve në drejtimet dhe

C

E

ℎ −c

∅B

A

A -Aksi neutral

B - Sipërfaqja

C - Gjerësia e plasaritjes ngashprehja (7.14 EC2)

5( + ∅/2)D

D - Hapësira e plasaritjes ngashprehja (7.11 EC2)

E - Gjerësia aktuale

25

3.3 GJENDJA KUFITARE E DEFORMIMEVE

3.3.1 Kuptimet e përgjithshme

Me zhvillimin e teknologjisë së prodhimit të materialeve të ndërtimit dhe avancimin e

praktikës së ndërtimit është evidente se elementet e strukturave të betonit kanë rezultuar të jenë

më fleksibile. Këtu përfshihen mundësit e shfrytëzimit të betonit dhe çelikut me karakteristikat

të larta, dhe me këtë edhe mundësia e projektimit të elementeve me dimensione më të vogla.

Është e kuptueshme që duke marr parasysh këta faktor është i domosdoshëm edhe kontrollimi

e deformimeve maksimale të elementeve nga betoni i armuar përtej kufijve të pranueshëm. Për

elementet e dimensionuar sipas teorisë klasike, kontrolla e deformimeve për probleme praktike

ka qenë jo e obliguar, përveç për rastet me hapësira të mëdha. Kështu, pa arsye ka zotëruar

mendimi se me kufizimin e sforcimeve në beton dhe çelik sigurohet se edhe deformimet do të

jenë në kufijtë e lejuar. Nga ana tjetër, me llogaritjen e prerjes së elementeve nga betoni i

armuar sipas gjendjes kufitare të thyerjes, tregohet aftësia mbajtëse e elementit. Sipas kësaj

kërkese bazë, elementi strukturor duhet të verifikohet përsa i përket deformimit maksimal

brenda kufijve të pranueshëm e më këtë verifikohet funksionaliteti i elementeve në fazën e

eksploatimit.

Ka faktorë të shumtë që ndikojnë në madhësinë e deformimit. Këta faktorë janë shpesh

herë të lidhur dhe të ndërvarur me njeri tjetrin. Varësia e këtyre faktorëve me njeri tjetrin e

bënë parashikimin e deformimeve të vështirë. Faktorët kryesorë janë: sforcimet në tërheqje të

betonit, zvarritja (deformë-koha) dhe moduli i elasticitetit. Faktorë të tjerë përfshijnë: mënyrën

e kufizimeve në mbështetje, forma dhe madhësia e ngarkesës, kohëzgjatja e ngarkesës,

plasaritjet e betonit, tkurrje, kushtet e ambient, ngurtësia nga elementet e tjera, etj.

Trajtimi i deformimeve u referohet: zhvendosjeve (uljeve), lakueshmëria

(kurbatura),zgjatimet, shkurtimet, rrotullimi dhe ndryshimi i këndit të tangjentes në pikën e

caktuar të elementit, etj.

Njohja e madhësisë së zhvendosjeve është shumë e rëndësishme në projektimin dhe

ndërtimin i konstruksioneve prej betoni të armurë, sidomos të hapësirat e mëdha statike, të

konstruktimi i elementeve të holla dhe të ndërtimi montazh.

Parashikimi i zhvendosjeve është detyrë komplekse për faktin se në vlerën e sajë

ndikojnë disa faktor që ndryshojnë në gjatësi të elementit dhe në funksion të kohës. Për këtë

arsye është e vështirë të bëhet algoritmi për llogarinë e saktë të zhvendosjeve. Prandaj,

26

shfrytëzohen llogarit e përafërta të cilat mund të verifikohen me matjet në konstruksion para

se objekti të lëshohet në përdorim.

Madhësia e zhvendosjeve kryesisht varet nga vetit e materialit, madhësive gjeometrike

të elementit si dhe llojit dhe madhësisë së ngarkesës.

Deformimet e një elementi apo të një konstruksioni nga betonit i armuar janë të

kushtëzuar me funksionimin e duhur të objektit ose pamjen e tij. Deformimet nuk duhet të

tejkalojnë kufizimet që mund të vendosen nga elemente të tjera, të tilla si: muret ndarëse,

elementet e fasadës, shërbime të ndryshme gjatë realizimit të punëve ose përfundimit të tyre,

etj.. Në disa raste kufizimi mund të jetë i nevojshëm për të siguruar funksionin e duhur të

makinave apo aparaturave të mbështetur në struktura, ose për të shmangur grumbullimin e ujit

në kulmet e rrafshëta si dhe kërkesat tjera specifike.

Funksionimi i strukturës mund të dëmtohet në rastet kur uljet e llogaritura në elementet

e konstruksionit, nga veprimet përkatëse, tejkalon vlerën e raportit hapësirë/250. Në raste

praktike mund të përdoret edhe mbi ngritja e elementit të strukturës e cila sigurohet me pahi

(Figura 3.3.1). Mbi ngritja realizohet për shkak të kompensimit të një pjese ose tërë uljeve, por

nuk duhet të kalon vlerën e kufizimit të mësipërm.

Figura 3.3.1 Mbingritja dhe deformimet përkatëse

Deformimet (uljet) pas ekzekutimit të elementeve nga betoni i armuar, mund të

shkaktojnë dëmtime në mure ndarëse, grumbullimin e ujit mbi kulmet e rrafshëta apo dëmtime

tjera të ngjashme me to. Raporti hapësirë/500 është një kufi i preferuar për kombinimin kvazi

permanent. Kufiri i plotë varet prej natyrës së elementeve të cilat mund të jenë të deformuara,

mirëpo, kufi i preferuar konsiderohet kufi i logjikshëm. Kufizimi i deformimeve i dhëna më

lartë paraqet uljet kufitare sipas EC2. Kërkesa të veçanta për kufizimin e deformimeve dhe

vlerat përkatëse të kufizimeve mund të merren nga ISO 4356.

Deformimet përfundimtareDeformimet nga kombinimetquasi-permanente

Para instalimeve dhe ndarjeveMbingritja

27

Gjendja kufitare e deformimeve në përputhje me kërkesat e EC2 mund të kontrollohet nga

ose:

Duke kufizuar raportin hapësirë / lartësi efektive ose,

Duke krahasuar një deformim të llogaritur, me një vlerë kufitare

Deformimet aktuale mund të ndryshojnë nga vlerat e vlerësuara, veçanërisht nëse vlerat e

momenteve të aplikuara janë afër momentin të plasaritjeve. Në këto raste, dallimi i tyre do të

varet nga shpërndarje e karakteristikave të materialeve, kushtet e mjedisit, historia e ngarkesës,

kufizimet e mbështetjes, kushtet e tokës, etj.

3.3.2 Rastet kur llogaritjet mund të mos behën

Në përgjithësi, nuk është e nevojshme çdo herë për të llogaritur deformimet në mënyrë

eksplicite, sepse mund të formulohen rregulla të thjeshta, për shembull siç është raportit kufitar

hapësirë/lartësi, i cili në kushte normale do të jetë i përshtatshëm për të shmangur problemet

nga ulja. Vlerësime më rigoroze janë të nevojshme për raste të cilat shtrihen jashtë këtyre

kufijve, ose kur kërkohen vlera tjera kufitare të uljeve nga ato të cilat janë të thjeshtuara për

llogaritje.

Duke patur parasysh se trarët nga betoni i armuar apo pllakat e ndërtesave janë të

dimensionuar ashtu që përputhen me kufijtë e raportit të hapësirës dhe lartësisë në kërkesat e

EC2, mund të konsiderohet se deformimet e tyre nuk tejkalon kufizimet e përcaktuara:

hapësirë/250, përkatësisht hapësirë/500. Kufizimi i raportit hapësirë/lartësi mund të vlerësohet

duke përdorur shprehje (3.3.1a) dhe (3.3.1b) dhe duke e shumëzuar këtë me faktorët korrigjues

për llojin e çelikut të përdorura dhe variablave të tjera.

= 11 + 1.5 + 3.2 − 1 ≤ (3.3.1a)

= 11 + 1.5 − + 112 > (3.3.1b)

ku:/ raporti hapësirë/ lartësi

faktor i cili marrë parasysh sistemet e ndryshme strukturore

koeficienti referent i armimit = 0.001

28

koeficient i nevojshëm i armaturës në tërheqje në mes të hapësirë për të rezistuar

momentin përkatës nga ngarkesat e projektimit (në mbështetje për mbajtës konzollë)

koeficient i nevojshëm i armaturës në shtypje në mes të hapësirë për të rezistuar

momentin përkatës nga ngarkesat e projektimit (në mbështetje për mbajtës konzollë)

rezistenca karakteristike e betonit në shtypje, është në njësi MPa

Meqenëse vlera e lejuar e raportit hapësirë/lartësi është e varur nga koeficienti i armimit

dhe nga rezistenca e betonit, konsiderohet se është e përshtatshme për t'u përdor bllok diagrami

në Figurën 3.3.2, me vlerat e rekomanduara të parametrit . Kjo qasje është e bazuar në të

njëjtat ekuacionet themelore (3.3.1) dhe kufizimet e raportit hapësirë/lartësi.

Figura 3.3.2 Bllok diagrami - Procedura për vlerësimin e deformimeve

Shprehjet (3.3.1a) dhe (3.3.1b) janë nxjerrë në EC2, me supozimin se sforcimet në çelik

nga kombinimet e veprimeve sipas gjendjes kufitare të shfrytëzimit, janë 310 MPa, (që

korrespondon afërsisht me = 500 ). Kur përdoren nivele tjera të sforcimet në çelik,

atëherë vlerat e përdorura në shprehjes (5.1) duhet të shumëzohen me 310/ . (Faktori në

Figurën 3.3.2). Normalisht, do të jetë në favor të sigurisë të supozohet që:

Përcaktohet raporti l/d

Faktori F1: vetëm për pllakën kaseton apo të brinjëzuarF1= 1 - 0.1 ((beff / bw) -1) ≥ 0.8

Faktori F2: kur hapësira e pllakës kalon vlerën > 7mF2 = 7 / leff

Faktori F3: llogaritet për sforcimet në armaturëF3 = As,prov / As,req ≤ 1.5 ose 310 / ss ≤ 1.5 (UK NA)

Rritet As,prov

ose fck

A është l/d x F1 x F2 xF3 > Aktual l/d?

PO

JO

Kontrolla përfundon

29

310 = 500,, (3.3.2)

ku:

sforcimet në tërheqje të çeliku në mes të hapësirë (në mbështetje për mbajtës konzollë)

nga veprimet projektuese SLS,, sipërfaqja e çelikut të paraparë,

, sipërfaqja e nevojshëm e çelikut për gjendjen kufitare të thyerjes.

Vlerat e dhëna në barazimin (5.27) dhe algoritmin 5.8, për raste të veçanta, duhet të

reduktohen si më poshtë:

Për prerje T, ku raporti i gjerësisë efektive të fletës horizontale dhe gjerësisë së briut

është më i madhe se 3, ( / > 3), duhet të shumëzohet me 0,8. Për,

( / = 1) shumëzohen me 1. (Faktori F1 në Figurën 3.3.2).

Për trarë dhe pllaka me hapësira më të mëdha se 7m, përveç pllakave pa trarë, që mbajnë

mure ndërse duhet të shumëzohen me 7/ . ( në metra). (Faktori F2 në Figurën

5.2).

Për pllaka pa trarë ku hapësira më e madhe kalon 8,5 m, duhet të shumëzohen me8.5/ , ku në metra. (Faktori F2 në Figurën 3.3.2).

Vlerat e rekomanduara të parametrit K janë dhënë në Tabelën 3.3.1. Këto vlera janë fituar

në EC2 për raste të zakonshme: ( 30, = 310 ), sisteme të ndryshme strukturore dhe

koeficientin e armimit = 0.5% dhe = 1.5%).

Vlerat e lejuar të raportit hapësirë/lartësi ndikohen nga koeficienti i armimit (përqindja

e armaturës në tërheqje ( , / ) dhe nga rezistenca e betonit ( ). Nga paraqitja grafike e

këtyre vlerave (Figura 3.3.3), mund të caktohet vlera e raportit hapësirë (l)/lartësi(d).

30

Tabela 3.3.1 Raporti i lejuar hapësirë/lartësi efektive për betonin e armuar

Sistemi statik K Beton me sforcime të mëdha= . % Beton me sforcim të vogla= . %Trau i thjeshtë, pllaka embështetur lirisht që punon nënjë drejtim ose dy drejtime.

1.0 14 20

Hapësira e parë ose e fundit etraut kontinual apo e pllakëskontinuale që punon në njëdrejtim ose dy drejtime mekontinuitet nga ana më e gjatë.

1.3 18 26

Hapësira e brendshme e traut osee pllakës që punon në një drejtimose dy drejtime.

1.5 20 30

Pllaka pa trarë (bazuar nëhapësirën më të gjatë)

1.2 17 24

Konzola 0.4 6 8

Figura 3.3.3 Raporti hapësirë/lartësi efektive

Për të përcaktuar sforcimet në armaturë sipas Figurës 3.3.4, në fillim caktohet raporti i

veprimeve nga gjendja kufitare e thyerjes , dhe veprimeve nga gjendja kufitare e shfrytëzimit,

, përkatësisht raporti (G / ). Më pas, për vlerën përkatëse të koeficientit reduktues të

kombinimit , lexohen sforcimet në armaturën .

12

14

16

18

22

20

24

26

28

30

32

34

36

0.40%

0.60%

0.80%

1.00%

1.20%

1.40%

1.60%

1.80%

2.00%

Përqindja e armaturës në tërheqje (As,req’d/bd)

Fck=50

Fck=45

Fck=40

Fck=35

Fck=32Fck=30

Fck=28

Fck=25

Fck=20

Rapo

rti (

l/d)

31

Figura 3.3.4 Përcaktimi i sforcimeve në armaturë

3.3.3 Kontrollimi i deformimeve me llogaritje

3.3.3.1 Efektet e plasaritjeve në reagimin forcë-zhvendosje

Për të vlerësuar efektet e plasaritjes në sjelljen e prerjes tërthore po i referohemi

diagramit forcë-zhvendosje të një elementi nga betoni i armuar treguar në Figurën 3.3.5. Për

ngarkesa më të vogla se ngarkesa e plasaritjes, elementi është i pa plasaritur dhe ka sjellje

elastike. Pjerrtësia e dejëzës forcë-zhvendosje që shpreh gjendjen elastike (OA në Figurën

3.3.5) është në proporcion me momentin e inercisë së prerjes pa plasaritje, . Me rritjen e

mëtejshme të ngarkesës, në ,vjen çasti kur në prerjen më të ngarkuar paraqiten plasaritjet e

para. Në këtë fazë, kur momenti i përkuljes arrin vlerën , edhe sforcimet në tërheqje në

fibrat e skajshme të prerjes së betonit nga përkulja arrin vlerën e rezistencës në tërheqje të

betonit, , . Veç kësaj, me paraqitjen e plasaritjeve të para nuk është një ndryshim i papritur

në ngurtësinë lokale të elementit. Në prerjet që përmban plasaritje, ngurtësia në përkulje e

elementit bie në mënyrë të konsiderueshme, por pjesa tjetër e elementit mbetët e pa plasaritur.

Me rritjen e ngarkesës, formohen më shumë plasaritje. Kështu, ngurtësia mesatare në përkulje

e të gjithë elementit reduktohet. Nëse në prerjet e plasaritura të mbajtësit nga betoni nuk merret

parasysh rezistenca në tërheqje, marrëdhënia forcë-zhvendosje do të ndjekë vijën e ndërprerë

ACD (kur ≥ ), proporcionale me momentin e inercisë së prerjes së plasaritur . Prandaj,

aplikimi i ngurtësisë e prerjes tërthore me plasaritje të plotë ( ), nënvlerëson ngurtësinë

pas plasaritje, sepse betoni në tërheqje në mes plasaritjeve të para mbart sforcime për shkak të

= 0.6, 1.35= 0.6, 1.35= 0.3, 1.35= 0.2, 1.35

180

200

220

240

260

280

300

320

1.0 2.0

Raporti Gk / Qk

= 0.6, 1.25= 0.3, 1.25= 0.2, 1.25

3.0 4.0

Sfor

cim

etnë

arm

atur

ë, s

u

32

lidhjes midis armaturës në tërheqje dhe betonit. Me rritjen e momentit, ekziston një dobësim

graduale në lidhjen çelik-beton dhe ngurtësia mesatare në përkulje e gjithë elementin

reduktohet. Por, në rast se pas plasaritjes merret parasysh rezistenca në tërheqje ,marrëdhënia forcë-zhvendosje do të ndjekë vijën e ndërprerë AE. Në të vërtetë, sjellja reale

qëndron në mes të këtyre ekstremeve dhe është paraqitur në me vijën e plotë AB. Dallimi në

mes të sjelljes aktuale dhe sjelljes ku rezistenca në tërheqje e betonit nuk merret parasysh është

efekti i rezistencës në tërheqje-ngurtësim në tërheqje (dhe siç tregohet në figurë, është e

përfaqësuar me një reduktim në zhvendosjen për ∆).

Figura 3.3.5 Marrëdhënia e forcës (momentit) kundrejt–deformimit (Gilbert 2013)

Me rritjen e ngarkesës, sa më shumë plasaritje të paraqiten reduktohen sforcimet në

tërheqje dhe, kur modeli i plasaritjeve është zhvilluar plotësisht dhe numri i plasaritjeve është

stabilizuar, sjellja aktuale bëhet afërsisht paralel me sjelljen pa sforcime në tërheqje (OD në

Figurën 3.3.5).

Lidhur me modelimin e ngurtësimit në tërheqje, një trajtim që zakonisht përdoret në

llogaritjet e deformimeve për një element të plasaritur, përfshin përcaktimin e momentit të

inercisë së prerjes tërthore efektive ( ). Është evidente se momenti i prerjes tërthore efektive

të elementit pas plasaritjes është më i vogël se momenti i inercisë së prerjes pa plasaritje ( )

dhe më i madh se momenti i inercisë së prerjes plotësisht të plasaritur ( ). Vlera e momentit

të inercisë , mund të përcaktohet sipas formulimeve të ndryshme që rekomandohen në

literaturën përkatëse, duke përfshirë ekuacionin e njohur të formuluar nga Branson (1965) që

është i përfshirë në ACI 318-08. Një version i modifikuar i këtij formulimi është specifikuar në

AS3600-2009. Një nga këto formulime është propozuar së fundmi nga Bischoff (2005) dhe

0

EPa plasaritje

Deformimi

Nga

rkes

a

A

B

C

D

Reagimi aktual

Betoni pa sforcim nëtërheqje në zonën eplasaritur

Betoni pa sfocimnë tërheqje

Ngurtësimi nëtërheqje ∆

0 Kurbatura,

Mom

enti

A

B

A’

CKundrejt

Pa plasaritje

Betoni pa sforcimnë tërheqje

Ngurtësimi në tërheqje .

( )

( )( )

33

mund të fitohet nga referimet e trajtuar në EC2 (2004) për llogaritjen e deformimeve. Këto

formulime janë paraqitur dhe shqyrtuar në nën-seksionet e mëposhtme.

3.3.3.2 Kontrollimi i deformimeve sipas AS 3600-2009 dhe ACI 318-08

3.3.3.2.1 Deformimet afat-shkurtra

Sipas AS 3600-2009, deformimi afat-shkurtër i një trau mund të llogaritet duke përdorur

vlerën mesatare të modulit të elasticitetit të betonit në kohën e ngarkimit të parë, së bashku

me momentin e inercisë së prerjes efektive . Momenti i inercisë së prerjes efektive përfshin

një formulim empirike të momentit të inercisë së një elementi të plasaritur tek vlerësimi i

ngurtësimit në tërheqje. Për një prerje tërthore të caktuar, është llogaritur duke përdorur

formulimin sipas Bransonit (1965):= + ( − )( /( ∗ )) ≤ , (3.3.3)

ku:

është momenti i inercisë së prerjes plotësisht të plasaritur,

momenti i inercisë së prerjes pa plasaritje,∗ është momenti maksimal i përkuljes në prerjen e dhënë, i bazuar në ngarkesa afat shkurta

të gjendjes kufitare të shfrytëzimit,

është momenti i plasaritjes dhënë nga barazimi (3.3.4):= , − + / + ≥ 0 (3.3.4)

ku:

është momenti statik i prerjes pa plasaritje, referuar skajeve të fibrave në të cilat ndodh

plasaritja; , është rezistenca karakteristike në tërheqje nga përkulja, e cila vlerësohet

nga shprehja: , = 0.6 ;

është forca efektive e paranderjes (nëse ka);

është jashtëqendërsia prej paranderjes e matur nga aksi qendror i prerjes;

është sipërfaqja e prerjes tërthore pa plasaritje dhe

është nderja maksimale elastike në prerjen pa plasaritje e shkartuar nga tkurrja tek fibrat

ekstreme në të cilën ndodh plasaritje.

Në mungesë të vlerësimeve më të sakta përdoret shprehja:= 2.5 − 0.81 + 50 ∗ (3.3.5)

34

ku:

është koeficienti i armimit për armaturën e tërhequr ( + )/ ;

është koeficienti i armimit për armaturën e shtypur ( / );

është sipërfaqja e armaturës së tërhequr pa paranderje,

është sipërfaqja e armaturës së paranderë në zonën e tërhequr,

është sipërfaqja e armaturës së shtypur pa paranderje,

është moduli i elasticitetit të armaturës në Mpa, dhe∗ është deformimi final projektues nga tkurrja (pas 30 viteve).

Për elemente pa paranderje vlera maksimale e të një prerje tërthore në barazimin e

më sipërm është:, = kur = / ≥ 0.005 dhe , = 0.6 kur < 0.0053.3.3.2.2 Deformimet afatgjata

Për llogaritjen e deformimit afatgjatë, në AS 3600-2009 janë specifikuar dy qasje në

këtë standard. Për trarë nga betoni i armuar apo i paranderur, deformimi nga zvarrita dhe tkurrja

mund të llogaritet të ndara (duke përdorur të dhënat e materialit sipas standardit përkatës dhe

parimet e mekanikës). Nga ana tjetër, për trarë dhe pllaka nga betoni i armuar, deformimi shtesë

afatgjatë i shkaktuar nga zvarritja dhe tkurrja përafrohet duke shumëzuar deformimin

afatshkurtër ose të menjëhershme, të shkaktuarat nga ngarkesat afatgjate, me një koeficient

dhënë nga: = [2 − 1.2( / )] ≥ 0.8 (3.3.6)

ku:

është sipërfaqja e armaturës në zonën e shtypur të prerjes së plasaritur në mes aksit

neutral dhe fibrave ekstreme të shtypura dhe raporti / merret në mes të hapësirës

së traut të thjeshtë ose në mbështetje të mbajtësi konzolë.

Për një analizë më të plotë, ACI 318-08 specifikon edhe deformimin shtesë afatgjatë të

një pike C, që rezulton nga zvarritja dhe tkurrje e elementëve në përkulje, i cili mund të caktohet

duke shumëzuar deformimet afatshkurta të shkartuar nga ngarkesat afatgjata shumëzuar me

parametrin ∆:

35

∆ = (1 + (50 )/ ) (3.3.7)

ku: / merret në mes të hapësirës për një mbajtës të thjeshtë ose të vazhdueshme dhe

në mbështetje për mbajtës konzolë, dhe

faktori varet nga kohëzgjatja e ngarkesës:= 2 për pesë vjet ose më shumë,= 1.4 për një vit,= 1.2 për gjashtë muaj, dhe= 1 për tre muaj.

Sipas vlerësimeve të mësipërme, deformimi i varur nga koha (zhvendosja e një pike( ) , llogaritet nga shprehja: ( ) = ( ∆) ,Deformimet afatshkurta në sajë të ngarkesave afatgjata ( ) janë:( ) , = ( ) , + ( / )

Deformimi final afat-gjatë paraqet shumën e deformimit për shkak të ngarkesës

maksimale të shërbimit dhe deformimit të varur në kohë për shkak të zvarritës dhe tkurrjes:( ) = ( ) , + ( )5.3.3 Formulimi i rekomanduar nga Bischoff

Një model i përshtatshëm për , i propozua së fundmi nga Bischoff (2005), është fituar

nga referimet e trajtuar në Eurocodit 2 (2004). Në rastin e deformimit afat shkurtë, të një prerje

në zonën e plasaritur të elementi, për llogaritjen e deformimeve merret momenti i inercisë së

prerjes efektive nga shprehja:= 1 − 1 − ∗ ≤ 0.6(3.3.8)

Kufiri i sipërm i vlerës së , (= 0.6 ), është për shkak se vlera e është shumë e ndjeshme

në vlerën e llogaritur të .

Termi në ekuacionin (3.3.8) është përdorur për të konsideruar tkurrjen që shkakton

plasaritje dhe reduktimin e ngurtësimit në tërheqje me kalimin e kohës. Në qoftë se tkurrje nuk

ka ndodhur para ngarkimit të parë, deformimi i menjëhershëm pas ngarkimit mund të llogaritet

me = 1. Megjithatë, në praktikë, tkurrje të konsiderueshme zakonisht ndodhin para ngarkimit

36

të parë dhe është më pak se 1.0. Kur llogariten deformimet afatshkurta ose pjesë elastike e

deformimeve është rekomanduar që = 0.7 për më pak se 28 ditë dhe= 0.5 për më shumë se 6 muaj. Për llogaritje afatgjata, kur deformimi final është për t'u

vlerësuar, duhet të përdoret = 0.5.

Deformimet afat shkurta llogariten duke supozuar një ngurtësi mesatare uniforme për

hapësirë, ( ) . Për tra të thjeshtë apo pllakë, vlera mesatare ( ) e hapësirës

përcaktohet nga vlera e në mesin e hapësirë. Për fushat e brendshme të trarëve të

vazhdueshme ose pllakave, (Ief)av duhet të marrët sa gjysma e vlerës së hapësirës së mesme plus

një e katërta e vlerës në çdo mbështetje. Për fushën e fundit të mbajtësit ose pllakës ( )marrë sa gjysma e vlerës në hapësirën e mesme plus gjysma e vlerës në mbështetësin e

vazhdueshëm. Për një mbajtës konzol, ( ) është vlera në mbështetje.

Për ngarkesa afatgjata, Eurokodi 2 specifikon se ngarkesa e plotë, duke përfshirë

zvarritjen, shkakton deformime. Këto deformime llogariten duke përdorur një modul efektive

për beton, , .

3.3.3.4 Kontrollimi i deformimeve sipas Eurocodit 2

Nëse një llogaritje e elementit strukturor nga betoni i armuar konsiderohet e nevojshme,

deformimet duhet të llogariten në rrethanat e ngarkesave të cilat janë të përshtatshme për

qëllimin e kontrollit. Metoda e pranuar e llogaritjes duhet të përfaqëson sjelljen e vërtetë të

strukturës nën veprimet përkatëse me një saktësi të përshtatshme.

Elementet që nuk pritet të jenë të ngarkuar mbi nivelin e ngarkesës që do të shkaktonte

rezistencën në tërheqje të betonit, duhet të konsiderohet të jenë pa plasaritje. Elementet të cilat

pritet të jen të plasaritura, por nuk mund të plasariten plotësisht, do të sillen në një mënyrë të

ndërmjetme mes kushteve pa plasaritje dhe të plasaritura plotësisht. Për elementet e nënshtruar

kryesisht në përkulje, p.sh. zhvendosje e plotë = (zhvendosje me plasaritje + zhvendosje pa

plasaritje) për secilin efekt të veprimit është e barabartë me:= + (1 − ) (3.3.9)

ku:

parametër i një vlere të deformimit

vlera e deformimeve për prerje pa plasaritje

vlera e deformimeve për prerje me plasaritje

37

koeficient i shpërndarjes së plasaritjeve të prognoza e gjerësisë së plasaritjeve si në

Figurën 3.3.6.

Figura 3.3.6 Koeficient i shpërndarjes së plasaritjeve të prognoza e gjerësisë së plasaritjeve

Koeficient i shpërndarjes së plasaritjeve llogaritet nga relacioni i mëposhtëm:= 1 − (3.3.10a)

ku:

koeficient i shpërndarjes

koeficient i cili merr parasysh ndikimin e kohëzgjatjes së ngarkesës ose përsëritjen e

saj. Për ngarkesa afatshkurta = 1 dhe = 0.5 për ngarkesa afatgjata të veprimit apo

cikli i përsëritjes së ngarkesave.

sforcimet në armaturën e tërhequr, e llogaritura mbi bazën e një prerje të plasaritur

sforcimet në armaturën e tërhequr për prerjen me ngarkesë gjatë të cilës vjen të paraqitja

e plasaritjeve të para.

Relacioni / , mund të zëvendësohet me / për përkulje, ose me / për

tërheqje të pastër, ku është momenti i plasaritjes dhe është force e plasaritjes. Në rastin

e përkuljes do të kemi: = 1 − (3.3.10b)

Forma e diagramit forcë- deformim dhe lidhja e tyre me koeficientin e shpërndarjes së

plasaritjeve në barazimin 3.3.10a jepet në Figurën 3.3.7.

0 (1 − )

S

plasaritje plasaritje plasaritje

Sforcimet në beton

Sforcimetnë çelik

Idealizimi isforcimevenë çelik

38

Figura 3.3.7 Diagrami forcë - deformim dhe lidhja e tyre me koeficientin e shpërndarjes së

plasaritjeve

Deformimi për shkak të ngarkesave mund të vlerësohet duke përdor rezistencën në

tërheqje të betonit dhe modulin efektiv të elasticitetit. Sforcimet në armaturën e tërhequr për

prerjen me ngarkesë gjatë së cilës vjen te paraqitja e plasaritjeve të para janë:= ∗ (3.3.11)

Ndërsa momenti i prerjes gjatë llogaritjeve të para në beton llogaritën nga shprehja:= , ∗(3.3.12)

Ku rezistenca në tërheqje e betonit , 0.3 , ( në N/mm2)

Në rast se < , atëherë prerja mbetet në gjendjen e sforcimeve e (pa plasaritje),

përkatësisht, = 0.

Për të realizuar analizën e deformimeve afatgjate, krahas kombinimeve nga veprimet

për gjendjen kufitare të shfrytëzimit (SLS), elementet e strukturës u nënshtrohen efekteve të

zvarritjes dhe efekteve të tkurrjes së betonit. Kështu, vlerësimi i zhvendosjeve dhe deformime

në elementet nga betoni i armuar mund të bëhet duke kombinuar vlerat e fituara në dy raste

ekstreme. Këto dy raste kanë të bëjnë me: gjendjen I (pa plasaritje), në të cilën nuk janë të

pranishme plasaritjet dhe gjendjen II (me plasaritje).

Efekti nga zvarritja e betonit në kurbaturën e elementit merret duke përdor modulin

efektiv të elasticitetit të betonit sipas shprehjes:

Aktual

= 1 − (nga plasaritjet e para / rezultatet me plasaritje)2

Pa plasaritje

i plasaritur

= 0.0 për prerje pa plasaritje

= 1.0 për prerje plotësisht tëPlasaritu (në teori)

Deformimet

39

, = 1 + (∞, ) (3.3.13)

ku:

moduli sekant i elasticitetit : = + 8 ; ( dhe në N/mm2)(∞, ) koeficienti i zvarritjes për ngarkesës relevante dhe interval të kohës.

Për caktimin e koeficientit të zvarritjes (∞, ), sipas EC2, për beton nën kushtet

normale mjedisore, mund të përdoret procedura e dhënë në (Figurën 3.3.8)

100

50

30

20

105

3

2

1

01.06.0 5.0 4.0 3.0 2.07.0 (∞, )

S N R

Kushtet e brendshme - RH=50%

100 300 500 700 900 1100 1300 1500ℎ ( )

C20/25C25/30

C30/37

C40/50C45/55C50/60C55/67C60/75C70/85C80/95C90/105

C35/45

Shënim:- pika e ndërprerjes midis vijave 4 dhe 5 mund te jetëgjithashtu sipër pikës 1- për t0 > 100 është mjaft e saktë të supozohet t0 =100(dhe të përdoret vija e tangjentes)

1

2

5

4

3

40

Figura 3.3.8 Llogaritja e koeficientit të zvarritjes (∞, ), për beton në kushtet normale

mjedisore

Kurbëzimi (lakueshmëria) nga veprimet për gjendjen kufitare të shfrytëzimit dhe nga

efektet e zvarritjes

Vlera e saj mund të fitohet nga shprehja:1 = 1 + (1 − ) 1(3.3.14)

ku: = 1 − (3.3.15)

Kurbëzimi për gjendjen e sforcimeve I (pa plasaritje)1 = , (3.3.16)

Kurbëzimi për gjendjen e sforcimeve II (me plasaritje)1 = − = , (3.3.17)

Barazimi (3.3.14) është ilustruar në Figurën 3.3.9. Për 0 < < 1, diagrami moment-kurbaturë,

për > është paraqit me vijën (a).

100

50

30

20

10

5

3

2

1S N R

01.06.0 5.0 4.0 3.0 2.0(∞, )Kushtet e jashtme - RH=80%

13001100100 300

500

700

900 ℎ ( )1500

C35/45

C20/25C25/30C30/37

C40/50C45/55C50/60C55/67C60/75C70/85C80/95C90/105

41

Figura 3.3.9 Diagrami moment - kurbaturë

Kurbatura nga efektet e tkurrjes së betonit vlerësohet duke përdorur shprehjen:1 = (3.3.18)

ku:

kurbatura nga tkurrja

deformimi nga tkurrja

momenti statik i sipërfaqes së armaturës ndaj aksit neutral

momenti i inercisë së prerjes

është raporti efektive : effcse EE ,/= + është deformimi i plot nga tkurrja

deformimi nga tkurrja prej tharjes

deformimi nga tkurrja autogjen

Momenti i inercisë së prerjes , dhe momenti statik i sipërfaqes , duhet të llogariten

për gjendjen pa plasaritje dhe gjendjen me plasaritje. Prandaj, kurbatura nga tkurrja e betonit

duhet të llogaritet nga përdorimi i shprehjes (3.3.9), për gjendjen e sforcimeve I (pa plasaritje)

dhe gjendjen e sforcimeve II (me plasaritje) në formën:1 = 1, + (1 − ) 1, (3.3.17)

ku:

kurbatura nga tkurrja e betonit për gjendjen e sforcimeve I

A B B’

1/r

= 1= 0

(bI)

(a)

1/rcr,I 1/rcr,II1/rcr

M/EII

M/EIII

42

1, = ( ∗ ) (3.3.20)

kurbatura nga tkurrja e betonit për gjendjen e sforcimeve II1, = ( ∗ ) (3.3.21)

Mbi bazën e shprehjeve të mësipërme, për vlerën e lakueshmërisë totale mund të

shkruajmë: 1 = 1 + 1(3.3.18)

kurbatura (lakueshmëria) nga veprimet për gjendjen kufitare të shfrytëzimit dhe

deformë-koha e betonit

kurbatura (lakueshmëria) nga tkurrja e betonit

Duke llogaritur kurbaturën totale në disa prerje përgjatë elementit, deformimet

përkatëse mund të llogaritet me integrim numerik duke përdorur rregullin e trapezit.

Rrotullimi i pakorrigjuara në ndonjë pikë mund të fitohet nga integrali i parë të dhënë nga:

= + 1 + 12 (3.3.19)

Duke llogaritur rrotullimet e mësipërme, deformimet përkatës mund të merren nga

integrali i dytë të dhënë nga: = + +2 (3.3.20)

ku:

hapësira e elementit

tregon vlerat e parametrave në pjesën e konsideruar të hapësirë,

numri i ndarjeve të hapësirës

Për elemente nga betoni i armuar me lartësi konstante mund të përdoret metoda më e

thjesht për caktimin e uljeve. Llogaritja e uljes në pozitën e momentit maksimal caktohet nga

shprehja: = ∗ 1(3.3.21)

ku:

43

koeficient që varet prej skemës statike dhe ngarkesës (Tabela 3.3.2)

hapësira statike

Concrete Centre 2005, ka hartuar një numër tabelash të cilat përdorin metodën e dhënë

më posht për të kryerjen e llogaritjeve të deformimeve te sistemeve të ndryshme të pllakave

dhe trarëve.

44

Tabela 3.3.2 Koeficienti K për llogaritjen e uljeve

Tipi i ngarkesave Diagrami i momenteve përkulëse Koeficienti K

1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0.1253 − 4( / )48(1 − ( / ))

0.06250.125 − ( / ) /6

5/48

= ∗ /15.6 0.102= 548 (1 − 0.1 )

= | + |/| |Type equation here.= 0.083(1 − /4)= | + |/| |

= ∙ 24 3 − 4180 ∙ (5 − 4 )3 − 4

= ∙ Uljet në skaje= (3 − )6Ngarkesa në skaje = 0.333

= (4 − )12nëse = , = 0.25

L

L

Fa

L

Fa

L

F a

L

q

L

q

L

q

a a

L

q

a F

L/2 L/2

F

aq

= ∙2

45

4 METODOLOGJIA

Në këtë punim të diplomes metodologjia e zbatuar në përmbushjen e objektivave të këtij

hulumtimi, në masë të konsiderueshme është e bazuar në aspektin teorik dhe atë duke u

mbështetur në literaturen më të re shkencore. Sigurisht, vlenë të theksohet se ky punim më së

shumti është i bazuar në seksionet e Eurokodit 2: Projektimi i strukturave të betonit - Pjesa 1-

1: Rregullat e përgjithëshme dhe rregullat për ndërtesat.

Bazuar në pjesën teorike dhe të dhënat e fundit shkencore si pjesë përbërëse e punimit

të diplomës janë përgatitur edhe disa shembuj numerik të cilët janë zgjidhur bazuar në shprehjet

e EC2 dhe ndjekur procedurën e një bllok diagrami të dhënë në vazhdim të këtij punimi dhe në

të njejtën kohë janë kontrolluar edhe me software BETONexpress.

46

5 PREZANTIMI DHE ANALIZA E REZULTATEVE

5.1 Kontrollimi i deformimeve me llogaritje

Të llogaritet deformimi afatgjatë i një trau me prerje tërthore drejtkëndëshe si në Figurë.

Hapësira statike e mbajtësit është 9.0 metra. Mbajtësi është projektuar të mbajnë një ngarkesë

njëtrajtësisht të shpërndarë. Për këtë mbajtës momenti i përkuljes nga kombinimi kuazi-

permanente është MQP=190 kNm. Betoni C25/30 është i punuar me agregat normal. Skelet dhe

pahit e ndërtimit janë larguar në 28 ditë.

I. Llogaritja e lakueshmërisë në prerje për gjendjen e sforcimeve I (pa plasaritje)

Lakueshmëria nga veprimet për gjendjen kufitare të shfrytëzimit (MQP=190kNm) në

prerje pa plasaritje fitohet:1 = , ∗Nga tabela 3.1 (Table 3.1 Strength and deformation characteristics for concrete - EN

1992-1-1:2004) lexohet vlera:= 31.0Për trashësi mesatare ℎ të prerjes nga barazimi (2.16) :2 = (2 ∗ [650 ∗ 300])1900 = 205Për = 28 ë dhe C25/30, nga Figura 3.1 (Figure 3.1 Method for determining the

creep coefficient φ(∞,t0) for concrete under normal enviromental conditions - EN

1992-1-1:2004) fitohet koeficienti φ(∞,t0)=2.8 dhe kështu

b=300

d=55

0

h=65

0

5Ø25

As

47

, = 1 + (∞, ), = 31(1 + 1.8) = 8.15

Prandaj, lakueshmëria në prerje pa plasaritje është:(1/ ) = 190 ∗ 108.15 ∗ 10 (300 ∗ 650 )/12 = 3.39 ∗ 10II. Llogaritja e lakueshmërisë për gjendjen e sforcimeve II (prerja me plasaritje)

A. Llogaritet pozita e aksit neutral për prerje të plasariturë

Për prerje drejtkëndëshe të plasariturë pozita e aksit neutral llogaritet nga barazimi:

∗ ∗ 2 = ( − )ku: është raporti efektive: = / ,300 ∗ 2 = 1908.15 ∗ 2450 ∗ (550 − )= 305

B. Llogaritet momenti i inercisë së prerjes me plasaritje

Për prerje drejtkëndëshe momenti i inercisë së prerje me plasaritje është:= 3 + ( − )= 300 ∗ 3053 + 1908.15 ∗ 2450 ∗ (550 − 305)= 6265 ∗ 10

s

aksi neutral

X

d

b

h

sc

zona e shtypur

zona e tërhequr

c

48

C. Llogaritjet e lakueshmërisë për gjendjen e sforcimeve II (me plasaritje )(1/ ) = , ∗ = 190 ∗ 108.15 ∗ 10 ∗ 6265 ∗ 10 = 3.72 ∗ 10III. Llogaritja e lakueshmërisë për gjendjen me plasaritje dhe pa plasaritje

Lakueshmëria nga veprimet për gjendjen kufitare të shfrytëzimit dhe nga efektet e

deformëkohës:1 = 1 + (1 − )( 1ku: Koeficient i shpërndarjes së plasaritjeve, ,llogaritet nga relacioni:

= 1 −Relacioni , për përkulje, mund të zëvendësohet me :

= 1 − = 1 −A. Llogaritet momenti

Nga Tabela 3.1 (Table 3.1 Strength and deformation characteristics for concrete - EN

1992-1-1:2004) lexohet vlera e rezistencës në tërheqje e betonit fctm , ose nga shprehja

analitike:= 0.3 ∗= 2.6

Nga barazimi (3.36 )fitohet:= ∗ ℎ6 = 2.6 ∗ 300 ∗ 6506 ∗ 10 = 54.925B. Llogaritet koeficienti i shpërndarjes së plasaritjes,= 1 − = 1 − 0.5 ∗ 54.925190 = 0.95

49

C. Llogaritet lakueshmëria për gjendjen me plasaritje dhe pa plasaritje(1/ ) = (1/ ) + (1 − )( (1/ ) == 0.95 ∗ 3.72 ∗ 10 + (1 − 0.95) ∗ 3.39 ∗ 10 == 3.70 ∗ 10IV. Llogaritja e lakueshmërisë nga tkurrja e betonit

Lakueshmëria nga efektet e tkurrjes së betonit mund të vlerësohen duke përdorur

shprehjen:1 =A. Llogaritet lakueshmërisë nga tkurrja e betonit – me plasaritje1 =ku: momenti statik i sipërfaqes për gjendjen me plasaritje= ( − ) = 2450(550 − 305) = 600 ∗ 10Deformimi total nga tkurrja caktohet, për beton C25/30, kushte të brendshme RH-50%

dhe vlera e llogaritur më lartë e (2 )/ = 195 fitohet:≈ 470 ∗ 10prandaj:1 = 470 ∗ 10 ∗ 1908.15 ∗ 664 ∗ 106265 ∗ 10 = 1.16 ∗ 10B. Llogaritet lakueshmërisë nga tkurrja e betonit – pa plasaritje1 =ku: momenti statik i sipërfaqes për gjendjen pa plasaritje:= ( − ) = 2450 ∗ 550 − = 551.25 ∗ 10prandaj:1 = 470 ∗ 10 ∗ 1908.15 ∗ 551.25 ∗ 10300 ∗ 650 /12 = 0.87 ∗ 10

50

C. Llogaritet lakueshmëria nga tkurrja e betonit për gjendjen me plasaritje dhe

pa plasaritje(1/ ) = (1/ ) + (1 − )( (1/ ) == 0.95 ∗ 3.72 ∗ 1.16 ∗ 10 + (1 − 0.95) ∗ 0.87 ∗ 10 == 0.95 ∗ 10V. Llogaritja e lakueshmërisë totale

Nga vlera e fituar në C-III, (lakueshmërisë nga veprimet për gjendjen kufitare të

shfrytëzimit dhe nga efektet e deformëkohës): 1/r =3.07 x 10-6

Nga vlera e fituar në D-III, (lakueshmërisë nga tkurrja e betonit: 1/r =0.95 x 10-6

Lakueshmëria e totale: = 4.65 ∗ 10VI. Llogaritja e uljeve

Për elementin nga betoni i armuar me lartësi konstante, ulja në pozitën e momentit maksimal

caktohet nga shprehja:= ∗ 1ku:

koeficient që varet prej skemës statike dhe ngarkesës (Tabela 3.3.2). Për traun e thjesht

me ngarkesë konstante k=5/48=0.104

hapësira statike (l=9.0m) 1/rtot =4.65 x 10-6

Kështu, vlera e llogaritur e uljes është:

=0.104 x 90002 x 4.65 x 10-6

=39.17 mm

51

5.2 Llogaritja e gjerësisë së plasaritjeve

Të llogaritet gjerësia e plasaritjeve së një trau me prerje tërthore drejtkëndëshe si në

Figurë. Hapësira statike e mbajtësit është 9,0 metra. Për këtë mbajtës momenti i përkuljes nga

kombinimi pothuajse i përhershëm (kuazi-permanente) është MQP=600kNm. Betoni është

C25/30 dhe sipërfaqja e armaturës së vendosur është 3770 mm2.

I. Llogaritja e deformimeve efektive (Diferenca në mes deformimeve në beton dhe

deformimeve në armaturë)

Deformimet efektive llogariten nga shprehja:

− = − ,, 1 + , ≥ 0.6Nga tabela 3.1 (Table 3.1 Strength and deformation characteristics for concrete - EN

1992-1-1:2004) lexohet vlera:= 31.0 /Për trashësi mesatare ℎ0 të prerjes:2 = 2(1000 ∗ 400)2800 = 285Për = 28 ë dhe C25/30, nga Figura 3.1 (Figure 3.1 Method for determining the

creep coefficient φ(∞,t0) for concrete under normal enviromental conditions - EN

1992-1-1:2004) fitohet koeficienti φ(∞,t0)=2.8 dhe kështu

, = 311 + 2.63 = 8.54 /

aksi neutral

h d

b=400

h=10

00

d=90

0

3Ø40

As

X

Fsc

Fst=As

(d-x

/3)

52

A. Llogaritet pozita e aksit neutral për prerje të plasariturë

Për prerje drejtkëndëshe të plasariturë pozita e aksit neutral llogaritet nga

barazimi:∗ ∗ 2 = ( − )ku: është raporti efektive: = ,400 ∗ 2 = 2008.54 ∗ 3770 ∗ (900 − )= 447

B. Llogariten sforcimet në tërheqje të armaturës= − 3 = 600 ∗ 10900 − 4473 ∗ 3770 = 212 /C. Llogaritet diferenca ( − )

− = − ,, 1 + , ≥ 0.6ku: ndikimi i kohëzgjatjes së ngarkesës është= 0.4 (për ngarkesa afatë shkurta)

fct,eff = fctm nga tabela 3.1 (Table 3.1 Strength and deformation characteristics

for concrete - EN 1992-1-1:2004) lexohet vlera:

2.6 N/mm2

raporti: / = = 200/31 = 6.45përqindja efektive e armimit:

Për llogaritjen e sipërfaqes efekteve të betonit në tërheqje lartësia efektive

merret nga vlera min.:ℎ , = min{2.5(ℎ − ); (ℎ − )/3; ℎ/2}, = , = 37702.5(1000 − 900) ∗ 400 = 0.0377

fitohet:

53

− = 212 − 0.4 2.60.0377 (1 + 6.45 ∗ 0.0377)200 ∗ 10 ≥ 0.6 212200 ∗ 100.0171 ≥ 0.000636D. Llogaritet hapësira maksimale ndërmjet plasaritjeve

Për ≤ 5( + ∅/2), hapësira maksimale ndërmjet plasaritjeve llogaritet

me anë të shprehjes:, = + ∅/ ,Vlerat e dhe janë 3.4 dhe 0.425, përkatësisht., = 3.4 + 0.425 ∅/ ,ku:

shtresa mbrojtëse= 1000 − 900 − 40/2 = 80koeficient që merr parasysh karakteristikat e armaturës:

për armaturë të brinjëzuar: = 0.8koeficient që merr parasysh shpërndarjen e deformimeve:

për përkulje: = 0.5∅ = 40 diametri i armaturës

Prandaj:

, = 3.4 ∗ 80 + 0.425 ∗ 0.8 ∗ 0.5 ∗ 400.0377 = 252Vlera e fituar për krahasohet me ≤ 5( + ∅/2)252 ≤ 5( + /2) = 350Plotësim:

Për > 5( + ∅/2), hapësira maksimale ndërmjet plasaritjeve llogaritet

me anë të shprehjes:, = 1.3(ℎ − )E. Llogaritet gjerësia e plasaritjes

Gjerësia e plasaritjes, , llogaritet nga shprehja:= , ( − )= 0.001 ∗ 252 = 0.252

54

= 0.0252II. Vlerësimi i rezultatit me vlerën kufitare

Kjo vlerë e fituar krahasohet me vlerën kufitare (Tabela 3.2.1),

Nga ky krahasim rezulton se gjerësia e llogaritur e plasaritjes është më e vogël se

vlera kufitare = 0.3mm

55

5.3 Kontrolli i deformimeve dhe plasaritjeve

(Rasti kur llogaritjet mund të mos bëhen)

Të vlerësohet raporti hapësirë/lartësi i një plake kontinuale me hapësira statike l=5.9m

dhe lartësi statike h=35 cm. Pllaka është nën ndikimin e ngarkesave gk=9.0 kN/m2 dhe qk=4

kN/m2. Nga këto ngarkesa, sipas gjendjes kufitare të thyerjes armatura e nevojshme është

As,req=959 mm2/m dhe d=24cm. Materiali i përdorur është C30/37 dhe S500.

I. Kontrolli i deformimeve

Kontrollohet raporti themelor∗ ∗ ∗ ≥A. Llogaritet raporti themelor l/d

Koeficienti i armimit:= ,∗ = 959 ∗ 1001000 ∗ 240= 0.40%Raporti themelor

Nga figura:

Raporti themelor= 26 ∗ 1.3 = 31.4

56

(K=1.3 për hapësirat e fundit)

B. Llogaritet faktori F1

Për prerje T, ku raporti i gjerësisë efektive të fletës horizontale dhe gjerësisë së briut

është më i madhe se 3, (beff / bw > 3), duhet të shumëzohet me 0,8. Për (b/d=1.0)

F1=1.0

C. Llogaritet faktori F2

Për trarë dhe pllaka, përveç pllakave pa trarë, që mbajnë mure ndërse duhet të

shumëzohen me 7 / leff. ( l=5.9mm)

F2=1.0

D. Llogaritet faktori F3

Nga dimensionimi sipas gjendjes kufitare të thyerjes (ULS) (vlera e dhënë në

detyrë) As,req=959 mm2

Për të kontrolluar deformimet përvetësohet:

Ø 16/20 (As,prov=1005 mm2 )= , , = 1005959 = 1.05 ≤ 1.5E. Llogaritet vlera aktuale l/d

vlera aktuale:= 5900240 = 24.5kontrollohet:∗ ∗ ∗ ≥31.4 ∗ 1.0 ∗ 1.0 ∗ 1.05 ≥ 24.533.0 ≥ 24.5 (plotëson kushtin)

57

II. Kontrolli i plasaritjeve

A. Llogariten sforcimet në armaturë

Për të përcaktuar sforcimet në armaturë, në fillim caktohet raporti i veprimeve nga

gjendja kufitare e thyerjes, Gk, dhe veprimeve nga gjendja kufitare e shfrytëzimit, Qk,

përkatësisht raporti (Gk/Qk). Më pas, për vlerën përkatëse të koeficientit reduktues të

kombinimit 2, lexohen sforcimet në armaturën.

Raporti (Gk/Qk)= 8.5/4=2.13

Për hapësira të kategorisë B –Sipërfaqe për zyre (2=0.3)

Nga grafiku: σsu=253 Mpa

Kështu:= ∗ ,∗ ,= 252 ∗ 9591 ∗ 1005 = 240B. Kontrollohet gjerësia e plasaritjeve:

Për sforcimet në armaturë σs =240MPa dhe armaturën e përdorur Ø16/20, nga

tabela 3.5 dhe tabela 3.6, përkatësisht Figura 3.1 dhe Figura 3.2, rezulton se:

Projektimi i plotëson dy kriteret.

58

5.4 Prerje drejtkëndëshe (BETONExpress)

1. Beam_650x300

One span beam in composite loading(EC2 EN1992-1-1:2004, EC0 EN1990:2002, )

Reinforced concrete design

Concrete-Steel class: C25/30-B500C (EC2 §3)Environmental class : XC1 (EC2 §4.4.1)Concrete cover : Cnom=20 mm (EC2 §4.4.1)Concrete weight : 25.0 kN/m³γc=1.50, γs=1.15 (EC2 Table 2.1N)fcd=αcc·fck/γc=1.00x25/1.50=16.67 MPa (EC2 §3.1.6)fctd=αct·fctk0.05/γc=1.00x1.8/1.50=1.20 MPa (EC2 §3.1.6)

fyd=fyk/γs=500/1.15=435 MPa (EC2 §3.2.7)Modulus of elasticity of concrete Ecm=31.0GPa

Fcd

F sdS 1

C 2

A s2

A s1

h

b

d

d

d

n o mC

V

NM E d

E d

E d

2. Dimensions and loads

Beam : (rectangular section), span L=9.000 mL=9.000m, bw=0.300m, h=0.650mPartial safety factors for actions : γG=1.35, γQ=1.50 (EC0 Annex A1)Combination of variable actions : ψ0=0.70, ψ1=0.60, ψ2=0.30Effective depth of cross section d=h-d1, d1=Cnom+s+0.5=20+8+0.5x25=41mm

Beam loadsbeam self weight go= 4.88kN/muniform load g1= 4.50kN/m q1= 4.00kN/mtriangular load g2= 0.00kN/m q2= 0.00kN/mtriangular load g3= 0.00kN/m q3= 0.00kN/mtriangular load g4= 0.00kN/m q4= 0.00kN/mconcentrated load G1= 0.00kN Q1= 0.00kN x1= 0.000mconcentrated load G2= 0.00kN Q2= 0.00kN x2= 0.000m

g 1 , q 1 k N / m

g 3 , q 3 k N / m

g 4 , q 4 k N / m

g 2 , q 2 k N / m

G 1 , Q 1 k N

G 2 , Q 2 k N

Cross section values (area A, moment of inertia Iyy, centroid zc)Span-1 L= 9.000m, A=0.19500m²(1.95E+005mm²), Iyy=0.00687m4(6.87E+009mm4), zc=0.000m(0mm)

3. Ultimate limit state (ULS) (EC2 EN1992-1-1:2004, §6.1)

Load (STR) qed=γG·g+γQ·q=1.35g+1.50q

software by RUNET (c)EUROCODEexpress+EC

59

4. Design actions, shearing forces and bending moments, Ultimate limit state (ULS)

Bending moments and shears, load combination 1.35g+1.50q

x/L=0.00, x= 0.00m, Med= 0.00 kNm, Ved= 83.95 kNx/L=0.10, x= 0.90m, Med= 68.00 kNm, Ved= 67.16 kNx/L=0.20, x= 1.80m, Med= 120.89 kNm, Ved= 50.37 kNx/L=0.30, x= 2.70m, Med= 158.67 kNm, Ved= 33.58 kN

x/L=0.40, x= 3.60m, Med= 181.34 kNm, Ved= 16.79 kNx/L=0.50, x= 4.50m, Med= 188.89 kNm, Ved= 0.00 kNx/L=0.60, x= 5.40m, Med= 181.34 kNm, Ved= -16.79 kNx/L=0.70, x= 6.30m, Med= 158.67 kNm, Ved= -33.58 kNx/L=0.80, x= 7.20m, Med= 120.89 kNm, Ved= -50.37 kNx/L=0.90, x= 8.10m, Med= 68.00 kNm, Ved= -67.16 kNx/L=1.00, x= 9.00m, Med= 0.00 kNm, Ved= -83.95 kN

Med

Ved

VedA= 83.95 kN, VedB= 83.95 kN, maxMed= 188.89 kNm, maxVed= 83.95 kNMaximum span moment Med=188.89 kNm (x=4.500m)Maximum shear forces at distance d from support faceSpan-A, b/2+d=0.709m, VedA= 70.52kN, VedB= 70.52kNSpan-A, b/2 =0.100m, VedA= 82.27kN, VedB= 82.27kN

5. Span Ultimate limit state (ULS), design for bending (EC2 EN1992-1-1:2004, §6.1, §9.2.1)

Effective depth of cross section d1=Cnom+s+0.5=20+8+0.5x25=41mm, d2=41mm, d=650-41=609mmReinforcement for bending (only tension reinforcement is needed)Med=188.89kNm bw=300mm d=609mm Kd=0.768 x/d=0.13 εc2/εs1=-3.5/22.8 ks=2433, As1= 754mm²Minimum longitudinal tension reinf., As>=0.26bd·fctm/fyk, (As,min= 247mm²) (EC2 §9.2.1.1.1)Maximum tension or compression reinf., As<=0.04Ac , (As,max=7800mm²) (EC2 §9.2.1.1.3)Reinforcement for bending: (2455mm²) (bottom), ( 628mm²) (top)

6. Ultimate limit state (ULS), Design for shear (EC2 EN1992-1-1:2004, §6.2, §9.2.2)

Shear capacity without shear reinforcement Vrdc (EC2 §6.2.2)Vrdc=[Crdc·k·(100ρ1·fck)0.33+k1·σcp]·bw·d (EC2 Eq.6.2.a)Vrdc>=(vmin+k1·σcp)·bw·d (EC2 Eq.6.2.b)Crdc=0.18/γc=0.18/1.50=0.120, fck=25MPa ,bw=300mm, d=609mmk=1+(200/d)<=2, k=1.57, k1=0.15ρ1=As1/(bw·d)=2455/(300x609)=0.0134vmin=0.0350·k1.50·fck = 0.34N/mm², (EC2 Eq.6.3N)Vrd,c(min)=0.001x(0.34)x300x609=62.17kNVrdc=0.001x[0.120x1.57x(1.34x25)0.33]x300x609=111.05kNVed=70.52 kN <= Vrdc=111.05 kN, Ved<=Vrdc shear reinforcement is not needed

Concrete strut capacity Vrdmax (EC2 §6.2.3 Eq.6.9)Vrdmax=αcw·bw·z·ν1·fcd/(cotθ+tanθ), Ved/max(Vrdmax)=0.11, θ=21.8° cotθ=2.50 tanθ=0.40αcw=1.00 z=0.9d, fck=25.0<=60Mpa ν1=0.6[1-fck/250]=0.6[1-25/250]=0.540, fcd=16.67MpaVrdmax=0.001x1.00x300x0.9x609x0.540x16.67/2.90=510.8 kN

Minimum links for shear reinforcement (EC2 §9.2.2)Minimum shear reinforcement ratio ρw,min (EC2 Eq.9.5N)ρw,min=(0.08x(fck)0.5/fyk, fck=25N/mm², fyk=500N/mm², ρw,min=0.0008min Asw/s=1000x0.0008x300xsin(90°)= 240mm²/m

software by RUNET (c)EUROCODEexpress+EC

60

Maximum longitudinal spacing of links slmax=0.75d (<=600mm)=455mm (EC2 §9.2.2.6, Eq.9.6N)Maximum transverse spacing of link legs stmax=0.75d (<=600mm)=455mm (§9.2.2.8, Eq.9.8N)

Minimum shear reinforcement (Asw/s= 242mm²/m)

Span Shear reinforcement: (Asw/s= 242mm²/m)

7. Design actions, shearing forces and bending moments, Serviceability limit state (SLS)

Bending moments and shears, load combination 1.00g+0.30q

x/L=0.00, x= 0.00m, Med= 0.00 kNm, Ved= 47.59 kNx/L=0.10, x= 0.90m, Med= 38.55 kNm, Ved= 38.07 kNx/L=0.20, x= 1.80m, Med= 68.53 kNm, Ved= 28.55 kNx/L=0.30, x= 2.70m, Med= 89.94 kNm, Ved= 19.03 kN

x/L=0.40, x= 3.60m, Med= 102.79 kNm, Ved= 9.52 kNx/L=0.50, x= 4.50m, Med= 107.07 kNm, Ved= 0.00 kNx/L=0.60, x= 5.40m, Med= 102.79 kNm, Ved= -9.52 kNx/L=0.70, x= 6.30m, Med= 89.94 kNm, Ved= -19.03 kNx/L=0.80, x= 7.20m, Med= 68.53 kNm, Ved= -28.55 kNx/L=0.90, x= 8.10m, Med= 38.55 kNm, Ved= -38.07 kNx/L=1.00, x= 9.00m, Med= 0.00 kNm, Ved= -47.59 kN

Maximum span moment Med=107.07 kNm (x=4.500m)

8. Serviceability limit state (SLS) (EC2 EN1992-1-1:2004, §7)

L=9.000m, b=0.300m, h=0.650m, d=0.609mLeff=9.000m, , Med(SLS)=107.07 kNmFinal creep coefficient φ(,tο)=2.50 (EC2 §3.1.4, Annex B)Total shrinkage strain εcs=-0.30‰γc=1.00, γs=1.00 (EC2 §2.4.2.4.2)Modulus of elasticity of concrete Ecm=31.0GPa, Eceff=31.0/(1+2.50)=8.86GPa=8860MPa (EC2 Eq.7.20)

Modulus of elasticity of steel Es=200GPa=200000MPaModular ratio Es/Ec=200/31.0=6.45, effective Es/Ec,eff=200/8.86=22.57Tension reinforcement: (2455mm²), Compression reinforcement: ( 628mm²)Reinforcement ratio ρ=Αs1/(b·d)=2455/(300x609)=0.013, ρ'=Αs2/(b·d)=628/(300x609)=0.003

8.1. State I (uncracked section) (SLS)Bending stiffness of uncracked section, EI=(200/22.57)x(0.001x12.148)=107645 kNm²Ai=Ac+(n-1)(As1+As2), e=(n-1)(As1·y1s-As2·y2s)/Ai, I=Ic+b·h·e²+(As1·y1s²+As2·y2s²)(n-1)S=As.y2s=(0.001)²x2455x0.244=(0.001)x0.598 m³ , y2=284mm, y2s=y2-d2=284-40=244mm (EC2 Eq.7.21)Curvature due to moment 1/rM=107.07/107645=(0.001)x0.995 (1/m)Curvature due to shrinkage 1/rcs=(0.001x0.30)x22.57x(0.598/12.148)=(0.001)x0.334(1/m)Total curvature 1/r=(0.001)x0.995+(0.001)x0.334=(0.001)x1.328(1/m)Cracking moment, Mcr=fctm·(I/y2)=2.6x(12.148/0.284)=111.12 kNm

8.2. State II (fully cracked section) (SLS)ρ=0.013, ρ'=0.003, ρ'/ρ=0.231, n=αe=22.57, n·ρ=0.293, ξ=0.429, α=0.494, x=α·d=0.301mBending stiffness of fully cracked section, EI=ξ·Es·As·d²=0.429x200x2455x0.609²=78217 kNm²y2=(1-α)d=309mm, εs=y2·M/EI=(0.001)x309x107.07/78217=0.42S=As.y2=(0.001)²x2455x0.309=(0.001)x0.758 m³ (EC2 Eq.7.21)Curvature due to moment 1/rM=107.07/78217=(0.001)x1.369 (1/m)Curvature due to shrinkage 1/rcs=(0.001x0.30)x22.57x(0.758/8.828)=(0.001)x0.422(1/m)Total curvature 1/r=(0.001)x1.369+(0.001)x0.422=(0.001)x1.791(1/m)

Med=107.07 kNm, εc/εs=0.41/0.42, x=301mm, σs=84 N/mm²

software by RUNET (c)EUROCODEexpress+EC

61

8.3. Checking deflections without calculation (SLS) (EC2 EN1992-1-1:2004, §7.4.2)

l/d=K[11+1.5fck(ρo/(ρ-ρ'))+(1/12)fck(ρ'/ρo)]=15.07 (EC2 Eq.7.16b)fck=25.00N/mm², ρο=0.001x25.00=0.005, ρ=0.013, ρ'=0.003, ρ>ρo, K=1.0l/d=(310/σs)x(l/d), σs=84 N/mm², l/d=(310/84)x15.07=55.31 (EC2 Eq.7.17)leff/d=9.000/0.609=14.77 <= 55.31, Span/depth under limits

8.4. Checking deflections by calculation (SLS) (EN1992-1-1, §7.4.3)ζ=1-0.50·(Mcr/Med)²=1-0.50x(111.12/107.07)²=0.46 (Eq.7.19)Final curvature (1/r)=0.46x(0.001x1.791)+(1-0.46)x(0.001x1.328)=(0.001)x1.542(1/m) (Eq.7.18)β=(Ma+Mb)/Mc=(0.00+0.00)/107.07=0.00, k=0.104(1-0.00/10)=0.1040f=k·Leff²·(1/r)=0.1040x9.000²x1.542=12.99 mmf=12.99mm <= 1000x9.000/250=36.00mm, Deflection under limits

8.5. Minimum reinforcement areas (SLS) (EC2 EN1992-1-1:2004, §7.3.2)

Minimum reinforcement areas As,min=kc·k·fct,eff·Act/σs (EC2 Eq.7.1)b=0.300m, beff=0.300m, h=0.650m, d=0.609m, x=0.301m, =25mmNed=0.00kN, σc=(Ned/bh)=0.0N/mm², σs=fyd=435N/mm²Act=(h-x)·b=(650-301)x300=104721 mm²max(h,b1)=1mm, fctm=2.60N/mm², Act=104721mm², k=0.75, kc=0.40, k1=1.50Minimum reinforcement, As,min=0.40x0.75x2.60x104721/435=189mm²

8.6. Calculation of crack width (SLS) (EC2 EN1992-1-1:2004, §7.3.3)

wk=sr,max·(εsm-εcm) (EC2 Eq.7.8)εsm-εcm=[σs-kt·(fct,eff/ρeff)(1+αe·ρeff)]/Es >=0.6 σs/Es (EC2 Eq.7.9)σs=84N/mm², short term loading:Es/Ec=6.45, kt=0.6, long term loading:Es/Ec=22.57, kt=0.4Aceff=2.5(h-d)b=2.5x(650-609)x300=30375 mm² (§7.3.2.3)ρeff=As/Ac,eff=2455/30375=0.081εsm-εcm=[84-0.4x(2.6/0.081)(1+22.57x0.081)]/200=0.24‰ >= 0.6x84/200=0.25‰sr,max=k3·(Cnom+s)+k1·k2·k4·/ρeff (EC2 Eq.7.11)

=25mm, k1=0.8, k2=(e1+e2)/2e1=0.5, k3=3.4, k4=0.425sr,max=3.4x28.00+0.8x0.5x0.425x25/0.081=147.78 mmwk=sr,max·(εsm-εcm)=147.78x0.001x0.25=0.04 mmwk=0.04mm<=0.40mm=wmax, Environmental class: XC1, Crack width under limit

9. Reinforcing bar schedule

Num type reinforcing bar [mm] items g/m

[kg/m]

length

[m]

weight

[kg]

430 9160 430 1 (Span-1) 10 5 25 3.850 10.020 192.899160

2 (Span-1) 8 2 20 2.470 9.160 45.25

80250

58025058080

3 (Span-1) 9 22 8 0.395 1.820 15.82

Total weight [kg] 253.96

software by RUNET (c)EUROCODEexpress+EC

62

5.5 Prerje T në fushë (BETONExpress)

1. EC2-BEAM-003

Design of beam section for bending(EC2 EN1992-1-1:2004, EC0 EN1990:2002, )

bxh=0.250x0.500 m, Med=100.00 kNm,beff=1.250 m, hf=0.180 m

Ved= 0.00 kN, Ned= 0.00 kNReinforced concrete design

Concrete-Steel class: C25/30-B500C (EC2 §3)Environmental class : XC1 (EC2 §4.4.1)Concrete cover : Cnom=20 mm (EC2 §4.4.1)γc=1.50, γs=1.15 (EC2 Table 2.1N)fcd=αcc·fck/γc=1.00x25/1.50=16.67 MPa (EC2 §3.1.6)

fctd=αct·fctk0.05/γc=1.00x1.8/1.50=1.20 MPa (EC2 §3.1.6)fyd=fyk/γs=500/1.15=435 MPa (EC2 §3.2.7)Modulus of elasticity of concrete Ecm=31.0GPa

Fcd

FsdS1

C2

V

N

As2

M sd

As1

sd

sd

d

d

dh

b

fh

nomCbw

2. Dimensions and loads

Beam web width bw=0.250 m, beam height h=0.500 mEffective flange width beff=1.250 m, slab thickness hf=0.180 mEffective depth of cross section d1=Cnom+s+0.5=20+8+0.5x16=36mm, d2=36mm, d=500-36=464mm

Ultimate limit state (ULS)Bending moment Med=100.00kNm, Shear Ved=0.00kN, Axial force Ned=0.00kN (compression)

Serviceability limit state (SLS)Bending moment Med=70.00kNm, Shear Ved=0.00kN, Axial force Ned=7.00kN (tension)

3. Ultimate limit state (ULS), design for bending (EC2 EN1992-1-1:2004, §6.1, §9.2.1)

Effective depth of cross section d1=Cnom+s+0.5=20+8+0.5x16=36mm, d=500-36=464mmReinforcement for bending (only tension reinforcement is needed)Dimensioning for bending: Allgower,G.-Avak,R. Bemessungstafeln nach Eurocode 2fur Rechteck und Plattenbalkenquerschnitte, In: Beton - und Stahlbetonbau 87 (1992)Med=100.00kNm beff=1250mm d=464mm Kd=1.640 x/d=0.05 εc2/εs1=-1.1/20.0 ks=2341, As1= 505mm²x=0.05x464=23<hf=180mm neutral axis within the depth of top flange

Minimum longitudinal tension reinf., As>=0.26bd·fctm/fyk, (As,min= 157mm²) (EC2 §9.2.1.1.1)Maximum tension or compression reinf., As<=0.04Ac , (As,max=5000mm²) (EC2 §9.2.1.1.3)

Reinforcement for bending: ( 534mm²) (bottom)

3.1. Ultimate moment capacity of cross section (EC2 EN1992-1-1:2004, §6.1)

bw=250mm, h=500mm, bf=1250mm, hf=180mm, d=464mm, As1=534mm², As2=0mm²εc2=-1.11‰, εs1=19.77‰, As1/b·d=0.00092(0.092%)x/d=εc2/(εc2+εs1)=1.11/(1.11+19.77)=0.053, x=24.7mmar=0.452, ka=0.352, Fc=ar·b·x·fcd=Fs1=232.49kN, As1=Fs1/fyd=534mm²z=d-ka·x=([1-ka·εc2/(εc2+εs1)]d, z/d=1.0-0.352x0.053=0.981, z=455.3mm,Kd²=1/(0.452·0.053·0.981·16.67)=2.542 mm²/N, Kd=1.594

Bending capacity Mr=b·d²/Kd²=[10-6]x1250x464²/2.542=106.00kNmx=24.7 mm<= Hf= 180mm neutral axis in flangeBending capacity (εc2/εs1=1.11/19.77) Mr =106.00kNm

software by RUNET (c)EUROCODEexpress+EC

63

4. Shear between web and flanges (EC2 EN1992-1-1:2004, §6.2.4)

Fc=Fs=0.001x534x435=232 kNΔFd=Fc·(beff-bw)/(2beff)=232.0x(1250-250)/(2x1250)=93kNBeam span L=6.00 m, Δx=1.00x6.00/4=1.50 m (EC2 §5.3.2.1)Vrdmax=ν·hf·fcd·sinθ·cosθ, fcd=16.67Mpa, θ=26.5°ν=0.6(1-fck/250)=0.54 (EC2 Eq.6.6N)Vrdmax=0.54x180x16.67xsin26.5°xcos26.5°=647kN/m (EC2 Eq.6.22)

ΔFd/Δx=93/1.50=62<=Vrdmax=647 kN/m, the check is verifiedTransverse reinforcement per unit length Asf/sf (EC2 Eq.6.21)Asf/sf=1000x62/(435xcot26.5°)= 71mm²/mMinimum reinforcement:Asmin=ρwmin·hc·b (EC2 §9.2.2.5)ρwmin=0.08fck/fyk=0.0825/500=0.0008Asmin=ρwmin·hc·b= 0.0008x180x1000= 144mm²/mTransverse reinforcement Asf/sf= ( 186mm²/m)

ΔFd/Δx=62<=0.40·hf·Fctd=0.40x180x1.20=86 kN/m (EC2 §6.2.4.5)In case of transverse flexural reinforcement from plate bending,No extra reinforcement is needed (EC2 §6.2.4.6)

5. Serviceability limit state (SLS) (EC2 EN1992-1-1:2004, §7)

Med(SLS)=70.00 kNm, Ned(SLS)=7.00 kNFinal creep coefficient φ(,tο)=2.50 (EC2 §3.1.4, Annex B)Total shrinkage strain εcs=-0.30‰γc=1.00, γs=1.00 (EC2 §2.4.2.4.2)Modulus of elasticity of concrete Ecm=31.0GPa, Eceff=31.0/(1+2.50)=8.86GPa=8860MPa (EC2 Eq.7.20)Modulus of elasticity of steel Es=200GPa=200000MPa

Modular ratio Es/Ec=200/31.0=6.45, effective Es/Ec,eff=200/8.86=22.57Tension reinforcement: ( 534mm²)Reinforcement ratio ρ=Αs1/(b·d)=534/(1250x464)=0.001

5.1. State I (uncracked section) (SLS)Bending stiffness of uncracked section, EI=(200/22.57)x(0.001x5.582)=49466 kNm²Ai=Ac+(n-1)(As1+As2), e=(n-1)(As1·y1s-As2·y2s)/Ai, I=Ic+b·h·e²+(As1·y1s²+As2·y2s²)(n-1)S=As.y2s=(0.001)²x534x0.284=(0.001)x0.152 m³ , y2=320mm, y2s=y2-d2=320-36=284mm (EC2 Eq.7.21)Curvature due to moment 1/rM=70.00/49466=(0.001)x1.415 (1/m)Curvature due to shrinkage 1/rcs=(0.001x0.30)x22.57x(0.152/5.582)=(0.001)x0.184(1/m)Total curvature 1/r=(0.001)x1.415+(0.001)x0.184=(0.001)x1.599(1/m)Cracking moment, Mcr=fctm·(I/y2)=2.6x(5.582/0.320)=45.29 kNm

5.2. State II (fully cracked section) (SLS)ρ=As/(b·d)=0.001, n=αe=22.57, n·ρ=0.023, ξ=0.757, α=0.191, x=α·d=0.089mBending stiffness of fully cracked section, EI=ξ·Es·As·d²=0.757x200x534x0.464²=17415 kNm²y2=(1-α)d=375mm, εs=y2·M/EI=(0.001)x375x70.00/17415=1.51S=As.y2=(0.001)²x534x0.375=(0.001)x0.200 m³ (EC2 Eq.7.21)Curvature due to moment 1/rM=70.00/17415=(0.001)x4.020 (1/m)Curvature due to shrinkage 1/rcs=(0.001x0.30)x22.57x(0.200/1.966)=(0.001)x0.243(1/m)Total curvature 1/r=(0.001)x4.020+(0.001)x0.243=(0.001)x4.263(1/m)

Med=70.00 kNm,, Ned=7.00kN, εc/εs=0.35/1.51, x=87mm, σs=303 N/mm²

5.3. Checking deflections by calculation (SLS) (EN1992-1-1, §7.4.3)ζ=1-0.50·(Mcr/Med)²=1-0.50x(45.29/70.00)²=0.79 (Eq.7.19)Final curvature (1/r)=0.79x(0.001x4.263)+(1-0.79)x(0.001x1.599)=(0.001)x3.705(1/m) (Eq.7.18)

software by RUNET (c)EUROCODEexpress+EC

64

5.4. Minimum reinforcement areas (SLS) (EC2 EN1992-1-1:2004, §7.3.2)

Minimum reinforcement areas As,min=kc·k·fct,eff·Act/σs (EC2 Eq.7.1)b=0.250m, beff=1.250m, h=0.500m, d=0.464m, x=0.087m, =14mmNed=7.00kN, σc=(Ned/bh)=-0.1N/mm², σs=fyd=435N/mm²Act=(h-x)·b=(500-87)x250=103227 mm²max(h,b1)=1mm, fctm=2.60N/mm², Act=103227mm², k=0.86, kc=0.41, k1=1.50Minimum reinforcement, As,min=0.41x0.86x2.60x103227/435=218mm²

5.5. Calculation of crack width (SLS) (EC2 EN1992-1-1:2004, §7.3.3)

wk=sr,max·(εsm-εcm) (EC2 Eq.7.8)εsm-εcm=[σs-kt·(fct,eff/ρeff)(1+αe·ρeff)]/Es >=0.6 σs/Es (EC2 Eq.7.9)σs=303N/mm², short term loading:Es/Ec=6.45, kt=0.6, long term loading:Es/Ec=22.57, kt=0.4Aceff=2.5(h-d)b=2.5x(500-464)x250=22500 mm² (§7.3.2.3)ρeff=As/Ac,eff=534/22500=0.024εsm-εcm=[303-0.4x(2.6/0.024)(1+22.57x0.024)]/200=1.18‰ >= 0.6x303/200=0.91‰sr,max=k3·(Cnom+s)+k1·k2·k4·/ρeff (EC2 Eq.7.11)

=13mm, k1=0.8, k2=(e1+e2)/2e1=0.5, k3=3.4, k4=0.425sr,max=3.4x28.00+0.8x0.5x0.425x13/0.024=188.32 mmwk=sr,max·(εsm-εcm)=188.32x0.001x1.18=0.22 mmwk=0.22mm<=0.40mm=wmax, Environmental class: XC1, Crack width under limit

software by RUNET (c)EUROCODEexpress+EC

65

5.6 Prerje T mbi mbështetës (BETONExpress)

1. EC2-BEAM-004

Design of beam section for bending, and shear(EC2 EN1992-1-1:2004, EC0 EN1990:2002, )

bxh=0.250x0.500 m, Med=100.00 kNm,beff=1.250 m, hf=0.180 m

Ved= 30.00 kN, Ned= 0.00 kNReinforced concrete design

Concrete-Steel class: C25/30-B500C (EC2 §3)Environmental class : XC1 (EC2 §4.4.1)Concrete cover : Cnom=20 mm (EC2 §4.4.1)γc=1.50, γs=1.15 (EC2 Table 2.1N)fcd=αcc·fck/γc=1.00x25/1.50=16.67 MPa (EC2 §3.1.6)

fctd=αct·fctk0.05/γc=1.00x1.8/1.50=1.20 MPa (EC2 §3.1.6)fyd=fyk/γs=500/1.15=435 MPa (EC2 §3.2.7)Modulus of elasticity of concrete Ecm=31.0GPa

Fcd

FsdS1

C2

V

N

As2

M sd

As1

sd

sd

d

d

dh

b

fh

nomCbw

2. Dimensions and loads

Beam web width bw=0.250 m, beam height h=0.500 mEffective flange width beff=1.250 m, slab thickness hf=0.180 mEffective depth of cross section d1=Cnom+s+0.5=20+8+0.5x16=36mm, d2=36mm, d=500-36=464mm

Ultimate limit state (ULS)Bending moment Med=100.00kNm, Shear Ved=30.00kN, Axial force Ned=0.00kN (compression)

Serviceability limit state (SLS)Bending moment Med=70.00kNm, Shear Ved=30.00kN, Axial force Ned=0.00kN (compression)

3. Ultimate limit state (ULS), design for bending (EC2 EN1992-1-1:2004, §6.1, §9.2.1)

Effective depth of cross section d1=Cnom+s+0.5=20+8+0.5x16=36mm, d=500-36=464mmReinforcement for bending (only tension reinforcement is needed)Dimensioning for bending: Allgower,G.-Avak,R. Bemessungstafeln nach Eurocode 2fur Rechteck und Plattenbalkenquerschnitte, In: Beton - und Stahlbetonbau 87 (1992)Med=100.00kNm beff=1250mm d=464mm Kd=1.640 x/d=0.05 εc2/εs1=-1.1/20.0 ks=2341, As1= 505mm²x=0.05x464=23<hf=180mm neutral axis within the depth of top flange

Minimum longitudinal tension reinf., As>=0.26bd·fctm/fyk, (As,min= 157mm²) (EC2 §9.2.1.1.1)Maximum tension or compression reinf., As<=0.04Ac , (As,max=5000mm²) (EC2 §9.2.1.1.3)

Reinforcement for bending: ( 534mm²) (bottom)

3.1. Ultimate moment capacity of cross section (EC2 EN1992-1-1:2004, §6.1)

bw=250mm, h=500mm, bf=1250mm, hf=180mm, d=464mm, As1=534mm², As2=0mm²εc2=-1.11‰, εs1=19.77‰, As1/b·d=0.00092(0.092%)x/d=εc2/(εc2+εs1)=1.11/(1.11+19.77)=0.053, x=24.7mmar=0.452, ka=0.352, Fc=ar·b·x·fcd=Fs1=232.49kN, As1=Fs1/fyd=534mm²z=d-ka·x=([1-ka·εc2/(εc2+εs1)]d, z/d=1.0-0.352x0.053=0.981, z=455.3mm,Kd²=1/(0.452·0.053·0.981·16.67)=2.542 mm²/N, Kd=1.594

Bending capacity Mr=b·d²/Kd²=[10-6]x1250x464²/2.542=106.00kNmx=24.7 mm<= Hf= 180mm neutral axis in flangeBending capacity (εc2/εs1=1.11/19.77) Mr =106.00kNm

software by RUNET (c)EUROCODEexpress+EC

66

4. Ultimate limit state (ULS), Design for shear (EC2 EN1992-1-1:2004, §6.2, §9.2.2)

Shear capacity without shear reinforcement Vrdc (EC2 §6.2.2)Vrdc=[Crdc·k·(100ρ1·fck)0.33+k1·σcp]·bw·d (EC2 Eq.6.2.a)Vrdc>=(vmin+k1·σcp)·bw·d (EC2 Eq.6.2.b)Crdc=0.18/γc=0.18/1.50=0.120, fck=25MPa ,bw=250mm, d=464mmk=1+(200/d)<=2, k=1.66, k1=0.15ρ1=As1/(bw·d)=534/(250x464)=0.0046vmin=0.0350·k1.50·fck = 0.37N/mm², (EC2 Eq.6.3N)Vrd,c(min)=0.001x(0.37)x250x464=42.92kNVrdc=0.001x[0.120x1.66x(0.46x25)0.33]x250x464=52.16kNVed=30.00 kN <= Vrdc=52.16 kN, Ved<=Vrdc shear reinforcement is not needed

Concrete strut capacity Vrdmax (EC2 §6.2.3 Eq.6.9)Vrdmax=αcw·bw·z·ν1·fcd/(cotθ+tanθ), Ved/max(Vrdmax)=0.06, θ=21.8° cotθ=2.50 tanθ=0.40αcw=1.00 z=0.9d, fck=25.0<=60Mpa ν1=0.6[1-fck/250]=0.6[1-25/250]=0.540, fcd=16.67MpaVrdmax=0.001x1.00x250x0.9x464x0.540x16.67/2.90=324.1 kN

Minimum links for shear reinforcement (EC2 §9.2.2)Minimum shear reinforcement ratio ρw,min (EC2 Eq.9.5N)ρw,min=(0.08x(fck)0.5/fyk, fck=25N/mm², fyk=500N/mm², ρw,min=0.0008min Asw/s=1000x0.0008x250xsin(90°)= 200mm²/m

Maximum longitudinal spacing of links slmax=0.75d (<=600mm)=345mm (EC2 §9.2.2.6, Eq.9.6N)Maximum transverse spacing of link legs stmax=0.75d (<=600mm)=345mm (§9.2.2.8, Eq.9.8N)

Minimum shear reinforcement (Asw/s= 292mm²/m)

Shear reinforcement: (Asw/s= 292mm²/m)

5. Shear between web and flanges (EC2 EN1992-1-1:2004, §6.2.4)

Fc=Fs=0.001x534x435=232 kNΔFd=Fc·(beff-bw)/(2beff)=232.0x(1250-250)/(2x1250)=93kNBeam span L=6.00 m, Δx=1.00x6.00/4=1.50 m (EC2 §5.3.2.1)Vrdmax=ν·hf·fcd·sinθ·cosθ, fcd=16.67Mpa, θ=26.5°ν=0.6(1-fck/250)=0.54 (EC2 Eq.6.6N)Vrdmax=0.54x180x16.67xsin26.5°xcos26.5°=647kN/m (EC2 Eq.6.22)

ΔFd/Δx=93/1.50=62<=Vrdmax=647 kN/m, the check is verifiedTransverse reinforcement per unit length Asf/sf (EC2 Eq.6.21)Asf/sf=1000x62/(435xcot26.5°)= 71mm²/mMinimum reinforcement:Asmin=ρwmin·hc·b (EC2 §9.2.2.5)ρwmin=0.08fck/fyk=0.0825/500=0.0008Asmin=ρwmin·hc·b= 0.0008x180x1000= 144mm²/mTransverse reinforcement Asf/sf= ( 186mm²/m)

ΔFd/Δx=62<=0.40·hf·Fctd=0.40x180x1.20=86 kN/m (EC2 §6.2.4.5)In case of transverse flexural reinforcement from plate bending,No extra reinforcement is needed (EC2 §6.2.4.6)

software by RUNET (c)EUROCODEexpress+EC

67

6 KONKLUZIONE DHE REKOMANDIME6.1 Konkluzione

Konsiderohet se për problematikën e gjendjes kufitare të shfrytëzimit me interes është

të përmenden si më të rëndësishme këto konkluzione dhe rekomandime:

Vlerësimet dhe verifikimet që lidhen me gjendjen kufitare të shfrytëzimit sipas EC2

janë:

Gjendja kufitare e sforcimeve (kufizimi i sforcimeve);

Gjendja kufitare e plasaritjeve (kontrolli i gjerësi së plasaritjeve);

Gjendja kufitare e deformimeve (kontrolli i deformimeve).

Duke iu referuar gjendjes kufitare të shfrytëzimit, tejkalimi i sforcimeve të

konstruksionet e betonit të armuar duhet të jenë të kufizuara. Në përgjithësi duhet patur parasysh

që tejkalimi i sforcimeve mund të rezultojë në efekte të papranueshme në funksion të strukturës.

Për të realizuar analizën e deformimeve dhe analizën e plasaritjeve, krahas

kombinimeve nga veprimet për gjendjen kufitare të shfrytëzimit, elementet e strukturës u

nënshtrohen efekteve të zvarritjes dhe efekteve të tkurrjes së betonit, dhe atë për gjendjen e

sforcimeve pa plasaritje dhe gjendjen e sforcimeve me plasaritje.

Problem i plasaritjeve ka vendin qendror në grupin e detyrave në teorinë e betonit të

armuar sipas gjendjes kufitare të shfrytëzimit. Në përgjithësi mund të konkludohet se

shkaktaret e plasaritjeve të elementet e betonit të armuar janë të njohur. Por, vështirësitë

paraqiten për faktin se janë shumë parametra me ndikim dhe të lidhur në mes veti që sipas

natyrës së tyre janë të karakterit stohastik, prandaj është e vështir të ndahet ndikimi i tyre

vetanak. Kështu, problem i plasaritjeve ka vendin qendror në grupin e detyrave në teorinë e

betonit të armuar sipas gjendjes kufitare të shfrytëzimit.

Kontrolli i plasaritjeve pa llogari të drejtpërdrejtë mund të arrihet me kufizimin e

diametrit maksimal të shufrave dhe me kufizimin e distancës maksimale në mes të shufrave të

armaturës.

Në strukturat e betonit të armuar reduktimi i gjerësi së plasaritjeve mund të arrihet

duke inkorporuar sasi të armaturës në zonën e tërhequr më shumë ose të barabarta më atë

minimale dhe me kufizimin e diametrit dhe distancës në mes armaturave.

Ka faktorë të shumtë që ndikojnë në madhësinë e deformimit. Faktorët kryesorë janë:

sforcimet në tërheqje të betonit, moduli i elasticitetit dhe zvarritja. Faktorë të tjerë përfshijnë:

68

mënyren e kufizimeve në mbështetje, forma dhe madhësia e ngarkesës, kohëzgjatja e ngarkesës,

plasaritjet e betonit, tkurrja, kushtet e ambient, ngurtësia nga elementet e tjera, etj.

Gjendja kufitare e deformimeve në përputhje me kërkesat e EC2 mund të kontrollohet

duke kufizuar raportin hapësirë/lartësi efektive ose, duke krahasuar një deformim të llogaritur,

me një vlerë kufitare.

6.2 Rekomandime

Nga e gjitha që është thënë më lartë, mund të nxjerrim disa rekomandime të cilat mund

të shërbejnë për studime më të thelluara në të ardhmën:

Përgatitja e tri serive të trarëve nga betoni i armuar me klasë të ndryshme betoni si

p.sh: C25/30, C30/37 dhe C35/45;

Trarë me përqindje të ndryshme armimi në të cilët do të duhej të kontollonim

plasaritjet e lejuara me ngarkesë statike dhe të gjendur në kushte të ndryshme

mjedisore.

Mundësia e aplikimit të aditivëve të gjeneratës së re “crystalline admixtures” në

beton dhe kontrolli vetësherues i betonit si një nga studimet e kohës në fushën e

ndërtimit.

69

7 REFERENCAT

1. Dr. sc. Nebi Pllana (2018) Konstruksionet e Betonit të Armuar

(Ligjerata e programit Master)

2. Dr. sc. Nebi Pllana (2017) Konstruksionet e Betonit të Armuar

(Ligjerata e programit Bachelor)

3. Gilbert, R. I. and

Ranzi, G.

(2011) Time-Dependent Behavior of Concrete

Structures, Spoon Press.

4. Gilbert, R. I. (2011) The Serviceability Limit States in Reinforced

Concrete Design, Procedia Engineering 14,

pp. 385–395

5. Gribniak, V. et al. (2013) Long-term deflections of reinforced concrete

elements: accuracy analysis of predictions by

different methods. Mechanics of Time-

Dependent Materials, 17(3): pp. 297-313.

6. Gribniak, V.

Cervenka,V.

Kaklauska, G.

(2013) Deflection Prediction of Reinforced Concrete

Beams by Design Codes and Computer

Simulation, Engineering Structures 56, pp-2175-

2186

7. Mosley, B. J.,

Bungery, R. Hulse,

B. R

(2007) Reinforced Concrete Design to Eurocode 2,

London.

8. Narayanan, R S &

Brooker, O.

(2005) How to design concrete structures using

Eurocode 2: Introduction to Eurocodes. The

Concrete Centre,

9. Moss, R. M. &

Brooker, O.

(2006) How to design concrete structures using

Eurocode 2: Beams. The Concrete Centre.

10. Bamforth, P.,

Chisholm., Gibbs,

J. Harrison, T.

(2008) Properties of Concrete for use in Eurocode 2.

The Concrete Centre

11. The Concrete

Society

(2005) Technical report No. 58 Deflections in concrete

slabs and beams. The Concrete Society.

70

12. Tcc14 Crack Width (2005) The Concrete Society.

13. Eurocode 2 (2004) Design of concrete structures - Part 1-1: General

Rules for Buildings, ENV 1992-1-1

14. Eurocode 0 (2002) Basis of structural design: ENV 1990:2002+A1

15. American Concrete

Institute

(2002) Building Code Requirements for Structural

Concrete, ACI 318-08, Detroit.

16. Giussani, F., Mola,

F.

(2005) Models for the serviceability limit states of r.c.

structures, 30th Our World in Concrete and

Structures, Singapore.

17. Beeby, A.W., and

R. S. Narayanan,

R.P.

(2009) Designer’s guide to Eurocode 2: Design of

concrete structures, Thomas Telford