University of Business and Technology in Kosovo University of Business and Technology in Kosovo
UBT Knowledge Center UBT Knowledge Center
Theses and Dissertations Student Work
Fall 11-2018
GJENDJA KUFITARE E SHFRYTËZIMIT SIPAS EC-2 PLASARITJET GJENDJA KUFITARE E SHFRYTËZIMIT SIPAS EC-2 PLASARITJET
DHE DEFORMIMET DHE DEFORMIMET
Përparim Neziri
Follow this and additional works at: https://knowledgecenter.ubt-uni.net/etd
Part of the Engineering Commons
Kolegji UBTFakulteti për Inxhinieri Ndërtimore (Ndërtimtari dhe Infrastrukturë)
GJENDJA KUFITARE E SHFRYTËZIMIT SIPAS EC-2PLASARITJET DHE DEFORMIMET
Shkalla Bachelor
Përparim Neziri
Shtator / 2018Prishtinë
Kolegji UBTFakulteti për Inxhinieri Ndërtimore (Ndërtimtari dhe Infrastrukturë)
Punim DiplomeViti akademik 2017/2018
Përparim Neziri
GJENDJA KUFITARE E SHFRYTËZIMIT SIPAS EC-2PLASARITJET DHE DEFORMIMET
Mentori: Prof. Dr. Nebi Pllana
Shtator / 2018
Ky punim është përpiluar dhe dorëzuar në përmbushjen e kërkesave tëpjesshme për Shkallën Bachelor
I
ABSTRAKT
Në shumë situata të projektimit performanca e pranueshme e strukturave përcaktohet
nga kërkesat e shfrytëzueshmërisë. Projektimi sipas shfrytëzueshmërisë në disa aspekte është
më i vështirë për t’u kuptuar gjatë projektimit të strukturave të betonit.
Kërkesat më të zakonshme që duhet të plotësohen për projektimin sipas Gjendjes
Kufitare te Shfrytëzimit janë kufizimi i përkuljes dhe gjerësisë së plasaritjeve sipas kërkesave
të kodit në fuqi. Ky material ofron një diskutim të sjelljes strukturore në ngarkesat e
shfrytëzueshmërisë dhe metodat e thjeshtuara për kontrollin e perkuljes dhe plasaritjeve që
perfshihen në disa nga kodet kryesore të praktikës janë paraqitur, përfshirë Eurokodi 2.
Përkulja e tepërt nuk duhet të pengojë funksionin e strukturës ose të jetë estetikisht e
papranueshme. Plasaritjet nuk duhet të jenë të pa pranueshme ose aq të medha për të çuar në
probleme të qëndrueshmërisë. Për një strukturë betonarme për t'u shfrytezuar, plasaritjet duhet
të kontrollohen dhe përkuljet nuk duhet të jenë të tepruara.
Gjatë projektimit për shfrytezueshmerinë, projektuesi duhet të sigurojë që struktura të
mund të kryejë funksionin e saj të synuar nën ngarkesat e përditshme të shërbimit. Perkulja nuk
duhet të jetë e tepert, plasaritjet duhet të kontrollohen në mënyrë te duhur.
Projektimi i mirë sipas shfrytëzueshmëris do të rezultojë në me pak plasaritje, më pak
deformime, më shumë rehati, më shumë papershkueshmeri dhe dobesime në të njëjtin nivel
sigurie.
II
ABSTRACT
In many design situations the acceptable performance of structures is defined by
serviceability requirements. The design for serviceability is possibility the most difficult and
least well understood aspect of the design of concrete structures.
The most common requirements that need to be satisfied for Serviceability Limit State
design are the limitation of deflections and crack widths to the requirements of the applicable
code. This paper provides a discussion of structural behavior at service loads and the simplified
methods for the control of deflection and cracking contained in several of the major codes of
practice are presented, including, Eurocode 2.
Excessive deflection should not impair the function of the structure or be aesthetically
unacceptable. Cracks should not be unsightly or wide enough to lead to durability problems.
For a reinforced concrete structure to be serviceable, cracking must be controlled and
deflections must not be excessive.
When designing for serviceability, the designer must ensure that the structure can
perform its intended function under the day to day service loads. Deflection must not be
excessive, cracks must be adequately controlled.
Good design for serviceability will result less cracks, less deformations, more comfort,
more tightness and slenderness at the same level of safety.
III
MIRËNJOHJE/FALENDERIME
Në radhë të parë dua të falënderojë familjen time për mbështetje në çdo hap të
shkollimit dhe në realizimin përfundimtar të këtij punimi. Falënderim i veçant për
bashkëshorten time Vlora për durim dhe fjalë inkurajuese gjatë gjithë kësaj periudhe.
Falënderojë dhe çmojë mentorin, Dr.Sc. prof. Nebi PLLANA, për të gjitha këshillat,
rekomandimet për përgatitjen e temës së diplomës.
Gjithashtu falënderojë dhe u jam mirënjohes profesoreve: Dr. Visar Krelani, can.Dr. Driton
Kryeziu, can. Dr. Armend Muja për ndihmën e dhënë gjatë këtij punimi diplome.
IV
PËRMBAJTJA
LISTA E FIGURAVE ..............................................................................................................VI
LISTA E TABELAVE ........................................................................................................... VII
LISTA E TERMAVE ............................................................................................................ VIII
1 HYRJE................................................................................................................................ 1
2 GJENDJA KUFITARE E SHFRYTËZIMIT..................................................................... 4
2.1 Kuptimet e përgjithshme.............................................................................................. 4
2.2 Kërkesat projektuese....................................................................................................5
2.2.1 Jetëgjatësia projektuese e përdorimit....................................................................5
2.2.2 Diferencimi i besueshmërisë ................................................................................ 5
2.3 Verifikimet projektuese ............................................................................................... 6
2.4 Kombinimi i veprimeve ............................................................................................... 7
3 DEKLARIMI I PROBLEMIT............................................................................................ 9
3.1 GJENDJA KUFITARE E SFORCIMEVE ...................................................................... 9
3.2 GJENDJA KUFITARE E PLASARITJEVE............................................................. 11
3.2.1 Sjellja e elementeve të plasaritura nga betoni i armuar.......................................... 12
3.2.2 Kontrolli i plasaritjeve............................................................................................ 14
3.2.2.1 Vlerat kufitare për gjerësinë e llogaritur të plasaritjes....................................14
3.2.2.2 Armatura minimale për kufizimin e gjerësisë së plasaritjeve......................... 15
3.2.3 Kontrolli i plasaritjeve pa llogari direkte ............................................................... 17
3.2.4 Llogaritja e gjerësisë së plasaritjeve....................................................................... 21
3.3 GJENDJA KUFITARE E DEFORMIMEVE................................................................ 25
3.3.1 Kuptimet e përgjithshme ........................................................................................ 25
3.3.2 Rastet kur llogaritjet mund të mos behën............................................................... 27
3.3.3 Kontrollimi i deformimeve me llogaritje ............................................................... 31
3.3.3.1 Efektet e plasaritjeve në reagimin forcë-zhvendosje ...................................... 31
V
3.3.3.2 Kontrollimi i deformimeve sipas AS 3600-2009 dhe ACI 318-08................. 33
3.3.3.2.1 Deformimet afat-shkurtra............................................................................ 33
3.3.3.2.2 Deformimet afatgjata................................................................................... 34
5.3.3 Formulimi i rekomanduar nga Bischoff ............................................................. 35
3.3.3.4 Kontrollimi i deformimeve sipas Eurocodit 2 ................................................ 36
4 METODOLOGJIA ........................................................................................................... 45
5 PREZANTIMI DHE ANALIZA E REZULTATEVE ..................................................... 46
5.1 Kontrollimi i deformimeve me llogaritje...................................................................46
5.2 Llogaritja e gjerësisë së plasaritjeve .......................................................................... 51
5.3 Kontrolli i deformimeve dhe plasaritjeve ..................................................................55
5.4 Prerje drejtkëndëshe (BETONExpress)...................................................................... 58
5.5 Prerje T në fushë (BETONExpress) ........................................................................... 62
5.6 Prerje T mbi mbështetës (BETONExpress) ............................................................... 65
6 KONKLUZIONE DHE REKOMANDIME..................................................................... 67
6.1 Konkluzione............................................................................................................... 67
6.2 Rekomandime ............................................................................................................ 68
7 REFERENCAT ................................................................................................................ 69
VI
LISTA E FIGURAVE
Figura 3.2.1 Diagrami ngarkesë–deformim të një elementi nga betoni i armuar në
tërheqje: (a) fazat e plasaritjeve; (b) shpërndarja e sforcimeve
aksiale) (Gribniak et al. 2015)
13
Figura 3.2.2 Elementi në tërheqje mes dy plasaritjeve-sipërfaqja efektive 13
Figura 3.2.3a Diametrit maksimal i shufrave për kontrollin e plasaritjeve 18
Figura 3.2.3b Distanca maksimal në mes shufrave për kontrollin e plasaritjeve 19
Figura 3.2.4 Gjerësia e plasaritjes dhe diferenca në mes deformimeve në beton
dhe armaturë
22
Figura 3.2.5a Sipërfaqja efektive e traut 23
Figura 3.2.5b Sipërfaqja efektive e pllakës 23
Figura 3.2.5c Sipërfaqja efektive e elementit në tërheqje 23
Figura 3.2.6 Hapësira maksimale ndërmjet plasaritjeve - gjerësia e plasaritjes 24
Figura 3.3.1 Mbingritja dhe deformimet përkatëse 26
Figura 3.3.2 Bllok diagrami - Procedura për vlerësimin e deformimeve 28
Figura 3.3.3 Raporti hapësirë/lartësi efektive 30
Figura 3.3.4 Përcaktimi i sforcimeve në armaturë 31
Figura 3.3.5 Marrëdhënia e forcës (momentit) kundrejt – deformimit (Gilbert
2013)
32
Figura 3.3.6 Koeficient i shpërndarjes së plasaritjeve të prognoza e gjerësisë së
plasaritjeve
37
Figura 3.3.7 Diagrami forcë - deformim dhe lidhja e tyre me koeficientin e
shpërndarjes së plasaritjeve
38
Figura 3.3.8 Llogaritja e koeficientit të zvarritjes (∞, ), për beton nën kushtet
normale mjedisore
39
Figura 3.3.9 Diagrami moment - kurbaturë 40
VII
LISTA E TABELAVE
Tabela 2.1 Treguesi i jetëgjatësisë projektuese të përdorimit 5
Tabela 2.2 Përcaktimi i klasave të pasojave 6
Tabela 2.3 Vlerat projektuese të veprimeve për përdorim në kombinimet e
veprimeve
8
Tabela 2.4 Vlerat e rekomanduara për koeficient 8
Tabela 3.2.1 Vlerat e rekomanduara për gjerësinë e plasaritjeve ( ) 14
Tabela 3.2.2 Diametrit maksimal i shufrave për kontrollin e plasaritjeve 18
Tabela 3.2.3 Distanca maksimal në mes shufrave për kontrollin e plasaritjeve 18
Tabela 3.2.4 Distanca në mes stafave për kontrollin e plasaritjeve nga
transversalet
20
Tabela 3.3.1 Raporti i lejuar hapësirë/lartësi efektive për betonin e armuar 30
Tabela 3.3.2 Koeficienti K për llogaritjen e uljeve 43
VIII
LISTA E TERMAVE
sipërfaqja e prerjes tërthore të betonit
sipërfaqja prerjes tërthorë të betonit brenda zonës në tërhequr
, sipërfaqes efektive e betonit
sipërfaqja e armaturës së tërhequr
, sipërfaqja minimale e armaturës brenda zonës së tërhequr
sipërfaqja e armaturës në zonën e shtypur të prerjes së plasaritur
moduli i elasticitetit
moduli tangjent i elasticitetit
vlerës mesatare sekante e modulit të elasticitetit( ) vlerës mesatare e modulit të elasticitetit në moshë, moduli efektiv
vlerat projektuese e modulit të elasticitetit
moduli i elasticitetit të çelikut
vlera projektuese e një efekti të veprimit
vlera projektuese kufitare
vlera projektuese e një veprimi të përhershëm
moment i inercisë së prerjes
moment i inercisë së prerjes tërthore efektive
moment i inercisë së prerjes pa plasaritje
moment i inercisë së prerjes plotësisht të plasaritur
faktor i cili marrë parasysh sistemet e ndryshme strukturore
momenti i përkuljes sipas gjendje kufitare të shfrytëzimit
momenti i plasaritjes
forca normale në tërheqje sipas gjendje kufitare të shfrytëzimit
lagështia relative e ambientit
momenti statik i sipërfaqes së armaturës ndaj aksit neutral
klasifikimi strukturor
, hapësira maksimale në mes plasaritjeve
gjendja kufitare e shfrytëzimit
IX
gjendja kufitare e thyerjes ose e fundit
gjerësia e plasaritjes
gjerësia kufitare e plasaritjes
gjerësia e prerjes tërthore
shtresa mbrojtëse minimale
rezistenca llogaritëse e betonit
rezistenca karakteristike e betonit në shtypje
vlera mesatare e rezistencën në shtypje të betonit( ) rezistenca në shtypje e betonit në një moshë ( )vlera mesatare e rezistencën në tërheqje të betonit
vlera projektuese e rezistencën në tërheqje llogaritëse të betonit
, . kufiri i poshtëm i vlerës së rezistencës karakteristike në tërheqje
, . kufiri i sipërm vlerës së rezistencës karakteristike në tërheqje
rezistencë karakteristike e rrjedhshmërisë së çelikut
rezistencë llogaritëse e rrjedhshmërisë së çelikutℎ lartësia e prerjes tërthore
koeficient, shpërndarja jo lineare të sforcimeve në tërheqje
koeficient, shpërndarja e sforcimeve para paraqitjes së plasaritjeve
koeficient, ndikimi i kohëzgjatjes së ngarkesës/ raporti hapësirë/ lartësi1/ kurbatura
koeficient i cili varet nga lloji i çimentos, koha
perimetri i prerjes tërthore
/ / koeficient, ndikimi i rezistencës së betonit në shtypje
parametër i një vlere të deformimit
vlera e deformimeve për prerje pa plasaritje
vlera e deformimeve për prerje me plasaritje
koeficient, merr parasysh ndikimin e kohëzgjatjes së ngarkesës( , ) faktor që përshkruan zhvillimin e zvarritjes pas ngarkimit( ) faktor në koeficientin bazë të zvarritjes së betonit
X
( ) funksion i cili varet nga mosha e betonit ( )koeficient që varet nga lagështia relative e ambientit
koeficienti parcial i sigurisë-beton
koeficienti parcial i sigurisë- çelik
zhvendosja, ulja( ) deformimi në varësi të kohës
deformimet në shtypje i betonit
deformimi nga nderja maksimale
deformimi kufitar
vlera maksimale e deformimit
deformimi karakteristik i çelikut
deformimi i betonit nga tkurrja
deformimi nga tkurrja prej tharjes
deformimi nga tkurrja autogjen
, vlera e deformimit bazë të tkurrjes prej tharjes
tkurrje e betonit prej tharjes(∞, ) deformimi i betonit nga zvarritja
deformimi mesatar i armaturës
deformimi mesatar në beton ndërmjet plasaritjeve
koeficient i shpërndarjes së plasaritjeve
këndi i rrotullimit
koeficient, lartësia efektive
, përqindja efektive e armimit
koeficient i nevojshëm i armaturës në tërheqje
koeficienti referent i armimit
sforcimet në shtypje e betonit(∞, ) koeficienti final i zvarritjes( , ) koeficienti i zvarritjes së betonit
diametri i armaturës
koeficienti bazë i zvarritjes
koeficient- lagështia relative në koeficientin bazë të zvarritjes
XI
koeficient reduktues i kombinimeve
koeficient për vlerën e kombinuar të një veprimi të ndryshuar
koeficient për vlerën e shpeshtë të një veprimi të ndryshuar
koeficient për vlerën thuajse të përhershme një v. ndryshuar
1
1 HYRJE
Me gjendje kufitare të shfrytëzimit nënkuptohen gjendjet me dëmtime të tilla që u
referohen parametrave specifik që përcaktojnë funksion normal të strukturës, komoditetin e
njerëzve dhe pamjet e veprës së ndërtimit. Vlerësimet dhe verifikimet që lidhen me gjendjen
kufitare të shfrytëzimit sipas EC2 janë:
Gjendja kufitare e sforcimeve;
Gjendja kufitare e plasaritjeve dhe
Gjendja kufitare e deformimeve.
Duke iu referuar gjendjes së shfrytëzimit, tejkalimi i sforciemeve mund të rezultojë në
efekte negative. Në qoftë se niveli i sforciemeve nga kombinimi karakteristik i ngarkesave
tejkalon një vlerë kritike mund të paraqiten plasaritjet dhe deformime të papranueshme.
Sa janë të dëmshme plasaritjet në elemente prej betoni të armuar është evidente prej
fillimit të ndërtimit dhe vazhdon edhe sot. Vet fakti se elementet e konstruksionit qëndrojnë me
plasaritje, rezulton se duhet të dihet sa është e lejuar gjerësia e plasaritjeve që nuk ka pasoja të
dëmshme. Praktikisht, plasaritjet duhet të kufizohen deri në atë masë sa që nuk do të pengojnë
funksionimin e duhur apo qëndrueshmëria e strukturës ose pamja e saj të jetë e pranueshme. Në
këto rrethana, duhet të ndërmerren masat përkatëse që plasaritjet të ruhen në kufijtë e dëshiruar
e përgjithësisht të arrihet kontrolli i pasqyrës së plasaritjeve.
Në përgjithësi mund të konkludohet se shkaktaret e plasaritjeve të elementet e betonit
të armuar janë të njohur. Por, vështersit paraqiten për faktin se janë shumë parametra me ndikim
dhe të lidhur në mes veti që sipas natyrës së tyre janë të karakterit stohastik, prandaj, është e
vështir të ndahet ndikimi i tyre vetanak. Kështu, problem i plasaritjeve ka vendin qendror në
grupin e detyrave në teorinë e betonit të armuar sipas gjendjes kufitare të shfrytëzimit.
Plasaritjet nuk janë një pengesë në qoftë se ato nuk kalojnë vlerën kufitare të kushtëzuar
nga korrozioni, pamja e jashtme ose papërshkueshmëri ndaj lëngjeve ose gazërave.
Për kontrollin e paraqitjes së plasaritjeve dhe kufizimin e gjerësisë së plasaritjeve tek
elementet e betonit të armuar është e nevojshme të caktohet sipërfaqja e armaturës minimale.
Rregullat e dhëna në EC2 për llogaritjen e gjerësisë së plasaritjeve, mund të paraqiten të
thjeshtuara në formë tabelare duke kufizuar diametrin e shufrave apo hapin e shufrave të
armaturës.
2
Trajtimi i deformimeve u referohet: zhvendosjeve (uljeve), kurbaturës e konceptuar si e
anasjelltë, e rrezes së kurbaturës, zgjatimit, shkurtimit, rrotullimit dhe ndryshimit të këndit të
tangjentës në pikën e caktuar të elementit.
Ka faktorë të shumtë që ndikojnë në madhësinë e deformimit. Këta faktorë janë shumë
herë të lidhur dhe të ndërvarur me njeri tjetrin. Varësia e këtyre faktorëve me njeri tjetrin e bënë
parashikimin e deformimeve të vështirë. Ndër këta faktor të rëndësishëm është efekti i zvarritjes
dhe tkurrjes së betonit.
Gjendja kufitare e deformimeve në përputhje me kërkesat e EC2 mund të kontrollohet
duke kufizuar raportin hapësirë/lartësi efektive ose, duke krahasuar një deformim të llogaritur,
me një vlerë kufitare.
Në paraqitjen e tij tërësore punimi është i ndarë në shtatë kapituj. Në pjesën e titulluar
”Gjendja kufitare e shfrytëzimit” ilustrohen vlerësimet dhe verifikimet që lidhen me gjendjen
kufitare të shfrytëzimit sipas EC2. Kjo pjesë analizon sidomos kërkesat projektuese, verifikimet
projektuese dhe kombinimet e veprimeve.
Kapitulli i tretë i punimit i është kushtuar gjendjes kufitare të sforcimeve. Rëndësi e
veçantë, në këtë pjesë të punimit, duke iu referuar përvojave që kanë gjetur aplikim në praktikën
e projektimit të strukturave nga betoni i armuar, i jepet kufizimit të madhësive të sforcimeve në
beton dhe çelik.
Objektivi i projektimit të një strukturë nga betoni i armuar është se ajo duhet të plotësojë
nevojat për të cilat u ndërtuar. Duke vepruar kështu, projektuesi strukturore duhet të sigurojë
që ajo të është e sigurt dhe e shfrytëzueshme, në mënyrë që mundësitë e saj për të dështuar gjatë
tërë jetës së saj të projektimit janë mjaft të vogla. Për këtë arsye, vlerësimet dhe verifikimet që
lidhen me gjendjen kufitare të plasaritjeve janë dhënë në kapitullin e katërt. Aty prezantohen
kërkesat e armaturës minimale për kufizimin e gjerësisë së plasaritjeve, kontrolli i plasaritjeve
pa llogari direkte dhe llogaritja e gjerësisë së plasaritjeve.
Në kapitullin e pestë të punimit është prezantuar gjendja kufitare e deformimeve në
përputhje me kërkesat e EC2. Për të realizuar analizën e deformimeve, krahas kombinimeve
nga veprimet për gjendjen kufitare të shfrytëzimit, elementet e strukturës u nënshtrohen
efekteve të zvarritjes dhe efekteve të tkurrjes së betonit, dhe atë, për gjendjen e sforcimeve pa
plasaritje dhe gjendjen e sforcimeve me plasaritje.
Për të ilustruar kërkesat që lidhen me gjendjen kufitare të shfrytëzimit sipas EC2 në
kapitullin e gjashtë janë analizuar edhe shembuj numerik. Në bazë të rezultateve të fituara,
3
krahasuar me literaturën inxhinierike përkatëse, është dhënë vlerësimi i parametrave që
ndikojnë në plasaritje dhe në deformimet e elementeve të betonit.
Hapësirë e veçante në punim i është dhënë edhe përfundimit ku është synuar të
prezantohen, sadopak, vlerësime në problemin e gjendjes kufitare të shfrytëzimit.
Punimi u referohet 17 burimeve të ndryshme nga literatura shkencore ndërkombëtare.
4
2 GJENDJA KUFITARE E SHFRYTËZIMIT
2.1 Kuptimet e përgjithshme
Objektivi i projektimit të një strukturë nga betoni i armuar është se ajo duhet të plotësojë
nevojat për të cilat u ndërtuar. Duke vepruar kështu, projektuesi strukturore duhet të sigurojë
që ajo të është e sigurt dhe e shfrytëzueshme, në mënyrë që mundësitë e saj për të dështuar gjatë
tërë jetës së saj të projektimit janë mjaft të vogla. Për këtë arsye qëllimet primare të projektimit
të strukturave janë rezistenca dhe shfrytëzimi.
Kodet bashkëkohore të projektimit të strukturave, duke përfshirë dhe EC, kanë adoptuar
gjendjen e fundit kufitare të projektimit, ku një strukturë duhet projektuar për të kënaqur të
njëjtën kohë një numër të gjendjeve të ndryshme kufitare apo kërkesat e projektimit, duke
përfshirë rezistencën adekuate dhe shfrytëzimin-shërbyeshmërinë. Duke iu referuar situatave
përkatëse të projektimit, përgjithësisht përcaktohen kërkesat e diferencuara sipas dy gjendjeve
kufitare:
Gjendja kufitare e thyerjes ose e fundit (”Ultimate Limit States-ULS”)
Gjendja kufitare e shfrytëzimit ose e shërbimit (”Serviceability Limit States –SLS”)
Kufijtë minimale të performancës janë të specifikuara për secilën nga këto gjendje
kufitare dhe çdo njëra nga këto mund të bëhet kritike dhe të drejtojnë projektimin e një elementi
të veçantë. Për çdo gjendje kufitare, kodet e projektimit specifikoni kombinimet përkatëse të
ngarkesave dhe performancën aktuale strukturore që së bashku të sigurohet një probabilitet i
pranueshme dhe i ulët i dështimit.
Në mënyrë që të plotësohet gjendja kufitare e shfrytëzimit, një strukturë e betonit duhet
të jetë e shfrytëzueshme dhe të kryejë funksionin e saj gjatë gjithë jetës. Që një strukturë nga
betoni të jetë e dobishme, plasaritjet dhe deformimet nuk duhet tejkalojnë vlerat kufitare.
Deformimi nuk duhet të dëmtoj funksionin e strukturës ose të jetë ana estetike e papranueshme.
Plasaritjet nuk duhet të janë të pakëndshme apo të influencojnë në qëndrueshmërinë e
strukturës.
Vlerësimet dhe verifikimet që lidhen me gjendjen kufitare të shfrytëzimit sipas EC2
janë:
Gjendja kufitare e sforciemeve (kufizimi i sforciemve);
Gjendja kufitare e plasaritjeve (kontrolli i gjerësi së plasaritjeve)
5
Gjendja kufitare e deformimeve (kontrolli i deformimeve)
Gjendje të tjera kufitare (të tilla si lëkundjet) mund të jenë të rëndësishme në elemente
të struktura të veçanta, por, nuk janë të mbuluara me EC2.
2.2 Kërkesat projektuese
2.2.1 Jetëgjatësia projektuese e përdorimit
Jetëgjatësia projektuese e përdorimit është periudha gjatë së cilës supozohet se një
strukturë ose pjesë të saj përdoren për qëllimin e planifikuar, me mirëmbajtje të parashikuar,
por pa pasur të domosdoshme riparime të mëdha. Jetëgjatësia projektuese e përdorimit duhet
që të specifikohet, sepse ajo është e nevojshme për përcaktimin e veprimeve të projektimit, të
disa vetive të materialit, për zhvillimin e strategjive të mirëmbajtjes. Në Tabelën 2.1 jepen
kategori orientuese. Vlerat e dhëna në këtë tabelë mund të përdoren për përcaktimin e
performancës në funksion të kohës, shih aneksin A (EN 1990).
Tabela 2.1 Treguesi i jetëgjatësisë projektuese të përdorimit
Kategoria ejetëgjatësisëprojektuese tëpërdorimit
Treguesi ijetëgjatësisëprojektuese tëpërdorimit (në vite)
Shembuj
1 10 Struktura të përkohshme(1)
2 10 deri 25 Pjesë strukturore të zëvendësueshme p.sh. trarë vinçure,aparate mbështetëse
3 15 deri 30 Struktura bujqësore dhe të ngjashme4 50 Struktura ndërtimi dhe struktura të tjera të zakonshme5 100 Struktura ndërtimore monumentale, ura dhe struktura të
tjera të Inxhinierisë civile(1) Këshillohet që strukturat apo pjesët e strukturave që mund të çmontohen me qëllim ripërdorimin, të mos konsiderohen si tëpërkohshme.
2.2.2 Diferencimi i besueshmërisë
Besueshmëria është aftësia e një strukture ose e një elementi strukturor për të
përmbushur kërkesat e specifikuara, duke përfshirë jetëgjatësinë projektuese të përdorimit, për
të cilat ajo është projektuar. Zakonisht, besueshmëria shprehet në terma probabilitarë.
Besueshmëria përmbledh sigurinë, shfrytëzimin dhe durueshmërinë e një strukture.
6
Për qëllimin e diferencimit të besueshmërisë, mund të vendosen klasa të pasojave (CC)
duke pasur parasysh pasojat e shkatërrimit ose keqfunksionimit të strukturës, si ato të dhëna në
Tabelën 2.2.
Kriteri i klasifikimit të pasojave është rëndësia e strukturës ose e elementit strukturor në
fjalë, në terma të pasojave të shkatërrimit. Në varësi të tipit të strukturës dhe vendimeve të
marra gjatë projektimit, elementë të veçantë të strukturës mund të renditen në klasa pasojash të
njëjta, më të larta apo të ulëta se klasa e gjithë strukturës. Aktualisht, kërkesat për
besueshmërinë lidhen me elementët strukturorë të veprave të ndërtimit.
Tabela 2.2 Përcaktimi i klasave të pasojave
Klasa epasojave
Përshkrimi Shembuj të ndërtesave dhe të veprave tëInxhinierisë civile
CC3 Pasoja të rënda në terma të humbjessë jetëve të njerëzve, ose pasojashumë të rëndësishme ekonomike,sociale ose mjedisore
Vendqëndrime me grumbullime të mëdhanjerëzish, ndërtesa publike ku pasojat eshkatërrimit do ishin të mëdha (p.sh. një sallëkoncertesh)
CC2 Pasoja mesatare në terma tëhumbjes së jetëve të njerëzve, pasojatë konsiderueshme ekonomike,sociale ose mjedisore
Ndërtesa banimi dhe administrative, ndërtesapublike ku pasojat e shkatërrimit do ishinmesatare (p.sh. një ndërtesë administrative).
CC1 Pasoja të lehta në terma të humbjessë jetëve të njerëzve dhe pasoja tëlehta apo të papërfillshmeekonomike, sociale ose mjedisore
Ndërtesa bujqësore ku normalisht nuk hyjnënjerëz (p.sh. magazina, serra bujqësore).
2.3 Verifikimet projektuese
Vlerësimet që lidhen me gjendjen kufitare të shfrytëzimit sipas EC2 duhet të
verifikohen që: ≤ (2.1)
ku:
është vlera projektuese e efekteve të veprimit të specifikuar në kriterin e shfrytëzimit
përcaktuar në bazë të kombinimeve përkatëse , kjo vlerë projektuese mund të jetë
sforcim, ulje apo gjerësia e plasaritjeve
është vlera projektuese kufitare e kriterit përkatës të shfrytëzimit, e dhënë nga
rregulloret apo nga kërkesat tjera si vlerë kufitare e lejuar.
7
2.4 Kombinimi i veprimeve
Kombinimet e veprimeve që konsiderohen në situata përkatëse të projektimit duhet të
përcaktohen duke kombinuar vlerat e veprimeve për kërkesat e shfrytëzimit dhe kriteret e
përformancës që janë për tu verifikuar. Këto kombinime fitohen duke shumëzuar ngarkesat
karakteristike (të normuara) me koeficient të përshtatshëm për kombinime. Kombinimet e
veprimeve për gjendjen kufitare të shfrytëzimit përcaktohen simbolikisht nga shprehjet e
mëposhtme.
Kombinimi karakteristik-kombinimi i rrallë:= , ; ; , ; , ; , ≥ 1; > 1 (2.2)
Në të cilin kombinimi i veprimeve në kllapa { } (i quajtur kombinimi karakteristik ose i rrallë)
mund të shprehet si:
, " + " " + " , " + " , , (2.3)
Kombinimi i rrallë përdoret zakonisht për gjendjen e pakthyeshme ( psh. gjendja kufitare e
plasaritjeve).
Kombinimi i shpeshtë := , ; ; , ; , ; , ; , ≥ 1; > 1 (2.4)
Në të cilin kombinimi i veprimeve në kllapa { } (i quajtur kombinimi i shpeshtë) mund të
shprehet si:
, " + " " + " , , " + " , , (2.5)
Kombinimi i shpeshtë përdoret zakonisht për gjendjen e kthyeshme (p.sh. gjendja kufitare e
deformimeve-uljeve).
Kombinimi thuajse i përhershëm - kombinimi kvazi permanent= , ; ; , , ≥ 1; > 1 (2.6)
Në të cilin kombinimi i veprimeve në kllapa { } ( i quajtur kombinimi i shpeshtë) mund të
shprehet si:
, " + " " + " , , (2.7)
8
Kombinimi thuajse i përhershëm përdoret zakonisht për veprime afatgjata.
Vlerat projektuese të veprimeve për përdorim në kombinimet e veprimeve janë dhen në
Tabletën 2.3. Këshillohet që për gjendjen kufitare të shfrytëzimit, koeficientet për ngarkesa të
merren 1.0, me përjashtim të rasteve kur specifikohet ndryshe në EN 1991 deri në EN 1999.
Tabela 2.3 Vlerat projektuese të veprimeve për përdorim në kombinimet e veprimeve
Kombinimi Veprimi i përhershëm Veprimi i ndryshueshëm
Të pafavorshme Të favorshme Kryesore Të tjera
Karakteristik , , , , , , ,I shpeshtë , , , , , , , ,
Thuajsei përhershëm , , , , , , , ,Koeficientet reduktues të kombinimeve , nëse nuk ka të dhëna të mjaftueshme që të
verifikohen koeficientet e tillë, mund të merren vlerat nga tabela Tabelën 2.4
Tabela 2.4 Vlerat e rekomanduara për koeficient
Veprimi
Kategoria A: sipërfaqe banimi, shtëpi 0.7 0.5 0.3Kategoria B: sipërfaqe për zyre 0.7 0.5 0.3Kategoria C: sipërfaqe për grumbullim njerëzish 0.7 0.7 0.6Kategoria D: sipërfaqe tregtare 0.7 0.7 0.6Kategoria E: sipërfaqe magazinimi 1.0 0.9 0.8Kategoria F: sipërfaqe trafiku; pesha e mjetit lëvizës 30kN 0.7 0.7 0.6Kategoria G: sipërfaqe trafiku;
30kN < pesha e mjetit lëvizës<160kN 0.7 0.5 0.3Kategoria H: sipërfaqe kulmi (mbulesa) 0.0 0.0 0.0
Ngarkesa e borës mbi ndërtesa:Për lartësi H>1000mPër lartësi H 1000m
0.70.5
0.50.2
0.20.0
Ngarkesat e erës mbi ndërtesa 0.6 0.2 0.0Temperatura (jo nga zjarri) në ndërtesa 0.6 0.5 0.0
Për gjendjen kufitare të shfrytëzimit, koeficientet për vetit e materialit këshillohet të
merret 1.0, me përjashtim të rastit kur specifikohet ndryshe në EN 1992.
9
3 DEKLARIMI I PROBLEMIT
3.1 GJENDJA KUFITARE E SFORCIMEVE
Duke iu referuar gjendjes së shfrytëzimit, tejkalimi i sforcimeve të konstruksionet e
betonit të armuar duhet të jenë të kufizuara. Në përgjithësi duhet patur parasysh që tejkalimi i
sforcimeve mund të rezultojë në efekte të papranueshme në funksion të strukturës. Në qoftë se
niveli i sforciemeve nga kombinimi karakteristik i ngarkesave tejkalon një vlerë kritike mund
të paraqiten plasaritjet. Plasaritje e tillë mund të çojë në një reduktim të qëndrueshmërisë. Me
kufizimet e sforcimeve në shtypje në beton dëshirohet t’i iket plasaritjeve të shkaktuara nga
forcat e çarjes të lindura për shkak të johomogjinitetit të betonit dhe deformimet e mëdha
plastike të cilat janë shkak nga deformimet e mëdha.
Duke iu referuar përvojave që kanë gjetur aplikim në praktikën e projektimit të
strukturave nga betoni i armuar, EC2 jepë kufizimin e madhësive të sforcimeve në beton dhe
çelik. Vlerat e kufizimeve janë:
Për rastin e kombinimeve karakteristike ose kombinimeve të rralla, konsiderohet e
përshtatshme të kufizohen sforcimet në shtypje me vlerën në sipërfaqet e
ekspozuara në mjediset e klasave të ekspozimit XD, XF dhe XS. Vlera e rekomanduar
e sforcimeve në beton duhet të jetë e kufizuar në = 0.6:≤ 0.6 (3.1.1)
Kjo në realitet ndodh në mungesë të masave të tjera, të tilla si një rritje e shtresës
mbrojtëse të betonit në zonën e shtypur ose shtrëngim i betonit me armaturën tërthore.
Kur kemi kombinim thuajse të përhershëm vlera e rekomanduar e sforcimeve në beton
duhet të jetë e kufizuar në = 0.45:≤ 0.45 (3.1.2)
Në qoftë se nga kombinimi i ngarkesave thuajse i përhershëm, sforcimet në beton janë
më të vogla se , mund të supozohet një deformëkohë lineare. Në qoftë se sforcimet në beton
tejkalon , atëherë konsiderohet deformëkohë jo-lineare.
Gjatë llogaritjeve sipas EC2, sforcimet në tërheqje, në çelik duhet të kufizohen për të
shmangur deformimet joelastike, plasaritjet të papranueshme apo deformimet. Siguria duhet të
kontrollohet mbi bazën e përcaktimeve vijuese:
10
Sforcimet në çelik për kombinime të rralla të ngarkesave duhet të plotësojnë kushtin:≤ 0.8 (3.1.3a)
Sforcimet të shkaktuara nga veprimi indirekt (deformimet e dhunshme) do të vlerësohej
nga shprehja: ≤ 1 (3.1.3b)
Sforcimet në çelik për paranderje, pas humbjeve, duhet të plotësojnë kushtin:≤ 0.75 (3.1.3c)
Me kufizimet e sforcimeve në çelik synohet t’i iket deformimeve të mëdha të
armaturës, e me këtë edhe gjerësisë së plasaritjeve në element. Nëse kufizimet e mësipërme
të sforcimeve në beton dhe armaturë nuk janë plotësuar ose pjesërisht janë plotësuar, atëherë,
duhet të rritet prerja tërthore ose sasia e armaturës.
Për llogarinë e sforcimeve në beton apo çelik mund të përdoren supozimet nga
teoria lineare e elasticitetit, = / = 15, gjegjësisht metoda e sforcimeve të
lejuara.
Llogaria e gjendjes kufitare të sforcimeve mund të mos bëhet nëse janë plotësua këto
kushte:
llogaria në gjendjen kufitare mbajtëse plotëson;
armatura minimale është paraparë sipas EC2;
armimi është krye sipas rregullave të EC2;
llogaria e forcave prerëse është bërë sipas teorisë së elasticitetit me
rishpërndarje të kufizuar më të vogël se 30%.
11
3.2 GJENDJA KUFITARE E PLASARITJEVE
Gjatë llogaritjeve sipas EC2, rezistenca e betonit në tërheqje konsiderohet e barabart
me zero dhe diagrami sforcim-deformim i tij zhvillohet vetëm me vlerat që i korrespondojnë
shtypjes. Kështu, trajtimi i aftësisë mbajtëse të konstruksionit prej betoni të armuar dhe betonit
me paranderje parciale bazohet në supozimin se një pjesë e betonit në zonën e tërhequr nuk
merret parasysh, gjegjësisht rezistenca e betonit në tërheqje është zero. Vetëm ky fakt është i
mjaftueshëm që në kushtet normale të punës së elementeve për një rast ngarkimi specifik të
presim edhe paraqitjen e plasaritjeve.
Nga ana tjetër, konstatohet se në rastin e projektimit dhe realizimit të elementi prej
betoni të armuar pa plasaritje është ekonomikisht jo e arsyeshme dhe praktikisht është e
pamundur. Vetëm me beton të paranderur mund të ndërmerren masa që t’ju ikim plasaritjeve.
Por, edhe ky rast është treguar se është joekonomik dhe në disa raste të caktuara nuk është
teknikisht e arsyeshëm. Plasaritjeve nuk mund t’ju ikim të konstruksionet e betonit të armuar
nga efekti i përkuljes, forcave transversale, torzioni dhe tërheqja. Gjithashtu, shkak të
plasaritjeve mund të jenë sforcimet të shkaktuara nga deformimet e dhunshme të shkaktuara
nga çvendosja e mbështetësit, rrotullimi i shtyllës, ulja e elementeve për shkak të ndryshimeve
temperaturale dhe/ose tkurrja e betonit, veprimeve indirekte si dhe nga shkaqe të tjera më pak
të rëndësishme.
Sa janë të dëmshme plasaritjet në elemente prej betoni të armuar është evidente prej
fillimit të ndërtimit dhe vazhdon edhe sot. Vet fakti se elementet e konstruksionit qëndrojnë
me plasaritje, rezulton se duhet të dihet sa është e lejuar gjerësia e plasaritjeve që nuk ka pasoja
të dëmshme.
Në përgjithësi mund të konkludohet se shkaktaret e plasaritjeve të elementet e betonit
të armuar janë të njohur. Por, vështirësitë paraqitën për faktin se janë shumë parametra me
ndikim dhe të lidhur në mes veti që sipas natyrës së tyre janë të karakterit stohastik, prandaj
është e vështir të ndahet ndikimi i tyre vetanak. Kështu, problem i plasaritjeve ka vendin
qendror në grupin e detyrave në teorinë e betonit të armuar sipas gjendjes kufitare të
shfrytëzimit.
12
3.2.1 Sjellja e elementeve të plasaritura nga betoni i armuar
Plasaritjet e formuara në elementet e betonit mund të klasifikohen në dy kategori
kryesore: plasaritje të shkaktuara nga ngarkesat e jashtme të aplikuara në elementin e strukturës
dhe plasaritje që ndodhin në mënyrë të pavarur nga ngarkesat. Plasaritjet e grupit të dytë
rezultojnë nga sforcime termike për shkak të nxehtësisë dhe nga tkurrja prej tharjes. Plasaritjet
e shkaktuara nga ngarkesat e jashtme mund të janë jo ortogonal në armaturë (nga prerja apo
përdredhje) dhe ortogonale (nga përkulja apo tërheqja).
Figura 3.2.1a paraqet një diagram tipik ngarkesë–deformim të një elementi nga betoni
i armuar i nënshtruar veprimit në tërheqje. Në këtë diagram, faza e parë, deri në fillimin e
plasaritjes. paraqet sjelljen elastike të elementit. Faza e dytë mbulon sjelljen e deformimit nga
plasaritja e parë kryesore deri në pikën përfundimtare të plasaritjes. Faza e tretë synon sjelljen
nga pika përfundimtare e plasaritjes deri në rrjedhjen e armaturës. Në fazën e parë, sforcimet
në tërheqje të betonit rritën në proporcion me ngarkesën (të përfaqësuar nga zona e mbushur
ngjyrë hiri në Figurën 3.2.1a). Kur sforcimet në një prerje të betonit arrin vlerën kufitare të
rezistencës në tërheqje, ndodh plasaritja.
Pas plasaritjes, sforcimet në atë prerje të plasaritur bien në zero. Por, për shkak të
veprimit të lidhjes beton- çelik, ato rriten deri në distancën s nga plasaritja, siç është paraqitur
në Figurën 4.1b. Një rritje relativisht e vogël e ngarkesës do të shkaktojë plasaritjen e dytë, të
zhvilluar në një prerje të elementit në distance , ku ( < ≤ 2 ), (Figura 3.2.1b). Pas formimit
të plasaritjes së parë deri në ato përfundimtare, efekti i betonit vazhdimisht zvogëlohet.
Në mënyrë të ngjashme, si për elementet e betonit në tërheqje, ashtu edhe për elementet
e betonit në përkulje, sjellja e plasaritjeve mund të ndahet në tri faza: faza pa plasaritje, faza me
plasaritje dhe faza e stabilizuar nga plasaritjet. Faza e stabilizuar e plasaritjeve arrihet,
praktikisht, kur nuk mund të formohen plasaritje të reja. Në këtë rast, një rritje e ngarkesës do
të shkaktonte vetëm rritje të gjerësisë së plasaritjeve.
13
Figura 3.2.1 Diagrami ngarkesë–deformim të një elementi nga betoni i armuar në tërheqje:
(a) fazat e plasaritjeve; (b) shpërndarja e sforcimeve aksiale
Pas plasaritjes, ngurtësi e elementit përgjatë gjatësisë së tij ndryshon, gjë që e bën të
ndërlikuar llogaritjen e deformimeve. Në një element të plasaritur, ngurtësia është më e madhe
në pjesën brenda rajonit të pa plasaritur dhe është më e vogël në pjesën e plasaritur. Kjo është
për shkak se, në pjesën e plasaritur betoni në tërheqje nuk kontribuon në mbajtjen e ngarkesës.
Megjithatë, në prerjen në mes të dy plasaritjeve, për shkak të efektit të lidhjeve me armaturën,
betoni mban forca në tërheqje, që në fakt reduktohet deformimi për shkak të ngurtësisë efektive
(Figurën. 3.2.2). Ky efekt është i njohur si ngurtësim në tërheqje.
Figura 3.2.2 Elementi në tërheqje mes dy plasaritjeve-sipërfaqja efektive
N2
N1
Nga
rkes
a N
Deformimi
reagimi ishufrës
plasaritjapërfundimtare
plasaritja eparë
Gjendjapërfundimtare
Plasaritja eshumëfisht
Pa plasaritje
rrjedhja eçeliku
Gjatësi
Sfor
cim
= 0N2 N2
, ≤
Gjatësi
Sfor
cim
N1 N1
14
3.2.2 Kontrolli i plasaritjeve
3.2.2.1 Vlerat kufitare për gjerësinë e llogaritur të plasaritjes
Përfaqësimi i kufizimit të plasaritjeve është ngushtë i lidhur me funksionin dhe
jetëgjatësinë projektuese të objektit. Plasaritjet nuk janë një pengesë në qoftë se ata nuk kalojnë
vlerën kufitare të kushtëzuar nga korrozioni, pamja e jashtme ose papërshkueshmëri ndaj
lëngjeve ose gazeve. Por, ato duhet të kufizohen deri në atë masë sa që nuk do të pengojnë
funksionimin e duhur apo qëndrueshmëria e strukturës ose pamja e saj të jetë e pranueshme.
Praktikisht, duhet të ndërmerren masat përkatëse që plasaritjet të ruhen në kufijtë e dëshiruar,
e përgjithësisht të arrihet kontrolli i pasqyrës së plasaritjeve.
Plasaritjet mund të lejohen pa ndonjë përpjekje për të kontrolluar gjerësinë e tyre, me
kusht që ato të mos dëmtojnë funksionimin e strukturës. Një vlerë kufitare, , për gjerësinë
e llogaritur të plasaritjes, duhet të vendoset duke marrë parasysh funksionin e propozuar dhe
natyrën e strukturës si dhe koston e kufizimit të plasaritjes.
Për gjerësinë kufitare të plasaritjes vlerat e rekomanduara, , për klasat përkatëse
të ekspozimit sipas ENV 1992-01-01 janë dhënë në Tabela 3.2.1
Tabela 3.2.1 Vlerat e rekomanduara për gjerësinë e plasaritjeve,
Klasa e ekspozimit Betoni i armuar dhe betoni i paranderurme kablo pa athezion
Betoni i paranderur me kablome athezion
Kombinimi kvazi permanent Kombinimi i shpeshtë
X0, XC1 0.4(1) 0.2XC2,XC3,XC4 0.3 0.2(2)
XD1,XD2,XS1,XS2,XS3
Dekompresion
Shënimi 1: Për klasën e ekspozimit X0, XC1, gjerësia e plasaritjeve nuk ka ndikim në jetëgjatësinë projektuese të strukturës, prandajkufizimi mund të kërkohet nga ujë papershkrueshmëria dhe dukja e jashtme.
Shënimi 2: Për këto klasa të ekspozimit, si shtesë, dekompresioni duhet të kontrollohet në bazë të kombinimit kuazi- permanent.
Në mungesë të kërkesave të veçanta (p.sh. papërshkueshmëria e ujit), mund të
supozohet që kufizimi i gjerësisë së llogaritur të plasaritjes të dhënë në Tabelën 3.2.1,
nën kombinimin kuazi- permanent të ngarkesave, në përgjithësi do të jetë e kënaqshme për sa i
përket dukjes dhe jetëgjatësisë.
Për ndërtesat që janë të vendosura në një mjedis shumë agresive, vendosen kërkesa
specifike që nuk janë dhënë në ENV 1992-01-01.
15
3.2.2.2 Armatura minimale për kufizimin e gjerësisë së plasaritjeve
Në strukturat e betonit të armuar dhe betonit të paranderur reduktimi i gjerësi së
plasaritjeve mund të arrihet duke inkorporuar sasi të armaturës në zonën e tërhequr më shumë
ose të barabarta më atë minimale dhe me kufizimin e diametrit dhe distancës në mes
armaturave.
Elementet e betonit të armuar dhe ato të paranderura, në zonën e sforcimeve në tërheqje,
duhet gjithmonë të armohen të paktën me armaturë minimal për kufizimin e gjerësi së
plasaritjeve. Kjo kërkohet sidomos nëse priten efekte indirekte të shkaktuar nga pengimi i
tkurrjes së lirë të elementit apo nga rezistenca e deformimeve të detyruara të jashtme
(çvendosjesa e mbështetësit).
Në strukturat e betonit ka dy lloje të sforcimeve që do të shkaktojnë plasaritje:
Përkulja e elementeve – ku gjithnjë ekziston një zone e shtypur dhe një zonë e tërhequr.
Tërheqje qendrore e elementeve – e tërë prerja është në tërheqje.
Për kontrollin e paraqitjes së plasaritjeve dhe kufizimin e gjerësisë së plasaritjeve tek
elementet e betonit të armuar dhe ato të paranderura është e nevojshme të caktohet sipërfaqja e
armaturës minimale. Në prerjet e profilizuara si trarë sanduk ose prerje T, armatura minimale
duhet të përcaktohet për pjesët individuale të prerjes (briut, fletës horizontale). Sipërfaqja
minimale e armaturës së kërkuara për kufizimin e paraqitjes së plasaritjeve mund të llogaritet
si më poshtë. , = , (3.2.1)
ku:, sipërfaqja minimale e armaturës brenda zonës së tërhequr.
sipërfaqja prerjes së betonit brenda zonës në tërhequr. Zona e tërhequr është një pjesë e
prerjes e cili llogaritet të jetë në tërheqje vetëm para se të paraqitet plasaritja e parë.
është vlera absolute e sforcimeve maksimale që lejohet në armuar
menjëherë pas formimit të plasaritjes. Kjo mund të merret si kufiri i rrjedhjes së çelikut
. Munde të merret edhe një vlerë më e ulët, megjithatë, duhet të jetë e nevojshme për
të kënaqur kufijtë e gjerësisë së plasaritjes sipas madhësisë maksimale të shufrës dhe
distancave midis tyre., rezistenca e betonit në tërheqje në kohën e paraqitjes së plasaritjeve të para,
16
, = ose më e ulet, ( ( )), nëse plasaritjet pritën më herët se 28 ditë.
Rekomandohet që ≥ 3.0 .
koeficienti i cili merr parasysh shpërndarjen jo lineare të sforcimeve në tërheqje, të cilat
çojnë në një reduktim, si ndryshimi i temperaturës dhe/ose tkurrja e elementeve.= 1 për prerje drejtkëndëshe me lartësi ℎ ≤ 300 dhe gjerësi ≤ 300= 065 për prerje drejtkëndëshe me lartësi ℎ ≥ 800 dhe gjerësi ≥ 300 ,
vlerat e ndërmjetme mund të interpolohen.
koeficient i cili merr parasysh shpërndarjen e sforcimeve brenda prerjes menjëherë para
paraqitjes së plasaritjeve të para.= 1: për sforcim të shkaktuara nga forca tërheqëse qendrore (tërheqje e pastër).
Në rastin e përkulës së pastër ose në kombinim me forca aksiale ky koeficient mund të llogaritet
nga rasti:
Për prerje drejtkëndëshe, brinjë të prerjes sanduk ose prerjes T:
= 0.4 1 − ℎℎ∗ , ≤ 1 (3.2.2)
Për fletë horizontale të prerjes sanduk dhe prerje T:
= 0.9 , ≥ 0.5 (3.2.3)
ku:
Vlera absolute e forcës në tërheqje brenda fletës horizontale menjëherë para plasaritjeve
për shkak të momentit të plasaritjes, llogaritur me effctf ,
sforcimet në qendrën e rëndesës së prerjes tërthore, ku:= ℎ (3.2.4)
vlera e forcës normale nga gjendja kufitare e shfrytëzimit. Kjo forcë duhet të caktohet
duke marrë parasysh vlerat karakteristike nga kombinimi përkatës i veprimeve.
gjerësia e prerjes.ℎ lartësia e prerjes.ℎ∗ ℎ∗ = ℎ ë ℎ < 1.0ℎ∗ = 1.0 ë ℎ ≤ 1.0koeficient i cili merr parasysh efektet e forcave aksiale në shpërndarjen e sforcimeve.
17
= 1.5 nëse është forcë në shtypje.= 2ℎ ∗ 2ℎ∗/3ℎ nëse është forcë në tërheqje.
Sipërfaqja minimale e armaturës së kërkuara për kufizimin e paraqitjes së plasaritjeve e
dhënë në barazimin (3.2.1) është i ngjashëm me shprehjen e armaturës minimale për pllaka dhe
trarë:
, ≥ 0.26 ≥ 0.013 (3.2.5)
Armatura minimale mund të zvogëlohet, ose të mos vendoset nëse deformimet e
dhunshme janë mjaft të vogëla që nuk shkaktojnë paraqitjen e plasaritjeve. Në kësi raste
duhet të sigurohet vetëm armatura minimale për pranimin e tërheqjes nga kufizimi i
deformimeve.
3.2.3 Kontrolli i plasaritjeve pa llogari direkte
Rregullat e dhëna në pikën 7.3.4 të EC2, për llogaritjen e gjerësisë së plasaritjeve, mund
të paraqiten të thjeshtuar në formë tabelore duke kufizuar diametrin e shufrave apo hapin e
shufrave të armaturës. Kështu, kontrolli i plasaritjeve pa llogari të drejtpërdrejtë mund të arrihet
në dy mënyra:
• Me kufizimin e diametrit maksimal të shufrave - duke përdor Tabelën 3.2.2
• Me kufizimin e distancës maksimale në mes të shufrave të armaturës-duke përdorur
Tabelën 3.2.3
Për elementet e armuara me armature minimale, e cila është siguruar sipas shprehjes së
mësipërme, , , gjerësia e plasaritjes konsiderohet se nuk ka nevoje të kontrollohet nëse
diametri maksimal i armaturës dhe distanca në mes të shufrave të armaturës është më i vogël se
vlerat e dhëna në këto tabela përkatëse. Diametri maksimal i armaturës dhe distanca në mes të
shufrave është dhënë në varësi të sforcimeve në çelik. Në formë grafike një marrëdhënie e tillë
është dhënë në Figurën 3.2.3a, përkatësisht Figurën 3.2.3b. Ku nderja në çelik, , është vlera e
fituar menjëherë pas formimit të plasaritjes nga kombinimi përkatës i veprimeve. Vlera më e vogël
e sforcimeve mundet të jetë me kusht që të plotësohet vlera kufitare e gjerësisë së plasaritjeve të
dhënë në tabelën vijuese.
18
Tabela 3.2.2. Diametrit maksimal i shufrave ∅ për kontrollin e plasaritjeve
Sforcimet në çelik( )
Diametrit maksimal i shufrave (mm)W . W . W .160 40 32 25200 32 25 16240 20 16 12280 16 12 8320 12 10 6360 10 8 5400 8 6 4450 6 5 -
Vlerat në tabelë janë të bazuara në supozimet e mëposhtme:= 25mm; , = 2.9 MPa; ℎ = 0.5h; (ℎ − ) = 0.1ℎ; = 0.8;= 0,5; = 0,4; = 1,0; = 0,4, dhe = 1,0
Figura 3.2.3a Diametrit maksimal i shufrave ∅ për kontrollin e plasaritjeve
Tabela 3.2.3 Distanca maksimal në mes shufrave për kontrollin e plasaritjeve
Sforcimet në çelik( )
Diametrit maksimal i shufrave (mm)
. . .160 300 300 200200 300 250 150240 250 200 100280 200 150 50320 150 100 -360 100 50 -
Sforcimet në çelik, s (N/mm2)
wk=0.2 mm
wk=0.3 mm
wk=0.4 mm
19
Figura 3.2.3b Distanca maksimal në mes shufrave për kontrollin e plasaritjeve
Diametri maksimal i shufrave të dhënë në tabela mund të modifikohet si vijon:
Përkulje (të paktën një pjesë e prerjes në shtypje):
= ∗ ,2.9 ℎ2(ℎ − ) (3.2.6)
Tërheqje (tërheqje aksiale e njëtrajtshme):
= ∗ ,2.9 ℎ8(ℎ − ) (3.2.7)
ku:
diametri maksimale i korrigjuar i shufrës∗ diametri maksimal i shufrës së dhënë në tabelëℎ lartësia e prerjes tërthoreℎ lartësia e zonës së tërhequr para plasaritjeve, duke marrë parasysh vlerat karakteristike
të paranderjes dhe forcave aksiale nga kombinimi thuajse i përhershëm i veprimeve.
lartësia statike e prerjes
Trarët me lartësi 1.0m e më shumë, ku armatura kryesore është e vendosur vetëm në një
pjesë të zonës së tërhequr, për kufizimin e plasaritjeve duhet të kenë armature plotësuese jashtë
zonës së tërhequr të prerjes. Kjo armature duhet të shpërndahet në lartësi të prerjes, mes aksit
neutral dhe armaturës së tërhequr dhe duhet të vendoset brenda stafave.
Sipërfaqja e armaturave nuk duhet të jetë më e vogël se vlera e fituar e , , duke marr
koeficientin = 0.5 dhe = .
Diam
etri
mak
sim
al i
shuf
rave
(mm
)
Sforcimet në çelik (MPa)
400350300250200
50
150
150
100
wk =0.3200
wk = 0.4250
300
wk = 0.2
20
Distancën dhe profili i shufrave mund të merret nga tabelat e dhëna më lartë, duke supozuar
tërheqjen e pastër dhe sforcimet në armature sa gjysma e vlerës së llogaritur të armaturës kryesore
tërheqëse.
Plasaritje për shkak të efekteve të veprimit tangjencial mund të supozohet se jenë të
kontrolluara në mënyrë adekuate nëse janë zbatuar rregullat e dhëna në EC2.
Për elementet pa armature tërthore (pllakat) dhe të elementet për të cilat vlen > ,
kontrolla e gjendjes kufitare të paraqitjes së plasaritjeve nuk është e nevojshme në rastin kur3 > . Në atë rast nuk është e nevojshme të llogaritën plasaritjet që mvaren prej distancës
mes stafave, pasi që për ngarkesa eksploatuese në element nuk do të ketë plasaritje nga
transversalja.
Në tabelën vijuese është dhënë distanca mes stafave për kontrollin e plasaritjeve nga
transversalët.
Tabela 3.2.4 Distanca në mes stafave për kontrollin e plasaritjeve nga transversaletV − 3 /( )(N/mm2)
Distanca në mes shufrave(mm)
≤50 30075 200
100 150150 100200 50
Përqindja e armimit për transversale është:= ( sin ) (3.2.8)
ku:
sipërfaqja e armaturës për transversale në gjatësi
hapi i stafave.
gjerësia e briut apo gjerësia minimale e elementit në lartësinë statike.
këndi mes armaturës për transversale dhe aksit të mbajtësit (për stafa vertikale= 90°).
Nga paraqitja e plasaritjeve ekziston rreziku potencial në prerjet ku paraqitet ndërrimi
rapid i sforcimeve si p.sh.
gjatë ndërrimit të prerjes,
në afërsi të forcës koncentrike,
21
në prerjet ku shufrat janë ndërprerë
në skajet e vazhdimeve të shufrave të shtypura
Në këto prerje duhet të ndërmerren masa shtesë që gjerësia e plasaritjeve të reduktohet
dhe kjo arrihet me armature shtesë të caktuar. Kujdes duhet të tregohet në fusha të tilla për të
minimizuar ndryshimet e sforcimeve kudo që të jetë e mundur. Megjithatë, rregullat për
kontrollin e plasaritjeve të dhënë më lart, normalisht do të sigurojnë kontroll të mjaftueshëm në
këto pika me kusht që rregullat për detalet e armimit të EC2 të zbatohen.
Për pllakat e armuara ose ato të paranderura që punojnë në përkulje, pa tërheqje të
rëndësishme aksiale, nuk janë të nevojshme masa të veçanta për të kontrolluar plasaritjet nëse
trashësia e plakës nuk e kalon vlerën 200 mm dhe nëse janë aplikua masat e parapara për
konstruimin dhe armimin e pllakave sipas EC2.
3.2.4 Llogaritja e gjerësisë së plasaritjeve
Gjerësia e plasaritjes, , mund të llogaritet nga shprehja:= , ( − ) (3.2.9)
ku:, hapësira maksimale në mes plasaritjeve
deformimi mesatar i armaturës nën kombinim përkatëse të ngarkesave, duke
përfshirë edhe efektin e deformimeve të imponuara dhe duke marrë parasysh efektet
e ngurtësisë në tërheqje. Konsiderohet vetëm deformimi shtesë në tërheqje përtej
gjendjes zero të deformimeve të betonit në të njëjtën nivel.
deformimi mesatar në beton ndërmjet plasaritjeve
Gjerësia e plasaritjes dhe diferenca në mes deformimeve në beton dhe deformimeve në
armaturë është dhënë në Figurën 3.2.4
22
Figura 3.2.4 Gjerësia e plasaritjes dhe diferenca në mes deformimeve në beton dhe armaturë
Deformimet efektive mund të llogariten nga shprehja:
− = − ,, 1 + , ≥ 0.6 (3.2.10)
ku:
sforcimet në armaturën e tërhequr duke supozuar një prerje të plasaritur.
raporti /, = / , përqindja efektive e armimit
, = +, (3.2.11)
sipërfaqja e armaturës së tërhequr brenda sipërfaqes efektive ,sipërfaqja e armaturës së paranderur brenda sipërfaqes efektive ,, = / , rasti pa paranderje
Ndikimi i kohëzgjatjes së ngarkesës= 0.6 ë ë0.4 ë ë ℎSipërfaqja efekteve e betonit në tërheqje për trarë, plaka dhe për elemente në tërheqje është
dhënë në Figurën 3.2.5.
Gjatësia
Defo
rmim
i
Plasaritja
≤S
Le Le
= ( − )
23
Figura 3.2.5a Sipërfaqja efektive e traut
Figura 3.2.5b Sipërfaqja efektive e pllakës
Figura 3.2.5c Sipërfaqja efektive e elementit në tërheqje
Për llogaritjen e sipërfaqes efekteve të betonit në tërheqje lartësia efektive merret nga
vlera minimale: ℎ , = min{2.5(ℎ − ); (ℎ − )/3; ℎ/2} (3.2.12)
Në situata ku armatura është e vendosur brenda zonës së tërhequr në distanca ≤ 5( + /2),
hapësira maksimale ndërmjet plasaritjeve llogaritet me anë të shprehjes:
, = + , (3.2.13)
ku:
Vlerat e rekomanduara për dhe janë 3.4 dhe 0.425, përkatësisht.∅ diametri i shufrave të armaturës (kur në prerje paraqiten profile të ndryshme, merret diametri
mesatar, ∅ ,). Për një shufër me diametër ∅ , dhe një shufër tjetër me diametër ∅shprehja pasuese është: = ++ (3.2.14)
shtresa mbrojtëse deri të armatura gjatësore
A
B
A - Niveli i qendrës së armaturës
B - sipërfaqja efektive në tërheqje, Ac,eff
h d
x
hcef
= 0
= 0B
h d
hc,ef
x
- sipërfaqja efektive në tërheqje, Ac,effB
C
h d
hc,ef
- sipërfaqja efektive në tërheqje përsipërfaqen e sipërme, Act,eff
B
d
hc,ef
- sipërfaqja efektive në tërheqje përsipërfaqen e poshtëme, Acb,eff
C
B
24
koeficient që merr parasysh karakteristikat e armaturës:= 0.5 ë ë ë ë1.0 ë ë ë ëkoeficient që merr parasysh shpërndarjen e deformimeve
= 0.5 ë1.0 ë ℎ( + )/2 ë ℎ
Figura 3.2.6 Hapësira maksimale ndërmjet plasaritjeve - gjerësia e plasaritjes
Në rastet kur hapësira ndërmjet shufrave të armaturës tejkalon vlerën 5( + /2), (shih
Figurën 3.2.6) ose kur nuk ka asnjë shufër të armaturës brenda zonës së tërhequr, hapësira maksimale
në mes plasaritjeve mund të caktohet nga shprehja:, = 1.3(ℎ − ) (3.2.15)
Nëse këndi midis aksit të sforcimit kryesor dhe drejtimit të armaturës, për elementet e armuar
në dy drejtime ortogonale, është i rëndësishëm (> 15°), atëherë hapësira midis plasaritjeve mund të
llogaritet nga shprehja e mëposhtme:
, = 1cos, , + sin, , (3.2.16)
ku:
këndi midis armaturës në drejtimin y dhe drejtimit të sforcimit kryesor në tërheqje
, , , , , hapësirat midis plasaritjeve në drejtimet dhe
C
E
ℎ −c
∅B
A
A -Aksi neutral
B - Sipërfaqja
C - Gjerësia e plasaritjes ngashprehja (7.14 EC2)
5( + ∅/2)D
D - Hapësira e plasaritjes ngashprehja (7.11 EC2)
E - Gjerësia aktuale
25
3.3 GJENDJA KUFITARE E DEFORMIMEVE
3.3.1 Kuptimet e përgjithshme
Me zhvillimin e teknologjisë së prodhimit të materialeve të ndërtimit dhe avancimin e
praktikës së ndërtimit është evidente se elementet e strukturave të betonit kanë rezultuar të jenë
më fleksibile. Këtu përfshihen mundësit e shfrytëzimit të betonit dhe çelikut me karakteristikat
të larta, dhe me këtë edhe mundësia e projektimit të elementeve me dimensione më të vogla.
Është e kuptueshme që duke marr parasysh këta faktor është i domosdoshëm edhe kontrollimi
e deformimeve maksimale të elementeve nga betoni i armuar përtej kufijve të pranueshëm. Për
elementet e dimensionuar sipas teorisë klasike, kontrolla e deformimeve për probleme praktike
ka qenë jo e obliguar, përveç për rastet me hapësira të mëdha. Kështu, pa arsye ka zotëruar
mendimi se me kufizimin e sforcimeve në beton dhe çelik sigurohet se edhe deformimet do të
jenë në kufijtë e lejuar. Nga ana tjetër, me llogaritjen e prerjes së elementeve nga betoni i
armuar sipas gjendjes kufitare të thyerjes, tregohet aftësia mbajtëse e elementit. Sipas kësaj
kërkese bazë, elementi strukturor duhet të verifikohet përsa i përket deformimit maksimal
brenda kufijve të pranueshëm e më këtë verifikohet funksionaliteti i elementeve në fazën e
eksploatimit.
Ka faktorë të shumtë që ndikojnë në madhësinë e deformimit. Këta faktorë janë shpesh
herë të lidhur dhe të ndërvarur me njeri tjetrin. Varësia e këtyre faktorëve me njeri tjetrin e
bënë parashikimin e deformimeve të vështirë. Faktorët kryesorë janë: sforcimet në tërheqje të
betonit, zvarritja (deformë-koha) dhe moduli i elasticitetit. Faktorë të tjerë përfshijnë: mënyrën
e kufizimeve në mbështetje, forma dhe madhësia e ngarkesës, kohëzgjatja e ngarkesës,
plasaritjet e betonit, tkurrje, kushtet e ambient, ngurtësia nga elementet e tjera, etj.
Trajtimi i deformimeve u referohet: zhvendosjeve (uljeve), lakueshmëria
(kurbatura),zgjatimet, shkurtimet, rrotullimi dhe ndryshimi i këndit të tangjentes në pikën e
caktuar të elementit, etj.
Njohja e madhësisë së zhvendosjeve është shumë e rëndësishme në projektimin dhe
ndërtimin i konstruksioneve prej betoni të armurë, sidomos të hapësirat e mëdha statike, të
konstruktimi i elementeve të holla dhe të ndërtimi montazh.
Parashikimi i zhvendosjeve është detyrë komplekse për faktin se në vlerën e sajë
ndikojnë disa faktor që ndryshojnë në gjatësi të elementit dhe në funksion të kohës. Për këtë
arsye është e vështirë të bëhet algoritmi për llogarinë e saktë të zhvendosjeve. Prandaj,
26
shfrytëzohen llogarit e përafërta të cilat mund të verifikohen me matjet në konstruksion para
se objekti të lëshohet në përdorim.
Madhësia e zhvendosjeve kryesisht varet nga vetit e materialit, madhësive gjeometrike
të elementit si dhe llojit dhe madhësisë së ngarkesës.
Deformimet e një elementi apo të një konstruksioni nga betonit i armuar janë të
kushtëzuar me funksionimin e duhur të objektit ose pamjen e tij. Deformimet nuk duhet të
tejkalojnë kufizimet që mund të vendosen nga elemente të tjera, të tilla si: muret ndarëse,
elementet e fasadës, shërbime të ndryshme gjatë realizimit të punëve ose përfundimit të tyre,
etj.. Në disa raste kufizimi mund të jetë i nevojshëm për të siguruar funksionin e duhur të
makinave apo aparaturave të mbështetur në struktura, ose për të shmangur grumbullimin e ujit
në kulmet e rrafshëta si dhe kërkesat tjera specifike.
Funksionimi i strukturës mund të dëmtohet në rastet kur uljet e llogaritura në elementet
e konstruksionit, nga veprimet përkatëse, tejkalon vlerën e raportit hapësirë/250. Në raste
praktike mund të përdoret edhe mbi ngritja e elementit të strukturës e cila sigurohet me pahi
(Figura 3.3.1). Mbi ngritja realizohet për shkak të kompensimit të një pjese ose tërë uljeve, por
nuk duhet të kalon vlerën e kufizimit të mësipërm.
Figura 3.3.1 Mbingritja dhe deformimet përkatëse
Deformimet (uljet) pas ekzekutimit të elementeve nga betoni i armuar, mund të
shkaktojnë dëmtime në mure ndarëse, grumbullimin e ujit mbi kulmet e rrafshëta apo dëmtime
tjera të ngjashme me to. Raporti hapësirë/500 është një kufi i preferuar për kombinimin kvazi
permanent. Kufiri i plotë varet prej natyrës së elementeve të cilat mund të jenë të deformuara,
mirëpo, kufi i preferuar konsiderohet kufi i logjikshëm. Kufizimi i deformimeve i dhëna më
lartë paraqet uljet kufitare sipas EC2. Kërkesa të veçanta për kufizimin e deformimeve dhe
vlerat përkatëse të kufizimeve mund të merren nga ISO 4356.
Deformimet përfundimtareDeformimet nga kombinimetquasi-permanente
Para instalimeve dhe ndarjeveMbingritja
27
Gjendja kufitare e deformimeve në përputhje me kërkesat e EC2 mund të kontrollohet nga
ose:
Duke kufizuar raportin hapësirë / lartësi efektive ose,
Duke krahasuar një deformim të llogaritur, me një vlerë kufitare
Deformimet aktuale mund të ndryshojnë nga vlerat e vlerësuara, veçanërisht nëse vlerat e
momenteve të aplikuara janë afër momentin të plasaritjeve. Në këto raste, dallimi i tyre do të
varet nga shpërndarje e karakteristikave të materialeve, kushtet e mjedisit, historia e ngarkesës,
kufizimet e mbështetjes, kushtet e tokës, etj.
3.3.2 Rastet kur llogaritjet mund të mos behën
Në përgjithësi, nuk është e nevojshme çdo herë për të llogaritur deformimet në mënyrë
eksplicite, sepse mund të formulohen rregulla të thjeshta, për shembull siç është raportit kufitar
hapësirë/lartësi, i cili në kushte normale do të jetë i përshtatshëm për të shmangur problemet
nga ulja. Vlerësime më rigoroze janë të nevojshme për raste të cilat shtrihen jashtë këtyre
kufijve, ose kur kërkohen vlera tjera kufitare të uljeve nga ato të cilat janë të thjeshtuara për
llogaritje.
Duke patur parasysh se trarët nga betoni i armuar apo pllakat e ndërtesave janë të
dimensionuar ashtu që përputhen me kufijtë e raportit të hapësirës dhe lartësisë në kërkesat e
EC2, mund të konsiderohet se deformimet e tyre nuk tejkalon kufizimet e përcaktuara:
hapësirë/250, përkatësisht hapësirë/500. Kufizimi i raportit hapësirë/lartësi mund të vlerësohet
duke përdorur shprehje (3.3.1a) dhe (3.3.1b) dhe duke e shumëzuar këtë me faktorët korrigjues
për llojin e çelikut të përdorura dhe variablave të tjera.
= 11 + 1.5 + 3.2 − 1 ≤ (3.3.1a)
= 11 + 1.5 − + 112 > (3.3.1b)
ku:/ raporti hapësirë/ lartësi
faktor i cili marrë parasysh sistemet e ndryshme strukturore
koeficienti referent i armimit = 0.001
28
koeficient i nevojshëm i armaturës në tërheqje në mes të hapësirë për të rezistuar
momentin përkatës nga ngarkesat e projektimit (në mbështetje për mbajtës konzollë)
koeficient i nevojshëm i armaturës në shtypje në mes të hapësirë për të rezistuar
momentin përkatës nga ngarkesat e projektimit (në mbështetje për mbajtës konzollë)
rezistenca karakteristike e betonit në shtypje, është në njësi MPa
Meqenëse vlera e lejuar e raportit hapësirë/lartësi është e varur nga koeficienti i armimit
dhe nga rezistenca e betonit, konsiderohet se është e përshtatshme për t'u përdor bllok diagrami
në Figurën 3.3.2, me vlerat e rekomanduara të parametrit . Kjo qasje është e bazuar në të
njëjtat ekuacionet themelore (3.3.1) dhe kufizimet e raportit hapësirë/lartësi.
Figura 3.3.2 Bllok diagrami - Procedura për vlerësimin e deformimeve
Shprehjet (3.3.1a) dhe (3.3.1b) janë nxjerrë në EC2, me supozimin se sforcimet në çelik
nga kombinimet e veprimeve sipas gjendjes kufitare të shfrytëzimit, janë 310 MPa, (që
korrespondon afërsisht me = 500 ). Kur përdoren nivele tjera të sforcimet në çelik,
atëherë vlerat e përdorura në shprehjes (5.1) duhet të shumëzohen me 310/ . (Faktori në
Figurën 3.3.2). Normalisht, do të jetë në favor të sigurisë të supozohet që:
Përcaktohet raporti l/d
Faktori F1: vetëm për pllakën kaseton apo të brinjëzuarF1= 1 - 0.1 ((beff / bw) -1) ≥ 0.8
Faktori F2: kur hapësira e pllakës kalon vlerën > 7mF2 = 7 / leff
Faktori F3: llogaritet për sforcimet në armaturëF3 = As,prov / As,req ≤ 1.5 ose 310 / ss ≤ 1.5 (UK NA)
Rritet As,prov
ose fck
A është l/d x F1 x F2 xF3 > Aktual l/d?
PO
JO
Kontrolla përfundon
29
310 = 500,, (3.3.2)
ku:
sforcimet në tërheqje të çeliku në mes të hapësirë (në mbështetje për mbajtës konzollë)
nga veprimet projektuese SLS,, sipërfaqja e çelikut të paraparë,
, sipërfaqja e nevojshëm e çelikut për gjendjen kufitare të thyerjes.
Vlerat e dhëna në barazimin (5.27) dhe algoritmin 5.8, për raste të veçanta, duhet të
reduktohen si më poshtë:
Për prerje T, ku raporti i gjerësisë efektive të fletës horizontale dhe gjerësisë së briut
është më i madhe se 3, ( / > 3), duhet të shumëzohet me 0,8. Për,
( / = 1) shumëzohen me 1. (Faktori F1 në Figurën 3.3.2).
Për trarë dhe pllaka me hapësira më të mëdha se 7m, përveç pllakave pa trarë, që mbajnë
mure ndërse duhet të shumëzohen me 7/ . ( në metra). (Faktori F2 në Figurën
5.2).
Për pllaka pa trarë ku hapësira më e madhe kalon 8,5 m, duhet të shumëzohen me8.5/ , ku në metra. (Faktori F2 në Figurën 3.3.2).
Vlerat e rekomanduara të parametrit K janë dhënë në Tabelën 3.3.1. Këto vlera janë fituar
në EC2 për raste të zakonshme: ( 30, = 310 ), sisteme të ndryshme strukturore dhe
koeficientin e armimit = 0.5% dhe = 1.5%).
Vlerat e lejuar të raportit hapësirë/lartësi ndikohen nga koeficienti i armimit (përqindja
e armaturës në tërheqje ( , / ) dhe nga rezistenca e betonit ( ). Nga paraqitja grafike e
këtyre vlerave (Figura 3.3.3), mund të caktohet vlera e raportit hapësirë (l)/lartësi(d).
30
Tabela 3.3.1 Raporti i lejuar hapësirë/lartësi efektive për betonin e armuar
Sistemi statik K Beton me sforcime të mëdha= . % Beton me sforcim të vogla= . %Trau i thjeshtë, pllaka embështetur lirisht që punon nënjë drejtim ose dy drejtime.
1.0 14 20
Hapësira e parë ose e fundit etraut kontinual apo e pllakëskontinuale që punon në njëdrejtim ose dy drejtime mekontinuitet nga ana më e gjatë.
1.3 18 26
Hapësira e brendshme e traut osee pllakës që punon në një drejtimose dy drejtime.
1.5 20 30
Pllaka pa trarë (bazuar nëhapësirën më të gjatë)
1.2 17 24
Konzola 0.4 6 8
Figura 3.3.3 Raporti hapësirë/lartësi efektive
Për të përcaktuar sforcimet në armaturë sipas Figurës 3.3.4, në fillim caktohet raporti i
veprimeve nga gjendja kufitare e thyerjes , dhe veprimeve nga gjendja kufitare e shfrytëzimit,
, përkatësisht raporti (G / ). Më pas, për vlerën përkatëse të koeficientit reduktues të
kombinimit , lexohen sforcimet në armaturën .
12
14
16
18
22
20
24
26
28
30
32
34
36
0.40%
0.60%
0.80%
1.00%
1.20%
1.40%
1.60%
1.80%
2.00%
Përqindja e armaturës në tërheqje (As,req’d/bd)
Fck=50
Fck=45
Fck=40
Fck=35
Fck=32Fck=30
Fck=28
Fck=25
Fck=20
Rapo
rti (
l/d)
31
Figura 3.3.4 Përcaktimi i sforcimeve në armaturë
3.3.3 Kontrollimi i deformimeve me llogaritje
3.3.3.1 Efektet e plasaritjeve në reagimin forcë-zhvendosje
Për të vlerësuar efektet e plasaritjes në sjelljen e prerjes tërthore po i referohemi
diagramit forcë-zhvendosje të një elementi nga betoni i armuar treguar në Figurën 3.3.5. Për
ngarkesa më të vogla se ngarkesa e plasaritjes, elementi është i pa plasaritur dhe ka sjellje
elastike. Pjerrtësia e dejëzës forcë-zhvendosje që shpreh gjendjen elastike (OA në Figurën
3.3.5) është në proporcion me momentin e inercisë së prerjes pa plasaritje, . Me rritjen e
mëtejshme të ngarkesës, në ,vjen çasti kur në prerjen më të ngarkuar paraqiten plasaritjet e
para. Në këtë fazë, kur momenti i përkuljes arrin vlerën , edhe sforcimet në tërheqje në
fibrat e skajshme të prerjes së betonit nga përkulja arrin vlerën e rezistencës në tërheqje të
betonit, , . Veç kësaj, me paraqitjen e plasaritjeve të para nuk është një ndryshim i papritur
në ngurtësinë lokale të elementit. Në prerjet që përmban plasaritje, ngurtësia në përkulje e
elementit bie në mënyrë të konsiderueshme, por pjesa tjetër e elementit mbetët e pa plasaritur.
Me rritjen e ngarkesës, formohen më shumë plasaritje. Kështu, ngurtësia mesatare në përkulje
e të gjithë elementit reduktohet. Nëse në prerjet e plasaritura të mbajtësit nga betoni nuk merret
parasysh rezistenca në tërheqje, marrëdhënia forcë-zhvendosje do të ndjekë vijën e ndërprerë
ACD (kur ≥ ), proporcionale me momentin e inercisë së prerjes së plasaritur . Prandaj,
aplikimi i ngurtësisë e prerjes tërthore me plasaritje të plotë ( ), nënvlerëson ngurtësinë
pas plasaritje, sepse betoni në tërheqje në mes plasaritjeve të para mbart sforcime për shkak të
= 0.6, 1.35= 0.6, 1.35= 0.3, 1.35= 0.2, 1.35
180
200
220
240
260
280
300
320
1.0 2.0
Raporti Gk / Qk
= 0.6, 1.25= 0.3, 1.25= 0.2, 1.25
3.0 4.0
Sfor
cim
etnë
arm
atur
ë, s
u
32
lidhjes midis armaturës në tërheqje dhe betonit. Me rritjen e momentit, ekziston një dobësim
graduale në lidhjen çelik-beton dhe ngurtësia mesatare në përkulje e gjithë elementin
reduktohet. Por, në rast se pas plasaritjes merret parasysh rezistenca në tërheqje ,marrëdhënia forcë-zhvendosje do të ndjekë vijën e ndërprerë AE. Në të vërtetë, sjellja reale
qëndron në mes të këtyre ekstremeve dhe është paraqitur në me vijën e plotë AB. Dallimi në
mes të sjelljes aktuale dhe sjelljes ku rezistenca në tërheqje e betonit nuk merret parasysh është
efekti i rezistencës në tërheqje-ngurtësim në tërheqje (dhe siç tregohet në figurë, është e
përfaqësuar me një reduktim në zhvendosjen për ∆).
Figura 3.3.5 Marrëdhënia e forcës (momentit) kundrejt–deformimit (Gilbert 2013)
Me rritjen e ngarkesës, sa më shumë plasaritje të paraqiten reduktohen sforcimet në
tërheqje dhe, kur modeli i plasaritjeve është zhvilluar plotësisht dhe numri i plasaritjeve është
stabilizuar, sjellja aktuale bëhet afërsisht paralel me sjelljen pa sforcime në tërheqje (OD në
Figurën 3.3.5).
Lidhur me modelimin e ngurtësimit në tërheqje, një trajtim që zakonisht përdoret në
llogaritjet e deformimeve për një element të plasaritur, përfshin përcaktimin e momentit të
inercisë së prerjes tërthore efektive ( ). Është evidente se momenti i prerjes tërthore efektive
të elementit pas plasaritjes është më i vogël se momenti i inercisë së prerjes pa plasaritje ( )
dhe më i madh se momenti i inercisë së prerjes plotësisht të plasaritur ( ). Vlera e momentit
të inercisë , mund të përcaktohet sipas formulimeve të ndryshme që rekomandohen në
literaturën përkatëse, duke përfshirë ekuacionin e njohur të formuluar nga Branson (1965) që
është i përfshirë në ACI 318-08. Një version i modifikuar i këtij formulimi është specifikuar në
AS3600-2009. Një nga këto formulime është propozuar së fundmi nga Bischoff (2005) dhe
0
EPa plasaritje
Deformimi
Nga
rkes
a
A
B
C
D
Reagimi aktual
Betoni pa sforcim nëtërheqje në zonën eplasaritur
Betoni pa sfocimnë tërheqje
Ngurtësimi nëtërheqje ∆
0 Kurbatura,
Mom
enti
A
B
A’
CKundrejt
Pa plasaritje
Betoni pa sforcimnë tërheqje
Ngurtësimi në tërheqje .
( )
( )( )
33
mund të fitohet nga referimet e trajtuar në EC2 (2004) për llogaritjen e deformimeve. Këto
formulime janë paraqitur dhe shqyrtuar në nën-seksionet e mëposhtme.
3.3.3.2 Kontrollimi i deformimeve sipas AS 3600-2009 dhe ACI 318-08
3.3.3.2.1 Deformimet afat-shkurtra
Sipas AS 3600-2009, deformimi afat-shkurtër i një trau mund të llogaritet duke përdorur
vlerën mesatare të modulit të elasticitetit të betonit në kohën e ngarkimit të parë, së bashku
me momentin e inercisë së prerjes efektive . Momenti i inercisë së prerjes efektive përfshin
një formulim empirike të momentit të inercisë së një elementi të plasaritur tek vlerësimi i
ngurtësimit në tërheqje. Për një prerje tërthore të caktuar, është llogaritur duke përdorur
formulimin sipas Bransonit (1965):= + ( − )( /( ∗ )) ≤ , (3.3.3)
ku:
është momenti i inercisë së prerjes plotësisht të plasaritur,
momenti i inercisë së prerjes pa plasaritje,∗ është momenti maksimal i përkuljes në prerjen e dhënë, i bazuar në ngarkesa afat shkurta
të gjendjes kufitare të shfrytëzimit,
është momenti i plasaritjes dhënë nga barazimi (3.3.4):= , − + / + ≥ 0 (3.3.4)
ku:
është momenti statik i prerjes pa plasaritje, referuar skajeve të fibrave në të cilat ndodh
plasaritja; , është rezistenca karakteristike në tërheqje nga përkulja, e cila vlerësohet
nga shprehja: , = 0.6 ;
është forca efektive e paranderjes (nëse ka);
është jashtëqendërsia prej paranderjes e matur nga aksi qendror i prerjes;
është sipërfaqja e prerjes tërthore pa plasaritje dhe
është nderja maksimale elastike në prerjen pa plasaritje e shkartuar nga tkurrja tek fibrat
ekstreme në të cilën ndodh plasaritje.
Në mungesë të vlerësimeve më të sakta përdoret shprehja:= 2.5 − 0.81 + 50 ∗ (3.3.5)
34
ku:
është koeficienti i armimit për armaturën e tërhequr ( + )/ ;
është koeficienti i armimit për armaturën e shtypur ( / );
është sipërfaqja e armaturës së tërhequr pa paranderje,
është sipërfaqja e armaturës së paranderë në zonën e tërhequr,
është sipërfaqja e armaturës së shtypur pa paranderje,
është moduli i elasticitetit të armaturës në Mpa, dhe∗ është deformimi final projektues nga tkurrja (pas 30 viteve).
Për elemente pa paranderje vlera maksimale e të një prerje tërthore në barazimin e
më sipërm është:, = kur = / ≥ 0.005 dhe , = 0.6 kur < 0.0053.3.3.2.2 Deformimet afatgjata
Për llogaritjen e deformimit afatgjatë, në AS 3600-2009 janë specifikuar dy qasje në
këtë standard. Për trarë nga betoni i armuar apo i paranderur, deformimi nga zvarrita dhe tkurrja
mund të llogaritet të ndara (duke përdorur të dhënat e materialit sipas standardit përkatës dhe
parimet e mekanikës). Nga ana tjetër, për trarë dhe pllaka nga betoni i armuar, deformimi shtesë
afatgjatë i shkaktuar nga zvarritja dhe tkurrja përafrohet duke shumëzuar deformimin
afatshkurtër ose të menjëhershme, të shkaktuarat nga ngarkesat afatgjate, me një koeficient
dhënë nga: = [2 − 1.2( / )] ≥ 0.8 (3.3.6)
ku:
është sipërfaqja e armaturës në zonën e shtypur të prerjes së plasaritur në mes aksit
neutral dhe fibrave ekstreme të shtypura dhe raporti / merret në mes të hapësirës
së traut të thjeshtë ose në mbështetje të mbajtësi konzolë.
Për një analizë më të plotë, ACI 318-08 specifikon edhe deformimin shtesë afatgjatë të
një pike C, që rezulton nga zvarritja dhe tkurrje e elementëve në përkulje, i cili mund të caktohet
duke shumëzuar deformimet afatshkurta të shkartuar nga ngarkesat afatgjata shumëzuar me
parametrin ∆:
35
∆ = (1 + (50 )/ ) (3.3.7)
ku: / merret në mes të hapësirës për një mbajtës të thjeshtë ose të vazhdueshme dhe
në mbështetje për mbajtës konzolë, dhe
faktori varet nga kohëzgjatja e ngarkesës:= 2 për pesë vjet ose më shumë,= 1.4 për një vit,= 1.2 për gjashtë muaj, dhe= 1 për tre muaj.
Sipas vlerësimeve të mësipërme, deformimi i varur nga koha (zhvendosja e një pike( ) , llogaritet nga shprehja: ( ) = ( ∆) ,Deformimet afatshkurta në sajë të ngarkesave afatgjata ( ) janë:( ) , = ( ) , + ( / )
Deformimi final afat-gjatë paraqet shumën e deformimit për shkak të ngarkesës
maksimale të shërbimit dhe deformimit të varur në kohë për shkak të zvarritës dhe tkurrjes:( ) = ( ) , + ( )5.3.3 Formulimi i rekomanduar nga Bischoff
Një model i përshtatshëm për , i propozua së fundmi nga Bischoff (2005), është fituar
nga referimet e trajtuar në Eurocodit 2 (2004). Në rastin e deformimit afat shkurtë, të një prerje
në zonën e plasaritur të elementi, për llogaritjen e deformimeve merret momenti i inercisë së
prerjes efektive nga shprehja:= 1 − 1 − ∗ ≤ 0.6(3.3.8)
Kufiri i sipërm i vlerës së , (= 0.6 ), është për shkak se vlera e është shumë e ndjeshme
në vlerën e llogaritur të .
Termi në ekuacionin (3.3.8) është përdorur për të konsideruar tkurrjen që shkakton
plasaritje dhe reduktimin e ngurtësimit në tërheqje me kalimin e kohës. Në qoftë se tkurrje nuk
ka ndodhur para ngarkimit të parë, deformimi i menjëhershëm pas ngarkimit mund të llogaritet
me = 1. Megjithatë, në praktikë, tkurrje të konsiderueshme zakonisht ndodhin para ngarkimit
36
të parë dhe është më pak se 1.0. Kur llogariten deformimet afatshkurta ose pjesë elastike e
deformimeve është rekomanduar që = 0.7 për më pak se 28 ditë dhe= 0.5 për më shumë se 6 muaj. Për llogaritje afatgjata, kur deformimi final është për t'u
vlerësuar, duhet të përdoret = 0.5.
Deformimet afat shkurta llogariten duke supozuar një ngurtësi mesatare uniforme për
hapësirë, ( ) . Për tra të thjeshtë apo pllakë, vlera mesatare ( ) e hapësirës
përcaktohet nga vlera e në mesin e hapësirë. Për fushat e brendshme të trarëve të
vazhdueshme ose pllakave, (Ief)av duhet të marrët sa gjysma e vlerës së hapësirës së mesme plus
një e katërta e vlerës në çdo mbështetje. Për fushën e fundit të mbajtësit ose pllakës ( )marrë sa gjysma e vlerës në hapësirën e mesme plus gjysma e vlerës në mbështetësin e
vazhdueshëm. Për një mbajtës konzol, ( ) është vlera në mbështetje.
Për ngarkesa afatgjata, Eurokodi 2 specifikon se ngarkesa e plotë, duke përfshirë
zvarritjen, shkakton deformime. Këto deformime llogariten duke përdorur një modul efektive
për beton, , .
3.3.3.4 Kontrollimi i deformimeve sipas Eurocodit 2
Nëse një llogaritje e elementit strukturor nga betoni i armuar konsiderohet e nevojshme,
deformimet duhet të llogariten në rrethanat e ngarkesave të cilat janë të përshtatshme për
qëllimin e kontrollit. Metoda e pranuar e llogaritjes duhet të përfaqëson sjelljen e vërtetë të
strukturës nën veprimet përkatëse me një saktësi të përshtatshme.
Elementet që nuk pritet të jenë të ngarkuar mbi nivelin e ngarkesës që do të shkaktonte
rezistencën në tërheqje të betonit, duhet të konsiderohet të jenë pa plasaritje. Elementet të cilat
pritet të jen të plasaritura, por nuk mund të plasariten plotësisht, do të sillen në një mënyrë të
ndërmjetme mes kushteve pa plasaritje dhe të plasaritura plotësisht. Për elementet e nënshtruar
kryesisht në përkulje, p.sh. zhvendosje e plotë = (zhvendosje me plasaritje + zhvendosje pa
plasaritje) për secilin efekt të veprimit është e barabartë me:= + (1 − ) (3.3.9)
ku:
parametër i një vlere të deformimit
vlera e deformimeve për prerje pa plasaritje
vlera e deformimeve për prerje me plasaritje
37
koeficient i shpërndarjes së plasaritjeve të prognoza e gjerësisë së plasaritjeve si në
Figurën 3.3.6.
Figura 3.3.6 Koeficient i shpërndarjes së plasaritjeve të prognoza e gjerësisë së plasaritjeve
Koeficient i shpërndarjes së plasaritjeve llogaritet nga relacioni i mëposhtëm:= 1 − (3.3.10a)
ku:
koeficient i shpërndarjes
koeficient i cili merr parasysh ndikimin e kohëzgjatjes së ngarkesës ose përsëritjen e
saj. Për ngarkesa afatshkurta = 1 dhe = 0.5 për ngarkesa afatgjata të veprimit apo
cikli i përsëritjes së ngarkesave.
sforcimet në armaturën e tërhequr, e llogaritura mbi bazën e një prerje të plasaritur
sforcimet në armaturën e tërhequr për prerjen me ngarkesë gjatë të cilës vjen të paraqitja
e plasaritjeve të para.
Relacioni / , mund të zëvendësohet me / për përkulje, ose me / për
tërheqje të pastër, ku është momenti i plasaritjes dhe është force e plasaritjes. Në rastin
e përkuljes do të kemi: = 1 − (3.3.10b)
Forma e diagramit forcë- deformim dhe lidhja e tyre me koeficientin e shpërndarjes së
plasaritjeve në barazimin 3.3.10a jepet në Figurën 3.3.7.
0 (1 − )
S
plasaritje plasaritje plasaritje
Sforcimet në beton
Sforcimetnë çelik
Idealizimi isforcimevenë çelik
38
Figura 3.3.7 Diagrami forcë - deformim dhe lidhja e tyre me koeficientin e shpërndarjes së
plasaritjeve
Deformimi për shkak të ngarkesave mund të vlerësohet duke përdor rezistencën në
tërheqje të betonit dhe modulin efektiv të elasticitetit. Sforcimet në armaturën e tërhequr për
prerjen me ngarkesë gjatë së cilës vjen te paraqitja e plasaritjeve të para janë:= ∗ (3.3.11)
Ndërsa momenti i prerjes gjatë llogaritjeve të para në beton llogaritën nga shprehja:= , ∗(3.3.12)
Ku rezistenca në tërheqje e betonit , 0.3 , ( në N/mm2)
Në rast se < , atëherë prerja mbetet në gjendjen e sforcimeve e (pa plasaritje),
përkatësisht, = 0.
Për të realizuar analizën e deformimeve afatgjate, krahas kombinimeve nga veprimet
për gjendjen kufitare të shfrytëzimit (SLS), elementet e strukturës u nënshtrohen efekteve të
zvarritjes dhe efekteve të tkurrjes së betonit. Kështu, vlerësimi i zhvendosjeve dhe deformime
në elementet nga betoni i armuar mund të bëhet duke kombinuar vlerat e fituara në dy raste
ekstreme. Këto dy raste kanë të bëjnë me: gjendjen I (pa plasaritje), në të cilën nuk janë të
pranishme plasaritjet dhe gjendjen II (me plasaritje).
Efekti nga zvarritja e betonit në kurbaturën e elementit merret duke përdor modulin
efektiv të elasticitetit të betonit sipas shprehjes:
Aktual
= 1 − (nga plasaritjet e para / rezultatet me plasaritje)2
Pa plasaritje
i plasaritur
= 0.0 për prerje pa plasaritje
= 1.0 për prerje plotësisht tëPlasaritu (në teori)
Deformimet
39
, = 1 + (∞, ) (3.3.13)
ku:
moduli sekant i elasticitetit : = + 8 ; ( dhe në N/mm2)(∞, ) koeficienti i zvarritjes për ngarkesës relevante dhe interval të kohës.
Për caktimin e koeficientit të zvarritjes (∞, ), sipas EC2, për beton nën kushtet
normale mjedisore, mund të përdoret procedura e dhënë në (Figurën 3.3.8)
100
50
30
20
105
3
2
1
01.06.0 5.0 4.0 3.0 2.07.0 (∞, )
S N R
Kushtet e brendshme - RH=50%
100 300 500 700 900 1100 1300 1500ℎ ( )
C20/25C25/30
C30/37
C40/50C45/55C50/60C55/67C60/75C70/85C80/95C90/105
C35/45
Shënim:- pika e ndërprerjes midis vijave 4 dhe 5 mund te jetëgjithashtu sipër pikës 1- për t0 > 100 është mjaft e saktë të supozohet t0 =100(dhe të përdoret vija e tangjentes)
1
2
5
4
3
40
Figura 3.3.8 Llogaritja e koeficientit të zvarritjes (∞, ), për beton në kushtet normale
mjedisore
Kurbëzimi (lakueshmëria) nga veprimet për gjendjen kufitare të shfrytëzimit dhe nga
efektet e zvarritjes
Vlera e saj mund të fitohet nga shprehja:1 = 1 + (1 − ) 1(3.3.14)
ku: = 1 − (3.3.15)
Kurbëzimi për gjendjen e sforcimeve I (pa plasaritje)1 = , (3.3.16)
Kurbëzimi për gjendjen e sforcimeve II (me plasaritje)1 = − = , (3.3.17)
Barazimi (3.3.14) është ilustruar në Figurën 3.3.9. Për 0 < < 1, diagrami moment-kurbaturë,
për > është paraqit me vijën (a).
100
50
30
20
10
5
3
2
1S N R
01.06.0 5.0 4.0 3.0 2.0(∞, )Kushtet e jashtme - RH=80%
13001100100 300
500
700
900 ℎ ( )1500
C35/45
C20/25C25/30C30/37
C40/50C45/55C50/60C55/67C60/75C70/85C80/95C90/105
41
Figura 3.3.9 Diagrami moment - kurbaturë
Kurbatura nga efektet e tkurrjes së betonit vlerësohet duke përdorur shprehjen:1 = (3.3.18)
ku:
kurbatura nga tkurrja
deformimi nga tkurrja
momenti statik i sipërfaqes së armaturës ndaj aksit neutral
momenti i inercisë së prerjes
është raporti efektive : effcse EE ,/= + është deformimi i plot nga tkurrja
deformimi nga tkurrja prej tharjes
deformimi nga tkurrja autogjen
Momenti i inercisë së prerjes , dhe momenti statik i sipërfaqes , duhet të llogariten
për gjendjen pa plasaritje dhe gjendjen me plasaritje. Prandaj, kurbatura nga tkurrja e betonit
duhet të llogaritet nga përdorimi i shprehjes (3.3.9), për gjendjen e sforcimeve I (pa plasaritje)
dhe gjendjen e sforcimeve II (me plasaritje) në formën:1 = 1, + (1 − ) 1, (3.3.17)
ku:
kurbatura nga tkurrja e betonit për gjendjen e sforcimeve I
A B B’
1/r
= 1= 0
(bI)
(a)
1/rcr,I 1/rcr,II1/rcr
M/EII
M/EIII
42
1, = ( ∗ ) (3.3.20)
kurbatura nga tkurrja e betonit për gjendjen e sforcimeve II1, = ( ∗ ) (3.3.21)
Mbi bazën e shprehjeve të mësipërme, për vlerën e lakueshmërisë totale mund të
shkruajmë: 1 = 1 + 1(3.3.18)
kurbatura (lakueshmëria) nga veprimet për gjendjen kufitare të shfrytëzimit dhe
deformë-koha e betonit
kurbatura (lakueshmëria) nga tkurrja e betonit
Duke llogaritur kurbaturën totale në disa prerje përgjatë elementit, deformimet
përkatëse mund të llogaritet me integrim numerik duke përdorur rregullin e trapezit.
Rrotullimi i pakorrigjuara në ndonjë pikë mund të fitohet nga integrali i parë të dhënë nga:
= + 1 + 12 (3.3.19)
Duke llogaritur rrotullimet e mësipërme, deformimet përkatës mund të merren nga
integrali i dytë të dhënë nga: = + +2 (3.3.20)
ku:
hapësira e elementit
tregon vlerat e parametrave në pjesën e konsideruar të hapësirë,
numri i ndarjeve të hapësirës
Për elemente nga betoni i armuar me lartësi konstante mund të përdoret metoda më e
thjesht për caktimin e uljeve. Llogaritja e uljes në pozitën e momentit maksimal caktohet nga
shprehja: = ∗ 1(3.3.21)
ku:
43
koeficient që varet prej skemës statike dhe ngarkesës (Tabela 3.3.2)
hapësira statike
Concrete Centre 2005, ka hartuar një numër tabelash të cilat përdorin metodën e dhënë
më posht për të kryerjen e llogaritjeve të deformimeve te sistemeve të ndryshme të pllakave
dhe trarëve.
44
Tabela 3.3.2 Koeficienti K për llogaritjen e uljeve
Tipi i ngarkesave Diagrami i momenteve përkulëse Koeficienti K
1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0.1253 − 4( / )48(1 − ( / ))
0.06250.125 − ( / ) /6
5/48
= ∗ /15.6 0.102= 548 (1 − 0.1 )
= | + |/| |Type equation here.= 0.083(1 − /4)= | + |/| |
= ∙ 24 3 − 4180 ∙ (5 − 4 )3 − 4
= ∙ Uljet në skaje= (3 − )6Ngarkesa në skaje = 0.333
= (4 − )12nëse = , = 0.25
L
L
Fa
L
Fa
L
F a
L
q
L
q
L
q
a a
L
q
a F
L/2 L/2
F
aq
= ∙2
45
4 METODOLOGJIA
Në këtë punim të diplomes metodologjia e zbatuar në përmbushjen e objektivave të këtij
hulumtimi, në masë të konsiderueshme është e bazuar në aspektin teorik dhe atë duke u
mbështetur në literaturen më të re shkencore. Sigurisht, vlenë të theksohet se ky punim më së
shumti është i bazuar në seksionet e Eurokodit 2: Projektimi i strukturave të betonit - Pjesa 1-
1: Rregullat e përgjithëshme dhe rregullat për ndërtesat.
Bazuar në pjesën teorike dhe të dhënat e fundit shkencore si pjesë përbërëse e punimit
të diplomës janë përgatitur edhe disa shembuj numerik të cilët janë zgjidhur bazuar në shprehjet
e EC2 dhe ndjekur procedurën e një bllok diagrami të dhënë në vazhdim të këtij punimi dhe në
të njejtën kohë janë kontrolluar edhe me software BETONexpress.
46
5 PREZANTIMI DHE ANALIZA E REZULTATEVE
5.1 Kontrollimi i deformimeve me llogaritje
Të llogaritet deformimi afatgjatë i një trau me prerje tërthore drejtkëndëshe si në Figurë.
Hapësira statike e mbajtësit është 9.0 metra. Mbajtësi është projektuar të mbajnë një ngarkesë
njëtrajtësisht të shpërndarë. Për këtë mbajtës momenti i përkuljes nga kombinimi kuazi-
permanente është MQP=190 kNm. Betoni C25/30 është i punuar me agregat normal. Skelet dhe
pahit e ndërtimit janë larguar në 28 ditë.
I. Llogaritja e lakueshmërisë në prerje për gjendjen e sforcimeve I (pa plasaritje)
Lakueshmëria nga veprimet për gjendjen kufitare të shfrytëzimit (MQP=190kNm) në
prerje pa plasaritje fitohet:1 = , ∗Nga tabela 3.1 (Table 3.1 Strength and deformation characteristics for concrete - EN
1992-1-1:2004) lexohet vlera:= 31.0Për trashësi mesatare ℎ të prerjes nga barazimi (2.16) :2 = (2 ∗ [650 ∗ 300])1900 = 205Për = 28 ë dhe C25/30, nga Figura 3.1 (Figure 3.1 Method for determining the
creep coefficient φ(∞,t0) for concrete under normal enviromental conditions - EN
1992-1-1:2004) fitohet koeficienti φ(∞,t0)=2.8 dhe kështu
b=300
d=55
0
h=65
0
5Ø25
As
47
, = 1 + (∞, ), = 31(1 + 1.8) = 8.15
Prandaj, lakueshmëria në prerje pa plasaritje është:(1/ ) = 190 ∗ 108.15 ∗ 10 (300 ∗ 650 )/12 = 3.39 ∗ 10II. Llogaritja e lakueshmërisë për gjendjen e sforcimeve II (prerja me plasaritje)
A. Llogaritet pozita e aksit neutral për prerje të plasariturë
Për prerje drejtkëndëshe të plasariturë pozita e aksit neutral llogaritet nga barazimi:
∗ ∗ 2 = ( − )ku: është raporti efektive: = / ,300 ∗ 2 = 1908.15 ∗ 2450 ∗ (550 − )= 305
B. Llogaritet momenti i inercisë së prerjes me plasaritje
Për prerje drejtkëndëshe momenti i inercisë së prerje me plasaritje është:= 3 + ( − )= 300 ∗ 3053 + 1908.15 ∗ 2450 ∗ (550 − 305)= 6265 ∗ 10
s
aksi neutral
X
d
b
h
sc
zona e shtypur
zona e tërhequr
c
48
C. Llogaritjet e lakueshmërisë për gjendjen e sforcimeve II (me plasaritje )(1/ ) = , ∗ = 190 ∗ 108.15 ∗ 10 ∗ 6265 ∗ 10 = 3.72 ∗ 10III. Llogaritja e lakueshmërisë për gjendjen me plasaritje dhe pa plasaritje
Lakueshmëria nga veprimet për gjendjen kufitare të shfrytëzimit dhe nga efektet e
deformëkohës:1 = 1 + (1 − )( 1ku: Koeficient i shpërndarjes së plasaritjeve, ,llogaritet nga relacioni:
= 1 −Relacioni , për përkulje, mund të zëvendësohet me :
= 1 − = 1 −A. Llogaritet momenti
Nga Tabela 3.1 (Table 3.1 Strength and deformation characteristics for concrete - EN
1992-1-1:2004) lexohet vlera e rezistencës në tërheqje e betonit fctm , ose nga shprehja
analitike:= 0.3 ∗= 2.6
Nga barazimi (3.36 )fitohet:= ∗ ℎ6 = 2.6 ∗ 300 ∗ 6506 ∗ 10 = 54.925B. Llogaritet koeficienti i shpërndarjes së plasaritjes,= 1 − = 1 − 0.5 ∗ 54.925190 = 0.95
49
C. Llogaritet lakueshmëria për gjendjen me plasaritje dhe pa plasaritje(1/ ) = (1/ ) + (1 − )( (1/ ) == 0.95 ∗ 3.72 ∗ 10 + (1 − 0.95) ∗ 3.39 ∗ 10 == 3.70 ∗ 10IV. Llogaritja e lakueshmërisë nga tkurrja e betonit
Lakueshmëria nga efektet e tkurrjes së betonit mund të vlerësohen duke përdorur
shprehjen:1 =A. Llogaritet lakueshmërisë nga tkurrja e betonit – me plasaritje1 =ku: momenti statik i sipërfaqes për gjendjen me plasaritje= ( − ) = 2450(550 − 305) = 600 ∗ 10Deformimi total nga tkurrja caktohet, për beton C25/30, kushte të brendshme RH-50%
dhe vlera e llogaritur më lartë e (2 )/ = 195 fitohet:≈ 470 ∗ 10prandaj:1 = 470 ∗ 10 ∗ 1908.15 ∗ 664 ∗ 106265 ∗ 10 = 1.16 ∗ 10B. Llogaritet lakueshmërisë nga tkurrja e betonit – pa plasaritje1 =ku: momenti statik i sipërfaqes për gjendjen pa plasaritje:= ( − ) = 2450 ∗ 550 − = 551.25 ∗ 10prandaj:1 = 470 ∗ 10 ∗ 1908.15 ∗ 551.25 ∗ 10300 ∗ 650 /12 = 0.87 ∗ 10
50
C. Llogaritet lakueshmëria nga tkurrja e betonit për gjendjen me plasaritje dhe
pa plasaritje(1/ ) = (1/ ) + (1 − )( (1/ ) == 0.95 ∗ 3.72 ∗ 1.16 ∗ 10 + (1 − 0.95) ∗ 0.87 ∗ 10 == 0.95 ∗ 10V. Llogaritja e lakueshmërisë totale
Nga vlera e fituar në C-III, (lakueshmërisë nga veprimet për gjendjen kufitare të
shfrytëzimit dhe nga efektet e deformëkohës): 1/r =3.07 x 10-6
Nga vlera e fituar në D-III, (lakueshmërisë nga tkurrja e betonit: 1/r =0.95 x 10-6
Lakueshmëria e totale: = 4.65 ∗ 10VI. Llogaritja e uljeve
Për elementin nga betoni i armuar me lartësi konstante, ulja në pozitën e momentit maksimal
caktohet nga shprehja:= ∗ 1ku:
koeficient që varet prej skemës statike dhe ngarkesës (Tabela 3.3.2). Për traun e thjesht
me ngarkesë konstante k=5/48=0.104
hapësira statike (l=9.0m) 1/rtot =4.65 x 10-6
Kështu, vlera e llogaritur e uljes është:
=0.104 x 90002 x 4.65 x 10-6
=39.17 mm
51
5.2 Llogaritja e gjerësisë së plasaritjeve
Të llogaritet gjerësia e plasaritjeve së një trau me prerje tërthore drejtkëndëshe si në
Figurë. Hapësira statike e mbajtësit është 9,0 metra. Për këtë mbajtës momenti i përkuljes nga
kombinimi pothuajse i përhershëm (kuazi-permanente) është MQP=600kNm. Betoni është
C25/30 dhe sipërfaqja e armaturës së vendosur është 3770 mm2.
I. Llogaritja e deformimeve efektive (Diferenca në mes deformimeve në beton dhe
deformimeve në armaturë)
Deformimet efektive llogariten nga shprehja:
− = − ,, 1 + , ≥ 0.6Nga tabela 3.1 (Table 3.1 Strength and deformation characteristics for concrete - EN
1992-1-1:2004) lexohet vlera:= 31.0 /Për trashësi mesatare ℎ0 të prerjes:2 = 2(1000 ∗ 400)2800 = 285Për = 28 ë dhe C25/30, nga Figura 3.1 (Figure 3.1 Method for determining the
creep coefficient φ(∞,t0) for concrete under normal enviromental conditions - EN
1992-1-1:2004) fitohet koeficienti φ(∞,t0)=2.8 dhe kështu
, = 311 + 2.63 = 8.54 /
aksi neutral
h d
b=400
h=10
00
d=90
0
3Ø40
As
X
Fsc
Fst=As
(d-x
/3)
52
A. Llogaritet pozita e aksit neutral për prerje të plasariturë
Për prerje drejtkëndëshe të plasariturë pozita e aksit neutral llogaritet nga
barazimi:∗ ∗ 2 = ( − )ku: është raporti efektive: = ,400 ∗ 2 = 2008.54 ∗ 3770 ∗ (900 − )= 447
B. Llogariten sforcimet në tërheqje të armaturës= − 3 = 600 ∗ 10900 − 4473 ∗ 3770 = 212 /C. Llogaritet diferenca ( − )
− = − ,, 1 + , ≥ 0.6ku: ndikimi i kohëzgjatjes së ngarkesës është= 0.4 (për ngarkesa afatë shkurta)
fct,eff = fctm nga tabela 3.1 (Table 3.1 Strength and deformation characteristics
for concrete - EN 1992-1-1:2004) lexohet vlera:
2.6 N/mm2
raporti: / = = 200/31 = 6.45përqindja efektive e armimit:
Për llogaritjen e sipërfaqes efekteve të betonit në tërheqje lartësia efektive
merret nga vlera min.:ℎ , = min{2.5(ℎ − ); (ℎ − )/3; ℎ/2}, = , = 37702.5(1000 − 900) ∗ 400 = 0.0377
fitohet:
53
− = 212 − 0.4 2.60.0377 (1 + 6.45 ∗ 0.0377)200 ∗ 10 ≥ 0.6 212200 ∗ 100.0171 ≥ 0.000636D. Llogaritet hapësira maksimale ndërmjet plasaritjeve
Për ≤ 5( + ∅/2), hapësira maksimale ndërmjet plasaritjeve llogaritet
me anë të shprehjes:, = + ∅/ ,Vlerat e dhe janë 3.4 dhe 0.425, përkatësisht., = 3.4 + 0.425 ∅/ ,ku:
shtresa mbrojtëse= 1000 − 900 − 40/2 = 80koeficient që merr parasysh karakteristikat e armaturës:
për armaturë të brinjëzuar: = 0.8koeficient që merr parasysh shpërndarjen e deformimeve:
për përkulje: = 0.5∅ = 40 diametri i armaturës
Prandaj:
, = 3.4 ∗ 80 + 0.425 ∗ 0.8 ∗ 0.5 ∗ 400.0377 = 252Vlera e fituar për krahasohet me ≤ 5( + ∅/2)252 ≤ 5( + /2) = 350Plotësim:
Për > 5( + ∅/2), hapësira maksimale ndërmjet plasaritjeve llogaritet
me anë të shprehjes:, = 1.3(ℎ − )E. Llogaritet gjerësia e plasaritjes
Gjerësia e plasaritjes, , llogaritet nga shprehja:= , ( − )= 0.001 ∗ 252 = 0.252
54
= 0.0252II. Vlerësimi i rezultatit me vlerën kufitare
Kjo vlerë e fituar krahasohet me vlerën kufitare (Tabela 3.2.1),
Nga ky krahasim rezulton se gjerësia e llogaritur e plasaritjes është më e vogël se
vlera kufitare = 0.3mm
55
5.3 Kontrolli i deformimeve dhe plasaritjeve
(Rasti kur llogaritjet mund të mos bëhen)
Të vlerësohet raporti hapësirë/lartësi i një plake kontinuale me hapësira statike l=5.9m
dhe lartësi statike h=35 cm. Pllaka është nën ndikimin e ngarkesave gk=9.0 kN/m2 dhe qk=4
kN/m2. Nga këto ngarkesa, sipas gjendjes kufitare të thyerjes armatura e nevojshme është
As,req=959 mm2/m dhe d=24cm. Materiali i përdorur është C30/37 dhe S500.
I. Kontrolli i deformimeve
Kontrollohet raporti themelor∗ ∗ ∗ ≥A. Llogaritet raporti themelor l/d
Koeficienti i armimit:= ,∗ = 959 ∗ 1001000 ∗ 240= 0.40%Raporti themelor
Nga figura:
Raporti themelor= 26 ∗ 1.3 = 31.4
56
(K=1.3 për hapësirat e fundit)
B. Llogaritet faktori F1
Për prerje T, ku raporti i gjerësisë efektive të fletës horizontale dhe gjerësisë së briut
është më i madhe se 3, (beff / bw > 3), duhet të shumëzohet me 0,8. Për (b/d=1.0)
F1=1.0
C. Llogaritet faktori F2
Për trarë dhe pllaka, përveç pllakave pa trarë, që mbajnë mure ndërse duhet të
shumëzohen me 7 / leff. ( l=5.9mm)
F2=1.0
D. Llogaritet faktori F3
Nga dimensionimi sipas gjendjes kufitare të thyerjes (ULS) (vlera e dhënë në
detyrë) As,req=959 mm2
Për të kontrolluar deformimet përvetësohet:
Ø 16/20 (As,prov=1005 mm2 )= , , = 1005959 = 1.05 ≤ 1.5E. Llogaritet vlera aktuale l/d
vlera aktuale:= 5900240 = 24.5kontrollohet:∗ ∗ ∗ ≥31.4 ∗ 1.0 ∗ 1.0 ∗ 1.05 ≥ 24.533.0 ≥ 24.5 (plotëson kushtin)
57
II. Kontrolli i plasaritjeve
A. Llogariten sforcimet në armaturë
Për të përcaktuar sforcimet në armaturë, në fillim caktohet raporti i veprimeve nga
gjendja kufitare e thyerjes, Gk, dhe veprimeve nga gjendja kufitare e shfrytëzimit, Qk,
përkatësisht raporti (Gk/Qk). Më pas, për vlerën përkatëse të koeficientit reduktues të
kombinimit 2, lexohen sforcimet në armaturën.
Raporti (Gk/Qk)= 8.5/4=2.13
Për hapësira të kategorisë B –Sipërfaqe për zyre (2=0.3)
Nga grafiku: σsu=253 Mpa
Kështu:= ∗ ,∗ ,= 252 ∗ 9591 ∗ 1005 = 240B. Kontrollohet gjerësia e plasaritjeve:
Për sforcimet në armaturë σs =240MPa dhe armaturën e përdorur Ø16/20, nga
tabela 3.5 dhe tabela 3.6, përkatësisht Figura 3.1 dhe Figura 3.2, rezulton se:
Projektimi i plotëson dy kriteret.
58
5.4 Prerje drejtkëndëshe (BETONExpress)
1. Beam_650x300
One span beam in composite loading(EC2 EN1992-1-1:2004, EC0 EN1990:2002, )
Reinforced concrete design
Concrete-Steel class: C25/30-B500C (EC2 §3)Environmental class : XC1 (EC2 §4.4.1)Concrete cover : Cnom=20 mm (EC2 §4.4.1)Concrete weight : 25.0 kN/m³γc=1.50, γs=1.15 (EC2 Table 2.1N)fcd=αcc·fck/γc=1.00x25/1.50=16.67 MPa (EC2 §3.1.6)fctd=αct·fctk0.05/γc=1.00x1.8/1.50=1.20 MPa (EC2 §3.1.6)
fyd=fyk/γs=500/1.15=435 MPa (EC2 §3.2.7)Modulus of elasticity of concrete Ecm=31.0GPa
Fcd
F sdS 1
C 2
A s2
A s1
h
b
d
d
d
n o mC
V
NM E d
E d
E d
2. Dimensions and loads
Beam : (rectangular section), span L=9.000 mL=9.000m, bw=0.300m, h=0.650mPartial safety factors for actions : γG=1.35, γQ=1.50 (EC0 Annex A1)Combination of variable actions : ψ0=0.70, ψ1=0.60, ψ2=0.30Effective depth of cross section d=h-d1, d1=Cnom+s+0.5=20+8+0.5x25=41mm
Beam loadsbeam self weight go= 4.88kN/muniform load g1= 4.50kN/m q1= 4.00kN/mtriangular load g2= 0.00kN/m q2= 0.00kN/mtriangular load g3= 0.00kN/m q3= 0.00kN/mtriangular load g4= 0.00kN/m q4= 0.00kN/mconcentrated load G1= 0.00kN Q1= 0.00kN x1= 0.000mconcentrated load G2= 0.00kN Q2= 0.00kN x2= 0.000m
g 1 , q 1 k N / m
g 3 , q 3 k N / m
g 4 , q 4 k N / m
g 2 , q 2 k N / m
G 1 , Q 1 k N
G 2 , Q 2 k N
Cross section values (area A, moment of inertia Iyy, centroid zc)Span-1 L= 9.000m, A=0.19500m²(1.95E+005mm²), Iyy=0.00687m4(6.87E+009mm4), zc=0.000m(0mm)
3. Ultimate limit state (ULS) (EC2 EN1992-1-1:2004, §6.1)
Load (STR) qed=γG·g+γQ·q=1.35g+1.50q
software by RUNET (c)EUROCODEexpress+EC
59
4. Design actions, shearing forces and bending moments, Ultimate limit state (ULS)
Bending moments and shears, load combination 1.35g+1.50q
x/L=0.00, x= 0.00m, Med= 0.00 kNm, Ved= 83.95 kNx/L=0.10, x= 0.90m, Med= 68.00 kNm, Ved= 67.16 kNx/L=0.20, x= 1.80m, Med= 120.89 kNm, Ved= 50.37 kNx/L=0.30, x= 2.70m, Med= 158.67 kNm, Ved= 33.58 kN
x/L=0.40, x= 3.60m, Med= 181.34 kNm, Ved= 16.79 kNx/L=0.50, x= 4.50m, Med= 188.89 kNm, Ved= 0.00 kNx/L=0.60, x= 5.40m, Med= 181.34 kNm, Ved= -16.79 kNx/L=0.70, x= 6.30m, Med= 158.67 kNm, Ved= -33.58 kNx/L=0.80, x= 7.20m, Med= 120.89 kNm, Ved= -50.37 kNx/L=0.90, x= 8.10m, Med= 68.00 kNm, Ved= -67.16 kNx/L=1.00, x= 9.00m, Med= 0.00 kNm, Ved= -83.95 kN
Med
Ved
VedA= 83.95 kN, VedB= 83.95 kN, maxMed= 188.89 kNm, maxVed= 83.95 kNMaximum span moment Med=188.89 kNm (x=4.500m)Maximum shear forces at distance d from support faceSpan-A, b/2+d=0.709m, VedA= 70.52kN, VedB= 70.52kNSpan-A, b/2 =0.100m, VedA= 82.27kN, VedB= 82.27kN
5. Span Ultimate limit state (ULS), design for bending (EC2 EN1992-1-1:2004, §6.1, §9.2.1)
Effective depth of cross section d1=Cnom+s+0.5=20+8+0.5x25=41mm, d2=41mm, d=650-41=609mmReinforcement for bending (only tension reinforcement is needed)Med=188.89kNm bw=300mm d=609mm Kd=0.768 x/d=0.13 εc2/εs1=-3.5/22.8 ks=2433, As1= 754mm²Minimum longitudinal tension reinf., As>=0.26bd·fctm/fyk, (As,min= 247mm²) (EC2 §9.2.1.1.1)Maximum tension or compression reinf., As<=0.04Ac , (As,max=7800mm²) (EC2 §9.2.1.1.3)Reinforcement for bending: (2455mm²) (bottom), ( 628mm²) (top)
6. Ultimate limit state (ULS), Design for shear (EC2 EN1992-1-1:2004, §6.2, §9.2.2)
Shear capacity without shear reinforcement Vrdc (EC2 §6.2.2)Vrdc=[Crdc·k·(100ρ1·fck)0.33+k1·σcp]·bw·d (EC2 Eq.6.2.a)Vrdc>=(vmin+k1·σcp)·bw·d (EC2 Eq.6.2.b)Crdc=0.18/γc=0.18/1.50=0.120, fck=25MPa ,bw=300mm, d=609mmk=1+(200/d)<=2, k=1.57, k1=0.15ρ1=As1/(bw·d)=2455/(300x609)=0.0134vmin=0.0350·k1.50·fck = 0.34N/mm², (EC2 Eq.6.3N)Vrd,c(min)=0.001x(0.34)x300x609=62.17kNVrdc=0.001x[0.120x1.57x(1.34x25)0.33]x300x609=111.05kNVed=70.52 kN <= Vrdc=111.05 kN, Ved<=Vrdc shear reinforcement is not needed
Concrete strut capacity Vrdmax (EC2 §6.2.3 Eq.6.9)Vrdmax=αcw·bw·z·ν1·fcd/(cotθ+tanθ), Ved/max(Vrdmax)=0.11, θ=21.8° cotθ=2.50 tanθ=0.40αcw=1.00 z=0.9d, fck=25.0<=60Mpa ν1=0.6[1-fck/250]=0.6[1-25/250]=0.540, fcd=16.67MpaVrdmax=0.001x1.00x300x0.9x609x0.540x16.67/2.90=510.8 kN
Minimum links for shear reinforcement (EC2 §9.2.2)Minimum shear reinforcement ratio ρw,min (EC2 Eq.9.5N)ρw,min=(0.08x(fck)0.5/fyk, fck=25N/mm², fyk=500N/mm², ρw,min=0.0008min Asw/s=1000x0.0008x300xsin(90°)= 240mm²/m
software by RUNET (c)EUROCODEexpress+EC
60
Maximum longitudinal spacing of links slmax=0.75d (<=600mm)=455mm (EC2 §9.2.2.6, Eq.9.6N)Maximum transverse spacing of link legs stmax=0.75d (<=600mm)=455mm (§9.2.2.8, Eq.9.8N)
Minimum shear reinforcement (Asw/s= 242mm²/m)
Span Shear reinforcement: (Asw/s= 242mm²/m)
7. Design actions, shearing forces and bending moments, Serviceability limit state (SLS)
Bending moments and shears, load combination 1.00g+0.30q
x/L=0.00, x= 0.00m, Med= 0.00 kNm, Ved= 47.59 kNx/L=0.10, x= 0.90m, Med= 38.55 kNm, Ved= 38.07 kNx/L=0.20, x= 1.80m, Med= 68.53 kNm, Ved= 28.55 kNx/L=0.30, x= 2.70m, Med= 89.94 kNm, Ved= 19.03 kN
x/L=0.40, x= 3.60m, Med= 102.79 kNm, Ved= 9.52 kNx/L=0.50, x= 4.50m, Med= 107.07 kNm, Ved= 0.00 kNx/L=0.60, x= 5.40m, Med= 102.79 kNm, Ved= -9.52 kNx/L=0.70, x= 6.30m, Med= 89.94 kNm, Ved= -19.03 kNx/L=0.80, x= 7.20m, Med= 68.53 kNm, Ved= -28.55 kNx/L=0.90, x= 8.10m, Med= 38.55 kNm, Ved= -38.07 kNx/L=1.00, x= 9.00m, Med= 0.00 kNm, Ved= -47.59 kN
Maximum span moment Med=107.07 kNm (x=4.500m)
8. Serviceability limit state (SLS) (EC2 EN1992-1-1:2004, §7)
L=9.000m, b=0.300m, h=0.650m, d=0.609mLeff=9.000m, , Med(SLS)=107.07 kNmFinal creep coefficient φ(,tο)=2.50 (EC2 §3.1.4, Annex B)Total shrinkage strain εcs=-0.30‰γc=1.00, γs=1.00 (EC2 §2.4.2.4.2)Modulus of elasticity of concrete Ecm=31.0GPa, Eceff=31.0/(1+2.50)=8.86GPa=8860MPa (EC2 Eq.7.20)
Modulus of elasticity of steel Es=200GPa=200000MPaModular ratio Es/Ec=200/31.0=6.45, effective Es/Ec,eff=200/8.86=22.57Tension reinforcement: (2455mm²), Compression reinforcement: ( 628mm²)Reinforcement ratio ρ=Αs1/(b·d)=2455/(300x609)=0.013, ρ'=Αs2/(b·d)=628/(300x609)=0.003
8.1. State I (uncracked section) (SLS)Bending stiffness of uncracked section, EI=(200/22.57)x(0.001x12.148)=107645 kNm²Ai=Ac+(n-1)(As1+As2), e=(n-1)(As1·y1s-As2·y2s)/Ai, I=Ic+b·h·e²+(As1·y1s²+As2·y2s²)(n-1)S=As.y2s=(0.001)²x2455x0.244=(0.001)x0.598 m³ , y2=284mm, y2s=y2-d2=284-40=244mm (EC2 Eq.7.21)Curvature due to moment 1/rM=107.07/107645=(0.001)x0.995 (1/m)Curvature due to shrinkage 1/rcs=(0.001x0.30)x22.57x(0.598/12.148)=(0.001)x0.334(1/m)Total curvature 1/r=(0.001)x0.995+(0.001)x0.334=(0.001)x1.328(1/m)Cracking moment, Mcr=fctm·(I/y2)=2.6x(12.148/0.284)=111.12 kNm
8.2. State II (fully cracked section) (SLS)ρ=0.013, ρ'=0.003, ρ'/ρ=0.231, n=αe=22.57, n·ρ=0.293, ξ=0.429, α=0.494, x=α·d=0.301mBending stiffness of fully cracked section, EI=ξ·Es·As·d²=0.429x200x2455x0.609²=78217 kNm²y2=(1-α)d=309mm, εs=y2·M/EI=(0.001)x309x107.07/78217=0.42S=As.y2=(0.001)²x2455x0.309=(0.001)x0.758 m³ (EC2 Eq.7.21)Curvature due to moment 1/rM=107.07/78217=(0.001)x1.369 (1/m)Curvature due to shrinkage 1/rcs=(0.001x0.30)x22.57x(0.758/8.828)=(0.001)x0.422(1/m)Total curvature 1/r=(0.001)x1.369+(0.001)x0.422=(0.001)x1.791(1/m)
Med=107.07 kNm, εc/εs=0.41/0.42, x=301mm, σs=84 N/mm²
software by RUNET (c)EUROCODEexpress+EC
61
8.3. Checking deflections without calculation (SLS) (EC2 EN1992-1-1:2004, §7.4.2)
l/d=K[11+1.5fck(ρo/(ρ-ρ'))+(1/12)fck(ρ'/ρo)]=15.07 (EC2 Eq.7.16b)fck=25.00N/mm², ρο=0.001x25.00=0.005, ρ=0.013, ρ'=0.003, ρ>ρo, K=1.0l/d=(310/σs)x(l/d), σs=84 N/mm², l/d=(310/84)x15.07=55.31 (EC2 Eq.7.17)leff/d=9.000/0.609=14.77 <= 55.31, Span/depth under limits
8.4. Checking deflections by calculation (SLS) (EN1992-1-1, §7.4.3)ζ=1-0.50·(Mcr/Med)²=1-0.50x(111.12/107.07)²=0.46 (Eq.7.19)Final curvature (1/r)=0.46x(0.001x1.791)+(1-0.46)x(0.001x1.328)=(0.001)x1.542(1/m) (Eq.7.18)β=(Ma+Mb)/Mc=(0.00+0.00)/107.07=0.00, k=0.104(1-0.00/10)=0.1040f=k·Leff²·(1/r)=0.1040x9.000²x1.542=12.99 mmf=12.99mm <= 1000x9.000/250=36.00mm, Deflection under limits
8.5. Minimum reinforcement areas (SLS) (EC2 EN1992-1-1:2004, §7.3.2)
Minimum reinforcement areas As,min=kc·k·fct,eff·Act/σs (EC2 Eq.7.1)b=0.300m, beff=0.300m, h=0.650m, d=0.609m, x=0.301m, =25mmNed=0.00kN, σc=(Ned/bh)=0.0N/mm², σs=fyd=435N/mm²Act=(h-x)·b=(650-301)x300=104721 mm²max(h,b1)=1mm, fctm=2.60N/mm², Act=104721mm², k=0.75, kc=0.40, k1=1.50Minimum reinforcement, As,min=0.40x0.75x2.60x104721/435=189mm²
8.6. Calculation of crack width (SLS) (EC2 EN1992-1-1:2004, §7.3.3)
wk=sr,max·(εsm-εcm) (EC2 Eq.7.8)εsm-εcm=[σs-kt·(fct,eff/ρeff)(1+αe·ρeff)]/Es >=0.6 σs/Es (EC2 Eq.7.9)σs=84N/mm², short term loading:Es/Ec=6.45, kt=0.6, long term loading:Es/Ec=22.57, kt=0.4Aceff=2.5(h-d)b=2.5x(650-609)x300=30375 mm² (§7.3.2.3)ρeff=As/Ac,eff=2455/30375=0.081εsm-εcm=[84-0.4x(2.6/0.081)(1+22.57x0.081)]/200=0.24‰ >= 0.6x84/200=0.25‰sr,max=k3·(Cnom+s)+k1·k2·k4·/ρeff (EC2 Eq.7.11)
=25mm, k1=0.8, k2=(e1+e2)/2e1=0.5, k3=3.4, k4=0.425sr,max=3.4x28.00+0.8x0.5x0.425x25/0.081=147.78 mmwk=sr,max·(εsm-εcm)=147.78x0.001x0.25=0.04 mmwk=0.04mm<=0.40mm=wmax, Environmental class: XC1, Crack width under limit
9. Reinforcing bar schedule
Num type reinforcing bar [mm] items g/m
[kg/m]
length
[m]
weight
[kg]
430 9160 430 1 (Span-1) 10 5 25 3.850 10.020 192.899160
2 (Span-1) 8 2 20 2.470 9.160 45.25
80250
58025058080
3 (Span-1) 9 22 8 0.395 1.820 15.82
Total weight [kg] 253.96
software by RUNET (c)EUROCODEexpress+EC
62
5.5 Prerje T në fushë (BETONExpress)
1. EC2-BEAM-003
Design of beam section for bending(EC2 EN1992-1-1:2004, EC0 EN1990:2002, )
bxh=0.250x0.500 m, Med=100.00 kNm,beff=1.250 m, hf=0.180 m
Ved= 0.00 kN, Ned= 0.00 kNReinforced concrete design
Concrete-Steel class: C25/30-B500C (EC2 §3)Environmental class : XC1 (EC2 §4.4.1)Concrete cover : Cnom=20 mm (EC2 §4.4.1)γc=1.50, γs=1.15 (EC2 Table 2.1N)fcd=αcc·fck/γc=1.00x25/1.50=16.67 MPa (EC2 §3.1.6)
fctd=αct·fctk0.05/γc=1.00x1.8/1.50=1.20 MPa (EC2 §3.1.6)fyd=fyk/γs=500/1.15=435 MPa (EC2 §3.2.7)Modulus of elasticity of concrete Ecm=31.0GPa
Fcd
FsdS1
C2
V
N
As2
M sd
As1
sd
sd
d
d
dh
b
fh
nomCbw
2. Dimensions and loads
Beam web width bw=0.250 m, beam height h=0.500 mEffective flange width beff=1.250 m, slab thickness hf=0.180 mEffective depth of cross section d1=Cnom+s+0.5=20+8+0.5x16=36mm, d2=36mm, d=500-36=464mm
Ultimate limit state (ULS)Bending moment Med=100.00kNm, Shear Ved=0.00kN, Axial force Ned=0.00kN (compression)
Serviceability limit state (SLS)Bending moment Med=70.00kNm, Shear Ved=0.00kN, Axial force Ned=7.00kN (tension)
3. Ultimate limit state (ULS), design for bending (EC2 EN1992-1-1:2004, §6.1, §9.2.1)
Effective depth of cross section d1=Cnom+s+0.5=20+8+0.5x16=36mm, d=500-36=464mmReinforcement for bending (only tension reinforcement is needed)Dimensioning for bending: Allgower,G.-Avak,R. Bemessungstafeln nach Eurocode 2fur Rechteck und Plattenbalkenquerschnitte, In: Beton - und Stahlbetonbau 87 (1992)Med=100.00kNm beff=1250mm d=464mm Kd=1.640 x/d=0.05 εc2/εs1=-1.1/20.0 ks=2341, As1= 505mm²x=0.05x464=23<hf=180mm neutral axis within the depth of top flange
Minimum longitudinal tension reinf., As>=0.26bd·fctm/fyk, (As,min= 157mm²) (EC2 §9.2.1.1.1)Maximum tension or compression reinf., As<=0.04Ac , (As,max=5000mm²) (EC2 §9.2.1.1.3)
Reinforcement for bending: ( 534mm²) (bottom)
3.1. Ultimate moment capacity of cross section (EC2 EN1992-1-1:2004, §6.1)
bw=250mm, h=500mm, bf=1250mm, hf=180mm, d=464mm, As1=534mm², As2=0mm²εc2=-1.11‰, εs1=19.77‰, As1/b·d=0.00092(0.092%)x/d=εc2/(εc2+εs1)=1.11/(1.11+19.77)=0.053, x=24.7mmar=0.452, ka=0.352, Fc=ar·b·x·fcd=Fs1=232.49kN, As1=Fs1/fyd=534mm²z=d-ka·x=([1-ka·εc2/(εc2+εs1)]d, z/d=1.0-0.352x0.053=0.981, z=455.3mm,Kd²=1/(0.452·0.053·0.981·16.67)=2.542 mm²/N, Kd=1.594
Bending capacity Mr=b·d²/Kd²=[10-6]x1250x464²/2.542=106.00kNmx=24.7 mm<= Hf= 180mm neutral axis in flangeBending capacity (εc2/εs1=1.11/19.77) Mr =106.00kNm
software by RUNET (c)EUROCODEexpress+EC
63
4. Shear between web and flanges (EC2 EN1992-1-1:2004, §6.2.4)
Fc=Fs=0.001x534x435=232 kNΔFd=Fc·(beff-bw)/(2beff)=232.0x(1250-250)/(2x1250)=93kNBeam span L=6.00 m, Δx=1.00x6.00/4=1.50 m (EC2 §5.3.2.1)Vrdmax=ν·hf·fcd·sinθ·cosθ, fcd=16.67Mpa, θ=26.5°ν=0.6(1-fck/250)=0.54 (EC2 Eq.6.6N)Vrdmax=0.54x180x16.67xsin26.5°xcos26.5°=647kN/m (EC2 Eq.6.22)
ΔFd/Δx=93/1.50=62<=Vrdmax=647 kN/m, the check is verifiedTransverse reinforcement per unit length Asf/sf (EC2 Eq.6.21)Asf/sf=1000x62/(435xcot26.5°)= 71mm²/mMinimum reinforcement:Asmin=ρwmin·hc·b (EC2 §9.2.2.5)ρwmin=0.08fck/fyk=0.0825/500=0.0008Asmin=ρwmin·hc·b= 0.0008x180x1000= 144mm²/mTransverse reinforcement Asf/sf= ( 186mm²/m)
ΔFd/Δx=62<=0.40·hf·Fctd=0.40x180x1.20=86 kN/m (EC2 §6.2.4.5)In case of transverse flexural reinforcement from plate bending,No extra reinforcement is needed (EC2 §6.2.4.6)
5. Serviceability limit state (SLS) (EC2 EN1992-1-1:2004, §7)
Med(SLS)=70.00 kNm, Ned(SLS)=7.00 kNFinal creep coefficient φ(,tο)=2.50 (EC2 §3.1.4, Annex B)Total shrinkage strain εcs=-0.30‰γc=1.00, γs=1.00 (EC2 §2.4.2.4.2)Modulus of elasticity of concrete Ecm=31.0GPa, Eceff=31.0/(1+2.50)=8.86GPa=8860MPa (EC2 Eq.7.20)Modulus of elasticity of steel Es=200GPa=200000MPa
Modular ratio Es/Ec=200/31.0=6.45, effective Es/Ec,eff=200/8.86=22.57Tension reinforcement: ( 534mm²)Reinforcement ratio ρ=Αs1/(b·d)=534/(1250x464)=0.001
5.1. State I (uncracked section) (SLS)Bending stiffness of uncracked section, EI=(200/22.57)x(0.001x5.582)=49466 kNm²Ai=Ac+(n-1)(As1+As2), e=(n-1)(As1·y1s-As2·y2s)/Ai, I=Ic+b·h·e²+(As1·y1s²+As2·y2s²)(n-1)S=As.y2s=(0.001)²x534x0.284=(0.001)x0.152 m³ , y2=320mm, y2s=y2-d2=320-36=284mm (EC2 Eq.7.21)Curvature due to moment 1/rM=70.00/49466=(0.001)x1.415 (1/m)Curvature due to shrinkage 1/rcs=(0.001x0.30)x22.57x(0.152/5.582)=(0.001)x0.184(1/m)Total curvature 1/r=(0.001)x1.415+(0.001)x0.184=(0.001)x1.599(1/m)Cracking moment, Mcr=fctm·(I/y2)=2.6x(5.582/0.320)=45.29 kNm
5.2. State II (fully cracked section) (SLS)ρ=As/(b·d)=0.001, n=αe=22.57, n·ρ=0.023, ξ=0.757, α=0.191, x=α·d=0.089mBending stiffness of fully cracked section, EI=ξ·Es·As·d²=0.757x200x534x0.464²=17415 kNm²y2=(1-α)d=375mm, εs=y2·M/EI=(0.001)x375x70.00/17415=1.51S=As.y2=(0.001)²x534x0.375=(0.001)x0.200 m³ (EC2 Eq.7.21)Curvature due to moment 1/rM=70.00/17415=(0.001)x4.020 (1/m)Curvature due to shrinkage 1/rcs=(0.001x0.30)x22.57x(0.200/1.966)=(0.001)x0.243(1/m)Total curvature 1/r=(0.001)x4.020+(0.001)x0.243=(0.001)x4.263(1/m)
Med=70.00 kNm,, Ned=7.00kN, εc/εs=0.35/1.51, x=87mm, σs=303 N/mm²
5.3. Checking deflections by calculation (SLS) (EN1992-1-1, §7.4.3)ζ=1-0.50·(Mcr/Med)²=1-0.50x(45.29/70.00)²=0.79 (Eq.7.19)Final curvature (1/r)=0.79x(0.001x4.263)+(1-0.79)x(0.001x1.599)=(0.001)x3.705(1/m) (Eq.7.18)
software by RUNET (c)EUROCODEexpress+EC
64
5.4. Minimum reinforcement areas (SLS) (EC2 EN1992-1-1:2004, §7.3.2)
Minimum reinforcement areas As,min=kc·k·fct,eff·Act/σs (EC2 Eq.7.1)b=0.250m, beff=1.250m, h=0.500m, d=0.464m, x=0.087m, =14mmNed=7.00kN, σc=(Ned/bh)=-0.1N/mm², σs=fyd=435N/mm²Act=(h-x)·b=(500-87)x250=103227 mm²max(h,b1)=1mm, fctm=2.60N/mm², Act=103227mm², k=0.86, kc=0.41, k1=1.50Minimum reinforcement, As,min=0.41x0.86x2.60x103227/435=218mm²
5.5. Calculation of crack width (SLS) (EC2 EN1992-1-1:2004, §7.3.3)
wk=sr,max·(εsm-εcm) (EC2 Eq.7.8)εsm-εcm=[σs-kt·(fct,eff/ρeff)(1+αe·ρeff)]/Es >=0.6 σs/Es (EC2 Eq.7.9)σs=303N/mm², short term loading:Es/Ec=6.45, kt=0.6, long term loading:Es/Ec=22.57, kt=0.4Aceff=2.5(h-d)b=2.5x(500-464)x250=22500 mm² (§7.3.2.3)ρeff=As/Ac,eff=534/22500=0.024εsm-εcm=[303-0.4x(2.6/0.024)(1+22.57x0.024)]/200=1.18‰ >= 0.6x303/200=0.91‰sr,max=k3·(Cnom+s)+k1·k2·k4·/ρeff (EC2 Eq.7.11)
=13mm, k1=0.8, k2=(e1+e2)/2e1=0.5, k3=3.4, k4=0.425sr,max=3.4x28.00+0.8x0.5x0.425x13/0.024=188.32 mmwk=sr,max·(εsm-εcm)=188.32x0.001x1.18=0.22 mmwk=0.22mm<=0.40mm=wmax, Environmental class: XC1, Crack width under limit
software by RUNET (c)EUROCODEexpress+EC
65
5.6 Prerje T mbi mbështetës (BETONExpress)
1. EC2-BEAM-004
Design of beam section for bending, and shear(EC2 EN1992-1-1:2004, EC0 EN1990:2002, )
bxh=0.250x0.500 m, Med=100.00 kNm,beff=1.250 m, hf=0.180 m
Ved= 30.00 kN, Ned= 0.00 kNReinforced concrete design
Concrete-Steel class: C25/30-B500C (EC2 §3)Environmental class : XC1 (EC2 §4.4.1)Concrete cover : Cnom=20 mm (EC2 §4.4.1)γc=1.50, γs=1.15 (EC2 Table 2.1N)fcd=αcc·fck/γc=1.00x25/1.50=16.67 MPa (EC2 §3.1.6)
fctd=αct·fctk0.05/γc=1.00x1.8/1.50=1.20 MPa (EC2 §3.1.6)fyd=fyk/γs=500/1.15=435 MPa (EC2 §3.2.7)Modulus of elasticity of concrete Ecm=31.0GPa
Fcd
FsdS1
C2
V
N
As2
M sd
As1
sd
sd
d
d
dh
b
fh
nomCbw
2. Dimensions and loads
Beam web width bw=0.250 m, beam height h=0.500 mEffective flange width beff=1.250 m, slab thickness hf=0.180 mEffective depth of cross section d1=Cnom+s+0.5=20+8+0.5x16=36mm, d2=36mm, d=500-36=464mm
Ultimate limit state (ULS)Bending moment Med=100.00kNm, Shear Ved=30.00kN, Axial force Ned=0.00kN (compression)
Serviceability limit state (SLS)Bending moment Med=70.00kNm, Shear Ved=30.00kN, Axial force Ned=0.00kN (compression)
3. Ultimate limit state (ULS), design for bending (EC2 EN1992-1-1:2004, §6.1, §9.2.1)
Effective depth of cross section d1=Cnom+s+0.5=20+8+0.5x16=36mm, d=500-36=464mmReinforcement for bending (only tension reinforcement is needed)Dimensioning for bending: Allgower,G.-Avak,R. Bemessungstafeln nach Eurocode 2fur Rechteck und Plattenbalkenquerschnitte, In: Beton - und Stahlbetonbau 87 (1992)Med=100.00kNm beff=1250mm d=464mm Kd=1.640 x/d=0.05 εc2/εs1=-1.1/20.0 ks=2341, As1= 505mm²x=0.05x464=23<hf=180mm neutral axis within the depth of top flange
Minimum longitudinal tension reinf., As>=0.26bd·fctm/fyk, (As,min= 157mm²) (EC2 §9.2.1.1.1)Maximum tension or compression reinf., As<=0.04Ac , (As,max=5000mm²) (EC2 §9.2.1.1.3)
Reinforcement for bending: ( 534mm²) (bottom)
3.1. Ultimate moment capacity of cross section (EC2 EN1992-1-1:2004, §6.1)
bw=250mm, h=500mm, bf=1250mm, hf=180mm, d=464mm, As1=534mm², As2=0mm²εc2=-1.11‰, εs1=19.77‰, As1/b·d=0.00092(0.092%)x/d=εc2/(εc2+εs1)=1.11/(1.11+19.77)=0.053, x=24.7mmar=0.452, ka=0.352, Fc=ar·b·x·fcd=Fs1=232.49kN, As1=Fs1/fyd=534mm²z=d-ka·x=([1-ka·εc2/(εc2+εs1)]d, z/d=1.0-0.352x0.053=0.981, z=455.3mm,Kd²=1/(0.452·0.053·0.981·16.67)=2.542 mm²/N, Kd=1.594
Bending capacity Mr=b·d²/Kd²=[10-6]x1250x464²/2.542=106.00kNmx=24.7 mm<= Hf= 180mm neutral axis in flangeBending capacity (εc2/εs1=1.11/19.77) Mr =106.00kNm
software by RUNET (c)EUROCODEexpress+EC
66
4. Ultimate limit state (ULS), Design for shear (EC2 EN1992-1-1:2004, §6.2, §9.2.2)
Shear capacity without shear reinforcement Vrdc (EC2 §6.2.2)Vrdc=[Crdc·k·(100ρ1·fck)0.33+k1·σcp]·bw·d (EC2 Eq.6.2.a)Vrdc>=(vmin+k1·σcp)·bw·d (EC2 Eq.6.2.b)Crdc=0.18/γc=0.18/1.50=0.120, fck=25MPa ,bw=250mm, d=464mmk=1+(200/d)<=2, k=1.66, k1=0.15ρ1=As1/(bw·d)=534/(250x464)=0.0046vmin=0.0350·k1.50·fck = 0.37N/mm², (EC2 Eq.6.3N)Vrd,c(min)=0.001x(0.37)x250x464=42.92kNVrdc=0.001x[0.120x1.66x(0.46x25)0.33]x250x464=52.16kNVed=30.00 kN <= Vrdc=52.16 kN, Ved<=Vrdc shear reinforcement is not needed
Concrete strut capacity Vrdmax (EC2 §6.2.3 Eq.6.9)Vrdmax=αcw·bw·z·ν1·fcd/(cotθ+tanθ), Ved/max(Vrdmax)=0.06, θ=21.8° cotθ=2.50 tanθ=0.40αcw=1.00 z=0.9d, fck=25.0<=60Mpa ν1=0.6[1-fck/250]=0.6[1-25/250]=0.540, fcd=16.67MpaVrdmax=0.001x1.00x250x0.9x464x0.540x16.67/2.90=324.1 kN
Minimum links for shear reinforcement (EC2 §9.2.2)Minimum shear reinforcement ratio ρw,min (EC2 Eq.9.5N)ρw,min=(0.08x(fck)0.5/fyk, fck=25N/mm², fyk=500N/mm², ρw,min=0.0008min Asw/s=1000x0.0008x250xsin(90°)= 200mm²/m
Maximum longitudinal spacing of links slmax=0.75d (<=600mm)=345mm (EC2 §9.2.2.6, Eq.9.6N)Maximum transverse spacing of link legs stmax=0.75d (<=600mm)=345mm (§9.2.2.8, Eq.9.8N)
Minimum shear reinforcement (Asw/s= 292mm²/m)
Shear reinforcement: (Asw/s= 292mm²/m)
5. Shear between web and flanges (EC2 EN1992-1-1:2004, §6.2.4)
Fc=Fs=0.001x534x435=232 kNΔFd=Fc·(beff-bw)/(2beff)=232.0x(1250-250)/(2x1250)=93kNBeam span L=6.00 m, Δx=1.00x6.00/4=1.50 m (EC2 §5.3.2.1)Vrdmax=ν·hf·fcd·sinθ·cosθ, fcd=16.67Mpa, θ=26.5°ν=0.6(1-fck/250)=0.54 (EC2 Eq.6.6N)Vrdmax=0.54x180x16.67xsin26.5°xcos26.5°=647kN/m (EC2 Eq.6.22)
ΔFd/Δx=93/1.50=62<=Vrdmax=647 kN/m, the check is verifiedTransverse reinforcement per unit length Asf/sf (EC2 Eq.6.21)Asf/sf=1000x62/(435xcot26.5°)= 71mm²/mMinimum reinforcement:Asmin=ρwmin·hc·b (EC2 §9.2.2.5)ρwmin=0.08fck/fyk=0.0825/500=0.0008Asmin=ρwmin·hc·b= 0.0008x180x1000= 144mm²/mTransverse reinforcement Asf/sf= ( 186mm²/m)
ΔFd/Δx=62<=0.40·hf·Fctd=0.40x180x1.20=86 kN/m (EC2 §6.2.4.5)In case of transverse flexural reinforcement from plate bending,No extra reinforcement is needed (EC2 §6.2.4.6)
software by RUNET (c)EUROCODEexpress+EC
67
6 KONKLUZIONE DHE REKOMANDIME6.1 Konkluzione
Konsiderohet se për problematikën e gjendjes kufitare të shfrytëzimit me interes është
të përmenden si më të rëndësishme këto konkluzione dhe rekomandime:
Vlerësimet dhe verifikimet që lidhen me gjendjen kufitare të shfrytëzimit sipas EC2
janë:
Gjendja kufitare e sforcimeve (kufizimi i sforcimeve);
Gjendja kufitare e plasaritjeve (kontrolli i gjerësi së plasaritjeve);
Gjendja kufitare e deformimeve (kontrolli i deformimeve).
Duke iu referuar gjendjes kufitare të shfrytëzimit, tejkalimi i sforcimeve të
konstruksionet e betonit të armuar duhet të jenë të kufizuara. Në përgjithësi duhet patur parasysh
që tejkalimi i sforcimeve mund të rezultojë në efekte të papranueshme në funksion të strukturës.
Për të realizuar analizën e deformimeve dhe analizën e plasaritjeve, krahas
kombinimeve nga veprimet për gjendjen kufitare të shfrytëzimit, elementet e strukturës u
nënshtrohen efekteve të zvarritjes dhe efekteve të tkurrjes së betonit, dhe atë për gjendjen e
sforcimeve pa plasaritje dhe gjendjen e sforcimeve me plasaritje.
Problem i plasaritjeve ka vendin qendror në grupin e detyrave në teorinë e betonit të
armuar sipas gjendjes kufitare të shfrytëzimit. Në përgjithësi mund të konkludohet se
shkaktaret e plasaritjeve të elementet e betonit të armuar janë të njohur. Por, vështirësitë
paraqiten për faktin se janë shumë parametra me ndikim dhe të lidhur në mes veti që sipas
natyrës së tyre janë të karakterit stohastik, prandaj është e vështir të ndahet ndikimi i tyre
vetanak. Kështu, problem i plasaritjeve ka vendin qendror në grupin e detyrave në teorinë e
betonit të armuar sipas gjendjes kufitare të shfrytëzimit.
Kontrolli i plasaritjeve pa llogari të drejtpërdrejtë mund të arrihet me kufizimin e
diametrit maksimal të shufrave dhe me kufizimin e distancës maksimale në mes të shufrave të
armaturës.
Në strukturat e betonit të armuar reduktimi i gjerësi së plasaritjeve mund të arrihet
duke inkorporuar sasi të armaturës në zonën e tërhequr më shumë ose të barabarta më atë
minimale dhe me kufizimin e diametrit dhe distancës në mes armaturave.
Ka faktorë të shumtë që ndikojnë në madhësinë e deformimit. Faktorët kryesorë janë:
sforcimet në tërheqje të betonit, moduli i elasticitetit dhe zvarritja. Faktorë të tjerë përfshijnë:
68
mënyren e kufizimeve në mbështetje, forma dhe madhësia e ngarkesës, kohëzgjatja e ngarkesës,
plasaritjet e betonit, tkurrja, kushtet e ambient, ngurtësia nga elementet e tjera, etj.
Gjendja kufitare e deformimeve në përputhje me kërkesat e EC2 mund të kontrollohet
duke kufizuar raportin hapësirë/lartësi efektive ose, duke krahasuar një deformim të llogaritur,
me një vlerë kufitare.
6.2 Rekomandime
Nga e gjitha që është thënë më lartë, mund të nxjerrim disa rekomandime të cilat mund
të shërbejnë për studime më të thelluara në të ardhmën:
Përgatitja e tri serive të trarëve nga betoni i armuar me klasë të ndryshme betoni si
p.sh: C25/30, C30/37 dhe C35/45;
Trarë me përqindje të ndryshme armimi në të cilët do të duhej të kontollonim
plasaritjet e lejuara me ngarkesë statike dhe të gjendur në kushte të ndryshme
mjedisore.
Mundësia e aplikimit të aditivëve të gjeneratës së re “crystalline admixtures” në
beton dhe kontrolli vetësherues i betonit si një nga studimet e kohës në fushën e
ndërtimit.
69
7 REFERENCAT
1. Dr. sc. Nebi Pllana (2018) Konstruksionet e Betonit të Armuar
(Ligjerata e programit Master)
2. Dr. sc. Nebi Pllana (2017) Konstruksionet e Betonit të Armuar
(Ligjerata e programit Bachelor)
3. Gilbert, R. I. and
Ranzi, G.
(2011) Time-Dependent Behavior of Concrete
Structures, Spoon Press.
4. Gilbert, R. I. (2011) The Serviceability Limit States in Reinforced
Concrete Design, Procedia Engineering 14,
pp. 385–395
5. Gribniak, V. et al. (2013) Long-term deflections of reinforced concrete
elements: accuracy analysis of predictions by
different methods. Mechanics of Time-
Dependent Materials, 17(3): pp. 297-313.
6. Gribniak, V.
Cervenka,V.
Kaklauska, G.
(2013) Deflection Prediction of Reinforced Concrete
Beams by Design Codes and Computer
Simulation, Engineering Structures 56, pp-2175-
2186
7. Mosley, B. J.,
Bungery, R. Hulse,
B. R
(2007) Reinforced Concrete Design to Eurocode 2,
London.
8. Narayanan, R S &
Brooker, O.
(2005) How to design concrete structures using
Eurocode 2: Introduction to Eurocodes. The
Concrete Centre,
9. Moss, R. M. &
Brooker, O.
(2006) How to design concrete structures using
Eurocode 2: Beams. The Concrete Centre.
10. Bamforth, P.,
Chisholm., Gibbs,
J. Harrison, T.
(2008) Properties of Concrete for use in Eurocode 2.
The Concrete Centre
11. The Concrete
Society
(2005) Technical report No. 58 Deflections in concrete
slabs and beams. The Concrete Society.
70
12. Tcc14 Crack Width (2005) The Concrete Society.
13. Eurocode 2 (2004) Design of concrete structures - Part 1-1: General
Rules for Buildings, ENV 1992-1-1
14. Eurocode 0 (2002) Basis of structural design: ENV 1990:2002+A1
15. American Concrete
Institute
(2002) Building Code Requirements for Structural
Concrete, ACI 318-08, Detroit.
16. Giussani, F., Mola,
F.
(2005) Models for the serviceability limit states of r.c.
structures, 30th Our World in Concrete and
Structures, Singapore.
17. Beeby, A.W., and
R. S. Narayanan,
R.P.
(2009) Designer’s guide to Eurocode 2: Design of
concrete structures, Thomas Telford
Top Related