GEOMETRI ANALITIK BIDANG

HIPERBOLA DAN LINGKARAN

I. HIPERBOLA

Hiperbola adalah himpunan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya.

Jika jarak kedua titik tertentu tersebut adalah d, makaselisih jarak tersebut lebih kecil dari d.Berdasarkan definisi di atas kita dapat melukis hiperbola

titik demi titik.Untuk setiap titik T berlaku |TF2−TF1|=d

Langkah-langkah dalam melukis hiperbal antara lain sebagai berikut:

Tetapkan titik F1danF2 dan panjang d. Tentukan titik-titik A dan B pada ruas garis F1F2 sehingga

|F2A|=|BF1|=12 (|F1F2|−d)

Titik-titik Ti diperoleh sebagai berikut :a. Buat lingkaran dengan pusat Fidanjari−jariri>|F2A|b. Dari F2 busurkan lingkaran dengan jari-jari ri−dc. Perpotongan a dan b adalah titik-titik Ti

d. Lakukan hal yang sama dengan mengganti peran F1denganF2

F1danF2 disebut titik-titik apiAdanBdisebuttitik−titikpuncak

Berdasarkan definisi di atas kita akan mencari persamaan hiperbola.

Misalkan titik-titik api F1,F2 pada sumbu x dan sumbu dariF1F2 adalah sumbu y.

Jika |F1F2|=2c maka F1(c,0) dan F2(−c,0).

Misalkan selisih jarak yang tetap itu adalah 2a, dengan a<c.ambil T(x,y) sebarang titik dari himpunan yang dicari, maka dipenuhi

|TF2∨−¿TF1|=2a

Berarti : √(x+c)2+y2−√(x−c )2+y2=2a

√(x+c)2+y2=2a+√(x−c)2+y2

Setelah kedua ruas dikuadratkan dan dijabarkan kita memperoleh

cx−a2=a√(x−c)2+y2 kemudian kedua ruas dikuadratkan lagi dan dijabarkan sehingga kita memperoleh (c2−a2)x2−a2y2=a2(c2−a2)

….(**)

karenaa<cmakac2−a2>0 sehingga kita dapat menuliskanc2−a2=b2 dan persamaan (**) menjadi b2x2−a2y2=a2b2

karena T sebarang titik pada himpunan, maka setiap titik dari himpunan itu berlaku

b2x2−a2y2=a2b2atau x2

a2−y2

b2=1

Persamaan di atas disebut sebagai persamaan pusat hiperbola.

Titik O disebut titik pusat hiperbola.

Titik-titik F1danF2 disebut titik-titik api

Sumbu x dan sumbu y disebut sebagai sumbu-sumbu simetri

Karena titik potong hiperbola dengan sumbu x adalah nyata, maka sumbu x disebut sumbu nyata. Karena titik potong hiperbola dengan sumbu y adalah khayal, maka sumbu y disebutsumbu khayal.

Bilangan e=ca

>1 disebut eksentrisitas numerik

Persamaan hiperbola yang pusatnya P(α,β) dan sumbu-sumbunya sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat diperoleh dengan cara sebagai berikut.

Diadakan translasi susunan sumbu sedemikian sehingga O’ berimpit dengan P

PF – PG = 2a

PF = 2a + PG

(PF)2 = 4a2 + 4a (PG) + (PG)2

(x – (α – c))2 + (y – β)2 = 4a2 + 4a √(x−(α+c))2+(y−β)2 + (x – (α + c))2 + (y – β)2

((x – α) + c )2 – ((x – α) – c )2 = 4a2 + 4a

√(x−(α+c))2+(y−β)2

(x – α)2 + 2c (x – α) + c2 – ((x – α)2 – 2c (x – α) + c2) = 4a2 + 4a √(x−(α+c))2+(y−β)2

4c (x – α) = 4a2 + 4a

√(x−(α+c))2+(y−β)2

ca (x – α) = a +

√ (x−(α+c))2+(y−β )2

ca (x – α) – a =

√ ((x−α )−c )2+(y−β)2

c2

a2 (x – α)2 – 2c (x – α) + a2 = (x – α)2 – 2c (x – α) + c2

+ ( y – β )2

c2

a2 (x – α)2 + a2 = (x – α)2 + c2 + ( y

– β )2

c2a2 (x – α)

2 – (x – α)2 – ( y – β )2 = c2 – a2

(c2−a2)(x−a)2

a2 – ( y – β )2 = c2 – a2

(x−α)2

a2−

(y−β)2

(c−a)2=1

Dimisalkan c2 – a2 = b2 , menjadi

(x−α)2

a2−

(y−β)2

b2 =1

Rumus translasinya adalah : x=x'+α atau x=x'−α

y=y'+β y=y'−β

Karena O’ merupakan pusat hiperbola maka persamaan hiperbola

terhadap sumbu x’ O’ y’ adalah x'2

a2 −y'2

b2 =1

Jadi persamaan hiperbola terhadap susunan sumbu xOy adalah(x−α)2

a2−

(y−β)2

b2 =1

Sekarang kita akan mencari titik-titik potong hiperbolax2a2

−y2b2

=1 dengan garis y=mx. Absis-absis titik potong kita

peroleh dari persamaan

x2a2

−m2x2b2 =1atau (b2−a2m2)x2=a2b2

Berarti x=± ab√b2−a2m2 sehingga y=± mab

√b2−a2m2

Jadi koordinat-koordinat titik potongnya adalah

( ab√b2−a2m2

, mab√b2−a2m2 ) dan ( −ab

√b2−a2m2, −mab

√b2−a2m2 )Jika b2−a2m2> 0 maka ada dua titik potong yang berlainan

Jika b2−a2m2 < 0 maka tidak ada titik potong atau titik potongnya khayal

Jika b2−a2m2 = 0 maka titik potongnya di jauh tak berhingga

Hal yang terakhir menyatakan bahwa jika m=± ba maka garis

y=mx menyinggung hiperbola di jauh tak berhingga. Garis-

garis y¿± bax disebut asimtot-asimtot hiperbola.

Persamaan asimtot-asimtot dapat dinyatakan juga sebagaixa−yb

=0 atau xa+yb=0, sehingga persamaan susunan asimtotnya

adalah

x2a2

−y2b2

=0

Berikut ini kita turunkan definisi hiperbola yang lain.

Misalnya P(x1,y1¿ sebarang titik pada hiperbola x2a2

−y2b2

=1

Maka jarak P terhadap titik api F1(c,0) adalah d1=√(x1−c)2+y12

Dan jarak P terhadap titik api F2(-c,0) adalah d2=√(x1+c)2+y12

Berarti d22−d1

2=4cx1 sedangkan d2-d1=2a ……………………..(1)

Jadi d2+d1=2cx1

a…………………………………………………..(2)

Dari (1) dan (2) kita peroleh d1=ca (x1−a2

c ) d2=ca (x1+a2c )

Pandang garis-garis x=± a2

c

Maka d1=ca (x1−a2

c )=ca . jarak P ke garis

x=a2c

Maka d2=ca (x1+a2c )=c

a . jarak P ke garis x=

−a2c

Garis-garis x=± a2

c disebut garis-garis arah atau direktriks

dari hiperbola.

Berdasarkan hal di atas kita dapat mendefinisikan hiperbola sebagai berikut:

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis tertentu tetap besarnya dan perbandingan ini lebih besar dari 1. Titik itu disebut titik api dan garis tertentu itu disebut garis arah (direktriks).

Contoh Soal:

Carilah persamaan hiperbola jika titik-titik apinya terletak pada sumbu x, simetris terhadap O dan persamaan

asimtotnya y=± 43x sedangkan jarak antara kedua titik-titik

apinya 20.

Jawaban:

Misalkan persamaan hiperbola itu x2

a2−y2b2

=1

Karena persamaan asimtotnya y=± 43x maka ba

=43 dan karena

jarak kedua titik-titik apinya 20 maka 2c=20 atau c=10

Pada hiperbola berlaku b2=c2−a2 dan b>0

Jadi, b2=100−916 b

2

, atau b=8, berarti a=34.8=6

Jadi persamaan hiperbola yang dimaksud adalah x2

36−y2

64=1

Selanjutnya kita mencari persamaan garis singgung pada hiperbola dengan jalan yang sama seperti mencari persamaan garis singgung pada ellips

Persamaan garis singgung pada hiperbola x2

a2−y2b2

=1

Dengan koefisien arah m adalah y=mx±√a2m2−b2

Jika persamaan hiperbola (x−α)2

a2−

(y−β)2

b2 =1, maka garis

singgung dengan koefisien arah m; persamaannyay−β=m(x−α)±√a2m2−b2

Persamaannya garis singgung pada hiperbola x2

a2−y2b2

=1 di titik

singgung (x1,y1) adalah x1xa2 −

y1yb2

=1

Jika persamaan hiperbolanya (x−α)2

a2−

(y−β)2

b2 =1, maka persamaan

garis singgung di titik (x1,y1) adalah

(x1−α)(x−α)

a2−

(y1−β)(y−β)

b2=1

Berikut ini akan diberikan sifat utama garis singgung

Sifat utama garis singgung

Garis si nggung pada suatu titik pada hiperbola membagi dua sama besar sudut-sudut antara garis-garis yang menghubungkan titik singgung dengan titik-titik api.

d2

F2

F1

d1

Misalkan T (x1, y1) sebarang titik pada hiperbola dan misalkan d1 = TF1 , d2 = TF2 dengan F1 (c, 0) , F2 (-c,0)

Maka TF1TF2

=d1

d2=

ca (x1−

a2

c )

ca

(x1+a2

c)

=x1−

a2c

x1+a2c

Persamaan garis singgung T adalah x1xa2 −

y1yb2

=1

Misalakn titik potong garis singgung ini dengan sumbu x adalah P,

maka koordinat yp = 0 dan xp=a2x1

Berarti PF1PF2

=

c−a2x1

c+a2

x1

=cx1−a

2

cx1+a2=

x1−a2c

x1+a2

c

Jadi PF1PF2

= TF1

TF2

Berarti TP merupakan garis bagi sudut T dalam segitiga TF1F2 atau<T1 = <T2 (terbukti)

Seperti pada elips, kita mempunyai dua garis singgung melalui satu titik T diluar ellips, demikian juga pada hiperbola.

Tanpa memperhatikan letak titik T(x1,y1), persamaanx1xa2 −

y1yb2

=1 disebut persamaan garis kutub dari T terhadap

hiperbola x2

a2−y2b2

=1

Jika T di luar hiperbola maka garis kutub menjadi tali busur singgug.

Jika T pada hiperbola maka garis kutub menjadi garis singgung.

Jika T dalam hiperbola maka garis kutub berupa garis yang tidak memotong hiperbola.

Contoh Soal

Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola x2

16−y2

64=1 yang

sejajar garis 10x-3y+9=0.

Jawaban:

Gradien garis 10x-3y+9=0 adalah m=103 . Berarti gradient garis

singgungnya adalah 103 . Jadi persamaan garis singgungnya adalah

y=103x±√16. 1009 −64

y=103x± 32

3

3y=10x±32

Contoh soal

Dari titik c(1,-10) dibuat garis singgung pada hiperbola x28 −

y232=1

Tentukan persamaan garis yang menghubungkan kedua titik singgungnya.

Jawaban:

Garis yang menghubungkan kedua titik singgung itu adalah garis kutub.

Persamaan garis kutub dari titik c(1,-10) terhadap hiperbola

x28

−y232

=1 adalah 1.x8 −(−10).y

32 =1

atau y=3210

(1−x8

)

10y=32−4x

Berikut ini akan dicari syarat agar garis y = mx memotong

garis lengkung x2

a2−y2b2

=−1 . Absis-absis titik potong dicari

sebagai berikut:

x2a2

−m2x2b2 =−1 atau (b2 - a2m2) . x2 = -a2b2

Berarti x=± ab√a2m2−b2

Jadi garis y = mx dan garis lengkung x2

a2−y2b2

=−1 akan:

i. Berpotongan di dua titik jika a2m2−b2>0 atau m>ba atau

m←ba

ii. Tidak berpotongan jika a2m2−b2<0 atau −ba

<m<ba

iii. Menyinggung di jauh tak hingga jika m=± ba

Persamaan x2

a2−y2b2

=−1 adalah persamaan suatu hiperbola yang tidak

memotong sumbu x tetapi memotong sumbu y di titik-titik (0,b) dan(0,-b).

Berarti sumbu x merupakan sumbu khayalnya. Sedangkan persamaan

asimtot-asimtotnya adalahy=bax dan y=−b

ax

Titik-titk apinya adalah F1 (0,c) dan F2 (0,-c) dan garis-garis

arahnya adalah y=b2c dan y=

−b2c

Eksentrisitas numeriknya adalah e=cb

Hiperbola-hiperbola x2

a2−y2b2

=1 dan x2

a2−y2b2

=−1 pada suatu susunan

sumbu disebut hiperbola sekawan.

Jika pada suatu hiperbola a = b, maka hiperbola ini disebut hiperbola sama sisi dan mempunyai persamaan x2−y2=a2.

Karena asimtot-asimtotnya saling tegak lurus, maka disebut juga hiperbola ortogonal.

Contoh soal

Tentukan persamaan hiperbola yang titik-titik apinya terletak pada sumbu y dan simetris terhadap titik O yang memenuhi syarat

jarak kedua garis arahnya 7 17 dan sumbu 2b = 10.

Jawaban:

Jarak kedua garis arahnya adalah 2 b2

c =507 atau c=

725

b2

Karena 2b = 10 maka b = 5 dan c = 7

Berarti a2 = c2 – b2 = 49 – 25 = 24

Jadi persamaan hiperbolanya adalah x2

24−y2

25=−1

Selanjutnya, kita akan mencari tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi syarat-syarat tertentu.

a. Misalkan kita mempunyai persamaan hiperbola x2

a2−y2b2

=1

dan garis y = mxAkan dicari tempat kedudukan titik-titik tengah talibusur-talibusur hiperbola yang sejajar dengan garisy = mx sebagai berikut:Mula-mula kita mencari titik-titik potong garis-garis y= mx + n , n parameter, dengan hiperbola kemudian kita mencari titik tengahnya.x2a2

−(mx+n )2

b2 =1 atau (b2 - a2 m2) x2 – 2a2 mnx – a2 n2

– a2 b2 = 0 Absis dari titik-titik potongnya adalah akar-akar dari persamaan kuadrat di atas.Misalkan titik tengah talibusurnya adalah T, maka

xT=x1−x22

=2a2mn

2(b2−a2m2)=

a2

b2−a2m2

dan yT=mxT+n=m( a2

b2−a2m2 )+n=nb2

b2−a2m2

Berarti yTxT

=b2

a2mDengan menjalankan koordinat titik T kita memperoleh tempat kedudukan yang kita cari, yaitu

y=b2

a2mx

Persamaan ini merupakan persamaan suatu garis tengah hiperbola.

Garis-garis tengah y = mx dan y=b2

a2mx disebut garis-

garis tengah sekawan dan m1= m dan m2 = b2

a2m disebut

arah-arah sekawan.

b. Dengan cara yang serupa seperti pada ellips, kita memperoleh persamaan tempat kedudukan titik-titik

potong garis-garis singgung pada hiperbola x2

a2−y2b2

=1

yang tegak lurus sesamanya, yaitu x2 + y2 = a2 – b2.Persamaan ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari √a2−b2 . Lingkaran ini disebut lingkaran orthoptis dari Monge.

c. Dengan cara yang serupa juga seperti pada ellips, kita memperoleh persamaan tempat kedudukan titik-titik

potong garis-garis singgung pada hiperbola x2

a2−y2b2

=1

dengan garis-garis yang tegak lurus padanya dan melaluititik-tiik api yaitu x2 + y2 = a2.Persamaan ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari a.Lingkaran ini disebut lingkaran titik kaki.

Lingkaran orthoptis dari suatu hiperbola orthogonal berupa lingkaran titik dan garis-garis singgung pada hiperbola itu yang saling tegak lurus adalah asimtot-asimtotnya.

Misalkan P1 (x1, y1) dan Q1 (-x1, -y1) ujung-ujung garis

tengah hiperbola x2

a2−y2b2

=1. Akan kita cari ujung-ujung garis

tengah sekawannya.

Persamaan garis singgug di P1 (x1, y1) pada hiperbolax2a2

−y2b2

=1 adalah x1xa2 −

y1yb2

=1 .

Berarti gradien garis singgung di P adalah m1=b2x1

a2y1

Sedangkan gradient P1Q1 adalah m2=y1

x1 . jadi m1m2=

b2

a2

Hal ini menunjukkan bahwa garis singgung di P1 sejajar dengan garis tengah yang sekawan dengan garis tengah P1Q1.

Persamaan garis tengah yang sekawan dengan P1Q1 adalah

y=b2x1a2y1

x. Absis titik-titik potong garis ini dengan

hiperbola dicari sebagai berikut:

b2x2−a2(b2x1

2

a4y12)x2=a2b2

atau (a2y12−b2x12 )x2=a2y1

2 .

Karena P1(x1,y1) pada hiperbola maka

x2=a2y1

2

−a2b2=−y1

2

b2 atau x=± a

by1i

Berarti titik-titik potong khayalnya yaitu

(ab y1i,ba x1i) dan (−ab y1i,−bax1i)

Akan tetapi dapat diperiksa bahwa P2 (aby1,

bax1) dan Q2

(−ab y1,−bax1) terletak pada hiperbola sekawannyax

2

a2−y2b2

=−1.

Jika suatu garis tengah tidak memotong hiperbola, maka yang dimaksud ujung-ujungnya adalah titik-titik potongnya dengan hiperbola sekawannya.

Misalkan OP1 = a1 dan OP2 = a2 Maka diperoleh

❑12=a1

2=x12+y1

2 dan

❑22=b12=

a2

b2 x12+a2b2y12

Berarti a12−b1

2=b2x1

2−a2y12

b2 +a2y1

2−b2x12

a2

¿a2−b2

Jadi 4a12−4b1

2=4a2−4b2

Kita telah membuktikan dalil berikut ini

Dalil I dari Apollonius:Selisih kuadrat garis-garis tengah sekawan suatu

hiperbola sama dengan selisih kuadrat sumbu-sumbunya. Untuk dalil II dari Apollonius dapat anda buktikan sendiri.

Dalil II dari Apollonius:Luas setiap jajaran genjang pada garis-garis tengah

sekawan sama dengan luas persegi panjang pada sumbu-sumbunya.

II. LINGKARAN

Kurva lengkung sederhana yang banyak kita jumpai sehari-haridiantaranya adalah lingkaran. Lebih khusus lingkarandidefinisikan sebagai berikut :

Lingkaran ialah himpunan titik-titik (pada bidang datar)yang jaraknya dari suatu titik tertentu sama panjang.

Selanjutnya titik tertentu itu dinamakan titik pusat lingkarandan jarak yang sama tersebut dinamakan jari-jari lingkaran.

Karena T (x,y) adalah sebarang titik pada lingkaran, maka setiap titik pada lingkaran berlaku x2+y2=4. Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O dan jari-jari 2 satuan adalah x2+y2=4.

Dari contoh ini dengan mudah kita menentukan persamaan lingkaran dengan pusat titik asal O (0,0) dan jari-jari r satuan adalah

x2+y2=r2

Pada gambar 2.7nampak gambarlingkaran dengan titik pusatO (0,0) dan jari-jari 2satuan panjang. Untukmenentukan persamaanlingkaran, kita ambilsebarang titik padalingkaran, misalnya T(x,y).Jarak titik T dan titik Oadalah √x2+y2. Padahal jaraktitik-titik O dan T adalahjari-jari lingkaran yaitu 2,

Dengan cara yang sama, kita dapat menentukan persamaan lingkaran dengan pusat titik P(a,b) dan jari-jari r satuan.

Padahal jarak titik-titik T dan P adalah jari-jari lingkaranyaitu r, maka diperoleh hubungan

√(x−a)2+(y−b)2=r

(x−a )2+(y−b)2=r2

Karena T(x,y) adalah sebarang titik pada lingkaran itu, makasetiap titik pada lingkaran itu memenuhi hubungan tersebut. Iniberarti bahwa persamaan lingkaran yang berpusat di P(a,b) denganjari-jari r satuan adalah

(x−a )2+(y−b)2=r2

X

Y

O

T(x,y)

r P(a,b)

Pada gambar 2.8 nampaklingkaran dengan pusatP(a,b) dan jari-jari rsatuan. Untuk menentukanpersamaan lingkaran ini,kita ambil sebarang titikpada lingkaran, misalnyaT(x,y). Jarak titik-titik

Contoh Soal

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (4,-3) dan berjari-jari 5 satuan.

Jawab : Persamaan lingkarannnya adalah

(x−4 )2+(y−(−3))2=52

(x−4 )2+(y+3)2=25

Contoh Soal

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(1,3) dan melalui titik Q(-2,5).

Jawab : Jari-jari lingkaran adalah panjang ruas garis BQ , yaitu

r=|PQ|=√(−2−1)2+(5−3)2=√13

Jadi persamaan lingkarannya adalah (x−1)2+(y−3)2=13

Perhatikan persamaan suatu lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r, yaitu

(x−a )2+(y−b)2=r2

Ruas kiri dari persamaan ini dapat diuraikan menjadi

x2+y2−2ax−2by+a2+b2−r2=0

Selanjutnya persamaan terakhir ini dituliskan dalam bentuk :

x2+y2+Ax+By+C=0

Persamaan bentuk terakhir ini dinamakan persamaan bentuk umumsuatu lingkaran. Dari bentuk umum ini, kita dapat mencirikansuatu persamaan lingkaran, yaitu :

1) Koefisien-koefisien x2 dan y2 selalu sama2) Tidak ada suku yang memuat xy.

Apabila diketahui persamaan bentuk umum suatu lingkaran,yaitux2+y2+Ax+By+C=0, maka kita dapat mencari koordinat-koordinat titik pusat dan jari-jarinya. Persamaan bentuk umumtersebut diubah menjadi

x2+Ax+14A2+y2+By+1

4B2=1

4A2+1

4B2−C

(x+12A)

2+(y+

12B)

2=14A2+

14B2−C

Dari persamaan terakhir ini, kita dapat menyimpulkan bahwa titikpusat lingkaran adalah

(−12A,−

12B) dan jari-jarinya adalah √14 A2

+14 B

2−C .

Memperhatikan jari-jari tersebut, dapat disimpulkan tigakemungkinan , yaitu :

1. Jika 14 A2+14 B

2−C>0, persamaan bentuk umum itu menyatakan

lingkaran nyata.

2. Jika 14A2+14B2−C<0, persamaan bentuk umum itu menyatakan

lingkaran imajiner.

3. Jika 14A2+14B2−C=0, persamaan bentuk umum itu menyatakan

lingkaran dengan jari-jari nol, berarti berupa sebuah titik.

Contoh Soal

Tentukan koordinat-koordinat titik pusat dan jari-jari lingkarandengan persamaan 4x2+4y2−4x+16y−19=0

Jawab : 4x2+4y2−4x+16y−19=0

x2+y2−x+4y−194

=0

x2−x+14

+y2+4y+4=14

+4+194

(x−12 )

2+(y+2)2=9

Jadi lingkaran itu mempunyai titik pusat (12,−2) dan jari-jari 3.

Contoh Soal

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik P(1,0),Q(0,1) dan T(2,2).

Jawab : Misalkan persamaan lingkaran yang dicari adalahx2+y2+Ax+By+C=0. Karena titik-titik P,Q dan R pada lingkaran ini, maka koordinatnya masing-masing memenuhi persamaan tersebut.Sehingga dengan substitusi koordinat-koordinat dari titik-titiktersebut diperoleh

P(1,0), 1+0+a+0B+C=0

Q(0,1), 0+1+0A+B+C=0

R(2,2), 4+4+2A+2B+C=0

Kita memperoleh sistem persamaan yang terdiri atas 3persamaan dengan 3 variabel A,B dan C. Jika persamaan pertamadikurangi persamaan kedua diperoleh A−B=0,yaituA=B.

Jika persamaan ketiga dikurangi persamaan kedua diperoleh

2A+B+7=0. Selanjutnya karena A=B,maka A=B=−73.Substitusi

harga A ini pada persamaan pertama akan diperoleh C=43.

Jadi persamaan lingkaran yang dicari adalah

x2+y2−73x−

73y+

43

=0

3x2+3y2−7x−7y+4=0

Cara lain (dengan determinan)

Misalkan persamaan lingkaran yang dicari adalah x2+y2+Ax+By+C=0.

Ambil sebarang titik K(x,y) pada lingkaran ini. Sehinggalingkaran yang dicari melalui titik-titik K,P,Q dan R. Dengansubstitusi koordinat-koordinat titik-titik ini pada x dan y daripersamaan tersebut diperoleh

K (x,y ) x2+y2+xA+yB+C=0

P (1,0 ) 1+1A+0B+C=0

Q (0,1) 1+0A+1B+C=0

R(2,2) 8+2A+2B+C=0

Kita memproleh sistem persamaan linier yang terdiri atas 4persamaan dengan 3 variabel A,B dan C. Sistem persamaan ini akan

(1)

mempunyai penyelesaian untuk A,B dan C apabila determinankoefisien-koefisien dari A, B dan C dan konstantanya sama dengannol, yaitu

x2+y2 x y 1

1 1 0 1

1 0 1 1

8 2 2 1

Dengan mengekspansikan determinan ini menurut kofaktor-kofaktor pada baris pertama, kita memperoleh

|1 0 10 1 12 2 1| (x2+y2)−|1 0 1

1 1 18 2 1|x+|1 1 1

1 0 18 2 1|y−|1 1 0

1 0 18 2 2|=0

−3 (x2+y2 )+7x+7y−4=0

3x2+3y2−7x−7y+4=0

Nampak bahwa hasilnya sama dengan hasil pada cara pertama.

Cara kedua tersebut dapat diperumum sebagai berikut :

Misalkan kita akan menentukan persamaan lingkaran yang melaluiP (x1,y1),Q(x2,y2) dan R ¿Andaikan persamaan lingkaran yang akandicari adalah

x2+y2+Ax+By+C=0

Ambil sebarang titik T(x,y) pada lingkaran. Jadi titik-titikT,P,Q dan R tersebut pada lingkaran, maka koordinat-koordinatnyamemenuhi persamaan lingkaran yang dicari. Sehingga didapat :

T (x,y ) (x2+y2)+xA+yB+C=0

= 0

P (x1,y1) (x12+y1

2)+x1A+y1A+C=0

Q (x2,y2 ) (x22+y2

2)+x2A+y2A+C=0

R (x3,y3 ) (x32+y3

2)+x3A+y3A+C=0

Kita memperoleh sistem persamaan linear dalam A,B dan C (3variabel) dengan 4 persamaan. Sistem persamaan ini akanmempunyai penyelesaian untuk variabel-variabel A,B dan C, apabiladeterminan dari koefisien-koefisien dari A, B dan C dankonstantanya sama dengan nol, yaitu :

x2+y2 X y 1

x12+y1

2 x1 y1 1

x22+y2

2 x2 y2 1

x32+y3

2 x3 y3 1

Karena T(x,y) adalah titik sebarang pada lingkaran, maka setiaptitik pada lingkaran akan memenuhi hubungan /persamaan determinanitu. jadi persamaan determinan itu merupakan persamaan lingkaranyang dicari.

Karena garis ini menyinggung pada lingkaran, maka ada sebuahtitik yang koordinat-koordinatnya memenuhi pada persamaan garismaupun persamaan lingkaran. Sehinggga kita memperoleh

x2+(mx+k )2=r2

Pada gambar 2.9 diketahui garisy=mx+n dan lingkaran x2+y2=r2.

Kita akan mencari persamaangaris singgung pada lingkaranyang sejajar dengan garisy=mx+n.

Karena garis singgung yangdicari harus sejajar dengangaris y=mx+n, maka kita dapatmemisalkan garis singgung ituadalah y=mx+k.

= 0

Y

Xo

(1+m2)x2+2mkx+k2−r2=0

Persamaan ini dipandang sebagai persamaan kuadrat dalam x.Karena garis singgung dan lingkaran hanya mempunyai satu titikpersekutuan , maka persamaan kuadrat hanya mempunyai satu hargax, syaratnya adalah diskriminan dari persamaan itu harus samadengan nol, yaitu :

D=4m2k2−4 (1+m2 ) (k2−r2 )=0

−4 (k2−r2−m2r2)=0

k2−r2 (1+m2 )=0

k=±r√1+m2

Jadi persamaan garis singgungnya adalah

y=mx+r√1+m2 dan

y=mx−r√1+m2

Dengan cara yang mirip seperti cara tersebut dapat diturunkanbahwa persamaan garis singgung pada lingkaran (x−a)2+(y−b)2=r2

yang sejajar dengan garis y=mx+n adalah

y−b=m (x−a)+r√1+m2 dan

y−b=m (x−a)−r√1+m2

Contoh Soal

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran berikut dan yangmengapit sudut 600 dengan sumbu X arah positif :

a) x2+y2=16b) x2+y2−4x−6y−3=0

Jawab : Tanjakan garis singgung adalah m=tg60°=√3

a) Persamaan garis singgung dengan tanjakan m=√3 adalahy=√3x±4√1+3,yaituy=x√3+8dany=x√3−8

b) x2+y2−4x−6y−3=0x2−4x+4+y2−6y+9=16(x−2)2+(y−3)2=16Persamaan garis singgung dengan tanjakan m=√3 adalah

y−3=√3 (x−2 )+8dan y−3=√3 (x−2 )−8y=x√3+11−2√3 dan y=x√3−5−2√3

Pada gambar 2.10 diketahui lingkaran x2+y2=r2 dan titik P (x1,y1) yang terletak pada lingkaran.

Karena titik-titik P dan Q pada lingkaran, maka berlaku x22+y2

2=r2

dan x12+y1

2=r2

Apabila kedua persamaan ini dikurangkan, maka diperoleh

x12+x2

2=y22−y1

2

(x1−x2 )(x1+x2 )=(y2−y1 )(y2+y1 )

Kita akan mencaripersamaan garis singgungpada lingkaran di titikP. Ambil titik Q (x2,y2 )pada lingkaran pula,maka persamaan garis PQadalah

y−y1y2−y1

=x−x1x2−x1

atau

Y

Xo

y2−y1x2−x1

=−x2+x1

y2+y1

Dengan kesamaan ini, persamaan garis PQ di atas dapat ditulis menjadi

y−y1=−x2+x1

y2+y1(x−x1)

Jika Q mendekati P sehingga hampir x2=x1dany2=y1maka garis PQ berubah menjadi garis singgung lingkaran di titik P, yaitu :

y−y1=−x1y1

(x−x1)

y1y−y12=−x1x+x1

2

y1y+x1x=x12+y1

2

x1x+y1y=r2

Jadi persamaan garis singgung ligkaran x2+y2=r2di titik (x1,y1)adalah x1x+y1y=r2

Dengan cara yang sama dapat diturunkan bahwa persamaan garissinggumg pada lingkaran (x−a)2+(y−b)2=r2 dengan titik singgung(x1,y1) adalah (x1−a) (x−a )+(y1−b ) (y−b)=r2.

Cara lain

Mengingat bahwa garis singgung pada lingkaran tegak lurus padajari-jari yang melalui titik singgung, maka persamaan garissinggung lingkaran adalah garis yang melalui titik singgung dantegak lurus pada garis hubung titik singgung dengan titik pusatlingkaran.

Contoh Soal

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2+y2=25 di titik (4,-3). Demikian pula untuk lingkaran x2+y2−4x−6y−12=0 dititik (-1,7).

Jawab : Persamaan garis singgung pada lingkaran x2+y2=25 adalah4x−3y=25. Persamaan garis singgung pada lingkaranx2+y2−4x−6y−12=0 di titik (-1,7) adalah

(−1−2 ) (x−2 )+(7−3) (y−3)=25

−3x+4y−31=0

Contoh SoalDiketahui persamaan lingkaran x2+y2+2x−19=0 dan titik B(1,6). Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran. Selidiki apakah titik di bagian dalam, pada atau di luar lingkaran. Dan tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran yang melalui titik B.

Jawab :

x2+y2+2x−19=0

(x+1)2+y2=20

Titik pusat lingkaran adalah P(-1,0) dan jari-jarinya adalah2√5. |PB|2=(1+1)2+62=40>20. Berarti titik B terletak di luarlingkaran. Atau dapat dilakukan B(1,6) disubstitusikan padapersamaan lingkaran, yaitu 1+36+2−19=20>0

Perhatikan bahwa 40−20=20.

P

Y

Xo

Kita misalkan garis singgungyang melalui titik Bmenyinggung lingkaran dititik S1 (x1,y1),maka persamaangaris singgung itu adalah(x1+1 ) (x+1 )+y1y=20

Garis singgung ini melaluiB(1,6), maka diperoleh

(x1+1 ) (1+1 )+6y1=202x1+6y1=18…….(1)

Titik S1 (x1,y1)pada lingkaran, maka (x1+1 )2+y12=20…… (2 )

Dari (1) dan (2) diperoleh bahwa S1(3,2) dan S2 (−3,4 ). Jadipersamaan-persamaan garis singgung yang dicari adalahx−2y+11=0dan2x+y−8=0

Perhatikan titik T(x0,y0) dan lingkaran x2+y2=r2

Pada gambar 2.12. dari titik T dibuat garis-garis singgung padalingkaran dan titik-titik

Garis-garis singgung ini melalui titik T(x0,y0), maka berlakubahwa

x1x0+y1y0=r2 dan

x2x0+y2y0=¿ r2

Dari dua persamaan ini dapat disimpulkan bahwa koordinat-koordinat titik-titik S1 dan S2 memenuhi persamaan

x0x+y0y=r2

singgungnya S1 (x1,y1), danS2 (x2,y2), maka persamaangaris-garis singgungnyaadalah

x1x+y1y=r2dan

x2x+y2y=r2

Y

Xo

Dan berarti bahwa garis ini melalui titik-titik singgung S1dan S2

dan biasa disebut tali busur singgung dari titik T. Jikadiperhatikan persamaan tali busur singgung tersebut bentuknyasama dengan persamaan garis singgung, jika T sebagai titiksinggungnya.

Tanpa memperhatikan letak titik T, di dalam, di luar atau padalingkaran, persamaan

x0x+y0y=r2

Dinamakan persamaan garis kutub T(x0,y0) terhadap lingkaranx2+y2=r2

Dengan cara yang mirip, kita dapat menemukan persamaan garis kutub titik T(x0,y0) terhadap lingkaran (x−a )2+(y−b)2=r2, yaitu

(x0−a) (x−a )+(y0−b ) (y−b)=r2

Sedangkan persamaan garis kutub titik T(x0,y0) terhadap lingkaranx2+y2+Ax+By+C=0 adalah

x0x+y0y+12A (x+x0 )+12 B (y+y0 )+C=0

Dari penjelasan di atas dapat dimengerti bahwa :

1) Apabila titik T di luar lingkaran, maka garis kutubnyamerupakan tali busur singgung.

2) Apabila T pada lingkaran, maka garis kutubnya merupakangaris singgung lingkaran di T.

3) Apabila titik T di dalam lingkaran, maka garis kutubnyatidak memotog lingkaran.

Contoh Soal

Tentukan persamaan garis kutub titik P(-1,3) terhadap lingkaranx2+y2−2x−6y−20=0. Selidiki apakah garis kutub itu memotong, menyinggung atau tidak memotong lingkaran ?

Jawab : Persamaan garis kutubnya adalah−1x+3y−(x−1)−3 (y+3 )−20=0

x−14=0

Untuk menyelidikinya, kita cukup menunjukkan titik P terletak didalam, di luar atau pada lingkaran. Dengan substitusi P(-1,3)pada persamaan lingkaran diperoleh :

1+9+2−18−20=−26<0

Berarti P terletak di dalam lingkaran, maka garis kutub tersebut tidak memotong lingkaran.

Contoh Soal

Jika diketahui garis kutub terhadap lingkaran x2+y2−4x+6y+5=0 adalah x+2y+12=0, tentukanlah titik kutubnya.

Jawab : Misalkan titik kutubnya adalah P(x0,y0), maka persamaan garis kutub terhadap lingkaran tersebut adalahx1x+y1y−2 (x+x1 )+3 (y+y1 )+5=0

(x1−2)x+(y1+3 )y−2x1+3y1+5=0

Garis ini berimpit dengan x+2y+12=0

Maka x1−21

=y1+32

=−2x1+3y1+5

12atau

2x1−4=y1+312x1−24=−2x1+3y1+5

2x1−y1=714x1−3y1=29

Penyelesaian sistem persamaan ini adalah (1,-5). Jadi titik kutubyang dicari adalah (1,-5).

|TA|2=|TB1||TB2|=|TC1||TC2|=|TD1||TD2| dan seterusnya.Selanjutnya hasil kali ini disebut kuasa titik T terhadap lingkaran. Sekarang akan kita hitung besarnya kuasa titik T terhadap lingkaran itu.

Misalkan T(x1,y1) dan persamaan lingkaran adalah x2+y2+Ax+By+C=0

dengan pusat P(−12

A,−12B) dan kuadrat jari-jarinya r2=

14A2+

14B2−C.

|TC1||TC2|=(|TP|−r ) (|TP|+r )

¿|TP|2−r2

¿(x1+12 A)2

+(y1+12B)

2

−r2

¿x12+y1

2+Ax1+By1+C

Jadi kuasa titik T(x1,y1) pada lingkaran x2+y2+Ax+By+C=0 adalahx1

2+y12+Ax1+By1+C.

Seperti telah kita pelajari di depan, maka kita dapatmentimpulkan bahwa kuasa suatu titik adalah positif, nol atau

Perhatikan sebuah lingkarandengan pusat P dan jari-jarir dan sebuah titik T. Darititik T dapat ditarik garis-garis yang memotong lingkaranmasing-masing di dua titikseperti tampak pada gambar2.13. dalam geometri keadaanseperti ini akan berlakubahwa

negatif berturut-turut apabila titik itu di luar, pada atau didalam lingkaran .

Contoh Soal

Tentukan kuasa titik T(1,3) terhadap lingkaran x2+y2−2x−4y−20=0. Tentukan letak titik T terhadap lingkaran tersebut.

Jawab : Kuasa titik T terhadap lingkaran adalah12+32−2.1−4.3−30=−24.Karena kuasa titik T terhadap lingkaran bernilai negatif, maka T terletak di dalam lingkaran.

DEFINISI :Sudut antara dua lingkaran adalah sudut yang diapit oleh garis-garis singgung pada lingkaran-lingkaran di titik potong kedua lingkaran itu.

Suatu lingkaran dapat memotong lingkaran lainsedemikian hinggamenjadi dua busur yang sama panjangnya, dikatakan bahwa lingkaranitu membagi dua lingkaran lain (lihat gambar 2.15).

Pada gambar disamping, αadalah sudut antaralingkaran-lingkaran denganpusat P1 dan P2.

Jika α=90° atau kedualingkaran saling tegak lurus,maka akan berlaku bahwa

Lingkaran dengan pusat P1

membagi dua lingkaran P2, maka ∆P1P2A siku-siku, sehinggaberlaku

Contoh SoalTentukan nilai k, agar lingkaran x2+y2−2x+4y−k=0 membagi dua sama besar lingkaran x2+(y−1 )2=4.

Jawab :

x2+y2−2x+4y−k=0 berpusat di P2 (1,-2) dengan jari-jari r1=√5+k. Sedangkan lingkaran x2+(y−1 )2=4 berpusat di P2(0,1) dengan jari-jari r2=2.

|P1P2|2=r1

2−r22

(1−0 )2+(−2−1 )2=5+k−4

k=9.