IRPHE, Aix-Marseille UniversitéTechnopôle de Château-Gombert49, rue Frédéric Joliot-Curie13384 Marseille Cedex 13, France

Focusing of Unidirectional Wave Groups on Deep Water :An Approximate Nonlinear Schrödinger Equation-Based Model

T. Adcock & P. Taylor. Proc. R. Soc. A, July 2009

Article étudié par : Abdallah Daddi Moussa Ider

2 février 2014

Master Mécanique des Fluides et Physique Non-Linéaire

Cours Vagues extrêmes

Enseignant Prof. Christian Kharif

IRPHETechnopôle de Château-Gombert

Imprimé le 2 février 2014

1 Introduction

Le phénomène des vagues scélérates observées par les marins dans les océans a restéun mystère pour les scientifiques. La dynamique des ondes de gravité possède un aspectcomplexe dû à la non-linéarité des équations qui les régissent. L’équation non-linéairede Schrödinger (NLSE) est un modèle simplifié qui permet de mieux comprendre laphysique de ces ondes. Parmi les pionniers de cette approche théorique, figure Benjamin& Feir (1967) avec leur fameux papier cité plus de 1500 fois sur l’instabilité d’un traind’onde en profondeur infinie.Les travaux antérieurs en gros se sont divisés en deux approches :

Approche de Fourier utilisée par Benjamin & Feir (1967).Approche modulationelle développée par Whitham (1974) et conduisant à la NLSE.D’autres travaux ont apporté des contributions majeurs dans le développement de la

théorie non-linéaire des ondes en profondeur infinie. Citons Infeld & Rowlands (1990)qui ont mené une étude intéressante, Zakharov & Ostrovsky (2009) qui ont donné desnotions générales sur l’instabilité modulationnelle ou encore Dias & Kharif (1999) dansune parfaite étude de synthèse.Contrairement à l’étude de l’instabilité modulationelle, il y’ avait moins de travaux sur

l’effet de la non-linéarité sur les propriétés dispersives des trains d’onde. Dans ce papier,les auteurs ont présenté un modèle analytique simple décrivant l’évolution unidimen-sionnelle d’un groupe d’onde. Ce modèle a pour objectif de capter les caractéristiquesprincipales afin donner une description approchée de ce phénomène. Une fois le modèleest établi, il sera comparé avec des résultats de la simulation numérique ou de l’expé-rience afin de le valider. Comme perspective, les auteurs veulent tester ce modèle dans lecas bidimensionnelle où la méthode de la dispersion inverse (inverse scattering method)est inapplicable.L’objectif de ce papier est de donner une description minimale de l’évolution d’un pa-

quet d’onde gaussien isolé faiblement non-linéaire initialement focalisé. Cette descriptionest basée sur la solution donnée par Kinsman (1965) et l’utilisation des deux premiersinvariants de la NLSE, tout en considérant que l’amplitude et la largeur de la bandevarient lentement au cours du temps.Deux régimes ont été identifié en fonction de le non-linéarité du groupe d’onde :

Régime dispersive le plus approprié pour décrire le comportement des ondes dans lesocéans ouverts car la non-linéarité est faible. Des solution analytiques approchéesont été obtenues pour ce régime. La figure 1.1 b, c montre l’évolution des groupesdans le régime dispersif.

Régime non-dispersif pour des fortes non-linéarités, une structure similaire à celle d’unsoliton est observée. La figure 1.1 d− f illustre ce régime.

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Figure 1.1: L’évolution des groupes gaussiens pour les différents régimes. Les contours repré-sentent |U |/Af . (a) Évolution linéaire, (b) Af/Sf = 0.4 21/4, (c) Af/Sf = 0.8 21/4,(d) Af/Sf = 1.3 21/4, (e) Af/Sf = (21/4)2 et Af/Sf = 1.55 21/4.

Le paramètre clef dans cette étude permettant de déterminer le comportement desgroupes initialement focalisés est le rapport de l’amplitude de l’onde à la largeur de labande, défini ici par A/S pour la NLSE adimensionnelle. Ceci n’est en fait qu’une versionde l’indice de BF pour un groupe unitaire plutôt que pour la totalité des groupes.

2 Équation non-linéaire de Schrödinger

La NLSE est l’équation la plus simple pour la modélisation de l’évolution d’un grouped’onde. Elle peut être dérivée soit par l’analyse multi-échelle ou plus simplement parla méthode euristique. Cette formulation mathématique n’est valable que sous certaineshypothèses :– Évolution faiblement non-linéaire.– Groupe d’onde a spectre étroit.– Profondeur infinie.

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L’équation non-linéaire de Schrödinger unidimensionnelle est écrite comme suit :

i∂u

∂t=

ω

8k2∂2u

∂x2 +12 ωk

2|u|2u. (2.1)

ou u est l’enveloppe complexe de l’onde, ω et k sont la fréquence propre et le nombred’onde de la porteuse. Le repère de référence se déplace à la vitesse de groupe desondes porteuses. Cette équation peut être adimensionnée en utilisant les changementsde variable suivant T = −ωt,X = 2

√2kx et U = ku/

√2 pour donner :

i∂U

∂T+∂2U

∂X2 + |U |2U = 0. (2.2)

Nous pouvons montrer que cette équation possède un nombre infini d’invariants (Zakha-rov & Shabat, 1972). Les deux premiers invariants auxquels nous allons nous baser pourdévelopper la nouvelle approche sont donnés par les équations (2.3) et (2.4). I2 représentela conservation de l’énergie du système et I4 est la conservation de l’Hamiltonien.

I2 =+∞∫−∞

|U |2dX, (2.3)

I4 =+∞∫−∞

∣∣∣∣∣ dUdX∣∣∣∣∣2

−12 |U |

4dX. (2.4)

3 Groupes d’onde dissipatifs

3.1 Modèle analytique approximatifLa solution exacte de la partie linéaire de la NLSE donne l’évolution d’un enveloppe

gaussien. Cette solution a curieusement été trouvée par Kinsman (1965) donc mêmeavant que la NLSE voie le jour !

U(X,T ) = A

(1 + 2iS2T )1/2 exp

−S2

2

(X −

T

2

)2

1 + 4S4T 2 (1− iS2T )

. (3.1)

Avec A est l’amplitude du groupe et S est la largeur de la bande à T = 0. A représentephysiquement une mesure de la hauteur du groupe d’onde lorsque toute les composantessont parfaitement focalisées linéairement. Autrement dit, c’est la somme des coefficients

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d’amplitude dans la décomposition de Fourier d’un groupe d’onde dispersif. Nous consi-dérons ici que cette solution peut être utilisée comme approximation de l’évolution non-linéaire tout en supposant que A et S varient lentement avec le temps. Pour cela, nousintroduisons un temps non-linéaire associé à cette hypothèse définit par :

τ(T ) =T∫

0

S2(T ′)dT ′/S2(T ) . (3.2)

Notons ici que le temps non-linéaire introduit est une échelle de temps qui caractérisele taux de changement de la largeur de la bande dans le but de mesurer de combienle groupe est proche à la focalisation. Ce temps est en quelque sorte une correction dutemps physique afin de tenir compte de la nature non-linéaire de la NLSE.L’équation (3.1) est substituée dans les équations (2.3) et (2.4) pour donner les équa-

tions (3.3) et (3.4), exprimées en fonction de l’échelle de temps τ .

I2 = A2

S, (3.3)

I4 = A2S − 1√2

A4

S(1 + 4S4τ2)1/2 . (3.4)

La substitution de τ = 0 et τ = ∞ donne deux équations traduisant respectivementles paramètres pour un groupe focalisé et pour un groupe totalement dispersé, ainsi :(

A∞Af

)4

=(S∞Sf

)2

= 1− 1√2

(Af

Sf

)2

. (3.5)

Notons que les équations (3.5) indique une limite d’applicabilité de ce modèle analy-tique. Pour un groupe focalisé, le rapport de l’amplitude à la largeur de la bande ne doitpas excéder une valeur limite égale à 21/4.À la base de (3.5), les propriétés du groupe focalisé sont parfaitement connues et

peuvent être exprimés en fonction des paramètres à l’infini.

Sf

S∞=(Af

A∞

)2= r2 +

√1 + r4. (3.6)

avec r = 2−3/4A∞/S∞ est le paramètre traduisant la non-linéarité du groupe à l’infini.Les équations (3.6) indiquent que l’amplitude et la largeur de la bande augmentent

tous les deux à la focalisation. Après quelques arrangements nous arrivons à écrire :

Af

Sf= 23/4r√

r2 +√

1 + r4. (3.7)

La figure 3.1 présente la variation de Af/Sf donnée par l’équation (3.7). Nous remar-quons bien que la fonction subit une saturation à la valeur limite du modèle.

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Figure 3.1: Variation de Af/Sf en fonction de r.

3.2 Échelle de temps non-linéaire

Il est judicieux de poser la question suivante une fois cette nouvelle échelle de tempsest introduit : quelle relation existe-t-elle entre ce temps NL et le temps physique T ?Avant de répondre à cette question, une série de manipulation mathématique est

nécessaire. En combinant entre la NLSE (2.2) et son complexe conjuguée, nous trouvons :

i(UUT + UUT ) + UUXX − UUXX = 0. (3.8)

En multipliant par le module de U , nous obtenons :

i

2 |U |4T + |U |2(UUXX − UUXX) = 0. (3.9)

La substitution de cette équation à la gaussienne donnée par (3.1) suivie d’une intégrationle long de l’axe des réels donne :

∂

∂T

A2

(1 + 4S4τ2)1/2 = − 4A2S4τ

(1 + 4S4τ2)3/2 . (3.10)

En utilisant le second invariant donné par (2.3), l’équation (3.10) est réécrite commesuit :

∂

∂T

S

(1 + 4S4τ2)1/2 = − 4S5τ

(1 + 4S4τ2)3/2 . (3.11)

En supposant que l’évolution est de nature symétrique autour du point de focalisation.

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Une écriture type de la largeur de la bande est donnée par l’équation (3.12).

S(T ) = Sf (1− εT 2) +O(T 4). (3.12)

Il est bien de noter que la solution donnée par la méthode de perturbation peut êtreformulée pour des ordres supérieurs. Nous nous limitons au premier terme car la but iciest de dériver un modèle qui peut expliquer le plus simplement possible le comportementnon-linéaire d’un groupe d’onde gaussien initialement focalisé.L’utilisation de (3.12) avec l’équation (2.4) traduisant la conservation du hamiltonien

conduit à exprimer ε en fonction des paramètres à la focalisation :

ε =

S2fA

2f√

2

1−1

2√

2

(Af

Sf

)2. (3.13)

En substituant dans (3.11) et en prenant la limite quand T → 0, nous obtenons :

1 = dτ

dT

/1− 12√

2

(Af

Sf

)2 +O(T 2). (3.14)

Finalement l’échelle de temps NL exprimé en fonction du temps physique est donnéeaprès intégration de cette dernière équation par :

τ

T= 1− 1

2√

2

(Af

Sf

)2

+O(T 2). (3.15)

L’équation (3.15) traduit le fait que, plus le groupe est non-linéaire, plus l’échelle detemps est lent autours de la focalisation. Physiquement cela signifie que les événementsles plus raids ont tendance à durer plus lentement. Notons bien que dans le cas limite,quand Af/Sf = 23/4, le temps au point focal est complètement gelé (frozen). Dans ce casde figure, la solution est très proche à celle d’un soliton de la NLSE, comme le montreparfaitement la figure 3.2.

3.3 Comparaison avec les résultats numériques

Le modèle analytique décrit dans les sections précédentes sera comparé avec des ré-sultats de la simulation. La méthode numérique suivie pour la résolution de l’équation(2.2) est un schéma pseudo-spectral de Runge-Kutta d’ordre 4. Les incréments temporelset spatiaux sont respectivement égaux à 2 s et 10 m. Le domaine spatial de calcul estpériodique de longueur égale à 40,960 m. Le nombre d’onde de la porteuse est pris égaleà 0.0279 m−1, et la fréquence naturelle est de 0.523 s−1 dans toutes les simulations. Ladurée typique des simulations est de 20 périodes pour assurer une meilleure convergence.

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Figure 3.2: Comparaison entre une gaussienne correspondante au temps non-linéaire gelé(pointillé) et un soliton à amplitude équivalente (ligne continue).

L’évolution de l’amplitude maximale de l’enveloppe au cours du temps est présentéedans le figure 3.3. Remarquons que plus le groupe est NL, plus sa dispersion est lents,exactement comme prévu. Regardons maintenant les variations au cours du temps despropriétés des groupes initialement focalisés. La figure 3.4a montre l’évolution de chacundes deux termes du quatrième invariant pour un cas dispersif typique (Af/Sf = 0.713).Les variations de l’amplitude ainsi que de la largeur de la bande sont présentées juste àcôté dans la figure 3.4b.

Figure 3.3: Le maximum de l’enveloppe d’onde des groupes dispersifs en fonction du temps.Ligne continue, Af/Sf = 0.67 ; pointillé, Af/Sf = 0.335.

Une comparaison entre l’évolution prédite par l’équation (3.5) et les résultats de lasimulation numérique est présentée dans la figure 3.5. Nous remarquons qu’il y’ a unebonne correspondance entre les deux résultats sauf pour les fortes non-linéarité où l’ap-proximation du groupe gaussien devient quasiment invalide.Il est judicieux de comparer aussi l’expression analytique du temps NL donnée par

l’équation (3.15) avec les simulations. La figure 3.6 montre cette comparaison. Nousremarquons de même que, plus le groupe est NL, plus l’écart est important entre leprédiction analytique et les résultats numériques.

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Figure 3.4: (a) Évolution des deux termes de I4. Ligne fine,∫∞−∞ |Ux|2 ; ligne épaisse,

∫∞−∞ |U |

4.(b) Évolution de la largeur de la bande et de l’amplitude. Ligne fine, S/Sf ; ligneépaisse, A/Af .

Figure 3.5: Comparaison entre les prédictions analytiques de la largeur de la bande (lingecontinue) et les résultats de la simulation numérique. Cercle, Sf = 0.58 ; plus,Sf = 1.16.

Figure 3.6: Comparaison entre les prédictions analytiques du temps non-linéaire (linge conti-nue) et les résultats de la simulation numérique. Cercle, Sf = 0.58 ; plus, Sf = 1.16.

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4 Groups non-dispersif

4.1 Théorie approchée pour 21/4 < Af/Sf < 23/4

Dans ce régime, le groupe gaussien ne subit pas de dispersion mais après un com-portement provisoire, il oscille autours des structures permanentes (figure 1.1d− f). Legroupe gaussien initial est très proche à la fameuse solution en asech2 de KdV d’uneonde solitaire en eau peu profonde. Notons que pour Af/Sf > 21/4, il existe un secondgroupe gaussien à invariants égaux. Il sont liés par :(

A2A1

)2= S2S1

= 1√2

(A1S1

)2− 1. (4.1)

Ainsi au cours de l’évolution, les paramètres du groupe d’onde restent délimités entre lavaleur focale et cette seconde valeur.Considérons par la suite que Sf = 1. Le groupe d’onde initial évolue comme une

onde solitaire et une très longue et petite queue. Prenons AS/SS = 23/4 qui est unereprésentation gaussienne d’un soliton correspondant à un temps NL gelé. L’amplitudeAS et la perte énergétique sont estimées égales à :

As

Af= 21/4

(Af√

2− 1Af

)1/3

, (4.2)

∆E = 1− 2A−4/3f

(A2

f√2− 1

)1/3

. (4.3)

Regardons maintenant ce qui se passe dans les deux cas limites de ce régime. QuandAf = 21/4, le système est totalement dispersif et aucun soliton ne se forme. Néanmoins,pour Af = 23/4, il n’ y a pas de perte d’énergie et AS = AS , ceci correspond à l’absencede dispersion et le temps NL est gelé autours du point de la focalisation.

4.2 Théorie approchée pour A/S > 23/4

Dans ce régime, il est raisonnable de supposer que deux solitons de très faible queueayant chacun un rapport A/S de 23/4 vont émerger ensemble. Prenons toujours Sf = 1,l’amplitude de chaque soliton est donnée par :

AS1,S2 = 14

(21/4A2

f ±1√3

√−32√

2 + 32A2f −√

2A4f

). (4.4)

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En effectuant un développement limité autour de δ = Af − 23/4, nous obtenons l’expres-sion analytique approchée pour chacun des deux solitons :

AS1 = 23/4 + 2δ − 21/4

6 δ2 +√

23 δ3 +O(δ4), (4.5)

AS2 = 25/4

3 δ2 −√

23 δ3 +O(δ4). (4.6)

Ainsi le plus fort des solitons évolue quasi-linéairement autours du point de focalisation,tandis que le plus faible est caractérisé par une naissance quadratique. Il est bien de noterque plus la non-linéarité augmente, plus il y’ a possibilité d’avoir plusieurs solitons.

4.3 Comparaison avec les simulations numériques

Pour les deux régimes décrits précédemment, les expression de (4.2) et (4.4) sontcomparées avec les résultats de la simulation numérique. La figure 4.1 illustre cettecomparaison.

Figure 4.1: Comparaison de l’amplitude des solitons formés dans le cas non-dispersif entre laprédiction analytique et les simulations numériques. Plus, numérique ; ligne grise,As/Af ; ligne continue, As1/Af ; pointillé, As2/Af . Notons que As1/Af et As2/Af

n’ont pas un sens physique pour Af/Sf < 23/4.

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5 Comparaison avec les simulation NLcomplètes et avec les expériences

5.1 Simulations NL complètesBateman et al. (2001) ont développé un schéma numérique pour la résolution des

équations non-linéaire de la propagation des ondes. Gibbs (2004) dans sa thèse a ac-compli sur la base de ce schéma des simulations numériques des groupes d’onde gaussieninitialement dispersé à −80 périodes de la focalisation. Il a été trouvé que l’effet de lanon-linéarité est d’augmenter l’amplitude et la largeur de la bande à la focalisation. Unrésultat similaire a été trouvé par la NLSE, mais notons bien que les effets NL ne sontpas tous capturés (figure 5.1).

Figure 5.1: Comparaison entre les simulations NL complètes (pointillé) et les résultats numé-riques de NLSE (ligne continue). ak = 0.16.

La figure 5.2 montre la comparaison entre la largeur de la bande prédite et celles ob-servées dans le modèle NL complet. La modélisation gaussienne surestime la contractionde la bande pour des groupe fortement non-linéaire.

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Figure 5.2: Comparaison de la largeur de la bande d’un groupe gaussien focalisé prédit parle modèle analytique (ligne continue) avec le schéma complet (diamant) et par laNLSE (carré).

5.2 Comparaison avec les résultats expérimentaux

Baldock et al. (1996) ont mené une étude expérimentale sur la focalisation des groupesd’onde unidirectionnelles généré par une pédale située à 8 m du point focal linéaire dansun tank ayant 20 m de longueur et 0.7 m de profondeur. kh est choisi typiquement entre1.4 et 3 et le spectre des fréquences a une allure S(ω) ∼ ω−4, ce qui est très différentde la forme gaussienne adoptée dans notre développement analytique. La comparaisonentre les prédictions du modèle et les résultats expérimentaux de Baldock et al. (1996)(cas C) est présentée dans la figure 5.3

Figure 5.3: Comparaison des résultats expérimentaux de Baldock et al. (1996) (plus) avec lesprédictions analytiques (ligne continue).

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6 Discussion

Le modèle développé dans ce papier est basé sur les quantités conservées de la NLSE.Cette approche est valable pour des groupes d’onde gaussiens et ne peut pas être gé-néralisée pour n’importe quel état de mer. Janssen (2003) a publié des résultats baséssur des approches statistiques afin examiner la divergence éventuelle de la distributionnormale pour la surface et de la distribution de Rayleigh pour l’élévation.Onorato et al. (2003) ont montré sur la base de la NLSE unidirectionnelle que des

structures cohérentes robustes émergent pour des conditions initiales aléatoires et sepropagent tout au long de la simulation si l’index de BF est suffisamment élevé. Cerésultat est en parfaite concordance avec les résultats obtenus dans ce papier. Il est ensuite judicieux de poser la question sur la nature de ces structures pour savoir si elles seressemblent vraiment aux ondes solitaires ou encore si elles peuvent être qualifiées à desvagues scélérates.

7 Conclusion

Dans ce papier, un modèle analytique simplifié a été mise en place pour décrire lecomportement des groupes d’onde unidirectionnelles initialement focalisé. Ce modèle estbasé sur l’équation non-linéaire de Schrödinger et ses quantités conservées. Il est biende noter que cette modélisation n’est valable que dans le cas d’un groupe gaussien. Lesdifférents régimes de l’évolution du groupe d’onde ont pu parfaitement être identifié enfonction de la non-linéarité exprimée par le paramètre clef du modèle qui est le rapportentre l’amplitude et la largeur de la bande. Nous avons remarqué qu’il y’ avait unebonne concordance avec les solution numériques de la NLSE et qualitativement avec lessolutions du problème non-linéaire complet. En résumé, ce modèle a permis de capterla physique du phénomène avec un coup minimal pour une prédiction robuste. Commeperspective, il reste à prolonger cette méthode pour le cas bidirectionnelle où la méthodede la dispersion inverse ne marche pas afin de pouvoir modéliser réellement l’évolutiondes ondes dans la surface des océans.

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Bibliographie

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Table des matières

1 Introduction 3

2 Équation non-linéaire de Schrödinger 4

3 Groupes d’onde dissipatifs 53.1 Modèle analytique approximatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Échelle de temps non-linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3 Comparaison avec les résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Groups non-dispersif 94.1 Théorie approchée pour 21/4 < Af/Sf < 23/4 . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Théorie approchée pour A/S > 23/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.3 Comparaison avec les simulations numériques . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Comparaison avec les simulation NL complètes et avec les expériences 125.1 Simulations NL complètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.2 Comparaison avec les résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . 14

6 Discussion 14

7 Conclusion 15

17