FISIKA DASAR I (2013/2014)

Vera Firmansyah, M.Si

Materi Pokok

• Vektor • Kinematika • Dinamika • Energi • Momentum • Dinamika Rotasi

• Osilasi • Gelombang • Gelombang Bunyi • Interferensi • Difraksi • Efek Doppler

UTS = 40%

UAS = 40%

QUIZ + PR + TUGAS = 20%

Jika nilai akhir D atau E, maka komposisi

UTS = 35% UAS = 35%

QUIZ + PR + TUGAS = 30%

FISIKA DASAR I (vektor)

Vera Firmansyah, M.Si

Sub Pokok Bahasan

• Definisi Vektor

• Penjumlahan vektor

• Vektor Satuan

• Penjumlahan vektor secara analitis

• Perkalian Skalar

• Perkalian Vektor

Sasaran Pembelajaran

• Mahasiswa mampu mencari besar vektor, menentukan vektor satuan

• Mahasiswa mampu menyelesaikan operasi-operasi vektor

Definisi Vektor

• Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan.

• Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan oleh huruf di cetak tebal (misal A) atau diberi tanda panah di atas huruf (misal Ā) Dalam handout ini sebuah besaran vektor dinyatakan oleh huruf yang dicetak tebal.

a

b

R

Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R

Penjumlahan Vektor

• Penjumlahan vektor R yang menyatakan perpindahan a ke b dan vektor S yang menyatakan perpindahan b ke c menghasilkan vektor T yang menyatakan perpindahan a ke c.

• Cara menjumlahkan dua buah vektor dengan mempertemukan ujung vektor pertama, vektor R, dengan pangkal vektor kedua, vektor S. Maka resultan vektornya, vektor T, adalah menghubungkan pangkal vektor pertama dan ujung vektor kedua.

b

c a

R S

T

T = R + S

Besar Vektor Resultan

Jika besar vektor R dinyatakan oleh R dan besar vektor S dinyatakan oleh S, maka besar vektor T sama dengan :

T = R2 + S2 - 2 R S cosq

Sudut θ menyatakan sudut yang dibentuk antara vektor R dan vektor S

R S

T

T = R + S

θ

Pengurangan Vektor

Untuk pengurangan vektor, misal A – B dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari A + (-B). Vektor -B atau negatif dari vektor B adalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor B tetapi arahnya berlawanan.

A B

-B

D D = A – B

Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km

kemudian bergerak ke Barat sejauh 40 km

Selanjutnya bergerak ke Selatan sejauh 10 km.

Tentukan besar perpindahan mobil tersebut !

N

E

U

20

km

40 km B

S 1

0 km

Contoh

Jawab :

40 km

10 km

20 km

10 km

40 km

A

B

C

Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor A, perpindahan kedua dinyatakan vektor B, dan perpindahan ketiga dinyatakan vektor C, maka perpindahan total dinyatakan vektor D. Dari gambar di atas dapat diketahui panjang vektor D adalah :

m17101040 22

Contoh

Vektor Satuan

• Vektor satuan didefenisikan sebagai :

• Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalah satu satuan. Dari persamaan di atas, sebuah besaran vektor dapat dinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektor satuan. Vektor satuan r menyatakan arah dari vektor R.

• Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat Kartesian di mana arah-arah dari masing-masing sumbu dinyatakan dalam vektor satuan.

– Vektor satuan i menyatakan arah sumbu X positif

– Vektor satuan j menyatakan arah sumbu Y positif

– Vektor satuan k menyatakan arah sumbu Z positif

R

Rr

Penulisan Vektor Secara Analitis

2

z

2

y

2

x RRRR

Vektor R dinyatakan oleh : R = Rxi + Ryj + Rzk Besar vektor R adalah :

R

Ry

Rz

Rx

Vektor dalam 2 Dimensi

Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing sumbu koordinat.

Sebuah vektor perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan :

a. Vektor perpindahan dinyatakan secara analitis

b. Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X

c. Panjang vektor

Jawab :

Vektor perpindahan :

R = (xujung – xpangkal)i + (yujung – ypangkal)j

R = (-2 – 2)i + (5 – 2)j = -4i + 3j

a.

Contoh

o1

x

y1 374

3tan

R

Rtan

b.

Besar vektor R = 543RR 222y

2x c. satuan

Sudut yang dibentuk :

Contoh

Penjumlahan Vektor Cara Analitis

Jika diketahui sebuah vektor A = xAi + yAj dan vektor B = xBi + yBj, maka penjumlahan vektor A + B = (xA + xB)i + (yA + yB)j. Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku : R = (x0 + …+xi + …+xn)i + (y0 + …+yi + …+yn)j

Diketahui dua buah vektor.

A = 3i + 2j

B = 2i - 4j

Tentukan :

a. A + B dan |A + B|

b. A - B dan |A – B|

Jawab : a. A + B = 3i + 2j + 2i - 4j = 5i - 2j |A + B| = 29)2(5 22

b. A - B = 3i + 2j - (2i - 4j) = i + 6j |A – B| = 3761 22

A B

-B

A - B

Contoh

1. Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4 satuan dan arahnya 60o dari sumbu X positif secara analitis dan tentukan vektor satuannya!

2. Sebuah benda bergerak dari titik (1,2)m ke titik (5,0)m. Tentukan : a. Vektor perpindahan benda tersebut b. Jarak perpindahan c. Arah dari vektor perpindahan benda tersebut dinyatakan oleh

vektor satuannya

3. Diketahui A = 3i + 4j. Tentukan konstanta skalar c sehingga berlaku cA = 10 satuan !

4. Diketahui A = 2i + 4j, B = -7i, dan C = 8j. Tentukan : a. A + B - C b. |A + B + C|

Soal

R = Rxi + Ryj Diketahui : Rx = R cos θ = 4 cos 60o = 2 satuan Ry = R sin θ = 4 sin 60o = 2 satuan Dengan demikian R = 2i + 2 j satuan Vektor satuan : r = cos 60o + sin 60o = ½ i + ½ j

60o

X

Y

R

θ

3

3

1.

3

Solusi

m5224RR 222y

2x

jiR

r5

5

5

52

R

X

Y

R

1 5

2

a. R = (x2 – x1) i + (y2 – y1) j. Titik awal (x1,y1) = (1,2) dan titik akhir (x2,y2) = (5,0).

Dengan demikian vektor R = 4 i – 2 j.

b. R =

c.

2.

Solusi

4. a. A + B – C = 2i + 4j - 7i - 8j = -5i - 4j b. |A + B + C| = |2i + 4j - 7i + 8j| = |-5i + 12j| |-5i + 12j| = = 13 satuan

3. Besar vektor A = = 5 satuan Dengan demikian nilai c = 2 satuan

22 43

22 125

Solusi

Perkalian skalar atau juga sering disebut perkalian titik dari dua buah

vektor menghasilkan besaran skalar di mana berlaku :

A . B = AB cos θ

Jika diketahui A = ax i + ay j + az k dan B = bx i + by j + bz k, maka :

A . B = axbx + ayby + azbz

Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial, fluks

magnet, dan lain-lain. A

B θ

Perkalian Skalar

Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah :

i . i = j . j = k . k = 1

i . j = j . k = k . i = 0

Perkalian Skalar

Diketahui dua buah vektor, A = 3i + 4j dan B = 4i - 2j. Tentukan sudut antara vektor A dan B !

Jawab :

A . B = (3i + 4j) . (4i - 2j) = 3.4 + 4.(-2) = 4

Besar vektor 𝐴 = 32 + 42 = 5

Besar vektor 𝐵 = 42 + (−2)2= 20

Dengan demikian θ = 79,7o

A

B

θ AB

Contoh

Untuk menentukan sudut antara vektor A dan B dapat menggunakan persamaan

cos 𝜃 =𝐴 ∙ 𝐵

𝐴𝐵

cos 𝜃 =𝐴∙𝐵

𝐴𝐵=

4

5 20= 0,18

Perkalian vektor atau perkalian silang dari dua buah vektor menghasilkan besaran vektor lain di mana berlaku : A X B = C Besar vektor C adalah : C = AB sin θ Arah vektor C selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor A dan vektor B. Untuk menentukan arah vektor C dapat diperhatikan gambar di bawah ini. Diketahui bahwa hasil A X B tidak sama dengan B X A. Walaupun besar vektor hasil perkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling berlawanan.

B

B

A

A

C = A X B

C’ = B X A

θ

θ

C = -C’

Perkalian Vektor

Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah : i X i = j X j = k X k = 0

i X j = k ; j X k = i; k X i = j j X i = -k ; k X j = -i; i X k = -j

Perkalian Vektor

𝐴 × 𝐵 =

𝑖 𝑗 𝑘𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧

𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧

𝑖 𝑗𝐴𝑥 𝐴𝑦

𝐵𝑥 𝐵𝑦

+ + +

- - -

Diketahui dua buah vektor. A = 3i + 4j B = 4i - 2j + k Tentukan : a. A X B b. Buktikan A X B = -B X A Jawab :

A X B = (3i + 4j) X (4i X 2j + k) = 3.4(iXi) + 3.(-2)(iXj) + 3.1(iXk) + 4.4(jXi) + 4.(-2)(jXj) + 4.1(jXk) = 12.0 – 6k + 3(-j) + 16(-k) – 8.0 + 4i = 4i – 3j – 22k

a.

B X A = (4i X 2j + k) X (3i + 4j) = 4.3(iXi) + 4.4(iXj) +(-2).3(jXi) + (-2).4(jXj) + 1.3(kXi) + 1.3(kXj) = 12.0 + 16k – 6(-k) – 8.0 + 3j + 4(-i) = -4i + 3j + 22k = - A X B terbukti

b.

Contoh

1. Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor A = i + 2 j – k dan vektor B = 3 i – 4 k !

2. Tentukan panjang proyeksi dari vektor A = 4 i + 2 j – k terhadap arah vektor B = i + 3 j – 4 k !

3. Diberikan tiga buah vektor : A = 1 i + 2 j – k B = 4 i + 2 j + 3 k C = 2 j – 3 k Tentukan : a. A . (B X C) b. A . (B + C) c. A X (B + C) 4. Buktikan vektor R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k adalah tegak lurus !

Soal (PR)

61)(21A 222

Menurut persamaan A . B = 1.3 + 2.0 + (-1).(-4) = 7. Besar vektor A :

54)(3B 22

1.

Nilai sudut antara A dan B ditentukan oleh : 65

7

ABcos

B.A

Dengan demikian θ = 55,1o

Besar vektor B :

2. A

B AB θ

Panjang AB menyatakan panjang proyeksi A terhadap B yang besarnya :

26

14

)4(31

)4).(1(3.21.4

B cosAA

222B

A.B

Solusi

B X C = (4i + 2j + 3k) X (2j – 3k) = 8(i X j) – 12(i X k) – 6(j X k) + 6(k X j) = 8k + 12j X 12i

A . (B X C) = (i + 2j – k).(-12i + 12j + 8k) = -12 + 24 – 8 = 4

3. a.

B + C = 4i + 4j. Nilai A . (B + C) = (i + 2j – k).(4i + 4j) = 12 b.

A X (B + C) = (i + 2j – k) X (4i + 4j) = i – 4j – 4k c.

Dua buah vektor tegak lurus jika membentuk sudut 90o. Menurut persamaan dan diperoleh :

R . S = RS cos 90o = RS . 0 = 0

R . S = RxSx + RySy + RzSz

Jika diketahui R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k, maka :

R . S = 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0

4.

Solusi

KINEMATIKA Next