Exercices d'interrogations orales en MPSI

Exercices d’interrogations orales en MPSI

Alexandre Popier

28 janvier 2005

TABLE DES MATIÈRES 1

Table des matières

1 Analyse 31.1 Ensembles et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Ensembles usuels de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7 Limite et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.8 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.9 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.10 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.11 Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.12 Formules de Taylor, fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.13 Intégration sur un intervalle quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.14 Sommes et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.15 Equations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.16 Calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.17 Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2 Algèbre 682.1 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.2 Anneaux, corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.3 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.4 Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.5 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.6 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.7 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.8 Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.9 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.10 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.11 Espaces vectoriels euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062.12 Arithmétique de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.13 Arithmétique des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

TABLE DES MATIÈRES 2

3 Géométrie 1193.1 Géométrie du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.2 Géométrie de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.3 Courbes planes paramétrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.4 Courbes en coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.5 Coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

CHAPITRE 1. ANALYSE 3

Chapitre 1

Analyse

1.1 Ensembles et applicationsExercice 1.1.1 Soit f : E → F . Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. f est surjective;2. ∀ y ∈ F, f(f−1(y)) = y;3. ∀ Y ⊂ F,f(f−1(Y )) = Y ;4. le seul Y ⊂ F tel que f−1(Y ) = ∅ est ∅.

Solution. (2) et (3) sont équivalentes car f et f−1 commutent avec la réunion. Deplus, f−1(y) 6= ∅ ⇔ y ∈ f(E). Et toutes les autres équivalences en découlent.

Exercice 1.1.2 Soient E un ensemble et p : E → E une application telle que p p = p.Montrer que si p est injective ou surjective, alors p = IdE.

Soient E un ensemble et f : E → E une application telle que f f f = f . Montrerque f est injective si et seulement si f est surjective.

Solution. Si p injective, de p(p(x)) = p(x), on obtient p(x) = x. Si p est surjective,pour x ∈ E, il existe t ∈ E tq x = p(t) = p(p(t)) = p(x).

Si f est injective, f((f f)(x)) = f(x) implique f f = IdE, donc bijective. Si f estsurjective, pour x ∈ E, il existe t ∈ E tq x = f(t) d’où (ff)(x) = f((ff)(t)) = f(t) = x.

Exercice 1.1.3 Soient E, F , G trois ensembles tels que E 6= ∅, f : F → G une applica-tion. Montrer que f est injective si et seulement si pour tout (g,h) ∈ (FE)2,

f g = f h⇒ g = h.

Soient F , G, H trois ensembles tels que H ait au moins deux éléments, et f : F → Gune application. Montrer que f est surjective si et seulement si pour tout (g,h) ∈ (HG)2,

g f = h f ⇒ g = h.


Solution. Réciproque : f(y) = f(z). On pose g : E → F qui à x associe y et h : E → Fqui à x associe z. Comme E 6= ∅, il existe x0 ∈ E tel que g(x0) = y et h(x0) = z.

Réciproque : il existe (z1,z2) ∈ H2 tel que z1 6= z2. On pose g : G→ H qui à y associez1 et h : G→ H qui à y associe z1 si y ∈ f(F ) et z2 sinon.

Exercice 1.1.4 Soient E un ensemble, (A,B) ∈ (P(E))2,

f : P(E) → P(A)× P(B)X 7→ (X ∩ A,X ∩B)

Trouver une condition nécessaire et suffisante sur A et B pour que f soit injective, sur-jective et bijective.

Solution.1. Si f injective, calculer f(A ∪ B) et f(E). En déduire A ∪ B = E. Réciproque : sif(X) = f(X ′), on aX = X∩E = (X∩A)∪(X∩B) = (X ′∩A)∪(X ′∩B) = . . . = X ′.

2. Si f surjective, il existe C tq f(C) = (∅,B). Ceci implique B ⊂ A ou A ∩ B = ∅.Réciproque : soit (Y,Z) ∈ P(A)× P(B). Calculer f(Y ∪ Z) = (Y,Z).

Exercice 1.1.5 Soient f : N → N qui à x associe x + 1 et g : N → N qui à y associe 0si y = 0 et y − 1 si y ≥ 1.

1. Etudier l’injectivité, la surjectivité et la bijectivité éventuelles de f et de g.2. Préciser g f et f g.

Exercice 1.1.6 L’application

f : Z× N \ 0,1 → Q(p,q) 7→ p+ 1/q

est-elle injective? Surjective?

Solution. Oui, non.

Exercice 1.1.7 L’application f : R2 → R2 qui à (x,y) associe (x + y,xy), est-elle injec-tive? Surjective? Mêmes questions avec g : C2 → C2 qui à (x,y) associe (x+ y,xy).

Solution. Non, non, non, oui.

Exercice 1.1.8 Soitf : R → C

x 7→ 1+ix1−ix

est-elle injective? Surjective? Déterminer f−1(R) et f(R).

Solution. Oui, non, ∅, U.

Exercice 1.1.9 Soitf : C → C

z 7→ 2z2.

On note U = z ∈ C, |z| = 1. Déterminer f(R), f(U), f−1(R).


Solution. On trouve respectivement R+, z ∈ C, |z| = 2, R ∪ iR.

Exercice 1.1.10 Soitf : R2 → R2

(x,y) 7→ (2x+ 3y,x− 4y)

et soit ∆ = (x,y) ∈ R2, x+ 2y = 1. Déterminer f(∆) et f−1(∆). f est-elle bijective?

Solution. (x,y) ∈ R2, 6x− y − 11 = 0, (x,y) ∈ R2, 4x− 5y = 1, oui.

Exercice 1.1.11 Soient P = z ∈ C / Im(z) > 0 et D = z ∈ C / |z| < 1. Montrerque f : z 7→ z−i

z+iest une bijection de P sur D.

Solution. Vérifier que f est bien définie et que tout élément admet un unique anté-cédent.

1.2 Ensembles usuels de nombresExercice 1.2.1 1. Etablir : ∀x ∈ [0,1], 0 ≤ x(1− x) ≤ 1

4.

2. En déduire : ∀(a,b,c) ∈ [0,1]3, min (a(1− b),b(1− c),c(1− a)) ≤ 14.

Solution. Poser α = a(1− b), β = b(1− c) et γ = c(1− a). Vérifier αβγ ≤(

14

)3. Puisraisonner par l’absurde.

Exercice 1.2.2 Montrer :

∀n ∈ N∗,

(2n

3+

1

3

)≤

n∑k=1

√k ≤

(2n

3+

1

2

)√n.

Solution. Par récurrence.

Exercice 1.2.3 1. Soit n ∈ N∗ tel que n ne soit le carré d’aucun entier. Montrer :√n 6∈ Q.

2. Etablir :√

2 +√

3 6∈ Q.

Solution. Poser α =√

2+√

3, supposer α ∈ Q et calculer α2. En déduire√

6 est dansQ.

Exercice 1.2.4 Montrer :

∀(x,y) ∈ R2, E(x) + E(y) ≤ E(x+ y) ≤ E(x) + E(y) + 1.

Solution. E(x) + E(y) ≤ x+ y < E(x) + E(y) + 2.

Exercice 1.2.5 Montrer : ∀n ∈ N∗, ∀x ∈ R, E(

E(nx)n

)= E(x).

Solution. p = E(x) et p ≤ x < p + 1, donc np ≤ nx < np + n. Donc np ≤ E(nx) etE(nx) < n(p+ 1). D’où : p ≤ E(nx)/n < p+ 1.


Exercice 1.2.6 Soit n ∈ N∗.1. Montrer qu’il existe (an,bn) ∈ (N∗)2 tel que :

(2 +√

3)n = an + bn√

3, 3b2n = a2n − 1.

2. Montrer que la partie entière de (2 +√

3)n est un entier impair.

Solution.1. Formule de Newton et penser à (2−

√3)n.

2. On a : (2 +√

3)n + (2 −√

3)n = 2an ∈ Z et 0 < (2 −√

3)n ≤ 2 −√

3 < 1, donc :E((2 +

√3)n) = 2an − 1.

Exercice 1.2.7 (*) Démontrer :

∀n ∈ N∗, ∀x ∈ R,n−1∑k=0

E

(x+

k

n

)= E(nx).

Solution. Soient n ∈ N∗ et x ∈ R; notons p = E(nx), et considérons le quotientq et le reste r de la division euclidienne de p par n : p = nq + r et 0 ≤ r < n. Pourk = 0, . . . ,n− 1,

q +r + k

n≤ x+

k

n< q +

r + k + 1

n,

donc si 0 ≤ k ≤ n− r − 1, E(x+ k

n

)= q et si n− r ≤ k ≤ n− 1, E

(x+ k

n

)= q + 1.

Exercice 1.2.8 Montrer

a = (20 + 14√

2)13 + (20− 14

√2)

13

b =√

2(7 + 4√

3)14 −√

2(7− 4√

3)14

sont rationnels.

Solution.

Exercice 1.2.9 Pour n ∈ N∗ et k ∈ N, on pose :

Sn,k =n∑

i=1

ik.

1. Calculer Sn,0 et Sn,1.2. Montrer :

∀p ∈ N, ∀n ∈ N∗,

p∑k=0

Ckp+1Sn,k =

n∑i=1

(p∑

k=0

Ckp+1i

k

)= (n+ 1)p+1 − 1.

3. En déduire Sn,2 et Sn,3.


Solution.1. Sn,0 = n, Sn,1 = n(n+ 1)/2.2. Somme en cascade.3. Sn,2 = n(n+ 1)(2n+ 1)/6 et Sn,3 = (n(n+ 1))2/4.

Exercice 1.2.10 Soit R la relation définie dans R par : xRy ⇔ xey = yex.1. Montrer que R est une relation d’équivalence.2. Pour tout x ∈ R, préciser le nombre d’éléments de la classe de x modulo R.

Solution.1. Réflexivité et symétrie : ok. Pour la transitivité :

y(xez) = x(yez) = x(zey) = z(xey) = z(yex) = y(zex).

2. Si x = 0, xRy ⇔ y = 0. Si x 6= 0, xRy ⇒ y 6= 0. Donc la classe de x est l’ensembledes y ∈ R∗ t.q. ey/y = ex/x. Etudier φ : t 7→ et/t. Si x < 0 il existe un unique y 6= 0tel que φ(x) = φ(y) et y = x. Si x > 0 et x 6= 1, φ(x) a deux antécédents, donc deuxéléments dans la classe. Pour x = 1, la classe est 1.

Exercice 1.2.11 Soient E un ensemble, R et S deux relations d’ordre total dans E tellesque :

∀(x,y) ∈ E2, (xRy ⇒ xSy).

Montrer : ∀(x,y) ∈ E∗, (xRy ⇔ xSy).

Solution. Supposer xRy et x et y non S-équivalents. Alors ySx, donc yRx, i.e. x = y,absurde.

Exercice 1.2.12 Vérifier que la relation R, définie dans RR par :

fRg ⇐⇒(∃A ∈ R∗

+, ∀x ∈ R, (|x| > A⇒ f(x) = g(x)))

est une relation d’équivalence.

Exercice 1.2.13 Un ensemble est dit bien ordonné si toute partie non vide admet unplus petit élément. Donner un exemple d’ensemble bien ordonné et un exemple d’ensemblequi ne l’est pas. Montrer que bien ordonné implique totalement ordonné. La réciproqueest-elle vraie?

Solution. N; Z; si E bien ordonné, prendre u,v : il admet un plus petit élément eton compare u et v. Z totalement ordonné mais pas bien ordonné.

Exercice 1.2.14 Quelles sont les bornes supérieures et inférieures dans R de1

n+ (−1)n, n ∈ N∗

?


Solution. 3/2 est un maximum, et −1 est la borne inférieure.

Exercice 1.2.15 Quelles sont les bornes supérieures et inférieures dans R dex2 − 1

x2 + 1, x ∈ R

?

Solution. le sup vaut 1, le min vaut −1.

Exercice 1.2.16 Quelles sont les bornes supérieures et inférieures dans R de1

n+

1

m, (n,m) ∈ N∗ × N∗

?

Solution. Le max est 2, l’inf est 0.

Exercice 1.2.17 Soient A, B deux parties non vides et majorées de R; on note

A+B = c ∈ R; ∃(a,b) ∈ A×B, c = a+ b .

Montrer que A, B, A+B admettent des bornes supérieures dans R et que :

sup(A+B) = sup(A) + sup(B).

Solution. La première partie sur l’existence des bornes sup est immédiate. De plusle supremum de A + B, noté γ, est plus petit que sup(A) + sup(B). Soit b ∈ B. On aa+ b ≤ γ, i.e. a ≤ γ − b, d’où sup(A) ≤ γ + b.

Exercice 1.2.18 Soit A une partie bornée de R. Montrer que

sup |x− y|, (x,y) ∈ A× A = sup(A)− inf(A).

Solution. On note α = sup(A) et β = inf(A). D’abord si (x,y) ∈ A2, on a |x − y| ≤α− β. Donc c’est déjà un majorant. Si M est un autre majorant, alors pour x,y dans A,x ≤M + y. Donc α ≤M + y. Ainsi α−M est un minorant, et donc α−M ≤ β.

Exercice 1.2.19 Soit A ⊂ R, A 6= ∅, A majorée. Soit a = sup(A). On suppose quea 6∈ A.

1. Montrer que : ∀ε > 0, ]a− ε,a[∩A 6= ∅.2. En déduire : ∀ε > 0, ∃(x,y) ∈ A2, 0 < y − x < ε.

Solution.1. définition de la borne sup : a− ε < x ≤ a, puis a 6∈ A pour éliminer le cas x = a.2. Poser ε′ = a− x > 0. Il existe y ∈ A t.q. a− ε′ < y < a. Donc x < y < a. Conclure.

Exercice 1.2.20 Soit f une application croissante de [0,1] dans lui-même. On considèrel’ensemble

E = x ∈ [0,1], f(x) ≥ x .


1. Montrer que E possède une borne supérieure b.2. Montrer que f(b) = b.

Solution. E est non vide et majoré, donc b existe. Soit (un) une suite tendant vers bavec un ∈ E et b ≥ un. Donc f(b) ≥ f(un) ≥ un, ainsi f(b) ≥ b. Si f(b) > b, on auraitf(f(b)) ≥ f(b) (on peut appliquer f car b,f(b) sont dans [0,1]). Donc f(b) ∈ E, ce qui estabsurde.

Exercice 1.2.21 1. Soit x ∈ R. Montrer (par récurrence) qu’il existe une suite (xn)de rationnels tels que :

∀n ∈ N, xn ≤ xn+1, et x− 1

n+ 1≤ xn ≤ x.

2. En déduire que tout réel est limite d’une suite croissante de rationnels, puis que toutréel est limite d’une suite décroissante de rationnels.

Solution.1. Par récurrence : pour n = 0, x−1 < x, donc prendre x0 ∈ Q avec x−1 < x0 < x. Six0, . . . ,xn sont construits, poser yn = max(x− 1/(n+2); xn). Alors yn < x. Prendrexn+1 ∈]yn,x[.

2. pour la décroissance, prendre y = −x, d’où une suite (yn) croissante convergentevers y. Puis xn = −yn.

Exercice 1.2.22 Soit f : R→ R une application croissante vérifiant la propriété :

∀(x,y) ∈ R2, f(x+ y) = f(x) + f(y). (*)

1. Montrer que l’on a alors f(x) = xf(1) pour tout x ∈ R. On utilisera le fait que toutréel est limite d’une suite croissante de rationnels.

2. En déduire toutes les applications croissantes f : R→ R vérifiant (*).

Exercice 1.2.23 Soient f,g : E → R définies sur un ensemble E et bornées sur E. Onnote

sup(f) = sup f(x), x ∈ E et inf(f) = inf f(x), x ∈ E .On définit de même sup(g) et inf(g).

1. Montrer que −f est bornée sur E et que l’on a :

inf(−f) = − sup(f) et sup(−f) = − inf(f).

2. Montrer que f + g est bornée sur E et que l’on a :

inf(f + g) ≥ inf(f) + inf(g) et sup(f + g) ≤ sup(f) + sup(g).

Ces inégalités peuvent-elles être strictes?3. Montrer que sup(f + g) ≥ sup(f) + inf(g).

Solution. Poser M = sup f , m = inf f . m ≤ f(x) ≤M , d’où −M ≤ −f(x) ≤ −m, ie−M ≤ inf(−f) et −m ≥ sup(−f). Recommencer en partant de −f .


1.3 DénombrementExercice 1.3.1 Le plan P est rapporté à R =

(O,~i,~j

). Soit n ∈ N∗. Soient les points

A = (n,0) et B = (n,0). Déterminer le nombre de points du plan à coordonnées entièressitués à l’intérieur du triangle de sommets 0,A,B (frontière comprise). De même l’espaceE est rapporté à R =

(O,~i,~j,~k

). Soient n ∈ N∗, A = (n,0,0), B = (0,n,0) et C = (0,0,n).

Quel est le nombre de points à coordonnées entières situés à l’intérieur du tétraèdre 0ABC(frontière comprise)?

Solution. On cherche le cardinal de l’ens. En des couples (x,y) ∈ N2 tels que x+y ≤ n.Soit Fk l’ens. des (x,y) ∈ En tels que x = k. Alors

card(En) =n∑

k=0

card(Fk) =n∑

k=0

(n+ 1− k) =n∑

k=0

k + 1 =(n+ 1)(n+ 2)

2.

Soit Gn l’ens. des triplets (x,y,z) ∈ N3 tels que x + y + z ≤ n et Hk l’ens. des triplets(x,y,z) ∈ Gn t.q. z = k. On a Hk = En−k, donc

card(Gn) =n∑

k=0

(k + 1)(k + 2)

2=

1

2

n+1∑k=1

k(k + 1)

=1

2

((n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3)

6+

(n+ 1)(n+ 2)

2

)=

(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)

6.

Exercice 1.3.2 Soit n ∈ N∗ et p ∈ N∗. On rappelle que p est un diviseur de n s’il existeq ∈ N∗ tel que pq = n. On note d(n) le nombre de diviseurs de n. En dénombrant de deuxfaçons le cardinal de E = (p,q) ∈ N∗ × N∗,pq ≤ n, montrer que :

n∑i=1

d(i) =n∑

k=1

E(nk

).

Solution. Si (p,q) ∈ E , alors 1 ≤ p ≤ pq ≤ n, d’où 1 ≤ p ≤ n. Posons Ek l’ens. des(p,q) ∈ E tq p = k et q ≤ E(n/k). Alors

card(E) =n∑

k=1

E(n/k).

Pour i = 1, . . . ,n on pose Gi = (p,q) ∈ (N∗)2, pq = i. On a

card(E) =n∑

i=1

card(Gi).

Soit D(i) l’ens. des diviseurs de i ∈ N∗. Soit

φ : Gi → D(i)(p,q) 7→ p

Soit (p,q) et (p′,q′) dans Gi tq φ((p,q)) = φ((p′,q′)). Alors p = p′ et ainsi q = q′. Donc φest injective. Si p ∈ D(i) il existe q tq pq = i. Donc φ est surjective.


Exercice 1.3.3 Soit f : R→ R. Soit x ∈ R, n ∈ N∗. On pose

Sn(f) =n∑

k=0

Cknf

(k

n

)xk(1− x)n−k.

Calculer Sn(f) pour f(t) = 1, f(t) = t et f(t) = t2. En déduire pour α ∈ R la valeur dela somme :

n∑k=0

Ckn

(k

n− α

)2

xk(1− x)n−k.

Solution. Pour f(t) = 1, Sn(1) = 1. Pour f(t) = t,

Sn(f) =n∑

k=0

Ckn

k

nxk(1− x)n−k =

n∑k=1

Ck−1n−1x

k(1− x)n−k

et pour f(t) = t2

Sn(f) =n∑

k=0

Ckn

(k

n

)2

xk(1− x)n−k

=1

n2

(n∑

k=1

k(k − 1)Cknx

k(1− x)n−k −n∑

k=1

kCknx

k(1− x)n−k

)

=1

n2

(n∑

k=1

n(n− 1)Ck−2n−2x

k(1− x)n−k −n∑

k=1

kCknx

k(1− x)n−k

)

Exercice 1.3.4 Montrer que

Cna+b =

n∑k=0

CkaC

n−kb .

Solution. On considère A et B disjoints de cardinaux a et b. Si on veut choisir néléments dans A ∪B, on en choisit k dans A et n− k dans B.

Exercice 1.3.5 Calculern∑

k=0

kCkn,

n∑k=0

k(k − 1)Ckn,

n∑k=0

k2Ckn,

n∑k=0

(−1)kkCkn.

Solution. Remarquer que

(1 + x)n =n∑

k=0

Cknx

k,

puis dériver

n(1 + x)n−1 =n∑

k=0

kCknx

k−1.

et prendre x = 1 et x = −1. Premier et dernier calculs. Redériver : deuxième. Puissommer : le troisième.


Exercice 1.3.6 Soit E = 1, . . . ,n. Combien y a-t-il de k-uplets (A1, . . . ,An) de partiesde E telles que |A1 ∩ . . . ∩ An| = p et |A1 ∪ . . . ∪ An| = q?

Solution. Supposons d’abord q = n. On choisit les p éléments qui sont dans tous lesAi (Cp

q choix). Il reste q − p éléments x1, . . . ,xq−p, chacun devant être dans au moins undes Ai, et dans au plus k − 1 : notons Pj = i|xj ∈ Aj. C’est une partie de 1, . . . ,knon vide et distincte de 1, . . . ,k : il y a 2k − 2 telles parties, ce qui donne (2k − 2)q−p

choix pour les Pj. Dans le cas général, on doit en plus choisir les q éléments parmi n quicomposent la réunion des Ai. On a donc en tout

CqnC

pq (2k − 2)q−p

possibilités.

Exercice 1.3.7 On considère une puce qui se déplace dans un rectangle m× n, qui partdu coin inférieur gauche et va dans le coin supérieur droit, en se déplaçant à chaque pasd’une case vers le haut ou vers la droite. Combien de chemins peut-elle suivre pour arriverà son but?

Solution. On peut raisonner par récurrence en observant que Smn = Sm

n−1 + Sm−1n

suivant que la puce parte vers le haut ou vers la droite à son premier déplacement.On peut aussi dire que la puce doit faire en tout n+m− 2 déplacements et qu’on choisitles moments où elle se déplace vers le haut : il y a donc

Cm−1n+m−2

chemins.

Exercice 1.3.8 Calculer le nombre de fonctions f de 1, . . . ,k dans 1, . . . ,n tellesque :

1. f injective;2. f strictement croissante;3. f croissante;4. f telle que f(i+ 1) > f(i) + 1 pour tout i;5. f strictement croissante telle que f(i) est de la parité de i, ∀i.

Solution.1. f injective : on a n choix pour f(1), n−1 pour f(2), ... Le nombre de fonctions vaut

doncn(n− 1) . . . (n− k + 1) =

n!

(n− k)!.

2. f strictement croissante : on choisit k éléments parmi n, qui seont les f(i), l’ordreétant imposé par la croissance stricte de f . Il y a donc Ck

n possibiblités.


3. f croissante : Skn = Sk−1

n + Skn−1, suivant que f(1) = 1 ou non. On observe pour les

petits n, k, on conjecture que Skn = Ck

n+k−1 et on montre ceci par récurrence surn+ k en utilisant la formule

Ckn+k−1 =

k∑i=0

Cin+i−2,

montrée par récurrence sur k.4. f(i+ 1) > f(i) + 1 : Sk

n = Skn−1 + Sk−1

n−2, d’où Skn = Ck

n−k+1.5. f(i) et i de même parité : Sk

n = Skn−2 + Sk−1

n−1, d’où

Skn = Ck

[n+k2

].

Remarquons que dans les trois derniers cas, il y a une interprétation combinatoirepossible en considérant le graphe de f et en reliant les propriétés de f aux trajetspossibles de la puce de l’exercice précédent sur ce graphe.

1.4 SuitesExercice 1.4.1 Montrer que les suites suivantes :

u0 = 1, v0 = 2,2

un+1

=1

un

+1

vn

, vn+1 =un + vn

2

sont à valeurs dans Q, convergent et vers la même limite et déterminer leur limite.

Solution. Vérifier d’abord que ces deux suites sont bien définies, i.e. à valeurs dansR∗

+. v croît et u décroît et v ≤ u. Donc v croissante majorée donc converge vers l′et u décroissante minorée converge vers l. De plus l′ = (l + l′)/2, i.e. l = l′. Ensuiteun+1vn+1 = unvn.

Exercice 1.4.2 Soient les deux suites suivantes :

un =n∑

k=0

1

k!, vn = un +

1

n!.

Montrer que la limite commune est irrationnelle.

Solution. Elles sont adjacentes. Si la limite e est rationnelle, égale à p/q. Commeuq < e < vq, on a q!uq < q!p < q!vq + 1, absurde.

Exercice 1.4.3 Soient u et v les suites de termes généraux (un) et (vn) définies pour toutn ∈ N par un = cos(n) et vn = sin(n).

1. Montrer : u convergente si et seulement si v convergente.2. Raisonner par l’absurde en supposant u ou v convergente et noter l et l′ les limites

respectives de u et v. Trouver une contradiction en utilisant des relations trigono-métriques bien choisies.


Solution. Utiliser sin(n+ 1) = sin(n) cos(1) + cos(n) sin(1) et cos(n+ 1) = ...

Exercice 1.4.4 Soit α ∈]0,1[. On définit la suite u = (un) par

un =n∏

p=1

(1 + αp).

Etudier la convergence de cette suite en prouvant la relation suivante :

∀x ∈ R+, 1 + x ≤ ex.

Solution. u est une suite croissante et majorée.

Exercice 1.4.5 1. Montrer que pour tout x ∈ R∗+ : x− x2/2 ≤ ln(1 + x) ≤ x.

2. Calculer pour n ∈ N∗ la somme

n∑k=1

((k + 1)3 − k3

)et en déduire la valeur de la somme

n∑k=1

k2.

3. En déduire que la suite de terme général

un =n∏

k=1

(1 +

k

n2

)converge et préciser sa limite.

Solution. Etude de fonctions. Prendre ln(un).

Exercice 1.4.6 Montrer que pour tout n ∈ N, (3 +√

5)n + (3−√

5)n est un entier pair.En déduire que la suite sin

((3 +

√5)nπ

)converge.

Exercice 1.4.7 Soit u = (un) une suite à termes dans R+ et v = (vn) définie par

vn =un

1 + u2n

;

on suppose que la suite u est bornée et que la suite v tend vers 0. Montrer que u tend vers0.

Solution. Deux méthodes. Soit un = vn(1+u2n), soit pour n assez grand un = 2vn/(1+√

1− 4v2n).

Exercice 1.4.8 Montrer que la suite u = (un)n≥1 définie par un =∑n

k=11k2 converge.


Solution. En calculant un+1 − un on montre que u est croissante et en utilisant1/k2 ≤ 1/(k(k − 1)), on prouve que un ≤ 2− 1/n donc est majorée.

Exercice 1.4.9 Soit u = (un) une suite à valeurs réelles positives telle que un+p ≤ un+up

pour tout n,p dans N. Notant α = inf un/n, n ∈ N∗, montrer que α est la limite de u.

Solution. Soit ε > 0 et N tel que uN/N ≤ α+ ε. Soit P tel que pour 0 ≤ i ≤ N − 1,ui/(NP ) ≤ ε. Soit n ≥ NP . On effectue la division euclidienne de n par N : n = pN + iavec 0 ≤ i ≤ N − 1 et p ≥ P .

α ≤ un

n=

uNp+i

Np+ i≤ puN + ui

Np≤ uN

N+

ui

NP≤ α+ 2ε

Exercice 1.4.10 Soit u = (un) une suite réelle non majorée. Montrer que l’on peut définirune suite d’entiers (φn) par φ0 = 0 et

φn+1 = min k ∈ N, k > φn et uk ≥ n+ 1

Endéduire qu’il existe une suite extraite de u qui diverge vers +∞.

Exercice 1.4.11 (Vrai ou faux) Justifier en trouvant un contre-exmple si c’est faux.1. Si (un) est croissante à partir d’un certain rang et si la limite de (un+1 − un) vaut

0, alors (un) converge.2. Si la limite de (un) vaut 0, et si pour tout n ∈ N un > 0, alors (un) décroît à partir

d’un certain rang.3. Si la limite de (un) vaut +∞, alors (un) est croissante à partir un certain rang.

Solution.1. un = ln(n) ou un =

√n.

2. u2n = 1/(n + 1) et u2n+1 = 2/(n + 1) : u = (un) converge vers 0 et pourtant ellen’est pas décroissante.

3. u2n = n et u2n+1 = n− 1.

Exercice 1.4.12 Etudier la convergence des suites de termes généraux :1. cos n√

n+cos n;

2. 3n−2n

3n+2n ;

3. nln n

(ln n)n ;

4. np

n!avec p ∈ N∗ fixé;

5. sin(π n2+αn+β

n

)avec α,β dans R;

6.∑n

k=1 sin(

1k2+n2

): on rappelle que la limite en 0 de sin x

xvaut 1;

Solution.1. on majore : |un| ≤ 1√

n−1;


2. limite = 1;3. prendre le logarithme, limite = 0;

4. limite = 0 : écrire un ≤(∏p−1

k=01

1−k/n

)× 1

n−p;

Exercice 1.4.13 Pour n ≥ 1 et x ∈ [0,1] soit

fn(x) =n∑

k=1

kxk − 1.

1. Montrer que l’équation fn(x) = 0 a une unique solution dans [0,1], notée xn.2. Montrer que la suite (xn)n∈N∗ est monotone. On pourra calculer le signe de fn+1(xn).

En déduire qu’elle converge. On note l la limite.3. Montrer que : ∀n ≥ 2, xn ≤ 1/2.4. En déduire les limites des suites (xn

n) et (nxnn).

5. Simplifier l’expression de fn(x) pour x ∈ [0,1[ et en déduire la valeur de l.

Solution.1. fn est une bijection de [0,1] sur [−1,n(n+1)

2− 1].

2. fn+1(xn) ≥ 0.3. fn(0,5) ≥ 0 pour n ≥ 2.4. Ces deux limites valent 0.5. Dériver

∑nk=0 x

k. On en déduit : nxn+2n − (n+1)xn+1

n +xn = (xn−1)2. Ainsi l vérifiel = (l − 1)2, d’où l = (3−

√5)/2.

Exercice 1.4.14 1. Montrer que pour tout n ∈ N∗ l’équation x+lnx = n a une uniquesolution dans R∗

+, notée xn.2. Montrer que l’on a à partir d’un certain rang : xn ≥

√n.

Solution. f(x) = x+ lnx est une bijection de R∗+ sur R. Vérifier que f(

√n) ≤ n.

Exercice 1.4.15 1. Démontrer que sin π18

est l’unique solution dans [0,13] de l’équation

x =4

3x3 +

1

6.

2. On considère la suite (un)n définie par u0 = 0 et

∀n ∈ N, un+1 =4

3u3

n +1

6.

Démontrer que (un)n∈N converge vers sin π18

.

Solution.1. f(x) = x a une unique solution dans [0,1

3].


2. (un) est croissante et majorée.

Exercice 1.4.16 Montrer que la suite (un) définie par

un =

(1 +

in

n2 − 1

)n

est convergente.

Solution. Poser1 +

in

n2 − 1= rne

iθn

et faire un DL en n pour obtenir

|un| = rnn = en ln rn = 1 + (1)

Ettan θn =

n

n2 − 1∼ 1

n

d’oùθn ∼ 1/n.

Exercice 1.4.17 Soit z = x+ iy un complexe donné. Démontrer que :

limn→+∞

(1 +

z

n

)n

= ez.

Solution. Poser1 +

z

n= rne

iθn

etrn = 1 +

x

n+

(1

n

)tan θn =

y

n+ x.

Exercice 1.4.18 1. Soit a ∈ R∗+. Etudier la convergence de la suite (un) définie par

u0 > 0 et pour tout n ∈ N

un+1 =1

2

(un +

a

un

).

2. On pose

vn =un −

√a

un +√a.

Calculer vn+1 en fonction de vn, puis de n et v0.Montrer que si u0 >

√a, |un −

√a| < v2n

0 × 2u0.


Solution.1. A partir du rang 1, la suite est décroissante et minorée par

√a. Elle converge et sa

limite ne peut être que√a.

2. vn+1 = v2n.

Exercice 1.4.19 Soit un une suite à valeurs réelles positives telle que un+p ≤ un + up

pour n,p ≥ 0. Montrer quelim

n→+∞

un

n= inf

n∈N

un

n.

Solution. Notons α infn∈Nun

n. Fixons ε > 0 et soit N tq uN/N ≤ α + ε. Soit P tq

pour 0 ≤ i ≤ N − 1, ui

NP≤ ε. Soit n ≥ NP . On effectue la division euclidienne de n par

N : n = pN + i avec 0 ≤ i ≤ N − 1 (et p ≥ P ).

α ≤ un

n=

upN+i

pN + i≤ puN + ui

Np≤ uN

N+

ui

NP≤ α+ 2ε.

Exercice 1.4.20 Etudier en fonction de u0 la suite un+1 = 13(4− u2

n).

Solution. −4 et 1 sont les points fixes de f : x 7→ 13(4 − x2). Si u0 < −4, la suite va

décroître et tend vers −∞. Si u0 = −4, la suite stationne. Si −4 < u0 ≤ 0, et si la suitereste toujours < 1, elle va croître et converger vers 1. Si elle dépasse 1 et un terme dela suite est dans [1; 4/3] → [20/27; 1] → [20/27; 2516

2187], stable par f et sur lequel |f ′| < 1.

Donc un tend vers l’unique point fixe de f , soit 1. Comme f est paire, on en déduit lecomportement pour u0 ≥ 0.

Exercice 1.4.21 Soit α ∈ C avec |α| < 1, et une suite (un) telle que un+1 − αun → 0.Montrer que un → 0.

Solution. Fixons ε > 0. A partir d’un rang n, |uk+1 − αuk| ≤ ε. Pour p ≥ 0

|un+p − αpun| =

∣∣∣∣∣p−1∑i=0

αiun+p−i − αi+1un+p−i−1

∣∣∣∣∣ ≤p−1∑i=0

|α|i|un+p−i − αun+p−i−1|

≤p−1∑i=0

|α|iε ≤ ε

1− |α|

Donc|un+p| ≤

ε

1− |α|+ |α|p|un|,

et prendre p assez grand.

Exercice 1.4.22 Pour quels u0 ∈ C la suite vérifiant :

∀n ∈ N, un+1 =1 + un

1− un

,

est-elle définie? Montrer qu’alors elle est périodique.


Exercice 1.4.23 Etudier la suite complexe (un)n∈N définie par :

0 < |u0| < 1, et ∀n ∈ N un+1 =un

2− un

.

Exercice 1.4.24 Soient (un)n∈N une suite complexe convergente vers l ∈ C, et (wn)n∈N∗

définie par :

wn =1

2n

n∑k=0

Cknuk.

Montrer que w converge vers l.

Exercice 1.4.25 Soient (un)n∈N∗ et (vn)n∈N∗ deux suites complexes convergentes de limiterespective u et v. Eudier la suite définie par :

wn =1

n

n∑k=0

ukvn+1−k.

1.5 Nombres complexesExercice 1.5.1 Résoudre dans C :

1. z2 = 5 + 5i√

3;2. z2 = 2− i;3. z4 + 2z2 + 4 = 0;4. 9z2 − 3(3− i)z + 4− 3i = 0;5. z4 + (5− i)z2 + 4− 4i = 0.

Solution.1. mettre sous forme trigonométrique.2. identifier partie réelle et imaginaire. penser au module.3. chercher z2 puis z.4. appliquer formule.5. chercher z2 puis z.

Exercice 1.5.2 Résoudre dans C ez =√

3 + 3i.

Solution. ln(2√

3) + iπ/3 + 2ikπ, pour k ∈ Z.

Exercice 1.5.3 Soient z,z′ dans C. Montrer que

|z + z′| = |z|+ |z′| ⇔ z = 0 ou ∃λ ∈ R+, z′ = λz.

Solution. Supposer z′ 6= 0, diviser par z′ et se ramener à |1+u| = 1+|u| pour montrerque u ∈ R+.


Exercice 1.5.4 Pour n ∈ N, et (a,b) ∈ R2, calculer

C =n∑

k=0

cos(a+ kb) et S =n∑

k=0

sin(a+ kb).

Solution. Utiliser C + iS et séparer les parties réelles et imaginaires.

Exercice 1.5.5 Résoudre dans C : z3 = 4√

2(−1+i). Calculer cos(11π/12), sin(11π/12),cos(π/12) et sin(π/12).

Solution. S = 2 exp(iπ/4),2 exp(11iπ/12),2 exp(−5iπ/12). Pour le reste, remarquerque exp(i11π/12) est égal à j exp(iπ/4) et que π/12 = π − 11π/12.

Exercice 1.5.6 Soit n ∈ N \ 0,1. Résoudre l’équation, d’inconnue z ∈ C :

(z + i)n = (z − i)n.

Solution. L’ensemble des solutions estcotankπ

n, k = 1, . . . ,n− 1

.

Exercice 1.5.7 Soit α ∈ R tel que α/π 6∈ Q. Résoudre dans C :(z + i

z − i

)n

+

(z − iz + i

)n

= 2 cosα.

Solution. Vérifier que z+iz−i

est égal à exp i (±α/n+ 2kπ/n), pour k = 0, . . . ,n− 1.

Exercice 1.5.8 Soient P = z ∈ C / Im(z) > 0 et D = z ∈ C / |z| < 1. Montrerque f : z 7→ z−i

z+iest une bijection de P sur D.

Solution. Vérifier que f est bien définie et que tout élément admet un unique anté-cédent.

Exercice 1.5.9 Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que les points j, z etjz soient alignés.

Solution. Montrer d’abord que ces points sont alignés si et seulement si l’argumentde z−jz

z−jest nul.

Exercice 1.5.10 Pour tout z ∈ C \ −i, on pose

Z =z + 2i

1− iz.

Déterminer le lieu des points M(z) du plan complexe tel que :1. Z ∈ R;2. arg(Z) = −π/2;3. Z est sur le cercle de centre i de rayon 1/2;4. i, z, et Z sont alignés.

Solution.


1. cercle de centre (0,3/2) et de rayon 1/2.2. z = ib avec b ∈]− 2,− 1[.3. cercle de centre (0,− i) et de rayon 2.4. z = a+ ib avec a = 0 ou b = 0.

Exercice 1.5.11 Soit (zn) une suite complexe définie par z0 = a où a ∈ C \ iR et par :

∀n ∈ N, zn+1 =1

2

(zn +

1

zn

).

1. Vérifier que (zn) est bien définie.2. On suppose de plus a 6= −1. Exprimer un = zn−1

zn+1en fonction de n et de a.

3. Etudier la convergence de la suite (un), puis celle de (zn).

Solution.1. On montre par récurrence que pour tout n, zn est bien défini et zn ∈ C \ iR.2. On montre zn 6= 1, puis un+1 = u2

n.3. On montre que (un) converge ssi Re(a) > 0, puis que (zn) converge vers le signe deRe(a).

Exercice 1.5.12 Soit z0 ∈ C∗ et soit la suite (zn) définie par z0 et par :

∀n ∈ N, zn+1 =1

2(zn + |zn|) .

On pose z0 = p0 exp(iθ0) avec p0 > 0 et θ0 ∈] − π,π]. Montrer que l’on peut poser pourtout n ∈ N∗, zn = pn exp(iθn) avec pn > 0 et θn ∈]−π,π] vérifiant les relations : pour toutn ∈ N

pn+1 = pn cos θn

2

θn+1 = θn

2.

En déduire la convergence de (zn). On pourra utiliser l’égalité : pour tout x ∈] − π,π[,2 sin x cosx = sin 2x.

Solution. On vérifiera que :

pn = p0

n∏k=1

cos

(θ0

2n

).

Ensuite après simplification la limite de (zn) est p0 sin(θ0)/θ0.

Exercice 1.5.13 Soient z ∈ C \ −1,0,1, A,A′,M,M ′,P les points d’affixe respectives1,− 1,z,1/z,1

2

(z + 1

z

). Montrer que la droite (MM ′) est bissectrice de l’angle (

−→PA,−−→PA′).


Solution. Remarquer que P ∈ (MM ′). Puis calculer

(−→Ox,−→AP ) = Arg

(z − 1)2

zet (

−→Ox,−−→A′P ) = Arg

(z + 1)2

z.

D’où(−→Ox,−→AP ) + (

−→Ox,−−→A′P ) = 2(

−→Ox,−−−→MM ′).

C’est la définition de la bissectrice.

Exercice 1.5.14 Soient A,B,C trois points du plan affine euclidien, d’affixes respectivesa, b, c.

1. Montrer que le triangle ABC est équilatéral direct si et seulement si : a+jb+j2c = 0.2. En déduire que le triangle ABC est équilatéral si et seulement si : a2 + b2 + c2 −

(ab+ ac+ bc) = 0.

Solution.1. ABC équilatéral ssi A se déduit de C par rotation de centre B, d’angle π/3, i.e.a− b = eiπ/3(c− b). Or eiπ/3 = −j2.

2. ABC est équilatéral ssi équil. direct ou indirect ssi a+jb+j2c = 0 ou a+jc+j2b = 0.Pour terminer, faire le produit.

Exercice 1.5.15 Soit ABC un triangle du plan affine euclidien. On construit à l’exté-rieur de ce triangle, les trois triangles équilatéraux de bases AB, BC, CA. Montrer que lescentres de gravité de ces trois triangles forment un triangle équilatéral. On pourra utiliserque ABC est équilatéral direct si et seulement si a+ jb+ j2c = 0.

Solution. Supposons par exemple ABC direct. Notons A′, B′, C ′ les sommets exté-rieurs, G, H, K les centres de gravité. A′CB équil. direct, donc a′ + jc + j2b = 0. Puis3g = a′ + b+ c, d’où g. De même pour h et k. Puis calculer 3(g+ jh+ j2k) et vérifier quec’est nul.

1.6 Fonctions usuellesExercice 1.6.1 Résoudre l’équation (x ∈ R) : 32x − 2x+ 1

2 = 2x+ 72 − 32x−1.

Solution. 32.

Exercice 1.6.2 Résoudre l’équation (x ∈ R+) : (√x)x = x

√x.

Solution. 0,1,4.

Exercice 1.6.3 Montrer que pour tout x ∈]0; 1[, xx(1− x)1−x ≥ 12.

Solution. Etudier les variations de x 7→ x lnx+ (1− x) ln(1− x).

Exercice 1.6.4 Trouver limx→+∞(xx)x

x(xx) .


Solution. 0.

Exercice 1.6.5 (*) Soit f la fonction définie sur R∗ par f(x) = ex

ex−1.

1. Etudier les variations de la fonction f .2. Montrer que cette fonction admet une fonction réciproque f−1.3. Expliciter la fonction f−1.

Solution. f−1(x) = ln xx−1

pour x > 1.

Exercice 1.6.6 Ecrire E = arcsin 513

+ arcsin 35

sous forme d’un seul arc sinus.

Solution. arcsin 5665

: vérifier que E est dans l’intervalle [0,π/2], donc E = arcsin sinE,et calculer sinE.

Exercice 1.6.7 Etudier la fonction définie par

f(x) = (tanx)e1

sin x .

Solution. Remarque pour réduire l’intervalle d’étude : f(π − x) = −f(x), donc f estsym / (π/2,0).

Exercice 1.6.8 Domaine de définition des fonctions suivantes, puis simplifier leurs ex-pressions :

1. arccos(x) + arccos(−x);2. cos (3 arctanx);3. cos2

(arctan x

2

);

4. arctan(√

1−cos x1+cos x

).

Solution.1. Domaine [−1,1], constante égale à π : prendre le cos de la fonction et utiliser

sin arccos =√

1− x2.

2. Domaine R, 1−3x2

(√

1+x2)3: utiliser cos(3x) = cos3 x− 3 cos x sin2 x, cos arctanx = 1√

1+x2

et sin arctanx = x√1+x2 . .

3. Domaine R, 12(1 + cos(arctanx)).

4. Domaine R privé de l’ensemble π + 2kπ, k ∈ Z, pour k ∈ Z, x ∈]−π+2kπ,π+2kπ[,x−2kπ

2: on vérifie que ce qui est dans la parenthèse vaut | tan x

2|.

Exercice 1.6.9 (*) Résoudre dans R : arctanx+ arctan(2x) = π4.

Solution.√

17−34

: raisonner par condition nécessaire et suffisante. Pour tout x,y dans]− π/2,π/2[, calculer tan(x+ y), puis prendre x = arctanα et y = arctan(2α); on trouve3α = 1− 2α2; on trouve deux valeurs dont une négative, ce qui n’est pas possible.

Exercice 1.6.10 (*) Soit α ∈ R fixé. Résoudre dans R : arccos x+ arccos(2x) = α.


Solution. sin α√5−4 cos α

: étudier arccos x + arccos(2x) sur l’intervalle [−1/2,1/2]; si α ∈R\ [π/3,2π/3], pas de solution, sinon prendre le cos, trouver une équation du second degréet discuter le signe suivant que α soit plus grand ou plus petit que π.

Exercice 1.6.11 (**) Etude et représentation graphique de

f : x 7→ arctan

√1− sin x

1 + sinx.

Solution. On réduirera l’intervalle d’étude à ]− π/2,π/2[ (période plus symétrie / àx = π/2). Simplification : f(x) = π/4 − x/2 avec sin x = cos(π/2 − x) et 1 − cosx =2 sin2(x).

Exercice 1.6.12 (**) Etude et représentation graphique de

f : x 7→ arccos(4x3 − 3x

).

Solution. Domaine de définition [−1; 1]. f(−x) = π − f(x) : sym / point (0,π/2).Si x ∈ [0; 1], θ = arccosx, f(x) = arccos(cos 3θ). Si 0 ≤ θ ≤ π/3, f(x) = 3θ et siπ/3 ≤ θ ≤ π/2, f(x) = 2π − 3θ . f est dérivable en tout point de [0,1] \

12

.

Exercice 1.6.13 1. Montrer : ∀x ∈ R∗, tanh x = 2tanh 2x

− 1tanh x

.2. En déduire la valeur de

∑nk=0 2k tanh(2kx), pour n ∈ N.

Exercice 1.6.14 Exercice un peu plus long...1. Pour (n,x) ∈ N∗×R∗

+, calculer Pn(x) =∏n

k=1 cosh x2k , et en déduire limn→+∞ Pn(x).

2. Pour (n,x,y) ∈ N∗ × R+ × R+ tel que x 6= y, calculer

Qn(x,y) =1

2n

n∏k=1

(cosh

x

2k+ cosh

y

2k

),

et en déduire limn→+∞Qn(x,y).

Solution.1. Utiliser cosh t = sinh 2t

2 sinh t; la limite vaut sinh x

x.

2. Utilisercoshx+ cosh y = 2 cosh

(x+ y

2

)cosh

(x− y

2

)et

coshx− cosh y = 2 sinh

(x+ y

2

)sinh

(x− y

2

).

Exercice 1.6.15 Soit α un réel. On considère les fonctions définies sur R∗+ par :

fα(x) =sinh x

xα.

Etudier les variations de fα. Situer les racines de f ′α par rapport à 1.


Solution. Si α ≤ 1, f croît strictement de 0 à +∞ (de 1 à +∞ si α = 1). Si α > 1,f décroît puis croît. Comparer α et coth 1.

Exercice 1.6.16 On pose coshx = 1cos y

, avec y ∈ [0,π/2[.1. Montrer que cette relation définie une bijection entre [0,π/2[ et [0,+∞[.2. Calculer sinh x en fonction de y.

Solution. Si y ∈ [0,π/2[ il existe un unique x ≥ 0 tel que la relation soit vérifiée etx = arg cosh 1

cos y. sinh x = tan y.

Exercice 1.6.17 (*) Simplifier l’expression arg sinh x2−12x

.

Solution. Si x > 0, f(x) = lnx et si x < 0 f(x) = − ln |x| : on montre que f estdéfinie sur R∗, dérivable et impaire; puis on calcule la dérivée.

Exercice 1.6.18 (*) Simplifier l’expression arg cosh(2x2 − 1).

Solution. f(x) = 2 arg cosh |x| si |x| ≥ 1 : on dérive f pour x ≥ 1 et on compare avecla dérivée de 2 arg cosh.

Exercice 1.6.19 Uniforme continuité sur R+ :1. Montrer que l’application f : x 7→

√x est uniformément continue sur R+.

2. Soit f : R+ → R uniformément continue. Montrer qu’il existe α,β > 0 tels que|f(x)| ≤ αx+ β pour tout x ∈ R+.

Solution.1.√a+ b ≤

√a +√b et si a ≤ b alors

√b−√a ≤√b− a. De là si |a− b| ≤ ε2 alors

|f(a)− f(b)| ≤ ε.2. Soit η tq |x− y| ≤ η =⇒ |f(x)− f(y)| ≤ 1. Soit x ∈ R+ et n = [x/η].

|f(x)− f(0)| ≤ |f(x)− f((n− 1)η)|+n−1∑k=1

|f(kη)− f((k − 1)η)| ≤ n

et n ≤ x/η + 1.

Exercice 1.6.20 Soit f : R→ R continue telle qu’il existe (α,β) ∈ R2 tel que :

lim−∞

f = α, lim+∞

f = β.

Démontrer que f est uniformément continue sur R.

Solution. Ecrire les déf des limites en +∞ et −∞. Puis utiliser Heine.

Exercice 1.6.21 Soit f,g : [0,1]→ R deux applications bornées et φ : R→ R l’applicationdéfinie par :

φ(x) = supt∈[0,1]

(f(t) + xg(t)) .

Démontrer que φ est lipschitzienne.


1.7 Limite et continuitéExercice 1.7.1 Etudier les limites des fonctions suivantes, aux points suivants :

1. en +∞f(x) =

x cosx

x2 + x sin x+ 3;

2. en +∞ et -3

f(x) = x− E(

2x+ 1

x+ 3

);

3. en 0, en +∞

f(x) =√xE

(1

x

);

4. en 0

f(x) =E(

1x

)− x

E(

1x

)+ x

.

Solution.1. 0.2. En +∞, limite = +∞. En −3 à gauche, avec E(t) ≥ t− 1, limite = +∞. A droite

limite = −∞ avec E(t) ≤ t.3. En 0, limite = +∞ et f(x) = 0 si x > 1.4. En 0, limite = 1.

Exercice 1.7.2 Soit f : R → R. On suppose f T -périodique (T > 0) et on suppose quef a une limite finie l en +∞. Montrer que f est constante.

Solution. Prendre x et x′. f(x+nT ) = f(x) et f(x′+nT ) = f(x′) pour tout n. Doncf(x) = l = f(x′).

Exercice 1.7.3 Soit f : R∗+ → R+ croissante et positive sur R∗

+ et telle que la suite(f(n)

n

)converge. Soit l = limn

f(n)n

. Montrer que

limx→+∞

f(x)

x= l.

Ce résultat subsiste-t-il si l’on ne suppose plus f croissante?

Solution. Si n = E(x), f(n)/(n + 1) ≤ f(x)/x ≤ f(n + 1)/(n + 1). Contre-ex :f(x) = x (sin(2πx) + 1).

Exercice 1.7.4 Fonction Arctan :1. Etudier le signe des fonctions x 7→ Arctan(x2)− x2 et x 7→ Arctan(x2)− x2 + x6/3

sur R.


2. En déduire que pour tout x ∈ R,

x2 − x6

3≤ Arctan(x2) ≤ x2.

3. Montrer que

limx→0

Arctan(x2)

x2= 1.

Exercice 1.7.5 Etudier la courbe paramétrée suivante :

t 7→x(t) = t

t+2

y(t) = t2+1t2−4

On déterminera en particulier avec soin les limites de x, y, y/x aux bornes du domained’étude. Tracer le graphe de cette courbe.

Exercice 1.7.6 Soient a ∈ R, f : [a,+∞[→ R une application croissante telle que

limx→+∞

f(x) = b,

avec b ∈ R, et g :]a,+∞[→ R définie par :

g(x) =f(x)− f(a)

x− a.

On suppose g croissante. Montrer que f est constante.

Solution. Vérifier : limx→∞ g(x) = 0, d’où g ≤ 0.

Exercice 1.7.7 Trouver toutes les fonctions f :]0, +∞[→]0, +∞[ vérifiant : pour tout(x,y) ∈]0,+∞[2, f(xf(y)) = yf(x), et la limite de f , quand x tend vers 0, vaut 0.

Solution. Soit f une telle fonction et t tel que f(t) = t. On montre par récurrencef(tn) = tn. Si t > 1, tn → +∞, donc f(tn)→ +∞ : impossible. Si t < 1, f(1) = f(tn/tn) =f(f(tn)/tn) = tnf(1/tn), puis faire tendre n vers l’infini. Donc nécessairement t = 1. Soitx > 0. f(xf(x)) = xf(x). Donc t = xf(x) est un point fixe, donc vaut 1, i.e. f(x) = 1/x.Réciproque.

Exercice 1.7.8 Soit f : R → R continue en 0 et telle que f(2x) = f(x). Que peut-ondire de f ?

Solution. f(x) = f(x/2n) = f(0) par continuité. Donc f constante.

Exercice 1.7.9 Soit f : R → R continue en 0 et 1, telle que : ∀x ∈ R, f(x2) = f(x).Montrer que f est constante. Donner un exemple de fonction f : R → R non constantevérifiant : f(x2) = f(x) pour tout x réel.

Solution. f est paire, puis pour x > 0, f(x1

2n ) = f(x) plus la continuité en 1 donnef constante sur ]0,+∞[. Puis continuité en 0.


Exercice 1.7.10 Fonctions Lipschitziennes :1. Soit f : I → R une fonction définie sur un intervalle I de R. On suppose qu’il existe

une constante K telle que :

∀(x,y) ∈ I2, |f(x)− f(y)| ≤ K|x− y|.

Montrer que f est continue en tout point x ∈ I.2. Montrer que pour tout x ∈ R et tout y ∈ R,

| sin x− sin y| ≤ |x− y|.

En déduire que la fonction sin est continue sur R.

Exercice 1.7.11 On considère la fonction f définie sur R parsin x+ C1 si x > 0cosx+ C2 si x ≤ 0

1. Dessiner le graphe de f .2. Comment faut-il choisir C1 et C2 pour que la fonction f soit continue en 0.

Exercice 1.7.12 Une fonction bizarre :1. Soit x un réel irrationnel et (rn = pn/qn) une suite de rationnels convergente vers

x, avec qn > 0 et pgcd (pn,qn) = 1. Montrer que la limite, quand n tend vers +∞,de la suite (qn), vaut +∞.

2. Etudier, en tout point, la continuité de l’application f : R→ R définie par :

f(x) =

1q

si x ∈ Q∗, x = pq, (p,q) ∈ Z∗ × N∗, pgcd(p,q) = 1

0 sinon

Solution. Soit N ∈ N∗. Pour chaque k ∈ 1, . . . ,N, l’ensemble des rationnels de laforme a/k avec a ∈ Z tels que |x− a/k| ≤ 1 est fini. Donc l’ensemble

EN =ak, (a,k) ∈ Z× 1, . . . ,N et |x− a/k| ≤ 1

est fini. Comme x 6∈ Q, x 6∈ EN et l’ensemble |x− r|; r ∈ EN est une partie finie nonvide de R∗

+ donc admet un minimum α > 0. Comme rn → x, il existe n0 tel que pourtout n ≥ n0, |rn − x| < α/2. Donc rn 6∈ EN , i.e. qn > N .

Soit x ∈ Q∗. Comme R \ Q est dense, il existe (un) suite d’irrationnels convergentevers x. La limite de f(un) est nulle alors que f(x) 6= 0. Donc pas de continuité en x.Soit x ∈ R \ Q. Soit (rn = pn/qn) une suite de rationnels convergente vers x. Alors qntend vers +∞. Donc f(rn) tend vers 0. Si (xn) est une suite quelconque convergente versx, on sépare les rationnels des irrationnels. Donc continuité en x.Par déf., |f(x)| ≤ |x|, donc continuité en 0.

Exercice 1.7.13 Soit f : R→ R l’application définie par :

f(x) = limm→+∞

(lim

n→+∞(cos(n!πx))2m

).

Montrer f = χQ où χQ est la fonction qui prend la valeur 1 sur Q et 0 sur R \Q.


Solution. Si x = p/q, pour n ≥ 2|q|, n!πx est dans 2πZ. Donc (cos(n!πx))2m = 1. Six n’est pas rationnel, pour tout n, | cos(n!πx)| < 1.

Exercice 1.7.14 Soient I un intervalle de R et f : I → R continue telle que ∀x ∈I, f(x)2 = 1. Montrer que f = 1 ou f = −1.

Solution. Si f non constante, f vaut 1 en x et -1 en y. Alors via le théorème desvaleurs intermédiaires, f s’annule sur ]x,y[.

Exercice 1.7.15 Une fonction qui vérifie la propriété des valeurs intermédiaires (i.e. sif(a) < y < f(b) il existe x strictement compris entre a et b tel que y = f(x)) est-ellecontinue?

Solution. Prendre f(0) = 0 et pour x 6= 0, f(x) = sin(1/x). f non continue en 0,mais vérifie la propriété des valeurs intermédiaires.

Exercice 1.7.16 Soit f : [0,1]→ [0,1] une application continue.1. Montrer que pour tout n ∈ N∗ il existe an ∈ [0,1] tel que f(an) = an

n.2. On suppose f strictement décroissante; montrer que pour tout n ∈ N∗, an est unique.

Etudier la suite (an)n≥1.

Solution. Utiliser f(x)− xn. Puis par l’absurde. Enfin (an) est croissante. Donc elleconverge vers l. Si l < 1, on a f(an) = an

n pour tout n, d’où f(l) = 0, impossible car fdécroissante.

Exercice 1.7.17 Théorème du point fixe sur un segment. Soit f : [a,b] → R continue(a < b) telle que f([a,b]) ⊂ [a,b].

1. Montrer qu’il existe α ∈ [a,b] tel que f(α) = α.2. On suppose de plus que f vérifie sur [a,b] avec k < 1 :

∀(x,y) ∈ [a,b]2, |f(x)− f(y)| ≤ k|x− y|.

(a) Montrer que f admet un unique point fixe sur [a,b], noté α.(b) Montrer que pour tout λ ∈ [a,b] la suite (un) définie par u0 = λ et un+1 = f(un),

vérifie :∀n ∈ N, |un − α| ≤ kn(b− a)

et qu’elle converge vers α.

Exercice 1.7.18 Soit f : [0,1] → R continue telle que f(0) = f(1). Montrer qu’il existex ∈ [0,1/2] tel que f(x + 1/2) = f(x). Plus généralement pour tout p ∈ N tel que p ≥ 2,montrer qu’il existe αp ∈ [0,1− 1

p] tel que f(αp + 1

p) = f(αp).

Solution. Soit p ∈ N∗. Sur [0; 1− 1/p], g(x) = f(x+ 1/p)− f(x). On a f(1)− f(0) =g(1− 1/p) + . . .+ g(1/p) + g(0). Si g(x) > 0 sur [0,1− 1/p], f(1)− f(0) > 0, impossible.Donc il existe αp t.q. g(αp) ≤ 0. De même il existe βp t.q. g(βp) ≥ 0. Puis TVI sur [αp,βp]ou [βp,αp].

Exercice 1.7.19 Soit f : R→ R l’application définie par f(x) = x+ x2 + 2x3.


1. Montrer que f est bijective.2. Trouver un réel α > 0 tel que : ∀y ∈ R, |f−1(y)| ≤ α|y|.

Solution. Montrer que α vérifie ∀y ∈ R, 2αy2 + αy + α− 1 ≥ 0.

Exercice 1.7.20 Soit f : R→ R l’application définie par

∀x ∈ R, f(x) =x

1 + |x|.

Montrer que f réalise une bijection de R dans ]− 1,1[. Donner de f−1(y), y ∈]− 1,1[, uneexpression analogue à celle de f .

Exercice 1.7.21 Soit f : R→ R une application continue telle que

lim−∞

f = lim+∞

f = +∞.

Montrer que f admet, sur R, une borne inférieure et que celle-ci est atteinte.

1.8 DérivabilitéExercice 1.8.1 Continuité, dérivabilité, calcul des dérivées des fonctions :

1.

f(x) =

√e2x − 2

e4x + 1;

2.f(x) =

axn + b

cxn + d

avec n ∈ N et (c,d) 6= (0,0);3.

f(x) = ln [ln(ln x)] .

Exercice 1.8.2 Quelles sont les fonctions f : R → R telles qu’il existe K ≥ 0 et α > 1vérifiant : ∀(x,y) ∈ R2, |f(x)− f(y)| ≤ K|x− y|α?

Exercice 1.8.3 Soit f : I → R, soit x0 ∈ I non extrémité de I. Montrer que si f estdérivable à droite et à gauche en x0, la fonction φ : h 7→ f(x0+h)−f(x0−h)

2ha une limite finie

en 0. Que dire de la réciproque?

Solution. Rappelons que :

limh→0−

f(x0 + h)− f(x0)

h= f ′g(x0)

limh→0+

f(x0 + h)− f(x0)

h= f ′d(x0)

Donclimh→0

φ(h) =1

2

(f ′g(x0) + f ′d(x0)

).

Elle est fausse. Prendre f(x) =√|x|. φ(h) tend vers 0 en 0. Autre exemple : f(x) =

x sin(1/x) si x 6= 0 et f(0) = 0.


Exercice 1.8.4 Soit f : R→ R continue en 0, telle que f(0) = 0 et

limx→0

f(2x)− f(x)

x= 0.

1. Vérifier que pour tout x ∈ R∗ et tout n ∈ N∗,

f(x)

x=

n∑k=1

1

2k

[f( x

2k−1 )− f( x2k )

x2k

]+f( x

2n )

x.

2. En déduire que f est dérivable en 0.

Solution. A ε > 0 fixé, il existe δ > 0 tel que ∀|x| < δ∣∣∣∣f(2x)− f(x)

x

∣∣∣∣ < ε.

Et alors pour tout k = 1, . . . ,n, |x/2k| < δ, d’où :

n∑k=1

1

2k

[f( x

2k−1 )− f( x2k )

x2k

]≤ ε(1− (1/2)n+1)

Puis choisir n assez grand.

Exercice 1.8.5 Soit f : R→ R de classe C1 telle que :

∀x ∈ R, (f f)(x) =x

2+ 3.

1. Montrer : ∀x ∈ R, f(

x2

+ 3)

= f(x)2

+ 3.2. En déduire que f ′ est constante.3. Déterminer f .

Solution.1. f

(x2

+ 3)

= f((f f)(x)) = (f f)(f(x)) = f(x)2

+ 3.2. on dérive. f ′(φ(x)) = f ′(x), d’où f ′(φ[n](x)) = f ′(x) avec φ[n] = φ . . . φ n fois. Ax fixé, un = φ[n](x). un+1 = un/2 + 3. un = (x− 6)/2n + 6. Ainsi

f ′(x) = f ′(x− 6

2n+ 6

)Donc f ′(x) = f ′(6).

3. f(x) = αx+ β. α = ε/√

2 et β = 6− 3ε√

2 avec ε ∈ −1,1.

Exercice 1.8.6 Montrer :1. ∀x ∈]0,π/2[, 3x < 2 sinx+ tan x;2. ∀x ∈ [0,π], sin2 x ≤ 4

π2x(π − x);


3. ∀x ∈]− 1,+∞[, xx+1≤ ln(1 + x) ≤ x.

Exercice 1.8.7 Soit (a,b) ∈ R2 tel que 0 < a < b. Montrer que l’application f :]0; +∞[→R, définie par

f(x) =

(ax + bx

2

) 1x

est strictement croissante.

Exercice 1.8.8 Soit f : R+ → R de classe C1 bornée. Montrer l’existence d’une suite(un)n∈N qui tend vers +∞ et telle que

limn→+∞

f ′(un) = 0.

Solution. Soit n ∈ N. Supposons que, sur [n,+∞[, on ait |f ′(x)| ≥ 1/n. f ′ continuereste de signe constant, par exemple positif. Mais alors pour x ≥ n, f(x)−f(n) ≥ (x−n)/net en faisant tendre x vers +∞, on obtient

lim+∞

f = +∞

ce qui contredit les hypothèses. Il existe x ≥ n tel que |f ′(x)| < 1/n.

Exercice 1.8.9 (Théorème de Darboux) Montrer que la dérivée d’une fonction réellevérifie toujours le théorème de la valeur intermédiaire.

Solution. Soit f : I → R dérivable, x,y ∈ I, et λ compris entre f ′(x) et f ′(y).On veut montrer l’existence de c compris entre x et y tel que f ′(c) = λ. On considèreg(t) = f(t) − λt. On suppose que f ′(x) < λ < f ′(y). g′(x) < 0, donc il existe x′ > x telque g(x′) < g(x). De même g′(y) > 0 donc il existe y′ < y tel que g(y′) < g(y). g continuesur [x,y] et y atteint son minimum en un point c et par ce qui précède c 6= x,y.

g′(c) = limx→c,x>c

g(x)− g(c)x− c

≥ 0.

Et g′(c) ≤ 0.Autre méthode : on définit φ, ψ sur ]x,y[ par

φ(t) =f(x)− f(t)

x− tet ψ(t) =

f(y)− f(t)

y − t.

ψ et φ sont prolongeables par continuité aux bornes de l’intervalle. Comme[f ′(x),

f(y)− f(x)

y − x

]⊂ φ([x,y]) et

[f(y)− f(x)

y − x,f ′(y)

]⊂ ψ([x,y])

on a [f ′(x),f ′(y)] ⊂ φ([x,y]) ∪ ψ([x,y]). λ est donc dans un des deux intervalles. Parexemple, par continuité il existe y ≥ d ≥ x tel que λ = φ(d). Puis utiliser l’égalité desaccroissements finis.


Exercice 1.8.10 Etudier la continuité, la dérivabilité et la continuité de la dérivée pourf : R→ R définie par :

f(x) =

x2 sin(1/x) si x 6= 00 six = 0

Solution. f continue et dérivable sur R. f ′ est continue sur R∗ et discontinue en 0.

Exercice 1.8.11 Calculer pour n ∈ N, la dérivée nème de f : R \ −1,1 → R définiepar

f(x) =1

x2 − 1.

Solution.f (n)(x) =

(−1)nn!

2

(1

(x− 1)n+1− 1

(x+ 1)n+1

).

Exercice 1.8.12 Soient (a,b) ∈ R2 tel que a < b, g : [a; b]→ R de classe C1 sur [a,b] etdeux fois dérivable sur ]a,b[. Montrer qu’il existe c ∈]a,b[ tel que :

g(b) = g(a) + (b− a)g′(a) +(b− a)2

2g′(c).

Solution. NotonsA le réel défini par g(b) = g(a)+(b−a)g′(a)+ (b−a)2

2A et φ : [a,b]→ R,

x 7→ φ(x) = g(x) − g(a) − (x − a)g′(a) − (b−a)2

2A. Appliquer Rolle à φ, d’où u tel que

φ′(u) = 0, puis à φ′.

Exercice 1.8.13 La fonction x 7→ Arcsin(1− x3) est-elle dérivable en 0?

Solution. Arcsin est continue sur [−1,1] et C1 sur ] − 1,1[ et 1 − x3 ∈ [−1,1] ssix ∈ [0,21/3]. Pour x ∈]0,21/3[ :

f ′(x) =−3√x√

2− x3.

Exercice 1.8.14 Montrer que :

∀(a,b) ∈ R2, |Arctan(b)− Arctan(a)| ≤ |b− a|.

Solution. Inégalité des accroissements finis.

Exercice 1.8.15 Soit f : R→ R l’application définie par :

∀x ∈ R, f(x) =1√

1 + x2.

1. Montrer que f est de classe C∞ sur R, et que pour tout n ∈ N il existe un polynômePn à coefficients réels tel que :

∀x ∈ R, f (n)(x) =Pn(x)

(1 + x2)n+1.


2. Montrer que : Pn+1(x) = (1 + x2)P ′n(x)− (2n+ 1)xPn(x).

3. Montrer que : P ′n = −n2Pn−1 et Pn+1 + (2n+ 1)xPn + n2(1 + x2)Pn−1 = 0.

4. Calculer Pn(0).

Exercice 1.8.16 Soit f : R∗ → R définie par

f(x) = exp

(− 1

x2

).

Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 et que la fonction ainsi prolongée estde classe C∞ sur R.

Exercice 1.8.17 Soit f : [a,b]→ R de classe C2 sur [a,b] telle que f(a) = f(b) = 0.1. Soit x ∈]a,b[. Montrer qu’il existe c ∈]a,b[ tel que

f(x) =(x− a)(x− b)

2f ′′(c).

2. Jusfifier l’existence de M0 = sup |f(t)| et de M2 = sup |f ′′(t)| et montrer que

M0 ≤(b− a)2

8M2.

Solution. Prendre φ(t) = f(t) − λ(t − a)(t − b)/2 avec λ t.q. φ(x) = 0. AppliquerRolle à φ et φ′.

1.9 Développements limitésExercice 1.9.1 Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]− π/2,π/2[ par :

f(x) = ex2

sin x.

Montrer que f est strictement monotone. Soit g la fonction réciproque de f . Effectuer unDL5(0) de g.

Solution. Comme f est de classe C∞ et ne s’annule pas, g est de classe C∞. f estimpaire, donc g aussi (à montrer). g(f(x)) = x et

f(x) = x+5

6x3 +

41

120x5 + (x5)

g(t) = a1t+ a3t3 + a5t

5 + (t5)donc a1 = 1, a3 = −5/6, a5 = 209/120.

Exercice 1.9.2 Calculer (a,b) ∈ R2 pour que, au voisinage de 0, la partie principale de

x 7→ Arctanx− x+ ax3

1 + bx2

soit de degré maximum.


Solution.

Arctanx = x− x3

3+x5

5+ (x5)

x+ ax3

1 + bx2= x+ (a− b)x3 + (b2 − ab)x5 + (x5)

Soit a = 4/15 et b = 3/5.

Exercice 1.9.3 Divers calculs1.

limx→1

(x2 + x− 2) tanπx

2

2. Former le développement limité, à l’ordre et au voisinage indiqués, de la fonctiondéfinie par la formule suivante :(a) ordre 3, voisinage 0, ln(3ex + e−x)

(b) 2, 0, (sin x

x

) 3x2

(c) 5, 0,

Arctan(

2(1− x)1 + 4x

)(d) 16, 0, (shx− sinx)2(tan x− thx)3

Solution.1. t = x− 1 et tan π(1+t)

2= cotan(πt/2) ∼ 2/(πt).

(a) ln 4 + x/2 + (3/8)x2 − (1/8)x3 + (x3).(b) ln f(x) = −(1/2)− (1/60)x2 + (x3) et prendre l’exponentielle.(c) dériver f ′(x) = −2/(1 + 4x2) = −2 + 8x2 − 32x4 + (x4) et intégrer.(d) u(x) = (shx − sin x)2 ∼ x6/9 et v(x) = (tanx − thx)3 ∼ (8/27)x9, faire le

produit et utiliser l’imparité de la fonction uv.

Exercice 1.9.4 Montrer que l’équation xn + x − 1 = 0 a pour tout entier n ≥ 1 uneunique solution dans R+, notée xn. Montrer que la limite de la suite (xn) vaut 1, puisdonner un équivalent de xn − 1.

Solution. remarquer xn ∈]0,1[, puis croissance de la suite. Donc xn converge et lalimite ne peut être que 1. Poser 1 − xn = yn, alors n ln(1 − yn) = ln yn. En étudiantφ(y) = n ln(1− y)− ln y, on a

1

2

lnn

n< yn <

2 lnn

n

pour n assez grand. Alors ln yn ∼ − lnn, −nyn ∼ n ln(1− yn) = ln yy ∼ − lnn.


Exercice 1.9.5 Montrer que pour tout λ ∈ R l’équation lnx + x = λ a une uniquesolution réelle, notée xλ. Montrer qu’il existe a,b,c ∈ R tels que l’on ait pour λ tendantvers +∞ :

xλ = aλ+ b lnλ+ clnλ

λ+

(lnλ

λ

).

Solution. on pose f(x) = lnx + x. f est croissante. Donc xλ existe et est croissanteen λ. Si xλ tend vers une limite finie l, f(l) =∞, absurde. Donc xλ tend vers +∞. Doncxα = λ+ (λ). Puis xλ = − ln(λ+ (λ))+λ = λ− lnλ+ (1). Enfin on recommence pourobtenir c = −1.

Exercice 1.9.6 Montrer que pour tout n ∈ N l’équation

tan x− 1

n+ 1x2 = 0

a une unique solution dans In =]nπ,nπ+π/2[, notée xn. Déterminer un équivalent de xn,puis un développement asymptotique à termes de xn.

Solution. On montre que f ′′ est croissante, puis tableau de variations. Comme xn ∈In, xn ∼ nπ. On pose xn = nπ(1 + yn) et lim yn = 0. Remplacer dans l’équation pourobtenir :

nπyn = Arctan[n2π2

(n+ 1)(1 + yn)2

]Le membre de droite tend vers π/2. Donc yn ∼ 1/(2n). Poser xn = nπ+ π/2− zn avec zn

qui tend vers 0. On obtient :

1

tan zn

= tan(π

2− zn

)=

n2π2

n+ 1

[1 +

1

2n− zn

nπ

]2

D’oùzn =

1

nπ2[1 + (1)].

Exercice 1.9.7 La fonction x 7→ xshx

prolongée par continuité en 0 est-elle de classe C1

sur R?

Solution. Oui : f(0) = 1 et f ′(x) = 0.

Exercice 1.9.8 Etude locale de :1.

f(x) =(2 sin x− x) ln(1 + x)

x2

en 0;2.

f(x) =1

ln(1 + x)− 1

x

en 0, en -1.


Solution.1. f(x) = 1− x/2− x3/12 + (x3) : f dérivable en 0 et traverse sa tangente;2. en 0, f(x) = 1/2− x/12 + x2/24 + (x2) : f dérivable en 0 et reste au dessus de sa

tangente; en 1, lim f = 1 en −1 et en regardant le taux d’accroissement de f en -1,on montre que f n’est pas dérivable en -1.

1.10 IntégrationExercice 1.10.1 (Inégalité de Jensen) 1. Montrer que pour tout x ∈]0,+∞[

lnx = infa∈]0,+∞[

(xa

+ ln(a)− 1).

2. Soient f,g : [0,1] → R continues telles que : f ≥ 0 et g > 0,∫ 1

0f = 1. En utilisant

la question précédente, montrer que :∫ 1

0

f(x) ln(g(x))dx ≤ ln

(∫ 1

0

f(x)g(x)dx

).

Exercice 1.10.2 Soient (a,b) ∈ R2 tel que a < b, f : [a,b]→ R continue. Montrer :∣∣∣∣∫ b

a

f

∣∣∣∣ =

∫ b

a

|f | ⇐⇒ (f ≥ 0 ou f ≤ 0) .

Ce résultat subsiste-t-il pour les fonctions continues par morceaux?

Solution. si∫ b

af ≥ 0 comme |f | − f est continue et ≥ 0 :∫ b

a

f =

∫ b

a

|f | ⇐⇒∫ b

a

(|f | − f) = 0⇐⇒ |f | − f = 0.

Exercice 1.10.3 Soient (a,b) ∈ R2 tel que a < b, f : [a,b] → R continue positive.Montrer :

limn→+∞

(∫ b

a

(f(x))ndx

)1/n

= supx∈[a,b]

f(x).

Solution. Poser

un =

(∫ b

a

(f(x))ndx

)1/n

etM = sup

x∈[a,b]

f(x).


Pour n ∈ N∗, un ≤(∫ b

aMndx

)1/n

= M(b− a)1/n. Soit ε > 0. Il existe x0 t.q. f(x0) = M .Il existe η > 0 t.q.

∀x ∈ [x0 − η,x0 + η] ∩ [a,b], f(x) ≥M − ε/2.

Notons S le segment [x0 − η,x0 + η] ∩ [a,b] et l sa longueur. on a

un ≥(∫

S

(f(x))ndx

)1/n

≥(∫

S

(M − ε/2)ndx

)1/n

= (M − ε/2)l1/n.

Exercice 1.10.4 Soit f : [0,1]→ R continue. Pour tout n ∈ N soit

In =

∫ 1

0

tnf(t)dt.

1. On suppose ici f(1) 6= 0. Montrer qu’alors

In ∼f(1)

n

en supposant d’abord f de classe C1 puis seulement continue sur [0,1].2. On suppose ici f(1) = 0, f de classe C1 et f ′(1) 6= 0. Donner un équivalent de In.

Solution. Dans le cas C1 on fait une intégration par parties puis on considère lesupremum de f ′. Dans le cas continu, sur un voisinage de 1, f(1)− ε ≤ f(t) ≤ f(1) + ε,d’où :

In =

∫ 1−α

0

tnf(t)dt+

∫ 1

1−α

tnf(t)dt

Pour la seconde question In ∼ f ′(1)/n2.

Exercice 1.10.5 Soit f : [0,1]→ R continue telle que∫ 1

0

f(x)dx =1

2.

Montrer que f admet un point fixe.

Solution. L’intégrale de g(t) = f(t)− t vaut 0. Donc g s’annule (par l’absurde).

Exercice 1.10.6 Pour x ∈ R, soit

f(x) =

∫ 1

0

e−xt2

√1 + t2

dt.

1. Montrer que : ∀u ∈ R, |eu − 1− u| ≤ u2

2e|u|.


2. En déduire que pour tout x ∈ R et tout h ∈ [−1,1] on a si h 6= 0 :∣∣∣∣∣f(x+ h)− f(x)

h+

∫ 1

0

t2e−xt2

√1 + t2

dt

∣∣∣∣∣ ≤ |h|2∫ 1

0

t4e(1−x)t2

√1 + t2

dt.

3. En déduire que f est dérivable sur R et donner une expression de sa dérivée.

Solution.1. Le supremum de la dérivée seconde de l’exponentielle sur [−|u|,|u|] est e|u|, puis

intégrer deux fois.2. Utiliser question précédente avec u = −ht2.3. Conclure.

Exercice 1.10.7 Etudier la fonction

φ(x) =

∫ x2

x

dt

ln t.

Pour l’étude en 1, on pourra utiliser 1ln t

= tt ln t

.

Solution. φ définie sur ]0,1[∪]1, +∞[. La dérivée de φ est φ′(x) = x−1ln x

. Etude en 0 :encadrer : sur x2 ≤ t ≤ x < 1, 2 ln x ≤ ln t ≤ lnx. On prolonge φ en 0 par 0. Et ensuite φest dérivable en 0 en prolongeant φ′. Etude en +∞ : φ tend vers ∞ et φ(x)/x tend vers∞. Etude en 1 : si 1 < x < x2,

x

∫ x2

x

1

t ln tdt ≤ φ(x) ≤ x2

∫ x2

x

1

t ln tdt

et une primitive de 1/(t ln t) est ln(ln t). On montre φ tend vers ln 2 en 1. Et la dérivéevaut 1.

Exercice 1.10.8 Soit f une fonction continue sur [a,b] telle que :

∀x ∈ [a,b], f(a+ b− x) = f(x).

1. Calculer

J =

∫ b

a

xf(x)dx

en fonction de

I =

∫ b

a

f(x)dx.

2. Application : calculer l’intégrale suivante :

J1 =

∫ 2π

0

x sinx

1 + cos2 xdx.


Solution.1. J = (a+ b)I − J2. Séparer sur les intervalles [0,π] et [π,2π] : J2 = −π2/2.

Exercice 1.10.9 On considère la suite (In) définie par :

In =

∫ e

1

(lnx)ndx.

1. Montrer que la suite (In) est convergente. On pourra utiliser le changement de va-riable de t = ln x.

2. Etablir une formule de récurrence liant In et In−1.3. Trouver un équivalent de In quand n tend vers +∞.

Solution.1. Poser t = ln x. Alors 1/(n+ 1) ≤ In ≤ e/(n+ 1).2. In = e− nIn−1.3. In ∼ e/n.

Exercice 1.10.10 Soit f une fonction dérivable strictement croissante sur [0,a] telle quef(0) = 0. Soit g la fonction réciproque de f sur [0,f(a)].

1. On pose :

F (x) =

∫ x

0

f(t)dt+

∫ f(x)

0

g(t)dt.

Montrer que F est dérivable, calculer F ′(x) et en déduire F (x).2. Soit u et v deux réels tels que :

0 ≤ u ≤ a0 ≤ v ≤ f(a)

Montrer que :

uv ≤∫ u

0

f(t)dt+

∫ v

0

g(t)dt.

Distinguer trois cas suivants la place de v par rapport à f(u).

Solution.1. F ′(x) = f(x) + xf ′(x), F (x) = xf(x).2. Si v > f(u) ∫ u

0

f(t)dt+

∫ v

0

g(t)dt = uf(u) +

∫ v

f(u)

g(t)dt

et comme g est croissante,∫ v

f(u)g(t)dt ≥ (v − f(u))u.


Exercice 1.10.11 Soient λ > 0 et f : R→ R de classe C2 avec f ′(0) = 0 et pour tout t,f ′′(t) ≥ λ. Montrer que pour tout a ∈ R,∣∣∣∣∫ a

0

eif(t)dt

∣∣∣∣ ≤ 2√

2√λ.

On pourra introduire x ∈]0,a[, couper l’intégrale en deux puis faire une intégration parparties dans le second morceau en ajoutant if ′(t) au numérateur et au dénominateur.

En déduire que si g : [b,c]→ R est de classe C2 avec g′′(t) ≥ λ, alors∣∣∣∣∫ c

b

eig(t)dt

∣∣∣∣ ≤ 4√

2√λ.

Solution. Si 0 ≤ a < 2√

2√λ

le résultat est clair. Donc on suppose a ≥ 2√

2√λ

. Si x > 0,f ′(x) = f ′(x)− f ′(0) =

∫ x

0f ′′(t)dt ≥ λx.∫ a

0

eif(t)dt =

∫ x

0

eif(t)dt+

∫ a

x

if ′(t)eif(t)

if ′(t)dt =

∫ x

0

eif(t)dt+

[eif(t)

if ′(t)

]a

x

+

∫ a

x

f ′′(t)eif(t)

if ′(t)2dt

∣∣∣∣∫ a

0

eif(t)dt

∣∣∣∣ ≤ x+1

f ′(a)+

1

f ′(x)+

∫ a

x

f ′′

f ′= x+

1

f ′(a)+

1

f ′(x)+

[− 1

f ′

]a

x

= x+2

f ′(x)≤ x+

2

λx

Choisir x pour minimiser l’expression précédente : x =√

2λ

(qui est bien dans [0,a]). Poura < 0, on obtient le résultat en appliquant ce qui précède à g(t) = f(−t).

On prolonge g sur [c,+∞[ par un polynôme de degré 2 tel que le raccord soit C2. Cepolynôme est de dérivée seconde constante égale à g′′(c) ≥ λ. On prolonge de même g à]−∞,b] et on obtient une fonction C2 avec g′′(t) ≥ λ. Pour t ≥ 0, g′(t) ≥ g′(0) + λt doncg′ tend vers +∞ en +∞ et pour t ≤ 0, g′(t) ≤ g′(0) + λt. g′ est strictement croissante etdonc c’est une bijection de R sur R qui s’annule en un unique point α. g est une fonctionde R dans R avec g′′ ≥ λ et g′(α) = 0. Ce qui précède donne :∣∣∣∣∫ c

α

eig(t)dt

∣∣∣∣ ≤ 2√

2√λ

et∣∣∣∣∫ α

b

eig(t)dt

∣∣∣∣ ≤ 2√

2√λ

Faisant la différence on obtient le résultat voulu.


1.11 Calcul intégralExercice 1.11.1 Calculer les primitives des fonctions suivantes en indiquant l’ensemblede validité :

x2ex sin x1

x(√x+ 1 +

√x)

1√x+ x1/3

tan x

1 + sin2 xsin x

1 + cos3 x

1

sh4chxx+

√x−1x+1

x2 − 1

1

x+√

1− x2

Solution.• D = R. Utiliser une primitive de x2e(1+i)x de la forme (ax2 + bx+ c)e(1+i)x∫

x2exsinxdx =

(−1

2(x2 − 2x+ 1) cosx+

1

2(x2 − 1) sin x

)ex + C

• D = R∗+. Multiplier par la partie conjuguée :

f(x) =

√x+ 1

x− 1√

x

pour la première, chgt de var y =√x+ 1∫

1

x(√x+ 1 +

√x)dx = 2

√1 + x+ ln

√x+ 1− 1√x+ 1 + 1

− 2√x+ C

• D = R∗+. Chgt de var y = x1/6 puis z = y + 1.∫

1√x+ x1/3

dx = 2√x− 3x1/3 + 6x1/6 − 6 ln(x1/6 + 1) + C

•D =

⋃n∈Z

]−π

2+ nπ;

π

2+ nπ

[Chgt de var y = sinx∫

tan x

1 + sin2 xdx =

∫y

(1− y2)(1 + y2)dy =

1

4ln

1 + sin2 x

cos2 x+ C(x)

C dépendant de l’intervalle.•

D =⋃n∈Z

](2n− 1)π; (2n+ 1)π[


Chgt de var y = cos x. ∫sin x

1 + cos3 xdx = −

∫dy

1 + y3dy

1

1 + y3=

1

3

1

y + 1+

1

3

−y + 2

y2 − y + 1

Mettre y2 − y + 1 sous forme canonique, chgt de var z = 2y−1√3∫

sin x

1 + cos3 xdx = −1

3ln(1+cosx)+

1

6ln(cos2 x−cosx+1)− 1√

3Arctan

2 cos x− 1√3

+C(x)

• D = R∗. Chgt de var y = shx.∫1

sh4chxdx =

∫1

y4(1 + y2)dy

1

y4(1 + y2)=

1

y4− 1

y2+

1

1 + y2∫1

sh4chxdx = − 1

3shx+

1

shx+ Arctan(shx) + C(x)

• D =]−∞;−1[∪]− 1; +∞[. Chgt de var y =√

x−1x+1

, i.e. x = 1+y2

1−y2 et dx = 4y(1−y2)2

dy.

∫ x+√

x−1x+1

x2 − 1dx =

∫1 + y + y2 − y3

y(1− y2)dy =

∫ (1 +

1

y+

2y

1− y2

)dy

∫ x+√

x−1x+1

x2 − 1dx =

√x− 1

x+ 1+

1

2ln |x2 − 1|+ C(x)

• D = [−1;− 1√2[∪]− 1√

2; 1]. Chgt de var θ = Arcsinx.∫1

x+√

1− x2dx =

∫cos θ

sin θ + cos θdθ =

∫1

tan θ + 1dθ

Chgt de var t = tan θ.∫1

x+√

1− x2dx =

∫1

(1 + t)(1 + t2)dt =

1

2ln |x+

√1− x2|+ 1

2Arcsinx+ C(x)

Exercice 1.11.2 Calculer l’intégrale suivante :∫ b

a

√(x− a)(b− x)dx

avec a et b réels.


Solution. Mettre le trinome sous forme canonique, puis chgt de var

t =2

b− a

(x− a+ b

2

)θ = Arcsint

1

2π

(b− a

2

)2

.

Remarque : c’est l’aire du demi-cercle de centre ((a+ b)/2,0) de rayon (b− a)/2.

Exercice 1.11.3 Trouver une primitive de

1

sin(x)

Solution. Bioche t = cos(x),

(1/2) ln |1− cos(x)

1 + cos(x)|

Exercice 1.11.4 Trouver une primitive de

1

x . . . (x+ n).

Solution. décomposer en éléments simples,

1

n!

n∑i=0

(−1)iCin ln(x+ i).

Exercice 1.11.5 Calculer

limn→+∞

((2n)!

n!nn

) 1n

.

Solution. prendre le log, somme de Riemann et on trouve 4/e.

Exercice 1.11.6 Pour x > 0, soient

I1(x) =

∫ π2

0

du

x2 cos2 u+ sin2 uet I2(x) =

∫ π2

0

sinudu

x2 cos2 u+ sin2 u.

On donne I1(x) = π2x

.1. Calculer I2(x) (on distinguera le cas 0 < x < 1 où l’on pourra poser a = 1√

1−x2 ducas x ≥ 1).


2. Donner un équivalent de I2(x) en 0+.3. Soit

f : R∗+ → Rx 7→ x

∫ π2

0udu

x2 cos2 u+sin2 u.

(a) Montrer que x 7→ f(x) + f(1/x) est constante sur R∗+, donner la valeur prise

par cette fonction.(b) Montrer que : ∀u ∈ [0,π

2], u ≤ π

2sinu.

(c) En déduire les limites de f en 0+ et en +∞.

Solution.1. Chgt de var t = cosu.

I2(x) =

∫ 1

0

dt

(x2 − 1)t2 + 1

Si x = 1, I2(1) = 1. Si x > 1,

I2(x) =Arctan(

√x2 − 1)√

x2 − 1.

Si 0 < x < 1, a > 1 et

I2(x) = −a2

∫ 1

0

dt

t2 − a2=a

2ln

(1 + a

a− 1

).

2. Faire un DL. I2(x) ∼ − lnx en zéro.3. (a) f(1/x) = xπ

2I1(x)− f(x) avec chgt de var v = π/2− u.

(b) étude de fonction.(c) 0 ≤ f(x) ≤ π

2xI2(x) et avec la relation liant f(x) et f(1/x)...

Exercice 1.11.7 Soit F = f ∈ C1([0,1],R), f(0) = 0 et f(1) = 1.1. Pour n ∈ N∗ on définit fn sur [0,1] par

fn(x) = nx(2− nx)ex−1 si x ≤ 1n

fn(x) = ex−1 si x > 1n

(a) Vérifier que fn ∈ F .(b) Montrer que :

limn→+∞

∫ 1

0

|fn(t)− f ′n(t)|dt =1

e.

2. Soit f ∈ F . Soit g = f ′ − f . Vérifier

∀t ∈ [0,1], f(t) = et

∫ t

0

g(u)e−udu.

En déduire que :

inff∈F

(∫ 1

0

|f(t)− f ′(t)|dt)

=1

e.


Solution.1. (a) Etude de fonctions.

(b) ∫ 1

0

|fn(t)− f ′n(t)|dt =

∫ 1/n

0

2n(1− nx)ex−1 = 2n[(n+ 1− nx)ex−1

]1/n

0

=2n

e(ne1/n − (n+ 1))

=2n

e(n+ 1 +

1

2n+ o(

1

n)− n− 1)

2. Une primitive de g(u)e−u est e−uf(u). On a

f(1) = 1 = e

∫ 1

0

(f(u)− f ′(u))e−udu ≤ e

∫ 1

0

|f(u)− f ′(u)|e−udu

≤ e

∫ 1

0

|f(u)− f ′(u)|du.

Donc pour tout f ∈ F ,1

e≤∫ 1

0

|f(u)− f ′(u)|du.

Exercice 1.11.8 Convergence simple...1. Pour tout n ∈ N∗ soit fn : [0,1] → R affine sur [0, 1

2n] et sur [ 1

2n, 1n], telle que

f(0) = f( 1n) = 0, f( 1

2n) = n, et nulle sur [ 1

n,1]. Vérifier que fn est continue sur

[0,1], et donner la valeur de∫ 1

0fn(x)dx.

2. Que pensez-vous de l’énoncé suivant : “soit (fn) une suite de fonctions continues surun segment [a,b] (a < b) telle que pour tout x ∈ [a,b],

limn→+∞

fn(x) = f(x).

Si f est continue sur [a,b], alors

limn→+∞

∫ b

a

fn(x)dx =

∫ b

a

f(x)dx ”?

1.12 Formules de Taylor, fonctions convexesExercice 1.12.1 Soit f de classe C2 sur [0,1]. En utillisant l’inégalité de Taylor La-grange, étudier la suite de terme général

un =n∑

k=1

f(k2

n3).

En déduire l’étude de

vn =n∏

k=1

(1 +k2

n3).


Solution. Pour tout x ∈ [0,1]

|f(x)− f(0)− xf ′(0)| ≤M2x2

2

où M2 est le sup de f ′′. En particulier si k ≤ n

|f(k2

n3)− f(0)− k2

n3f ′(0)| ≤M2

k4

2n6≤M2

1

2n2

Reste à sommer :

−M2

2n≤ un − nf(0)− f ′(0)

n3

n∑k=1

k2 ≤ M2

2n

Si f(0) 6= 0, un diverge. Car∑n

k=1 k2 ≤ n3. Si f(0) = 0, utiliser

n∑k=1

k2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

et1

n3

n∑k=1

k2 → 1

3

Pour vn, prendre le log et utiliser ce qui précède.

Exercice 1.12.2 Soit f : R→ R de classe C2 et telle que f et f ′′ soient bornées sur R.1. Montrer en utilisant l’inégalité de Taylor-Lagrange appliquée aux points x + t et x

puis x− t et x que l’on a :

∀ x ∈ R, ∀ t ∈ R∗+, |f ′(x)| ≤

1

tM0 +

t

2M2,

avec M0 = supR |f | et M2 = supR |f ′′|.2. En déduire que f ′ est aussi bornée sur R et qu’en posant M1 = supR |f ′| on a

l’inégalité : M1 =√

2M0M2.

Solution. Soit x ∈ R.

∀y ∈ R, |f(y)− f(x)− (y − x)f ′(x)| ≤M2(y − x)2

2

Puis prendre y = x+ t et y = x− t avec t > 0. Ensuite

|[f(x− t)− f(x) + tf ′(x)]− [f(x+ t)− f(x)− tf ′(x)]| ≤ M2t2

2+M2t

2

2

d’où

|2tf ′(x)| ≤ |f(x− t)− f(x+ t) + 2tf ′(x)|+ |f(x− t)|+ |f(x+ t)| ≤M2t2 + 2M0

ceci étant vrai pour tout t > 0.


Fonctions convexes

Exercice 1.12.3 Soit I un intervalle et f : I → R continue. On suppose que pour touta,b dans I, il existe t ∈]0,1[ tel que f(ta+ (1− t)b) ≤ tf(a) + (1− t)f(b). Montrer que fest convexe.

Solution. Il faut voir que f est sous ses cordes. Par l’absurde. Si entre deux points αet β, f n’est pas sous sa corde. Quitte à soustraire la corde à la fonction (ce qui ne changerien, car pour une fct affine g, g(ta + (1 − t)b) = tg(a) + (1 − t)g(b)), on peut supposerf(α) = f(β) = 0 et il existe c ∈]α,β[ tq f(c) > 0. Soit a = sup x < c|f(x) = 0 et b =inf x > c|f(x) = 0. Ainsi f(a) = f(b) = 0 et f > 0 sur ]a,b[ (sinon absurdité via thm desvaleurs intermédiaires). En considérant t ∈]0,1[ tq f(ta+(1−t)b) ≤ tf(a)+(1−t)f(b) = 0,on aboutit à une contradiction.

Exercice 1.12.4 Soit φ une fonction convexe sur R et f continue. Montrer que

φ

(∫ 1

0

f

)≤∫ 1

0

φ(f).

Solution. Convexité de φ:

φ

(1

n

n−1∑i=0

f

(i

n

))≤ 1

n

n−1∑i=0

φ f(i

n

)Somme de Riemann...

Exercice 1.12.5 Soient p,q > 1 tels que 1/p+ 1/q = 1. Pour x,y ∈ R+, montrer que

xy ≤ xp

p+yq

q.

En déduire que pour deux fonctions continues positives,∫fg ≤

(∫fp

)1/p(∫gq

)1/q

.

Solution. Si x ou y est nul, ok. Sinon x = ea, y = eb et convexité de exp :

exp

(1

pap+

1

qbq

)≤ exp(ap)

p+

exp(bq)

q

Appliquer avec x = f(t)/ ‖f‖p et y = g(t)/ ‖g‖q puis intégrer.

Exercice 1.12.6 Soient x,y ∈ R+, p ≥ 1. Montrer que(x+ y

a+ b

)p

≤ a

a+ b

(xa

)p

+b

a+ b

(yb

)p

.

En déduire que pour deux fonctions continues réelles positives,(∫(f + g)p

)1/p

≤(∫

fp

)1/p

+

(∫gp

)1/p

.


Solution. Utiliser la convexité de z 7→ zp et

x+ y

a+ b=

a

a+ b

x

a+

b

a+ b

y

b

Ensuite prendre x = f(t), y = g(t), a =(∫

fp)1/p et b =

(∫gp)1/p et intégrer avec∫

fp = ap.

Exercice 1.12.7 1. Soit I un intervalle de R et f,g : I → R deux applicationsconvexes; montrer que sup(f,g) est convexe. Donner un exemple où inf(f,g) n’estpas convexe.

2. Soient f,g : [0,1]→ R deux applications convexes; montrer qu’il existe une applica-tion convexe h : [0,1]→ R telle que : h ≤ f et h ≤ g.

3. Donner un exemple de suite (fn)n∈N d’applications convexes de [0,1] dans R, tellequ’il n’existe aucune application convexe f : [0,1] → R telle que (∀n, f ≤ fn), etcependant telle que, pour chaque x ∈ [0,1], la suite réelle (fn(x))n∈N soit minorée.

Solution.1. Un exemple tq inf(f,g) non convexe : I = [0,1], f(x) = x et g(x) = 1− x.2. Comme f est convexe, f est continue sur ]0,1[ admet des limites en 0+ et 1−.

L’application f obtenue en complétant f par continuité en 0 et 1, est minorée etf ≤ f . Et il existe m1 ≤ f et m2 ≤ g. Prendre h = m = inf(m1,m2).

3. fn(x) = −n(n + 1)x + 1 pour x ∈ [0; 1/n] et fn(x) = n(n + 1)x − (2n + 1) six ∈ [1/n; 1].

1.13 Intégration sur un intervalle quelconqueExercice 1.13.1 Etudier l’intégrabilité des applications suivantes, pour lesquelles sontdonnés f(x) et l’intervalle :

1

Arccos(1− x), ]0,1]; (lnx)− ln x, [2,+∞[

x−x

x−1 , [1,+∞[; (sh(√

lnx))−2, [2,+∞[

exp(−x sinx), [0,+∞[;xa

1 + xb, ]0,+∞[, (a,b) ∈ R2

Exercice 1.13.2 Existence et calcul des intégrales suivantes∫ +∞

0

1

(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3)dx;

∫ +∞

1

1

x√

1 + x2dx;∫ π

0

1

a+ cosxdx, a ∈ R;

∫ +∞

0

(1 + x)−1/4 − (1 + x)−3/4

xdx;∫ π/2

0

1

1 + (tanx)adx, a ∈ R;


Exercice 1.13.3 Définition et calcul de∫ 1

0

t− 1

ln tdt

.

Exercice 1.13.4 Suite définie par une intégrale :1. Montrer que pour tout n ∈ N∗ la fonction

t→ e−t

n+ t

est intégrable sur [0,+∞[.2. On pose alors

In =

∫ +∞

0

e−t

n+ tdt.

Calculer la limite de la suite (In)n∈N∗.

Solution. La limite vaut 0 par comparaison et équivalence avec 1/n.

Exercice 1.13.5 Suite définie par une intégrale :1. Montrer que pour tout n ∈ N∗ la fonction

t→ enx

(1 + ex)n+1

est intégrable sur [0,+∞[.2. On pose alors

In =

∫ +∞

0

enx

(1 + ex)n+1dx.

Etablir une relation entre In et In+1 et en déduire In.

Solution. par IPP, puis nIn =∑n

i=1(1/2)i.

Exercice 1.13.6 Montrer que :∫ +∞

0

e−x

a+ xdx ∼ − ln a, quand a ↓ 0;

∫ +∞

a

e−x2

dx ∼ e−a2

2a, quand a→ +∞.

Exercice 1.13.7 On pose pour tout x > 0,

f(x) =

∫ x

0

eit2dt.


1. Montrer que :

f(x) =eix2 − 1

2ix+

1

2i

∫ x

0

eit2 − 1

t2dt

et en déduire que f a une limite en +∞, notée λ (λ ∈ C).2. On pose g(x) = λ− f(x). Montrer que pour x > 0 on a :

g(x) =1

2i

∫ +∞

x

eit2

t2dt− eix2

2ix.

3. Montrer qu’au voisinage de +∞ on a :

g(x) = −eix2

2ix+O

(1

x3

).

Exercice 1.13.8 Existence de limite et intégrabilité1. Soit f : R+ → R continue. On suppose que

limx→+∞

f(x) = l,

avec l ∈ R.(a) Que peut-on dire de l si f est intégrable sur R+?(b) Si l = 0, peut-on affirmer que f est intégrable sur R+?

2. On veut montrer qu’il existe des fonctions continues positives intégrables sur R+,tout en étant non bornées sur R+. Soit f définie ainsi :pour tout n ∈ N∗, f(n) = n, f(n− 1

n2n ) = f(n+ 1n2n ) = 0, f est affine sur [n− 1

n2n ,n]et sur [n,n+ 1

n2n ];f est nulle sur R+ \

⋃n∈N∗ [n −

1n2n ,n + 1

n2n ]. Montrer que f vérifie les hypothèsesvoulues.

Exercice 1.13.9 Soit f : R→ R, continue, T -périodique, avec T > 0. Pour tout x ∈ R,soit

g(x) =

∫ x

0

f(t)dt.

1. Donner une CNS pour que g soit bornée sur R.2. Etudier la limite en +∞ de g(x)/x.3. Montrer que si ∫ T

O

f(t)dt = 0

alors la fonction

G : x→∫ +∞

T

f(t)

tdt

a une limite finie en +∞. Peut-on conclure que t→ f(t)/t est intégrable sur [T,+∞[?


Exercice 1.13.10 Calculer la limite de

un =n∑

k=1

1√kn.

On pensera à mettre cette somme sous forme d’une somme de Riemann.

Solution. un → 2.

Exercice 1.13.11 Soit f :]0,1]→ R continue, intégrable et décroissante au voisinage de0. Montrer la convergence des sommes de Riemann

Sn =1

n

n∑k=1

f

(k

n

)vers l’intégrale de f . Montrer le même résultat si f est bornée au voisinage de 0 (maispas décroissante).

Exercice 1.13.12 Etudier la suite(n−1∏k=1

sinkπ

n

)1/n

.

Solution. Prendre le log, reconnaitre une somme de Riemann, puis montrer conver-gence vers

∫ π

0ln sinxdx.

Exercice 1.13.13 Soit f :]0,1]→ R continue intégrable. Notant

Sn =1

n

n∑k=1

f

(k

n

),

a-t-on nécessairement Sn → f ?

1.14 Sommes et produitsExercice 1.14.1 Calculer

Sn =n∑

k=1

1

1 + 2 + . . .+ k

puislim

n→+∞Sn.

Solution. Remarquer 1/(k(k + 1)) = 1/k − 1/(k + 1), d’où Sn → 2.

Exercice 1.14.2 On considère la suite définie pour tout n ∈ N∗ par

sn =n∑

k=1

1

n+ ln k.

Montrer que la suite converge et trouver sa limite.


Solution. Encadrer : n ≤ n+ ln k ≤ n+ lnn, pour 1 ≤ k ≤ n. La limite est 1.

Exercice 1.14.3 Soient n ∈ N∗, a1, . . . ,an ∈ R+; montrer :

n∏i=1

(1 + ai) ≥ 1 +n∑

i=1

ai,

et étudier le cas d’égalité.

Solution. Deux méthodes : soit on développe le produit, soit on raisonne par récur-rence. Pour l’égalité :

n∏i=1

(1 + ai) = 1 +n∑

i=1

ai +∑

1≤i<j≤n

aiaj ≤ 1 +n∑

i=1

ai.

Donc 1 ≤ i < j ≤ n⇒ aiaj = 0. Il y a égalité si au plus un des ai est non nul.

Exercice 1.14.4 Montrer pour tout n ∈ N,[n∏

i=0

(1 +

1

2i+ 1

)]2

> 2n+ 3.

Solution. Raisonner par récurrence :

un+1 = un

(1 +

1

2n+ 3

)2

> (2n+ 3)

(2n+ 4

2n+ 3

)2

=(2n+ 4)2

2n+ 3

et montrer (2n+ 4)2 > (2n+ 3)(2n+ 5).

Exercice 1.14.5 Montrer pour tout x ∈ R∗+, tout n ∈ N∗

n∑i=1

1

(x+ i)2<

1

x− 1

x+ n.

Solution. Raisonner par récurrence :

n+1∑i=1

1

(x+ i)2<

1

x− 1

x+ n+

1

(x+ n+ 1)2

=1

x− 1

x+ n+ 1+

(−1

(x+ n)(x+ n+ 1)+

1

(x+ n+ 1)2

)≤ 1

x− 1

x+ n+ 1


Exercice 1.14.6 Montrer la convergence et déterminer la limite de la suite de termegénéral suivante :

n∑k=1

1√n2 + 2k

.

Même question avecn2∑

k=1

1√n2 + 2k

.

Solution. Encadrer :

n√n2 + 2n

≤n∑

k=1

1√n2 + 2k

≤ n√n2 + 2

.

Dans le second casn∑

k=1

1√n2 + 2k

≥ n2

√n2 + 2n2

=n√3.

1.15 Equations différentiellesExercice 1.15.1 Résoudre sur tout intervalle non vide I de R, les équations différen-tielles suivantes :

1. (x+ 1)y′ − xy = 0;2. |x|y′ + (x− 1)y = x3;3. xy′ = |y − 1| sur R∗

+;4. (1− x2)y′ + xy + 1 = 0;5. (1 + x2)y′ − 2xy = 0;6. 2x(1− x)y′ + (1− x)y = 1;7. |x|y′ + (x− 1)y = x3;8. xy′ = |y − 1| sur R∗

+;9. y′ − (x+ 1)(y + 1) = 0;

10. (1 + x)y′ = y + 1;11. (1 + x2)y′ + xy = 1 + 2x2.

Solution.1. résoudre d’abord si −1 6∈ I : y(x) = λ exp(x)

|1+x| .2. Distinguer I ⊂ R∗

+ et I ⊂ R∗−. Premier cas : équation sans second membre : y(x) =

λxe−x puis variation de la constante : λ′(x) = xex, d’où équa. part. x(x−1). Secondcas : même méthode : y(x) = x2 + 3x + 6 + 6

x+ µ ex

x. Pour recoller il faut λ = 1, et

µ = −1.3. Déduire que y est croissante. Donc distinguer ∀x y(x) ≤ 1, ∀x y(x) ≥ 1 et enfin∃x0 y(x0) = 1. Premier cas : y(x) = 1+λ/x avec λ ≤ 0. Deuxième cas : y(x) = 1+µx.Troisième cas : recoller les deux précédents en x0 : λ = µ = 0.


4. Solution y(x) = −x+ λ√|x2 − 1| si −1 6∈ I et 1 6∈ I et y(x) = −x sinon.

Exercice 1.15.2 Trouver toutes les applications f : R→ R dérivables telles que :∀x ∈ R, f ′(x) = f(x) +

∫ 1

0f(t)dt

f(0) = 1

Solution. Raisonner par condition nécessaire et suffisante. Si f convient, poser α =∫ 1

0f(t)dt, et f est solution de y′ = y + α; i.e. f = −α + λex. Puis faire la réciproque.

Finalement :f(x) =

2ex + 1− e3− e

.

Exercice 1.15.3 Résoudre y′ = |y|.

Exercice 1.15.4 Trouver une CNS portant sur les applications continues a,b : R → Rpour que l’équation différentielle y′ + ay = b admette deux solutions y1 et y2 sur R tellesqu’il existe (α1,α2) ∈ R2 tel que α1y1 + α2y2 = 1.

Solution. De y′1 + ay1 = b, y′2 + ay2 = b, α1y1 + α2y2 = 1 on déduit : (α1 + α2)b = a.Réciproquement si a = λb, si y1 est solution de l’équa. diff. alors y2 = (1− λ)y1 + 1 l’estaussi.

Exercice 1.15.5 Trouver toutes les fonctions f : R → R continues telles que pour toutx réel, ∫ x

0

f(u)du =x

3(f(x) + f(0)) .

Exercice 1.15.6 Soit f : R+ → R telle que f + f ′ tende vers 0 en +∞. Montrer que ftend vers 0 en +∞.

Exercice 1.15.7 On considère l’équation (E) suivante :

g′(t) = ag(t)

(1− g(t)

M

).

Montrer que si g est une solution de (E) strictement positive et dérivable, alors 1/g estsolution de (E’) :

y′ + ay =a

M.

En déduire les solutions de (E).

Solution. On montre que l’inverse des solutions strictement positives de (E’) sont lessolutions de (E).

Exercice 1.15.8 Soient a,b : R→ R continues telles que pour tout x ∈ R, a(x) ≥ 1.


1. On suppose ici que la limite en +∞ de b est égale à 0. Montrer que toute solutionsur R de y′ + ay = b admet la limite 0 en +∞.

2. On suppose ici que la limite en −∞ de b est égale à 0. Montrer qu’il existe unesolution et une seule sur R de y′ + ay = b qui admette la limite 0 en −∞.

Solution.1. En notant A(x) =

∫ x

0a(t)dt pour x ∈ R par variation de la constante on a :

y(x) = e−A(x)

(λ+

∫ x

0

b(t)e−A(t)dt

).

Soit ε > 0 fixé; il existe x0 ∈ R+ tel que : ∀t ≥ x0, |b(t)| ≤ ε. Alors pour x ≥ x0 :∣∣∣∣e−A(x)

∫ x

x0

b(t)e−A(t)dt

∣∣∣∣ ≤ ε

∫ x

x0

e−(A(x)−A(t))dt ≤ ε

∫ x

x0

e−(x−t)dt.

Et comme A(x) tend vers +∞ quand x tend vers l’infini,

limx→+∞

e−A(x)

(λ+

∫ x0

0

b(t)e−A(t)dt

)= 0.

2. Unicité : on prend deux solutions y1 et y2 correspondant à λ1 et λ2, tendant toutesles deux vers 0 en −∞. En faisant la différence entre y1 et y2 on obtient :

limx→−∞

(λ1 − λ2)e−A(x) = 0.

avec A(x) qui tend vers −∞ quand x tend vers −∞.Existence : montrer que x 7→ e−A(x)

∫ x

−∞ b(t)e−A(t)dt convient.

Exercice 1.15.9 Résoudre sur tout intervalle I de R les équations différentielles sui-vantes :

1. y′′ + y′ − 2y = x exp(−2x);2. y′′ − 2y′ + 2y = 0 avec [0,π] ⊂ I, y(0) = 0, et sup[0,π] y(x) = 1;3. x2y′′ − 3xy + 4y = x+ 4 (changement de variable t = ln |x|);4. x2y′′ + xy′ + y = 0;5. x2y′′ + 3xy′ + y = 0;6. y′′ − 4y′ + 4y = (x3 + x)e2x;7. y′′ + y′ + (1/2)y = sin(x) avec y(0) = y′(0) = 0;8. y′′ + y = e−|x|.

Solution.1. y(x) = µex +

(−1

6x2 − 1

9x+ λ

)e−2x

2. y(x) =√

2 exp(−3π/4)ex sin x

3. Résoudre d’abord sur R∗− et R∗

+. x = εet. z(t) = y(x). En déduire z′′(t) − 4z′(t) +4z(t) = εet + 4, soit z(t) = εet + 1 + (λt+ µ)e2t, i.e. y(x) = x+ 1 + (λ ln |x|+ µ)x2.Recoller en 0 : y(x) = x+ 1 + µx2.


4. Si 0 6∈ I, y(x) = λ cos ln |x|+ µ sin ln |x|, sinon y = 0.5. Si 0 6∈ I, y(x) = 1

x(λ ln |x|+ µ), sinon y = 0.

Exercice 1.15.10 Soit ω ∈ R∗+ fixé.

1. Pour tout ε de R∗+, on note gε : R→ R l’application définie par :

gε(x) =

0 si t ≤ 0tε

si 0 < t < ε1 si ε ≤ t

Montrer que l’équation différentielle y′′+(ω)2y = gε admet une solution et une seuley sur R telle que : ∀t ∈]−∞,0], y(t) = 0. On note yε cette solution.

2. Montrer qu’il existe une application Y : R→ R, que l’on précisera, telle que :

limε→0

supt∈R|yε(t)− Y (t)| = 0

.

Solution.1. La solution générale de y′′ + ω2y = gε sur ]0,ε[ est :

y : t 7→ t

ω2ε+ A cosωt+B sinωt,

et la solution générale de y′′ + ω2y = gε sur ]ε,+∞[ est :

y : t 7→ 1

ω2+ C cosωt+D sinωt.

Il reste à déterminer une CNS sur (A,B,C,D) pour avoir une fonction de classe C2

sur R. On trouve

A = 0, B = − 1

ω3ε, C = −sinωε

ω3ε, D =

cosωε− 1

ω2ε.

2. Montrer d’abord la convergence simple de yε vers Y :

Y (t) =

0 si t ≤ 0(1− cosωt)/(ω2) si t ≥ 0

en utilisant pour t > 0 un ε < t. Pour étudier la convergence uniforme utiliser lesinégalités suivantes :

|u− sinu| ≤ u3

6

1− cosu ≤ u2

2.


Exercice 1.15.11 Trouver toutes les applications f : R→ R de classe C1 telles que

∀ x ∈ R, f ′(x) + f(−x) = (−2x+ 2)ex.

Solution. Raisonner par condition nécessaire et suffisante. Soit f convenant. Puisquef est de classe C1 sur R et que

f ′(x) = −f(−x) + (−2x+ 2)ex,

f est de classe C2 sur R et on en déduit que f est solution de

y′′ + y = −2xex + (2x+ 2)e−x.

Solution générale :

(−x+ 1)ex + (x+ 2)e−x + A cosx+B sin x.

Réciproquement on montre que A+B = 0.

Exercice 1.15.12 Trouver toutes les fonctions f : R∗+ → C dérivables telles que f ′(x) =

f(1/x). On cherchera les solutions sous la forme xα avec α ∈ C.

Solution. Dériver l’hypothèse et trouver x2f ′′+f = 0. Puis on trouve α = exp(2iπ/3)et les solutions sont de la forme λxα +µxα. Puis réinjecter dans l’hypothèse pour trouverλ = µα.

Exercice 1.15.13 Soient B > 0 et w : [0,T ] → R continue vérifiant w(t) ≤ A +B∫ t

0w(s)ds. Montrer que w(t) ≤ A exp(Bt) (lemme de Gronwall).

Soit f : R → R lipschitzienne de rapport B et w,z : [0,1] → R deux solutions dey′ = f(y). Montrer que :

|w(1)− z(1)| ≤ |w(0)− z(0)|eB.

Solution. Pour se ramener à une fonction de classe C1, poser W (t) =∫ t

0w(s)ds. On

a :(W ′(t)−BW (t))e−Bt ≤ Ae−Bt,

en utilisant l’hypothèse de l’énoncé. Puis en intégrant entre 0 et t avec W (0) = 0 W (t) ≤AB

(eBt − 1). Pour conclure utiliser w(t) ≤ A+BW (t).

Exercice 1.15.14 Trouver toutes les applications f : R→ R continues telles que :

∀ (x,y) ∈ R2, f(x)f(y) =

∫ x+y

x−y

f(t)dt.


1.16 Calcul différentielExercice 1.16.1 Etudier l’existence d’une limite en (0,0) pour les fonctions f suivantes,pour lesquelles on donne f(x,y)

1.x3 + y3

x2 + y2

2.(1 + x2 + y2) sin y

y

3.xy

x+ y

4.sin x− sin y

shx− shy5.

sin x− shyshx− sin y

Solution.1.

|f(x,y)| ≤ |x|3

x2 + y2+|y|3

x2 + y2≤ |x|+ |y|

2. la limite vaut 1 : immédiat.3. Comme pour x 6= 0, f(x,0) = 0, la limite doit valoir 0. SoitX = (x,y)/ x+ y 6= 0∪

(0,0) et γ : R→ X t.q. γ(x) = (x,−x+x3). Si f est continue en 0, alors f γ aussi.Or f γ(x) = −1/x si x 6= 0 et f γ(0) = 0.

4. Pour tout (x,y)

f(x,y) =sin(

x−y2

)sh(

x−y2

) .cos(

x+y2

)ch(

x+y2

)De là la limite vaut 1.

5. Calculer f(x,x) = −1 et f(x,− x) = 1.

Exercice 1.16.2 Etudier la continuité de f : R2 → R, l’existence et la continuité desdérivées partielles premières de f :

1.

f(x,y) =

x3−y3

x2+y2 si (x,y) 6= (0,0)

0 si (x,y) = (0,0)

2.

f(x,y) =

x sin y−y sin xx2+y2 si (x,y) 6= (0,0)

0 si (x,y) = (0,0)

On pourra écrire f sous la forme g(x,y)φ(y)− g(y,x)φ(x).


3.f(x,y) =

x2 si |x| > yy2 si |x| ≤ y

Solution.1. D’abord f est continue en zéro et est de classe C1 sur R2 \(0,0). Comme f(x,0) =x, et f(0,y) = −y, on a

∂f

∂x(0,0) = 1 et

∂f

∂y(0,0) = −1.

L’application ∂f∂x

est définie par :

∂f

∂x(x,y) =

x4+3x2y2+2xy3

(x2+y2)2si (x,y) 6= (0,0)

1 si (x,y) = (0,0)

Comme ∂f∂x

(0,y) = 0 pour tout y 6= 0, ∂f∂x

n’est pas continue en (0,0). Idem pour ∂f∂y

.2. Pour tout (x,y) ∈ (R∗)2,

f(x,y) =x(sin y − y)− y(sinx− x)

x2 + y2=

xy3

x2 + y2.sin y − y

y3− yx3

x2 + y2.sin x− x

x3.

Soit φ : R→ R définie par:

φ(t) =

sin t−t

t3si t 6= 0

−16

si t = 0

Montrer que cette fonction est de classe C1 sur R avec φ′(0) = 0.Maintenant soit

g(x,y) =

xy3

x2+y2 si (x,y) 6= (0,0)

0 si (x,y) = (0,0)

Montrer que cette fonction est de classe C1 sur R2 \ (0,0) et est continue en (0,0).Comme g(.,0) = g(0,.) = 0, nécesairement

∂g

∂x(0,0) =

∂g

∂x(0,0) = 0.

Maintenant pour (x,y) 6= (0,0)

∂g

∂x(x,y) =

−x2y3 + y5

(x2 + y2)2, et

∣∣∣∣∂g∂x(x,y)

∣∣∣∣ ≤ |y|.Donc on a la continuité de ∂g

∂x. Idem pour ∂g

∂y. Finalement g est de classe C1 sur R2.

3. Notons

E = (x,y), |x| = y , U1 = (x,y), |x| > y , U2 = (x,y), |x| < y .

D’abord f est de classe C1 sur les ouverts U1 et U2.


Soit (r,s) ∈ R2 tel que |r| = s. Comme x2 → r2 quand (x,y) ∈ U1 et (x,y)→ (r,s),comme y2 → s2 quand (x,y) ∈ U2 et (x,y) → (r,s), et que r2 = s2, f est continueen (r,s), donc sur R2.Comme

f(x,s) =

x2 si |x| > ss2 si |x| ≤ s

si s 6= 0, l’application f(.,s) n’est pas dérivable en r et donc ∂f∂x

(r,s) n’existe pas.De même ∂f

∂y(r,s) n’existe pas. Enfin f(x,0) = x2 et f(0,y) = y2, donc ∂f

∂x(0,0) et

∂f∂y

(0,0) existent et valent 0.Pour tout (x,y) ∈ (R2 \ E) ∪ (0,0),

∂f

∂x(x,y) =

2x si (x,y) ∈ U1

0 si (x,y) ∈ U2 ∪ (0,0)

Ainsi ∂f∂x

est continue en (0,0).Conclusion : f est continue sur R2, ∂f

∂xet ∂f

∂ysont définies et continues sur l’ensemble

(x,y), |x| 6= y ∪ (0,0).

Exercice 1.16.3 Une application f : U → R, de classe C2 sur un ouvert U de R2, estdite harmonique si et seulement si ∆f = 0, où

∆f =∂2f

∂x2+∂2f

∂y2

est le laplacien de f .1. Pour (x,y) ∈ R2, soient z = x + iy ∈ C et f(x,y) = ln |eze−z |; montrer que f est

harmonique sur R2.2. Montrer que, si f est de classe C3 et harmonique, alors ∂f

∂x, ∂f

∂y, y ∂f

∂x− x∂f

∂ysont

harmoniques.3. Vérifier que f : (x,y) 7→ Arctan y

xest harmonique sur R∗ × R.

Solution.1. On a : ze−z = e−x ((x cos y + y sin y) + i(y cos y − x sin y)), d’où

f(x,y) = e−x(x cosx+ y sin y).

Puis calculer les dérivées.2. Utiliser le théorème de Schwarz.3. Calcul.

Exercice 1.16.4 Trouver toutes les applications φ : R → R de classe C2 telles quel’application f : U = R∗ × R→ R, définie par f(x,y) = φ

(yx

), vérifie :

∀(x,y) ∈ U, ∂2f

∂x2(x,y)− ∂2f

∂y2(x,y) =

y

x3.


Solution. Pour tout (x,y) ∈ U on a

∂f

∂x(x,y) = − y

x2φ′(yx

)et

∂f

∂y(x,y) =

1

xφ′(yx

)puis

∂2f

∂x2(x,y) =

2y

x3φ′(yx

)+y2

x4φ′′(yx

)et

∂2f

∂y2(x,y) =

1

x2φ′′(yx

)Alors la condition donne

2y

xφ′(yx

)+

((yx

)2

− 1

)φ′′(yx

)=y

x

i.e.(t2 − 1)φ′′(t) + 2tφ′(t) = t.

Reste à résoudre (t2 − 1)z′(t) + 2tz(t) = t, ce qui donne

z(t) =1

2+

λ

t2 − 1.

La seule solution sur R est z(t) = 1/2, soit φ(t) = t/2 + C.

Exercice 1.16.5 Soit f : R2 → R définie par

f(x,y) =xy(x2 − y2)

x2 + y2

si (x,y) 6= (0,0) et f(0,0) = 0. Comparer

∂2f

∂x∂y(0,0) et

∂2f

∂y∂x(0,0).

Solution. D’après les théorèmes généraux, f est de classe C1 sur l’ouvert R2 \(0,0)et pour tout (x,y) de R2 \ (0,0)

∂f

∂x(x,y) =

x4y + 4x2y3 − y5

(x2 + y2)2et∂f

∂x(x,y) =

x5 − 4x3y2 − xy4

(x2 + y2)2.

Ainsi ∂f∂x

(0,y) = −y, d’où

∂2f

∂y∂x(0,0) =

(∂

∂y

(∂f

∂x

))(0,0) = −1.

De même ∂f∂y

(x,0) = x, d’où

∂2f

∂x∂y(0,0) =

(∂

∂x

(∂f

∂y

))(0,0) = 1.


Exercice 1.16.6 Pour (x,y) ∈ R2, on définit fx,y : [−1,1]→ R par

fx,y(t) = xt2 + yt

etF (x,y) = sup

t∈[−1,1]

fx,y(t).

1. Calculer F (x,y).2. Etudier la continuité de F sur R2.

Solution.1. F (x,y) = max(x+ y,x− y,− y2

4x).

2. Examiner le comportement de F au voisinage de (r,s) avec s = 0 ou s = 2r ous = −2r et montrer que F est continue sur R2.

Exercice 1.16.7 Soient (A,B,C) ∈ R3 \ (0,0,0) et (E) l’équation aux dérivées par-tielles :

A∂2f

∂x2+ 2B

∂2f

∂x∂y+ C

∂2f

∂y2= 0

où f : R2 → R est la fonction inconnue de classe C2.Effectuer le changement de variables X = x + αy, Y = x + βy, (α,β) ∈ R2, α 6= β etmontrer qu’on peut choisir (α,β) pour ramener (E) à l’une des trois équations

(1)∂2F

∂X∂Y= 0, (2)

∂2F

∂Y 2= 0, (3)

∂2F

∂X2+∂2F

∂Y 2= 0.

Résoudre (1) et (2).

Solution. En notant F (X,Y ) = f(x,y)

(A+ 2Bα + Cα2)∂2F

∂X2+ 2(A+B(α+ β) + Cαβ)

∂2F

∂X∂Y+ (A+ 2Bβ + Cβ2)

∂2F

∂Y 2= 0.

Si B2 − AC > 0, choisir pour α et β les deux zéros du trinôme t 7→ A + 2Bt + Ct2 et seramener à (1).Si B2 − AC = 0, et C 6= 0, choisir α = −B/C et β 6= α, et se ramener à (2).Si B2 − AC < 0, montrer qu’il existe (α,β) ∈ R2 tel que

α 6= β, A+ 2Bα + Cα2 = A+ 2Bβ + Cβ2, A+B(α+ β) + Cαβ = 0

et se ramener à (3).


1.17 Intégrales doublesExercice 1.17.1 Calculer les intégrales doubles∫∫

D

f(x,y)dxdy

dans les exemples suivants :1. D = (x,y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ x et

f(x,y) =1

x+ y + 1.

2. D = (x,y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ R2 et

f(x,y) =x2

a2+y2

b2, (a,b,R) ∈ (R∗

+)3 fixé.

3. D = (x,y) ∈ R2; x2 + xy + y2 ≤ 1 et

f(x,y) = exp(−(x2 + xy + y2)

).

Solution.1. intégrer d’abord en y puis en x∫∫

D

f(x,y)dxdy = −∫ 1

0

2x

2x+ 1dx+

∫ 1

0

2x2 + x

x2 + x+ 1dx

et−∫

2x

2x+ 1dx = −x+

1

2ln(2x+ 1)∫ 1

0

2x2 + x

x2 + x+ 1dx = 2x− 1

2ln(x2 + x+ 1)− 3

2

∫dx

x2 + x+ 1∫dx

x2 + x+ 1=

2√3Arctan

2x+ 1√3

Finalement l’intégrale vaut 1− π√

36

.2. Passons en coordonnées polaires. En notant ∆ = [−π,π]× [0,R], on a :∫∫

D

x2

a2+y2

b2dxdy =

∫∫∆

ρ2 cos2 θ

a2+ρ2 sin2 θ

b2ρdρdθ

=1

a2

(∫ π

−π

cos2 θdθ

)(∫ R

0

ρ3dρ

)+

1

b2

(∫ π

−π

sin2 θdθ

)(∫ R

0

ρ3dρ

)=πR4

4

(1

a2+

1

b2

)


3. Par mise sous forme canonique : x2 + xy + y2 =(x+ y

2

)2+(

y√

32

)2

. Faisons le

changement de variables : X = x+ y2

et Y = y√

32

. On a :x2 + xy + y2 ≤ 1⇐⇒ X2 + Y 2 ≤ 1x = X − 1√

3Y, y = 2√

3Y

et en notant D′ = (X,Y ) ∈ R2, X2 + Y 2 ≤ 1∫∫D

exp(−(x2 + xy + y2)

)dxdy =

∫∫D′

exp(−(X2 + Y 2)

) 2√3dXdY.

Puis en passant en coordonnées polaires :

2√3

∫∫D′

exp(−(X2 + Y 2)

)dXdY =

2√3

(∫ π

−π

dθ

)(∫ 1

0

e−ρ2

ρdρ

)=

2π√3

(1− 1

e

)

Exercice 1.17.2 1. Montrer :

∀x ∈ [0,1], ln(1 + x) =

∫ 1

0

x

1 + xydy.

2. En déduire la valeur de

I1 =

∫ 1

0

ln(1 + x)

1 + x2dx et de I2 =

∫ 1

0

Arctanx1 + x

dx.

Solution.1. Immédiat car la dérivée par rapport à y de ln(1 + xy) est x/(1 + xy).2. On a pour D = [0,1]2 :

I1 =

∫∫D

x

(1 + xy)(1 + x2)dxdy.

Par symétrie (i.e. chgt de var. affine X = y et Y = x)

I1 =

∫∫D

y

(1 + xy)(1 + y2)dxdy.

Par addition :

2I1 =

∫∫D

(x

(1 + xy)(1 + x2)+

y

(1 + xy)(1 + y2)

)dxdy

=

∫∫D

x+ y

(1 + x2)(1 + y2)dxdy


Enfin en échangeant x et y∫∫D

x

(1 + x2)(1 + y2)dxdy =

∫∫D

y

(1 + x2)(1 + y2)dxdy

donc

I1 =

(∫ 1

0

x

1 + x2dx

)(∫ 1

0

1

1 + y2dy

)=π

8ln 2.

En intégrant par parties

I2 =

∫ 1

0

Arctanx1 + x

dx = [Arctan ln(1 + x)]10 − I1 =π

8ln 2.

Exercice 1.17.3 Pour a ∈ R∗+, on note :

Da =(x,y) ∈ R2, x2 + y2 ≤ a2

, ∆a =

(x,y) ∈ R2, |x| ≤ a, |y| ≤ a

f : (x,y) 7→ e−(x2+y2), Ia =

∫∫Da

f, Ja =

∫∫∆a

f.

1. Calculer Ia, pour tout a de R∗+.

2. Montrer, pour tout a de R∗+ : Ia ≤ Ja ≤ Ia

√2.

3. En déduire : ∫ +∞

0

e−x2

dx =

√π

2.

Solution.1. Chgt en polaires : Ia = π(1− e−a2

).2. Da ⊂ ∆a ⊂ Da

√2 et f est positive.

3. D’abord pour tout a > 0,

2

∫ a

0

e−x2

dx =

∫ a

−a

e−x2

dx = Ka.

Ensuite Ja = K2a . Enfin

lima→+∞

Ja = π.

Exercice 1.17.4 Soient (a,b) ∈ R2 tel que a < b et E l’ensemble de fonctions continuesde [a,b] dans R∗

+. Calculer

inff∈E

(∫ b

a

f(x)dx

)(∫ b

a

1

f(x)dx

)et donner les f donnant le minimum si l’infimum est atteint.


Solution. Soient D = [a,b]2 et

I(f) =

∫∫D

f(x)

f(y)dxdy

En échangeant x et y et en additionnant

I(f) =1

2

∫∫D

(f(x)

f(y)+f(y)

f(x)

)dxdy = (b− a)2 +

1

2

∫∫D

(f(x)− f(y))2

f(y)f(x)dxdy.

Donc l’infimum vaut (b− a)2 et est atteint pour les fonctions constantes.

Exercice 1.17.5 Soit λ ∈]1/2; +∞[; montrer qu’il n’existe aucune application continuef : [0,1]→ R telle que :

∀x ∈ [0,1], f(x) = 1 + λ

∫ 1

x

f(y)f(y − x)dy.

Indication : on pourra intégrer l’équation par rapport à x

Solution. Si f convient alors∫ 1

0

f(x)dx = 1 + λ

∫ 1

0

∫ 1

x

f(y)f(y − x)dydx = 1 + λ

∫ 1

0

(∫ y

0

f(y − x)dx)f(y)dy

= 1 + λ

∫ 1

0

(∫ y

0

f(z)dz

)f(y)dy = 1 + λ

∫ 1

0

F (y)F ′(y)dy

où F (y) =∫ y

0f(z)dz. En notant α =

∫ 1

0f(x)dx on obtient α = 1 + λ

2α2, ce qui est

impossible pour λ > 1/2.

CHAPITRE 2. ALGÈBRE 68

Chapitre 2

Algèbre

2.1 GroupesExercice 2.1.1 Dans chacun des cas suivants montrer que ∗ est une loi de compositioninterne sur E et étudier ses propriétés éventuelles :

1. E = N∗ et a ∗ b = ab;2. E = Q \ −1/2, a ∗ b = a+ b+ 2ab;3. E = Z, a ∗ b = a + b − ab. Déterminer les inversibles. Dans ce cas pour a ∈ Z et

n ∈ N∗, a[n] = a ∗ . . . ∗ a n-fois. Calculer a[n] pour n ∈ N∗.

Solution.1. ∗ est une l.c.i., non comm., non assoc. (a=2,b=1,c=2), sans élément neutre.2. ∗ est une l.c.i. (si b 6= −1/2, alors...), comm., associative, avec 0 pour élément neutre,

tout élément est inversible, donc c’est un groupe.3. E est un monoïde comm., les inversibles sont 0 et 2, a[n] = 1− (1− a)n.

Exercice 2.1.2 Dans R∗ × R on définit la loi ∗ par :

(x,y) ∗ (x′,y′) = (xx′,y′

x+ x′y).

Montrer que (R∗ × R,∗) est un groupe. Soit u = (x,y) ∈ R∗ × R. Calculer un pour toutn ∈ N∗.

Solution. (1,0) élément neutre, l’inverse de (x,y) est (1/x, − y). Groupe non comm.

Exercice 2.1.3 Pour tout (x,y) ∈ R2 soit

x ∗ y = (x3 + y3)1/3.

Montrer que (R,∗) est un groupe isomorphe au groupe (R,+).


Exercice 2.1.4 Soit (G,∗) un groupe. Soit

C = x ∈ G, ∀y ∈ G,x ∗ y = y ∗ x .

Montrer que (C,∗) est un sous-groupe de G.

Exercice 2.1.5 Montrer que ]− 1,1[ est un groupe pour la loi ∗ définie par :

x ∗ y =x+ y

1 + xy;

et qu’il est isomorphe à (R,+).

Solution. Utiliser la fonction th de (R,+) dans (]− 1,1[,∗).

Exercice 2.1.6 Un élément x d’un groupe (G,.), de neutre e, est dit d’ordre fini si etseulement s’il existe n ∈ N∗ tel que xn = e; si x est d’ordre fini, le plus petit entier n ∈ N∗

tel que xn = e est appelé l’ordre de x.Soient (G,∗) un groupe, (a,b) ∈ G2. Montrer :

1. si a,b,ab sont d’ordre 2, alors ab = ba;2. si a est d’ordre fini, alors a−1 aussi, et a et a−1 ont le même ordre;3. si a est d’ordre fini, alors bab−1 aussi, et a et bab−1 ont le même ordre;4. si ab est d’ordre fini, alors ba aussi, et ab et ba ont le même ordre.

Exercice 2.1.7 Soit (G,.) un groupe; pour tout a ∈ G, on note τa : G→ G l’applicationdéfinie par :

τa(x) = axa−1.

1. Vérifier que τa est un automorphisme de G (appelé automorphisme intérieurassocié à a).

2. Vérifier : ∀(a,b) ∈ G2, τa τb = τab.

Exercice 2.1.8 Vérifier que R2 est un groupe non abélien pour la loi ∗ définie par

(x,y) ∗ (x′,y′) = (x+ x′,yex′ + y′e−x).

Exercice 2.1.9 Soit G un sous-groupe du groupe (R,+). On suppose G 6= 0.1. Montrer que G ∩ R∗

+ admet une borne inférieure. On note a = infG ∩ R∗

+

.

2. Montrer que a ∈ G.3. On suppose que a > 0. Montrer que G = aZ.4. On suppose que a = 0. Montrer que G est dense dans R, c’est-à-dire que l’on a :

∀x,y ∈ R, x < y =⇒ ∃z ∈ G, x < z < y.

5. Soit f : R → R périodique non constante continue sur R. Montrer que f admetune plus petite période (que

T ∈ R∗

+ | ∀x ∈ R, f(x+ T ) = f(x)

a un plus petitélément).


6. Soit G =n+ p

√2, (n,p) ∈ Z2

. Montrer que G est un sous-groupe de (R,+). De

quel type est-il?

Solution.1. G ∩ R∗

+ est non vide. Et a ≥ 0.2. Par l’absurde : il existe α ∈ G tq a < α < 2a. Et il existe β ∈ G tq a < β < α. Alorsα− β ∈ G et α− β < a. Ainsi aZ ⊂ G.

3. g ∈ G, n = E(g/a) : na ≤ g < (n + 1)a. Comme g − na ∈ G, si 0 < g − na, on ag − na < a, absurde. Donc G ⊂ aZ.

4. x < y. Comme a = 0, il existe g ∈ G tq 0 < g < y − x. On note n = E(x/g) + 1.n− 1 ≤ x/g < n, d’où

x < ng = (n− 1)g + g ≤ x+ g < y

et ng ∈ G.5. G = T ∈ R | ∀x ∈ R, f(x+ T ) = f(x) est un sous-groupe de (R,+).6. Par l’absurde : G = aZ. Comme 1,

√2 ∈ G, 1 = ap,

√2 = aq, donc

√2 ∈ Q.

2.2 Anneaux, corpsExercice 2.2.1 Soit

Z[i] =a+ ib, (a,b) ∈ Z2

.

Montrer que (Z[i], + ,×) est un anneau commutatif (+ et × sont les opérations usuellesdans C). Prouver que si (x,y) ∈ Z[i]2 et si x× y = 0, alors x = 0 ou y = 0.Pour tout (a,b) ∈ Z2, on pose N(a + ib) = a2 + b2. Vérifier que pour tout (x,y) ∈ Z[i]2,on a N(xy) = N(x)N(y) et N(x), N(y) sont dans N. En déduire l’ensemble des élémentsinversibles de l’anneau Z[i].

Exercice 2.2.2 SoitK =

x+ y

√3, (x,y) ∈ Q2

.

Montrer que (K,+ ,×) est un corps.

Exercice 2.2.3 Soit (A, + ,×) un anneau. soit x ∈ A. On dit que x est nilpotent si etseulement s’il existe n ∈ N tel que xn = 0 (où 0 est l’élément nul de l’anneau A).

1. Soient x,y ∈ A. Montrer que si xy est nilpotent, yx l’est aussi.2. Soient x,y ∈ A. Montrer que si x et y sont nilpotents, et si xy = yx, alors x+ y est

nilpotent.3. Soit x ∈ A un élément nilpotent. Montrer que 1A − x est inversible et calculer son

inverse.

Exercice 2.2.4 Soit A un anneau tel que : ∀(x,y) ∈ A2, (xy)2 = x2y2.1. Montrer : ∀(x,y) ∈ A2, xyx = x2y = yx2. On pourra utiliser l’hypothèse avec x et

1 + y.


2. En déduire que A est commutatif.

Solution.1. ((1 + y)x)2 = (1 + y)2x2 puis développer : xyx = yx2. De même (x(1 + y))2 =x2(1 + y)2 =⇒ xyx = x2y.

2. On applique la première question avec 1+x au lieu de x : (1+x)y(1+x) = (1+x)2y.

Exercice 2.2.5 Soient A un anneau et U = a ∈ A| ∃b ∈ A,ab = ba = 1 l’ensemble deséléments inversibles de A. Montrer :

∀(x,y) ∈ A2, 1− xy ∈ U ⇐⇒ 1− yx ∈ U.

Solution. (1− yx)−1 = 1 + y(1− xy)−1x.

2.3 Espaces vectorielsExercice 2.3.1 Dans E = R∗

+×R, on définit une loi + par (x,y) + (x′,y′) = (xx′,y+ y′)et une loi externe à coefficients dans R par λ(a,b) = (aλ,λb). Vérifier que (E,+ ,.) est unR-ev.

Exercice 2.3.2 Dans E = R3, donner une CNS sur x,y,z pour que (x,y,z) ∈ Vect(v,w)avec v = (1,2,1), w = (1,− 1,3).

Solution. 7x− 2y − 3z = 0.

Exercice 2.3.3 Dans R3, on donne a = (2,3, − 1), b = (1, − 1, − 2), c = (3,7,0) etd = (5,0,− 7). Montrer que Vect(a,b) = Vect(c,d).

Exercice 2.3.4 Soit a ∈ C. Dans C4 on donne les vecteurs

u1 = (1,a,a2,a3), u2 = (a,a2,a3,1),

u3 = (a2,a3,1,a), u4 = (a3,1,a,a2).

Donner une CNS sur a ∈ C pour que l’on ait Vect(u1,u2,u3,u4) = C4. DéterminerVect(u1,u2,u3,u4) dans les autres cas.

Solution. a4 6= 1. Si a = 1, Vect = C.(1,1,1,1). Si a = −1, Vect = C.(1, − 1,1, − 1).Si a = i, Vect = C.(1,i,− 1,− i). Enfin si a = −i, Vect = C.(1,− i,− 1,i).

Exercice 2.3.5 Soit E = F(R; R). Pour a ∈ R on définit τa : E → E ainsi : pourtout x ∈ R, τa(f)(x) = f(x + a). Montrer que τa, a ∈ R est un sous-groupe de GL(E)isomorphe à (R,+).

Exercice 2.3.6 Soit E = C(R; R). Soit F =f ∈ E,

∫ 1

0f(t)dt = 0

et soit C l’ensemble

des fonctions constantes de R dans R. Montrer que F et C sont deux s.e.v. de E et que :F ⊕ C = E.


Exercice 2.3.7 Soit u ∈ L(E), où u est un K-e.v. Pour tout n ∈ N on note Kn = ker(un)et In = im (un).

1. Montrer que la suite (Kn)n∈N est croissante pour l’inclusion, alors que la suite(In)n∈N est décroissante pour l’inclusion.

2. Soit n ∈ N. Montrer que si Kn = Kn+1, alors pour tout k ∈ N, Kn+k = Kn. Montrerque si In = In+1 alors : ∀k ∈ N, In+k = In.

Exercice 2.3.8 Soit f ∈ L(E), où E est un K-e.v. On suppose : f 2 − 5f + 6IdE = 0.1. Montrer que : im (f − 3IdE) ⊂ ker(f − 2IdE) et im (f − 2IdE) ⊂ ker(f − 3IdE).2. Montrer que : ker(f − 2IdE)⊕ ker(f − 3IdE) = E.

Exercice 2.3.9 Soit E = C(R+; R) le R-e.v. des fonctions continues sur R+ à valeursdans R. Pour f ∈ E, on définit la fonction Tf : R+ → R par : pour tout x ∈ R+ :

(Tf)(x) = f(0) si x = 0(Tf)(x) = 1

x

∫ x

0f(t)dt si x > 0

Montrer que T : f 7→ Tf ainsi définie est un endomorphisme de E. Déterminer kerTet im T (on montrera que im T est l’ensemble des fonctions g ∈ E, g ∈ C1(R∗

+; R) etlimx→0 xg

′(x) = 0).

Solution. Si g ∈ C1(R∗+; R) et limx→0 xg

′(x) = 0, alors on pose f(x) = xg′(x) + g(x)si x > 0 et f(0) = g(0). Alors f est continue et on a g = 1

x

∫ x

0f .

Exercice 2.3.10 Soient E un K-e.v., (a,b) ∈ K2 tel que a 6= b, f ∈ L(E) tel que (f −aIdE) (f − bIdE) = 0.

1. Montrer qu’il existe (λ,µ) ∈ K2 et des applications p,q ∈ L(E) tels que :

p2 = p, q2 = q, p = λ(f − aIdE), q = µ(f − bIdE),f = bp+ aq.

2. Pour tout k ∈ N∗, calculer fk en fonction de p,q,k,a,b.

Solution. Distinguer les cas : (a = 0) ou (b = 0) ou (a 6= 0 et b 6= 0). fk = bkp + akqpour tout k ≥ 1.

Exercice 2.3.11 Soient

E =(xn)n∈N ∈ RN; ∀n ∈ N, xn+3 − xn+2 − xn+1 + xn = 0

,

E1 =(xn)n∈N ∈ RN; ∀n ∈ N, xn+1 + xn = 0

,

E2 =(xn)n∈N ∈ RN; ∀n ∈ N, xn+2 − 2xn+1 + xn = 0

.

Montrer que E1 et E2 sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E.

Solution. Montrer : E R-e.v., E1 et E2 s.e.v. et E1 ∩ E2 = 0. Soit x ∈ E, trouvery ∈ E1 et z ∈ E2 tels que x = y+z. Alors nécessairement yn +zn = xn, −yn +zn+1 = xn+1

et yn − zn + 2zn+1 = xn+2. En tirer yn et zn.


Exercice 2.3.12 Donner un exemple d’application linéaire injective mais pas surjectived’un espace vectoriel dans lui-même.

Solution. Dans R[X], f(P (X)) = XP (X).

Exercice 2.3.13 Trouver pour tout n ≥ 3 un exemple de n sous-espaces vectoriels telsque deux d’entre eux soient toujours en somme directe, mais pas trois d’entre eux.

Exercice 2.3.14 Déterminer tous les R-sous espaces vectoriels de R.

Exercice 2.3.15 Soient deux endomorphismes de E tels que f g = IdE. Montrer queim (g f) = im g, ker(g f) = ker f et E = ker(g f) ⊕ im (g f). Montrer par unexemple que g et f ne sont pas nécessairement inversibles.

Solution. Si x = g(y) ∈ im g, alors x = (g f g)(y). Si x ∈ ker(g f), 0 = (g f)(x)et composer par f . g f est un projecteur, donc somme directe du noyau et de l’image.Sur R[X], g(P (X)) = XP (X) et pour n ≥ 1 f(Xn) = Xn−1, f(1) = 0.

Exercice 2.3.16 Soit E un K-e.v. Soient p, q ∈ L(E) deux projecteurs. On supposeque im p ⊂ ker q. Soit r = p + q − p q. Montrer que r est un projecteur. Montrer queim r = im p⊕ im q et ker r = ker p ∩ ker q.

Exercice 2.3.17 Soient p et q deux projecteurs.1. Montrer que : ∀x ∈ E, p(x) = −x⇒ x = 0E.2. Montrer que : p+ q est un projecteur, si et seulement si p q = q p = 0.

Solution. Si p+ q est un projecteur, p q+ q p = 0. On compose à gauche et à droitepar p, on a p q + p q p = 0 et p q p+ q p = 0 et on soustrait : p q − q p = 0.

Exercice 2.3.18 Soient u,v ∈ L(E). Montrer que : uv = u et v u = v, si et seulementsi u et v sont deux projecteurs de même noyau.

Solution. (⇒) u2 = u v u = u v = u, de même pour v. Si x ∈ keru, v u(x) =v(x) = 0.(⇐) Soit x ∈ E. Alors x = y + v(z) où y ∈ keru = ker v. Alors u(x) = u(v(z)) et(u v)(x) = u(v2(z)) = u(v(z)).

Exercice 2.3.19 Soient p,q deux projecteurs qui commutent (i.e. p q = p q).1. Montrer que p q et p+ q − p q sont des projecteurs.2. Montrer que ker(p q) = ker p+ ker q et im (p q) = im p ∩ im q.3. En posant r = p+ q− p q, montrer que im r = im p+ im q et ker r = ker p∩ ker q.

Exercice 2.3.20 Soit

F =(x,y,z,t) ∈ R4, x+ y + z + t = 0

et soit

G =(x,y,z,t) ∈ R4, x− y + z − t = 0

.

Donner une base de F et de G. F et G sont-ils supplémentaires dans R4 ? DéterminerF ∩G et F +G.


Exercice 2.3.21 Soit E l’espace vectoriel des fonctions réelles continues sur [0,2]. SoitF l’ensemble des fonctions de E qui sont affines sur [0,1] et sur [1,2]. Donner une basede F .

Solution. Prendre

f(x) = x− 1 sur [0,1] et f(x) = 0 sur [1,2]

g(x) = 0 sur [0,1] et g(x) = x− 1 sur [1,2]

h(x) = 1 sur [0,2]

Exercice 2.3.22 Soient E un K-e.v., f ∈ L(E). On suppose que, pour tout x de E, lafamille (x,f(x)) est liée. Démontrer que f est une homothétie.

Solution. Prendre x,y dans E \ 0. Si (x,y) libre, calculer f(x+ y) = λx+y(x+ y) =λxx+ λyy. Sinon y = αx et f(y) = λyαx = λxαx.

Exercice 2.3.23 Soit E un espace vectoriel. Déterminer le centre de L(E), i.e. les élé-ments de L(E) qui commutent avec tous les autres. On pourra admettre que tout sous-espace vectoriel admet un supplémentaire.

Solution. Soit f dans le centre de L(E). Soit x ∈ E. Vect(x) admet un supplémentaireF dans E; considérons alors p la projection sur Vect(x) parallèlement à F . f(x) = f p(x) = p f(x)im (p) = Vect(x). Donc f(x) est colinéaire à x.

Exercice 2.3.24 Soit q un projecteur de L(E) où E est un R-espace vectoriel. Montrerque Id+ q est inversible.

Solution. L’inverse est Id− q/2.

2.4 Espaces vectoriels de dimension finieExercice 2.4.1 Soit

F =(x,y,z,t) ∈ R4, x+ y + z + t = 0

et soit

G =(x,y,z,t) ∈ R4, x− y + z − t = 0

.

Déterminer la dimension de F et de G et donner une base de F et de G. F et G sont-ilssupplémentaires dans R4? Déterminer dim(F ∩G) et F +G.

Exercice 2.4.2 Soit E l’espace vectoriel des fonctions réelles continues sur [0,2]. Soit Fl’ensemble des fonctions de E qui sont affines sur [0,1] et sur [1,2]. Donner une base deF .


Solution. Prendre

f(x) = x− 1 sur [0,1] et f(x) = 0 sur [1,2]

g(x) = 0 sur [0,1] et g(x) = x− 1 sur [1,2]

h(x) = 1 sur [0,2]

Exercice 2.4.3 Soient E un K-e.v., f ∈ L(E). On suppose que, pour tout x de E, lafamille (x,f(x)) est liée. Démontrer que f est une homothétie.

Solution. Prendre x,y dans E \ 0. Si (x,y) libre, calculer f(x+ y) = λx+y(x+ y) =λxx+ λyy. Sinon y = αx et f(y) = λyαx = λxαx.

Exercice 2.4.4 Soit E un espace vectoriel. Déterminer le centre de L(E), i.e. les élé-ments de L(E) qui commutent avec tous les autres. On pourra admettre que tout sous-espace vectoriel admet un supplémentaire.

Solution. Soit f dans le centre de L(E). Soit x ∈ E. Vect(x) admet un supplémentaireF dans E; considérons alors p la projection sur Vect(x) parallèlement à F . f(x) = f p(x) = p f(x)im (p) = Vect(x). Donc f(x) est colinéaire à x.

Exercice 2.4.5 Polynômes interpolateurs de Lagrange : soient a0, . . . ,an (n + 1) réels 2à 2 distincts. Pour 0 ≤ i ≤ n soit

Pi(X) =n∏

j=0, j 6=i

X − aj

ai − aj

.

1. Pour i,j ∈ 0,1, . . . ,n préciser Pi(aj).2. Montrer que (P0,P1, . . . ,Pn) est une base de Rn[X].3. Soit f : R→ R. Montrer qu’il existe un unique polynôme P ∈ Rn[X] tel que :

∀i ∈ 0,1, . . . ,n , P (ai) = f(ai).

Quelles sont les coordonnées de P dans la base (P0,P1, . . . ,Pn) de Rn[X]?

Exercice 2.4.6 Soit n ∈ N∗. Pour 0 ≤ k ≤ n soit Bk(X) = (X−1)k(X+1)n−k. Montrerque (B0, . . . ,Bn) est une base de Rn[X].

Solution. Libre + cardinal.

Exercice 2.4.7 Soit F = (x,y,z) ∈ R3, 2x+ 3y − z = 0 et soit G = Vect(u) avec u =(1,2,3). Montrer que F ⊕G = R3.

Exercice 2.4.8 Un espace vectoriel E est dit nœthérien si tote suite croissante E0 ⊂E1 ⊂ . . . de sous-espaces vectoriels de E stationne. Montrer qu’un espace vectoriel estnœthérien si et seulement s’il est de dimension finie.


Solution. Si E est de dimension finie, la suite des degrés doit stationner, donc celledes sev aussi.

Si E n’est pas de dimension finie, on construit une suite de sev qui ne stationne pas.E0 = 0, récurrence : il existe xn+1 ∈ E \ En, et En+1 = Vect(En,xn+1).

Exercice 2.4.9 Soit f ∈ L(E), où dim(E) = n. Montrer que :

ker f = ker f 2 ⇐⇒ im f = im f 2 ⇐⇒ E = im f ⊕ ker f.

Solution. Pour la première équivalence, utiliser la croissance des noyaux, la décrois.des images et le thm du rang. Pour la seconde, si x ∈ im f ∩ ker f , x = f(y), donc0 = f(x) = f 2(y) et y ∈ ker f 2 = ker f , ainsi x = 0. Conclure avec la dimension.

Exercice 2.4.10 Soit E un R-e.v. de dimension finie. Soit f ∈ L(E) telle que f 3 = f .Montrer que E = im f ⊕ ker f et que f induit un automorphisme sur im f .

Exercice 2.4.11 Un automorphisme de R[X].1. Pour tout n ∈ N montrer que

fn : Rn[X] → Rn[X]P (X) 7→ P (X + 1) + P (X)

est un automorphisme de Rn[X].2. En déduire que

f : R[X] → R[X]P (X) 7→ P (X + 1) + P (X)

est un automorphisme de R[X].3. Montrer que pour tout k ∈ N il existe un unique Ek ∈ R[X] tel que Ek(X + 1) +

Ek(X) = Xk et que l’on a : ∀k ∈ N∗,E ′k = kEk−1.

4. Montrer que pour tout n ∈ N∗ et tout P ∈ R[X] on a :

fn(P ) =n∑

k=0

CknP (X + k).

Solution.1. Si α racine de P , alors par récurrence pour tout n ∈ N , α+n est racine et donc P a

une infinité de racines. Autre méthode : utiliser le degré de P . Donc fn est injective,est bijective par dimension.

2. Montrer que ker f = 0 et im f = R[X].3. f est bijective. Puis dériver : E ′

k(X + 1) +E ′k(X) = kXk−1 = kf−1(Xk−1) = kEk−1.

4. Première méthode : récurrence. Deuxième méthode : poser g(P ) = P (X + 1). f =IdE + g, donc

fn =n∑

k=0

Ckng

k

et gk = P (X + k).


Exercice 2.4.12 Soit E de dimension finie égale à n. Soient u,v ∈ L(E) tels que u+v ∈GL(E) et u v = 0. Montrer que rg(u) + rg(v) = n.

Solution. D’abord n = rg(u+v) ≤ rgu+rgv. Ensuite im v ⊂ keru, donc rgv ≤ n−rguavec le thm du rang.

Exercice 2.4.13 Soit E de dimension n. On dit que u ∈ L(E) est nilpotent si et seule-ment s’il existe k ∈ N∗ tel que uk = 0. Soit u ∈ L(E), nilpotent et non nul. Soitp = min

k ∈ N∗,uk = 0

. On a donc up = 0 et up−1 6= 0.

1. Montrer qu’il existe x ∈ E tel que la famille (x,u(x), . . . ,up−1(x)) soit libre. Endéduire : p ≤ n.

2. Montrer que IdE − u ∈ GL(E) et déterminer (IdE − u)−1. En déduire un polynômeP ∈ K[X] tel que le degré de P soit n et P − P ′ = Xn

n!.

3. On suppose dans cette question que p = n. Montrer qu’il existe x ∈ E tel queB = (x,u(x), . . . ,un−1(x)) soit une base de E. Montrer que pour 1 ≤ k ≤ n on a :

ker fk = Vect(un−k(x), . . . ,un−1(x)

).

En déduire rg(fk) pour 1 ≤ k ≤ n.

Solution.2. Pour trouver P considérer u : Rn[X] → Rn[X] définie par u(P ) = P ′. u est nilpo-

tente d’indice n+ 1. Donc IdE − u est inversible et l’inverse v est∑n

k=0 uk. Donc le

polynôme P recherché est∑n

k=0Xk

k!.

Exercice 2.4.14 Soit E de dimension n. Soit f ∈ L(E). En considérant

φ : ker f 2 → ker fx 7→ f(x)

montrer que l’on a :dim(ker f 2) ≤ 2 dim(ker f).

Solution. Mq φ bien définie. Thm du rang : rgφ+ dim kerφ = dim ker f 2. Et im φ ⊂ker f , donc rgφ ≤ dim ker f . Et kerφ = ker f 2 ∩ ker f = ker f .

Exercice 2.4.15 Soit E de dimension n. Soient F et G deux sev de E. Montrer que l’ona :

∃u ∈ L(E), im (u) = F et keru = G⇐⇒ dimF + dimG = dimE.

Solution. La réciproque est immédiate via le thm du rang. Si F ⊕G = E, prendre ula projection de E sur F parall. à G. Sinon soit F1 un supplémentaire de G dans E. Soitp le projecteur sur F1 parall. à G. Soit q la dimension de F (qui est égale à celle de F1). Siq = 0, p convient. Sinon soit B1 = (e′1, . . . ,e

′q) une base de F1 et B = (e1, . . . ,eq) une base

de F que l’on complète en bases de E. Soit v t.q. v(e′k) = ek et u = v p. u convient.


Exercice 2.4.16 Soient E de dimension n, p ∈ L(E) tel que p2 = p. Soit

F = f ∈ L(E), f p = p f .

Montrer que F est un sev de L(E) isomorphe à L(im p)×L(ker p). En déduire la dimen-sion de F , en fonction de n et du rang de p.

Solution. Si f ∈ F , f(im p) ⊂ im p et f(ker p) ⊂ ker p. Soit g ∈ L(im p) tq g soit larestriction de f à im p, et h ∈ L(ker p) est la restriction de f à ker p. On note

Φ : F → L(im p)× L(ker p)f 7→ (g,h)

Φ est linéaire.Si f ∈ ker Φ, pour x ∈ E, x = x1 + x2 avec x1 ∈ im p et x2 ∈ ker p, alors f(x) = 0. Doncf est nulle.Φ est surjective. Si (φ,ψ) ∈ L(im p)× L(ker p), poser g = φ et h = ψ.dimF = r2 + (n− r)2.

Exercice 2.4.17 Soit E un K-e.v. de dimension n. Pour u ∈ L(E) on définit

Φu : L(E) → L(E)v 7→ u v

1. Montrer que l’application u 7→ Φu est un morphisme d’algèbres de L(E) dansL(L(E)). Est-il injectif?

2. Soit u fixé dans L(E). Déterminer ker Φu et montrer que ker Φu est isomorphe àL(E, keru).

Solution.1. Injectif car si pour tout v ∈ L(E), u v = 0, alors u = 0.2. Immédiat.

Exercice 2.4.18 Soit E = R3[X]. Pour tout ξ ∈ R soit fξ la forme linéaire sur E définiepar fξ(P ) = P (ξ).

1. Soient a,b,c,d ∈ R. Montrer que (fa,fb,fc,fd) est libre si et seulement si a,b,c,d sontdeux à deux distincts.

2. Montrer qu’il existe un unique (x0,x1,x2,x3) ∈ R4 tel que :

∀P ∈ E,∫ 1

0

P (t)dt = x0P (0) + x1P (1) + x2P (2) + x3P (3).

Exercice 2.4.19 Soient E,F deux K-ev de dimension finie, (f,f ′) ∈ (L(E,F ))2. Mon-trer :

|rg(f)− rg(f ′)| ≤ rg(f + f ′) ≤ rg(f) + rg(f ′).


Solution. Utiliser im (f + f ′) ⊂ im (f) + im (f ′) pour la seconde inégalité. Puisappliquer le résultat à (f + f ′,− f ′) au lieu de (f,f ′).

Exercice 2.4.20 Soient E de dimension finie et f ∈ L(E). Montrer que les trois asser-tions suivantes sont équivalentes :

(i) f ∈ GL(E);(ii) pour tout g ∈ L(E) : f g = 0⇒ g = 0;(iii) pour tout g ∈ L(E) : g f = 0⇒ g = 0.

Solution. Il est clair que (i)⇒ (ii) et (i)⇒ (iii).Pour mq (ii)⇒ (i), on raisonne par contraposée. Si f 6∈ GL(E), comme E est de dimensionfinie, ker f n’est pas réduit à zéro. Soit G un supplémentaire de ker f dans E. Soit g leprojecteur sur ker f parallèlement à G. Alors g 6= 0 car ker f 6= 0E et comme im g ⊂ker f , f g = 0.Pour mq (iii) ⇒ (i), on raisonne de même. Comme im f 6= E (sinon f inversible), onconsidère un supplémentaire G de im f dans E, et g est la projection sur G parall. à im f .Alors g 6= 0 et g f = 0 car ker g = im f .

2.5 PolynômesExercice 2.5.1 Trouver tous les P de C[X] tels que : (X2 + 1)P ′′ − 6P = 0.

Solution. Soit n le degré de P . En regardant le terme de plus haut degré on obtientn = 3.

Exercice 2.5.2 Pour (m,n) ∈ (N\0,1)2, déterminer le quotient et le reste de la divisioneuclidienne de (X − 2)m + (X − 1)n − 1 par (X − 1)(X − 2), dans R[X].

Solution. Soit Q le quotient et R = αX + β le reste. En remplaçant X par 1 puis2 dans (X − 2)m + (X − 1)n − 1 = (X − 1)(X − 2)Q + R on a (−1)m − 1 = α + β et0 = 2α+ β. On en déduit R = (1 + (−1)m+1)(X − 2).

(X − 1)(X − 2)Q = (X − 2)m + (X − 1)n − 1− (1 + (−1)m+1)(X − 2)

= ((X − 2)m−1 − 1 + (−1)m)(X − 2) + ((X − 1)n − 1)

= ((X − 2)m−1 − 1 + (−1)m)(X − 2) + (X − 2)n−1∑k=0

(X − 1)k

= ((X − 2)m−1 − (−1)m−1)(X − 2) + (X − 2)n−1∑k=1

(X − 1)k

= (X − 1)

(m−2∑j=0

(X − 2)j(−1)m−2−j

)(X − 2)

+(X − 2)(X − 1)n−2∑k=0

(X − 1)k


Exercice 2.5.3 Soient (a,b) ∈ K2, tel que a 6= b, P ∈ K[X]; exprimer le reste de ladivision de P par (X − a)(X − b) en fonction de P (a) et de P (b).

Exercice 2.5.4 Soit θ ∈ R. Montrer que pour n ∈ N∗ le polynôme

P (X) = Xn+1 cos(n− 1)θ −Xn cosnθ −X cos θ + 1

est divisible par B(X) = X2 − 2X cos θ + 1. Quel est le quotient?

Solution. B a deux racines distinctes si θ 6= 0 modulo π. Si ce n’est pas le cas, onvérifie que eiθ et e−iθ sont racines de P . Sinon soit 1, soit -1 est une racine double de B.

Exercice 2.5.5 Soit P ∈ C[X] tel que le degré de P soit supérieur ou égal à 1. Onsuppose que P (X2) = P (X)P (X − 1).

1. Montrer qu’alors les racines de P sont de module 1, puis que les seules racinespossibles de P sont j et j2.

2. Déterminer tous les polynômes solutions.

Solution. Soit Z l’ensemble des racines de P . Si a ∈ Z, alors P (a2) = P (a)P (a− 1),donc a2 ∈ Z et par récurrence a2n ∈ Z pour tout entier n. Si |a| < 1, ceci donneune infinité de racines et de même si |a| > 1. Donc a = 0 ou |a| = 1. Si 0 convient,P (1) = P (0)P (1) = 0 et P (22) = P (2)P (1) = 0, donc 4 ∈ Z ce qui est impossible. AinsiZ ⊂ a ∈ C,|a| = 1. Et si a ∈ Z, alors a + 1 aussi, i.e. |a + 1| = |a| = 1. Alors a = j oua = j2.

Donc P (X) = λ(X − j)k(X − j2)l. En calculant P (X2) = P (X)P (X − 1) et enidentifiant les coeff de plus haut degré, λ = λ2, d’où λ = 1. X2− j = (X − j2)(X + j2).

Exercice 2.5.6 Pour z ∈ C∗ et n ∈ N soient

R(z) = z +1

zet πn(z) = zn +

1

zn.

1. Vérifier : ∀n ∈ N∗, πn+1(z) = R(z)πn(z)− πn−1(z).2. Montrer que pour tout n ∈ N il existe un unique polynôme Pn à coefficients dans Z

tel que∀z ∈ C∗, πn(z) = Pn(R(z)).

3. Montrer que les racines de Pn sont réelles et dans [−2,2].

Exercice 2.5.7 Résoudre l’équation algébrique (x + 1)2n = (x − 1)2n où n ∈ N∗, puiscalculer le produit des racines non nulles.

Solution. Les solutions sont xk = icotankπ2n

où 1 ≤ k ≤ 2n− 1. Ce sont les racines deP (X) = (X + 1)2n − (X − 1)2n. On développe P :

P (X) =n−1∑p=0

2C2p+12n X2p+1 = 2X

n−1∑p=0

C2p+12n X2p.


Les relations coefficients-racines donnent que le produit des racines non nulles est :

(−1)2n−2 C12n

C2n−12n

= 1.

Exercice 2.5.8 Soient a,b ∈ C et n ∈ N∗. Soit ω = exp(

2iπn

). Calculer

n∏k=1

(a+ bωk).

Solution. Pour tout z ∈ C,∏n

k=1(z − ωk) = zn− 1 et le produit fait an− (−1)nbn.

Exercice 2.5.9 Soient a,b,c les racines de l’équation x3 + x2 + q = 0 où q est fixé dansR∗. Calculer

a2 + b2

c2+b2 + c2

a2+a2 + c2

b2.

Solution. σ1 = a + b + c = −1, σ2 = ab + bc + ac = 0, σ3 = abc = −q. DoncS2 = a2 + b2 + c2 = 1. Ainsi la somme

S =S2 − c2

c2+S2 − b2

b2+S2 − a2

a2=

1

a2+

1

b2+

1

c2− 3

=b2c2 + a2b2 + a2c2

a2b2c2− 3 =

σ22 − 2abc(a+ b+ c)

σ23

− 3

= −2

q− 3

Exercice 2.5.10 Déterminer tous les triplets (z1,z2,z3) ∈ C3 tels que :|z1| = |z2| = |z3|z1 + z2 + z3 = 0z1z2z3 = 1

(on pourra calculer z1z2 + z2z3 + z3z1).

Solution. z1z2 + z2z3 + z3z1 = 1z1

+ 1z2

+ 1z3

. Comme |z1z2z3| = 1, on a : |z1| = |z2| =|z3| = 1 et 1/z1 = z1. Ainsi z1z2 + z2z3 + z3z1 = z1 + z2 + z3 = 0. Donc z1, z2 et z3 sontracines du polynôme X3 − 1.

Exercice 2.5.11 Soit P un polynôme de C[X]. Montrer que toute racine de P ′ est bary-centre à coefficients positifs des racines de P .


Solution. Soit P =∏

(z − zi) et a une racine de P ′. Si P (a) = 0, c’est fini, sinon

0 =P ′(a)

P (a)=∑ 1

a− zi

et en conjuguant0 =

∑ a− zi

|a− zi|2.

Exercice 2.5.12 Factoriser en produit de polynômes irréductibles dans R[X] :

X5 − 1; X6 + 1.

Solution. 1 est racine, factoriser par X − 1, puis dans le second facteur mettre X2 enfacteur et reconnaitre un polynome du second ordre en X + 1/X

X5 − 1 = (X − 1)

(X2 +

1−√

5

2X + 1

)(X2 +

1 +√

5

2X + 1

)

X6 + 1 = (X2 + 1)(X2 −√

3X + 1)(X2 +√

3X + 1)

Exercice 2.5.13 Soit P ∈ R[X]; montrer que les deux propriétés suivantes sont équiva-lentes :

1. ∀x ∈ R, P (x) ≥ 0;2. ∃(A,B) ∈ R[X]2, P = A2 +B2.

Solution. Remarquer que si P = A2 +B2 et Q = C2 +D2, alors PQ = (AC+BD)2 +(AD −BC)2. Ensuite décomposer P en facteurs irréd. avec degP ≥ 1

P (X) = λ

N∏i=1

(X − xi)αi

M∏j=1

(X2 + pjX + qj).

Alors λ > 0 et chaque αi est pair, sinon P changerait de signe en xi. Donc αi = 2βi. Ennotant

Q =√λ

N∏i=1

(X − xi)βi

on a P = Q2S et

X2 + pjX + qj =(X +

pj

2

)2

+

(1

2

√4qj − p2

j

)2

.

Exercice 2.5.14 Soit n ∈ N∗, soient A,B ∈ C[X] tels que degA = degB = n.


1. Montrer que les propositions (i) et (ii) sont équivalentes, avec :(i) A et B ont une racine commune;(ii) il existe U,V ∈ Cn−1[X], (U,V ) 6= (0,0) t.q. AU +BV = 0.

2. Soient A = aX2 + bX+ c, B = dX2 +eX+f dans C[X] tels que degA = degB = 2.Soit

φ : C1[X]× C1[X] → C3[X](U,V ) 7→ AU +BV

Montrer que φ est linéaire, écrire sa matrice M dans des bases à choisir, puis donnerune CNS sur M pour que A et B aient une racine commune.

Solution.1. Si (i) vérifiée, A = (X − a)R, B = (X − a)S, alors AS−BR = 0. Si (ii) est vérifiée,

supposons que A et B n’aient aucune racine commune. Si a est une racine de A,comme AU + BV = 0, a est une racine de BV . Comme a n’est pas une racine deB, c’est une racine de V . Comme A admet n racines, V aussi, et V de degré n− 1.Donc V est nul, ainsi que U , ce qui est impossible.

2. Soit B1 = ((1,0),(X,0),(0,1),(0,X)) une base de C1[X]× C1[X], et B2 la base cano-nique de C3[X]. Alors

M =

c 0 f 0b c e fa b d e0 a 0 d

D’aprés la première partie, A et B ont une racine commune ssi il existe (U,V ) dedegré 1 tq AU +BV = 0 ssi le noyau de φ est non nul ssi M 6∈ GL4(C).

Exercice 2.5.15 1. Donner une CNS sur (a,b) ∈ R2 et n ∈ N∗ pour que aXn+1 +bXn + 1 soit divisible par (X − 1)2.

2. Donner une CNS sur n ∈ N∗ pour que Xn + 1 soit divisible par X2 + 1.

Solution.1. Pour qu’il y ait divisibilité, il faut et il suffit que 1 soit racine double, i.e. P (1) =P ′(1) = 0, ce qui donne a+ b = 1 et n = a.

2. Pour qu’il y ait divisibilité, il faut et il suffit que i et −i soient racine de Xn + 1,i.e. P (i) = 0 et P (−i) = 0. Comme P ∈ R[X], P (−i) = P (i) = P (i). DoncP (−i) = 0⇐⇒ P (i) = 0. Donc in = −1, i.e. n congru à 2 modulo 4.

2.6 Fractions rationnellesExercice 2.6.1 Décomposer en éléments simples dans R(X) la fraction rationnelle

F (X) =X5 + 1

X2(X − 1)2.


Solution. On aX + 2 +

a

X2+

b

X+

c

(X − 1)2+

d

X − 1.

Pour trouver a et c, multiplier par X2 et (X − 1)2. On obtient a = 1 et c = 2. Ensuiteretrancher ce qu’on a obtenu pour trouver b et d :

X + 2 +1

X2+

2

X+

2

(X − 1)2+

1

X − 1.

Exercice 2.6.2 Décomposer en éléments simples dans R(X) la fraction rationnelle

F (X) =X4 +X + 1

X(X2 + 1)3.

Solution. On a

F (X) =λ

X+

aX + b

(X2 + 1)3+

cX + d

(X2 + 1)2+eX + f

X2 + 1.

Ensuite multiplier F par X pour trouver λ = 1. Calculer

F (X)− 1

X=−X5 − 2X3 − 3X + 1

(X2 + 1)3.

Puis par divisions euclidiennes successives du numérateur par X2 + 1, a = −2, b = 1,c = 0, d = 0, e = −1, f = 0.

Exercice 2.6.3 Décomposer en éléments simples dans R(X) la fraction

F (X) =X

X4 +X2 + 1.

En déduire le calcul de

Sn =n∑

k=1

k

k4 + k2 + 1.

Solution.F (X) =

1

2

(1

X2 −X + 1− 1

X2 +X + 1

).

Les racines de X4 + 1 sont j, −j, exp(iπ/3) et − exp(iπ/3). La partie polaire pour j et−j est j2/(2(j − 1)) = i/(2

√3) et pour les deux racines −i/(2

√3).

Exercice 2.6.4 Montrer que la suite de terme général

Sn =n∑

k=1

1

k(k + 1)(k + 2)

converge et déterminer sa limite.


Solution.

F (X) =1

X(X + 1)(X + 2)=

1

2X+

1

2(X + 2)− 1

X + 1.

Exercice 2.6.5 Soit P ∈ R[X], de degré n ≥ 1, scindé sur R, à racines simples nonnulles x1, . . . ,xn. Déterminer une relation entre P (0) et

n∑i=1

1

xiP ′(xi).

Solution. Considérer F (X) = 1/(XP (X)). On note

P = an∏

i=1

(X − xi).

Alors

F (X) =λ

X+

n∑i=1

αi

X − xi

.

Soit Q(X) = XP (X) : Q′(X) = P (X) + XP ′(X) et Q′(xk) = xkP′(xk). Alors αk =

1/(xkP′(xk)). Pour déterminer λ, calculer XF (X) en zéro : λ = 1/P (0). Enfin

limx→+∞

xf(x) = limx→+∞

1/P (x) = 0

= λ+n∑

i=1

αi

ainsin∑

i=1

1

xiP ′(xi)= − 1

P (0).

Exercice 2.6.6 Soient a 6= b deux réels. Décomposer

F (X) =1

(X − a)n(X − b)n

en éléments simples, en appliquant la formule de Taylor à (x− a)nf(x) en a.

Solution. On peut écrire

F (X) =n∑

i=1

αi

(X − a)i+

βi

(X − a)i

Si g(x) = (x− a)nf(x), g(x) =∑αi(x− a)n−i + (x− a)n−1 en a. La formule de Taylor

donne aussi

g(x) =∑ g(i)(a)

i!(x− a)i + (x− a)n−1


puis on identifie

αi =g(n−i)(a)

(n− i)!Enfin par récurrence :

g(k)(x) = (−1)k (n− k − 1)!

(n− 1)!

1

(x− b)n+k

d’où

F (X) =n∑

i=1

(−1)n−i

(a− b)2n−iCi−1

2n−i−1

(1

(X − a)i+

(−1)i

(X − b)i

)

Exercice 2.6.7 Décomposer en éléments simples dans R(X) :

3

X3 + 1,

3X5 + 2X4 +X2 + 3X + 2

X4 + 1,

1

Xn − 1

Solution.

1

X + 1− X − 2

X2 −X + 13X + 2 +

1

2√

2

X

X2 −X√

2 + 1− 1

2√

2

X

X2 +X√

2 + 1

1

n

n−1∑k=0

exp(2ikπ/n)

X − exp(2ikπ/n)

Pour le dernier on a

F (X) =n−1∑k=0

αk

X − exp(2ikπ/n)

et il faut calculer (X − exp(2ikπ/n))F (X) en exp(2ikπ/n) :

n−1∏p=0, p6=k

(exp(2ikπ/n)− exp(2ipπ/n)) = (exp(2ikπ

n))n−1

n−1∏p=0, p6=k

(1− exp(2i(p− k)π

n))

= exp(−2ikπ/n)n−1∏s=1

(1− exp(2isπ/n))

= exp(−2ikπ/n)[(X − 1)F (X)]−1

pour X = 1 et limX→1(X − 1)F (X) = 1/n .

Exercice 2.6.8 Pour tout n ∈ N soit un le nombre de triplets (a,b,c) de N3 vérifianta+ 2b+ 3c = n.

1. Montrer que pour tout n ∈ N le produit des trois fonctions x 7→ 11−x

, x 7→ 11−x2 et

x 7→ 11−x3 admet un DLn(0) et exprimer les coefficients de ce DL en fonction de la

suite (un).


2. Décomposer en éléments simples dans C(X) la fraction

F (X) =1

(X − 1)(X2 − 1)(X3 − 1).

On vérifiera que la partie polaire relative au pôle j est λX−j

avec λ = j9.

3. Effectuer un DLn(0) de chacun des termes de cette décomposition (pour obtenir undéveloppement de x 7→ 1

(1−x)2et x 7→ 1

(1−x)3on pourra dériver celui de x 7→ 1

1−x).

4. En déduire l’expression de un pour tout n ∈ N.

Solution.1. Le DL est −

∑ujx

j.2. On a

F (X) =1

(X − 1)3(X + 1)(X2 +X + 1)=

1

(X − 1)3(X + 1)(X − j)(X − j2).

Au pôle j : j/9, au pôle j2 : j2/9, au pôle −1 : −1/8. Ensuite on évalue en calculant(X − 1)3F (X) en 1, XF (X) en +∞, F (0).

F (X) =j2

9(X − j2)+

j

9(X − j)+

1

6(X − 1)3− 1

4(X − 1)2+

17

72(X − 1)

− 1

8(X + 1)

=1

6(X − 1)3− 1

4(X − 1)2+

17

72(X − 1)− 1

8(X + 1)− X + 2

9(X2 +X + 1)

3.4.

uk =1

72

(47 + 6(k2 + 6k) + 9(−1)k + 8(jk + j2k)

).

Exercice 2.6.9 Montrer qu’une fraction rationnelle à coefficients dans C non constanteprend toutes les valeurs complexes sauf peut-être une. Indication : raisonner par l’absurdepour montrer qu’alors P et Q sont des constantes.

Solution. Soit R = P/Q écrite sous forme irréductible, et supposons qu’il y ait deuxvaleurs λ et λ′ qui ne soient pas prises par cette fraction rationnelle. Si z n’est pas un pôlede R, R(z) 6= λ, i.e. P (z)−λQ(z) 6= 0. Si z est un pôle de R, Q(z) = 0, et P (z) 6= 0 car Rest irréductible. Et donc on a aussi P (z)−λQ(z) 6= 0. Ainsi les polynômes P (z)−λQ(z) etP −λ′Q(z)qui ne s’annulent pas sur C sont des constantes a et b. En faisant la différence,on obtient (λ′ − λ)Q = a − b, et Q est une constante. Puis P = a + λQ est aussi uneconstante, ce qui montre que R est une constante.


2.7 MatricesExercice 2.7.1 Soit A l’ensemble des matrices de la forme a c b

b a+ c b+ cc b a+ c

avec (a,b,c) ∈ R3. Montrer que A est un sev deM3(R). Préciser la dimension de A. SoitJ la matrice suivante :

J =

0 0 11 0 10 1 0

Calculer J2 et J3. En déduire que A est une sous-algèbre de M3(R). Est-ce une algèbrecommutative?

Solution. J3 = J + Id.

Exercice 2.7.2 Soit

A =

1 1 1 10 2 1 10 0 3 10 0 0 4

Montrer que A est dans GL4(R) et déterminer A−1.

Solution.

A−1 =

1 −1/2 −1/6 −1/120 1/2 −1/6 −1/120 0 1/3 −1/120 0 0 1/4

Exercice 2.7.3 Soit a ∈ R,

A =

a 1 11 a 11 1 a

Soit f ∈ L(R3) canoniquement associée à A. Déterminer en fonction de a, ker(f), im (f)et rg(f).

Solution. Déterminer le noyau. Si a 6= 1 et a 6= −2, alors ker(f) = 0. Si a =−2, ker(f) = x1 = 0;x2 = x3 et im (f) = x1 + x2 + x3 = 0. Si a = 1, ker(f) =x1 + x2 + x3 = 0 et im (f) = x1 = x2 = x3.

Exercice 2.7.4 Soit A ∈Mp(R). On suppose que A2 + A = 2Id.1. Montrer A est inversible. Que vaut A−1?


2. Montrer qu’il existe (αn,βn) ∈ R2 tel que

∀n ∈ N, An = αnId+ βnA.

3. Déterminer le reste de la division euclidienne de Xn par X2 +X − 2 et retrouver lerésultat précédent.

Solution.1. A−1 = (1/2)(A+ Id).2. Par récurrence.3. Xn = Q(X)(X2 +X − 2) +R(X), avec R(X) = aX + b, puis évaluer en 1 et en −2,

ce qui donne R(X) = ((−2)n − 1)X + (2− (−2)n).

Exercice 2.7.5 A tout couple (a,b) ∈ (R \ 1)2, on associe la matrice

M(a,b) =

1 a b0 1− a 00 0 1− b

1. Soit E = M(a,b),(a,b) ∈ (R \ 1)2. Montrer que (E,×) est un groupe commutatif.2. Résoudre dans E l’équation M2 = Id.

Solution.1.

M(a,b)M(a′,b′) =

1 a+ a′ − aa′ b+ b′ − bb′0 (1− a)(1− a′) 00 0 (1− b)(1− b′)

2. Dans E, si M(a,b)2 = Id, alors 2a− a2 = 2b− b2 = 0.

Exercice 2.7.6 Déterminer M ∈Mn(K), ∀N ∈Mn(K), MN = NM.

Solution. Multiplier par les matrices Eij, pour tout (i,j) ∈ 1, . . . ,n2.

AEij =

a1i

0... 0ani

seule la j-ème colonne n’est pas nulle;

EijA =

0aj1 . . . ajn

0

seule la i-ème ligne n’est pas nulle.


Exercice 2.7.7 Montrer que les matrices suivantes sont inversibles et calculer leur in-verse : 0 1 2

1 1 20 2 3

,

0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0

Solution. Inverses : −1 1 0

−3 0 22 0 −1

,1

3

−2 1 1 11 −2 1 11 1 −2 11 1 1 −2

Exercice 2.7.8 Pour tout n ∈ Z, calculer Mn avec

M =

0 0 11 0 00 1 0

, M =

(1 10 2

)Solution.

M2 =

0 1 00 0 11 0 0

, M3 = Id,

Mn =

(1∑n−1

k=0 2k = 2n − 10 2n

)

Exercice 2.7.9 Soit n ∈ N \ 0,1, (a,b) ∈ K2,

A =

a b b b . . .b a b b . . .b b a b . . ....

... . . . . . . . . .

∈Mn(K).

Etudier l’inversibilité de A et calculer A−1 quand cet inverse existe.

Solution. • Première méthode :AX = Y implique pour tout i 6= j, (a− b)(xi−xj) = yi−yj et (a+(n−1)b)

∑xi =

∑yi.

De là si a 6= b, alors pour tout j,

xj = xi +yj − yi

a− b.

Ainsi pour tout i

(a+ (n− 1)b)

(nxi +

∑j 6=i

yj − yi

a− b

)=∑

j

yj.


Donc

n(a+ (n− 1)b)xi =

(1 +

(n− 1)(a+ (n− 1)b)

a− b

)yi +

∑j 6=i

(1− a+ (n− 1)b

a− b

)yj.

i.e.n(a+ (n− 1)b)xi = n

a+ (n− 2)b

a− byi −

nb

a− b∑j 6=i

yj.

Donc si a+ (n− 1)b 6= 0, alors on a inversé la matrice.Si a = b, A n’est pas inversible et est de rang 1, d’image xi = xj.Si a = −(n− 1)b, A n’est pas inversible et est de rang n− 1.• Deuxième méthode :

Si U désigne la matrice dont tous les coeff. sont égaux à 1, A = (a− b)Id+ bU . Alors

A2 = (2(a− b) + nb)A− ((a− b)2 + nb(a− b))Id.

Exercice 2.7.10 Soit E un R-e.v. de dimension 3 et f ∈ L(E) \ 0 telle que f 2 = 0.Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est 0 0 0

1 0 00 0 0

Solution. f 2 = 0 implique im f ⊂ ker f . Plus le thm du rang : on a rgf =1 et

dim ker f = 2. Soit y 6= 0 t.q. y ∈ im f . Soit u t.q. y = f(u). f(u) est dans ker f ,qu’on complète par e1 pour que (e1,f(u)) soit une base. Alors (u,f(u),e1) est une base quiconvient.

Exercice 2.7.11 Soient n ∈ N∗, (X1, . . . ,Xn) une famille libre dans Mn,1(K). Pour(i,j) ∈ 1, . . . ,n2, on note Aij = Xi

tXj. Etablir que (Aij)(i,j)∈1,...,n2 est libre.

Solution.∑ij

λijAij = 0 =⇒ ∀k,0 =∑ij

λijXiXtjXk =

∑ij

λij(XtjXk)Xi (2.1)

=⇒ ∀k,∀i,∑

j

λij(XtjXk) = 0. (2.2)

car les Xi forment une base. Donc pour tout i,∑j

λijXtj = 0 =⇒ ∀i,jλij = 0.


Exercice 2.7.12 A tout P ∈ Rn[X], on associe le polynôme φ(P ) = X[P (X)−P (X−1)].Montrer que l’on définit ainsi un endomorphisme φ de Rn[X]. Ecrire la matrice de φ dansla base canonique de Rn[X]. Déterminer kerφ et im φ.

Solution. Soit A = (aij)0≤i,j≤n la matrice de φ. Alors ai0 = 0, aij = Cij(−1)j−i si

1 ≤ i ≤ j ≤ n et aij = 0 si i = 0 ou si i > j. Donc

A =

(0 00 T

)avec T matrice triangulaire supérieure inversible. Si P =

∑λkX

k ∈ kerφ, T (λ1, . . . ,λn) =0. Donc kerφ = R0[X]. On a φ(Xk) ∈ Vect(X, . . . ,Xk) pour k ≥ 1. Donc im φ ⊂Vect(X, . . . ,Xn). Plus dimension via thm du rang.

Exercice 2.7.13 Soit E un K-ev tel que dimE = n avec n ∈ N∗. Soit f ∈ L(E). Montrerque les propositions suivantes sont équivalentes :

1. im f = ker f .2. n est pair et il existe une base B de E dans laquelle la matrice de f est de la forme

Mat(f,B) =

((0) A(0) (0)

)avec A ∈ GLn/2(K).

Solution. La réciproque est immédiate. Pour le sens direct, en utilisant le thm durang, n est pair. Soit (f1, . . . ,fn/2) une base de im f . C’est aussi une base de ker f . Soit(e1, . . . ,en/2) t.q. fj = f(ej). On prend pour base (e1, . . . ,en/2,f1, . . . ,fn/2).

Exercice 2.7.14 Pour A = [aij] ∈Mn(K) on définit la trace de A notée tr(A) par

tr(A) =n∑

i=1

aii.

1. Montrer que tr est une forme linéaire sur Mn(K).2. Montrer que : ∀A,B ∈Mn(K), tr(AB) = tr(BA).3. En déduire que si f ∈ L(E) où dimE=n, alors pour toutes bases B et B′ de E on a :

tr(Mat(f,B)) = tr(Mat(f,B′)). Donc tr(Mat(f,B)) ne dépend que de f . On notetr(f).

4. Si p est un projecteur, exprimer tr(p) en fonction de rg(p).

Solution.1. tr est une application linéaire deMn(K).2. A calculer.3. Matrices de chgt de bases. Mat(f,B) = PMat(f,B′)P−1.4. tr(p) = rg(p).


Exercice 2.7.15 Soient

A =

0 1 0 0−1 0 0 00 0 0 −10 0 1 0

,B =

0 0 1 00 0 0 1−1 0 0 00 −1 0 0

,C =

0 0 0 10 0 −1 00 1 0 0−1 0 0 0

.

1. Vérifier : A2 = B2 = C2 = I, BC = −CB = A, CA = −AC = B et AB = −BA =C où I est la matrice identité.

2. Montrer que H = xI + aA+ bB + cC; (x,a,b,c) ∈ R4 est un corps non commuta-tif.

Exercice 2.7.16 Calculer le rang des matrices suivantes : 1 1 1b+ c c+ a a+ bbc ca ab

,(a,b,c) ∈ K3

a2 ab ab b2

ab a2 b2 abab b2 a2 abb2 ab ab a2

,(a,b) ∈ K2

1 a 1 ba 1 b 11 b 1 ab 1 a 1

,(a,b) ∈ R2

1 1 1 1a b a bc c d dac bc ad bd

,(a,b,c,d) ∈ K2

Solution.1. Le rang vaut 3 si a,b,c sont 2 à 2 distincts, 2 si 2 éléments a,b,c sont égaux et le

troisième différent et enfin 1 si a = b = c.2. Le rang vaut 4 si a 6= b et a 6= −b, 1 si a = b 6= 0 ou a = −b 6= 0 et 0 si a = b = 0.3. Le rang vaut

4 si a 6= b et a+ b+ 2 6= 0 et a+ b− 2 6= 0;3 si (a+ b− 2 = 0 et (a,b) 6= (1,1)) ou (a+ b+ 2 = 0 et (a,b) 6= (−1,− 1));2 si a = b 6= 1 et a 6= −1;1 si a = b = 1 ou a = b = −1.

4. Le rang vaut4 si a 6= b et c 6= d;2 si (a = b et c 6= d) ou (a 6= b et c = d);1 si a = b et c = d.


Exercice 2.7.17 Soit A = (aij)0≤i,j≤n, avec aij = Cij. Calculer les puissances de A. On

pourra trouver un endomorphisme dont A sera la matrice.

Solution. Dans Rn[X], prendre X 7→ X + 1. A est la matrice de passage de la base(1,X, . . . ,Xn) dans la base (1,X+1, . . . ,(X+1)n). En itérant Ak est la matrice de passagede (1,X, . . . ,Xn) dans (1,X + k, . . . ,(X + k)n).

Exercice 2.7.18 Soit M ∈ Mn(K) inversible. Montrer qu’il existe un polynôme P ∈K[X] tel que M−1 = P (M).

Solution.Mn(K) est un espace vect. de dim. finie n2. Donc (Id,M, . . . ,Mn2) est liée,

et il existe λi tq∑λiM

i = 0. Soit j minimal tq λj 6= 0. En multipliant par M−j−1/λj,on a

M−1 +

n2−j−1∑i=0

µiMi = 0.

Exercice 2.7.19 Soit A ∈Mn(R) à diagonale dominante, i.e. telle que

∀i, |aii| >∑j 6=i

|aij|.

Montrer que A est inversible.

Solution. Si AX = 0, pour tout in∑

j=1

aijxj = 0 et aiixi = −n∑

j=1,j 6=i

aijxj

Soit i0 tq |xi0| = max |xi|. Donc

|ai0i0||xi0| ≤n∑

j=1,j 6=i0

|aij||xj| ≤n∑

j=1,j 6=i0

|aij||xi0|

Commen∑

j=1,j 6=i0

|aij| < |ai0i0|

alors |xi0| = 0. Donc le noyau est nul, d’où l’inversibilité.

Exercice 2.7.20 Soit A ∈ Mn(K) une matrice triangulaire dont tous les éléments dia-gonaux sont nuls. Montrer que An = 0.

Solution. D’abord A est supposé triang. sup. Soit e1, . . . ,en une base de E, et pour1 ≤ j ≤ n, Ej = Vect(e1, . . . ,ej). On montre par récurrence sur k = 1, . . . ,n que

si 1 ≤ j ≤ k, fk(Ej) = 0si k + 1 ≤ j ≤ n, fk(Ej) ⊂ Ej−k

Exercice 2.7.21 Dans un R-espace vectoriel de dimension finie, montrer que tout endo-morphisme est somme de deux automorphismes.


2.8 Déterminants

Exercice 2.8.1 Soient n ∈ N∗, (a,b) ∈ K2, (λ1, . . . ,λn) ∈ Kn, Dn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

λ1

a. . .

bλn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

1. Soit P (X) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

λ1 +Xa+X

. . .b+X

λn +X

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣; montrer que P est un polynôme de degré

inférieur ou égal à 1. Evaluer P (−a) et P (−b).2. En déduire la valeur de Dn.

Solution.1. pour tout j = 1, . . . ,n, la jème colonne du dét. déf. P (X) est la somme de la colonne

(a, . . . ,λj, . . . ,b) et de la colonne (X, . . . ,X). En développant, P (X) est de degré auplus 1. Donc P (X) = λX + µ et Dn = µ.

P (−a) =n∏

k=1

(λk − a), P (−b) =n∏

k=1

(λk − b).

2. distinguer deux cas : si a 6= b

Dn =1

b− a

(b

n∏k=1

(λk − a)− an∏

k=1

(λk − b)

)

si a = b, si αi = λi − a,

Dn = det(α1e1 + U, . . . ,αnen + U)

= det(α1e1, . . . ,αnen) +n∑

k=1

det(α1e1, . . . ,U, . . . ,αnen)

= α1 . . . αn +n∑

k=1

α1 . . . a . . . αn

Exercice 2.8.2 Soient n ∈ N∗, Cn[X] le C-ev des polynômes de C[X] de degré ≤ n,P ∈ Cn[X] tel que deg(P ) = n.

1. Soient a0, . . . ,an ∈ C deux à deux distincts. Montrer que (P (X + ai))0≤i≤n est unebase de Cn[X].

2. En déduire la valeur de det((P (z + i+ j))0≤i,j≤n+1

), pour z ∈ C.


Solution.1. Comme P est de degré n, P,P ′, . . . ,P (n) sont de degré successif de n à 0. DoncB = (P,P ′, . . . ,P (n)) est une base de Cn[X]. Formule de Taylor :

P (X + ai) =n∑

k=0

aki

k!P (k)(X).

Reste à calculer :

detB

(P (X + ai)0≤i≤n) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 . . . 1a0

1!. . . an

1!......

an0

n!. . . an

n

n!

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =

(n∏

k=0

1

k!

)( ∏n≥i>j≥1

(ai − aj)

)6= 0.

2. Comme P (X + n+ 1) est dans Cn[X],

P (X + n+ 1) =n∑

k=0

λkP (X + k)

Remplacer X par z + j, et conclure que ce déterminant est nul.

Exercice 2.8.3 Calculer les déterminants d’ordre n suivants :

1.

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a 0 n− 1. . . n− 2

0. . . ...

. . . 1n− 1 n− 2 . . . 1 a

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣,a ∈ K,n ≥ 2.

2.

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 + a2 aa 1 + a2 0

0 0. . .

. . . aa 1 + a2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣,a ∈ K.

Solution.1. Développer par rapport à la première colonne :

Dn(a) = aDn−1(a) + (−1)n+1(n− 1)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 0 n− 1

a. . . n− 2. . . . . . ...

0. . . 0

...a 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= aDn−1(a) + (−1)n+1(n− 1)(−1)n(n− 1)an−2


Supposons a 6= 0 et posons

un =Dn(a)

an.

un = un−1 −(n− 1)2

a2

puis sommer

un = u1 −n−1∑k=1

k2

a2= 1− (n− 1)n(2n− 1)

6a2

Vérifier que la formule trouvée est encore valable pour a = 0.2. Pour n ≥ 3 on développe par rapport à la première ligne :

Dn = (1 + a2)Dn−1 − a

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a a 0 00 1 + a2 a 0

a. . . . . . ...

0. . . . . . a

a 1 + a2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (1 + a2)Dn−1 − a2Dn−2

Vérifier qu’elle est vraie au rang 2. Puis :

Dn −Dn−1 = a2(Dn−1 −Dn−2) et Dn =n∑

k=0

a2k

Exercice 2.8.4 Montrer qu’une matrice carrée antisymétrique de taille impaire n’est pasinversible.

Solution. Utiliser que tA = −A et ainsi :

det(tA) = det(A) = det(−A) = (−1)n det(A).

Si n est impair, det(A) = 0.

Exercice 2.8.5 On se place dans Mn(K). Montrer que si pour tout X, det(C + X) =det(X), alors C = 0. En déduire que si pour tout X, det(A + X) = det(B + X), alorsA = B.

Solution. Soit r le rang de C,

Jr =

(Ir 00 0

)∈Mn(K),

et (P,Q) ∈ (GLn(K))2 tel que A = PJrQ. On a

det(C +P (In− Jr)Q) = det(P ) det(Q) et det(P (In− Jr)Q) = det(P ) det(In− Jr) det(Q)

donc det(In − Jr) = 1, i.e. r = 0, i.e. C = 0. Appliquer ce qui précède à C = A−B.


Exercice 2.8.6 Montrer que deux matrices réelles A et B, semblables dans Mn(C) (i.e.il existe M ∈ GLn(C) tel que AM = MB) le sont dans Mn(R).

Solution. On décompose M = P + iQ où P et Q sont deux matrices réelles. AinsiAP + iAQ = PB + iQB donc en identifiant AP = PB et AQ = QB. Ainsi pour tout λréel, A(P +λQ) = (P +λQ)B. Il suffit de montrer qu’il existe λ tq P +λQ soit inversible.Si c’est faux, pour tout λ réel det(P + λQ) = 0, et det(P + XQ) est un polynôme avecune infinité de racines, donc est nul. Donc det(P + iQ) = 0!

Exercice 2.8.7 (Déterminant de Cauchy) Soient ai,bj des nombres complexes telsque ai + bj 6= 0. Calculer ∣∣∣∣∣∣∣

1a1+b1

. . . 1a1+bn...

...1

an+b1. . . 1

an+bn

∣∣∣∣∣∣∣ .On pourra pour cela commencer par décomposer en éléments simples la fraction rationnelle

P (X) =(b1 −X) . . . (bn−1 −X)

(X + a1) . . . (X + an)

et utiliser cette décomposition pour simplifier la dernière ligne.

Solution. Commençons par décomposer P en éléments simples :

P (X) =n∑

i=1

αi

X + ai

avec

αn =

∏n−1k=1(bk + an)∏k<n(ak − an)

.

On calcule αnDn; on rentre αn dans la dernière ligne, et on ajoute à cette ligne αi fois laième ligne. Ainsi

αnDn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1

a1+b1. . . 1

a1+bn......

1an−1+b1

. . . 1an−1+bn

P (b1) . . . P (bn)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = P (bn)Dn−1

car P (b1) = . . . = P (bn−1) = 0. Par récurrence

Dn =

∏j<i(aj − ai)(bj − bi)∏

i,j(ai + bj)


Exercice 2.8.8 Soit A ∈ Mn(R) telle que det(A) = 0. Montrer qu’il existe α > 0 telque :

∀ x ∈ R, 0 < |x| < α⇒ det(A+ xI) 6= 0.

Soient A,B,C,D ∈Mn(R). On suppose que AC = CA. Soit

M =

(A CB D

).

Montrer que det(M) = det(DA−BC) :1. dans le cas où A est inversible;2. dans le cas général.

Solution. Soit χA : R→ R qui à x associe det(A+ xI). χA est un polynôme en x dedegré n. χA(0) = det(A) = 0, donc 0 racine de χA. Soit Z l’ens. des racines réelles de Pautre que 0. Z est fini de cardinal plus petit que n− 1. Si Z = ∅, α = 1 convient. Sinonprendre α = min |r|,r ∈ Z.

1. Notons N la matrice suivante :

N =

(In −C0 A

).

On aMN =

(A 0B DA−BC

).

car AC = CA. Or detN = detA det In et detM detN = detA det(DA−BC).2. Il existe α > 0 tel que pour tout 0 < |x| < α, A+ xIn soit inversible. En notant

M(X) =

(A+ xIn C

B D

),

on a detM(x) = det(DA−BC − xD). Egalité entre deux polynômes.

Exercice 2.8.9 Soient n ∈ N \ 0,1, A ∈Mn(K). Etablir :1. rgA = n⇒ rg(com(A)) = n.2. rgA = n− 1⇒ rg(com(A)) = 1.3. rgA ≤ n− 2⇒ rg(com(A)) = 0.

Solution.1. le rang vaut n, donc A est inversible et(

1

detAtA

)com(A) = In

donc le rang vaut n.


2. Comme Atcom(A) = det(A)In, im tcom(A) ⊂ kerA. Donc le rang est plus petit quela dimension du noyau de A qui vaut 1 (thm du rang). Comme au moins un descofacteurs de A est non nul car A de rang n− 1, la comatrice de A est non nulle.

3. Tous les cafacteurs sont nuls.

Exercice 2.8.10 Calculer les déterminants d’ordre n suivants :1. det ((|i− j|)1≤i,j≤n);2. det ((δi,jai + bj)1≤i,j≤n), avec a1, . . . ,an,b1, . . . ,bn ∈ K;3. det (((ai + bj)

n−1)1≤i,j≤n), avec a1, . . . ,an,b1, . . . ,bn ∈ K.

Solution. méthodes :1. Cj ← Cj − Cj−1, 2 ≤ j ≤ n, puis Cj ← Cj − Cj−1, 3 ≤ j ≤ n. Résultat :

D = (−1)n+12n−2(n− 1).

2. Multilinéarité du déterminant. U est le veteur colonne ne comportant que des 1. Cedéterminant vaut :

det(a1e1 + b1U ; . . . ; anen + bnU) = a1 . . . an +n∑

k=1

det(a1e1; . . . ; bkU ; . . . ; anen)

= (n∏

k=1

ak) +n∑

k=1

bk∏j 6=k

aj

3. développer (ai + bj)n−1 et vérifier que M = AB avec A =

(Ck−1

n−1ak−1i

)1≤i,k≤n

etB =

(bn−kj

)1≤k,j≤n

, et A et B sont de Vandermonde.

2.9 Systèmes linéairesExercice 2.9.1 Résoudre les systèmes d’équations suivants :

1. x−my +m2z = 2mmx−m2y +mz = 2mmx+ y −m2z = 1−m

, inconnue (x,y,z) ∈ C3, paramètre m ∈ C

2. x+ ay + bz = ax+ by + az = bax+ y + bz = abx+ y + az = b

, inconnue (x,y,z) ∈ C3, paramètre (a,b) ∈ C2


3.

x2 = ax1 + bx3 = ax2 + b

...xn = axn−1 + bx1 = axn + b

, inconnue (x1, . . . ,xn) ∈ Cn, paramètre (a,b) ∈ C2

Solution.1. deuxième ligne - m fois première ligne donne : (m−m3)z = 2m−2m2. Si m−m3 6= 0

et 1+m2 6= 0, on peut résoudre. Si 1+m2 = 0, pas de solution. si m = −1, les deuxpremières lignes sont incompatibles. Si m = 0, x = 0 et y = 1. Si m = 1, x = 1 etz = y + 1.

2. Les comb. (2)-(1) et (4)-(3) donnent : (b−a)(y− z) = b−a et (b−a)(x− z) = b−a.Si a 6= b, x = y = z+1 et (a+ b+1)z+1 = 0. Si a+ b+1 = 0 pas de solution, sinonon peut résoudre. Si a = b, le système est équiv. à x+ay+az = a et ax+y+az = a.Si a2 6= 1, on résout : x = y = a

a+1(1− z). Si a = 1, x+ y+ z = 1 et si a = −1, x = y

et z = 1.3. Le système est équiv. à

x2 = ax1 + bx3 = a(ax1 + b) + b = a2x1 + (a+ 1)b

...xn = an−1x1 + (an−2 + . . .+ 1)bx1 = anx1 + (an−1 + . . .+ 1)b

Si an 6= 1, on obtient x1 = b/(1− a) et on reporte.Si an = 1, et a 6= 1, an−1 + . . .+ 1 = 0. Donc le système est équiv. à

x2 = ax1 + bx3 = a(ax1 + b) + b = a2x1 + (a+ 1)b

...xn = an−1x1 + (an−2 + . . .+ 1)b

Si a = 1 et b 6= 0, comme x1 = x1 + nb, le système n’a pas de sol.Si a = 1 et b = 0, le système est équiv. à x1 = . . . = xn.

2.10 Produit scalaireExercice 2.10.1 Soit f : [1, +∞[→ R continue. Montrer que si f 2 est intégrable sur[1,+∞[, alors t 7→ f(t)

test intégrable sur [1,+∞[.

Solution. Cauchy-Schwarz.


Exercice 2.10.2 Soit E un espace euclidien, et f un endomorphisme tel que (f(x)|x) = 0pour tout x ∈ E. Montrer que ker f = (im f)⊥.

Solution. Montrer que ∀x,y ∈ E, (u(x),y) = −(u(y),x). Pour cela calculer (u(x +y),x+ y). Ensuite soit x ∈ keru et y ∈ im u. Soit z ∈ E t.q. y = u(z). (x,y) = (x,u(z)) =−(u(x),z) = −(0,z) = 0. Donc keru ⊂ (im u)⊥. Plus thm du rang : dim keru = n −dimim u = dim(im u)⊥.

Exercice 2.10.3 Dans un espace euclidien, soient f et g deux fonctions vérifiant

(f(x)|y) = (x|g(y)).

Montrer que f et g sont linéaires.

Solution. Montrer :

∀x ∈ E, (x|f(λy + z)− λf(y)− f(z)) = (g(x)|λy + z)− λ(g(x)|y)− (g(x)|y) = 0.

Exercice 2.10.4 Soit E un espace euclidien, et p un projecteur. Montrer :

ker p ⊂ (im p)⊥ ⇐⇒ ∀ x ∈ E, ‖p(x)‖ ≤ ‖x‖ .

Solution. Supposons ker p ⊂ (im p)⊥. Comme x − p(x) ∈ ker p et p(x) ∈ im p,(x− p(x)|p(x)) = 0 et donc via Pythagore,

‖x‖2 = ‖x− p(x)‖2 + ‖p(x)‖2.

Réciproquement, soit x ∈ ker p, y ∈ im p. p(x) = 0 et p(y) = y. Pour tout λ ∈ R :

‖p(λx+ y)‖ ≤ ‖λx+ y‖

soit λ2‖x‖2 + 2λ(x|y) ≥ 0. Discriminant nul implique (x|y) = 0.

Exercice 2.10.5 On note E l’ev R[X] et En l’ev Rn[X].1. Montrer que (P |Q) =

∫ 1

−1P (t)Q(t)dt définit un produit scalaire sur E.

2. Pour n ∈ N, soit Fn(X) = (X2 − 1)n (avec F0(X) = 1) et soit Pn = F(n)n . Montrer

que :∀ n 6= m, (Pn|Pm) = 0.

En déduire que (P0,P1, . . . ,Pn) est une base de En.3. Montrer que : ∀ Q ∈ E, doQ < n ⇒ (Q|Pn) = 0.4. Déterminer le coefficient dominant de Pn.5. Calculer ‖Pn‖2.

Solution.1. vérifier les prop. du prod. scal.


2. On a

(Pn|Pm) =

∫ 1

−1

F (n)n (t)Pm(t)dt

et on montre par récurrence sur k = 0, . . . ,n que

(Pn|Pm) = (−1)k

∫ 1

−1

F (n−k)n (t)P (k)

m (t)dt.

Faire IPP et Fn(X) = (X − 1)n(X + 1)n, donc 1 et -1 sont racines d’ordre n. Ledegré de Pm vaut m, donc si n > m, P (n)

m = 0.3. Si le degré de Q est inf. à n− 1, Q est une comb. lin. de P0, . . . ,Pn−1.4. Le terme de plus haut degré de Fn est X2n. Donc celui de Pn est (2n)!/n!.5. On a

‖Pn‖2 = (−1)n

∫ 1

−1

Fn(t)P (n)n (t)dt

et P (n)n = (2n)!. Donc

‖Pn‖2 = (−1)n(2n)!

∫ 1

−1

(t2 − 1)ndt.

Posons

In,k =

∫ 1

−1

(1− t)n−k(1 + t)n+kdt et In,k =(n− k)

(n+ k + 1)In,k+1.

Finalement :‖Pn‖2 =

2nn!√n+ 1

2

.

Exercice 2.10.6 Pour A = (aij) ∈Mn(R) on définit la trace de A par

Tr(A) =n∑

i=1

aii.

Pour A,B ∈Mn(R), on pose (A,B) = Tr(tAB).1. Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur Mn(R).2. On note Sn et An les sev formés respectivement par les matrices symétriques et

antisymétriques deMn(R). Montrer que Sn et An sont deux supplémentaires ortho-gonaux.

3. On note N la norme euclidienne associée.(a) Montrer que N(AB) ≤ N(A)N(B).(b) Montrer que |Tr(A)| ≤

√nN(A). Cas d’égalité?


Exercice 2.10.7 Soit E un espace euclidien. Pour (u1, . . . ,up) une famille de vecteurs,on note G(u1, . . . ,up) = det((ui,uj)).

1. Si (u1, . . . ,up) est liée, montrer que G(u1, . . . ,up) = 0.2. Si la famille est libre, montrer que G(u1, . . . ,up) > 0 (on pourra écrire la matrice

des (ui,uj) comme produit de deux matrices en considérant une base orthonormée).3. On suppose que (u1, . . . ,up) est libre et engendre un sous-espace vectoriel F . Montrer

que, pour x ∈ E,

d(x,F )2 =G(u1, . . . ,up,x)

G(u1, . . . ,up).

Solution.1. Si (u1, . . . ,up) est liée par exemple up =

∑aiui. Alors la dernière colonne de la

matrice est comb. lin. des précédentes.2. Si la famille est libre, elle engendre un sev F dont on considère une base orthonormée

(e1, . . . ,ep). Ecrivons ui =∑Aikek. La matrice est une matrice de chgt de base donc

est inversible. Mais (ui,uj) = (AtA)ij. Donc G(u1, . . . ,up) = det(AtA) = (detA)2 >0.

3. Soit x ∈ E. x = y + z avec y ∈ F et z ∈ F⊥. Donc d(x,F )2 = (z,z). Dans lamatrice de G(u1, . . . ,up,x), (ui,x) = (ui,y). Il reste donc la matrice de G(u1, . . . ,up,y)avec en bas à droite un terme (z,z). Développer suivant la dernière colonne deG(u1, . . . ,up,x) = G(u1, . . . ,up,y) +G′ où la matrice de G′ contient dans sa dernièrecolonne des 0 et un (z,z) tout en bas. On dév. par rapport à la dernière colonneG′ = (z,z)G(u1, . . . ,up).

Exercice 2.10.8 (Polynômes orthogonaux) Soit µ :]0,1[→ R∗+ continue intégrable.

1. Pour P,Q ∈ R[X], on pose (P,Q) =∫ 1

0PQµ. Montrer que c’est un produit scalaire.

2. Montrer qu’il existe une unique base orthogonale (P0,P1, . . . ,Pn) de Rn[X], telle quePi soit unitaire de degré i.

3. Montrer que Pi a i zéros distincts dans ]0,1[ (sinon on pourrait construire Q avecdeg Q < deg Pi et tel que QPi ≥ 0 sur ]0,1[).

4. Montrer que l’on peut écrire Pi = (X − αi)Pi−1 − βiPi−2, où l’on calculera αi et βi.5. En déduire que les zéros de Pi+1 et Pi sont entrelacés, i.e. si a0 < . . . < ai et

b1 < . . . < bi sont les zéros de Pi+1 et Pi, alors a0 < b1 < a1 < . . . < bi < ai.

Solution.1. Bilin. sym. pos. et définie.2. Procédé d’orthog de Schmidt à partir de la base (1,X, . . . ,Xn).3. Supposons que Pi ait moins de i zéros dans ]0,1[. Notons x1, . . . ,xl les points où elle

change de signe avec l < i. Soit Q =∏

(X−xj). Q est dans V ect(P0, . . . ,Pi−1) donc(Pi,Q) = 0. Impossible car PiQ ≥ 0.

4. P = Pi −XPi−1 est de degré i − 1, donc s’exprime comme comb. lin. des Pj pourj ≤ i− 1. P =

∑j<i(P,Pj)Pj/‖Pj‖2. Mais (P,Pj) = −(Pi−1,XPj). Pour j ≤ i− 3 ce

coeff. est nul. Donc Pi = (X − αi)Pi−1 − βiPi−2, avec αi = (Pi−1,XPi−1)/‖Pi−1‖2 et


βi = (Pi−1,XPi−2)/‖Pi−2‖2. Comme Pi−1 −XPi−2 est de degré ≤ i − 2 il est perp.à Pi−1. Donc βi = ‖Pi−1‖2/‖Pi−2‖2.

5. Par récurrence sur i. Si c’est vrai au rang i, soient a0 < b1 < a1 < . . . < bi < ai

les zéros de Pi+1 et Pi. Comme Pi+2 = −βiPi, avec βi ≥ 0, Pi+2 change de signealternativement entre aj et aj+1. Ceci donne déjà i zéros de Pi+2 entrelacés avecceux de Pi+1. Enfin deux autres à gauche de a0 et à droite de ai en considérant leslimites de Pi+2 en +∞ et −∞.

Exercice 2.10.9 Soient E un espace vectoriel et ‖.‖ une application de E dans R+ telleque

‖x‖ = 0⇒ x = 0 et ‖λx‖ = |λ| ‖x‖ .On suppose que ‖.‖ vérifie l’identité du parallélogramme :

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2).

Montrer qu’il existe un unique produit scalaire euclidien tel que ‖x‖ =√

(x,x).

Solution. Si le prod. scal. existe alors nécessairement (x,y) = 12(‖x+y‖2−‖x‖2−‖y‖2).

Donc unicité.On pose (x,y) = 1

2(‖x+ y‖2−‖x‖2−‖y‖2) et on montre que c’est un prod. scal. C’est

clairement défini positif car (x,x) = ‖x‖2. C’est symétrique. Reste la linéarité. D’abordc’est additif. Utiliser

‖a‖2 + ‖b‖2 = 2(‖a+ b

2‖2 + ‖a− b

2‖2)

et

(x+ x′,y) = (x,y) + (x′,y)

⇐⇒ ‖x+ x′ + y‖2 − ‖x+ x′‖2 − ‖y‖2

= ‖x+ y‖2 − ‖x‖2 − ‖y‖2 + ‖x′ + y‖2 − ‖x′‖2 − ‖y‖2

⇐⇒ (‖x+ x′ + y‖2 + ‖y‖2) + (‖x‖2 + ‖x′‖2)= ‖x+ x′‖2 + (‖x+ y‖2 + ‖x′ + y‖2)

⇐⇒ 2‖x+ x′ + 2y

2‖2 + 2‖x+ x′

2‖2 + 2‖x+ x′

2‖2 + 2‖x− x

′

2‖2

= ‖x+ x′‖2 + 2‖x+ x′ + 2y

2‖2 + 2‖x− x

′

2‖2

On montre ensuite la multiplicativité par rapport à Z, Q puis R. Comme pour n ∈ N,nx = x + . . . + x, (nx,y) = n(x,y). Comme (0,y) = 0, (nx − nx,y) = 0 soit (−nx,y) =−(nx,y). Si r = p/q ∈ Q, q(rx,y) = (qrx,y) = (px,y) = p(x,y). Pour étendre à R, onutilise la continuité. D’abord on prouve Cauchy-Schwarz. Si r ∈ Q, ‖rx + y‖2 ≥ 0. Donc|(x,y)| ≤ ‖x‖‖y‖. Si rn ∈ Q tend vers λ ∈ R,

|λ(x,y)− (λx,y)| ≤ |λ− rn||(x,y)|+ |((rn − λ)x,y)|≤ |λ− rn||(x,y)|+ ‖(rn − λ)x‖‖y‖ = |λ− rn|(|(x,y)|+ ‖x‖‖y‖)


2.11 Espaces vectoriels euclidiensExercice 2.11.1 Dans R4 euclidien on considère le sef F d’équations

x1 + x2 + x3 + x4 = 0x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0

1. Construire une base orthonormale B1 de F .2. On note pF le projecteur orthogonal sur F et sF la symétrie orthogonale par rapport

à F . Pour tout x ∈ R4 exprimer pF (x) et sF (x) en fonction de x et B1.3. Exprimer la distance de x à F pour tout x.

Solution.1. F a pour base a = (1, − 2,1,0) et b = (2, − 3,0,1). Ensuite on normalise a paru = (1/

√6)a. Puis il faut prendre w sous la forme w = b+αu (procédé de Schmidt).

On normalise, et on trouve v = (1/√

30)(2,− 1,− 4,3).2. pF (x) = (x|u)u+ (x|v)v et sF (x) = 2pF (x)− x.3. dF (x) = ‖x− pF (x)‖.

Exercice 2.11.2 Soit p ∈ L(E) un projecteur d’un e.v. euclidien E. Montrer que p estorthogonal ssi :

∀ x,y ∈ E, (x|p(y)) = (p(x)|y).

Solution. Soit F = im p et G = ker p. p est orthogonal ssi F et G sont orthogonaux.Commençons par la réciproque. Soit x ∈ ker p et y ∈ im p. Il existe z tq y = p(z). On

a (x|y) = (x|p(z)) = (p(x)|z) = 0. Donc p est orthogonal.Si p est orthogonal, x = x′ + x′′ et y = y′ + y′′ avec x′,y′ ∈ im p et x′′,y′′ ∈ ker p. Alors

(p(x)|y) = (x′|y′ + y′′) = (x′|y′) + (x′|y′′) = (x′|y′)

et de même pour (x|p(y)).

Exercice 2.11.3 Soit E euclidien, soit a ∈ E unitaire. Pour α ∈ R, on note fα l’appli-cation définie de E dans E par :

∀ x ∈ E, fα(x) = x− α(x|a)a.

1. Montrer que pour tout α réel, fα ∈ L(E).2. Soit τ = fα,α ∈ R \ 1. Quelle est la structure de (τ,)?3. Déterminer les réels α vérifiant fα ∈ SO(E) puis vérifiant fα ∈ O−(E).

Solution.1. immédiat.2. fα fβ = fα+β−αβ : sous-groupe de GL(E) commutatif.3. Si fα ∈ O(E), α = 0 ou α = 2. Si α = 2, f2(x) = x − 2(x|a)a et x 7→ (x|a)a est la

projection sur Ra; donc f2 est une symétrie.


Exercice 2.11.4 Soit E euclidien. Soit f ∈ L(E) telle que :

∀ (x,y) ∈ E2, x ⊥ y ⇒ f(x) ⊥ f(y).

1. Montrer qu’il existe a ∈ R+ tel que :

∀ (x,y) ∈ E2 (f(x)|f(y)) = a(x|y).

2. En déduire que ∀x ∈ E, ‖f(x)‖ =√a ‖x‖.

3. Montrer qu’il existe k ∈ R+ et u ∈ O(E) tels que f = ku.

Solution.1. Soit A la matrice de f dans une base de E. Alors on a

tXY = 0 =⇒ tX tAAY = 0.

Prendre la base canonique de vecteurs de R, (e1, . . . ,en) : pour i 6= j teitAAej =

mij = 0. Donc tAA est diagonale. Puis en utilisant pour i < j, X = ei + ej etY = ei − ej, tX tAAY = mii −mjj = 0. Donc tAA = aId. Et a est n’ecessairementpositif.

2. Immédiat.3. Si a = 0, alors prendre k = 0 et u quelconque. Sinon posons λ =

√a. Pour tout

i = 1, . . . ,n, u(ei) = λ−1f(ei). Alors u est dans O(E) et convient.

Exercice 2.11.5 Soit E euclidien. Soient F et G deux sev de E et soient sF et sG lessymétries orthogonales respectivement par rapport à F et à G. Montrer que les propositionssuivantes sont équivalentes :i) sF (G) ⊂ G.ii) G = (F ∩G)⊕ (F⊥ ∩G).iii) sF sG = sG sF .

Solution.* (iii) =⇒ (i) : en effet sG(G) = G, d’où sF (G) = sG(sF (G), ainsi sF (G) ⊂ G.* (i) =⇒ (ii) : tout x ∈ G s’écrit x = xF + xF⊥ . Comme sF (x) = xF − xF⊥ ∈ G, on

a : xF ∈ G et xF⊥ ∈ G.* (ii) =⇒ (i) : si x ∈ G, x = xF∩G + xF⊥∩G et sF (x) = xF∩G − xF⊥∩G ∈ G.* (ii) =⇒ (iii) : si x ∈ G⊥, montrons que sF (x) ∈ G⊥. En effet soit z ∈ G. Alorsz = zF + zF⊥ et si on pose y = zF − zF⊥ , alors y ∈ G et sF (y) = z. Maintenant(sF (x)|z) = (sF (x)|sF (y)) = (x|y) = 0. Maintenant si x ∈ E, x = xF∩G + xF⊥∩G +xG⊥ = u + v + w. Donc sF (x) = u − v + sF (w) et sG(sF (x)) = u − v − sF (w).sG(x) = u+ v − w et sF (sG(x)) = u− v − sF (w), d’où le résultat


Exercice 2.11.6 Quelles sont les matrices de On(R) à coefficients dans Z? Combien yen a-t-il?

Solution. Dans une colonne la somme des carrés des coefficients doit faire 1. Donctous les coefficients sont nuls sauf un qui vaut ±1. Notons σ la fonction qui à une colonneassocie le numéro de la ligne où elle compte un élément non nul. Comme chaque ligneest également de norme 1, la fonction σ est injective, donc c’est une permutation de Sn.Réciproquement une telle matrice paramétrée par une permutation est bien dans On(R).Il y a donc n!2n matrices.

Exercice 2.11.7 Soient E un espace euclidien et f : E → E une fonction vérifiant∀ x,y ∈ E, (f(x)|f(y)) = (x|y). Montrer que f est dans O(E).

Solution. Il faut montrer que f est linéaire.

(f(λx+ y)|f(z)) = (λx+ y|z) = λ(x|z) + (y|z) = . . . = (λf(x) + f(y)|f(z))

Il suffit pour conclure de montrer que l’image de f est génératrice. L’image d’une baseorthonormée reste orthonormée, ce qui permet de conclure.

Exercice 2.11.8 Pour (a,b,c) ∈ R3, tel que a2 + b2 + c2 = 1, former la matrice, relati-vement à une base orthonormée (i,j,k), de la réflexion par rapport au plan P d’équationax+ by + cz = 0.

Solution. Soit u = xi+yj+zk, et u′ l’image de u par la réflexion. On a alors u+u′ ∈ Pet u′ − u ∈ P⊥. Donc il existe λ ∈ R tel que :

x′ − x = λa y′ − y = λb z′ − z = λc.

Puis 0 = a(x′+x)+ b(y′+y)+ c(z′+ z) = 2ax+2by+2cz+λ, d’où λ = −2(ax+ by+ cz).Ensuite x′ = x+ λa = . . ..

Exercice 2.11.9 Soient u ∈ E3, tel que ‖u‖ = 1, θ ∈ R, f la rotation d’angle θ, d’axedirigé et orienté par u. Montrer :

∀ x ∈ E3, f(x) = (1− cos θ)(u.x)u+ cos θx+ sin θu ∧ x.

Solution. Puisque u est normé, il existe v,w tels que B′ = (u,v,w) une b.o.n.d. Lamatrice de f dans B′ est 1 0 0

0 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ

Donc f(v) = cos θv + sin θw et f(w) = − sin θv + cos θw. Si x = αu+ βv + γw,

f(x) = αu+ cos θ(βv + γw) + sin θ(−γv + βw).

De plus α = x.u, βv+γw = x−αu = x− (x.u)u et u∧x = u∧ (αu+βv+γw) = βw−γv.D’où le résutat.


Exercice 2.11.10 Soit E euclidien orienté de dimension 3. Soit f ∈ L(E) tel que pourtout x ∈ E, (f(x)|x) = 0.

1. Montrer que pour tout x,y ∈ E, (f(x)|y) = −(f(y)|x).2. Soit B une b.o.n. directe de E. Soit A = Mat(A,B). Montrer que A est antisymé-

trique.3. Montrer qu’il existe u ∈ E tel que pour tout x ∈ E, f(x) = u ∧ x.

Solution.1. Calculer (f(x+ y)|x+ y).2. Immédiat.3. Si u de coordonnées (α,β,γ). Alors u∧i = −βk+γj, u∧j = αk−γi, u∧k = βi−αj.

Donc prendre γ = a, β = −b et α = c.

Exercice 2.11.11 Soient u,v ∈ R3 \ (0,0,0). Soit f une application de R3 dans R3

définie par f(x) = (x|u)u+ v ∧ x. Déterminer ker f et im f .

Solution. Si (u|v) = 0, alors ker f = Rv et im f = v⊥. Sinon si f(x) = 0, alors(x|u)u = x ∧ v, donc (x|u) = 0 et x ∈ Rv. Comme v 6∈ u⊥, x = 0. Donc par dimension,im f = R3.

Exercice 2.11.12 Soient B la base canonique de R4 euclidien et le sev F d’équationsx1 + x2 + x3 + x4 = 0x1 − x2 + x3 − x4 = 0

Former la matrice, la matrice relativement à B, du projecteur orthogonal sur F .

Solution. Une base orthogonale de F est u = (1,0,− 1,0) et v = (0,1,0,− 1). Donc leprojecteur est défini par

p(x) =(x|u)‖u‖2

u+(x|v)‖v‖2

v

soit la matrice

1

2

1 0 −1 00 1 0 −1−1 0 1 00 −1 0 1

Exercice 2.11.13 Dans R4 euclidien on considère : V1 = (1,2, − 1,1), V2 = (0,3,1, − 1)et F = Vect(V1,V2). Déterminer une base orthogonale et un système d’équations de F⊥.

Solution. Un système d’équations de F⊥ dans la base canonique de R4 estx1 + 2x2 − x3 + x4 = 03x2 + x3 − x4 = 0

Une base de F⊥ est u = (5, − 1,3,0) et v = (−5,1,0,3). Puis Schmidt pour obtenirw = (−15,3,26,35).


Exercice 2.11.14 Soient a ∈ E3 et f : E23 → E3 définie par :

∀ (x,y) ∈ E23 , fa(x,y) = (a|x)y + (a|y)x.

1. Vérifier que fa est une application bilinéaire symétrique.2. Montrer que pour tout (x,y) ∈ E2

3 libre, on a :

fa(x,y) = 0⇔ a ∈ R(x ∧ y).

Exercice 2.11.15 Soit B = (i,j,k) une b.o.n. directe de E euclidien orienté. Ecrire lamatrice dans B de la rotation f d’axe D : x = −y = z d’angle π/3 lorsque D est orientépar u = i− j + k.

Solution. Soit P le plan orienté par u. Soit a = (1/√

2)(i+ j) dans P et c = (1/√

3)u.Enfin b = c∧ a. B′ = (a,b,c) est une b.o.n. de E. Alors f est une rotation d’angle π/3 surP et l’identité sur D, soit

f =

12−√

32

0√3

212

00 0 1

dans la base B′. Dans B, b s’écrit b = (1/

√6)(i− j − 2k). La matrice de passage P de B

à B′ est

P =

1√2

1√6

1√3

1√2− 1√

6− 1√

3

0 − 2√6

1√3

Dans la matrice B la matrice de f vaut A = PBP−1 et P−1 = tP .

Exercice 2.11.16 Déterminer la nature de l’endomorphisme f de E3, dont la matriceΩ relativement à une base orthonormée directe (i,j,k) de E3 est donnée, et préciser leséléments caractéristiques de f :

Ω =1

9

−8 4 14 7 41 4 −8

Ω =1

4

3 1√

6

1 3 −√

6

−√

6√

6 2

Ω = −1

3

−2 −1 22 −2 11 2 2

Solution.1. Comme det Ω = 1, f est une rotation. De plus Ω2 = tΩΩ = Id. Donc f est une

symétrie. Soit X = (x,y,z) t.q. ΩX = X alors x = z et y = 4z. f est le retournementautour de la droite dirigée par i+ 4j + k.


2. Comme det Ω = 1, f est une rotation. Soit X = (x,y,z) t.q. ΩX = X alors x = y etz = 0. Notons I = (1/

√2)(i + j), l’axe de f est dirigé et orienté par I. L’angle de

f vérifie 1 + 2 cos θ = traceΩ, soit cos θ = 1/2. Le signe de sin θ est celui de

[i,f(i),I] =1

4√

2

∣∣∣∣∣∣1 3 10 1 1

0 −√

6 0

∣∣∣∣∣∣ =

√6

4√

2> 0.

On en déduit θ = π/3.3. Comme det Ω = −1, et comme Ω n’est pas symétrique, f est la composée commu-

tative d’une rotation d’axe−→∆ et d’angle θ, et d’une réflexion par rapport au plan

orthogonal à−→∆ . Le support de

−→∆ sont les anti-invariants de f , soit X = (x,y,z)

t.q. ΩX = −X, d’où x = y et z = 3x. On pose I = (1/√

11)(i + j + 3k). Ensuite−1 + 2 cos θ = traceΩ, i.e. cos θ = 5/6. et

[i,f(i),I] = − 1

3√

11

∣∣∣∣∣∣1 −2 10 2 10 1 3

∣∣∣∣∣∣ = − 5

3√

11< 0.

Ainsi θ = −Arccos(5/6).

Exercice 2.11.17 Soit E euclidien orienté de dimension 3 et a ∈ E. Soit f de E dansE définie par f(x) = x ∧ a. Calculer le noyau, l’image de f et comparer f 3 et f .

Solution. Si a = 0, aucun intérêt. Sinon α = ‖a‖ et i = a/α qu’on complète en (i,j,k)b.o.n.d. Dans cette base la matrice de f est 0 0 0

0 0 α0 −α 0

Le noyau est V ect(i) l’image est V ect(j,k) et f 3 = −α2f .

2.12 Arithmétique de ZExercice 2.12.1 Trouver tous les couples (a,b) ∈ N∗ × N∗ tels que :

1. a ∧ b = 12 et a+ b = 180;2. a ∧ b = 15 et a ∨ b = 450.

Solution.1. On a a = 12α, b = 12β avec α ∧ β = 1. Ainsi α + β = 15. L’ensemble α ∧ β = 1 etα+ β = 15 est (1,14),(2,13),(4,11),(7,8),(8,7),(11,4),(13,2),(14,1).

2. a = 15α, b = 15β, α ∧ β = 1. Alors 450 = a ∨ b = 15(α ∨ β) = 15αβ, d’où αβ = 30.Ainsi (α,β) ∈ (1,30),(2,15),(3,10),(5,6),(6,5),(10,3),(15,2),(30,1).


Exercice 2.12.2 Montrer que pour tout n ∈ N, 11 divise 3n+3 − 44n+2 et 26n+3 + 32n+1.

Solution.– 3n+3 − 44n+2 = 3n33 − (44)n × 16 ≡ 3n33 − (3)n × 16 ≡ 3n11 ≡ 0[11].– Soit par récurrence : un = 26n+3 +32n+1 et un+1 = 26un− 55× 32n+1, soit en passant

modulo 11 :

26n+3 + 32n+1 = (26)n23 + (32)n3 = (−2)n23 + (−2)n3 = (−2)n11 = 0.

Exercice 2.12.3 Résoudre dans Z3 :2x+ 5y − 11z = 1x− 12y + 7z = 2

Solution. Multiplier la seconde par -2 et ajouter la première : 29y − 25z = −3. Enpassant modulo 29, 4z ≡ −3[29], multiplier par 7, z ≡ −8[29]. Finalement les solutionssont (−26 + 97Z,− 7 + 25Z,− 8 + 29Z), Z ∈ Z.

Exercice 2.12.4 1. Soit a ∈ Z. Montrer que le reste de la division euclidienne de a2

par 8 est égal à 0,1 ou 4.2. Soit n ∈ N. Montrer que si 8 divise n − 7, alors n ne peut pas être la somme de

trois carrés d’entiers.

Solution.1. Si a est pair, 4|a2 donc le reste de la division de a2 par 8 est 0 ou 4. Si a est impair,a = 2b+ 1, a2 = 4b(b+ 1) + 1 et 4b(b+ 1) est divisible par 8.

2. Si n = a2 + b2 + c2, alors modulo 8, le reste r est la somme de trois entiers parmi0,1,4. Donc r ∈ 0,1,2,3,4,5,6.

Exercice 2.12.5 Soit (a,b,c,d) ∈ (Z∗)4 tel que a ∧ b = c ∧ d = 1. Montrer : (ac) ∧ (bd) =(a ∧ d)(b ∧ c).

Solution. Notons m = a ∧ d et n = b ∧ c. Il existe (A,B,C,D) tel que

a = mA, d = mD, A ∧B = 1, b = nB, c = nC, B ∧ C = 1.

On a alors : (ac) ∧ (bd) = (mnAC) ∧ (mnBD) = mn((AC) ∧ (BD)). Comme a ∧ b = 1,A ∧ B = 1; de même C ∧D = 1. De A ∧ B = A ∧D = 1 on a A ∧ (BD) = 1; de mêmeC ∧ (BD) = 1; d’où (AC) ∧ (BD) = 1. Conclure.

Exercice 2.12.6 (Nombres de Fermat) Pour n ∈ N, on note Fn = 22n+ 1. Montrer

que les Fn (n ∈ N), sont premiers entre eux deux à deux.

Solution. Soient n,m tel que m < n et d un diviseur commun à Fm et Fn. Notonsk = n −m. On a Fn = (22m

)2k+ 1 = (Fm − 1)2k

+ 1. En développant par la formule dubinome de Newton, il en résulte Fm|Fn − 2. Donc d|2. Comme Fn et Fm sont impairs,d = 1.


Exercice 2.12.7 Montrer que pour tout n ∈ N, 3804|(n3 − n)(58n+4 + 34n+2).

Solution. On a 3804 = 6× 634. D’une part 6 divise (n− 1)n(n+ 1) car par exemple(n−1)n(n+1)

6= C3

n+1. D’autre part

58n+4 + 34n+2 = (54)2n+1 + (32)2n+1 = (54 + 32)2n∑i=0

(−1)i(54)i(32)2n−i

Donc 634 = 54 + 32|58n+4 + 34n+2.

Exercice 2.12.8 (Théorème de Wilson) Soit p ∈ N\0,1. Démontrer que p est pre-mier si et seulement si :

(p− 1)! ≡ −1 [p].

Solution.– Suppsons p premier. Si p = 2, ok. Si p ≥ 3, l’équation x2 = 1 admet exactement deux

solutions dans Z/pZ. Donc si x 6= −1,0,1 alors x−1 6= x. Dans le produit∏p−2

k=2 k onpeut donc grouper les facteurs deux à deux, de produit égal à 1, ainsi ce produitvaut 1. Donc (p− 1)! ≡ p− 1 ≡ −1[p].

– Réciproquement si p est non premier, alors il existe 2 ≤ d ≤ p−1 divisant p. Commed|(p− 1)!, on ne peut avoir (p− 1)! = −1[p], sinon d|1.

Exercice 2.12.9 Soit p un nombre premier (p ≥ 2).1. Montrer : ∀ k ∈ 1, . . . ,p− 1 , p|Ck

p .2. En déduire le petit théorème de Fermat : ∀ n ∈ Z, np ≡ n [p]. En particulier, pour

tout entier n, p - n⇒ np−1 ≡ 1 [p].

Solution.1. Pour k = 1, . . . ,p − 1, on a k!(p − k)!Ck

p = p!, et p divise k!(p − k)!Ckp . Comme

1 ≤ k ≤ p−1 et que p est premier, on a p∧ (k!) = p∧ ((p−k)!) = 1. D’après Gauss,p divise Ck

p .2. Pour p = 2, comme n2 et n ont même parité, n2 ≡ n[2]. Pour p ≥ 3 on montre le

résultat par récurrence sur n ∈ N :

(n+ 1)p ≡ np +

p−1∑k=1

Ckpn

k + 1 ≡ n+ 1[p].

Si n ≤ −1, comme p est impair, np = −(−n)p ≡ −(−n) = n[p].

Exercice 2.12.10 En utilisant le petit théorème de Fermat, quel est le reste de A par 43,avec A = ab, a = 1020010 et b = 1120111 ?


Solution. D’abord 43 est premier et ne divise pas a, donc a42 ≡ 1[43]. Il faut trouver laclasse de b modulo 42. On remarque que 116 ≡ 1[42]. On cherche la classe de 20111 modulo6. On a 20111 ≡ 311[6] et on remarque que pour tout n, 3n ≡ 3[6], d’où 20111 ≡ 3[6]. Donc20111 = 6λ + 3 ainsi b = 116λ+3 ≡ 113 ≡ 29[42]. Finalement comme b = 42µ + 29,ab ≡ a29[43].La classe 20010 modulo 42 : 20010 ≡ (−10)10 ≡ 1005 ≡ 4[42]. Donc a ≡ 104 ≡ −19[43].Puis a29 ≡ (−19)29 = −(194)7 × 19 ≡ 127 × 19 ≡ 15[43].Finalement ab ≡ 15[43].

Exercice 2.12.11 Montrer que pour tout n ∈ Z, 169 - n2 + 20n+ 74.

Solution. D’abord n2+20n+74 ≡ n2−6n+9 ≡ (n−3)2[13]. Si 169|n2+20n+74 alors13|n−3, i.e. il existe k ∈ Z tel que n = 3+13k. Ainsi n2+20n+74 = 132k2+26×13k+143 6≡0[169].

Exercice 2.12.12 Montrer que pour tout (a,b) ∈ Z2, 7|a2 + b2 ⇒ 7|a ou 7|b.

Solution. Dans Z/7Z si x 6= 0, alors x2 ∈ 1,2,4, donc x2 + y2 ∈ 1,2,3,4,5,6.

Exercice 2.12.13 Montrer que dans la suite un = 2n − 3, il y a une infinité de termesdivisibles par 5, une infinité de termes divisibles par 13, mais aucun terme divisible par65.

Solution. Passer modulo 5 pour obtenir : un ≡ 0[5] ⇐⇒ n ≡ 3[4] et passer modulo13 pour obtenir : un ≡ 0[13] ⇐⇒ n ≡ 4[12]. On ne peut avoir simultanément n ≡ 3[4] etn ≡ 4[12].

Exercice 2.12.14 On définit la fonction de Moebius µ : N∗ → C par µ(1) = 1, µ(n) = 0si n est divisible par un carré, et sinon µ(n) = (−1)r où r est le nombre de facteurspremiers de n. Montrer que pour tout n > 1,

∑d|n µ(d) = 0. En déduire que si f et g sont

des fonctions liées par la relation g(n) =∑

d|n f(d), alors f(n) =∑

d|n µ(d)g(n/d).

Solution. On montre le résultat par récurrence sur n.– si n est premier :

∑d|n µ(d) = µ(1) + µ(n) = 1 + (−1) = 0.

– sinon si n n’est pas divisible par un carré, n = p1 . . . pr et n′ = p2 . . . pr. Alors∑d|n

µ(d) =∑

p1|d|n

µ(d)+∑

p1-d|n

µ(d) =∑d|n′

µ(p1d)+∑d|n′

µ(d) =∑d|n′−µ(d)+

∑d|n′

µ(d) = 0.

– sinon n = pα11 . . . pαr

r admet un facteur carré. Posons n′ = p1 . . . pr. Dans la sommeles seuls d tels que µ(d) 6= 0 seront ceux qui divisent n′, d’où le résultat.

Soit g(n) =∑

d|n f(d).∑d|n

µ(d)g(n/d) =∑d|n

µ(d)∑

d′|n/d

f(d′) =∑dd′|n

µ(d)f(d′) =∑d′|n

f(d′)∑

d|n/d′

µ(d) = f(n)

car pour d′ 6= n,∑

d|n/d′ µ(d) = 0.


Exercice 2.12.15 n est un entier supérieur ou égal à 1.1. Montrer que si 2n − 1 est premier, alors n est premier.2. Montrer que si 2n + 1 est premier, alors n est une puissance de 2.

Solution.1. Supposons n non premier : n = pq. 2n − 1 = (2p)q − (1p)q = (2p − 1)(1 + 2p + . . .+

2p(q−1)). Donc 2n − 1 n’est pas premier.2. Si n n’est pas une puissance de 2, n = 2rp avec p impair et p 6= 1. Posons N = 22r .

Alors 2n + 1 = Np − (−1)p = (N + 1)(Np−1 −Np−2 + . . .+ (−1)p−1).

Exercice 2.12.16 Soient a et b deux entiers non nuls premiers entre eux. Quel est leplus grand entier qui ne puisse pas se mettre sous la forme na+ pb avec n,p ≥ 0?

Solution. C’est un exercice assez difficile. Il faut montrer que c’est ab− a− b.Si k ≥ ab − a − b + 1. Posons A = k,k − a, . . . ,k − (b− 1)a. Si deux éléments k − iaet k − ja sont dans la même classe modulo b, alors ia ≡ ja[b], donc b|a(i − j) et parGauss, b|(i− j) ce qui est impossible. Donc tous les éléments de A sont dans des classesdifférentes modulo b. Il y en a b, donc ils occupent toutes les classes. Il existe n ≤ b − 1tel que k − na ≡ 0[b] i.e. k − na = pb. On a pb ≥ ab− a− b+ 1− (b− 1)a ≥ 1− b, doncon ne peut pas avoir p < 0. Donc k = na+ pb avec n,p ≥ 0.Par l’absurde. Si ab − a − b = na + pb avec n,p ≥ 0, alors a(b − n − 1) = b(p + 1) doncb|(b − n − 1), i.e. b|n + 1, d’où b ≤ n + 1 car n + 1 6= 0. Ensuite a(b − n − 1) ≤ 0 eta(b− n− 1) = b(p+ 1) > 0. Absurde.

Exercice 2.12.17 Soient a,b,c des entiers premiers entre eux dans leur ensemble, telsque 1/a+ 1/b = 1/c. Montrer que a+ b est un carré.

Solution. Soit p un facteur premier de a+ b. Alors comme ab = c(a+ b), p divise oua ou b. Comme il divise a+ b, il divise les deux. Donc il ne divise pas c. Ainsi vp(a+ b) =vp(ab) = vp(a) + vp(b). Si vp(a) < vp(b) alors vp(a + b) = vp(a) < vp(a) + vp(b) ce qui estimpossible. Donc on obtient vp(a) = vp(b) et vp(a + b) = 2vp(a). Donc ceci est vrai pourtout facteur premier de a+ b...ceci donne une classification de tels nombres a,b,c. Si a + b = n2, alors a = nu, b = nv.Comme a + b = n2, u + v = n. Enfin 1/a + 1/b = 1/c donne c = uv. Donc (a,b,c) =(nu,nv,uv) avec u+ v = n et u,v,n premiers entre eux.

Exercice 2.12.18 Soient a,b,c des entiers tels que a/b+ b/c+ c/a ∈ Z. Montrer que abcest un cube.

Solution. Quitte à diviser par leur ppcm, on peut supposer que a,b,c sont premiersentre eux.Soit p un diviseur premier de a. Comme abc|(a2c + b2a + c2b), p divise bc2, donc diviseb ou c, mais pas les deux. Donc on divise les facteurs premiers de abc en trois groupes :ceux qui divisent a et b, ceux qui divisent b et c, et enfin ceux qui divisent a et c.Prenons p dans le premier groupe. On va montrer que vp(b) = 2vp(a), ce qui prouvera quevp(abc) est un multiple de 3.


Montrons par l’absurde que vp(b) ≥ 2vp(a). Sinon on obtient : vp(a2c) > vp(bc

2) etvp(b

2a) > vp(bc2). En sommant vp(a

2c + b2a + bc2) = vp(b). Ceci est absurde car cenombre doit majorer vp(abc) = vp(a) + vp(b) > vp(b).On a montré vp(b) ≥ 2vp(a). Supposons l’inégalité stricte. Alors vp(b

2a) > 2vp(a) etvp(c

2b) > 2vp(a). Donc vp(a2c+ b2a+ bc2) = 2vp(a), ce qui est absurde car ce nombre doit

majorer vp(abc) > 3vp(a).

Exercice 2.12.19 Soient (a,b) ∈ (N∗ \ 1)2 tels que a ∧ b = 1. Montrer qu’il existe ununique couple (u0,v0) dans N∗ × N∗ tel que au0 − bv0 = 1 et 0 < u0 < b, 0 < v0 < a.

Solution.– Existence : comme a ∧ b = 1, il existe (u,v) tel que au + bv = 1 (Bezout). Soitw = −v, alors au − bw = 1. Pour tout k ∈ Z, a(u − kb) − b(v − ka) = 1. Soit q lequotient de la D.E. de u par b, soit u0 le reste : u = kb + u0 et 0 ≤ u0 < b. Doncau0 − b(v − qa) = 1. Notons v0 = v − qa. Alors au0 − bv0 = 1 avec 0 ≤ u0 < b.Si u0 = 0, alors −bv0 = 1; impossible. De plus bv0 < au0 < ab, ainsi v0 < b. Debv0 = au0 − 1 avec u0 ≥ 1 et a ≥ 2, on en déduit que v0 > 0.

– Unicité : supposer que deux couples conviennent et utiliser le théorème de Gauss.

2.13 Arithmétique des polynômesExercice 2.13.1 Soient (a,b) ∈ (N∗)2, δ = a ∧ b; montrer : Xa − 1 ∧ Xb − 1 = Xδ − 1dans K[X].

Solution. D’abord montrons queXδ−1 divise les deux polynômes en question. Commeδ divise a il existe q ∈ N tel que δq = a. Donc

Xa − 1 = (Xδ − 1)(

q−1∑k=0

Xδk).

Idem pour b.On peut supposer a ≥ b. Effectuons la division euclidienne de a par b : a = bq + r avec0 ≤ r < b, puis celle de Xa − 1 par Xb − 1 :

Xa − 1 = (Xb − 1)(Xa−b + . . .+Xa−qb) +Xa−bq − 1.

Les algorithmes d’Euclide pour (a,b) dans Z et pour (Xa − 1,Xb − 1) dans K[X] sontmenées simultanément. Conclure.

Exercice 2.13.2 Soient A = X5−X4 +2X3 +1 et B = X5 +X4 +2X2−1. DéterminerD = A∧B, puis déterminer un couple (U,V ) de polynômes de R[X] tels que AU+BV = D.

Solution. Algorithme d’Euclide.


Exercice 2.13.3 Soit n ∈ N∗. Montrer qu’il existe un unique couple (P,Q) de R[X] telque (1−X)nP +XnQ = 1, degP ≤ n− 1, degQ ≤ n− 1.Montrer qu’il existe a ∈ R tel que : (1−X)P ′ − nP = aXn−1. Déterminer les coefficientsde P et la valeur de a.

Solution. Comme (1−X)n ∧Xn = 1, avec Bezout, il existe U,V tel que (1−X)nU +XnV = 1. Soient A le quotient et R le reste de la D.E. de U par Xn, alors U = AXn +Ravec degR ≤ n− 1. Ainsi

(1−X)n(AXn +R)+XnV = (1−X)nR+Xn(V +A(1−X)n) = (1−X)nP +XnQ = 1.

On a deg(XnQ) ≤ max(deg 1, deg((1 − X)nP ) ≤ max(0,n + degP ) ≤ 2n − 1 et ainsin+ degQ ≤ 2n− 1, i.e. degQ ≤ n− 1. Pour l’unicité supposer qu’il existe deux couplesconvenant notés (P,Q) et (R,S). Alors (1−X)n(P −R) = Xn(S −Q) et donc Xn divise(1−X)n(P −R). Conclure avec Gauss.Dériver

−n(1−X)n−1P + (1−X)nP ′ + nXn−1Q+XnQ′ = 0

Ainsi Xn−1 divise (1−X)n−1(−nP+(1−X)P ′). Comme Xn−1 et (1−X)n−1 sont premiersentre eux, avec Gauss, on obtient (1−X)P ′−nP = Xn−1T . En raisonnant sur les degréson montre que T est une constante.

Exercice 2.13.4 Trouver tous les couples (A,B) ∈ R[X]2 tels que A2 +B2 = (X2 + 1)2.

Solution. D’abord montrer que degA ≤ 2 et degB ≤ 2. Ensuite traiter le cas A∧B =1. A2 + B2 = (A + iB)(A − iB) = (X − i)2(X + i)2 et A ∧ B = (A + iB) ∧ B =(A + iB) ∧ (−2iB) = (A + iB) ∧ (A + iB) + (−2iB) = (A + iB) ∧ (A − iB) = 1. Deplus A+ iB et A− iB sont conjugués. Donc à permutation près, A+ IB = λ(X + i)2 etA− iB = λ(X − i)2 avec λλ = 1. Si A∧B 6= 1, dans C, A et B ont une racine communequi ne peut être que i ou −i. En déduire que A = B = 1√

2(X − i)(X + i).

Exercice 2.13.5 Soient A,B ∈ K[X] \ 0 tels que A ∧B = 1 et degA ≥ 1, degB ≥ 1.1. Montrer qu’il existe un unique couple (U0,V0) ∈ K[X]2 tel que AU0 + BV0 = 1,

degU0 < degB et degV0 < degA.2. Déterminer en fonction de A,B,U0,V0 tous les couples (U,V ) solutions de AU+BV =

1.3. Déterminer (U0,V0) avec A = X5 + 1 et B = X2 + 1.

Solution.1. Unicité : si U ′ et V ′ sont aussi solutions, alors A(U ′ − U0) = −B(V ′ − V0) et par

Gauss, B divise U ′ − U0, donc U ′ = U0 +QB. Si Q 6= 0, problème avec les degrés.Existence : Bezout : AU + BV = 1. D.E. de U par B : U = QB + R avec degR <degB. Alors AR + B(V + AQ) = 1. Poser U0 = R et V0 = V + AQ. Ensuitedeg(BV0) ≤ deg(AU0) i.e. degB + deg V0 ≤ degA+ degU0 < degA+ degB.

2. Si AU+BV = 1, alors A(U−U0) = −B(V −V0). Donc B divise A(U−U0). CommeA et B sont premiers le théorème de Gauss implique que B divise (U − U0). DoncU = U0 +QB. Et ainsi V = V0 +QA.


3. Euclide : A = (X3 − 1)B +X + 1 et B = (X − 1)(X + 1) + 2. Conclure.

Exercice 2.13.6 Déterminer le pgcd et le ppcm de P et Q avec : P (X) = X4 + X3 +6X2 + 4X + 8 et Q(X) = X5 + 3X4 + 7X3 + 13X2 + 12 + 4.

Solution. Algorithme d’Euclide. D = P ∧Q = X3 + 3X2 + 4X + 4. Pour trouver leppcm M , MD = PQ.

Exercice 2.13.7 Soient F,G ∈ K[X] tels que degF = degG = n + 1 (où n ∈ N). Soit φl’application de Kn[X] dans Kn[X] qui à tout P de Kn[X] associe le reste de la divisioneuclidienne de FP par G.

1. Montrer que φ est un endomorphisme de Kn[X].2. Montrer que φ est un automorphisme si et seulement si F ∧G = 1.3. Soit λ ∈ K. On dit que λ est valeur propre de φ si et seulement s’il existe P ∈ Kn[X]

tel que P 6= 0 et φ(P ) = λP .(a) Montrer λ est une valeur propre de φ si et seulement si (F − λ) ∧G 6= 1.(b) Dans le cas où K = C, quel est l’ensemble des valeurs propres de φ?

Solution.1. Vérifier que l’application est bien définie et linéaire.2. Si F ∧G 6= 1, il existe P de degré supérieur ou égal à 1, tel que F = PQ et G = PQ

avec degQ ≤ n et deg Q ≤ n. Alors FQ = QG, donc le noyau de φ n’est pas nul.Réciproquement, si F ∧ G = 1, il existe U,V tel que FU + GV = 1. Soit P danskerφ. On a FP = QG. Donc FPU = QGU et aussi FPU = P − GPV . DoncG(QU + PV ) = P . Or le degré de G vaut n + 1 et celui de P est inférieur à n.Impossible sauf si P = 0.

3. (a) Si on a λ tel que φ(P ) = λP , alors (F − λ)P = QG et le même raisonnementqu’avant donne (F − λ) ∧G 6= 1.

(b) Si K = C, si (F − λ) ∧ G 6= 1, alors F − λ et G ont une racine communeµ et G(µ) = 0 et λ = F (µ). Réciproquement soit µ une racine de G. Posonsλ = F (µ). Alors λ est une valeur propre de φ.

CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE 119

Chapitre 3

Géométrie

3.1 Géométrie du plan

Exercice 3.1.1 Soient A, B, C, D, P cinq points du plan tels que−→AB =

−−→DC et que A,

B, D ne soient pas alignés. La parallèle à (AB) menée par P coupe (AD) en E et (BC)en F ; la parallèle à (AD) menée par P coupe (AB) en G et (CD) en H. Montrer que lesdroites (EH), (FG), (AC) sont concourantes ou parallèles.

Solution. Se placer dans le repère(A;−→AB,−−→AD)

et considérer les équations des droites(EH) : (1 − µ)x − λy + λµ = 0, (FG) : µx − (1 − λ)y − λµ = 0, (AC) : x − y = 0avec P (λ,µ). Si λ+ µ 6= 1, les droites sont concourantes, sinon elles sont parallèles.

Exercice 3.1.2 Soient A, B, C trois points non alignés du plan, (α,β,γ) ∈ (R∗)3 tel queles barycentres respectifs G, G1, G2, G3 de(

A B Cα β γ

),

(A B C−α β γ

),

(A B Cα −β γ

),

(A B Cα β −γ

)existent.

1. Montrer que les droites (AG1), (BG2), (CG2) concourent en G.2. Montrer que les droites (G2G3), (G1G3), (G1G2) passent respectivement par A, B

et C.

Solution.1. Utiliser l’associativité du barycentre, d’où G = bary((A,2α),(G1,− α+ β + γ)). De

même pour G2 et G3.2.

A = bary

(A B C B C2α −β γ β −γ

)= bary

(G2 G3

α− β + γ α+ β − γ

)

Exercice 3.1.3 Soient n ∈ N, (A0,A1, . . . ,An) ∈ En+1, (α1, . . . ,αn) ∈ Rn, tels quen∑

i=1

αi 6= 0;


f : E → E l’application définie par :

∀M ∈ E,−−−−−→A0f(M) =

n∑i=1

αi−−→AiM.

Reconnaître f .

Solution. On cherchera les points invariants de f en séparant en cas, suivant que∑ni=1 αi 6= 1 (faire intervenirG = bary((A0,−1),(Ai,αi),i = 1, . . . ,n)), ou que

∑ni=1 αi = 1.

Dans le premier cas, f est l’homothétie de centre G, et de rapport∑n

i=1 αi. Dans le second,f est la translation de vecteur −

∑ni=1 αi

−−−→A0Ai.

Exercice 3.1.4 Former les équations cartésiennnes (dans le plan euclidien) des bissec-trices des deux droites D1|3x+ 4y + 3 = 0 et D2|12x− 5y + 4 = 0.

Solution. Soient ∆ et ∆′ les deux bissectrices. M ∈ ∆ ∩∆′ ssi d(M,D1) = d(M,D2).On trouve comme équations : −21x+ 77y + 19 = 0 et 99x+ 27y + 59 = 0.

Exercice 3.1.5 Le plan affine euclidien est rapporté à un repère orthonormé (O;−→i ,−→j ).

Soient R ∈ R∗+, (Γ) le cercle de centre O et de rayon R, A,B,C ∈ (Γ) d’angles polaires

respectifs α, β, γ.1. Montrer que les coordonnées de l’orthocentre H de ABC sont :

(R(cosα+ cos β + cos γ),R(sinα+ sin β + sin γ)) .

2. Soit D un quatrième point de (Γ), d’angle polaire δ. Montrer que les orthocentresdes quatre triangles BCD, ACD, ABD, ABC forment un quadrilatère symétriquede ABCD par rapport à un point S que l’on déterminera.

Solution.1. Vérifier que le point H ′ dont les coordonnées sont celles données par l’énoncé vérifie

(AH ′) ⊥ (BC). De même pour les autres points.2. On montre que

−−→OH1 +

−→OA = 2

−→0S avec S de coordonnées(

R

2(cosα+ cos β + cos γ + cos δ),

R

2(sinα+ sin β + sin γ + sin δ)

).

Donc S est le centre de symétrie. De plus si G est l’isobarycentre de ABCD,−→OS =

2−→OG.

Exercice 3.1.6 Soient ABC un triangle, M,N,P les milieux respectifs de BC,CA,AB,O le centre du cercle circonscrit à ABC, G le centre de gravité de ABC, ω le centre ducercle circonscrit à MNP , H l’orthocentre de ABC. Montrer que O,G,ω,H sont alignéset déterminer leurs positions relatives.

Solution.


1.−−→OH − 3

−→OG = (

−−→OH −

−→OA) − (

−−→OB −

−→OC) =

−−→AH − 2

−−→OM . Comme

−−→AH ⊥

−−→BC et

−−→OM ⊥

−−→BC, on en déduit

−−→OH − 3

−→OG ⊥

−−→BC. De même ce vecteur est orthogonal à−→

AB et−→AC. Donc il est nul.

2. Remarque : O est l’orthocentre de MNP et G est l’isobarycentre de MNP , car :

−−→GM +

−−→GN +

−→GP =

1

2(−→GA+

−−→GB +

−→GC) =

−→0 .

En applicant le résultat précédent,−→ωO = 3

−→ωG.

Exercice 3.1.7 Soient ABC un triangle, a = BC, b = CA, c = AB, p = 12(a+ b+ c).

1. Calculer cos A et sin A en fonction de a,b,c,p.2. En déduire la formule de Héron donnant l’aire S de ABC :

S =√p(p− a)(p− b)(p− c).

Solution.1. cos A = (b2 + c2 − a2)/(2bc) et sin A = 2

bc

√p(p− a)(p− b)(p− c).

2. S = 12bc sin A.

Exercice 3.1.8 Soient C et C ′ deux cercles, M ∈ C, M ′ ∈ C ′, T (resp. T ′) la tangenteen M (resp. M ′) à C (resp. C ′). Déterminer le lieu du milieu I de MM ′ sachant T ⊥ T ′.

Solution. Les centres Ω et Ω′ de C et de C ′ ont pour coordonnées (−ω,0) et (ω,0) oùω ∈ R+. Les points M et M ′ ont pour coordonnées :

(R cos θ − ω,R sin θ),(R cos θ′ + ω,R sin θ′),

où (θ,θ′) ∈ R2. On a T ⊥ T ′ ⇔−−→ΩM.

−−−→Ω′M ′ = 0. On en déduit que cos(θ − θ′) = 0 et les

coordonnées de I : X = 1

2(R cos θ − εR′ sin θ)

Y = 12(R sin θ + εR′ cos θ)

avec ε ∈ −1,1. On termine en éliminant θ et ε, on trouve X2 + Y 2 = 14(R2 +R′2).

3.2 Géométrie de l’espace

Exercice 3.2.1 (O;−→i ,−→j ,−→k ) est un repère orthonormé de l’espace affine euclidien E3.

Former une équation de la perpendiculaire commune aux deux droites :

D

x+ y − 3z + 4 = 02x− z + 1 = 0

, D′x = z − 1y = z − 1

.


Solution. Un vecteur directeur −→u de (D) est (1,5,2) et−→u′ de (D′) est (1,1,1). Notons

P (resp. P ′) le plan contenant D (resp. D′) et parallèle à −→ω = −→u ∧−→u′ = (3,1, − 4).

Comme (0,− 1,1) est un point de D, une EC de P est donnée par∣∣∣∣∣∣x 1 3

y + 1 5 1z − 1 2 −4

∣∣∣∣∣∣ = 0,

i.e. 11x − 5y + 7z − 12 = 0. Comme (0,0,1) est un point de D′, une EC de P ′ est5x− 7y + 2z − 2 = 0. Puis prendre l’intersection.

Exercice 3.2.2 L’espace euclidien E3 est rapporté au repère orthonormé (O;−→i ,−→j ,−→k ).

Soit (a,b,c) ∈ (R∗)3. Former une équation du cercle passant par A(a,0,0), B(0,b,0) etC(0,0,c).

Solution. Le plan du cercle considéré est le plan ABC qui a pour équation

x/a+ y/b+ z/c = 1.

On remarque que le point ω(a/2,b/2,c/2) est équidistant de A, B et C. Donc l’équationd’une sphère passant par A,B,C est par exemple(

x− a

2

)2

+

(y − b

2

)2

+(z − c

2

)2

=(a

2

)2

+

(b

2

)2

+( c

2

)2

.

Prendre l’intersection du plan et de la sphère.

Exercice 3.2.3 L’espace euclidien E3 est rapporté au repère orthonormé (O;−→i ,−→j ,−→k ).

Former une équation cartésienne de la sphère tangente en A(1,2,1) à

D

x+ y − 2z = 12x− y − 3z = −3

et tangente en A′(1,− 1,− 2) à

D′

2x+ y + 2z = −3x− y − z + 1 = 4

.

Solution. Notons P (resp. P’) le plan contenant A (resp. A’) et perpendiculaire à D(resp. D’) et Π le plan médiateur de AA′. Pour qu’une sphère S soit tangente en A à Det tangente en A’ à D’, il faut et il suffit que son centre Ω est le point d’intersection de P,P’, Π et que son rayon soit ΩA.

Un vecteur directeur de D est −→u (−5, − 1, − 3). Celui de D′ est−→u′ (1,4, − 3). On en

déduit les EC de P et P’ 5(x−1)+(y−2)+3(z−1) = 0 et (x−1)+4(y+1)−3(z+2) = 0.Enfin

M ∈ Π⇔ AM = A′M ⇔ y + z = 0.

On en déduit Ω par résolution du système,

Ω

(76

37,5

37,−5

37

)et ΩA2 = 8046/372.


Exercice 3.2.4 Soient A,B,C,D,E ∈ E3 et λ ∈ R \ −2,− 3/2,− 1. Déterminer :

S =M ∈ E3, ‖

−−→MA+

−−→MB + λ

−−→MC‖ = ‖

−−→MD + λ

−−→ME‖

.

Solution.G est le barycentre de ((A,1),(B,1),(C,λ)) etH celui de ((D,1),(E,λ)). AlorsM ∈ S ssi |2+λ|MG = |1+λ|MH ssi (3+2λ)GM2+2(1+λ)2−−→GH.

−−→GM−(1+λ)2GH2 = 0,

ssi (−−→GM + µ

−−→GH)2 = µ(1 + µ)GH2 où µ = (1 + λ)2/(3 + 2λ). Donc S est une sphère.

Exercice 3.2.5 Soient A,B ∈ E3 et −→u ∈−→E3. Déterminer

S =M ∈ E3,

−−→MA ∧

−−→MB = −→u

.

Solution.−−→MA ∧

−−→MB =

−−→MA ∧

−→AB. Donc si A 6= B et

−→AB.−→u = 0,

−−→AM =

−→AB ∧ −→uAB2

+ λ−→AB

avec λ ∈ R. Si A = B et −→u =−→0 , S = E3. Enfin si A 6= B et

−→AB.−→u 6= 0, ou si A = B et

−→u 6= −→0 , S = ∅.

Exercice 3.2.6 Soient A,B,C ∈ E3 tels que A 6= C. DéterminerM ∈ E3,

−−→MA ∧

−−→MB +

−−→MB ∧

−−→MC = 2

−−→MC ∧

−−→MA

.

Solution.−−→MA∧

−−→MB +

−−→MB ∧

−−→MC − 2

−−→MC ∧

−−→MA = (3

−−→MA+

−→AB)∧

−→AC. Donc S est

la droite affine−−→AM = 1

3

−→AB + λ

−→AC, λ ∈ R.

Exercice 3.2.7 Soit (C) le cercle défini parx+ y + z = 3x2 + y2 + z2 = 5.

1. Déterminer le centre et le rayon de (C).2. Déterminer les points d’intersection de (C) avec les plans de coordonnées.3. Quelles sont les tangentes à (C) rencontrant (z′z)?

Solution.1. Notons P le plan x + y + z = 3 et S la sphère x2 + y2 + z2 = 5, Ω et R le centre

et le rayon de C. Alors Ω est la projection orthogonale de O (centre de S) sur P etOΩ2 +R2 = 5. Ω = (1,1,1) et R =

√2.

2. C∩xOy est les deux points (1,2,0) et (2,1,0). Résultats analogues pour yOz et xOz.3. Les tangentes à C sont dans P, donc elles ne peuvent rencontrer z′z qu’en A(0,0,3)

qui est extérieur à S, donc À C. Il y a donc deux tangentes à C et deux seulementrencontrant z′z. Ce sont P ∩ π et P ∩ π′, où π et π′ sont les deux plans passant parA, perpendiculaires à P et à distance

√2 de Ω. Donc les tangentes à C rencontrant

z′z sont (1− ε

√6)x+ (1 + ε

√6)y − 2(z − 3) = 0

x+ y + z = 0

avec ε ∈ 1,− 1


Exercice 3.2.8 Soient a ∈ R∗, (S) la sphère d’équation x2 + y2 + (z − a)2 = 2a2, ω lecentre de (S), (D) la droite d’équation y = 2a,z = 0. Un plan variable (P ) contenant(D) découpe sur (S) un cercle (C); le symétrique (P ′) de (P ) par rapport au plan z = 0découpe sur (S) un cercle (C ′). Déterminer le lieu du milieu I de ΩΩ′, où Ω (resp. Ω′)est le centre de (C) (resp. (C ′)).

Solution. L’équation de P est de la forme y − 2a + λz = 0, λ ∈ R. Calculer lescoordonnées de Ω par : Ω ∈ P et

−→ωΩ ⊥ P ; on obtient

Ω

(0,

2− λ1 + λ2

a,1 + 2λ

1 + λ2a

).

En changeant λ en −λ

Ω′(

0,2 + λ

1 + λ2a,

1 + 2λ

1− λ2a

).

AinsiI

(0,

2

1 + λ2a,

1

1− λ2a

).

D’autre part P et P ′ coupent S ssi d(ω,P ) ≤ a√

2 et d(ω,P ′) ≤ a√

2, ce qui se traduitpar : λ ∈]−∞,− 2−

√6] ∪ [2 +

√6,+∞[.

3.3 Courbes planes paramétréesExercice 3.3.1 Tracer les courbes Γ suivantes, décrites par le point M(t) de coordonnées(x(t),y(t)) :

1.(t ln t, ln t

t

),

2.(

ln |t|t−1

, ln |t+ 1t|).

3. (cos 3t, sin 2t).

Solution.1. Les deux fonctions sont définies sur R∗

+. Puis calculer x(1/t) y(1/t) : symétrie parrapport à la seconde bissectrice. Enfin variations.

2. Etudier séparément x(t) et y(t), resp. sur R\0,1 et sur R∗. En déduire les variationsde x et y. En 0, montrer que y = x est asymptote en étudiant y(t)/x(t) puis y(t)−x(t)en 0. Enfin on déterminera un point double en faisant y(t) = y(u) ⇒ t = −1/u,puis x(−1/u) = x(u).

Exercice 3.3.2 Strophoïde droite : construire la courbe paramétrée

C :

(x =

1− t2

1 + t2,y = t

1− t2

1 + t2

).


Solution. x paire et y impaire : sym. / x′x. Variations. x = −1 : asymptote de C. Opoint double t = 1 et t = −1, avec tangentes les deux bissectrices.

Exercice 3.3.3 Lemniscate de Bernoulli : construire la courbe paramétrée

C :

(x =

t

1 + t4,y =

t3

1 + t4

).

Solution. x et y impaires, donc [0,∞[ et sym. / O. Calculer x(1/t) = y(t) et y(1/t) =x(t), donc [0,1] et sym. / première bissectrice. Variations.

Exercice 3.3.4 Folium de Descartes : construire la courbe paramétrée

C :

(x =

t

1 + t3,y =

t2

1 + t3

).

Solution. Domaine de déf. : R \ −1. Calculer x(1/t) = y(t) et y(1/t) = x(t), donc] − 1,1] et sym. / première bissectrice. Variations. Branche infinie (t → −1) : étudiery(t)/x(t) = t, puis y(t) + x(t) : y = −x− 1/3 asymptote et y(t) + x(t) + 1/3 > 0.

Exercice 3.3.5 Hypocycloïde à trois rebroussements : construire la courbe paramétrée

C : (x = 2 cos t+ cos 2t,y = 2 sin t− sin 2t) .

Montrer que C est invariante par rotation de centre O et d’angle 2π/3.

Solution. x et y 2π-périodiques, x paire et y impaire, donc [0,π] et sym. / x′x.Variations. Etude en t = 2π/3 : y′(t)/x′(t) → −

√3. Etude en 0 : y′(t)/x′(t) → 0. C

est invariante par rotation de centre O et d’angle 2π/3 : calculer z(t) = x(t) + iy(t) =2eit + e−2it.

Exercice 3.3.6 Cardioïde : construire la courbe paramétrée

C : (x = (1 + cos t) cos t,y = (1 + cos t) sin t) .

Solution. Utiliser la 2π- périodicité et x paire et y impaire, d’où symétrie par rapportà x′x. Variations. Puis en t = π, étudier demi-tangente : dirigée par (−1,0).

Exercice 3.3.7 Soit (a,b) ∈ (R∗+)2.

1. Tracer la courbe C : x = a ch3t, y = b sh3t.2. Soit M ∈ C; la tangente en M à C coupe x′x en un point T1 et y′y en un point T2.

Déterminer le lieu du point P tel que OT1PT2 soit un rectangle.

Solution.1.


2. Un vecteur tgt en M(t) à C est (3a ch2t sht,3b sh2t cht) qui est colinéaire à(a cht,b sht). Donc si t 6= 0, la tangente en M(t) a pour équation :

b sht(x− a ch3t)− a cht(y − b sh3t) = 0.

i.e.b shtx− a chty − ab cht sht = 0.

Donc T1(a cht,0), T2(0,− b sht) et P = (a cht,− b sht). P est donc sur l’hyperbole

x2

a2− y2

b2= 1.

Exercice 3.3.8 Trouver toutes les droites qui sont à la fois tangentes et normales à

C :(x = 3t2,y = 4t3

).

Solution. Equation de la tangente en A(t) : tx − y − t3 = 0; celle de la normale àB(u) : x+ uy − (3u2 + 2u4) = 0. Elles coïncident ssi : t 6= 0, u 6= 0, et

1/t = −u =3u2 + 2u4

t3.

Exercice 3.3.9 Soient C un cercle, O son centre, A ∈ C. Un point P décrit C; laperpendiculaire en 0 à (OP ) et la droite (AP ) se coupent en un point noté M . Déterminerle lieu de M lorsque P décrit C privé de A.

Solution. On prend le repère (A;−→i ,−→j ) de façon qu’en notant R le rayon de C,

O = (−R,0). t la pente de (AP ) et (X,Y ) les coordonnées de P . On aY = tXX2 + Y 2 + 2RY = 0

d’oùX et Y fct de t. Equation de la perpendiculaire en O à (OP ) : (1−t2)(x+R)+2ty = 0.Intersection : strophoïde droite.

Exercice 3.3.10 Soient C un cercle, O son centre, A ∈ C, M un point décrivant C.Déterminer le lieu de l’orthocentre H du triangle OAM .

Solution. Repère (O;−→i ,−→j ) de façon qu’en notant R le rayon de C, A = (R,0).

Coordonnées de M (R cos θ,R sin θ). (OH) bissectrice de ˆOAM et (MH) parallèle à y′y.H : (R cos θ,R cos θ tan(θ/2)). t = tan(θ/2). Strophoïde droite.

Exercice 3.3.11 Astroide


1. Soit a ∈ R∗+. Tracer la courbe C de représentation paramétrique

x = a cos3 ty = a sin3 t

2. Déterminer et tracer la courbe Γ orthoptique de C, c’est-à-dire l’ensemble des pointsd’où on peut mener (au moins) deux tangentes à C orthogonales.

Solution.1. D’abord réduire l’intervalle d’étude : 2π-périodicité; x paire et y impaire, d’où sy-

métrie par rapport à x′x; x(π − t) et y(π − t), d’où sym. / y′y; enfin x(π/2− t) ety(π/2− t), d’où sym. / première bissectrice. Puis étude des variations. Enfin étudeen 0 : y′(t)/x′(t)→ 0, donc tangente x′x en (a,0).

2. En un point P (t) de C, la tangente T (t) a pour équation

(y − a sin3 t) cos t+ (x− a cos3 t) sin t = 0.

Alors T (t) et T (u) sont orthogonales ssi cos t cosu+sin t sinu = 0 ssi cos(u− t) = 0.Donc M ∈ Γ ssi il existe (ε,t) ∈ −1,1 × R t.q.

x sin t+ y cos t = a sin t cos tεx cos t− εy sin t = a sin t cos t

d’où on déduit x(t) et y(t). Remarquer que la courbe correspondant à ε = −1 estla même que celle correspondant à ε = 1 grâce au chgt de param. t 7→ t− π/2. Puispour tracer Γ, poser v = π/4− t, d’où

x = a√2cos v cos 2v

y = a√2sin v cos 2v

Γ est donnée par l’équation polaire

ρ =a√2

cos 2v.

Exercice 3.3.12 Tracer la courbe Γ d’équation cartésienne x4 + y4 + 2x3 + x(x+ y) = 0.

Solution. Exercice difficile ! D’abord Γ est bornée, car si m = max(|x|,|y|)

m4 ≤ x4 + y4 = −(2x3 + x2 + xy) ≤ 2m3 + 2m2.

Donc m ≤ 1 +√

3.O ∈ Γ et les équations cartésiennes des tangentes en O sont obtenues en annulant la

partie homogène de plus bas degré : x = 0 ou x+ y = 0.Pour t ∈ R,Dt : y = tx. On a (x,y) ∈ Dt∩Γ ssi x = y = 0 ou ((1+t4)x2+2x+(1+t) = 0

et y = tx). Le discriminant de l’équation en x est −t(t4 + t3 + 1). Donc Γ ∩Dt = 0 sit > 0, Γ ∩Dt = (−1,0),(0,0) si t = 0 et Γ ∩Dt est formée de deux points si t < 0.


3.4 Courbes en coordonnées polairesExercice 3.4.1 Tracer les courbes C suivantes, définies en coordonnées polaires :

1. ρ = 1cos θ−cos 2θ

,2. ρ = tan 2θ

3.

Solution.1. ρ est 2π-périodique et paire : étude sur [0,π] puis symétrie par rapport à x′x. Le

dénominateur s’annule pour θ = 2π3

. Puis dérivée. Etude en 0 : regarder y = ρ sin θet faire un DL en zéro : y(θ) ∼ 2

3θ, i.e. branche parabolique de direction (x’x). Etude

en 2π/3 : chgt de repère par rotation d’angle 2π/3. Dans le nouveau repère en notantα = θ − 2π/3, ordonnée

Y (θ) = ρ(θ) sin(θ − 2π/3) = −2√

3

9+

1

9α+ o(α).

Donc C a pour asymptote la droite d’équation Y = −2√

39

(plus position / asymptote)dans le nv repère. Points doubles : θ = −3π/4 et θ = −π/4.

2. ρ est 3π/2-périodique et impaire : étude sur [0,3π/4] puis symétrie par rapport ày′y et enfin trois rotations de centre O et d’angle 3π/2. La dérivée est strictementpositive. Etude en 3π/4 : chgt de repère par rotation d’angle 3π/4; regarder Y (θ) =ρ sin(θ − 3π/4); C admet la droite Y = −3/2 pour asymptote (plus position /asymptote).

Exercice 3.4.2 Tracer la courbe Γ d’équation polaire ρ = sin θθ

. Montrer que les pieds desnormales à Γ issues de O sont situés sur un même cercle.

Solution. ρ est paire : on fait varier θ dans [0,+∞[ puis sym / (x’x). Comme ρ tendvers 1 en θ = 0, on prolonge C. ρ est dérivable et

ρ′(θ) =θ cos θ − sin θ

θ2.

pour tout n ∈ N∗, ρ′ admet dans ]nπ,(n+ 1)π[ un zéro unique θn et ρ′ change de signe enθn.

Les pieds des normales à Γ issues de O sont les points de Γ en lesquels ρ′ s’annule, i.e.ceux qui vérifient θ cos θ − sin θ = 0. Donc ρ = sin θ

θ= cos θ. Ils sont situés sur le cercle d’

équation polaire ρ = cos θ, i.e. le cercle de centre (1/2,0) et de rayon 1.

Exercice 3.4.3 Soient a ∈ R∗+, D la droite d’équation x = a, Γ le cercle de centre A(a,0)

et de rayon a.Une droite variable ∆ passant par O coupe D en MD et Γ en MΓ; on définit un point

M par :−−→OM =

−−−−→MΓMD, et on note C le lieu de M .

1. Former l’équation polaire de C.2. Former l’équation cartésienne de C.


3. Paramétrer rationnellement C et tracer C.

Solution.1. Notons θ l’angle polaire de MD, θ ∈] − π/2,π/2[, et −→u = cos θ

−→i + sin θ

−→j . On a

alors−−−→OMD =

a

cos θ−→u ,

−−−→OMΓ = 2a cos θ−→u , d’où

−−→OM =

( a

cos θ− 2a cos θ

)−→u .Ainsi C a pour équation polaire :

ρ =a

cos θ− 2a cos θ = −acos 2θ

cos θ.

2.

ρ cos θ = −a cos 2θ ⇐⇒ ρ3 cos θ = −aρ2(2 cos2 θ − 1)⇐⇒ x(x2 + y2) = a(y2 − x2)

3. En coupant C par des droites Dt d’équation y = tx passant par O on obtient

x = at2 − 1

t2 + 1y = at

t2 − 1

t2 + 1.

3.5 ConiquesExercice 3.5.1 On munit R2 d’un repère orthonormé. Soient (a,b) ∈ (R∗

+)2, tel queb < a, E l’ellipse d’équation x2

a2 + y2

b2= 1, M ∈ E, M ′ le symétrique de M par rapport

à l’axe des abcisses, P le point d’intersection de (OM ′) et de la normale en M à E.Déterminer le lieu de P lorsque M décrit E.

Solution. On a M(a cos t,b sin t) et M ′(a cos t, − b sin t). La normale en M à E estorthogonale à dM

dt(−a sin t,b cos t) et passe par M d’où

−a sin t(x− a cos t) + b cos t(y − b sin t) = 0

Les coordonnées (x,y) de P sont solution du système−a sin tx+ b cos ty + (a2 − b2) sin t cos t = 0b sin tx+ a cos ty = 0

Si sin t 6= 0 et cos t 6= 0,

x =a(a2 − b2)a2 + b2

cos t y = −b(a2 − b2)

a2 + b2sin t

Le lieu de P est l’ellipse homothétique de E dans l’homothétie de centre O et de rapporta2−b2

a2+b2(privée de ses sommets).


Exercice 3.5.2 On munit R2 d’un repère orthonormé. Soient p ∈ R∗+, P la parabole

d’équation y2 = px, A ∈ P . Une droite variable D coupe P en deux points M et N telsque AM ⊥ AN .

1. Montrer que D passe par un point fixe Q.2. Déterminer le lieu de Q lorsque A décrit P .

Solution.1. En notant A(a2

2p,a), M(λ2

2p,λ) et N(µ2

2p,µ). On a

−−→AM(

λ2 − a2

2p,λ− a)//(λ+ a

2p,1)

−−→AN(

µ2 − a2

2p,µ− a)//(µ+ a

2p,1)

AlorsAM ⊥ AN ⇐⇒

−−→AM.

−−→AN = 0⇐⇒ (λ+ a)(µ+ a) + 4p2 = 0.

Si on pose σ = λ+ µ et π = λµ, on obtient π + aσ + a2 + 4p2 = 0. Une équation deD est : ∣∣∣∣ x− λ2

2pλ+µ2p

y − λ 1

∣∣∣∣ = 0⇐⇒ 2px− (λ+ µ)y + λµ = 0

En remplaçant π en fonction de σ, l’équation deD devient (2px−a2−4p2)−σ(y+a) =0. Donc les coordonnées de Q sont

x =a2 + 4p2

2py = −a.

2. Lorsque A décrit P , Q décrit x = y2+4p2

2pou y2 = 2p(x− 2p) : parabole déduite de P

par la translation 2p−→i .

Exercice 3.5.3 Déterminer la courbe orthoptique (c’est-à-dire le lieu des points d’où l’onpeut mener deux tangentes orthogonales) d’une hyperbole.

Solution. Dans un repère convenable (O,−→i ,−→j ), H a pour équation :

x2

a2− y2

b2= 1.

Soit M0(x0,y0) et considérons une droite variable Dm passant par M0 et de pente m, doncd’équation y − y0 = m(x− x0) et étudions Dm ∩H. On trouve pour x

(b2 − a2m2)x2 − 2a2m(y0 −mx0)x− a2((y0 −mx0) + b2

)= 0.

Ainsi Dm est tangente à H ssi l’équation précédente admet une solution double :

(x20 − a2)m2 − 2x0y0m+ (y2

0 + b2) = 0.

Pour que M0 soit sur la courbe orthoptique de H, il faut et il suffit qu’il existe (m1,m2) ∈R2 formant solution de l’équation précédente et tel que m1m2 = −1 (il est clair que, si les


deux tangentes menées de M0 à H sont orthogonales, alors aucune de ces tangentes n’estparallèle à y′y). Ainsi l’équation de la courbe orthoptique de H est

y20 + b2

x20 − a2

= −1 ou encore x20 + y2

0 = a2 − b2.

Si a > b c’est un cercle, si a = b c’est l’ensemble vide sauf si on a une hyperbole équilatère,si a < b, c’est vide.

Exercice 3.5.4 Soient H une hyperbole équilatère de centre O, et M ∈ H; le cercletangent en M à H et contenant O recoupe H en deux points P , P ′. Montrer :

1. PP ′ ⊥ OM ,2. le symétrique de O par rapport à (PP ′) est sur H.

Solution. Dans un repère convenable (O,−→i ,−→j ), H a pour équation xy = a2. Soit

M(x,a2

x). Notons Ω(X,Y ) le centre du cercle tangent en M à H et passant par O. On a : −−→MΩ ⊥

−−→dMdx

OΩ = ΩM⇐⇒

(X − x)− a2

x2

(Y − a2

x

)= 0

X2 + Y 2 = (X − x)2 +(Y − a2

x

)2 ⇐⇒X = 3x4−a4

4x3

Y = 3a4−x4

4a2x

Notons λ = 3x4−a4

4x3 et µ = 3a4−x4

4a2xles coordonnées de Ω. L’équation de Γ est

X2 + Y 2 − 2λX − 2µY = 0.

l’équation aux X des points Γ ∩H est :

X2 +

(a2

X2

)− 2λX − 2µ

a2

X= 0 X4 − 2λX3 − 2µa2X + a4 = 0

Puisque Γ est tangente à H en M , x est une solution double de l’équation précédente. Enfactorisant par X2 − 2xX + x2 = 0, on obtient

X2 +a4 + x4

2x3X +

a4

x2= 0. (E)

1. En notant X1, X2 les deux solutions de (E) qui sont les abcisses de P et P ′ on a

−−→PP ′ = (X1 −X2)

−→i +

(a2

X21

− a2

X22

)−→j = (X1 −X2)

(−→i − a2

X1X2

−→j

)= (X1 −X2)

(−→i − x2

a2

−→j

)alors

−−→PP ′.

−−→OM = (X1 −X2)

(x− x2

a2

a2

x

)= 0


2. Notons M ′ le symétrique de M par rapport à O, M ′(−x, − a2

x) et I le milieu de

OM ′. I(−x2,− a2

2x). D’après le premier point, OM ′ ⊥ PP ′ et I ∈ (PP ′) car :

det(−→i ,−→j )

(−→PI,−→P ′I) =

∣∣∣∣ x2

+X1x2

+X2a2

2x+ a2

X1

a2

2x+ a2

X2

∣∣∣∣ =a2

2x(X1 −X2) +

a2x

2X1X2

(X1 −X2)

+a2(X1 −X2)(X1 +X2)

X1X2

= a2(X1 −X2)

(1

2x+

x

2X1X2

+X1 +X2

X1X2

)a2(X1 −X2)

(1

2x+

x3

2a4+x2

a4

(−a

4 + x4

2x3

))= 0

Exercices d'interrogations orales en MPSI

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