Espaço Tensorial Generalizado

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE TECNOLOGIA/SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA

ESPAÇO TENSORIAL E FUNCIONAL GENERALIZADO:

Uma Abordagem Moderna ,

por

Lucas Máximo Alves

CURITIBA – PARANÁ

MARÇO – 2007

LUCAS MÁXIMOALVES




MARÇO – 2007

LUCAS MÁXIMOALVES



Apostila organizada como resultado do estudo das aulas para obtenção de créditos da Disciplina de ESPAÇO TENSORIAL E FUNCIONAL GENERALIZADO do curso de Doutorado do Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos do Setor de Tecnologia/Setor de Ciências Exatas, Departamento de Engenharia Civil/Departamento de Matemática da Universidade Federal do Paraná Orientador: Prof. Dr. Roberto Dalledone Orientador: Prof. Dr.


MARÇO – 2007

Dedicatória

Dedico,

Agradecimentos

Agradeço a Deus pelo seu imenso amor e misericórdia revelado nas oportunidades

que a vida me trouxe. Quero também agradecer:

À minha Família pelo apoio emocional e espiritual, ao meu orientador o Prof. Dr.

....., ao meu Co-Orientador o Prof. Dr. .... , a Maristela Bradil pela amizade e dedicação com

que nos atende, aos amigos, ...., .... ...., ......., e toda a galera do CESEC.

Epígrafe

“vida é um algo multidimensional cuja imprevisível curvatura temporal só é conhecida quando se experimenta os fatos a cada dia e, mesmo assim, não se consegue prever com exatidão a curvatura temporal dos fatos seguintes, mesmo que se expanda esta (a curvatura futura) numa vizinhança em torno do fato no instante presente” (Lucas M. Alves)

Sumário

Apresentação ....................................................................................................................... 18 Capítulo –I........................................................................................................................... 19 INTRODUÇÃO AOS CONJUNTOS NUMERICOS ........................................................... 19 1. 1 -Objetivos do capítulo ................................................................................................... 19

1. 2 - Introdução................................................................................................................... 19

1. 3 - Revisão da Matemática Básica .................................................................................... 20

1.3.1 - Conjunto dos Números Naturais ( ) ........................................................................ 21 1.3.2 - Conjunto dos Números Inteiros ( ).......................................................................... 24 1.3.3 - Conjunto dos Números Racionais ( ) ...................................................................... 29 A2.4 - Conjunto dos Números e Irracionais (I) e Reais (R).................................................. 33 1.3.4 - Conjunto dos Números Reais ( )............................................................................. 34 1.3.5 - Conjunto dos Números Complexos ( ) .................................................................... 39 1. 4 - Exemplos e Aplicações ............................................................................................... 40

1. 5 - Exercícios e Problemas ............................................................................................... 41

Capítulo – II......................................................................................................................... 42 GENERALIZAÇÃO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS.................................................... 42 2. 1 - Objetivos do capítulo .................................................................................................. 42

2. 2 – Introdução .................................................................................................................. 42

2. 3 – Os Números e seus Conjuntos em Geral ..................................................................... 43

2.3.1 - Adição ...................................................................................................................... 45 2.3.2 - Subtração .................................................................................................................. 45 2.3.3 - Multiplicação ............................................................................................................ 45 2.3.4 - Divisão ..................................................................................................................... 46 2.3.5 - Potenciação ............................................................................................................... 46 2.3.6 - Radiciação ................................................................................................................ 46 2.3.7 - Conclusão ................................................................................................................. 47 Capítulo – III ....................................................................................................................... 48 GENERALIZAÇÃO DO CONJUNTO DOS ESCALARES OU TENSORES DE ORDEM ZERO .................................................................................................................................. 48 3. 1 -Objetivos do capítulo ................................................................................................... 48

3. 2 – Introdução .................................................................................................................. 48

3. 3 – Escalares ou Tensores de Ordem 0 ............................................................................. 49

3.3.1 - Definição de Escalar ................................................................................................. 49 3.3.2 - Soma de Tensores de Ordem 0 .................................................................................. 49 3. 4 – Operações e Exemplos destas com Escalares ou Tensores de Ordem 0 ....................... 50

3.4.1 - Adição: ..................................................................................................................... 50 3.4.2 - Subtração:................................................................................................................. 50 3.4.3 - Multiplicação: ........................................................................................................... 50 3.4.4 - Produto de dois Tensores de Ordem 0 ....................................................................... 50 3.4.5 - Produto Escalar de Ordem 0...................................................................................... 51

3.4.6 - Produto Vetorial de Ordem 0.................................................................................... 51 3.4.7 - Produto Tensorial de Ordem 0................................................................................... 51 3. 5 – Cálculo com Escalares ou Tensores de Ordem 0......................................................... 52

3.5.1 - Representação do Elemento Tensorial de ordem 0..................................................... 52 3.5.2 – Componente de um Tensor de Ordem 0.................................................................... 52 3. 6 – Transformação de Coordenadas com Escalares ou Tensores de Ordem 0 .................... 53

3. 7 – Propriedades dos Escalares ou Tensores de Ordem 0 .................................................. 54

3. 8 – Conclusão .................................................................................................................. 55

Capítulo – IV ....................................................................................................................... 56 GENERALIZAÇÃO DO CONJUNTO DOS VETORES OU TENSORES DE ORDEM UM............................................................................................................................................ 56 4. 1 -Objetivos do capítulo ................................................................................................... 56

4. 2 – Introdução .................................................................................................................. 56

4. 3 – Vetores ou Tensores de Ordem 1 ................................................................................ 57

4.3.1 - Definição de Vetor .................................................................................................... 57 4.3.2 - Soma de Tensores de Ordem 1 .................................................................................. 58 4. 4 – Operações e Exemplos destas com Vetores ou Tensores de Ordem 1.......................... 59

4.4.1 - Adição ...................................................................................................................... 59 4.4.2 - Subtração .................................................................................................................. 59 4.4.3 - Multiplicação ............................................................................................................ 59 4.4.4 - Produto de dois Tensores de Ordem 1 ....................................................................... 60 4.4.5- Produto Escalar de Ordem 1....................................................................................... 60 4.4.6 - Produto Vetorial de Ordem 1..................................................................................... 61 4.4.7 - Produto Tensorial de Ordem 1................................................................................... 62 4. 5 – Cálculo com Vetores ou Tensores de Ordem 1............................................................ 63

4.5.1 - Representação do Elemento Tensorial de Ordem 1 .................................................... 63 4.5.2 – Componente de Tensor de Ordem 1.......................................................................... 64 4. 6 – Transformação de Coordenadas com Vetores ou Tensores de Ordem 1....................... 65

4.6.1 – Exemplo 1 ................................................................................................................ 67 4.6.2 – Exemplo 2 ................................................................................................................ 68 4. 7 – Propriedades dos Vetores ou Tensores de Ordem 1..................................................... 70

4. 8 – Conclusão .................................................................................................................. 72

Capítulo – V ........................................................................................................................ 73 GENERALIZAÇÃO DO CONJUNTO DAS MATRIZES OU TENSORES DE ORDEM DOIS ................................................................................................................................... 73 5. 1 - Objetivos do capítulo .................................................................................................. 73

5. 2 – Introdução .................................................................................................................. 73

5. 3 – Matrizes ou Tensores de Ordem 2 .............................................................................. 74

5.3.1 - Definição de Matriz .................................................................................................. 74 5.3.2 - Soma de Tensores de Ordem 2 .................................................................................. 75 5. 4 – Operações e Exemplos destas com Matrizes ou Tensores de Ordem 2 ........................ 76

5.4.1 - Adição: ..................................................................................................................... 76

5.4.2 - Subtração:................................................................................................................. 77 5.4.3 - Multiplicação: ........................................................................................................... 77 5.4.4 - Produto de dois Tensores de Ordem 2 ....................................................................... 77 5.4.5 - Duplo Produto Escalar ou Produto de Ordem 2 ......................................................... 79 5.4.6 - Duplo Produto Vetorial ou Produto Vetorial de Ordem 2........................................... 80 5.4.7 - Duplo Produto Tensorial ou Produto Tensorial de Ordem 2....................................... 80 5. 5 – Cálculo com Matrizes ou Tensores de Ordem 2 .......................................................... 82

5.5.1 - Representação de Um Operador Tensorial de ordem 2 .............................................. 82 5.5.1 - Representação do Elemento Tensorial de ordem 2..................................................... 83 5.5.2 - Componentes de um Tensor de Ordem 2 ................................................................... 84 5. 6 – Transformação de Coordenadas com Matrizes ou Tensores de Ordem 2 ..................... 86

5.6.1 – Exemplo 1 ................................................................................................................ 88 5.6.2 – Exemplo 2 ................................................................................................................ 89 5. 7 – Propriedades dos Matrizes ou Tensores de Ordem 2 ................................................... 91

5. 8 – Conclusão .................................................................................................................. 93

Capítulo – VI ....................................................................................................................... 94 GENERALIZAÇÃO DO CONJUNTO DAS SUPERMATRIZES OU TENSORES DE ORDEM TRÊS.................................................................................................................... 94 6. 1 - Objetivos do capítulo .................................................................................................. 94

6. 2 – Introdução .................................................................................................................. 94

6. 3 – Supermatrizes ou Tensores de Ordem 3 ...................................................................... 95

6.3.1- Definição de SuperMatriz .......................................................................................... 95 6.3.2 - Soma de Tensores de Ordem 3 .................................................................................. 96 6. 4 – Operações e Exemplos destas com Supermatrizes ou Tensores de Ordem 3................ 97

6.4.1 - Adição: ..................................................................................................................... 97 6.4.2 - Subtração:................................................................................................................. 98 6.4.3 - Multiplicação: ........................................................................................................... 98 6.4.4 - Produto de Dois Tensores de Ordem 3 ...................................................................... 99 6.4.5 - Triplo Produto Escalar ou Produto Escalar de Ordem 3 ........................................... 101 6.4.6 - Triplo Produto Vetorial ou Produto Vetorial de Ordem 3......................................... 101 6.4.7 - Triplo Produto Tensorial ou Produto Tensorial de Ordem 3..................................... 102 6. 5 – Cálculo com Supermatrizes ou Tensores de Ordem 3 ............................................... 104

6.5.1 - Representação de Um Operador Tensorial de ordem 3 ............................................ 104 6.5.1 - Representação do Elemento Tensorial de Ordem 3 .................................................. 105 6.5.2 - Componentes de um Tensor de Ordem 3 ................................................................. 107 6. 6 – Transformação de Coordenadas com Supermatrizes ou Tensores de Ordem 3........... 110

6. 7 – Propriedades das Supermatrizes ou Tensores de Ordem 3......................................... 113

6. 8 – Conclusão ................................................................................................................ 115

Capítulo – VII.................................................................................................................... 116 GENERALIZAÇÃO DO CONJUNTO DAS HIPERMATRIZES OU TENSORES DE ORDEM QUATRO ........................................................................................................... 116 7. 1 - Objetivos do capítulo ................................................................................................ 116

7. 2 – Introdução ................................................................................................................ 116

7. 3 – Hipermatrizes Tensores de Ordem 4......................................................................... 117

7.3.1 - Definição de HiperMatriz........................................................................................ 117 7.3.2 - Soma de Tensores de Ordem 4 ................................................................................ 117 7. 4 – Operações e Exemplos destas com Hipermatrizes ou Tensores de Ordem 4 .............. 118

7.4.1 - Adição: ................................................................................................................... 118 7.4.2 - Subtração:............................................................................................................... 119 7.4.3 - Multiplicação: ......................................................................................................... 119 7.4.4 - Produto de Dois Tensores de Ordem 4 .................................................................... 119 7.4.5 - Quadruplo Produto Escalar...................................................................................... 121 7.4.6 - Quadruplo Produto Vetorial .................................................................................... 121 7.4.7 - Quadruplo Produto Tensorial .................................................................................. 121 7. 5 – Cálculo com Hipermatrizes ou Tensores de Ordem 4................................................ 122

7.5.1 - Representação do Elemento Tensorial de Ordem 4 .................................................. 122 7.5.2 - Componentes de um Tensor de Ordem 4 ................................................................. 124 7. 6 – Transformação de Coordenadas com Hipermatrizes ou Tensores de Ordem 4........... 127

7. 7 – Propriedades das Hipermatrizes ou Tensores de Ordem 4 ......................................... 130

7. 8 – Conclusão ................................................................................................................ 132

Capítulo – VIII................................................................................................................... 133 GENERALIZAÇÃO DO CONJUNTO DAS ULTRAMATRIZES OU TENSORES DE ORDEM N......................................................................................................................... 133 8. 1 - Objetivos do capítulo ................................................................................................ 133

8. 2 – Introdução ................................................................................................................ 133

8. 3 – Ultramatrizes Tensores de Ordem N......................................................................... 134

8.3.1 - Definição de UltraMatriz......................................................................................... 134 8.3.2 - Soma de Tensores de Ordem N ............................................................................... 134 8. 4 – Operações e Exemplos destas com Ultramatrizes ou Tensores de Ordem N.............. 136

8.4.1 - Adição: ................................................................................................................... 136 8.4.2 - Subtração:............................................................................................................... 137 8.4.3 - Multiplicação: ......................................................................................................... 137 8.4.4 - Produto de Dois Tensores de Ordem N.................................................................... 137 8.4.5 - N’tuplo Produto Escalar .......................................................................................... 139 8.4.6 - N’tuplo Produto Vetorial......................................................................................... 139 8.4.7 - N’tuplo Produto Tensorial....................................................................................... 139 8. 5 – Cálculo com Ultramatrizes ou Tensores de Ordem N................................................ 140

8.5.1 - Representação do Elemento Tensorial de Ordem N ................................................. 141 8.5.2 - Componentes de um Tensor de Ordem N ................................................................ 141 8. 6 – Transformação de Coordenadas com Ultramatrizes ou Tensores de Ordem N........... 142

8. 7 – Propriedades das Ultramatrizes ou Tensores de Ordem N......................................... 143

8. 8 – Conclusão ................................................................................................................ 145

Capítulo – IX ..................................................................................................................... 146 GENERALIZAÇÃO DE FUNÇÕES, SEQUENCIAS, SERIES E TRANSFORMADAS .. 146 9. 1 - Objetivos do capítulo ................................................................................................ 146

9. 2 - Introdução................................................................................................................. 146

9. 3 - Espaço Tensorial de Funções .................................................................................... 147

Apêndices .......................................................................................................................... 148

Lista de Figuras

Figura - 2. 1. ........................................................................................................................ 45 Figura - 4. 1 ......................................................................................................................... 60 Figura - 4. 2 ......................................................................................................................... 65 Figura - 5. 1 ......................................................................................................................... 84 Figura - 5. 2 ......................................................................................................................... 86 Figura - 6. 1 ....................................................................................................................... 107 Figura - 6. 2 ....................................................................................................................... 110 Figura - 7. 1 ....................................................................................................................... 124 Figura - 7. 2 ....................................................................................................................... 127

Lista de Tabelas

Lista de Siglas

Lista de Símbolos

Resumo

Abstract

Apresentação Esta apostila de Espaço Tensorial e Funcional Generalizado é resultado da

digitação das aulas do curso de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Matériais da

Universidade Estadual de Ponta Grossa- UEPG, na disciplina de Mecânica do Contínuo,

ministrado pelo professor Dr. Lucas Máximo Alves e de seus estudos pessoais anteriores,

obtidos durante o seu doutorado no Programa de Pós-Graduação de Métodos Numéricos para

a Engenharia-PPGMNE da Universidade Federal do Paraná.

Capítulo –I

INTRODUÇÃO AOS CONJUNTOS NUMERICOS

RESUMO

Neste capítulo será visto alguns dos conjuntos numéricos usados na matemática.

1. 1 -Objetivos do capítulo

i) Entender a origem e a natureza

ii) Saber classificar os tipos de

iii) Saber reconhecer a ordem ou o grau de

1. 2 - Introdução

Os conjuntos numéricos

1. 3 - Revisão da Matemática Básica

Nós sabemos que a matemática possui ‘varias divisões, entre elas temos , a

Aritmética, a Álgebra, o Cálculo e a Análise e a Geometria. Em todas essas áreas precisamos

definir operações com números.

Desde a infância aprendemos na escola que existem diversos conjunto de números

desde os naturais, , Inteiros, , Racionais, , Reais, , e Complexos, . Cada um

desses conjuntos foi gerado a partir de operações e propriedades dessas operações.

1.3.1 - Conjunto dos Números Naturais ( )

Considere por exemplo o conjunto dos números naturais. Sejam a, b, c e d

elementos pertencentes ao conjunto dos números naturais, . Neste conjunto podemos

definir as seguintes operações e propriedades.

A operação básica a ser definida nesse conjunto é a adição. Pois bem de forma

resumida essas operações e propriedades ficam assim:

i) Operação da Adição ou Soma

Considere a operação de translação sobre uma semi-reta numerada, conforme

mostrado na Figura - A2. 1

Figura - A2. 1. Operação de Adição e Subtração no conjunto dos Números Naturais,

; , ,a b c a b c (1. 1)

Esta operação possui as seguintes propriedades:

ii) Propriedades da Adição

1) Propriedade da Comutatividade

Precisamos de uma propriedade chamada de comutativa.

Essa é a primeira propriedade a ser definida, a qual se expressa como:

a b b a c (1. 2)

2) Propriedade da Associatividade

Essa é a segunda propriedade a ser definida, a qual se expressa como:

a b c a b c (1. 3)

3) Propriedade do Elemento Neutro da Adição

Precisamos definir um elemento neutro da adição, que será o zero. Nessa

propriedade define-se um elemento neutro como sendo aquele que quando operado com

qualquer elemento do conjunto, não altera o valor da operação, ou seja:

0a a (1. 4)

4) Propriedade do Elemento Simétrico

Para poder reverter a operação da adição precisamos definir um elemento

simétrico. Pois bem de forma resumida essas operações e propriedades ficam assim:

Nessa propriedade define-se um elemento simétrico, a , aquele de igual valor ao

elemento a , do conjunto, porém com sinal oposto de tal forma que a soma com seu

correspondente resulta no valor nulo:

0a a a a (1. 5)

Observe que nesse ponto se define a operação inversa da adição, que é a

subtração. Logo, para poder reverter a operação da adição precisamos definir um elemento

simétrico (ou inverso) para aquela operação. Logo, considerando-se a operação anterior a

passagem do elemento simétrico para o outro lado da igualdade resulta em na propriedade do

elemento neutro.

5) Propriedade da Completeza ou do Fechamento do Conjunto

Sejam o elementos ,a b , então qualquer operação entre os elementos ea b do

conjunto,

a b c (1. 6)

deve levar a um elemento que também pertence ao conjunto, isto c .

6) Operação com o Elemento Simétrico ou Operação Simétrica: Subtração

Logo para um soma de a com um elemento b , temos:

a b a b d (1. 7)

ou ainda

b a b a d (1. 8)

Observe que nessa última operação acima podem se definir números que já não

pertencem ao conjunto dos números naturais. Pois se ,a b , e o elemento d pode ser

que o elemento d . O que torna necessário definir um novo conjunto, para poder incluir o

número d , ou seja, o dos números inteiros, , onde valores positivos e negativos devem ser

considerados conjuntamente com os naturais. Logo não vale aplicar a operação inversa na

propriedade 6, ou seja:

a b b a (1. 9)

iii) Generalização de um Número Natural

Portanto, todo número natural está representado, por um algarismo, seguido das

seguintes operações simultâneas de neutralidade:

: 0a a (1. 10)

Ou seja, todo número natural está associado a ele a operação de adição (e sua respectiva

operação inversa) com o elemento neutro, que no caso é o zero.

1.3.2 - Conjunto dos Números Inteiros ( )

O conjunto dos números inteiros é definido a partir do momento em que a

operação de subtração produz novos números que não estão contidos no conjunto dos

números naturais. Neste novo conjunto aparece uma nova operação dada no item 6.

Considere por exemplo o conjunto dos números inteiros. Sejam a, b, c e d

elementos pertencentes ao conjunto dos números inteiros, . Neste conjunto podemos definir

as seguintes operações e propriedades.

Seja a operação de translação sobre uma reta numerada, conforme mostrado na

Figura - A2. 2. A operação básica a ser definida nesse conjunto é também a adição. Pois bem

de forma análoga ao conjunto dos números naturais define-se as propriedades da subtração.

Figura - A2. 2. Operação de Adição e Subtração no conjunto dos Números Inteiros,

i) Operação da Multiplicação

Considere a operação de multiplicação, conforme mostrado na Figura - A2. 3

Figura - A2. 3. Operação de Multiplicação no conjunto dos Números Inteiros,

A operação da multiplicação surgem como sendo a operação da adição operada

várias vezes como segue:

.... .b vezes

a a a a a a b c (1. 11)

ii) Propriedades da Multiplicação




. .a b b a c (1. 12)



. . . .a b c a b c (1. 13)

3) Propriedade do Elemento Neutro da Multiplicação

Precisamos definir um elemento neutro da multiplicação, que será o zero. Nessa



.1a a (1. 14)

4) Propriedade do Elemento Inverso

Para poder reverter a operação da multiplicação precisamos definir um elemento

inverso. Pois bem de forma resumida essas operações e propriedades ficam assim:

Nessa propriedade define-se um elemento simétrico, 1a

, aquele de igual valor ao

elemento a , do conjunto, porém com sinal oposto de tal forma que a soma com seu

correspondente resulta no valor nulo:

1. 1aaa a

(1. 15)

Observe que nesse ponto se define a operação inversa da multiplicação, que é a

divisão. Logo, para poder reverter a operação da multiplicação precisamos definir um

elemento inverso para aquela operação. Logo, considerando-se a operação anterior a

passagem do elemento inverso para o outro lado da igualdade resulta em na propriedade do

elemento neutro.

5) Operações Conjugadas de Adição e Multiplicação

Seja a operação conjugada entre os elementos , ea b c

. . .a b c a b a c e (1. 16)



conjunto,

a b c (1. 17)


7) Operação com o Elemento Inverso ou Operação Inversa: Divisão

Logo para um multiplicação de a com um elemento 1b

, temos:

1.a db

(1. 18)

ou ainda

1 1.ba d

(1. 19)

8) Operações Conjugadas de Subtração e Divisão

Nesta operação aplica-se as operações inversas utilizadas na propriedade 5.

1. a ba b fc c c

(1. 20)

Observe que na operação (1. 19) podem se definir números que já não pertencem

ao conjunto dos números inteiros. Pois se ,a b , e o elemento d pode ser que o

elemento 1d . O que torna necessário, novamente, definir um novo conjunto, para poder

incluir o número 1d

, ou seja, o dos números fracionários, , onde valores inteiros e

fracionários devem ser considerados conjuntamente. Logo não vale aplicar a operação inversa

na propriedade 7, ou seja:

a bb a (1. 21)

iii) Generalização de um Número Inteiro

Portanto, todo número inteiro está representado, por um algarismo, seguido das


1. 0:1

aa (1. 22)

Ou seja, todo número natural está associado a ele a operação de adição e multiplicação (e suas

respectivas operações inversas) com os elemento neutros, que no caso é o zero e a unidade

respectivamente.

1.3.3 - Conjunto dos Números Racionais ( )

O conjunto dos números racionais ou fracionários é definido a partir do momento

em que a operação de divisão produz novos números que não estão contidos no conjunto dos

números inteiros. Neste novo conjunto aparece uma nova operação dada no item 6.

Considere por exemplo o conjunto dos números racionais ou fracionários. Sejam

a, b, c e d elementos pertencentes ao conjunto dos números racionais, . Neste conjunto

podemos definir as seguintes operações e propriedades.

Seja a operação de divisão, conforme mostrado na Figura - A2. 4. A operação

básica a ser definida nesse conjunto é também a multiplicação. Pois bem de forma análoga ao

conjunto dos números inteiros define-se as propriedades de divisão.

Figura - A2. 4. Operação de Divisão no conjunto dos Números Racionais,

i) Operação de Potenciação

Neste novo conjunto temos novas operações que podem ser feitas, como por

exemplo:

vezes

. . .... onde , ,d

d

c c c c c e c d e (1. 23)

Ou

( 1)vezes vezes

.

vezes

( ... ). . .... onde , , , ,d

db

a b c

d

a a a c c c c e a b c d e A

(1. 24)

ba c mas b aa b (1. 25)

ii) Propriedades da Potenciação




b c c ba a d (1. 26)



bc cba a (1. 27)

3) Propriedade do Elemento Neutro da Potencição

Precisamos definir um elemento neutro da potenciação, que será a unidade. Nessa



1a a (1. 28)


Para poder reverter a operação da potenciação precisamos definir um elemento


Nessa propriedade define-se um elemento simétrico, 1 1aa

, aquele de igual

valor ao elemento a , do conjunto, porém com sinal oposto de tal forma que a soma com

seu correspondente resulta no valor nulo:

1 1. . 1aa a aa a

(1. 29)

Observe que nesse ponto se define a operação inversa da potenciação, que é a

radiciação. Logo, para poder reverter a operação da potenciação precisamos definir um



elemento neutro.

5) Operações Conjugadas de Adição e Multiplicação, Potenciação


.b c b ca a a e (1. 30)



conjunto,

a b c (1. 31)


7) Operação com o Elemento Inverso ou Operação Inversa: Radiciação

Logo para um potenciação de a com um elemento 1b

, temos:

1b ba a d

(1. 32)

ou ainda

1 1a ab b ed

(1. 33)

8) Operações Conjugadas de Subtração, Divisão e Radiciação


c c ca b b a d e (1. 34)

c c ca b a b f g (1. 35)

c c cb a b a f i (1. 36)

.b c b ca a a d (1. 37)

e

1.c b c ba a ad

(1. 38)

1bba d

a (1. 39)

e

1aab d

b (1. 40)

Observe que na operação (1. 33) podem se definir números já não pertencem ao

conjunto dos números racionais. Pois se 1,ab , e o elemento d pode ser que o

elemento ae b . O que torna necessário, novamente, definir um novo conjunto, para

poder incluir o número 1d

, ou seja, o dos números racionais, , onde valores diretos e

inversos devem ser considerados conjuntamente com os inteiros. Logo não vale aplicar a

operação inversa na propriedade 7, ou seja:

11ab aba a b b

(1. 41)

iii) Generalização de um Número Racional

Portanto, todo número racional está representado, por um algarismo, seguido das


111. 0:1aa (1. 42)

Ou seja, todo número natural está associado a ele a operação se adição, multiplicação e

potenciação (e suas respectivas operações inversas) com os elementos neutros, que no caso é

o zero e a unidade respectivamente.

9) Conjunto dos Números e Irracionais (I) e Reais (R)

Neste novo conjunto aparecem operações que resultam em elementos fora do

conjunto e assim vamos para o conjuntos dos número reais, R, onde novas operações e novas

propriedades aparecem e assim sucessivamente até chegar ao conjunto dos números

complexos, C.

1.3.4 - Conjunto dos Números Reais ( )

O conjunto dos números reais é definido a partir do momento em que a operação

de radiciação produz novos números que não estão contidos no conjunto dos números

racionais. Neste novo conjunto aparece uma nova operação dada no item 7.

Considere por exemplo o conjunto dos números reais. Sejam a, b, c e d elementos

pertencentes ao conjunto dos números reais, . Neste conjunto podemos definir as seguintes

operações e propriedades.

Seja a operação de radiciação, conforme mostrado na Figura - A2. 5. A operação

básica a ser definida nesse conjunto é também a potenciação. Pois bem de forma análoga ao

conjunto dos números racionais define-se as propriedades de radiciação.

Figura - A2. 5. Operação de ... no conjunto dos Números Reais,

i) Operação de Logaritmo

Neste novo conjunto temos novas operações que podem ser feitas, como por

exemplo:

vezes

log . . .... onde , ,d

cd

e d c c c c c e c d e (1. 43)

Ou

( 1)vezes vezes

.

vezes

( ... ). . .... onde , , , ,d

db

a b c

d

a a a c c c c e a b c d e

(1. 44)

log loga bc b d a (1. 45)

ii) Propriedades da Logaritmo




log loga b b a c (1. 46)



log log loga b c a b c a b c (1. 47)

3) Propriedade do Elemento Neutro do Logaritmo

Precisamos definir um elemento neutro do logaritmo, que será a unidade. Nessa



log log1 logaa a

c c (1. 48)

e

log .log loga a ac a c (1. 49)


Para poder reverter a operação da logaritmo precisamos definir um elemento


Nessa propriedade define-se um elemento simétrico, 1 1log log loga aa

,

aquele de igual valor ao elemento a , do conjunto, porém com sinal oposto de tal forma

que a soma com seu correspondente resulta no valor nulo:

1 1og . log log log log 0l a a a a a a (1. 50)

Observe que nesse ponto se define a operação inversa do logaritmo, que é a

exponenciação. Logo, para poder reverter a operação de logaritmo precisamos definir um



elemento neutro.

5) Operações Conjugadas de Adição e Multiplicação, Potenciação


.b c b ca a a e (1. 51)



conjunto,

a b c (1. 52)


7) Operação com o Elemento Inverso ou Operação Inversa: Radiciação

Logo para um logaritmo de a com um elemento 1b

, temos:

1b ba a d

(1. 53)

ou ainda

1 1a ab b ed

(1. 54)

8) Operações Conjugadas de Subtração, Divisão e Radiciação


c c ca b b a d e (1. 55)

c c ca b a b f g (1. 56)

c c cb a b a f i (1. 57)

.b c b ca a a d (1. 58)

e

1.c b c ba a ad

(1. 59)

1bba d

a (1. 60)

e

1aab d

b (1. 61)

Observe que na operação (1. 33) podem se definir números já não pertencem ao

conjunto dos números racionais. Pois se 1,ab , e o elemento d pode ser que o

elemento ae b . O que torna necessário, novamente, definir um novo conjunto, para

poder incluir o número 1d

, ou seja, o dos números racionais, , onde valores diretos e

inversos devem ser considerados conjuntamente com os inteiros. Logo não vale aplicar a

operação inversa na propriedade 7, ou seja:

11ab aba a b b

(1. 62)

iii) Generalização de um Número Real

Portanto, todo número real está representado, por um algarismo, seguido das


111. 0:1aa (1. 63)

Ou seja, todo número natural está associado a ele a operação se adição, multiplicação e

potenciação (e suas respectivas operações inversas) com os elementos neutros, que no caso é

o zero e a unidade respectivamente.

1.3.5 - Conjunto dos Números Complexos ( )

Figura - A2. 6

(6. 1)

Veja todas essas operações são feitas com escalares e não é necessário designar

nem uma direção e nem um sentido para as grandezas associadas aos números.

1. 4 - Exemplos e Aplicações

1. 5 - Exercícios e Problemas

Capítulo – II

GENERALIZAÇÃO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS

RESUMO

Neste capítulo será visto a álgebra e o cálculo tensorial. As propriedades

fundamentais dos tensores serão demonstradas preparando o estudante para a sua aplicação na

teoria da elasticidade e na teoria da viscosidade.

2. 1 - Objetivos do capítulo

i) Entender o conceito geral de tensor e suas propriedades.

ii) Saber reconhecer um tensor.

iii) Saber expressar um vetor e/ou um tensor em diferentes sistemas de

coordenadas.

iv) Saber realizar cálculos tensoriais.

2. 2 – Introdução

À medida que o conhecimento tem científico avançado a estrutura matemática da

representação dos números e das grandezas físicas têm se tornado cada vez mais complexas.

Isto por causa da necessidade de expressar quantidades que levam em conta a topologia do

espaço considerado. A matemática iniciou-se com os números e, evoluiu para definição de

grandezas mais complexas como os vetores as matrizes e os tensores. Apresentamos nesse

capítulo uma breve descrição da evolução da representação dos números, desde o conjunto

dos números naturais até os complexos e, em seguida, mostramos como uma generalização

dos números, passando para os vetores e tensores pode ser descrita. Desta forma definiu-se os

números como tensores de ordem zero, os vetores como tensores de ordem um e as matrizes

como tensores de ordem dois e assim sucessivamente.

2. 3 – Os Números e seus Conjuntos em Geral

Nós vimos no primeiro grau o aparecimento dos números como representação

algébrica de quantidades ou grandezas físicas e matemáticas. Vimos também a definição de

vários conjuntos que vão desde os Naturais até os Complexos. Esses conjuntos sugiram da

necessidade de se definir novos números diferentes do conjunto em estudo, os quais sugiram a

partir do resultado de operações que ultrapassam o conjunto previamente definido. Por

exemplo:

i) O conjunto dos números naturais, N, sendo dado por:

: 0,1,2,3,...N (2. 1)

Sabendo-se que:

onde ; ;ca b c a N b N N (2. 2)

O conjunto dos números inteiros, Z, surgiu quando se sentiu a necessidade de

definir um novo número devido a seguinte operação de subtração:

( ) onde ; ;se a<b ca b c a N b N N (2. 3)

ii) O conjunto dos números inteiros, Z, sendo dado por:

: ,..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...Z (2. 4)

Sabendo-se que:

. onde ; ;ca b c a Z b Z Z (2. 5)

O conjunto dos números fracionários, Q, surgiu quando se sentiu a necessidade de

definir um novo número devido a seguinte operação de divisão:

.(1/ ) onde ; ;se não é multiplo inteiro de a b c a Z b Z

a b c Z

(2. 6)

iii) O conjunto dos números fracionários, Q, sendo dado por:

3 3: ,...., ,.. 1,...,0...,1..., ,...2 2

Q

(2. 7)

Sabendo-se que:

onde ; ;cba c a Q b Q Q (2. 8)

O conjunto dos números Reais, R, surgiu quando se sentiu a necessidade de

definir um novo número devido a seguinte operação de radiciação:

1/ onde ; ;se não é raiz racional de

bb a a c a Q b Qc a c Q

(2. 9)

iv) O conjunto dos números Reais, R, sendo dado por:

2 23 3: ,...., ,..., 2,... 1,...,0...,1..., 2,..., ,...2 2

R

(2. 10)

Sabendo-se que:

onde ; ;cb a c a R b R R (2. 11)

O conjunto dos números Complexos, C, surgiu quando se sentiu a necessidade de

definir um novo número devido a seguinte operação de radiciação:

onde 0 ; 0 ;se não é raiz real de

b a c a R b Rc a c R

(2. 12)

v) O conjunto dos números Complexos, C, sendo dado por:

2 23 3: ,...., ,..., 2,..., 1 ,..., 1,...,0...,1,...,1 ,..., 2,..., ,...,2 2

R i i i i

(2. 13)

Sabendo-se que:

onde ; ;b a c a C b C c C (2. 14)

Observe que a definição de cada conjunto é uma generalização dos conjuntos anteriores,

onde:

N Z Q R C (2. 15)

Conforme mostra a Figura - 2. 1.

Figura - 2. 1.

Vamos chamar de A ao conjunto de todos os conjuntos anteriores, ou seja:

: , , , , ,...A N Z Q R C (2. 16)

Percebemos que podemos definir um elemento , pertencente ao conjunto A, o qual vamos

chamar de escalar, ou tensor de ordem zero. Analisando as possíveis operações que podem ser

feitas com os escalares temos:

2.3.1 - Adição

É definida como:

onde , ,a b c a b c A (2. 17)

Veja que a adição é uma operação original.

2.3.2 - Subtração

É definida como:

( ) onde , ,a b c a b c A (2. 18)

Veja que a adição é a soma de um número com o seu simétrico.

2.3.3 - Multiplicação

É definida como:

vezes

... . onde , ,b

a a a a a a b c a b c A (2. 19)

Veja que a multiplicação nada mais é que um tipo de adição sucessiva.

2.3.4 - Divisão

É definida como:

vezes

((((....( ( )) ( )) ( )).... ( ))) 0

onde , ,b

cc a a a a ba

a b c

(2. 20)

Veja que a divisão nada mais é que um tipo de subtração sucessiva.

2.3.5 - Potenciação

É definida como:

( 1)vezes vezes

.

vezes

( ... ). . .... onde , , , ,d

db

a b c

d

a a a c c c c e a b c d e A

(2. 21)

Veja que a potenciação nada mais é que um tipo de multiplicação sucessiva.

2.3.6 - Radiciação

É definida como:

( 1)vezes= vezes

vezes

/ ((((....( ( )) ( )) ( )).... ( ))) / / .... / 1 d

da cb

d

e a b b b b c c c e c

(2. 22)

Ou

1vez ( 1)vezes

vezes

/ / / ..../ 1

onde , , , , = vezes

d

d

d

e c c c c e c

ea b c d e A cb

(2. 23)

Veja que a radiciação nada mais é que um tipo de divisão sucessiva.

2.3.7 - Conclusão

No fundo, no fundo, vê-se que a adição participa de todas as operações, uma vez

que definiu-se subtração como sendo a soma com o elemento simétrico. Portanto, dentro desta

visão no conjunto A, dos escalares só existe genuinamente uma única operação. Porque as

demais podem ser obtidas a partir desta.

Capítulo – III

GENERALIZAÇÃO DO CONJUNTO DOS ESCALARES OU TENSORES DE ORDEM ZERO

RESUMO








coordenadas.



3. 3 – Escalares ou Tensores de Ordem 0

Vamos generalizar os escalares como sendo uma extensão da ordem dos números,

definindo um conjunto A, da seguinte forma:

Chamaremos de A ao conjunto de todos os conjuntos anteriores, dado da seguinte

forma:

: , , , , ,... [1]A N Z Q R C (3. 1)

onde [1] é uma matriz 1 x 1 =1.

Percebemos que podemos definir um elemento , pertencente ao conjunto A, o

qual vamos chamar de escalar, ou tensor de ordem zero.

3.3.1 - Definição de Escalar

Os escalares, , são grandezas tensoriais de ordem zero tais que A ,

definidos por:

1 1[1] [ ] (3. 2)

Observe que um escalar é formado por uma matriz 1x1.

Definindo a seguinte notação para a base de escalares:

0ˆ : 1e (3. 3)

Temos:

: [1]i i (3. 4)

Ou de forma abreviada

0ˆi ie (3. 5)

3.3.2 - Soma de Tensores de Ordem 0

Uma operação geral de soma é dada por:

com , , B (3. 6)

3. 4 – Operações e Exemplos destas com Escalares ou Tensores de Ordem 0

Analisando as possíveis operações que podem ser feitas com os escalares temos:

Seja a seguinte representação para os escalares e ,

[1] [ ] (3. 7)

e

[1] [ ] (3. 8)

3.4.1 - Adição:

É definida como:

onde , , A (3. 9)


3.4.2 - Subtração:

É definida como:

( ) onde , , A (3. 10)


3.4.3 - Multiplicação:

Uma operação de interação com o conjunto A como sendo:

É definida como:

vezes

... onde , , A

(3. 11)


Outra operações podem ser definidas:

3.4.4 - Produto de dois Tensores de Ordem 0

O produto definido acima para o caso dos escalares não se distingue dos demais

produtos. Logo,

(3. 12)

3.4.5 - Produto Escalar de Ordem 0

. (3. 13)

Exemplo de Produto Escalar

Para dá uma idéia de um processo de generalização natural quando passarmos

para vetores e tensores, devemos executar o produto escalar da seguinte forma:

. [1]. [1] . [1] [ . ] (3. 14)

3.4.6 - Produto Vetorial de Ordem 0

(3. 15)

Exemplo de Produto Vetorial

[1] [1] [1] [ ] (3. 16)

Este resulta no mesmo valor que o produto escalar realizado anteriormente, por

que o produto escalar e o produto vetorial são indistinguíveis para o conjunto dos escalares,

ou seja, a coordenada de um escalar é única, pois o escalar é análogo a um vetor de uma única

coordenada e sem uma direção definida.

3.4.7 - Produto Tensorial de Ordem 0

v (3. 17)

Exemplo de Produto Tensorial

Pela definição de produto tensorial vemos que o produto tensorial de dois

elementos de um conjunto gera uma grandeza da ordem seguinte, por exemplo:

1[1] [1] [1] [1] 0

0 0Tv

(3. 18)

3. 5 – Cálculo com Escalares ou Tensores de Ordem 0

3.5.1 - Representação do Elemento Tensorial de ordem 0

Um elemento escalar é representado unicamente por seu valor e nenhuma direção

está associado a ele, por isso podemos chamá-lo de tensor de ordem zero.

00 0

0 0 00

ˆ ˆii

e e

(3. 19)

Como

00ˆ 1e (3. 20)

Temos:

0[1] (3. 21)

Logo multiplicando os dois lados de ( ) temos:

0

0

[1] [1] [1][1]

(3. 22)

Portanto,

[1]i (3. 23)

3.5.2 – Componente de um Tensor de Ordem 0

O escalar é a representação mais simples de uma quantidade, e ele não possui

outra componente que a represente a não ser ele mesmo. Logo, a componente de um escalar é

o próprio escalar.

3. 6 – Transformação de Coordenadas com Escalares ou Tensores de Ordem 0

Como não existe uma base para os escalares, a matriz de transformação de

coordenadas é a própria matriz unitária 1 11

3. 7 – Propriedades dos Escalares ou Tensores de Ordem 0

O espaço de escalares satisfaz as seguintes propriedades algébricas.

i) Comutativa

, A (3. 24)

ii) Associativa

( ) ( ) ( ) , , A (3. 25)

iii) uma escalar 0 A /

0 A (3. 26)

iv) um escalar - A /

( ) 0 A (3. 27)

v) Distribuitiva da soma de escalar com escalar

( ) , , A (3. 28)

vi) Distribuitiva do produto de escalar com escalar

( ) , , A (3. 29)

vii) um escalar 0 A /

0. 0 0. 0e A (3. 30)

viii) um escalar 1 tal que A /

1. .1 A (3. 31)

x) iii) uma vetor 1 A /

1 1 A (3. 32)

viii) Associativa do produto de vetores

2 2( , ) A A A (3. 33)

3. 8 – Conclusão

Concluímos que além das operações internas entre a ordem tensorial zero, isto é,

entre o conjunto dos escalares, o produto tensorial generalizado dos escalares sugere o

surgimento de uma ordem superior igual a um que será os vetores.

Capítulo – IV

GENERALIZAÇÃO DO CONJUNTO DOS VETORES OU TENSORES DE ORDEM UM

RESUMO








coordenadas.



4. 3 – Vetores ou Tensores de Ordem 1

Vamos generalizar os vetores como sendo uma extensão da ordem dos escalares,

definindo um conjunto B, da seguinte forma:

Chamaremos de B ao conjunto de todos os conjuntos anteriores, dado da seguinte

forma:

1 0 00 1 0

: , , , , ,... , ,...: : :0 0 1

B N Z Q R C

(4. 1)

onde 1 0 ... 0 T é uma matriz 1 x n = n.

Percebemos que podemos definir um elemento v , pertencente ao conjunto B, o

qual vamos chamar de vetor, ou tensor de ordem um.

4.3.1 - Definição de Vetor

Os vetores, v , são grandezas tensoriais de ordem um tais que v B , definidos

por:

1

21 2

1 0 00 1 0

...: : : :0 0 1

n

n

vv

v v v v

v

(4. 2)

Observe que um vetor é formado por uma matriz 1x n.

Definindo a seguinte notação para a base de vetores:

1 2

1 0 00 1 0

ˆ ˆ ˆ ˆ: , ,...,: : :0 0 1

ne e e e

(4. 3)

Temos:

1 1 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ... n n i iv v e v e v e v e (4. 4)


3

1ˆi i

iv v e

(4. 5)


Uma operação geral de soma, dada por:

com , ,v u w v u w B (4. 6)

4. 4 – Operações e Exemplos destas com Vetores ou Tensores de Ordem 1


Usando a seguinte representação para os escalares u e v

11 2

2

1 00 1

uu u u

u

(4. 7)

e

11 2

2

1 00 1

vv v v

v

(4. 8)

4.4.1 - Adição

É definida como:

onde , , a b c a b c B (4. 9)


4.4.2 - Subtração

É definida como:

( ) onde , , a b c a b c B (4. 10)


4.4.3 - Multiplicação

Uma operação de interação com o conjunto A como sendo

e ,v u A v u B (4. 11)

É definida como:

vezes

... onde e a a a a a A a B

(4. 12)


Outras operações podem ser definidas:


4.4.5- Produto Escalar de Ordem 1

.u v (4. 13)

Ou

( . )Ttr u v (4. 14)

Exemplo de Produto Escalar


para vetores, temos que o produto escalar

1 2 1 2 1 1 2 2

11 2 1 1 2 2

2

1 0 1 0 1 0. . 1 0 . 0 1 .

0 1 0 1 0 1u v u u v v u v u v

vu u u v u v

v

(4. 15)

De forma a resumir economicamente a notação vamos representar os vetores da

base como sendo dada por (4. 3) da seguinte forma:

Figura - 4. 1

Seja por exemplo uma base cartesiana 1 2 3ˆ ˆ ˆ, , e e e e denota os três vetores unitários

mostrados na Figura - 4. 1

e seja dado um vetor v expresso como combinação linear destes vetores da base, como:

3

1ˆi i

iv v e

(4. 16)

Fazendo-se uso da notação de Einstein na qual suprime-se o símbolo de somatório, toda vez

que aparecer índices repetidos, temos:

ˆi iv v e (4. 17)

O produto escalar familiar ou produto interno de dois vetores é definido de tal

forma que o produto escalar dos vetores da base cartesiana ortonormal são dados como:

ˆ ˆ.i j ije e (4. 18)

onde ij é o delta de Kröenecker definido como,

10ij

se i jse i j

(4. 19)

Por causa que o produto interno é distribuitivo com relação a adição, o resultado bem

conhecido que o produto escalar de quaisquer vetores u e v é dado pela soma dos produtos

das componentes como já foi exemplificado em (4. 15) é mostrado a seguir de forma geral

como:

3 3

1 1

3

13

1

ˆ ˆ. .

ˆ ˆ.

.

i i j ji j

i i i ji

i ii

u v u e v e

u v e e

u v v u

(4. 20)

4.4.6 - Produto Vetorial de Ordem 1

v u w (4. 21)

Exemplo de Produto Vetorial

1 11 2 1 2

2 2

1 1 1 2 2 1 2 2

1 2 2 1

1 0 1 00 1 0 1

00

u vu v u u v v

u v

u v u v u v u vu v u v

(4. 22)

4.4.7 - Produto Tensorial de Ordem 1

u w S (4. 23)

Exemplo de Produto Tensorial



1 11 2 1 2

2 2

11 1 1 2 2 1 2 2 1 2

2

1 1 1 2 11 12

2 1 2 2 21 22

1 0 1 00 1 0 1

u vu v u u v v

u v

uu v u v u v u v v v

u

u v u v S Su v u v S S

S

(4. 24)

Embora um tensor de ordem superior apareça já na operação com vetores um estudo mais

detalhado desta nova ordem de tensores será feito a seguir.

Observe que:

1

1

( ) ( )

( )

( ) .

n

iiin

i ii

tr u v u v

tr u v u v

tr u v u v

(4. 25)

4. 5 – Cálculo com Vetores ou Tensores de Ordem 1

4.5.1 - Representação do Elemento Tensorial de Ordem 1

Um vetor é representado por seu valor e uma direção está associado a ele, por isso

podemos chamá-lo de tensor de ordem um.

11 2 1 1 2 2

2

1 0ˆ ˆ ˆ

0 1 i iv

v v v v e v e v ev

(4. 26)

onde

ˆi iv v e (4. 27)


ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. . .j j i i i j ie v e v e v e e (4. 28)

Mas

ˆ ˆ.j i jie e (4. 29)

logo

ˆ .j i jie v v (4. 30)

Portanto,

ˆ.i iv v e (4. 31)

4.5.2 – Componente de Tensor de Ordem 1

4. 6 – Transformação de Coordenadas com Vetores ou Tensores de Ordem 1

Considere um vetor expresso em coordenada de uma base cartesiana

1 2ˆ ˆ ˆ, ,..., ne e e na qual é expresso como:

1

2

:

n

vv

v

v

(4. 32)

Deseja-se por exemplo expressar este vetor em uma nova base 1 2ˆ ˆ ˆ' , ' ,..., 'ne e e conforme mostra a Figura - 4. 2

Figura - 4. 2

Este mesmo vetor se manifestará com diferentes componentes, em cujo caso a seguinte

notação pode ser usada:

1

2

''

:'n

vv

v

v

(4. 33)

Deve-se enfatizar que embora as componentes de v são diferentes nas duas bases, o vetor

permanece inalterado, isto é,

1 1ˆ ˆ' '

n n

i i i ii i

v v e v e

(4. 34)

Além disso, a equação acima é a chave para derivar uma relação entre as duas seqüências de

componentes. Para esta proposta, seja ijQ o qual denota o produto escalar entre as duas bases,

como sendo:

ˆ ˆ. 'ij i jQ e e (4. 35)

De fato, a definição de produto interno é tal que ijQ é o cosseno dos ângulos entre ˆ ˆ e 'i je e .

Invocando a equação (4. 31) para as componentes de um vetor é possível expressar os vetores

da nova base em termos da velha, ou vice-versa, como,

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ' . 'n n

j j i i ij ij i

e e e e Q e

(4. 36)

e

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ' . ' 'n n

i i j j ij jj j

e e e e Q e

(4. 37)

Multiplicando-se a esquerda a equação (4. 37) escalarmente por v temos:

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. . ' . ' . 'n n

i i j j ij jj j

v e v e e e v Q e

(4. 38)

Temos:

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. ' . . ' . 'n n

i j i j ij jj j

v e e e v e Q v e

(4. 39)

De acordo com (4. 31) temos:

1 1

ˆ. ' 'n n

i ij j ij jj j

v Q v e Q v

(4. 40)

De forma similar temos que:

1 1ˆ' .

n n

i ji j ji jj j

v Q v e Q v

(4. 41)

Observe que para a transformação de coordenadas de uma determinada ordem de

tensores outros tensores de ordem superior são necessários.

As equações acima podem ser mais facilmente expressas na forma de matrizes,

com a ajuda da matriz Q n n , contendo o cosseno dos ângulos ijQ , como:

'v Q v (4. 42)

e

' Tv Q v (4. 43)

Onde:

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. ' . ' ... . 'ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. ' . ' ... . '

: : : :ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. ' . ' ... . '

n

n

n n n n

e e e e e ee e e e e e

Q

e e e e e e

(4. 44)

Como um precursor a discussão dos tensores de 2a ordem (isto é matrizes), é

correto enfatizar que as coordenadas são independentes da natureza dos vetores. Por exemplo,

as equações vetoriais w u v ou .s u v

faz sentido sem referência específica a base usada

para expressar as componentes dos vetores. Obviamente, um vetor terá diferentes

componentes quando expressas em uma base, mas o vetor permanece inalterado.

4.6.1 – Exemplo 1

Como exemplo seja um vetor u dado por:

120

u

(4. 45)

Onde a matriz de transformação de coordenadas é dada por:

1 1 01 1 0

0 0 2

Q

(4. 46)

Usando a transformação (4. 43) temos:

'

1 1 0 1 31' 1 1 0 2 120 00 0 2

T

T

u Q u

u

(4. 47)

4.6.2 – Exemplo 2

Como exemplo da invariância de um vetor sob transformação de coordenadas,

considere dois vetores u e v e a transformação Q mostrada acima. O produto vetorial ou o

produto externo cujas componentes em qualquer base são dadas como,

2 3 3 2

3 1 1 3

1 2 2 1

u v u vu v u v u v

u v u v

(4. 48)

Nós aplicamos esta equação em ambas os sistemas de coordenadas e obtemos uma seqüência

diferente de componentes como:

21

1u v

(4. 49)

e

1

1' 32

2

u v

(4. 50)

De fato estas duas seqüências de componentes representam o mesmo vetor u v

E pode ser verificada pela checagem se esta está de acordo com a equação (4. 42), ou seja:

'u v Q u v (4. 51)

Isto é claramente o caso pois,

2 1 1 0 11 11 1 1 0 32 21 0 0 2 2

(4. 52)

4. 7 – Propriedades dos Vetores ou Tensores de Ordem 1

O espaço de vetores satisfaz as seguintes propriedades algébricas.

i) Comutativa

w w B (4. 53)

ii) Associativa

( ) ( ) ( )w u w u u w B (4. 54)

iii) uma vetor 0 B /

0 B (4. 55)

iv) uma vetor -

B /

( ) 0 B (4. 56)

v) Distribuitiva do escalar

( ) ,w w w B (4. 57)

vi) Distribuitiva do vetor com escalar

( ) B (4. 58)

vii) Distribuitiva de escalar com escalar

( ) B (4. 59)

viii) um vetor 0

0 B /

0. 0 0. 0e B (4. 60)

ix) um vetor 1

1 B /

1. .1 B (4. 61)

x) iii) uma vetor 1v B /

1. 1 B (4. 62)

viii) Associativa do produto de vetores

( , ) .Tw B B w K (4. 63)

xii) Operação tensorial:

. .w v v w (4. 64)

4. 8 – Conclusão

Concluímos que além das operações internas entre a ordem tensorial um e as

operações de interação com a ordem inferior zero, o produto tensorial generalizado sugere o

surgimento de uma ordem superior igual dois que são as matrizes.

Capítulo – V

GENERALIZAÇÃO DO CONJUNTO DAS MATRIZES OU TENSORES DE ORDEM DOIS

RESUMO








coordenadas.



5. 3 – Matrizes ou Tensores de Ordem 2

Vamos generalizar os matrizes como sendo uma extensão da ordem dos vetores,

definindo um conjunto C, da seguinte forma:

Chamaremos de C ao conjunto de todos os conjuntos anteriores, dado da seguinte

forma:

1 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 00 0 ... 0 0 1 ... 0 0 0 ... 0

: , , , , ,... , ,...: : : : : : : : : : : :0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

C N Z Q R C

(5. 1)

onde 1 0 ... 00 0 ... 0: : : :0 0 0 0

é uma matriz n x n = n2.

Percebemos que podemos definir um elemento S , pertencente ao conjunto C, o


5.3.1 - Definição de Matriz

Os matrizes, S , são grandezas tensoriais de ordem um tais que CS , definidos

por

11 12

11 12 1

21 2

1

1 0 ... 0 0 1 ... 0 0 0 ... 00 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0

...: : : : : : : : : : : :0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

:...

0 ...: : : :

0 0

nn

n

n

n nn

S S S

S S SS S

S S

S

(5. 2)

Observe que uma matriz é formado por uma matriz n x n.


1 1 1 2

1 0 ... 0 0 1 ... 00 0 ... 0 0 0 ... 0

ˆ ˆ ˆ ˆ, ,...: : : : : : : :0 0 0 0 0 0 0 0ˆ :

0 0 ... 00 0 ... 0

ˆ ˆ...,: : : :0 0 0 1

n m

e e e e

S

e e

(5. 3)

Temos:

11 1 1 12 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,..., nm n m ij i jS e e S e e S e e S e e S (5. 4)


3

, 1ˆ ˆij i j

i jS e e

S (5. 5)



S D E (5. 6)

5. 4 – Operações e Exemplos destas com Matrizes ou Tensores de Ordem 2



11 1211 12 12

21 22

1 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0

S SS S S

S S

S (5. 7)

e

11 1211 12 12

21 22

1 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0

D DD D D

D D

D (5. 8)

5.4.1 - Adição:

É definida como:

onde , , C S D E S D E (5. 9)


Seja T e S dois tensores e a um vetor arbitrário qualquer. A soma de T com S,

denotada por ST , é definida por:

aaa STST , a (5. 10)

Pode-se ver facilmente que esta definição ST é realmente um tensor (porque é uma

trnsformação linear).

Para achar as componentes de ST , seja W o tensor soma de T com S ,

STW , a (5. 11)

Usando as equações ( ) e ( ), as componentes de W são obtidas ser:

ii

ii

eeeeˆˆˆˆ

STSTW

(5. 12)

onde

jiji

jji

ji

jiij

eeeeeee

ee

eeW

ˆ.ˆˆ.ˆ

ˆˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

STST

ST

W

(5. 13)

isto é:

ijijij STW (5. 14)

Este resultado é devido a propriedade distributiva do operador linear.

Em notação matricial, nós temos que:

][][][ STW (5. 15)


É definida como:

( ) onde , , C S D E S D E (5. 16)



Uma operação de interação com o conjunto a como sendo

e ,A C S D S D (5. 17)

É definida como:

vezes

... onde e A C

S S S S S S (5. 18)




Seja T e S dois tensores e a um vetor arbitrário qualquer, então TS e ST, são

definidos ser as transformações (facilmente visto ser tensores)

aa STTS (5. 19)

e

aa TSST (5. 20)

onde

iieaa ˆ (5. 21)

Chamando de TSX , então as componentes de TS são:

jijiij eeeeX ˆ.ˆˆ.ˆ STX (5. 22)

isto é:

mjimij

immj

innmmj

minmmj

mnmmji

mimj

mmji

mmji

jijiij

STW

TS

TS

eeTS

eTSe

eeSeSe

eSe

eeeeTS

ˆˆˆˆ

ˆ.ˆ.

ˆ.ˆ

ˆ.ˆ

ˆ.ˆˆ.ˆ

TT

T

STTS

(5. 23)

isto é:

mjimij STTS (5. 24)

Portanto de forma análoga temos:

mjimij TSST (5. 25)

De fato a equação a equação ( ) é equivalente a equação matricial

]][[][ STTS (5. 26)

onde, a equação ( ) é equivalente a equação matricial

]][[][ TSST (5. 27)

Os dois produtos de matrizes são em geral diferentes. Então, é claro que em geral o tensor

produto não é comutativo, isto é:

STTS (5. 28)

Se T ,S e V são três tensores, então:

aaaa VTSVSTSVTSVT (5. 29)

e

aaaa SVTVSTSVTTSV (5. 30)

isto é

VTSSVT (5. 31)

Fica como exercício provar que:

mjnminij VSTTSV (5. 32)

Então o produto tensorial é associativo. Isto é, portanto, natural definir as potências positivas

integrais de uma transformação por estes simples produtos, tal que:

n vezes

3

2

...

:

TTTT

TTTT

TTT

n

(5. 33)

É a definição da potência de tensores.

5.4.5 - Duplo Produto Escalar ou Produto de Ordem 2

: S D (5. 34)

Ou

( )Ttr S D (5. 35)

Exemplo de Duplo Produto Escalar



11 12 21 11 12 21

11 11 12 12 21 21

11 12 11 12

21 22

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0: :

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 01 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0

: : :0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0

:

S S S D D D

S D S D S D

S S D DS S D

S D

11 11 12 21 11 12 12 22

21 22 21 11 22 21 21 12 22 22

11 11 12 21 21 21 22 22

S D S D S D S Dtr

D S D S D S D S DS D S D S D S D

(5. 36)

5.4.6 - Duplo Produto Vetorial ou Produto Vetorial de Ordem 2

B S D (5. 37)

Exemplo de Duplo Produto Vetorial

11 12 21 22

11 12 21 22

11 12 11 12

21 22 21 22

11 11 12 1

1 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 2

1 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 1

1 0 1 0 0 10 0 0 0 0 0

S S S S

D D D D

S S D DS S D D

S D S D

S D

2

21 21 22 22

11 11 12 12

21 21 22 22

11 11 1

0 10 0

0 0 0 0 0 0 0 0...

1 0 1 0 0 1 0 1

1 0 1 0 0 1 0 10 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0...

1 0 1 0 0 1 0 1

S D S D

S D S D

S D S D

S D S

2 21 21 12 13 31 31 13

21 12 12 21 22 22 23 32 32 23

31 13 13 31 32 23 23 32 0

D S D S D S DS D S D S D S D S DS D S D S D S D

(5. 38)

5.4.7 - Duplo Produto Tensorial ou Produto Tensorial de Ordem 2

Q S D (5. 39)

Exemplo de Duplo Produto Tensorial



11 12 21 22

11 12 21 22

11 12 11 12

21 22 21 22

11 11 12 1

1 0 0 1 0 0 0 0:

0 0 0 0 1 0 0 2

1 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 1

1 0 1 0 0 10 0 0 0 0 0

S S S S

D D D D

S S D DS S D D

S D S D

S D

2 21 21

22 22

11 11 12 12 21 21

22 22

0 1 0 0 0 00 0 1 0 1 0

0 0 0 0...

0 1 0 1

1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0

0 0 0 0...

0 1 0 1

S D

S D

S D S D S D

S D

Q

(5. 40)

Observe que:

1

1

( ) ( )

( )

( ) :

n

iiiiin

ii iii

tr

tr S D

tr

S D S D

S D

S D S D

(5. 41)

5. 5 – Cálculo com Matrizes ou Tensores de Ordem 2

Vamos a partir de agora iniciar o processo de generalização das operações

tensoriais a partir da definição de um operador linear, da seguinte forma:

5.5.1 - Representação de Um Operador Tensorial de ordem 2

Um tensor de ordem dois pode ser representado pelo produto tensorial de dois

vetores formando uma matriz, da seguinte forma:

v w S (5. 42)

Observe que sendo T TS S temos:

Tv w w v (5. 43)

Sendo î iv v e e ˆj jw w e temos:

ˆ î i j jv e w e S (5. 44)

Ou

ˆ î j i jv w e e S (5. 45)

chamando de:

ij i jS v w (5. 46)

temos:

ˆ îj i jS e e S (5. 47)

Este tensor S quando aplicado sobre um vetor w gera um outro vetor na direção de u , ou

seja:

.v w u u w v (5. 48)

ou seja

u vS (5. 49)

5.5.1 - Representação do Elemento Tensorial de ordem 2

Uma matriz é representada por uma sequência de valores e duas direções estão

associadas a ela, por isso podemos chamá-lo de tensor de ordem dois.

11 1211 12 21 22

21 22

11 1 1 12 1 2 21 2 1 22 2 2

1 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

S SS S S S

S SS e e S e e S e e S e e

S

S (5. 50)

onde

ˆ ˆij i jS e e S (5. 51)


ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ: : :k l k l ij i j ij k l i je e e e S e e S e e e e S (5. 52)

Mas

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ: . .

ˆ ˆ ˆ ˆ:k l i j j l i k

k l i j jl ik

e e e e e e e e

e e e e

(5. 53)

logo

ˆ ˆ :k l ij jl ike e S S (5. 54)

Portanto,

ˆ ˆ :ij i jS e e S (5. 55)

Ou

ˆ ˆ( : )T

i jtr e e S (5. 56)

Usando o fato de que:

ˆ ˆ ˆ ˆ: .

ˆ ˆ ˆ ˆ: .i j i j

Ti j j i

e e e e

e e e e

S S

S S (5. 57)

5.5.2 - Componentes de um Tensor de Ordem 2

As componentes de um vetor dependem da base de vetores usadas para descrever

as componentes. Isto também será verdade para os tensores. Seja 3,21 ˆ e ˆ,ˆ eee os vetores

unitários da base nas direções dos eixos 321 ,, xxx respectivamente, de um sistema de

coordenadas cartesianas retangulares (base ortonormal). Sob uma transformação T, estes

vetores, 3,21 ˆˆ,ˆ eee tornam-se 1eS , 2eS e 3ˆ eS . Cada um destes ˆ ( 1,2,3)ie i S sendo um

vetor, pode escrito como:

1 11 1 21 2 31 3

2 12 1 22 2 32 3

3 13 1 23 2 33 3

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ

e S e S e S ee S e S e S ee S e S e S e

SSS

(5. 58)

conforme mostra a Figura - 5. 1

Figura - 5. 1

ou em notação indicial temos:

ˆˆ

i i

i ji j

e S ee S e

SS

(5. 59)

Multiplicando-se escalarmente a (5. 59) por ie é claro que:

11 1 1 12 1 2 13 1 3

21 2 1 22 2 2 23 2 3

31 3 1 32 3 2 33 3 3

; ;; ;; ;

S e e S e e S e eS e e S e e S e eS e e S e e S e e

S S SS S SS S S

(5. 60)

São 9 componentes de S na base ie , ou

ˆ

ˆk i k ji j

k i ji k j

k i ji kj

ki i ki

e e e S e

e e S e e

e e S

e e S

S

S

S

S

(5. 61)

Logo de forma geral temos:

ˆ ˆ.ij i jS e e S (5. 62)

Ou

ˆ ˆ :ij i jS e e S (5. 63)

que são as componentes de um tensor.

As componentes ijS nas equações acima são definidas como as componentes do

tensor T. Estas componentes podem ser posta em uma matriz como segue:

31 2

11 12 13

21 22 23

31 32 33

ee e

S S SS S S S

S S S

SS S

(5. 64)

Este tensor de 2ª ordem possui 32 = 9 elementos. Esta matriz é chamada de matriz do tensor

S com relação à série dos vetores da base 321 ˆ,ˆ,ˆ eee ou ie abreviadamente. Nós notamos

que, a forma com que nós temos escolhido para denotar as componentes de transformação dos

vetores da base, os elementos da primeira coluna são as componentes do vetor 1eS , aqueles

da segunda coluna são componentes do vetor 2eS , e aqueles da terceira coluna são as

componentes do vetor 3eS .

5. 6 – Transformação de Coordenadas com Matrizes ou Tensores de Ordem 2

Considere um tensor expresso em coordenada de uma base cartesiana


11 12 1

21 22 2

1 2

...

...: : : :

...

n

n

n n nn

S S SS S S

S S S

S (5. 65)

Deseja-se por exemplo expressar este tensor em uma nova base 1 2ˆ ˆ ˆ' , ' ,..., 'ne e e conforme mostra a Figura - 4. 2

Figura - 5. 2

Este mesmo tensor se manifestará com diferentes componentes, em cujo caso a seguinte


11 12 1

21 22 2

1 2

' ' ... '' ' ... ': : : :' ' ... '

n

n

n n nn

S S SS S S

S S S

S (5. 66)

Deve-se enfatizar que embora as componentes de S são diferentes nas duas bases, o vetor


, 1 , 1ˆ ˆ ˆ ˆ' ' '

n n

ij i j kl k li j k l

S e e S e e

S (5. 67)


componentes. Para esta proposta, seja ijklQ o qual denota o produto escalar entre as duas

bases, como sendo:

ˆ ˆ ˆ ˆ: ' 'ijkl i j k lQ e e e e (5. 68)

De fato, a definição de produto interno é tal que ijklQ é o “cosseno dos ângulos” entre

ˆ ˆ ˆ ˆ e ' 'i j k le e e e . Invocando a equação (5. 62) para as componentes de um vetor é

possível expressar os vetores da nova base em termos da velha, ou vice-versa, como,

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ' ' ' ' :n n

k l k l i j i j ijkl i jj j

e e e e e e e e Q e e

(5. 69)

e

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ: ' ' ' ' ' 'n n

i j i j k l k l ijkl k lj j


(5. 70)

Multiplicando-se a esquerda a equação (5. 70) escalarmente por S temos:

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ: : : ' ' ' ' : ' 'n n



S S S (5. 71)

Temos:

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ: : ' ' : ' ' : ' 'n n



S S S (5. 72)


1 1

ˆ ˆ: ' ' 'n n

ij ijkl k l ijkl klj j

S Q e e Q S

S (5. 73)


1 1

ˆ ˆ' :n n

ij klij k l klij klj j

S Q e e Q S

S (5. 74)





'ij ijkl klS Q S (5. 75)

e

'T

kl ijkl ijS Q S (5. 76)

Onde:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ: ' ' : ' ' ... : ' 'ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ: ' ' : ' ' ... : ' '

: : : :ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ: ' ' : ' ' ... : ' '

i j k l i j k l i j k l

i j k l i j k l i j k lijkl


e e e e e e e e e e e ee e e e e e e e e e e e

Q

e e e e e e e e e e e e

(5. 77)



as equações vetoriais w u v ou .s u v faz sentido sem referência específica a base usada



5.6.1 – Exemplo 1

Como exemplo seja um vetor u dado por:

120

u

(5. 78)

Onde a matriz de transformação de coordenadas é dada por:

1 1 01 1 0

0 0 2

Q

(5. 79)

Usando a transformação (4. 43) temos:

'

1 1 0 1 31' 1 1 0 2 120 00 0 2

T

T

u Q u

u

(5. 80)

5.6.2 – Exemplo 2

Como exemplo da invariância de um vetor sob transformação de coordenadas,

considere dois vetores u e v e a transformação Q mostrada acima. O produto vetorial ou o

produto externo cujas componentes em qualquer base são dadas como,

2 3 3 2

3 1 1 3

1 2 2 1

u v u vu v u v u v

u v u v

(5. 81)

Nós aplicamos esta equação em ambas os sistemas de coordenadas e obtemos uma seqüência

diferente de componentes como:

21

1u v

(5. 82)

e

1

1' 32

2

u v

(5. 83)

De fato estas duas seqüências de componentes representam o mesmo vetor u v

E pode ser verificada pela checagem se esta está de acordo com a equação (4. 42), ou seja:

'u v Q u v (5. 84)

Isto é claramente o caso pois,

2 1 1 0 11 11 1 1 0 32 21 0 0 2 2

(5. 85)

5. 7 – Propriedades dos Matrizes ou Tensores de Ordem 2

O espaço de matrizes satisfaz as seguintes propriedades algébricas.

i) Comutativa

A + B = B + A (5. 86)

Prova

ijijijijijij ABABBABA )( (5. 87)

ii) Associativa

A + (B + C) = (A + B) + C (5. 88)

Prova

ijijijijijijij CBACBACBA (5. 89)

iii) uma matriz 0 EMatrizes /

A + 0 = A A EMatrizes (5. 90)

Prova

ijijij AAA 00 (5. 91)

iv) uma matriz -A EMatrizes /

A + (-A) = 0 A EMatrizes (5. 92)

Prova

ijijijij AAAA )0()( (5. 93)


(A + B) = A + B (5. 94)

ijijijijij BABABA (5. 95)

vi) Distribuitiva da Matriz com escalar

( + )A = A + A (5. 96)

Prova

ijijij AAA (5. 97)

vii) Distribuitiva de Matriz com Matriz

A(B + C) F = ABF + ACF (5. 98)

Prova

ijijijijijijijijijijij

ijijijijijijij

FCAFBAFCFBA

FCBAFCBA

(5. 99)

viii) Associativa do produto de matrizes

(A. B).C = A.(B.C) = A.B.C (5. 100)

Prova

ljilkjlkilkjlkilijlkilijij BCACBACBACBACAB (5. 101)

ix)

(5. 102)

x) Transposição do produto de matrizes

A.B = (B.A)T = B T .AT (5. 103)

Prova

Tijijjijilijlljilijij ABABABBABA ... (5. 104)

xi) Transposto de multiplicações sucessivas vale:

ABCD...Z = (Z…DCBA)T = Z T ... DT C T AT (5. 105)


.u v w w v u (5. 106)

Ou

w uS (5. 107)

Onde e .u v w v S

xiii)

( ) :tr S D S D (5. 108)

Sendo e u v w x S D então:

xiii)

: : . .u v w x x v w u S D (5. 109)

5. 8 – Conclusão

Concluímos que além das operações internas entre a ordem tensorial dois e as

operações de interação com as ordens inferiores zero e um, o produto tensorial generalizado

sugere o surgimento de uma ordem superior igual três e quatro.

Capítulo – VI

GENERALIZAÇÃO DO CONJUNTO DAS SUPERMATRIZES OU TENSORES DE ORDEM

TRÊS

RESUMO








coordenadas.



6. 3 – Supermatrizes ou Tensores de Ordem 3

Vamos generalizar as tensores de ordem 2 como sendo uma extensão da ordem

dos tensores de ordem 3, definindo um conjunto D, da seguinte forma:

Chamaremos de D ao conjunto de todos os conjuntos anteriores, dado da seguinte

forma:

: , , , , ,...D N Z Q R C { , ,..., } (6. 2)

onde é uma matriz n x n x n = n3.

Percebemos que podemos definir um elemento T , pertencente ao conjunto D, o


6.3.1- Definição de SuperMatriz

Os matrizes, T , são grandezas tensoriais de ordem um tais que DT , definidos

por

T 111T 112T ,...,

nnnT

(6. 3)

Observe que uma supermatriz é formado por uma matriz n x n x n.


ˆ :T[

1 1 1ˆ ˆ ˆe e e 1 1 2ˆ ˆ ˆ,e e e ,... (6. 4)

ˆ ˆ ˆ..., m n ke e e ]

Temos:

111 1 1 1 112 1 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,..., mnp n m ijk i j kT e e e T e e e T e e T e e e T (6. 5)


3

, , 1ˆ ˆ ˆijk i j k

i j kT e e e

T (6. 6)



T U V (6. 7)

6. 4 – Operações e Exemplos destas com Supermatrizes ou Tensores de Ordem 3



111TT 112T ,...,

222T =

(6. 8)

e

111DD 112D ,...,

222D =

(6. 9)

6.4.1 - Adição:

É definida como:

onde , , D T U V T U V (6. 10)




aaa STST , a (6. 11)




STW , a (6. 12)


ii

ii

eeeeˆˆˆˆ

STSTW

(6. 13)

onde

jiji

jji

ji

jiij

eeeeeee

ee

eeW

ˆ.ˆˆ.ˆ

ˆˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

STST

ST

W

(6. 14)

isto é:

ijijij STW (6. 15)



][][][ STW (6. 16)


É definida como:

( ) onde , , D T U V T U V (6. 17)




e ,A D T U T U (6. 18)

É definida como:

vezes

... onde e A D

T T T T T T (6. 19)



6.4.4 - Produto de Dois Tensores de Ordem 3



aa STTS (6. 20)

e

aa TSST (6. 21)

onde

iieaa ˆ (6. 22)



isto é:

mjimij

immj

innmmj

minmmj

mnmmji

mimj

mmji

mmji

jijiij

STW

TS

TS

eeTS

eTSe

eeS

eSe

eSe

eeeeTS

ˆˆ

ˆˆ

ˆ.ˆ.

ˆ.ˆ

ˆ.ˆ

ˆ.ˆˆ.ˆ

T

T

T

STTS

(6. 24)

isto é:

mjimij STTS (6. 25)


mjimij TSST (6. 26)


]][[][ STTS (6. 27)


]][[][ TSST (6. 28)



STTS (6. 29)



e


isto é

VTSSVT (6. 32)





n vezes

3

2

...

:

TTTT

TTTT

TTT

n

(6. 34)


6.4.5 - Triplo Produto Escalar ou Produto Escalar de Ordem 3

T C (6. 35)

Ou

Ttr T C (6. 36)

Exemplo de Triplo Produto Escalar



11 12 21 11 12 21

11 11 12 12 21 21

11 12 11 12

21 22

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0: :

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0

1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0: : :

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0

:

S S S D D D

S D S D S D

S S D DS S D

S D

11 11 12 12 21 2121 22

S D S D S DD

(6. 37)

6.4.6 - Triplo Produto Vetorial ou Produto Vetorial de Ordem 3

B S D (6. 38)

Exemplo de Triplo Produto Vetorial

11 12 21 22

11 12 21 22

11 12 11 12

21 22 21 22

11 11 12 1

1 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 2

1 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 1

1 0 1 0 0 10 0 0 0 0 0

S S S S

D D D D

S S D DS S D D

S D S D

S D

2

21 21 22 22

11 11 12 12

21 21 22 22

12 21

0 10 0

0 0 0 0 0 0 0 0...

1 0 1 0 0 1 0 1

1 0 1 0 0 1 0 10 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0...

1 0 1 0 0 1 0 1

0

S D S D

S D S D

S D S D

S D

21 12 13 31 31 13

21 12 12 21 23 32 32 23

31 13 13 31 32 23 23 32

00

S D S D S DS D S D S D S DS D S D S D S D

(6. 39)

6.4.7 - Triplo Produto Tensorial ou Produto Tensorial de Ordem 3

B S D (6. 40)

Exemplo de Triplo Produto Tensorial



11 12 21 22

11 12 21 22

11 12 11 12

21 22 21 22

11 11 12 1

1 0 0 1 0 0 0 0:

0 0 0 0 1 0 0 2

1 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 1

1 0 1 0 0 10 0 0 0 0 0

S S S S

D D D D

S S D DS S D D

S D S D

S D

2 21 21

22 22

11 11 12 12 21 21

22 22

0 1 0 0 0 00 0 1 0 1 0

0 0 0 0...

0 1 0 1

1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0

0 0 0 0...

0 1 0 1

S D

S D

S D S D S D

S D

Q

(6. 41)

Observe que:

1

1

( ) ( )

( )

( )

n

iiiiiiin

iii iiii

tr

tr T C

tr

T C T C

T C

T C T C

(6. 42)

6. 5 – Cálculo com Supermatrizes ou Tensores de Ordem 3

Vamos a partir de agora iniciar o processo de generalização das operações

tensoriais a partir da definição de um operador linear, da seguinte forma:

6.5.1 - Representação de Um Operador Tensorial de ordem 3

Um tensor de ordem dois pode ser representado pelo produto tensorial de dois

vetores formando uma matriz, da seguinte forma:

u v w T (6. 43)

Observe que sendo T TT T temos:

Tu v w w v u (6. 44)

Sendo î iu u e , ˆj jv v e e ˆk kw w e temos:

ˆ ˆ î i j j k ku e v e w e T (6. 45)

Ou

ˆ ˆ î j k i j ku v w e e e T (6. 46)

chamando de:

ijk i j kT u v w (6. 47)

temos:

ˆ ˆ îjk i j kT e e e T (6. 48)

Este tensor T quando aplicado sobre um vetor x gera um outro tensor na direção de u v ,

da seguinte forma:

.u v w x x w u v (6. 49)

ou seja

x T S (6. 50)

Onde u v S .


Uma supermatriz é representada por uma sequência de valores e três direções

estão associadas a ela, por isso podemos chamá-lo de tensor de ordem dois.

111TT 112T ,...,

222T =

111 1 1 1 112 1 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,..., mnp n m ijk i j kT e e e T e e e T e e T e e e T

(6. 51)

onde



ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆl m n l m n ijk i j k

ijk l m n i j k

e e e e e e T e e eT e e e e e e

T (6. 53)

Mas

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. . .

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆl m n i j k k n j m i l

l m n i j k kn jm il


e e e e e e

(6. 54)

logo

ˆ ˆ ˆl m n ijk kn jm ile e e T T (6. 55)

Portanto,


Ou

ˆ ˆ ˆ( )T

i j ktr e e e T (6. 57)


ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ:i j k i j k

Ti j k i k j

e e e e e e

e e e e e e

T T

T T (6. 58)


As componentes de um tensor dependem da base de tensores de ordem 2 usadas

para descrever as suas componentes. Isto também será verdade para os tensores de ordem 3.

Seja 1 1 1 2, 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ; , , ; , e e e e e e e e e e e e e e e e e e e os

tensores unitários da base nas direções dos eixos 321 ,, xxx respectivamente, de um

sistema de coordenadas cartesianas retangulares (base ortonormal). Sob uma transformação T,

estes tensores, 1 1 1 2, 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ; , , ; , e e e e e e e e e e e e e e e e e e e

tornam-se 1eT , 2eT e 3ˆ eT . Cada um destes )3,2,1(ˆ ieiT sendo um vetor, pode

escrito como:

1 1 111 1 1 311 3 3

1 2 121 1 1 312 3 3

1 3 131 1 1 3131 3 3

2 1 211 1 1 321 3 3

2 2 221 1 1 322 3 3

3 3 331 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ...ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ...ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ...ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ...ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ...

:ˆ ˆ ˆ ˆ

e e T e e T e ee e T e e T e ee e T e e T e ee e T e e T e ee e T e e T e e

e e T e

TTTTT

T 1 333 3 3ˆ ˆ...e T e e

(6. 59)


Figura - 6. 1


ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆi j i j

i j ijk j k

e e T e e

e e T e e

T

T

(6. 60)

Multiplicando-se escalarmente a (5. 59) por ie é claro que:

333323321331

322322221221

311321121111

;;;;

;;

eeTeeTeeTeeTeeTeeT

eeTeeTeeT

TTTTTT

TTT

(6. 61)

São 9 componentes de T na base ie , ou

kiiki

kjjiik

jkjiik

jjikik

Tee

TeeeeTee

eTeee

T

TT

T

ˆ

ˆ

(6. 62)


ˆ ˆ ˆ:ijk i j kT e e e T (6. 63)


As componentes ijT nas equações acima são definidas como as componentes do


333231

232221

131211

321

TTTTTTTTT

T

eee TTT

(6. 64)

Este tensor de 2ª ordem possui 32 = 9 elementos. Esta matriz é chamada de matriz do tensor T

com relação à série dos vetores da base 321 ˆ,ˆ,ˆ eee ou ie abreviadamente. Nós notamos

que, a forma com que nós temos escolhido para denotar as componentes de transformação dos

vetores da base, os elementos da primeira coluna são as componentes do vetor 1eT , aqueles

da segunda coluna são componentes do vetor 2eT , e aqueles da terceira coluna são as

componentes do vetor 3eT .

6. 6 – Transformação de Coordenadas com Supermatrizes ou Tensores de Ordem 3



11 12 1

21 22 2

1 2

...

...: : : :

...

n

n

n n nn

S S SS S S

S S S

S (6. 65)


Figura - 6. 2



11 12 1

21 22 2

1 2

' ' ... '' ' ... ': : : :' ' ... '

n

n

n n nn

S S SS S S

S S S

S (6. 66)



, 1 , 1ˆ ˆ ˆ ˆ' ' '

n n


S e e S e e

S (6. 67)



bases, como sendo:





1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ' ' ' ' :n n



(6. 69)

e

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ: ' ' ' ' ' 'n n



(6. 70)


1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ: : : ' ' ' ' : ' 'n n



S S S (6. 71)

Temos:

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ: : ' ' : ' ' : ' 'n n



S S S (6. 72)


1 1

ˆ ˆ: ' ' 'n n


S Q e e Q S

S (6. 73)


1 1

ˆ ˆ' :n n


S Q e e Q S

S (6. 74)






e

'T


Onde:


: : : :ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ: ' ' : ' ' ... : ' '





Q


(6. 77)






6. 7 – Propriedades das Supermatrizes ou Tensores de Ordem 3

O espaço de supermatrizes satisfaz as seguintes propriedades algébricas.

i) Comutativa

A + B = B + A (6. 78)

Prova


ii) Associativa

A + (B + C) = (A + B) + C (6. 80)

Prova




Prova



A + (-A) = 0 A EMatrizes (6. 84)

Prova



(A + B) = A + B (6. 86)



( + )A = A + A (6. 88)

Prova

ijijij AAA (6. 89)


A(B + C) F = ABF + ACF (6. 90)

Prova


ijijijijijijij

FCAFBAFCFBA

FCBAFCBA

(6. 91)


(A. B).C = A.(B.C) = A.B.C (6. 92)

Prova

ijn ilm lkn ij ilm lkn kjp ilm lkn kjp ilmijm ljkAB C A B C p A B C A B C A BC

(6. 93)

ix)

(6. 94)


A.B = (B.A)T = B T .AT (6. 95)

Prova

. . .T

ijk ijk ilk lkj jkl kli jik jik ijk ijkA B A B B A B A B A (6. 96)




.u v w x x w u v (6. 98)

Ou x T S (5. 110)

Onde e .u v x w S xiii)

( )tr T C T C (5. 111)

Sendo e u v w x y z T C então:

xiii)

: . . .u v w x y z z w y v x u T C (5. 112)

6. 8 – Conclusão

Concluímos que além das operações internas entre a ordem tensorial três e as

operações de interação com as ordens inferiores zero, um dois, o produto tensorial

generalizado sugere o surgimento de uma ordem superior igual quatro.

Capítulo – VII

GENERALIZAÇÃO DO CONJUNTO DAS HIPERMATRIZES OU TENSORES DE ORDEM

QUATRO

RESUMO








coordenadas.



7. 3 – Hipermatrizes Tensores de Ordem 4

Vamos generalizar os tensores de ordem 4 como sendo uma extensão da ordem

dos tensores de ordem 3, definindo um conjunto E, da seguinte forma:

Chamaremos de E ao conjunto de todos os conjuntos anteriores, dado da seguinte

forma:

: , , , , ,... ? , ? ,..., ?E N Z Q R C , ,....., (7. 1)

onde ? é uma matriz n x n x n x n= n4.

Percebemos que podemos definir um elemento Q , pertencente ao conjunto E, o


7.3.1 - Definição de HiperMatriz

Os matrizes, Q, são grandezas tensoriais de ordem um tais que EQ , definidos

por

1111 1112? ? .... ?nnnnQ Q Q Q Q (7. 2)

Observe que uma hipermatriz é formado por uma matriz n x n x n x n.


1 1 1 1 1 1 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ: ? , ? ,...,..., ?m n k lQ e e e e e e e e e e e e (7. 3)

Temos:

1111 1 1 1 1 1112 1 1 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ,...ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ..., mnpq n m p q ijkl i j k l

Q e e e e Q e e e eQ e e e e Q e e e e

Q

(7. 4)


3

, , 1ˆ ˆ ˆ ˆijkl i j k l

i j kQ e e e e

Q (7. 5)



Q R P (7. 6)

7. 4 – Operações e Exemplos destas com Hipermatrizes ou Tensores de Ordem 4


7.4.1 - Adição:

É definida como:

onde , , E Q R P Q R P (7. 7)




aaa STST , a (7. 8)




STW , a (7. 9)


ii

ii

eeeeˆˆˆˆ

STSTW

(7. 10)

onde

jiji

jji

ji

jiij

eeeeeee

ee

eeW

ˆ.ˆˆ.ˆ

ˆˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

STST

ST

W

(7. 11)

isto é:

ijijij STW (7. 12)



][][][ STW (7. 13)


É definida como:

( ) onde , , E Q R P Q R P (7. 14)




e ,A E Q R Q R (7. 15)

É definida como:

vezes

... onde e A E

Q Q Q Q Q Q (7. 16)



7.4.4 - Produto de Dois Tensores de Ordem 4



aa STTS (7. 17)

e

aa TSST (7. 18)

onde

iieaa ˆ (7. 19)



isto é:

mjimij

immj

innmmj

minmmj

mnmmji

mimj

mmji

mmji

jijiij

STW

TS

TS

eeTS

eTSe

eeSeSe

eSe

eeeeTS

ˆˆˆˆ

ˆ.ˆ.

ˆ.ˆ

ˆ.ˆ

ˆ.ˆˆ.ˆ

TT

T

STTS

(7. 21)

isto é:

mjimij STTS (7. 22)


mjimij TSST (7. 23)


]][[][ STTS (7. 24)


]][[][ TSST (7. 25)



STTS (7. 26)



e


isto é

VTSSVT (7. 29)





n vezes

3

2

...

:

TTTT

TTTT

TTT

n

(7. 31)


7.4.5 - Quadruplo Produto Escalar

Q Q (7. 32)

7.4.6 - Quadruplo Produto Vetorial

B S D (7. 33)

7.4.7 - Quadruplo Produto Tensorial

B S D (7. 34)

7. 5 – Cálculo com Hipermatrizes ou Tensores de Ordem 4


Uma hipermatriz é representada por uma sequência de valores e quatro direções


1111 1112

1111 1 1 1 1 1112 1 1 1 2

? ? .... ?ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ,...

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ...,

nnnn

mnpq n m p q ijkl i j k l

Q Q QQ e e e e Q e e e e

Q e e e e Q e e e e

Q QQ

(7. 35)

onde

ˆ ˆ ˆ ˆijkl i j k lQ e e e e Q (7. 36)


ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ:: ::ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ::

i j k l i j k l ijkl m n p q

ijkl i j k l m n p q

e e e e e e e e Q e e e eQ e e e e e e e e

Q (7. 37)

Mas

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ:: . . . .

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ::i j k l m n p q q l p k n j m i

i j k l m n p q ql pk nj mi

e e e e e e e e e e e e e e e e

e e e e e e e e

(7. 38)

logo

ˆ ˆ ˆ ˆ ::i j k l ijklmnp iq kp jn ime e e e Q Q (7. 39)

Portanto,

ˆ ˆ ˆ ˆ ::ijkl i j k lQ e e e e Q (7. 40)

Ou

ˆ ˆ ˆ ˆ( :: )T

i j k ltr e e e e Q (7. 41)


ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ:: : :

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ:: : :i j k l i j k l

Ti j k l i k k l

e e e e e e e e

e e e e e e e e

Q Q

Q Q (7. 42)

Ou


As componentes de um tensor dependem da base de tensores de ordem 2 usadas

para descrever as suas componentes. Isto também será verdade para os tensores de ordem 3.

Seja 1 1 1 2, 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ; , , ; , e e e e e e e e e e e e e e e e e e e

os tensores unitários da base nas direções dos eixos 321 ,, xxx respectivamente, de um

sistema de coordenadas cartesianas retangulares (base ortonormal). Sob uma transformação T,

estes tensores, 1 1 1 2, 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ; , , ; , e e e e e e e e e e e e e e e e e e e

tornam-se 1 ie eQ , 2ˆ ˆ je eQ e 3ˆ ˆke eQ . Cada um destes ˆ ( 1,2,3)ie i Q sendo um

vetor, pode escrito como:

1 1 1111 1 1 3111 3 3

1 2 1211 1 1 312 3 3

1 3 1311 1 1 3131 3 3

2 1 2111 1 1 321 3 3

2 2 2211 1 1 322 3 3

3 3 33

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ...ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ...ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ...ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ...ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ...

:ˆ ˆ

e e Q e e Q e ee e Q e e T e ee e Q e e Q e ee e Q e e Q e ee e Q e e Q e e

e e Q

QQQQQ

Q 31 1 1 3333 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ...e e Q e e

(7. 43)


Figura - 7. 1


ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ î j i j

i j ijkl j k

e e Q e e

e e Q e e

Q

Q

(7. 44)

Multiplicando-se duploescalarmente a (5. 59) por ˆ î je e é claro que:

1111 1 1 1 1 1211 1 2 1 1 1311 1 3 1 1

2111 2 1 1 1 2211 2 2 1 1 2311 2 3 1 1

3111 3 1 1 1 3211 3 2 1 1 3311 3 3 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ: ; : ; :ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ: ; : ; :ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ: ; : ; :

Q e e e e Q e e e e Q e e e eQ e e e e Q e e e e Q e e e eQ e e e e Q e e e e Q e e e

Q Q QQ Q QQ Q Q

1e

(7. 45)

São 81 componentes de Q na base ˆ î je e , ou

ˆ ˆ:

ˆ ˆ ˆ:

ˆ:ˆ:

k l i j k ijkl i j

k l i j ijkl k j i j

k l i j ijkl kj kj

k l i j ijkl

e e e e e Q e e

e e e e Q e e e e

e e e e Q

e e e e Q

Q

Q

Q

Q

(7. 46)


ˆ ˆ ˆ ˆ:ijkl i j k lT e e e e Q (7. 47)


As componentes ijklT nas equações acima são definidas como as componentes do


3 11 1 2 1

1111 2112 3113

1121 2122 3123

1131 2132 3133

e ee e e e

Q Q QQ Q Q Q

Q Q Q

QQ Q

(7. 48)

Este tensor de 4ª ordem possui 34 = 81x81=6561 elementos. Esta matriz é chamada de matriz

do tensor T com relação à série dos vetores da base

1 1 1 2, 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ; , , ; , , e e e e e e e e e e e e e e e e e e ou

ˆ î je e abreviadamente. Nós notamos que, a forma com que nós temos escolhido para

denotar as componentes de transformação dos vetores da base, os elementos da primeira

coluna são as componentes do vetor 1 ˆ je eQ , aqueles da segunda coluna são componentes

do vetor 2ˆ ˆ je eQ , e aqueles da terceira coluna são as componentes do vetor 3ˆ ˆ je eQ .

7. 6 – Transformação de Coordenadas com Hipermatrizes ou Tensores de Ordem 4



11 12 1

21 22 2

1 2

...

...: : : :

...

n

n

n n nn

S S SS S S

S S S

S (7. 49)


Figura - 7. 2



11 12 1

21 22 2

1 2

' ' ... '' ' ... ': : : :' ' ... '

n

n

n n nn

S S SS S S

S S S

S (7. 50)



, 1 , 1ˆ ˆ ˆ ˆ' ' '

n n


S e e S e e

S (7. 51)



bases, como sendo:





1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ' ' ' ' :n n



(7. 53)

e

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ: ' ' ' ' ' 'n n



(7. 54)


1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ: : : ' ' ' ' : ' 'n n



S S S (7. 55)

Temos:

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ: : ' ' : ' ' : ' 'n n



S S S (7. 56)


1 1

ˆ ˆ: ' ' 'n n


S Q e e Q S

S (7. 57)


1 1

ˆ ˆ' :n n


S Q e e Q S

S (7. 58)






e

'T


Onde:


: : : :ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ: ' ' : ' ' ... : ' '





Q


(7. 61)






7. 7 – Propriedades das Hipermatrizes ou Tensores de Ordem 4

O espaço de hipermatrizes satisfaz as seguintes propriedades algébricas.

i) Comutativa

A + B = B + A (7. 62)

Prova


ii) Associativa

A + (B + C) = (A + B) + C (7. 64)

Prova




Prova



A + (-A) = 0 A EMatrizes (7. 68)

Prova



(A + B) = A + B (7. 70)



( + )A = A + A (7. 72)

Prova

ijijij AAA (7. 73)


A(B + C) F = ABF + ACF (7. 74)

Prova


ijijijijijijij

FCAFBAFCFBA

FCBAFCBA

(7. 75)


(A. B).C = A.(B.C) = A.B.C (7. 76)

Prova


(7. 77)

ix)

(7. 78)


A.B = (B.A)T = B T .AT (7. 79)

Prova

. . .T





.u v w x y y x u v w (7. 82)

Ou x T S (5. 113)

Onde e .u v x w S xiii)

( )tr T C T C (5. 114)

Sendo e u v w x y z T C então:

xiii)

: . . .u v w x y z z w y v x u T C (5. 115)

7. 8 – Conclusão

Concluímos que além das operações internas entre a ordem tensorial três e as

operações de interação com as ordens inferiores zero, um dois e três, o produto tensorial

generalizado sugere o surgimento de uma ordem superior igual quatro e N.

Capítulo – VIII

GENERALIZAÇÃO DO CONJUNTO DAS ULTRAMATRIZES OU TENSORES DE ORDEM N

RESUMO








coordenadas.



8. 3 – Ultramatrizes Tensores de Ordem N

Vamos generalizar os tensores de ordem N como sendo uma extensão da ordem

dos tensores de ordem qualquer, definindo um conjunto W, da seguinte forma:

Chamaremos de W ao conjunto de todos os conjuntos anteriores, dado da seguinte

forma:

: , , , , ,... # , # ,..., #W N Z Q R C , ,....., (8. 1)

onde # é uma matriz n x n x....x n= nN.

Percebemos que podemos definir um elemento Z, pertencente ao conjunto W, o


8.3.1 - Definição de UltraMatriz

Os matrizes, Z , são grandezas tensoriais de ordem um tais que WZ , definidos

por

111...1 111...2 ...# # .... #nnn nS S S Z Z (8. 2)

Observe que uma ultramatriz é formado por uma matriz n x n x …n (N vezes).


1 1 1 1 1 1 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ... # , ... # ,...ˆ :ˆ ˆ ˆ ˆ..., ... #m n k w

e e e e e e e eZ

e e e e

(8. 3)

Temos:

111...1 1 1 1 1 111...2 1 1 1 2

... ...

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ... ... ,...ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ..., ... ...mn w n m p w ij w i j k w

Z e e e e Z e e e eZ e e e e Z e e e e

Z (8. 4)


3

...., , 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ...ijkl w i j k l wi j k

Z e e e e e

Z (8. 5)

8.3.2 - Soma de Tensores de Ordem N


Z Y X (8. 6)

8. 4 – Operações e Exemplos destas com Ultramatrizes ou Tensores de Ordem N


8.4.1 - Adição:

É definida como:

onde , , W Z Y X Z Y X (8. 7)




aaa STST , a (8. 8)




STW , a (8. 9)


ii

ii

eeeeˆˆˆˆ

STSTW

(8. 10)

onde

jiji

jji

ji

jiij

eeeeeee

ee

eeW

ˆ.ˆˆ.ˆ

ˆˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

STST

ST

W

(8. 11)

isto é:

ijijij STW (8. 12)



][][][ STW (8. 13)


É definida como:

( ) onde , , W Z Y X Z Y X (8. 14)




e ,A W Z Y Z Y (8. 15)

É definida como:

vezes

... onde e A W

Z Z Z Z Z Z (8. 16)



8.4.4 - Produto de Dois Tensores de Ordem N



aa STTS (8. 17)

e

aa TSST (8. 18)

onde

iieaa ˆ (8. 19)



isto é:

mjimij

immj

innmmj

minmmj

mnmmji

mimj

mmji

mmji

jijiij

STW

TS

TS

eeTS

eTSe

eeSeSe

eSe

eeeeTS

ˆˆˆˆ

ˆ.ˆ.

ˆ.ˆ

ˆ.ˆ

ˆ.ˆˆ.ˆ

TT

T

STTS

(8. 21)

isto é:

mjimij STTS (8. 22)


mjimij TSST (8. 23)


]][[][ STTS (8. 24)


]][[][ TSST (8. 25)



STTS (8. 26)



e


isto é

VTSSVT (8. 29)





n vezes

3

2

...

:

TTTT

TTTT

TTT

n

(8. 31)


8.4.5 - N’tuplo Produto Escalar

Z Z (8. 32)

8.4.6 - N’tuplo Produto Vetorial

B S D (8. 33)

8.4.7 - N’tuplo Produto Tensorial

ΘB S D (8. 34)

8. 5 – Cálculo com Ultramatrizes ou Tensores de Ordem N

8.5.1 - Representação do Elemento Tensorial de Ordem N

Uma hipermatriz é representada por uma sequência de valores e quatro direções


111...1 111...2 ...

111...1 1 1 1 1 111...2 1 1 1 2

... ...

# # .... #ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ... ... ,...

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ..., ... ...

nnn n

mn w n m p w ij w i j k w

Z Z ZZ e e e e Z e e e e

Z e e e e Z e e e e

Z ZZ

(8. 35)

onde

ˆ ˆ ˆ ˆijkl i j k lQ e e e e Q (8. 36)


ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ:: ::ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ::

ˆ ˆ ˆ ˆ ::

i j k l i j k l ijkl m n p q

ijkl i j k l m n p q

i j k l ijkl ijklmnpq

e e e e e e e e Q e e e e

Q e e e e e e e e

e e e e Q

Q

Q

(8. 37)

Portanto,

ˆ ˆ ˆ ˆ ::ijkl i j k lQ e e e e Q (8. 38)

8.5.2 - Componentes de um Tensor de Ordem N

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ... ...ijkl i j w k l wT e e e e e e Z (8. 39)

8. 6 – Transformação de Coordenadas com Ultramatrizes ou Tensores de Ordem N

8. 7 – Propriedades das Ultramatrizes ou Tensores de Ordem N

O espaço de ultramatrizes satisfaz as seguintes propriedades algébricas.

i) Comutativa

A + B = B + A (8. 40)

Prova


ii) Associativa

A + (B + C) = (A + B) + C (8. 42)

Prova




Prova



A + (-A) = 0 A EMatrizes (8. 46)

Prova



(A + B) = A + B (8. 48)



( + )A = A + A (8. 50)

Prova

ijijij AAA (8. 51)


A(B + C) F = ABF + ACF (8. 52)

Prova


ijijijijijijij

FCAFBAFCFBA

FCBAFCBA

(8. 53)


(A. B).C = A.(B.C) = A.B.C (8. 54)

Prova


(8. 55)

ix)

(8. 56)


A.B = (B.A)T = B T .AT (8. 57)

Prova

. . .T





... . ...u v w x y y x u v w (8. 60)

8. 8 – Conclusão

Concluímos que além das operações internas entre a ordem tensorial N e as

operações de interação com as ordens inferiores zero, um dois e três, quatro, N-1, o produto

tensorial generalizado sugere o surgimento de uma ordem superior igual quatro e N+1 e

assim sucessivamente.

Capítulo – IX

GENERALIZAÇÃO DE FUNÇÕES, SEQUENCIAS, SERIES E TRANSFORMADAS

RESUMO

Neste capítulo será visto a álgebra e o cálculo tensorial de funções. As

propriedades fundamentais das funções tensoriais serão demonstradas preparando o estudante

para a sua aplicação na teoria da elasticidade e na teoria da viscosidade.


i) Entender o conceito geral de função tensorial e suas propriedades.

ii) Saber reconhecer uma função tensorial.

iii) Saber expressar uma função vetorial e/ou tensorial em diferentes sistemas de

coordenadas.

iv) Saber realizar cálculos de funções tensoriais.

9. 2 - Introdução

9. 3 - Espaço Tensorial de Funções

As relações e funções nascem, quando as grandezas são relacionadas entre si.

Contudo a descrição destas envolve variáveis escalares, vetoriais e tensoriais. A

Apêndices

Espaço Tensorial Generalizado

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