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Expondremos a continuación, los resúmenes de algunos informes quecontienen el resultado de investigaciones realizadas en varios países,todos relacionados con la aplicación del MET –Method of EquivalentThickness- (Método de Espesores Equivalentes), de ODEMARK.

Los artículos cuyos originales están en inglés, han sido traducidos alespañol, por el autor de la presente nota.

HIGHWAYS DEPARTMENT, Research & Development Division. RD/GN/027A, Hong Kong,June 2009

1.INTRODUCCIÓN.

El HyD, a través de la presente Nota de Guía, describe unprocedimiento estándar para calcular el módulo efectivo de unpavimento y la vida residual utilizando la data obtenida con elDeflectómetro de Impacto (Dynatest 8002 Falling WeightDeflectometer) y su software acompañante ELMOD (Evaluation ofLayer Moduli and Overlay Design).

La GN (Guide Note) está descrita en estrecha correlación con elsoftware ELMOD. Por lo tanto, esta GN no intenta otra evaluaciónque no sea hecha con el ELMOD.

Se espera que conforme se vaya ganando más experiencia con elFWD, el ensayo con la Viga Benkelmann (Benkelmann Beam –BB-) iráquedando obsoleto.

EL MÉTODO DE ESPESORES EQUIVALENTES –MET- oMÉTODO DE ODEMARK PARA EL DISEÑO DE PAVIMENTOS

FLEXIBLES

[1] Notas de Guías sobre el Cálculo de los Módulos de las Capas delPavimento, y Estimación de la Vida Residual Utilizando los Datos de

los Ensayos Realizados con el Deflectómetro de Impacto (FWD)

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El HyD ha estado realizando sus evaluaciones con la BB, sinembargo, la BB tiene las siguientes limitaciones:

(a) No puede utilizarse para la evaluación de pavimentosrígidos.

(b) El tiempo de carga con la BB es mayor que los tiemposde cargas reales y las deflexiones pueden ser diferentes alas condiciones reales de la carga.

(c) La BB no puede medir la forma de la curva de lasdeflexiones.

(d) Los resultados del ensayo BB son analizados deacuerdo al Reporte de Laboratorio N° 833, el cual estábasado en los resultados empíricos del UK los cualespueden no ser apropiados para las condiciones locales.

(e) El BB toma mucho tiempo, y requiere el cierre ydesvío del tránsito

Todas estas desventajas no las tiene el FWD.

(ACLARACIÓN del HyD).Los espesores de la rehabilitación calculados con el ELMOD nopueden ser utilizados directamente para propósitos del diseño dela rehabilitación. Los recubrimientos, deberán ser diseñados deacuerdo al HyD Pavement Design Manual, cuando éste seapublicado.

{Nota del traductor MSCh}Cabe recordar aquí, lo señalado por el informe para la Implementación del MEPDG en elINDOT, en el sentido de que los valores del MR, obtenidos con el FWD, arrojan resultados quepueden llegar hasta 4 veces el valor del MR obtenido en el laboratorio con el ensayo triaxial decarga cíclica utilizando el Método de AASHTO M307-9.

Es por ello que según el mismo informe, el valor del MR obtenido con el FWD, solo debeutilizarse cuando se trata de diseños MEPDG del Nivel 2 Para los diseños del Nivel 1, debenecesariamente determinarse el MR en el laboratorio.

2. TEORÍA BÁSICA (DEL ELMOD).

2.1. ESTRUCTURA DEL PAVIMENTO

El principio general en el modelamiento del pavimento es que lascapas de propiedades similares deben combinarse en una sola. Elespesor de las capas individuales debe determinarse de acuerdo ala Sección 3.2. El modelo del pavimento a ser utilizado para elanálisis debe determinarse como se muestra a continuación,líneas abajo.

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Normalmente, un pavimento flexible se modela como una estructurade 3 capas con todas las capas asfálticas combinadas en una solacapa superior (top layer), la base y/o sub-base granulares enuna segunda capa, y la subrasante como la tercera capa.

{Nota}Obsérvese que en este modelo de esfuerzos, se asume una composición modular distinta a laque utilizó LFW al realizar su análisis de las carpetas asfálticas y la variación del esfuerzo-deformación de tracción, de acuerdo con su espesor y la relación modular MR. LFW utilizó solo2 módulos, haciendo una composición entre las capas asfálticas superiores (E1), y luego hizouna composición entre todas las capas granulares subyacentes, incluyendo en estas últimas ala subrasante (E2).

Mientras, en esta ocasión, el HyD agrupa en el primer módulo (E1), todas las capas asfálticassuperiores, en el segundo módulo (E2) incluye la base y la sub-base, ambas granulares, yfinalmente, en el tercer módulo (E3) considera solamente la subrasante.

Un pavimento rígido es normalmente modelado con la losa deconcreto como la capa superior y la sub-base combinada con lasubrasante para conformar la segunda capa.

Algunas veces los modelos estándar indicados arriba, no danresultados razonables, por ejemplo, el módulo de la sub-baseresulta inferior al de la subrasante. La razón puede deberse aque el módulo de la subrasante tiene un comportamiento no-lineal, normalmente se incrementa con la profundidad. El módulode la subrasante puede también ser dependiente del esfuerzo,usualmente el módulo es mayor cuando el valor del esfuerzodesviador es menor. De allí que el valor del módulo de lasubrasante medido bajo el eje central de la carga sea menor queel que es medido a alguna distancia más alejada de la carga. Unatercera razón puede ser la presencia de una capa rígida a ciertaprofundidad en la subrasante. Para obtener resultados másrazonables de estos cálculos, la subrasante puede serposteriormente dividida en 2 capas, con una capa justo debajo desu nivel, de un espesor de 500 a 1000mm en la parte más alta dela capa semi-infinita del fondo.

Las experiencias de nivel mundial, indican que las condicionescríticas en la estructura de un pavimento flexible son lasdeformaciones de tracción en el fondo de la capa superior (top-layer) y las deformaciones de compresión en la parte superior dela subrasante. Un modelo típico de pavimento flexible se muestraen la Figura 1.1. Las condiciones críticas en un pavimentorígido son más difíciles de determinar debido a la presencia dediscontinuidades en las juntas de la losa. Un modelo típico depavimento rígido se muestra en la Figura 2.2. Las reglas de

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modelación para diferentes capas del pavimento se describen conmayores detalles en la Sección 4.2.

{Nota}Con lo acotado al inicio del párrafo, el HyD concuerda nuevamente con la premisa, de que lasdos condiciones críticas en la estructura de un pavimento flexible, son los esfuerzos de tracciónen el fondo de la CAC, y los esfuerzos de compresión sobre la subrasante, ambos ubicados en eleje de la carga.

(Ver Figuras 2.1 y 2.2)

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2.1.1. CAPA SUPERIOR.

En pavimentos flexibles, todas las capas superiores secombinan en una sola. Tener en cuenta que las capassuperiores no estructurales como las de fricción debenexcluirse del espesor total.

Para pavimentos rígidos, la losa de concreto se modela comola capa superior. Para un pavimento compuesto en el que unacapa de fricción superficial se coloca sobre una losa deconcreto, la capa asfáltica no se debe considerar como capaestructural debiendo utilizar solamente el espesor de la losade concreto.

La capa superior es designada como la Capa 1, con un espesorH1 y un Módulo E1.

2.1.2. SUB-BASE.

Para los pavimentos flexibles, la sub-base granular se modelacomo una capa separada. Se le designa como la Capa 2, conespesor H2 y Módulo E2.

Para pavimentos rígidos con sub-base granular, la diferenciade magnitud entre el módulo de la losa y la capa subyacentees suficientemente grande como para considerar que ladiferencia modular entre la sub-base y la subrasante esinsignificante. La sub-base se combina con la subrasantesemi-infinita en una sola capa y se les designa como Capa 2con Módulo E2.

Si se utiliza una sub-base de concreto pobre, se asume que elconcreto pobre se ha fisurado en bloques de 300mm o más. Estetamaño es igual o mayor que el plato de carga del FWD y lasdeflexiones en las cercanías del plato de carga no se puedenevaluar correctamente con la teoría elástica. Porconsiguiente, la sub-base debe también ser combinada con lasubrasante semi-infinita y designada como la Capa 2 conmódulo E2.

2.1.3. SUBRASANTE.

La subrasante es modelada normalmente como una capa semi-infinita. En el modelo de 2 capas, la sub-base es combinada

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con la subrasante y desginada como la Capa 2, con Módulo E2.En el modelo de 3 capas, la subrasante es designada como Capa3, con módulo E3.

En el modelo de 4 capas, la capa adicional de subrasante deespesor 500 a 1000mm debajo del nivel de formación, esdesignado como la Capa 3, con espesor H3 y Módulo E3 y lasubrasante que queda debajo como Capa 4, con Módulo E4. Sinembargo, el ELMOD requiere que la relación E2/E3 se mantengafija para un modelo de 4 capas. Para materiales granulares,el ELMOD asume una relación E2/E3 = 0.2*h2

0.45 por descarte.

No se recomienda utilizar un modelo de 5 capas. En algunoslugares, una capa rígida, por ej. una capa de roca, puedeexistir a una profundidad conocida debajo de la estructuradel pavimento. En esos casos, la profundidad de la caparígida debe ser ingresada al ELMOD.

2.2. RETROCÁLCULO DE LOS MÓDULOS DE LAS CAPAS DEL PAVIMENTO.

Existen varios programas de software disponibles para estimarla rigidez de las capas de los pavimentos. Programasdiferentes pueden aplicar principios diferentes también. ElELMOD utiliza un método aproximado basado en las ecuacionesde Boussinesq y el Método de Odemark del espesor equivalente,para estimar los módulos de las capas. Esta sección describela teoría básica utilizada.

2.2.1. ECUACIONES DE BOUSSINESQ.

El método del “Radio de Curvatura” adoptado por el ELMOD,hace uso de las Ecuaciones de Boussinesq. Boussinesqdesarrolló un grupo de ecuaciones para calcular losesfuerzos, deformaciones y condiciones de deflexión en unmedio homogéneo, isotrópico, elástico lineal semi-infinitobajo el punto de carga. El esfuerzo, deformación ycondiciones de deflexión bajo una carga uniforme puede serencontrado por integración. A la profundidad “z” bajo el ejede una carga circular uniforme σ0 con un radio “a”, elesfuerzo, la deformación y la deflexión están dados por lassiguientes ecuaciones:

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}

σz=σ0x{1−1¿¿ ¿

σr=σt=σ0x{(1+2µ)

2−

(1+µ)√1+¿¿¿

εz=(1+µ)xσ0

E x {

za¿¿

dz=(1+µ)xσ0xaEx{ 1

√1+¿¿¿

R=Ex

a[(1−µ2 )σ0]

{1+[ 32

(1−µ ) ]x(za )2

}

x ¿

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Donde:σz = esfuerzo verticalσr = esfuerzo radialσt = esfuerzo tangencialεz = deformación verticalεr = deformación radialdz = deflexión verticalR = radio de curvaturaE = móduloµ = relación de Poisson

Nótese que la deformación horizontal al fondo de la capabituminosa, es a menudo la deformación crítica en laestructura del pavimento, y puede encontrarse calculandoprimero el radio de curvatura del plano al fondo de la Capa1.

2.2.2. EL MÉTODO DEL ESPESOR EQUIVALENTE DE ODEMARK

Las ecuaciones de Boussinesq son aplicables a una capahomogénea. En la práctica, la mayoría de estructuras depavimentos no son homogéneas, pero son sistemas de variascapas. Odemark desarrolló un método aproximado paratransformar el sistema el cual consiste en transformar unsistema que consiste de varias capas con diferentes módulosen un sistema equivalente donde los espesores de las capasse cambian pero todas las capas tienen el mismo módulo. Estoes lo que se conoce como el Método del Espesor Equivalente.La transformación asume que la rigidez de la capa permanecela misma, esto es:

εr=

z2R

IE(1−µ2)

semantieneconstante

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{N.MSCh}Esta relación, según Odemark, es una expresión que indica la rigidez de una capa, y es labase de su análisis.

Donde: I = Momento de InerciaE = Módulo de Elasticidad de la Capaµ = Relación de Poisson

Como I es función del cubo del espesor de la capa, latransformación del espesor equivalente para una capa deespesor h1, módulo E1, relación de Poisson µ1 en una capa conespesor equivalente he, módulo E2 y relación de Poisson µ2,puede expresarse como sigue:

Como este es un método aproximado, se debe aplicar un factorde reajuste “f” al lado derecho de la ecuación indicadaarriba, con el fin de obtener un mejor acercamiento con lateoría elástica. El valor de “f” depende del espesor de lacapa, de la relación modular, de la relación de Poisson ydel número de capas de la estructura del pavimento. Más aún,la razón de Poisson para los materiales de los pavimentospuede asumirse que es igual, usualmente equivalente a 0.35.Luego, la ecuación del espesor equivalente puede expresarsepor consiguiente de la siguiente forma:

h13xE1

(1−µ12)

=he

3xE2

(1−µ22)o

he=h1x¿

he=fxh1x3√E1

E2

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Para analizar la estructura de un pavimento multi-capa,conocidos los módulos de las capas, las capas pueden sersucesivamente transformadas en un sistema equivalente con elmódulo de un capa homogénea igual al módulo de la capa semi-infinita de la subrasante aplicando el método de Odemark.Luego, las fórmulas de Boussinesq pueden aplicarse paracalcular los esfuerzos, deformaciones y deflexiones. Alanalizar las data del FWD, el proceso es al revés, utilizandolas deflexiones de la superficie medidas a diferentesdistancias del plato de carga para “retro-calcular” losmódulos de las capas individuales del pavimento.

{N.MSCh}Si observamos las fórmulas que señala Felipe Hidalgo en su Tesis de Grado, vemos que élya hizo la transformación de módulos, y termina aplicando la primera ecuación deBoussinesq para el cálculo del esfuerzo vertical σz, con pequeñas variaciones en lasnomenclaturas que él utiliza.

El módulo retrocalculado es a menudo llamado el “móduloefectivo” debido a que su valor representa el efecto de lacapa dentro de la totalidad de la estructura del pavimento.Este puede ser distinto al módulo obtenido si la capa seevalúa aisladamente, como es en el caso de los ensayosrealizados con corazones en el laboratorio.

…………………………..

- Ing. Felipe Hidalgo Andrade, Escuela Politécnica Nacional, Quito, Ecuador. Tesisde Grado para Optar el Título de Ingeniero Civil, Item 2.4.3.3. Sangolquí, 2007.

- Stresses in Pavements, University of Tennessee, Memphis, USA.

Cálculo de los Esfuerzos de Servicio

[2] Tesis de Grado para Optar el Título de Ingeniero Civil. Ing. FelipeHidalgo Andrade. Escuela Politécnica Nacional, Quito, Ecuador.

Sangolquí, 2007

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1. FORMULA DE ODEMARK PARA EL DISEÑO DE PAVIMENTOS FLEXIBLES.

La Fórmula de Odemark, permite calcular la presión vertical σz, que ejerce el paquete estructural del pavimento, a la profundidad que corresponde a la cota de la subrasante. Para este caso, resulta aplicable la siguiente ecuación:

{Nota}Como podemos observar, esta ecuación es la misma que se muestra para para la GN del HyD, con ligeras modificaciones en su presentación.

Hago la salvedad, que en el texto de su Tesis, el autor cometió un error material en la fórmula,al no haber incluido el radical de la raíz cuadrada en el denominador. Hemos corregido esteerror involuntario.

Donde: σz = esfuerzo vertical de compresión sobre la subrasanteσc = esfuerzo de contactor = radio del contacto = 15.27 cm

y:

Donde:

f = factor de corrección, entre el Método de Odemark(Method of Equivalent Thickness –MET-), y el métodoelástico. Depende de los espesores de las capas, losvalores de los módulos y el número de capas de laestructura del pavimento. Varía entre 0.8 y 0.9,

he=fx∑i=1

n−1hi

3√ Ei

ESG……………………..(2)

σz=σc¿ (1)

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teniendo un valor de 1.0 solo para la primerainterfase.

EJEMPLO:Calcular la presión vertical que ejerce un vehículo de un ejeequivalente de 8,200 kg, a la profundidad de la subrasante, enun pavimento con las siguientes características:

E1 (CAC) = 4,000 MPa = 40,800 kg/cm2; h1 = 7.5cmE2 (Base granular) = 300 MPa = 3,060 kg/cm2; h2 = 20 cmE3 (Subrasante) = 100 MPa = 102 kg/cm2

Radio del contacto: r = 15.27 cm

Calculamos primero he:

he = 0.8(7.5 3√4,000100+20 3√300100

)

he = 43.56

Presión de contacto:

Q = 8,200/2 = 4,100 kg

σc = 4,100π x 15.272

= 5.6 kg/cm2

σz=5.6 ¿

σz = 0.894 kg/cm2

Los estudios de Odemark, también permiten calcular el valor dela presión vertical en la línea de las interfases entre lascapas del pavimento:

he = f x h1 3√E1E2 ………………..(3)

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Debiendo tener en cuenta que:

f = 0.8 para la segunda capa del sistema,f = 0.9 para la capa n del sistemaf = 1.0 para la primera interfase

Si, por ejemplo quisiéramos saber la presión vertical en la primera interfase del sistema planteado en el problema anterior,tendríamos:

he=1.0x7.5 3√(4,000300 ) = 17.78luego:

σz=5.6 ¿

σz = 3.155 kg/cm2

Si asumimos que la razón de Poisson es υ = 0.5:

σt = 1.578 kg/cm2

Si asumimos que la razón de Poisson es υ = 0.35:En nuestro medio, este valor (0.35) es más común y utilizado(ver Informe de WAG),

σt = 1.10425 kg/cm2

Por otro lado, asumamos que hemos hecho un ensayo de EstabilidadMarshall, con una muestra del concreto asfáltico de estacarpeta, y que nos ha arrojado una resistencia de 1,000 kg, parauna briqueta de dimensiones normales, es decir de 4” de diámetroy 2.5” de espesor.

Para el caso citado, tendríamos que la resistencia a la rupturapor la tracción indirecta, sería:

σt= 2Qd x a x π

En la que:

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σt = Esfuerzo de rotura por tracción indirecta (kg/cm2)Q = carga de rotura aplicada = 1,000 kgd = diámetro de la briqueta = 10.16 cm a = ancho de la briqueta = 2.5” = 6.35 cmPor lo tanto:

σt = 2 x 1,00010.16 x 6.35 x 3.1416

σt = 9.87 kg/cm2

Comparando este valor, con el que obtuvimos por el métodomecanístico de la Fórmula de Odemark, veremos que la relaciónentre ambos valores, es:

1.10425/9.87 = 0.112 = 11.2%

Esta relación es razonable, ya que demuestra que el esfuerzo detracción en la fibra inferior de la carpeta, debido al tránsito,es el 11.2% del esfuerzo de rotura de la carpeta, y normalmente,el esfuerzo cíclico que se aplica en los ensayos de fatiga, esde este orden (10 a 20%).

Veamos ahora lo que ocurrirá si el MR de la MAC, asciende a, porejemplo 8,000 MPa, es decir al doble del valor que hemos asumidoen el ejemplo anterior:

Calculemos primero el valor de σt en la fibra inferior de laCAC:f sigue siendo 1.0aplicamos la ecuación (3), para calcular el valor de he:

he=1.0x 7.5 3√8,000300

he = 22.41

aplicamos ahora la ecuación (1):

σz=5.6 ¿

σz = 2.44 kg/cm2 < 3.155 kg/cm2

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lo cual, teóricamente, es lógico, ya que al incrementar el MR dela CAC, el criterio de Odemark asume que se está utilizando unamezcla de mayor capacidad mecánica, por lo que el espesorequivalente he será mayor y con ello disminuirá el esfuerzo decompresión en la fibra inferior de la CAC.

Sherif M. El-Badawy, Ph.D, y Mostafa A. Kamel, Ph.D, Profesores Asistentes del PublicWorks Department, Faculty of Engineering, Mansoura University, Mansoura, Egypt.

(Traducción del autor de la nota):

I. Introducción .

Odemark desarrolló un método aproximado, para calcular losesfuerzos y deformaciones en sistemas de pavimentos multicapa,transformando su estructura en un sistema equivalente de unasola capa con un solo módulo elástico. Este método es conocidocomo el Método del Espesor Equivalente (MET –Method ofEquivalent Thickness-, por sus siglas en inglés) o simplementeMétodo de Odemark. El MET asume que los esfuerzos ydeformaciones debajo de una capa, dependen solo de la rigidez dedicha capa. Si el espesor, el módulo y la razón de Poisson de lacapa cambian, pero la rigidez se mantiene invariable, losesfuerzos y las deformaciones debajo de dicha capa tampococambian (relativamente). De acuerdo a Odemark, la rigidez de unacapa es proporcional al siguiente término (1):

(En realidad, la expresión primigenia de este factor de proporción de la rigidez, tenía en el numerador el monomio IE (siendo I el momento de inercia), pero como éste es función del cubodel espesor, luego la fracción se transformó en h3E).

Donde:

h3E1−υ2

………………….(1)

[3] EVALUACIÓN Y MEJORAMIENTO DE LA PRECISIÓN DELMÉTODO DE TRANSFORMACIONES DE ODEMARK

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h = espesor de la capaE = módulo de elasticidad de la capaυ = razón de Poisson

Para la sección transformada que se muestra en la Figura 1, el espesor equivalente “he” se puede calcular como se indica a continuación:

Para el caso de un sistema de 2 capas, con igual razón dePoisson, el espesor equivalente puede calcularse usando lasiguiente fórmula:

Comparando los esfuerzos y deformaciones calculados utilizandoel Método de Odemark con aquellos de la teoría elástica,llegamos a la conclusión que ellos son relativamente diferentes.Con el fin de llegar a una mejor concordancia entre ambosmétodos, se aplica un factor de corrección “f” a las ecuacionesmostradas arriba, como se indica a continuación:

h13E1

1−υ12=he3E2

1−υ22 ,o,

he=h13√E1(1−υ2

2)E2(1−υ12)

………………………..(2)

he=h13√E1E2 ………………………………(3)

he=fxh13√E1E2 ………………………………(4)

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Los investigadores han reportado que el valor de corrección “f”,depende del espesor de la capa, los valores modulares y elnúmero de las capas que conforman la estructura del pavimento.Más aún, han mencionado que utilizando un valor de 0.8 a 0.9para “f”, llegamos a una buena concordancia entre los dosmétodos (2).

Figura 1. Transformación de Odemark de un Sistema de Capas

Para un sistema multicapa, el espesor equivalente de (n-1) capascon respecto al módulo de la capa “n”, puede calcularse como se indica:

Donde:he,n = espesor equivalente de la capa de interés, (capa n)f = factor de correcciónhi = espesor de la capa iEi, En = módulos de elasticidad de las capas i y n, respectivamente

El método de transformación de Odemark ha sido utilizado eimplementado en muchas aplicaciones (2), (3), (4), (5), (6),(7), (8). Subagio et al, utilizaron este método para calcular lavida residual y el espesor requerido de recubrimientos basadosen los datos de las deflexiones medidas utilizando eldeflectómetro de caída libre (FWD) (2). Senseney y Mooney tambiénutilizaron este método en la caracterización en un sistema dedos capas de suelos usando el deflectómetro ligero (3). Elúltimamente desarrollado Mechanistic Empirical Design Guide(MEPDG) implementó este método para transformar un sistema depavimento multicapa en un sistema equivalente de una sola capa.

he,n=fx∑i=1

n−1hi

3√EiEn ………………………………….(5)

h1E1υ1

E2υ2→h2E2υ2

E2υ2

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Este sistema equivalente se utiliza para determinar lafrecuencia de la carga basada en la longitud efectiva de pulso ocadencia del esfuerzo y la velocidad del vehículo utilizando lasiguiente relación:

Donde:fl = frecuencia de la carga, Hzt = tiempo de la carga, segvs = velocidad (mph)Leff = longitud efectiva del pulso del esfuerzo, pulg

El concepto de longitud efectiva, que ha sido empleado en elMEPDG, define el pulso del esfuerzo a una profundidad específicadentro del sistema del pavimento tal como se muestra en laFigura 2. En esta figura, la línea AA muestra la longitud delpulso del esfuerzo en la mitad del espesor de la capa asfáltica(CAC), mientras que la línea BB muestra la longitud del pulsodel esfuerzo en la capa de base granular. Las líneas inclinadasjunto con el espesor de la capa en cuestión definen la longitudefectiva del pulso del esfuerzo.

Debido a que la inclinación de la distribución del esfuerzo quese muestra en la Figura 2 está en función de la rigidez de lacapa y teniendo en cuenta que no existe una relación para quelas relacione a ambas, el sistema multicapa es transformado enun sistema equivalente de una sola capa, para estimar lalongitud efectiva. La sección transformada utilizando el MET, semuestra en la Figura 3. La sección transformada tiene el módulode la subrasante y tiene un espesor equivalente he. En el MEPDG,para simplificar, la distribución del esfuerzo para un suelo desubrasante típica se asume que está a 45° como se muestra en laFigura 4. Usando esta distribución del esfuerzo, la longitudefectiva puede calcularse a cualquier profundidad dentro delsistema del pavimento.

fl=1t=17.6vsLeff

……………………………(6)

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Figure 3. Equivalent Thickness Calculation

he=h1e+h2e=h13√ E1

ESG+h2

3√ E2

ESG= ∑

i=1

i=n−1hi

3√ EiESG

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En el MEPDG, para cualquier capa del pavimento, la longitudefectiva del pulso del esfuerzo se calcula a la profundidadefectiva (Zeff). La profundidad efectiva es la profundidadtransformada a la cual se necesita la frecuencia. La profundidadefectiva para la sección transformada (como se muestra en laFigura 4), se calcula con la ayuda de la siguiente ecuación (6):

La frecuencia de la carga a la profundidad efectiva es luegoutilizada para determinar el módulo complejo (E*) de la capa deasfalto. Así la precisión del MET afecta la precisión de E* elcual a su vez influye en la predicción del MEPDG sobre elahuellamiento, el fisuramiento debido a las cargas y larugosidad.

II.Objetivos.

Este informe, tiene dos objetivos principales.

El primero es investigar la precisión del método detransformación de Odemark (MET)

Zeff=∑i=1

n−1 (hi 3√ EiESG )+hn

3√ En

ESG………………..

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El segundo es investigar y determinar la forma de mejorar laprecisión del MET, si está garantizada.

III. Metodología del Estudio.

Un extenso estudio se introdujo para cuantificar la influenciadel espesor de las capas, la profundidad y las relacionesmodulares, sobre el factor de corrección “f” del método detransformación Odemark. Un sistema bicapa con valores delespesor de la primera capa de 2, 6, 10 y 15 pulg se utilizó enel análisis.

Fueron analizadas un total de 5 relaciones modulares diferentesE1/E2 = 3.33, 16.67, 33.33, 50.0 y 66.67 para cada espesor.

Se asumió una razón de Poisson de 0.35 en todos los cálculos.

La Figura 5 muestra la carga aplicada y las propiedades delsistema bicapa utilizado en este análisis.

Primero se realizó una solución elástica lineal sobre laestructura bicapa, utilizando el software KENPAVE para calcularlos esfuerzos vertical y radial a diferentes profundidadesmedidas desde la superficie de la capa superior bajo el ejecentral de la carga. Luego se utilizó el concepto detransformación de Odemark para convertir el sistema bicapa enuno de una sola capa con espesores equivalentes y un solomódulo. Luego se hizo una comparación entre los esfuerzoscalculados en ambos sistemas. La influencia del factor de

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corrección en los esfuerzos calculados en el sistematransformado usando el método MET fue estudiado.

IV. Análisis y Resultados.

La comparación entre la solución de Odemark, sin utilizar elfactor de corrección (es decir haciendo f = 1), con la soluciónKENPAVE, condujo a diferentes valores de los esfuerzos en lospuntos de interés. Esto está claramente demostrado en la Figura6. Esta Figura solamente muestra la magnitud de los esfuerzos adistintas profundidades bajo el eje central de la carga(distancia radial = 0)

Figura 6. Comparación entre los Esfuerzos Calculados Utilizandoel Software KENPAVE, y la Sección Transformada Equivalente(Odemark).

Un factor de corrección f fue luego introducido en la ecuaciónpara calcular la profundidad equivalente corregida. Primero fueaplicado un valor del factor f único, el cual fue aplicado atodos los puntos de interés para cada relación modular. Losresultados mostraron una buena concordancia solo para losesfuerzos verticales calculados en la interfase entre las doscapas cuando se utilizó un f = 0.8 a 0.9. Sin embargo acualquier profundidad fuera de la interfase los resultadosmostraron una diferencia significativa entre las dos soluciones.Esto significa que el factor de corrección f depende también dela profundidad.

Con el fin de verificar ello, la función “solucionadora” fueutilizada en una hoja de Excel para cada relación modular, paracalcular el factor f a cada profundidad, de tal manera que:

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Donde:

σvz = Esfuerzo vertical calculado a partir de un modelo bi-capaa una profundidad z, usando el software KENPAVE.

σvzti = Esfuerzo vertical calculado a la profundidadtransformada de Odemark zti (sistema de una sola capa) usandoBoussinesq o KENPAVE.

Los resultados demuestran que el valor de f depende no solo dela relación modular y el espesor de la capa superior en elsistema bi-capa, sino que depende también de la profundidad deinterés.

En las Figuras 7 a 9, se grafica la relación que existe entre elfactor de corrección f y la profundidad a diferentes relacionesmodulares para el sistema bi-capa investigado para h1 = 6, 10 y15 pulgadas respectivamente. Se encontró que para los puntos(valores de Z) de la primera capa la relación entre f y Z eradel tercer grado del polinomio. También se encontró que losvalores de R2 eran de 0.99+ para todos los diferentes valores dela relación modular y las diferentes estructuras consideradas enel análisis. Las relaciones entre f y Z para las dos capas semuestran en la Figura 9 para el sistema de pavimento con h1=15pulg. Ejemplos de estas relaciones se muestran en las Figuras 10y 11 para el sistema bi-capa siendo h1=6 pulg y una relaciónmodular 0.50.

σvzi−σvzti=0…………………………….(Ec.9)

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Utilizando las relaciones desarrolladas entre el factor decorrección y la profundidad para cada capa, se encuentra unaexcelente concordancia entre los esfuerzos verticales calculadosa diferentes profundidades bajo el eje central de la carga entreel sistema transformado y el sistema dos-capas. Esto se muestraen la Figura 12.

Desafortunadamente, normalizando los valores de la profundidad Zcon el espesor de la capa superior no eliminó el efecto delespesor de la capa. Sin embargo, parece existir una relación querelaciona el valor para cada capa, en un sistema bi-capa, a larelación modular y a la profundidad.

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Las Figuras 7 a 9 muestran también que para casos con relaciónmodular mayor de 3.33 el valor de f se vuelve asintótico a0.85, 0.8 y 0.79 para pavimentos con h1=6, 10 y 15 pulgrespectivamente. Se puede concluir de estos resultados que, enlos sistemas bi-capa, para diferentes relaciones modulares,estando el valor de f entre 0.8 y 0.9, da esfuerzos verticalesque están relativamente cercanos a aquellos obtenidos de lateoría de elasticidad en la interfase entre las dos capas.

La Figura 13 presenta un ejemplo de la relación entre elesfuerzo vertical calculado a diferentes distancias radiales,para diferentes valores de la profundidad, para el sistema dos-capas con h1 = 10 pulg, y una relación modular 16.67. Estosesfuerzos verticales fueron calculados para un problema de dos-capas utilizando KENPAVE. Este sistema dos-capas fue luegotransformado utilizando el método de Odemark con el factor decorrección f como una función de la profundidad y fueroncalculados los esfuerzos verticales a las profundidadestransformadas Zt. Esto es mostrado en la Figura 14. Comparandolos resultados de los esfuerzos verticales de los dos métodosresultó en una concordancia que se muestra en la Figura 15.

Figura 13. Relación entre el Esfuerzo Vertical y las Distancias

Radiales a Diferentes Profundidades. Sistema Dos-Capas

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Figura 14. Relación entre los Esfuerzos Verticales y las Distancias Radiales para Diferentes Profundidades (E1/E2=16.67), Sección Transformada

Figura 15. Comparación entre la Solución de Odemark y laSolución Dos-Capas para los Esfuerzos Verticales aDiferentes Profundidades y Distancias RadialesUtilizando el Factor de Corrección f (como una funciónde la profundidad) para el sistema h1=10pulg y E1/E2 =16.67

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V. CONCLUSIONES.

En función de los análisis conducidos en esta investigación,se llegaron a las siguientes conclusiones:

a. Con el fin de llegar a una buena concordancia entre losesfuerzos y deformaciones calculados utilizando el Métodode Odemark y aquellos de la teoría de la elasticidad, unfactor de corrección f debe ser introducido. Se encontróque este factor de corrección está en función del espesorde las capas, la profundidad y la relación modular.

b. El estudio mostró una buena concordancia entre losesfuerzos verticales y la interfase entre las dos capas,en un sistema dos-capas, calculados usando la teoría de laelasticidad y el concepto de Odemark cuando se utiliza unfactor de corrección en el rango de 0.8 a 0.9, lo cualconcuerda a su vez con otros estudios.

c. Sin embargo, a cualquier otra profundidad dentro de cadacapa, este factor de corrección no tiene un valorconstante. Se encontró que este factor de corrección varíade acuerdo con la profundidad de interés. El estudiodemostró que los puntos (valores de Z) en la primera capamantienen una relación polinómica de 3er grado con elfactor de corrección f para cada relación modular yespesor. En cambio los puntos (valores de Z) en la segundacapa siguen una relación polinómica de 2do grado con elfactor de corrección para cada relación modular y espesor.

d. Desafortunadamente, al normalizar los valores de laprofundidad (Z) con el espesor de la capa superior no seeliminó el efecto del espesor de la capa.

e. El MEPDG debería considerar la introducción de un factorde corrección en función de la profundidad, el espesor dela capa, y la relación modular para mejorar la precisióndel cálculo de la longitud efectiva y la profundidad quese requiere para los cálculos de E*.