DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO

Angela Donatiello 1

DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO SIGNIFICATO GEOMETRICO. EQUAZIONE DELLA RETTA TANGENTE

AL GRAFICO NEL PUNTO DI TANGENZA. REGOLE DI DERIVAZIONE. CONTINUITA’ E DERIVABILITA’

PUNTI DI NON DERIVABILITA’

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A (x1,y1) = (c, f(c)) B(x2,y2) = (c+h, f(c+h))

m =

tg

x

y

xx

yy

12

12

dove è l’angolo che la retta forma con l’asse delle ascisse valutato in senso antiorario.

RAPPORTO INCREMENTALE o TASSO DI VARIAZIONE

h

)c(f)hc(f

x

)c(f)xc(f

x

y

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Esso prende il nome di rapporto incrementale, in quanto è il rapporto tra l’incremento della variabile dipendente e quello della variabile indipendente.

Il rapporto incrementale corrisponde al coefficiente angolare della retta secante la curva nei due punti A e B

Esprime il tasso di variazione della funzione relativo all’intervallo [c,c+h] E’ un tasso di crescita se è positivo, un tasso di decrescita se negativo Si può interpretare anche come velocità media di variazione della

funzione nell’intervallo assegnato Se la funzione è una retta esso è costante, altrimenti varia, al variare

dell’intervallo

Esempio. Il tasso di crescita di una popolazione malthusiana è un rapporto incrementale:

)1t(N

)1t(N)t(Nmn

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Esempio. Velocità media di un corpo. La velocità media è rappresentata dal rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato per percorrerlo, indipendentemente dalla legge oraria considerata.

12

12media

tt

)t(s)t(s

t

sv

E’ interessante valutare anche la velocità istantanea di un corpo. Esempio. Controllo della velocità: tutor in autostrada e autovelox.

Tutor misura la velocità media:

12

12media

tt

)t(s)t(s

t

sv

L’autovelox misura la velocità istantanea, ossia una velocità media con

l’intervallo di tempo 0t

12

12

0t0teatantanis

tt

)t(s)t(slim

t

slimv

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Data una funzione )x(fy , il limite del

rapporto incrementale,

h

)c(f)hc(flim

x

ylim

0h0x

se esiste ed è finito

si chiama derivata della funzione nel

punto c e si indica con il simbolo )c('f o

)c(dx

df

Esempio. Accelerazione media e accelerazione istantanea. (8.1.7)

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Significato geometrico di derivata Il rapporto incrementale rappresenta il coefficiente angolare della retta secante

la curva nei due punti A e B. Quando però 0x , il punto B di coordinate

))hc(f,hc(B tende ad avvicinarsi al punto A di coordinate

))c(f,c(A .

La retta secante, tende quindi a diventare tangente alla curva nel punto A. Di conseguenze, il valore del rapporto incrementale tende e diventare il valore del coefficiente angolare della retta tangente alla curva in A.

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Il valore )c('f

h

)c(f)hc(flim

x

ylim

0h0x

derivata della funzione nel punto c, coincide con il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in c.

Equazione della retta tangente

Ricordiamo l’equazione del fascio proprio di rette di centro un dato punto P

)xx(myy 00

)cx(m)c(fy )c('fm

)cx)(c('f)c(fy

Angela Donatiello 8

Punto stazionario: Data la funzione )x(fy e un suo punto x = c, se

0)c('f allora si dice x = c è punto stazionario, ovvero un punto a tangente

orizzontale.

Derivata destra e sinistra

h

)c(f)hc(flim)c('f

0h

derivata sinistra nel punto c

h

)c(f)hc(flim)c('f

0h

derivata destra nel punto c

Una funzione si definisce derivabile in un punto c se esistono finite le derivate destra e sinistra e sono uguali. Una funzione si definisce derivabile in un intervallo chiuso [a,b] se è derivabile in tutti i suoi punti interni e se esistono finite la derivata destra in a e la derivata sinistra in b.

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Continuità e derivabilità

Teorema. Se una funzione )x(fy è derivabile in un punto x0 allora in quel

punto è anche continua.

Hp: h

)x(f)hx(flimfinito 00

0h

Th: )x(f)x(flim 0

xx0

Dim.

hh

)x(f)hx(f)x(f)x(f)hx(f)x(f)hx(f 00

00000

Calcolo il limite per 0h di entrambi i membri, tenendo conto del fatto che il limite della somma è la somma dei limiti, il limite del prodotto è il prodotto dei limiti e il limite di una costante è la costante stessa.

hh

)x(f)hx(f)x(flim)hx(flim 00

00h

00h

Angela Donatiello 10

hh

)x(f)hx(flim)x(fh

h

)x(f)hx(flim)x(flim 00

0h0

00

0h0

0h

Ricordiamo l’ipotesi:

)x('fh

)x(f)hx(flim 0

00

0h

finito

Allora 00)x('fhh

)x(f)hx(flim 0

00

0h

(*) )x(f0)x('f)x(f)hx(flim 00000h

Pongo xhx0 se 0xx0h

Sostituendo nella (*) )x(f)x(flim 0xx

0

cioè la funzione è continua in x0.


Attenzione: Non vale il viceversa!!!! Il teorema non si può invertire!! E’ cioè possibile trovare funzioni continue in un punto, ma non derivabili in tale punto. Controesempio. La funzione valore assoluto

0x

0x

x

x|x|)x(f

Proviamo che in x = 0 è continua, ma non derivabile.

1) 0xlim|x|lim)x(flim0x0x0x

)0(f0xlim|x|lim)x(flim0x0x0x

Pertanto possiamo affermare che è continua in x = 0


2) Valutiamo ora la derivata destra e la derivata sinistra:

1h

hlim

h

|h|lim

h

|0||h0|lim

h

)0(f)h0(flim)0('f

0h0h0h0h

1h

hlim

h

|h|lim

h

|0||h0|lim

h

)0(f)h0(flim)0('f

0h0h0h0h

Pertanto la derivata destra e la derivata sinistra in x = 0 esistono finite, ma sono diverse, la funzione non è derivabile in x = 0 e si dice che essa ha in x = 0 un punto angoloso.


Punti di non derivabilità Punti angolosi E' un punto in cui la derivata destra e la derivata sinistra esistono finite,o almeno una delle due è finita, ma sono diverse. In questo caso la curva nel punto ha due tangenti con pendenza diversa.

)c('f)c('f


Cuspidi Un punto di cuspide è un punto in cui la derivata destra e la derivata sinistra sono infinite, ma con segno diverso. Cuspide verso il basso:

)c('f )c('f

Cuspide verso l’alto:

)c('f )c('f


Flessi a tangente verticale Un punto di flesso a tangente verticale è un punto in cui la derivata destra e la derivata sinistra sono infinite con lo stesso segno. In questo caso la retta tangente alla curva esiste ed è una retta parallela all’asse y di equazione x = c.

)c('f )c('f

)c('f )c('f


Funzione derivata: h

)x(f)hx(flimx:)x('f

0h

REGOLE DI DERIVAZIONE

)x('fk)]x(fk[D

)x('g)x('f)]x(g)x(f[D

)x('g)x(f)x(g)x('f)]x(g)x(f[D

)x('f)]x(f[n)]x(f[D 1nn

2)]x(f[

)x('f

)x(f

1D

2)]x(g[

)x('g)x(f)x(g)x('f

)x(g

)x(fD


Derivate fondamentali (dim. svolte in aula)

0)k(D

1)x(D

xcos)senx(D senx)x(cosD

alna)a(D xx xx e)e(D

elogx

1)x(logD aa

x

1)x(lnD

xtg1xcos

1)tgx(D 2

2

x2

1)x(D

2x1

1)x(arcsinD

2x1

1)x(arccosD

2x1

1)arctgx(D


Derivata della funzione inversa

Teorema. Sia )x(fy definita e invertibile in un intervallo I e sia )y(fx 1 la

sua inversa. Se )x(fy è derivabile in ogni punto di I, con derivata diversa da

zero, allora anche )y(fx 1 è derivabile e vale la relazione:

)x('f

1)]y(f[D 1

Applicazioni

2x1

1)x(arcsinD

2x1

1)x(arccosD

2x1

1)arctgx(D


Derivata della funzione composta Teorema. Se la funzione g è derivabile nel punto x e la funzione f è derivabile in

)x(gz , allora la funzione composta ))x(g(fy è derivabile in x e la sua

derivata è il prodotto delle derivate di f rispetto a z e di g rispetto a x.

dx

dz

dz

df)x('g)z('f))]x(g(f[D con )x(gz

Esempio. 423 )1xx3x2(y in tal caso

1xx3x2)x(gz 23 4z)z(fy

)1x6x6()1xx3x2(4'zz4dx

dz

dz

dfDy 23233

Esempio. )2x(senlny 4 34

4x4)2xcos(

)2x(sen

1'y


Esempio. x3arctgy

x3xarctg3)x31(4

3

3x32

1

x31

1

x3arctg2

1'y

Esempio. 2x4x

2

xarcsen4y

2

2

22

2

22

2

22

22

22

2

2

2

2

x42)x4(

x4)x4(2

x4

xx44

x4

xx4

x4

4

x4

xx4

2

1

x4

24

)x2(x42

1xx4

2

1

4

x1

14'y


Derivate di ordine superiore al primo

Data la funzione )x(fy , la sua derivata )x('f'y è una funzione della

variabile x, della quale a sua volta è possibile calcolare la derivata. Tale derivata

prende il nome di derivata seconda )x(''f''y . In modo analogo si definisce la

derivata terza, come la derivata della derivata seconda e così via. La derivata di una funzione è anche detta derivata prima.

Esempio. 2x3x)x(fy 3

3x3'y 2 x6''y 6'''y 0y )4(


Derivate di funzioni definite per casi o contenente valori assoluti

|xln|)x(f

Determino il dominio della funzione

C.E. 0x0x

0x

,0D

Poi valuto il segno dell’argomento del modulo

1x

1x

0x

1x

0x

0x

1lnxln

0x

0x

0xln


Si deduce che l’argomento è

1x00xln

1x0xln

Posso quindi scrivere la funzione per casi:

1x0xln

1xxln|xln|)x(f

Determino ora la funzione derivata

1x0x2

1

1xx2

1

1x0x2

1

x2

1

x

1

1xx2

1

x2

1

x

1

)x('f


Attenzione!!!!!! Devo inizialmente escludere gli estremi, in quanto va controllato se in essi la funzione derivata esiste oppure no e pertanto vanno eventualmente esclusi dal dominio di derivabilità. Cosa succede in x = 1 ? Valutiamo la derivata destra e la derivata sinistra. Se esse risultano diverse o non esistono o sono infinite, allora la funzione iniziale y = f(x) non risulta derivabile in x = 1 e dunque tale punto va escluso dal dominio di derivabilità.

2

1)1('f

2

1)1('f )1('f)1('f finite

Pertanto la funzione in x = 1 non è derivabile e presenta un punto angoloso

,11,0'D dominio di derivabilità

Si osserva che D'D


Determiniamo le due semirette tangenti in x = 1

0|1ln|)1(f )0;1(P )1x(m0y

2

1x

2

1y:t

2

1)1('f

2

1x

2

1y:t

2

1)1('f


Esercizi. Determina la funzione derivata delle seguenti funzioni contenente moduli.

|x6x|y 2 |x|xey )1|1xln(|y

Determina l’equazione della retta tangente alla curva 1x

x

ey nel suo

punto di intersezione con l’asse y. [y = - x + 1 ]

Determina i coefficienti dell’equazione dx4

cbxaxy

2

sapendo che il

grafico corrispondente passa per il punto

3

1;1 , nell’origine ha per

tangente la retta x2y ed inoltre si ha che

)x(flim

4

1x


Determina i punti di discontinuità e di non derivabilità delle seguenti funzioni e indicane il tipo.

1x

2x

x1

1xe

)x(f

|x|

[x=1 punto di discontinuità I specie; x=0 punto angoloso; x=2 p. disc. II specie]

3 32 xx)x(f

[x=0 cuspide; x=1 flesso a tangente verticale]


Trova a e b, in modo che la funzione sia continua e derivabile in tutto R

0x

1x

2

0xbsenxxcosa

)x(f

2

[a= -2, b = 2]

1xx)1a2(xlnb

1x3xa)x(f

2

[a =1, b = - 5/2]

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