CỰC TRỊ KHỐI CHÓP - Tự Học 365

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

DẠNG 1: CỰC TRỊ KHỐI CHÓP

Câu 1: Cho hình chóp có , , . Tính thể tích lớn nhất của khối chóp .S ABC SA a 2SB a 3SC a maxVđã cho.

A. B. C. D. 3max 6.V a

3

max6 .

2aV

3

max6 .

3aV

3

max6 .

6aV

Hướng dẫn giải

C

BS

A

H

Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng H A .SBC AH SBC

Ta có .AH AS

Dấu xảy ra khi .'' '' AS SBC

. 1 1. .sin .2 2SBCS SB SC BSC SB SC

Dấu xảy ra khi .'' '' SB SC

Khi đó 1 1 1 1. . . .3 3 2 6SBCV S AH SB SC AS SA SB SC

Dấu xảy ra khi đôi một vuông góc với nhau.'' '' , , SA SB SC

Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp là 3

max1 6. . .6 6

aV SA SB SC

Chọn D

Câu 2: Cho hình hộp chữ nhật có độ dài đường chéo Gọi là diện tích toàn . ' ' ' 'ABCD A B C D ' 18.AC Sphần của hình hộp đã cho. Tìm giá trị lớn nhất của maxS .S

A. B. C. D. max 36 3.S max 18 3.S max 18.S max 36.S


Gọi là ba kích thước của hình hộp chữ nhật. Khi đó , , a b c tp 2 .S ab bc ca

Theo giả thiết ta có 2 2 2 2' 18.a b c AC

Từ bất đẳng thức , suy ra 2 2 2a b c ab bc ca tp 2 2.18 36.S ab bc ca

Dấu xảy ra '' '' 6.a b c

16

mailto:[email protected]



Chọn D

Câu 3: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với , cạnh bên vuông góc với .S ABCD ABCD 4AB SAmặt phẳng đáy và . Tính thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho. ABCD 6SC maxV

A. B. C. D. max40 .3

V max80 .3

V max20 .3

V max 24.V


6

x

4

S

A B

CD

Đặt cạnh Tam giác vuông có 0.BC x ,ABC 2 216 .AC x

Tam giác vuông có ,SAC 2 2 220 .SA SC AC x

Diện tích hình chữ nhật . 4 .ABCDS AB BC x

Thể tích khối chóp 2.

1 4. 20 .3 3S ABCD ABCDV S SA x x

Áp dụng BĐT Côsi, ta có . Suy ra 2

2 2

220

. 20 102

x xx x

.

4 40.10 .3 3S ABCDV

Dấu xảy ra . Vậy . " " 220 10x x x max403

V

Cách 2. Xét hàm số trên 24 203

f x x x 0;2 5 .

Chọn A

Câu 4: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều và có . Tính thể tích lớn nhất .S ABC ABC 1SA SB SC của khối chóp đã cho.maxV

A. B. C. D. max1 .6

V max2 .

12V max

3 .12

V max1 .

12V


17




S

A

B

C

MO

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều Vì là hình chóp đều .O .ABC .S ABC SO ABC

Đặt Diện tích tam giác đều 0.AB x 2 3 .4ABC

xS

Gọi là trung điểm M 3 2 3 .2 3 3

x xBC AM OA AM

Tam giác vuông có ,SOA2

2 2 1 .3xSO SA OA

Khi đó 2 2

2 2.

1 1 3 3 1. . . . 33 3 4 123S ABC ABC

x xV S SO x x

Xét hàm trên , ta được 2 21 . 312

f x x x 0; 3

0; 3

1max 2 .6

f x f

Cách 2. Ta có 32 2 2

2 2 2 2 21 1 6 23 . . 6 2 2.32 2

x x xx x x x x

Chọn A

Câu 5: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, . Các cạnh bên bằng nhau và bằng .S ABCD ABCD 4AD . Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho.6 maxV

A. B. C. D. max130 .

3V max

128 .3

V max125 .

3V max

250 .3

V


O

6

DC

B A

S

4

x

18




Gọi Vì suy ra hình chiếu của trên mặt đáy trùng với tâm đường .O AC BD SA SB SC SD Stròn ngoại tiếp đa giác đáy .SO ABCD

Đặt Tam giác vuông có0.AB x ,ABC

2 2 2 16.AC AB BC x

Tam giác vuông có ,SOA2 2

2 2 2 128 .4 2

AC xSO SA AO SA

Khi đó 2

.1 1 128. .4 .3 3 2S ABCD ABCD

xV S SO x 2 2 21 1 128. 2 128 . 128 .

3 3 3x x x x

Dấu xảy ra Suy ra '' '' 2128 8.x x x .128 .

3S ABCDV

Chọn B

Câu 6: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm , cạnh bằng vuông góc với mặt .S ABCD ABCD O 1; SOphẳng đáy và . Tính thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho. ABCD 1SC maxV

A. B. C. D. max2 3 .

9V max

2 3 .3

V max2 3 .27

V max4 3 .27

V


O

1

DC

B A

S

1x

Đặt .OA OC x

Tam giác vuông có Suy ra .,AOD 2 2 21 .OD AD OA x 22 1BD x

Diện tích hình thoi 2. 2 1 .ABCDS OA BD x x

Tam giác vuông có ,SOC 2 2 21 .SO SC OC x

Thể tích khối chóp .1 .3S ABCD ABCDV S SO 2 2 21 2.2 1 . 1 1 .

3 3x x x x x

Xét hàm trên , ta được 21f x x x 0;1

0;1

1 2max .3 3 3

f x f

19




Suy ra .max4 327

V

Cách 2. Áp dụng BDT Côsi, ta có

2 2 2 32 2 2 22 2 1 12 1 2 2 1 1 4 3 .3 3 3 3 27

x x xx x x x x

Chọn D

Câu 7: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành với . Các cạnh bên của hình chóp .S ABCD ABCD 4AD abằng nhau và bằng . Tính thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho.6a maxV

A. B. C. D. 3

max8 .3aV 3

max4 6 .

3V a 3

max 8 .V a 3max 4 6 .V a


H

D

CB

A

S

Do nên hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng trùng với tâm 6SA SB SC SD a S ABCD

đường tròn ngoại tiếp đáy, do đó tứ giác là hình chữ nhật. Gọi , suy ra ABCD H AC BD . SH ABCD

Đặt Ta có 0.AB x 2 2 2 216 .AC AD AB x a

Tam giác vuông có ,SHA2 2 2

2 8 .4 2

AC a xSH SA

Khi đó .1 1. . .3 3S ABCD ABCDV S SH AB AD SH

2 2 3

2 2 2 2 21 8 8. .4 . 2 8 8 .3 2 3 3 3

a x a a ax a x a x x a x

Chọn A

Câu 8: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại . Cạnh bên và vuông góc .S ABC ABC , 2C AB 1SA với mặt phẳng đáy Tính thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho. .ABC maxV

A. B. C. D. max1 .3

V max1 .4

V max1 .

12V max

1 .6

V


20




C

BA

S

Đặt Suy ra 0.AC x 2 2 24 .CB AB CA x

Diện tích tam giác 21 4. .

2 2ABCx xS AC CB

Khi đó 2.

1 1. 43 6S ABC ABCV S SA x x

2 21 4 1 .6 2 3

x x

Chọn A

Câu 9: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại cạnh bên vuông góc với mặt .S ABC ABC ,C SAphẳng đáy Biết tính thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho. .ABC 1,SC maxV

A. B. C. D. max3 .

12V max

2 .12

V max2 3 .27

V max3 .

27V


1

xx

S

A B

C

Giả sử Suy ra 0.CA CB x 2 2 21 .SA SC AC x

Diện tích tam giác 21 1. .2 2ABCS CACB x

Khi đó 2 2.

1 1. 1 .3 6S ABC ABCV S SA x x

Xét hàm trên , ta được . 2 21 16

f x x x 0;1

0;1

2 3max3 27

f x f

Cách 2. Ta có 32 2 2

2 2 2 2 21 1 2 2 2 31 . . 2 2 .3 92 2

x x xx x x x x

Chọn D

21




Câu 10: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại và Các cạnh bên .S ABC ABC A 1.AB Tính thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho.2.SA SB SC maxV

A. B. C. D. max5 .8

V max5 .4

V max2 .3

V max4 .3

V


ICB

A

S

Gọi là trung điểm của Suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Theo I .BC IA IB IC I .ABCgiả thiết, ta có suy ra là hình chiếu của trên mặt phẳng SA SB SC I S .ABC SI ABC

Đặt Suy ra 0.AC x 2 2 2 1.BC AB AC x

Tam giác vuông có ,SBI2

2 2 15 .2

xSI SB BI

Diện tích tam giác vuông 1 . .2 2ABC

xS AB AC

Khi đó 2

.1 1 15. . .3 3 2 2S ABC ABC

x xV S SI

2 221 1 15 515 . .

12 12 2 8x xx x

Chọn A

Câu 11: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên và vuông .S ABCD ABCD a SA y 0y

góc với mặt đáy . Trên cạnh lấy điểm và đặt . Tính thể tích ABCD AD M AM x 0 x a

lớn nhất của khối chóp biết maxV . ,S ABCM 2 2 2.x y a

A. B. C. D. 3

max3 .

3aV

3

max3

8aV

3

max3

9aV

3

max3

5aV


a

ax

y

MD C

BA

S

22




Từ 2 2 2 2 2 .x y a y a x

Diện tích mặt đáy . .2 2ABCM

BC AM a xS AB a

Thể tích khối chóp .1 .3S ABCM ABCMV S SA 2 2 2 21 . . .

3 2 6a x aa a x a x a x

Xét hàm trên , ta được . 2 2f x a x a x 0;a

2

0;

3 3max2 4a

a af x f

Suy ra . 3

max3

8aV

Chọn B

Câu 12: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với và mặt bên là .S ABCD ABCD 4, 6AB SC SADtam giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích lớn nhất của S maxVkhối chóp đã cho.

A. B. C. D. max40 .3

V max 40.V max 80.V max80 .3

V


S

A B

CD

H

Gọi là trung điểm của Mà H .AD SH AD .SAD ABCD SH ABCD

Giả sử . Suy ra 0AD x 2

2 2 16.4xHC HD CD

Tam giác vuông có ,SHC2

2 2 20 .4xSH SC HC

Khi đó .1 1. . .3 3S ABCD ABCDV S SH AB AD SH

2

2 2 21 1 1 80.4. 20 2 80 80 .3 4 3 3 3

xx x x x x

Chọn D

23




Câu 13: Cho hình chóp có , tất cả các cạnh còn lại đều bằng . Tính thể tích .S ABC SA x 0 3x 1

lớn nhất của khối chóp đã cho.maxV

A. B. C. D. max1 .4

V max1 .8

V max1 .

12V max

1 .16

V


NH

C

B

A

S

x

Ta có tam giác và là những tam giác đều cạnh bằng .ABC SBC 1

Gọi là trung điểm . Trong tam giác , kẻ . N BC SAN SH AN 1

Ta có

● là đường cao của tam giác đều SN 3 .2

SBC SN

● . BC AN

BC SAN BC SHBC SN

2

Từ và , suy ra . Diện tích tam giác đều là 1 2 SH ABC ABC 3 .4ABCS

Khi đó .1 .3S ABC ABCV S SH

1 1 3 3 1. . . .3 3 4 2 8ABCS SN

Dấu xảy ra '' '' .H N

Chọn B

Câu 14: Xét khối tứ diện có cạnh và các cạnh còn lại đều bằng . Tìm để thể tích khối ABCD AB x 2 3 xtứ diện đạt giá trị lớn nhất.ABCD

A. B. C. D. 3 2.x 6.x 2 3.x 14.x


Hình vẽ.

24




NH

C

D

B

A

x

Cách làm tương tự như bài trên.

Tam giác đều cạnh bằng BCD 2 3 3.BN

lớn nhất . Khi đó vuông.ABCDV H N ANB

Trong tam giác vuông cân , cóANB 2 3. 2.AB BN

Chọn A

Câu 15: Trên ba tia vuông góc với nhau từng đôi, lần lượt lấy các điểm sao cho , , Ox Oy Oz ,A , B C Giả sử cố định còn thay đổi nhưng luôn luôn thỏa , , .OA a OB b OC c A , B C

Tính thể tích lớn nhất của khối tứ diện .OA OB OC maxV .OABC

A. B. C. D. 3

max .6aV

3

max .8aV

3

max .24aV

3

max .32aV


Từ giả thiết ta có .a b c

Do vuông góc từng đôi nên , , OA OB OC 2 31 1 1. . .

6 6 6 2 24OABCb c aV abc a bc a

Dấu xảy ra '' '' .2ab c

Chọn C

Câu 16: Cho tứ diện có đôi một vuông góc với nhau, độ dài các cạnh SABC , , SA AB AC ,BC a ,SB b. Tính thể tích lớn nhất khối tứ diện đã cho.SC c maxV

A. B. C. D. max2 .

4abcV max

2 .8

abcV max2 .

12abcV max

2 .24

abcV


25




c

b

a

z

y

x

S

A

B

C

Đặt Ta có , , .AB x AC y AS z

2 2 2

2 2 2

2 2 2

.x y ax z by z c

Khi đó 2 2 2 26 288

xy yz zxxyzV V

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .288 288 24

x y y z z x a b c abcV

Dấu xảy ra khi '' '' .x y z a b c

Chọn D

Câu 17: Cho hình chóp có đáy hình vuông cạnh cạnh bên và vuông góc với .S ABCD ABCD ,a SA a

mặt đáy Trên lần lượt lấy hai điểm sao cho .ABCD , SB SD , M N 0,SM mSB

0.SN nSD

Tính thể tích lớn nhất của khối chóp biết maxV .S AMN 2 22 3 1.m n

A. B. C. D. 3

max .6aV

3

max6 .

72aV ABCD

3

max .48aV


N

S

AB

CD

M

Thể tích khối chóp là .S ABD3

. .6S ABDaV

Ta có .

.

.S AMN

S ABD

V SM SN mnV SB SD

3

. .. .6S AMN S ABD

mnaV mnV

26




Mặt khác 2 22. . 3. 2 3 1 .

6 2 6 2 6m n m nmn

Dấu xảy ra Suy ra . '' ''2 2

2 3 1 1; .2 62 3 1

m nm n

m n

3

.6

72S AMNaV

Chọn B

Câu 18: Cho hình chóp có , tất cả các cạnh còn lại bằng nhau và bằng . Với .S ABCD 0 3SA x x 1giá trị nào của thì thể tích khối chóp lớn nhất?x .S ABCD

A. B. C. D. 3 .3

x 2 .

2x

6 .2

x 3 .

2x


O

S

AB

C DH

Gọi là tâm của hình thoi . O ABCD OA OC 1

Theo bài ra, ta có .SBD CBD OS OC 2

Từ và , ta có vuông tại . 1 2 12

OS OA OC AC SAC S 2 1AC x

Suy ra và 2 12

xOA

22 2 3 .

2xOB AB OA

Diện tích hình thoi 2 21 3

2. . .2ABCD

x xS OAOB

Ta có , suy ra hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt đáy là tâm đường tròn 1SB SC SD H Sngoại tiếp tam giác .BCD H AC

Trong tam giác vuông , ta có SAC2 2 2

. .1

SA SC xSHSA SC x

Khi đó 2 2 2 2

2. 2

1 31 1 1 3 1. 3 . .3 2 6 6 2 41

S ABCD

x x x x xV x xx

Suy ra Dấu xảy ra .1 .4S ABCDV '' '' 2 63 .

2x x x

27




Chọn C

Câu 19: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , vuông góc với đáy, khoảng .S ABC ABC A SAcách từ đến mặt phẳng bằng . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và , A SBC 3 SBC ABCtính khi thể tích khối chóp nhỏ nhất.cos .S ABC

A. B. C. D. 1cos .3

3cos .

3

2cos .2

2cos .3


HC

B

A

S

M

Gọi là trung điểm của , kẻ M BC .AH SM H SM 1

Tam giác cân suy ra Mà .ABC .BC AM SA ABC SA BC

Suy ra .BC SAM AH BC 2

Từ và , suy ra nên 1 2 AH SBC , 3.d A SBC AH

Tam giác vuông có ,AMH 3 .sin

AM

Tam giác vuông có ,SAM 3.tan .cos

SA AM

Tam giác vuông cân ,ABC 2 .BC AM

Diện tích tam giác 22 2

1 9 9. .2 sin 1 cosABCS BC AM AM

Khi đó 2

1 9. .3 1 cos .cosABCV S SA

Xét hàm , ta được Suy ra 21 cos .cosf x x x 2 .3 3

f x 27 3 .

2V

Dấu xảy ra khi và chỉ khi " "3cos .

3

Chọn B

Cách 2. Đặt . Khi đó ;AB AC x SA y 2.

1 .6S ABCV x y

28




Vì đôi một vuông góc nên , , AB AC AS

32 2 2 4 22

1 1 1 1 1 13 .9 , x x y x yd A SBC

Suy ra 2 21 27 381 3 .6 2SABCx y V x y

Dấu xảy ra khi và chỉ khi " "33 3 cos .

3x y

Câu 20: Cho khối chóp có đáy là tam giác vuông cân tại Khoảng cách từ đến mặt phẳng .S ABC .B A bằng Xác định độ dài cạnh để khối chóp có thể tích SBC 2,a 090 .SAB SCB AB .S ABC

nhỏ nhất.

A. B. C. D. 10 .2

aAB 3.AB a 2 .AB a 3 5.AB a


H

D

S

A B

C

Gọi là điểm sao cho là hình vuông.D ABCD

Ta có . 090

AB ADAB SAD AB SD

SAB AB SA

Tương tự, ta cũng có . Từ đó suy ra .BC SD SD ABDC

Kẻ .DH SC H SC DH SBC

Khi đó , , .d A SBC d D SBC DH

Đặt Trong tam giác vuông có0.AB x ,SDC

Suy ra 22 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 .2DH SD DC SD xa

2 2

2 .2

axSDx a

Thể tích khối chóp 3 3

. . 2 2 2 2

1 1 2 2. . .2 6 62 2

S ABC S ABCDax a xV Vx a x a

Xét hàm trên , ta được 3

2 22xf x

x a

2;a

2

2;min 3 3 3 .

af x f a a

Chọn B

29




Câu 21: Cho tam giác đều cạnh . Trên đường thẳng qua và vuông góc với mặt phẳng OAB a d O OABlấy điểm sao cho . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên và M OM x , E F A MB

. Gọi là giao điểm của và . Tìm để thể tích tứ diện có giá trị nhỏ nhất.OB N EF d x ABMN

A. B. C. D. 2.x a2 .

2ax

6 .12

ax 3 .

2ax


FE

N

M

B

AO

Do tam giác đều cạnh là trung điểm OAB a F .2aOB OF

Ta có .AF OB

AF MOB AF MBAF MO

Mặt khác, . Suy ra MB AE .MB AEF MB EF

Suy ra nênOBM ONF ∽

.2.

2OB ON OB OF aONOM OF OM x

Ta có . ABMN ABOM ABONV V V 2 2 31 3 6

3 12 2 12OABa a aS OM ON x

x

Đẳng thức xảy ra khi . 2 2

2 2a ax x

x

Chọn B

Câu 22: Cho tam giác vuông cân tại , . Trên đường thẳng qua vuông góc với mặt phẳng ABC B 2AC A lấy các điểm khác phía so với mặt phẳng sao cho . Tính thể ABC ,M N ABC . 1AM AN

tích nhỏ nhất của khối tứ diện .minV MNBC

A. B. C. D. min1 .3

V min1 .6

V min1 .

12V min

2 .3

V


30




CA

B

M

N

Đặt suy ra Tam giác vuông có ,AM x AN y . . 1.AM AN x y ,ABC 2.2

ACAB BC

Diện tích tam giác vuông 2

1.2ABC

ABS

Ta có . .1 .3MNBC M ABC N ABC ABCV V V S AM AN Cosi1 1 2.2 .

3 3 3x y xy

Dấu xảy ra khi và chỉ khi . " " 1x y

Chọn D

Câu 23: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại Cạnh bên vuông .S ABC ABC ,C 2.SA AB SAgóc với mặt phẳng đáy . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên và ABC ,H K A SB

. Tính thể tích lớn nhất của khối chóp .SC maxV .S AHK

A. B. C. D. max2 .

6V max

3 .6

V max3 .

3V max

2 .3

V


K

H

S

B

A C

Đặt 0 2 .AC x x

Tam giác vuông có .,ABC 2 2 24BC AB AC x

Tam giác cân tại , có đường cao suy ra là trung điểm của nên .SAB A AH H SB 12

SHSB

Tam giác vuông có ,SAC2

22 2

4. .4

SK SASA SK SCSC SC x

31




Ta có .2 2

.

1 4 2. .2 4 4

S AHK

S ABC

V SH SKV SB SC x x

2

. .2 2 2

2 2 1 2 4. . . . .4 4 3 3 4S AHK S ABC ABC

x xV V S SAx x x

Xét hàm trên , ta được 2

2

2 4.3 4

x xf xx

0;2

0;2

2 2max .63

f x f

Chọn A

Câu 24: Cho hình chóp có . Gọi là trọng tâm tam giác . Mặt phẳng .S ABC 1, 2, 3SA SB SC G ABC đi qua trung điểm của cắt các cạnh lần lượt tại . Tính giá trị I SG , , SA SB SC , , M N P

nhỏ nhất của biểu thức .minT 2 2 2

1 1 1TSM SN SP

A. B. C. D. min2 .7

T min3 .7

T min18 .7

T min 6.T


Do là trọng tâm G 13

ABC SG SA SB SC

1 1. .3 6

SG SA SB SC SA SB SCSI SM SN SP SI SM SN SPSI SM SN SP SM SN SP

Do đồng phẳng nên , , , I M N P 1 1 6.6

SA SB SC SA SB SCSM SN SP SM SN SP

Áp dụng BĐT bunhiacopxki, ta có

2

2 2 22 2 2

1 1 1 SA SB SCSA SB SCSM SN SP SM SN SP

Suy ra . 2 2 2

36 187

TSA SB SC

Chọn C

Cách trắc nghiệm. Do đúng với mọi hình chóp nên ta sẽ chọn trường hợp đặc biệt đôi một ,SA ,SB SC

vuông góc và tọa độ hóa như sau: , , và . Suy ra 0;0;0S O 1;0;0A 0;2;0B 0;0;3C

.1 2 1 1 1; ;1 ; ;3 3 6 3 2

G I

Khi đó mặt phẳng cắt lần lượt tại , , SA SB SC ;0;0 , 0; ;0 , 0;0;M a N b P c

và : 1x y za b c

2 2 2

1 1 1 .Ta b c

Vì . 1 1 1 1 1 1 1 1 1; ; : . . . 16 3 2 6 3 2

Ia b c

32




Ta có 2

22 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 181 . . . . .6 3 2 6 3 2 7

Ta b c a b c

Câu 25: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành, thể tích là Gọi là trung điểm của .S ABCD ABCD .V Mcạnh là điểm nằm trên cạnh sao cho mặt phẳng di động qua các điểm , SA N SB 2 ;SN NB

và cắt các cạnh lần lượt tại hai điểm phân biệt . Tính thể tích lớn nhất , M N , SC SD , K Q maxVcủa khối chóp ..S MNKQ

A. B. C. D. max .2VV max .

3VV max

3 .4VV max

2 .3VV


QP

NM

S

DA

B C

Gọi 0 1 .SKa aSC

Vì mặt phẳng di động đi qua các điểm và cắt các cạnh lần lượt tại hai điểm phân biệt , M N , SC SD

nên ta có đẳng thức , K Q SA SC SB SDSM SK SN SQ

1 3 22 .

2 2SD SQ a

a SQ SD a

Ta có .

.

1 1 4 2 2 1. . . . .2 2 3 2 3 2

S MNKQ

S ABCD

V SM SN SK SM SK SQ a aV SA SB SC SA SC SD a a

Xét hàm trên đoạn , ta được 2 1 .3 2af a

a

0;1

0;1

1max 1 .3

f a f

Chọn B

Câu 26: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Gọi là điểm thuộc đoạn .S ABCD ABCD O I SO

sao cho . Mặt phẳng thay đổi đi qua và . cắt các cạnh lần lượt 13

SI SO B I , ,SA SC SD

tại . Gọi lần lượt là GTLN, GTNN của . Tính ., ,M N P ,m n .

.

S BMPN

S ABCD

VV

mn

A. . B. . C. . D. .2 75

95

85

Hướng dẫn giảiChọn C

33




O

A

B

D

C

S

I

PM

N

+) Đặt , .

SA xSMSC ySN

, 1x y

+) Có .2 2.3 6SB SD SOSB SP SI

5SDSP

+) Có , .2 6 6SOx y y xSI

1 5x

+) .653

653

53

2012

5..1..451

2.

.

xxxxxyxyyxyx

VV

ABCDS

BMPNS

+) Xét , với . 2

35 6

f xx x

1 5x

+) Có . 22

3 2 6.5 6

xf xx x

+) .

3510'

xxxf

+) ; . 31 ;25

f 1315

f 3525

f

3251

15

m

n

95

mn

Câu 27: Cho khối chóp có đáy là tam giác vuông cân tại . Khoảng cách từ đến mặt phẳng .S ABC C A

bằng , . Xác định độ dài cạnh để khối chóp có thể tích ( )SBC 3a AB .S ABC

nhỏ nhất.

A. B. C. D. AB 2 a 2.=3 2

.2

aAB = AB 3a.= AB 3a 2.=

Hướng dẫn giải Chọn C

34




B

A

H

S

C

Ta có .

Kẻ . Đặt .3AH SC AH a^ Þ =

đạt GTNN khi và chỉ khi đạt GTNN.. .

1.

3S ABC A SBC BCSV V AH SD= =12BCSS xyD =

Do mà (theo giả thiết) nên . Suy ra ( )SA ABC^ SACD

vuông tại A.

Trong có 4 2 3

2 2 2 2 22 2 2 2 2

33 3

x x xAC CH AH x a y xy

y x a x a- = Û - = Û = Þ =

- -

Xét hàm . Có ( ) ( )3

2 23

3

xf x x a

x a= >

-( )

( )( )

2 4

32 2 2 2

3' 3

3 3

x xf x x a

x a x a= - >

- -

.

x 3a

3 22

a

( )'f x - 0 +

( )f x

9 32

a

Vậy: khi ( ) 9 32

aMin xy = 2 3AB x a= =

35




Câu 28: Cho hình chóp đều có cạnh bên bằng , góc hợp bởi đường cao của hình chóp và mặt .S ABCD a SHbên bằng . Tìm để thể tích là lớn nhất. .S ABCDA. B. C. D. 030 045 060 075

Hướng dẫn giảiChọn B

K

MH

D

CB

A

S

Do hình chóp là hình chóp đều nên là giao điểm của và .S ABCD H AC BDGọi là trung điểm của ta có nên mà M CD CD SHM SHM SCD

nên từ H dựng tại K thì SHM SCD SM HK SM HK SCD

Hay là hình chiếu của lên mặt phẳng suy ra do SK SH SCD , ,SH SCD SH SK HSK

tam giác SHK vuông tại K theo giả thiết ta có với HSM 02

Đặt và 2 2 2SH h HC a h 2 2

2a hHM

2 22( )BC a h

Tam giác vuông tại : SHM H2 2

2 2 2 2tan 2 tan2

HM a h h a hSH h

2 2 2

2(1 2 tan )

1 2 tanah a h

2 2

2 2 2 2 22

4 tan2( ) 4 tan1 2 tan

aBC a h h

3 22

. 2 3

1 1 4 tan.3 3 (1 2 tan )

S ABCDaV BC SH

Đặt Với 21 2 tant 2 11; tan2

tt

Xét hàm số trên 32 1( ) .

3a tf t

t t

1;D

3 3

3 2

3 ( 1) 32' . .3 3 2

t t t t ta af tt t t

' 0 3f t t Bảng biến thiên

36




4a3

9 3

0 -+

+∞31

f (t)

f '(t)

t

Vậy khi do hay . 34max

9 3af t 3 tan 1t 0

2 045

Câu 29: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên và vuông góc với .S ABCD ABCD a SA b. Điểm thay đổi trên cạnh , là hình chiếu vuông góc của trên . Tìm giá ABCD M CD H S BM

trị lớn nhất của thể tích khối chóp theo ..S ABH ,a b

A. . B. . C. . D. .2

12a b 2

24a b 2

8a b 2

18a b

Hướng dẫn giảiChọn A

Cách 1.

Do , nên thuộc đường tròn đường kính . BH SH

BH SAH BH AHBH SA

H AB

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên cạnh . Dễ dàng suy ra đượcK H AB

Thể tích .1 1 .. . .3 3 6S ABH ABH ABH

ab HKV SA S b S

Do đó để thể tích lớn nhất thì lớn nhất. lớn nhất khi là điểm chính giữa cungHK HK H

, tức là trùng với tâm hình vuông hay trùng với . Khi đó .AB H ABCD M D2aHK

Vậy .2

max 12a bV

Cách 2.

Do BH SH

BH SAH BH AHBH SA

37




2 2 2 2

.1 .. . .3 6 6 2 12 12S ABH ABH

b b HA HB b AB a bV SA S HA HB

Vậy khi trùng với tâm đáy, hay 2

max 12a bV HA HB H M D

Câu 30: Cho hình chóp đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng và là tâm của đáy. Mặt .S ABC a 2 33

aO

phẳng thay đổi chứa và cắt các đoạn thẳng lần lượt tại các điểm ( )P SO ,AB AC ,M N( khác ). Khi góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng có số đo lớn nhất, hãy tính ,M N A SA ( )P

2 2AM AN

A. . B. C. . D. .2a23

4a 2369

400a

289a

Hướng dẫn giảiChọn D

Gọi là hình chiếu của trên , ta có H A MN ,AH MN AH SO AH SMN

là hình chiếu của trên mặt phẳng H A SMN

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc SA SMN HSA

Do góc nên lớn nhất khi lớn nhất0 00 90HSA HSA sin HSA

Ta có 3

13sin22 3

3

aAH OAHSASA SA a

Vậy đạt giá trị lớn nhất bằng khi sin HSA 12

H O

Hay góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đạt giá trị lớn nhất khi SA P MN AO

Khi đó đường thẳng đi qua và song song với MN O BC2

2 22 83 9

aAM AN a AM AN

Câu 31: Cho khối chóp có đáy là hình thoi cạnh a, Đặt . ,S ABCD ABCD .SA SB SC a

Tìm theo để tích đạt giá trị lớn nhất. 0 3 .x SD x a x a .AC SD

38




A. . B. . C. . D. .32

ax 3

3ax

62

ax 6

3ax


D

CB

O

A

S

Ta có là hình thoi cạnh a nên tam giác ABCD SOC BOC OS OB OD SBDvuông tại .S

Suy ra ;2 2

2 2

2a xBD a x OB

. Do đó .2 2 2 22 2 3AC OC BC OB a x 2 2. 3AC SD x a x

Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si, ta có .2 2 2 2 2

2 2 3 3 33 .2 2 2

x a x a ax a x AC SD

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .2 2 2 2 2 63 32

ax a x x a x x

Vậy thì tích đạt giá trị lớn nhất.6

2ax .AC SD

Câu 32: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trungđiểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AK và cắt các cạnh SB , SD lần lượt tại

M và N. Đặt V1= VS.AMKN , V = VS.ABCD. Tìm S= max +minVV1

VV1

A. B. C. D. 12

S 14

S 1724

S 34

S


39




Đặt x = , y= . Tính theo x và y.SBSM

SDSN

VV1

Ta có . Tương tự ta có VxVxSCSK

SBSM

VV

AMKSABCS

AMKS

421. .

.

. VyV ANKS 4.

Suy ra (1)4

1 yxVV

Lại có Do V1 = VS.AMN+ VS.MNK và VS.ABC = VS.ADC = V. Mà 21

2.

..

.S AMNS AMN

S ABD

V SM SN xyxy V VV SB SD

2 4.

..

. .S MNKS MNK

S BDC

V SM SN SK xy xyV VV SB SD SC

Suy ra (2)4

31 xyVV

Từ (1) và (2) suy ra . Do x>0; y> 0 nên x>13

xxy

31

Vì . Vậy ta có 211

131

x

xxy

1;21x

Xét hàm số f(x) = = với . Có f’(x) = .4

31 xyVV

)13(4

3 2

xx

1;21x 2)13(4

)23(3

xxx

BBT:

40




Từ BBT suy ra 1 11 3 1 3 173 8 3 8 24

min ;maxV V

SV V

Câu 33: Cho hình chóp có đáy là hình vuông, , cạnh bên và vuông góc với .S ABCD ABCD 1AB 1SA mặt phẳng đáy . Kí hiệu là điểm di động trên đoạn và là điểm di động trên ABCD M CD N

đoạn sao cho . Thể tích nhỏ nhất của khối chóp là ?CB 45MAN .S AMN

A. . B. . C. . D. .2 19 2 1

3 2 1

6 2 1

9


Đặt , ta cóDM x BN y

. Suy ra .

tan tantan 45 tan11 tan .tan

DAM BAN x yDAM BANxyDAM BAN

11

xyx

và , .2 2 2 1AM AD DM x 2 2

2 2 2 1 2 11 11 1

x xAN AB BN yx x

Vì vậy .

21 1 1 2 1. . . sin 45 2 1

3 6 6 1 3AMNxV SA S SA AM AN f x f

x

Câu 34: Cho tứ diện có tam giác vuông tại Mặt phẳng ABCD ABC ,A 3 , .AB a AC a lần lượt tạo với mặt phẳng các góc trong đó , ,DBC DAC DAB ABC 90 , ,

Thể tích khối tứ diện có giá trị lớn nhất bằng90 . ABCD

A. . B. . C. . D. .33

4a 33

13a 33 2

10a 33

8a


41




a

3a

h

x

yF

EA C

B

D

H

Kẻ tại DH BC .HDo .DBC ABC DH ABC

a-y

y

x

F

H

B A

C

E

Kẻ tại tại Suy raHE AC ;E HF AB .F

Suy ra

,

,

DAC BCD DEH

DAB BCD DFH

Ta có tan

cot

DHh yHE h xy

HF x hDH

Mà 33 3 3 .3 2 2x a y y a y ax a y h xy y a ya a

Suy ra max3 .

2ah

2 3

max max1 1 3 3 3. . . .3 3 2 2 4ABC

a a aV h S

Câu 35: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SCD) bằng 2 . Gọi là a góc giữa mặt bên hình chóp với đáy của hình chóp đó. Với giá trị nào của thì thể tích của khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất?

A. . B. . C. . D. .2arcsin3

045 2arccos3

060

42





Chọn AGọi O là tâm hình vuông ABCD thì SO vuông góc với (ABCD) và SO là chiều cao của khối chóp S.ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Suy ra CD (SMN).Gọi K là hình chiếu của N lên SM. Suy ra MK (SCD) nên . ,NK N SCDd

Từ AB || CD suy ra AB || (SCD). Do đó . , 2NK A SCD ad

Ta lại có . ,CD MN

SCD ABCDCD SM

Do đó .2 .tansin sin cosNK a aMN SO OM

Suy ra .2 3

2. 2 2

1 1 1 4 4. . . .3 3 3 sin os 3sin osS ABCD ABCD

a a aV S SO MN SOc c

Vì vậy nhỏ nhất lớn nhất, với ..S ABCDV 2( ) sin osf c 0 00 90

Đặt thì nhỏ nhất lớn nhất với .cos ,0 1t t .S ABCDV 2 31f t t t t t 0 1t

Dựa vào bảng biến thiên thì nhỏ nhất .S ABCDV

.1 1 2 2cos sin arcsin3 33 3

t

Câu 36: Cho lăng trụ đều có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng . Lấy các điểm nằm trên ' ' '.ABC A B C a ,M Ncạnh ; lần lượt nằm trên cạnh sao cho là hình chữ nhật. Hình hộp chữ BC ,P Q ,AC AB MNPQnhật nội tiếp trong lăng trụ đều có thể tích lớn nhất là :' ' ' '.MNPQ M N P Q ' ' '.ABC A B C

A. B. C. D. 3 34

a 3

8a 3 3

8a 3 6

4a


43




A' C'

B'

A C

B

Q

PN

Q'M'

N'P'

M

Gọi độ dài đoạn là với thì .MN x (0 )x a 3

2a x

MQ

Thể tích của hình hộp chữ nhật là .' ' ' '.MNPQ M N P Q 32

ax a xV

Xét hàm số có ; 32

a x a xf x

3' 2

2af x a x ' 0

2af x x

Vậy thể tích lớn nhất của hình hộp chữ nhật là . ' ' ' '.MNPQ M N P Q3 38

a

Câu 37: Xét khối tứ diện có cạnh , các cạnh còn lại đều bằng . Tìm để thể tích khối ABCD AB x 2 3 xtứ diện đạt giá trị lớn nhất.ABCDA. . B. . C. . D. .6x 14x 3 2x 2 3x


Gọi , lần lượt là trung điểm và ; là hình chiếu vuông góc của lên .M N CD AB H A BM

Ta có: . CD BM

CD ABM ABM BCDCD AM

Mà ; . ;AH BM BM ABM BCD AH BCD

Do và là hai tam giác đều cạnh .ACD BCD 2 3 32 3. 32

AM BM

44




Tam giác vuông tại , có: .AMN N2

2 2 94xMN AM AN

Mặt khác ta lại có:

. 23 2 3 3 34BCDS

.2

21 1 36 3. .3 3 363 3 6 6ABCD BCD

x xV AH S x x

Ta có: .2 2

21 3 3 36. 36 . 3 33 6 6 2ABCD BCD

x xV AH S x x

Dấu bằng xảy ra khi .236 3 2x x x Vậy lớn nhất bằng khi .ABCDV 3 3 3 2x

Câu 38: Cho tứ diện có . Khi thể tích của khối tứ diện lớn nhất thì ABCD 1AB AC BD CD ABCDkhoảng cách giữa hai đường thẳng và bằngAD BC

A. . B. . C. . D. .13

23

12

13


Gọi lần lượt là trung điểm của và .,H K BC ADTheo giả thiết: cân tại A và cân tại DABC DBC

, BC AH BC DH BC ADH BC HK

Và Do đó: AH DH AD HK ; d AD BC HK

Đặt .BC x 0 2 x2 2

2 2 412 2

x xAH DH DC HC

Gọi I là hình chiếu của A lên HD ( ) AI BCD

1 1 1. . . . ; ì3 3 2 ABCD BCDV S AI BC DH AH v AI AH 21 1. 4

6 4 ABCDV x x

Xét hàm số ; ; 2 3( ) 4 4 ê 0;2 f x x x x x tr n 2'( ) 3 4 f x x 2 3'( ) 03

f x x

2max 4 623 3

( )

2 3

AH BCDI HV

x DH x

45




ΔAHD vuông cân tại H 2 32 3

HK DH

Câu 39: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt ;AM x AN y . Tìm ,x y để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất.

A. 23

x y B. 13

x y C. 74

x y D. 1 2;2 3

x y


B D

A

C

M

N

+ Ta có 0 13AMN AHM AHN

x yS S S xy x

+ Theo bất đẳng thức cô si 43 29

xy x y xy xy

+ Ta có 1 3. sin 602 4AMN

xyS AN AM

1 3. sin 602 4AMD

xS AD AM

1 3. sin 602 4AND

yS AD AN

+ Ta có 22 2 2 2 22 1 2; 33 2 3

DH AD AH MN x y xy x y xy

Vậy 2 23 3 1 13 3 3 3 .4 4 6 2tpxyS x y x y xy xy xy xy

Đặt 419

t xy Ta thu được giá trị nhỏ nhất của diện tích toàn phần đạt được khi 49

t xy ,

tức là 23

x y

Câu 40: Trong mặt phẳng cho đường tròn đường kính . Gọi là một điểm di động trên T 2AB R C

. Trên đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng lấy điểm sao cho . T d A S SA R

Hạ và . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện .AH SB AK SC maxV SAHK

46




A. . B. . C. . D. .3

max5

75RV

3

max5

25RV

3

max3

27RV

3

max3

9RV


IA

S

C

B

H

K

Do nên tứ diện có chiều cao không đổi. Do đó thể tích đạt giá trị SH AHK SAHK SH SAHKVlớn nhất khi và chỉ khi diện tích đạt giá trị lớn nhất.AHKSTa có: . Mà . BC SAC BC AK AK SC AK SBC AK KH Do điểm luôn nhìn đoạn thẳng cố định dưới một góc vuông nên có diện tích lớn K AH AHKnhất khi là điểm chính giữa nửa cung tròn đường kính (có hai vị trí của ).K AH KTa có: .2 2 2 2 2 24 5 5SB SA AB R R R SB R

Xét vuông tại có: SAB A2 2

2 5.55

SA R RSA SH SB SHSB R

Và: .. .2 2 5. .55

SA AB R R RAH SB SA AB AHSB R

Diện tích lớn nhất của là: .AHK2 2

max1 . .2 2 4 5

AH AH RS AH

Vậy: .2 3

max max1 1 5 5. . . .3 3 5 5 75

R R RV SH S

Câu 41: Cho tứ diện có và đôi một vuông góc với nhau. Điểm thay đổi ABCD 6DA DB DC Mtrong tam giác . Các đường thẳng đi qua song song theo thứ tự cắt các ABC M , ,DA DB DCmặt phẳng lần lượt tại . Tìm thể tích lớn nhất của khối tự , ,DBC DCA DAB 1 1 1; ;A B C

diện khi thay đổi.1 1 1MABC M

A. B. C. D. 13

23

1 43


47




B1

C1

A1

M

D

A

B

C

Ta có . Tương tự

1 1,

6,MBCD

ABCD

d M BCDV MA MAV ADd A BCD

1 1;6 6

MADC MABD

ABCD ABCD

V MB V MCV V

Suy ra . Mặt khác đôi một vuông góc nên1 1 1 6MA MB MC 1 1 1; ;MA MB MC

1 1 1

31 1 1

1 1 11 1 4. .6 6 3 3MABC

MA MB MCV MA MB MC

Dấu xảy ra khi là trọng tâm tam giác ." " M ABCBình luận: Bài này hoàn toàn có thể làm mạnh giá thiết bằng cách chỉ cần cho tứ diện ABCDcó thể tích bằng . Kết quả bài toán không thay đổi.36

Câu 42: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , và vuông góc với .S ABCD ABCD a 3SA a= SAmặt phẳng đáy. và là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh và sao cho M N BC DC

. Tính tỉ số giữa giá trị lớn nhất với giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp . 045MAN = .S AMN

A. . B. . C. . D. .2 2 2 1 2

2 1 2

6 2 2 1


S

A D

B CM

N

48




Ta có ..1 3. .3 3S AMN AMN AMN

aV SA S S= =

Do là 2 điểm di động và cố định nên thể tích của khối chóp phụ thuộc vào ,M N SA SAMNdiện tích tam giác .AMNTa có các cách tính diện tích tam giác như sau:AMNCách 1.Đặt .[ ], ; , 0;BM x DN y x y a= = Î

Tam giác vuông tại nênCMN C hay .2 2 2MN CM CN= + ( ) ( )2 22MN a x a y= - + -

Áp dụng định lý hàm số cosin cho tam giác ta cóAMN2 2 2 2 . cosMN AM AN AM AN MAN= + - ( )( )2 2 2 2 2 2 2 22 2MN a x y a x a yÞ = + + - + +

Suy ra ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 22 2a x a y a x y a x a y- + - = + + - + +

.( ) ( )222 2 2 a axax ay a xy ax ay a xy ya x

-Û + = - Û + = - Û =

+Diện tích tam giác làAMN

.( )2 2

21 .2 2AMN ABCD ABM ADN CMN

a a xS S S S S a xyx a

+= - - - = - =

+

Xét hàm số trên đoạn .( )2 2x af xx a

+=

+[ ]0;a

Ta có ; .( )( )

2 2

22' x ax af x

x a+ -

=+

( ) ( )' 0 2 1f x x a= Û = -

Ta lại có .( ) ( ) ( )( ) ( )0 ; 2 1 2 2 1f f a a f a a= = - = -

Suy ra [ ]

( )[ ]

( ) ( )0;0;

max ;min 2 2 1aa

f x a f x a= = -2

2 ( 2 1)2AMNaa S

Vậy tỉ số giữa giá trị lớn nhất với giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp bằng.S AMN 1 22

Cách 2:Đặt DAN A

Ta có:

0 , cos(45 ) cos

a aAM AN

20

0

2 2

0 00

1 1 2. .sin 452 2 cos .cos(45 ) 2

2 2 2 .4 cos 45 cos(45 2 ) 2 2 cos(45 2 )

2

AMNaS AM AN

a a

Mặt khác: 22

0 220 cos(45 2 ) 1 ( 2 1)22 2 AMN

a aa S

Cách 3:

Đặt 2 2 2

2 2 22 2 2

( ) ( )BM x AM x a

MN a x a yBN y AN y a

49




Theo định lý cosin ta có :2 2 2 0 2

20

2 . .cos 45 ( )1 . .sin 452 2AMN

MN AM AN AM AN a xy a x ya xyS AM AN

Đặt : 2 20 2 0;( 2 1)xy t a t at t a 2 2

2AMNa tS

max

min

2

2

02

( 2 1) ( 2 1)

AMN

AMN

aS t

S a t a

Cách 4. (Hình học thuần túy)

A D

CB

P

M

N

Dựng đường thẳng qua vuông góc với cắt đường thẳng tại , khi đó ta chứng minh A AM DC Pđược và Vì AMN ANP MN NP 2BM CN MN MN NC CM a

và từ đó suy ra MN MC CN 2 2 12

MN MC CN MC CN 2 2 1 a MN a

Câu 43: Gọi là thể tích nhỏ nhất của khối chóp tứ giác đều trong số các khối chóp tứ giác đều có khoảng Vcách giữa hai đường thẳng chéo nhau gồm một đường thẳng chứa một đường chéo của đáy và đường thẳng chứa một cạnh bên hình chóp bằng .Khi đó bằng bao nhiêu?3 VA. . B. . C. . D. .3V = 9V = 9 3V = 27V =

Hướng dẫn giải.Chọn BXét hình chóp tứ giác đều .S ABCD , đặt AB x= , SO h= . Với O là tâm của hình vuông ABCD

( )SO ABCDÞ ^ . Qua O kẻ đường thẳng OH vuông góc với SA với H SAÎ .

Ta có ( ) .BD AC

BD SAC BD OHBD SO

ì ^ïï Þ ^ Þ ^íï ^ïîSuy ra OH là đoạn vuông góc chung của SA và BD .Theo bài ra, ta có ( ), 3d d SA BD OH OH= = ¾¾® = .Tam giác SAO vuông tại O , có đường cao OH suy ra

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 2

3 OH SO OA h x= = + = + .

Lại có 23

2 2 2 2 2 2 4

1 1 2 1 1 1 1 13 . 27

3 AM GM

hxh x h x x h x-

= + = + + ³ Û ³ .

50




Vậy 21 1. 9 93 3ABCD ABCDV SO S hx V

Câu 44: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là trung ABCDđiểm của SC . Mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SB và SD lần lượt tại M và N . Gọi 1V là

thể tích của khối chóp .S AMPN . Tìm giá trị nhỏ nhất của tỷ số 1VV

?

A. . B. 18

. C. 13

. D. 38

.23

Hướng dẫn giảiChọn CCách 1

I

P

NM

S

O

C

DA

B

Đặt , , .SMaSB

SNbSD

0 ; 1a b

Ta có . .1 S AMP S ANPV VVV V

. .

. .2 2S AMP S ANP

S ABC S ADC

V VV V

1 . .2

SM SP SN SPSB SC SD SC

= (1) 14

a b

Lại có . .1 S AMN S PMNV VVV V

. .

. .2 2S AMN S PMN

S ABD S CBD

V VV V

1 . . .2

SM SN SM SN SPSB SD SB SD SC

= (2).34

ab

Suy ra . Từ điều kiện , ta có , hay 1 3 3a4 4 3a 1

aa b ab a b b b

0 1b 13a 1

a

.12

a

Thay vào (2) ta được tỉ số thể tích .2

1 3 .4 3a 1

V aV

Đặt , ta có . 23 1. ; ;1

4 3a 1 2af a a

2

2

03 3 2a' . 0 24 (3a 1)3

a Laf aa

, do đó 1 3 2 11 ;2 8 3 3

f f f

11;12

2 1 .3 3a

VMin Min f a fV

Cách 2 : Từ giả thiết và cách dựng thiết diện ta có :D1; ; 2; 3SA SB SC Sa b c d a c b d

SA SM SP SN

Khi đó 1 12

6 3 3 1 14a. . . 4.1.2. d 4 . 3 3

42

V Va b c dV b c d b b d Vb d

1 13

VMinV

51




Câu 45: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi , M N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh , AB AC sao cho mặt phẳng DMN vuông góc với mặt phẳng ABC . Gọi là diện tích toàn S

phần của tứ diện . Tìm giá trị nhỏ nhất của ?DAMN S

A. B. C. D. 3(4 2) .9 2 3 2 .

4 2 3 2 .

4 3(1 2) .

9


MN H

C

A

B

D

Kẻ DH MN , do DMN ABC suy ra DH ABC .Mà ABCD là tứ diện đều, nên suy ra H là trọng tâm của tam giác đều ABC .Diện tích toàn phần của tứ diện DAMN :

AMD AND DMN AMNS S S S S 12

0. .sin60AD AM 12

0. .sin60AD AN

+ 12

.DH MN + 12

0. .sin60AM AN . = ( )63 3 3 16

xy xy xy+ -

Mặt khác: AMNS 12

. 0. .sin60AM AN = 34

xy ;

AMN AMH ANHS S S = 12

0. .sin30AM AH 12

0. .sin30 AN AH 1 3.4 3 x y .

Suy ra 34

xy = 1 3.4 3

3x y xy ; 0 , 1x y ( )x y+

Tìm giá trị nhỏ nhất của ; ( )63 3 3 16

S xy xy xy= + - ( )3 , 0 ; 1x y xy x y+ = £ £

Từ 2 43 2 .3 9

xy x y xy xy xy

4 13 1 3. 19 3

xyÞ - ³ - = ( )( )3 4 26 4 6 4 13 3 3 1 3 3. .

6 9 6 9 3 9S xy xy xy

+Þ = + - ³ + =

Suy ra khi 3(4 2)min ,9

S 2 .3

x y

Câu 46: Cho tam giác vuông tại có Gọi là mặt phẳng chứa và vuông ABC A 3 , . AB a AC a Q BCgóc với mặt phẳng Điểm di động trên sao cho tam giác nhọn và hai mặt .ABC D Q DBCphẳng và lần lượt hợp với mặt phẳng hai góc phụ nhau. Thể tích lớn nhất DAB DAC ABCcủa khối chóp bằng.D ABC

52




A. B. C. D. 3 3 .4

a 33 .8a 33 2 .

10a 33 .

13a

Hướng dẫn giải.Chọn A

Kẻ với Suy ra Vì diện tích tam giác không đổi nên thể DH BC .H BC .DH ABC ABCtích khối chóp lớn nhất khi lớn nhất..D ABC DHKẻ với với HM AB ,M AB HN AC .N AC

Khi đó theo giả thiết, ta có và , DAB ABC DMH , 90 . DAC ABC DNH

Ta có AHC AHB ABCS S S 21 1 3. cot 90 . . cot .3

2 2 2

aDH a DH a

3tan 3cot

aDH

Đặt tan x 2

33

axDH

x

Xét trên được 2 3

xf x

x 0; ,

0;

3max 3 .6

f x f

Khi đó và max3

2

aDH3

max3 .

4

aV

Câu 47: Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh bằng ; . Khi đó thể .S ABCD ABCD a SA SB SC a tích của khối chóp lớn nhất bằng.S ABCD

A. B. C. D. 3

.2a 33

.4a 3

.4a 33 .

2a

Hướng dẫn giảiChọn CCách 1.

53




O

C

A

B

D

S

Gọi là giao điểm của và . Theo giả thiết suy ra là tam giác cân tại nên O AC BD SAC S, đáy là hình thoi nên SO AC ABCD .AC BD

Xét tam giác và ta thấy SOC BOA 0; ; 90SC BA a OC OA SOC BOA Suy ra vuông tại SOC BOA SO BO BSD .S

Đặt , suy ra ; ; , 0SD x x 2 2BD a x 2 21 12 2

OB BD a x

2 2 2 2 2 2 21 1 34 2

AO AB OB a a x a x

Ta có: ( ).AO SO

AO SBDAO BD

2 2 2 2. .

1 2 1 1 12. 2. . . 3 . . 33 3 2 2 6S ABCD S ABD SBDV V AO S a x a x ax a x

Áp dụng bất đẳng thức , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ta có:2 2

; ,2

a bab a b a b

; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 2 2 3

.

3.

6 2 4S ABCD

x a xa aV

6 .

2ax

Vậy GTLN của bằng khi .S ABCDV3

4a 6

2ax

Cách 2

O

C

A

B

D

S

H

K

Đặt , dựng , ( 0)BO x x ( ) .SH ABCD H BD

54




.1 .3S ABCD ABCDV SH S

Ta có 2 22ABCDS x a x Kẻ tại , OK SB K .SO BO a

Khi đó

22

4. . .

aa xSH BO OK SB SH

x

Suy ra

22 2 2

2 32 2 2

.2 2 4. . .3 4 3 2 4S ABCD

aa x xa a aV a a x x

Dấu đẳng thức xảy ra khi 2 2

2 2 2 2 5 104 8 4a a aa x x x x

Vậy GTLN của bằng khi ..S ABCDV3

4a 10

4ax

Câu 48: Cho tứ diện vuông tại gọi lần lượt là góc tạo bởi các mặt phẳng OABC ,O , , ( ),OAB ( ),OBC

với mặt phẳng Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức( )OAC ( ).ABC2 2 2 2 2 2tan tan tan cot cot cotM

A. B. C. D. 6. 152

10. 27 .2


O

A

B

C

HD

E

F

Gọi là hình chiếu của lên (ABC) ta có và là trực tâm tam giác H O ( )OH ABC H .ABCGọi là các đường cao trong tam giác , ,AE BF CD .ABC

Ta có , , .ODC OEA OFB Ta có : 2 2 2cos cos cos 1 Đặt 2 2 2cos , cos , cos 1.a b c a b c

2 2 2 2 2 21 1 1tan 1, tan 1, tan 1; cot ; cot , cot1 1 1

a b ca b c a b c

1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) 3 ( ) ( ) 6.1 1 1 1 1 1

a b cMa b c a b c a b c a b c

Hay 9 9 156 .

3 ( ) 2M

a b c a b c

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hay .13

a b c 1cos cos cos3

55




Câu 49: Cho tứ diện có thể tích bằng . Điểm di động trong tam giác . Qua kẻ các ABCD V M ABC Mđường thẳng song song với lần lượt cắt các mặt tại . , ,DA BD DC ( ), ( ), ( )DBC DCA DAB ', ', 'A B CGiá trị lớn nhất của thể tích tứ diện bằng' ' 'MA B C

A. . B. . C. . D. .27V

9V

18V

4V


Gọi thì 1 1 1, ,A AM BC B BM CA C CM AB

1 1 1

1 1 1

' ' ' 1MA MB MCMA MB MCDA DB DC AA BB CC

Phép tịnh tiến theo véc tơ biến , biến tứ diện MD

, ' ", ' ", ' "M D A A B B C C thành tứ diện ' ' 'MA B C " " "DA B C

Phép đối xứng tâm biến , biến tứ diện thành tứ diện D 2 2 2" , " , "A A B B C C " " "DA B C. Do đó 2 2 2DA B C 2 2 2' , ' , 'MA DA MB DB MC DC

Ta có

2 2 22 2 2 2 2 23 3' ' '1 3 3

V DA B CDA DB DC DA DB DCMA MB MCDA DB DC DA DB DC DA DB DC V DABC

2 2 2 ' ' '27 27V VV DA B C V MA B C

khi là trọng ' ' '27VMaxV MA B C 2 2 2 1 1 1

1 1 1

1 13 3

DA DB DC MA MB MCDA DB DC AA BB CC

M

tâm tam giác .ABCCâu 50: Cho hình chóp có đáy là hình thang cân , .S ABCD ABCD / / ,AD BC 2BC a

, . Mặt bên là tam giác đều. Gọi là giao điểm của và AB AD DC a 0a SBC O AC .BDBiết vuông góc với SD .ACMặt phẳng đi qua điểm thuộc đoạn thẳng ( khác và ) và song song với M OD M O D

đường thẳng và Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng biết SD .AC .S ABCD Tìm để diện tích thiết diện lớn nhất..MD x x

A. B. C. D. 3 .4

ax 3 .

2ax

3 .8

ax 3.x a


56




CB

A D

I

S

G

N

P

E

M

Q

O

Gọi I là trung điểm của BC nên tứ giác ADCI là hình thoi cạnh a nên IA = IB = IC = a thì tam giác ABC vuông tại A, suy ra AC vuông góc DI

// ,AC ID ID AB AC SD AC SIDAC SI

Do , ( )AC SI BC SI SI ABCD ABCD SBC

Ta có: 2 2 2SD SI ID a Từ M kẻ hai đường thẳng lần lượt song song với SD, AC chúng cắt theo thứ tự SB tại Q và AB tại G, AC tại N. Từ G kẻ đường thẳng song song SD, cắt SA tại E,từ N kẻ đường thẳng song song với SD cắt SC tại P. Ta được thiết diện là ngũ giác GNPQE.

Ta có nên tính được , 3BD a 2 3 , 23

xEG NP a x QM a

3GN x

Tứ giác EGMQ và MNPQ là hai hình thang vuông đường cao lần lượt là GM và NM nên 4 3 2 3MNPQES x a x

Max tại 23 32MNPQES a

34

ax

57




Câu 51: Cho hình chóp tam giác có đáy là tam giác đều cạnh , vàSABC ABC a SA ABC. là một điểm thuộc cạnh . Kẻ tại . Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SA a M AB SH CM H là.S AHC

A. . B. . C. . D. .3

4a 3 3

4a 3 3

12a 3

12a


Ta có ..1 .3S AHC AHCV SA S

Do không đổi nên lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất.SA a .S AHCV AHCS

Mà lớn nhất vuông cân tại HAHCS AHC2 31 .

3 4 12Maxa aV a

Câu 52: Cho tứ diện có , và các cạnh còn lại đều có độ dài bằng 1. Giá trị lớn nhất ABCD 2AB a 2CD bcủa diện tích toàn phần tứ diện làABCD

A. . B. . C. . D. . 3

12ab 3

6ab

1 12


J

I

D

C

A

B

Gọi , lần lượt là trung điểm của và . Ta cóI J AB CDHai tam giác cân và bằng nhau.ACD BCDHai tam giác cân và bằng nhau.ABC ABD

và và .CI AB DI AB 21IC ID a

và và .JA CD JB CD 21JA JB b

Khi đó .2 2 2 2

2 2 1 12 2 1 1 12 2tp ABC BCD

a a b bS S S a a b b

58




Dấu xảy ra .2

2a b

Câu 53: Cho hình thoi có . Gọi là trung điểm , trên đường thẳng ABCD 060 , 2BAD AB a H AB dvuông góc với mặt phẳng tại lấy điểm thay đổi khác . Biết rằng góc giữa ABCD H S H SC

và có số đo lớn nhất khi ( với là các số tự nhiên và là phân số tối giản). SAD 4. mSH an

,m n mn

Khi đó tổng bằng:m nA. B. C. D. 7 25 23 5


60°

BC

A D

S

H

E

F

SAD

φS

C

M

Gọi là hình chiếu của lên và là góc giữa và .M C SAD SC SAD

Ta có . Vì ;

sind C SADCM

SC SC

/ / ; B; 2 H;BC SAD d C SAD d SAD d SAD Gọi là hình chiếu của trên , Gọi là hình chiếu của trên ta có E H AD F H SE

H;d SAD HF

Khi đó . Đặt vì tam giác vuông tại nên 2sin HFSC

( 0)SH x x SHC H

2 2 2 2 2 2 22 . .cos 7SC SH CH SH BC BH BC BH CBH x a

Tam giác vuông có . Do là đường cao của tam giác EHA 3sin2

HE aHAE HEAH

HF

vuông nên . Khi đóHSE 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 4 1 33 3 4

axHFHF HE HS a x a x

.2 2 2 2 4 4 2 2

2 2 3 2 3sin(4 3 )( 7 ) (4 21 ) 31

HF ax axSC x a x a x a a x

Dấu đẳng thức xảy ra khi .2 2 2 2

2 3 12sin sin .4 21 314 21. 31.

ax

a x a x

4

21.4

x a

Vậy lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất khi và chỉ khi sin 421. 21, 44

SH a m n

Khi đó 21 4 25m n

59




Câu 54: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AD=4a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng . Cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích của a 6chóp S.ABCD lớn nhất bằng:

A. B. C. D. 25

35

25

35


Gọi O là hình chiếu của S trên (ABCD)Do SA=SB=SC=SD nên OA=OB=OC=OD là hình chữ nhậtABCD

Đặt 2 2 2 21DC x (x 0) AC x 16a OA x 16a2

2

2 2 2 21 xSO 6a x 16a 2a4 4

2 22

2 2 32 2

S.ABCD

x x2a1 x 1 x x 1 8a4 4V . 2a .4a.x .8a. 2a . .8a .3 4 3 4 2 3 2 3

Vậy thể tích S.ABCD đạt giá trị lớn nhất khi 2 2

2 2 2x x2a x 4a x 2a4 4

Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của O,D trên (SBC)Do SO=OM nên H là trung điểm SMDo OD=OB nên H là trung điểm KB là hình chiếu của trên (SBC)SKC SDC

2SKC SBC

SO a 1 1x 2a SM a 2 S S .a 2.4a a 2OM a 2 4

Gọi N là trung điểm DC 2 2 2SCD

1SN 6a a a 5 S .a 5.2a a . 52

Theo công thức hình chiếu ta có SKC SDC2S S .cos cos =5

Câu 55: Cho hình chóp có thể tích là , là hình bình hành có tâm . Gọi là trung .S ABCD V ABCD O Iđiểm của , là mặt phẳng qua sao cho cắt các cạnh lần lượt tại các SO P I P , , ,SA SB SC SDđiểm . Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích của khối chóp ., , ,M N P Q .S MNPQ

A. . B. . C. . D. .4V

2V

12V

8V


60




Đặt , , ,SA SB SC SDa b c dSM SN SP SQ

012SABD SBCDV V V V

, 1SMNQV V 2SNPQV V

Ta có kết quả: 2 4SOa c b dSI

; 0

1

. .V a b dV

0

2

. .V c b dV

với 0 0

1 2

. 4 4V V b d a c b bV V

16 0 3b

Mặt khác: 0 0 0 0

1 2 1 2 1 2

2 ..

V V V V VV V V V V V

1 2 .

2 2

S MNPQ

V VV V V

Do đó: .

2 16S MNPQ

VV

. 8S MNPQVV

Câu 56: Cho tứ diện đều cạnh . Gọi là diện tích hình chiếu của tứ diện lên các mặt phẳng khác ABCD a Snhau. Khi đó lớn nhất bằng?S

A. . B. . C. . D. .2S a 2

2aS

2

4aS

2 34

aS


61




A

B

C

D

B'

C'

D'

A'

D'

C'

B'

D

C

B

A

P'

M'

M

N

Q

P

N'

Q'

Nếu hình chiếu là tam giác, giả sử là tam giác , khi đó .' ' 'B C D2

' ' '3

4B C D BCDaS S

Nếu hình chiếu là tứ giác, giả sử là . Gọi , lần lượt là trung ' ' ' 'A B C D , , ,M N P Q ', ', ', 'M N P Qđiểm các cạnh , khi đó , , , , ' ', ' ', ' ', ' 'AB BC CD DA A B B C C D D A

.2

' ' ' ' ' ' ' '2 22A B C D M N P Q MNPQaS S S

Vậy .2

2aS

Câu 57: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh và đường cao . là thiết diện .S ABCD a 2SA a MNPQsong song với đáy, và . Xét hình trụ có đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác M SA AM x

và đường sinh . Giá trị của để thể tích khối trụ lớn nhất làMNPQ MA x

A. . B. . C. . D. .3ax

23ax

2ax

34ax


Ta có là thiết diện song song với đáy do đó đồng dạng với đáy. Suy ra là MNPQ MNPQ MNPQhình vuông.

Theo định lý talét ta có: 2 22 2

MN SM a x a xMNAB SA a

62




Đường tròn đáy trụ (T) là đường tròn (C ) ngoại tiếp hình vuông nên ta có bán kính đáy MNPQ

của trụ là .2

2 2 2MN a xR

Khi đó ta có thể tích khối trụ là: 2

22 2 1 282 2

a xV R h x a x x

Theo bất đẳng thức cauchy ta có

3 32

3

3

1 1 1 2 2 2 42 (2 )(2 )28 16 16 3 27

427

0;24 227 32 2

a x a x x aV a x x a x a x x

aV

x aa aV xa x x

Vậy 34 2

27 3Maxa aV x

Câu 58: Cho tứ diện ABCD nội tiếp trong một mặt cầu bán kính R và thỏa mãn điều kiện ,AB CD. là một điểm thay đổi trong không gian.,BC AD AC BD M

Đặt giá trị nhỏ nhất của là:,P MA MB MC MD= + + + P

A. B. C. D. min 2 3.P R min 4 .P R min 3 .P R min16 .

3RP

Hướng dẫn giảiChọn BGọi G là trọng tâm của tứ diện; E, F, K, L lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, AD. Ta có tam giác ACD bằng tam giác BCD nên suy ra , tương tự ta chứng AF BF EF ABminh được và đường thẳng PQ vuông góc với cả hai đường thẳng BC, AD. Từ đó suy EF CD

.GA GB GC GD R

Ta có . . . .MAGA MB GB MC GC MD GDMA MB MC MDGA

. . . .MAGA MB GB MC GC MD GDGA

2. 4.4 4 .

MG GA GB GC GD GAGA R

GA

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi trùng với điểm G.MVậy min 4 .P R

63




Câu 59: là đường vuông góc chung của hai đường thẳng , chéo nhau, thuộc , thuộc . AB x y A x B yĐặt độ dài . là điểm thay đổi thuộc , là điểm thay đổi thuộc . Đặt , AB d M x N y AM m

. Giả sử luôn có: , không đổi. Với giá trị nào của BN n 0, 0m n 2 2 0m n k k, thì độ dài nhỏ nhất?m n MN

A. B. . C. . D. .m n k ,2km n k

2km n ,

2km k n


y

x

dx'

HB N

AM

Kẻ và .' / /Bx Ax / /MH AB. 'MH Byx

. 'MH Byx Gọi là góc giữa và . x yTa có : 2 2 2 2 2 2 22 . cos 2 . cosMN MH HN d n m m n d k m n Vì , , không đổi và nên nhỏ nhấtd k 2 2 2 .k m n m n MN

lớn nhất . .m n 2km n

Câu 60: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại B, BA=BC=2a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm E của AB, SE=2a. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của EC, SC, điểm M di động trên tia đối của tia BA sao cho và H là hình chiếu vuông góc của ECM 090

S trên MC. Khi thể tích của khối tứ diện EHIJ đạt giá trị lớn nhất. Thì thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện EHIJ là?

A. . B. . C. . D. .311 11

48

aV

3 106

aV

33 1016aV

311 11

24aV


64




H

M

J

I

B

S

E

C

A

H0

I

H MC

B

E

A

K

L

N

J

H

E

I

Có I, J lần lượt là trung điểm của EC, SC. Nên IJ là đường trung bình SCE

Suy ra IJ//SE, . Suy ra I J ABC , và SE ABC2

SEIJ a

Có , mà EH là hình chiếu của SH. Suy ra SH MC EH MC

Có không đổi. Suy ra H thuộc đường tròn đường kính CE2 2 5CE CB EB a I

Gọi là thể tích khối tứ diện J.EIH. Tứ diện J.EIH có chiều cao IJ1V

Có , IJ không đổi 1

1.

3V IJ dt EIH

Có vuông tại H, I là trung điểm CE. Suy ra ECH IH IC IE

Nên 12

dt EIH dt CEH

Có , có CE không đổi 1; .

2dt CEH d H CE CE

đạt GTLN 1

1. . ;

6V IJ CE d H CE

đạt GTLN, mà H thuộc đường tròn đường kính CE ;d H CE I

là điểm chính giữa của cung CE trong đường tròn H I045

Gọi là thể tích khối cầu ngọai tiếp khối chóp J.EHI2VKhối chóp có IJ, IE,IH đôi một vuông góc. Nên.J IEH

65




, , 32

43

V R2 2

112 2 4I J EH aR

1022

CE aEH

.3 3

3 3

4 11 11 11 113 484

a aV

Câu 61: Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều cạnh bên bằng , góc .S ABCD 200 m bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp . Trong đó 15ASB AEFGHIJKLS

điểm cố định và (tham khảo hình vẽ)L 40mLS

D

B C

A

S

E

FGH

IJ

K

L

Hỏi khi đó cần dung ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí?A. mét. B. mét. C. mét. D. mét.40 67 40 20 111 40 40 31 40 40 111 40

Hướng dẫn giảiChọn CTa sử dụng phương pháp trải đa diệnCắt hình chóp theo cạnh bên rồi trải ra mặt phẳng hai lần, ta có hình vẽ sauSA

A

A

B

C

S

D

EF

G H

B

C

D

A

I

J

K

L

Từ đó suy ra chiều dài dây đèn led ngắn nhất là bằng .AL LS

Từ giả thiết về hình chóp đều ta có ..S ABCD 120ASL Ta có .2 2 2 2 22 . .cos 200 40 2.200.40.cos120 49600AL SA SL SA SL ASL Nên .49600 40 31AL Vậy, chiều dài dây đèn led cần ít nhất là mét.40 31 40

66




Câu 62: Cho tứ diện đều cạnh Một mặt phẳng thay đổi luôn song song với mặt cắt ABCD .a (Q) ( )BCDcác cạnh thứ tự tại Gọi là trọng tâm tam giác Bán kính mặt cầu , ,AB AC AD , , .M N P G .BCDngoại tiếp tứ diện nhỏ nhất là:MNPG

A. B. C. D. 3a 3 1

3a 3 2 6

6a 6 2

3a


Gọi K là tâm tam giác đều MNP. Đặt Khi đó , .KG x AG h .AK h x

Suy ra ( ).

3MK h x h x h x aMK BGBG h h h

Ta có 2 2

2 2 22

( )3

h x aMG GK MK xh

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp MNPG có công thức

2 22

2 2( )

32. 2

h x axMG hrGK x

Ta có

2 22

2 2 22( )

6 2 ( ) 13 3 23 2 4 4

h x axa x h x hhh r x hx x x

Suy ra nhỏ nhất khi . Khi đó r

623

33 3

ah ax

3 2 6

6Min r a

Câu 63: Cho tứ diện có . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của . Gọi G là ABCD CA CB CD a ,CB ADtrung điểm của IJ. Một mặt phẳng () thay đổi đi qua G sao cho mặt phẳng () cắt các cạnh

lần lượt tại các điểm K, E, F. Tìm theo a giá trị nhỏ nhất của biểu thức:, ,CA CB CD

. 2 2 2

1 1 1CK CE CF

A. . B. . C. . D. .2

4a 2

163a 2

16a 2

43a


67




Gọi G là trọng tâm tứ diện ta có CABD

0GC GA GB GD

1

4CG CA CB CD

14

CA CB CDCK CE CFCK CE CF

Đặt , , ( , , 0)x CK y CE z CF x y z

4 1 1 1CG CK CE CF

a x y z

14 1 1 1 1 1 1A G GK GE GF GE GFa x y z x y z

(do 3 vectơ đồng phẳng ), ,GK GE GF

Nếu thì 3 vectơ đồng phẳng (vô lí)4 1 1 1

0a x y z

, ,CG GE GF

Vậy 4 1 1 1 1 1 1 4

0a x y z x y z a

Ta có nên2

2 2 2 ( )3

a b ca b c

2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 163 3x y zCK CE CF x y z a

Câu 64: Cho một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều.Thể tích của hình lăng trụ là Để diện tích .Vtoàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì cạnh đáy của lăng trụ là:A. . B. . C. . D. .3 4V 3 V 3 2V 3 6V

Hướng dẫn giảiChọn AGọi cạnh đáy của lăng trụ là a, chiều cao lăng trụ là h.

Theo bài ra ta có 2

2

3 4.4 3

a VV h ha

Diện tích toàn phần của lăng trụ là 2

2 3 4 32đátp xq y

a VS S Sa

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có 2 2

33 2 3 2 3 3 2 3 2 33 . .2 2tp

a V V a V VSa a a a

Dấu bằng xảy ra khi hay 2 3 2 32

a Va

3 4a V

68




Câu 65: Cho hình chóp tam giác có đáy vuông tại , và không đổi; .S ABC ABC A SA ABC SA h

hai điểm thay đổi sao cho . Gọi là các điểm lần lượt di động trên các cạnh ,B C AB AC h ,I J và . Tính chu vi ngắn nhất của tam giác .SB SC AIJ

A. . B. . C. . D. .h 2h 3h 32

h


Chọn BTrên tia và tia lần lượt lấy các điểmAC AB

sao cho .', ''A A ' "AA AA SA h Gọi là đỉnh thứ 4 của hình bình hành'S

. Khi đó là hình vuông ' ' ''AA S A ' ' ''AA S Acạnhbằng .hDễ thấy ' ' , ' ''SAB S A C SAC S A B và . 'SBC S CB c c c Như vậy mặt xung quanh của hình chóp đã đượctrải ra trên mặt phẳng chứa đáy.Gọi lần lượt thuộc các đoạn và', 'I J 'S C

sao cho .'S B ' ' , ' 'S I SI S J SJ Khi đó chu vi tam giác bằng độ dài đường gấp khúc .AIJ ' ' ' ' ' ''A I I J J A Ta có . Dấu bằng xảy ra khi thẳng hàng.' ' ' ' ' '' ' '' 2A I I J J A A A h ', ', ', ''A I J AVậy chu vi tam giác nhỏ nhất bằng .AIJ 2h

Câu 66: Cho tứ diện và là trọng tâm của tứ diện. Một mp quay quanh , cắt các cạnh SABC G AG

lần lượt tại và ( , không trùng S). Gọi là thể tích tứ diện , là thể ,SB SC M N M N V SABC 1V

tích tứ diện và gọi lần lượt là GTLN và GTNN của . Hãy tính .SAMN ,m n 1VV

m n

A. . B. . C. . D. .1m n 1718

m n 1819

m n 1920

m n


A'

S

A

A'' S'

B

C

I J

I'J'

69




A

B

C

S

I

A'

M

N

G

+)Gọi là trọng tâm , là trung điểm Ta có thẳng hàng, thẳng A SBC I BC , ,A G A , ,S A Ihàng

+)Đặt với , ,SM SNx ySB SC

0 , 1x y

+)Ta có: 1 .V SM SN xyV SB SC

+)Mặt khác: 1 12 33 1

SB SC SI xySM SN SA x y x

+)Vì nên ta có : .0 1y 1 12

x

+) Khi đó: . Xét 2

1

3 1V xxyV x

2 1( ) , 13 1 2

xf x xx

2

23 2 2'( ) , '( ) 0

33 1x xf x f x xx

+) Bảng biến thiên:

x 1/2 2/3 1f'(x) – 0 +

f(x) 12

4/9

12

+) Từ bảng biến thiên suy ra: .1 4 17,n2 9 18

m m n

Câu 67: Cho hình chóp tứ giác đều có khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng , góc .S ABCD A ( )SBC 2giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng . Thể tích khối chóp nhỏ nhất ( )SBC ABCD .S ABCD

khi với và là phân số tối giản. Tính .cos ab

;a b ab

P 2018a 2019b

A. . B. . C. . D. .2020 P 2022 P 4039 P 8077 PHướng dẫn giải

Chọn C

70




NMI

D

A B

C

S

H

Gọi lần lượt là trung điểm và , là hình chiếu vuông góc của trên , là ,M N BC AD H N SM I

giao điểm của và . Ta có: , .AC BD SI ABCD BC SMN SMN

Do song song với mặt phẳng nên .AD ( )SBC ( ; ( )) ( ; ( )) 2d A SBC d N SBC NH

.2sin sinNHMN

2

2

4sinABCDS MN

.1 1.tan . tansin cos

SI MI

.. 2

1 4.3 3sin .cosS ABCD ABCDV SI S

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 3 32 2 2

4 2 2 2 2 sin sin 2cos 2sin .2cos sin .sin .2cos3 3

.2 2sin .cos3 3

2. min max

sin .cosS ABCDV

.2 2 11sin 2cos cos 2018 2019 403933

aP a b

b

Câu 68: Gọi là thể tích của khối chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng . Tìm giá trị lớn nhất của ?V b V

A. . B. . C. . D. .34

9 3b 3

3 2b 3 3

12b 32 2

9 3b


Chọn AGiả sử hình chóp đều S.ABCD có O là tâm hình vuông ABCD. Suy ra . SO ABCD

Đặt .2 2 ,0OD x SO b x x b

71




Do đó thể tích S.ABCD là .2 2 2.

23S ABCDV x b x

Đặt thì với .2 2 ,0t b x t b 2 2.

2 23 3S ABCDV b t t f t 2 3f t b t t

Cách 1. Dùng bất đẳng thức Cosi (Cô Lưu Thêm)

Ta có . 32 2 2 2 3

2 2 2 4 2 22 2 2 2 2 43 3 3 3 9 3

x x b x bV x b x x b x

Vậy .3

max49 3

bV

Cách 2. Dùng hàm sốBảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên thì nhỏ nhất (ddvtt)..S ABCDV

3 3

max

0;

2 2 2 4Max .3 3 3 3 9 3

b

b bV f t

Phương án B là đoán tam giác SOD vuông cân.Phương án C là đoán góc giữa cạnh bên với đáy bằng .060

Phương án D là do nhầm lẫn .3

bx

Câu 69: Cho hình chóp , có đáy là hình thang cân và ,.S ABCD ABCD //AD BC 2BC a

. Mặt bên là tam giác đều. Biết vuông góc với . Mặt 0AB AD DC a a SBC SD ACphẳng ( ) qua điểm thuộc đoạn ( khác ) và song song với hai đường thẳng M BD M , B D SDvà . Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( ) có diện tích lớn nhất là.AC .S ABCD

A. . B. . C. . D. .23 34

a 23 32

a 22a 2a

Hướng dẫn giảiChọn ADễ thấy đáy là nữa hình lục giác đều cạnh a.ABCDKẻ song song ( thuộc ). Suy ra và vuông góc .DT AC T BC CT AD a DT SDTa có: .3DT aAC

Xét tam giác có SCT 2 , ,SC a CT a 0120SCT 7ST a

Xét tam giác vuông có , SDT 3DT a 7 2ST a SD a TH1: thuộc đoạn M OD

72




MO

BC

DA

S

T

N

P

K

J

Q

Qua kẻ đường thẳng song song với cắt , lần lượt tại . Qua kẻ các M AC AD DC ,N P , ,M N Pđường thẳng song song với cắt lần lượt tại . Thiết diện là ngũ giácSD , ,SB SA SC , ,K J Q

.NPQKJTa có: cùng vuông góc với , ,NJ MK PQ .NP

dt NPQKJ dt NMKJ dt MPQK 1 1( ) ( )2 2

NJ MK MN MK PQ MP

(do ).1 ( ).2

NJ MK NP NJ PQ

Đặt , Ta có: MD x30

3ax OD . . 3 3

3

NP MD AC MD x aNP xaAC OD OD

2 .. 3 2( 3)

3

aa xNJ AN OM SD OMNJ a xaSD AD OD OD

2 . 3. 2 ( 3 )3 3

a a xKM BM SD BMKM a xSD BD BD a

Suy ra: dt NPQKJ 1 22( 3) ( 3 ) 3 2(3 2 3 )2 3

a x a x x a x x

TH2: thuộc đoạn M OB

MO

B C

DA

S

N

P

K

Qua kẻ đường thẳng song song với cắt lần lượt tại M AC ,AB BC , .N P

73




Qua cắt lần lượt tại . Thiết diện là tam giác .M , , SB SA SC K NPK

Ta có: vuông góc với nên MK NP1 .2NPKS MK NP

Đặt nên MD x3 ; 3

3ax a

Ta có:

3 3 3 3.22 3

3

a a x a xNP MB AC MBNPAC BO BD a

2 . 3. 2 ( 3 )3 3

a a xKM BM SD BMKM a xSD BD BD a

Suy ra: dt NPK 23 ( 3 )2

a x

Vậy diện tích thiết diện

S(x)= 2

32(3 2 3 ) khi 0;3

3 3( 3 ) khi ; 32 3

aa x x x

f xaa x x a

Từ bảng biến thiên ta có diện tích thiết diện lớn nhất bằng khi 23 34

a 34

x a

Câu 70: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành và có thể tích là . Điểm là trung điểm của .S ABCD V P. Một mặt phẳng qua cắt hai cạnh và lần lượt tại và . Gọi là thể tích của SC AP SB SD M N 1V

khối chóp . Tìm giá trị nhỏ nhất của ..S AMPN 1VV

A. . B. . C. . D. .13

18

23

38


I

P

NM

S

O

C

DA

B

Đặt , , .SMxSB

SNySD

0 , 1x y

Ta có (1). .1 S AMP S ANPV VVV V

. .

. .2 2S AMP S ANP

S ABC S ADC

V VV V

1 . .2


14

x y

74




Lại có (2).. .1 S AMN S PMNV VVV V

. .

. .2 2S AMN S PMN

S ABD S CBD

V VV V

1 . . .2


34

xy

Suy ra . Từ điều kiện , ta có , hay 1 34 4

x y xy 3x y xy 3 1

xyx

0 1y 13 1

xx

. Thay vào (2) ta được tỉ số thể tích .12

x 2

1 3 .4 3 1

V xV x

Đặt , ta có , . 23 1. , ;1

4 3 1 2xf x xx

2

23 3 2.4 3 1

x xf xx

0 ( )

0 2 ( )3

x Lf x

x N

, , do đó . 1 312 8

f f

2 13 3

f

11;12

min minx

V f xV

2 13 3

f

Câu 71: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 1, các mặt bên là các tam giác có góc ở đỉnh S bằng . Cho A’ là trung điểm SA, C’ thuộc cạnh SC sao cho . Mặt phẳng (P) đi qua A’, 450 𝑆𝐶

𝑆𝐶' =32

C’ cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B’, D’. Số nào gần với giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác A’B’C’D’.A. 1.79 B. 3.3 C. 2.05 D. 1.3

Hướng dẫn giải.Chọn A

75




Từ giả thiết của bài toán ta có: (1)SA

SA' +SC

SC' =SB

SB' +SD

SD'⇒SBSB' +

SD

SD' =72

Trải phẳng 4 mặt bên của hình chóp và ghép lại sao cho thu được một nủa lục giác đều với cạnh SA tách thành SA và SA’ và đặt vào hệ Oxy(hình vẽ)Khi đó ta có: và S(0;0);A(0;1);A'(0; - 1);A'(0;

12);A '

1(0; -12);C'(2

3;0); B'(a;a);D'(b; - b);a;b ∈

.(0;2

2 )(1)⇔

1a

+1b

=72

⇒72

≥4

a + b⇒a + b ≥

4 27

Chu vi cần A’B’C’D’ là c = A'B' + B'C' + C'D' + D'A '1

⇔c = a2 + (a -12)2

+ (a -23)2

+ a2 + b2 + (b -12)2

+ (b -23)2

+ b2

⇔c = [ a2 + (a -12)2

+ b2 + (b -12)2] + [ (a -

23)2

+ a2 + (b -23)2

+ b2]⇒c ≥ (a + b)2 + (a + b - 1)2 + (a + b)2 + (a + b -

43)2

≥

⇒min(c) ≈ 1.79Dấu “=” xẩy ra khi .a = b =

2 27

⇒B'D'⫽BDCâu 72: Cho hình chóp tứ giác có mặt bên là tam giác đều cạnh bằng nằm trong mặt .S ABCD SAB a

phẳng vuông góc với đáy, đáy là hình thang vuông tại và , và , với là các A B 2AD BC b ,a bsố dương cho trước không đổi, là 2 điểm thay đổi. Gọi là giá trị nhỏ nhất của diện tích ,C D mtoàn phần của hình chóp (diện tích toàn phần bằng tổng diện tích tất cả các mặt của hình .S ABCD

chóp). Khi đó giá trị có dạng: , với là các số nguyên 4ma

2 2. . . .x a y b z a t b , , ,x y z t

dương. Tính tổng x y z t A. . B. . C. D. .16 18 14 13


76




K

φ F

I

E

D

C

B

A

S

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD ⇒ Ta có SE là đường cao của hinh chóp và EF là đường trung bình của hình thang vuông ABCDHạ ta chứng minh được EI CD ( )CD SEI SI CD Ta cũng chứng minh được ,SA AD SB BC

Ta tính được ; 3;

2aSE EF b

2 3; ;

4SAB ABCD SAD SBCaS S ab S S ab

Và: 1.

2SCDS SI CD

Vì tổng không đổi nên diện tích toàn phần của hình chópSAB ABCD SAD SBCS S S S

đạt GTNN đạt GTNN.S ABCD SCDS

Gọi thì: . Theo ĐL Pytago ta tính được:IFE .sin sinEI EF b

2 2 2 2 213 4 sin

2SI SE EI a b

Kẻ ⇒ / /DK ABsin

aDK AB a CD

⇒ ⇒ đạt GTNN ⇔ 2

2 2 2 22

1 1 1 3. . 3 4 sin 4

2 sin 2 4 sinSCDa aS a b a b

SCDS

và GTNN của bằng: 0sin 1 90 SCDS 2 213 4

4a a b

Vậy ⇒ 2

2 23 12 3 4

4 4am ab a a b 2 24

3 8 3 4m a b a ba

⇒ 3, 8, 3, 4 18x y z t x y z t Câu 73: Cho hình chóp tam giác , . Đáy là tam giác vuông cân đỉnh , . .S ABC SA ABC ABC B SB a

Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và . Xác định giá trị của để thể tích khối SCB ABC sinchóp lớn nhất..S ABC

A. B. C. D. 3sin .3

2 3sin .

3 sin 1. 3sin .

2


77




a

α

A C

B

S

Ta có : SBC ABC BCBC AB BC SBBC SA

, .SBC ABC SBA

. Nên .cos ; .sinAB a BC SA a .1 1. . . .3 6S ABC ABCV SA S SA AC BC 3 21 .sin .cos .

6a

Suy ra 2. max sin .cos maxS ABCV

Đặt khi đó sin 0 1 ,x x 2 2 3sin .cos 1x x x x

Xét hàm số với ta có 3y x x 0 1x 21 3 ,y x

lập bảng biến thiên ta có .max3 3 3 2 3

3 3 9 9y y

Vậy .max3sin

3V

Câu 74: Cho tứ diện . Hai điểm lần lượt di động trên hai đoạn thẳng và sao cho ABCD ,M N BC BD

. Gọi lần lượt là thể tích của các khối tứ diện và . Tìm 2 3 10BC BDBM BN

1 2,V V ABMN ABCD

giá trị nhỏ nhất của .1

2

VV

A. . B. . C. . D. .38

58

27

625


Ta có .

1

2

1 ; .S31 ; .S3

BMNBMN

BCDBCD

d A BMN SVV Sd A BCD

Gọi là hình chiếu của lên và là hình chiếu của lên , khi đó ta cóH M BD K C BD. ..

BMN

BCD

S MH BN BM BNS CK BD BC BD

78




.10 2 3 2 6. .BC BD BC BDBM BN BM BN

25.6

BC BDBM BN

6.25

BM BNBC BD

Dấu “=” xẩy ra khi 2 3,5 5

BM BC BN BD

Suy ra .625

BMN

BCD

SS

Vậy nhỏ nhất bằng .1

2

VV

625

Câu 75: Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , các tam giác và đều là .S ABCD ABCD a SBC SCDcác tam giác vuông cân đỉnh . Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp .S .S ABCD

A. . B. . C. . D. .a3 23

a3 26

a3 212

a3 224


D

AB

C

S

Chọn C

và đều là các tam giác vuông cân đỉnh SBC SCD S 02 , 452

aCS BCS DCS

Đặt BCD 2 2 2

. .

32

23 3

12 . . 1 2cos .cos .cos - cos cos - cos3

2 = cos - cos6

2 1 1 2 = cos6 4 2 12

S ABCD S BCDV V CB CD CS BCS DCS BCD BCS DCS BCD

a

a a

Thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất bằng khi và chỉ khi ..S ABCD a3 212

1cos2

BCD

Câu 76: Cho tam giác đều cạnh . Một điểm thay đổi trên đường thẳng vuông góc với mặt ABC a Mphẳng tại ( khác ). Gọi , lần lượt là trực tâm tam giác và . Giá ( )ABC A M A H O M BC ABCtrị lớn nhất của thể tích khối tứ diện bằng:OHBC

A. . B. . C. . D. .3

121a 3

144a 3

145a 3

112a


79




d

OH

B A

C

M

D

F

E

H'

Ta có ( ) ( )CE MAB MB CEF MB OH^ Þ ^ Þ ^

Tương tự . Kẻ thuộc . Ta 0( ) 90MC OH OH MBC DHO^ Þ ^ Þ = ' ( ) 'HH OBC H^ Þ DO

có nên thể tích lớn nhất khi lớn nhất; chạy trên đường tròn 23

12OBCaS = OHBC 'HH H

đường kính nên lớn nhất khi , khi đó và OD 'HH 1'2

HH DO=1 3' '6 12

aHH AD HH

. Suy ra .3

.1 '.3 144H OBC OBC

aV HH S 3

max 144aV =

Câu 77: Cho hình chóp đáy là hình thang, đáy lớn , , . Mặt bên .S ABCD 2BC a AD a AB b ( )SADlà tam giác đều. Mặt phẳng qua điểm trên cạnh và song song với các cạnh , . ( ) M AB SA BC

cắt lần lượt tại . Đặt . Giá trị lớn nhất của diện tích ( ) , ,CD SC SB , ,N P Q x AM (0 )x b thiết diện tạo bởi và hình chóp là( ) .S ABCD

A. . B. . C. . D. .2 36

a 2 312

a 2 33

a 2 32

a


vµ nªn ( ) SA BC ( ) ( )SAD ,MQ SA NP SD Ta có MN PQ AD BC

Theo ĐL Talét trong hình thang ABCD: (1)BM CNBA CD

80




Theo ĐL Talét trong : (2)SABBM BQ MQBA BS SA

Theo ĐL Talét trong : (3)SCDCN CP PNCD CS SD

Từ (1), (2), (3) suy ra ; 2 ;b x x xMQ NP a PQ a MN a ab b b

Thiết diện là hình thang cân và2

21 ( )2 2td

MN PQS MN PQ MQ

2 2 2 2

2 2

1 2 ( ) ( ) 1 ( 3 ) 3( ). .2 4 2 2

ab ax ax a b x a b x a b x a b xb b b b b b

22 2

2 2

3 3 3 3 3 3(3 )(3 3 )12 12 2 3a a x b b x ax b b x

b b

Vậy diện tích lớn nhất của thiết diện là khi .2 33

a3bx

Câu 78: Cho ba nửa đường thẳng đôi một vuông góc. Trên lần lượt lấy ba điểm , ,Dx Dy Dz , ,Dx Dy Dz sao cho và ( , không đổi). Giá trị lớn nhất của diện tích , ,A B C , ,A B C D ABCS s 0s s

toàn phần của tứ diện làABCDA. . B. . C. . D. .3.s 3s 3 1 .s 2 3.s


z

y

x

D

A

B

C

K

H

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên , trên gọi H D ABC ABC K CH AB

Dễ dàng chứng minh được tại và . AB CDH CH AB K DK AB

Trong tam giác vuông tại , có là đường cao nên CDK D DH 2.HK CK DK

81




Suy ra2

2 2 2 21 1 1. . . . . . . .2 2 2 HAB ABC DABAB HK CK DK AB HK AB CK AB DK AB S S S

Chứng minh tương tự có và 2.HBC ABC DBCS S S 2.HAC ABC DACS S S

Từ đó 2 2 2.HAB HBC HAC ABC DAB DBC DACS S S S S S S

Suy ra 2 2 2 2 2DAB DBC DAC ABCS S S S s

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 2 2 2 2 21 1 1 . 3DAB DBC DAC DAB DBC DACS S S S S S s

Do đó 3.DAB DBC DACS S S s

Suy ra 3 1 .tp DAB DBC DAC ABCS S S S S s

Dấu bằng khi DAB DBC DACS S S DA DB DC Câu 79: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và .Tìm số ( ),SA ABC SC a

đo của góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất.

A. B. C. D. 6arccos3

6arccos2

6arctan3

6cot3

arc


A C

B

S

Ta có: 0( ) ( ), ( ) (0 90 )BC AC

BC SAC SBC ABC SCABC SA

Xét tam giác SAC vuông tại A, ta có:

sin sin ; .cos cosSA SC SCA a AC SC SCA a Do đó :

2 2 2 3 2.

1 1 1 1. . cos . sin cos .sin3 2 6 6S ABCV AC SA a a a

Xét hàm số trên , ta có :2( ) cos .sinf 0;2

3'( ) 3cos 2cos cos ( 3 cos 2)( 3 cos 2)f

Vì .0; cos 0, 3 cos 2 02

Do đó : 6 6'( ) 0 cos arccos .3 3

f

82




Bảng biến thiên :

Vậy thể tích khối chóp lớn nhất khi .S ABC6arccos .

3

Câu 80: Cho tứ diện đều cạnh , là điểm thuộc cạnh sao cho . Gọi là SABC 2AB a D AB 2BD AD Itrung điểm của . Một đường thẳng thay đổi đi qua điểm cắt các cạnh tại . SD d I ,SA SB ,M N

Khi đường thẳng thay đổi thì thể tích nhỏ nhất của khối chóp bằng , với d .S CMN3 3m a

n m

. Tính ( , ) 1, ,m n m n m nA. . B. . C. . D. .4m n 6m n 7m n 5m n


Trong tam giác kẻ lần lượt song song với SAB ,AE BF MN

Ta có , , 2SM SI SN SI ED FDSA SE SB SF

Suy ra 2 3 6SA SB SDSM SN SI

Đặt 1SB xSN

6 2 , 3SA x xSM

Từ đó 1 1;6 2

SM SNSA x SB x

. .2

16 2S MNC S ABCV V

x x

83




Vì đạt giá trị lớn nhất khi nên 26 2x x 32

x 3 3 3

. .

2 22 2 2min9 9 12 3 2S MNC S ABC

a aV V

Vậy 2, 3 5m n m n

Câu 81: Cho hình chóp đều có diện tích tam giác bằng . Tìm giá trị lớn nhất của khoảng .S ABCD SAC 12

cách từ đến .A SBC

A. . B. . C. . D. .12

1 2 12


O

A

D

B

C

S

M

H

Gọi . Do là hình chóp đều nên .O AC BD .S ABCD SO ABCD

Gọi là trung điểm của , ta có M BCSO BCOM BC

BC SOM

; SBC SOM SBC SOM SM

Trong mặt phẳng , kẻ thì .OH SOM OH SM H SM OH SBC

. , 2 ,d A SBC d O SBC 2OH

Gọi cạnh hình vuông là . Ta có . 0x x 2AC x

.1 1. . 22 2SACS SO AC SO x

2 2 12

SACSSOAC xx

Tam giác vuông tại có đường cao nênSOM O OH

..SO OMOHSM

2

2

1 .2

14

xx

xx

2

2

112

4x

x

Mà nên .2 2

2 2

1 12 . 14 4x x

x x 1 ; 1

2OH d O SBC

Dấu bằng xảy ra khi . Vậy giá trị lớn nhất của bằng 1 khi .2

2

1 24x x

x OH 2x

84




Câu 82: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành, , các cạnh bên AD 4a a 0

của hình chóp bằng nhau và bằng . Thể tích của khối chóp S.ABCD lớn nhất thì cosin của a 6góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng:

A. B. C. D. .110

210

12 10

23 10

Hướng dẫn giảiChọn BGọi O là giao điểm của AC và BD do ∆SAC, ∆SBD cân tại S nên

. Từ giả thiết suy ra ABCD là SO AC, SO BD SO ABCD OA OB OC OD

hình chữ nhật.Đặt 2 2AB x, x 0 AC 16a x

2 2 2 216a x 8a xAO SO2 2

2 2

ABCD1 8a xV 4a.x.3 2

khi . Suy ra, SO=a. 3

2 2 2a 8a. x 8a x3 3

3

ABCD8aV max3

x 2a

Chọn hệ tọa độ sao cho O 0;0;0 , S 0;0;a , B a; 2a;0 , C a;2a;0 , D a;2a;0

Tìm được vtpt của mp(SBC) là , SBCn 1;0; 1

vtpt của mp(SCD) là . SCDn 0;1;2

, với là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).2cos10

Vậy cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng .210

z

y

x

O

D

CB

A

S

Câu 83: Cho tam giác đều cạnh . Trên đường thẳng qua và vuông góc với mặt phẳng OAB a d O OABlấy điểm sao cho . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên và M OM x , E F A MB

. Gọi là giao điểm của và . Thể tích tứ diện có giá trị nhỏ nhất là:OB N EF d ABMN

A. B. C. D. 3 212

a 3 312

a 3 612

a 3 26

a


85




Do tam giác đều cạnh là trung điểm OAB a F .2aOB OF

Ta có .AF OB

AF MOB AF MBAF MO

Mặt khác, Suy ra MB AE .MB AEF MB EF

Suy ra nên .OBM ONF ∽2.

2OB OM OB OF aONON OF OM x

Ta có ABMN ABOM ABONV V V

. 2 2 2 2 2 2 31 1 3 3 3 6. .( ) .2 .

3 3 4 2 12 2 12 2 12OABa a a a a a aS OM ON x x x

x x x

Đẳng thức xảy ra khi .2 2

2 2a ax x

x

Câu 84: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng cạnh bên và bằng 1. Gọi là hai điểm .S ABC ,M Nthay đổi lần lượt thuộc các cạnh sao cho mặt phẳng luôn vuông góc với mặt ,AB AC SMNphẳng . Đặt . Gọi là các giá trị lớn nhất và giá trị ( )ABC , (0 ; 1)AM x AN y x y ,M mnhỏ nhất của diện tích tam giác . Tổng là:SMN F M m

A. . B. . C. . D. .4 6 9 236 4 6 9 2

18 4 6 3 2

18 2 6 3 2

9


Gọi là trọng tâm tam giác . Khi đó có H ABC 6( );3

SH ABC SH

Do mặt phẳng ( ) ( ) ( )SMN ABC SH SMN

Vậy .1 6( ) .2 6

S SMN SH MN MN

Gọi là trung điểm khi đó có K BC 1 12 3 3AB AC AK x y xyAM AN AH x y

Lại có 2 2 2 2 2( ) 3 9( ) 3MN x y xy x y xy xy xy

Do . Vì 43 2 3.9

x y xy xy xy xy 1; 1 ( 1)( 1) 02

x y x y xy

86




Xét hàm số ta có 2 4 1( ) 9 3 ( )9 2

f t t t t

24 minmin ( )39

3 3max ( ) max4 2

MNf t

f t MN

Vậy

2 6min ( ) 4 6 9 29182max ( )

2

S SMNF

S SMN

Câu 85: Cho tứ diện có , là một điểm bất kỳ thuộc miền trong của tam giác ABCD 2. . 3AB AC AD a O Từ kẻ các đường thẳng lần lượt song song với cắt các mặt phẳng .BCD O , ,AB AC AD

lần lượt tại . Giá trị lớn nhất của tích ( ), ( ), ( )ACD ABD ABC , ,M N P . .OM ON OP

A. . B. . C. . D. .33

8a 3a

3

9a 3

3a


Gọi . Trong kẻ đường thẳng qua song song với cắt tạiBO CD E ( )ABE O AB AE MTương tự với .,N P

Ta có .OCD

BCD

SOM OEAB BE S

Tương tự: ,OBD OBC

BCD BCD

S SON OPAC S AD S

1OM ON OPAB AC AD

87




33

. . . .3 . .. . 27 9

OM ON OP OM ON OP AB AC AD aOM ON OPAB AC AD AB AC AD

khi hay là trọng tâm tam giác .3

9a

max(OM.ON.OP)= 13

OM ON OPAB AC AD

O BCD

Câu 86: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là trung ABCDđiểm của SC . Mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SB và SD lần lượt tại M và N . Gọi 1V là thể

tích của khối chóp .S AMPN . Tìm giá trị nhỏ nhất của tỷ số 1VV

?

A. . B. 18

. C. 13

. D. 38

.23

Hướng dẫn giảiChọn CCách 1

I

P

NM

S

O

C

DA

B

Đặt , , .SMaSB

SNbSD

0 ; 1a b

Ta có . .1 S AMP S ANPV VVV V

. .

. .2 2S AMP S ANP

S ABC S ADC

V VV V

1 . .2


= (1) 14

a b

Lại có . .1 S AMN S PMNV VVV V

. .

. .2 2S AMN S PMN

S ABD S CBD

V VV V

1 . . .2


= (2).34

ab

Suy ra . Từ điều kiện , ta có , 1 3 3a4 4 3a 1

aa b ab a b b b

0 1b 13a 1

a

hay .12

a

Thay vào (2) ta được tỉ số thể tích .2

1 3 .4 3a 1

V aV

Đặt , ta có . 23 1. ; ;1

4 3a 1 2af a a

2

2

03 3 2a' . 0 24 (3a 1)3

a Laf aa

, do đó 1 3 2 11 ;2 8 3 3

f f f

11;12

2 1 .3 3a

VMin Min f a fV

Cách 2 : (Tham khảo ý kiến Cô Lưu Thêm)Từ giả thiết và cách dựng thiết diện ta có :

D1; ; 2; 3SA SB SC Sa b c d a c b dSA SM SP SN

88




Khi đó 1 12

6 3 3 1 14a. . . 4.1.2. d 4 . 3 3

42

V Va b c dV b c d b b d Vb d

1 13

VMinV

Câu 87: Gọi là thể tích nhỏ nhất của khối chóp tứ giác đều trong số các khối chóp tứ giác đều có khoảng Vcách giữa hai đường thẳng chéo nhau gồm một đường thẳng chứa một đường chéo của đáy và đường thẳng chứa một cạnh bên hình chóp bằng .Khi đó bằng bao nhiêu?3 VA. . B. . C. . D. .3V = 9V = 9 3V = 27V =

Hướng dẫn giải.Chọn BXét hình chóp tứ giác đều .S ABCD , đặt AB x= , SO h= . Với O là tâm của hình vuông ABCD

( )SO ABCDÞ ^ . Qua O kẻ đường thẳng OH vuông góc với SA với H SAÎ .

Ta có ( ) .BD AC

BD SAC BD OHBD SO

ì ^ïï Þ ^ Þ ^íï ^ïîSuy ra OH là đoạn vuông góc chung của SA và BD .Theo bài ra, ta có ( ), 3d d SA BD OH OH= = ¾¾® = .Tam giác SAO vuông tại O , có đường cao OH suy ra

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 2

3 OH SO OA h x= = + = + .

Lại có 23

2 2 2 2 2 2 4

1 1 2 1 1 1 1 13 . 27

3 AM GM

hxh x h x x h x-

= + = + + ³ Û ³ .

Vậy 21 1. 9 93 3ABCD ABCDV SO S hx V

Cho khối chóp có đáy là tam giác vuông cân tại . khoảng cách từ đến mặt phẳng .ABCS B A

bằng , . Xác định độ dài cạnh để thể tích khối chóp SBC 2a 90SAB SCB AB .ABCSnhỏ nhất.

A. . B. . C. . D. 3a 2a10

2a 3a 5


89




Dựng hình vuông , cạnh bằng , ta có ; đặt .ABCD x ( D)SD ABC DS h

Dựng Ta có DH SC DH SBC A;( ) ( ;( )) 2d SBC d D SBC DH a

2 2 2

2 32

2 2

1 1 1 *2a

1 . .6 3 2a

x ha hV h x

h

Xét 3

2 2( ) ; 22a

hf h h ah

2 2 2

22 2

6a( )

3 2a

h hf h

h

a 6 ∞a 2 ++

y

y'

h

0

Vậy nhỏ nhất khi ( )f h *6 3h a x a Câu 88: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành, AD=4a (a>0), các cạnh bên của

hình chóp bằng nhau và bằng . Khi thể tích của khối chóp S.ABCD đạt giá trị lớn nhất thì a 6cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là

A. B. C. D. 210

210

15

15

Hướng dẫn giảiChọn BDựng hình

90




O

A D

S

y

x

z

B C

Gọi O là giao điểm của AC và BD, Do và cân tại S nên SAC SBDSO AC

SO (ABCD)SO BD

Từ giả thiết là hình chữ nhậtABCD

Đặt AB = x (x > 0)2 2

2 2 2 21 8a xAC 16a x AO 16a x SO2 2

2 22 2

S.ABCD1 8a x aV 4a.x. .2x. 8a x3 2 3

Áp dụng bđt cosi ta được =2 2 2S.ABCD

aV (x 8a x )3

38a

3S.ABCDV Max khi x 2a SO a

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta được O(0; 0; 0), S(0; 0; a), B(-a; -2a; 0), C(-a; 2a; 0), D(a; 2a; 0)VTPT của mp(SBC) là SBCn (1;0; 1)

VTPT của mp(SCD) là SCDn (0;1;2) 2cos

10

Câu 89: Cho tứ diện đều có cạnh bằng 1. Hai điểm di động trên các cạnh sao cho ABCD ,M N ,AB ACmặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . DMN ABC

Gọi là diện tích lớn nhất của tam giác . là diện tích nhỏ nhất của tam giác . Tính 1S AMN 2S AMN

.1

2

STS

A. . B. . C. . D. .119

T 98

T 87

T 97

T


91




Ta có và nên kẻ thì . ABC DMN MN ABC DMN DH MN DH ABC

Do , là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều .DA DB DC HA HB HC H ABC

Đặt , ta có .,AM x AN y 0 , 1x y 1 3. .sin 60 12 4AMNS AM AN xy

Mặt khác, 1 1 3. .sin 30 . .sin 30 22 2 12AMN AMH ANHS S S AH AM AH AN x y

Từ (1) và (2) suy ra .3x y xy Đặt là nghiệm của phương trình .3xy t x y t ,x y 2 3 0 *X tX t

Cần tìm t để phương trình (*) có 2 nghiệm thoả mãn .1 2,X X 1 20 1X X

(do không phải là nghiệm của (*) ). 2

2* 3 13 1

XX t X tX

13

X

Xét hàm số trên có bảng biến thiên như sau: 2

3 1Xf XX

10;1 \3

Yêu cầu bài toán .4 19 2

t

, đạt khi hoặc .13 3 3 3

4 4 8 8AMNS xy t S 121

x

y

112

x

y

, đạt khi .23 3 3 3

4 4 9 9AMNS xy t S 23

x y

Vậy . Đáp án B.1

2

98

STS

92




Câu 90: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , và vuông góc .S ABCD ABCD a 3SA a= SAvới mặt phẳng đáy. và là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh và sao cho M N BC DC

. Tìm theo giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp . 045MAN = a .S AMN

A. . B. . C. . D. .3 36

a 3 32

a 3 33

a 3 34

a


Ta có ..1 3. .3 3S AMN AMN AMN

aV SA S S= =

Đặt .[ ], ; , 0;BM x DN y x y a= = Î

Tam giác vuông tại nênCMN C hay2 2 2MN CM CN= +

.( ) ( )2 22MN a x a y= - + -Áp dụng định lý hàm số cosin cho tam giác ta cóAMN

2 2 2 2 . cosMN AM AN AM AN MAN= + -

( )( )2 2 2 2 2 2 2 22 2MN a x y a x a yÞ = + + - + +

Suy ra ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 22 2a x a y a x y a x a y- + - = + + - + +

.( ) ( )222 2 2 a axax ay a xy ax ay a xy ya x

-Û + = - Û + = - Û =

+Diện tích tam giác làAMN

.( )2 2

21 .2 2AMN ABCD ABM ADN CMN

a a xS S S S S a xyx a

+= - - - = - =

+

Xét hàm số trên đoạn .( )2 2x af xx a

+=

+[ ]0;a

Ta có ; .( )( )

2 2

22' x ax af x

x a+ -

=+

( ) ( )' 0 2 1f x x a= Û = -

Ta lại có .( ) ( ) ( )( ) ( )0 ; 2 1 2 2 1f f a a f a a= = - = -

Suy ra [ ]

( )0;

max .a

f x a=

Vậy thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất bằng ..S AMN 336

a

93




Câu 91: Cho hình chóp có thể tích là , là hình bình hành có tâm . Gọi là trung .S ABCD V ABCD O Iđiểm của , là mặt phẳng qua sao cho cắt các cạnh lần lượt tại các SO P I P , , ,SA SB SC SDđiểm . Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích của khối chóp ., , ,M N P Q .S MNPQ

A. . B. . C. . D. .4V

2V

12V

8V


Đặt , , ,SA SB SC SDa b c dSM SN SP SQ

012SABD SBCDV V V V

, 1SMNQV V 2SNPQV V

Ta có kết quả: 2 4SOa c b dSI

; 0

1

. .V a b dV

0

2

. .V c b dV

với 0 0

1 2

. 4 4V V b d a c b bV V

16 0 3b

Mặt khác: 0 0 0 0

1 2 1 2 1 2

2 ..

V V V V VV V V V V V

1 2 .

2 2

S MNPQ

V VV V V

Do đó: .

2 16S MNPQ

VV

. 8S MNPQVV

Câu 92: Cho OABC là tứ diện vuông có và chiều cao . Tìm giá trị lớn nhất , ,OA a OB b OC c OH h

của .

ha b c

A. . B. . C. . D. .3 3 3 13 3

13


Ta có , 32222222

131111cbacbah

3 2222 9 cbacba

94




. 272

2

hcba

1

3 3

h

a b cDấu “=” xảy ra khi .a b c

Câu 93: Cho OABC là tứ diện vuông có và chiều cao , , ,OA a OB b OC c OH h

. Tìm giá trị nhỏ nhất của .1 2 3, , OAB OBC OCAS S S S S S 1 2 32

S S Sh

A. . B. . C. . D. .913

92

29

Hướng dẫn giải Ta có , 2 2 2 2

1 1 1 1

h a b c 1 2 3

12

S S S ab bc ca

Vậy .3 2 2 21 2 3 32 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 9( ) .3 .32 2 2

S S S ab bc ca a b ch a b c a b c

Dấu “=” xảy ra khi .a b c Câu 94: Cho tứ diện và là một điểm di động, nằm bên trong tam giác . Qua kẻ các S ABC M ABC M

đường thẳng song song với cắt các mặt phẳng tương ứng lần , ,SA SB SC ( ), ( ), ( )SBC SAC SAB

lượt tại . Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức , ,A B C . .MA MB MC MA MB MCTSA SB SC SA SB SC

là

A. . B. . C. . D. .98

2827

6227

138


N

CP

M

A'

B'

B

Q

C'

A

S

Trong gọi .( )ABC ; ;N AM BC P BM AC Q CM AB Trong kẻ .( )SAN '/ / ; 'MA SA A SNTrong kẻ .( )SBP '/ / ; 'MB SB B SPTrong kẻ .( )SCQ '/ / ; 'MC SC C SQ

95




Theo đinh lý Thales ta có: ' ' ' 1MBC MAC MAB

ABC BAC CAB

S S SMA MB MC NM PM QMSA SB SC NA PB QC S S S

Theo Bất đẳng thức AM-GM lại có 3' ' ' ' ' '1 3 . .MA MB MC MA MB MC

SA SB SC SA SB SC

. Dấu xảy ra .' ' ' 1 1 28. . 127 27 27

MA MB MC TSA SB SC

'' '' ' ' ' 1

3MA MB MCSA SB SC

Khi đó là trọng tâm tam giác . Vậy giá trị lớn nhất của là .M ABC T 2827

Câu 95: Cho hình vuông cạnh . Trên đường thẳng vuông góc với tại lấy điểm (ABCD a ABCD A S

không trùng với ) và trên cạnh lấy điểm sao cho . Tính giá trị lớn S A AD M 2 2 2SA AM a nhất của thể tích khối chóp khi và thay đổi.maxV .S ABCM S M

A. . B. . C. . D. .3

max

312

aV 3

max

38

aV 3

max

324

aV 3

0

3 38

aV


Đặt . , 0 , 0AM x SA y x a y

Ta có . .1 1.3 6S ABCM ABCMV S SA a x ay

Do hay .2 2 2SA AM a 2 2 2x y a 2 2y a x

Khi đó . 32 2. 6 6S ABCM

a aV a x a x a x a x

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho bốn số , ta có , , , 3 3a x a x a x a x

. 4 43 43 3 3 33 3 .

4 2a x a x

a x a x a

3 427

16a x a x a

Suy ra .2 3

.3 3 3

6 4 8S ABCMa a aV

Vậy , đạt được khi ; .3

max3

8aV 3 3

2aa x a x x

22 3

2 2a ay a

Câu 96: Cho hình chóp có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính .S ABCD ABCD

; , góc giữa và là với . Gọi là điểm thay đổi trên 2AD a 3SD a SD AC 2sin3

M

, gọi là mặt phẳng đi qua , song song với và . Xác định và tính diện tích thiết CD M AC SDdiện khi cắt hình chóp . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích thiết diện đó. .S ABCD maxS

96




A. . B. . C. . D. .2

max35aS

2

max2 3

5aS

2

max3

5aS

2

max45aS


φ

K

F

PR

E

Q

N

O

C

A D

B

S

M

- Kẻ // ; // ; // .MN AC N AB NP SD P SA MQ SD Q SC

Gọi ; ; ; .O AC BD E MN BD F PQ SO R EF SD Khi đó thiết diện cần tìm là ngũ giác , trong đó tứ giác MNPQ là hình bình hành.MNPRQ- Nhận thấy là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính ABCD 2AD a

và . 90 3ACD AC aBC CD a

1 12 3

OB BC BOOD AD BD

- Đặt Khi đó . 0 1 .DMx xDC

. , 1 .MN x AC MQ x SD

Suy ra . .sin 1 . . .sinMNPQS MN MQ x x SD AC

- Dựng . //OK SD K SB1 13 3

OK BO OK SDSD BD

Lại có: .3

FR SF DE DM xx FR x OK SDOK SO DO DC

Do góc giữa và bằng nênRE PQ 21 1. .sin . .sin . .sin

2 2 6PRQxS PQ RF MN RF SD AC

Vậy 51 . . .sin * .6MNPRQ MNPQ PRQxS S S x SD AC

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có

25 5 1 5 5 1 5 31 1 16 6 4 6 6 4 6 10x x x x xx

Từ suy ra *23 3 2 3. . .sin . 3. 3.

10 10 3 5MNPRQaS SD AC a a

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .5 5 316 6 5x x x

Vậy 2

max35aS

97




Câu 97: Cho tứ diện đều có cạnh bằng . M là một điểm thuộc miền trong của khối tứ diện tương ứng.aTính giá trị lớn nhất của tích các khoảng cách từ điểm M đến bốn mặt của tứ diện đã cho.

A. . B. . C. . D. .4

521a 4

576a 4 6

81a 4 6

324a

Hướng dẫn giảiGọi 1r , 2r , 3r , 4r là khoảng cánh từ điểm M đến bốn mặt của tứ diện.Gọi S là diện tích một mặt của tứ diệnThể tích của tứ diện là

. 1 2 3 4 1 2 3 41 1. . . .3 3

V S h S r r r r r r r r h

Đường cao của tứ diện là .2

2 3 63 3

a ah a

Suy ra .4

41 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

6 4 . . . . . .3 576

a ar r r r r r r r r r r r

Dáu “=” xảy ra khi 1 2 3 46

4 12h ar r r r

Khi đó M là trọng tâm của tứ diện.Câu 98: Cho hình chóp có , các cạnh còn lại của hình chóp đều bằng 1. Khi .S ABC SA a 0 2a

đạt giá trị lớn nhất thì giá trị biểu thức thuộc khoảng nào sau đây?.S ABCV 4 24a 2P a

A. . B. . C. . D. .15 ;82

33 35;

4 4

379;

4

338;

4Hướng dẫn giải

Chọn B

J

I

A

B

C

S

Gọi lần lượt là trung điểm của và .,I J SA BC cân tại SAC C SA IC cân tại .SAB B SA IB ( )SA IBC

vuông tại , .IAB I2

2 21 4, 12 2 2

a aIA SA AB IB AB IA

98




vuông tại , .IJB J2

2 21 32 2

aJB IJ IB BJ

21 3IJ.2 4IBC

aS BC

2

. . .1 1 1 1 3SI.S AI.S (SI AI).S SA.S3 3 3 3 12S ABC S IBC A IBC IBC IBC IBC IBC

a aV V V

2 22 21 1 3 1. (3 ) .

12 12 2 8a aa a

Dấu xảy ra khi . Chọn đáp án B." " 2 2 6 1732 2

a a a P

Câu 99: Cho tứ diện có . Khi thể tích của khối tứ diện lớn nhất thì ABCD 1AB AC BD CD ABCDkhoảng cách giữa hai đường thẳng và bằngAD BC

A. . B. . C. . D. .13

23

12

13


y

1

1

1

1

x

K

H

B D

C

A

- Đặt , .BC x AD y , 0x y

- Gọi lần lượt là trung điểm của và . Do các tam giác và cân tại và ,H K BC AD ABC DBC A nên .D ,AH BC DH BC BC ADH BC HK

Lại do các tam giác và bằng nhau nên hay ABC DBC AH DH HK AD . ,HK d AD BC

- Ta có : 2 2

2 2 414 2x xAH AB BH

2 2

2 2 42x y

HK AH AK

.1 .2HADS HK AD 2 21 1 1 1. . . . . . . . 4

3 3 2 12ABCD HADV BC S BC HK AD x y x y

Áp dụng BĐT Côsi ta có :

. 32 2 2 2

2 2 2 2 2 21 1 1 4 2 34 . . 412 12 12 3 27ABCD

x y x yV xy x y x y x y

Dấu ”=” xảy ra .2 2 2 2 243

x y x y x y

99




Do đó . Khi đó : .max2 3 227 3

V x y 2 24 1

2 3x y

HK

Vậy . 1,3

d AD BC

Câu 100: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều và có . Tính thể thích lớn .S ABC ABC 1SA SB SC nhất của khối chóp đã cho.maxV

A. . B. . C. D. .max3

12V max

16

V max1

12V max

212

V


1

x H

A C

B

S

- Gọi là trọng tâm tam giác đều , theo giả thiết suy ra .H ABC SH ABC

- Đặt ; AB x2 23 3 9 31

3 9 3x x xAH SH

2 34ABC

xS

.2 2

2 2.

1 1 9 3 3 1. . . . . . 33 3 3 4 12S ABC ABC

x xV SH S x x

Áp dụng BĐT Côsi ta được:

. 32 2 2

2 2 2.

1 1 6 2 1. . 6 23 612 2 12 2S ABC

x x xV x x x

Dấu ”=” xảy ra .2x

Vậy .max1 26

V AB

.Câu 101: Cho tứ diện đều cạnh . Gọi là diện tích hình chiếu của tứ diện lên các mặt phẳng khác ABCD a S

nhau. Khi đó lớn nhất bằng?S

A. . B. . C. . D. .2S a 2

2aS

2

4aS

2 34

aS


100




A

B

C

D

B'

C'

D'

A'

D'

C'

B'

D

C

B

A

P'

M'

M

N

Q

P

N'

Q'

Nếu hình chiếu là tam giác, giả sử là tam giác , khi đó .' ' 'B C D2

' ' '3

4B C D BCDaS S

Nếu hình chiếu là tứ giác, giả sử là . Gọi , lần lượt là trung ' ' ' 'A B C D , , ,M N P Q ', ', ', 'M N P Qđiểm các cạnh , khi đó , , , , ' ', ' ', ' ', ' 'AB BC CD DA A B B C C D D A

.2

' ' ' ' ' ' ' '2 22A B C D M N P Q MNPQaS S S

Vậy .2

2aS

Câu 102: Cho hình chóp tứ giác đều có góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là Biết khoảng cách .S ABCD .giữa hai đường thẳng và bằng a và thể tích khối chóp đạt giá trị nhỏ nhất. Khi AD SC .S ABCDđó giá trị của bằng:cos

A. . B. . C. . D. .2cos5

1cos3

1cos3

6cos

3

Hướng dẫn giảiChọn BDo mà ./ /AD BC ( ) / /( ) ( ; ) ( ; ( ))BC SBC AD SBC d AD SC d AD SBC ( ; ( ))d M SBCTrong tam giác SMN kẻ , ta có:,MH SN H SN

(do BC ( ))

( )MH BC SBN

MH SBCMH SN

( ; )d M SBC MH a

Tam giác vuông có HMN2

22sin sinABCD

a aMN AB S AB

Tam giác vuông có SON1.tan . tan . tan2 2sin

aSO ON MN

Khi đó 2 3

. 2 2

1 1 1. . . . tan . .3 3 2sin sin 6 sin .cosS ABCD ABCD

a a aV SO S

Đặt với . Ta có : cost 0 1t 3

. 2

1. , 0 16 (1 )S ABCDaV t

t t

NM

C

A B

D

S

O

H

101




nhỏ nhất lớn nhất trên khoảng ..S ABCDV 2 3( ) (1 )f t t t t t 0;1

Ta có ' 2 ' 1( ) 1 3 ; ( ) 03

f t t f t t

Lập BBT ta có lớn nhất ( )f t 1 1cos3 3

t

Câu 103: Cho hình chóp đều có cạnh bên bằng , góc hợp bởi đường cao của hình chóp và .S ABCD a SHmặt bên bằng . Tìm để thể tích là lớn nhất. .S ABCDA. B. C. D. 030 045 060 075


K

MH

D

CB

A

S

Do hình chóp là hình chóp đều nên là giao điểm của và .S ABCD H AC BDGọi là trung điểm của ta có nên mà M CD CD SHM SHM SCD

nên từ H dựng tại K thì SHM SCD SM HK SM HK SCD

Hay là hình chiếu của lên mặt phẳng suy ra do SK SH SCD , ,SH SCD SH SK HSK

tam giác SHK vuông tại K theo giả thiết ta có với HSM 02

Đặt và 2 2 2SH h HC a h 2 2

2a hHM

2 22( )BC a h

Tam giác vuông tại : SHM H2 2

2 2 2 2tan 2 tan2

HM a h h a hSH h

2 2 2

2(1 2 tan )

1 2 tanah a h

2 2

2 2 2 2 22

4 tan2( ) 4 tan1 2 tan

aBC a h h

3 22

. 2 3

1 1 4 tan.3 3 (1 2 tan )

S ABCDaV BC SH

Đặt Với 21 2 tant 2 11; tan2

tt

Xét hàm số trên 32 1( ) .

3a tf t

t t

1;D

102




3 3

3 2

3 ( 1) 32' . .3 3 2

t t t t ta af tt t t

' 0 3f t t Bảng biến thiên

4a3

9 3

0 -+

+∞31

f (t)

f '(t)

t

Vậy khi do hay . 34max

9 3af t 3 tan 1t 0

2 045

Câu 104: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh cạnh bên SA vuông góc với mặt .S ABCD ABCD ,a

đáy và . Gọi là điểm di động trên cạnh và là hình chiếu vuông góc ABCD 3SA a M CD Hcủa lên đường thẳng Khi điểm di động trên cạnh thể tích khối chóp có S .BM M ,CD .S ABHgiá trị lớn nhất bằng

A. . B. . C. . D. .3 36

a 3 312

a 3 33

a 3 32

a


aA B

D C

S

M

H

Cách 1Đặt , ta có 0 CM x a

. 2

2 1 12 2 2 ABH ABCD ADM BCM

aS S S S a a a x ax

Mặt khác , với 1 .2 ABHS AH BM 2 2 BM x a

.2

2 2

2

ABHS aAHBM x a

2 2

2 2

axBH AB BHx a

Do đó . 4

. 2 2

1 3.3 6

S ABH ABHa xV S SAx a

103




Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có

.4 4 3

. 2 2

3 3 312

6 6.2 .

S ABHa a aV

a ax xx x

, đạt được khi .3

.3max

12 S ABH

aV2

ax x ax

M D

Cách 2Trong tam giác SBM kẻ đường cao SH, ta có

.

BM SHBM SAH BM AH

BM SA

Đặt , ta có 0 045 90 ABM, ..sin sin AH AB a .cos cos BH AB a

Thể tích khối chóp S.ABH là:

.3

.1 1 1 3. . . sin . cos . 3 sin 23 6 6 12

S ABH ABHaV S SA AH BH SA a a a

Ta có , đạt được khi hay 3

.3

12S ABH

aV3

.3max

12 S ABH

aV 0sin 2 1 45 .M D

Cách 3

Ta có ..1 .3 S ABH ABHV S SA

Mà không đổi nên lớn nhất khi lớn nhất.3SA a .S ABHV ABHS

Lại có 2 2 2 2 2 . Cauchy

a AB AH BH AH BH

.21 .

2 4 ABHaS AH BH

3

.3

12 S ABH

aV

, đạt được khi .3

.3max

12 S ABH

aV AH BH 045 ABH M D

Câu 105: Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng . .S ABCD Biết rằng khi thì thể tích của khối chóp đạt giá trị lớn nhất. Chọn khẳng định 0 .S ABCDđúng.A. . B. . C. . D. . 0

0040 ;55 0

000 ;39 0

0058 ;79 0

0072 ;90


104




A

B C

M

D

S

O

Gọi . O AC BD SO ABCD

Gọi M là trung điểm của BC, ta có: .

OM BCSM BC SMOABCD SBC BC

Đặt , ta có , Trong tam giác vuông SOM có .2BC x OM x tan tanSO OM x Trong tam giác vuông SOB có: .2 2 2 2 22SO SB OB a x

Do vậy ta có phương trình: 2 2 2 2

22 tan

2 tanaa x x x

2

2 ;2 tan

aBC

2

tan2 tanaSO

2 3 3 2

. 322 2 2 2

1 1 tan 4 4 tan 4 tan. . . .3 3 2 tan 32 tan 3 2 tan 2 tan 2 tan

S ABCD ABCDa a a aV SO S

Ta có:

32 2 2

3 2 2 2 2 2 22

tan tan 1 1 1 tan 1 1 1. .2 tan 2 tan 2 tan 3 2 tan 2 tan 2 tan 272 tan

CAUCHY

Nên .

3 2 3

. 32

4 tan 4.3 9 32 tan

S ABCDa aV

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .2

2 02 2

tan 1 tan 1 452 tan 2 tan

Câu 106: Cho hình tứ diện có độ dài các cạnh , , thỏa mãn SABC SA BC x SB AC y SC AB z . Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện .2 2 2 27x y z SABC

A. . B. . C. . D. .9 22

94

9 24

92


105




Chọn C

Thể tích khối tứ diện . 2 2 2 2 2 2 2 2 2212

V y z x z x y x y z

Mà nên .2 2 2 27x y z 2 2 22 27 2 27 2 27 212

V x y z

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương , , ta có3 227 2x 227 2y 227 2z

32 2 2

2 2 227 2 27 2 27 2

27 2 27 2 27 23

x y zx y z

. 2 2 2729 27 2 27 2 27 2x y z 2 . 729

12V

9 24

V

Vậy , đạt được khi tức là tứ diện đã cho là tứ diện đều cạnh bằng .max9 2

4V 3x y z 3

Câu 107: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2 , 2SA và SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD . Gọi M , N là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB , AD sao cho mặt

phẳng SMC vuông góc với mặt phẳng SNC . Tính tổng 2 2

1 1TAN AM

khi thể tích khối

chóp .S AMCN đạt giá trị lớn nhất.

A. 2T . B. 54

T . C. 2 34

T . D. 13

9T .


106




Cách 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho 0;0;0A , 2;0;0B , 0;2;0D , 0;0;2S .

Suy ra 2;2;0C . Đặt AM x , AN y , , 0;2x y , suy ra ;0;0M x , 0; ;0N y .

;0; 2SM x

, 2;2; 2SC

, 0; ; 2SN y

.

1 , 4;2 4;2n SM SC x x

, 2 , 4 2 ; 4; 2n SN SC y y

.

Do SMC SNC nên 1 2. 0 4 4 4 4 2 4 4 0n n y x xy

2 8xy x y .8 2

2xy

x

, do 2y nên 8 2 2 12x x

x

.

4 2 2AMCN ABCD BMC DNCS S S S x y x y .

Do đó 2

.1 2 2 8 2 2 8.3 3 3 2 3 2S AMCD AMCN

x xV SA S x y xx x

.

Xét 22 8

3 2xf xx

với 1;2x ,

2

22 4 83 2

x xf xx

.

20 4 8 0 2 2 3f x x x x ; 2 2 3x (loại).

Lập BBT ta suy ra

0;2

max 1 2 2f x f f .

Vậy . 2 2 2 2

12 1 1 1 1 5max 2

421

S AMCN

xy

V TAM AN x yx

y

.

Cách 2: Đặt AM x , AN y . Gọi O AC DB ; E BD CM ; F BD CN .

H là hình chiếu vuông góc của O trên SC , khi đó: 23

HO .

Ta có: SC OH SC HE

SC HBDSC BD SC HF

.

Do đó góc giữa SCM và SCN bằng góc giữa HE và HF . Suy ra HE HF .

Mặt khác .1 2.3 3S AMCN AMCNV SA S x y .

Tính OE , OF :Ta có: 0x , 0y và nếu 2x , 2y thì gọi K là trung điểm của AM , khi đó:

107




24 2 4 2 4 4

OE KM x OE EB OB xOEEB MB x x x x x

.

Tương tự: 24yOF

y

. Mà 2. 2 2 12OE OF OH x y .

Nếu 2x hoặc 2y thì ta cũng có 2. 2 2 12OE OF OH x y .

Tóm lại: 2 2 12x y .

Suy ra: .1 2 2 2 12. 2 2 4 2 43 3 3 3 2S AMCN AMCNV SA S x y x y x

x

.

Do đó . 2 2 2 2

12 1 1 1 1 5max 2

421

S AMCN

xy

V TAM AN x yx

y

.

Câu 108: Cho tam giác đều cạnh ,trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( tại lấy ABC a d )ABC Ađiểm bất kỳ khác . Gọi là trực tâm tam giác , biết rằng đường thẳng vuông M A H MBC ( )góc với mặt phẳng tại luôn cắt đường thẳng tại .Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích MBC H d Ntoàn phần tứ diện MNBC

A. . B. C. . D. .2 (2 2 5)

2a 2 (2 5 2)

2a 2 (2 5)

2a 2 (5 2)

2a


Gọi là trung điểm ta dễ dàng chứng minh được I BC( )

( ) ( )BC mp MAI

mp MAI

Gọi , ta có là trực tâm tam giác ( )O AI O MNIsuy ra (do ). .AM AN AO AI AMO AIN

(BĐT cauchy)2 .MN AO AI Ta dễ dàng chứng minh được là trọng tâm tam giácO ABC

vì do tam giác đều cạnh .2MN a 3 3;

3 2a aAO AI ABC a

Rõ ràng nên; ;MN AB MI BC NI BC

108




= vì đều cạnh .1 ( . . . . )2tpS MN AB MI BC MN AC NI BC

1 (2 )2

a MN MI NI ABC a

Ta có 2

2 2 2 34aMI AM AI AM

Nên theo BĐT Bunhia ta có

3. 2 . 32

5

aAMMI

Tương tự ta cũng có

3. 2 . 32

5

aANNI

Do đó 1 2 3(2 )2 5 5tp

aS a MN MN

Mà (cmt) nên 2MN a2 (2 2 5)

2tpaS

Dấu bằng xảy ra khi 22

aAM AN

Câu 109: Cho hình chóp có độ dài các cạnh , , thỏa mãn .S ABC SA BC x SB AC y SC AB z. Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp là2 2 2 12 x y z .S ABC

A. . B. . C. . D. .2 23

V 2 33

V 23

V 3 22

V

Hướng dẫn giảiChọn ACách 1

Trong mặt phẳng dựng , , sao cho , , lần lượt là trung điểm của , ABC D E F A B C DE DF, . Khi đó ta có ; ; . Suy ra , , đôi một EF 2 2 DE SA x 2 2 DF SB y 2 2 SC z SD SE SFvuông góc.

Ta có .. .1 1 1. . . .4 4 6

S ABC S DEFV V SD SE SF

Mặt khác .

2 2 2

2 2 2

2 2 2

444

SD SE xSD SF ySE SF z

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2

2

SD x y z

SE x z y

SF y z x

2

2

2

2 6

2 6

2 6

SD z

SE y

SF x

S

A

BD

C

E

F

x

x

y

y

z

z

109




Khi đó . 2 2 2.

1 .8. 6 6 624

S ABCDV x y z32 2 21 6 6 6

3 3

x y z 2 23

Vậy đạt giá trị lớn nhất là ..S ABCV 2 23

Cách 2

Gọi và lần lượt là trung điểm của và .M N SA BCLúc đó là đường vuông góc chung của và .MN SA BC

ta có .SMN2 2 2

2 2

2

y z xMN SN SM

1 . . .sin ,6

V SA BC MN SA BC 2 2 2

2 21 . 1 cos ,6 2

y z xx SA BC

22 22 2 22

4

1 . 16 2

y zy z xxx

2 2 2 2 2 2 2 2 2212

x y z y z x z x y

2 2 22 12 2 12 2 12 212

z x y 2 2 22 8 6 6 612

z x y

2 2 21 6 6 63

z x y32 2 21 6 6 6 2 2

3 3 3

z y x

Dấu bằng xẩy ra khi .2 2 2 12

2

x y zx y z

x y z

Lúc đó .2 23

V

Câu 110. Cho hình chóp có . Gọi là trọng tâm tam giác . Mặt phẳng .S ABC 1, 2, 3SA SB SC G ABC đi qua trung điểm của cắt các cạnh lần lượt tại . Tính giá trị nhỏ I SG , , SA SB SC , , M N P

nhất của biểu thức .minT 2 2 2

1 1 1TSM SN SP

A. . B. . C. . D. min27

T min37

T min187

T min 6.T


Chọn C

Do là trọng tâm G 13

ABC SG SA SB SC

A

S

C

B

M

N

110




1 1. .3 6

SG SA SB SC SA SB SCSI SM SN SP SI SM SN SPSI SM SN SP SM SN SP

Do đồng phẳng nên , , , I M N P 1 1 6.6

SA SB SC SA SB SCSM SN SP SM SN SP

Áp dụng BĐT bunhiacopxki, ta có

2

2 2 22 2 2

1 1 1 SA SB SCSA SB SCSM SN SP SM SN SP

Suy ra .2 2 2

36 187

TSA SB SC

Cách trắc nghiệm. Do đúng với mọi hình chóp nên ta sẽ chọn trường hợp đặc biệt đôi ,SA ,SB SC

một vuông góc và tọa độ hóa như sau: , , và . Suy ra 0;0;0S O 1;0;0A 0;2;0B 0;0;3C

.1 2 1 1 1; ;1 ; ;3 3 6 3 2

G I

Khi đó mặt phẳng cắt lần lượt tại , , SA SB SC ;0;0 , 0; ;0 , 0;0;M a N b P c

và : 1x y za b c

2 2 2

1 1 1 .Ta b c

Vì . 1 1 1 1 1 1 1 1 1; ; : . . . 16 3 2 6 3 2

Ia b c

Ta có .2

22 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 181 . . . . .6 3 2 6 3 2 7

Ta b c a b c

111


CỰC TRỊ KHỐI CHÓP - Tự Học 365

Documents

Transcript of CỰC TRỊ KHỐI CHÓP - Tự Học 365