KHỐI ĐA DIỆN - Hoc Online 247

TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 – LUYỆN THI ĐẠI HỌC NĂM 2021

NẮM TRỌN

CHUYÊN ĐỀ

KHỐI ĐA DIỆN VÀ KHỐI TRÒN XOAY (Dùng cho học sinh 11,12 và luyện thi Đại học năm 2021)

………………………………………………………………

………………………………………………………………

………………………………………………………………

………………………………………………………………

………………………………………………………………

TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ THÁNG 10/2020

LỜI NÓI ĐẦU Các em học sinh, quý thầy cô và bạn đọc thân mến !

Kỳ thi THPT Quốc Gia là một trong những kỳ thi quan trọng nhất đối với mỗi chúng ta. Để có

thể tham dự và đạt được kết quả cao nhất thì việc trang bị đầy đủ kiến thức và kĩ năng cần thiết là

một điều vô cùng quan trọng. Thấu hiểu được điều đó, chúng tôi đã cúng nhau tiến hành biên soạn

bộ sách “ Nắm trọn các chuyên đề môn Toán 2021 ” giúp các em học sinh ôn luyện và hoàn

thiện những kiến thức trọng tâm phục vụ kỳ thi, làm tài liệu giảng dạy và tham khảo cho quý thầy

cô trước sự thay đổi về phương pháp dạy học và kiểm tra của Bộ Giáo dục và Đào tạo.

Bộ sách chúng tôi biên soạn gồm 4 quyển:

Quyển 1: Nắm chọn chuyên đề Hàm số

Quyển 2: Nắm trọn chuyên đề Mũ – Logarit và Tích phân

Quyển 3: Hình học không gian

Quyển 4: Hình học Oxyz và Số phức

Trong mỗi cuốn sách, chúng tôi trình bày một cách rõ ràng và khoa học – tạo sự thuận lợi nhất

cho các em học tập và tham khảo. Đầu tiên là tóm tắt toàn bộ lý thuyết và phương pháp giải các

dạng toán. Tiếp theo là hệ thống các ví dụ minh họa đa dạng, tiếp cận xu hướng ra đề của kỳ thi

THPT Quốc Gia các năm gần đây bao gồm 4 mức độ: Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng và Vận

dụng cao. Cuối cùng là phần bài tập rèn luyện từ cơ bản đến nâng cao để các em hoàn thiện kiến

thức, rèn tư duy và rèn luyện tốc độ làm bài. Tất cả các bài tập trong sách chúng tôi đều tiến hành

giải chi tiết 100% để các em tiện lợi cho việc so sánh đáp án và tra cứu thông tin.

Để có thể biên soạn đầy đủ và hoàn thiện bộ sách này, nhóm tác giả có sưu tầm, tham khảo một

số bài toán trích từ đề thi của các Sở, trường Chuyên trên các nước và một số bài toán của các

thầy/cô trên toàn quốc. Chân thành cảm ơn quý thầy cô đã sáng tạo ra các bài toán hay và các

phương pháp giải toán hiệu quả nhất.

Mặc dù nhóm tác giả đã tiến hành biên soạn và phản biện kĩ lưỡng nhất nhưng vẫn không tránh

khỏi sai sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến phản hồi và đóng góp từ quý thầy cô,

các em học sinh và bạn đọc để cuốn sách trở nên hoàn thiện hơn. Mọi ý kiến đóng góp, quý vị vui

lòng gửi về địa chỉ:

Gmail: [email protected]

Fanpage: 2003 – ÔN THI THPT QUỐC GIA

Cuối cùng, nhóm tác giả xin gửi lời chúc sức khỏe đến quý thầy cô, các em học sinh và quý bạn

đọc. Chúc quý vị có thể khai thác hiệu quả nhất các kiến thức khi cầm trên tay cuốn sách này !

Trân trọng./

NHÓM TÁC GIẢ

mailto:[email protected]

MỤC LỤC

CHUYÊN ĐỀ: KHỐI ĐA DIỆN – HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Trang

CHỦ ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN……......………………………......………………….. 1

Dạng 1: Mở đầu về khối đa diện…………………………………………………………………... 11

Dạng 2: Thể tích khối lăng trụ……...…………...…………………………………………………. 21

Dạng 3: Thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy………..…………………………. 55

Dạng 4: Thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy……...…………………………….. 83

Dạng 5: Thể tích khối chóp đều………………..………………………………………………….. 115

Dạng 6: Thể tích khối tứ diện đặc biệt…………...………………………………………...…….. 146

Dạng 7: Tỉ số thể tích………………………………..…………………………………………...…. 191

Dạng 8: Các bài toán thể tích chọn lọc…………………....…………………………………….... 236

Dạng 9: Bài toán về góc – khoảng cách…………………………………………………………... 279

Dạng 10: Cực trị khối đa diện………………...…………………………………………………… 321

CHUYÊN ĐỀ: KHỐI TRÒN XOAY NÓN – TRỤ - CẦU………………...….…… 341

CHỦ ĐỀ: KHỐI NÓN, KHỐI TRỤ………………………...…………………………………. 341

Dạng 1: Tìm các yếu tố liên quan đến khối nón, khối trụ……………………………………... 346

Dạng 2: Khối tròn xoay nội, ngoại tiếp khối đa diện……...……………………………………. 370

Dạng 3: Cực trị và toán thực tế về khối tròn xoay..……………………………...…………...….. 382

CHỦ ĐỀ: KHỐI CẦU……………………....…….……………………………………………….. 409

Dạng 1: Khối cầu ngoại tiếp tứ diện………………………………………………………………. 409

CHUYÊN ĐỀ: KHỐI ĐA DIỆN - HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.

Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0.

Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”.

1

CHỦ ĐỀ : THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

I. Một số định nghĩa cần nhớ

Hình lăng trụ là hình có hai đáy là hai đa giác bằng nhau nằm trên hai mặt phẳng song song

với nhau và các mặt bên đều là các hình bình hành.

Hình lăng trụ đứng

Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Tính chất: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.

Hình lăng trụ đều

Định nghĩa. Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

Tính chất. Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau và vuông góc với

mặt đáy.

Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.

Hình hộp đứng

Định nghĩa. Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Tính chất. Hình hộp đứng có 2 đáy là hình bình hành, 4 mặt xung quanh là 4 hình chữ nhật.

Hình hộp chữ nhật

Định nghĩa. Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

Tính chất. Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là 6 hình chữ nhật.

Hình lập phương

Định nghĩa. Hình lập phương là hình hộp chữ nhật 2 đáy và 4 mặt bên đều là hình vuông

Tính chất. Hình lập phương có 6 mặt đều là hình vuông.

Hình chóp là hình có đáy là một đa giác và các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh.

II. Thể tích khối đa diện

1. Công thức tính thể tích khối chóp

1.

3V S h

Trong đó: S là diện tích đáy, h là chiều cao khối chóp.

Chú ý: Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa biết chiều cao thì ta phải xác định được vị trí chân

đường cao trên đáy.

LÍ THUYẾT

CHUYÊN ĐỀ: KHỐI ĐA DIỆN – HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.

Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.

Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”

2

Chóp có cạnh bên vuông góc chiều cao chính là cạnh bên.

Chóp có hai mặt bên vuông góc đáy đường cao là giao tuyến của hai mặt bên vuông góc

đáy.

Chóp có mặt bên vuông góc đáy chiều cao của mặt bên vuông góc đáy.

Chóp đều chiều cao hạ từ đỉnh đến tâm đa giác đáy.

Chóp có hình chiếu vuông góc của một đỉnh lên xuống mặt đáy thuộc cạnh mặt đáy

đường cao là từ đỉnh tới hình chiếu.

2. Công thức tính thể tích khối lăng trụ .V B h

Trong đó: B là diện tích đáy, h là hiều cao khối lăng trụ.

Thể tích khối hộp chữ nhật: . .V a b c

Trong đó: , , a b c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.

Thể tích khối lập phương: 3V a

Trong đó a là độ dài cạnh của hình lập phương.

III. Tỉ số thể tích

Cho khối chóp .S ABC và , ,A B C là các điểm tùy ý lần lượt thuộc , ,SA SB SC , ta có:

Công thức tỉ số thể tích: . ' ' '

.

' ' '. .S A B C

S ABC

V SA SB SC

V SA SB SC (hay gọi là công thức Simson)

Phương pháp này được áp dụng khi khối chóp không xác đinh được chiều cao một cách dễ

dàng hoặc khối chóp cần tính là một phần nhỏ trong khối chóp lớn và cần chú ý đến một số

điều kiện sau:

Hai khối chóp phải cùng chung đỉnh.

Đáy hai khối chóp phải là tam giác.

Các điểm tương ứng nằm trên các cạnh tương ứng.

Định lý Menelaus: Cho ba điểm thẳng hàng . . 1FA DB EC

FB DC EA với DEF là một đường thẳng

cắt ba đường thẳng , ,BC CA AB lần lượt tại , ,D E F .




3

IV. Một số công thức tính nhanh thể tích và tỷ số thế tích khối chóp và khối lăng trụ.

Công thức 1 : Thể tích tứ diện đều cạnh a : 3

.

2

12S ABC

aV .

Công thức 2 : Với tứ diện ABCD có , ,AB a AC b AD c đôi một vuông góc thì thể tích

của nó là 1

6ABCDV abc .

Công thức 3 : Với tứ diện ABCD có , ,AB CD a BC AD b AC BD c thì thể tích của

nó là 2 2 2 2 2 2 2 2 22

12ABCDV a b c b c a a c b .

Công thức 4 : Cho khối chóp .S ABC có , , , , ,SA a SB b SC c BSC CSA ASB thì

thể tích của nó là 2 2 2

.1 2cos cos cos cos cos cos

6S ABC

abcV .

Công thức 5 : Mặt phẳng cắt các cạnh của khối lăng trụ tam giác .ABC ABC lần lượt tại

, ,M N P sao cho , ,AM BN CP

x y zAA BB CC

thì ta có . .3ABC MNP ABC A B C

x y zV V

.

Công thức 6 : Mặt phẳng cắt các cạnh của khối hộp .ABCDABCD lần lượt tại , , ,M N P Q

sao cho , , ,AM BN CP DQ

x y z tAA BB CC DD

thì ta có . .4ABCD MNPQ ABCD A B C D

x y z tV V

và

x z y t .

Công thức 7 : Mặt phẳng cắt các cạnh của khối chóp tứ giác .S ABCD có đáy là hình bình

hành lần lượt tại , , ,M N P Q sao cho , , ,SM SN SP SQ

x y z tSA SB SC SD

thì ta có công thức sau

đây . .

1 1 1 1

4S MNPQ S ABCD

xyztV V

x y z t

và

1 1 1 1

x z y t .




4

Lời giải

Chọn A

Kẻ SH BC vì SAC ABC nên SH ABC .

Gọi , I J là hình chiếu của H trên AB và BC .

,SJ AB SJ BC .

Theo giả thiết 45SIH SJH .

Ta có: SHI SHJ HI HJ nên BH là đường phân

giác của ABC từ đó suy ra H là trung điểm củaAC .

31.

2 3 12SABC ABC

a aHI HJ SH V S SH .

Lời giải

Chọn D

,

SAD ABCD ADSH ABCD

SH AD SH SAD

Ta có 2 2 3SH SD DH a ,

2 2 2 215 3 2 3HC SC SH a a a .

2 2 2 212 11CD HC HD a a a .

Ta có BF BC

BF SHCBF SH

nên

, 2 6d B SHC BF a .

21 1. .2 3 .2 6 6 2

2 2HBCS BF HC a a a

Đặt AB x nên 1

. .2 2AHB

aS AH AB x ;

21 11.

2 2CDH

aS DH DC

111

2ABCDS CD AB AD a x a .

VÍ DỤ MINH HỌA

VÍ DỤ 1: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , có BC a . Mặt phẳng

SAC vuông góc với mặt đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45 . Tính thể tích khối

chóp .S ABC .

A. 3

12

a B.

3

4

a. C.

3 3

6

a. D.

3 3

4

a.

VÍ DỤ 2: Cho hình chóp .S ABCD với đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , đáy nhỏ của hình

thang là CD , cạnh bên 15SC a . Tam giác SAD là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng

vuông góc với đáy hình chóp. Gọi H là trung điểm cạnh AD , khoảng cách từ B tới mặt phẳng

SHC bằng 2 6a . Tính thể tích V của khối chóp .S ABCD ?

A. 324 6V a . B. 38 6V a . C. 312 6V a . D. 34 6V a .

A B

D C

S

F

H




5

AHB ABCD CDH BHCS S S S

2211

. 11 6 2 12 2 112 2

a ax a x a a x a .

211 12 2 11 12 2ABCDS a a a a .

Vậy 2 3

.

1 1. . 3.12 2 4 6

3 3S ABCD ABCDV SH S a a a .

Lời giải

Chọn C

Gọi B trên SB sao cho 2

3SB SB và C trên SC sao cho

1

2SC SC .

Khi đó 2SA SB SC .S ABC là khối tứ diện đều.

Ta có: 2 3

32

AM 2 2 3

3 3AO AM

Nên 2 2 2 6

3SO SA AO và 3

AB CS

.

Khi đó .

1 2 2.

3 3S AB C AB CV S SO

mà .

. S.

S.

. . 3 3 2 2S ABCS ABC AB C

AB C

V SA SB SCV V

V SA SB SC

.

Cách khác: áp dụng công thức 4

2 2 2

.

. .. 1 cos cos cos 2cos .cos. .cos 2 2

6S ABC

SASBSCV ASB BSC CSB ASB BSC CSB

Lời giải

Chọn B

Vì các mặt phẳng SAB , SBC , SCA đều tạo với đáy một

góc 60 và hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng

ABC nằm bên trong tam giác ABC nên ta có hình chiếu của

S chính là tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC .

Gọi p là nửa chu vi tam giác ABC thì 92

AB BC CAp

.

VÍ DỤ 3: Cho khối chóp .S ABC có góc 60ASB BSC CSA và 2SA , 3SB , 4SC . Thể tích

khối chóp .S ABC .

A. 4 3 . B. 3 2 . C. 2 2 . D. 2 3 .

VÍ DỤ 4: Cho hình chóp .S ABC có 5 cmAB , 6 cmBC , 7 cmCA . Hình chiếu vuông góc của

S xuống mặt phẳng ABC nằm bên trong tam giác ABC . Các mặt phẳng SAB , SBC , SCA đều

tạo với đáy một góc 60 . Gọi AD , BE , CF là các đường phân giác của tam giác ABC với D BC ,

E AC F AB . Thể tích .SDEF gần với số nào sau đây?

A. 33,7 cm B. 33,4 cm C. 32,9 cm D. 34,1 cm

60°

H

F

E

DI

C

B

A

S




6

Ta có : 6 6ABCS p p AB p BC p AC và

2 6

3

Srp

.

Suy ra chiều cao của hình chóp là : .tan60 2 2h r

Vì BE là phân giác của góc B nên ta có : EA BA

EC BC .

Tương tự : FA CA

FB CB ,

DB AB

DC AC .

Khi đó : .AEF

ABC

S AE AF

S AC AB .

AB AC

AB BC AC BC

.

Tương tự : .CED

ABC

S CA CB

S CA AB CB AB

, .BFD

ABC

S BC BA

S BC CA BA CA

.

Do đó,

1

DEF ABC

ab bc acS S

a c b c b a c a a b c b

, với BC a , AC b , AB c

2

.ABC

abcS

a b b c c a

210 6

143

.

1 210 6. .2 2

3 143S DEFV 3 3280 3

cm 3,4 cm143

Lời giải

Chọn D

.

Gọi H là trung điểm của cạnh OC SH ABCD .

Kẻ HP AB P AB

Ta có AB HP

AB SHP AB SPAB SH

.

Do đó 0; 60SAB ABCD SPH .

0tan60 3 3SH

SH HPHP

Trên ,ABCD 3 3 3 3 3

/ /4 4 4 4

HP AB HP AH a aHP BC HP BC SH

BC AB BC AC

.

321 1 3 3 3

. . . .3 3 4 4ABCD

a aV SH S a

F

E

D

CB

A

I

VÍ DỤ 5: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh bằng .a Hình chiếu vuông góc của

đỉnh S lên mặt phẳng ABCD là trung điểm của cạnh .OC Góc giữa mặt phẳng SAB và mặt phẳng

ABCD bằng 60 . Tính theo a thể tích V của hình chóp . .S ABCD

A. 33 3

4

aV . B.

3 3

8

aV . C.

33 3

8

aV . D.

3 3

4

aV .




7

Lời giải

Chọn C

Gọi ,M N là trung điểm của ,AB AC

và G là trọng tâm của ABC .

'B G ABC 0', ' 60BB ABC B BG .

'.

1 1. . ' . . . '

3 6A ABC ABCV S B G AC BC B G

Xét 'B BG vuông tại G , có 0' 60B BG

3'

2

aB G . (nửa tam giác đều)

Đặt 2AB x . Trong ABC vuông tại C có 060BAC

tam giác ABC là nữa tam giác đều , 32

ABAC x BC x

Do G là trọng tâm ABC3 3

2 4

aBN BG . Trong BNC vuông tại C : 2 2 2BN NC BC

2 2 22 2

3

9 9 3 2 133

16 4 52 3 32 13

2 13

aAC

a x a ax x x

aBC

Vậy 3

'

1 3 3 3 3 9. . .

6 2 2082 13 2 13A ABC

a a a aV .

Lời giải

Chọn B

TYPS: Hai khối đa diện đồng dạng với tỷ số k thì ta có 31

2

Vk

V . Áp dụng vào bài toán sau đây”

VÍ DỤ 6: Cho lăng trụ tam giác . ' ' 'ABC A B C có 'BB a , góc giữa đường thẳng 'BB và ABC bằng

60 , tam giác ABC vuông tại C và góc 60BAC . Hình chiếu vuông góc của điểm 'B lên ABC

trùng với trọng tâm của ABC . Thể tích của khối tứ diện '.A ABC theo a bằng

A. 37

106

a. B.

315

108

a. C.

39

208

a. D.

313

108

a.

60°

60°

C'

A'

GM N

B C

A

B'

VÍ DỤ 7: Cho khối tứ diện đều ABCD có thể tích V . Gọi , ,M N P lần lượt là trọng tâm các tam giác

, ,ABC ACD ADB và V là thể tích khối tứ diện AMNP . Tính tỉ số V

V

.

A. 8

81

V

V

. B.

6

81

V

V

. C.

4

27

V

V

. D.

4

9

V

V

.




8

Ta có mặt phẳng MNP cắt các mặt của tứ diện theo các đoạn giao tuyến ,EF FH và HE do vậy

thiết diện là tam giác EFH . Ta dễ có //MNP BCD và 2

; ;3

d A MNP d A BCD

Ta cũng có

21 1 2 1

.4 4 3 9MNP EFH BCD BCD

S S S S

Do đó 1 2 6

; . ; .3 81 81AMNP MNP BCD ABCD

V d A MNP S d A BCD S V .

Lời giải

Chọn D

Giả sử .

2020ABC ABC

V V

.

Ta có . .

1 2; .

3 3 3C ABC ABC C ABB A

VV d C ABC S V V

.

Ta lại có :

.

.

1. ; .

31

. ; .3

ABCP ABC

C ABCABC

d P ABC SV

Vd C ABC S

VÍ DỤ 8: Cho khối lăng trụ .ABC ABC có thể tích bằng 2020. Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của

AA ; BB và điểm P nằm trên cạnh CC sao cho 3PC PC . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh

là các điểm , , , , ,A B C M N P bằng

A. 2020

3. B.

5353

3. C.

2525

3. D.

3535

3.




9

.

; 3 1

4 4;P ABC

d P ABC PCV V

CCd C ABC

. Mặt khác:

.

.

1. ; .

31

. ; .3

ABNMP ABNM

C ABB AABB A

d P ABB A SV

Vd C ABB A S

.

Mà ; ;d P ABB A d C ABB A và 1

2ABNM ABB AS S

.

Suy ra ..

.

1 1

2 3P ABNM

P ABNM

C ABB A

VV V

V

. Vậy . . .

7 3535

12 3ABC MNP P ABNM P ABCV V V V .

Cách 2: Dùng công thức giải nhanh

Ta có: .

.

1

3ABC MNP

ABC A B C

V AM BN CP

V AA BB CC

.

2020 1 1 3 3535

3 2 2 4 3ABC MNPV

.

Lời giải

Chọn B

Gọi V là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các điểm

, , , , ,A B C M N P .

1V là thể tích của khối lăng trụ .ABC ABC . Gọi H là trọng

tâm của tam giác ABC . Vì điểm A cách đều các điểm

, ,A B C nên AH ABC .

Hơn nữa AA ABC A nên , 60AA ABC A AH .

Suy ra .tan60 tan603

aA H AH a . Do đó

2 3

1

3 3. .

4 4ABC

a aV S AH a (đvtt)

Mà 1 1. .

21.

3 3 3A ABC ABC A BCC B

V VV S AH V

.

Từ

44 53 3 3

4 4

NB BBNB NB

PC PCPC CC BB

Suy ra 1

,2BCPN

S NB PC d BB CC 1 4 3

,2 5 4

BB BB d BB CC

31

. ,40BB d BB CC

31.

40 BCC BS

. . . 1

31 31 31

40 40 60M BCPN M BCC B A BCC BV V V V

.

Và . . 1

1 1 1 1.

3 2 2 6M ABC ABC A ABCV S AH V V

(vì M là trung điểm của AA )

VÍ DỤ 9: Cho lăng trụ .ABC ABC có đáyABC là tam giác đều cạnh a , góc giữa cạnh bên với mặt

phẳng đáy bằng 60 và A cách đều 3 điểm , ,A B C . Gọi M là trung điểm của AA ; N BB thỏa mãn

4NB NB và P CC sao cho 3PC PC . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm

, , , , ,A B C M N P bằng

A. 3 3

4

a. B.

341 3

240

a. C.

323 3

144

a. D.

319 3

240

a.




10

Vậy thể tích cần tìm là 3

. . 1

41 41 3

60 240M ABC M BCPN

aV V V V (đvtt)

Cách 2: Dùng công thức giải nhanh

Ta có: .

.

1

3ABC MNP

ABC A B C

V AM BN CP

V AA BB CC

3 3

.

3 1 4 3 41 3

12 2 5 4 240ABC MNP

a aV

.

Lời giải

Chọn C

Ta có: .

3.5 15ABC ABCV

(đvtt).

Ta có . '.GGMNP G MNP G MNP

V V V

.

Do , ,M N P lần lượt là trung điểm của

, ,AA BB CC nên mp MNP chia khối lăng trụ

.ABC ABC thành hai khối lăng trụ bằng nhau

.ABCMNP và .MNP ABC .

Lại có G ABC nên . .

1

3G MNP ABC MNPV V

Tương tự ta có . .

1

3G MNP A B C MNPV V

Do đó . '. . .

1 1

3 3GGMNP G MNP G MNP ABC MNP MNP A B CV V V V V

. . .

1 1 1.15 5

3 3 3ABC MNP MNP A B C ABC A B CV V V

.

VÍ DỤ 10: Cho lăng trụ .ABC ABC diện tích đáy bằng 3 và chiều cao bằng 5. Gọi , ,M N P lần lượt là

trung điểm của , ,AA BB CC . ,G G lần lượt là trọng tâm của hai đáy ,ABC ABC . Thể tích của khối

đa diện lồi có các đỉnh là các điểm , , , ,G G M N P bằng

A. 10 . B. 3 . C. 5 . D. 6 .




11

DẠNG 1 : MỞ ĐẦU KHỐI ĐA DIỆN

Câu 1: Khối tứ diện ABCD có thể tích V , AB a , CD b , góc giữa hai đường thẳng AB và CD là

khoảng cách giữa chúng bằng c . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. sin

6

abcV

. B.

sin

2

abcV

. C.

sin

3

abcV

D. sinV abc .

Câu 2: Khối tứ diện ABCD có thể tích V , AB a góc giữa hai mặt phẳng CAB và DAB bằng .

Các tam giác CAB , DAB có diện tích lần lượt là 1S và 2

S . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 1 22 sinS S

Va

. B. 1 2

4 sin

3

S SV

a

. C. 1 2

4 sinS SV

a

D. 1 2

2 sin

3

S SV

a

.

Câu 3: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là một hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng

đáy, còn cạnh bên SC tạo với mặt phẳng ( )SAB một góc 30 . Thể tích của hình chóp đó bằng

A. 3 3

3

a. B.

3 2

4

a. C.

3 2

2

a. D.

3 2

3

a.

Câu 4: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là một hình vuông cạnh a . Các mặt phẳng ( )SAB và ( )SAD cùng

vuông góc với mặt phẳng đáy, còn cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 30 . Thể tích

của khối chóp đã cho bằng

A. 3 6

9

a. B.

3 6

3

a. C.

3 6

4

a. D.

3 3

9

a.

Câu 5: Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy.

Khi đó thể tích của hình chóp bằng

A. 3 3

6

a. B.

3 3

3

a. C.

3 3

2

a. D.

3 3

12

a.

Câu 6: Nếu một hình chóp đều có chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên n lần thì thể tích của nó tăng lên

A. 2n lần. B. 22n lần. C. 3n lần. D. 32n lần.

Câu 7: Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có ' 2AA , khoảng cách từ A đến các đường thẳng ',CC'BB ,

lần lượt bằng 1 và 2 ; khoảng cách C đến đường thẳng 'BB bằng 5 . Thể tích khối lăng trụ

. ' 'C'ABC A B bằng

A. 2 . B. 2

3. C. 4 D.

4

3.

Câu 8: Cho khối tứ diện .OABC có , ,OA OB OC đôi một vuông góc thỏa mãn 2 2 2 12OA OB OC .

Thể tích lớn nhất của khối tứ diện .OABC bằng

A. 8 . B. 4

3. C. 4 D.

8

3.

Câu 9: Thể tích của khối chóp cụt có diện tích hai đáy lần lượt là 1 2,S S có chiều cao bằng h là

BÀI TẬP RÈN LUYỆN




12

A. 1 2 1 2

( )h S S S S . B. 1 2 1 2( )

3

h S S S S . C. 1 2 1 2

( )

3

h S S S S D. 1 2 1 2

( )h S S S S .

Câu 10: Cho hình hộp . ' ' 'D'ABCDA B C có đáy là hình thoi cạnh 0, 60a BAD và có chiều cao bằng 2 3a

Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh ' ', ' 'A B A D . Tính thể tích khối đa diện 'ABDA MN

A. 37

8

a. B.

33

4

a. C.

35

8

a D.

32

8

a.

Câu 11: Cho hình hộp đứng .ABCDABCD có ,AB AD a

3

2

aAA và góc 60oBAD . Gọi M và N lần lượt là trung

điểm các cạnh AD và AB .Thể tích khối chóp .ABDMN là:

A. 33

16

a. B.

33

16

a.

C. 33 3

16

a. D.

3

16

a.

Câu 12: Cho hình lăng trụ tam giác đều .ABC ABC có tất cả các cạnh bằng a . Gọi ,M N lần lượt là

trung điểm các cạnh AB và BC . Mặt phẳng AMN cắt cạnh BC tại P , Thể tích khối đa diện

.MBP ABN bằng:

A. 33

24

a. B.

33

12

a. C.

37 3

96

a. D.

37 3

32

a.

Câu 13: Cho khối tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau và thỏa mãn

6OA OB OC . Thể tích lớn nhất của khối tứ diện OABC bằng

A. 8 . B. 4

3. C. 4 . D.

8

3.

Câu 14: Cho hình hộp .ABCDABCD có diện tích đáy bằng S , chiều cao bằng h . Thể tích khối tứ diện

AABD bằng

A. 4

Sh. B.

6

Sh. C.

2

Sh. D.

3

Sh.

Câu 15: Cho hình lăng trụ đều có độ dài cạnh đáy bằng .a Chiều cao của hình lăng trụ bằng h , điện tích

một mặt đáy là S . Tổng khoảng cách từ một điểm trong hình lăng trụ tới tất cả các mặt của hình

lằng trụ bằng

A. 2S

ha

. B. 3S

ha

. C. 2S

a. D.

3S

a.

Câu 16: Cho lăng trụ đứng . 'ABC ABC có đáy là tam giác đều , 2a AA a . Gọi ,M N lần lượt là trung

điểm của ,AA BB và G là trọng tâm của tam giác ABC . Mặt phẳng MNG cắt ,CA CB lần

lượt tại ,E F . Thể tích khối đa diện có 6 đỉnh là , , , , ,A B M N E F bằng

A. 3 3

9

a. B.

32 3

9

a. C.

33

27

a. D.

32 3

27

a.




13

Câu 17: Cho hình hộp đứng . ' ' ' 'ABCDA B C D có AB AD a ,3

AA'2

a và 60oBAD . GọiM và N

lần lượt là trung điểm các cạnh ' 'A D và ' 'A B . Tính thể tích khối chóp .ABDMN .

A. 3 3

16

a. B.

33

16

a. C.

33 3

16

a. D.

3

16

a.

Câu 18: Cho hình lăng trụ tam giác đều . ' ' 'ABC A B C có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M và N lần lượt là

trung điểm các cạnh AB và ' 'B C . Mặt phẳng 'A MN cắt cạnh BC tại P . Thể tích khối đa diện

. ' 'MBP A B N bằng

A. 3 3

24

a. B.

3 3

12

a. C.

37 3

96

a. D.

37 3

32

a.

Câu 19: Cho hình hộp đứng . ’ ’ ’ ’ABCDA BC D có 3

; AA'2

aAB AD a và góc 060BAD . Gọi

;M N lần lượt là trung điểm củaA'D'; ' 'A B . Tính thể tích khối đa diện . ’ ’ ’.BCDMNBC D

A. 33

16

a. B.

37

32

a. C.

39

16

a. D.

317

32

a.

Câu 20: Cho lăng trụ tam giác . ’ ’ ’ABC A BC có thể tích bằng 72. Gọi M là trung điểm của cạnh ’ ’;A B các

điểm ,N P thỏa mãn 3 1

' ' ';4 4

B N B C BP BC . Đường thẳng NP cắt ’BB tạiE , đường thẳng ME

cắt AB tạiQ . tính thể tích khối đa diện . ’ ’AQPCC A MN .

A. 55 . B. 59 . C. 52 . D. 56 .




14

BẢNG ĐÁP ÁN

1.A 2.D 3.D 4.A 5.A 6.C 7.A 8.B 9.B 10.A

11.B 12.C 13.B 14.B 15.A 16.A 17.B 18.C 19.D 20.B

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Chọn A

Dựng điểm E sao cho tứ giác BDCE là hình bình hành. Khi đó

//CD BE //CD ABE , ,d AB CD d C ABE c ; , ,AB CD AB BE .

1 1. .sin , sin

2 2ABES AB BE AB BE ab

.

Vậy .

1 1 1 sin. . , . sin .

3 3 2 6ABCD C ABE ABE

abcV V S d C ABE ab c

.

Câu 2: Chọn D

Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên ABD và E là hình chiếu vuông góc của H trên

AB . Khi đó

, ,CAB DAB HE CE CEH .

CH ABCE AB

HE AB

. Do đó

.

2ABC

CE ABS

12 2

ABCS S

CEAB a .

CEH vuông tại H có 12 sin

sin sin .sinSCH

CEH CH CECE a

.

Vậy 1 1 2. 2

2 sin 2 sin1 1. . . .

3 3 3ABCD C ABD DAB

S S SV V S CH S

a a

.




15

Câu 3: Chọn D

Ta có CB AB

CB SABCB SA

.

Suy ra góc giữa SC với mặt phẳng SAB là 30CSB .

Do đó, .cot 30 3SB CB a . Suy ra

2 2 2SA SB AB a .

Vì vậy 3

.

1 2.

3 3S ABCD ABCDV SAS a .

Câu 4: Chọn A

Do

SAB ABCD

SA ABCDSAD ABCD

.

Suy ra góc giữa SC với mặt phẳng đáy là 30SCA .

Suy ra 1 6

.tan30 2.33

aSA AC a .

Do đó 3

.

1 6.

3 9S ABCD ABCDV SAS a .

Câu 5: Chọn A

Giả sử hình chóp đều .S ABCD có đáy ABCD là

hình vuông cạnh a tâm O . Đặt SO h .

Gọi M là trung điểm BC .

Ta có 2

2 2 2

4

aSM SO OM h .

221

4 4. . . 2. .2 4xq SBC

aS S SM BC h a

Có 2xq dayS S

22 2 3

2 24 2

a ah a a h .

32

.

1 1 3 3. . .

3 3 2 6S ABCD ABCD

a aV SOS a .

Câu 6: Chọn C

Ta chỉ xét hai hình chóp đều tam giác, tứ giác

Trường hợp 1: Hình chóp đều tam giác có cạnh đáy bằng a và chiều cao h .

Thể tích khối chóp tam giác đều ban đầu: 2

1

1 3. .

3 4

aV h .

Thể tích khối chóp sau khi tăng chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên n lần:

2

3

2 1

31. .

3 4

naV nh n V .

MO

AB

CD

S




16

Kết luận: một hình chóp tam giác đều có chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên n lần thì thể tích

của nó tăng lên 3n lần.

Trường hợp 2: Hình chóp đều tứ giác có cạnh đáy bằng a và chiều cao h .

Thể tích khối chóp tứ giác đều ban đầu: 2

1

1. .

3V a h .

Thể tích khối chóp tứ giác đều sau khi tăng chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên n lần:

2 3

2 1

1. .

3V na nh n V .

Kết luận: một hình chóp tứ giác đều có chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên n lần thì thể tích của

nó tăng lên 3n lần.

Kết luận: Nếu một hình chóp đều có chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên n lần thì thể tích của

nó tăng lên 3n lần.

Nhận xét: Ta có thể dùng một kết quả quen thuộc

Nếu ta tăng các kích thước của đa giác lên k lần thì diện tích đa giác sẽ tăng lên 2k lần.

Nếu tăng diện tích đáy của khối chóp lên 2k lần và chiều cao k lần thì thể tích khối chóp sẽ

tăng lên 3k lần.

Câu 7: Chọn A

Gọi ,H K làn lượt là hình chiếu vuông góc của A lên

BB',CC' ta có ( , ') 1, (A,CC') 2AH d A BB AK d

và 2 2 2 5AH AK HK AHK vuông tại

1. 1

2AHKA S AH AK . Vậy

. ' ' '. ' 2

ABC A B C AHKV S AA .

Câu 8: Chọn B

Ta có .

1. .

6O ABCV OAOBOC .

Sử dụng bất đẳng thức AM – GM có

32 2 2 2 2 2

.

8 412 3 . .OC . . 8

6 3O ABCOA OB OC OA OB OAOBOC V

Câu 9: Chọn B

Thể tích hình chóp cụt là 1 2 1 2( )

3

h S S S S

Câu 10: Chọn A




17

Chú ý: 'ABDA MN là một hình chóp cụt có hai tam

giác đáy , 'ABD A MN .

Do đó 1 2 1 2( )

3

h S S S SV

.

Trong đó, 2 3h a và

2 2

1 2 ' ' ' '

3 1 3,

4 4 16ABD A MN A B D

a aS S S S S

Vậy 2 2 2 2 22 3 3 3 3 3 7

( . )3 4 16 4 16 8

a a a a a aV .

Câu 11: Chọn B

Ta có: 3

0

.

1 1 1 3.sin60

3 3 2 2 2 2 32A AMN AMN

a a a aV S AA

.

Khối chóp cụt .ABDAMN có 2 2

1 2

3 3 3, ,

2 4 16ABD AMN

a a ah S S S S

.

Do đó 2 2 4 3

. 1 2 1 2

3 3 3 3 7

3 6 4 16 64 32ABD AMN

h a a a a aV S S S S

Do đó 3 3 3

. . .

7 3

32 32 16A BDMN ABD AMN A AMN

a a aV V V

.

Câu 12: Chọn C

Ta có 1

~2

MP BP BMMBP A BN

AN BN A B

theo tỉ số

1

2

Khối đa diện .MBP ABN là khối chóp cụt có chiều cao

h BB a .

Diện tích hai đáy là :

2 2

1 2

1 3 1 3,

2 8 4 32A B N A B C MBP A B N

a aS S S S S S

.

Vậy 2 2 2 2 3

1 2 1 2

3 3 3 3 7 3.

3 3 8 32 8 32 96MBP A B N

h a a a a a aV S S S S

.

Câu 13: Chọn B

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm, ta

có:

36 3 . .OA OB OC OAOBOC . . 8OAOBOC

Ta có 1

. .6OABC

V OAOBOC1 4.8

6 3 .

Dấu " " xảy ra khi 2OA OB OC .

Vậy OABCV lớn nhất là

4

3.




18

Câu 14: Chọn B

Ta có .

1 1

2 2ABD ABCD A ABD A ABCDS S V V

1 1. . . ;

2 3 6ABCD

ShS d A ABCD .

Câu 15: Chọn A

Xét hình lăng trụ đều H đã cho có đáy là đa giác đều n đỉnh. Xét

điểm I bất kỳ trong hình lăng trụ đều H đã cho. Khi đó nối I với

các đỉnh của H ta được 2n khối chóp có đỉnh là ,I trong đó có

hai khối chóp có đáy là hai mặt đáy của H , và n khối chóp có đáy

là các mặt bên của H . Diện tích của mỗi mặt đáy của H là ,S diện

tích của mỗi mặt bên của H bằng ah . Gọi 1 2 1 2, ,..., , ,

n n nh h h h h

lần

lượt là khoảng cách từ I đến các mặt bên và các mặt đáy của H . Vậy theo công thức tính thể

tích của khối lăng trụ và khối chóp ta có:

1 2 1 2 1 1 2

1 1 1 1... . ... . . .

3 3 3 3n n n n n nHV V V V V V Sh h ah h ah h S h S

1 2 1 2

1 1...

3 3n n n

h

SS h h h a h h

h

1 2 1 2

1 1... ...

3 3 3 3n n

S SS h h h a h h h a S

1 2 1 2 1 2

2 2... ...

n n n n

S Sh h h h h h h h h

a a .

Câu 16: Chọn D

Ta có 3

2

1 .

1 1 3 3. .

3 3 2 6C ABNM ABNM

a aV V CH S a .

/ /

/ / / /

MN GMN

AB ABC

AB MN

GMN ABC EF AB MN

.

Suy ra 2

3

CF CG CE

CB CH CA .




19

Suy ra 3 3

.EFNM. 1 .EFNM 1

1

3 31 1

5 4 4 3 2 32 23 3 9 9 9 6 27

4. . .1.12 2

CBFN AEM C

V a aV V V V

V

Câu 17: Chọn B

Dễ thấy ' .A MN ADB là hình chóp cụt và hai đáy là hai

tam giác đều đồng dạng theo tỉ số là 1

2.

Ta có: 2 3

4ADB

aS

2

'

1 3

4 16A MN ADB

aS S

3

'

1.

3 32AA MN AMN

aV AA S

3

' .

1 7AA .

3 32A MN ADB AMN ADB AMN ADB

aV S S S S

3

. ' . '

3

16A BDMN A MN ADB AA MN

aV V V .

Câu 18: Chọn C

Ta có / /AN ABC . Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng

BC .Suy ra / /AK AN .

Mặt khác AMN BC P nên P là trung điểm của đoạn

thẳng BK .

Dễ thấy . ' 'MBP A B N là hình chóp cụt và hai đáy là hai tam

giác đồng dạng theo tỉ số là 1

2.

Ta có 21 3

. .sin602 8

o

A B N

aS A B AN

21 3

4 32MBP A B N

aS S

.

Vậy 3

. ' ' ' ' ' '

1 7 3AA .

3 96MBP A B N MBP A B N MBP A B N

aV S S S S

.

Câu 19: Chọn D

Đặt: 1V là thể tích của khối hộp đứng

. ’ ’ ’ ’ABCDA BC D .

2V là thể tích của khối chóp cụt ’ . .A MN ABD

V là thể tích của đa diện . ’ ’ ’.BCDMNBC D

Ta có: 3

0

1

3 3. . .sin60 .

2 4

a aV B h a a

3 2

' ' ' '

1 3 3;

4 16 4A MN A B D ABD

a aS S S

2 ' '

2 2 2 2 3

.3

3 3 3 3 3 7.

6 16 4 16 4 32

A MN ABD A MN ABD

hV S S S S

a a a a a a




20

Do đó: 3 3 3

1 2

3 7 17

4 32 32

a a aV V V .

Câu 20: Chọn B

Đặt: V là thể tích khối lăng trụ

. ’ ’ ’. V 72ABC A BC .

1V là thể tích khối đa diện . ’ ’AQPCC A MN .

2V là thể tích khối chóp cụt . 'BQP B MN .

Ta có: 1 1

' ' 3 6

BP BQ BQ

B N B M BA

'MN'MN

' ' '

1 1 1 1.

6 4 24 24

1 3 3 3.

2 4 8 8

BQP

BQP BAC

BAC

BB BAC

B A C

SS S

S

SS S

S

Suy ra: 2 'MN 'MN.

3 BQP B BQP B

hV S S S S

.1 3 1 3 1 3 1 13. 13.

3 24 8 24 8 3 24 8 8 72BAC

BAC BAC BAC BAC

h Sh VS S S S

Vậy: 1 2

72 13 59.V V V .




21

DẠNG 2 : THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG

❖ Thể tích của khối lăng trụ đứng có diện tích đáy S , chiều cao (độ dài cạnh bên ) h là .V S h=

• Khối lăng trụ đứng là khối lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy .

• Chiều cao của khối lăng trụ đứng bằng độ dài cạnh bên của khối lăng trụ.

• Khối lăng trụ đa giác đều là khối lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều ( khối lăng trụ tam giác

đều, khối lăng trụ lục giác đều…)

❖ Khai thác các giả thiết góc và khoảng cách cho khối lăng trụ đứng tam giác.

• Kẻ ( ) ( ),AH BC H BC AK AH K AH ⊥ ⊥ ta có ( ) ( )( ),AHA A BC ABC = = và

.tanh AH = .

• ( )AK AH

AK ABCAK BC

⊥ ⊥

⊥ và ( )( ),

AAK d d A ABC= = có

2 2 2

1 1 1

Ad h AH

= +

❖ Thể tích của một khối lập phương cạnh a là 3V a= .

Với hình lập phương cạnh a ta chú ý:

• Diện tích mỗi mặt của hình lập phương là 2S a= .

• Diện tích toàn phần ( tổng diện tích các mặt) của hình lập phương là 26TPS a= .

• Độ dài đường chéo của hình lập phương là 3d a= .

• Độ dài đường chéo mỗi mặt của hình lập phương là 2a .

• ( )( ) ( )( )3 2 3

, , ,3 3

a ad A ABD d A CBD = = .

• ( ) ( )2

, ,2

ad AC CD d AC A B = = .

❖ Thể tích của một khối hộp chữ nhật kích thước , ,a b c là . .V ab c= .

• Diện tích toàn phần ( tổng diện tích các mặt ) của hình hộp chữ nhật là ( )2TPS ab bc ca= + + .

• Độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật là 2 2 2d a b c= + + hay 2 2 2AC AB AD AA = + + .

• Kẻ ( )DH AD H AD ⊥ , ta có ( ) ( )( ),DHC ACD ADDA = = .

• Vì ( )AB BCC B ⊥ nên ( )( ),AC B AC BCC B = .

•

( )( )2 2 2 2

,

1 1 1 1

A A BDd AB AD AA

= + +

LÍ THUYẾT

CHUYÊN ĐỀ : KHỐI ĐA DIỆN – HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.



22

Câu 1: Cho hình lập phương .ABCDABCD có khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và CD bằng

a . Tính thể tích V của khối lập phương đã cho.

A. 38V a= . B. 32 2V a= . C. 33 3V a= . D.

327V a= .

Câu 2: Một khối hộp chữ nhật có diện tích các mặt xuất phát từ cùng một đỉnh lần lượt là ( )210 cm ,

( )220 cm , ( )280 cm . Thể tích V của khối hộp chữ nhật đó.

A. ( )340V cm= . B. ( )380V cm= . C. ( )380 10V cm= . D. ( )340 10V cm= .

Câu 3: Khi tăng độ dài mỗi cạnh của một khối hộp chữ nhật lên 2 lần thì thể tích của nó tăng lên bao

nhiêu lân?.

A. 7 lần. B. 2 lần. C. 4 lần. D. 8 lần.

Câu 4: Cho lăng trụ tam đứng .ABC ABC có đáy ABC là tam giác cân với AB AC a= = , 120BAC =

, mặt phẳng ( )AB C tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. 33

8

aV = . B.

39

8

aV = . C.

3

8

aV = . D.

33

4

aV = .

Câu 5: Cho khối lăng trụ đứng .ABC ABC có BB a = , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và

2AC a= . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho

A. 3

2

aV = . B.

3V a= . C. 3

6

aV = . D.

3

3

aV = .

Câu 6: Cho khối hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCDA B C D có , 3AB a AD a= = và mặt phẳng ( ' ' )A D CB tạo với

đáy một góc 060 . Thể tích V của khối hộp chữ nhật là

A. 3V a= . B.

33V a= . C. 33V a= . D. 39V a= .

Câu 7: Cho khối hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCDA B C D có AB AD a= = và 'A C tạo với mặt phẳng ( ' ')ABB A

một góc 030 . Thể tích V của khối hộp chữ nhật là

A. 33 2V a= . B. 32V a= . C. 32V a= . D. 36V a= .

Câu 8: Cho lăng trụ đứng .ABC ABC có AB a= , 3BC a= , 2AC a= và góc giữa CB và ( )ABC

bằng o60 . Mặt phẳng ( )P qua trọng tâm tứ diện CABC , song song với mặt đáy lăng trụ và cắt

các cạnh AA , BB , CC lần lượt tại E , F , Q . Tỉ số thể tích của khối tứ diện CEFQ và khối

lăng trụ đã cho gần số nào sau đây nhất?

A. 0,06 . B. 0,25 . C. 0,09 . D. 0,07 .

Câu 9: Cho hình hộp đứng .ABCDABCD , đáy là một hình thoi. Biết diện tích của hai mặt chéo

,ACCA BDDB lần lượt là 1 2,S S và góc o90BAD = . Tính thể tích V của khối hộp đã cho.

A.

( )1 2

2 242 1

4

S SV

S S=

−. B.

( )1 2

2 241 2

2

S SV

S S=

−. C.

( )1 2

2 242 1

2

S SV

S S=

−. D.

( )1 2

2 241 2

4

S SV

S S=

−





23

Câu 10: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, các tam giác SAB và SAD là những tam

giác vuông tại A . Mặt phẳng ( )P qua A vuông góc với cạnh bên SC cắt , ,SB SC SD lần lượt

tại các điểm , ,M N P . Biết 8SC a= , 060ASC = . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp đa diện

ABCDMNP?

A. 36V a= . B.

324V a= . C. 332 3V a= . D. 318 3V a= .

Câu 11: Cho hình lăng trụ đều .ABC ABC , biết khoảng cách từ điểm C

đến mặt phẳng ( )ABC bằng a góc giữa hai mặt phẳng ( )ABC

và ( )BCC B bằng với 1

cos3

= (tham khảo hình vẽ bên

dưới).Thể tích khối lăng trụ bằng

A. 39 15

20

a. B

33 15

20

a

.

C. 33 15

10

a. D.

39 15

10

a.

Câu 12: Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với 2 2BC a= .

Biết khoảng cách từ điểm 'C đến mặt phẳng ( )'A BC bằng 4

3

a. Tính thể tích V của khối lăng trụ

. ' ' 'ABC A B C .

A. 34V a= . B.

38

3

aV = . C.

38V a= . D. 34

3

aV = .

Câu 13: Cho hình lăng trụ đứng .ABC ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , khoảng cách từ A đến

mặt phẳng ( )A BC bằng 3 . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ( )A BC và ( )ABC . Tìm cos khi

thể tích của khối lăng trụ .ABC ABC nhỏ nhất.

A. 2

cos3

= . B. 3

cos3

= . C. 1

cos3

= . D. 2

cos2

= .

Câu 14: Cho hình lăng trụ đều .ABC ABC . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( )ABC bằng a

góc giữa hai mặt phẳng ( )ABC và ( )BCC B bằng với 1

cos2 3

= (tham khảo hình vẽ bên).

Thể tích khối lăng trụ .ABC ABC là

A. 3 2

2

a. B.

33 2

2

a. C.

33 2

4

a. D.

33 2

8

a

Câu 15: Cho lăng trụ .ABCDABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với 6AB = , 3AD = , 3AC =

và mặt phẳng ( )AACC vuông góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng ( )AACC , ( )AA B B tạo

với nhau góc thỏa mãn 3

tan4

= . Thể tích khối lăng trụ .ABCDABCD bằng?

A. 6V = . B. 8V = . C. 12V = . D. 10V = .

A

B

C

C' B'

A'




24

Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H là điểm trên cạnh SD sao cho

5 3SH SD= , mặt phẳng ( ) qua B, H và song song với đường thẳng AC cắt hai cạnh SA, SC lần

lượt tại E, F. Tính tỉ số thể tích .

.

.C BEHF

S ABCD

V

V

A. 1

.7

B. 3

.20

C. 6

.35

D. 1

.6

Câu 17: Cho lăng trụ tam giác .ABC ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Độ dài cạnh bên bằng 4a . Mặt

phẳng ( )BCC B vuông góc với đáy và 30B BC = . Thể tích khối chóp .ACCB là:

A. 3 3

2

a. B.

3 3

12

a. C.

3 3

18

a. D.

3 3

6

a.

Câu 18: Cho hình lăng trụ .ABC ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A . cạnh 2BC a= và

60ABC = . Biết tứ giác BCCB là hình thoi có B BC nhọn. Biết ( )BCC B vuông góc với

( )ABC và ( )ABB A tạo với ( )ABC góc 45 . Thể tích của khối lăng trụ .ABC ABC bằng

A. 3

3 7

a. B.

3

7

a. C.

33

7

a. D.

36

7

a.

Câu 19: Cho lăng trụ .ABC ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , 30ABC = . Điểm M là trung

điểm cạnh AB , tam giác MAC đều cạnh 2 3a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể

tích khối lăng trụ .ABC ABC là

A. 372 2

7

a. B.

324 3

7

a. C.

372 3

7

a. D.

324 2

7

a.

Câu 20: Cho lăng trụ tam giác đều .ABC ABC có 3AA a = . Gọi I là giao điểm của AB và A B . Biết

khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( )BCC B bằng 3

2

a. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. 33V a= . B.

3V a= . C. 33

4

aV = . D.

3

4

aV = .

Câu 21: Cho hình lăng trụ tam giác đều .ABC ABC có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là

trung điểm của các cạnh AB và B C . Mặt phẳng ( )AMN cắt cạnh BC tại P . Tính thể tích của

khối đa diện .MBP ABN

A. 33

24

a. B.

33

12

a. C.

37 3

96

a. D.

37 3

32

a.

Câu 22: Cho hình lăng trụ tam giác đều .ABC ABC có tất cả các cạnh bằng a . Gọi ,M N lần lượt là

trung điểm của các cạnh AB và B C . Mặt phẳng ( )AMN cắt cạnh BC tại .P Thể tích khối đa

diện .MBP ABN bằng.

A. 37 3

68

a. B.

33

32

a. C.

37 3

96

a. D.

37 3

32

a.




25

Câu 23: Cho hình lăng trụ .ABCDABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Các cạnh bên tạo với

đáy một góc o60 . Đỉnh Acách đều các đỉnh , , ,A B C D . Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị

thể tích của hình lăng trụ nói trên?

A. 3 6

9

a. B.

3 3

2

a. C.

3 6

2

a. D.

3 6

3

a.

Câu 24: Cho hình lăng trụ .ABC ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A lên

mặt phẳng ( )ABC trùng với trung điểm cạnh BC . Góc giữa BB và mặt phẳng ( )ABC bằng 60

. Tính thể tích khối lăng trụ .ABC ABC .

A. 3 3

8

a. B.

32 3

8

a. C.

3 3

4

a. D.

33 3

8

a.

Câu 25: Cho hình lăng trụ tam giác .ABC ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , hình chiếu của

A trên mặt phẳng ( )ABC là trung điểm cạnh BC . Biết góc giữa hai mặt phẳng ( )ABA và

( )ABC bằng 45 . Tính thể tích V của khối chóp .ABCCB .

A. 33

2a . B.

3V a= . C. 3 3a . D. 32 3

3

a.

Câu 26: Khối lăng trụ tam giác đều . ' ' 'ABC A B C có khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( )'A BC bằng 3 và

góc giữa hai mặt phẳng ( )'A BC và ( )ABC bằng 060 . Tính thể tích V khối lăng trụ đã cho?

A. 24 3V = . B. 8 3V = . C. 8 3

3V = . D.

8 3

9V = .

Câu 27: Khối lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy là tam giác vuông cân tại A . Biết khoảng cách từ A đến

mặt phẳng ( )'A BC bằng 3 và góc giữa hai mặt phẳng ( )'A BC và ( )ABC bằng 060 . Tính thể tích

V khối lăng trụ đã cho?

A. 24 3V = . B. 8 3V = . C. 72V = . D. 24V = .

Câu 28: Cho hình lăng trụ .ABC ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm

A lên mặt phẳng ( )ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường

thẳng AA và BC bằng 3

4

a. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ .ABC ABC .

A. 3 3

12

aV = . B.

3 3

3

aV = . C.

3 3

24

aV = . D.

3 3

6

aV = .

Câu 29: Cho khối hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCDA B C D có ; 3AB a AD a= = , góc giữa hai mặt phẳng

( )' 'ADD A và mặt phẳng ( )'ACD bằng 060 . Tính thể tích khối hộp chữ nhật đã cho.

A. 3 6

6

aV = . B.

3 2

4

aV = . C.

3 6

2

aV = . D.

33 2

4

aV = .

Câu 30: Cho lăng trụ .ABC ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A lên

mặt phẳng ( )ABC trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng

AA và BC bằng 3

4

a. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là




26

A. 3 3

24

a. B.

3 3

12

a. C.

3 3

36

a. D.

3 3

6

a.

Câu 31: Cho hình lăng trụ .ABC ABC , đáy ABC là tam giác đều cạnh x . Hình chiếu của đỉnh A lên

mặt phẳng ( )ABC trùng với tâm ABC , cạnh 2AA x = . Khi đó thể tích khối lăng trụ là:

A. 3 11

12

x. B.

3 39

8

x. C.

3 3

2

x. D.

3 11

4

x.

Câu 32: Cho hình hộp .ABCDABCD có đáy là hình chữ nhật với 3, 7AB AD= = và cạnh bên bằng

1. Hai mặt bên ( )ABB A và ( )ADDA lần lượt tạo với đáy các góc 45 và 60 . Thể tích khối

hộp bằng

A. 3 3 B. 7 7 C. 7 D. 3

Câu 33: Cho hình hộp .ABCDABCD có đáy là hình chữ nhật với 3, 7AB AD= = và cạnh bên bằng

1. Hai mặt bên ( )ABB A và ( )ADDA lần lượt tạo với đáy các góc 45 và 60 . Thể tích khối

hộp bằng

A. 3 3 B. 7 7 C. 7 D. 3

Câu 34: Cho hình lăng trụ ABCABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A lên

mặt phẳng ( )ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng

AA và BC bằng 3

4

a. Tính thể tích V của khối lăng trụ .ABCABC

A. 3 3

.6

aV = B.

3 3.

24

aV = C.

3 3.

12

aV = D.

3 3.

3

aV =

Câu 35: Cho hình lăng trụ .ABC ABC có đáy là tam giác đều cạnh )5;2m− . Hình chiếu vuông góc

của điểm A lên mặt phẳng ( )ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa

hai đường AA và BC bằng 3

4

a. Tính thể tích V của khối lăng trụ .ABC ABC .

A. 3 3

24

aV = . B.

3 3

12

aV = . C.

3 3

3

aV = . D.

3 3

6

aV = .

Câu 36: Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh 3a , hình chiếu của 'A trên mặt phẳng

( )ABC trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Cạnh 'AA hợp với mặt phẳng đáy

một góc 45 . Thể tích của khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C tính theo a bằng.

A. 39

4

a. B.

327

4

a. C.

33

4

a. D.

327

6

a.

Câu 37: Cho lăng trụ tam giác .ABC ABC . Các điểm M , N ,P lần lượt thuộc các cạnh AA , BB ,CC

sao cho 1

2

AM

AA=

,

2

3

BN

BB=

và mặt phẳng ( )MNP chia lăng trụ thành hai phần có thể tích bằng

nhau. Khi đó tỉ số CP

CC là

A. 1

4. B.

5

12. C.

1

3. D.

1

2.




27

Câu 38: Cho lăng trụ .ABC ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A lên

mặt phẳng ( )ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng

AA và BC bằng 3

4

a. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là

A. 3 3

6

a. B.

3 3

3

a. C.

3 3

24

a. D.

3 3

12

a.

Câu 39: Cho hình lăng trụ C có đáy là tam giác đều cạnh H . Hình chiếu vuông góc của điểm D lên mặt

phẳng M trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và

BC bằng 3

4


A. 3 3

12

aV = . B.

3 3

3

aV = . C.

3 3

24

aV = . D.

3 3

6

aV = .

Câu 40: Cho khối lăng trụ tam giác đều 1 1 1ABCA B C , góc giữa mặt phẳng ( )1

A BC và đáy bằng 30 , diện

tích tam giác 1A BC bằng 8. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. 27 3V = . B. 24 3V = . C. 9 3V = . D. 8 3V = .

Câu 41: Cho khối hộp chữ nhật .ABCDABCD có , 3AB a AD a= = , khoảng cách từ A đến ( )A BD

bằng 15

5

a. Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật đã cho.

A. 32 3

3

aV = . B.

33V a= . C. 32 3V a= . D. 3V a= .

Câu 42: Cho hình chóp .S ABCD có thể tích V , đáy là hình chữ nhật, mặt phẳng song song với đáy cắt

các cạnh SA , SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P , Q . Gọi M , N , P , Q lần lượt là hình

chiếu vuông góc của M , N , P , Q lên mặt đáy. Thể tích khối hộp chữ nhật .MNPQ MN P Q

có giá trị lớn nhất là

A. 4

27V . B.

2

9V . C.

4

9V . D.

2

27V .

Câu 43: Cho hình hộp đứng .ABCDABCD , đáy là một hình thoi. Biết diện tích của hai mặt chéo

ACCA , BDDB lần lượt là 1 và 5 và 90BAD = . Tính thể tích V của khối hộp đã cho.

A. 5

2V = . B.

10

2V = . C.

2 5

5V = . D.

2 10

5V = .

Câu 44: Cho lăng trụ .ABCDABCD với đáy ABCD là hình thoi, 2AC a= , 0120BAD = . Hình chiếu

vuông góc của điểm B trên mặt phẳng ( )AB CD là trung điểm cạnh A B , góc giữa mặt phẳng

( )ACD và mặt đáy lăng trụ bằng o60 . Tính thể tích V của khối lăng trụ .ABCDABCD .

A. 33V a= . B. 36 3V a= . C. 32 3V a= . D. 33 3V a= .

Câu 45: Cho khối lăng trụ tứ giác đều .ABCDABCD có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB , A D

bằng 2 và độ dài đường chéo của mặt bên bằng 5. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho, biết

độ dài cạnh đáy nhỏ hơn độ dài cạnh bên.




28

A. 10 5

3V = . B. 20 5 . C.

20 5

3V = . D. 10 5V = .

Câu 46: Cho khối lập phương ( )H có cạnh bằng 1. Qua mỗi cạnh của ( )H dựng một mặt phẳng không

chứa các điểm trong của ( )H và tạo với hai mặt của ( )H đi qua cạnh đó những góc bằng nhau.

Các mặt phẳng như thế giới hạn một đa diện ( )H . Tính thể tích của ( )H .

A. 4 . B. 2 . C. 8 . D. 6 .

Câu 47: Một khối hộp chữ nhật có các kích thước thỏa mãn a , b , c 1;4 và 6a b c+ + = . Tìm giá trị

nhỏ nhất của diện tích toàn phần của khối hộp chữ nhật đó.

A. 18 . B. 24 . C. 9 . D. 12 .

Câu 48: Cho khối lăng trụ đứng .ABC ABC có đáy là tam giác cân ABC với AB AC a= = , góc

120BAC = , mặt phẳng ( )AB C tạo với đáy một góc 30 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã

cho.

A. 39

8

aV = . B.

3

6

aV = . C.

3

8

aV = . D.

33

8

aV = .

Câu 49: Cho khối lăng trụ tam giác đều . ' ' 'ABC A B C có khoảng cách từ điểm 'A đến mặt phẳng ( )' 'AB C

bằng 1 và cosin góc giữa hai mặt phẳng ( )' 'AB C và ( )' 'ACC A bằng 3

6. Tính thể tích khối

lăng trụ . ' ' 'ABC A B C .

A. 3 2

2. B.

2

2. C.

3 2

4. D.

3 2

8.

Câu 50: Cho khối lăng trụ đứng .ABC ABC có đáy là tam giác vuông tại A . Khoảng cách từ A đến các

đường thẳng AB , AC và mặt phẳng ( )AB C lần lượt bằng 1; 2 ; 3

2. Tính thể tích khối lăng

trụ .ABC ABC .

A. 6 15

5. B.

15

5. C.

2 15

5. D.

3 15

5.

Câu 51: Cho khối lăng trụ đứng .ABC A BC có đáy là tam giác vuông tại A . Khoảng cách từ 'A đến các

đường thẳng ', ', ' 'AB AC B C lần lượt bằng 3 2

1; ;2 2

. Tính thể tích của khối lăng trụ .ABC A BC

A. 6 210

35. B.

210

35. C.

2 210

35. D.

3 210

35.

Câu 52: Trong các khối lăng trụ đều .ABC ABC có diện tích tam giác ABC là 3 . Gọi là góc giữa hai

mặt phẳng ( ) ( ),ABC ABC . Tính tan khi thể tích khối lăng trụ đạt lớn nhất.

A. tan 2 = . B. 2

tan2

= . C. tan 2 = . D. 2

tan3

= .

Câu 53: Cho khối lăng trụ đứng .ABC ABC có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A , mặt bên là hình vuông

' 'BCC B , khoảng cách giữa AB và CC bằng a . Tính thể tích V của khối lăng trụ .ABC ABC .

A. 32

3

aV = . B. 32V a= . C.

32

2

aV = . D.

3V a= .




29

Câu 54: Cho khối lăng trụ tam giác đều .ABC ABC có 3AA a = . Gọi I là giao điểm của AB và A B

Cho biết khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng ( )BCC B bằng 3

2

a. Tính thể tích V của khối

lăng trụ .ABC ABC theo a .

A. 33V a= . B. 3V a= . C. 33

4

aV = . D.

3

4

aV = .

Câu 55: Cho lăng trụ đứng .ABCDABCD có đáy là hình bình hành. Các đường chéo DB và AC lần

lượt tạo với đáy góc 045 và 030 . Biết 060BAD = , chiều cao hình lăng trụ bằng a . Tính thể tích

V khối lăng trụ .ABCDABCD .

A. 3 3V a= . B. 3

2

aV = . C.

3 2

3

aV = . D.

3 3

2

aV = .

Câu 56: Cho lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , E là trung điểm của

' 'B C , 'CB cắt BE tại M . Tính thể tích V của khối tứ diện ABCM , biết 3AB a= và ' 6AA a=

A. 38V a= . B. 36 2V a= . C.

36V a= . D. 37V a= .

Câu 57: Cho khối lăng trụ đứng .ABC ABC có đáy là tam giác vuông ABC vuông tại A , AC a= ,

60ACB = . Đường thẳng BC tạo với mặt phẳng ( )AC CA góc 30 . Tính thể tích khối lăng trụ

đã cho.

A. 3 6a . B. 3 3

2

a. C.

3 3

3

a D. 32 3a .

Câu 58: Cho hình lăng trụ đứng .ABC ABC có đáy ABC là tam giác cân, với AB AC a= = và góc

120BAC = , cạnh bên AA a = . Gọi I là trung điểm của CC . Cosin của góc tạo bởi hai mặt

phẳng ( )ABC và ( )AB I bằng

A. 33

11. B.

10

10. C.

30

10. D.

11

11.

Câu 59: Cho hình lăng trụ .ABC ABC có AA = 2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB ,CC lần

lượt bằng 1 và 2; khoảng cách từ C đến đường thẳng BB bằng 5 . Thể tích khối lăng trụ

.ABC ABC bằng

A. 2. B. 2

.3

C. 4. D. 4

.3

Câu 60: Cho khối lăng trụ .ABC ABC , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB bằng 5 , khoảng cách từ

A đến đường thẳng BB và CC lần lượt bằng 1 và 2, hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng

( )A B C là trung điểm M của B C và A M 5 = . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A. 2 5

.3

B. 15

.3

C. 5. D. 2 15

.3

Câu 61: Cho hình lăng trụ .ABC ABC , khoảng cách từ A đến các đường thẳng ,BB CC lần lượt là 1 và

3 , khoảng cách từ C đến BB bằng 2 . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ( )A B C

là trọng tâm G của tam giác ABC và 4

3A G = . Thể tích của khối lăng trụ .ABC ABC bằng:




30

A. 2 . B. 2

3. C. 4 . D.

4

3.

Câu 62: Cho khối hộp .ABCDABCD có A B vuông góc với mặt phẳng ( )ABCD ; góc giữa AA với

( )ABCD bằng 45 . Khoảng cách từ A đến các đường thẳng ,BB DD cùng bằng 1 . Góc giữa

mặt phẳng ( )BB C C và mặt phẳng ( )CCDD bằng 60 . Thể tích của khối hộp đã cho bằng:

A. 2 3 . B. 2 . C. 3 . D. 3 3 .

Câu 63: Cho khối đa diện . ' ' 'ABC A B C có '/ / '/ / 'AA BB CC .Biết khoảng cách từ A đến 'BB bằng 1,

khoảng cách từ A đến 'CC bằng 3 ; Khoảng cách giữa hai đường thẳng 'BB , 'CC bằng 2 và

' 1, ' 2, ' 3AA BB CC= = = .Thể tích khối đa diện . ' ' 'ABC A B C bằng

A. 3

2. B.

3 3

2. C.

1

2. D. 3 .

Câu 64: Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C .Biết khoảng cách từ A đến 'BB bằng 1, khoảng cách từ A đến

'CC bằng 3 ; góc giữa hai mặt bên của lăng trụ chung cạnh 'AA bằng 90o . Hình chiếu của A

lên mặt phẳng ( )' ' 'A B C là trung điểm M của cạnh ' 'B C và 2 3

'3

A M = .Thể tích khối đa diện

. ' ' 'ABC A B C bằng

A. 2. B. 1. C. 3 . D. 2 3

3.

---------------------------------HẾT-------------------------------




31

BẢNG ĐÁP ÁN

1.B 2.D 3.D 4.A 5.A 6.B 7.C 8.B 9.A 10.C

11.A 12.C 13.B 14.B 15.B 16.B 17.D 18.C 19.A 20.A

21.C 22.C 23.C 24.D 25.B 26.A 27.C 28.A 29.D 30.B

31.A 32.D 33.D 34.C 35.B 36.B 37.C 38.D 39.A 40.D

41.B 42.C 43.A 44.B 45.D 46.B 47.A 48.C 49.A 50.D

51.D 52.C 53.C 54.A 55.D 56.C 57.A 58.C 59.A 60.D

61.D 62.C 63.D 64.A


Câu 1: Chọn B

Đặt cạnh hình lập phương là x .

Gọi O AD AD = , ta có ( )DO DCBA ⊥ .

Ta có: ( ) //AC DCBA CD nên

( ) ( )( )

( )( )

; ;

2;

2

d C D A C d C D DCB A

xd D DCB A DO a

=

= = = =.

Do đó, 2x a= . Thể tích khối lập phương là: 3 32 2V x a= = .

Câu 2: Chọn D

Đặt độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật là , ,a b c , ta có:

10

20 40 10

80

ab

bc abc

ca

=

= = =

. Thể tích của khối hộp chữ nhật là: ( )340 10V abc cm= = .

Câu 3: Chọn D

Giả sử độ dài mỗi cạnh của khối hộp là , ,a b c , thể tích khối hộp là 1V abc= .

Khi tăng độ dài mỗi cạnh lên 2 lần thì độ dài mỗi cạnh là 2 ,2 ,2a b c và có thể tích là

2 12 .2 .2 8 8V a b c abc V= = =

Do đó, thể tích khối hộp chữ nhật tăng lên 8 lần.

Câu 4: Chọn A

Gọi M là trung điểm B C . Ta có AM BC

AM BC

⊥

⊥

( ) ( )( ), 60AB C A B C AMA = =

Tam giác AMB vuông tại M, có 60B AM = nên cos602

aAM a = = .

( ).tanAA AM AMA = 3

.tan602 2

a a= = .

O

C'B'

C

D'A'

A D

B




32

21 3. .sin60

2 4ABC

aS AB AC= = . Vậy

33.

8ABC

aV AA S= = .

Câu 5: Chọn A

Ta có AB BC a= = .

Thể tích lăng trụ đa cho là 31

. . . .2 2ABC

aV S BB a a a

= = = .

Câu 6: Chọn B

Ta có AB BC

A B BC

⊥

⊥( ) ( )( )' ' , 60A D BC ABCD A BA = =

0 3' .tan60 3 . . ' 3AA AB a V ABAADAA a= = = =

Câu 7: Chọn C

Dùng ảnh câu 6 nhé !

Ta có ( )( )' , ' ' 30A C ABB A CA B= =

2 2 2 20 ' '

' .tan30 ' 23 3

a A A a A ABC A B a A A a

+ += = = =

3. . ' 2V AB AAD AA a= =

Câu 8: Chọn B

Gọi M , N lần lượt là trung điểm A B , CC ; G là trung điểm

MN . Suy ra G là trọng tâm tứ diện CABC .

( )P qua G và cắt các cạnh AA , BB , CC lần lượt tại E , F

Q thì 3

4AE BF CQ AA= = = .

Thể tích khối lăng trụ là .ABC

V AA S= .

Thể tích tứ diện CEFQ là:

1 1 3 1 1. . . 0,25

3 3 4 4 4

CEFQ

CEFQ EFQ ABC

VV CQS AA S V

V= = = = = .

Câu 9: Chọn A

Gọi O AC BD= . Vì 1 2. ; .S AC AA S BD AA = = và 90

2o BD

BAD OA = =

Tam giác AAO vuông tại A có 2

2 2 2 2

4

ACOA AA OA AA = + = +

Suy ra 2 2

2

4 4

BD ACAA= + hay

2 222 1

2

2 242 1

2 44 4

SAA AA

AA A

SS

A

S = +

− =

Do đó

( )2

2 24

1 2 1

2 14.

1

2 2ABCD

S S S SV S AA AC BD AA

S SAA = = =

−=

.

B'

A' D'

D

B C

A

C'




33

Câu 10: Chọn C

Mặt phẳng ( ) ( )090 1 ,AMNP SC ANC SC AM⊥ = ⊥ .

Do ( ) ( ) ( )090 2SAB BC BC AM AM SBC AM MC AMC⊥ ⊥ ⊥ ⊥ =

Tương tự ta có ( )090 3APC =

Do ABCD là hình vuông nên từ ( ) ( ) ( )1 , 2 , 3 suy ra AC là đường kính mặt cầu ngoại tiếp đa diện

ABCDMNP .

Xét tam giác SAC có ( )3

0 34sin60 4 3 2 3 2 3 32 3

3

ACAC a R a V a a

SC = = = = = .

Câu 11: Chọn A

Gọi 2x là cạnh của tam giác đều, Gọi ,O K lần lượt là

trung điểm của ,AB BC

Kẻ OCK C⊥

Ta có CH CO⊥ và CH AB⊥ nên ( )CH ABC⊥ và

( )( ), 'd C ABC CH a= =

Suy ra: 2 2 2

1 1 1

CH CC CO= +

hay

2 2 2

1 1 1

3a CC x= +

(1)

Ta có hình chiếu vuông góc của tam giác ABC lên mặt

phẳng ( )BCC B là tam giác 'KBC

Do đó '

'

1cos

3KBC

ABC

S

S

= =

Ta có: '

1. .

2KBCS xCC= và 2 2 2 2

'

1 1. . . . 3

2 2ABCS ABCO AB CC CO x CC x

= = + = +

Do đó 2 2 2 2 2 21 1. . 3 3 2 3 5 12

2 3xCC x CC x CC CC x CC x = + = + = (2)

Từ ( ) ( )1 , 2 ta có 2 2

2 2 2

1 1 4 35 9

5 5

aCC a CC

a CC CC = + = =

Suy ra 3

2

ax = . Vậy thể tích khối lăng trụ là

2 33 3 3 9 15. .

4 205ABC

a a aV S CC= = = .

H

K

O

A'

B'C'

C

B

A




34

Câu 12: Chọn C

Gọi M là trung điểm cạnh BC , H là hình chiếu

vuông góc của A lên 'A M ta có

( )( ) ( )( )d C'; A'BC d A; A'BC AH= = .

Mà 2 2

AA' AM 4aAH

3A'A AM

= =

+

2 2

AA' a 2 4aAA' 4a

3A'A 2a

= =

+.

31 1V AA' AB AC 4a 2a 2a 8a

2 2= = = .

Câu 13: Chọn B

Gọi M là trung điểm của BC , kẻ ( )AH AM AH ABC ⊥ ⊥

( )( ),AH d A ABC a = = và góc giữa ( )A BC với ( )ABC là

AMA = .

Ta có

3 6, 2 ,

sin sin sin3

tancos

AHAM BC AM

AA AM

= = = =

= =

.

Khi đó ( )2 2

1 27 27. . .

2 sin .cos 1 cos .cosV S h AM BC AA

= = = =

−

( )( ) 32 2 2 2 2 2

27 2 27 2 81 3

22cos 1 cos 1 cos 2cos 1 cos 1 cos

3

= =− − + − + −

.

Dấu " "= xảy ra 3

cos3

= .

Câu 14: Chọn B

Gọi ,K J lần lượt là trung điểm của ,AB BC .

Gọi x là độ dài cạnh AB .

3

2

xAJ CK= = .

Ta có ( )CH ABC⊥ ( )( ),d C ABC CH a = = .

Mặt khác ( )AJ BCC B ⊥ .

Nên ( ) ( )( ),ABC BCC B ( ),CH AJ= = ( ),CH AG= ( cos sin = ).

Ta có 1

sin2 3

MG

AG = =

2 3

AGMG =

2

3 3.2

AJ= =

3

62.3 3

x x= .

M

B

C

A' B'

C'

A

H

M

GJK

C

B

A

C'

B'

A'

H




35

3 6 3 6

HC x a x= = 2x a = mà ( )( ),d C ABC CH a = = .

2 2

.CHCKCC

CK CH =

− ( )2

2

2 3

2

3

aa

a a

=

−

6

2

a= . Vậy

2 3.

4

xV CC=

( )2

2 3 6.

4 2

a a=

33 2

2

a= .

Câu 15: Chọn B

Từ B kẻ BI AC⊥ ( )BI AAC C ⊥ .

Từ I kẻ IH AA⊥

( ) ( )( ), B IAA C C AA B B H = .

Theo giải thiết ta có 3AC =

.AB BCBI

AC = 2= .

Xét tam giác vuông BIH có tanBI

BHIIH

=

tan

BIIH

BHI =

4 2

3IH = .

Xét tam giác vuông ABC có 2.AI AC AB=2

2AB

AIAC

= = .

Gọi M là trung điểm cả AA , do tam giác AAC cân tại C nên CM AA⊥ //CM IH .

Do 2

3

AI AH

AC AM= =

2

3

AH

AM =

1

3

AH

AA =

.

Trong tam giác vuông AHI kẻ đường cao HK ta có 4 2

9HK = chiều cao của lăng trụ

.ABCDABCD là 3h HK=4 2

3= .

Vậy thể tích khối lăng trụ .ABCDABCD là .. .

ABCD A B C DV AB AD h

=

4 26 3

3= 8= .

Câu 16: Chọn B

Đặt .S ABCDV V=

Trong tam giác SOD ta có:

3. . 1 3 .

4

IS SIIS BO HD SE SF

IO BD HS IO SO SA SC= = = = =

Ta có: ..

.

3 3.

5 10S HBC

S HBC

S DBC

V SH VV

V SD= = =

Mặt khác: ..

.

1 3.

4 40C FHB

C FHB

C SHB

V CF VV

V CS= = =

Mà: .. .

.

6 32 .

40 20C BEHF

C BEHF C FHB

S ABCD

VVV V

V= = =

M C'

B'

D'

CD

AB

A'

I

H

K




36

Câu 17: Chọn D

Gọi H là hình chiếu của B trên BC . Từ giả thiết suy ra:

( )BH ABC ⊥ .

1. .sin

2BB CS BB BC B BC

=

14 . .sin30

2a a=

2a= .

Mặt khác: 1

.2BB C

S B H BC

=2

BB CS

BHBC

=22

2a

aa

= = .

.LT ABCV B H S=

2 32 .

4

aa=

3 3

2

a= .

. .

1

2A CC B A CC B BV V

=

1 2 1.

2 3 3LT LTV V= =

31 3.

3 2

a=

3 3

6

a= .

Câu 18: Chọn C

Do ABC là tam giác vuông tại ,A cạnh 2BC a= và

60ABC = nên AB a= , 3AC a= .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên BC

H thuộc đoạn BC (do B BC nhọn)

( )BH ABC ⊥ (do ( )BCC B vuông góc với

( )ABC ).

Kẻ HK song song AC ( )K AB HK AB ⊥ (doABC là tam giác vuông tại A ).

( ) ( ), 45 (1)ABB A ABC B KH BH KH = = =

Ta có BB H vuông tại H 2 24 (2)BH a B H = −

Mặt khác HK song song ACBH HK

BC AC =

.2 (3)

3

HK aBH

a =

Từ (1), (2) và (3) suy ra 2 2 .24

3

B H aa B H

a

− =

12

7BH a = .

Vậy 3

. ' '

1 3. . .

2 7ABC A B C ABC

aV S BH AB AC BH

= = = .

Câu 19: Chọn A

Gọi H là trung điểm của MC .

Ta có ( ) ( )

( ) ( )

( )AH MC

AMC ABC AH ABC

AMC ABC MC

⊥

⊥ ⊥

=

Tam giác MAC đều cạnh 2 3a2 3

3

MC a

AH a

=

=

60

2a

2aK H

C'

B'

A'

C

B

A

a

C'

A'

B'

CB

A

H

4a

H

C'

B'

A'

C

B

M

A




37

Đặt 0AC x= , tam giác ABC vuông tại A có 30ABC = 2

3

BC x

AB x

=

=

Áp dụng công thức tính độ dài trung tuyến ta có

2 2 2 2 2 22 2 4 3 4 3

122 4 2 4 7

CA CB AB x x x aCM a x

+ += − = − = .

Suy ra 21 1 12 4 3 24 3

. . .2 2 77 7

ABC

a a aS AB AC= = = .

Do đó 3

.

72 3.

7ABC A B C ABC

aV AH S

= = .

Câu 20: Chọn A

.ABC ABC là khối lăng trụ đều nên ABC là tam giác đều và

3AA a = là chiều cao của khối này.

( ;( )) 32 ( ;( )) 2 ( ;( )) 2 3

( ;( )) 2

d A BCC B AB ad A BCC B d I BCC B a

d I BCC B IB

= = = = =

.

Gọi H là hình chiếu của A trên BC thì do ABC đều và ( ) ( )ABC BCC B⊥ nên H cũng là

hình chiếu của A trên ( )BCC B và H là trung điểm của BC .

( ;( )) 3AH d A BCC B a = =22

2 33

ABC

AHBC a S a = = = .

Vậy thể tích của khối lăng trụ đều đã cho là 2 3. 3. 3 3ABC

V S a aA aA= = = .

Câu 21: Chọn C

Gọi S là giao điểm của AM và BB , khi đó P là giao điểm SN và BC .

Ta có 1

. .8

SMBP

SA B N

V SM SB SP

V SA SB SN

= = .

7 7

8 8MBP A B N SA B NV V

= = .

1.

3SA B N A B NV SB S

=

1 1. . sin60

3 2SB A B B N =

12 . . sin60

6 2

aa a=

3 3

12

a= .

3

.

7 7 3

8 96MBP A BN SA BN

aV V

= = .

P

S

M

N

C

B

A'

B'

C'

A




38

Câu 22: Chọn C

Gọi Q là trung điểm của .BC Suy ra AQ AN MP AQ P là

trung điểm của BQ .

Ta có , ,BB AM NP đồng quy tại S và B là trung điểm của B S

2SB a = .

2 3

.

3 3

8 12A BN S A BN

a aS V

= = .

1

8SMNP SA B NV V

=

37 7 3

8 96MBPA BN SA BN

aV V

= = .

Câu 23: Chọn C

Gọi O là tâm hình vuông ABCD .Từ giả thiết Acách đều các đỉnh A , B , C ta suy ra hình chiếu

của A trên mặt phẳng ABCD là O hay AO là đường cao của khối lăng trụ.

Trong tam giác AOA vuông tại A và 60AOA = , ta có:

6.tan60 . 3

22

a aAO OA = = = . Diện tích đáy ABCD là 2

ACDDS a= .

Thể tích của khối lăng trụ là 3 6

. .2ABCD

aV B h S A O= = = . Vậy

3 6

2

aV = .

.

Câu 24: Chọn D

Gọi H là trung điểm cạnh BC . Theo đề ra:

( )AH ABC ⊥ .

3 3

2 2

AB aAH = = . ( )

2 23 3

4 4ABCđvdt

AB aS

= =

.

Ta có:

( )( )

( )( ) ( )( )

', '' 60

', ', 60

AA ABC A AHA AH

AA ABC BB ABC

= =

= =

.

Xét AAH vuông tạiH : 3

.tan602

AH AH a = = .

Vậy ( )3

.

3 3.

8ABC A B C ABC

aV tvAH S đ t

= =

60°

C'

B'A'

H

C

BA

PM Q

N

B

C

A' C'

B'

S

A




39

Câu 25: Chọn B

Ta có: . . .ABC A B C A A B C A BCC B

V V V

= + . .A ABC A BCC B

V V

= + .

Mà . .A BCC B A BCC B

V V

=. .A A B C A ABC

V V

= .

Gọi M là trung điểm của BC , I là trung điểm của AB và K

là trung điểm của IB . Khi đó: ( )AM ABC ⊥ .

Mặt khác: //MK CI

MK ABCI AB

⊥

⊥ .

MK AB⊥ , AM AB ⊥ AK AB ⊥ .

Góc giữa hai mặt phẳng ( )ABA và ( )ABC chính là góc giữa

A K và KM và bằng A KM 45= nên tam giác AKM vuông cân tại M .

Trong tam giác ABC : 1 1 2 3 3

. .2 2 2 2

a aMK CI= = =

Trong tam giác vuông cânAKM : 3

2

aAM MK = = và . .

1.

3A ABC ABC A B CV V

= .

. . .

1

3A BCC B ABC A B C ABC A B CV V V

= − .

2

3 ABC A B CV

=

2. .

3 ABCS AM

= 22 3. 3.

3 2

aa=

3a= .

Câu 26: Chọn A

Do lăng trụ . ' ' 'ABC A B C đều nên lăng trụ đã cho là lăng trụ

đứng.

Gọi H là trung điểm của BC , K là hình chiếu của H lên

'A H .

Ta có ( ) ( ) ( )' ''

BC AHBC AA H ABC AA H

BC AA

⊥ ⊥ ⊥

⊥

Mà

( ) ( )( )' ' , ' 3AK A H AK A BC d A A BC AK⊥ ⊥ = = .

Ta có góc giữa ( )'A BC và ( )ABC là góc giữa AH và. Suy ra 0' 60A HA = .

Ta có

0

0

' .tan60 6

2 3 2.2 3sin60 4

3

A A AHAK

AHAB

= =

= = = =

Thể tích khối lăng trụ là . ' 4 3.6 24 3ABC

V S AA= = = .

Câu 27: Chọn C

Gọi H hình chiếu của A lên BC , K là hình chiếu của H lên

'A H .

Ta có ( ) ( ) ( )' ''

BC AHBC AA H ABC AA H

BC AA

⊥ ⊥ ⊥

⊥

Mà ( ) ( )( )' ' , ' 3AK A H AK A BC d A A BC AK⊥ ⊥ = = .

45°

K

I

C

2a

M

B

A

C' B'

A'




40

Ta có góc giữa ( )'A BC và ( )ABC là góc giữa AH và. Suy ra 0' 60A HA = . Ta có

0

0

' .tan60 62 3

sin60 2 4 3; 2 6

A A AHAKAH

BC AH AB

= == =

= = =

Thể tích khối lăng trụ là ( )21

. ' . 2 6 .6 722ABC

V S AA= = = .

Câu 28: Chọn A

Ta có ( )AG ABC ⊥ nên AG BC ⊥ ; BC AM⊥

( )BC MAA ⊥

Kẻ MI AA⊥ ;

BC IM⊥ nên ( )3

; 4

ad AA BC IM = =

Kẻ GH AA⊥ ,

Ta có 2 2 3 3

.3 3 4 6

AG GH a aGH

AM IM= = = =

2 2 2 2 2 2 2

3 3.

1 1 1 . 3 63

3 12

a aAG HG a

AGHG AG AG AG HG a a

= + = = = −

−

2 2

.

3 3. .

3 4 12ABC A B C ABC

a a aV AGS

= = = .

Câu 29: Chọn D

Gọi H là hình chiếu của D lên 'AD .

Ta có ( ) ( ) ( )( ) 0' ' ' , ' 60AD DHC ADD A ACD DHC⊥ = = .

Có 0 3.cot60

3

aDH CD= = ,

Suy ra 2 2 2

1 1 1 6'

4'

aDD

DH DD DA= + = .

Thể tích khối hộp là 33 2

. '4ABCD

aV S DD= = .

Câu 30: Chọn B

Gọi G là trọng tâm của ABC , M là trung điểm

của BC .

( )AG ABC ⊥ .

Trong ( )AAM dựng MN AA⊥ , ta có:

BC AM

BC AG

⊥

⊥( )BC AAG ⊥ BC MN ⊥ .

NH

B'

C'

M

A

C

B

A'

G




41

( ),d AA BC MN =3

4

a= .

Gọi H là hình chiếu của G lên AA .

Ta có: / /GH MNGH AG

MN AM =

2

3=

2

3GH MN =

3

6

a= .

Xét tam giác AAG vuông tại G , ta có:

2 2 2

1 1 1

GH GA GA= +

2 2 2

1 1 1

GA GH GA = −

2 2

1 1

3 3

6 3

a a= −

2

27

3a= .

3

aGA = .

Vậy thể tích của khối lăng trụ là: .ABC

V S AG=2 3

.4 3

a a=

3 3

12

a= .

Câu 31: ChọnA

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên ( )ABC . Do ABC đều nên H là trọng tâm tam giác

ABC . Ta có 3

2

xAM =

2 3

3 3

xAH AM = = .

Xét tam giác vuông AAH , có 2 2 33

3

xAH AA AH = − = .

221 3 3.

2 2 4ABC

xS x

= =2 3

.

3 33 11

4 3 4ABC A B C

x x xV

= = .

Câu 32: Chọn D

Gọi H là hình chiếu của A trên ( )ABCD và ,K L là hình

chiếu của H trên ,AB AD .

Ta có các góc 45AKH = và 60A LH = .

Đặt AH x = suy ra 3

;3

xHK x HL= = .

Do đó 2

2 2 2 2 2

3

xAA AH AH x x = + = + +

27 31

3 7

xx = = .

Thể tích khối hộp bằng 3

. . . 3 7. 37

V B h AB AD AH= = = = .

Câu 33: Chọn D

Gọi H là hình chiếu của A trên ( )ABCD và ,K L là hình chiếu của H trên ,AB AD .

Ta có các góc 45AKH = và 60A LH = .

O

D'

B' C'

CB

A'

DA

H

K

L

O

D'

B' C'

CB

A'

DA

H

K

L




42

Đặt AH x = suy ra 3

;3

xHK x HL= = .

Do đó 2

2 2 2 2 2

3

xAA AH AH x x = + = + +

27 31

3 7

xx = = .

Thể tích khối hộp bằng 3

. . . 3 7. 37

V B h AB AD AH= = = = .

Câu 34: Chọn C

M là trung điểm của BC thì ( )BC AAM⊥ .

Gọi MH là đường cao của tam giác AAM thì

MH AA⊥ và HM BC⊥ nên HM là khoảng cách

AA và BC . Ta có

. .AAHM AGAM = 2

23 3.

4 2 3

a a aAA AA = −

2 2 22 2 2 24 4 2

4 3 .3 3 9 3

a a a aA A AA AA AA AA

= − = = =

Đường cao của lăng trụ là 2 24 3

9 9 3

a a aAG = − = . Thể tích

2 33 3.

3 4 12LT

a a aV = = .

Câu 35: Chọn B

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Vì ( )AG ABC ⊥

và tam giác ABC đều nên AABC là hình chóp đều.

Kẻ EF AA⊥ và ( )BC AAE⊥ nên

( )3

,4

ad AA BC EF = = . Đặt AG h =

Ta có

2

2 3

3

aAA h

= +

.

Tam giác AAG đồng dạng với tam giác EAF nên

AA AG AG

EA FA FE

= =

2

23 3 3. . . .

2 3 4 3

a a a aAG EA AA FE h h h

= = + =

.

Thể tích V của khối lăng trụ .ABC ABC là 2 33 3

. .3 4 12ABC

a a aV AGS= = = .

Đặt AH x HB x = = .

Ta có K là trọng tâm tam giác AA B

Suy ra 2

22 2

3 3 4

aKB A B x= = + ;

2 22 2

3 3KA AH x a= = + .

H

GM

B

CA

C'

B'

A'




43

KAB vuông tại K nên 2 2 2KB KA AB+ =2

2 24 52

9 4

ax a

+ =

2 2 28 5 9x a a + =2

2

ax = .

Vậy .ABC

V S AH=2 3 2

.4 2

a a=

3 6

8

a= .

Câu 36: Chọn B

Gọi AI là đường cao, H là tâm của tam giác ABC ( )AH ABC ⊥ .

Vì ( )

( )

AA ABC A

AH ABC

=

⊥

góc giữa AA và ( )ABC là 45AAH AAH = .

Ta có: 3 3 2

, 32 3

aAI AH AI a= = = ,

( )2

23 3 9 3

4 4ABC

a aS = = .

.tan45 3AH AH AH a = = = .

Thể tích của lăng trụ là: 2 39 3 27

. 3.4 4ABC

a aV AH S a= = = .

.

Câu 37: Chọn C

Áp dụng công thức : .

.

1

3ABC MNP

ABC A B C

V AM BN CP

V AA BB CC

= + +

.

Ta có : . .ABC MNP ABC A B CV V

= nên

1 1

3 2

AM BN CP

AA BB CC

+ + =

211 1323 2

BBAACP

AA BB CC

+ + =

1

3

CP

CC =

.

Câu 38: Chọn D

Do ABC đều trọng tâm G và ( )AG ABC ⊥ nên .A ABC

là hình chóp đều.

Gọi M là trung điểm của BC , khi đó 3

2

aAM =

3

3

aAG = .

Gọi H là hình chiếu của M trên AA . Khi đó do

( )BC AAM⊥ BC HM ⊥ nên HM là đường vuông góc

chung của hai đường thẳng AA và BC . Do đó 3

4

aHM =

Đặt AA AB AC x = = = , khi đó 2

2

3

aAG x = − .

I

B'

C'

A B

C

H

A'

GM

B' C'

A'

A

CB

H




44

Do 2 . .AAM

S AG AM MH AA

= =2

23 3. .

2 3 4

a a ax x − =

2

3

ax = .

Do 2 3

4ABC

aS

= , 3

aA G =

3

.

3.

12ABC A B C ABC

aV A GS

= = .

Câu 39: Chọn A

Gọi M là trung điểm của BC . Vẽ MH AA⊥ ( )H BC .

Ta có AM BC⊥ , AG BC ⊥ ( )BC AAG ⊥ BC MH ⊥

( ),d AA BC MH = .

2 2AH AM MH= −2 23 3

4 16

a a= −

3

4

a= .

Ta có tanMH AG

GAHAH AG

= =

.MH AGAG

AH =

3 3.

4 33

4

a a

a=

3

a= . Vậy .

ABCV S AG=

2 3.

4 3

a a=

3 3

12

a= .

Câu 40: Chọn D

Đặt BC x= và gọi K là trung điểm của BC , ta có 130A KA = .

Ta có 1

2

1 1

312 8 42 2cos30 3

2

A BC

xAK x

A K x S A K BC x

= = = = = = =

Do đó 23 1 4 3

tan30 2 3 2 2 8 32 43

xh V Sh= = = = = = .

Câu 41: Chọn B

Ta có 2 2 2 2

1 1 1 1

Ad AB AD AA

= + +

2 2 22

1 1 1 13

( 3)15

5

AA aa AAaa

= + + =

.

Vậy 33 3 3V a a a a= = .

Câu 42: Chọn C

Gọi h là chiều cao của khối chóp và h MM = là chiều cao khối hộp

chữ nhật.

Theo Thales, ta có:

SM SN SP SQ MN NPx

SA SB SC SD AB BC= = = = = = 1 1

h AM SMx

h AS SA

= = − = − .




45

Do đó 1

. .3

V AB BC h= và ( ) ( )2 2. . . . . 1 3 1V MN NP h x AB BC x h x x V = = − = − .

Xét hàm số ( ) ( )2 2 33 1 3 3f x x x x x= − = − với ( )0;1x

( ) ( )2

0

6 9 0 2

3

x

f x x x f xx

= = − = =

.

Bảng biến thiên:

Vậy ( )

( )0;1

4max

9f x = max

4

9V V = .

Câu 43: Chọn A

Ta có:

( ).

.ACC A

BDD B

S ACCC ACCC DD

S BD DD BD

= = =

15

5

ACBD AC

BD = = .

Ta có 2 2 2 2

2 2 5.

4 4 4 4

BD AC AC ACAA OA OA AC = − = − = − =

2. 1 1ACCAS AC AA AC AC

= = = = và 21 5

. .2 2ABCD

S AC BD AC= = 5

2= .

Vậy thể tích khối hộp đứng là

5.1. 5. . 5 52

2 2 4 2ABCD ACC A BDD BS S S

V = = = = .

Câu 44: Chọn B

Gọi H là trung điểm A B , suy ra ( )BH ABCD ⊥ .

Vì ABCD là hình thoi và o120B AD A B C = là tam giác

đều cạnh 2a .

Ta có:

( ) ( )

( ) ( )( ) o, 60

ACD A B C D CD

HC CD

BC C D

ACD A B C D BC H

=

⊥ ⊥

= =

.




46

Có ABC đều cạnh 2a nên 3

.2 32

C H a a = = .

Xét tam giác BHC vuông tại H có: o otan60 tan60 3BH

BH C H aC H

= = =

.

( )2 23

2 2. . 2 2 34A B C D A B C

S S a a

= = = .

Vậy, 2 3

.. 3 .2 3 6 3

ABCD A B C D A B CV BH S a a a

= = = .

Câu 45: Chọn D

Dựng 'AK A D⊥

( )CD AD

CD ADDA CD AKCD DD

⊥ ⊥ ⊥

⊥

Vậy ( )AK CDAB ⊥

Ta có: 5AD = và / /AB CD ( )/ /AB A B CD

( ) ( )( ), , 2d AB AD d A ABCD AK = = = . Do đó với AD a= , ( )AA b b a = , ta có:

2 2 2 525

2.5 10 5

ba b

ab a

=+ =

= = =

2 10 5V a b = = .

Câu 46: Chọn B

Ta có ( ) ( ) .

6S ABCDH H

V V V= + . Với .S ABCD là khối chóp tứ giác đều như hình vẽ.

Ta có 1

.tan452

SH HM HM= = =

2

.

11 .

123 6S ABCD

V = = . Do đó ( )

11 6. 2

6HV

= + = .

Câu 47: Chọn A

Theo giả thiết có a , b , c 1;4 và 6a b c+ + = ; ( )2tpS ab bc ca= + + .

a , b , c 1;4 ( )( )( )

( )( )( )

1 1 1 0

4 4 4 0

a b c

a b c

− − −

− − −

( ) ( )

( ) ( )

1 0

64 16 4 0

abc a b c ab bc ca

a b c ab bc ca abc

+ + + − + + −

− + + + + + −

( ) ( )63 15 3 0a b c ab bc ca − + + + + + ( )63 15 3 0ab bc ca − + + +

90 639

3ab bc ca

− + + = 18

tpS .

Câu 48: Chọn C

M

C

B

A'

B'

C'

A




47

Gọi M là trung điểm của B C . Khi đó AM BC ⊥ và AM BC ⊥ góc giữa hai mặt phẳng

( )AB C và đáy là 30AMA = .

Trong tam giác vuông ' 'A MB ta có .cosAM AB B AM = 2

a= .

Trong tam giác vuông AAM có:3

tan306

aAA AM h = = = .

Diện tích tam giác ' ' 'A B C là 2 3

4

aS = .

Câu 49: Chọn A

Đặt độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h . Ta có 2 3

4

a hV = .

Gọi H là trung điểm ' 'B C và kẻ 'A H AH⊥ suy ra ( )' ' 'A H AB C⊥ .

Vậy theo giả thiết ta có 2 2 2 2 2

1 1 1 1 41

1 33

2

h h aa= + + =

.

Gọi M là trung điểm ' 'A C và kẻ 'MN AC⊥ có 'MN AC⊥ và ' 'B M AC⊥

( ) ( ) ( )( )' ' 'C' , ' 'AC B MN AB ACC A MNB ⊥ = .

Có 3 '

cos tan 11 116

B MMNB MNB

MN= = =

2 2

3

2 11

2

a

ah

a h

=

+

2 23 11a h h + = trong đó ( )2 2

1', '

2 2

ahMN d A AC

a h= =

+.

Giải hệ trên ta được 6

2,2

a h= = 3 2

2V = .

Cách 2: chú ý 'AMC là hình chiếu vuông góc của ' 'AB C lên mặt phẳng ( )' 'ACC A

Do đó ( ) ( )( ) 2 2

2' ' 2

3 34cos ' ' , ' ' 4 36 63

42

AMC

AB C

ahS

AB C ACC A h h aS a

a h

= = = +

+

M

C

H

BA

A'B'

C'

K

N




48

Giải hệ trên ta được 6

2,2

a h= = 3 2

2V = .

Câu 50: Chọn D

Đặt AB a = , AC b = , AA c = thì 1

2A B CS ab

=

.

1

2ABC A B CV abc

= .

Ta có

( )

( )

( )( )

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

1 1 11

,

1 1 1 1

2,

1 1 1 1 4

3,

a c d A AB

b c d A AC

c b c d A AB C

+ = =

+ = =

+ + = =

2

2

2

1 5

61 1

31 1

6

a

b

c

=

=

=

2 2 2

1 5

108a b c =

6 15

5abc = . Vậy

.

3 15

5ABC A B CV

= .

Câu 51: Chọn D

Trong ( ' ')ACA C kẻ 3

' ' '2

A K AC A K⊥ = .

Trong ( ' ')ABA B kẻ ' ' ' 1A H AB A H⊥ = .

Trong ( ' ' ')A B C kẻ 2

' ' ' '2

A E B C A E⊥ = .

Đặt ' ' ; ' ' ; 'A B a A C b AA c= = = .

Ta có

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1 1 11

'1 1 1 4

3'1 1 1

2'

a c A H

b c A K

a b A E

+ = =

+ = =

+ = =

, Cộng theo vế ta có:2 2 2

1 1 1 13

6a b c+ + =

2

2

2

61 556

1 7 6

6 71 1 6

6

aa

bb

cc

==

= =

==

.

Vậy thể tích của khối lăng trụ .

1 3 210AA'. . .

2 35ABC A BCAB ACV == .

Câu 52: Chọn C

Gọi I là trung điểm BC ( ),ABC ABC A IA = = .

Gọi ( )2 6

0 A BCS

BC x x A IBC x

= = = .

2 4 4

2 2

3 36 3 144 3 144 3

2 4 22

x x x xAI AA

xx x

− −= = − = = .

4 24

.

144 3 3 3. . 144 3

2 4 8ABC A B C ABC

x xV AA S x x

x

− = = = − .

A

B

C

C'

B'

A' E

H

K

I

C'

A'

B'

C

A

B




49

Đặt ( ) ( )4

4 4

4

12144 3 144 3 0 2

2 144 3

xf x x x f x x x

x= − = − − = =

−.

( )f x đạt giá trị lớn nhất thì thể tích khối lăng trụ lớn nhất khi 2x = .

6 , 3 tan 2AA

AA AIAI

= = = = .

Câu 53: Chọn C

Ta có ( )

( )AA B BAA B B

/ // /

CC AACC

AA

nên khoảng cách giữa

'AB và 'CC là khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( )AA B B .

Mặt khác ( )AA B BCA AB

CACA AA

⊥ ⊥

⊥ suy ra khoảng cách từ C

đến mặt phẳng ( )AA B B là 21

.2 2ABC

aCA a AB AC a S AC AB

= = = = = . Lại có tứ giác

' 'BCC B là hình vuông nên 2CC BC a = = . Vậy thể tích khối lăng trụ

2 3

. ' ' '

2. 2.

2 2ABC A B C ABC

a aV CC S a

= = = .

Câu 54: Chọn A

Đặt cạnh của đáy là x .

Gọi I là trung điểm B C , ta có ( )( )3

;2

xd A BCC B A I = =

( )( ) ( )( )1 3 3

; ; 22 4 2

x ad I BCC B d A BCC B x a = = = = .

( )2

22 3

34A B C

aS a

= = .

Thể tích khối lăng trụ: 2 33. 3 3V a a a= =

Câu 55: Chọn D

Theo giả thiết ta có được đáy ABCD là hình bình hành, độ dài các đường chéo

0, 3, 60BD a AC a BAD= = = .

A' D'

B'C'

A D

B C

I

I

C

B

A' C'

B'

A




50

Đặt ,AB x BC y= = , áp dụng định lý hàm số cosin cho hai tam giác ABD và ABC ta được.

2 2 22

2 2 2

3a x y xyxy a

a x y xy

= + + =

= + −

. Khi đó 3

0 3. .sin60

2

aV a xy= =

Câu 56: Chọn C

Gọi F là trung điểm của BC , ' 'FC CB N N = là trung điểm của MC1

' '3

B M B C = . Khi

đó ta có ( )( ) ( )( )2

31 1 2 2.6 9, . . ', . . 6

3 3 3 9 2ABCM ABC ABC

a aV d M ABC S d B ABC S a= = = = .

Câu 57: Chọn A

Ta có 3AB a= , dễ thấy góc giữa đường thẳng BC tạo với mặt

phẳng ( )AC CA là góc 30BC A = . Suy ra 3

tan30a

AC =

3AC a = 2 2C C a = .

Vậy .

12 2 . . 3

2ABC A B CV a a a

= 3 6a= .

Câu 58: Chọn C

Ta có 2 2 2 2 . .cosBC AB AC AB AC BAC= + − 2 2 12. . .

2a a a a

= + − −

23a= 3BC a = .

Xét tam giác vuông B AB có 2 2AB BB AB = + 2 2a a= +

2a= .

Xét tam giác vuông IAC có 2 2IA IC AC= +2

2

4

aa= +

5

2

a= .

Xét tam giác vuông IBC có 2 2B I B C C I = +2

234

aa= +

13

2

a= .

Xét tam giác IB A có 2

2 2 2 52

4

aB A IA a + = +

213

4

a= 2B I= IBA vuông tại A

3a 3a

6a

N

M

B C

A

B'

A'

C'E

F

a 3

a

a

I

C'B'

A'

CB

A

30

60

a

A'

B'

C B

A

C'




51

1

.2IB A

S AB AI

=1 5

. 2.2 2

aa=

2 10

4

a= .

Lại có 1

. .sin2ABC

S AB AC BAC=1 3

. .2 2a a=

2 3

4

a= .

Gọi góc tạo bởi hai mặt phẳng ( )ABC và ( )AB I là .

Ta có ABC là hình chiếu vuông góc của AB I trên mặt phẳng ( )ABC .

Do đó .cosABC IB AS S

=

2 23 10.cos

4 4

a a =

30cos

10 = .

Câu 59: ChọnA

Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BB’, CC’ ta có

( ) ( ), 1; , 2AH d A BB AK d A CC = = = = và AA //BB //CC ;AH BB ,AK CC ⊥ ⊥

( )AHK AA ⊥ và (C,BB ) 5HK d = =

Tam giác AHK có 2 2 2 5AH AK HK AHK+ = = vuông tại A

1. 1

2AHKS AH AK = =

Vậy . .AA 2.ABC A B C AHKV S = =

Câu 60: Chọn D

Cách 1: Gọi N là trung điểm của BC, EF MN AH MN(MN//AA ').H = ⊥ Ta có H là trung

điểm của EF và 2 2 2+AF 5AE EF= = nên

5.

2 2

EFAH = = Tam giác vuông AMN có

' 5AN A M= = và

'

2 2 2 2

1 1 1 4 1 1 15 15 2 15AA 5 .

5 5 3 9 3AM

AH AM AN AM= + = + = = + =

Mặt khác do ( ) AM

(( ),( )) ( ,AA ) = MAA .( ) AA

A B CA B C AEF AM

AEF

⊥ =

⊥

Tam giác AEF vuông tại A là hình chiếu vuông góc của tam giác A’B’C’ trên mặt phẳng (AEF)

Vì vậy theo định lý hình chiếu có

.

1.1.2

15 2 152 2 . 2. .cos 3 315

3

2 15

3

AEFA B C ABC A B C A B C

SS V S AM

MAA = = = = = =

Cách 2: Ta có thể tính thông qua công thức nhanh thể tích tứ diện như sau

A N

C

B

F

E

A’

C’

B’

M




52

Có . .

2 . .sin((AA B ),(AA C ))3

3

2 15

3

AA B AA CABC A B C A A B C

S SV V AA

AA

= = = =

0

1 1 1. ( , ) . ( , )

2 2 2

1 1. (C , ) . ( ,CC )

2 2

(( ), (AA C )) 90

AA B

AA C

S AA d B AA AA d A BB AA

S AA d AA AA d A AA

AA B

= = =

= = = =

Câu 61: Chọn D

Gọi ,E F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên ,BB CC .

Suy ra ( )AA AE

AA AEFAA AF

⊥ ⊥

⊥.

Suy ra hình chiếu vuông góc của A B C lên mặt phẳng ( )AEF là AEF .

Gọi

là góc giữa hai mặt phẳng ( )A B C và ( )AEF .

Ta có ( ).cos 1cos

AEFAEF A B C A B C

SS S S

= =

Mặt khác, ta có ( )

( )( ),

AA AEFAA AG A AG

AG A B C

⊥ = =

⊥

Suy ra ( )cos cos . 2AG

AG AAAA

= =

Từ ( )1 và ( )2 suy ra . . .A B C ABC A B C AEFV AG S AA S

= = .

Ta có 1, 3AE AF= = , ( ) ( ); ; 2d C BB d E BB EF EF = = = . Suy ra AEF vuông tại A .

Suy ra 1 1 3

. . 32 2 2

AEFS AE AF = = = .

Gọi ,M N lần lượt trung điểm của ,BC B C .

Giả sử MN cắt EF tại H . Suy ra MN EF⊥ và H là trung điểm của EF nên 12

EFAH = = .

4 32

3 2A G A M A G = = = .

Xét hình bình hành AA MN có:




53

2

2 4 8 3. . .2 1.

3 9AA MNS AG A M AH MN AA AA AA

= = − = =

.

Thể tích khối lăng trụ là: .

8 3 3 4. .

9 2 3A B C ABC AEFV AA S

= = = .

Câu 62: Chọn C

Gọi ,M N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh ,BB DD .

Ta có: ( )( )

( )

BB AMNAM BB AM AAAA AMN

AN DD AN AA DD AMN

⊥ ⊥ ⊥ ⊥

⊥ ⊥ ⊥

Suy ra hình chiếu vuông góc của A B D lên mặt phẳng ( )AMN là AMN .

Gọi

là góc giữa hai mặt phẳng ( )A B D và ( )AMN

Ta có ( ).cos 1

cos

AMNAMN A B D A B D

SS S S

= =

Mặt khác, ta có ( )

( )( ),

AA AMNAA A B AA B

A B ABCD

⊥ = =

⊥

Suy ra ( )cos cos . 2A B

A B AAAA

= =

Từ ( )1 và ( )2 suy ra . . .A B D ABD A B D AMNV A B S AA S

= =

Vậy thể tích khối hộp là: . .2 2 .ABCD A B C D ABD A B D AMNV V AA S = = .

Ta có ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

//; ;

//

BB C C ADD AADD A ABB A AM AN

C CDD ABB A

=

.

Suy ra 60MAN = hoặc 120MAN = . 1 3

. .sin2 4

AMNS AM AN MAN = =

Ta có ( )( ) ( ); ; 45AA ABCD AA AB A AB A AB = = = . Suy ra A AB vuông cân tại B .

. .ABB AS AM BB A B AB = = . Suy ra . . 2 2.1 2

2 2

AA AAAM AA AA AM

= = = = .

Vậy .

32.2. 3

4ABCD A B C DV = = .




54

Câu 63: Chọn D

Ta hạ: ( )'; ' '/ / '/ / 'AD BB AE CC ADE AA BB CC⊥ ⊥ ⊥ và 1; 3, 2AD AE DE= = =.

Ta hạ: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ˆ' ; : ' , ' , ' 'A H ABC Do AA ADE ABC ADE A H AA AA H⊥ ⊥ = =

Tam giác ADE là hình chiếu của tam giác ABC lên mp(ADE), do đó:

( )( )'. ' '

. 'ˆ.cos 'ˆ 'cos '

1 1 1. ' . . . ' ', ' ' .

3 3 3

ADE ADEADE ABC ABC

A ABC ABC ADE BCC B

S S AAS S AA H S

A HAA H

V A H S S AA d A BCC B S

= = =

= = =

Ta có: ( )' ; 'BB ADE BB DE⊥ ⊥ .

Ta kẻ: ( )' ' '⊥ ⊥ ⊥AK DE AK BB AK BCC B

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

'. ' '

. ' ' ' '. '. ' '

', ' ' , ' '

1 1 1. . ' ' . . ' '

3 2 3

1 1 1. . ' . . ' ' . . ' ' '

3 3 3

= =

= + = +

= + = + + = + +

A BCC B ADE

ABC A B C A ABC A BCC B ADE ADE ADE

d A BCC B d A BCC B AK

V AK DE BB CC S BB CC

V V V S AA S BB CC S AA BB CC

Tam giác ADE vuông tại A và . ' ' '

3 ' ' ' 3 1 2 3. . 3

2 3 2 3ADE ABC A B C ADE

AA BB CCS V S

+ + + += = = =

Câu 64: Chọn A

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BB’, CC’. Ta

có: 1, 2; '/ / '/ / 'AE AF AA BB CC= =

Vậy: ( )'; ' 'AF AA AE AA AEF AA⊥ ⊥ ⊥

Suy ra:

( ) ( )( )1 3

' ' , ' ' 90 .2 2

= = = =O

AEFEAF ABB A ACC A S AE AF

Gọi N là trung điểm BC, H là giao của EF và MN nên

( )/ / 'AH MN MN AA⊥.

Ta có H là trung điểm EF và 2 2

12 2

EF AE AFAH

+= = = . Tam giác vuông AMN có:

2 3'

3AN A M= =

và

2 2 2

1 1 1 4 32 '

3AM AA

AH AM AN= + = =

.

Vậy . ' ' '

3 4 3. ' . 2

2 3ABC A B C AEFV S AA= = =

H

A

A'C'

C

B

B'

EF

M

N

A

C

C'

A'

B

B'

H

D

E

K




55

DẠNG 3. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY

Câu 1: Tính thể tích V của khối tứ diện đều có cạnh bằng a .

A. 3 3

12

aV . B.

3 2

12

aV . C.

3 3

4

aV . D.

3 2

4

aV .

Câu 2: Cho khối chóp tam giác đều .S ABCD có độ dài cạnh đáy bằng ,a mặt phẳng chứa BC và vuông

góc với SA cắt khối chóp theo một thiết diện có diện tích bằng2

.4

a Tính thể tích V của khối chóp

đã cho.

A. 22.

24

aV B.

32.

12

aV C.

3

.36

aV D.

3

.72

aV

Câu 3: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của

,SB SD . Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại J .Diện tích tứ giác AMJN bằng 2 5

6

a. Tính thể tích của

khối chóp SABCD .

A. 3 2

3

aV B.

3 2

6

aV C.

3 3

3

aV D.

3 3

6

aV

Câu 4: Bên cạnh con đường nước đi vào thành phố, người ta xây

một ngọn tháp hình chóp tứ giác đều SABCD có

600SA m , 015ASB . Do sự cố đường dây điện tại

điểm Q ( trung điểm của SA ) bị hỏng nên người ta tạo ra

một con đường từ A đến Q gồm bốn đoạn

, , ,AM MN NP PQ (như hình vẽ ). Để tiết kiệm chi phí, kỹ

sư đã nghiên cứu và có được chiều dài con đường từ A đến

Q nhỏ nhất. Tính tỉ số AM MN

kNP PQ

A. 2k B. 5

3k C.

3

2k D.

4

3k

Câu 5: Trong tất cả các khối chóp tam giác đều có diện tích toàn phần cho trước. Gọi a,b lần lượt là độ

dài cạnh đáy và độ dài cạnh bên của khối chóp. Tính tỉ số a

b khi thể tích của khối chóp đạt giá trị

lớn nhất.

A. 1b

a B. 2

b

a C. 3

b

a D. 2

b

a

Câu 6: Cho hình chóp .S ABCD có 1SA , tất cả các cạnh còn lại bằng 3 . Tính thể tích khối chóp

.S ABCD .

A. 3

3. B.

6

2. C.

3

2. D.

6

3.

Câu 7: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông tại A , 1AB , 2AC và 3SA SB SC .

Tính thể tích khối chóp .S ABC .

N

C B

AM

Q

D

P

S

CHỦ ĐỀ 1: KHỐI ĐA DIỆN – HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.



56

A. 7

6. B.

2

3. C.

17

6. D.

1

6.

Câu 8: Cho hình chóp .S ABC có 135BAC , 1AB AC và 2SA SB SC . Tính thể tích khối

chóp .S ABC .

A. 6 2 2

4

. B.

6 2 2

6

. C.

6 2 2

12

. D.

6 2 2

2

.

Câu 9: Cho khối chóp .S ABC có 6

,3

aSA SB AB AC a SC và mặt phẳng SBC vuông góc

với mặt phẳng ABC . Tính thể tích của khối chóp đã cho.

A. 3 14

36

a. B.

3 14

12

a. C.

3 21

36

a. D.

3 21

12

a.

Câu 10: Cho khối chóp .S ABCD có đáy là hình thang, 2 ,SA SB SC AD a AB BC CD a . Tính

thể tích của khối chóp đã cho.

A. 39

4

a. B.

3

4

a. C.

33

4

a. D.

3

12

a.

Câu 11: Trong các khối chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng b thỏa mãn

4 6 2a b . Khối chóp có thể tích lớn nhất là.

A. 4 2

3. B.

8 2

3. C.

2 2

3. D.

2

3.

Câu 12: Cho khối chóp .S ABCD có 3SA SB SC SD a và , 2AB BC CD a AD a . Thể tích

của khối chóp .S ABCD bằng

A. 36

4

a. B.

33 6

4

a. C.

36

2

a. D.

33 6

2

a.

Câu 13: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông, 1SA SB SC và cùng tạo với đáy một góc

. Tính cos khi thể tích của khối chóp .S ABC đạt giá trị lớn nhất.

A. 3

2. B.

6

3. C.

1

2. D.

3

3.

Câu 14: Cho hình chóp .S ABC có 3SA SB SC a , 2 , 3AB AC a BC a . Tính thể tích của khối

chóp .S ABC

A. 35

2

a. B.

335

2

a. C.

335

6

a. D.

32 5

7

a.

Câu 15: Cho khối chóp .S ABC có đáy ABC đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy ABC và

góc giữa SB và mặt đáy bằng 30 . Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. 3

4

aV . B.

3

12

aV . C.

33

4

aV . D.

39

4

aV .

Câu 16: Cho khối chóp .S ABCD có chiều cao SA bằng a . Mặt đáy ABCD là hình thoi cạnh a , gócABC

bằng 60 . Tính thể tích của khối chóp .S ABCD theo a.

A. 3 3

6

aV . B.

3 3

4

aV . C.

3 3

8

aV . D.

3 3

12

aV .




57

Câu 17: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông với 2

2

aAC . Cạnh bên SA vuông góc

với mặt phẳng ABCD , cạnh bên SB hợp với mặt phẳng ABCD một góc 60 . Tính thể tích

khối chóp .S ABCD .

A. 3 3

24

aV . B.

33 3

24

aV . C.

3 3

8

aV . D.

33 3

8

aV .

Câu 18: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông tại B , 2AB a , 60BAC . Cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng ABC và 3SA a . Tính theo a thể tích khối chóp .S ABC .

A. 32V a . B. 33V a . C. 3V a . D. 34V a .

Câu 19: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông tại B , SA a , 30BAC , 45SCA . Cạnh

bên SA vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp .S ABC là V . Tỉ số 3

V

a gần giá trị nào nhất trong

các giá trị sau?

A. 0,01 . B. 0,05 . C. 0,08 . D. 1 .

Câu 20: Cho hình chóp .S ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật có 2 ,AB a AD a . Hai mặt phẳng

SAB và SAD cùng vuông góc với đáy và góc giữa hai mặt phẳng SAB , SBD là 45 . Thể

tích khối chóp .S ABC là V . Tỉ số 3

V

a gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?

A. 0,25 . B. 0,5 . C. 0,75 . D. 1,5 .

Câu 21: Cho hình chóp .S ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy và ; 2AB a AC a và 0120BAC .

Mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 060 . Tính thể tích khối chóp .S ABC

A. 3 21

14

aV . B.

3 21

13

aV C.

32 21

14

aV . D.

32 21

13

aV .

Câu 22: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình chữ nhật có 3 ; 4AB a AD a , SA ABCD , SC tạo

với đáy góc 045 . Tính theo a thể tích khối chóp .S ABCD

A. 320V a . B. 320 2V a C. 330V a . D. 330 2V a .

Câu 23: Cho tứ diện ABCD có AD ABC và 3 ; 4 ; 5 ; 6AB a BC a AC a AD a . Thể tích khối tứ

diện ABCD là

A. 36V a . B. 312V a . C. 318V a . D. 336V a .

Câu 24: Cho khối tứ diện SABC có SA ABC . Hai mặt phẳng SAB và SBC vuông góc với nhau;

3SB a , 045BSC , 030ASB . ThỂ tích khối tứ diện SABC là V . Tính tỉ số 3a

V.

A. 8

3. B.

8 3

3. C.

2 3

3. D.

4

3.

Câu 25: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại ,A D ; SD ABCD ;

; 3 ; 3AB AD a CD a SA a . Thể tích khối chóp .S ABCD là

A. 32

3

aV . B.

34

3

aV . C.

3 2

3

aV . D.

32 2

3

aV .




58

Câu 26: Cho hình chóp .S ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hai mặt phẳng ( )SAB và ( )SAD cùng

vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng ( )SBC và ( )ABCD là 030 . Thể tích khối chóp

.S ABCD là V . Tính 3

3V

a?

A. 3

3. B.

3

4. C.

3

2. D.

3

6.

Câu 27: Cho hình chóp .S ABCD ,đáy ABCD là hình chữ nhật có , 3AB a BC a . Hai mặt phẳng

( )SAB và ( )SAD cùng vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 060 . Thể tích khối chóp

.S ABCD là?

A. 3V a . B. 32V a . C. 3 3V a . D. 32 3V a .

Câu 28: Cho hình chóp .S ABC có tam giác. ABC .vuông tại 0, , 60B AB a ACB . Cạnh bên SAvuông

góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 045 . Thể tích khối chóp .S ABC là?

A. 3 3

6

aV . B.

3 3

18

aV . C.

3 3

9

aV . D.

3 3

12

aV .

Câu 29: Cho tứ ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a . AD vuông góc với mặt phẳng ABC , góc giữa

BD và mặt phẳng DAC là 030 . Thể tích khối tứ diện ABCD là V . Tính tỉ số 3 6a

V.

A. 1. B. 3 . C. 4 . D. 12 .

Câu 30: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 20cm . SA vuông góc với mặt phẳng

đáy và 30SA cm . Gọi ', 'B D là hình chiếu của A lên ,SB SD . Mặt phẳng ' 'AB D cắt SC tại

'C . Thể tích khối chóp . ' ' 'S AB C D là

A. 31466 cm . B. 31500 cm . C. 31400 cm . D. 31540 cm .

Câu 31: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A . 2BC a . SA vuông góc với

mặt phẳng đáy. Mặt bên SBC tạo với đáy một góc 045 . Thể tich khối chóp .S ABC là V . Tính

tỷ số 3

6V

a?

A. 3

4. B.

3

6. C.

2

2. D.

3 2

2.

Câu 32: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều. Cạnh bên SAvuông góc với mặt phẳng đáy.

Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( )SBC bằng 3 , góc giữa ( )SBC và mặt phẳng đáy bằng

. Tính cos khi khối chóp có thể tích nhỏ nhất.

A. 3

3cos B.

2.

2cos C.

2 3.

3cos D.

1.

3cos

Câu 33: Cho khối chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại , 8, 6B AB BC . Biết 6SA và

vuông góc với mặt phẳng đáy ABC . Một điểm trong M của khối chóp cách đều tất cả các mặt

của khối chóp một đoạn bằng h . Mệnh đề nào dưới đây đung?

A. 4

3h . B.

4

9h . C.

2

3h . D.

2

9h .




59

Câu 34: Cho khối chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại , 8, 6B AB BC . Biết 6SA và

vuông góc với mặt phẳng đáy ABC . Một điểm M thuộc phần không gian bên trong của hình

chóp và cách đều tất cả các mặt của khối chóp. Tính thể tích khối tứ diện .MABC .

A. 24V . B. 64

3V . C.

32

3V . D. 12V .

Câu 35: Cho khối chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại , 2 ,A AB a SA vuông góc với đáy,

khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 4

3

a. Tính thể tích khối chóp .S ABC .

A. 38

3

aV . B.

39

8

aV . C. 38V a . D.

327

8

aV .

Câu 36: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác cân tại A , 2AB a , 45BAC , SA vuông góc với

đáy, khoảng cách giữa hai đường thẳng SB , AC bằng 4

3

a. Tính thể tích V của khối chóp

.S ABC .

A. 32

3

aV . B. 32V a . C. 34 2V a . D.

34 2

3

aV .

Câu 37: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác cân tại A , BAC 30 90 , 6AB , SA

vuông góc với đáy, khoảng cách giữa hai đường thẳng SB , AC bằng 3 . Tính cos khi khối

chóp .S ABC có thể tích nhỏ nhất.

A. 3

cos2

. B. 1

cos2

. C. 3

cos3

. D. 2

cos2

.

Câu 38: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, 1AB , cạnh bên 1SA và vuông góc

với mặt phẳng đáy ABCD . Kí hiệu M là điểm di động trên đoạn CD và N là điểm di động

trên đoạn CB sao cho 45MAN . Thể tích nhỏ nhất của khối chóp .S AMN là?

A. 2 1

9

. B.

2 1

3

. C.

2 1

6

. D.

2 1

9

.


với mặt phẳng đáy ABCD . Ký hiệu M là điểm di động trên đoạn CD và N là điểm di động


A. 1

9. B.

1

3. C.

2

27. D.

4

27.


với mặt phẳng đáy ABCD . Ký hiệu M là điểm di động trên đoạn CD và N là điểm di động


A. 2 3

3

. B.

2 3

9

. C.

2 3 3

3

. D.

2 3 3

9

.

Câu 41: Cho tam giác ABC vuông cân tại B , 2AC . Trên đường thẳng đi qua A vuông góc với mặt

phẳng ABC lấy các điểm ,M N khác phía với mặt phẳng ABC sao cho . 1AMAN . Tìm

thể tích nhỏ nhất của khối tứ diện MNBC .

A. 1

3. B.

1

6. C.

1

12. D.

2

3.




60

Câu 42: Cho hình chóp .S ABC có SA , SB , SC đôi một vuông góc, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

ABC . Mặt phẳng P thay đổi qua I cắt các tia SA , SB , SC lần lượt tại A , B , C . Biết

2SA SB , 7SC . Hỏi thể tích của khối chóp .S ABC có giá trị nhỏ nhất là?

A. 243 7

256. B.

7

3. C.

81 7

256. D.

27 7

256.

Câu 43: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C , 2SA AB a . Cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng đáy ABC . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên

SB và SC . Tìm thể tích lớn nhất maxV của khối chóp .S AHK .

A. 3

max

2

6

aV . B.

3

max

3

6

aV . C.

3

max

3

3

aV . D.

3

max

2

3

aV .

Câu 44: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại , 2 ,B AB a SA vuông góc với đáy. Gọi

M là trung điểm cạnh AB , mặt phẳng P qua SM song song với BC cắt AC tại N . Tính thể

tích V của khối chóp .SBCMN biết góc giữa SBC và đáy bằng 060 .

A. 34 3

3

aV . B.

33

3

aV . C. 33V a . D.

32 3

3

aV

Câu 45: Trong mặt phẳng P cho nửa đường tròn đường kính 2AB R và điểm C thuộc nửa đường tròn

sao cho 030ABC . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng P tại A lấy điểm S sao cho

góc giữa hai mặt phẳng ,SAB SBC bằng 060 . Tính thể tích V của khối chóp .S ABC .

A. 36

12

RV . B.

32

6

RV . C.

36

4

RV . D.

32

2

RV

Câu 46: Cho khối chóp .S ABC có đáy là tam giác cân tại A , SA vuông góc với đáy, độ dài đường trung

tuyến AD a , cạnh bên SB tạo với đáy một góc và tạo với mặt phẳng SAD góc . Tính

thể tích V của khối chóp đã cho.

A.

3

2 2

sin sin

3 cos sin

aV

. B.

3

2 2

sin sin

cos sin

aV

.

C.

3

2 2

sin sin

3 cos sin

aV

. D.

3

2 2

sin sin

cos sin

aV

Câu 47: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2 , 2SA vuông góc với đáy. Gọi

,M N là hai điểm lần lượt trên ,AB AD sao cho SMC , SNC vuông góc với nhau. Tính tổng

2 2

1 1T

AM AN khi khối chóp .S AMCN đạt giá trị lớn nhất.

A. 5

4. B. 2 . C.

2 3

4

. D.

13

9.

Câu 48: Trong mặt phẳng P cho XYZ cố định; Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng P tại

điểm X và về 2 phía của P ta lấy 2 điểm ,A B thay đổi sao cho hai mặt phẳng AYZ và

BYZ luôn vuông góc với nhau. Hỏi vị trí của ,A B thỏa mãn điều kiện nào sau đay thì thể tích

ABYZ là nhỏ nhất

A. 2XB XA . B. 2XA XB . C. 2.XAXB YZ . D. XA XB .




61

Câu 49: Cho khối tứ diện ABCD có 2AB , 3AC , 4AD BC , 2 5BD , 5CD . Tính thể tích

V của khối tứ diện ABCD .

A. 15V . B. 15

2V . C.

3 5

2V . D.

9 5

2V .

Câu 50: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Trên đường thẳng qua A vuông góc với mặt phẳng

ABC lấy hai điểm ,M N nằm khác phía với mặt phẳng ABC sao cho hai mặt phẳng MBC

và NBC vuông góc với nhau. Thể tích khối tứ diện MNBC có giá trị nhỏ nhất bằng.

A. 3

4

a. B.

33

8

a. C.

33

4

a. D.

3

8

a.

Câu 51: Cho hình chữ nhật ABCD có ,AB a AD b . Trên hai đường thẳng ,Ax Cy cùng vuông góc với

mặt phẳng ABCD lần lượt lấy hai điểm ,M N sao cho hai mặt phẳng BDM và BDN

vuông góc với nhau. Thể tích khối tứ diện BDMN có giá trị nhỏ nhất bằng

A. 2 2

2 2

a b

a b. B.

2 2

2 2

4a b

a b. C.

2 2

2 2

4

3

a b

a b. D.

2 2

2 23

a b

a b.

Câu 52: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành, 2 , BC aAB a 0120ABC và SD vuông

góc với đáy. Sin góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAB bằng 1

4. Thể tích khối chóp

.S ABCD bằng

A. 3a . B. 3

2

a. C. 33a . D.

33

2

a.




62

BẢNG ĐÁP ÁN

1.B 2.A 3.B 4.A 5.A 6.D 7.A 8.B 9.A 10.C

11.A 12.A 13.B 14.D 15.B 16.A 17.B 18.A 19.C 20.C

21.A 22.A 23.B 24.A 25.D 26.A 27.B 28.B 29.D 30.A

31.C 32.A 33.A 34.C 35.A 36.D 37.D 38.B 39.A 40.C

41.D 42.C 43.A 44.C 45.A 46.A 47.A 48.D 49.A 50.A

51.D 52.A


Câu 1: Chọn B

Cách tự luận. Gọi G là trọng tâm của BCD .

2 3

3 3

aBG BM , 2 2 6

3

aAG AB BG .

2 31 1 3 6 2. .

3 3 4 3 12ABCD BCD

a a aV S AG

.

Cách trắc nghiệm. Ta nhớ trực tiếp kết quả “Tứ diện đều có 3 2

12V canh ”.

Câu 2: Chọn A

Gọi M là trung điểm của .BC Gọi O là trọng tâm của ABC

Gọi I là hình chiếu vuông góc của M lên .SA Ta có: MI SA và BC SA

Suy ra SA IBC . Măt khác 2 2 21 1

. .4 2 4 2 4 2IBC

a a a aS MI BC MI a MI

Ta có 2 2 2;

2

aAI AM MI

. 6tan

6

MI SO MI AO aMAI SO

AI AO AI

Vậy2 31 3 6 2

. . .3 4 6 24SABC

a a aV

Câu 3:

Giả sử: độ dài cạnh bên là x

Ta có: I là trung điểm của S0 nên 1 1

2 3

JS JS

JC SC . Dựng OH //SC

I

D

N

C

J

A

M

0

B

S

CA 0

H

I

J

S

GM

BD

C

A




63

Ta có:

0 0

0 0 1 2. .0 0 2 3

0 0

A H

A IS H SJ SJ SJ xAC JCJC

AC I JC H JC JCIS SJ

I H

Xét AIC :2 2 2

2 2 2 2

24 2 2 422 . .cosC 2 2. 2. . (1)9 3 3 9

ax x a x

AJ AC CJ AI JC a ax

2 2

1 5 1 2 5 10. . (2)

2 6 2 2 6 3AMJN

a a a aS AJ MN AJ AJ

Từ (1), (2) suy ra: x a . 2

2 2

2 2

a aSO x nên

321 1 2 2

0. . .3 3 2 6ABCD

a aV S S a .

Câu 4: Chọn A

Cắt ngọn tháp và trải đều trên mặt phẳng như hình vẽ

Do 015ASB nên khi trải ra ta thu được tam giác đều SAA

Để AM MN NP PQ ngắn nhất thì A,M,N,P,Q thẳng hàng

Khi đó: N SC AQ là giao 2 đường trung tuyến nên N là

trọng tâm tam giác SAA. Do đó: 2AM MN AN

kNP PQ NQ

Câu 5: Chọn A

Đường cao mặt bên:2

2

4

ah b . Diện tích toàn phần:

22

2

2 2 2 2 22 2

4 3

33 1 3 3 43.

4 2 4 4 4tp

S aa

aa a a a b aS a b b

22

2

22 2 22 2

4 3

3 (2S 3a )1 3. . 3.

3 4 3 12 4 6 6

S aa

a a Sa a aV b a

22 2 2 2 2 2 2

2 (2S 3a ) 3 (2S 3a )S 3 2 3

216 2216 3 216 3 216 3

a S a S a S a SV

Dấu “ ” xảy ra: 2 23 2 3 3 1b

a S a S a b aa

QPN

M

A

DC

B

A

S




64

Câu 6: Chọn D

Gọi O là giao của AC và BD .

Ta có SBD CBD nên SO CO .

Trong tam giác SAC có 1

2SO CO AC nên tam

giác SAC vuông tại A .

Suy ra 2 2 2AC SA SC .

Diện tích đáy 1

2 2. . 2 22ABCD ABC

S S BO AC

.

Do 3SD SB SC nên hình chiếu vuông góc H của S trên ABCD thuộc cạnh AC .

Vì SH là đường cao của tam giác SAC nên 2 2

. 3.

2

SASCSH

SA SC

Vậy .

1 1 3 6. . .2 2

3 3 2 3S ABCD ABCDV SH S .

Câu 7: Chọn A

Trong tam giác ABC có 2 2 5BC AC AB .

Do 3SA SB SC nên hình chiếu vuông góc H của S

trên ABC trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC . Khi đó H là trung điểm của BC .

Trong tam giác SHB có 2 2 5 73

4 2SH SB HB .

Vậy .

1 1 7 1 7. . . .2.1

3 3 2 2 6S ABC ABCV SH S .

Câu 8: Chọn B

Ta có diện tích đáy 1 2

. .sin2 4ABC

S AB AC BAC

.

Trong tam giác ABC có

2 2 2 . .cos 2 2BC AB AC AB AC BAC .

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi đó

2 22 1

2sin 2

BCR

A

.

Do 3SA SB SC nên hình chiếu vuông góc của S trên

ABC trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp H của tam giác ABC .

Trong tam giác SBH có 2 2 4 2 1 3 2SH SB HB .




65

Vậy .

1 1 2 6 2 2. . 3 2 .

3 3 2 6S ABC ABCV SH S

.

Câu 9: Chọn A

Gọi H là trung điểm của BC ta có: AH BC AH ABC

Do AS AB AC a

nên là H

tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

SBC . Do đó SBC vuông tại S và

22

2 2 2 26 15 5 7

3 3 12 12

a a aBC SB SC a AH a a

Suy ra 31 6 7 14

. . . .6 3 12 36

a aV a a

Câu 10: Chọn C

Do 2SA SB SC a suy ra hình chiếu vuông góc H

của S lên mặt phẳng ABCD trùng Với

giải thiết ABCD là hình thang và , 2AB BC CD a AD a

thì tứ giác ABCD là hình thang

cân và nội tiếp đường tròn tâm H có bán kính R a .

Do đó chiều cao của khối chóp 2 2

2 2 3 3 34 3, .

4 4d

a ah a a a S V

Câu 11: Chọn A

Ta có: 2

26 2 41

, 6 2 4 . .3 3

a aS a h b a V S h

Theo bất đẳng thức cô si ta có: 3

2 2 3 2 2 4 2. . . 3 2 2 .

3 3 3 3

a a aV a a a

Dấu bằng xảy ra khi: 3 2 2 2 2 2.a a a b

Câu 12: Chọn A

3SA SB SC SD a nên tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( )O bán kính R .

Do , 2AB BC CD a AD a nên ABCD là nửa lục giác đều. Suy ra R a .

2 2 2 22 2h SA R a h a . 23 3

4ABCD

aS suy ra

3

.

1 6.

3 4S ABCD ABCD

aV h S

Câu 13: Chọn B

HDA

B C

B

A

S

CH




66

Giả sử đáy là tam giác vuông tại C . 1SA SB SC nên hình chiếu vuông góc của S lên

( )ABC là trung điểm của AB .

2 2 2 2

.

1 1 1. . . 2 . . .

3 3 3 2S ABC ABCV SH S SH HA SH SA SA

Ta có: 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2SH AH AH SH HA SA

Vậy 2 2 22 . .SH SA SA đạt GTLN khi 2 2 2 22

3SH HA HA

Vậy .S ABCV đạt GTLN khi tam giác ABC vuông cân và

2 2 6cos cos

3 3

AHHA SAH

SA

Câu 14: Chọn D

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp mặt đáy ABC .

SA SB SC nên SO ABC .

2

2 3 72

2 2

a aAI a

.

2 24 4

2 7 7

AC aAO R a

AI a

2 2 2 216 353

7 7SO SA AO a a a .

221 1 4 6

. . .32 2 7 7

ABC

aS AI BC a .

Vậy thể tích khối chóp cần tìm là: .

1.

3S ABC ABCV SOS

2 31 35 6 2 5. .

3 7 77

a a a .

Câu 15: Chọn B

, , 30SB ABC SB AB SBA .

3.tan30

3

aSA AB .

2 3

.

1 1 3 3. . . .

3 3 4 3 12S ABC ABC

a a aV S SA

S

A

B

C

H

IO

C

B

A

S




67

Câu 16: Chọn A

Vì đáy ABCD là hình thoi có

2 23 360 2.

4 8ABCD

a aABC S .

2 3

.

1 1 3 3. . 2. .

3 3 4 6S ABCD ABCD

a aV S SA a

.

Câu 17: Chọn B

Vì ABCD là hình vuông với 22

2 2 4ABCD

a a aAC AB S .

3

, , 60 .tan602

aSB ABCD SB AB SBA SA AB .

2 3

.

1 1 3 3. . . .

3 3 4 2 24S ABCD ABCD

a a aV S SA .

Câu 18: Chọn A

ABC vuông tại B : .tan60 2 3BC AB a

21. 2 3

2ABCS AB BC a .

Vậy 2 3

.

1 1. . . 3.2 3 2

3 3S ABC ABCV SAS a a a .

Câu 19: Chọn C

SAC vuông cân tại A : AC SA a

ABC vuông tại B và 30BAC

2 2

1

2 2

3

2

aBC AC

aAB AC BC

21 3

.2 8ABC

aS AB BC .

Suy ra 3

.

1 3.

3 24S ABC ABC

aV V SAS . Vậy

3

30,072

24

V

a .

Câu 20: Chọn C

2a

a 3

S

C

B

A

A

B

C

S

a




68

Ta có:

SAB SAD SA

SAB ABCD SA ABCD

SAD ABCD

.

Gọi H là hình chiếu của A trên SB AH SB .

Dễ thấy AD SAB AD SB .

Do đó: SB AHD SB HD .

Khi đó ta có:

; ; 45

;

SAB SBD SB

AH SB HD SB SAB SBD AHD

AH SAB HD SBD

.

Hay AHD vuông cân tại A AH AD a .

SAB vuông tại A : 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 3 2

4 4 3

aSA

SA AH AB a a a .

Suy ra 3

2

.

1 1 2 4. . .2

3 3 3 3 3S ABC ABCD

a aV V SAS a . Vậy

3

40,77

3 3

V

a .

Câu 21: Chọn A

Tính cạnh

2 2 2 . .cos 7BC AB AC AB AC A a

Kẻ AH vuông góc BC tại H,

diện tích tam giác . 1

. .sin2 2

AH BCAB AC A

. .sin 21

7

AB AC A aAH

BC

Góc tạo bởi mp MBC và mp ABC là góc 060SHA .

Suy ra 03 7

.tan 607

aSA AH . Vậy thể tích

3

.

1 21.

3 14S ABC ABC

aV SAS

Câu 22: Chọn A

Tính 5AC a vì tam giác SAC suy ra 5SA a

Tính thể tích 31. 20

3 ABCDV SAS a

45°

3a

4a

C

AB

D

S

H

D

CB

A

S

120° 60°

S

A

B

C

H




69

Câu 23: Chọn B

Ta có: ABC vuông tại B 21. 6

2ABCS AB BC a

.

2 31 1. .6 .6 12

3 3SABC ABCV S AD a a a

.

Câu 24: Chọn A

Ta có: SBC vuông tại B ; ABC vuông tại B .

3.cos

2

aSA SB ASB

0 3.sin30 ; 3

2

aAB SB BC SB a .

.

1 1 1. . . .

3 3 2S ABC ABCV S SA AB BC SA

31 3 3 3. . 3.

6 2 2 8

a a aa

3 8

3

a

V .

Câu 25: Chọn D

Ta có:

.

.1 1. . .

3 3 2S ABCD ABCD

AB CD ADV S SD SD

33 .1 2 3. . 3

3 2 3

a a a aa

.

Câu 26: Chọn A

Ta có góc tạo bởi SBC và ( )ABCD là 030SBA .

Xét tam giác SABvuông tại A ta có 0 3

tan tan303

aSA AB SBA a

.

1.

3S ABCD ABCDV S SA

321 3 3

. .3 3 9

a aa V

3

3 3

3

V

a

S

D

A

C

B

S

A C

B




70

Câu 27: Chọn B

Xét tam giác ABC vuông tại B ta có 2 2 2 2 2 23 4AC AB BC a a a 2AC a .

Góc tạo bởi SC và đáy là góc 060SCA .

Xét tam giác SAC vuông tại A có 0tan 2 tan60 2 3SA AC SCA a a

3

.

1 1. . 3.2 3 2

3 3S ABCD ABCDV S SA a a a a .

Câu 28: Chọn B

Xét tam giác ABC vuông tại B ta có 0 3cot cot60

3

aBC AB BCA a

21 1 3 3. . .

2 2 3 6ABC

a aS AB BC a

Do tam giác SABvuông cân tại A suy ra SA AB a

2 3

.

1 1 3 3. . .

3 3 6 18S ABC ABC

a aV S SA a .

Câu 29: Chọn D

Gọi H là trung điểm của AC 3

;2

aBH AC BH .

Mà: BH AC

BH ACDBH AD

Hình chiếu của B xuống DAC là H .

Ta có: 0; ; 30BD DAC D BD DAC BD DH BDH .

Xét tam giác BHD có: 0

0

3tan30

2tan30

BH BH aHD

HD .




71

Xét tam giác DAH có: 2 2

2 2 2 292 2

4 4

a aDA DH AH a DA a .

Thể tích khối tứ diện ABCDV là:

2 21 3 6. 2. .

3 4 12ABCD

a aV a . Tỷ số

3 3

3

6 612

6

12

a a

V a .

Câu 30: Chọn A

Gọi O là giao điểm của AC và BD . Ta có: SC SAC .

Xét hai mặt phẳng SAC và ' 'AB D có: A là điểm chung thứ nhất.

Trong SBD có: ' 'SO B D I . Vậy ' ' ' ' 'SAC AB D AI SC AB D AI SC C .

Thể tích khôi chóp SABCD : 3 31 130.20 4000 cm

3 3SABCD ABCDV SA S .

Ta có: 2 2 2

2 2 2 2 2 2

30 9

1730 20 20

SC SA SA

SC SC SA AC

.

2 2 2

2 2 2 2 2

30 9

1330 20

SD SA SA

SD SD SA AD

.

32 9 9 81

4000 1466 cm2 17 13 221

SABC D SAC DSABCDSABC D

SABCD SACD

V V SA SC SDV V

V V SA SC SD

.

Câu 31: Chọn C

Gọi M là trung điểm của BC1 2

2 2

aAM BC .

221 1

2 4 2ABC

aS AM BC BC .

Ta có:

0; 45

SBC ABCD BC

AM BC SBC ABCD SMA

SA ABCD

.

Xét tam giác SAM có: 2

.tan2

aSA AM SMA AM .

Thể tích của khối chóp là: 2 31 1 2 2

3 3 2 2 12SABC ABC

a a aV SA S . Tỷ số:

3

6 2

2

V

a

Câu 32: Chọn A

Gọi I là trung điểm BC . Vì chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều và cạnh bên SAvuông góc

với mặt phẳng đáy nên SAI SBC theo giao tuyến SI . Kẻ ( )AH SI AH SBC




72

( ,( )) 3d A SBC AH . Giả sử 2 3AB x AI x .Trong tam giác vuông SAI có

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

9 3AH SA AI SA x

2

3

3

xSA

x

(Điều kiện 3;x )

3

. 2

1 3.

3 3S ABCD ABC

xV SAS

x

Xét hàm 3

2( ) / 0;3

3

xf x

x

có

42 2

2 22

2 32

3 3(2 9)3( )

33

xx x

x xxf xx

x

0

3( ) 0

2

3

2

x

f x x

x

. Lập bảng biến thiên suy ra GTNN của hàm số đạt tại 3

2x

Khi đó ta có 2 2 3

3

IH AI AHcos

AI AI

Câu 33: Chọn A

Vì M điểm trong của khối chóp cách đều tất cả các mặt của khối

chóp một đoạn bằng h nên M là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp,

bán kính mặt cầu là r h .

Mặt khác mặt cầu bán kính r nội tiếp hình chóp thì thể tích khối

chóp là:

1. .

3V S r trong đó S là tổng diện tích tất cà các mặt của hình chóp.

Ta có 2 2 2 28 6 10;AC AB BC

2 2 2 28 6 10SB AB SB

Vì ( )BC AB

BC SAB BC SBBC SA

ABC SAB SBC SACS S S S S

1 1 1 1. . . . . . . . 108

2 2 2 2AB BC SA AB SB BC SA AC

1 1 1. . . . .6.24 48

3 3 3ABCV S r SAS

3 3.48 4.

108 3

Vr h

S

Câu 34: Chọn C

Vì điểm M thuộc phần không gian bên trong của hình chóp và cách đều tất cả các mặt của khối

chóp nên M là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp, bán kính mặt cầu là r .

Theo câu 31 ta có 4

3r h .

.

1 1 1 4 32. . . .8.6. .

3 3 2 3 3M ABC ABCV S h




73

Câu 35: Chọn A

Vì ABC là tam giác vuông cân tại , 2 ,A AB a nên

2 2BC a

Gọi I là trung điểm BC suy ra 1

2.2

AI BC a

Khi đó .BC AI

BC SAIBC SA

Goi H là hình chiếu của A lên SI suy ra AH là khoảng

cách từ A đến mặt phẳng SBC .

4

3

aAH . Ta có

2 2

2 2 2 2 2

1 1 1 .4 .

AI AHSA a

AH AI SA AI AH

Mặt khác 21 1. 2 .2 2 .

2 2ABCS AB AC a a a

3

2

.

1 1 8. . .2 .4 .

3 3 3S ABC ABC

aV S SA a a

Câu 36: Chọn D

Kẻ / /Bx AC , ,( ) ,( )d AC SB d AC SBx d A SBx .

Dựng AI Bx tại I , AJ SI tại J 4

, ,( )3

ad AC SB d A SBx AJ .

Tam giác AIB vuông cân tại I 22

ABAI a .

Tam giác SAI vuông tại A2 2 2 2 2

1 1 1 .4

AI AJSA a

AJ SA AI AI AJ

.

Diện tích tam giác ABC là 21.2 .2 .sin45 2

2S a a a .

Thể tích V của khối chóp .S ABC là 3

21 4 2. 2.4

3 3

aV a a .

Câu 37: Chọn D

Kẻ / /Bx AC , ,( ) ,( )d AC SB d AC SBx d A SBx .




74

Dựng AH Bx tại H , AI SH tại I

, ,( ) 3d AC SB d A SBx AI .

Tam giác AHB vuông tại H

.sin 6.sinAH AB .

Tam giác SAH vuông tại A 2

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 4sin 1

9 36sin 36sinSA AI AH

.

2

6sin

4sin 1SA

.

Thể tích khối chóp 2

2 2

1 1 6sin 1 36sin. . . . .6.6.sin

3 3 24sin 1 4sin 1ABC

V SAS

.

Ta có 22

2

2 2 2

9 4sin 1 936sin 19 4sin 1 18

4sin 1 4sin 1 4sin 1V

.

min 18V xảy ra khi 2 2 14sin 1 1 sin

2

2cos

2 .

Câu 38: Chọn B

Thể tích khối chóp .S AMN nhỏ nhất Diện tích tam

giác AMN nhỏ nhất.

Gọi DM x , BN y 0 , 1x y .

Khi đó ta có tan tan

tan tan

DAM x

BAN y

.

tan tan

tan tan45 11 tan .tan 1

x y

xy

1 2x y xy xy (1).

Đặt 0 1t xy t . (1) 2 2 1 0 2 1 2 1t t t .

Kết hợp điều kiện 0 2 1t 0 3 2 2xy .

AMN ABCD ADM ABN CMNS S S S S

1 1 1 11 1 1 1 2 1

2 2 2 2x y x y xy

.

Vậy .

1 1 2 1. .

3 3 3S AMN AMN AMNV S SA S

2 1min

3V

.

Câu 39: Chọn A

D

B

A

C

S

M

N




75

Đặt ,DM x BN y với 0 , 1x y . Khi đó 2 21, 1AM x AN y .

Ta có .

1 1 1 1. . . . . .sin30 . .

3 3 2 12S AMN AMNV SAS AM AN AM AN

.

Ta có tan tantan60 tan

11 tan .tan

x yDAM BANDAM BAN

xyDAM BAN

Suy ra 33 1 1 3 3

1 3

xxy x y y x x y

x

.

Do đó

2 2 22

2

3 2 3 1 2 3 3 2 11

1 31 3

x x x x xAN y

xx

.

Suy ra

2

.

1 1. .

12 6 1 3S AMN

xV AM AN f x

x

.

22

2 2

12 . 1 3 3 11 3 2 3

3. 06 1 3 6 1 3 3

x x x x TMx xf x

x x x L

Suy ra

0;1

1 1Min

93f x f

.

Câu 40: Chọn C

Đặt ,DM x BN y với 0 , 1x y .

Khi đó 2 21, 1AM x AN y .

Ta có

.

1 1 1 3. . . . . .sin60 . .

3 3 2 12S AMN AMNV SAS AM AN AM AN

.

Ta có tan tantan30 tan

11 tan .tan

x yDAM BANDAM BAN

xyDAM BAN

Suy ra 1 3

1 33

xxy x y y

x

. Do đó

22 2 1

13

xAN y

x

.

Suy ra

2

.

3 13. .

12 6 3S AMN

xV AM AN f x

x

.

22

2 2

2 . 3 1 3 23 2 3 1. 0

6 3 23 6 1 3

x x x x TMx xf x

x Lx x

Suy ra

0;1

2 3 3Min 3 2

3f x f

.

Câu 41: Chọn D

D

B

A

C

S

M

N




76

Ta có tam giác ABC vuông cân tại B , 2AC nên 2AB BC .

. .

1 1 1. . . . . .

3 2 3MNBC M ABC N ABCV V V AM AB BC AN AB BC AM AN

2 2.

3 3AM AN , dấu bằng khi 1AM AN .

Câu 42: Chọn C

Gọi SA a , SB b , SC c . Ta thấy .

1

6S A B CV abc

.

Xét tứ diện SABC như hình vẽ. Gọi H là trung điểm của AB . Ta thấy 3CA CB , 2AB và

2 2 23 1 2 2CH C HB B . Vậy tam giác ABC là tam giác cân tại C , suy ra điểm I

thuộc vào đường cao CH của tam giác CAB , đồng thời 1

. 2 22ABC

S CH AB .

Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC ( r IH ). Ta có

2 2 2

23 3 2 2ABC

ABC

SIH r

p

. Từ đây

27.

. 7242 2

IK IH SC IHIK

SC CH CH

A

B

C

M

N




77

Gọi x , y , z lần lượt là khoảng cách từ I đến các mặt phẳng SAB , SBC , SAC . Dễ thấy

y z , 7

4x IK . Đồng thời

. . . .

1 1 1 12. 2. 7 . . .

6 3 3 3

7 1 7 1 14 1 14 3 2. .1 . . . .

3 3 4 3 2 3 2 8

S ABC I SAB I SAC I SBC SAB SBC SCAV V V V xS y S z S

y z y z

Xét tứ diện .S ABC , ta thấy . . . .S ABC I SAB I SAC I SBC

V V V V

1 1 1 1 1 1 1. . . 1

6 3 2 3 2 3 2

yx zabc x ab y bc z ca

a b c

Theo bất đẳng thức Cauchy cho 3 số, ta có

3243 7

3 27128

1yx z xyz

abc xyzabca b c

. Từ đó . 6

1

6

81 7

25S A B CV abc

Câu 43: Chọn A

Ta chứng minh được BC SAC , từ đó AK SC

AK SBC AK KHAK BC

.

Đồng thời

do

AH SBSB AHK

AK SB AK SBC

Vậy ta nhận thấy hình chóp .S AHK có SH AHK và tam giác AHK vuông tại K .

Gọi độ dài đoạn AC x (với 0 2x a vì tam giác ABC vuông tại C với 2AB a ). Xét tam

giác vuông cân SAB ta có đường cao 2AH SH a .

Trong tam giác vuông SAC ta có 2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

4 4

4x

AK AS AC a a xx

a

. Khi đó

2 2

2

4

ax

xAK

a

. Suy ra

2 22 22 2 2

2 2 2 2

2 442

4 4

aaH

xK AH a a

xAK

x xa a

Vậy thể tích

2 22 2

3

2 2 22 2. 2

2 42 41 1 1 1 2 2. . . 2. .

3 3 2 6 34 44S AHK AHK

x aaaxV SH S SH AK KH a a

xa

a a

xx

x xa

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2x và 2 24a x ta có




78

222 2

2 22 2

2 4 42 4

2 2x

x a x ax

xa

Từ đó suy ra

2 22 2 3

3 3

2 2 2 2.

2 42 2 4 2

3 3 64 2 4S AHK

xV

xx a a aa a

a ax x

.

Câu 44: Chọn C

Ta có tam giác ABC vuông tại B nên 21 1. .2 .2 2

2 2ABCS AB BC a a a .

Mặt khác theo giả thiết ta có 0, , 60 .SBC ABC SB AB SBA Do đó

0.tan60 2 3SA AB a . Nên 3

.

1 4 3. .

3 3S ABC ABC

aV SAS .

Ta có 3

. .

33

4S BCMN S ABCV V a .

Câu 45: Chọn A

Kẻ 0, , 60AH SB H SB AK SC K SC SB AHK AHK .

Ta có 2sin 2 sin , cos 2Rcos S 2 sin cosABC

AC AB R BC AB R .

Ta lại có 2 2

3 3 4sin 2 3

2

AKAHK AK AH

AH AK AH

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 2 sin3 4 .

4 sin 4 3 4sin

RSA

SA R SA R

Do đó 3 2 3

. 2

1 4 sin cos 6.

3 123 3 4sinS ABC ABC

R RV SAS

.

S

AC

B

M

N

S

A

C

B

K

H




79

Câu 46: Chọn A

Ta có ,SB ABC SBA .

Mặt khác ta có , .BD AD

BD SAD SB SAD BSDBD SA

Giả sử ( 0).BD x x Khi đó ta có sinsin

x xSB

SB

.

Mặt khác ta có cos sin

cos ,sin sin

AB x xAB SA

SB

.

Ta lại có 2

2 2 2 2

2 2 2

cos sin1

sin cos sin

aAB x a x a x

.

Do đó

3

. 2 22 2

1 1 sin sin sin sin. . . .

3 3 sin 3 cos sincos sinS ABC

x a aV SA AD BD a

.

Câu 47: Chọn A

Đặt AM x , AN y . Gọi O AC DB ; E BD CM ; F BD CN .

H là hình chiếu vuông góc của O trên SC , khi đó: CHO đồng dạng ASC

2

3

HO COHO

SA SC .

Ta có: BD SA

BD SACBD AC

Lại có: SC OH SC HE

SC HBDSC BD SC HF

.

S

AB

C

D

E

F

O

A D

B C

E

M

N

HK




80

Do đó góc giữa SCM và SCN bằng góc giữa HE và HF . Suy ra HE HF .

Mặt khác 1 1

. .2 2AMCN ACN ACM

S S S CB AM CD AN x y

.

1 2.

3 3S AMCN AMCNV SAS x y .

Ta có: 0x , 0y và nếu 2x , 2y thì gọi K là trung điểm của AM , khi

đó / /KO MC nên 2

4 2 4 2 4 4

OE KM x OE EB OB xOE

EB MB x x x x x

.

Tương tự: 2

4

yOF

y

. Mà

2 2 2

.34 4

xyOEOF OH

x y

2 2 12x y

Nếu 2x hoặc 2y thì ta cũng có 2. 2 2 12OEOF OH x y .

Tóm lại: 2 2 12x y 8 2

2

xy

x

, do 2y nên

8 22 1

2

xx

x

.

Do đó 2

.

1 2 2 8 2 2 8.

3 3 3 2 3 2S AMCD AMCN

x xV SAS x y x

x x

.

Xét 22 8

3 2

xf x

x

với 1;2x ,

2

2

2 4 8

3 2

x xf x

x

.

20 4 8 0 2 2 3f x x x x ; 2 2 3x (loại).

Lập BBT ta suy ra 0;2

max 1 2 2f x f f

.

Vậy . 2 2 2 2

1

2 1 1 1 1 5max 2

42

1

S AMCN

x

yV T

AM AN x yx

y

.

Câu 48: Chọn D

Thể tích khối tứ diện ABYZ là 1

.3 XYZ

V ABS

.

Do diện tích tam giác XYZ không đổi nên thể tích tứ diện ABYZ là nhỏ nhất khi AB ngắn nhất.

d

X

Y

Z

B

A

F




81

Dựng XF YZ , do YZ AB nên YZ ABF , suy ra

, , 90AYZ BYZ FA FB AFB .

Xét tam giác vuông ABF có FX là đường cao không đổi (DoXF là đường cao của XYZ cố

định) nên 2 .XF XAXB không đổi.

Có 2 . 2AB XA XB XA XB XF không đổi. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi XA XB .

Vậy thể tích khối tứ diện ABYZ nhỏ nhất khi X là trung điểm AB hayXA XB

Câu 49: Chọn A

Do 2 2 2AB AD BD ABD vuông tại A ; 2 2 2AC AD CD ACD vuông tại A .

Lại có 2 2 2 2 2 22 3 4 1

cos2. . 2.2.3 4

AB AC BCBAC

AB AC

Sử dụng công thức giải nhanh: Cho chóp .S ABC có SA a , SB b , SC c và ASB ,

BSC , ASC . Thể tích khối chóp .S ABC là:

2 2 2

.1 2 . .

6S ABC

abcV cos cos cos cos cos cos .

Áp dụng: Thể tích khối tứ diệnABCD là

2

2 22.3.4 1 11 cos 90 cos 90 2. .cos90 .cos90 15

6 4 4ABCDV

.

Câu 50: Chọn A

Ta có: 21 3

.MN.S .3 12MNBC ABC

aV MN

Gọi D là trung điểm cạnh BC ta có ( )BC AD BC DM

BC MDNBC MN BC DN

Do đó 2

0 2 3a, , 90 .

4MBC NBC DM DN DM DN AM AN AD

Khi đó theo bất đẳng thức AM – GM ta có:

2 . 3MN AM AN AM AN a

Vì vậy 2 2 33 3. . 3

12 12 4MNBC

a a aV MN a

Câu 51: Chọn D

A

B D

C

2 4

3




82

Ta có :

2 2

2 sin , 2

3 3

MBD NBD MBD NBDBDMN

S S MBD NBD S SV

BD a b

Trong đó 2 2BD a b

Và 0sin , sin90 1MBD NBD

Đặt ,AM x CN y

Ta có 0, , , 180MBD ABCD NBD ABCD MBD NBD

Do đó 0, , 90MBD ABCD NBD ABCD

sin , ,MBD ABCD cos NBD ABCD

2

2 2 2 2 2

1 1 1 4ABD ABD

MBD NBD MBD NBD ABD

S Sa

S S S S S a b

Theo định lý diện tích hình chiếu ta có , ABD

MBD

Scos MBD ABCD

S và

, ABD

NBD

Scos NBD ABCD

S . Theo BĐT AM- GM ta có:

2 2

2 2 2 2 2 2

4 1 1 1 1 2 12 . .

. 2MBD NBD

MBD NBDMBD NBD MBD NBD

S S a bS Sa b S S S S

. Vậy 2 2

2 23BDMN

a bV

a b

Câu 52: Chọn A

Đặt SD h , ta có

2 2 02 . .cos60 3BD AD AB AB AD a

Suy ra 2 2 2 23SB SD BD h a

Ta có ; ;d B SAC d D SAC

và

2

2 2 2 2 2 22

1 1 1 1 1 7

; 4 3; DAC

AC

SD d D AC h S h ad D SAC

2 2

3;

3 7

ahd D SAC

a h

( Do

22 2 1 3 3

7 ; .2 .2 2 2DAC

aAC a S a a )

Do đó 2 2

2 2

3; 13 7sin SB; 3

43

ahd B SAC a hSAC h a

SB h a

Vậy 3

.S ABCDV a




83

DẠNG 4: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY

BÀI TẬP VẬN DỤNG.

Câu 1. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAD là tam giác đều và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. 3 3

2

aV . B.

3 3

6

aV . C.

3

12

aV . D.

3

4

aV .

Câu 2. Cho khối chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAD là tam giác vuông cân tại

S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. 3

6

aV . B.

3 2

3

aV . C.

3 2

6

aV . D.

3

2

aV .

Câu 3. Cho khối chóp .S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a , 3AD a , mặt bên SAD là tam

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. 3 3

3

aV . B.

3 3

2

aV C.

33 3

2

aV . D.

3 3

6

aV .

Câu 4. Cho khối chóp .S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a , 3AD a . Mặt bên SAD là tam

giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp

đã cho.

A. 3 3

2

aV . B.

3 3

2

aV . C.

33

2

aV . D.

3

2

aV .

Câu 5. Cho hình chóp tứ giác .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a . Tam giác SAD cân tại S

và mặt bên SAD vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp .S ABCD bằng 34

3a .

Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng SCD .

A. 2

3h a . B.

4

3h a . C.

8

3h a . D.

3

4h a .

Với các khối chóp có giả thiết mặt phẳng vuông góc với đáy ta sử dụng các định lý về gioa tuyến dưới

đây:

Hai mặt phẳng cùng vuông góc với đáy thì đoạn giao tuyến của chúng vuông góc với đáy. Tính chất

này dựa trên định lí về giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

Kí hiệu:

P R

Q R a R

P Q a

Mặt bên nào vuông góc với đáy thì đường cao của mặt bên đó vuông góc với đáy. Tính chất này dựa

trên định lý sau:

,

P Q

P Q a d Q

d P d a




84

Câu 6. Cho hình chóp .S ABCD có cạnh đáy là hình vuông cạnh bằng 2a . Tam giác SAD cân tại S và

mặt bên SAD vuông góc với đáy. Biết khoảng cách h từ B đến mặt phẳng SCD bằng 4a

3.

Tính thể tích của khối chóp .S ABCD .

A. 32a

3V . B.

3a

3V . C.

38a

3V . D.

34a

3V .

Câu 7. Cho hình chóp .S ABCD có cạnh đáy là hình vuông cạnh bằng a . Tam giác SAD cân tại S và mặt

bên SAD vuông góc với đáy, biết 3a

2SC . Tính thể tích của khối chóp .S ABCD .

A. 3a

3V . B.

3a

9V . C.

34a

9V . D.

32a

9V .

Câu 8. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình chữ nhật ; 3AB a AD a . Tam giác SAD cân tại S

và mặt bên SAD vuông góc với đáy, biết 2aSC . Tính thể tích của khối chóp .S ABCD .

A. 3a 3

6V . B.

33a 3

2V . C.

39a 3

2V . D.

3a 3

2V .

Câu 9. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thoi ; 3AC a BD a . Tam giác SAB là tam giác đều

và mặt bên SAB vuông góc với đáy. Tính thể tích của khối chóp .S ABCD .

A. 33a

4V . B.

3a

2V . C.

3a

4V . D.

33a

2V .

Câu 10. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thoi ; 3AC a BD a . Tam giác SAB là tam giác vuông

cân tại S và mặt bên SAB vuông góc với đáy. Tính thể tích của khối chóp .S ABCD .

A. 3a 3

4V . B.

3a 3

6V . C.

3a 3

12V . D.

3a 3

2V .

Câu 11. Trong các khối chóp .S ABCD có đáy là hình vuông, tam giác SAD cân tại S và mặt bên SAD

vuông góc với đáy, 2 3SC . Khối chóp có thể tích lớn nhất là

A. 4 10

5. B.

64

15. C.

4 10

15. D.

64

5.

Câu 12. Cho khối chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , tam giác SAB vuông cân tại , tam giác

SCD đều. Tính thể tích V của khối chóp .S ABCD .

A. 3 6

12

aV . B.

3 3

4

aV . C.

3 6

6

aV . D.

3 3

12

aV .

Câu 13. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , mặt bên SAB là tam giác cân tại S và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết 26

2

aSC , tính thể tích V của khối chóp

.S ABCD .

A. 32

3

aV . B. 34V a . C.

34

3

aV . D. 32V a .




85

Câu 14. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với 4, 6AB SC và mặt bên SAD

là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD . Thể tích

lớn nhất của khối chóp .S ABCD là

A. 40

3. B. 40 . C. 80 . D.

80

3.

Câu 15. Trong các khối chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, 2 3AB , tam giác SAB vuông

cân tại S , tam giác SCD đều. Khối chóp .S ABCD có thể tích lớn nhất bằng

A. 6 . B. 6 3 . C. 2 3 . D. 6 2 .

Câu 16. Cho khối chóp .S ABCD có đáy là hình chữ nhật, , 3AB a AD a . Gọi H là trung điểm của

cạnh AB , các mặt phẳng ,SHC SHD cùng vuông góc với đáy và SD tạo với đáy góc 60 .

Tính thể tích V của khối chóp .S ABCD .

A. 3 13

2

aV . B.

3 13

3

aV . C.

33 13

2

aV . D.

35 13

2

aV .

Câu 17. Cho khối chóp .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a , tam giác SAB cân tại S , mặt bên SAB

vuông góc với đáy và SC tạo với đáy góc 60 . Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. 3V a . B. 33V a . C. 33

3

aV . D.

3

3

aV .

Câu 18. Cho khối chóp .S ABC có SA SB AB AC a , 6

3

aSC và mặt phẳng SBC vuông góc

với ABC . Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. 3 14

36

a. B.

3 14

12

a. C.

3 21

36

a. D.

3 21

12

a.

Câu 19. Cho khối chóp .S ABC có SA SB AB AC a , SC x và mặt phẳng SBC vuông góc với

ABC . Tìm x để thể tích V của khối chóp đã cho lớn nhất.

A. 6

3

ax . B.

6

2

ax . C.

3

3

ax . D.

3

2

ax .

Câu 20. Cho khối chóp .S ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi và góc tạo bởi các mặt bên SAB ,

SBC , SCD , SDA và mặt đáy tương ứng là 90 ,60 ,60 ,60 . Biết tam giác SABvuông cân

tại S có AB a , chu vi tứ giác ABCD bằng 9a . Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. 3 3a . B.

3 3

3

a. C.

3 3

9

a. D.

3

3

a.

Câu 21. Cho khối tứ diện ABCD có tam giácABC đều, tam giácDBC là tam giác vuông cân tại D .

2AD a . Biết ABC vuông góc với mặt phẳng DBC . Thể tích V của khối tứ diệnABCD

A. 3 3

12

aV . B.

3 3V a . C. 33 3

4

aV . D.

3 3

3

aV .




86

Câu 22. Trong các khối tứ diện ABCD có tam giác ABC đều, tam giácDBC là tam giác cân tại D .

2AD a . Biết ABC vuông góc với mặt phẳng DBC . Khối tứ diện có thể tích lớn nhất là

A. 34 2

9

aV . B.

316

9

aV . C.

316

27

aV . D.

34 2

3

aV .

Câu 23. Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp .S ABC .

A. 33

8

aV . B.

3 3

2

aV . C.

3

8

aV . D.

3 3

6

aV .

Câu 24. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D . Gọi I là trung điểm

cạnh AD . Biết hai mặt phẳng SIB , SIC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD , góc

giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng 060 . Biết thể tích khối chóp .S ABCD bằng

3 15

40 và 1AB AD , CD x . Giá trị của x là

A. 2x . B. 1

4x . C. 4x . D.

1

2x .

Câu 25. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với 2AB a , 7AC a . Mặt bên

SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD , góc

giữa SC và mặt đáy ABCD bằng 060 . Tính tỉ số 3

V

a .

A. 3

4V

a . B.

32 2

V

a . C.

36

V

a . D.

312

V

a .

Câu 26. Cho hình chóp .S ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnh a . Mặt bên SAD là tam giác cân tại

S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD . Biết khoảng cách giữa hai

đường thẳng SD , AC bằng 4 33

33

a. Tính thể tích V của khối chóp .S ABCD .

A. 3

3

aV . B.

34

3

aV . C. 3V a . D.

32

3

aV .

Câu 27. Cho khối chóp .S ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A , B , 2AB AD a , BC a . Gọi

I là trung điểm cạnh AB , hai mặt phẳng SIC , SID cùng vuông góc với đáy, góc giữa SCD

và đáy bằng 60 . Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. 33 15

5

aV . B.

3 15

5

aV . C.

3 15

15

aV . D.

39 15

5

aV .

Câu 28. Cho khối chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh

AB , BC . Hai mặt phẳng SDM , SAN cùng vuông góc với đáy và SCD tạo với đáy một

góc 60 . Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. 37 3

10

aV . B.

34 3

15

aV . C.

37 3

30

aV . D.

34 3

5

aV .

Câu 29. Cho khối chóp .S ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A , B , 2AB AD a , BC a . Gọi

I là trung điểm cạnh AB , hai mặt phẳng SIC , SID cùng vuông góc với đáy, khoảng cách từ

I đến SCD bằng 4

3

a. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. 336V a . B. 318V a . C. 312a . D. 36a .




87

Câu 30. Cho hai mặt phẳng P , Q vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng . Trên lấy

hai điểm A , B với AB a . Trong mặt phẳng P lấy điểm C , trong mặt phẳng Q lấy điểm

D sao cho AC , BD cùng vuông góc với và AC BD AB . Tính thể tích khối tứ diện

ABCD

A. 3

6

aV . B.

3

2

aV . C.

3 3

12

aV . D.

3 2

12

aV .

Câu 31. Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC đều , tam giác ABD cân tại D , mặt phẳng ABD vuông

góc với mặt phẳng ABC , 2 3CD a . Tính độ dài AB khi khối tứ diện ABCD có thể tích lớn

nhất.

A. 2AB a . B. 2 6

3

aAB . C.

4 6

3

aAB . D. 2 3AB a .

Câu 32. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại , 3 , 4B BA a BC a . Mặt phẳng SBC

vuông góc với mặt phẳng ABC . Biết 2 3SB a và 30SBC .. Tính thể tích khối chóp .S ABC

.

A. 3 3V a . B. 3V a . C. 33 3V a . D. 32 3V a .

Câu 33. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 4 , tam giác SAB là tam giác đều nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh SD , CD

BC . Thể tích khối chóp .S ABPN là x , thể tích khối tứ diện CMNP là y . Giá trị x , y thỏa mãn

bất đẳng thức nào dưới đây?

A. 2 22 160x xy y . B.

2 22 2 109x xy y .

C. 2 4 145x xy y . D.

2 4 125x xy y .

Câu 34. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a , tam giác SAB là tam giác đều nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp .S ABCD .

A. 3 3

3

aV . B.

3 3

6

aV . C.

3

6

aV . D. 3 3V a .

Câu 35. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D ,

ABC BCD và AD hợp với BCD một góc 60 , AD a . Tính thể tích V của tứ diện

ABCD .

A. 3 3

9

aV . B.

3 3

3

aV . C.

3 3

24

aV . D.

3 3

9

aV .

Câu 36. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , cóBC a , mặt bên SAC vuông

góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với đáy một góc 045 . Tính thể tích V của khối chóp

.S ABC .

A. 3

12

aV . B.

3 3

9

aV . C.

3 3

12

aV . D.

3 3

3

aV .




88

Câu 37. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC đều cạnh a , tam giác SBC vuông cân tại S và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với ABC . Tính thể tích V của khối chóp .S ABC .

A. 3

9

aV . B.

3 3

9

aV . C.

3 3

36

aV . D.

3

16

aV .

Câu 38. Tứ diện ABCD có hai tam giác ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt

phẳng vuông góc với nhau, biết AD a . Tính thể tích V của khối tứ diện ABCD .

A. 3 6

9

a. B.

3 3

9

a. C.

3 3

36

a. D.

3 6

36

a.

Câu 39. Cho hình chóp .S ABC có o90BAC , o30ABC , SBC là tam giác đều cạnh a và

SBC ABC . Tính thể V của khối chóp .S ABC .

A. 3

6

aV . B.

3

16

aV . C.

3

3

aV . D.

3

9

aV .

Câu 40. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, gọi M là trung điểm của AB . Tam giác

SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD , biết 2 5SD a , SC tạo

với đáy ABCD một góc o60 . Tính theo a thể tích của khối chóp .S ABCD .

A. 34 15

3

aV . B.

3 15

3

aV . C.

34

3

aV . D.

3

3

aV .

Câu 41. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại , , 3.A AB a BC a Mặt bên SAB

là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích của khối chóp .S ABC .

A. 32 6

.3

a B.

36.

4

a C.

36.

6

a D.

36.

12

a

Câu 42. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình chữ nhật 2AB a , AD a . Tam giác SAD cân tại S và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy lên mặt phẳng ABCD , SB hợp với đáy một góc

45o . Tính theo a thể tích V của khối chóp .S ABCD .

A. 3 17

3

aV . B.

3 17

6

aV . C.

3 17

9

aV . D.

3 17

3

aV .

Câu 43. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a . SAB là tam giác vuông cân tại S

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa cạnh SC và mặt phẳng ABCD bằng 60

, cạnh AC a . Tính theo a thể tích V của khối chóp .S ABCD .

A. 3 3

4

aV . B.

3 3

2

aV . C.

3 3

3

aV . D.

3 3

9

aV .

Câu 44. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh .a Mặt bên SAB là tam giác vuông tại S và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Hình chiếu vuông góc của S trên đường thẳng AB là

điểm H thuộc đoạnAB sao cho 2 .BH AH Tính thể tích V của khối chóp . .S ABCD

A. 33

3

aV B.

32

3

aV C.

3 2

9

aV D.

33

9

aV

Câu 45. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thoi, SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với

đáy. Biết 2 , 4AC a BD a . Tính theo a thể tích khối chóp .S ABCD .




89

A. 3 3

15

a. B.

3 15

3

a. C.

32 15

3

a. D.

3 15

2

a.

Câu 46. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , 3 , 4BA a BC a . Mặt phẳng

SBC vuông góc với mặt phẳng ABC . Biết 2 3SB a và 30SBC . Tính thể tích của khối

chóp .S ABC .

A. 3V a . B. 3 3V a . C. 32 3V a . D. 32V a .

Câu 47. Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông tại A , , 2AB a AC a . Mặt phẳng SBC

vuông góc với đáy, hai mặt phẳng SAB và SAC cùng tạo với mặt phẳng đáy góc 60 . Tính

thể tích V của khối chóp .S ABC theo a .

A. 3 3

3

aV . B.

32 3

9

aV . C.

3 3

9

aV . D.

34 3

9

aV .

Câu 48. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a , 2 ,SD a SA SB a và mặt phẳng

SBD vuông góc với mặt phẳng ABCD . Tính theo a thể tích V của khối chóp .S ABCD

A. 3 2

4

aV . B.

3 2

6

aV . C.

3 2

2

aV . D.

3 2

8

aV .

Câu 49. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông 2a , , 3SA a SB a và mặt phẳng SBA

vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC . Tính theo a

thể tích khối chóp .BMNDS

A. 3 3

3

aV . B.

3

3

aV . C.

3 2

2

aV . D.

3 2

3

aV .

Câu 50. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SAC cân tại S . 060SBC Mặt

phẳng SAC vuông góc ABC . Tính theo a thể tích khối chóp .ABCS

A. 3

8

aV . B.

33 2

8

aV . C.

3 2

6

aV . D.

3 2

8

aV .

Câu 51. Cho hình chóp .S ABC có SAC ABC , SAB là tam giác đều cạnh 3, 3a BC a , đường

thẳng SC tạo với đáy góc 60 . Thể tích khối chóp .S ABC bằng:

A.

3 3

3

a. B. 32 6a . C.

3 6

2

a. D.

3 6

6

a.

Câu 52. Cho khối chóp .S ABCD có đáy là một tứ giác lồi, 1, 13 , 17BC CD DA . Tam giác SAB

đều cạnh bằng 1 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ S đến đường thẳng

, ,BC CD DA lần lượt bằng 1;2; 5 . Thể tích khối chóp .S ABCD bằng

A. 31 3

12. B.

4 3

3. C.

31 3

24. D.

2 3

3.




90

Câu 53. Cho khối chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 1, tam giác ,SAB SCD là các tam giác

cân đỉnh S . Khoảng cách từ S đến các đường thẳng ,AB CD lần lượt bằng 1; 3 . Tính thể tích

khối chóp .S ABCD

A. 3

3. B.

4 3

3. C.

2 3

3. D.

3 3

4.

Câu 54. Cho khối chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA SB , SC SD . Biết

SAB SCD và tổng diện tích của hai tam giác ,SAB SCD bằng 27

10

a. Tính thể tích V của

khối chóp .S ABCD

A. 34

75

a. B.

34

15

a. C.

34

25

a. D.

312

25

a.

Câu 55. Cho khối chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , tam giác ,SAB SCD là các tam giác cân

đỉnh S . Góc giữa hai mặt phẳng ,SAB SCD là 60 và tổng diện tích của hai tam giác SAB ,

SCD bằng 23

4

a. Tính thể tích V của khối chóp .S ABCD .

A. 35

72

a. B.

35 3

24

a. C.

35 3

72

a. D.

35

24

a.

Câu 56. Cho hai tam giác đều ABC và ABD có độ dài cạnh bằng 1 và nằm trong hai mặt phẳng vuông

góc. Gọi S là điểm đối xứng của B qua đường thẳngDE . Tính thể tích của khối đa diệnABDSC .

A. 3

4V . B.

3

8. C.

1

2. D.

1

4.

Câu 57. Cho khối chóp S.ABC có các mặt phẳng , ,SAB SBC SCA lần lượt tạo với đáy các góc

0 0 090 ,60 ,60 . Biết tam giác SABvuông cân tại , 2 ,S AB a chu vi tam giác ABC bằng 10a . Tính

thể tích khối chóp .S ABC .

A.

35 3

9

a. B.

34 3

3

a. C.

35 3

3

a. D.

34 3

9

a.

Câu 58. Cho khối chóp .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, các mặt bên , ,SBC SCA SAB lần lượt

tạo với đáy các góc 090 ; ; sao cho 090 . Thể tích khối chóp .S ABC có giá trị lớn nhất

bằng

A. 33

16

a. B.

3

8

a. C.

33

8

a. D.

3

16

a.

Câu 59. Cho khối chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông tại , 1, 2A AB AC . Các mặt bên

, ,SBC SCA SAB lần lượt tạo với đáy các góc 90 ; ; sao cho 90 . Thể tích khối

chóp .S ABC có giá trị lớn nhất bằng

A. 2

2. B.

2

3. C.

2 2

3. D.

2

6.

Câu 60. Cho khối tứ diện ABCD có 1, 2AB AC AD BD CD . Hai mặt phẳng ABC và

BCD vuông góc với nhau. Tính thể tích V của khối tứ diện ABCD .

A. 2

4V . B.

2

6V . C.

2

12V . D.

2

2V .




91

BẢNG ĐÁP ÁN

1.B 2.A 3.B 4.D 5.B 6.D 7.A 8.D 9.C 10.C

11.B 12.C 13.C 14.D 15.A 16.A 17.B 18.A 19.B 20.C

21.D 22.C 23.C 24.D 25.B 26.D 27.A 28.B 29.C 30.A

31.C 32.D 33.C 34.B 35.C 36.A 37.C 38.D 39.B 40.A

41.D 42.A 43.A 44.C 45.C 46.C 47.B 48.B 49.A 50.D

51.D 52.C 53.A 54.A 55.C 56.D 57.D 58.D 59.D 60.D


Câu 1. Chọn B

Gọi H là trung điểm AD3

2

aSH .

Ta có

SAD ABCD

SAD ABCD AD

SH AD

SH ABCD .

Vậy

3

.

1 3. .

3 6S ABCD ABCD

aV S SH

Câu 2. Chọn A

Gọi H là trung điểm AD2 2

AD aSH .

Ta có

SAD ABCD

SAD ABCD AD

SH AD

SH ABCD .

Vậy 3

.

1. .

3 6S ABCD ABCD

aV S SH

Câu 3. Chọn B


2

aSH . Ta có

SAD ABCD

SAD ABCD AD

SH AD

SH ABCD .




92

Vậy

3

.

1 1 3 3. . . . 3.

3 3 2 2S ABCD ABCD

a aV S SH a a .

Câu 4. Chọn D


2 2

AD aSH .

Ta có

SAD ABCD

SAD ABCD AD

SH AD

SH ABCD . Vậy

3

.

1 1 3. . . . 3.

3 3 2 2S ABCD ABCD

a aV S SH a a .

Câu 5. Chọn B

Gọi H là trung điểm AD .

Ta có

SAD ABCD

SAD ABCD AD

SH AD

SH ABCD .

Lại có .

1. .

3S ABCD ABCDV S SH

.3

2S ABCD

ABCD

VSH a

S .

Kẻ HK SD tại K , khi đó ta chứng minh được HK SCD nên ;HK d H SCD .

2 2 2

1 1 1

HK HD HS

2

3

aHK . Ta có //AB SCD nên ; ;d B SCD d A SCD .

AH SCD D nên

;2

;

d A SCD AD

HDd H SCD . Vậy

4; 2 ;

3

ad B SCD d H SCD .

Câu 6. Chọn D

Gọi H là trung điểm của AD SH ABCD .

Ta có

2 2

2 . 4a2d 2 2a

3A B H

SH HDd d HK SH

SH HD

.

Vậy, thể tích của khối chóp 31 4a

.3 3SABCD ABCD

V SH S .




93

Câu 7. Chọn A

Diện tích đáy 2

ABCDS a và

2 2h SC HC a .

Vậy, thể tích của khối chóp 31 a

.3 3SABCD ABCD

V hS .

Câu 8. Chọn D

Diện tích đáy 2 3

ABCDS a và 2 2 3a

2h SC HC .

Vậy, thể tích của khối chóp

31 a 3.

3 2SABCD ABCDV hS .

Câu 9. Chọn C

Diện tích đáy

2. 3

2 2ABCD

ACBD aS và

22

2 2

BDACAB a

.

Do đó: 3 3

2 2

AB ah . Vậy, thể tích của khối chóp

31 a.

3 4SABCD ABCDV hS .

Câu 10. Chọn C

Diện tích đáy

2. 3

2 2ABCD

ACBD aS và

22

2 2

BDACAB a

.

Do đó: 2 2

AB ah

Vậy, thể tích của khối chóp

31 a 3.

3 12SABCD ABCDV hS .

Câu 11. Chọn B

Đặt AB x , Gọi H là trung điểm cạnh AD , ta có SH ABCD .

Ta có 2

2 2 2 2 2 2 5, 12

4

xS x h SC HC SC HD CD .




94

Vì vậy 2

21 1 5 4 10 6412

3 3 4 5 15

xV Sh f x x f

.

Câu 12. Chọn C

Ta có 22S a . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của ,AB CD ta có

;//

SM AB SM CDSM CD SMN CD SMN ABCD

AB CD SN CD

.

Gọi H là chân đường cao hạ từ S xuống MN ta có SH ABCD .

Mặt khác 2 2 22 6

, 2 ,2 2

a aSM MN a SN SM SN MN SM SN .

Vì vậy 2 2 2 2

1 1 1 8 6

43

ah

h SM SN a . Vậy

31 6

3 6

aV Sh .

Câu 13. Chọn C

Gọi H là trung điểm cạnh AB , ta có SH ABCD và theo Pitago ta có

2 2 2SH SC HC a . Vậy 31 4

.3 3ABCD

aV S SH .

Câu 14. Chọn D




95

Đặt AD x , gọi H là trung điểm cạnh AD , ta có SH ABCD .

Khi đó 2 2

2 2 2 216 204 4

x xHC HD DC SH SC HC .

Vì vậy 2 2 2 22 2 80 801 1 80

.4 . 203 3 4 3 3 3

x x x xxV Sh x

.

Dấu bằng xảy ra khi 2 280 2 10x x x .

Câu 15. Chọn A

Đặt AD x , gọi ,M N lần lượt là trung điểm của ,AB CD ta có

//

SM AB

SN CD CD SMN ABCD SMN

AB CD

.

Gọi H là chân đường cao hạ từ S xuống MN ta có SH ABCD .

Trong tam giác SMN ta có 1 3

3, 3,2 2

CDSM AB SN MN AD x .

Do đó 4 22 24 36

2SMNS x x

h SHMN x

.

Ta có

4 2

4 2 3 24 361 2 3 24 36. 2 3 6

3 3 2 3

x xx x xV Sh f x f

x

Câu 16. Chọn A

Ta có 2. 3

ABCDS AB AD a .

Do các mặt phẳng ,SHC SHD cùng vuông góc với đáy nên SH ABCD , suy ra góc giữa

SD và ABCD là 60SDH .

H

D

BC

A

S




96

Ta có 2

22 2 13

32 2

a aHD AH AD a

,

39tan60

2

aSH HD

Vậy

32

.

1 1 39 13. . 3

3 3 2 2S ABCD ABCD

a aV SH S a .

Câu 17. Chọn B

Do tam giác ABC đều cạnh 2a nên 2 23

2 34ABC

S a a .

Gọi H là trung điểm của AB , do tam giác SAB cân tại S nên

SH AB .

Mặt khác, vì SAB ABC nên SH ABC , suy ra góc

giữa SC và ABC là 60SCH .

Vì tam giác ABC đều cạnh 2a nên

3 tan60 3CH a SH SH a .

Vậy 2 3

.

1 1. 3 . 3 3

3 3S ABCD ABCV SAS a a a .

Câu 18. Chọn A

Gọi H là trung điểm cạnh BC AH BC .

Mà ABC SBC AH SBC .

Mặt khác, AS AB AC H là tâm đường tròn ngoại

tiếp SBC SBC vuông tại S .

Khi đó,

21 6.

2 6SBC

aS SBSC ;

2 2 15

3

aBC SB SC ;

2 2 7

12AH AB BH a .

Vậy thể tích khối chóp .S ABC là

2 31 1 7 6 14. . .

3 3 12 6 36SBC

a aV AH S a .

Câu 19. Chọn B

Gọi H là trung điểm cạnh BC AH BC .

Mà ABC SBC AH SBC .

Mặt khác, AS AB AC H là tâm đường tròn ngoại tiếp SBC SBC vuông tại S .

H

B

C

S

A

HA B

C

S

H

B

C

S

A




97

Khi đó, 1

.2 2SBC

axS SBSC ; 2 2 2 2BC SB SC a x ;

2 2 2 22 2 2 3

4 2

a x a xAH AB BH a

.

Suy ra thể tích khối chóp .S ABC là 2 2 2 21 1 3 3

. . .3 3 2 2 12SBC

ax a x ax a xV AH S

.

Ta có 2 2 2 2

2 2 2 2 2 3 33 3

2 2

x a x ax a x x a x

3

8

aV .

Dấu “=” xảy ra khi 2 2 2 6

32

ax a x x .

Câu 20. Chọn C

Gọi H là trung điểm cạnh AB SH AB .

Mà SAB ABCD SH ABCD và 2 2

AB ah SH . Ta có

HBC HCD HDAS S S S

1

. . .2BC HK CD HT DAHI

( với , ,K T I lần lượt là hình chiếu của H trên các đường thẳng , ,BC CD DA ).

1

. .cot602BC CD DA h

21 1 2 39 . .

2 2 33

a aa a .

Vậy

2 31 1 2 3 3. . .

3 3 3 2 9

a a aV S h .

Câu 21. Chọn D

Gọi E là trung điểm của BC . Ta có DE BC DE ABC .

H

A

B

S

C

D




98

Đặt 1 3

;2 2 2

x xBC x DE CB AE ; Ta có

2 2 2 2AE DE AD x a

2

32 . 31 1 3. .

3 3 4 3ABC

a aV S DE a .

Câu 22. Chọn C

Gọi E là trung điểm của BC . Ta có DE BC DE ABC .

Đặt 3

2

xBC x AE ;

22 2 2 3

44

xDE AD AE a

2 2

2 22 2 3

2

3 33. . 16 3

1 1 3 3 162 2. . . 43 3 4 4 36 27ABC

x xa x

x x aV S DE a

.

Dấu bằng xảy ra khi 4 2

3

ax .

Câu 23. Chọn C

Gọi E là trung điểm của AB . Ta có SE AB SE ABC .

2 31 1 3 3. . . .

3 3 4 2 8SABC SBC

a a aV S SE .

Câu 24. Chọn D

Ta có

SIB ABCD

SIC ABCD SI ABCD

SIB SIC SI

Gọi H là hình chiếu I lên BC IH BC . Ta có BC SIH BC SH

; ; 60SBC ABCD IH SH SHI ; 2 21 1 2 2BC x x x

1 1

.2 2ABCD

xS AB CD AD

;

1;

4 4IAB ICD

xS S

1

4IBC ABCD IAB ICD

xS S S S

2

2 1

2 2 2

IBCS x

IHBC x x




99

Ta có

2

3 1.tan60

2 2 2

xSI IH

x x

. Vậy

2

2

3 11 3 15. .

3 4012 2 2ABCD

xV SI S

x x

1

2x .

Câu 25. Chọn B

Gọi H là trung điểm của AB SH AB

Ta có

SAB ABCD AB

SAB ABCD

SH AB

SH ABCD

Ta có ; ; 60SC ABCD SC HC SCH

Ta có 2 2 3BC AC AB a , 2 2 2HC BC HB a

Ta có .tan60 a 6SH HC ; 2. 2 . 3 2 3

ABCDS AB BC a a a

.

1.

3S ABCD ABCDV V SH S 21

.a 6.2 33

a32 2a

32 2

V

a .

Câu 26. Chọn D

Gọi H là trung điểm AD ta có: SH ABCD . Dựng hình bình hành ACDE ta có:

, ; ; 2 ; 2d AC SD d AC SDE d A SDE d H SDE HK

Và 2 2

. 4 332 2.

33

HF SH aHK

HF SH

vì //HF DO và

1 2

2 4

aHF DO . Do đó 2SH a

Vì vậy 3

21 1 2. .2 .

3 3 3ABCD

aV SH S a a .

O

F

E

HC

A

D

B

S




100

Câu 27. Chọn A

Ta có 2. 32

BC ADS AB a

và SI ABCD .

Kẻ IH CD H CD 60SHI và

.tan60 3h IH IH .

Tam giác ICD có 22 IBC IADICDS S SS

IHCD CD

3 3 15

55

a ah .

Vậy

3. 3 15

3 5

S h aV .

Câu 28. Chọn B

Ta có: 2dt ABCD a . Gọi H DM AN SH SDM SAN SH ABCD .

Kẻ HE CD E CD 60SEH . Ta cũng có AN DM .

Ta có: 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 5

2

AH AM AD a aa

5

aAH ,

5

2

aAN

2

5

AH

AN .

và 2 2

5 5

DE AH aDE DC

DC AN .

Ta có: 2

2 2 2 2

5 5

a aDH AD AH a

2 22 2 4 4 4

5 25 5

a a aHE DH DE .

Vì vậy 4 3

.tan605

ah SH HE . Vậy

1. .

3V SH dt ABCD

21 4 3.

3 5

aa

34 3

15

a .

EH

N

MC

A

B

D

S

C

I

A

B

D

S

H




101

Câu 29. Chọn C

Ta có: 2. 32

AD BCdt ABCD AB a

.

Kẻ IH CD H CD , IK SH K HS IK SCD ,

1

4

3

aIK d .

Ta có

22 22 3

2 22 3

5 5

IAB IADICD

aa a

S S SS aIH

CD CD a

.

Do đó 2 2 2 2 2 2

1

1 1 1 1 1 112

1444 3

3 5

h ah d IH aa a

. Do đó 31. 12

3V h dt ABCD a .

Câu 30. Chọn A

Theo giả thuyết ta có ABD vuông tại B . Có CA AB CA ABD .

Do đó 3

1. .. 2

3 3 6ABD

a a aS CA aV .

Câu 31. Chọn C

Đặt AB x , gọi H là trung điểm của AB , ta có

DH ABC và 2 2 2 23

124

h CD CH a x .

Vậy

2 2 2 2 221 3 3 16 4 6

12 ( )3 3 4 4 8 3

Sh x x x a x aV a f x f

.

C

A

B

D




102

Dấu bằng đạt tại 4 6

3

ax .

Câu 32. Chọn D

Kẻ SH vuông góc với BC suy ra SH ABC .

Có .sin 3SH SB SBC a và 21. 6

2ABCS BA BC a

.

Suy ra 31. 2 3

3SABC ABCV S SH a

.

Câu 33. Chọn C

Gọi H là trung điểm của cạnh AB . Do SAB đều và SAB ABCD SH ABCD .

Ta có SAB đều và cạnh bằng 4 2 3SH .

Có 2 . .10

2 2ABPN ABCD AND CPN

ADDN CNCPS S S S AB .

Thể tích khối chóp .S ABPN là 1 20 3

.3 3ABPN ABPN

V SH S 20 3

3x .

Ta có M là trung điểm của SD 1 1

, , 32 2

d M ABCD d S ABCD SH .

Thể tích khối tứ diện MCPN là

1 1 .CP 2 3

, , .3 3 2 3MCPN CPN

CNV d M ABCD S d M ABCD

2 3

3y .

Câu 34. Chọn B

Gọi H là trung điểm của cạnh AB . Do SAB đều và SAB ABCD SH ABCD .

Ta có SAB đều và cạnh bằng a 3

2

aSH . Có 2 2

ABCDS AB a .




103

Thể tích khối chóp .S ABCD là

31 3.

3 6ABCD ABCD

aV SH S .

Câu 35. Chọn C

Gọi H là trung điểm của cạnh BC . Do ABC đều và ABC BCD AH BCD .

Ta có HD là hình chiếu của AD lên BCD , , 60AD BCD AD HD ADH .

Có 3

.sin2

aAH AD ADH , .cos

2

aHD AD ADH .

Mà BCD vuông cân tại D nên 2BC DH a .

Thể tích khối tứ diện ABCD là

31 1 . 3. .

3 3 2 24ABCD BCD

BC DH aV AH S AH .

Câu 36. Chọn A

Kẻ SH AC vì SAC ABC SH ABC

Gọi ,I J lần lượt là hình chiếu của H trên AB và BC suy ra ,SI AB SJ BC

Theo giả thiết 45SIH SIK . Ta có SHI SHJ HI HJ

Tứ giác HIBJ là hình thoi nên BH là đường phân giác của ABC suy ra H là trung điểm AC

2

aHI HJ SH

3

.

1. .

3 12S ABC ABC

aV S SH .

Câu 37. Chọn C

Gọi H là trung điểm BC SH BC .

Ta có

SBC ABC và SH BC SH ABC

2 3

.

1 1 3 3. . . .

3 3 4 2 24S ABC ABC

a a aV S SH .




104

Câu 38. Chọn D

Gọi H là trung điểm BC AH BC

Ta có ,ABC BCD AH BC AH BCD

Và ABC BCD AH DH

Do đó AHD vuông cân tại H 2

aAH

Mà 3 2 2

2 3 3

BC AH aAH BC

Do đó

23

.

1 2 3 6. . .

3 4 362 3S ABC

a a aV

.

Câu 39. Chọn B

Gọi H là trung điểm của BC . Vì SBC là tam giác đều cạnh a nên 3

2

aSH .Theo giả thiết ta

có SBC ABC nên SH ABC .

Ta có BC a nên o 3

.cos302

aAB BC , o.sin30

2

aAC BC .

Suy ra

21 1 3 3. . . .

2 2 2 2 8ABC

a a aS AB AC . Do đó

2 3

.

1 1 3 3. . . .

3 3 2 8 16S ABC ABC

a a aV SH S .

Câu 40. Chọn A

Theo giả thiết ta có SM ABCD .

o; ; 60SC ABCD SC MC SCM .

Trong tam giác vuông SMC và SMD ta có:

2 2 o.tan60SM SD MD MC mà ABCD là hình vuông

nên MC MD .

2 2 23 5 15SD MC MC MC a SM a .




105

Lại có 2 2

2 2 5

2 4

AB BCMC BC

22 4ABCD

BC a S a .

Vậy

3

.

1 4 15.

3 3S ABCD ABCD

aV SM S .

Câu 41. Chọn D

Do tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng

vuông góc với mặt phẳng đáy nên chiều cao của hình

chóp là 3

2

ah .

Tam giác ABC vuông tại A

2 2 2 ,AB BC AC a

21 2.

2 2ABC

aS AB AC

3

.

1 6.

3 12S ABC ABC

aV h S .

Câu 42. Chọn A.

Gọi E trung điểm của AD . Khi đó SE ABCD

1.

3 ABCDV S SE , 22

ABCDS a ; EB là hình chiếu của SB lên mặt phẳng ABCD

, 45 .oSB ABCD SBE SE BE ;

2

2 2 2 174

2 2

a aBE AE AB a

.

17

2

aSE .

Vậy

321 17 17

. .23 2 3

a aV a .

Câu 43. Chọn A

Gọi I là trung điểm của đoạn AB

Suy ra,

SI ABmà SAB ABCD SI ABCD

Nên 3; 60 ,

2

aSCI SC ABCD CI .

Suy ra, 3

.tan602

aSI CI

A H

S

C

B




106

Gọi M là trung điểm của đoạn BC , N là trung điểm của đoạn BM .

3 3

2 4

a aAM IN

Ta có

2 2 3

.

3 1 3 3 32

2 3 2 2 4ABCD ABC S ABCD

a a a aS S V

.

Câu 44. Chọn C

2 .

ABCDS a

( ) ( )

( ) ( ) ( ).

SAB ABCD

SAB ABCD AB SH ABCD

SH AB

Xét tam giácSABvuông tại S cóSH là đường cao.

2 2 21 2. 2 2. .

9 3

aSH BH AH AH a SH

Thể tích của khối chóp 3

21 1 2 2. : = . . . .

3 3 3 9ABCD

a aS ABCD V SAS a

Câu 45. Chọn C.

Ta có 2.4

2ABCD

AC BDS a . Gọi H là trung điểm AB . Ta có SAB đều SH AB

Do SAB ABCD SH ABCD ; 2 2 5AB AO BO a

3 15

2 2

AB aSH . 2

.

1 1 15. .4 .

3 3 2S ABCD ABCD

aV SH S a

32 15

3

a .




107

Câu 46. Chọn C

Gọi H là hình chiếu của S trên BC .

Vì SBC ABC theo giao tuyến BC SH ABC .

Ta có :

3

.

1.sin60 3 . . 2 3

3S ABC ABCSH SB a V SH S a

.

Câu 47. Chọn B

Kẻ SH BC SH ABC .

Kẻ ,HE AB HF AC , ta có: 60SEH SFH và

. ot60 cot60HE SH c h , . ot60 cot60HF SH c h

Diện tích đáy bằng 21. .

2S AB AC a .

Mặt khác :

1 1

. . . .cot60 2 . .cot602 2HAB HAC

S S S ABHE AC HF a h a h .

Vậy 32 2 1 2 3

. .2 3 93

3 3

S a ah V S h

a a

. Chọn B.

Câu 48. Chọn B

AS AB AD SO BO DO hay SBD vuông tại S

Ta có AO BO

AO SBDAO SO

22 2 2 2 2 2 2 3

2 3;4 2

a aBD SD SB a a a AO AB BO a

31 1 1 1 2. . . . . . . 2

3 3 2 6 2 12ASBD SBD

a aV AOS AO SBSD a a . Suy ra

3

.

22

6S ABCD ASBD

aV V .

B C

A

S

H

C

A

S

B

FE

H




108

Câu 49. Chọn A

Kẻ SH AB H AB

Mà SAB ABCD nên SH ABCD

2 2 2AB SA SB SAB vuông tại H .

. 3

2

SASB aSH

AB

2 214 2. .2 2

2BMND ABCD AMD NCDS S S S a a a a

Vậy thể tích khối chóp .BMNDS

32

.

1 1 3 3. . .2

3 3 2 3S BMND BMND

a aV SH S a .

Câu 50. Chọn D

Gọi H là trung điểm AC : SH ABC vì

SAC ABC . Giả sử 0SH x x

Ta có 2

2 2 2 2

4

aSC SH HC x ;

22 2 2 2 3

4

aSB SH HB x

Áp dụng định lý cosin trong tam giác SBC

2 2 2

2 2 22 2 2 2

2. . .cos

3 3 6

4 4 4 2

SC SB BC SB BC SBC

a a a ax x a x a x

Vậy 2 3

.

1 1 6 3 2. . . .

3 3 2 4 8S ABC ABC

a a aV SH S .

Câu 51. Chọn D

Có 3BA BS BC a nên hình chiếu vuông góc H của B lên ABC là tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác ASC . Mặt khác BA BC

HBAC SAC

là trung điểm cạnh AC .

600

HA C

S

B




109

Do đó tam giác ASC vuông tại S . Và cũng có 60 ,SCA SC ABC .

Vậy có 1

cot60 3 .3

SC AS a a ,

2

2

2 2 2

1 3.

2 22

3 22

SAC

aS SASC

AC aAC

BH BA a a a

. Vậy 2 31 3 6

. . 23 2 6

a aV a .

Câu 52. Chọn C

Gọi H là trung điểm AB SH ABCD và

3

2h SH .

Kẻ , ,HK BC HT CD HI DA ta có

, ,SK BC ST CD SI DA và theo giả thiết có

1; 2; 5SK ST SI .

Vì vậy theo pitago cho các tam giác vuông

, ,SHK SHT SHI ta có:

2 2 3 11

4 2HK SK SH . 2 2 3 17

54 2

HI SI SH .

Vì vậy, diện tích đáy của hình chóp là:

1

. . .2HBC HCD HDA

S S S S HK BC HT CD HI DA 1 1 13 17 31

.1 . 13 . 172 2 2 2 4

.

Vậy thể thích khối chóp: .

1 1 3 31 31 3. .

3 3 2 4 24S ABCD ABCDV SH S .

Câu 53. Chọn A

Gọi ,M N lần lượt là trung điểm các cạnh ,AB CD ta có

NM

C

AD

B H

S

H

A D

BC

S

I

T

K




110

//

SM AB

SN CD CD SMN SMN ABCD

CD AB

.

Vì vậy, kẻ SH MN H MN ta có SH ABC .

Tam giác SMN có , 1SM d S AB ; , 3 , 1SN d S CD MN .

Do đó

32.2 2 3

1SMNS

SHMN

. Vậy 1 3

.3 3ABCD

V SH S .

Câu 54. Chọn A

Gọi ,M N lần lượt là trung điểm các cạnh ,AB CD ta có

//

SM AB

SN CD CD SMN SMN ABCD

CD AB

.

Vì SAB SCD nên tam giác SMN vuông tại S .

Diện tích tam giác SAB là 1

2SABS AB SM .

Diện tích tam giác SCD là 1

2SCDS CD SN .

Theo đề ta có 2 2

21 1 7 7 49

2 2 10 5 25

a a aAB SM CD SN SM SN SM SN .

Mặt khác, vì tam giác SMN vuông tại S nên

2

22 2 2 2 2 2 2 122

25

aSM SN MN SM SN a SM SN SM SN a SM SN .

Kẻ SH MN H MN ta có SH ABC , do đó 12

25

SM SN aSH

MN

.

Suy ra thể tích 3

2

.

1 1 12 12

3 3 25 75S ABCD ABCD

a aV SH S a .

Câu 55. Chọn C

NM

C

AD

B H

S




111

Gọi ,M N lần lượt là trung điểm các cạnh ,AB CD , khi đó góc giữa hai mặt phẳng SAB và

SCD là góc giữa SM và SN , suy ra , 60SM SN .

Kẻ SH MN H MN ta có SH ABC , do đó sin60SM SN

SHMN

* .

Diện tích tam giác SAB là 1

2SABS AB SM .

Diện tích tam giác SCD là 1

2SCDS CD SN .

Theo đề ta có 2 2

21 1 3 3 9

2 2 4 2 4

a a aAB SM CD SN SM SN SM SN .

Theo định lý cosin trong tam giác SMN , ta có

22 2 2 2 cos 2 1 cosMN SM SN SM SN MSN SM SN SM SN MSN

2 2

2 1 cos

SM SN MNSM SN

MSN

.

Xét các trường hợp:

Trường hợp 60MSN , khi đó 2 25 5

1218 1

2

a aSM SN

.

Thay vào * ta có sin120 5 3

24

SM SN aSH

MN

Suy ra thể tích 3

2

.

1 1 5 3 5 3


a aV SH S a .

Trường hợp 120MSN , khi đó 2 25 5

418 1

2

a aSM SN

(vô lý vì 3

2 52

aSM SN SM SN ).

Câu 56. Chọn D

NM

C

AD

B H

S




112

Gọi , ,I HI H lần lượt là trung điểm của , . , .CD ABCD AB

Ta có . .

1 3, , .

3 4ABDSC S ABD S ABCV V V d S ABD d S ABC

Trong đó. 3

, 2 , ,2

d S ABD d I ABD d C ABD CH

và 3

, 2 , , .2

d S ABC d I ABC d D ABC DH

Vậy . .

1 3 3 3.

3 4 2

1

42ABDSC S ABD S ABCV V V

Câu 57. Chọn D

Gọi H là trung điểm cạnh AB SH AB SH ABC Và .2

ABSH a

Kẻ 0( ) ( ), 60HM BC M BC HN CA N CA SMH SNH

0 360

3

aHM HN SHcot . Ta có

1 3 3 4 3

. . 10 22 6 6 3ABC HAC HBC

a a aS S S HM BC HNCA BC CA a a

Vậy34 3

4 9

Sh aV .

Câu 58. Chọn D

.




113

Kẻ SH BC SH ABC và , ,HM AB HN CA SNH SMH

Ta có 23 1

. .4 2 2HAB HCA

a aS S ABHM AC HN SHcot SHcot

Do đó

3 3 3 3.

2 442 .SH

cot cot cot tan cot tan

090 .tan cot Vậy 2 31 3

.3 4 16

a aV SH

Câu 59. Chọn D

Tam giác ABC vuông tại 1

. 12ABC

A S AB AC

.

Gọi SH H BC là đường cao của SBC , theo giả thiết SBC ABC SH ABC .

Gọi ,M N lần lượt là hình chiếu của S trên ,AB AC

,

,

SMH SAB ABC

SNH SAC ABC

SMH

SNH

.

Ta có: 1 1

. . . .2 2ABC AHB AHC

S S S HM AB HN AC

1

. .cot 2. .cot2SH SH

Do đó: 2 2 2 2

cot 2.cot 2.cot tan 22 2.cot .tanSH

(Vì 90 nên cot tan )

Vậy .

1 1 2 2. . . .1

3 3 2 6S ABC ABCV SH S

.

Câu 60. Chọn D

B A

C

S

HN

M




114

Gọi H là trung điểm cạnh BC .

ABC cân tại A AH BC mà ABC BCD AH BCD .

Lại có AB AC AD nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD BCD vuông tại D .

Xét 2 2: 3BCD BC BD CD

Xét AHC vuông tại

2

2 2 2 1

2 2

BCH AH AC CH AC

.

Vậy 1 1 1 1 1 2

. . . . . . . .1. 23 3 2 6 2 12ABCD BCD

V AH S AH DBDC .

H

B D

C

A




115

DẠNG 5: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP ĐỀU

Câu 1: Thể tích V của khối tứ diện đều có cạnh bằng a

A. 33

12

aV . B.

32

12

aV . C.

33

4

aV . D.

32

4

aV .

Câu 2: Cho khối chóp tam giác đều .S ABC có cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60

Tính thể tích V khối chóp đã cho.

A.

3 3

48

aV . B.

3 3

8

aV . C.

3 3

24

aV . D.

3 3

16

aV .

Câu 3: Trong tất cả các hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng 3a , khối chóp có thể tích lớn nhất là

A.

3 3

2

a. B.

3 2

4

aV . C.

3 6

2

aV . D.

3 2

2

aV

Câu 4: Thể tích V của khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên gấp đôi cạnh đáy

A. 311

12

aV . B.

313

12

aV . C.

311

4

aV . D.

313

4

aV .

Câu 5: Cho khối chóp tam giác đều .S ABC có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

60Tính thể tích V khối chóp đã cho.

A.

3 3

12

aV . B.

3 3

4

aV . C.

3 3

36

aV . D.

3 3

6

aV .

Câu 6: Khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng 2 3a và thể tích bằng 34 3a . Tính chiều cao h của

khối chóp đã cho.

A. 3h a . B. 4 3

3

ah . C. 2h a . D.

4 3

9

ah .

Câu 7: Trong tất cả các khối chóp tam giác đều .S ABC có khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC

bằng 3a , khối chóp có thể tích nhỏ nhất là?

A. 33

2

a. B.

3 3

6

a. C.

33 3

2

a. D.

3 3

4

a.

Câu 8: Khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 2 3a và thể tích bằng 34a . Tính chiều cao h của khối

chóp đã cho.

A. 4 3h a . B. 4 3

3

ah . C. 4h a . D.

2 3

9

ah .

Câu 9: Cho khối chóp tam giác đều .S ABC . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của các cạnh ,SB SC . Biết

mặt phẳng AMN vuông góc với mặt phẳng SBC , diện tích tam giác AMN bằng 210a . Tính

thể tích V của khối chóp đã cho.

A. 38 5

3

a. B.

38 5

9

a. C. 38 5a . D.

38 5

27

a.

Câu 10: Thể tích V của khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a .

A. 32

3

aV . B.

32

6

aV . C. 32a . D.

32

2

aV .




116

Câu 11: Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên có độ dài gấp đôi cạnh

đáy.

A. 32

2

aV . B.

32

6

aV . C.

314

2

aV . D.

314

6

aV .

Câu 12: Cho khối chóp tam giác đều .S ABC có cạnh đáy bằng a . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm các

cạnh ,SB SC . Biết mặt phẳng AMN vuông góc với mặt phẳng SBC . Tính thể tích V của khối

chóp đã cho.

A. 3 5

24

a. B.

3 15

24

a. C.

3 5

8

a. D.

3 15

8

a.

Câu 13: Thể tích V của khối bát diện đều có cạnh bằng a .

A. 32

6

a. B.

32

3

a. C.

32

2

a. D.

32

4

a.

Câu 14: Tính thể tích V của khối tứ diện đều ABCD , biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD bằng

6 .

A. 5 3V . B. 9 3

2V . C.

27 3

2V . D. 27 3V .

Câu 15: Một viên đá hình dạng khối tứ diện đều cạnh bằng a . Người ta cắt viên đá bởi mặt phẳng song

song với một mặt của khối tứ diện để chia viên đá thành 2 phần có thể tích bằng nhau. Tính độ

dài cạnh x của phần cắt ra có hình dạng khối tứ diện đều.

A. 3 2

ax . B.

3 2

ax . C.

3 2

ax . D.

3 2

ax .

Câu 16: Một viên đá hình dạng khối tứ diện đều cạnh bằng a . Người ta cắt viên đá bởi mặt phẳng song

song với một mặt của khối tứ diện để chia viên đá thành 2 phần có thể tích bằng nhau. Tính diện

tích thiết diện S của mặt cắt.

A. 23

16

aS . B.

23

8

aS . C.

2

3

3

4 4

aS . D.

2

3

3

4 2

aS .

Câu 17: Một viên đá hình dạng khối tứ diện đều cạnh bằng a . Người ta cắt viên đá bởi các mặt phẳng song

song với mặt của khối tứ diện để chia viên đá thành 5 phần, trong đó có 4 phần là các khối tứ

diện bằng nhau, tổng thể tích của 4 khối tứ diện này bằng một nửa thể tích của viên đá ban đầu.

Tính độ dài cạnh của 4 khối tứ diện đó.

A. 2

ax . B.

3 2

ax . C.

4

ax . D.

3 4

ax .

Câu 18: Cho khối tứ diện đều ABCDcó cạnh bằng a . Gọi , , ,M N P Q lần lượt là trọng tâm các mặt của

khối tứ diện đã cho. Tính thể tích V của khối tứ diện MNPQ .

A. 32

12

a. B.

32

108

a. C.

32

324

a. D.

32

81

a.

Câu 19: Cho khối tứ diện đều ABCD có chiều cao h . Từ ba đỉnh , ,A B D của tứ diện người ta cắt ba khối

tứ diện đều có cùng chiều cao h . Biết rằng thể tích của khối đa diện còn lại bằng một nửa thể tích

của khối đa diện ban đầu. Mệnh đề nào dưới đây đúng?




117

A. 3

hh . B.

3 6

hh . C.

2 2

hh . D.

3 3

hh .

Câu 20: Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 060

Gọi ' ' '; ;A B C lần lượt là các điểm đối xướng với ; ;A B C qua S . Tính thể tích của khối bát diện có

các mặt là ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '; ; ; ; ; ; ; ;ABC A BC ABC A BC ABC ABC BAC CA B

A. 32 3

3

aV . B. 32 3V a . C.

34 3

3

aV . D.

3 3

2

aV .

Câu 21: Tính thể tích V của khối chóp lục giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên gấp đôi cạnh đáy.

A. 3

2

aV . B.

3

4

aV . C.

39

2

aV . D.

33

2

aV .

Câu 22: Kim tự tháp Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công Nguyên. Kim tự tháp này

là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 147 m, cạnh đáy dài 230 m. Thể tích của khối chóp đó

là

A. 32592100 m . B.

37776300 m . C. 32592300 m . D.

33888150 m .

Câu 23: Một viên đá hình dạng khối chóp tứ giác đều tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a . Người ta khối

đá bởi mặt phẳng song song với đáy khối chóp để chia khối đá thành 2 phần có thể tích bằng

nhau. Tính diện tích S của mặt cắt.

A.

22

3

aS . B.

2

3 2

aS . C.

2

3 4

aS . D.

2

4

aS .

Câu 24: Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt đáy góc 60

A. 3 6

2

aV . B.

3 6

3

aV . C.

3 3

6

aV . D.

3 6

6

aV .

Câu 25: Thể tích V của khối chóp tứ giác đều có các cạnh đều bằng a

A. 36

2

a B.

32

6

a C.

32

2

a D.

36

6

a

Câu 26: Tính thể tích V của khối chóp lục giác đều .S ABCDEF có 3, 5AB SA .

A. 45 3V . B. 18 3V . C. 54 3V . D. 15 3V .

Câu 27: Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt đáy góc

60 .

A. 3 6

2

aV . B.

3 6

3

aV . C.

3

3

aV . D.

3 6

6

aV .

Câu 28: Khối tứ diện đều ABCD có thể tích V . Khối bát diện đều có các đỉnh là trung điểm các cạnh của

khối tứ diện đều có thể tích V . Tính tỉ số V

V

.

A. 1

2

V

V

. B.

1

8

V

V

. C.

5

8

V

V

. D.

1

4

V

V

.

Câu 29: Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và đường cao mặt bên

bằng 3a .




118

A. 3 2V a . B. 3 2

6

aV . C.

34 2

3

aV . D.

3 2

9

aV .

Câu 30: Người ta gọt một khối lập phương có thể tích V để được một khối bát diện đều (tức là khối có

các đỉnh là tâm các mặt của khối lập phương đó) có thể tích V . Tính tỷ số V

V

.

A. 1

4

V

V

. B.

1

6

V

V

. C.

1

8

V

V

. D.

1

12

V

V

.

Câu 31: Cho khối tứ diện đều ABCD . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , CD ,

DA . Biết tứ giác MNPQ có diện tích bằng 1 . Tính thể tích V của khối tứ diện đều đã cho.

A. 11

24V . B.

2 2

3V . C.

2

24V . D.

11

6V .

Câu 32: Một khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b , chiều cao h . Tính thể tích V của khối chóp tam

giác đều đã cho.

A. 2 23

4V b h h . B. 2 23

4V b h b .

C. 2 23

8V b h h . D. 2 23

8V b h b .

Câu 33: Trong tất cả các khối chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng 2 3a , khối chóp có thể tích lớn nhất là?

A. 332

3

a. B. 32 2a . C. 36 2a . D. 332a .

Câu 34: Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng 2 3 , tính độ dài cạnh đáy khi khối chóp có thể tích

lớn nhất.

A. 3 . B. 2 3 . C. 4 . D. 2 .

Câu 35: Trong tất cả các khối chóp tứ giác đều .S ABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng

2 3 . Khối chóp có thể tích nhỏ nhất là?

A. 18 . B. 54 . C. 9 . D. 27 .

Câu 36: Cho khối chóp tam giác đều .S ABC có tất cả các cạnh bằng 16 . Xét hình chữ nhật MNPQ nội

tiếp đáy ABC với ,M N BC , P AC , Q AB . Thể tích khối chóp .SMNPQ có giá trị lớn

nhất là?

A. 512 2

3. B.

512 6

3. C.

512 3

3. D.

512 3

2.

Câu 37: Cho khối chóp tam giác đều .S ABC có cạnh đáy bằng 2 . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của

,SB SC . Tính thể tích V của khối chóp biết CM BN .

A. 26

3. B. 26 . C.

26

6. D.

26

2.

Câu 38: Cho khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau là a và có thể tích 3 2

6

a. Tính chiều cao

h của khối chóp tứ giác đều đã cho.




119

A. 2

3

ah . B.

3

2

ah . C.

2

2

ah . D.

3

3

ah .

Câu 39: Cho khối chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm các

cạnh SC và SD . Biết mặt phẳng ABMN vuông góc với mặt phẳng SCD . Tính thể tích V

của khối chóp đã cho.

A. 3 2

6

aV . B.

3 3

3

aV . C.

3 2

3

aV . D.

3 3

6

aV .

Câu 40: Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm các cạnh SC và SD . Biết

mặt phẳng ABMN vuông góc với mặt phẳng SCD , diện tích tứ giác ABMN bằng 22 3a .

Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. 332

9

aV . B.

332

3

aV . C.

316 3

9

aV . D.

332 3

3

aV .

Câu 41: Trong các hình chóp tam giác đều có khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC là d . Khối

chóp có thể tích nhỏ nhất là?

A. 3d . B. 32 3

3

d. C.

3

3

d. D.

32 3

9

d.

Câu 42: Gọi 1 2,V V lần lượt là thể tích tứ diện đều cạnh a , khối bất diện đều cạnh a . Tính tỉ số 1

2

V

V.

A. 1

2

2V

V . B. 1

2

1

2

V

V . C. 1

2

4V

V . D. 1

2

1

4

V

V .

Câu 43: Cho khối chóp tam giác đều có chiều cao là 6a , khoảng cách giữa hai đường thẳng ,SA BC là a .

Thể tích V của khối chop là

A. 327 3

10

aV . B.

381 3

40

aV . C.

381 3

10

aV . D.

327 3

40

aV .

Câu 44: Cho tứ diện đều cạnh a . Gọi h là tổng khoảng cách từ một điểm trong của khối tứ diện lên các

mặt của nó. Tìm mệnh đề đúng.

A. 6

3

ah . B.

6

12

ah . C.

4 6

3

ah . D.

2 6

3

ah .

Câu 45: Cho khối bát diện đều cạnh a . Gọi h là tổng khoảng cách từ một điểm trong của khối tứ diện lên

các mặt của nó. Tìm mệnh đề đúng.

A. 6

6

ah . B.

6

12

ah . C.

4 6

3

ah . D.

2 6

3

ah .

Câu 46: Tìm Trong cách khối chóp tam giác đều .S ABC có cạnh bên là 2 3 , khối chóp có thể tích lớn

nhất là

A. 4 3

3. B.

2 6

3. C. 4 3 . D. 2 6 .




120

Câu 47: Trong cách khối chóp tam giác đều .S ABC có khoảng cách từ A đến SBC là 3 , khối chóp có

thể tích nhỏ nhất là

A. 3

8. B.

9

2. C.

3

2. D.

3 3

2.

Câu 48: Cho khối chóp tứ giác đều .S ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi ', ', ',D'A B C lần lượt là các

điểm đối xứng của , , ,DA B C qua S . Tính thể tích V của khối đa diện có sáu mặt

, ' ' ' ' , , , ,ABCD A B C D BCAD ADB C CDB A ABD C .

A. 32 2V a . B. 32V a . C. 34 2

3

aV . D.

38 2

3

aV .

Câu 49: Một khối bát diện dều cạnh a. Ngoại tiếp bát diện đều bởi một khối lập phương sao cho các đỉnh

của khối bát diện đều là tâm các mặt của khối lập phương. Tính thể tích khối lập phương.

A. 32 2

3

aV . B. 32 2V a . C. 34 2V a . D.

34 2

3

aV .

Câu 50: Cho khối tứ diện đều H có cạnh bằng 1. Qua mỗi cạnh của H dựng một mặt phẳng không

chứa các điểm trong của H và tạo với hai mặt phẳng của H đi qua cạnh đó những góc bằng

nhau. Các mặt phẳng như thế giới hạn một đa giác H . Tính thể tích của H .

A. 2

4. B.

2

6. C.

2

3. D.

2 2

3

Câu 51: Khối tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 1. Khối lập phương có một mặt nằm trên mặt đáy của

khối chóp tứ giác đều và tất cả các cạnh còn lại của mặt đối diện nằm trên các mặt bên của khối

chóp tứ giác đều. Tính thể tích V của hình lập phương.

A. 5 2 7V . B. 6 3 10V . C. 5 2 7

3V

. D.

6 3 10

3V

.

Câu 52: Một khối tứ diện đều H có cạnh bằng 1. Khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng

nhau, có mặt đáy nằm trên một mặt của khối tứ diện H và tất cả các cạnh còn lại của mặt đối

diện nằm trên các mặt còn lại của khối tứ diện H . Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều

đó.

A. 27 2 22 3

6V

. B.

45 6 58 3

686V

.

C. 27 2 22 3

2V

. D.

9 6 22

2V

.

Câu 53: Từ một miếng tôn hình vuông cạnh 50 cm, người ta cắt đi bốn tam

giác cân bằng nhau MAN , NBP , PCQ , QDM sau đó gò các tam

giác cân ABN , BCP , CDQ , DAM sao cho các đỉnh M N , P , Q

trùng nhau để được khối chóp tứ giác đuuè. Khối chóp tứ giác đều có

thể tích lớn nhất là




121

A. 15625

6 cm3. B.

15625

2 cm3. C.

4000 10

3 cm3. D.

4000 10

9 cm3.

Câu 54: Cho khối chóp tam giác đều .S ABC có độ dài cạnh đáy bằng a , mặt phẳng chứa BC và vuông

góc với SA cắt khối chóp theo một thiết diện có diện tích bằng 2

4

a. Tính thể tích V của khối

chóp đã cho.

A. 32

24

aV . B.

32

12

aV . C.

3

36

aV . D.

3

72

aV .

Câu 55: Cho khối chóp tam giác đều .S ABC có góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng , khoảng cách từ A

đến mặt phẳng SBC bằng 3 . Tính tan , khi thể tích khối chóp .S ABC đạt giá trị nhỏ nhất.

A. 1

tan3

. B. 1

tan2

. C. tan 2 . D. tan 3 .

Câu 56: Từ một tấm tôn hình vuông có cạnh bằng 1 3 , người ta cắt tấm tôn theo các tam giác cân bằng

nhau , , , MAN NBP PCQ QDM sau đó gò các tam giác cân , , , ABN BCP CDQ DAM sao cho

các đỉnh , , , M N P Q trùng nhau để được khối chóp tứ giác đều. Biết góc ở đỉnh của tam giác

cân bị cắt đi là 0150 . Tính thể tích V khối chóp tứ giác đều tạo thành.

A. 3 6 5 2

24V

. B.

2

3V . C.

5 2 3 3

24V

. D.

2

9V .

Câu 57: Từ một tấm tôn hình vuông có cạnh bằng a , người ta cắt đi bốn tam giác cân bằng nhau

, , , MAN NBP PCQ QDM sau đó gò các tam giác cân , , , ABN BCP CDQ DAM sao cho các

đỉnh , , , M N P Q trùng nhau để được khối chóp tứ giác đều. Khối chóp tứ giác đều có thể tích

lớn nhất là?

A. 3

48

a. B.

3

16

a. C.

34 10

375

a. D.

34 10

125

a.

Câu 58: Một khối chóp tứ giác đều .S ABCD có m là tan góc giữa cạnh bên và mặt đáy. Người ta tăng

cạnh hình vuông mặt đáy gấp đôi nhưng muốn giữ nguyên thể tích khối chóp nên đã thay đổi đồng

thời chiều cao cho phù hợp. Hỏi giá trị của m thay đổi như thế nào?

A. Giảm 2 lần. B. Tăng 2 lần. C. Giảm 8 lần. D. Tăng 8 lần.

Câu 59: Khối tứ diện đều H có cạnh bằng 1 . Khối lăng trụ tam giác đều có mặt đáy nằm trên một mặt

của khối tứ diện H và tất cả các cạnh còn lại của mặt đáy đối diện nằm trên các mặt còn lại của

khối tứ diện H . Tính thể tích lớn nhất của khối lăng trụ tam giác đều đó.

A. 2

27. B.

2

48. C.

2

18. D.

2

16.

Câu 60: Khối tứ diện đều H có tất cả các cạnh bằng 1 . Khối hộp chữ nhật H có một mặt nằm trên

mặt đáy của H và tất cả các cạnh còn lại của mặt đáy đối diện nằm trên các mặt bên của H

Tìm thể tích lớn nhất của H .

A. 5 2 7 . B. 2 2

27. C.

4 2

27. D.

2

27.




122

BẢNG ĐÁP ÁN

1.B 2. C 3. A 4. A 5. A 6.C 7. A 8. B 9. A 10.B

11. D 12.A. 13.B. 14.D. 15.D. 16.C 17.A. 18.C 19.B 20.A

21.D 22.A 23.C 24.C. 25.B 26.B 27.D 28.A 29.C 30.B

31.B 32.A 33.A 34.B 35.A 36.A 37.A 38.C 39.D 40.A

41.C 42.D 43.D 44.A 45.C 46.C 47.B 48.B 49.B 50.A

51.A 52.C 53.C 54.A 55.A 56.B 57.C 58.C 59.A 60.B


Câu 1: Chọn B

Gọi H là tâm của tam giác đều ABC . Ta có SH ABC và 2 2 3 3

3 3 2 3BH AE a a .

2 2 6

3SH SB BH a .

2 31 1 6 3 2. .

3 3 3 4 12SABC ABCV SH S a a a .

Câu 2: Chọn C

Ta có ; 60SBC ABC SHG 3

.tan60 . 36 2

a aSG GH .

Vậy 2 3

.

1 1 3 3. . . .

3 3 4 2 24S ABC ABC

a a aV S SG .




123

Câu 3: Chọn A

Xét hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh bên 3SA a , cạnh đáy AB x .

Ta có 2 2 2SA SG AG 2

233

xSG a

2 29

3

a x .

Do đó 2 2 21 3 9

. .3 4 3

x a xV

2 2 21

. 912x a x .

Xét hàm số 2 2 29f x x a x trên 0;3a .

3

2 2

2 22 9

9

xf x x a x

a x

2 3

2 2

18 3

9

a x x

a x

.

0

06

xf x

x a

.

0 3 0f f a , 36 6 3f a a .

Vậy thể tích khối chóp lớn nhất là 3

31 3.6 3

12 2

aV a .

Câu 4: Chọn A

Gọi H là tâm của tam giác đều ABC . Ta có SH ABC và 2 2 3 3

3 3 2 3BH AE a a .




124

2 2 33

3SH SB BH a .

2 31 1 33 3 11. .

3 3 3 4 12SABC ABCV SH S a a a .

Câu 5: Chọn A

Ta có ; 60SA ABC SAG 3

.tan60 . 33

aSG AH a .

Vậy 2 3

.

1 1 3 3. . . .

3 3 4 12S ABC ABC

a aV S SG a .

Câu 6: Chọn C

Gọi x là độ dài các cạnh đáy của tam giác ABC . Diện tích tam giác ABC là 23

4

xB .

32 3

2

1 3 48. 48

3

V aV Bh h h x a

B x (1).

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC SG ABC SGA vuông tại G ,3

3

xAG

2

2 2 2 2 2 2 212 3 123

xh SG SA AG a h x a h (2).

Từ (1) và (2) 3 2 316 12 0 2a a h h h a .

Câu 7: Chọn A

A

B

C

S

G




125

Cách 1: Gọi I là trung điểm của BC . Khi đó , 3d A SBC AH a

Gọi cạnh của tam giác đều ABC là 3 3

0 ;2 3

x xx x AI AO OB .

Tam giác SOI đồng dạng với tam giác AHI nên IO IS

IH IA mà 2 23

34

IH x a

2

2 2

.

2 3 12

IO IA xSI

IH x a

.

Xét tam giác SOI vuông tại O ta có:

4 2 2 22 2

2 2 2 2 2 2

3

364 3 12 3 12 3 12

x x x a xaSO SI OI

x a x a x a

.

Vậy thể tích khối chóp 2

2 2

1 1 3. . .

3 3 43 12ABC

xa xV SOS

x a

.

Xét hàm số 2

2

1 3( ) . .

3 43 12

x xf x

x

trên khoảng 2;4 ta có

5 3min (x) ( )

2 2f f .

Vậy khối chóp có thể tích nhỏ nhất là 3 3

2

a

Cách 2: Gọi là góc tạo bởi mặt bên và đáy ABC .

Gọi O là tâm tam giác ABC .

Gọi I là trung điểm của BCgóc SAI bằng .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SI AH SBC

A;d SBC AH .

Xét tam giác vuông AHI ta có : 3 2

sinsin sin

AH a aAI BC

AI

.

Suy ra 1 3

3 3sin

aOI AI

;

3.tan

3cos

aSO OI

nên suy ra

3

. 3

1 1 3 1 2 3 1. . . . . .

3 3 3cos 2 sin sin 3 cos cosS ABCD ABC

a a a aV SOS

Để 3

mincos cos , ;

2V f o

đạt giá trị lớn nhất.

Đặt 3 2cos 0;1 1 3 0t t f t t t f t t

O

A C

B

S

I

H




126

3

3t . Suy ra

3 2 3max

3 9f t f

.Vậy 3

3

min

9 3.

3 22 3

aV a .

Câu 8: Chọn B

Diện tích tam giác đáy là 2

0 21. 2 3 .sin60 3 3

2B a a .

Ta có: 31 3 12 4 3

3 33 3

V a aV Bh h

B a .

Câu 9: Chọn A

Gọi H là tâm của tam giác ABC SH ABC

Gọi I là trung điểm của BC . Gọi J MN SI ,

Giả sử AB x . Theo giả thiết AJ SI và J là trung

điểm của SI nên tam giác SAI cân tại A

3

2

xSB SA AI

Tam giác SBI vuông tại I

2 2

2 2 3 2

2 2 2

x x xSI SB BI

Ta có

22 22 3 10

;2 2 2 8 4

x SI x x xMN AJ AI

21 1 10. . . . 10 4

2 2 4 2AMN

x xS JA MN a x a

Tam giác SAH vuông tại H 2

22 2 4 2 15

2 333

a aSH SA AH a

2

34 31 1 2 15 8 5. . . .

3 3 3 4 3ABC

aa aV SH S .

Câu 10: Chọn B

Giả sử .S ABCD là khối chóp tứ giác đều, O là tâm của hình vuông ABCD .

Khi đó: 2

ABCDS a ,

23

2 2 2 2

.

2 2 1 1 2 2

2 2 3 3 2 6ABCD

a a a ah SO SA AO a V S h a

.

Câu 11: Chọn D

Giả sử .S ABCD là khối chóp tứ giác đều, O là tâm của hình vuông ABCD .

Khi đó:2

ABCDS a ,




127

2

322 2 2

.

2 14 1 1 14 142

2 2 3 3 2 6ABCD

a a a ah SO SA AO a V S h a

.

Câu 12: Chọn A

Gọi H là tâm của tam giác ABC SH ABC

Gọi I là trung điểm của BC 3

2

aAI

Gọi J MN SI , Theo giả thiết AJ SI và J là

trung điểm của SI nên tam giác SAI cân tại AKhi đó,

3

2

aSA IA .

Tam giác SAH vuông tại H

2 2

2 2 3 15

2 63

a a aSH SA AH

2 31 1 15 3 5. . . .

3 3 6 4 24ABC

a a aV SH S .

Câu 13: Chọn B

Giả sử SABCDE là khối bát diện đều có cạnh bằng a và O là tâm của hình vuông ABCD .

Khi đó: 2

ABCDS a ,

2

322 2 2

. .

2 2 1 1 2 2

2 2 3 3 2 6S ABCD ABCD

a a a aSO SA AO a V S SO a

.

3 3

. D

2 22. 2.

6 3SABCDE S ABC

a aV V .

Câu 14: Chọn D

Giả sử ABCD là khối tứ diện đều cạnh a và có khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD

bằng 6 , O là tâm của tam giác BCD .

Ta có

2

2 2 2 3 66 3 6

3 3

a ah AO AB BO a a

2

2 3 6 31 1 3 1. . . . .6 27 3

3 3 4 3 4BCD

aV S AO AO .

Câu 15: Chọn D




128

Thể tích viên đá ban đầu là 32

12

aV .

Phần cắt ra có hình dạng khối tứ diện đều cạnh bằng x có thể tích 32

12

xV .

Theo giả thiết, ta có 2

VV

3 32 2

12 24

x a

3 2

ax

Câu 16: Chọn C

Thể tích viên đá ban đầu là 32

12

aV .

Phần cắt ra có hình dạng khối tứ diện đều cạnh bằng x có 32

12

xV .


VV

3 32 2

12 24

x a

3 2

ax

Do đó diện tích mặt cắt là

22 2

3 3

3 3 3

4 4 2 4 4

x a aS

.

Câu 17: Chọn A

Gọi độ dài cạnh của 4 khối tứ diện nhỏ là x , thể tích của mỗi khối nhỏ này là 32

12

x.

Theo giả thiết ta có 3 32 1 2

412 2 12 2

x a ax

.

Câu 18: Chọn C

G

F

E

Q

P

N

M

a

C

a

a

D

B

A




129

Ta có 2 2 1

.3 3 2 3

aMN EF CB . Tương tự

6

aMQ QN NP MP QP .

Xét tứ diện ABCD :

22

23 2 3 6,

4 3 2 3BCD

a a aS h a

2 31 3 6 2

.3 4 3 12

a a aV

3

32

3 2

12 324MNPQ

a

aV

Câu 19: Chọn B

Gọi O là tâm của BCD AO BCD . Giả sử AB x .

Xét ABO có

2

2 2 3

3

xh x

22

3

x

6

2x h . Ta có

3 32 3

12 8ABCD

x hV .

Tương tự, thể tích 3 khối tứ diện đều chiều cao h và 33

38

hV

.


3

32 6 6

V h hV h h

Câu 20: Chọn A

Thể tích V của khối bát diện là 2 31 3 2 3

8 8 . . . 33 4 33

SABC

a a aV V

.

Câu 21: Chọn D

Ta có: 2 23 3 3

64 2

a aS

.




130

Độ dài chiều cao của khối chóp 2 22a 3h a a .

Khi đó, thể tích V của khối chóp lục giác đều là 2 31 1 3 3 3

. . 33 3 2 2

a aV S h a .

Câu 22: Chọn A

Đáy là hình vuông cạnh dài 230 m nên diện tích đáy là 2 2230 52900S m .

Thể tích khối chóp là 31 1. . .52900.147 2592100

3 3V S h m .

Câu 23: Chọn C

Ta có SO ABCD

Xét SOD có 2 2 2SO SD OD 2

2 2

2 2

a aa

2

2

aSO .

.ABCD

1. .

3S ABCDV V SOS 31 2

.3 2

a 32

6a .

Phần cắt ra có hình dạng khối chóp tứ giác đều .SMNPQ có tất cả các cạnh bằng x có thể tích

32

6

xV . Ta có

3 32 2

2 6 12

VV x a

3 2

ax . Diện tích S của mặt cắt là

2

3 4

aS .

Câu 24: Chọn C

Xét khối chóp tứ giác đều S.ABCD, gọi O là tâm giao điểm AC và BD, M là trung điểm của AB. Ta có

SO ABCD . Góc tạo bởi mặt bên (SAB) và mặt đáy là 60SMO .

Ta có 3

.tan .tan602 2

a aSO MO SAC .

Thể tích khối chóp S.ABCD là

321 1 3 3

. . . .3 3 2 6ABCD

a aV S SO a .

TYPS: Gọi là góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy, ta có 3

tan6

aV .

MO

C

A D

B

A




131

Câu 25: Chọn B

Xét khối chóp tứ giác đều .S ABCD có AB a

, SA a .

Gọi O AC BD , ta có SO ABCD .

2 2SO SA OA

2

2 2

2

aa

2

2

a .

Thể tích của khối chóp .S ABCD là

.

1. .

3S ABCD ABCDV S SO 21 2

. .3 2

aa

3 2

6

a .

Câu 26: Chọn B

Gọi O là tâm lục giác ABCDEF . Ta có: 2 2 2 2 4SA SA OA SA AB .

Thể tich khối chóp là 21 1 3

. . .4.6. .33 3 4ABCDEF

V SOV 18 3 .

Câu 27: Chọn D

Xét khối chóp tứ giác đều S.ABCD, gọi O là tâm giao điểm AC và BD. Ta có SO ABCD . Góc tạo

bởi cạnh bên SA và mặt đáy là 60SAO . Ta có 2 6

.tan .tan602 2

a aSO AO SAC . Thể tích

khối chóp S.ABCD là

321 1 6 6

. . . .3 3 2 6ABCD

a aV S SO a .

TYPS: Gọi là góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy, ta có 3 2

tan6

aV .

Câu 28: Chọn A

O

C

A D

B

A

a

a

O

CB

DA

S




132

Gọi độ dài cạnh của tứ diện đều là a , suy ra thể tích khối tứ diện đều 3 2

12

aV .

Ta có 1

2 2

aMQ AD là độ dài cạnh của bát diện đều. Suy ra

3

3. 2

2 2

3 24

a

aV

.

Vậy 1

2

V

V

.

Câu 29: Chọn C

Theo giả thiết ta có SBC đều và 3

3 . 22

SM a BC BC a . Mặt khác 1

2OM CD a nên

từ tam giác vuông 2

2 2 23 2SOM SO SM OM a a a .

Vậy thể tích khối chóp .S ABCD là 3

21 4 2. 2 . 2

3 3

aV a a .

Câu 30: Chọn B

Gọi cạnh hình lập phương là a . Suy ra thể tích khối lập phương là 3V a .

Ta có 1 1 2

. 22 2 2

aEJ A B a là cạnh của bát diện đều.

Suy ra thể tích

3

3

22

2

3 6

a

aV

nên ta có

1

6

V

V

.

Câu 31: Chọn B




133

Do ABCD là tứ diện đều nên MNPQ là hình vuông.

Do diện tích MNPQ bằng 1 nên 1MN Tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 2 .

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD ta có 1

.3

V AI dt BCD .

22 3

34

dt BCD ,

2

2 2 2 2. 3 22 6

3 3AI AB BI

.

Vậy thể tích của tứ diện ABCD là 1 2 6 2 2

33 3 3

V .

Câu 32: Chọn A

Giả sử hình chóp tam giác đều là .ABCD .

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD ta có 1

.3

V AI dt BCD .

2 2BI b h , mà 2 23

3 3 33

BI BC BC BI b h .

2 22 33

34 4

b hBCdt BCD

2 23

4V b h h

Câu 33: Chọn A

Gọi độ dài cạnh đáy là .S ABC , ta có 2S x và 2 2 22 24

2 32 2

x a xh a

.

Do đó

32 2 2 2

2 2 2 22 2 2 3

48 248 2 324 32

3 6 6 33 2

x x a xx x a xSh x a x a

V

.

Dấu bằng đạt tại 2 2 248 2 4x a x x a .

Câu 34: Chọn B

Q

P

M

N

B

C

D

A

I

P

B

C

D

A

I




134

Gọi cạnh đáy là 0x x khi đó chiều cao hình chóp 2

2 2 122

xSO SD OD . Thể tích khối

chóp 2

22 2 4 2

.

1 1 1 1. . . 12 . 24 144 12 2 2

3 3 2 3 2 3 2S ABCD ABCD

xV SOS x x x x .

Vậy thể tích khối chóp lớp nhất bằng 2 2 khi 2 12 0 2 3x x .

Câu 35: Chọn A

Gọi H là tâm mặt đáy và a là độ dài cạnh đáy. Ta có khoảng cách từ H đến mặt phẳng SBC là

32A

H

dd và

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 4

3

2

Hd h h aa

22

2 2

2

4 12

3 3

3

ha

h h

h

Do 2 3

2

4( )

3 3 3

Sh a h hV f h

h

.

Có

2

22

40( )

4( ) 0 3

3 3

3

( )

6x loai

hf h x

h i

h

x loa

Lập bảng biến thiên suy ra thể tích nhỏ nhất (3) 18f .

Câu 36: Chọn A




135

Ta có

2

2 2 16 3 16 616 .

3 2 3h

.

Đặt tan60 3MB NC x MQ NP x x , và 16 2MN BC MB NC x .

Do đó . 3 16 2S MN MQ x x .

16 6

3 16 2 . 32 8 2 512 233 3 3 3

x x x xShV

. Dấu bằng đạt được tại 4x .

Câu 37: Chọn A

Gọi ,O G lần lượt là trọng tâm của tam giác ,ABC SBC , I là trung điểm BC .

Đặt SA SB SC x .

Ta có: 2 2 2

2 2 24 4 4 8.

9 9 2 4 9

x x xCG BG BN

.

Tam giác BGC vuông tại G nên 2

2 2 2 82. 4 10

9

xGB GC BC x

.

2 2 2 3 2 3.

3 3 2 3AO AI ;

2

2 2 2 3 7810

3 3SO SA AO

.

22 33

4ABCS

suy ra 1 1 78 26

. . . 33 3 3 3ABC

V SOS

.

Câu 38: Chọn C

Ta có:

3

2

2 2

23.

1 3 26.3 2

aV a

V a h ha a

.

Câu 39: Chọn D

HI

A B

C

S

M

N

P

C

A BQ

G

N

M

OI

A C

B

S




136

Gọi , ,I J K lần lượt là trung điểm của các cạnh , ,AB MN CD và O là tâm hình vuông ABCD .

Ta có: J là trung điểm của MN và IK là hình chiếu của IJ trên mặt phẳng ABCD .

Mà IK CD IJ CD IJ MN .

Xét tam giác SIK có ,IJ SO là các đường trung tuyến đồng thời là các đường cao nên nó là tam giác

đều có cạnh 3

2

aIK BC a SO . Ta có:

32

.

1 3 3. .

3 2 6S ABCD

a aV a .

Câu 40: Chọn A

Gọi , ,I J K lần lượt là trung điểm của các cạnh , ,AB MN CD và O là tâm hình vuông ABCD .

Ta có: J là trung điểm của MN và IK là hình chiếu của IJ trên mặt phẳng ABCD .

Mà IK CD IJ CD IJ MN .

Xét tam giác SIK có ,IJ SO là các đường trung tuyến đồng thời là các đường cao nên nó là tam giác

đều có cạnh 3

02

xIK BC x x SO IJ .

Ta có: 2

2 21 1 3 3 3 4 3. 2 3 . 2 3

2 2 2 2 8 3ABMN

x x x aS AB MN IJ a x a x

23

.

4 3. 3

1 4 3 323. .3 3 2 9S ABCD

aa a

V

.

O

AD

B C

S

M

N

I

J

K

O

AD

B C

S

M

N

I

J

K




137

Câu 41: Chọn C

Gọi là trọng tâm ABC ta có SO ABC .

Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của ,BC AB .Ta có

BC SAM tại M .

Dựng MK SA tại K ta có: KM là đoạn vuông góc

chung của hai đường thẳng SA và BC và

,d SA BC MK d .

Đặt 0AB x x . Dựng OI SA tại

2 2

3 3

dI OI MK .

Ta có: 2 2 3 3

.3 3 2 3

x xOA AM .

Xét tam giác SOA vuông tại O có đường cao

2 2 2

1 1 1OI

OI OA OS

2 2 2 2 2 2

2 3.

. 2 . 3 2 33 334 3 3 4

3 9

d xOI OA d x d

OS xOA OI x d x d

Ta có: 2 3

. 2 2 2 2

1 3 2 3. .

3 4 3 3 4 6 3 4S ABC

x dx dxV

x d x d

.

Không mất tính tổng quát, đặt 1d , ta có 3

. 2

2 3,

36 3 4S ABC

xV f x x

x

.

Ta có:

2 2 32 2

2

2 32 2

63 .6 3 4 6 .

22 3 4 0 2

36 3 4 3 4

xx x x

x xxf x x

x x


Vậy .S ABCV nhỏ nhất bằng

3

3

d khi 2x d .

Cách 2: Đặt ,BC x SO h , ta có:

22

2 2 2 23 3 2, .

2 2 3 3

x x xAM SA SO OA h h

.

O

A C

B

S

MN

K

I




138

Do đó: 2 . .SAMS SO AM SAMK nên

2 2 2 2 22 2 23 3

2 3 4 3

xh x x h d xd h d h

22 2 2 23

4 3

dx h d h

(2

3

dh ) và

2 2 2 2 32

.2 2 2 2

12 3 3

129 4 9 4S ABC

d h x h d hx V

h d h d

.

Xem 1d , xét hàm số 2

2

3 2,

39 4

hf h h

h

, ta có:

31

3 3SABC

dV .

Dấu bằng đạt tại 2 3

3

dh .

Câu 42: Chọn D

Ta có:

23

2

1

1 3 3 2. .

3 4 3 12

a a aV a

và

23

2 2

2

1 2 22. . .

3 2 3

a aV a a

.

3

1

32

211242

3

aV

V a .

Câu 43: Chọn D

Dựng hình bình hành ACBD , ta có

3 3

, , , ,2 2

BC SAD d BC SA d BC SAD d H SAD d G SAD GK a .

Suy ra 2 2 2

2 1 1 1 3 3 5

3 102 5

a a aGK AG AB

AG KG SG .

Thể tích khối chop là 2 31 3 27 3

. .3 4 40

AB aV SG .

Câu 44: Chọn B

Ta có thể tích của khối tứ diện đều cạnh a là 3 2

12

aV , diện tích mỗi mặt là

2 3

4

aS .




139

Ta có

3

1 2 3 4 2

3 21 3 612. .3 33

4

aV a

V S h h h h hS a

.

Câu 45: Chọn C

Ta có thể tích của khối bát diện đều cạnh a là 3 2

3

aV , diện tích mỗi mặt là

2 3

4

aS .

Ta có

3

1 2 8 2

3 21 3 4 63. . ...3 33

4

aV a

V S h h h hS a

.

Câu 46: Chọn C

Gọi cạnh đáy là 0x x . Khi đó diện tích đáy là 2 3

4

xS , chiều cao của hình chóp là

23 366

3

xh x

.

Thể tích khối chóp là

2 222

2 3. . 363 361 1 3 122 2. . . 4 33 3 4 3 6 6

x xxxx

V S h

.

Dấu bằng xảy ra khi 2

236 2 62

xx x .

Câu 47: Chọn B

Gọi cạnh đáy là 0x x . Khi đó 3

6

xGH ,

Ta có , 3 , 3 3 1d A SBC d G SBC GK GK .

Có

2 2 2

2 2

2

122 3

12 12 12

x GH xHK HG GK x SH

HK x

.

Diện tích tam giác SBC là 3

2

1 1. .

2 4 3 12SBC

xS BC SH

x

Để thể tích khối chóp nhỏ nhất khi diện tích tam giác SBC nhỏ nhất. Khảo sát hàm số

3

2 12

xf x

x

, 2 3x ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt được khi 3 2x .

Vậy 3

. 2

1 1 9. .

3 24 3 12S ABC

xMinV

x

.

Câu 48: Chọn B




140

Khối đa diện tạo thành là một khối hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao:

2

2 2' 2 2 2

2

ah HH SH a a

. Do đó 2 3. 2 2V S h a a a .

Câu 49: Chọn B

Gọi b là độ dài các cạnh của khối lập phương, độ dài các cạnh của khối bát diện đều

22

2

ba b a . Do đó 3 32 2V b a

Câu 50: Chọn A

Ta có ( ') ( ) .4

H H S ABCV V V , trong đó .S ABC là khối chóp tam giác đều như hình vẽ.

Ta có ( )

2

12HV và

2

2

61 6 31 tan 2 2

33 3

6

HDHD HMD

HM

.




141

Do đó tan tan cot 22 2

HMD HMDSMH

.

Do đó 3 6

SH HM.tan . 26 6

SMH .

Vì vậy . ( ')

3 6.

2 2 2 24 6 4.3 24 12 24 4S ABC H

V V .

Câu 51: Chọn A

Theo giả thiết thì khối lập phương có dạng như hình vẽ.

Chiều cao h của khối chóp tứ giác đều là 2

2h .

Độ dài cạnh lập phương là x , theo Thales ta có

1 1 1 2 11 1

MN SM AM MK x x hx

AD SA SA SH h h

. Do đó

3

2 1 5 2 7V

Câu 52: Chọn C

Theo giả thiết ta có khối lăng trụ tam giác đều . ' ' 'MNPM N P như hình vẽ dưới đây.

Đặt 'MN MM x , theo Thales ta có '

1 1MN AM BM MM

BC AB AB AH .

Trong đó 6

' ,BC 1,AH3

MN MM x , do đó 3 33 ( 6 2) 3 27 2 22 3

4 4 2

xV

.

Câu 53: Chọn C




142

Đặt AD x ; 50a cm. Gọi I là trung điểm của AB , ta có 2

2 2

NQ AD a xNI

.

Chiều cao khối chóp là

2 2 22 2 2 2

2 2 2

a x x a a xh NI HI

. Do đó

22

3

0;2

22 2 4 10 4000 102 max

3 3 5 375 3a

a a xx

Sh a aV f x f x f

.

Câu 54: Chọn A

Gọi M là trung điểm của BC , N là hình chiếu vuông góc của M trên SA . Suy ra SA BCN

do đó thiết diện là tam giác cân NBC . 2

2.2 42

NBC

aS a

MNBC a .

Đặt SH h , ta có . .AMSH SAMN

22

3 32 2

aa h

a h

6

6

ah .

Vậy

22 3

63 .

3 2612 12 24

aa

a h aV .

Câu 55: Chọn A

Đặt AB x và SH h . Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SM , Ta có

2 2 2

1 1 1

3

6

HK h x

2 22

9 1 12

, h xd A SBC

22

2

12

1

hx

h

.




143

Do đó

2 3

2 0;

1 3 3 9. . min 3

3 4 21

x hV h f h f h f

h

.

Dấu bằng đạt tại 3h 18x 3 1

tan33 3 3

h

x .

Câu 56: Chọn B

Ta có: 0 0 0150 15 60MAN MNA ANB

Suy ra khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng AM .

Xét MAN ta có 0

2 275

MN

AMsin

. Do đó: 3 2 2

6 3

AMV .

Câu 57: Chọn C

Gọi AD x , ta có 2

2 2

NQ AD a xNI

.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên ABCD .

Chiều cao khối chóp là:

2 2 22 2 2 2

2 2 2

a x x a a xh NI HI

.

Diện tích đáy : 2

ABCDS x

Vậy thể tích :

22 2.

1 2. , 0;3 3 2

ABCD

a a xx

aV S h x

.

Xét hàm số :

22 2.

2 , 0;3 2

a a xx

af x x




144

Có 2 2

2

1 5 2 4 2 2, 0; 0

3 5224

2

a x a x a af x x f x x

a a x

.

Suy ra 3 3

0;2

2 2 4 10 4 10

5 375 375a

a a amaxf x f maxV

.

Câu 58: Chọn C

Ta có

SC ABCD C

SH ABCD

suy ra góc giữa cạnh bên SC

và đáy là góc SCH tan2 2

a aSH SCH m

Ta có

2

3

3

223 3 6

8(2 ) 2

3 6

aa m

Sh a mV m

m

S h a mV

.

Câu 59: Chọn A

Theo giả thiết, ta có khối lăng trụ tam giác đều .MNPMNP như hình vẽ.

Đặt MN x , MM h ; 1BC ; 6

3AH . Theo Thales, ta có




145

1MN AM MM

BC AB AH

1

1 6

3

x h

61

3h x . Do đó

2

2

0;1

3 2 2 2. 1 max

4 4 3 27

xV h f x x x f x f

.

Câu 60: Chọn B

Theo giả thiết thì hình hộp chữ nhật H có dạng như hình vẽ.

Đặt 2

2h SH ; MN x ; MK h .

Theo Thales, ta có

1 1MN SM AM MK

AD SA SA SH 1

1

x h

h

1h x h . Do đó

2

2 22 1 2 2 2

12 3 27H

x xV x h x x h f x f

.




146

DẠNG 6. THỂ TÍCH KHỐI TỨ DIỆN ĐẶC BIỆT

Câu 1: Cho hình chóp SABC có 1SA SB SC BA BC . Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp

.S ABC

A. 1

6. B.

2

12. C.

1

8. D.

3

12.

Câu 2: Tính thể tích của khối chóp SABC có 60 , 90 , 120ASB BSC CSA và

, 2 , 4SA a SB a SC a

A. 3 2

2

a. B.

32 2

3

a. C. 3 2a . D.

33 2

2

a.

Câu 3: Cho tứ diện ABCDcó 4 ;AB a CD x và các cạnh còn lại bằng 3a . Tính x để thể tích khối tứ

diện ABCD là lớn nhất.

A. 2 10x a . B. 10a . C. 6a . D. 3a .

Câu 4: Cho khối tứ diện OABC có , ,OA OB OC đôi một vuông góc với nhau thỏa mãn

2 2 2 12OA OB OC . Thể tích lớn nhất của khối tứ diện bằng:

A. 8 . B. 4

3. C. 4 . D.

8

3.

Câu 5: Cho hình chóp SABC có thể tích bằng 3 và 3, 4, 5AB AC BC . Hình chiếu vuông góc của

đỉnh S lên mặt phẳng ABC nằm trong tam giác ABC . Góc giữa mặt phẳng ,SAB SAC và

đáy lần lượt là 0 030 ;60 . Tính cotang góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC

A. 24 13 3

15

. B.

8 5 3

5

. C.

24 13 3

15

. D.

8 5 3

5

.

Câu 6: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , 8AB , 6BC . Biết 6SA và

vuông góc với mặt phẳng đáy ABC . Một điểm M thuộc phần không gian bên trong của hình

chóp và cách đều tất cả các mặt của hình chóp. Tính thể tích của khối tứ diện MABC .

A. 24V . B. 64

3V . C.

32

3V . D. 12V .

Câu 7: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , 4AB a , 3AC a và hình chiếu

vuông góc của S lên mặt phẳng ABC là điểm H . Biết ,A H nằm khác phía với đường thẳng

BC và các mặt bên của hình chóp cùng tạo với mặt đáy góc 60 . Tính thể tích V của hình chóp

đã cho.

A. 32 3V a . B.

312 3V a . C. 36 3V a . D.

336 3V a .

Câu 8: Cho khối tứ diện OABC có , ,OA OB OC đôi một vuông góc; khoảng cách từ O đến mặt phẳng

ABC bằng 1. Thể tích nhỏ nhất của khối tứ diện OABC bằng

A. 9

2. B.

3

6. C.

3

2. D.

3

2.




147

Câu 9: Cho hình hộp .ABCDABCD có tất cả các cạnh bằng a có các góc

0 00 90AAB BAD AAD . Biết khối hộp đã cho có thể tích bằng 3 3 3 5

2

a

A. 1

arccos3

. B. 6

. C.

6arccos

3 . D.

3

.

Câu 10: Cho khối tứ diện OABC có , ,OA OB OC đôi một vuông góc thỏa mãn 1 4 9

1OA OB OC

. Khi

biểu thức OA OB OC đạt giá trị nhỏ nhất, tính thể tích khối tứ diện OABC .

A. 162 . B. 72 . C. 108 . D. 216 .

Câu 11: Cho khối hộp . ' ' ' 'ABCDA B C D có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a ,

0' ' 0 90A AB BAD A AD . Tính thể tích khối hộp đã cho theo a và .

A. 32 cos 1 2cos2

V a

. B. 32 sin 1 2cos2

V a

.

C. 3 22 cos 1 2cos2

V a

. D. 3 22 sin 1 2cos2

V a

.

Câu 12: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt

phẳng ABC nằm trong tam giác ABC và các mặt bên , ,SBC SCA SAB tạo với mặt đáy

ABC các góc lần lượt là 0 0 030 ,45 ,60 . Tính thể tích khối chóp đã cho.

A.

3 3

128 4 3

aV

. B.

3 3

8 4 3

aV

. C.

3

8 2 3 1

aV

. D.

3

128 2 3 1

aV

.

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi và góc tạo bởi các mặt bên

( ),( ),( ),( )SAB SBC SCD SDA và mặt đáy tương ứng là 0 0 0 090 ,60 ,60 ,60 . Biết tam giác SAB vuông

cân tại S có AB a , chu vi tứ giác ABCD bằng 9a . Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. 3 3V a . B. 3 3

3

a. C.

3 3

9

a. D.

3

3

a.

Câu 14: Cho khối lập phương .ABCDABCD cạnh a . Các điểm ,M N lần lượt di động trên các tia

,AC BD sao cho 2AM BN a . Thể tích khối tứ diện AMNB có giá trị lớn nhất là?

A. 3 2

6

a. B.

3

12

a. C.

3 2

12

a. D.

3

6

a.

Câu 15: Khối tứ diệnABCDcó 2AB a , tam giác CAB đều và tam giác DAB vuông cân tại D . Góc giữa

hai mặt phẳng ,CAB DAB bằng 030 . Tính thể tích V của khối tứ diện ABCD .

A. 3

4

aV B.

33

2

aV C.

33

4

aV D.

33

6

aV

Câu 16: Cho hai đường thẳng ,Ax By chéo nhau và vuông góc với nhau có 2AB a là đoạn vuông góc

chung. Các điểm ,M N lần lươt di động trên ,Ax By sao cho 2 3AM BN a . Hỏi thể tích lớn

nhất của khối tứ diện ABMN là?

A. 32

3

a. B.

33

8

a. C.

3

4

a. D.

33

2

a.




148

Câu 17: Cho khối chóp .S ABC có 1AB , 2AC , 5BC . Các tam giác ,SAB SAC lần lượt vuông tại

,B C , góc giữa mặt phẳng SBC và đáy bằng 60 . Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. 2 15

5V . B.

2 3

3V . C.

2 15

3V . D.

2 15

15V .

Câu 18: Cho khối tứ diện ABCD có AB x , tất cả các cạnh còn lại bằng nhau và bằng 2 x . Hỏi có bao

nhiêu giá trị của x để khối tứ diện đã cho có thể tích bằng 2

12.

A. 1. B. 6 . C. 4 . D. 2 .

Câu 19: Khối tứ diện ABCD có 2AB a , tam giác CAB đều và tam giác DAB vuông cân tại D . Góc

giữa hai mặt phẳng CAB , DAB bằng 30 . Tính thể tích V của khối tứ diện ABCD .

A. 3

4

aV . B.

33

2

aV . C.

33

4

aV . D.

33

6

aV .

Câu 20: Cho tứ diện ABCD có 2BD , hai tam giác ,ABD BCD có diện tích lần lượt là 6 và 10 . Biết

thế tích của tứ diện ABCD bằng 16 , tính số đo góc giữa hai mặt phẳng ABD và BCD

A. 4

arccos5

. B. 4

arcsin15

. C. 4

arcsin5

. D. 4

arccos15

.

Câu 21: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là tứ giác lồi hai đường chéo AC và BD vuông góc nhau, mặt

bên SAD là tam giác đều và tạo với mặt đáy góc 60o , 4, 6, 8AD AC BD . Tính thể tích V

của khối .S ABCD

A. 24V . B. 96

5V . C.

48

5V . D.

144

5V .

Câu 50 : Cho khối lăng trụ .ABC ABC , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB bằng 5 , khoảng cách

từ A đến đường thẳng BB và CC lần lượt bằng 1 và 2, hình chiếu vuông góc của A lên mặt

phẳng A B C là trung điểm M của BC và 5AM . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A. 2 5

3. B.

15

3. C. 5 . D.

2 15

3.

Câu 22: Cho khối tứ diện OABC có các cạnh , ,OA OB OC đôi một vuông góc và tổng diện tích các mặt

OBC , OCA , OAB bằng 3 . Diện tích mặt ABC bằng 1 . Tính thể tích V của khối tứ

diện đã cho.

A. 1

6V . B.

4 12

9V . C.

42 3

9V . D.

4 3

9V .

Câu 23: Cho khối lập phương 1 1 1 1

.ABCDA BC D có độ dài các cạnh bằng x . Các điểm ,M N lần lượt trên

các cạnh 1 1,AA CC sao cho 2AM CN a . Tìm x biết thể tích khối tứ diện BDMN bằng 32a .

A. 2x a . B. 6x a . C. 3x a . D. 2 2x a .




149

Câu 24: Cho khối tứ diện ABCD có tam giác ABD đều, tam giác CAB vuông cân tại C , 3AB a . Gọi

là góc giữa hai mặt phẳng ,CAB ADB . Tính cos khi thể tích khối tứ diện ABCD bằng

3 2

8

a.

A. 2

cos3

. B. 7

cos3

. C. 3

cos3

. D. 2

cos2

.

Câu 25: Cho khối chóp .S ABC có 9AB cm , 11BC cm , 6CA cm , 3SA cm , 3SB cm và

5SC cm . Tính thể tích V của khối chóp.

A. 32159

6V cm . B. 3241

2V cm . C. 32159

2V cm . D. 33 241

2V cm .

Câu 26: Cho khối lăng trụ tam giác . ' ' 'ABC A B C có đáy là tam giác vuông tại A , 1, 2AB BC . Góc

0 0' 90 , ' 120CBB ABB . Gọi M là trung điểm của 'AA . Biết 7

',7

d AB CM . Tính thể tích

khối lăng trụ đã cho.

A. 2 2 . B. 4 2

9. C. 4 2 . D.

4 2

3.

Câu 27: Cho khối tứ diện ABCD có 3AB a , 4AC a , 90BAC và góc giữa các mặt phẳng DAB ,

DBC , DCA với mặt phẳng ABC bằng nhau và bằng 60 , hình chiếu vuông góc của D

lên mặt phẳng ABC là điểm H sao cho A , H nằm về hai phía của đường thẳng BC . Tính thể

tích V của khối tứ diện ABCD .

A. 32 3V a . B. 36 3V a . C. 34 3V a . D. 312 3V a .



lên mặt phẳng ABC là điểm H sao cho C , H nằm về hai phía của đường thẳng AB . Tính thể


A. 32 3V a . B. 36 3V a . C. 34 3V a . D. 312 3V a .



lên mặt phẳng ABC là điểm H sao cho B , H nằm về hai phía của đường thẳng AC . Tính thể


A. 32 3V a . B. 36 3V a . C.

34 3V a . D. 312 3V a .

Câu 30: Cho khối tứ diện ABCD có 3 , 4 , 90AB a AC a BAC và góc giữa các mặt phẳng

, ,DAB DBC DCA và mặt phẳng ABC bằng nhau và bằng 60 , hình chiếu vuông góc của

D lên mặt phẳng ABC là điểm H nằm trong tam giác ABC . Tính thể tích V của khối tứ diện

ABCD :




150

A. 32 3V a . B. 36 3V a . C. 34 3V a . D. 312 3V a .

Câu 31: Cho khối hộp .ABCDABCD có đáy là hình chữ nhật, 3, 7AB AD . Hai mặt bên

, ' 'ABB A ADD A tạo với đáy các góc lần lượt là 45 và 60 . Tính thể tích V của khối hộp

đã cho biết độ dài cạnh bên bằng 1 .

A. 3V . B. 7

3V . C. 3V . D. 7V .

Câu 32: Cho khối tứ diện ABCD có 3 , 4 , 90AB a AC a BAC , góc giữa các mặt phẳng

,DAB DAC và mặt phẳng ABC lần lượt là 45 và 60 . Tính thể tích V của khối tứ diện

ABCD biết 6AD a .

A. 312 5

5

aV . B.

34 21

7

aV . C.

34 5

5

aV . D.

312 21

7

aV .

Câu 33: Cho khối chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông tại A , ,2

aAC BC a . Hai mặt phẳng

,SAB SAC cùng tạo với đáy góc 60 , tam giác SBC nhọn và mặt phẳng SBC vuông góc

với đáy. Tính thể tích V của khối chóp .S ABC .

A. 33 3

32

aV

. B.

33 3

32

aV

. C.

33 3 3

32

aV

. D.

33 3 3

32

aV

.

Câu 34: Cho hai đường thẳng chéo nhau Ax , By tạo với nhau góc 60 và AB a là độ dài đoạn vuông

góc chung. Hai điểm M , N di động trên Ax , By sao cho 2MN a . Tìm thể tích lớn nhất của

khối tứ diện ABMN .

A. 33

16

a. B.

33

4

a. C.

33

36

a. D.

33

12

a.

Câu 35: Cho khối chóp .S ABC có AB AC a , các góc 120BAC , 90SBA SCA , góc giữa mặt

phẳng SAC và đường thẳngSB bằng 3

arcsin8

và khoảng cách từ S đến ABC nhỏ hơn 2a

. Tính thể tích của khối chóp .S ABC .

A. 3 3

12

a. B.

3 3

24

a. C.

3 3

4

a. D.

3 3

8

a.

Câu 36: Cho hai đường thẳng ,a bcố định chéo nhau. Gọi AB là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng

,a b ;A a B b . Trên a lấy điểm M khác A , trên b lấy điểm N khác B sao cho

;AM x BN y . Biết 6AB , góc giữa hai đường thẳng ,a b là 060 . Tính thể tích của tứ diện

ABMN theo x và y .

A. 3

2

xy. B.

3

4

xy. C.

2

xy. D.

3

6

xy.

Câu 37: Cho khối chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA SB , SC SD . Biết rằng mặt phẳng

SAB SCD và tổng diện tích của hai tam giác SAB , SCD bằng 27

10

a. Tính thể tích V của

khối chóp .S ABCD .




151

A. 34

75

aV . B.

34

15

aV . C.

34

25

aV . D.

312

25

aV .

Câu 38: Cho khối chóp .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a , 090SAB SCB . Gọi M là trung điểm

cạnh SA . Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BCM bằng 2 21

7

a. Thể tích khối chóp

đã cho bằng ?

A. 310 3

9a . B.

310 3

3a . C.

35 3

9a . D.

35 3

3a .

Câu 39: Cho khối chóp .S ABC có SA BC x , SB CA y , SC AB z và 2 2 2 12x y z . Thể

tích lớn nhất của khối chóp .S ABC bằng?

A. 2 2

3. B.

4 2

3. C.

2 2

9. D.

4 2

9.

Câu 40: Cho hình vuông ABCD và ABEF có cạnh bằng 1, lần lượt nằm trên hai mặt phẳng vuông góc

với nhau. Gọi S là điểm đối xứng với B qua trung điểm của đoạn thẳng DE . Thể tích của khối

đa diện ABCDSEF bằng

A. 7

6. B.

11

12. C.

2

3. D.

5

6.

Câu 41: Cho hình vuông ABCD và ABEF có cạnh bằng 1, lần lượt nằm trên hai mặt phẳng vuông góc

với nhau. Gọi S là điểm đối xứng với B qua đường thẳng DE . Thể tích của khối đa diện

ABCDSEF bằng?

A. 7

6. B.

11

12. C.

2

3. D.

5

6.

Câu 42: Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng , mặt bên tạo với đáy một góc . Mặt

phẳng chứa chứa đường thẳng và tạo với góc đáy một góc chia khối chóp

thành hai khối đa diện. Thể tích của khối đa diện chứa đỉnh bằng:

A. . B. . C. . D. .

Câu 43: Cho tứ diện có tam giác vuông tại , , . Mặt phẳng ,

, lần lượt tạo với mặt phẳng các góc , , trong đó .

Thể tích khối tứ diện có giá trị lớn nhất bằng:

A. . B. . C. . D. .

Câu 44: Cho khối đa diện SABCDbằng cách ghép hai khối chóp tam giác .S ABDvà .S BCD lại với nhau ,

biết 4; 3; 2; 1SA SB SC SD và 060ASB BSC CSD DSA BSD . Thể tích khối đa

diện SABCD bằng

A. 3 2 . B. 3 2

2. C.

7 2

6. D.

4 2

3.

.S ABCD 1 75

P AB 45 .S ABCD

S

16 9 3

78

2 3

3 1 2

2 3

6 1 2

16 9 3

26

ABCD ABC A 3AB a AC a DBC

DAC DAB ABC 90 90

ABCD

33

4

a 33

13

a 33 2

10

a33

8

a




152

Câu 45: Cho tứ diện đều ABCDcó cạnh bằng 1. Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của ,AB BC ; điểm P

thuộc cạnh CD sao cho 2PD CP , mặt phẳng MNP cắt AD tại Q . Tính thể tích khối đa diện

BMNPQD .

A. 2

16. B.

23 2

432. C.

2

48. D.

13 2

432.

Câu 46: Cho tứ diện ABCD có 3AB a ; 15; 10; 4AC a BD a CD a . Biết góc giữa đường thẳng

AD và BCD là 045 , khoảng cách giữa AD và BC là

5

4

a. Hình chiếu vuông góc của A lên

BCD nằm trong tam giác BCD . Tính độ dài đoạn AD .

A. 5 2

4

a. B. 2a . C. 2 2a . D.

3 2

2.

Câu 47: Cho hình lăng trụ .ABC ABC , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB , CC lần lượt bằng

1 và 3 ; khoảng cách từ C đến đường thẳng BB bằng 2 . Hình chiếu vuông góc của A lên

mặt phẳng A B C là trọng tâm G của tam giác ABC và 4

3A G . Thể tích khối lăng trụ

.ABC ABC bằng.

A. 2 . B. 2

3. C. 4 . D.

4

3.

Câu 48: Cho khối lăng trụ .ABC ABC có thể tích bằng 3

4. Khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB

, CC lần lượt bằng 1; 3 và 2AA . Côsin góc giữa hai mặt phẳng ABB A và ACC A

bằng.

A. 3

4. B.

3

2. C.

1

2. D.

13

4.

Câu 49: Cho khối chóp .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1, khoảng cách từ A đến mặt phẳng

SBC bằng 6

4, khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCA bằng

15

10; khoảng cách từ C đến

mặt phẳng SAB bằng 30

20. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC nằm trong tam

giác ABC . Thể tích khối chóp .S ABC bằng.

A. 1

36. B.

1

48. C.

1

12. D.

1

24.

Câu 50: Cho khối lăng trụ .ABC ABC có đáy là tam giác cân tại A , 1AB AC , 30BAC . Các mặt

bên ABB A , ACC A lần lượt tạo với đáy các góc 45 , 60 và 1AA . Tính thể tích khối

lăng trụ .ABC ABC bằng.

A. 3 31

124. B.

93

372. C.

31

124. D.

93

124.




153

Câu 51: Cho khối chóp .S ABC có 5( )AB cm , 7AC cm , 3SA cm . 30CAB . Góc giữa hai mặt

phẳng SAB , SAC và đáy lần lượt là 45 , 30 . Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. 35 29

116V . B.

7 5

4V . C.

21 5

4V . D.

105 5

116V .

Câu 52: Cho khối chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông tại A , 3AB , 7AC . Hai mặt bên

SAB , SAC lần lượt tạo với đáy góc 45 , 60 và 1SA . Tính thể tích V của khối chóp

.S ABC bằng.

A. 1

2V . B.

7

9V . C.

3

3V . D.

7

3V .

Câu 53: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông tại A , 1AB và 3AC . Các mặt bên

, ,SBC SAC SAB lần lượt tạo với đáy các góc 0 030 ,45 và 060 . Hình chiếu vuông góc của

điểm S lên mặt phẳng ABC nằm trong tam giác ABC . Tính thể tích khối chóp .S ABC

A. 3 3

12

B.

3 3

20 C.

3 3

4

D.

3

20

Câu 54: Cho hình chóp .S ABC có thể tích bằng 3

12, đáy làm tam giác vuông tại A và 1AB , 3AC

. Các mặt bên ,SAC SAB lần lượt tạo với đáy các góc 0 045 ,60 . Hình chiếu vuông góc của S

lên mặt phẳng ABC nằm trong tam giác ABC . Cô-sin góc giữa mặt SBC và đáy bằng

A. 1

2 B.

3

2 C.

1

4 D.

3

4

Câu 55: Cho khối chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB a , 2AC a . Mặt phẳng

SBC vuông góc với đáy, hai mặt phẳng SAB và SAC cùng tạo với mặt phẳng đáy góc 060

. Tính thể tích V của khối chóp .S ABC theo a .

A.

3 3

3

aV B.

32 3

9

aV C.

3 3

9

aV D.

34 3

9

aV

Câu 56: Cho khối chóp .S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , góc 0120BAD . Các mặt bên

, , ,SAB SBC SCD SDA lần lượt tạo với đáy các góc 0 0 0 090 ,30 ,45 ,60 . Thể tích khối chóp

.S ABCD

A. 34 3 3

26

aV

B.

34 3 3

104

aV

C.

312 3 9

26

aV

D.

312 3 9

104

aV

Câu 57: Cho hình hộp chữ nhật .ABCDABCD có 1, 2, 3AB AD AA . Mặt phẳng thay đổi đi

qua C và cắt các tia , ,AB AD AA lần lượt tại , ,M N P . Khối tứ diện AMNP có thể tích nhỏ

nhất bằng

A. 27 B. 14 C. 11 D. 36




154

Câu 58: Cho hai đường thẳng chéo nhau ,Ax By và hợp với nhau một góc bằng 060 . Biết AB a là đoạn

vuông góc chung. Lấy điểm C trên By sao cho BC a và gọi D là hình chiếu vuông góc của C

lên Ax . Thê rtichs khối tứ diện ABCD bằng

A.

3 3

12

a B.

3

12

a C.

3 3

24

a D.

3 3

6

a

Câu 59: Cho khối tứ diện ABCD có 1AB AC BD CD . Thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị

lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC bằng

A. 2

3. B.

1

3. C.

1

2. D.

1

3.

Câu 60: Trong không gian cho ba tia , ,Ox Oy Oz đôi một vuông góc và các điểm , ,A B C không trùng với

điểm O lần lượt thay đổi trên các tia , ,Ox Oy Oz và luôn thỏa mãn điều kiện: Tỉ số diện tích tam

giác ABC và thể tích khối tứ diện OABC bằng 3

2. Khối tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất bằng

A. 6 . B. 3

2. C. 4 3 . D.

27 3

2.

Câu 61: Cho khối đa diện .ABC ABC có // //AA BB CC . Biết khoảng cách từ điểm A đến BB bằng 1

, khoảng cách từ điểm A đến CC bằng 3 ; khoảng cách giữa hai đường thẳng ,BB CC bằng

2 và 1, 2, 3AA BB CC . Thể tích của khối đa diện .ABC ABC bằng

A. 3

2. B.

3 3

2. C.

1

2. D. 3 .

Câu 62: Cho hình chóp .S ABC có , 3 , 2AB a AC a SB a và 090ABC BAS BCS , sin của góc

giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAC bằng 11

11. Tính thể tích khối chóp .S ABC .

A.

36

6

a. B.

36

3

a. C.

33

9

a. D.

32 3

9

a.

Câu 63: Cho khối tứ diện OABC có , ,OA OB OC đôi một vuông góc và 2 , 1OA OB OC . Hai

điểm ,M N lần lượt di động trên các cạnh ,AC BC sao cho hai mặt phẳng OMN , ABC

vuông góc với nhau. Khối đa diện ABOMN có thể tích lớn nhất bằng

A. 1

4. B.

1

6. C.

2

9. D.

1

5.

Câu 64: Cho khối tứ diện OABC có , ,OA OB OC đôi một vuông góc và 1OA , 2OB , 3OC . Gọi G

là trọng tâm của ABC , mặt phẳng qua trung điểm I của OG cắt các tia , ,OA OB OC lần

lượt tại , ,D E F . Thể tích khối tứ diện ODEF có giá trị lớn nhất bằng

A. 2

9. B.

1

6. C.

4

3. D.

2

3.




155

Câu 65: Cho khối lăng trụ .ABC ABC . Khoảng cách từ điểm C đến BB bằng 5 , khoảng cách từ

điểm A đến ,BB CC lần lượt là1 và 2 ; hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng A B C

là trung điểm M của BC và 5AM . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. 2 3

3. B.

15

3. C. 5 . D.

2 15

3.

Câu 66: Cho hình lăng trụ .ABC ABC , khoảng cách từ A đến các đường thẳng ,BB CC lần lượt là 1

và 3 ; góc giữa hai mặt bên của lăng trụ chung cạnh AA bằng 090 . Hình chiếu vuông góc của

A lên mặt phẳng A B C là trung điểm M của BC và 2 3

3AM . Thể tích khối lăng trụ

.ABC ABC bằng

A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 2 3

3.

Câu 67: Cho hình lăng trụ .ABC ABC có .A ABC là hình chóp tam giác đều, AB a . Biết khoảng cách

giữa hai đường thẳng chéo nhau AA và BC là 3

4

a. Hãy tính thể tích của khối chóp .A BBCC

A.

2 3

18

a. B.

3 3

81

a. C.

3 3

18

a. D.

3 31

8

a.

Câu 68: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

SBC bằng 15

5

a, khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng

15

5

a. Hình chiếu

vuông góc của S xuống mặt phẳng ABC nằm trong tam giác ABC . Thể tích khối chóp đã cho

bằng

A. 3

4

a. B.

3

8

a. C.

3 3

4

a. D.

3 3

8

a.

Câu 69: Cho hình chữ nhật ABCD và hình thang cân ABEF nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với

nhau. Biết AB a , 2BC BE a , //AB EF và 3EF a . Thể tích khối đa diện ABCDEF bằng




156

A.

35 2

6

a. B. 3 2a . C.

3 2

3

a. D.

33 2

2

a.

Câu 70: Cho khối hộp .ABCDABCD có AB vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD ; góc giữa AA

với ABCD bằng 45 . Khoảng cách từ A đến các đường thẳng ;BB DD cùng bằng 1. Góc của

mặt phẳng BB C C và mặt phẳng C CDD bằng 60 . Thể tích khối hộp đã cho bằng

A. 2 3 . B. 2 . C. 3 . D. 3 3 .




157

BẢNG ĐÁP ÁN

1.C 2.B 3.B 4.B 5.A 6.C 7.B 8.C 9.B 10.D

11.D 12.B 13.C 14.B 15.D 16.B 17.D 18.D 19.D 20.C

21.A 22.D 23.B 24.D 25.B 26.A 27.A 28.D 29.C 30.B

31.A 32.A 33.D 34.A 35.B 36.A 37.A 38.C 39.A 40.A

41.D 42.D 43.A 44.A 45.B 46.B 47.D 48.D 49.D 50.B

51.D 52.A 53.D 54.A 55.B 56.A 57.A 58.C 59.B 60.C

61.D 62.A 63.A 64.A 65.D 66.A 67.C 68.B 69.A 70.C


Câu 1: Chọn C

Gọi SH là đường cao của hình chóp và I là trung điểm

của AC

Vì 1SA SB SC nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC . Do đóH BI .

Đặt , 0 3AC x x .

Ta có

22 2 4

2

xBI AB AI

.

Suy ra

21 4.

2 4ABC

x xS BI AC

Mặt khác, 2

. . 1

4. 4ABC

AB AC BCHB

S x

. Suy ra

22 2

2

3

4

xSH SB BH

x

Khi đó, 2 2

21 1 1 3 1. . . 3 .

3 12 12 2 8SABC ABC

x xV SH S x x

Vậy 1

max8SABC

V

Câu 2: Chọn B

Trên các cạnh SB, SC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho SM SN a .

N

M

A

B

C

S

KI

HA

M

N

S

11

11

1

IA

B

C

H

S




158

Khi đó, 1

. 8.8

SAMNSABC SAMN

SABC

V SM SNV V

V SB SC .

Xét khối chóp SAMN. Gọi SH là đường cao của hình chóp.

Tam giác SAM đều AM a

Tam giác SMN vuông cân tại S 2MN a

Tam giác SAN cân tại S và 120NSA 2 2 2 . .cos120 3AN SA SN SASN a

Từ đây suy ra tam giác AMN vuông tại M. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AM, MN. Khi đó:

( )AM SI

AM SHI AM HIAM SH

Chứng minh tương tự, ta cũng có MN HK . Do đó H là trung điểm của AN.

Khi đó, 2 2

2

aSH SA AH . Suy ra

31 2.

3 12SAMN AMN

aV SH S

Vậy

32 28.

3SABC SAMN SAMN

aV V V .

Note: có thể sử dụng công thức giải nhanh:

32 2 2. . 2 2

. 1 2cos .cos .cos cos cos cos6 3SABC

SASBSC aV ASB BSC CSA ASB BSC CSA

Câu 3: Chọn B

Gọi H là trung điểm của ;AB CH AB DH AB . 2 2

3 2 5CH DH a a a .

Áp dụng công thức

1 2. .sin ;. .sin2 2

. .3 3

ABC ABD

ABCD

S S ABC ABDS SV V

a AB

3

1 1.2 . 5. .2 . 5.sin ;

2 52 2. . .sin ;3 4 6ABCD

a a a a ABC ABDV a ABC ABD

a

Do đó thể tích ABCD lớn nhất khi sin ; 1ABC ABD ABC ABD .

Khi đó 2 2 2 210 10CH DH CD CH DH a CD a .

Câu 4: Chọn B

Ta có: 1

. .6

V OAOBOC




159

32 2 2

2 2 2 21 1 16 4. .

36 36 3 9 3

OA OB OCV OA OB OC V

Câu 5: Chọn A

Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy. là góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC

Ta có: 2 2 2AB AC BC nên tam giác ABC vuông tại A 6.

ABCS và

3 3

2ABC

VSH

S

Từ H kẻ ; ;HI AB HK AC HM BC

0 0

3 3 3;

2 2tan30 tan60

SH SHHI HK

1 3 3 1 3 24 13 36 . .3 . .4

2 2 2 2 4HBC ABC HAB HACS S S S

2 24 13 3

10HBCS

HMBC

;

24 13 13cot

15

HM

SH

.

Câu 6: Chọn C

Từ giả thiết ta có ,BC AB AS BC BS .

Xét tam giác vuông ABC ta có

2 2 10AC AB BC .

Xét tam giác vuông SBA ta có

2 2 10SB AS BA .

Gọi h là khoảng cách chung từ M đến các mặt của

hình chóp .S ABC .

Từ giả thiết ta có:

1. . 48

6SABC MABC MABS MCBS MACSV SA BA BC V V V V

1 1 1 1 1 1

. . . .3 3 2 2 2 2

AS ASABC ABS ASC SBC

h S S S S h AB BC AC SB BC AB

36h

4

3h

1 32

3 3MABC ABCV hS

.

Câu 7: Chọn B




160

Gọi , ,I J K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên các cạnh , ,AB AC BC .

Khi đó 60SIH SJH SKH 3

SHHI HJ HK .

Ta có 1

2 3ABC HAB HAC HBC

SHS S S S AB AC BC

1

.2 .2 3

SHa .

1. . 6 3

2 3

SHAB AC a SH a . Vậy 2 3

.

1 1. .6 3.6 12 3

3 3S ABC ABCV SH S a a a

.

Câu 8: Chọn C

Đặt , ,OA a OB b OC c , , 0a b c .

Vẽ AI BC I BC , OH AI . Suy ra OH ABC , 1d O ABC OH .

Ta có 1 1

. . .3 6OABC OBC

V OAS OAOBOC

6

abc .

Xét tam giác OAI vuông tại O có 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

OH OA OI OA OB OC a b c

2 2 2

1 1 11

a b c . Ta lại có

2 2 2 3 2 2 2

1 1 1 31a b c a b c

2

27 1 31

6 2abc

abc .

Suy ra 3

2OABCV . Thể tích nhỏ nhất của khối tứ diện OABC bằng

3

2 khi 3a b c .

Câu 9: Chọn B

Áp dụng công thức nhanh ta có:




161

32 2 2 2 3

.

. .1 cos cos cos 2cos .cos .cos 1 3cos 2cos

6 6A A BD

a a a aV

.

33 2 3

.A B C D '. .

3 3 53 6 1 3cos 2cos

2ABCD A ABCD A A BD

aV V V a

.

2 3 2 32 1 3cos 2cos 3 3 5 4 1 3cos 2cos 3 3 5 .

3 2 38cos 12cos 3 3 9 0 cos

2 6

.

Câu 10: Chọn D

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz

2

22 21 21 2

1 2 1 2

......

...

nn

n n

a a aaa a

b b b b b b

, dấu “=” xảy ra khi ,

i j j ia b a b i j

Ta có

22 2 1 2 31 4 9 1 2 3 36

1OA OB OC OA OB OC OA OB OC OA OB OC

36OA OB OC

Suy raOA OB OC nhỏ nhất bằng 36 khi 1 2 3

OA OB OC .

Mà 1 4 9

1OA OB OC

nên 6; 12; 18OA OB OC .

Vậy 1 1

. . .6.12.18 216.6 6OABC

V OAOBOC

Câu 11: Chọn D

Gọi , ,H I J lần lượt là hình chiếu của A lên mặt phẳng ABCD và các cạnh , .AB AD

O C

B

A

JI

H

D

CB

A

D'

C'B'

A'




162

Ta có .AH AB

AB AHI AB HIAI AB

Tương tự cũng có .HJ AD

Xét hai tam giác vuông AAI và AAJ có chungAA

AAI A AJ

nên .AAI AAJ

Suy ra cos cos ,AI AJ AA a do đó hai tam giác ,AHI AHJ bằng nhau nên .HI HJ

Vậy H cách đều AB và AD nên nằm trên phân giác góc .BAD H AC

cos,

cos cos2 2

AI aAH

2 2 2 2 2cos cos .

2cos

2

aAH AA AH

Diện tích đáy 22 . .sin sin .ABCD ABDS S AB AD a

Vậy 3 2 2

.. 2 sin . cos cos

2 2ABCD A B C D ABCDV AH S a

3 22 sin 1 2cos

2a

.

Câu 12: Chọn B

Gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh BC , AB , AC ; h là chiều cao của khối

chóp .S ABC .

Khi đó, o30SNH , o45SPH , o60SMH .

Mà ABC HAB HAC HBC

S S S S

2 3 1

4 2

aa HN NM HP

3

2

aHN NM HP .

o o o 3tan30 tan45 tan60

2

ah o o o 3

tan30 tan45 tan602

ah

4 3 3

23

ah

3

2 4 3

ah

.

Thể tích khối chóp .S ABC là 1

.3 ABC

V S h

21 3 3. .

3 4 2 4 3

a a

3 3

8 4 3

a

.

h

aN

B

A

S

CH

M

P




163

Câu 13: Chọn C

Gọi H là trung điểm AB .

Theo giả thiết nên ( )SH mp ABCD , 2

aSH và

8 .BC CD DA a

Gọi , ,M N P là hình chiếu vuông góc của H

lần lượt lên lên , ,AD DC CB .

Suy ra: 0(( ,( ) 60SAD ABCD SMH

0(( ,( ) 60SCD ABCD SNH 0(( ,( ) 60 .SCB ABCD SPH

Từ đó: 2 3

aHM HN HP .

Vậy: 1

.( ). 3

V SH S S SHADS ABCD HCD HCB

1.2 2

1. ( . . . )

3

aHM DA HNCD HPCB

31 3. . .8 .2 2 92 3

1.

3

a a aa

Câu 14: Chọn B

Ta có: 0, 90AM NB . ,d AM BN a . Gọi 0AM x x .

Ta có:

2

321 1 1. .sin , . , 2 . .

6 6 6 4 12AMNB

a aV AM BN AM BN d AM BN x a x a a

.

Câu 15: Chọn D

Ta có:

2

2 2

1 2

2 3 2 .3 ;

4 2CAB DAB

a a aS S a S S a

và 030 ,CAB DAB

Do đó 2 2 0

31 22 .sin 2. 3 . .sin30 3

3 3.2 6

S S a aV a

AB a

Câu 16: Chọn B

Áp dụng công thức tính thể tích của khối tứ diện ABCD

1. . ( ; ).sin( , ).

6ABCDV ABCD d AB CD AB CD




164

Đặt , , 0AM x BN y x y . Từ giả thiết ta có 2 3 .x y a

Khi đó thể tích của khối tứ diệnABMN là:

1 1. .d( ; ).sin( , ) . . . .sin90

6 6 3ABMN

axyV AM BN AM BN AM BN AM BN AB

233 2 21 1 1 3

. 3 2 . . 3 2 .2 . .3 6 6 4 8

a y y aa a y y a a y y a

Do đó, 3

max

3

8

aV

khi

32 .

2

ax y

Câu 17: Chọn D

Từ S vẽ SH ABC . Ta có AB SB

AB SBH AB BHAB SH

.

Chứng minh tương tự ta cũng có AC CH .

Tam giác ABC vuông tại A do 2 2 2AC AB BC . Vậy suy ra ABHC là hình chữ nhật.

Từ H vẽ HE BC thì , 60SBC ABC SHE . 3SH HE .

Trong đó 2 2

. 2 5

5

HBHCHE

HB HC

. Vậy

2 15

5SH

2 15

15V .

Câu 18: Chọn D

AM

B

N




165

Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của ,AB CD .

Các tam giác ,DAB CAB cân nên ta có DM AB

AB CMD AB MNCM AB

.

Chứng minh tương tự ta cũng có CD NM .

Ta có . .

1 1 1. . . .

3 3 6ABCD A CDM B CDM CDM CDMV V V AMS BMS ABCD NM .

Với AB x , 2CD x và

2 2 2

2 2

2 2 2

CD AB CDMN MD AD

2 2 2

2 2 2 12 122

2 2 2

x x x xx

.

Suy ra 21 22 2 12 12

12 12V x x x x 22 2 12 12 2 2x x x x x .

Câu 19: Chọn D

Gọi M là trung điểm AB CM AB

AB CDMDM AB

1 1. . . .sin

3 6CDMV ABS ABCM DM CMD

Trong đó 3

2 ; .2 3;2 2

ABAB a CM a a DM a . Vậy

31 3.2 . 3. .sin30

6 6V a a a a .

Câu 20: Chọn C

Ta có công thức:




166

2. . .sin ; 4sin ;

3. 5

4; arcsin

5

ABD ADCS S ABD ADC

V ABD ADCBD

ABD ADC

Câu 21: Chọn A

Ta có công thức diện tích đáy là .

242ABCD

AC BDS

2. . .sin ;24

3.

ABCD SADS S ABCD ADC

VAD

Câu 50 : Chọn D

Bổ đề : Cho lăng trụ tam giác .ABC ABC , mặt phẳng vuông góc các cạnh của lăng trụ và

tạo với lăng trụ một thiết diện có diện tích S . Khi đó .LT AMNV AA S

.

Gọi ,E F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên BB và CC .

Gọi M là trung điểm của BC , I là giao điểm của MM và EF I là trung điểm của EF .

Ta có:

AE BB

BB AEF BB EFAF BB doAF CC

, , 5d C BB d F BB EF

AEF vuông tại A 1 5

2 2AI EF . Mà MM AI .

AMM vuông tại A , AI là đường cao2 2

. 15

3

AM AMAI

AM AM

Tam giác AAM vuông tại 2 2 2 15

3M AA AM AM

.

2 15 1 2 15. . .1.2

3 2 3ABC A B C AEFV AA S

.

Câu 22: Chọn B

A' B'

B'

A

B

C

M

N 12

I

A C

B

B'

C'

E

F

M

M'




167

Ta có

1

2

3

2

2

2

S bc

S ca

S ab

; 2 2

tana b c

bc

2 2 2 2 2 2 2

1cos

1 tan

bc

a b b c c a

.

Khi đó, 2 2 2 2 2 2

22 2 211 2 3 1 2 3

11

cos 2 3

S a b b c c aS S S S S S S

.

Dấu “=” xảy ra 44

3a b c

3

4

4

4

3 12

6 9V

.

Câu 23: Chọn B

Đặt độ dài cạnh khối lập phương là x và O là tâm của hình vuông ABCD .

Ta có BD ACNM1

.3BDMN MON

V S BD .

. . 2

2 2 2 2OMN ACNM OAM OCN

AM CN AMOA CNOC axS S S S AC

31 22 2 6

3 2BDMN

axV x a x a .

Câu 24: Chọn B

BO

C

A

O

C'B'

C

D'

A

A'

D

B

M

N




168

Ta có

2

2

1

3 3 3 3

4 4ABD

a aS S ,

2 2

2

3

4 4CAB

AB aS S

Vì vậy,

2 2

3 31 2

3 3 32 sin2 sin 3 .sin 24 4

3 8 83 3

a aS S a a

VAB a

2 7sin cos

3 3 .

Câu 25: Chọn A

Áp dụng công thức tổng quát khi biết độ dài 6 cạnh hoặc dùng công thức góc tại đỉnh S , ta có

2 2 2 23cos

2 . 42

SA SB ABASB

SASB

,

2 2 2 47cos

2 . 70

SB SC BCBSC

SBSC

2 2 2 1cos

2 . 15

SA SC ACASC

SASC

.

Vậy 2 2 2

33.5.7 23 47 1 23 47 1 21591 2

6 42 70 15 42 70 15 6V cm

.

Câu 26: Chọn A

A

B

C

D

S

A

B

C




169

Gọi ', / /I BM AB IN CM N BC có / / 'NCM AB 7

, ' , '7

d CM AB d C AB N .

Lại có 1 1

' 2 2

IM AM NC IM

IB BB NB IB

2 7, ' 2 , '

7d B AB N d C AB N .

Ta có 1

cos2

ABABN

BC .

Đặt 'BB x , thì

2 2

2

. '

1 4 1 1 1 1 2.1. . . 1 2 . .0 0

6 3 2 2 2 2 9B AB N

xV x

.

Mà 2' 1AB x x 24 16'

3 9BN NB x ,

2 2 132 . .cos

3AN AB BN AB BN ABN .

2 2

2 2

13 161

9 9 3 2cos '

2 13 1 2 13 1

3

x x xx

B ANx x x x

2

2

3 2sin ' 1

52 1

xB AN

x x

222

' 2

13 1 3 2 43 40 48. 1

6 1252 1AB N

x x x x xS

x x

.

Do đó . '

2'

23 2 73, ' 4

743 40 48

12

B AB N

ANB

xV

d B AB N xS x x

.

Vậy . '

4 2

9B AB NV và

BC AHBC DM

BC AD

.

Câu 27: Chọn D

I

A'

B'

C'

A

B

C

M

N




170

Gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên các cạnh AB , BC , CA

60DMH DNH DPH (góc của các mặt , ,DAB DBC DCA với ABC )

HM HN HP H là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC .

Gọi ar là bán kính đường tròn bàng tiếp góc A

ar HM HN HP

Ta có 2.6

2ABC

AB ACS a

Ta có . . .

2 2 2 2ABC HAB HAC HBC a a

HM AB HP AC HN BC b c aS S S S r r p a

6ABCa

Sr a

p a

. Lại có tan

DHDMH

HM tan60 6 3

aDH r a .

Thể tích khối tứ diện ABCD là 31. 12 3

3 ABCV DH S a .

Câu 28: Chọn C



HM HN HP H là tâm đường tròn bàng tiếp góc C của tam giác ABC .




171

Gọi cr là bán kính đường tròn bàng tiếp góc C c

r HM HN HP

Ta có 2.6

2ABC

AB ACS a

Ta có . . .

2 2 2 2ABC HAC HBC HAB c c

HP AC HN BC HM AB a b cS S S S r r p c

2ABCc

Sr a

p c

. Lại có tan

DHDMH

HM tan60 2 3

cDH r a .


3 ABCV DH S a .

Câu 29: Chọn B



HM HN HP H là tâm đường tròn bàng tiếp góc B của tam giác ABC .

Gọi br là bán kính đường tròn bàng tiếp góc B

br HM HN HP

Ta có 2.6

2ABC

AB ACS a

Ta có . . .

2 2 2 2ABC HAB HBC HAC b b

HM AB HN BC HP AC a c bS S S S r r p b

3ABCb

Sr a

p b

. Lại có tan

DHDMH

HM tan60 3 3

bDH r a .


3 ABCV DH S a .

Câu 30: Chọn A




172

Vì góc giữa các mặt phẳng , ,DAB DBC DCA và mặt phẳng ABC bằng nhau và H nằm

trong tam giác ABC nên H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .

Tam giác ABC vuông tại A , ta có 2 2 215 ; . . 6

2ABCBC AB AC a S AB AC a

.

Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC , ta có:

2. 6 6 .2ABC

AB AC BCS r a a r r a

.

Gọi K là hình chiếu của H trên cạnh AB , suy ra góc giữa mặt phẳng DAB và mặt phẳng

ABC là DKH 60DKH .

Tam giác DHK vuông tại H , ta có .tan60 3DH HK a .

Vậy 2 31 1. . . 3.6 2 3

3 3ABCD ABCV DH S a a a

.

Câu 31: Chọn A

Gọi H là hình chiếu của điểm A trên mặt đáy A B C D , ,M N lần lượt là hình chiếu của H

trên các cạch ,AB AD suy ra góc giữa hai mặt bên , ' 'ABB A ADD A với đáy lần lượt là

, 45 , 60AMH ANH AMH ANH .

Đặt AH x

Tam giác AHM vuông cân tại H , ta có HM AH x

Tam giác AHN vuông tại H , ta có tan60 3

AH xHN

B C

A

H

D

K

C'

B'A'

A B

DC

D'

H

M

N




173

Theo cách dựng ta có tứ giác AMHN là hình chữ nhật, suy ra 2 2 2

3

xA H HN HM

Tam giác AHA vuông tại H , ta có 2

2 2 2 2 4 211 0

3 7

xAA AH HA x x x .

Vậy .

21. . 3. 7 3

7ABCD A B C D ABCDV AH S

.

Câu 32: Chọn D

Ta có 21. 6

2ABCS AB AC a

.

Hạ , , DH ABC H ABC HK AB K AB HM AC M AC

Theo định lí ba đường vuông góc chung, ta có , 45 , 60AB DK AC DM DKH DMH

Và tứ giác HMAK là hình chữ nhật với AK HM .

Đặt h DH , ta có cot603

hHM h .

Và

2

2 2 2 2 236 36 2sin45

hAK AD DK a a h

.

Vậy 3

2 2 108 12 2136 2

7 3 73

h Sh aa h h a V .

Câu 33: Chọn A

Kẻ SH BC H BC SH ABC .




174

Kẻ , ,HN AB M AB HN AC N AC AB SHM AC SHN và

60SNH SMH .

Ta có

2 221 3

. .2 2 2 2 8

ABAC a a aS a

. Với h SH và cot60

3

hHM HN h .

Ta có

21 3 3 3. .

2 2 2 82 3 2 3 1HAB HAC

h a a a aS S S ABHM AC HN h

.

Vậy

3

2 3 31 3 3. .

3 3 8 322 3 1

aSh a aV

.

Câu 34: Chọn B

Đặt AM x , BN y . Ta có 3. .sin60

6 12

axyAM BNV

.

Ta tìm mối quan hệ giữa x và y theo điều kiện 2MN a .

Ta có 2 22

2MN MN AM AN AM AB BN

2 2 2 2 . 2 . 2 .AM BN AB ABAM ABBN AMBN

2 2 2 2 .x a y AM BN 2 2 2 24x a y xy a .

2 2 23 2a x y xy xy xy xy 33

4

aV .

Trong đó 2 . 2 . .cos ,AM BN AM BN AM BN xy .

Câu 35: Chọn A




175

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì OA OB OC AB a .

Gọi D là hình chiếu của S trên ( )ABC thì , SD AB SD AC .

, ,

90

AB SD SD ACAB BD AC CD

SBA SCA

3, 2DB DC a AD a .

Đặt SD x . Điều kiện: 0 2 .x a

2 2

1 3// d( ;( )) d( ;( )) d( ;( )) .

2 2 3

xaOB AC B SAC O SAC D SAC

a x

2 2 2 23 .SB SD DB a x .

Theo đề 3 ( ,( )) 3 3sin ,(SAC) ( ,( )) .

8 8 8

d B SACSB d B SAC SB

SB

2 2 2 2

2 2

nhan3 33 4 3 0 .

8 3 loai2 3

x axaa x x ax a

x aa x

Vậy thể tích của khối chóp .S ABC là 31 3

. .3 12ABC

aV S SD

Câu 36: Chọn A

Áp dụng công thức tính thể tích của khối tứ diện ABCD

1. . ( ; ).sin( , ).

6ABCDV ABCD d AB CD AB CD

Ta có thể tích của khối tứ diệnABMN là:

31 1. .d( ; ).sin(a,b) . . . .sin30

6 6 2ABMN

xyV AM BN a b AM BN MN .

Câu 37: Chọn C

S là điểm chung của SAB và SCD , đồng thời / /AB CD .




176

Khi đó kẻ / / / /Sx AB CD thì Sx là giao tuyến của SAB và SCD .

Gọi ,M N lần lượt là trung điểm ,AB CD .

,SAB SCD là các tam giác cân tại S nên SM AB , SN CD .

Mặt khác SM CD SM ABCD SMN ABCD theo giao tuyến MN .

Kẻ SH MN H MN SH ABCD .

,SM Sx SN Sx nên góc 0; ; 90SAB SCD SM SN MSN .

2 27 1 1 7 1 7

. .10 2 2 10 2 5

AB CD

SAB SCD

a a aS S AB SM CD SN AB SM SN SM SN .

2 2 2 2

2 2 2 2 12.

2 25

SM SN SM SN aSM SN MN a SM SN

.

Vậy 3. 12 1 4

.25 3 25ABCD

SM SN a aSH V S SH

MN .

Câu 38: Chọn A

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC . Ta có:

BC SC

BC SCH BC HCBC SH

. Tương tự ta có BA AH .

Suy ra H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC . Do đó, H thuộc đường thẳng BD sao

cho 1

3HD DB , với D là trung điểm cạnh CD .

Ta có tứ giác ABCH nội tiếp đường tròn bán kính BH .

ABC đều cạnh 2 3a BD a .

Lại có: 3 4 4 2 3

3;4 3 3 3

BD BD aBH a HA

BH .

Gọi , G CM SD E BD SH thì G là trọng tâm SAC .

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác SDH với ba điểm , , E G B thẳng hàng, ta có

4 1 3. . 1 . . 1

3 2 2

SE HB DG SE SE

EH BD GS EH EH .




177

2 4 21d( ;( ) d( ;( ) d( ;( ) d( ;( ) d( ;( ) .

3 21

SE aA BCM S BCM H BCM H BCM A BCM

HE

Gọi K là hình chiếu của H trên CE thì K là hình chiếu của H trên BCM

4 21( ;( ) .

21

aCK d H BCM

HCE vuông tại ,H đường cao 2 2 2 2

1 1 1 9 4

316

aHK HE

HE HK HC a .

5 10.

2 3

aSH HE

Vậy thể tích của khối .S ABC là

31 10 3. .

3 9ABC

aV S SH

Câu 39: Chọn A

Áp dụng công thức tính thể tích của tứ diện gần đều, ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

.

2.

12S ABCV x y z x z y y z x 2 2 22

. 12 2 12 2 12 212

z y x

2 2 22.2 2. 6 6 6

12z y x 2 2 21

. 6 6 63

z y x

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

3

2 2 22 2 2 36 6 6

6 6 6 2 83

z y xz y x

.

Do đó: .

1 2 2. 8

3 3S ABCV . Dấu bằng xảy ra khi 2x y z .

Câu 40: Chọn D

Ta có .ADEBCF là một lăng trụ đứng có đáy ADE là tam giác vuông cân tại A với

1AD AE , cạnh bên 1AB .

Gọi I là trung điểm DE thì BI SI nên ; ;d S ADE d B ADE BH .

Ta có .

1 1 1. , . . . .

3 3 3S CDFE CDFEV d S CDEF S BH CDCE .

H

S

I

F

D

E

C

A

B




178

.

1 1. . .

2 2BCE ADFV BC BE AB . Khi đó:

. .

1 1 5

3 2 6ABCDSEF BCE ADF S CDEFV V V .

Câu 41: Chọn D

Ta có .ADEBCF là một lăng trụ đứng có đáy ADE là tam giác vuông cân tại A với

1AD AE , cạnh bên 1AB , do đó .

1 1. . .

2 2BCE ADFV BC BE AB .

Gọi H là trung điểm CE và I là hình chiếu vuông góc của H trên DE , Khi đó ta có BI vuông

góc DE với tại I và BI SI nên ; ;d S ADE d B ADE BH .

Ta có .

1 1 1. , . . . .

3 3 3S CDFE CDFEV d S CDEF S BH CDCE .

Khi đó: . .

1 1 5

3 2 6ABCDSEF BCE ADF S CDEFV V V .

Câu 42: Chọn A

Gọi , lần lượt là trung điểm các cạnh , .

Chiều cao của khối chóp là .

Và .

Thể tích khối chóp tứ giác đều là .

Ta có . Kẻ sao cho khi đó và

// //P SCD HK CD AB .

H

F

D

E

C

A

B

I

S

K

H

FE

O

C

A

B

D

S

I

E F AB CD

1 1 tan 45 tan 30 2 3tan 75 tan 45 30

2 2 2 1 tan 45 tan 30 2h

2 2

2 2 2 3 12 3

2 2SE h OE

0

2 3

3 6

ShV

SEF AB EI SF I 45IEF P ABI




179

Trong tam giác BD AC

BD SAC BD SHBD SO

có:

.

Do đó theo tỉ số thể tích có:

.

Câu 43: Chọn A

Có , và áp dụng công thức thể tích tứ diện khi biết ba góc của mặt bên tạo

với đáy.

.

Câu 44: Chọn B

Ta có thể tích của khối tứ diện đều cạnh 1a là

3 2 2

12 12

aV .

Ta có ..

. . 12 2S ABDS ABD

VSASBSD V

V và

..

2. . 6

2S CBD

S CBD

VSC SBSD V

V .

Vậy .

3 2

2S ABCDV .

Câu 45: Chọn B

12 3.

sin .sin 30 3 5 2 32 1.sin 45 2 132sin

1.2

SEI

IEF

SIS SEI SE SI

IF S FE SFIEF

0 0 0 0 0

1 1 1 1 16 9 3. . . . .

2 2 2 2 78S

SH SK SI SI SIV V V V V V

SC SD SF SF SF

10BC a23

2ABC

aS

22

2

32

22

3 cot cot cot 3 10 .0 cot 3 cot

a

SV

a b c a a a

3 3 33 3 3

2 cot 3tan 44 cot .3tan

a a a




180

Ta có thiết diện của MNP và tứ diện là hình thangMNPQ trong đó MN PQ

Có . . .BMNPQD D BPQ B MNQ Q BNPV V V V ;

.

4

9D BPQ ABCDV V

.

1 1 1 1 1. , . . ,

3 3 4 3 12Q MBN MBN ABC ABCDV S d Q MBN S d D ABC V

.

1 1 1 2 1. , . . ,

3 3 6 3 9Q BPN PBN BCD ABCDV S d Q PBN S d A PBN V

23 23 2 23 2.

36 36 12 432BMNPQD ABCDV V .

Câu 46: Chọn D

Ta có 2 2 2 2 2 2

02 2

AD AC CD AD AB BDADBC ADAC ADAB AD BC

Gọi H là hình chiếu của A lên BCD ; M DH BC suy ra M nằm giữa BC .

Do BC AH

BC DMBC AD

.

Trong ADM dựng MN AD tại N suy ra MN là đoạn vuông góc chung của ,AD BC

5

4

aMN . Ta thấy góc giữa AD và BCD là 045ADH .

Ta có 2 25 2 1102

4 4

a aDM MN BM BD MN .




181

2 2 2 2 2 3 5;

4 4

a aAN AB BN AB BM MN DN MN .

Do đó 2AD AN DN a .

Câu 47: Chọn D

Kẻ AE BB , AF CC AEF AA .

.ABC ABC AEFV AA S

.

Ta có , 1AE d A BB , , 3AF d A CC , , 2EF d C BB .

Vì tam giác AEF vuông tại A và 1 3

.2 2AEF

S AE AF .

Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh BC , BC và H MN EF AH MN (do

/ /MN AA ) và H là trung điểm EF 12

EFAH .

Ta có 4

3A G

32

2AM AG .

Hình bình hành AAMN có .AAMNS AG AM

.AHMN

2

2 42 1.

3AA AA

8 3

9AA . Vậy .

3 8 3 4.

2 9 3ABC A B CV

.

Câu 48: Chọn D

Ta có . .

1 1

3 4A ABC ABC A B CV V

và

1 1 1. , .2.1 1

2 2 2ABA ABB AS S BB d A BB

.

Và 1 1 1 3

. . , .2. 32 2 2 4ACA ACC A

S S CC d A CC

.

Vậy .

13.2.3 . 34sin ,

2. . 42.1. 3

A ABC

ABA ACA

AA SABB A ACC A

S S

.

Suy ra 2

3 13cos , 1

4 4ABB A ACC A

.

Câu 49: Chọn B

H

N

M

A' C'

B'

B

CA

E

F

G'




182

Diện tích mặt đáy 3

4S ; diện tích các mặt bên SBC ; SCA , SAB kí hiệu lần lượt là 1

S ,

2S , 3

S . Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC và M , N , P lần lượt là

hình chiếu vuông góc của H lên BC , CA , AB . Khi đó các góc SMH , SNH , SPH lần lượt là

góc giữa các mặt bên SBC ; SCA , SAB và đáy ABC .

Theo định lý diện tích hình chiếu vuông góc, ta có: 1cos

HBCS

SSMC

1. .

2BC HM

HM

SM

1

.2BC HM

1

2SM 2 21

2h HM . Tương tự có 2 2

2

1

2S h HN , 2 2

3

1

2S h HP .

Mặt khác 1 2 33 . , . , . , . ,V S d S ABC S d A SBC S d B SCA S d C SAB .

Suy ra 2 2 2 2 2 23 6 15 301

4 8 20 40h h HM h HN h HP .

Mặt khác 2 2 2

HBC HCA HABS S S

HM HN HPBC CA AB

3

2 2 22HBC HCA HAB

S S S S .

Kết hợp 1 , 2 suy ra 3

12h và

1 1 3 3 1. . . .

3 3 4 12 48V S h .

Câu 50: Chọn D


. .sin302 4

S AB AC .

Chiều cao khối lăng trụ xác định bởi:

2 22 2 2

2 2

2 2

. .cot .cotsin sin

cos

h hd d h

ad h

2 2 2

2

4 11 2 . 1

3 3 32 1

h h h

h

3

31h . Vậy

93.

124V S h .

Câu 51: Chọn A


. .sin 302 4

S AB AC .

M

A C

B

S

HP

N




183

Chiều cao khối chóp xác định bởi:

2 22 2 2

2 2

2 2

. .cot .cotsin sin

cos

h hd d h

ad h

2 2 2

2

3 9 2 . 9 4 3

2 9

h h h

h

3

29h . Vậy

1 35 29. .

3 116V S h .

Câu 52: Chọn A.


.2 2

S AB AC .

Chiều cao khối chóp xác định bởi:

2 22 2 2

2 2

2 2

. .cot .cotsin sin

cos

h hd d h

ad h

2 2 2

2

4 31 2 . 1

3 301

h h h

h

21

7h . Vậy

1 1. .

3 2V S h .

Câu 53: Chọn D

Có

2

2

0 0 0

32

22 3

203 .cot .cot .cot 3 2.cot 30 3.cot 45 1.cot60

SV

a b c

Câu 54: Chọn A

Có

22

3 .cot .cot .cot

SV

a b c

2

32

2 3

213 2.cot 3

3

1 1cot cos

23

Câu 55: Chọn B

Kẻ SH BC SH ABC , kẻ ,HE AB HF AC

Ta có: 060SEH SFH và 0 0.cot60 .cot60HE SH h , 0 0.cot60 .cot60HF SH h




184

Diện tích đáy bằng 21.

2S AB AC a

0 01 1. . . .cot60 2 . .cot60

2 2HAB HACS S S ABHE AC HF a h a h

Vậy 2 2

2 3

3 3

S ah

a a

3. 2 3

3 9

S h aV

Cách 2.

Có

2 4 32 2 2 3

93 .cot .cot .cot 1 13 5.0 2. . .

3 3

S a aV

a b ca a a

Câu 56: Chọn A

Có

22

3 .cot .cot .cot .cot

SV

a b c d

22

3

32

4 3 32

2613 .0 . 3 .1 .

3

aa

a a a a

Câu 57: Chọn A

Khối tứ diện vuông AMNP có 1

. . .6AMNP

V AM AN AP

Theo quy tắc hình hộp, có: 'AC AB AD AA . .AB AD AA

AC AM AN APAM AN AP

1 2 3AC AM AN AP

AM AN AP

Vì bốn điểm , , ,M N P C đồng phẳng nên 1 2 3

1AM AN AP

Vì vậy theo bất đẳng thức AM GM , ta có:

31 2 3 1 1 1

1 3 . .AM AN AP AM AN AP

. . 6.27AMAN AP 27AMNPV

Câu 58: Chọn C

Ta có 2

01 1 3. . , .sin , . . . .sin60

6 6 12ABCD

aV AD BC d AD BC AD BC AD BC AB AD

Ta đi tính độ dài đoạn thẳng AD dựa trên giả thiết CD AD , 0, 60AD BC ,

,AB AD AB BC

Có: . . . .AD BC AD AC AB AD AC AD AB

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

AD AC CD AD AB BD AC BD CD AB

2 2 2 2 2 2 2

2

AB BC AB AD AC AD AB

2 2 2 222

2

AB AD BC ACAD

Và .. . .cos ,

2

a ADAD BC AD BC AD BC . Vậy 2.

2 2

a AD aAD AD




185

Do đó: 3 3

24ABCD

aV

Câu 59: Chọn B

Gọi ,E F lần lượt là trung điểm của cạnh ,BC AD . Ta có

BC AE BC EF

BC ADEBC DE BC AD

.

,ABC DBC AE DE EF AD EF d AD BC .

Vậy 1 1

. . , .sin , . .6 6ABCD

V AD BC d AD BC AD BC AD BC FE .

Ta có

2 2 2 2 22 2 1

4 4 4 4 4

AD BC AD BC ADFE AE AB

.

Vậy 2 2

2 2 2 21 1. . 1 . . 4

6 4 4 12ABCD

BC ADV AD BC AD BC AD BC

32 2 2 21 4 2 3

12 3 27

AD BC AD BC

.

Dấu đẳng thức xảy ra 2 2 2 2 2 14

3 3AD BC AD BC AD BC FE .

Câu 60: Chọn C

Ta có 3 2

, 3. 23

OABC

ABC

Vd O ABC

S .

Vậy

32 2 2 2 2 22

1 1 1 1 1 1 1 13 . .

4 , OA OB OC OA OB OCd O ABC .

Suy ra 31 12

. . 4 36 6OABC

V OAOBOC .

Câu 61: Chọn D

E

D

A'

C'

B'

C

B

A

F

E

DC

B

A




186

Hạ AD BB và AE CC suy ra // //ADE AA BB CC và 1, 3 , 2AD AE DE .

Ta có .

3 3 1 2 3. . 3

2 3 2 3ADE ABC A B C ADE

AA BB CCS V S

.

Câu 62: Chọn A

Gọi D là hình chiếu vuông góc của S lên ABC . Ta có

BA SA

BA SAD BA ADBA SD

và

BC CSBC SCD BC CD

BC SD

.

Vậy ABCD là hình chữ nhật tâm O và 2

.

1 1 2. . . .

3 6 6S ABC ABC

aV S SD BA BC SD SD .

Đặt SD x ta có , ,d B SAC d D SAC và tứ diện DSAC vuông tại D nên

2 2 2 2 2 22 2 2

1 1 1 1 1 1 1 2,

2, 3 2

xad D SAC

DC DA DS a a xd D SAC x a

và

2 2

2 2

2, , 113 2sin , 3

113

xad B SAC d D SAC x aSB SAC x a x a

SB SB x a

.

Do đó 36

6

aV .

Câu 63: Chọn A

Kẻ ,OH AB OK CH suy ra

OK ABC ABC OMN OK OMN K MN .

O

D

S

C

A B

H

K

N

M

C

B

A

O




187

Ta có 2

,1

OA OBH K

OC OH

lần lượt là trung điểm của ,AB CH .

Ta có 2 4CA CB

CH CA CB CK CM CNCM CN

.

Do , ,M K N thẳng hàng nên 4CA CB

CM CN .

Vậy 1

4 2 . . 4 .4

CA CB CA CB CA CB CM CN

CM CN CM CN CM CN CA CB .

Vì vậy 3 3 1

1 1 .4 4 4

OAMNB AMNB CMNOAMNB OABC

OABC ABC CAB

V S S CM CNV V

V S S CA CB .

Câu 64: Chọn A

Ta có 3 6OA OB OC

OG OA OB OC OI OD OE OFOD OE OF

1 2 36OI OD OE OF

OD OE OF .

Do , , ,D E F I đồng phẳng nên ta có 1 2 3

6OD OE OF

.

Vậy 31 2 3 1 2 3 4 2

6 3 . . . .3 9ODEF

ODOEOF VOD OE OF OD OE OF

.

Câu 65: Chọn D

Gọi ,E F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên ,BB CC .

Ta có 1, 2AE AF và // //AA BB CC nên

F

E

D

I

G

C

B

A

O

H

M

N

F

E

A'

C'

B'

C

B

A




188

,AE AA AF AA EFA AA EF AA . Do đó , 5FE d C BB .

Gọi N là trung điểm của BC , //H FE MN AH MN MN AA .

Ta có H là trung điểm của FE và 2 2 2 5AE AF EF nên 5

2 2

FEAH .

Tam giác vuông AMN có AN AM và :

2 2 2 2

1 1 1 4 1 1 15 15 2 155

5 5 3 9 3AM AA

AH AM AN AM .

Mặt khác do

0, , 60

AM AB CA B C AEF AM AA MAA

AA AEF

.

Tam giác AEF là hình chiếu vuông góc của tam giác ABC lên mặt phẳng AEF . Vì vậy theo

định lý hình chiếu ta có:

.

1.1.2

15 2 152 2 . 2.3 315cos

3

2 15

3

AEFA B C ABC A B C A B C

SS V S AM

MAA

.

Câu 66: Chọn A

Gọi ,E F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên ,BB CC .

Ta có 1, 2AE AF và // //AA BB CC nên ,AE AA AF AA EFA AA .

Do đó 0 1 3, 90 .

2 2AEFEAF ABB A ACC A S AE AF .

Gọi N là trung điểm của BC , //H FE MN AH MN MN AA .

Ta có H là trung điểm của FE và 2 2

12 2

EF AE AFAH

.

Tam giác vuông AMN có 2 3

3AN AM và

2 2 2

1 1 1 4 32

3AM AA

AH AM AN . Vậy .

3 4 3. . 2

2 3ABC A B C AEFV S AA

.

Câu 67: Chọn C

H

M

N

F

E

A'

C'

B'

C

B

A




189

Gọi H là hình chiếu của A lên ABC H là trọng tâm tam giác ABC .

N là trung điểm BC , dựng hình bình hành ACBE .

Ta có 3 3

; ; ; ;2 4

ad AA BC d BC AAE d N AAE d H AAE

3

;6

ad H AAE .

Kẻ HK AA , khi đó ta chứng minh được HK A AE nên ;d H A AE HK .

Xét AAH có 2 2 2

1 1 1

3

aA H

HK HA HA

.

Do đó 2 3

. .

2 2 2 3 3. . . .

3 3 3 3 4 18A BB C C ABC A B C ABC

a a aV V AH S

.

Câu 68: Chọn B

Gọi M là trung điểm BC , D là hình chiếu của S lên BC . Dựng hình chữ nhật AMDF .

Khi đó ta có DF BC

BC SDFSD BC

.

Từ D , F lần lượt kẻ DK SF K SF , FE SD E SD .

Ta cso BC SDF BC EF . Mặt khác ; ;EF SD d A SBC d E SBC EF .

Tương tự, ta có ; ;d SA BC d D SAF DK do AF SDF DK SF

DK AFDK SF

.


5

aEF DK . Do đó SDF cân tại S .

Khi đó hình chiếu của S lên ABC là trung điểm H của DF hay ttrung điểm AC .




190

Xét hai tam giác đồng dạng SDF và FDE có 2 2

132

3

AMSH DH a

SHEF DE DF EF

Vậy 2 3

.

1 1 3 3. . . .

3 3 4 2 8S ABC ABC

a a aV S SH

.

Câu 69: Chọn A

Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A , B lên EF .

Khi đó FH EK a AH BK a .

Ta có . . .ABCDEF D AHF C CEK DAH CAK

V V V V 1 1

. . . .3 3AFH CEK BCKDAS BC S ABS

31 1 1 1 1 5 2. 2. . . . 2. . . . . . 2

3 2 3 2 2 6

aa a a a a a a a a .

Câu 70: Chọn C

Hạ AM BB và AN DD AMN AA

Do đó . .

2 2 .ABCD ABCD ABD ABD AMNV V S AA

Vì

/0

/6

/ /, ,

BB C C ADDAABB A ADDA BB C C C CDD

C CDD ABB A

.

Khi đó 60MAN hoặc 120MAN 1 3 1 3 3

. . .1.1.2 2 2 2 4AMN

S AM AN .

Hình bình hành ABBA có . 1. . 2.2 2

ABB AS

AAM BB

A AAAA B AA AB A

.

Vậy .3

ABCD A B C DV

.




191

DẠNG 6. TỈ SỐ THỂ TÍCH

Câu 1: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB , AC và AD đôi một vuông góc. Các điểm , ,M N P lần lượt

là trung điểm các đoạn thẳng , ,BC CD BD . Cho biết 4 , 6 , 7AB a AC a AD a . Tính thể tích V

của khối tứ diện AMNP .

A. 37V a . B. 328V a . C. 314V a . D. 321V a .

Câu 2: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Gọi M là trung điểm của

SB . P là điểm thuộc cạnh SD sao cho 2SP DP . Mặt phẳng AMP cắt cạnh SC tại N . Tính

thể tích của khối đa diện ABCDMNP theo V

A. 23

30ABCDMNPV V . B.

19

30ABCDMNPV V . C.

2

5ABCDMNPV V . D.

7

30ABCDMNPV V .

Câu 3: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , o60BAD và SA vuông góc với

mặt phẳng ABCD . Góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD bằng o45 . Gọi M là điểm đối

xứng của C qua B và N là trung điểm của SC . Mặt phẳng MND chia khối chóp .S ABCD

thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S có thể tích là 1V , khối còn lại có thể

tích là 2V . Tính tỉ số 1

2

V

V.

A. 1

2

1

5

V

V . B. 1

2

5

3

V

V . C. 1

2

12

7

V

V . D. 1

2

7

5

V

V .

Câu 4: Cho khối lăng trụ .ABC ABC . Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và song song

với BC cắt các cạnh AB , AC lần lượt tại D , E . Mặt phẳng A DE chia khối lăng trụ thành

hai phần, tính tỉ số thể tích của chúng.

A. 2

3. B.

4

23. C.

4

9. D.

4

27.

Câu 5: Cho tứ diện ABCD có thể tích V . Xét điểm P thuộc cạnh AB , điểm Q thuộc cạnh BC và điểm

R thuộc cạnh BD sao cho 2PA

PB , 3

QB

BC , 4

RB

RD . Tính thể tích của khối tứ diện BPQR .

A. 5

V. B.

4

V. C.

3

V. D.

6

V.

Câu 6: Cho hình chóp tứ giác .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm A , C thỏa mãn

1

3SA SA ,

1

5SC SC . Mặt phẳng P chứa đường thẳng AC cắt các cạnh SB , SD lần lượt

tại B , D và đặt .

.

S A B C D

S ABCD

Vk

V . Giá trị nhỏ nhất của k là?

A. 1

60. B.

1

30. C.

4

15. D.

15

16.




192

Câu 7: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của

các cạnh AB , BC . Điểm I thuộc đoạn SA . Biết mặt phẳng MNI chia khối chọp .S ABCD

thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng 7

13 lần phần còn lại. Tính tỉ số

IAk

IS ?

A. 1

2. B.

3

4. C.

2

3. D.

1

3.

Câu 8: Cho hình chóp tứ giác .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm A , C thỏa mãn

1

3SA SA ,

1

5SC SC . Mặt phẳng P chứa đường thẳng AC cắt các cạnh SB , SD lần lượt

tại B , D và đặt .

.

S A B C D

S ABCD

Vk

V . Giá trị lớn nhất của k là?

A. 4

105. B.

1

30. C.

4

15. D.

4

27.

Câu 9: Cho tứ diện đều có chiều cao h , ở ba góc của tứ diện người ta cắt đi các tứ diện bằng nhau có

chiều cao x để khối đa diện còn lại có thể tích bằng một nửa thể tích của khối đa diện đều ban

đầu. Tìm x .

A. 3 2

hx . B.

3 3

hx . C.

4 4

hx . D.

3 6

hx .

Câu 10: Cho lăng trụ .ABC ABC .Trên các cạnh ,AA BB lần lượt lấy các điểm ,E F sao cho

,AA kAE BB kB F . Mặt phẳng (C )EF chia khối trụ đã cho thành hai khối đa diện bao gồm

khối chóp ( . )C ABFE có thể tích 1V và khối đa diện (ABCEFC ) có thế tích

2V . Biết rằng 1

2

2

7

V

V

tìm k.

A. 4k . B. 3k . C. 1k . D. 2k .

Câu 11: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , tâm O . Hình chiếu vuông

góc của điểm S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm H của đoạn thẳng AO . Biết mặt phẳng

SCD tạo với mặt đáy ABCD một góc 60 . Thể tích khối chóp .S ABCD bằng

A. 39 3

4a . B. 33

4a . C. 33

4a . D. 33 3

4a .

Câu 12: Cho hình chóp tứ giác .S ABCD đáy ABCD là hình thoi cạnh a , D 60BA và SA vuông góc

với mặt phẳng ABCD . Góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD là 45 . Gọi M là điểm

đối xứng của C qua B và N là trung điểm SC . Mặt phẳng MND chia khối chóp thành hai

khối đa diện, trong đó khối đa diện có đỉnh S có thể tích là 1V , khối đa diện còn lại có thể tích

2V . Tính tỉ số 1

2

V

V

A. 1

2

12

7

V

V . B. 1

2

5

3

V

V . C. 1

2

1

5

V

V . D. 1

2

7

5

V

V .

Câu 13: Cho hình lăng trụ .ABC ABC có thể tích bằng 348cm . Gọi , ,M N P theo thứ tự là trung

điểm các cạnh ,CC BC và BC . Tính thể tích của khối chóp .A MNP .




193

A. 38 .cm B. 312 .cm C. 324 .cm D. 316.

3cm

Câu 14: Cho hình chóp .S ABC có đáy là ABC vuông cân ở ,B 2 ,AC a SA ABC , .SA a Gọi

G là trọng tâm của SBC , mp đi qua AG và song song với BC chia khối chóp thành hai

phần. Gọi V là thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh S . Tính V .

A. 35

54

a. B.

32

9

a. C.

34

27

a. D.

34

9

a.

Câu 15: Cho tứ diện đều có chiều cao h , ở bốn góc của tứ diện người ta cắt đi các tứ diện đều bằng nhau

có chiều cao x để khối đa diện còn lại có thể tích bằng 3

4 thể tích của khối đa diện ban đầu. Tìm

x .

A. 3 4

hx . B.

3 16

hx . C.

3 12

hx . D.

3 6

hx .

Câu 16: Cho khối hộp .ABCDABCD . Lấy điểm E thuộc cạnh BB sao cho 4

BBBE

, điểm F thuộc

cạnh DD sao cho 3

4

DDDF

. Mặt phẳng qua ba điểm , ,A E F chia khối hộp thành hai phần.

Tính tỉ số hai phần ấy.

A. 2 . B. 1 . C. 3

2. D.

4

3.

Câu 17: Cho khối lăng trụ tam giác .ABC ABC . Gọi ,M N lần lượt thuộc các cạnh bên ,AA CC sao

cho ; 4MA MA NC NC . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Hỏi trong bốn khối tứ diện

, ,GABC BBMN ABBC và ABCN , khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất?

A. Khối ABBC . B. Khối ABCN . C. Khối BBMN . D. Khối GABC .

Câu 18: Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD . Mặt phẳng P qua A và vuông góc SC cắt SB ,SC , SD

lần lượt tại B , C , D . Biết C là trung điểm SC . Gọi 1V ,

2V lần lượt là thể tích hai khối chóp

.S ABCD và .S ABCD . Tính tỉ số 1

2

V

V.

A. 1

2

2

3

V

V . B. 1

2

2

9

V

V . C. 1

2

4

9

V

V . D. 1

2

1

3

V

V .

Câu 19: Cho hình chóp đều .S ABC , có đáy là tam giác đều cạnh bằng a . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm

của các cạnh ,SB SC . Biết mặt phẳng AMN vuông góc với mặt phẳng SBC . Tính thể tích V

của khối chóp .ABCNM .

A. 35

32

aV . B.

32

16

aV . C.

32

48

aV . D.

35

96

aV .




194

Câu 20: Cho hình chóp tam giác .S ABC . Gọi M là trung điểm của SA , lấy điểm N trên cạnh SB sao cho

2

3

SN

SB . Mặt phẳng qua MN và song song với SC chia khối chóp thành hai phần. Gọi

1V

là thể tích của khối đa diện chứa đỉnh A , 2V là thể tích của khối đa diện còn lại. TÍnh tỉ số 1

2

.V

V

A. 1

2

7

16

V

V . B. 1

2

7

18

V

V . C. 1

2

7

11

V

V . D. 1

2

7

9

V

V .

Câu 21: Cho khối hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCDA B C D có 4 ; 6 ; ' 7AB a AD a AA a . Các điểm , ,M N P thỏa

mãn 2 ; 3 ; 4 'AM AB AN AD AP AA . Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP .

A. 3168V a . B. 3672V a . C. 3336V a . D. 31008V a .

Câu 22: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi 'C là trung điểm của SC . Mặt phẳng P

chứa 'AC cắt các cạnh ,SB SD lần lượt tại ', 'B D . Đặt . ' ' '

.

S B C D

S ABCD

Vm

V .Giá trị nhỏ nhất của m bằng

A. 2

27. B.

4

27. C.

1

9. D.

2

9.

Câu 23: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi C là trung điểm cạnh SC . Mặt

phẳng P chứa đường thẳng AC cắt các cạnh SB , SD lần lượt tại B , D . Đặt .

.

S B C D

S ABCD

Vm

V .

Giá trị lớn nhất của m bằng

A. 1

9. B.

1

8. C.

3

8. D.

4

9.

Câu 24: Cho khối tứ diện đều ABCD . Gọi , , , , ,M N P Q R S lần lượt là trung điểm của các cạnh

, , , , ,AB AC AD BC CD DB . Biết thể tích của khối bát diện đều MQNPSR bằng 39 2 cm . Tính độ

dài cạnh của tứ diện đều ABCD .

A. 2 cm . B. 3 cm . C. 6 cm . D. 3 2 cm .

Câu 25: Cho khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi ,M N lần lượt là các điểm trên cạnh

1, : , 2

2

AM ANAB AC

BM CN . Mặt phẳng chứa MN , song song với AD chia khối tứ diện

thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V . Tính V

A. 34 2

108

aV . B.

35 2

108

aV . C.

34 2

81

aV . D.

311 2

342

aV

Câu 26: Cho khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm các cạnh ,AB BC

và E là điểm thuộc tia đối của tia DB sao cho BE

kBD

. Tìm k để mặt phẳng MNE chia khối

tứ diện thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh B có thể tích 311 2

294

aV

A. 6

5k . B. 6k . C. 4k . D. 5k .




195

Câu 28: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Trên cạnh lấy các điểm ,M N sao cho

SM MN NA . Hai mặt phẳng song song với ABCD và lần lượt đi qua ,M N chia

khối chóp đã cho thành ba phần. Nếu phần trên có thể tích bằng 310 dm thì phần ở giữa có thể

tích là

A. . B. . C. . D. .

Câu 29: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi ,M N lần lượt là trung điểm các

cạnh ,SA SD . Mặt phẳng chứa MN và cắt các tia ,SB SC lần lượt tại P và Q . Đặt

SPx

SB ,

1V là thể tích của khối chóp .SMNQP và V là thể tích khối chóp .S ABCD . Tìm x để

12V V .

A. 1

2x . B.

1 33

4x

. C.

1 41

4x

. D. 2x .

Câu 30: Cho lăng trụ đứng tam giác . ' ' 'ABC A B C . Gọi , , ,M N P Q là các điểm lần lượt thuộc các cạnh

', ', ', ' 'AA BB CC B C thỏa mãn 1 1 1 ' 1

, , ,' 2 ' 3 ' 4 ' ' 5

AM BN CP C Q

AA BB CC B C . Gọi 1 2

,V V lần lượt là thể

tích khối tứ diện MNPQ và khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C . Tính tỷ số 1

2

V

V.

A. 1

2

11

30

V

V . B. 1

2

11

45

V

V . C. 1

2

19

45

V

V . D. 1

2

22

45

V

V .

Câu 31: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của

các cạnh AB , BC . Điểm K thuộc đoạn SA . Biết mặt phẳng MNK chia khối chóp .S ABCD

thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng 7

13 lần phần còn lại. Tính tỉ số

KAtKS

.

A. 1

2t . B.

3

4t . C.

1

3t . D.

2

3t .

Câu 32: Cho khối hộp chữ nhật .ABCDABCD có thể tích bằng 2110 . Biết AM MA , 3DN ND ,

2CP CP như hình vẽ. Mặt phẳng MNP chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích

khối đa diện nhỏ hơn bằng

A. 5275

6. B.

5275

12. C.

7385

18. D.

8440

9.

Câu 33: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình chữ nhật, 2AB a , BC a , 2SA SB SC SD a .

Giả sử E thuộc cạnh SC sao cho 2SE EC , F là điểm thuộc cạnh SD sao cho 1

3SF FD . Thể

tích khối đa diện SABEF bằng:

.S ABCD SA

( ), ( )

370 dm 380 dm 3180 dm 3190 dm




196

A. 35 3

36

a. B.

33

18

a. C.

32 3

9

a. D.

32 3

27

a.

Câu 34: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng song song với đáy cắt

các cạnh bên , , , SA SB SC SD lần lượt tại , , , M N P Q . Gọi , , , M N P Q lần lượt là hình

chiếu của , , , M N P Q trên mặt phẳng đáy. Tìm tỉ số SM

SA để thể tích khối đa diện

.MNPQMNPQ đạt giá trị lớn nhất.

A. 3

4. B.

2

3. C.

1

2. D.

1

3.

Câu 35: Cho khối chóp .S ABCD có đáy là hình thang với hai đáy là AB và CD , 2AB CD . Gọi E là

một điểm trên cạnh SC . Mặt phẳng ABE chia khối chóp .S ABCD thành hai khối đa diện có thể

tích bằng nhau. Tính tỉ số SE

SC.

A. 10 2

2

. B. 6 2 . C. 2 1 . D.

26 4

2

.

Câu 36: Cho hình chóp .S ABC . Một mặt phẳng song song với đáy ABC cắt các cạnh bên , , SA SB SC

lần lượt tại , , M N P . Gọi , , M N P lần lượt là hình chiếu của , , M N P trên mặt phẳng đáy.

Tìm tỉ số SM

SA để thể tích khối đa diện .MNPMNP đạt giá trị lớn nhất.

A. 3

4. B.

2

3. C.

1

2. D.

1

3.

Câu 37: Cho hình chóp .S ABC . Một mặt phẳng P song song với đáy ABC cắt các cạnh bên

, , SA SB SC lần lượt tại , , M N P . Tìm tỉ số SM

SA để P chia khối chóp đã cho thành hai khối

đa diện có thể tích bằng nhau.

A. 3

1

2. B.

3

1

4. C.

1

2. D.

1

4.

Câu 38: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA ABCD . Trên đường thẳng

vuông góc với ABCD tại D lấy điểm S thỏa mãn 1

2S D SA vàS ,S ở cùng phía đối với mặt

phẳng ABCD . Gọi 1V là phần thể tích chung của hai khối chóp .S ABCD và .S ABCD . Gọi

2V

là thể tích khối chóp .S ABCD . Tỉ số 1

2

V

V bằng

A. 4

9. B.

7

9. C.

7

18. D.

1

3.

Câu 39: Cho hình chóp .S ABC có tất cả các cạnh đều bằng a , một mặt phẳng P song song với mặt đáy

ABC cắt các cạnh bên , ,SA SB SC lần lượt tại , ,M N P . Tính diện tích tam giác MNP biết mặt

phẳng P chia khối chóp đã cho thành hai khối đa diện có diện tích bằng nhau.




197

A. 2 3

8MNP

aS . B.

2 3

16MNP

aS . C.

2

3

3

4 2MNP

aS . D.

2

4

3

4 4MNP

aS .

Câu 40: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên đường thẳng qua D và song song

với SA lấy điểm S thỏa mãn SD kSA với 0k . Gọi 1V là phần thể tích chung của hai khối

chóp .S ABCD và .S ABCD . Gọi 2V là thể tích khối chóp .S ABCD . Tỉ số 1

2

V

V bằng

A.

2

2

2

2 1

k k

k

. B.

2

3 2

2 1

k

k

. C.

2

2

3 2

2 1

k k

k

. D.

1

k

k .

Câu 41: Cho hình chóp tam giác đều .S ABC . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , biết góc tạo bởi SG và

SBC bằng 30 . Mặt phẳng chứa BC và vuông góc với SA chia khối chóp đã cho thành hai

phần có thể tích 1V ,

2V trong đó 1

V là phần thể tích chứa điểm S . Tỉ số 1

2

V

V bằng

A. 6 . B. 1

6. C.

6

7. D. 7 .

Câu 42: Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh bên tạo với đường cao một góc 030 , O là trọng tâm

tam giác ABC . Một hình chóp tam giác đều thứ hai .OABC có S là tâm của tam giác ABC

và cạnh bên của hình chóp .OABC tạo với đường cao một góc 060 sao cho mỗi cạnh bên SA ,

SB , SC lần lượt cắt các cạnh bên OA , OB , OC . Gọi 1V là phần thể tích chung của hai khối

chóp .S ABC và .OABC . Gọi 2V là thể tích khối chóp .S ABC . Tỉ số 1

2

V

V bằng

A. 9

16. B.

1

4. C.

27

64. D.

9

64.

Câu 43: Một viên đá có dạng khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Người ta cưa viên đá theo

mặt phẳng song song với mặt đáy của khối chóp để chia viên đá thành hai phần có thể tích bằng

nhau. Tính diện tích thiết diện viên đá bị cưa bởi mặt phẳng nói trên.

A. 2

3 4

a. B.

2

3 2

a. C.

2

2

a. D.

2

32 2

a.

Câu 44: Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm tam giác BCD . Tính thể tích của khối

chóp .AGBC .

A. 3V . B. 4V . C. 6V . D. 5V .

Câu 45: Cho hình lăng trụ tam giác .ABC ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh

2AC a . Biết AC tạo với mặt phẳng ABC góc 60 và 4AC . Tính thể tích V của khối

đa diện ABCBC .

A. 8

3V . B.

16

3V . C.

8 3

3V . D.

16 3

3V .




198

Câu 46: Cho hình hộp .ABCDABCD . Gọi 1V là phần thể tích chung của hai khối của hai khối tứ diện

ABCD và ABCD . Gọi 2V là thể tích khối hộp .ABCDABCD . Tỉ số 1

2

V

V bằng

A. 1

2. B.

1

6. C.

1

3. D.

1

4.

Câu 47: Cho lăng trụ .ABC ABC , trên các cạnh AA ,BB lấy các điểm M ,N sao cho 3AA AM ,

3BB BN . Mặt phẳng CMN chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Gọi 1V là thể tích của

khối chóp .C ABNM , 2V là thể tích của khối đa diện ABCMNC . Tỉ số 1

2

V

V bằng:

A. 1

2

4

7

V

V . B. 1

2

2

7

V

V . C. 1

2

1

7

V

V . D. 1

2

3

7

V

V .

Câu 48: Cho hình chóp .S ABCD đáy là hình bình hành. Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của ,SA SC .

Mặt phẳng ( )BMN cắt SD tại P . Tỉ số .

.

S BMPN

S ABCD

V

V bằng:

A. .

.

1

16S BMPN

S ABCD

V

V . B. .

.

1

6S BMPN

S ABCD

V

V . C. .

.

1

12S BMPN

S ABCD

V

V . D. .

.

1

8S BMPN

S ABCD

V

V .

Câu 49: Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 54 , gọi , ,M N P lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC ,

ACD , ADB . Tính thể tích của khối tứ diện AMNP .

A. 27

2V . B. 4V . C. 9V . D. 16V .

Câu 50: Cho hình hộp .ABCDABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 6 và góc nhọn bằng 45 ,

cạnh bên của hình hộp bằng 10 và tạo với mặt phẳng đáy một góc 45 . Tính thể tích khối đa diện

ABCDDB .

A. 180V . B. 60V . C. 90V . D. 120V .

Câu 51: Cho khối lăng trụ tam giác .ABC ABC , gọi M , N lần lượt thuộc các cạnh bên AA , CC sao

cho MA MA , 4NC NC . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Hỏi trong bốn khối tứ diện

GABC , BBMN , ABBC và ABCN , khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất?

A. Khối ABCN . B. Khối GABC . C. Khối ABBC . D. Khối BBMN .

Câu 52: Cho khối lăng trụ tam giác .ABC ABC có thể tích bằng 60 . Gọi M , N , P lần lượt thuộc các

cạnh bên AA , BB , CC sao cho 2MA MA , 3NB NB , 4PC PC . Tính thể tích khối đa

diện BCMNP .

A. 40 . B. 30 . C. 31 . D. 85

3.

Câu 53: Cho khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB , BC và E đối xứng với điểm B qua D . Mặt phẳng MNE chia khối tứ diện ABCD thành

hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V . Tính V .

A. 313 2

216

aV . B.

37 2

216

aV . C.

32

18

aV . D.

311 2

216

aV .




199

Câu 54: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 48 . Kí hiệu M , N

lần lượt là các điểm thuộc cạnh AB , CD sao cho MA MB , 2ND NC . Tính thể tích V của

khối chóp .SMBCN .

A. 40V . B. 8V . C. 20V . D. 28V .

Câu 55: Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có thể tích bằng V. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của ' ',A B AC

và P là điểm thuộc cạnh 'CC sao cho 2 'CP C P . Tính thể tích khối tứ diện BMNP theo V.

A. 2

9

V. B.

3

V. C.

5

24

V. D.

4

9

V.

Câu 56: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi ,M N lần lượt là trọng tâm các tam giác ,ABD ABC

và E là điểm đối xứng với B qua D . Mặt MNE chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa

diện trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V . Tính V .

A. 39 2

320

aV . B.

33 2

320

aV . C.

32

96

aV . D.

33 2

80

aV .

Câu 57: Cho hình lăng trụ .ABC ABC có thể tích V . Các điểm M , N , P trên các cạnh AA , BB ,

CC sao cho AM

xAA

, BN

yBB

, CP

zCC

. Biết thể tích của khối đa diện .ABCMNP bằng 1

2V .

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 1x y z . B. 2x y z . C. 3

2x y z . D.

2

3x y z .

Câu 58: Cho khối tứ diện OABC có , ,OA OB OC đôi một vuông góc và 1, 2, 3OA OB OC . Gọi

, ,D E F lần lươt là chân đường cao hạ từ đỉnh O xuống các cạnh , ,BC CA AB . Thể tích khối tứ

diện ODEF bằng

A. 36

325. B.

276

325. C.

289

325. D.

49

325.

Câu 59: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm các cạnh ,AB BC .

Điểm P trên cạnh CD sao cho 2PD CP . Mặt phẳng MNP cắt AD tại Q . Tính thể tích khối

đa diện BMNPQD .

A. 2

16. B.

23 2

432. C.

2

48. D.

13 2

432.

Câu 60: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng 1 . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm các cạnh ,AB BC . Điểm

P trên cạnh CD sao cho 2PC PD . Mặt phẳng MNP cắt AD tại Q . Thể tích khối đa diện

BMNPQD bằng

A. 11 2

216. B.

2

27. C.

5 2

108. D.

7 2

216.

Câu 61: Cho khối lăng trụ .ABC ABC có thể tích bằng 1 . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm các đoạn

thẳng AA vàBB . Đường thẳng CM cắt đường thẳng C A tại P , đường thẳng CN cắt đường

thẳng C B tạiQ . Thể tích của khối đa diện lồi AMPBNQ bằng

A. 1. B. 1

3. C.

1

2. D.

2

3.




200

Câu 62: Cho khối chóp tứ giác đều .S ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M là điểm đối xứng của C

qua D , N là trung điểm của cạnh SC . Mặt phẳng BMN chia khối chóp .S ABCD thành hai

khối đa diện. Tính thể tích V của khối đa diện chứa đỉnh S .

A. 315 2

144

aV . B.

37 2

72

aV . C.

311 2

144

aV . D.

37 2

144

aV .

Câu 63: Cho hình hộp . ' ' ' 'ABCDA B C D có đường cao bằng 8 và đáy là hình vuông cạnh bằng 6 . Gọi

, , ,M N P Q lần lượt là tâm của các mặt ' ', ' ', ' ', ' 'ABB A BCC B CDD C DAA D .Thể tích của khối đa

diện có các đỉnh là các điểm , , , , , , , ,A B C D M N P Q bằng

A. 108. B. 168. C. 96. D. 120.

Câu 64: Cho hình chóp .S ABCD có ABCD là hình bình hành, M là điểm đối xứng với C qua B . N là

trung điểm SC . Mặt phẳng MND chia hình chóp thành hai khối đa diện. Gọi 1V là thể tích

khối đa diện chứa đỉnh S và 2V là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số 1

2

V

V?

A. 1

2

5

3

V

V . B. 1

2

12

7

V

V . C. 1

2

1

5

V

V . D. 1

2

7

5

V

V .

Câu 65: Cho lăng trụ .ABC ABC có thể tích bằng 2. Gọi ,M N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh

AA và BB sao cho M là trung điểm của AA và 2

3B N BB . Đường thẳng CM cắt đường

thẳng AC tại P và đướng thẳng CN cắt đường thẳng BC tại Q . Thể tích khối đa diện lồi

AMPBNQ bằng

A. 13

18. B.

23

9. C.

7

18. D.

5

9.

Câu 66: Cho lăng trụ tam giác đều .ABC ABC cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 2a . Mặt phẳng P qua

B và vuông góc với AC chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của hai khối là 1V và

2V với

1 2V V . Tỉ số 1

2

V

V bằng

A. 1

11. B.

1

23. C.

1

47. D.

1

7.

Câu 67: Cho hình lăng trụ .ABC ABC và ,M N là hai điểm lần lượt trên cạnh ,CA CB sao cho MN song

song với AB và CM

kCA

. Mặt phẳng ( )MNBA chia khối lăng trụ .ABC ABC thành hai phần

có thể tích 1V và

2V sao cho 1

2

2V

V . Khi đó giá trị của k là

A. 1 5

2k

. B.

1

2k . C.

1 5

2k

. D.

3

3k .




201

BẢNG ĐÁP ÁN

1.A 2.A 3.D 4.B 5.A 6.A 7.D 8.A 9.D 10.B

11.B 12.D 13.B 14.A 15.C 16.B 17.B 18.D 19.A 20.C

21.B 22.C 23.B 24.C 25.A 26.C 27.A 28.B 29.B 30.B

31.D 32.A 33.A 34.B 35.A 36.B 37.A 38.C 39.D 40.C

41.B 42.A 43.D 44.B 45.B 46.B 47.B 48.B 49.B 50.D

51.A 52.C 53.D 54.C 55.A 56.A 57.C 58.A 59.B 60.D

61.D 62.B 63.D 64.D 65.D 66.C 67.A


Câu 1: Chọn A

Ta có .

1 1 1 1, ,

3 3 4 4A MNP MNP BCD ABCDV S d A MNP S d A MNP V

31 17

4 6AB AC AD a .

Câu 2: Chọn A

Gọi O AC BD , I MP SO ,N AI SC Khi đó

. .ABCDMNP S ABCD S AMNPV V V

Đặt 1SA

aSA

, 2SB

bSM

,SC

cSN

,3

2

SDd

SP ta có

5

2a c b d c .

.

.

5 31 2

72 25 34 30

4.1.2. .2 2

S AMNP

S ABCD

V a b c d

V abcd

. .

7 23

30 30ABCDMNP S ABCD S AMNPV V V V V V .

O

I P

N

M

D

CB

A

S




202

Câu 3: Chọn D

Trong tam giác SMC , SB và MN là hai trung

tuyến cắt nhau tại trọng tâm K2

3

SK

SB .

BI là đường trung bình của tam giác MCD I

là trung điểm AB .

1 . . .S AID S IKN S INDV V V V

Đặt:.S ABCD

V V ..

1.

4S AIDV V ;

. .

2 1 1 1. . . .

3 2 4 12S IKN S IBC

SK SNV V V V

SB SC ;

. .

1 1 1. . .

2 2 4S IND S ICD

SNV V V V

SC

1

1 1 1 7. .

4 12 4 12V V V

12

2

5 7.

12 5

VV V

V .

Câu 4: Chọn B

Ta có

2

'.

'.

'. . ' ' '

2.

3

1

3

A ADE ADE

A ABC ABC

A ABC ABC A B C

V S AD AE

V S AB AC

V V

'. . ' ' '

4

27A ADE ABC A B CV V

Do đó 1

2

4427

4 231

27

V

V

.

Câu 5: Chọn A

Ta có .

.

.

1 3 4 1. .

3 4 5 5

B PQR

B PQR

B ACD

V BP BQ BRV V

V BA BC BD .

Câu 6: Chọn A

Đặt SB

xSB

, SD

ySD

. Ta có SB SD SA SC

SB SD SA SC

8x y .

Ta có .

.

1

15S A B C

S ABC

V

V x . . .

1 1

15 30S A B C S ABC S ABCDV V V

x x

.

Ta có .

.

1

15S A D C

S ADC

V

V y . . .

1 1

15 30S A D C S ADC S ABCDV V V

y y

.

Ta có .

.

1 1 1

30S A B C D

S ABCD

Vk

V x y




203

Ta có 1 1

4x yx y

1 1 1

2x y

1

60k .

Vậy giá trị nhỏ nhất của k là 1

60 khi 4x y .

Lại có: . ..

.

1 2 1 1 6. . . . 1

2 3 2 6 6 6S MNP S ABC

S MNP

S ABC

V VSM SN SPV

V SA SB SC .

Câu 7: Chọn C

Mặt phẳng MNI cắt khối chóp theo thiết diện như hình 1. Đặt .S ABCD

V V .

Ta có 1 1 1

4 8 8APM

APM BMN ABC ABCD

ABCD

SS S S S

S

.

Mặt khác:

,

1,

d I ABCD IA k

SA kd S ABCD

.

..

.

,.

8 1 8 1,

I APM APMI APM

S ABCD ABCD

d I ABCDV S k kV V

V S k kd S ABCD

.

Do / / / / / / ; ;MN AC IK AC IK ABCD d I ABCD d K ABCD .

Mà APM NCQS S

. . . 8 1I APM K NCQ

kV V V

k

.

Kẻ / /IH SD (H SD ) như hình 2. Ta có : 1

IH AH AI k

SD AD AS k

.

2 1 2 3 1

3 3 3 1 3 1

IH PH PA AH PA AH k k

ED PD PD PD PD AD k k

.

3:

3 1

ED IH ID k

SD SD ED k

, 3

3 1,

d E ABCD ED k

SD kd S ABCD

.

9

8

PQD

ABCD

S

S

.

.

.

27 27

24 8 24 8

E PQD

E PQD

S ABCD

V k kV V

V k k

.

. . .

13 13

20 20EIKAMNCD E PDC I APM K NQCV V V V V V

27 13 27 13 2

20 1 5 38 3 1 8 1 8 1 2 3 1

k k k k kV V V V k

kk k k k

.

Câu 8: Chọn A

Hình 2Hình 1

I

K

E

Q

P

N

M

DA

B C

S

A D

S

I

P

E

H




204

Đặt SB

xSB

, SD

ySD

Ta có SB SD SA SC

SB SD SA SC

8x y 8y x .

Ta có .

.

1

15S A B C

S ABC

V

V x

. . .

1 1

15 30S A B C S ABC S ABCDV V V

x x

.

Ta có .

.

1

15S A D C

S ADC

V

V y

. . .

1 1

15 30S A D C S ADC S ABCDV V V

y y

.

Ta có .

.

1 1 1

30S A B C D

S ABCD

Vk

V x y

4

15xy

4

15 8x x

2

4

15 8x x

.

Ta có 1 , 8x y 8 1x 7x .

Xét hàm số 2 8f x x x trên đoạn 1;7 .

2 8f x x ; 0f x 0 1;7

4 1;7

x

x

Tính 1 7f ; 7 7f ; 4 32f .

k đạt giá trị lớn nhất khi f x đạt giá trị nhỏ nhất.

min 7f x max

4 4

15.7 105k .

Câu 9: Chọn D

Gọi cạnh của khối tứ diện đều ban đầu là a .

Ta có 2 2AO AB BO

2

2 3

3

aa

6

3

a

6

3

ah

3 6

26

h ha ;

3 32 3

12 8ABCD

a hV .

Thể tích của ba khối tứ diện đều có chiều cao x được cắt ra là 3 33 3 3

3.8 8

x xV .

Ta có 3 33 3 1 3

8 2 8

x h

33

6

hx

3 6

hx .




205

Câu 10: Chọn B

+) Do khối chóp .C ABFE và khối chóp .C ABBA có

chung đường cao hạ từ Cnên

.

.

2 1

2C A B FE A B FE A B E

C A B BA A B BA A B A

V S S A E

V S S AA k

+) Do khối chóp .C ABC và khối lăng trụ .ABC ABC

có chung đường cao hạ từ Cvà đáy là

ABC nên .

ABC.

1

3C ABC

A B C

V

V

.

ABC.

2

3C A B BA

A B C

V

V

Từ và suy ra . 11 ABC.

ABC. ABC.

2 2 2.

3 3 3C A B FE

A B C

A B C A B C

V VV V

V k V k k

+) Đặt ABC.ABC

V V

Khi đó 1

2 1

2.

32

.3

V Vk

V V V V Vk

Mà 1

2

2

7

V

V nên

2 2 2 2 2 2 6 2. ( . ) (1 ) 2 6 3

3 7 3 3 7 3 7 7V V V k k

k k k k k

Câu 11: Chọn B

Dựng HM CD tại M .

Ta có CD HM

CD SHM CD SMCD SH

.

Khi đó

SCD ABCD CD

SCD SM CD

ABCD HM CD

nên góc giữa SCD

và ABCD là góc SMH .

Theo giả thiết ta có 60SMH .

Mặt khác ta lại có CMH đồng dạng với CDA nên 3 3 3

4 4 4

HM CHHM AD a

AD CA .

Xét SMH vuông tại H ta có 3 3 3

.tan tan604 4

aSH HM SMH a .

Thể tích khối chóp .S ABCD là 2 3

.

1 1 3 3 3. .

3 3 4 4S ABCD ABCDV SH S a a a .




206

Câu 12: Chọn D

Gọi ; ;O AC BD F DM AB K SB MN .

Ta có: D 60BA nên tam giác ADB là tam giác

đều.

K là trọng tâm SCM 2

3

MK

MN .

Xét:

.. .

.

2 1 1 1 1. . . . .

3 2 2 6 6M KFB

M KFB M NDC

M NDC

V MK MF MBV V

V MN MD MC .

5

6KFBNDC M NDCV V .

Mà: . .

2M NDC B NDCV V và

. .

12 2.

2N BCD S BCDV V , vì

1, ,

2d N BDC d S BDC

.

1

2 S ABCDV

2 . .

5 5

6 12KFBNDC M NDC S ABCDV V V V

1 . 1 .

7

12SADFKN S ABCD S ABCDV V V V V 1

2

7

5

V

V .

Câu 13: Chọn B

Gọi V là thể tích lăng trụ .ABC ABC .

Ta có:

1

4

',( ) ( '),( )

MNP BCC BS S

d A MNP d A BCC B

1

4AMNP A BCC BV V

Mặt khác:

1 2

3 3A BCC B A ABCV V V V V V

31 2 1 248 8 .

4 3 4 3AMNPV V cm

Câu 14: Chọn A

Trong mặt phẳng SBC , qua G kẻ đường thẳng song song với BC cắt ,SB SC lần lượt tại ,M N

. Suy ra //BC MAN , AG MAN . Vì vậy MAN .

Ta có tam giác ABC vuông cân tại B , 2AC a AB BC a .

N

M

P

A' C'

A

B

C

B'




207

31 1. . .

3 2 6SABC

aV SA AB BC .

Gọi E là trung điểm của BC . Ta có 2

//3

SM SN SGMN BC

SB SC SE .

Khi đó: 2 2 4

. .3 3 9

SAMN

SABC

V SM SN

V SB SC

5

9SABC

V

V

3 35 5 5.

9 9 6 54SABC

a aV V .

Cách tính khác:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB . Ta chứng minh được AH SBC và BMNC

là hình thang vuông tại ,B M .

Khi đó 1 1

. . . .3 2ABMNC

V AH BM MN BC 31 2 1 2 2 5

. . . .3 2 2 3 3 54

a a a aa

.

Câu 15: Chọn C

Gọi cạnh của khối tứ diện đều ban đầu là a , ta có

2

2 3 2

3 3

ah a a

3

2a h .

Thể tích của khối tứ diện ban đầu là

231 3 3

. . .3 2 4 8

hV h h

.

Do đó tổng thể tích của ba khối tứ diện đều có chiều cao x được cắt ra là 33

8

x.

Theo giả thiết ta có 3 3

3

3 1.

8 4 8 12

x h hx .

Câu 16: Chọn B

Ta thấy thiết diện của AEF và hình hộp là tứ giác

'AFC E .

Ta có . ' . ' ' ' '4ABCD AFC E ABCD A B C D

x y z tV V

trong đó . ' . ' ' ' '

0 1 ' 3 10; ; 1;

' ' 4 ' ' 4 2ABCD AFC E ABCD A B C D

BE CC DFx y z t V V

AA BB CC DD .

Vậy tỉ lệ thể tích của hai khối là 1.

Câu 17: Chọn B




208

Ta có

' ' '

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' ' ' ' ' '

1

31 1 2 1

.2 2 3 3

1 1 2 1.

2 2 3 32 2 2 4

.5 5 3 15

GA B C ABCA B C

BBMN A BB N A BCB C ABCA B C ABCA B C

ABB C ABCB C ABCA B C ABCA B C

A BCN A BCB C ABCA B C ABCA B C

V V

V V V V V

V V V V

V V V V

Do đó thể tích của khối ABCN nhỏ nhất.

Câu 18: Chọn D

Do .S ABCD là hình chóp tứ giác đều nên hình chiếu của

S lên mặt phẳng ABCD trùng với tâm H của hình

vuông ABCD .

C là trung điểm của SC và H là trung điểm AC nên

I AC SH là trọng tâm SAC

2

3SI SH

Ta có:

BD AC , BD SH BD SAC BD SC //BD P //BD BD

Mặt khác: P SBD B D , I AC P , I SH SBD I BD

Do đó: 2

3

SB SD SI

SB SD SH

Ta có: .

. .1

2 . ..

12 1 12

1 3 2 3

2

S AB C DS AB C D S AB C

S ABCD S ABCS ABCD

VV VV

V V VV

.

Câu 19: Chọn A

Gọi ,E F lần lượt là trung điểm của ,BC MN . Gọi H là

trọng tâm ABC .

Ta có: SBC cân tại S SF MN .

SF MN

MN SBC AMN

SBC AMN

SF AMN .

Ta có: ASE có AF vừa là đường cao vừa là đường

trung tuyến ASE cân tại A .

3

2

aSA AE ;

2 2 15

6

aSH SA AH ,

2 3

4ABC

aS

.

2 31 3 3 1 15 3 5. . .

4 4 4 3 6 4 32SAMN SABC SAMNCB SABC

a a aV V V V .

G

N M

A

C

B' A'

B

C'




209

Câu 20: Chọn C

Kẻ // , //MQ SC NP SC ta được MNPQ chính là mặt

phẳng .

Ba mặt phẳng , ,SAB ABC giao nhau theo ba

giao tuyến , ,MN AB PQ đồng quy tại .I

Xét trong tam giác SAB có

1. . 1 1. . 1

2

MS IA NB IA

MA IB NS IB nên B là trung điểm của

.IA

Các tam giác ,SAI IAC lần lượt có các trọng tâm là

, .N P

Gọi thể tích khối chóp IAMQ là .V

Ta có: 11

1 2 2 2 7 7. . . .

2 3 3 9 9 9IBNP

IAMQ

V VIB IN IPV V

V IA IM IQ V 1

. 1 2

1. . .2.2 2 2 2

2ABSC

S ABC

AIMQ

V AB AS ACV V V V V

V AI AM AQ 2

Từ 1 và 2 suy ra 2

7 112

9 9V V V V . Từ đó suy ra 1

2

7

11

V

V .

Câu 21: Chọn D

Ta có tứ diện AMNP vuông tại A nên 31 1. . ' .8 .18 .28 672

6 6V AB AD AA a a a a .

Câu 22: Chọn C

Đặt ' ' ' 1 '

1; ; ;2

SA SB SC SDx y

SA SB SC SD . Ta có

1 13

' ' '

SA SC SD SB

SA SC SD SB x y

Có

. ' ' ' . ' ' '

. .

1 ' ' ' 1. .

2 2 4S B C D S B C D

S ABCD S BCD

V V SB SC SDm xy

V V SB SC SD .

1 1 2 4 13

9 9xy m

x y xy .

Câu 23: Chọn B

Đặt 1SA

xSA

;

SBy

SB

;

1

2

SCzSC

;

SDtSD

. Ta có

1 1 1 1

x z y t

1 1 1 11 2 3

y t y t .

P

N Q

B

M

A

I

C

S




210

Mà . .

. .

1 1. .

2 2 4S B C D S B C D

S ABCD S BCD

V V SB SC SDm yt

V V SB SC SD

.

1 13

3 1

ty

y t t

,

11

3t

2

1;1

3

1 1max

2 84 3 1

tm f t f t f

t

.

Câu 24: Chọn C

Gọi .A BCD

V V

Ta có: ..

.

1 1. .

8 8A MNP

A MNP

A BCD

V AM AN APV V

V AB AC AD

Tương tự . . .

1 1 1; ;

8 8 8B MQS C NQR D PRSV V V V V V

. . . .

14.

8 2MQNPSR A MNP B MQS C NQR D PRS

VV V V V V V V V

Theo giả thiết 9 2 9 2 18 22MQNPSR

VV V .

Đặt độ dài cạnh của tứ diện là a , ta có: 3 2

18 2 612

aV a . Vậy 6 cma .

Câu 25: Chọn A

Ta có

2/ / ,

3/ /

N ACD DE ANACD NE AD E CD

DC ACAD

1/ / ,

3/ /

M ABD DF AMABD MF AD F BD

DB ABAD

.

Như vậy thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi là tứ giác MNEF .

.. .

.

1 2 2 2.

3 3 9 9A MND

A MND A BCD

A BCD

V AM ANV V

V AB AC .

. .

. .

2 11 49 3;3 9

ABC ABC ABCD MNF D MNB MNB ABC AMN BCN

D MNB D ABC ABC ABC ABC

S S SV V S S S SDF

V DB V S S S

. . .

1 4 4.

3 9 27D MNF A BCD A BCDV V V .

F

E

A

C

DB

M

N

P

N

M

S

Q R

B D

C

A




211

. .

. .

2 1 2 1. . ;

3 3 9 3D EFN D CBN CBN

D CBN D CBA CBA

V V SDE DF CN

V DC DB V S CA . . .

1 2 2.

3 9 27D EFN A BCD A BCDV V V .

Cộng theo vế ta được:

. . . . . .

2 4 2

9 27 27A MND D MNF D EFN A BCD A BCD A BCDV V V V V V

3 3 3

.

12 12 2 2 4 2.

27 27 12 27 108A BCD

a a aV V .

Câu 26: Chọn C

Gọi P EN CD

Q EM AD

suy ra thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi MNE là tứ giác MNPQ .

Ta có: .

.BNM

.E DPQ

E

V ED EP EQ

V EB EN EM . Theo giả thiết:

1BE ED kk

BD EB k

;

Ta thấy:

/ // / / /

MN AC EQ EPPQ MN AC

EMN ACD PQ EM EN

Xét EAB có EM là trung tuyến 1

2 1 2 211 22 2 2 2 1

kEB EM EM k EQ kkED EQ EQ k EM k

Thay vào:

2 2 2.

2. .

1 2 2 1 2 2 8 11 4. 1 .

2 1 2 1 2 1

E DPQ

E BNM E BNM

V k k V k k k k

V k k V k k k k

.

Lại có:

.

.

, .. .

4D, .

BMNE BMN

D ABC ABC

d E BMN SV EB BM BN k

V DB BA BCd ABC S

Từ và suy ra

2 2

2 2.

8 11 4 8 11 4.42 1 4 2 1A BCD

V k k k k k

V k k k

Như vậy

3

2 22

2 23

11 2 48 11 4 22 8 11 4294 40 187 108 0 27

492 4 2 1 4 2 140

12

a kk k k k

k kka k k

Vậy 4k .

Câu 28: Chọn A

P

Q

M

N

B

D

C

A

E




212

Gọi ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( )P SD Q SC R SB E SD F SC G SB

thì theo đề ta có: 3

. 10 dmS MPQRV

. . . ,S NEFG S NEF S NGFV V V

.. .

.

. . 2.2.2 8S NEFS NEF S MPQ

S MPQ

V SN SE SFV V

V SM SP SQ ,

.. .

.

. . 2.2.2 8S NGFS NEF S MRQ

S MRQ

V SN SG SFV V

V SM SR SQ

3

. . . . . . . .8 8 8 8 80 dm .

S NEFG S NEF S NGF S MPQ S MRQ S MPQ S MRQ S MPQRV V V V V V V V

Vậy thể tích của khối chóp cụt .NEFGMPQR là 3

. .80 10 70 dm

S NEFG S MPQRV V V .

Câu 29: Chọn B

Ta chứng minh / /PQ BC .

Giải sử SBC SAD d khi đó ta có:

// //

/ /

SBC SAD d

SBC ABCD BCd BC, d AD.

SAD ABCD AD

BC AD

,M N lần lượt là trung điểm các cạnh ,SA SD nên ta có MN / / AD, MN / / d.

Ta lại có:

/ /

SBC SAD d

SBC PQPQ / / MN PQ / / BC.

SAD MN

d MN

Xét tam giác SBC có PQ / / BC, SP

xSB

SQ SP= x.

SC SB

d

NM

AD

BC

S

QP




213

. . . ..1

. . . .

1 . . 1 . .

2 2 2 . . 2 . .

S MNQP S MNP S NQP S NQPS MNP

S ABCD S ABCD S ABD S DCB

V V V VVV SMSN SP SN SQSP

V V V V V SASBSD SDSC SB

21 1 1 1 1 2

2 2 2 2 2 8

x xx x x

Theo bài ra:2

211

1 331 2 1 42 2 4 02 8 2 1 33

4

xV x x

V V x xV

x

Mà 1 33

04

SPx x x

SB

Cach 2:

Sử dụng công thức tính nhanh tỉ lệ thể tích của khối chóp tứ giác như sau:

Cho chóp .S ABCD và mặt phẳng cắt các cạnh , , ,SA SB SC SD của khối chóp tại các điểm

, , ,M P Q N với SQ SP

= x, SC SB

1

2

SM SN

SA SD

Thì ta có: 2

.1

.

1 1.

1 1 22 2 2 24 8

S MNPQ

S ABCD

x xVV x x

V V x x

Theo bài ra: 2

211

1 331 2 1 42 2 4 0 .2 8 2 1 33

4

xV x x

V V x xV

x

Mà 1 33

04

SPx x x

SB

Câu 30: Chọn B

Đặt , 'BC a CC b

Diện tích tam giác 'NPQ là:

' ' ' ' ' ' '

11

30NPQ BCC B NB Q PC Q BCPN

abS S S S S

Suy ra: . '

'. ' '

11

30

M NPQ

A BCC B

V

V . Tức là: 1

'. ' '

11

30A BCC B

V

V .

Mặt khác: '. ' ' '. . ' ' ' '. ' ' 2 2 '. ' ' 2

1 2

3 3A BCC B A ABC ABC A B C A BCC B A BCC BV V V V V V V V

Do đó: 1 1

22

11 11

2 30 45

3

V V

VV

.

Câu 31: Chọn D

b

a

Q'

P

N

M

B'

C'

A C

B

A'




214

Trong mặt phẳng ABCD , kéo dài MN cắt DA , DC lần lượt tại F , E .

Trong mặt phẳng ( )SAD , gọi FK SD Q . Trong mặt phẳng SCD , gọi QE SC P .

Suy ra thiết diện là ngũ giác MNPQK và // // MN AC PK .

Đặt ,h d S ABCD

, , .1 1

KA KA t tt d K ABCD d P ABCD h

KS SA t t

Ta có: 1

32

FDFA BN AD

FA .

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SAD , suy ra

1 3 3

. . 1 .3. 1 ,3 3 1 3 1

QS FD KA QS QS QD t tt d Q ABCD h

QD FA KS QD QD t SD t t

Mặt khác: 1 1 9

4 8 8FAM NCE BMN ABC ABCD DEF ABCDS S S S S S S

Suy ra thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh S là

1 3 9 1 1. . .

3 3 1 8 1 8 1 8QDEF KAMF PECN

t t tV V V V h S S S

t t t

1 27 2

. . .3 8 3 1 8 1 ABCD

t th S

t t

27 2

8 3 1 8 1 ABCD

t tV V

t t

Phần thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh S bằng 7

13 phần còn lại suy ra thể tích của khối

đa diện không chứa đỉnh S bằng 13

20 thể tích khối chóp .S ABCD

27 2 13 2

20 38 3 1 8 1

t tt

t t

.

Câu 32: Chọn A




215

Gọi Q là giao điểm của mặt phẳng MNP với BB .

Giả sử AM

xAA

, C P

yCC

, DN

zDD

, B Q

tBB

. Khi đó x y z t .

.

.3

A B D MQN

A B D ABD

V x z t

V

.

.6

A B D MQN

A B C D ABCD

V x z t

V

.

.

.3

C B D PQN

C B D CBD

V y z t

V

.

.6

C B D PQN

A B C D ABCD

V y z t

V

.

12

n na a

.

.

.

1

2

MNPQ AD C B

ABCD AD C B

V AM C P

V AA CC

1 1 1

2 2 3

5

12 . D.

5 5275.

12 6MNPQ AD C B ABC AD C BV V

.

Câu 33: Chọn A

Vì 2SA SB SC SD a nên hình chiếu vuông góc hạ từ đỉnh S xuống đáy trùng với tâm

đường tròn ngoại tiếp đáy, tức là trùng với điểm O AC BD .

Ta có: 2 2

2 2 2 4 32

4 2

a a aSO SA AO a

3

.

1 3. .

3 3S ABCD ABCD

aV SOS .

Ta có: 3 3 3

. . .

2 3 2 1 3 5 3. . . . . .

3 6 3 4 6 36S ABEF S ABE S AEF SABC SACD

SE SE SF a a aV V V V V

SC SC SD

.

Câu 34: Chọn B




216

Đặt 0 1SM

x xSA

, kí hiệu ,V h lần lượt là thể tích và chiều cao của khối chóp đã cho.

Theo định ly Ta-let, ta có: MN NP PQ QM SM

xAB BC CD DA SA

Và

,1

,

d M ABCD AMx

SAd S ABCD , 1d M ABCD x h .

Vì vậy 2 2

.. . , . 1 . . 3 1

MNPQ MN P QV MN MQ d M ABCD x x h AB AD x x V

Theo BDT Co-si, ta có: 3

2 1 1 2 2 41 . . 2 2

2 2 3 27

x x xx x x x x

.

Do đó, .

4

9MNPQ MN PQV V

. Dấu “=” xảy ra

22 2

3x x x .

Câu 35: ChọnA

Ta có: ABE SDC Ex

Ex DC ABAB DC

.

Gọi F Ex SD , , 0 1SE

x xSC

SF SE

xSD SC

.

Do ABCD là hình thang có 2AB CD nên 1 2

2 ; .3 3ACB ADC ADC ABCD ACB ABCD

S S S S S S

.

Ta có:

.. .

.

1 1

3 3S ACD ACD

S ACD S ABCD

S ABCD ABCD

V SV V

V S




217

.. .

.

2 2

3 3S ABC ABC

S ABC S ABCD

S ABCD ABCD

V SV V

V S .

Lại có: 2 2 2.. . .

.

1. . .

3S AEF

S AEF S ACD S ABCD

S ACD

V SE SFx V x V x V

V SC SD )

.. . .

.

2. .

3S ABE

S ABE S ABC S ABCD

S ABC

V SEx V x V x V

V SC ).

Theo bài ra mặt phẳng ABE chia khối chóp .S ABCD thành hai khối đa diện có thể tích bằng

nhau nên .

1

2S ABEF SABCDV V

2 2

. . . . .

1 1 2 1 1 2 1. 0

2 3 3 2 3 3 2S AEF S ABE S ABCD S ABCD S ABCDV V V x x V V x x

2 10

2

2 10

2

x

x

. Do 2 10

0 12

x x

.

Câu 36: Chọn B

Đặt 0 1SM

x xSA

, kí hiệu ,V h lần lượt là thể tích và chiều cao của khối chóp đã cho.

Theo định ly Ta-let, ta có: MN NP PQ SM

xAB BC CD SA

Và

,1

,

d M ABC AMx

SAd S ABC , 1d M ABC x h .

Vì vậy 2 2

.. , . 1 . 3 1

MNP MN P MNP ABCV S d M ABCD x x h S x x V

Theo BDT Co-si, ta có: 3

2 1 1 2 2 41 . . 2 2

2 2 3 27

x x xx x x x x

.

Do đó, .

4

9MNP MN PV V

. Dấu “=” xảy ra

22 2

3x x x .

Câu 37: Chọn A




218

Đặt 0 1SM

x xSA

. Theo định ly Ta-let, ta có: SM SN SP

xSA SB SC

Và 3

. . .. . .

S MNP S ABC S ABC

SM SN SPV V x V

SA SB SC Theo giả thiết,

. .

1

2S MNP S ABCV V nên

3

3

1 1

2 2x x

Câu 38: Chọn C

Ta có 2

1.

3 ABCDV SAS , . 2

1 1.

3 2S ABCD ABCDV S DS V

.

Gọi H SA SD , L S B SCD khi đó thể tích chung của hai khối chóp .S ABCD và

.S ABCD là thể tích khối HLCDAB . Do / /AB CD nên giao tuyến HL của hai mặt S AB và

SCD phải song song với AB .

1 . .HLCDAB S ABCD S HLCDV V V V

;

1 1

2 3

S H S D S H

HA SA S A

.. . .

.

. 1 1 1 1 1.

. 3 3 9 9 18S HLD

S HLD S ABD S ABCD

S ABD

V S H S LV V V

V SASB




219

.. . .

.

1 1 1

3 3 6S LCD

S LCD S BCD S ABCD

S BCD

V S LV V V

V S B

. . . . . .

1 1 2

18 6 9S HLCD S HLD S LCD S ABCD S ABCD S ABCDV V V V V V

1 . . . 2

7 7

9 18S ABCD S HLCD S ABCDV V V V V

. Vậy 1

2

7

18

V

V

Câu 39: Chọn D

Mặt phẳng P song song với ABC và cắt các cạnh bên , ,SA SB SC lần lượt tại , ,M N P .

Theo Ta-let ta có: 0SM SN SP

xSA SB SC

.

Do đó 3. . . 0S MNP

SABC

V SM SN SPx

V SA SB SC .

Theo giả thiết: 3.

3 3 3

1 1 1 1

2 2 2 2 2

S MNP

SABC

V MN SM ax x MN

V AB SA .

Vì tam giác ABC đều cạnh a nên tam giác MNP là tam giác đều có cạnh bằng 3 2

a.

Vậy

2

23

4

332

4 4 4MNP

a

aS

.

Câu 40: Chọn C

C

B

A

P

N

M

S

L

H

C

A D

B

S

S'




220

Ta có .

2

'S ABCDV S D

kV SA .

Gọi H SA SD , L S B SCD khi đó thể tích chung của hai khối chóp .S ABCD và

.S ABCD là thể tích khối HLCDAB . Do / /AB CD nên giao tuyến HL của hai mặt S AB và

SCD phải song song với AB . 1 . .HLCDAB S ABCD S HLCDV V V V

.

1 1

S H S D S H k S L kk

HA SA S A k S B k

2 2 2.

. . .2 2 2.

.

. 1 1 2 1

S HLDS HLD S ABD S ABCD

S ABD

V S H S L k k kV V V

V SASB k k k

.

. . .

.1 1 2 1

S LCDS LCD S BCD S ABCD

S BCD

V S L k k kV V V

V S B k k k

2 2

. . . . . .2 2

2

2 12 1 2 1S HLCD S HLD S LCD S ABCD S ABCD S ABCD

k k k kV V V V V V

kk k

2

1 . . . 22 2

3 2 3 2

2 1 2 1S ABCD S HLCD S ABCD

k k kV V V V V

k k

. Vậy

21

22

3 2.

2 1

V k k

V k

Câu 41: Chọn B

Gọi M là trung điểm BC , F SA , trong đó là mặt phẳng chứa BC và vuông góc SA

, H là hình chiếu của G lên SM . Ta có: SA , FM nên SA FM .

Vì .S ABC là hình chóp tam giác đều nên SG là đường cao hình chóp ứng với đáy ABC và

ABC là tam giác đều.

Ta có:

AM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao trong tam giác đều nên AM BC .

SG ABC , BC ABC nên SG BC .

AM SG G và ,AM SG SAM .




221

Suy ra BC SAM BC GH . Do đó:

,

GH SM

GH BCGH SBC

SM BC M

SM BC SBC

.

Ta lại có:

SG SBC SSH

SH SBC

là hình chiếu vuông góc của SG lên SBC .

, , 30SG SBC SG SH GSH .

Giả sử cạnh của tam giác đều ABC là a .

Xét tam giác SGM vuông tại G , ta có: 3

cot 30 . 36 2

a aSG GM .

Xét tam giác SAG vuông tại G , ta có: 2 2

2 2 21

3 4 6

a a aSA AG SG .

Trong tam giác SAM , ta có:

3.

. 3 72 21421

6

a aSG AM a

MFSA a

.

Xét tam giác AFM vuông tại F , ta có:

2 2

2 2 3 3 7 21

2 14 7

a a aFA AM FM

.

Suy ra

216 171 1 17 721

6

aSF FA

SA SA a . Mà .

1 . .

.

1 1

7 7S FBC

S FBC S ABC

S ABC

V SFV V V

V SA

2 .

6

7 S ABCV V . Do đó 1

2

1

6

V

V .

Câu 42: Chọn A

Gọi , ,M N P lần lượt là giao điểm của mỗi cạnh bên SA , SB , SC tương ứng với các cạnh bên

OA , OB , OC . Phần chung của hai khối chóp .S ABC và .OABC là khối đa diện SMNPO .

I

B'

C'

N

P

O

A C

B

S

M

A'




222

Từ giả thiết ta có //ABC A B C mà ta có // //MN AB AB , // //NP AC AC do đó

//ABC MNP , //A B C MNP và MNP đều.

Xét các tam giác vuông SMI và OMI ta có 0

3tan30

MISI MI ,

0tan60 3

MI MIOI suy ra

3SI

OI suy ra

3

4

SI MN

SO AB ,

1

' ' 4

OI MN

OS A B .

Suy ra 3A B

AB

hay 2.

. 2

2

3 9 9O A B CO A B C

VV V

V

Do đó

3 3

.

2

3 27

4 64S MNPV SI

V SO

3 3

O. O.

. 2

1 1 9

4 64 64MNP MNP

O A B C

V VOI

V OS V

. Từ đó 1

2 2

27 9 9

64 64 16OMNP SMNPV VV

V V

.

Câu 43: Chọn D

Giả sử cắt viên đá khối chóp tứ giác đều .S ABCD theo mặt phẳng MNPQ song song với

ABCD như hình vẽ.

Theo Ta-let ta có: 0SM SN SP SQ

xSA SB SC SD

.

Theo giả thiết ta có:

. . . ..

. . . .

1 1 1 1.

2 2 2 2 2

S MNPQ S MNP S MPQ S MPQS MNP

S ABCD S ABC S ABC S ACD

V V V VV SM SP SN SQ

V V V V SA SC SB SD

.

3

3 3 3

1 1 12

2 4 4 4

MN SM ax x MN

AB SA .

Vì ABCD là hình vuông nên MNPQ là hình vuông cạnh 3 4

a. Vậy

2 2

3 34 2 2MNPQ

a aS

.

Câu 44: Chọn B

O

D

CB

A

S

Q

PN

M




223

Ta có .

.

1

3A GBC GBC

A BCD BCD

V S

V S

. .

14

3A GBC A BCDV V .

Câu 45: Chọn B

Ta có 2

21 12 2 4

2 2ABCS AC và , .sin60 2 3d C ABC C H AC .

Khi đó, . .ABCBC ABC ABC A ABC

V V V . .

1

3ABC A B C ABC A B CV V

.

2

3 ABC A B CV

2 16 3.4.2 3

3 3 .

Câu 46: Chọn B

G

A

B

C

D

HA

A'

C

C'

B

B'

N'

M'P'

Q'

N

M

Q

P

O'

O

C

D

B

C'

A

B'

D'A'




224

Gọi O , O , , , ,M N P Q lần lượt là tâm của các hình chữ nhật ABCD , ABCD , ABBA ,

BBCC , CCDD , AADD .

Ta có phần chung của hai khối tứ diện ABCD và ABCD là bát diện OMNPQO .

Gọi , , ,M N P Q lần lượt là trung điểm của , , ,AB BC CD DA . Ta có

14. .

182

ABCB ABCBMNPQ MN PQ ABCB AMQ BMN CN P DPQ

ABCB ABCB ABCB ABCB

S SS S S S S S S

S S S S

Ngoài ra, chiều cao của khối chóp .O MNPQV bằng

1

2chiều cao của khối hộp .ABCDABCD .

Suy ra .1

2 2

2 1 1 1 12. . . .

2 3 2 6

O MNPQVV

V V

Câu 47: Chọn B

Đặt .ABC ABC

V V

. Lấy điểm E trên 'CC sao cho

3CC CE .

Suy ra 1

3

AM BN C E

A A B B C C

//MNE ABC .

Ta có: . .

1

3C MNE A B C MNEV V

1 .

2

3 A B C MNEV V

. Mặt khác: .

1

3A B C MNEV V

.

Suy ra 1

2 1 2.

3 3 9V V V 2

2 7

9 9V V V V 1

2

2

7

V

V .

Câu 48: Chọn B

N'

P'

Q'

M'

CB

D

A




225

Ta có ,M N là trung điểm của ,SA SC nên 1

2

SM SN

SA SC .

Cách 1: Áp dụng định ly Menelaus cho SOD ta có :

1 11 2 1 1

2 3

PS BD IO PS PS SP

PD BO IS PD PD SD .

Cách 2: Kẻ / /OH BP , ta có O là trung điểm của BD nên H là trung điểm của PD .

Ta có / /OH IPmà I là trung điểm của SO nên P là trung điểm của SH .

Suy ra SP PH HD 1

3

SP

SD .

Theo công thức tỉ số thể tích ta có : . .

. .

2 1 1 1.

2 2 3 6S BMPN S BMP

S ABCD S BAD

V V SM SP

V V SA SD

Câu 49: Chọn B

Gọi , ,D E F lần lượt là trung điểm các cạnh , ,BC CD DB .

Ta có

3 32 2 1 2 2

. .54 43 3 4 27 27AMNP ADEF ABCD ABCD

V V V V

.

Câu 50: Chọn D

N

P

M

F

D E

A

B

C

D




226

Gọi AH là đường cao của hình hộp

Khi đó ; 45AA ABCD AAH .sin45 5 2AH AA .

26 .sin 45 18 2ABCDS .Nên

.. 180

ABCD ABCD ABCDV S AH

.

. .ABCDDB A BDDB C BDDBV V V

. . .

2 2 2. 120

3 3 3ABD A B D BCD B C D ABCD A B C DV V V

.

Câu 51: Chọn A

Đặt .ABC ABC

V V

. Ta có G ABC nên .

1

3G A B CV V

.

. . .

1 1 2 1. .

2 2 3 3BBMN M BB N A BB N A BB C CV V V V V V

; .

1 1 2 1.

2 2 3 3ABB C A BB C CV V V V

.

Ta có 4

5CBN

CBC

S CN

S CC

nên 4 4 1 4 1 2 4

. . .5 5 2 5 2 3 15A BCN A BCC A BCC B

V V V V V

Vậy khối tứ diện ABCN có thể tích nhỏ nhất.

Câu 52: Chọn C




227

Gọi d là khoảng cách giữa BB và CC .

Ta có 1

.2BCPN

S CP BN d 1 3 4 1 31 31

. . . . .2 4 5 2 20 40 BCC B

BB CC d BB d S

.

Do đó . . .

31 31 2 31 2. . . .60 31

40 40 3 40 3BCMNP M BCPN M BCC B ABC A B CV V V V

.

Câu 53: Chọn D

Gọi P CD NE , Q AD ME , khi đó MNE chia hình chóp là hai khối đa diện gồm

ACMNPQ và BMNDQP .

Dễ dàng chứng minh được P , Q lần lượt là trọng tâm tam giác EBC và EAB . Khi đó:

2

3

EQ EP

EM EN . Ta có . . . .

1 2 2 2. . . . .

2 3 3 9E DQP E BMN E BMN E BMN

ED EQ EPV V V V

EB EM EN

. . .

7

9BMNDQP E BMN E DQP E BMNV V V V .

Lại có 1

4BMN ABCS S

,

;2

;

d E ABC EB

DBd D ABC

Nên

.

.

; . 1 12.

4 2; .

BMNE BMN

D ABC ABC

d E ABC SV

V d D ABC S

suy ra . .

7 1 7. . .

9 2 18BMNDQP D ABC D ABCV V V

3 3

. .

11 11 2 11 2. .

18 18 12 216ACMNPQ D ABC DMBDQP D ABC

a aV V V V V .

Câu 54: Chọn C




228

Gọi d là khoảng cách giữa AB và CD .

Ta có 1 1 1 1 1 5 5

. . . . . . .2 2 2 3 2 6 12MBCN ABCD

S BM CN d AB CD d AB d S

.

Nên . .

5 5.48 20

12 12S MBCN S ABCDV V .

Câu 55:Chọn A

Gọi B là diện tích tam giác ABC , h là độ dại đường cao của hình lăng trụ, suy ra .V Bh . Gọi

Q là trung điểmAB , G là trọng tâm tam giác ABC . Gọi 1V là thể tích khối chóp BMNP , 2

V

là thể tích khối chóp MBNE với E QC MP .

Ta có 2

3

PE CE PC

ME QF MQ do // PC MQ và 2PC PC nên

2

3

PC PC

MQ CC

.

Ta có 11 2

2

1 1

3 3

V MPV V

MEV .

Do 2 8

, 23 3

GC QC CE QC GE GC CE QC .

Ta lại có 2

1.

3 BNEV S h . Ta tính diện tích tam giác BNE theo diện tích tam giác ABC ta có

8 8

3 3BNE BGE NGE NQC BQC QBNCS S S S S S .

Mà 1 3

.4 4

AQN

QBCN ABC

ABC

S AQ ANS S

AB ACS do đó

82

3BNE QBNCS S B .

Nên 2

1 1 2. .2 .

3 3 3BNE

VV S h B h 1 2

1 2

3 9

VV V .




229

Câu 56: Chọn A

Gọi , H K lần lượt là trung điểm của , BD BC và . I EM AB Áp dụng định lí Menelaus cho

tam giác AHB ta được 3 2 3

. . 1 2. . 14 3 5

AM HE BI BI BIAI AB

MH EB IA IA IA

3 2

5 3

AI AN

AB AK Hai đường thẳng IN và BC cắt nhau, gọi giao điểm là F .

Gọi . P EM AD Vì //MN CD nên áp dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng

Ta có // // .PQ EF CD

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ADB ta được

1 2. . 1 . . 1 3.

2 3

AP DE BI AP AP

PD EB IA PD PD

CóABCD là tứ diện đều cạnh bằng 3 2

12ABCD

aa V

33 3 3 27 27 27 2. . . . . .

4 4 5 80 80 80 12

APQI

APQI ABCD

ABCD

V AP AQ AI aV V

V AD AC AB Vậy

39 2

320APQI

aV .

Câu 57: Chọn C

Ta có . . .ABC NMP M ABC M BCPN

V V V

Trong đó .

1, .

3 3M ABC ABC

xV d M ABC S V

. . .BCPN

M BCPN M BCC B A BCC B

BCC B

S BP CNV V V

S BB CC

2.

1 1 3 3

y z y zV V

.

Khi đó . 3ABC MNP

x y zV V

.

Vậy .

1 1 3

2 3 2 2ABC MNP

x y zV V V V x y z

.

Câu 58: Chọn A




230

Ta có 2

2

9 1

10 10

CE CO AE

CA ACCA ,

2

2

9 4

13 13

CD CO BD

CB BCCB ,

2

2

1 4

5 5

AF AO BF

AB BAAB .

Ta có thể tích khối tứ diện 0

1: . . 1

6OABC V OAOBOC .

Ta có: . 0 0

1. .

50A OEF

AO AE AFV V V

AO AC AB , C. 0 0

81. .

130OED

CO CE CDV V V

CO CA CB ,

. 0 0

16. .

65B ODF

BO BD BFV V V

BO BC BA . Vậy

0 0

1 81 16 36 361

50 130 65 325 325ODEFV V V

.

Câu 59: Chọn B

Có // // //MN AC MNP ACD PQ MN AC . Ta chia khối đa diện thánh các khối tứ diện

. . .BMNPQD D PQB B MNQ B PQNV V V V .

Thể tích khối tứ diện đều đã cho là 0

2

12V .

Ta có

2

. 0 0 0

2 4. .

3 9D PQB

DP DQ DBV V V V

DC DA DB

.

Và . . . 0 0 0

1 1 1 1. . . .

4 4 4 12

ACQ

B MNQ B ACQ B ACQ

ACD

SBM BN BQ AQV V V V V V

BA BC BQ S AD .

Và . . . 0 0 0

1 1 1 2 1. . . .

2 2 2 9 9

PQC

B PQN B PQC B PQC

ADC

SBP BQ BNV V V V V V

BP BQ BC S .

Vậy 0

4 1 1 23 2 23 2.

9 12 9 36 12 432BMNPQDV V

.

Câu 60: Chọn D

C

OB

A

D

E

F

M N

A C

B

D

PQ




231

*Có // //MN AC MNP ACD PQ MN . Ta chia khối đa diện thánh các khối tứ diện

. . .BMNPQD D PQB B MNQ B PQNV V V V .

*Thể tích khối tứ diện đều đã cho là 0

2

12V .

Ta có

2

. 0 0 0

1 1. .

3 9D PQB

DP DQ DBV V V V

DC DA DB

.

Và . . . 0 0 0

1 1 1 1. . . .

4 4 4 6

ACQ

B MNQ B ACQ B ACQ

ACD

SBM BN BQ AQV V V V V V

BA BC BQ S AD .

Và . . . 0 0 0

1 1 1 2 1. . . .

2 2 2 9 9

PQC

B PQN B PQC B PQC

ADC

SBP BQ BNV V V V V V

BP BQ BC S .

Vậy 0

1 1 1 7 2 7 2.

9 6 9 18 12 216BMNPQDV V

.

Câu 61: Chọn D

Ta có A là trung điểm của PC ; B là trung điểm của QC . Do đó

. . . .

1 44 4.

3 3

C PQ

C C PQ C A B C C A B C ABC A B C

C A B

SV V V V

S

.

Mặt khác . . .

1 11

22 23 3 3A B C MNC ABC A B C ABC A B C

AM BN C C

AA BB C CV V V

.

M N

A C

B

D

PQ




232

Do đó . .

4 2 2

3 3 3AMPB NQ C C PQ A B C MNCV V V

.

Câu 62: Chọn B

Gọi O AC BD SO ABCD ; P MB AD và Q SD MN suy ra Q là trọng tâm

của tam giác SMC 1

3

QD

SD

, 1

3,

d Q ABCD

d S ABCD .

Mặt phẳng BMN chia khối chóp .S ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa

đỉnh S là SABPQN .

Ta có 2 2 2,

2

ad S ABCD SO SA AO .

3

2

.

1 1 2, . .

3 3 6S ABCD ABCD

aV d S ABCD S SO AB .

Có 3

.

1 1 1 . 2, . . , .

3 3 2 2 12N BCM BCM

MD BC aV d N ABCD S d S ABCD .

Lạ có 3

.

1 1 1 . 2, . . , .

3 3 3 2 72Q DMP DMP

MD PA aV d Q DMP S d S ABCD .

Mà . . .SABPQN S ABCD Q DMP N BCMV V V V

3 3 3 32 2 2 7 2

6 72 12 72SABPQN

a a a aV .

Câu 63: Chọn D




233

Thể tích khối hộp đã cho 26 .8 288.V Gọi , , ,E F G H lần lượt là trung điểm của

AA', ', ', 'BB CC DD

Ta có . . . .ACBDMNPQ ABCDGH A MNQ B MFN C NGP D PHQV V V V V V

. . . . . ' ' '

1 1 1 1 1 1, . . . . . .

2 ' ' ' 2 2 2 6 48ABCDGH A MNQ B MFN C NGP D PHQ D D C A

DH DP DQV V V V V V V V V

DD DC DA

Vậy 1 1 1 1 1 5

1202 48 48 48 48 12ACBDMNPQ

V V V V V V V

Câu 64: Chọn D

Ta có 1 . . .S ADQ S PQD S DNPV V V V mà

.

.

1. , .

131 4

. , .3

AQDS ADQ

S ABCDABCD

d S ABCD SV

Vd S ABCD S

.

Và .

.

. .

. .

S PQD

S BQD

V SPSQSD SP

V SBSQSD SB .

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác SBC với cát tuyến MPN ta có:

.PS.NC1 2

.PB.NS

MB PS

MC PB suy ra

2

3

SP

SB

Suy ra .

.

2

3

S PQD

S BQD

V

V mà

.B

.

1. , .

131 4

. , .3

BQDS DQ

S ABCDABCD

d S ABCD SV

Vd S ABCD S

nên .

.

1

6

S PQD

S ABCD

V

V .

Ta lại có: .

.

. . 1

. . 3S PND

S BCD

V SPSN SD

V SBSC SD mà

.

.

1. , .

131 2

. , .3

BCDS BCD

S ABCDABCD

d S ABCD SV

Vd S ABCD S

.

Suy ra .

.

1

6S PND

S ABCD

V

V . Vậy

1 .

7

12 S ABCDV V suy ra 1

2

7

5

V

V

Câu 65: Chọn D

Ta có: . .g 2PAM CAM g c PA A C C P C A .

P

M

Q

A C

B

C'

B'

A'

N




234

2 23

3 3

QB BNQB QC QC B C

QC C C

Ta có: 1 1

. .sin .2 .3 .sin 32 2C PQ C A B

S C PC Q C C A B C C S

Suy ra: .

. . .

.

3 3. 2C C PQ C PQ

C C PQ C C A B ABC A B C

C C A B C A B

V SV V V

V S

Mặt khác:

..

.ABC

1 21

13 132 33 3 18 9

A B C MNCA B C MNC

A B C

AM BN C CV AA B B C C VV

Ta có: . .

13 52

9 9AMPB NQ C C PQ A B C MNCV V V

. Chọn D

Câu 66: Chọn C

Gọi E , I , K lần lượt là trung điểm AC , AC và AB .

Ta có: 1B E ACC A B E A C

Trong A B C : từ B kẻ BH AC tại H .

Trong AA C C : gọi F HE AA .

Ta lại có 2B H A C

BHF A C A C B FB E A C

Từ 1 và 2 suy ra tam giác BEF là thiết diện của lăng trụ .ABC ABC khi cắt bởi mặt phẳng

P .

Tam giác CAB cân tại C , ta có

19192

5 2 5

aa

CK A B aCK A B BH AC BH

AC a

Tam giác 'B HC vuông tại H , ta có 2 2 9 9 1

10 42 5

aCH B C BH CH CA AH HI

1 1

4 8

A F AH A FHA F HIE

IE IH AA

.

Khi đó .. . . .

.

1 1 1 1 1. . .

16 16 16 3 48A B EF

A B EF A B C A ABC A B C ABC A B C

A B C A

V A B A E A FV V V V

V A B AC AA

.




235

Nên 1 1

. 2

1 1

48 47ABC A B C

V V

V V

.

Câu 67: Chọn A

Vì ba mặt phẳng ( ),( ),( )MNBA ACCA BCCB đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt

, ,AM BN CC và ,AM CC không song song nên , ,AM BN CC đồng qui tại S .

Ta có CM MN MN SM SN SC

kCA AB A B SA SB SC

Từ đó 3 3

. . 1 . .1

S MNC S A B C MNC A B C S A B CV k V V V k V

.

Mặt khác

.

. ' ' '

333 1ABC A B C

S A B C

SC SCV CCk

V SC SC

.

. 3 1ABC A B C

S A B C

VV

k

Suy ra

2

.3 .1

1 .1

33 1

ABC A B CABC A B Ck k VV

V kk

.

Vì 1

2

2V

V nên

22

1 .

2 1 2 1 51 0 ( 0)

3 3 3 2ABC A B C

k kV V k k k k

.

Vậy 1 5

2k

.




236

DẠNG 7: CÁC BÀI TOÁN THỂ TÍCH CHỌN LỌC

Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều có , côsin góc hợp bởi cạnh và

bằng . Thể tích của khối chóp bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 2: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SB , N là

điểm thuộc cạnh SC sao cho 2SN CN , P là điểm thuộc cạnh SD sao cho 3SP DP . Mặt

phẳng ( )MNP cắt SA tại Q . Biết khối chóp .SMNPQ có thể tích bằng 1 , khối đa diện

.ABCDQMNP có thể tích bằng

A. 4 . B. 9

5. C.

17

5. D.

14

5.

Câu 3: Cho lăng trụ đứng .ABC ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB a , 3AC a ,

mặt phẳng A BC tạo với đáy một góc 30 . Thể tích của khối lăng trụ .ABC ABC bằng

A. 3 3

12

a. B.

3 3

3

a. C.

33 3

4

a. D.

3 3

4

a.

Câu 4: Cho hình lăng trụ đều . ' ' 'ABC A B C có cạnh đáy bằng 2 3

3

a. Đường thẳng 'BC tạo với mặt

phẳng ' 'ACC A góc thỏa mãn cot 2 . Thể tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C bằng

A. 3411

3a . B. 31

119a . C. 31

113a . D. 32

113a .

Câu 5: Cho hình lăng trụ .ABC ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , 3

2

aAA . Biết rằng hình

chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh BC . Tính thể tích

V của khối lăng trụ đó theo a.

A. 3 3

2V a . B.

32

3

aV . C.

33

4 2

aV . D. 3V a .

Câu 6: Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCDA B C D . Biết tích của khoảng cách từ điểm 'B và điểm D đến

mặt phẳng 'D AC bằng 26 0a a . Giả sử thể tích của khối lập phương . ' ' ' 'ABCDA B C D là

2ka . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. 20;30k . B. 100;120k . C. 50;80k . D. 40;50k .

Câu 7: Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a và 'A BC hợp

với mặt đáy ABC một góc 30 . Tính thể tích V của khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C .

A. 3 3

8

aV . B.

3 3

12

aV . C.

3 3

24

aV . D.

33

8

aV .

.S ABCD 11SA a SB ABCD

1

10.S ABCD

3121

150a 3121

50a 3121

500a 311

500a




237

Câu 8: Cho khối chóp .S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , 060ABC . Hình chiếu vuông góc của đỉnh

S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm của cạnh AB . Góc giữa mặt phẳng SCD và mặt đáy

bằng 045 . Thể tích khối chóp đã cho bằng

A. 3

4

a. B.

33

12

a. C.

33

4

a. D.

3

8

a.

Câu 9: Cho hình lăng trụ .ABC ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm

A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường

AA và BC bằng 3

4


A. 3 3

6

aV . B.

3 3

24

aV . C.

3 3

12

aV . D.

3 3

3

aV .

Câu 10: Cho lăng trụ .ABC ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của đỉnh

A lên đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh BC , cạnh bên AA tạo với đáy ABC góc

60 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. 33 3

8

aV . B.

33

2

aV . C.

33 3

16

aV . D.

33

4

aV .

Câu 11: Cho hình chóp đều .S ABC có cạnh bằng a , góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABC

bằng 60 . Gọi , ,A B C tương ứng là các điểm đối xứng của , ,A B C qua S . Thể tích V của

khối bát diện có các mặt , , , ,ABC ABC ABC BCA CAB , ,ABC BAC , CAB là

A. 32 3V a . B. 32 3

3

aV . C.

34 3

3

aV . D.

33

2

aV .

Câu 12: Cho lăng trụ .ABC ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A

lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác .ABC Biết khoảng cách giữa hai đường

thẳng AA và BC bằng 3

4

a. Khi đó thể tích của khối lăng trụ .ABC ABC là

A. 3 3

12

a. B.

3 3

3

a. C.

3 3

6

a. D.

3 3

24

a.

Câu 13: Cho lăng trụ .ABC ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của A

lên ABC trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Một mặt phẳng P chứa BC và vuông góc

với AA cắt hình lăng trụ .ABC ABC theo một thiết diện có diện tích bằng 23

8

a. Thể tích khối

lăng trụ .ABC ABC bằng

A. 3 3

4

a. B.

32 3

3

a. C.

3 3

10

a. D.

3 3

12

a.

Câu 14: Cho lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của 'A xuống

mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng

'AA và BC bằng 3

4

a. Thể tích khối lăng trụ bằng




238

A. 3 3

12

a. B.

3 3

4

a. C.

33 7

14

a. D.

33 7

28

a.

Câu 15: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , 3SA a ; SA ABCD .

Gọi M ,N lần lượt là trung điểm của các cạnh ,SB SD ; mặt phẳng AMN cắt SC tại I . Tính

thể tích khối đa diện .ABCDMNI

A. 35 3

18

aV . B.

33

18

aV . C.

35 3

6

aV D.

313 3

36

aV .

Câu 16: Cho tứ diện OABC có OA a , OB b , OC c và đôi một vuông góc với nhau. Gọi r là bán

kính mặt cầu tiếp xúc với cả bốn mặt của tứ diện. Giả sử ,a b a c . Giá trị nhỏ nhất của a

r là

A. 1 3 . B. 2 3 . C. 3 . D. 3 3 .

Câu 17: Cho hình hộp chữ nhật .ABCDABCD có AB BC a , 3AA a . Gọi I là giao điểm của

AD và AD ; H là hình chiếu của I trên mặt phẳng A B C D ; K là hình chiếu của B lên mặt

phẳng CA B . Tính thể tích của khối tứ diện IHBK .

A. 3 3

4

a. B.

3 3

6

a. C.

3 3

16

a. D.

3 3

8

a.

Câu 18: Cho hình hộp chữ nhật .ABCDABCD . Khoàng cách giữa AB và BC là 2 5

5

a, khoảng cách

giữa BC và AB là 2 5

5

a, khoảng cách giữa AC và BD là

3

3

a. Tính thể tích khối hộp.

A. 34a . B. 33a . C. 35a . D. 32a .

Câu 19: Cho hình hộp có thể tích bằng . Gọi lần lượt là tâm các

hình bình hành Thể tích khối đa diện

có các đỉnh bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 20: Cho hình chóp .S ABC có 39

3

aSA SB SC . Tam giác ABC cân tại A có góc 120A ,

2BC a . G là trọng tâm tam giác SAB . Thể tích khối chóp .G ABC là

A. 32

9

a. B. 3a . C.

3

3

a. D.

3

9

a.

Câu 21: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1 . Biết khoảng cách từ A đến

mặt phẳng SBC là 6

4, từ B đến mặt phẳng SAC là

15

10, từ C đến mặt phẳng SAB là

30

20 và hình chiếu vuông góc của S xuống đáy nằm trong tam giác ABC . Thể tích khối chóp

.S ABC bằng

. ' ' ' 'ABCD A B C D V , , , , ,M N P Q E F

, ' ' ' ', ' ', ' ', ' ', ' '.ABCD A B C D ABB A BCC B CDD C DAA D

, , , , ,M P Q E F N

4

V

2

V

6

V

3

V




239

A. 1

36. B.

1

48. C.

1

12. D.

1

24.

Câu 22: Cho hình lăng trụ .ABCDABCD có đáyABCD là hình chữ nhật AB a , 3AD a . Hình

chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ABCD trùng với giao điểm của AC và BD . Góc giữa

hai mặt phẳng ADD A và ABCD bằng 60 . Tính thể tích khối tứ diện ACBD .

A. 3

2

a. B.

3

6

a. C.

3

3

a. D.

33

2

a.

Câu 23: Cho khối lăng trụ tam giác .ABC ABC . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . M , N , P lần

lượt là trung điểm của CC , AC , AB . Biết thể tích của khối GMNP bằng 5 , tính thể tích

khối lăng trụ .ABC ABC .

A. 72 . B. 21 . C. 18 . D. 17 .

Câu 24: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi N là trung điểm ,SB P thuộc

đoạn SC sao cho 2 ,SP PC M thuộc đoạn SA sao cho 4

.5

SM MA Mặt phẳng MNP cắt

SD tại .Q NP cắt BC tại ,E CQ cắt DP tại .R Biết rằng thể tích khối chóp EPQR bằng

318 .cm Thể tích khối chóp SMNPQ bằng

A. 365cm . B. 3260

9cm . C. 375cm . D. 370cm .

Câu 25: Cho khối lăng trụ tam giác .ABC ABC có đáy là tam giác vuông tại , 1, 2A AB BC . Góc

0 0' 90 , ' 120 .CBB ABB Gọi M là trung điểm cạnhAA . Biết 7

', .7

d AB CM Tính thể tích

khối lăng trụ đã cho.

A. 2 2 . B. 4 2

9. C. 4 2 . D.

4 2.

3

Câu 26: Cho khối lăng trụ .ABC ABC có thể tích V , đáy là tam giác cân, AB AC . Gọi E là trung

điểm cạnh AB và F là hình chiếu vuông góc của E lên BC . Mặt phẳng C EF chia khối lăng

trụ đã cho thành hai khối đa diện. Tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh A .

A. 47

72V . B.

25

72V . C.

29

72V . D.

43

72V .

Câu 27: Cho khối đa diện lồi H gồm có 8 đỉnh là , , , ,A B C D , , ,M N P Q ; trong đó có hai mặt

ABCD và MNPQ là hai hình vuông song song với nhau; hình chiếu vuông góc của

, , ,M N P Q lên mặt phẳng ABCD lần lượt là trung điểm của các cạnh , , ,AB BC CD DA . Biết

rằng 3AM a , 4AB a . Thể tích khối đa diện H được tính theo a bằng

A. 340

3

a. B.

340 5

3

a. C.

320 5

3

a. D.

318 3

5

a.

Câu 28: Cho hình lăng trụ tam giác .ABC ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông

góc của điểm A lên đáy A B C trùng với trung điểm M của cạnh BC . Góc nhị diện giữa

hai mặt phẳng AA B và ABC bằng 60 . Thể tích khối lăng trụ .ABC ABC bằng:




240

A. 3

.16

a B.

33 3.

16

a C.

33.

8

a D.

3

.4

a

Câu 29: Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a . Bán kính mặt cầu

nội tiếp hình chóp tứ giác .S ABCD tính theo a tương ứng bằng:

A. 14

15 3

a

. B.

7

30 2

a

. C.

6

2 5 1

a

. D.

2 3

4 7 3

a

.

Câu 30: Cho hình chóp . DS ABC có đáy DABC là hình vuông cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với

đáy DABC . Biết góc tạo bởi hai mặt phẳng DSB và DABC bằng 060 . Thể tích khối chóp

. DS ABC tương ứng bằng:

A. 3 6

3

a. B.

3 6

4

a. C.

3 6

12

a. D.

3 6

6

a.

Câu 31: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và cạnh bên SAvuông góc với đáy

ABCD . Biết góc tạo bởi hai mặt phẳng SBD và ABCD bằng 60 . Thể tích khối chóp

.S ABCDbằng

A. 36

3

a. B.

36

4

a. C.

36

12

a. D.

36

6

a.

Câu 32: Cho hình lăng trụ tam giác đều .ABC ABC cạnh đáy bằng a . Biết thể tích khối lăng trụ

.ABC ABC bằng 3 5

2

a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ .ABC ABC là:

A. 3

2

a. B.

5

2

a. C. 2a . D. a .

Câu 33: Cho khối đa diện lồi H gồm có 8 đỉnh là , , , , , , ,A B C D M N P Q ; trong đó có hai mặt ABCD

và MNPQ là hai hình vuông song song với nhau; hình chiếu vuông góc của , , ,M N P Q lên

mặt phẳng ABCD lần lượt là trung điểm của các cạnh , , ,AB BC CD DA . Biết rằng

4AM AB a . Hãy tính theo a diện tích toàn phần của khối đa diện H ?

A. 2 2 224 16 7 16 3.a a a B. 2 2 27 16 3 36 .a a a

C. 2 2 224 8 7 16 3.a a a D. 2 224 16 3.a a

Câu 34: Tỉ lệ diện tích xung quanh của hình lập phương 1H (tổng diện tích 4 mặt bên) so với diện tích

toàn phần của hình tứ diện đều 2H bằng 3 . Hỏi khi đó tỉ lệ thể tích của hình lập phương

1H so với thể tích hình tứ diện đều 2

H bằng bao nhiêu?

A. 9 6

.4

B. 3 3

.4

C. 2 3

.9

D. 2 5

.5

Câu 35: Cho khối lăng trụ .ABC ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , góc giữa cạnh bên với mặt đáy

của lăng trụ là 30o . Hình chiếu vuông góc của A lên đáy ABC trùng với trung điểm H của

cạnh BC . Thể tích của khối lăng trụ .ABC ABC là:




241

A. 3 2

.3

a B.

3 3.

8

a C.

3 2.

9

a D.

3 3.

24

a

Câu 36: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA ABC , góc giữa đường

thẳng SB và mp ABC bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng:

A. 2

.2

a B.

15.

5

a C. 2 .a D.

7.

7

a

Câu 37: Cho hình hộp .ABCDABCD . Gọi , ,M N P lần lượt là trung điểm của các cạnh , ,AA AD BC

. Mặt phẳng MNP chia khối hình hộp thành hai phần có thể tích là 1V và

2V , trong đó 1 2

V V

. Tỉ lệ thể tích 1

2

V

V tương ứng bằng:

A. 1

.7

B. 1

.3

C. 1. D. 1

.8

Câu 38: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với cạnh huyền 2BC a .

Hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy ABC nằm trong tam giác ABC . Biết các mặt bên

SAB , SBC , SCA lần lượt tạo với đáy các góc 60o , 60o , 45o . Thể tích của hình chóp

.S ABC tính theo a tương ứng bằng:

A. 33

.3 2 6

a

B.

32 3.

2 3 2 6

a

C.

32.

2 3 3 2 6

a

D.

36.

2 3

a

Câu 39: Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A có 2AC a .

Đường thẳng 'BC tạo với mặt phẳng ' 'ACC A một góc 030 . Thể tích khối lăng trụ

. ' ' 'ABC A B C bằng:

A. 32 2a . B. 34 2a . C. 3 3a . D. 33 3a .

Câu 40: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng tam giác SAC vuông tại

đỉnh S và có diện tích bằng 22 .a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD có giá trị nhỏ

nhất là:

A. 28 a . B. 24 a . C. 26 a . D. 212 a .

Câu 41: Cho khối chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V . Gọi , , ,M N P Q

lần lượt là những điểm nằm trên các cạnh , , ,SA SB SC SD sao cho

, , 2 ,SM MA SN NB SP PC 3 .SQ QD Thể tích khối đa diện lồi có 5 đỉnh , , , ,S M N P Q

tính theo V bằng:

A. 5

24

V. B.

8

V. C.

7

16

V. D.

7

32

V.

Câu 42: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật 2 2AB AD a và cạnh SA vuông

góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBD bàng 2

3

a. Hãy tính theo

a thể tích khối chóp .SABCD




242

A. 32

3

a B.

3

3

a C.

3

6

a D.

33

8

a

Câu 43: Cho lăng trụ đứng . ' ' ' 'ABC A B C D có 02, 4, 60 .AB AC BAC Gọi M là trung điểm của

'CC và tam giác 'BMA vuông tại .M Thể tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C bằng:

A. 24 B. 12 3 C. 2 42

3 D. 2 42

Câu 44: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SAvuông góc với đáy ( ).ABCD

Gọi M là trung điểm của SC và N nằm trên cạnh SB sao cho 2 .NS NB Biết rằng 2

.3

aMN

Tính thể tích khối chóp . .S ABCD

A. 3 3

.4

a B.

3 3.

3

a C.

3 3.

6

a D.

3 5.

6

a

Câu 45: Cho hình lăng trụ đứng . ' ' ' 'ABCDA B C D có mặt cầu ngoại tiếp là S , biết S có bán kính là

6 . Đáy ABCD là tứ giác có 060ABC và 4AD CD . Thể tích tứ diện 'A ACD :

A. 16 15

.3

B. 8 5. C. 16 3. D. 12 15

.5

Câu 46: Cho tứ diện ABCD có ABC vuông góc với BCD và 6BC , 090BAC BDC . Chu vi

của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và DBC lần lượt là 3a và a . Bán kính mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện ABCD tương ứng là?

A. 39 . B. 12 . C. 41 D. 2 3

Câu 47: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 1 . Gọi M là một điểm di động nằm

trên mặt phẳng ABC . Gọi N là điểm nằm trên đường thẳng MS sao cho . 3SMSN . Quỹ

tích điểm N khi M thay đổi là một mặt cầu có bán kính bằng 3 . Biết khoảng cách từ S đến

mặt phẳng ABC nhỏ hơn 3 . Thể tích hình chóp SABC tương ứng bằng

A. 1

6. B.

1

8. C.

3

6. D.

2 2

15.

Câu 48: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết tâm của mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp SABCD trùng với tâm O của hình vuông đáy ABCD và chân đường cao H hạ từ




243

đỉnh S xuống đáy ABCD trùng với trung điểm của đoạn thẳng OA . Thể tích hình chóp

SABCD bằng:

A. 36

12a . B. 32

6a . C. 31

8a . D. 32

4a

Câu 49: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi nhưng không là hình vuông,

AB SA SB SD a . Biết rằng thể tích khối chóp .S ABCD bằng 3 2

6

a, khi đó góc giữa hai

mặt phẳng SBC và SCD bằng:

A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 .

Câu 50: Cho một hình lăng trụ .ABC ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Biết rằng 2AA AB a và

hình chiếu vuông góc của A lên cạnh BC là điểm M sao cho 2 0MB MC . Thể tích theo

a của lăng trụ .ABC ABC bằng

A. 3 285

12

a. B.

3 95

36

a. C.

3 95

6

a. D.

3 95

12

a.

Câu 51: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt phẳng đi qua ,A B và trung

điểm M của SC . Mặt phẳng chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích lần lượt là

1V ,

2V với 1 2

V V . Tỉ số 1

2

V

V tương ứng bằng

A. 1

2

1

4

V

V . B. 1

2

3

8

V

V . C. 1

2

5

8

V

V . D. 1

2

3

5

V

V .

Câu 52: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính

2AB a . Có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ABCD và 3SA a . Cosin của góc giữa hai

mặt phẳng SAD và SBC tương ứng bằng:

A. 2

2. B.

2

3. C.

2

4. D.

2

5.

Câu 53: Cho tứ diện ABCD có 9

2AC và

2

3AD . Gọi M là một điểm nằm trên cạnh AB sao cho

2MA MB . Một mặt phẳng thay đổi đi qua M cắt các cạnh AC và AD lần lượt tại N

và P sao cho luôn thoả mãn AMNP

ABCD

V NC

V AN . Giá trị nhỏ nhất của AN AP tương ứng bằng:

A. 3 . B. 64

.15

C. 15

.4

D. 263

.120

Câu 54: Cho hình chóp .S ABC có 2SC a , tam giác SAB đều cạnh a và tam giác SAC vuông tại .A

Mặt phẳng SBC vuông góc với mặt phẳng .ABC Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp

.S ABC là:

A. 34

3

a. B.

3

6

a. C. 34 a . D.

3 3

2

a.




244

Câu 55: Cho hình chóp tứ giác .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 6. Hình chiếu vuông

góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là điểm H nằm trong đoạn AC sao cho 2HC HA . Biết

góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC bằng 060 . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD

bằng:

A. 4 2

3. B. 3 3 . C. 4 2 . D. 5 3 .

Câu 56: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh ,a cạnh bên SA vuông góc mặt

phẳng đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng SDM bằng ,2

a trong đó M là một điểm nằm

trên đoạn BC sao cho 2BM MC . Thể tích khối chóp SABCD tính theo a bằng:

A. 3

26

a. B.

32

26

a. C.

3

2 26

a. D.

3 11

24

a.

Câu 57: Cho một hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh .a Hình chiếu vuông góc của

đỉnh A xuống đáy ' ' 'A B C là trung điểm M của cạnh ' 'B C , biết rằng ' 2AA a . Khoảng

cách từ 'C đến mp 'ABA bằng:

A. 39

55a . B.

13

6

a. C.

15

10

a. D.

39

16

a.

Câu 58: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có 2 2AB AD a và 2SA SB a .

Thể tích khối chóp .S ABC bằng 3

2

a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S BCD .

A. 3

6

a. B.

2

3

a. C.

16 2 3

3a

. D.

8 5

3a

.




245

BẢNG ĐÁP ÁN

1.A 2.C 3.D 4.C 5.C 6.A 7.A 8.A 9.C 10.A

11.B 12.A 13.A 14.A 15.A 16.D 17.C 18.D 19.C 20.D

21.D 22.A 23.A 24.A 25.A 26.B 27.B 28.B 29.B 30.D

31.D 32.C 33.C 34.A 35.B 36.B 37.A 38.C 39.B 40.A

41.D 42.A 43.A 44.C 45.A 46.A 47.B 48.A 49.D 50.D

51.D 52.C 53.C 54.A 55.B 56.B 57.A 58.C


Câu 1: Chọn C

Gọi cạnh hình vuông đáy là ,góc hợp bởi cạnh và

là góc nhọn

.

Thể tích của khối chóp bằng

.

Câu 2: Chọn C

Gọi ; ;O AC BD I SO PM Q IN SA .

Đặt 3 4

; 2 ; ;2 3

SA SB SC SDa b c dSQ SM SN SP

. Ta có: 11

6a c b d a .

Ta có: .

.

.

5 22

4 22 5

S MNPQ

S ABCD

S BCDA

V a b c dV

V abcd

. Vậy

. . .

17

5ABCD QMNP S ABCD S MNPQV V V .

Câu 3: Chọn D

x SB

ABCD SBO1

cos10

SMO1

10

OB

SB

2 1

102. 11

x

a

11

5 2x a

.S ABCD

1.

3ABCDV SO S

2

2 21 11.

3 25.2SC OC a

2 2

2

1111

11100.

3 50

a a

a3121

500a

I

OA

B

DC

S

M

NP

Q




246

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC , ta có

BC AH

BC AAH BC AHBC AA

nên góc giữa

mặt phẳng A BC và mặt phẳng ABC là góc

30AHA . Ta có:

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 4 3

233

aAH

AH AB AC a aa .

3 1tan30 .tan30 .

2 23

AA a aAA AH

AH

;

21 1 3. . . . 3

2 2 2ABC

aS AB AC a a

. Do đó

2 3

.

3 3. .

2 2 4ABC A B C ABC

a a aV AA S

.

Câu 4: Chọn C

Gọi I là trung điểm AC , suy ra BI AC .

Mặt khác do 'BI CC nên ' 'BI ACC A .

Do đó ', ' ' ', ' 'BC ACC A BC IC BC I .

Ta có:

222 3 3 3

.3 4 3ABC

a aS

và 2 3 3

.3 2

aBI a

.

Theo đề bài: '

cot 2 2 ' 2C I

C I aBI

.

Suy ra 2

2 2 2 33' ' 4

3 3

a aCC C I CI a .

Vậy thể tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C :

233 33 1

. ' . 113 3 3ABC

a aV S CC a

.

Câu 5: Chọn C

A'

A

B'

B

C'

C

H

α

I C

B

A'

B'

C'

A




247

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên ABC , suy ra H là trung điểm của BC và tam giác

AAH vuông tại H .

Ta có 3

2

aAH ,

2 3

4ABC

aS .

2 22 2 9 3 6

4 4 2

a a aA H AA AH .

Vậy 2 3 3

.

6 3 3 2 3.S .

2 4 8 4 2ABC A B C ABC

a a a aV AH

.

Câu 6: Chọn A

Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của DB’ và D’O. Vì AC vuông góc với BD và

CC’ nên ' 'AC BDD B .

Gọi x là độ dài cạnh hình lập phương . ' ' ' 'ABCDA B C D , khi đó hình chữ nhật ' 'BDD B có

2 6' ' 2; ; ' ; ' 3

2 2

x xBD B D x DO OD BD x

Vì 1

' ' ' ' 2

DO DI OI

B D B I D I suy ra

3 6;

3 6

x xDI OI do đó tam giác ; ' 'DIO D IB là các tam

giác vuông.

Do ' 'AC BDD B và ' 'DB D O nên

2 22', ' , ' ' . 6

3d B ACD d D ACD B I DI x a nên 3x a

Lại có thể tích của . ' ' ' 'ABCDA B C D là 3ka nên

3 327 27ka a k

Câu 7: CChọn A

I

O

C'B'

B

A'

A

D'

D

C

I

O

B'

B

D'

D




248

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC . Suy ra AH BC .

'A H BC . Mà 'ABC A BC BC

Góc giữa 'A BC và ABC bằng góc ; ' ' 30AH A H AHA .

Ta có: ABC là tam giác đều cạnh bằng a nên 3

2

aAH , ' .tan30

2

aA A AH .

Thể tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C là

2 33 3' .

2 4 8ABC

a a aV A A S

.

Câu 8: Chọn A

Gọi H là trung điểm của AB SH ABCD .

Tam giác ABC đều nên CH AB , mà / / 1CD AB CH CD .

Có 2CD SCD ABCD

Có 3CD CH

CD SCCD SH

Từ đó suy ra ; ; 45SCD ABCD SC CH SCH .

Trong tam giác SCH có 3

.2

aSH HC

2 23 32 2.

4 2ABCD ABC

a aS S

2 3

.

1 3 3. .

3 2 2 4S ABCD

a a aV .

Câu 9: Chọn C

H

D

B C

A

S




249

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Dễ thấy AM BC , AG BC BC A AM .

Gọi H là hình chiếu của M lên AA .

Từ đó suy ra khoảng cách giữa hai đường AA và BC bằng 3

4

aMH .

3,

2

aAM AG x ,

22 2 2

3

aA A AG AG x .

Ta có 2

23 3. . . .

2 4 3 3

a aA G AM HM AA x a a x x .

Thể tích V của khối lăng trụ .ABC ABC là:

2 33 3. .

3 4 12ABC

a a aV A GS .

Câu 10: Chọn A

Ta có: A I ABC ; AI là hình chiếu vuông góc của

AA lên mặt đáy ABC .

Do đó , , 60AA ABC AA AI A AI .

Tam giác ABC đều cạnh a nên 3

2

aAI .

Trong tam giác vuông AAI , ta có:

3 3.tan .tan60

2 2

a aA I AI A AI .

Thể tích V của khối lăng trụ đã cho là:

2 33 3 3 3. .

2 4 8ABC

a a aV A I S .

Câu 11: Chọn B

H

NM

G

B

C

A

C'

B'A'




250

Ta có: . . .

2 2.4 8 8ABCBC A SBC A SBC S ABC

V V V V V

.

Gọi G là trọng tâm ABC . Ta có , , 60SA ABC SA AG SAG .

Xét SAG vuông tại G . Ta có 2 3

tan .tan . . 33 2

SG aSAG SG AG SAG a

AG .

2 3

.

1 1 3 3. . . .

3 3 4 12S ABC ABC

a aV SGS a

3

.

2 38

3S ABC

aV V .

Câu 12: Chọn A

Gọi M là trung điểm BC 3 3

, , .2 3

a aAM BC AM AG

Kẻ / / / / .Ax BC BC A Ax Kẻ ' ' .GH AA GH A Ax

3

, , , , .2

d BC AA d BC AA x d M AAx d G AAx

3 3 3.

4 2 6

a aGH GH Ta có

2 2 2 2 2

1 1 1 1 27

33

aGA

GH GA GA GA a

.

2 3

. ' ' '

3 3. .

3 4 12ABC A B C ABC

a a aV A GS đvtt

Câu 13: Chọn A




251

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC , ta có AH ABC .

AH BC I I là trung điểm của BC và AI BC .

Ta có 3

.sin602

aAI AB ,

2 3

3 3

aAH AI ,

21 3. .

2 4ABC

aS BC AI

Gọi K là hình chiếu của I trên đường thẳng AA . Khi đó AA BCK . Hay P BCK .

Ta có hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng P là tam giác BCK .

Ta có hai khả năng về vị trí điểm K .

Khả năng 1: K nằm trong đoạn AA thì thiết diện của P và lăng trụ là tam giác cân BCK .

Khả năng 2: K nằm ngoài đoạn AA thì thiết diện của P và lăng trụ là hình thang cân BCDE .

Trong cả hai khả năng trên ta đều có thiÕtdiÖn BCKS S .

Gọi AIK là góc giữa hai mặt phẳng P và ABC .

Ta có

2

thiÕtdiÖn 0

2

338cos 30

23

4

BCK

ABC ABC

aSS

S S a 90 60AAI

1 2 3cos ' 2

2 cos 3

AH aAA AH

và

3cos

2 4

AI aAK AI .

Do đó 'AK AA hay K phải nằm giữa A và A .

Ta có 21 1 3 3

. .2 2 8 4BCK

a aS BC KI a KI KI . Suy ra

3sin 60

2

IKA AI A AI

AI

3.tan60 . 3

3

aA H AH a .

Do đó thể tích khối lăng trụ .ABC ABC là:

2 33 3. .

4 4ABC

a aV S AH a .

Câu 14: Chọn A

HI

B

A

A' C'

B'

C

K

HI

B

A

A' C'

B'

C

K

JE

D

HI

B

A C

B'

C'A'

K

JE

D

HI

B

A C

B'

C'A'

K




252

Gọi G là trọng tâm ABC , I là trung điểm của cạnh BC và H là hình chiếu vuông góc của I

trên 'AA .

Ta có ''

BC AIBC A AI BC IH

BC A G

.

Mặt khác 'IH AA nên IH là đoạn vuông góc chung của 'AA và BC suy ra 3

4

aIH .

ABC đều cạnh a suy ra 3 2 3

,2 3 3

a aAI AG AI . Diện tích ABC là

2 3

4

aS .

AHI vuông tại H có 3

2

aAI và

3

4

aIH suy ra 2 2 3

4

aAH AI IH .

'GAA đồng dạng với HAI nên ta có:

3' 34' . .

3 3 3

4

aGA HI HI a a

GA GAaGA HA HA

.

Vậy thể tích của khối chóp . ' ' 'ABC A B C là

2 33 3.

4 3 12

a a aV .

Câu 15: Chọn A

Trong mp SBD , gọi P là giao điểm của MN và SO

Trong mp SAC , gọi I là giao điểm của AP và SC .

Theo định lý mendeleus ta có:

2 1 1 1. . 1 . . 1 .

1 1 2 3

AC PO IS IS IS IS

AO PS IC IC IC SC

Ta có:

1 1 1 1 1 1. . . . .

2 3 2 12 12 24

1 1 1 1 1 1. . . . .

2 2 1 4 4 8

1 5. .

6 6

SMNISMNI SBCD SABCD

SBDC

SMNASMNA SBDA SABCD

SBDA

SAMNI SMNI SMNA SABCD MNIABCD SABCD

V SM SI SNV V V

V SB SC SD

V SM SN SAV V V

V SB SD SA

V V V V V V

321 1 3

. 3.3 3 3SABCD ABCD

aV SAS a a 3 35 5 3 5 3

. . .6 6 3 18ABCDMIN SABCD

V V a a

Câu 16: Chọn D

H

IG

C

B

A

C'

B'

A'




253

Ta có : 6OABC

abcV , 2 2 2 2 2 21

2tpS ab bc ac a b b c a c .

Gọi T là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC, ta có:

1 1( ) .

3 3OABC TOAB TOAC TOBC TABC OAB OAC OBC ABC tpV V V V V r S S S S r S ( r là bán kính mặt

cầu nội tiếp tứ diện OABC )

2 2 2 2 2 2

3OABC

tp

V abcr

S ab bc ac a b b c a c

2 2 2 2 2 2 2 2

2 21 1

a ab bc ac a b b c a c a a a a

r bc c b c b

1 1 1 1 1 1 3 3 . Vậy min

3 3a

a b cr

.

Câu 17: Chọn C

Gọi H là trung điểm của //AD IH AA IH A B C D và 3

2 2

AA aIH

.

Gọi K là hình chiếu của B lên CB BK CB , mà BK AB nên .BK CA B

BBC có 2 2

2 2

. 3

2

B B BC aBK

B B BC

.

, , , , .d IH BK d IH BB C C d AA BB C C d A BB C C AB a

Gọi là góc giữa IH và BK, mà // 'IH BB nên BBK .

Khi đó 1 3

cos sin2 2

BK

BB

. Ta có

31 3. . , .sin

6 16IHBK

aV IH BK d IH BK .

Câu 18: Chọn D

I

A

B

D

C

A'

B'C'

D'H

K




254

Gọi độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật lần lượt là: ; ; ' zAB x AD y AA

Ta có: 2 5

, ,5

ad AB B C d AB B CD BH (H là hình chiếu của B lên BC ).

Xét tam giác BCB ta có: 2 2 2 2

1 1 1 5

4y z BH a 1 .

Ta có: 2 5

; ;5

ad BC AB d BC ADB BK (K là hình chiếu của B lên AB ).

Xét tam giác ABB ta có: 2 2 2 2

1 1 1 5

4x z BK a 2 .

Dựng đường thẳng d đi qua D và song song với AC . Kéo dài BC cắt d tại E .

Ta có: 1

; ; ; ; B ;2

d AC BD d AC BD E d C BD E d C BD E d BD E .

Từ 1 và 2 x y ABCD là hình vuông.

2 3

;3

aE D BD d B BD E B I ( I là hình chiếu của B lên BD ).

Xét tam giác BBD ta có:

2 2 2 2

1 1 1 3

42z B I ax

3 .

Từ 2 và 3 2

x a y a

z a

. Vậy 3

.. .2 2

ABCD A B C DV a a a a

.

Câu 19: Chọn C

Gọi là thể tích khối đa diện có các đỉnh .

Gọi lần lượt là diện tích đáy và chiếu cao của hình hộp

.

Ta có

.

C'

A'D'

C

D

B

A

B'

K

E'

H

I

1V , , , , ,M P Q E F N

,S h

. ' ' ' 'ABCD A B C D

1 1. .sin( , ) . .sin( , )

2 2 2PQEF

SS PE QF PE QF AB BC AB BC

F

M

Q

N

EP

C

D

B

C'

A'D'

A

B'




255

Suy ra .

Phân tích:

+ Kiến thức trọng tâm của bài toán là công thức tính thể tích hình lăng trụ, hình chóp, diện tích

hình bình hành và khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

+ Sử dụng quan hệ song song để tính tỷ số khoảng cách, tỷ số diện tích.

Câu 20: Chọn D

Gọi H là hình chiếu của S trên mặt đáy, vì

SA SB SC nên HA HB HC hay H là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

2 3

2sin 3

BC aHA HB HC

A

Gọi O là trung điểm BC , tam giác ABC cân tại A

nên 60

AO BC

BAO CAO

Suy ra 2 3

3sin

BO aAB AC

BAO

Diện tích tam giác ABC là

21 3. .sin120

2 3ABC

aS AB AC

Đường cao của khối chóp là 2 2

2 2 39 123

9 9

a aSH SA AH a

Thể tích khối chóp .S ABC là

2 3

.

1 3. . 3

3 3 3S ABC

a aV a

Do G là trọng tâm tam giác SAB nên 1

3GM SM

1d G, d ,

3ABC S ABC

3

. .

1

3 9G ABC S ABC

aV V .

Cách 2:

Gọi H là hình chiếu của S trên mặt đáy ABC , vì SA SB SC nên HA HB HC .

Gọi O là trung điểm BC HO BC

Tam giác ABC cân tại A nên 60

AO BC

BAO CAO

.

Vậy H nằm trên đường thẳng AO và HAB đều.

Ta có . 3 2 2 3

2 33

AH BO aBO AH AB .

Đường cao của khối chóp là 2 2

2 2 39 123

9 9

a aSH SA AH a .

Diện tích tam giác ABC là

21 3. .sin120

2 3ABC

aS AB AC

1

1 1( , ( ) ( , ( )

3 3 2 6PQEF

S VV S d M PQEF d N PQEF h




256

Thể tích khối chóp .S ABC là

2 3

.

1 3. . 3

3 3 3S ABC

a aV a

3

. .

1

3 9G ABC S ABC

aV V .

Câu 21: Chọn B

Gọi O là chân đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng

ABC .

Đặt ,d BC aO , ,d O AC b , ,d O AB c ,

SO h .

Ta có

3

12ABC OBC OAC OAB

S S S S a b c

.

Mặt khác

, 2 2 6

, .4, 3 3 2

d O SBC OM OI a a ad O SBC

AM AKd A SBC .

Suy ra 2 2 2

2 1 1a h

a h a .

Tương tự

, , 2 2 15

, .10, 3 3 5

d O SAC d O AC b b bd O SAC

dd SAC

B,ACB.

Suy ra 2 2 2

5 1 12b h

b h b .

Tương tự

, , 2 2 30

, .20C, 3 3 10

d O SAB d O AB c c cd O SAC

dd SAB

C,AB.

Suy ra 2 2 2

10 1 13c h

c h c .

3 3 1 1

1 2 3 . .2 12 3 48ABC

h h h h V SOS

.

Câu 22: Chọn A

Gọi O AC BD và I là trung điểm của AD .

Ta có ADD A ABCD AD , OI AD và AO ABCD nên góc giữa hai mặt phẳng

ADD A và ABCD là 60A IO .

Tam giác A IO vuông tại O nên 3

tan tan602 2

a aA O IO A IO .

a

60°I

B'

C'D'

O

CD

AB

A'

a

B'

C'D'

O

CD

AB

A'




257

Thể tích của khối lăng trụ .ABCDABCD là

33 3. . . 3

2 2

a aV AB AD AO a a .

Dễ thấy

3

'

1 1 1 33

3 2 6 2 4CC B D B ABC AA B D D ACD

a aV V V V AD DC AO a a

.

Vậy thể tích khối tứ diện ACBD là 3 3 3

'

34 4

2 4 2ACB D CC B D B ABC AA B D D ACD DACD

a a aV V V V V V V V

.

Câu 23: Chọn A

Gọi Q là trung điểm của AB .

Đặt PQCC

S S

; ,h d A PQCC .

Theo giả thiết .

1. , 5

3N GMP GMPV S d N GMP

. , 15GMPS d N GMP .

Ta có

1 1 2 5. .

6 4 2 2 3 12MPG PQCC PQG PMC MGC

S S SS S S S S S S

.

Lại có 1

, ,2

d N GMP d A GMP .

Suy ra: 5

. , .12 2GMP

S hS d N GMP . 72S h .

Mặt khác, vì ..

2.

3 2ABC A B C

A PQCC

VV

nên

.. 72

ABC ABCV S h

.

Câu 24: Chọn A

Gọi ,O AC BD I MP SO Q NI SD

ÁP dụng định lí Menelauyt cho tam giác SBC với cát tuyết NPE , ta được . . 1NB PS EC

NS PC EB

CE CB

Do MIP nên 2 4

(1 ) (1 )3 9

SI xSP x SM x SC x SA




258

1 1 3 8,

2 2 5 15SI kSO k SC SA x k

. Tương tự với ba điểm thẳng hàng , ,N I Q ta có

4

7SQ SD

Áp dụng định lí Menelauyt cho tam giác SCQ với cát tuyết PRD , ta được 6

37

RQ

RC

Từ đó ta có 6 6 1 2 4 8

. . .13 13 3 13 7 91PRQ PQC SQC SDC SDC

S S S S S

8 8 4

91 91 91EPQR ESDC SBDC SABCDV V V V

18.91

4SABCDV

Do đó . . . .2SABCD

SMNPQ SMNP SMPQ

VSM SN SP SM SP SQV V V

SA SB SC SA SC SD

34 2 1 2 4 4. . . . . 65cm

9 3 2 3 9 7 2SABCDV

Câu 25: Chọn A

Gọi '; / / ( )I BM AB IN CM N BC . Khi đó: / /( ' )CM AB N

7( , ' ) ( ,( ' )) .

7d CM A B d C AB N

Mặt khác: 1 1

' 2 2

IM AM NC IM

IB BB NB IB

2 7( ,( ' )) 2 ( ,( ' )) .

7d B AB N d C AB N

Ta có: 1

cos .2

ABABN

BC Đặt ' ,BB x áp dụng công thức thể tích khối chóp tam giác khi biết

ba cạnh chung đỉnh và ba góc tại đỉnh đó. Ta được:

2 2

2

. '

1 4 1 1 1 1 2.1. . . 1 2. . .0 0 .

6 3 2 2 2 2 9B AB N

xV x

Ta có:

2 2 2 24 16 13' 1, ' , 2 . .cos .

3 9 3AB x x BN NB x AN AB BN AB BN ABN




259

2 2

2 2

13 161

9 9 3 2cos '

2 13( 1) 2 13( 1)

3

x x xx

B ANx x x x

2

2

3 2sin ' 1

52( 1)

xB AN

x x

.

2 2 2

' 2

13( 1) (3 2) 43 40 481

6 1252( 1)AB N

x x x x xS

x x

.

Do đó: . '

2'

23 2 73( ,( ')) 4( 0).

743 40 48

12

B ANB

ANB

xV

d B ANB x xS x x

Vậy . '

4 2

9B ANBV và

. ' ' ' '. . '

3 9 4 23 3 . 2 2

2 2 9ABC A B C B ABC B ANBV V V

.

Câu 26: Chọn B

Gọi M là trung điểm của BC , vì ABC cân tại A nên AM BC . Lại có

/ /EF BC EF AM .

ABC có E là trung điểm của AB , / /EF AM F là trung điểm của BM EF là đường

trung bình của BAM .

Kéo dài FE cắt tia CA tại I . Nối C I cắt AA tại N . Khi đó C EF cắt lăng trụ theo thiết diện

là tứ giác EFCN .

Gọi thể tích khối đa diện chứa đỉnh A là 1V .

Ta có: 2

/ /3

AM CMAM FI

FI CF , mà

1 22

3 3

EF IEAM EF

FI IF .

Lại có: 1

3

IA FM

IC FC ;

IN IA

IC IC

nên

1

3

IN

IC

.

Từ 1 , 2 và 3 suy ra .

.

2 1 1 2. . . .

3 3 3 27I EAN

I FCC

V IE IA IN

V IF IC IC

.

Do đó 1

.

2 251

27 27I FCC

V

V

. Dễ thấy 3

2

IC

AC và

3

8FCC

BCC B

S

S

, do đó




260

.

.

1, .

3 3 93 . .1 2 8 16

, .3

FCCI FCC FCC

A BCC B BCC BBCC B

d I FCC SV SIC

V AC Sd A BCC B S

.

Lại có . . 1 21 1

3 3A BCC B A A B CV V

V V .

Từ 4 , 5 và 6 , ta suy ra 1 25 9 2 25. .

27 16 3 72

V

V .

1

25

72V V .

Câu 27: Chọn B

Ta có 2 2

3 2 5MM a a a .

Chia khối đa diện đã cho thành khối lăng trụ đều có đáy là MNPQ và chiều cao là MM và 4

khối chóp tứ giác có đáy là hình chữ nhật dạng như .AMQQM .

Ta có 4 2

2 2; , 22 2 4

AC a ACMN a d A MQQM a .

Suy ta thể tích khối lăng trụ 2

3

.2 2 . 5 8 5

MNPQ MN PQV a a a

.

Thể tích khối chóp tứ giác .AMQQM là:

3

.

1 1 4 5.d , . 2 2. 5 . 2

3 3 3A MQQM MQQM

aV S A MQQM a a a

Suy ta thể tích khối đa diện đã cho là:

3 33

. .

4 5 40 54 8 5 4.

3 3MNPQ MN PQ A MQQMH

a aV V V a

.

Câu 28: Chọn B

600

HM

C'

B'

A'

A

B

C




261

Hạ HM vuông góc với ' 'A B tại điểm H . Khi đó góc nhị diện giữa hai mặt phẳng AA B và

ABC cũng chính là góc giữa 2 mặt phẳng ' 'AA B và ' ' 'A B C và bằng 060AHM .

Xét tam giác vuông 'HB M vuông tại H có 3

.sin602 4

a aHM .

Xét tam giác vuông AMH vuông tại M có 3

.tan604

aAM HM .

Thể tích khối lăng trụ

2 3

. ' ' '

3 3 3 3. .

4 4 16ABC A B C ABC

a a aV S AM

Câu 29: Chọn B

Chiều cao hình chóp 2

2 2 2 144

2 2

a aSO h SA OA a

.

22 2 2 15

44 2

a aSM SC MC a .

Cách 1: Gọi tâm mặt cầu nội tiếp là I , khi đó ta có IO IN r .

Từ hình vẽ ta có IN SBC , SIN SOM ∽

142 72

15 15 30 222 2

ar

SI IN h r r r ar

aSM OM aa a

.

Cách 2 Thể tích khói chóp

321 1 14 14

. .3 3 2 6SABCD ABCD

a aV S SO a .

Diện tích mặt bên

21 15.

2 4SBC

aS BC SM .

Áp dụng công thức

3

22

143.

3 3 76. 4 15 30 2

4.4

tp ABCD SBC ABCD

aV V a

rS S S S a

a

.

Câu 30: Chọn D




262

Gọi O là giao điểm của AC và DB . Ta có: D , D 60SB ABC SOA .

Xét tam giác SOA vuông tại A : 2 6

.tan .tan602 2

a ah SA AO SOA .

32

. D D

1 1 6 6. . . .

2 3 2 6S ABC ABC

a aV S SA a .

Câu 31: Chọn D

Gọi O là giao điểm của AC vàBD .

Dễ dàng thấy được góc tạo bởi hai mặt phẳng SBD và ABCD là góc SOA suy ra 60SOA

.

Xét tam giác SOA vuông tại A có 2 6

.tan .tan602 2

a ah SA AO SOA .

Do đó thể tích khối chóp .S ABCD bằng

32

.

1 1 6 6. .

3 3 2 6S ABCD ABCD

a aV SAS a .

Câu 32: Chọn C




263

Thể tích khối lăng trụ: .ABC

V S h

2 33 5.

4 2

a ah

2 15

3

ah AA .

Bán kính đáy lăng trụ3

3d

aR .

Áp dụng công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ:

22

4d

hR R

2

22 15

33

3 4

a

a

2a .

Câu 33: Chọn C

Hình vẽ minh họa

Ta dễ dàng tính được: 2 2

4 2 2 3MM a a a .

Các cạnh hình vuông MNPQ là: 4 2

2 22 2

AC aMN a .

Nếu ta gọi A là trung điểm của MP thì ta có 22 22 4 2 14AA AM MA a a a

Suy ra diện tích toàn phần của khối đa diện H là:

22

_

1 14 4. 4 2 2 4. .2 2. 14 4. .4 .2 3

2 2ABCD MNPQ AMQ MABtp HS S S S S a a a a a a

2 2 224 8 7 16 3a a a .

Câu 34: Chọn A

Gọi cạnh của hình lập phương và cạnh của tứ diện đều lần lượt là ,a b .

Ta có:

1

2

22 2

2

4 4 2 33

3 334.

4

xq H

tp H

S ab a b a

S b




264

Suy ra:

1

2

3 3

3

3

9 6

42 2 3 2. .12 3 12

H

H

V a a

Vb a

.

Câu 35: Chọn B

Do góc giữa cạnh bên với mặt đáy của lăng trụ là 30o nên suy ra

0 0 3 130 .tan30 .

2 23

a aA AH AH AH .

Suy ra thể tích lăng trụ của khối lăng trụ .ABC ABC

là

2 3

.

3 3. .

4 2 8ABC A B C ABC

a a aV S AH

.

Câu 36: Chọn B

Tam giác SAB vuông tại A và có 60 .tan60 3.SBA SA AB a

Dựng hình bình hành ABCD , suy ra:

2 2

.// ; ;( ) ;( ) .

SA APAC SBD d AC SB d AC SBD d A SBD AQ

SA AP

Trong đó ; .AP BD AQ SB

Tam giác ABC đều suy ra: 3

2

aAP

2 2 2

2

33.

. 152; .5

33

2

aa

SA AP ad AC SB AQ

SA AP aa

Câu 37: Chọn A




265

Giao điểm của mặt phẳng MNP với cạnh 'BB là trung điểm Q của 'BB .

Khi đó thể tích 1V là phần thể tích khối lăng trụ ' . 'A MN B PQ như hình vẽ.

Ta có: ' ' ' ' '

1 1

4 8A MN A AD A MN A ADDS S S S

' . ' . ' ' ' ' 1

1

8 8A MN B PQ ABCD A B C D

VV V V .

1

2

1

7

V

V .

Câu 38: Chọn C

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên ABC và , ,M N P lần lượt là hình chiếu vuông góc

của H lên các cạnh , ,AB AC BC . Khi đó góc tạo bởi các mặt phẳng , ,SAB SCA SBC với

ABC lần lượt là , ,SMH SNH SPH . Suy ra 60 , 45o oSMH SPH SNH .

Đặt SH h .cot603

o hHM HP SH ; .cot45oHN SH h .

Ta có ABC ABH ACH CBH

S S S S

. . . .ABAC ABMH BCHP ACHN

22 2. 2 . 2.3 3

h ha a a a h

2 3

2 2 6

ah

31 2.

3 2 3 6 3 2SABC ABC

aV S h

.

Câu 39: Chọn B

D

P

N

Q

M

C

B

A

A' D'

B' C'




266

Ta có AB AC

AB ACC AAB AA

, mà BC ACC A C nên góc tạo bởi đường thẳng

BC và mặt phẳng ACC A là: 0, , 30BC ACC A BC AC AC B

Ta có: 02 .cot 30 2 3AB AC a AC AB a

Suy ra đường cao lăng trụ là 2 22 2 2 3 2 2 2h CC AC AC a a a

Thể tích lăng trụ là 2 31

. . 2 .2 2 4 22ABC

V S CC a a a

.

Câu 40: Chọn A

Gọi O AC BD .

Ta có SAC vuông tại S nên OS OA OB OC OD R . Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp .S ABCD bán kính R .

Đặt , 0SC x x . Theo đầu bài, diện tích tam giác SAC là 22a nên:

2 22 21 4 4

. 2 . 42

a aSASC a SASC a SA

SC x .

Suy ra

4 42 2

2 2

1 16 1 162 . 2.

2 2

AM GMa aR x x a

x x

Để diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD là nhỏ nhất thì bán kính R nhỏ nhất




267

min 2R a . Vậy diện tích nhỏ nhất của mặt cầu là 2

2 24 4 2 8S R a a .

Câu 41: Chọn D

Dễ thấy

. . .

1 1

2 2S ABD S CBD S ABCDV V V V .

Có .

. .

.

1 1 3 3 3 3. . . .

2 2 4 16 16 32

S MNQ

S MNQ S ABD

S ABD

V SM SN SQV V V

V SA SB SD .

.

. .

.

2 1 3 1 1 1. . . .

3 2 4 4 4 8

S PNQ

S PNQ S CBD

S CBD

V SP SN SQV V V

V SC SB SD .

Vậy . .

3 1 7

32 8 32SMNPQ S MNQ S PNQV V V V V V .

Câu 42: Chọn A

Gọi chiều cao của hình chóp là h SA . Khi đó ta có

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

42;3

h aAS AB AD h a aad A SBD

Vậy thể tích khối chóp 31 1 1 2

. . .h 2 . .3 3 3 3SABCD ABCD

aV S SA AB AD a a a

Câu 43: Chọn A

Đặt ' 2 ,AA x tam giác ABC có 2, 4AB AC và 60 2 3.BAC BC

K

P

Q

N

M

C

A D

B

S




268

Ta có:

2

2

2

' 16

12

' 4 4

A M x

BM x

A B x

Tam giác 'BMA vuông tại 2 2 216 12 4 4 2 3 ' 4 3.M x x x x AA

1. . .sin60 2 3

2ABCS AB AC ;

. ' ' '. ' 24.

ABC A B C ABCV S AA

Câu 44: Chọn C

Cách 1: Gọi I là trung điểm của SB

Xét MNI vuông tại ,I ta có: 2 2

2 2 4 7

9 4 6

a a aNI MN MI

17

6IN SB SB a

2 2 2 27 6SA SB AB a a a

Thể tích của khối chóp .S ABCD là

32 21 1 6

. 6. .3 3 3

aV SA AB a a

Cách 2: Gắn hệ trục tọa độ vào hình chóp với: A trùng với ,O trục Ox dọc theo ,AD trục Oy

dọc theo ,AB trục Oz dọc theo .AS

Ta gán các giá trị 1.a Khi đó, (0,0,0), (0,1,0), (1,1,0), (1,0,0), (0,0, ).A B C D S h

1 1, , ,

2 2 2

hM

2

2 0 0, ,3 3

hNS NB N

2 2 2 21 1 2 10 20 6

2 2 3 2 3 6 2 3

h h h a aMN h

Suy ra thể tích khối chóp .S ABCD là

3 321 1 1 . 6 6

. .1 .1. 63 3 3 3ABCD

aV S h

Câu 45: Chọn A




269

Vì lăng trụ đứng tồn tại mặt cầu ngoại tiếp nên bắt buộc đáy phải là tứ giác nội tiếp được đường

tròn. Suy ra 0 0180 120ADC ABC

Trong :ADC 2 2 02. . . 120 4 3AC DA DC DA DC cos

Khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp ADC ( cũng là bán đường tròn ngoại tiếp tứ giác đáy

ABCD) là: 0 0

4 34

2sin120 2sin120ADC

ACR

Nếu chiều dài cạnh bên ( cũng là chiều cao lăng trụ) là 'h AA thì bán kính mặt cầu tiếp là:

2 22 26 4 4 5

4 4ADC

h hR R h

. Vậy thể tích tứ diện 'A ACD là:

0 0

'

1 1 1 1 1 16 15. ' . .sin120 . .4.4.sin120 .4 5 .

3 3 2 3 2 3A ACD ACDV S AA DADC h

Câu 46: Chọn A

Gọi ,d bR R lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và BCD .

Gọi ,I J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và BCD .

,d bR IC R JC .

Gọi ,d bd d lần lượt là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và BCD .

60°

120°4

4C

D

B

A




270

Gọi O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp ABCD d b

O d d .

Gọi M là trung điểm ,BC MI MJ là các đường trung trực của BC .

MIOJ là hình chữ nhật.

22 2 2 2 2 2 2 2 2

4d b

GTR OJ CJ IM CJ IC MC CJ R R R .

Đây là dạng hình chóp có hai mặt vuông góc với nhau. Khi đó công thức tính bán kính mặt cầu là

22 2

4d b

GTR R R , trong đó GT là độ dài giao tuyến: 6GT BC .

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và DBC là 2sin

ABC

BCR

BAC

;

2sinBDC

BCR

BDC

.

Từ giả thiết suy ra 3 3. sin 3 sin2sin 2sin

ABC DBC

BC BCR R BDC BAC

BAC BDC

.

Lại có: 090BAC BDC 0 060 ; 30BDC BAC 6, 2 3ABC BDC

R R

.

Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: 22

2 66 2 3 39

4R .

Câu 47: Chọn B

Hạ đường cao SHvuông góc với ABC tại H (Vì SABC cố định nên SH cố định), trên SH lấy

điểm K sao cho . . 3SHSK SMSN . Suy ra điểm K cố định và được xác định bởi 3

SKSH

.

Suy ra SHM SNK ∽ 90SNK . Suy ra N nhìn SK (cố định) một góc vuông. Vì thế M

chạy trên mặt phẳng ABC thì N nằm trên mặt cầu cố định có đường kính là SK .

Suy ra 3 3

2 2 3 . 2 322 3

SK R SH SK SH SH .

Diện tích tam giác ABC là 2 3 3

4 4ABC

aS

.

N

HA

B

C

S

M

K




271

Suy ra .

1 1 3 3 1. . .

3 3 4 2 8S ABC ABCV S SH

.

Câu 48: Chọn A

Tâm mặt cầu ngoại tiếp là điểm O cách đều các đỉnh: 2

aOA OB OC OD OS .

Ta có

2 2

2 2 6

2 42 2 2 2 2

OA a a a aOH SH SO OH

.

Suy ra thể tích của hình chóp SABCD là 3

21 1 6 6. .

3 3 4 12SABCD ABCD

a aV S SH a .

Câu 49: Chọn D

Cách 1:

Dễ thấy

32 2 2

.

2 1. . 1 os os os 2 os . os . os

12 6S ABD

aV SASBSD c ASB c ASD c BSD c ASB c ASD c BSD ,

mặt khác AB AD SA SB SD a nên .S ABD là tứ diện đều.

Suy ra 3 1

2 2

aSO AC , nên tam giác SAC vuông tại S .

Mặt khác: Dựng OI SC trong mặt phẳng SAC . Dễ dàng ta chứng minh được SC BID .

Nên:

1 1 1

2 2

; ; 2

OI SA BD

SBC SCD BI DI

.

HO

D

BC

A

S

OH

I

B

CD

A

S




272

Từ 1 BID tại I . Từ 1 ; 2 suy ra ; ; 90SBC SDC BI DI .

Cách 2:

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD . Ta có , SCB SDC là các tam giác cân lần lượt tại ,B D .

Gọi I là trung điểm của BI SC

SCDI SC

.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng SBC và SDC là góc giữa hai đường thẳng BI và DI .

SBC SDC BI DI IBD cân tại I .

Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD .

Do SA SB SD HA HB HD H là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABD .

Mà ABD cân tại A nên H nằm trên đường chéo AC của hình thoi ABCD .

Đặt 0OB x x a . Ta có 2 2 ; sinOB x

OA a x OABAB a

.

2 2

2

2sin sin2 2sin .cos 2 .

OB OA x a xBAD OAB OAB OAB

AB AB a

.

Ta có 2

2 22

sin 2

BD aAH AH

BAD a x

.

Suy ra

4 4 2 2 2 22 2 2

2 2 2 2 2 2

3 4 3 4

24 4

a a a x a a xSH SA AH a

a x a x a x

.

Gọi V là thể tích của khối chóp .S ABCD .

Ta có 2 2

2 2 2 2 4

2 2

1 1 3 4. . . . . .2 3 4

3 3 6 3ABCD

a a x aV SH S SH AO BD a x x a x x

a x

.

Theo giả thiết 3 3 2

2 2 4 2 2 42 2 23 4 3 4

6 3 6 2

a a a aV a x x a x x .

22

4 2 2 4

22

248 6 02

2 2

aaxx

x a x aa a

x x

.

Do tứ giác ABCD không phải là hình vuông nên 2

2

ax . Vậy

2

ax hay

2

aOB .

Mà 2

SA aOI

a . Suy ra BIO vuông cân tại 45 90O BIO BID .

Vậy góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD là 90 .

Câu 50: Chọn D




273

Gọi N là trung điểm AB AN AB .

Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống mặt phẳng A B C HN AB , HM BC .

Ta có: 23

3 cos30 3 3 3

2

aa CM a

CM CH

.

3 2 5 3

2 183 3

a a aHN CN CH

2 2 2 2

22 2 2 2 25 3 13 13 2852

18 2 27 27 9

a a a a aHB HN NB AH AB HB a

Suy ra thể tích lăng trụ là: 2 3

.

3 285 95. .

4 9 12C A BA CBC A B

a a aV S AH

.

Câu 51: Chọn D

Gọi N là giao điểm của mặt phẳng ABM với SD , đặt .S ABCDV V .

Áp dụng công thức tỉ số thể tích cho khối chóp có đáy là hình bình hành:

SA SC SB SD SC SD

SA SM SB SN SM SN , mà 2 2

SC SD

SM SN .

.

.

1 1 2 2 3

4.1.1.2.2 84 . . .

S ABMN

S ABCD

SA SB SC SDV SA SB SM SN

SA SB SC SDV

SA SB SM SN

.

Mặt phẳng ABMN chia hình chóp thành hai phần có thể tích theo tỉ lệ 3 và 5 .

D

A B

C

S

MN




274

Suy ra: 1

2

3

5

V

V .

Câu 52: Chọn C

Cách 1: Gọi góc giữa hai mặt phẳng SBC và SAD là .

Dễ thấy BD AD

BD SAD DBD SA

là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng SAD

Gọi 'C là hình chiếu vuông góc của C lên mặt phẳng SAD .

Suy ra:

2

'

1 1 3' .cos 3.cos30 ' . '. . . 3

2 2 2 2 4SDC

a a aAC AC CAD a DC S DC SA a

.

Suy ra 'SDC là hình chiếu vuông góc của SBC lên mặt phẳng SAD .

Ta có: CB AC CB SAC CB SC SBC vuông tại C .

Tam giác SBC có 21 6

7 ; 6; . .2 2SBC

aSB a SC a BC a S SC CB

.

Suy ra:

2

'

2

31 24cos

46 2 2

2

SAC

SBC

aS

S a

.




275

Cách 2:

Ta chứng minh được BD SAD .

Dựng SE SC tại E SE SBC .

Suy ra: ; ;SAD SBC AE BD .

Gọi O AC BD ; dựng OI SC I

/ / ; ;OI AE AE BD OI BD IOB

OICosIBO

OB . Ta tính được:

6 6

2 3 6

a OE aOE OI

2 2 33

3 3

aBD a BO BD . Suy ra:

2

4CosIOB .

Câu 53: Chọn C

Đặt AN x

AP y

với

9 20 , 0

2 3x y suy ra

9

2NC x .

. .AMNP

ABCD

V NC AM AN AP NC

V AN AB AC AD AN

92 2. .

9 23

2 3

xyx

x

2

99 2.2

xy

x

2

81 18

4

xy

x

.

Suy ra 2

81 18

4

xAN AP x y x

x

. Đặt 2

81 18

4

xf x x

x

với

90

2x .

2 4 2

4 4

9 81 2 9 811

2 2

x x x x xf x

x x

có

00

3

xf x

x

.

Ta có bảng biến thiên:

A

B D

C

M

N

P

I

O

E

C

AB

D

S




276

Từ bảng biến thiên ta thấy AN AP nhỏ nhất bằng 15

4 khi 3x .

Câu 54: Chọn A

Từ giả thiết suy ra 2 2AC SC SA a . Gọi ,H E lần lượt là trung điểm ,BC BS .

ABC cân tại ,A H là trung điểm BC AH BC .

,

ABC SBCAH SBC AH BS

AH ABC AH BC cmt

.

, / /BS AH

BS HE HE CS BS CS BSCBS AE

vuông tại S .

AH là trục đường tròn ngoại tiếp BSC tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC là

tâm đường tròn ngoại tiếp ABC .

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

22

. . . . .. :

4 2 .2

4

ABC

AB AC BC AB AC BC AB ACS ABC R OA OB OC a

S AH BC BCAB

.

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC là:34

3

aV

.

Câu 55: Chọn B




277

Kẻ HK BC tại K , suy ra 2

3

aHK , 60SKH và SHK vuông tại H .

Suy ra 2 3

.tan603

aSH h HK

Kẻ HP CD tại P , hạ HQ SP tại Q . Suy ra 2

3

aHP

2 2

3 3 3 ., , . . 3 3

2 2 2

SH HPd A SCD d H SCD HQ

SH HP

Câu 56: Chọn B

Đây là dạng bài cơ bản về khoảng cách từ chân đường cao A đến mặt phẳng nghiêng có đỉnh S .

Hạ AP vuông góc với DM tại P , dựng AQ vuông góc với SP tại Q , khi đó khoảng cách từ A

đến mặt phẳng SDM chính là AQ .

Ta có: 3

.cos . .10 10

3

DC a aAP AD AD a

DM a .

Có: 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 3;

263

2 10

ad A SDM AQ SA

AQ SA AP SAa a

.

Suy ra thể tích: 3

2

.

1 1 3. . .


a aV S SA a .

Câu 57: Chọn A

HM

C

B

A'

B'

C'

A

K




278

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên AB và K là hình chiếu vuông góc của điểm

M trên AH . Ta có ( )MK ABA , suy ra ,( )d M ABA MK .

Tam giác AAM vuông tại M có 3

2

aAM và 2AA a

2 2 13

2

aAM AA AM .

Tam giác HBM vuông tại H , có 2

aB M và 060HBM ,

3sin

4

HM aHBM HM

BM

.

Tam giác HAM vuông tại M suy ra 2 2

2 2

. 39

2 55

HM AM aKM

HM AM

.

Suy ra 39

,( ) 2 ,( )55

d C ABA d M ABA a .

Câu 58: Chọn C

Gọi ,M N là trung điểm của AB và CD D thì ta có ,SM AB MN AB AB SMN .

Kẻ ,SH MN H MN , khi đó SH AB SH ABCD .

22

.

1 1. .

3 3 2S ABC ABC

aV S SH a SH

3

2

aSH .

Có 3SM a2

2 2 2 9 33

4 2

a aMH SM SH a

3 1

2

aOH MH MO

.

Gọi O AC BD , I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD suy ra IO ABCD

//IO SH . Kẻ ,IK SH K SH IOHK là hình chữ nhật.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp .S ABCD là:

22 2 2R IS IK KS OH SH IO

2

2 23 1 3

4 2

a aIO

2

22 2 2 2 5

4

aR ID IO OD OH SH IO IO

2

2 2 22

3 1 3 5 4 3

4 2 4 6

a a aIO IO IO a

.

Suy ra bán kính:

22

2 2 24 3 5 16 2 3

6 4 3

aR IO OD a a

O

N

M B

DC

A

S

H

I K




279

DẠNG 8: BÀI TOÁN GÓC – KHOẢNG CÁCH

Câu 1: Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCDA B C D có cạnh 3a . M thuộc cạnh ’ ’A D sao cho ' 2A M a .

Tính khoảng cách giữa AM và 'BD theo a

A. 3 14

14a . B.

14

14a . C.

7

7a . D.

3 7

7a .

Câu 2: Cho hình chóp .S ABC có mặt đáy là tam giác vuông tại đỉnh A , AB AC a . Đường thẳng SA

vuông góc với mp ABC , 2

2

aSA . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC

A. 3

3

a. B. 3a . C.

3

a. D. 3 3a .

Câu 3: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh AB a , 60BAD ,

SO ABCD , 3

4

aSO . Gọi M là trung điểm của CD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng

SM và BD là

A. 3

8

a. B.

3 7

14

a. C.

8

3

a. D.

2 7

3

a.

Câu 4: Cho hình chóp .S ABC , tam giác ABC có 6 , 3 , 120AB a AC a BAC , SA vuông góc với

mặt phẳng đáy và 2SA a . Gọi M là điểm thỏa mãn 2MA MB (Xem hình vẽ). Khoảng

cách giữa hai đường thẳng SM và BC bằng

A. 39

13

a. B.

2 39

13

a. C.

4 39

13

a. D.

6 39

13

a.

Câu 5: Cho .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA ABCD và 3SA a . Gọi M là trung điểm

của .AD Khoảng cách giữa hai đường thẳng BMvà SD bằng

A. 2

a. B. a . C.

57

3

a. D.

57

19

a.

Câu 6: Cho hình chóp .S ABC có tam giác ABC đều cạnh 3a, SA ABC và 2SA a (minh họa như

hình vẽ). Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho 2AM a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng

SM và BC bằng

A B

C

S

M




280

A. 21

7

a. B. 21a . C. 2 21a . D.

2 21

7

a.

Câu 7: Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy là tam giác vuông, 2BA BC a , cạnh bên

' 4AA a , M là trung điểm của BC ( minh họa như hình bên). Khoảng cách giữa hai đường

thẳng 'B C và AM bằng

A. 2 7

7

a. B.

6

6

a. C. a . D.

6

3

a.

Câu 8: Cho hình lăng trụ đứng .ABC ABC có đáy ABC là tam giác vuông tạiB , 3AB a , 2BC a .

Gọi M là trung điểm củaBC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng , 'AM B C biết ' 2AA a .

A. 10

10

a. B. 2a . C.

30

10

a. D. 2a .

Câu 9: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và

3SA a . Gọi M là điểm thuộc AD sao cho 3AM MD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng

SM và BD bằng

A. 35

35

a. B.

3 35

35

a. C.

2 35

35

a. D.

9 35

35

a.

Câu 10: Cho hình chóp SABCD , đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB cân tại S . Hình chiếu vuông

góc của S lên mặt đáy nằm trên miền trong hình vuông ABCD . Góc giữa đường thẳng SA và




281

mặt đáy bằng 30 , góc giữa mặt phẳng SAB và mặt đáy bằng 45 . Thể tích hình chóp SABCD

bằng 3

3

a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SA .

A. 2a . B. a . C. 3

a. D. 2a .

Câu 11: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; AB a , 2AD a . Cạnh bên SA

vuông góc với đáy và 2SA a (hình vẽ minh họa). Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng

BD và SC .

A. 2

3

a. B.

3

a. C.

2

a. D.

3

4

a.

Câu 12: Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng 37

3

a. Gọi M là

trung điểm cạnh SA . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM .

A. 3

4

a. B.

5 3

6

a. C.

5 3

12

a. D.

3

2

a.

Câu 13: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình chữ nhật với ; 2AB a AD a , ( )SA ABCD và

3SA a . Gọi M là trung điểm AB , tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và DM .

A. 4 21

21

a. B.

2 21

21

a. C.

21

21

a. D.

6

3

a.

Câu 14: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có 2AB BC a . Cạnh bên SA

vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC bằng 60 . Gọi M là

trung điểm của AC , tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM theo a .

A. 2 39

13

a. B.

2 39

13

a. C.

2 11

13

a. D.

2 11

13

a.

CB

DA

S

M

C

A D

B

S




282

Câu 15: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt

phẳng ABC là điểm H thuộc cạnh AB sao cho 2HA HB . Góc giữa đường thẳng SC và mặt

phẳng ABC bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a .

A. 42

8

a. B.

42

4

a. C.

42

12

a. D.

42

10

a.

Câu 16: Cho hình lăng trụ .ABC ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Biết hình chiếu vuông góc

của điểm A trên mặt phẳng ( )ABC là trọng tâm G của tam giác ABC và AA a . Ta có

khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC là

A. 3

3

a. B.

3

2

a. C.

2

3

a. D.

2

2

a.

Câu 17: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAD là tam giác đều và

SAD ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh đáy AB . Ta có khoảng cách giữa hai đường

thẳng SA và CM là:

A. 2

3

a. B.

5

4

a. C.

3

3

a. D.

3

4

a.

Câu 18: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a , 2BC a , SA vuông góc với mặt phẳng

đáy. Tính khoảng cách giữa AC và SB , biết góc giữa SC và mặt phẳng ( )ABCD bằng 30o .

A. 5

.2

a B.

2.

5

a C.

2 37.

185

a D.

2 185.

37

a

Câu 19: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành thỏa mãn 6AB a , 3BC a ,

3AC a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy, 3SA a . M là điểm thuộc cạnh BC sao cho

2BM MC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SD là

A. 3 3

2

a. B.

6

2

a. C.

2

2

a. D.

3 2

2

a.

Câu 20: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S

lên mặt phẳng chứa đáy là trung điểm H của AC và 2SH a . Gọi điểm M thuộc cạnh AB sao

cho 3AM MB (tham khảo hình vẽ bên dưới).

Khoảng cách giữa SM và BC bằng

A. 12

259a . B.

259

12a . C.

67

12a . D.

12

67a .

M

H

A B

C

S




283

Câu 21: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a , tam giác SBA vuông tại B , tam giác

SAC vuông tại C . Biết góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABC bằng 60 . Tính khoảng cách

giữa SC và AB theo a .

A. 3

8

a. B.

3

13

a. C.

3

6

a. D.

3

4

a.

Câu 22: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a . Hình chiếu vuông góc của S xuống

mặt phẳng ABC là trung điểm H của cạnhAB , góc giữa SC và đáy bằng 60 . Tính khoảng

cách giữa SB và AC .

A. 3

26

a. B.

3

13

a. C.

3

52

a. D.

13

a.

Câu 23: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là nửa lục giác đều với 2 ,AD a AB BC CD a , 3SA a

và SAvuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD theo a .

A. 2

3

a. B.

6

5

a. C.

14

7

a. D.

15

5

a.

Câu 24: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Góc

giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) bằng 060 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng GC và

SA bằng:

A. 5

5

a. B.

5

a. C.

5

10

a. D.

2

5

a.

Câu 25: Cho hình chóp .S ABCD với đáy là nửa lục giác đều có AB BC CD a , SA ABCD , góc

giữa SC và ABCD là 45 . Khoảng cách giữa SB và CD là

A. 15

3

a. B.

15

5

a. C.

3

5

a. D.

5

3

a.

Câu 26: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 4a , SAB là tam giác đều và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với đáy, 0120BAD . Gọi M là điểm trên cạnh CD sao cho 3CM a .

Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AM bằng

A. 8 51

17a . B.

51

12a . C.

4 51

17a . D.

51

6a .

Câu 27: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành tâm O , 2 , , 5AC a BC a DC a , SA

vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Gọi M là trung điểm OA , DM AB N . Tính

d ,N SBC

A. 2

3a . B.

4 5

15a . C.

1

2a . D.

5

5a .

Câu 28: Cho hình chóp .S ABCD có ( )SA ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật. Độ dài các cạnh

3 , 4 , 5AB a AD a SA a . Gọi M là điểm nằm trên cạnh BC và 3BM a . Khoảng cách giữa

hai đường thẳng SB và MD là




284

A. 15

259

a. B.

29

245

a. C.

39

245

a. D.

45

259

a.

Câu 29: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của CD . Tính khoảng cách giữa hai

đường thẳng AC và BM .

A. 22

11

a. B. a 22 . C.

11

22

a. D. 11a .

Câu 30: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB BC a ,

2AD a , SA vuông góc với đáy và SA a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD

bằng:

A. 2

6

a. B.

3

3

a. C.

6

3

a. D.

2

9

a.

Câu 31: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA ABC , góc giữa đường thẳng

SB và mặt phẳng ABC bằng 75 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB gần bằng giá

trị nào sau đây? (lấy 3 chữ số phần thập phân)

A. 0.833a . B. 0.844a . C. 0.855a . D. 0.866a .

Câu 32: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang, với / /AB CD 3 ,AB a AD DC a ,

060BAD , biết SA vuông góc với đáy và 3SA a . GọiM là điểm thuộc cạnh AB sao cho

3AB AM . Khoảng cách giữa SM và AD bằng

A. 15

5

a. B.

15

3

a. C.

2

5

a. D.

2

3

a.

Câu 33: Cho hình chóp .S ABCD , có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAD là tam giác đều,

( )SAD vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa SAvà BD .

A. 15

5

a. B.

5

5

a. C.

21

10

a. D.

21

7

a.

Câu 34: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , 060ABC , SA ABCD , góc giữa

đường thẳng SD và mặt phẳng ABCD bằng 030 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB

và AD .

A. . B. . C. . D. .

Câu 35: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thang, 2 ,AB a AD DC CB a , SA vuông góc với

mặt phẳng đáy và 3SA a . Gọi E là trung điểm AD , F nằm trên AB sao cho 1

4AF AB .

Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và EF bằng

A. 3

4

a. B.

9

8

a. C.

3 13

13

a. D.

6 13

13

a.

Câu 36: Cho hình chóp .S ABCD có SD vuông góc với ABCD , a 5SD . Đáy ABCD là hình thang

vuông tại A và D với 2 2 2CD AD AB a . Gọi M là trung điểm của BC . Tính khoảng cách

giữa hai đường thằng AC và SM .

39

13

a 3

13

a 2

13

a 39

3

a




285

A. a . B. 2

a. C.

4

a. D.

5

a.

Câu 37: Cho hình chớp .S ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a , 60ABC , mặt bên SAB là tam

giác đều. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm củaAO .

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD .

A. 560

112

a. B.

560

10

a. C.

560

5

a. D.

560

28

a.

Câu 38: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D , SA ABCD ; 2AB a ,

AD CD a . Gọi N là trung điểm SA . Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SC và DN ,

biết rằng thể tích khối chóp .S ABCD bằng 3 6

2

a.

A. 6

4

a. B.

2

2

a. C.

6

2

a. D.

10

2

a

Câu 39: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , 33

2

aSD . Hình chiếu vuông góc H

của S lên mặt phẳng ABCD là trung điểm của đoạn AB . Gọi K là trung điểm của AD . Tính

khoảng cách giữa hai đường SD và HK theo a .

A. 399

.19

a B.

105.

15

a C.

399.

57

a D.

105.

3

a

Câu 40: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , ; 2AB BC a AD a . SA

vuông góc với mặt phẳng đáy, 2 .SA a Gọi M là trung điểm củaAD . Tính khoảng cách giữa

SM và CD .

A. 2

3

a. B.

2 17

17

a. C.

3

a. D.

5

6

a.

Câu 41: Cho hình chóp .S ABC có ABC vuông cân tại B , AB a , 90SAB SCB . Khoảng cách từ

điểm A đến mặt phẳng SBC bằng 3

3

a. Thể tích khối chóp .S ABC bằng

A. 3 2

4

a. B.

33 2

4

a. C.

3 2

12

a. D.

3 6

3

a.

Câu 42: Cho hình chóp .S ABC có tam giác ABC vuông tại A , 2 ,AB a 4BC a . Gọi M là trung điểm

của BC có 090SCB SMA , 0, 60SB ABC . Thể tích khối chóp .S ABC bằng

A. 34 39

3

a. B.

34 39a . C. 339a . D.

339

3

a.

Câu 43: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , 4 3AC a , 30ASB . Góc giữa

hai mặt phẳng SAB và ABC bằng 30 . Biết I trung điểm SA là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình

chóp .S ABC . Gọi là góc giữa IB và mặt phẳng SAC . Khi 21

sin7

thì khoảng cách giữa

hai đường thẳng AC và SB bằng




286

A. 14 3

5a . B.

8 3

3a . C. 3 3a . D. 4 3a .

Câu 44: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , 2AB a , AC a ,

090SBA SCA , góc giữa SA và mặt phẳng ABC bằng 045 . Tính thể tích khối chóp .S ABC

.

A. 3 5

3

a. B. 3 5a . C.

32 5

3

a. D. 32 5a .

Câu 45: Cho hình chóp .S ABC có 2 3 , 2 2SB a AB a , 090SAB SCB ,

0 0, 30 , , 60SB ABC SBC ABC . Thể tích khối chóp .S ABC theo a bằng

A. 316 6

27

a. B.

38 6

27

a. C.

38 3

3

a. D.

32 6

3

a.

Câu 46: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , 090SBA SCA , góc giữa đường

thẳng SA và mặt phẳng ABC bằng 060 .Thể tích của khối chóp .S ABC bằng

A. 3 3a . B. 3 3

2

a. C.

3 3

3

a. D.

3 3

6

a.

Câu 47: Cho hình chóp .S ABC có AB BC a , 120ABC , cosin góc giữa hai mặt phẳng SAB và

SBC bằng 10

5. Tính thể tích khối chóp .S ABC biết hình chiếu vuông góc của S lên mặt

phẳng ABC nằm trên tia Cx AB (cùng phía với A trong nửa mặt phẳng bờ BC ) và nhìn cạnh

AC dưới góc 60 .

A. 3a . B. 3

3

a. C.

3

2

a. D.

3

4

a.

Câu 48: Cho hình chóp .S ABC có 0135ABC , ,AB a 2BC a , ,AC SAB

090SAB SBC ,

thỏa mãn 1

sin5

. Thể tích khối chóp .S ABC theo a bằng

A. 3

12

a. B.

3

4

a. C. 35a . D.

35

3

a.

Câu 49: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A , cạnh AB a , góc 120BAC . Tam

giác SAB vuông tại B , tam giác SAC vuông tại C . Góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABC

bằng 60 . Tính thể tích khối chóp .S ABC theo a .

A. 3 3

6

a. B.

3 3

2

a. C.

3 3

4

a. D.

3 3

12

a.

Câu 50: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , 2AB a , 90SBA SCA

góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAC bằng 60 . Tính thể tích khối chóp .S ABC .




287

A. 34

6

a. B.

3

3

a. C. 34a . D.

34

3

a

BẢNG ĐÁP ÁN

1.A 2.A 3.A 4.A 5.D 6.A 7.D 8.C 9.A 10.B

11.A 12.D 13.A 14.B 15.A 16.D 17.D 18.D 19.D 20.D

21.B 22.B 23.D 24.A 25.B 26.A 27.B 28.D 29.A 30.C

31.B 32.A 33.D 34.A 35.B 36.D 37.D 38.A 39.C 40.A

41.C 42.A 43.D 44.A 45.A 46.D 47.D 48.A 49.C 50.D


Câu 1. Chọn A.

Gọi I là trung điểm của 'BB . 'N AI BA thì N trọng tâm tam giác 'ABB .

Khi đó 'MN BD . Suy ra 'BD AMK với ' 'K A B AI và ' 6A K a .

Ta có 1 1

, ' ', . ', .2 2

d AM BD d D AMK d A AMK d .

Do ' , ' , 'A M A A A Kđôi một vuông góc nên

2 2 2 2 2

1 1 1 1 7 3 14

7' ' ' 18d a

d A A A M A K a. Vậy

3 14, '

14d AM BD a .

Câu 2. Chọn A




288

AC là hình chiếu của SC lên mp ABC , AB AC AB SC .

Trong mặt phẳng SAC dựng AH SC thì AH là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng

AB và SC và ,d AB SC AH

2 2 2

2

. 2. 32

32

4

a aAC SA a

AC SA aa

.

Câu 3. Chọn A

Gọi N là trung điểm của OC . Trong SON , kẻ OH SN H SN . 1

Do M , N lần lượt là trung điểm của CD và OC nên MN là đường trung bình của OCD .

//MN OD hay //MN BD . Do đó , , ,d BD SM d BD SMN d O SMN .

Ta có

//MN BD

BD AC nên MN AC hay MN ON .

Lại có MN SO (do SO ABCD ) nên MN SON MN OH . 2

Từ 1 và 2 suy ra OH SMN , ,d BD SM d O SMN OH .

Do ABCD là hình thoi nên AB AD a .

Lại có 60BAD nên ABD là tam giác đều cạnh a .

Mà AO là đường cao của ABD nên 3 3

2 4

a aAO ON .

Xét SON vuông tại O có 2 2 2 2 2 2

1 1 1 16 16 64 3

83 9 9

aOH

OH ON SO a a a.

Vậy 3

,8

ad BD SM .

Câu 4.




289

Chọn A

Kẻ / /MN BC , suy ra / /BC SMN .

Ta có 1

, , , ,2

d SM BC d BC SMN d B SMN d A SMN .

Kẻ ,AI MN AH SI , suy ra AH SMN , ,d A SMN AH .

2 2 2

. .3 23 3 3

AN AMAN AC a a

AC AB.

2 2

2 4 2.2 .4 .cos120 2 7MN a a a a a .

1 1 . .sin 4 .2 .sin120 2 21. .sin .

2 2 72 7AMN

AM AN BAC a a aS AM AN BAC AI MN AI

MN a.

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 13 2 39

13122 212

7

aAH

AH SA AI aaa.

Vậy 1 2 39 39

, .2 13 13

a ad SM BC .

Câu 5. Chọn D

Gọi N là trung điểm của SA . Do MN là đường trung bình của tam giác SADnên //MN SD .

Vậy //SD BMN vì vậy , , , ,d SD BM d SD BMN d D BMN d A BMN h .

Do .ABMN là một góc tam diện vuông nên

2 2 2 2 2

1 1 1 1 19 57

193

ah

h AB AM AN a.

N

A B

C

S

M

I

H

N

M

B C

A D

S




290

Câu 6.Chọn A.

Gọi N là điểm trên cạnh AC sao cho 2AN a , ta có:

2

3

AM AN

AB AC // //MN BC BC SMN .

Suy ra

, ,d BC SM d BC SMN ,d B SMN .

,d B SMN 1

. , ,2

BMd A SMN d A SMN

AM.

Gọi E là trung điểm của MN , kẻ AH SE , ( H SE ) vì

tam giác AMN đều cạnh 2a nên 3AE a .

Do

AE MNMN AH

SA MN. Mặt khác AH SE ,AH SMN d A SMN AH .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAE , ta có:

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 7 2 21

74 3 12

aAH

AH AS AE a a a . Vậy

21,

7

ad BC SM .

Câu 7. Chọn D

Gọi N là trung điểm của 'BB , khi đó MN là đường trung bình của 'BCB

// ' ' //MN B C B C AMN

, ' ' , , ,d AM B C d B C AMN d C AMN d B AMN h

Tính ,d B AMN . Ta có 1 1 1

' 2 ; .22 2 2

BN BB a BM BC a a

Áp dụng công thức tính đường cao của tứ diện vuông ta có :

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 6 2 6

34 4 4 6

a ah

h BA BM BN a a a a . Vậy

6, '

3

ad AM B C .

Câu 8. Chọn C




291

Gọi N là trung điểm của 'BB suy ra / / 'MN B C .

Do đó , ' ' , ,d AM B C d B C AMN d C AMN .

Mà M là trung điểm của BC nên , ,d B AMN d C AMN .

Ta có , , BA BM BN đôi một vuông góc với nhau nên

2 2 22

1 1 1 1

, BA BM BNd B AMN.

Mặt khác 1

, 3, '2 2 2

BC aBM a AB a BN BB .

Suy ra

2 2 2 22

1 1 1 1 10

3, 3

2

a ad B AMN aa

.

30 30

, , '10 10

a ad B AMN d AM B C

Câu 9. Chọn A

Gọi N là điểm thuộc AB sao cho 3AN NB // //MN BD BD SMN ,

, , ,d BD SM d BD SMN d O SMN , (với O là tâm hình vuông ABCD ).




292

Gọi I AO MN , do

, 1

3,

d O SMN IOAO SMN I

IAd A SMN \

1

, ,3

d O SMN d A SMN . Trong SAI kẻ AH SI .

Ta có ,MN AI MN SA MN SAI MN AH .

, ,AH SI AH MN AH SMN d A SMN AH .

Có 3 3 2 3 2

.4 4 2 8

a aAI AO .

Tam giác SAI vuông tại A , AH là đường cao nên

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 64 35 3 35

353 18 9

aAH

AH SA AI a a a.

Vậy 1 1 35

, ,3 3 35

ad O SMN d A SMN AH .

Câu 10. Chọn B

.

Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB và CD , suy ra AB SMN .

Kẻ SH MN , H MN , suy ra SH ABCD .

Khi đó , 30SA ABCD SAH và , 45SAB ABCD SMH .

Kẻ NE SM , E SM , suy ra NE SAB .

Ta có , , , .d CD SA d CD SAB d N SAB NE

2sin30

SHSA SH ;

2

sin45

SHSM SH .

Lại có 2

2 2 2 2 2 2 24 2 8 04

ABSA SM AM SH SH SH AB 1 .

Và 3

2 2 31. .

3 3SABCD

aV SH AB SH AB a 2 .

Giải 1 và 2 ta được 2

aSH ; 2AB a .

NM

A D

CB

S

H

E




293

Xét tam giác SMN có

. 22. .

2

2

aa

SH MN NE SM NE a

a

.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SA bằng a .

Câu 11. Chọn A

Gọi O là giao điểm của AC và BD ; M là trung điểm của cạnh SA .

Ta có OM là đường trung bình của tam giác SAC nên // OM SC . Suy ra //SC MBD .

Lúc đó , , ,d SC BD d SC MBD d C MBD . (1)

Mặt khác, do AC cắt MBD tại O và OA OC nên , ,d C MBD d A MBD AK , với

K là hình chiếu của A lên MBD . (2)

Xét tứ diện .AMBD có AB , AD và AM đôi một vuông góc, ta có

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 9

42AK AB AD AM a a aa. Suy ra

2

3

aAK . (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có 2

,3

ad SC BD .

Câu 12. Chọn D

Cách 1:

Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABDC .

O

M

CB

DA

S

H

K




294

Khi đó, // // d , d , d ,AC BD AC MBD AC BM AC MBD A MBD .

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC . Suy ra SO ABC .

Gọi H là trung điểm AO . Suy ra //MH SO MH ABC .

Vẽ HK BD tại K . Suy ra //HK BO . Suy ra 4 5

5 4

BO ODHK BO

HK HD.

Mà 2 3 2 3

.2 .3 2 3

aBO a suy ra

5 2 3 5 3.

4 3 6

a aHK .

Vẽ HI MK tại I . Suy ra d ,H MBD HI .

Ta có,

2 2

2 2 2 37 2 3 25 5 5

3 3 9 3 6

a a a a aSO SA AO SO MH .

Mà 2 2 2

1 1 1

HI MH HK suy ra

5 3 5 3d ,

12 12

a aHI H MBD HI .

Mà

d , 5 3

d ,6 2d ,

H MBD HD aA MBD

ADA MBD. Vậy

3d ,

2

aAC BM .

Cách 2:

Gọi M là trung điểm AC .

Suy ra d , d , d , d ,AC BM AC BMN A BMN S BMN .

Ta có, . .3. 3.

d ,4.

S BMN S ABC

BMN BMN

V VS BMN

S S. Ta có

32

.

1 1 5 5 3. . . . 3

3 3 3 9S ABC ABC

a aV SO S a .

Ta có

2 2 2 109

2 4 6

BS BC SC aBM BN , MN a suy ra

5

6BMN

aS .

Vậy 3

d ,2

aAC BM .

Câu 13. Chọn A




295

Gọi G là giao của AC và DM thì 1

2

GA MA

GC CD

1

3

AG

AC.

Vẽ //GH SC thì 1

3

AH AG

AS AC và ( ) //HDM SC

Do đó , ,( ) ,( )d SC DM d SC HDM d C HDM

Xét tứ diện .H ADM thì ta thấy đây là tứ diện vuông, nên gọi ,( )h d A HDM thì

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 4 1

4

3 2

h AH AD AM AD a a aSA AB

2 21

21

ah

Vậy 2 21 4 21

, ,( ) ,( ) 2.21 21

GC a ad SC DM d C HDM d A HDM

GA.

Câu 14. Chọn B

Gọi N là trung điểm của BC , khi đó / /AB MN , vậy / /AB SMN .

Khi đó ; ; ;d AB SM d AB SMN d A SMN .

Dựng AK MN , dựng AH SK . Khi đó ;d A SMN AH .

Góc giữa mp SBC và mp ABC bằng góc SBA , vậy 60SBA .

Ta có .tan 2 3SA AB SBA a , AK BN a . Vậy

2 2

2 39

13

AK AS aAH

AK AS.

H

GM

C

A D

B

S




296

Câu 15. Chọn A

Áp dụng định lí cosin trong tam giác HBC ta có:

2

2 2 2 0 72 . cos 2. . cos60

3 3 3

a a aHC HB BC HB BC HBC a a

Theo giả thiết ta có góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC bằng 60 nên suy ra

; 60SCH SC ABC

Trong tam giác vuông SHC vuông tại H ta có: 0 21tan60

3

aSH HC . Kẻ Ax BC .

Gọi N và K

lần lượt là hình chiếu vuông góc của H

trên Ax

và SN .

Ta có BC SAN và

3

2BA AH nên

3; , ,

2d SA BC d B SAN d H SAN .

Ta cũng có Ax SHN nên Ax HK . Do đó ,HK SAN d H SAN HK

2 2

2 3 . 42, .sin60

3 3 12

a a SH HN aAH HN AH HK

SH HN

Vậy 42

;8

ad SA BC .

Câu 16. Chọn D

Do hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng ( )ABC là trọng tâm G của tam giác

ABC , tam giác ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh AA a nên tứ diện AABC là tứ diện

đều.

Gọi ,H I lần lượt là trung điểm của BC và AA , ta có các tam giác ,IB C HAA là các tam

giác cân nên ,IH AA IH BC . Do đó ( , )d AA BC IH .




297

Ta có 2

2 2 23 2 3 3 6, . , .

2 3 2 3 3 3

a a a a aA H AG AG AA AG a

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác AAH ta có:

6 3.

1 1 . 23 2. .2 2 2

a aAG AH a

AG AH AA HI HIAA a

.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC là 2

2

a.

Câu 17. Chọn D

Gọi ,N H lần lượt là trung điểm của AD và CD . Ta có:

Tam giác SAD đều cạnh a , H là trung điểm của 3

,2

aAD SH AD SH .

,M N lần lượt là trung điểm ,AB CD mà tứ giác ABCD là hình vuông / /AN CM .

/ /CM SAN , , ,d SA CM d CM SAN d C SAN .

Gọi I AN CH I là trọng tâm tam giác 2ADC IC HI .

,

2 , 2 ,,

d C SAN CIHC SAN I d C SAN d H SAN

HId H SAN.

Có

,

SAD ABCD

SAD ABCD AD SH ABCD

SH AD SH SAD

.

Trong ABCD kẻ ,HE AN E AN .

Trong SHE kẻ ,HF SE F SE ,HF SAN h d H SAN HF .

. 5

10

HE HA HADN aAEH ADN HE

DN NA NA∽ .

SHE vuông tại H , HF là đường cao 2 2 2

1 1 1 3

8

aHF

HF HS HE.

3

,4

ad C SAN .

Câu 18. Chọn D




298

Dựng / /BM AC , khi đó , ,( ) ,d AC SB d AC SBM d A SBM .

Dựng ,AH MB AK SH AK SBM ,d A SBM AK .

Hình chữ nhật ABCD , , 2 5AB a AD a AC a .

, 30oSA ABCD SC ABCD SCA SCA .

Tam giác SAC vuông tại A , 5

5, 303

o aAC a SCA SA .

Tam giác ABM vuông tại A , . 2 . 2

5 5

AM AB a a aAH BM AH

MB a.

Tam giác SAH vuông tại A , 2 2 2

1 1 1 2 185

37

aAK SH AK

AK SA AH.

Vậy 2 185

,37

ad AC SB .

Câu 19. Chọn D

Dễ dàng chứng minh được ABC△ vuông tại A . Do 2BM MC nên 1

3MC BC a .

Từ 2 2. 3 . 3BCMC a a a AC và ABC△ vuông tại A ta suy ra được AM BC hay

AM AD .

Vì SA ABCD nên AM SA , kết hợp AM AD suy ra AM SAD .




299

Trên mặt phẳng SAD , kẻ AE vuông góc với SD tại E . Khi đó ta có AM AE . Do vậy

,d AM SD AE .

Ta có 3SA AD a , SA AD suy ra 1 3 2

2 2

aAE SD .

Câu 20. Chọn D

Gọi N là trung điểm của HC , kết hợp với giả thiết ta có // MN BC . Suy ra // BC SMN .

Khi đó ; ; ; ;d SM BC d BC SMN d C SMN d H SMN .

Trong mặt đáy, kẻ ,HE MN E MN , suy ra MN SHE . Do đó hai mặt phẳng SHE và

SMN vuông góc nhau và cắt nhau theo giao tuyến SE . Trong mặt phẳng SHE , kẻ HK vuông

góc với SE tại K ta được .HK d H SMN

Gọi G là trung điểm BC , suy ra AG BC và 3AG a .

Ta thấy HE kéo dài cắt BC tại trung điểm I của CG và do đó 1 1 3

2 4 4

aHE HI AG .

Xét tam giác vuông SHE , ta có 2 2 2

1 1 1 12

67HK a

HK HS HE.

Vậy 12

;67

d SM BC a .

Câu 21. Chọn B

EI

G

N

M

H

A B

C

S

K




300

Gọi D là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC , suy ra SD ABC .

Ta có SD AB và SB AB gt , suy ra AB SBD BA BD .

Tương tự có AC DC hay tam giác ACD vuông ở C .

Dễ thấy SBA SCA (cạnh huyền và cạnh góc vuông), suy ra SB SC .

Từ đó ta chứng minh được SBD SCD nên cũng có DB DC .

Vậy DA là đường trung trực của BC , nên cũng là đường phân giác của góc BAC .

Ta có 30DAC , suy ra 3

aDC . Ngoài ra góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABC là

60SBD , suy ra tan tan . 33

SD aSBD SD BD SBD a

BD.

Dựng hình bình hành ABEC , do tam giác ABC là tam giác đều nên tam giác BEC đều.

Có 90 60 30CBD ABD ABC nên BD là phân giác trong của góc CBE .

Gọi I là trung điểm của EC thì BI EC .

Kẻ DH SI tại H , ta có:

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 13

131 3.

3 2

aDH

DH SD DI a aa

;13

ad D SCE .

Có 3

// , ; ; ;13

BI aAB SEC d AB SC d AB SCE d B SCD d D SCE

DI.

Câu 22. Chọn B

D

I

E

B

A

C

S

HI

E

D

A

B C




301

Ta có SH vuông góc với ABC nên suy ra góc giữaSC và đáy ABC là góc 60SCH .

3 3

.sin .tan602 2

a aCH AC HAC SH CH .

Kẻ Bx song song vớ AC suy ra AC SBx .

, , , 2 ,d AC SB d AC SBx d A SBx d H SBx .

Từ H kẻ HK Bx Bx SHK SHK SBx .

,

SHK SBx

SHK SBx SK HI d H SBx

HI SK

.

3

.sin604

aHK HB ,

2 2 2 2 2 2

1 1 1 4 16 52 3

9 3 9 52

aHI

HI SH HK a a a.

3 3

, , 252 13

a ad H SBx HI d SB AC HI .

Câu 23. Chọn D

Gọi I là trung điểm AD , H là giao điểm của AC và BI . Ta có CD BI nên H là trung điểm

của AC và , , ,d CD SB d CD SBI d C SBI ,d A SBI .

x

I

K

H

C

B

A

S




302

Kẻ AK SH tại K 1 . Khi đó,

BI CDBI AH

CD AC.

Ta lại có, BI SA nên BI SAH BI AK 2 .

Từ 1 , 2 suy ra AK SBI nên ,d A SBI AK .

2 2 2 2 32 . cos120 3 3

2

aAC AB BC AB BC a AC a AH .

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 4 5

3 3 3AK SA AH a a a nên

15

5

aAK . Vậy

15,

5

ad CD SB .

Câu 24. Chọn A

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và BC. Gọi H là hình chiếu của G lên đường

thẳng đi qua A và song song với CG. GK là đường cao của tam giác GHS.

Khi đó, ( , ) ( ,( ))d GC SA d GC SAH GK .

Ta có AHGM là hình chữ nhật và 3

3

aAG ;

0 0,( ) 60 .tan60 ,SA ABC SAG SG AG a 2

aGH AM , suy ra

2 2

. 5( , ) .

5

GSGH ad GC SA GK

GS GH

Câu 25. Chọn B

Gọi I là trung điểm AD . Ta có BCDI là hình bình hành nên //BI CD .

Suy ra //CD SBI nên d , d , d ,CD BI CD SBI D SBI .




303

Ta có:

d ,

1 d , d ,d ,

D SBI DIAD SBI I D SBI A SBI

AIA SBI.

Vì ABCD là nửa lục giác nội tiếp hình tròn tâm I nên 90ACD AC CD .

Suy ra AM BI , mà SA BI nên BI SAM SBI SAM .

Ta lại có SBI SAM SM nên trong SAM kẻ AH SM thì AH SBI .

Vì SA ABCD nên hình chiếu của SC trên ABCD là AC .

, D , 45 .tan60 a 3SC ABC SC AC SCA SA AC CD .

Dễ thấy ABI đều cạnh a nên 3

2

aAM .

Trong SAM vuông tại A : 2 2 2

1 1 1 15

5

aAH

AH SA AM.

Vậy 15

d , d , d ,5

aCD BI D SBI A SBI AH .

Câu 26. Chọn A.

Ta có:

Trong ,

SAB ABCD

SAB ABCD AB

SAB SH AB

SH ABCD .

Theo giả thiết ta có: 4AB BC a và 0 0 0120 30 60BAD ABD ABC nên ABC là

tam giác đều, cạnh 4a .

2

24 3

4 34ABC

aS a và

4 32 3

2

aSH a .

Ta có: 2 2 2 2 . .cosAM AD DM ADDM ADM 2 2 24 2.4 . .cos60 13a a a a a .

13AM a .

Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho CE a .

Khi đó, tứ giác AMEB là hình bình hành 13BE AM a .

Mặt khác, ADM BCE 2 22 2.4 3 8 3AMEB ABCD ABCS S S a a .




304

Ta có:

// //

AM SBE

AM BE AM SBE

BE SBE

.

Do đó d , d , d ,AM SB AM SBE A SBE .

Ta lại có:

d ,

2d ,

A SBE AB

HBH SBE d , 2d ,A SBE H SBE .

Trong ABCD , gọi K và F lần lượt là hình chiếu của H và A lên BE .

1 1

.2 2

AMEBS

HK AFEB

21 8 3 4 39

.2 1313

a a

a (do HK là đường trung bình của ABF ).

Ta có:

Do

,

BE HK

BE SH SH ABCD BE

HK SH SHK

HK SH H

BE SHK .

Mà BE SBE SBE SHK . Ta lại có: SBE SHK SK

Trong SHK , kẻ HI SK I SK HI SBE d ,H SBE HI .

Tam giác SHK vuông tại H , đường cao HI nên

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 17

484 392 3

13

HI SH HK aaa .

Do đó: 4 51

17HI a . Vậy

8 51,

17d AM SB a .

Câu 27. Chọn B

Áp dụng định lý Menelaus cho ABO với cát tuyến DMN ta có:

1 2 2

. . 1 d , d ,2 3 3

AM AN DO AN NBN SBC A SBC

OM BN DB BN AB

Xét ABC có 2 2 2 2 2 2 2 25 ; 4 5AB CD a AC BC a a a ABC vuông tại C AC BC

SA ABCD SA BC . Suy ra BC SAC




305

Kẻ AH SC , ta có BC SAC BC AH nên d ,AH SBC AH A SBC

Xét SAC vuông tại A :

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 . .2 2

54

SA AC a aAH a

AH SA AC SA AC a a

Vậy 2 2 2 4 5

d , d , .3 3 155

N SBC A SBC a a .

Câu 28. Chọn D

Từ giả thiết ta có 3BM a , ta giải bằng cách gắn hệ trục tọa độ như sau:

Chọn hệ trục tọa độ đềcác vuông góc Oxyz thỏa O A , điểm B nằm trên Ox , điểm D nằm trên

Oy , điểm S nằm trên Oz như hình vẽ:

Từ giả thiết ta có tọa độ các điểm (3 ;0;0), (0;4 ;0), (0;0;5 )B a D a S a và (3 ;3 ;0)M a a suy ra tọa độ

các vectơ (3 ;0; 5 ), ( 3 ; ;0), (0;3 ;0)SB a a MD a a BM a

Tích có hướng

2 2 2, (5 ;15 ;3 )SB MD a a a

Vận dụng công thức tính khoảng cách

3

2

, . 45 45( , )

259 259,

SB MD BM a ad SB MD

aSB MD.

Câu 29. Chọn A

Gọi O là tâm của tam giác BCD .

Qua C kẻ đường thẳng d song song với BM .

A

a

d

DB

IC

MO

Ha




306

Khi đó , , , , ,d AC BM d BM AC d d O AC d .

Do tứ diện ABCD là tứ diện đều AO BCD .

Kẻ OI d và I d , OH AI và H AI ,OH AC d . Suy ra , ,d O AC d OH .

Ta có // d BM d CD . Tứ giác IOMC là hình chữ nhật, suy ra 2

aIO MC .

BM là đường cao trong tam giác đều cạnh bằng a 3

2

aBM

3

3

aBO .

Ta có 2 2AO AB BO 2

2 2

3 3

a aAO a .

Do đó ta có 2 2 2

1 1 1

OH OA OI

2 2

.OAOIOH

OA OI

2 2

2.2 223

112

3 4

a a

aOH

a a.

Vậy 22

,11

ad AC BM .

Câu 30 Chọn C

Kẻ CK AD . Ta có CK a , AK BC a KD a .

2AC a , 2 2 2CD CK KD a ; 2 2 2AC CD AD ACD vuông tại C.

Dựng hình chữ nhật

ACDE , kẻ AH SE tại H .

Ta có DE AE và DE SA nên DE SAE DE AH .

DE AH và SE AH nên AH SDE tại H . Suy ra ,d A SDE AH .

Ta có //AC SDE , ,d AC SD d AC SDE ,d A SDE AH .

Trong tam giác SAE vuông tại A , ta có

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 3

2 2AH SA AE a a a

6

3

aAH .

Câu 31.Chọn B

E

D

CB

A

K

S

H




307

Vì SA ABC nên , ,SB ABC SB AB SBA 75SBA .

.tan .tan75 2 3SA AB SBA a a . Dựng hình bình hành ACBD , ta có //AC SBD nên:

, , ,d AC SB d AC SBD d A SBD .

Gọi M là trung điểm BD , suy ra BD AM .

Từ SA ABC ta có BD SA , do đó BD SAM . Kẻ AH SM ( H SM ) thì BD AH

Từ BD AH và AH SM suy ra AH SBD nên ,d A SBD AH .

Tam giác ABD đều cạnh a nên 3

2

aAM . Trong tam giác SAM vuông tại A , ta có

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 25 12 3 30.844

3 25 12 33 2 3

2

AH a aAH AM SA aa a

.

Vậy , , 0.844d AC SB d A SBD AH a .

Câu 32.Chọn A

Do 3 3AB AM a nên AM a AD DC AM a .

Do / /AM DC và AM CD AD a nên AMCD là hình thoi có cạnh bằng a .

Suy ra

/ / , , ,/ /

CM aAD SCM d AD SM d AD SCM d A SCM

AD CM.

Kẻ , , ,AH CM H CM AK SH K SH .

Ta có SA ABCD SA CM mà CM AH suy ra CM SAH CM AK .

Do ,AK AH AK CM nên ,AK SMC AK d A SCM .

Do 0, 60AM AD a MAD nên MAD là tam giác đều cạnh bằng a 2 3AC AI a với

I là tâm hình thoi AMCD .

M

B

S

A

C

D

H

I

MA

D C

B

S

H

K




308

Ta có

. 31 1 . 32. . .2 2 2AMC

aa

MI AC aS MI AC AH MC AH

MC a.

Xét SAH vuông tại A có AK SH . Theo tính chất đường cao tam giác vuông,

Ta có 2 2 2 2 2 2

1 1 1 4 1 5 15

53 3 3

aAK

AK AH SA a a a.

Vậy 15

, , ,5

ad AD SM d AD SCM d A SCM AK .

Câu 33.

Chọn D

Qua A kẻ đường thẳng d song song với BD . Gọi O là giao điểm AC và BD ; I ,M lần lượt là

trung điểm AD và OD ; N là giao điểm d và IM . Nên / / / /( , )BD d BD SA d

( , ) ( ,( , )) ( ,( , ))d SA BD d BD SA d d M SA d

Trong ( )mp SMN kẻ MH SN (1), ( )H SN . Theo giả thiết :

( ) ( )

SI AD

SAD ABCD ( )SI ABCD SI d (*)

Mặt khác ta có :

/ /

/ /

d BD

BD AO d MN

AO MN

(**)

Từ (*),(**) suy ra ( )d SMN d MH (2). Từ (1),(2) suy ra ( , )MH SA d .

Xét tam giác SMN có:

1 1 .

. .2 2SMN

SI MNS MH SN SI MN MH

SN

Với 2 23 2 1 2 14, ,

2 2 2 4 4

a a a aSI MN AO IN MN SN SI IN .

Do đó . 21

.7

SI NM aMH

SN Vậy

21( , ) .

7

ad SA BD

Câu 34.Chọn A

d

N

M

I O

BA

CD

S

H




309

DAB C là hình thoi nên / /AD BC . Suy ra / /AD SBC .

Khi đó , ,( ) ,d SB AD d AD SBC d A SBC

(Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên BC , H là hình chiếu vuông góc của A lên SK ).

Khi đó AH SBC , suy ra ,d A SBC AH .

Tam giác ABC cân tại B và 060ABC nên tam giác ABC là tam giác đều. Suy ra 3

2

aAK .

Ta có 3

.tan303

aSA AD . Vậy

2 2

. 39

13

AK SA aAH

AK SA.

Câu 35. Chọn B

Gọi M là trung điểm AB

Ta có BCDM là hình bình hành (vì CD song song và bằng BM ) nên 1

2DM BC AB suy ra

tam giác ADB vuông tại D . Tương tự tam giác ACBvuông tại C .

Vì

//// //

//

EF DMEF CB EF SBC

DM CB

3

, , , ,4

d EF SB d EF SBC d F SBC d A SBC

Ta có

BC ACBC SAC SBC SAC

BC SA ,

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SC thì ,AH SBC d A BC AH .

K

A D

B

S

C

H




310

Trong tam giác vuông SAC ta có 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 4 3

29 3 9

aAH

AH SA AC a a a

Vậy 9

,8

ad SB EF .

Câu 36. Chọn D

Gọi N là trung điểm của AB . Suy ra MN là đường trung bình của ABC .

, , ,d AC SM d AC SMN d I SMN ( với I DN AC )

Ta có

, 1

5,

d I SMN INID SMN N

DNd D SMN ( do

1 1//

4 5

IN AN INAN CD

ID CD DN)

1

, ,5

d I SMN d D SMN . Xét ADN và DCA có: 90D A

1

2

AN AD

AD DC ADN DCA c g c” ADN DCA DN AC MN SDN .

Ta có

,

,

SMN SDN

SMN SDN SN d D SMN DH

Trong SDN DH SN

SDN vuông tại D : 2 2 2

1 1 1DH a

DH SD DN

1, ,

5 5

ad I SMN d D SMN .

Câu 37.Chọn D

Gọi H là trung điểm của AO . Theo giả thiết: SH ABCD .

Ta có: // //CD AB CD SAB , , ,d SA CD d CD SAB d C SAB .




311

Mặt khác:

,

4 , 4 ,,

d C SAB CAd C SAB d H SAB

HAd H SAB.

Trong ABCD , kẻ HI ABtại I ; kẻ HK SI tại K .

Khi đó: ,d H SAB HK .

Tam giác SHI vuông tại H nên: 2 2 2

1 1 1

HK HS HI 1

Hình thoi có 60ABC nên tam giác ABC đều 3

;2

aAC a BO .

Tam giác AIH đồng dạng tam giác AOB

3.

. 32 48

a aIH AH OB AH a

IHOB AB AB a

2

Tam giác SAB đều nên SA SB AB a .

Tam giác SAH vuông tại H nên

2

2 2 2 15

4 4

a aSH SA AH a 3

Thay 2 và 3 vào 1 ta được:

2 2 2 2

1 1 1 112 560

11253 15

8 4

aHK

HK aa a.

Vậy 560 560

, 4 , 4.112 28

a ad C SAB d H SAB .

Câu 38.Chọn A

Ta có .

1.

3S ABCD ABCDV SAS ;

21 32 .

2 2ABCD

aS a a a

Suy ra 3

.

2

3 3 6 2. 6

2 3S ABCD

ABCD

V aSA a

S a.

Gọi M là trung điểm của AB , O là giao điểm của AC và DM .

Ta có tứ giác ADCM là hình vuông cạnh a .

Ta có DNM chứa ON và //ON SC nên //SC DNM .

Suy ra nên , , , ,d SC DN d SC DMN d C DMN d A DMN .

Trong SAC kẻ AH NO . Ta có DM AC và DM SA nên DM SAC .

O

N

H

M

DC

BA

S




312

Khi đó ta có

AH NOAH DMN

AH DM DM SAC

,d A DMN AH .

2 2 2

1 1 1

AH AN AO ;

6

2

aAN ;

2

2

aAO

2 2 2 2

1 1 1 8 6

43 3

22

aAH

AH a aa.

Vậy 6

,4

ad SC DN .

Câu 39.Chọn C

Ta có // // , , ,HK BD HK SBD d HK SD d HK SBD d H SBD .

Dựng HM BD . Ta có

BD HMBD SHM

BD SH.

Dựng HI SM . Ta có

, .HI SM

HI SBD d H SBD HIHI BD

2 2 2 22 5, , 7

2 4 2

AO a aHM HD AH AD SH SD HD a .

Xét SHM vuông tại H , ta có

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 57 399

57727

4

aHI

HI HS HM aaa.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và HK là 399

57

a.

Câu 40.Chọn A




313

Do ABCD là hình thang có ; 2AB BC a AD a và M là trung điểm của AD nên ta có

// //BM CD CD SBM .

Do đó , , , ,d SM CD d CD SBM d D SBM d A SBM .

Ta kẻ AI BM , lại có SA BM SAI SBM .

Ta có SAI SBM SI . Kẻ AH SI AH SBM hay ,d A SBM AH .

Xét tam giác SAI có 01 22 ; , 90

2 2

aSA a AI BM SAI .

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 2

32 2

2

aAH

AH SA AI a a.

Vậy 2

, ,3

ad SM CD d A SBM AH .

Câu 41. Chọn C

Gọi I là trung điểm của AC , H là trung điểm của SB , P là trung điểm của BC .

Ta có SAB , SCBvuông tại A vàC nên HS HA HB HC và IA IB IC .

Từ đó suy ra IH ABC IH BCmà IP BC suy ra BC IHP .

Kẻ 1 3

, ,2 6

aIK HP IK SBC IK d I SBC d A SBC .




314

Ta có 2 2 2 2 2

1 1 1 1 8 2

4

aIH

IK IH IP IH a 2 2 6

4

aPH IP IH .

Suy ra 6

22

aSC PH

21 1 6 6. . . .

2 2 2 4SBC

a aS BC SC a .

Vậy

2 3

.

1 1 3 6 2, . . . .

3 3 3 4 12S ABC SBC

a a aV d A SBC S

Câu 42. Chọn A.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên ABC . Suy ra 0, 60SB ABC SBH .

Do 090SCB SMA nên ,BC CH AM MH .

Ta có ABM đều cạnh 2a và 090AMH nên 030HMC .

Từ đó 0 2 3.tan30

3

aCH CM 2 2 2 39

3HB CH BC a

0.tan60 2 13SH HB a . Vậy 3

.

1 4 39. .

3 3S ABC ABCV SH S a .

Câu 43. Chọn D

Ta có: I trung điểm SA là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC 90SBA SCA . Dựng

hình chữ nhật ABDC .




315

Mà

AB BDAB SBD AB SD

AB SB 1 và

AC CDAC SCD AC SD

AC SC

2 . Từ 1 và 2 suy ra SD ABCD .

Mặt khác:

, , , 30

,

SAB ABC AB

SB AB SB SAB SAB ABC SB BD SBD

BD AB BD ABC

.

Xét tam giác SBD có: 3

tan tan30 4 3 . 434 3

SD SDSBD SD a a

BD.

Đặt AB x .

Ta có: 2 2 2 2 21 1 164

2 2 2IB SA DB DC SD a x .

Gọi H là hình chiếu của D lên SC 2 2 2 2

. 4 .

16

SD DC a xDH

SD DC a x.

Mặt khác:

, ,

sin ,d B SAC d D SAC DH

IB SACIB IB IB

2 2

2 2

4 .

21 1617

642

a x

a xa

a x

4 3 4 3

8 3 8 3

3 3

x a AB a

a ax AB

.

Với 8 3

3

aAB , 8SB a , ta tính được

3tan 30

3

ABASB ASB

SB(Loại).

Với 4 3AB a , 8SB a , ta tính được 3

tan 302

ABASB ASB

SB(Nhận).

Mà:

, 4 3AB AC

d AC SB AB aAB SB

.

Câu 44. Chọn A




316

Trong mặt phẳng ABC dựng hình chữ nhật ABHC , khi đó ta có

1AB HB

AB SHAB SB

và

2AC CH

AC SHAC SC

.

Từ (1) và (2) suy ra SH ABC .

Nên ta có HA là hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng ABC .

Do đó góc giữa SA và mặt phẳng ABC bằng góc giữa hai đường thẳng ,SA HA và bằng góc

SAH nên suy ra 45SAH .

Theo cách dựng trên ta có 2 2 5HA BC AB AC a và tam giác SAH vuông cân tại H

nên 5SH HA a .

Ta cũng có

21 1. .2

2 2ABCS AB AC a a a . Vậy

321 1 5

. . 5.3 3 3SABC ABC

aV SH S a a .

Câu 45. Chọn A.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC SH ABC

0 090 90SAB SCB HAB HCB , 0 0, 30 , 30SB ABC SB HB SBH

Trong tam giác vuông :SHB 0 0.sin 30 3; .cos30 3SH SB a HB SB a ,

2 2HA HB AB a

Ta có 0 0, 60 , 60SBC ABC HC SC SCH 0.cot60 ; 2 2HC SH a CB a .




317

Gọi O là giao điểm của ,AC HB ; trong tam giác :HAB 2 2 2 2

1 1 1 9

8AO AH AB a

2 2 8

3 3

a aAO OB . Vậy thể tích

3

.

1 16 6. .

3 27S ABC

aV OAOBSH

Câu 46. Chọn D

Dễ thấy SAB SAC SB SC . Gọi I là trung điểm của BC .

Ta có:

AI BCBC SAI

SI BC. Kẻ SH AI SH ABC .

Vậy 0, 60SA ABC SAH SAI

Kẻ BM SA , do BC SAI BC SA , vậy nên SA MBC .

Tam giác IMA vuông tại M có 3

2

aIA .

0 0 360 . 60 .

4

AM acos AM AI cos

AI

0 0 3sin60 .sin60 .

4

IM aIM AI

AI

Tam giác SAB vuông tại B , BM là đường cao. Ta có: 2

2 4.

3

AB aAB AMSA SA

AM.

Xét SAI có: .

. . 2IM SA

SH AI IM SA SH aAI

.

Vậy: 2 3

.

1 1 3 3. . 2 . .

3 3 4 6S ABC ABC

a aV SH S a

Câu 47. Chọn D




318

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC .

BAC cân tại Bvà 120ABC 30ACB BAC

Theo bài 30 60HC AB HCA CAB BCH AHC ABCH là hình thang cân.

Do đó AH BC a . Trong mp ABCH dựng HK AB AB SHK .

Trong mp SHK kẻ HP SK AB HP HP SAB (1).

Trong mp SHB kẻ HQ SB . Dễ dàng chứng minh được

BC HB BC SHB BC HQ . Vì

HQ SBHQ SBC

BC HQ (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra , ,SAB SBC HP HQ PHQ . Đặt SH x

Xét AHK vuông tại K : 3

.sin .sin .sin60 .2

aHK AH HAK AH AHC a

Xét AHK vuông tại K :

2 2 2 2 2

1 1 1 3.

3 4

a xHP

HP SH HK a x.

.tan .tan60 3HB BC BCH a a .

Xét SHB vuông tại H :

2 2 2 2 2

1 1 1 3.

3

a xHQ

HQ SH HB a x.

HPQ vuông tại P nên: 10

cos 3 3 .5

HPPHQ x a SH a

HQ

Vậy

3

.

1 1 1. . . .sin

3 3 2 4S ABC ABC

aV SH S SH BA BC ABC .

Câu 48. Chọn A.

QP

K

H

C

BA

S




319

Ta có 2 2 02. . .cos135 5.AC AB BC AB BC a .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên ABC , ,SH AB SH BC

Do 090SAB SBC nên ,AB SHA BC SHB ,AB AH BC BH .

Do 0135ABC 045ABH nên ABH vuông cân tại A . Từ đó 2HB a suy ra HBC

vuông cân tại B . Suy ra 045BHC HC //AB .

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên SA , khi đó HK SAB nên

, ,KH d H SAB d C SAB .

Ta có

, 1 5

sin5 5

d C SAB HKKH a

AC AC.

Tam giác SAH vuông tại A có đưường cao HK . Ta có

2 2 2 2 2 2

1 1 1 5 1 4

2

aHS

HS HK HA a a a.

3

.

1 1 1. . . . . 2.sin135

3 3 2 2 12o

S ABC ABC

a aV SH S a a .

Câu 49. Chọn C

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên ABC SH ABC .

Ta có

AB SBAB SBH AB BH

AB SH.




320

Ta có

, , , 60

,

SAB ABC AB

SB SAB SB AB SAB ABC SB BH SBH

BH ABC BH AB

.

Theo giả thiết, ABC cân tại A nên

AB AC SAB SAC SB SC SHB SHC HB HC .

Suy ra HA là đường trung trực của BC , suy ra HA là đường phân giác góc BAC ,

suy ra 60HAB .

Xét HAB vuông tại B suy ra tan .tan .tan60 3BH

HAB BH BA HAB a aBA

.

Xét SHB vuông tại H suy ra tan .tan 3.tan60 3SH

SBH SH BH SBH a aBH

.

Vậy

3

.

1 1 1 3. . .3 . . . .sin . . .sin120

3 3 2 2 4S ABC ABC

a aV SH S a AB AC BAC a a .

Câu 50. Chọn D

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên ABC .

Theo bài ra, ta có

1AC SC

AC SHC AC HCAC SH

.

Tương tự

2AB SB

AB SHB AB HBAB SH

.

Mặt khác 90BAC ; AB AC a 3 .

Từ 1 , 2 , 3 ABHC là hình vuông cạnh a .

Gọi O HA BC , E là hình chiếu vuông góc của O lên SA OE SA 4 .

Ta có

BC AHBC SAH BC SA

BC SH 5 .

Từ 4 , 5

SA EBSA BEC

SA EC.

Từ đó, ta được: góc giữa SAC và SAB là góc giữa EB và EC .




321

Xét hai tam giác BEC , BAC ta có: BE CE BA AC

BEC BAC .Vì 090CAB nên 90 120 .BEC BEC

Ta dễ dàng chỉ ra được 60OEB OEC .

Đặt

2 2

2 2

. 2.8

8

AOSH a xSH x SA x a OE

SA x a.

Xét tam giác vuông OCE ta có: 2 2

2.tan60 2 : 3 2

8

OC a xa x a

OE x a.

Vậy 3

2

. .

1 1 1 4. .2 .4

2 2 3 3S ABC S HBAC

aV V a a .




321

DẠNG 9: CỰC TRỊ KHỐI ĐA DIỆN

Câu 1: Cho hình hộp chữ nhật .ABCDABCD có AB x , 1AD . Biết rằng góc giữa đường thẳng

AC và mặt phẳng ABB A bằng 30 . Tìm giá trị lớn nhất maxV của thể tích khối hộp

.ABCDABCD .

A. 3 3

4maxV . B.

1

2maxV . C.

3

2maxV . D.

3

4maxV .

Câu 2: Cho hình chóp .S ABCD đều, có cạnh bên bằng 1 . Thể tích lớn nhất của khối chóp .S ABCD bằng

A. 4

27. B.

1

6. C.

4 3

27. D.

3

12.

Câu 3: Cho hình chóp .S ABCD có SA x , các cạnh còn lại của hình chóp đều bằng 2. Giá trị của x để

thể tích khối chóp đó lớn nhất là

A. 2 2 . B. 2 . C. 7 . D. 6 .

Câu 4: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Biết SA x với 0 2 3x và tất cả các

cạnh còn lại đều bằng 2. Tìm x để thể tích của khối chóp .S ABCD đạt giá trị lớn nhất?

A. 2 . B. 2 2 . C. 6

2. D. 6 .

Câu 5: Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là ;O R và ;O R , chiều cao của hình trụ là 3R . Giả sử

AB là một đường kính cố định trên đường tròn O và M là điểm di động trên đường tròn O

. Hỏi diện tích tam giác MAB đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

A. 22R . B. 24R . C. 2 3R . D. 22 2R .

Câu 6: Người ta muốn thiết kế một bể cá bằng kính không có nắp với thể tích 372dm , chiều cao là 3dm

Một vách ngăn ở giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với các kích thước ,a b như hình vẽ. Tính ,a b

để bể cá tốn ít nguyên liệu nhất, coi bề dày các tấm kính như nhau và không ảnh hưởng đến thể

tích của bể.

A. 24dma ; 24dmb . B. 6dma ; 4dmb .

C. 3 2dma ; 4 2dmb . D. 4dma ; 6dmb .

Câu 7: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Một mặt phẳng không qua S

và cắt các cạnh SA , SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P , Q thỏa mãn 2SA SM , 3SC SP .

Tính tỉ số SB

SN khi biểu thức

22

4SB SD

TSN SQ

đạt giá trị nhỏ nhất.

A. 11

2

SB

SN . B. 5

SB

SN . C. 4

SB

SN . D.

9

2

SB

SN .

Câu 8: Một kim tự tháp Ai Cập có hình dạng là một khối chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên là một số

thực dương không đổi. Gọi là góc giữa cạnh bên của kim tự tháp và mặt đáy. Khi thể tích của

kim tự tháp lớn nhất, tính sin .




322

A. 6

sin3

. B. 3

sin3

C. 5

sin3

. D. 3

sin2

.

Câu 9: Cho hình chóp .S ABC có SA SB SC AB AC a và 2BC x . Tính thể tích lớn nhất maxV

của hình chóp .S ABC

A. 3

8

a. B.

3 2

4

a. C.

3 2

12

a. D.

3

6

a.

Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60o , gọi

M là điểm đối xứng với C qua D ; N là trung điểm của SC , mặt phẳng BMN chia khối chóp

.S ABCD thành hai phần. Gọi 1H là phần đa diện chứa điểm S có thể tích 1V ; 2H là phần đa

diện còn lại có thể tích 2V . Tính tỉ số thể tích 1

2

V

V.

A. 31

5. B.

7

3. C.

7

5. D.

1

5.

Câu 11: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 1

6V , góc 45ACB và 3

2

ACAD BC . Hỏi độ dài

cạnh CD?

A. 2 3 . B. 3 . C. 2 . D. 2 .

Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng P đi qua điểm 9;1;1M cắt các tia ,Ox

,Oy Oz tại , ,A B C ( , ,A B C không trùng với gốc tọa độ). Thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ

nhất là bao nhiêu?

A. 81

2 B.

243

2 C.

81

6 D. 243

Câu 13: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 2. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt

phẳng ABC lấy điểm M sao cho AM x . Gọi ,E F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C

lên , .AB MB Đường thẳng qua ,E F cắt d tại N . Xác định x để thể tích khối tứ diện BCMN

nhỏ nhất.

A. 2

2x . B. 1x . C. 2x . D. 2x .

Câu 14: Cho lăng trụ đứng .ABC ABC có đáy là tam giác đều. Tam giác ABC có diện tích bằng 3 3

và nằm trong mặt phẳng tạo với đáy một góc bằng , 0;2

. Tìm để thể tích khối lăng trụ

.ABC ABC đạt giá trị lớn nhất.

A. 1

tan6

. B. tan 6 . C. tan 2 . D. 3

tan2

.

Câu 15: Cho hình chóp .S ABC , trong đó ( )SA ABC , SC a và đáy ABC là tam giác vuông cân tại

đỉnh C . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ( )SBC và ( )ABC . Khi thể tích khối chóp .S ABC đạt

giá trị lớn nhất thì sin2 bằng




323

A. 3

3. B.

3

2. C.

2 3

5. D.

2 2

3.

Câu 16: Cho hình chóp .S ABC có SA x , các cạnh còn lại của hình chóp đều bằng a . Để thể tích khối

chóp lớn nhất thì giá trị x bằng

A. 6

2

a. B.

2

a. C.

3

2

a. D. a .

Câu 17: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2 , 2SA và SA vuông góc

với mặt phẳng đáy ABCD . Gọi M , N là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB , AD sao cho

mặt phẳng SMC vuông góc với mặt phẳng SNC . Tính tổng 2 2

1 1T

AN AM khi thể tích

khối chóp .S AMCN đạt giá trị lớn nhất.

A. 13

9T . B. 2T . C.

5

4T . D.

2 3

4T

.

Câu 18: Cho tứ diện ABCD có AB x , CD y , tất cả các cạnh còn lại bằng 2 . Khi thể tích tứ diện

ABCD là lớn nhất tính xy .

A. 2

3. B.

4

3. C.

16

3. D.

1

3.

Câu 19: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng , và vuông góc

với mặt phẳng đáy. Gọi , là hai điểm thay đổi trên hai cạnh , sao cho

mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Khi thể tích khối chóp đạt giá trị

lớn nhất, giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 20: Cho khối chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi ,M N là hai điểm nằm trên hai cạnh

,SC SD sao cho 1

2

SM

SC và 2

SN

ND , biết G là trọng tâm của tam giác SAB . Tỉ số thể tích

.

GMND

S ABCD

V m

V n ( ,m n là các số nguyên dương và , 1m n ). Giá trị của m n bằng

A. 17 . B. 19 . C. 21 . D. 7 .

Câu 21: Cho tứ diện ABCD có o90DAB CBD , AB a , 5AC a và o135ABC ; Góc giữa hai

mặt phẳng ABD và BCD bằng o30 . Thể tích của tứ diện ABCD là

A. 3

2 3

a. B.

3

2

a. C.

3

3 2

a. D.

3

6

a.

Câu 22: Cho một cái hộp hình chữ nhật có kích thước ba cạnh lần lượt là 4cm , 6cm , 9cm như hình vẽ.

Một con kiến ở vị trí A muốn đi đến vị trí B . Biết rằng con kiến chỉ có thể bò trên cạnh hay trên

bề mặt của hình hộp đã cho. Gọi xcm là quãng đường ngắn nhất con kiến đi từ A đến B . Khẳng

định nào sau đây đúng?

A. 15;16x . B. 13;14x . C. 12;13x . D. 14;15x .

.S ABCD ABCD 2 2SA SA

M N AB ( )AD AN AM

SMC SNC .S AMCN

2 2

1 16

AN AM

17

45

5

42




324

BẢNG ĐÁP ÁN

1.C 2.C 3.C 4.D 5.A 6.D 7.C 8.B 9.A 10.C

11.B 12.D 13.DC 14. 15.D 16.A 17.C 18.C 19.B 20.B

21.D 22.B


Câu 1: Chọn C

Vì .ABCDABCD là hình hộp chữ nhật nên BC ABB A .

Suy ra: ; ; 30AC ABB A A C A B BA C

ABC vuông tại B nên 3tan30

BCA B

.

AAB vuông tại A nên 2 2AA A B AB 23 x .

Thể tích khối hộp: . .V x AB BC A A 23x x với 0; 3x .

Có: 2

2

23

3

xV x x

x

2

2

3 2

3

x

x

. Cho 0V x 23 2 0x

6, 0

2x x .

Có bảng biến thiên:

Vậy 3

2maxV khi

6

2x .

Câu 2: Chọn C




325

Gọi O là giao điểm của AC và BD SO ABCD .

1. .

3S ABCD ABCDV SOS .

Đặt AB x 0x 2

22

xBD x OD .

Tam giác SOD vuông tại O2 2

2 2 21

2 2

x xSO SD OD

0; 2x

Câu 3: Chọn D

Vì 2SB SC SD nên hình chiếu H của S lên ABCD là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

BCD . Mà tứ giác ABCD có các cạnh bằng nhau nên tứ giác ABCD là hình thoi, do đó H AC

; SBD ; CBD ; ABD có các cạnh tương ứng bằng nhau nên SO AO CO SAC vuông

tại S 2 2 2 4AC SA SC x .

SAC vuông tại S , có đường cao SH nên 2 2 2 2

1 1 1 2

4

xSH

SH SA SC x

.

Lại có 2 2 2 2

2 2 2 2 2 4 12 124

4 4 4 2

AC x x xOB OC BC OB BC OB

.

2 21. 4 12

2ABCDS ACOB x x .

Ta có 2 2

2

.

1 1 1 12. . . . 12 . 2

3 3 3 2S ABCD ABCD

x xV SH S x x

.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 2 212 6 6x x x x .

Cách 2.

O

C

DA

B

S

H




326

Theo giả thiết ta có hai tam giác SBC , SCD là hai tam giác đều bằng nhau.

Gọi M là trung điểm của SC suy ra BM MC

MC MBDDM MC

.

Ta có . . .

2. 4.S ABCD S BCD C MBDV V V .

Ta lại có .

1 1 1 1. . . . .sin sin

3 3 2 2C MBD MBDV MC S MBMD BMD BMD

,

1, 3MC MB MD .

Do đó để .S ABCD

V lớn nhất .C MBDV lớn nhất sin 1 90BMD BMD .

Xét DMB vuông tại M , khi đó 2 22. D D 6x SA MO B M MB .

Câu 4: Chọn D

Gọi O là tâm hình thoi ABCD và H là hình chiếu vuông góc của S lên AC

Ta có 1

( ) SO OA OC2

ABD CBD SBD c c c AC

Mà SO là trung tuyến của SAC nên SAC vuông tại S .

Lại có ( ) ( ) ( ), (1)BD AC

BD SAC ABCD SACBD SO

Và ( ) ( )SAC ABCD AC ; , (2)SH AC .

Từ (1) và (2) ta có ( )SH ABCD .

Trong SAC vuông tại S có 2

2 2 2

1 1 1 24 ;

4 4

xAC x SH

SH x x

.

M

O

B

D A

C

S




327

Trong OAB vuông tại O có

2 22 3

2 4

AC xOB AB

.

Thể tích hình chóp là .

1 1 1. . . .2. . . .

3 3 3S ABCD ABCD ABCV SH S SH S SH ACOB

2 2 22 2 2

2

1 2 1 1 12. . 4. 3 (12 ) . 2

3 4 3 3 24

x x x xx x x

x

.

.S ABCDV lớn nhất bằng 2 khi và chỉ khi 2 212 6x x x .

Câu 5: Chọn A

Gọi N là hình chiếu của M trên O 3MN R .

Gọi P là hình chiếu của N trên AB , khi M di chuyển trên O thì 0 NP R .

Ta có:

MN ABN MN AB

AB MNP AB MPNP ABNP AB

.

1 1. .2 . .

2 2MABS ABMP RMP RMP

.

Mặt khác, tam giác MNP vuông tại N 2 2 2 23 2MP MN NP R R R .

2. .2 2MAB

S R MP R R R

. Dấu “=” xảy ra khi NP R hay khi MO AB .

Vậy diện tích tam giác MAB đạt giá trị lớn nhất bằng 22R .

Câu 6: Chọn D

Thể tích của bế cá: 3 72 243 72dm

3V ab b

a a , với , 0a b .

Diện tích kính để làm bể cá như hình vẽ:

24 243.3 2.3 9 6. .S a b ab a a

a a

144 1449 24 2 9 . 24a a

a a 96S .

14496 9 4 6S a a b

a .

Vậy để bể cá tốn ít nguyên liệu nhất thì 4dma ; 6dmb .

Câu 7: Chọn C




328

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD , gọi I MP AC . Lấy điểm N SB , NI SD Q .

Do đáy ABCD là hình bình hành nên ta chứng minh được hệ thức sau:

SA SC SB SD

SM SP SQ SN .

Đặt SB

xSQ

, SD

ySN

với 0; 0x y . Theo bài ta được 2 3 5x y .

Theo bài, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 24T x y với 0, 0x y và 5x y .

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được:

2 2

2 2 2 21 15 1. .2 1 4

2 2x y x y

suy ra 2 24 20x y . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

24 411

5 125

yxx y x

x y yx y

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 20 đạt được khi 4x , 1y hay 4SB

SN .

Câu 8: Chọn B




329

Đặt SC a với 0a . Ta có: ( )

( )

SO ABCD

SC ABCD C

suy ra SCO .

Mặt khác: .cos ; .sinOC a SO a .

2 2 .cos ; 2.cos2

ACAC OC a AB a ; 2 2 22 .cos

ABCDS AB a .

3 2 3 2

.

1 2 2. . .sin .cos .sin .(1 sin )

3 3 3S ABCD ABCDV SOS a a

Xét hàm 2(1 )y t t với sin

0 1

t

t

Lập bảng biến thiên ta tìm được 3

3t thì hàm số y đạt giá trị lớn nhất.

Câu 9: Chọn A

Gọi O là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( )ABC .

Vì SA SB SC nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

Tam giác ABC cân tại A . Gọi A là trung điểm của BC . Khi đó AA là đường trung trực của

tam giác ABC nên điểm O nằm trên đường thẳng AA .

Ta có: 2 2 2 2AA AB BA a x nên 2 2 2 21 1. 2

2 2ABCS BC AA x a x x a x .

Lại có: . .

4ABC

AB AC BCS

R

2 2

2 2 2 2

. . .2

4 4 . 2ABC

AB AC BC a x aOA R

S x a x a x

.

Trong tam giác vuông SAO , ta có: 4 2 2

2 2 2

2 2 2 2

3 4

24( ) ( )

a a a xSO SA AO a

a x a x

.

Thể tích 2 2

2 2 2 2

. 2 2

1 1 3 4. . .2 3 4

3 3 2 12S ABC ABC

a a x aV SOS x a x x a x

a x

.

Mặt khác: 2 2 2 2

2 2 4 3 4 32 3 4

2 2

x a x ax a x

.




330

Do đó: 3

2

.

3.

12 2 8S ABC

a aV a . Vậy

3

8max

aV khi 2 2 3

2 3 48

x a x x a .

Câu 10: Chọn C

Áp dụng tỉ số thể tích cho khối chóp .MCNB ta có

1. . .

4MDIH

MCNB

V MD MI MH MI

V MC MN MB MN

Định lý menelaus cho tam giác MNC với cát tuyến DIS ta có:

. . 1SN CD MI

SC DM IN

1 2

2 3

IN MI

IM MN . Vậy

1 2.

4 3MDIH

MCNB

V

V 2

5

6 MCNBV V

Mà ;

1 1 1 1. . . . .

3 3 2 2MCNB MBC SABCDN MBCV d S SO DC BC V

2 1

5 1 5 7.

6 2 12 12SABCD SABCD SABCDV V V V V . Vậy 1

2

7

5

V

V .

Câu 11: Chọn B

1 1 1. . , . . . .sin45 . ,

3 3 2ABCV S d D ABC CACB d D ABC

1 1. . . ,

6 2CACB d D ABC

1 . ..

6 2

CACB AD (1) .

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương AD , BC , 2

AC, ta có

3

2. .32

ACBC AD

ACBC AD

.




331

Do đó,

3

1 12.6 3 6

ACBC AD

V

(2) .

Mặt khác ta có V = 1

6, do đó để thõa mãn yêu cầu bài toán thì từ và, đẳng thức phải xảy ra, tức là

( )

12

DA ABC

ACBC AD

2 2

31 , 1, 2

CD AC DACD

BC AD AC

.

Câu 12: Chọn D

Ta có: ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; , , 0A a B b C c a b c

: 1yx z

Pa b c ;

9 1 19;1;1 1M P

a b c

39 1 1 9 1 1

1 3 . . 243.OABCV abc

a b c a b c

Đẳng thức xảy ra khi 27, 3.a b c

Câu 13: Chọn D

Do MB FC

MB EFC FB EFMB EC

. Xét các tam giác vuông: , , .NAE BFE BAM

Ta có . . 2NA AE

NAE BFE BAM AM AN AE BABA AM

.

21 1 2 3 2 3 2 6

. . . . . .3 3 4 3 3BCMN ABC

V S AM AN AM AN AM AN

Vậy 2 6

min3BCMN

V khi 2AM AN hay 2.x

Câu 14: Chọn C

E

A C

M

N

B

F




332

Gọi M là trung điểm của AB . Khi đó AB MCC

Góc giữa ABC và ABC là CMC . Đặt , 0AB x x

2 3

4ABC

xS ,

3.tan tan

2

xCC CM

2 3

.

3 3 3. tan tan

4 2 8ABC A B C

x x xV

Ta lại có cos 3 3 cosABC ABCS S

2 33 3.cos 2 3cos

4

xx

.

3.24cos 3cos .tan 9 3.sin cos

8ABC A B CV

2

.9 3. cos 1 cos

ABC A B CV

Xét hàm số 2 3( ) (1 ) , 0;1f t t t t t t . Ta có 2( ) 1 3f t t

Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi 1

3t và

2max ( )

3 3f t

Khi đó .max 6

ABC A B CV

1cos tan 2

3 .

Câu 15: Chọn D

Đặt AC BC x , 2 2SA a x .

Ta có thể tích khối chóp .S ABC là 2 2 2 2 4 61 1 1 1. . . .

3 3 2 6ABCV SAS a x x a x x

.




333

Xét hàm số 2 4 6f x a x x với 0 x a . 2 3 5

0

4 6 0 6

3

x

f x a x x ax

.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể tích khối chóp .S ABC đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi

6

3

ax . Khi đó

33sin3

a

SA

SC a ,

663cos3

aAC

SC a .

Vậy 3 6 2 2

sin2 2sin .cos 2. .3 3 3

.

Câu 16: Chọn A

Cách 1:

Đặt 0 0; 60 ; 60 .ABS ABC CBS

Ta có

32 2 2 2

.

. . 1 11 cos cos cos 2cos cos cos cos cos

6 6 2 2B SAC

BA BC BS aV

.B SACV đạt GTLN khi 21 1

cos cos2 2

đạt GTLN 1

cos4

.

Với 1

cos4

ta được 2 2 62 . .cos .

2

ax BA BS BA BS

Cách 2:

A S

C

B




334

Gọi ,E F lần lượt là trung điểm SA và BC .

Vì BAS và CAS lần lượt cân tại B và C nên BE SA

SA BECCE SA

Ta có: 2 2 2

2 3;

4 2

x a xBE CE a EF

Suy ra 2 21 3

.2 4BEC

a a xS BC EF

.

Vậy 2 2 22 2 331 1 3

. .3 3 4 12 2 8SABC BEC

x a xa a x a aV SAS x

Dấu " " xảy ra khi 2 2 63 .

2

ax a x x

Câu 17: Chọn C

Chọn hệ trục tọa độ Axyz với:

0;0;0A , 0;0;2S , 2;0;0B , 2;2;0C , 0;2;0D ¸ ;0;0M a , 0; ;0N b , 0;2a b

2;2;0AC , ;0;0AM a , 0; ;0AN b

2;2; 2SC , ;0; 2SM a , 0; ; 2SN b

, 4;2 4;2SM SC a a

12; 2;n a a là VTPT của mp SCM

A C

S

B

E

F

b

2

a

2

M

B C

D A

S

N




335

, 4 2 ; 4; 2SN SC b b

22 ; 2;n b b là VTPT của mp SCN

1 2 1 2. 0 2 2 2 2 0 8 2 2 0SCM SCN n n n n b a ab b a ab

8 2

8 2 2 02

aa b a b

a

Mà:

8 2( 2;4]0

8 2 20 2 1;44 48 22 0 ; 2 1;

2 22

aa

a ab aaaa a

aa

Do đó: 1;2a

1 1, ,

2 2AMCN AMC ACNS S S AM AC AN AC

21 1 8 2 8.2 .2

2 2 2 2

a aa b a b a

a a

Xét hàm số 2 8

2

af a

a

trên 1;2

2

2

4 8'

2

a af a

a

; 2

2 2 3 1;2' 0 4 8 0

2 2 3

af a a a

a

Ta có: 1 3f khi 1, 2a b ; 2 3f khi 2, 1a b

2 3 4 4 3f khi 2 2 3, 2 2 3a b

Khi đó: 0;2

2, 13

1, 2a

a bMax f a

a b

.

.

1. .

3S AMCN AMCNV SAS đạt giá trị lớn nhất AMCN

S đạt giá trị lớn nhất 2, 1

1, 2

a b

a b

2, 1a b . 2;0;0 2AM AM , 0;1;0 1AN AN

Vậy: 2 2

1 1 1 51

4 4T

AN AM .

1, 2a b . 1;0;0 1AM AM , 0;2;0 2AN AN

Vậy: 2 2

1 1 1 51

4 4T

AN AM . Kết luận:

2 2

1 1 5

4T

AN AM .

Câu 18: Chọn C




336

Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của ,AB CD .

Tam giác ,ADB CAB là hai tam giác cân cạnh đáy AB nên DM AB và CM AB . Suy ra

AB MCD .

. .

1 1. . . .

3 3ABCD B MCD A MCD MCD MCDV V V BMS AMS .

3 MCD

xS .

Tam giác . .ABC ABD c c c nên CM DM MN CD .

2 2 2 2 21 1 1. . . .

2 2 2MCDS CDMN y MC CN y BC BM CN

2214

2 4 4

yxy

2 2116

4y x y .

2 2 116 16 2 . . 16 2

12 12 12ABCD

xy xyV x y xy xy xy xy

3 3

16 21 1 16

12 3 12 3

xy xy xy

.

Dấu bằng xảy ra khi 1616 2

3

x yx y

xy xy xy

.

Vậy thể tích ABCD đạt giá trị lớn nhất khi 16

3xy .

Câu 19: Chọn B

Cách 1: Chọn hệ trục tọa độ sao cho , , , .

Suy ra . Đặt , , , suy ra , .

, , .

, .

Do nên .

, do nên .

.

Oxyz 0;0;0A 2;0;0B 0;2;0D 0;0;2S

2;2;0C AM x AN y , 0;2x y ;x y ;0;0M x 0; ;0N y

;0; 2SM x 2;2; 2SC 0; ; 2SN y

1 , 4;2 4;2n SM SC x x 2 , 4 2 ; 4; 2n SN SC y y

SMC SNC 1 2. 0 4 4 4 4 2 4 4 0n n y x xy 2 8xy x y

8 2

2

xy

x

2y

8 22 1

2

xx

x

4 2 2AMCN ABCD BMC DNCS S S S x y x y




337

Do đó .

Xét với , .

; .

Lập BBT ta suy ra .

Vậy .

Cách 2: Đặt , , .

Gọi ; ; .

là hình chiếu vuông góc của trên , khi đó: .

Ta có: .

Do đó góc giữa và bằng góc giữa và . Suy ra .

Mặt khác .

Tính , :

Ta có: , và nếu , thì gọi là trung điểm của , khi đó:

.

Tương tự: . Mà .

Nếu hoặc thì ta cũng có .

Tóm lại: .

Suy ra: .

Khảo sát hàm số ta được:

.

Cách 3. Đặt

Dựng .

.

1 2.

3 3S AMCD AMCNV SA S x y

2 8 2

3 2

xx

x

22 8

3 2

x

x

22 8

3 2

xf x

x

1;2x

2

2

2 4 8

3 2

x xf x

x

20 4 8 0f x x x 2 2 3x 2 2 3x

1;2max 1 2 2f x f f

.

1

2max 2

2

1

S AMCN

x

yV

x

y

2( )

1

xdo x y

y

2 2

16 1

AM AN

2 2

16 15

x y

AM x AN y , 0;2x y x y

O AC DB E BD CM F BD CN

H O SC2

3HO

SC OH SC HE

SC HBDSC BD SC HF

SCM SCN HE HF HE HF

.

1 2.

3 3S AMCN AMCNV SA S x y

OE OF

0x 0y 2x 2y K AM

2

4 2 4 2 4 4

OE KM x OE EB OB xOE

EB MB x x x x x

2

4

yOF

y

2. 2 2 12OE OF OH x y

2x 2y 2. 2 2 12OE OF OH x y

2 2 12x y

.

1 2 2 2 12. 2 2 4 2 4

3 3 3 3 2S AMCN AMCNV SA S x y x y x

x

.

1

2max 2

2

1

S AMCN

x

yV

x

y

2( )

1

xdo x y

y

2 2

16 1

AM AN

2 2

16 15

x y

, (0 2)AM m AN n n m

, ( , )AP CM AQ CN P CM Q CN




338

Ta có .

Tương tự .

Trong mặt phẳng dựng . Mặt phẳng cắt

tại .

Dựa vào điều kiện bài toán dễ dàng chứng minh được tứ giác là hình chữ nhật và

.

Ta có .

và .

Do hình chữ nhật nên

Do nên .

Do .

Ta có: .

Suy ra .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .

Khi đó .

Câu 20: Chọn B

..

.

2 1

3 3S GMN

GMND S GMD

S GMD

V SNV V

V SD .

.. .

.

1 1

2 2S GMD

S GMD S GCD

S GCD

V SMV V

V SC

2

2

4 (2 )

AP AM mAP

BC CM m

2

2

4 (2 )

nAQ

n

( )SAP ( ), (V )AL SP L SP AV SQ SQ ( )ALV SC

H

ALHV

AH SC

2 2 2

1 1 1 3

8AH SA AC 2 8

3AH

2

2 2 2 2

1 1 1 2 4

2

m m

AL SA SP m

22

2

2

2 4

mAL

m m

22

2

2

2 4

nAV

n n

2 22 2 2

2 2

2 2 8( 4)( 2( ) 8) 0

2 4 2 4 3

n mAV AL AH mn m n mn m n

n n m m

4 2 2 0mn m n mm m n 2( ) 8mn m n

0 2 ( 2)( 2) 0 2( ) 4 0 12 4( ) 0 3n m m n mn m n m n m n

D

1 14 .2.(2 ) .2.(2 )

2 2ANCM ABC BMC DNCS S S S m n m n

1 2. ( ) 2

3 3SAMCN AMCNV SA S m n

2, 1m n

2 2

1 165

AN AM

G

E

NM

D

B C

A

S




339

.

.

2

3S GCD

S ECD

V SG

V SE .

Suy ra . . . . .

1 1 1 2 1 1 1 1. . . .

3 3 2 3 9 9 2 18GMND S GMD S ECD S ECD S ABCD S ABCDV V V V V V .

Suy ra .

.

1

18S GMND

S ABCD

V

V . Do đó 1; 18 19m n m n .

Câu 21: Chọn D

Trong tam giác ABC có 2 2 2 o2 . .cos135AC AB BC ABBC 2 2. 2 4 0BC BC a a

2BC a .

Gọi K là hình chiếu của A lên BC ta có o135ABC nên o45ABK . Suy ra tam giác AKB

vuông cân tại K . Do đó 2

22

AB aAK BK .

Gọi ,I H lần lượt là hình chiếu của A lên BD và ABCD , ta có KBIH là hình chữ nhật.

Khi đó o; 30ABD BCD AIH . Suy ra o 6

.tan306

aAH HI .

Từ đó ta tính được 2 2 3

3

aBI KH AK AH .

Tam giác ABD vuông tại A , đường cao AI nên 2 .AB BI BD

2

3AB

BD aBI

.

Vậy thể tích khối chóp ABCD là 31

. .6 6

aV AH BD BC

Câu 22: Chọn B

Vì con kiến bò theo mặt của hình hộp từ A đến B nên khi ta vẽ hình khai triển của hình hộp chữ

nhật và trải phẳng như hình vẽ thì xem như con kiến bò trên một mặt phẳng.

KI

H

135°

a 5

a

A

B

D

C

9 6

4

N

R

A

T

M

B1




340

Khi đó B sẽ được tách thành 3 vị trí là 1B ; 2

B và 3B . Quãng đường ngắn nhất sẽ là một trong ba

đoạn thẳng 1

AB ; 2AB hay 3

AB . Ta có:

2 2

115 4 241AB .

2 2

29 10 181 13,45AB .

2 2

36 13 205AB .

Do đó quãng đường ngắn nhất là 213,45 13;14AB .

6

9

4 S

R

A

T

P

B2

6

9 4 B3

M

P

A

N

R

CHUYÊN ĐỀ: KHỐI TRÒN XOAY NÓN – TRỤ - CẦU.



341

CHỦ ĐỀ : KHỐI NÓN, KHỐI TRỤ

MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓN

1. Mặt nón tròn xoay

Đường thẳng ,d cắt nhau tại O và tạo thành góc với 0 00 90 . Mặt phẳng P chứa

,d và P quay quanh trục với góc không đổi thì tạo thành mặt nón tròn xoay đỉnh O .

Trong đó:

gọi là trục

d được gọi là đường sinh

Góc 2 được gọi là góc ở đỉnh

2. Khối nón

Khối nón là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay, kể cả hình nón đó.

Đỉnh, mặt đáy, đường sinh của một hình nón cũng là đỉnh, mặt đáy, đường sinh của khối nón tương

ứng.

Cho hình nón có chiều cao h , đường sinh l và bán kính đáy r . Khi đó, ta có các công thức sau:

Diện tích xung quanh của hình nón: . .xqS r l

Diện tích đáy của hình nón: 2.dayS r

Diện tích toàn phần của hình nón: 2. . .tp xq dayS S S r l r

Thể tích của khối nón: 21. .

3nonV r h

LÍ THUYẾT




342

MẶT TRỤ TRÒN XOAY

1. Mặt trụ

Trong mặt phẳng P cho hai đường thẳng và l song song với nhau, cách nhau một khoảng r

Khi quay mặt phẳng P xung quanh đường thẳng thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay

được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ. Trong đó:

Đường thẳng gọi là trục

Đường thẳng l gọi là đường sinh

r là bán kính của mặt trụ đó

2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay

Khối trụ tròn xoay hay khối trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả

hình trụ tròn xoay đó.

Mặt đáy, đường sinh, chiều cao, bán kính của một hình trụ cũng là mặt đáy, đuowngf sinh, chiều

cao, bán kính của khối trụ tương ứng.

Cho hình trụ có chiều cao h , đường sinh l , bán kính đáy r . Khi đó ta có các công thức sau:

Diện tích xung quanh: 2 . .xqS r l

Diện tích toàn phần: 22 . . 2 .tpS r l r

Thể tích của khối trụ: 2. .V r h




343

MẶT CẦU VÀ KHỐI CẦU

1. Mặt cầu

Cho một điểm I cố định và một số thực dương R . Tập hợp tất cả các điểm M trong không gian

cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I , bán kính R . Được kí hiệu là: ;S I R .

Khi đó ; /S I R M IM R .

2. Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

Cho mặt cầu S có tâm I , bán kính R . Khi đó, ta có các công thức như sau:

Diện tích mặt cầu: 24 .S R

Thể tích của khối cầu: 34.

3V R .

3. Một số công thức tính đặc biệt về khối tròn xoay

Hình nêm loại 1

Thể tích : 32

. . tan3

V R

Hình nêm loại 2

Thể tích: 32

. . tan2 3

V R




344

Lời giải

Chọn C

.

Theo đề suy ra đường sinh l a , và đường tròn đáy có bán kính 2

2

ar . Khi đó

2 2

2xq

aS

, diện tích đáy 2

2

aS

. Vậy

2 2 1

2tp

aS

.

Lời giải

Chọn A

.

VÍ DỤ MINH HỌA

VÍ DỤ 1: Một hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh bằng a .

Tính diện tích tpS toàn phần của hình nón đó:

A. 2 2 8

2tp

aS

. B.

2 2

2tp

aS

.

C. 2 2 1

2tp

aS

. D.

2 2 4

2tp

aS

.

VÍ DỤ 2: Một hình nón đỉnh S , đáy hình tròn tâm O và SO h . Một mặt phẳng P qua đỉnh S cắt

đường tròn O theo dây cung AB sao cho góc 90AOB , biết khoảng cách từ O đến P bằng 2

h. Khi

đó diện tích xung quanh hình nón bằng.

A. 2 10

3

h. B.

2 10

3 3

h. C.

22 10

3

h. D.

2 10

6

h.




345

Gọi I là trung điểm của AB .

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 4 1 3

OH SO OI OI h h h

3

3

hOI .

Tam giác OAB vuông cân tại O nên: 2 3

23

hAB OI ,

6

3

hR OA OB .

Suy ra:

2

2 2 2 6 15

3 3

h hSB SO OB h

.

Diện tích xung quanh của hình nón: 26 15 10

. . .3 3 3

xq

h h hS R SB

.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Theo bài ra ta có tam giác SAB vuông tại S và 3OH ; và 60BSO .

Gọi r là bán kính đường tròn đáy của hình nón thì đường sinh 2

sin 60 3

r rl SB l

.

Suy ra 1 6

2 3

rBH AB .

Xét tam giác OBH vuông tại H , ta có

226

9 3 39

rr r .

Diện tích xung quanh xqS của hình nón N là 6 3

. . .3 3. 18 33

xqS r l .

VÍ DỤ 2: Hình nón N có đỉnh S , tâm đường tròn đáy là O , góc ở đỉnh bằng 120 . Một mặt phẳng qua

S cắt hình nón N theo thiết diện là tam giác vuông SAB . Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng

AB và SO bằng 3 . Tính diện tích xung quanh xqS của hình nón N

A. 27 3xqS . B. 18 3xqS . C. 9 3xqS . D. 36 3xqS .




346

DẠNG 1: CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN ĐẾN KHỐI NÓN, KHỐI TRỤ

Câu 1: Một hình nón tròn xoay có đường sinh 2a . Thể tích lớn nhất của khối nón đó là

A. 316

3 3

a. B.

316

9 3

a. C.

34

3 3

a. D.

38

3 3

a.

Câu 2: Cho đường tròn C có tâm , I bán kính .R a Gọi M là điểm nằm ngoài C và 3;IM a A

là điểm thuộc C và MA tiếp xúc với C ; H là hình chiếu của A trên đường thẳng .IM Tính

theo a thể tích V của khối tròn xoay tạo bởi hình tam giác MAH quay xung quanh trục .IM

A. 33.

12V a B. 33

.8

V a C. 34 3.

27V a D. 39

.8

V a

Câu 3: Hình bên bao gồm hình chữ nhật ABCD và hình thang vuông CDMN . Các điểm B , C , N thẳng

hàng, 2dmAB CN ; 4dm;BC 3dmMN . Quay hình bên xung quanh cạnh BN ta được

khối tròn xoay có thể tích bằng

A. 354 dm . B. 386

dm3

. C. 386dm

3. D. 354dm .

Câu 4: Biết thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác đều có diện tích bằng 2 3a . Tính thể tích

của khối nón đã cho.

A.

3 3

2

aV . B.

3 3

6

aV . C.

3 6

6

aV . D.

3 3

3

aV .

Câu 5: Cho hình trụ T có chiều cao 2 ,h m bán kính đáy 3 .r m Giả sử L là hình lăng trụ đều n cạnh

có hai đáy là đa giác đều nội tiếp đường tròn đáy của hình trụ T . Khi n tăng lên vô hạn thì tổng diện

tích tất cả các mặt của của khối lăng trụ L có giới hạn là:

A. 12S . B. 20S . C. 30 . D. 12 .

Câu 6: Một khối nón làm bằng chất liệu không thấm nước, có khối lượng riêng lớn

hơ khối lượng riêng của nước, có đường kính đáy bằng a và chiều cao 12

, được đặt trong và trên đáy của một cái cốc hình trụ bán kính đáy a như

hình vẽ, sao cho đáy của khối nón tiếp xúc với đáy của cốc hình trụ. Đổ

nước vào cốc hình trụ đến khi mực nước đạt đến độ cao 12 thì lấy khối nón

ra. Hãy tính độ cao của nước trong cốc sau khi đã lấy khối nón ra.





347

A. 11,37 . B. 11 . C. 6 3 . D. 37

2.

Câu 7: Một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông. Biết diện tích xung quanh của khối trụ bằng

16 . Thể tích V của khối trụ bằng

A. 32V . B. 64V . C. 8V . D. 16V .

Câu 8: Cho hình nón tròn xoay có độ dài đường sinh là 2a , góc ở đỉnh của hình nón bằng 60 . Thể tích

V của khối nón đã cho là

A.

3

3

aV . B. 33V a . C. 3V a . D.

33

3

aV .

Câu 9: Cho hình vuông ABCD cạnh .a Gọi N là điểm thuộc cạnh AD sao cho 2 .AN ND Đường

thẳng qua N vuông góc với BN cắt BC tại .K Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi

quay tứ giác ANKB quanh trục BK là

A. 37

6V a . B. 39

14V a . C. 36

7V a . D. 314

9V a .

Câu 10: Cho khối trụ có đáy là các đường tròn tâm O , O có bán kính là R và chiều cao 2h R . Gọi

A , B lần lượt là các điểm thuộc O và O sao cho OA vuông góc với .OB Tỉ số thể tích của

khối tứ diện OOAB với thể tích khối trụ là:

A.

2

3. B.

1

3. C.

1

6. D.

1

4.

Câu 11: Người ta cần đổ một ống cống thoát nước hình trụ với chiều cao 2m , độ dày thành ống là 10cm .

Đường kính ống là 50cm . Tính lượng bê tông cần dùng để làm ra ống thoát nước đó?

A. 30,08 ( )m . B. 30,18 ( )m . C. 30,5 ( )m . D. 30,045 ( )m .

Câu 12: Cho hình chữ nhật ABCD có 2AB , 2 3AD và nằm trong mặt phẳng P . Quay P một

vòng quanh đường thẳng BD . Khối tròn xoay được tạo thành có thể tích bằng

A. 28

9. B.

28

3. C.

56

9. D.

56

3.

Câu 13: Cho mặt cầu S có bán kính 3 . Trong tất cả các khối trụ nội tiếp mặt cầu S , khối trụ có thể

tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

A. 3 3

2. B. 4 . C. 3 . D.

4 3

3.

Câu 14: Cho hình thang ABCD có 90A B , AB BC a , 2AD a . Tính thể tích khối tròn xoay

sinh ra khi quay hình thang ABCD xung quanh trục CD .

A. 37 2

6

a. B.

37 2

12

a. C.

37

6

a. D.

37

12

a.

Câu 15: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có 2 2 4CD AB AD . Thể tích của khối tròn xoay

sinh ra bởi hình thang ABCD khi quay xung quanh đường thẳng BC bằng

A. 28 2

3. B.

20 2

3. C.

32 2

3. D.

10 2

3.




348

Câu 16: Một khối trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện của một hình lập phương cạnh a

. Tính thể tích V của khối trụ đã cho.

A. 31

3V a . B. 31

4V a . C. 3V a . D. 31

2V a .

Câu 17: Một khối trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện của một hình lập phương cạnh a

. Tính thể tích V của khối trụ đã cho.

A. 31

3V a . B. 31

4V a . C. 3V a . D. 31

2V a .

Câu 18: Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mp ABC , ,DB BC AD AB BC a . Kí hiệu

1 2 3, ,V V V lần lượt là thể tích của hình tròn xoay sinh bởi tam giác ABD khi quay quanh AD ,

tam giác ABC khi quay quanh AB , tam giác DBC khi quay quanh BC . Trong các mệnh đề sau,

mệnh đề nào đúng?

A. 1 2 3V V V . B.

1 3 2V V V . C.

2 3 1V V V . D.

1 2 3V V V .

Câu 19: Một đội xây dựng cần hoàn thiện một hệ thống cột trụ tròn của một cửa hàng kinh doanh gồm 10

chiếc. Trước khi hoàn thiện mỗi chiếc cột là một khối bê tông cốt thép hình lăng trụ lục giác đều

có cạnh 20 cm , sau khi hoàn thiện mỗi cột là một khối trụ có đường kính đáy bằng 42 cm . Chiều

cao của mỗi cột trước và sau khi hoàn thiện là 4m . Biết lượng xi măng cần dùng chiếm 80%

lượng vữa và cứ một bao xi măng 50 kg thì tương đương với 364000cm xi măng. Hỏi cần ít nhất

bao nhiêu bao xi măng loại 50 kg để hoàn thiện toàn bộ hệ thống cột đã cho?

A. 25 . B. 18 . C. 28 . D. 22 .

Câu 20: Để định vị một trụ điện, người ta cần đúc một khối bê tông có chiều cao 1,5mh gồm:

Phần dưới có dạng hình trụ bán kính đáy 1mR và có chiều cao bằng 1

;3h

Phần trên có dạng hình nón bán kính đáy bằng R đã bị cắt bỏ bớt một phần hình nón có bán kính

đáy bằng 1

2R ở phía trên ;

Phần ở giữa rỗng có dạng hình trụ, bán kính đáy bằng 1

4R .

Thể tích của khối bê tông bằng

A. 32,815m . B.

32,814 m . C. 33,403m . D.

33,109 m .




349

Câu 21: Cho khối trụ T , AB và CD lần lượt là hai đường kính trên các mặt đáy của khối T . Biết góc

giữa AB và CD là 30 , 6AB cm và thể tích khối ABCD là 330cm . Khi đó thể tích khối trụ

T là

A. 390 cm . B. 330 cm . C. 345 cm . D. 390 3

270cm .

Câu 22: Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O bán kính R . Trên đường tròn O lấy hai điểm

,A B sao cho tam giác OAB vuông. Biết diện tích tam giác SAB bằng 2 2R . Thể tích hình nón

đã cho bằng

A. 3 14

12

R. B.

3 14

2

R. C.

3 14

6

R. D.

3 14

3

R.

Câu 23: Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính R , người thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt và gọt

viên đá đó thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của

viên đá cảnh sau khi đã hoàn thiện?

A. 34 3

9

R. B.

34 3

3

R. C.

34 3

6

R. D.

33 3

12

R.

Câu 24: Một hình thang cân có chiều cao h và độ dài hai đáy là a , b . Tính thể tích vật thể tròn xoay thu

được khi quay hình thang này quanh đường trung trực của hai đáy.

A. 2 21

3h a ab b . B. 2 21

6h a ab b .

C. 2 21

12h a ab b . D. Cả A, B, C đều sai.

Câu 25: Cho hình chóp .S ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , tứ giác ABCD là hình thang

vuông với cạnh đáy , AD BC . 3 3AD CB a , AB a , 3SA a . Điểm I thỏa mãn

3AD AI , M là trung điểm SD , H là giao điểm của AM và SI . Gọi , E F lần lượt là hình

chiếu của A lên , SB SC . Tính thể tích V của khối nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác

EFH và đỉnh thuộc mặt phẳng ABCD .

A.

3

5 5

aV . B.

3

2 5

aV . C.

3

5

aV . D.

3

10 5

aV .




350

Câu 26: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn ;O R và ;O R . AB là một dây cung của đường tròn

;O R sao cho tam giác OAB là tam giác đều và mặt phẳng O AB tạo với mặt phẳng chứa

đường tròn ;O R một góc 60 . Tính theo R thể tích V của khối trụ đã cho.

A.

37

7

RV . B.

33 5

5

RV . C.

35

5

RV . D.

33 7

7

RV .

Câu 27: Có một miếng bìa hình chữ nhật ABCD với 3AB và 6AD . Trên cạnh AD lấy điểm E sao

cho 2AE , trên cạnh BC lấy điểm F là trung điểmBC .

Cuốn miếng bìa lại sao cho cạnh AB và DC trùng nhau để tạo thành mặt xung quanh của một

hình trụ. Khi đó tính thể tích V của tứ diện ABEF .

A. π

3V . B.

2

9 3

2πV . C.

33π

2V . D.

2

2

3πV .

Câu 28: Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có tất cả các cạnh bằng 3. Tính diện tích xung quanh của hình

nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD và chiều cao bằng chiều cao của hình chóp.

A.

9

2xqS . B.

9 2

4xqS . C. 9

xqS . D.

9 2

2xqS .

Câu 29: Một hình nón có chiều cao 2a , bán kính đáy 2a . Một phẳng phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt

đáy góc 60 . Tính diện tích thiết diện.

A. 25 2

3

a. B.

24 3

3

a. C.

25 3

3

a. D.

24 2

3

a.

Câu 30: Cho hình trụ có tâm hai đáy lần lượt là O và 'O ; bán kính đáy hình trụ bằng a . Trên hai đường

tròn O và 'O lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho AB tạo với trục của hình trụ một góc

30 và có khoảng cách tới trục của hình trụ bằng 3

2

a. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đã

cho

A. 22 3 1a . B.

2

3 23

a. C. 2 3 2a . D.

22

3 33

a.

Câu 31: Cho hình nón đỉnh I , đường cao SO và có độ dài đường sinh bằng 3cm , góc ở đỉnh bằng 060 .

Gọi K là điểm thuộc đoạn SO thỏa mãn 3

2IO IK , cắt hình nón bằng mặt phẳng ( )P qua K và

vuông góc với IO , khi đó thiết diện tạo thành có diện tích là S . Tính S .

F

A

B C

DE




351

A.

2( )3

S cm . B. 2S cm . C. 23 ( )S cm D.

22( )

3S cm

Câu 32: Cho hình nón N có bán kính đáy bằng 6 và chiều cao bằng 12. Mặt cầu S ngoại tiếp hình nón

N có tâm là .I Một điểm M di động trên mặt đáy của nón N và cách I một đoạn bằng 6.

Quỹ tích tất cả các điểm M tạo thành đường cong có tổng độ dài bằng

A. 6 . B. 6 2. C. 3 7. D. 4 6.

Câu 33: Cho hình nón đỉnh S , đường cao SO . Gọi ,A B là hai điểm thuộc đường trò đáy của hình nón

sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng 2 ,a 0 030 , 60 .SAO SAB Diện tích xung quanh hình

nón đã cho bằng

A. 22 3.a B. 23 2

.4

a C. 24 3.a D. 23 2.a

Câu 34: Cho hình trụ có trục 'OO , bán kính đáy r và chiều cao 3

2

rh . Hai điểm ,M N di động trên

đường tròn đáy O sao cho OMN là tam giác đều. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên

'O MN . Khi ,M N di động trên đường tròn O thì đoạn thẳng OH tạo thành mặt xung quanh

của một hình nón, diện tích S của mặt này.

A.

29 3

32

rS . B.

29 3

16

rS . C.

29

32

rS . D.

29

16

rS .

Câu 35: Cho tam giác ABC cân tại A , biết 2AB a và góc o30ABC , cho tam giác ABC quay xung

quanh đường thẳng AC được khối tròn xoay. Khi đó thể tích khối tròn xoay bằng

A. 32πa . B. 36πa . C. 32π

3

a. D. 32a .

Câu 36: Một hộp đựng mỹ phẩm được thiết kế có thân hộp là hình trụ có bán kính hình tròn đáy 5r cm

, chiều cao 6h cm và nắp hộp là một nửa hình cầu. Người ta cần sơn mặt ngoài của cái hộp đó

thì diện tích S cần sơn là

A. 280S cm . B. 2110S cm . C. 2160S cm . D. 2130S cm .

Câu 37: Cho khối trụ có bán kính đáy bằng 4 cm và chiều cao 5 cm . Gọi

AB là một dây cung đáy

dưới sao cho 4 3AB cm . Người ta dựng mặt phẳng P đi qua

hai điểm A , B và tạo với mặt phẳng đáy hình trụ một góc 60 như

hình vẽ. Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng P .

A.

28 4 3 3

3cm . B.

2

4 4 3

3cm

C.

24 4 3 3

3cm . D.

2

8 4 3

3cm .




352

Câu 38: Một khối đồ chơi có dạng khối nón, chiều cao bằng 20cm , trong đó có chứa một lượng nước. Nếu

đặt khối đồ chơi theo hình 1H thì chiều cao lượng nước bằng

2

3 chiều cao của khối nón. Hỏi nếu

đặt khối đồ chơi theo hình 2

H thì chiều cao h của lượng nước trong khối đó gần với giá trị nào

sau đây?

A. 2,21 cm . B. 5,09 cm . C. 6,67 cm . D. 5,93 cm .




353

BẢNG ĐÁP ÁN

1.B 2.C 3.B 4.D 5.C 6.B 7.D 8.D 9.A 10.C

11.A 12.C 13.B 14.A 15.A 16.B 17.B 18.A 19.B 20.D

21.A 22.C 23.A 24.C 25.D 26.D 27.B 28.D 29.D 30.A

31.B 32.C 33.C 34.A 35.A 36.B 37.A 38.A


Câu 1: Chọn B

Gọi hình nón tròn xoay có đường sinh 2l a có bán kính đáy là R và đường cao là h .

Thể tích khối nón: 21

3V R h . Ta có: 2 2 24R h a .

Áp dụng bất đẳng thức Cô si: 2 2 4 2

2 2 2 2 34 32 2 4

R R R ha R h h .

4 26 2 364 1 16 3

4 27 3 27

R ha R h a .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

22

2 2 2

2 3

32

2 643

R h ah

h R a R a

. Khi đó

3

max

16 3

27V a .

Câu 2: Chọn C

Tam giác MAH vuông tại H nên hình nón được tạo thành có

chiều cao h MHvà bán kính đáy là r AH

Có 2.IH IM IA 2 2

3 3

IA a aIH

IM a

2

33 3

a aMH IM IH a

2

2 2 2. .

33 3

a a aAH IH MH

Vậy thể tích khối nón là 2

32 4 3.

1 1 2 2. .

3 73 3 3 2

a aV ar h

Câu 3: Chọn B

Khi quay hình trên quanh cạnh BN ta được một khối tròn xoay

gồm một khối trụ có bán kính đáy bằng 2 dm, chiều cao bằng 4 dm

và một khối nón cụt có bán kính hai đáy lần lượt là 2dm và 3 dm,

chiều cao bằng 2 dm.

Do đó thể tích của khối tròn xoay là

32 864 .4 4 9 4 .9 dm

3 3truï non cutV V V .

H

I

A

M




354

Câu 4: Chọn D

Gọi đỉnh của hình nón là S , tâm đường tròn đáy của hình nón là

O , AB là một đường kính của đường tròn đáy. Khi đó SAB là

một thiết diện qua trục của hình nón đã cho.

Diện tích của tam giác SAB là: 2

233 2

4

ABa AB a .

Bán kính đường tròn đáy 2

ABR a ; Đường cao của hình nón là

3

32

ABh SO a .

Thể tích khối nón đã cho là:

2 3

21 . 3 3

3 3 3

a a aV R h .

Câu 5: Chọn C

Cách 1: Vì L là hình lăng trụ đều n cạnh có hai đáy là đa giác đều nội tiếp đường tròn đáy của hình

trụ T nên độ dài mỗi cạnh của lăng trụ là

2 .sina rn

.

Do đó diện tích của n mặt bên là

1

2 .sin 12 .sinS nah nrh nn n

Công thức diện tích của đa giác đều n cạnh, có độ dài mỗi cạnh là a là:

2 2.sin

2

nrns .

Nên diện tích của hai đáy là:

2

22. 9 .sinS s n

n.

Tổng diện tích tất cả các mặt của khối lăng trụ L là: S

1 2

12 .sinS S nn

29 .sinn

n.

Khi n tăng lên vô hạn:

2lim 12. .sin 9 .sinx

n nn n

2lim 12. .sin lim 9 .sin 30x x

n nn n

.

Cách 2: Khi n tăng lên vô hạn, hình lăng trụ tiến dần tới hình trụ, do đó tổng diện tích tất cả các mặt

của của khối lăng trụ L bằng với diện tích toàn phần của hình trụ T và bằng 22 2 30rh r

Câu 6: Chọn B

Gọi , ,V R h lần lượt là thể tích khối trụ (khối chứa phần nước trong cốc), bán kính đáy cốc và

chiều cao của lượng nước trong cốc khi chưa lấy khối nón ra. Suy ra: 2V R h (1)

Gọi 1 1 1, ,V R h lần lượt là thể tích, bán kính đáy và chiều cao của khối nón.

Suy ra: 2

1 1 1

1

3V R h (2)

Gọi 2 2,V h là thể tích lượng nước đổ vào và độ cao của nước trong cốc sau khi đã lấy khối nón ra.

Suy ra: 2

2 2V R h (3)

Từ (1),(2) và (3) ta có:




355

2 2

1 12 2 2 2 2 2

1 2 1 1 2 1 1 2 2 2

11 1 33 3

R h R hV V V R h R h R h R h R h R h h

R (4)

Thay 1 1

, , 122

aR a R h h vào (4) ta có:

2

1 112 . .12 11

3 4h .

Câu 7: Chọn D

Gọi ABCD là thiết diện qua trục của khối trụ.

Vì ABCD là hình vuông nên ta có: 1

2OC OO 2h r 1 .

Diện tích xung quanh của khối trụ là: 2xqS rh 2 .

Từ 1 và 2 suy ra: 22 4xqS rh r .

Ta có: 16xqS 24 16r 24 16r .

Thể tích của khối trụ là: 2 3 32 2 .2 16V r h r (đơn vị

thể tích).

Câu 8: Chọn D

Ta có 2l CB a , 30BCA .

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

1

sin30 .sin30 2 .2

AB rr l a a

CB l.

3

cos30 .cos30 2 . 32

CA hh l a a

CB l.

Suy ra

3

2 21 1 3. 3

3 3 3

aV r h a a .

Câu 9: Chọn A

Ta có 2

2 4 13.

9 3

a aNB a

ABN đồng dạng NKB suy ra 2 213 3 13

.9 2 6

AN NB NB a aKB

NB KB AN a

Gọi M là điểm trên BC sao cho 2BM MC

a

P

M

K

CD

AB

N




356

Suy ra 2 3

; .3 2

a aBM MK Vậy 2 2 32 1 3 7

. . .3 3 2 6

a aV a a a

Câu 10: Chọn C

Thể tích khối trụ 2 2 3

1. 2 2.R h R RV R

Khối tứ diện BOOA có BO là đường cao và đáy là tam giác

vuông OOA , do đó thể tích khối tứ diện là

3

2 3

1 1 2. 2.

1

6

1

3 2.

6OOAOA OO OV B R R RS B RO

Vậy

3

2

31 2

1

6 6

2 1V R

RV.

Câu 11: Chọn A

Bán kính ống cống là: 50

25 0.252

R AB cm m .

Do lớp bê tông dày 10cm nên bán kính phần được giới hạn bên trong là: 15 0.15r AD cm m

Thể tích phần bê tông là: 2 2 2 2 3. .2 0.25 0.15 0.08V h R r m .

Câu 12: Chọn C

Cách 1:

Gọi 'A , C lần lượt đối xứng với A , C qua BD , 'G BC AD , G đối xứng với G qua BD .

'E AA BD , 'F GG BD F là trung điểm BD .

Gọi V là thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình chữ nhật ABCD quanh đường thẳng

BD .




357

1V là thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác BAD quanh cạnh BD (cũng là thể

tích của khối tròn xoay khi quay tam giác BCD quanh cạnh BD ).

1V ,

1V lần lượt là thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay BAE , EADquanh cạnh

BD .

2V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay BGD quanh cạnh BD .

2V là thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay BGF quanh cạnh BD .

Ta có 1V là thể tích của khối nón đỉnh B , bán kính đáy AE .

Tính được 2 2

.AB ADAE

AB AD

2

2

2.2 3

2 2 3

3 , 4BD , 1BE , 3DE .

2

1

1. .

3V AE BE

213

3 .

Ta có 1V là thể tích của khối nón đỉnh D , bán kính đáy AE .

2

1

1. .

3V AE DE

213 .3

3 3 . Suy ra

1 1 1V V V 3 4 .

Ta có 2V là thể tích của khối nón đỉnh B , bán kính đáy GF .

Ta chứng minh được ~BGF BDC (g – g).

GF BF

DC BC

.BF DCGF

BC

.

2

BD DC

BC

4.2

2.2 3

2

3.

2

2

1. .

3V GF BF

2

1 2. .2

3 3

8

9.

Ta có 2 2

2V V

16

9. Vậy

1 22V V V

162.4

9

56

9.

Cách 2:

Gọi điểm như hình vẽ

1 2,V V lần lượt là thể tích khói nón, nón cụt nhận được khi quay tam giác ABH và tứ giác AHLT

quay BD .

Ta có: 2

3,I , 13

AH L BH HL .

Ta có: 1 2

2V V V

2 2 21 12 . . . . .

3 3BH AH HL IL IL AH AH

1 1 4 562 .1. .3 .1. . 2 3

3` 3 3 9.




358

Câu 13: Chọn B

Gọi bán kính mặt cầu là R và chiều cao của khối trụ là 2 0h x .

Suy ra bán kính đáy trụ là 2 2r R x .

Thể tích khối trụ là 2 2 22V r h R x x

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

32 2 2 2 6

22 2 2 2 2 2

2 2 162 .2 2

3 27

R x x RV R x x

Suy ra

34 3

9

RV . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 2 22

3

RR x x x

Vậy

34 3

max9

RV . Với 3R thì max 4V .

Câu 14: Chọn A

Gọi E là giao điểm của AB và CD . Gọi F là hình chiếu vuông góc của B trên CE .

Ta có: BCF BEF nên tam giác BCF và BEF quay quanh trục CD tạo thành hai khối

nón bằng nhau có thể tích 1V .

ADC AEC nên tam giác ADC và AEC quay quanh trục CD tạo thành hai khối nón

bằng nhau có thể tích V .

Nên thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang ABCD xung quanh trục CD bằng:

2 2

1

12 2 2. . .

3V V CD AC CF BF

3 332 7 22

3 62

a aa (đvtt).

Câu 15: Chọn A

Ta có: 2AB AD , 2 2 2 2BD AB AD ,

2

2 12 2

2BC AD CD .

Tam giác BCD vuông cân tại B do 2 2 2CD BD BC và 2 2BD BC .

Kéo dài AD BC E . Kẻ AF BE tại F . Khi đó AF BD .

OR

x

I

'I'M

M r

OR

x

I

'I'M

M r




359

Dễ chứng minh: BCD BED , ABF AEF , 1

22

AF BF BD .

Thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi tam giác ECD khi quay xung quanh đường thẳng BC bằng 2

lần thể tích khối nón sinh ra bởi tam giác BCD khi quay xung quanh đường thẳng BC (bán kính

đáy BD , đường cao BC ):

2

1

1 32 22. .

3 3V BD BC .

Thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi tam giác ABE khi quay xung quanh đường thẳng BC bằng 2

lần thể tích khối nón sinh ra bởi tam giác ABF khi quay xung quanh đường thẳng BC (bán kính

đáy AF , đường cao BF ): 2

2

1 4 22. . .

3 3V AF BF .

Thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi hình thang ABCD khi quay xung quanh đường thẳng BC là:

1 2

28 2

3V V V .

Câu 16: Chọn B

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Kẻ OE AB tại E , khi đó bán kính của đường tròn nội

tiếp hình vuông ABCD là OE .

Ta có 2 2

AB aOE .

Diện tích hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD là 2 21.

4S OE a .

Gọi h là chiều cao của khối trụ, khi đó h AA .

Thể tích V của khối trụ đã cho là 2 31 1. . .

4 4V hS AA S a a a .




360

Câu 17: Chọn B

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Kẻ OE AB tại E , khi đó bán kính của đường tròn nội

tiếp hình vuông ABCD là OE . Ta có 2 2

AB aOE .

Diện tích hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD là 2 21.

4S OE a .

Gọi h là chiều cao của khối trụ, khi đó h AA .

Thể tích V của khối trụ đã cho là 2 31 1. . .

4 4V hS AA S a a a .

Câu 18: Chọn A

Quay tam giác ABD khi quay quanh AD ta có

2 3

1

1. .

3 3V AD AB a (đvtt).

Quay tam giác ABC khi quay quanh AB ta có

2 3

2

1. .

3 3V AB BC a (đvtt).

Quay tam giác DBC khi quay quanh BC ta có

2 2 3

3

1 2BC. . .2

3 3 3V BD AB AB a (đvtt).

Vậy 1 2 3V V V .

Câu 19: Chọn B

Diện tích của một lục giác đều cạnh a là:

22 2 3 20 33 3 3

6 600 34 2 2

a aS 2(cm ).

Tổng thể tích 10 chiếc cột ban đầu là 6

110. . 10.600 3.400 2,4.10 . 3V S h 3(cm ).

Tổng thể tích 10 khối trụ sau khi hoàn thiện là:




361

2

2

2

4210. 10 . .400 1764000

2V r h 3(cm ).

Thể tích vữa cần dùng là 6

2 11764000 2,4.10 . 3V V V 3(cm )

Số bao xi măng cần dùng là

60,8 1764000 2,4.10 . 30,817,3106.

64000 64000

Vn

Câu 20: Chọn D

Thể tích phần khối trụ phía dưới: 2 3

1

10,5 m

3V R h .

Thể tích phần khối nón cụt:

2

2 3

2

1 2 7. . m

3 2 2 3 12

R R hV R R .

Thể tích phần trụ rỗng:

2

3

3

3m

4 32

RV h .

Thể tích khối bê tông: 3

1 2 33,109mV V V .

Câu 21: Chọn A

Gọi h , V lần lượt là chiều cao và thể tích khối trụ T ,d AB CD h cm .

Ta có: 21 1.sin ; . . .sin30 .6

6 6ABCDV h AB CD ABCD h

2

610

sin30 .6ABCDV

h cm .

2

3. 902T

ABV h cm .

Câu 22: Chọn C

Gọi H là trung điểm của đoạn .AB

Nhận thấy:

Tam giác OAB vuông cân tại O .

Mặt khác: OH AB , SH AB nên góc giữa hai mặt phẳng

( )SAB , ( )OAB bằng SHO .

Ta có:

.cosOAB SAB

S S 2 212.cos

2R R

1cos .

2 2




362

Mà 1

cos2 2

OH

SH

212

2 2

R

SH

2.2 2 2 .

2

RSH R

2 2SO SH OH

2

2 24

2

RR

14

2

R

Vậy thể tích của khối nón bằng

3

2 21 1 14 14. . .

3 3 2 6

R RV R SO R

Câu 23: Chọn A

Gọi chiều cao của viên đá cảnh hình trụ là 2h x , 0 x R

bán kính đáy của khối trụ là: 2 2R x 2 2 2 32 2 .V R x x R x x

2

2 2 2 3' 2 3 0 .

3 3

R RV R x x x

Lập bảng biến thiên của hàm số V trên khoảng 0;R ta được

3

max

3 4 3.

3 9

R RV V

Câu 24: Chọn C

Gọi E , F lần lượt là trung điểm của AB , CD .


aEB ,

2

bFC và EF h . Đặt SE x .

SEB SFC SE EB

SF FC

x a

x h b

ahxb a

. Suy ra

ah bhSF h

b a b a.

Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là

2 21 1. . . .

3 3V SF FC SE EB

2 21

3 4 4

bh b ah a

b a b a

3 3 2 21 1. . .

3 124

hb a h a ab b

b a.

Câu 25: Chọn D

Nhận xét: Tứ giác ABCI là hình vuông. Dễ chứng minh BC SAB và BI SC .




363

EA SBEA SBC

EA BC EA SC .

EA SCSC AEF

FA SC.

Trong tam giác vuông SAB có 2

2

3

4

SE SA

SB SB.

Trong tam giác SAD có . . 1HS AI MD

HI AD MS 3HS

HI

3

4

SH

SI.

Trong tam giác SBI có 3

4

SE SH

SB SI //EH BI . Do BI SC nên EH SC .

Suy ra các điểm , , , A E F H cùng thuộc mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC .

Gọi K là trung điểm AF .

Vì

EA EF

AH FHK là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH .

Ta có: .SA AC

AFSC

3. 2

5

a a

a

6

5

a.

Suy ra bán kính đáy của khối nón là 1 6

2 2 5

aR AF .

Gọi O là tâm hình vuông ABCI .

Do

//

SC EFHOK EFH O

OK SClà đỉnh của khối nón.

Chiều cao của khối nón là 1

2h FC 2 21

2AC AF 2 21 6

22 5

a a 5

a.

Vậy thể tích khối nón là

2

21 1 6. . . . .

3 3 2 5 5

a aV R h

3

10 5

a.

Câu 26: Chọn D

Đặt độ dài cạnh AB x 0x và M là trung điểm AB .

Vì tam giác OAB đều nên OA OB AB x 3

2

xOM .

Vì mặt phẳng O AB tạo với mặt phẳng chứa đường tròn ;O R góc

60 nên 60OMO .

Xét tam giác OOM vuông tại O ta có:

cosOM

OMOOM

. Suy ra

3

cos6043

2

OM xOM

x

Xét tam giác OAM vuông ở M có: 2 2 2OA OM AM nên

MB

A

O'

O




364

2 2

2 2 23 7 4 7

4 2 16 7

x xR R x x R

Do đó: 3 2 21

2 7

xOM R và

3 21

4 7

xOM R .

Vì vậy, ta có 2 2 3 7

7OO OM OM R .

Vậy thể tích khối trụ là

3

2 2 3 7 3 7. .

7 7

RV R h R R V .

Câu 27: Chọn B

Từ giả thiết suy ra BF là đường kính đường tròn đáy của hình trụ.

Kẻ đường sinh FK , gọi O là trung điểm AK .

Gọi r là bán kính đáy, suy ra 3

2π 6π

r r .

Đặt AOE (rad). Trong hình chữ nhật ABCD có 2AE

2 2π

. 23AE

l r AOEr

π

3EOK , suy ra tam

giác EOK là tam giác đều cạnh 3

πr . Gọi H là trung điểm OK EH AK , EH AB

3 3 3

,2 2π

rEH ABFK d E ABF EH .

Diện tích tam giác ABF là 1 1 6 9

. . .3.2 2 π π

S AB BF .

Thể tích khối tứ diện ABEF là 2

1 1 9 3 3 9 3. , . .

3 3 π 2π 2πABF

V S d E ABF .

Câu 28: Chọn D

Hình nón có bán kính của đáy là 3 2

2 2

ACr và độ dài đường

sinh 3l SA .

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là:

3 2 9 2. .3

2 2xqS rl .

Câu 29: Chọn D

Kí hiệu như hình vẽ

2a

2a

O

S

B

A

M

HOA K

B F

E




365

Dễ thấy góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt đáy là góc 060SMO .

Xét tam giác vuông SOM có 2

2 .cot603

aOM a ;

2 4

sin60 3

a aSM ;

Lại có 2

2 2 2 4 2 22. 2 2 2

3 3

a aAB MB OB OM a

Vậy

21 1 4 2 2 4 2

. . .2 2 33 3

ABC

a a aS SM AB .

Câu 30: Chọn A

Gọi 'A là hình chiếu của A trên 'O ; 'B là hình chiếu của B trên O .

Khi đó '/ / 'OO AA nên , ' , ' ' 30AB OO AB AA BAA (do 'ABA

vuông tại B ).

Gọi I là trung điểm 'A B . Do '/ / ' 'OO AA BB nên

3

', ', ' ' ', ' ' '2

ad OO AB d OO AA BB d O AA BB O I .

Ta có

2

2 2 2 3' 2 2 ' ' 2

2

aA B BI O B O I a a .

' ' ' .cot 30 3OO AA A B a .

Diện tích toàn phần: 2 2 22 2 2 . 3 2 2 3 1tpS rh r a a a a .

Câu 31: Chọn B

Xét tam giác IOF vuông tại O ta có:

02 2.sin 30 .3 3EF OF cm .

Mặt khác thiết diện đi qua điểm K và vuông góc với IO

nên // MN EF .

Ta xét tỉ lệ: . 2

.3 23

MN IK IK EFMN cm

EF IO IO.

Vậy bán kính của thiết diện là: 12

MNKN cm .

Suy ra: .S

Câu 32: Chọn C

M O

I

IA'

B'

O'

O

A

B




366

Gọi O là tâm của đáy. Đặt 12OI a AI a

Để I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón thì IA IB 2 26 12 4,5a a a

M thuộc mặt đáy cách I một khoảng bằng 6 6IM

Xét IOM vuông tại O : 2 2 15,75OM IM IO

Suy ra tập hợp M là đường tròn tâm O bán kính OM . Chu vi là 2 15,75 3 7.

Câu 33: Chọn C

Đặt OA R . Gọi C là trung điểm của .AB Tam giác OAB cân tại 2 .O OC AB OC a

Ta tính được: 2

.3

RSA SB và 2 22 2 4 .AB AC R a

Xét tam giác SAB có

060

SA SBSAB

SAB đều

22 24

4 43

RSA AB R a

6 2 2R a SA a .

Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là: 2. 4 3.S RSA a

Câu 34: Chọn A

Trong O kẻ OI MN tại I . Khi đó ta có 'MN OO I ' 'OO I O MN . Trong

'OO I kẻ 'OH O I tại H 'OH O MN tại H nên H là hình chiếu vuông góc của O

lên 'O MN .

Tam giác OMN đều cạnh r , có OI là đường trung tuyến nên 3

2

rOI .

Tam giác 'O OI vuông tại O , đường cao OH nên ta có

2 2 2 2 2 2

1 1 1 4 4 16

' 9 3 9OH O O OI r r r

3

4

rOH .

2 2' ' 3O I O O OI r .

C

O

A

B

S




367

2

2

2

' ' 3' ' . '

' 4'

O H O OO O O HO I

O I O I.

Kẻ 'HK O O tại K ta có KH là bán kính đáy của mặt nón.

Ta có ' 3 3 3 3

' 4 4 8

HK O HHK OI r

OI O I.

Diện tích S cần tính là 23 3 3 9 3

. . . .8 4 32

r rS HKOH r .

Câu 35: Chọn A

Gọi D là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng AC .

1V là thể tích khối nón tròn xoay sinh bởi tam giác vuông CDB khi quay quanh trục CD .

2V là thể tích khối nón tròn xoay sinh bởi tam giác vuông ADB khi quay quanh trục AD .

Khi đó thể tích khối tròn xoay cần tính là 1 2

V V V .

Tam giác ABC cân tại A và 2AB a AC , o o30 120ABC CAB và o60DAB .

Do đó o.sin60 3DB AB a .

Vậy ta có

2 21 1π. . π. .

3 3V DB DC DB DA 21

π.3DB DC DA 21

π. .3DB AC

21π. 3 .2

3a a 32πa

Câu 36:

Chọn B

Diện tích xung quanh phần thân hộp là: 2

12 .5.6 60S cm

Diện tích xung quanh nửa hình cầu là: 2 2

2

1.4 .5 50

2S cm

Diện tích cần sơn là: 2

1 2110S S S cm .

Câu 37: Chọn A

D

B' B

C

A




368

Gọi S là diện tích thiết diện, S là diện tích hình chiếu của thiết diện lên mặt phẳng

đáy. Khi đó .cos60S S .

Ta có

2 2 2 1

4 3 cos 1202. . 2

OA OB ABAB AOB AOB

OAOB

2

1. .sin120 4 3 4 4 3 3

21 16 3

.3 3

OAB

OAmB OAB

OAmB

S OAOBS S S

S OA

8 4 3 3

cos60 3

SS .

Câu 38: Chọn A

Gọi nuocV , V lần lượt là thể tích của lượng nước trong đồ chơi và thể tích khối đồ chơi.

Gọi h , r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối đồ. 21

3V r h .

Xét khối đồ chơi đặt theo hình 1H .

Gọi 1h , 1r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối nón chứa lượng nước.

Khi đó ta có: 1 11

2 2

3 3

h rh h

h r,

1

2

3r r .

2

2 2

1 1

1 1 2 2 8. .

3 3 3 3 81nuocV r h r h r h . *

Xét khối đồ chơi đặt theo hình 2H .

m

B

A

O




369

Gọi 2h ,

2r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối nón không chứa nước trong khối đồ

chơi. Suy ra thể tích của khối nón không chứa nước: 2

2 2

1

3nonV r h .

Đặt: 2 22

.h r

k h k hh r

, 2

.r k r .

22 2 2 2 3

2 2

1 1 1 1 1. . . 1

3 3 3 3 3nuoc nonV V V r h r h r h k r k h r h k . * *

Từ * , * * suy ra: 2 2 3 3 38 1 8 19

1 181 3 27 27

r h r h k k k .

Vậy chiều cao lượng nước ở hình 2

H :

32

19. 1 20. 1 2,21

27h h h h k h h k cm .

CHUYÊN ĐỀ : KHỐI TRÒN XOAY NÓN – TRỤ - CẦU.



370

DẠNG 2: KHỐI TRÒN XOAY NỘI, NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN

Câu 1: Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh bằng 236 a . Tính thể tích

V của lăng trụ lục giác đều nội tiếp hình trụ.

A. 327 3a . B. 324 3a . C. 336 3a . D. 381 3a .

Câu 2: Cho hình nón 1N đỉnh S đáy là đường tròn ;C O R , đường cao 40cmSO . Người ta cắt nón

bằng mặt phẳng vuông góc với trục để được nón nhỏ 2

N có đỉnh S và đáy là đường tròn

;C O R . Biết rằng tỷ số thể tích 2

1

1

8

N

N

V

V. Tính độ dài đường cao nón 2

N .

A. 20cm . B. 5cm . C. 10cm . D. 49cm .

Câu 3: Một hình tứ diện đều cạnh có một đỉnh trùng với đỉnh hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên đường

tròn đáy của hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

A. B. . C. . D. .

Câu 4: Cho lăng trụ tam giác đều .ABC ABC có độ dài cạnh đáy bằng a , góc giữa đường thẳng AB

và mặt phẳng ABC bằng 60 . Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.

A. 3 3V a . B.

34 3

3

aV . C.

3 3

9

aV . D.

3 3

3

aV .

Câu 5: Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a và bán kính đáy bằng a . Thể tích của khối nón đã

cho bằng

A. 33

3

a. B.

33

2

a. C.

32

3

a. D.

3

3

a.

Câu 6: Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a và chiều cao bằng 3a . Thể tích khối nón đã cho

bằng

A. 33

3

a. B.

32

3

a. C.

3

3

a. D.

32

3

a.

Câu 7: Cho hình lập phương .ABCDABCD có cạnh a . Một hình nón có đỉnh là tâm của hình vuông

ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD . Kết quả diện tích toàn phần tpS của

hình nón đó bằng

2

4

ab c với b và c là hai số nguyên dương và 1b . Tính bc .

A. 7bc . B. 15bc . C. 8bc . D. 5bc .

Câu 8: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2 . Gọi M là trung điểm AB . Cho tứ giác AMCD và các

điểm trong của nó quay quanh trục AD ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay

đó.

A. 7

3. B.

7

6. C.

14

3. D.

14

9.

Câu 9: Cho hình nón có bán kính đáy bằng 2 cm, góc ở đỉnh bằng 60 . Tính thể tích của khối nón đó.

a

23a 212

3a 21

32

a 213

3a





371

A. 38 3

9cm . B. 38 3 cm . C.

38 3

3cm . D.

38

3cm .

Câu 10: Gọi ( )H là hình tròn xoay thu được khi cho tam giác đều ABC có cạnh a quay quanh AB , tính

thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi ( ).H

A. 3

4

a. B.

3

8

a. C.

3 3

12

a. D.

3 3

6

a.

Câu 11: Gọi ( )H là hình tròn xoay thu được khi cho tam giác đều ABC có cạnh a quay quanh AB , tính

thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi ( ).H

A. 3

4

a. B.

3

8

a. C.

3 3

12

a. D.

3 3

6

a.

Câu 12: Cho hình hộp chữ nhật có , , . Thể tích khối nón có

đỉnh trùng với tâm của hình chữ nhật , đường tròn đáy ngoại tiếp là

A. . B. . C. . D. .

Câu 13: Thể tích của khối nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a bằng

A. 33

48

a. B.

33

24

a. C.

33

8

a. D.

33.

12

a

Câu 14: Cho tam giác ABC vuông tại A , 6 , 8AB cm AC cm . Gọi 1V là thể tích khối nón tạo thành khi

quay tam giác ABC quanh cạnh AB và 2V là thể tích khối nón tạo thành khi quay tam giác ABC

quanh cạnh AC . Khi đó, tỷ số 1

2

V

V bằng:

A. 3

4. B.

4

3. C.

16

9. D.

9

16.

Câu 15: Cho hình lăng trụ đều và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn ngoại tiếp hai mặt đáy của hình

lăng trụ. Gọi 1 2,V V lần lượt là thể tích khối lăng trụ và khối trụ. Tính 1

2

V

V

A.

3 2

4. B.

3 5

4. C.

5 2

4. D.

3 3

4.

Câu 16: Cắt hình nón N bởi một mặt phẳng đi qua trục của nó, ta được thiết diện là một tam giác đều

cạnh 2a . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình nón N theo a là

A. 332 3

27

a. B. 34 3 a . C.

316 2

27

a. D.

34 3

27

a.

Câu 17: Cho hình thang cân ABCD , / /AB CD , 6AB cm , 2CD cm , 13AD BC cm . Quay hình

thang ABCD xung quanh đường thẳng AB ta được một khối tròn xoay có thể tích là

A. 318 cm . B. 330 cm . C. 324 cm . D. 312 cm .

.ABCD A B C D AB a 2AD a 3AA a

ABCD A B C D 315

4

a 35

4

a 315 a 35 a




372

Câu 18: Cho hình nón có đỉnh S , đáy là đường tròn tâm O sao cho 5SO a , một mặt phẳng ( ) cắt

mặt nón theo hai đường sinh , SA SB . Biết khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( ) bằng 2 5 và

diện tích tam giác SAB bằng 360 . Thể tích khối nón bằng:

A. 1325 5 . B. 265 5 . C. 1325 5 . D. 265 5 .

Câu 19: Một hình hộp đứng có đáy là hình vuông chứa đồng hồ cát như hình vẽ. Tỉ số thể tích của đồng

hồ cát và phần còn lại giữa đồng hồ cát và hình hộp đứng là

A.

24 2. B.

6. C.

24. D.

12.

Câu 20: Cho khối nón N có chiều cao 20h cm, bán kính đáy 25r cm. Gọi là mặt phẳng đi qua

đỉnh của N và cách tâm của mặt đáy 12 cm. Khi đó cắt N theo một thiết diện có diện

tích là

A. 300S cm2. B. 500S cm2. C. 406S cm2. D. 400S cm2.

Câu 21: Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn ;O R và ';O R , chiều cao bằng đường kính đáy. Trên

đường tròn đáy tâm O lấy điểm A , trên đường tròn đáy tâm 'O lấy điểm B . Thể tích của khối

tứ diện 'OO AB có giá trị lớn nhất bằng:

A. 3

2

R. B.

33

3

R. C.

3

6

R. D.

3

3

R.

Câu 22: Cho ABC đều cạnh a và nội tiếp trong đường tròn tâm O , AD là đường kính của đường tròn

tâm O . Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho phần tô đậm quay quanh đường thẳng AD

bằng:

A. 3 3

24

a. B.

320 3

217

a. C.

323 3

216

a. D.

34 3

27

a.




373

BẢNG ĐÁP ÁN

1.D 2.A 3.D 4.D 5.A 6.A 7.D 8.C 9.C 10..A

11..A 12.B 13.B 14.B 15.D 16.A 17.B 18.A 19.D 20.B

21.D 22.C


Câu 1: Chọn D

Ta có 236 2xqS a Rh .

Do thiết diện qua trục là hình vuông nên ta có 2R h .

Khi đó 2 236h a hay 6h a ; 3R a .

Diện tích của mặt đáy hình lăng trụ lục giác đều nội tiếp hình trụ là 2 23 27 3

6.4 2

R aB .

Thể tích V của lăng trụ lục giác đều nội tiếp hình trụ là 3. 81 3V B h a .

Câu 2: Chọn A

Ta có: 1

21.

3NV R SO ,

2

21.

3NV R SO .

Mặt khác, SOA và SOB đồng dạng nên

R SO

R SO.

Suy ra:

2

1

32

2

. 1

8.

N

N

V R SO SO

V SOR SO

Suy ra

1 1

.40 20cm2 2

SOSO

SO.

Câu 3: Chọn D

Do đáy hình chóp là tam giác đều nên bán kính đáy của hình nón

Đường sinh của hình nón có độ dài bằng cạnh của hình tứ diện đều

Vậy diện tích xung quanh hình nón là

Câu 4: Chọn D

Gọi O và O lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC và ABC .

3

3r a

23 3. .l . .

3 3r a a a

a

O'

O60o

C'

B'

A'

C

B

A

R

R'A

OB

O'

S




374

Do .ABC ABC là lăng trụ tam giác đều nên ABC là tam giác đều và B B ABC .

Góc giữa AB và mặt phẳng ABC chính là góc giữa AB và AB hay 60BAB .

.tan60 3BB AB a .

Lại có ABC là tam giác đều cạnh a nên 2 3 3

.3 2 3

a aOA .

Mặt khác, hình trụ ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều .ABC ABC có đường cao là BB , bán kính

đáy là OA .

Vậy thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ .ABC ABC là:

23

2 3 3. . . . 3

3 3

a aV OA BB a .

Câu 5: Chọn A

Gọi khối nón đã cho có S là đỉnh, O là tâm đáy, đường sinh SA . Ta có 2SA a , OA a .

22 2 22 3SO SA OA a a a .

Thể tích của khối nón là:

3

2 21 1 3. . . 3. .

3 3 3

aV SO OA a a .

Câu 6: Chọn A

Giả sử khối nón có đỉnh S , đường tròn đáy tâm O và bán kính R OA .

Ta có tam giác SOA vuông tại O nên 222 2 2 3R OA SA SO a a a .

Thể tích khối nón là

3

2 21 1 3. . 3

3 3 3

aV R h a a .

Câu 7: Chọn D




375

Hình nón có đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD có cạnh là a nên đáy của hình nón là

hình tròn có bán kính 2

ar .

Hình nón có đỉnh là tâm của hình vuông ABCD nên chiều cao của hình nón bằng độ dài cạnh của

hình vuông. Suy ra: h a .

Khi đó: độ dài đường sinh của hình nón là:

2 22 2 2 5 5

.2 4 2

a a al h r a

Diện tích toàn phần của hình nón là:

25( ) 1 5

2 2 2 4tp

a a a aS r r l .

Suy ra: 5; 1 5b c bc .

Câu 8: Chọn C

Cách 1

Gọi S CM DA . Vì M là trung điểm của AB , mà

//

1

2

AM CD

AM CD nên AM là đường trung

bình của SCD A là trung điểm của SD 2 4SD AD .

Khi cho tứ giác AMCD và các điểm trong của nó quay quanh trục AD thì ta được một khối nón

cụt có chiều cao 2AD , hai đáy là hai đường tròn có bán kính lần lượt là 1

2R CD ,

2

1R AM và có thể tích là V .

Tam giác SCD và các điểm trong của nó quay quanh trục SD sẽ tạo thành một khối nón tròn

xoay có chiều cao 4SD , bán kính đáy 1

2R CD nên có thể tích là

2

1 1

1 16.

3 3V R SD .




376

Tam giác SAM và các điểm trong của nó quay quanh trục SD tạo thành một khối nón tròn xoay

có chiều cao 2SA , bán kính đáy 2

1R AM nên có thể tích là

2

2 2

1 2.

3 3V R SA .

Ta có 1 2

V V V

14

3.

Cách 2 :

Áp dụng công thức tính nhanh thể tích khối nón cụt có chiều cao h , hai bán kính đáy là 1 2,R R

2 2

1 2 1 2

1.

3V R R R R h

1 144 1 2 .2

3 3.

Câu 9: Chọn C

Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua trục, ta được thiết diện là tam giác ABC cân tại đỉnh A

của hình nón.

Do góc ở đỉnh của hình nón là 60BAC , suy ra 30HAC . Bán kính đáy 2R HC cm.

Xét AHC vuông tại H , ta có tan30

HCAH

2

1

3

2 3 cm.

Thể tích của khối nón: 21.

3V R AH

8 3

33cm .

Câu 10: Chọn A

Khi cho tam giác đều ABC có cạnh a quay quanh AB ta thu được hai khối nón có cùng chiều

cao 2 2

AB ah và cùng bán kính đáy

3.

2B

ar h

Do đó

231 3

2. . . .3 2 2 4

a a aV

Câu 11: Chọn A

Khi cho tam giác đều ABC có cạnh a quay quanh AB ta thu được hai khối nón có cùng chiều

cao 2 2

AB ah và cùng bán kính đáy

3.

2B

ar h

Do đó

231 3

2. . . .3 2 2 4

a a aV .

Câu 12: Chọn B

A

B CH




377

Gọi lần lượt là tâm hình chữ nhật và hình chữ nhật .

Ta có đường cao khối nón ; bán kính .

Vậy thể tích khối nón đã cho là .

Câu 13: Chọn B

Kí hiệu , ,h l r lần lượt là độ dài đường cao, độ dài đường sinh và bán kính đáy của hình nón.

Theo giả thiết ta có

22 2 2

13

.2 24 2

ar MN a a

h l r a

l SM a

Vậy

2 3

21 1 3 3. .

3 3 4 2 24

a a aV r h .

Câu 14: Chọn B

O'

CA

C'A'

D

B'

D'

B

O

,O O ABCD A B C D

3h OO AA a 221 5

22 2

ar A O a a

23

21 1 5 53

3 3 2 4

a aV r h a

h

=




378

Ta có công thức tính thể tích khối nón có chiều cao h và bán kính r là 21

3V r h

Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AB thì:

6h AB cm và 8r AC cm thì 2

1

1.8 .6 128

3V

Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC thì:

8h AC cm và 6r AB cm thì 2

2

1.6 .8 96

3V . Vậy: 1

2

4

3

V

V

Câu 15: Chọn D

Giả sử lăng trụ đều có cạnh đáy là a, chiều cao h. Khi đó, bán kính đáy của hình trụ là

2 3 3

.3 2 3

a aR . Do đó,

2

1

22

3.

3 344

. .3

ahV

V ah

.

Cách khác : đặc biệt hóa lăng trụ đã cho thành lăng trụ có tất cả các cạnh cùng bằng 1. Khi đó,

1

22

33 3441

3

V

V

Câu 16: Chọn A

Giả sử thiết diện là tam giác SAB , với S là đỉnh của hình nón.

Gọi ,M N lần lượt là trung điểm , AB SA .

Khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón nằm trên đường thẳng SM .

B'

C'A'

B

CA




379

Gọi I là trọng tâm tam giác SBC thì IA IS nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón N .

Bán kính mặt cầu là 2 2 3 2

. .23 3 2 3

aR IS SM a , từ đó thể tích khối cầu là:

3 334 4 2 32 3

. .3 3 273

a aV R .

Câu 17: Chọn B

Kẻ ,DH AB CK AB với ,H K AB . Suy ra 2HK cm .

Do ABCD là hình thang cân, 6AB cm , 2CD cm nên 2AH BK cm .

Do ,ADH BCK vuông nên 13 4 3DH CK cm .

Đoạn DH quay xung quanh AB tạo thành hình tròn 1C tâm H , bán kính

13R HD cm .

Đoạn CK quay xung quanh AB tạo thành hình tròn 2C tâm K , bán kính

23R CK cm .

Gọi 1V là thể tích khối nón đỉnh A , đáy là hình tròn 1

C .

Gọi 2V là thể tích khối nón đỉnh B , đáy là hình tròn 2

C .

Gọi 3V là thể tích khối trụ chiều cao HK và hai đáy là hai hình tròn 1

C , 2C .

Ta có: 2 2 3

1 2

1 1. . .3 .2 6

3 3V V DH AH cm .

2 2 3

3. . .3 .2 18V DH HK cm .

Khi hình thang ABCD quay xung quanh đường thẳng AB ta được một khối tròn xoay có thể tích

là: 3

1 2 36 6 12 30V V V V cm .

Câu 18: Chọn A

IO

S

A

B

H




380

Kẻ , ,( ) 2 5OI AB OH SI OH d O

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 2

452 5 6 5OH SO OI OI OH SO

3 10

2OI

22

2 2 3 10 9 106 5

2 2SI SO OI

1 360. . . 8 10

2 9 10

2

SABSAB

SS SI AB SI IA IA

SI

22

2 2 3 10 5 1068 10

2 2r OI IA

2

1 5 106. . .6 5 1325 5

3 2V

Câu 19: Chọn D

Gọi

, ,H DH CL

V V V lần lượt là thể tích của hộp đứng, đồng hồ cát và phần còn lại.

Cho cạnh đáy hộp bằng 6, chiều cao hộp bằng 8. Đồng hồ cát tạo bởi 2 nón bằng nhau và chiều

cao nón bằng 4 ; bán kính đáy nón bằng 3 .

Ta có:

28.6 288H

V ;

212. .4. .3 24

3DHV ;

288 24

CL H DHV V V .

Theo đề thì đáp án bằng

24

288 24 12

DH

CL

V

V.

Câu 20: Chọn B

Gọi ,S O lần lượt là đỉnh và tâm đường tròn đáy của khối nón N .

Ta có mặt phẳng cắt đường tròn đáy tâm O tại 2 điểm ,A B .

Vậy mặt phẳng cắt khối nón theo một thiết diện là SAB .

Kẻ OI AB , OH SI

Ta có

OI ABAB SOI AB OH

SO AB




381

Ta có

, 12

AB OHOH SAB d O SAB OH

SI OHcm.

Áp dụng hệ thức lượng cho SOI vuông tại O có đường cao OH

2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1 115

1 1 1 1

12 20

OIOH OI SO

OH SO

cm.

Xét AOI vuông tại I có: 2 2 2 2 2 2 225 15 20IA OI AO IA AO OI cm.

Xét SOI vuông tại O có: 2 2 2 2 2 2 220 15 25SO IO SI SI SO IO cm.

Vậy 1

. . 25.20 5002SAB

S SI AB SI IA cm2.

Câu 21: Chọn D

Có

3

2

' ' ' ' ' '

1 1 12 . .sin '

2 3 6 3BOO A BOO AA OAB O A B

RV V V R R AOA

3

'max

3BOO A

RV .

Câu 22: Chọn C

Gọi thể tích của khối tròn xoay sinh ra do phần tô đậm quay quanh đường thẳng AD là 1V .

Gọi Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình tam giác ABC quay quanh đường thẳng AD là

2V .

Gọi Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình tròn đường kính AD quay quanh đường thẳng

AD là

3V .

Khi đó:

3 2 33 2

1 3 2

4 1 4 3 1 3 23 3. . . . . . . .

3 3 3 3 3 2 2 216

a a a aV V V OA HC AH .

A'

B'

O

O'

GH

JI

B

A




382

DẠNG 3: CỰC TRỊ VÀ TOÁN THỰC TẾ VỀ KHỐI TRÒN XOAY

Câu 1: Thể tích khối nón có bán kính đáy bằng 2a và chiều cao bằng 3a là

A. 34 a . B. 312 a . C. 32 a . D. 3a .

Câu 2: Mặt tiền của một ngôi biệt thự có 8 cây cột trụ tròn, tất cả đều có chiều cao 4,2 m. Trong số các

cây đó có hai cây cột trước đại sảnh đường kính bằng 40 cm, sáu cây cột còn lại phân bổ đều hai

bên đại sảnh và chúng đều có đường kính bằng 26 cm. Chủ nhà thuê nhân công để sơn các cây

cột bằng một loại sơn giả đá, biết giá thuê là 2380.000 / 1m . Hỏi người chủ phải chi ít nhất bao

nhiêu tiền để sơn hết các cây cột nhà đó ?

A. 15.642.000 . B. 12.521.000 . C. 10.400.000 . D. 11.833.000 .

Câu 3: Lượng nguyên liệu cần dùng để làm ra một chiếc nón lá được ước lượng qua phép tính diện tích

xung quanh của mặt nón. Cứ 1kg lá dùng để làm nón có thể làm ra số nón có tổng diện tích xung

quanh là 26,13m . Hỏi nếu muốn làm ra 1000 chiếc nón lá giống nhau có đường kính vành nón

50cm , chiều cao 30cm thì cần khối lượng lá gần nhất với con số nào dưới đây?

A. 50kg . B. 76kg . C. 48kg . D. 38kg .

Câu 4: Người ta ngâm một loại rượu trái cây bằng cách xếp 6 trái cây hình cầu có cùng bán kính bằng

5cm vào một cái bình hình trụ sao cho hai quả nằm cạnh nhau tiếp xúc với nhau, các quả đều tiếp

xúc với tất cả các đường sinh của mặt xung quanh của hình trụ, đồng thời quả nằm bên dưới cùng

tiếp xúc với mặt đáy trụ, quả nằm bên trên cùng tiếp xúc với nắp của hình trụ, cuối cùng là đổ

rượu vào đầy bình. Số lít rượu tối thiểu cần đổ vào bình gần nhất với số nào sau đây:

A. 1,57 . B. 1,7 . C. 1570 . D. 1,2 .

Câu 5: Một khối đồ chơi gồm một khối trụ và một khối nón có cùng bán kính được chồng lên nhau, độ

dài đường sinh khối trụ bằng độ dài đường sinh khối nón và bằng đường kính của khối trụ, khối

nón . Biết thể tích của toàn bộ khối đồ chơi là 350 cm , thể tích khối trụ gần với số nào nhất trong

các số sau

A. 336,5 cm . B. 340,5 cm . C. 338,2 cm . D. 338,8 cm .

Câu 6: Một con quạ bị khát nước, nó tìm thấy một bình đựng nước hình trụ, do mức

nước trong bình chỉ còn lại hai phần ba so với thể tích của bình nên nó không

thể thò đầu vào uống nước được. Nó liền gắp 3 viên bi ve hình cầu để sẵn bên

cạnh bỏ vào bình thì mực nước dâng lên vừa đủ đầy bình và nó có thể uống

nước. Biết 3 viên bi ve hình cầu đều có bán kính là 1cm và chiều cao của bình

hình trụ gấp 8 lần bán kính của nó. Diện tích xung quanh của bình hình trụ

nói trên gần với số nào nhất trong các số sau?

A. 265,8cm . B. 261,6cm .

C. 266,6cm . D. 262,3cm .

Câu 7: Người ta làm một dụng cụ sinh hoạt gồm hình nón và hình trụ như hình vẽ . Cần bao nhiêu 2m

vật liệu để làm ?



A. 25,6m . B. 26,6m . C. 25,2m . D. 24,5m .

Câu 8: Một khối đồ chơi gồm một khối hình trụ ( )T gắn chồng lên một khối hình nón ( )N , lần lượt có

bán kính đáy và chiều cao tương ứng là 1 1 2 2, , ,r h r h thỏa mãn

2 1 1 22 , 2r r h h . Biết rằng thể tích

của khối nón ( )N bằng 320cm . Thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng

A. 3140cm . B. 3120cm . C. 330cm . D.

350cm .

Câu 9: Khi sản xuất hộp mì tôm các nhà sản xuất luôn để một khoảng trống dưới đáy hộp. Hình vẽ dưới

mô tả cấu trúc của hộp mì tôm. Thớ mì tôm có dạng hình trụ, hộp mì có dạng hình nón cụt được

cắt ra bởi hình nón có chiều cao 9cm và bán kính đáy 6cm . Nhà sản xuất tìm cách sao cho thớ

mì tôm có được thể tích lớn nhất vì mục đích thu hút khách hàng. Tìm thể tích lớn nhất đó.

A. 48 . B. 81

2. C. 36 . D. 54 .

Câu 10: Tại trung tâm một thành phố người ta tạo điểm nhấn bằng cột trang trí hình nón có kích thước như

sau: chiều dài đường sinh 10ml , bán kính đáy 5mR . Biết rằng tam giác SAB là thiết diện

qua trục của hình nón và C là trung điểm SB . Trang trí một hệ thống đèn điện tử chạy từ A đến

C trên mặt nón. Xác định giá trị ngắn nhất của chiều dài dây đèn điện tử.

A. 10m . B. 15m . C. 5 5 m . D. 5 3 m .




384

Câu 11: Cho một hình cầu nội tiếp hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh là 2 , bán kính đáy là R và chiều

cao là h . Một hình trụ ngoại tiếp hình cầu đó có đáy dưới nằm trong mặt phẳng đáy của hình nón

. Gọi 1 2,V V lần lượt là thể tích của hình nón và hình trụ, biết rằng

1 2V V . Gọi M là giá trị lớn

nhất của tỉ số 2

1

V

V. Giá trị của biểu thức 48 25P M thuộc khoảng nào dưới đây?

A. (40;60) . B. (60;80) . C. (20;40) . D. (0;20) .

Câu 12: Trên một mảnh đất hình vuông có diện tích 281m người ta đào một cái ao nuôi cá hình trụ sao

cho tâm của hình tròn đáy trùng với tâm của mảnh đất. Ở giữa mép ao và mép mảnh đất người ta

để lại một khoảng đất trống để đi lại, biết khoảng cách nhỏ nhất giữa mép ao và mép mảnh đất là

x m . Giả sử chiều sâu của ao cũng là x m . Tính thể tích lớn nhất V của ao.

A. 313,5V cm . B. 327V cm . C. 336V cm . D. 372V cm .

Câu 13: Một khối gỗ hình trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng 1 , chiều cao bằng 2 . Người ta khoét từ hai

đầu khối gỗ hai nửa khối cầu mà đường tròn đáy của khối gỗ là đường tròn lớn của mỗi nửa khối

cầu. Tỉ số thể tích phần còn lại của khối gỗ và cả khối gỗ ban đầu là

A. 2

3. B.

1

4. C.

1

3. D.

1

2.

Câu 14: Từ một tấm thép phẳng hình chữ nhật, người ta muốn làm một chiếc thùng đựng dầu hình trụ bằng

cách cắt ra hai hình tròn bằng nhau và một hình chữ nhật sau đó hàn kín lại, như trong hình vẽ

dưới đây. Hai hình tròn làm hai mặt đáy, hình chữ nhật làm thành mặt xung quanh của thùng đựng

dầu . Biết thùng đựng dầu có thể tích bằng 50,24 lít . Diện tích của tấm thép hình chữ nhật ban

đầu gần với giá trị nào sau đây nhất?

A. 21,2 m . B. 21,8 m . C. 22,2 m . D. 21,5 m .


Câu 15: Một thùng đựng nước hình trụ có bán kính đáy là 65cm và chiều cao 160cm . Hỏi thùng đó đựng

được tối đa bao nhiêu lít nước?

A. 10400 l . B. 676 l . C. 3265,6 l . D. 2123,7 l .

Câu 16: Cần sản xuất một vỏ hộp sữa hình trụ có thể tích V cho trước. Để tiết kiệm vật liệu nhất thì bán

kính đáy phải bằng

A.

3

2

V. B. 3

2

V. C.

3V

. D.

3

3

V.

Câu 17: Tính diện tích vải tối thiểu để may được chiếc mũ có hình dạng và kích thước được cho bởi hình

vẽ bên biết phía trên có dạng hình nón và phía dưới có dạng hình vành khăn.

A. 450π . B. 500π . C. 350π . D. 400π .

Câu 18: Cho hình trụ có bán kính bằng r và chiều cao cũng bằng r . Một hình vuông ABCD có hai cạnh

,AB CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh ,BC AD không phải là đường

sinh của hình trụ. Tan của góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt đáy bằng

A. 1 . B. 6

2. C.

6

3. D.

15

5.

Câu 19: Một ngôi biệt thự có 10 cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao 4,2m. Trong đó, 4 cây

cột trước đại sảnh có đường kính 40cm và 6 cây cột còn lại bên thân nhà có đường kính 26cm.

Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn 10 cây cột đó. Nếu giá của một loại sơn giả đá là 380.000

đồng/m2 thì người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn 10 cây cột đó? .

A. 14.647.000. B. 13.627.000 . C. 16.459.000 . D. 15.844.000.

Câu 20: Một con xoay được thiết kế gồm hai khối trụ 1( )T ,

2( )T chồng lên khối nón (N) . Khối trụ 1

( )T có

bán kính đáy ( )r cm , chiều cao 1( )h cm . Khối trụ

2( )T có bán kính đáy 2 ( )r cm , chiều cao

2 1

2 ( )h h cm . Khối nón (N) có bán kính đáy ( )r cm , chiều cao 1

4 ( )nh h cm . Biết rằng thể tích

toàn bộ con xoay bằng 331( )cm . Thể tích khối nón (N) bằng

A. 35( )cm . B. 33( )cm . C. 34( )cm . D. 36( )cm .




386

Câu 21: Một cái “cù” gồm hai khối: khối trụ 1H và khối nón

2H như hình bên. Chiều cao và bán kính

khối trụ lần lượt bằng 1h ,

1r chiều cao và bán kính đáy của khối nón lần lượt bằng

2h ,

2r thỏa

mãn 1 2

1

3h h ,

1 2

1

2r r . Biết thể tích toàn khối là 330cm , thể tích khối

1H bằng

A. 315cm . B. 36cm . C. 35cm . D. 330

13cm .

Câu 22: Một nhà máy sản xuất bột trẻ em cần thiết kê bao bì cho một loại sản phẩm mới dạng khối trụ có

thể tích 31 dm . Hỏi phải thiết kế hộp đựng này với diện tích toàn phần bằng bao nhiêu để tiết

kiệm nguyên vật liệu nhất.

A. 233 2 dm . B. 23 2 dm . C. 233 dm . D. 23 4 dm

Câu 23: Hai hình nón bằng nhau có chiều cao bằng 2 dm , được đặt như hình vẽ bên . Lúc đầu, hình nón

trên chứa đầy nước và hình nón dưới không chứa nước. Sau đó, nước được chảy xuống hình nón

dưới thông qua lỗ trống ở đỉnh của hình nón trên. Hãy tính chiều cao của nước trong hình nón

dưới tại thời điểm khi mà chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm .

A. 3 7 . B. 1

3. C. 3 5 . D.

1

2.

Câu 24: Một khúc gỗ hình trụ có bán kính R bị cắt bởi một mặt phẳng không

song song với đáy ta được thiết diện là một hình elip. Khoảng cách từ

điểm A đến mặt đáy là 12 cm khoảng cách từ điểm B đến mặt đáy là

20 cm . Đặt khúc gỗ đó vào trong hình hộp chữ nhật có chiều cao bằng

20 cm chứa đầy nước sao cho đường tròn đáy của khúc gỗ tiếp xúc với

các cạnh đáy của hình hộp chữ nhật. Sau đó, người ta đo lượng nước

còn lại trong hình hộp chữ nhật là 2 lít. Tính bán kính của khúc gỗ

A. R = 5,2 cm. B. R = 4,8 cm. C. R = 6,4

cm. D. R = 8,2 cm.

Câu 25: Một khối nón có bán kính đáy bằng 2 cm , chiều cao bằng 3 cm . Một mặt phẳng đi qua đỉnh và

tạo với đáy một góc 060 chia khối nón làm 2 phần. Tính thể tích V phần nhỏ hơn .


A. 31,42cmV . B. 32,36cmV . C. 31,53cmV . D. 32,47 cmV .

Câu 26: Một quả tạ tập tay gồm ba khối trụ 1H , 2

H , 3H gắn liền nhau lần lượt có bán kính và chiều

cao tương ứng là 1 1,r h ,

2 2,r h ,

3 3,r h thỏa mãn

1 3r r ,

1 3h h ;

2 1

1

3r r . Biết thể tích của toàn bộ

quả tạ bằng 60 và chiều dài quả tạ bằng 9 . Thể tích khối trụ 2H bằng?

A.

1

1

16 9 2

4 9

h

h. B.

1

1

36 9 2

4 9

h

h C.

1

1

60 9 2

4 9

h

h D.

1

1

46 9 2

4 9

h

h

Câu 27: Một bình đựng nước dạng hình nón đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường

kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là 318 dm .Biết khối

cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa khối cầu chìm trong nước.

Tính thể tích nước còn lại trong bình.

A. 327 dm . B. 36 dm . C. 39 dm . D. 324 dm .

Câu 28: Một ly nước hình trụ có chiều cao 20 cm và bán kính đáy bằng 4 cm . Bạn Nam đổ nước vào ly

cho đến khi mực nước cách đáy ly 17 cm thì dừng lại. Sau đó, Nam lấy các viên đá lạnh hình cầu

có cùng bán kính 2 cm thả vào ly nước. Bạn Nam cần dùng ít nhất bao nhiêu viên đá để nước trào

ra khỏi ly?

A. 4. B. 7. C. 5. D. 6.

Câu 29: Khi cắt hình nón có chiều cao 16 cm và đường kính đáy 24 cm bởi một mặt phẳng song song với

đường sinh của hình nón ta thu được thiết diện có diện tích lớn nhất gần với giá trị nào sau đây?

A. 170 . B. 260 . C. 294 . D. 208 .

Câu 30: Cho tam giác SAB vuông tại A , 60ABS . Phân giác của góc ABS cắt SA tại I . Vẽ nửa

đường tròn tâm I , bán kính IA . Cho miền tam giác SAB và nửa hình tròn quay xung quanh trục

SA tạo nên các khối tròn xoay thể tích tương ứng là 1 2;V V . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. 1 2

4

9V V . B.

1 2

3

2V V . C.

1 23V V . D.

1 2

9

4V V .




388

Câu 31: Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 5cm , chiều

dài lăn là 23cm . Sau khi lăn trọn 10 vòng thì trục lăn tạo nên tường phẳng lớp sơn có diện tích

là

A. 22300 cm . B. 21150 cm . C. 2862,5 cm . D. 25230 cm .

Câu 32: Người ta thiết kế một thùng chứa hình trụ có thể tích V nhất định. Biết rằng giá của vật liệu làm

mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và gấp 1,5 lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh của

thùng . Gọi chiều cao của thùng là h và bán kính đáy là r . Tính tỉ số h

r sao cho chi phí vật liệu

sản xuất thùng là nhỏ nhất?

A. 2.h

r B. 3.

h

r C. 3.

h

r D. 2 3.

h

r

Câu 33: Một bồn hình trụ đang chứa dầu, được đặt nằm ngang, có chiều dài bồn là 5m , có bán kính đáy

1m , với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta đa rút dầu trong bồn tương ứng

với 0,5m của đường kính đáy. Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại trong bồn .

A. 323,562 m . B.

312,637 m . C. 36,319 m . D.

311,781 m .

Câu 34: Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 5 x40m m , người ta làm hai thùng nước hình trụ có

cùng chiều cao 5m , bằng cách cắt tấm tôn đó thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành

mặt xung quanh của một thùng .

Tổng thể tích của hai cái thùng hình trụ bằng

A. 31000 ( )m . B. 32000 ( )m . C.

32000( )m . D.

31000( )m .

5 m

0,5 m


Câu 35: Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của

lượng nước trong phễu bằng một phần ba chiều cao của phễu. Hỏi nếu bịt miệng phễu rồi lộn

ngược phễu lên thì chiều cao của nước bằng bao nhiêu? Biết chiều cao của phễu là 15 cm.

A. 0,5cm. B. 0,216 cm. C. 0,3cm. D. 0,188 cm.

Câu 36: Từ một tấm thép phẳng hình chữ nhật, người ta muốn làm một chiếc thùng đựng dầu hình trụ bằng cách

cắt ra hai hình tròn bằng nhau và một hình chữ nhật sau đó hàn kín lại, như hình vẽ dưới đây.

Hai hình tròn làm hai mặt đáy, hình chữ nhật làm thành mặt xung quanh của thùng đựng dầu . Biết

thùng đựng dầu có thể tích bằng 50,24 lít . Tính diện tích của tấm thép hình chữ nhật ban đầu?

A. 21,8062m . B. 22,2012m . C. 21,5072m . D. 21,2064m .

Câu 37: Người ta xếp ba viên bi có bán kính bằng nhau và bằng 3 vào một cái lọ hình trụ sao cho các

viên bi đều tiếp xúc với hai đáy của lọ hình trụ và các viên bi này đôi một tiếp xúc nhau và cùng

tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Tính bán kính đáy của lọ hình trụ.

A. 1 2 3 . B. 2 3 . C. 3 2 3

2. D. 2 3 .

Câu 38: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ có thể tích là V , các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho

chi phí nguyên liệu làm vỏ lon sữa bò là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất.

Muốn thể tích khối trụ bằng V và diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy bằng bao

nhiêu?

A.

3

2

Vr . B. 3r V . C.

3

2

Vr . D. 3

2

Vr .

Câu 39: Nam muốn xây một bình chứa hình trụ có thể tích 372m . Đáy làm bằng bêtông giá 100 nghìn

đồng 2/m , thành làm bằng tôn giá 90 nghìn đồng 2/m , nắp bằng nhôm giá 140 nghìn đồng 2/m .

Vậy đáy của hình trụ có bán kính bằng bao nhiêu để chi phí xây dựng là thấp nhất?

A. 3

3m .

2 B.

3

3m . C.

3

3m . D.

3

2m .

Câu 40: Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón không nắp có thể tích 27cm3. Với chiều cao h

và bán kính đáy là r. Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít nhất

A.

6

62

3

2r cm . B.

6

42

3

2r cm . C.

8

62

3

2r cm . D.

8

42

3

2r cm .




390

Câu 41: Cho hai mặt phẳng ( )P và ( )Q song song với nhau cắt khối cầu tâm O bán kính R

tạo thành hai

hình tròn 1

( )C và 2

( )C cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai hình

tròn, đáy trùng với hình tròn còn lại. Biết diện tích xung quanh của hình nón là lớn nhất, khi đó

thể tích khối trụ có hai đáy là hai hình tròn 1

( )C và

2( )C

bằng

A. 34 3

9

R. B.

32 3

9

R. C.

3 3

9

R. D.

34 3

3

R.

Câu 42: Cho hình nón có bán kính đáy bằng 3 chiều cao bằng 6, một khối trụ có bán kính đáy thay đổi nội

tiếp khối nón đa cho . Thể tích lớn nhất của khối trụ bằng

A. 6 . B. 10 . C. 4 . D. 8 .

Câu 43: Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a .

Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A , trên đường tròn tâm O lấy điểm B . Đặt là góc

giữa AB và đáy. Tính tan khi thể tích khối tứ diện OOAB đạt giá trị lớn nhất.

A. tan 2 . B. 1

tan2

. C. 1

tan2

. D. tan 1 .


Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A , D sao cho 2 3AD a ; gọi C là hình chiếu vuông

góc của D lên mặt phẳng chứa đường tròn 'O ; trên đường tròn tâm O lấy điểm B (AB chéo

với CD ). Đặt là góc giữa AB và đáy. Tính tan khi thể tích khối tứ diện CDAB đạt giá trị

lớn nhất.

A. tan 3 . B. 1

tan2

. C. tan 1 . D. 3

tan3

.


Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A , D trên đường tròn tâm O lấy điểm B , C sao cho

//AB CD và AB không cắt 'OO . Tính AD để thể tích khối chóp '.O ABCD đạt giá trị lớn nhất.

A. 2 2AD a . B. 4AD a . C. 4 3

3AD a . D. 2AD a .


BẢNG ĐÁP ÁN

1.A 2.D 3.A 4.A 5.D 6.B 7.B 8.D 9.A 10.C

11.B 12.A 13.C 14.D 15.D 16.D 17.D 18.C 19.D 20.C

21.B 22.A 23.A 24.D 25.C 26.C 27.B 28.C 29.D 30.D

31.B 32.C 33.B 34.D 35.D 36.C 37.D 38.C 39.B 40.C

41.A 42.D 43.B 44.D 45.A


Câu 1: Chọn A

Ta có 22 31 1

2 3 43 3

V R h a a a .

Câu 2: Chọn D

Diện tích xung quanh của hai cây cột trước đại sảnh là: 1

2. 2 .0,2.4,2S

Diện tích xung quanh của sáu cây cột trước đại sảnh là: 2

6. 2 .0,13.4,2S

Số tiền người chủ phải trả để sơn hết các cây cột là: 1 2

380.000 11.833.000S S .

Câu 3: Chọn A

50 0,5 ; 30 0,3cm m cm m

Theo đề ta có đường kính 0,5AB m , suy ra bán kính đáy 0,252

ABr m , đường cao 0,3h m

Độ dài đường sinh 2 2 261 61 61.0,25.

20 20 80xql r h S rl m

Làm 1000 chiếc nón lá thì có diện tích xung quanh là: 261 25 611000. 1000. .

80 2xqS m .

Cứ 1kg lá dùng để làm nón có thể làm ra số nón có tổng diện tích xung quanh là 26,13m , suy ra

khối lượng lá để làm 1000 chiếc nón là: 25 61

. : 6,13 50 2

kg .

Câu 4: Chọn A

Thể tích của 6 khối cầu là: 3 3 3

1

4 46. 6. .5 1000

3 3V R cm .

Thể tích của cái bình hình trụ là: 2 2 3

2. .5 . 6.10 1500V R h cm

Thể tích rượu tối thiểu cần đổ vào bình là: 3

2 11500 1000 500 1,57V V V cm l .

Câu 5: Chọn D

OA

S

B




392

Gọi cma là độ dài đường kính khối trụ, khi đó thể tích khối trụ là:

2 33cm

2 4T

a aV a .

Dễ thấy chiều cao khối nón là 3

2

a nên thể tích khối nón là:

2 331 3 3

cm3 2 2 24N

a a aV .

Thể tích của toàn bộ khối đồ chơi là: N T

V V V

3 3 3

504 24

a a

3 31 50

4 6

a

31 50

6TV

3350 : 1 38,8 cm

6TV .

Câu 6: Chọn B

Gọi chiều cao của bình nước hình trụ là h cm

Gọi bán kính của bình nước hình trụ là R cm

Ta có chiều cao của bình nước thì gấp 8 lần bán kính của viên bi ve nên: 8.1 8h cm

Khi cho ba viên bi vào bình nước thì nước dâng lên đến miệng bình, nên ta có thể tích của ba viên

bi bằng một phần ba thể tích của bình nước

3 24 1 33 . . 1 . 8.

3 3 2R R cm

Diện tích xung quanh của bình nước là: 232 2. . .8 61,6

2xqS Rh cm

Câu 7: Chọn A

Dựa vào hình vẽ ta có các kích thước như sau.

Bán kính đáy của hình nón và hình trụ 1,4

0,72

r m .

Chiều cao của hình nón 1,6 0,7 0,9h m

Suy ra độ dài đường sinh của hình nón 2 2 2 20,9 0,7 1,3l h r .

Tổng vật liệu cần làm bằng diện tích xung quanh của khối hình.

. .

2 .xq xq non xq tru truS S S rl r h = .0,7. 1,3 2.0,7 .0,7 5,586 5,6

Câu 8: Chọn D


Thể tích khối nón là 2 3

2 2

120

3NV r h cm .

Thể tích khối trụ là

2

2 321 1 2

32 30

2 2T N

rV r h h V cm .

Vậy thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng 350N T

V V V cm .

Câu 9: Chọn A

Ta có mặt cắt qua trục hình nón như hình vẽ.

Đặt r là bán kính đáy hình trụ, h là chiều cao của hình trụ.

Thớ mì tôm có được thể tích lớn nhất khi khối trụ có thể tích lớn nhất.

Thể tích khối trụ là: 2V r h .

Ta có hai tam giác SAI và SA I đồng dạng

9 6 39

9 2

SI AI rh

SI A I h r.

Khi đó

32 2 23 3

. . . . 9 92 2

r rV r h r r .

Khảo sát hàm số V , biến số 0 6r r ;

2918

2

rV r .

2 0 90 18 0

2 4

r lrV r

r n.





394

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy max

48V khi 4r .

Vậy thớ mì tôm có thể tích lớn nhất là 48 .

Câu 10: Chọn C

Khi cắt mặt xung quanh hình nón bởi mặt phẳng SAB , rồi trải phẳng phần mặt xung quanh có

chứa hệ thống đèn trang trí ta được một hình quạt như trên.

Ta có độ dài cung quạt chính là nửa chu vi của đường tròn đáy hình nón: 1

5 ml R .

Khi đó

1

2

lASB

l. Nên khi trải phẳng ta được tam giác SAB vuông tại S .

Chiều dài ngắn nhất của dây đèn trang trí chính là độ dài đoạn thẳng AC .

Do đó giá trị ngắn nhất của dây đèn là 2 2 2 210 5 5 5 mAC SA SC .

Câu 11: Chọn B

Gọi r là bán kính hình cầu, khi đó r cũng là bán kính đường tròn đáy của hình trụ đa cho, chiều

cao của hình trụ bằng 2r . Ta có

2 31 2

22 1

2

16

3

.2

V R h V r

V R hV r r

.

Xét mặt cắt qua trục của hình nón là 1 tam giác cân ABC có diện tích là 1

.22

S h R Rh .

Tam giác cân có chiều dài cạnh bên

sin

RAB AC .

Mặt khác áp dụng công thức S pr với p là nửa chu vi tam giác, r là bán kính đường tròn nội

tiếp tam giác .

Ta có

12 2

2 sin

Rp R

.sin

sin sin 1

R hS Rh R r r .

Khi đó

23 3 32

2 3 31

6 sin 6sin.

(sin 1) (sin 1)

V h h

V RR h

C

A B

S


3 22

3 3 2

6sin 6sin (1 sin ) 6sin (1 sin ).cot

sin 1 sin 1 sin 1. Xét hàm số

2

6sin 1 sin

sin 1y .

Đặt sint , 0;1t ta có

2

6 1

1

t ty

t, 0;1t .

Ta có

3

6 3 1

1

ty

t;

10

3y t .


Suy ra 3

4M . Vậy

348 25 48. 25 61

4P M .

Câu 12: Chọn A

Ta có bán kính đáy hình trụ là

9 2

2

xr .

Thể tích ao là

222 9 2

9 22 4

xV R h x x x .

Xét hàm số 2 3 29 2 4 36 81f x x x x x x với

90

2x .

Ta có 212 72 81f x x x .

Khi đó

2

3

20 12 72 81 09

2

x nf x x x

x l

.


Từ bảng biến thiên suy ra:

9

0;2

3max 54

2f x x .

Vậy thể tích lớn nhất V của ao là

354 2713,5

4 2V m .

Câu 13: Chọn C

Theo bài toán ta có hình vẽ




396

Thể tích của khối trụ là 2.1 .2 2V .

Vì đường tròn đáy của khối trụ là đường tròn lớn của mỗi nửa khối cầu nên bán kính của mỗi nửa

khối cầu là 1R .

Thể tích của hai nửa khối cầu bị khoét đi là

3

1

1 4 .1 42

2 3 3V .

Thể tích của phần còn lại của khối gỗ là

2 1

4 22

3 3V V V .

Vậy tỉ số thể tích cần tìm là

2

213

2 3

V

V.

Câu 14: Chọn D

Gọi tấm thép hình chữ nhật ban đầu là ABCD , r là bán kính của hình tròn đáy.

Ta có 3 4 2h r h h r .

Thể tích của thùng đựng dầu là 2 2 3. . 3,14. .2 6,28V r h r r r

3 350,24 6,28 8 2 0,2 .r r r dm m

Do đó 3 6 1,2AD h r m và 2 . 1,256AB r m .

Vậy diện tích của tấm thép hình chữ nhật ban đầu là 2. 1,2.1,256 1,5072 .S AB AD m

Câu 15: Chọn D

Thể tích khối trụ 2V r h 2

6,5 .16 676 2123,7 l .

Câu 16: Chọn A

Giả sử vỏ hộp sữa có bán kính đáy là R , chiều cao là h ( , 0R h ).

Vì thể tích vỏ hộp là V nên ta có

2

2

VV R h h

R.

Để tiết kiệm vật liệu nhất thì hình trụ vỏ hộp sữa phải có diện tích toàn phần

2 222 2 2

tp

VS Rh R R

R nhỏ nhất.

Cách 1:

Ta có 32 2 22

2 2 3 2tp

V V VS R R V

R R R.

2

1


tpS đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi

2 32

2

V VR R

R.

Cách 2:

Xét hàm số 222

Vf R R

R trên khoảng 0; .

Ta có

3

2 2

2 4 24

V R Vf R R

R R.

30

2

Vf R R .


Từ bảng biến thiên ta thấy f R đạt nhỏ nhất khi

3

2

VR .

Vậy để tiết kiệm vật liệu nhất thì bán kính đáy vỏ hộp phải bằng

3

2

V.

Câu 17: Chọn D

Gọi 1 2,S S lần lượt là diện tích xung quanh của hình nón phía trên và diện tích của hình vành khăn

phía dưới.

Ta có: 1

π.5.40 200πS và 2 2

2π.15 π.5 200πS .

Khi đó: diện tích vải tối thiểu để may được chiếc mũ là 1 2

200π 200π 400πS S .

Câu 18: Chọn C

Gọi MN là hình chiếu vuông góc của AB lên đường tròn đáy. Ta có MNDC là hình chữ nhật

và NC MD O là tâm đường tròn đáy. Gọi , ,H I K lần lượt là trung điểm , ,AB MN CD .

Lại có , HK CD IK CD , suy ra góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông ABCD và mặt đáy là

tanIH

HKI HKIIK

.

Đặt ( 0)AB BC CD AD x x . Ta có 2

2 2 22 2 24

xMC IK OK OC CK r .

Trong tam giác vuông BMC ta có

22 2 2 2 2 2 5 3

44 2 2

x r rBM MC BC r r x x IK .

I

N

M

D

C

K

H

O

B

A




398

Suy ra 2 6

tan33 3

2

IH rHKI

IK r.

Câu 19: Chọn D

Diện tích cần sơn chính là tổng diện tích xung quanh của các cây cột có dạng hình trụ.

Gọi 1 2,S S lần lượt là tổng diện tích xung quanh của 4 cây cột nhà hình trụ có đường kính 40cm

và 6 cây cột nhà hình trụ có đường kính 26cm .

Gọi 1 1,r l lần lượt là bán kính, độ dài đường sinh của 4 cây cột nhà hình trụ có đường kính 40cm

và 2 2,r l lần lượt là bán kính, độ dài đường sinh của 6 cây cột nhà hình trụ có đường kính 26cm .

Khi đó: 1

20 0,2r cm m , 1

4,2l m nên

2

1 1 1

1684.2 8 .0,2.4,2 .

25S r l m

Lại có: 2

13 0,13r cm m , 2

4,2l m nên

2

2 2 2

8196.2 12 .0,13.4,2

125S r l m .

Vậy số tiền người chủ biệt thự phải trả để sơn 10 cây cột nhà là

168 819380.000 15.844.000

25 125 .

Câu 20: Chọn C

Theo bài ta có 1 1 2 1

1 14 ; 2

4 2n n nh h h h h h h .

Thể tích toàn bộ con xoay là 1 2

2 2 2

( ) ( ) ( ) 1 2

1. . .(2 ) . . .

3T T N nV V V V r h r h r h

2 2 21 1 131 . . .4 . . .

4 2 3n n nr h r h r h

2 2 2 23 1 1 1 31 131 . . 6 . . . . 31 . .

4 3 3 3 4 3n n n nr h r h r h r h 21

. . 43 nr h

Vậy thể tích khối nón ( )N là: 3

( )4( )

NV cm .

Câu 21: Chọn B

Ta có: 1 2 2 1

13

3h h h h ,

1 2 2 1

12

2r r r r .

Thể tích khối trụ 1H là: 2

1 1 1V r h .

Thể tích khối nón 2H là:

22 2

2 2 2 1 1 1 1 1

1 12 .3 4 4

3 3V r h r h r h V .

Thể tích toàn khối là: 1 2 1 1 1 1

30 4 30 5 6V V V V V V V .

Vậy thể tích khối 1H bằng 36cm .

Câu 22: Chọn A

Giả sử hộp trụ có bán kính đáy r, chiều cao là h. Theo giả thiết có

2

2

11 .V r h h

r

Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất thì diện tích toàn phần phải nhỏ nhất:

2 2 2 3

2

2 1 12 2 2 2 3 2 .

tp xq dayS S S r rh r r

r r r


Dấu bằng đạt tại

2

3

1 12 0,54 dm 1,084 dm

2r r h

r.

Vậy phải thiết kế một khối trụ có bán kính đáy 0,54 dmvà chiều cao1,084 dm .

Vậy 333 2 dmtpS .

Câu 23: Chọn A

Gọi bán kính đáy của hình nón là r .

Khi đó thể tích nước trong khối nón phía trên lúc ban đầu là: 2 .2

3

r

Thể tích nước trong khối nón phía trên sau khi chảy xuống nón dưới tại thời điểm khi mà chiều

cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm là:

2

2. .1

2

3 12

r

r

Thể tích nước trong nón phía dưới sau khi nón trên chảy xuống là:

2 2 22 7.

3 12 12

r r r

Gọi chiều cao nước trong nón dưới là h , bán kính đáy nước trong nón

dưới là r , khi đó:

.2 2

h r rhr

r

Thể tích nước trong nón phía dưới là:

2

22 2

3

.27 7

7.3 12 3 12

rhh

r h r rh

Câu 24: Chọn D

Giả sử R có đơn vị là m . Có 2 0.002l 3m .

Thể tích khối hộp bằng 2 24 .0,2 0,8R R 3m .

Thể tích khúc gỗ bằng

2 20,12 0,20,16

2R R 3m .

Ta có 2 20,8 0,16 0,002 0,08201 8,2R R R m R cm

Câu 25: Chọn A

Cách 1:

O I

M

S

A

BC

D




400

Gọi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với đáy một góc 60 cắt khối nón theo thiết diện là tam giác

SMN như hình vẽ.

Gọi I là trung điểm MN . Khi đó OI MN và SI MN , suy ra góc giữa mặt phẳng SMN

và mặt đáy là góc 60SIO .

Xét tam giác SIO ta có: 0

31

tan60tan

SOOI

SIO.

2 2 3IN ON OI , 2 2 3MN IN .

1

. . 32OMN

S OI MN .

.

1. . 1

3S OMN OMNV SOS ; 2

/

1 4 3. .2 . 3

3 3k nonV .

3

sin2

INION

ON. Suy ra 60ION , 2. 120MON ION .

Gọi V là thể tích cần tính. Ta có 3

/ .

1 4 31 1,42cm

3 9k non S OMNV V V .

Cách 2:

Gọi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với đáy một góc 60 cắt khối nón theo thiết diện là tam giác

SMN như hình vẽ.

Gọi I là trung điểm MN . Khi đó OI MN và SI MN , suy ra góc giữa mặt phẳng SMN

và mặt đáy là góc 060SIO .

Xét tam giác SIO ta có: 0

31

tan60tan

SOOI

SIO.

2 2 3IN ON OI 2 2 3MN IN ;

1

. . 32OMN

S OI MN .

Ta có 3

sin2

INION

ON suy ra 60ION , 2. 120MON ION .

Gọi VS là diện tích hình viên phân tạo bởi dây MN và cung nhỏ MN .

Ta có

21 43

3 3V OMNS R S

Thể tích phần nhỏ cần tính là: 31 4 3. 1 1,42cm

3 9VV SOS .

Câu 26: Chọn C

Chiều dài quả tạ là 1 2 3 1 2

2 9l h h h h h 2 1

9 2h h

Thể tích quả tạ là

1 2 3

1 1 2 2 3 3H H HV V V V r h r h r h

1 1 2 22 60r h r h

1 1 2 2

2 60r h r h 2 1 2 1

6 9 2 60r h r h 2 1

9 4 60r h

2

1

60

9 4r

h

Thể tích

22 2 1

1

609 2

9 4HV r h h

h

1

1

60 9 2

9 4

h

h.

Câu 27: Chọn B


Vì đúng một nửa khối cầu chìm trong nước nên thể tích khối cầu gấp 2 lần thể tích nước tràn ra

ngoài.

Gọi bán kính khối cầu là R , lúc đó: 3 34=36 27

3R R .

Xét tam giác ABC có AC là chiều cao bình nước nên 2AC R

Trong tam giác ABC có: 2

2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 4

34

RCB

CH CA CB R R CB.

Thể tích khối nón:

2

2 3 31 1 4 8. . . .2 . 24

3 3 3 9n

RV CB AC R R dm .

Vậy thể tích nước còn lại trong bình: 324 18 6 dm

Câu 28:

Chọn C

Ta có thể tích phần không chứa nước 2

13. .4 48V . Như vậy để nước trào ra ngoài thì số bi

thả vào cốc có tổng thể tích lớn hơn 48 .

Gọi n là số viên bi tối thiểu thả vào cốc khi đó tổng thể tích của n viên bi là

3

2

4 32. .23 3

nV n

. Theo bài ra

32 9

483 2

nn . Vậy 5n .

Câu 29: Chọn D




402

Cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đường sinh của hình nón ta thu được thiết diện là

một parabol.

Xét dây cung bất kỳ chứa đoạn KH như hình vẽ, suy ra tồn tại đường kính AB KH , trong tam

giác SAB , / / ,KE SA E SB , Suy ra Parabol nhận KE làm trục như hình vẽ chính là một thiết diện

thỏa yêu cầu bài toán.

Đặt BK x .

Trong tam giác ABH có: 2 . 24HK BK AK x x .

Trong tam giác SAB có: 5

.6

KE BK BK xKE SA KE

SA BA BA.

Thiết diện thu được là một parabol có diện tích: 4

.3

S KH KE .

Ta có: 2

2 2 2 3 4 3 416 16 25 100 10. . 24 . . 24 . 24

9 9 36 81 9

xS KH KE x x x x S x x

Đặt 3 424f x x x , với 0 24x .

Ta có: 2 3' 72 4f x x x . Suy ra

2 3 0' 0 72 4 0

18

xf x x x

x.


Vậy thiết diện có diện tích lớn nhất là: 21034992 207,8

9cm

Câu 30: Chọn D

Đặt AB x 0x . Tam giác SAB vuông tại A .tan 3SA AB ABS x .

IB là phân giác trong góc B 30 tan303

xIBA IA AB .


Quay miền tam giác SAB quanh SA ta được khối nón có chiều cao là SA , bán kính đáy là AB

32 2

1

1 1 3. . . . 3

3 3 3

xV AB SA x x .

Quay nửa hình tròn tâm I quanh SA ta được khối cầu tâm I bán kính IA

3 33

2

4 4 4 3.

3 3 273 3

x xV IA 1

2

9

4

V

V.

Câu 31: Chọn B

Khi lăn trọn một vòng thì trục lăn tạo trên tường phẳng lớp sơn có diện tích bằng diện tích xung

quanh của trục lăn là 2 .S Rh 252 . .23 115 (cm )

2.

Vậy sau khi lăn trọn 10 vòng thì trục lăn tạo nên tường phẳng lớp sơn có diện tích là

210 1150 (cm )S .

Câu 32: Chọn C

Gọi giá của vật liệu làm mặt xung quanh là ,( 0)x x , suy ra giá của vật liệu làm đáy và nắp là

1,5 .x

Tổng chi phí vật liệu sản xuất thùng:

22 2 2 2 33

2

2 33 2 3 3 . 3 3 . . 3 . .

V V V V V VT x r x rh x r x r x r x

r r r r r

Dấu " " xảy ra khi:

22 23 3 3 3.

V r h hr r h r

r r r

Câu 33: Chọn B

Gắn hệ trục tọa độ Oxy vào đáy hình trụ như hình vẽ sau

Ta có H là trung điểm OB nên OAB là tam giác đều. Suy ra 60AOB và 120AOC nên

hình quạt chứa cung nhỏ AC có diện tích là

21

3 3S r .

Khi đó diện tích phần tô đậm trên hình vẽ là 1 OACS S S

1.0,5. 3

3 2

3

3 4.

y

x

S1

-1 1

C

A

0,5

B

O

H




404

Và thể tích dầu được rút ra là

1 1

3. 5.

3 4V hS .

Thể tích bồn chứa dầu hình trụ là 2 5V r h .

Thể tích dầu còn lại trong bồn là 2 1V V V

35 5.

3 4

10 5 3

3 4 312,637 m .

Cách khác: Có thể tính diện tích phần tô đậm bằng tích phân 1

2

1

1

2

2 1 dS x x .

Câu 34: Chọn D

Hai khối trụ có thể tích bằng nhau nên tổng thể tích bằng hai lần thể tích của một khối trụ.

Do 1

202

AE AB m bằng chu vi của mặt đáy. Suy ra bán kính đáy

20 10

2R m .

Diện tích mặt đáy là

2 2100( )S R m , chiều cao khối trụ là 5AD m .

Suy ra thể tích một khối trụ là

3500. ( )V S h m .Vậy tổng thể tích là

31000( )m .

Câu 35: Chọn D

Gọi 15h cm là chiều cao của phễu và V là thể tích của phễu hình nón.

Ký hiệu 1

15

3h h cm là chiều cao và 1

V là thể tích của lượng nước trong phễu.

Gọi 2h ,

2V là chiều cao và thể tích của phần không gian trống trong phễu khi lật ngược phễu lại.

Ta có

3

1

1

3 27

VV V ,

3

22

hV V

h và

1 2V V V .

Khi đó,

3 33

32 2 2 31 2 2

1 1 11 1 5 26

3 27 15 15 27

h h hV V V V V V h

h.

Vậy chiều cao của nước khi lật ngược phễu lại là 3

215 5 26 0,188h h cm.

Câu 36: Chọn C

Gọi tấm thép hình chữ nhật ban đầu là ABCD , r là bán kính của hình tròn đáy.

Diện tích hình chữ nhật ABCD là: . .S ABAD Ta có 3 4 2 .h r h h r

h1

h h2h


Thể tích của khối trụ 2 2 3. . 3,14. .2r 6,28rV r h r .

Theo bài ra 3 350,24 6,28 50,24 8 2.V r r r

Do 2dm 0,2m 3 6 1,2m; 2 . 1,256m.r AD h r AB r

Vậy 21,2.1,256 1,5072(m ).S

Câu 37: Chọn D

Gọi 1 2 3, ,O O O lần lượt là tâm của ba viên bi và

1 2 33r r r là bán kính của ba viên bi đó.

Theo giả thiết thì ba đường tròn lớn của ba viên bi đôi một tiếp xúc với nhau, khi đó ba điểm

1 2 3, ,O O O tạo thành một tam giác đều cạnh 2 3 . Gọi O là trọng tâm của tam giác

1 2 3OO O thì

1 2 3

2 3.2 3. 2

3 2OO OO OO .

Cũng theo giả thiết thì ba viên bi tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ tại 3 điểm nằm trên

một đường tròn bằng đường tròn đáy của lọ hình trụ .

Vậy bán kính đáy của lọ hình trụ là 3 3

2 3OM OO O M .

Câu 38: Chọn C

Ta có 2

đáyS r ; 2

xqS rh .

Thể tích khối trụ

2

.đáy

đáy

V VV S h h

S r.

2 2 2

2

22 2 2 2 2 . 2

tp xqđáy

V VS S S r rh r r r

rr.

Xét hàm số 2 22

Vf r r

r, có

2

24

Vf r r

r;

3

2

20 4

2

V Vf r r r

r.

Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt tại

3

2

Vr .

Vậy khi

3

2

Vr thì diện tích toàn phần hình trụ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 39: Chọn B

Gọi bán kính đáy của hình trụ là R và chiều cao là h .

Do thể tích khối trụ là 72 nên

2

2

7272R h h

R.

Diện tích đáy là 2R . Diện tích xung quanh là

2

72 1442 2 .Rh R

RR.

Chi phí làm bình là:

2 2 2

2 2 33

144 12960100. 90. 140. 240

6480 6480 6480 6480240 3 240 . . 6480 .

T R R RR R

R RR R R R




406

Dấu bằng xảy ra khi

2

3

6480 6480 3240 .R R

R R

Câu 40: Chọn C

Ta có:

4

2

2

1 327

3V r h h

r. Độ dài đường sinh là

82 2 2

2 4

3l h r r

r

Lượng giấy tiêu thụ ít nhất khi diện tích xung quanh nhỏ nhất.

Diện tích xung quanh của hình nón là

8 8

2 4

2 4 2 2

3 3xqS rl r r r

r r

8 8 16

4 32 2 2 2 4

3 3 33

2 2 4r

r r

Dấu “=” xảy ra khi

8 8

4 62 2 2

3 3

2 2r r cm

r. Chọn đáp án C

Câu 41: Chọn A

Gọi , ,r h l lần lượt là bán kính đáy, chiều cao và đường sinh của hình nón và 1 2, ,I I O lần lượt là

tâm của hai đường tròn 1 2( ),( )C C và mặt cầu.

Vì hai đường tròn 1 2( ),( )C C có bán kính bằng nhau nên dễ dàng suy ra:

1 2 2

hOI OI

Ta có 2 2

2 2 2 2 3

4 4

h hr R l h r R .

Diện tích xung quanh hình nón là

2 2 2

2 2 2 2 2 23 2. . 12 3 . 4 3

4 4 4 3 3xq

h h RS rl R R R h R h .

xqS lớn nhất bằng

22

3

R. Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi 2 2 2 2 2

12 3 4 33

RR h R h h .

6

3

Rr .

Mà bán kính đáy và chiều cao của hình nón cũng chính là bán kính đáy và chiều cao hình trụ.

Vậy thể tích hình trụ

2 3

2 6 2 4 3. . . .

9 93

R R RV r h .

Câu 42: Chọn D

Gọi bán kính của khối trụ là 0 3x x , chiều cao của khối trụ là 0 6h OO h .

Khi đó thể tích khối trụ là: 2V x h .

Ta có: SON đồng dạng với SOB nên có

6

6 23 6

ON SO x hh x

OB SO.

Suy ra 2 2 2 36 2 6 2V x h x x x x .


Xét hàm 2 36 2 , 0 3f x x x x .

212 6f x x x ;

00

2

x lf x

x n


Do đó V lớn nhất khi hàm f x đạt giá trị lớn nhất.

Vậy thể tích của khối trụ lớn nhất là 8V khi bán kính khối trụ bằng 2.

Câu 43: Chọn B

Cách 1:

Gọi D là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng O .

Kẻ AH OD , H OD .

Ta có thể tích của khối chóp OOAB :

1.

3OO AB OO BV AH S

22.

3

aAH

22.

3

aAO

34

3

a.

maxOO ABV H O . Suy ra 2 2AD a .

Suy ra: tan tanBAD 1

2.

Cách 2:

Nhận xét: Nên thêm giả thiết AB chéo với 'OO để tứ diện OOAB tồn tại.

Gọi D là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng chứa đường tròn O .

Gọi C là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng chứa đường tròn 'O .

Ta có ' .O CBOAD là một hình lăng trụ đứng.

Ta có thể tích của khối chóp OOAB :

3

' .

1 1 1 42 . .2 . .2 .2 .sin

3 3 2 3OOAB O BC OAD OAD

aV V aS a a a AOD .

0

' max90 2 2

O ABCDV AOD AD a . Suy ra: tan tanBAD

1

2.

Câu 44: Chọn D

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng chứa đường tròn O .




408

Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng chứa đường tròn 'O .

Ta có .HADBKC là một hình lăng trụ đứng.

Ta có thể tích của tứ diện CDAB là

.

1 1 1 1 1 1.2 . .2 . . . ; .2 . .2 3. ;

3 3 3 2 3 2ABCD HAD BKC HADV V aS a AD d H AD a a d H AD .

max max

;ABCDV d H AD H là điểm chính giữa cung lớn AD của đường tròn O .

Theo định lý sin ta có 2 3 3

2.2 sin4 4 2sin

AD AD aa AHD

a aAHD nên 060AHD .

Do đó xảy ra khi AHD đều 2 3AH AD a .

Suy ra: 2 3

tan tan32 3

BH aBAH

AH a.

Câu 45: Chọn A

Kẻ đường thẳng qua 'O song song với AB cắt mặt phẳng chứa đường tròn ( )O tại 1O .

Lúc đó 1

. 'AO DBO C là một hình lăng trụ chiều cao bằng 2a .

Vì AD BC nên

'BO C OAD

S S

Ta có thể tích của khối chóp '.O ABCD :

1

3

' . ' '

1 2 2 2 1 8.2 . .2 . .2 . .2 .2 .sin

3 3 3 3 2 3O ABCD AO D BO C BO C OAD

aV V aS aS a a a AOD .

0

' max90 2 2

O ABCDV AOD AD a .




409

CHỦ ĐỀ: KHỐI CẦU NGOẠI TIẾP TỨ DIỆN

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB AC a , cạnh SA SB a

và có SBC ABC . Tính SC để độ dài bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng a .

A. 2SC a . B. 3SC a . C. SC a . D. 2SC a .

Câu 2: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Cạnh bên 6SA a và vuông góc với đáy

ABCD . Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABCD .

A. 28 a . B. 2 2a . C. 22 a . D. 22a .

Định nghĩa: Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của khối đa diện

đó.

Điều kiện cần và đủ để khối chóp có mặt cầu ngoại tiếp: có đáy là một đa giác nội tiếp.

Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện:

Bước 1: Xác định trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Gọi tắt là trục của đáy ( là đường

thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).

Bước 2: Xác định măt phẳng trung trực của một cạnh bên hoặc trục của đường tròn ngoại tiếp

một đa giác của mặt bên.

Bước 3: Giao điểm của trục của đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên ( hoặc trục của

đáy và trục của đường tròn ngoại tiếp một đa giác của mặt bên) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối

đa diện đó.

Một số công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp

Công thức 1: Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy:

2

2

2d

hR R , trong đó d

R là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy, h là độ dài cạnh bên

vuông góc với đáy.

Công thức 2: Khối tứ diện vuông (có các cạnh đôi một vuông góc):

2 2 2

2

OA OB OCR

Công thức 3: Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy:

2

2 2

4d b

aR R R , trong đó d

R là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy; bR là bán kính đường

tròn ngoại tiếp của mặt bên và a tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy.

Công thức 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau:

2

2

aR

h, trong đó a là độ dài cạnh bên và h là chiều cao khối chóp và h được tính bằng

công thức 2 2

dh a R .

Công thức 5: Khối tứ diện gần đều ABCD có ; ;AB CD a AC BD b AD BC c

2 2 2

8

a b cR .




410

Câu 3: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích hình tròn đáy của hình nón

bằng 9 . Tính đường cao h của hình nón.

A. 3

2h . B. 3 3h . C.

3

3h . D. 3h .

Câu 4: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , SA vuông góc với mặt phẳng

ABC và 2, 4, 5.AB AC SA Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp .S ABC có bán kính

là

A. 5

2R . B. 10R . C.

10

2R . D.

25

2R .

Câu 5: Cho hình hộp chữ nhật có , . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp

hình hộp đã cho bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 6: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình chữ nhật, 2a, 3AB AD a , cạnh bên SA vuông góc

với mặt phẳng đáy, góc giữa SD và mặt phẳng đáy là 30 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

là:

A. 28 a . B. 28

3

a. C. 24 a . D.

24

3

a.

Câu 7: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình chữ nhật, 2a, 3AB AD a , cạnh bên SA vuông góc

với mặt phẳng đáy, góc giữa SD và mặt phẳng đáy là 30 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

là:

A. 28 a . B. 28

3

a. C. 24 a . D.

24

3

a.

Câu 8: Cho hình chóp .S ABC có ( )SA ABC , tam giác ABC vuông tại B , 3, 7SA BC AB . Tính

bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

A. 5R . B. 5

2R . C.

5

2R . D. 5R .

Câu 9: Trong không gian, cho hình chóp .S ABC cóSA , AB , BC đôi một vuông góc với nhau và SA a

, AB b , BC c . Mặt cầu đi qua S , A , B , C có bán kính bằng

A. 2

3

a b c. B. 2 2 2a b c . C. 2 2 22 a b c . D. 2 2 21

2a b c .

Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm (1;2; 4)A , (1; 3;1)B , (2;2;3)C , (1;0;4)D . Gọi S là

mặt cầu đi qua bốn điểm , , , A B C D . Tọa độ tâm I và bán kính R mặt cầu S là

A. 1;0; 2 , 21I R . B. 2; 1; 0 , 26I R .

C. 1; 0; 2 , 21I R . D. (2; 1;0), 26I R .

.ABCD A B C D AB a 2AD AA a

29 a23

4

a 29

4

a 23 a




411

Câu 11: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông cân ở B , 2AC a , SA ABC , SA a . Gọi

G là trọng tâm tam giác SBC , mặt phẳng đi qua AG và song song với BC cắt SB , SC lần

lượt tại M , N . Tính thể tích V của khối chóp .S AMN .

A. 3

9

aV . B.

32

27

aV . C.

32

9

aV . D.

3

6

aV .

Câu 12: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông .O ABC có OA OB OC a có bán kính bằng

A. 2

a. B.

3

2

a. C.

2

2

a. D.

3

4

a.

Câu 13: Cho khối trụ có đường sinh bằng 5 và thể tích bằng 45 . Diện tích toàn phần của khối trụ là

A. 18 . B. 33 . C. 48 . D. 39 .

Câu 14: Cho hình chóp .S ABCD có SA ABCD , SA a và đáy ABCD nội tiếp đường tròn bán kính

bằng a . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD là

A. 3

3

a. B.

3

2

a. C.

5

2

a. D.

2

3

a.

Câu 15: Một mặt cầu S ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a. Diện tích mặt cầu S là:

A. 23

2

a. B. 26 a . C.

23

4

a. D. 23 a .

Câu 16: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , SA vuông góc với mặt phẳng

ABC và 2,AB 4,AC 5SA . Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp .S ABC có bán kính

là:

A. 25

2R . B.

5

2R . C. 5R . D.

10

3R .

Câu 17: Cho hình lập phương .ABCDABCD có cạnh a . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương là

A. 38 2

3

a. B.

3 3

2

a. C.

312 3

3

a. D.

34 3

3

a.

Câu 18: Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh bằng a .

A. 3

2

a. B. a . C. 2 3a . D. 3a .

Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có 0 0, 90 , 60 .SA SB SC a ASB ASC BSC Tính diện tích mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp đã cho.

A. 27

6

a. B.

27

3

a. C.

27

18

a. D.

27

12

a.

Câu 20: Cho hình trụ T có bán kính đáy ,a trục OO bằng 2a và mặt cầu S có tâm là trung điểm của

đoạn thẳng OO và đi qua điểm O. Tìm tỉ số giữa diện tích mặt cầu S và diện tích toàn phần

của hình trụ T .

A. 1

.3

B. 2

.3

C. 1. D. 4

.3




412

Câu 21: Cho hình chóp .S ABC có SA ABC , ABC là tam giác vuông tại A ,

3 ; 4 ; 5AB a AC a SA a . Tìm bán kính mặt cầu mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC ?

A. 5 2

4

a. B.

5

4

a. C.

5

2

a. D.

5 2

2

a.

Câu 22: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt đáy và

SA a . Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD có bán kính bằng

A. 3a . B. 6

2

a. C.

3

3

a. D.

3

2

a.

Câu 23: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông, biết 2BA BC a , cạnh bên 2 2SA a

vuông góc với đáy. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a .

A. 28 a . B. 216 a . C. 24 a . D. 264 a .

Câu 24: Cho hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy và bằng 2. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình

nón đó là.

A. 2 3 . B. 2 3

3. C.

3

2. D. 3 .

Câu 25: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a . Tam giác SAC vuông cân tại S và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD .

A. 32

3

a. B. 34 3a . C.

34

3

a. D. 34 a .

Câu 26: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình chữ nhật với 3AB a , 4BC a , 12SA a và SA vuông

góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD .

A. 5

2

aR . B.

17

2

aR . C.

13

2

aR . D. 6R a .

Câu 27: Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông tại C , AB vuông góc với mặt phẳng BCD ,

5AB a , 3BC a và 4CD a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .

A. 5 2

3

aR . B.

5 3

3

aR . C.

5 2

2

aR . D.

5 3

2

aR .

Câu 28: Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng 3 2 ,a cạnh bên bằng 5 .a Tính bán kính

R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . .S ABCD

A. 3R a . B. 2R a . C. 25

8

aR . D. 2R a .

Câu 29: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng

ABC và SA a . Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC bằng

A. 23

7

a. B.

27

12

a. C.

27

3

a. D.

2

7

a.

Câu 30: Cho mặt cầu tâm O và tam giác ABC có ba đỉnh nằm trên mặt cầu với góc 030BAC và BC a

Gọi S là điểm nằm trên mặt cầu, không thuộc mặt phẳng ABC và thỏa mãn SA SB SC , góc




413

giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABC bằng 060 . Tính thể tích V của khối cầu tâm O theo

a .

A. 33

9V a . B. 332 3

27V a . C. 34 3

27V a . D. 315 3

27V a .

Câu 31: Cho hình 413hop .S ABCD có ABCD là hình chữ nhật tâm I cạnh 3AB a , 4BC a . Hình

chiếu của S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm của ID . Biết rằng SB tạo với mặt phẳng

ABCD một góc 45 . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD .

A. 225

2a . B.

2125

4a . C.

2125

2a . D. 24 a .

Câu 32: Cho tứ diện ABCD có 3AB CD , 5AD BC , 6AC BD . Tính thê tích khối cầu ngoại

tiếp tứ diện ABCD .

A. 35 . B. 35 . C. 35 35

6

. D. 35 35 .

Câu 33: Cho hình chóp .S ABC , đáy ABC là tam giác đều cạnh a ; SA ABC . Gọi H , K lần lượt là

hình chiếu vuông góc của A lên SB ; SC . Diện tích mặt cầu đi qua 5 điểm A , B , C , K , H là

A. 24

9

a. B. 23 a . C.

24

3

a. D.

2

3

a.

Câu 34: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi K là trung điểm của AB , , M N lần lượt là hình chiều của

K lên AD và AC . Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .KCDMN ?

A. 3

4

a. B.

3 3

8

a. C.

2

4

a. D.

3 2

8

a.

Câu 35: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt

phẳng đáy ABCD là điểm H thuộc cạnh AB sao cho 2HB HA . Cạnh SA hợp với mặt phẳng

đáy góc 60o . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD

A. 2475

3

a. B. 221 a . C.

255

3

a. D. 222 a .

Câu 36: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Cạnh bên 6SA a và vuông góc với đáy

ABCD . Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABCD .

A. 22 a . B. 28 a . C. 22a . D. 2 2a .

Câu 37: Cho khối chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy bằng 2 , chiều cao bằng 2 2 . Gọi O là tâm mặt

cầu đường tròn ngoại tiếp khối chóp .S ABCD . Cosin góc giữa hai mặt phẳng OAB và OCD

bằng:

A. 15

17. B.

33

65. C.

8

17. D.

56

65.

Câu 38: Cho hình lăng trụ đứng .ABC ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , 3AB a , 2BC a

đường thẳng AC tạo với mặt phẳng BCC B một góc 30 . Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp

lăng trụ đã cho bằng:




414

A. 23 a . B. 26 a . C. 24 a . D. 224 a .

Câu 39: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông tại A , 1cmAB , 3 cmAC . Tam giác SAB

SAC lần lượt vuông tại B và C . Khối cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC có thể tích bằng 5 5

63cm . Tính khoảng cách từ C tới SAB .

A. 5

cm2

. B. 5

cm4

. C. 3

cm4

. D. 3

cm2

.

Câu 40: Cho tam giác ABC vuông tại B và nằm trong mặt phẳng ( )P có 2AB a , 2 3BC a . Một

điểm S thay đổi trên đường thẳng vuông góc với P tại A ( )S A . Gọi ,H K lần lượt là hình

chiếu vuông góc của A lên ,SB SC . Biết rằng khi S thay đổi thì 4 điểm , , ,A B H K thuộc một mặt

cầu cố định. Tính bán kính R của mặt cầu đó.

A. 2R a . B. 2R a . C. R a . D. 3R a .

Câu 41: Cho hình chóp .S ABC có SA vuông góc với ABC , 0, 2 , 45AB a AC a BAC . Gọi ', 'B C

lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên ,SB SC . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp

. ' 'ABCC B .

A. 3

2

a. B. 3 2a . C. 34

3a . D.

3 2

3

a.


2

aSA , các cạnh còn lại cùng bằng a . Bán kính R của mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp .S ABC là:

A. 13

2

aR . B.

3

aR . C.

13

3

aR . D.

13

6

aR .

Câu 43: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , 2BC a , cạnh bên SA vuông

góc với đáy. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SC , khi đó thể tích của khối cầu

ngoại tiếp hình chóp AHKCB là

A. 32 a . B. 3

3

a. C.

32

2

a. D.

38 2

3

a.

Câu 44: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, 3AB , 4AD và các cạnh bên của

hình chóp tạo với mặt đáy một góc 60 . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

A. 250 3

3V . B.

125 3

6V . C.

50 3

3V . D.

500 3

27V .

Câu 45: Cho tứ diện ABCDcó 6AB a , 8CD a và các cạnh còn lại bằng 74a . Tính diện tích mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện ABCD .

A. 2S 25 a . B. 2S 100 a . C. 2100S a .

3 D. 2S 96 a .

Câu 46: Cho hình chóp .OABC có OA OB OC a , 60AOB , 90BOC , 120AOC . Gọi

S là trung điểm cạnh OB . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC là




415

A. 4

a B.

7

4

a C.

7

2

a D.

2

a

Câu 47: Cho hai mặt phẳng P và Q vuông góc với nhau theo giao tuyến . Trên đường thẳng lấy

hai điểm A , B với AB a . Trong mặt phẳng P lấy điểm C và trong mặt phẳng Q lấy điểm

D sao cho AC , BD cùng vuông góc với và AC BD AB . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ

diện ABCD là:

A. 3

3

a. B.

3

2

a. C. 3a . D.

2 3

3

a.

Câu 48: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng

đáy. Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt cạnh SB , SC , SD lần lượt tại các điểm

M , N , P . Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP bằng

A.

125

6V . B.

32

3V . C.

108

3V . D.

64 2

3V .

Câu 49: Cho hình chóp .S ABC có ,AC a 3,AB a 0150BAC và SA vuông góc với mặt phẳng đáy.

Gọi ,M N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB vàSC . Thế tích khối cầu ngoại tiếp

hình chóp .ABCNM bằng

A. 34 7

3

a. B.

328 7

3

a. C.

320 5

3

a. D.

344 11

3

a.

Câu 50: Trong mặt phẳng P cho tam giác ABC đều cạnh bằng 8 cm và một điểm S di động ngoài mặt

phẳng P sao cho tam giác MAB luôn có diện tích bằng 16 3 cm2, với M là trung điểm của

SC . Gọi S là mặt cầu đi qua bốn đỉnh , , ,M A B C . Khi thể tích hình chóp .S ABC lớn nhất, tính

bán kính nhỏ nhất của S :

A. 16 6

9cm. B.

4 3

3cm. C.

4 15

3cm. D.

4 39

3cm.

Câu 51: Cho mặt cầu 2 2 2

( ) : 2017 2018 2019 2020S x y z . Xét mặt phẳng P thay đổi cắt

mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn .C Hình nón N có đỉnh S nằm trên mặt cầu, đáy là

đường tròn C và có chiều cao h . Gọi V là thể tích của khối nón được tạo nên bởi N . Tính giá

trị lớn nhất maxV của V.

A.

3

max

.32. 2020

81V . B.

3

max

.8. 2020

81V .

C.

3

max

.16. 2020

81V . D.

3

max

.64. 2020

81V .

Câu 52: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB nằm trong mặt phẳng

vuông góc với mặt phẳng ABCD . Biết rằng , 3AB a AD a và 60ASB . Tính diện tích

khối cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD .




416

A.

213

2

aS . B.

213

3

aS . C.

211

2

aS . D.

211

3

aS .

Câu 53: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , 3 2AB BC a ,

90SAB SCB . Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCB bằng 2 3a . Tính thể tích mặt

cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC .

A. 372 18 a . B. 318 18 a . C. 36 18 a . D. 324 18 a .


,3

aSA SB SC AB a BC và mặt phẳng SAC vuông góc với

mặt phẳng ABC . Tính diện tích xung quanh của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC .

A. 212

7

a. B.

24

7

a. C.

23

7

a. D.

215

7

a.




417

BẢNG ĐÁP ÁN

1.A 2.A 3.B 4.A 5.A 6.A 7.A 8.C 9.D 10.B

11.B 12.B 13.C 14.C 15.A 16.B 17.B 18.A 19.B 20.B

21.D 22.D 23.B 24.B 25.C 26.C 27.C 28.C 29.C 30.B

31.B 32.C 33.C 34.D 35.C 36.B 37.B 38.B 39.D 40.A

41.D 42.C 43.D 44.D 45.B 46.C 47.B 48.B 49.B 50.C

51.A 52.B 53.D 54.A


Câu 1: Chọn A

Gọi H là trung điểm của BC AH BC

( )AH SBC .

Mà SA AB AC H là tâm đường tròn ngoại

tiếp SBC HS HB HC SBCvuông tại S .

Gọi I là trung điểm AC , ,O AH OI AC O

là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC . Đặt

HC x . Ta có AOI đồng dạng ACH .

2

2 2 2 2

.. 2. .

2

aa

AI AC aAO AH AI AC AO R

AH a x a x.

Lại có R a

22 2 2 2 2

2 2

32 4 4

22

a aa a x a a x a x

a x

2 2 2 23 2SC BC SB a a a .

Câu 2: Chọn A

Gọi O AC BD , đường chéo 2AC a .

Gọi I là trung điểm của SC .

Suy ra OI là đường trung bình của tam giác SAC . Suy ra

//OI SA OI ABCD .

Hay OI là trục đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD .

Mà IS IC IA IB IC ID IS . Suy ra I là tâm

mặt cầu ngoại tiếp chóp .S ABCD .

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp .S ABCD :

2 2

22 2

SC SA ACR SI a .

Diện tích mặt cầu: 2 24 8S R a .




418

Câu 3: Chọn B

Gọi chiều cao, bán kính đáy, độ dài đường sinh của hình nón lần lượt là , ,h r l .

Hình nón có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy nên 2l r .

Diện tích hình tròn đáy của hình nón bằng 9 nên: 2 9 3r r .

Suy ra 2 6l r . Áp dụng định lý Pitago cho tam giác OAH ta được:

2 2 2 2 2 2 2 27 3 3.OH OA AH h l r h h

Vậy chiều cao h của hình nón là 3 3 .

Câu 4: Chọn A

Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và SA . Do

tam giác ABC vuông tại A nên M là tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC .

Gọi a là đường thẳng qua M và song song với SA mà

( )SA ABC nên ( )a ABC . Do đó a là trục đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

Trong mặt phẳng ( )SAM , gọi b là đường trung trực của

đoạn thẳng SA , gọi I là giao điểm của a và b .

Ta có I a suy ra IA IB IC . Mặt khác, I b suy ra IA IS .

Do đó IA IB IC IS hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC .

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC là

2 2 2 2 22 2 5 4 16 5

4 4 4 4 2

AS BC AS AB ACR IA AN AM .

Câu 5: Chọn A

Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có tâm là của hình hộp có bán kính

.

O

A C

A' C'D'

B'

B

D

.ABCD A B C D O

2 22 2 2 21 1 3

2 22 2 2

aR AB AD AA a a a

b

a

I

N

M

A B

C

S




419

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp là .

Câu 6: Chọn A

Gọi ,O I lần lượt là trung điểm của ,AC SC . Ta có: //IO SA IO ABCD .

Mà: OA OB OC OD IO là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy IA IB IC ID .

Mặt khác IS IC nên mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD có tâm I và bán kính .2

SCR IS

Tam giác SAD vuông tại A và 30 tanSA

SDA SDA SA aAD

.

2 2 7 ;AC AB AD a

2 2

22 2

SC SA ACR IS a . Vậy 2 24 8S R a .

Câu 7: Chọn A

Gọi ,O I lần lượt là trung điểm của ,AC SC . Ta có: //IO SA IO ABCD .

Mà: OA OB OC OD IO là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy IA IB IC ID .

Mặt khác IS IC nên mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD có tâm I và bán kính .2

SCR IS

Tam giác SAD vuông tại A và 30 tanSA

SDA SDA SA aAD

.

2 2 7 ;AC AB AD a

2 2

22 2

SC SA ACR IS a . Vậy 2 24 8S R a .

Câu 8: Chọn C

Gọi E là trung điểm của AC,do tam giác ABC vuông tại B nên E là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC

Gọi I và M lần lượt là trung điểm SC và SA ,khi đó AMIE là hình chữ nhật

2

234 9

2

aS a




420

/ / ( )IE SA IE ABC mà E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,nên IA IB IC

Lại có / /IM AC IM SA mà M là trung điểm SA nên IM là trục đối xứng của đoạn thẳng

SA, nên IA IS

Từ 1,2 IA IS IB IC R hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC

Xét tam giác vuông ABC có: 2 2 7 9 4AC AB BC .

Xét tam giác vuông IAM có:

2 2

2 2 9 16 5

2 2 4 4 2

SA ACR IA AM IM

Cách giải khác:

Ta có:

090BC AB

BC SB SBCBC SA

Mà 090SAC

nên các điểm , , ,S A B C thuộc mặt cầu đường kính SC .

Xét tam giác vuông ABC có: 2 2 7 9 4AC AB BC .

Xét tam giác vuông SAC có: 2 21 1 5.

2 2 2R SC SA AC .

Câu 9: Chọn D

Ta có: SA , AB , BC đôi một vuông góc SA ABC và

ABC vuông tạiB .

Gọi I là trung điểm của AC I là tâm đường tròn ngoại tiếp

ABC .

Khi đó bán kính đường tròn tâm I ngoại tiếp ABC :

2 21 1

2 2r AC b c .

Gọi O là trung điểm SC O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình

chóp .S ABC 2

SAOI .

Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC là:

2 2 2 22 2 2 21

2 4 4 2

SA a b cR OC r a b c .

Câu 10: Chọn B

Giả sử S có phương trình dạng:

2 2 2 2 2 22 2 2 0 0 (1)x y z ax by cz d a b c d .

Với tâm ; ;I a b c và bán kính 2 2 2R a b c d .

Vì S đi qua bốn điểm , , , A B C D nên tọa độ của các điểm , , , A B C D thỏa mãn. Từ đó ta có

hệ phương trình:

1 4 16 2 4 8 0

1 9 1 2 6 2 0

4 4 9 4 4 6 0

1 0 16 2 0 8 0

a b c d

a b c d

a b c d

a b c d

2 4 8 21

2 6 2 11

4 4 6 17

2 0 8 17

a b c d

a b c d

a b c d

a b c d

10 10 10

6 6 6

2 4 2 0

2 0 8 17

b c

b c

a b c

a b c d

1

0

2

21

b

c

a

d

( 2; 1; 0), 26I R .




421

Câu 11: Chọn B

Qua G , kẻ đường thẳng song song với BC , cắt SB tại M và cắt SC tại N . Gọi H là trung điểm

của BC 2

3

SG

SH. Ta có:

2//

3

SM SN SGMN BC

SB SC SH.

Ta có: 2

ACAB a (ABC vuông cân tại B ).

Có:

2 2 3

.

1 1 1 1 1 1. . .

3 3 2 3 2 6S ABC ABCV SAS SA AB a a a .

Theo công thức tỉ lệ thể tích ta có:

3 3.. .

.

2 2 4 4 4 1 2. . . .

3 3 9 9 9 6 27S AMN

S AMN S ABC

S ABC

V SA SM SNV V a a

V SA SB SC.

Câu 12: Chọn B

Trong OBC kẻ đường cao OH . Vì OBC là tam giác vuông cân nên H là tâm đường tròn

ngoại tiếp OBC và 2

2

aOH .

Qua H dựng đường thẳng d song song với OA d OBC . Do đó, d là trục đường tròn của

OBC .

Trong ,mp OA d , dựng đường trung trực OA cắt OA , d lần lượt tai ,IN . Khi đó I là tâm mặt

cầu ngoại tiếp tứ diện .OABC .

Theo cách dựng ta có tứ giác OHIN là hình chữ nhật nên 2

2

aNI OH .

Bán kính

2

2 2 2

2

OAR OI ON IN OH

222 3

2 2 2

a a a.




422

Chú ý: Công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông .OABC là

2 2 2

2

OA OB OCR

Câu 13: Chọn C

Ta có: 2. 45V R h . Suy ra: 45

35

R .

Diện tích toàn phần khối trụ: 2 22 2 2 .3.5 2 .3 48tpS Rh R .

Câu 14: Chọn C

Gọi điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. I là trung điểm SA . J là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Dễ thấy AIJO là hình chữ nhật. Do đó

2

2 2 2 5

2 2

a aJA AO AI a .

Câu 15:

Chọn A

Vì .ABCD là tứ diện đều nên tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nằm trên đường cao AO

trong đó O là trọng tâm của tam giác đều BCD .

Gọi M là trung điểm của cạnh AB . Từ M kẻ đường trung trực MI của đoạn AB cắt AO tại

I .

Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp .ABCD

Ta có MI AB nên hai tam giác vuông IMA và BOA đồng dạng.Từ đó suy ra:

21

.2 2.

IA MA AB ABIA R

BA OA OA AO

Ta có 2 2

2 2 2 6 6

3 3 2 4

a a AB aAO AB BO a R IA

AO

Diện tích mặt cầu S là:

2

2 2 3 34 4 .

8 2

aS R a




423

Câu 16: Chọn B

Cách 1.

Gọi ,M H lần lượt là trung điểm ,SABC .

Ta có tam giác ABC vuông tại A suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

Qua M kẻ đường thẳng d sao cho d ABC d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

.

Trong mặt phẳng SAM kẻ đường trung trực của đoạn SA , cắt d tại I

IA IB ICIA IB IC IS

IA IS I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . .S ABC

●

HA ABC

IM ABC

//

HA AM

HA IM;

, ,

HI SA

AM SA

HI SA AM SAM

//HI AM .

Suy ra tứ giác HAMI là hình chữ nhật.

Ta có 2 21 12 4 5

2 2AM BC ,

1 5

2 2IM SA .

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC là: 2 2 5 55

4 2R AI AM IM .

Cách 2. Sử dụng kết quả: Nếu SABC là một tứ diện vuông đỉnh A thì bán kính mặt cầu ngoại

tiếp tứ diện SABC được tính bởi công thức: 2 2 21

2R AS AB AC

Áp dụng công thức trên, ta có 2

2 21 55 2 4

2 2R .

Câu 17: Chọn B

Gọi I là trung điểm AC I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương.

Bán kính mặt cầu là 1 3

2 2

aR CI CA .

I

C'

D'A'

B

HD

B C

A

A D

C

B'




424

Suy ra thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương là

3 3

34 4 3 3 3

3 3 8 2

a aV R .

Câu 18: Chọn A

Gọi O là tâm của hình lập phương .ABCDEFGH .

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương .ABCDEFGH là:

2 2 2 2 2 3

2 2 2 2

EC EA AC EA AB BC aR OC .

Câu 19: Chọn B

Ta có

( ).SA SB

SA SBCSA SC

Gọi G là trọng tâm tam giác đều SBC, suy ra 3

3

aSG .

Gọi d là đường thẳng qua G và vuông góc với. Suy ra d là trục của

đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.

Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC là giao điểm của mặt phẳng trung trực đoạn SA và

d.

22

2 2 3

2 3

SA aR SI SE SG

2 23 21

4 9 6

a a a

Diện tích mặt cầu

2 2

2 21 74 4 . .

36 3

a aS R

Câu 20: Chọn B

Diện tích toàn phần của hình trụ là 2 2

( )2 2 .2 6 .

TS a a a a

Diện tích mặt cầu là

2

2

( )4 4 .

2S

OOS a

Tỉ số giữa diện tích mặt cầu S và diện tích toàn phần của hình trụ T là

2( )

2( )

4 2.

36

S

T

S a

S a

Câu 21: Chọn D

Cách 1:

E

G

S C

B

A

I




425

Gọi E là trung điểm của BC . Vì ABC vuông tại A nên E là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

. Qua E dựng đường thẳng d song song với SA , vì SA ABC nên d là trục của ABC . Trong

mặt phẳng ;SA d , dựng đường trung trực của SA cắt d tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp .S ABC vì I d IA IB IC , mặt khác I thuộc trung trực của SA nên IS IA .

Gọi F là trung điểm của SA . Trong mặt phẳng ;SA d có AE SA , FI SA nên // FI AE lại

có // EI AF nên tứ giác AFIE là hình chữ nhật. Vậy 2 2 5 2

2

aAI AE AF .

Câu 22: Chọn D

Ta có , , .SA ABCD SA AC SA BC SA CD

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên 2AC a . Tam

giác SAC vuông tại A nên

2 2 2 22 3SC SA AC a a a .

Ta có

BC ABBC SAB BC SB

BC SA;

CD ADCD SAD CD SD

CD SA.

Gọi I là trung điểm của SC . Vì , ,SBC SAC SDC là các tam giác vuông có cạnh huyền là SC

nên 2

SCIS IC IA IB ID .

Do đó bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD là 3

2 2

SC aR .

Câu 23: Chọn B

E

F

IC

B

A

S

I

C

A D

B

S




426

Cách 1.

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , do tam giác ABC vuông tại B nên I là trung

điểm của AC . Qua I dựng đường thẳng d vuông góc với ABC . Suy ra //d SA .

Trong tam giác SAC , dựng đường trung trực của SA cắt d tại O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình

chóp .S ABC . Ta tính được 2 2 , 4AC a SC a

Bán kính mặt cầu 2 2R OA OI OM 2 22 2 2a a a .

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp .S ABC là 2 24 2 16S a a .

Cách 2.

Ta có ,BC SA BC AB BC SB . Ta có 90SAC SBC .

Khi đó 4 điểm , , ,S A B C nằm trên mặt cầu đường kính SC .

Bán kính mặt cầu 22

SCR a .

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 2 24 2 16S a a .

Câu 24: Chọn B

Hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy và bằng 2 Thiết diện qua trục hình nón là tam

giác đều có cạnh bằng 2 và bán kính mặt cầu ngoại tiếp bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam

giác SAB .

Gọi R là bán kính mặt cầu, theo định lý sin trong tam giác SAB , ta có: 2sin

ABR

S.

2 2 3

2sin 2.sin60 3

ABR

S.

Câu 25: Chọn C

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD .

O

D

A B

C

S




427

Ta có 90ABC , 90ADC và 90ASC suy ra các đỉnh B , D , S cùng nhìn đoạn thẳng

AC dưới một góc vuông nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp .S ABCD và 2

ACR OA a .

Vậy 3 34 4

3 3V R a .

Câu 26: Chọn C

Ta có: 2 2 5AC AB BC a . Vì SA AC nên

2 2 13SC SA AC a

Nhận thấy:

BC ABBC SB

BC SA.Tương tự: CD SD

Do các điểm ,A ,B D đều nhìn đoạn thẳng SC dưới một

góc vuông nên gọi I là trung điểm của đoạn thẳng SC thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

.S ABCD . Vậy 13

2 2

SC aR .

Câu 27: Chọn C

Tam giác BCD vuông tại C nên áp dụng định lí Pitago, ta được 5BD a .

Tam giác ABD vuông tại B nên áp dụng định lí Pitago, ta được 5 2.AD a

Vì B và C cùng nhìn AD dưới một góc vuông nên tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là

trung điểm I của AD . Bán kính mặt cầu này là: 5 2

.2 2

AD aR

Câu 28: Chọn C

Gọi O là tâm hình vuông ABCD , G là trung điểm SD , ,GI SD I SO .

Ta có cạnh đáy bằng 3 2a nên 3 2 . 2 6BD a a , 3OD a .

Xét SOD vuông tại O ta có: 2 2 4SO SD OD a

Ta có SOD SGI∽ , suy ra 21 25

4 . 52 8

SO SD aa R a R

SG SI.

Câu 29: Chọn C

12a

4a

3a

I

O

C

A D

B

S




428

ĐáyABC là tam giác đều tâm đường tròn ngoại tiếp là trọng tâm G .

Từ G kẻ đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng đáy / /d SA và đường thẳng d là trục của

tam giác đáy.

Trong mặt phẳng SAG kẻ 'd là đường trung trực của đoạn SA .

Trong mặt phẳng SAG hai đường thẳng d và 'd cắt nhau tại I I cách đều 4 đỉnh , , ,CS A B

của hình chóp I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC với R AI .

Tính bán kính R :

Tam giác ABC đều cạnh a 3

2

aAM

2 3

3 3

aAG AM .

N là trung điểm SA 1

2 2

aAN SA GI .

Xét tam giác vuông AIG : 2 2 21

6

aAI AG GI R .

Vậy diện tích của mặt cầu cần tìm là:

2

2 221 74 4 .

6 3

aS R a

Câu 30: Chọn B

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , khi đó SH ABC và SH là trục đường

tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABC là 060SAH .

Gọi N là trung điểm SA , mặt phẳng trung trực của cạnh SA cắt SH tại O . Khi đó

OS OA OB OC nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC .

Khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 0

.2sin30

BCAH a

0.tan60 3SH AH a , 2 2 2SA SH AH a .




429

Bán kính mặt cầu là 2. 2 3

2 3

SN SA SAR SO a

SH SH.

Thể tích của khối cầu tâm O là 3 34 32 3

3 27V R a .

Câu 31: Chọn B

Gọi E là trung điểm của ID , F là trung điểm của SB . Trong

mặt phẳng SBD , vẽ IT song song với SE và cắt EF tại T

.

Ta có SE ABCD , suy ra ; D 45SBE SB ABC . Suy ra SBE vuông cân tại E . Suy ra

EF là trung trực của SB . Suy ra TS TB .

Ta có IT SE , suy ra IT ABCD . Suy ra IT là trục đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật

ABCD . Suy ra TA TB TC TD .

Từ và suy ra T là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD .

Do ABCD là hình chữ nhật nên 2 2 5BD AB BC a , suy ra 5

2IB ID a .

Do E là trung điểm của ID nên 1 5

2 4IE ID a .

BEF vuông tại F có 45EBF nên BEF vuông cân tại F .

EIT vuông tại I có 45IET nên EIT vuông cân tại I . Suy ra 5

4IT IE a .

Do BIT vuông tại I nên 2 2 5 5

4TB IB IT a .

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD là

2 21254

4S TB a .

Câu 32: Chọn C

Gọi M , N , I lần lượt là trung điểm của AB ,CD và

MN .

Ta có ACD BCD AN BN ABN cân

tại N , mà AM là đường trung tuyến

AM là đường trung trực của AB

2

MNIA IB .

Chứng minh tương tự ta có 2

MNIC ID .

Từ và suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

ABCD .

Áp dụng công thức trung tuyến cho tam giác ACD ta

có

2 36 25 9

2 4AN Error! Not a valid embedded object..

Xét tam giác vuông Error! Not a valid embedded object. có: Error! Not a valid embedded object. Error!

Not a valid embedded object.Error! Not a valid embedded object.Error! Not a valid embedded object.Error!




430

Not a valid embedded object.Error! Not a valid embedded object.Error! Not a valid embedded object.Error!

Not a valid embedded object..

Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Error! Not a valid embedded object. là Error! Not a valid

embedded object..

Vậy thê tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện Error! Not a valid embedded object.là: Error! Not a valid

embedded object. Error! Not a valid embedded object..

Câu 33: Chọn C

Gọi Error! Not a valid embedded object. là đường kính

đường tròn ngoại tiếp Error! Not a valid embedded object..

Ta có Error! Not a valid embedded object..

Từ đó suy ra Error! Not a valid embedded object..

Chứng minh tương tự ta được Error! Not a valid

embedded object..

Từ,, ta suy ra 5 điểm Error! Not a valid embedded object.

cùng nằm trên mặt cầu đường kính Error! Not a valid

embedded object..

Gọi Error! Not a valid embedded object. là trung điểm của

Error! Not a valid embedded object., ta có Error! Not a valid

embedded object..

Vậy diện tích mặt cầu đi qua 5 điểm Error! Not a valid

embedded object. là: Error! Not a valid embedded

object..

Câu 34: Chọn D

Tứ diện Error! Not a valid embedded object. đều,

có độ dài cạnh là 1.

Gọi H là trọng tâm tam giác Error! Not a valid

embedded object. khi đó Error! Not a valid

embedded object.. Gọi E là trung điểm của

Error! Not a valid embedded object., suy ra Error!

Not a valid embedded object.. Từ E hạ EN vuông

góc xuống AC, Error! Not a valid embedded

object., suy ra Error! Not a valid embedded object.

Gọi Error! Not a valid embedded object. là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác Error! Not a

valid embedded object.. Error! Not a valid

embedded object..

Ta tính được Error! Not a valid embedded object.. Dựng đường thẳng Error! Not a valid embedded object.

đi qua Error! Not a valid embedded object., vuông góc với Error! Not a valid embedded object.

Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp Error! Not a valid embedded object., Error! Not a valid embedded

object. suy ra Error! Not a valid embedded object. là hình chữ nhật

Ta tính được: Error! Not a valid embedded object.; Error! Not a valid embedded object.; Error! Not a valid

embedded object.

Đặt Error! Not a valid embedded object. ta có

Error! Not a valid embedded object..

K

H

OD

C

B

A

S




431

Mà Error! Not a valid embedded object. nên Error! Not a valid embedded object. suy ra Error! Not a valid

embedded object.. Vậy Error! Not a valid embedded object..

Câu 35: Chọn C

Hình chóp này có mặt bên vuông góc với mặt đáy. Nên ta có công thức tính bán kính mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp Error! Not a valid embedded object. là: Error! Not a valid embedded object.,

với Error! Not a valid embedded object. là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Error! Not a valid

embedded object.,Error! Not a valid embedded object. là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp

Error! Not a valid embedded object., Error! Not a valid embedded object. là bán kính đường tròn ngoại

tiếp tam giác Error! Not a valid embedded object..

Ta có: Do Error! Not a valid embedded

object. và Error! Not a valid embedded

object.. nên Error! Not a valid embedded

object..

Trong Error! Not a valid embedded object.

vuông tại Error! Not a valid embedded

object. ta có Error! Not a valid embedded

object..

Error! Not a valid embedded object.

Error! Not a valid embedded object., Error!

Not a valid embedded object.

Vậy Error! Not a valid embedded object.

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp là: Error! Not a valid embedded object..

Câu 36: Chọn B

Dễ thấy các góc Error! Not a valid embedded object., Error! Not a valid embedded object., Error! Not a

valid embedded object. đều bằng Error! Not a valid embedded object.nên mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

Error! Not a valid embedded object.có tâm là trung điểm Error! Not a valid embedded object. của Error!

Not a valid embedded object. và có bán kính Error! Not a valid embedded object. nên diện tích của mặt

cầu là:

Error! Not a valid embedded object..

Câu 37: Chọn B




432

Gọi Error! Not a valid embedded object. là tâm hình vuông Error! Not a valid embedded object.. Vì Error!

Not a valid embedded object. là hình chóp tứ giác đều nên Error! Not a valid embedded object. là giao

điểm của Error! Not a valid embedded object. và mặt phẳng trung trực cạnh bên Error! Not a valid

embedded object..

Khi đó Error! Not a valid embedded object. đi qua Error! Not a valid embedded object. và song song với

Error! Not a valid embedded object., Error! Not a valid embedded object..

Gọi Error! Not a valid embedded object., Error! Not a valid embedded object. lần lượt là trung điểm của

Error! Not a valid embedded object., Error! Not a valid embedded object..

Ta có Error! Not a valid embedded object.. Suy ra Error! Not a valid embedded object..

Mà: Error! Not a valid embedded object.

Xét hình vuông Error! Not a valid embedded object. có cạnh bằng Error! Not a valid embedded

object.Error! Not a valid embedded object.bán kính đáy hình vuông Error! Not a valid embedded object.

là Error! Not a valid embedded object..

Xét tam giác vuông SAI , ta có 2 2 1 8 3SA AI SI .

Do đó cạnh bên hình chóp bằng 3 .

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: 2 9 9 2

2. 84 2

SAR

SI.

Khi đó

2

2 162 1 130

2 64 2 8

ABOM ON R , 2MN BC .

Từ đó suy ra

2 2 2130

2. 23364cos

1302. . 652.

64

OM ON MNMON

OMON.

Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng OAB và Error! Not a valid embedded object. bằng Error! Not a

valid embedded object..

Câu 38: Chọn B




433

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC AH BCC B .

, 30AC BCC B HC A .

ABC là tam giác vuông tại A , 3AB a , 2BC a suy ra AC a .

Ta có: . 3

2

AB AC aAH

BC 2 3AC AH a 2 2 2AA AC AC a .

Gọi I , I lần lượt là trung điểm BC , BC . Dễ thấy I , .Error! Not a valid embedded object.. lần lượt

là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , A B C .

Gọi O là trung điểm của II suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho.

Bán kính mặt cầu là :

2 26

2 2 2

BC BB aR OB .

Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho bằng: 2 24 6 S R a .

Câu 39: Chọn D

Cách 1: Vì 90SBA SCA suy ra trung điểm I của cạnh SA là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình

chóp .S ABC với bán kính 2

SAR .

Thể tích khối cầu là 5 5

6V

34 5 5

3 6R

5

2R 5SA .

Gọi O là trung điểm BC , điểm D đối xứng với A qua O nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật.

Dễ thấy CD SB , CD DB CD SD 1 .

SC DB , CD DB DB SD 2 .

Từ

SD ABDC 2 2 5 4 1SD SA AD .

Gọi H là chân đường vuông góc của D lên cạnh SB .

, ,d C SAB d D SAB DH .

Thật vậy AB BD ; AB SD AB SDB

AB DH ; DH SB DH SAB .

2 2 2

1 1 1

DH SD DB

2

1 1 1 4

1 3 3DH

3

2DH .




434

Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB là 3

cm2

.

Cách 2: Vì 90SBA SCA suy ra trung điểm I của cạnh SA là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình

chóp .S ABC với bán kính 2

SAR .

Thể tích khối cầu là 5 5

6V

34 5 5

3 6R

5

2R 5SA .

Gọi O là trung điểm BC , vì BIC cân nên OI BC ; 2 2 1

2OI IC OC .

Mà O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC OI ABC , 2 ,d C SAB d O ABI .

Gọi N là trung điểm AB nên ON AB , OI AB AB ONI .

ABI ONI theo giao tuyến IN .

Kẻ OH IN OH ABI , 2 , 2d C SAB d O ABI OH .

2 2 2

1 1 1

OH ON OI

4 164

3 3

3

4OH .

Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB là 3

cm2

.

Câu 40: Chọn A

Ta có: SA BC ( Vì ( )SA ABC ) và AB BC ( )BC SAB

Ta lại có: ( )AH SAB AH BC .

Và AH SB .

Từ và suy ra ( )AH SBC . Khi đó AHC vuông tại H .

Lại có AKC vuông tại K và ABC vuông tại B .

Suy ra , ,B H K dều nhìn AC dưới góc vuông. Vậy bốn điểm , , ,A B H K đều thuộc mặt cầu

đường kính AC . Trong tam giác vuông ABC có: 2 2 4AC AB BC a 2

2

ACR a .

C

B

A

K

H

S




435

Câu 41: Chọn D

Tam giác ABC có 0, 2, 45AB a AC a BAC BC a suy ra tam giác ABC là tam giác

vuông cân tại B . Vậy điểm B nhìn AC dưới một góc vuông.

'

'' ' ' ' ' .

' ' , ' '

BC SAB BC AB

AB SBAB BCC B AB B C

SB BC B

SB BCC B BC BCC B

Suy ra 'B nhìn AC dưới một góc vuông.

Do 'AC SC nên 'C nhìn AC dưới một góc vuông.

Từ,, và suy ra mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . ' 'A BCC B là mặt cầu đường kính AC .

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . ' 'A BCC B là: 2

2 2

AC aR .

Suy ra thể tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . ' 'A BCC B là: 3

34 2

3 3

aV R

.

Câu 42: Chọn D

Cách 1:

Gọi , NM lần lượt là trung điểm của BC và AD .

Ta có: ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a3

2

aAM SM .

SAM là tam giác đều cạnh 3

2

a.

O

N

F

M

A C

B

S

E

I




436

Gọi F là trung điểm của AM SF AM 1 . Mặt khác ABC đều AM BC .

SBC đều SM BC BC SAM BC SF 2 .

Từ 1 và 2 SF ABC .

Gọi E là trọng tâm ABC , ABC đều E là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC .

Qua E kẻ đường thẳng d vuông góc với mp ABC

d là trục của đường tròn ngoại tiếp ABC . Vì SF ABC //d SF .

Mặt khác SAM đều nên đường thẳng MN là đường trung trực đoạn SA .

Trong mp SAM , gọi O d MN ; O d OA OB OC .

O MN OS OA .

Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC , bán kính 2 2R OA OE EA .

Trong ABC : 2 2 3 3

.3 3 2 3

a aAE AM ,

1 3

3 6

aEM AM .

SAM đều MN là đường phân giác trong góc SMA 30OME .

Xét OME vuông tại E : tan 30OE

EM

3 1.

6 63

a aOE .

Vậy 2 2

2 2 13

36 3 6

a a aR OE EA .

Cách 2:

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB , E là trung điểm của SA .

SAB cân tại B nên H BE . Vì CA CB CS a nên ( )CH SAB .

Đường thẳng CH là trục của đường tròn ngoại tiếp SAB .

Gọi M là trung điểm của CB , qua M dựng đường thẳng d vuông góc với BC .

d CH O ; O d OB OC .

+ O CH OS OA OB .

Suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC , bán kính R OC .

Ta có CMO CHB CM CO

CH CB

2.

2.

CM CB CBCO

CH CH .

B S

A

H

C

E

M

O




437

Xét SBE ta có: 2

2 2 2 3 13

16 4

a aBE SB SE a .

Ta có: 21 1 13 3 39

. . .2 2 4 2 16

SAB

a a aS BE SA .

Bán kính đường tròn ngoại tiếp SAB là:

3

2

3. . 22

4. 39 134.

16

SAB

aSA SB AB a

BHS a

.

Xét CHB ta có: 2

2 2 2 4 3

13 13

a aCH CB BH a .

Vậy 2 2 13

32. 62.

13

CB a aR CO

aCH .

Câu 43: Chọn D

Gọi M là trung điểm BC .

ABC vuông cân tại B 1

2MB MA MC AC .

KAC vuông tại K 1

2MK AC .

BC ABBC SAB BC AH

AH SBC AH HCBC SA

AH SB

.

AHC vuông tại H 1

2MH AC .

Từ 1 3 M là tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp AHKCB .

Bán kính khối cầu cần tìm: 2 21 1

22 2

R AC AB BC a .

Thể tích khối cầu: 3

34 8 2

3 3

aV R

.

Câu 44: Chọn D

Gọi O là tâm đáy, do các cạnh bên cùng tạo với đáy góc 60 nên SO ABCD .




438

Mặt phẳng trung trực của cạnh SD đi qua trung điểm M của SD và cắt SO tại I .

Ta có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính mặt cầu R IS .

5 55 5

2 cos60 2

ODBD OD SD SM

;

5 3

sin 60 3

SMIS R

.

Thể tích khối cầu tương ứng ngoại tiếp hình chóp bằng 34 500 3

3 27V R .

Câu 45: Chọn B

Gọi ,E F thứ tự là trung điểm của ,AB CD . Coi 1a , từ giả thiết ta có

74AC AD BC BD nên , .AF CD BF CD ABF CD EF CD Chứng

minh tương tự .EF AB

Khi đó EF là đường trung trực của CDvà .AB Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

ta có IA IB IC ID R nên I thuộc đoạn thẳng EF .

2 2 2 2 2 74 16 9 7.EF AF AE AD DF AE

Đặt 7EI x FI x ;

2 2 2

22 2 2

9

16 7 14 65

IA EA EI x

ID FI FD x x x

.

Ta có IA ID 2 29 14 65x x x 9 14 65x 4x

Khi đó 2 9 5IA x . Do đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là 5R a .

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là 2 24 4 .25S πR π a

2100πa .

Câu 46: Chọn C

Xét AOB đều nên cạnh AB a .

Xét BOC vuông tại O nên 2BC a .

8a

6a

F

E

BD

C

A

I




439

Xét AOC có.2 2 02. . .cos120AC AO CO AO CO 3a .

Xét ABC có 2 2 2AB BC AC nên tam giác ABC vuông tại B tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác là trung điểm H của cạnh AC .

Lại có hình chóp .O ABC có OA OB OC a nên ( )OH ABC .

Xét hình chóp .S ABC có OH là trục đường tròn ngoại tiếp đáy, trong tam giác OHB kẻ trung

trực của cạnh SB cắt OH tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, bán kính R IS .

Xét OHB có 60HOB ,cạnh 3

4

aOB a OE

3 3.tan 60

4

aIE OE .

Xét IES vuông tại E:

2 2

2 2 3 3 7

4 4 2

a a aIS IE ES

.

Câu 47: Chọn B

Có

,

P Q

P Q CA Q CA AD

CA CA P

nên A nhìn DC dưới một góc vuông.

Có

,

P Q

P Q DB P DB BC

DB DB Q

nên B nhìn DC dưới một góc vuông.

Do đó, đường kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là DC .

Có 2 2 2 2 2BC AB AC a a a ;

2 2 2 22 3DC BC DB a a a .

Vậy, bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: 1 3

2 2

aR DC .

Câu 48: Chọn B

Mặt phẳng là mặt phẳng AMNP .

Do

, , .

, ,

SCAM SC AN SC AP SC

AM AN AP




440

Có

,

BC AB

BC SABC SAB BC AM

AB SA SAB

AB SA A

.

Từ đó ta có

,

AM BC

AM SCAM SBC AM MC

BC SC SBC

BC SC C

.

Tương tự ta có

,

CD AD

CD SACD SAD CD AP

AD SA SAD

AD SA A

.

Khi đó

,

AP CD

AP SCAP SCD AP PC

CD SC SCD

CD SC C

.

Nhận xét: , ,AMC ANC APC là những tam giác vuông có cạnh huyền AC .

Nên tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP là trung điểm O của AC .

22

2 2

AC ABR OA . Vậy

34 32

3 3V R

.

Câu 49: Chọn B.

Trong mp ABC , gọi và ' lần lượt là trung trực của các đoạn thẳng AB và AC .

Gọi I là giao điểm của và ' .

Vì AB

SA

nên AMB , mà tam giác AMB vuông tại M suy ra là trục đường tròn

ngoại tiếp tam giác AMB .

Có I IA IB IM

Chứng minh tương tự ta được ' là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ANC .

Do đó IA IN IC

Từ và suy ra IA IB IM IN IC I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .A BCNM với bán

kính R IA .

Mặt khác trong tam giác ABC , I là giao điểm của hai đường trung trực nên I là tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC .

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC

2 2

0

2 . .cos 77 .

2sin1502sin 2sin

BC AB AC AB AC BACR IA a

BAC BAC

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp .A BCNM : 3

34 28 7

3 3

aV R

.

Cách 2.




441

Dựng AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp ABC .

Khi đó 090ABD ACD ;AB BD AC CD .

Ta có: AB BD

SA BD

BD SAB , AM SAB nên BD AM .

Mặt khác AM MB AM MBD AM MD hay 090AMD .

Chứng minh tương tự: 090AND .

Hình chóp .A BCNM có các đỉnh cùng nhìn đoạn AD dưới một góc vuông nên khối cầu ngoại

tiếp hình chóp .A BCNM có đường kính là AD .

Vì vậy, bán kính của khối cầu ngoại tiếp hình chóp .A BCNM là bán kính R của đường tròn ngoại

tiếp ABC .

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC

2 2

0

2 . .cos 77 .

2sin1502sin 2sin

BC AB AC AB AC BACR a

BAC BAC

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp .A BCNM : 3

34 28 7

3 3

aV R

.

Câu 50: Chọn C

Gọi H là trung điểm cạnh AB , ta có: CH AB .

Ta có: , 2 , 2SABC MABCd S ABC d M ABC V V .

Mà 1 1 1

. , .16 3. , .16 3.3 3 3

MABC CMAB MABV V S d C MAB d C MAB CH .

Do đó, .S ABCV lớn nhất khi và chỉ khi ;d C MAB CH hay CH MAB .

Gọi , J O lần lượt là tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác MAB và tam giác ABC .

Dựng hai trục của hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác MAB và tam giác ABC cắt nhau tại I

. Khi đó I chính là tâm mặt cầu ngoại đi qua 4 điểm , , ,A B C M và bán kính mặt cầu đi qua bốn

điểm , , ,A B C M là

2

2 2 28 3.

3R OC OI JH

Do 16 3 , 8 , 4 3MABS AB d M AB .

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, ta có 0;0;0 , 4;0 , 4;0 , ;4 3H A B M a .

Đường trung trực của đoạn thẳng AM đi qua điểm 4

;2 32

aN

và có một véc tơ pháp tuyến

4;4 3AM a nên có phương trình là 44 4 3 2 3 0

2

aa x y

2 320;

8 3

aJ

2 32 4 3

38 3

aJH

. Do đó

2 2

min

8 3 4 3 4 15.

3 3 3R

Câu 51: Chọn A

Mặt cầu S có tâm 2017;2018;2019I và bán kính 2020R .

Gọi S là đỉnh hình nón.




442

Gọi H là tâm đường tròn đáy của hình nón và AB là một đường kính của đáy.

Trường hợp 1: Xét trường hợp SH R .

Khi đó thể tích của hình nón đạt GTLN khi SH R . Luc đó

3

2020

3V

.

Trường hợp 2: SH R I nằm trong tam giác SAB như hình vẽ trên.

Đặt 0IH x x R . Ta có 2 2 21 1.

3 3V HA SH R x R x

2 26

R x R x R x

33 32 20204

6 3 81

R

.

Dấu " " xảy ra khi 2020

3 3

Rx .

Câu 52: Chọn B

Gọi I, J là tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác ABCD và tam giác SAB. M là trung điểm của

AB và O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Ta có: JM AB và IM AB và mp SAB mp ABCD nên IM JM , ngoài ra O là tâm

của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nên OI ABCD OI IM ; OJ SAB OJ JM .

Do đó , , ,O J M I đồng phẳng và tứ giác OJMI là hình chữ nhật.

Gọi , bR R lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và bán kính đường tròn ngoại tiếp

tam giác SAB .

Ta có: 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

4b b b

ABR SO SJ OJ R IM R IA AM R IA

Áp dụng định lý Pytago: 2 2 2 2 2

2 23

4 4 4

BD AB AD a aIA a IA a

.

Áp dụng định lý sin trong tam giác SAB : 2.sin 60 32sin

b

AB a aR

ASB

Do đó: 2 2

2 213

3 4 12

a aR a a 2 213

43

S R a .

Nhận xét:

Xét hình chóp đỉnh S , có mặt bên SAB vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt phẳng đáy nội tiếp

trong đường tròn bán kính dR , bán kính mặt cầu ngoại tiếp tam giác SAB là

bR . Khi đó hình chóp

này nội tiếp trong 1 mặt cầu có bán kính 2

2 2

4d b

ABR R R

Câu 53: Chọn D

Ta ghép hình chóp .S ABC vào hình hộp đứng .SRQP DABC . Khi đó tâm I của mặt cầu ngoại

tiếp hình hộp đứng chính là tâm của hình chóp .S ABC .

Từ giả thiết ABC là tam giác vuông cân tại B nên đáy của hình hộp đứng là hình vuông.

, 2 , 2 3d A SBC d O SBC a 3OH a .




443

Xét tam giác vuông OIK có: 2 2 2

1 1 1

OH OI OK

2 22

1 1 1

3 23

2

OI aa

3OI a .

Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC là 2 2R IB OI OB .

2

2 29 3 2

2OI a a

18a .

Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC là 34

3V R

3418

3a 324 18 a .

Câu 54: Chọn A

Gọi H là trung điểm của AC SH ABC ; I là trung điểm của 6

2 6

BC aAB HI

Tam giác SAB đều cạnh 3

2

aa SI ; 2 2 21

6

aSH SI HI

2 2 152 2

3

aAC AH SA SH

Gọi ,b dr r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác ,SAC ABC

Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC 21 35 . . 21

.2 12 4 7

SAC b

SAC

a SA SC AC aS SH AC r

S

Theo công thức Hê-rông: 2 6 . . 15

6 4 6ABC d

ABC

a AB AC BC aS r

S

22 2 21

4 7b d

AC aR r r Vậy:

2221 12

47 7

mc

a aS

KHỐI ĐA DIỆN - Hoc Online 247

Documents

Transcript of KHỐI ĐA DIỆN - Hoc Online 247