Cátedra de G. Gasaneo Desarrollado por: F. Iaconis y G. Gasaneo

Física 1

Laboratorio: Cuadrados mínimos con un sistema masa-resorte

utilizando el celular

Objetivo de la primera parte:

-Aprender a medir el Período y calcular la frecuencia (Hz).

Actividad de laboratorio:

Primera parte:

Para esta experiencia vamos a utilizar una hoja de papel, una abrochadora, un Smartphone, la

aplicación Accelerometer Analyzer, si tienen notebook llévenla, un hilo grueso o resistente (mucho),

cinta adhesiva, una tijera y un anillado de encuadernacion.

Vamos a tomar la hoja de papel y la vamos a doblar y abrochar de manera que quede como un sobre

para nuestro teléfono. Con ayuda de la abrochadora vamos a colocarle a este “sobre” 2 hilos, como

se ven en las fotos 1 y 2.

Foto 1 (izq): se ve el sobre sostenido por las dos cuerdas en una disposición en forma de V

invertida. En este experimento utilizaremos el anillado de encuadernación en vez de la banda

elástica de la foto.

Foto 2 (derecha): se observan los dos hilos unidos al sobre con broches de la abrochadora y un

nudo simple.

Vamos a colocar el celular con la app “Vibration Monitor” grabando dentro del sobre y vamos a

dejar que oscile unas diez veces. Pasamos los datos del celular a la computadora. De los datos

analizados vamos a calcular el periodo de oscilación. Esto lo hacemos con el Excel buscando la

diferencia de tiempo que hay entre dos picos sucesivos.

Una vez que tengamos los dos pares de datos Periodo-masa, calculemos el valor de la constante k

con su respectivo error.

Pasos a seguir:

1) Hacer el sobre para el celular

2) Grabar las oscilaciones.

3) Pasar los datos grabados con el acelerómetro y medir varios periodos por longitud para calcular

el valor más probable del periodo con su respectivo error. (Calcular el error como hacíamos las

mediciones directas)

4) Calcular el valor de la contante k. Discutir el resultado.

Objetivos de la segunda parte:

-Aprender a linealizar una función para poder aplicar cuadrados mínimos.

-Calcular el valor del amortiguamiento viscoso por medio de cuadrados mínimos.

Segunda parte:

Dejar oscilar el teléfono hasta que se detenga. Pasar los datos al Excel. Se debería obtener algo

parecido a la figura 3

Figura 3: Decaimiento de la amplitud de oscilación

En la figura 3 estamos viendo un tipo comportamiento de un oscilador armónico subamortiguado.

Recuerden que la ecuación de la aceleración de este movimiento es:

(1)

Vamos a tratar de calcular . Para esto tenemos que hacer una lista con las coordenadas de al

menos 15 picos de la figura 3. Estos puntos van a corresponder a la ecuación envolvente del seno.

(2)

Aquí vamos a utilizar la teoría debajo desarrollada para cuadrados mínimos. Como ven, la

envolvente E(t,γ) es una exponencial por lo que no podemos utilizar directamente cuadrados

mínimos. Antes hay que linealizarla y lo vamos a hacer utilizando el logaritmo (Ver más abajo los

apuntes teóricos).

Pasos a seguir:

1) Hacer un sistema como en la foto 1 pero con un espiral de encuadernación, moverlo y

dejarlo oscilar hasta que se detenga.

2) Pasar los datos al Excel y graficarlos.

3) Encontrar entre 10 y 20 puntos donde los datos son máximos locales.

4) Hacer una lista con las coordenadas de estos puntos.

5) Graficar estos puntos.

6) Hacer una nueva lista con los datos anteriores pero en el eje Y van a poner el logaritmo

natural del valor Y de la primera tabla (para que los puntos correspondan a una recta)

7) Graficarlo esta nueva tabla. Les deberían quedar puntos que correspondan a una recta.

8) Con los datos de la segunda tabla calculen por medio de cuadrados mínimos la pendiente.

9) Noten que la pendiente de esa recta es el coeficiente de rozamiento viscoso.

Apendice A. Teoría de cuadrados mínimos

Si creamos un sistema masa-resorte con amortiguación viscosa veremos que cambia la amplitud con

el tiempo. ¿Pero cómo es este cambio? Es fácil ir a los libros o apuntes y contestar esta pregunta

con una ecuación… ¿pero esa ecuación es cierta o es una mentira de los físicos? Tratemos de

corroborarla.

Según la teoría la amplitud de la aceleración de un sistema masa-resorte está determinada por la

ecuación (2).

Si ustedes miden el valor de la aceleración en esos picos y los tiempos de dichos máximos van a

terminar con una tabla parecida a la tabla 1. Con 10 pares de datos vamos a estar bien.

Tiempo (seg) amax (m/seg2)

1 0.7

2 0.33

3 0.22

4 0.15

5 0.1

6 0.03

7 0.028

8 0.018

9 0.011

10 0.007

Tabla 1: Datos de tiempo y aceleraciones máximas.

Si graficamos esos pares de datos se verán como algo parecido a la figura 1

Figura 1: Mediciones de Aceleraciones máximas Vs. tiempo

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0 2 4 6 8 10 12

Aceleracion

Si en vez de graficar las aceleraciones máximas en función del tiempo, graficamos el logaritmo de

las aceleraciones máximas en función del tiempo, la tabla de datos quedaría como la tabla 2 y el

grafico como la grafica 2:

Tiempo Ln(amax)

1 0.7

2 0.33

3 0.22

4 0.15

5 0.1

6 0.03

7 0.028

8 0.018

9 0.011

10 0.007

Tabla 2: A cada valor de la aceleración se le ha aplicado el logaritmo, el tiempo se dejó sin

cambios.

Figura 2: Ln(amax) vs. tiempo.

Los datos parecen que se aproximan a una recta Y= A+B*X donde Y es el logaritmo de las

aceleraciones máximas, X es el tiempo y B debería ser γ y en este caso en particular A= Ln(aω2).

Esto se obtiene aplicando el logaritmo a la ecuación (2).

( ) (3)

Todo lo hecho anteriormente se hizo con la finalidad de poder llevar una relación que no era lineal a

algo lineal así podemos usar cuadrados mínimos. A este procedimiento se le llama "linealizacion".

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0 2 4 6 8 10 12

Log(Amax)

se puede hacer de distintas maneras según el modelo matemático que estemos usando. En este caso

elegimos aplicar el logaritmo a la variable dependiente (aceleraciones máximas).

¿En qué consiste hacer cuadrados mínimos? En utilizar los datos medidos para calcular la pendiente

y la ordenada al origen si la relación entre las magnitudes es lineal. Nunca se olviden que

cuadrados mínimos se puede utilizar SOLAMENTE si la relación es lineal.

Entonces vamos a calcular la pendiente. Para hallarla utilizaremos la siguiente ecuación:

∑

∑

∑

∑

∑

(2)

Y la ecuación para calcular el término independiente es:

∑

∑

∑

∑

∑

∑

(3)

Donde “N” es la cantidad de mediciones, en nuestro ejemplo usamos 10 mediciones entonces N es

10. “i” es el número de medición que varía de 1 a 10.

Hagan esas cuentas grafiquen la recta Y = B*X+A. Les debería quedar algo similar a la figura 3:

Figura 3: Logaritmo de las aceleraciones máximas Vs. tiempo.

Seguramente (no) se estén preguntando sobre cómo calcular el error de la pendiente y del término

independiente. Para esto vamos a definir una desviación “ei” que es cuánto se aleja el punto medido

de la ecuación que calculamos con cuadrados mínimos:

(4)

y = -0,221x + 0,011

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0 2 4 6 8 10 12

Log(Amax)

La ecuación para calcular el error en la pendiente es:

√ ∑

√ | (∑ )

∑

|

(5)

Y la ecuación para calcular el error en la ordenada al origen es:

√∑

∑

√ | (∑ )

∑

|

(6)

Recuerden que este procedimiento solo puede utilizarse si la relación es lineal. Pero no se

preocupen, a los físicos no les gusta acordarse una ecuación por problema así que tenemos un

pequeño as bajo la manga. Si la relación no es lineal, la linealizamos! ¿Cómo lo hicimos antes? Acá

viene una explicación más general. Supongan que tienen dos cantidades, X e Y, que se relacionan

de la siguiente manera:

(7)

Para linealizar esta función, para poder usar cuadrados mínimos, lo que se hace es aplicar logaritmo

a ambos lados y hacer un pequeño cambio de variables.

(8)

Hacemos estos cambios de variables:

(9)

(10)

(11)

(12)

Y así transformamos una ecuación exponencial en una lineal

(13)

Y ahora podemos utilizar cuadrados mínimos. Los pasos a seguir son los siguientes:

-Transformamos cada uno de los puntos Y y X con las ecuaciones (9) y (12).

-Los escribimos en otra tabla de datos

-Calculamos A y B con los datos de la tabla que construimos en el paso anterior.

-Obtenemos los valores de las constantes C y D despejando de las ecuaciones (10) y (11).

Lo bueno de todo esto es que no les pedimos que hagan todas las cuentas en el excel, aunque si no

leyeron nada de esto se lo vamos a pedir. Para el buen alumno acá va una ayudita. Se pueden

calcular los valores de A y de B con el excel, busquen en google "línea de tendencia excel" ;) el

problema es que también vamos a pedir los errores de A y de B.

Una vez hayado los valores de A y B, sabiendo la relación de estos coeficientes con γ, ω y a, y

habiendo calculado el ω en la primera parte, podemos reconstruir la ecuación (2) con valores

propios de nuestro experimento. Esto nos va a permitir graficar esa función encima de los puntos

medidos. la idea es obtener un grafico de este estilo:

Apéndice B. Uso de la app Accelerometer Analyzer e importacion de los

datos a excel

Descárguense la App (https://play.google.com/store/apps/details?id=com.lul.accelerometer). Una

vez abierta en su celular van al simbolito arriba a la derecha que parece un chip.

Se va a desplegar un menú donde tienen que cliquear donde dice "Remove Earth Gravity" y luego

van a "Sensor speed" donde seleccionan "Fastest".

Luego van al simbolito del disquete ->"Write settings"-> "File Name" y eligen un nombre para el

archivo.

Una vez seteado todo esto vuelven a cliquear sobre el disquete y en "Start Writing". En ese

momento van a tener que colocar el celular en su sobre para empezar el experimento. Cuando

quieran parar de grabar datos, sacan el celular y vuelven a cliquear el disquete y "Stop".

Para pasar los datos a la compu hay varias maneras:

1) Cuando paran de grabar sale un cartelito abajo donde dice, en verde, "Share". Si le dan click van

a tener varias opciones de compartir, utilicen las que más les guste.

2) Vuelven al disquete "Pick and Share", seleccionan el archivo que quieren enviar a la

computadora y listo.

3) Abren un exlorador de carpetas de Android y buscan una carpeta que se llama

"accelerometerDir" ahí están los archivos.

4) Enchufan el celular a la computadora con cable y buscan esa misma carpeta.

Una vez que tengan el archivo en la computadora, abren el Excel y lo abren. Recuerden que tienen

que seleccionar "Todos los archivos" en el cuadro de abajo a la derecha.

Luego se les va a abrir un asistente de importación en el primer paso deben seleccionar

"Delimitados".

Al darle siguiente pasamos al segundo paso donde deberemos tildar la opción "Espacio".

En el último paso va a aparecer un botón "Avanzadas". Clickeamos ahí y elegimos cual va a ser el

caracter que delimite los decimales. Esto depende del Excel que tengan. Así que algunos deberán

seleccionar la coma y otros el punto.

Cuando le den a "Finalizar" van a tener algo así:

Hasta la fila 25 pueden borrar todo. Los datos que vamos a utilizar están a partir de la fila 26. Como

esta señalado en rojo, la columna A es la aceleración del eje x del celular, la B es la aceleración del

eje Y y la C es la del eje Z. la columna D es la diferencia de tiempo entre una medición y la otra y

esta en milisegundos. para poder analizar los datos necesitamos un eje tiempo y los datos del eje Y.

Para general una columna con datos del tiempo en segundos nos vamos a una columna vacía en la

fila 26, digamos la columna F y ponemos un cero y apretamos "Enter" luego ingresamos lo

siguiente " =F26+D27/1000" y arrastramos hacia abajo. Luego copiamos la columna B y la

pegamos a la derecha de la columna F.

Para graficar lo que tenemos vamos a seleccionar la columna F y G (tiempo y aceleración en Y) y

elegimos el grafico "dispersión".