Estructura restringida inapropiadamente o mal apoyada. (Fuerzas concurrentes)

Si las componentes de reacción son paralelas, la resultante no podrá balancear ninguna fuerza que no tenga su misma línea de acción. En general si el número de reacciones es menor que el número de ecuaciones independientes de equilibrio de la estructura, ésta será externamente inestable. Según el método de resolución del sistema, se puede considerar dos tipos de indeterminación: Indeterminación estática: función de fuerzas Indeterminación cinemática: función de desplazamientos. Aquí solo se tratará la indeterminación estática, pues la cinemática hace parte de un curso de análisis estructural, usando un método de resolución por desplazamiento. Estructura parcialmente restringida Estructura restringida inapropiadamente # Ecuaciones > # incógnitas # Ecuaciones = # incógnitas

P2 P1 q(x) P1 q(x)

∑ ≠ 0Fx No existen apoyos que

balanceen ninguna fuerza en x.

∑ = 0Fy

(Reacciones paralelas)

P1 P1

R

1 ESTABILIDAD Las estructuras planas, requieren componentes de reacción que no sean concurrentes ni paralelas, como ecuaciones independientes de equilibrio. Para garantizar la estabilidad estructural, también es necesario que exista redundancia en la estructura, en caso de que falle un apoyo, la estructura no colapse sino que sea capaz de redistribuir las fuerzas a otros apoyos o elementos. Las componentes de reacción no pueden ser concurrentes, ya que se pueden reemplazar por una fuerza única, pero la resultante de las cargas aplicadas no necesariamente pasara por dicho punto, lo cual implica la existencia de un momento que haría girar la estructura alrededor de dicho punto.

FUERZAS INTERNAS EN VIGAS

Vigas: Elementos estructurales sometidas a cargas laterales, por ejemplo fuerzas y momentos cuyos vectores son perpendiculares al eje de la viga.

Viga simplemente apoyada. Viga en voladizo.

∑ = 0Fx 0cos1 =− αPAx αcos1PAx =

∑ = 0Fy 021 =−−−− ByqcPsenPAy α (1)

∑ = 0AM 02

. 21 =+

−−−− ByLc

LqcbPasenP α

L

cLqcbPsenaP

By

−++= 221 α

(2)

Reemplazo (2) en (1)

( )L

cLqc

L

bP

L

senaPqcPSenPAy 221

21

−−−−++=

αα

( )[ ]2111 21cLqc

L

bP

L

aSenPAy −−+

−+

−= α

( ) ( )

−−+−+−=L

cLLqc

L

bLP

L

aLSenPAy

221 α

L

qc

L

bLP

L

aLSenPAy

2

2

21 +

−+

−= α

Las fuerzas externas producen refuerzos y deformaciones en el interior de la viga.

PROBLEMA 1: Determinar las reacciones de la viga simplemente apoyada.

PVVP

Fy

==+−

=∑0

0

( ) )(0

0min

xLPMMxLP

M

−−==−−−

=∑

Procedimiento para hallar los diagramas de fuerza cortante y Momento Flector. 1) Primero se hallan las reacciones tomando como DCL toda la viga 2) Para conocer las fuerzas internas se realizan cortes transversales entre apoyos y cargas a

lo largo del eje de la viga y se hace la sumatoria de fuerzas y momentos en un extremo. Las ecuaciones resultantes son validas en cada segmento entre cargas

3) Se grafican las ecuaciones para cada segmento y se obtiene el diagrama de cortante y momento (para este ultimo si es (+) se pinta hacia abajo y (-) se pinta hacia arriba).

Convenciones de Signo por Deformación: Se basan en la deformación del material. Se suponen las fuerzas positivas como se muestra a continuación

)(−V : Actúa en Sentido anti horario. )(+V : Actúa en sentido horario. )(+M : Comprime la parte superior de la viga )(−M : Comprime parte inferior.

Deformaciones:

Convención de signo estático: Se basan en las ecuaciones de equilibrio

PROBLEMA 2: Para la viga en voladizo con carga puntual en el extremo, encontrar el cortante y el momento a cualquier distancia.

2 FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE

V: Cortante M: Momento de flexión

)(+V : Sentido negativo eje coordenado )(+M : Sentido Anti horario.

Si se obtiene un signo (+) para V, se supone que la dirección de la fuerza era la correcta. Un signo (-) indica que V actúa en dirección opuesta.

El cortante en el centro de la luz CL es (+) cuando las fuerzas externas que actúan sobre la viga tienden a cortar la viga como se indica. El momento de flexión M en CL es (+) cuando las fuerzas externas que actúan sobre la viga tienden a flexionar la viga como se indica

Un signo positivo de M supone una dirección correcta y una (-) indica dirección contraria

00 ==∑ AxFx

PROBLEMA 3: Hallar los diagramas de cortante y momento para la viga mostrada.

L

PbAy

L

PaLp

L

PaPByPAy

ByAyPFy

=

−=−=−=

=++−=∑ 00

Diagrama DCL del corte n-n: (Antes de la carga)

xL

PbMx

L

PbM

ML

PbVV

L

Pb

Fy

C

==−

=∑

==−

=∑

0

0

0

0

ax ≤≤0

Diagrama DCL del corte m-m: (Después de la carga)

L

Pa

L

bLPV

VPL

Pb

Fy

−=−−=

=−−

=∑

)(

0

0

Lxa ≤≤

PaxL

PaM

MPaL

bPx

MxL

PbPaPx

MxL

PbaxP

M C

+−=

=+−

−

=+−−

=+−−

=∑

01

0

0)(

0

0

12

=+−=

=

=

−=

+−=+−=

=

PaLL

PaM

Lx

L

Pab

L

aLPaM

L

aPaPa

L

PaM

ax

KNByByM

KNAyByAyFy

AxFx

A 140)0.5()0.3(40)5.2(200

460600

00

==+−=∑

==++−=∑

==∑

Corte n-n

xM

xM

M

V

V

Fy

20

020

0

20

020

0

−==+

=∑

−==−−

=∑

5.20 ≤≤ x Corte m-m

11526

01154620

0)5.2(4620

0

26

04620

0

−==+−+

=−−+=∑

==−+−

=∑

xM

xxM

xxM

M

V

V

Fy

5.55.2 ≤≤ x Corte l-l

14

04660

0

==−+−

=∑

V

V

Fy

PROBLEMA 4 : Hallar los diagramas de cortante y momento para la viga mostrada.

10514

0220401154620

0)5.5(40)5.2(4620

0

+−==−++−+

=−+−−+=∑

xM

xxxM

xxxM

M

5.75.5 ≤≤ x

PROBLEMA 4.5: Hallar los diagramas de cortante y momento para la viga mostrada.

2220

20

00

00

2 qLAy

qLqLAy

qLByByL

qLM

AxFx

qLByAyFy

A =−===+−=∑

==∑

=−+=∑

Corte n-n

xqLqx

M

xqLqx

M

M

qlqxVVqx

qL

Fy

22

022

0

20

2

0

2

2

+−=

=−+

=∑

+−==−−

=∑

2

02

0

2

2

qxM

qxM

M

−=

=+

=∑

Corte n-n

qxV

qxV

Fy

−==−−

=∑

0

0

Lx ≤≤0

PROBLEMA 6 : Hallar los diagramas de cortante y momento para la viga mostrada.

0

00

=

==

∑∑

AM

AxFx

0)( 0 =−+ MbaBy

0

0

=+

=

∑Fy

ba

MBy

ba

MByAy

+−=−= 0

axxba

MM

xba

MM

<<+

−=

=+

+

0

0

0

0

000 =

++− x

ba

MMM

aba

MMM

baxaba

MMM

+−+=

+<<+

−=

00

00

ba

Mb

ba

MaMbMaM

+=

+−+=

PROBLEMA 8: Hallar los diagramas de cortante y momento.

PROBLEMA 9: Hallar diagramas de cortante y momento de la viga sobre un medio elástico.

DCL corte m-m:

5.10202

4

0

5.104

040

22

<≤→==−

=<≤=

=+−=

∑

∑

xxMx

M

M

xxV

xVFv

DCL corte n-n:

5.45.19122

91242)25.23(42

02

42

)5.1)(5.1(8

0

5.45.1124

04)15(8

0

2

2222

<≤−+−=−+−=+−−=

=−−−−

=<≤+−=

=+−−−=

∑

∑

xxxM

xxxxxxM

xx

xxM

M

xxV

xxV

Fv

DCL corte L-L:

65.472242

0)3)(3(82

4

0

65.4244

04)3(8

0

2

2

<≤+−=

=−+−

=<≤+−=

=−+−

=

∑

∑

xxxM

xx

M

M

xxV

Vx

Fv

maxV y los diagramas de corte y momento.

∑ = 0Fy

0)12()3(224)3(2 =+−−− q

m

kNq 3=

032 =+−− xxV

30 0 <<==+− xxVxV

302

10

2.3

2.2 2 <≤==−+ xxM

xx

xxM

036 =+−− xV 63 −= xV 63 <≤ x

02

.3)15(6 =−−+ xxxM

962

3 2 +−= xxM

10630303246 <≤−==+−−− xxVxV

( ) ( ) 02

.36245.16 =

+−−−− xxxxM

153302

3 2

−+−= xx

M

03)9(2246 =+−−−−− xxV 12−= xV 129 <≤ x

PROBLEMA 11: Para la viga de cimentación sobre medio elástico (Suelo). Hallar M max y

( ) ( ) ( ) ( )0

2.3

2

9926245.16 =+−−−−−−− x

xx

xxxM

( ) 02

381181442496

22 =++−−+−+− x

xxxxM

72122

1 2 −+−= xxM

0=∑Fv ( ) 0=+−− dVVqdxV q

dx

dV −=

∫∫ −=xv

vAqdxdV

0

∫−=−x

A qdxVV0

0=∑ M

Esta ecuación no es valida cuando hay cargas puntuales aplicadas.

Área bajo la curva del diagrama de carga entre A y un punto a una distancia x.

3. RELACIÓN ENTRE q, V y M. Existe una relación entre la carga, la fuerza cortante y el momento flector. Para encontrar esta relación se considera un tramo de viga de longitud dx, con cargas concentradas y distribuidas en la parte superior. Las cargas distribuidas y cargas concentradas son positivas cuando van hacia a bajo, y el momento es positivo contrarreloj. Existen 3 casos: 3.1 Cargas distribuidas.

( )

02

02

2

=++−−−−

=+−+−

−−

dMMdVdxVdxqdx

M

dMMdxdVVdx

qdxM

Vdx

dM = Esta ecuación no es válida cuando hay momentos aplicados.

∫

∫∫=−

=x

A

xM

M

VdxMM

VdxdM

0

04

11 ; MV : Incrementos finitos de fuerza

( ) 0

0

1 =+−+−

=∑VVVP

Fv

PV =1 Ocurre un cambio abrupto en la fuerza constante en el punto donde actúa la carga concentrada.

( ) 02

0

11 =+−−++−

=∑

dxVVdxP

MMM

M

dxVVdxdxP

M 11 2−−=

01 =M

0=∑M

( ) 011 =−−+−+− MMdxVVMoM

0110 =−−− MVdxdxVM

MoM =1 00 1 ==∑ VFv

Se desprecian los términos diferenciales. El momento flexionante cambia abruptamente en el punto de aplicación de un par, este disminuye una cantidad 0M .

Área del diagrama de fuerza cortante entre A y un punto a una distancia x.

3.2 Cargas concentradas

Como dx es infinitesimalmente pequeño, el incremento de M1 es infinitesimalmente pequeño. El momento flexionante no cambia cuando pasa a través del punto de aplicación de la carga concentrada. 3.3 Cargas de Momento

xL

qq 0=

02

=−− qxV

102

20 <≤−= xxL

qV

03

1.

2=+ x

qxM

06

1 2 =+ qxM

106

30 <≤−= xxL

qM

6320

2

0

30)(

32

2

0

00

0000

00

LqLqLqABA

Lq

Fy

LqBLB

LLq

M

AxFx

yyy

yy

A

=−==++−

=

==+

−

=

==

∑

∑∑

PROBLEMA 10: Hallar M max y Vmax y los diagramas de M y V

Nota: Pintar los diagramas de momento del lado de la flexión. PROBLEMA 7 : Hallar los diagramas de cortante y momento para la viga mostrada.

20

0

00

0

xL

qxdx

L

qVVx

L

q

dx

dV

rectaunadeEcuacionxL

qqperoq

dx

dV

X

A −=−=−=

=−=

∫

LxLxq

L

xqM

dxLq

L

xqMMV

dx

dM

LxLq

L

xqV

LqAVperoV

L

xqV

X

A

yAA

<≤+−=

+−=−=

≤≤+−=

==+−=

∫

066

6

062

62

03

0

0

02

0

02

0

02

0

20

03

02

0

064.0)58.0(66

)58.0(

062

LqLLq

L

LqM

Lq

L

Xq

oMax =+−=

=+−

∫=L

dxL

xSenqQ

0 0

π

L

L

xLqQ

0

0 cosπ

π−=

[ ]

π

πLq

Q

LqQ

0

0

2

11

=

−−−=

Reacciones

0=Ax π

LqAy 0=

πLq

By 0=

PROBLEMA 12: Realizar el diagrama de cortante y momento por integración. Carga puntual

qdx

dV −=

∫ −=−L

A dxL

xsenqVV

0 0

π

AVL

xLqV +

−= 1cos0 ππ

Pero π

LqAyVA

0== ππ

ππ

LqLq

L

xLqV 000 cos +−=

L

xLqV

ππ

cos0= Lx ≤≤0

Vdx

dM =

22

200 C

L

xSen

Lqdx

L

xCos

LqM +== ∫

ππ

ππ

22

2

)0(0)0( CSenqoL

M +==π 02 =C

L

xSen

LqM

ππ 2

20= Lx <≤0

4 DIAGRAMAS CUALITATIVOS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO 4.1 Fuerza Cortante Si la pendiente del diagrama de fuerza cortante es igual a la carga (en valor absoluto), quiere decir que el valor de la tangente del diagrama V en cada punto será igual al valor de la carga en ese punto.

Si la carga es constante, la pendiente del diagrama de fuerza cortante es constante. Si q = 0 la pendiente de V es una línea recta horizontal. La única función (q = 0) cuya derivada es cero, es una constante o línea horizontal al eje X (Integral de 0 = Cte.).

Si la carga aumenta, a medida que X aumenta, entonces la pendiente del diagrama de fuerza cortante aumenta, y si disminuye entonces la pendiente del diagrama de V disminuye. Para la siguiente viga, la carga aumenta de A a C, entonces la pendiente de V aumenta de A a C de C a B la carga disminuye.

d) La carga disminuye de A a B, por lo tanto la pendiente de V disminuye, luego la carga aumenta.

Vdx

dM =

En cada punto el diagrama de momento flector tendra una pendiente igual al vector de la fuerza cortante de dicho punto.

e) La única función cuya derivada es cero (q = 0) es una línea horizontal a

−= qdx

dvX .

Si la fuerza cortante es constante, la pendiente del diagrama M es constante.

f) Si la fuerza cortante aumenta, a medida que X aumenta, entonces la pendiente del diagrama del momento aumenta.

Obtener cualitativamente el diagrama de M para:

4.2 Momento Flector.

El cortante entre B y C es cero, por lo tanto el M es constante, la fuerza cortante es constante y negativa entre C y D por lo tanto la pendiente de M es constante y negativa. El cortante A y B es constante y (+) por lo tanto la pendiente M es constante y(+). PROBLEMA 12: Dibujar cualitativamente los diagramas de fuerza cortante y momento flector, así como el refuerzo a flexión.

4.3 Columnas Dibujar cualitativamente los diagramas de fuerza axial (N), fuerza cortante (V) y momento flector

- Las Fibras a tracción: se alargan

4

2qxM

−=

Para el caso de una viga simplemente apoyada, la carga P aplicada en la mitad de la luz, representa una singularidad en la carga de la viga, originando discontinuidades en el cortante y momento flector y se requerirán diferentes funciones para representar a V y M.

q

A B

A B

P

L

L/2 L/2

- Las Fibras a compresión: se acortan Importante: La convención de los diagramas de momentos se dibujan del lado del lado que están a tracción (del lado del refuerzo) y no se deben definir como positivas los momentos antihorarios. 5. DETERMINACIÓN DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR USANDO ECUACIONES DE SINGULARIDAD Se considera la siguiente viga en voladizo, sin discontinuidad en la carga de la viga. V = −qx

Las Funciones de Singularidad representan a V y M por medio de una sola función matemática, que evalúan la magnitud de la fuerza interna a cualquier distancia x. Para ilustrar el proceso se usará la siguiente viga:

∑ = 0BM 0)2(2

=−

aA

aqa y

4

* aqAy =

∑ = 0Fv 41

qaV =

∑ = 0M xqa

M41 =

∑ = 0Fv ( ) 042 =+−−− qa

axqV

∑ = 0M ( )

042

2

2 =−−+ xqaax

qM

( )24

2

2

axqx

qaM

−−=

Las funciones 21 , VV y 21 M, M se puede representar como:

( ) >−<−= axqqa

xV4

( ) 2

24>−<−= ax

qx

qaxM

Alternativamente por integración:

∫∫∫ >−<−==−x

a

xx

A dxaxqdxqa

VdxMM00 4

Pero 0=AM

2

24>−<−= ax

qx

qaM

Los paréntesis triangulares < > , se reemplazan por paréntesis ordinarios ( ) cuando ax ≥ , y por cero cuando x< a. La carga distribuida se puede expresar como:

( ) 0>−<= axqxq ( ) ax xq <= 0 ( ) ax qxq ≥=

En resumen, la función de paréntesis triangulares se vuelve de paréntesis normales en las condiciones siguientes:

( )

<≥−=>−<axcuando

axcuandoaxax

nn

0

M1

M2

V1

V2 qa/4

qa/4

x

qa

Bx

By Ay

Graficando las funciones anteriores:

n=0 n=1 n=2

01

1 1 ≥>−<+

=>−< +∫ nParaax

ndxax nn

11 ≥>−<=>−< − nparaaxnaxdx

d nn

En el siguiente cuadro las funciones q(x), V(x) y M(x), se expresan en términos de funciones de singularidad con paréntesis triangulares. El método consiste en realizar un solo corte exactamente un diferencial dx, antes de que termine la viga, se hace el equilibrio y se obtienen las funciones de fuerzas internas, usando la siguiente tabla:

<x-a>0 <x-a>1 <x-a>2

0 0 0 a a a x x x

00 ==∑ Ax Fx

M B∑ = 0 0)6.3()0.3(2.1)4.2)(2.1(5.144.1 =−++ yA kNAy 6.2=

Una carga distribuida que no se extienda hasta el extremo derecho de la viga o que es discontinua, debe reemplazarse por una combinación de cargas abiertas en los extremos como se observa a continuación.

00)( >−<= axqxq

00

00 8.16.0)( >−<−>−<= xqxqxq

)(xV se obtiene integrando )(xq , invirtiendo los signos y sumando las constantes Ay y

06.0 >−<− xP , es decir las cargas puntuales actuantes que producen un salto abrupto en el diagrama.

)(xqdx

dV −=

000 6.08.16.0)( >−<−+>−<+>−<−= xPAyxqxqxV

1.2

Ax 1.5

Ay By

P=1.2kN qo=1.5kN/m

Ay=2.6kN By

M=1.44kNm

-q0=-1.5kN/m

0.6

1.8

PROBLEMA 1 Fuente [1]: Usando funciones de singularidad, exprese la fuerza cortante y el momento flector como funciones de la distancia x desde el apoyo A. y halle los diagramas de V y M.

)(xM Se obtiene integrando )(xV y añadiendo 00 6.2 >−<− xM , es decir los momentos

actuantes.

00

2020 6.26.08.12

6.02

)( >−<−>−<−⋅+>−<+>−<−= xMxPxAyxq

xq

xM

Sustituyendo los valores numéricos.

011 6.02.16.28.15.16.05.1)( >−<−+>−<+>−<−= xxxxV 0122 6.244.16.02.16.28.175.06.075.0)( >−<−>−<−+>−<+>−<−= xxxxxxM

( )x

L

qqqxq AB

A 5,1)(

−−−=

( ) 002

4

52

43)( >−<−>−<−−+= L

xPL

xPxL

qqxqxV AB

A

9

11max

PV =

( ) ( ) 1132

4

52

492>−<−>−<−−+= L

xPL

xPxL

qqxqxM ABA

16

3max

PLM −=

P 2P L L/4 L/4

qB

qA

PROBLEMA 2: Hallar ecuaciones de singularidad y diagramas de Cortante y Momento. q: se toma (-) hacia arriba

a) Ecuaciones de singularidad b) Diagramas de V y M

100

2

42)( >−<−= L

xL

qx

L

qxq

42

2)( 02020 LqL

xL

qx

L

qxV +>−<+−=

xLqL

xL

qx

L

qxM

423

2

3)( 03030 +>−<+−=

2q0 q0

q0

A B

L/2 L/2

L/2 L/2

40Lq

Ay = 40Lq

By =

2q0

PROBLEMA 3: Para la viga mostrada halle: