4. 6 MOMENTO DE UN PAR

Un par se define como dos fuerzas paralelas quetienen la misma magnitud, con direccionesopuestas, y están separadas por una distanciaPerpendicular d.

El momento producido par se denomina momento par.

En cualquier punto podemos determinar su valorencontrado la suma de los momentos de ambasfuerzas del par.

Por lo tanto, este concepto es diferente almomento de una fuerza, que requiere un punto definido(o eje) con respecto al cual se determinan losmomentos.

Formulación Escalar

-Magnitud del momento par:

M= F d

-Donde F es la magnitud de una de lasfuerzas y d la distancia

perpendicular o brazo de momento entre las fuerzas.

-Dirección y sentido determinados por la regla de la mano derecha.

Formulación Vectorial

Para el momento del par:

M= r x F

-Ya que tomando el punto O en la línea de aplicación de –F, el momento de esta fuerza es cero.

- “r” se multiplica vectorialmente con la fuerza ala que es dirigido.

Pares Equivalentes

Se dice que dos pares son equivalentes si producenun momento con la misma magnitud y dirección.

Momento de par resultante

- Los momentos de pares son vectores libres y por tantopueden aplicarse en cualquier punto P y sumarse entonces vectorialmente.

- Como son vectores libres podemos, para hallar elmomento de par resultante:

MR = M1 + M2

- Para más de 2 momentos, podemos usar

MR = Σ(r X F)

EJEMPLO

(1) Determine el momento del par que actúa sobre la tubería.

El segmento AB está dirigido 30° debajo del plano x–y.

Solución I (análisis vectorial)

Momento respecto a O,

M = rA X (-250k) + rB X(250k)

= (0.8j) X (-250k) +(0.66cos30ºi

+ 0.8j – 0.6sin30ºk) X (250k)

= {-130j}N.cm

Momento respecto a A

M = rAB X (250k)

= (0.6cos30°i –0.6sin30°k)

X (250k)

= {-130j}N.cm

Solución II (análisis escalar)

Momento respecto a A o B,

M = F d = 250N(0.5196m)

= 129.9N.cm

Aplicando la regla de lamano derecha,

M actúa en la

dirección –j

M = {-130j}N.cm

4.7 SIMPLIFICACIÓN DE UN SISTEMA DE FUERZA Y PAR

Es conveniente reducir un sistema de fuerzas ymomentos de par que actúan sobre un cuerpo a unaforma más sencilla lo podemos realizar de unaforma más sencilla si se reemplaza en un sistemaequivalente, que consta de una sola fuerzaresultante la cual actúe en un punto específico yun momento de par resultante.

Un sistema equivalente es aquel que causa losmismos efectos externos que los causados por el sistemade fuerzas y pares originales.

Los efectos externos que causan un sistema son losmovimientos de traslación y la rotación de uncuerpo.

O se refieren a las fuerzas reactivas en lossoportes si el cuerpo se mantiene fijo.

Sistema de fuerzas y momentos de par.

La fuerza resultante actuando en el punto O y elmomento del par resultante.

FR =ΣF(M¿¿R)O ¿=ΣMO+ΣM

Si las fuerzas estan en el plano x–y ylos momentos de pares sonperpendiculares a ese plano.

(F¿¿R)X ¿= Σ Fx

(F¿¿R)Y ¿ = Σ Fy

(M¿¿R)O ¿ = ΣMO+ΣM

Procedimiento de análisis

1. Establecer los ejes de coordenadas con elorigen en el punto O con una determinadaorientación.

2. Sumar las fuerzas.

Si el sistema de fuerzas es coplanar, descompongacada fuerza en sus componentes x y y.

3. Sumar los momentos.

Determinar los momentos de las componentes de cadafuerza en vez del momento de la fuerza en sí.

EJEMPLO

Un miembro de una estructura esta sujeto a unmomento de par M y a las fuerzas F1 y F2.Reemplace el sistema por uno equivalente de fuerzay momento de par actuando sobre su base en elpunto O.

Expresamos las fuerzas y pares como vectorescartesianos.

F1 = -800 N k

F2 = 300 N uCB= (-249.6 i + 166.4 j) N

M = -500 * 4/5 j + 500 * 3/5 k = (-400 j + 300 k)Nm

Suma de fuerzas y momentos.

FR = F1 + F2 = (-250 i + 166 j – 800 k) N

(M¿¿R)O ¿ = M + rC x F1 + rB x F2 = (-166 i - 650 j +300 k) N.m