Procedimiento para trazar gráficas momento-curvatura

Artículo de Divulgación Vargas y González / Ingeniería (9-1) 200537- 47

Procedimiento para obtenergráficas momento-curvatura envigas de concreto reforzado

Gabriel Vargas Marín1, Javier González Alonso1

Recibido el 25 de febrero de 2005 - Aceptado el 27 de abril de 2005

RESUMEN

Se presenta el procedimiento para obtener varios puntos de la gráfica demomento – curvatura para una viga con sección transversal rectangular. Parailustrar la manera en que el análisis de estas gráficas ayuda a comprender elcomportamiento de elementos de concreto reforzado sometidos a flexión seobtienen las gráficas momento – curvatura para una misma sección transversalcon tres diferentes áreas de acero.

Palabras clave: concreto reforzado, flexión, momento, curvatura.

ABSTRACT

A procedure to obtain several points of the moment-curvature diagram for arectangular cross-section beam is presented. To illustrate how the analysis ofthese graphs can help to get better understanding of reinforced concreteelements behavior, when they are loaded by static bending, moment-curvaturegraphs for the same section are obtained with three different steel areas.

Keywords: reinforced concrete, bending, moment, curvature.

1 Profesor de Carrera del Cuerpo Académico de Estructuras y Materiales de la FIUADY

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Figura 1

INTRODUCCIÓN

El comportamiento de elementos deconcreto reforzado sometidos aflexión puede comprenderse de maneramás clara mediante el uso de lasgráficas que relacionan el momentoflexionante resistente en unasección con la curvaturacorrespondiente. Sin embargo aunqueen la mayoría de los textos

relacionados con el concretoreforzado se resalta la importanciade estas gráficas, no se presenta elprocedimiento para su obtención.

Se presenta el procedimientoiterativo para determinar cuatropuntos relevantes de las gráficasmomento – curvatura de seccionestransversales rectangulares deconcreto reforzado. La magnitud y la

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posición de la fuerza resultante decompresión en el concreto, despuésde la etapa elástica, se obtienenmediante el diagrama esfuerzo –deformación unitaria propuesto porHognestad que considera una curvaparabólica en el intervalo 0 ≤ εc ≤0.002 y una línea recta en elintervalo 0.002 ≤ εc ≤ 0.004 y quese presenta en la figura 1. Ladeformación máxima útil en elconcreto se considera εcu = 0.003.

METODOLOGÍA

En cada uno de los puntos pordeterminar, el procedimientoconsiste en suponer el valor de ladeformación unitaria para lascondiciones estudiadas y mediante elprocedimiento de tanteos, obtener laprofundidad del eje neutro quecumple con las condiciones delequilibrio de fuerzas. Por razonesde espacio, únicamente se presentanlos tanteos que corresponden a lacondición de equilibrio. Como elprocedimiento para la obtención dela gráfica momento – curvatura esidéntico para las tres áreas deacero, únicamente se presenta enforma detallada el desarrollo parala sección A que corresponde a unárea de acero de 5.94 cm2. Para lasáreas de las secciones B y C, sepresentan únicamente los resultadospara cada una de las condicionesconsideradas.

Los puntos que se estudiarán paragenerar la gráfica momento -curvatura de las tres áreas deacero, corresponden a los siguientesestados:

1. inicio del agrietamiento2. fluencia del acero3. entre la fluencia del acero y

la resistencia última de lasección

4. resistencia última

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Figura 2. Sección transversal2

Para el cálculo de la fuerza decompresión en el concreto despuésdel comportamiento elástico seconsideró un diagrama esfuerzodeformación unitaria para elconcreto con una rama ascendenteparabólica y una rama descendentelineal, cuyas ecuaciones son:

el coeficiente para calcular elesfuerzo equivalente en el concretoestá dado por:

la posición de la fuerza decompresión en el concreto, referidaa la posición de la fibra más lejanaen compresión desde el eje neutro,está dada por:

La ecuación (5) se obtienedividiendo el momento estático (o deprimer orden) del área del diagrama

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de esfuerzos comprendida entre eleje de las ordenadas y un valor dela deformación unitaria ubicada enla porción parabólica del diagramaesfuerzo deformación del concretorespecto del eje de las ordenadas,entre la magnitud de dicha área. Laecuación (6) se obtiene de manera

similar a la ecuación (5) perocorresponde a un valor de ladeformación unitaria ubicada en laporción recta de dicho diagrama.Para todos los casos en estudio seconsiderará εo = 0.002 y εcu = 0.003.

2 Las dimensiones de la sección así como las propiedades de los materiales, seobtuvieron de las notas del curso de maestría “Comportamiento de Estructurasde Concreto”, impartido por el Dr. Ramón Padilla Mora en el Instituto deIngeniería Sísmica de la Universidad de Guadalajara.

Obtención del primer punto.

Punto correspondiente al inicio delagrietamiento para As = 5.94 cm2 (3varillas de 5/8”).

En la figura 3 se muestran losdiagramas de deformaciones y deesfuerzos en la sección transversal:

Figura 3

se supone la profundidad del ejeneutro como c = 26.04 cm, ladeformación en el concreto

el esfuerzo máximo en el concreto:

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la deformación en el acero:

el esfuerzo máximo en el acero:

la fuerza de compresión en elconcreto por encima del eje neutro:

y las fuerzas de tensión en elconcreto y en el acero por debajodel mismo eje:

como puede observarse, lasmagnitudes de las fuerzas de tensióny de compresión son prácticamenteiguales. Los momentos de las fuerzasrespecto del eje neutro:

la curvatura correspondiente:

Obtención del segundo punto.

Punto correspondiente a la fluenciadel acero para As = 5.94 cm2 (3varillas de 5/8”).


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Figura 4

se supone la profundidad del ejeneutro como c = 12.26 cm, ladeformación máxima en el concreto:

el coeficiente para calcular elesfuerzo en el concreto:

el esfuerzo en el concreto:

la fuerza de compresión en elconcreto por encima del eje neutro yla fuerza de tensión en el acero pordebajo del mismo eje:

como puede observarse, lasmagnitudes de las fuerzas de tensióny de compresión son prácticamenteiguales.

El coeficiente para determinar laposición de la fuerza de compresiónestá dado por:

la posición de la fuerza decompresión:

el momento de la fuerza de tensiónrespecto de la posición de la fuerzade compresión:


Obtención del tercer punto.

Punto entre el inicio de la fluenciay la resistencia última de la

sección para As = 5.94 cm2 (3varillas de 5/8”).

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Figura 5

para una deformación de 0.002 en elconcreto, se supone la profundidaddel eje neutro como c = 6.19 cm. Ladeformación en el acero:




como puede observarse, lasmagnitudes de las fuerzas de tensióny de compresión son prácticamenteiguales (de hecho la fuerza detensión en el acero permanececonstante toda vez que ha alcanzadosu esfuerzo de fluencia).


la posición de la fuerza decompresión:

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el momento de la fuerza de tensiónrespecto de la posición de la fuerzade compresión: la curvatura correspondiente:

Obtención del cuarto punto.

Punto correspondiente a laresistencia última de la secciónpara As = 5.94 cm2 (3 de 5/8”)..

En la figura 6, se muestran losdiagramas de deformaciones y deesfuerzos en la sección transversal.

Figura 6

Para una deformación última en elconcreto de 0.003, se supone laprofundidad del eje neutro como c =5.42 cm.



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como puede observarse, lasmagnitudes de las fuerzas de tensióny de compresión son prácticamenteiguales (de hecho la fuerza detensión en el acero permanececonstante toda vez que ha alcanzadosu esfuerzo de fluencia).


la posición de la fuerza decompresión

el momento de la fuerza de tensiónrespecto de la posición de la fuerzade compresión:


Como se mencionó con anterioridad,el procedimiento para determinar lospuntos de las gráficas de momento –curvatura para las otras doscondiciones de refuerzo, secciones By C, es similar al descritoanteriormente, por lo que únicamentese presentan los resultadoscorrespondientes en las tablas 1 y2.

COMENTARIOS FINALES Y CONCLUSIONES.

De la comparación de las curvasmomento – curvatura (ver Figura 7)para las tres cantidades de acerodescritas al inicio, se puedenobtener las siguientes conclusiones:

i. Para el área de acero de 5.94cm2, que corresponde a 3varillas de 5/8” de diámetro,se observa que aun cuando sumomento último es el menor delos tres casos, se dispone deuna gran ductilidad para lasección, esto es, se logranalcanzar grandes deformacionesen ella antes de que sealcance la resistencia última(el porcentaje de acero deesta sección está por encimadel valor mínimo y por debajodel valor máximo, es decir, setrata de una secciónsubreforzada). La secciónpresenta una falla de tipodúctil.

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ii. Para el área de acero de 17.1cm2, que corresponde a 6varillas de 3/4" de diámetro,se observa que se logra ungran aumento en el valor delmomento último, pero se reduceconsiderablemente elcomportamiento dúctil que sepresenta en el caso anterior(el porcentaje de acero estámuy cerca del porcentajemáximo para una secciónsubreforzada). La secciónsigue presentando una falla detipo dúctil ya que el aceroalcanza su esfuerzo defluencia antes de que elconcreto llegue alaplastamiento.

iii. Para el área de acero de 30.42cm2, que corresponde a 6varillas de 1” de diámetro, seobserva también una aumentoconsiderable en el momentoresistente respecto de loscasos anteriores; sin embargo,la ductilidad es prácticamentenula, esto es, la viga alcanzasu resistencia máxima einmediatamente despuéssobreviene la falla (elporcentaje de acero está muypor encima del porcentajemáximo para una vigasubreforzada). La secciónpresenta una falla de tipofrágil.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. Park R., Paulay T., “Estructuras de Concreto Reforzado”, Limusa,Primera edición, México 1986.

2. González Oscar, “Aspectos Fundamentales del Concreto Reforzado”,Limusa, Segunda edición, México, 1985.

3. González, Javier, “Apuntes de Estructuras de Concreto”, UADY, México,1993.

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Vargas y González / Ingeniería (9-1) 2005 37-47

Vargas y González / Ingeniería (9-1) 2005 37-47Figura 7. Gráficas Momento – Curvatura (M - ) para las secciones A, B y CTabla 1. Coordenadas de los puntos de la gráfica Momento – Curvatura (M - ) para la sección B

Propiedades de la sección Bb

(cm) h (cm) d (cm) f'c (kg/cm2) Ec (kg/cm2) As(cm2) Es (kg/cm2) fy (kg/cm2) fr (kg/cm2) εr

25.4 50.8 45.72 280 253,103 17.1 2,038,900 4,200 35.43 0.00014

Agrietamientoc

(cm)εc =

(εr*c)/(h-c) fc = Ec*εc

εs = [εr*(d-c)]/(h-c) fs = Es*εs

Cc =(1/2)*fc*b*c Ts = fs*As

Tc =(1/2)*fr*(h-c)*b

T = Ts + Tc

(kg) (kg/cm2) (kg/cm2) (kg) (kg) (kg) 27.398 0.000164 41.49 0.000110 223.48 14,435 3,822 10,530 14,352 EQUILIBRIO

Momentos Curvatura

M1 = (Cc)*(2c/3) M2 = (Ts)*(d-c)M3 = (Tc)*[2*(h-c)/3] MT = M1+M2+M3 ( = εc/c)

kg-cm (kg-cm) (kg-cm) (kg-cm) (cm-1)

263,658 70,019 164,282 497,9595.98239E-

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Fluenciac (cm)

εc =(εy*c)/(d-c) k1 fc = k1*0.85*f'c εs = εy fs = fy Cc = fc*c*b Ts = As*fy k2

(kg/cm2) (kg/cm2) (kg) (kg) 19.996 0.001632 0.5941 141.40 0.0021 4,200 71,819 71,820 0.3645 EQUILIBRIO

Momentos CurvaturaM1 = (Cc)*[c-

(k2*c)] M2 = (Ts)*(d-c) MT = M1 + M2

( =εc/c)

kg-cm (kg-cm) (kg-cm) (cm-1)

912,669 1,847,498 2,760,1678.16358E-

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Punto entre la fluencia y la resistencia últimac (cm) εc k1 fc = k1*0.85*f'c εs = [εc*(d-c)]/c fs = fy Cc = fc*c*b Ts = As*fy k2 (kg/cm2) (kg/cm2) (kg) (kg) 17.82 0.002 0.6667 158.67 0.0031 4,200 71,817 71,820 0.3750 EQUILIBRIO


(k2*c)] M2 = (Ts)*(d-c) MT = M1 + M2

( =εc/c)

kg-cm (kg-cm) (kg-cm) (cm-1)799,862 2,003,778 2,803,640 0.000112

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Resitencia últimac (cm) εc = εcu k1 fc = k1*0.85*f'c εs = [εc*(d-c)]/c fs = fy Cc = fc*c*b Ts = As*fy k2 (kg/cm2) (kg/cm2) (kg) (kg) 15.83 0.003 0.7507 178.67 29.89 4,200 71,839 71,820 0.4112 EQUILIBRIO


(k2*c)] M2 = (Ts)*(d-c) MT = M1 + M2

( =εc/c)

kg-cm (kg-cm) (kg-cm) (cm-1)669,596 2,146,700 2,816,296 0.000190

Tabla 2. Coordenadas de los puntos de la gráfica Momento – Curvatura (M - ) para la sección CPropiedades de la sección

b (cm) h (cm) d (cm) f'c (kg/cm2) Ec (kg/cm2) As(cm2) Es (kg/cm2) fy (kg/cm2) fr (kg/cm2) εr

25.4 50.8 45.72 280 253,103 30.42 2,038,900 4,200 35.43 0.00014Agrietamiento

c (cm)εc =

(εr*c)/(h-c) fc = Ec*εc

εs = [εr*(d-c)]/(h-c) fs = Es*εs

Cc =(1/2)*fc*b*c Ts = fs*As

Tc =(1/2)*fr*(h-

c)*bT = Ts + Tc

(kg) (kg/cm2) (kg/cm2) (kg) (kg) (kg) 28.64 0.000181 45.80 0.000108 220.01 16,657 6,693 9,971 16,664 EQUILIBRIO

Momentos Curvatura

M1 = (Cc)*(2c/3)M2 = (Ts)*(d-

c)M3 = (Tc)*[2*(h-c)/3] MT = M1+M2+M3 ( = εc/c)

kg-cm (kg-cm) (kg-cm) (kg-cm) (cm-1)318,044 114,311 147,307 579,662 6.31769E-06

Punto entre el agrietamiento y la resistencia última

c (cm)εc =

(εy*c)/(d-c) k1

fc =k1*0.85*f'c

εs = [εc*(d-c)]/c fs = fy Cc = fc*c*b Ts = As*fy k2

(kg/cm2) (kg/cm2) (kg) (kg) 22.3 0.000210 0.1013 24.12 0.000220547 449.67 13,659 13,679 0.3274 EQUILIBRIO


(k2*c)]M2 = (Ts)*(d-

c) MT = M1 + M2 ( = εc/c)kg-cm (kg-cm) (kg-cm) (cm-1)

204,863 320,364 525,226 9.41704E-06

Segundo punto entre el agrietamiento y la resistencia última

c (cm) εc k1

fc =k1*0.85*f'c



Vargas y González / Ingeniería (9-1) 2005 37-47Momentos Curvatura

M1 = (Cc)*[c-(k2*c)]

M2 = (Ts)*(d-c) MT = M1 + M2 ( = εc/c)

kg-cm (kg-cm) (kg-cm) (cm-1)1,855,402 2,084,110 3,939,512 0.000079

Resitencia última

c (cm) εc = εcu k1

fc =k1*0.85*f'c




(k2*c)]M2 = (Ts)*(d-

c) MT = M1 + M2 ( = εc/c)kg-cm (kg-cm) (kg-cm) (cm-1)2,019,099 2,312,560 4,331,659 0.000110

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