Estructura restringida inapropiadamente o mal apoyada. (Fuerzas concurrentes)
Si las componentes de reacción son paralelas, la resultante no podrá balancear ninguna fuerza que no tenga su misma línea de acción. En general si el número de reacciones es menor que el número de ecuaciones independientes de equilibrio de la estructura, ésta será externamente inestable. Según el método de resolución del sistema, se puede considerar dos tipos de indeterminación: Indeterminación estática: función de fuerzas Indeterminación cinemática: función de desplazamientos. Aquí solo se tratará la indeterminación estática, pues la cinemática hace parte de un curso de análisis estructural, usando un método de resolución por desplazamiento. Estructura parcialmente restringida Estructura restringida inapropiadamente # Ecuaciones > # incógnitas # Ecuaciones = # incógnitas
P2 P1 q(x) P1 q(x)
∑ ≠ 0Fx No existen apoyos que
balanceen ninguna fuerza en x.
∑ = 0Fy
(Reacciones paralelas)
P1 P1
R
1 ESTABILIDAD Las estructuras planas, requieren componentes de reacción que no sean concurrentes ni paralelas, como ecuaciones independientes de equilibrio. Para garantizar la estabilidad estructural, también es necesario que exista redundancia en la estructura, en caso de que falle un apoyo, la estructura no colapse sino que sea capaz de redistribuir las fuerzas a otros apoyos o elementos. Las componentes de reacción no pueden ser concurrentes, ya que se pueden reemplazar por una fuerza única, pero la resultante de las cargas aplicadas no necesariamente pasara por dicho punto, lo cual implica la existencia de un momento que haría girar la estructura alrededor de dicho punto.
FUERZAS INTERNAS EN VIGAS
Vigas: Elementos estructurales sometidas a cargas laterales, por ejemplo fuerzas y momentos cuyos vectores son perpendiculares al eje de la viga.
Viga simplemente apoyada. Viga en voladizo.
∑ = 0Fx 0cos1 =− αPAx αcos1PAx =
∑ = 0Fy 021 =−−−− ByqcPsenPAy α (1)
∑ = 0AM 02
. 21 =+
−−−− ByLc
LqcbPasenP α
L
cLqcbPsenaP
By
−++= 221 α
(2)
Reemplazo (2) en (1)
( )L
cLqc
L
bP
L
senaPqcPSenPAy 221
21
−−−−++=
αα
( )[ ]2111 21cLqc
L
bP
L
aSenPAy −−+
−+
−= α
( ) ( )
−−+−+−=L
cLLqc
L
bLP
L
aLSenPAy
221 α
L
qc
L
bLP
L
aLSenPAy
2
2
21 +
−+
−= α
Las fuerzas externas producen refuerzos y deformaciones en el interior de la viga.
PROBLEMA 1: Determinar las reacciones de la viga simplemente apoyada.
PVVP
Fy
==+−
=∑0
0
( ) )(0
0min
xLPMMxLP
M
−−==−−−
=∑
Procedimiento para hallar los diagramas de fuerza cortante y Momento Flector. 1) Primero se hallan las reacciones tomando como DCL toda la viga 2) Para conocer las fuerzas internas se realizan cortes transversales entre apoyos y cargas a
lo largo del eje de la viga y se hace la sumatoria de fuerzas y momentos en un extremo. Las ecuaciones resultantes son validas en cada segmento entre cargas
3) Se grafican las ecuaciones para cada segmento y se obtiene el diagrama de cortante y momento (para este ultimo si es (+) se pinta hacia abajo y (-) se pinta hacia arriba).
Convenciones de Signo por Deformación: Se basan en la deformación del material. Se suponen las fuerzas positivas como se muestra a continuación
)(−V : Actúa en Sentido anti horario. )(+V : Actúa en sentido horario. )(+M : Comprime la parte superior de la viga )(−M : Comprime parte inferior.
Deformaciones:
Convención de signo estático: Se basan en las ecuaciones de equilibrio
PROBLEMA 2: Para la viga en voladizo con carga puntual en el extremo, encontrar el cortante y el momento a cualquier distancia.
2 FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE
V: Cortante M: Momento de flexión
)(+V : Sentido negativo eje coordenado )(+M : Sentido Anti horario.
Si se obtiene un signo (+) para V, se supone que la dirección de la fuerza era la correcta. Un signo (-) indica que V actúa en dirección opuesta.
El cortante en el centro de la luz CL es (+) cuando las fuerzas externas que actúan sobre la viga tienden a cortar la viga como se indica. El momento de flexión M en CL es (+) cuando las fuerzas externas que actúan sobre la viga tienden a flexionar la viga como se indica
Un signo positivo de M supone una dirección correcta y una (-) indica dirección contraria
00 ==∑ AxFx
PROBLEMA 3: Hallar los diagramas de cortante y momento para la viga mostrada.
L
PbAy
L
PaLp
L
PaPByPAy
ByAyPFy
=
−=−=−=
=++−=∑ 00
Diagrama DCL del corte n-n: (Antes de la carga)
xL
PbMx
L
PbM
ML
PbVV
L
Pb
Fy
C
==−
=∑
==−
=∑
0
0
0
0
ax ≤≤0
Diagrama DCL del corte m-m: (Después de la carga)
L
Pa
L
bLPV
VPL
Pb
Fy
−=−−=
=−−
=∑
)(
0
0
Lxa ≤≤
PaxL
PaM
MPaL
bPx
MxL
PbPaPx
MxL
PbaxP
M C
+−=
=+−
−
=+−−
=+−−
=∑
01
0
0)(
0
0
12
=+−=
=
=
−=
+−=+−=
=
PaLL
PaM
Lx
L
Pab
L
aLPaM
L
aPaPa
L
PaM
ax
KNByByM
KNAyByAyFy
AxFx
A 140)0.5()0.3(40)5.2(200
460600
00
==+−=∑
==++−=∑
==∑
Corte n-n
xM
xM
M
V
V
Fy
20
020
0
20
020
0
−==+
=∑
−==−−
=∑
5.20 ≤≤ x Corte m-m
11526
01154620
0)5.2(4620
0
26
04620
0
−==+−+
=−−+=∑
==−+−
=∑
xM
xxM
xxM
M
V
V
Fy
5.55.2 ≤≤ x Corte l-l
14
04660
0
==−+−
=∑
V
V
Fy
PROBLEMA 4 : Hallar los diagramas de cortante y momento para la viga mostrada.
10514
0220401154620
0)5.5(40)5.2(4620
0
+−==−++−+
=−+−−+=∑
xM
xxxM
xxxM
M
5.75.5 ≤≤ x
PROBLEMA 4.5: Hallar los diagramas de cortante y momento para la viga mostrada.
2220
20
00
00
2 qLAy
qLqLAy
qLByByL
qLM
AxFx
qLByAyFy
A =−===+−=∑
==∑
=−+=∑
Corte n-n
xqLqx
M
xqLqx
M
M
qlqxVVqx
qL
Fy
22
022
0
20
2
0
2
2
+−=
=−+
=∑
+−==−−
=∑
2
02
0
2
2
qxM
qxM
M
−=
=+
=∑
Corte n-n
qxV
qxV
Fy
−==−−
=∑
0
0
Lx ≤≤0
PROBLEMA 6 : Hallar los diagramas de cortante y momento para la viga mostrada.
0
00
=
==
∑∑
AM
AxFx
0)( 0 =−+ MbaBy
0
0
=+
=
∑Fy
ba
MBy
ba
MByAy
+−=−= 0
axxba
MM
xba
MM
<<+
−=
=+
+
0
0
0
0
000 =
++− x
ba
MMM
aba
MMM
baxaba
MMM
+−+=
+<<+
−=
00
00
ba
Mb
ba
MaMbMaM
+=
+−+=
PROBLEMA 8: Hallar los diagramas de cortante y momento.
PROBLEMA 9: Hallar diagramas de cortante y momento de la viga sobre un medio elástico.
DCL corte m-m:
5.10202
4
0
5.104
040
22
<≤→==−
=<≤=
=+−=
∑
∑
xxMx
M
M
xxV
xVFv
DCL corte n-n:
5.45.19122
91242)25.23(42
02
42
)5.1)(5.1(8
0
5.45.1124
04)15(8
0
2
2222
<≤−+−=−+−=+−−=
=−−−−
=<≤+−=
=+−−−=
∑
∑
xxxM
xxxxxxM
xx
xxM
M
xxV
xxV
Fv
DCL corte L-L:
65.472242
0)3)(3(82
4
0
65.4244
04)3(8
0
2
2
<≤+−=
=−+−
=<≤+−=
=−+−
=
∑
∑
xxxM
xx
M
M
xxV
Vx
Fv
maxV y los diagramas de corte y momento.
∑ = 0Fy
0)12()3(224)3(2 =+−−− q
m
kNq 3=
032 =+−− xxV
30 0 <<==+− xxVxV
302
10
2.3
2.2 2 <≤==−+ xxM
xx
xxM
036 =+−− xV 63 −= xV 63 <≤ x
02
.3)15(6 =−−+ xxxM
962
3 2 +−= xxM
10630303246 <≤−==+−−− xxVxV
( ) ( ) 02
.36245.16 =
+−−−− xxxxM
153302
3 2
−+−= xx
M
03)9(2246 =+−−−−− xxV 12−= xV 129 <≤ x
PROBLEMA 11: Para la viga de cimentación sobre medio elástico (Suelo). Hallar M max y
( ) ( ) ( ) ( )0
2.3
2
9926245.16 =+−−−−−−− x
xx
xxxM
( ) 02
381181442496
22 =++−−+−+− x
xxxxM
72122
1 2 −+−= xxM
0=∑Fv ( ) 0=+−− dVVqdxV q
dx
dV −=
∫∫ −=xv
vAqdxdV
0
∫−=−x
A qdxVV0
0=∑ M
Esta ecuación no es valida cuando hay cargas puntuales aplicadas.
Área bajo la curva del diagrama de carga entre A y un punto a una distancia x.
3. RELACIÓN ENTRE q, V y M. Existe una relación entre la carga, la fuerza cortante y el momento flector. Para encontrar esta relación se considera un tramo de viga de longitud dx, con cargas concentradas y distribuidas en la parte superior. Las cargas distribuidas y cargas concentradas son positivas cuando van hacia a bajo, y el momento es positivo contrarreloj. Existen 3 casos: 3.1 Cargas distribuidas.
( )
02
02
2
=++−−−−
=+−+−
−−
dMMdVdxVdxqdx
M
dMMdxdVVdx
qdxM
Vdx
dM = Esta ecuación no es válida cuando hay momentos aplicados.
∫
∫∫=−
=x
A
xM
M
VdxMM
VdxdM
0
04
11 ; MV : Incrementos finitos de fuerza
( ) 0
0
1 =+−+−
=∑VVVP
Fv
PV =1 Ocurre un cambio abrupto en la fuerza constante en el punto donde actúa la carga concentrada.
( ) 02
0
11 =+−−++−
=∑
dxVVdxP
MMM
M
dxVVdxdxP
M 11 2−−=
01 =M
0=∑M
( ) 011 =−−+−+− MMdxVVMoM
0110 =−−− MVdxdxVM
MoM =1 00 1 ==∑ VFv
Se desprecian los términos diferenciales. El momento flexionante cambia abruptamente en el punto de aplicación de un par, este disminuye una cantidad 0M .
Área del diagrama de fuerza cortante entre A y un punto a una distancia x.
3.2 Cargas concentradas
Como dx es infinitesimalmente pequeño, el incremento de M1 es infinitesimalmente pequeño. El momento flexionante no cambia cuando pasa a través del punto de aplicación de la carga concentrada. 3.3 Cargas de Momento
xL
qq 0=
02
=−− qxV
102
20 <≤−= xxL
qV
03
1.
2=+ x
qxM
06
1 2 =+ qxM
106
30 <≤−= xxL
qM
6320
2
0
30)(
32
2
0
00
0000
00
LqLqLqABA
Lq
Fy
LqBLB
LLq
M
AxFx
yyy
yy
A
=−==++−
=
==+
−
=
==
∑
∑∑
PROBLEMA 10: Hallar M max y Vmax y los diagramas de M y V
Nota: Pintar los diagramas de momento del lado de la flexión. PROBLEMA 7 : Hallar los diagramas de cortante y momento para la viga mostrada.
20
0
00
0
xL
qxdx
L
qVVx
L
q
dx
dV
rectaunadeEcuacionxL
qqperoq
dx
dV
X
A −=−=−=
=−=
∫
LxLxq
L
xqM
dxLq
L
xqMMV
dx
dM
LxLq
L
xqV
LqAVperoV
L
xqV
X
A
yAA
<≤+−=
+−=−=
≤≤+−=
==+−=
∫
066
6
062
62
03
0
0
02
0
02
0
02
0
20
03
02
0
064.0)58.0(66
)58.0(
062
LqLLq
L
LqM
Lq
L
Xq
oMax =+−=
=+−
∫=L
dxL
xSenqQ
0 0
π
L
L
xLqQ
0
0 cosπ
π−=
[ ]
π
πLq
Q
LqQ
0
0
2
11
=
−−−=
Reacciones
0=Ax π
LqAy 0=
πLq
By 0=
PROBLEMA 12: Realizar el diagrama de cortante y momento por integración. Carga puntual
qdx
dV −=
∫ −=−L
A dxL
xsenqVV
0 0
π
AVL
xLqV +
−= 1cos0 ππ
Pero π
LqAyVA
0== ππ
ππ
LqLq
L
xLqV 000 cos +−=
L
xLqV
ππ
cos0= Lx ≤≤0
Vdx
dM =
22
200 C
L
xSen
Lqdx
L
xCos
LqM +== ∫
ππ
ππ
22
2
)0(0)0( CSenqoL
M +==π 02 =C
L
xSen
LqM
ππ 2
20= Lx <≤0
4 DIAGRAMAS CUALITATIVOS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO 4.1 Fuerza Cortante Si la pendiente del diagrama de fuerza cortante es igual a la carga (en valor absoluto), quiere decir que el valor de la tangente del diagrama V en cada punto será igual al valor de la carga en ese punto.
Si la carga es constante, la pendiente del diagrama de fuerza cortante es constante. Si q = 0 la pendiente de V es una línea recta horizontal. La única función (q = 0) cuya derivada es cero, es una constante o línea horizontal al eje X (Integral de 0 = Cte.).
Si la carga aumenta, a medida que X aumenta, entonces la pendiente del diagrama de fuerza cortante aumenta, y si disminuye entonces la pendiente del diagrama de V disminuye. Para la siguiente viga, la carga aumenta de A a C, entonces la pendiente de V aumenta de A a C de C a B la carga disminuye.
d) La carga disminuye de A a B, por lo tanto la pendiente de V disminuye, luego la carga aumenta.
Vdx
dM =
En cada punto el diagrama de momento flector tendra una pendiente igual al vector de la fuerza cortante de dicho punto.
e) La única función cuya derivada es cero (q = 0) es una línea horizontal a
−= qdx
dvX .
Si la fuerza cortante es constante, la pendiente del diagrama M es constante.
f) Si la fuerza cortante aumenta, a medida que X aumenta, entonces la pendiente del diagrama del momento aumenta.
Obtener cualitativamente el diagrama de M para:
4.2 Momento Flector.
El cortante entre B y C es cero, por lo tanto el M es constante, la fuerza cortante es constante y negativa entre C y D por lo tanto la pendiente de M es constante y negativa. El cortante A y B es constante y (+) por lo tanto la pendiente M es constante y(+). PROBLEMA 12: Dibujar cualitativamente los diagramas de fuerza cortante y momento flector, así como el refuerzo a flexión.
4.3 Columnas Dibujar cualitativamente los diagramas de fuerza axial (N), fuerza cortante (V) y momento flector
- Las Fibras a tracción: se alargan
4
2qxM
−=
Para el caso de una viga simplemente apoyada, la carga P aplicada en la mitad de la luz, representa una singularidad en la carga de la viga, originando discontinuidades en el cortante y momento flector y se requerirán diferentes funciones para representar a V y M.
q
A B
A B
P
L
L/2 L/2
- Las Fibras a compresión: se acortan Importante: La convención de los diagramas de momentos se dibujan del lado del lado que están a tracción (del lado del refuerzo) y no se deben definir como positivas los momentos antihorarios. 5. DETERMINACIÓN DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR USANDO ECUACIONES DE SINGULARIDAD Se considera la siguiente viga en voladizo, sin discontinuidad en la carga de la viga. V = −qx
Las Funciones de Singularidad representan a V y M por medio de una sola función matemática, que evalúan la magnitud de la fuerza interna a cualquier distancia x. Para ilustrar el proceso se usará la siguiente viga:
∑ = 0BM 0)2(2
=−
aA
aqa y
4
* aqAy =
∑ = 0Fv 41
qaV =
∑ = 0M xqa
M41 =
∑ = 0Fv ( ) 042 =+−−− qa
axqV
∑ = 0M ( )
042
2
2 =−−+ xqaax
qM
( )24
2
2
axqx
qaM
−−=
Las funciones 21 , VV y 21 M, M se puede representar como:
( ) >−<−= axqqa
xV4
( ) 2
24>−<−= ax
qx
qaxM
Alternativamente por integración:
∫∫∫ >−<−==−x
a
xx
A dxaxqdxqa
VdxMM00 4
Pero 0=AM
2
24>−<−= ax
qx
qaM
Los paréntesis triangulares < > , se reemplazan por paréntesis ordinarios ( ) cuando ax ≥ , y por cero cuando x< a. La carga distribuida se puede expresar como:
( ) 0>−<= axqxq ( ) ax xq <= 0 ( ) ax qxq ≥=
En resumen, la función de paréntesis triangulares se vuelve de paréntesis normales en las condiciones siguientes:
( )
<≥−=>−<axcuando
axcuandoaxax
nn
0
M1
M2
V1
V2 qa/4
qa/4
x
qa
Bx
By Ay
Graficando las funciones anteriores:
n=0 n=1 n=2
01
1 1 ≥>−<+
=>−< +∫ nParaax
ndxax nn
11 ≥>−<=>−< − nparaaxnaxdx
d nn
En el siguiente cuadro las funciones q(x), V(x) y M(x), se expresan en términos de funciones de singularidad con paréntesis triangulares. El método consiste en realizar un solo corte exactamente un diferencial dx, antes de que termine la viga, se hace el equilibrio y se obtienen las funciones de fuerzas internas, usando la siguiente tabla:
<x-a>0 <x-a>1 <x-a>2
0 0 0 a a a x x x
00 ==∑ Ax Fx
M B∑ = 0 0)6.3()0.3(2.1)4.2)(2.1(5.144.1 =−++ yA kNAy 6.2=
Una carga distribuida que no se extienda hasta el extremo derecho de la viga o que es discontinua, debe reemplazarse por una combinación de cargas abiertas en los extremos como se observa a continuación.
00)( >−<= axqxq
00
00 8.16.0)( >−<−>−<= xqxqxq
)(xV se obtiene integrando )(xq , invirtiendo los signos y sumando las constantes Ay y
06.0 >−<− xP , es decir las cargas puntuales actuantes que producen un salto abrupto en el diagrama.
)(xqdx
dV −=
000 6.08.16.0)( >−<−+>−<+>−<−= xPAyxqxqxV
1.2
Ax 1.5
Ay By
P=1.2kN qo=1.5kN/m
Ay=2.6kN By
M=1.44kNm
-q0=-1.5kN/m
0.6
1.8
PROBLEMA 1 Fuente [1]: Usando funciones de singularidad, exprese la fuerza cortante y el momento flector como funciones de la distancia x desde el apoyo A. y halle los diagramas de V y M.
)(xM Se obtiene integrando )(xV y añadiendo 00 6.2 >−<− xM , es decir los momentos
actuantes.
00
2020 6.26.08.12
6.02
)( >−<−>−<−⋅+>−<+>−<−= xMxPxAyxq
xq
xM
Sustituyendo los valores numéricos.
011 6.02.16.28.15.16.05.1)( >−<−+>−<+>−<−= xxxxV 0122 6.244.16.02.16.28.175.06.075.0)( >−<−>−<−+>−<+>−<−= xxxxxxM
( )x
L
qqqxq AB
A 5,1)(
−−−=
( ) 002
4
52
43)( >−<−>−<−−+= L
xPL
xPxL
qqxqxV AB
A
9
11max
PV =
( ) ( ) 1132
4
52
492>−<−>−<−−+= L
xPL
xPxL
qqxqxM ABA
16
3max
PLM −=
P 2P L L/4 L/4
qB
qA
PROBLEMA 2: Hallar ecuaciones de singularidad y diagramas de Cortante y Momento. q: se toma (-) hacia arriba
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