CONOCIMIENTOS Y CURRÍCULO EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA

Ángel Ruiz Centro de Investigaciones Matemáticas y Metamatemáticas, Universidad de Costa Rica.Escuelas de Matemática de la Universidad Nacional yUniversidad de Costa Rica.http://cimm.ucr.ac.cr/aruizangelruizz@racsa.co.cr

Resumen

Se abordan asuntos centrales del currículo parala formación inicial de educadores matemáticos yse propone un modelo de descripción de losdistintos componentes cognoscitivos que debeincluir. Se apuntala el papel del conocimientopedagógico del contenidos matemáticos CPC, y seseñalan características tanto de éste CPC como delas matemáticas que específicamente deben poseerestos currícula.

Palabras clave

Educación Matemática, Curriculum, Enseñanza,Conocimientos.

Abstract

Central issues of the curriculum for the initialformation of Mathematics Teachers are tackled andwe propose a model for the description of thedifferent knowledge components that it mustinclude. There is propped up the role of thePedagogical Content Knowledge PCK, and characteristicsso much of this one PCK as of the Mathematicsthat specifically must include these curricula areproposed.

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Key words:

Mathematics Education, Curriculum, Teaching,Knowledge.

1. INTRODUCCIÓN

Dentro de los principales centros de interés que haestablecido la Educación Matemática en el mundo, seencuentra el tema de los conocimientos que deben poseerel educador matemático, para realizar “efectivamente” supráctica profesional. Las preguntas son varias: ¿Posee unimpacto el conocimiento de los educadores en la formaenseñanza? ¿Importa en el aprendizaje de los estudiantes?¿Cuál tipo de conocimientos es más relevante ya sea paraenseñar o para lograr resultados de aprendizaje? ¿Cuáldebería ser la organización óptima de los diferentestipos de conocimiento?

¿Posee un impacto? La formación inicial influencia laforma en la que el educador establece su labor (Fennema yLoef Franke, 1992, p. 148) pero sobre todo la manera deenseñanza. Para la psicología cognitiva, por ejemplo, elconocimiento, en general, influye directamente en elpensamiento de los educadores, y por lo tanto en lasacciones que realice en el aula (Brown y Borko, 1992, p.211), aunque este impacto directo en el aprendizaje nosea, sin embargo, como veremos, tan claro.

Se puede aproximar el problema del currículo en EducaciónMatemática desde dos ópticas: centrada en los contenidos(especialmente matemáticos), o en situaciones deenseñanza aprendizaje. Los hallazgos en investigacióninternacional favorecen la segunda perspectiva.

Cuando se asume una óptica curricular basada en loscontenidos matemáticos, simplemente, se busca seleccionary adaptar el currículo de la Enseñanza de las Matemáticas

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de tal manera que, por ejemplo, un plan de estudiosincluya suficientes contenidos en las áreas matemáticas(designadas por los matemáticos como relevantes), y, a lavez, no tenga contenidos en exceso más bien propios de laprofesión matemática para la educación superior y lainvestigación. Normalmente, las experiencias en eseenfoque han apuntado a reducir los contenidos matemáticosen cantidad y profundidad (una profesión con menor“nivel” matemático). En este enfoque su lógica estádeterminada por las necesidades propias de losmatemáticos o por lo que es interpretado así por ellos.Las necesidades pedagógicas se “cubren” con algunoscursos de educación, ya sea de didáctica, currículo,evaluación, o componentes de otras disciplinas conexas(como la psicología). Estos últimos de una naturalezageneral y no específicos a la disciplina de lasmatemáticas. Como desarrollaremos con mayor detalle, laexperiencia más generalizada en el mundo ha sido unaestructura de conocimientos que unifica dos áreascognoscitivas: matemáticas y pedagogía. Normalmente, seha asumido la pedagogía o la didáctica (en la tradicióneuropea continental) como una ciencia un arte general,aplicable a situaciones particulares que generanpedagogías o didácticas “especiales” o específicas. LaEducación Matemática es aquí un “matrimonio” entrecontenidos matemáticos y contenidos de esa pedagogíageneral. Se trata de una yuxtaposición de contenidos, sinintersección o interrelación íntima. Esto se expresa encurrículos con cursos de matemática por un lado y cursode pedagogía por el otro. ¿Dónde queda la mediación entrecontenidos matemáticos y pedagogía específica para elaula? Se asumía que los contenidos pedagógicos generalesproporcionan la base para esa mediación específica. Larealidad es, sin embargo, otra.

En algunos países, el énfasis fue colocado en loscontenidos matemáticos; en otros el énfasis se dio en loscontenidos de educación general. En algunos países se hafavorecido un currículo en el cual la formación

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matemática se enfatiza por años y se concibe la EducaciónMatemática como una especialización posterior (España,Francia); en otros, más bien, las matemáticas son unénfasis dentro de un currículo de educación. Esto hatenido que ver con los lugares institucionales en loscuales la Educación Matemática se desarrollaba (enEscuelas de Matemática o en Facultades de Educación). Enmuchos casos, sin embargo, la separación entre matemáticay educación y otros componentes ha sido la regla durantemuchos años. Pedagogía impartida por especialistas eneducación, en general, sin conocimiento de lasmatemáticas. Y matemáticas aportadas por profesores dematemáticas (aunque no necesariamente matemáticosprofesionales activos), sin conocimiento de la pedagogía.

Como afirman Ruiz, Chavarría y Alpízar (2003):Durante décadas y décadas hasta ahora en todo elmundo han predominado programas de formación deprofesores de matemáticas que han sido en esencia“embutidos” de pedagogía general y matemáticas(la mayoría de las veces de bajo nivel). Unayuxtaposición pobre e inútil para propiciar elprogreso de la enseñanza aprendizaje de lasmatemáticas. Los profesores de matemáticasformados en esas condiciones terminan alegresarse de las universidades dependiendo de susvirtudes y debilidades solamente para su labor,sin poder fundamentar sus actividadesprofesionales en métodos y conceptos y recursosproporcionados por su disciplina en las aulasuniversitarias. A las dificultades propias de lanaturaleza de las matemáticas para suaprendizaje, se añaden las derivadas de unaseparación drástica entre pedagogía ymatemáticas. La construcción de la disciplinaacadémica permitirá avanzar en la definición deun perfil profesional propio, una especialidadcapaz de seguir progresando. La investigación eneste escenario, ahora y como ejemplo, es posible

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de concebirse como un proceso permanenteincorporado, como dijimos antes, en losquehaceres de la profesión, en el aula misma.

Vamos a buscar, en lo que sigue, una respuesta teórica alos problemas planteados en la anterior cita.

2. CONOCIMIENTO PEDAGÓGICO DEL CONTENIDO Y CURRÍCULO

Desde hace más de 20 años, las principalesinvestigaciones apuntan a una reconstrucción de loscurricula en la enseñanza de las matemáticas que supere laperniciosa dicotomía y separación entre contenidomatemático y contenido pedagógico.

Esta separación entre contenido disciplinar y pedagogíano ha sido exclusiva de las matemáticas: químicahistoria, lenguaje, etcétera, han visto las dificultadesde esta dicotomía. Por eso mismo, vamos a reseñar algunode los planteamientos generales más significativos que sehan dado en el contexto internacional.

El norteamericano Lee Shulman (1986) afirmaba que el“paradigma escondido” en la formación ha sidoprecisamente el “conocimiento pedagógico del contenido”CPC, en inglés Pedagogical Content Knowledge. Este va más alládel conocimiento de la disciplina en sí mismo y señala alconocimiento de la disciplina para la enseñanza. No setrata de una conjunción de pedagogía y contenido, ni unaintersección de ambas. Según este psicólogonorteamericano, dentro de esta categoría debe incluirse,en relación con los tópicos que se enseñan con mayorregularidad en una materia, las formas y representacionesmás útiles del concepto o procedimiento, las analogíasmás poderosas, ilustraciones, ejemplos explicaciones ydemostraciones. El lo resume diciendo CPC son:

Las vías de representación y formulación de lamateria que la hacen comprensibles a los otros.El conocimiento pedagógico del contenido también

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incluye el entendimiento de lo que hace algofácil o difícil en el aprendizaje de tópicosespecíficos, es decir concepciones ypreconcepciones que los estudiantes de ladiferentes edades y contextos incorporan en elaprendizaje de los tópicos más frecuentementeenseñados y en las lecciones más frecuentementeenseñadas. Cuando estas preconcepciones sonequivocadas, lo que es usual, los educadoresnecesitan conocimiento de las estrategias quepueden resultar más fructíferas para reorganizarel entendimiento de los estudiantes, puesto quees poco probable que estos estudiantesparticipen en el proceso educativo como unatabla rasa (Shulman, 1986, p. 9).

Es decir, las dimensiones cognitivas que participan en elacto de enseñanza aprendizaje son irrelevantes y poseenun estatuto propio dentro del conocimiento que debe tenerel educador.

Shulman y Quinlan (1996) insisten:La capacidad para enseñar, sin embargo, no estácompuesta de un genérico conjunto de habilidadespedagógicas; en su lugar, la efectividad de laenseñanza es altamente dependiente conjuntamentedel conocimiento del contenido y del conocimiento didácticodel contenido, en cómo una buena comprensión de lamateria y en cómo una buena comprensión de losmodos de transformar los contenidos de materia enrepresentaciones con potencialidad didáctica (p.409).

¿Cuál es la esencia intelectual de esta aproximación? Elconocimiento de la disciplina no genera por sí mismo losmecanismos para la enseñanza de los contenidos enparticular a alumnos específicos.

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Este conocimiento se construye con y sobre conocimientode la disciplina, el conocimiento teórico general y elconocimiento de los alumnos.

Según Gudmundsdottir (1990): “es la parte más importantedel conocimiento base de la enseñanza y distingue alprofesor veterano del novel, y al buen profesor delerudito”.

¿Cómo se construye este conocimiento pedagógico delcontenido? ¿Es una derivación del contenido? Bolívar(2005) acude a los términos de Marks (1990) para señalaralgunas vías, interpretación, especificación y síntesisde la siguiente manera:

se puede considerar que algunas dimensionespedagógicas del contenido se siguen directamente delcontenido matemático (“interpretación”);

Otras dimensiones pueden derivarse de conocimientospedagógicos generales (“especificación”);

Otras dimensiones no se derivarían necesariamente nidel contenido disciplinar ni del pedagógico ni deotro conocimiento pedagógico del contenido anterior(“síntesis”), pueden ser todos ellos en algunaproporción.

Debe hacerse el CPC, entonces, en esa categoría deconstrucciones pedagógicas que no son implicaciones decontenidos disciplinares o de pedagogía general, sino dela situaciones específicas a la enseñanza aprendizaje deuna materia.

También, con Grossman (1989) y Marks (1990), citados porBolívar (2005), se pueden señalar otros componentesposibles del CPC:

1. Conocimiento de la comprensión de los alumnos:modo cómo los alumnos comprenden un tópicodisciplinar, sus posibles malentendidos y gradode dificultad;

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2. Conocimiento de los materiales curriculares ymedios de enseñanza en relación con loscontenidos y alumnos;

3. Estrategias didácticas y procesos instructivos:representaciones para la enseñanza de tópicosparticulares y posibles actividades/tareas; y

4. Conocimiento de los propósitos o fines de laenseñanza de la materia: concepciones de lo quesignifica enseñar un determinado tema (ideasrelevantes, prerrequisitos, justificación, etc.).

Con Ruiz, Barrantes y Gamboa (2009): El conocimiento pedagógico del contenido implicauna reorganización y transformación de loscontenidos disciplinares que debe tener en cuentael contexto, el currículo y los estudiantes.Apunta directamente hacia elaboraciones yconstrucciones sobre la enseñanza de un tópicoespecífico y representaciones múltiples delmismo, así como sus propósitos didácticos.Incorpora también los mecanismos de pensamiento yrazonamiento que pueden resultar fructíferos parael objetivo pedagógico. También incorpora losvalores, creencias, concepciones que participanen la práctica de enseñanza aprendizaje en unnivel determinado.

¿Es el conocimiento pedagógico del contenido unsubconjunto de la disciplina o es algo más? Es decir, unavez reconocidos la existencia y el lugar del CPC, seplantea si ésta es una derivación exclusiva el contenido.En el caso de las matemáticas, ¿definen y determinanéstas su CPC? Concordamos con Hashweh (2005):

El conocimiento didáctico del contenido es elconjunto o repertorio de “construccionespedagógicas”, resultado de la sabiduría de lapráctica docente, normalmente con una estructuranarrativa, referidas a tópicos específicos. Deeste modo no sería ni una subcategoría del

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conocimiento de la materia (conocimiento de lamateria para la enseñanza) ni una forma genéricade conocimiento, sino una colección de“construcciones didácticas”, específicas paracada tópico, que puede ser examinada en losdiversos componentes que la configuran(conocimiento curricular, del contenido,creencias sobre la enseñanza-aprendizaje,conocimientos y creencias didácticas,conocimientos del contexto y recursos, metas yobjetivos) (reseñado por Bolívar, 2005).

Cabe preguntarse también si el CPC se reduce a losconocimientos que merecen la comprensión de la cognicióno el aprendizaje e individual de los sujetos. En nuestraopinión el conocimiento pedagógico del contenido o lapedagogía específica no pueden reducirse a la psicologíadel aprendizaje al margen de los contextos e influenciassociales que forman parte del hecho educativo.

En resumen, se asume en esta perspectiva que la pedagogía(o la didáctica, en la acepción europea continental),vista como conjunto de principios genéricos que se puedenaplicar a cualquier disciplina, es algo diferente de unapedagogía específica. La existencia de una pedagogíaespecífica tiene sentido epistemológico a partir de laexistencia del conocimiento de la disciplinaespecíficamente pedagógico. Puesto en otros términos: ladidáctica específica no se considera simplemente unaaplicación de los principios de la pedagogía general,sino que refiere a los métodos específicos de ladisciplina y las circunstancias precisas en que serealiza la formación en la misma.

¿Cómo se deben integrar en el currículo (en la mismamalla curricular) el conocimiento disciplinar, elconocimiento pedagógico del contenido y conocimientopedagógico general? Las investigaciones sugieren que,puesto que estos tres componentes se superponen y poseen

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intersecciones en la práctica, entonces: “… los centrosde formación del profesorado no deberían impartirlos encursos independientes (cursos disciplinares y métodosdidácticos por otro)” (Bolívar, 2005, pp. 25-26). Noobstante, podríamos pensar que de lo que se trata es deestablecer una estrategia que involucre CPC y unaenseñanza de los contenidos matemáticos de maneraespecífica para el educador. Volveremos sobre este tema.

3. CONOCIMIENTOS EN LA FORMACIÓN DEL EDUCADOR MATEMÁTICO:PROPUESTA DE UN MODELO TEÓRICO

El diseño y arquitectura precisos de un currículo debeobedecer a varios factores contextuales e históricosaparte de los teóricos y epistemológicos. No es elpropósito de nuestro trabajo ofrecer un mayor nivel deprecisión. Con base en las anteriores consideraciones,sin embargo, vamos a referirnos con mayor detalle a laestructura de conocimientos para el educador matemático.

Shulman (1987) señala varios tipos de conocimiento quedebe poseer un educador:

Si hubiera que organizar los conocimientos delprofesor en un manual, en una enciclopedia o enalgún otro tipo de formato para ordenar elsaber, ¿cuáles serían los encabezamientos decada categoría? Como mínimo incluirían: Conocimiento del contenido; Conocimiento didáctico general, teniendo en cuenta

especialmente aquellos principios yestrategias generales de manejo y organizaciónde la clase que trascienden el ámbito de laasignatura;

Conocimiento del currículo, con un especial dominiode los materiales y los programas que sirvencomo “herramientas para el oficio” deldocente;

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Conocimiento didáctico del contenido: esa especialamalgama entre materia y pedagogía queconstituye una esfera exclusiva de losmaestros, su propia forma especial decomprensión profesional;

Conocimiento de los alumnos y de suscaracterísticas;

Conocimiento de los contextos educativos, que abarcandesde el funcionamiento del grupo o de laclase, la gestión y financiación de losdistritos escolares, hasta el carácter de lascomunidades y culturas; y

Conocimiento de los objetivos, las finalidades y los valoreseducativos, y de sus fundamentos filosóficos e históricos.

Entre estas categorías, el conocimientodidáctico del contenido adquiere particularinterés porque identifica los cuerpos deconocimientos distintivos para la enseñanza.Representa la mezcla entre materia y didácticapor la que se llega a una comprensión de cómodeterminados temas y problemas se organizan, serepresentan y se adaptan a los diversosintereses y capacidades de los alumnos, y seexponen para su enseñanza (pp. 10-11)

Shulman no buscaba ser exhaustivo. No obstante, apuntóalgunas de las principales categorías que vamos aconsiderar aquí dirigidas hacia las matemáticas.

El nuevo contexto apunta a una disciplina y cienciasocial que parte de los conceptos y métodos matemáticos(que nutren y establecen las fronteras cognoscitivas enlas que se trabaja), realiza una “transposicióndidáctica” (una conversión de los mismos en objetoseducativos para la enseñanza y aprendizaje), y coloca susobjetivos colectivos en aprendizajes dentro de entornossociales. Invoca matemáticas teóricas (que proporcionanobjetos y métodos específicos), matemáticas para laenseñanza (matemáticas que han tenido un proceso de

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transposición didáctica), conocimientos de historia,filosofía, antropología y otras ciencias sobre lasmatemáticas, didáctica o pedagogía específica (asociada alas matemáticas), conocimiento de los aprendizajesmatemáticos (cognitivo, social), y conocimiento de losprocesos educativo generales (pedagogía, sociología).Existen otros conocimientos que se deben incorporar en laformación de un educador matemático que apelan a suformación integral, como las bellas artes y las llamadas“humanidades” o técnicas (como las TICs), las lenguasmodernas (aquí daremos énfasis a aquellos componentesdirectamente aplicados en la profesión).

Podemos integrar estos conocimientos en un modelo formadopor esos elementos cognoscitivos de la siguiente manera:

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Cuadro 1.ESTRUCTURA DE CONOCIMIENTOS EN LA FORMACIÓN INICIAL DEL

EDUCADOR MATEMÁTICO

Categoría Subcategorías

Descripción

1.Conocimiento

general

Aquel que no refiere a los procesoseducativos pero que es relevante enla formación integral del educador y de todo profesional: estudios quesostienen una perspectiva humanistaen la formación, conocimientos instrumentales (lenguajes y paquetes informáticos, etc.), otraslenguas.

2. Conocimiento matemático y meta-matemático

Conocimiento matemático

Las matemáticas que el educador necesita, una forma de matemática aplicada (subconjunto de las matemáticas, aunque no un subconjunto de las matemáticas parael matemático, del ingeniero, u otros): representaciones de conceptos y soluciones múltiples, útiles para construir situaciones problemas, generadoras de pensamiento matemático, interrelaciones teóricas dentro de las matemáticas, representación pormedio de modelos y aplicaciones, etc.

Conocimiento metamatemático

Los conocimientos sobre las matemáticas desde diferentes enfoques disciplinarios: historia, filosofía, estudios sociales de lasmatemáticas. No es toda la metamatemática sino aquella de interés para el educador (subconjunto de las metamatemáticas).

3. Conocimiento educativo general

Conocimiento pedagógico general

Refiere a los diferentes aspectos que participan directamente en la enseñanza y aprendizaje: currículo,evaluación, didáctica, psicología del aprendizaje y la enseñanza, cognición, sociología educativa.

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Conocimiento educativogeneral no pedagógico.

Intervienen en la educación pero nonecesariamente para la acción pedagógica directa: normativas institucionales, sociología y antropología de grupos, etc.

4. Conocimiento pedagógico de las matemáticas y las metamatemáticas.

Conocimiento pedagógico matemático

Refiere a las representaciones múltiples y mediaciones pedagógicasespecíficas de los contenidos matemáticos. En dos dimensiones generales: relativas a los estudiantes; relativas a la enseñanza.

Conocimiento pedagógico metamatemático

Dimensiones pedagógicas de las metamatemáticas: conceptos y métodos cómo intervienen o se pueden usar historia, epistemología, antropología, etc. en el aula.

Modelo elaborado por A. Ruiz.

Se puede representar gráficamente como aparece en lafigura 1.

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Figura 1.Estructura de conocimientos en la formación inicial del

educador matemático.

Veamos con mayor detalle algunas de estas categorías.

Conocimiento educativo general

El conocimiento educativo general refiere a aquellosprincipios y situaciones generales de enseñanza yaprendizaje, principios curriculares y de evaluación,psicología de niños y adolescentes, dinámica de grupos,liderazgo colectivo, reglamentación institucional,influjos socioculturales en la educación presentes en lapráctica educativa, etc.

Con Ruiz, Barrantes y Gamboa (2009):La investigación revela que este componentegeneral no posee un impacto tan fuerte en eléxito del aprendizaje específico de lamatemática en el aula. Sí es importante, noobstante, porque existen dimensiones norelativas directamente a las matemáticas queintervienen en la práctica profesional dentro yfuera del aula: entre otras, vida institucional,interrelación con profesionales de otras

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disciplinas, conductas (psicología y sociología)de grupos o individuos, problemas generales deaprendizaje (discapacidades, por ejemplo),visiones y creencias sobre la educación y lavida que intervienen (filosofías), factoresculturales generales (asociados a etnia, género,clase social, etc.), valores éticos, actitudes,legislación, etc. Es un componente general queapoya las perspectivas más amplias de laprofesión del educador.

El problema que ha existido en muchas partes en elcurrículo del educador matemático, es que ha incorporadosólo dos componentes: matemáticas y ciencias sociales dela educación. Incluso, en algunos países, se llegó aasumir que la transposición didáctica de las matemáticasa las “matemáticas para la enseñanza” debía ser realizadapor el mismo educador dotado solamente de esoscomponentes. Esto era simplemente absurdo. Lo que hoy sesubraya como crucial es la incorporación de lasdimensiones específicas en la pedagogía y el aprendizajede las matemáticas.

La presencia de matemáticas y conocimiento educativogeneral no encierra ningún secreto especial. Unasituación diferente ocurre con la pedagogía matemática.

Además, resulta de interés mencionar que no hay evidenciade que el conocimiento de teorías generales delaprendizaje (ya sea behaviorismo o constructivismo)impacten las decisiones de los educadores en su labor deaula (Fennema y Loef Franke, 1992, p. 153). O sea, suincorporación no posee un influjo directo para lapráctica docente (lo cual no quiere decir, por supuesto,que no haya que incorporarlas en el currículo).

Sí hay evidencia de un mayor impacto en la acción deldocente del conocimiento de las condiciones cognitivas enlas que se realiza el aprendizaje, es decir, de los

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procesos mentales a través de los cuales el estudianteaprende de manera específica los conceptos matemáticos(diversidad de estrategias, estructura de pasoscognitivos, obstáculos didácticos).

Por las razones señaladas arriba, no vamos en estetrabajo a dar un detalle mayor al conocimiento educativogeneral.

Conocimiento pedagógico de las matemáticas y lasmetamatemáticas

Ya hemos mencionado que un fuerte impacto sobre lapráctica profesional y, por ende, en la enseñanza y elaprendizaje posee, según los hallazgos de lainvestigación, el conocimiento pedagógico de losdiferentes tópicos de las matemáticas que se debenenseñar. Es decir, el conocimiento de las técnicas,principios, organización de situaciones y recursos engeneral para enseñar en el aula aquellas partes de lasmatemáticas que posee el currículo escolar. No se tratasolamente de adquisición de técnicas (procedimientos)sino de conocimiento de todos los aspectos que seencuentran en los procesos de enseñanza aprendizaje decada tópico matemático: orígenes cognoscitivos ehistóricos en las matemáticas, significado y perspectivamatemática de los conceptos o métodos a enseñar, estudiode los procedimientos de enseñanza posibles y unajerarquización de los mismos en función del aprendizaje,organización de la clase para el objetivo específico,estudio de dificultades u obstáculos didácticos, etc. Sedebe ver como una integración interactiva entrematemática y pedagogía orientada con precisión hacia elnivel educativo y a los contenidos matemáticos que sedeben enseñar.

Podemos colocar algunas subcategorías bajo elconocimiento pedagógico del contenido:

Teorías del aprendizaje matemático.

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Cognición y matemáticas. Creencias en matemáticas. Currículo matemático. Didácticas y gestión de las matemáticas. Evaluación matemática. Investigación en Educación Matemática.

La lista, por supuesto, no es exhaustiva y, también, sepueden reagrupar las subcategorías, pero, con laestructura presentada, ya hemos dibujado la perspectivateórica que pensamos puede sostener un currículo en laEducación Matemática.

¿Cómo se perfilaría mejor este conocimiento pedagógico delas matemáticas? Ofrecemos en lo que sigue algunaspinceladas de lo que pueden ser estas subcategoríascognoscitivas con propósitos de ilustración.

Teorías del aprendizaje matemático. El educadormatemático debe conocer las epistemologías de laEducación Matemática: constructivismo, socioculturalismo,interaccionismo, etc., las teorías educativas de laconstrucción de conocimiento matemático y mediacionesprácticas en la acción de aula. ¿Cómo se construye unaestrategia didáctica en las matemáticas de acuerdo a lasdiferentes perspectivas epistemológicas?

Didácticas y gestión de las matemáticas. Productoprecisamente de la mayor conciencia del lugar delconocimiento pedagógico del contenido, en las últimasdécadas se ha dado una amplia generación de resultadossobre cómo enseñar los contenidos matemáticos en losdiferentes niveles educativos. Ya sea que se acuda alrecurso de contextualizar en entornos sociales y físicos,al uso de manipulables, al uso de la historia, los juegosde contenido matemático, los desafíos o las tecnologíasdigitales modernas, se empuja a la utilización demúltiples instrumentos para apoyar el aprendizaje. Esdecir: potenciación de las didácticas matemáticas. En

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esto se pueden señalar dos posible aspectos: por un lado,las didácticas asociadas a cada disciplina de lasmatemáticas:

Didáctica del álgebra. Didáctica de la geometría. Didáctica del análisis (de funciones, cálculo, etc.) Didáctica de la aritmética y la teoría de números. Didáctica de la estadística y las probabilidades.

En cada caso, se trata de invocar múltiplesrepresentaciones de los conceptos o procedimientos decada una, diversas estrategias de enseñanza (adaptadas acada una), contextos de aplicación, perspectivasgenerales en cada disciplina. En todo momento: se debeabordar la didáctica desde las competencias asociadas queestablece el currículo escolar y buscar los mejoresmecanismos para desarrollarlas en cada caso.

Por el otro lado, se encuentran temas transversales(presentes en todas las disciplinas y en el currículomatemático): uso de la historia, de las tecnologías, dela investigación, etc.

La didáctica que utiliza como medio la historia de lasmatemáticas, por ejemplo, es un conocimiento distinto dela historia de las matemáticas específicamente. Invocaestrategias y procedimientos pedagógicos de una meraparticular.

Didáctica general de la gestión del aprendizaje de lasmatemáticas en el aula. Esto último refiere a lascaracterísticas de la acción docente en el aula:organización de las etapas (inicio, cierre, siguientelección), las instrucciones y las actitudes docentes (elnivel de la participación del estudiante, por ejemplo),las tareas escolares, la escogencia de los instrumentospedagógicos, que pueden usar, entre otros, marcosteóricos provenientes de la resolución de problemas, la

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teoría de las situaciones didácticas, la fenomenologíadidáctica, etc.

Son relevantes las experiencias internacionales en lalabor de aula; ¿qué resultados aportan que pueden serútiles para el educador? Estudios comparativos de aulason importantes de conocer. Por ejemplo, los ya clásicosde Stigler y Hiebert (1999) o los más recientes deClarke, Emanuelsson, Jablonka, y Mok (2006), y Clarke,Keitel y Shimizu (2006).

Cognición y matemáticas. Los resultados de investigaciónevidencian que las dimensiones específicas del qué y cómoenseñar matemática son las cruciales; lo mismo sucede conlos conocimientos sobre el aprendizaje. De hecho, losestudios realizados con la influencia de la psicologíaeducativa cognitiva (donde pesa el constructivismo), elsocioculturalismo y la misma resolución de problemas,todos interesados en el aprendizaje, potenciaron lo quese suele llamar las ciencias cognoscitivas (“cognitivescience”). Este último es un nuevo campointerdisciplinario que, desde finales de los años 50,incluye antropología, inteligencia artificial, psicologíacognitiva, computación, educación, lingüística yfilosofía (Schoenfeld, 2000). Con nuevos instrumentos deexperimentación, metodologías y formas de postular lasdiversas teorías se abrieron interesantes y novedosasposibilidades de experimentar sobre el estudio delpensamiento y resultados muy relevantes sobre el papel delos contextos culturales y sociales en el aprendizaje(Bransford et al, 2000, p. 8). Este importante campo deinvestigación hoy incluye todos los aspectos sobre laformación de conceptos matemáticos, las conductas yestrategias en la resolución de problemas, los esquemascognitivos, la construcción de sentido o significado, lascaracterísticas efectivas y actitudinales en relación conlos estudiantes.

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La cognición y el aprendizaje de las matemáticas es eltipo de investigación predominante en la EducaciónMatemática (Niss, 2000). Este tipo de estudios y susconclusiones deberían nutrir con fuerza el currículo dela enseñanza de las matemáticas en las universidades.

Ahora bien, no solo debe incorporarse aquí elconocimiento de los aprendizajes con base en la óptica dela psicología cognitiva, que se centra mucho en elindividuo y su devenir interno, sino, también,conocimiento sobre los influjos culturales y sociales,las instituciones, la familia, etc. y sobre las conductascolectivas que impactan en el aprendizaje: la interaccióninterpersonal, lo cooperativo, la dinámica colectiva delos procesos de aprendizaje, las negociaciones y los“contratos didácticos” en el aula (explícitos oimplícitos), las características de la transmisión designificados en la clase, las modificacionescognoscitivas por la influencia de los otros en elindividuo y viceversa.

En el currículo del educador matemático debería ingresar,por ejemplo, el análisis de los procedimientos mentalespresentes en los procesos educativos relacionados con lasmatemáticas, tanto por parte de los estudiantes como delos profesores (por ejemplo, las actitudes tipo “efectoTopacio” o “efecto Jourdain” que ha señalado Brousseau, ola “constante macabra” de Antibi). Descripción,significados y utilización pedagógica de los errores ylas dificultades en las matemáticas. Procesos mentalesespecíficos en la resolución de problemas: por ejemplo,metacognición (control).

Creencias en matemáticas. Los resultados sobre lascreencias, un componente importante en los trabajos sobreresolución de problemas, tanto de los estudiantes como delos educadores, es un tema que debería incluirse en elarmamento teórico que reciben los educadores enformación. Lo que piense un estudiante condiciona

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múltiplemente su actitud hacia la instrucción matemáticaque recibe. Y las creencias de los educadores juegan unpapel crucial en el tipo de lección que éstos desarrolleny, por ende, en lo que los estudiantes vayan a aprender(Fennema y Loef Franke, 1992, p. 157).

El currículo posee responsabilidad en la potenciación deideas erróneas o apropiadas que el educador va areproducir en el aula y el asunto debe abordarse en laformación inicial de manera directa. Un ejemplo: variasinvestigaciones señalan que las creencias “robustas” enel educador matemático en formación son difíciles detransformar (Pp’t Eynde, de Corte y Verschaffel, 2001),pero hay resultados que muestran cómo se logran cambiarpercepciones de estos profesores acerca de la naturalezade las matemáticas y su enseñanza; por ejemplo:transformación de una visión que enfatiza formalismo ypensamiento algorítmico hacia otra que afirma losaspectos constructivos y de proceso en la matemática y suenseñanza –por medio de un énfasis en la resolución deproblemas (Liljedahl, Rolka y Rösken, 2007).

Currículo matemático. Los objetivos de las matemáticas enel nivel educativo meta: en el caso que favorecemos, laeducación media preuniversitaria. ¿Cuáles son lascondiciones, medios, contextos y límites de la enseñanzaaprendizaje de las matemáticas en estos nivelesescolares? Precisamente, sería pertinente la temática delos significados de las competencias (Niss, PISA),habilidades y destrezas matemáticas (National Research Councilde los EUA), estándares (National Council of Teachers ofMathematics de los EUA) en la organización, definición yrealización práctica de un currículo en matemáticas.

El educador matemático requiere conocimiento de cuálesson las razones y las condiciones de la incorporación delos conocimientos matemáticos que deben estar presentesen la matemática escolar. En ese sentido, un temaimportante son las adaptaciones del currículo matemático

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a contextos socioculturales y a condiciones específicasde enseñanza aprendizaje. El progreso y cambio en loscurrículos: ¿cómo mejorar las competencias matemáticas delos estudiantes? No puede faltar la perspectivainternacional: currículos matemáticos en diversas partesdel mundo, sus comparaciones.

Evaluación matemática. El educador matemático enformación debe recibir conocimiento sobre las relacionesentre metodología de enseñanza en matemáticas y losprocesos de evaluación específicos. Parámetros yprocedimientos de evaluación específicos a lasmatemáticas; por ejemplo en torno a la resolución deproblemas, a la evaluación de las competencias deargumentación y comunicación matemáticas, modelizaciónmatemática, etc. Otro tema crucial: las estrategias quepermitan la evaluación adecuada de la comprensión deconceptos así como de los procedimientos algorítmicos enmatemáticas. Diseño de tareas (task design) para eldesarrollo de la lección y mecanismos de evaluación.Conocimiento y significados de las pruebas estandarizadasen los procesos de aprendizaje. Instrumentos evaluativosde diagnostico para el apoyo educativo en la enseñanzaaprendizaje de las matemáticas. Pruebas comparativasinternacionales en matemáticas: PISA, TIMSS, etc.:premisas teóricas, métodos, análisis y utilización deresultados en el mejoramiento del sistema educativo y laacción de aula.

Formación continua e investigación en EducaciónMatemática. El educador matemático debe recibir en suformación inicial instrucción sobre los principalesmétodos que se utilizan en la investigación en laEducación Matemática: cualitativa, cuantitativa, decasos, etc. A la vez debe adquirir conocimiento ycompetencias para realizar investigación de aula en supráctica profesional con el propósito, en particular, demejorar su enseñanza y profundizar los niveles deaprendizaje.

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Un educador debe recibir en su formación inicialconocimiento sobre los hallazgos en la EducaciónMatemática internacional sobre formación continua einvestigación. Por ejemplo, las características y métodosde la “lección estudio” en Japón, que integra, entreotras cosas, investigación de aula, formación continua ydesarrollo profesional.

Por otra parte, el educador requiere conocer cómo puedeusar la historia de las matemáticas en el aula, lasreflexiones filosóficas deben jugar un papel específicoen el desarrollo de la labor profesional, los resultadosde estudios sociales o en general meta-matemáticos ocupanun espacio propio que lo hemos consignado dentro de estagran categoría.

Conocimiento matemático y meta-matemático

Como consignan Ruiz, Barrantes y Gamboa (2009):Los Conocimientos matemáticos son los contenidos ymétodos de las matemáticas y los Conocimientos meta-matemáticos deben entenderse aquí comoconocimientos filosóficos, históricos,sociológicos sobre las matemáticas. Es decircontenidos de y sobre la disciplina:

Conceptos y procedimientos; métodos de construcción, validación y

comunicación; estructuras cognoscitivas; aplicaciones; historia, filosofía y estudios sociales de

las matemáticas.

El dominio cuantitativo y cualitativo de conocimientosmatemáticos se ha demostrado ofrece, entre otras cosas,mayores opciones para la enseñanza en el aula, así comomayor seguridad y confianza del docente en su labor

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(impacto en la situación del educador) (Brown y Borko,1992, p. 220), aunque conviene precisar esta valoración.

Bass (2005) llega a decir incluso que la EducaciónMatemática en su conjunto es una matemática aplicada:

La Educación Matemática no es Matemática. Es un dominiode trabajo profesional que hace un usofundamental altamente especializadas formas deconocimiento matemático y en ese sentido puedeser, sugiero, útilmente vista como una especie dematemática aplicada. Voy a argumentar que, comosucede en otros dominios de las “matemáticasaplicadas”, la primera tarea del matemático quequiere contribuir en esta área es entendersensiblemente el dominio de aplicación, lanaturaleza de sus problemas matemáticos, y lasformas de conocimiento matemático que son útilesy usables en este dominio (p. 416).

El punto de fondo aquí es la conceptualización de laforma particular de matemática que requiere el educadormatemático (que exige ser a su vez ser enseñada de formaespecífica: muy ejemplarizante) y las características quedebe tener. Es decir, el significado preciso de la“aplicación”. Para Bass (2005): “El conocimientonecesario para la enseñanza debe ser usable para laresolución de problemas especializadas y el razonamientoque los maestros tienen que hacer”.

En el caso de la primaria, en efecto, Heather Hill,Deborah Ball y Hyman Bass han desarrollado un importanteproyecto en esa perspectiva (Learning Mathematics for TeachingProject). Ellos han propuesto un modelo con 4 categorías:

(1) Conocimiento matemático común (que se espera seaconocido por cualquier adulto educado), (2)Conocimiento matemático especializado (estrictamenteconocimiento matemático que es particular para eltrabajo de enseñanza, aunque no requerido oconocido en otras profesiones que usan

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intensamente las matemáticas (incluyendo lainvestigación matemática), (3) Conocimiento dematemáticas y estudiantes y (4) Conocimiento de matemáticasy enseñanza (Bass, 2005, p. 429).

El conocimiento matemático especializado no debe versecomo un “subconjunto” de lo que otros profesionalesincluso matemáticos deben saber.

El conocimiento matemático aplicado a la educación suponecontenidos matemáticos propiamente pero ligados aobjetivos en la acción educativa.

Podemos invocar aquí una relación con la “transposicióndidáctica” desarrollada por Chevallard, donde el “sabersabio” sufre una serie de modificaciones para convertirseprimeramente en “saber a enseñar” y luego en “saberenseñado”. El primer paso desde el “saber sabio” en latransposición didáctica genera la determinación de loscontenidos que deben formar parte del currículo escolar;el segundo paso transforma este último “saber a enseñar”en un objeto de enseñanza. Esto se desarrolla en uncontexto institucional, en este caso las unidadeseducativas. Por eso, este autor subraya que latransposición didáctica debe verse como un procesoinstitucional, una “antropología, que invoca aquellasentidades que produce en el “saber sabio” y aquellas quelo reciben con el propósito de realizar una transposicióndidáctica. La escogencia de los contenidos a enseñar esuna forma de aplicación matemática en la educación, y unavez que se convierten esos contenidos en objetos deenseñanza se invoca conocimientos pedagógicos de losmismos. Ahora bien, la teoría establece el “saberenseñar” y el “saber enseñado” en función del “sabersabio”. Este último es la principal referencia. Lasimplicaciones aquí son claras: las matemáticas determinanplenamente los objetos de enseñanza. Esta visión esconcordante con las ideas de Brousseau, que colocan la“didáctica de las matemáticas” dentro de la prácticamatemática propiamente, por diversas razones (Ruiz,

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2003). Esta teoría de la transposición didáctica subrayalos contenidos en la enseñanza y aprendizaje y noprecisamente los procesos de la enseñanza aprendizaje quese encuentran al margen de los contenidos; se subraya ladisciplina como fuente de una pedagogía específica, latransposición didáctica enfoca su interés en lasdimensiones más amplias institucionales, sociales. Laestructura de momentos que establece la transposición sonválidos de manera general, no obstante la clave en todoesto es cuáles son las matemáticas y sus procesospedagógicos asociados.

Todo apunta a la construcción de currículos con unafuerte participación de pedagogías específicas de lasmatemáticas, donde las competencias profesionalesclaramente establecidas pueden ser útiles. Esto suponecursos específicos de pedagogía matemática, y a la vezpropósitos pedagógicos matemáticos específicos en todo elcurrículo.

4. LAS MATEMÁTICAS “APLICADAS” EN LA FORMACIÓN INICIAL DEL PROFESIONAL EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

¿Pueden ser concebidas las matemáticas para el educadormatemático al margen de las consideraciones pedagógicasgenerales? La respuesta es negativa. Estos conocimientosno pueden ser establecidos al margen de la pedagogíaespecífica, tiene que existir un vínculo explícito. De lascosas que más influencian en la formación de unestudiante de enseñanza de las matemáticas es la forma enque recibe los cursos de matemática. Es posible enseñaren cursos de pedagogía matemática y cómo deben enseñarselos contenidos matemáticos, pero solo eso, incluso,resultaría insuficiente.

Hace relativamente poco tiempo, en el 2004, en laconferencia vigésimo octava del International Group for thePsychology of Mathematics Education PME, un foro se dedicóexclusivamente a la temática del conocimiento matemático

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del educador matemático para la educación media. Nosparece pertinente retrotraer algunas de las conclusiones:

Es necesario conocer matemáticas con un cierto nivelde competencia.

Adicionalmente a enseñar matemáticas hay unanecesidad de adquirir un conocimiento “diferente” delas matemáticas.

Cuál es ese conocimiento diferente, es algo que noestá claro.

En algunos casos, se propone que ese conocimientosea: la matemática escolar con ideas relevantes comolas funciones; en otras ocasiones, ese conocimientoes visto simplemente como algo diferente de lasmatemáticas del matemático profesional.

Se ha obtenido progreso en el conocimiento de lasconcepciones de los estudiantes sobre lasmatemáticas, pero falta ver cómo se transfiere eseconocimiento dentro del conocimiento del educadorpara enseñar.

En la preparación de educadores matemáticos existetodavía una desconexión entre lo que los estudiantesexperimentan como matemáticas y su enseñanza en loscursos formales de matemáticas y lo que son loscursos de Educación Matemática (Doerr y Wood, 2004,p. 189).

En ese foro, Borba (Brasil) y Even (Israel) consignaronsu experiencia nacional afirmando que más contenidosmatemáticos o más competencia matemática no son lasolución para lograr progreso en la Educación Matemática.

Supuestos erróneos.

Una forma de analizar este asunto nos parece puedehacerse a través de opiniones comunes en los medios deformación de educadores (aunque con diferencia entrepaíses):

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1. Que el conocimiento de las matemáticas asegura lascompetencias para la enseñanza de esta disciplina enel la secundaria.

2. Mayor conocimiento de matemáticas (más contenidos)mejora por sí mismo las competencias del educadormatemático.

3. Los contenidos de un curso de matemática para laformación docente deben establecerse solamente conbase en las conexiones matemáticas que posean esoscontenidos (su relación teórica, estructura, etc.).

4. Que los cursos de matemática deben ser iguales osimilares a aquellos impartidos para futurosmatemáticos profesionales. A lo sumo lo que debecambiar es el número de contenidos o la dificultadde los ejercicios a resolver.

5. Que las matemáticas que debe aprender un educadormatemático deben ser superiores y más amplias quelas que debe aprender un ingeniero.

Todas estas ideas son equivocadas, y precisamentecontrarían varios de los resultados de la investigaciónque hemos reseñado arriba.

Brevemente: las ideas 4 y 5 asumen implícitamente que lamatemática y la Educación Matemática son profesiones quese identifican sin más. Aquí no hay variación en elsignificado cualitativo de las matemáticas en una y otraprofesión. Y, en la realidad, las cosas son distintas:las matemáticas que ocupa un educador matemático no sonlas mismas que requiere un matemático ni las mismas querequiere un ingeniero: son distintas, tanto en el tipo decontenidos, como en la manera como se enseñan yaprehenden. Muchos temas de matemática para el ingenieroy la forma en que se les enseña no deben formar parte delcurrículo de un educador matemático; y así hay otrostemas que deberá tener el currículo del educadormatemático que no deben estar en el del ingeniero. Lomismo pasa con la formación para el matemático.Ingeniero, matemático y educador matemático son

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profesionales distintos, que deben tener perfilesdistintos y estar dotados de competencias diferentes.

Las ideas 1 y 2 expresan una convicción muy extendida:saber matemática es suficiente para enseñar matemática.Como afirmamos antes: eso es falso; es una condiciónnecesaria, pero no suficiente. Todas las mediacionesentre contenido disciplinar y la práctica de enseñanzaaprendizaje se pierden en esa visión. Son muchos losejemplos de esto en el mundo, y también en la experienciaindividual de la docencia. Cuánta matemática es lanecesaria para enseñar, por ejemplo en la educaciónsecundaria, es objeto de debate e investigación.

La tercera idea señala una visión alejada de la pedagogíay de las competencias profesionales. No deben ser lostemas de las matemáticas (y su lógica teórica) solamentelos que definan el currículo, y en particular definan lasmatemáticas que deben enseñarse. La experienciainternacional en la construcción de currículos se ha idodistanciando mucho de aquellas simples colecciones olistados de contenidos matemáticos que definen cursos yse orienta más hacia colecciones de situacionesdidácticas o “problemas” estrechamente asociadas apropósitos pedagógicos. Contenidos, objetivos ymetodología deben estar estrechamente integrados.

La matemática para el educador matemático no es cualquiermatemática con finalidades distintas a las de eseprofesional: en ese sentido, se trata, en efecto, de unamatemática “aplicada”: “el conocimiento necesario para laenseñanza es diferente de aquel del que se necesita enotras ocupaciones” (Bass, 2005, p. 430).

El tema es complejo y vamos a proponer algunas características de las matemáticas para el educador matemático en la educación secundaria (niveles 7 a 12).

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Empezamos, sin embargo, por mencionar dos situaciones“conflictivas” en la formación inicial del futuroeducador:

Si los cursos disciplinares se rigen por un modeloformalista (sobrecargado de aspectos axiomáticos,demostrativos y formales) y con metodologías de aula(tiempos y tipos de exposición, evaluación, etc.)conductistas (ausencia de resolución de problemas yaprendizajes activos y colaborativos, por ejemplo),eso pesará en la práctica profesional (ya sea querechace su formación o la incorpore y fracase en sulabor).

Si los cursos que se imparten están abarrotados decontenidos o si “no alcanzan las lecciones” para sudesarrollo y hay que acudir a tareas o trabajoextra-clase para desarrollarlos, los propósitosformativos están colocados en una perspectivaequivocada.

La última situación “conflictiva” que mencionamos arribanos conduce a algo muy importante: uno de los criteriosesenciales debería ser el favorecer la profundidad sobre laamplitud, uno de los resultados sobre el aprendizaje. Esdecir: más que “cubrir” mucha materia, muchos tópicos, delo que se trata es de ver algunos en profundidad y conobjetivos diferentes a los usuales. Esto es importanteporque la tendencia dominante en muchos formadores deprofesores de matemáticas (basada en una óptica de loscontenidos) es tratar de “ver” el mayor número decontenidos matemáticos, aunque se desarrollen con menortiempo y calidad. Y algunos currículos en nuestros paísesestán sobrecargados en contenidos matemáticos.

Even (2004) lo expresa con toda claridad:Un enfoque tradicional para equipar a losprofesores de matemáticas de la educaciónsecundaria con conocimiento matemático es denaturaleza cuantitativa: “más es mejor”. Esteenfoque está basado en la premisa que los

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educadores han aprendido, y entonces conocen lasmatemáticas escolares; y que los educadoresdeben saber más matemática que las matemáticasque deben aprender sus estudiantes, y entonceslos estudios matemáticos avanzados son un buenindicador del conocimiento matemático adecuadopara el educador. Sin embargo, muchasinvestigaciones (...) sugieren que loseducadores de matemáticas de enseñanza media muya menudo no poseen una comprensión sólida de lasmatemáticas que ellos necesitan usar y enseñaren la escuela. Esto incluye conceptosfundamentales del currículo de la escuelasecundaria, como son las funciones y lasdemostraciones. (p. 171).

Estas opiniones son relevantes: es muy extendida la ideade aumentar cuantitativamente las matemáticas y suscompetencias para mejorar su aprendizaje. Las opinionesque invocamos coinciden con investigaciones que se hanrealizado en las últimas décadas: la investigación noofrece tantos resultados que conecten mayor conocimientomatemático (después de cierto nivel) y mejor aprendizaje(Fennema y Loef Franke, 1992, p. 148).

Esta no es una situación, sin embargo, que poseen todoslos currículos en el mundo. En algunos países su problemaradica en que el conjunto de contenidos matemáticos esmuy reducido, como en algunos programas de formación deescuelas normales en México. Una formación extremadamentedébil en matemáticas no forma en muchas de lascompetencias que debe tener el educador matemático comola investigación de aula y la atención a estudiantestalentosos; provoca una equivocada transmisión de lanaturaleza de las matemáticas; ofrece debilidad en laformación en la argumentación matemática y los métodosmatemáticos y en muchas otras competencias matemáticasesenciales. Una formación extremadamente cargada enmatemática, como en España, ha encontrado un fracaso

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también, por otras razones (como las pruebas PISA 2000 y2003, entre otras, consignaron).

Algo muy importante de señalar: la forma como se enseñenlos contenidos matemáticos, también, influyedecisivamente en los contenidos pedagógicos que adquiereel docente en formación. Esto posee dos aspectos. Por unlado:

Dentro de las clases universitarias dematemática, la principal preocupación entre lamayoría de matemáticos es todavía cuántocontenido hay que cubrir. Para cubrir esecontenido su instrucción muy frecuentementepreserva la exposición tradicional de laestructura formal del contenido. Los educadoresen formación no tienen más opción queexperimentar dos aproximaciones contrastantes deaprendizaje: orientación a procesos versusorientación al contenido. (Lin, 2004, p. 175).

Si una aproximación metodológica formalista y conductistapredomina en ese aprendizaje matemático, la visión y losmétodos que adquiere el educador en formación se veránafectados por esa perspectiva e influenciarán la formacomo actuará en el aula posteriormente. Aunque eleducador en formación reciba conocimiento pedagógico, porejemplo, con énfasis constructivista y hacia laresolución de problemas, el modelo de matemáticaformalista y conductista que recibe en la formaciónmatemática tenderá a deformar su conocimiento pedagógico.Un profesor universitario de matemática que asume como sulógica de clase el esquema clásico “definición-teorema-demostración-corolario-ejemplo-ejercicio-aplicación”,influirá en la percepción y conocimiento sobre lasmatemáticas de sus estudiantes con una mentalidadformalista errónea. Esto hace que los diferentesconocimientos (en las 4 categorías que hemos conceptuado)que debe recibir el docente no puedan verse de manera“compartimentalizada”, aislados, pues lo que se hace con

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una mano se puede borrar con la otra, se invoca uncurrículo integrado.

Cuando los cursos de matemática son impartidos, porejemplo, por matemáticos profesionales existen mayoresposibilidades de que ofrezcan conocimiento sobre losmétodos, estrategias y condiciones de construcciónmatemática, y no solo la arquitectura formal axiomática(que solo se consigna después del proceso de construccióncognoscitiva). Sin embargo, aumentan las posibilidades deque el matemático oriente sus clases por las necesidadesy la lógica de su quehacer disciplinario sin objetivosque serían relevantes para el educador matemático (comoel subrayar las relaciones entre el cuerpo general de lamatemática y la “matemática para enseñar”, aplicaciones,etc.). Por otro lado, si los cursos no son impartidos pormatemáticos profesionales, sino por profesores alejadosde la construcción matemática (armados en algunos casosapenas de un poco más de matemáticas que sus alumnos, sinconocer de primera mano los temas en la vanguardia de sudisciplina) éstos pueden exhibir percepciones sobre lanaturaleza de ésta muy alejada de la realidad práctica deesa construcción, y se amplía la posibilidad de latransmisión de ideas equivocadas sobre la naturaleza dela práctica profesional matemática.

Es este un problema extendido, como lo consignan Li(2004) y Doerr (2004). Debe existir convergencia entrelas matemáticas que recibe el educador en su formacióninicial y la Educación Matemática, deben ser cursosadaptados a sus objetivos y perspectivas profesionales.

Por otro lado, existe un problema cuando las matemáticasuniversitarias no están estrechamente relacionadas conlas escolares. Por eso Even (2004) afirma:

… basarse en los estudios matemáticos avanzadosen el nivel universitario para obtener unconocimiento matemático adecuado para eleducador de las matemáticas escolares de la

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educación media es problemático. Aparentemente,aún si los educadores ya han aprendido comoestudiantes las matemáticas que necesitanenseñar, y luego han estudiado matemáticas aúnmás avanzadas, ellos necesitarán todavía que re-aprender las matemáticas que tienen que enseñar(p. 172).

No se trata por supuesto que la formación matemática deleducador matemático sea solamente un poco mayor que laque recibió en la secundaria, sino que las matemáticasescolares sean un foco de la atención de su formaciónprofesional. Que los tópicos del currículo escolar seanobjeto para moldear la formación matemática más elevada.

La conclusión inevitable: la enseñanza de la matemáticapara los educadores matemáticos no debe asumirse como laadecuada sin necesidad de un escrutinio y planificaciónmayores. Es decir, qué se enseña de las matemáticas ycómo se enseñan las matemáticas para los educadoresmatemáticos debe ser establecido dentro de una estrategiacoherente precisa.

Profundidad mejor que amplitud: criterios.

La mayor profundidad como criterio puede ser inserviblesi no se le brinda un cuerpo. Proponemos que profundidad,para los cursos de matemática en la formación deeducadores matemáticos, se entienda como, en cada tópico,analizar: diferentes representaciones (cuando seaposible: visual, operativa, formal, relacional, e inclusocon usos de tecnología si es pertinente, etc.), contextossociohistóricos, aplicaciones, algunas estrategias deenseñanza (didácticas), más ejercicios, etc. Profundidadsobre amplitud implica en cada curso: seleccionar conprecisión los tópicos a enseñar. Debe tomarse en cuenta,sin embargo, que no es lo mismo un curso inicial que unointermedio o uno final en la materia que se va adesarrollar. En los finales debe existir másflexibilidad.

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El criterio que se ha enfatizado hasta ahora en laformación matemática para docentes de secundaria ha sidocasi siempre el de la lógica de los contenidos (porejemplo: ¿cómo no vamos a ver las demostracionesdetalladas de los teoremas de existencia y unicidad enecuaciones diferenciales?). Han sido las necesidades delas matemáticas propiamente o la de los profesores dematemáticas en las universidades (sus ideas, necesidadeso prácticas tradicionales) las que han dominado muchasveces el currículo en los cursos de matemática. Loslibros de texto que se suelen usar son simplemente dematemáticas (a veces hacia matemáticos, a veces haciaingenieros) y no orientados a la profesión del educador.Las notas de clase en forma de folletos o hasta elevadosa formato de libro que a veces se usan solo reproducenla misma experiencia.

A la luz de lo que hoy se sabe sobre la EducaciónMatemática en el mundo, las preguntas que se deberesponder, en el desarrollo de cada curso, son otras: ¿dequé manera este curso deberá servir al futuro docente?¿Cuáles son las competencias que favorecen el curso ycada contenido del mismo? La vocación pedagógica debenutrir cada curso de matemática de una manera específica.¿Cuáles son los temas centrales? ¿Cuáles temas permitenmayores aprendizajes y conexiones disciplinares otransdisciplinares?

En varios países e instituciones formadoras de formadoresdonde los currículos están sobrecargados de contenidos yse busca realizar un rediseño curricular emergenpreguntas evidentes: ¿qué tópicos se deben quitar parapoder profundizar otros? ¿Cómo hacerlo? ¿Cómo traducirestos propósitos en los cursos de pedagogía general, y enlos de matemáticas?

Pensamos que, además de una selección cuidadosa de lostópicos (que en algún momento debería ser establecida con

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base en un currículo diferente), podemos sistematizarresumidamente algunas características “deseables” quehemos abordado antes y que pueden servir como una guía.

Características “deseables” en la lección de matemáticas.

(1.) Mostrar relaciones del tópico con otras áreas de lasmatemáticas: ver las aplicaciones o relaciones dentro delas matemáticas (métodos comunes, etc.). Por ejemplo: lateoría de grupos sirvió para clasificar las geometrías,lo que además invoca la historia. Esto es importante,porque al verse las relaciones entre campos de lasmatemáticas se aprecia mejor el valor de los métodos y launidad de las matemáticas.

(2.) Establecer relaciones explícitas entre la matemáticapara enseñar (el currículo escolar al que va orientada lacarrera) y las matemáticas que tenemos en las aulasuniversitarias. Partir de los contenidos del currículoescolar siempre y subir poco a poco a lo más general.Buscar implicaciones de la matemática teórica sobre elcurrículo escolar. Ej.: Al estudiar el anillo depolinomios, se pueden usar múltiples ejemplos de esecurrículo escolar. Incluso conceptos como el de “ideal”en álgebra se pueden visualizar más (no solo ver sudefinición, propiedades y sus relaciones con otros). Conmás razón, en cálculo o en probabilidad. Las series, porejemplo, poseen muchas aplicaciones dentro y fuera de lasmatemáticas. Los desarrollos limitados están asociados alestudio de aproximación, a modelos, etc. Hay gruposaplicados famosos en la física (de fases, Relatividad,etc.). Esto es de lo más importante porque ofrece a lasmatemáticas que se enseñan en el nivel superior sentido ymotivación intelectual para el estudiante.

La pedagogía específica, que describimos en detalle, seve beneficiada por una formación y matemática que subrayaadecuadamente interrelaciones entre la matemática para

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enseñar y las matemáticas teóricas y sus perspectivas engeneral. Es decir: la relación en que los contenidosdisciplinares del currículo escolar y las matemáticasmodernas debe ser explícita. Algunas veces esta relaciónse expresa como “matemáticas escolares desde unaperspectiva superior”. Se dirige a apuntar laconstrucción de planes de formación de educadoresmatemáticos basados en los componentes del currículoescolar y no al revés que es lo que ha predominadodurante mucho tiempo en varias latitudes.

(3.) ¿Cuál es el sentido de contenidos meta-matemáticos?Pensamos que son relevantes contenidos sobre lasmatemáticas desde una perspectiva diferente: valoraciónde sus estructuras, sus métodos de pensamiento, susperspectivas teóricas, en fin asuntos que refieren a lafilosofía. De igual manera, la colocación de lasmatemáticas en contextos históricos y socioculturales esvital no solo para comprender la naturaleza de lasmatemáticas, sino también como un recurso vital para lapráctica del educador. Esta visión la afirman, porejemplo, Niss y PISA 2003, como pulsiones transversales:historia y filosofía de las matemáticas, relación deaplicación de las matemáticas en el entorno socioculturaly físico. La historia y en general lo conocimientos meta-matemáticos ofrecen no solo recursos pedagógicos muyespeciales, sino perspectivas muy importantes sobre lanaturaleza de las matemáticas. Este tema se puedevincular mucho a las creencias y a la cultura queintervienen en los procesos de esta práctica profesional.

(4.) Recurrir a modelos o aplicaciones de algunos de lostópicos, la relación con el entorno y la realidad. Estono se puede hacer de la misma manera en todo los cursos.Pero casi todos los conceptos del currículo que tenemosen enseñanza de la matemática permiten aplicaciones. Lamodelización, por ejemplo, es uno de los temas fuertes enla Educación Matemática actual. El propósito responde ala necesidad de visualizar las matemáticas para la

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enseñanza. Esto posee implicaciones no solo sobre cadacurso sino sobre el conjunto del currículo (en laselección y definición de cursos de cada área, y en lospropósitos a plantear). Conocimientos de modelización,matematización y problemas contextualizados deben serparte usual de los contenidos que deben dominar loseducadores matemáticos.

(5.) Otro elemento clave que debe incorporarse en laformación de los futuros educadores matemáticos es lapresentación de los conceptos y métodos matemáticosacudiendo al mayor número de representaciones de losmismos: numéricas, algebraicas, gráficas, geométricas,visuales, con tecnologías digitales, etc. Debe pensarseque el profesor se va a enfrentar a estudiantes concapacidades o aproximaciones múltiples hacia elaprendizaje. El dominio de múltiples representaciones oestrategias permitiría recursos imprescindibles para eleducador en el aula. Esto obliga a darle énfasis demaneras muy distintas a las matemáticas que reciben losfuturos profesores de aquellas matemáticas que requierenlos futuros matemáticos profesionales o los ingenieros,por ejemplo.

Existe una correlación positiva entre un conocimientomatemático integrado, con una fuerte comprensión de lasrelaciones teóricas dentro de las matemáticas y suconexión con el entorno, y el impacto en el aula.

Figura 2.Algunas características convenientes en las Matemáticas

de la formación inicial del profesor de Matemáticas

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Resolución de problemas.

Es aconsejable introducir la resolución de problemas comouna estrategia metodológica en el aula. ¿Cómo se va apedir que los futuros docentes propongan o usen laresolución de problemas en sus clases si no enseñamos asíen la universidad o en las escuelas normales? En lugar deexponer teoría, enunciar y ver las demostraciones de nteoremas, y luego hacer ejercicios (el esquemaformalista), se debería seleccionar un tema, empezar porproblemas ilustrativos y significativos, y crear elcontexto para los teoremas. Los resultados de lainvestigación internacional en la Educación Matemáticaasí como las experiencias escolares en varios países,subrayan la relevancia de la resolución de problemas enlas lecciones de matemáticas, como instrumentosarticuladores de la misma y para el desarrollo delcurrículo.

Hacer lo contrario del esquema formalista no es fácil.Hay al menos dos elementos que pesan en su contra: por unlado, que muchos de los resultados que ya existen en elmundo sobre esto (hallazgos y experiencias novedosas) aveces no se encuentran muy disponibles para usarse en la

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labor de aula (a veces por limitaciones de idioma); porotra parte, lo más importante, que muchos de quienesenseñan en las universidades han sido formados en losesquemas, actitudes y modelos formalistas. Las creenciasque nos han heredado sobre la naturaleza de lasmatemáticas es un factor que juega un papel muyimportante. La reacción al cambio, además, es un asuntosocial y cultural muy complejo. Y en este tema, con unadisciplina científica y profesional que tiene apenas unos50 años, es especialmente difícil. Sin embargo, esta víaestratégica de construcción de la acción de aula con baseen problemas es una perspectiva prometedora. Y debehacerse un esfuerzo por usarla y contextualizarla en lascondiciones curriculares de cada país.

Demostraciones

El lugar de los métodos de argumentación y demostraciónmatemáticas es muy importante en los currícula deformación para profesores de matemáticas: es una de lascaracterísticas centrales de las matemáticas comodisciplina. Ahora bien, la perspectiva del educador,obliga a darle el lugar que le corresponde en los cursosde matemáticas.

Cuando se estudian las demostraciones, dentro de esavisión “aplicada”, es importante señalar el tipo demétodos demostrativos, su relación con otros, debepreguntarse siempre qué se aprende de una demostración.Muchas de las demostraciones son demasiado particulares.Las interesantes para el educador matemático son, sinembargo, las que usan métodos de aplicación más general.Estas son las que brindan más lecciones para elestudiante. Si se van a ver n teoremas, deben enfatizarseaquellos que posean mayor significado educativo(generalidad, aplicabilidad, conexión con otros temas).Algunas demostraciones no son necesarias y más bien suintroducción obstruye la comprensión de conceptos ymétodos matemáticos más relevantes.

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Estas características suponen una preparación meticulosadel curso y de cada lección dentro de la nuevaperspectiva. Y, por supuesto, la evaluación deberácorresponder a esta visión.

Evaluación.

El tema de la evaluación es uno de los más importantes alos que nos enfrentamos. Una evaluación inapropiada puedeechar por tierra todos los buenos propósitos formativos ytodas las ideas renovadoras. Ha sido una de las grandesdebilidades en la enseñanza de las matemáticas. Y en laformación docente en matemáticas que hemos tenido en lasdiferentes universidades se han cometido muchos erroresen esta dimensión. Se han repetido esquemas evaluativosque no subrayan los aspectos formativos, no incorporanlas conexiones con otros propósitos de la educación (comola investigación, o los aprendizajes interactivos ycolaborativos), o la formación en modelos para la futuralabor práctica del profesional que se forma. Muchasveces, en exámenes, lo que se evalúa no corresponde a loque se enseña. No ha sido difícil cometer errores encuanto a la convergencia entre la lección que se ha dadoy lo que se exige luego en un examen a los estudiantes.Los principios de evaluación general que se enseñan enlos cursos educativos raramente se han incorporado en loscursos de matemática. Otro más de los ejemplos de esaseparación entre disciplina y pedagogía.

Como sugerencias generales en busca de mejorar losprocesos de evaluación proponemos: alrededor de un 50%debe ser evaluado por medio de proyectos (tareas,pequeñas investigaciones, portafolios, etc.). Todomesurado: tareas imposibles o que significan tiempos casiinfinitos no tienen sentido. Es aconsejable que estosproyectos vayan orientados a la formación docente. Esdecir, temas que conecten con dimensiones interesantespara la labor de aula futura: puede ser el espacio idóneo

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para introducir mucha historia, contextualizaciones,modelizaciones, o relaciones con otros campos de lasmatemáticas. No debe, en general, concebirse como unespacio adicional para desarrollar más contenidosmatemáticos. El otro porcentaje con exámenes. Estosexámenes deben estructurarse de acuerdo a lo que seenseñó en el aula: misma proporción de aspectosdemostrativos por ejemplo, nivel de dificultad similar …(un porcentaje debe ser tomado de prácticas o tareasdadas con anterioridad). Insistimos en temasdesarrollados en el aula, porque a veces se ponentrabajos extractase demostrativos (que no se ve en elaula, o se ven poco) y se evalúan en los exámenes.También debe haber partes con situaciones novedosas,porque hay que recordar la importancia de latransferencia (enfrentarse a nuevas situaciones) en laformación disciplinar.

El propósito de estos cursos, debe recordarse siempre, espreparar a los estudiantes en las matemáticas querequiere un educador matemático en la educaciónsecundaria. Las conexiones deben ser directas yexplícitas con las matemáticas del currículo escolar,siempre que sea posible. Y no solo al principio del cursoo en declaraciones verbales generales, sino a lo largodel todo el curso. Esto no se puede hacer por supuesto dela misma manera en cada curso.

Los proyectos pueden ser un instrumento para irdesarrollando habilidades dentro de los estudiantes en lainvestigación; además pueden invocar aprendizajescolaborativos.

En algunos cursos los proyectos pueden ser un espacio muyrico en el que la tecnología digital pueda usarse conmucha pertinencia.

Evidentemente, este tipo de enfoque implica mucho mástrabajo que simplemente seguir un texto al pie de la

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letra, es más complejo que evaluar la materia por mediosolamente de exámenes. No siempre es fácil vincularse alos contenidos del currículo escolar y lasconsideraciones pedagógicas. Por eso es necesaria unapreparación meticulosa.

Punto de partida todavía válido.

Una colección de sugerencias de partida todavía validassobre las características del conocimiento matemáticopara el educador matemático:

conocimiento del contenido y discurso de lasmatemáticas, incluyendo conceptos y procedimientosmatemáticos y las conexiones entre ellos,

representaciones múltiples de conceptos matemáticosy procedimientos,

formas de razonar matemáticamente, resolverproblemas, y comunicar la matemáticas efectivamenteen diferentes niveles de formalismo, además,

desarrollar sus perspectivas sobre la naturaleza delas matemáticas, la contribución de diferentesculturas en el desarrollo de las matemáticas, y elpapel de las matemáticas en la cultura y lasociedad,

los cambios en la naturaleza de las matemáticas y laforma en la cual enseñamos, aprendemos y hacemosmatemáticas como resultado de la disponibilidad detecnologías,

matemáticas escolares dentro de la disciplina de lasmatemáticas,

la naturaleza cambiante de la matemática escolar, surelación con otras materias escolares, y susaplicaciones en la sociedad (National Council of Teachers ofMathematics, 1991, p. 132).

Muchos de estos aspectos se deben reflejar directamenteen la labor de aula en las universidades. Cursos dematemática donde se invocan contextualizaciones,historia, representaciones múltiples, modelización,

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vínculo con el currículo escolar, etc., que, comoseñalamos, en particular, deben expresarse en losprocesos de evaluación.

5. PROPORCIONES.

¿Cuáles deben ser las proporciones que deben tener losdiferentes componentes dentro del currículo?

La búsqueda de mediaciones entre disciplinas y prácticaprofesional es un importante denominador común en lasperspectivas internacionales: hay consenso en que no esconveniente una formación academicista al margen de unaorientación profesional. Los esquemas que han dominadohasta hace poco tiempo en muchos países europeos, porejemplo, como España y Holanda, han tenido poco espaciodentro de sus currículos para la profesionalización deleducador y para competencias y conocimientos en pedagogíamatemática. Mucha matemática, poca pedagogía. PISA 2000 y2003, con resultados educativos no muy alegres para losestudiantes de estos países, señaló que la orientación noera la adecuada:

La comparación de los resultados de la prueba dematemáticas -en relación con PISA 2000, añadido porA. Ruiz-, frente a los globales y a los de Portugal–nivel de inversión por alumno similar a la deEspaña- muestran que el porcentaje medio de aciertoses del 51% para los alumnos españoles frente a unamedia internacional del 55% (Gómez, Puig, Quirós, yViaño, 2004, p. 9).

En el año 1994, la Comisión Europea presentó uninforme sobre el fracaso escolar en la Unión Europea(UE) que revelaba que en nuestro país –España,añadido A. Ruiz- cerca del 23% de los jóvenes noobtenía el diploma correspondiente al final de laescolarización obligatoria. España era entonces elsegundo país de la UE con mayor número de fracasosescolares, sólo superado por Holanda (26%) (Gómez etal, 2004, p. 9).

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Las nuevas propuestas, para la educación, pareciera,buscan un compromiso con lo que ha existido y con laincorporación de enfoques distintos que han adquiridomayor momentum en la investigación internacional(profesionalización, pedagogía específica).

Es difícil pensar que existe una estructura decomponentes curriculares de aplicación universal paratodos los países. Cada cual, sin embargo, debe tallar esaestructura con base en sus contextos y objetivos. Porejemplo, en el caso de Noruega, Kleve y Jaworski (2004)documentan una situación que es común en varios países:por un lado, los estudiantes salen de la secundaria conmuy malos niveles de competencia matemática, y, ensegundo lugar, los profesores de matemática en formaciónson de los de menor nivel de competencias matemáticas.Esto les obliga a realizar acciones adicionales deformación universitaria para proporcionar competenciasmatemáticas (en el caso de Noruega, dos años de estudiosantes de entrar en enseñanza de matemática). El currículodebe tomar en cuenta esa situación. Es un llamado a tomaren cuenta la especificidad y los contextos locales.

Si las competencias matemáticas con las que ingresan a launiversidad son muy buenas, como en el caso de Japón yFinlandia, es posible desarrollar plenamente un currículoque incorpore todos los aspectos que hemos planteado ennuestra propuesta.

En general lo que pensamos puede ser un buen punto departida, es lo que se puede recoger en un modelopiramidal de la siguiente manera.

Figura 3. Pirámide de conocimientos para la formación de profesores

de matemáticas.

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La base de la pirámide es la formación más importante:Matemáticas y Meta-Matemáticas, seguida de aquella en laPedagogía de éstas, para luego dar lugar a la EducaciónGeneral y a los Conocimientos Generales. Los componentesse deberían ajustar de acuerdo a las condiciones de cadapaís, o también si la formación es destinada a enseñarentre los grados 7 y 12 de la educación media, o si elobjetivo es solo la enseñanza en los grados 7-9. En todocaso, lo que no es un tema que vamos a abordar acá, todoparece apuntar en la investigación internacional apotenciar una sólida formación matemáticas y meta-matemática para los profesores de matemáticas en laeducación media.

6. CONCLUSIONES

Los temas del currículo para la Educación Matemática sehan convertido desde hace muchos años en un asuntocentral de la investigación en esta disciplina.Especialmente, por la misma naturaleza de ésta, que asumeun puente natural entre la teoría y la práctica. Laformación de los educadores matemáticos, inicial ycontinua, constituye la clave para poder potenciar losesfuerzos de progreso educativo, y para, al mismotiempo, nutrir nuevos momentos de avance cognoscitivo.

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Los conocimientos que debe poseer el educador matemáticoson una parte medular de su formación, aunque no laúnica. Los valores, actitudes, .. también pesan mucho.Pero asegurar que esa parte sea apropiada se vuelvesustancial. Y en este territorio la investigación y lasexperiencias internacionales pueden aportar mucho. Sinduda representó un fuerte “clarinazo” el pronunciamientode Shulman en el año 1986, apuntalando el CPC con base enla premisa esencial de que no basta el conocimientodisciplinar: es necesario pero no suficiente. Y lastransposiciones didácticas o las mediaciones de ladisciplina a la práctica de aula no deben ser ajenas dela formación inicial y la continua de todos loseducadores de enseñanza “de”. En el caso de lasmatemáticas, esto que se debería haber asumidorápidamente, ha contado con una inercia de las fuerzasdominantes que asumieron los currícula con base en loscontenidos disciplinares sin más y la estructura de lasnecesidades de los matemáticos; un asunto que, porsupuesto, tiene su historia, porque, para no ir muylejos: la reforma de las “matemáticas modernas” fue ungran momento para apuntar precisamente muchas de lascosas que no había que hacer. Pero bueno, de múltiplesmaneras se ha llegado a nuevos derroteros y al progresode una nueva disciplina científica y una prácticaprofesional correspondiente, en las que en poco tiempo seha cristalizado un cambio notable. Las nuevas fases en laenseñanza de las matemáticas, afirman precisamente ideasespecíficas con base en la práctica y en lainvestigación. Todavía muchas de éstas no han calado conla profundidad que se debiera, pero todo apunta en esadirección, y se debe reconocer: algunos países, regionesy comunidades más audaces o con ciertas condicionessociales, económicas y culturales que hay que estudiarbien, se han adelantado y encontrado buenas rutas deprogreso en la Educación Matemática.

En este trabajo hemos ofrecido una propuesta para unmodelo que integre los conocimientos que debe incorporar

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la formación de los educadores matemáticos, y descritoalgunas de esas dimensiones. Tal vez lo más relevante seala propuesta de redefinir las matemáticas que debenincorporarse, “aplicadas”, pero con el sentido de unequilibrio integrador con los otros componentes, yadaptado todo a contextos socioculturales y educativosespecíficos. Es decir: además de afirmar el estatus de laEducación Matemática como una nueva disciplina científicaindependiente, ofrecer las características que en suscurrícula de formación así lo expresan: potenciación delCPC, matemáticas “aplicadas” para el educador y unequilibrio de sus componentes con arraigo local. Aun máslejos, para aterrizar las abstracciones, se ha querido eneste artículo precisar y detallar algunos de loselementos que esos grandes componentes pueden suponer. Deesta forma, pensamos se podría avanzar en lasinvestigaciones y las experiencias prácticas necesariaspara ir conformando con especificidad lo que apenasquisimos delinear aquí, darle cuerpo al esqueletointelectual que hemos planteado, y abrir avenidas quepermitan sostener y nutrir importantes intentos de cambioque se están dando en varias partes del mundo.

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