Abstract— The major contributions of this paper are as follows: 1) four mathematical models that are used to describe the motorcycle dynamics during braking are presented, the first three are obtained from previous papers and the fourth is proposed in this paper 2) the differences between the four mathematical models are described, 3) It is proven that the proposed mathematical model used to describe the motorcycle dynamics during braking is asymptotic astable, 4) a comparison between the four mathematical models is presented based in two facts: a) the relative velocity has to be positive during braking, and b) real data are obtained from a motorcycle and used in the comparisons.

Keywords— Bracking process, motorcycle, mathematical model.

I. INTRODUCCION

XISTEM algunas investigaciones sobre modelos matematicos como son [1], [3], [15], [20], [26], y [28].

En [1] se propone una arquitectura de control inteligente que mitiga la necesidad de un conocimiento exacto del valor del retardo, el esquema de control inteligente está compuesto por un conjunto de modelos con retardos distintos operando en paralelo. En [3], ellos presentan un modelo matematico de las transacciones de un negocio dividido en dos vistas, una organizacional y la otra de procesos de negocio. En [15], han desarrollado expresiones analticas cerradas, para los parámetros que caracterizan la estadstica de desvanecimiento en frecuencia de canal UWB. En [20], ellos presentan la aproximacion usando algoritmos geneticos de un modelo termico desarrollado por el MIT en 1997. El trabajo de [26] presenta una herramienta de software que brinda soporte a la generacion de modelos neuronales directamente desde las mediciones. En [28], ellos presentan el control del modelo cinemático del robot móvil usando linealización entrada-salida por realimentación estática.

Los trabajos previos nos ilustran que hay dos tipos de modelos matematicos, unos son los analitcos usados en [1], [3], [15], [28] y los otros son los modelos numericos usados en [20], [26]. En este articulo se va a trabajar con los modelos matematicos analiticos.

Existe algunos trabajos sobre vehculos. El articulo de [11] analiza la respuesta dinamica de una motocicleta con un

J. de J. Rubio, Instituto Politécnico Nacional, México D.F., México,

jrubioa@ipn.mx C. Torres, Instituto Politécnico Nacional, México D.F., México,

cesartorres77@hotmail.com R. Rivera, Instituto Politécnico Nacional, México D.F., México,

rriverab@ipn.mx C. A. Hernández, Instituto Politécnico Nacional, México D.F., México,

cahernandezc@ipn.mx

freno ABS y una camara. En [16], se propone un modelo de friccion para la emulacion dinamica de la fricción camino/rueda para validar el diseño de un control. El trabajo de [8] proporciona un resumen de los ultimos avances en el diseño de la suspención de vehiculos terrestres, su dinamica y el control, junto con las perspectivas del autor. En [27], ellos desarrollan un modelo de dinámicas multicuerpo para un carro equipado con una estructura de suspención McPerson, al cual le aplican una técnica de identificación. El trabajo de [17] discute las dinámicas de un motor-a-deslizamiento de una motocicleta las cuales estan relacionadas al diseño de control de tracción. En este articulo se va a trabajar el caso del sistema de frenos.

El modelo matemático del proceso de frenado describe la relación entre la fricción interna, la velocidad lineal de la rueda, la velocidad angular de la rueda, y la velocidad relativa. El modelo matemático es importante en el diseño del frenado de un vehculo para la simulacion del sistema, para la animacón del sistema o para el diseño de estrategias de control.

Los siguientes autores han propuesto las ecuaciones que conforman los diferentes modelos matemáticos que describen el sistema de frenado de un vehculo. Dos ecuaciones que estan relacionadas con los movimientos dinámicos simplificados de una llanta en el vehculo y estan definidas en [7], [18], [19], otra ecuación esta relacionada al modelo matemático de fricción Lumped LeGre definido en [5], [6], [7], [18], [19].

Existen cuatro modelos matemáticos analticos interesantes que describen comportamiento dinamico del sistema de frenos de un vehiculo, estos modelos matemáticos son los siguientes: a) el primero es el modelo matemático propuesto por [18] y [19], b) el segundo es el modelo matemático propuesto por [29] y [30], c) el tercero es el modelo matemático propuesto por [5] y [6], el cuarto modelo matemático es el propuesto en este artculo.

En este artculo, se presentan cuatro modelos matemáticos que son usados para describir el comportamiento dinámico de un sistema de frenos de una motocicleta, se describen las diferencias entre los cuatro modelos matemáticos, y se presenta la comparación de los cuatro modelos matemáticos basada en dos factores: a) la velocidad relativa tiene que ser positiva durante el frenado [18], [30], y b) se obtienen datos reales de una motocicleta los cuales son usados en las comparaciones. En adición, se presenta la prueba de que el modelo matemático usado para describir el comportamiento dinámico de una motocicleta durante el frenado es asintótico estable.

J. de J. Rubio, Member, IEEE, C. Torres, R. Rivera and C. A. Hernández

Comparison of Four Mathematical Models for Braking of a Motorcycle

E

630 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 9, NO. 5, SEPTEMBER 2011

II. PRIMER MODELO MATEMATICO QUE DESCRIBE

EL PROCESO DE FRENADO DE UNA MOTOCICLETA.

Permtanos considerar el modelo Lund-Grenoble (LuGre) junto con las dinamicas de la motocicleta propuesto por [18] y [19]:

0=( )

=

= 4

rr

r

x b b

x av

vz v z

h v

J rF k P

mv F F

ω

θσ

ω σ ω

⋅

⋅

⋅

− −

− − −

−

(1)

donde las ecuaciones 2 y 3 estan relacionadas con el movimiento simplificado de una rueda en el vehculo [2], [5], [7], [18], [19], la primera ecuación es el modelo matemático de fricción de Lumped LuGre [2], [5], [6], [7], [18], [19], z es la fricción interna, r es el radio efectivo exterior de la llanta, v es la velocidad lineal del centro de la rueda, ω es la

velocidad angular del centro de la rueda, ωσ representa el

coeficiente de fricción total, xF es la fuerza de fricción, J es

el momento de inercia de la rueda, g es la gravedad, m es la

masa total de la motocicleta, bk es la ganancia del sistema de

frenado y bP es la presión actual aplicada al frenado (la

variable de control). avF representa la fuerza aerodinámica.

( )rh v es una función no lineal escalar.

El parámetro θ representa los cambios en las

caractersticas del camino: por ejemplo, tipicamente, =1θ

representa camino seco, = 2.5θ representa camino húmedo

y = 4θ representa camino de hielo. En este artculo θ se va a considerar como un parámetro constante debido a que no es común que las condiciones del camino cambien de manera importante.

La velocidad relativa rv se define a continuación [7],

[18], [30]:

= 0para frenadorv v rω− ≥ (2)

donde r es el radio exterior efectivo de la llanta, v es la velocidad linear de la rueda y ω es la velocidad angular con respecto al centro de la rueda.

La fuerza de fricción xF producida por el contacto

llanta/camino es [2], [5], [6], [7], [18], [19]:

0 1 2=x n rF F z z vσ σ σ⋅ + −

(3)

donde z es la fricción interna, nF es la fuerza normal, 0σ

es el coeficiente de dureza, 1σ es el coeficiente de

amortiguamiento, y 2σ es el coeficiente la viscosidad relativa

a la humedad.

La función escalar ( )rh v es definida a continuación

[2], [5], [6], [7], [18], [19]:

( )1/2

( ) =

vrvs

r c s ch v eμ μ μ−

+ − (4)

donde sv es la velocidad relativa de Stribeck, sμ es el

coeficiente de la fricción estática normalizada y cμ es la

fricción normalizada de Coulomb. En este articulo se usará la siguiente ecuación [18],

[30]:

=4

=

n

av v

mgF

F mgvσ (5)

donde vσ es el coeficiente de resistencia al movimiento, m

es la masa total de la motocicleta, g es la gravedad, y v es la

velocidad lineal de la rueda. El coeficiente de adesión de la rueda μ se define a

continuación [18], [30]:

= x

n

F

Fμ (6)

donde xF es la fuerza de fricción y nF es la fuerza normal.

El deslizamiento longitudinal s se define como sigue:

= rvs

v (7)

donde rv es la velocidad relativa y v es la velocidad lineal

de la rueda. Permtanos definir las siguientes variables de estado

1 =x z , 2 =x v , 3 = =rx v v rω− , la entrada = bu P y la

salida =y ω . Entonces el modelo de ecuaciones (1)-(7) se

combierte a lo siguiente:

[ ] ( )

[ ]

( )

[ ] ( )

1 0 3 1 0 3

2 1 3 1 2 1 2 3

3 1 3 1 2

1 2 3

2 3

1 3 1 1 2 3

3

2

= ( )

= 1 ( )

= 1 ( )

1 1= =

= 1 ( )

=

v

v

b

x f x x x

x g f x x gx g x

x f x x g xJ

rkx u

J J

y x xr r

f x x x

xs

x

ω

ω

σ θ σ

σ θ σ σ σσα σ θ σ

σα σ σ

ω

μ σ θ σ σ

⋅

⋅

⋅

− −

− − − +

− + − − + + +

−

− − +

(8)

RUBIO et al.: COMPARISON OF FOUR MATHEMATICAL 631

donde 2

= 14

mrg

Jα

+

y 33

3

( ) =( )

xf x

h x es una función

no lineal. Desde (4), ( )rh v cambia a

( )

1/2

3

3( ) =

x

vs

c s ch x eμ μ μ−

+ − .

III. EL SEGUNDO MODELO MATEMÁTICO QUE

DESCRIBE EL PROCESO DE FRENADO DE UNA

MOTOCICLETA.

Permitanos considerar el modelo matemático de Lung-Grenoble (LuGre) junto con las dinamica de la motocicleta definidas a continuación propuestas por [29] y [30]:

0=( )

=

= 4

rr

r

x b b

x av

vz v z

h v

J rF k P

mv F F

θσ

ω

⋅

⋅

⋅

− −

− −

−

(9)

donde los parámetros están definidos en la ecuación (1) y en las ecuaciones (2)-(7), ecuaciones las cuales son usadas en este modelo matemático, la única diferencia es el parámetro

ωσ dado que este es igual a cero en este modelo matemático,

es decir, el término ωσ ω no se usa en este modelo

matemático. Permtanos definir las siguientes variables de estado

1 =x z , 2 =x v , 3 = =rx v v rω− , la entrada = bu P y la

salida =y ω . Entonces el modelo matemático descrito por

las ecuaciones (2)-(7) y (9) cambia a:

[ ] ( )

[ ] ( )

[ ] ( )

1 0 3 1 0 3

2 1 3 1 2 1 2 3

3 1 3 1 2 1 2 3

2 3

1 3 1 1 2 3

3

2

= ( )

= 1 ( )

= 1 ( )

1 1= =

= 1 ( )

=

v

bv

x f x x x

x g f x x gx g x

rkx f x x gx x u

J

y x xr r

f x x x

xs

x

σ θ σ

σ θ σ σ σ

α σ θ σ α σ σ

ω

μ σ θ σ σ

⋅

⋅

⋅

− −

− − − +

− − − + +

−

− − +

(10)

donde 2

= 14

mrg

Jα

+

y 33

3

( ) =( )

xf x

h x es una función

no lineal. desde (4), ( )rh v cambia a

( )

1/2

3

3( ) =

x

vs

c s ch x eμ μ μ−

+ − .

IV. EL TERCER MODELO MATEMÁTICO QUE

DESCRIBE EL PROCESO DE FRENADO DE UNA

MOTOCICLETA.

Permitanos considerar el modelo matemático de Lund-Grenoble (LuGre) junto con las dinámica de la motocicleta propuesta por [5] y [6]:

0=( )

=

= 4

rr

r

x b b

x av

vz v z

h v

J rF k P

mv F F

ω

θσ

ω σ ω

⋅

⋅

⋅

− −

− − −

−

(11)

donde los parámetros están definidos en la ecuación

(1) y en las ecuaciones (2), (4), (6), (7), ecuaciones las cuales son usadas en este modelo matemático, la diferencia son las ecuaciones (3) y (5).

La ecuación (3) se cambia por la siguiente ecuación:

0 1=x nF F z zσ σ⋅ +

(12)

Donde los parámetros se definen en la ecuación (3). La ecuación (5) se cambia por la siguiente ecuación:

=4

=

n

av v r

mgF

F mgvσ (13)

donde los parámetros se definen en la ecuación (5). Permitanos definir las siguientes variables de estado

1 =x z , 2 =x v , 3 = =rx v v rω− , la entrada = bu P y la

salida =y ω . Entonces el modelo matemático de las

ecuaciones (2), (4), (6), (7), y (11)-(13) se combierte a lo siguiente:

632 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 9, NO. 5, SEPTEMBER 2011

[ ] ( )

[ ]

[ ]

1 0 3 1 0 3

2 1 3 1 1 3

3 1 3 1 2

1 3

2 3

1 3 1 1 3

3

2

= ( )

= 1 ( )

= 1 ( )

1 1= =

= 1 ( )

=

v

bv

x f x x x

x g f x x g x

x f x x xJ

rkg x u

J J

y x xr rf x x x

xs

x

ω

ω

σ θ σ

σ θ σ σσα σ θ

σασ σ

ω

μ σ θ σ

⋅

⋅

⋅

− −

− − +

− +

− − + +

−

− −

(14)

donde 2

= 14

mrg

Jα

+

y 33

3

( ) =( )

xf x

h x es una función

no lineal. Desde (4), ( )rh v cambia a

( )

1/2

3

3( ) =

x

vs

c s ch x eμ μ μ−

+ − .

V. EL MODELO MATEMÁTICO PROPUESTO QUE

DESCRIBE EL PROCESO DE FRENADO DE UNA

MOTOCICLETA.

Permitanos proponer el siguiente modelo matemático:

0=

=

= 4

r f

x b b

x av

z v z

J rF k P

mv F F

σ θσ

ω

⋅

⋅

⋅

− −

− −

−

(15)

donde fσ es un parámetro escalar seleccionado por el

usuario, los otros parámetros se definen en la ecuación (1) y en las ecuaciones (2), (3), (5)-(7), ecuaciones las cuales son usadas en el modelo matemático propuesto.

Permitanos definir las siguientes variables de estado

1 =x z , 2 =x v , 3 = =rx v v rω− , la entrada = bu P y la

salida =y ω . Entonces las ecuaciones del modelo

matemático (2), (3), (5)-(7) y (15) cambian a:

( )

( )

( )

1 0 1 0 3

2 1 1 2 1 2 3

3 1 1 2 1 2 3

2 3

1 1 1 2 3

3

2

=

= 1

= 1

1 1= =

= 1

=

f

f v

bf v

f

x x x

x g x gx g x

rkx x gx x u

J

y x xr r

x x

xs

x

σ θσ σ

σ θσ σ σ σ

α σ θσ σ α σ σ

ω

μ σ θσ σ σ

⋅

⋅

⋅

− −

− − − +

− − − + +

−

− − +

(16)

donde 2

= 14

mrg

Jα

+

es un parámetro constante.

Comentario 1 La primer diferencia entre el modelo

matemático propuesto por [18], [19] y el modelo matemático

propuesto por nosotros es el parámetro ωσ dado que este es

igual a cero en este modelo matemático, es decir, el término

ωσ ω no se usa en el modelo matemático propuesto, la

segunda diferencia es que la función usada por [18] y [19]

33

3

( ) =( )

xf x

h x no se usa en el modelo matemático

propuesto, un parámetro constante fσ se usa en su lugar, asi

que el modelo matemático propuesto es lineal. La diferencia entre el modelo matemático propuesto por [29] y [30] y el modelo matemático propuesto en este artculo es que la

función no lineal usada por [29] y [30] 33

3

( ) =( )

xf x

h x no

se usa en el modelo matemático propuesto, un parámetro

constánte fσ se usa en su lugar, dando que el modelo

matemático propuesto es lineal. La primer diferencia entre el modelo matemático propuesto por [5] y [6] y el modelo matemático propuesto en este artculo es que en el modelo

matemático propuesto por [5] y [6], la función 2v gxσ no se

usa, pero esto puede causar pérdida de las propiedades de controlabilidad y observabilidad, la segunda diferencia es que

la función usada por [5] y [6] 33

3

( ) =( )

xf x

h x no se usa en

el modelo matemático propuesto, un parámetro constante fσ

se usa en su lugar, asi que el modelo matemático propuesto es lineal.

RUBIO et al.: COMPARISON OF FOUR MATHEMATICAL 633

VI. ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DEL MODELO

MATEMÁTICO PROPUESTO.

Como el modelo matemático propuesto es lineal, se aplica la teora de los sistemas lineales para analizar su estabilidad.

El modelo matemático propuesto se puede reescribir como sigue:

( )( )

0 0

1 1 2

1 1 2

0 0

= 1 0

1

1 1= 0

f

f v

bf v

x g g g x u

rkgJ

y xr r

σ θσ σσ θσ σ σ σ

α σ θσ σ α σ σ

⋅

− − − − − + + − − − + −

(17)

Los valores de los parámetros de los cuatro modelos matemático se muestra en la Tabla 1.

Tabla1:Parametros de la motocicleta

0

1

2

2

2

Parametro valor unidad

5 m/s

10 1/m

0.7 s/m

0.011 s/m

0.35

0.5

0.13 m

1 kgm

32.25 kg

0.005 sec/m

1 Kgm /sec

0.9

s

c

s

v

w

b

v

r

J

m

k

σσσμμ

σσ

−−

−

Los otros parámetros se seleccionan como

= 0.001fσ , = 9.81g , y =1θ .

Substituyendo los parámetros del la Tabla 1 en la ecuación (17) da:

[ ]

0.01 0 10 0

= 9.8031 0.04905 6.9749 0

11.139 0.04905 7.9253 0.117

= 0 7.6923 7.6923

x x u

y x

⋅− −

− − + − −

− (18)

La estabilidad del modelo matemático propuesto se obtiene como [9], [13]:

3 2

0 0 0.01 0 10

det 0 0 9.8031 0.04905 6.9749 = 0

0 0 11.139 0.04905 7.9253

7.9844 111.52 0.65573 = 0

s

s

s

s s s

− − − − − − −

+ + +

Asi que las raices del polinomio son 3= 5.8824 10s −− × ,

= 3.9893 9.7754s i− + , y = 3.9893 9.7754s i− − , estos elementos son los valores propios del sistema, como la parte real de los valores propios del sistema es negativa, el modelo matemático propuesto es asitótico estable.

VII. SIMULACIÓN CON DATOS REALES.

En este artculo se presenta un ejemplo. En este ejemplo los tres modelos matemáticos explicados se comparan con el modelo matemático propuesto para conseguir el mejor que describa el comportamiento dinámico del proceso de frenado de una motocicleta. Hay dos objetivos, a) la velocidad relativa tiene que ser positiva durante el frenado [18], [30], y b) los parámetros del modelo matemático tienen que ser lo mas cercanos posible a los datos reales obtenidos de una motocicleta. En este artculo se usa el error medio cuadrático (RMSE) para el error en los estados [24], [25], este está dado a continuación:

1

22

0

1=

T

RMSE e dT

τ (19)

donde 222=e x o 22 =e w , 2 22=x x x− , =w w w− ,

2x son los datos reales de 2x , w son los datos reales de w .

Example 1: Simulación de los modelos matemáticos que describen el proceso de frenado de una motocicleta

En estas simulaciones, los datos reales se denotan por Real Data, el primer modelo matemático propuesto por [18] y [19] de la ecuación (8) se denota por Patel, el segundo modelo matemático propuesto por [29] y [30] de la ecuación (10) se denota por Yi, el tercer modelo matemático propuesto por [5] y [6] de la ecuación (14) se denota por Canudas, y el cuarto modelo matemático propuesto en este artculo de la ecuación (16) se denota por Proposed se van a comparar usando en

hecho de la ecuación (2) que 3 = 0rx v ≥ se usa para el

frenado [18], [30]. 0 , 7.5555, y 0.05 se consideran como

las condiciones iniciales para los estados 1 =x z , 2 =x v y

3 = rx v de los cuatro modelos matemáticos, respectivamente.

La mayora de los parámetros de modelos matemáticos se muestran en la Tabla 1, la entrada es = = 14u Pb Pa, el

parámetro propuesto es = 0.001fσ , los otros parámetros

son = 9.81g .

634 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 9, NO. 5, SEPTEMBER 2011

La Fig. 1 muestra los resultados de comparación de los modelos matemáticos de Patel, Canudas y de Proposed con

los datos reales para los parámetros 1 =x z , 2 =x v ,

3 = rx v , y =y ω para =1θ .

Figura 1. Resultados de comparación de Patel, Canudas y Proposed.

La Fig. 2 muestra los resultados de comparación de

los modelos matemáticos de Yi y de Proposed con los datos

reales para los parámetros 1 =x z , 2 =x v , 3 = rx v , y

=y ω para =1θ .

Figura 2. Resultados de comparación de Yi y Proposed

La Tabla 2 muestra el valor final de los estados

3 = rx v para los cuatro modelos matemáticos para =1θ .

3

8 6 1 43

Tabla2:Resultados de comparacion para

Patel Yi Canudas Proposed

1.29 10 6.92 10 1.03 10 1.41 10

x

x − − − −− × × − × ×

La Tabla 3 muestra el RMSE para 2x y para w para los

cuatro modelos matemáticos para =1θ .

2

2

Tabla3:Resultados de comparacion de para ,

Patel Yi Canudas Proposed

1.7069 0.3014 1.6855 0.3012

15.3276 2.3155 13.8429 2.3157

RMSE x w

x

w

De la Fig. 1, se puede ver que 2 =x v y =y w para el

modelo matemático de Proposed son más aproximados a los datos reales que para los modelos matemáticos de Canudas y Patel.

De la Fig. 2, se puede ver que 2 =x v y =y w para

el modelo matemático de Proposed son más igualmente aproximados a los datos reales que para el modelo matemático de Yi, pero el modelo matemático de Proposed es más simple.

De la Tabla 2, se puede ver que 3 = rx v es positivo

para los modelos matemáticos de Yi y de Proposed mientras que es negativo para los modelos matemáticos de Canudas y Patel, y como la caracteristica más importante para el proceso

de frenado es que 3 = 0rx v ≥ [18], [30], el modelo

matemático de Yi y Proposed si satisfacen esta condición. Desde la Tabla 3, se puede ver que el RMSE es

más pequeña para los modelos matemáticos de Yi y de Proposed que para los modelos matemáticos de Canudas y Patel para el proceso de frenado de una motocicleta. Asi que los modelos matemáticos de Yi y de Proposed son más aproximados al comportamiento real.

VIII. CONCLUSIONES.

En este artculo, se presentan cuatro modelos matemáticos que describen el comportamiento dinámico del proceso de frenado de una motocicleta, se describe las diferencias entre los cuatro modelos matemáticos, y se presenta la comparación de los cuatro modelos matemáticos en simulación basado en que la velocidad relativa tiene que ser positiva durante el frenado y que los parámetros del modelo matemático tienen que ser aproximados a los datos reales. Se probó que el modelo matemático propuesto que describe el proceso de frenado de una motocicleta es asintótico estable. En el futuro, se van a proponer un observador y un control para mejorar el frenado de una motocicleta, y se va a proponer un identificador diseñado con

RUBIO et al.: COMPARISON OF FOUR MATHEMATICAL 635

la tecnica de los sistemas inteligentes envolventes [4], [10], [12], [14], [21], [22], [23].

IX. AGRADECIMIENTOS

Los autores estan agradecidos con el editor y con los

revisores por sus valiosos comentarios y sus sugerencias que permiten mejorar esta investigación significativamente. Los autores agradecen a la Secretaria de Investigación y Posgrado, a la Comisión de Operación y Fomento de Actividades Académicas del IPN, y al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologia por su ayuda en esta investigación.

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José de Jesús Rubio (M’08) was born in Mexico City in 1979. He received the B.S. degree from the ESIME Azcatenco-Instituto Politecnico Nacional in

Mexico in 2001. He received the M.S. in automatic control from the CINVESTAV IPN in Mexico in 2004, and the Ph.D. in automatic control from the CINVESTAV IPN in Mexico in 2007. He was a full time professor in the Universidad Autonoma Metropolitana - Mexico City from 2006 to 2008. Since 2008, he is a full time professor of the Seccion de Estudios de Posgrado e Investigacion - Instituto Politecnico Nacional -- ESIME Azcapotzalco. He has

published 34 papers in International Journals, 8 chapters in International Books, and he has presented 28 papers in International Conferences with 139 citations. He is a member of the IEEE AFS Adaptive Fuzzy Systems. He is part of the editorial board of the journal Evolving Systems. He has been the tutor of 16 M.S. students and 11 B.S. students. His research interests are primarily focused on evolving intelligent systems, intelligent control, nonlinear control, adaptive control, sliding mode control, optimal control, neural-fuzzy systems, Kalman filter, least square, bounded ellipsoid, delayed systems, collisions detector, trajectory generator, pattern recognition, identification, prediction, image processing, robotic, mechatronic, medic, automotive, alternative energy, signal processing, greenhouse, petroleum, incubators, warehouse, chemical reactor, mixing.

Cesar Torres born in 1977. He received the B.S. degree from ESIME Zacatenco-Instituto Politecnico Nacional, Mexico. He received the M.S. from the Seccion de Estudios de Posgrado e Investigacion-ESIME Azcapotzalco-IPN Mexico en 2011, respectivamente. He is a professor of the Instituto Politécnico Nacional -- ESIME Azcapotzalco. He is a student of the Ph.D. of the

Centro de Investigacion en Computacion- Instituto Politecnico Nacional. He

636 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 9, NO. 5, SEPTEMBER 2011

has published 4 papers in international journals. His research interests are primarily focused on mathematical models, automotive, robotic, and optimal control.

Raul Rivera received the B.S. from the Instituto Tecnologico de Veracruz in 1999, the M.S. from the Centro de Investigacion en Computacion- IPN in 2003, Mexico in 2008. He is a full time professor of the Seccion de Estudios de Posgrado e Investigacion-Instituto Politécnico Nacional--ESIME Azcapotzalco. He has published 3 papers in international journals. His research interests are primarily focused on electronic design, mathematical models,

automotive, and control.

Carlos Adolfo Hernandez received the B.S. from ESIQUIE - IPN in 1985. He received the M.S. from ESIQUIE - IPN in 1988. He received the Ph.D. from Universidad Politecnica de Madrid in 1994. He has published 18 papers in international journals, 2 chapters of international books, and 12 papers of international conferences with 400 citations. He has been the tutor of 1 Ph.D. student, 5 M.S. students, and 5 B.S. students. His

research interests are primarily focused in the plastic behavior of metal materials.

RUBIO et al.: COMPARISON OF FOUR MATHEMATICAL 637