CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC - TaiLieu.VN

TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC

Hoàng Đức Trường [email protected]

1

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Tác giả: Hoàng Đức Trường

TPCM tổ Toán – Tin

Giáo viên trường THPT Lê Xoay

Đối tượng học sinh: Lớp 12, Ôn thi ĐH – CĐ

Số tiết dự kiến:10T trên lớp + 10T tự học

A. ĐẶT VẤN ĐỀ

Bài toán tính thể tích khối đa diện là một bài toán cơ bản trong chương trình

hình học lớp 12 và xuất hiện thường xuyên trong các đề thi tốt nghiệp THPT và thi

Đại học. Tuy nhiên để giải bài toán này thường dùng các kiến thức về hình học

không gian nên các em học sinh thường ngại và lúng túng khi bắt đầu giải quyết.

Chuyên đề này nhằm ôn tập cho các em học sinh các kiến thức cơ bản của hình học

không gian và các dạng toán cơ bản về bài toán tính thể tích khối đa diện.

B. NỘI DUNG ÔN TẬP CƠ BẢN

Các hệ thức trong tam giác

1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho ABC vuông ở A ta có :

a. Định lý Pitago : 2 2 2BC AB AC

b. CBCHCABCBHBA .;. 22

c. AB. AC = BC. AH

d. 222

111

ACABAH

e. BC = 2AM

f. sin , os , tan ,cotb c b c

B c B B Ba a c b

g. b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a = sin cos

b b

B C ,

b = c. tanB = c.cot C

.2. Hệ thức lượng trong tam giác thường:

* Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA

* Định lý hàm số Sin: 2sin sin sin

a b cR

A B C

3. Các công thức tính diện tích.

a. Công thức tính diện tích tam giác:

1

2S a.ha

1 . .. sin . .( )( )( )

2 4

a b ca b C p r p p a p b p c

R

với2

a b cp

b. Công thức về đường trung tuyến 2 2 2

2

2 4a

b c am

Các tính chất hình học không gian quan trọng.



2

1. Nếu A, B, C là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt thì A, B, C thẳng

hàng.

2. Ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba

giao tuyến đó song song hoặc đồng quy.

3. Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) qua d

nếu cắt mp(P) thì sẽ cắt theo giao tuyến song song với d.

4. Hai đường thẳng chéo nhau có duy nhất cặp mặt phẳng chứa hai đường thẳng

đó và song song với nhau.

5. Nếu đường thẳng d vuông góc với mp(P) thì d vuông góc với mọi đường thẳng

trên mp(P).

6. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mp(P)

thì d vuông góc với mp(P).

Hệ quả : Một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của tam giác thì

vuông góc với cạnh còn lại.

d ABd BC

d AC.

7. Định lý ba đường vuông góc : Cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a. Khi dó

đường thằng d vuông góc với a khi và chỉ khi d vuông góc với hình chiếu của a

trên (P).

8. Nếu đường thẳng d vuông góc với mp(P) thì mọi mặt phẳng chứa d đều vuông

góc với mp(P).

9. Nếu mp(P) vuông góc với (Q) và A nằm trên (P). Khi đó đường thẳng qua A

vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) sẽ vuông góc với mp(Q).

10. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của

chúng (nếu có) cũng vuông góc với mặt phẳng đó.



3

C. PHƯƠNG PHÁP

I. Phương pháp tính trực tiếp

Ở phương pháp này ta thường áp dụng các công thức trực tiếp tính thể tích các khối

đa diện cơ bản. Cụ thể ta có :

1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:

V= B.h

với B là diện tích đáy và h là độ dài

đường cao lăng trụ.

a) Thể tích khối hộp chữ nhật:

V = a.b.c

với a,b,c là ba kích thước

b) Thể tích khối lập phương:

V = a3

với a là độ dài cạnh

2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:

V=1

3

Bh

với B : dieän tích ñaùy

h : chieàu cao

Việc áp dụng phương pháp này thường dẫn đến bài toán tính khoảng cách hoặc góc.

1. Bài toán tính khoảng cách

Một số khoảng cách từ một số đối tượng trong không gian.

1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường

thẳng , đến 1 mặt phẳng:

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a

(hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách

giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình

chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc

trên mp(P))

d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH

aH

O

H

O

P

2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt

phẳng song song: Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P)

song song với a là khoảng cách từ một điểm

nào đó của a đến mp(P).

d(a;(P)) = OH

a

H

O

P



4

3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song

song: là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt

phẳng này đến mặt phẳng kia.

d((P);(Q)) = OH

4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng

chéo nhau: là độ dài đoạn vuông góc chung

của hai đường thẳng đó.

d(a;b) = AB

Ngoài ra a, b chéo nhau nên có mp(P) chứa

a, mp(Q) chứa b và (P)//(Q).

Do đó d(a;b)=d(a,(Q))=d(b,(P))=d((P);(Q))

B

A

b

a

a

b

P

Q Khi tính khoảng cách giữa các dối tượng ta thường quy về khoảng cách từ một

điểm đến mặt phẳng hay đường thẳng. Do đó để thuận tiện ta sẽ sử dụng kết quả

của hai bài toán sau:

Bài toán 1: Cho mặt phẳng (P) và ba điểm A,B, C thẳng hàng, trong đó ( )C P .

Chứng minh rằng

, ( )

, ( )

d A P AC

d B P BC .

Chứng minh. Gọi A’, B’ là hình chiếu vuông góc của A và B lên (P). Khi đó

, ( ) '; , ( ) 'd A P AA d B P BB . Từ đó suy ra

, ( ) '

, ( ) '

d A P AA CA

d B P BB CB . Suy ra đpcm.

Bài toán 2: Cho hình chóp OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là trực

tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng:

1. AH mp(ABC)

2. 2 2 2 2

1 1 1 1

OH OA OB OC

Chứng minh:

Đây là bài toán cơ bản nên học sinh có thể tự chứng minh được.

Nhận xét:

Với Bài toán 1, ta có thể thay thế việc tính khoảng cách từ một điểm nào đó đến

một đường thẳng hay mặt phẳng bằng một điểm khác dễ tính hơn.

Với Bài toán 2 ta có thể tính nhanh khoảng cách từ một điểm nào đó tới một

mặt phẳng thông qua ba tia vuông góc với nhau đôi một có gốc từ điểm đó.

Chẳng hạn ta xét các ví dụ:

Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA

vuông góc với đáy và SA= a . Gọi M là trung điểm BC và G là trọng tâm tam giác

SCD. Tính khoảng cách từ M tới mp(SBD); từ G tới mp(ABCD) và mp(SAC).

Giải:



5

Ta có

1 1

,( ) , ( ) , ( )2 2

d M SBD d C SBD d A SBD . Mà dễ thấy 3

,( )3

ad A SBD .

Do đó , ( )d M SBD =3

6

a.

Gọi N là trung điểm CD suy ra 1 1

,( ) ,3 3 3

aGN SN d G ABCD d S ABCD .

Tương tự 2 2 1 1 2 2

,( ) , . ,3 3 2 3 2 6

a ad G SAC d N SAC d D SAC .

Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a và chiều cao 5

a. Gọi E là điểm

đối xứng với D qua trung điểm SA. M, N lần lượt là trung điểm AE và BC. Tính

khoảng cách từ M tới mp(SAD) và khoảng cáchd giữa MN và AC.

Giải.

Dễ thấy d(M,(SAD))=2d(O,(SAD)), với O là tâm của ABCD. Đặt

d(O,(SAD))=h thì 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 5 2 2 9.

3

ah

h SO OA OD a a a a Do đó

d(M,(SAD))=2

3

a.

Gọi P là trung điểm AB và H là giao của MP với BD. Suy ra (MNP)//(SAC)

nên

2

, ,4

ad MN AC d H SAC HO .

Ví dụ 3. Cho hình hộp chữ nhật có , , ' .AB a AD b AA c Gọi M, N, P lần lượt là

trung điểm BC, CC’ và A’D’. Tính khoảng cách từ M tới mp(A’BD) và khoảng cách

từ A tới mp(MNP).

Giải:

Gọi E là trung điểm CD và I là giao điểm của ME với AC. O là tâm của ABCD.

Ta có ( ,( ' )) ( , ( ' ))d M A BD d I A BD (do ME//BD). Mà AO = 2OI suy ra

1 1

( , ( ' )) , ( ' ) .2 2

d I A BD d A A BD h Theo bài toán 2 thì

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1.

abch

h a b c a b b c c a

Do đó 2 2 2 2 2 2

( , ( ' )) .2

abcd I A BD

a b b c c a

Gọi K là tâm của hình hộp thì MP đi qua K. Do đó gọi Q, R, S lần lượt là trung

điểm AA’, AB, C’D’ thì MNSPQR chính là thiết diện của hình hộp cắt bởi

(MNP). Do đó

, ( ) , ( ) , ( ) '.d A MNP d B MNP d C MNP h Gọi F là giao của MR và CD thì ta có

CF = a/2, CM=b/2, CN=c/2 suy ra

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 14 ' .

' 2

abch

CM CN CF a b ch a b b c c a

2. Bài toán tính góc.



6

Các khái niệm về góc giữa các đối tượng trong không gian

i. Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi

qua một điểm và lần lượt cùng phương với a

và b. b'

b

a'a

ii. Góc giữa đường thẳng a không vuông

góc với mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên

mp(P).

Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng

(P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a

và mp(P) là 900. P

a'

a

iii. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông

góc với hai mặt phẳng đó.

Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm

trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao

tuyến tại 1 điểm

ba

QP

P Q

ab

Chú ý: Khi xác định góc giữa các đối tượng thì học sinh thường lúng túng trong việc

xác định góc giữa hai mặt phẳng. Để xác định góc gữa hai mặt phẳng ta có thể làm

theo hai cách:



7

Cách 1: Trên (P) hoặc (Q) có sẵn (hoặc dễ dàng tìm được) một điểm mà có thể xác

định được hình chiếu trên mặt phẳng còn lại.

B1: Xác định giao tuyến d của (P) và (Q) (thông thường là đã có sẵn)

B2: Chọn một điểm A trên (Q) và xác định hình chiếu H của A lên (P).

B3:Từ H kẻ HB vuông góc với d ( B d ) thì góc giữa hai mặt phẳng là ABH .

Cách 2: Từ một điểm nào đó trên giao tuyến của hai mặt phẳng ta kẻ hai đường thẳng

cùng vuông góc với giao tuyến và nằm trên hai mặt phẳng. Góc giữa hai đường thẳng

đó là góc giữa hai mặt phẳng.

3. Thể tích khối lăng trụ

a. Thể tích khối lăng trụ đứng

Lăng trụ này có đường cao chính là cạnh bên của nó. Do vậy việc tính thể tích của

lăng trụ đứng ta cần phải tính được cạnh bên và diện tích đáy.

Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại

A có cạnh BC = a 2 và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.

Lời giải:

Ta có

ABC vuông cân tại A nên AB = AC = a

ABC A'B'C' là lăng trụ đứng AA' AB 2 2 2 2

AA'B AA' A'B AB 8a

AA' 2a 2

Vậy V = B.h = SABC .AA' = 3a 2

Ví dụ 2:(ĐHD08) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại B

và AB = a. Biết AA’ = 2a , M là trung điểm BC. Tính thể tích khối lăng trụ và

khoảng cách giữa AM và B’C.

Lời giải:

- VABC.A’B’C’ = BB’.SABC = 3

21 22.

2 2

aa a

- Gọi K là trung điểm BB’ thì B’C//MK nên

d(AM,B’C) = d(C,mp(AMK))=d(B,(AMK))=h.

Mà VB.AMK = 31 1 2

. .3 3 12

AMK ABM

ah S KB S .

Lại có ' 'AM BCC B AM MK nên 21 1 2 2

. .2 2 2 4

AMK

a aS AM MK a

Suy ra 3

2

3 2 4 3.

8 22

a ah

a .

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a = 4

và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

Lời giải:

Gọi I là trung điểm BC .Ta có



8

ABC đều nên

AB 3

3 &2

AI 2 AI BC A'I BC(dl3 )

A'BCA'BC

2S1S BC.A'I A 'I 4

2 BC

AA' (ABC) AA' AI .

2 2A'AI AA' A'I AI 2

Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA'= 8 3

Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600 .

Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp

. Lời giải:

Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a

và SABCD = 2SABD = 2a 3

2

Theo đề bài BD' = AC = a 3

2 a 32

2 2DD'B DD' BD' BD a 2

Vậy V = SABCD.DD' = 3a 6

2

Ví dụ 5:(ĐHB10). Cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có AB = a, biết góc gữa hai

mp(A’BC) và (ABC) là 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích lăng trụ

và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC.

Lời giải:

- Gọi M là trung điểm BC thì 'BC AMA , suy ra 0' 60 .AMA Do đó

0 3 3' . tan 60 3

2 2

a aAA AM

2 3

. ' ' '

3 3 3 3'. .

2 4 8ABC A B C ABC

a a aV AA S

- Gọi G’ là trọng tâm ABC thì GG’//AA’.

Trong mp(AMA’) gọi O là giao của đường trung trực AG với GG’.

Ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện G.ABC là R = OA và 2

2 '

GAR OG a

GG .

Ví dụ 6: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A

với AC = a , ACB= 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 300. Tính AC' và thể tích

lăng trụ.

Lời giải:

o

a 3ABC AB AC.tan60 .

Ta có: AB AC;AB AA' AB (AA'C'C)

nên AC' là hình chiếu của BC' trên (AA'C'C).



9

Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = BC'A = 30o

o

ABAC'B AC' 3a

tan30

V =B.h = SABC.AA'

2 2AA'C' AA' AC' A'C' 2a 2

ABC là nửa tam giác đều nên 2

ABC

a 3S

2

Vậy V = 3a 6

Bài tập luyện tập Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng

trụ bằng a. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ.

ĐS: 3a 3

V4

; S = 3a2

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng

BD' a 6 . Tính thể tích của lăng trụ. Đs: V = 2a3

Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và

8cm biết rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng diện

tích các mặt của lăng trụ. Đs: V = 240cm3 và S = 248cm2

Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và

biết tổng diện tích các mặt bên là 480 cm2 . Tính thể tích lăng trụ .

Đs: V = 1080 cm3

Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân

tại A ,biết rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a .

Tính thể tích lăng trụ. Đs: V = 24a3

b. Thể tích khối lăng trụ xiên

Đây là lăng trụ chưa biết đường cao. Đối với lăng trụ này thông thường

chúng ta phải xác định được hình chiếu của một đỉnh nào đón lên mặt đáy còn lại

hoặc tính được khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ.

Ví dụ 1(ĐHB11): Cho lăng trụ tứ giác ABCD. A'B'C'D’ có đáy ABCD là hình chữ

nhật, AB = a, AD = 3a . Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng

với giao điểm của AC và BD. Góc gữa (ADD’A’) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích

lăng trụ và khoảng cách từ B’ đến mp(A’BD).



10

60

a

a 3

H

O

C'

B'

D'

CD

A B

A'

I

Lời giải

Gọi H là trung điểm AD và O là giao điểm của AC và BD thì A’O (ABCD) và

0' 60A HO . Suy ra 0 3' . tan 60

2

aA O HO .

Vậy 3

2

. ' ' ' '

3 3' . . 3

2 2ABCD A B C D ABCD

a aV A O S a .

Dễ thấy khoảng cách từ B’ tới mp(A’BD) bằng khoảng cách từ A đến mp(A’BD).

Gọi I là hình chiếu của A lên BD. Ta có

' , ''

AI BDAI A BD d A A BD AI

AI A O

.

Lại có 2 2 2 2

1 1 1 4 3

3 2

aAI

AI AB AD a .

Vậy 3

', '2

ad B A BD .

Ví dụ 3: Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết

cạnh bên là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 60o . Tính thể tích lăng trụ.

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu của A lên (A’B’C’) thì 0o 3aAH AA'sin 60

2AA'H 60

SABC = 2 3a

4 .Vậy V = SABC.AH =

33a 3

8

Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = 3 , AD

= 7 . Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600.

Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu của A’ lên (ABCD) ; M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và

AD.

ADNAABMA ',' (đl 3 )

o oA'MH 45 ,A'NH 60

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC - TaiLieu.VN

Documents

Transcript of CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC - TaiLieu.VN