Calculo II - Modulo II - Teoria e Exercicios

Jorge Rodrigues Valente – 2087406 UMa 21-08-2008 1/136

Sugestões: [email protected] Calculo II - Modulo II - Teoria e Exercicios

Exercício sobre Derivada Direccional 02 Exercício sobre Forma Diferencial Exacta 12 Integrais de Linha 20 Integrais Duplo 46 Integrais Triplos 53 Coordenadas Polares/Cilíndricas/Esféricas 55 Derivada da função Implícita 65 Exame do dia 05-06-2004 67 Exame do dia 12-07-2004 75 Exame do dia 18-06-2005 80 Exame do dia 12-07-2005 95 Exame do dia 23-06-2006 98 Exame do dia 12-07-2006 111 Exame do dia 12-05-2007 119 Exame do dia 09-06-2007 127 Regência, Responsável pelas Pautas, Ensino teórico: Prof. Dr. Maribel Gomes Gonçalves Gordon



Exercício sobre Derivada Direccional

Exercício 1: Seja ( ) 2 2 2, 3 4f x y x xy x y= + + . Determinar a derivada direccional de f no ponto ( )1, 2− na

direcção do vector:

3 4ex eyu = − + ,

Onde ( ),x yu u é a base canónica em 2 .

Resolução: de facto, o que se pretende é calcular ( ) ( ) ( )'

' .uv

f af a f a v

u= = ∇

Vou 1º fazer um cálculo auxiliar: ( )3,4u = −

( )2 23 4 5u = − + =

Assim: ( )3,4 3 4,5 5 5

uvu

− −⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Fica: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 4 3 4. , . , . .5 5 5 5

f f f ff a v a a a ax y x y

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇ = − = − +⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Vou fazer um 2º cálculo auxiliar: 22 3 8f x y xyx∂

= + +∂

(geral)

Regressando ao nosso exercício, calcular no ponto “a”:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )21, 2 2 1 3 2 8 1 2 2f fax x∂ ∂

= − = + − + − = −∂ ∂



Agora vou fazer um 3º cálculo auxiliar, em ordem ao “y” 26 4f xy xy∂

= +∂

(geral)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21, 2 6. 1 . 2 4. 1 8f fay y∂ ∂

= − = − + = −∂ ∂

Agora, tudo junto:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 4 3 4. . . . . 2 . 85 5 5 5

f ff a v a a f a vx y∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇ = − + ⇔ ∇ = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) 26.5

f a v∇ = −

Exercício 2: Seja ( ) 2, 3 4f x y xy x= − + . Determinar a derivada direccional de f no ponto ( )2,0− na direcção do

vector:

5 12ex eya = − + ,

Onde ( ),x yu u é a base canónica em 2 . Não confundir o ponto “a” com o vector a .

Resolução - no fundo, o que se pretende é calcular: ( ) ( ) ( )'

' .uv

f af a f a v

u= = ∇

Vou 1º fazer um cálculo auxiliar: ( )5,12u = −

( )2 25 12 13u = − + =

Assim: ( )5,12 5 12,13 13 13

uvu

− ⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Fica: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 12 5 12. , . , . .13 13 13 13

f f f ff a v a a a ax y x y

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇ = − = − +⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦



Vou fazer um 2º cálculo auxiliar: 3 2f y xx∂

= −∂

(geral)

Regressando ao nosso exercício, calcular no ponto “a”:

( ) ( ) ( )2,0 0 2 2 4f fax x∂ ∂

= − = − − =∂ ∂

Agora vou fazer um 3º cálculo auxiliar, em ordem ao “y” 3f xy∂

=∂

(geral)

( ) ( ) ( )20,0 3. 2 6f fay y∂ ∂

= − = − = −∂ ∂

Agora, tudo junto:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 12 5 12. . . . . 4 . 613 13 13 13

f ff a v a a f a vx y∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇ = − + ⇔ ∇ = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) 92.13

f a v∇ = −

Exercício 3: Determinar dudx

, sabendo que:

u xy yz zx= + + ∧1yx

= ∧ 2z x=

Resolução – vou utilizar a regra da derivada composta (regra da cadeia)

0ux∂

=∂

E sei que “u” depende de 3 variáveis:



Porque todos dependem de “x”, 2

1yx

xz x

⎧ =⎪⎪

→ ⎨⎪ =⎪⎩

, e por isso tenho 3 “caminhos” para chegar ao “x”:

1º Caminho 3º Caminho2º Caminho

. .u u u dy u dzx x y dx z dx∂ ∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' ' ' ' ' ' '2

1. . 2x x x y y y z z z

dzdy dxdx

u xy yz zx xy yz zx xy yz zx xx x∂ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + + + − + + +⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂ ⎝ ⎠

( ) [ ] [ ] ( )2

10 . 0 . 2u y z x z o y x xx x∂ ⎛ ⎞= + + + + + − + + +⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )2

1. . 2u y z x z y x xx x∂ ⎛ ⎞= + + + − + +⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

Agora vou substituir as variáveis pelos valores que conheço 21y z xx

⎛ ⎞= ∧ =⎜ ⎟⎝ ⎠

:

( ) ( )2

2 2 2 22 2 2

1 1 1 1 2. . 2 2u u x x xx x x x x x xx x x x x x x x x∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + − + + ⇔ = + − − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 21 1 1 2 2u x xx x x∂

⇔ = + − − + + ⇔∂

23 1u xx∂

= +∂



Exercício 4: Sendo ( ) ( )2 2,w x y f x y= + , com f de classe 2C , prove que 0w wy xx y

∂ ∂− =

∂ ∂

Resolução - é como se fosse w f= . Vou baptizar 2 2x y u+ = , logo ( )w f u=

“W” e “f” só dependem de uma variável. “u” depende de duas variáveis. Fica:

( ) ( )' '. . 1. .2 2 .dW dW df u dW f u x x f udx df du x dx

∂= ⇔ = =

∂

( ) ( )' '. . 1. .2 2 .dW dW df u dW f u y y f udy df du y dy

∂= ⇔ = =

∂

Assim fica: ( ) ( )' '0 .2 . .2 . 0W Wy x y x f u x y f ux y

∂ ∂− = ⇔ − =

∂ ∂ c.q.d.

Exercício 5: Dado a função 2 ,x yz x gt x

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

. Mostre que 2z z zx y t zx y t∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

.

Resolução: ( )2 2 2, ,

u v

x yz x g z x g u v z x gt x

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⇔ = ⇔ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

O “x” não depende de nada, e o “g” depende de duas variáveis.

Quero provar que: 2z z zx y t zx y t∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

. Tenho que ter em atenção ao “baptismo”.

2z x g= - “z” depende do “x” e do “g”, e que no caso do ( ),g u v , sei que depende de “u” e de “v”.



Para chegar ao “x”, tenho 3 caminhos possíveis, por isso fica:

. . . .z z z g u z g vx x g u x g v x∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + ⇔∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( )'2

2 ' 2 '2

12 . . . .

x

u vz zz g gx g ug gx vu v

x x

z yxg x g x gx t x∂ ∂∂ ∂ ∂= ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂

∂ ∂

∂ ⎛ ⎞⇔ = + + − ⇔⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

Nota, se a derivada " "gu∂∂

não fosse parcial, a notação matemática seria ( )'ug , o “u” estaria dentro de parêntese.

Mas como é parcial, não leva.

É de se notar que o “d” é curvo, logo depende de mais variáveis, consequentemente a derivada é parcial.

Resumindo seria: 'u

g gu∂

=∂

(parcial) e ( )'u

dg gdu

= (completa).

2 2

' .2 . uz x y xxg gx t∂

⇔ = + + −∂ 2x

'. vg⎛ ⎞

⇔⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2' '2 . .u v

z xxg g y gx t∂

= + −∂

Agora para o “y”, só tenho um caminho:

2. .z z g v z xy g v y y∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ⇔ =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

' 1. .vgx

'. vz x gy∂

⇔ =∂

Agora para o “t”, também só tenho um caminho:

( )3

'2 ' '2 2. . . . . .u ug

z z g u z x z xx g g gt g u t t t t t∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= ⇔ = − ⇔ = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠



Como o que eu quero é 2z z zx y t zx y t∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

. E já sei o valor das derivadas, fica:

( )2 3

' ' ' '22 . . . . 2u v v u

x xx xg g y g y x g t g zt t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + + − = ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 32 ' ' ' .2 . . . . .u v v

x x tx g g x y g x y gt

⇔ + − + −2t

'. 2ug z= ⇔

32 '2 . u

xx g gt

⇔ + '. . vx y g− '. . vx y g+3

'. ux gt

− 2z= ⇔

2⇔ 2 2x g = z ⇔ 2x g z= c.q.d.

Exercício 6: Sendo f uma função diferenciável, mostre que ( )2 2.z y f x y= − , satisfaz a relação:

2

1 1. .z z zx x y y y∂ ∂

+ =∂ ∂

Resolução:

( ) ( )2 2. . .z y f x y z y f u z y f= − ⇔ = ⇔ =

Preciso de zx∂∂

e de zy∂∂

.

Ora: ( ) ( )' '. . . .2 2 . .u u

z z f u z zy f x x y fx f u x x x∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ⇔ = ⇔ =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Falta para zy∂∂

:

( ) ( ) ( )' 2 '

1º Caminho 2º Caminho

. . . . 2 2 .2u u

z z z f u z zf y f y f y fy y f u y y

− −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + ⇔ = + − ⇔ = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂



Assim: 1 1 1. .z zx x y y x∂ ∂

+ =∂ ∂

. 2 x ( )( ) ( )( )' 2 '1. . . 2 .u uy f f y fy

⎡ ⎤⎡ ⎤+ − ⇔⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )

2'1 1 2. . 2. . u

z z f yy fx x y y y∂ ∂

⇔ + = + −∂ ∂ y ( ) ( )

' '1 1. . . 2 .u u

z zf y fx x y y∂ ∂

⇔ + =∂ ∂ ( )

'2 . u

f y fy

+ − ⇔

2

1 1 1 1 .. . . . .z z f y z z y fx x y y y y x x y y y∂ ∂ ∂ ∂

⇔ + = ⇔ + = ⇔∂ ∂ ∂ ∂

e eu sei que .z y f=

Então 2

1 1. .z z zx x y y y∂ ∂

+ =∂ ∂

c.q.d. pois sei que ( )2 2.z y f x y= − .

Exercício 7: Seja F uma função de classe 1C , definida em 2 por ,y x z xu Fxy xz

⎛ ⎞− −= ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Mostre que 2 2 2. . . 0u u ux y zx y z∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

, em todos os pontos, tais que 0xy ≠ e 0xz ≠ .

Resolução - 1º - vou baptizar as funções: ,

ba

y x z xu Fxy xz

⎛ ⎞⎜ ⎟− −

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

y xaxy

z xbxz

−⎧ =⎪⎪⎪⎨⎪ −⎪ =⎪⎩



Calculo Auxiliar: sei que yy x

xy−

=x y

x−

x1 1x yy

= − e z x zxz−

=x z

x−

x1 1x zz

= −

Então:

1º - ( )' ' ' '2 2 2

1 1 1. . . . 1. 1.a b a bu du F a du F b F F F Fx dF a x dF b y x x x∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = − + − = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2º - ' '2 2

1 1. . 1. . .a au du F a F Fy dF a y y y∂ ∂ ∂

= = =∂ ∂ ∂

3º - ' '2 2

1 1. . 1. . .b bu du F b F Fz dF b z z z∂ ∂ ∂

= = =∂ ∂ ∂

Assim, tudo junto fica:

( )2 2 2 2 ' ' 2 ' 2 '2 2 2

1 1 1. . . . . . . .a b a bu u ux y z x F F y F z Fx y z x y z

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = − + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 2 2 ' ' ' '. . . a b a bu u ux y z F F F Fx y z∂ ∂ ∂

+ + = − − + +∂ ∂ ∂

2 2 2. . . 0u u ux y zx y z∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

c.q.d.



Exercício 8: Prove que, sendo ( )2 2 2u x y zφ= + + onde ( ) ( ).cos .cosx ρ ϕ ψ= , ( ) ( ).cos .siny ρ ϕ ψ= , e ( ).sinz ρ ϕ=

se tem 0uϕ∂

=∂

.

Resolução:

1º - vou baptizar a função:

2 2 2

a

u x y zφ⎛ ⎞⎜ ⎟= + + ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠

( )u a uφ φ= ⇔ =

. . . . . . . . .u du d a x du d a y du d a zd da x d da y d da z

φ φ φϕ φ ϕ φ ϕ φ ϕ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + ⇔∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )' ' '1. .2 . .sin .cos 1. .2 . .sin .sin 1. .2 . .cosa a au x y zφ ρ ϕ ψ φ ρ ϕ ψ φ ρ ϕϕ∂

⇔ = − + − + ⇔∂

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' .2 . .sin .cos .sin .sin .cosau x y zφ ρ ϕ ψ ϕ ψ ϕϕ∂

⇔ = ⎡− − + ⎤ ⇔⎣ ⎦∂

Sei que ( ) ( ).cos .cosx ρ ϕ ψ= , ( ) ( ).cos .siny ρ ϕ ψ= e ( ).sinz ρ ϕ= , então vou substituir:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )' .2 . .cos .cos .sin .cos .cos .sin .sin .sin .sin .cosau φ ρ ρ ϕ ψ ϕ ψ ρ ϕ ψ ϕ ψ ρ ϕ ϕϕ∂ ⎡ ⎤⇔ = − − + ⇔⎣ ⎦∂

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2

' 2 2

1 . cos sin 1

2 . . .cos .sin cos sin 1au

ψ ψ

ρ φ ρ ϕ ϕ ψ ψϕ

= − − =−

⎡ ⎤∂ ⎢ ⎥

⇔ = − − + ⇔⎢ ⎥∂ ⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )'

Indiferentemente desta parcela , a multiplicar por zero, dará sempre zero!

2 . . .cos .sin .0au ρ φ ρ ϕ ϕϕ∂

⇔ = ⇔∂

0uϕ∂

=∂

c.q.d.



Exercício sobre Forma Diferencial Exacta

Exercício 1: Considere a seguinte forma diferencial: ( ) ( )22 3 6W x y dx xy dy= + +

a) Prove que a forma dada é diferencial exacta

b) Determine uma função escalar cujo diferencial total coincide com a forma “w”.

Resolução a) - sejam: ( )2

1 , 2 3x yF x y= + e ( )2 , 6x yF xy=

“W” é uma forma diferencial exacta porque:

1º - 21 2DF DF= =

2º - 2 é um conjunto convexo

3º - Cuidado com a ordem da derivada, pois a tendência é fazer: 1Fx

∂∂

, e 2Fy

∂∂

, o que é ERRADO!

1 6F yy

∂=

∂, 2 6F y

x∂

=∂

1 2F Fy x

∂ ∂∴ =

∂ ∂

4º - ( )1 21 2,F F C∈

Posso por isso concluir que W é uma forma diferencial exacta.

Resolução b) - como W é uma forma diferencial exacta, então existe uma função E, tal que: E W∂ =

E Edx dy Wx y

∂ ∂+ =

∂ ∂

( ) ( )22 3 6E Edx dy x y dx xy dyx y

∂ ∂+ = + +

∂ ∂



O que quero encontrar é : Ex

∂∂

e Ey

∂∂

( ) ( ) ( )

( )( )

2 22 2 2

2 2

2 3 2 32 3 3

36 6 6 6

E x y E x y xE x y x E x xy f yx

E E E x xy f yxy xy xy xyy y y y

⎧⎧ ⎧ ⎧∂ ⎪= +⎪ ⎪ ⎪ = + ∂∂ = + ∂ = + +⎪∂⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂ ∂ ∂ ∂ + +⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = = =∂ ∂ ∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩ ⎩ ∂⎩

∫

( )

( )

( )2 2 2 2

'2 2

3 3

0 2.33 6y

E x xy f y E x xy f y

xyx xy f y xy

⎧ = + + = + +⎪⎪⇔ ⇔⎨⎪ +⎡ ⎤+ + =⎪⎣ ⎦⎩

( ) 6f y xy+ =

( )

( )

2 23

0

E x xy f y

f y

⎧⎧ = + +⎪⎪⎪ ⎪⇔⎨ ⎨⎪ ⎪

=⎪ ⎪⎩ ⎩

Conclusão: ( ) 2,f y c c= ∈

Como ( )2 23E x xy f y= + + , então fica 2 2 23 ,E x xy c c= + + ∈

Exercício 2: Considere a seguinte forma diferencial: ( ) 3 2 2cos 2 3W x xy dx x y dy⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦



Resolução a) - sejam: ( ) ( ) 31 , cos 2x yF x xy= + e ( )

2 22 , 3x yF x y=


1º - 21 2DF DF= =





∂∂

, e 2Fy

∂∂

, o que é ERRADO!

21 6F xyy

∂=

∂, 22 6F xy

x∂

=∂

1 2F Fy x

∂ ∂∴ =

∂ ∂

4º - ( )1 21 2,F F C∈ , posso por isso concluir que W é uma forma diferencial exacta.

Resolução b) - quero determinar a função P, isto é, quero determinar P de modo que: dP W=

P Pdx dy Wx y

∂ ∂+ =

∂ ∂

( ) 3 2 2cos 2 3P Pdx dy x xy dx x y dyx y

∂ ∂ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂ ∂

O que me é pedido é encontrar : Px

∂∂

e Py

∂∂

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

3 33 2 3

2 32 2 2 2 2 2

2 2

cos 2 cos 2cos 2 sin

sin3 3 3 3

P x xy P x xy xP x xy x P x x y f yx

P P P x x y f yx y x y x y x yy y y y

⎧⎧ ⎧ ⎧∂ ⎪= +⎪ ⎪ ⎪ = + ∂∂ = + ∂ = + +⎪∂⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂ ∂ ∂ ∂ + +⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = = =∂ ∂ ∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩ ⎩ ∂⎩

∫

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )2 3 2 3

' 2 22 3 2 2

sin sin

0 3sin 3y

P x x y f y P x x y f y

x yx x y f y x y

⎧ = + + = + +⎪⎪⇔ ⇔⎨⎪

+⎡ ⎤+ + =⎪⎣ ⎦⎩( ) 2 23f y x y+ =

( ) ( )

( )

2 3sin

0

P x x y f y

f y

⎧⎧ = + +⎪⎪⎪ ⎪⇔⎨ ⎨⎪ ⎪

=⎪ ⎪⎩ ⎩

Conclusão: ( ) 2,f y c c= ∈

Como ( ) ( )2 3sinP x x y f y= + + , então fica ( ) 2 3 2sin ,P x x y c c= + + ∈

Notar que ( ) ( )

2222 3sin

x

P x x y f y= + +



Exercício 3: Considere a seguinte forma diferencial: ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 2 2W xy y z dx x xyz dy xy z dz= + + + +



Resolução a) sejam: ( )2 2

1 , , 2x y zF xy y z= + , ( )2 2

2 , , 2x y zF x xyz= + e ( )2

3 , , 2x y zF xy z=


1º - 31 2 3DF DF DF= = =



∂∂

, e 2Fy

∂∂

, o que é ERRADO!

21 2 2F x yzy

∂= +

∂, 22 2 2F x yz

x∂

= +∂

1 2F Fy x

∂ ∂∴ =

∂ ∂

21 2F y zz

∂=

∂, 23 2F y z

x∂

=∂

1 3F Fz x

∂ ∂∴ =

∂ ∂

2 4F xyzz

∂=

∂, 3 4F xyz

y∂

=∂

2 3F Fz y

∂ ∂∴ =

∂ ∂

4º - ( )1 31 2 3, ,F F F C∈ , posso por isso concluir que W é uma forma diferencial exacta.

Resolução b)

Como W é uma forma diferencial exacta, então existe uma função V, tal que: dV W=

1 2 3V V V V V Vdx dy dz W F F Fx y z x y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = → = = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

1º - Passo 2 21 2V VF xy y z

x x∂ ∂

= ⇔ = +∂ ∂

( ) ( )2 2 2 22 2V xy y z x V xy y z x∂ = + ∂ ⇔ = + ∂ ⇔∫

( )2 1

2 2 '2 ,2 1x xV y y z f y z= + +

O porquê a constante ser ( )' ,f y z , é porque ao derivar fica: ( ) '' , 0x

f y z⎡ ⎤ =⎣ ⎦ (zero é o que eu quero)



Então a conclusão do meu primeiro passo é :

2V =2

2xy ( ) ( )

12 2 ' 2 2 2 ', ,

1xy z f y z V yx xy z f y z+ + ⇔ = + +

Vou agora avançar para o 2º passo: 2V Fy

∂=

∂Já sei o “V”

( )( )2 2 2 '2 2

2

,2

yx xy z f y zV F x xyzy y

∂ + +∂= ⇔ = + ⇔

∂ ∂

2x⇔ 22xyz+ 2f xy∂

+ =∂

22xyz+ ⇔

( ) ( ) ( ) ( )0 , 0 ,f f y z dy f y z g zy∂

⇔ = ⇔ = ⇔ =∂ ∫

Nota: criei uma nova constante a que nomeei de ( )g z , por duas razões:

1º - a única variável que derivada pode ser zero em ordem a “y” da função ( ),f y z é o z .

2º - o nome da função g é só para se poder distinguir da função f , podendo por isso ser qualquer outro nome.

O que interessa fixar é a ideia de que ( ) 0g z = . Nota-se que nunca poderia ser “x”, uma vez que neste ponto a

função só tem duas variáveis, que são “y” e “z”.

Conclusão do 2º passo: 2

Vy

⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂⎝ ⎠

( )2 2 2V x y xy z g z∴ = + +

Vou agora avançar para o 3º e ultimo passo: 3V Fz

∂=

∂o valor de “V” está mais actualizado.

( )( )3

2 2 22

3 2F

x y xy z g zV F xy zz z

∂ + +∂= ⇔ = ⇔

∂ ∂

Nota: no 1º passo obtive também o valor de “V”. Mas tenho que ter o cuidado que no 2º passo também o obtive,

e está mais actualizado.

( )( )'2 2 2 2 22 2z

x y xy z g z xy z xy z⇔ + + = ⇔ ( )' 22g z xy z+ = ⇔

( ) ( ) ( ) ( )' 0 0g z g z dz g z c⇔ = ⇔ = ⇔ =∫

Resposta ao exercício: 2 2 2 ,V x y xy z c c∴ = + + ∈



Exercício 4: Considere a seguinte forma diferencial

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 2sin .cos 2. .sin .cos 3.W y dx x y y z dy y z z dz= + + + +



Resolução a)

Sejam ( ) ( )1 , , sinx y zF y= , ( ) ( ) ( )2 , , .cos 2. .sinx y zF x y y z= + e ( ) ( )2 23 , , .cos 3.x y zF y z z= +


1º - 31 2 3DF DF DF= = =



∂∂

, e 2Fy

∂∂

, o que é ERRADO!

( )1 cosF yy

∂=

∂, ( )2 cosF y

x∂

=∂

1 2F Fy x

∂ ∂∴ =

∂ ∂

1 0Fz

∂=

∂, 3 0F

x∂

=∂

1 3F Fz x

∂ ∂∴ =

∂ ∂

( )2 2. .cosF y zz

∂=

∂, ( )3 2. .cosF y z

y∂

=∂

2 3F Fz y

∂ ∂∴ =

∂ ∂

4º - ( )1 31 2 3, ,F F F C∈




Resolução b) Como W é uma forma diferencial exacta, então existe uma função ϕ , tal que: d Wϕ =

dx dy dz Wx y zϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

1Fxϕ∂=

∂ 2Fyϕ∂=

∂ 3Fzϕ∂=

∂

1º - Passo ( )1 sinF yx xϕ ϕ∂ ∂= ⇔ = ⇔

∂ ∂

( )( ) ( )( )Cuidado, pois uma constante

sin siné

y x y xϕ ϕ∂ = ∂ ⇔ = ∂ ⇔∫

( ) ( ) ( ) ( )sin . 1 sin . ,y x y x f y zϕ ϕ⇔ = ∂ ⇔ = +∫

O porquê a constante ser ( )' ,f y z , é porque ao derivar fica: ( ) '' , 0x

f y z⎡ ⎤ =⎣ ⎦ (zero é o que eu quero)


( ) ( )sin . ,y x f y zϕ = +

Vou agora avançar para o 2º passo: 2Fyϕ∂=

∂Já sei o “ϕ ”

( ) ( )( ) ( ) ( )2

sin . ,.cos 2. .sin

y x f y zF x y y z

y yϕ ∂ +∂= ⇔ = + ⇔

∂ ∂

( ) ( ) ( ) ( )'sin . , .cos 2. .sin

yy x f y z x y y y⇔ ⎡ + ⎤ = + ⇔⎣ ⎦

( ).cosx y⇔ ( ).cosf x yy∂

+ =∂

( )2. .siny z+ ⇔

( )2. .sinf y zy∂

⇔ = ⇔∂



( ) ( )( ), 2. .sinf y z y z dy⇔ = ⇔∫

( ) ( ) ( )2, .sinf y z y z g z⇔ = + ⇔

( ) ( ) ( )2.sin .sinx y y z g zϕ = + +

Nota: criei uma nova constante a que nomeei de ( )g z , por duas razões:

1º - a única variável que derivada pode ser zero em ordem a “y” da função ( ),f y z é o z .

2º - o nome da função g é só para se poder distinguir da função f , podendo por isso ser qualquer outro nome.

O que interessa fixar é a ideia de que ( ) 0g z = . Nota-se que nunca poderia ser “x”, uma vez que neste ponto a

função só tem duas variáveis, que são “y” e “z”.

Conclusão do 2º passo: 2y

ϕ⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂⎝ ⎠

( ) ( ) ( )2.sin .sinx y y z g zϕ∴ = + +

Vou agora avançar para o 3º e ultimo passo: 3Fzϕ∂=

∂o valor de “ϕ ” está mais actualizado.

( ) ( ) ( )( ) ( )3

22 2

3

.sin .sin.cos 3.

F

x y y z g zF y z z

z zϕ ∂ + +∂= ⇔ = + ⇔

∂ ∂

Nota: no 1º passo obtive também o valor de “ϕ ”. Mas tenho que ter o cuidado que no 2º passo também o obtive,

e está mais actualizado.

( ) ( ) ( )( ) ( )'2 2 2.sin .sin .cos 3.z

x y y z g z y z z⇔ + + = + ⇔

( )2.cosy z⇔ ( ) ( )' 2.cosg z y z+ = 23.z+ ⇔

( )' 23.g z z⇔ = ⇔

( ) ( )23.g z z dz⇔ = ⇔∫

( ) 3g z z c⇔ = +

Resposta ao exercício: ( ) ( )2 3.sin .sin ,x y y z z c cϕ∴ = + + + ∈



Integrais de Linha

Exercício 1 – Considere a curva/linha “C” definida pelo caminho: ( ) ( )22 1 3ex eyr t t t= + + −

a) Determinar uma equação cartesiana da linha “C”.

b) Calcule o integral

( )C

F dr∫

Sendo ( ) ( )2, ,2x yF x x y= − com [ ]1,2t∈

Resolução da a) - 2 2

12 1 2

3 1 132 2

xtx t

y t t x xy

⎧ −⎪ =⎧ = + ⎪⎪ ⎪⇔⎨ ⎨⎪ ⎪= − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎩ ⎪ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

Resolução da b) - ( )CW F d r= ∫

( )( ) ( )2 '

1.t tW F r r dt⎡ ⎤= ⎣ ⎦∫

Nota: ( )1 3 2ex eyr = − e ( )2 5 2ex eyr = −

- ( )( ) ( ) ( )( ) 2, 2 1, 3t tx y

F r F x y F r F t t t⎛ ⎞

= ⇔ = + −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( ) ( ) ( ) ( )2

2 2

2

2 1 , 2 2 1 3t

x yx

F r F t t t t−

⎛ ⎞⎜ ⎟⇔ = + + − − ⇔⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( ) ( )2 24 4 1, 7 2tF r F t t t t⇔ = + + − + +



Assim fica: ( )( ) ( )2 '

1.t tW F r r dt⎡ ⎤= ⎣ ⎦∫

( ) ( )2 2 2 '

14 4 1, 7 2 . tW t t t t r dt⎡ ⎤= + + − + +⎣ ⎦∫

2 2 2

14 4 1, 7 2 . 2, 2 3

x yx y

W t t t t t dt⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + + − + + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦∫

Produto Interno:

( ) ( ) ( )2 2 2

12. 4 4 1 , 2 3 . 7 2

x y

W t t t t t dt⎡ ⎤⎢ ⎥= + + − − + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

2 2 3 2 2

18 8 2, 2 3 14 21 4 6W t t t t t t t dt⎡ ⎤= + + − + + − + −⎣ ⎦∫

Exercício 2 – Considere a curva/linha “C” da equação: 2 2 1x y+ =

a) Parametrize a linha “C”.

b) Calcule o integral ( )C

F dr∫ , desde o ponto A ( )1, 0 ao ponto B ( )0, 1

Sendo ( ) ( ), 2 ,x yF x x y= − e r o caminho determinado em a).

Nota: o caminho - função 2:r → e a função é uma função vectorial de variável real.

Assim sendo, a linha/curva não é o caminho, é a trajectória (a linha/curva é um conjunto).

Resolução da a) – o objectivo é “recuar”, isto é, ir a procura do parâmetro.

( )cosx t= e ( )siny t=



Porquê? Muito simplesmente porque sei que 2 2 1x y+ = , e também sei a Formula Fundamental da

Trigonometria (FFT), que me diz que ( ) ( )2 2cos sin 1t t+ = .

Assim sendo, ( ) ( ) ( )cos , sintr t t= ⎡ ⎤⎣ ⎦ , sendo [ [0; 2t π∈ .

Nota que ( )tr é a função do caminho.

Resolução da b) –

( ) ( )( ) ( )'2

0.t tC

W F dr F r r dtπ⎡ ⎤= = ⎣ ⎦∫ ∫

Calculo Auxiliar:

- ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ), cos , sint tF r F x y F r F t t= ⇔ =

E como sei que ( ) ( ), 2 ,x yF x x y= −

Então ( )( ) ( ) ( ) ( )2. cos , cos sint

yxx

F r F t t t⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎡ ⎤ −⎣ ⎦⎜ ⎟⎝ ⎠

E ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'. 2.cos , cos sin . sin , cost tF r r t t t t t= ⎡ − ⎤ ⎡− ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 2. 2.sin .cos cos sin .cost tF r r t t t t t⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 2. 3.sin .cos cost tF r r t t t⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

( ) ( )( ) ( )'2

0.t tC

W F dr F r r dtπ⎡ ⎤⇔ = = =⎣ ⎦∫ ∫



( ) ( ) ( )22 20 0

3sin .cos cost t dt t dtπ π

⎡ ⎤= ⎡− ⎤ + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

Nota

( ) ( )2 1 cos 2sin

2θ

θ−

= e ( ) ( )2 1 cos 2cos

2θ

θ+

=

( ) ( ) ( )22 20 0

3sin .cos cost t dt t dtπ π

⎡ ⎤= ⎡− ⎤ + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

( ) ( ) ( )2 20 0

1 cos 23. sin .cos

2t

t t dt dtπ π ⎡ + ⎤

= − ⎡ ⎤ + =⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

∫ ∫

( ) ( ) ( )2 20 0

cos 213. sin .cos2 2

tt t dt dt

π π ⎡ ⎤= − ⎡ ⎤ + + =⎢ ⎥⎣ ⎦

⎣ ⎦∫ ∫

( ) ( ) ( )2 2 20 0 0

cos 213. sin .cos2 2

tt t dt dt dt

π π π ⎡ ⎤⎡ ⎤= − ⎡ ⎤ + + =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫

( ) ( ) [ ] ( )2 2 20 0 0

cos 213. sin .cos . 12 2

tt t dt dt dt

π π π ⎡ ⎤= − ⎡ ⎤ + + =⎢ ⎥⎣ ⎦

⎣ ⎦∫ ∫ ∫

( ) [ ] ( )2 2

220 0

0

sin 1 13. . . cos 22 2 2

tt t dt

πππ⎡ ⎤

= − + + ⎡ ⎤ =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

∫

( ) ( )2

2 2

0

sin sin 0 1 1 123. . 0 . .sin 22 2 2 2 2 2

tππ

π⎡ ⎤⎛ ⎞

⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎝ ⎠⎢ ⎥= − − + − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦



( )( )21 1 13. 0 . . sin 2 sin 2 02 4 2 2 2

π π⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞= − − + + − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )3 1 3. 0 02 4 4 2 4

π π= − + + − = − +

Cuidado, pois sin 22π ( )sin 0π

⎛ ⎞⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠.

Exercício 3 – Seja “C” a linha definida por [ ] 2: 1, 2r → definida por ( ) ( )2 ,tr t t= e 2 2:F → o campo

vectorial definido por

( ) ( )3 2 2, 2. . ,3. . 1x yF x y y x y x= + + +

a) Verifique que o campo F é conservativo e determine uma função potencial.

b) Calcule, usando a definição, o integral ( )C

F dr∫ .

c) Confirme o resultado obtido da alínea anterior calculando ( )C

F dr∫ pelo Teorema Fundamental do

Calculo.

Resolução da a) – F é forma diferencial exacta (conservativa) porque respeita esta 4 condições:

( )3

1 , 2. .x yF x y y= + e ( )2 2

2 , 3. . 1x yF x y x= + +

1º - 21 2DF DF= =



∂∂

, e 2Fy

∂∂

, o que é ERRADO!



'3 21 2. . 6. . 1y

F x y y x yy

∂ ⎡ ⎤= + = +⎣ ⎦∂, '2 2 22 3. . 1 6. . 1

x

F x y x x yx

∂ ⎡ ⎤= + + = +⎣ ⎦∂

1 2F Fy x

∂ ∂∴ =

∂ ∂

4º - ( )1 21 2,F F C∈ , posso por isso concluir que F é uma forma diferencial exacta.

A 2ª parte da pergunta a) é-me pedido para determinar “V” de modo a que dV P=

( )1 2, ,V VV F F Fx y

⎛ ⎞∂ ∂∇ = ⇔ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

1 2V VF Fx y

∂ ∂= ∧ =

∂ ∂

1º - Passo 31 2. .V VF x y y

x x∂ ∂

= ⇔ = + ⇔∂ ∂

( ) ( )31 2. .V F x V x y y x= ∂ ⇔ = + ∂ ⇔∫ ∫

( ) ( ) ( )3 2 3

uma constante

2. . . . 1É

V x y x y x V x y y x⇔ = ∂ + ∂ ⇔ = + ∂ ⇔∫ ∫ ∫

Então a conclusão do meu primeiro passo é - ( )2 3. .V x y y x f y= + +


∂=

∂Já sei o “V ”

( )( )2 32 2

2

. .3 . 1

x y x y f yV F x y xy y

∂ + +∂= ⇔ = + + ⇔

∂ ∂

2 23 .x y⇔ x+ ( )' 2 23 .f y x y+ = x+ ( )'1 1f y+ ⇔ = ⇔

Integrando:

( ) ( ) ( )1 ,f y dy f y y c c⇔ = ⇔ = + ∈∫

Assim sendo, fica: 2 3. . ,V x y y x y c c= + + + ∈



Resolução da b) para responder a pergunta, tenho que realizar 3 cálculos auxiliares:

1º - ( ) ( )( ) ( )22 3 2 2 2 5 6 22. . , 3 . 1 2. , 3. 1rF t t t t t t t t t t= + + + = + + +

2º - ( )' 2. , 1r t=

3º - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 6 2 5 6 22. , 3. 1 . 2. , 1 2. . 2. 3. 1 . 1rF t t t t t t t t t t⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + = + + + + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

6 2 6 2 6 24. 2. 3. 1 7. 3. 1t t t t t t= + + + + = + +

( ) ( )( ) ( )2 2

' 6 2

1 1

. 7. 3. 1rC

F dr F r dt t t dt= = + + =∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 7 3 7 37 3

12 2 2 1 1 1 135t t t⎡ ⎤= + + = + + − + + =⎣ ⎦

Resolução da c) –

( ) ( ) ( )B AC V

F dr V V=∇

= −∫

Calculo auxiliar:

( ) ( ) ( ) ( )1 21, 1 4, 2A r B r= = ∧ = =

F V= ∇

,V Vx y

⎛ ⎞∂ ∂∇ = ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )4,2 1,1B AV V V V V= − = − = e como sei que pela alínea a) que 2 3. .V x y y x y= + + , fica:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

2 3 2 3

4,2 1,1

2 3 2 34,2 1,1

. . . .

4 .2 4.2 2 1 .1 1.1 1 135B A

x y y x y x y y x y

V V

V V V V V+ + + +

= − = − = + + − + + =

Conforme deu na alínea b), pois tinha que dar igual.



Exercício 4 – Seja “C” a linha definida por [ ] 3: 1,2r − → definida por ( )2 , ,

2tr t t π⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

e 3 3:F → o campo

vectorial definido por ( ) ( ) ( )( )2, , 2. . , sin , .cos 2 3x y zF x y x z y z z= + + −

a) Verifique que o campo F é conservativo e determine uma função potencial.

b) Calcule, usando a definição, o integral ( )C

F dr∫ .

Resolução da a) – F é forma diferencial exacta (conservativa) porque respeita esta 4 condições:

( )1 , , 2. .x y zF x y= , ( ) ( )22 , , sinx y zF x z= + e ( ) ( )3 , , .cos 2 3x y zF y z z= + −

1º - 31 2 3DF DF DF= = =



∂∂

, e 2Fy

∂∂

, o que é ERRADO!

1 2F xy

∂=

∂, 2 2F x

x∂

=∂

1 2F Fy x

∂ ∂∴ =

∂ ∂

1 0Fz

∂=

∂, 3 0F

x∂

=∂

1 3F Fz x

∂ ∂∴ =

∂ ∂

( )2 cosF zz

∂=

∂, ( )3 cosF z

y∂

=∂

2 3F Fz y

∂ ∂∴ =

∂ ∂

4º - ( )1 31 2 3, ,F F F C∈

Posso por isso concluir que F é uma forma diferencial exacta.

Resolução da b) – pretende-se determinar “V” de modo a que dV P=

V F∇ =

( )1 2 3, , , ,V V V F F Fx y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂=⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

1 2 3V V VF F Fx y z

∂ ∂ ∂= ∧ = ∧ =

∂ ∂ ∂

1º - Passo 1 2. .V VF x yx x

∂ ∂= ⇔ = ⇔

∂ ∂

( ) ( ) ( )31 2. . 2. .V F x V x y y x V x y x= ∂ ⇔ = + ∂ ⇔ = ∂ ⇔∫ ∫ ∫



Então a conclusão do meu primeiro passo é - ( )2. ,V x y f y z= +


∂=

∂Já sei o “V ”

( )( ) ( )2

22

. ,sin

x y f y zV F x zy y

∂ +∂= ⇔ = + ⇔

∂ ∂

2x⇔ 2f xy∂

+ =∂

( ) ( )sin sinfz zy∂

+ ⇔ = ⇔∂

Integrando:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )Constante

, sin , sin . 1f y z z dy f y z z dy⇔ = ⇔ = ⇔∫ ∫

( ) ( ) ( ), .sinf y z y z g z= +

Assim sendo, fica: ( ) ( )2. .sinV x y y z g z= + +

Vou agora avançar para o 3º passo: 3V Fz

∂=

∂Já sei o “V ” actualizado

( ) ( )( ) ( )2

3

. .sin.cos 2 3

x y y z g zV F y z zz z

∂ + +∂= ⇔ = + − ⇔

∂ ∂

( )0 .cosy z⇔ + ( ).cosg y zz

∂+ =∂

2 3 2 3gz zz

∂+ − ⇔ = − ⇔

∂

Integrando:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3g z z dz g z z dz dz⇔ = − ⇔ = + − ⇔∫ ∫ ∫

( ) 2 3 ,g z z z c c= − + ∈

Assim sendo, fica: ( )2 2. .sin 3 ,V x y y z z z c c= + + − + ∈

Uma possível função potencial: ( )2 2. .sin 3V x y y z z z= + + −



Exercício 5: Considere o campo vectorial ( ) ( ) ( ) ( )2, , 3 2x y zF x i y z j y k= − + − −

onde ( ), ,i j k é a base canónica de 3 . Seja “C” o segmento de recta que une o ponto ( )2, 3, 0− ao ponto

( )1, 0, 4− − . Calcule ( )C

F dr∫ .

Resolução: o caminho é ( ) ( ) ( )1, 0, 4 2, 3, 0 3, 3, 4AB B A= − = − − − − = − − Equação vectorial do segmento de recta AB:

( ) ( ) ( ): , , 2, 3, 0 . 3, 3, 4AB x y z t= − + − −

[ ]2 3

3 3 0, 14

x tAB y t t

z t

= −⎧⎪ = − + ∈⎨⎪ = −⎩

( ) [ ] [ ]

2 3 , 3 3 , 4 0, 1tr t t t t∴ = − − + − ∈para o segmento de recta

Agora que já tenho o caminho - ( ) ( )( )1

'

0

Integral de Linha

.rC

F dr F r dt=∫ ∫

Calculo Auxiliar: ( ) ( )2, , 3 , 2 ,x y zF x y z y= − − −

• ( ) ( )' 3, 3, 4tr = − −

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )2, ,

2

3 , 2 ,

2 3 , 3 3 , 4 3 . 2 3 , 2 . 3 3 4 , 3 3

x y z

y yx z

rx zy

F x y z y

F F t t t t t t t

= − − −

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎢ ⎥= − − + − = − − − + − − − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )2 26 9 , 6 6 4 , 9 18 9 9 6, 10 6, 9 18 9rx y z

F t t t t t t t t t⎡ ⎤

⎡ ⎤= − + − + + − − + = − − − + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

• ( ) ( ) ( )' 29 6, 10 6, 9 18 9 . 3, 3, 4r tF r t t t t⎡ ⎤= − − − + − − −⎣ ⎦



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 23 . 9 6 3. 10 6 4. 9 18 9r tF r t t t t= − − + − − − + −

( ) ( )' 27 18r tF r t= − + 30 18t+ − 236 72 36t t+ − + ( ) ( )

' 236 69 36r tF r t t= − + Agora vou ter que integrar:

( ) ( )( ) ( )1 1' 2

0 0Vou utilizar a definição

. 36 69 36C

F dr F r r dt t t dt= = − + =∫ ∫ ∫

13 2

0

36 69 2736 69 36 36 03 2 3 2 2t t t

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − + = − + − =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

Exercício 6: Considere o campo vectorial ( ) ( ), 3 4x yF x y j i= − +

onde ( ),i j é a base canónica de 2 . Seja “C” o segmento de recta que une o ponto ( )2, 1− ao ponto ( )3,4− .

Calcule ( )C

F dr∫ .

Resolução – cuidado, pois tenho que trocar a ordem do “i” com a do “j”. O caminho é ( ) ( ) ( )3, 4 2, 1 5, 5AB B A= − = − − − = − Equação vectorial do segmento de recta AB:

( ) ( ) ( ): , 2, 1 . 5, 5AB x y t= − + −

[ ]2 50, 1

1 5x t

AB ty t= −⎧

∈⎨ = − +⎩

( ) [ ] [ ]

2 5 , 1 5 0, 1tr t t t∴ = − − + ∈para o segmento de recta

Agora que já tenho o caminho - ( ) ( )( )1

'

0

Integral de Linha

.rC

F dr F r dt=∫ ∫



Calculo Auxiliar: ( ) ( ), 4, 3x yF x y= −

• ( ) ( )' 5, 5tr = −

• ( ) ( ) ( )

( ) ( ), , 4, 3

2 5 , 1 5 4, 3. 2 5 1 5

x y z

yx

rx y

F x y

F F t t t t

= −

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= − − + = − − − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

4, 7 20x y

t⎡ ⎤

= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

• ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )' 4, 7 20 . 5, 5 4. 5 7 20 .5 15 100r tF r t t t= − − = − + − = − Agora vou ter que integrar:

( ) ( )( ) ( ) ( )121 1'

0 0Vou utilizar 0a definição

100. 15 100 15 15 50 0 352C

tF dr F r r dt t dt t⎡ ⎤

= = − = − = − − = −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

Exercício 7: Considere o campo vectorial ( ) ( ), 3 4x yF x y j i= − + onde ( ),i j é a base canónica de 2 . Seja “C”

o arco de circunferência 2 2 9x y+ = que une o ponto ( )0, 3 ao ponto ( )3, 0− . Calcule

( )C

F dr∫ .

Resolução – cuidado, pois temos que trocar a ordem do “i” com a do “j”.

Agora vou parametrizar 2 2 9x y+ = , dividindo tudo por 9: 2 22 2

1 19 9 3 3x y x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⇔ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Agora, utilizando a Formula Fundamental da Trigonometria: ( ) ( )2 2cos sin 1θ θ+ =

( )

( )

( )( )

cos 3.cos33.sinsin

3

x t x ty y tt

⎧ =⎪ ⎧ =⎪ ⎪⇔⎨ ⎨=⎪⎪ ⎩=

⎪⎩

( ) ( ) ( ) [ ]3.cos , 3.sin ??tr t t t∴ = ⎡ ⎤ ∈⎣ ⎦



Como não sei o intervalo, vou desenha-lo:

Agora já sei o intervalo!

( ) ( ) ( )3.cos , 3.sin ,2tr t t t π π⎡ ⎤∴ = ⎡ ⎤ ∈⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

Agora que já tenho o caminho:

( ) ( )( )1

'

0

Integral de Linha

.rC

F dr F r dt=∫ ∫

Calculo Auxiliar: ( ) ( ), 4,3x yF x y= −

• ( ) ( ) ( )' 3.sin , 3.costr t t= ⎡− ⎤⎣ ⎦

• ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ), , 4, 3

3.cos , 3.sin 4, 3. 3.cos 3.sin

x y z

yx

r

F x y

F F t t t t

= −

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎡ ⎤ = −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )4, 9cos 3sinx

y

t t⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎣ ⎦

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 4, 9cos 3sin . 3.sin , 3.cosr tF r t t t t= ⎡ − ⎤ ⎡− ⎤ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )24. 3.sin , 9cos 3sin . 3.cos 12.sin 27.cos 9.sin .cost t t t t t t t⎡ ⎤= − − = − + −⎣ ⎦ Agora vou ter que integrar:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )' 2

Vou utilizar 2 2a definição

. 12.sin 27.cos 9.sin .cosC

F dr F r r dt t t t t dtπ π

π π= = − + − =∫ ∫ ∫

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )2

2 2 2

12.sin 27.cos 9.sin .cost dt t dt t t dtπ π π

π π π= − + + − =∫ ∫ ∫

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )2

2 2 2

12. sin 27. cos 9. sin .cost dt t dt t t dtπ π π

π π π= − + − =∫ ∫ ∫

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

2

22

2 22Recordar a regra

da Trigonometria:1 cos 2.

cos2

sin12. cos 27. cos 9.

2t

t t dtπ

πππ π

π

θθ

−=

⎡ ⎤= ⎡ ⎤ + − =⎢ ⎥⎣ ⎦

⎣ ⎦∫



( ) ( ) ( )2

2 22

1 cos 2. sin12. cos 27. 9.

2 2t t

t dtπ

πππ π

π

⎡ ⎤⎛ − ⎞= ⎡ ⎤ + − =⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎝ ⎠ ⎣ ⎦∫

( ) ( ) ( )2

2 22

sin1 112. cos 27. .cos 2. 9.2 2 2

tt t dt

πππ

π ππ

⎡ ⎤⎛ ⎞= ⎡ ⎤ + − − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦∫

( ) ( ) ( )2

2 2 22

sin1 112. cos 27. .cos 2. 9.2 2 2

tt dt t dt

ππ ππ

π π ππ

⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎡ ⎤ + + − − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2'

22

sin1 112. cos cos 27. . . 2 .cos 2. 9.2 2 2

tt t t dt

ππ

ππ

π π⎡ ⎤⎡ ⎤

= ⎡ − ⎤ + − − =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫

[ ] ( ) ( )2 2

2

sin 21 1 912. 1 0 27. . . sin sin2 2 2 2 2

tt

π

π

ππ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − − + − − − =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥

⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

( ) [ ]1 1 1 1 912 27. .sin 2 .sin 2 . 0 12 4 2 2 4 2 2

π ππ π⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − − − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( )0

1 112 27. .sin 2 .sin 22 4 4 4π ππ

=

⎛ ⎞⎜ ⎟= − + − − −⎜ ⎟⎝ ⎠ 2

π

0

92

=

⎡ ⎤⎢ ⎥⎛ ⎞

+ =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

1 1 912 27. .0 .0

2 4 4 4 2π π⎡ ⎤⎛ ⎞= − + − − − + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

24 9 15 15 2727. 27.2 2 4 2 2 4 2 4

π π π π⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − + − + = − + = − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠

Exercício 8: Considere o campo vectorial ( ) ( ), 2 3x yF x i j= + onde ( ),i j é a base canónica de 2 . Seja “C” o

arco de uma elipse 2 2

14 9x y

+ = que une o ponto A= ( )2, 0 ao ponto B= ( )0, 3 . Calcule ( )C

F dr∫ .

Resolução: tendo em mente a formula fundamental da trigonometria ( ) ( )2 2cos sin 1θ θ+ =

Agora vou parametrizar 2 2

12 3x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )

( )

( )( )

cos 2.cos23.sinsin

3

x t x ty y tt

⎧ =⎪ ⎧ =⎪ ⎪⇔⎨ ⎨=⎪⎪ ⎩=

⎪⎩



( ) ( ) ( ) [ ]2.cos , 3.sin ??tr t t t∴ = ⎡ ⎤ ∈⎣ ⎦



( ) ( ) ( )2.cos , 3.sin 0,2tr t t t π⎡ ⎤∴ = ⎡ ⎤ ∈⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦


( ) ( )( )1

'

0

Integral de Linha

.rC

F dr F r dt=∫ ∫

Calculo Auxiliar: ( ) ( ), 2 , 3x yF x=

• ( ) ( ) ( )' 2.sin , 3.costr t t= ⎡− ⎤⎣ ⎦

• ( ) ( ) ( )( )( ) ( ), , 2 ,3

2.cos , 3 2. 2.cos , 3

x y z

r

F x

F F t t=

⎡ ⎤= ⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( )4.cos ,3y

x

t⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 4.cos , 3 . 2.sin , 3.cosr tF r t t t= ⎡ ⎤ ⎡− ⎤ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )24.cos 2.sin 3. 3.cos 8.sin .cos 9.cost t t t t t= ⎡− ⎤ + = − +⎣ ⎦ Agora vou ter que integrar:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )' 22 20 0

Vou utilizar a definição

. 8.sin .cos 9.cosC

F dr F r r dt t t t dtπ π

= = − + =∫ ∫ ∫

( ) ( )( ) ( )( )22 20 0

8.sin .cos 9.cost t dt t dtπ π

= − + =∫ ∫

( ) ( )( ) ( )( )22 20 0

8.sin .cos 9.cost t dt t dtπ π

= − + =∫ ∫



( ) ( ) ( )( )22 20 0

8. sin .cos 9. cospara usar aregra dapotencia

t t dt t dtπ π

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

= − + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )2 2

220

0

sin8. 9. sin 4 1 0 9 1 0 5

2t

t

ππ⎡ ⎤

= − + ⎡ ⎤ = − − + − =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Exercício 9: Sejam ( )

2, 3x yf x xy= − em campo escalar e ( ) ( ), 2 3 3x yF x y i x j= − − um campo vectorial , onde

( ),i j é a base canónica de 2 .

a) Verificar que F f= ∇ b) Seja “C” o arco da elipse 2 24 16x y+ = , com inicio no ponto A ( )4, 0 e fim no ponto B ( )0, 2− .

Calcular ( )C

F dr∫ .

c) Calcule a derivada direccional de f no ponto P ( )1, 2− na direcção do vector ( )3, 4v − . Resolução a):

( ) ( ) ( ), 2 3 , 3 2 3 3f ff x y x x y i x j Fx y

⎛ ⎞∂ ∂∇ = = − − = − − =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

c.q.d.

Resolução b): tendo em mente a formula fundamental da trigonometria ( ) ( )2 2cos sin 1θ θ+ =


14 2x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠. Vou fazer de outra maneira (porque a função é conservativa):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )20, 2 4, 0

. .0 3.0. 2 4 3.4.0 16B A

T F CC C

F dr f dr f f f f−⎡ ⎤= ∇ = − = − = ⎡ − − ⎤ − − = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

Resolução c):

( ) ( )' .vf a f a v= ∇ Se o vector é direccional, então tem que ser unitário:

( )( )2 2

3,4 3 4,5 53 4

vuv

− ⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟⎝ ⎠− +



( ) ( )' .uf p f a u= ∇ , é a derivada direccional de f no ponto p ( )1, 2− na direcção do vector “u”.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' '. . 1, 2 .u u uf p f a u f p F p u f p F u= ∇ ⇔ = ⇔ = − ⇔

( ) ( )( ) ( ) ( )' 3 4 3 4 24 122.1 3. 2 3.1 . , 8, 3 . ,5 5 5 5 5 5uf p i j ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤= − − − − = − − = − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )' 365uf p = −

Exercício 10: Seja ( ) ( ), 2 3x yF x i j= − um campo vectorial , onde ( ),i j é a base canónica de 2 .

Seja C uma linha qualquer, com inicio no ponto A ( )1, 3− e fim no ponto B ( )2,0− . Calcular ( )C

F dr∫ .

Resolução

Falta-me o f, tenho que 1º verificar se a função é conservativa. Para o ser tem que respeitar as 4 condições. Se for conservativa, então será possível calcular o F.

( )1 , 2x yF x= e ( )2 , 3x yF = −

1º - 21 2DF DF= =



∂∂

, e 2Fy

∂∂

, o que é ERRADO!

1 0Fy

∂=

∂, 2 0F

x∂

=∂

1 2F Fy x

∂ ∂∴ =

∂ ∂

4º - ( )1 21 2,F F C∈

Posso por isso concluir que F é conservativa (forma diferencial exacta).



O caminho é ( ) ( ) ( )2, 0 1, 3 3, 3AB B A= − = − − − = − Equação vectorial do segmento de recta AB:

( ) ( ) ( ): , 1, 3 . 3, 3AB x y t= − + −

[ ]1 30, 1

3 3x t

AB ty t= −⎧

∈⎨ = − +⎩

( ) [ ] [ ]

1 3 , 3 3 0, 1tr t t t∴ = − − + ∈para o segmento de recta


( ) ( )( )1

'

0

Integral de Linha

.rC

F dr F r dt=∫ ∫

Calculo Auxiliar: ( ) ( ), 2 , 3x yF x= −

• ( ) ( )' 3, 3tr = −

• ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

, ,

Cuidado

2 , 3

. 1 3 , 3 3 2. 1 3 , 3 0 . 2 , 3 2 6 , 3

x y z

rx y

F x

F F t t t x t

= −

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= − − + = − − − = − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 2 6 , 3 . 3, 3 3 . 2 6 3. 3 18 15r tF r t t t= − − − = − − + − = −

Agora vou ter que integrar:

( ) ( )( ) ( )121 1'


. 18 15 18 15 9 15 62C

tF dr F r r dt t dt t⎡ ⎤

= = − = − = − = −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

Outra maneira de resolver:

1 2F Fx yϕ ϕ∂ ∂= ∧ =

∂ ∂

( ) ( ) ( )21 1 2F F dx x dx x f y

xϕ ϕ ϕ ϕ∂= = ⇔ = ⇔ = +

∂ ∫ ∫



Por outro lado, sei que 2Fyϕ∂=

∂, logo

( )( ) ( )2

'3 0 3x f y

f yy

∂ += − ⇔ + = −

∂

( ) ( ) ( )3 3f y dy f y y c= − ⇔ = − +∫

Um exemplo possível ( )2 2

3

3y c

x f y x yϕ ϕ=− +

= + → = − , não é preciso por o +c.

Assim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22,0 1, 3

. .2 3.0 1 3. 3B A

T F CC C

F dr drϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ∇ = − = − = − − − − −⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ∫

4 1 9 6= − − = − Exercício 11: Considere o campo vectorial ( ) ( ) 2

, 2. . 3x yF x y i x j= − + onde ( ),i j é a base canónica de 2 . Seja

“C” o arco de uma circunferência 2 2

14 4x y

+ = que une o ponto A= ( )2,0 ao ponto B= ( )0, 2− . Calcule ( )C

F dr∫ .

Resolução: tendo em mente a formula fundamental da trigonometria ( ) ( )2 2cos sin 1θ θ+ =


12 2x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )

( )

( )( )

cos 2.cos22.sinsin

2

x t x ty y tt

⎧ =⎪ ⎧ =⎪ ⎪⇔⎨ ⎨=⎪⎪ ⎩=

⎪⎩

( ) ( ) ( ) [ ]2.cos , 2.sin ??tr t t t∴ = ⎡ ⎤ ∈⎣ ⎦





( ) ( ) ( ) 32.cos , 2.sin 0,2tr t t t π⎡ ⎤∴ = ⎡ ⎤ ∈⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

Vou agora pela definição pois agora já tenho o caminho:

( ) ( )( )1

'

0

Integral de Linha

.rC

F dr F r dt=∫ ∫

Calculo Auxiliar: ( ) ( )2

, 2. . 3,x yF x y x= −

• ( ) ( ) ( )' 2.sin , 2.costr t t= ⎡− ⎤⎣ ⎦

• ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )2, ,

22

2 3,

2.cos 3, 2. 2.cos .2sin 3, 2cos

x y z

r

F xy x

F F t x t t t

= −

⎡ ⎤⎡ ⎤= − = − ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )( )28.cos .sin 3, 4.cosrF t t t= −

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 28.cos .sin 3, 4.cos . 2.sin , 2.cosr tF r t t t t t⎡ ⎤= − ⎡− ⎤ =⎣ ⎦⎣ ⎦

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )28.cos .sin 3 . 2.sin 4cos . 2.cost t t t t= − − + =

( ) ( ) ( ) ( )2 316.sin .cos 6.sin 8.cost t t t− + +




( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3 3

' 2 32 20 0

Vou utilizar a definição

. 16.sin .cos 6.sin 8.cosC

F dr F r r dt t t t t dtπ π

= = − + + =∫ ∫ ∫

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )3 3 3

2 32 2 20 0 0

16.sin .cos 6.sin 8.cost t dt t dt t dtπ π π

= − + + =∫ ∫ ∫

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )3 3 3

2 32 2 20 0 0

16. sin .cos 6. sin 8. cost t dt t dt t dtπ π π

= − + + =∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )( )3

3 332322

0 00 Vou recorrer a um cálculo auxiliar

sin16. 6. cos 8. cos

3t

t t dt

πππ⎡ ⎤

= − + ⎡− ⎤ + =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

∫

Calculo auxiliar: ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )3 3 3

3 2 22 2 20 0 0

. .

cos cos .cos cos . 1 sinF F T

t dt t t dt t t dtπ π π ⎛ ⎞

⎜ ⎟= = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )3

33 222

00

sincos cos .sin sin

3t

t t t dt t

ππ ⎡ ⎤

= − = −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

( ) ( )( ) ( ) ( )33

3 3 2

0

3sin sin 0 sin3216. 6. cos cos 0 8. sin3 3 2 3

tt

πππ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞⎝ ⎠⎢ ⎥= − − + − − − + − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )3

33 22

00

sin116. 0 6. 0 1 8. sin 8.3 3

tt

ππ ⎡ ⎤⎡ ⎤= − − − + ⎡ − − ⎤ + ⎡ ⎤ + − =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( )3

33sin sin 016 18 3 28. sin sin 0 8.

3 3 2 3 3

ππ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎢ ⎥= + + − + − − − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠

⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]34 1 34 24 8 188. 1 0 8. 0 63 3 3 3 3 3

⎡ ⎤= + − − + − = − + = =⎢ ⎥⎣ ⎦

Havia outra maneira de fazer, visto ser uma função conservativa. Como é conservativa, não depende do caminho. Traduzindo por miúdos, em vez de ir pelo arco, poderia ter ido por uma recta.



Como sei que é conservativa? Basta fazer os 4 testes

( )1 , 2. . 3x yF x y= − e ( )2

2 ,x yF x=

1º - 21 2DF DF= =



∂∂

, e 2Fy

∂∂

, o que é ERRADO!

1 2F xy

∂=

∂, 2 2F x

x∂

=∂

1 2F Fy x

∂ ∂∴ =

∂ ∂

4º - ( )1 21 2,F F C∈

Posso por isso concluir que F é conservativa (forma diferencial exacta).

Assim posso calcular o ( )C

F dr∫ ao longo de 1C , em que 1C é o segmento de recta do sector AB.

( ) ( ) ( )0, 2 2, 0 2, 2AB B A= − = − − = − −

Equação vectorial do segmento de recta AB:

( ) ( ) ( ): , 2, 0 . 2, 2AB x y t= + − −

[ ]2 20, 1

2x t

AB ty t= −⎧

∈⎨ = −⎩

( ) [ ] [ ]

2 2 , 2 0, 1tr t t t∴ = − − ∈para o segmento de recta


( ) ( )( )1

'

0

Integral de Linha

.rC

F dr F r dt=∫ ∫


, 2. . 3,x yF x y x= −

• ( ) ( )' 2, 2tr = − −

• ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2

,

2

2. . 3,

. 2 2 , 2 2. 2 2 . 2 3, 2 2

x y

rx y

F x y x

F F t t t t t

= −

⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − − = − − − − =⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ( )2 28. 8. 3, 4 8. 4.t t t t− + − − +

• ( ) ( ) ( ) ( )' 2 28. 8. 3, 4 8. 4. . 2, 2r tF r t t t t= − + − − + − − =

( ) ( ) ( ) ( )2 22 . 8. 8. 3 2 . 4 8. 4.t t t t= − − + − + − − + = 224 32 2t t− + −




( ) ( )( ) ( )13 21 1' 2


32. 24 32 2 24 23 2C

t tF dr F r r dt t t dt t⎡ ⎤

= = − + − = − + − =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

8 16 2 6= − + − =

Calculando por definição: Calculando a função potencial. A função se não fosse conservativa, só tinha um processo para calcular, que era por definição. Como já verifiquei que é conservativa, já não vale a pena voltar a calcular essa parte.

1 2F Fx yϕ ϕ∂ ∂= ∧ =

∂ ∂

( ) ( ) ( )21 1 2. . 3 . 3F F dx x y dx x y x f y

xϕ ϕ ϕ ϕ∂= = ⇔ = − ⇔ = − +

∂ ∫ ∫

Por outro lado, sei que 2Fyϕ∂=

∂, logo

( )( )2

2 2. 3x y x f y

x xy

∂ − += ⇔

∂( )' 2f y x+ = ( )' 0f y⇔ = ⇔

( ) ( ) ( )0 ,f y dy f y c c= ⇔ = ∈∫

Um exemplo possível ( )2 2. 3 . 3 ,

c

x y x f y x y x c cϕ ϕ+

= − + → = − + ∈

Como já tenho a função potencial:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0, 2 2,0. .

6 6B AT F CC C

F dr dr c cϕ ϕ ϕ ϕ ϕ−= ∇ = − = − = − − + =∫ ∫

Exercício 12: Considere o campo vectorial ( ) ( ) ( ), 2.x yF x i x y j= + − onde ( ),i j é a base canónica de 2 . Seja

“C” uma linha fechada definida por 2 24. 1x y+ = . Calcule ( )C

F dr∫ .

Resolução: CUIDADO, pois não é conservativa! Basta fazer os 4 testes ( )1 , 2.x yF x= e ( )2 ,x yF x y= − 1º - 2

1 2DF DF= =





∂∂

, e 2Fy

∂∂

, o que é ERRADO!

1 0Fy

∂=

∂, 2 1F

x∂

=∂

1 2F Fy x

∂ ∂∴ ≠

∂ ∂

Posso por isso concluir que F NÃO É conservativa (forma diferencial exacta).

Agora tendo em mente a formula fundamental da trigonometria ( ) ( )2 2cos sin 1θ θ+ = Agora vou parametrizar ( )22 2 1x y+ =

( )( )

( )( )

coscossin2 sin

2

x tx tty t y

⎧ =⎧ =⎪ ⎪⇔⎨ ⎨= =⎪ ⎪⎩ ⎩

( ) ( ) ( ) [ ]sincos , 0;2

2t

tr t t π

⎡ ⎤∴ = ∈⎢ ⎥

⎣ ⎦

Vou agora pela definição pois agora já tenho o caminho: ( ) ( )( )1

'

0

Integral de Linha

.rC

F dr F r dt=∫ ∫

Calculo Auxiliar: ( ) ( ), 2. ,x yF x x y= −

• ( ) ( ) ( )' cossin ,

2t

tr t

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

• ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ), , 2 ,

1 1cos , sin 2. cos , cos sin2 2

x y z

r

F x x y

F F t t t t t

= −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )12cos , cos sin2rF t t t⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' cos12cos , cos sin . sin ,2 2r t

tF r t t t t

⎛ ⎞⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 1cos . 2.sin cos sin .cos cos2 4 2

t t t t t t⎡ ⎤= − + − + =⎣ ⎦

( ) ( ) ( )29 1.sin .cos .cos4 2

t t t− +




( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2' 2


9 1. .sin .cos .cos4 2C

F dr F r r dt t t t dtπ π ⎛ ⎞= = − + =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫

( ) ( )( ) ( )( )( )

2 2 2

0 0

1 cos 22

9 1. sin .cos . cos4 2

t

t t dt t dtπ π

+

− + =∫ ∫

( ) ( )

222

00

sin9 1 1 1. . cos 24 2 2 2 2

tt dt

ππ⎡ ⎤ ⎛ ⎞− + + =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

( ) ( ) ( )

22 22 2

0 00

sin 2 sin 09 1 1 1. . cos 24 2 2 2 2 2

dt t dtπ

π ππ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + + =⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ∫

[ ] ( )2

0

9 1 1 1. 0 0 . sin 24 2 2 4

t tπ

⎡ ⎤− − + + =⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 1 1. 2 0 sin 2 2 sin 2 02 2 2 4 4

π π⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( )1 . 0 02 2

ππ⎡ + − ⎤ =⎣ ⎦

Exercício 13: Considere o campo vectorial ( ) ( ) ( )2

, 3 2x yF y j x y i= − + − + onde ( ),i j é a base canónica de 2 .

Seja “C” o arco da PARABOLA 2 3y x= + que une o ponto ( )0,3A = ao ponto ( )1,4B = . Calcule ( )C

F dr∫ .

Resolução – CUIDADO, pois não é conservativa, por isso só posso ir pela conservativa. O caminho é

( ) ( ) ( )1, 4 0, 3 1, 1AB B A= − = − = . Equação vectorial do segmento de recta AB:

( ) ( ) ( ): , 0, 3 . 1, 1AB x y t= + [ ]00, 1

3x t

AB ty t= +⎧

→ ∈⎨ = +⎩

( ) [ ] [ ], 3 0, 1tr t t t= + ∈

Agora muita atenção, pois é me dito no enunciado que:

“Seja “C” o arco da PARABOLA 2 3y x= + ” Fica portanto

( ) [ ]2

, 3 0, 1tr t t t⎡ ⎤∴ = + ∈⎣ ⎦para o segmento de recta




( ) ( )( )1

'

0

Integral de Linha

.rC

F dr F r dt=∫ ∫


, 2 , 3x yF x y y= + −

• ( ) ( )' 1, 2tr t=

• ( ) ( ) ( )

2

22

2

3

2 3

2 2 2 2 2

32

2 3 , 3 3 , 4 3 6, 3 9

x t y t

y y tx

rz x y

yx y

F F t t t t t t

= ∧ = +

= +

−+

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎛ ⎞⎜ ⎟= + + − + − = + − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎜ ⎟⎝ ⎠

• ( ) ( ) ( ) ( )' 2 23 6, 3 9 . 1, 2r tF r t t t= + − −

•

( ) ( ) ( ) ( )' 2 23 6 3 9 . 2r tF r t t t= + + − −

( ) ( )

' 3 26 3 18 6r tF r t t t= + − + Agora vou ter que integrar:

( ) ( )( ) ( )1 1' 3 2


. 6 3 18 6C

F dr F r r dt t t t dt= = + − + =∫ ∫ ∫

14 3 2

0

6 3 18 7. . . 64 3 2 2

t t t t⎡ ⎤= − + − + = −⎢ ⎥⎣ ⎦



Integrais Duplo

Exercício 1 -

( )2 3

1 2

2xy y dydx+∫ ∫

Ou seja 1º é só o “y”, não se toca no “x”:

22

2yx

32 2

1 22y dx

⎡ ⎤+⎢ ⎥

⎣ ⎦∫

( ) ( ) ( ) ( )2 222 2

1

3 23 2

2 2x x dx

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

( ) ( ) ( ) ( )2 222 2

1

3 23 2

2 2x x dx

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

( )2

1

99. 4 22

x x dx⎡ ⎤⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫

2

1

9 49. 42 2

x x dx⎡ ⎤+ − −⎢ ⎥⎣ ⎦∫

2

1

552

x dx⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦∫

Agora vou “tratar” do “x”:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 22

1

5 5 5 5 5 5 5 52 2 1 1 10 5 102 2 2 2 2 2 2 2

x x⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + − + = + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠



Exercício 2 – Calcular ( )21 2 3

0

2x

x

xy y dydx+

+∫ ∫

Resolução - ou seja 1º é só o “y”, não se toca no “x”:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 3 2 3 1 2 3 2 3

0 0

2 2 .x x x x

x x x x

xy dydx y dy dx x y dydx y dy dx+ + + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= + = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )2 22 3 221 12

2

0 0

2 32 2 2 3 2

2 2 2

x

x

x xyxy dx x x x x dx+ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + = + + − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

( )4 21 12 3 4 2 2 23 2

0 0

4 12 9 8 12 4 12 9 44 6 22 2 2 2

x x x x x x x x xx x x dx dx⎡ ⎤⎛ ⎞+ + ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟= + + − + = − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫

1 14 3 2 2 4 3 2

0 0

4 8 12 12 9 5 4 8 7 12 92 2

x x x x x x x x xdx dx⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + − + + + +

= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫

1 2 54 3

0

7 9 2 42 4 62 2 5x xx x x dx

⎡ ⎤⎛ ⎞= + + + + = +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦∫

4

4x

13 2

0

7 6 92.3 2 2x x x

⎡ ⎤+ + + =⎢ ⎥

⎣ ⎦

15 34 2

0

2 7 935 6 2x xx x x

⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥

⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 4 3 2 5 4 3 22 7 9 2 7 9. 1 1 . 1 3 1 . 1 . 0 0 . 0 3 0 . 05 6 2 5 6 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + − + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 7 9 12 30 35 90 1351 3 05 6 2 30

+ + + +⎛ ⎞= + + + + − = =⎜ ⎟⎝ ⎠

302 110.30 15

= =



Utilidade dos integrais duplos:

( )( )

( )

,g xb

x h x

f x y dydx⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫

Exercício 3 – Posso escolher ir pelo “xx” ou pelo “yy”.

( )( )

( )

,g xb

a h x

f x y dydx⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫

( )25 1

2 5

,x

f x y dydx+

⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫

Ou

( ),b

a

f x y dxdy⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫

( )25 5

5 1

,y

f x y dxdy−

⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫



Exercício 4 – Considere a função ( ), sinx yyfx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

e o conjunto ( ){ }2, :1 2 3D x y x x y x= ∈ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

a) Determinar ( ),D

f x y dydx⎡ ⎤⎣ ⎦∫∫

b) Determinar ( ),D

f x y dydx⎡ ⎤⎣ ⎦∫∫ usando a mudança de variáveis u x= e yvx

=

Resolução a) – 1º analisar o domínio:

( )3

2 3 2

1 1, sin .cos

xx

D xx

y yf x y dydx dydx x dxx x

⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⇔ ⇔ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦∫∫ ∫ ∫ ∫

2

1

3.cos .cosx xx x dxx x

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ − − − ⇔⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 1.cos 3 .cos 1 .cos 1 .cos 3x x dx x x dx⇔ ⎡− + ⎤ ⇔ ⎡ − ⎤ ⇔⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫



( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]2 2

1 1Constante

. cos 1 cos 3 cos 1 cos 3 .x dx x dx⎡ ⎤⎢ ⎥⇔ − ⇔ − ⇔⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 22

1

2 1cos 1 cos 3 . cos 1 cos 3 .

2 2 2x ⎡ ⎤⎡ ⎤

⇔ − ⇔ − − ⇔⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 3cos 1 cos 3 . 2 cos 1 cos 32 2

⎡ ⎤⇔ − − ⇔ −⎢ ⎥⎣ ⎦

Resolução b) – agora com mudança de variáveis.

.

u x x uy y u vvx

=⎧ =⎧⎪ ⇔⎨ ⎨ == ⎩⎪⎩

Jacobiano:

1 0x xu vJ uy y v uu v

∂ ∂∂ ∂= = =∂ ∂∂ ∂

Assim: ( )2 3

1 1, sin sin .

D D

y uvf x y dydx dxdy u dvdux u

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⇔ ⇔ ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫∫ ∫∫ ∫ ∫

( )( ) ( )32 3 2

1 1 1 1.sin .cosu v dvdu u v du⇔ ⇔ ⎡− ⎤ ⇔⎣ ⎦∫ ∫ ∫

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2

1 1Constante

.cos 3 .cos 1 . cos 1 cos 3u u du u du⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤⇔ − − − ⇔ − ⇔⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

( ) ( )( ) [ ] ( ) ( )( )222

11

cos 1 cos 3 . cos 1 cos 3 .2uu du⎡ ⎤

⇔ − ⇔ − ⇔⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )22 2

1

2 1 3cos 1 cos 3 . cos 1 cos 32 2 2

⎡ ⎤⇔ − − ⇔ −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

Deu o mesmo valor, e mesmo tinha que dar!



Exercício 5 – Calcular ( )2D

x y dxdy−∫∫ , sendo ( ){ }2, :1 2D x y x y x y x= ∈ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ Resolução – Vou ser obrigado a fazer um esboço/desenho do domínio, pois tenho um problema que é:

1 x y≤ ≤

Onde esta o “y” deveria de estar uma constante! Assim sendo, fica:

( ){ }2, : 1 2D x y x x y y x y x= ∈ ≥ ∧ ≤ ∧ ≥ ∧ ≤

( ) 2

Em função do “ y”

, : 1 2D x y x y x y x y x⎧ ⎫⎪ ⎪= ∈ ≥ ∧ ≥ ∧ ≥ ∧ ≤⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

( ) 2, :1 22yD x y y x y⎧ ⎫= ∈ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤⎨ ⎬

⎩ ⎭

( )2D

x y dxdy−∫∫

( )2

2

1

2y

yx y dxdy−∫ ∫



2 2 2

1

22

y

y

x xy dy⎡ ⎤

−⎢ ⎥⎣ ⎦∫

2

2 22

y⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ −

2y ( ) ( )

22

1

22y

y y y dy

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

2

2 22 2

1

4 22 2

yyy y dy

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟− − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

2 2 22 2

1

28 2y yy y dy

⎡ ⎤− − +⎢ ⎥

⎣ ⎦∫

2 2 22

1

4 88 8 8y y y dy

⎡ ⎤− +⎢ ⎥

⎣ ⎦∫

( ) ( )2 2 3 32 22 2 2 2 3 3

1 1 1 1

5 2 5 14 8 5 5 5 40 5 35.8 8 8 3 24 24 24 24 24

y y y y y ydy dy⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + −

= = = = − = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫



Integrais Triplos

Exercício 1 - Calcule: ( )22

Vx y z dxdydz− +∫∫∫ , onde

( ){ }3, , : 1 2 1 3 2 2V x y z z x z x z y z= ∈ − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }11 2 1

31 2, , ,, : f zV x y z z x g z x g zf xzC yC= ∈ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤



Regra Geral

( )( )

( )

( )

( )22 2

1 11

,

,, ,

Cf x g x y

f x g x yC

x y z dxdydz∫ ∫ ∫

Adaptado a este exercício:

( )2 3 2 2

1 21

2z z

x zx y z dydxdz

−

−−

− +∫ ∫ ∫

Ou seja na passagem do domínio para o integral o único cuidado a se ter é a de que inverter a ordem. Ou seja no domínio, a ultima definição, no integral é o 1º a ser desenvolvido. A ordem do dx trocou com a do dy, mas o que conta é a informação do domínio em não da forma geral, esta só serve para me guiar.

22 23 2

11 2

22

zz

x z

yxy yz dxdz−

− −

⎡ ⎤− +⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 3 2 2

11

2 22 2 2 2 2 2

2 2z z x z

x z z z x x z x z z dxdz−

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − + − − − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

2 2 23 2 3 2 3

11

4 4 42 4 2 4 22 2

z x xz zxz z z x zx xz z dxdz−

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ − +⎛ ⎞− − − − − − + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

( )2 2 2 32 2 33

11

4 2 4 4 8 44 4 82 2

z x zx x xz z xz zxz z z dxdz−

⎡ ⎤⎛ ⎞− − − + + −⎛ ⎞− − −⎢ ⎥⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫

2 2 3 2 2 2 33

11

4 4 8 4 2 4 4 8 42

z xz z z x zx x xz z xz z dxdz−

⎡ ⎤− − − − − − + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

2 3 3 2 2 2 23

11

8 4 4 4 4 2 4 4 82

z z z z z x x zx xz xz xz dxdz−

⎡ ⎤− − − − − − − − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

2 3 2 23

11

12 5 8 62

z z z x xz dxdz−

⎡ ⎤− − − +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

Não faço mais, pois não tenho pachora, e é sempre a mesma coisa ….



Coordenadas Polares/Cilíndricas/Esféricas

Exercício 1 - Calcule, usando coordenadas polares (Integral Duplo): ( )2 2

Dx y dxdy+∫∫ , onde

( ){ }2 2 2, : 0D x y y y x y x= ∈ > ∧ < + <

Substituição de variáveis:

( )( )

cos

sin0

0 2

x

y

J

ρ θ

ρ θρ

θ πρ

⎧ =⎪

=⎪⎪ ≥⎨⎪ ≤ ≤⎪⎪ =⎩

( ){ }2 2 2, : 0D x y y y x y x= ∈ > ∧ < + <

Substituindo, e renomeado o novo domínio:

( ) [ [ [ [ ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ){ }2 2* , 0; 0; 2 : sin 0 sin cos sin cosXD ρ θ π ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ= ∈ + ∞ > ∧ < + <

Dividindo por ρ

( ) [ [ [ [ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )* 2 2

1

, 0; 0; 2 : sin 0 sin cos sin cosXD ρ θ π θ θ ρ θ θ θ=

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟= ∈ + ∞ > ∧ < + <⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

( ) [ [ [ [ ( ) ( ) ( ){ }* , 0; 0; 2 : sin 0 sin cosXD ρ θ π θ θ ρ ρ θ= ∈ + ∞ > ∧ < ∧ <



( ) [ [ [ [ ( ) ( ){ }* , 0; 0; 2 : 0 sin cosXD ρ θ π θ π θ ρ ρ θ= ∈ + ∞ < < ∧ < ∧ <

Ora sei qual é o gráfico característico destas funções trigonométricas:

( )cos θ ρ>

( )sin θ ρ<

Tudo junto, fica:

( ) [ [ [ [ ( ) ( )* , 0; 0; 2 : 0 sin cos4

XD πρ θ π θ θ ρ θ⎧ ⎫= ∈ + ∞ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤⎨ ⎬⎩ ⎭

Assim: ( )2 2

Dx y dxdy+∫∫

Substituição das variáveis, utilizando a técnica Jacobiana:

( )( ) ( )( )( )( )

( )4 cos 2 2

sin0

cos sin . d d

π

θ

θρ θ ρ θ ρ ρ θ⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

( ) ( )( )( )

( )4 cos 2 2 2

sin0

1

cos sin . d d

π

θ

θρ θ θ ρ ρ θ

=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= +⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )( )cos

44 4 4cos 4 43

sin0 0 0sin

1 . cos sin4 4

d d d d

θπ π π

θ

θθ

ρρ ρ θ θ θ θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= = = − =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫



( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )4

2 2 2 2

0

1 . cos sin cos sin4

d

π

θ θ θ θ θ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦∫

( ) ( ) ( ) ( )4 4

2 2 2 2

0 0

1 1. cos sin . cos 1 cos4 4

d d

π π

θ θ θ θ θ θ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ∫

( ) ( ) ( )4 4

2 2 2

0 0

1 1. cos 1 cos . 2.cos 14 4

d d

π π

θ θ θ θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + = − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

Ora sei que ( ) ( )2 1 cos 2cos

2θ

θ+

=

Assim sendo, fica:

1 . 24

=( )1 cos 2

.2

θ+4

0

11 . 14

d

π

θ⎡ ⎤

− =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ( )cos 2 1θ+ − ( )

4 4

0 0

1 . cos 24

d d

π π

θ θ θ⎡ ⎤ = ⎡ ⎤ =⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ∫

( ) ( ) ( )( )440

0

1

1 1 1 1 1 1 1. .sin 2 . sin 2 . sin 2 sin 2 0 . sin 0 .14 2 8 8 4 8 2 8 8

ππ π πθ θ

=

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⎡ ⎤ = − = − = =⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

Tenho que ter cuidado com a integração de uma função trigonométrica, em que o ângulo não é simples, mas múltiplo, pois a sua derivada origina esse múltiplo.

Exercício 2 - Calcule, usando coordenadas polares (Integral Duplo): 2 21D

dxdyx y+ +∫∫ , onde

( ){ }2 2 2, : 1D x y x y= ∈ + ≤


( )( )

cos

sin0

0 2

x

y

J

ρ θ

ρ θρ

θ πρ

⎧ =⎪

=⎪⎪ ≥⎨⎪ ≤ ≤⎪⎪ =⎩

( ){ }2 2 2, : 1D x y x y= ∈ + ≤



Substituindo, e renomeado o novo domínio:

( ) [ [ [ [ ( )( ) ( )( ){ }2 2* , 0; 0; 2 : cos sin 1XD ρ θ π ρ θ ρ θ= ∈ + ∞ + ≤

( ) [ [ [ [ ( ) ( ){ }* 2 2 2 2, 0; 0; 2 : cos sin 1XD ρ θ π ρ θ ρ θ= ∈ + ∞ + ≤

( ) [ [ [ [{ }* 2, 0; 0; 2 : 1XD ρ θ π ρ= ∈ + ∞ ≤

( ) [ [ [ [{ }* , 0; 0; 2 : 0 1XD ρ θ π ρ= ∈ + ∞ ≤ ≤

Assim: 2 21D

dxdyx y+ +∫∫

Substituição das variáveis, utilizando a técnica Jacobiana:

( )( ) ( )( )2 2 21 1 1

2 2 2 20 0 00 0 0

1 1. .1 11 cos sin

d d d d d dπ π π ρρ ρ θ ρ ρ θ ρ θ

ρ ρρ θ ρ θ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎜ ⎟= = =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ + ++ + ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )12 2 2

2 22

0 0 00

1 1 1 1ln 1 ln 1 1 ln 1 0 ln 2 ln 12 2 2 2

d d dπ π π

ρ θ θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = + − + = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫

Agora, cuidado, pois não temos variáveis, são CONSTANTES:

( )( )

[ ] ( ) [ ]2

2

0ln 1 0

1 1 1ln 2 0 . 1 ln 2 .2 2 2

dπ

πθ θ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ( )ln 2 . 2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

π =

( ).ln 2π



Exercício 3 - Calcule, usando coordenadas cilíndricas (Integral Triplo), o volume limitado pelo parabolóide

2 2,z x y= + o cilindro 2 2 4x y+ = e o plano 0z = .

( ){ }3 2 2 2 2, , : 4 0D x y z z x y x y z= ∈ ≤ + ∧ + ≤ ∧ ≥ Substituição de variáveis:

( )( )

cos

sin

00 2

x

yz z

J

ρ θ

ρ θ

ρθ πρ

⎧ =⎪

=⎪⎪⎪ =⎨

≥⎪⎪ ≤ ≤⎪⎪ =⎩

( ) [ [ [ [ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ){ }2 2 2 2* , 0; 0; 2 : cos sin cos sin 4 0XD z zρ θ π ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ= ∈ + ∞ ≤ + ∧ + ≤ ∧ ≥

( ) [ [ [ [ ( ){ }* 2 2, 0; 0; 2 : 4 0 0 2XD z zρ θ π ρ ρ θ π= ∈ + ∞ ≤ ∧ ≤ ∧ ≥ ∧ ≤ ≤

( ) [ [ [ [{ }* 2, 0; 0; 2 : 0 0 2 0 0 2XD z zρ θ π ρ ρ θ π= ∈ + ∞ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≥ ∧ ≤ ≤

Agora vou “arrumar”. Posso começar por ρ ou θ . Porque ambas têm o seu valor limitado por CONSTANTES. ( )0 2ρ≤ ≤ e ( )0 2θ π≤ ≤ .



( ) [ [ [ [2

* 2

Era me indiferente a ordem, pois ambas 0estão limitadas por CONSTANTES

, 0; 0; 2 : 0 2 0 2 0X

z z

D zρ

ρ θ π ρ θ π ρ− ≤ ∧ ≥

⎧ ⎫⎪ ⎪

= ∈ + ∞ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

Tenho que ter o cuidado com esta restrição 20 z ρ≤ ≤ , pois o ρ está ao quadrado.

( )22 2

0 00

1. dzd dπ ρ

ρ θ ρ∫ ∫ ∫

[ ] ( ) ( )22 2 22 2 22 3

0 0 000 0 0

. . .0z d d d d d dρπ π π

ρ θ ρ ρ ρ ρ θ ρ ρ θ ρ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − = =⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )( ) ( )( )2 2 2 2

23 3 3 3 3

00 0 0 0

. . 2 . 0 2 2 .d d d dπ

ρ θ ρ ρ π ρ ρ πρ ρ π ρ ρ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − = = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )24 2 4 44

00

2 1 12 . . . 2 0 .16 84 4 2 2ρπ π ρ π π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= = = − = =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Exercício 4 - Calcule, usando coordenadas esféricas (Integral Triplo), o volume do conjunto

( ){ }3 2 2 2 2 2, , : 0 0 0 1S x y z x y z x y x y z= ∈ > ∧ > ∧ < < + ∧ + + <




( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

0sin .cos

0 2sin .sin 0cos sin

x

y

z J

ρρ ϕ θ

θ πρ ϕ θ ϕ πρ ϕ ρ ρ ϕ

≥⎧⎧ = ⎪ ≤ ≤⎪ ⎪= ∧⎨ ⎨ ≤ ≤⎪ ⎪=⎩ ⎪ =⎩

( ){ }3 2 2 2 2 2, , : 0 0 0 1S x y z x y z x y x y z= ∈ > ∧ > ∧ < < + ∧ + + <

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )({ 2 2 2... : sin .cos 0 sin .sin 0 0 sin .cos sin .sin sin .cos sin .zρ ϕ θ ρ ϕ θ ρ ϕ θ ρ ϕ θ ρ ϕ θ ρ ϕ> ∧ > ∧ < < + ∧ +

Vou fazer por partes:

( ) [ [ [ [ ( ) ( ){ }, 0; 0; 2 : sin .cos 0 .....XS ρ θ π ρ ϕ θ= ∈ + ∞ >

Para ser maior que zero, tem que ser ambos positivos ou negativos. Mas como o 0 ϕ π≤ ≤ , então só me sobra uma possibilidade que é a de que ambos tem que ser positivos. Assim sendo posso fazer:

( ) [ [ [ [, 0; 0; 2 : 0 .....2

XS πρ θ π θ⎧ ⎫= ∈ + ∞ < <⎨ ⎬⎩ ⎭

Agora vou para outra…

( ){ }3, , : ... 0S x y z y= ∈ ∧ >

( ) [ [ [ [ ( ) ( ){ }, 0; 0; 2 : ... sin .sin 0 ...XS ρ θ π ρ ϕ θ= ∈ + ∞ ∧ > É igual! Não vale a pena fazer. Agora vou para outra…

( ){ }3 2 2, , : ... 0 ...S x y z z x y= ∈ ∧ < < +

( ) [ [ [ [ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ }2 2, 0; 0; 2 : ... 0 cos sin .cos sin .sin ...XS ρ θ π ρ ϕ ρ ϕ θ ρ ϕ θ= ∈ + ∞ ∧ < < +

( ) [ [ [ [ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ }2 2 2 2 2 2, 0; 0; 2 : ... 0 cos sin .cos sin .sin ...XS ρ θ π ρ ϕ ρ ϕ θ ρ ϕ θ= ∈ + ∞ ∧ < < +

( ) [ [ [ [ ( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 2

1

, 0; 0; 2 : ... 0 cos .sin . cos sin ...XS ρ θ π ρ ϕ ρ ϕ θ θ=

⎧ ⎫⎪ ⎪= ∈ + ∞ ∧ < < +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

( ) [ [ [ [ ( ) ( ){ }2 2, 0; 0; 2 : ... 0 cos .sin ...XS ρ θ π ρ ϕ ρ ϕ= ∈ + ∞ ∧ < <

( ) [ [ [ [ ( ) ( ){ }, 0; 0; 2 : ... 0 cos .sin ...XS ρ θ π ρ ϕ ρ ϕ= ∈ + ∞ ∧ < <



Agora vou fazer a última:

( ){ }3 2 2 2, , : ... 1S x y z x y z= ∈ ∧ + + <

( ) [ [ [ [ ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ){ }2 2 2, 0; 0; 2 : ... sin .cos sin .sin cos 1XS ρ θ π ρ ϕ θ ρ ϕ θ ρ ϕ= ∈ + ∞ ∧ + + <

( ) [ [ [ [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2 2 2 2 2 2 2 2, 0; 0; 2 : ... sin .cos sin .sin cos 1XS ρ θ π ρ ϕ θ ρ ϕ θ ρ ϕ= ∈ + ∞ ∧ + + <

( ) [ [ [ [ ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 2 2

1

, 0; 0; 2 : ... sin . cos sin cos 1XS ρ θ π ρ ϕ θ θ ρ ϕ=

⎧ ⎫⎪ ⎪= ∈ + ∞ ∧ + + <⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

( ) [ [ [ [ ( ) ( )( )2 2 2

1

, 0; 0; 2 : ... sin cos 1XS ρ θ π ρ ϕ ϕ=

⎧ ⎫⎪ ⎪= ∈ + ∞ ∧ + <⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

( ) [ [ [ [{ }2, 0; 0; 2 : ... 1XS ρ θ π ρ= ∈ + ∞ ∧ <

Agora tudo junto, fica:

[ [ [ [{ }2 2 2 2 20; 0; 2 : 0 0 0 1XS x y z x y x y zπ= + ∞ > ∧ > ∧ < < + ∧ + + <

( ) [ [ [ [ ( ) ( ) 2

A dividirpor

, 0; 0; 2 : 0 0 0 cos .sin 12 2

XSρ

π πρ θ π θ θ ρ ϕ ρ ϕ ρ⎧ ⎫⎪ ⎪= ∈ + ∞ < < ∧ < < ∧ < < ∧ <⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

( ) [ [ [ [ ( ) ( ) 2, 0; 0; 2 : 0 0 cos sin 12

XS πρ θ π θ ϕ ϕ ρ⎧ ⎫= ∈ + ∞ < < ∧ < < ∧ <⎨ ⎬⎩ ⎭

Nota sobre ( ) ( )cos 0 sin 0θ θ> ∧ > , vou tratar individualmente:



Agora as duas condições ao mesmo tempo:

Agora cuidado com esta condição:

( ) ( )cos sinθ θ<

Agora pela analise do esboço, facilmente concluo que:

( ) [ [ [ [me indiferente a ordem, pois ambas

estão limitadas por CONSTANTES

, 0; 0; 2 : 0 0 12 4 2

X

É

S π π πρ θ π θ ϕ ρ

−

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ∈ + ∞ < < ∧ < < ∧ < <⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

( )( )2 1 22

040

1. .sinV d d d

ππ

π ρ ϕ ρ ϕ θ= ∫ ∫ ∫

( )132

2

40 0

.sin3

V d d

ππ

πρ ϕ ϕ θ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫



( ) ( ) ( ) ( )3 32

2

40

0 1.sin .sin

3 3V d d

ππ

π ϕ ϕ ϕ θ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

( )2

2

40

1 .sin 03

V d d

ππ

π ϕ ϕ θ⎡ ⎤⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫

( )2

2

40

1 . sin3

V d d

ππ

π ϕ ϕ θ= − ⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫

( )2

2

40

1 . cos3

V d

ππ

πϕ θ= − ⎡ ⎤⎣ ⎦∫

2

0

1 . cos cos3 2 4

V d

π

π π θ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫

2

0

1 2. 03 2

V d

π

θ⎡ ⎤

= − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫

[ ]2

0

1 2. . 13 2

V d

π

θ⎛ ⎞⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

[ ]20

2 .6

Vπ

θ=

2 .

6 2V π=

2.12

V π=



Derivada da função Implícita

Teorema da Função Implícita

Seja F uma função definida em 3C ⊆ e ( ) ( )0 0 0, ,x y z Int C∈ , tal que:

a) ( )0 0 0, , 0F x y z = b) , ,x y zF F F são contínuas numa vizinhança de ( )0 0 0, ,x y z c) ( )0 0 0, , 0zF x y z ≠

Nestas condições existe pelo menos uma vizinha V do ponto ( )0 0 0, ,x y z na qual a cada ( ),x y corresponde um e só um valor “z” que verifica a equação ( ), , 0F x y z = . Fica assim definida implicitamente uma função

( ) ( ){ }2: , : , ,f x y x y z V∈ ∈ → em que ( ),f x y é tal que ( )( ), , , 0F x y f x y = e ainda tem-se que:

( ) ( )( )

, ,,

, ,x

z

F x y zf x yx F x y z∂

= −∂

e ( ) ( )( )

, ,,

, ,y

z

F x y zf x yx F x y z∂

= −∂

Exercício 1 - Suponhamos que ( ),z f x y= . Verificar a equação 2 2 2 3 4 5x z xy z yz+ − = − + .

Calcule zx∂∂

e zy∂∂

.

Resolução – vou utilizar o Teorema da Função Implícita – sei que 2 2 2 3 4 5x z xy z yz+ − = − +

2 2 2 3 4 5 0x z xy z yz+ − + − =

( ), , 0F x y z = e seja ( ) 2 2 2 3, , 4 5F x y z x z xy z yz= + − + −



( )( )

'2 2 2 3 2 2

' 2 22 2 2 3

4 5 2 0 0 02 0 3 4 04 5

x

y

Fx z xy z yzz xz yx

Fx x z z yx z xy z yzy

∂+ − + −∂ + − + −∂= − = − = −

∂∂ + − + −+ − + −∂

Com 2 22 3 4 0x z z y− + ≠

( )( )

'2 2 2 3

' 2 22 2 2 3

4 5 0 2 0 4 02 0 3 4 04 5

y

z

Fx z xy z yzz xy zy

Fy x z z yx z xy z yzz

∂+ − + −∂ + − + −∂= − = − = −

∂∂ + − + −+ − + −∂

Com 2 22 3 4x z z y− +

Exercício 2 – A equação ( )23 2 ln 2 1 4x y y− + − = . Define y como função de x. Calcule yx∂∂

no ponto ( )2,1 .

Resolução – vou utilizar o Teorema da Função Implícita –

( )23 2 ln 2 1 4 0x y y− + − − =

( ), , 0F x y z =

Seja ( ) ( )2, , 3 2 ln 2 1 4F x y z x y y= − + − −

( )( )( )( )

'2

'2

3 2 ln 2 1 4 323 2 ln 2 1 4 4

2 1

x

y

Fx y yy x

Fx x y y yy y

∂− + − −∂ ∂= − = − = −

∂∂ − + − − − +∂ −

Com 24 02 1

yy

− + ≠−

Logo ( ) ( )( ) ( )

3 32,1 2,1 2 24 12 1 1

Fy x

Fxy

∂∂ ∂= − = − = −

∂∂ − +∂ −



Exame do dia 05-06-2004

Exercício 2 - Determine o polinómio de Taylor de 2ª ordem, no ponto ,02π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, da função:

( ) ( ), .sin .cos2

f x y e y xπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

Resolução – O que me é pedido é a Expansão de Taylor Tendo ( ),p x y = descobrir o seguinte (função com 6 termos):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 2

1 1, . , . , . , . , . ,2 2

f f f f ff x y x x x y y y x y x x x y x x y y x y y y x yx y x x y y∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ − + − + − + − − + −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

1º Termo: ( )0 0,f x y

2º Termo: ( ) ( )0 0 0. ,fx x x yx∂

−∂

3º Termo: ( ) ( )0 0 0. ,fy y x yy∂

−∂

4º Termo: ( ) ( )2

20 0 02

1 . ,2

fx x x yx

∂−

∂

5º Termo: ( )( ) ( )2

0 0 0 0. ,fx x y y x yx y∂

− −∂ ∂

6º Termo: ( ) ( )2

20 0 02

1 . ,2

fy y x yy

∂−

∂

Calculando o 1º Termo (ponto dado) - ,0 .sin 0 .cos .1.0 02 2 2

f e eπ ππ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠



Calculando o 2º Termo Geral - ( ) ( )'

0 0, .sin .cos2 x

f x y e y xx

π π⎡ ⎤∂ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( ) ( )0 0, .sin .sin2

f x y e y xx

π π∂ ⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

Calculando o 2º Termo no Ponto - ,0 .sin 0 .sin .1.12 2 2

f e e ex

π π ππ π π∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Calculando o 3º Termo Geral - ( ) ( )'

0 0, .sin .cos2 y

f x y e y xy

π π⎡ ⎤∂ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( ) ( )0 0, .cos .cos2

f x y e y xy

π π∂ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

Calculando o 3º Termo no Ponto - ,0 .cos 0 .cos .0.0 02 2 2

f e ey

π ππ π π∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Calculando o 4º Termo Geral - ( ) ( )'2

0 02 , .sin .sin2 x

f x y e y xx

π π⎡ ⎤∂ ⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( ) ( )2

0 02 , .sin .cos2

f x y e y xx

π π∂ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

Calculando o 4º Termo no Ponto - 2

2 ,0 .sin 0 .cos .1.0 02 2 2

f e ex

π ππ π π∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Calculando o 5º Termo Geral - ( ) ( ) ( )'2

0 0 0 0, , .cos .cos2 x

f fx y x y e y xx y x y

π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞= = + =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

( ) ( )2

0 0, .cos .sin2

f x y e y xx y

π π∂ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠


,0 .cos 0 .sin .0.1 02 2 2

f e ex y

π ππ π π∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Calculando o 6º Termo Geral - ( ) ( ) ( )'2

0 0 0 02 , , .cos .cos2 y

f fx y x y e y xy y y

π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞= = + =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

( ) ( )2

0 02 , .sin .cos2

f x y e y xy

π π∂ ⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠


2 ,0 .sin 0 .cos .1.0 02 2 2

f e ey

π ππ π π∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠



Agora tudo junto, pois é a resposta a pergunta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

21 1, 0 . 0 .0 . .0 . 0 .0 . 0 .02 2 2 2 2

p x y x e y x x y yππ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − − + − + − + − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ), .2

p x y x e ππ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

Exercício 4: Considere a seguinte forma diferencial: ( )( ) ( )( ). 2 . 2y yW e ch x x dx e sh x y dy= − + −


b) Seja ϕ a função escalar cujo diferencial total coincide com a referida forma. Determine ϕ .

c) Defina a função potencial para um campo vectorial e diga, justificando, se a função ϕ , calculada na

alínea anterior, é uma função potencial para o campo vectorial

( ) ( ) ( )( ), . 2 , . 2y yx yF e ch x x e sh x y= − −

d) Seja 1C o segmento de recta que une o ponto ( )0,0 ao ponto ( ),2π . Calcule ( )1

1C

F dr∫

e) Seja 2C uma curva Jordan, Calcule ( )2

2C

F dr∫

Resolução a) sejam: ( ) ( )1 , . 2yx yF e ch x x= − e ( ) ( )2 , . 2y

x yF e sh x y= −


1º - 21 2DF DF= =

2º - 2 é um conjunto conexo


∂∂

, e 2Fy

∂∂

, o que é ERRADO!

( )1 .yF e ch xy

∂=

∂, ( )2 .yF e ch x

x∂

=∂

1 2F Fy x

∂ ∂∴ =

∂ ∂

4º - ( )1 21 2,F F C∈




Resolução b) Como W é uma forma diferencial exacta, então existe uma função ϕ , tal que: d Wϕ =

dx dy Wx yϕ ϕ∂ ∂

+ =∂ ∂

1Fxϕ∂=

∂ 2Fyϕ∂=

∂

1º - Passo ( )1 . 2yF e ch x xx xϕ ϕ∂ ∂= ⇔ = − ⇔

∂ ∂

( )( ) ( )( ). 2 . 2y ye ch x x x e ch x x xϕ ϕ∂ = − ∂ ⇔ = − ∂ ⇔∫

( )( ) ( ) ( ) ( )2. 2 .y ye ch x x x x e sh x x f yϕ ϕ⇔ = ∂ + − ∂ ⇔ = − +∫ ∫


( ) ( )2.ye sh x x f yϕ = − +

Vou agora avançar para o 2º passo: 2Fyϕ∂=

∂Já sei o “ϕ ”

( ) ( )( ) ( )2

2

2

.. 2

yy

F

e sh x x f yF e sh x y

y yϕ ∂ − +∂= ⇔ = − ⇔

∂ ∂

( ) ( ) ( )'2. . 2y y

ye sh x x f y e sh x y⎡ ⎤⇔ − + = − ⇔⎣ ⎦

( ).ye sh x⇔ ( ) ( )'0 .yf y e sh x− + = 2y− ⇔

2f yy∂

⇔ = − ⇔∂

( ) ( )2f y y dy= − ⇔∫

( )22

2yf y −

⇔ = ⇔ ( ) 2f y y c= − + ⇔

Resposta ao exercício 4b) ( ) 2 2. ,ye sh x x y c cϕ = − − + ∈



Resolução c) Diz-se que : nf → é uma função potencial para : n nF → , se e só se f F∇ = .

Vou por isso verificar se ( ),x yFϕ∇ = .

Sei que ( ) ( ) ( )( ),, . 2 , . 2y yx yF e ch x x e sh x y

x yϕ ϕϕ

⎛ ⎞∂ ∂∇ = ∧ = − −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

, logo ϕ é uma função potencial para F.

Resolução d) Como é conservativa, conforme alínea a),

( ) ( )1 1

1 1C C

F dr drϕ= ∇∫ ∫

E utilizando o Teorema Fundamental do Calculo:

( ) ( ) ( ),2 0,0 ,2ϕ π ϕ ϕ π− =

Agora vou buscar a fórmula ao exercício 4b) ( ) ( ) 2 2,2 .ye sh x x yϕ π = − −

( ) ( ) ( )22 2,2 . 2e shϕ π π π= − −

( ) ( )2 2,2 . 4e shϕ π π π= − −

Resolução e)

( ) ( )2 2

2 2C C


( ) ( )B Aϕ ϕ− =

Aqui está um truque! Pois se é uma curva e fechada, o ponto (B) é o mesmo que o ponto (A).

( ) ( ) 0B Bϕ ϕ− =



Exercício 5 - Seja ( ){ }2 2, : 0 1 1D x y x x y x= ∈ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ +

a) Esboce geometricamente a Região D b) Calcule

( )2

Dx y dxdy∫ ∫

Resolução da a) 20 1 1x x x y y x≥ ∧ ≤ ∧ ≤ ∧ ≤ +

Resultado final pedido:



Resolução da b) agora uso a ordem dxdy ou dydx ? É indiferente, nem sequer sou obrigado a respeitar a ordem que está no enunciado, pois indiferentemente da ordem que escolha começar, irei ter o mesmo resultado.

( ) ( )2

2121 1 12 2 2

0 0 2

xx

D xx

yx y dxdy x y dydx x dx+

+ ⎡ ⎤⎛ ⎞= = ⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫

CUIDADO, pois nesta fase o que vou substituir é o “y” e não o “x”. Dá azo a engano pois sou tentado a substituir a mesma variável que está nos índices do integral:

( ) ( ) ( )2 22 2 4 2 41 12 2

0 0

1 . 2 12 2 2 2

x x x xx xx x dx dx⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟= − = − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

16 4 2 4 7 5 31 1 6 4 2

0 00

2 1 1. .2 2 2 7 5 3

x x x x x x xdx x x x dx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − ⎡ ⎤= = + + = + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫

1 1 1 1 1 71 71. 0 .2 7 5 3 2 105 210⎡ ⎤⎛ ⎞= + + − = =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Podia ter ido por outro caminho que era a de mudar a ordem de integração:



Tenho que dividir a área (integral) ao meio:

( ) ( ) ( )1 2 12 2 2

0 0 1 1

y

D yx y dxdy x y dxdy x y dxdy

−= +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Agora é só integrar (não vou fazer, pois não tenho pachorra)



Exame do dia 12-07-2004 Exercício 4 - Considere a seguinte função:

( ) ( )3 2,

1 ,x yf g e x sh xy

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Supondo que g é uma função escalar de classe 2C em todo o seu domínio, determine, utilizando a regra da cadeia,

2 fy x∂∂ ∂

.

Resolução: 1º vou baptizar : ( ) ( )3 2,

1 ,x y

ba

f g e x sh xy

⎛ ⎞⎜ ⎟

= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Nota: ( )3 21a e x b sh xy

= − ∧ =

2

. . . .f f df g a df g by x y x y dg a x dg b x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( )2

' 3 ' 21. . 1. .2 .a bf g e g x ch x

y x∂

= +∂ ∂

( ) ( ) ( )

23 ' 2 '2 .a b

f e g x ch x gy x∂

= +∂ ∂



( )( ) ( ) ( )( )2

3 ' 2 '2 .a bf e g x ch x g

y x y y∂ ∂ ∂

= +∂ ∂ ∂ ∂

( )( ) ( ) ( )( )2

3 ' 2 '2 .a bf e g x ch x g

y x y y∂ ∂ ∂

= +∂ ∂ ∂ ∂

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( )' '

' '23 2. 2 . .

a b

a b

g gy y

g gf a ae x ch xy x a y a y

∂ ∂∂ ∂

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )( )( )

( )( )' '

23 '' 2 ''

. .2 2

1 1. 2 . .a b

a a a b

g ga a

a ay y

f e g x ch x gy x y y

∂ ∂∂ ∂

∂ ∂∂ ∂

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂

= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )2

3 '' 2 ''. .2 2

1 1. 2 . .a a a bf e g x ch x g

y x y y∂

= +∂ ∂

( )( )2

23 '' 2 ''

.2

1 . 2 . a ba

f e g x ch x gy x y∂

= +∂ ∂

Exercício 7 - Considere o campo vectorial ( ) ( ) ( ), , 2x y zF y i x y k= − + − , onde ( ), ,i j k é a base canónica de 3 .

Seja C o segmento de recta que une o ponto ( )1,1,0 ao ponto ( )0,1,1 . Calcule

( ).C

F dr∫

Resolução: ( )21 3

, , 2 , 0 ,x y zFF F

F y x y⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

, e não é conservativo, pois 1 2Fy

∂= −

∂ e 2 0F

x∂

=∂

, por isso vou ter que ir pela

definição.



Como me falta o caminho r, vou parametrizar: Sei o valor dos pontos, falta-me a equação vectorial da recta AB :

( )( )

( ) ( ) ( )1,1,0

0,1,1 1,1,0 1,0,10,1,1

Av AB B A v

B

⎫= ⎪ → = = − = − → = −⎬= ⎪⎭

Assim sendo fica: ( ) ( ) ( ) ( ). 1,1,0 . 1,0,1t tr A t v r t= + ⇔ = + − ⇔

( ) ( ) [ ]1 ,1, 0,1tr t t com t∴ = − ∈

Agora é só calcular o ( ) ( )( ) ( )1 '

0.t tC

F dr F r r dt⎡ ⎤= ⎣ ⎦∫ ∫

Calculo Auxiliar - ( )( ) ( ) ( )( ) ( ), , 1 ,1,t tF r F x y z F r F t t= ⇔ = −

E como sei que ( ) ( ), , 2 ,0,x y zF y x y= − −

Então ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 1 ,0, 1 1 2,0,t tF r t F r t= − − − ⇔ = − −

- ( )( ) ( )'

1,0,1t tr = −

- ( )( ) ( ) ( ) ( )'. 2,0, . 1,0,1t tF r r t= − − −

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )' '. 2 1 0.0 .1 . 2t t t tF r r t F r r t= − − + − ⇔ = −

Assim fica:

( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ]1 1'

0 0. 2t tC C

F dr F r r dt F dr t dt⎡ ⎤⇔ = ⇔ = − ⇔⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )1 2 22

0

1 0 32 2 1 2 02 2 2 2tt

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = − − − =⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠



Exercício 8 - Sendo ( ){ }2, : 0 0 1D x y x y x y= ∈ ≥ ∧ ≥ ∧ + ≤ . Verifique, usando a mudança de variável x y u+ = e y uv= , que:

12

x yy

eD

ee dxdy+⎛ ⎞ −=⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫∫

Resolução: ora bem, x u y x u uvy uv y uv= − = −⎧ ⎧

⇔⎨ ⎨= =⎩ ⎩

Vou usar a seguinte comparação: ( )( )

cos

sin

x

y

ρ θ

ρ θ

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

Assim sendo, ( ){ }2, : 0 0 1D x y x y x y= ∈ ≥ ∧ ≥ ∧ + ≤

Outro domínio ( )*D :

( )* 2, : 0 0D u v u uv uv u uv= ∈ − ≥ ∧ ≥ ∧ − uv+{ }1≤

( ) ( )* 2

0

, : 1 0 0 1D u v u v uv u≥

⎧ ⎫= ∈ − ≥ ∧ ≥ ∧ ≤⎨ ⎬⎩ ⎭

Ora afirmo que 0u ≥ , porque, x y u+ = , e sei que 0x ≥ , e 0y ≥ .

( ){ }* 2, : 1 0 0 1 0D u v v v u u= ∈ − ≥ ∧ ≥ ∧ ≤ ∧ ≥

( ){ }* 2, : 1 0 1 0D u v v v u u= ∈ ≤ ∧ ≥ ∧ ≤ ∧ ≥

Grafico



Jacobiano:

( )1

1

x xv uu vJ v u uv u uv

y y v uu v

∂ ∂− −∂ ∂= = = − + = −

∂ ∂∂ ∂

uv+ u=

Assim:

1 1

0 0

.x y x yy y

e eD

e dxdy e u dvdu+ +⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫∫ ∫ ∫

1 1 .

0 0

.uu v

ue u dvdu e⎡ ⎤⎛ ⎞

= =⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫.v

u1 1 1 1 1

1

00 0 0 0 0

. . .y

x ye

v v

e

u dvdu e u dvdu e u du+

⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫

[ ] ( ) ( ) [ ]1

1 1 1 11 1 11 0

0 000 0 0 0Constante 0

. . . 1 1 .e u e u du e u u du u e du e u du⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎢ ⎥= − = − = − = − =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )12 2 2

0

11 0 11 . 1 . 1 . . . .2 2 2 2 2

eue e e c q d−⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= − = − − = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦



Exame do dia 18-06-2005 Exercício 1 - Só vou fazer a derivada direccional: ( ) ( )' .vf a f a v= ∇ (esta formula só se usa quando o ponto não é de transição). Assim sendo, considere a função:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

,

ln 1 , 1,0

1 , 1,0x y

x y sse x yf

sse x y

⎧ ⎡ ⎤− + ≠⎪ ⎣ ⎦= ⎨⎪ =⎩

d) – Calcule a derivada direccional de f no ponto ( )1,a e= , e na direcção do vector v j i= − + , onde ( ),i j é a base

canónica de 2 .

Resolução – vou calcular o vector unitário uvu

= . Assim sendo, fica ( ) ( )2 2

1, 11 1,2 21 1

ji

v

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠+ −.

Sei que (Geral) ( ) ( )' '2 22 2, ln 1 ,ln 1x y

f ff x y x yx y

⎛ ⎞∂ ∂ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤∇ = = − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( )2 22 2

2 2 2,1 1x yf

x y x y

⎛ ⎞−⎜ ⎟∇ =⎜ ⎟− + − +⎝ ⎠

No ponto 0,2

a π⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, ( ) ( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )2 22 2

2 1 2 21, ,

1 1 1 1

ef e

e e

⎛ ⎞−⎜ ⎟∇ =⎜ ⎟− + − +⎝ ⎠

( )( ) ( )2 22 2

0 21, ,0 0

ef ee e

⎛ ⎞⎜ ⎟∇ =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

( ) 21, 0,f ee

⎛ ⎞∇ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Agora o que me é realmente pedido:

( ) ( ) ( )( )

'

2 1.2

1 1 2 1 1 2 2 2. 1, . , 0, . , 02 2 2 2 2. 2.v

av

e

f a f a v f ee ee e

⎛ ⎞⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ∇ = ∇ − = − = − = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠



Exercício 2 – Considere a seguinte função ( ) ( )5 31, ,argf x y g e y sh yx

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Supondo que “g” é uma função escalar de classe 2C em todo o seu domínio, determine, utilizando a regra da

cadeia, 2 fy x∂∂ ∂

.

Resolução - ( ) ( )5 31, ,argba

f x y g e y sh yx

⎛ ⎞⎜ ⎟

= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

5

3

1

arg

a e yx

b sh y

⎧ = −⎪→ ⎨⎪ =⎩

( ) ( ), ,f x y g a b f g= ⇔ =

2 2

. . .f f f df g ay x y x y x y dg a x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= ⇔ = ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2'

2

11. .af g

y x y x∂ ∂ ⎛ ⎞⇔ = ⇔⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠

( )2 2 2 '

' '2 2 2

Constante

1 1 1. . . aa a

f f f gg gy x y x y x x y y x x y

⎛ ⎞⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦⎜ ⎟

⎝ ⎠



Como tenho 2 caminhos, faço deste modo:

( )( )( )

2

'3

'32 ' ' 2'' 5 ''

2 2 23

arg

1 1. . . . . .1

y

ya aaba

sh y

yf g a g b f g e gy x x a y b y y x x y

⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥⇔ = + ⇔ = + ⇔⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

'' ''2

2 2 2 25

2 2 6

1 3. . .1

abag g

f g y gey x x a a by

⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂

= +⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥+

⎢ ⎥⎣ ⎦

Exercício 3 – Determine o polinómio de Taylor de 2ª ordem, no ponto 0,4π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

, da função - ( ) 2

, 2 .4

xf x y tg y π⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Resolução – O que me é pedido é a Expansão de Taylor.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 2

1 1, . , . , . , . , . ,2 2


+ − + − + − + − − + −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂


2º Termo: ( ) ( )0 0 0. ,fx x x yx∂

−∂

3º Termo: ( ) ( )0 0 0. ,fy y x yy∂

−∂

4º Termo: ( ) ( )2

20 0 02

1 . ,2

fx x x yx

∂−

∂

5º Termo: ( )( ) ( )2

0 0 0 0. ,fx x y y x yx y∂

− −∂ ∂

6º Termo: ( ) ( )2

20 0 02

1 . ,2

fy y x yy

∂−

∂



Vou agora dar inicio a todos os termos necessários a resolução deste exercício:

Calculando o 1º Termo (ponto dado) - ( )200, 2 . 1. 0 1.0 04 4 4

f tg tgπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Calculando o 2º Termo Geral - ( )

( )

2

'

'

0 0

?

, 2 .4

u

x

x

a

f x y tg yx

π

=

∂ ⎛ ⎞⎡ ⎤= − =⎜ ⎟⎣ ⎦∂ ⎝ ⎠

( ) ( )

( ) ( )

2 2

'' '

'20 0

Regra da Exponencial. . ln 0

4

0

, .2 .ln 2 . 2 .4 4

u u

x

x x

x

a u a a tg y

f x y x tg y tg yx

π

π π

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

=

∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤= − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )2

0 0, 2 .2 .ln 2 .4

xf x y x tg yx

π∂ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

Calculando o 2º Termo no Ponto - ( ) ( )200, 2 0 .2 .ln 2 . 04 4 4

f tgx

π π π∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Calculando o 3º Termo Geral - ( ) 2'

0 0, 2 .4

x

y

f x y tg yy

π⎡ ⎤∂ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( ) 2 2'

'

0 0

0

0

, 2 . 2 .4 4

x x

yy

f x y tg y tg yy

π π

=

=

⎡ ⎤∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( ) 2

0 02

1, 2 .cos

4

xf x yy y π∂

=∂ ⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

Calculando o 3º Termo no Ponto -

( )

2

2 2

0

21

cos 0 1 1

10, 2 . 14 cos

4 4

fy

ππ π=

= =

∂ ⎛ ⎞ = =⎜ ⎟∂ ⎛ ⎞⎝ ⎠ −⎜ ⎟⎝ ⎠

Calculando o 4º Termo Geral - ( ) ( )2'2

0 02 , 2 .2 .ln 2 .4

x

x

f x y x tg yx

π⎡ ⎤∂ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ⎝ ⎠⎣ ⎦



Vou dividir em 2 grupos, e depois junto, que é mais fácil de calcular:

( ) ( )2

'

2 '

0 020

0

Simplifica me as contas, pois será qualquer coisa vezes zero, que dará zero!

, 2 .2 . ln 2 .4

x

x

x

f x y x tg yx

π

==

−

⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ⎛ ⎞⎡ ⎤= − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦∂ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )2 2

' '

2 ''0 02

Regra da Exponencial. . ln

, 2 .2 2 . 2 .ln 2 .4

u u

x xx x

a u a a

f x y x x tg yx

π

=

⎡ ⎤⎢ ⎥

∂ ⎢ ⎥ ⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )2 22

0 02 , 2.2 2 .2 .ln 2 .ln 2 .4

x xf x y x tg yx

π∂ ⎛ ⎞⎡ ⎤= + −⎜ ⎟⎣ ⎦∂ ⎝ ⎠

Calculando o 4º Termo no Ponto - ( ) ( ) ( )2 22

0 02

2.1 20

00

0

0

0, 2.2 2. 0 .2 .ln 2 .ln 2 . 04 4 4

f tgx

π π π=

==

==

=

⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Calculando o 5º Termo Geral - ( ) ( ) 2

'

2

0 0 0 02

1, , 2 .cos

4

x

x

f fx y x yx y x y y π

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

( ) ( )

2 2

' '

'

'

2 2Regra da Exponencial

. . ln0

0

1 12 . 2 .cos cos

4 4u u

x x

x

xa u a a

y yπ π

==

=

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥= + =⎣ ⎦ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( )2

2

12 .2 .ln 2 .cos

4

xxy π

=⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

Calculando o 5º Termo no Ponto - ( ) ( )2

2

20

21

0

1 1

0

10, 2 0 .2 .ln 2 . 04 cos

4 4

fx y

ππ π=

=

= =

=

∂ ⎛ ⎞ = =⎜ ⎟∂ ∂ ⎛ ⎞⎝ ⎠ −⎜ ⎟⎝ ⎠



Calculando o 6º Termo Geral - ( ) ( ) 2

'

2

0 0 0 022

1, , 2 .cos

4

x

y

f fx y x yy y y y π

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

( )( )

2

0'

' 2 22

0 024

1 .cos 1. cos4 4

, 2 .cos

4

yyx

y yf x y

y y

π π

π

=

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ ⎣ ⎦= =

∂ ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( )

( )1 ' '

2

Regra da Potencia e do cos: . . sin .

2

0 024

2 .cos . sin4 4, 2 .

cos4

nn u u e u u

x

y yf x y

y y

π π

π

− −

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦=∂ ⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

Calculando o 6º Termo no Ponto - ( )

2

4

0

0

20

24

1 1

2 .cos . sin4 4 4 40, 2 . 0

4 cos4 4

fy

π π π ππ

π π

=

=

= =

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦= ==⎜ ⎟∂ ⎛ ⎞⎝ ⎠ −⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) ( ) ( ) ( )2

21 1, 0 0 .0 .1 . 0 .0 0 . .0 . .04 2 4 2 4

p x y x y x x y yπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + − + − + − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Explicando:



E

A utilização das cores, ajuda a interpretar melhor:

( ) ( ) ( ) ( )0

0

22

0 0

1 1, . . . . .0 001 0. . .04 4 4

002 4

02

p x y x y x x y y yπ π π π

== = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + − + − + − − + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Exercício 4 - Considere a forma diferencial ( ) ( ) ( ) ( )2.sin .cos 2y yw e x dy e x dx xy dx x dy⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

a) Prove que a forma diferencial ”W” é exacta. b) Seja ϕ a função escalar cujo diferencial total coincide com a referida forma. Determine ϕ . c) Diga, justificando, se a função ϕ , calculada na alínea anterior, é uma função potencial para o campo

vectorial

( ) ( ) ( )( )2, .cos 2 , .siny y

x yF e x xy e x x= − −

d) Seja 1C o segmento de recta que une o ponto ( ),0e ao ponto ( )0,e . Calcule

( )1

1C

F dr∫

e) Considere a seguinte curva de 2 ( ){ }2 2 2 2

2 , : 0 0C x y x y e y e x= ∈ + = ∧ ≤ ≤ ∧ ≥ Calcule

( )2

2C

F dr∫

Sugestão: tenha em atenção as alíneas anteriores.



Resolução a):

( ) ( ) ( ) ( )2.sin .cos 2y yw e x dy e x dx xy dx x dy⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1º - ordenar, e cuidado não é pelas variáveis, mas sim pela ordem da derivada!

( ) ( )2.sin .cos 2y yw e x x dy e x xy dx⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2º - ordenar em ordem a “x” 1º:

( ) ( ) 2.cos 2 .siny yw e x xy dx e x x dy⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Todos estes passos visam evitar-se erros por falta de experiencia. Agora nomear as funções:

( ) ( ) 21 2.cos 2 .siny yF e x xy F e x x= − ∧ = −

W é forma diferenciável exacta porque respeita 4 condições: 1º - O seu domínio é

1 2

2F FD D= =

2º - 2 é convexo 3º - Como tenho 2 variáveis, tenho que verificar 1 condições:

Verificar se 1 2F Fy x

∂ ∂=

∂ ∂

( )

( )

1

Fica igual!

1 2

2

.cos 2

.cos 2

y

y

F e x xy

F Fy x

F e x xx

∂⎧ = −⎪ ∂⎪ ∂ ∂⎪ ∴ =⎨∂ ∂⎪∂⎪ = −

∂⎪⎩

4º - ( )1 21 2,F F C∈



Resolução da b) Quero determinar ϕ de modo que Wϕ∂ =

1 2 3dx dy dz F dx F dy F dzx y zϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂

+ + = + +∂ ∂ ∂

dxxϕ∂∂ 1F dx= dy

yϕ∂

∧∂ 2F dy= dz

zϕ∂

∧∂ 3F dz=

1 2 3F F Fx y zϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂= ∧ = ∧ =

∂ ∂ ∂

Este exercício é feito em duas etapas progressivas (duas porque é o numero de variáveis presentes):

1º - Passo: ( )( )1 1 .cos 2yF F x e x xy xxϕ ϕ ϕ∂= ⇔ = ∂ ⇔ = − ∂ ⇔

∂ ∫ ∫

( )( ) ( ) ( ) ( )2

22.cos 2 .sin .sin2

y y yxe x x xy x e x y e x cx yϕ ϕ ϕ⇔ = ∂ + − ∂ ⇔ = − ⇔ = − ⇔+∫ ∫ `

( ) ( )2.sinye x x y f yϕ∴ = − +

Cuidado não é ( ),f y z , pois estou em 2 2º - Passo: (agora já sei ϕ )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 2

22

.sin .sin.sin

y yy

e x x y f y e x x y f yF e x x

y y∂ − + ∂ − +

⇔ = ⇔ = − ⇔∂ ∂

( ).sinye x⇔ 2x− ( ) ( )' .sinyf y e x+ = 2x− ⇔

( ) ( ) ( )0 0f f y y f y cy∂

⇔ = ⇔ = ∂ ⇔ =∂ ∫

Conclusão do 2º passo: ( ) 2.sin ,ye x ccx yϕ∴ = − + ∈



Extra – para verificar: - ( )( ) ( ) ( )'2.sin .cos 2 1y y

xe x x y e x xy F− = − =

- ( )( ) ( ) ( )

'2 2.sin .sin 2y y

ye x x y e x x F− = − =

Resolução da c) ( ) ( ) ( )( )2

, .cos 2 , .siny yx yF e x xy e x x= − −

Em b) obtive o valor de ϕ , que é uma função potencial para F se e só se Fϕ∇ = .

( ) ( )( )2, .cos 2. . , .siny ye x x y e x x Fx yϕ ϕϕ

⎛ ⎞∂ ∂∇ = = − − =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Posso então afirmar que ϕ é uma função potencial para F.

Resolução da d) ( )1

1C

F dr∫

O índice “1” é só para atrapalhar! Dá para fazer de duas maneiras: pelo Teorema Fundamental do Calculo e por Definição. Vou pelo T.F.C.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 1

2 0 21 1 ,0 0, .sin 0 0 . .sin .0e

e eC C

F dr dr e e c e e e cϕ ϕ ϕ= ∇ = − = − + − − +∫ ∫

( )( ) ( )( ) ( ) ( ).sin 0 sin sin sinee c e c c e c e= + − + = − − = −

Resolução da e) ( ){ }2 2 2 2

2 , : 0 0C x y x y e y e x= ∈ + = ∧ ≤ ≤ ∧ ≥



É igual a resolução d) , assim pelo T.F.C:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 2

2 0 22 2 0, ,0 .sin 0 0 . .sin .0e

e eC C

F dr dr e e c e e e cϕ ϕ ϕ= ∇ = − = − + − − +∫ ∫

( )( ) ( )( ) ( ) ( ).sin 0 sin sin sinee c e c c e c e= + − + = − − = −

Exercício 5: Considere o seguinte campo vectorial de 2

( )

2 2 32

, , 22 3x y

x y x yF y xy x⎛ ⎞

= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

a) Use o teorema de Green para calcular o seguinte integral de linha:

( )C

F dr∫

Considere a curva C orientada no sentido directo e definida por:

( ) ( ){ }2 3 2, : 0 1C x y y x y x x= ∈ = ∨ = ∧ ≤ ≤

b) Utilizando o calculo integral duplo, determine a área da figura plana limitada pela curva C.

Resolução 5a) ( )

1 2

2 2 2 3,

1 1. , . 22 3x y

F F

F x y y x y xy x

⎛ ⎞⎜ ⎟

= + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Breve explicação antes de avançar:

( ) 2 1

Pelo Teorema de GreenC R

F FF dr dxdyx y

⎛ ⎞∂ ∂= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫∫



Assim, o meu exercício:

( ) ( ){ }2 3 2, : 0 1C x y y x y x x= ∈ = ∨ = ∧ ≤ ≤

3y x=

2y x=

0 1x≤ ≤

Tudo Junto -



Assim fica: ( ) 2 1

Teorema de GreenC

F FF dr dxdyx y

⎛ ⎞∂ ∂= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫∫

( ) ( )( )2

3

1 2 2 2

02 1 2

x

xx y y x y y dydx x y⇔ + + − + ⇔∫ ∫ 2y+ 21 x y+ − 2y−( )

2

3

1

0

x

xdydx ⇔∫ ∫

( ) [ ]2 2

33

13 41 1 1 2 3

0 0 00

13 4

x x

xx

x xdydx y dx x x dx⎡ ⎤

⎡ ⎤⇔ ⇔ − ⇔ −⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )3 4 3 41 1 0 0 1 1 103 4 3 4 3 4 12

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⇔ − − − ⇔ − − ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Resolução 5b) vou calcular o trabalho realizado pelo campo –

( ) ( )( )2 3 3 2, sin ,x yF x y x y= − +

Ao longo da circunferência definida por ( ){ }2 2 2, : 1C x y x y= ∈ + = 1º - vou calcular o trabalho ( )

CW F dr= ∫ , e sei que não é conservativa, pois 2 23 3y x− = .

Somos obrigados a ir pela definição. NÃO!, pois agora já sei processo, que é o do Teorema de Green, que mesmo assim só funciona no caso da curva ser FECHADO, e que é o caso.



( ) 2 1

Teorema de GreenC D

F FW F dr dxdyx y

⎛ ⎞∂ ∂= = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫∫

Cuidado, pois o “x” varia entre -1 e 1, enquanto que o “y” varia de 21 x− − e 21 x− , pois não é o ponto que quero, mas sim TODOS os pontos da circunferência.

( ) ( )( ) ( )2 2 2 22 1

Teorema de Green3 3 3 3

C D D D

F FW F dr dxdy x y dxdy x y dxdyx y

⎛ ⎞∂ ∂= = − = − − = +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫

Agora - 2 2: 1D x y+ = (o novo domínio). Utiliza-se sempre as coordenadas polares, porque é uma circunferência, fica:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2* 2 2 * * 2 2 2

1

: 1 : .cos .sin 1 : . cos sin 1D x y D Dρ θ ρ θ ρ θ θ=

⎡ ⎤⎢ ⎥+ = ⇔ + ≤ ⇔ + ≤⎢ ⎥⎣ ⎦

* 2: 1D ρ⇔ ≤ ⇔ , como é ao quadrado, o resultado será SEMPRE positivo, logo fica:

* 2 *: 1 : 0 1D Dρ ρ⇔ ≤ ⇔ ≤ ≤ Consegue-se passar de uma circunferência para um rectângulo, o que é muito mais fácil de calcular a área (esse era também o objectivo).



Fica:

( ) ( ) ( )2 2 2 2

Teorema de Green3 3 3.

C D DW F dr x y dxdy x y dxdy= = = + = + =∫ ∫∫ ∫∫ Mudança de variáveis

Agora vou aplicar o Jacobiano: ( )( ) ( )( )2 1 2 2

0 0Jacobiano Jacobiano

3. .cos .sin . d dπ

ρ θ ρ θ ρ ρ θ⎛ ⎞⎡ ⎤= +⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠

∫ ∫

( )( ) ( )( ) ( )2 1 2 12 22 3

0 0 0 01

3. . cos sin . 3.d d d dπ π

ρ θ θ ρ ρ θ ρ ρ θ=

⎛ ⎞⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥= + = =⎜ ⎟⎢ ⎥

⎣ ⎦⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫

[ ]142 2 2

0 0 00

1 33. 3. . 14 4 4

d d dπ π πρ θ θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

[ ] ( )2

0

3 3 3. . 2 04 4 2

πθ π π= = − =



Exame do dia 12-07-2005 Exercício 4 - Suponha que ( ),z f x y= verifica a equação

( ) 22 3 3argth 3 11y yz e y z xz x− + + =

Calcule zy∂∂

Resolução:

Nota: ( )'

'

2argth1

uuu

⎡ ⎤ =⎣ ⎦ −

Sei que ( ),z f x y= , ora ( )( ) ( )22 3 3argth 3 11y yz e y z xz xz

y y y

∂ − + + ∂∂= =

∂ ∂ ∂

Então ( ) ( ) ( )( ) ( )232 3 3argth yy xz e y z xzy y y y

∂∂ ∂ − ∂+ + +

∂ ∂ ∂ ∂

Vou fazer por partes para não ficar muito confuso:

- ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )'2

2' ' ' '2 2 2 2 22

y

yy y y y y y

y yy y

z

z e yz e y e z y y z e z z e y e yz e z

y∂

= + + = + +∂

- ( ) ( ) ( )3

' '3 23 yy

zz z z

y∂ −

= − = −∂

- ( )( ) ( )( )

( )' '

2 2 2

argth11

y yxz x zxz

y x zxz

∂= =

∂ −−

- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2 2 2 2

'2

3'' '3 3 2 3 3

3

33 3 0.3 3 ln 3 2 3 ln 3

y

y

y

y y y y y

y yy

xx x y x y x

y⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∂= + = + =

∂



Tudo junto:

( ) ( )( )

( )2

'' '2 2 2 3

2 22 3 2 3 ln 31

yy y y yy y

x zz z z e y e yz e z z z y xy x z∂

= + + − + +∂ −

Ordenando:

( ) ( )2' 2 3 2 22 2

21

. 2 3 2 3 ln 31

y y y yy

GrupoGrupo

z xz ze y z y x e yz e zy x z∂ ⎡ ⎤= − + + + +⎢ ⎥∂ −⎣ ⎦

( ) ( ) 2' 2 3 2 22 2. 2 3 2ln 3 3

1y y y y

y

xz ze y z x y e yz e zx z

⎡ ⎤− + = − − −⎢ ⎥−⎣ ⎦

Muita atenção, pois ( )'

yz não dá zero, pois é uma função ( ),z f x y= ! Não é variável.

Assim sendo, fica: ( ) ( ) 2

2

3 2 2'

22 2

1

2ln 3 3

2 31

Grupo

y y y

yy

Grupo

x y e yz e zz xze y z

x z

− − −=

− +−

E tenho que salvaguardar que 22 22 3 0

1y xze y z

x z− + ≠

−

Exercício 5 - Só irei resolver o exercício 5c) pois as outras dizem respeito ao 1º modulo. Considere a função

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2

0 , 0,0, 1 , 0,0

2 ln

se x yf x y se x y

x y

⎧ =⎪

= ⎨ ≠⎪ − +⎩

c) Calcule a derivada direccional de f no ponto ( )0, 1− e na direcção do vector 1 32 2

a j i= − + , onde

( ),i j é a base canónica de 2 . Resolução - A formula é ( ) ( )' .vf a f a v= ∇

1º vou fazer o calculo auxiliar para saber o vector unitário. Com 1 3,2 2

u⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠



22

1 3 1 3 1 3, , ,2 2 2 2 2 2 1 3,

2 21 3 11 34 42 2

uvu

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = = −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ +− + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,f ffx y

⎛ ⎞∂ ∂∇ = ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

'' 2 2 2 22 2

2 22 2 2 2

21 2 ln 1. 2 ln

2 ln 2 ln

x x

xx y x yf x y

x x y x y

− + − − +∂ += =∂ − + − +

( )( )2 2

22 2

2

2 ln

yf x yy x y

∂ +=∂ − +

( ) ( )( ) 2

2110,1 0, 0,22 ln 1

f a f

⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎛ ⎞∇ = ∇ = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎡ − ⎤⎜ ⎟⎣ ⎦⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) 1 1 3 3. 0, . , 0,2 2 2 4

f a v⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∇ = − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠



Exame do dia 23-06-2006

Exercício 1 - Só vou fazer a derivada direccional: ( ) ( )' .vf a f a v= ∇ (esta formula só se usa quando o ponto não é de transição). Assim sendo, considere a função:

( )( ) ( )2 2

,

sin1 . 0

2 0x y

yx y sse y

f ysse y

⎧+ + ≠⎪= ⎨

⎪ =⎩

d) – Calcule a derivada direccional de f no ponto 0,2

a π⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, e na direcção do vector v j i= − + , onde ( ),i j é a

base canónica de 2 .

Resolução – vou calcular o vector unitário uvu

= . Assim sendo, fica ( ) ( )2 2

1, 11 1,2 21 1

ji

v

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠+ −.

Sei que (Geral) ( )sin, 2 . ,2

yf ff x yx y y

⎛ ⎞∂ ∂∇ = =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

( )sin.

yy

( ) ( ) ( ) ( )' '

2 22

sin . sin1 . y y

y y y yx y

y

⎛ ⎞−⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22

sin .cos sin2 . ,2.sin 1 .

y y y yf x y x y

y y⎛ − ⎞

∇ = + + +⎜ ⎟⎝ ⎠



No ponto 0,2

a π⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, ( ) ( )2

22

sin .cos sin2 2 20, 2. 0 . ,2.sin 1 0 .

2 2 22 2

yf

π π ππ π π

π π

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟∇ = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

0 1

2 2

2 2

sin2

.cos sin0 12 20, 0,2. 1 1 . 0, 0,2 1 .

2 2 2 22 2

yf f

π

π ππ π π π

π π

= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⇔ ∇ = + + ⇔ ∇ = + + ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

2

2

10, 0,22 2

2

f π ππ−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ ∇ = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2

1.

2π

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2

40, 0,2 12

f ππ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ ∇ = + − ⇔⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

2

40, 0,12

f ππ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Agora o que me é realmente pedido:

( ) ( )

( )2

'2 2 2

4 11 .2

1 1 4 1 1 1 4 1 4. 0, . , 0,1 . , 02 2 2 2 2 2 2 2 2v

va

f a f a v f

π

ππ π π

⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ∇ = ∇ − = − − = − + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Exercício 2 - Considere a seguinte função ( ) ( )21, . . ,arccosef x y g x y xy

π⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠


cadeia 2 fx y∂∂ ∂

.

Resolução - ( ) ( )21, ,arccose

ba

f x y g xy xy

π

⎛ ⎞⎜ ⎟

= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2

1

arccos

ea xyy

b x

π⎧ = −⎪→ ⎨

⎪ =⎩



( ) ( ), ,f x y g a b f g= ⇔ =

2 2

. . .f f f df g ax y x y x y x dg a y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⇔ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2'

2

11. . ea

f g xx y x y

π⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂

⇔ = − − ⇔⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

2 2 2' ' ' '

2 2 2

1 1 11. . . . .e e ea a a a

f f fg x g x g g xx y x y x y x y x y x y

π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⇔ = + ⇔ = + ⇔ = + ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Cuidado com este passo, pois '2

1. eag x

yπ

⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

é um produto e dá azo a esquecimentos/erros:

'2 ''

2 2

1 1. . . .e eaa

x

f g x g xx y x y y

π π⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎢ ⎥⇔ = + + + ⇔⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦



( ) ( ) ( ) ( )'2 2' ' '' ' ' '

2 2 2

0

1 1 1. . . . . . . 0e e e ea a a ax x x

x

f fg x g x g x gx y y y x y y

π π π π

=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎜ ⎟⇔ = + + + ⇔ = + + + ⇔⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

( )2 2 ' ''' ' '

2 2

1 1. . . . . . . .e e e ea aa a ax

f f g a g bg x g x gx y y x y a x b x y

π π π π⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤⇔ = + + ⇔ = + + + ⇔⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2'' ''. . . ???eaa ab

f g y gx y

π∂⇔ = +

∂ ∂ (Agora vou ter que recorrer a um calculo auxiliar)

Calculo auxiliar:

( ) ( )( )

'2'2

2 42

2arccos11

x

x

x xxxx

⎡ ⎤ = − = −⎣ ⎦ −−

Voltando ao meu exercício fica '' '' '

2 2 2

2 24

2 1. . . .1

aa ab a

e e e

g g g

f g g x gy xx y a a b y ax

π π π

⎡ ⎤⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂

⇔ = + − + +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− ⎣ ⎦⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Exercício 3 - Considere a forma diferencial:

( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 2 2 22

2 . .. .ln 1 3 . 3 .ln 11

x y zW x sh z y dz y z x ch z dx y z x z dyz

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − + + − + + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦+⎣ ⎦

a) Prove que a forma diferencial W é exacta. b) Seja ϕ a função escalar cujo diferencial total coincide com a referida forma. Determine ϕ . c) Indique, justificando, o valor lógico da seguinte condição:

( ) ( )3 3. 1 1dr e e ch e eϕ ⎡ ⎤∇ = − − + −⎣ ⎦∫

Onde C é o segmento de recta que une o ponto ( )2 , , 1e e e− − ao ponto ( ),1,0e .



Tenho que ordenar 1º:

( ) ( ) ( ) ( )1 2

3

2 2 2 2 3 32

2.ln 1 3 . 3 .ln 1 .1

F F F

xyzW y z x ch z dx y z x z dy y x sh z dzz

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + − + + + + − +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Resolução da a): W é forma diferenciável exacta porque respeita 4 condições: 1º - O seu domínio é

1 2 3

3F F FD D D= = =


I – Verificar se 1 2F Fy x

∂ ∂=

∂ ∂

( )

( )

21

1 2

22

ln 1

ln 1

F zy

F Fy x

F zx

∂⎧ = +⎪ ∂⎪ ∂ ∂⎪ ∴ =⎨∂ ∂⎪∂⎪ = +

∂⎪⎩

II – Verificar se 1 3F Fz x

∂ ∂=

∂ ∂

( )

( )

212

1 3

232

2. 3 .1

2. 3 .1

F zy x sh zz z F F

z xF zy x sh zx z

∂⎧ = −⎪ ∂ +⎪ ∂ ∂∴ =⎨

∂ ∂⎪∂⎪ = −∂ +⎩

III – Verificar se 2 3F Fz y

∂ ∂=

∂ ∂

222

2 3

232

23 .1

23 .1

F zy xz z F F

z yF zy xy z

⎧∂= +⎪ ∂ +⎪ ∂ ∂⎪ ∴ =⎨

∂ ∂⎪∂⎪ = +∂ +⎪⎩

4º - ( )1 3

1 2 3, , ,F F F C∈ Resolução da b) - Quero determinar ϕ de modo que Wϕ∂ =

1 2 3dx dy dz F dx F dy F dzx y zϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂

+ + = + +∂ ∂ ∂

dxxϕ∂∂ 1F dx= dy

yϕ∂

∧∂ 2F dy= dz

zϕ∂

∧∂ 3F dz=

1 2 3F F Fx y zϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂= ∧ = ∧ =

∂ ∂ ∂



Este exercício é feito em três etapas progressivas:

1º - Passo: ( ) ( )( )2 21 1 .ln 1 3 .F F x y z x ch z x

xϕ ϕ ϕ∂= ⇔ = ∂ ⇔ = + − ∂ ⇔

∂ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2 2 2

ConstanteConstante

.ln 1 3. . .ln 1 . 1 3. .y z x ch z x x y z x ch z x xϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎡ ⎤⇔ = + ∂ + − ∂ ⇔ = + ∂ + ⎡− ⎤ ∂ ⇔⎣ ⎦⎣ ⎦⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫

( )( ) ( ) ( ) ( )3

2 2 3.ln 1 . 3. . . .ln 1 .3xy z x ch z x y z x ch z cϕ ϕ

⎛ ⎞⎡ ⎤⇔ = + + ⎡− ⎤ ⇔ = + − ⇔⎜ ⎟⎦⎦ ⎝ ⎠+⎣⎣

( ) ( ) ( )2 3. .ln 1 . ,x y z x ch z f y zϕ +∴ = + −

2º - Passo: (agora já sei ϕ )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 3 2 3

2 22

. .ln 1 . , . .ln 1 . ,3 .ln 1

x y z x ch z f y z x y z x ch z f y zF y z x z

y y

∂ + − + ∂ + − +⇔ = ⇔ = + + ⇔

∂ ∂

( )2.ln 1x z⇔ + ( )2 23 .ln 1f y z x zy∂

+ = + +∂

( ) ( )2 23 , 3f y z f y z y z yy∂

⇔ = ⇔ = ∂ ⇔∂ ∫

( ) ( )3

33, ,3y zf y z f y z y z c⇔ = ⇔ = + ⇔

Agora cuidado, pois tenho outra vez o “c”. O que será então este “c” agora?

( ) ( )3,f y z y z g z⇔ = + ⇔

( )g z ???



Pois claro! Pois então se para o 1º passo era ( ),f y z+ , agora, depois de derivar em ordem a “y”, só me sobra o “z”. Mas porqué “g” para o nome da NOVA função? Bem de facto é um nome qualquer, mas diferente de “f”, pois “f” já está atribuído.

Conclusão do 2º passo: ( ) ( ) ( )2 3 3. .ln 1 .x y z x ch z gz zyϕ∴ = + − ++

3º - Passo: 3Fzϕ∂= ⇔

∂Aqui já tenho o valor de “V” ACTUALIZADO (do 2º passo)!

( ) ( ) ( )( )

( )2 3 3

3 32

. .ln 1 . 2.1

x y z x ch z y z g z xyzy x sh zz z

∂ + − + += − + ⇔

∂ +

2

2. .1

zx yz +

( )3.x sh z− 3y+ + ( )' 3g z y= ( )3.x sh z− 2

21

xyzz

++

⇔

( ) ( )' 0 0g z g z z⇔ = ⇔ = ∂ ⇔∫

( ) ,g z c c= ∈

Finalmente a resposta a pergunta b) - ( ) ( )2 3 3. .ln 1 . ,x y z x ch z y z c cϕ∴ = + − + + ∈

Resolução da c) ( )c

drϕ∇∫ (segmento de recta = caminho).

( ) ( )2,1,0 , , 1e e e e

ϕ ϕ− −

−

Não é zero, pois não volta ao ponto de origem, que nesse caso seria um segmento de recta igual a zero. Ora sei que (pela resposta da 3b) ( ) ( ) ( )2 3 3

, , . .ln 1 . ,x y z x y z x ch z y z c cϕ = + − + + ∈

( )( ) ( )

( )( ) ( )

,1,0 ,1,0

2 3 3 3

0 0

.1.ln 0 1 . 0 1 .0 .ln 1 . 0 0e e

e e ch c e e ch cϕ ϕ= =

= + − + + ⇔ = − + +

( ),1,0e

cϕ =



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 32 32, , 1

" "" "

. .ln 1 1 . 1 . 1e e e

Cuidadoé x enaõ x

e e e e ch e e e cϕ− −

−

⎛ ⎞= − − + − − − + − + ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )23 6 3

, , 11

.ln 1 1 . 1 . 1e e e

e e e ch e e e cϕ− −

=

⇔ = − − + + − + − + ⇔

( ) ( ) ( )23 6 3

, , 1. 1 . 1

e e ee e ch e e e cϕ

− −⇔ = − + − + − +

Agora: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )23 3 6 3

,1,0 , , 1. 1 . 1B A e e e e

c

dr e c e e ch e e e cϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− −

⎡ ⎤∇ = − = − = − + − − + − + − + =⎣ ⎦∫

3e= − c+ 3e+ ( )6 3. 1 . 1e ch e e e c− − − − − =

( )6 3. 1 . 1e ch e e e= − − − − =

( ) ( )( )3 3. . 1 1c

dr e e ch e eϕ∇ = − − + −∫ Preposição verdadeira.

Exercício 4: Encontre o trabalho feito pelo campo de forças

( ) ( ) ( ) ( )2, ,x y zF x y z i z k x y j= − + + + − +

Sobre uma partícula em movimento ao longo de uma curva C parametrizada:

] ] ( ) ( ) ( ) [ ]3: 0, sin cos 2tr t r t i t j t kπ → → = ⎡ ⎤ − ⎡ ⎤ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

onde ( ), ,i j k é a base canónica de 3 . Resolução: Tem que ser por definição, pois não sei se é conservativa. Mesmo que fosse conservativa, também não sei a função potencial! Como sei se é conservativa? 1º - “arrumar”

( ) ( ) ( ) ( )2, ,x y zF x y z i x y j z k= − + + − + +



Para poder aplicar o Teorema Fundamental do Calculo, tem que ser conservativa.

1 2 1 1F Fy x

∂ ∂= ⇔ = −

∂ ∂, logo não é conservativa.

Nota: mesmo que fosse conservativa, tinha que, através da integração, calcular a força potencial.

( ) ( )( )'0

.rF dr F r dtπ

=∫ ∫

Nota: escrever o “F” de outra maneira: ( ) ( )2

, , , ,x y zF x y z x y z∴ = − + + − −

( ) ( ) ( )sin , cos , 2tr t t t= ⎡ − − ⎤⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2sin , cos , 2 sin cos 4 , sin cos , 2rF F t t t t t t t t t⎡ ⎤= ⎡ − − ⎤ = − − + − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( )' cos ,sin , 2tr t t= ⎡ − ⎤⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )' 2sin cos 4 cos sin cos sin 2 . 2r tF r t t t t t t t t⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − + + − + + − −⎣ ⎦⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )' 2 2 2sin .cos cos 4 .cos sin sin .cos 4r tF r t t t t t t t t t⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − + + − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )' sin .cosr tF r t t= − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2cos 4 .cos sin sin .cost t t t t t− + − + 4t+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 2 2 2

1

cos sin 4 .cos 4r tF r t t t t t=−

= − − + +

( ) ( ) ( )' 21 4 .cos 4r tF r t t t= − + +


( ) ( )( ) ( )( )' 2


. 1 4 .cos 4C

F dr F r r dt t t t dtπ π

= = − + + =∫ ∫ ∫

( ) ( )( ) ( )2

0 0 0

Vou utilizar a substituição por partes

1 4 .cos 4dt t t dt t dtπ π π

= − + + =∫ ∫ ∫



Calculo auxiliar – Substituição por partes na integração de ( )2

04 .cos

vu

t t dtπ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ :

( ) ( )'cos sinu t u t= → = −

2 '4 8v t v t= → =

( ) ( )' '. . .u v dx u v u v dx= −∫ ∫

Assim fica:

( )( ) ( ) ( )( )2 2

00

4 .cos sin .4 sin .8t t dt t t t t dtπ

π= −∫ ∫

Tenho que voltar a integrar:

( ) ( )2

0

sin .4 8. sin .vu

t t t t dtπ ⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠∫

( ) ( )'sin cosu t u t= − → = −

' 1v t v= → =

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2

0 0

sin .4 sin .8 4 .sin 8. .sint t t t dt t t t t dtπ π

= − = −∫ ∫

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 2

0 04 .sin 8. cos cos .1 4 .sin 8. .cos cost t t t dt t t t t t dt

π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − − − = − − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

( ) ( ) ( )24 .sin 8. .cos 8sint t t t t= + −

Agora tudo junto:

( ) ( )( ) ( )2

0 0 01 4 .cos 4dt t t dt t dt

π π π= − + + =∫ ∫ ∫

[ ] ( ) ( ) ( )2 20 0 0

4 .sin 8. .cos 8sin 2t t t t t t tπ ππ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + + − + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( )2 2

04 .sin 8. .cos 8sin 2t t t t t t t

π⎡ ⎤= − + + − + =⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

0 1 0

0 0

4 .sin 8. .cos 8.sin 2π π π π π π π= =− =

= =

= − + + − + =

( ) ( )2 28. 2 2 9π π π π π= − − + = −



Exercício 5: Considere o seguinte campo vectorial de 2 , ( ) ( )2 2 2, ,xy xy

x yF xy e y x ye= − + −

a) Use o teorema de Green para calcular o seguinte integral de linha:

( )C

F dr∫

Considere a curva C orientada no sentido directo e definida por:

( ) ( ){ }2 3, : 2 0 2C x y y x y x x= ∈ = ∨ = ∧ ≤ ≤

b) Utilizando o calculo integral duplo, determine a área da figura plana limitada pela curva C.

Resolução 5a) ( )1 2

2 2 2, ,xy xy

x yF F

F xy e y x ye⎛ ⎞⎜ ⎟= − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 2 1

Pelo Teorema de GreenC R

F FF dr dxdyx y

⎛ ⎞∂ ∂= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫∫

( ) ( ){ }2 3, : 2 0 2C x y y x y x x= ∈ = ∨ = ∧ ≤ ≤



3y x=

2y x=

0 2x≤ ≤

Tudo Junto -

Região pedida -

( ) ( )' '2 2 2 2 22 . . 2 . . . . 2 .xy xy xy xy xy xy

x x

F x y e x y e xy e x y y e xy e x y ex

∂= − − = − − = − −

∂

( ) ( )'' 2 2 2 21 . . 2 2 . 2 2 . 2xy xy xy xy xy xyy y

F xy e xy e y xy e xy e y xy e x y e yx

∂= − − + = − − + = − − +

∂

( ) ( )( )3

2 2 2 2 2 2

02 . 2 . 2

x xy xy xy xy

xxy e x y e xy e x y e y dydx− − − − − +∫ ∫

2 . xyxy e− 2 2 xyx y e− 2 . xyxy e+ 2 2 xyx y e+( )3

2 2

02

x

xy dydx−∫ ∫



( )3

2 2

02 2

x

xy dydx− = −∫ ∫

2

.2y ( ) ( )( )3

3

2 22 2 2 2222 3 2 6

0 0 0 02 4

x x

xx

dx y dx x x dx x x dx⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − − − = − +⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )3 7

2 3 73 7

0

4 2 2 4 0 04 8 2 128 7.8 2 3. 12803 7 3 7 3 7 3 7 21 21x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − + = − + − − + = − + − = − + =⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

56 2 3 128 56 2 24 2 32 . 221 21 21

− + − += = =

Resolução 5b) O que se pretende é calcular a área - ( )1

RA dxdy= ∫∫ (é sempre 1)

O domínio da região não altera, é o mesmo. Fica:

( )3

2 2

01

x

xA dxdy= ∫ ∫

[ ] 3

2 2

0

x

xA y dx= ∫

2 3

02A x x dx⎡ ⎤= −⎣ ⎦∫

2A =2

2x

24

04x⎡ ⎤

−⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )( ) ( )

44

2 22 02 0

4 4A

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

( )42 2 1 14

A A A⎛ ⎞= − ⇔ = − ⇔ =⎜ ⎟⎝ ⎠



Exame do dia 12-07-2006 Exercício 3 - Determine o polinómio de Taylor de 2ª ordem na origem (no ponto 0,0) da função:

( )2 231 . .

2,x y

f x y eπ− −

=

Resolução: o polinómio pedido é ( ),p x y = descobrir o seguinte (função com 6 termos):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 2

1 1, . , . , . , . , . ,2 2


+ − + − + − + − − + −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂


2º Termo: ( ) ( )0 0 0. ,fx x x yx∂

−∂

3º Termo: ( ) ( )0 0 0. ,fy y x yy∂

−∂

4º Termo: ( ) ( )2

20 0 02

1 . ,2

fx x x yx

∂−

∂

5º Termo: ( )( ) ( )2

0 0 0 0. ,fx x y y x yx y∂

− −∂ ∂

6º Termo: ( ) ( )2

20 0 02

1 . ,2

fy y x yy

∂−

∂

Calculando o 1º Termo (ponto dado) - ( )2 231 .0 .0 1 0 020,0f e e e

π− − − −= = =

Calculando o 2º Termo Geral - ( )2 2 2 2 2 2

' '3 3 31 . . 1 . . 1 . .2 22 2 20 0

3, 1 . . . 2. . .2

x y x y x y

xx

f x y e x y e x ex

π π ππ π

− − − − − −⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞= = − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Calculando o 2º Termo no Ponto - ( ) ( ) ( ) ( )2 231 . 0 . 020,0 2. . 0 . 0f e

xπ

π− −∂

= − =∂



Calculando o 3º Termo Geral - ( )2 2 2 2 2 2

' '3 3 31 . . 1 . . 1 . .2 22 2 20 0

3, 1 . . . 3 .2

x y x y x y

yy

f x y e x y e y ey

π π ππ

− − − − − −⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞= = − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Calculando o 3º Termo no Ponto - ( ) ( ) ( ) ( )2 231 . 0 . 020,0 3 0 . 0f e

yπ− −∂

= − =∂

Calculando o 4º Termo Geral - ( )2 2 2 2

'3 32 1 . . 1 . .2 2

0 02 , 2. . . 2 .x y x y

x

f x y x e ex

π ππ π

− − − −⎡ ⎤∂= − = −⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦

Calculando o 4º Termo no Ponto - ( ) ( ) ( )2 232 1 . 0 . 02

2 0,0 2 . 2f e ex

ππ π

− −∂= − = −

∂

Calculando o 5º Termo Geral – ( ) ( )2 2

'32 1 . .2

0 0 0 0, , 3 .x y

x

f fx y x y y ex y x y

π− −⎡ ⎤⎡ ⎤∂ ∂ ∂= = − ⇔⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( )2 232 1 . .

20 0, 3 2 .

x yf x y y x ex y

ππ

− −∂= − −

∂ ∂

Calculando o 5º Termo no Ponto - ( ) ( )( ) ( ) ( )2 232 1 . 0 . 020,0 3 2 0 . 0f y e

x yπ

π− −∂

= − − =∂ ∂

Calculando o 6º Termo Geral - ( ) ( )2 2

'32 1 . .2

0 0 0 02 , , 3 .x y

y

f fx y x y y ey y y

π− −⎡ ⎤⎡ ⎤∂ ∂ ∂= = − =⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( )2 2 2 23 32 1 . . 1 . .

2 20 02 , 3 3 3 .

x y x yf x y e y y ey

π π− − − −∂= − − −

∂

Calculando o 6º Termo no Ponto - ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 23 32 1 . 0 . 0 1 . 0 . 02 2

2 0,0 3. 3 0 3 0 . 3f e e ey

π π− − − −∂= − − − = −

∂


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1, 0 .0 0 .0 . 0 . 2 0 . 0 .0 . 0 .02 2

p x y e x y x e x y yπ= + − + − + − − + − − + −

( ) ( ) ( )2 2 2 21 3, 3 , . .2 2

p x y e ex y e p x y e ex e yπ π⇔ = − + − ⇔ = − −



Exercício 4 - Sejam ( )2 2

,x yf x y= + e ( ) ( )( )2

3.ln 1, . 3ttg t e e= + − . Determine ( ) ( )t tF f gΟ= e calcule, utilizando a

regra da cadeia, ( )'

tF . Resolução da 4 –

. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

2 2

2 2,

22

222

22

3.ln 1

. 3

3.ln 1, . 3 3.ln 1 . 3

x y

t

t tt tt

yxf x y

x t

y e e

F f g f g f t e e t e eΟ

= + ⇔

= + ∧

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎜ ⎟= = = + − = + + −⎣ ⎦ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Observação:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 2' ''2 22 2'

Regra do Potencia Regra do Potencia

3.ln 1 . 3 3.ln 1 . 3t tt

tt tF t e e t e e

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= + + − = + + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 2 2 23 62. . 3.ln 1 2. . 3 2 . 3.ln 1 4. . . . 3t t t tt e e t e e t t e e e et t

⎡ ⎤= + + − = + + −⎢ ⎥⎣ ⎦

Ou seja este é o resultado que vou ter pela regra da cadeia. Vou então prosseguir. Assim ( ) ( ),t x yF f=

( ) ( )( ) ( )2 '''. . . . 1. . 3.ln 1 1.2 . . 3tx x y

F dF f dx dF f dy f t y e et df x dt df y dt

∂ ∂ ∂= + = + + − =

∂ ∂ ∂

( ) 2 2 2 2'23 6 62 2 . . 2 .2 . . 4 . . . 6. 4. . . .t t t t

t

x x xx y t e e y t e e y t e e t e e yt t t t

= + = + = + = +

Agora vou confirmar com o da observação: ( )( ) ( ) ( )2 26 . 3.ln 1 4. . . . . 3t tt t e e e et

⎛ ⎞ + + −⎜ ⎟⎝ ⎠

(está certo!)



Exercício 6 - Calcule

( ) ( )C

x dy x y dxπ π− + +∫

Onde C é a circunferência 2 2 1x y+ = , orientada segundo o sentido contrario aos ponteiros do relógio.

Resolução: Muito cuidado com esta notação, pois não é ( ) ( )C C

x dy x y dxπ π− + +∫ ∫ , na realidade é:

( ) ( )C

x dy x y dxπ π− + + =∫ 1º arrumar ( ) ( )1º 2ºC dx dy

x y dx x dyπ π+ + − =∫

[ ] [ ], . ,C F dr

x y x dx dyπ π⎛ ⎞⎜ ⎟= + − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫

( ).C

F dr∫

Não é conservativo, pois Fy

π∂=

∂ e F

xπ∂

= −∂

Vou agora parametrizar:

2 2 1x y+ =

( )

( )[ ]

cos0,2

sin

x tt

y tπ

⎧ =⎪

⇔ ∈⎨⎪ =⎩

Caminho: ( ) ( ) ( ) [ ]cos ,sin , 0,2tr t t t π= ⎡ ⎤ ∈⎣ ⎦

( ) ( ), ,x yF x y xπ π= + −



Calculo Auxiliar:

- ( )( ) ( ) ( )( )cos , sintF r F t t= ⇔

( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )

, cos , sint

t

F r

F r x y x t tπ π= + − ⇔

( )( ) ( ) ( ) ( )( )cos sin , costF r t t tπ π= + −

- ( )( ) ( ) ( )'

sin ,cost tr t t= ⎡− ⎤⎣ ⎦

- ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'. cos sin , cos . sin ,cost tF r r t t t t tπ π= ⎡ + − ⎤ ⎡− ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 2 2. sin .cos .sin .cost tF r r t t t tπ π= − − −

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 2 2

1

. sin .cos . sin cost tF r r t t t tπ=

⎡ ⎤= − − +⎣ ⎦

( )( ) ( ) ( ) ( )'. sin .cost tF r r t t π= − −

Assim fica:

( ) ( )( ) ( )2 '

0.t tC

W F dr F r r dtπ ⎡ ⎤⇔ = = =⎣ ⎦∫ ∫

( ) ( )2

0sin .cost t dt

ππ= ⎡− − ⎤ =⎣ ⎦∫

( ) ( ) [ ]2 2

0 0sin .cost t dt dt

π ππ= ⎡− ⎤ + − =⎣ ⎦∫ ∫

( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )( )22 2 2

2

00

sin sin 2 sin 0. . 2 . 0

2 2 2t

tπ

π ππ π π π

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − − = − − − − =⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟

⎣ ⎦ ⎝ ⎠

22π−



Exercício 7 - Usando as coordenadas cilíndricas calcule o volume do sólido limitado pelos parabolóides:

2 2 2 21 1z x y z x y≤ − − + ∧ ≥ + −

Resolução: substituição de variáveis:

( )( )

cos

sin

00 2

x

yz z

J

ρ θ

ρ θ

ρθ πρ

⎧ =⎪

=⎪⎪⎪ =⎨

≥⎪⎪ ≤ ≤⎪⎪ =⎩

( ){ }2 2 2 2 2, : 1 1V x y z x y z x y= ∈ ≤ − − + ∧ ≥ + −

( ) [ [ [ [ ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 2 22, 0; 0; 2 : cos sin 1 cos sin 1XV z zρ θ

ρ θ π ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ⎧ ⎫⎪ ⎪= ∈ + ∞ ≤ − − + ∧ ≥ + −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

( ) [ [ [ [ ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ){ }2 2 22, 0; 0; 2 : cos sin 1 cos sin 1XV z zρ θ π ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ⎡ ⎤= ∈ + ∞ ≤ − + − ∧ ≥ + −⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) [ [ [ [ ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2

1 1

, 0; 0; 2 : . cos sin 1 . cos sin 1XV z zρ θ π ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ= =

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥= ∈ + ∞ ≤ − + − ∧ ≥ + −⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

( ) [ [ [ [{ }2 2, 0; 0; 2 : 1 1XV z zρ θ π ρ ρ= ∈ + ∞ ≤ − + ∧ ≥ −

( ) [ [ [ [{ }2 2, 0; 0; 2 : 1 1XV z zρ θ π ρ ρ= ∈ + ∞ ≤ − ∧ ≥ −

( ) [ [ [ [{ }2 2, 0; 0; 2 : 1 1XV zρ θ π ρ ρ= ∈ + ∞ − ≤ ≤ −



Tenho agora um problema, pois o calculo de um volume requer um integral triplo, e só tenho dados para o calculo da área. Vou então “esmagar” o meu objecto no plano de modo a obter a informação que pretendo. É a chamada projecção ao plano. A verde está a área que me interessa.

Assim ( ) [ [ [ [( )

2 2

Cuidado com o sentido não é sempre igual

, 0; 0; 2 : 0 2 0 1 1 1XV zρ θ π θ π ρ ρ ρ⎧ ⎫⎪ ⎪= ∈ + ∞ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ − +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

Assim sendo, vou calcular o volume com o auxilio de um integral triplo:

( ) [ ]2 2

22

2 21 1 1 1

10 1 00 0

1. .V dzd d V z d dπ π

ρ ρ

ρρρ ρ θ ρ ρ θ

− + − +

−−= ⇔ = ⇔∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )2 2

1 12 2 3 3

0 00 0

. 1 . 1V d d V d dπ π

ρ ρ ρ ρ ρ θ ρ ρ ρ ρ ρ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇔ = − + − − ⇔ = − + − + ⇔⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫

2 41 3

00

22 2 24

V d d Vπ ρρ ρ ρ θ⎡ ⎤⇔ = − + ⇔ = − +⎣ ⎦∫ ∫

2

2ρ2

0

dπ

θ⎡ ⎤

⇔⎢ ⎥⎣ ⎦∫

( ) ( ) ( ) ( )1 4 42 242 22

0 00

1 01 0

2 2 2V d V d

π πρρ θ θ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⇔ = − ⇔ = − − − ⇔⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫



2 2

0 0

1 11 02 2

V d V dπ π

θ θ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤⇔ = − − ⇔ = ⇔⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ∫

[ ] [ ]2 2

2

00 0

1 1 1. 1 .2 2 2

V d V d Vπ π

πθ θ θ⎡ ⎤⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

[ ]1 1. 2 02 2

V Vπ⇔ = − ⇔ = . 2 Vπ π⇔ =



Exame do dia 12-05-2007 Exercício 2 - Considere a seguinte função :

( ) ( )1, ,lnf x y g y x yy

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠


cadeia, 2 fy x∂∂ ∂

.

Resolução:

( ) ( )1, , lnb

a

f x y g y x yy

⎛ ⎞⎜ ⎟

= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

1

ln

a yy

b x y

⎧ = −⎪→ ⎨⎪ = −⎩

( ) ( ), ,f x y g a b f g= ⇔ =

2 2

. . .f f f df g by x y x y x y dg b x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= ⇔ = ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠



2

' 11. .bf g

y x y x y⎛ ⎞∂ ∂

⇔ = ⇔⎜ ⎟∂ ∂ ∂ −⎝ ⎠

2'1 . b

f gy x y x y

⎛ ⎞∂ ∂⇔ = ⇔⎜ ⎟∂ ∂ ∂ −⎝ ⎠

Agora vou “tratar” do ( )y∂∂

, e não me posso esquecer a regra da derivação do produto:

( ) ( )' '. .a b a b+

( ) ( )' '

2 ''

. .

1 1. . bb

a b a b

f ggy x y x y x y y

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂⇔ = + ⇔⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ − − ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Agora vou ter que recorrer a um Calculo auxiliar:

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

' ''

2 2 2

1 . 1. 0 11 1y y

y

x y x y

x y x y x y x y

− − − − −⎡ ⎤= = =⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦

Voltando ao meu exercício fica:

( )

2 ''

2

1 1. . bb

f ggy x x y yx y

⎛ ⎞∂ ∂⇔ = + ⇔⎜ ⎟∂ ∂ − ∂− ⎝ ⎠



Agora vou ter que recorrer a mais um Calculo auxiliar:

' ' '

. .b b bg g a g by a y b y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )' '

''' ''

2

ln1

1 11

y

y

bab bb

x yyy

g g gy y x y

⎛ ⎞ ⎡ ⎤−⎣ ⎦−⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂= + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Voltando de novo ao meu exercício fica:

( )

2 2 2

2 2 2

1 1 1 1. . . 1 .f g g gy x b x y a b y b x yx y

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⇔ = + + + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ −− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Reordenando a disposição, fica:

( )

2 2 2

2 2 2

1 1 1 1. . . 1 .f g g gy x b x y a b y b x yx y

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ −− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Exercício 3 - Considere as seguintes funções:

( ) ( ) ( )2 2

1 , , 3 . 2F x y z yx sh z arctg y y= − + +

( ) ( )( )

( )3 22 22

2 2, , . ln1 2

xy xF x y z x sh z zy y

π+= − + + +

+ +

( ) ( )33 2

2, , .yzF x y z x y ch zz π

= −+

a) Determinar os respectivos domínios das funções 1 2 3, ,F F F . b) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função 1F c) Prove que a seguinte forma diferencial é exacta:

( ) ( ) ( )2 3 1, , , , , ,x y z x y z x y zW F dy F dz F dx⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

d) Determine a função escalar cujo diferencial total coincide com a forma W

Resolução da a): 1 2 3

3F F FD D D= = =



Resolução da b):

( ) ( )( )( ) ( )

2 2

13 . 2

6 . 0 6 .yx sh z arctg y yF xy sh z xy sh z

x x

∂ − + +∂= = − + = −

∂ ∂

( ) ( )( )( )

( )

2 221

22

3 . 2 2 23 .1 2

yx sh z arctg y yF yx sh zy y y y

∂ − + +∂ += = − +

∂ ∂ + +

( ) ( )( )( ) ( )

2 22 21

3 . 23 . 0 3 .

yx sh z arctg y yF x y ch z x y ch zz z

∂ − + +∂= = − + = −

∂ ∂

Cuidado com as passagem, pois parece que nada alterou!

Resolução da c) W é forma diferenciável exacta porque respeita 4 condições: 1º - O seu domínio é

1 2 3

3F F FD D D= = =


I – Verificar se 1 2F Fy x

∂ ∂=

∂ ∂



( )( )

( )( )

( )3 222

21 222

2 2. ln1 22 23 .

1 2

yx xx sh z zy yF y Fx sh z

y x xy y

π⎛ ⎞+⎜ ⎟∂ − + + +⎜ ⎟+ +∂ + ∂ ⎝ ⎠= − + ∧ = =

∂ ∂ ∂+ +

Nota, aqui temos um pequeno truque! Aqui teríamos que fazer a derivada do quociente (cociente também é uma designação correcta). Mas para quem não é sadomasoquista, posso notar que se colocar o “x” em evidencia, tenho muito menos trabalho e poupo tempo.

( )( )

( )22

2

2

3. l2 2.1 2

nx sh z zFx

yx y

y

x

π⎡⎛ ⎞

⎜ ⎟∂ − + + +⎤+⎢ ⎥

⎢ ⎥+ +⎣⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎦= =

∂ ∂

E sei pela regra da derivação do produto: ( ) ( )' '. .a b a b+

( )( )

( ) ( ) ( )

' '

2 2 2 22 2

'

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2. . . .1 2 1 2 2 1 2

11

0x x

x

y y y y

y y y y y y yx x

yx

⎡ ⎤ ⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟⎢ ⎥ = + = +⎜ ⎟⎢ ⎥+ + + + + + + +⎣ ⎦ ⎝ ⎠

Muito mais simples! (para mim)

( )( )

( )( )

( )

3 222

2222

2 2. ln1 2 2 23 . 0

1 2

yx xx sh z zy yF yx sh z

x x y y

π⎛ ⎞+⎜ ⎟∂ − + + +⎜ ⎟+ +∂ +⎝ ⎠= = − + + ⇔

∂ ∂ + +

( )( )

2222

2 23 .1 2

F yx sh zx y y

∂ +⇔ = − +

∂ + +

1 2F Fy x

∂ ∂∴ =

∂ ∂

II – Verificar se 1 3F Fz x

∂ ∂=

∂ ∂

( ) ( )( ) ( )

Constante (em z)

2 2

Constante (em z)2 21

3 . 2

3 . 0 3 .

x y sh z arctg y yF x y ch z x y ch zz z

⎛ ⎞⎜ ⎟∂ − + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠= = − + = −

∂ ∂

( )( ) ( )

32

2 23

2 .0 3 . 3 .

yz x y ch zF z x y ch z x y ch zx x

π⎛ ⎞∂ −⎜ ⎟∂ +⎝ ⎠= = − = −

∂ ∂

1 3F F

z x∂ ∂

∴ =∂ ∂



III – Verificar se 2 3F Fz y

∂ ∂=

∂ ∂

( )( )

( )( )

( )( )

3 22 '2 2

3 322 2

2 2. ln1 2 2. .z

xy xx sh z zy y zF zx ch z x ch z

z z z z

ππ

π π

⎛ ⎞+⎜ ⎟∂ − + + +⎜ ⎟+ + +∂ ⎝ ⎠= = − + = −

∂ ∂ + +

( )( )

32

332

2 .2 .

yz x y ch zF zz x ch zy y z

ππ

⎛ ⎞∂ −⎜ ⎟∂ +⎝ ⎠= = −∂ ∂ +

2 3F F

z y∂ ∂

∴ =∂ ∂

4º - ( )1 3

1 2 3, , ,F F F C∈ Resolução da d) Quero determinar “V” de modo que V W∂ =

1 2 3V V Vdx dy dz F dx F dy F dzx y z

∂ ∂ ∂+ + = + +

∂ ∂ ∂

V dxx

∂∂ 1F dx=

V dyy

∂∧

∂ 2F dy=V dzz

∂∧

∂ 3F dz=

1 2 3V V VF F Fx y z

∂ ∂ ∂= ∧ = ∧ =

∂ ∂ ∂

Este exercício é feito em três etapas progressivas:

1º - Passo: ( ) ( )( )2 21 1 3 . 2V F V F x V x y sh z arctg y y x

x∂

= ⇔ = ∂ ⇔ = − + + ∂∂ ∫ ∫

( )( ) ( )2 2

Cuidado: é uma Constante!

3 . 2V x y sh z x arctg y y x⎛ ⎞⎜ ⎟⇔ = − ∂ + + ∂ ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

( )( ) ( ) ( )2 23 . 2 . 1V x y sh z x arctg y y x⇔ = − ∂ + + ∂ ⇔∫ ∫



( ) ( )11

3 12

11

3 . 2 . ,3 1

nn uunn

x xV y sh z arctg y y cc++

++

⇔ = +− + + ∈ ⇔

( ) ( ) ( )3

23 . 2 ,.3xV y sh z x a f y zrctg y y= − ++ +

Cheguei ao fim do 1º passo, pois sei o valor de V, após derivar em ordem a “x”:

( ) ( ) ( )3 2. ,. 2V x y sh z x arctg y y zy f∴ = − + + +

2º - Passo: 2V Fy

∂= ⇔

∂Aqui já tenho o valor de V!

( ) ( ) ( )( )3 2

2

. . 2 ,x y sh z x arctg y y f y zF

y

∂ − + + +⇔ = ⇔

∂

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

3 23 2

22

. . 2 , 2 2. ln1 2

x y sh z x arctg y y f y z xy xx sh z zy y y

π∂ − + + + +

⇔ = − + + + ⇔∂ + +

( )3.x sh z⇔ −( )22

2 2.1 2

yxy y

++

+ +( )3.f x sh z

y∂

+ = −∂ ( )22

2 2.1 2

yxy y

++

+ +( )2ln z π+ + ⇔

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

Constante

ln ln , lnf z f z y f y z z yy

π π π⎡ ⎤∂ ⎢ ⎥⇔ = + ⇔ ∂ = + ∂ ⇔ = + ∂ ⇔⎢ ⎥∂⎣ ⎦∫



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2, ln . 1 , ln . 1f y z z y f y z z yπ π⇔ = + ∂ ⇔ = + ∂ ⇔∫ ∫

( ) ( )2, ln .f y z z y cπ= + +

Agora cuidado, pois tenho outra vez o “c”. O que será então este “c” agora? ( ) ( ) ( )2, ln .f y z z y g zπ= + +

( )g z ???

Pois claro! Pois então se para o 1º passo era ( ),f y z+ , agora, depois de derivar em ordem a “y”, só me sobra o “z”. Mas porquê “g” para o nome da NOVA função? Bem de facto é um nome qualquer, mas diferente de “f”, pois “f” já está atribuído.

Conclusão do 2º passo: ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2. . 2 .lnV x y sh z x arctg y y y zz gπ∴ = − + + ++ +

3º - Passo: 3V Fz

∂= ⇔

∂Aqui já tenho o valor de “V” ACTUALIZADO (do 2º passo)!

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )3 2 2

32

. . 2 .ln 2 .x y sh z x arctg y y y z g z yz x y ch z

z z

π

π

∂ − + + + + += − ⇔

∂ +

( )3 .x y ch z− 2

20 . zyz π

+ ++

( )'2

2yzg zz π

+ =+

( )3 .x y ch z− ⇔

( )' 0g z⇔ = ⇔

( ) 0g z z⇔ = ∂ ⇔∫

( ) ,g z c c= ∈

Finalmente a resposta a pergunta d)

( ) ( ) ( )3 2 2. . 2 .ln ,V x y sh z x arctg y y y z c cπ= − + + + + + ∈



Exame do dia 09-06-2007 Exercício 1 - Seja C a linha de 2 parametrizada pela função

21: 0,4

r ⎡ ⎤ →⎢ ⎥⎣ ⎦ ( ) ( ), ttt r t e−→ =

a) Esboce geometricamente a linha C e indique uma outra parametrização à sua escolha para a linha C, por forma a que esta fique orientada no sentido contrario ao que estava.

b) Sendo 2 2:F → um campo vectorial definido por ( ) ( )4 3, ,x yF y y= , calcule

( )

CF dr∫

Resolução da a)

Caminho - 21: 0,4

r ⎡ ⎤ →⎢ ⎥⎣ ⎦, com ( ) ( ), t

tr t e−=

Preciso 1º da equação cartesiana: x

t

x ty e

y e

−

−

⎧ =⎪ ⇔ =⎨⎪ =⎩

Cuidado, pois não quero TUDO, apenas no intervalo de 10,4

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

: ( ) ( )0 0,1r = e 14

14

1 ,4

r e−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

É de se notar que no eixo dos “xx” a orientação é do ponto zero até 14

.

Agora vou arranjar OUTRA parametrização, orientada no sentido contrário. Cuidado, pois a curva é igual, o que muda é a orientação.



Caminho - 21: ,04

s ⎡ ⎤− →⎢ ⎥⎣ ⎦, com ( ) ( ), t

ts t e= −

Equação cartesiana: x

t

x ty e

y e

−

⎧ = −⎪ ⇔ =⎨⎪ =⎩

Se 1 ,04

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦, que é simétrico, fica

14

14

1 ,4

s e−

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

e ( ) ( )0 0,1s = .

Assim sendo, fica:

Resolução da b)

( ) ( )( ) ( )

1'4

0.t tC

F dr F r r dt⎡ ⎤= ⎣ ⎦∫ ∫

Calculo Auxiliar:

- ( )( ) ( ) ( )( ) ( ), , tt tF r F x y F r F t e−= ⇔ =

E como sei que ( ) ( ) ( )( )

( )4 3

4 3,

,

, . 1,t t tx y

vy y

F e e e− − −⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

Cuidado com a função, pois não tem “xx”! E “v” é a velocidade, que é obtida pela derivada de “r”

( ) ( ) ( ) ( ) ( )' '

, , 1,t t tt t tt

r t e r t e v e− − −⎡ ⎤= → = → =⎣ ⎦ . Obviamente te− fica igual!

( ) ( ) ( ) ( )4 3, .1, .t t t

x yF e e e− − −⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )4 4, ,t t

x yF e e− −⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]1 1

4 44 4

0 00t t

C CF dr e e dt F dr dt− −⎡ ⎤⇔ = − ⇔ = ⇔⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫

( ) 0C

F dr =∫



Exercício 2 - Considere a seguinte função escalar:

( ) ( ) ( ) ( )2 3 2, , . 2 . .lnx y z x arctg y y x y sh z y zϕ π= + − + +

a) Diga, justificando, se a função ϕ é uma função potencial para o seguinte campo de forças:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )2 2 3 3 2, , 22 2

2. . 2. . 2.3 . 2 . . . ln1 2

x y zy z x y xF x y sh z arctg y y i x y ch z k x sh z z j

z y yπ

π

⎡ ⎤+⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤= − + + − − + − + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ + +⎣ ⎦onde

( ), ,i j k é a base canónica de 3 .

b) Calcule o trabalho feito pelo campo de forças F sobre uma partícula em movimento ao longo de uma curva qualquer 1C que une o ponto ( )1, 1,0− ao ponto ( )1, 2 1,0−

c) Seja 2C uma linha fechada de 3 . Calcule

( )2C

F dr∫

, ,...f ffx y

⎛ ⎞∂ ∂∇ = ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )2 3 2, , . 2 . .lnx y z x arctg y y x y sh z y zϕ π= + − + +

Resolução de a) - quero verificar se Fϕ∇ = A função F é um campo de forças.

, , i j kx y z x y zϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇ = = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

A ordem é definida no exercício, por isso ler bem o enunciado!

E no enunciado, o “j” troca com o “k”!



( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 3 2

2 2. 2 . .ln

2 3 .x arctg y y x y sh z y z

arctg y y x y sh zx x

πϕ ∂ + − + +∂= = + −

∂ ∂

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )2 3 2

3 222

. 2 . .ln 2 2. . ln1 2

x arctg y y x y sh z y z yx x y sh z zy y y y

πϕ π∂ + − + +∂ +

= = − + +∂ ∂ + +

( ) ( ) ( )( )

( )2 3 2

32

. 2 . .ln 2. .x arctg y y x y sh z y z zx y ch z y

z z z

πϕπ

∂ + − + +∂= = − +

∂ ∂ +

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )2 2 3 2 32 22

2 2 22 3 . . . ln . .1 2

y zarctg y y x y sh z i x x y sh z z j x y ch z y kzy y

ϕ ππ

⎡ ⎤+ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤∇ = + − + − + + + − +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ +⎣ ⎦+ +⎣ ⎦

Vou agora trocar a ordem de “j” por “k”, conforme me é pedido no enunciado:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )2 2 3 3 222 2

2 2 22 3 . . . . . ln1 2

z yarctg y y x y sh z i x y ch z y k x x y sh z z jz y y

ϕ ππ

⎡ ⎤+⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤∇ = + − + − + + − + +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ + +⎣ ⎦

Fϕ∇ = , significa que ϕ é uma função potencial de F.

Resolução de b) - sei que ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2, , . 2 . .lnx y z x arctg y y x y sh z y zϕ π= + − + +

sejam ( )1, 1,0A = − e ( )1, 2 1,0B = −

( ) [ ]

1 1C CW F dr drϕ= = ∇∫ ∫

Teorema Fundamental do Calculo: ( ) ( )B AW ϕ ϕ= −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1, 2 1,0 1. 2 1 2 2 1 1. 2 1 . 0 2 1 .ln 0B

y y y y

arctg shϕ ϕ π⎡ ⎤⎢ ⎥= − = − + − − − + − + ⇔⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )2

2 1

1, 2 1,0 2 2 2 1 2 2 2 2 1 .0 2 1 .lnB arctgϕ ϕ π−

⎡ ⎤⎢ ⎥⇔ = − = − + + − − − + − ⇔⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )1, 2 1,0 2B arctgϕ ϕ⇔ = − = 2 2− 1 2 2+ + 2− ( ) ( )0 2 1 .ln π⎡ ⎤ − + − ⇔⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1, 2 1,0 1 2 1 .lnB arctgϕ ϕ π⇔ = − = + − ⇔

( ) ( ) ( ) ( )1, 2 1,0 2 1 .ln4Bπϕ ϕ π= − = + −



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21, 1,0 1. 1 2 1 1. 1 . 0 1 .ln 0A

y y y y

arctg shϕ ϕ π⎡ ⎤⎢ ⎥= − = − + − − − + − + ⇔⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) [ ] ( ) ( )1, 1,0 1 2 1. 1 .0 lnA arctgϕ ϕ π= − = − − − − ⇔

( ) ( ) [ ] ( )1, 1,0 1 0 lnA arctgϕ ϕ π= − = − − − ⇔

( ) ( ) ( )1, 1,0 ln4Aπϕ ϕ π= − = − −

Assim: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 .ln ln 2.ln4 4 2B AW W Wπ π πϕ ϕ π π π⎛ ⎞= − ⇔ = + − − − − ⇔ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Só se pode aplicar o Teorema fundamental do Calculo se F for Conservativo: ( ) [ ]1 1C C


Exemplo para não ser conservativo: basta não haver gradiente.

Resolução de c) - Pelo Teorema (dos Integrais de Linha) ( ) [ ] ( ) ( )2 20B AC C

F dr drϕ ϕ ϕ= ∇ = − =∫ ∫

Pelo Teorema Fundamental do Calculo.

Exercício 3 - Seja ( ){ }2 2, : 0 0 1D x y x y y= ∈ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

c) Esboce geometricamente a Região D d) Calcule

xy

De dxdy⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

Resolução da a) 20 0 1x x y y≥ ∧ ≤ ∧ ≤ ≤



Resultado final pedido:

Resolução da b) agora uso a ordem dxdy ou dydx ? É indiferente, nem sequer sou obrigado a respeitar a ordem que está no enunciado, pois indiferentemente da ordem que escolha começar, irei ter o mesmo resultado.

2

21 1

0 0 00

.yx x x

yy y y

De dxdy e dxdy y e dy⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫

CUIDADO, pois nesta fase o que vou substituir é o “y” e não o “x”. Dá azo a engano pois sou tentado a substituir a mesma variável que está nos índices do integral:

( ) ( )

( ) ( ) ( )2 20

1 1 1 10

0 0 0 0. . . . . .1 .

y

y y yy yy e y e dy y e y e dy y e y dy y e y dy⎛ ⎞⎜ ⎟= − = − = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )1 1

0 0. yy e dy y dy= + −∫ ∫

Tenho que ir por partes!

'y yu e u e= = ' 1v y v= =

( )1

1

00

. .1y

y y

e

y e e dy

=

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

( ) ( )11 21 1 1

00 00 0

. .1 .2

y y y y yy e e dy y dy y e e⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − = − − =⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 0 0 1 0

1. 0.2 2

e e e e e⎡ ⎤

⎡ ⎤= − − − − − =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦e− 1 1 10 1 0 1

2 2 2⎡ ⎤⎡ ⎤− + − − = − =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦



Exercício 4 - Utilizando as coordenadas polares, calcule ( )1D

xy dxdy∫ ∫

Onde

( ){ }2 2 21 , : 1 0D x y x y x y= ∈ + ≤ ∧ ≤ ≤

Resolução - vou passar 1º para as coordenadas polares – nota r ρ= :

( )( )

( )

.cos

.sin0

0 2Jacobiano

x r

y rr

J r

θ

θ

θ π

⎧ =⎪

=⎪⎪ ≥⎨⎪ ≤ ≤⎪⎪ =⎩

Assim o novo domínio fica:

( ) [ [ [ [ ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2'1 , 0; 0; 2 : .cos .sin 1 0 .cos .sinXD r r r r

ρ θ

ρ θ π θ θ θ θ⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤= ∈ + ∞ + ≤ ∧ ≤ ≤⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

( ) [ [ [ [ ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2' 21

Dividir TUDO por “ ”1

, 0; 0; 2 : . cos sin 1 0 cos sinX

r

D rρ θ π θ θ θ θ

=

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥= ∈ + ∞ + ≤ ∧ ≤ ≤⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭

( ) [ [ [ [ ( ) ( ) ( ) ( ){ }' 21 , 0; 0; 2 : 1 cos 0 sin 0 sin cosXD rρ θ π θ θ θ θ= ∈ + ∞ ≤ ∧ ≥ ∧ ≥ ∧ ≥

Nota sobre ( ) ( )cos 0 sin 0θ θ≥ ∧ ≥ , vou tratar individualmente:



Agora as duas condições ao mesmo tempo:

( ) [ [ [ [( ) ( )

( ) ( )' 21

cos 0 sin 0

, 0; 0; 2 : 1 0 cos sin2

XD r

θ θ

πρ θ π θ θ θ

≥ ∧ ≥

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ∈ + ∞ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Agora cuidado com esta condição:

( ) ( )cos sinθ θ≤

E também sei que 2 1 0 1r r≤ ⇔ ≤ ≤



Fica: ( ) [ [ [ ['1 , 0; 0; 2 : 0 1 0

2 4 2XD r π π πρ θ π θ θ⎧ ⎫= ∈ + ∞ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤⎨ ⎬

⎩ ⎭

Ora sei qual é o gráfico característico desta funções trigonométricas:

( )cos θ ( )sin θ

Tudo Junto, fica:

Com as coordenadas polares, é muito mais simples, pois fica:



Assim:

( ) ( ) ( )( )12

04

.cos . .sinD

xy dxdy r r drdπ

π θ θ θ=∫ ∫ ∫ ∫

Agora entra em cena o Jacobiano -

( ) ( )( )12

04

.cos . .sin .r r r drdπ

π θ θ θ⎡ ⎤= =⎣ ⎦∫ ∫

( ) ( )1 320

4 CONSTANTE

.cos sin . r drdπ

π θ θ θ⎡ ⎤= =⎣ ⎦∫ ∫

( ) ( )14

2

4 0

.sin cos .4r d

π

π θ θ θ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

( ) ( ) ( ) ( )4 4

2

4

1 0.sin cos .

4 4d

π

π θ θ θ⎡ ⎤

= − =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

( ) ( )2

4

1.sin cos . 04

dπ

π θ θ θ⎡ ⎤= − =⎢ ⎥⎣ ⎦∫

( ) ( )2

4

1 . sin cos4

dπ

π θ θ θ= ⎡ ⎤ =⎣ ⎦∫

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 22

444

sin1 1 1 1 1. . .sin . sin . sin sin4 2 4 2 8 8 2 4

π ππ

πππ

θ π πθ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤= = = = −⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

2

21 2 1 1 1 1 1. 1 . 1 .8 2 8 2 8 2 16

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥= − = − = =⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦

Calculo II - Modulo II - Teoria e Exercicios

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