Bài tập PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

1) Kiểm tra rằng là nghiệm của bài toán giá

trị ban đầu

trên khoảng

Lời giải:

2) Giải các phương trình tách biến

a.

Lời giải:

b.

Lời giải:

3) Tìm nghiệm của PTVP thoả mãn điều kiện ban đầu

a. ;

Lời giải:

với thì

nghiệm của phương trình :

b. ;

y cosx(sinx 1) 2y ytanx cos x

y(0) 1,2 2

2y sinx(sinx 1) cos x 2 2y ytanx sinx(sinx 1) cos x sinx(sinx 1) cos x

x

2dy xedx y 1 y

x2 x

2dy xe y 1 y dy xe dxdx y 1 y

2 x 2 2 x

1y 1 y dy xe dx C (1 y ) 1 y 3(x 1)e C du 2 2u t tudt

du du du2 2u t tu (1 u)(2 t) (2 t)dtdt dt (1 u)

22ln1 u 4t t C

2dy 1 y ,y(1) 0dx

22

dy dy1 y dx arctany x Cdx 1 y

y(1) 0 C 1

arctany x 1

x y x yy e e ,y(0) 1

1

Lời giải:

với thì nghiệm của phương trình :

c. .

Lời giải:

với thì nghiệm của phương trình

4) Tìm phương trình đường cong thoả mãn và cắt trục Oy tại 7.

Lời giải:

,từ giả thiết thì nên

Đó là đường cong có phương trình

5) Dung dịch glucose được truyền theo đường tĩnh mạch vào máu với vận tốc

không đổi r. Khi glucose được đưa vào, nó chuyển thành các chất khác và bị đẩy khỏi máu với vận tốc

tỷ lệ thuận với nồng độ tại thời điểm đó. Như vậy, mô hình biểu diễn nồng độ của dung

dịch glucose trong máu là , trong đó k là hằng số dương.Giả sử nồng độ tại thời điểm

là . Xác định nồng độ tại thời điểm tuỳ ý bằng cách giải PTVP nói trên.

Giả sử rằng , tìm giới hạn và diễn giải đáp án của bạn.

Lời giải:

yx y x y y 2y x x

2ye dyy e e e y (e 1)e e dx

(e 1)

y

x y x2ye dy e dx C arctane e C

(e 1)

y(0) 1 C arctane 1 y xarctane e arctane 1

2du 2t sec t,u(0) 5dt 2u

22 2

2du 2t sec t 12udu (2t sec t)dt 2t dt u Cdt 2u cos t

2 2t tant u C u(0) 5 C 25 2 2t tant u 25

3y 4x y

43 3 xdyy 4x y 4x dx y Cey y(0) 7 C 7

4xy 7e

C C(t)

dC r kCdt

t 0 0C

0rC k

tlim C(t)

kdt kdtdC dCr kC kC r C(t) e A r e dtdt dt

2

Tại .Vậy

a. Giả sử rằng , tìm giới hạn và diễn giải đáp án của bạn.

Lời giải:

Hiển nhiên

Khi dung dịch glucose được truyền theo đường tĩnh mạch vào máu với vận tốc không đổi,và thời gian

truyền vô hạn thì nồng độ glucose của dung dịch glucose trong máu coi như không đổi.

6) Lượng cá bơn halibut Thái bình dương được mô hình hoá bởi PTVP ,trong đó

y(t) là sinh khối (khối lượng tổng cộng của các cá thể trong quần thể) theo kilogram

tại thời điểm t (đo theo năm), dung lượng cực đại được ước lượng bởi và

theo năm.

a. Nếu , tìm sinh khối một năm sau.

b. Bao lâu nữa sinh khối đạt được ?

Lời giải:

Từ

với

Khi thì

ktkt kt kt ktre rC(t) e A r e dt e A Aek k

0rt 0 A C k

kt0

r rC(t) C ek k

0rC k

tlim C(t)

kt0t t

r r rlim C(t) lim C ek k k

dy yky 1dt K

7K 8 10 kg

k 0,717y(0) 2 10 kg

74 10 kg

2

2 1 1 1dy y ky k kky 1 y ky yy ky y kydt K K K K

kz kz K

kt ktkdt kdt kt ktk e ez e C e dt e C ye C 1K K K

1z y

kt

ktKey

KC e

7y(0) 2 10 kg

7 77 7

78 10 3 102 10 8 10 C 1 4 C 88 10 C 1

3

a) Sinh khối một năm sau được xác định:

b) Ta cần tìm t sao cho .

Vậy sau năm sinh khối đạt được .

7) Trong mô hình sinh trưởng theo mùa, một hàm tuần hoàn theo thời gian được

đề nghị để tính đến những biến đổi có tính mùa vụ liên quan đến vận tốc sinh trưởng. Những biến

đổi ấy có thể, chẳng hạn, gây ra do những thay đổi có tính chất mùa vụ về nguồn thức ăn.Tìm

nghiệm của mô hình sinh trưởng theo mùa , trong đó k, r và φ

là những hằng số dương.

Lời giải:

với

8) Giải PTVP thuần nhất hoặc bài toán ban đầu:

a. ;

Lời giải:

khi

Đặt

b. ;

7 kt

kt8 10 ey3 e

7 0,717

0,718 10 ey 3,23 103 e

7 kt7 kt

kt8 10 e ln34 10 e 3 t 0,713 e

ln3t 1,5470,71 74 10 kg

0dP kPcos(rt ) P(0) Pdt

dP kkPcos(rt ) lnP sin(rt ) Cdt r 0 0kP(0) P lnP sin Cr

0ksin rlnPC r

0ksin rlnPklnP sin(rt )r r

0

P kln sin(rt ) sinP r

0kP(t) P exp sin(rt ) sinr

2 2(x 3y )dx 2xydy 0

2 22 2 dy x 3y x 3y(x 3y )dx 2xydy 0 dx 2xy 2y 2x

xy 0

21 2udu dxy xu y u xu 2u 2xu 3u u xu 1

2 2 2u 1 Cx y (1 Cx)x ; x,y

yxy xtan y 0 y(1)x 2

4

Lời giải:

Đặt

ta có với thì nghiệm của phương trình

c. ;

Lời giải:

Đặt

d. ;

Lời giải:

Đặt

với thì

e.

Lời giải:

với ta có

Đặt

yxy xtan y 0x

y yy tan 0x x

cosu dx Cy xu y u xu u xu tanu u 0 du sinusinu x x

y Csinx x y(1) 2

C 1 yxsin 1x

y yy xsin x ysinx x

y y y y yy xsin x ysin y sin 1 sinx x x x x y xu y u xu (u xu)sinu 1 usinu xu sinu 1 0

dxsinudu cosu lnCxx

ycosxCx e

y yy sin y(1)x x 2

y xu y u xu u xu u sinu xu sinu

ud tandu dx u2lnCx ln tanusinu x 2tan2

u yln Cx ln tan Cx tan2 2x y(1) 2

C 1 yx tan2x

2(x y)ydx x dy 0

xy 0

22 y x(x y)ydx x dy 0 1 yx y

22du dx Cy xu y u xu u xu u u ln xx uu

5

nghiệm của phương trình , ngoài ra thỏa mãn phương trình nên

là nghiệm kì dị của phương trình

9) Xét xem phải chăng phương trình là tuyến tính:

a.

Lời giải:

Từ

Giả sử và là hai nghiệm của phương trình,tức là

nhưng

đó không phải là phương trình vi phân

tuyến tính .Xong đó là phương trình Becnuli nên có thể đưa phương trình về phương trình vi phân

tuyến tính bằng cách đặt .

b.

Lời giải:

Từ

đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một.

c.

Lời giải:

Từ đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một.

d.

Lời giải:

Từ

đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một.

Cx yln x x 0;y 0

x 0;y 0

x 2 5y ye x y

x 2 5 5 4 x 2 4 4 x 2y ye x y yy y e x y 4y e 4x

x 2u 4ue 4x

1y (x) 2y (x)x 2 5

1 1 1y y e x y x 2 52 2 2y y e x y x

1 2 1 2(ay by ) (ay by )e

x x 2 51 1 2 2 1 2a y y e b y y e x (ay by )

4u y

2xy lnx x y 0

2 lnxxy lnx x y 0 y xy x

4x y y sinx

44 4y sinxx y y sinx yx x

2xy y x sinx

2 yxy y x sinx y xsinxx

6

10) Giải các PTVP:

a. ;

Lời giải:

phương trình đã cho là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định

là nghiệm phương trình

b. ;

Lời giải:

đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định

là nghiệm phương trình.

c. ;

Lời giải:

đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được

xác định

d. ;

Lời giải:

đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,

nên nghiệm được xác định

xy 2y 2e

3x2dx 2dxx1 2x

C 2ey e C 2 e e dx3e

2x 3x3ye C 2e

xy y x

y 1xy y x y x x

dx dxx x1 1

1 1y e C e dx y C xdxxx

3yx C 2x x

2dy 2xy xdx

2 2dy 2xy x y 2xy xdx

2 22xdx 2xdx2 x 2 xy e C x e dx y e C x e dx 2 2y 3x y 6x

2 2y 3x y 6x

2 2 3 33x dx 3x dx2 x x 3y e C 6x e dx y e C 2 e dx

3 3 3x x xy e C 2e y Ce 2

7

e. ;

Lời giải:

coi đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp

một,nên nghiệm được xác định

f. ;

Lời giải:


g. .

Lời giải:


11) Giải bài toán giá trị ban đầu:

a. ;

Lời giải:


y xy y lny

x x(y)

dxy x lnydy

dx x lnydy y y

dy dyy ylnyx e C e dyy

2lnyx y C dyy

1x y C lnyd y

lny 1x y C 1 x lny C yy y

21y y xx 1

dx dx

2 2x 1 x 11 11y e C x e dx y C x (x 1)dxx 1

4 3C 3x 4xy 12(x 1)

2y ytanx sin x

tanxdx tanxdx21y e C sin xe dx

21

sin xy cosx C dxcosx

1dxy cosx C cosxdxcosx

1 xy Ccosx sin2x cosxln tan2 2 4

22 tdv 2tv 3te v(0) 5dt

8

với

b. .

Lời giải:

đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm

được xác định

với

12) Những nhà tâm lý quan tâm đến lý luận học tập khảo sát đường cong học.

Đường cong học là đồ thị của hàm số P(t), hiệu quả của một ai đó học một kỹ năng được coi là hàm

của thời gian huấn luyện t. Đạo hàm thể hiện vận tốc mà tại đó hiệu suất học được nâng lên.

a. Bạn nghĩ P tăng lên nhanh nhất khi nào? Điều gì xảy ra với khi t tăng lên? Giải thích.

Lời giải:

P tăng lên nhanh nhất khi thời gian huấn luyện ít nhất

Khi t tăng, tức là thời gian huấn luyện tăng lên dẫn đến giảm đi

b. Nếu M là mức cực đại của hiệu quả mà người học có khả năng đạt được,giải

thích tại sao PTVP , k là hằng số dương là mô hình hợp lý cho việc học.

Lời giải:

Khi thì

c. Giải PTVP để tìm ra một biểu thức của P(t).Dùng lời giải của bạn để vẽ đồ thị

đường cong học.Giới hạn của biểu thức này là gì?

Lời giải:

2 2 22tdt 2tdt2 t t 2 t 3v e C 3te e dt v e C 3tdt v e C t v(0) 5 C 5

2t 3v e 5 t

2xy y x sinx y( ) 0

2 yxy y x sinx y xsinxx

dx dxx xy e C xsinxe dx y x C sinxdx y x(C cosx)

y( ) 0 C 1 y x(1 cosx)

dPdt

dPdt

dPdt

dP k(M P)dt

maxP MdP 0dt

9

Từ

Từ giả thiết của bài toán ta có

13) Giải PTVP Bernoulli:

a. ;

Lời giải:

,đặt


b. ;

Lời giải:

đặt ta được đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,


c. ;

Lời giải:

đặt ta được đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,

kt kt ktdP dPk(M P) kP kM P e C kM e dt P M Cedt dt

P(0) 0 C M ktP M M e kt

t tlim P lim (M Ce ) M

3

22 yy yx x

33 2

2 22 y 2 1y y yy yx xx x

2z y 24z 2z x x

4dx 4dx4 4x x1 1 12 6 5

2 2 2z e C e dx z x C dx z x Cx x 5x

5 25x (C x 2)y

2xy y xy

1z yzz 1x

dx dxx x dxz e C e dx z x C z x C ln xx

1 xy C ln x 2(2xy y)dx xdy 0

2 2y(2xy y)dx xdy 0 y 2yx

1z yzz 2x

10


d. ;

Lời giải:

đặt đó là phương trình

vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định

e. ;

Lời giải:

coi

đặt đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,


f. ;

Lời giải:

đặt đó là phương

trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định

dx dx 2x x1 1 1

1 1 xz e C e dx z C xdx z Cx x 2

2x y(C x ) 22xyy y x 0

2 2 22xyy y x 0 y x y 0 2z yzz 1x

dx dxx x dxz e C e dx z x C z x C ln xx

2y x C ln x

22xy

x cosy 4sin2y

x x(y)

22 2dx x cosy 4sin2y x x cosy 4sin2ydy 2x

2z x z zcosy 4sin2y

cosydy cosydy siny sinyz e C 4sin2ye dy z e C 8 sinye d( siny) siny siny sinyz e C 8(1 siny)e z Ce 8(1 siny)

2 sinyx Ce 8(1 siny) 2xy y y lnx

12 2 y lnxxy y y lnx yy x x

1z y

z lnxz x x

dx dxx x

2lnx lnx lnx 1z e C e dx z x C dx z x Cx x xx

11

g. .

Lời giải:

đặt


14) Một vật khối lượng m rơi xuống từ trạng thái nghỉ và chúng ta giả sử rằng sức

cản không khí tỷ lệ thuận với vận tốc của vật. Nếu S(t) là khoảng cách rơi được sau t giây thì vận

tốc là và gia tốc là . Nếu g là gia tốc trọng trường thì lực hướng xuống dưới

tác động lên vật là , trong đó c là hằng số dương, Định luật Newton thứ hai dần đến

.

a. Giải PT này khi coi nó là PT tuyến tính để chỉ ra rằng .

Lời giải:

Khi vật không rơi tức ,từ ta có

b. Vận tốc giới hạn là bao nhiêu?

y Cx lnx 1 1 2xy 2xy lnx y 0

1

2 2 1y yxy 2xy lnx y 0 y 2y lnx y 2lnxx x

1z y

zz 2lnxx

dx dxx x lnxz e C 2lnxe dx z x C 2 dx z x C 2 lnxd(lnx)x

2z x C ln x 21y

x C ln x

v S(t) a v(t)mg cv

dvm mg cvdt

ctmmgv 1 ec

c c ct ctdt dtm m m mdv dv c mgm mg cv v g v e A g e dt v e A edt dt m c

v(0) 0

ct ctm mmgv e A ec

mgA c

ctmmgv 1 ec

12

Lời giải:

c. Tính quãng đường vật rơi được sau t giây.

Lời giải:

từ

15) Tìm các quỹ đạo trực giao của họ các đường cong . Vẽ một vài

đường của mỗi họ trên cùng một hệ trục.

Lời giải:

Quỹ đạo trực giao của họ các đường cong là quỹ tích của tọa độ khúc tâm của chính

đường cong đó,và tọa độ đó được xác định

Từ

;

và

16) Giải các PTVP toàn phần:

a. ;

Lời giải:

ctm

t tmg mglim v lim 1 ec c

ct ctm mmg mg mS(t) 1 e dt t e Ac c c

2

2m gS(0) 0 Ac

ct 2m

2mg m m gS(t) t ec c c

1y (x k)

1y (x k)

2 2(1 y )y 1 yX x ;Y yy y

1y (x k) 2 3

2 31 2y y ;y 2y

(x k) (x k)

2 2 4 4 4

3y(1 y ) y (1 y ) 1 1 y 3 yX x x X k X ky y 2y 2y2y

4 4 4

3 3 2 3 2 31 y 1 3y 3 (3 y ) 4 3(X k) 4Y y 2y2y 2y y y y y

2 3

3(X k) 4Yy y

43 yX k 2y

2

2(x y )dx 2xydy 0

x

13

Nhận thấy là PTVP toàn phần vì

nên không phụ thuộc đường lấy tích phân

Do vậy ta chọn ,khi đó nghiệm của phương trình được xác định

b. ;

Lời giải:




c. ;

Lời giải:




2

2(x y )dx 2xydy 0

x

2

2 2 2xy

x y 2xy 2yx x x

2

2AB

(x y )dx 2xydyx

A(1,0);B(x,y)

yx2

21 0AB

(x y )dx 2xydy dx 2ydy Cx xx

2yln x Cx

(2x y 1)dx (2y x 1)dy 0

(2x y 1)dx (2y x 1)dy 0

y x(2x y 1) (2y x 1) 1

AB(2x y 1)dx (2y x 1)dy

A(0,0);B(x,y)

yx

0 0AB(2x y 1)dx (2y x 1)dy (2x 1)dx (2y x 1)dy C

2 2x x y xy y C

2 2 2 21 x x y dx x y 1 ydy 0

2 2 2 21 x x y dx x y 1 ydy 0

2 2 2 22 2y xxy1 x x y y x y 1

x y

2 2 2 2

AB1 x x y dx x y 1 ydy

A(0,0);B(x,y)

14

d. .

Lời giải:




17) Giải các PTVP dùng thừa số tích phân:

a. ;

Lời giải:

Nhận thấy là PTVP toàn phần

yx

2 2 2

0 01 x dx x y 1 ydy C

3 2 y2 2 2 2

y 0

x y 1x x y x y C3 2 3

2

2 2 2 2y 1x x y x y C2 3

1(x y)dx x dy 0y

1(x y)dx x dy 0y

yx

1(x y) x 1y

AB

1(x y)dx x dyy

A(0,1);B(x,y)

yx

0 1AB

1 1(x y)dx x dy (x 1)dx x dy Cy y

2 y

y 1x x xy ln y C2

2x xy ln y C2

x x1 dx 1 dy 0y y

x xy 1 dx y 1 dy 0y y

15



b. ;

Lời giải:

khi đó thừa số tích phân

.Ta được là PTVP toàn phần



c. ;

Lời giải:


Ta được là PTVP toàn phần


AB

x xy 1 dx y 1 dyy y

A(0,1);B(x,y)

yx1

0 1AB

x xy 1 dx y 1 dy (x 1)dx (x y)dy Cy y

2 2

1x y 1x xy x C2 2 2

2 2x y 2xy C

2 2x y 2xy C

2 2(1 x y)dx x (y x)dy 0

y x2y x

P Q 2P Q 2x 2xy 2x(y x) Q x

21(x)x

2

2(1 x y)dx (y x)dy 0

x

2

2AB

(1 x y)dx (y x)dyx

A(1,0);B(x,y)

yx2 21 12 2

1 0AB

(1 x y)dx dx 1 y(y x)dy (y x)dy C 1 xy Cx 2x x

2 2y x 2x y 2 C x

2 2y(1 x y)dx x(2 yx )dy 0

y x2y x

P Q 1P Q 1 x y P y

(y) y

2 2 2y (1 x y)dx xy(2 yx )dy 0

2 2 2

ABy (1 x y)dx xy(2 yx )dy

16


d. ;

Lời giải:



nên không phụ thuộc đường lấy tích phân.


e. .

Lời giải:



nên không phụ thuộc đường lấy tích phâ


A(0,0);B(x,y)

yx 3 32 2 2 2 2

1 10 0AB

x yy (1 x y)dx xy(2 yx )dy 0dx xy(2 yx )dy C xy C3

2 3 33xy x y C 2 2(sin y x )dx xsin2ydy 0

yy x

P Q 2P Q 2sin2y Q x

21(x)x

2 2

2(sin y x )dx sin2ydy 0xx

2 2

2AB

(sin y x )dx sin2ydyxx

A(1,0);B(x,y)

yx2 21 12

1 0AB

(sin y x )dx sin2ydy sin2ydy cos2ydx C 1 x Cx x 2xx

22x C x cos2y

2(2xy y)dx xdy 0

y xy x

P Q 2P Q 4xy 2 P y

21(y)y

2(2xy 1)dx xdy 0y y

2

AB

(2xy 1)dx xdyy y

A(0,1);B(x,y)

yx2

2 20 1AB

(2xy 1)dx xdy xdy x(2x 1)dx C x Cy yy y

2yx x C y

17

18) Giải các PTVP

a. ;

Lời giải:

Đặt

b. .

Lời giải:

Đặt


a. ;

Lời giải:

Phương trình đặc trưng

nghiệm tổng quát của phương trình

b. ;

Lời giải:

2xy 1 y

2 22

dz dxz y xz 1 z z 1 z C xx1 z

2 2 2 21 z z 2zxC C x

2 2C x 1z 2xC

2 2 2 ln xC x 1 Cxy dx D y D2xC 4 2C

2 2(1 x )y 1 y 0

z y 2 2

12 2dz dx(1 x )z 1 z 0 arctanz C arctanx

1 z 1 x

C xz 1 xC

1 12C x x 1y dx D ln1 xC ln1 xC D1 xC C C

121 xy 1 ln1 xC DCC

2Cy (1 C )ln1 xC Cx D

4y y 0

24k k 0

x41 2y C C e

y 2y y 0

18



c. ;

Lời giải:



d. .

Lời giải:



20) Giải bài toán giá trị ban đầu:

a. ;

Lời giải:

Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương

trình .Từ điều kiện ta có

nghiệm riêng của phương trình thỏa mãn điều kiện đầu:

b. ;

Lời giải:

Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình

21,2k 2k 1 0 k 1 2

(1 2)x (1 2)x1 2y C e C e

y 8y 41y 0

21,2k 8k 41 0 k 4 5i

4x1 2y e C cos5x C sin5x

y y y 0

21,2

1 i 3k k 1 0 k 2

x2 1 2

x 3 x 3y e C cos C sin2 2

2y 5y 3y 0 y(0) 3,y(0) 4

21 2

32k 5k 3 0 k 1;k 2

3xx 21 2y C e C e

y(0) 4,y(0) 3

1 2

1 2

C C 33C C 42

2 1C 2;C 1

3x

x 2y e 2e

4y 4y y 0 y(0) 1,5; y(0) 1

21,2

14k 4k 1 0 k 2

19

.Từ điều kiện ta có



a. ;

Lời giải:



(xem lại điều kiện)

b. ;

Lời giải:




với


a. ;

Lời giải:

Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương

trình thuần nhất

x21 2y (C C x)e y(0) 1,5; y(0) 1

1

2 1

C 11 3C C2 2

2 1C 2;C 1

x2y (1 2x)e

4y y 0 y(0) 3, y( ) 4,

21,2

i4k 1 0 k 2

1 2x xy C cos C sin2 2

y(0) 3, y( ) 4,

y 6y 25y 0 y( ) 2, y(0) 1

21,2k 6k 25 0 k 3 4i

3x1 2y e C cos4x C sin4x y( ) 2, y(0) 1

13

2 1

C 1(4C 3C )e 2

31 2

e 3C 1;C 2 4

3x1 2y e C cos4x C sin4x

31 2

e 3C 1;C 2 4

2y 3y 2y x

21 2k 3k 2 0 k 1;k 2

x 2x1 2y C e C e

20

nghiệm riêng của phương trình có dạng ,thay vào phương

trình ta được

nghiệm tổng quát của phương trình đã cho

b. ;

Lời giải:


thuần nhất

nghiệm riêng của phương trình có dạng ,thay vào phương trình ta

được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho

c. ;

Lời giải:


nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất

nghiệm riêng của phương trình có dạng ,thay vào phương trình

ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho


nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện đầu:

d. ;

Lời giải:

2y 3y 2y x * 2y ax bx c

2 22a 3(2ax b) 2(ax +bx c) x

2a 13a b 02a 3b 2c 0

1 3 7a,b,c , ,2 2 4

x 2x 21 2

1y C e C e (2x 6x 7)4

xy 4y 5y e

21,2k 4k 5 0 k 2 i

2x1 2y e C cosx C sinx

xy 4y 5y e xy ae*

1a 10

x

2x1 2

ey e C cosx C sinx 10

xy y xe y(0) 1, y(0) 2

2k k 0

x

1 2y C C e

xy y xe xy x(ax b)e *

2ax 2a b x 1a ;b 12

x x1 2

1y C C e x(x 2)e2 y(0) 1,y(0) 2

1

2

C 0C 2

x x1y 2e x(x 2)e2

y 2y sin4x

21



nghiệm riêng của phương trình có dạng ,thay vào

phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng quát của

phương trình đã cho

e.

Lời giải:



nghiệm riêng của phương trình có dạng ,thay

vào phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng

quát của phương trình đã cho

f. ;

Lời giải:


nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất nghiệm riêng của

phương trình

có dạng ,thay vào phương trình và rút gọn ta được


2k 2k 0

2x

1 2y C C e

y 2y sin4x y acos4x bsin4x *

b 2a 08a 16b 1

1 1a ;b40 20

2x1 2

1 1y C C e cos4x sin4x40 20

xy 3y 2y ( 12x 4)e

2k 3k 2 0

x 2x

1 2y C e C e

xy 3y 2y ( 12x 4)e xy x(ax b)e *

2ax 2a b 12x 4 a 6;b 8 x 2x x

1 2y C e C e x(6x 8)e

y y (x 2)cosx

21,2k 1 0 k i

1 2y C cosx C sinx

y y (x 2)cosx

y x(ax b)cosx x(cx d)sinx *

4cx 2a 2d cosx 4ax 2c 2b sinx (x 2)cosx 4cx 2a 2d x 24ax 2c 2b 0

1a 0;b c ;d 14

1a 0;b c ;d 14

21 2

x x 4xy C cosx C sinx4 4

22

g. .

Lời giải:



Nghiệm riêng của phương trình có dạng thay vào

phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

23) Tìm nghiệm riêng của PTVP

a. ;

Lời giải:

Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần

nhất

Nghiệm riêng của phương trình có dạng

thay vào phương trình và rút gọn ta được

Nghiệm riêng của phương trình

nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

Từ điều kiện ta có

2xy 6y 12y 8y 3e

3 21,2,3k 6k 12k 8 0 k 2

2 2x

1 2 3y (C C x C x )e

2xy 6y 12y 8y 3e 3 2xy ax e*

16a 3 a 2

2 2x 3 2x1 2 3

1y (C C x C x )e x e2

xy 3y e cosx y(0) 1 y( )

21,2k 3 0 k 3

x 3 x 31 2y C e C e

xy 3y e cosx xy (acosx bsinx)e *

(2b 3a)cosx (2a 3b)sinx cosx

2b 3a 12a 3b 0

3 2a ;b13 13

x1y ( 3cosx 2sinx)e13

x 3 x 3 x1 2

1y C e C e ( 3cosx 2sinx)e13

y(0) 1 y( )

1 2

1 2

3C C 1131C 3 3C 113

1 28 3 7 8 3 7C ;C13 3 13 3

23

Nghiệm riêng của phương trình thỏa mãn điều kiện là

b. ;

Lời giải:


Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

Từ điều kiện ta có

Nghiệm riêng của phương trình thỏa mãn điều kiện là

24) Viết ra dạng nghiệm riêng đối với phương pháp hệ số bất định, không xác định các hệ số này.

a. ;

Lời giải:



b. ;

Lời giải:



c. ;

Lời giải:



d. ;

y(0) 1 y( )

x 3 x 3 x8 3 7 8 3 7 1y e e ( 3cosx 2sinx)e1313 3 13 3

y 4y 3y 0 y(0) 0;y(0) 1

21,2k 4k 3 0 k 1;3

x 3x1 2y C e C e

y(0) 0;y(0) 1 1 2

1 2

C C 0C 3C 1

1 2

1 1C ;C2 2

y(0) 0;y(0) 1 3x x1y e e2

2y 9y x sinx

21,2k 9 0 k 3i

2 21 1 1y ax bx c cosx a x b x c sinx *

3 xy 3y 4y (x x 1)e

21 2k 3k 4 0 k 1;k 4

3 2 xy x(ax bx cx d)e *

2 xy 2y 10y x e cos3x

21,2k 2k 10 0 k 1 3i

2 2 x1 1 1y x ax bx c cos3x a x b x c sin3x e

*

xy 2y 2y xe sinx

24

Lời giải:



e.

Lời giải:



f. ;

Lời giải:



g. .

Lời giải:



25) Giải PTVP (i) dùng phương pháp hệ số bất định và (ii) dùng phương pháp biến thiên hằng số.

a. ;

Lời giải:



Cách 1


thay vào phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho

Cách 2:

21,2k 2k 2 0 k 1 i

x1 1y x ax b cosx a x b sinx e

*

y y 2cosx

21,2k 1 0 k i

y x(acosx bsinx) *

4 xy 3y 3y y (1 x )e

3 21,2,3k 3k 3k 1 0 k 1

4 3 2 x1 2 3 4 5y x(a x a x a x a x a )e *

y y xsinx

21,2k 1 0 k i

1 1y x ax b cosx a x b sinx *

y 4y x

21,2k 4 0 k 2i

1 2y C cos2x C sin2x

y ax b *

1a ;b 04

1 2xy C cos2x C sin2x 4

25

Coi bằng phương pháp biến thiên hằng số thì

được xác định bởi hệ phương trình

và

b. ;

Lời giải:



Cách 1


thay vào phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho

Cách 2:



c. ;

Lời giải:

1 1 2 2C C (x);C C (x) 1 1 2 2C C (x);C C (x)

1 2

1 2

C cos2x C sin2x 02C sin2x 2C cos2x x

1 1xsin2x xsin2x 1 1C C dx xcos2x sin2x2 2 4 8

2 2xcos2x 1 1C C xsin2x cos2x2 4 8

1 1 1 1 xy xcos2x sin2x cos2x xsin2x cos2x sin2x4 8 4 8 4

*

1 21y C cos2x C sin2x x4

2xy 2y y e

21,2k 2k 1 0 k 1

x

1 2y (C xC )e

2xy ae*

a 1 x 2x

1 2y (C xC )e e

1 1 2 2C C (x);C C (x) 1 1 2 2C C (x);C C (x)

1 2 1 2x x 2x x

1 2 1 2

C xC 0 C xC 0C e C (1 x)e e C C (1 x) e

x x x2 2 1C e C e ;C (1 x)e

x x x 2xy (1 x)e xe e e *

x 2x

1 2y (C xC )e e 2xy 5y 6y (x 1)e

26


nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:

Cách 1



nghiệm tổng quát của phương trình đã cho:

Cách 2:



và

d. ;

Lời giải:



Cách 1




21 2k 5k 6 0 k 2;k 3

2x 3x

1 2y C e C e

2xy x(ax b)e *

12ax 2a b x 1 a ;b 22

2 2x2x 3x

1 2(x 4x)ey C e C e 2

1 1 2 2C C (x);C C (x) 1 1 2 2C C (x);C C (x)

2x 3x x1 2 1 2

2x 3x 2x x1 2 1 2

C e C e 0 C C e 02C e 3C e (x 1)e 2C 3C e x 1

x x2 2C (x 1)e C (x 2)e

21 1

x 2xC (x 1) C 2

2 22x x 3x 2xx 2x x 4x 4y e (x 2)e e e2 2

xy y xe

21 2k k 0 k 0;k 1

x

1 2y C C e

xy x(ax b)e *

12ax 2a b x a ;b 12

2x x

1 2x 2xy C C e e2

27

Cách 2:



e.

Lời giải:



Cách 1




Cách 2:


được xác định bởi hệ phương trình:

và

f. .

1 1 2 2C C (x);C C (x) 1 1 2 2C C (x);C C (x)

x 21 2 x2 1x x

2

C C e 0 xC ;C (x 1)e2C e xe

2x x

1 2x 2x 2y C C e e2

3xy 3y 2y xe

21 2k 3k 2 0 k 2;k 1

x 2x

1 2y C e C e

3xy (ax b)e *

1 32ax 3a 2b x a ;b2 4

3xx 2x

1 2(2x 3)ey C e C e 4

1 1 2 2C C (x);C C (x) 1 1 2 2C C (x);C C (x)

x 2x x1 2 1 2x 2x 3x x 2x

1 2 1 2

C e C e 0 C C e 0C e 2C e xe C 2C e xe

2x 2x2x

1 1xe eC xe C 2 4

x x2 2C xe C (x 1)e

2x 2xx x 2xxe ey e (x 1)e e2 4

*

3x2x 3y e4

*

x 2x 3x

1 22x 3y C e C e e4

y 4y 8y sin2x 28

Lời giải:



Cách 1

Nghiệm riêng của phương trình có dạng thay vào phương trình

và rút gọn ta được


Cách 2:



21,2k 4k 8 0 k 2 2i

2x

1 2y e (C cos2x C sin2x)

y acos2x bsin2x *

(4a 8b)cos2x (8a 4b)sin2x sin2x 1 1a ;b10 20

2x1 2

1 1y e (C cos2x C sin2x) cos2x sin2x10 20

1 1 2 2C C (x);C C (x) 1 1 2 2C C (x);C C (x)

2x 2x1 2

2x1 1 2 2

C e cos2x C e sin2x 02C sin2x 2C cos2x 2C cos2x 2C sin2x e sin2x

1 22x

1 2

C cos2x C sin2x 02C sin2x 2C cos2x e sin2x

2x2

e sin4xC 4

2x2x 2x

21 e cos4x 1C e sin4xdx e d(sin4x)4 16 32

2x 2x2xe cos4x e sin4x 1 e sin4xdx16 32 16

2x2

1C 2cos4x sin4x e10

2x 21

e sin 2xC 2

2x2x

1e 1C e cos4xdx8 4

2x 2x2xe e sin4x 1 e sin4xdx8 16 8

29

26) Tìm nghiệm của PTVP

a. ;

Lời giải:






b. ;

Lời giải:



phương trình có nghiệm riêng

phương trình có nghiệm riêng dạng ,thay vào phương trình


nghiệm tổng quát của phương trình :

c. ;

Lời giải:

2x

2xe 1 3sin4x cos4x e8 80

y 2y y xcosx

21,2k 2k 1 0 k 1

x

1 2y (C xC )e

y (ax b)cosx (cx d)sinx *

(2ax 2b 2a 2c)sinx ( 2cx 2d 2a 2c)cosx xcosx

2cx 2d 2a 2c x2ax 2b 2a 2c 0

1b c d ;a 02

x

1 2cosx (x 1)sinxy (C xC )e 2

2xy y 6y 1 e

21 2k k 6 0 k 3;k 2

3x 2x

1 2y C e C e

y y 6y 1 11y 6*

2xy y 6y e 2x2y axe*

2xy y 6y e 1a 5

2x3x 2x

1 2xe 1y C e C e 5 6

x9y y 3x e y(0) 1, y(0) 2

30



phương trình có nghiệm riêng

phương trình có nghiệm riêng dạng ,thay vào phương trình



Với điều kiện ta có được . Khi đó nghiệm riêng tương

ứng của phương trình :

d. ;

Lời giải:



Nghiệm riêng của phương trình có dạng thay vào phương trình và rút

gọn ta được


e.

Lời giải:




gọn ta được

21,2

i9k 1 0 k 3

1 2x xy C cos C sin3 3

9y y 3x 1y 3x*

x9y y e x2y ae*

x9y y e 1a 10

x1 2

x x ey C cos C sin 3x3 3 10

y(0) 1;y(0) 2 1 29 27C ; C10 10

x9 x 27 x ey cos sin 3x10 3 10 3 10

y 9y 6cos3x

21,2k 9 0 k 3i

1 2y C cos3x C sin3x

y Axcos3x Bxsin3x *

6Bcos3x 6A sin3x 6cos3x A 0;B 1

1 2y C cos3x C sin3x xsin3x

y y 3sinx

21,2k 1 0 k i

1 2y C cosx C sinx

y Axcosx Bxsinx *

32Bcosx 2A sin3x 3sinx B 0;A 2

31


f. ;

Lời giải:



Nghiệm riêng của phương trình có dạng thay vào

phương trình và rút gọn

Nghiệm riêng của phương trình có nghiệm riêng


g. .

Lời giải:




gọn


Với điều kiện ta có được (XEM LẠI Đ/K)

27) Tìm nghiệm tổng quát của PT

Lời giải:

Phương trình đặc trưng có các nghiệm

1 23y C cosx C sinx xcosx2

xy y e 2cosx

21 2k k 0 k 0;k 1

x

1 2y C C e

y y 2cosx 1y A cosx Bsinx *

y y 2cosx

(B A)cosx (A B)sinx 2cosx A 1;B 1

1y cosx sinx *

xy y e

x2

ey 2*

xx

1 2ey C C e cosx sinx2

y y 2sinx y(0) 1, y( /2) 1

21,2k 1 0 k i

1 2y C cosx C sinx

y Axcosx Bxsinx *

(B A)cosx (A B)sinx 2sinx A B 1

1 2y C cosx C sinx xcosx xsinx

y(0) 1,y( /2) 1

(4)y y 0

4k 1 0

1 2 3 42 2 2 2k (1 i);k (1 i);k (1 i);k (1 i)2 2 2 2

32

Từ ta có hai nghiệm riêng

và

Từ ta có hai nghiệm riêng

và

Nghiệm tổng quát của PT là

28) Dùng phương pháp biến thiên tham số hãy giải PTVP:

a. ;

Lời giải:





và


b. ;

Lời giải:


1 22 2k (1 i);k (1 i)2 2

x 221

x 2y e cos 2x 222

x 2y e sin 2

3 42 2k (1 i);k (1 i)2 2

x 223

x 2y e cos 2

x 224

x 2y e sin 2

(4)y y 0

x 2 x 22 21 2 3 4

x 2 x 2 x 2 x 2y e C cos C in e C cos C sin2 2 2 2

y y secx 0 x /2

21,2k 1 0 k i

1 2y C cosx C sinx

1 1 2 2C C (x);C C (x) 1 1 2 2C C (x);C C (x)

1 2

1 2

C cosx C sinx 01C sinx C cosx cosx

1 1

sinxC C lncosxcosx

2 2C 1 C x

1 2y C cosx C sinx cosxlncosx xsinx

x1y 3y 2y

1 e

21 2k 3k 2 0 k 1;k 2

33




và


c. ;

Lời giải:





và


x 2x

1 2y C e C e

1 1 2 2C C (x);C C (x) 1 1 2 2C C (x);C C (x)

x1 2

xx

1 2 x

C C e 0eC 2C e

1 e

x x1 1x x x

1 1 1C C de ln(1 e ) x1 e e 1 e

xx x

2 2x x x x xe 1 1 1 1C C dx e de1 e e 1 e e 1 e

x x

2C e x ln(1 e )

x x x x 2x 2x x x x x xy e ln(1 e ) xe e xe e ln(1 e ) e (1 e ) ln(1 e ) x e *

x 2x x x x x1 2y C e C e e (1 e ) ln(1 e ) x e

1y y x

21,2k 1 0 k 1

x x

1 2y C e C e

1 1 2 2C C (x);C C (x) 1 1 2 2C C (x);C C (x)

x x1 2x x

1 2

C e C e 01C e C e x

x1

eC 2x

x

2eC 2x

x x x xx x

1 2e e dx e e dxy C e C e 2 x 2 x

34

d. ;

Lời giải:





và


e. ;

Lời giải:





và


2xey 4y 5y cosx

21,2k 4k 5 0 k 2 i

2x

1 2y e (C cosx C sinx)

1 1 2 2C C (x);C C (x) 1 1 2 2C C (x);C C (x)

1 2

1 2

C cosx C sinx 01C sinx C cosx cosx

1 1

sinxC C lncosxcosx

2 2C 1 C x

2x 2x1 2y e C lncosx cosx e (x C )sinx

x

2ey 2y y

1 x

21,2k 2k 1 0 k 1

x

1 2y (C xC )e

1 1 2 2C C (x);C C (x) 1 1 2 2C C (x);C C (x)

x x1 2

xx x x

1 2 2 2

C e C xe 0eC e C xe C e

1 x

2 221C C arctanx

1 x

2

1 12x 1C C ln(1 x )21 x

2 x1y ln(1 x ) xarctanx e2

x 2 x1 2

1y (C xC )e xarctanx ln(1 x ) e2

35

f. ;

Lời giải:






29) Dùng phép đổi biến giải phương trình Euler:

a. ;

Lời giải:

Đặt thì ; và

thay vào phương trình và rút gọn .Phương trình có nghiệm

b.

Lời giải:

x1y y

1 e

22 1k k 0 k 1;k 0

x

1 2y C C e

1 1 2 2C C (x);C C (x) 1 1 2 2C C (x);C C (x)

x1 2

x2 x

C C e 01C e

1 e

x1 1x

1C C ln(1 e ) x(1 e )

x x x x x xy ln(1 e ) x e ln(1 e ) xe 1 (1 e ) ln(1 e ) x 1

x x x1 2y C C e (1 e ) ln(1 e ) x 1

tx e2x y 5xy 13y 0

tx e 2 2tx et t

t ty ye e y y

2t t 2t 2ttt tt ty y e ye y y e y e

y 4y 13y 0

2t 1 21 2 2

C cos(3lnx) C sin(3lnx)y(t) e (C cos3t C sin3t) yx

2x y xy y 2sin(lnx)

36

Đặt thì ; và

thay vào phương trình và rút gọn .

Phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát

và nghiệm riêng của phương trình là

Phương trình có nghiệm tổng quát

c.

Lời giải:

Đặt thì ; và




Phương trình có nghiệm tổng quát

d. ;

Lời giải:

Đặt thì ; và



tx e 2 2tx et t

t ty ye e y y


y y 2sint

1 2y(t) C cost C sint

y y 2sint y tcost*

y y 2sint 1 2y(t) C cost C sint tcost

1 2y(x) C cos(lnx) C sin(lnx) lnx.cos(lnx) 2x y xy y x

tx e 2 2tx et t

t ty ye e y y


ty y e

1 2y(t) C cost C sint

ty y e t1y e2*

ty y e

t1 2

ey(t) C cost C sint 2

1 2xy(x) C cos(lnx) C sin(lnx) 2

3 2x y 3x y 6xy 6y 0

tx e 2 2tx et t

t ty ye y y e


3 32t t 3t 2t t 3t 3t 3t

tt tt t tt ty y e ye y y e 3y e ye y e y 3(y y )e y e

3 tt t t tt t tty 3(y y ) y 3(y y ) 6y 6y 0 3 ttt tty 6y 11y 6y 0 3 2

1 2 3k 6k 11k 6 0 k 1;k 2;k 3

37

nghiệm tổng quát của phương trình theo t :

e.

Lời giải:

Đặt thì ; và




nghiệm tổng quát của phương trình theo t :

30) Dùng phép đổi biến giải phương trình: .

Lời giải:

Đặt khi đó và thay vào phương trình và rút gọn




31) Giải các hệ phương trình:

a. ;

Lời giải:

t 2t 3t

1 2 3y(t) C e C e C e

2 3

1 2 3y(x) C x C x C x 2x y xy y cos(lnx)

tx e 2 2tx et t

t ty ye e y y


y 2y y cost

t1 2y(t) (C tC )e

y 2y y cost 1y sint2*

t

1 21y(t) (C tC )e sint2

1 2

1y(x) C C lnx x sin(lnx)2

z xy xxy 2y xy e

z xy z y xy z 2y xy

xz z e x x

1 2z C e C e

xz z e

xxey 2*

xz z e

xx x

1 2xez C e C e 2

xx x

1 2xexy C e C e 2

x 5x 3yy 3x y

38

b. ;

Lời giải:

c.

Lời giải:

x 5x 3y x 5x 3yy 3x y y 3x y

2t

1 2x 5x 9x 5x x x 4x 4x 0 x (C tC )e

2t2 1 2

1y C 3C 3tC e3

2t1 2

2t2 1 2

x (C tC )e1y C 3C 3tC e3

x 3x yy 4x y

x 3x y x 3x yy 4x y y 4x y

x 3x 4x 3x x x 2x x 0

t t

1 2 1 2 2x (C tC )e y (2C C 2tC )e

t1 2

t1 2 2

x (C tC )ey (2C C 2tC )e

x 2x yy 3x 4y

x 2x y x 2x yy 3x 4y y 3x 4y

x 2x 3x 4(x 2x) x 6x 5x 0

t 5t1 2

5t t2 1

x C e C ey 3C e C e

39

Bài tập PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Documents

Transcript of Bài tập PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN