BAB I

STATISTIKA

A. Pengertian Statistika

Statistika adalah suatu ilmu pemecahan masalah

dan penarikan kesimpulan dengan cara mengumpulkan

dan menganalisa data. Berdasarkan kebutuhan terhadap

pengelolaan data, statistika dibagi menjadi:

1. Statistika deskriptif, yaitu segala informasi yang

bias menggambarkan data yang diperoleh.

2. Statistika inferensi, yaitu statistika yang

diperoleh dari data yang ada dan digunakan untuk

menarik kesimpulan tentang populasi objek yang

lebih besar.

Dalam statistic, data menurut jenisnya dapat

dibagi menjadi dua yaitu data kuantitatif dan data

kualitatif:

1. Data Kuantitatif, adalah data yang diperoleh dari

hasil mengukur atau menghitung.

2. Data Kualitatif, adalah data yang menyatakan

keadaan atau karakkteristik yang dimiliki objek

yang diteliti. Data ini juga biasa disebut sebagai

data kategori.

B. Penyajian Data

1. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel (Daftar)

a. Distribusi frekuensi tunggal

Data tunggal seringkali dinyatakan dalam bentuk

daftar bilangan, namun kadangkala dinyatakan

dalam bentuk tabel distribusi frekuensi. Tabel

distribusi frekuensi tunggal merupakan cara

untuk menyusun data yang relatif sedikit.

Perhatikan contoh data berikut.

5, 4, 6, 7, 8, 8, 6, 4, 8, 6, 4, 6, 6, 7, 5, 5,

3, 4, 6, 6

8, 7, 8, 7, 5, 4, 9, 10, 5, 6, 7, 6, 4, 5, 7,

7, 4, 8, 7, 6Dari data di atas tidak tampak adanya pola yang

tertentu maka agar mudah dianalisis data tersebut

disajikan dalam tabel seperti di bawah ini

b. Distribusi frekuensi berkelompokTabel distribusi frekuensi bergolong biasa

digunakan untuk menyusun data yang memiliki

kuantitas yang besar dengan mengelompokkan ke dalam

interval-interval kelas yang sama panjang.

Perhatikan contoh data hasil nilai pengerjaan tugas

Matematika dari 40 siswa kelas XI berikut ini:

Tabel distribusi frekuensi bergolong dengan

langkah-langkah sebagai berikut:

1. Mengelompokkan ke dalam interval-interval kelas

yang sama panjang. Cara untuk menentukan

banyaknya kelas yaakni dengan aturan sturgess:

k=1+1,33lognDimana, k adalah banyaknya kelas dan n adalah

ukuran data.

2. Membuat turus (tally), untuk menentukan sebuah

nilai termasuk ke dalam kelas yang mana.

3. Menghitung banyaknya turus pada setiap kelas,

kemudian menuliskan banyaknya turus pada setiap

kelas sebagai frekuensi data kelas tersebut.

4. Ketiga langkah di atas direpresentasikan pada

tabel berikut ini:

2. Penyajian Data dalam Bentuk Diagram

a. Diagram Garis

Untuk menyajikan perkembangan data yang

kontinu, paling baik dengan menggunakan diagram

garis. Pada diagram garis sumbu X (sumbu

horizontal) biasanya digunakan untuk satuan

waktu, sedangkan sumbu Y digunakan untuk

frekuensi. Beberapa macam dari diagram garis

ialah:

a. Grafik Garis Berganda (Multiple Line Chart)

Grafik garis berganda adalah grafik yang

terdiri dari beberapa garis untuk

menggambarkan perkembangan beberapa hal atau

kejadian sekaligus.

b. Grafik Garis Komponen Berganda (Multiple

Component Line Chart)

Serupa dengan grafik berganda, akan tetapi

garis yang teratas atau terakhir

menggambarkan masing-masing komponen

c. Grafik Garis Persentase Komponen Berganda

(Multiple Percentage Component Line Chart)

Serupa dengan grafik garis komponen berganda,

hanya masing-masing komponen dinyatakan

sebagai persentase terhadap jumlah (total).

b. Diagram Lingkaran

Diagram lingkaran adalah penyajian data dengan

menggunakan sektor-sektor dalam suatu

lingkaran. Diagram ini sangat baik untuk

menunjukkan perbandingan antara objek yang satu

dengan objek yang lainnya serta terhadap

keseluruhan dalam suatu penyelidikan. Misalnya,

diagram lingkaran seperti Gambar 1.7

menunjukkan banyak minuman dalam satuan gelas

yang dijual oleh koperasi sekolah dalam suatu

periode tertentu.

10.000 gelas rasa

mangga

9.000 gelas rasa apel

6.000 gelas rasa jeruk

Gambar 1.7 diagram lingkaran

c. Diagram Batang

Diagram batang ialah suatu penyajian data

dengan menggunakan batang-batang arah vertical

atau horizontal. Panjang batang sesuai dengan

jumlah data masing-masing objek.

d. Diagram Batang Daun

Diagram batang daun (stem and leaf plot) adalah

suatu metode penyajian data statistic dalam

kelompok batang dan kelompok daun dari suatu

set data.

e. Histogram

Penyajian data yang dikelompokkan menurut

distribusi frekuensi dapat dinyatakan dengan

grafik yang disebut histogram. Frekuensi

biasanya dinyatakan dengan sumbu tegak dan

interval kelas dinyatakan dengan sumbu

mendatar.

1) Polygon FrekuensiBila titik-titik tengah dari tiap kotak di bagian

atas pada histogram saling dihubungkan, maka

akan diperoleh diagram yang bentuknya

menyerupai polygon (segibanyak), sehingga

diagram yang dihasilkan dinamakan polygon

frekuensi.

2) OgiveJika titik-titik yang membentuk polygon

frekuensi kumulatif kurang dari dihubungkan

dengan kurva mulus, maka terbentuk ogive positif.

Sedangkan jika titik-titik yang membentuk

polygon frekuensi kumulatif lebih dari

dihubungkan dengan kurva mulus, maka

terbentuk ogive negative.

C. Ukuran Pemusatan Kumpulan Data

Ukuran pemusatan serta penafsirannya suatu

rangkaian data adalah suatu nilai dalam rangkaian

data yang dapat mewakili rangkaian data tersebut.

Suatu rangkaian data biasanya mempunyai

kecenderungan untuk terkonsentrasi atau terpusat

pada nilai pemusatan ini. Ukuran statistik yang

dapat menjadi pusat dari rangkaian data dan memberi

gambaran singkat tentang data disebut ukuran pemusatan

data. Ukuran pemusatan data dapat digunakan untuk

menganalisis data lebih lanjut. Ukuran pemusatan

data terdiri dari tiga bagian, yaitu mean, median,

dan modus.

1. Rataan Hitung (Mean)

Rataan hitung seringkali disebut sebagai ukuran

pemusatan atau rata-rata hitung. Rataan hitung

juga dikenal dengan istilah mean dan diberi

lambangx .

a. Rataan Data Tunggal

Rataan dari sekumpulan data yang banyaknya n

adalah jumlah data dibagi dengan banyaknya

data. Rataan hitung (biasa disingkat dengan

rataan) data: x1,x2,x3,x4,…,xn didefinisikan

dengan:

x=x1+x2+x3+x4+…+xn

n

atau

x=∑i=1

nxi

n

b. Rataan dari data distribusi frekuensi

Apabila data disajikan dalam tabel distribusi

frekuensi maka rataan dirumuskan sebagai

berikut.

x=f1x1+f2x2+f3x3+…+fnxn

f1+f2+…+fn

atau

x=∑i=1

rfixi

∑i=1

rfi

Keterangan: fi = frekuensi untuk nilai xi

xi = data ke-i

c. Rataan Data Tunggal Dengan Rataan Sementara

Menghitung rataan suatu data kadang-kadang

tidak mudah dilakukan jika nilai datanya

merupakan bilangan-bilangan yang relatif rumit

seperti berikut.

23,424,525,626,526,727,828,229,932,3Untuk memudahkan perhitungan maka digunakanlah

rataan sementara yang merupakan dugaan kita.

Nilai dugaan tersebut sebaiknya yang terletak

di pusat data.

Rataan sebenarnya dinyatakan dengan rumus:

x=xs+∑i=1

n

(xi−xs )n =xs+

dn

Dimana xs= rataan sementara

xi=¿ data ke-i

n=¿ ukuran data

d. Rataan Data Berkelompok Dengan Menggunakan

Rataan Sementara

Dengan cara yang sama seperti menghitung rataan

dengan menggunakan rataan sementara pada data

tunggal, terlebih dahulu tentukan rataan yang

kita duga (rataan sementara).

Rataan sebenarnya dinyatakan dengan rumus:

x=xs+∑i=1

rfi.di

∑i=1

rfi

Keterangan:

x=¿ rataan

xi=¿ data ke-i

fi=¿ frekuensi dari xi

di=¿ xi - xs . (Simpangan data ke-i terhadap

rataan sementara)

∑i=1

rfi=n=¿ ukuran data

Adapun, sifat rataan sebagai tingkat kecenderungan

memusat ialah:

Kebaikan Kelemahan Mudah dihitung

Perhitungannya

melibatkan seluruh

data

Sangat peka terhadap

nilai data yang ekstrim

(terlalu besar atau

teralu kecil)

2. Modus

Modus dari suatu data adalah nilai (ukuran) yang

paling banyak muncul atau mempunyai frekuensi

tertinggi.

a. Modus Data Tunggal

Data yang mempunyai satu modus disebut unimodus,

yang mempunyai dua modus disebut bimodus, dan

yang mempunyai lebih dari dua modus disebut

multimodus.

b. Modus Data Berkelompok

Secara umum modus dapat ditentukan dengan rumus

berikut:

modus=L+c.d1

d1+d2Dimana L: tepi bawah kelas modusd1:selisih frekuensi kelas modus dengan

frekuensi kelas sebelumnya

d2: selisih frekuensi kelas modus dengan

frekuensi kelas sesudahnya

c:lebar kelasKebaikan dan kelemahan sifat modus sebagai suatu

ukuran kecenderungan memusat adalah sebagai

berikut:

Kebaikan Kelemahan Dapat memberi nilai data

yang paling sering

berulang atau muncul.

Mudah diketahui dari

data tanpa membuat

perhitungan.

Kadang kala

mempunyai lebih dari

satu modus.

3. Median

a. Median untuk data tunggal

Jika satu set data statistik disusun

berdasarkan urutannya, maka kita dapat

menentukan median atau nilai tengahnya. Median

membagi data menjadi dua bagian yang sama,

dimana 50% dari data mempunyai nilai sama atau

kurang dari median, sedangkan 50% lainnya

mempunyai nilai sama atau lebih dari median.

Simbol median Me. Untuk menentukan nilai Median

data tunggal dapat dilakukan dengan cara:

1) Mengurutkan data kemudian dicari nilai

tengah,

2) jika banyaknya data besar, setelah data

diurutkan, digunakan rumus:

Untuk n ganjil: Me=x12

(n+1)

Untuk n genap: Me=

xn2

+xn2

+1

2

Keterangan: xn2data pada urutan ke- n2 setelah

diurutkan.

b. Median untuk data bekelompok

Jika data yang tersedia merupakan data

berkelompok, artinya data itu dikelompokkan ke

dalam interval-interval kelas yang sama

panjang. Untuk mengetahui nilai mediannya dapat

ditentukan dengan rumus berikut ini:

Me=b2+c( 12 N−F

f )Keterangan: b2 = tepi bawah kelas median

c = lebar kelasN= banyaknya data

F= frekuensi kumulatif kurang dari

sebelum kelas median

f= frekuensi kelas median

D. Ukuran Letak Data

1. Kuartil

Kuartil merupakan datum yang membagi dua data

terurut menjadi seperempat-seperempat bagian.

Untuk membagi data menjadi empat bagian sama besar

memerlukan tiga sekat.

Q1 disebut kuartil pertama atau kuartil bawah.

Sebanyak 25% data bernilai lebih kecil atau

sama dengan Q1.

Q2 disebut kuartil kedua atau kuartil tengah.

Sebanyak 50% data bernilai lebih kecil atau

sama dengan Q2,

Q3 disebut kuartil ketiga atau kuartil atas.

Sebanyak 75% data bernilai lebih kecil atau

sama dengan Q3.

Selanjutnya, cara memperoleh kuartil untuk masing-

masing data, yakni:

a. Kuartil Data Tunggal

Kuartil pada data tunggal ditentukan setelah

data terurut dari data terkecil ke data

terbesar, mengikuti diagram kotak berikut:

Jangkauan antar kuartil

= Q3-Q1

MedianX1 Xn

Kuartil bawah Kuartil atasDiagram kotak ini sendiri sangat berguna untuk:

1) Untuk memastikan lokasi suau set data

berdasarkan median.

2) Untuk memastikan sebaran data berdasarkan

panjang kotak, yaitu jangkauan antarkuartil,

dan sebaran data berdasarkan panjang garis,

yaitu jangkauan data tanpa nilai ekstrim.

3) Untuk menentukan momen kemiringan suatu

histogram yaitu distribusi simetris,

negative, atau positif.

b. Kuartil Data Berkelompok

2. Jangkauan interkuartil dan semi kuartil

3. Desil

Desil adalah datum yang membagi data terurut

menjadi sepersepuluh-sepersepuluh bagian. Pesentil

adalah datum yang membagi data terurut menjadi

seperseratus bagian.

3) Desil untuk data berkelompok

E. Ukuran Penyebaran Kumpulan Data

Ukuran lokasi saja belum cukup untuk

menggambarkan karakteristik sebaran data, sebab

kebanyakan data mempunyai nilai yang bervariasi,

jadi tidak homogen. Untuk mengetahui tingkat variasi

sekelompok data diperlukan ukuran yang disebut

ukuran penyebaran atau ukuran variasi. Ukuran ini

memberikan gambaran tentang seberapa jauh suatu

nilai pusat dapat dijadikan ukuran yang

representatif dari kumpulan data tersebut.

1. Rentang Data

Rentang, rentang antar kuartil, dan simpangan

kuartil yang akan dibahas di sini adalah ukuran

penyebaran yang didefinisikan sebagai jarak atau

selisih antara dua nilai.

a. Rentang

Rentang (R) ataupun biasa disebut Jangkauan (J)

merupakan selisih antara nilai-nilai ekstrem

dari sekelompok data, atau selisih antara nilai

terbesar dengan nilai terkecil. Secara aljabar

dapat dituliskan :

J=xn−x1

Di mana, xn = Data terbesar

x1 = Data terkecil

b. Rentang Antar Kuartil

Rentang antar kuartil (RAK) ataupun biasa

disebut jangkauan antar kuartil (JK)

didefinisikan sebagai nilai Q3 dikurangi nilai

Q1. Secara aljabar, defini tersebut dapat

dituliskan sebagai berikut:

JK=Q3−Q1=P75−P25Di mana,

JK=JangkauanAntarKuartil Q1=Nilaikuartilke−1

Q3=Nilaikuartilke−3

P75=Nilaipersentilke−75,dan

P25=Nilaipersentilke−25.

c. Rentang semi antar kuartil

Rentang semi antar kuartil yang kadang-kadang

disebut simpangan kuartil, didefinisikan

sebagai setengah dari selisih antar Q3denganQ3.

Secara aljabar, definisi tersebut dituliskan

sebagai berikut :

SK=Q3−Q1

2

Di mana,

SK=jangkauansemiantarkuartil Q1=Nilaikuartilke−1

Q3=Nilaikuartilke−3

2. Simpangan

Kata simpangan mengacu kepada selisih nilai

setiap data dengan nilai reratanya. Jadi, rerata

simpangan, simpangan baku, dan variansi memberikan

rumus untuk menghitung ukuran variasi penyimpangan

nilai-nilai data dari nilai rerata.

a. Rerata Simpangan

rerata simpangan dapat didefinisikan sebagai

jumlah nilai mutlak dari selisih nilai data

dengan nilai rerata dibagi dengan banyaknya

data (n). Secara aljabar, definisi tersebut

dapat ditulis seperti pada rumus dibawah ini:

RS=∑i=1

n

|xi−x|n

Rerata simpangan data yang sudah disusun dalam

tabel sebaran frekuensi dihitung dengan

menggunakan rumus :

RS=∑i=1

kfi|xi−x|n

Di mana,

xi=tandakelasinterval

fi=frekuensiyangsesuaidenganxi

n=ukuransampel k=banyaknyakelasinterval.

b. Simpangan Baku

c. Ragam atau varians

BAB II

PELUANG

A. Kaidah Pencacahan

Kaidah pencacahan adalah suatu cara/aturan

untuk menghitung semua kemungkinan yang terjadi

dalam suatu percobaan tertentu. Ada tiga metode

pencacahan, yaitu metode aturan pengisian tempat,

metode permutasi, dan metode kombinasi.

Adapun makna dari pencacahan itu sendiri yakni

Jadi, apabila suatu himpunan A memuat r elemen dan

himpunan B memuat s elemen, maka A x B adalah suatu

himpunan yang memuat rs elemen, dimana rs adalah

banyaknya pasangan berurutan (a, b) dengan a∈A danb∈B.

Misalnya dalam pelemparan sebuah dadu dan

sekeping uang logam A={1,2,3,4,5,6 } dan B={G,A }

maka xB=¿ { (1,G ), (1,A ), (2,G ), (2,A ), (3,G), (3,A ),(4,G ), (4,A ), (5,G ), (5,A ), (6,G),(6,,A)}. n(A)

= 3, n(B) = 2, n(A x B) = 3 X 2 = 6.

Dengan demikian, jika suatu peristiwa dapat

terjadi dalam m cara yang berbeda, dan setelah salah

satu peristiwa itu terjadi dan peristiwa lain dapat

terjadi dalam n cara yang berbeda, maka kedua

peristiwa tersebut dalam urutan itu dapat terjadi

dalam m x n cara yang berbeda.

B. Aturan Pengisian Tempat

Dalam aturan pengisian tempat, dilakukan dengan

cara mendaftar semua kemungkinan hasil secara

manual. Ada beberpa cara dalam aturan ini, yakni:

1. Diagram pohon

Dari percobaan pelemparan sebuah dadu dan sekeping

logam di atas dapat di buat dalam diagram pohon

yakni sebagai berikut:

2. Tabel silang

Misalkan peristiwa di atas disajikan dalam table

silang maka terlebih dahulu komponen pertama (mata

dadu) di pasangkan pada bagian kolom dan komponen

kedua (mata uang logam) dipasangkan pada bagian

baris. Pasangan (kolom,baris) menunjukkan hasil

yang mungkin terjadi.

1 2 3 4 5 6G (1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G)A (1,A) (2,A) (3,A) (4,A) (5,A) (6,A)

3. Pasangan terurut

Cara pasangan terurut adalah yang paling

sederhana dan yang paling memerlukan sedikit

tempat. Untuk kasus di atas dimana

1 GA 2 G

A 3 GA

4 GA 5 G

A 6 GA

A={1,2,3,4,5,6} dan B={G,A } maka xB=¿

{ (1,G ), (1,A ), (2,G ), (2,A ), (3,G), (3,A ),(4,G ), (4,A ), (5,G ), (5,A ), (6,G),(6,,A)}. n(A) = 3,

n(B) = 2, n(A x B) = 3 x 2 = 6. Hal ini

bersesuaian dengan kaidah penjumlahan dan

perkalian sebagai berikut:

Kaidah Penjumlahan

Misalkan suatu peristiwa dapat terjadi dengan n

cara yang berlainan (saling asing). Dalam cara

pertama p1 kemungkinan hasil yang berbeda, cara

kedua memberikan p2 kemungkinan yang berbeda,

dan seterusnya sampai cara ke-n memberikan pn

kemungkinan berbeda, maka total banyaknya

kemungkinan kejadian dalam peristiwa tersebut

adalah p1 + p2 + … + p n cara.

Kaidah Perkalian

Misalkan suatu peristiwa terdiri dari n tahap

kejadian yang berurutan dimana tahap pertama

terjadi dalam q1 cara yang berbeda, tahap kedua

dengan q2 cara yang berbeda, dan seterusnya

sampai tahap ke-n dapat terjadi qn cara yang

berbeda, maka total banyaknya cara peristiwa

tersebut dapat terjadi adalah q1 x q2 x … x qn.

C. Permutasi

Permutasi ialah susunan yang berbeda yang dapat

dibentuk dari n unsur atau sebagian unsur

1. Notasi factorial

Pengertian notasi factorial dinyatakan dalam

definisi berikut:

Notasi Faktorial

Misalkan n adalah bilangan asli, maka

n!=n (n−1) (n−2 )…3.2.1 0!=1

2. Permutasi dengan semua unsur berbeda

Teorema

Jika ada n unsur yang berbeda diambil n unsur,

maka banyak susunan (permutasi) yang berbeda dari

n unsur tersebut adalah:

P (n,n)=n!Bukti

Misalkan diketahui n buah unsur akan disusun dalam

n tempat yang tidak melingkar. Maka, tempat

pertama diisi dengan n cara karena ada n unsur.

Tempat kedua diisi dengan (n -1) cara karena

sebuah unsur telah diisikan pada tempat pertama,

demikian seterusnya sampai tempat ke-( n-1) diisi

dengan 2 cara dan tempat ke- n diisi dengan 1

cara. Secara keseluruhn banyak cara untuk membuat

susunan (permutasi) yang berbeda adalah:

n (n−1 ) (n−2 )…3.2.1=n!3. Permutasi dengan sebagian unsur yang berbeda

Teorema

Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n buah

unsur yang berbeda adalah:

P (n,r )= n!(n−r)!

Dimana r<nBukti

P (n,r )=n (n−1) (n−2)… (n−(r−1) )

P (n,r )=n (n−1 ) (n−2 )… (n−(r−1 )) (n−r ) (n−(r+1 ))…3.2.1

(n−r ) (n−(r+1) )…3.2.1

P (n,r )= n!(n−r )!

4. Permutasi dengan beberapa unsur yang sama

Jika terdapat n objek dengan n1 merupakan jenis

pertama, n2 merupakan jenis kedua, hingga nk

merupakan jenis ke-k; dengan adanya n objek maka

terdapat n! permutasi. Apabila P adalah banyaknya

permutasi yang berbeda, jenis pertama mempunyai

n1!, jenis kedua mmempunyai n2! Dan seterusnya.

Berdasarkan kaidah perkalian diperoleh permutasi:

P(n1!xn2!xn3!x…xnk!)

Karena banyaknya objek ada n unsur, maka:

P (n1!xn2!xn3!x…xnk!)=n!

Sehingga,

P=n!

n1!n2!…nk!⟺( n

n1.n2…nk)= n!n1!n2!…nk!

Dimana

Unsur yang sama tidak dibedakan n1+n2+n3+…+nk=n

5. Permutasi siklik

Permutasi siklik adalah permutasi yang cara

menyususnnya melingkar, sehingga banyaknya

menyusun n unsur yang berlainan dalam lingkarann

ditulis:

n!n

=n (n−1)¿¿

Atau

Psiklik=(n−1)!

D. Kombinasi

Kombinasi dari sekumpulan objek adalah

banyaknya susunan objek-objek tersebut tanpa

memperhatikan urutan objek dari objek-objek

tersebut.

1. Kombinasi dengan semua unsur berbeda

Misal objek-objek tersebut adalah n1,n2,n3,…,dannn

. Karena susunan tidak memperhatikan urutan, maka

susunan

n1,n2,n3,…,nn=nn,nn−1,nn−2,…,n1Sehingga,

C (n.n)=1

2. Kombinasi dengan sebagian unsur berbeda

Secara umum kombinasi r unsur dari n unsur yang

diketahu dimana r≤n adalah:

C (n,r )= n!r! (n−r )!

3. Binomial Newton

Penjabaran binomial newton merupakan bentuk

penjabaran dari bentuk pangkat atas 2 suku, yaitu

a dan b. Koefisien-koefisien yang dihasilkan pada

penjabaran bentuk pangkat ini tertuang dalam suatu

segitiga pascal. Adapun penjabaran binomnya yakni:

Jadi, teorema binomial newton dapat dituliskan

sebagai berikut:

E. Ruang Sampel

Sebuah percobaan dalan ilmu hitung peluang

adalah suatu tindakan atau kegiatan yang dapat

memberikan beberapa kemungkinan hasil. Himpunan

semua hasil yang mungkin dari percobaan disebut ruang

sampel. Dan setiap unsur dalam ruang sampel disebut

titik sampel. Sebarang himpunan bagian dalam ruang

sampel dinamakan kejadian (event).

F. Peluang

Misalkan S adalah ruang sampel suatu percobaan

yang dilakukan n kali, dan A adalah suatu kejadian

dengan frekuensi munculnya A yaitu n(A) maka peluang

kejadian A adalah:

P (A )=limn→∞

n(A)n

Jika nilai n semakin besar, maka nilai n(A)n

konvergen ke suatu nilai sehingga limitnya disebut

sebagai peluang kejadian A.

Jika A adalah suatu kejadian yang terjadi padasuatu percobaan dengan ruang sampel S, di mana setiap

titik sampelnya mempunyai kemungkinan sama untuk muncul,

maka peluang dari suatu kejadian A ditulis sebagai:

P (A )=n(A)n(S)

Dimana P(A) = peluang kejadian A

N(A) = banyaknya anggota A

N(S) = banyaknya anggota ruang sampel S

Kisaran Nilai Peluang

Jika S adalah suatu ruang contoh dari suatu

percobaan, E adalah suatu kejadian, dan P adalah

suatu fungsi peluang, maka P(E) adalah peluang

kejadian E yang bernilai nyata jika memenuhi tiga

sifat berikut.

1. 0 ≤ P(E) ≤ 1, untuk setiap E.

2. P(S) = 1

3. P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P (E2), untuk E1 dan E2 dan

kejadian yang saling lepas atau E1 ∩ E2 = ϕ.

G. Frekuensi Harapan

Frekuaensi harapan suatu kejadian pada percobaanyang dilakukan n kali adalah hasil kali peluang kejadian

tersebut dengan banyaknya percobaan, dirumuskan:

F (E )=P (E )xnH. Komplemen Suatu Kejadian

Komplemen suatu kejadian A ditulis AC atau A’

merupakan kejadian tidak terjadinya kejadian A.

Hubungan P(A) dan P(A’) dapat diturunkan sebagai

berikut:

P (A )+P (A')=n (A )n(S)

+n(S−A)n(S)

P (A )+P (A')= n (S )n(S)

=1

Jadi,

P (A )+P (A')=1 atau P (A' )=1−P(A')

I. Kejadian Majemuk

Beberapa kejadian dapat dikombinasikan untuk

menghasilkan suatu kejadian baru. Kejadian baru yang

dikonstruksi seperti ini disebut kejadian majemuk.

Ada dua notasi yang biasa digunakan untuk

mengkombinasikan dua kejadian atau lebih yakni:

Notasi ∩ disebut irisan, dalam logika matematikadisebut operasi “dan”

Notasi ∪ disebut gabungan, dalam logika matematikadisebut operasi “atau”

1. Dua kejadian saling lepas

Jika suatu kejadian A dan B tidak bersekutu maka

kita katakan dua kejadian tersebut adalah saling

lepas. Untuk kejadian yang saling lepas (saling

asing/saling eksklusif), maka P(A ∩ B) = P(∅) =

0, seperti ditunjukkan oleh diagram di bawah.

Apabila E1 dan E2 adalah kejadian-kejadian dalam

suatu percobaan dan jika :

(i) E1 ∩ E2 = maka E1 dan E2 disebut kejadian

yang saling lepas dan P(E1 E2 ) = P(E1) + P(E2);

(ii) E1 ∩ E2 ≠ maka E1 dan E2 disebut kejadian

yang tidak saling lepas dan P(E1 E2 ) = P(E1) + P(E2)

- P(E1 ∩ E2 )

2. Dua kejadian saling bebas

Dua kejadian saling bebas artinya kejadian yang

satu tidak mempengaruhi kejadian yang lain, atau

kejadian yang satu tidak bergantung dengan

kejadian yang lainnya,

Jika E1 dan E1 adalah dua kejadian dengan syarat

bahwa peluang bagi kejadian E1 tidak mempengaruhi

S

A B

kejadian E2, maka E1 dan E2 disebut sebagai

kejadian-kejadian saling bebas. Dan berlaku rumus:

P (E1∩E2 )=P (E1)∙P (E2 )Jika E1 dan E1 adalah dua kejadian dengan syarat

bahwa peluang bagi kejadian E1 akan mempengaruhi

kejadian E2, maka E1 dan E2 disebut sebagai kejadian

bersyarat tidak saling bebas. Dan berlaku rumus:

P (E1∩E2 )=P (E1)∙P (E2 ∕ E1 )P(E2/E1) dibaca peluang kejadian E2 dengan dari E1

telah terjadi atau peluang bersyarat kejadian E2

setelah diketahui kejadian E1.