AS RESPOSTAS DADAS POR UMA PROFESSORA DE MATEMÁTICA ÀS DÚVIDAS DOS ALUNOS EM SALA DE AULA

XV Encontro Baiano de Educação Matemática

Educação Matemática na Formação de Professores: um novo olhar

UNEB CAMPUS X – Teixeira de Freitas – BA

3 a 5 de Julho de 2013

AS RESPOSTAS DADAS POR UMA PROFESSORA DE MATEMÁTICA ÀS

DÚVIDAS DOS ALUNOS EM SALA DE AULA

VALTER CARLOS DOS SANTOS SILVA

Universidade Federal do Recôncavo da Bahia (UFRB)

[email protected]

LEANDRO DO NASCIMENTO DINIZ

Universidade Federal do Recôncavo da Bahia (UFRB)

[email protected]

RESUMO

Esta comunicação científica é ao mesmo tempo recorte e uma ampliação de ideias

presentes numa monografia de graduação (SILVA, 2012), que teve como objetivo

evidenciar e analisar algumas justificativas apresentadas por uma professora, quando foi

indagada pelos alunos, com relação as suas dúvidas em Matemática. Consideramos as

justificativas dadas pelos professores como as respostas às dúvidas dos alunos, as quais

podem ser identificadas como demonstrações ou provas, a partir de autores da Educação

Matemática que discutem o tema e que são moldadas pelo contexto dos paradigmas de

práticas de sala de aula de Matemática que os professores proporcionam aos seus alunos.

Com uma abordagem qualitativa de pesquisa, as observações foram realizadas em uma

escola pública da rede municipal da cidade de Mutuípe, Bahia, onde a coleta dos dados

ocorreu nas aulas de uma professora de Matemática, numa turma do nono ano do Ensino

Fundamental. Durante as observações, identificamos que as aulas possuíam características

do paradigma do exercício, mas a professora esteve disponível para buscar sanar as

dúvidas dos estudantes, as quais foram justificadas através das provas, com a exposição de

novos exemplos, semelhantes aos já apresentados, com o foco na repetição. Também

identificamos pequenos indícios de postura docente um pouco diferente do paradigma do

exercício, com a utilização de calculadora simples para convencer os alunos da

necessidade de nova propriedade, ou seja, um breve caminhar da zona de conforto para a

zona de risco, apesar de ainda ser baseada num certo controle da situação.

PALAVRAS-CHAVE: Educação Matemática. Performance Matemática Digital.

Tecnologias da Informação e Comunicação. Cyberchase.

1 INTRODUÇÃO

A comunicação científica é um recorte e uma ampliação dos resultados presentes

numa monografia de graduação (SILVA, 2012) realizada pelo primeiro autor, sob a

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]





orientação do segundo autor. O foco da pesquisa foi evidenciar e analisar algumas

justificativas apresentadas por uma professora, quando foi indagada pelos alunos, com

relação as suas dúvidas em Matemática. O interesse do primeiro autor da pesquisa surgiu

quando participou do componente curricular “Laboratório de Ensino da Matemática”, o

qual foi ofertado no quarto semestre do curso de Licenciatura em Matemática na

Universidade Federal do Recôncavo da Bahia (UFRB).

Uma das atividades do componente curricular foi a realização de observações de

aulas de Matemática de uma turma dos anos finais do Ensino Fundamental. Numa das

aulas, aconteceu algo que chamou a atenção. Naquela ocasião, o professor ignorou a

pergunta do seu aluno: “Professor, por que é chamado de uma constante e é igual a

3,14?”. E o professor respondeu: “É porque é uma constante”. Por algum motivo ele talvez

não tenha convencido seu aluno da resposta dada. Em outro momento, o mesmo aluno fez

outra pergunta em relação a uma multiplicação de dois números naturais: “Por que quando

multiplico 1218 dá 216?”. O professor respondeu: “Porque quando faço o produto entres

esses dois números dá esse resultado meu filho, você não sabe fazer conta de vezes?”. Os

outros alunos fizeram comentários com os colegas sobre a resposta do professor. Aquela

relação entre professor e aluno deixou o primeiro autor desse texto inquieto com a

realidade vivenciada pelo estudante.

Para Lorenzato (2006, p. 97), “o questionamento constitui a base de todo o nosso

conhecimento, fazer perguntas é uma habilidade a ser permitida, desejada, estimulada e

cultivada pelo professor” e nem sempre essa comunicação está presente em sala de aula,

como abordaremos a seguir.

2 PROVAS E DEMONSTRAÇÕES NAS AULAS DE MATEMÁTICA

Entendemos que as provas e as demonstrações nas aulas de Matemática são

moldadas com os ambientes de aprendizagem proporcionados pelos docentes. Por isso,

iniciamos pontuando os paradigmas de práticas de sala de aula de Matemática.

O paradigma do exercício, que basicamente segue a sequência definição, exemplos

e exercícios, é mais conhecido como Ensino Tradicional (SKOVSMOSE, 2000; ALR;





SKOVSMOSE, 2006). Nesse contexto, “Os exercícios são formulados por uma autoridade

externa a sala de aula. Isso significa que a justificação da relevância dos exercícios não é

parte da aula de matemática em si mesma” (SKOVSMOSE, 2000, p. 1).

O docente também pode propor atividades investigativas, as quais buscam criar

condições para que os estudantes possam levantar conjecturas (ou hipóteses), realizar testes

e provar ou demonstrar as afirmações realizadas. Segundo Ponte, Oliveira e Brocado

(2006, p. 37), “a justificação ou prova das conjecturas é uma vertente do trabalho

investigativo que tende, com alguma frequência, a ser relegada para segundo plano ou até

mesmo a ser esquecida, em especial nos níveis de escolaridade mais elementares”.

No paradigma dos cenários para investigação, a definição ou propriedade que o

professor quer apresentar para os alunos deve ser construída com eles no final do processo

e, por isso, desafia o professor a sair da zona de conforto (que é o controle que tem sobre a

atividade realizada em sala de aula) para caminhar para a zona de risco, em que tensões

podem acontecer por não terem total controle sobre as atividades a serem desenvolvidas,

como questões que podem ser levantadas pelos alunos e que o professor não saiba a

resposta e precise investigar junto com eles (SKOVSMOSE, 2000).

Isso não significa a substituição de um paradigma por outro, mas que ambos podem

estar presentes, apesar de que acreditamos que o paradigma do exercício não terá as

mesmas características que pontuamos anteriormente, se os dois paradigmas estiverem

presentes na aula de Matemática, pois pode ser resignificado. Com isso, repensaremos a

importância do exercício, por exemplo, para fixação de conceitos e não com foco no

treinamento exaustivo.

E é nesse processo que a comunicação está presente na aula de matemática e que, a

partir dela, o professor pode buscar, pelo menos, minimizar as dúvidas que são levantadas

pelos alunos durante as aulas de Matemática. Entendemos que a comunicação é, segundo

Araújo (2002, p. 53), a “[...] maneira de interação entre pessoas, seja através da fala, da

escrita, de gestos ou de algum outro meio, com o objetivo de compartilhar algo”.

Comunicação pode ser associada com o compartilhamento de significados, os

quais são negociados a partir do diálogo, ou seja, com a “troca ou discussão de ideias, de

opiniões, de conceitos, com vista à solução de problemas, ao entendimento ou à

harmonia” (FERREIRA, 2000, apud ARAÚJO, 2002, p. 54 – grifos da autora).





A comunicação ocorre de maneira diferente nos paradigmas de práticas de sala de

aula, anteriormente apresentados. No paradigma do exercício, geralmente o professor fala e

o aluno escuta e busca repetir o que o professor afirma ser verdade. Nos cenários para

investigação, o professor busca criar condições para a negociação de significados, a partir

do diálogo entre professor e alunos e entre os alunos.

Na busca por criar condições para que os alunos possam entender os conteúdos

matemáticos, os professores podem proporcionar situações em que provas ou

demonstrações estejam atividades presentes nas aulas de Matemática.

Nesse sentido, os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática do Ensino

Fundamental II – PCN (BRASIL, 1998) enfatizam a importância da demonstração nas

aulas de Matemática, pois orienta para o estudo de teoremas, pelos alunos, com posterior

demonstração, privilegiando as conjecturas e as relações que as vinculam com o discurso

teórico. As demonstrações no ensino de Matemática na Educação Básica devem ser

propostas para que ajude os estudantes na compreensão do assunto, uma vez que a

demonstração em Matemática é uma das competências indicadas nos PCN (BRASIL,

1998).

A demonstração também é conhecida como prova rigorosa. Segundo Garnica

(1996, apud JESUS, 2008, p.70), “A prova rigorosa no contexto matemático se justifica

com o objetivo de convencer, validar e verificar”.

Podemos traçar um paralelo entre prova e demonstração, uma vez que a prova pode

ser entendida como uma espécie de verificação, e que pode ter rigor diferente para

diferentes contextos, como destaca Almouloud (2007, p. 3): as provas nas aulas de

Matemática “[...] são explicações aceitas [...] num determinado momento, podendo ter o

estatuto de prova para determinado grupo social, mas não para outro”. Isso diferencia, por

exemplo, a prova no contexto dos estudantes em sala de aula da Educação Básica, da prova

para os matemáticos, que é conhecida como prova rigorosa ou demonstração.

Há diferentes tipos de provas nas aulas de Matemática. Balacheff (1988, apud.

ALMOULOUD, 2007, p. 5) classifica esse tipos nos seguintes níveis.

Empirismo ingênuo: Consiste em afirmar a verdade de uma

proposição após a verificação de alguns casos. É considerado o primeiro passo no processo de generalização.





Experimento Crucial: Consiste em afirmar a verdade de uma

proposição após a verificação para um caso especial, geralmente não

familiar.

Exemplo Genérico: Consiste em afirmar a verdade de uma

proposição após a manipulação de alguns exemplos de modo a deixá-los

com uma característica que representa uma classe de objetos.

Experimento de pensamento: consiste em afirmar a verdade de uma

proposição de forma genérica, porém baseada no estudo de alguns casos específicos.

Para Ponte, Oliveira e Brocado (2006, p.38),

A introdução da ideia de prova matemática pode ser feita gradualmente,

restringindo-se, numa fase inicial e com os alunos mais novos, à procura

de uma justificação aceitável, que se baseie num raciocínio plausível e nos conhecimentos que os alunos possuem. À medida que os alunos vão

interiorizando a necessidade de justificarem as suas afirmações e que as

suas ferramentas matemáticas vão sendo mais sofisticadas, vai-se tornando mais fácil realizarem pequenas provas matemáticas.

A prova no contexto da uma atividade do paradigma do exercício é um aspecto

pouco presente na literatura, especialmente se focarmos a prova como sendo as

justificativas dadas pelos professores às dúvidas dos alunos. Estamos assumindo que essas

provas podem ter os níveis apresentados por Balacheff (1988, apud. ALMOULOUD,

2007).

Assim, acreditamos que a demonstração ou a prova, numa sala de aula de

matemática, pode assumir um papel fundamental para justificar as indagações feitas pelos

alunos.

Desta forma, entendemos que a prova e a demonstração podem estar presentes nas

aulas de matemática, tanto para o aluno justificar as conjecturas ou os resultados obtidos

pelos alunos quanto para que o professor esclareça e crie condições para tal. Nesse cenário,

acreditamos que a comunicação é moldada pelo paradigma de prática de sala de aula

adotado pelo professor.

3 ASPECTOS METODOLÓGICOS

A pesquisa é qualitativa, pois tem, na sua essência, segundo Bogdan e Biklen

(1994, p.47-51), cinco características da investigação: o ambiente natural como sua fonte





direta de dados e como principal instrumento; os dados coletados predominantemente são

descritivos; a preocupação maior é com o processo e não com os resultados; o foco é com

os significados dados pelas pessoas às coisas e à sua vida; e a análise de dados é por meio

de um processo indutivo. Essas características estão presentes nesse estudo.

No contexto da pesquisa, ambiente natural como fonte direta dos dados, uma vez

que os dados foram coletados na escola onde professora e alunos estão em convívio na sala

de aula. A observação foi um instrumento de coleta de dados em que focamos num aspecto

presente no processo de ensino e aprendizagem, ou seja, as dúvidas levantadas pelos

alunos em sala de aula e as respostas da docente.

A pesquisa foi realizada num colégio localizado na cidade de Mutuípe, Bahia. O

principal motivo que levou a escolher tal instituição foi facilidade de acesso.

Neste contexto, destacamos que os principais sujeitos envolvidos na pesquisa são a

professora e seus trinta e três alunos de uma turma do nono ano do ensino fundamental,

compreendidos entre quatorze e dezesseis anos. A turma se mostrou de certa forma

envolvida nas aulas observadas. A relação entre os alunos e a professora da turma é

permeada por respeito, algo bem característico entre professores e alunos das escolas

públicas da cidade.

A professora era licencianda em Matemática pela Universidade Federal do

Recôncavo da Bahia, do Plano Nacional de Formação de Professores da Educação Básica

(PARFOR) e tinha trinta e um anos. Lecionava na escola há seis anos no Ensino

Fundamental II. Atuava como docente em três turmas do nono, uma do sétimo e uma do

sexto ano e tinha uma carga horária de vinte horas semanais.

Em alguns momentos, parecia existir um sentimento próximo de amizade na turma.

Alguns alunos se interessavam e apreciavam a matemática. Assim, notamos um índice de

participação satisfatório.

Outro fator relevante foi o interesse demonstrado pela professora pelo fato de gostar

de lecionar. Acreditamos que isso pode ser significativo, pois pode fazer com que a turma

participe das aulas e, consequentemente, aprenda matemática.

Optamos por não revelar a identidade da professora e dos alunos. Dessa forma, os

alunos serão reconhecidos aqui por “1, 2 e alunos – quando alguns falam ao mesmo

tempo” e a docente, chamaremos de “Professora”.





4 ANÁLISE DE DADOS

Durante a primeira observação na aula de matemática, a professora apresentou o

pesquisador para a turma e informou que seria para realização de uma pesquisa. Em

seguida, iniciou a aula, propondo uma atividade, referente à multiplicação e divisão de

radicais com índices diferentes.

No caderno, efetue as operações indicadas simplificando o resultado, quando possível.

a) b) 10 3

6 2

5

5 c) 5 107 d)

7 72

2

Logo no início da correção, um aluno fez a seguinte pergunta referente à letra a:

Aluno 1: Professora, por que tenho que tirar o mmc entre os índices dos radicais? Até

agora não entendi isso ainda.

Professora: Como os radicais têm índices diferentes, precisamos primeiro reduzi-los aos

mesmos índices e, em seguida, efetuar a multiplicação entre os radicais.

Aluno 1: Como assim professora? Fiquei confuso agora!

Professora: Calma, tenha calma, fique calmo meu filho. Vou fazer a seguinte pergunta para

a turma: Quem deve ser múltiplo comum dos índices 3 e 4 das raízes?

Alunos responderam: 12, 24, 36, 48, 60,...., e assim por diante.

Professora: Ótimo! Muito bom!

Aluno 1: E agora, o que faremos com os múltiplos de 3 e 4, professora?

Professora: Para facilitar nosso trabalho, escolheremos o menor deles, certo turma? Nesse

caso, é o 12. Vocês entenderem por que precisamos tirar o mmc entre os índices dos

radicais quando estes são diferentes?

Aluno 1: Compreendi professora!

Aluno 2: Agora sim.

Neste excerto, identificamos que a professora busca estabelecer comunicação com

seus alunos, a partir da interação utilizando a fala (ARAÚJO, 2002). Identificamos

elementos que caracterizam a aula como sendo do paradigma do exercício com referência à

matemática pura (SKOVSMOSE, 2000), pois ela não negociou significados ao assumir o

4 33 2 .67





12 como o menor múltiplo comum de 3 e 4, mas justificou para os alunos “para facilitar o

nosso trabalho”, e eles aceitaram.

Antes de seguir com a correção da atividade, a professora mostrou outro exemplo:

10 34 22 . Aqui temos outra característica do paradigma do exercício: a repetição. Isso é

proposto na tentativa dos alunos compreenderem o assunto e, assim, possam aprender

(ALR; SKOVSMOSE, 2006). Por isso, recorreu a outro exemplo semelhante para buscar

sanar ou minimizar as dúvidas dos estudantes. Ou seja, a docente retomou o procedimento

para calcular a multiplicação e divisão de radicais com índices diferentes, buscando

justificar aos alunos a dúvida levantada por eles, a partir da repetição de exemplos

semelhantes aos já apresentados, para que pudessem compreender o conteúdo apresentado

pela professora (SKOVSMOSE, 2000).

Conforme aponta Almouload (2007), entendemos que nesse contexto temos uma

prova, pois as explicações feitas pela professora foram aceitas pelos alunos. Essas

explicações buscam justificar as dúvidas dos alunos na tentativa de convencê-los da

afirmação apresentada por ela, de modo semelhante ao objetivo apresentado por Garnica

(1996, apud. JESUS, 2008) para prova rigorosa.

Identificamos que o nível de prova é de um tipo diferente dos que foram

apresentados por Balacheff (1988, apud. ALMOULOAD, 2007), pois um enunciado foi

apresentado e, a partir dele, exemplos foram feitos como forma de ilustrar como é feito a

operação entre radicais com índices diferentes. Por isso, acreditamos que os exemplos são

importantes nesse processo.

Em outra aula observada, a professora fez a racionalização de denominadores.

Iniciou pedindo que os alunos considerassem o exemplo 3

1. Solicitou que pegassem

algumas calculadoras, disponibilizadas por ela na sala de aula, para resolverem a expressão

proposta e indagou: “Qual é o valor de raiz quadrada de três?”. Os alunos informaram o

valor encontrado e ela solicita que considerem 1,7323 , com uma aproximação de três

casas decimais e continuou: “Vamos encontrar a forma decimal aproximada de 3

1”. Para





isso, pediu aos alunos que substituíssem o valor de 1,7323 em 1,732

1 para que

efetuassem a divisão, tendo como resultado 0,577. Em seguida um aluno questionou:

Aluno 1: Professora, existe uma maneira mais fácil de efetuar esta conta?

Professora: Tem sim, vamos fazer agora! Precisamos fazer uma racionalização, cujo

objetivo é tornar o denominador, que é um número irracional, num denominador racional.

Aluno 2: Como assim professora?

Professora: Se multiplicarmos o numerador e o denominador da expressão 3

1 pelo

mesmo número que se encontra no denominador, que é 3 , vamos obter o denominador

de 3

3 um número racional, uma vez que há uma transformação desse tipo, damos o nome

de racionalização de denominadores.

Aluno 2: Nesse caso, então só precisamos fazer a racionalização dos denominadores. É

isso mesmo professora?

Professora: Correto! É só isso!

Mais uma vez, exemplos semelhantes a esse foram apresentados. Era notável,

também, a preocupação da professora com relação à exposição do assunto, pois ela sempre

destacava que a ideia de racionalização consiste em transformar uma expressão com

denominador, contendo números irracionais, em uma expressão equivalente com

denominador contendo números racionais.

Isso evidencia que ela busca sanar as dúvidas dos alunos, através do diálogo com

eles e criando condições para que reflitam sobre a necessidade de inserir um novo

conteúdo, como apresentado acima. Assim, com a última fala do aluno 2, podemos inferir

que o enunciado apresentado pela professora é considerado verdadeiro por ele após a

exposição de um exemplo, invertendo a ordem da aula anteriormente observada,

aproximando-se das características dos cenários para investigação. Afirmamos que apenas

se aproxima, pois podemos identificar uma característica essencial do paradigma do

exercício: o conhecimento é de domínio do professor, por isso a verdade está com ele e é

inquestionável.

Assim, conjecturamos que professora apresentou indícios de postura docente um

pouco diferente do paradigma do exercício, com a utilização de calculadora simples para





convencer os alunos da necessidade de um novo conteúdo a ser apresentado aos alunos, ou

seja, um breve caminhar da zona de conforto para a zona de risco, apesar de ainda ser

baseada num certo controle da situação (SKOVSMOSE, 2000).

Apesar disso, identificamos que houve “certo controle” do processo, na tentativa de

correr o menor risco possível. Mas, ela não iniciou com a definição ou com a apresentação

da regra ou propriedade, pois foi a partir de um exemplo que a professora apresentou o que

desejava que os alunos aprendessem e talvez, com isso, buscou antecipar dificuldades e

convencê-los da necessidade desse novo aspecto, ou seja, uma espécie de prova.

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Esta pesquisa teve como objetivo evidenciar e analisar algumas justificativas

apresentadas por uma professora, quando foi indagada pelos alunos, com relação as suas

dúvidas em Matemática. Para isso, identificamos a importância da comunicação, a partir

dos paradigmas de práticas de sala de aula.

A prova foi entendida como as formas que uma professora apresentou argumentos

para justificar as dúvidas levantadas pelos seus alunos: apresentando exemplos

semelhantes e abrindo a possibilidade, apesar de certo controle, para adentrar na zona de

risco (SKOVSMOSE, 2000).

Fazer observações das relações estabelecidas no processo ensino e aprendizagem

entre professor e aluno pode ser uma rica oportunidade para uma melhor compreensão dos

“por quês” e dos resultados alcançados no processo de ensino e aprendizagem da

Matemática nas escolas, bem como entender como o professor de matemática justifica os

por quês dos alunos apresentadas nas aulas de matemática.

Além disso, acreditamos que prova tem a intenção de convencer o estudante que

(e/ou validar localmente) a afirmação feita pelo docente é verdadeira para que ele

compreenda a informação apresentada.

REFERÊNCIAS





ALMOULOUD, S. Ag. Prova e Demonstração em Matemática: problemática de seus

processos de ensino e aprendizagem. In: ASSOCIAÇÃO NACIONAL DE PÓS-

GRADUAÇÃO E PESQUISA EM EDUCAÇÃO, 30. 2007, Caxambu. Anais... Caxambu:

[s.i.], 2007. Disponível em: http://www.anped.org.br/reunioes/30ra/trabalhos/GT19-2957--

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ALRØ, H.; SKOVSMOSE, O. Diálogo e Aprendizagem em Educação Matemática. 2.

ed. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2006.

BOGDAN, R.; BIKLEN, S. Investigação Qualitativa em Educação – uma introdução à

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BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais - Matemática. Secretaria de Ensino

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JESUS, G. B. Construções Geométricas: uma alternativa para desenvolver

conhecimentos acerca da demonstração em uma formação continuada. 233f. Dissertação

(Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica, São Paulo, 2008.

LORENZATO, S. Para Aprender Matemática. Campinas, SP: Autores Associados Ltda,

2006.

SILVA, V. C. S. As Respostas dos Professores às Dúvidas Levantadas pelos Alunos

nas Aulas de Matemática. Monografia (Graduação em Licenciatura em Matemática).

Universidade Federal do Recôncavo da Bahia, Amargosa, 2012.

PONTE, J. P.; BROCADO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações Matemáticas na

Sala de Aula. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2006.

SKOVSMOSE, O. Cenários para Investigação. 2000. Disponível:

<http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/textos/skovsmose(Cenarios)00.pdf>. Acesso em

30 out.2012.

http://www.anped.org.br/reunioes/30ra/trabalhos/GT19-2957--Int.pdf

http://www.anped.org.br/reunioes/30ra/trabalhos/GT19-2957--Int.pdf

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/textos/skovsmose(Cenarios)00.pdf

AS RESPOSTAS DADAS POR UMA PROFESSORA DE MATEMÁTICA ÀS DÚVIDAS DOS ALUNOS EM SALA DE AULA

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