APUNTES DE FILTRACIÓN

Ing. M. R. Piris da Motta Cátedra de Operaciones Ic Facultad de Ciencias Exactas, Qcas. y Naturales Universidad Nacional de Misiones-UNaM

1

TEMA : FILTRACIÓN 1-INTRODUCCION Definición: Separación de partículas sólidas contenidas en un fluido haciéndolo pasar a través de un medio filtrante (MF). Es similar en sus objetivos al espesamiento, ya que se trata de concentrar una solución conteniendo sólidos en suspensión pero en este caso reteniéndolos sobre una superficie a través del cual se hace pasar la solución. Se obtiene una torta cuyo espesor varia en función de tiempo, la cual esta formada por un lecho de partículas a través del cual fluye la solución. -- colado Filtraciones industriales --- separaciones altamente complejas ----- líquido -- sólidos Fluido Material valioso -- fluido - - - gas --- ambos -- ninguno --- trazas Concentración de sólidos --- % elevados Pretratamientos (para mejorar la velocidad de filtración) :

- calentamiento - recristalización - agregado de coadyuvantes (yeso, celulosa, tierra de diatomea, etc.)

MF . Columna de líquido Ps > P atm (a presión) . Bomba . Soplante . Fuerza centrífuga Ps A Pa Ps= Patm y Pa < P atm (de vacío) ∆p

2

2- TIPOS DE FILTROS a) de gravedad b) a presión c) de vacío d) centrífugo a) está limitada a la recuperación de sólidos a partir de una suspensión relativamente

diluida MF 1) tamiz 2) lecho de partículas (arena) Aplicación: separación de cristales muy gruesos , clarificación de agua potable, tratamiento de aguas residuales b y c) la mayoría de los filtros industriales son de estos tipos. Ofrecen una gran diversidad de aplicaciones y pueden ser utilizadas para concentrar desde suspensiones diluidas hasta barros. Cuando la fase líquida resulta muy viscosa o los sólidos son muy finos, la filtración bajo vacío resultaría muy lenta y es conveniente aumentar el gradiente de presión, razón por la cual la filtración a presión resulta ventajosa. --- Continuos Pueden ser --- descarga de sólidos --- Discontinuos e) La centrifugación es utilizada cuando los sólidos presentes son fáciles de filtrar y

cuando una torta con bajo contenido de humedad es requerida. 3-CLASIFICACION A- Filtros Clarificadores B- Filtros de torta A- Retiran pequeñas cantidades de sólidos de un gas (a) o un líquido (b) = Filtros de

lecho profundo. Las partículas no son retenidas en la superficie, sino son atrapadas en el interior del medio filtrante (por fuerzas superficiales dentro de los canales) B- Separan grandes cantidades de sólidos en forma de torta a) Limpieza de gases 1- Filtro de barras -- polvos atmosféricos (aire se hace pasar por pulpas de

celulosa, algodón o tamices metálicos 2- Lechos granulares--- lechos estacionarios o móviles, con gránulos de 9 a 30

mallas, hasta 1/2 a 1 1/2 pulg.

3

3- Filtro de bolsas -- el filtro contiene 1 o 2 bolsas de fieltro o de una tela fina

instalada dentro de una carcasa metálica. La eficiencia puede llegar al 99 %, separándose partículas mas finas que las aberturas del tamiz.

b) Clarificación de líquidos Comprenden:

- Filtros de lechos por gravedad tratamiento de agua - Filtros de cartucho -> elementos filtrantes de diferentes diseños y

materiales - Filtros de torta

B- Filtros de Torta El MF es relativamente delgado comparado con el del filtro clarificador. Salvo por un corto período al principio de la filtración , la torta de sólidos es la que realiza la filtración y no el MF. Se utiliza para separaciones S-L. Puede operar con Ps > Patm o Pa < P atm. Filtros Prensa discontinuos

- Filtro Prensa - Filtro de carcasa y hoja

Filtro Prensa (FP) Contiene un conjunto de placas diseñadas para proporcionar una serie de cámaras o compartimentos en los cuales se recogen los sólidos. Estas placas se recubren con un material filtrante y se acoplan estrechamente entre sí por medio de un tornillo o prensa hidráulica. La suspensión se inyecta a presión en los compartimentos y el líquido filtrado pasa a través de la lona y es recogido por un colector. Filtro de carcasa y hojas Aplicación: Para filtrar a presiones superiores a las de un FP de placas y marcos, para reducir la mano de obra o cuando se requiere un lavado mas eficaz . Consiste en un conjunto de hojas verticales sobre un bastidor retráctil. La unidad se abre para descargar , mientras que durante la operación permanecen dentro del tanque.

4

4- Filtros Continuos a presión Los Filtros discontinuos requieren mucha mano de obra y no pueden ser utilizados en los procesos a gran escala. En estos casos lo mas conveniente es utilizar filtros continuos a presión , no pudiéndose utilizar los filtros de vacío por las siguientes razones : a- Sólidos muy finos que filtran muy lentamente b- Líquidos con elevada presión de vapor o viscosidad > 1 P c- Soluciones saturadas que cristalizan al enfriarse a) El ∆p requerido solo puede conseguirse con una Ps > Patm. b y c) La Pa > Patm. Estos filtros debido a los problemas mecánicos para la descarga de sólidos, su alto costo y complejidad, así como su pequeño tamaño, limitan su aplicación solamente a problemas especiales. Cuando no se pueden utilizar filtros continuos de vacío, hay que pensar otros métodos de separación, tales como filtros centrífugos continuos. 5- Filtros continuos de vacío En estos filtros el líquido es succionado a través de un MF sobre el que se deposita una torta de sólidos. En todo momento una parte del MF se encuentra en la zona de filtración (ZF), otra en la zona de lavado (ZL) y otra en la etapa de descarga de sólidos. La caída de presión a través de MF no es elevada ( e/ 10 a 20 ´´ de Hg). Los diferentes diseños difieren en la forma en que introduce la suspensión, la forma de la superficie filtrante y la manera en que se descargan los sólidos. La aplicación de vacío se realiza desde una fuente estacionaria y se acciona la unidad por medio de una válvula rotatoria. 5.1. Filtro de Tambor Rotatorio Es el tipo mas frecuente de filtro continuo de vacío. Un tambor horizontal con una cara acanalada gira a 0.1 a 2 rpm en un depósito con la suspensión agitada. Un MF , tal como una lona cubre la superficie del tambor que esta parcialmente sumergida en el líquido. Debajo de la superficie acanalada, existe un segundo tambor más pequeño. Entre los dos tambores existen tabiques radiales que dividen el espacio anular en compartimentos separados, cada uno de los cuales está conectado por medio de una tubería interna a un orificio situado en la placa de la válvula rotatoria. Existen numerosas variantes comerciales, en algunos de ellos no existen compartimentos y el vacío se aplica a toda la superficie interna del tambor.

5

La capacidad depende de : las características de la suspensión de alimentación y sobre todo del espesor de la torta que puede formarse ( 1/8 a 1 ´´ ). Dimensiones: 1 ft < D < 10 ft 1 ft < L <14 ft El grado de inmersión varía entre un 30 % y un 70 % cuando se desea una elevada capacidad de filtración sin lavado. El desprendimiento de la torta se realiza por medio:

- de una cuchilla - de cuerdas paralelas muy juntas - insuflando aire - separando la tela filtrante y haciéndola pasar alrededor de un

rodillo 5.1.1. Filtro de recubrimiento previo Se utilizan para filtrar sólidos gelatinosos que tienden a obstruir las telas filtrantes. Previo al filtrado se deposita una delgada capa de coadyuvante de filtración, tal como tierra de diatomea y luego se succiona la suspensión depositándose una delgada capa de sólidos. Se puede utilizar solamente cuando los sólidos se desechan y opera con una Inmersión de 50 %. 5.2 Filtro de Cinta Horizontal Aplicación: Suspensión con sólidos que sedimentan y para aquellos que presentan una distribución de tamaño de partículas muy amplio. En el caso de sólidos gruesos que sedimentan y la torta que se forma no se adhiere a la superficie de tambor, se utilizan filtros horizontales alimentados por la parte superior. Un ejemplo lo constituye el filtro de cinta móvil, que se parece a un transportador de cinta, con un soporte transversal que lleva la tela filtrante que tiene la forma de una cinta sin fin. La suspensión se alimenta desde un distribuidor situado en el extremo de la unidad, pasa a través de la cinta y es recogido en la parte inferior en la cámara longitudinal de vacío. La torta lavada y filtrada descarga por el extremo opuesto al de alimentación. Dimensiones: Ancho ( 0.60 a 5.4 m) Largo: (4.8- 33 m ) Area de Filtración: 1200 ft2

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6. Medio Filtrante Requisitos:

- Retener los sólidos -- líquido filtrado claro - No obstruirse - Resistente desde el punto de vista físico y químico - Económico - Permitir que la torta formada se desprenda con facilidad

El MF más usual a escala industrial es la tela de lona de diferentes pesos y tejidos. Los líquidos corrosivos requieren el empleo de tela de lana, de metal monel, acero inoxidable, de vidrio o de papel. Las fibras sintéticas como el nylon, propileno y Dacron tienen elevada resistencia química pero son menos eficientes que las fibras naturales para la separación de partículas finas. 7. Coadyuvantes de Filtración Los sólidos muy finos y mucilaginosos, que forman tortas densas e impermeables, obstruyen rápidamente cualquier medio filtrante. Para aumentar la porosidad de la torta se agregan materiales denominados coadyuvantes, tales como tierra de diatomea, celulosa, y otros materiales porosos inertes a la suspensión antes de la filtración. En el caso de que el material valioso lo constituyan los sólidos, debe pensarse en el método de separación y recuperación del coadyuvante. 8- Fundamentos de la Filtración La filtración es un ejemplo especial de flujo a través de un medio poroso, cuya resistencia al flujo no es constante sino aumenta a medida que el medio filtrante se va obstruyendo o se forma una torta de filtración. Magnitudes de interés :

- Velocidad de flujo a través del filtro - Caída de presión

A medida transcurre el proceso o bien disminuye la velocidad de flujo o aumenta la caída de presión. En la filtración a presión constante, ∆p permanece constante y disminuye la velocidad de flujo con el tiempo, mientras que en la filtración a velocidad constante, la caída de presión aumenta progresivamente permaneciendo constante la velocidad .

7

8.1- Fundamentos de la Filtración de torta En general la filtración se efectúa a través de dos etapas o períodos bien definidos. Estos períodos pueden ser caracterizados en función de la presión de alimentación P y el caudal de filtrado Q, como se muestra en la Figura 1. P 2 1- se caracteriza por una operación a P variable y caudal de filtrado cte 1 2- se caracteriza por una operación a P constante y caudal de filtración decreciente Fig. 1 t1 t Q 1 2 t1 t La teoría a desarrollar se basa en el flujo de fluidos y en la experimentación y su propósito es obtener una relación entre el volumen de filtrado (V) y el tiempo θ. Veamos que sucede cuando fluye una suspensión a través de un lecho de partículas como el que se muestra en la Fig. 2.

8

Período 1 Q = cte y la relación V = f (θ) puede ser escrita simplemente como:

V = Q . θ .cteQddV

==θ

Período 2 ∆p = cte . V y θ son variables. Aquí la relación no puede ser derivada fácilmente y se debe recurrir a la teoría de flujo de fluidos a través de un lecho de partículas. Aplicando la ecuación de Bernoulli a los puntos 1 y 2 se tiene

cg

vDLfp

2

2=

∆ρ

que para un elemento diferencial ∆L toma la forma

cg

vDLfp

2

2∆=

∆ρ

(1)

Hipótesis :

- Torta formada por infinitos capilares - Capilares que se asemejan a tubos de sección variable - Diámetro de los tubos se expresa en función del rH - La rugosidad es despreciable - Las partículas son pequeñas y todas tienen la misma forma - El flujo en los capilares es laminar

Para flujo laminar

DvN

fρµ6464

Re

== (2)

sustituyendo (2) en (1) se tiene

2

.32Dgv

dLdp

Lp

c

µ==

∆∆

(3)

9

Para el caso de la filtración se deben expresar D y ⎯v en función de los parámetros de la torta. Cálculo de D Dado que las paredes de los canales no son perfectamente circulares, se debe reemplazar D por el De

=He rD .4=mojadoPerimtransvción

...sec4 (4)

Multiplicando y dividiendo por L el término de la derecha de esta expresión resulta

partículasdeSup

porosdeVolLmojadoP

SLDe ....4

..4 == (5)

Son necesarias dos definiciones adicionales: a) Porosidad ε = Volumen de los poros / Volumen de la torta húmeda (VTH) (6) 1-ε= Volumen de sólidos (partículas) / Volumen de torta húmeda (7) b) Superficie Específica

=p

p

vs

superficie de partícula / volumen de partícula (8)

De acuerdo a (6) y (8) Volumen de los poros = ε . Volumen de la torta húmeda Superficie de partículas = sp/vp . volumen de partículas (9) = sp/vp. (1-ε) Vol. Torta hum. Sustituyendo en (5)

10

)1(4

)1(

.4....4

ε

ε

ε

ε

−=

−==

p

p

p

pe

vs

VTHvs

VTHpartículastotalSupporosdeVolD (10)

Cálculo de ⎯v ⎯v es la velocidad media equivalente calculada como si el líquido pasara a través de una superficie equivalente a la de los poros, mientras que v es la velocidad específica (superficial) sobre la superficie de la torta y que puede ser definido en función de la porosidad del medio filtrante como v= ⎯v ε ----- ⎯v = v / ε (11) Considerando la expresión

2

.32Dgv

dLdp

c

µ=

y reemplazando (10) y (11) en la ecuación anterior se tiene

23

2

)(.16

)1(32p

p

c vs

gv

dLdp

εεµ −

= (12)

que puede ser escrita como

23

2

1 )()1(

p

p

c vs

gvk

dLdp

εεµ −

= (13)

a partir de esta expresión es posible obtener una relación que vincule V = f (θ)

Ad

dVvddVAvQ

..

θθ=>−−−−−−==

Siendo V= volumen de filtrado (l o ft3) θ = tiempo (s) A= Sup. de filtración v= velocidad de filtración Despejando v de (12) se tiene

11

dLdp

vs

k

gAd

dVv

p

p

c

221

3

)1()(.

εµ

εθ

−

== (14)

Haciendo dL L y agrupando los términos constantes se tiene

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

221

3

)1()(

..

ε

εµθ

p

p

c

vs

kL

gAdpddV

(15)

siendo el término constante ⎡⎤ igual a K la permeabilidad del lecho (L2 ) A partir de esta ecuación es posible determinar una relación que vincule V = f (θ) Dicha relación se puede derivar en dos etapas. i) una relación de mc = f (L) ii) una relación de mc = f (V) siendo mc = masa de sólidos = masa de la torta seca i) mc = A L (1-ε ) ρp (16) ii) c = mc / V (masa de sólidos / Volumen de filtrado) c se puede medir experimentalmente o calcular a partir de un balance de materia mc = V . c (17) igualando (16) y (17) y despejando L se tiene

pA

cVLρε )1(

.−

= (18)

12

Sustituyendo (18) en (15) se tiene

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=

221

32

)1()(..

)1(..

ε

εµ

ρε

θ

p

p

pc

vs

kcV

gAdpddV (19)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

)1()(..

..

21

32

ε

εµ

ρ

θ

p

p

pc

vs

kcVgAdp

ddV

que aparece en la bibliografía escrita en la forma

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

p

p

p

c

vs

k

gAdpcV

dVd

ρε

εµθ

.

)1()(

....

3

21

2 (20)

definiéndose al término entre ⎡⎤ como α = resistencia específica de la torta que es función de ε Expresándose la ecuación anterior como

[ ]αµθ ...

..2 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

cgAdpcV

dVd (21)

Ecuación que puede ser escrita reagrupando variables como

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

AcV

gAdpdVd

c

.....

αµθ (22)

( s / l ) = (s/ m2 ) ( 1/ m)

13

donde ⎡ α V. c / A ⎤ es la resistencia de la torta, a la que debe agregarse la resistencia del medio filtrante MF obteniéndose

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= m

c

RA

cVgAdpdV

d .....

αµθ (23)

Integrando la expresión anterior se tiene

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∆

= VRAVc

gAp mc

..2..

..

2αµθ (24)

La ecuación (23) puede ser escrita como [dθ/dV] = Kp V + B ( 25) Válida para el período 2 con ∆p = cte.

Siendo 2....

AgpcKK

ccp ∆==

αµ y pgA

RB

c

m

∆=

..µ

Que integrada resulta

VBVK p .2

2

+=θ o BVKV p +=

2θ

(26)

que al representar gráficamente permite obtener Kp y B como se muestra en la Fig. 3 θ /V Kp/2 Rm = 0 B= 0 B Fig. 3 V

14

La Ecuación (26) suele aparecer en algunos libros en la forma

o

p qVK

V1

2+=

θ (27)

siendo 1/qo = (dV/dθ)o ( θ = 0) qo = caudal de filtrado para θ = 0 8.2. Ecuaciones Empíricas para la resistencia de las tortas Realizando ensayos a presión constante para varias caídas de presión se puede encontrar la variación de α con ∆p . Si α es independiente de ∆p, la torta es incompresible. Generalmente α aumenta , ya que la mayor parte de las tortas, son por lo menos en alguna medida compresibles. Se puede utilizar ecuaciones empíricas para ajustar los datos experimentales de ∆p en función de α , siendo la mas frecuente α = αo ( ∆p) s (28) donde αo y s son constantes empíricas s = coeficiente de compresibilidad de la torta s= 0 incompresible 0.2 > s < 0.8 La ecuación (28) no debe ser utilizado para caídas de presión muy diferente del empleado en los experimentos realizados para evaluar s y α .

8.3. Ejemplo de filtración a ∆p = constante La Tabla 1 siguiente se presentan los datos obtenidos en cinco ensayos a presión constante, en donde se midieron los tiempos para obtener un volumen de filtrado fijo V en litros a partir de una suspensión de carbonato de calcio. La superficie de Filtración A= 440 cm2 y la masa de sólidos por unidad de volumen de filtrado es de 23, 5 g/l y la T= 25 ºC. Calcular los valores de α y Rm y obtener la ecuación empírica de los resultados de α en función de ∆p.

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Tabla 1 Corrida Nº 1 2 3 4 5 ∆p.(Kg/cm 2) 0.47 1.14 1.98 2.55 3.45

Volumen filtrado (litros)

t t/V t t/V t t/V t t/V t t/V

0.5 17.3 34.6 6.8 13.6 6.3 12.6 5.0 10 4.4 8.8 1.0 41.3 82.6 19.0 38 14.0 28 11.5 23 9.5 19 1.5 72.0 144 34.6 69.2 24.2 48.4 19.8 39.6 16.3 32.6 2.0 108.3 216.6 53.4 106.8 37.0 76 30.1 60.2 24.6 49.2 2.5 152.1 304.2 76.0 152 51.7 103.7 42.5 85 34.7 69.4 3.0 201.7 403.4 102.0 204 69.0 138 56.8 113.6 46.1 92.2 3.5 34.6 131.2 262.4 88.8 177.6 73.0 146 59.0 118 4.0 82.6 163.0 326 110.0 220 91.2 182 73.6 147.24.5 144 134.0 268 111.0 222 89.4 178.85.0 216.6 160.0 320 133.0 266 107.3 214.65.5 12.6 156.8 313.6 8.8 6.0 28 182.5 365 19

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8.4 Cálculo del tiempo de filtración A) Si Rm = 0 dV /dθ dV /dθ VTc VTv V θTc θTv V VTc = Volumen de filtrado a tasa constante (período 1) VTv= Volumen de filtrado a tasa variable (período 2) θTc= Tiempo de filtrado a tasa constante (período 1) θTv= Tasa de filtrado a tasa variable (periodo 2) i)Periodo 1 Caudal = constante = tasa constante = Tc θTc = VTc / (dV/ dθ)Tc (28) Considerando la ecuación [dθ/dV] = Kp V + B y para Rm = 0 B=0 se tiene θTc = Kp VTc2 / 2 (29) ii) Período 2 Presión = constante = tasa variable = Tv A partir de la ecuación

17

[dθ/dV] = Kp V + B se tiene BVKd

dV

p

11+=

θ

que para Rm = 0 B=0 toma la forma

VKdV

d

p

1=

θ

integrando entre θ Tc y θT , VTc y VT resulta (θT - θ Tc ) = ( VT2 - VTc2) Kp/2 = θ Tv (30) expresión que da el tiempo para el periodo de tasa variable El tiempo total resulta así θ T = θ Tc + θ Tv = (KpVT 2/2) (31) B) Si Rm ≠0 i)Período 1 Durante este período el caudal es constante y la presión varía en función del tiempo . Nuestro propósito será derivar una relación que vincule la caída de presión con el tiempo, para poder calcular θ . Partiendo de la expresión

( )

c

p

c

p

p

gv

g

vs

v

kdLdp αρεµ

ε

εµ.)1.(.

1..

3

2

2

1

−=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= (32)

y sabiendo que mc = AL (1-ε)2 ρp - dmc = A (1-ε)2 ρp dL y dL = dmc / A (1-ε)2 ρp (33) sustituyendo (33) en (32) resulta

Ag

vdmdp

c ... αµ

= (34)

18

que al integrar permite obtener

Agmvp

c

c

...µ

α=

∆ (35)

Sabiendo que mc = V.c. y utilizando la siguiente expresión para el cálculo de la concentración

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=

ρS

c

f

S

Cmm

Cc

)1(1 (36)

siendo c = masa de sólidos / Vol de filtrado Cs= masa de sólidos / vol. De líquido en la suspensión mf= masa de la torta húmeda mc = masa de la torta seca = masa de sólidos ρ = densidad del filtrado Por otra parte durante el período 1 Q = cte y V= cte = v. A. θ

y θ.A

Vv = (37)

sustituyendo esta última expresión en (35) se tiene finalmente

θ

µµα ..

.....

2AgVm

Agmvp

c

c

c

cc ==∆

(38)

Ecuación que puede ser escrita en la forma α = f (∆p) utilizando la expresión α = αo (∆pt)s y sabiendo que ∆pt = ∆pc + ∆pm En función de lo anterior la ecuación (38) puede ser expresada como

cmco

c

gvc

ppp θµ

α

2..).(=

∆+∆∆

(39)

19

o en su forma diferencial

)(

)(.. 2

mco

c

c pppd

dg

vc∆+∆

∆=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡α

θµ

que al ser integrada entre θ = 0 y θ = θ Tc y entre 0 y ∆P máx. permite calcular θ Tc ii)Período 2 ∆p = cte. A partir de la ecuación

VT

VTcm

ct AVR

AVc

gp ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆

= )()(2.

.2αµθ

Aplicando los límites se obtiene

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆

= )()(.2. 22

2 VTcVTA

RVTcVT

Ac

pT m

tV

αµθ (40)

20

Clasificación de Filtros 1) En función de la fuerza impulsora - de gravedad (carga hidrostática) - de presión ( Ps > Patm.) - de vacío ( Pa < Patm) - centrífugo (Ps originado por FC) 2) Por el mecanismo de filtración -Filtración de torta -Filtración en profundidad o de medio de filtro 3) por la función (meta de filtración) - sólidos secos (la torta es el producto valioso) - liquido clarificado ( filtrado es el producto valioso) - ambos 4) Por el ciclo de operación - Discontinuos ( por lotes ) - Continuos Teoría de Filtración Es valiosa no para el diseño de filtros, sino para interpretar los resultados de laboratorio, buscar las condiciones óptimas de funcionamiento y predecir los efectos de los cambios en las condiciones de operación. Análisis de la expresión

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

∆=

mRA

cVAp

ddV

)...(

.αµθ

21

- Cuando la torta se compone de partículas granulares duras que la hacen rígida e incompresible, un aumento de ∆P no provoca ninguna deformación de las partículas o sus poros, de modo que s = 0 y despreciando Rm se tiene α = αo ( ∆p) s ----- α = αo ( ∆p) 0 = αo

y VcAp

AVcAp

ddV

oo µααµθ

2.

)(

. ∆=

∆=

y la velocidad de filtración es directamente proporcional a la diferencia de Presión, al área e inversamente proporcional a la viscosidad, a αo y a la cantidad de torta formada (V.c) - Cuando la torta contiene partículas extremadamente blandas que se deforman con facilidad, como precipitados de hidróxido férrico, s = 1 de modo que α = αo ( ∆p)

y Vc

A

AcV

AddV

oo µααµθ

2

).(==

Por lo tanto, para tortas muy compresibles, la velocidad de filtrado es independiente de la presión. Conclusiones: - En la filtración de sólidos granulares un aumento de ∆p provoca un aumento casi proporcional de dV/dθ -Para precipitados floculentos o limosos un aumento de ∆p provoca solo un ligero aumento de dV/dθ - Puesto que la mayoría de los filtros se alimentan con bombas centrífugas, nunca la filtración es a ∆p = cte o a dV/dθ = cte. , pudiendo considerarse que es a dV/dθ= cte. durante una primera etapa y a ∆p = cte. durante una segunda etapa.

22

Efecto de otros factores a- Espesor de la torta dV/dθ es inversamente proporcional a la cantidad de torta depositada y directamente proporcional al A2

Es deseable que el espesor no sea muy pequeño porque disminuye la productividad del filtro, hay siempre un espesor más conveniente. b- Efecto de la viscosidad dV/dθ es inversamente proporcional a la viscosidad . Un aumento de la misma provoca una disminución de la velocidad, razón por la cual para el caso de líquidos de elevada viscosidad tales como aceites o soluciones concentradas, puede pensarse en la posibilidad de la dilución con algunos solventes. (evaluar el costo de la concentración posterior). c) Efecto de la Temperatura T afecta a µ. Se consiguen velocidades de filtración mayores a mayores temperaturas. En el caso de soluciones acuosas un incremento de T de 20ºC a 60 ºC duplica la velocidad de filtración. Los lodos son afectados de manera diferente pero un aumento de T provoca un incremento aunque menor de la velocidad. d) Efecto del tamaño de partículas Afectan αo y principalmente s. -tamaños mas pequeños disminuyen dV/dθ y el contenido de humedad de la torta - El aumento de tamaño - floculación- aumenta dV/dθ e) efecto del tipo de MF -tejido natural ---- mayor retención tejido sintético --- mayor resistencia -tejido abierto --- purga excesiva de partículas -- filtrado inicial turbio tejido apretado--- mayor atascamiento

23

9- Filtración continua En un filtro continuo, como el de tipo de tambor rotatorio o de cinta horizontal, la alimentación, el filtrado y la torta se mueven con velocidades continuas estacionarias, pero las condiciones en un punto de la superficie filtrante no son de régimen estacionario sino transitorio, y cambian progresiva continuamente. Para estas unidades es posible mencionar las siguientes particularidades: - la diferencia de presión ∆p que existe a ambos lados de la torta es mantenida aproximadamente constante. Por lo tanto, las anteriores ecuaciones para la filtración discontinua a presión constante se pueden aplicar a los filtros continuos introduciendo algunas modificaciones -Experimentalmente se observa que la resistencia del MF es pequeña y puede ser despreciada, razón por la cual la ecuación [dθ/dV] = Kp V + B puede ser escrita en la forma [dθ/dV] = Kp V que integrada resulta

pAg

VcVK

c

p

∆==

...2...

2.

2

22 αµθ (41)

que puede ser escrita como 21

......2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∆=

αµθ

cfpg

AV cc

siendo θ= tiempo de filtración = f. θc=f/n

o 21

......2

. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∆=

αµθθ cfpg

AV

c

c

c

(42)

Ecuación a partir de la cual se puede obtener la expresión que permite calcular la superficie requerida para efectuar una filtración continua sobre un filtro rotatorio

21

. ....2..

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆

=nfpg

cVAcc

αµθ

Siendo θc = duración del ciclo (s) f = fracción del tambor sumergido

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n= velocidad de giro del tambor A= Superficie de filtración Ecuación que puede ser escrita multiplicando y dividiendo el segundo miembro por c en la forma

[ ]21

21

.....2...

......2...

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

ncpgfm

nfcpgfcVA

cc

c

αµαµθ

(43)

Ecuación que puede ser expresada en función de área total del tambor AT=A/f en la forma

[ ]21

.....2... ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∆

=fncpg

mAc

cT

αµ

La ecuación (43) anterior puede ser escrita considerando la igual α = αo (∆p)s en la forma

[ ]21

1 ...).(.2..

. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆

=− ncpg

fmA S

c

oc

αµ

o como 21

1

.....).(.2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∆=

−

fncpg

Am

o

Scc

αµ (44)

que nos indica que cuando Rm =0, la velocidad de filtración es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la viscosidad y del tiempo del ciclo θc = 1/n. Esto es válido para tortas gruesas y elevados tiempos de ciclos, pero no para ciclos cortos, para los que debe considerarse la expresión

=T

c

Am

α

αm

mc nRv

nRfnpgc−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +∆ 21

)(2

(45)

10- Filtración a velocidad constante Si el flujo de filtrado es constante, la velocidad v también lo es y

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v = (dV /dθ) / A = V / θ A

Considerando además que θαµθV

cVgAp

ddV c =

∆=

..... 2

de donde es posible despejar

22

2

)(..

....

..AV

gc

AgVcp

cc

c

θµ

θµ

α==

∆ (46)

La resistencia específica de la torta α se deja en el primer miembro debido a que es función de ∆p para tortas compresibles. Si se conoce α en función de ∆pc y si puede ser estimado la caída de presión a través del medio filtrante ∆pm, se puede utilizar la ecuación anterior para relacionar la caída de presión global ∆p con el tiempo cuando la velocidad de flujo de filtrado es constante, escribiendo la expresión en la forma

Sm

c

oSc pp

AV

gc

p −− ∆−∆==∆ 121 )()(..

)(θ

θµα (47)

Suponiendo que la caída de presión a través del manto filtrante permanece constante la ecuación (43) puede escribirse como [ ∆p - Apm] 1-s = Kr θ donde

c

or g

vcK

2... αµ= (48)

11- Lavado de tortas de filtración Para lavar el material que pueda quedar retenido por la torta de filtración se utiliza un solvente miscible con el filtrado, siendo el líquido de lavado más habitual el agua. Como el lavado de la torta se realiza al final de la filtración, la presión de alimentación de líquido de lavado es constante. ∆p = cte Los dos aspectos de interés en el diseño y operación de un filtro que guardan relación con el lavado son:

- Velocidad de flujo de lavado - Volumen de líquido que se requiere para reducir la concentración

de soluto contenido en la torta a un valor determinado

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Cuando se realiza el lavado , la concentración de soluto en el líquido de lavado evoluciona según lo indicado en la Fig. 4 Fig. 4 C tiempo

a-b Filtrado retenido desplazado por líquido de lavado (lavado de desplazamiento) Vol ab = Volumen de filtrado retenido en la torta = A L ⎯ε b-c Rápido descenso de la concentración del efluente Vol a-b = Vb-c c-d la concentración de soluto en el efluente es baja y permanece casi invariable

Por lo general el camino que sigue el líquido de lavado es el mismo que el del filtrado , y la velocidad de flujo del líquido de lavado es igual a la de la última etapa de filtrado, siempre que la caída de presión no se modifique a pasar del lavado al filtrado. La ecuación que se aplica es (dV/dθ)lavado = 1 / (Kp V + B) (49) calculándose el tiempo de lavado mediante la expresión θ lavado = V lavado / (dV/dθ)lavado (50) Una excepción existe para el caudal de lavado en los filtros prensa, debido a que la construcción del sistema es diferente. Durante la filtración el espesor a atravesar es L, pero durante el lavado la alimentación se efectúa por una placa y el espesor de la torta se transforma en 2L. Por otra parte la superficie de filtración en contacto con las placas se transforma así en dos veces mas grande y aparece un factor 4, en la expresión (49) (dV/dθ)lavado = 1 / [4 (Kp V + B)] (51)

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12- Filtración centrífuga En la filtración centrífuga la suspensión se introduce como alimentación en una cesta rotatoria que tiene una pared perforada recubierta con un medio filtrante tal como una lona o una tela metálica. La rotación de la canasta genera una fuerza centrífuga que obliga a pasar al filtrado a través de la pared perforada, pudiendo interrumpirse la alimentación y seguir centrifugando para disminuir la humedad de la torta tanto como se requiera. Los principales tipos son.

- Máquina de recipiente suspendido que opera en forma discontinua (MF = lonas o telas metálicas)

- Máquinas automáticas de ciclo corto (finos tamices metálicos) - Centrífugas continuas transportadoras (pared ranurada de la

misma cesta)

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Problemas propuestos Problema Nº 1 En la tabla 2 se presentan los datos obtenidos en la filtración a velocidad constante de una suspensión de carbonato de magnesio en agua. La velocidad de filtración es de 0,10 lb/ft2 s, la viscosidad del filtrado 0,92 cp y la concentración de la suspensión 1,08 lb/ ft3. Calcular en las unidades de m, Kg fuerza y segundo, las constantes Rm, s y αo para esta suspensión . Tabla 2 ∆p (lbf/inch2 ) Tiempo (s) ∆p (lbf/inch2 ) Tiempo (s) 4,4 10 11,8 70 5,0 20 13,5 80 6,4 30 15,2 90 7,5 40 17,6 100 8,7 50 20,0 110 10,2 60 Problema Nº 2 Un filtro de tambor rotatorio con un 30 % de su superficie sumergida, se utilizará para filtrar una suspensión acuosa concentrada de carbonato de calcio que contiene 14,7 lb de sólidos por ft3 de suspensión; la caída de presión es de 20 inch de Hg. Si la torta contiene 50 % de humedad (basado en la torta húmeda), calcular el área del filtro para tratar 10 galones/min de suspensión, si el tiempo del ciclo del filtro es 5 minutos. Suponga que la resistencia específica de la torta es αo = 2,08 1010 ft/lb. Problema Nº 3 Se desea filtrar a velocidad constante una suspensión de sulfato de calcio en agua a temperatura ambiente, que contiene 15 g/ l de sólidos (P/V), con un caudal de 150 m3/h. La suspensión forma una torta cuya resistencia específica depende de la presión, siendo αo= 3,85x106 m/Kg. La caída de presión en el medio filtrante ∆pm = 0,5 Kg/cm2 y la presión final de filtrado ∆p = 1,5 Kg/cm2. El coeficiente de compresibilidad de la torta determinado experimentalmente es de 0,4. y se cuenta con un filtro compuesto de 33 marcos de 60x60x4 cm . Calcular:

- La velocidad de filtrado - El tiempo de filtración necesario - El volumen total a filtrar

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- La porosidad de la torta suponiendo que el sulfato de calcio tiene una densidad de 2,5 g / cm 3 .

- El volumen de lavado por desplazamiento