Universidad Técnica Federico Santa MaríaDepartamento de MatemáticaCampus Santiago

ESPACIOS VECTORIALES

DEFINICIÓN Sea V un conjunto no vacío y sea K un cuerpo (los cuerpos queconsideraremos en este curso serán R ó C). Supongamos que en V se han definido dosoperaciones, que llamaremos adición y producto por escalar, del siguiente modo:

La adición toma dos elementos de V , llamésmoslos u y v, y mediante la operaciónlos lleva a un elemento w ∈ V con w = u + v.

El producto por escalar toma un elemento α del cuerpo K y un u ∈ V , y mediantela operación los lleva a un elemento w ∈ V con w = α · u

Diremos que (V, +, ·) es un espacio vectorial sobre K si y solamente si las opera-ciones satisfacen las siguientes propiedades:

1. u + v = v + u, ∀ u, v ∈ V

2. u + (v + w) = (u + v) + w, ∀ u, v, w ∈ V

3. ∃ 0V ∈ V tal que u + 0V = u, ∀ u ∈ V

4. ∀ u ∈ V, ∃ (−u) ∈ V tal que u + (−u) = 0V

5. α · (u + v) = α · u + α · v, ∀ u, v ∈ V, ∀ α ∈ K6. (α + β) · u = α · u + β · u, ∀ u ∈ V, ∀ α, β ∈ K7. (αβ) · u = α · (β · u), ∀ u ∈ V, ∀ α, β ∈ K8. 1 · u = u, ∀ u ∈ V

Los elementos de V se llaman vectores y los del cuerpo K se llaman escalares.

EJEMPLOS

1. (R2,+, ·) es un espacio vectorial sobre R, con las siguientes operaciones:si u,v ∈ R2, con u = (u1, u2), v = (v1, v2) y α ∈ R definimosu + v = (u1 + v1, u2 + v2) y α · u = (αu1, αu2).Este espacio vectorial se identifica, geométricamente, con el plano cartesiano, y sus elementos sonlos vectores en (R2, +, ·).

1

2. (R3,+, ·) es un espacio vectorial sobre R, con las siguientes operaciones:si u,v ∈ R3, con u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) y α ∈ R definimosu + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) y α · u = (αu1, αu2, αu3).Este espacio vectorial se identifica, geométricamente, con el espacio cartesiano, y sus elementos sonlos vectores en (R3, +, ·).

3. La generalización (Rn,+, ·) es un espacio vectorial sobre R, con las siguientes operaciones:si u,v ∈ Rn, con u = (u1, u2, . . . , un), v = (v1, v2, . . . , vn) y α ∈ R definimos u + v = (u1 +v1, u2 + v2, . . . , un + vn) y α · u = (αu1, αu2, . . . , αun).

4. (C2,+, ·) es un espacio vectorial sobre C, con las siguientes operaciones:si u,v ∈ C2, con u = (u1, u2), v = (v1, v2) y α ∈ C definimosu + v = (u1 + v1, u2 + v2) y α · u = (αu1, αu2).Debe tenerse presente que, en este caso, todos los números involucrados son números complejos,por lo cual las operaciones mencionadas son entre elementos en C.

5. (C3,+, ·) es un espacio vectorial sobre C, con las siguientes operaciones:si u,v ∈ C3, con u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) y α ∈ C definimosu + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) y α · u = (αu1, αu2, αu3).Análogamente, las operaciones se realizan entre números complejos.

6. La generalización (Cn,+, ·) es un espacio vectorial sobre C, con las siguientes operaciones:si u,v ∈ Cn, con u = (u1, u2, . . . , un), v = (v1, v2, . . . , vn) y α ∈ C definimos u + v = (u1 +v1, u2 + v2, . . . , un + vn) y α · u = (αu1, αu2, . . . , αun).

7. Si n = 1, en el ejemplo 3. vemos que (R, +, ·) es un espacio vectorial sobre R y si n = 1, en elejemplo 6. vemos que (C, +, ·) es un espacio vectorial sobre C. De esta forma, notamos que tantoR como C tienen estructura de cuerpo y de espacio vectorial sobre si mismos.

8. Consideremos el conjuntoRn[x] = {p(x) = a0 +a1x+a2x

2 + . . .+anxn, ai ∈ R, i = 0, . . . , n}, es decir, Rn[x] es el conjuntode los polinomios con coeficientes reales en una variable real de grado menor o igual a n (incluyendoal polinomio nulo).(Rn[x], +, ·) es un espacio vectorial sobre R con la adición y el producto por escalar habitual depolinomios, vale decir, sip(x) = a0 + a1x + a2x

2 + . . . + anxn, y

q(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . . + bnxn, entonces

(p + q)(x) = p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2 + . . . + (an + bn)xn

(αp)(x) = αp(x) = αa0 + αa1x + αa2x2 + . . . + αanxn, ∀α ∈ R

9. Consideremos el conjunto de las funciones a valores reales F = {f : A ⊆ R → R} premunidode la adición usual de funciones y del producto por escalar usual: (f + g)(x) = f(x) + g(x) y(α · f)(x) = α(f(x)) ∀f, g ∈ F , ∀x∈ A, ∀α ∈ R. Con estas operaciones, (F , +, ·) es un espaciovectorial sobre R.

10. El espacio de las funciones continuas definidas en un intervalo [a, b], que denotamos por (C[a, b],+, ·)con las operaciones recién explicitadas para las funciones, es un espacio vectorial sobre R.

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11. El espacio de las funciones n veces derivables (funciones de clase Cn) definidas en un intervalo [a, b],que denotamos por (Cn[a, b], +, ·) con las mismas operaciones anteriores, es un espacio vectorialsobre R.

12. Consideremos el conjunto de las matrices de orden m × n con entradas reales, que denotaremosMm×n(R). Recordemos que una matriz real es un arreglo de números reales:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn

= (aij)m×n

donde aij ∈ R con i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , n. El elemento genérico aij se encuentra en la i-ésimafila y la j-ésima columna.Si A,B ∈ Mm×n(R), definimos la suma de matrices:A + B = (aij)m×n + (bij)m×n = (aij + bij)m×n

El producto por escalar queda definido por:α ·A = α · (aij)m×n = (α aij)m×n.De esta manera, (Mm×n(R),+, ·) es un espacio vectorial sobre R.

13. Análogamente, las matrices con entradas complejas (Mm×n(C),+, ·) con las operaciones análogasa las descritas arriba, forman un espacio vectorial sobre C.

14. El conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual a n con coeficientes complejos, i.e.Cn[x] = {p(x) = a0 + a1x + a2x

2 + . . . + anxn, ai ∈ C, n ∈ N}, dotado de la suma y elproducto habitual de polinomios, es un espacio vectorial sobre C.

EJERCICIOS

1. Determine si (R, +, ·) es un espacio vectorial sobre C. Justifique.

2. Determine si (C, +, ·) es un espacio vectorial sobre R. Justifique.

3. Determine si Rn[x]−{0Rn[x]} con las operaciones habituales entre polinomios realeses un espacio vectorial sobre R, donde0Rn[x] es el polinomio nulo. Justifique.

4. Determine si (Mm×n(R), +, ·) es un espacio vectorial sobre C. Justifique.

5. Determine si (Mm×n(C), +, ·) es un espacio vectorial sobre R. Justifique.

PROPIEDADESSi (V, +, ·) es un espacio vectorial sobre R, entonces:

1. α · 0V = 0V , ∀ α ∈ R2. 0 · u = 0V , ∀ u ∈ V .

3. −u = (−1) · u, ∀ u ∈ V .

3

DEFINICIÓNSea (V, +, ·) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, S ⊆ V, S 6= ∅. Se dice que S

es un subespacio vectorial de V si (S, +, ·) es un espacio vectorial sobre K.

OBSERVACIÓNLa definición anterior no permite averiguar, de manera simple, si un determinado

subconjunto es o no subespacio de un espacio vectorial dado. El siguiente teorema nosbrinda un método sencillo para este efecto.

TEOREMASea (V, +, ·) un espacio vectorial sobre el cuerpo K y sea S ⊆ V, S 6= ∅. (S, +, ·) es un

subespacio vectorial de (V, +, ·) si y solo si se satisfacen las siguientes dos condiciones:

1. Si u,v ∈ S entonces u + v ∈ S.

2. Si α ∈ K, u ∈ S entonces α · u ∈ S.

NOTACIÓNEn adelante, escribiremos V en lugar de (V, +, ·) para un espacio vectorial sobre K.Si (S, +, ·) es un sub espacio vectorial de (V, +, ·) escribiremos S ≤ V .

EJEMPLOS

1. Todo espacio vectorial tiene, de manera natural, dos subespacios vectoriales, llamados subespaciosvectoriales triviales del espacio vectorial V . Estos son: el mismo espacio vectorial V , valedecir, V ≤ V y el espacio vectorial nulo, vale decir el espacio vectorial cuyo único elemento es elneutro aditivo de V : {0V } ≤ V .

2. Considere W = {(x, y) ∈ R2 : y = 0}. Probemos que W es un subespacio vectorial de R2. Paraello, debemos verificar:

a) W 6= ∅, lo cual es cierto pues (0, 0) ∈ W .

b) (x, y), (u, v) ∈ W ⇒ (x, y) + (u, v) ∈ W .En efecto: (x, y), (u, v) ∈ W ⇒ y = 0 ∧v = 0. Por lo tanto, (x, y)+(u, v) = (x, 0)+(u, 0) =(x+u, 0). Es decir, la segunda componente de la suma de dos vectores en W da como resultadoun vector que también pertenece a W .

c) λ ∈ R, (x, y) ∈ W ⇒ λ · (x, y) ∈ W .En efecto: (x, y) ∈ W ⇒ y = 0. Por lo tanto, λ · (x, y) = λ · (x, 0) = (λx, 0) ∈ W .Como las tres condiciones se satisfacen, hemos probado que W ≤ R2.

3. Considere W = {(x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn : xn = 0}. Probemos que W es un subespacio vectorial deRn. Para ello, debemos verificar:

a) W 6= ∅, lo cual es cierto pues (0, 0, · · · , 0) ∈ W .

b) (x1, x2, · · · , xn), (u1, u2, · · · , un) ∈ W ⇒ (x1, x2, · · · , xn) + (u1, u2, · · · , un) ∈ W .En efecto: (x1, x2, · · · , xn), (u1, u2, · · · , un) ∈ W ⇒ xn = 0 ∧ un = 0. Por lo tanto,(x1, x2, · · · , xn) + (u1, u2, · · · , un) = (x1, x2, · · · , 0) + (u1, u2, · · · , 0) = (x1 + u1, x2 +u2, · · · , 0). Es decir, la n−ésima componente de la suma de dos vectores en W da comoresultado un vector que también pertenece a W .

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c) λ ∈ R, (x1, x2, · · · , xn) ∈ W ⇒ λ · (x1, x2, · · · , xn) ∈ W .En efecto: (x1, x2, · · · , xn) ∈ W ⇒ xn = 0. Por lo tanto, λ · (x1, x2, · · · , xn) = λ ·(x1, x2, · · · , 0) = (λx1, λx2, · · · , 0) ∈ W .Como las tres condiciones se satisfacen, hemos probado que W ≤ Rn.

4. Sea (1,−2) ∈ R2 y consideremos W = {(x, y) ∈ R2 : (x, y) = α · (1,−2), α ∈ R}. Probemos queW es un subespacio vectorial de R2.

a) W 6= ∅, lo cual es cierto pues (0, 0) = 0 · (1,−2) ∈ W .

b) Debemos probar ahora que (x1, x2), (u1, u2) ∈ W ⇒ (x1, x2) + (u1, u2) ∈ W .En efecto: (x1, x2), (u1, u2) ∈ W ⇒ ∃α, β ∈ R : (x1, x2) = α · (1,−2),(u1, u2) = β · (1,−2). Por lo tanto, (x1, x2) + (u1, u2) = α · (1,−2) + β · (1,−2) = (α + β) ·(1,−2) ∈ W, pues α + β ∈ R.

c) Probemos ahora que λ ∈ R, (x1, x2) ∈ W ⇒ λ · (x1, x2) ∈ W .En efecto: (x1, x2) ∈ W ⇒ λ · (x1, x2) = λ · (α · (1,−2)) = (λα) · (1,−2) ∈ W, pues λ ∈ R.

Gráficamente, este espacio vectorial se representa por una recta en el plano, en la misma direcciónque el vector (1,−2).

5. Como en el ejemplo anterior, sea V un espacio vectorial real, y sea u0 ∈ V, conu0 6= 0V . Consideremos W = {v ∈ V : v = α · u0, α ∈ R}. Probemos que W es un subespaciovectorial de V .

a) W 6= ∅, lo cual es cierto pues tomando 0 ∈ R, 0 · u0 = 0V ∈ W .

b) Probemos que v1,v2 ∈ W ⇒ v1 + v2 ∈ V. En efecto: v1,v2 ∈ V ⇒ ∃α, β ∈ R :v1 + v2 = α · u0 + β · u0 = (α + β) · u0 ∈ V

c) Probemos ahora que λ ∈ R, v ∈ W ⇒ λ · v ∈ W. En efecto: v ∈ W ⇒ λ · v = λ · α · u0 =(λα) · u0 ∈ W.

Debido a la analogía con el ejemplo anterior (4.-), este espacio vectorial recién descrito se denominarecta vectorial, con dirección u0.

6. Sea E = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x + y = 0}. Probemos que E ≤ R3.

a) E 6= ∅, lo cual es cierto pues (0, 0, 0) ∈ E.

b) Probemos que:(x, y, z), (u, v, w) ∈ E ⇒ (x, y, z) + (u, v, w) = (x + u, y + v, z + w) ∈ E. Este últimovector pertece a E ⇐⇒ 2(x + u) + y + v = 0, condición que se cumple pues como(x, y, z), (u, v, w) ∈ E ⇒ 2x + y = 2u + v = 0 de donde 2x + y + 2u + v =2(x + u) + y + v = 0. Luego, la suma de los vectores pertenece a E.

c) Análogamente para el producto por escalar; ejercicio.

PROPOSICIÓNSea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, W1, W2 ≤ V . Luego:

1. W1 ∩W2 ≤ V.

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2. W1 + W2 ≤ V, donde el conjunto suma de W1 + W2 se define como:W1 + W2 = {u + v : u ∈ W1,v ∈ W2}

DEMOSTRACIÓN Ejercicio.

EJERCICIOS

1. Sea W = {A ∈ M2×2 : At = A} Probar que W ≤ M2×2

2. Sea W = {A ∈ M2×2 : At = −A} Probar que W ≤ M2×2

3. n ≥ m ⇒ Cn[a, b] ≤ Cm[a, b].

4. Considere los subespacios vectoriales de R3:

E = {(x, y, 0) : x, y ∈ R}, F = {(0, 0, z) : z ∈ R}, G = {(0, y, z) : y, z ∈ R}.Determine: E ∩ F, E ∩G, G ∩ F, E + F, E + G, G + F . Haga una descripcióngeométrica y dibuje cada uno de estos subespacios.

5. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, W1, W2 ≤ V . Determine si W1∪W2

es o no un subespacio vectorial de V .

DEFINICIÓNSean α1, α2, · · · , αn ∈ K y sean u1,u2, · · · ,un ∈ V , donde V es un espacio vectorial

real. La expresión∑n

i=1 αiui es una combinación lineal de los vectores u1,u2, · · · ,un.

EJEMPLOS

1. El vector de R3, (0, 2,−3) es una combinación lineal de los vectores (1, 0, 0),(1, 1, 0), (1, 1, 1). Para probarlo, escribimos(0, 2,−3) = α · (1, 0, 0) + β · (1, 1, 0) + γ · (1, 1, 1).Luego, debemos encontrar α, β, γ ∈ R:

0 = α + β + γ2 = β + γ

−3 = γ

Resolviendo, determinamos que γ = −3, β = 5, α = −2.Notar que (0, 2,−3) no es combinación lineal de los vectores (1, 1, 0), (1, 1, 1), pues, usando el mismorazonamiento, si (0, 2,−3) = α · (1, 1, 0) + β · (1, 1, 1) entonces

0 = α + β2 = α + β

−3 = βlo cual es obviamente contradictorio.

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EJERCICIOS

1. Considere los vectores u = (2, 1,−2), v = (1,−1, 1) ∈ R3. Escriba, si es posible,los vectores a = (−4,−5, 8) y b = (4, 1,−5) como combinación lineal de u y v.Determine los valores de x para los cuales el vector (x, 4,−7) es una combinaciónlineal de u y v.

2. Dados u1 = (1, 2, α, 1), u2 = (α, 1, 2, 3), u3 = (0, 1, β, 0) ∈ R4, determine losvalores de α y β para que uno de los vectores sea combinación lineal de los otrosdos.

DEFINICIÓNSea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y sea X ⊆ V, X 6= ∅, y finito.

Consideremos todos los subespacios vectoriales de de V que contienen al conjunto X.El más chico de todos estos conjuntos se llama espacio generado por X y correspondea la intersección de todos los subespacios que contienen a X. Lo denotaremos por〈X〉 ó por G(X).

OBSERVACIÓNNo es casualidad que este conjunto se llame espacio generado por X. Queda

como ejercicio probar que, efectivamente, el espacio generado por X es un subespaciovectorial de V . Además, se tiene que:

TEOREMALos elementos de G(X) son los elementos del conjunto formado por todas las com-

binaciones lineales posibles de elementos de X, es decir, si X = {x1,x2, · · · ,xk}, en-

tonces 〈X〉 =

{k∑

i=1

αixi, αi ∈ R}.

EJEMPLOS

1. Si W = {(x, y) ∈ R2 : (x, y) = α · (1,−2), α ∈ R} entonces W = 〈(1,−2)〉.2. Si W = {v ∈ V : v = α · u0, α ∈ R} entonces W = G(u0) = 〈u0〉.3. En R2 considere los vectores u = (2, 1), v = (−1, 1), w = (1, 4). Probemos que R2 = G(u,v) =

G(u,v,w) y que R2 6= G(u).Para probar que R2 = G(u,v), debemos demostrar que dado cualquier (x, y) ∈ R2, existen α, β ∈ Rtal que (x, y) = α · (2, 1) + β · (−1, 1). La igualdad implica x = 2α− β

y = α + β

}de donde

α =x + y

3, β =

2y − x

3.

Esto significa que dado cualquier vector (x, y) ∈ R2 podemos determinar explícitamente, enfunción de x e y, los valores de α y β.Análogamente, para probar que R2 = G(u,v,w), debemos demostrar que dado cualquier (x, y) ∈R2, existen α, β, γ ∈ R tal que

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(x, y) = α · (2, 1) + β · (−1, 1) + γ · (1, 4). Notar que si tomamos, arbitrariamente, γ = 0, losvalores de α y β obtenidos arriba demuestran la afirmación. Si asignamos otro valor a γ, tambiénpodemos resolver el sistema para α y β. En general, entonces, podemos decir que:

α =x + y − 5γ

3, β =

2y − x− 7γ

3donde γ es un parámetro real. Por lo tanto, en este caso

también es posible determinar explícitamente los valores de α, β y γ.Para probar que R2 6= G(u) basta encontrar un vector en R2 que no sea combinación lineal de u.Por ejemplo, si tomamos el vector (1, 0) ∈ R2 vemos que no existe α ∈ R : (1, 0) = α · (2, 1).

4. ClaramenteG((1, 0), (0, 1)) = 〈(1, 0), (0, 1)〉

= 〈(−1, 2), (3,−2)〉= G((1, 0), (−1, 2), (5, 3)) = R2

5. Análogamente,R2[x] = G(1, x, x2)

= 〈2, 1 + x, x− x2〉= 〈1, 1 + x, 1 + x + x2〉

Rn[x] = G(1, x, x2, · · · , xn)

6. 〈sin, cos〉 = {f(x) ∈ C∞(R) : f(x) = α sin(x) + β cos(x), α, β ∈ R}.

7. M2×2(R) = G{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}

DEFINICIÓNSean u1,u2, · · · ,up ∈ V . Diremos que {u1,u2, · · · ,up} es un sistema o conjunto

generador de V ssi G({u1,u2, · · · ,up}) = V . Es decir, si todo vector de V se puedeescribir como combinación lineal de estos p vectores.DEFINICIÓN

Sean u1,u2, · · · ,un ∈ V . Diremos que {u1,u2, · · · ,un} es un conjunto:

linealmente independiente (l.i.) ssi

n∑i=i

αi · ui = 0V ⇒ αi = 0 ∀i = 1, · · · , n

linealmente dependiente (l.d.) ssi

∃α1, · · · , αn ∈ K, no todos nulos :n∑

i=i

αi · ui = 0V

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EJEMPLOS

1. El conjunto {(1, 0), (0, 1)} ⊂ R2 es un conjunto l.i. Basta formarα1(1, 0) + α2(0, 1) = (0, 0). De aquí se concluye que α1 = 0, α2 = 0.También decimos que los vectores (1, 0), (0, 1) son l.i.

2. El conjunto {(1, 2), (3,−1)} ⊂ R2 es un conjunto l.i. Análogamente, formamos α1(1, 2)+α2(3,−1) =(0, 0) ⇒α1 + 3α2 = 02α1 − α2 = 0. De aquí, α1 = 0, α2 = 0.

3. El conjunto {(1, 2), (3,−1), (5, 1)} ⊂ R2 es un conjunto l.d. Como antes, formamos α1(1, 2) +α2(3,−1) + α3(5, 1) = (0, 0) ⇒α1 + 3α2 + 5α3 = 02α1 − α2 + α3 = 0.Este es un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas, que tiene infinitas soluciones. Por ejemplo, siα3 = 1, resolvemos el sistema α1 +3α2 = −5 ∧ 2α1−α2+ = −1 de donde α1 = −8

7 , α2 = 57 .

Luego, hemos probado que {(1, 2), (3,−1), (5, 1)} es l.d.Es importante mencionar que, si bien α1 = α2 = α3 = 0 es una posible solución del sistema, noes la única. Lo que hemos probado es que ∃αi, no todos nulos, que satisfacen la condición de ladefinición.

4. El conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} ⊂ R3 es un conjunto l.i.

5. El conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)} ⊂ R3 es un conjunto l.d. Basta notar que (1, 1, 0) =(1, 0, 0)+(0, 1, 0). En otras palabras, ∃α1, α2, α3 no todos nulos tales que α1(1, 0, 0)+α2(0, 1, 0)+α3(1, 1, 0) = (0, 0, 0).Basta tomar α1 = 1, α2 = 1, α3 = −1.

6. El conjunto {(0, 1, 0), (1, 1, 0)} ⊂ R3 es un conjunto l.i.

7. El conjunto {sin, cos} ⊂ C(R) es un conjunto l.i. En efecto, formamosα1 sin x + α2 cosx = 0. Derivando, obtenemos una segunda ecuación que nos permite determinarα1 y α2 : α1 cosx − α2 sin x = 0 . Multiplicamos la primera ecuación por α2 y la segundapor α1, las sumamos y como este sistema debe satisfacerse para todos los valores posibles de x ∈ R,necesariamente,α2

1 + α22 = 0. La única posibilidad es que α1 = α2 = 0.

8. El conjunto {eαx, eβx} ⊂ C1[0, 1] es un conjunto l.i., siempre que α 6= β.

9. El conjunto {1, x, x2, · · · , xn} ⊆ Rn[x] es un conjunto l.i.

OBSERVACIONES

1. Todo conjunto de vectores que contenga al vector nulo 0V es un conjunto l.d. Enparticular, el conjunto {0V } es l.d.

2. Si un conjunto M de vectores es l.i., todo subconjunto de M también es l.i.

3. Si un conjunto de vectores N es l.d., todo conjunto que contenga a N será l.d.

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TEOREMASea X ⊂ V, X 6= φ, X 6= {0V }, X finito. Entonces, ∃Y ⊆ X tal que Y es un

conjunto l.i. y G(X) = G(Y ).

OBSERVACIÓNEste teorema afirma que cualquier subconjunto finito de vectores, salvo el que con-

tiene sólo al 0V , tiene un subconjunto l.i. de vectores.

DEFINICIÓNSea B ⊆ V un subconjunto finito (y ordenado). Diremos que B es una base (orde-

nada) de V ssi se satisfacen las siguientes dos condiciones:

1. G(B) = V

2. B es l.i.

EJEMPLOS

1. B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R2.

2. B = {(1, 2), (3,−1)} es una base de R2.

3. C = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de R3.

4. B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} es una base de R3.

5. C = {1, x, x2, · · · , xn} es una base de Rn[x].

6. B = {sin, cos} es una base de V = G({sin, cos}).

7. B ={(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}es una base de M2×2(R).

TEOREMASea V un espacio vectorial que tiene una base B con n vectores, es decir, la cardi-

nalidad de B es n. Entonces, cualquier subconjunto de V de cardinalidad n + 1 es unconjunto l.d.

TEOREMASi el espacio vectorial V sobre el cuerpo K tiene una base constituida por n vectores,

entonces toda base de V tiene cardinalidad n.

DEMOSTRACIÓN: Sean B1 = {u1, · · · ,un} y B2 = {w1, · · · ,wm} dos bases deV, m 6= n. Como B1 es base, el teorema anterior implica que m ≤ n. Como B2 es base,el teorema anterior implica que n ≤ m. Luego, m = n.

DEFINICIÓNSea V un espacio vectorial sobre K, B = {u1, · · · ,un} una base de V . Diremos que

n es la dimensión de V sobre el cuerpo K. Escribimos dimKV = n.

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EJEMPLOS

1. C = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R2. Se conoce como la base canónica de R2. B = {(1, 2), (3,−1)}es otra base de R2. Claramente, dimRR2 = 2.

2. C = {(1, 0, · · · , 0), (0, 1, 0, · · · , 0), · · · , (0, 0, · · · , 1)} es una base de Rn. Se conoce como la basecanónica de Rn. Se acostumbra escribir los vectores de la base canónica como e1 = (1, 0, · · · , 0), e2 =(0, 1, 0, · · · , 0), · · · , en = (0, 0, · · · , 1). En este caso, dimRRn = n. Si el espacio considerado es R3,en las aplicaciones físicas los vectores de la base canónica se denotan por

−→i ,−→j ,−→k , respectivamente.

3. A = {(−2, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de V = {(x, y, z) ∈ R3 : x + 2y = 0}. Luego, dimRV = 2.

4. C = {1, x, x2, · · · , xn} es la base canónica de Rn[x]. Luego, dimRRn[x] = n + 1.

5. C ={(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}es la base canónica de M2×2(R). Por lo

tanto, dimRM2×2(R) = 4.

6. Para las matrices reales de orden m× n se tiene que dimRMm×n(R) = m · n.7. Si K es un cuerpo, entonces, mirando este cuerpo como espacio vectorial sobre si mismo se tiene

dimKK = 1.

8. Mirando Cn como un espacio vectorial sobre C, se tiene que dimCCn = n.

9. Mirando Cn como un espacio vectorial sobre R, se tiene que dimRCn = 2n.

EJERCICIOS

1. Determine una base y la dimensión de cada uno de los siguientes subespacios:

a) A = {(x, y, z) ∈ R3 : x− y = 0, z − 2x = 0} ≤ R3

b) B = {(2x, x, x + 2y,−y) ∈ R4 : x, y ∈ R} ≤ R4

c) C = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x + 3t = 0} ≤ R4

2. Determine la dimensión de B ∩ C del ejercicio anterior. Encuentre, si es posible,una base.

TEOREMAW ≤ V =⇒ dimW ≤ dimV

TEOREMA (completación de una base)

Sea V un espacio vectorial sobre K, con dimKV = n. Sea W ⊆ V con dimKW = m,y base B = {u1,u2, · · · ,um}; entonces, existen vectores um+1,um+2, · · · ,un ∈ V :B ∪ {um+1,um+2, · · · ,un} es una base de V .

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EJERCICIOS

1. Sea A = {(1, 2, 3), (2, 1,−1)}. Verifique que A es l.i. y complete este conjunto paraobtener una base de R3.

2. Sea A = {1, 1 + x, x2 + x3}. Verifique que A es l.i. y complete este conjunto paraobtener una base de R3[x].

3. Sea A =

{(1 −12 0

),

(0 −13 4

),

(1 01 1

)}. Verifique que A es l.i. y complete

este conjunto para obtener una base de M(R, 2× 2).

TEOREMASea V un espacio vectorial, dimKV = n. Si B ⊂ V, B = {u1, · · · ,un} es un conjunto

l.i., entonces B es una base de V .

OBSERVACIÓNEl teorema es útil si se conoce la dimensión de un espacio vectorial V . En este caso,

para probar que un conjunto es base de V , basta probar que el conjunto es l.i.

EJERCICIOS

1. Determine si los siguientes son base de R4. Si no lo son, forme una base de R4

utilizando el máximo posible de vectores del conjunto dado.

a) A = {(0, 1, 1, 0), (1, 0, 2,−1), (−1, 3, 0, 0), (2,−2, 0, 1)}b) B = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}

2. Determine si los siguientes son base de R2[x]. Si no lo son, forme una base deR2[x] utilizando el máximo posible de vectores del conjunto dado.

a) C = {1, 1 + x, 1 + x + x2}b) D = {x + x2, 1 + x, 1 + x2}

TEOREMASea B = {u1, · · · ,un} ⊆ V . B es una base de V ssi todo vector de V puede ser

escrito de manera única como una combinación lineal de los vectores u1, · · · ,un.

OBSERVACIÓNEste teorema dice que dado un vector cualquiera en un espacio vectorial V con una

base dada B, los coeficientes del vector con respecto a esa base B son únicos, vale decir,si v ∈ V, ∃! αi, i = 1, · · · , n : v = α1 · u1 + α2 · u2 + · · ·+ αn · un.

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Esto permite definir las coordenadas de v con respecto a la base B, usando los

coeficientes αi que acompañan a los vectores ui. La matriz columna

α1

α2...

αn

se llama

matriz de coordenadas de v con respecto a la base B. Usaremos la notación [v]B.

EJEMPLOS

1. En R3, considere las bases ordenadas B = {(1, 2, 3), (1, 0,−1), (0,−2, 0)} y la base canónica deR3. Determine la matriz de coordenadas del vector (2, 8,−6) con respecto a ambas bases, es decir,encuentre [(2, 8,−6)]B y [(2, 8,−6)]C.Como (2, 8,−6) = −1 · (1, 2, 3) + 3 · (1, 0,−1)− 5 · (0,−2, 0), se tiene que

[(2, 8,−6)]B =

−1

3−5

.

Como (2, 8,−6) = 2 · (1, 0, 0) + 8 · (0, 0, 1)− 6 · (0, 0, 1), se tiene que

[(2, 8,−6)]C =

28

−6

.

2. En R2[x], considere las bases ordenadas B = {−1, x+1,−x2 +1} y la base canónica de R2[x], conn = 2. Determine la matriz de coordenadas del polinomio p(x) = 2−x+3x2 con respecto a ambasbases.Tenemos que p(x) = 2− x + 3x2 = α1(−1) + α2(x + 1) + α3(−x2 + 1)= (−α1 + α2 + α3) · 1 + α2 · x− α3 · x2

Luego,−α1 + α2 + α3 = 2

α2 = −1α3 = 3

Resolviendo, obtenemos [p(x)]B = (−6,−1,−3) y, como antes, las coordenadas con respecto a labase C coinciden con el vector, vale decir,[p(x)]C = (2,−1, 3).

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