“Aprendizaje del número y el conteo en el niño. Aportes de la ...

Licenciatura y Profesorado en Ciencias de la Educación

“Aprendizaje del número y el conteo en el niño. Aportes

de la neuropsicología del aprendizaje y la psicología

cognitiva”

Laura Isabel Romano

Tutora:

Mg. María Fernanda Pighín

Co-tutora:

Lic. Pilar Barañao

UNLu

Laura Isabel Romano

[email protected]

Aprendizaje del número y el conteo en el niño. Algunos aportes desde la neuropsicología del

aprendizaje y la psicología cognitiva

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Agradecimientos

Son muchas las personas que debería nombrar en estas

líneas, aquellas que no han bajado la guardia y siempre

me han apoyado, tanto a lo largo del desarrollo de este

trabajo monográfico como a lo largo de mi vida.

A mi madre y hermana, por su amor y apoyo

incondicional.

A la Universidad Nacional de Luján por el impulso en

mi formación profesional.

A mi tutora María Fernanda Pighín y co-tutora Pilar

Barañao por sus valiosos aportes y enseñanzas

brindados en el proceso de aprendizaje.



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Índice

● Introducción……………………………………………………….…pág. 4

● Historia de la matemática y la concepción de la matemática como una

construcción social……………………………………………...…….pág.6

● El código matemático como un sistema externo de representación (SER).

Reflexiones acerca de la enseñanza…………………………………...pág.9

● La matemática como una función psicológica superior. Aportes de la

neuropsicología del aprendizaje……………………………...…….. pág.15

● El número y el conteo desde la psicología cognitiva…………….…...pág.32

● Reflexiones acerca de la propuesta curricular del Área de Matemática para

el Nivel Inicial de la Pcia. de Buenos Aires………………………….pág.45

● Conclusiones…………………………………………………...……pág.51

● Bibliografía……………………………………………………….....pág.57



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Introducción

La presente monografía se encuentra orientada a considerar el aprendizaje del

número y el conteo en niños de 5 años considerando aportes de la neuropsicología

del aprendizaje de vertiente neurofisiológica y de la psicología cognitiva. El interés

por esta temática nació a partir de la experiencia realizada en la pasantía interna

rentada en la cual participé durante el año 2017. La misma correspondía al

proyecto de investigación “Neurofisiología del número en niños preescolares de

sala de cinco años de Nivel Inicial”.

La finalidad de este trabajo es acercarme al aprendizaje del número y el conteo

desde los aportes de la neuropsicología del aprendizaje y la psicología cognitiva

en el contexto del aprendizaje del número y el conteo en los niños pequeños en el

Nivel Inicial.

Para ello, se investigarán aspectos teóricos vinculados con la historia de la

matemática, concepciones de ésta como una construcción social, el código

matemático como un sistema externo de representación (SER) y su enseñanza, y

finalmente, su relación con las funciones psicológicas superiores (FPS) y las

funciones cerebrales superiores (FCS). También se caracterizará el aprendizaje del

número y el conteo desde la psicología cognitiva.

¿Por qué interesa desde la neuropsicología evaluar el proceso de adquisición del

cálculo o del número? De acuerdo con Taussik y otros (1994) y Feld (1996), su

aprendizaje moviliza y comparte habilidades lingüísticas, capacidades no verbales,

visoespaciales y de memoria. Es decir, requiere habilidades cognitivas específicas

en las que incluye la interpretación de la estructura léxica del sistema numérico,

que dicho en otras palabras se trata del lenguaje relativamente independiente que

se precisa para escribir o verbalizar números, y que se diferencia del lenguaje

general.

Es importante contribuir con una reflexión acerca de los Diseños Curriculares del

área de matemática de Nivel Inicial de la Provincia de Buenos Aires en torno a las

matemáticas centradas en el número y el conteo. El Diseño Curricular (2008) que



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tiene como propósito central de la enseñanza de la matemática introducir a los

alumnos en el modo particular de pensar, de hacer y de producir conocimiento que

supone esta disciplina. Es decir, se busca que los niños se enfrenten a las

situaciones y al uso de los conocimientos matemáticos para permitir un proceso de

producción de conocimiento que guarde cierta analogía con el quehacer

matemático, considerando que ese funcionamiento es constitutivo del sentido de

los conocimientos.

Por lo tanto, es función del Nivel Inicial ir al rescate de los conocimientos

informales, para brindar oportunidades de aprendizaje significativas que les

permitan ampliar y profundizar esos saberes desde una mirada integral de la

educación para su desarrollo personal y social.



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Historia de la matemática y la concepción de la matemática como una

construcción social

Profundizar en la historia de la matemática hace visible que se trata de un producto

cultural y que, como tal, va tomando diferentes formas. Las autoras Sessa y

Giuliani (2008) aportan la concepción de la matemática “como una construcción

social, colectiva, y a los resultados de la comunidad de matemáticos de una época,

sus “productos”, como productos culturales” (Sessa y Giuliani 2008:17). La

producción matemática es entonces un aporte a la cultura en la cual esa comunidad

está inmersa, y a su vez está condicionada por la misma en cuanto al tipo de

problemas que enfrenta, los modos de trabajo, el tipo de regulaciones y normas

que se van configurando.

Quizás nuestro actual sistema de numeración sea un extraordinario ejemplo de lo

que afirmamos cuando decimos que la matemática es una construcción social, en

pocas palabras aseguramos que es un producto cultural.

El sistema de numeración decimal que utilizamos fue en principio pensado y

puesto en práctica por la cultura hindú de la antigüedad. Durante la edad media, el

sistema de numeración en uso en Europa era el romano y operaba con el ábaco.

Mientras tanto el pueblo árabe adoptaba el sistema de numeración hindú y lo

incorporaba al trabajo matemático que desarrollaba. Este trabajo se nutría también

de todas las producciones griegas clásicas, fundamentalmente de la geometría y

aritmética.

De modo particular los árabes fusionaron en sus producciones rasgos de la

matemática griega y la matemática hindú, y le imprimieron ellos mismos su propia

marca productora. A fines de la edad media, la producción árabe es absorbida en

Europa y con ella la cultura griega renace en el continente. Fue un proceso largo,

que enfrentó a los expertos en los viejos sistemas abaquistas con los expertos que

manejaban el sistema de numeración posicional de cifras y los algoritmos de

cálculo asociados.



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Luego de un período de lucha entre defensores y detractores, el nuevo sistema de

numeración que aportaron los árabes se impone. Esto es logrado porque resulta

más útil para el cálculo. Se afirma porque el comercio se está expandiendo y los

cálculos más complejos se benefician con una simplificación de la escritura de los

números y de los algoritmos para las operaciones.

El nacimiento de la matemática se vio vinculado con el desarrollo del concepto del

número. Se trató de un proceso que ocurrió de manera muy gradual en las

comunidades humanas primitivas. Aunque disponían de una cierta capacidad de

estimar tamaños y magnitudes, no poseían inicialmente una noción de número.

Al transcurrir el tiempo, el concepto del número era incipiente y todavía no se

encontraba asimilado como algo abstracto, sino como un conjunto concreto. Más

adelante, el avance en la complejidad de la estructura social y sus relaciones se fue

reflejando en el desarrollo de la matemática. Los problemas por resolver se

hicieron más difíciles y ya no bastaba, como en las comunidades primitivas con

solo contar cosas y comunicar a otros la cardinalidad del conjunto contado, sino

que llegó a ser crucial contar conjuntos cada vez mayores, cuantificar el tiempo,

operar con fechas, posibilitar el cálculo de equivalencias para el trueque. En éste

momento se da el principio de los nombres y símbolos numéricos.

Ésto vislumbra los modos de trabajo en otros períodos de la historia, a propósito

de un área de la matemática que nos puede permitir desarrollar el sentido que

actualmente tenemos de los conceptos de esta disciplina. Podríamos decir que

amplían nuestras concepciones, ayudándonos a desnaturalizar nuestra manera

actual de tratar los problemas y concebir los objetos.

Desde la visión del docente, la comprensión de otras maneras de trabajar puede

ampliar su sensibilidad para oír e interpretar el trabajo de los alumnos.

El conocimiento de cómo funcionaron ciertas temáticas en otros momentos

sociales o históricos y culturales puede ser fuente de inspiración para planear un

proyecto de enseñanza que recupere para el aula viejos sentidos de los objetos.



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Nuestra cultura está emparentada con las artes, la política y las Matemáticas

griegas de un modo mucho más profundo que con las culturas más antiguas. Ahora

bien, la producción griega no nació desligada de los conocimientos ya construidos

por otras culturas: los hombres griegos, en particular los matemáticos (Pitágoras,

Thales, Euclides, Arquímedes, entre otros) eran conocedores de las formas de

trabajo y de los productos de los matemáticos de las culturas babilónica y egipcia,

más de mil años anteriores.

Pensamos a la clase de matemática “como una comunidad de alumnos y maestro,

que resuelven problemas, discuten, elaboran conjeturas, justifican sus

afirmaciones y sus acciones, es decir, producen matemática” (Sessa y Giuliani,

2008: 18).

Una clase productora (alumnos produciendo, docentes produciendo) el docente

desempeña un papel fundamental ya que es el referente de la matemática en la

clase. Desde este posicionamiento podemos observar dos cuestiones, por un lado,

el docente aporta las tareas a realizar, condicionando con esto los sentidos que se

van construyendo en torno a los objetos, y por otro lado, es un regulador del trabajo

en grupo acompañando de manera colectiva e individual, poniendo en juego

procedimientos, formas de escritura, formas de hacer, formas de validar, etc.

“En palabras de Michéle Artigue, una de las grandes de la Escuela Francesa en

Didáctica de la Matemática: “La identificación de las concepciones encontradas

históricamente puede ayudarnos a interpretar ciertas respuestas de alumnos, a

comprender su coherencia” (Artigue, 1990 en Sessa y Giuliani, 2008: 20).



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El código matemático como un sistema externo de representación (SER).

Reflexiones acerca de la enseñanza.

Las representaciones matemáticas se dan a través de un procesamiento dinámico y

las mismas se internalizan mediante signos específicos, convencionales y

contextualizados con reglas sintácticas de procesamiento. A su vez, la

conceptualización de las matemáticas se basa en las nociones de estructura y

sistema. “Una estructura matemática es un conjunto de entes abstractos expresados

simbólicamente, dotado de unas operaciones o modos de composición y de unas

relaciones mediante las que se comparan y organizan dichos entes; la

consideración conjunta de los entes, sus operaciones y sus relaciones es lo que

caracteriza una estructura” (Feferman, 1989; en Rico 2009:10).

Desde una perspectiva cognitiva esta reflexión implica que cada concepto o

estructura matemática necesita para su comprensión del empleo y juego

combinado de más de un sistema de representación. Duval (1993) sostiene la

necesidad de diversos sistemas semióticos ligados a un mismo concepto

matemático y establece que las diferentes representaciones semióticas de un objeto

matemático son necesarias, ya que dichos objetos no son directamente accesibles

por la percepción o por una experiencia intuitiva inmediata como lo son los objetos

comúnmente llamados físicos. Esto lleva a la necesidad de considerar las

relaciones entre los diversos sistemas de representación para un mismo concepto.

Para ello se tienen en cuenta al procesamiento de la información considerando que

el conocimiento matemático es posible gracias a estructuras o procesos cognitivos

generales que deben ajustarse para resolver exitosamente los diversos problemas.

“Entre los factores relevantes en estos ajustes tienen en cuenta el tipo de objetivos

del problema, la complejidad del problema o el tiempo disponible, pero se les

agrega un segundo plano a los componentes socioculturales: los significados que

los propios sujetos asignan a las actividades que se les propone, la interacción

social que envuelve y configura la resolución del problema en cuestión y los

instrumentos semióticos disponibles” (Martí y Scheuer 2015:10).



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En este apartado desarrollamos la necesidad de tomar en cuenta los sistemas

semióticos en el desarrollo matemático, teniendo en cuenta que estos signos son

construcciones culturales y por lo tanto, los niños las adquieren en un contexto

social. Aquí ponemos el acento en el papel mediador y específico de los signos en

el conocimiento matemático.

Si nos centramos de modo específico en el conocimiento matemático, numerosos

estudios han mostrado las particularidades de la adquisición del sistema numérico

decimal y su importancia en la comprensión del número.

Los niños adquieren diferentes sistemas semióticos relacionados con las

matemáticas, en este trabajo, se destaca la función que tiene lo semiótico en el

conocimiento matemático y qué importancia tienen los sistemas de representación.

Lo cierto es que el componente semiótico es inherente al desarrollo del

conocimiento matemático temprano. Martí y Scheuer (2015) plantean que es así

por dos razones, por un lado, porque el desarrollo del conocimiento matemático

no es una aventura solitaria que permite a los niños descubrir verdades

matemáticas por su interacción con el mundo de los objetos. Sino que es una

elaboración que siempre se realiza en un contexto con otras personas. Esta

interacción social se encuentra inmersa en las prácticas de una cultura y los signos

juegan un papel fundamental porque son los elementos primordiales para la

interacción. Los mismos pueden ser: signos lingüísticos, signos gestuales, o signos

gráficos inherentes a sistemas externos de representación como la escritura o la

notación numérica.

Por otro lado, la matemática es una disciplina inseparable de un entramado

semiótico especializado y de gran complejidad. Por eso los niños de edades

tempranas, interactúan con estos sistemas y los utilizan para desarrollar sus

conocimientos matemáticos participando más activamente de su cultura.

La noción de representación es compleja, por ende tomamos la definición de Rico

(2009) que plantea “las representaciones matemáticas se han entendido desde

entonces, en sentido amplio, como todas aquellas herramientas -signos o gráficos-



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que hacen presentes los conceptos y procedimientos matemáticos y con las cuales

los sujetos particulares abordan e interactúan con el conocimiento matemático, es

decir, registran y comunican su conocimiento sobre las matemáticas” (Rico

2009:3).

Al mismo tiempo, se puede decir que representar es reproducir en la mente porque

“para pensar sobre ideas matemáticas y comunicarlas necesitamos representarlas

de algún modo” (Hiebert y Carpenter 1992: 66). Se requiere que las

representaciones externas se manifiesten tomando la forma del lenguaje oral,

símbolos escritos, dibujos u objetos fijos. Para ello necesitamos pensar las ideas

matemáticas desde su representación interna para que de esta manera la mente

pueda operar sobre ellas. Consiguientemente, las representaciones cumplen un

papel destacado para los procesos de construcción de conceptos y por ello son

importantes en la enseñanza y aprendizaje del conocimiento matemático.

Ferreiro y Teberosky (1979), Olson (1994) y Donald (1991) fueron los pioneros

en demostrar la importancia del papel mediador específico de la escritura

combinado con otros sistemas de representaciones externos como los mapas y

gráficos presentados desde el nivel inicial. Es así como lo muestra Flavia

Santamaría (s/f) haciendo hincapié en que los niños de primer grado proponen

expresiones verbales y notaciones numéricas para una cantidad muy grande en

distintos contextos de significación (edad de una persona adulta o las estrellas).

“Ante esta situación novedosa y desafiante, los datos del estudio muestran cómo

los niños consiguen elaborar, a través de sus expresiones verbales y notaciones,

cantidades que pueden ir más allá de la serie numérica que manejan. También

muestra la influencia del contexto de referencia en la magnitud de los números

propuestos por los niños” (Martí y Scheuer 2005:14).

Este resultado apunta a un hecho novedoso que refleja la manera de representar la

cantidad y su incidencia sobre el conocimiento numérico en los niños que se

encuentran en pleno proceso de construcción del mismo.



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Peréz Echeverria y otros (2010) plantean que cada sistema externo de

representación tiene una “densidad representacional” y que se encuentra vinculado

a la práctica educativa que ayuda a alcanzar dicho nivel. Hay que tener en cuenta

que el aprendizaje de la mayoría de estos sistemas supone un dominio previo de

otros y exige la capacidad de combinar diferentes técnicas como pueden ser la

escritura y las reglas propias de un mapa o una tabla. Cada uno de estos sistemas

enfatiza un aspecto determinado de un conocimiento y se necesita una

alfabetización múltiple que permita traducirlos y al mismo tiempo combinarlos.

Tradicionalmente, esta enseñanza suele comenzar con el aprendizaje del código o

de los elementos más explícitos del sistema. El niño que comienza a leer debe

aprender las letras y las palabras escritas así como su correspondencia con los

elementos verbales. Pero no basta con un conocimiento de estos elementos básicos

para un uso adecuado de los mismos, se necesita que además remitan a otros

sistemas significativos para el niño que se encuentra aprendiendo y que al mismo

tiempo el niño pueda darle sentido a la decodificación. “No basta con aprender el

código o los elementos para ser capaz de comprender, producir o utilizar un

sistema externo. Es necesario también el aprendizaje de los componentes

sintácticos, estructurales” (Peréz Echeverria y otros 2010:142).

Rico (2009) plantea que representar es una práctica y abarca una multiplicidad de

opciones. Por ende, el aprendizaje de los sistemas externos de representación

convive con las representaciones internas que se van formando en el proceso

dialéctico, permitiendo su internalización como adquisición de nuevos

conocimientos.

En la enseñanza de las matemáticas debemos tener en cuenta las relaciones entre

los objetos de conocimiento y representaciones, articulado con el sentido de la

adquisición de las matemáticas. Panizza (s/f) plantea que los alumnos operan

mecánicamente sin atribuir sentido a lo que hacen. Por ende, “la palabra “sentido”

parece explicar intenciones, logros y frustraciones” (Panizza s/f:32). Sin embargo,



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tales cuestiones de cómo se atribuye el significado a la palabra, es en donde se

encuentra el sentido y es en el intercambio entre el docente y el alumno.

Hay que tener presente que por un lado están los conceptos de las propiedades de

los objetos matemáticos y por otro, las representaciones que se utilizan en la

matemática. Para tratar este problema de las relaciones entre los objetos y

representaciones es necesario cuestionar la noción de representación. Para ello

Duval (1993) afirma que es necesario que el objeto no sea confundido con sus

representaciones y que se reconozca en cada una de ellas. Es bajo esas dos

condiciones que una representación funciona verdaderamente como

representación, es decir que ella proporciona el acceso al objeto representado.

Panizza (s/f) plantea que es fundamental que el docente profundice en su propia

capacidad para diferenciar los objetos matemáticos de sus conceptualizaciones y

que comprenda las condiciones bajo las cuales una representación funciona como

tal. Asimismo, es importante que identifique las representaciones que utilizan los

alumnos y sus conocimientos con los objetos.

Para Duval (1993) el aprendizaje de la matemática es un punto importante, lo que

involucra un trabajo con distintos sistemas de representación, porque es así como

se logra que una representación funcione como tal. “Es importante destacar que

los procesos desplegados mediante el uso de las distintas funciones de las

representaciones son constitutivos tanto del sentido de los conocimientos que los

alumnos construyen de los objetos matemáticos como de los conocimientos que

construyen de los sistemas de representación” (Panizza s/f: 44).

Cuando el docente presenta un problema a los alumnos, la interpretación de la

representación utilizada en la formulación de éste es parte de la tarea y condiciona

la resolución. Sin embargo, la presentación de las actividades parece subestimar la

complejidad de interpretación de un gráfico, un esquema, una escritura numérica,

como si naturalmente el alumno observara lo mismo que observa el docente. Es

importante tener en cuenta este tipo de dificultades a la hora de elegir una forma

no convencional de representación en la formulación de un problema. A esto se le



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suma la complejidad de interpretación del funcionamiento de un sistema

simbólico. No se trata de enseñar los sistemas simbólicos al margen de la actividad

matemática como si se tratara de algo aislado, sino que tiene por objetivo

comprender que un sistema de representación no se confunde con el objeto

matemático. Asimismo, busca constituirse en un objeto de conocimiento, teniendo

en cuenta su complejidad y al mismo tiempo apropiarse de él.

En particular, se debería proveer a los alumnos, desde un comienzo en su

escolaridad, actividades con diferentes representaciones. Esta tiene la finalidad de

disponer experiencias variadas que los coloquen en situaciones de trabajar con

diferentes representaciones y conocer el funcionamiento de los sistemas

simbólicos como los distintos aspectos de los objetos matemáticos que estos

permitan representar.



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La matemática como una función psicológica superior. Aportes de la

neuropsicología del aprendizaje

La matemática puede ser considerada como una función psicológica superior en

términos de Vygotsky y Luria. “La enseñanza de las matemáticas en las primeras

etapas de la vida del niño reviste una importancia inmensa. En muchos países (…)

se confiere a la enseñanza de las matemáticas el más alto interés por su papel

ordenador del conjunto de los procesos intelectuales” (Azcoaga 1981:1). Es

importante destacar que en los mismos intervienen las funciones cerebrales

superiores.

Las funciones cerebrales superiores son especificas del hombre, son producto de

los procesos de aprendizaje y al mismo tiempo no son indispensables en todos los

procesos de aprendizaje.

Azcoaga (1974) plantea que estas funciones se pueden diferenciar de los

dispositivos básicos del aprendizaje, ya que estos últimos son comunes a los

hombres y los animales. Dichos dispositivos no resultan de procesos anteriores de

aprendizaje, aunque sus características pueden ser modificadas por los mismos

procesos, y son indispensables en los mismos.

Cuando se hace alusión a dichos procesos se tiene en cuenta que son acompañados

de la actividad nerviosa superior, la misma conecta los estados activos de grandes

poblaciones neuronales y maneja la interacción dinámica entre los estados activos.

Luria (1979) considera a los sistemas funcionales complejos como sustento

funcional de la actividad neuropsicológica. Plantea que la función es un sistema

funcional “destinado a cumplir con una tarea biológica determinada y asegurado

por un complejo de actos vinculados que, al final, conducen al logro del efecto

biológico correspondiente” (Luria 1979: 25). El sistema funcional se apoya en una

constelación dinámica de eslabones situados en diferentes niveles del sistema

nervioso y que al mismo tiempo dichos eslabones pueden cambiar aunque la propia

tarea no se inmute.



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Por ende, la compleja formación de los sistemas funcionales denominados

funciones psicológicas superiores abarcan desde los fenómenos de la percepción y

movimiento hasta los sistemas más complejos que incluyen las palabras adquiridas

en el proceso de aprendizaje.

Luria (1979) en reiteradas oportunidades señala que las funciones psíquicas

superiores deben buscarse en la obra de Vygotsky, ya que el mismo denomina

principio de la organización extracortical de las funciones mentales complejas a

un proceso ontogenético, a lo largo del cual el niño incorpora, con la ayuda de

recursos exteriores, una organización dinámica cambiante pero al mismo tiempo

estable.

Es así como Vygotsky (1997) plantea que “todas las funciones psíquicas superiores

son procesos mediatizados y los signos son los medios básicos para

instrumentarlas y dirigirlas. El signo mediatizador está incorporado como una

parte indispensable en su estructura, verdaderamente, la parte central del proceso”

(Vygotsky 1997: 56).

Algunas de las características de dichas funciones es que son específicamente

humanas y funcionan como entidades unitarias, están dotadas de estabilidad, no

son cadenas de reflejos o estereotipos sino que consisten en una compleja

interconexión de relaciones en el cerebro, que en definitiva se hacen presentes en

la actividad concreta orientada a un objetivo. También tienen una estructura que

puede ser diversificada, de modo que eso facilita la compensación de los órganos

funcionales que son depositarios tanto del legado biológico como social.

De acuerdo con Azcoaga (1997) una de las premisas iniciales es la concepción de

aprendizaje ya que alude a la adquisición ontogénica de los sistemas funcionales

complejos. Otro aspecto refiere a las unidades de aprendizaje o los estereotipos

que poseen un grado de flexibilidad y complejidad interior como para adaptarse

plásticamente a la realización de las actividades presentadas. En relación con ésta

se encuentran los analizadores “a la que Luria ha prestado un interés especial:

atendiendo a las propiedades citoarquitectónicas y funcionales, las zonas centrales



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de los analizadores tienen la propiedad de la máxima discriminación entre

estímulos específicos mientras que las periféricas intervienen en formas más y más

complejas en las combinaciones de estímulos, de modo que estas regiones

periféricas le confieren a la actividad cerebral las propiedades “psicológicas”, en

tanto que las zonas primarias son más estrictamente sensoperceptivas” (Azcoaga

1997:72)

De dicho modo, la noción de sistema funcional complejo es tan amplia como un

abanico de conjunto de actividades. Naturalmente, todos los procesos mentales

como la percepción, la memoria, gnosias, praxias, pensamiento y lenguaje,

escritura, lectura y aritmética no pueden ser considerados como facultades aisladas

o indivisibles de las que pueda presumirse que son funciones directas de grupos

celulares limitados o que están localizadas en áreas particulares del cerebro.

El concepto de funciones cerebrales superiores planteadas por Azcoaga hace

referencia a las praxias, las gnosias y el lenguaje. A diferencia de la escritura, la

lectura y la aritmética que se consideran adquisiciones del proceso de aprendizaje

dirigido en consecuencia, que son producto del aprendizaje pedagógico, el cual

requiere de las funciones cerebrales superiores.

Para articular las funciones psicológicas superiores y las matemáticas se tendrán

en cuenta los pilares básicos del aprendizaje que se encuentran compuestos por la

actividad nerviosa superior, el equilibrio o base afectivo emocional, los

dispositivos básicos del aprendizaje y las funciones cerebrales superiores. Son

dichos pilares el sustento y producto del aprendizaje.

“Se considera que los aprendizajes pedagógicos son aquellos que devienen de las

propuestas institucionalizadas, aprendizajes planificados sistemáticamente que se

apoyan íntegramente sobre la información semántica y se inician a partir del

ingreso del niño en las instituciones educativas pudiendo extenderse a lo largo de

toda la vida” (Pighín y Feld 2012:3).

No obstante, este aprendizaje pedagógico se asienta sobre un aprendizaje previo,

que no se encuentra planificado, fruto de los procesos de desarrollo del individuo



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en la interacción sujeto y medio: el aprendizaje fisiológico. En dicho aprendizaje

se constituyen las funciones cerebrales superiores y otros conceptos, que

podríamos considerar como sistemas funcionales complejos o procesos

psicológicos superiores.

“Los mismos se constituyen durante la infancia gracias a la actividad analítico-

sintética de las funciones mentales, que durante la interacción entre el sistema

nervioso del individuo y su experiencia vital fue constituyendo las poblaciones o

grupos neuronales que responden a determinado tipo de información, dando origen

así a los patrones de memoria de largo plazo que conforman cada una de las

funciones” (Pighín y Feld 2012:3).

Para el proceso de aprendizaje de las nociones matemáticas es necesario considerar

las funciones cerebrales superiores que intervienen en dicho proceso. Azcoaga,

Derman e Iglesias (1997) plantean que la noción de número resulta de una

elaboración psicológica para la cual es definitiva la acción que ejerce el niño sobre

los objetos que lo rodean. Del mismo modo, las nociones generalizadas del

pensamiento matemático están implícitas en forma de acciones concretas desde el

periodo sensorio motriz. Este es el caso de la estructura matemática de “grupo”.

Cuando el niño comienza a coordinar la visión y los movimientos de sus manos

para alcanzar objetos dentro del campo inmediato.

Alrededor de los seis meses surge la constante de objeto. Las personas y las cosas

van teniendo existencia para el niño aunque desaparezcan transitoriamente de su

campo visual. Azcoaga, Derman e Iglesias (1997) plantean que estas “constantes

de objetos” son invariantes que van elaborándose en niveles de complejidad

creciente: desde las constantes de cantidades y magnitudes.

Algunas experiencias de Piaget mencionadas por Azcoaga (1997) demuestran

hasta qué punto la conservación de las cantidades es solidaria con la gradual

elaboración de la noción de número. No basta al niño saber contar verbalmente 1,

2, 3… etc., para estar en posesión del número. Sino que un niño de cinco años

puede ser capaz de enumerar los elementos de una hilera de cinco fichas y pensar



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en cambio que si se reparten las cinco fichas en dos subconjuntos de dos o tres

elementos, dichas fichas no equivalen a la colección inicial total. Por lo tanto, el

número es solidario con la estructura operatoria del conjunto con lo cual aún no se

encuentra la conservación de las totalidades numéricas independientemente de la

posición actual de la figura. Por consiguiente, Piaget dice que no hay una

construcción del número cardinal separadamente de la del número ordinal sino que

ambos se constituyen de modo indisociable a partir de la reunión de clases y de las

relaciones de orden.

La importancia de la operación de comparar se la toma como punto de partida del

pensamiento lógico matemático. Se lo observa cuando el niño puede formar

conjuntos y luego compararlos en función del número de sus elementos. De dicho

modo, se ponen en relieve las nociones de mayor y menor, que conducen al mismo

tiempo a la noción de diferencia.

Al mismo tiempo, se pueden asociar conjuntos a cifras y cifras a conjuntos,

elaborando el número como clase de todos los conjuntos que tienen el mismo

número de elementos y comprender la sucesión de los números naturales mediante

la comparación y la clasificación.

Estas operaciones usan como vía el lenguaje, que se adquiere durante el

aprendizaje escolar, utilizando algunos aspectos característicos en el aprendizaje

de las nociones matemáticas.

De acuerdo con la experiencia en las investigaciones de Piaget, es recién en el

periodo operatorio cuando el niño logra incorporar determinadas nociones. Se

considera que la síntesis de la intuición y la seriación se constituye entre los 7 u 8

años y se va conformando de manera progresiva. “Se asiste a una especie de

aritmetización (…) para el resto de la serie de los números en grupos

aproximadamente del 1 al 7, del 8 al 15, del 15 al 30, etcétera” (Azcoaga, Derman

e Iglesias 1997:81).

Se puede advertir la especificidad de algunas funciones superiores en el

aprendizaje de las nociones matemáticas. Una de ellas es el lenguaje por la



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importancia del sustrato fisiológico del código lingüístico. Los estereotipos

motores verbales son las unidades fisiológicas de las palabras pronunciadas. En un

cierto momento el niño organiza síntesis definitivamente estabilizadas que se

denominan “series” del lenguaje.

Un ejemplo de dichas series es cuando el niño de aproximadamente 4 años

comienza a recitar los números antes de conocer su valor, se puede decir que es la

forma más primitiva en la que el infante comienza a contar. No obstante, la serie

de los números permite establecer una correspondencia entre la secuencia y el

elemento de conjunto de objetos.

Los estereotipos verbales son las unidades fisiológicas de los significados de las

palabras y en su paulatina complejidad van permitiendo la adquisición de

significados de oraciones y sus correspondientes concatenaciones. Es gracias a los

estereotipos verbales que el niño puede pasar de los significados más concretos y

directos a nociones cada vez más abstractas y generalizadas, indispensables para

la progresión del conocimiento matemático. Por ejemplo, en el eslabonamiento de

oraciones en los enunciados de los problemas matemáticos.

Cuando el niño cuenta utilizando series del lenguaje, está produciendo una

sucesión característica de la ordinalidad del número, es decir, una estructura que

según Piaget es constitutiva de la misma. También son series de este tipo las tablas

de sumar y multiplicar.

Además, las manipulaciones que el niño hace con los objetos, su agrupación, las

comparaciones, las clasificaciones, la seriación de los objetos y la suma del

conjunto de acciones tienen como sustrato fisiológico la actividad analítico-

sintética gnósica y práxica.

“Las gnosias visuoespaciales permiten el reconocimiento de las cifras y de los

signos matemáticos que dan la posibilidad de ejecutar por escrito operaciones con

ellos” (Azcoaga, Derman e Iglesias 1997:82).



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Las nociones matemáticas requieren la contribución de una capacidad de

conceptualización que ha necesitado la adquisición de la abstracción y la

generalización durante el aprendizaje del lenguaje. En cambio, el cálculo, moviliza

hábitos y automatizaciones. Por eso, los trastornos del cálculo se advierten

predominantemente en niños que tienen patogenias gnosicopráxicas.

Las dificultades de organización del lenguaje interno que vienen dándose desde el

período preoperatorio con las consiguientes perturbaciones en la organización de

raciocinios elementales, inciden ya desde antes de la escolaridad en la capacidad

de clasificación, seriación, correspondencia, equivalencia y comprometen la

adquisición de las nociones conjuntísticas en general.

Entonces, las nociones de número y la codificación lectográfica (cifras, signos,

etc.) se ven afectados cuando el niño debe comparar dos cantidades o al contar. En

este último caso “errará al pasar de una decena a otra o a una centena (…) aunque

adicionalmente pueden intervenir las dificultades para la organización de las

series” (Azcoaga, Derman e Iglesias 1997:152).

Para Azcoaga (1974) el aprendizaje del cálculo y las nociones de las matemáticas

no son áreas completamente incidentes. El cálculo, tanto “mental” como el escrito,

tiende a automatizarse, a mecanizarse, mientras que el manejo de las nociones

matemáticas justifica el vuelo del pensamiento y opera con conceptos y relaciones

plásticas y abstractas.

Las nociones matemáticas se apoyan en la utilización instrumental de relaciones

espaciales y depende de una aptitud más general, correspondiente a la adquisición

de gnosias visuoespaciales y a su utilización mediante la actividad.

Las respectivas operaciones de suma, resta, multiplicación, división, regla de tres

simple y compuesta, directa e inversa, operaciones con fracciones, radicación y

potenciación, etc., sin contar con las relaciones geométricas, exigen una acertada

disponibilidad de relaciones espaciales que se coordinan en el papel, y mediante

las cuales se relacionan dígitos entre sí. Una pérdida o confusión de la utilización



22

de las gnosias visuoespaciales trae con ella dificultades en las relaciones arriba-

abajo y derecha-izquierda que son sustento de las mismas operaciones.

Por ejemplo, el cálculo mental, impone relaciones instrumentadas por el lenguaje

y en general con el carácter de estereotipos del lenguaje que ya se encuentran

consolidados. Cuando una persona realiza la suma mentalmente lo que está

haciendo es relacionar mediante su lenguaje interior a través de sus estereotipos

verbales, los cuales ha memorizado en el tiempo y con el cual ya realizó fijaciones

en el cerebro.

Al sumar “mentalmente” 2 más 3, sabe, porque lo aprendió antes, que a esta

proposición sigue la conclusión “5”. Y esto, en su lenguaje interior, es una relación

estabilizada y consolidada entre estereotipos verbales, del mismo carácter que

cualquier otra relación entre estereotipos verbales adquirida previamente.

Al mismo tiempo, la sucesión de los números naturales, la tablas de sumar, de

multiplicar, etc., son series del lenguaje, es decir encadenamientos de estereotipos

motores verbales similares a otras series como los días de la semana y meses del

año.

Las nociones de aprehensión no deductiva, Azcoaga (1974) las denomina

intuitivas. Las mismas son captadas directamente. En otras palabras, son las que

no necesitan de otras para comprenderse y en fin, las que pueden ser premisas de

otras nociones que se elaboran a partir de ellas mediante las reglas de conexión

que estudia la lógica.

La noción de conjunto hace alusión a cualquier colección de objetos, entendiendo

por colección la que puede incluir un solo objeto hasta una incontable cantidad de

ellos.

Es cierto que es ésta una noción directa que reposa sobre la sensopercepción

visual, a la que le corresponde un significado y que refiere a un conjunto de objetos.

En los niños, dicha noción se desarrolla en el periodo sensoriomotor, en la

manipulación de los objetos y en la elaboración de esquemas de acción



23

relacionados con colecciones o grupos de elementos más o menos semejantes.

Azcoaga (1974) plantea la importancia de considerar esta noción de colección y

de conjunto que se adquiere en la etapa inicial del desarrollo del niño ya que la

misma perdura como noción primaria.

También está la noción mayor qué que se desprende de la noción de conjunto en

la comparación de estos. De tal situación se desprenden tres alternativas, la primera

es de un conjunto, que puede completamente, ser comparable con otro; el segundo

es un conjunto mayor que otro; y el tercero es un conjunto menor que otro.

Azcoaga (1974) denominó “mayor qué” o “menor qué” a las dos últimas

situaciones, y las mismas se reducen a una sola situación. “Lo cierto es que esta

confrontación de dos conjuntos entre sí deja la noción de diferencia, que en

definitiva puede ser la diferencia en un solo elemento. O bien puede ser una

diferencia numerable, porque consta de varios elementos que pueden ser

asimilados como una sucesión” (Azcoaga 1974: 168).

Dicha noción intuitiva se relaciona a la de conjunto y es la que el niño utiliza desde

épocas muy tempranas de su vida y son las que sientan las bases con la finalidad

de fundar nociones más complejas sobre ellas.

Otra de las nociones que encontramos es la de relación. En la manipulación de los

objetos, el niño tiene la posibilidad de vincularlos con otros objetos, o de desplazar

un objeto de un conjunto. Por consiguiente, al establecer vinculaciones entre

objetos comienza a dominar las relaciones.

Es importante observar las relaciones que establece entre sus dedos y los objetos o

entre sus dedos y los nombres de los números. Entre el conjunto de sus dedos (los

dedos de una mano) y un conjunto de cinco objetos existe una relación biunívoca

que el niño verifica apareando cada uno de los objetos con sus dedos.

Esto se refleja cuando el niño comienza a contar, lo que hace es utilizar una

relación disponible con un conjunto, que son sus dedos o con cualquier otro

conjunto. A medida que va logrando esta relación biunívoca, va contando.



24

También cuenta señalando o mirando cada uno de sus dedos con el nombre del

número.

En dicho caso, Azcoaga (1974) plantea que es el de una relación biunívoca en la

que a cada uno de sus dedos corresponde otro elemento como es el nombre de un

número. Se sabe que sigue dicho camino para numerar cualquier clase de objetos,

trasladando la relación inicialmente entre sus dedos y los nombres de los dígitos a

otro conjunto.

Finalmente, tenemos la noción de sucesión, que resulta de un aprendizaje

puramente verbal en el periodo de repetición, es decir, entre los 2 y 3 años.

Azcoaga (1974) plantea que el niño aprende a decir “uno, dos, tres”, del mismo

modo como aprende muchos otros estereotipos motores verbales que puede no

utilizar aún funcionalmente en su lenguaje en esta etapa. Luego aprende a decir los

nombres de los dígitos en sucesión de uno a diez y más tarde aprende nuevas

sucesiones. Al mismo tiempo contempla los fenómenos del lenguaje, ya que dichas

sucesiones son series, es decir, estereotipos complejos.

La noción de sucesión se desprende de este fenómeno propio del lenguaje. Pero

simultáneamente existe la posibilidad de establecer relaciones biunívocas entre un

conjunto que el niño tiene a su disposición y el conjunto de los nombres de los

dígitos en sucesión. “De la utilización de ambas nociones resulta la posibilidad

posterior de contar objetos, prescindiendo del conjunto básico para cualquier

establecimiento de relaciones biunívocas: los dedos de las manos” (Azcoaga 1974:

170).

Finalmente, la noción de sucesión resulta de la posesión de series de estereotipos

motores verbales y de la noción de relaciones biunívocas, es decir, de las gnosias

visuoespaciales. Las mismas tienen un carácter muy general, poseen importancia

en la elaboración de las nociones intuitivas.

También se tienen en cuenta las praxias, las cuales son movimientos organizados

producto de aprendizajes previos que tienden a un objetivo. Algunas de ellas, en

los niños, son simples como el caso de la deglución, la succión, el guiño de un ojo,



25

mover los labios para mostrar los dientes, entre otras. Otras son más complejas,

como enhebrar una aguja, trenzar el pelo o aprender hacer diferentes clases de

nudos con la soga entre otros. En la práctica pedagógica, se utilizan las praxias

manuales de los miembros del cuerpo, como por ejemplo cuando el niño comienza

a escribir sus primeras palabras. Dichas praxias conllevan atención y movimientos

más organizados para hacer uso de estas.

Lo que caracteriza a todas las praxias es que son producto del proceso de

aprendizaje. “En el curso de esos procesos se han ido organizando estereotipos

propioceptivomotores a medida que las coincidencias de aferencias propioceptivas

van siendo sintetizadas en el analizador propioceptivomotor” (Azcoaga, Derman e

Iglesias 1997:42). Por ende, la reiteración y el reforzamiento hacen de ellas

actividades funcionales consolidadas.

Esto sucede porque cada músculo tiene su perfil funcional definido, que está dado

por el papel dinámico de los movimientos en su propia constitución. Dicha

información propioceptiva al llegar a la corteza cerebral coincide con otras

aferencias también propioceptivas, estas coincidencias hacen posible la síntesis

entre todas ellas.

La síntesis de información propioceptiva corresponde a la acción de los músculos

extensores, a la correlativa inhibición que tienden a consolidarse a través de la

reiteración de las acciones. A su vez, la eficacia en el logro de una actividad motora

constituye un reforzamiento para estabilizarla y conservarla como tal. De esta

forma se van organizando los estereotipos propioceptivomotores, que son las

unidades funcionales de las praxias.

El logro de las praxias incluye la automatización de las mismas ya que son

producto del aprendizaje, y no en el objeto de este como sucedió en su proceso de

organización. Azcoaga, Derman e Iglesias (1997) plantean que en varios casos las

praxias se identifican con los hábitos motores pero en otros se encuentran

constituidos por un conjunto de praxias organizadas en un sistema mayor de

complejidad.



26

En el aprendizaje pedagógico se pone el énfasis en el conjunto de las praxias

manuales ya que van a construir la base funcional adecuada para el aprendizaje de

la escritura. En la escuela, también se utilizan otras praxias, pueden ser corporales,

de los miembros inferiores, entre otras, pero es relevante el papel que cumplen las

praxias manuales en el aprendizaje del código lectoescrito. Dichas praxias son

importantes en el periodo preescolar porque se aprenden a través del recortado, el

picado, el moldeado y la propia actividad gráfica, entre otras, es decir que van

introduciendo e incorporando mayor destreza motora y praxias más finas,

multiplicando esta actividad. Por ende, estas son un recurso calificado para el

futuro aprendizaje de la escritura.

Otro de los aspectos relevantes son las gnosias, que también son el resultado de

los procesos de aprendizaje en los que intervienen los distintos analizadores.

Se adquiere una gnosia cuando se logra la capacidad del reconocimiento

sensoperceptivo respecto a los hechos externos al niño. Del mismo modo que las

praxias, se distinguen gnosias simples y complejas. Entre las primeras se pueden

considerar algunas gnosias táctiles, como la diferenciación entre duro y blando,

áspero y suave; gnosias auditivas, como la diferenciación y el reconocimiento de

los ruidos. Entre las complejas pueden mencionarse las que incluyen la actividad

de varios analizadores.

También en el caso de las gnosias las unidades funcionales están dadas por

estereotipos sensoperceptivos, producto a su vez de procesos de aprendizaje

fisiológico con la reiteración y el reforzamiento que le es inherente.

Se le brinda una atención especial a las gnosias visuoespaciales por el papel que

ocupan en el proceso de aprendizaje de la lectoescritura. En ellas intervine la

sensopercepción retiniana y la actividad de la musculatura.

Por ello, la capacidad de reconocer está dada por la consolidación de síntesis de

aferencias, principalmente retinianas y propioceptivas de los músculos oculares,

es decir, por estereotipos visuoespaciales, o sea la base fisiológica de las gnosias

visuoespaciales.



27

Se advierte el considerable papel que tiene el aprendizaje de las gnosias

visuoespaciales y de las gnosias en general. La actividad del niño en etapa

preescolar las aprende a través del juego ya que éste desempeña una gran función

en el reforzamiento y consolidación de las gnosias.

También se entiende que solo en sentido expositivo corresponde hablar de gnosias

y praxias separadamente, ya que en la actividad fisiológica son inconcebibles unas

sin las otras. En dicho punto, es necesario mencionar el papel que desempeñan los

analizadores en la elaboración de las praxias y gnosias, especialmente en el sector

cortical.

Cada analizador que se encuentra en el sector cortical cumple funciones de análisis

(inhibición, especialmente condicionada y de ella particularmente la diferencial) y

de síntesis. Dicha actividad analítico-sintética no tiene lugar solo en el territorio de

cada analizador sino que involucra la participación de varios de ellos en el

conjunto.

El resultado de esta actividad analítico-sintética es la consolidación de estereotipos

que son de distinta naturaleza, pero que en todos los casos responden a la

reiteración y al reforzamiento, que luego desembocan en la consolidación.

En el proceso de aprendizaje también encontramos errores, inconsecuencias o

vacilaciones en la formación de las unidades de análisis, las cuales hay que

trabajarlas para deconstruirlas y volverlas a trabajar para que se puedan consolidar

de la manera correcta.

La actividad gnosicopráxica en el niño se encuentra conformada por la

participación motora y la actividad sensoperceptiva. Las mismas son inseparables

porque toda actividad sensoperceptiva está mediatizada y conectada con la

actividad muscular.

La adquisición de las nociones visoespaciales requiere de la participación

propioceptiva, que sintetiza la información propioceptiva de los músculos

extrínsecos del ojo, que en definitiva son nociones visuoespaciales que “resultarían



28

de un aprendizaje que culmina en una síntesis de nociones visuales (retinianas) y

propioceptivas de los músculos extrínsecos del ojo” (Azcoaga 1981:3).

La secuencia de adquisición de las nociones espaciales confirma esta concepción.

Es bien sabido que los niños adquieren la coordenada vertical (arriba-abajo), luego

la anteroposterior (adelante-atrás) y finalmente la lateral (derecha-izquierda).

Dicha idea fundamenta la organización de las nociones visuoespaciales.

El aprendizaje de gnosias visuoespaciales se encuentra nutrida desde la edad

prescolar y continúa su desarrollo en la niñez. Es importante destacar que la

actividad gnósico visuoespacial no sólo tiene que ver con el reconocimiento de los

objetos, sino también con rasgos de objetos, lo que hace posible la abstracción

sensorial y consecuentemente la clasificación.

La actividad gnósica visuoespacial permite el reconocimiento de colecciones, así

como el incremento o disminución de las colecciones. Estas nociones son la base

de la noción de conjunto, que también se encuentra compuesta por la adición y

sustracción de conjuntos. Finalmente, las gnosias visuoespaciales intervienen en

la propia disponibilidad de coordenadas, lo que resulta más evidente cuando se

conjugan con la actividad práxica.

Azcoaga (1981) hace alusión a las investigaciones de Piaget, las cuales han

demostrado que entre las primeras actividades del niño, la manipulación de objetos

lo lleva a configurar esquemas de acción, que son de hecho operaciones con

objetos. Estas operaciones son agrupamientos, separaciones, ordenamientos,

desplazamientos, entre otros. Dichas operaciones concretas llevan a las nociones

de conjunto y al establecimiento de relaciones.

Ante las primeras estructuras matemáticas que utiliza el niño se encuentra la de

grupo que es el resultado de la utilización de la lógica de las operaciones concretas.

Cuando revierte una acción, se le da el nombre de reversibilidad, está logrando

otro tipo de noción básica, que es de amplia utilización entre los conceptos

matemáticos básicos. Las nociones de conservación, reversibilidad, unión, etc.



29

configuran estructuras que el niño puede utilizar de modo flexible en otras

operaciones o situaciones.

Las praxias manuales que se dan desde la temprana edad, es muy claro en el

lactante, el punto de partida está dado por la motilidad “espontánea” de las manos

y los brazos y por el reflejo de prensión. Sin embargo a partir de las primeras

estimulaciones de la palma de la mano que determinan tal reflejo, se registra un

ajuste de la prensión a las características del objeto. Esta modificación del reflejo

implica grados diversos de tensión muscular en los músculos intervinientes,

participación de diversos músculos y de diversas unidades neuromusculares en los

mismos. Esta particularidad se expresa en la información propioceptiva

cinestésica, que se origina en la prensión.

Dichas praxias manuales contribuyen a la adquisición de relaciones como la

abstracción sensorial en la medida que se apoyan en la sensopercepción táctil. De

este modo, la torpeza manual o la denominada “falta de motricidad fina” es un

factor que tiende a lentificar la adquisición de las mencionadas nociones.

Para ejemplificar estos conceptos mencionados anteriormente tomo los aportes de

Feld (2006) cuando plantea que la progresión en el reconocimiento

sensoperceptivo y la organización práxica posibilita construir sucesivamente el

conocimiento primero ideográfico y luego logográfico del número, que se puede

traducir en la construcción de estereotipos grafemáticos o numéricos.

La aparición del lenguaje participa como reforzador de este conocimiento basado

en los procesos de automatización y memorización de las series sucesivas y otras

formas de conocimiento.

De este modo, la estabilidad se da sobre una relación número-palabra oral, y en la

medida en que se incorpora el aprendizaje escrito el proceso se convierte en palabra

oral-palabra escrita.



30

La utilización de números requiere decodificar, ya sea el número hablado, escrito

o gráfico, lo que incorpora el número semántico, fonológico-lexical y morfológico-

sintáctico.

En la Pasantía Interna Rentada en la cual participé se tomó un protocolo de

evaluación con diferentes actividades matemáticas a niños de cinco años para

describir los aspectos en las competencias matemáticas. Algunas de las pruebas

con las que se caracterizaron la numeración y el conteo fueron: el conocimiento de

la serie numérica, el conteo a partir de un número dado y el conteo de objetos

(Pighín y Feld, 2012).

El conocimiento de la serie numérica es una prueba cualitativa que permite

observar una media con respecto al campo numérico hasta el que cuentan los niños

de cinco años y si hay o no una aproximación entre el número que dicen saber

contar y el final. La consigna que se presenta es “¿Hasta qué número sabes contar?

y se deja que el niño cuente hasta que se equivoque de número o que decida dejar

de contar. También se anota el número hasta que sabe contar, el número del conteo

sin error y si cuenta o no hasta el número que propone.

Por lo tanto, Feld (2006) plantea que la enumeración, consiste en contar el número

de elementos de un conjunto discreto. Es una actividad fundamental en la que es

necesario manejar la secuencia verbal de los números, establecer una relación entre

secuencia verbal y conjunto, y realizar la producción término a término gnósico-

práxica y verbal, lo cual demanda una organización que no permite la repetición y

el error.

En el conteo a partir de un número dado se observan dos formas, el contar

oralmente para adelante y contar oralmente para atrás. En la primera se les plantea

a los niños la consigna “Conta hacia adelante desde el número que te digo, por

ejemplo desde 3, probemos” y luego oralmente a partir de 5-11-22-30-46. En la

segunda se plantea la misma consigna pero contando para atrás: “Conta hacia atrás

desde el número que te digo, por ejemplo desde 3, probemos”. Se utiliza como

ejemplo el número tres para garantizar que la consigna esté comprendida y luego



31

se pide que cuenten oralmente hacia atrás a partir de 5-10-12-22-30. Feld (1998)

plantea que recitar en inversión la secuencia de números constituye un

conocimiento necesario para más adelante utilizarlo en la operación de sustracción.

En el conteo de objetos se presenta una lámina con seis conjuntos de diferentes

cantidades de flores en su interior y se le pregunta al niño “Si tuvieras que poner o

escribir que número corresponde en cada caso, ¿Cuál pondrías?”. En dicha prueba

se observa si hay subitización en los dos primeros ítems de ésta, que consiste en

reconocer el 2 y el 4. También observar que ocurre en el casillero que se encuentra

vacío.

Según Feld (2006) se puede ver reflejada la cardinalidad, ya que el niño debe

expresar la cifra de forma oral o escrita y ello corresponde al proceso de

transcodificación que es el pasaje de registro oral a escrito o de registro visual a

oral.

Los niños de cinco años lo resuelven teniendo en cuenta su experiencia al momento

de contar los objetos. Al momento de tomar la prueba se pudo observar las

diferentes sub-estrategias que utilizaban. Estas eran conteo con la vista o mental y

conteo señalando con el dedo o en voz alta. Además, se tiene en cuenta la

capacidad de reconocimiento de la ubicación espacial, secuenciación, cardinalidad

y memoria.

En el conteo los niños fueron integrando la forma término a término, que evidencia

series de números ya automatizadas o en vías de interiorización en el niño. En

dicha prueba se trata de comparar y diferenciar los objetos de los casilleros y

transformarlos en magnitudes numéricas. Se puede evidenciar la capacidad de cada

niño de operar con aspectos visoespaciales y poner en juego el concepto vinculado

con la magnitud.



32

El número y el conteo desde la psicología cognitiva

Piaget y sus colaboradores afirman que la actividad lógica en los niños es base de

la matemática y por lo tanto se espera que en determinadas edades adquieran

conocimientos conceptuales acerca de los números.

Para Piaget (1967) la adquisición del número presupone la comprensión de los

niños de los principios de conservación de la cantidad e inclusión jerárquica, es

decir, que puedan establecer relaciones cuantitativas entre clases entendiendo que

el “uno” está contenido en el “dos”, el “dos” en el “tres” y así sucesivamente.

Por ende, esta comprensión no surge del manejo de la serie numérica oral

convencional ni del conteo de colecciones de objetos sino de la correspondencia y

por lo tanto, la actividad de contar no es condición necesaria ni suficiente para la

comprensión de estos principios. El conteo podría ser una estrategia más para

determinar equivalencias. Pero esta teoría tuvo críticas y surgieron otras teorías

que además de aceptar que existe un sentido numérico natural que se desarrolla

tempranamente en los niños admiten que el conteo es la estrategia base de sus

primeros aprendizajes numéricos y del cálculo.

Dehaene (2016) afirma que los niños pequeños tienen mucho que aprender acerca

de la aritmética, y obviamente su comprensión conceptual de los números se

profundiza con la edad y la educación, pero esto no significa que estén privados

de toda representación mental genuina de los números.

Dicha rama se profundiza en la década de los setenta cuando se pone el énfasis en

los saberes intuitivos e informales que poseen los niños como puente para acceder

a la aritmética. Además, el cálculo escolar se basa en un sistema posicional y

requiere de trabajo previo de comprensión del significado de los números, su uso,

la forma de representación y del conteo como estrategia fundamental para la

cardinalización.

Bressan, Gallego y Pérez (2018) toman los aportes de Baroody (1994) para aclarar

las diferencias entre la aritmética intuitiva, la informal y la formal.



33

La aritmética intuitiva se relaciona con el sentido natural del número, es la que

desarrollan los niños a temprana edad pudiendo diferenciar perceptualmente

colecciones hasta 3 elementos. Los mismos pueden cuantificarlas, compararlas y

modificarlas usando expresiones estimativas. Por ejemplo, los niños suelen usar

frases como: “tienen más”, “quedan más poquitos”, “es más largo”, entre otras.

Consecuentemente, los niños se centran más en variables ligadas a cantidades

continuas, como la densidad o la longitud de las colecciones que a las propiedades

numéricas. Por ende, consideran que a mayor espacio ocupado en la distribución

de elementos supone una colección más numerosa, o que una colección con

elementos de mayor tamaño es más numerosa que otra con elementos más

pequeños.

La aritmética informal se desarrolla fuera de la escuela y se amplía en las salas de

4 y 5 años en el Nivel Inicial, se basa en la intuitiva pero se apoya en instrumentos

semióticos más precisos y confiables como el dominio de la serie oral y la

numeración.

En otras palabras, el niño puede hacer uso de las palabras numéricas, pero estas no

suelen asociarse con la cardinalidad ni con la ordinalidad, y establecer

correspondencias biunívocas entre la sucesión oral y los elementos de una

colección. Mediante el empleo de la percepción directa junto al conteo, los niños

descubren que estas etiquetas numéricas no se encuentran relacionadas a la

apariencia física de colecciones.

La aritmética formal se enseña en la escuela, opera a nivel simbólico y supone

establecer relaciones entre números, estas pueden ser de forma mental o escrita.

Son situaciones generales y abstractas las que permite resolver problemas con

números grandes. Muchos niños tienen dificultades para comprenderla porque no

pueden asociar el simbolismo formal con sus conocimientos informales.

Baroody (1994) plantea que el aprendizaje implica una construcción a partir de

conocimientos anteriores, el conocimiento informal desempeña un papel

importante en el aprendizaje significativo de la matemática formal.



34

Es importante destacar la enseñanza de la aritmética informal, ya que se valoriza

y profundiza el conteo como la herramienta básica de uso social, con la que el niño

en las matemáticas puede utilizarlas para resolver diferentes situaciones que le

implican enumerar, cuantificar, comparar y operar.

Por ende, el buen manejo del conteo en estas funciones numéricas es fundamental

para la construcción progresiva de los principios lógicos de orden, transitividad,

equivalencia y conservación numéricas.

Se puede decir que los niños toman contacto con los números en forma natural en

las distintas situaciones que se le presentan en la vida cotidiana. Estos se

encuentran presentes en variedad de expresiones verbales y escritas que se usan

para resolver diferentes problemas. Por eso, los niños, inmersos en su entorno

social, realizan intercambios cognitivos con sus pares o los adultos, en los que

utilizan y dan significados a esas representaciones y procedimientos.

Baroody (1994) señala que pasar rápidamente a un abordaje simbólico cuando el

niño todavía está en estadios preceptúales, donde el conteo y el trabajo con material

concreto es icónico cumplen un rol determinadamente para la compresión de

significados numéricos, profundiza los desfasajes y da lugar a aprendizajes

mecánicos y memorísticos.

En la psicología cognitiva se encuentra el modelo acerca de las compresiones

numéricas de Saxe, este modelo integra lo sociocultural con lo evolutivo e intenta

explicar cómo los niños pequeños generan sus propias construcciones

conceptuales, transformando las formas culturales como los sistemas simbólicos,

científicos, procedimientos y herramientas materiales a las que se aproximan en

entornos de interacción social.

Esto se lo relaciona con la zona de desarrollo próximo que plantea Vygotsky

(1979) el cual destaca esta interacción como una de las dimensiones de la vida

sociocultural que incide en el avance del conocimiento. Además, los logros

numéricos en el niño surgen de adaptaciones al ambiente numérico que lo rodea.



35

Según Scheuer, Bressan y Merlo de Rivas (2001) en el desarrollo numérico de

niños que inician su escolaridad existen dos conceptos centrales e

interdependientes: el de forma y el de función numérica.

La forma numérica son las construcciones simbólicas y procedimientos de

resolución de problemas que sirven a las funciones numéricas. La serie numérica

escrita y oral, el contar, los sistemas de numeración, entre otros son formas

culturales, son productos que se han ido conformando a lo largo de la historia y

que se encuentran a disposición de la sociedad y de los individuos para que sean

utilizados con diferentes fines ante una actividad determinada.

Las funciones numéricas son los usos culturalmente generalizados en que las

formas numéricas pueden ser utilizadas. Dichas funciones componen una

secuencia de complejidad lógica creciente por las operaciones de correspondencia

que implican. Algunos ejemplos de las funciones numéricas son: cardinalizar,

enumerar, comparar y reproducir numéricamente, adiciones y sustracciones

básicas sobre los números.

Tanto la forma numérica como las funciones numéricas cobran sentido en las

situaciones que se plantean a lo largo del proceso de aprendizaje.

Las formas numéricas que adquieren los niños son las series numéricas oral y

escrita. La primera es un código verbal que resulta fundamental para el desarrollo

de las cuatro funciones numéricas. La segunda concuerda en que su aprendizaje en

la etapa inicial es posterior al de la serie oral, por ende, dominar la serie escrita

supone leer y escribir numerales en forma convencional.

Según Fuson (1991, citado en Chamorro 2005) en la serie numérica oral los niños

pasan entre los dos y ocho años por diversos niveles de manejo de la serie numérica

oral: repetitivo, incortable, cortable, numerable y terminal.

En cuanto a lo repetitivo la serie se recita como un todo por ello no se identifica

cada palabra numérica por separado. Lo incortable son palabras numéricas

recitadas en orden y no se puede comenzar desde cualquier número, sino solo



36

desde el uno. La serie cortable puede comenzar desde cualquier número y

detenerse donde el niño desee y en general los niños pueden contar para atrás pero

con dificultad. Lo numerable es una cadena formada por palabras numéricas

individuales y cada elemento tiene entidad propia, los niños pueden manejarla con

flexibilidad y contar desde un número dado. Y por último se encuentra la serie

terminal que reconoce la bidireccionalidad, por ende su recitado es hacia adelante

y hacia atrás de una forma automatizada.

Bressan, Gallego y Pérez (2018) plantean que en relación con la escritura de

números, el objetivo de la alfabetización numérica inicial es que los niños lleguen

a interpelar la convencionalidad de las series y funciones numéricas para abordar

una síntesis.

Se pueden destacar cuatro funciones numéricas: la función de enumeración, la de

cardinalidad, la de comparación y la operatoria aritmética elemental.

La función de enumeración o conteo es la posibilidad de establecer un orden entre

los objetos de una colección, seleccionando un primer elemento, luego

determinando su sucesor dentro de los restantes y así sucesivamente. Dicho

proceso de establecer una correspondencia entre los elementos y las palabras de la

serie numérica oral, entendiendo cada elemento como una unidad distinta, supone

el manejo correcto de la serie oral y de la correspondencia uno a uno.

La función de cardinalización se basa en la numeración e implica poder responder

a la pregunta ¿Cuántos?, es decir, cuantificar una colección asignándole un valor

numérico único, o sea, su cardinal. Una buena cardinalización supone que el niño

comprenda que el último elemento contado da el tamaño de la colección y que esta

es una propiedad independiente de la naturaleza y disposición espacial de sus

elementos y del orden en que se los cuente. También, esta función contempla la

consecución de la operación inversa a la de cardinalización, conocida como la

cuenta cardinal, la cual consiste en construir una colección sobre la base de un

cardinal dado.



37

La función de comparación implica establecer una relación de cantidad o

magnitud entre dos colecciones o dos cardinales. Finalmente, está la operación

aritmética elemental que exige considerar dos valores numéricos a los cuales se

pueden alterar su cardinalidad en la adición o sustracción.

La apropiación de las formas y las funciones en cada niño no se da en forma

inmediata y simultánea, sino que depende de su desarrollo cognitivo y de los

contextos y situaciones cotidianas que su entorno sociocultural le ofrece. También

existen respuestas dadas por los niños que no son propiamente numéricas y para

las cuales desarrollan otro tipo de estrategias que implican un cambio de función.

Schueuer, Bressan, Gallego y Merlo de Rivas (2001) han denominado

aproximaciones globales a las funciones numéricas ya que no respetan la

correspondencia uno a uno.

Desde este punto de vista evolutivo se puede destacar que las formas

socioculturales se tornan cognitivas a medida que son adquiridas y usadas por los

niños para lograr una o varias funciones numéricas en situaciones cotidianas. Por

ejemplo a medida que en los contextos cotidianos el niño se interese por cuantificar

colecciones, tendrá la necesidad de apropiarse de la serie numérica de modo más

riguroso que cuando la emplea sólo para recitar o para etiquetar objetos. A su vez,

conocer la serie numérica y ser capaz de abordar la función de cardinalización, son

condiciones que permiten al niño comenzar a adicionar cantidades.

En la psicología cognitiva también se puede observar el modelo de etapas de

Wright y sus colaboradores que presentan en el Programa de Recuperación de

Matemática un modelo de etapas de aprendizaje numérico temprano que considera

la evolución en el proceso de contar como eje vertebrador.

Dichos autores, basándose en las investigaciones de Steffe, Cobb y Von

Glasersfeld (1988) sobre los tipos de pensamiento numérico en la edad escolar,

definen cinco etapas que se distinguen por su nivel de dependencia. Estas son:

emergente, perceptual, figurativa, del continuar contando y diestra.



38

En la etapa emergente el niño puede realizar un conteo de los elementos que lo

rodean. En la etapa perceptual, puede cardinalizar colecciones de objetos

percibidos visual, auditiva y motriz pero no pueden sostener la cardinalidad. En la

etapa figurativa el niño cardinaliza las colecciones que no están presentes, además

de resolver tareas auditivas con colecciones ocultas de las que se conocen sus

cardinales. En la etapa de continuar contando puede contar para adelante o para

atrás desde o hasta un número dado. Esta etapa marca un salto significativo porque

el niño puede retener en la mente un cardinal como unidad múltiple o compuesta,

que actúa como punto de partida para seguir contando. Y por último, está la etapa

diestra, que opera a nivel numérico y posee una amplia variedad de estrategias que

no dependen del conteo.

Los dos modelos que se vienen desarrollando caracterizan el comportamiento de

los niños de las etapas de Wright desde el uso que hacen de las formas y funciones

numéricas consideradas según Saxe y sus colaboradores.

Gelman (2000) propuso cinco principios del aprendizaje del conteo que funcionan

como reglas de predisposición innatas.

● Principios de correspondencia biunívoca: un elemento de una colección con

uno de la otra.

● Principio de ordenación estable: el recuento es independiente de los rótulos

que se unen, como por ejemplo cuando se aplica 1, 2, 4, pero no se repite

ningún rótulo.

● Principio de indiferencia de elementos: puede contarse cualquier clase de

objetos.

● Principio de indiferencia de orden: el conteo es en cualquier secuencia.

● Principio de cardinalidad simple: el último término del recuento da el valor

cardinal del conjunto.

Desde este punto de vista, el conteo tiene algunas propiedades como la demora de

dos a tres de segundos por cada objeto. También que desde los cuatro años



39

comienzan a utilizar para contar conjuntos grandes, el agrupamiento en

subconjuntos. Los niños cuentan cada subconjunto y los acumulan al final.

El conteo de objetos es más difícil cuando estos están fijos y dispersos, lo es menos

cuando están fijos alineados y aún menos difícil cuando son móviles y pueden

agruparse una vez contados. A su vez, el principio de cardinalidad actúa a partir

de los tres años, los niños menores aún cuando puedan contar bien hasta cinco,

cuando se les pregunta ¿cuánto hay? no dan una cifra como respuesta.

Rodríguez y Scheuer (2015) plantean que a partir de los ’80 se produce una

revolución del bebé ya que varias investigaciones definen que el bebé es

competente. “Vendrían más equipados al mundo, contaría por naturaleza con

muchos más recursos cognitivos especializados de lo considerado por paradigmas

clásicos, como el de la Escuela de Ginebra. Aunque, como es bien sabido, los

temas abordados por los defensores del bebé competente parten de los temas

piagetianos” (Rodríguez y Scheuer 2015:33).

Desde este paradigma, prima la idea de que el bebé viene al mundo con

capacidades, conocimientos o cognición nuclear que le permite conceptualizar al

mundo. A diferencia de la construcción defendida por Piaget.

Dicha cognición se caracteriza por ser de dominio especifico, encapsulada, de

operaciones automáticas, de equipamiento y finalmente, antigua.

Las de dominio especifico se organizan en base al sistema cognitivo que opera en

cada sistema para ordenar la información y resolver un conjunto limitado de

problemas.

También se tiene en cuenta la cognición encapsulada, ya que cada sistema opera

con un alto grado de independencia de otros sistemas cognitivos juntamente con

las operaciones automáticas que se desencadenan ante determinadas condiciones

implicando un esfuerzo cognitivo.



40

La cognición, por parte del equipamiento, es todo lo que trae consigo el ser

humano y que se vinculan con las antiguas, que hacen alusión a la evolución de la

especie humana a lo largo de los millones de años.

En base a estos sistemas de conocimiento básico se van añadiendo nuevos

conocimientos como ladrillos de una construcción hasta alcanzar habilidades

cognitivas más complejas como el cálculo, la ciencia y la lectura.

Desde esta perspectiva del bebé competente habría dos sistemas básicos de

procesamiento cognitivo del mundo físico, uno de ellos representaría los objetos

inanimados, manipulables y sus movimientos, el otro la numerosidad y las

relaciones numéricas. Por ello, tanto la representación de los objetos como de las

cantidades discretas forjan la imagen del bebé como numéricamente preparado.

Rodríguez y Scheuer (2015) plantean que dichos estudios concluyen que los bebés

discriminan entre colecciones visuales y secuencias de dos y tres unidades,

también emparejan dos sonidos discretos con dos figuras visuales presentados

simultánea o sucesivamente.

En base a algunas investigaciones “Starkey y Cooper (1980) infirieron un proceso

de subitización o percepción súbita y exacta de la cantidad, como el registrado por

los niños y adultos para colecciones de hasta aproximadamente cuatro elementos”

(Rodríguez y Scheuer 2015:34).

Sin embargo, hay dos hechos notorios. El primero es que los estímulos presentados

no suelen ser objetos sino representaciones de objetos que están dotadas de un

propio movimiento. Estas características están alejadas de las propiedades

pragmáticas y de uso de los objetos tridimensionales de la vida cotidiana. Además,

estos estímulos ya están segmentados, cuando lo importante es la construcción de

la segmentación de los objetos y de las colecciones como entidades. El segundo,

es lo que se mide en la reacción de los bebés a contrastes cualitativos, sin que se

ponga en juego la representación numérica de colecciones únicas ni se establezcan

relaciones numéricas entre colecciones. En definitiva, se produce una



41

naturalización tanto de los objetos y sus segmentaciones como la representación

numérica.

En el proceso de construcción del número natural, la intervención de los sistemas

semióticos es imprescindible, ya sea que se trate del uso del cuerpo, de sistemas

gráficos o verbales. Son estos sistemas los que permiten pasar del registro de

individuos, de cantidades absolutas o de contrastes, a pensar en y con números.

En suma, cuando los niños comienzan a usar representaciones externas o sistemas

semióticos (corporales, gestos o lenguaje) en relación con cantidades discretas, la

imagen que surge del análisis de sus logros y dificultades no encaja con la que

podría esperarse del bagaje de habilidades atribuidas por los defensores del bebé

numéricamente competente. Se puede decir que los bebés discriminan colecciones

de dos y tres individuos, y estos tienen un impacto en el desarrollo numérico

posterior. Es probable que los niños se apoyaran simultáneamente de los números

2 y 3. Sin embargo, las investigaciones muestran otro panorama, que los niños

parecen servirse de las representaciones verbales y gestos convencionales.

Los niños van comprendiendo, a través de su propia acción transformadora, que

los objetos son objetos, es decir, entidades susceptibles de desgajarse del fondo

continuo. Para hacerse permanente el objeto se ha tenido que segmentar como

objeto. Lo que importan son los aportes de Piaget que se ocupa de objetos

tridimensionales, manipulables, lo que permite que el niño actúe con ellos como

agente transformador, en definitiva que se convierta como un sujeto activo.

Esta posibilidad de numerosidad requiere la permanencia del objeto, que al mismo

tiempo se apoya en la segmentación de los objetos, de manera que cada objeto se

encuentra separado de otros objetos que configuran el fondo permitiendo la acción.

Hay una paradoja entre las altas habilidades numéricas de los niños durante el

primer año de vida y las grandes dificultades a los dos, tres o cuatro años en

comprender, usar y comunicarse con otros cuando se trata de contar lo que sea en

una situación de la vida cotidiana.



42

Por ende, el número es un sistema semiótico más complejo y se desarrolla después

que las representaciones bidimensionales altamente esquematizadas. Estas

representaciones con frecuencia sufren una transformación animada. Esto se

contrasta con las características de los defensores del bebé competente, porque

estos suelen darle a la realidad física como un mundo inanimado.

En la vida cotidiana los objetos no suelen moverse, desplazarse o transformarse

por su propia cuenta sino que se necesita la intervención de la acción intencional

de un agente. Además, dichos objetos ya se encuentran segmentados, lo que

implica ignorar la complejidad que lleva ese proceso de segmentación del objeto.

Es decir, que el número como sistema semiótico, puede que funcione de otro modo

y que requiera apoyarse fuertemente sobre otros sistemas semióticos más básicos.

“Puede que el sujeto “numéricamente precableado” sea considerado como un

sujeto pasivo que reacciona al medio altamente estructurado, mientras que el niño

de dos o tres años se esté comportando como un sujeto activo en un mundo que se

construye con la compañía y guía de otros que ya segmentan” (Rodríguez y

Scheuer :34).

De otro modo, Moll (1990) destaca la importancia que reviste enfrentar a los niños

a diversos escenarios donde tengan la necesidad de resolver situaciones

involucrando sus conceptos cotidianos en el campo de los conocimientos

científicos, ya que estos se encuentran interconectados y son interdependientes.

De esta manera, los niños no sólo aprenden en el ámbito escolar sino que en el

contexto social también elaboran conocimientos espontáneos, los cuales deben ser

complejizados, modificados y ampliados en el entorno escolar. Por ende, las

representaciones escritas que los niños ponen en juego ante la resolución de

problemas involucran escrituras numéricas y sobre la evolución de estas

representaciones se pueden ir observando sus aprendizajes sobre el conocimiento

matemático.

Los niños recorren un largo camino en la construcción de los conocimientos, en el

cual van progresando desde marcas no sistemáticas, pasando por representaciones



43

pictográficas e icónicas hasta llegar al símbolo numérico, esto se lo comprende

como notaciones numéricas. Estas se inclinan por conocer como el niño va

comprendiendo los saberes matemáticos.

Según Scheuer (2000) los diferentes sistemas convencionales de representación

escrita aportan herramientas para generar representaciones y comunicarse en

ciertas áreas, además también sirven para resolver problemas, crear nuevos objetos

e ideas, es decir, contribuir a la acción y al aprendizaje. Por lo tanto, toda

representación semiótica tiene una función principal que es representar otra

realidad y los símbolos numéricos son considerados sistemas de notaciones.

Dentro de las representaciones matemáticas, el sistema notacional numérico logró

una repercusión desde el punto de vista sociocultural. Se lo considera un lenguaje

universal que se emplea en las explicaciones de uso diario. En nuestra cultura, las

notaciones numéricas son significativas, se las considera desde una manera natural

y no se repara en el camino dificultoso por el cual tiene que transitar para

conformarse y construirse. Por eso, el sistema de numeración escrito en su uso

social enfrenta muchas actividades en la vida cotidiana. Por un lado, se encuentran

con la necesidad de interpretar una abundante información con símbolos

numéricos y anticipar momentos de estos, por otra parte, son ellos mismos los que

precisan usar estos símbolos escritos para comunicar una idea. Por ello, leer y

escribir números no son actividades recíprocamente inversas, como tampoco lo

son la escritura y la lectura.

La forma y la estructura de un sistema notacional reflejan de muchas maneras las

características centrales de los dominios de conocimientos en y para los cuales

fueron gestados. Por ejemplo, la notación musical representa notas que se

extienden en un continuo de bajas y altas. Las notaciones alfabéticas del lenguaje

marcan una separación entre las palabras, que son unidades de realidad psicológica

importantes para la comprensión y producción del discurso de la comunicación.

Scheuer (2000) plantea que las notaciones numéricas se construyen empleando un

conjunto reducido de formas como los numerales del 1 al 9, y de principios



44

organizadores, ya que los números son entidades conceptuales y abstractas

reducibles a unas pocas nociones nucleares que al combinarse se extienden.

Por ello, el modo de organizar el dominio matemático se encuentra ligado a la

organización del sistema de los números naturales, cuya abstracción y

ejemplificación es el sistema de notación numérica, ya que estos de una manera

oral suelen ser más confusos y limitados. También las personas que no se

encuentran expuestas a una cultura alfabetizada pueden llegar a aprender mucho

sobre los números. Las operaciones mentales y los cálculos llevados a cabo están

profundamente enlazados con la manera de codificar el dominio del valor a través

de un sistema notacional no ambiguo.

De esta manera, las notaciones numéricas son profundamente conceptuales,

construyen traductores fundamentales de conceptos numéricos, representan ideas

en lugar de dimensiones de carácter más observable. Por esta razón, las notaciones

numéricas se conforman de dos aproximaciones, los conceptos numéricos de los

niños y su comprensión de un sistema convencional.

Al estar vinculado a las manipulaciones matemáticas como el cálculo, la

adquisición del sistema de notación numérica no solo implica aprender un método

convencional para anotar cantidades y conceptos sino también dominar lo

numérico en un sentido más amplio.



45

Reflexiones acerca de la propuesta curricular del Área de Matemática para

el Nivel Inicial de la Pcia. de Buenos Aires

El currículum para nivel inicial de la Pcia. de Buenos Aires 2008 tiene como

propósito central la enseñanza de la matemática para introducir a los alumnos en

un modo particular de pensar, de hacer y de producir conocimiento. Es decir, se

busca que los niños se enfrenten a las situaciones y al uso de los conocimientos

matemáticos para permitir un proceso de producción de conocimiento que guarde

cierta analogía con el quehacer matemático, considerando que ese funcionamiento

es constitutivo del sentido de los conocimientos.

La actualización curricular de 2018 comparte algunos aspectos del antiguo diseño

curricular como el considerar a la matemática como una herramienta social y

cultural que se encuentra al servicio de la resolución de problemas de la vida

cotidiana. “Se entiende por problema una situación que le permita al niño ingresar

en la tarea con los conocimientos que dispone y, a su vez, le propone un nuevo

desafío. Es decir, los conocimientos que posee no le resulten suficientes para

resolverla, e intente una nueva búsqueda de solución, por medio de diversos

procedimientos para la situación propuesta (DGCyE, 2007)” (DC 2018:37).

La matemática permite estructurar el pensamiento de los niños para resolver

situaciones, comunicarse con sus pares a partir de compartir un código común,

apropiarse de la cultura y disponer de instrumentos adecuados para operar en el

mundo. Al ser un producto cultural, se aprende y se enseña.

Consecuentemente, los niños aprenden a usar esta herramienta incentivados por un

problema que se encuentra en una situación de contexto con un sentido. Por eso,

los exige a buscar diferentes maneras de resolución al problema que enfrentan.

Este obstáculo es el motor de la matemática ya que los interpela a realizar diversas

acciones para superar el objetivo propuesto. Sin embargo, deberán ensayar varias

veces y diferentes maneras, hasta resolverlo y encontrar así la forma más adecuada

para la situación planteada. Resulta imprescindible compartir con sus pares los

aciertos y errores. También poder aceptar y pedir ayuda. Así como el problema les



46

fue entregado para su resolución, se tienen en cuenta los logros obtenidos a través

de las acciones que realizan y al mismo tiempo, devolver el aprendizaje construido,

de esta manera pueden hacer consciente lo aprendido.

Ambos diseños curriculares, tienen como eje central en el área de matemáticas el

sistema de numeración y número.

El currículum 2008 tiene como contenidos: el recitado de la sucesión ordenada de

números, lectura de números, la comparación de escrituras numéricas como mayor

que, menor que o igual que. También el uso de escrituras numéricas en diferentes

contextos.

Para recordar cantidades se tienen en cuenta el uso del conteo como una

herramienta para resolver diferentes situaciones a través del registro de cantidades

de marcas y números. Comparar cantidades en las relaciones de igualdad y de

desigualdad, como más que, menos que, mayor que, menor que.

También recordar posiciones con la designación de posiciones de objetos en una

serie ordenada y calcular a través de la exploración de situaciones que afectan a la

transformación de una situación contextualizada. De esta forma se puede trabajar

en agregar, quitar, reunir, partir, repartir, avanzar y retroceder.

A su vez, se tienen en cuenta orientaciones específicas para el trabajo con los

contenidos de matemática: recitado de la sucesión ordenada, comparación de

escrituras numéricas (mayor que, menor que, igual que), las escrituras numéricas

en diferentes contextos y el uso del conteo como una herramienta para resolver

diferentes situaciones.

En el recitado de la sucesión ordenada, los niños presentan diversidad e

inestabilidad de los conocimientos en relación con el recitado oral de la serie

numérica. Así que se pueden mencionar algunas características:

● El recitado de números es convencional.

● Mantienen la misma secuencia aunque no sea convencional.



47

● Se notan omisiones o errores recurrentes como por ejemplo, cuando el niño

se bloquea. Sucede cuando los niños están contando y se detienen en el 29,

si interviene un adulto y les dice “30” ellos pueden seguir contando hasta el

39 y así sucesivamente. Esto refleja que aún no saben el nombre de las

decenas pero al mismo tiempo demuestran que han construido el aspecto de

esa regularidad del sistema de numeración, al reconocer que luego de cada

una de las palabras que representan los nudos de las decenas como 20, 30,

40, etc., los números siguientes se obtienen agregando números del 1 al 9.

● Se observa complejidad cuando se le pide al niño descontar uno en uno, en

el recitado de la serie hacia atrás.

La adquisición de estos conocimientos está involucrada en la actividad de recitar

la serie alrededor de los 2 años y se van desarrollando progresivamente.

Consecuentemente, no son muchas las situaciones donde se recurre al recitado de

la serie independiente de una enumeración. De todas formas es importante

proponer un trabajo vinculado al recitado de la serie en forma oral ya que permite

que el niño pueda extenderse en el conteo y enumeración.

También en el Diseño Curricular (2008) se tiene en cuenta la comparación de

escrituras numéricas. Los niños elaboran criterios de comparación de escrituras

numéricas aún cuando no conocen los nombres de los números ni pueden decir su

aspecto cardinal. Así, al comparar un número de una cifra con otro de dos cifras,

expresan que ‘es más grande porque tiene dos ‘números’. Por ende, comparar

escrituras numéricas no implica buscar la diferencia entre los números, es decir,

cuánto más grande es un número de otro, el trabajo que se propone está centrado

en la interacción con las escrituras para establecer relaciones.

Las escrituras numéricas en diferentes contextos requieren de tiempo para ser

adquirido. La denominación de los nudos es menos transparente que la de otros

números, por ejemplo, la palabra 30 no hace una referencia directa a que incluye

un cero, del mismo modo la palabra cien tampoco refiere a que se escribe con uno.



48

Una vez que se descubren sus escrituras son fuentes de apoyo para producir nuevas

escrituras. Así, cuando deben producir números cuya escritura convencional

desconocen se apoyan en la escritura de los nudos y en informaciones que extraen

de la numeración hablada poniendo en juego la convicción de que los números se

escriben tal cual se los nombra.

Así mismo, los números escritos se encuentran en diversos contextos, por ejemplo

en las casas, en los teléfonos, en la calculadora, en los billetes, en los controles

remotos, en los calendarios, en las páginas de periódicos y libros, en los colectivos,

en los precios de los productos que se venden en los negocios, en folletos de venta,

en los envases, etc. Es tarea del docente promover la reflexión sobre el significado

de los números en cada contexto, producir, pensar y encontrar propuestas donde

escribir, comparar y ordenar números tenga sentido.

Por último, se tiene en cuenta el uso del conteo como una herramienta para

resolver diferentes situaciones. Por lo general se les pegunta a los niños “¿Cuántos

hay?” y las respuestas pueden ser muy variadas ya que contar no es una tarea fácil

de realizar, en estas situaciones el docente pone en juego diferentes estrategias

como:

● Activar en la memoria la serie ordenada de números.

● Hacer corresponder cada palabra y número enunciado con un solo objeto.

● Diferenciar los objetos contados de los que aún no han sido contados.

● Anunciar la última palabra como la que expresa la cantidad total de la

colección.

Estas situaciones, en donde los niños tienen que resolver problemas que impliquen

comparar, quitar, agregar, repartir en partes iguales, repartir, avanzar y retroceder

se lo trabaja a través de juego mediatizado.

El currículum 2018 se divide en tres ejes de enseñanza que son: el sistema de

numeración, el espacio y formas geométricas y la medida. En este trabajo solo se

hará hincapié en el sistema de numeración y número.



49

En dicho diseño curricular se tienen en cuenta las trayectorias de los niños y se

plantean los objetivos en los que tiene que trabajar la docente.

El sistema de numeración posee cuatro ejes de contenidos: el reconocimiento oral

de la sucesión ordenada de números a partir de situaciones de juego y cotidianas,

el reconocimiento escrito del número y de la sucesión ordenada de números a partir

de situaciones de juego cotidianas, el uso de los números para comparar, establecer

relaciones, posiciones y registro de cantidades a través de diversos procedimientos

adecuados al problema a resolver y por último, la exploración de situaciones

referidas a las acciones de agregar, quitar, repartir, reunir, partir.

El primer eje plantea que al iniciar las experiencias, los niños tienen que recitar

oralmente la sucesión ordenada de números con posibles alteraciones, con

agregados u omisiones de los números. También deberían usar relaciones entre los

números, tales como “anterior a” y “posterior a”. Durante el desarrollo de las

experiencias los niños deben usar estas relaciones pudiendo adelantar más de un

número y como finalidad deberían usar las relaciones logrando retroceder o

adelantar más de un número.

El segundo eje parte desde las trayectorias en donde los niños puedan diferenciar

las letras de los números y al mismo tiempo adjudicarles un valor, también

reconocer la sucesión escrita de los números. Durante el desarrollo se les propone

trabajar la comparación de las escrituras numéricas para llegar al objetivo final de

leer, comparar y producir escrituras numéricas.

El tercer eje plantea que desde su trayectoria los niños deben designar oralmente

cantidades en situaciones de conteo en contextos de uso cotidiano, al mismo

tiempo iniciarse en la comparación de cantidades para establecer relaciones de

igualdad y desigualdad. Y trabajar identificación de posiciones dentro de una serie

de objetos ordenados. Durante el desarrollo de las experiencias utilizar el conteo

como herramienta para resolver distintas situaciones y problemas de la vida

cotidiana. Utilizar el conteo para establecer relaciones de igualdad, registrar

cantidades mediante símbolos que no son convencionales y poner una posición



50

dentro de la serie de objetos ordenados de manera correcta. Finalmente, lograr

como finalidad el registro de cantidades mediante la escritura numérica.

El último eje parte de la exploración de situaciones que afectan la transformación

de una colección, identificar los cambios en una colección e iniciarse en el proceso

de repartir, reunir y partir sin exactitud. Durante el desarrollo de las experiencias

trabajar con el número para repartir, reunir y partir, agregando o quitando para

transformar la cardinalidad de acuerdo con su necesidad. Para alcanzar como

objetivo final la identificación y utilización de nuevos y variados procedimientos

cómo la percepción global, conteo, resolver situaciones de agregar y quitar y

afianzar el uso del conteo para repartir, unir y partir.

Ambos diseños curriculares poseen los mismos contenidos, aunque el currículum

2008 cuenta con más orientaciones didácticas para las docentes del nivel inicial y

a su vez orientaciones específicas para trabajar con los contenidos, cómo debería

intervenir el docente y la manera de evaluar el proceso de aprendizaje en el área

de matemática.

El último currículum 2018 es mucho más acotado, si bien los contenidos no

cambian, se parte de las trayectorias de los niños desde el momento que inician sus

experiencias, qué debería pasar durante el desarrollo de estas y cuáles son las

finalidades a donde deberían arribar los niños. Se encuentra prescripto a partir de

los lineamientos de los contenidos a trabajar. No se tienen en cuenta orientaciones

didácticas para las docentes, ni orientaciones de como intervenir o evaluar. Queda

a libre interpretación de las docentes para pensar la propuesta didáctica y al mismo

tiempo plantea “que no es necesario que las mismas se organicen bloques o ejes,

ya que en la vida cotidiana esta diferenciación no existe” (Diseño Curricular 2018:

37). Sino que sus propuestas pueden ser más elaboradas desde la complejidad de

la vida cotidiana ya que los tres bloques se encuentran interrelacionados.



51

Conclusiones

El trabajo monográfico se orientó a considerar el aprendizaje del número y el

conteo en niños de 5 años considerando los aportes de la neuropsicología del

aprendizaje y los aportes de la psicología cognitiva. Se tomaron los diferentes

aspectos teóricos para la construcción de la historia de la matemática y su

concepción como una construcción social, el código matemático como un sistema

externo de representación, las funciones psicológicas superiores y los aportes de la

neuropsicología del aprendizaje, los aportes de la psicología cognitiva en el

número y el conteo. Finalmente, se reflexiona acerca de la propuesta planteada en

los Diseños Curriculares en el área de la Matemática.

Partiendo desde la historia de la matemática se la considera y trata como un

producto cultural que va tomando diferentes formas ya que la misma es

considerada una construcción social y colectiva. Por ello, es necesario recibir dicho

aporte y contextualizar a la matemática en la cultura en la cual se encuentra

inmersa. Esto lleva a plantear que desde el nacimiento de la matemática se vinculó

con el desarrollo del número. Desde sus comienzos el concepto de número era

abstracto, luego se lo considero como un conjunto, fue un proceso muy gradual

poder conformarlo. Además de haber surgido, por una necesidad del avance de la

estructura social.

Es por ello, que en la actualidad, podemos repensar el sentido que le imponemos

al área y con qué finalidad la utilizamos en el espacio áulico. Conocer dicha

disciplina permite ampliar nuestras concepciones, deconstruirlas y volver a pensar

su finalidad. Esto lleva a rever la visión de los docentes sobre las mismas. Dicho

trabajo apunta a plantear desnaturalizar la clase de matemática en la que los

alumnos y la docente tengan que resolver problemas de manera aislada, sino que

se tiene como propósito generar una clase productora en la que ambos se

encuentren produciendo matemáticas de manera contextualizada.

Así mismo, se tienen en cuenta las representaciones matemáticas comprendiendo

que se dan a través de un proceso dinámico que al mismo tiempo se internalizan



52

mediante signos específicos, convencionales y contextualizados con reglas

sintácticas de procesamiento. Para ello, se tienen en cuenta los sistemas semióticos

en el desarrollo matemático considerando que los signos son construcciones

sociales y que los niños las van adquiriendo en el contexto que se encuentran

inmersos. Es así como el trabajo pone el acento, en su papel mediador de los signos

en el conocimiento matemático en los niños.

También considerando que la noción de representación es compleja, se la piensa

desde un sentido amplio integrada por las herramientas, que son signos y gráficos,

que se involucra en los procesos matemáticos y en las cuales los niños pueden

registrar y comunicar su conocimiento sobre las matemáticas. Esto recalca que

dichas representaciones externas se manifiestan en el lenguaje oral, los símbolos

escritos, dibujos o a través de objetos que manipulan los niños, por eso es

importante brindar un espacio en el aula para que puedan expresar libremente

dichas ideas sobre matemática y partir desde ese punto para planificar el trabajo en

el aula.

En la enseñanza de las matemáticas se debe tener en cuenta las relaciones de los

objetos de conocimiento y las representaciones para trabajar en base a la

articulación con el sentido de la adquisición de la matemática. Sin perder el foco

que el aprendizaje de los sistemas externos de representación convive con las

representaciones internas que se van construyendo y formando en el proceso de

aprendizaje del niño permitiendo la adquisición de los nuevos conocimientos.

Se debería proveer a los alumnos actividades con diferentes representaciones para

que pueda desarrollarse en experiencias variadas a la hora de trabajar en el área de

matemática y trabajar con diferentes representaciones además de ir conociendo el

funcionamiento de los sistemas simbólicos.

A su vez, también se considera a la matemática como una función psicológica

superior, ya que la enseñanza de ésta se comienza a desarrollar en las primeras

etapas de la vida del niño reviste mucha importancia por su rol ordenador del

conjunto de los procesos intelectuales. Las funciones cerebrales superiores son



53

propias del hombre y al mismo tiempo son producto del aprendizaje pero no son

todas indispensables para la adquisición de todos los aprendizajes

Así, las funciones psíquicas superiores al ser producto del desarrollo y el

aprendizaje son procesos mediatizados y al mismo tiempo los signos son el medio

para instrumentarlas y direccionarlas. Por lo tanto el signo mediatizador se

encuentra incorporado como una parte fundamental en la estructura. Para lograr

ésto, se necesita que las funciones logren una estabilidad, destacando que no son

cadenas de reflejos o estereotipos. Lo que se busca es una interconexión de

relaciones en el cerebro que luego se vean representadas en las actividades que se

le presenten al niño.

La noción de sistema funcional complejo es tan amplia como un abanico de

conjunto de actividades. Naturalmente, todos los procesos mentales como la

percepción, la memoria, gnosias, praxias, pensamiento y lenguaje, escritura,

lectura y aritmética no pueden ser considerados como facultades aisladas o

indivisibles.

Se aborda el concepto de funciones cerebrales superiores planteado por Azcoaga

que hace referencia a las praxias, las gnosias y el lenguaje. Difiere de la escritura,

la lectura y la aritmética en que estas últimas se consideran adquisiciones del

proceso de aprendizaje dirigido en consecuencia, que son producto del aprendizaje

pedagógico, el cual requiere de las funciones cerebrales superiores.

Para articular las funciones psicológicas superiores y las matemáticas se tendrán

en cuenta los pilares básicos del aprendizaje que se encuentran compuestos por la

actividad nerviosa superior, el equilibrio o base afectivo emocional, los

dispositivos básicos del aprendizaje y las funciones cerebrales superiores. Son

dichos pilares el sustento y producto del aprendizaje. Un aprendizaje pedagógico

como lo es el matemático se asienta sobre un aprendizaje previo fruto de los

procesos de desarrollo del niño.



54

Esto lleva a plantear que la noción de número resulta de una elaboración

psicológica para la cual es importante que el niño pueda ejercer acción sobre los

objetos que lo rodean.

También se aborda el número y conteo desde la psicología cognitiva desde una

mirada más piagetiana, en la cual se plantea que la adquisición del número

presupone la comprensión de los niños de los principios de conservación de la

cantidad e inclusión jerárquica, es decir, que puedan establecer relaciones

cuantitativas entre clases. Por ende, dicha comprensión no surge del manejo de la

serie numérica oral convencional ni del conteo de colecciones de objetos sino de

la correspondencia y por lo tanto, la actividad de contar no es condición necesaria

ni suficiente para la comprensión de estos principios.

Desde dicha perspectiva se sostiene que los niños tienen mucho que aprender

acerca de las matemáticas y que la comprensión conceptual de los números se

profundiza con la edad y su proceso de aprendizaje, pero esto no significa que los

niños estén privados de toda representación mental genuina de los números.

Se puede decir que los niños toman contacto con los números en forma natural en

las distintas situaciones que se les presenta en la vida cotidiana. Se encuentran

presentes en expresiones verbales y escritas que se usan para resolver diferentes

problemas. Por eso, los niños, inmersos en su entorno social, realizan intercambios

cognitivos con sus pares o los adultos, en los que utilizan y dan significados a esas

representaciones y procedimientos.

En ellas se involucran la apropiación de las formas y las funciones, en cada niño

no se da en forma inmediata y simultánea, sino que depende de su desarrollo

cognitivo y de los contextos y situaciones cotidianas de su entorno sociocultural.

También existen respuestas dadas por los niños que no son propiamente numéricas

y para las cuales desarrollan otro tipo de estrategias que implican un cambio de

función.

Desde este punto de vista evolutivo se puede destacar que las formas

socioculturales se tornan cognitivas a medida que son adquiridas y usadas por los



55

niños para lograr una o varias funciones numéricas en situaciones cotidianas. Por

lo tanto a medida que en los contextos cotidianos el niño se interese por cuantificar

colecciones, tendrá la necesidad de apropiarse de la serie numérica de modo más

riguroso que cuando la emplea sólo para recitar o para etiquetar objetos. A su vez,

conocer la serie numérica y ser capaz de abordar la función de cardinalización, son

condiciones que permiten al niño comenzar a adicionar cantidades.

Es por ello, que las notaciones numéricas son profundamente conceptuales,

constituyen traductores fundamentales de conceptos numéricos y representan ideas

en lugar de dimensiones de carácter más observable. Por esta razón, las notaciones

numéricas se conforman de dos aproximaciones, los conceptos numéricos de los

niños y su comprensión de un sistema convencional.

Finalmente, se mencionan aspectos de la propuesta curricular del 2008 y 2018 en

el área de las matemáticas donde se sugiere que para estructurar el pensamiento de

los niños a la hora de resolver situaciones, comunicarse con sus pares a partir de

compartir un código común, apropiarse de la cultura y disponer de instrumentos

adecuados para operar en el mundo se tiene que interactuar, explorar y resolver

situaciones matemáticas. La misma, al ser un producto cultural, se aprende y se

enseña. De dicha manera, engloba lo que se viene desarrollando a lo largo del

trabajo.

En ambos currículums se aborda como un eje central del área de matemáticas al

sistema de numeración y número, en el cual se especifican aún más los contenidos

y propósitos que se deberían abordar desde dicho currículum prescripto. Si bien,

ambos diseños curriculares poseen los mismos contenidos, se dejan algunas

ventanas abiertas para que a la hora de las planificaciones los docentes no sean tan

estructuradas con sus planificaciones, sino que también se puedan tener en cuenta

en cada niño indicadores de avance, observar las capacidades de los niños y partir

desde una educación más contextualizada.

Los diseños curriculares toman aportes de la psicología cognitiva, por ejemplo

cuando se plantea la adquisición del número, que no solamente surge de la serie



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numérica oral convencional ni del conteo de colecciones de objetos sino de la

correspondencia de estos. Dicha rama se profundizó en la década del setenta

cuando se puso el énfasis en los saberes informales e intuitivos que poseen los

niños. A esto se suma, la idea de que el cálculo escolar se basa en un sistema

posicional que requiere un trabajo previo de comprensión del significado de los

números.

La realización del trabajo monográfico aportó mucho a la formación y al recorrido

de la carrera, principalmente en el conocimiento en el área de matemáticas

centrado en el número y el conteo en los niños de nivel inicial, tomando los aportes

de la neuropsicología y la psicología cognitiva. En cómo este se encuentra

integrado por la historia y la concepción de la matemática, en cómo influye dicha

construcción en lo social y la comunidad. Además de que la construcción del

código matemático fue conformando y modificando los sistemas externos e

internos de representación en cada individuo. Haciendo énfasis que la enseñanza

de las matemáticas en las primeras etapas de la vida del niño reviste una mayor

importancia ya que posee un papel organizador del conjunto de los procesos

intelectuales.

Considero que este proceso de aprendizaje me aportó bases sobre una temática

para seguir profundizando a futuro, despertó interés en una línea de investigación

y conocimiento que no se encuentra tan difundido en el ámbito académico.

Además, de aportarme herramientas para poder trabajar y socializar con docentes

y profesores en el ámbito escolar, para poder reflexionar sobre nuestras prácticas,

pensar nuevas alternativas para llevarlas a la practica en el aula y finalmente, tener

una visión diferente en lo que sucede en el aula con los niños.



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