Analyse de la conduction de la chaleur aux temps ultra-courts dans un solide par la thermodynamique...

Rev G&J Therm (1997) 36, 826-835 0 Elsevier, Paris

Analyse de la conduction de la chaleur aux temps ultra-courts dans un solide

par la thermodynamique irrkversible &endue et la dynamique mokculaire

Sebastian Volz, Michel Lallemand *, Jean-Bernard Saulnier

Laboratoire d’etudes thermiques (LET), UMR 6608, ENSMA, 86960 Futuroscope cedex

(Recu le 17 mars 1997 ; accepte le 8 octobre 1997)

Abridged English version at the end of the text

Summary - Analysis of short time heat conduction in solids by extended irreversible thermodynamics and molecular dynamics. Instantaneous heat propagation and thermodynamic local equilibrium cannot be assumed when solving space and time microscale problems. Therefore, we reconsider the thermodynamics basis of the Fourier law in order to obtain the new heat conduction models: the hyperbolic heat equation (EH) and the modified hyperbolic equation (EHM). We have performed molecular dynamics (DM) experiments which are independent of any thermodynamic model, to test the macroscopic approaches. We show that the solutions of the EH and the EHM do not agree with the numerical experiments and that the MD results are strongly dependent on the way from which the macroscopic conditions are simulated in the microscopic point of view.

hyperbolic heat equations / conduction / microscale / Cattaneo-Vernotte equation / extended irreversible thermodynamics

Resume - L’hypothhse de la propagation instantanee de la chaleur, comme celle de I’equilibre thermodynamique local, ne peuvent plus etre maintenues si /es &he//es d’espace et de temps considerees sont microscopiques. Nous revisitons done /es bases thermodynamiques de la loi de Fourier pour Ctablir les modeles de conduction de remplacement : hyperbolique (EH) et hyperbolique modifie (EHM). Afin de tester ces approches macroscopiques, nous avons utilise une technique de simulation independante de tout a priori thermodynamique : la technique de la dynamique moleculaire (DM), permettant de simuler des regimes thermiques transitoires. II a e’tC possible de montrer que les modtles hyperbolique et hyperbolique modifik ne satisfaisaient pas aux conclusions des experiences numeriques dont les rksultats se trouvent forrement lies a la facon dont sent reproduites, au niveau microscopique, /es conditions l/mites macroscopiques.

equations hyperboliques de la chaleur / conduction / thermique / microkhelle / 6quation de Cattaneo-Vernotte / thermodynamique irreversible &endue

Nomenclature

CP capacite thermique massique a pression constante

d epaisseur de film. E energie interne. JS densite surfacique de flux d’en-

tropic........................ kB constante de Boltzmann h!l masse de l’atome. .

P pression ._ ,.....__...___.... Q flux de chaleur saris dimension 4 flux de chaleur IL vecteur position de l’atome i s densite volumique d’entropie

J.kgg’K’ m J

W.mP2.K-’ J.K-’

kg J.m -’

W.m--” m

J.m-“.K-’

T

SV :I-

densite volumique d’entropie au sens classique. temperature . . . . . . . . . . . . . . . temps........................ vitesse de la chaleur energie interne energie interne au sens classique.......................... vitesse moyenne des phonons vecteur vitesse de l’atome i variation volumique saris dimension volume elementaire variable d’espace

Symboles grecs

* Correspondance et tires-a-part. w diffusivite thermique m2.sm ’

J.m-“.K--’ K

J.m-” m.s”

m:s

m

826

Analyse de la conduction de la chaleur aux temps ultra-courts

0 temperature de non-Cquilibre E unite d’energie en DM. $ 23 Bnergie potentielle d’interac-

tion entre l’atome i et l’atome j P masse volumique . . x conductivite thermique . . A libre parcours moyen de pho-

nons . P potentiel chimique . lr pression de non-equilibre . . VI unite de temps en DM . u unite de distance en DM . 0s source volumique d’entropie . .

Exposants * variables dimensionnees dans

les unites DM derivee temporelle

Caractkres

Gras vecteurs

Abrhiations

DM dynamique moleculaire EP equation parabolique

K J

kg.me3 W.m-‘.K-’

J.mp3.Kf: J.mm3

S

m W.mp3.Kp1

EH equation hyperbolique de la conduction EHM equation hyperbolique modifiee TIE thennodynamique irreversible &endue TPI thermodynamique des processus ii-reversibles

1 I INTRODUCTION

La loi de Fourier, etablie depuis plus de 170 ans, decrit la reponse thermique dun solide conducteur de la chaleur soumis a un gradient de temperature, sous la forme dune relation algebrique lineaire entre la cause - le gradient de temperature -, et l’effet - la densite de flux de chaleur - ; elle presente un caractere local, et se traduit par l’expression :

q=-AgradT (1)

Observons que la reponse ainsi definie s’etablit instantanement avec la mise en place du gradient, qui constitue l’excitation appliquee au solide Btudie.

Le domaine de validite de la loi de Fourier est tres large et s’avere aujourd’hui encore tout a fait suffisant dans la plupart des problemes usuels de l’ingenieur. I1 apparait cependant des situations nouvelles, notamment avec les nano-fabrications et les technologies photoniques, ou les densites de flux intenses mises en jeu comme la faiblesse des echelles d’espace ou de temps amenent a revisiter

les bases physiques qui conduisent a l’etablisse- ment de la loi de Fourier et a reformuler la relation flux instantanelgradient, adaptee aux micro- Bchelles spatiales et temporelles. Ceci implique de reconsiderer :

- les definitions de flux et de force au sens donsager (cf equation (14)) ;

- le caractere instantane de cette loi dans le cas ou l’on etudie la reponse d’echantillons sur des durees tres courtes (de l’ordre de la nano-seconde ou en dessous, pour preciser ici ces Bchelles de temps dites courtes) ; en effet la nature microscopique des agents porteurs d’energie que sont les excitations Blementaires du reseau - les phonons - et les electrons ne per-met pas de concevoir leur transport comme s’effectuant a vitesse non finie, ce qui entrainerait l’apparition dun flux en tout point dun milieu immediatement apres l’application dun gradient de temperature entre ses faces ;

- l’hypothese, sous-jacente a la loi de Fourier, dun equilibre thermodynamique local, admettant l’existence de sous-systemes macroscopiques dans lesquels les grandeurs d&at sont uniformes mais evoluent dans le temps ; cette hypothese devient en effet difficilement acceptable lorsque on s’interesse a des perturbations thermiques apparaissant sur des dimensions de l’ordre de quelques dizaines de distances interatomiques, c’est-a-dire de l’ordre des libres parcours moyens des porteurs d’energie.

Les exemples justifiant la necessite de preciser les domaines de non-validite de la loi de Fourier ne manquent pas. Mentionnons tout d’abord le comportement thermique de solides soumis a de tres breves impulsions laser de durees inferieures a la picoseconde (Chen, 19951, celui des compo- sants optoelectroniques du laser lui-meme qui sont sieges d’impulsions electriques ultracourtes aux- quelles sont associees des impulsions thermiques (Majumdar, 1993), ou encore le traitement thermique des materiaux inertes et de la biomatiere, traitement dont l’efficacite depend de la bonne connaissance de la profondeur de penetration de l’energie (Tien et Chen, 1994). Relevent de la meme problematique la reponse dun solide soumis a une source de chaleur en mouvement tres rapide, situa- tion donnant naissance a des <<ondes>B de choc thermiques (Ozisik et Tzou, 19921, ou encore la propagation de fissures au sein des materiaux (Tzou, 1990). Quant aux problemes poses par les microechelles d’espace, on peut songer aux films minces ou assem- blages de films minces en electronique et optoelec- tronique - super-r-beaux, puits quantiques, MEMS - (Chen, 1995 ; Majumdar, 1993 ; Tien et Chen, 1994 ; Ozisik et Tzou, 1992 ; TZOU, 1990 & 1995) ainsi qu’aux diverses techniques de micro-usinage appliquees a la fabrication des objets submicroni- ques.

Ce travail s’initiera par l’evocation des intuitions des pionniers en matiere d’anomalie a la loi de Fourier et rappellera tout d’abord les observations formulees a ce sujet par Vernotte (1958) et Catta- neo (1958) vers la fin des an&es 50, ainsi que la nouvelle formulation proposee par ces auteurs pour

827

S Volz, M Lallemand, JB Saulnier

relier flux et gradient. Nous examinerons ensuite la dkmarche macroscopique de la thermodynamique des phkomknes irrkversibles (TPI) qui &a- blit une compatibilitb avec la loi de Fourier. Puis nous verrons comment une thborie plus rkcente, la thermodynamique irreversible Btendue (TIE), peut conduire B la loi proposke par Vernotte et Cattaneo sans rkfkrence & l’hypothkse de l’bquilibre thermodynamique local. Enfin, gr&ce aux expkriences num6riques de simulation effectuGes au niveau microscopique sur un solide de Lennard-Jones par la technique de la dynamique molkculaire (DM), nous disposerons d’informations indkpendantes de toute thkorie thermodynamique, qui nous permet- tront de confronter les rbsultats des diverses approches phknomknologiques sur le cas simple du mur conducteur semi-infini soumis & un Echelon de tempkature sur l’une de ses faces.

2. L’APPROCHE DE VERNOTTE

Vernotte est parti du fait que la loi de Fourier impose une vitesse infinie de la propagation de la chaleur, ce qui est physiquement inacceptable. Ceci est bien illustrk par l’exemple classique d’un mur semi-infini de diffusivitb o, initialement & la temperature T,, et soumis k un Echelon de temperature T, sur sa face (z = 0), dont le champ de temperature T(z, t) est don& par l’expression :

(2)

avecAT=T,-T,.

Ainsi, quelle que soit la position d’observation 2, il apparait quasi-instantankment un signal thermique, ce qui est inadmissible. Vernotte supposa alors qu’il existe un retard T entre l’effet (le flux), et la cause (le gradient), de telle sorte que la relation flux/gradient peut s’kcrire :

q(t + 7) = -A grad T (3)

laquelle, $ l’aide d’un d&eloppement de Taylor tronque au premier ordre, conduit A l’expression :

as q(t) + 7x = -XgradT (4)

On peut dkj& voir dans cette Bcriture que la rbponse & cette excitation est assimilable 51 celle d’un systGme du premier ordre, et que son Btablissement perd aussi le caract&re instantan denonce pr&kdemment. Cette formulation peut Bgalement s’bcrire sous la forme d’une loi de relaxation simple :

aq -q - XgradT at= 7- (5)

T fig-want un temps caractkristique qui reste alors B identifier.

D&s lors, en combinant (4) avec 1’6quation de conservation de l’kertie, on aboutit A l’kuation hyperbolique de la cha&& (EH) :

d”T dT r atn + x = ndiv(gradT)

CI reprksente la diffusivitk thermique

i” )

x a=-- .

p c,, 11 est possible de montrer que l’kqua-

tion (6) : a) se ram&ne ?I l’kquation parabolique (EP)

classique lorsque le temps t >> 7 (c’est-&-dire lorsque le signal thermique est principalement constituk de modes diffusifs, de frequences faibles, nettement infkieures & celle associee A 7-l) :

aT z = o div(grad T) (7w)

b) induit aux temps courts (t < 7) une propagation de la chaleur sous forme d’onde, de vitesse u = (U/T) . I/’ En effet, dans ce domaine de temps, la contribution des basses fi+quences au signal thermique devient nbgligeable et l’bquation (6) se reduit, pour les temps les plus faibles, B 1’6quation d’onde rkversible suivante :

a2T -x 2 div(grad T) at2 r

En guise d’illustration, la figure 1 montre la distribution spatiale (la grandeur X = r/2 r U est indi- quke en abscisses) des temperatures dans un mur semi-infini soumis B un kchelon de tempkature, obtenue par les modkles parabolique (P) et hyperbolique (H) h diffkrents instants (~0 = t/2 7 = 0,s et

0.8

I- 0.6 4 h k t 0.4

0.2

0 0 2 4 6 8 10

X=x/?U1

Fig 1. Comparaison ti des temps diffirents (IQ = t/27 = 0,5 et IQ = 8) des distributions spatiales obtenues par /es modtiles EP et EH de la tempkature duns un mur semi-infini soumis ti un e’chelon de temp&ature (la grandeur X = x/2 T U est indiqke en abscisse).

Fig 1. Comparison of the space temperature distribution at several times (~0 = t/2, 7 = 0.5 et uILg = t/27 = 0,5) for a semi-infinite slab subjected to a temperature step, according to models EP and EH (the quantity X = x/2 T U is plotted in the x-coordinate).

828


2~0 = 8). On note l’extreme difference des predictions des dew modeles aux temps courts.

Concernant les Bchelles d’espace, un examen simple de l’equation (6) permet de cerner le domaine de validite de la loi de Fourier (Flik et al, 1992). Considerons en effet un mur d’epaisseur d, oti l’on peut definir le temps caracteristique de diffusion Atdiff par : Atd,ff = d2/a. L’equation parabolique ne sera done valable que lorsque Atd,ff verifiera I’inegalite A&f >> r, qui s’ecrit encore :

d >> (a#” (84

lorsque la quantite Atd,ff est remplacee par son expression.

Introduisons maintenant le libre parcours moyen A des porteurs de chaleur (supposes ici de type phonon uniquement), defini par A = r vp, oti up est la vitesse de propagation du son. D’apres la relation de la theorie cinetique, la conductivite thermique A est reliee a la vitesse wp et au

temps r par l’expression X = f pC, uz r, de sorte que la diffusivite thermique N peut se reecrire sous

la forme cy = & ” 3 uup A. Lorsque la diffusivite

est remplacee par sa nouvelle expression dans l’inegalite (8a), on obtient la condition spatiale de

validite de l’equation parabolique : d > > L.

En resume. la loi de Fourier sera done aunli- cable sans restriction lorsque suivantes seront reunies :

t>>7

et d>>$

les dew condi&s

(8b)

(8~)

Dans le cas ou la relation (8b) nest pas verifiee, les Bchanges de chaleur seront gouvernes par la relation de dependance temporelle des flux (51, et lorsque l’inegalite (8~) n’est pas satisfaite, nous aurons affaire a un transport de phonons de type balistique d&-it par l’equation de Boltzmann (Majumdar, 1993).

3. L~~QUATION DE FOURIER DANS LE CADRE DE LA TPI

Soit p la pression, s et u l’entropie et 1’energie interne par unite de masse, ck et pk les titres mas- siques et potentiels chimiques associes a l’espece k. A l’bquilibre thermodynamique, la relation de Gibbs s’h-it :

Tds=du+pdv-xp”dc” (9)

&T-l = as ( 1, au est la temperature. L’equation (91

se ramene, dani le cas dun systeme a volume constant et a une seule espece, a :

Tds = du (10)

La thermodynamique des processus irreversi- bles (TPI) est une description, en termes de milieux continus, des phenomenes thermodynamiques hors-bquilibre. Elle repose sur l’hypothese que, loca- lement, dans tout volume elementaire (macroscopique) 6V, la relation de Gibbs (9) est satisfaite, ce qui per-met notamment de definir une temperature locale et une equation d’etat independante des gradients ; cela suppose du point de vue microscopique que les effets de collision au sein du volume consider-e compensent les effets de gradients (Glans- dorff et Prigogine, 1971).

Dans le cadre de l’hypothese de l’equilibre thermodynamique local (ETL), le taux de variation de l’entropie s’ecrit :

pS=-divJ,+~,~ (11)

ou us > 0 apparait comme le taux de creation d’entropie interne et J, le flux surfacique d’entropie &hang& p represente ici la masse volumique et le point marque la derivee temporelle de transport. Compte tenu de l’equation de conservation de l’energie (en ne considerant toujours que les phenomenes thermiques) :

il vient :

pti = -divq (12)

d’oti, apres identification :

(13)

(14)

et

Js= ; ( > (15)

L’ecriture de us = c JyXy(y= l,...,n) seg&&-

ralise, dans le cas dun systeme oti s’exercent n flux dissipatifs, sous une forme bilineaire par rapport aux flux (telle Jq = q) et aux forces (par exemple X4 = grad(l/T)). Les flux constituent des quantites qui, contrairement aux forces (qui sont des fonctions des variables d&at), demeurent inconnues. Un developpement de Jq autour de sa valeur d’equilibre, Jz, = 0, permet d’ecrire le developpement lineaire suivant :

J4 z Lqq X4 (16)

et son identification avec la loi de Fourier (1) conduit a prendre le coefficient phenomenologique : Lq4 = X T2. La TPI admet done une relation lineaire entre le flux de chaleur et le gradient de temperature, couramment connue comme &ant la loi de Fourier.

829

5 Volz, M Lallemand, JB Saulnier

4 I L’APPORT DE LA THERMO- DYNAMIQUE IRRhERSIBLE ETENDUE

et pour lesquelles les termes de second ordre O(q.q) sont negligeables.

En derivant l’expression (17) par rapport au temps il vient :

C’est essentiellement dans le but d’apporter a la description thermodynamique des regimes de non- equilibre un fondement s’affranchissant de l’hypothese de l’equilibre thermodynamique local que les batisseurs de la thermodynamique des processus u-reversibles Btendue (TIE) ont admis que l’entropie est., non plus seulement fonction des variables independantes (T, p) ou (u, v), mais egalement des flux dissipatifs, de sorte que l’entropie s’ecrit S(u,w,q,PV) oii P” est le tenseur de pression vis- queuse (Jou et al, 1993). La TIE constitue ainsi une theorie mesoscopique dont le terrain d’investi- gation s’etend en de@ de la limite que represente le volume Blementaire 6V, dans un domaine spatial caracterise par des dimensions de l’ordre de quelques libres parcours moyens des phonons. Dans ces conditions, la distribution des porteurs thermiques peut s’eloigner de celle de l’equilibre, puisque le nombre des collisions se reduit. La thermodynamique &endue semble done pouvoir donner acces aux petites Bchelles d’espace et de temps, pour lesquelles l’hypothese de l’equilibre thermodynamique local n’est plus valable.

S=TPLti+2.q.Q (20)

qui, associee a l’equation de conservation de l’energie pti = -divq, conduit a identifier cette fois-ci la production d’entropie a :

u,s =q’ (grad($) +2n$) (21)

Afln d’assurer la linearite entre les flux et les forces, et Bgalement de satisfaire a la positivite de du taux de creation d’entropie us, on est conduit a Btablir la relation suivante :

grad $ ( 1

+y=xq avecX>O (22)

qui se ram&e a la relation (3) si l’on pose :

)i’E (XT”)-’ (23a)

et --7

u=ZpXT (23b)

en imposant a l’equation de la chaleur la forme hyperbolique (6).

4.1. LA TIE ET LA LOI DE VERNOTTE 4.2. MODIFICATION DE L’~QUATION HYPERBOLIQUE

Dans un solide soumis a une transformation isochore, la TIE propose la definition de l’entropie suivante :

s(w 21, 4) = SPq(lL, 71) + a q2 (17) \

On peut aussi songer a etendre a l’energie interne la dependance a l’egard des flux. Dans ces conditions on part des deux equations couplees (Coleman et al, 1982 & 1986) :

ou sgq est l’expression de l’entropie a l’equilibre local. A noter qu’en toute generalite le parametre u peut i%re dependant de la temperature, mais, afin de simplifier l’expose, nous le supposerons independant de celle-ci. Les grandeurs d&at classiques, pression et temperature, ne pouvant 6tre utilisees sans l’hypothese de l’bquilibre thermodynamique local, il nous faut done r&k-ire la temperature 0 et la pression r de non-equilibre et selon les expressions :

s(u, w. q) = so + a q2 (24)

u=UO+bq2 (25)

ou b est egalement suppose independant de la temperature. Cette extension amene aux equations phenomenologique (5) et de conservation (dans le cas monodimensionnel) :

et

En suivant les fondateurs de la TIE, nous pouvons nous limiter a des situations du premier ordre qui font apparaitre le developpement des grandeurs 0 et R autour de leur valeur d’equilibre respective T et p :

(184

(18b)

8-l = T-‘(u, u) + O(q.q)

fT’7r(u, II, q) = T-lp(u, 71) + O(q.q)

l3T aq.72 pC,sdt+2bq.cj+x=0 (26)

On designe l’equation (26) par l’appellation dqua- tion hyperbolique modifike (EHM). La comparaison analytique fournie par ces trois modeles (EP, EH et EHM), qui a ete realisee par Bai et Lavine (1993), permet de montrer que I’EHM conduit non seulement a une vitesse finie de la chaleur, mais assure aussi au systeme un comportement thermique conforme au second principe, ce qui nest pas le cas de l’EH. L’analyse de ces auteurs s’appuie tout a la fois sur l’equation (26) et sur une revision des conditions thermiques aux limites applicables aux nano/micro-objets.

830


4.3. CONDITION DE SAUTS DE TEMPERATURE AUX LIMITES

Aux nanolmicro-echelles, lorsque l’hypothese du milieu continu perd sa validite, de nouvelles conditions aux limites thermiques issues de la theorie cinetique doivent se substituer a la description macroscopique standard. Bai et Lavine (1993) ont discute de plusieurs possibilites, et notamment du modele de transfert radiatif de phonons, du modele des gaz rarefies, ainsi que du modele de resistance de Kapitza.

Le modele issu de l’equation de transfert des phonons s’apparente a celui de la theorie de l’equilibre radiatif des photons ; ses conclusions sont familieres en transfert par rayonnement pur au sein des milieux absorbants-emettants. Ainsi, pour un mur conductif horde de dew frontieres isothermes, apparait un saut de temperature separant celle de la frontier-e de celle dun point immediatement voisin du milieu. On retrouve a la limite de Casimir (Casimir, 1938) des transferts de chaleur dus aux Cchanges a distance de phonons Bmis par des interfaces de temperatures differentes (transport balistique).

Le modele de gaz rarefie correspond a l’impact dun gaz sur une paroi, suite auquel certaines molecules, apres reflexion, repartent avec leur temperature initiale, alors que d’autres peuvent quitter la paroi avec la temperature de celle-ci (phenomene d’accommodation).

Le modele de Kapitza est associe a une in- terpretation en termes de phonons de la resistance thermique aux interfaces solides. 11 correspond au fait qu’une interface possede la possibilite de transmettre les phonons incidents, et ce par deux mecanismes, avec ou saris diffusion, des phonons, dependant des proprietes acoustiques des milieux en contact.

Ces trois aspects du transfer-t thermique aux limites ont un point commun, celui de prevoir aux interfaces l’existence de sauts de temperature et de flux, et determinent des solutions de l’equation (26) possedant un sens physique, en particulier saris temperatures inferieures au zero absolu.

Si l’on souhaite apprecier la validite des divers modeles, il semble difficile d’utiliser des elements des theories thermodynamiques pour les equations gouvernant le transfer-t, qui ne peuvent Btre que d’ordre empirique et macroscopique, et des theories cinetiques pour les conditions aux limites. 11 convient done de se referer a un niveau descriptif en amont de celui de la thermodynamique. Dans ce but nous nous proposons de co&-onter les predictions de ces trois equations de la chaleur a celles obtenues par la technique de la dynamique moleculaire du non-equilibre. Les experiences numeriques qu’elle per-met d’effectuer dans des milieux sim- ples simulent, en effet, des transferts de chaleur repondant a des contraintes thermiques bien deter- minces, et ses resultats restent encore les seuls qui

peuvent Qtre compares aux solutions fournies par les modeles continus pour des conditions initiales et aux limites identiques.

5 I DYNAMIQUE MOLiCULAIRE ET MODtLES MACROSCOPIQUES

5.1. LA TECHNIQUE DE LA DYNAMIQUE MOLkULAIRE

La technique de la dynamique moleculaire consiste a determiner au tours du temps, a l’aide des Bqua- tions de la mecanique hamiltonienne, la position r, et la vitesse vi de chacun des atomes dun systeme de N particules constituant l’echantillon solide Btudie et interagissant selon une loi de force realiste. En permettant, dans le cas de l’equilibre, la determination des grandeurs thermodynamiques, et dans des situations de nondquilibre, celle de champs de temperature et de flux de chaleur, elle constitue une approche purement mecanique des sciences thermiques (Volz, 1996). Nous l’avons mise en ceuvre dans le cas mur fini (de volume constant) constitue par un cristal d’argon de masse volumique p = 2 380 kg.mP3 et de temperature initiale d’equilibre T = 72 K, soumis a un echelon de temperature sur l’une de ses faces.

La temperature dun sous-ensemble quelconque de N particules de masse M se deduit alors du theoreme d’equipartition de l’energie sous la forme :

N 1 ;(N-l)k.~T=x ,Mv,z (27)

t=l

ou kg est la constante de Boltzmann. L’energie interne E du systeme s’ecrit simplement comme la somme de l’energie cinetique et de l’energie potentielle :

$(rzj) figurant 1’6nergie potentielle d’interaction entre les particules i et j.

Dans l’exemple traite ci-apres nous considere- rons une assemblee de N = 6 000 atomes d’argon disposes dans une structure tridimensionnelle et interagissant selon un potentiel de paire additif de Lennard-Jones (6-12) :

d(Q) = 4E [ ($‘- ($1 (29)

(oti &/kB = 119,8 K et CT = 0,3405 nm), au sein dun reseau de structure cubique face centree parfait.

831


5.2. L’EXP~RIENCE DE L’APPLICATION DE L’iCHELON DE TEMPkRATURE

On considtire un solide cristallin isolC par deux pa- rois adiabatiques (les atomes des plans extrgmes sont fix&). Afin de simuler l’exp&ience consis- tant B appliquer un Echelon de tempkrature sur la face d’un solide, le cristal est divid en deux sous-syst&mes - par dew plans (001) - contenant chacun le m&me nombre de particules et initialement $ temperatures uniformes contr816es par la technique des thermostats de No&-Hoover (No&, 1984 ; Hoover, 1985). Leurs temperatures rbduites sont T” = T ICB/E = 0,55 pour l’un et T* = 0.89 pour l’autre. Au temps rbduit t’ = 20 (en unit&

Ma” II2 7-n =

C-1 = 2,16 ps), l’action des deux ther-

E mostats est interrompue, afin de laisser les dew sous-syst8mes atteindre leur tempkrature hors contrainte des thermostats. Au temps t* = 2ti les deux sous-systtimes sont ensuite mis en contact, en remettant en interaction avec leur voisines les particules, jusque-lh immobiles, qui constituaient la front&e de skparation. C’est cette derni&re op6ra- tion, et la relaxation thermique qui s’ensuit, qui est assimilee & l’action d’un Echelon de tempkrature appliquk 21 la surface d’un des dew Bchantillons.

Obvolution de la temperature de chaque partie sera obtenue en calculant T*(z*. t*) par (27) sur une tranche de 100 atomes pendant un intervalle de temps de O,O2 TO. La figure 2 illustre, dans une reprbsentation temps-espace (2*, t’), les r&ultats obtenus pour le champ de tempbrature, les deux r&ervoirs isothermes ayant une rangee d’atomes commune en Z* = 28. On note sur cette figure la quasi-isothermicitk de la zone mkdiane & T* = 0,?2,

20 0.9 0.8

0.9 0.9 ., .I' 10 *;

0.9 C.8 0.9 0.9 0.7

0 / ,,

20 25 30 35 40

t*

Fig 2. lsothermes T* duns le plan (x*, t*). Duns I’intervalle de temps [t’ = 20, t* = 261 /es deux sous-systt!mes demeurent en e’quilibre ti deux tempkatures diffirentes (T* = 0,89 et T* = 0,55) puis d /‘instant t+ = 26, la cloison de kpararion est retirke. Fig 2. Isotherms in (x*, t”) coordinates. In the time interval [t‘ = 20, t* = 261, the two subsystems are in equilibrium at two different temperatures (T* = 0.89 and T* = 0.55). At time t* = 26, the separating wall is removed.

justifiant notre mbthode de simulation de l’application d’un Echelon de temperature sur la face d’un mur.

Cependant, afin de pouvoir comparer les solutions continues et les rhsultats de simulation, il est nbcessaire de connaitre les propri&s thermo- physiques du solide, B savoir sa conductivite thermique X, sa capacitC thermique massique C,, le temps de relaxation de Vernotte T et ce, dans les conditions CtudiBes. Des experiences de dynamique mol&ulaire prCalables effect&es dans les conditions d’hquilibre thermodynamique ont d6montr6 l’egalit6 entre le temps de relaxation moyen des phonons calculC au sens de 1’6quation de Boltz- mann (Volz et al, 1996) et le temps de relaxation 7 du flux de chaleur (cf kquation (5)), et ont permis de dCterminer la valeur de la conductivite thermique X dans des conditions thermodynamiques proches de celles de l’exp&ience. Ainsi, & T = 66 K, les valeurs suivantes ont BtC trouvees (a = 0,3405 nm) :

x = 357 k~/UT(, C,. = 2,8 ko/M 7 = 1,ll 7-c,

soit, en unit6 internationales :

X = 6,71 W.m~-‘.KP’ C,. = 582 J.kg-‘.K-’ T = 2,4Ops

correspondant, pour p = 2 380 kg.rn-‘j, B une valeur de la diffusivitk a = 4.1.10-” m2.se1.

5.3. COMPARAISON DES R~SULTATS

Sur la figure 3 ont BtC rassemblees les Bvolutions temporelles de 1’6nergie totale E calculee & partir

800 7 -

-2-L _iu_.L 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

t*

Fig 3. !%olution temporelle de I’dnergie interne d’un mur semi-infini soumis d un tchelon de tempkrature, sirnuke d l’aide du modkle de la dynamique moltculaire. L’knergie interne calculke en terme de variables microscopiques (trait plein) et d parrir de la temp&ature (trait inrerrompu) a iti rep&e&e pour un ichelon de temperature de faible amplitude (AT’ = 0,14, traits fins) ef de forte amplitude (AT* = 1,46). Fig 3. Time dependent internal energy of a semi-infinite wall submitted to a temperature step computed by molecular dynamics. The internal energy calculated in terms of the microscopic variables (solid) and as a function of temperature (dashed) was represented in the case of a temperature step of high (AT* = 1.46, thick) and low (AT* = 0.14, thin) amplitudes.

832


de la relation (29) dune part, et du terme p V CV T (V &ant le volume de l’echantillon simule et T(t) la moyenne spatiale de la temperature dans tout l’echantillon) correspondant a l’energie interne dans le cas de valeurs Blevee (AT* = 1,46) et faible (AT* = 0,14) de la difference de temperature entre les deux reservoirs d’autre part. Ces profils ont ete obtenus a l’aide de simulations de la dynamique moleculaire. On peut constater que les dew signaux sont quasiment superposes, ce qui nous amene a conclure quant a l’egalite de ces deux grandeurs et a l’inutilite de la redefinition de l’energie interne - cf equation (25).

11 est opportun de comparer les reponses des modeles continus a celles obtenues par la technique de la dynamique moleculaire du non-bquilibre que l’on vient de d&ire, et ceci dans le cas d’btude consider& c’est-a-dire celui dun systeme constitue dun solide homogene, initialement isotherme, soumis a un echelon de temperature.

Une solution analytique a l’equation de conservation de l’energie - &rite sous sa forme hyperbolique (6) - lorsque une variation de temperature TO + AT est imposee sur la surface du mur homogene semi-infini (initialement a la temperature To) peut etre obtenue en utilisant la transformation de Laplace. Elle conduit a la solution en temperature TH suivante (Baumeister et Hamill, 1971) :

t uo = 27 - To

AT = H(uo -X)

ul Cx + X

i J’ e?

11 (A--q

0 &Fze

d2L 1 (30)

ou Ii est la fonction de Bessel d’ordre un, H la fonction de Heaviside et U la vitesse de la chaleur : U=

d- 5. La solution du mur semi-infini est ici

retenuelar le front du signal hyperbolique n’atteint pas la face arriere (dans la duke de l’experience de DM t = 3,6 7, le signal atteint l’abscisse z = 2,08 A). Quant a la solution du probleme parabolique pour le mur fini, elle a Bte obtenue par Carslaw et Jaeger (1993).

La figure 4 represente l’isotherme T = 72 K (T* = 0,601 dans le plan spatio-temporel (X,~LO =

A), obtenue selon les approches macroscopiques paraboliques pour le mur fini (Pl) et semi-infini (P2, don&e par la solution (211, selon l’approche hyperbolique (H), ainsi qu’a partir des resultats de la dynamique moleculaire (rep&-es DM). A noter que :

- le modele EH ne permet une representation de cette isotherme qu’a partir du moment ou l’amplitude du front de discontinuite thermique atteint cette temperature @g 3) ;

- les isothermes (Pl) dune part et (H) d’autre part semblent diverger pour les temps longs, car le front du signal hyperbolique n’atteint pas la face arriere dans le temps imparti h l’experience ; dans ces conditions, la face arriere, qui occasionne

1.4

1.2

1

Q 0.8 2 2 &

0.6

0.4

f,,q ,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,I,, L 0

0.2 0.4 0.6 0.6 1 1.2 1.4 1.6 1.6

t/27

Fig 4. lsotherme T = 72 K duns le plan (x’,uo) se/on I’EP (PI mur semi-infini ; P2 mur fini), I’EHC (H) et I’exptrience de /a figure 2 (MD). Fig 4. Isotherm T = 72 K in the (x*, uo) plane according to the oarabolic eauation (Pl semi-infinite wall : P2 finite wall), tb the condktive hyperbolic equation (Hj and the experiment of figure 2 (MD).

une accumulation d’energie thermique dans le cas du signal parabolique, n’influence pas la reponse hyperbolique ;

- une difference nette de comportement distin- gue pour les temps inferieurs a quelques valeurs de 7 les resultats de la dynamique moleculaire de ceux des modeles continus ; il convient cependant de se rememorer que dans ce domaine temporel, les distances de propagation thermique mises en jeu sont tres faibles (z est compris entre 0 et 1,15 A), de sorte qu’aux petites Bchelles spatiales, la validite de l’hypothese de milieu continu, et par consequent celle des equations parabolique et hyperbolique, n’est plus assuree. Par ailleurs, la relative bonne convergence des isothermes (PZ), (H) et (MD) tend a montrer que la reponse thermique predite par la dynamique moleculaire reste independante de l’existence de la face arriere du mur dans la duke observee.

Ainsi, par l’inter-comparaison des resultats modeles/exp&iences, il apparait qu’aux temps ultra-courts aucun modele continu nest satisfai- sant. Ces divergences peuvent trouver leur explica- tion dans le fait que les modeles macroscopiques ne prennent pas en compte le comportement thermique aux conditions limites, qui depend principalement dune physique des petites Bchelles d’espace. Ce point de vue, amen6 par l’analyse de Bai et La- vine (1993), est appuye par les resultats obtenus en dynamique moleculaire, puisque ces derniers va- rient selon la faGon particuliere dont les conditions aux limites sont physiquement imposees du point de vue microscopique (Volz, 1996).

De sorte que pour ces Bchelles spatio-temporelles extremes de transfer-t par conduction entre deux sous-microsystemes de taille d x A aux temps t < r, la comparaison des modeles de transfer% de chaleur avec l’experimentation necessite soit la prise en compte dans les modeles des processus microscopiques reels d’interaction a l’interface des sous-

833


systemes thermiques consider&, soit la realisation d’experiences ou sont assurees les conditions limites et initiales theoriques des modeles macroscopiques.

6 I CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES

Bien qu’on ait demontre la coherence existant entre la loi de Fourier - conduisant a l’equation parabolique de la chaleur (EP) - et la theorie de la TPI, les insuffisances de cette description classique, en particulier pour ce qui concerne l’analyse des petites Bchelles de temps et d’espace, nous ont amen& a prendre en compte une ecriture plus complete faisant intervenir dans un premier temps la dependance quadratique de l’entropie au flux de chaleur (TIE), puis y ajoutant la dependance a l’energie interne dans un second temps. Ce dernier modele conduit alors & une equation de bilan hyperbolique dite modifiee (EHM).

Le formalisme de la TIE, qui s’affranchit de l’hypothese de l’equilibre thermodynamique local et qui est, de plus, compatible avec l’equation de Vernotte, a permis de proposer une solution au paradoxe de la propagation instantanee de la chaleur, mais aboutit cependant a un second paradoxe, puisque certaines situations s’opposent aux prescriptions du second principe (Bai et Lavine, 1993).

Afm de departager les modeles, la confronta- tion avec l’experimentation devrait jouer un role determinant. Cependant, celle-ci fait intervenir des echelles de temps et d’espace a ce point reduites qu’il est encore trop difficile de mesurer une temperature ou un flux de chaleur dans ces conditions. Neanmoins les recherches actives de Goodson et Asheghi (1996) en thermometric h champ proche et de Majumdar et al (1992) en imagerie par micro- scopie a force atomique ouvrent des voies experi- mentales prometteuses pour la thermique des nano- structures.

La voie de la simulation directe, telle celle utilisant la technique de la dynamique moleculaire, s’est averee ici interessante en permettant d’bcar- ter les hypotheses menant a l’equation hyperbolique modifiee et de contester les resultats issus de l’equation hyperbolique simple. En outre elle a connu quelques succes dans l’approche des transferts aux temps courts en donnant acces aux valeurs du temps de relaxation du flux de chaleur. Elle ne semble cependant pas encore etre en mesure de permettre de trancher quant a la phenomenologie a retenir.

RkFeRENCES

Bai C, Lavine AS (1993) Thermal boundary conditions for hyperbolic heat conduction. In: Heat Transfer on the Microscale, ASME, HTD, voi 253, 37-44

Baumeister KJ, Hamill TD (1971) Hyperbolic heat conduction equation - a solution for the semi-infinite body problem. J Heat Trans-TASME 93, 126-l 28

Carslaw HS, Jaeger JC (1993) Conduction ofHeat in Solids. Oxford Science Publishers

Casimir HBG (1938)Note on the conduction of heat in crystal. Physica 5, 495-500

Cattaneo C (1958) A form of heat conduction equation which eliminates the paradox of instantaneous propagation. CR Acad Sci 247, 431-433

Chen C (1995) Heat transfer in micro- and nanoscale photonic devices. Annu Rev Heat Transfer VII

Coleman BD et al (1982) On the thermodynamics of second sound in dielectric crystal. Arch Ration Mech An 80, 132-l 58

Coleman BD et al (1986) Stability of equilibrium for a non- linear hyperbolic system describing heat propagation by second sound in solids. Arch Ration Mech An 94, 267-289

Flik MI, Choi BI, Coodson KE (1992) Heat transfer regimes in microstructures. J Heat Trans-T ASME 1 14, 666-674

Glansdorff P, Prigogine I (1971) Structure stab/it& et fluctuations. Masson, Paris

Coodson KE, Asheghi M (1996) Near-field optical ther- mometry. In : US-Japan Joint Meeting on Molecular and Microscale Transport Phenomena, Santa Barbara, California

Hoover WC (1985) Phys Rev A 31, 1965

Jou D, Casas-Vazquez J, Lebon C (1993) Extended irreversible thermodynamics. Springer-Verlag, Berlin

Majumdar A (1993) Microscale heat conduction in dielectric thin films. J Heat Trans-TASME 1 15, 7-16

Majumdar A, Carrejo JP, Lal J (1992) Thermal imaging using the atomic force microscope. Appl Phys Lett 62, 2501-2503

Nose S (1984) MO/ Phys 52, 255

Ozisik MN, Tzou DY (1992) On the wave theory in heat conduction. In : Fundamental Issues in Small Scale Heat Transfert, ASME, HTD, vol 227

Tien CL, Chen C (1994) Challenges in microscale conductive and radiative heat transfer. J Heat Trans-T ASME 1 16, 799-807

Tzou DY (1990) The thermal shock wave induced by a moving front. Int J Heat Mass Tran 33, 877-885

Tzou DY (1995) A unified field approach for heat conduction from macro- to microscales. J Heat Trans- TASME 117, 8-16

Vernotte P (1958) Les paradoxes de la theorie continue de I’equation de la chaleur. CR Acad Sci 246, 3 154-3 155

Volz S (1996) Transfert de chaleur aux temps ultra-courts par la technique de la dynamique moleculaire. These de doctorat, Universite de Poitiers

Volz 5, Saulnier JB, Lallemand M, Perrin B, Depondt P, Mareschal M (1996) Transient Fourier’s law deviation by molecular dynamics in solid argon. Phys Rev 61 54, 340-347

834


ABRIDGED ENGLISH VERSION

Analysis of short time heat conduction in solids by extended irreversible thermodynamics and molecular dynamics

Interests towards time and space microscale heat transfer have increased continuously since the mi- niaturisation of chips (semi-conductor technology); the improvement of data storage capacities and op- toelectronic device use and fabrication has become an industrial challenge.

In thermal engineering, the Cattaneo-Vernotte relation and the associated energy equation, the Conductive Hyperbolic Equation (CHE), are com- monly accepted as the correct model describing short time heat transfers. But no experimental proof of any sort has already been presented to fund such an em- pirical and macroscopic model.

We explore first the thermodynamical hypothesis responsible for the evident defects of the Fourier Law: the instantaneous heat propagation and the local thermodynamic equilibrium (LTE) hypothesis. According to the Extended Irreversible Thermody- namics (EIT) (Jou et al, 1993), one postulates that entropy depends not only on two state variables but also on the heat flux. The derived constitutive equation appears to be in agreement with the CV model. In those conditions, the heat velocity remains finite and the LTE assumption is not necessary. Following Coleman and al (1982 & 1986), we also use an inter-

nal energy definition including the temperature and the heat flux. A new energy equation is obtained: the Modified Hyperbolic Equation (MHE).

In order to give the MHE and the CHE a microscopic basis, we performed a numerical experiment using the molecular dynamics (MD) technique. The experiment consists of dividing an isolated argon sample into two subsystems set to two different equilibrium temperatures. When removing the separating plane, we consider that at the beginning, the area of lowest temperature can be assimilated to a wall submitted to a temperature step.

It was shown that: i) the internal energy is accurately estimated

thanks to its classical definition; therefore the MHE model seems to be incorrectly funded;

ii) none of the MD results can reproduce the predictions of the CHE;

iii) the microscopic simulation of the macroscopic boundary conditions seem to largely determine the ulterior heat propagation behaviour; therefore we think that a better understanding of the real microscopic heat processes at the interfaces should be studied.

835

Analyse de la conduction de la chaleur aux temps ultra-courts dans un solide par la thermodynamique...

Documents

Transcript of Analyse de la conduction de la chaleur aux temps ultra-courts dans un solide par la thermodynamique...