An Elementary Proof of a Theorem Concerning the Division of a Region into Two

12

Transcript of An Elementary Proof of a Theorem Concerning the Division of a Region into Two

����� ������

����� �� �������

������ ��� ������ �� ����

�� ���������� �� � � ������ � ������ ��� ������� � � ����� ��� ��

���� ���������� ���� ���� �������������

��� ������� �������������

��� ��� � ����������� !�� �" �#� $�%" &#�'# ($� #($)� *$ �� ($� � �#��+ ��& �� � * � +�� #� % "� '���!$(��)'("� �" '�$�(���� �#� � $)(� '�$�� �#� $�%� , $ *�)(+ +�'(�$�(" �" ���%���($� *$ -" - "�'# �#� $�%" ����$ !�' %� !" ����� ��$��+ �#��$ & $. &��# "��)���" - %(�#�%(��'" �#�- �� &��+ *$ !��% #(" - $'�) ��"��- � �#� (��# $" - �#� *(*�$/� *$ �� �� ( $�(" �(!�� ���%���($� -("#� � �#(� (� *��� $)(� '�$�� &��# ��" ��)* ���" � ( '� "�) � $)(� '�$�� ��!�� �#�$&�"� � '(��) �� �#� ! ��)�) *($�� )���)�" �#� '� "�$� - �#� ! ��)�) *($� ��� �& *($�"� �� �#�" *(*�$ &� �(.� �#�� $)(� '�$�� �#� $�% 0�� 1 - $ +$(���) (�) �#�� *$ ��� ��( '($�-��� ���%���($� &(�� �#� $��(��) -('�� 2�- $���(����� ��"��%" �#(�� ���� +���� �#� �� � �#�$� �" "���� ( &# �� � � -& $. � ) � ��� �#�$� ($� "# $�'��"� , $ ��"�(�'�� &� ) � ����) � ' �"�)�$ �#� *$ !��% - (**$ 3�%(���+ ( +���$(� '�$��!� * ��+ �"� $ �#� )���'(�� ��%�� 4��"�� �" ($�"��+ &#�� + ��+!('. -$ % �#� �("� * ��+ � '("� � �#� +���$(� '("��

�� ������������� ��� ����� ���� ������ ����� ����� �� ������� ����� ���� � � ���� ������� �� ���� �������� �� ��� ��� �� ���� � � ����� � � �� ������ � �� ���� �� �� ����� �������� ���� �� �� �� �� ��� ����� �� �� �� �� ��� ����� ������ ������ � ���� � �� ����� �� ��� �� �� ��� � ���� �� ���� ����� ���� ���� � � ����� ��� �� �� ��� ���� ����� � ���� �� ����� �� �� �� �� ���� ������ �� ������ ������� �� ��������! �� � ��� �� �� ����� �� �������� �� �� ����� "�������� #���� $ �� ������ �� � ������ ����� ���� � �� ���������#�� �� �� ��� �� �� ���� � �� � � � ������ %��� �� �� �� �� ���� � �� �� ������� �� ��� �� � � ������� ������ � &�'��� ������� �� ��� �� �� � ����� �� �� ������� �� $� ��� ���� ( �$� �� )� �$�� ����� �� � �� � ����� �� � �� �� ���� �� ����� ����� ������

5666 �7� ���������� ����� � ���������� �$�%($� 86�59� 86�69� 9:�56�������� ��� ������ � $)(� ��$��� ���+#! $# )� ����$� $� ! ��)($����'����) !� �#� �)�� $" � � ��%!�$ 8� 5668� (�) �� $���"�) - $% � ��'�%!�$

56� 5668�

�� !�"#$% &����� ��&'! ���(%)"( �)%$��)%"&* ��(*��%"��

*+*,

*+*- ���������� ���� ������������� ��� �������������

,��2�� :� #� "�%*�� *�� '�$�� �� )���)�" �#� ;+�$� < ��� �#� ;+�$�" <+ (�)<��

(� �� ��� � �� � �� � �� ��� � � �� ���� � �� �� �� ������� ��� ���� �� �� ��� � � �� � ���� ��� ������� � ���.��� �� � ����� �� �� �� �� �� �� � ����� �� �� �� �� �� �� �� �� ������ ����� ������ ��� �� ��� ������ �� �� �� �� �� �� �� ��� �� � �� � ��.��� � � � �� �� /����� *� ���������� ���� �� �� �� #������ ��� $� �� $�� ��� �� �� �� #���� $ ��������� � � #����� $� �� $�� �� �� $��$� 0 $ �� $��$� 0 ����� � �� ����� �������� �� � �� � � ������ �������� �� �� ����

��� ����� ���� ������ � ���� ��� � � �������1� ���� � �������� ���� �������� ����� &�� '� �� �� ����� � ���� �� �������� � � ��������� ����� ��� ������ &�� !� "'� ��� ������ �������������� � �� ������� ���� �������� ����� &�'� ��� ��� ��� �� ������� �� � ����� � ���� �� ����� ��� ����� �� ��� � � ��� � 2����� � ������ �� ����� ��� ������ � �� ����� �� �� /������� �����&�'�

)����� �� ������ �� ��� ���� � ����� �� ���� � ���� ������#� ��� �� � � ����

�������� *� 3� � �� � ��� ��� � ���� �� � � ����� ��� ������ ������ � �� ���� � ���� �� �� " ��� �� � ���� �� �� �������� � ���� � � �� ���� � �� � ���� ��� ������ �� �� � ���� ��� ��� �� �� �������� ����4

*� � �� � ��� ������� � � ����� �� � ����� ��.��� � ��� ������� � ����� �� �� ��

5� � �� � ��� �� �� � ����� ��������� ��� ��� � � ��� � ������ ������ �� �� ��

����, �, � =����7 ���������� ������ �������� *+*6

,��2�� 5� #� *$ *�$ * ���" (�) *$ *�$ "�)�" - �#� ����$"�'�� � - � (�) � ($�� � �� �++ (�) >���,?�

7� � �� � ���� �� � ����� ��8�� ����� �������� �� ���� ��� ����� � ������ � ����� �� ��

( /����� 5 �� ��� � � � � �� ��� ��� �� ������ ��� � ��� ���� �� �� � 0 ���� � � ������ �� �� ��� �� �� �� ��� � ������ ��� ��� � �� �� ��� � � "���� �� ����� &����' �� � ���������� �� ��� � ���� ��� �� �� ����� &����' �� � �

)������ �� � � �� ( �$� �� )� �$� ��� �� � ����� �� ��������� �� � ���� �� $� �� ��� ���� �� � � �� � �$� �� �� �$���� �� �� ����� �� �� ������� �� $� ��� ����������� �� �

��� � �� ������ Æ �� � ��� Æ��0 � � ���� � Æ� ����� ����

��� �� �� ������ ��� �� �� ��� �� ��� �� ��� ��� �� ����� ��� � � �� � ��� �� ��� �� �� � �� �� ��� �� ��#�� ��

�����0 ����� � � � ����� ���

�0 ����� � �

�� � ����

/�� � ���� ������ � ��� �� ���� �� ��� � �� ����� �� ����� �� ����.���� �� ���� ���� � � �� ���� ��� �� ��� ��� ���� ����� �� �.����� ����� ������ 3� � �� � ����� ��� �� � � ��� �������� � ����� � �� ���� ������ ��� �� �� ����� �� ��� ��������� � �� ������ ����� �� �� � ���� �� �� � �� ������ ( �� ����� ����.������ �� �� ����� ��� �� ����� �� �� ����� ��� �� � �������

*+*9 ���������� ���� ������������� ��� �������������

�� ��� �� �� ��� ������ ��� ������ �� � ���� �� ������ �� � ��� ����� ��

:�� �� � ��#� � �� ��� �� � ����� � �� �� �� ��� ��� � �� �� ���� ������� �� ��� � �� �� ��

������ 0

�; ��� ������ ��� �

* ��� ������ ����

<� �� ����� � ����� ���� � �� /������� ����� &�'�

�#$$% �� ��� � 4 ���� � � ��� �� � 4 ���� � � ��� �� ���

������� ������ ������ ��� ����������� ������ �� ��� ���� ���� �� ��������� ���� � �� ����� �� � ���� �������� ������� ��� �������� �����

������ ������� �� ��� ������� ������� ��� ����� �� �� ��� ������������

���� ������ �� ��������� ��� ��� � ��

����� =�� � �� ��� ��� � � � � �� �� �>�� ��� �������� ��� ��� ���������� ������ �� ��� ��� �� ��� � ��� � ��� �� �� ���� �� ������� �� ���� �5 � � � *�� ? ����� ����� �� �� ����� ���� �� ��� �� ��8�� ��� ��� ����� ������ �� �� ��� �� ���� �� ������ �� �� � � �� ����� � � ������ �� ��� ����� �� � ��.��� � �� �� �� ��� ��� �� ����� �� � ���� ������� � �� ��� �� �� ��� /�� ����� ������ ��� ��� ������ ����� �� �� � ���� �� �� � �� �� ��� ������� ���� �� ��� �� �� ����� �� � � ����� �� � ��� �� �� �� �� �� �� � ��� �� ��� �� ���� ���� ���� ���� � ��� ���8���� ��� ������ ��� ������� ����� �� �� � ���� �� �� � �� ������� ��� � ���� �� �� ��� ����� �� �� ��� ����� �� � ������ ��� �� � ���� �� �#�� ���� �� ���� �/����� 7�� ��� @��������� ��� ����� ��� ��� ����� �� � � �� ��������� ���� �� � � ������ ��� ������ �� �� � ���� ��� ������ � ����� �� ���� ��� ��� �� �� ����� � � ����� �� � ��� �� �� �� �� �� �� � ��� �� ��� �� ���� �� �� ���� �� ���� � ��� ��� ��� ��� ����� � � �� ��� �� �� ���� � /����� 7�� ( �� ���� ���� �� ��� ����� ������ ���� �� ����� � �� � � �������� ��� � �� � ���� ��� /��� ������ �� ��� �� �� ������������� �� ������ ��� �� �� ���� ���� �� ����� ������� 0 �������@��������� �� � �� �� �� ������� 0 ������ ��� ����� � &����'�@�� �� �� �� ������ �� �� � � �� �� ��8�� ����� ����� � �� �� � ��� ��� � ��

����, �, � =����7 ���������� ������ �������� *+*A

,��2�� @� #� ��%!�$" �0����1 (�) �0���1 ($� - �#� "(%� *($����

)������ 3���� *� �� /������� ����� �� �� ��� &�' ���� � �� ���������� � ���4

(� ��� ����� �� � ������ ����� ���� � � � ���� ������� �� ����� � � ���� �� ������� ���� �� ��� ������ � �.���� � � ���� �� �� ���� � �� �� �� � � ��� � � � ���� �� �� �� �� � �� ����� � ����� �� �.����� �� �� ����� ��� �� ��� � ���� �� �� ���� ���

((� ��� ����� �� � ������ ��� ���� � � ���� �� ������ ������ ���� �� �� ��� � � ������� � �� ���� � �� �� ���� � ����� ��� �� ��� � ���� �� �� ������

(((� ��� ����� �� �� ������ ����� ���� � �� � ������� �� ����� � � �������

(B� ��� ����� �� � ������ ����� ���� � � � ���� ������� ������ � � ��� �� �� ������� �/��� �� ������ �� �� ��� � �������� � �� �� ����� �� � ���� ���� ����� �� � �� �� ��� ������ �� �� ��� � � �� � � �� �� �� �� � ����� ��� �� ��� � ���� �� �� ���� ���

/�� �� ������� �� ����� �� �� ����� �� �� ������ � C��� ���� ����� �� ����� �� � �� ((( � �� /������� ����� �� �� ����

�#$$% �� ! ����� ����� ����� � �� ��� ���� ��� �� ���� �� ���

��������

����� 3� ������ � � � �� �� ������ �� ������ �� �� D�������� ��� �� � �� ( ���� 0 �� � � ����� � �0 �! �� � 0 *� 5� � � � �����C�� ��� �� ��������� � ( ����� � ����� ���� ������� )� ���� �

*+5; ���������� ���� ������������� ��� �������������

�� ��� ��� � 0 *� 5� � � � � �� ����� �� ������ � ������ � � )� �������� ��� � 0 *� 5� � � � � �� �� ������ �� ���� ���� � ����� �� ��� ��� � � � )� ����� ����� �� � ����������� ���� �� �� � ;��� �� ��� � ��� ���� ���� �� � )� ���� 0 �� ���� ������� ��� ���� ���� �� �� ������� (� �� ������ � �� �� � ���� � ������������� �� � ���� �� ��� �� �� �� �� � ������ ������� ���� � ��� �� ����� �� )� ����� :��� �� � #� ��� � ( ���� �� � ���� ���� � �� �� �� �� � ����� ����� ��� � ���� �� �� ��� ����� �� ���� ���

�� ���& �& �'# �'#��#$� :��� �� � � � � �� ��� ������4

�'#��#$ �� ��� � �� � �� ��� ����� ���� ��� ���� ��� �� �

���� � ���� ���� $ �������� �� � ����� ����� ����� � 0 )� �$���� ��� �� �� �� �� ��� ���� �� � �������� �� ��� ����� � ��

�� ��� �� �� � ����� ��� ����� ���������� � �� � ����� ���

����� ��� ����� ��� ������ ������� �������� �� ��� �������� �� �� ��

�� ����� �� $� �� $� ��� ����� �������� �� ��� ����� �����

������ �� 0 ����� �� ��� 0 ����

�� ������������ ���� ��� ���������

�"������� ���

$ 0 $� � $��5�

$� � $� 0 ����7�

����� ���� ����� �� �������� ��� �� #� � ������� � ������ � � � ���� ���� �� �������� <� ���� �� ������ � ������ � ��� ���� � �� �.���� ��� ��� �� ����� �� �� ���� � ���� ������ ������ �� ���� ���� ���� ����� �� ����� ( �$�� �� ���C�� �������� �� �� ���� �� ���� � ������ ( �$�� �� ( �$��� ������ � �$� � � �$�� � � �$���

#�� (� (� ��� �� ������ �� $� � $� � $� �� ���� ����� � �� ������ ���

�+� � �$� � � �$�� � � �$���

������� � ���� ���� ��� ���� �� �� � �$� �� �� ����� ����� �� �� � ���� ���� � � ���� �� ���� �� @�� ���

����, �, � =����7 ���������� ������ �������� *+5*

����� ��� ���� � ����� � �� �� � �$�� � �� ��� �� ������ ��� � $�� ����C�� ��� ������ � �� ���� ����� �� � �� ������ � �� � �� ���� �� �� �� ���� ���� ����� � �� � �� � � �$���� ���$���

#�� ((� �� ����� �� $� � $� 0 ��� � �� ���� � ����� ��

�,� )� �$�� � ( �$�� 0 ��

��� ���������� �� )� �$�� � ( �$�� 0 �� �� ������ �� ��

�-� ( �$�� � ( �$�� 0 ��

�� %( @������ �� �� ���� �� �,� �� � ���� ����� �� ���� ���� �� ��� � �� ���� ��� ������ ���� �� � � �� �� ���� ������ � �� �� ( �$��� @�� ��� ��� ���� � ����� � �� ������ 0 ������ ���� �� � ����������� �� � ��� � � � Æ� �Æ � ;�� ������ ���8�� ���� �� �Æ � �� ���� � �� ���� �� �� ��� �� �� ����� ���� ���� ?������ �� ��� ��� � �� � � � Æ� ��� � �� ��������� �� � ����� � ��� ����� � ( �$��� )� � ��� �� � ���������� �� $� ����� ����������� �� � � ��� ����� �� ������������ � � Æ�� � ���� � �� �$� 0 � �$� �3���� 5�� /��� �+� �� �� �� �� � � � Æ�� � �$�� �0 �� ��� � ���� �� 8�� ������ ����� �� ��� ������ �� ��� �� ����� �� ��� �� �� ���� �� �,� ������

�� )( @������ �� �� ���� �� �-� �� � ���� ����� �� ���� ���� �� ��� � ( �$�� � ( �$��� ������� � ���� ���� ��� � � ������ �� ��� � ���� �� � � �� �� @�� �� ��� � ������ � � �$�� �8�� ������ � (( ��� ���� ���� � � ����������� � ��� ����� ���� � ����� �� �� � �$��� ( ��� ����������� �� � #� ���� ���� ( �$�� ������ � )� �$�� �3���� 5�� :��� �� ��� �� ��� � � �� � �� ��� � ���� �� �� ( �$��� �� � ������ ��� ���� ���� ��� � ����� � ( �$�� �/����� +�� ?������ �� ��� ����� ��� � � ���� �� �� �� ����� �� � ��� �

� �������� � �� 0 )� �$�� �� �� � ( �$�� 0 �� ����� �� ��� � � �� ����� � �� ���� ����� �� � ����� � �� #���� $�� ��� )� � ( �$�� �� � ��� � � � �$��� � � ���� ���

��� ��� � ���� �� ����� �� �� ����� ��� �7��

#�� (((� ( �� �������� �� �� ����� �� ����� �� ������ �� ���� ��$ � $� � $� �� ������ � � � ������ ��� � �$�� � � �$�� �

*+55 ���������� ���� ������������� ��� �������������

,��2�� 8� #� ����$"�'�� � - <+ (�) <� �" A�"� �#� '�$�� ���

� �$�� /�� ��� ������� � ���� � ����� �� �� � ���� �� � �$��� � �$���( �$� �� �� ��� � �� � "���� ������ �� ������ ��3� ���� ���� � ��� ��� ��

�6� � �$�� � � �$�� � ( �$��

3� � �� � �� ��� � �� �� ���� � �� � �� ������� �� �� ������ #�� ������ ��� ����� ������ �(� ���� ���� � ���� �� �� ��� �� � �� ������ � �� ����� �� ������� ��� �� ������ � #�� ������ �� ��� ����� �� �� ����� /�� ���� �� ! �� � �� �� ��� ��� ���������� ������ �� ��� � � �� �� ����� ������ �� � � ��� �������� � ��� �� �� �� �� �� ��� ��� �� �� � ��� �� ������ �� ! ����� ��� ��� � � �� � ������ � � � �� ����� �� �� ��� )� � �� ��� � ���� �� ��� � ������ �� ��� � � �� � ��� � ������ ������ �� �� 3� � �� � ��� �� � �� �� � �� ������ ����� �� ������ ������ �� <� ��� ���� �� ������� �� ������ �� �� ��� ������� � ��� /����� ,� =�� � �� " �� ��� �� � ���� �� �� ���� � �� ����� ���� ������ � � �� ��� �� ������ �� �� ��� �� �� " �� � �������� �� �� �� �� �� �� �� �� ������ �� ��� �� �� "� :��� ����� � ��� � � �� ��� ���"�� ������ ���� "��� �� �� �� �� � ����������� �� " ���� �� ���8�� �� � ���

/��� �� �� �� �� ��� � �� � �� � ����� � �� �� � � �$���� � �$��� �� � � ����� �� ����� ������ ���� �� �� ���� ��� � �� ��� ����

�� � �� 0�� � ��� � �

�� 0 ���9�

�� � ��� 0�� � ��� � �

�� 0 ���A�

:� � �� �� ��� � ������ �� ��� � �� �� ��� @�� ����� 0 ���� �� �� �� � ������ �� ��� � ( �$� �� � �$�� ( �� � ����

����, �, � =����7 ���������� ������ �������� *+57

,�+�$� 9� #�$� �" � * ��� -$ % �#� "�� �3 0<+1 � �3 0<�1 � �� 0<1�

�� ���� ������ �� � ���� �� ����� �������� :������ � �� ���� ( �$� �� ��� � �� � � ����� ��� �� �� � �� ��� ( �$�� ���� ���� � � ���� �! � �� ��� � � �$�� ����� � ��� � ����� ��� �� �� � �� � ���� � �$�� �������� � � ���� ��

@�� �� �.���� ���� � ���� �� ���� �� �� ��� �� ����������� � ���� ��� ������ �����

�*;� #��0 ��������� � ;�

/��� �9� �� �A� �� ����

#��0 �����

�� 0 ������ � ��� � ;�**�

��

#��0 �����

��� 0 ������ � ��� � ;��*5�

/��� �� ���� �� ��� � " �� �� �� ��

�*7� #��0 ���������� � ;

*+5+ ���������� ���� ������������� ��� �������������

��

�*+� #��0 �&�"' � �� � �

�������� � ;�

��� ����� ��� � �� �� ���� � ��� ���8�� ���� �� � �� ����� ( �$� �� � � �$��� �� �� �� ����

�*,� #��0 ����� � ;�

<� � ����� �� � ����� ����� ��� � �� � ��� ��� � �� ���� �������� �� ��� � �� �� �� �� � �� "� �� �� � ����� � ��������� ��� �� ���� ��

#��0 ���#�� #�� #�� #�� #�� #���

@��������� �� � ����� ���� � ����� ��� �� �� �� �� ��� � ��� � �� � ��� ��� � �� ���� �� �� �� � ����� � �� ��� �� ���� �� #�� )� ��� ��� ��� �� �� ��� �� ��� � �� ��� ����� ��������� �� �� ����� �� � ����� ��� ��� ��� ��� � ��� ��� ��� �� ����� ����� ������ @�� �� ��� �� �� �� ��� �� � ���� �� ����� �� ���� �� #�$5� �� �� ���� �� ��� ��� �� �� ��� ���� �**� ���*5� � ������� ��

�� � ��� � ��� 0 �

��

�� � ��� � ��� 0 ��

/��� �� ��� �� ���� ���� ���� 3���� * ���� �� �� ��

������ � ��� 0 ����� � �

��

��

������ � ��� 0 ����� � �

���

%��� ��� �� �� �� ��

������ 0 ������ � ��� 0 ������ � ���������� � �

��

0 ����� � ��������� � �

��

0 ����� � ��� 0 ������

����, �, � =����7 ���������� ������ �������� *+5,

����� � ��� �� �� ���� �� ������ 5� :��� �� �� �� ���� ������� ���� �*;�

�*-� ����� 0 ������ 0 ;�

%��� �*,� �� �� �� �� �� ��� �� �� �� ��� �� � ���� ������ � �� ���� �� #�$5 �� ������ � � � 0 �� )� ������� ������� � �� ����� ����� �� �� �� ���� � � ��� �*-�� ���� �� �� �� � ���� � ( �$� �� � � �$��

�*6� ������ 0 ;�

)� ������� ������� ���� �� �� �� ���� �*7� �� �*+�

�*9� ����� � �� 0 �

��

�*A� �&�"' � �� � ������ � �� 0 ��

@�� �� ��� ����� �� �� ����� ��� �� ��� ���8�� � �� ������������ �� �C��� � �� ����� �� ��� ������ ��� � �� ������ ������� � ���� �� �� �� �� �� ��� �� ���� �� �� ����� �� ��� ������ �� ��.��� � �� �� ����� ��� �� ��� � ������ � ����� �� � �� ����� ���� �� ��.��� �� �� � �� � ��� �� �� ���� �� ���� ��� �� ��� ���� �� �� ����� �� ��� ������ ��� � �� ������ ������� � ���� �� �� �� �� �� ��� �� ����C�� ���

�5;� ������� 0 *�

/�� ���� ������� 3���� * � �� ����� ���� &�"' � �� �� �� ������ �*A�� �� �� ��

�5*� ������� 0 ������� 0 ;�

/������ ���� �� �5;� �� �5*� ���� ��

������ 0 ������ � ��� 0 ��������������� 0 *� ; 0 *�

���� �� � � ���� �� �� � �*6��

*+5- ���������� ���� ������������� ��� �������������

��*��+,#�-$#��.� ��� �� ���� ��� �� @����� E��� �� ��@��� �� �������� ��� #���� ������ �� ��� ������� �F�� :� *6;9��

��� �� ���� ��� ��� ���� � G���� F� B�8����H� G���� E� G� �H ��=�� G� E������H ��� ������ ��������� �� ��� �������� ������ ������ � �� ������� ������� ��� ���� � �� ��� � � ������������� � �� �� �� ������

D / D :� @

�� ��,� ,���** �� �� ���������� �������� ��� ������� �������� 0�� � ������������ � ��� !����� ���� �������1� 2"*�#� 7(�� �(�. � 0:B961� :C@ :CD�

�� 7�=��� ��&%(�� � ����� � ��� ���� �"� � � ��� �� � ������ �(%!$�)+��:B98�

�� ��=� �*(���$� � "������ ���� �"�� 7'�$(&=���� ��& E $.� :BDD�

�� =� ��$!�$+� � ���� � ��� !����� ���� �������� ����� � �) � 7(�#� � '��� 0:BF61� @8 @F�

�� ���� � �*�$�� �� ���������� �������� ��� ������� �������� 0�� � ������������ � ��� !����� ���� �������1� 2"*�#� 7(�� �(�. � 0:B961� :DF :C5�

���������� �������� �� ��� ������ ��� ������� �� ������ ����� ������ ��� �� � ���� �� !� ���� "#$$$ !� ���� ���� ���� �� ���� ��� ������������

������� ����� ��� �� ������ ��� �� ������ ��� %� � ���� �� !� ���� "#$$$ !� ���� ���� ���� �� ���� ��� �� ���������

������� ����� ��� �� ������ ��� �� ������ ��� %� � ���� �� !� ���� "#$$$ !� ���� ���� ���� �� ���� �����������������