5-5 - U t - Corpus UL

5-5U t-| ^ % Îd T H E S E

% â °\ P R E S E N T E E

A L ’EC O L E DES G R A D U E S

DE L ’U N I V E R S I T E L A V A L

P O U R L ' O B T E N T I O N

DU G R A D E DE M A I T R E ES A R T S (M.A.)

PA R

FACULTE DES SCIENCES DE L'EDUCATION

S Y L V I E M O R E L

B A C H E L I E R E ES AR TS

DE L ' U N I V E R S I T E L A V A L

LA R E G R E S S I O N L O G I S T I Q U E : C O M P A R A I S O N A V E C L''ANALYSE

P R O B I T A L ' A I D E DE LA M E T H O D E M O N T E C A R L O

S E P T E M B R E 1986

RESUME

Cette recherche effectue une comparaison, à l ’aide de la méthode

Monte Carlo, entre les méthodes d'analyse de régression logistique et

d'analyse probit dans le contexte de la prédiction d'une variable dé

pendante binaire. Ces simulations s'inscrivent dans un devis expéri

mental impliquant trois intensités d 'interrelations ( p = 0, .3, .7)

entre les trois variables indépendantes et des échantillons de trois

tailles différentes (n= 30, 50, 100). Les principaux résultats indi

quent que la méthode probit est plus efficace que la méthode de régres

sion logistique lorsque les interrelations s 'intensifient et la taille

de l'échantillon augmente.

François A. Dupuis Ph.D.

Directeur de recherche

Sylvie Morel Etudiante

REMERCIEMENTS

Je r e m e r c i e m o n d i r e c t e u r de r e c h e r c h e M o n s i e u r F r a n ç o i s

A. D u p u i s , p r o f e s s e u r a u d é p a r t e m e n t de M e s u r e et E v a l u a t i o n de

l ' U n i v e r s i t é L a v a l p o u r la q u a l i t é de la s u p e r v i s i o n .

J e t i e n s é g a l e m e n t à s o u l i g n e r la c o l l a b o r a t i o n de M o n

s i e u r D e n i s S a v a r d l o r s de m o n e x p é r i m e n t a t i o n . Je ne v o u d r a i s

p a s n o n p l u s o u b l i e r m e s a m i ( e ) s q u i m ' o n t c o n s t a m m e n t e n c o u r a

gée et a i n s i p e r m i s de m e n e r à b i e n c e t t e r e c h e r c h e .

RESUME

C e t t e t h è s e e f f e c t u e d ' a b o r d u n s u r v o l d e s p r o b l è m e s

r e l i é s à l ' e m p l o i de la r é g r e s s i o n m u l t i p l e ( b a s é e su r la m i n i

m i s a t i o n de la s o m m e des c a r r é s de 1 1 e r r e u r -m o i n d r e s c a r r é s ) ,

p o u r e x p l i q u e r o u p r é d i r e u n e v a r i a b l e d é p e n d a n t e b i n a i r e .

P a r m i les s o l u t i o n s p r o p o s é e s j u s q u ' à ce j o u r , il s e m b l e q u e ce

s o i t le r e c o u r s à u n m o d è l e r e p o s a n t s u r u n e f o n c t i o n de r é p a r

t i t i o n de f o r m e c u r v i l i n é a i r e q u i p a r v i e n n e le m i e u x à c o n t o u r

n e r les d i f f i c u l t é s i n h é r e n t e s au m o d è l e de r é g r e s s i o n l i n é a i r e

c l a s s i q u e a i n s i q u e c e l l e s p e r s i s t a n t a u x t e n t a t i v e s d ' a d a p

t a t i o n de ce d e r n i e r à ce t y p e de p r o b l è m e p a r t i c u l i e r .

L ' a n a l y s e de r é g r e s s i o n l o g i s t i q u e , o u a n a l y s e l o g i t ,

a i n s i q u e l ' a n a l y s e p r o b i t s o n t d e u x m é t h o d e s s t a t i s t i q u e s

s ' a p p u y a n t s u r u n t e l l e f o n c t i o n et s o n t d ' a i l l e u r s a p p a r u e s

c o m m e é t a n t le s p l u s u t i l i s é e s d a n s le c o n t e x t e q u i n o u s i n t é

r e s s e .

L e p r e m i e r o b j e c t i f de c e t t e r e c h e r c h e se r e s t r e i n t à

l ' é t u d e de la n a t u r e et de s p r o p r i é t é s d ' u n e de ces d e u x m é t h o

des, s o i t l ' a n a l y s e de r é g r e s s i o n l o g i s t i q u e , d a n s la s i t u a t i o n

p a r t i c u l i è r e o ù au m o i n s u n e des v a r i a b l e s i n d é p e n d a n t e s c o n s i

d é r é e s e s t de n a t u r e c o n t i n u e .

iv

plus présentées pour servir l'atteinte du second objectif de la

recherche qui consiste à évaluer la performance relative, en

termes de valeur prédictive, de ces deux méthodes d'analyse

sous des conditions bien précises.

Pour ce faire, des échantillons de données ont été géné

rées a l é a t o i r e m e n t selon la méthode Monte Carlo de façon à

étudier l'influence de deux facteurs: la taille des échantil

lons (n= 30, 50, 100) et le niveau des interre1ations entre les

variables indépendantes ( = 0, .3, .7) dont le nombre fut fixé

à trois. Les deux méthodes furent appliquées à des données

issues d'une distribution logistique d'une part et à des don

nées associées à une distribution normale standardisée (probit)

d'autre part pour ainsi donner une chance égale à chacune des

méthodes de manifester son efficacité.

Les principaux résultats de ces simulations nous amènent

à conclure que dans l'ensemble la méthode probit devient supé

rieure à la régression logistique, quant à la précision de ses

prédictions, lorsque la taille de l'échantillon et l'intensité

des inter r e 1 a tions entre les variables indépendantes augmen-

tent .

François A. Dupuis Ph.D. Directeur de la recherche

Sylvie Morel. Etudiante

VTABLE DES MATIERES

PAGE

1 . 0 INTRODUCTION ......................................... 1

1.1 L'ANALYSE DE LA REGRESSION ........................ 3

1.1.1 Le modèle de régression linéaire multiple et sesp o s tulats ..................................... 5

1.1.2 Types de variables considérées ........... 7

1.2 PREDICTION D'UNE VARIABLE DICHOTOMIQUE ......... 8

1.3 PROBABILITE PREDITE ................................. 11

1.4 PROBLEMES ASSOCIES A L ’EMPLOI D'UN MODELE LINEAIRE POUR PREDIRE UNEVARIABLE BINAIRE' ..................................... 13

1.4.1 Non normalité des termesd ' erreurs ..................................... 14

1.4.2 Variance d'erreur non constante .......... 16

1.4.3 Contrainte au niveau des valeurs prédites 18

1.5 MODIFICATIONS A LA SOLUTION DES MOINDRES CARRES 21

CHAPITRE I : SITUATION ET POSITION DU PROBLEME

1.5.1 Moindres carrés généralisés 21

vi

1.6 MODELES ALTERNATIFS A CEUX DES MOINDRES CARRES .. 27

1.6.1 L'analyse discriminante ..................... 27

1.6.2 Modèles basés sur les lois de probabilitélogistique et normale standardisée ....... 29

1.7 BUTS DE LA RECHERCHE ................................ 36

CHAPITRE II : LA REGRESSION LOGISTIQUE

2.0 INTRODUCTION ......................................... 38

2.1 SPECIFICATION DU MODELE DE REGRESSION LOGISTIQUE 39

2.2 ESTIMATION DES PARAMETRES DU MODELE DEREGRESSION LOGISTIQUE ............................... 48

2.2.1 Méthode des moindres carrés généralisés .. 48

2.2.2 Méthode du maximum de vraisemblance ..... 50

2.2.3 Propriétés des estimés du maximum devraisemblance ................................ 56

2.2.4 Tests d'hypothèses concernant lesparamètres ................................... 58

2.3 TESTS DE QUALITE DE L'AJUSTEMENT ................... 64

2.3.1 Le test de "Hosmer" ......................... 65

2.3.2 Le test de "Brown" ......................... 6 8

2.3.3 Autres approches ............................ 70

1 . 5 . 2 Contrainte au niveau de la solution ........ 25

vii

2.4 LES PROGRAMMES D'ORDINATEUR DISPONIBLES POUR LAREGRESSION LOGISTIQUE ............................... 71

2.4.1 Description du programme BMDPLR .......... 74

2.4.2 Description du programme PROBIT de SPSSX 78

2.4.3 Résultats obtenus via BMDPLR................ 81

2.4.4 Résultats obtenus via SPSSX ............... 85

2.4.5 Comparaison des coefficients logistiquesfournis par les deux logiciels ........... 87

CHAPITRE III : CADRE THEORIQUE ET METHODOLOGIQUE

3.0 INTRODUCTION ......................................... 92

3.1 L'ANALYSE PROBIT .................................... 93

3.1.1 Correspondance des paramètres des modèleslogit et probit ............................. 95

3.1.2 Interprétation des coefficients des modèleslogit et probit ............................. 97

3.2 CHOIX DES PROGICIELS ................................ 100

3.3 COMPARAISON DES RESULTATS D'ANALYSE LOGIT ETPROBIT POUR L'ETUDE DE DAGENAIS .................. 102

3.4 REVUE DE LA LITTERATURE ............................ 105

3.5 QUESTIONS ET HYPOTHESES DE RECHERCHE ............ 108

vili

3.6 DEVIS EXPERIMENTAL .................................. 114

3.6.1 Considérations générales .................. 114

3.6.2 Nombre d'échantillons ..................... 118

3.6.3 Création de la variable dépendante ..... 119

3.6.4 Sélection des valeurs des paramètres .... 121

3.6.5 Application des méthodes d'analyse logitet probit ..................................... 1 2 2

3.6.6 Mesures de la performance ................. 123

3.6.7 Réalisation de l'expérimentation ........ 128

3.7 ANALYSE DES RESULTATS ................................. 131

3.7.1 Présentation des résultats préliminaires .. 131

3.7.2 Stratégie d'analyse ......................... 132

3.7.3 Analyse des moyennes et écarts-types ...... 133

3.7.4 Vérification des hypothèses ............... 135

3.7.4.1 Première hypothèse ................ 139

3.7.4.2 Deuxième hypothèse ................ 141

3.7.4.3 Troisième hypothèse ............... 144

3.7.4.4 Quatrième hypothèse ............... 146

CHAPITRE IV : CONCLUSION

4.0 RESUME ................................................. 152

4.1 LIMITATIONS DE CETTE RECHERCHE .................... 156

4.2 SUGGESTIONS DE RECHERCHES FUTURES .................. 157

ix

BIBLIOGRAPHIE ................................................. 159ANNEXE A: Valeurs de critères pour chacune des méthodes

sous chacun des modèles pour les 1 0 0 échantillons de chacune des neuf situations expérimentales. 1 5 4

X

LISTE DES FIGURES

FIGURES PAGE

1.1 Comparaison des courbes logistique et normalestandardisée ...................................... 32

2.1 Représentation graphique de la fonctionlogistique ........................................ 44

xi

LISTE DES TABLEAUX

TABLEAUX PAGE

2.1 Exemple des commandes BMDPLR pour l'exécutiond'une analyse de régression logistique ...... 74

2.2 Exemple de commandes SPSSX pour l'exécution d'une analyse de régression logistique àl'aide du programme PROBIT ...................... 79

2.3 Résultats produits par l'analyse de régression logistique effectuée par le programme BMDPLRsur les données de Dagenais (1984) ............ 82

2.4 Résultats types produits par le programmePROBIT de SPSSX pour l'analyse de régression logistique effectuée sur les données de Dagenais 86

3.1 Comparaison des résultats de la régression logistique et de l'analyse probit appliquéesaux données de Dagenais (1984) ................. 104

3.2 Principales études ayant comparé les méthodesd'analyse logit et probit ....................... 106

3.3 Instructions informatiques associées aux principales étapes de l'expérimentation ........... 129

3.4 Moyennes et écarts-types des valeurs de critères 134

3.5 Résultats des comparaison entre les méthodes logit et probit sous chacun des modèles dedonnées ............................................. 137

3.6 Méthode d'analyse s'étant avérée supérieure dans chacune des situations expérimentales etgain net pour chaque critère ..................... 149

CHAPITRE I

SITUATION ET POSITION DU PROBLEME

1.0 INTRODUCTION

La science a pour principal but de décrire la réalité.

Elle tente donc de découvrir et d'expliquer les rapports

pouvant exister entre les faits pour finalement arriver à

prédire ou c ontrôler l'apparition de phénomènes. Dans la

p oursuite de cet objectif fondamental de la science, les

chercheurs u t i l i s e n t souvent des outils statistiques pour

résumer les informations obtenues à partir d'un échantillon

de données, vérifier certaines hypothèses et tirer des géné

ralisations de ces observations.

Il va sans dire que la validité de ces vérifications et

de ces généralisations dépend de la pertinence des méthodes

statistiques utilisées, car en plus d'être nombreuses et

variées ces méthodes postulent généralement un certain nombre

de conditions préalables. Il devient donc nécessaire, pour

l ' avancement de la science^ que l'on étudie avec soin les

méthodes disponibles.

Les études ayant un tel objectif sont souvent qualifiées

de rech e r c h e s m é t h o d o l o g i q u e s et prennent entre autres la

forme de comparaisons de méthodes considérées adéquates pour

analyser tel ou tel type de problème.

Le type de recherche m é t h o d o l o g i q u e que nous avons

privilégié pour la présente étude est associé aux études de

simulation, aussi appelées études Monte Carlo. A ce propos,

voici, tel qu'exposé par Goldstein et Dillon (1978), l'inté

rêt que ce type de recherche présente lorsque l'on cherche à

investiguer la supériorité d'une technique sur une autre:

"In particular, attempts at general conclusions regarding the superiority of one procedure over another are made by associating the underlying parametric structure in the two groups to the relative effectiveness of the procedures." (p.99)

"From a theoretical perspective, therefore, the use of Monte Carlo sampling experiments is propitious to the extent that it allows one to determine the relative effectiveness of a procedure,since specification of the underlying parametric structure in the two groups is possible." (p. 1 0 0 )

3

Parmi les chercheurs dont l'intérêt est de découvrir les

relations entre des variables, plusieurs semblent d'avis que

parmi les méthodes statistiques disponibles, les plus perti

nentes se trouvent du côté de la théorie de la régression.

Cohen et Cohen (1975) vont plus loin en notant:

"... it also became clear that multiple regression correlation was potentially a very general system for analyzing data in the behavioral sciences, one that could incorporate the analysis of variance and covariance as special cases." (p.xix)

Pour leur part, Kerlinger et Pedhazur (1973) soutien

nent que l'analyse de régression multiple est la méthode la

plus générale et la plus puissante et qu'elle permet de

s'attaquer à une grande variété de problèmes de recherche.

De plus, selon Draper et Smith (1981), cette méthode d'analy

se est l'outil statistique le plus largement utilisé pour

exprimer les relations existant entre les variables étudiées.

Pour bien saisir la portée de cette méthode, soulignons comme

l'ont fait Kerlinger et Pedhazur (1973) que:

1.1 L ’ANALYSE DE LA REGRESSION

4

" M u l t i p l e régr e s s i o n and its rational underlie most other multivariate methods. Once multiple régression is well understood other multivariate methods are easier to comprehend. "(p. V)

En recherche, on semble donc recourir fréquemment à

l'analyse de la r é g r e s s i o n linéaire lorsqu'on cherche à

expliquer ou à prédire une (ou plusieurs) variable dépendante

à partir des valeurs observées à d'autres variables dites

indépendantes ou explicatives.

Ces considérations expliquent en partie l'engouement

observé chez les chercheurs, aussi bien en sciences humaines

que dans les autres sciences en général, pour cette méthode

d'analyse. Nous croyons que l'attrait qu'elle exerce tient

également à son caractère "naturel". Quoi de plus fascinant,

en effet, que de pouvoir prédire (ou expliquer), à l'aide des

résultats d'un individu à un ensemble de variables, ce que

serait sa situation par rapport à une autre variable. Les

développ e m e n t s méthodologiques importants qu'elle a connus

ces dernières années, combinés à l'apparition de logiciels

permettant de considérer simultanément un nombre de plus en

plus grand de variables indépendantes, la rendent adaptée à

l'analyse d'une grande variété de problèmes où la valeur

attendue d'une variable dépendante est une combinaison (liné

aire ou non) de variables indépendantes.

5

1.1.1 Le modèle de régression linéaire multiple et ses postulats

Les n o m b r e u x avantages que laisse entrevoir ce type

d'analyse ne doivent cependant pas faire perdre de vue qu'en

s'appuyant sur un certain nombre de postulats, il possède

par le fait même des limites. Avant d'en énumérer les parti

cularités, rappelons que le modèle de régression linéaire

multiple "classique” avec k variables indépendantes s'exprime

comme suit :

Y i — B q + B i X i i + B 2 X 2 i . •+ ^ lc^ki + 'i ( 1 * 1 )

où i correspond à la I ième observation:i- 1 , 2 .....n ;

est la variable dépendante;

X^ , X 2 , . . . , Xjç sont des variables indépendantes nonaléatoires i.e. pouvant être fixées à

volonté ;

B q est la constante d'ajustement;

sont les coefficients de régression ou poids associés aux k variables indépendantes ;

6

E est le terme de l'erreur associé à laI ième observation, i.e. représentant

les effets dus aux variables indépendantes non contrôlées.

Quatre postulats ou hypothèses de base sont associés à

ce modèle (Baillargeon et Rainville, 1979):

i. Le terme d'erreur E^ est une variable aléatoire demoyenne nulle i.e. :

E(Ei) - 0 (1.2)

ii. Le terme d'erreur Ej[ est une variable aléatoire devariance constante et inconnue (postulat d'homoscé- dasticité) , i.e. :

VAR(Ei) = a2 (1.3)pour chaque i

iii. L'erreur associée à une observation est totalementindépendante de l'erreur rattachée aux autres observations (postulat d'indépendance), i.e. :

COV ( E i , E j ) = 0 , i / j (1.4)

iv. Le terme d'erreur E^ se distribue selon la loinormale (postulat de normalité). (1.5)

Notons que ces quatre postulats peuvent (en langage matri

ciel) se résumer comme suit:

E~Nn (0 ,a2l)

7

Pour des valeurs X^ données, suit donc une distribu

tion de moyenne égale à (en vertu des postulats (1 .2 ) et

(1.3)) :

E ( Yj_ ) - B0 + BX X 1± + B2 X 2i +...+ Bk Xki (1.6)

( i = l , 2 ......n)

Les estimés des paramètres B sont obtenus à l'aide

des valeurs observées dans un échantillon de n sujets en

faisant o r d i n a i r e m e n t appel à la méthode d'estimation des

moindres carrés. Celle-ci consiste à trouver des estimés

bQ , b ^ ,b 2 , . • . ,bk de B g ,B ^ ,B2 , . • . ,Bk respectivement tels que £(Y-Ÿ)2 sera minimisée, Y = bQ+b^X^+b 2 X 2+ ...+bkXk étant la

valeur prédite.

1.1.2 Types de variables considérées

Il est intéressant de constater qu'il n'existe aucune

restriction quant à la nature des variables indépendantes

considérées dans une analyse de régression linéaire. Elles

peuvent, en effet, être aussi bien quantitatives (de propor

tion ou à intervalles égaux) que qualitatives (à caractère

nominal ou ordinal); ce dernier type de variables nécessite

cependant la création de variables factices ("dummy varia

bles") .

Il faut cependant admettre qu'en ce qui concerne la

nature de la var i a b l e dépendante, la situation n'est pas

aussi accommodante car, en principe, le modèle de régression

linéaire n'est valide que lorsque la variable dépendante est

quantitative.

1.2 PREDICTION D'UNE VARIABLE DICHOTOMIQUE

Il existe de nombreuses situations de recherche où la

variable d é p e n d a n t e est qualitative, et plus précisément

dichotomique. Nous avons dit que lorsque les variables

explicatives sont qualitatives il convient de les représenter

par des variables factices. Il semble indiqué (Theil, 1971)

d'utiliser la même approche lorsqu'il s'agit d'une variable

dépendante dichotomique. Nous parlerons alors d'une variable

binaire; de plus, pour des raisons d'ordre pratique, on

associe la v a l e u r " 1 " à un succès ou à la présence d'une

caractéristique, et la valeur "0 " à un échec ou à l'absence

de la caractéri s t i q u e . A titre d'exemple, un sujet peut

fournir une réponse satisfaisante ou une réponse insatisfai

sante à une qu e s t i o n ou encore lors de l'exécution d'une

tâche; ces réponses seraient alors respectivement cotées 1 et

9

0. Notons en passant qu'une variable binaire peut être de

deux types: 1 ) nominale ou 2 ) foncièrement quantitative

mais artificiellement dichotomisée selon un critère quelcon

que. On peut ainsi établir une distinction entre une dicho

tomie naturelle comme le sexe et une dichotomie artificielle

comme le succès ou l'échec à un examen où il existe une note

minimum pour réussir.

Il est fréquent dans le domaine de l'éducation de

rencontrer des problèmes de recherche impliquant une variable

dépendante b i n a i r e . ’ Les chercheurs sont en effet souvent

intéressés à expliquer un comportement qui ne s'observe que

sous une forme dichotomique. Pensons, par exemple, à la

prédiction de la décision d'abandonner ou de poursuivre des

études ou à la prédiction du succès dans un programme d'étude

à l'aide de variables académiques et socio-économiques. De

même, un chercheur pourrait tenter d'expliquer ou de prédire

le choix ou non d'un cours optionnel ou d'un programme d'étu

de particulier. Ajoutons que dans le cadre de la théorie des

tests, plus p a r t i c u l i è r e m e n t en analyse d'items, il peut

s'avérer utile d'évaluer si le fait de répondre correctement

ou non à un item s'explique par les connaissances de l'indi

vidu qui y répond, par des habiletés préalables ou encore par

des caractéristiques de sa personnalité.

Dans cette veine, une étude effectuée récemment par

Dagenais (1984) de l'Ecole des Hautes Etudes Commerciales de

Montréal v isait à v alider les critères utilisés à cette

i n s t i t u t i o n pour sélect i o n n e r les meilleurs candidats au

B a c c a l a u r é a t en A d m i n i s t r a t i o n des Affaires. Nous nous

servirons d ' ailleurs des données de cette recherche aux

chapitres II et III. Il s'agissait d'y étudier la relation

entre le succès (ou l'échec) à la fin de la première année

d'étude au Baccalauréat et les critères utilisés aux fins de

sélection. Le succès y était mesuré par une variable dicho

tomique binaire: un individu admis en deuxième année d'étude

obtenait la cote " 1 " alors que celui ayant échoué ou abandon

né pendant sa première année obtenait la cote "0 ".

Bien que la façon de résumer la performance d'un étu

diant par un "1 " ou un "0 " peut sembler simpliste à l'extrê

me, elle p r ésente néanmoins un avantage. Ainsi, comme le

souligne l'auteure de cette étude, cette procédure permet de

considérer une fraction de la population étudiante, (celle

ayant abandonné ou échoué) qui autrement serait ignorée

malgré son pote n t i e l prédictif. Il s'avère en effet tout

aussi important, pour effectuer une sélection efficace, de

connaître les caractéristiques des étudiant/e/s ayant quitté

le programme en cours d'année que les particularités de ceux

et celles qui ont persisté.

11

Une autre étude entreprise en 1983 par le Groupe de

Recherche sur l'Apprentissage de la Lecture chez le Lecteur

Précoce (GRALLP) du département de Psychopédagogie de l'Uni

versité Laval fournit un autre exemple de recherche impli

quant une var i a b l e dépendante binaire. Cette recherche

comptait parmi ses objectifs celui d'identifier les caracté

ristiques distinguant les lecteurs précoces des non-lecteurs.

De prime abord, les p r é o c c u p a t i o n s de ces études

suggèrent de faire appel à l'analyse de la régression classi

que. Nous nous sommes demandée si le fait que la variable

dépendante soit binaire présente quelqu 1 inconvénient et, dans

l'affirmative, de quel ordre.

1.3 PROBABILITE PREDITE

Avant d ' e n t r e p r e n d r e cette investigation, il nous

semble opp o r t u n de démontrer que lorsqu'on considère un

modèle de r é g r e s s i o n linéaire où la variable dépendante,

notée Y, ne prend que les valeurs "1" et "0", l'espérance

m a t h é m a t i q u e (i.e. la moyenne) de cette dernière prend une

signification particulière (Neter, Wasserman et Kutner, 1983,

p. 354) .

12

Etudions de plus près cette situation en nous restrei

gnant, pour simplifier l'exposé, au cas où il n'y a qu'une

seule va r i a b l e indépendante. Nous obtenons alors le modèle

suivant, découlant directement de (1 .1 ):

= £0+ ¿iXi+ Ei (Yi-0,1) i-1,2..... n. (1.7)

Comme il est postulé, à l'intérieur de ce modèle, que

E(E.j_)-0, il en découle que:

E(Yi) - + fi1X i (1 ! 8)

puisqu'en moyenne l'erreur aura tendance à s'annuler. D'au

tre part, si nous considérons l'espérance mathématique d'une

variable discrète, on peut également écrire:

E(Yt ) - 1 . Pr(Yi-l) + 0 . Pr(Yi=0)

- PriYi-l) (1.9)

Il ressort clairement de (1.8) et (1.9) que, dans le

cas d'une variable dépendante binaire, la moyenne, pour une

valeur donnée de X, n'est nulle autre que la probabilité d'un

succès, Pr(Yj_=-l).

13

Il va sans dire que cette interprétation demeure juste

dans le cas où il y a plus d'une variable indépendante. Il

apparait donc logique, dans le contexte où la variable dépen

dante est dichotomique, que l'intérêt se déplace vers la

p r é d i c t i o n de la p r o b a b i l i t é qu'une des alternatives se

réalise et vers la façon dont cette probabilité varie en

fonction des valeurs associées aux variables explicatives.

1.4 PROBLEMES ASSOCIES A L ’EMPLOI D'UN MODELE LINEAIRE POUR PREDIRE UNE VARIABLE BINAIRE

Puisque P, la probabilité qu'un événement se produise,

est une v aleur restreinte à l'intervalle [0 ,1 ] nous devons

prendre soin de choisir un modèle tenant compte de cette

particularité. Dans cette optique, nous nous interrogerons

d'abord sur la pertinence d'utiliser un modèle linéaire, par

le biais de la régression, pour estimer la probabilité qu'a

un événement de se produire.

T e c hniquement, en effectuant l'analyse de régression

linéaire, nous obtenons toujours une solution même si la

variable d é pendante est de type binaire. Considérant les

valeurs entre 0 et 1 comme les résultats d'un événement

p r o b a b i 1 iste , nous pouvons même tenter d'interpréter ces

résultats en associant la valeur du coefficient de régression

B au changement au niveau de la probabilité de succès cor

respondant à une unité d'augmentation de la variable indépen

dante correspondante Nous verrons plus loin en quoi cette

approche n'est pas, de façon générale, appropriée. Pour

l'instant, disons seulement qu'à une augmentation constante

de la va r i a b l e indépendante ne correspond pas, comme nous

pourrions nous y attendre, une augmentation constante de P

mais plutôt un changement de probabilité moindre au fur et à

mesure que P s'approche de 0 ou de 1.

1.4.1 Non-normalité des termes d'erreurs

Le modèle de régression classique ne semble pas le plus

approprié pour prédire ou expliquer une variable dépendante

binaire à partir d'une ou plusieurs variables prédictrices et

ce p r i n c i p a l e m e n t à cause de la nature dichotomique de la

variable dépendante . (Cox, 1971; Hanushek et Jackson, 1977;

Buse, 1972; Judge, Hill, Griffiths et Lee, 1980).

Examinons donc ce qu'il advient des termes d'erreur.

Lorsque la variable dépendante est binaire, le terme d'erreur

E^ - - (Bq + B^X^) devient égal à

- (B0 + B X £) , lorsque Y t = 0 (1.10b)

1 - (Bq + B X^) lorsque Yj_ = 1 (1.10a)

et égal à

Comme il n'existe que deux valeurs possibles, il est

évident que les termes d'erreur ne se distribuent pas selon

la loi normale tel qu'il est postulé dans le cadre du modèle

classique de régression linéaire (postulat (1.5)).

Soulignons que même si les termes d'erreur ne suivent

pas la loi normale lorsque Y est dichotomique, la méthode des

moindres carrés fournit malgré tout des estimés de coeffi

cients non biaisés à la condition que la taille de l'échan

tillon soit suffisamment grande (Neter, Wasserman et Kutner,

1983; Am e m i y a , 1981).

Bien que la violation du postulat de normalité ne semble

pas avoir d'incidence directe sur les propriétés ou qualités

des estimés des coefficients, elle pose néanmoins un doute

sérieux sur la validité des tests statistiques (tests t) et

des intervalles de confiance qu'on pourrait vouloir calculer.

En fait, comme le résume Buse (1972) :

16

"... the conventional least squares estimators for the variances of the estimâtes are biased and inconsistent, in turn invalidating conventional tests of hypotheses."(p. 27)

1.4.2 Variance d'erreur non constante

Il semble que le caractère dichotomique de la variable

dépendante soit à l'origine d'un second problème. Cette

p a r t i c u l a r i t é implique en effet que les termes d'erreur

possèdent une variance égale à:

Var (E ¿ ) - (B0 + B X¿) (1 - B 0 - B X¿) (1.11a)

-Pi ( 1 - Pi) (1 .1 1 b)

où Pi correspond à la probabilité d'un succès à la variable

dépendante pour une valeur X i j i- 1 , 2 ... .

On constate donc que les variances des termes d'erreur

ne sont pas constantes mais directement fonction des valeurs

prises par la variable indépendante. Nous ne pouvons donc

pas assumer l'homogénéité de la variance telle que réclamée

par le postulat (1.3). L'essence du problème est très bien

rendue par les propos des auteurs Hanushek et Jackson (1977):

17

"Thus even if we observe P^, the true probability of a given choice for each different value of X, the deviation implied by the linear model vary systematically with X and preclude obtaining good estimates of the parameters of the distribution."(p. 184)

Notons que le p o stulat d'homogénéité permet, dans le

cadre de la méthode des moindres carrés, de s'assurer que les

estim a t e u r s ont la p r opriété de variance minimale (BLUE :

best linear unbiased estimator). Lorsque ce postulat n'est

pas respecté, les estimateurs demeurent non biaisés mais ils

ne possèdent plus la plus petite variance possible et ne sont

plus les meilleurs en termes de précision. Comme Buse (1972)

le conclut: " The heterosckedastic variance also imply that

ordinary least squares is inefficient." (p.7)

Tout cela a pour conséquence de fournir des estimés des

c o efficients dont les valeurs attendues dépendent des élé

ments de l'échantillon et des erreurs - types différentes de

celles calculées en tenant compte de l'hétéroscédasticité

(non constance) des variances. De toute façon, même si l'on

était assuré d'obtenir des estimés d 'erreurs - types non b i a i

sés, les tests de s i g n i f i c a t i o n h a b i t u e l l e m e n t utilisés

(tests t et F) ne sont valides qu ' asymptotiquement car les

termes d'erreurs ne se distribuent pas selon la loi normale.

Cox (1970) nuance cependant les conséquences de la

violation du postulat d'homogénéité de la variance:

18

"However, it is known that quite appreciable changesin Var(Y^) induce only a modest loss of efficiency. Further, at least in the range say, 0.2 < P < 0.8, the function P(l-P) changes relatively little.Therefore, within this range,there is unlikely to be a serious loss of efficiency arising from the changes in Var(Y¿)." (p.16)

1.4.3 Contraintes au niveau des valeurs prédites

Abordons maintenant ce qui, semble-t-il, constitue la

restriction la plus sérieuse quant à l'utilisation du modèle

(1.1) en présence d'une variable dépendante binaire. Rappe

lons d'abord que la valeur prédite par le modèle de régres

sion linéaire dans cette situation devrait (section 1.4) être

une probabilité. Comme une probabilité se définit en termes

de valeurs appartenant à l'intervalle [0 ,1 ], on souhaiterait

que les valeurs prédites à partir de l'équation (1 .6 ) aient

la même particularité, i.e.:

0 < Y < 1 (1.12)

Or, étant donné le type de relation postulé entre Y et

les var i a b l e s indépendantes, nous sommes ici susceptibles

d'obtenir des estimés de probabilités qui ne satisfont pas la

c o n d i t i o n (1.7) pour certaines observations, extrêmes, de

l ' é c h a n t i l l o n (Cox,1970). Comment alors interpréter des

valeurs prédites telles que 1.25 ou encore -.18? Il est évi

demment absurde de considérer ces valeurs comme étant des

probabilités .

Une sol u t i o n simpliste à ce problème consiste à

assigner la valeur "0 " aux probabilités prédites négatives et

la valeur 1 aux probabilités supérieures à "1". Cette solu

tion a posteriori corrige aisément le problème des valeurs

prédites hors-limites mais à quel prix! En y pensant bien,

cela implique, dans le cas d'une seule variable indépendante

X, que pour toutes les o b s ervations pour lesquelles nous

observons une valeur inférieure à un point disons "c" ou

supérieur à un point "d" pour X nous prédirions une probabi

lité de 1 d'avoir respectivement un échec et un succès. Il

nous semble irréaliste, sinon imprudent,d'effectuer un juge

ment aussi catég o r i q u e surtout lorsque des comportements

humains critiques sont en jeu et que ce jugement est suscep

tible d'être généralisé à un ensemble d'individus. De toute

façon, même si les probabilités prédites par le modèle de

r égr e s s i o n linéaire n'excèdent pas l'intervalle [0 ,1 ] pour

l' é c h a n t i l l o n en main, nous devons nous attendre à obtenir

des prédictions hors-limites pour de nouvelles valeurs de X

20

Soulignons qu'en plus d'engendrer des problèmes

d'interprétation, la présence de probabilités prédites néga

tives entraîne aussi une difficulté technique au niveau de

l'estimation de la variance d'erreur. En effet, cette der

nière sera également négative, chose bien entendue impossible

pour une v a r i a n c e (sauf, peut-être, dans certains travaux

d 1 étudiants !) .

Il ressort des considé r a t i o n s p r écédentes que la

forme linéaire du modèle classique et la nature dichotomique

de la variable dépendante sont incompatibles en ce sens que

le modèle ne permet pas dans un tel cas d'estimer correcte

ment la vraie probabilité de succès pour toutes les valeurs

de la variable indépendante.

En général, comme l ' expliquent Hanushek & Jackson

(1977), les modèles de probabilité linéaire, c'est-à-dire les

modèles linéaires qui relient la probabilité qu'à un événe

ment de se produire à un ensemble de facteurs explicatifs,

sont en général irréalistes. Comme le précise Dhrymes (1978)

un modèle linéaire:

e x c é d a n t c e l l e s o b s e r v é e s d a n s c e t é c h a n t i l l o n p a r t i c u l i e r .

21

" ... will yield 'reasonable' results only in highlyspecial circumstances, and with the data configuration one often encounters in empirical work it is likely to lead to very poorly fitting probability functions."(p.333)

1.5 MODIFICATIONS A LA SOLUTION DES MOINDRES CARRES

Nous avons vu, dans les sections précédentes, que l'uti

lisation de la régression multiple dans le cas où la variable

dépendante est binaire entraîne trois inconvénients poten

tiellement sérieux pour la validité de l'analyse: (1 ) viola

tion du postulat de normalité de la régression; (2 ) violation

du postulat d'homogénéité de la variance de l'erreur; et (3)

p o s s i b i l i t é d 'obtenir des valeurs (probabilités) prédites

inférieures à 0 ou supérieures à 1 .

Des corr e c t i f s à l'analyse de régression linéaire et

d'autres approches ont été proposés pour remédier aux incon

vénients m e n t i o n n é s ci-dessus dans le cas d'une variable

dépendante binaire. Nous les passons ici en revue.

1.5.1 Moindres carrés généralisés

A la section préc é d e n t e nous avons vu qu'en présence

d'une variable dépendante binaire, la variance d'erreur n'est

22

pas c o nstante mais qu'elle fluctue en fonction des valeurs

des v a r i a b l e s indépendantes, ce qui engendre des problèmes

d'estimation et d'interprétation. En effet, l'estimation de

1 'erreur-type par la méthode des moindres carré repose sur le

postulat de l'égalité des variances. Comme ces dernières v a

rient alors de façon appréciable, nous risquons une perte

importante d'information en utilisant les estimés des m oin

dres carrés ordinaires. Pour atténuer les problèmes liés à

1 1 hé téros cédasticité, Golberger (1964), Neter, Wasserman et

Kutner ( 1983 ) et Zellner et Lee (1965) suggèrent de faire

appel à la méthode des moindres carrés généralisés ("genera

lized least squares") qui a pour effet de mini m i s e r les

erreurs - types des coefficients et donc de fournir des estimés

efficaces lorsque les variances d'erreur sont inégales.

Cette approche utilise l'information disponible concer

nant les v a r i a n c e s d'erreur. Elle consiste , en effet, à

donner des p o n d é r a t i o n s inégales aux différentes observa

tions, accordant des poids plus élevés aux observations dont

les termes d'erreur ont une plus petite variance, donc plus

fiables, et des poids plus faibles aux observations dont les

termes d'erreur ont une variance plus importante.

Pour obtenir les estimés des moindres carrés généralisés

il s'agit d'effectuer une analyse de régression pondérée où

les poids sont simplement les inverses des variances. Les

estimés sont donc obtenus en minimisant la somme des carrés

de l'erreur "pondérés". Cette dernière peut être représentée

par :

l (Wi êi ) 2 (1.13a)

où: w t- 1______ (1.13b)Pi(l-Pi)

Cette m éthode ne peut pas s'appliquer directement

puisque les coeffi c i e n t s de régression B nécessaires pour

estimer ê^ nous sont inconnus. Nous pouvons alors, comme le

suggère Goldberger (1964), opérer en deux étapes. Il s'agit,

dans un premier temps, d'effectuer l'estimation des coeffi

cients de r é g r e s s i o n par la méthode des moindres carrés

ordinaire, puis, dans un deuxième temps, d'appliquer à n o u

veau cette méthode aux données pondérées par 1.13b.

Cette approche présente malheureusement elle aussi un

inconvénient (Judge, Hill, Griffiths et Lee, 1980): elle ne

peut être utilisée que dans la situation particulière où nous

possédons plusieurs observations à chacun des niveaux de la

24

variable indépendante i.e. lorsque les variables indépendan

tes sont catégorielles. Cette exigence est parfois très

difficile à remplir; il suffit de penser aux problèmes impli

quant p l usieurs variables indépendantes où il est rarement

possible d'effectuer des regroupements de façon à conserver

un nombre satisfaisant d'observations pour chaque cellule. De

plus, il n ' e x i s t e aucune garantie absolue que les valeurs

prédites, à partir desquelles seront calculés les poids,

n'excéderont pas l'intervalle [0,1]. Si ces valeurs prédites

ne sont pas contenues entre ces limites, les poids estimés

correspondants ne le seront pas non plus, rendant alors cette

méthode d'estimation inadéquate.

Une solution simple serait d'ajuster les valeurs hors-

limites prédites par l'équation de régression. Ainsi, cer

tains auteurs conseillent d'affecter la valeur .5 ou encore

.98 aux Pi lorsque p^il-p^) < 0 ; d'autres s'entendent pour

remplacer les p^ négatives ou plus grandes que 1 par les v a

leurs |Pî(l_Pi)| correspondantes. Cependant, si l'on consi

dère les résultats de l'étude Monte Carlo effectuée par Smith

et Cicchetti (1972) il semble que ces diverses stratégies

aient peu d'attraits. De son côté, Cox (1970) ne conseille

le recours à une pondération que lorsque les p^ sont infé

rieures à .20 et/ou supérieures à .80. Autrement, il semble

rait que l'amélioration par rapport à la solution des moin

dres carrés ordinaire soit négligeable (Neter, Wasserman et

K u t n e r , 19 8 3).

Finalement, bien que l'utilisation de l'analyse de

régression pondérée, surtout lorsque les poids sont obtenus

de façon itérative, a généralement pour effet de fournir des

estimés d ' e r r e u r -type inférieurs à ceux qu'on obtiendrait

par l ' e n t r e m i s e de l'approche classique, elle n'élimine

n u l l e m e n t cepe n d a n t la possibilité de prédire des valeurs

ininterprétables en termes de probabilités.

1.5.2 Contrainte au niveau de la solution

Aucune des méthodes m e ntionnées jusqu'ici ne permet

vraiment de s'assurer d'obtenir des valeurs de probabilités

restreintes à l'intervalle [0,1]. Par ailleurs, il existe

une autre avenue: celle de restreindre coûte que coûte les

résultats prédits aux valeurs de cet intervalle.

Une approche, nommée "inequality restricted least squa

res" (Judge, Griffiths, Hill et Lee, 1980), consiste à impo

ser mathématiquement une contrainte à la solution de façon à

obtenir des valeurs prédites acceptables. Cette méthode

plutôt complexe s'avère satisfaisante pour l'échantillon en

main mais, malheureusement, a peu de chance de l'être pour

des v aleurs extrêmes de la population. Cependant, si on

connaît l'étendue réelle des valeurs susceptibles d'être

prises par la variable indépendante, il est possible de tenir

compte de cette information pour imposer des contraintes plus

rigoureuses. Une limite sérieuse de cette variante est la

nécessité de disposer des informations concernant l'étendue

des valeurs de X dans la population. En commentant cette

méthode, Cox (1970) note de plus qu'au niveau des calculs, la

programmation mathématique y est considérablement plus com

plexe que pour les moindres carrés non modifiés.

Les solutions proposées jusqu'ici et qui font partie de

ce que l'on pourrait appeler la "famille des moindres car

rés", supposent l'adéquation du modèle linéaire pour exprimer

la relation entre une variable dépendante binaire et une ou

p lusieurs variables indépendantes ainsi que le respect des

postulats concernant les termes d'erreurs. Ces conditions,

nous l'avons vu, sont dans l'ensemble irréalisables; de plus,

les "correctifs" laissent plusieurs auteurs perplexes quant à

leur efficacité réelle. Heureusement, d'autres méthodes ont

été proposées et nous allons nous empresser de les examiner.

27

1.6 MODELES ALTERNATIFS A CEUX DES MOINDRES CARRES

1.6.1 L'analyse discriminante

D'autres méthodes ont en effet été utilisées pour analy

ser des problèmes impliquant une variable dépendante binaire.

On peut d'abord souligner l'analyse discriminante canonique-*-

(Tatsuoka, 1971) dont l'objectif est de trouver une combi

naison linéaire des variables indépendantes, appelée fonction

discriminante, i.e.:

Y-iL^X^ + &2X2 "*■••• T-^k^-k •

(où X]_ , X 2 , . . . Xk représentent les variables indépendantes

et £]_, £ 2 , . . . , sont les poids ou coefficients de discrimina

tion) telle que les Y calculés dans les groupes de sujets

seront les plus différents possibles en termes de leur moyen

ne .

Bien qu'assez populaire, cette approche présente selon

nous certaines restrictions:

^Comme cas p a r t i c u l i e r de la c o r r é l a t i o n canonique et en contraste avec l'analyse discriminante de classification (Green, 1979).

28

(1) Elle est basée sur plusieurs postulats difficiles à

satisfaire en pratique, notamment:

- la normalité des variables indépendantes, ce qui

implique entre autres que l'on ne peut pas y

considérer des variables indépendantes qualitati

ve s ;

- l'égalité des deux matrices de variances-

covariances (ou de dispersion).

(2) Les comparaisons empiriques dont elle a fait

l'objet avec d'autres méthodes ne se sont généra

lement pas soldées à son avantage, surtout lorsque

les variables indépendantes ne respectaient pas le

p o s t u l a t de normalité (Byth et McLachlan, 1980;

Press et Wilson, 1978; Efron, 1975). Maddala

(1983) présente une critique de ces comparaisons.

Pour ces raisons, voyons d'autres approches qui ont été

proposées pour étudier la relation entre une variable

dépendante binaire et des variables indépendantes, aussi bien

qualitatives que continues.

29

1.6.2 Modèles basés sur les lois de probabilité logistique et normale standardisée

Si nous considérons la possibilité qu'un événement se

réalise, il s'avère commode d'un point de vue mathématique de

définir une variable aléatoire Y dichotomique en termes des

valeurs " 1 " si l'événement se produit et "0 " s'il ne se

produit pas. Nous assumons que sa probabilité d'occurrence

dépend d'un ve c t e u r de v a riables indépendantes X et d'un

vecteur de paramètres inconnus &. Il est à noter que dans la

suite de ce texte, nous ferons souvent appel au langage de

l'algèbre matricielle en supposant que le lecteur est déjà

familier avec celui-ci. En utilisant l'indice i pour référer

à la i ième observation de l'échantillon nous pouvons écrire

le modèle général de cette relation comme suit:

- Prob (Y^ = l) - F (Xi ' £) i=l,2,...,n. (1.14)

où X^' £ = £ qX q +fi^Xi +. . . +£kXk , X q = 1 et F(X^'£) est la

fonction de répartition qui décrit comment les probabilités

sont reliées aux variables prédictrices.

Nous ne pouvons envisager d'estimer cette probabilité à

l'aide d'un modèle linéaire puisqu'un tel modèle, nous l'a

30

vons expliqué, s'avère généralement inadéquat. Parmi les

problèmes associés à la prédiction d'une variable binaire par

les modèles de r é g r e s s i o n linéaire classique ou pondérés,

celui qui constitue apparemment la plus sérieuse restriction,

concerne le c o m p o r t e m e n t des probab i l i t é s prédites. En

effet, qu'il soit possible de prédire des probabilités néga

tives ou supérieures à l'unité constitue une situation p r o

blématique qui met en doute la linéarité de la relation qui

est postulée. Les approches utilisées pour contraindre les

p r o b a b i l i t é s prédites à l'intervalle [0 ,1 ] impliquent à

toutes fins pratiques que la nouvelle fonction soit discon

tinue à ses limites.

Pour des considérations d'ordre aussi bien théorique que

pratique, il s'avère (Buse, 1972; Hanushek et Jackson, 1977;

Neter, Wasserman et Kutner, 1980) qu'un type de fonctions non

linéaire mais ayant pour asymptotes 0 et 1 et la forme d'un S

incliné i.e. curvilinéaire, soit plus approprié pour repré

senter la relation entre la probabilité d'obtenir un succès

et une c o m b i n a i s o n de facteurs explicatifs. Ce type de

fonctions implique notamment qu'un changement de probabilité

donné est plus difficile à obtenir au fur et à mesure que P

se rapproche des limites.

31

Plus d'une fonction de répartition répondent à ces

sp é c i f i c a t i o n s et pour r a i e n t être utilisées. Nous nous

sommes cependant limitée aux deux fonctions les plus fréquem

ment u t i l i s é e s jusqu'à nos jours pour représenter la rela

tion entre la probabilité de succès et les prédicteurs . Il

s'agit des fonctions de répartition logistique et normale

standardisée intégrée (Fig. 1.1), la première définissant la

classe des modèles dits "logit ou logistique" et la seconde,

la classe des modèles "probit".

La fonction logistique fut apparemment utilisée dès 1838

par le m a t h é m a t i c i e n belge Ve r h u l s t (1804-1849) dans des

études d é m o g r a p h i q u e s (Batschelet, 1979). Concernant la

distribution normale, sans en faire l'historique, soulignons

seulement qu'une des premières utilisations de cette distri

b ution dans le cadre de l'analyse de variables dépendantes

binaires remonte au moins aux expériences psychophysiques de

Fechner en 1860 sur la sensibilité humaine à divers stimuli

(Finney, 1971).

32

Figure 1.1 Comparaison des courbes logistique et normale standardisée (adapté de Hanushek et Jackson, 1977) .

Les p r i n c i p a u x champs d ' a p p l i c a t i o n de ces modèles

semblent être la biologie et l'économique. Les biométriciens

utilisent ces modèles pour étudier, par exemple, l'effet du

dosage d'un insecticide sur la survie d'insectes. L'applica

tion qu'ils en font est habituellement la plus simple, i.e.

restreinte à des problèmes n'impliquant qu'une seule variable

indépendante (souvent une dose) et où la variable dépendante

33

binaire est désignée par le vocable "variable quantale".

C'est d'ailleurs dans le cadre de telles études que l'analyse

probit connut un regain de popularité au début des années

1930, peu avant de prendre, grâce à R.A. Fisher en 1935, la

forme qu'on lui connaît maintenant. Chez les économétri-

c iens, qui travaillent souvent avec des variables naturelle

ment ou artificiellement discrètes, ces modèles sont appli

qués à des problèmes plus complexes, entre autres au niveau

du nombre de variables explicatives. Ils ont été utilisés

notamment pour étudier le choix des modes de transport, les

c omp o r t e mem t s des consommateurs et la participation de la

main-d'o euvre.

Ces deux modèles paraissent également populaires en r e

cherche médicale dans le cadre d'études sur l'effet de dro

gues sur la guérison ou non d'un patient et en psychophysi

que. Plus près de nous, en théorie des tests, l'"item res-

ponse theory", la théorie la plus sophistiquée présentement

disponible, s'appuie sur ces fonctions pour prédire le succès

à un item à partir de l'habilité latente de l'individu (Fin-

n e y , 1944; Lord et N ovick,1968).

Le modèle que nous avons choisi de privilégier dans

cette étude est le modèle logit ou de régression logistique

34

P(Y-l) = ___________________ (1.15)X'£

1 + e

où X'£ est tel que déjà défini en (1.14).

Selon H a n u s h e k et Ja c k s o n (1977), la distri b u t i o n

logistique, qui est la plus souvent postulée, tient sa popu

larité à la fois de sa forme et de ses propriétés mathéma

tiques. Comme le souligne aussi Cox (1970): "It is the most

useful analogue for binary response data of the linear model

for normally distributed data. " (p. 19)

Ce choix fut aussi motivé par la similitude qui existe

entre ce modèle et le modèle classique de régression linéai

re, tel que nous le verrons au prochain chapitre, et par la

q u a s i -absenee de référence pertinente et détaillée sur ce

type d'analyse dans la littérature en Education. Nous sommes

convaincue que cette approche est susceptible de trouver de

n ombreux champs d'application en Education, les chercheurs

dans ce domaine étant souvent confrontés à des variables

dépendantes qui sont naturellement discrètes ou mesurées de

façon discrète. Elle nous apparaît d'autant plus intéressan

q u i s ' e x p r i m e c o m m e s uit:

X'£e

te que les supports informatiques nécessaires à l'estimation

des paramètres de ce modèle ne sont disponibles que depuis

quelques années. De plus, il s'agit d'un domaine nouveau

où il reste, semble-t-il, des avenues à explorer.

Voyons m a i n t e n a n t b r i è v e m e n t ce qui caractérise le

modèle probit. Celui-ci est basé sur l'ogive normale ou

courbe normale cumulée ("Integrated normal response curve")

qui est une fonction monotone s'élevant de 0 jusqu'à 1 avec

un point d'inflexion correspondant à la moyenne. La probabi

lité d'un succès y est définie de la façon suivante:

e d v (1.16)

i- 1 > 2 .....n .

où X'£ = + ^1^1 + • • • + ^k^k et v est une variablealéatoire se distribuant selon la loi normale i.e.

v ~ N ( 0 , 1 ) .

L'idée est que la probabilité d'obtenir un succès,

étant donné les valeurs observées aux variables indépendan

tes, c o r r e s p o n d à la p r o babilité qu'une variable normale

standardisée soit inférieure à X'É ou encore que la probabi

lité de succès, Prob(Yi= 1), est l'aire sous la courbe

■Prob (Y. = 1 )1V 2 tt L

36

probit nous fournit donc des estimés de probabilités qui

correspondent à de "vraies" probabilités i.e. à des valeurs

contenues dans l'intervalle requis. Il va de soi que plus la

valeur de X'£ est grande, plus le succès est susceptible de

se manifester. C'est la nature probabiliste des valeurs

prédites par cette technique qui aurait conduit au choix du

qualificatif "probit", ce dernier étant une abréviation pour

"probability unit" (Aldrich et Cnuddle, 1975).

1.7 BUTS DE LA RECHERCHE

Jusqu'ici, le présent chapitre a tenté de brosser un

tableau des p r oblèmes associés à l'utilisation de modèles

linéaires lorsque la variable dépendante est binaire et plus

précisément à l'estimation de la probabilité de "succès". A

cet effet, un rappel des p r i ncipales caractéristiques du

modèle de régression linéaire "classique" fut effectué et ses

limites pour prédire une variable binaire furent rapidement

identifiées. Par la suite, nous avons examinés des correc

tifs possibles ainsi que trois modèles alternatifs proposés

dans la littérature. Parmi ces derniers, nous avons décidé

de jeter notre dévolu sur le modèle de régression logistique

(ou logit).

n o r m a l e s t a n d a r d i s é e se t r o u v a n t e n t r e et X'£. L'analyse

Le premier objectif de cette recherche consistait donc à

étudier en p r o f o n d e u r ce modèle en p r écisant la méthode

d'estimation la plus appropriée pour les situations, fréquen

tes en recherche en éducation, où les variables indépendantes

peuvent être aussi bien continues que qualitatives. Nous

nous sommes également intéressée aux propriétés des estima

teurs, aux principaux tests d'hypothèses et aux mesures de

précision de la prédiction de la probabilité de succès. En un

deuxième temps, nous avons effectué une étude comparative, à

l'aide de la méthode de Monte Carlo, de la régression logis

tique ou méthode logit avec ce qui nous est apparu comme son

principal compétiteur, tant au plan théorique que pratique,

soit l'analyse probit. En résumé, les deux objectifs de

cette recherche étaient les suivants:

(1) Faire une présentation la plus claire et la

plus exhaustive possible de la r é gression

logistique (chapitre II);

(2) Effectuer une comparaison de l'analyse de la

régression logistique versus l'analyse probit à

l'aide de la méthode Monte Carlo, en vue de d é

terminer la méthode d'analyse la plus efficace

en termes de capacité à bien prédire la proba

bilité d'un succès (chapitre III).

CHAPITRE II LA REGRESSION LOGISTIQUE

2.0 INTRODUCTION

Au premier chapitre nous avons passé en revue les p r o

blèmes associés à l'emploi de l'analyse de régression linéai

re dans le cas d'une variable dépendante binaire ainsi que

les solutions proposées pour contourner ces difficultés en

attirant l ' a t t e n t i o n sur leurs avantages et inconvénients.

Ce c h e m i n e m e n t nous a amené à considérer d'autres modèles

qui semblent plus adaptés au contexte de prédiction d'une

variable binaire, en termes de la probabilité d'un "succès".

L'un d'eux a attiré davantage notre attention: il s'agit du

modèle basé sur la fonction logistique.

Afin de répondre au premier objectif de cette recherche,

voyons plus en détail les principales caractéristiques de ce

modèle que l'on désigne aussi par l'expression "régression

logistique".

39

Tel que mentionné au premier chapitre, dans le modèle

f o ndamental de la régr e s s i o n logistique avec k variables

indépendantes, on retrouve Y ^ , Y 2 , •••, Y n qui sont des

v a r i a b l e s aléatoires binaires indépendantes prenant les

valeurs 0 ou 1 , ayant une probabilité de prendre la valeur

"1 " égale à:

Xi'Se

Pr (Yi-1) - Pj. - ______________________ (2.1)Xi'fi

1 + e

où e - 2.7183... constante bien connue;

Xi* - [XQi XU X2i ... Xki] , i-1,2.... n

- [Ê0 &2 •••

et

X 0i - 1, valeur constante pour les n individus.

Le v ecteur Xi' représente les valeurs observées pour le

i ième individu aux k + 1 variables indépendantes (en comptant

X q comme variable) souvent considérées fixées, tandis que le

vecteur E contient les k + 1 p a ramètres ou coefficients de

régression logistique.

2.1 SPECIFICATION DU MODELE DE REGRESSION LOGISTIQUE

40

On remarque aussi que, par définition,

Xi'* = [X0 X i X 2 ... Xk ]

ß-

ß<

=fi0 x 0 i + Ê lx li + Ê 2 x 2 i + ••• + ^kxki

=fi0 + ¿lx li + fi2 x 2 i + ••• + fikxki (puisque Xgi = 1 ).

Substituant ce dernier résultat en (2.1) on obtient:

ß 0 + ßix ii+ ... +^kxki

1 + e ß 0 + ßlx li+ ••• +ßkxki( 2 . 2 )

forme fréquemment rencontrée dans la littérature.

D'autres formes équivalentes à (2.1) sont également

utilisées par différents auteurs. Ainsi, en partant du

membre de droite de (2 .1 ) on obtient:

41

X i ' f i

Xi’fi Xi 'fi

X< ' fi1 + e 1 + e

Xi'fi+ 1

X î 'fi Xi ' f i

i.e.

1 +Xi'J

(2.3)

Directement de cette dernière expression, on obtient:

1 +-Xi'fi

( 1 + e-Xi'fi

1 . e

-1Pi = [ 1 + exp (-Xi'fi)] (2.4)

ycar exp (y) = e , par définition.

42

Les expressions (2.1) à (2.4) inclusivement sont algé

briquement équivalentes et chacune présente un certain avan

tage. Ainsi, (2.2) permet de faire ressortir l'analogie qui

existe avec le modèle de régression multiple classique alors

que l'expression (2.4) est la plus succincte.

Quant à l'expression (2.3), son utilité peut d'abord

être considérée de la façon suivante. En partant de (2.1),

on peut écrire que la probabilité que Y prenne la valeur zéro

au lieu de un est égale à:

X'i*e

Pr(Yt - 0) - 1 __________________i £

1 + e

( 1 + eX'i*

1 + eX'i*

i.e. PrtYi - 0) - _________________ (2.5)

1 + eX ' i *

Comparant (2.5) et (2.3), on réalise que toutes deux

sont symétriques, seul le signe de l'exposant les distin

guant. C'est dire qu'en changeant tous les signes des coef

ficients, on obtient la p r o b a b i l i t é que (Y=0) au lieu de

(Y-l), i.e. la p r o b a b i l i t é de l'alternative. Ce résultat

implique également que la façon d'assigner les valeurs "1 " et

"0" aux deux niveaux de la variable dépendante Y n'a aucune

influence sur les valeurs absolues des coefficients de ré

gression logistique: en effet, seuls les signes de ces der

niers c h angent si l'on intervertit la définition des deux

niveaux. Nous verrons un peu plus loin un deuxième avantage

de recourir à l'expression (2.3).

Bien que les quatre expressions (2.1), (2.3), (2.4) et

(2.5) soient essentiellement équivalentes, nous ne nous ser

virons que de l'expression du modèle fondamental (2 .1 ) dans

la suite de ce texte. Revenant à cette dernière, nous cons

tatons que la r e lation décrite entre la probabilité d'un

succès et la (les) variable(s) i n d é p e n d a n t e (s) n'est pas

linéaire. De plus, l'examen de la représentation graphique

de ce modèle à la Figure 2.1 nous permet de réaliser que la

fonction logistique convient tout à fait à la prédiction

d'une probabilité. En effet, elle permet de prédire des

valeurs à l'intérieur des limites associées à des probabili

tés atteignant 0 pour X'£ = - 00 et 1 pour X'£ - 00 .

44

Figure 2.1 Représentation graphique de la fonction logistique

Bien sûr, le modèle (2.1) contient l'expression X'£ que

nous retrouvons dans le modèle de régression linéaire; mais

cela ne signifie pas pour autant qu'il soit linéaire, bien au

contraire, puisque X'£ est l'exposant de e. Par contre, une

propriété particulièrement intéressante de la fonction logis

tique est qu'elle peut facilement être rendue linéaire.

45

Considérons le rapport p^/il-p^), appelé "odds ratio",

et plus précisément le logarithme naturel de cet "odd ratio",

appelé "logit". Par définition:

Logit(pi) = log 1 (PiAl-Pi)) (2 .6 )

Ce dernier fut introduit par Berkson en 1944 qui lui

donna le nom de logit à cause de sa relation avec la fonction

logistique. Partant de l'expression (2.1) nous obtenons

d 'abord :

X'fi X ' *e / ( 1 + e )

P/(1-P) - ___________________________________ (2.7)X’ fi X' £

1 - [ e / ( 1 + e ) ]

Après simplification:

X' £p/(l-p) - e (2 .8 )

^Dans tout le texte, nous travaillerons avec le logarithme naturel, i.e. de base e=2.7183.... Aussi, pour simplifier les développements à venir, nous abandonnerons l'indice désignant une observation ou profil particulier.

46

d ' où

L =* Logit (p) = log (p/(l-p)) = log e - X'fi (2.9)X'£

et où, tout comme en régression linéaire,

Fait intéressant, une autre façon de parvenir à l'ex

pression (2.9) consiste à partir de l'expression (2.3) pour

r e p r é s e n t e r la rel a t i o n entre la probabilité que (Y=0) et

l'ensemble des variables explicatives. On obtient alors:

P r (Y = 0 ) - 1 - Pr(Y-l)

1- 1 - _________________

- X'fi1 + e

-X'£1 + e 1

-X'£ -X'£1 + e 1 + e

-X'£

_______________ ( 2 . 1 0 )-X'£

1 + e

47

d'où

L - log p(l-p) - log p - log (1-p)

-X'& -X’fi -X'£- -log ( 1 + e ) - riog (e ) - log ( 1 +e )]

- X'£

Enfin, on aura reconnu que cette dernière expression est

tout à fait linéaire. L'expression (2.3) présente donc aussi

l'avantage d'illustrer clairement le passage de la forme expo

nentielle à la forme linéaire qui constitue l'atout majeur

d'utiliser le modèle logistique. En résumé, nous pouvons dire

que grâce à la transformation logistique de P nous aboutissons

à une expression linéaire semblable à l'équation du modèle de

régression linéaire en (1 .1 ), mais où la variable prédite n'est

plus la probabilité P mais plutôt le logit de P.

Les logits sont donc des fonctions linéaires des varia

bles indépendantes alors que les probabilités ne le sont pas.

Il est aussi i n téressant de noter qu'alors que les valeurs

"odds ratio" (P/(l-P)) augmentent de zéro à l'infini, les

logits, i.e. les valeurs X'B, sont susceptibles de prendre

n'importe quelles valeurs entre - 00 e t + 00 et les valeurs

48

de P sont restreintes à l'intervalle [0,1] tel que souhaité.

De plus, lorsque la probabilité approche de 0 ou de 1, le

logit est sujet à des changements très grands puisque la

valeur de ce dernier n'est restreinte à aucun intervalle, de

sorte que X'£ peut prendre n'importe quelle valeur réelle

sans violer les limites auxquelles les P sont assujetties. Ce

dernier point représente, selon Theil(1971), un avantage

considérable du logit par rapport à la probabilité.

2.2 ESTIMATION DES PARAMETRES DU MODELE DE LA REGRESSIONLOGISTIQUE

2.2.1 Méthode des moindres carrés généralisés

Etant donnée la ressemblance qui existe entre la régres

sion logistique et la régression linéaire multiple, on pour

rait croire que la méthode des moindres carrés est la plus

adéquate pour estimer log (p/( 1 - p ) ) = X'£ à partir des données

d'un échantillon. En y regardant de plus près, on réalise

rapidement qu'il est impossible d'utiliser les observations

originales Y=»0 ou 1 pour représenter P, notamment parce que

la division par 0 est impossible.

Il demeure certes possible de partitionner l'axe des X

en catégories de façon à capturer suffisamment d'observations

dans chacune d'elles pour y observer des proportions plus

grandes que zéro et alors d'appliquer la solution des m oin

dres carrés généralisés (équivalente, ici, au critère du

chi-deux m i n i m u m proposé par Berkson (1955) et explicité

entre autres par Cox (1970). En fait, comme le souligne

H a n u s h e k & J a c k s o n ( 197 7 ) , les difficultés inhérentes à

l ' e s t i m a t i o n de modèles p r o b a b i 1 istes sont amoindries en

présence de données regroupées (ou répliquées) où la variable

dépendante est la proportion d'individus effectuant un choix

donné ou se trouvant dans une catégorie particulière plutôt

que la variable binaire observée au niveau individuel.

Cette approche possède cependant une limite sérieuse au

niveau du nombre très grand d'observations requis pour effec

tuer une estimation valable lorsqu'il y a plusieurs variables

indépendantes. Cette exigence est particulièrement suscepti

ble de ne pas être remplie en recherche en éducation, où les

unités d'observations sont généralement des individus et où

les variables explicatives sont souvent multiples. Le lec

teur intéressé à en savoir davantage sur cette méthode d'es

timation est invité à consulter l'ouvrage de Neter, Wasserman

& Kutner (1983) .

50

Nous nous concentrerons donc sur une méthode d'estima

tion plus souple, qui elle, dans le cadre de l'analyse de

r é g r e s s i o n logistique, permet de considérer des variables

in d é p e n d a n t e s aussi bien d i chotomiques par exemple, que

continues, de même que leurs interactions, et ce contraire

ment à la méthode du X 2 minimum qui n'est applicable qu'en

présence de plusieurs observations par cellule. Il s'agit de

la méthode d'estimation du maximum de vraisemblance. Celle-

ci, du moins en présence de variables indépendantes conti

nues, s'avère une meilleure voie pour estimer le modèle logit

puisqu'elle permet de traiter chaque observation séparément.

Elle ne n é c e s s i t e donc aucun regrou p e m e n t plus ou moins

artificiel des observations et évite de postuler, souvent de

façon irréaliste (Hanushek & J acks on , 19 7 7 ) , que des sujets

avec des caractéristiques différentes ont la même probabilité

de "succès" du fait qu'ils sont regroupés dans une même

cellule.

Pour décrire cette méthode, supposons un échantillon

aléatoire de n observations (Y^.X'^), i = l ,2,...,n. Si nous

considérons différentes valeurs de paramètres ...,

pour le modèle (2 .1 ), la vraisemblance d'obtenir l'échantil-

2 . 2 . 2 M é t h o d e d u m a x i m u m de v r a i s e m b l a n c e

51

Ion en m ain variera. Les valeurs pour lesquelles cette

vraisemblance est la plus élevée seront appelées les estimés

du maximum de vraisemblance. Le critère du maximum de v r a i

s emblance fournit donc les valeurs des paramètres les plus

suscep t i b l e s de produire les données observées, i.e. de

maximiser la vraisemblance de l'échantillon observé.

Supposons que l'on détermine la probabilité de succès

pour la première observation de notre échantillon. Si l'on

représente par la probabilité d'obtenir un succès (Yi=l),

on peut noter par 1-Pi la probabilité d'un échec (Yi=0). Ces

deux probabilités complémentaires peuvent être combinées en

une même formule permettant de trouver la probabilité d'obte

nir n'importe laquelle des 2 valeurs associées à Y]_, notée

p(Y^) (Wonnacott & W o n n a c o 1 1 ,1981) . Cette formule est la

suivante :

y ( l - y )p(Yx)- Pi (1-Pi) ( 2 . 11 )

Ainsi, on peut vérifier que dans le cas où Yi = l nous obte-

nons :

1Probabilité d'un succès™ Pi (1-Pi) ( 1 - 1 )

et de la même façon si nous substituons Y^ = 0 dans (2 .1 1 ),

nous aurons :

0 (1 -0 )Probabilité d'un échec= P-j_ (1-P^) = 1 - Pj_

Le calcul de p(Y^) peut par la suite être effectué pour

p (Y 2 ),...,p(Yn ) , de sorte que la probabilité pour l'échantil

lon total, si toutes les observations sont indépendantes, ce

qui est le cas pour un échan t i l l o n aléatoire, s'obtient en

calculant le produit des probabilités individuelles, i.e.:

P(Y 1 ,Y2 ----,Yn ) = p(Yx ) p (Y 2)... p(Yn ).

Cette valeur, appelée fonction de vraisemblance et notée

L(fi)1, prend l'allure générale:

n yi d-Yi)L(fi) = n ^ d-Pi) (2-12)

i- 1

Pour simplifier les opérations mathématiques, c'est

h a b i t u e l l e m e n t le logarithme naturel de la fonction (2 .1 2 )

que l'on vise à maximiser. En effet, en travaillant avec log

L(fi), le produit des probabilités que l'on retrouve dans

1 L : "likelihood"(fi): fonction des valeurs des paramètres fi

52

53

l'équation (2 .1 2 ) devient simplement la somme des logarithmes

des termes. Le logarithme de la fonction de vraisemblance

pour le modèle logistique correspond à:

log L(A) - i£ iYi log Pi + ? (1-Yi) log (1-Pi) (2.13)

Tentons de simplifier cette expression. Notant tout d'abord

qu'en vertu des propriétés des indices de sommation

( 1 - W t ) U i - J 1 ( U i - w t U j ) - i £ i Ut - . ^ W t Ut

et a p p l i q u a n t ce résultat au deuxième terme de droite de

(2.13) on obtient:

log L(*)- log Pi + S log (1-Pi) - S Yi log (1-Pi)(2.14)1 - 1 i=l i=l

Interchangeant les deux derniers termes de (2.14), nous

obtenons :

log L(*)- Yi log Pi - Z Yi log (1-Pi) + Z log (1-Pi) (2.15)1 - 1 i=l i=l

On sait également, en vertu d'une autre propriété des

l o g a r i t h m e s que:

log W - log U - log (W/U)

Appliquant cette propriété en (2.15) nous obtenons finale

ment :

log L(£)= ^ log [Pi/d-Pi)] + £ log (1-Pi) (2.16)i- 1 i=l

Mais on a vu en (2.3), (2.5) et (2.10) respectivement que

1

P i “ ------------------------X'£1 + e

11-Pi - -----------

X'£1 + e

et log [Pi/d-Pj)] - X'A

Substituant ces dernières valeurs en (2.16) on obtient:

55

n nl o g L (£) -.v Y t Xi'£ + r log [ 1 / (1+ e)]

l - l i = l

i.e.

n n X ± * £log L (£) = E Y t Xj 1 £ - £ log ( 1 + e i= 1 i=l ) (2.17)

En vue de trouver les estimés de £ qui maximiseront la

vraisemblance de l'échantillon, il s'agit en partant de

(2.16) ou (2 .1 2 ), de substituer les par l'expression (2 .1 )

ou un équivalent, de trouver les dérivées partielles pour

chacun des p a r a m è t r e s inconnus et d'égaler ces dérivées à

zéro .

L'application de cette procédure produit un système

d'équations non linéaires. Nous obtiendrons alors autant

d 'équations qu'il y a de paramètres à estimer (i.e. k + 1 ).

Ces équations ne peuvent être résolues en termes de formules

algébriques ordinaires mais grâce à des méthodes dites itéra

tives qui cons i s t e n t à essayer systématiquement différentes

valeurs de paramètres pour choisir celles qui satisferont le

mieux possible le système d'équations ci-dessus. Notons que

les calculs associés à cette approche étaient pratiquement

impossibles à réaliser avant l'apparition de l'ordinateur.

Aujourd'hui la solution d'un système d'équations non linéai

res peut être trouvée très rapidement et à un coût relative

ment bas. Parmi les techniques itératives les plus populai

res signalons l'expansion de Taylor, la méthode de Newton-

Raphson, celle des constantes ajustées ( Fienberg,198 0 ) et

celle de Gauss-Newton.

2.2.3 Propriétés des estimés

Il est reconnu (Fienberg (1980), Judge, Lee, Manski &

McFadden (1981)), que les estimés du maximum de vraisemblance

pour le modèle logistique p o ssèdent certaines propriétés

c o mparables à celles associées aux estimés des moindres

carrés en régression linéaire. La plupart de ces propriétés

découlent de la théorie des grands échantillons (asymptotic

theory) d'où le qualificatif "asymptotique" qui les accompa

gne souvent.

Trois de ces propriétés nous intéressent particulière

ment :

(1) Les estimés logistiques du m a x i m u m de v r a i s e m b l a n c e

sont c o nsistants i.e. qu'ils se rappr o c h e n t de plus

en plus de la valeur des paramètres quand n tend vers

1 'infini ;

57

(2) Ils tendent à se distribuer selon la loi normale lorsque

n tend vers l'infini;

(3) Ils sont asymptiquement efficaces i.e. qu'il est impossi

ble d ' o b t e n i r d'autres estimés ayant de plus petites

variances, lorsque n tend vers l'infini;

Pour un exposé des preuves de ces propriétés, le lecteur

est invité à consulter l'ouvrage de Ffeaetros Dhrymes (1978,

pp .336-338).

Il est à noter qu'en principe, ces propriétés ne s'appli

quent qu'aux estimés obtenus à partir de grands échantillons.

Il semble cependant qu'en pratique:

" Under many circumstances, maximum likelihood estimators have been found to have desirable properties even when applied to small samples." (Hanushek & Jackson, 1977, p. 203)

Les résultats d'une étude de simulation menée par O r

chard (1976) nuancent cette assertion. L'auteur y compare la

méthode d ' e s t i m a t i o n du m aximum de vraisemblance pour la

régression logistique avec des données non répliquées et deux

autres méthodes d'estimation approximatives. Les résultats

de cette étude indiquent qu'en présence de 2 0 observations et

plus la m é t h o d e du m a x i m u m de vraisemblance est stable et

converge r a p i d e m e n t vers une solution, lorsqu'elle existe,

mais qu'en deçà de ce nombre d'observations il s'avère qu'il

n'y aurait pas suffisamment d'informations, en présence de

données non répliquées, pour obtenir de bons estimés.

2.2.4 Tests d'hypothèses concernant les paramètres

Plusieurs s t atistiques sont destinées à vérifier la

qualité d'ajustement (goodness of fit) des modèles logisti

ques. Nous nous restreindrons cependant dans cet exposé aux

princ i p a l e s s t atistiques utilisées spécifiquement dans le

cadre d ' analyses impliquant une ou des variables indépen

dantes continues et nécessitant de ce fait le recours à la

méthode d'estimation du maximum de vraisemblance. Pour un

aperçu des tests d'hypothèses conçus’ pour les analyses n'im

pliquant que des variables indépendantes catégorielles ou des

variables continues dont les valeurs ont été regroupées en

catégories nous référons le lecteur à l'ouvrage d'Hanushek &

Jackson (1977, p. 196-200).

59

Notons d'abord qu'en plus de fournir des estimés de

paramètres possédant les propriétés énumérées ci-haut, l'ap

p l i c a t i o n de la méthode du maximum de vraisemblance permet

d'obtenir un estimé asymptotiquement consistant de la matrice

de v ar i anc e s - c o var i ance s des coefficients. Cette matrice,

que nous noterons (V), et qui correspond à la matrice "infor

mation" (I) de Fisher (Pun, 1981), peut être utilisée pour

calculer des intervalles de confiance et procéder aux tests

d'hypothèse conventionnels concernant les estimés des paramè

tres du modèle. Quant à ces estimés des paramètres £ du

modèle logistique, soulignons qu'ils suivent la loi multinor-

male avec moyenne S (i.e. estimés non-biaisés) et matrice de

variances - covariances (ou de dispersion) égale à l'inverse de

V. En d'autres termes,

-1b ~ N (fi,V )

où X' D XV - (2.18)

3 b^ 3 bj

et

D - diag (p. (1-p. ))i i

6 0

Un estimé de la matrice V peut être obtenu en évaluant

l'expression (2.17) à partir des estimés du maximum de v rai

semblance. Les e r r e u r s -types des coefficients logistiques,

correspondant à la racine carrée des éléments de la diagonale

de V, peuvent être utilisées pour effectuer un test statisti

que éprouvant l'hypothèse qu'un paramètre est égal à 0 i.e.:

Cette statistique est obtenue en divisant l'estimé du

paramètre visé par son erreur-type. Asymptotiquement , sous

l'hypothèse nulle, ce test statistique se distribue selon la

loi normale standardisée, i.e:

de sorte que la valeur critique pour rejeter Ho au seuil de

s i g i n i f i c a t i o n de .05 est 1.96, ou 2, valeur arrondie.

Certains auteurs préfèrent baser le test sur l'approximation

suivante :

Ho : fii - 0 versus Ha : fii / 0.

bk / s <b k) ' N(0,1) H o (2.19)

t>k / s(bk ) ^ cn-k> (2.20)

où tn _k correspond à la distribution du t de Student avec n-k

61

degrés de liberté. Cette statistique est alors appelée test t

asymptotique. Cependant, comme le souligne Amemyia (1981),

étant donné que n-k est généralement grand dans les modèles

où la variable dépendante est qualitative, il n'y a pratique

ment pas de différence entre N(0,1) et tn .jc pour déterminer

la v aleur critique. En fait, ces deux approximations sont

théoriquement correctes puisque tn .k ” N(0,1 ) 2 quand n -*• 00

(Hays,197 3).

L'hypothèse nulle est rejetée lorsque la valeur absolue

de la s t a t i s t i q u e est plus grande que la valeur tabulaire

correspondant à un niveau de signification déterminé. Nous

conclurons alors à la véracité de l'hypothèse alternative

i.e. que le coefficient est significativement différent de 0 ,

et que, par conséquent, la variable indépendante correspon

dante associée a un rôle à jouer dans la prédiction de la

probabilité d'obtenir un "succès", i.e. Y**l .

Une autre statistique communément utilisée en régression

logistique résulte de la comparaison des valeurs maximum des

vraisemblances obtenues pour différents modèles par le biais

de tests ch i - d e u x a s y mptotique s . Cette statistique est

parfois considérée comme équivalente au test F rencontré en

régression linéaire (Aldrich, Cnuddle, 1975). Ce test du

rapport de v r a i s e m b l a n c e (likelihood ratio test) pour les

h y p o t h è s e s c o ncernant des groupes de paramètres vérifie

l'effet combiné des variables indépendantes de l'équation de

régression logistique i.e.:

Ho : £ - 0 versus Ha: £ ^ 0

Ce test revient à calculer la valeur:

- 2 log X - - 2 [ log L(£) - log L(W) ]H" X2 (k-1)

où X est le rapport de vraisemblance pour Ho: £=0, L(£) est

la valeur de la fonction de vraisemblance évaluée en utili

sant les estimés du m a ximum de v r a i s e m b l a n c e et L (W) la

valeur de cette fonction sujette à la contrainte que le

vecteur £ égale zéro. Cette statistique est donc une compa

raison de la probabilité d'observer l'échantillon en main où

les estimés du maximum de vraisemblance ont été obtenus sans

contrainte versus la probabilité de la situation où tous les

coefficients faisant l'objet de l'hypothèse ont été mis égaux

à zéro.

Si l'hypothèse nulle est vraie, le test suivra asympto-

tiquement la distribution du chi carré avec (k- 1 ) degrés de

liberté (Judge & L e e , 1982). L ' hypothèse nulle sera donc

63

rejetée si la valeur de la statistique (qui n'est jamais

négative) excède la valeur du X 2 critique au seuil de signi

fication désiré.

Notons finalement que, malheureusement, aucun indice de

qualité d'ajustement facilement interprétable comme le coef

ficient de détermination R 2 > populaire en régression multiple

n'est disponible pour évaluer la valeur prédictrice de l'é

quation de régression logistique (Fienberg 1980).

Il existe cependant une mesure qui lui est apparentée

jusqu'à un certain point: il s'agit du Pseudo R 2 (likelihood

ratio index) (Judge, Griffiths, Hill & Lee, 1980; Amemiya,

1981). Cet indice s'obtient de la façon suivante:

ln L(£)Pseudo R 2 : 1 - _________ (2.21)

ln L (W)

où L(£) et L(W) ont la même signification que dans le cadre

du test du rapport de vraisemblance. La valeur pour ce test

varie entre 0 et 1 ; elle sera égale à 0 lorsque le vecteur

£-0 et 1 lorsque le modèle est un prédicteur parfait. Sous

cet aspect, certains auteurs considèrent cet indice comme

étant analogue au R 2 • Cependant, il ne partage pas la p r o

64

priété que possède ce dernier de nous renseigner sur l a

proportion de la variabilité de la variable dépendante "ex

pliquée" par les variables indépendantes.

2.3 Tests d'ajustement basés sur les probabilités prédites

Un certain nombre de méthodes ont récemment été propo

sées pour évaluer la qualité d'ajustement pour les modèles de

régression logistique multiple (Lemeshow & Hosmer, 1982). Il

va sans dire que de tels tests de la qualité d'ajustement

sont très importants car si les données analysées s'éloignent

du modèle logistique, avec sa courbe bien particulière (voir

Figure 2.1), les statistiques éventuellement calculées (par

exemple, les estimés des paramètres) risquent d'être biaisées

sinon totalement invalides (Brown, 1982).

Ces méthodes tirent profit de la possibilité qui existe,

une fois les coefficients de régression logistique estimés,

de calculer, pour chaque observation de l'échantillon, la

p roba b i l i t é de succès prédite en remplaçant en (2 .1 ) les

paramètres £ par leurs estimés. Plusieurs de ces tests font

appel au principe du test d'indépendance du chi-deux pour les

tableaux de contingence. Voyons en détail deux de ces tests.

65

Une statistique, Cg, proposée par Hosmer et Lemeshow

(1980), nous a semblé particulièrement intéressante; comme

nous le verrons d'ailleurs plus loin, elle fait partie des

renseignements fournis par la routine d'analyse de régression

logistique informatisée BMDPLR (Dixon, 1983). Cette statisti

que est calculée à partir d'un tableau de contingence 2 xg

constitué du croisement des valeurs observées à la variable

dépendante (0 ,1 ) et d'une variable catégorielle résultant du

partitionnement en g groupes des probabilités prédites ordon

nées .

Intuitivement, si le modèle logistique est adéquat, on

s'attendra à ce que les individus ayant obtenu un "succès"

(i.e. Y=l) possèdent des probabilités estimées élevées et se

retrouvent dans les groupes supérieurs, vice versa. Selon ce

raisonnement, il semble approprié d'étudier, pour chaque

catégorie de probabilités prédites, la proportion de succès

obtenue par les individus appartenant à cette catégorie. Il

s'agit donc de comparer, dans chaque catégorie, le nombre

d'observations pour lesquelles on observe un succès avec le

nombre d ' o b s e r v a t i o n s regroupées selon leur probabilités

prédites par le modèle.

2.3.1 Test de "Hosmer"

66

La stratégie utilisée pour regrouper les observations

est basée sur le vecteur ordonné des probabilités estimées

(p i , i - 1 ,2..... n) . Le nombre de groupes le plus fréquemment

utilisée est 5, i.e. g=5 . Pour déterminer les limites de ces

intervalles (Ik , k-l, 2 ,...g) pour chacun des g groupes, il

s'agit d'évaluer la condition suivante:

Ik “ [ i: (k- 1 )n/g < i < kn/g ] (2 .2 2 )où k=l, 2 ,...,g et i-l, 2 ,...n.

Ainsi, dans le cas où g-5 et n-50, nous retrouverons, dans

le 3e groupe, les 20e à 29e observations ordonnées selon

leurs probabilités prédites puisque suivant (2 .2 2 ):

I 3 - (3-1)50/5 < i < 3(50)/5

20 ^ i < 30

Après avoir réparti les n observations à l'intérieur

des g groupes, il faut, dans une deuxième étape, déterminer

les fréquences observées (Cjk) puis les fréquences attendues

ou théoriques (Cjk ) pour chacune des 2 xg cellules du tableau

de contingence i.e. et Cjk où j=l lorsque Y = 1 et j=2

lorsque Y - 0 alors que k = l ,2.... g.

67Ces fréquences sont fournies par les expressions suivan

te s :

clk " E *i ielk

C 2 k - 2 (1 -Yi)i«Ik

^lk ” 2 Pii£lk

C2k “ 2 d - P i )i«Ik

La statistique Cg est alors égale à:

2 g 2 .Cg - E E (Cjk - Cj k ) / Cjk (2.23)

j - 1 k - 1

Des études simulées, (Lemeshow,Hosmer, 1982) ont démon

tré que la distribution de la statistique Cg suit approxima

tivement la loi du avec (g-2 ) degrés de liberté lorsque le

modèle logistique est le modèle adéquat. C'est dire qu'une

trop grande valeur de la statistique Cg entraîne le rejet du

modèle logistique comme exprimant la relation entre la proba

bilité d'un succès et les variables indépendantes considérées .

68

Nous parlerons ici, sans toutefois entrer dans tous les

détails, étant donné la complexité des calculs qu'il impli

que, d'un autre test de la qualité d'ajustement: le test de

Brown. Ce test de la qualité de l'ajustement du modèle

logistique fut d'abord proposé par Prentice (1975) pour le

cas d'une seule variable indépendante puis il fut généralisé

par Brown (1982) au cas où plusieurs variables indépendantes

sont considérées.

Le principe du test de Brown est d'intégrer le modèle logistique dans une "famille" plus générale de modèles para

métriques, où les valeurs de deux paramètres , m^ et m 2

distinguent entre eux ces différents modèles. Par exemple,

dans le cas du modèle logistique, on a mi=*l et m 2 = l . Il

devient alors possible de développer un test en vue d'éprou

ver l'hypothèse nulle que le modèle de régression logistique

est adéquat versus l'hypothèse alternative que c'est plutôt

un des autres modèles de la famille qui convient le mieux

pour décrire la relation entre la variable dépendante binaire

et les v a r i a b l e s indépendantes considérées. Comme Brown

(1982) le souligne, la famille de modèles définie ci-dessus

(laquelle comprend, entre autres, le modèle probit, celui de

2.3.2 Le test de Brown

69

Cauchy et celui de la valeur extrême) est suffisamment vaste

pour couvrir un très grand nombre de relations entre une

variable dépendante binaire et des variables indépendantes.

Le test développé par Brown s'appuie sur la statistique

T, définie comme suit:

T - s' C ' 1 s (2.24)

où s'- (s^, s2) ” ( 9 1 9 1 ), et correspond3 m]_ 3m 2

au vecteur constitué des dérivées partielles du logarithme de la vraisemblance, 1 , i.e. du "log likelihood" (voir plus loin) de l'échantillon, par rapport aux paramètres m^ et m 2 définis ci-dessus;

C - la matrice des variances - covariances (de dimension 2 x 2 ) de la distribution des deux dérivées partielles conditionnelle à ce que les dérivées partielles du logarithme de la v r a i s e m b l a n c e par rapport à chacun des

paramètres Bq B^ ..., Bk du modèle logistique à estimer’solent égales à zero.

Brown (1982) a démontré que la statistique T suit, sous

l'hypothèse nulle à l'effet que le modèle logistique est le

"vrai" modèle, et lorsque n tend vers l'infini, la loi du

chi-deux, avec 2 degré de liberté, i.e.

T Xi (2.26)Ho z

Il va sans dire que le calcul des matrices s et C est

assez complexe, surtout dans le cas de plusieurs variables

indépendantes, et que le recours à l'informatique est inévi

table .

2.3.3 Autres approches

Récemment, d'autres travaux, dont ceux de Pregibon

(1981), Landwehr, Pregibon & Shoemaker (1984) ont porté sur

la généralisation ou la modification de méthodes graphiques

déjà utilisées dans le cadre des modèles de régression li

néaire pour évaluer l'ajustement des modèles de régression

logistique. Il s'agit de techniques informelles et explora

toires basées en partie sur la représentation graphique des

résidus. Une première approche ("local mean deviance plots")

vise à d étecter un manque d ' ajustement général entre les

données observées et les valeurs prédites. Une deuxième

méthode ("empirical probability plots") permet surtout d'i

dentifier des observations ayant des valeurs extrêmes

(outliers) tandis qu'une troisième a pour but de trouver les

causes spécifiques de mauvais ajustements. Le lecteur

702

71

intéressé à en connaître davantage sur ces méthodes pourra

consulter les auteurs mentionnés ci-dessus.

2.4 LES PROGRAMMES D'ORDINATEUR DISPONIBLES POUR LA REGRESSION LOGISTIQUE

Nous avons déjà justifié le choix de la méthode du

maximum de vraisemblance pour estimer les paramètres du

modèle de régression logistique lorsqu'une partie ou l'ensem

ble des v a r i a b l e s explicatives est de nature quantitative.

En pratique, dû entre autres à la complexité des équations à

résoudre, l'application de cette méthode est impensable sans

l'aide d'un programme informatisé.

Dans l'espoir que le contenu de cette thèse présente une

certaine utilité en recherche appliquée, nous avons cru bon

d'y inclure une d e s c r i p t i o n des deux programmes^ que nous

avons utilisés dans cette recherche, soit le programme PLR

du progiciel BMDP (BioMeDical computer Programs) (Dixon,1983)

et le programme PROBIT du progiciel SPSSX (Statistical Packa

ge for Social Sciences, version 1986, 2e édition). Cependant,

JA notre connaissance, le progiciel SAS n'offre pas de routine permettant d'effectuer une analyse de régression logistique avec variables indépendantes quantitatives.

72

pour restreindre cette partie essentiellement descriptive à

des dime n s i o n s raisonnables, notre disc u s s i o n de chaque

routine sera brève, se limitant aux renseignements pertinents

à la s i t u a t i o n où il y a au moins une variable continue

(données non regroupées). Le lecteur intéressé à obtenir une

d e s c r i p t i o n plus détaillée des possibilités ainsi que des

modalités d'utilisation de ces programmes est invité à con

sulter les manuels de ces deux progiciels.

L'exemple que nous utiliserons pour illustrer les carac

téristiques des deux progiciels est tiré de l'étude de

Dagenais (1984) que nous avons sommairement décrite au chapi

tre I. Résumons le contexte de cette étude. L'objectif de

l'auteure était esse n t i e l l e m e n t de prédire les chances de

succès, i.e. de réussir la première année du Baccalauréat à

partir de données concernant les étudiants admis au programme

d'administration des affaires de l'Ecole des H.E.C. de M o n

tréal au cours des années 1979 et 1980. Dans cette étude,

portant sur 824 sujets, trois variables ont été utilisées

pour prédire le succès futur dans le programme et par le fait

même étudier la validité du processus de sélection. Pour

atteindre cet objectif, Dagenais a recouru au modèle probit

(voir chapitre trois).

Grâce à la co l l a b o r a t i o n de l'auteure, nous avons eu

accès aux données complètes pour les 824 sujets de l'étude.

Ces données réelles, touchant un problème important du domai

ne de l'éducation, celui de la sélection de futurs étudiants,

nous ont servi à deux fins: ( 1 ) illustrer les résultats

fournis par deux programmes de régression logistique; (2 )

comparer ces résultats à ceux obtenus par Dagenais par la

méthode probit.

Voici la description des variables utilisées. La varia

ble dépendante SU60 prenait la valeur "1" si l'étudiant était

admis en deuxième année du programme et "0 " s'il y avait

abandon ou échec en 1ère année. Parmi les 3 variables indé

pendantes, deux étaient de nature continue: il s'agit du

résultat moyen au niveau collégial (SCZ), normalisé en fonc

tion de la m oyenne du groupe de référence, et du résultat

moyen obtenu par le candidat aux tests d'admission adminis

trés par l ' é t a b l i s s e m e n t (T). Finalement, on a considéré

l'année ( 197 9 ou 1980) où le candidat fut admis dans le

programme comme troisième variable indépendante, qualitative

cette fois (D), afin de tenir compte des différences pouvant

exister entre ces deux groupes d'étudiants.

742.4.1 Description du programme BMDPLR

Le programme PLR du progiciel BMDP permet de procéder à

une analyse de régression logistique avec une ou plusieurs

v a r i a b l e s indépen d a n t e s q u a ntitatives et/ou qualitatives

ainsi que leurs interactions. Nous n'analyserons pas une

p a r t i c u l a r i t é de ce p r ogramme consistant à effectuer une

sélection des "meilleures" variables indépendantes à l'aide d'une procédure hiérarchique (STEPWISE) similaire à celle que

l'on r e ncontre en régre s s i o n linéaire multiple. Dans le

cadre de cette thèse, nous nous sommes plutôt intéressé à

co nserver toutes les variables en les "forçant" à demeurer

dans l'analyse. Voici donc, au tableau 2.1, les commandes

BMDP pour analyser les données de Dagenais.

T ableau 2.1 Exemple des commandes BMDPLR pour l'exécution ________________d'une analyse de régression logistique.__________

PROGRAM CONTROL INFORMATION/:tÊ£kT YARTABLAS ARE 6. „FORMAT ÎS • (F3.0,6X,FZ.0,3X,/=5\0,4X,F4..0,7X,FL.0,6X,F2.0) 1

Un I T a o ./VARIABLE n a m e s ARE MT,D,SCZ,M0Yl,SU60,T./t ^ 5 s2 '3 '5 '6 '-

IF (D EQ 79) T H E N D =■ 1 .IF CD EQ 80) THEN 0 = 8 ./RE&RESS DEPENDANT = SUfeO,

INTERVAL - SCZ,T.CATE&ORICAL = D.M0DEL=£>,SCZ, T.START = Tw, tH, W .MOVË -0.0/0,/PRrwr CEULSrMODEL.S0RT=P0TH.

75

Quelques commentaires sur les commandes de ce tableau:

a) /INPUT spécifie le nombre et le format (i.e la

position) des variables ainsi que le

support où elles sont emmagasinées.

b) /VARIABLE les noms des variables y sont précisés. La

position qu'occupe chacune des variables

retenues dans cette analyse est précisée

grâce au sous-paragraphe USE=

c) /TRAN a pour objectif de transformer les variables

Ici, les valeurs 79 et 80 (i.e. 1979 et

1980) sont transformées en 0 et 1, redéfi

nissant ainsi la variable catégorielle D .

d) /REGRESS : permet d'identifier les variables dépendante

et indépendante(s ) ainsi que la nature de

ces dernières.

-L'énoncé DEPENDANT=SU60 indique que c'est la variable SU60

qui est la variable dépendante. SU60 valait "1" si l'étu-

diant(e) concerné(e) avait g r a d u é (e) en deuxième année

(succès) et "0" (échec) dans le cas contraire. Cet énoncé

7 6

a aussi pour rôle de p r éciser que le résultat à cette

variable est fourni, pour chaque observation et ne se

présente pas sous forme de fréquences (variables indépendantes catégorielles).

-Les énoncés INTERVAL— et CATEGORICAL— permettent d'identi

fier le type de v a riables indépendantes utilisées. Dans

cette analyse, les variables indépendantes SCZ et T étaient

de nature quantitative (ou INTERVAL) tandis que la variable

indépendante D est de nature qualitative ("CATEGORICAL"). Il

est à noter que pour chaque variable catégorielle, PLR

génère un ensemble de variables factices, une de moins que

le nombre de catégories de la variable. A l'intérieur de

cette procédure il est possible de choisir parmi trois types

de codage factice soit sous forme de contrastes marginaux

(utilisé par défaut), de contrastes partiels ou de contras

tes orthogonaux.

-L'énoncé MODEL= fournit la liste des variables indépendantes

que l'on veut considérer dans l'analyse.

-L'énoncé START= indique, lors de l'application de la procé

dure "stepwise", quelles variables indépendantes on désire

conserver dans tous les modèles. Ici, le IN devant chacune

de nos 3 var i a b l e s indépendantes indique que l'on désire

c o n s e r v e r chacune d'entre elles dans tout modèle investi

gué. En fait, on n'aura ici qu'un seul modèle, celui in

cluant toutes les variables indépendantes mentionnées ici.

-L'énoncé MOVE- est surtout utile lors de l'application de la

pro c é d u r e "stepwise" ; elle indique le nombre maximum de

fois qu'un terme du modèle peut y être inclus ou en être

exclu. Ainsi, la présence des trois "0" a pour effet d'an

nuler cette procédure "stepwise" qui autrement s'effectue

rait automatiquement.

e) /PRINT : permet de spécifier dans quel ordre les

résultats de l'analyse (probabilités prédi

tes, 1 o g odds etc...) a p p araîtront à la

fin de la sortie. Ainsi, CELL- MODEL signi

fie que des résultats seront fournis pour

chaque ensemble distinct des variables

indépendantes et S0RT=B0TH implique qu'ils

apparaîtront par ordre croissant de probabi

lité de succès et ensuite selon les valeurs

observées aux variables indépendantes.

Il est également p o ssible de c o nsidérer dans une analyse

toute interaction entre deux ou plusieurs variables (i.e. le

produit de ces variables). Ces interactions sont spécifiées

à l ' i n t é r i e u r de l'énonce MODEL= en reliant par un asté

risque (*) les variables impliquées. Il est également possi-

le de contrôler les calculs inhérents au processus itératif

de calcul des estimés du ma x i m u m de v r a i s e m b l a n c e (i.e.

nombre maximum d'itérations et valeur du critère de conver

gence, etc.).

2.4.2 Description du programme PROBIT de SPSSX

La p r o c é d u r e PROBIT, comme son nom l'indique, calcule

les estimés du maximum de vraisemblance des paramètres d'un

modèle probit. Elle peut également, en dépit de son nom,

effectuer une analyse similaire pour un modèle de régression

logistique et permet de considérer des variables explicati

ves aussi bien catégorielles que continues. Cependant, dans

ce dernier cas, la procédure est moins efficace qu'en p r é

sence de variables exclusivement catégorielles.

En effet, en présence de variables continues, les don

nées numériques sont fournies pour chaque observation alors

que le pro g r a m m e a été a priori conçu pour analyser des

données groupées, considérant les fréquences de succès obser-

vées pour différentes catégories de variables indépendantes.

Malgré cette incompatibilité, le programme estimera correc

tement les estimés des paramètres et leurs erreurs - types mais

fournira un averti s s e m e n t à l'effet que la valeur du test

d'ajustement (X^) est incorrecte dans cette situation. Voici

les commandes que nous avons utilisées lors de l'application

du programme PROBIT aux données de Dagenais.

Tableau 2.2 Exemple de commandes SPSSX pour l'exécution d'une analyse de r é g r e s s i o n logistique à l'aide du

______________ programme PROBIT________________________________________

DATA LIST FILE = FT08F001 F I XED/MAT , D ,SCZ,MOY1,SU60,TTT(F3.0,6X,F2.0,3X,F5.0,4X,F4.0,7X,Fl.0,fex,F2.0)RECODE D (79=1) (80=-l)COMPUTE SUJE T = 1PROBIT SU60 OF SUJET WITH SCZ T D/MODEL = LOGIT/L0G=N0NEBEGIN DATA END DATA FINISH /*//

Voyons maintenant la signification des principaux énoncés.

a) DATA LIST

b) RECODE

c) COMPUTE

d) PROBIT

: permet à l'usager de fournir la liste des

variables qu'il compte utiliser.

: sert ici à donner les nouvelles valeurs "0 "

et 1 à la variable D.

: est utilisé ici pour créer une nouvelle

v a riable spécifiant que les observations

doivent être considérées individuellement.

Cette spécification est nécessaire lorsque,

comme c'est parfois le cas en régression lo

gistique,les données ne sont pas regroupées.

: exige d'abord que l'utilisateur identifie la

var i a b l e dépendante et précise de quelle

façon ses valeurs seront fournies à l'ordi

nateur. Ainsi SU60 OF SUJET indique que la

v aleur pour la variable SU60 est fournie

pour chaque observation puisque l'on a p r é

cédemment assigné la valeur "1 " à la varia

ble SUJET. Il faut ensuite définir les v a

riables indépendantes qui doivent, si elles

sont continues, être précédées de WITH.

81

-La sous - commande MODEL= sert à spécifier la forme du modèle

u t ilisé pour prédire la variable dépendante binaire. Ici

BOTH signifie que les deux modèles disponibles, probit et

logit, seront utilisés successivement. Cependant, un seul

modèle ne peut être spécifié à l'intérieur d'une commande PROBIT.

-La s o u s -commande LOG-NONE indique qu'aucune transformation

logarithmique des variables prédictrices ne sera effectuée.

Cette spécification est essentielle si l'on désire effectuer

une analyse de régression logistique.

-La sous - commande PRINT-FREQ permet l'impression d'une table

des fréquences ou p r o babilités observées et prédites par

1 'équation.

Il est aussi possible de contrôler le nombre maximum d'itéra

tions et le critère de convergence pour cette procédure.

2.4.3 Résultats obtenus via BMDPLR

La sortie d ' o r d i n a t e u r obtenue grâce aux commandes

décrites précédemment pour la procédure BMDPLR est présentée au Tableau 2.3.

8 2

Ta b l e a u 2.3 Résultats produits par l'analyse de régression logistique effectuée par le programme BMDPLR sur les données de Dagenais (1984)

P A G F. 6 H M I M’Lr1

S T E P n u m b e r n

A P R I L 17, 1 Q H S 11 : n :3P

G 0 0 0 N E S S VF F I ! C H I - S U G O O D N E S S OF Fi l C U T - S O G O O D N E S S OF F I T CHl-.SU

T E R *

0sczTC O N S T A N T

L O G L I K E L I H O O D = ( 2 * 0 * 1 N (0/h ) ) =( P. M O S H E R ) = ( C . C . H R O w N ) =

C O E F F I C I E N T

C .2865'!0 . H 6 1 '110 . i t s s o- 3 . 0 3 8 8

-•■iso . 1 Ps •510.111

« . 6 7 3 3 . 2 6 6

s t a n d a r dE R R O R

0 . F r H i 6 D . F r «n . F : r ?

C O K F f / S . E .

v - v a l u F = n . n i ?p _ V A L l lE = 0 . 7 9 2P - V A L U F = 0 . 1 Q S

0 . 8 0 6 3 E - 0 1 3.s7<50 . 1 7 6 8 « . 8 7 20 . 2 0 9 0 F - 0 1 5 . 5 2 50 . 6 7 3 7 — a . s 1 1

C O R R E L A T I O N M A T R I X OF C O E F F I C I E N T S

S C ?

0sczTC O N S T A N T

1.000 0 . 0 5 6 0 . 0 3 «

- 0 . 0 3 2

1.0000 . 2 2 5

- 0 . 3 0 61.000

- 0 . 9 8 9

S T A T I S T I C S T O FNTEft U R R E M O V E T E R M S

T E R M F T O " D . F . D.F ,

00S C Zs c zTTC O N S T A N T

A P P R O X .F TO

ENTER

C O N S T A N T

1 . 0 0 0

A P P R O X .F TO D . F . D . F .

RE M O V F P - V A L U E

1 2 . 9 5 1 8 1 9 0 . 0 0 0 3IS IN M A Y Mil T BE RF M O V E D .

2 a . 01 1 H 1 9 0 . 0 0 0 0IS IN M A Y N O T BE R E 11V F 0 .

3 0 . 8 7 1 8 1 9 0 . 0 0 0 0IS IN M A Y M O T HF R E M O V E D .IS IN M A Y M O T BE RE M O V E D .

N O T E R M P A S S E S T H E R E M O V E A N D E N T E R L I M I T S ( 0 . 1 5 0 0 0 . 1 0 0 0 ) .

S U M M A R Y D E S C R I P T I O N OF C E L L S . C E L L S A R E F O R M E D B Y A L L P O S S I B L E C O M B I N A T I O N S OF V A L U E S OF V A R I A B L f

N U M B E RS U C C E S S

N U M B E Rf a i l

O B S E R V E D P R O P O R T I ON S U C C E S S

P R E D I C T E DP R O B . O FS U C C E S S

S , D . OF P R E D I C T E D

P R O H .

O B S - P R F O

s T d T r e s T

P R E D .L O G

O D D S D s c z 1

0 l 0 . 0 0 . « 7 6 7 0 . 0 5 2 2 - 0 . 9 5 9 8 - 0 . 0 9 3 0 . 0 - 0 . 6 7 3 3 . 0 01 0 1 . 0 0 0 0 0 . 5 9 7 0 0 . 0 5 2 9 0 . 826(4 0 . 3 9 3 0 . 0 - 0 . 6 « 3 7 . 0 00 l 0 . 0 o . a 5 9 ¿4 0 . 0 5 0 « - 0 . 9 2 6 5 - 0 . Ib3 0 . 0 - 0 . 6 2 5 2 . 0 01 0 1 . 0 0 0 0 0 , 6 0 « o 0 . 0 5 1 5 0 . 8 1 3 1 0 . « 25 0 . 0 - 0 . 6 0 3 7 . 0 01 0 1 . 0 0 0 0 0 . 5 5 1 7 0 . 0 « 9 8 0 . 9 0 5 g 0 . 2 0 8 0 . 0 - 0 . 5 9 3 5 . 0 01 0 1 . 0 0 0 0 0 . 5 8 2 « 0. 0 « 9 9 0 . 8 5 1 1 0 . 3 3 3 0 . 0 - 0 . 5 8 3 6 . 0 01 0 1 . 0 0 0 0 0 . 5 8 5 3 0 . 0 « 9 y 0 . 8 4 5 9 0 , 3 « 5 0 . 0 - 0 . 5 6 3o .000 1 0 . 0 0 . « 7 5 b 0 . 0 « 7 9 - 0 . 9 5 6 « - 0 . 0 9 7 0 . 0 - 0 . 5 « 3 2 . 0 01 0 1 . 0 0 0 0 0 . S b 6 b 0 . 0 « 7 2 0.878*, 0 . 2 6 8 0 . 0 - 0 . 5 2 3 5 . 0 01 0 1 . 0 0 0 0 0 . 5 6 7 2 0 . 0 « 7 1 0 .877<5 0 . 2 7 1 0 . 0 - 0 . 5 2 3 5 . 0 0

83

Examinons, dans l'ordre, les renseig n e m e n t s que fournit

dans le tableau.

1) Le l o garithme de la vraisemblance, i.e. le log de la

valeur maximum atteinte par la fonction de vraisemblance

et qui a détermine le choix des valeurs des estimés des

coefficients de régression logistique.

2) La valeur, le nombre de degrés de liberté et la significa

tion statistique associés à trois tests de qualité d'ajus

tement du modèle estimé. Il s'agit des tests de Hosmer et

de Brown décrits aux section 2.3.1 et 2.3.2, et d'un

troisième test faisant intervenir le rapport des fréquen

ces o b servées et des fréquences prédites pour chaque

cellule. Tel que souligné précédemment, la valeur calcu

lée pour ce dernier test constitue un résultat invalide

lorsque les fréquences observées sont plus petites que 5,

ce qui est généralement le cas en présence d'au moins une

v ariable indépendante continue. En ce qui concerne le

test d'Hosmer, il semble que la valeur calculée pour ce

test par le programme PLR ne soit pas très fiable. C'est

à la suite d'une vérification et d'un échange avec le Dr

David Hosmer, auteur du test, que nous avons pu confir

mer nos doutes. Il ne fut cependant pas possible de

d é t e r m i n e r s'il s'agit d'un biais systématique pouvant

être corrigé a postériori. L' u t i l i s a t e u r serait donc

avisé de ne prendre aucune décision sur la seule base du

résultat à ce test. Pour les données ci-dessus, comme les

tests d'Hosmer et de Brown ne sont pas significatifs, cela

indique que le modèle logistique paraît convenir.

3) Les coefficients de régression, leur erreur-type et leur

rapport constituant un test d'hypothèse (test t) sur la

nullité des p a ramètres correspondants. Ci-dessus, les

trois coefficients de régression logistique ainsi que la

constante sont tous significativement différents de zéro,

puisque toutes les valeurs des tests t excèdent 2 .

4) La matrice de corrélation asymptotique des coefficients de

régression. Ces valeurs sont rarement utiles sur le plan

pratique.

5) L ' i m p r e s s i o n des statistiques utilisées pour ajouter ou

exclure les termes du modèle lorsqu'on fait appel au

p rocessus de s é lection hiérarchique (stepwise), ce qui

n'est pas notre cas ici.

84

85

6 ) Un tableau des fréquences ou des proportions observées de

succès (Y-l) et d'échec (Y=0), On remarque ici qu'elles

sont r e s p e c t i v e m e n t de 1 et 0 puisque les observations

sont c o n s i d é r é e s individuellement, conséquemment à la

nature continue des variables SCZ et T. Ce tableau four

nit également la probabilité de succès prédite par l'équa

tion de régression logistique, les erreurs - types de ces

prédictions et le logit (log p/(l-p)) correspondant à

la p r o b a b i l i t é prédite pour chaque individu ou pour

chaque profil distinct issu du recoupement de variables

indépendantes catégorielles.

2.4.4 Résultats obtenus via SPSSX

Voici quelques c o mmentaires sur les renseignements

fournis au tableau 2.4 par le progiciel SPSSX, précisons que

ces résultats sont similaires à ceux fournis lorsqu'il s'agit

d'une analyse probit.

1) SPSSX fournit d'abord deux informations concernant le

processus de calculs itératifs utilisé pour estimer les

paramètres du modèle logit ou probit (selon la commande)

par la méthode du maximum de vraisemblance.

86

Tableau 2.4 Résultats types produits par le programme Probit de SPSSX pour l'analyse de régression logistique (ou l'analyse probit) effectuée sur les données de Dagenais (1984).

is Apr es ! 0 : 3 7 : a 8

S P S S - * R E L E A S E 2 . 0 F O R I B * O S U N I V E R S I T E L A V A L IBM « 3 8 1 M v S / S P OS

i t * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * p R Q f c l T A N A L

J t C O m ' v E R G E D AT I T E R A T I O N 7. TH E C O N V E R G E C R I T E R I O N = . 0 0 0 0 0

P A R A M E T E R E S T I M A T E S ( L O G I T M O D E L )

Y S I

R E G R E S S I O N C O F F E , S T A N D A R D E R R O R

3 C ZTTT

.28b 5«

. « 3 0 8 7 , 0 5 7 7 b

.08063 ,0 8 8 « 1 .0 10-45

COEFf ,/S.E.

3 . S 7 0 1 S « . P7 35 ' 5.S26Î«

I N T E R C E P T

3 . 3 3 5 8 1

S T A N D A R D E R R O R

, 3« 0 5 1>

G U O O N E S S - O F - F I T C H I S Q U A R E = 8 1 0 . 8 9 5

I N T E R C E P T / S . E .

9 . 7 9 5 1 a

DE = 8 2 0 P - .583

S I N C E G O O D N E S S - O F - F I T C « I S Q U A R E IS N O T S I G N I F I C A N T , n 0 HE T E R C G E NE I T Y F A C T O R 13 U S E D IN TH E C A L C U L A T I O N OF C O N F I D E N C E L I M I T s .

C O V A R I A N C E ( B E L O W ) A N O C O R R E L A T I O N ( A H O V E ) M A T R I C E S OF P a = a « e t E s E M T » ; T c :

n5 C 7TTT

.00650

. 0 0 0 « 0

. 0 0 0 0 3

scz. 0 5 5 6 9. 0 0 7 8 2. 0 0 0 2 1

TTT

,03«27 . ? ? « 7 3 . 0 0 0 1 1

OB SERVED AND E X PEC TED F R E QUE NCI ES

SCZ

- . « 1-.02• 02 .0«

•.02 09 .1“ ¡tfi ■133

- . 2 1 .09 . 1 0 ¡15.:il:18:*? 153

-.80 ■>2 -.39 • -02

TTT 0n u m b e r (IF SUBJECT S

riBSERvFDR E S P O N SFS

2«. 00 -1 .00 1.0 .022,00 1 .00 1.0 .022.00 1.00 1.0 1 .02 « . 00 1.00 1.0 .026,00 1.00 1.0 .02 « . 00 1.00 1.0 .023.00 -1.00 1.0 .023,00 -1 .00 1.0 .029.00 -1 .00 1.0 1 *227.00 -1.00 1.0 1.025.00 1 .00 1.0 1.025.00 -1 .00 1,0 •22«. 00 -1.00 1.0 .021.00 1 .00 1.0 ' *231.00 1.00 1.0 1 *225.00 -1.00 1.0 1 -225,00 -1.00 1.0 1 .023.00 1 .00 1.0 > *221,00 1 .00 1.0 •222,00 1.00 1.0 .032,00 1 .00 1.0 > *232.00 -1.00 1.0 .030.00 -1.00 1.0 .028.00 1 .00 1.0 .0

EXPECTEDt-^SPONSES RESIDUAI. PROB

.287 -.287 .28720

.««« -.««« .««375

.«53 ,5«7 .«5313,514 -.51« . 5 1 « 1 9.559 -.559 ,559y 0.525 -.525 ,52«95. 366 -.366 .36553.375 -.375 ,37« 7 7,U36 .56« .«3561.«03 .597 ,«0266.55« , « «6 . 55U50.«13 -.«13 .«130«.396 -.396 .39580.«9 1 .509 .«9068.578 .«22 .57806.«29 .571 .«2921, « 3« .566 .«3«50, 5 « 0 .«60 .5397«.533 -.533 ,53307.562 -.562 ,5621 1.563 .«37 .56330,«59 -.«59 .«5929,«50 -.«50 ,««965.615 -.615 .61«52

87

2) Les estimés des paramètres du modèle incluant la constante

d'ajustement. Les erreurs - types de ces coefficients

ainsi que la valeur du rapport de ces deux informations permettent d'effectuer des tests d'hypothèse.

3) Un test de qualité d'ajustement du modèle estimé. Rappe

lons qu'ici, c o n s équemment à la nature des variables

indépendantes, la valeur fournie est suspecte.

4) La matrice de covariances des estimés des paramètres est

fournie dès qu'il y a plus d'une variable prédictrice dans

le m o d è l e .

5) Une section nous renseignant sur les probabilités prédites

par le m o d è l e .

2.4.5 Comparaison des résultats produits par BMDP et SPSSX pour la régression logistique

Avant de p rocéder à la c o m p a r a i s o n systématique des

méthodes d'analyse logit et probit, qui fera l'objet du

p r ochain chapitre, nous avons cru bon de vérifier si les

outils informatiques dont nous disposions étaient fiables.

88

Nous avons donc appliqué la méthode de régression logis

tique aux données de Dagenais (1984) à l'aide des deux progi

ciels, SPSSX et BMDP, et nous avons comparé les résultats

produits par ces derniers.

Rappelons les principaux résultats fournis par SPSSX:

b Sb t

D .28859 .08063 3.57915

SCZ .43087 .08841 4 .87355

T .05776 .01045 5.52614

istante 3 . 33581 .34056 9.79514

et les résultats correspondants fournis par BMDP:

D

SCZ

T

b

.28854

.86141

.11550

constante -3.0388

Sb

08063

1768

0209

6737

t

3 .579

4 . 872

5 . 525

-4 . 511

Nous pouvons im m é d i a t e m e n t remarquer une disparité entre

certaines valeurs des coefficients (b) obtenues par les deux

progiciels. Il existe cependant un lien entre ces deux séries

de résultats qui nous permet de prouver qu'ils sont équivalents, en dépit des apparences.

Tout d'abord, avec BMDP, en présence de trois variables

indépendantes par exemple, les estimés bg, b]_, b 2 , bj sonttels que :

X'£e

P(Y-l) - P - ___________X'£

1 + e

C'est dire que les estimés de coefficients fournis par BMDP

sont ceux qui s'intégrent directement au modèle de base de la

régression logistique pour fournir l'estimé de probabilité

d'un succès. Bien entendu, si l'on considère l'expression

X ' £ en dehors du modèle ci-dessus, on a alors affaire au

logit de P, i.e,

LOGIT (p) = log p/(l-p) = bg + b^X^ + b 2 X 2 + b 3 X 3

La différence observée entre les deux progiciels s'ex

plique en ce que 1 'expression X'£ lorsque les estimés des

coefficients sont ceux fournis par SPSSX ne correspond pas à

LOGIT (p) mais à une transformation de ce dernier (SPSSX, 1986, p. 605):

90

i.e. Tr (p ) — ( bQ + b^X]_ + b 2 X 2 + b 3 X 3 ) /2 + 5

- (b0/2 + 5) + (bx/2) X X + (b2 /2) X 2 + (b3 /2) X 3

” Bq + B^X]_ + B 2 X 2 + B 3X 3

où Bg , B]_, B 2 , B 3 sont les coefficients produits par SPSSX,

c o m p a r a t i v e m e n t aux coefficients bg, b^, b 2 et b 3 produits par BMDP.

Remarquons aussi que de (2.15) ci-dessus, on obtient

LOGIT (P) - 2 [ T r (P ) -5 ]

- 2 [ Tr(P) ] - 10 (2.16)

Cela est une autre façon de faire ressortir le lien entre

les solutions des deux logiciels. Ainsi, étant donné la

solution Tr(p) fournie par SPSSX, il suffit, en principe,

de multiplier celle-ci par 2 et d'y retrancher 1 0 pour alors

obtenir la solution issue de BMDP.

La solution fournie par SPSSX pour les données de Dage-

nais étant la suivante:

Tr(p) - [LOGIT (p)] /2 + 5 (2.15)

91T r (P ) = 3.35581 + .28859 D + .43087 SCZ + .05776 T,

en vertu de (2.16) nous obtenons:

LOGIT (p) - 2 [3.35581 + .28859 D + .43087 SCZ + ,05776T]-10

- [ 6.67162 + .57718 D + .86174 SCZ + .11552 T]-10

- (6.67162 - 10 ) + .57718 D + .86174 SCZ + .11552T

-3.32838 + .57718 D + .86174 SCZ + .11552T

versus

-3.3273 + .57708 D + .86141 SCZ + .11550 T

pour BMDP. Les solutions sont maintenant équivalentes j u s

qu'à la troisième décimale. La raison justifiant cette trans

formation est selon toute apparence de faciliter l'établisse

ment des relations avec le modèle Probit auquel SPSSX fait

subir une transformation similaire. Cette transformation est

appliquée systématiquement de façon à ce que les valeurs X'fi

v a riant entre -3 et +3 dans 99.74% des cas, varient, après

l'ajout de cette constante 5, entre +2 et + 8 qui sont, à

toute fin pratique jamais négatives.

CHAPITRE III

.0 INTRODUCTION

Dans ce troisième chapitre, nous traitons du deuxième

objectif que nous nous étions fixé dans cette recherche, soit

la comparaison de l'analyse de régression logistique, objet

du chapitre précédent, et de l'analyse probit, méthode que

nous avons déjà abordée au premier chapitre et dont nous

p r é s e n t e r o n s le modèle dans les pages qui suivent. Pour

effectuer cette comparaison, nous avons procédé en deux

temps. Nous nous sommes d'abord servie de données réelles

issues du domaine de l'éducation, puis, pour introduire plus

de contrôle et de rigueur, nous avons décidé d'évaluer les

deux méthodes statistiques appliquées à des données possédant

des caractéristiques prédéterminées et simulées à l'aide de

l'ordinateur selon la méthode dite de Monte Carlo. Par ces

deux voies, nous avons tenté de déterminer quelle approche,

entre l'analyse probit et l'analyse de régression logistique,

produit ou estime avec le plus de précision les probabilités

d 'un succès.

COMPARAISON DES ANALYSES LOGISTIQUE ET PROBIT

93

Avant d'aborder les aspects techniques de ces comparai

sons, parlons plus en détail de l'analyse probit.

3.1 L'ANALYSE PROBIT

Rappelons que le modèle probit repose sur la fonction de

répar t i t i o n de la loi normale, de sorte que la probabilité

d'un succès est fournie par:

r x'* -v2/2Pi = Prob (Yi-1) - 1 / e d v (3.1)

i-1,2.... n.

OÙ

X'fi = £0X0 + + . . . + % X k

et v est une variable normale centrée réduite(ou standardisée), i.e. v ~ N(0,1).

Soulignons qu'à titre de fonction de répartition, le

champ de cette fonction est restreint à l'intervalle [0 ,1 ],

remplissant ainsi une importante condition de la représenta

tion de la relation entre une variable dépendante dichotomi

que et un ensemble de variables indépendantes.

La méthode d'estimation des paramètres du modèle (3.1)

94

utilisée en présence de données individuelles ou non-regrou-

pées est, tout comme dans le cas du modèle logit, celle du

m a x i m u m de vraisemblance. A ce propos Hanushek et Jackson

(1972) nous semblent très bien résumer la situation:

"The probit model with micro-data is also estimated by maximum likelihood techniques. The derivation of this estimator can be obtained in the same fashion that exactly parallels the ML logistic estimator. Starting with the likelihood function, the standard normal distribution for the P^ can be substituted instead of the logistic distribution..." (p.204)

Soulignons, en passant, que le terme "probit" correspon

dant à une probabilité donnée est souvent défini comme étant

la valeur d'abscisse (désignée ci-dessus par v) associée à

cette p r o b a b i l i t é dans une d i s t r i b u t i o n normale avec une

moyenne de 0 et une variance de 1 . L ' i n t e r p r é t a t i o n du

modèle probit est alors simple: la probabilité qu'un événe

ment se produise est la proportion de la surface sous la

courbe normale centrée réduite comprise entre -°° et X'ü,

ce dernier étant une valeur sur l'échelle v.

Nous tenons aussi à attirer l'attention sur le fait que

le terme "probit" a souvent été associé à celui de "normit"

(normal unit). En général on emploie les définitions

suivantes (Zellner & Lee, 1965):

95

Normit P^ =■

Probit P^ - + 5 .

Selon ces définitions, le normit est ce que nous avons

défini précédemment comme étant le "probit" et le probit est

cette variable normale standardisée à laquelle on a ajouté la

valeur 5, i.e. le normit plus 5. L'ajout de cette constante

avait originellement pour but d'éliminer les valeurs négati

ves. Cette procédure n'a plus tellement sa raison d'être

avec l'utilisation de l'ordinateur, mais elle est malgré tout

encore en usage dans certains logiciels. Il semble bien que,

malgré la confusion qui peut résulter de cette terminologie,

l'on préfère conserver le terme d'"analyse probit" déjà en

usage pour qualifier ce groupe de méthodes.

3.1.1 Correspondance entre les paramètres des modèles logit et probit

Comme on peut le remarquer en examinant la Figure 1.1,

page 3 2, les ogives logistique et probit sont toutes deux

monotones et ont à peu de choses près la même forme i.e celle

d'un S incliné. Elles possèdent également les mêmes asympto

tes: 0 et 1. Leur principale différence se situe aux extré

mités des distributions où on observe que la courbe normale

96

cumulée (probit) s'approche des axes plus rapidement. Une

seconde différence, non visible cependant, se situe au niveau

de leur variance, celle-çi étant égale à tt2 /3 pour la fonc

tion logistique et à 1 pour la distribution normale standardisée (Am e m y i a ,1981).

Malgré ces dissemblances existant entre les deux fonc

tions, on peut se demander quel lien devrait exister entre

les paramètres des deux modèles pour que les deux courbes de

la figure 3.1 soient les plus rapprochées possible.

On serait tenté de croire que la valeur tt /y/3 (celle de

l'écart-type de la distribution logistique) joue un rôle dans

un tel rapprochement (Amemiya, 1981), mais il n'en est rien.

C'est plutôt soit en utilisant la constante 1.7 approximati

vement (ou son inverse, .59) que nous pouvons rendre dans

l'ensemble les deux courbes les plus comparables. Ainsi, si

nous désignons par £ tout paramètre du modèle logistique et

par fi son é q u i v a l e n t dans le modèle probit, et que nous

posons

fi - 1 . 7 fi*

i . e . (3.2)

97

fi* - fi/1.7 = .59 fi

alors les deux courbes, logistique et probit, sont les plus

rapprochées possible, ne différant d'ailleurs jamais de plus

de .01 l'une de l ’autre quant à leur hauteur (Lord et Novick,

1968; Lord, 1980).

3.1.2 Interprétation des coefficients des modèles logit et probit

Une fois que les paramètres d'un modèle logit ou probit

ont été estimés, on cherche ordinairement à donner une signi

fication aux valeurs obtenues. Il faut alors éviter d'inter

préter ces coefficients comme s'il s'agissait de coefficients

de régression multiple. Dans ce dernier cas, on sait que la

valeur d'un coefficient indique la quantité de changement au

niveau de la variable dépendante correspondant à une unité de

changement au niveau d'une variable indépendante, les autres

variables indépendantes demeurant fixes. En ce qui concerne

les modèles étudiés ici, la valeur numérique de chaque coef

ficient n'est pas directement interprétable comme elle l'est

dans le cadre de l'analyse de régression linéaire. Ainsi,

comme l'expliquent Fomby et al (1984):

98

"Estimated coefficients do not indicate the increase in the probability of the event occurring given one unit increase in the corresponding independent variable. Rather, the coefficient reflect the effect of F _1 (Pi) for the probit model and upon (Pi/Cl-P^)) for the logit model."(p.348)

Les poids ou coefficients associés aux variables indé

pendantes ne sont donc pas d i rectement comparables d'un

modèle à l'autre, car chacun d'eux mesure quelque chose de

différent. En effet, dans le cadre d'un modèle logistique,

le c o e f f i c i e n t de régression représente le changement au

niveau du logarithme naturel des "odds ratio" ou logit, i.e.

log (p/(l-p)) associé à une unité de changement de la varia

ble indép e n d a n t e tandis que, pour le modèle probit, une

valeur de b correspond à un changement au niveau de l'écart

type d'une variable normale standardisée.

Ces interprétations sont, de toute évidence, plus

appropriées puisque ce sont les logits et les probits qui

sont des fonctions linéaires des variables indépendantes et

non les probabilités elles-mêmes.

En fait, pour évaluer la relation entre un changement de

probabilité et un changement au niveau d'une variable prédic-

dictrice il faut utiliser la dérivée partielle de P par

99

rapport port à cette variable. De façon générale, ces

dérivées partielles pour les deux modèles sont égales à:

5 Pj - /Ui'S) Bj (3.3)

où /(X'B) est la fonction ou densité de probabilité concer

née. De façon spécifique, pour le modèle logistique, elle est

égale à (Judge et Lee, 1982):

-Xi'B

-2

[ 1 + e-Xi'B

ou encore à (Hanushek et Jackson, 1972):

Bj (P (1 - P)) (3.4)

Pour le modèle probit, la valeur correspondante est, selon

Fomby et al. (1982):

1 exp (-1/2 X'iß) 2 B 4 (3.5)y/ 2 7T

Conformément à la formule générale (3.1), /(X'fi) correspond à

la valeur de la fonction de densité normale au point X'B.

Notons, avant de compléter cette section, que le signe

(+ ou -) associé au coefficient logistique ou probit indique

la direction du changement au niveau de la probabilité mais

que l'ordre de grandeur de ce changement dépend des valeurs

de X considérées. C'est donc, en dernière instance, la valeur

de X'fi qui détermine le degré d'inclinaison de la courbe à ce

point: plus la pente sera forte, plus l'impact d'un change

ment au niveau de la valeur d'une variable explicative sera

importante.

3.2 CHOIX DES PROGICIELS

Tel que mentionné au chapitre précédent, pour s'assurer

de pouvoir effectuer une comparaison entre les résultats des

analyses probit et logistique, nous avons cru bon de vérifier

si les outils informatiques dont nous disposions étaient

fiables. La concordance entre les résultats (après transfor

mations) fournis par les logiciels BMDP et SPSSX pour la

régression logistique nous a rassuré quant à la fiabilité de

ces logiciels en ce qui concerne cette méthode.

1 0 1

Logiquement, il nous a fallu aussi procéder à une

vérification des résultats fournis par SPSSX pour la méthode

probit. C'est ainsi que nous avons comparé les résultats de

Dagenais (1984) à ceux obtenus en appliquant la procédure

PROBIT de SPSSX aux mêmes données. La concordance de ces

résultats ainsi que le fait qu'ils furent corroborés ensuite

par un autre progiciel, SOUPAC, développé à l'Université

d'Illinois (1976), nous ont rassuré quant à la fiabilité de

la procédure PROBIT de SPSSX pour effectuer l'analyse probit.

C'est cette procédure que nous avons d'ailleurs retenue pour

effectuer notre expérimentation.

Nous tenons également à justifier le choix du progiciel

BMDP pour effectuer les analyses de régression logistique

requises pour notre étude. Au chapitre précédent, nous avons

appliqué la régression logistique aux données de Dagenais via

les deux progiciels BMDP et SPSSX. Ces deux programmes ont

produit les mêmes coefficients (après avoir cependant effec

tué les transformations appropriées à la solution fournie par

SPSSX) et, plus intéressant encore, les mêmes probabilités

prédites. Même s'il semble que l'on puisse utiliser indiffé

remment les deux progiciels pour fournir les résultats des

analyses de r é g r e s s i o n logistique, nous avons fixé notre

choix sur le progiciel BMDP en grande partie à cause du plus

grand nombre de renseignements fournis. Nous avons malheu

r e usement constaté u l t é r i e u r e m e n t que des renseignements

c o n c e r n a n t certains tests d'ajus t e m e n t étaient erronés;

toutefois, cette situation n'affecte en rien la validité des

autres informations disponibles.

3.3 COMPARAISON DES RESULTATS DES ANALYSES PROBIT ET LOGISTIQUE POUR L'ETUDE DE DAGENAIS

Examinons maintenant les coefficients probit estimés à

partir des données de Dagenais par la procédure PROBIT du

progiciel SPSSX, plus- précisément la valeur de X'b:

3.03149 + 0.34823 D +0 .51629 SCZ + 0.06862 T

et rappelons les valeurs correspondantes dans le cas de la

régression logistique obtenues via BMDP:

-3.03880 + 0.28854 D + 0.86141 SCZ + 0.11550 T

Comme il était à prévoir, les modèles sous-jacents à ces

approches étant différents (voir (2.1) et (3.1)), les estimés

des coefficients de la régression logistique sont différents

des estimés des coefficients probit. Ce qui est remarquable

cependant, c'est que la relation entre les paramètres des

1 0 2

103deux modèles trouvée en (3.2) ne tient plus au niveau de

leurs estimés.

Pour comparer la qualité d'ajustement du modèle de

régression logistique à celle du modèle probit, nous avons

conservé la stratégie de l'auteure qui, pour évaluer la

qualité d'ajustement de son modèle, compara les probabili

tés moyennes prédites" par l'équation (2 .1 ) (après y avoir

substitué les estimés des paramètres) aux probabilités

moyennes observées pour chacune des 25 cellules regroupant

les sujets selon le quintile observé aux variables SCZ

(résultat académique normalisé) et T (résultat au test

d'admission).

Suite à une analyse fort laborieuse des données, nous

avons réussi à identifier les limites originales des quinti

les des variables SCZ et T, de façon à retrouver les mêmes

effectifs que Dagenais dans chacune des cellules. Le tableau

(3.1) fournit les résultats suivants: les limites des quinti

les pour chacune des deux variables impliquées, et, pour

chacune des cellules issues du croisement des quintiles, le

nombre d'observations qu'elle regroupe, la probabilité moyen

ne de succès observée, la p r obabilité moyenne de succès

prédite par le modèle probit et la probabilité moyenne de

succès prédite par le modèle de régression logistique. A

104

l'exception de ces derniers, qui constituent notre contribution personnelle, tous les autres résultats étaient déjà fournis au tableau 3 de l'article de Dagenais (1984, p.673).

Tableau 3.1 Pour les 25 cellules du tableau 3 de Dagenais (1984), le nombre de sujets (n) , la probabilité observée de succès (PO) , la probabilité moyenne de succès prédite par le modèle PROBIT (PPP) et la probabilité moyenne de succès prédite par le modèle de régression LOGISTIQUE (PPL).

SCORE Z1/5 2/5 3/5 4/5 5/5

T <-Quintile 1

302 Z s .007)Quintile 2

(.008 < Z < .266)Quintile

(.271 £ Z .3522)

Quintile (.523 < Z .848)

Quintile (.850 < Z < 1

5857)

TOTAL

n PO PPP PPL n PO PPP PPL n PO PPP PPL n PO PPP PPL n PO PPP PPL n PO PPP PPL

Quintile 5 (35*iT-40)

5/5 46 .78 .73 .72 39 .74 .81 .81 25 .76 .82 .82 30 .87 .86 .85 49 .92 .92 .91 189 .82 .82 .82 (.84)

Quintile 4 (33;T<35*)

4/5 59 .59 .65 .66 39 .77 .73 .73 31 .74 .78 .78 29 .90 .81 .81 36 .78 .86 .85 194 .73 .75 .75

Quintile 3(3l£T<32)

3/5 37 .65 .61 .60 25 .56 .67 .67 24 .75 .71 .71 28 .82 .77 .77 33 .85 .83 .83 147 .73 .71 .71 (.72)

Quintile 2 (28*<Ti30)

2/5 17 .59 .57 .57 42 .62 .61 .61 33 .79 .67 .67 29 .69 .70 .70 25 .72 .78 .77 146 .68 .66 .66(.67)

Quintile 1 (21iTi28*)

1/5 5 .20 .47 .46 20 .50 .50 .49 52 .58 .58 .58 49 .59 .64 . 63 22 .77 .71 .70 148 .59 .60 .60 (.61)

TOTAL 164 .65 .65 .65 165 .66(.6869)

.68 165 .70 .69(.70)

.69 165 .75 .74(.75)

.74 165 .82 .83(.85)

.83

N.B. Les ncr-bres entre parenthèses sont ceux qui apparaissent dans le tableau de Dagenais

Selon les valeurs marginales, il n'y a pas de différence

entre la probabilité moyenne de succès prédite par le modèle

probit et celle prédite par le modèle de régression logisti

que au niveau des quintiles pour chacune des variables consi

dérée isolement. Il existe cependant des différences lorsque

nous comparons les probabilités prédites moyennes pour les

deux modèles pour chacune des cellules. Ces légères diffé

rences, qui ne sont jamais plus grandes que .0 1 , se manifes

tent pour 11 des 25 cellules et favorisent le modèle de

régression logistique 7 fois sur 11.

Il nous a semblé que les divergences observées étaient

trop minimes pour conclure à la supériorité d'une approche

sur l'autre. Il ne faut cependant pas oublier qu'il s'agit

d'un cas très particulier et que l'unique critère utilisé

pour la comparaison des deux méthodes est lui-même discuta

ble .

3.4 REVUE DE LA LITTERATURE

En vue de procéder à une expérimentation systématique

pour comparer les deux méthodes, nous avons passé en revue

les recherches déjà effectuées en ce sens. Cette tâche nous

a révélé que depuis les années soixante, la supériorité

105

106

relative des deux approches logit et probit a été débattue

dans la littérature spécialisée, aussi bien en statistique

"pure" que dans des domaines appliqués aussi variés que

l'économique (participation de la main d'oeuvre), les rela

tions industrielles, le marketing (préférence des consomma

teurs) et la biométrie. On peut retrouver au tableau 3.2 un

résumé, inspiré en bonne partie de l'article de Malhotra

(1984), des principales études comparatives.

Tableau 3.2 Principales études ayant comparé les méthodes d'analyse logit et probit.

rilJTLUj.i VARIABLES N CRITERES CONCLUSION

falvitie v19/2; Catégorielles 20 criteres de classification et cratères basée» sur les valeurs prédites.

Les deux procédures ont fourni des résultats comparables, l'approche logit ayant une légère avance.

wJer i icr . wlendl x nq c-t tfudde (1978)

Catégor i el 1es 25 75

250 500

biais, variance et carré moyen de 1 erreur des esti més.

L'analyse probit fut supérieure à 1 analyse logit.

Gur.dsrson (1930) cont i nues 1598 comparaison subjective de 1 effet d u n e unité de changement à une variable indépendante sur P 1.

Résultats très similaires pour les deux approches.

Mdihotr« ( 198; > cateaori e iles 27 54 81 108 135 162 \S9 21b

analyse conjointe et validité prédietive.

Le modèle looit performe mieux pour les échantillons de lûd obs. et plus.

Certaines de ces études^ (Chambers et Cox, 1967; Milicer et Szczotka, 1965; Gunderson, 1980) n'ont pas fait ressortir

de d i f f é r e n c e s marquées entre les estimés des coefficients

logistiques (ou logit) et les estimés probit. Ces résultats

vont dans le sens de ces propos de Finney (1971):

" These two are very similar indeed in all respects except for very small or very large P and extremely large e x periments would be needed to show one as a better fit than the other." (p.49)

Burrel et aj . (1961), utilisant des données similaires à

celles considérées dans ces études et de petits échantillons

conclurent que le modèle logit permettait un meilleur ajuste

ment que le modèle probit. En 1972, Talvitie effectua aussi

une étude c o m p a r a t i v e mais en présence d'échantillons de

petite taille u n i q u e m e n t ( n- 2 0 ); il obtint des résultats

c o mparables pour les deux approches sauf pour l'un de ses

critères de comparaison où il observa une légère supériorité

de l'analyse logit sur l'analyse probit.

Seule l'étude menée par Werner, Wendling et Budde en

1978, conclut en la supériorité de l'analyse probit pour

différentes tailles d'échantillons ( n=»2 5 , 7 5 , 2 5 0 , 5 00 ) . Plus

^•Souvent, en plus de la régression logistique et de l'analyse probit, d'autres méthodes étaient simultanément considérées dans ces études comparatives.

107

108

récemment, les résultats d'études empiriques et simulées

effectuées par M a l h o t r a (1983) qui considéra huit tailles

d ' é c h a n t i l l o n s variant entre 27 et 216 observations, l'ont

amené à conclure que les deux modèles avaient une performance

compa r a b l e pour des tailles d ' é chantillons inférieure ou

égales à 108. Pour les échantillons plus grands, la méthode

logit s'avéra la plus précise en termes de validité prédicti

ve telle que définie par Wittink et Cattin (1981, p. 103).

Plusieurs critiques pourraient être formulées concernant

la méthodologie utilisée dans ces recherches. Nous en

soulèverons quelques-unes dans la section traitant de notre

propre devis expérimental.

3.5 QUESTIONS ET HYPOTHESES DE RECHERCHE

Nous p r é s e n t e r o n s ici les questions auxquelles nous

avons tenté de répondre dans le cadre de cette recherche,

questions qui ont bien entendu guidé le choix des différentes

particularités de sa méthodologie.

Rappelons d'abord que l'interrogation de départ ayant

motivé cette étude simulée était de savoir laquelle de

l'analyse de régression logistique ou de l'analyse probit

109

est la plus efficace pour prédire la probabilité que la v aria

ble dépendante prenne la valeur "1 " lorsque cette dernière est

binaire. Nous avons décidé de traduire cette interrogation

générale sous la forme de quatre questions plus spécifiques.

Ainsi, une première question à laquelle nous avons tenté

de répondre était de savoir si la méthode correspondante au

modèle ayant été utilisé pour générer les échantillons traités

s'avère supérieure, en termes de valeur prédictive, à la métho

de concurrente. A cette question nous avons émis une hypothèse

suggérée par la simple logique, voulant que, sous chacun des

deux modèles considérés, la méthode correspondant à ce modèle

est supérieure à sa rivale en termes d'une meilleure prédiction

de la probabilité de succès.

Une seconde q u estion à laquelle cette étude souhaitait

répondre était de déterminer l'effet de l'augmentation de la

taille de l'échantillon sur la performance relative des deux

méthodes appliquées à des données générées sous chacun des deux

modèles. Cette fois, l'hypothèse émise s'inspira, en plus de

la logique, de l'avis de plusieurs auteurs dont Finney (1971),

Chambers et Cox (1977) et Amemiya (1981) pour n'en citer que

quelques-uns, à l'effet qu'étant donnée la grande similitude

existant entre les deux distributions il faille un grand nombre

d'observations pour distinguer statistiquement les deux méthodes .

Dans un troisième temps, nous nous sommes interrogée sur

l'effet, au niveau de la performance relative des deux méthodes

d'analyse sous chacun des modèles investigués, de la présence

de différents degrés d ' i n t e r r e 1 ations entre les variables

i n d épendantes lorsque ces i n t e r r e 1 ations sont fortes (ces

interrelations pouvant être considérées comme une facette d'un

phénomène plus général désigné par le terme "multicolinéarité").

La possibilité d'une telle influence est soulignée par Malhotra

(1983) citant lui-même d'autres auteurs. Compte tenu des

similitudes relevées dans la littérature entre les méthodes

logit et probit d'une part et des liens entre le modèle logis

tique et celui de la régression linéaire d'autre part, nous

avons cru que la présence de relations linéaires entre les

prédicteurs peut avoir sur l'efficacité relative des deux

méthodes des conséquences similaires à celles observées sur les

estimés des coeff i c i e n t s de régression linéaire. Il est en

effet reconnu (Mansfield et Helms, 1982) que le principal

problème causé par la multicolinéarité concerne les estimateurs

des coefficients des variables impliquées dans la dépendance

linéaire lesquels possèdent alors une grande variance. Cette

grande variance implique que les estimés eux-mêmes risquent

d'être sérieusement sous ou surestimés entraînant alors poten

1 1 0

1 1 1

t i ellement la prédiction de valeurs éloignées des vraies v a

leurs. Nous avons donc supposé que les probabilités prédites

par les méthodes logit et probit pourraient aussi être influen

cées par la présence de corrélations entre les prédicteurs de

sorte que la supér i o r i t é de chacune des méthodes sous son

propre modèle aurait tendance à devenir de moins en moins

probante lorsque le degré de multicolinéarité augmente.

La quatrième et dernière question à laquelle nous avons

voulu répondre dans cette étude se résume ainsi: peu importe le

modèle ayant été utilisé pour générer les observations, existe-

t-il une m éthode supérieure à l'autre en ce qui concerne sa

capacité de "bien" prédire les probabilités d'un succès ?

Quelques importantes mises au point s'imposent ici au

sujet des hypothèses que nous avons avancées. Précisons tout

d'abord que bien que dans le cadre de recherches de type métho

dologique on ne rencontre pour ainsi dire pas d'hypothèses de

recherche, nous avons cru souhaitable, à cause notamment du

nombre considérable de résultats que nous avions prévu devoir

analyser, d'en formuler, dans la mesure du possible, pour

chacune de nos questions de recherche. Constituant avant tout

des réponses provisoires à nos questions, leur ultime raison

d'être fut de focaliser notre attention lors de l'analyse des

nombreux résultats recueillis. Conséquemment , elles ne possè

dent pas le caractère formel des hypothèses que l'on émet dans

le cadre de recherches ex p é r i m e n t a l e s et que l'on traduit

g é n é r a l e m e n t en langage statistique; elles ne sauraient non

plus prétendre relever d'une théorie sous-jacente.

Avant de pré s e n t e r notre devis expérimental, il nous

apparaît utile de résumer formellement les questions auxquelles

cette recherche a tenté de répondre ainsi que les hypothèses

correspondantes qui ont guidé l'analyse des résultats.

Question 1

La régression logistique s 1 avère-1 -elle supérieure à l'analyse

probit sous le modèle logit et l'analyse probit s 'avère-1 -elle

supérieure à la régression logistique sous le modèle probit ?

Question 2

La supériorité d'une méthode sur sa concurrente sous un modèle

donné est-elle fonction de la taille d'échantillon ?

Question 3

La supériorité d'une méthode sous un modèle donné est-elle

fonction du niveau d'intensité des interrelations entre les

variables indépendantes ?

113

De façon générale, pour les situations expérimentales étudiées

(tailles d'échantillon combinées aux intensités des interrela

tions entre les variables indépendantes), une des méthodes

d'analyse s 'avère-1 -elle supérieure à l'autre, peu importe le modèle considéré ?

Hypothèse 1

La méthode de régression logistique sous le modèle logistique

prédit mieux la prébabilité d'un succès (Y=l) que ne le fait

l'analyse probit et de façon similaire, sous le modèle probit,

la méthode probit l'emporte sur sa concurrente.

Hypothèse 2

La méthode de la régression logistique sous le modèle logit et

la méthode d 'analyse probit sous le modèle probit ont une

valeur prédictive d'autant supérieure à la méthode concurrente

que la taille de l'échantillon augmente.

Hypothèse 3

L'analyse de la régression logistique sous le modèle logit et

l'analyse probit sous le modèle probit perdent de leur supério

rité au fur et à mesure que le niveau des interrelations entre

les prédicteurs s'inten s if i e .

Que s t i on 4

114

Indépendamment du modèle considéré et pour chacune des situa

tions e x p é r i m e n t a l e étudiées, la méthode de la régression

logistique est supérieure à la méthode d'analyse probit.

3.6 LE DEVIS EXPERIMENTAL

3.6.1 Considérations générales

L'examen des aspects méthodologiques des études effectuées

dans le passé pour comparer, entre autres, la performance de la

méthode de régression logistique (ou méthode logit) et celle de

la méthode probit nous a permis d'identifier certaines limites

et nous a amenée à cons i d é r e r un devis expérimental un peu

particulier afin de poursuivre notre recherche.

Il va sans dire qu'on ne saurait que difficilement se

prononcer sur la supériorité d'une des méthodes d'analyse sans

exercer au p r é a l a b l e un contrôle rigoureux des conditions

susceptibles de l'expliquer, notamment en ce qui concerne la

distribution statistique sous-jacente aux données recueillies.

L'approche Monte Carlo que nous avons privilégiée pour effec

tuer cette étude c o m parative possède j u stement l'avantage,

comme l'ont souligné Goldstein et Dillon (1978), de permettre

Hypothèse 4

ce type de contrôle. Dans ce type d'étude, où les données sont

générées par ordinateur, nous pouvons en effet déterminer

exactement la (ou les) distribution(s ) statistique(s ) à partir de laquelle ces données sont créées.

Ce dernier aspect constitue d'ailleurs un premier point en

faveur de notre étude car la très grande majorité des recher

ches empi r i q u e s dont nous avons discutée précédemment n'ont

pas v r a i m e n t contrôlé la d i s t r i b u t i o n de probabilité sous-

jacente aux données utilisées. Les chercheurs ont généralement

eu recours à des données réelles pour générer leurs échantil

lons, donc provenant de distributions inconnues. Nous avons

donc décidé, par le biais de simulations, de contrôler la

d i s t r i b u t i o n stati s t i q u e (modèle logistique ou probit) des

données analysées. De plus, nous avons mis en place un dispo

sitif n d ' auto - contrô le " si l'on peut dire, en permettant à

chacune des méthodes de faire ses preuves non seulement sous le

modèle concurrent mais également sous son propre modèle, i.e.

appliquée à des données générées par la fonction de probabilité

correspondante. Aucune des recherches que nous avons recensées

n'a procédé ainsi, de façon à fournir aux deux méthodes des

chances égales de se faire valoir. Nous verrons dans la sec

tion portant sur la réalisation de l'expérimentation, comment

une telle chose était techniquement possible.

115

116

Nous avons également tiré profit de ce que ce type d'expé

rimentation permet de faire varier systématiquement différentes

conditions susceptibles de faire ressortir la supériorité d'une

des procédures, si elle existe. Les deux autres conditions

que nous avons retenues, telles que l'ont d'ailleurs laissé

entrevoir nos questions de recherche et qui sont susceptibles

d'influencer la performance relative des méthodes étudiées sont

la taille de l'échantillon et l'intensité des interrelations

entre les variables indépendantes.

Selon la revue de littérature effectuée, il semble bien

qu'à l'exception de Werner, Wendling et Budde (1978) et

Malhotra (1983) les auteurs n'aient pas pris soin de vérifier

l'effet de la taille de l'échantillon sur la performance de ces

approches. De plus, à l'instar de Malhotra (1983) nous avons

donc décidé de nous concentrer sur de petits échantillons. Ces

deux types de considérations nous ont amené à fixer les tailles

d'échantillons à 30, 50 et 100 observations.

De même, à l'encontre de ces auteurs et malgré une remar

que faite à cet effet par Malhotra (1983), nous avons décidé

de contrôler l'effet possible des i n t e r r e 1 ations , ou d'une

manière plus gén.rale, de la multicolinéarité, entre les varia- t

bles indépendantes, et d 'investiguer ainsi l'impact possible

d'un tel facteur sur la p e rformance relative des méthodes

d'analyse logit et probit. Nous avons donc décidé de considé

rer trois niveaux d'intensité des relations entre les variables

indépendantes: corrélations nulles (P=0), faibles (p=.3) et

assez fortes ( P-.7). Il devient ainsi possible de comparer la

situation où les prédicteurs sont indépendants avec celles où

ils sont corrélés plus ou moins fortement.

Les combinaisons résultant de l'association des facteurs

"taille d'échantillon" (trois niveaux) et "intensité des inter

relations entre les variables indépendantes" (trois niveaux),

constituaient donc neuf cellules ou situations expérimentales

différentes. Pour chacune de ces neuf situations, les données

devaient être générées sous chacun des deux modèles, logit et

probit C'est à ces données que les deux méthodes comparées

furent appliquées.

Ces différentes étapes devaient nous permettre de simuler

un devis expérimental dont la structure de base prenait l'allu

re d'un schéma 3x3 où, à l'intérieur de chacune des neuf cellu

les on peut distinguer deux modèles sous-jacents aux données,

le modèle logit et le modèle probit. Nous avons choisi de

représenter la charpente de ce devis par un seul et même gra

phique de façon à pouvoir y intégrer tous nos résultats tel que

le lecteur peut le voir au tableau 3.4 de ce document.

118

A cette structure de base, il nous faut ajouter les dé

tails importants suivants.

3.6.2 Nombre d'échantillons

Pour chacune des neuf situations, nous avons décidé,

entre autres pour limiter les frais informatiques, de générer

cent é c h a n t i l l o n s d'observations associés à une distribution

logistique ou p o s s é d a n t le modèle logit (2 .1 ) comme modèle

sous-jacent aux données, et cent échantillons de données tirées

de la fonction de répartition normale standardisée associée au

modèle probit (3.1). Ce nombre d'échantillons, retenu notam

ment par Pun (1981), nous a semblé un nombre respectable pour

permettre de dé t e c t e r des différences, s'il en existe, au

niveau de la performance des méthodes comparées.

Comme une seule des études recensées avait considéré une

variable quantitative parmi les variables indépendantes utili

sées, nous avons choisi de considérer uniquement des variables

indépendantes continues. Le nombre de ces variables fut fixé à

trois parce qu'il s'agit, selon nous, d'un nombre suffisant et

semble-t-il souvent retenu pour permettre de généraliser les

résultats obtenus à des situations impliquant un plus grand

119

En vue de générer les dix-huit séries de cent échantillons

(deux pour chaque s i tuation expérimentale) il nous a fallu

choisir la loi de probabilité selon laquelle les trois varia

bles indépendantes seraient générées. Notre choix s'est arrêté

sur la loi normale (multinormale) qui, en plus d'être une loi

fréquemment utilisée dans ce genre de recherche, nous a permis

de c o ntrôler plus facilemnent le degré de relation linéaire

entre les variables , X 2 et X 3 .

3.6.3 Création de la variable dépendante

Pour que les données de base soient complètes, aux obser

vations pour les trois variables indépendantes devait s'ajouter

une valeur générée pour la variable dépendante, soit 1 ou 0 ,

tout en nous permettant de distinguer les échantillons associés

au modèle logistique de ceux générés du modèle probit. Cette

valeur, notée YL sous le modèle logistique, et YP sous le

modèle probit, était assignée à chacun des triplets X^ selon la

p r obabilité calculée en substituant les valeurs X ^ , X 2 , X 3

générées pour une o b s e r v a t i o n aux variables indépendantes à

l 'intérieur soit du modèle logit, soit du modèle probit. La

stratégie utilisée généralement pour ce faire consiste à préle

ver al é a t o i r e m e n t une valeur (U) d'une distribution ou loi

nombre de variables indépendantes.

1 2 0

uniforme définie sur le segment [0 , 1 ] et de comparer cette

valeur à la probabilité déterminée selon le modèle logit ou le

modèle probit.

Pour assigner les valeurs 1 et 0 à la variable dépendante

YL ou Y P , nous avons appliqué la règle suivante:

1, si U < PLYL=

0 , si U > PL

e t

1 , s i U < P PYP =

0 , si U > PP

Ainsi, à titre d'exemple, si P L ^ , la probabilité obtenue

sous le modèle logit pour la première observation (X^, X 2 et

X 3 ) d'un échantillon était égale à .8 , toute valeur, provenant

de la loi uniforme, plus petite ou égale à . 8 déterminait

l'attribution de la valeur 1 à la variable dépendante associée

au modèle logit pour cette observation. La logique de cette

procédure est que la p r o babilité de tirer au hasard, d'une

distribution uniforme d'intervalle [0 ,1 ], une valeur égale ou

plus petite que . 8 est exactement égale à .8 .

1 2 1

Bien entendu, avant d'utiliser les modèles (2.1) et (3.1)

pour générer les valeurs PL et PP et éventuellement les valeurs

( 1 ou 0 ) pour la variable dépendante, il nous a fallu détermi

ner les valeurs des paramètres impliqués. Les valeurs fig= 0,

-3, & 2 = et ^ 3 = -7 furent retenues tout d'abord parce qu'elles accordaient une importance inégale aux trois varia

bles, situation d'ailleurs tout à fait réaliste. De plus, il

s'avère qu'en faisant appel à une distri b u t i o n trinormale

standardisée, ces valeurs de paramètres produisent, dans le cas

du modèle logistique, une probabilité de succès de . 0 1 pour un

profil X^'= [-3 -3 -3], de .50 pour X^' = [0 0 0] et de .99 pour

X^'= [3 3 3], ce qui nous a également paru raisonnable. Bref,

bien qu'arbitraires, ces valeurs de paramètres nous ont semblé

réalistes.

Afin de rendre plus comparables les résultats obtenus sous

le modèle logit et ceux obtenus sous le modèle probit, nous

avons exploité la relation déjà présentée en (3.2) i.e.

&*= .59fi (ou plus précisément .5875Ê). Les valeurs des paramè

tres du modèle probit furent donc fixées à £ 9 = 0. &i= .17625,

fi2= .29375 et ¿ 3 = .41125.

3.6.4 Sélection des valeurs des paramètres.

C'est dire qu'à partir du modèle logistique (2.1), la

probabilité d'assigner la valeur "1 " à la variable dépendante YL devait être égale à:

0 + .3Xl + .5X2 + .7X3P- Pr (YL-1) = __e ( 3 . 8 )

0 + .3XX + .5X2 + .7 X 31 + e

De même, pour le modèle probit, cette probabilité correspond à:

C'est à partir du modèle logistique (3.8) ou probit (3.9)

que toutes les valeurs de Y ont été générées tout au long de

cette recherche.

3.6.5 Application des méthodes d'analyse logit et probit

Une fois terminé le processus de génération des échantil

lons d'observations aux trois variables indépendantes et à la

variable dépendante sous les deux modèles, nous avons appliqué

e (3.9)

où X'£ - 0 + .17625XX + ,29375X2 + .41125X3

les méthodes d'analyse logit et probit à chaque échantillon de

données associées au modèle logit d'une part puis à celles

associées au modèle probit d'autre part. Ainsi les deux métho

des furent appl i q u é e s aux observations (YL^, , %-2i> ^3i)dans le cas du modèle logit et aux observations (YP^, X ^ , X 2 ±,

X^±) dans le cas du modèle probit. A partir des résultats de

ces analyses, plus précisément des probabilités prédites, nous

avons calculé, pour chaque échantillon, les mesures de perfor

mance décrites dans la section suivante.

3.6.6 Mesures de la performance

Pour comparer la méthode de la régression logistique et la

méthode probit en ce qui concerne leur capacité respective à

bien prédire ou reproduire les probabilités vraies, il nous a

fallu décider comment mesurer le degré d'accord ou la perfor

mance de chaque méthode quant à la reproduction des vraies

probabilités. Autrement dit, il s'agissait de mesurer jusqu'à

quel point les probabilités prédites par une méthode se rap

prochaient des vraies probabilités déterminées par l'expression

(3.8) ou (3.9). Cette idée de comparer probabilités prédites

et probabilités vraies est appuyée par Amemiya (1981) lorsqu'il

souligne que :

123

124"When one wants to compare models with different probability functions, it is generally better to compare probabilities directly rather than comparing the estimates of the coefficients even after an appropriate conversion." (p.1488)

Cette approche nous a aussi semblé pertinente parce

qu'elle permet, compte tenu du type d'expérimentation que nous

avons mené, de prendre en considération une information dont

nous ne disposons jamais en pratique, soit les "vraies" proba

bilités générées par la simulation. Ces mesures de performance

peuvent donc être considérées comme des mesures de "goodness-

of-fit", c ' e s t - à - d i r e comme des statistiques sommaires nous

indiquant la justesse avec laquelle un type d'analyse reproduit

les vraies probabilités.

Plusieurs critères faisant appel aux probabilités prédites

ont été proposés (Amemiya, 1981; Buse, 1972; Hosmer et

Lemeshow, 1980). Naturellement, aucune de ces mesures n'est

parfaite ou totalement satisfaisante. En fait, comme nous le

fait remarquer Amemiya (1981, p. 1503),

"...we should not expect to find a single criterion which is optimal for every occasion ..."

Dans un tel contexte, le même auteur va même jusqu'à suggérer:

"A sensible strategy would be to select two or three criteria and compare the results." (ibidem)

125

Suivant ce conseil, nous avons choisi les trois critères qui suivent.

Biais absolu (BA)

Une p r e m i è r e mesure de la perfo r m a n c e que nous avons

retenue fait appel, comme prévu, aux probabilités "vraies". Il

s'agit du biais absolu (BA) qui fut calculé pour chaque échan

tillon en utilisant la formule suivante:

nS I PPi - Pv i IBA - i-1______________________ (3.10)

n

Ce critère repré s e n t e donc la moyenne des différences, en

valeur absolue, entre la probabilité prédite (pp) par la métho

de utilisée et la probabilité vraie (pv) telle que déterminée

par le modèle sous-jacent. En pratique, pour ce critère "natu

rel" et facile à obtenir, on souhaite, bien entendu, que la

valeur calculée pour un échantillon de grandeur n soit la plus

petite possible. C o n s é q u e m m e n t , lors de la comparaison des

deux méthodes, nous avons considéré une méthode d'autant plus

efficace ou performante que la valeur de son biais absolu était

petite, traduisant ainsi une bonne approximation des probabilités v r a i e s .

126Biais pondéré (BP)

Le deuxième critère que nous avons utilisé est appelé

"biais pondéré" et s'inspire directement de celui utilisé par

O'Hara et al . (1982). Il consiste à considérer l'écart entre

la p r o b a b i l i t é prédite et la probabilité vraie, pondérée par

cette même probabilité vraie. Plus précisément, pour un échan

tillon de taille n, le biais pondéré a été défini comme

Notons que le "pv" au dénominateur du numérateur joue un rôle

pondérateur similaire à celui de la fréquence théorique dans la

statistique classique du chi-deux.

Somme des carrés des résiduels pondérés (SCR)

La troisième mesure de performance que nous avons choisie

est basée sur un critère très en vogue en régression linéaire;

il s'agit de la "somme des carrés des résiduels pondérée" dont

la formule de calcul est la suivante:

n£ (ppi - Pvi ) / pV;L

BP = i-1_______________________ (3.11)n

n ( Y i - PPi ) 2SCR = £ -_____________

i- 1 PPi ( 1 - PPi)(3.12)

Notons que c'est en effet à partir du numérateur de (3.12)

qu'est calculée la valeur du coefficient de corrélation inulti-Opie , fort populaire en régression linéaire. Comme le souli

gne Pun (1981), la somme des carrés des résiduels 2 constitue un

critère p a r t i c u l i è r e m e n t intéressant lorsqu'il est appliqué

dans le contexte de la prédiction d'observations futures ayant

des c a r a c t é r i s t i q u e s similaires aux observations servant à

déterminer l'équation de prédiction. On souhaite alors que la

m i n i m i s a t i o n du carré moyen de l'erreur pour les données en

main contribue également à minimiser la valeur du critère pour

les o b s e r v a t i o n s futures. Concernant l ' u tilisation de ce

critère dans le cadre de modèles impliquant une variable dépen

dante qualitative, Amémiya (1981) montre une certaine réticen-

"However, its use in qualitive response models cannot be defended as strongly as in the standard régression model because a qualitative response model is essentially a heteroscedastic régression model." (p.1504)

Il serait donc légitime, et c'est d'ailleurs ce que p l u

sieurs auteurs, dont Efron (1978), ont fait, de pondérer le

carré de l'erreur par une valeur inversement proportionnelle à

la variance i.e. p ^ l - p ^ ) de façon à tenir compte de l'inéga

lité des variances. Il semble en effet raisonnable (Amemiya,

2 0 n entend ici par résiduel la différence entre la valeur observée et la valeur prédite.

1981) d'attacher une perte plus importante à l'erreur résultant

de la prédiction d'une variable possédant une petite variance

qu'à l'erreur issue de la prédiction d'une variable ayant une

plus grande variance, la première devant logiquement être plus

facile à prédire que la seconde.

Une autre raison- militant en faveur du choix de la somme

des carrés des résiduels pondérés en (3.11) découle du fait que

si nous c o n naissons les probabilités vraies et que nous les

utilisions à l ' intérieur du dénominateur de ce critère, la

minimisation de ce dernier fournirait un estimateur de & asymp-

totiquement plus efficace que celui obtenu de la minimisation

de la somme des carrés de l'erreur non pondérée.

3.6.7 Réalisation de l'expérimentation

Na t urellement, la p r o d u c t i o n de la grande quantité de

données qu'exige la nature de cette recherche a nécessité le

recours à l'ordinateur par l'intermédiaire de trois logiciels

différents. Nous avdns dispensé le lecteur de la description

détaillée de chacune des lignes constituant ce programme. Nous

avons cependant regroupé en 7 sections les principales ins

tructions informatiques, présentés au tableau 3.3, de façon

à permettre au» lecteur de les associer aux différentes étapes

de la réalisation de notre expérimentation.

128

Tableau 3.3 Instructions informatiques associées aux ----------------- Principales étapes de l'expérimentation.

/ / e x e c S A SHMDP

0 A T A A ;00 A = 1 TO 2<J0;

_ . R ! = R A NNOR ( 6 0 2 1 « ) !a ) R2= R a N N O R ( S S 9 0 0 ) i

R 5= r a n n ü R ( 2 3 S 0 1 ) i P R 0 0 = R A N U N I ( Ü 9 2 6 6 )I

Pl2-.it P 2 2 = , 9 5 3 9 39 ;P13=,3;P 2 3 = , ? 2 0 1 ü ;P 3 3 = . Q 2 A 1 9 1 ;

X 1 =R 1 JX 2 = P t ? * R t + P 2 2 * R 2 ; X 3 = P 1 3 * R 1 » P 2 3 * H 2 » P 3 3 * R 3 ;

r j P L = E X P C . 3 * X ! + . 5 « x 2 + . 7 * x î ) / ( ( l » £ X P ( , î « X l + , 5 * x 2 * . 7 * X î ) ) ) J ° ) PP = PR0HN0RM ( , 1 7 6 2 5 » x l * . 2 <j 3 7 5 * x 2 * . < l l l 2 5 * x i ) ;

YL = 0 ;

I F PL LE PROB THEM YL = 0 ;I F PL GT PROB THEM Y L = 1 ;

YP = 0 ;

I F PP LE PRUB T h e m YP = 0 ;I F PP GT PRUB ThEM Y P = l ;

t C H = 3 0 ;GROUPES I N T C ( A - l ) / E C H ) + l ;I s A - f ( G R O U P È - n * E C H ) ;OUTPUT ;

END :PROC S ORT; BY GROUPE;

PROC BMOP PROG=QHUPLR ;VAR I GROUPE x i x 2 x 3 y l ;BY GROUPE;p a r m C a r o S ;

I / I N P U T UN I T = 3 . C O U E r ' A ' , C ON T E N T = ' DATA ' . / R E GR ES S DEPENDANT = Y L .

I N T E R V A L = X 1 , X 2 , X 3 .D V A R s P A H T ,

M Û D E L = X 1 , X 2 , X 3 .S T A R T S I N , i n , i n ,MUVE = 0 , 0 / 0 ,I T E R = 2 0 .

/ P R I N T CE L L S = t " ODE L .SOPT=NONf c ,

/ END/ F I N I S H

PROC BMOP p r o g = b m u p l r :VAR I GROUPF X I X2 X 3 IP :BY GROUPE;p a r m c a r d S : ,/ I N P U T UN I T = 3 . CODE = ' A 1 , COi j T t M T = DAT A / RE GRES S DEPENDANT = Y P .

I N T E R V A L = X 1 , X 2 / X 3 ,D V A R s P A R T ,

MODEL = x 1 , X 2 , x 3 .S T A R T : I N , I N , I N ,MOVE = 0 , 0 , 0 .I T E R = 2 0 .

/ P R I N T C E L L S s M O O E L .SORT=MOME,

/ END / F I N I S H

D A T A XL l S T P S F I L t = I N F I x E D / G R O U P E X 1 , X 2 , X 3 , YL , YP (F 1 . 0 3 F A . U . 2 F 1 , 0 )

COMPUTE 0BS=1SORT CASES BY GROUPES P L I T F I L E BY GROUPEP R OB I T YL OF OBS * I T H X 1 , X 2 , X 3 /

L O G = N O N t /P R I N T = F R E O /

P ROB I T YP OF URS wI I H X l , X ? , X i /L OGs NONE /P R I N T = F R E Q

B EGI N OATA F NI) DATA F I N I S H

procéder à la génération au hasard des valeurs pour les trois

variables indépendantes, notées XI, X2 et X3 , nous avons fait

appel à la fo n c t i o n RANNOR (RANdom NORmal) du logiciel SAS

(1982) qui génère de façon aléatoire des observations (RI, R2

et R3) à partir d'une variable normale standardisée (de moyenne

0 et de variance 1). On pouvait ainsi s'attendre à ce que les

valeurs générées soient comprises entre -3 et 3 dans 99.7% des cas .

Quant aux différentes structures de corrélations entre les

trois variables indépendantes, elles furent mises en place par

l'intermédiaire de poids (section b) préalablement obtenus en

appliquant la technique de d é c o m p o s i t i o n de Cholesky à la

matrice des corrélations désirées (obligatoirement symétrique,

positive semi — définie) . Cette technique, qui s'appuie sur des

notions d'algèbre matri c i e l l e et des théorèmes statistiques

fait l'objet d'une fonction (HALF) du progiciel SAS accessible

à même la procédure PROC MATRIX. Ces poids, différents pour

chacune des structures de corrélations prévues, furent, comme

on peut également le voir à cette section (b), appliqués aux

valeurs RI, R2 et R3 selon un schéma déterminé. Ainsi, par

exemple, la valeur à la variable X2 résulte de la somme du

produit des deux premiers poids et des valeurs RI et R 2 .

A la section (a) des commandes, on remarque que pour

131

A la section (c) nous retrouvons les commandes nécessaires

au calcul des probabilités vraies associées au modèle logisti

que PL et au modèle probit PP (formules 3.8 et 3.9 respective

ment) tandis qu'à la section (d) nous procédions à la détermi

nation de la valeur de la variable dépendante générée par le

modèle logit, Y L , ou le modèle probit, Y P . Les sections (e) et

(f) visaient l'application de l'analyse de régression logisti

que (programme LR de BMDP) aux données générées à partir des

deux modèles alors que la section (g) commandait l'application

de l'analyse probit (programme PROBIT de SPSSX) aux mêmes

données.

3.7 ANALYSE DES RESULTATS

3.7.1 Présentation des résultats préliminaires

Les résultats de cette étude simulée, en termes des mesu

res de performance définies à la section 3.6.6, pour chacun des

échantillons générés aléatoirement par ordinateur, sont repro

duits en appendice A où on les retrouve pour chacune des neuf

situations expérimentales, dûment identifiées. Rappelons que

ces quelque 10,800 résultats sont en termes de biais absolu

(BALL, BALP, BAPL, BAPP), biais pondéré (BLL, BLP, BPL, BPP) et

somme des carrés des résiduels pondérée (SCRLL, SCRLP, SCRPL,

SCRPP). Le lecteur notera que deux lettres ont été ajoutées au

sigle se trouvant au haut des colonnes de résultats afin de

distinguer les quatre valeurs obtenues à un même critère. La

dernière de ces lettres identifie le modèle utilisé pour géné

rer les données alors que 1 1 avant - dernière lettre indique la

méthode employée pour analyser ces mêmes données. Ainsi, par

exemple, BALP c o r r e s p o n d au critère "biais absolu" calculé

entre autres à partir des probabilités prédites par la méthode

logit appliquée aux données générées par le modèle probit.

Parmi ces critères, rappelons que les deux premiers, BA et

BP, visent à mesurer l'écart entre les probabilités de succès

telles que prédites ou estimées par chacune des méthodes et les

probabilités vraies telles que générées initialement par l'un

des deux modèles, tandis que le troisième critère, SCR, évalue

l'écart entre la variable dépendante (YL ou YP), i.e. la valeur

"vraie" associée à chacun des modèles et la probabilité prédite

par une méthode donnée.

3 . 7 . 2 S t r a t é g i e d ' a n a l y s e

Vis-à-vis une telle quantité de données, nous avons opté

pour une stratégie d'analyse permettant de les réduire à des

dimensions plus abordables tout en nous offrant la possibilité

de vérifier les hypothèses de recherche efficacement. Dans un

132

133

premier temps, il nous est apparu intéressant de résumer ces

informations en termes de statistiques traditionnelles. C'est

ainsi que nous avons calculé la moyenne et l'écart-type pour

les cent valeurs disponibles sous chaque situation expérimenta

le pour chacun des trois critères et pour chacune des deux

méthodes appliquées sous chacun des modèles.

En un deuxième temps, nous avons voulu vérifier nos h ypo

thèses de recherche par le biais de la comparaison systématique

des deux séries de cent valeurs calculées, pour chaque critère,

suite à l ' a p p l i c a t i o n de chacune des méthodes d'analyse aux

mêmes échantillons correspondant à un modèle donné, à l'inté

rieur de chacune des neuf situations expérimentales. Nous ex

pliquerons plus loin les détails de cette partie de l'analyse.

3.7.3 Analyse des moyennes et écarts-types

En examinant les moyennes et les écarts-types des valeurs

de critères reproduits au tableau 3.4 et calculés sur les cent

échantillons analysés par les deux méthodes sous chacun des

deux modèles ayant servis à générer ces échantillons de don

nées, nous observons que l'écart entre les moyennes d'un même

critère sous un modèle apparaissent dans l'ensemble très m inimes .

Tableau 3.4 Moyennes et écarts-types des valeurs de crlteres.

n = 30 n = 50 n =100

MODELE LOGIT MODELE PROBIT MODELE

logit probit probit logit logit

B A 0.1314 0.1324 0.1328 0.1334 0.10530.06 0.06 0.06 0.06 0.04

1 BP -0.0045 0.0016 -0.0147 -0.0083 0.02550 0.19 0 . 2 1 0 . 2 0 0 . 2 1 0.181 S C R 28.4998 28;6803 28.4656 28.5823 49.6236

4.26 3.97 3.27 3.00 7.43

BA 0.1343 0.1355 0.1343 0.1356 0.09870.06 0.06 0.05 0.05 0.04

3 BP 0.0124 0.0187 -0 . 0 0 2 1 0.0039 0.01823 0 . 2 2 0 . 2 2 0 . 2 1 0.23 0.191 S C R 28.7708 28.6597 28.3599 28.3303 50.3810

_ 6.93 6.81 3.69 3.60 7.42

BA 0.1314 0.1319 0.1335 0.1343 0.09300.06 0.06 0.06 0.06 0.04

7 BP 0.0345 0.0466 0.0259 0.0351 -0.00877 0.27 0.31 0.28 0.31 0.171 S C R 28.3686 28.0987 27.4708 27.4034 51.0707— 9.84 9.75 5.73 5.59 18.45

LOGIT

probitMODELE

probitPROBIT

logitMODELE

logitLOGIT

probitMODELE

probitPROBIT

logit

0.1058 0.1054 0.1058 0.0704 0.0724 0.0699 0.07190.04 0.04 0.04 0 . 0 2 0.03 0 . 0 2 0.030.0291 0.0248 0.0283 0.0011 -0.0060 -0.0050 -0.00240.18 0.18 0.18 0.11 0.11 0.11 0.1148.9149 49.1942 48.6650 100.0808 99.9909 99.8722 99.71444.14 5.44 3.54 4.71 4.26 4.33 3.91

0.1005 0.0983 0.0998 0.0657 0.0665 0.0654 0.06610.04 0.04 0.04 0 . 0 2 0 . 0 2 0 . 0 2 0 . 0 20.0260 0.0171 0.0239 -0.0038 -0.0001 -0.0079 -0.00620.19 0.19 0.19 0 . 1 2 0.13 0 . 1 2 0.1349.9444 49.5554 49.2916 98.8013 98.2499 98.5638 98.00926.61 6.39 5.95 4.85 4.53 4. 77 4.49

0.0928 0.0933 0.0928 0.0626 0.0628 0.0624 0.06220.04 0.04 0.04 0 . 0 2 0 . 0 2 0 . 0 2 0 . 0 20.0035 -0.0134 -0.0032 -0.0066 0.0007 -0 . 0 1 0 1 -0.00840.18 0.17 0.18 0.13 0.14 0.14 0.1449.9882 49.7725 49.3028 100.4847 99.1301 101.0255 99.486812.28 11.24 8.74 14.70 12.33 16.04 13.07

Cette situation, surtout en l'absence d'un test statisti

que permettant d'évaluer la signification de cette différence,

limite notre analyse à la simple constatation de ces écarts

car il nous apparait difficile de se prononçer sur une quelcon

que supér i o r i t é d'une méthode sur sa concurrente à partir

d'informations aussi incertaines.

L ' e x a m e n des é c arts-types permet d'observer un effet

stabilisateur de l'augmentation de la taille de l'échantillon

sur la dispersion des valeurs des critères BA et BP. On remar

que en effet que ces dernières démontrent une variance moindre

au fur et à mesure qu'augmente le nombre d'observations. On

peut par ailleurs observer une variance accrue pour le critère

SCR lorsque les interrelations entre les variables indépendan

tes s 'intensifient.

Bref, les statistiques préliminaires présentées ci-dessus

laissent difficilement présager de la supériorité d'une méthode

sur 1 'a utre.

3.7.4 Vérification des hypothèses

Tel que souligné précédemment, nous avons procédé à la

v é r i f i c a t i o n de nos quatres hypothèses de recherche à partir

des 10,800 valeurs p r ésentées à l'appendice A. Il s'agit,

135

136

rappelons - l e , des valeurs observées aux trois critères (BA, BP

et SCR) pour chacune des deux méthodes, régression logistique

et analyse probit, comparées sous chacun des deux modèles,

logistique ou probit, et ce à l'intérieur de chacune des neuf

situations expérimentales résultant du croisement de la taille

de l'échantillon et de l'intensité des interrelations entre les

variables indépendantes.

Les quatre h y pothèses portant e s s e n t i e l l e m e n t sur la

c o m p a r a i s o n de deux méthodes d'analyse, il fallait que la

stratégie d'analyse des résultats soit basée sur les comparai

sons appropriées.

Nous avons donc procédé de la façon suivante. Pour chaque

situation expérimentale, sous un modèle donné et pour chacun

des trois critères, nous avons dénombré combien de fois (sur

les 1 0 0 échantillons) la méthode d'analyse correspondant au

modèle s'est avérée supérieure^ à sa concurrente. Nous avons

ainsi effectué 54 séries de comparaisons (impliquant toujours

deux colonnes adjacentes dans l'appendice A) dont nous présen

terons les résultats au tableau 3.5.

QJi.e. dont la valeur au critère était plus petite que celle de sa compétitrice.

Tableau 3.5 Résultats des comparaisons entre les méthodes logit et probit sous chacun des modèles de données.

n = 30 n = 50 n =100

MODELE LOGIT MODELE PROBIT MODELE LOGIT MODELE PROBIT MODELE LOGIT MODELE PROBIT

logit>probit probit>logit logit >probit probit>logit logit >probit probit>logit

BA 5 7 " (57.6) 45 98 (45.9) 54 (54.0) 46 (46.0) 45 9 7 (46.4) 519 6 (53.1)

1 0 1 BP 54 (54.0) 4 9 " (49.5) 60 (60.0) 43 (43.0) 4898 (49.0) 4 9 " (49.5)0 1 00 0 1 S C R 149 7 (14.4) 829 7 (84.5) 1 7 " (17.2) 7 4 " (74.7) 37 (37.0) 57 (57.0)

B A 5 4 " (54.5) 4 1 " (Al.4) 469 8 (46.9) 55 (55.0) 409 8 (40.8) 5 6 " (56.6)

1 . 3 . 3 BP 51 (51.0) 4 9 " (49.5) 56 (56.0) 46 (46.0) 5 7 " (57.6) 39 (39.0)3 1 . 33 . 3 1 S C R 1 2 9 6 (12.5) 859 6 (88.5) 1 2 " (1 2 .1 ) 9 0 " (90.9) 2998 (29.6) 7 1 " (71.7)

BA 48 (48.0) 5 1 " (51.5) 54 9 7 (55.7) 5 0 " (50.5) 469 6 (47.9) 569 “ (59.6)

1 . 7 . 7 BP 54 (54.0) 4 4 " (44.4) 45 (45.0) 54 (54.0) 59 (59.0) 41 (41.0)7 1 . 77 . 7 1 S C R 6 9 1 ( 6 .6 ) 8 8 9 2 (95.7) 79 ■* ( 7.4) 8 8 9 5 (92.6) 3 4 " (34.3) 6 5 " (65.7)

'-j

Qu elques e x plications concernant ce tableau s'imposent

avant de procéder à la vérification formelle des hypothèses de

recherche. Un premier point touche la signification des colon

nes. Ainsi, sous l'expression "LOGIT > PROBIT" se trouve le

nombre de fois où la méthode logit l'a emporté sur la méthode

probit. De même, sous l ' e x p r e s s i o n "PROBIT > LOGIT" a été

reporté le nombre de fois où la méthode probit l'a emporté sur

la m é thode logit. En fait, pour un modèle donné, nous nous

sommes toujours demandée combien de fois la méthode du même nom

l'emportait sur sa rivale. Ce sera-là un détail important à se

rappeler lors de l'analyse des résultats.

Le lecteur prendra également note que le résultat de la

comparaison des méthodes à un critère donné n'est pas toujours

issu de la comparaison des valeurs de cent échantillons comme

prévu. Certains échan t i l l o n s ont en effet été exclus des

comparaisons ainsi que du calcul des statistiques préliminaires

en raison de valeurs aberrantes qu'ils présentaient pour cer

tains critères. Ces valeurs ont alors été remplacées par un

point, tel qu'on peut le constater à l'appendice A. Il ne fut

malheureusement pas possible d'identifier la cause de ces

valeurs extrêmes; de toute façon, comme le lecteur pourra le

constater, ces valeurs sont peu nombreuses. Par ailleurs,

d'autres é c h a n t i l l o n s ont été exclus mais uniquement parce

qu'il y avait égalité entre les deux méthodes.

138

Comme le nombre total d'échantillons considérés pouvait

varier, nous avons indiqué ce nombre, lorsqu'il différait de

cent, en le pl a ç a n t comme exposant du nombre de fois qu'une

méthode s'était avérée supérieure à une autre. Par ailleurs,

ces variations au niveau du nombre total d'échantillons retenus

nous a éga l e m e n t inc i t é e à présenter, entre p a renthèses et

accolé au nombre de "supériorité", le pourcentage correspondant

de façon à rendre les résultats plus comparables d'une cellule

à l'autre.

A titre d'exemples sur la façon de lire les valeurs du

tableau 3.5, voyons d'abord la situation où les corrélations

entre les p r é d i c t e u r s sont nulles et où n=30. On note que

l'analyse de régression logistique appliquée aux échantillons

associés au modèle logit, s'est avérée, selon le critère B A ,

supérieure à la méthode d'analyse probit, 57 fois sur 99, soit

57.6%. De même, pour la situation expérimentale correspondant

à des interrelations de .3 et une taille d'échantillon égale à

50, sous le modèle logit et pour le critère BP, la méthode

logit (régression logistique) a été "meilleure" que l'analyse

probit 56 fois sur 100 (puisqu'il n'y a pas d'exposant), soit

56% des occasions.

Ce tableau 3.5, basé essentiellement sur les comparaisons

entre les deux méthodes d'analyse, nous servira lors de la

139

140

v é r i f i c a t i o n des trois premières hypothèses de recherche.

Quant à la quatrième hypothèse, elle pourra être vérifiée grâce

à un second tableau déduit directement du tableau 3.5.

Enfin, avant d'effectuer la vérification des hypothèses,

il nous a fallu définir une règle de décision concernant leur

a c c e p t a t i o n ou leur rejet. Ainsi, comme nous disposions de

trois critères, nous avons décidé qu'une h y pothèse serait

confirmée si au moins deux des trois critères allaient dans le

sens de l'hypothèse, avec certaines modalités particulières,

dépendant de la nature de l'hypothèse, comme nous le verrons

plus loin. Bien qu'arbitraire, cette règle nous est apparu

rai s onnable.

3.7.4.1 Vérification de la première hypothèse

Rappelons que notre première hypothèse prévoyait la supé

riorité de chacune des méthodes sur sa concurrente lorsqu'ap

pliquée aux données générées sous son propre modèle. La v é r i

fication de cette hypothèse doit donc se faire en deux volets,

c'est-à-dire sous chacun des deux modèles.

A noter qu'une méthode fut jugée supérieure, pour un

critère particulier et une situation expérimentale donnée, si

141

le p o u r c e n t a g e d ' é chantillons pour lesquels la valeur à ce

critère était l'indice d'un meilleur ajustement, était supérieur

à 50. Rappelons, de plus, que nous avons choisi de ne considérer

une hypothèse confirmée, que si au moins deux des trois critères

présentaient des résultats en ce sens (i.e. > 50%) et ce pour au

moins cinq des neuf cellules du devis.

Un examen attentif du tableau 3.5, fait d'abord ressortir

que sous le modèle logit, la méthode logit l'emporte sur sa

compétitrice au niveau de six des neuf cellules pour le critère

BP. Par contre, pour les critères BA et SCR c'est la méthode

probit qui l'emporte le plus souvent.

Selon la règle de décision définie plus haut, il s'avère

que l ' hypothèse 1 se trouve infirmée dans le cas du modèle

logit puisque, pour les critères BA et SCR, l'avantage est en

faveur de la méthode probit, soit dans le sens opposé de l'hy

pothèse .

Sous le modèle probit, en ce qui concerne le critère B A ,

la méthode probit se révèle supérieure à sa concurrente six

fois sur neuf. En ce qui à trait au critère SCR, il traduit,

avec des pourcentages relativement élevés, une supériorité de

l'analyse probit dans toutes les situations expérimentales

investiguées. Pour le troisième critère, BP, nous remarquons

que la méthode probit n'est supérieure à la méthode logit

142

première hypothèse sous le modèle probit.

En résumé, la première hypothèse a été infirmée dans le

cas du modèle logit et confirmée dans celui du modèle probit.

Avant de p o ursuivre au niveau de la v é r i f i c a t i o n des

hypothèses 2 et 3, nous tenons à apporter quelques précisions

sur la façon dont nous avons procède . Soulignons immédiate

ment que la règle de décision d'un minimum de deux critères sur

trois pour confirmer une hypothèse a été conservée. Nous avons

cependant c o ncentré notre attention sur l'identification de

tendances dans les résultats c'est-à-dire d'une augmentation

continue du pourcentage d'échantillons pour lesquels la méthode

c o r r e s p o n d a n t à un modèle donné s'avérait supérieure à la

méthode concurrente. Nous avons donc vérifié si de telles

tendances se dessinaient sous chacun des modèles et pour chacu

ne des trois mesures de' performance.

3.7.4.2 Vérification de la deuxième hypothèse

Rappelons que l'hypothèse co r r e s p o n d a n t à la deuxième

question de cette recherche avance que la "supériorité" d'une

méthode, lorsqu'app 1 iquée à des données associées au modèle sur'

lequel elle se base, est de plus en plus marquée au fur et à

qu'une seule fois. Nous concluons donc en la confirmation de la

143

Compte tenu de 1 1 i n firmation partielle de la première

hypothèse, il semble maintenant incongru de parler de la "supé

riorité" de la méthode de régression logistique sous le modèle

logit. Mais, si l'on considère que nous nous concentrions sur

la présence de tendances, cette deuxième hypothèse ainsi que la

suivante deme u r e n t selon nous vérifiables en dépit de cette

incongruité. En effet, même dans le cas où, par exemple, la

régression logistique serait inférieure à l'analyse probit pour

les trois tailles d'échan t i l l o n s i n v e s t i g u é e s , si cet état

d'infériorité diminue graduellement, nous parlerons alors quand

même de tendance mais concernant 1 ' efficacité (et non plus la

supériorité) de la méthode.

Passons donc à la vérification de la deuxième hypothèse

dans le cas du modèle logit. Dans le tableau 3.5, en l'absence

d 'interrelations entre les variables indépendantes, et pour le

critère B A , on relève bien une tendance mais, contrairement à

l'hypothèse 2 , l'efficacité relative de la méthode logit (ré

gression logistique) tend à diminuer avec l'accroissement de la

taille de l'échantillon, cette méthode devenant même moins

efficace que l'analyse probit dans le cas d'échantillons de taille égale à 1 0 0 .

mesure que le nombre d'observations croît.

La seule tendance allant dans le sens d'une supériorité

accrue en faveur de la méthode logit, se retrouve au critère

SCR, bien que pour les trois tailles d'échantillons investi- guées, elle demeure inférieure à la méthode probit.

Lorsque l'intensité des interrelations correspond à .3, le

critère BA amène une fois de plus des résultats étonnants: on y

observe une tendance à l'avantage de la méthode probit. La

seule tendance allant dans le sens de l'hypothèse qu'il soit

possible d'observer se manifeste pour le critère BP.

Enfin, lorsque l'intensité des interrelations est la plus

forte (.7), il n'y a qu'au niveau du critère SCR que nous

pouvons détecter une tendance dans le sens de l'hypothèse, mais

encore une fois, pour les trois tailles d'échantillons, la

méthode logistique est en position d'infériorité.

Passons m a i n t e n a n t au modèle probit. Tout d'abord, en

l'absence de corrélations entre les prédicteurs et au niveau du

critère B A , l'efficacité relative de la méthode probit augmente

avec la taille de l'échantillon alors qu'au niveau du critère

SCR sa supériorité diminue. Aucune tendance ne ressort quant

au critère BP.

144

Lorsque l'on considère le degré intermédiaire d'interrela

tions , aucune tendance ne ressort sur quelque critère. Il

s'avère donc que, sous le modèle probit, tout comme dans le cas

du modèle logit, la deuxième hypothèse n'est pas confirmée.

3.7.4.3 Vérification de la troisième hypothèse

Pour procéder à la vérification de l'hypothèse à l'effet

que l ' i n t e n s i f i c a t i o n des interrelations entre les variables

indépendantes atténue la supériorité (ou efficacité) relative

d'une méthode sous son propre modèle, nous avons une fois de

plus cherché à identifier des tendances en considérant, cette

fois, chacune des tailles d'échantillons isolément, c'est-à-

dire en travaillant sur le plan vertical du tableau 3.5.

A partir des résultats de ce tableau nous observons, sous

le modèle logit, lorsque n=30 et pour les critères BA et SCR,

que l'efficacité relative de la méthode logit s'atténue au fur

et à mesure que les interrelations s 'intensifient.

Lorsque la taille de l'échantillon est égale à 50, pour

ces critères BP et SCR, nous notons le même phénomène que

précédemment, c'est-à-dire une méthode logit de moins en moins

efficace sous son propre modèle.

145

146

Lorsque n = 1 0 0 , pour le critère BP, la méthode logit semble

devenir de plus en plus efficace alors que les corrélations

entre les v a r i a b l e s indépendantes prennent de l'importance.

Cela va, bien sûr, dans le sens contraire à notre hypothèse.

On ne relève par ailleurs aucune tendance en ce qui a trait aux

deux autres critères.

Si l'on effectue un bilan de ces derniers résultats nous

concluons que la troisième hypothèse, en ce qui concerne les

é c h antillons générés sous le modèle logit, est confirmée au

niveau des tailles d'échantillons n=30 et n=50.

Sous le modèle probit, lorsque n-30, les valeurs au critè

re SCR indiquent que la supériorité de la méthode du même nom

s'intensifie en même temps que la force des interrelations donc

dans le sens contraire de celui avancé par l'hypothèse. Aucune

tendance n'est observable dans le cas des deux autres critères.

Quand la taille des échantillons correspond à 50, les

résultats aux critères BP et SCR indiquent que l'efficacité de

la méthode probit s'améliore avec l'intensité des interrela

tion quoiqu'au niveau de BP, la méthode probit est inférieure

dans deux des cellules.

Lorsque l'on examine les résultats aux échantillons de

taille 100, nous notons qu'il n'y a qu'au niveau du critère BA

qu'une tendance est observable. Celle-ci va, contrairement à

l ' hypothèse 3, dans le sens d'une supériorité accrue de la méthode probit.

En somme, sous le modèle probit, l'hypothèse 3 n'a été

confirmée pour aucune des tailles d'échantillon investiguées.

3.7.4.4 Vérification de la quatrième hypothèse

Les trois hypothèses que nous avons vérifiées jusqu'ici

p o r t a i e n t sur la comparaison des méthodes d'analyse logit et

probit sous chacun des deux modèles concernés.

Comme nous l'avons déjà souligné, le devis ayant conduit à

ces vérifications avait la particularité qu'en générant, pour

chaque situation expérimentale, un même nombre d'échantillons

de données issues de chacun des modèles, logit et probit, il

'fournissait à chacune des méthodes des chances égales de se

faire valoir, de démontrer sa supériorité sur la méthode con

currente .

Pour vérifier la véracité de la quatrième hypothèse de

cette recherche voulant, qu'en faisant abstraction du modèle

147

ayant servi à générer les données, la méthode de la régression

logistique soit supérieure à la méthode d'analyse probit, nous

avons décidé de tirer profit de cette particularité pour combi

ner les résultats observés sous les deux modèles de façon à

pouvoir vérifier, indépendamment du modèle, laquelle des métho

des est supérieure à l'autre au niveau de chacune des neuf

situations expérimentales.

A noter que cette fusion des résultats obtenus sous les

deux modèles comportait certains avantages, le plus important

étant de rejoindre une situation beaucoup plus "réelle" que

précédemment étant donné qu'en pratique, justement, on ne sait

jamais lequel des deux modèles, logit ou probit, est le plus

approprié pour les données en main. Un second avantage était

que les analyses effectuées sur les résultats devenaient plus

fiables que p r é c é d e m m e n t puisqu'elles s'appuyaient désormais

sur 2 0 0 comparaisons au lieu de 1 0 0 .

Pour ces raisons nous considérons que cette quatrième

hypothèse est la plus importante de cette étude. Voyons m ain

tenant comment, à partir du tableau 3.5, on a pu en construire

un autre fournissant les informations nécessaires à sa vérifi

cation .

148

Pour bien saisir le principe de construction de ce n o u

veau tableau (3.6), servons-nous d'un exemple. Prenons le cas

de la sit u a t i o n ex p é r i m e n t a l e où le niveau d ' interrelations

c o r r e s p o n d à .3 et la taille d'échantillon est égale à 30.

Pour le critère B A , nous observons que, sous le modèle logit,

la méthode correspondante l'a emporté sur l'analyse probit au

niveau de 57 des 99 échantillons conservés, l'analyse probit ne

comptant donc que 42 victoires (“ 99-57). Sous le modèle p r o

bit, la méthode du même nom ne l'emportait sur sa concurrente

qu'au niveau de 45 des 98 échantillons conservés, nous pouvons

alors déduire par soustraction qu'il ne reste que 53 échantil

lons (=98-45) en faveur de la méthode logit.

A partir de ces informations, si nous additionnons le

nombre d'échantillons favorisant la méthode logit sous les deux

modèles, il ressort que celle-ci l'a emporté 110 fois (=57+53)

au total. En e f fectuant la même opération pour la méthode

probit, nous obtenons un total de 87 échantillons (=42+45) en

sa faveur. Ceci constitue un gain net de 2 3 (=1 10 - 87) en

faveur de la méthode logit.

Des calculs similaires ont été effectués pour les autres

critères de performance et les résultats reportés au tableau

3.6, sous chacune des neuf situations expérimentales.

149

Tableau 3.6 Méthode d'analyse s'étant avérée supérieure dans chacune des situations expérimentales et gain net pour chaque critère.

n

METHODE LOGIT

= 30

METHODE PROBIT

n

METHODE LOGIT

= 50

METHODE PROBIT

n = 1 0 0

METHODE LOGIT METHODE

BA 23* 16* 13*

I 0 0 BP 9* L 34* L P 1p = 0 1 0

0 0 1 S C R 136* 114* - 40*

BA 26* - - 19* 31*

1 . 3 . 3 BP 3* L 2 0 * P 37* Pp = . 3 1 . 3

. 3 . 3 1 S C R

'146* 156* 83*

BA - 17 1 0 - 2 2 *

1 . 7 . 7 BP 19* P - P 18* 36* Pp = . 7 1 . 7

. 7 . 7 1 S CR - 163* - 161* 62*

PROBIT

LnO

151

Comme règle de décision nous avons considéré qu'une métho

de d'analyse serait supérieure, pour une situation expérimen

tale, si elle l'emportait sur sa concurrente pour au moins deux

des trois critères (règle de départ) et qu'en plus au moins un

de ces deux critères soit accompagné d'un astérisque

signifiant qu'il ait fait ressortir la supériorité (i.e. plus

de 50% des gains) de la méthode concernée sous chacun des deux

m odèles.

La deuxième condition^, de cette règle de décision, bien

qu'arbitraire, nous a semblé raisonnable, compte tenu de l'ab

sence de test s t atistique formel applicable dans de telles

s ituations.

En examinant le tableau 3.6 on observe qu'indépendamment

du modèle considéré, la méthode probit l'emporte six fois sur

neuf selon notre règle de décision. Ce résultat est opposé à

celui prévu par notre hypothèse et nous amène à conclure que,

dans l'ensemble, la méthode probit est supérieure à la méthode

l ogit.

^En fait, sans cette condition, la décision aurait été la même pour chaque situation expérimentale.

De plus, nous pouvons observer que la supériorité relative

de la méthode probit s'accentue au fur et à mesure que la

taille de l'échantillon augmente jusqu'à démontrer une domina

tion totale lorsque n= 1 0 0 .

Dans la même veine, il ressort que l'avantage de la métho

de p robit sur sa rivale s'accroît quand les interrelations

entre les variables indépendantes s 'intensifient, cette supé

riorité étant complète lorsque les interrelations entre les

variables indépendantes sont égales à .7 .

152

CHAPITRE IV

CONCLUSION

4.0 RESUME

La régression multiple constitue, pour la recherche dans le

domaine de l'éducation, l'un des outils statistiques les plus

u t i l e s et puis s a n t s pour prédire ou expliquer une variable

dépendante à partir de plusieurs variables indépendantes.

Lorsqu'u t i1 isé en présence d'une variable dépendante binaire

le modèle de régression linéaire classique, basé sur la minimisa

tion de la somme des carrés de l'erreur (moindres carrés) pré

sente cependant trois problèmes que nous avons clairement iden

tifiés dans cette thèse: il s'agit de la violation du postulat

d ' h o m o g é n é i t é de la variance de l'erreur, de la violation du

p o stulat de n o r m a l i t é de celle-ci, ainsi que la possibilité

d'obtenir des valeurs (probabilités) prédites inférieures à 0 ou

supérieures à 1 .

Un survol des principales solutions qui ont été proposées

pour remédier à ces difficultés a permis de réaliser qu'elles

ne sont efficaces qu'en présence de conditions qui, dans l'en

semble, sont difficilement réalisables. De plus, les solutions

qui tentent d ' adapter le modèle de régression linéaire aux

situations où la variable dépendante est binaire, laissent en

général au moins un problème irrésolu, celui de restreindre les

valeurs prédites aux limites associées aux probabilités.

Heureusement, parmi les alternatives proposées à la r é

gression multiple dans le cas d'une variable dépendante binai

re, une solution semble plus appropriée que les autres. Cette

solution consiste à faire appel à un modèle basé sur une fonc

tion de répartition dont la forme est curvilinéaire. L'analyse

de la régression logistique et l'analyse probit, deux méthodes

ayant recours à des fonctions de ce type, sont considérées

c o n e e p t u e 1 1 ement et p r a t i q u e m e n t supérieures à l'analyse de

régression linéaire.

Le premier objectif de cette recherche était d'étudier en

profondeur une de ces deux méthodes, la régression logistique

lorsqu'une ou l'ensemble des variables indépendantes sont de

nature continue. C'est ainsi qu'au chapitre deux, nous nous

sommes penchée sur l'estimation des paramètres, les propriétés

des estimateurs, les principaux tests d'hypothèses ainsi que sur les mesures de précision de la prédiction.

Le second objectif visait à évaluer, à partir de données

générées aléatoirement selon la méthode Monte Carlo, la perfor

mance relative de ces deux méthodes d'analyse. Ces simulations

visaient également à explorer l'influence de deux facteurs, la

taille de l'échantillon et le niveau des interrelations entre

les vari a b l e s indépendantes. L ' é v a l u a t i o n de l'efficacité

relative des méthodes fut basée sur les probabilités estimées

par chacune d'elles plutôt que sur les estimés des coeffi

cients, comme c'est souvent le cas dans ce genre d'études.

Une première conclusion se dégageant de cette recherche,

est que lorsque l ’on tient compte du modèle ayant servi à

générer les données (soit le modèle logit, soit le modèle

probit) analysées par les deux méthodes, il semble que ce

dernier ne conditionne en rien l'efficacité de la méthode logit

sous son propre modèle. En fait, l'hypothèse 1 avançant qu'une

méthode est plus efficace que sa concurrente lorsqu'appliquée à

des données générées de son propre modèle ne fut confirmée que

par les résultats associés au modèle probit.

Nous avions également prévu (hypothèses 2 et 3) que les

résultats des comparaisons entre les deux méthodes sous chacun

des deux modèles seraient sensibles aux variations imposées au

n iveau de la taille des échantillons ainsi qu'au niveau des

degrés d 'interrelations entre les variables indépendantes. Les

résultats obtenus ne permettent d' identifier que quelques

156

tendances isolées en ce qui conserne l'influence de ces fac

teurs. De plus, ces tendances n'étaient généralement pas les

mêmes d'un modèle à l'autre.

Pour les situations expérimentales considérées dans cette

étude et si l'on fait abstraction du modèle sous-jacent aux

données (hypothèse 4), il est ressorti que l'utilisation de

la méthode d'analyse probit est plus efficace que la méthode

logit sauf pour de très petits échantillons et un faible niveau

d 'interrelations entre les variables indépendantes. C'est donc

dire qu'en général, la méthode logit (ou de régression logisti

que) a produit des estimés de probabilités plus éloignés des

vraies valeurs que les probabilités estimées par la méthode

d'analyse probit.

Il faut cependant souligner que le fait qu'au niveau de

certaines situations expérime n t a l e s les résultats se sont

avérés très rapprochés, rend nos conclusions mitigées.

Nous croyons que malgré que les comparaisons entre les

méthodes furent effectuées dans un contexte de simulations, il

semble raisonnable d'extrapoler les résultats à des situations

réelles si les chercheurs en éducation prennent soin de bien

considérer la structure des données qu'ils veulent analyser.

157

En dépit des qualités d'originalité et de solidité que

nous attribuons à notre devis expérimental, nous pouvons iden

tifier une pre m i è r e limite à cette étude. Celle-ci découle

d'un manque de rigueur associée à l'absence de tests statisti

ques portant sur les différences observées entre les méthodes

en ce qui à trait aux valeurs des critères choisis. Il est en

effet regrettable que la signification statistique de l'ampleur

de ces différences n'ait pu être évaluée.

Rappelons, de plus, que dans le cadre de toute étude de ce

type, les concl u s i o n s auxquelles nous sommes parvenue sont

confinées aux conditions investiguées , notamment celles d 'é

chantillons de petites tailles. Il est également légitime de

soulever un doute sur la valeur des généralisations suscepti

bles d'être dégagées de cette étude de simulation. En effet,

étant donné que ces résultats sont basés sur un nombre res

treint de r é p l i c a t i o n s sous chaque situation expérimentale,

nous nous demandons si un nombre supérieur à cent échantillons

fournirait des conclusions similaires.

4.1 LIMITATIONS DE CETTE RECHERCHE

158

Suite aux critiques que nous avons émises concernant les

résultats de cette recherche, nous pensons qu'il serait peut-

être opportun de reprendre l'étude en augmentant le nombre des

échantillons et surtout la taille de ces derniers, pour v é r i

fier si la domination apparente de l'analyse probit se poursuit

dans le cas de grands échantillons.

De plus, étant donné les résultats de cette recherche, il

nous semble qu'il serait intéressant d 'investiguer plus à fond

les caractéristiques de l'analyse probit que nous avons délais

sée quelque peu au profit de l'analyse logit.

Finalement, comme nous avons passé sous silence

les applications de ces deux méthodes d'analyse à des situa

tions où la va r i a b l e dépendante qualitative ne possède plus

deux mais p l usieurs catégories, il nous semblerait louable

d'effectuer des recherches dans cette voie.

4.2 SUGGESTIONS DE RECHERCHES FUTURES

159

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ANNEXE A

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5-5 - U t - Corpus UL

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