2.-Sistema W-CDMA

Sistema W-CDMA 4

Caracterización Experimental de la BER en un Sistema de Comunicaciones W-CDMA

CAPITULO 2.- Sistema W-CDMA

2.1.- Técnicas de Acceso al Medio. Generalidades

Toda transmisión radio supone la utilización de un volumen tridimensional en

tiempo, espacio y frecuencia. La función de multiacceso radio tiene por objeto

compatibilizar la utilización de esos volúmenes por parte de los usuarios mediante la

división entre los mismos de una o más de las variables espacio, frecuencia o tiempo,

lo que ha dado lugar a las técnicas clásicas de multiacceso, que se clasifican en

función de la variable distribuida: SDMA (acceso múltiple por división de espacio),

FDMA (acceso múltiple por división de frecuencia), TDMA (acceso múltiple por división

de tiempo). Estas técnicas de multiacceso se emplean de forma combinada

interviniendo, en todo caso, el SDMA. Por ejemplo, en los sistemas de telefonía móvil

digital de segunda generación GSM se emplea SDMA/FDMA/TDMA.

Sistema W-CDMA 5


La tecnología de acceso múltiple por división de código, CDMA, se basa en un

presupuesto totalmente diferente de los expuestos anteriormente, efectuando la

superposición total de los volúmenes radioeléctricos generados por los usuarios, esto

es, pueden transmitir simultáneamente, desde la misma zona y utilizando idéntica

frecuencia portadora, con ocupación de la misma anchura de banda. Ello se realiza

mediante la asignación a cada comunicación de un código único; de aquí el nombre de

esta técnica: división de código. El código de cada usuario debe, obviamente, poderse

distinguir de los códigos de otros usuarios, así como de versiones retardadas de sí

mismo a causa de la propagación multitrayecto.

2.2.- W-CDMA

2.2.1.- Historia y Evolución

El uso del CDMA para las aplicaciones civiles de la radio móvil es relativamente

reciente. La teoría de esta tecnología fue propuesta a finales de la década de los 40,

pero la aplicación práctica en los sistemas móviles celulares comerciales no se llevó a

cabo hasta el año 1989, cuando los servicios militares americanos publicaron la

tecnología CDMA para las aplicaciones comerciales. La tecnología del

ensanchamiento espectral, que es la base de la tecnología CDMA, fue especialmente

utilizada en las aplicaciones militares para contrarrestar el efecto de interferencia

intencional (jamming) y para ocultar la señal transmitida a posibles espías.

La gran atracción de la tecnología CDMA fue desde el principio su capacidad

inherente para aumentar las prestaciones de las comunicaciones y reutilizar

frecuencias. Los modelos más simples ya sugirieron que la mejora de la capacidad

podría ser 20 veces mayor que la capacidad de los sistemas de banda estrecha

existentes.

Originalmente la tecnología CDMA fue desarrollada por Qualcomm, para su

posterior optimización por parte de Ericsson. En 1991, los prometedores resultados

obtenidos en las primeras pruebas en el terreno demostraron que la tecnología CDMA

podía funcionar igual de bien en la práctica que en la teoría. En 1993, el sistema

Sistema W-CDMA 6


CDMA fue adoptado por la asociación de la industria de las telecomunicaciones (TIA).

En 1995, el primer servicio CDMA fue lanzado en Hong Kong, seguido de un

lanzamiento en Corea y otro en Pennsylvania. Desde entonces, se convirtió

rápidamente en la opción preferida de los operadores de los EE.UU.

2.2.2.- Concepto de CDMA

Como ya se ha visto en el apartado 2.1, CDMA es una tecnología digital de

transmisión que permite a un número de usuarios acceder a un canal de

radiofrecuencia sin interferencia, asignando un código diferente a cada usuario.

Figura 2.1.- Esquema de W-CDMA

En los sistemas de comunicación con espectro ensanchado el ancho de banda

de la señal es expandido, comúnmente a varios órdenes de magnitud antes de su

transmisión. Cuando hay un único usuario en un canal ensanchado, el uso del ancho

de banda es ineficiente. En cambio, en un ambiente multiusuario, los usuarios pueden

compartir el mismo canal y el sistema llega a ser eficiente.

Sistema W-CDMA 7


2.2.2.1.- Técnicas de Espectro Ensanchado

En las tecnologías de transmisión radio de espectro ensanchado, SS, la

anchura de banda de la señal trasmitida es muy superior a la anchura de banda

necesaria para transportar la información. Para realizar el ensanchamiento se inserta

en la señal de información un código de expansión. La señal SS se recupera en

recepción aplicando el mismo código en un proceso de des-expansión.

El interés en este tipo de técnicas se debe a que se obtiene una serie de

ventajas entre las que cabe citar la reducción de la densidad espectral de potencia de

la señal transmitida ya que su energía se dispersa en un mayor ancho de banda,

teniendo como consecuencia, que las señales SS pueden llegar a ser poco

detectables (confundiéndose con el ruido de fondo) y su potencial de interferencia

sobre otros servicios radioeléctricos sea pequeño.

Figura 2.2.- Densidades espectrales de potencia en DS-SS

Hay cuatro variantes de CDMA en función de la técnica utilizada para conseguir

la expansión espectral:

1. Saltos de frecuencia, FH, la frecuencia de RF varía en función del código.

2. Saltos de tiempo, TH, donde se varía el intervalo temporal según el código.

3. Secuencia directa, DS, donde la señal de información se multiplica por el

código de expansión.

4. Multiportadora, MC, donde cada símbolo de información genera un conjunto de

Sistema W-CDMA 8


símbolos, según el código, que modulan distintas portadoras.

La modalidad DS es la utilizada en los sistemas de comunicaciones móviles

CDMA actuales y constituye también la base de la interfaz radio de la norma europea

UMTS.

En la figura 2.3 se representa un diagrama de bloques simplificado de un

transmisor SS-DS.

Figura 2.3.- Diagrama de bloques de un transmisor SS-DS

Las señales de información y el código de expansión se representan por d(t) y

c(t), respectivamente. El código c(t) es una señal digital con una velocidad binaria muy

superior a la de d(t) para realizar su expansión. A los símbolos de c(t) se les llama

“chips” para distinguirlos de los símbolos de d(t). La señal banda base resultante de la

multiplicación, v(t), se aplica a un modulador BPSK, a cuya salida se tiene la señal de

RF s(t).

Figura 2.4.- Impulsos de bit y de chip

La secuencia de bits de datos tiene una velocidad vb = 1/Tb y la secuencia de

chips de código vc = Nvb, siendo N un entero, por lo que Tc = 1/(N.Tb). Estas

secuencias toman valores ±1. El coeficiente N se denomina factor de ensanchado.

Sistema W-CDMA 9


2.2.2.2.- Códigos de expansión

Como se explica en el apartado anterior, la señal de datos original se multiplica

por un código de expansión. Estos códigos idealmente deben ser ortogonales para

que la interferencia multiacceso sea nula. Sin embargo, en la realidad la situación es

diferente ya que la propagación multitrayecto –fenómeno que no va a ser tratado aquí-

y los errores de sincronización producen cierta interferencia. Además los códigos

ortogonales no tienen buenas propiedades espectrales. Para reducir cierta

interferencia residual y mejorar las características espectrales de la señal CDMA se

utiliza una segunda codificación con códigos pseudoaleatorios no ortogonales,

denominados códigos de scrambling.

2.2.2.3.- Códigos de Walsh

Para la expansión espectral y multiacceso CDMA, se han propuesto distintas

familias de códigos ortogonales, entre ellas los Códigos de Walsh o códigos de árbol,

utilizados en el estándar IS-95 y UMTS. Seguidamente se describe esta familia de

códigos ortogonales.

Las secuencias de Walsh se obtienen a partir de las matrices Walsh-

Hadamard, que son matrices cuadradas. Cada fila o columna de la matriz Walsh-

Hadamard, es una secuencia de Walsh.

Las matrices de Hadamard se generan de forma recurrente, como se indica

seguidamente

⎢⎣

⎡=

−

−

1m

1mm W

WW

⎥⎥⎦

⎤

−

−

1m

1m

W

W (2.2.1)

donde 1−mW es la matriz opuesta a Wm-1, esto es, sus elementos tienen signo

contrario. Las matrices de orden 1 y 2 son

[ ]1W1 = ; ⎢⎣

⎡=

11

W2 ⎥⎦

⎤−11

(2.2.2)

Sistema W-CDMA 10


pudiendo observarse como todas las filas –y todas las columnas- son mutuamente

ortogonales.

Figura 2.5.- Árbol de generación de los códigos OVSF

Las principales propiedades de las secuencias de Walsh son las siguientes

● Son secuencias binarias que toman valores {1,-1}.

● La longitud de las secuencias de Walsh es siempre potencia de dos.

● Existen L secuencias diferentes de longitud L.

● Todas las secuencias comienzan por 1.

● Las secuencias de Walsh son mutuamente ortogonales, es decir, se cumple que

1)0l(

0)0l(

xx

xy

==φ

==φ

Sistema W-CDMA 11


Estos códigos también se llaman OVSF (factor de expansión variable

ortogonal), ya que son códigos de factor de expansión variable y, por tanto, de longitud

variable.

También se pueden definir mediante un árbol de códigos como se muestra en

la figura 2.5. Se inicia la primera rama con el símbolo 1 y en cada bifurcación se

constituye la rama superior repitiendo los símbolos de la rama de partida y la inferior

repitiendo esos símbolos cambiados de signo. A medida que se progresa en el árbol

crece el número de ramas (en potencia de dos) y el número de chips por rama. Cada

nivel de árbol de código define códigos de expansión de longitud igual al factor de

expansión SF. Así, por ejemplo, para un SF = 4, existirán cuatro códigos de expansión

diferentes.

2.3.- Modulación Digital QPSK

En las modulaciones digitales convencionales, las formas de onda son

sinusoides. Con la modulación se hace corresponder un símbolo con algún parámetro

de la sinusoide: amplitud, frecuencia o fase. La modulación en amplitud no es

adecuada para la transmisión a través de los canales radio móviles por resultar muy

afectada por el desvanecimiento multitrayecto. La modulación digital de frecuencia, es

interesante por sus buenas propiedades de relación señal/ruido, pero tiene el

inconveniente de que requiere un gran ancho de banda. La modulación de fase se

presenta como la mejor candidata a la transmisión digital en radio móvil por su

robustez frente a perturbaciones, aunque requiere el uso de detectores coherentes.

En DS-CDMA se utiliza la modulación cuaternaria QPSK, que será estudiada

en este capítulo.

2.3.1.- Extensión Ortogonal de Señales

En el estudio de los procesos de modulación y demodulación digital se utiliza la

representación de señales en forma vectorial.

Sistema W-CDMA 12


Supóngase s(t) una señal con energía finita según

[ ]∫∞

∞−= dt)t(sE 2

s (2.3.1)

Considérese, además, que existe un sistema de funciones {fn(t),n=1,2,…,N}

ortonormales, lo que implica

∫∞

∞− ⎩⎨⎧

=10

dt)t(f)t(f mn )nm()nm(

=≠

(2.3.2)

Se puede aproximar la señal s(t) por una combinación lineal de estas funciones

∑=

∧

=K

1kkk )t(fs)t(s (2.3.3)

donde {sk, 1≤k≤K} son los coeficientes en la aproximación de s(t). El error cometido en

la aproximación es

)t(s)t(s)t(e∧

−= (2.3.4)

Se han de seleccionar los coeficientes para reducir al mínimo la energía Ee del

error de la aproximación

∫ ∫ ∑∞

∞−

∞

∞−=

∧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −= dt)t(fs)t(sdt)t(s)t(sE

2K

1kkk

2

e (2.3.5)

Para obtener los coeficientes óptimos se puede utilizar un resultado bien

conocido de la teoría de estimación basada en el criterio del error cuadrático medio,

que, indicado simplemente, se basa en que el mínimo de Ee con respecto a {sk} se

obtiene cuando el error es ortogonal a cada una de las funciones en el desarrollo en

serie. Así,

,0dt)t(f)t(fs)t(s n

K

1kkk =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−∫ ∑

∞

∞−=

K,...,2,1n = (2.3.6)

Sistema W-CDMA 13


Puesto que las funciones {fn(t)} son ortonormales, (2.3.6) conduce a

∫∞

∞−= ,dt)t(f).t(ss nn K,...,2,1n = (2.3.7)

Así, los coeficientes son obtenidos proyectando la señal s(t) sobre cada una de

las funciones {fn(t)}. Por lo tanto, la combinación lineal de estas funciones, ponderadas

por los coeficientes {sk}, es la proyección de s(t) sobre el espacio K-dimensional

constituido por las funciones {fn(t)}. El mínimo error es

∫∞

∞−= dt)t(s).t(eEmin

[ ]∫ ∫ ∑∞

∞−

∞

∞−=

−=K

1kkk

2 dt)t(s)t(fsdt)t(s

∑=

−=K

1k

2ks sE (2.3.8)

que no es negativo, por definición. Cuando Emin=0,

[ ]∑ ∫=

∞

∞−==

K

1k

22ks dt)t(ssE (2.3.9)

bajo esta condición, se puede expresar

∑=

=K

1kkk )t(fs)t(s (2.3.10)

donde se entiende que la igualdad de s(t) a su extensión en serie se sostiene en el

sentido de que el error de la aproximación tiene energía cero.

2.3.2.- Modulación Q-PSK

En la modulación digital de fase Q-PSK las formas de onda si(t) empleadas son

del tipo

Sistema W-CDMA 14


⎩⎨⎧

≤≤≤≤

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= π−

π

Tt04i1

e.e)t(pRe)t(s tf2)1i2(4

j

i0 (2.3.11)

donde:

Re indica parte real

p(t) describe la forma del impulso básico de modulación

f0 es la frecuencia de portadora

Observando (2.3.11) se ve que representa un conjunto de 4 formas de onda,

con amplitudes y frecuencias iguales y cuyas fases varían de forma discreta, con 4

estados de fase que se pondrán en correspondencia con los 4 símbolos de bits.

Desarrollando (2.3.11), resulta

tf2sen)1i2(4

sen)t(ptf2cos)1i2(4

cos)t(p)t(s 00i π⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −π

−π⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −π

= (2.3.12)

que puede verse como dos modulaciones binarias BPSK en paralelo sobre dos

portadoras cos(2πf0t) y sen(2πf0t).

Se observa que estas funciones, si(t), tienen la misma energía que es la mitad

de la energía Ep del impulso básico

∫ ∫ ===T

0

T

0 p22

i E21dt)t(p

21dt)t(sE (2.3.13)

De (2.3.12), se desprende, inmediatamente, el desarrollo en serie

)t(fs)t(fs)t(s 22i11ii += (2.3.14)

con las funciones ortonormales

Sistema W-CDMA 15


⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

π−=

π=

tf2sen)t(p.E1)t(f

tf2cos)t(p.E1)t(f

02

01

(2.3.15)

El vector genérico _

is = (si1 si2) tiene como componentes

)4...1i()1i2(

4senEs

)1i2(4

cosEs

2i

1i

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −π

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −π

= (2.3.16)

La representación de las componentes de los vectores en el espacio de señal

se denomina constelación. La constelación asociada a una modulación QPSK se

representa en la figura 2.6. Cada punto de la constelación define un vector de señal

que corresponde a un estado concreto de fase que identifica un bloque de 2 bits (dibit).

Figura 2.6.- Constelación asociada a una modulación Q-PSK

El mapeado o asignación de 2 bits de información a los 4 posibles símbolos

puede ser realizado de numerosas maneras. La asignación preferida es aquella en la

cual los símbolos adyacentes difieren tan sólo en un bit tal y como se ilustra en la

figura 2.6. Este mapeado se denomina codificación Gray. Es importante en la

Sistema W-CDMA 16


demodulación de la señal porque los errores más probables causados por el ruido

implican la selección errónea de una fase adyacente a la fase transmitida

originalmente de la señal. En tal caso, lo más probable es que se detecte un punto de

la constelación adyacente al realmente transmitido, lo que se traduce en un solo error

de bit.

De la expresión (2.3.12) se deduce que un modulador QPSK puede

construirse, como se observa en la figura 2.7, empleando dos moduladores BPSK con

portadoras en cuadratura (desfasadas 90º). La señal digital binaria entra en un

convertidor serie a paralelo, de modo que un bit de cada dibit se aplica a la

componente I y el otro bit a la componente Q.

Figura 2.7.- Modulador QPSK

A la salida de cada modulador está el filtro conformador de pulso con respuesta

impulsiva p(t). Un filtro de transmisión usado extensamente en comunicaciones

móviles es el filtro raíz de coseno alzado cuya respuesta al impulso escrita como una

función no causal tiene la siguiente expresión

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −π

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +π+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −π

=2)

Ttr4(1

Tt

Tt)r1(cos

Ttr4

Tt)r1(sen

)t(p (2.3.17)

Sistema W-CDMA 17


Este tipo de pulsos de transmisión permiten evitar la interferencia

intersimbólica, ISI.

Figura 2.8.- Respuesta impulsiva de filtro raíz de coseno alzado

2.4.- Modelo matemático para el canal de comunicación

El modelo matemático más simple para un canal de comunicación es el canal

ruidoso aditivo, ilustrado en la figura 2.9. En este modelo, la señal transmitida es

corrompida por un proceso aleatorio ruidoso aditivo n(t).

Figura 2.9.- Canal ruidoso aditivo

Físicamente, el ruido aditivo puede presentarse como consecuencia de los

componentes electrónicos y amplificadores en el receptor del sistema de

comunicación, o de la interferencia encontrada en la transmisión (como es el caso de

la transmisión de la señal de radio).

Sistema W-CDMA 18


Figura 2.10.- Canal con filtro lineal y ruido aditivo

En algunos canales físicos, como es el caso de los canales telefónicos via

radio, el canal además de presentar un ruido aditivo, se encuentra limitado en banda e

introduce una cierta atenuación y retraso, por lo que en este caso la respuesta del

canal puede modelarse como se representa en la figura 2.10 mediante un filtro lineal

caracterizado por un cierto ancho de banda, retraso y un factor de atenuación.

2.5.- Demodulación Digital. Receptor Óptimo La señal transmitida, en su tránsito por el canal, experimenta una atenuación y

un retardo temporal, además de resultar afectada por el ruido.

En el análisis de la recepción que se va a tratar aquí, se va a considerar una

serie de condiciones ideales:

1) Recepción perfectamente coherente.

2) Ausencia de desvanecimiento selectivo. La atenuación es plana, afectando por

igual a todo el espectro de señal, por lo que se convierte en un simple factor de

escala del que se puede prescindir.

3) La única perturbación que acompaña a la señal recibida es un ruido térmico,

blanco, gaussiano. Por tanto, el canal que se va a considerar es AWGN.

4) La demodulación se realiza símbolo a símbolo, considerando, por tanto, un

canal sin memoria.

Si se transmite la forma de onda si(t) correspondiente al símbolo Si (2 bits) se

recibirá, en general una señal r(t), tal que

Sistema W-CDMA 19


)t(n)t(s)t(r i += (2.5.1)

donde n(t) representa el ruido.

El receptor, analizando r(t) en el período de símbolo debe decidir la forma de

onda que se transmitió de entre las 4 posibles. La probabilidad correcta es la

probabilidad condicional

[ ]recibida r(t) señal|si(t) señal decisiónp (2.5.2)

El receptor óptimo es el que maximiza la probabilidad correcta o,

equivalentemente, minimiza la probabilidad de error. La probabilidad de error puede

referirse a símbolos o a bits. Generalmente se utiliza esta última, por lo que una

medida de la calidad de funcionamiento de un receptor es la probabilidad de error de

bit, o comúnmente conocida, tasa de error de bit: BER.

Puede dividirse el receptor en dos secciones, en la primera, llamada

demodulador, se obtiene a partir de la señal continua recibida r(t) su representación

vectorial discreta. La segunda sección, llamada detector, opera con este vector para

generar la llamada variable discreta de decisión. Eligiendo el valor máximo de esta

variable, se obtiene la señal si(t) asignada a la recepción r(t) que minimiza la

probabilidad de error.

2.5.1.- Demodulador

Se desarrolla la función señal recibida r(t) en serie de las mismas funciones

ortonormales fj(t) que se han utilizado para el desarrollo de las si(t). Aunque el

desarrollo de las si(t) sea completo, el de r(t) no lo será debido a la presencia del ruido,

pero puede demostrarse que la influencia de las componentes de ruido que quedan

fuera del desarrollo en serie no tienen influencia apreciable sobre la detección. Se

tendrá, entonces

∑ ∑= =

++=2

1j

2

1jjjjij 'n)t(fn)t(fs)t(r (2.5.3)

Sistema W-CDMA 20


donde sij viene dada por (2.3.7) y

∫=T

0 jj dt)t(f).t(nn (2.5.4)

Despreciando n’, se puede expresar

∑=

=2

1jjj )t(f.r)t(r (2.5.5)

con

∫ +==T

0 jijjj nsdt)t(f)t(rr (2.5.6)

De la expresión (2.5.6) se desprende que las componentes del vector de

observación pueden obtenerse en un banco de N correladores como se muestra en la

figura 2.11. De aquí el nombre que se da a este dispositivo: demodulador de

correlación.

Figura 2.11.- Demodulador

En vez de usar correladores, pueden, alternativamente, emplearse filtros

adaptados a las funciones fj(t), esto es, filtros cuya respuesta impulsiva sea

Sistema W-CDMA 21


)tT(f)t(h jj −= Tt0 ≤≤ (2.5.7)

Si se muestrea la salida en t=T, resulta

∫ ==T

0 jjj rdu)u(f)u(r)t(y (2.5.8)

Como se ve, se obtienen también las componentes del vector de observación.

Un filtro adaptado tiene algunas propiedades interesantes. La característica

más importante puede indicarse como sigue: Si una señal s(t) es corrompida a su paso

por un canal AWGN, el filtro con respuesta al impulso adaptada a s(t) maximiza la

relación señal a ruido de la salida, SNR.

Para demostrar esta importante propiedad, se va a asumir que la señal recibida

r(t) está compuesta de la señal s(t) y ruido AWGN n(t) con media cero y densidad

espectral N0/2 W/Hz. La señal r(t) es pasada a través del filtro con respuesta impulsiva

h(t), 0≤t≤T, y su salida es muestreada en t=T, tal y como puede observarse en la figura

2.11. La respuesta del filtro a las componentes de señal y ruido es

∫ ττ−=t

0d)t(h)t(r)t(y

∫ ∫ ττ−τ+ττ−τ=t

0

t

0d)t(h)(nd)t(h)(s (2.5.9)

y muestreando en t=T, las componentes de señal y ruido son

∫ ∫ ττ−τ+ττ−τ=T

0

T

0d)t(h)(nd)T(h)(s)T(y

)T(y)T(y ns += (2.5.10)

donde ys(T) representa la componente de señal y yn(T) la componente de ruido. El

problema es seleccionar la respuesta impulsiva del filtro que maximiza la relación

señal a ruido de la salida, SNR0, definida

[ ])T(yE)T(y

SNR 2n

2s

0 = (2.5.11)

Sistema W-CDMA 22


El denominador en (2.5.11) es simplemente la varianza del término de ruido a

la salida del filtro. Evaluando E[yn2(T)]

[ ] [ ] τ−τ−τ= ∫ ∫ dtd)tT(h)T(h)t(n)(nE)T(yET

0

T

0

2n

∫ ∫ τ−τ−τ−δ=T

0

T

00 dtd)tT(h)T(h)t(N21

∫ −=T

0

20 dt)tT(hN

21

(2.5.12)

Hacer notar que la varianza depende de la densidad espectral de ruido y de la

energía de la respuesta impulsiva h(t).

Sustituyendo para ys(T) y E[yn2(T)] en (2.5.11), se obtiene la expresión para la

salida SNR0

∫

∫

∫

∫−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ττ−τ

=−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ττ−τ

=T

0

20

2T

0

T

0

20

2T

00

dt)tT(hN21

d)T(s)(h

dt)tT(hN21

d)T(h)(sSNR (2.5.13)

Puesto que el denominador de SNR0 según (2.4.13) depende de la energía de

h(t), el máximo a la salida de SNR0 respecto a h(t) es obtenido maximizando el

numerador bajo la restricción de mantener el denominador constante. La maximización

del numerador se consigue fácilmente por medio de la desigualdad de Cauchy-

Schwarz.

Por tanto, la SNR0 (máxima) a la salida obtenida con el filtro adaptado es

∫ ==T

0 02

00 NE2dt)t(s

N2SNR (2.5.14)

Volviendo a la expresión (2.5.6), como las señales {si(t)} son deterministas,

también lo son las componentes sij. Los términos nj son variables aleatorias

gaussianas, de media cero y varianza N0/2, siendo N0 la potencia de ruido. Entonces,

las componentes (r1 r2) del vector de observación, son variables aleatorias gaussianas

incorreladas, de medias sij, por lo que la densidad de probabilidad condicional de

Sistema W-CDMA 23


recibir r(t) cuando se ha enviado si(t), puede expresarse en términos de las densidades

de las componentes ri, que son todas gaussianas

[ ] si(t) de ntransmisió | r(t) de recepciónp =

= ∏=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ 2

1jijji

__)sr(ps|rp 41 ≤≤ i

como

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ −−

π=

0

2ijj

0ijj N

)sr(exp

N1)s|r(p

resulta

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ −−

π=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ∑

=

2

1j 0

2ijj

0i

__

N)sr(

expN1s|rp (2.5.15)

2.5.2.- Detector óptimo

El demodulador proporciona el vector de observación que contiene la

información sobre la que basar la decisión consistente en asignar una forma de onda

si(t) a la señal r(t) recibida. El detector debe tomar esa decisión basándose en el

análisis del vector (r1 r2) durante el periodo de símbolo, con el objetivo de minimizar la

probabilidad de error.

Se va a considerar una regla de decisión basada en la evaluación de las

probabilidades condicionales “a posteriori” de que se haya transmitido el vector _

is cuando se ha recibido _r que se expresa simbólicamente como )|(

__rsp i . El criterio

de decisión consistirá en, conocido _r , elegir la si(t) correspondiente a la máxima

probabilidad condicional. A esta regla se le denomina: regla de máxima probabilidad a

posteriori, MAP. Ahora bien, estas probabilidades no se conocen directamente. Las

que pueden evaluarse son las probabilidades “a priori”, obtenidas en el análisis del

funcionamiento del demodulador (expresión (2.5.15)). Sin embargo, aplicando el

Teorema de Bayes

Sistema W-CDMA 24


)r(p

)s(p).s|r(p)r|s(p _i

_

i

___

i

_= (2.5.16)

siendo

∑=

=4

1ii

_

i

___)s(p).s|r(p)r(p (2.5.17)

De (2.5.16) y (2.5.17) se desprende que se pueden obtener las probabilidades

“a posteriori” a partir de las probabilidades “a priori” conocidas y de las probabilidades

de transmitir las señales si(t) que se van a suponer iguales entre sí y de valor 1/4.

Como, además, )(_rp es independiente de la señal transmitida, resulta que la regla

basada en la búsqueda del máximo de )|(__rsp i equivale a la búsqueda del máximo

de )|(__

ii rsp . A esta probabilidad se le denomina función de verosimilitud, por lo que la

regla de decisión a aplicar se conoce con el nombre de regla de máxima verosimilitud,

ML. Las reglas MAP y ML son equivalentes al haber supuesto que las señales si(t) son

equiprobables.

Aplicando logaritmo neperiano a la expresión (2.5.15) resulta

2ij

2

1jj

00i

__)sr

N1)Nln()s|r(pln −−π−= ∑

=

(2.5.18)

El máximo de esta función sobre is_

equivale a encontrar el vector que

minimiza el sumatorio del segundo término, que es la distancia cartesiana entre los

puntos de coordenadas (r1 r2) y (si1 si2). Simbólicamente

∑=

−=2

1j

2ijji

__)sr()s,r(D (2.5.19)

Este criterio tiene una interesante interpretación métrica. Considerando que las

componentes de los vectores is_

representativos de la constelación de señales son las

coordenadas de un punto del espacio bidimensional y que las componentes del vector _r son las coordenadas de otro punto de dicho espacio, la regla de decisión consiste

en asignar al punto “recibido” el punto “transmitido” más próximo. Por ello a esta regla

Sistema W-CDMA 25


también se la conoce como regla de decisión de mínima distancia.

2.6.- Probabilidad de error para QPSK

Resulta evidente que la finalidad de una transmisión reside en que la señal que

llega al receptor sea exactamente la que se le envía desde un emisor dado. La señal

transmitida, en su tránsito por el canal, experimenta una atenuación y un retardo,

además de ser afectada por el ruido. Esta degradación de la señal al pasar por el

canal, puede provocar que el detector no estime correctamente el símbolo transmitido,

produciéndose un error en recepción.

La probabilidad de error, como ya se ha expresado, indica el número medio de

errores que se producen al decidir que símbolo se ha transmitido en función del

recibido. Como ya se ha comentado en el apartado anterior, generalmente se utiliza la

probabilidad de error de bit, o comúnmente conocida, tasa de error de bit: BER, como

una medida de la calidad de funcionamiento de un receptor. Esta probabilidad

depende de la señal emitida, de la potencia con la que se transmite ésta y de las

características del canal (nivel de ruido).

Teniendo en cuenta que para una modulación QPSK el vector de observación

únicamente tiene dos componentes [r1 r2], el detector de correlación equivale a un

detector de fase que evalúa la fase del vector _r a partir de la señal recibida y

selecciona la señal representada por el vector is_

cuya fase es la más próxima a la de _r . La fase de

_r es

)rr(tg 121

r−=φ (2.6.1)

Se comete un error de decisión si el ruido hace que la fase de _r quede fuera

del intervalo ii r 22)1( πφπ ≤≤− , siendo i el índice asociado al símbolo transmitido.

Sistema W-CDMA 26


Por tanto, la probabilidad de error es

∫π

−π

φφ−=

i2

)1i(2

rre d)(p1P (2.6.2)

Para una modulación QPSK, se pueden considerar, según se ha comentado

anteriormente, dos modulaciones binarias BPSK en cuadratura, entre las cuales no

existe, por tanto, interferencia.

Para el caso de una modulación binaria BPSK, se puede aplicar la igualdad

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

b

0

b

0

b

0

min2 N

Eerfc21

NE2Q

N2E2

QN2

dQP (2.6.3)

donde dmin es la mínima distancia euclídea, que para el caso de una BPSK es bE2 .

De este modo, la probabilidad de error de bit para una QPSK es idéntica a la

expresión (2.6.3), pudiendo concluir la siguiente expresión para la BER

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

b

NE

erfc21BER (2.6.4)

2.7.- No linealidades en Sistemas de Comunicación

En los sistemas de comunicación celulares, un factor muy importante es la

potencia de las señales a transmitir. Se necesitan amplificadores que proporcionen el

nivel de señal deseado; ahora bien, estos amplificadores presentan una serie de

efectos no lineales que se traducen en la generación de señales no deseadas que

distorsionan la señal transmitida.

Sistema W-CDMA 27


La modulación QPSK, adoptada en múltiples estándares de comunicaciones,

es un esquema de modulación bastante sensible a la distorsión no lineal de amplitud y

fase introducida por el amplificador de potencia del transmisor. Como resultado de

estas distorsiones, el rendimiento del receptor en términos de la BER será degradado

significativamente, además de provocar un recrecimiento del espectro de la señal

transmitida introduciendo interferencia cocanal no deseable.

El problema que se plantea es que los transistores son dispositivos no lineales.

Si el nivel de la señal de entrada es pequeño (Vi < 26 mV para el BJT ó 400 mV para

el FET) se puede considerar comportamiento lineal. Ahora bien, si el nivel de entrada

aumenta, la curvatura de la función de transferencia afecta a la forma de onda de la

señal de salida, hecho que se manifiesta con la presencia de armónicos de orden

superior. Para caracterizar este efecto se define el punto de compresión de 1 dB como

aquel valor de la amplitud de entrada para el cual la salida real se distancia 1 dB de la

salida ideal.

Una solución simple para evitar estos efectos negativos es hacer operar al

amplificador muy lejos del punto de operación óptimo o punto de saturación y así

mantener los requerimientos de linealidad del sistema. Sin embargo, esta solución

tiene el inconveniente de no ser óptima desde el punto de vista de la eficiencia en

potencia. Habrá que alcanzar una solución de compromiso para el sistema entre

eficiencia en potencia y rendimiento del receptor en términos de probabilidad de error.

Si se desea, por tanto, hacer operar el amplificador con un alto rendimiento

debe elegirse el punto de trabajo cerca de la saturación, en una zona de cierta no

linealidad. Ahora bien, para minimizar este efecto debe producirse una reducción de la

potencia que se conoce como “back off, BO”. La distorsión no lineal del amplificador

depende de este importante parámetro.

La potencia BO de entrada es definida como la razón entre la potencia de

saturación de entrada, y la potencia promedio de la señal de entrada

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

in

satin

P|Plog10IBO (2.7.1)

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