1-1 Un plan para resolver problemas - Amazon S3

NOMBRE ______________________________________ FECHA ____________ PERÍODO ____

Guía de estudio para padres y alumnos© Glencoe/McGraw-Hill 1 Matemáticas: Aplicaciones y conceptos, Curso 3

1-1 Un plan para resolver problemas(páginas 6–10)

Puedes usar un plan de cuatro pasos para resolver problemas.

Explora Determina la información que se da en el problema y lo que necesitas averiguar.¿Tienes toda la información que necesitas? ¿Hay demasiada información?

Planifica Selecciona una estrategia para resolver el problema. Pueden haber varias estrategias que puedes usar. Estima la respuesta.

Resuelve Usa tu plan para resolver el problema. Si tu plan no funciona, intenta con otro y hasta con un tercer plan.

Examina la respuesta cuidadosamente. Mira si se ajusta a los los datos Examina presentados en el problema. Compárala con tu estimado. Si tu respuesta no es

correcta, haz un nuevo plan y comienza de nuevo.

Gwen debe llegar al aeropuerto en dos horas. Si toma dos autobuses que se demoran 75minutos cada uno en llegar al aeropuerto, ¿llegará a tiempo?

Explora Necesitas averiguar si los viajes en autobús duran dos horas o menos.

Necesitas calcular el número de horas que durarán los viajes en autobús. Suma la Planifica duración de cada viaje y convierte minutos en horas. Estimas que los viajes

en autobús durarán más de dos horas.

Resuelve 75 minutos � 75 minutos � 150 minutos150 minutos � 60 minutos � 2.5 horas

Examina Los viajes en autobús durarán 2.5 horas. Gwen no llegará a tiempo al aeropuerto.

Prueben esto juntosUsen el plan de cuatro pasos para resolver cada problema.1. Comunicación Una nueva compañía telefónica adquiere un promedio de 75

clientes nuevos cada día. ¿Cuántos clientes nuevos adquiere cada semana?AYUDA: Multipliquen el número de clientes nuevos diarios por el número de días en una semana.

2. Recreación Trejon juega baloncesto 4 días a la semana después de las clases y un díadurante el fin de semana. Una semana jugó 2 días menos que lo normal. ¿Cuántos díasjugó baloncesto esa semana?

3. Prueba estandarizada de práctica Coryn fue a comprar sus libros para su curso dematemáticas en la universidad. Un libro le costó $35 y otro le costó $64.50.También compró un tercer libro de matemáticas. Si gastó $130.29, ¿cuál es unestimado razonable del costo del tercer libro?A $30.00 B $35.00 C $40.00 D $25.00

Respuestas:1.5252.33.A

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Variables, expresiones y propiedades(páginas 11–15)


Las variables, por lo general letras, se usan para representar números en algunasexpresiones. Las expresiones algebraicas son combinaciones de variables, números y porlo menos una operación. Un enunciado matemático que contiene un “�” se llamaecuación. Una ecuación que contiene una variable es un enunciado abierto. Laspropiedades son enunciados abiertos que son verdaderos para cualquier número.

1. Reduce las expresiones dentro de los símbolos de agrupamiento

El orden de primero; comienza con los símbolos más interiores.

las operaciones 2. Evalúa todas las potencias antes que cualquier operación.3. Multiplica y divide, en orden, de izquierda a derecha.4. Suma y resta de izquierda a derecha.

Propiedad Álgebra Aritmética

Conmutativa a � b � b � a 6 � 1 � 1 � 6a � b � b � a 7 � 3 � 3 � 7

Asociativa a � (b � c) � (a � b) � c 2 � (3 � 8) � (2 � 3) � 8a � (b � c) � (a � b) � c 3 � (4 � 5) � (3 � 4) � 5

Distributiva a(b � c) � ab � ac 4(6 � 2) � 4 � 6 � 4 � 2a(b � c) � ab � ac 3(7 � 5) � 3 � 7 � 3 � 5

Identidad a � 0 � a 9 � 0 � 9a � 1 � a 5 � 1 � 5

Respuestas:1.242.143.174.Identidad (�)5.Asociativa (�)6.Conmutativa (�)7.B

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

A Evalúa 3(2ab) si a � 3 y b � 5.3(2ab) � 3 � (2 � 3 � 5)

� 3 � (30)� 90

B Identifica la propiedad que ilustra elenunciado 4 � 8 � 8 � 4.El orden de los números cambió. Ésta es lapropiedad conmutativa de la adición.

Evalúa cada expresión si a � 2, b � 8, c � 4 y d � 12.1. 2a � (bc � 12) 2. 5a � 2b � 3c 3. (d � c) � (2b � a)

Identifica la propiedad que ilustra cada enunciado.4. 1 � 6xy � 6xy 5. 12 � (3 � 7) � (12 � 3) � 7 6. 5 � 4 � 4 � 5

7. Prueba estandarizada de práctica Prathna necesita averiguar cuánta gente puedever la obra teatral de la clase. Hay 10 filas con 12 asientos cada una. Resuelve laecuación 10 � 12 � s para calcular el número de asientos.A 100 B 120 C 110 D 90


Enteros y el valor absoluto (páginas 17–21)



El conjunto de enteros consta de números enteros positivos, númerosenteros negativos y cero: {…, �3, �2, �1, 0, �1, �2, �3, …}. Puedesescribir los enteros positivos con o sin el signo �.

Para graficar un entero, ubica el número y dibuja un punto en la recta

Grafica enteros numérica.

en una recta El entero que le corresponde a ese punto se llama coordenada

numérica del punto.La distancia en la recta numérica desde un número hasta cero se llama valor absoluto del número.

A Calcula el valor absoluto de �5. B Calcula el valor absoluto de 7.El valor absoluto de �5 se escribe como |�5|. El valor absoluto de 7 se escribe |7| o |�7|. |�5| es la distancia entre �5 y cero. |7| es la distancia entre 7 y cero. El punto �5 está a 5 unidades de cero. El punto 7 está a 7 unidades de cero. De modo que |�5| � 5. De modo que |7| � 7.

Prueben esto juntos1. Identifiquen la coordenada del punto A 2. Calculen |�10|.

graficado en la siguiente recta numérica. AYUDA: ¿Qué distancia hay entre �10 y 0?AYUDA: ¿Qué entero corresponde a A?

Identifica la coordenada de cada punto graficado en la recta numérica.3. G 4. C 5. B 6. E 7. F 8. D

Grafica cada conjunto de puntos en una recta numérica.9. {3, 5, 8} 10. {�4, �1, 2} 11. {9, 4, �2, �6}

12. {�5, �2, 2, 5} 13. {�3, �7, �9} 14. {�1, 0, 5}

Evalúa cada expresión.15. |�8| 16. |5| � |�3| 17. |�22|18. |20 � 10| 19. |�12| 20. |65| � |15|

21. Viajes Dixonville se encuentra 8 millas más al norte que Huntland. Expresa 8millas más al norte con un entero.

22. Prueba estandarizada de práctica Cherise y Audra dan un salto alto en atletismo.Audra salta 5 pulgadas más bajo que Cherise. Expresa 5 pulgadas más bajo con unentero.A �5 B 5 C |5| D |�5|

–5 –4

G F A C B E D

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

Respuestas:1.�22.103.�44.05.16.37.�38.59–14.Ver clave de respuestas.15.816.817.2218.1019.1220.5021.822.A

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Suma enteros (páginas 23–27)



Puedes modelar la suma de enteros con fichas o en una recta numérica.

• Para sumar enteros con el mismo signo, suma sus valores absolutos. Asigna al Suma resultado el mismo signo de los enteros.enteros • Para sumar enteros con distinto signo, resta sus valores absolutos. Asigna

al resultado el mismo signo que tiene el entero con el mayor valor absoluto.

A Resuelve �3 � (�7) � p. B Resuelve q � �7 � 3.Los enteros tienen el mismo signo. Ambos números Los enteros tienen distintos signos. |�7| es 7; son negativos, por lo tanto, la suma es negativa. |3| es 3. El entero con el mayor valor absoluto Suma los valores absolutos (3 y 7) y asigna al es �7, por lo tanto, el resultado es negativo. resultado un signo negativo. Sustrae los valores absolutos: 7 � 3 � 4.�10 � p q � �4

Prueben esto juntos1. Calculen 5 � (�4). 2. Calculen 18 � 26.

AYUDA: ¿Cuál entero tiene el mayor AYUDA: ¿Son iguales los signos de los enteros?valor absoluto?

Suma.3. �12 � 5 4. (�25) � (�3) 5. 15 � (�6) � (� 4)

6. 36 � (�29) � 10 7. 7 � (�30) 8. 49 � 11

9. (�14) � (�6) 10. 17 � (�11) 11. (�3) � (�8) � (� 5)

12. ¿Cuál es el valor de 10 � (�20)? 13. Calcula la suma �75 � (�25).

Evalúa cada expresión si a � �5, b � �2 y c � 8.14. a � b 15. |c � b| 16. |a| � c

17. Juegos Mark avanzó 13 espacios en un tablero de juegos. En su siguiente turno,retrocedió 8 espacios. Escribe una ecuación de adición de enteros para mostrarcuánto avanzó Mark en el tablero de juegos en los dos turnos.

18. Prueba estandarizada de práctica Una tienda que vende sillas de madera compró 25sillas de la fábrica. Al día siguiente, se vendieron 8 sillas. ¿Cuál ecuación de adiciónmuestra cómo calcular cuántas sillas quedaron después de la venta?A c � 25 � 8 B c � (�25) � (�8)C c � �25 � 8 D c � 25 � (�8)

Respuestas:1. 12.443.�74.�285.56.177.�238.609.�2010.611.�1612.�1013.�10014.�715.616.1317.x�13 �(�8)18.D

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Resta enteros (páginas 28–31)



El opuesto de un entero es el número con la misma distancia de ceropero en la dirección opuesta. El opuesto de cualquier número se llamainverso aditivo. La suma de un número y su inverso aditivo es cero. a � (�a) � 0.

Resta enteros Para restar un entero, suma su inverso aditivo.

A Calcula 7 � (�3). B Calcula �5 � 4.Restar �3 es lo mismo que sumar el Para restar 4, suma �4. inverso de �3. �5 � 4 � �5 � (�4)7 � (�3) � 7 � 3 � �9

� 10Puedes comparar esto con “cancelar una deuda de $3 es lo mismo que sumar $3”.

Prueben esto juntos1. ¿Cuál es el inverso aditivo de �5? 2. ¿Cuál es el inverso aditivo de 8?

AYUDA: ¿Qué número tiene la misma distancia desde AYUDA: ¿Qué número sumado a 8 da cero? cero pero en el lado opuesto de la recta numérica?

3. Escribe el inverso aditivo de �21.

Sustrae.4. 30 � (�5) 5. �20 � (�1) 6. �8 � 2

7. 4 � 16 8. �16 � 8 9. 12 � (�6)

10. 10 � 2 11. 120 � (�150) 12. 62 � (�3)

13. 0 � 18 14. �26 �15 15. �14 � (�2)

16. Calcula el valor de y en y � �6 � (�15).

17. Calcula el valor de x en 15 � 30 � x.

18. Evalúa �10 � b � c si b � 5 y c � �5.

19. Asuntos de dinero En 1999, una compañía de Internet tuvo un saldo de�$200,000 ese año. En 2000, la compañía perdió otros $150,000. Escribe unaecuación de sustracción para mostrar cómo calcular la cantidad total de dinero quela compañía perdió en 1999 y en 2000.

20. Prueba estandarizada de práctica Resuelve la ecuación x � �91 � (�102).A �11 B �193 C 11 D 193

Respuestas:1. 52.�83.214.355.�196.�107.�128.�249.1810.811.27012.6513.�1814.�4115.�1216.917.�1518.�1019.�$200,000 �$150,000 �t20.C

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Multiplica y divide enteros (páginas 34–38)



Multiplica El producto de dos enteros con el mismo signo es positivo.enteros El producto de dos enteros con diferentes signos es negativo.

Debido a que la división es la operación inversa de la multiplicación, las reglas para dividir enteros son las mismas que las reglas para multiplicar enteros.

Divide El cociente de dos enteros con el mismo signo es positivo.enteros El cociente de dos enteros con diferentes signos es negativo.

A Calcula el producto de �5 y �8. B Calcula �36 � (�12).Los dos factores tienen el mismo signo. Los dos enteros tienen el mismo signo. El signo del producto es positivo. El cociente es positivo.(�5)(�8) � 40 �36 � (�12) � 3

Prueben esto juntos1. Calculen 3(�2). 2. Calculen 20 � (�2)

AYUDA: ¿Son iguales los signos de los AYUDA: ¿Será positiva o negativa la solución?enteros o son diferentes?

Multiplica o divide.3. �36 � 3 4. 56 � 8

5. �3(4)(9) 6. �5(9)

7. ��

816� 8. �11( �15)(5)

9. �42 � (�6) 10. �6(�5)

11. 16(2) 12. �350�

Evalúa cada expresión si a � �3, b � 2 y c � �5.

13. �abb� 14. �2c � b

15. 6abc 16. �3bc

17. Impuestos En 1995, los Albanos debían $2,000 de impuestos. En 2000,solamente debían $1,500 de impuestos. ¿Cuál fue el cambio promedio en lacantidad de impuestos que debían en cada uno de estos 5 años?

18. Prueba estandarizada de práctica El valor de las acciones del Sr. Herrera cambió en �$55.00 por día durante 5 días. ¿Cuál fue el cambio total en el valor de susacciones?A $50.00 B �$275.00 C �$50.00 D $275.00

Respuestas:1. �62.�103.�124.75.�1086.�457.�28.8259.710.3011.3212.613.�314.515.18016.3017.�$10018.B

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Escribe expresiones y ecuaciones (páginas 39–42)



Existen muchas palabras y frases que sugieren operaciones aritméticas. Sepuede usar cualquier variable para representar un número.

Frase Expresión algebraica

Convierte cinco menos que un número a � 5

palabras en un número aumentado en 12 b � 12

expresiones dos veces un número disminuido por 3 2d � 3

el cociente de un número y 4

Adición Sustracción Multiplicación División

Frases comunes más, suma, menos, diferencia, veces, por, dividido entre, que indican más que, menos que, producto, cociente, las cuatro aumentado en, resta, cada, separado, en,operaciones total, en total disminuido por de factores por, tasa, razón

Convierte enun- Enunciado verbal Ecuación algebraicaciados verbales 24 es 6 más que un número. 24 � h � 6en ecuaciones Cinco veces un número es 60. 5k � 60

A Escribe 16 más 7 como una expresión. B Escribe a menos b como una expresión.16 más 7 a menos b16 � 7 Más indica adición, de modo que a � b Menos indica sustracción. Escribe

escribe una expresión de adición. una expresión de sustracción.

Prueben esto juntosEscriban cada frase en forma de expresión algebraica o ecuación.1. 5 más que un número 2. la mitad del total

AYUDA: Usen la tabla de frases comunes como ayuda para escribir cada expresión o ecuación.

Escribe cada frase en forma de expresión algebraica o ecuación.3. g menos que 14 es 8 4. el producto de 6 más y es 42 5. 13 menos a es 56. 3 veces h es 12 7. 17 disminuido en x es 15 8. 5 más que el puntaje de Eric

9. Asuntos de dinero Darcey recibe 3 veces más mesada mensual que su hermanita Devin.Supón que Darcey recibe $18.00 de mesada mensual. Escribe una ecuación para averiguarla cantidad de mesada mensual que recibe Davin.

10. Prueba estandarizada de práctica ¿Qué expresión muestra cómo calcular el preciopor galón de gasolina, si 15 galones cuestan $19.65?A 15 � $19.65p B $19.65 � 15pC $19.65 � p � 15 D $19.65 � 15 � p

g�4

Respuestas:1. n�52.t3.14 �g�84.6y�425.13 �a�56.3h�127.17 �x�158.e�59.$18.00 �3d10.B1�2

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Resuelve ecuaciones mediante suma y resta(páginas 45–49)



Puedes usar las propiedades del álgebra para resolver una ecuación.

Si sumas el mismo número a ambos lados de una ecuación, los dos lados

Propiedad permanecen iguales.

de igualdad de Aritmética Álgebra

la adición 3 � 3 x � 8 � 23 � 5 � 3 � 5 x � 8 � 8 � 2 � 8

8 � 8 x � 10

Si restas el mismo número de ambos lados de una ecuación, los dos lados

Propiedad de permanecen iguales.

igualdad de la Aritmética Álgebra

sustracción 3 � 3 x � 2 � 83 � 2 � 3 � 2 x � 2 � 2 � 8 � 2

1 � 1 x � 6

Para resolver una ecuación en la cual se le suma o se le resta un número ala variable, puedes usar la operación opuesta o inversa. La suma y la restason operaciones inversas.

A Resuelve y � 5 � 13. B Resuelve b � 6 � 72.y � 5 � 13 b � 6 � 72

y � 5 � 5 � 13 � 5 Usa la propiedad de b � 6 � 6 � 72 � 6 Usa la propiedad de y � 8 igualdad de la sustracción. b � 78 igualdad de la adición.

Luego verifica tu solución. Luego verifica tu solución.La solución de la ecuación es 8. La solución de la ecuación es 78.

Prueben esto juntosResuelvan cada ecuación. Verifiquen la solución.1. 15 � z � 26 2. x � 12 � 7 3. y � 34 � 8 4. 39 � 25 � w

AYUDA: Recuerden usar la operación inversa.

Resuelve cada ecuación. Verifica tu solución.5. 36 � 24 � r 6. q � 8 � 17 7. p � 5 � 18 8. 10 � s � 26

9. 120 � t � 65 10. j � 64 � 50 11. 1.5 � h � 3 12. k � 0.7 � 0.3

13. 45 � � � 2 14. 41 � 5 � m 15. n � 8.1 � 3.1 16. a � 1.6 � 1.3

17. Prueba estandarizada de práctica Resuelve la ecuación 48.2 � z � 25.1.A 23.1 B 24.3 C 23.5 D 24.8

Respuestas:1. 112.193.424.145.126.257.138.169.18510.11411.1.512.113.4314.4615.11.216.2.917.A

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Resuelve ecuaciones de multiplicación ydivisión (páginas 50–53)



Respuestas:1.72.�53.�364.95.816.�97.58.�759.25010.�7211.D

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

A Resuelve 4x � �20.4x � �20

� Usa la propiedad de igualdad de la

x � �5división. Luego verifica tu solución.

La solución de la ecuación es �5.

B

�20�

44x�4

Prueben esto juntosResuelvan cada ecuación. Verifiquen la solución.1. 56 � 8y 2. �30 � 6p 3. m � 9 � �4 4. 14x � 126

AYUDA: Usen la operación inversa para resolver cada ecuación.

Resuelve cada ecuación. Verifica tu solución.5. r � 9 � 9 6. 54 � �6s 7. 13f � 65

8. � �25 9. � 5 10. � 9

11. Prueba estandarizada de práctica La familia de Jeremiah paga $35.00 al mes porcable de 70 canales de televisión. Usa la ecuación $35.00 � 70y para averiguarcuánto pagan por canal.A $0.55 B $0.45 C $0.60 D $0.50

k��8

j�50

n�3

Puedes usar las propiedades del álgebra para resolver una ecuación.

Si divides cada lado de una ecuación entre el mismo número, excepto cero,

Propiedad de los dos lados permanecen iguales.

igualdad de la Aritmética Álgebra

división 8 � 8 3x � �188 � 2 � 8 � 2 �

33x��

�

318�

4 � 4 x � �6

Si multiplicas cada lado de una ecuación por el mismo número, los dos lados permanecen iguales.

Aritmética Álgebra

8 � 8 �4x

� � 5

8 � 2 � 8 � 2 �4x

�(4) � 5(4)16 � 16 x � 20

Para resolver una ecuación de multiplicación o división, puedes usar la operación opuesta oinversa. La multiplicación y la división son operaciones inversas.

Propiedad deigualdad de lamultiplicación

Resuelve � 5.

�9z

� � 5Usa la propiedad de igualdad

�9z

� � 9 � 5 � 9 de la multiplicación.

z = 45Luego verifica tu solución.

La solución de la ecuación es 45.

z�9

Repaso del capítuloNOMBRE ______________________________________ FECHA ____________ PERÍODO ____


Ecuación de fútbol americanoResuelve cada ecuación. Luego usa tu solución para mover al equipo a través de la canchade fútbol americano. Las soluciones positivas mueven al equipo hacia la marcación de untanto. Las soluciones negativas mueven al equipo en contra de tal marcación. La meta esllegar a la línea de gol para marcar un tanto.

Ejemplo: Supón que el equipo comienza en la línea de 35 yardas.

1er— jugador: x � 5 � (�10) x � El equipo retrocede 5 yardas hacia la líneade 40 yardas.

2o_ jugador: x � �2 � (�5) x � El equipo avanza 10 yardas hacia la línea de30 yardas.

¡Vamos!Después de una interceptación, el equipo A comienza en la línea de 40 yardas.

1er— jugador: a � (�3)(2)(�2) a � ¿En qué línea de yarda se encuentra ahora el equipo?

2o_ jugador: b � 35 � (�7) b � ¿En qué línea de yarda se encuentra ahora el equipo?

3er— jugador: c � (�29) � 12 c � ¿En qué línea de yarda se encuentra ahora el equipo?

4o_ jugador: �3d � �48 d � ¿En qué línea de yarda se encuentra ahora el equipo?

¿Marcó un tanto el equipo A? Justifica tu respuesta.

4 0 3 0 2 0 1 0 G

10 G203040

¡Tanto!

10

�5

Las respuestas se encuentran en la página 108.

Fracciones y decimales (páginas 62–66)



Un decimal que termina, tal como 0.335, es un decimal terminal. Todos los decimales terminales son números racionales. 0.335 �

Un decimal que se repite, tal como 0.333... es un decimal periódico. Puedes usar notación de barras para indicar que el 3 se repite para siempre. 0.333… � 0.3�Todos los decimales periódicos son números racionales. 0.333… � 1

�3

335�1,000

Respuestas:1. 0.7�5�2.0.41�3.6.0�1�5�4.8.2�5.0.6�3�6.0.13131313137.1.56256256258.3.49898989899.0.125

10.0.411.3.3�12.5.7�13.14.115.16.417.0.218.D 1�3

8�9

1�4

24�25

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

A Expresa 0.4�7� como decimal en formareducida.Sea N � 0.4�7�Luego 100N � 47.4�7�

�1N � 0.4�7� Sustrae.

El resultado es 99N � 47. Divide cada lado entre 99.

N �

B Expresa 4.5 como una fracción onúmero mixto en forma reducida.4.5 es 4 y 5 décimas ó .

El MCD de 45 es 10 y 5.Divide el numerador y el denominador entre 5.

� ó 4 .1�2

9�2

45�10

45�10

Prueben esto juntos1. Usen notación de barras para expresar 2. Usen notación de barras para expresar

0.757575. 0.4111.AYUDA: Escriban una barra sobre los dígitos periódicos. AYUDA: ¿Cuál dígito se repite?

Expresa cada decimal usando notación de barras.3. 6.015015015… 4. 8.222… 5. 0.636363…

Escribe los primeros diez lugares decimales de cada decimal.6. 0.1�3� 7. 1.5�6�2� 8. 3.49�8�

Expresa cada fracción o número mixto como decimal.

9. 10. 11. 3 12. 5

Expresa cada decimal como fracción o número mixto en forma reducida.13. 0.96 14. 1.25 15. 0.8� 16. 4.3�17. Ventas En la tienda de trajes de Jack, los trajes para caballeros están en oferta. Tienen

de descuento al precio regular por una semana nada más. Expresa como decimal.

18. Prueba estandarizada de práctica Brandy es 2.75 veces mayor que su hermanoEvan. Expresa 2.75 como número mixto.

A 2 B 2 C 2 D 2 3�4

2�5

5�8

7�9

1�5

1�5

7�9

1�3

2�5

1�8

47�99

Compara y ordena números racionales(páginas 67–70)



Un modo de comparar dos números racionales es escribirlos con fracciones quetienen el mismo denominador. Puedes usar cualquier denominador común, peroes generalmente más fácil usar el mínimo común denominador (mcd). El mcdes lo mismo que el mcm de los denominadores. Puedes también escribir lasfracciones como decimales y comparar los decimales.

Respuestas:1. 122.153.244.705.426.7.8.9., , , 10., 0.5, 0.55, 11.�3, �3.65, �3.5,

�312.El equipo de voleibol13.C3�8

5�6

3�4

5�12

1�4

1�5

1�8

1�9

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

A ¿Cuál es mayor, ó ?El mcd es 15.

Reescribe y con el mcd.

�

�

Puesto que , es mayor que .

B ¿Cuál es mayor, 0.3 ó ?

Reescribe como un decimal 0.3333… .0.333… es mayor que 0.3.

es mayor que 0.3.1�3

1�3

1�3

3�5

2�3

9�15

10�15

9�15

3�5

10�15

2�3

3�5

2�3

2�3

3�5

Prueben esto juntos

1. Calculen el mcd de y . 2. Calculen el mcd de y .

AYUDA: ¿Cuál es el mcm de 4 y 3? AYUDA: ¿Cuál es el mcm de 15 y 5?

Calcula el mcd de cada uno de los pares de fracciones.

3. , 4. , 5. ,

Reemplaza cada ● con �, � o � para hacer verdadero el enunciado.

6. 4 ● 4 7. ● 8. 8.65 ● 8

Ordena cada conjunto de números racionales de menor a mayor.

9. , , , 10. , , 0.5, 0.55 11. �3.5, �3.65, �3 , �3

12. Deportes El equipo de básquetbol de una escuela media ganó 12 de 15partidos. El equipo de voleibol de una escuela secundaria ganó 20 de 24partidos. ¿Cuál equipo obtuvo el mejor récord?

13. Prueba estandarizada de práctica ¿Cuál es mayor, 1.68, 1.6, 1 ó 1 ?

A 1 B 1.68 C 1 D 1.67�9

2�3

7�9

2�3

5�6

3�8

3�4

5�12

1�9

1�5

1�4

1�8

8�9

3�8

1�3

7�10

4�5

3�14

5�6

9�10

5�7

7�8

5�6

3�5

1�15

2�3

3�4

Multiplica números racionales (páginas 71–75)



Usa las reglas de los signos de multiplicación de enteros cuando multipliquesnúmeros racionales.

Multiplica Para multiplicar fracciones, multiplica los numeradores y multiplica los

fracciones denominadores. � � , donde b � 0, d � 0

A Calcula 3 � 2 . B Calcula � � .

3 � 2 � � Convierte los números mixtos en fracciones impropias.

� � Divide los factores comunes.

�Multiplica los numeradores.

� ó 8 Reduce.

Prueben esto juntos

1. Calculen � . 2. Calculen � � .

AYUDA: Reduzcan al dividir el numerador AYUDA: ¿Será positivo o negativo el producto? y el denominador entre 4. Reduzcan antes de multiplicar.

Multiplica. Escribe en forma reducida.

3. �4 � �� 4. � � 5 5. 8�� 6. 1 � 3 7. 3��7 � 8. � �

Evalúa cada expresión si k � 1 , � � � , m � 1 y n � � .

9. k� 10. 2m 11. �mn 12. �(�k)

13. Acondicionamiento físico Mike y su hermano gemelo compitieron en una carrera de

3 millas. Los gemelos corrieron de la carrera. ¿Qué distancia corrieron los gemelos?

14. Prueba estandarizada de práctica Resuelve � � � x.

A � B C � D 3�28

3�28

1�14

1�14

1�4

2�7

2�3

1�6

2�3

5�6

1�4

1�2

2�6

5�6

1�6

2�9

1�5

4�5

5�6

1�2

5�8

2�5

3�4

2�3

4�7

1�8

2�5

42�5

7 � 6�1 � 5

12�5

7�2

12�5

7�2

2�5

1�2

3�4

3�4

2�5

1�2

ac�bd

c�d

a�b

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

1

6

� � Multiplica los numeradores.

� ��196� Reduce.

�3 � 3�4 � 4

3�4

�3�4

Multiplica los denominadores.

Multiplica los denominadores.

Respuestas:1. 2.�3.24.�25.�66.37.�218.��158�9.�10.311.1�

29

�12.13.2millas14.A1�9

3�8

2�3

3�8

1�2

13�15

2�5

11�12

3�4

1�2

1�14

Divide números racionales (páginas 76–80)



Al dividir entre 2 y multiplicar por obtienes el mismo resultado. Nota que 2 y

son inversos multiplicativos.

Divide Para dividir entre una fracción, multiplica por su inverso multiplicativo.

fracciones � � � , donde b, c, d � 0

A Calcula 18 � . B Calcula 3 � � .

Reemplaza la división entre con la Reemplaza la división entre � con la

multiplicación por . multiplicación por � .

18 � � � 3 � � � � �

� 27� � ó �4

Prueben esto juntos

1. Calculen 11 � 1 . 2. Calculen � .

AYUDA: Primero reescriban 1 como una AYUDA: Cambien la división entre con lafracción impropia.

multiplicación por el inverso multiplicativo de .

Divide. Escribe en forma reducida.

3. � (�12) 4. 3 � 5. �2 � �� 6. � 4 7. �2 � �� 8. �9 � 1

9. �5 � 1 10. 8 � 2 11. �4 �

12. 3 � 13. �7 � � 14. � 25

15. Diseño de interiores Un pasillo con un ancho de 4 pies tiene piso de madera

alineado con tablitas que tienen un ancho de 2 pulgadas. ¿Cuántas tablitas caben através del pasillo?

16. Prueba estandarizada de práctica ¿Cuánto es 16 � �6 ?

A �2 B �2 C �2 D �2 2�3

1�2

1�6

1�8

1�2

1�4

1�4

1�2

5�8

4�7

3�7

7�8

1�2

7�10

4�5

2�3

1�9

4�9

1�6

5�6

1�3

1�10

3�5

3�4

5�6

3�10

2�5

1�8

1�4

3�4

4�9

4�9

5�6

4�9

2�7

5�6

3�8

35�8

5�4

7�2

4�5

1�2

3�2

18�1

2�3

5�4

3�2

4�5

2�3

4�5

1�2

2�3

d�c

a�b

c�d

a�b

1�2

1�2

Respuestas:1. 62.3.�4.265.86.7.268.�59.�310.311.�612.413.1314.

15.2416.C

1�40

6�7

1�24

15�26

1�11

10�57

1�16

9�14

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Suma y resta fracciones semejantes(páginas 82–85)



Las fracciones con el mismo denominador se llaman fracciones semejantes.

• Para sumar fracciones con común denominador, suma los numeradores y escribe la suma sobre el denominador.

� � , c � 0

• Para restar fracciones con común denominador, resta los numeradores y escribe la diferencia sobre el denominador.

� � , c � 0

A Calcula � . B Calcula � .

� � Resta los numeradores. � � Suma los numeradores.

� Reduce. �

� � 1 Convierte a número mixto.

Prueben esto juntos


AYUDA: Después de que resten, AYUDA: Obtengan el signo de la suma con las reduzcan la fracción. mismas reglas para sumar y restar enteros.

Suma o resta. Escribe en forma reducida.

3. � �� 4. � � 5. 2 � 1

6. � � 7. � �� 8. � �

Evalúa cada expresión si x � y y � � .

9. y � x 10. x � y 11. y � (y � x)

12. Transporte Hay de milla entre la parada de buses de Ming y la última

parada camino a la escuela. Hay de milla entre la última parada y la escuela.

¿A cuántas millas de la escuela vive Ming?

13. Prueba estandarizada de práctica Resuelve n � 1 � �� .A B 1 C 1 D 21

�2

3�4

1�4

3�4

1�6

5�6

1�12

5�12

3�5

1�5

5�8

1�8

5�11

6�11

2�3

1�3

5�9

4�9

8�7

3�7

1�10

9�10

3�6

5�6

3�7

1�3

10�7

4�12

4 � 6�

76�7

4�7

5 �1�

121

�12

5�12

6�7

4�7

1�12

5�12

a � b�

cb�c

a�c

a � b�

cb�c

a�c

Respuestas:1. 2.�3.14.�15.46.�7.8.�9.�10.11.�12.1 milla13.D5

�12

1�3

1�2

4�5

3�4

1�11

4�7

4�5

1�3

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Suma y restafraccionessemejantes

Suma y resta fracciones con distinto denominador (páginas 88–91)



Suma y resta Para calcular la suma o diferencia de dos fracciones con distinto denominador,fracciones • reescribe las fracciones con un denominador común,con distinto • suma o resta ydenominador • reduce si es necesario.

A Calcula � . B Calcula 2 � 3 .

�79

� � �23

� � �79

� � �69

� 2�34

� � 3�12

� � �141� � �

72

�

� �7 �

96

� Resta los numeradores. � �141� � �

144�

� �19

� Reduce. � �11�

414

� Resta los numeradores.

� ��34

� Reduce.

Prueben esto juntos


AYUDA: Reescriban ambas fracciones con AYUDA: Reescriban con el mcd de 18. un denominador común de 20.

Suma o resta. Escribe en forma reducida.

3. �3 � 4. � � �� 5. 5 � 4 6. 8 � 5

7. 3 � 8 8. �5 � 9. �8 � 4 10. 1 � 1

11. Sustrae �4 de 2. 12. ¿Cuál es la suma de � y � ?

Evalúa cada expresión si a � � , b � 1 y c � .

13. b � c 14. a � b � c 15. a � (�c)

16. Cocina Una receta usa 1 tazas de harina de trigo y de taza de

germen de trigo. ¿Cuál es la suma de estas cantidades?

17. Prueba estandarizada de práctica Resuelve t � �1 � .

A �1 B � C D 1 17�30

23�30

23�30

17�30

2�5

1�6

1�4

1�3

4�9

2�3

1�4

1�7

2�5

1�6

1�6

5�8

4�9

1�2

1�6

1�7

1�4

1�5

2�3

5�7

3�7

3�8

5�6

3�4

5�6

2�9

3�4

1�5

1�2

3�4

2�3

7�9

Respuestas:1. 2.3.�44.�5.16.27.�58.�59.�1210.211.612.�

13.114.115.16.1tazas17.B7

�12

7�36

31�36

2�9

19�35

1�6

19�24

17�18

13�42

1�4

4�5

1�21

45�56

7�12

11�18

19�20

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Reescribe cada fraccióncon el mcd de 9.

Escribe los números mixtoscomo fracciones.Reescribe cada fracción con elmcd de 4.

Resuelve ecuaciones con números racionales (páginas 92–95)



Puedes usar los que has aprendido sobre los números racionales a medidaque resuelvas ecuaciones que contienen números racionales.

• Para resolver una ecuación, se despeja la variable usando operaciones

Resuelve inversas.

ecuaciones • Invierte el orden de las operaciones anulando primero las sumas y las restas.

con números • Luego anula las multiplicaciones y las divisiones haciendo la misma

racionales operación inversa en cada lado.• Verifica tu solución reemplazándola por la variable para ver si hace

igual los dos lados de la ecuación.

Respuestas:1. 1202.�13.13.14.4.215.�11.46.�57.�1.48.�9.�2010.41.611.4312.D1�4

1�2

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

A Resuelve � 7. Verifica tu solución.

�a �

35

� � 7

3� � � 3(7) Multiplica cada lado por 3.

a � 5 � 21 Reduce.a � 5 � 5 � 21 � 5 Suma 5 a cada lado.

a � 26 Reduce.

Verifica: ¿Es igual a 7? Sí, � 7.

B Resuelve �8 � b � 6. Verifica tu solución.

�8 � b � 68 � (�8) � b � 6 � 8 Suma 8 a cada lado.

�b � 14 Reduce.(�1)(�b) � 14(�1) Multiplica cada lado

por �1.b � �14 Reduce.

Verifica: ¿Es �8 � (�14) igual a 6? Sí.21�3

26 � 5�

3

a � 5�

3

a � 5�

3

Prueben esto juntos

1. Resuelvan �15 � � . 2. Resuelvan 5.8 � j � �7.3.

Verifiquen su solución. Verifiquen su solución.AYUDA: Multipliquen cada lado por 8 AYUDA: Resten 5.8 de cada lado.y luego por �1.

Resuelve cada ecuación. Verifica tu solución.

3. 2 n � 3 4. h � (�0.09) � 4.3 5. � �3.8

6. 7g � �35 7. 2.2 � 0.8 � z 8. �s � �

9. m � (�7) � �11 10. � 9.3 11. � 8

12. Prueba estandarizada de práctica Resuelve k � � .

A � B � C �1 D �2 2�9

1�8

5�7

16�45

8�9

2�5

�27 � u�

2a � 23�

29

�10

1�2

1�4

y�3

3�10

1�5

w�8

Potencias y exponentes (páginas 98–101)



Cuando multiplicas dos o más números, a cada número se le llama factordel producto. Cuando se repite el mismo factor, puedes usar un exponentepara reducir la notación. Un exponente nos dice cuántas veces un número,llamado base, se usa como factor. Una potencia es un número que seexpresa usando exponentes.

Ejemplo de potencias 54 � 5 � 5 � 5 � 5 cinco elevado a la cuarta potencia

Palabras Cualquier número, excepto cero, elevado a la potencia decero da 1. Cualquier número, excepto cero, elevado a lapotencia negativa de n da 1 dividido entre el número a la npotencia.

Símbolos Aritmética Álgebra50 � 1 x0 � 1, x � 0

7�3 � x�n � , x � 0

A Escribe 4 � 4 � 7 � 4 � 7 en forma exponencial. B Evalúa 64.Usa la propiedad conmutativa para reordenar los factores. 64 � 6 � 6 � 6 � 6 Luego usa la propiedad asociativa para agruparlos. � 36 � 36 4 � 4 � 4 � 7 � 7 � (4 � 4 � 4) � (7 � 7) � 43 � 72 � 1,296

Prueben esto juntos1. Escriban 5 � 5 � 5 en forma exponencial. 2. Evalúen 23.

AYUDA: ¿Cuántas veces se usa el factor? AYUDA: Escriban cada potencia como un producto.

Escribe cada expresión en forma exponencial.3. 8 � 8 � 8 � 8 4. 1 � 1 5. 7 � 7 � 6 � 66. 2 � 2 � 2 � 4 � 4 7. 10 � 10 � 9 � 9 � 9 8. a � a � a � b

Evalúa cada expresión.9. 91 10. 3�5 11. 13 � 24

12. 62 � 43 13. 33 � 22 � 41 14. 5�2

15. Deportes El Tour de Francia es una de las carreras de bicicleta más difíciles delmundo. Los ciclistas recorren aproximadamente 3.2 � 103 kilómetros a través delcampo y las montañas de Francia. Expresa este número sin exponentes.

16. Prueba estandarizada de práctica ¿Cómo se puede escribir 8 � 8 � 8 � p � p � 3 enforma exponencial?A 3p � 64 � p B 64 � p2 � 3 C 83 � p2 � 3 D 82 � p3 � 3

1�xn

1�73

Respuestas:1. 532.83.844.125.72�626.23�427.102�938.a3�b9.910.�2143�11.1612.2,30413.432

14.�215�15.3,20016.C

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Cero y exponentesnegativos

Notación científica (páginas 104–107)



Cuando se escribe un número en notación científica, se le expresa como elproducto de un número entre 1 y 10 y una potencia de 10.

Convierte • Cuando se multiplica por una potencia positiva de 10 se mueve el punto notación decimal hacia la derecha el número de lugares indicados por el exponente.científica en • Cuando se multiplica por una potencia negativa de 10 se mueve el puntoforma decimal hacia la izquierda el número de lugares indicados por el valor estándar absoluto del exponente.

A Escribe 4.6 � 10�3 en forma estándar. B Escribe 89,450 en notación científica.El exponente es negativo así que mueve el Mueve el punto decimal para hacer un punto decimal 3 lugares hacia la izquierda. número entre 1 y 10. 8.94504.6 � 10�3 � 0.0046 Moviste el punto decimal 4 lugares, así que

89,450 � 8.945 � 104.

Prueben esto juntos1. Escriban 4.5 � 103 en forma estándar. 2. Escriban 1.201 � 105 en forma estándar.

AYUDA: Muevan el punto decimal 3 lugares AYUDA: Muevan el punto decimal hacia la hacia la derecha. derecha.

Escribe cada número en forma estándar.3. 3.65 � 10�2 4. 21.549 � 10�3 5. 2.3 � 106

6. 8.95 � 10�4 7. 10.567 � 108 8. 0.505 � 103

Escribe cada número en notación científica.9. 1,200 10. 4,000,000 11. 0.00015 12. 0.0148

13. 30,300 14. 0.0000068 15. 0.000547 16. 702,000

17. Ciencia espacial Algunos satélites orbitan la Tierra a una altitud específica que lespermite estar siempre arriba de un punto del ecuador de la Tierra. Esto se llama órbitaecuatorial geoestacionaria y está aproximadamente a 35,800 kilómetros sobre la Tierra.Expresa este número en notación científica.

18. Prueba estandarizada de práctica Cuando el cohete espacial regresa a laatmósfera de la Tierra, necesita resistir un calor tremendo. 2.4 � 104 mosaicosespeciales se instalan manualmente para ayudar a proteger el cohete de este calor.¿Cómo se escribe 2.4 � 104 en forma estándar?A 24,000 B 2,400 C 240,000 D 240

Respuestas:1. 4,5002.120,1003.0.03654.0.0215495.2,300,0006.0.0008957.1,056,700,0008.5059.1.2 �10310.4 �10611.1.5 �10�412.1.48 �10�213.3.03 �10414.6.8 �10�615.5.47 �10�416.7.02 �105

17.3.58 �10418.A

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.



Escalera racionalSube una escalera hecha de la siguiente lista de números racionales.Resuelve si es necesario, luego coloca los números racionales en orden demenor a mayor en los escalones de abajo hacia arriba.

1. �

2. 11 � 6

3. �5.3�

4. 4.7

5.

6. � 2

7. 2.03 � 10�1

8. 19�4

1�3

1�3

24�120

2�3

1�3

5�11

3�11


Raíces cuadradas (páginas 116–119)



Los números que pueden escribirse como p � p en donde p es un entero oun número racional, se llaman cuadrados perfectos. Por ejemplo, 9, 25,

0.09, y son cuadrados perfectos.

• Cuando n � r2, entonces r es una raíz cuadrada de n.• Nota que 36 � 6 � 6 y 36 � (�6) � (�6), así que tanto 6 como �6 son raíces

Calcula cuadradas de 36. A veces queremos solamente la raíz cuadrada positiva.raíces • La raíz cuadrada positiva de un número se llama raíz cuadrada principal. El cuadradas símbolo ��, llamado signo radical, se usa para indicar la raíz cuadrada

principal. �36� � 6• Indica la raíz cuadrada negativa así. ��36� � �6

36�81

4�9

Respuestas:1. 72.�43.124.5.266.�157.�8.1.99.10.0.911.8, �812.2.4, �2.413., �14.A3�4

3�4

13�20

1�2

3�5

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

A Calcula �900�.Pregúntate: ¿Qué número multiplicado por sí mismo da 900?

30 � 30 � 900, así que �900� � 30.

B Calcula ��.

Nota que estás calculando la raíz cuadradanegativa.

�� 5

�11

25�121

25�121

Prueben esto juntos

1. Calculen �49�. 2. Calculen ��16�.AYUDA: Encuentren el valor de n si n � n � 49. AYUDA: La raíz será un entero negativo.

Calcula cada raíz cuadrada.

3. �144� 4. �� 5. �676� 6. ��225�

7. �� 8. �3.61� 9. �� 10. �0.81�

Resuelve cada ecuación.

11. x2 � 64 12. x2 � 5.76 13. x2 �

14. Prueba estandarizada de práctica Tienes que arreglar las sillas para el show de tuescuela. Tienes 256 sillas que arreglar en forma de un cuadrado. ¿Cuántas filas desillas necesitarás y cuántas sillas tendrás en cada fila?A 16; 16 B 20; 20 C 16; 20 D 4; 4

9�16

169�400

36�144

9�25

Estima raíces cuadradas (páginas 120–122)



Puedes estimar raíces cuadradas de números que no son cuadrados perfectos.

Estima raíces Para estimar la raíz cuadrada de r, calcula los cuadrados perfectos de cada cuadradas lado de r. Usa estos cuadrados perfectos para estimar.

A Estima �38� al número entero más B Estima �21.6� al número entero más cercano. cercano.Calcula un cuadrado perfecto un poquito menor que Calcula un cuadrado perfecto un poquito 38 y un cuadrado perfecto un poquito mayor que 38. menor que 21.6 y un cuadrado perfecto un �36� �38� �49�, así que 6 �38� 7. Como poquito mayor que 21.6. �16� �21.6�

38 está más cercano a 36 que a 49, el mejor número �25�, así que 4 �21.6� 5. Como 21.6 entero estimado para �38� es 6. está más cercano a 25 que a 16, el mejor

número entero estimado para �21.6� es 5.

Prueben esto juntos

1. Estimen �69� al número entero más 2. Estimen �7� al número entero más cercano. cercano.AYUDA: 69 está entre los cuadrados perfectos AYUDA: Encuentren los cuadrados perfectos de 64 y 81. más cercanos a 8 en cada lado.

Estima al número entero más cercano.

3. �27� 4. �147� 5. �120�

6. �95� 7. �254� 8. �54�

9. �490� 10. �313� 11. �1.25�

12. �101� 13. �399� 14. �17.4�

15. Tejidos Te encuentras cubriendo la parte superior de un taburete con fieltro. Elárea de la parte superior es de 140 pulgadas cuadradas. Estima la longitud de unlado de la parte superior del taburete.

16. Prueba estandarizada de práctica ¿Cuántos números enteros hay cuyas raícescuadradas son mayores que 9 pero menores que 10?A 10 B 15 C 18 D 22

Respuestas:1. 82.33.54.125.116.107.168.79.2210.1811.112.1013.2014.415.12 pulg16.C

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

El sistema de los números reales (páginas 125–129)



Has estudiado los números enteros, los enteros y los números racionales. Los númerosracionales incluyen los decimales terminales y los decimales periódicos, así como las raícescuadradas de los cuadrados perfectos. Los números que no son terminales o no sonperiódicos son números irracionales.

Un número irracional es un número que no se puede expresar como , donde Números a y b son enteros y b no es igual a 0. Las raíces cuadradas de los números queirracionales no son cuadrados perfectos son irracionales. Puedes usar una calculadora para

calcular raíces cuadradas aproximadas con números tales como �11� y �27�.

Números Los conjuntos de números racionales e irracionales forman el conjunto de números reales reales. La gráfica de todos los números reales es toda la recta numérica.

Prueben esto juntos1. Usen las letras de los siguientes ejerci- 2. Usen las letras de los siguientes ejercicios

cios para nombrar todos los conjuntos de para nombrar todos los conjuntos de números a los que pertenece el número 25. números a los que pertenece �47�.AYUDA: Pueden escribir 25 como . AYUDA: 47 no es un cuadrado perfecto.

Sea R � números reales, Q � números racionales, Z � enteros, W � números enteros y I � números irracionales. Indica todoslos conjuntos a los que pertenece cada número real.

3. � 4. 0.272272227 … 5. ��16�

Estima cada raíz cuadrada y redondea en décimas.

6. �10� 7. ��31� 8. �77� 9. �124�

10. Prueba estandarizada de práctica Vas a construir una cerca alrededor del jardíncuadrado de tu mamá. Ella te ha dicho que cree que el jardín mide unos 250 piescuadrados. ¿Aproximadamente cuántos pies de cerca debes comprar para cercar todoel jardín?A 15 pies B 16 pies C 50 pies D 63 pies

7�12

25�1

Números enteros

Enteros

Números racionales Números irracionales

5 0

–20.7

23

0.4

��

2 ��5

–35

a�b

Respuestas:1. W, Z, Q, R2.I, R3.Q, R4.I, R5.Z, Q, R6.3.27.�5.68.8.89.11.110.D

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

El teorema de Pitágoras (páginas 132–136)



El lado más largo de un triángulo rectángulo es la hipotenusa. Los ladosque forman el ángulo recto son los catetos.

El teorema En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la

de Pitágoras hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. c2 � a2 � b2

Recíproco Si los lados de un triángulo tienen longitudes a, b y c unidades de manera que del teorema c2 � a2 � b2, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.de Pitágoras

¿Es un triángulo rectángulo un triángulo con lados de 3, 5 y 7?¿Es 72 igual a 32 � 52? No, 49 � 9 � 25, así que los lados no concuerdan con el recíproco del teorema de Pitágoras. No es un triángulo rectángulo.

Prueben esto juntosRedondeen en décimas.1. Calculen la longitud del lado que falta 2. Calculen la longitud del lado que falta en

en el triángulo rectángulo. a, 7 m; c, 11 m el triángulo rectángulo. b, 24 cm; c, 37 cmAYUDA: Usen c2 � a2 � b2. Despejen b. AYUDA: Usen el teorema de Pitágoras.

Calcula la longitud que falta en cada triángulo rectángulo.Redondea en décimas, si es necesario.3. 4. 5.

6. a, 19 yd; b, 16 yd 7. b, 67 mm; c, 69 mm 8. a, 6.2 m; b, 8.6 m

Determina si cada triángulo con lados de longitudes dadas es untriángulo rectángulo.9. 9 pulg, 12 pulg, 15 pulg 10. 16 pies, 29 pies, 18 pies 11. 9 m, 7 m, 13 m

12. Prueba estandarizada de práctica Las ciudades de Coldwater, Wayne y Clintonforman un triángulo rectángulo en el mapa. La distacia desde Wayne hasta Coldwateres de 50 millas. La distancia desde Coldwater hasta Clinton es de 60 millas.Coldwater está al norte de Wayne y Clinton está al este de Coldwater. ¿Qué distanciahay si manejas directamente desde Wayne hasta Clinton? Redondea en millas.A 55 mi B 67 mi C 78 mi D 110 mi

16 pulg

17 pulg

b pulg

15 pulg 21 pulg

x pulg8 cm

6 cmc cm

b

ac

Respuestas:1. 8.5 m2.28.2 cm3.10 cm4.14.7 pulg5.15 pulg6.24.8 yd7.16.5 mm8.10.6 m9.sí10.no11.no12.C

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Usa el teorema de Pitágoras (páginas 137–140)



Puedes usar el teorema de Pitágoras para calcular las longitudes de objetosque tienen formas rectangulares o recto triangulares.

Marcia tiene una bufanda rectangular que mide 36 pulgadas por 48pulgadas. Ella la dobla a lo largo de la diagonal para formar un triángulorectángulo. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

362 � 482 � d2 Teorema de Pitágoras1,296 � 2,304 � d2

3,600 � d2

60 � dLa hipotenusa mide 60 pulgadas de longitud.

Prueben esto juntos1. Determinen la longitud del segundo 2. El mostrador de una mesa mide 3 pies

cateto de un triángulo rectángulo que por 4 pies. ¿Cuánto mide la diagonal? tiene una hipotenusa de 50 pulgadas AYUDA: Dibujen un bosquejo. ¿Qué tipo de y un cateto de 40 pulg. triángulo forma la diagonal?

AYUDA: Usen el teorema de Pitágoras.

Escribe una ecuación que pueda usarse para calcular la longitud del ladoque falta en cada triángulo rectángulo. Luego resuelve. Redondea endécimas.3. 4. 5.

6. Recreación La vela en un barco tiene forma de triángulo rectángulo. Si un catetomide 30 pies y el otro mide 16 pies, calcula la longitud de la hipotenusa de la vela.

7. Prueba estandarizada de práctica Un triángulo rectángulo tiene un cateto de 18centímetros y una hipotenusa de 30 centímetros. Calcula la longitud del tercer lado.A 24 cm B 48 cm C 35 cm D 540 cm

x m y m

14 m 9 m

10 mb m

4 m

16 m

10 pies

6 piesx

Respuestas:1. 30 pulg2.5 pies3.62�102�x2; x��136 �11.7 pies4.42�b2�162; b��240 �15.5 m

5.142�102�x2; x��296 �17.2 m; 92�102�y2; y��181 �13.5 m6.34 pies7.A

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Distancia en el plano de coordenadas(páginas 142–145)



Puedes usar lo que sabes sobre los triángulos rectángulos para calcular ladistancia entre dos puntos en un cuadriculado.

Calcula la Para calcular la distancia entre dos puntos en el plano de coordenadas,distancia en dibuja el segmento que une a los puntos. Luego asigna a ese segmento la el plano de hipotenusa de un triángulo rectángulo. Usa el teorema de Pitágoras para cal- coordenadas cular la longitud de la hipotenusa, la cual es la distancia entre los dos puntos.

Calcula la distancia entre los puntos (5, 5) y (�1, �3).Primero dibuja el segmento que une a esos dos puntos. Luego dibuja segmentos de modo que sea este segmento la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Cuenta loscuadrados para calcular las longitudes de los catetos, 6 y 8. Como 6 y 8 son lasprimeras dos partes de un triple pitagórico, sabes que la longitud de la hipotenusa es 10.Verifica: ¿Es 62 � 82 � 102? Sí, porque 36 � 64 � 100.La distancia entre los dos puntos es de 10 unidades.

Prueben esto juntos1. Calculen la distancia entre (7, 3) y (2, �1). Redondeen en décimas.

AYUDA: Grafiquen los puntos y luego dibujen segmentos descendentes desde (7, 3) yhacia la derecha desde (2, �1).

Calcula la distancia entre cada par de puntos con lascoordenadas dadas. Redondea en décimas.2. 3. 4.

Calcula la distancia entre los puntos. Redondea en décimas.5. (�3, 3), (2, 0) 6. (4, 4), (�1, �1) 7. (0, 0), (�6, 2) 8. (0, �3), (4, 3)

9. Geometría Un triángulo rectángulo en el plano de coordenadas tiene los vérticesde A(3, 2), B(�1, �2) y C(3, �2). Calcula la longitud de la hipotenusa.

10. Prueba estandarizada de práctica Calcula la distancia entre A(8, 4) y B(0, �2).A 48 unidades B 100 unidades C 10 unidades D 64 unidades

xO

y

(–3, –1)

(–1, 2)xO

y

(2, –3)

(4, 0)

xO

y(3, 2)

(0, 1)

xO

y (5, 5)

(–1, –3)

Respuestas:1. 6.4 unidades2.3.2 unidades3.3.6 unidades4.3.6 unidades5.5.8 unidades6.7.1 unidades7.6.3 unidades8.7.2 unidades9.5.7 unidades10.C

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.



Caza del tesoro de coordenadasComienza en el punto X del plano de coordenadas y sigue las instrucciones paracalcular dónde se encuentra un tesoro escondido. Marca tu ubicación en cada punto.

1. Dibuja un triángulo con vértices en X, Y(3, �1) y Z(0, �1). ¿Cuánto mide elángulo XZY?

2. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa de este triángulo, redondeada en décimas?

3. Dibuja un segmento desde el punto Z hasta W(0, 3) y desde W, dibuja un segmento hasta R(�2,3). ¿Cuál es la medida de R�Z�, a la décima más cercana?

4. Mueve 6 unidades hacia el sur o hacia abajo desde el punto R. ¿Dónde teencuentras ahora?

5. Desde allí, mueve 3 unidades hacia el este o hacia la derecha para encontrar eltesoro. ¿Cuáles son las coordenadas del tesoro escondido?

6. ¿A qué distancia se encuentra el tesoro del punto X, redondeando en décimas?

x

y

X

O


Razones y tasas (páginas 156–159)



RazónUna razón compara dos números mediante la división.

, 27 de 100, 27 a 100, 27:100

Tasa Una tasa es un tipo especial de razón. Una tasa compara dos cantidades con distintas unidades, tales como millas por galón o centavos por libra.

Tasa Cuando se reduce una tasa de modo que tenga un denominador de 1, se unitaria llama tasa unitaria.

A Expresa como tasa y en forma reducida 12 B Expresa la tasa de $6 por 3 libras en ganadores por cada 90 personas que entran. forma de tasa unitaria.Escribe una fracción para la tasa: . Escribe una tasa: �

3 li$b6ras�.

Divide el numerador y el denominador entre el Divide el numerador y el denominador entre 3 MCD para reducir. El MCD de 12 y 90 es 6. para obtener un denominador de 1 unidad.

es la tasa en forma reducida. La tasa unitaria es de $2 por libra.

Prueben esto juntos1. Expresen 16 de 32 en forma 2. Expresen 6 triunfos en 10 juegos en

reducida. forma reducida.AYUDA: Escriban una fracción y reduzcan. AYUDA: Escriban una fracción y reduzcan.

Expresa cada tasa o razón en forma reducida.3. 3 a 15 4. 3 chicos: 24 chicas 5. 13 metros por segundo

6. 56 perros a 48 gatos 7. 4 pies: 16 pies 8. 12 libros por 4 alumnos

Expresa cada tasa como tasa unitaria.9. $18.00 por 3 libras 10. $19.50 por 15 galones 11. $1.68 por 8 onzas

12. $2.00 por 10 libras 13. 8 pies en 2 segundos 14. 25 revistas en 5 días

15. Deportes Gloribel corrió la línea de 400 metros en 80 segundos. ¿Cuántos metroscorrió por segundo?

16. Prueba estandarizada de práctica Supón que una botella de aderezo de ensaladaranchero cuesta $2.65 en el supermercado. Si hay 20 onzas en la botella, ¿cuál esel precio por onza del aderezo? Redondea al centavo más cercano.A $0.14 B $0.12 C $0.15 D $0.13

2�15

12�90

27�100

Respuestas:1. 2.3.4.5.6.7.8.9.$6.00 por libra10.$1.30 por galón11.$0.21 por onza

12.$0.20 por minuto13.4 pies por segundo14.5 revistas por día15.516.D

3�1

1�4

7�6

13�1

1�8

1�5

3�5

1�2

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Tasa de cambio (páginas 160–164)



7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Una tasa de cambio es una tasa que describe cómo cambia una cantidad con respecto aotra. Para calcular la tasa de cambio, divide la diferencia en las coordenadas y entre la

diferencia en las coordenadas x. La tasa de cambio entre (x1, y1) y (x2, y2) es . Las tasasde cambio pueden ser positivas, negativas o cero.

Tasa de cambio positiva cero negativa

Significado en aumento no hay cambio disminuciónla vida real

Gráfica

Calcula la tasa de cambio entre 1990 y 2000.

�

� �

La población de Idaho ha crecido un promedio de 28,720.4 personas por año.

Para los ejercicios 1– 4, usa la tabla de la derecha.La tabla muestra el número de asistentes a la piscina local durante todo el día.1. Calcula la tasa de cambio de 12 P.M. a 1 P.M.2. Calcula la tasa de cambio de 11 A.M. a 2 P.M.3. ¿Fue la tasa de cambio entre la 1 P.M. y las 2 P.M.

positiva, negativa o cero?4. ¿Durante qué período de tiempo fue la tasa de

cambio en asistentes negativa?

5. Prueba estandarizada de práctica En la escuela secundaria West, las ventas decamisetas del club deportivo fueron de 135 en total en 1999. En 2002, fueron de162 en total. Si la tasa de cambio continuase, ¿cuál sería el total en las ventas decamisetas en 2003?A 171 camisetas B 153 camisetas C 162 camisetas D 135 camisetas

28,720.4 personas��

1 año287,204 personas��

10 años

(1,293,953 � 1,006,749) personas��

(2000 � 1990) añoscambio en la población��

cambio en el año

y2 � y1�x2 � x1

O

y

x

se inclinahacia arriba

O

y

x

rectahorizontal

O

y

x

se inclinahacia abajo

Población de Idaho Año

588,637 1950

667,191 1960

713,015 1970

944,127 1980

1,006,749 1990

1,293,953 2000The World Almanac, 2002, pág. 377

Número deTiempo asistentes a

la piscina

11 A.M. 12

12 P.M. 23

11 P.M. 25

12 P.M. 25

13 P.M. 13

Respuestas:1. 2 personas/hora 2.4.3 personas/hora 3.cero 4.entre 2 P.M.y 3 P.M.5. A

Pendiente (páginas 166–169)



La tasa de cambio entre cualesquiera dos puntos sobre una recta es siempre la misma. Esta tasa de cambio constante se llama pendiente de la recta. La pendiente es la razón de la altura, o cambio vertical, con respecto a la carrera, o cambio horizontal.

Calcula la pendiente de la recta.Escoge dos puntos en la recta. El cambio vertical es de 3 unidades hacia abajoo �3, mientras que el cambio horizontal de 5 unidades hacia la derecha o �5.

pendiente � �caalrtruerraa

� � ��53

�

Calcula la pendiente de cada recta.1. 2. 3.

Los puntos dados en cada tabla se encuentran en la recta.Calcula la pendiente de la recta. Luego grafica la recta.4. 5.

Calcula la pendiente de cada recta e interpreta su significado en forma detasa de cambio.6. 7. 8.

9. Prueba estandarizada de práctica Hay dos rampas para entrar a la escuela. Laprimera tiene una altura de 2 pies por cada carrera de 16 pies. La segunda rampatiene una altura de 1 pie por cada carrera de 7 pies. ¿Cuál enunciado es verdadero?A La primera rampa es más inclinada que la segunda.B Ambas rampas tienen la misma inclinación.C La segunda rampa es más inclinada que la primera.D No se puede determinar con la información dada.

Número de camisas1

5040302010

2 3 4 5

Cost

o ($

)

Oferta de camisas

Tiempo viajado (h)

Distancia desde la casa

1

300

200

100

2 3 4 5

Dist

anci

a (m

illas

)

Tiempo (min)

Llenar una piscina

10

8

6

4

2

20 30 40 50Prof

undi

dad

(pie

s)

xO

y

(–1, –3)

(1, 5)

xO

y

(0, –2)

(4, 2)

xO

y

(3, –2)

(–3, 2)

xO

y

(2, 0)

(–3, 3)

5 unidades

3 unidades

x �1 0 1 2

y 5 3 1 �1

x �8 �4 0 4

y �3 0 3 6

Respuestas: 1.��

32�2.13.44–5.Ver clave de respuestas para las gráficas.4.�25.�

34

�6.�15

�; La piscina se llena a una tasa

de �15

�de pie por minuto.7.�60; Cada hora te acercas 60 millas a tu casa.8.20; Cada camisa cuesta $20.9.C

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Resuelve proporciones (páginas 170–173)



Puedes usar dos razones iguales para escribir una proporción.

Resuelve unaUna proporción es una ecuación que muestra la igualdad entre dos

proporciónrazones. � , b � 0 y d � 0

Los productos cruzados de una proporción son iguales. Si � , entonces ad � bc.

c�d

a�b

c�d

a�b

Respuestas:1. no2.sí3.sí4.no5.sí6.sí7.sí8.no9.810.611.812.513.314.315.1216.2717.3018.A

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

A Determina si las razones y forman una proporción.¿Son iguales los productos cruzados de y ?

Los productos cruzados son 2 � 4 y 3 � 3. 8 � 9.Como los productos cruzados no son iguales,

� , las razones no forman una proporción.

B Resuelve � .

Calcula los productos cruzados.4 � c � 5 � 12

4c � 60

� Divide cada lado entre 4.

c � 15

60�4

4c�4

12�c

4�5

3�4

2�3

3�4

2�3

3�4

2�3

Prueben esto juntos

1. Determinen si las razones y 2. Determinen si las razones y forman una proporción. forman una proporción.AYUDA: Calculen los productos cruzados. AYUDA: Observen si son iguales los productos

cruzados.

Determina si cada par de razones forman una proporción.

3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. ,

Resuelve cada proporción.

9. � 10. � 11. � 12. �

13. � 14. � 15. � 16. �

17. Fabricación Una compañía manufactura dos diferentes tipos de escritoriosescolares. Un escritorio tiene la silla pegada y el otro escritorio es pequeño con lasilla separada. Uno de cada 3 escritorios fabricados tiene la silla separada. Si sefabrican 90 escritorios, ¿cuántos tendrán la silla separada?

18. Prueba estandarizada de práctica Si un carro puede viajar 60 millas en 1 hora,¿qué distancia puede viajar en 5 horas?A 300 mi B 1,100 mi C 600 mi D 550 mi

9�k

3�9

t�8

6�4

9�21

y�7

15�25

a�5

3�r

6�10

6�16

3�p

4�8

3�n

x�20

2�5

5�12

9�27

2�5

6�15

1�5

5�25

8�24

2�6

1�5

3�8

6�12

10�20

3�4

6�8

2�4

3�5

Polígonos semejantes (páginas 178–182)



Un polígono es una figura simple y cerrada en un plano formada por tres omás segmentos de recta. Un cuadrilátero es un polígono con cuatro lados.Un pentágono es un polígono con cinco lados.

Polígonos Dos polígonos son semejante si sus correspondientes ángulos sonsemejantes congruentes y si sus correspondientes lados son proporcionales.

En la figura de la derecha, �ABC ~ �DEF. Calcula la longitud del lado D�E�.A�B� corresponde a D�E� y B�C� corresponde a E�F�. Así que puedes escribir una proporción.

�

� AB � 3, DE � x, BC � 4, EF � 6

18 � 4x Calcula los productos cruzados.4.5 � x Encuentra el valor de x.La longitud de D�E� es de 4.5 centímetros.

Cada par de polígonos es semejante. Escribe una proporciónpara calcular cada medida que falta. Luego resuelve.1. 2. 3.

4. Pasatiempos Sean desea ampliar una foto de 4 pulgadas por 6 pulgadas de modoque el lado más corto tenga 6 pulgadas. ¿Qué longitud tendrá el lado más largo?

5. Prueba estandarizada de práctica �ABC es semejante a �DEF. Si AB � 2, BC � 5 y DE � 26, ¿EF es igual a qué?

A 2 B 10 C 20 D 654�5

2�5

4�5

x m10 m

8 m

20 mx pulg3 pulg

5 pulg

15 pulg

x pies

18 pies

8 pies

12 pies

4�6

3�x

BC�EF

AB�DE

A C

D F

B

E

x cm 6 cm

9 cm

6 cm

3 cm 4 cm

Respuestas:1–3. Proporciones de muestra.1.�; 122.�; 93.�; 44.9 pulg5.D10�20

x�8

5�15

3�x

x�18

8�12

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Dibujos a escala y modelos (páginas 184–187)



Un dibujo a escala o modelo a escala se usa para representar una figura que esdemasiado grande o demasiado pequeña para dibujarse de tamaño natural.

Usa dibujos La escala de un dibujo o modelo se determina mediante la razón de una longituda escala dada en el dibujo o modelo con respecto a su correspondiente longitud natural.

La figura de la derecha consiste en un dibujo a escala de un plan para una cabaña. En el dibujo, el lado de cada cuadrado representa20 pulgadas. Calcula la longitud y el ancho de la habitación 2.Cuenta los cuadrados en el dibujo a escala. La habitación 2 tiene 6 cuadrados delargo y 5 de ancho. Usa la escala y tus conteos para escribir proporciones.

��6 c

xua

pdurlagdos

� �

1 � x � 20 � 6 1 � y � 20 � 5x � 120 y � 100

La longitud de la habitación 2 es de 120 pulgadas y el ancho es de 100 pulgadas.

Prueben esto juntos1. Usen la figura y la escala del ejemplo de 2. Usen la figura y la escala del ejemplo

arriba para calcular la longitud y el ancho de arriba para calcular la longitud y el de la cocina/sala. ancho del porche.AYUDA: Escriban proporciones. AYUDA: La longitud es la misma que la de la

cocina/sala.

3. Calcula la longitud y el ancho del baño en el ejemplo de arriba.

4. En un mapa, la escala es de 1 pulg � 250 millas. Calcula la distanciareal de cada distancia en el mapa.

De A Distancia en el mapaa. Minneapolis, Minnesota San Diego, California Aproximadamente 8 pulg

b. San Diego, California Portland, Oregon Aproximadamente 4 pulg

c. Portland, Oregon Minneapolis, Minnesota Aproximadamente 7 pulg

5. Prueba estandarizada de práctica Calcula las dimensiones de la cabaña (incluyendoel porche) en el ejemplo de arriba.A 150 pulg por 150 pulg B 112 pulg por 112 pulgC 300 pulg por 280 pulg D 300 pulg por 300 pulg

1�4

5 cuadrados��

y pulg1 cuadrado��

20 pulg1 cuadrado��

20 pulg

porche

bañohabitación1

habitación2

cocina/sala

Respuestas:1. 300 pulg por 140 pulg2.300 pulg por 60 pulg3.60 pulg por 100 pulg4a.aproximadamente 2,000 millas4b.aproximadamente 1,062.5 millas4c.aproximadamente 1,750 millas5.D

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Mediciones indirectas (páginas 188–191)



El uso de proporciones para calcular una medida se llama medición indirecta.

Usa mediciones Usa las partes correspondientes de los triángulos semejantes para escribir indirectas una proporción. Resuelve la proporción para calcular la medida que falta.

George mide 5 pies de estatura. Su sombra tiene un largo de 22 pulgadas en el mismo

momento en que un árbol tiene una sombra de 120 pulgadas de longitud. ¿Cuántos pies dealtura mide el árbol?

� Escribe una proporción.

5.5(120) � 22t Calcula los productos cruzados.30 � t Calcula el valor de t.

El árbol mide 30 pies de altura.

En los ejercicios 1–3, los triángulos son semejantes. Escribe unaproporción y resuelve el problema.1. Calcula la distancia a través del lago Blue.

2. La ciudad de Hutchinson piensa construir unpuente sobre la parte menos profunda del ríoStillwater. Calcula la distancia a través de esta partedel río.

3. Cuando Peter se para en frente de un árbol de 27 pies que se encuentra en frente de su edificio de apartamentos,apenas puede ver la parte superior del edificio sobre elárbol. ¿Cuál es la altura del edificio de apartamentos?

4. Prueba estandarizada de práctica �ABC �XYZ. AB � 45 m, BC � 15 m

y XY � 24 m. ¿Qué longitud tiene Y�Z�?

A 2 m B 7 m C 8 m D 72 m2�3

2�3

24 pies

x pies

56 pies

450 mRíoStillwater

363 m

150 mx m

1.5 mi Lago Blue

x mi

0.8 mi1 mi

t pies��

120 pulg5.5 pies��

22 pulg

1�2

Respuestas:1–3. Proporciones de muestra.1.�; 1.2 mi2.�; 121 m3.�; 63 pies 4.C56�24

x�27

150�450

x�363

1.5�1

x�0.8

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Dilataciones (páginas 194–197)



Respuestas:1.C��8, 2�2.K�(�15, 45), L�(�15, �30), M�(45, 60)3.K�(�1, 3), L�(�1, �2), M�(3, 4)

4.K�(�3, 9), L�(�3, �6), M�(9, 12)5.6.27.8.A2�3

1�2

2�3

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

La imagen producida al expandir o reducir una figura se llama dilatación.

Trabaja con Como la imagen dilatada tiene la misma forma que la original, las dos imágenes

dilataciones son semejantes. La razón de la imagen dilatada a la original se llama factor de escala.

Un triángulo tiene los vértices de M(2,�2), N(6, �2) y P(2, 4). Calcula las

coordenadas de �MNP después de una dilatación con un factor de escala de .

Multiplica cada coordenada en cada par ordenado por .

M(2, �2) → �2 � , �2 � � → M�(5, �5)

N(6, �2) → �6 � , �2 � � → N�(15, �5)

P(2, 4) → �2 � , 4 � � → P�(5, 10)

1. Calcula las coordenadas de la imagen del punto C(12, 4) después de una dilatación

con un factor de escala de .

El triángulo KLM tiene los vértices de K(�5, 15), L(�5, �10) y M(15, 20).Calcula las coordenadas de sus vértices después de una dilatación concada factor de escala dado.2. 3 3. 4.

En cada figura, la figura de línea punteada es una dilatación de la figurade línea sólida. Calcula cada factor de escala.5. 6. 7.

8. Prueba estandarizada de práctica ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen del punto Q(3,8) después de una dilatación con un factor de escala de �

14

�?

A Q�� , 2� B Q�(12, 32) C Q�(3, 2) D Q��43

�, �12

��3�4

xO

y

xO

y

xO

y

3�5

1�5

2�3

5�2

5�2

5�2

5�2

5�2

5�2

5�2

5�2



Hora de vocabularioResuelve cada problema. Encuentra la letra que corresponde a tu respuestanumérica en la lista que está al final de la página. Coloca la letra en elespacio en blanco que está a la derecha. Cuando termines, habrásdeletreado una palabra de este capítulo.

1. Expresa la razón en forma reducida: 9 álamos a 12 árboles. 1. ____

2. Expresa la tasa como una tasa unitaria: $12 por 24 donas. 2. ____

3. Calcula la pendiente de la recta. 4. Calcula la pendiente de la recta. 3. ____

4. ____

5. Escribe una proporción que pueda usarse para calcular el valor de m. 5. ____

Luego resuelve. 4 millas de carrera en 20 minutos, 6 millas de carrera en m minutos.

6. El segmento A'B' es una dilatación del segmento AB. Los extremos de 6. ____

cada segmento son A��2, �12

��, B�1�12

�, 3�, A'(�4, �1) y B'(3, 6). Calcula

el factor de escala de la dilatación.

7. Corey mide 5 pies 6 pulgadas de estatura. Se para a la par de un árbol que 7. ____

produce una sombra de 37 pies 6 pulgadas. Si la sombra de Corey es

de 8 pies 3 pulgadas, ¿qué altura en pies tiene al árbol?

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

2 11 4 9 �35

� 0 6 15 �12

� �43

� 41 45 3 �73

� 12 30 18 25 �34

� 7 �23

� 5 10 1 27 8


xO

y

xO

y

Razones y porcentajes (páginas 206–209)



Escribe unaUn porcentaje es una razón que compara un número con 100.

fracción o Como una razón: 4 de 5

razón como Como una fracción con un denominador de 100: un porcentaje

Como un porcentaje: 80%

80�100

Respuestas:1. 60%2.25%3.30%4.18%5.75%6.80%7.60%8.10%9.10.11.12.13.

14.15.16.17.C19�50

2�25

1�4

17�20

2�5

1�2

7�20

1�5

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

A Escribe 7 de 10 alumnos como un porcentaje.Escribe la tasa como fracción.

Multiplica el numerador y el denominador por 10 para reescribir como fracción con

un denominador de 100.

"Porcentaje" significa "por 100" así que, es 70%.

B Escribe 45% como una fracción en forma reducida.% quiere decir .

45% es .

El MCD de 45 y 100 es 5.

45% es .9�20

45�100

�100

70�100

70�100

7�10

Prueben esto juntos1. Escriban 3 de 5 como un porcentaje. 2. Escriban como un porcentaje.

AYUDA: Escriban como una fracción. Luego AYUDA: Multipliquen el numerador y el multipliquen el numerador y el denominador denominador por el mismo número para por el mismo número para reescribir como un reescribir como un número dividido entre 100.número dividido entre 100.

Escribe cada razón o fracción como un porcentaje.3. 3:10 4. 18:100 5. 3 de 4 6.

Escribe cada razón como un porcentaje.7. Doce de 20 alumnos participan en actividades extracurriculares.8. Uno de 10 instrumentos de la banda es una flauta.

Escribe cada porcentaje como una fracción en forma reducida.9. 20% 10. 35% 11. 50% 12. 40%

13. 85% 14. 25% 15. 8% 16. 38%

17. Prueba estandarizada de práctica Jamal encuestó a los alumnos de su clase.Descubrió que 2 de 5 alumnos leen libros además de los libros escolares porqueles gusta. ¿Cuál es la razón expresada como un porcentaje?A 15% B 50% C 40% D 80%

8�10

1�4

Fracciones, decimales y porcentajes(páginas 210–214)



La palabra porcentaje quiere decir centésimas o por cien o dividido entre 100.

Decimales y• Para escribir un porcentaje como un decimal, divide entre 100 y elimina el

símbolo %.porcentajes • Para escribir un decimal como un porcentaje, multiplica por 100 y añade el

símbolo %.

Respuestas:1. 0.272.0.063.0.634.0.45.0.796.0.167.12%8.84%9.65%10.4%11.20%12.70%13.58%14.21%15.�16.17.18.19.12%20.C

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

A Escribe 47% como un decimal.

47% quiere decir ó 0.47.B Escribe como un porcentaje.

� Escribe una proporción.

300 � 16n Calcula los productos cruzados.


18.75 � n

� ó 18.75%18.75�100

3�16

16n�16

300�16

n�100

3�16

3�1647

�100

Prueben esto juntos1. Escriban 27% como un decimal. 2. Escriban 6% como un decimal.

AYUDA: Dividan entre 100. AYUDA: Dividan entre 100.

Escribe cada porcentaje como un decimal.3. 63% 4. 40% 5. 79% 6. 16%

Escribe cada decimal como un porcentaje.7. 0.12 8. 0.84 9. 0.65 10. 0.04

Escribe cada fracción como un porcentaje.

11. 12. 13. 14.

Reemplaza ● con �, � o � para hacer verdadero el enunciado.15. 58% ● 0.58 16. 8.9 ● 89% 17. 0.04 ● 40% 18. 14% ● 1.4

19. Población En 1997, aproximadamente 3 de 25 personas en el mundo vivían enÁfrica. Expresa esta razón como un porcentaje.

20. Prueba estandarizada de práctica Jaryn y Blake decoraron el local para la fiestade su escuela. Usaron los colores amarillo y azul. Tres de 5 globos eran azules.¿Qué porcentaje es esto?A 30% B 15% C 60% D 45%

21�100

29�50

7�10

1�5

La proporción porcentual (páginas 216–219)



En una proporción porcentual, uno de los números, la parte, se comparacon la cantidad total, la base. La otra razón es un porcentaje, escrito comouna fracción, con una base de 100.

La proporciónporcentual

A Calcula 15% de 78. B ¿De qué número es 30 el 60%?� b � 78, p � 15 � a � 30, p � 60

100a � 78(15) Calcula los productos cruzados. 30(100) � b(60)100a � 1170 3,000 � 60b

a � 11.7 Divide cada lado entre 100. 50 � b Divide cada lado entre 60.15% de 78 es 11.7. 30 es 60% de 50.

Prueben esto juntos

1. Expresen como un porcentaje. 2. Escriban una proporción porcentual y calculen

AYUDA: Calculen el valor de p en 28% de 13.

� . AYUDA: Usen � .

Escribe cada fracción como un porcentaje.

3. 4. 5. 6.

7. 8. 9. 10.

Escribe una proporción porcentual para resolver cada problema.Luego resuelve. Redondea en décimas, si es necesario.11. ¿Cuanto es 8% de 270? 12. ¿De qué número es 12 els 20%?13. ¿Qué porcentaje de 99 es 48? 14. ¿Qué porcentaje de 45 es 25?15. ¿De qué número es15 el 75%? 16. Calcula el 16% de 40.

17. Comida de mascota Una mezcla de semillas para pájaros es el 65% de semillas degirasol. ¿Cuántas libras de semillas de girasol hay en una bolsa de 40 libras?

18. Prueba estandarizada de práctica ¿Cuánto es el 12% de 60?A 0.2 B 6.2 C 6.8 D 7.2

2�25

5�16

13�40

1�8

7�50

17�20

11�25

3�10

28�100

a�13

p�100

2�5

2�5

60�100

30�b

15�100

a�78

Respuestas:1. 40%2.3.643.30%4.44%5.85%6.14%7.12.5%8.32.5%9.31.25%10.8%11.21.612.6013.48.5%14.55.6%15.2016.6.417.26 libras18.D

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Palabras

Símbolos Aritmética �25

� � �14000

� Álgebra � , donde a es la parte, b es la

base y p es el porcenataje.

p�100

a�b

Calcula los productoscruzados.

�pbaarstee

� �porcentaje��

100

Calcula porcentajes mentalmente (páginas 220–223)



Puedes hallar algunos porcentajes mediante el cálculo mental. Algunos porcentajescomunes pueden también calcularse al usar fracciones equivalentes.

• Para calcular el 1% de un número mentalmente, mueve el punto decimal dos Calculalugares hacia la izquierda (lo cual es lo mismo que dividir el número entre 100).porcentajes

• Para calcular el 10% de un número mentalmente, mueve el punto decimal mentalmenteun lugar hacia la izquierda ( lo cual es lo mismo que dividir el número entre 10).

Fracciones, decimales y porcentajes equivalentes

, 0.5, 50% , 0.66 , 66 % , 0.8, 80% , 0.875, 87.5%

, 0.25, 25% , 0.2, 20% , 0.125, 12.5% , 0.3, 30%

, 0.75, 75% , 0.4, 40% , 0.375, 37.5% , 0.7, 70%

, 0.33 , 33 % , 0.6, 60% , 0.625, 62.5% , 0.9, 90%

A Computa el 1% de 325 mentalmente. B Computa el 75% de 12 mentalmente.Piensa: 1% es así que mueve el punto Piensa: 75% es .

decimal en 325 dos lugares hacia la izquierda de 12 es 9.para obtener un número más pequeño.

1% de 325 es 3.25.

Prueben esto juntos1. Computen el 10% de 200 mentalmente. 2. Computen el 50% de 80 mentalmente.

AYUDA: 10% es . ¿Qué es ? AYUDA: ¿Qué fracción es igual a 50%?

Computa mentalmente.3. 12.5% de 56 4. 1% de 21 5. 90% de 3006. 30% de 120 7. 50% de 46 8. 40% de 40

Reemplaza cada ● con �, � o � para hacer verdadero el enunciado.9. 5 ● 10% de 100 10. 62.5% de 80 ● 45

11. Prueba estandarizada de práctica Una compañía publicitaria tiene como clientela apequeños negocios y a grandes corporaciones. Si la clientela es de 225 clientes y el40% de ellos son pequeñas empresas, ¿cuántos clientes son pequeñas empresas?A 80 B 90 C 70 D 100

200�10

1�10

3�4

3�4

1�100

9�10

5�8

3�5

1�3

1�3

1�3

7�10

3�8

2�5

3�4

3�10

1�8

1�5

1�4

7�8

4�5

2�3

2�3

2�3

1�2

Respuestas:1. 202.403.74.0.215.2706.367.238.169.10.11.B

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Porcentaje y estimación (páginas 228–231)



Los números compatibles son los números que son fáciles de dividir mentalmente.

Estima con Para estimar un porcentaje mediante los números compatibles:números • Redondea a números que son fáciles de dividir.compatibles • Usa esos números para hacer un estimado.

A Estima 18% de 50. B Estima el porcentaje que 13 representa de 63.Piensa: 18% es casi 20% y 20% es . 13 de 63 es aproximadamente 13 de 65 ó .

de 50 es 10. Como � ó 20%, 13 de 63 es

18% de 50 es aproximadamente 10. aproximadamente 20%.

Prueben esto juntos1. Estimen 26% de 80. 2. Estimen el porcentaje que 11 representa

AYUDA: 26% es aproximadamente 25%, de 24.lo cual es igual a . AYUDA: es aproximadamente lo cual es .

Estima.3. 18% de 50 4. 73% de 48 5. 38% de 31

6. 89% de 10 7. 9% de 81 8. 48% de 52

Estima cada porcentaje.9. 3 de 23 10. 15 de 35 11. 10 de 31

12. 11 de 56 13. 9 de 16 14. 32 de 41

15. Estima qué porcentaje representa 13 de 27.

16. Asuntos de dinero La cuenta de Gareth en el restaurante fue de $29.65. Estimacuánto sería una propina del 20%.

17. Prueba estandarizada de práctica El 78% de los alumnos de la escuela mediaWillow tomó el autobús hacia su casa. Si hay 201 alumnos, estima cuántostomaron el autobús hacia su casa.A 180 B 160 C 120 D 80

1�2

12�24

11�24

1�4

1�5

13�65

1�5

13�65

1�5

Respuestas:1–16. Respuestas de muestra.1.202.50%3.104.365.126.97.88.259.12.5%10.40%11.33.3%12.20%13.50%14.80%15.50%16.$6.0017.B

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

La ecuación porcentual (páginas 232–235)



Otro modo de calcular un porcentaje es a través de la ecuación porcentual, Parte � Porcentaje � Base. Expresa el porcentaje como un decimal y multiplica.

Tipo Ejemplo Ecuación

Calcula la parte ¿Qué número es el 25% de 60? n � 0.25(60)

Calcula el porcentaje ¿Qué porcentaje de15 es 60? 15 � n(60)

Calcula la base ¿De qué número es 15 el 25%? 15 � 0.25n

Prueben esto juntos1. Calculen el 15.5% de 90 mediante 2. Calculen el 33% de 77 mediante la

la ecuación porcentual. ecuación porcentual.AYUDA: 90 es la base y el porcentaje AYUDA: Por lo general, el número que le sigue a es 0.155. "de" es la base.

Resuelve cada problema mediante la ecuación porcentual.3. ¿De qué número es 120 el 12%? 4. ¿De qué número es 21 el 42%?5. Calcula el 82% de 30. 6. ¿Qué porcentaje de 96 es 24?7. Calcula el 40% de 37. 8. ¿Qué porcentaje de 104 es 13?9. ¿De qué número es 61 el 50%? 10. Calcula el 75% de 98.

11. Calcula el 12% de $1.75. 12. ¿De qué cantidad es $8.22 el 15%?

13. Deportes Brian logró 18 golpes a la pelota de 78 turnos al bate durante la últimatemporada de béisbol. ¿Qué porcentaje de las veces bateó pudo golpear la pelota?

14. Prueba estandarizada de práctica ¿Cuál es el número es 35% de 120?A 42 B 38 C 34 D 30

Respuestas:1. 13.952.25.413–12. Ver clave de respuestas para las ecuaciones.3.1,0004.505.24.66.25%7.14.88.12.5%9.12210.73.511.$0.2112.$54.8013.aproximadamente 23%14.A

La ecuaciónporcentual

A ¿De qué número es 3 el 15%?Parte � Porcentaje � Base Usa la ecuación

porcentual.

3 � 0.15n La parte es 3 y elporcentaje es 15%. Sea n la base.

� Divide cada lado entre 0.15.

n � 20 Reduce.15% de 20 es 3.

B ¿Qué porcentaje de 120 es 45?Parte � Porcentaje � Base Usa la ecuación

porcentual.45 � n(120) La parte es 45 y la base es

120. Sea n el porcentaje.�14250

� � �112200n

� Divide cada lado entre 120.n � 0.375 Reduce.n � 37.5% Escribe el decimal como %.

45 es 37.5% de 120.

0.15n�0.15

3�0.15

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

parte

porcentaje

base

Porcentaje de cambio (páginas 236–240)



Una razón que compara el cambio en la cantidad con la cantidad original se llamaporcentaje de cambio. Cuando la nueva cantidad es mayor que la original, el porcentaje decambio es un porcentaje de aumento. Cuando la nueva cantidad es menor que la original,el porcentaje de cambio es un porcentaje de disminución.

• El aumento en el precio que una tienda le suma al costo se llama recargo. Encuentra el El porcentaje del recargo es un porcentaje de aumento. La cantidad que el porcentaje cliente paga se llama precio de venta.del recargo y • La cantidad por la cual un precio regular se reduce se llama descuento. del descuento El porcentaje del descuento es un porcentaje de disminución. Calcula el

precio de oferta al restar el descuento.

A Calcula el precio en oferta de un artículo B Una tienda pagó $18 por un artículo y de $424 que tiene el 20% de descuento. usó un recargo del 30%. ¿Cuál fue el

Primero usa la ecua- precio de venta?d � 0.20(424) ción porcentual para m � 0.30(18)

Primero usa la ecua-

d � $84.80 calcular el descuento. m � $5.40ción porcentual para

$424 � $84.80 � $339.20 Calcula el precio en $18 � $5.40 � $23.40calcular el recargo.

oferta.Calcula el precio de venta.

Prueben esto juntos1. Calculen el porcentaje de cambio 2. Calculen el porcentaje de cambio

(redondeado al porcentaje más cercano) (redondeado al porcentaje más si el precio original es de $30 y el nuevo cercano) si el original es de 35 y el precio es de $24. nuevo es de 45.AYUDA: Primero calculen la cantidad de cambio AYUDA: Primero calculen la cantidad de ($30 � $24). cambio.

Calcula el precio en oferta de cada artículo y redondea en centavos.

3. jeans: $28.00, 50% de descuento 4. chaqueta: $48.95, de descuento

5. libro en rústica: $7.50, 10% de descuento 6. reloj: $15.30, 15% de descuento

Calcula el precio de venta de cada artículo dados el costo neto yel recargo. Redondea en centavos.7. CD: $9, 60% de recargo 8. DVD: $25, 40% de recargo9. TV: $400, 45% de recargo 10. juego de cuarto: $2,400, 20% de recargo

11. Prueba estandarizada de práctica ¿Cuál es el precio en oferta de un tocador dediscos compactos de $80 con un descuento del 25%?A $20 B $50 C $60 D $320

1�5

Respuestas:1. 20%2.29%3.$14.004.$39.165.$6.756.$13.017.$14.408.$35.009.$580.0010.$2,880.0011.C

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Interés simple (páginas 241–244)



El interés es la cantidad que se paga o que se recibe por el uso del dinero.

Usa la En la fórmula del interés simple, I � prt,

fórmula • I es el interés,

del interés • p es la cantidad de dinero invertida o capital,

simple • r es la tasa de interés anual (o rédito) y• t es el tiempo en años.

Respuestas:1. $31.502.$71.073.$27.204.$51.005.$13.916.$18.907.$102.808.$42.849.$1,015.1910.$352.6311.$128.1012.$100.6313.$745.9214.$324.1915.$408.0016.$255.3617.B

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

A Calcula el interés simple de $650 al 11% por 4 meses.Usa la fórmula I � prt. Nota que el tiempo,

4 meses, es del año.

I � 650(0.11)� �I � $23.83

B Calcula el interés simple de $545 al 9.5% por 18 meses.Usa la fórmula I � prt. Nota que el tiempo, 18 meses, es 1.5 años.I � 545(0.095)(1.5)I � $77.661

�3

1�3

Prueben esto juntos1. Calculen el interés simple de $175 2. Calculen el interés simple de $820 al

al 12% por 1.5 años. 6.5% por 16 meses.AYUDA: r � 0.12 AYUDA: Noten que el tiempo es ó 1 años.

Calcula el interés simple y redondea en centavos.3. $98 al 9.25% por 3 años 4. $340 al 12% por 1.25 años

5. $318 al 8.75% por 6 meses 6. $420 al 9% por 6 meses

7. $514 al 10% por 2 años 8. $816 al 7% por 9 meses

Calcula la cantidad total en cada cuenta y redondea en centavos.9. $839 al 21% por 1 año 10. $325 al 8.5% por 1 año

11. $120 al 9% por 9 meses 12. $100 al 2.5% por 3 meses

13. $672 al 5.5% por 2 años 14. $300 al 6.45% por 15 meses

15. $400 al 4% por 6 meses 16. $230 al 7.35% por 1 años

17. Prueba estandarizada de práctica ¿Cuál es el interés simple de $1,000 al 8% por 2años?A $1,600 B $160 C $40 D $20

1�2

1�3

16�12



Matemáticas de carnavalPuedes jugar este juego con uno de tus padres o un(a) compañero(a). Tu compa-ñero(a) te pide la información requerida en los paréntesis debajo de cada espacio enblanco del siguiente párrafo. Luego él o ella escribe tu respuesta en cada espacio enblanco. Lee el párrafo y luego contesta las preguntas que le siguen.

y amigos fueron a un carnaval

una tarde. intentó la Prueba de fuerza y sólo

consiguió que el sonador de la campanilla se elevara

pies. gastó tratando de

ganar un osito de peluche. En la casilla mojada

mojó al interruptor veces. y un

amigo hicieron una carrera y ganó por un margen

de segundo. Al final de la tarde, habían gastado

de su dinero y decidieron irse a casa.

13. Expresa la razón en el ejercicio 8 como un decimal. Estima, si esnecesario.

14. Expresa la razón en el ejercicio 2 como un porcentaje. Estima, si esnecesario.

15. Expresa el porcentaje en el ejercicio 12 como una fracción.

16. Si 2 bebidas en el carnaval cuestan $1.50, ¿cuánto costarán 5 bebidas?

17. Si 300 personas asistieron al carnaval ese día y 2 de 5 eran adultos,¿cuántos de los asistentes eran adultos?

18. Supón que llevaste $20 al carnaval y regresaste a casa con $5. ¿Quéporcentaje de $20 es $5?

12. (porcentaje menor que 100)

11. (decimal menor que 1)

10. (tu nombre)

9. (tu nombre)______ de ______

8. (escribe una razón)

7. (nombre de un amigo)

6. (dólares y centavos)5. (nombre de un amigo)

4. (decimal mayor que 1)

3. (nombre de un amigo(a))

______ de ______2. (escribe una razón)1. (tu nombre)




Relaciones entre rectas y ángulos (páginas 256–260)

Las rectas paralelas son rectas en un plano que nunca se intersecan. Si la recta p esparalela a la recta q, entonces escribe p || q. Una recta que interseca otras dos o más rectasse llama transversal. Los ángulos congruentes formados por rectas paralelas y unatrasversal tienen nombres especiales. Los ángulos formados por rectas paralelas y unatrasversal tienen también una relación especial.

Si un par de rectas paralelas es intersecado por una Ángulos transversal, estos pares de ángulos son congruentes.congruentes Ángulos alternos internos: �4 � �6, �3 � �5con rectas Ángulos alternos externos: �1 � �7, �2 � �8paralelas Ángulos correspondientes: �1 � �5, �2 � �6,

�3 � �7, �4 � �8

Ángulos Los ángulos opuestos por el vértice son ángulos opuestos formados por opuestos por la intersección de dos rectas. Los ángulos verticales son congruentes. el vértice (Por ejemplo, �1 � �3 en los ángulos anteriores.) y ángulos Los ángulos suplementarios son ángulos cuyas medidas suman 180°.suplementarios (Por ejemplo, �1 es suplementario a �2 en los ángulos anteriores.)

Usa la figura anterior para estos ejemplos.A Calcula m�1 si m�5 � 60°. B Calcula m�6 si m�7 � 75°.

�1 y �5 son ángulos correspondientes. �6 y �7 son ángulos suplementarios. Los ángulos correspondientes son congruentes. De modo que, m�6 � m�7 � 180°. Como m�5 � 60°, m�1 � 60°. m�6 � 75° � 180° Reemplaza 75° con m�7.

m�6 � 105° Sustrae 75° de cada lado.

Prueben esto juntosUsen la figura de la derecha para los ejercicios 1–4. Las dos rectas son paralelas.1. Calculen m�2 si m�8 � 110°. 2. Calculen m�4 si m�6 � 122°.

AYUDA: Identifiquen el tipo de ángulos primero.

3. Calcula m�3 si m�2 � 98°. 4. Calcula m�7 si m�3 � 45°.

5. �p y �q son congruentes. Calcula el valor de x si m�p � (2x �5)° y m�q � 75°.

6. Pasatiempos Alexis hace una colcha con un patrón de rectasparalelas y transversales. El patrón se muestra a la derecha. Si m�1es de 68°, ¿de cuántos grados debe ser m�2?

7. Prueba estandarizada de práctica �a y �b son ángulos alternos externos de rectasparalelas. Si m�a es de 138°, ¿de cuánto es m�b?A 180° B 138° C 42° D 48°

1

2

14

58

23

67

Respuestas:1. 110°2.122°3.82°4.45°5.406.68°7.B

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

14

58

23

67



Triángulos y ángulos (páginas 262–265)

Un polígono es una figura simple y cerrada en un plano formada por tres o mássegmentos de recta. Un polígono formado por tres segmentos de recta que seintersecan solamente en sus extremos es un triángulo. Los triángulos puedenclasificarse según sus ángulos y sus lados.

Triángulos • Los triángulos acutángulos tienen tres ángulos agudos.clasificados según • Los triángulos rectángulos tienen un ángulo recto.sus ángulos • Los triángulos obtusángulos tienen un ángulo obtuso.

Triángulos • Los triángulos escalenos no tienen lados congruentes.clasificados según • Los triángulos isósceles tienen por lo menos dos lados congruentes.sus lados • Los triángulos equiláteros tienen tres lados congruentes.

Clasifica cada triángulo según sus ángulos y según sus lados.A �ABC tiene un ángulo que mide 136°, B �EFG tiene un ángulo que mide 90°.

y ningún lado con la misma longitud. Como tiene un ángulo recto, sabes queComo el ángulo es mayor que 90°, es un triángulo �EFG es un triángulo rectángulo. No puedes obtusángulo. También es escaleno porque determinar si es escaleno o isósceles sinninguno de los lados tiene la misma longitud. saber las longitudes de los lados del �ABC es un triángulo obtusángulo y escaleno. triángulo.

Clasifica cada triángulo según sus ángulos y según sus lados.1. 2. 3.

4. Envoltura de regalos Clasifica los triángulos usados en el patróndel papel de regalos que se muestra a la derecha.

5. Prueba estandarizada de práctica ¿Cómo clasificarías un triángulo que tiene unángulo recto y dos lados congruentes?A rectángulo isósceles B acutángulo escalenoC obtusángulo isósceles D rectángulo equilátero

5 m

5 m 5 m

60 60

60 8 pulg

6.2 pulg

11.7 pulg

110

30

40

5 cm

5 cm7.1 cm

45

45

Respuestas:1. rectángulo, isósceles2.obtusángulo, escaleno3.acutángulo, equilátero4.acutángulo, equilátero5.A

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.



Triángulos rectángulos especiales (páginas 267–270)

Algunos triángulos rectángulos se consideran especiales porque sus lados y ángulos tienen relaciones importantes.

Calcula medidas en • En un triángulo rectángulo de 30°�60°, la hipotenusa mide el doble de

triángulos rectán- la longitud del lado opuesto al ángulo de 30° (el lado más corto).

gulos especiales • En un triángulo rectángulo de 45°�45°, las longitudes de los catetos son iguales.

La longitud de la hipotenusa de un triángulo de 30°�60° es de 15 pulgadas.Calcula las longitudes de los catetos.La longitud del cateto más corto (el que es opuesto al ángulo de 30º) es siempre la mitad de la hipotenusa,así que el cateto tiene 7.5 pulgadas de longitud. Usa el teorema de Pitágoras para calcular la longitud delotro cateto.

a2 � b2 � c2 Teorema de Pitágoras(7.5)2 � b2 � 152

56.25 � b2 � 225b2 � 168.75b � �168.7�5�b 13.0 Redondea en décimas.

Prueben esto juntos1. Calculen las longitudes que faltan. 2. Calculen las longitudes que faltan.

Redondeen en décimas, si es necesario. Redondeen en décimas, si es necesario.

AYUDA: Los catetos tienen longitudes iguales. AYUDA: Calculen la longitud de la mitad de la hipotenusa.

Calcula las longitudes que faltan. Redondea en décimas, si es necesario.3. 4.

5. Prueba estandarizada de práctica Tu carro tiene dos ventanas rectangulares de30°–60°. Necesitas un trozo de vidrio para reemplazar una ventana vieja. ¿Cuáles sonlas longitudes de los otros lados de la ventana si la hipotenusa es de 14 pulgadas?A 5 pulg por 10 pulg B 7 pulg por 10 pulgC 7 pulg por 12.1 pulg D 6.5 pulg por 12.1 pulg

c

a 9 yd

45 45

b

c 6.5 cm

30

60

b

a6 m

30

60

b pies

c pies12 pies45

45

Respuestas:1. b�12 pies; c17.0 pies2.a�3 m; b5.2 m3.b11.3 cm; c�13 cm4.a�9 yd; c12.7 yd5.C

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Clasifica cuadriláteros (páginas 272–275)



Un cuadrilátero es un polígono con cuatro lados y cuatro ángulos. Lasuma de las medidas de los ángulos de un cuadrilátero es de 360°.

• Un paralelogramo es un cuadrilátero con ambos pares de lados opuestos paralelos y congruentes.

• Un rectángulo es un paralelogramo con 4 ángulos rectos.• Un rombo es un paralelogramo con 4 lados congruentes.

Tipos de• Un cuadrado es un paralelogramo con 4 ángulos rectos y 4 lados congruentes.

cuadriláteros• Un trapecio es un cuadrilátero con exactamente un par de lados

opuestos que son paralelos.

Clasifica cada cuadrilátero con el nombre que mejor lo describe.A El cuadrilátero ABCD tiene sólo un par B El cuadrilátero HIJK tiene todos los

de lados paralelos. lados congruentes, con cuatro ángulos El único cuadrilátero con sólo un par de lados rectos.paralelos es un trapecio. Un cuadrilátero con cuatro lados congruentes El cuadrilátero ABCD es un trapecio. y cuatro ángulos rectos es un cuadrado.

Clasifica cada cuadrilátero con el nombre que mejor lo describe.1. 2. 3. 4.

5. Arquitectura Un arquitecto diseña una ventana con figura de rombo para una casa nueva. El bosquejo de la ventana se muestra a la derecha. Calcula el valor de x para que el arquitecto sepa lasmedidas de los cuatro ángulos.

6. Prueba estandarizada de práctica ¿Cuál es el mejor modo de clasificar uncuadrilátero que es también un paralelogramo con 4 ángulos rectos?A trapecio B rombo C cuadrado D rectángulo

45

x

x45

paralelogramo rectángulo rombo cuadrado trapecio

Respuestas:1.cuadrilátero2.rombo3.trapecio4.rectángulo5.1356.D

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Polígonos congruentes (páginas 279–282)



Los triángulos que tienen el mismo tamaño y forma se llaman polígonoscongruentes. Cuando dos polígonos son congruentes, las partes quecoinciden se llaman partes correspondientes. Dos polígonos soncongruentes cuando todas sus partes correspondientes son congruentes.

Palabras Si dos polígonos son congruentes, sus lados correspondientes son congruentes y sus ángulos correspondientes son congruentes.

Modelo

Símbolos Ángulos congruentes: �A � �F, �B � �G, �C � �HLados congruentes: ��BC � ��GH, ��AC � ��FH, ��AB � ��FG

Determina si los siguientes polígonos son congruentes. Si lo son, nombra las partes correspondientes y escribe un enunciado de congruencia.

1. 2. 3.

Calcula el valor de x en cada par de polígonos congruentes.4. 5.

6. Banderas Los códigos de banderas internacionales se usan en el marpara dar señales de auxilio o para dar advertencias. La bandera que corres-ponde a la letra O, que se muestra a la derecha, advierte que una persona secayó por la borda. ¿Cuántos triángulos congruentes hay en la bandera?

7. Prueba estandarizada de práctica El salón de clases de Sara consiste en uncuadrado con paredes de 24 pies de largo. ¿Cuáles son las dimensiones de unahabitación congruente al salón de clases de Sara?A 12 pies por 24 pies B 24 pies por 18 piesC 20 pies por 24 pies D 24 pies por 24 pies

(5x – 5) m10 m

E

45 3x

G

F J HD

QS

R V

UTJ K

M L

2 pies

3 pies

A

B C

Y

X

Z

F H

G

A C

B

Respuestas:1. sí; �A��X, �B��Y, �C��Z, ��AB�

��XY,

��BC�

��YZ,

��AC�

��XZ;�ABC��XYZ2.no3.sí; �Q��V,

�R��U, �S��T, ��QR�

��VU,

��RS�

��UT,

��QS�

��VT; �QRS��VUT4.155.36.27.D

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Polígonoscongruentes

P Q

S R

4 pies

2 pies

Simetría (páginas 286–289)



Muchas figuras geométricas y de otro tipo tienen uno o más de los tipos desimetría descritos a continuación.

• Una figura tiene simetría lineal si se puede doblar de modo que la mitad de la figura coincide con la otra mitad. La línea que divide las dos mitades se llamaeje de simetría. Algunas figuras tienen más de un eje de simetría.

• Si puedes girar un objeto menos de 360º y el objeto aún se ve como el original, la figura tiene simetría rotacional. La medida en grados del ángulo através del cual la figura se rota se llama ángulo de rotación. Algunas figurastienen sólo un ángulo de rotación, mientras que otras tienen varios.

Identifica el tipo de simetría.A Un dibujo que parece el mismo si B La marca de fierro del rancho del

le das vuelta al papel de modo que ganado de la familia Lee parece como la parte inferior es ahora la parte si se pudiese doblar por la mitad y los dos superior. lados coincidirían.Como el dibujo parece el mismo si le das Las figuras que se pueden doblar por mitad vuelva 180°, el dibujo tiene simetría rotacional. para producir lados que coinciden tienen

simetría lineal.

Determina si cada figura tiene simetría lineal. De ser el caso,dibuja los ejes de simetría.1. 2. 3. 4.

5. ¿Cuáles de las figuras en los ejercicios 1–4 tienen simetría rotacional?

6. Deportes La navegación es un deporte popular en las áreas cercanas alagos y océanos. Dibuja un eje de simetría en la vela del barco de laderecha.

7. Prueba estandarizada de práctica ¿Cuál de las siguientes figuras muestra correctosejes de simetría?A B C D

Respuestas:1. Ver clave de respuestas.2.no hay líneas de simetría3.no hay líneas de simetría4.Ver clave de respuestas.5.La estrella del ejercicio 16.Ver clave de respuestas.7.B

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Tipos deSimetría

Reflexiones (páginas 290–294)



La imagen especular producida al voltear una figura sobre una recta sellama reflexión. Esta recta se llama línea de reflexión. Una reflexión es untipo de transformación de una figura geométrica.

Reflexión Para reflejar un punto sobre el eje x, usa la misma coordenada x y elsobre el eje x opuesto de la coordenada y del punto original. (x, y ) se convierte en (x, �y ).

Reflexión Para reflejar un punto sobre el eje y, usa el opuesto de la coordenada x delsobre el eje y punto original y la misma coordenada y. (x, y ) se convierte en (�x, y ).

A Cuando reflejas el punto A(2, 1) sobre el B Cuando reflejas el punto A(2, 1) sobre eleje x, ¿cuáles son las nuevas coordenadas? eje y, ¿cuáles son las nuevas coordenadas?Usa el número 2 como la coordenada x y �1 Usa el opuesto de la coordenada x, para que 2como el opuesto de la coordenada y. La reflexión se convierta en �2. Usa la misma coordenada es A�(2, �1). y. La reflexión es A�(�2, 1).

Prueben esto juntosNombren la línea de reflexión para cada par de figuras.1. 2. 3.

Grafica la figura con los vértices dados. Luego grafica la imagende la figura después de efectuar una reflexión sobre los ejesdados y escribe las coordenadas de sus vértices.4. triángulo JKL con vértices de J(2, 4), K(4, 1) y L(0, 1); eje x5. cuadrado QRST con vértices de Q(1, �1), R(1, �4), T(4, �1) y

S(4, �4); eje y6. trapecio ABCD con vértices de A(�2, 4), B(�4, 4), C(�6, 2) y

D(�1, 2); eje x

7. Prueba estandarizada de práctica Akela va a hacer una colcha. Su diseño usadiamantes. Si su primer diamante tiene vértices de D(2, 0), E(4, �2), F(2, �4) yG(0, �2) y su segundo diamante es la reflexión del primer diamante a través del ejey, ¿cuáles serán las coordenadas de E�?A (4, 2) B (�4, �2) C (0, �2) D (0, 0)

xO

y

xO

y

xO

y

Respuestas:1. eje x2.eje y3.eje y4–6.Ver clave de respuestas.4.J�(2,�4), K�(4,�1), L�(0,�1)5.Q�(�1,�1), R�(�1, �4), S�(�4, �4), T�(�4, �1)6.A�(�2,�4), B�(�4,�4), C�(�6,�2), D�(�1,�2)7.B

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Traslaciones (páginas 296–299)



En un plano de coordenadas, un movimiento deslizante de una figura se llama translación. Una traslación hacia abajo o hacia la izquierda es negativa. Una traslación hacia arriba o hacia la derecha es positiva.

Grafica Para trasladar un punto del modo descrito por un par coordenado, suma las

translaciones coordenadas del par ordenado a las coordenadas del punto original.(x, y ) trasladado por (a, b) se convierte en (x � a, y � b).

A ¿Cuáles son las coordenadas de (�2, 3) B ¿Cuáles son las coordenadas de (3, �5) trasladado por (1, �2)? trasladado por (0, 2)?Suma las coordenadas de (1, �2) a las coorde- Suma las coordenadas de (0, 2) a las coorde-nadas de (�2, 3). El nuevo punto es (�1, 1). nadas de (3, �5). El nuevo punto es (3, �3).

Prueben esto juntos1. Calculen las coordenadas de D(0, 0), 2. ¿Cuáles son las coordenadas del cuadrado

E(�2, 2) y F(1, 3) después de ser con vértices de A(�1, 2), B(�1, 4), C(1, 4)trasladados por (2, �1). Luego grafiquen y D(1, 2) después de ser trasladado porel triángulo DEF y su traslación, el (�3, �2)? Luego grafiquen el cuadrado triangulo D�E�F�. y su traslación.AYUDA: Sumen 2 a cada coordenada x y sumen AYUDA: Sumen �3 a la primera coordenada y�1 a cada coordenada y. �2 a la segunda.

Grafica la figura con los vértices dados. Luego grafica la imagende la figura después de efectuar la traslación indicada y escribelas coordenadas de sus vértices.3. paralelogramo BCDE con vértices de B(�3, 3), C(3, 3), D(1, 1) y

E(�5, 1) trasladado por (4, 3)4. cuadrilátero HIJK con vértices de H(1, 0), I(3, �2), J(1, �5) y

K(�1, �2) trasladado por (�3, 0)5. Los vértices del triángulo KLM son K(1, 2), L(1, �5) y M(5, 0). L� tiene

las coordenadas de (�3, �8)a. Describe la traslación con un par ordenado.b. Calcula las coordenadas de K� y M�.

6. Prueba estandarizada de práctica Manuela planta su jardín con un rectángulo deflores a la par de otro. Si el primero tiene vértices de A(�2, 3), B(3, 3), C(3, 1) yD(�2, 1) y el segundo tiene vértices de E(3, �3), F(8, �3), G(8, �5) y H(3, �5),¿cuál es la traslación de ABCD a EFGH?A (10, �6) B (�1, �1) C (1, 0) D (5, �6)

Respuestas:1–4. Para las gráficas, ver clave de respuestas.1.D�(2, �1), E�(0, 1), F�(3, 2)2.A�(�4, 0), B�(�4, 2), C�(�2, 2), D�(�2, 0)3.B�(1, 6), C�(7, 6), D�(5, 4), E�(�1, 4)4.H�(�2, 0), I�(0, �2), J�(�2, �5), K�(�4, �2)5a.(�4, �3)5b.K�(�3, �1), M�(1, �3)6.D

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Rotaciones (páginas 300–303)



Una rotación mueve una figura alrededor de un punto fijo llamado centro de rotación.

• Los puntos correspondientes en la figura original y su imagen rotadatienen la misma distancia desde el centro de rotación y los ángulosque se forman al conectar el centro de rotación con los puntoscorrespondientes son congruentes.

• La imagen es congruente a la figura original y la orientación de laimagen es la misma que la de la figura original.

Grafica el punto A(3, 2). Luego grafica el punto después de una rotación de 180° alrededor del origen y escribe las coordenadas de sus vértices.

Paso 1 Dibuja una recta fina para conectar el punto A con el origen.

Paso 2. Dibuja O�A� para que m�A�OA � 180° y para queO�A�� tenga la misma medida que O�A�.

El punto A� tiene las coordenadas (�3, �2).

Determina si cada par de figuras representa una rotación.Escribe sí o no.1. 2. 3.

4. Grafica el triángulo ABC con vértices de A(3,�2), B(5,�6) y C(1,�5).

a. Gira el triángulo 90° en dirección opuesta a las manecillas del reloj,alrededor del origen y grafica el triángulo A�B�C�.

b. Gira el triángulo original 180° alrededor del origen y grafica eltriángulo A�B�C �.

5. Prueba estandarizada de práctica Después de que se gira una figura 90°en dirección opuesta a las manecillas del reloj alrededor del origen, unode los vértices se encuentra en el punto (�2, 3). ¿Cuáles eran lascoordenadas de este vértice antes de efectuar la rotación?A (3, 2) B (�3, 2) C (2, 3) D (3, �2)

xO

y

xO

y

xO

y

A

A'xO

y

Respuestas:1. sí2.no3.no4.Ver clave de respuestas.5.A

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Propiedadesde

rotaciones

Recuerdaque unángulo quemide 180°es una línearecta.



A L D R

T C U S

J I B E

P Y N K

Ahora escribe la letra del cuadro que corresponde a cada valor en los espacios enblanco a continuación.

18 78 111 18 78 51 32 9 60 31 99 77 111 99 9 51 78


813x

Despeja x en cada figura. Escribe cada respuesta en el cuadro apropiado.

103°x99°

x 148°32° x

111°

x

18°

xx

58°

62° x�4

82°

71°

3x

30°

D

G

H

FE

92

67°x

A B

D

C

H

51°

92°

x8

8

1512

x

x88°

91°

54°

x

102°

C

43°

53°

16

10

A

R

B

x

53°

0

A

S

R

T

x

ABCD � EFGH ABC � RST

8

188

12

x


Área de paralelogramos, triángulos ytrapecios (páginas 314–318)


Cualquier lado de un paralelogramo o triángulo puede usarse como base. Laaltitud de un paralelogramo es un segmento de recta perpendicular a la basecon extremos en la base y el lado opuesto a la base. La altitud de un triánguloes un segmento de recta perpendicular a la base desde el vértice opuesto. Lalongitud de la altitud se llama altura. Un trapecio es un equilátero conexactamente un par de lados paralelos, los cuales son las bases.

Área de un El área A de un paralelogramo es el producto deparalelogramo cualquier base b y su altura h. A � bh

El área A de un triángulo es igual a la mitad del

producto de su base b y su altura h. A � bh

El área A de un trapecio es igual a la mitad del producto

de la altura h y la suma de las bases, b1 y b2. A � h(b1 � b2)

A Calcula el área de un paralelogramo que B Calcula el área de un trapecio con bases de tiene b � 14 pulg y h � 5 pulg. 13 cm y 17 cm y una altura de 9 cm.A � bh A � h(b1 � b2)

A � (14)(5) Reemplaza b con 14 y h con 5. A � (9)(13 � 17) Reemplaza las variables.

A � 70 pulg2 Multiplica. A � 135 cm2 Multiplica.

Prueben esto juntos1. Calculen el área de un triángulo que 2. Calculen el área de un paralelogramo que tiene

tiene b � 16 yd y h � 12 yd. una base de 10.5 m y una altura de 4.1 m.

Calcula el área de cada triángulo. Calcula el área de cada trapecio.

base altura base (b1) base (b2) altura

3. 16 cm 7 cm 6. 14 pulg 18 pulg 6 pulg

4. 15 pies 6 pies 7. 20 m 7 m 12 m

5. 20 cm 22 cm 8. 8.6 yd 5.2 yd 7 yd

9. Prueba estandarizada de práctica ¿Cuál es el área de un paralelogramo cuya basees de 4.5 m y cuya altura es de 3.6 m?A 5.3 m2 B 8.1 m2 C 10.6 m2 D 16.2 m2

1�2

1�2

1�3

1�2

1�2

1�2

h

b

b1

2

1�2

h

b

b

h

Respuestas:1. 96 yd22.43.05 m23.56 cm24.46 pies25.220 cm26.96 pulg27.168 m28.48.3 yd29.D

Área de untriángulo

Área de untrapecio

Circunferencia y área de círculos (páginas 319–323)



La distancia desde el centro hasta cualquier punto en un círculo es el radio(r). La distancia de un punto a otro del círculo a través de su centro es eldiámetro (d). La distancia alrededor del círculo es la circunferencia (C ).El diámetro es dos veces el radio, o d � 2r.

La circunferencia C de un círculo es igual a su diámetro d multiplicado por �,

Circunferencia

ó 2 veces su radio r multiplicado por �. C � �d o C � 2�r

de un círculoUsa ó 3.14 como un valor aproximado de �.

El área A de un círculo es igual a � multiplicado por el cuadrado del radio ro A � �r2.

22�7

C

d r

A Calcula C si el diámetro mide 4.2 metros.C � �dC � 3.14(4.2) Reemplaza d con 4.2 y � con

3.14.

C � 13.188 m Multiplica.

B Calcula el área de un círculo. Redondeaen décimas.A � �r2

A � � � 32 r � 3A � � � 9A � 28.3 yd2 Usa una calculadora.

Prueben esto juntos1. Calculen el área de un círculo. 2. Calculen C si el radio mide 23

Usen una calculadora y centímetros. Redondeen en décimas.redondeen en décimas. AYUDA: Usen la fórmula que contiene r.AYUDA: r � 13

Calcula la circunferencia de cada círculo. Redondea en décimas. Usa �

272� ó 3.14 como valor de �.

3. radio, 19.65 cm 4. diámetro, 60.2 m 5. diámetro, 11.3 yd 6. radio, 8 pulg

Calcula el área de cada círculo. Usa una calculadora y redondea en décimas.7. radio, 16 m 8. diámetro, 16 pulg 9. radio, 10 pies

10. Prueba estandarizada de práctica Una pizza tiene un diámetro de 18 pulgadas. Sifaltan dos de las doce porciones iguales, ¿cuál es el área aproximada de la pizzaque queda?A 254 pulg2 B 848 pulg2 C 212 pulg2 D 424 pulg2

1�2

26 pies

Respuestas:1. 530.9 pies22.144.4 cm3.123.4 cm4.189.0 m5.35.5 yd6.53.4 pulg7.804.2 m28.201.1 pulg2

9.314.2 pies210.C

Área de un círculo

Área de figuras complejas (páginas 326–329)



Una figura compleja está hecha de dos o más figuras. Para calcular el área de una figuracompleja, divídela en figuras conocidas cuyas áreas sepas calcular. Luego calcula la sumade esas áreas.

Calcula el área de la figura compleja.Esta figura se puede dividir en un trapecio y un semicírculo.Área del trapecio Área del semicírculo

A � h(a + b) A � �12

��r2

A � �12

� � 2(3 + 5) A � �12

� � � � 12

A � 8 A � 1.6El área de la figura es de aproximadamente 8 � 1.6 ó 9.6 centímetros cuadrados.

Calcula el área de cada figura. Redondea en décimas, si es necesario.1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. ¿Cuál es el área de una figura formada por un rectángulo con lados de 4 pulgadas y 7pulgadas y un trapecio con bases de 8 pulgadas y 12 pulgadas y una altura de 3 pulgadas?

8. Prueba estandarizada de práctica ¿Cuál es el área de la figura de la derecha ?A 80 pulg2 B 79 pulg2

C 74 pulg2 D 32 pulg2

8 cm

4 cm

4 cm

4 cm

7 cm6 pies

3 pies

3 pies

12 pies15 pies

7 pulg

2 pulg

2 pulg

2 pulg

8 pulg

11 pulg

7 yd

3 yd

2 yd

15 yd

10 yd

6 cm

5 cm

10 cm

18 cm

6 pulg

4 pulg

1�2

Respuestas: 1.30.3 pulg22.89.1 cm23.87 yd24.48 pulg25.90 pies26.52 cm27.58 pulg28.B

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

3 cm

5 cm

2 cm

8 pulg

8 pulg

4 pulg

4 pulg

1 pulg1 pulg 1 pulg

1 pulg

Figuras tridimensionales (páginas 331–334)



Las figuras tridimensionales se llaman sólidos. Los prismas son sólidos quetienen superficies planas. Las superficies de un prisma se llaman caras.Todos los prismas tienen por lo menos un par de caras que son paralelas ycongruentes. Estas se llaman bases y se usan para nombrar el prisma.

Usa papel isométrico para dibujar una figura tridimensional con 3 unidades de altura, 1 unidad de longitud y 2 unidades de ancho.1. Dibuja la parte inferior del prisma con 1 unidad por 2 unidades.2. Dibuja los segmentos verticales en los vértices de la base.

Cada segmento mide tres unidades de altura.3. Completa la parte superior del prisma.4. Usa líneas punteadas para las aristas del prisma que no

puedes ver desde tu perspectiva y líneas llenas para las aristas que puedes ver.

Identifica cada sólido. Identifica el número y las figuras de lascaras. Luego identifica el número de aristas y vértices.1. 2. 3.

4. a. Identifica el sólido de la derecha.

b. ¿Cuál es la altura del sólido?

c. ¿Cuántas caras tiene el sólido?

d. ¿Cuántas aristas tiene el sólido?

e. ¿Cuántos vértices tiene el sólido?

5. Prueba estandarizada de práctica ¿Cuántos vértices tiene un prisma rectangular?A 3 B 5 C 6 D 8

Respuestas:1. prisma rectangular; 6 caras, todos son rectángulos; 12 aristas; 8 vértices2.pirámide rectangular; 5 caras, 4 triángulos y 1 rectángulo; 8 caras; 5 vértices3.prisma pentagonal; 7 caras, 2 pentágonos y 5 rectángulos; 15 caras; 10 vértices4a.prisma rectangular4b.44c.64d.124e.85.C

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

prisma triangular prisma rectangular pirámide triangular pirámide rectangular

Volumen de prismas y cilindros (páginas 335–339)



El volumen es la medida del espacio que ocupa un sólido. Se mide en unidadescúbicas. Puedes usar las siguientes fórmulas para calcular el volumen deprismas y cilindros circulares. Un cilindro circular tiene bases circulares.

El volumen V de un prisma es igual al área de la base B por la altura h,Volumen o V � Bh.de un Para un prisma rectangular, el área de la base B es igual a la longitud � multipli-prisma cada por el ancho w. La fórmula V � Bh se escribe también como V � (� � w)h.

Volumen El volumen V de un cilindro es igual al área de la base B por la altura h, ode un V � Bh. Puesto que el área de la base de un cilindro es el área de un círculo, o cilindro � r2, la fórmula del volumen de un cilindro V se escribe también como V � �r2h.

A Calcula el volumen de un prisma rectangular B Calcula el volumen de un cilindro con un largo de 4 centímetros, un ancho de con un radio de 3 pulgadas y una 6 centímetros y una altura de 8 centímetros. altura de 12 pulgadas.V � �wh V � � r2hV � 4 � 6 � 8 � � 4, w � 6, h � 8 V � � � 32 � 12 r � 3, h � 12V � 192 cm3 V � 339 pulg3 Usa una calculadora.

Calcula el volumen de cada sólido. Redondea en décimas, si esnecesario.1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. Prueba estandarizada de práctica Acabas de comprar una nueva maceta para una planta.La maceta tiene la forma de un cilindro con un diámetro de 12 pulgadas y una altura de12 pulgadas. ¿Aproximadamente cuánta tierra necesitarás para llenar la maceta?A 144 pulg3 B 24 pulg3 C 5,428.7 pulg3 D 1,357.2 pulg3

1.2 cm15 cm

12 pulg

3 pulg

5 pulg5 pies

61–2 pies

5 pies

9 mm9 mm

9 mm16 pulg

8 pulg

4 cm6 cm

3 cm

Respuestas:1. 72 cm32.804.2 pulg33.729 mm34.81.3 pies35.180 pulg36.17.0 cm37.D

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Volumen de pirámides y conos (páginas 342–345)



Un barquillo para helado es un ejemplo de un sólido geométrico llamado conocircular. Un segmento que va desde el vértice del cono hasta su base y es perpen-dicular a la base se llama altitud. La altura de un cono se mide según su altitud.

Volumen de

El volumen V de un cono es igual a un tercio del área de la base B por la

un conoaltura h, o V � Bh. Como la base de un cono es un círculo, la fórmula se

puede reescribir como V � �r2h.

Volumen de El volumen V de una pirámide es igual a un tercio del área de la base B por

una pirámide la altura h, o V � Bh.

A Calcula el volumen de un cono que B Calcula el volumen de una pirámide que tiene un radio de 1 centímetro y una tiene una altura de 10 pulgadas y una altura de 6 centímetros. base cuadrada con lados de 9 pulgadas. V � �r2h V � Bh

V � � � � 12 � 6 r � 1, h � 6 V � � 92 � 10 El área de una base cuadrada es s2.

V � 6.3 cm3 Usa una calculadora. V � 270 pulg3

Calcula el volumen de cada sólido. Redondea en décimas, si esnecesario.1. 2. 3.

4. La altura de una pirámide rectangular es de 10 metros. La base es de 6 metros por8.5 metros.a. Calcula el volumen de la pirámide.b. Supón que se corta la altura en mitad y la base permanece la misma. ¿Cuál es el

volumen de la nueva pirámide?

5. Prueba estandarizada de práctica Imagina que estás creando un modelo de laspirámides egipcias para tu clase de estudios sociales. Construyes una pirámide conuna altura de 5 pies y una base cuadrada de 2.5 por 2.5 pies. ¿Cuál es el volumen detu pirámide?A 4.1 pies3 B 5.2 pies3 C 6.3 pies3 D 10.4 pies3

20 pies16

pies

6 cm6 cm

8 cm10 pulg

14 pulg

1�3

1�3

1�3

1�3

1�3

1�3

1�3

Respuestas:1. 513.1 pulg32.96 cm33.1,340.4 pies34a.170 m34b.85 m35.D

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.


Área de superficie de prismas y cilindros (páginas 347–351)


El área de superficie es la suma de las áreas de todas las caras o superficies de un sólido.

El área de superficie S de un prisma rectangular con unlargo de �, ancho w y altura h es igual a la suma de lasáreas de las caras.

S � 2�w � 2�h � 2wh

El área de superficie S de un cilindro es igual al área de dos bases circulares (2�r2)más el área de la superficie curva (2�rh).S � 2�r2 � 2�rh

h

w�

A Calcula el área de superficie de un cuboque tiene un lado de 8 centímetros delargo.Un cubo tiene seis lados, o caras, que soncuadrados. El área de un lado es 82 ó 64 cm2.Como hay 6 lados, multiplica el área de un ladopor 6. Por lo tanto, 64 � 6 � 384.El área de superficie de un cubo que tiene unlado de 8 centímetros de largo es de 384 cm2.

B Calcula el área de un cilindro con unradio de 2 centímetros y una altura de20 centímetros. Redondea en décimas.S � 2�r2 � 2�rhS � 2�(22) � 2�(2)(20) r � 2, h � 20S � 276.5 cm2 Usa una calculadora.

Prueben esto juntos1. Calculen el área de superficie, en décimas, 2.

de un cilindro con un radio de 3 pulgadas y una altura de 5 pulgadas.

12 pulg

6 pulg10 pulg

Área de superficie deun prisma

Área de superficie deun cilindro

Calcula el área de superficie de cada cilindro. Redondea endécimas, si es necesario.3. 4. 5.

6. Prueba estandarizada de práctica Selma va a envolver un regalo para elcumpleaños de su amiga. Va a usar una caja rectangular con un largo de 20pulgadas, una altura de 3 pulgadas y un ancho de 9 pulgadas. Calcula el área desuperficie de la caja para que Selma pueda comprar suficiente papel de regalo.A 267 pulg2 B 534 pulg2 C 540 pulg2 D 32 pulg2

24 cm

9 cm1 pulg24 pulg

6 cm

6 cm

AYUDA: Calculenel área desuperficie decada cara, luegosumen.

Respuestas:1. 150.8 pulg22.504 pulg23.452.4 cm24.77.0 pulg25.1,866.1 cm26.B

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Área de superficie de pirámides y conos(páginas 352–355)



Respuestas: 1.93.6 cm22.81.2 mm23.54.7 pulg24.552.5 mm25.115.9 pies26.473 pulg27.370.0 pulg28.29.6 m2

9.24.1 pies210.D

Los lados triangulares de una pirámide se lla-man caras laterales. La altitud o altura de cadacara lateral se llama altura oblicua. La suma delas áreas de las caras laterales es el árealateral. El área de superficie de una pirámide esel área lateral más el área de la base.

El área de superficie de un cono con radio r yaltura oblicua � viene dada por la fórmula S � �r� � �r2.

Área desuperficiede unapirámide

Área desuperficiede un cono

Modelo de pirámide cuadrada

Modelo de conoaltura inclinada (�)

radio (r)

altura oblicuacara lateral

base

Calcula el área de superficie de la pirámide.Área de cada cara lateral

A � �12

�bh � �12

�(3)(14) � 21

Hay 3 caras, así que el área lateral es 3(21) ó 63 centímetros cuadrados. El área de la base es de 3.9 centímetros cuadrados. El área de superficie es la suma del área lateral y el área de la base, 63 + 3.9 ó 66.9 centímetroscuadrados.

Calcula el área de superficie de cada sólido. Redondea en décimas, si esnecesario.1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. cono: radio 6.4 pulg; altura oblicua, 12 pulg8. pirámide triangular: área de la base, 10.8 m2; longitud de la base, 5 m;

altura oblicua, 2.5 m9. pirámide cuadrada: longitud del lado de la base, 2 pies; altura oblicua 4 pies

10. Prueba estandarizada de práctica Calcula el área de superficie delsólido complejo de la derecha.

A 285.6 pulg2 B 187.2 pulg2

C 250.0 pulg2 D 249.6 pulg2

1�3

9 pies

7 pies 7 pies

6.1 pies

10 mm21

6 mm41

6.7 pulg

2 pulg7 mm

7 mm

2.3 mm

8 cm 8 cm6.9 cm

5.5 cm

3 cm

3 cm3 cm

14 cm

3.9 cm2

6 pulg 6 pulg

10.4 pulg

10.4 pulg7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Precisión y dígitos significativos (páginas 358–362)



La precisión de una medición es la exactitud con la cual se toma una medición. La pre-cisión depende de la unidad de medición más pequeña que se use, es decir, depende de launidad de precisión. Los dígitos que registras son los dígitos significativos. Estos dígitosindican la precisión de medición. Cuando sumas, restas, multiplicas o divides mediciones,el resultado deberá tener la misma precisión que la medición menos precisa.

Hay muchas reglas especiales para determinar dígitos significativos en una medición dada.Se analizan los números para ver si contienen dígitos significativos al contar los dígitos deizquierda a derecha, empezando con el primer dígito que no sea cero.

Número deNúmero dígitos significativos Regla

2.45 3 Todos los dígitos que no son cero, son significativos.

140.06 5 Los ceros entre dos dígitos significativos, son significativos.

0.013 2Los ceros que se usan para mostrar el valor posicional deldecimal, no son significativos.

120.0 4En un número con un punto decimal, todos los ceros a laderecha de un dígito que no es cero, son significativos.

350 2En un número sin un punto decimal, todos los ceros a laderecha del último dígito que no es cero, no son significativos.

Determina el número de dígitos significativos en cada medición.1. 20.50 2. 16.8 3. 0.073

Calcula cada suma o resta usando la precisión correcta.4. 48.25 pies � 14.5 pies 5. 3.8 cm � 24.05 cm 6. 6.7 yd � 0.95 yd

Calcula cada producto o cociente usando el número correcto de dígitos significativos.7. 3.24 lb 0.75 lb 8. 1.6 mi � 2.08 mi 9. 12.40 m � 5.36 m

10. Prueba estandarizada de práctica Un concurso de televisión fue visto por 31.6 millo-nes de televidentes una noche. ¿Cuántos dígitos significativos tiene este número?A 8 B 5 C 3 D 2

A Determina el número de dígitossignificativos en 12.08 cm.El cero está entre dos dígitos significativos ydígitos que no son cero, son significativos. Asíque hay 4 dígitos significativos en 12.08 cm.

B Calcula 36.5 g 12.24 g usando elnúmero correcto de dígitos significativos.36.5 tiene el menor número de dígitos signi-ficativos, 3. Redondea el cociente de modoque tenga 3 dígitos significativos. El resultadoes 2.98 g.

Respuestas: 1.42.33.24.33.8 pies5.28 cm6.5.8 yd7.4.3 lb8.3.3 mi9.66.5 m10.C

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.



¡Córtalo!Para realizar esta actividad, necesitarás una regla, unas tijeras, un lápiz, unacinta transparente y un trozo de cartón grueso u otro papel grueso.Completa la actividad con uno de tus padres.

Para calcular el área de superficie de un prisma, debes calcular el área decada cara del prisma y luego sumar las áreas. Usa los materiales descritospara dibujar y cortar cada cara de los siguientes prismas. Cuando hayascortado las caras, rotúlalas con sus áreas de superficie individuales. Con lacinta pega las piezas para formar el prisma. Luego añade las áreas desuperficie que rotulaste para calcular el área de superficie total del prisma.

1. 2.

3.

4. ¿Cuál prisma requiere de más papel o cartón para construirlo?

5 pulg

12 pulg

1 pulg

4 pulg

8 pulg

5 pulg

6 pulg

4 pulg

2 pulg6 pulg


Probabilidad de eventos simples (páginas 374–377)



Una lista de todos los resultados posibles se llama espacio muestral. La probabilidad te permite medir la factibilidad de un evento.

P(evento) �Probabilidad • Cuando es imposible de que ocurra un evento, su probabilidad es 0.

• Cuando se está seguro de que ocurrirá un evento, su probabilidad es 1.

Una bolsa contiene 4 canicas rojas y 3 azules. Si se saca una canica de labolsa al azar, ¿cuál es P(azul)?P(azul) es la probabilidad de sacar una canica azul.Hay 3 maneras de sacar una canica azul.Hay 4 � 3 ó 7 resultados posibles.

P(azul) � ó como un decimal, 0.4�2�8�5�7�1�

Prueben esto juntos1. ¿Cuál es la probabilidad de que se tire un 2. ¿Cuál es la probabilidad de que se

cubo numerado y el resultado sea 3 ó 4? lance una piedra y caiga en el primer AYUDA: Encuentren el número de los resultados cuadro de un tablero de 8 cuadros?de 3 ó 4 y dividan ese número entre el número AYUDA: Hay 8 resultados posibles. total de los resultados posibles.

Enuncia la probabilidad de cada resultado en forma de fracción y decimal.3. Se escoge aleatoriamente una persona vestida de rojo de un grupo de 5 personas

que visten de rojo y 4 personas que visten de azul. 4. Se escoge una pelota de tenis verde de una bolsa que contiene 4 pelotas verdes,

7 amarillas y 5 blancas. 5. Un mes escogido al azar comienza con la letra A.6. Un número de un dígito positivo elegido al azar es par.

Estos números se han escrito separadamente en tarjetas y los han puestojuntos en un sombrero: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10. Una persona sacaun número al azar sin mirar dentro del sombrero. Calcula la probabilidadde cada resultado.7. P(1) 8. P(3 ó 10) 9. P(no 5) 10. P(6)

11. Prueba estandarizada de práctica En una baraja de 52 naipes, hay 13 naipes decada grupo: corazones, diamantes, espadas y clubes. ¿Cuál es la probabilidad deque el primer naipe que se baraje sea una espada?A 0.13 B 0.25 C 0.50 D 0.35

3�7

número de resultados favorables��

número de resultados posibles

Respuestas:1. ; 0.3�2.; 0.1253.; 0.5�4.; 0.255.; 0.16�6.; 0.4�7.8.9.10.11.B1�7

11�14

1�7

1�14

4�9

1�6

1�4

5�9

1�8

1�3

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Cuenta resultados (páginas 380–383)



Un modo de calcular el número posible de resultados es a través de undiagrama de árbol. También puedes calcular el número total de resultadosal multiplicar usando el principio de contar.

Principio Si un evento M puede ocurrir de m maneras y lo sigue un evento N que puede

de contar ocurrir de n maneras, entonces el evento M seguido del evento N puede ocurrir de m � n maneras.

La Donna va a adoptar un perrito del centro de refugio de animales. El centro de refugio de animales agrupa a sus perros según su género (macho o hembra) y según su tamaño(pequeño, mediano o grande). Usa un diagrama de árbol y el principio de contar paracalcular el número de selecciones o posibles resultados que tiene La Donna.Usa un diagrama de árbol. Usa el principio de contar.

selecciones selecciones � resultadosde género � de tamaño

2 � 3 � 6

Hay 6 posibles resultados.

Prueben esto juntos1. Un restaurante ofrece tres ensaladas diferentes y seis tipos de aderezos

de ensalada. ¿Cuántas selecciones de ensalada con aderezos hay?AYUDA: Multipliquen.

Usa un diagrama de árbol o el principio de contar para calcular elnúmero de posibles resultados.2. Colin puede escoger de entre una camiseta negra, café o azul y unos

pantalones negros, azules o grises.3. Reiko escoge semillas de millo, avena, abrojo o girasol para sus

comederos de gorriones, pinzones o palomas.4. Un restaurante ofrece huevos cocidos de tres diferentes maneras con una

selección de papas fritas o croquetas.

5. Prueba estandarizada de práctica Olga tiene las opciones de cinco bolígrafos decolores para caligrafía y papel simple, de hilo o pergamino. ¿Cuántas seleccionesposibles de bolígrafos y papel tiene?A 15 B 8 C 10 D 12

hembra pequeñahembra medianahembra grandemacho pequeñomacho medianomacho grande

pequeñomedianograndepequeñomedianogrande

hembra

macho

ResultadoTamañoGénero

Respuestas:1. 182.93.124.65.A

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Permutaciones (páginas 384–387)



Un arreglo o listado cuyo orden es importante se llama permutación.

Usa P(n, r ) para representar una permutación. P(n, r ) significa el número Representa de permutaciones de n cosas tomadas r a la vez.permutaciones P(n, r ) � n � (n � 1) � (n � 2) � … � (n � r � 1)

Por ejemplo, P(8, 3) � 8 � 7 � 6 ó 336.

La notación n! (n factorial) significa el producto de todos los númerosempezando con n y contando al revés hasta 1. Por ejemplo, 4! � 4 � 3 � 2 � 1,ó 24. Se define 0! como 1.

Hay 5 corredores en una carrera de 400 metros. Al primer, segundo y tercerlugar se le premiará con una cinta. ¿De cuántas maneras posibles se puedepremiar con las cintas?Debes seleccionar 3 de 5 corredores.P(5, 3) � 5 � 4 � 3 n � 5 y r � 3, así que n � r � 1 � 3

� 60Hay 60 maneras de premiar con las cintas.

Prueben esto juntosCalculen cada valor.1. P(6, 3) 2. 6!

Calcula cada valor.3. P(5, 5) 4. P(8, 4) 5. P(13, 5) 6. 8! 7. 0!

8. 5! 9. 2! 10. 9! 11. P(15, 1) 12. P(10, 5)

13. Mascotas ¿De cuántas maneras puedes seleccionar 5 perros de un grupo de 7 paraentrar en 5 eventos diferentes en un concurso de perros?

14. Prueba estandarizada de práctica Hay 12 niños preescolares esperando usar 4piezas diferentes de equipo de patio de recreo. ¿De cuántas maneras puededistribuir la profesora el equipo para 4 alumnos?A 11,880 B 479,001 C 24 D 48

Respuestas:1. 1202.7203.1204.1,6805.154,4406.40,3207.18.1209.210.362,88011.1512.30,24013.2,52014.A

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Combinaciones (páginas 388–391)



Un arreglo o listado cuyo orden no es importante se llama combinación.

Para calcular el número de combinaciones de n cosas tomadas r a la vez,

Calcula o C(n, r ), divide el número de permutaciones P(n, r ) entre el número de

combinaciones maneras en que r cosas pueden arreglarse, lo cual es r !.

C(n, r ) �

A Calcula C(3, 2). B Calcula C(5, 3).C(3, 2) � C(5, 3) �

� �

� ó 3 � ó 10

Prueben esto juntosCalculen cada valor.1. C(5, 2) 2. C(12, 4) 3. C(16, 3) 4. C(8, 5)AYUDA: Calculen el número de permutaciones primero, luego dividan entre r !.

Calcula cada valor.5. C(10, 6) 6. C(4, 2) 7. C(7, 4) 8. C(11, 5)9. C(6, 3) 10. C(4, 4) 11. C(1, 1) 12. C(100, 1)

Determina si cada situación es una permutación o unacombinación.13. escoger 3 clips de papel de una caja de 10014. agarrar 5 pelotas de tenis de una cesta de 1015. seis pájaros posados en un alambre telefónico16. escoger 4 marcadores de colores de una caja de 8 diferentes colores 17. cinco bicicletas estacionadas en un puesto de 10 bicicletas

18. Compras Un mercado tiene 15 sabores de chicles. Nate compra tres sabores dechicle cada vez que visita el mercado. ¿Cuántas combinaciones diferentes de tressabores de chicle puede comprar Nate?

19. Prueba estandarizada de práctica El señor Begay tiene 8 insectos para que los estudienlos alumnos. ¿Cuántos grupos diferentes de 3 insectos puede estudiar un alumno?A 8 B 70 C 28 D 56

60�6

6�2

5 � 4 � 3�3 � 2 � 1

3 � 2�2 � 1

P(5, 3)�

3!P(3, 2)�

2!

P(n, r )�

r !

Respuestas:1. 102.4953.5604.565.2106.67.358.4629.2010.111.112.10013.combinación14.combinación15.permutación16.combinación17.permutación18.45519.D

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Probabilidad y eventos compuestos(páginas 396–399)



Cuando calculas probabilidades, a menudo tienes que tomar en consideración dos o más eventos, conocidos como eventos compuestos. En un evento compuesto, si el segundo evento no depende del resultado del primer evento, entonces los eventos sonindependientes. Si el resultado de un evento de un evento compuesto influye en el otroevento, entonces los eventos son dependientes.

La probabilidad de que ocurran dos eventos independientes se Probabilidad de dos calcula multiplicando la probabilidad del primer evento por la eventos independientes probabilidad del segundo evento.

P(A y B) � P(A) � P(B)

Si dos eventos A y B son dependientes, entonces la probabilidad Probabilidad de dos de que ocurran los dos eventos es igual al producto de la eventos dependientes probabilidad de A por la probabilidad de B después de ocurrir A.

P(A y B) � P(A) � P(B dado A)

A ¿Cuál es la probabilidad de obtener B Una bolsa contiene tres canicas rosadas y dos dos caras seguidas al tirar una moradas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar de la moneda? bolsa dos canicas moradas seguidas si no se

devuelve la primera canica?El sacar la primera canica cambia el número de canicas dentro de la bolsa, lo cual cambia la probabilidad del segundo evento. Estos son eventos dependientes.P(morada y morada) � P(morada) � P(morada después

de otra morada)

P(morada y morada) � �

P(morada y morada) � ó

La probabilidad de sacar dos canicas moradas

seguidas es de .

Se usan veinte tarjetas de un juego. Cinco son rojas, cinco son azules,cuatro son verdes y seis son amarillas. Una vez que se saca una tarjeta, ésta no se reemplaza. Calcula la probabilidad de cada resultado.1. dos tarjetas azules seguidas 2. una tarjeta verde y luego una tarjeta amarilla

3. Prueba estandarizada de práctica Sarita tiene cuatro billetes de $1 y tres de $10 ensu billetera. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar dos billetes seguidos, saqueuno de $10 cada vez? Asume que Sarita no reemplaza el primer billete.

A B C D 12�49

6�49

2�7

1�7

1�10

1�10

2�20

1�4

2�5

Respuestas:1. 2.3.A6

�95

1�19

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

La primera vez que se tira la moneda no afecta la segunda vez que se tira, así que estos eventos son independientes.P(caras y caras) � P(caras) � P(caras)

P(caras y caras) � �

P(caras y caras) �

La probabilidad de obtener dos caras

seguidas al tirar una moneda es de .1�4

1�4

1�2

1�2

Probabilidad experimental (páginas 400–403)



Sabes que debido a que un cubo numerado tiene seis posibles resultados, la probabilidad de obtener un uno al lanzar un cubo es de �

16

�. Este tipo de probabilidad

se llama probabilidad teórica. Pero si lanzas un cubo un cierto número de veces, la

fracción de las veces que obtienes un uno puede que no sea exactamente de . Este tipo deprobabilidad se llama probabilidad experimental.

Clarise llevó a cabo un experimento para averiguar su probabilidad de acertar un tirodurante un partido de básquetbol. Clarise acertó 40 de sus 100 tiros libres. ¿Cuál esla probabilidad experimental de acertar un tiro libre?probabilidad experimental �

Por lo tanto, su probabilidad experimental de acertar un tiro libre es de ó .

1. Si lanzas una carta de béisbol, ¿cuál es la probabilidad experimental de que caerácon el dibujo cara arriba?

2. Has lanzado la carta 40 veces y aterriza con el dibujo cara arriba 24 veces. ¿Cuáles la probabilidad experimental de que caiga la carta cara arriba?

3. Svetalana y Lenora juegan con un cubo numerado. Basándote en los resultados de los lanzamientosindicados en la gráfica, ¿qué número es más probableque saque Svetlana la próxima vez?

4. Genética Gregor cultiva arvejas como pasatiempo. Algunas de sus arvejas siempreproducen flores blancas. Otras siempre producen flores rojas. Como experimento,Gregor polinizó una flor blanca con polen de una flor roja. La flor blanca crucepolinizada produjo 8 semillas.

a. Si los tratos genéticos tales como el color de las flores tienen la misma posibilidad deocurrir, ¿cuántas de esas 8 semillas esperarías que crecieran en plantas con flores rojas?

b. Si tres de las 8 semillas crecen en plantas con flores rojas, ¿cuál es la probabilidadexperimental de que una semilla crezca en una planta con flores rojas?

5. Prueba estandarizada de práctica Celia tiene una bolsa de 10 canicas. Algunas son azules y otras son amarillas. Ella sacó una canica de la bolsa 100 veces,reemplazando la canica cada vez que la sacaba. Si sacó una canica azul 78 de 100veces, ¿cuántas canicas azules es más probable que se encuentren en la bolsa?A 3 B 8 C 7 D 9

1612

840

2

Resultados al lanzar dos cubos numerados

Número de lanzamientos

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2�5

40�100

número de tiros libres acertados��número de tiros libres intentados

1�6

Respuestas:1. 2.3.84a.44b.5.B3�8

3�5

1�2

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Usa muestreo para predecir (páginas 406–409)



Si quieres hacer una predicción sobre un grupo grande de personas, puedes usarun grupo más pequeño o muestra de un grupo más grande. El grupo grande delcual tomaste tu muestra se llama población. Para asegurarte de que tuinformación representa a la población, la muestra debe obtenerse al azar. Unamuestra al azar le da a todos la misma posibilidad de ser seleccionados.

El club de matemáticas de la escuela les preguntó a varios alumnos al azarlo que les gusta comer de merienda durante su recreo de la tarde. Tresalumnos dijeron que les gusta comer panecillos, cinco dijeron fruta y unodijo que roscas.A ¿Cuál es el tamaño de la muestra? B ¿Qué porcentaje prefirió panecillos?

Suma el número de personas a quienes 3 de 9 dijeron que les gustan los panecillos.les preguntaron. 3 � 5 � 1 � 9

� ó 33 %

C Basado en su encuesta, ¿aproximadamente D ¿Fue una muestra apropiada el grupo cuántos alumnos de los 1,200 en la escuela de alumnos que el club encuestó?preferirían panecillos para la merienda? Los alumnos encuestados por el club de

� 1,200 � 400 matemáticas probablemente no fueron una

Así que cerca de 400 alumnos preferirían muestra apropiada porque había muy pocosalumnos encuestados en comparación con

panecillos. el número total de alumnos en la escuela.

1. La escuela media Brushy Creek es una nueva escuela con 800 alumnos. El directorles preguntó a algunos alumnos de sus preferencias sobre la nueva mascota de laescuela. Los resultados indicaron que 22 prefieren un águila, 36 prefieren un tigre y42 prefieren un armadillo.a. ¿Cuál es el tamaño de la muestra?b. ¿Qué porcentaje quería que el armadillo fuese la mascota de la escuela?

2. Biología Cada mes por tres años, una biólogo ha pescado 30 peces en un lago yexaminado su sangre para ver si existe contaminación de plomo. En tres años, la biólogoha descubierto 270 peces con contaminación de plomo. Si ella desea examinar 40 pecesel próximo mes en vez de 30, ¿cuántos predices que tendrán plomo en su sangre?

3. Prueba estandarizada de práctica Una compañía cinematográfica desea verpruebas de reacciones del público en cuanto a un nuevo programa de caricaturasantes de comenzar a anunciarlo. ¿Cuál de las siguientes pruebas de públicoconformaría la mejor muestra del público que desea la compañía filmadora?A estudiantes universitarios B estudiantes de colegiosC ciudadanos de la tercera edad D estudiantes de la escuela primaria

1�3

1�3

1�3

3�9

Respuestas:1a. 1001b.42%2.103.D

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.



Fotografía familiarOcho miembros de la familia de Joaquín (incluyendo a Joaquín e Irene) están reunidosen una cena festiva. Joaquín tiene una cámara nueva y desea tomar fotos en grupos dealgún número (tan grande como sea posible) para crear un álbum para aquellos que nopudieron asistir a la cena. Irene está preocupada de que no haya suficiente películapara incluir a todos en las fotos. Ayúdales a resolver este problema.

1. ¿Cuántos grupos diferentes de dos personas se pueden formar de las personas en lacena festiva? (Ayuda: Una foto del tío Steve con Bill es lo mismo que una foto deBill con el tío Steve.)

2. ¿Cuántos grupos de tres miembros cada uno se pueden formar de 8 personas?

3. ¿Cuántos grupos de cuatro miembros cada uno se pueden formar de 8 personas?

4. ¿Cuántos grupos de cinco miembros cada uno se pueden formar de 8 personas?

5. ¿Cuántos grupos de seis miembros cada uno se pueden formar de 8 personas?

6. Irene y Joaquín tienen 2 rollos de película de 36 fotografías cada uno. ¿Cuál es elgrupo más grande que pueden formar para sus fotos?


Histogramas (páginas 420–424)



La estadística consiste en colectar, organizar y analizar datos. Puedes presentardatos con un tipo de gráfica de barras llamado histograma. Un histograma usabarras para presentar datos numéricos organizados en intervalos iguales.

En el histograma de la derecha, ¿cuántos alumnos sacaronentre 90 y 99 por ciento en su examen de ciencia? ¿Cuántossacaron entre 50 y 59 por ciento?La barra para las notas de 90 a 99 termina a la mitad entre 6 y 8 del ejevertical. Así que 7 alumnos sacaron una A. Las categorías que tienenuna frecuencia de 0 no tienen barra. Como la categoría de 50 a 59 notiene barra, hubo 0 alumnos que sacaron una nota de entre 50 y 59 porciento.

Prueben esto juntos1. Refiéranse al histograma del ejercicio 2. Refiéranse al histograma del ejercicio 3.

3. ¿Cuántos presidentes fueron inaugu- ¿De qué tamaño es cada intervalo? rados entre las edades de 40 y 44 años? AYUDA: Cuenten el número de edades queAYUDA: ¿Cuál es la altura de la barra para contiene cada intervalo. el intervalo 40 a 44?

3. Usa el histograma de la derecha para responder cada pregunta.

a. ¿Qué intervalo tiene el menor número de presidentes?

b. Construye una tabla de frecuencia para los datos.

4. Genealogía Annabeth encuestó a los alumnos de su grado para averiguar cuántos cedés tenían cada uno. Los resultados de su encuesta se muestran en la tabla. Haz un histograma de los datos.

5. Prueba estandarizada de práctica Refiérete al histograma de notas del examen deciencia. ¿Qué intervalo de notas sacó el mayor número de alumnos?A 90–99 por ciento B 80–89 por ciento C 70–79 por ciento D 60–69 por ciento

12840

Edad al asumir el mando

Edades de los presidentes

40–44

Número depresidentes

45–49

50–54

55–59

60–64

65–69

1210

86420

Nota (por ciento)

Notas en el examen de ciencia

50–5

9

Número deestudiantes

60–6

970

–79

80–8

990

–99

Respuestas:1. 22.5 años3a.40–443b. Ver clave de respuestas.4.Ver clave de respuestas.5.B

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Cedé por alumno

Cedés Alumnos

21–10 16

11–20 20

21–30 28

31–40 28

Gráficas circulares (páginas 426–429)



Una gráfica circular compara partes de un conjunto de datos con el conjunto entero.

• Si se dan los datos en números (en vez de porcentajes), calcula primero el número total y calcula la razón que compara cada categoría con el total.

Dibuja • Multiplica cada razón o porcentaje por 360 grados para calcular el número deuna grados de esa sección de la gráfica.gráfica • Usa un compás para dibujar un círculo. Dibuja un radio. Usa un transportador circular para dibujar cualquiera de los ángulos. Desde el nuevo radio, usa el

trasportador para dibujar el próximo ángulo y repite.• Rotula cada sección. Escribe cada razón como un porcentaje. Titula la gráfica.

¿Cuántos grados dibujarías en una gráfica circular para representar 25%?Escribe el porcentaje como un decimal: 0.25.Multiplica el decimal por 360 grados: 0.25 � 360 � 90.90 grados representan el 25% del círculo.

Prueben esto juntos1. Usen la tabla del ejercicio 2 para calcular el número de grados en la sección

de la gráfica circular que representa a perros en familias de 1 persona.AYUDA: Calculen el 13% de 360.

2. Mascotas La tabla muestra el porcentaje de perrosque viven con familias de 1, 2, 3 y 4 personas en unaño reciente.

a. Dibuja una gráfica circular de los datos.

b. ¿Qué tamaño de familia tiene cerca de un quinto de los perros?

3. Escuela Supón que en Estados Unidos hay 38,289,000 alumnos en educaciónparvularia hasta 8º grado; 16,299,000 alumnos en 9º hasta 12º grado y 16,228,000estudiantes en la universidad. Dibuja una gráfica circular de estos datos.

4. Prueba estandarizada de práctica La gráfica circular muestra el número de estaciones de radio y televisión enEE.UU. en 1999. ¿Aproximadamente qué porcentaje de lasestaciones de radio y televisión eran estaciones de radio AM?A 47% B 55%C 39% D 29%

Radio FM5,745

Radio AM4,782

Televisión1,599

Número de estaciones de radioy televisión en EE.UU.

Número de personas Porcentajeen una familia de perros

1 13%2 31%3 21%4 35%

Respuestas:1. 47 grados2a.Ver clave de respuestas.2b.Familias de 3 personas3.Ver clave de respuestas.4.C

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Selecciona un despliegue apropiado(páginas 430–433)



Cuando seleccionas el tipo de gráfica que quieres usar, hazte las siguientes preguntas: ¿Qué tipo de información es esto? ¿Qué quiero que muestre mi gráfica?

Presentación UsoGráfica de barras muestra el número de objetos en categorías específicas

en los datos que usan barrasGráfica circular compara partes de los datos con el totalHistograma muestra la frecuencia de los datos que se han

organizado en intervalos igualesGráfica lineal muestra cambios durante un período de tiempoDiagrama lineal muestra cuántas veces ocurre cada número en los datosPictográfica muestra el número de objetos en categorías específicas

por medio de símbolos que representan una cantidadDiagrama de tallo lista todos los datos numéricos individuales en forma y hojas condensadaTabla puede listar todos los datos individualmente o por grupos

Selecciona un tipo de despligue apropiado para comparar el salario anual dela gente con el número de años de educación.Puedes trazar los salarios y años de educación en una gráfica lineal.Puedes examinar la gráfica lineal para ver si los salarios aumentan con más educación.

Prueben esto juntos1. Seleccionen un tipo de despligue 2. Seleccionen un tipo de despligue apro-

apropiado para mostrar las poblaciones piado para mostrar los votos que recobie-de cinco ciudades diferentes en 2000. ron cuatro candidatos en una elección.AYUDA: Hay cinco categorías que no son AYUDA: Los resultados de elecciones se entregannuméricas. a menudo como porcentajes de un todo o total.

Seleccionen un tipo de despliegue apropiado para cada situación.3. el número de alumnos en tu clase de matemáticas cuyas alturas son de 55 a 59

pulgadas, 60 a 64 pulgadas, 65 a 69 pulgadas y 70 a 74 pulgadas4. las notas de los alumnos en una prueba de matemáticas y el número de horas

que estudiaron5. el número de estadounidenses que tienen 0, 1, 2, 3, 4 ó más carros

6. Prueba estandarizada de práctica ¿Qué tipo de despliegue usarías para mostrar el número de estados con diferentes números de parques nacionales?A histograma B diagrama lineal C gráfica circular D gráfica lineal

Respuestas:1–7. Respuestas de muestra.1.gráfica de barras2.gráfica circular3.histograma4.gráfica lineal5.gráficacircular o gráfica de barras6.A

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Selecciona un

despliegue

Medidas de tendencia central (páginas 435–438)



Las medidas de tendencia central usan un número para describir un conjunto de datos.

• La media es la suma de los datos dividida entre el número de objetos en el conjunto de datos.

Medidas de • La mediana es el número central cuando arreglas los números de menor tendencia a mayor. Cuando hay dos números centrales, la mediana es el promedio de central esos dos números.

• La moda es el número o números que ocurren con más frecuencia.

Calcula la media, la mediana y la moda de los datos. 11, 23, 47, 11, 25, 54Calcula el total. Luego divide entre 6. � 28.5La media es 28.5.Para calcular la mediana, arregla los datos en orden. 11, 11, 23, 25, 47, 54Hay dos números centrales, 23 y 25. El promedio de 23 y 25 es

ó 24. La mediana de los datos es 24.

El número que aparece con más frecuencia es 11, el cual aparece dos veces.La moda es 11.

Prueben esto juntos

1. Calculen la media, la mediana y la 2. Calculen la media, la mediana y la modamoda de los datos. 17, 15, 15, 12, 16 de los datos. 3, 2, 3, 2, 3, 9, 5, 6, 4, 5, 2AYUDA: Calculen el total y dividan entre 5 para AYUDA: Hay dos modas.calcular la media. Arreglen en orden para calcular la mediana.

Calcula la media, la mediana y la moda de cada conjunto dedatos. Redondea en décimas, si es necesario.3. 58, 63, 57, 52, 58, 52, 52, 64 4. 110, 150, 142, 120, 113, 110, 123

5. 35, 35, 36, 32, 34, 33, 32, 31 6. 500, 1,000, 700, 1,000, 1,000, 1,200

7. Empleo Kezia llevó a cabo un estudio para averiguar el sueldo promedio de los alumnosde secundaria que tenían empleos. Los datos que recopiló se muestran a continuación.Calcula la media, la mediana y la moda de sus datos. Redondea en centavos.

$5.50 $6.75 $5.25 $5.75 $6.25 $5.75 $6.75 $5.50 $5.25 $5.25

8. Prueba estandarizada de práctica Las temperaturas máximas en Nueva York, NY,durante una semana de verano fueron de 80°F, 78°F, 80°F, 81°F, 85°F, 82°F y 79°F.¿Cuál fue la mediana de la temperatura máxima?A 79°F B 80°F C 81°F D 85°F

23 � 25�

2

171�

6

Respuestas:1. 15; 15; 152.4; 3; 2 y 33.57; 57.5; 524.124; 120; 1105.33.5; 33.5; 32 y 356.900; 1,000; 1,0007.$5.80; $5.63; $5.258.B

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Medidas de variación (páginas 442–445)



La distribución de datos se llama variación. Un modo de medirla es pormedio del rango, la diferencia entre el valor mayor y el valor menor delconjunto. Con conjuntos de datos grandes, es útil dividir los datos encuatro partes iguales llamadas cuartiles.

Calcula el rango, la mediana, el cuartil superior e inferior y la amplitudintercuartílica de este conjunto de datos.

12, 12, 16, 14, 13, 13, 11, 15, 13, 15

Arregla los datos en orden y divídelos por mitades.11, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 15, 15, 16

El rango es la diferencia entre los valores mayores y los valores menores. 16 � 11 � 5El rango es 5.

Hay 2 números centrales, 13 y 13, así que la mediana es 13.

La mediana de la mitad superior de datos es 15, así que 15 es el cuartil superior.La mediana de la mitad inferior de datos es 12, así que 12 es el cuartil inferior.Para calcular la amplitud intercuartílica, resta el cuartil inferior del cuartil superior. La diferencia es 15 � 12 ó 3. La amplitud intercuartílica es 3.

Prueben esto juntos1. Calculen el rango, mediana y cuartiles 2. Calculen la amplitud intercuartílica del

superior e inferior de este conjunto de conjunto de datos en el ejercicio 1.datos. 0, 5, 3, 3, 2, 5, 6, 4, 6, 9, 6 AYUDA: Resten los cuartiles.AYUDA: Primero arreglen los datos en orden.

Calcula el rango, la mediana y los cuartiles superior e inferior y laamplitud intercuartílica de cada conjunto de datos.3. 9, 2, 3, 8, 6, 1, 4, 6 4. 41, 45, 42, 42, 45, 46, 41, 43, 43

5. 75, 85, 75, 75, 85, 95, 96, 130, 78 6. 32, 16, 12, 21, 29, 19, 30, 25, 25, 26

7. Prueba estandarizada de práctica ¿Cuál es la amplitud intercuartílica de unconjunto de datos cuyo cuartil superior es de 5.5 y cuyo cuartil inferior es de 1.8?A 7.3 B 9.9 C 3.7 D 1.9

Respuestas:1. 9; 5; 6, 32.33.8; 5; 7, 2.5; 4.54.5; 43; 45, 41.5; 3.55.55; 85; 95.5, 75; 20.56.20; 25; 29, 19; 107.C

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Diagramas de caja y patillas (páginas 446–449)



Una diagrama de caja y patillas usa una recta numérica para mostrar la distribución de unconjunto de datos. La caja se dibuja alrededor de los valores de los cuartiles y las patillas seextienden desde cada cuartil, hasta los valores extremos.

1. Dibuja una recta numérica que incluya el número menor y el número mayoren el conjunto de datos.

2. Marca los extremos, la mediana y el cuartil superior e inferior por encimade la recta numérica. Si los datos tienen un valor extremo, marca el valormayor que no es un valor extremo.

3. Dibuja la caja y las patillas.

Dibuja un diagrama de caja y patillas de estos datos: 18, 19, 16, 23, 25, 9, 10, 16

Ordena los datos de menor a mayor (9, 10, 16, 16, 18, 19, 23, 25). Dibuja una recta numérica que incluya el número menor y el número mayor (9 y 25).

Marca los extremos (9 y 25), la mediana (17), el cuartil superior (21) y el cuartil inferior (13) por encima de la recta numérica.

Dibuja la caja y las patillas.

Dibuja un diagrama de caja y patillas para cada conjunto de datos.

1. 283, 251, 225, 281, 290, 273, 204, 267

2. 102, 105, 80, 15, 90, 95, 106, 87, 80, 80, 105, 87, 85, 86

3. 27, 40, 30, 14, 19, 25, 27, 35, 31, 36, 39, 18, 30, 30, 35, 14

Para los ejercicios 4–7, usa el siguiente diagrama de caja y patillas.

4. ¿Cuál conjunto de datos está más distribuido?

5. ¿Cuál es la amplitud intercuartílica de las calificaciones de prueba de la clase A?

6. ¿Por debajo de qué promedio fueron las notas del 25 por ciento de los alumnos de la clase B?

7. En general, ¿cuál clase obtuvo la calificación más alta en la prueba?

8. Prueba estandarizada de práctica Usa el diagrama de caja y patillas de la derecha. ¿Entre cuáles dos valores se encuentrael cincuenta por ciento de los datos?

A 25 y 36 B 28 y 36 C 11 y 28 D 17 y 36

1510 20 25 30 35 40 45

1117 25

36287.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Respuestas: 1–3.Ver clave de respuestas.4.B5.316.41%7.A8.A

Dibuja un diagrama de caja y patillas

B

3020 40 50 60 70 80 90 100

A32

51 73 8298

3141 62 83

97

86 10 12 14 16 18 20 22 24 26

913 17 21

25

Gráficas y estadísticas engañosas (páginas 450–453)



Al trabajar con estadísticas, ten cuidado de identificar cuándo éstas se presentan de una manera engañosa. Recuerda que hay tres medidas de tendencia centraldiferentes o tipos de promedios. Estas son la media, la mediana y la moda. Estosvalores diferentes se pueden usar para mostrar diferentes puntos de vista.

Los precios de emparedados en un restaurante de comida rápida son $0.99, $1.29,$3.39, $0.99, $0.99, $3.19, $2.49, $0.99, $3.19, $1.49, $2.79, $2.49 y $1.49.

A Calcula la media, la mediana y la moda de estos precios.

Media � �$2

153.77� � $1.98

Mediana Al ordenar los precios de menor a mayor, el precio central es $1.49.Moda $0.99

B ¿Cuál promedio debe usar el restaurante para atraer a aquellos clientes que deseanahorrar dinero? Explica.A la gente que desea ahorrar dinero le gustaría comprar los emparedados más baratos. Por lo tanto, el restaurante debe usar la moda ya que es el menor de los promedios.

C ¿Qué promedio es el más representativo de los datos?Como la moda es el valor menor de los trece valores, no es tan representativo como la media o lamediana.

Para los Ejercicios 1–5, usa la lista de minutos que se tardaron dos grupos de alumnos diferentes en completar una tarea.

Grupo 1: 60, 45, 40, 30, 25, 22, 20, 20, 20, 15

Grupo 2: 45, 40, 32, 30, 25, 22, 18, 18, 15, 15

1. ¿Cuál es la media, la mediana y la moda de los minutos del grupo 1?

2. Si los dos grupos compiten para ver cuál terminó más rápido, ¿quépromedio es más favorable para el grupo 1?

3. ¿Cuál es la media, la mediana y la moda de los minutos del grupo 2?

4. ¿Cuál grupo terminó más rápido en completar la tarea? Explica.

5. Prueba estandarizada de práctica En el siguiente conjunto de datos,¿qué valor es el menor?Millas viajadas por día en un viaje: 420, 125, 375, 283, 198, 420, 632, 480A media B mediana C moda D ninguno

suma de valores��número de valores

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Respuestas:1 29.7; 23.5; 202.moda3.13; 23.5; 184.Grupo 2; la media en minutos del grupo 2 fue mucho menor.5.C

Matrices (páginas 454–457)



Un modo de organizar información es mediante una matriz. Una matriz esun arreglo rectangular de números en filas y columnas. Cada número enuna matriz se llama entrada.

Suma y • Puedes sumar o restar matrices que tienen el mismo número de filas y el resta mismo número de columnas.matrices • Suma o resta matrices al sumar o restar las entradas correspondientes.

Respuestas:1–3. Ver clave de respuestas.4.imposible5.Ver clave de respuestas.6.A

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

A Suma � .

Ambas matrices tienen 2 filas y 3 columnas, asíque puedes sumarlas al sumar las entradascorrespondientes.

�

B Suma � .

La primera matriz tiene 3 filas y 2 columnas,pero la segunda matriz tiene 2 filas y 3columnas. Es imposible sumar estas matrices.

3 1 0 2 0 –1

2 1 3 0 5 6

3 5 0 0 1 7

2 � 1 0 � 5 �1 � 1 1 � (�1) �2 � 3 3 � 4

1 5 1 –1 3 4

2 0 –1 1 –2 3

Prueben esto juntos1. Sumen. Si no se puede sumar, escriban

imposible.

�

AYUDA: 5 � 1 � 6, 2 � 0 � 2 y asísucesivamente.

2. Resten. Si no se puede restar, escribanimposible.

�

AYUDA: ¿Tienen el mismo número de filas y columnas las matrices?

3 1 7 0 0 5

5 3 8 2 4 6

1 0 1 8 2 1

5 2 4 1 6 3

Suma o resta. Si no se puede sumar o restar, escribe imposible.

3. � 4. � [3 7 15]

5. Población La tabla muestra las poblaciones de Montana y Idaho in 1980, 1990 y 2000. Escribe una matriz para estos datos.

6. Prueba estandarizada de práctica Calcula la suma de

más .

A B C D –5 9 –12 –18 4 5

–11 –3 2 18 6 1

5 –9 12 8 –6 –1

11 3 –2 –8 4 5

3 6 –7 –8 5 3

8 –3 5 0 –1 2

Población (miles)Año Montana Idaho1980 787 9441990 799 1,0072000 902 1,294

2 8 9 11

–3 2 2 –4

1 5 –8 –1

Repaso del capítulo NOMBRE ______________________________________ FECHA ____________ PERÍODO ____


Álbum familiar matemático

1. Pídele a uno de tus padres u otro miembro familiar a que te ayude arecopilar datos de tu familia. Haz una tabla de los nombres y edades depor lo menos diez personas en tu familia.

2. Calcula la media y la moda de los datos de tu tabla.

3. Calcula el rango, la mediana, los cuartiles superior e inferior y laamplitud intercuartílica de tus datos.

4. ¿Cuál crees que es un modo apropiado para desplegar tus datos: unatabla, un histograma, una gráfica de barras, una gráfica circular, undiagrama lineal o una gráfica lineal? Explica las razones de tu selección.

5. Presenta los datos de tu familia usando el método gráfico que escogisteen la pregunta anterior.


Usa la propiedad distributiva para reescribir cada expresión.1. 2( y � 11) 2. 3(2b � 3) 3. �6(10r � 3)

Identifica los términos, los términos semejantes, los coeficientes y lasconstantes en cada expresión.4. 4 � 3r � r � 2 5. �2t � 3 � 11 �4t 6. 16y � 5 � 2y � yReduce cada expresión.

7. 6x � 2x 8. 4y + 7 + 12y 9. 6r – 2r + 1

10. Prueba estandarizada de práctica ¿Cuál expresión representa elperímetro de la figura de la derecha? A 5a � 2 B a � 6C 9a � 6 D 9a � 2

Los expresiones 3(x � 4) y 3x � 12 son expresiones equivalentes,porque tienen el mismo valor sin importar cuál sea el valor de x.

Cuando un signo más separa una expresión algebraica en partes, cada parte sellama término. La parte numérica de un término que contiene una variable sellama coeficiente de la variable. Los términos semejantes son términos que contienen las mismas variables, tales como 4x y 5x. Un término sin una variable sellama constante. Los términos constantes también se llaman términos semejantes.

Una expresión algebraica está en forma reducida si no tiene términos seme-jantes y sin paréntesis. Puedes usar la propiedad distributiva para combinar tér-minos semejantes. Esto se llama reducción de la expresión.

Reduce expresionesalgebraicas

Reduce expresiones algebraicas (páginas 469–473)



Respuestas: 1.2y�222.6b�93.�60r�184.términos: 4,�3r, r,�2; términos semejantes: 4,�2 y�3r, r; coeficientes:4,�3, 1,�2; constante: 4,�25.términos:�2t,�3, 11,�4t; términos semejantes:�2t,�4ty�3, 11; coeficientes:�2,�3,11,�4; constante:�3, 116.términos: 16y,�5, 2y,�y; términos semejantes: 16y, 2y,�y; coeficientes: 16,�5, 2,�1;constante:�57.4x8.16y�79.4r�110.D

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

a�1

5a�4

3a�1

A Usa la propiedad distributiva para reescribir la expresión 8(x � 5).8(x � 5) � 8(x) � 8(5)

� 8x � 40 Reduce.

B Identifica los términos, los términos semejantes, los coeficientes y las constantes en la expresión 5y �4 � 6y.

términos: 5y, �4, 6y coeficientes: 5, �4 y 6términos semejantes: 5y y 6y constantes: �4

C Reduce �3t � 11 �4t.�3t y �4t son los términos semejantes.�3t � 11 � 4t � �3t �4t � 11

� [�3 � (�4)]t � 11� �7t � 11

Resuelve ecuaciones de dos pasos(páginas 474–477)



Respuestas:1. 52.93.�44.15.66.47.�28.129.1010.911.3012.�313.$15 cada una14.C

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

En algunas expresiones algebraicas, dos operaciones, como la adición y lamultiplicación, se realizan en una variable. Un ejemplo es 2x � 1 � 5.Tales ecuaciones se conocen como ecuaciones de dos pasos.

Resuelve 2x � 1 � 5. Primero, usa las operaciones inversas para anular cual-Resuelve 2x � 1 � 1 � 5 � 1 quier operación de adición o sustracción. Luego usa lasecuaciones 2x � 4 operaciones inversas para anular cualquier operaciónde dos � de multiplicación o división. Nota que esto se realizapasos

x � 2en el orden opuesto al orden de las operaciones.

Resuelve 8 � 3b � 26.8 � 3b � 26

8 � 8 � 3b � 26 � 8 Resta 8 de cada lado.�3b � 18

� Divide cada lado entre �3.

b � �6 La solución es �6. Asegúrate de verificar tu solución.

Prueben esto juntosResuelvan cada ecuación. Verifiquen su solución.1. 2d � 10 � 20 2. 3f � 15 � 12 3. 9 � 4t � 25AYUDA: Recuerden "anular" las operaciones.

Resuelve cada ecuación. Verifica tu respuesta.4. 30 � 5p � 25 5. 2x � 3 � 9 6. 8g � 24 � 87. 17 � 12r � 41 8. 64 � 4s � 16 9. 50 � 6z �10

10. � 8 � 11 11. � 2 � 0 12. 5.8 � 3a � 14.8

13. Entretenimiento En un parque de diversiones, la admisión de las primeras 5personas de la familia de Bob es de $20 por persona, ó $100 en total. El restode la gente en el grupo obtuvo una tasa más baja. Si la familia de Bob consisteen un grupo de 8 personas y el costo total fue de $145, ¿de cuánto fue laadmisión, por persona, de las otras tres personas?

14. Prueba estandarizada de práctica Calcula n si 4n � 16 � 36.A 14 B 12 C 13 D 15

m�15

n�3

18��3

�3b�

�3

4�2

2x�2

Escribe ecuaciones de dos pasos (páginas 478–481)



Algunos enunciados verbales se convierten en ecuaciones de dos pasos. Hay muchassituaciones de la vida real en que comienzas con una cantidad dada y luego la aumentasa cierto ritmo. Estas situaciones se pueden representar con ecuaciones de dos pasos.

Convierte y resuelve la ecuación.Siete menos que dos veces un número es 15. Calcula el número.

En palabras Siete menos que dos veces un número es 15.Variables Sea n = el número.Ecuación 2n – 7 � 15 Escribe la ecuación.

2n – 7 + 7 � 15 + 7 Suma 7 a cada lado.2n � 22 Reduce.


n � 11 Reduce.Por lo tanto, el número es 11.

Convierte cada enunciado en una ecuación. Luego calculacada número.1. Ocho menos que seis veces un número es igual a �2.

2. El cociente de un número y 4, más 2, es igual a 10.

3. La diferencia entre cuatro veces un número y trece es 15.

4. Si se aumenta 11 por tres veces un número, el resultado es 2.

5. Seis veces un número menos tres veces el número más 1 es �5.

Escribe y resuelve una ecuación para resolver cada problema.6. Kyle quiere ahorrar para un par de zapatos nuevos. Los zapatos cuestan $109.99.

Él ya tiene $85 en su cuenta de ahorros. ¿Cuánto más necesita ahorrar?

7. Kate tiene dos hermanas. Kate es dos veces mayor que una de sus hermanas ycinco años mayor que su otra hermana. Si la suma de sus edades es 35, cuántosaños tiene cada hermana?

8. Prueba estandarizada de práctica Brad gastó $143.10 en una tienda de productosdeportivos. Si el impuesto sobre las ventas fue del 6%, ¿cuál de las siguientes ecua-ciones puede usarse para calcular la cantidad (b) sin el impuesto sobre las ventas?

A b � 0.06b � 143.10 B b � 6b � 143.10

C 143.10 � b(0.06) � b D b � 0.06 � 143.10

22�2

2n�2

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Respuestas: 1.6n�8��2; n�12.�4n

��2�10; n�323.4n�13�15; n�74.11�3n�2; n��3

5.6n�3n�1��5; n��26. Sea n�lo que Kyle necesita ahorrar; 85�n�109.99; n�24.99; Kyle necesita ahorrar $24.99

7. Sea x�la edad de Kate; ��12

�x��(x)�(x�5)�35; x=16; Kate tiene 16 y sus hermanas tienen 8 y 11.8.A

Resuelve ecuaciones con variables en cada lado (páginas 483–487)



Algunas ecuaciones tienen variables a cada lado del signo de igualdad. Pararesolver estas ecuaciones, usa la propiedad de igualdad de la adición osustracción para que puedas escribir una ecuación equivalente con lasvariables en un sólo lado del signo de igualdad. Luego resuelve la ecuación.

Resuelve 24 – 2y = 4y. Verifica tu solución.24 � 2y � 4y Escribe la ecuación.

24 � 2y � 2y � 4y � 2y Suma 2y a cada lado.24 � 6y Reduce.4 � y Divide mentalmente cada lado entre 6.

Para verificar tu solución, reemplaza y con 4 en la ecuación original.Verifica 24 � 2y � 4y Escribe la ecuación.

24 � 2(4) �? 4(4) Reemplaza y con 4.

16 � 16 El enunciado es verdadero.La solución es 4.

Resuelve cada ecuación. Verifica tu solución.11. 6x � 4 � 7x 12. 13k � 12 � 9k13. 2p � p � 21 14. 8 � 3r � 5r15. 6 � 5j � 2j � 8 16. s � 2 � 3s � 817. 16.4 � d � 3d 18. 6.1� � 24 � 9.3�19. 5m � 26 � �7m � 34 10. 7 � 3c � 4 � 3c11. 9y � 1.2 � �16.8 � 21y 12. 1 � 4x � 6x � 13

13. k � 6 � k � 1 14. 2 � m � m � 7

Define una variable y escribe una ecuación para calcular cada número.Luego resuelve.15. Tres veces un número es 21 más que seis veces un número. ¿Cuál es el número?16. Nueve menos que dos veces un número es igual a tres veces el número más seis.

¿Cuál es el número?

17. Prueba estandarizada de práctica La compañía Rental Car A cobra $36 al día más$0.25 por milla. La compañía Rental Car B cobra $21 al día más $0.35 por milla.¿Cuál ecuación se puede usar para calcular el número de millas para las cuales losplanes de las compañías cuestan lo mismo?A 36 � 0.25m � 21 � 0.35m B 36 � 0.35m � 21 � 0.25mC 36m � 0.25 � 21m � 0.35 D (36 � 0.25)m � (21 � 0.35)m

1�3

1�6

1�4

3�4

Respuestas: 1.x � 42.k �33.p ��214.r �15.j �26.s ��57.d �4.18.� = 7.59.m ��23

�10.c �0.511.y ��0.612. x � �1.213.k �1414.m ��1015.Sea n �número; 3n �21 �6n; n ��716.Sea n �número; 2n �9 �3n �6; n ��1517.A

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Desigualdades (páginas 492–495)



Un enunciado matemático que contiene o � se llama desigualdad. Cuando se usan paracomparar una variable y un número, las desigualdades pueden describir un rango devalores. Algunas desigualdades usan los símbolos � o . El símbolo � se lee es menorque, o igual a, mientras que el símbolo se lee es mayor que, o igual a.

Términos comunes y desigualdades correspondientes

� �

• es menor que • es mayor que • es menor que, o • es mayor que, o• es menos que • es más que igual a igual a

• excede • no es mayor que • no es menor que• es a lo sumo • es por lo menos

A Escribe una desigualdad para el enuncia-do. Luego grafica la desigualdad en unarecta numérica.Niños de 5 años o menos entran gratis.Sea c � la edad del niñoc � 5Para graficar la desigual-dad, coloca un círculo sombreado en el 5.Luego dibuja una recta y una flecha hacia laizquierda.

B Para el valor dado, indica si la desigual-dad es verdadera o falsa.13 � x 6, x � 413 � x 6 Escribe la desigualdad.13 � 4 6 Reemplaza x con 4.

9 6 Reduce.Como 9 es mayor que 6, 13 � x 6 es verdadera.

Escribe una desigualdad para cada enunciado.13. Debes vender por lo menos 25 barras de chocolates para calificar para un premio.14. No más de 4 alumnos en cada actividad.Para el valor dado, indica si la desigualdad es verdadera o falsa.15. 7d 28, d � 4 16. 15 � y � 3, y � 6 17. 9 � a � 1, a � 12Grafica cada desigualdad en una recta numérica.18. m 8 9. h 22 10. b � 1

11. Prueba estandarizada de práctica ¿Cuál desigualdad representa un número no esmayor que 34? A x � 34 B x 34 C x � 34 D x 34

Prueben esto juntos

1. Escriban una desigualdad para el enun-ciado. Más de 20 alumnos deben regis-trarse para poder ir al viaje de estudio.

2. Para el valor dado, indiquen si ladesigualdad es verdadera o falsa.t � 5 � 11, t � 8

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

3 4 5 6 7

Respuestas: 1.s202.falsa3.c 254.s�45.verdadera6.falsa7.verdadera8-10.Ver clave de respuestas.11.C

Resuelve desigualdades mediante adición o sustracción (páginas 496–499)



Una desigualdad es un enunciado matemático que compara cantidades usandosímbolos como y � en vez de un signo de igualdad. Las desigualdadespueden tener muchas soluciones, las cuales pueden escribirse como un conjuntode números o graficarse en una recta numérica.

Propiedades de adición y sustracción de la igualdad

En palabras Cuando sumas o restas el mismo número en ambos lados de una desigualdad, la desigualdad permanece verdadera.

En símbolos Para todos los números a, b y c,1. Si a b, entonces a � c b � c y a � c b � c.2. Si a � b, entonces a � c � b � c y a � c � b � c.

Ejemplos 2 3 3 � 82 � 5 �3 � 5 3 � 4 � 8 � 4

7 2 �1 � 4Estas propiedades son también verdaderas para a ≥ b y a ≤ b.

Resuelve n � 10 � 12 y grafica la solución en una recta numérica.n � 10 � 12 Escribe la desigualdad.

n � 10 � 10 � 12 � 10 Resta 10 de cada lado.

n � 2 Reduce.Todos los valores de x que son menores que o iguales a 2 son soluciones de la desigualdad. Esto se indica con un círculo sombreado en el 2 y unaflecha hacia la izquierda de la recta numérica.

Prueben esto juntosResuelvan cada desigualdad y verifiquen su solución. Luego grafiquen lasolución en una recta numérica.1. y � 5 � 3 2. 14 � 9 � x 3. f � 8 � 10AYUDA: Cuando grafiquen, usen un círculo sombreado para � o y un círculo sin sombrear para � o .

Resuelve cada desigualdad y verifica tu solución. Luego graficala solución en una recta numérica.4. 4 � g � 3 5. h � 1 � 2 6. 6 � q � 16

7. 5 � k � 11 8. m � 8 1 9. a � 9 12

10. Prueba estandarizada de práctica Resuelve la desigualdad x � 4 � 7.

A x � 28 B x � 11 C x � 3 D x � 9

0 1 2 3 4

Respuestas:1–9. Para las gráficas, ver clave de respuestas.1.y�82.x 53.f�24.g 75.h�36.q�107.k�68.m99.a 310.C

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Resuelve desigualdades mediante multiplicación y división (páginas 500–504)



Puedes resolver desigualdades que contienen números racionales de lamisma manera que se resuelven desigualdades con enteros.

Usa los mismos pasos que usas para resolver una ecuación para resolver

Resuelve una desigualdad, con esta excepción.

desigualdades • Cuando multiplicas o divides cada lado de una desigualdad entre un número negativo, la dirección del símbolo de desigualdad debe invertirsepara que la desigualdad permanezca verdadera.

Respuestas:1. c�32.j�4.443.p 4.x�755.q��6.k �367.m�278.v99.a�

10.z 111.n612.A

5�48

2�5

3�4

1�16

1�2

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

A Resuelve �3x � 12.�3x � 12

��

�

33x

� ��

123� Divide cada lado entre �3.

x �4Como dividiste cada lado entre �3, ladirección del símbolo de desigualdad debeinvertirse. La solución es x �4.

B Resuelve � 8 0.

� 8 0

� 8 � 8 0 � 8 Resta 8 de cada lado.

�2y

� �8

2� � 2(�8) Multiplica cada lado por 2.

y �16La solución de la desigualdad es y �16.

y�2

y�2

y�2

y�2

Prueben esto juntos1. Resuelvan �7c �21. 2. Resuelvan j � 0.06 � 4.5.

AYUDA: ¿Tendrá la solución un símbolo AYUDA: Resuelvan al restar 0.06 de cada lado.o un símbolo �?

Resuelve cada desigualdad.

3. 6p 3 4. �15 � � 5. �8q

6. �5 �9 7. � 9 8. 5 � 5v 52

9. �16a � 19 17 10. �2z � 6 � 4 11. 9

12. Prueba estandarizada de práctica Resuelve � 8 4.

A s 36 B s � 36 C s �36 D s � �36

s�3

3n�2

1�3

1�4

m�3

k�9

1�2

x�5



Álgebra en el zoológicoSustituye los valores en la caja en cada problema y resuelve. Escribe tu solución en el espacio en blanco a la izquierda del problema.

� 5 � 3 � 2 � x � 4

1. �

2. � ��

3. � ��

4. � �� 2� �

Dibuja un cuadrado con un lado de una longitud de pulgadas.

5. Calcula el área del cuadrado.

6. Calcula el perímetro del cuadrado.


Sucesiones (páginas 511–515)



Una sucesión es una lista de números en un cierto orden. Cada número se llamatérmino de la sucesión. En una sucesión aritmética, la diferencia entre cualquierpar de términos consecutivos es la misma. La diferencia se llama diferenciacomún. En una sucesión geométrica, los términos consecutivos de una sucesiónse forman al multiplicar por un factor constante llamado término previo.

A Identifica el patrón en 22, 19, 16, 13, B Identifica el patrón en 20, 10, 5, 2.5, 10, … y escribe los siguientes cinco 1.25, … y escribe los siguientes tres términos. términos.Prueba 19 � 22 � �3. Si sumas �3 a 19, ¿obtienes No hay una diferencia común. ¿Con qué el siguiente término, 16? Sí, y este patrón continúa, número se puede multiplicar 20 para que te así que ésta es una sucesión aritmética con una dé 10? 0.5. ¿Continúa esta razón común? Sí,diferencia común de �3. Los siguientes cinco así que esta sucesión geométrica tiene una términos son 7, 4, 1, �2 y �5. razón común de 0.5. Los siguientes tres

términos son 0.625, 0.3125 y 0.15625.

Prueben esto juntos

Respuestas:1. aritmética; 12, 15, 182.aritmética; �5, �4, �43.geométrica; ; �, �, �4.ninguna; 7, 12, 18

5.ninguna; 114, 123, 1336.geométrica; �; 5, �2, 17.aritmética;�7; �24, �31, �388.aritmética; ; 10, 11, 12

9.2910.C

1�3

2�3

2�3

1�4

1�2

1�2

1�243

1�81

1�27

1�3

1�2

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

1. Indiquen si la sucesión 0, 3, 6, 9, … esaritmética, geométrica o ninguna. Luego calculen los siguientes trestérminos.AYUDA: ¿Qué número pueden sumarle a cadatérmino para obtener el siguiente término?

2. Indiquen si la sucesión �7, �6 , �6,

�5 , … es aritmética, geométrica o

ninguna. Luego calculen los siguientestres términos.AYUDA: ¿Qué número pueden sumarle a cadatérmino para obtener el siguiente término?

1�2

1�2

Indica si la sucesión es aritmética, geométrica o ninguna. Si esaritmética o geométrica, indica la diferencia común o la razóncomún. Escribe los siguientes tres términos de cada sucesión.

3. �3, �1, � , � , … 4. �3, �2, 0, 3, … 5. 88, 93, 99, 106, …

6. 80, �40, 20, �10, … 7. 4, �3, �10, �17, … 8. 8, 8 , 9 , 10, …

9. Acondicionamiento físico Hank desea aumentar el número deabdominales que hace cada día por 3. Si el primer día hace 2, ¿cuántastratará de hacer el 10º día?

10. Prueba estandarizada de práctica ¿Cuál es el próximo término en la sucesión 1.3, 1.7, 2.1, 2.5, …?A 3.3 B 3.1 C 2.9 D 2.7

1�3

2�3

1�9

1�3

Funciones (páginas 517–520)



Una relación en donde una cosa depende de otra cosa se llama función. En unafunción, una o más operaciones se realizan en un número para obtener otro número.Así que, el segundo número depende de, o es una función del primer número. Elvalor de f(x) (lo que se lee como "función de x” o “f de x”) depende del valor de x.

Puedes organizar la entrada (número original), la regla (las operaciones llevadas a cabo en la entrada) y la salida (el valor de la función) en una tabla de funciones

Calcula como ésta.valores Entrada o dominio Regla Salida o rangopara x 2x �1 f(x)funciones

El dominio contiene todos los valores de x y el rango contiene todos los valores de f(x).

Completa la tabla de funciones de la derecha.Reemplaza x en la regla con cada valor de entrada.La regla, 2x � 1, es 2(0) � 1 ó 1 para la entrada de 0.Pon el valor reducido de f(x) en la columna de salida.Repite estos mismos pasos para los valores de entrada de �1, 1 y 2.

1. Completa esta tabla de funciones.

Calcula cada valor de la función.2. f (6) si f (x) � x � 3 3. f (0.5) si f (x) � 0.5x � 1

4. f (3.2) si f (x) � x2 � 2 5. f (12) si f (x) � �x � 3

6. f (�4) si f (x) � x � 5 7. f (0) si f (x) � x � 5

8. Prueba estandarizada de práctica Si f (x) � 2x2 � 20, calcula f (�3).A 2 B 38 C 56 D 236

x �3x f(x)�2

00.5

24

Entrada Regla Salidax 2x � 1 f(x)

�1 2(�1) � 1 �10 2(0) � 1 11 2(1) � 1 32 2(2) � 1 5

Respuestas:1. 6, 0, �1.5, �6, �122.33.1.254.8.245.�156.17.58.B

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Grafica funciones lineales (páginas 522–525)



Una función cuyas gráficas de las soluciones forman una línea recta sellama función lineal.

Grafica Para graficar una función lineal, comienza por hacer una tabla de funciones. Lista una por lo menos tres valores de x. Grafica cada par ordenado. Conecta los puntos función con una línea recta. Añade flechas a las puntas de la línea para mostrar que lalineal línea continúa indefinidamente.

Grafica la función y � 3x � 2.Escoge algunos valores de x y calcula los valores correspondientes a y. Haz una tabla para mostrar los pares ordenados.

Luego grafica los pares ordenados de tu tabla. Dibuja la recta que une a estos puntos. Esta recta es la gráfica de y � 3x � 2.

Prueben esto juntos1. Grafiquen la función y � 3x. 2. Grafiquen la función y � 6 � x.

AYUDA: Hagan una tabla de funciones para AYUDA: Hagan una tabla de funciones para los valores de x de �1, 0, 1, 2. los valores de x de �1, 0, 2, 6.

Grafica cada función.

3. y � � 3 4. y � x � 10 5. y � �x

6. y � x � 4 7. y � 2x � 3 8. y � 5 � 2x

9. Prueba estandarizada de práctica Si cuesta 25 centavos fabricar un borrador,¿cuánto costaría fabricar 10? Calcula el par ordenado que representaría esto en unagráfica lineal.A (10, $2.50) B (10, $5) C ($2.5, 8) D (2, $25)

1�2

x�2

x 3x � 2 y (x, y )

�1 3(�1) � 2 �5 (�1, �5)0 3(0) � 2 �2 (0, �2)1 3(1) � 2 1 (1, 1)2 3(2) � 2 4 (2, 4)

xO

y(2, 4)

(1, 1)

(0, –2)

(–1, –5)

Respuestas:1–8. Ver clave de respuestas.9.A

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

La fórmula de la pendiente (páginas 526–529)



Puedes calcular la pendiente de una recta al usar las coordenadas de cualesquiera dospuntos sobre la recta. La pendiente m de una recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2)es la razón de la diferencia entre las coordenadas y con respecto a la diferencia entre lascoordenadas x correspondientes o m � , donde x1 � x2.

Calcula la pendiente de la recta que pasa por L(�3, 4) y M(2, 1).

m � Definición de pendiente

m � �2

1�

�

(�43)

�(x1, y1 ) � (�3, 4)(x2, y2 ) � (2, 1)

m = ��

53� Reduce.

Calcula la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos.

11. P (2, 2), Q (�3, �3) 12. R (�8, 9), S (2, 1) 13. X (�4, �5), Y (�8, �2)

14. M (3, 7), N (9, 7) 15. G (0, 0), H (7, 6) 16. V (13, �11), W (�2, 21)

7. P ��15

�, ��18

��, Q �3�15

�, �78

�� 8. R ��34

�, �14

��, S �1�34

�, 3�14

�� 9. J (4.5, �2.5), K (�6.5, �1.5)

Usa la siguiente información para los ejercicios 16–17.Carolina vende camisas para el club de animadores. Después de vender 3 camisas, tenía$45. Después de vender 6 camisas, tenía $90. Después de vender 7 camisas, tenía $105.10. Grafica la información con el número de camisas en el eje horizontal y la ganancia en

dólares en el eje vertical. Dibuja una recta a través de los puntos.11. ¿Cuál es la pendiente de la gráfica?12. ¿Qué representa la pendiente de la gráfica?

13. Prueba estandarizada de práctica ¿Cuál gráfica tiene una pendiente de �12

�?

A B C D

xO

y

xO

y

xO

y

xO

y

y2 � y1�x2 � x1

M (2, 1)

xO

yL (–3, 4)

y2 � y1�x2 � x1

Respuestas: 1.12.��45

�3.��34

�4.05.�67

�6.��3125�7.�

13

�8.39.��111�10.Ver clave de respuestas.11.1512.precio por

camisa13.B

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Forma pendiente-intersección (páginas 533–536)



Una ecuación de una recta se puede escribir en la forma y = mx + b. Esto sellama forma pendiente-intersección, donde m es la pendiente de la recta y bes la intersección y de la recta. Por ejemplo, en la ecuación y = �3x + (�2),la pendiente es –3 y la intersección y es –2.

Determina la pendiente y la intersección y de la gráfica de cada ecuación.

A y � �12

� � 3x

y � �12

� � 3x Escribe la ecuación original.

y � 3x + �12

� Escribe la ecuación en laforma y � mx � b.

La pendiente de la gráfica es 3 y la intersección yes �

12

�.

B y � 4x � 1

y � 4x � 1 Escribe la ecuaciónoriginal.

y � 4x � (�1) Escribe la ecuación en laforma y � mx � b.

La pendiente de la gráfica es 4 y la intersección yes �1.

Prueben esto juntosDeterminen la pendiente y la intersección de la gráfica de cada ecuación.1. y � �x � 2 2. y � 2x � 6 3. y � 4x � 1

Determina la pendiente y la intersección de la gráfica de cada ecuación.

14. y � �13

�x � 12 15. y � ��12

�x � 7 16. y � � �15

� x � �15

�

17. y � x � 4 18. y � 3x � �1 19. 4x � y � 3

Grafica cada ecuación, usando la pendiente y la intersección y.

10. y � �14

�x � 3 11. y � �65

�x � 2 12. y � �x � 5

13. y � �6x � 2.5 14. 3x � y � 1 15. y � x � �1

16. Prueba estandarizada de práctica ¿Cuál es la ecuación de la gráfica de la derecha?

A y = �13

�x – 2 B y � �3x � 2

C y � ��13

�x � 2 D y � 3x – 2

xO

y

(0, –3)

(3, 0)

Respuestas: 1.�1; 22.2;�63.4;�14.;�125.��12

�; 76.�;�7.1; 48.�3;�19.�4; 3

10–15.Ver clave de respuestas.16.D

1�5

1�5

1�3

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

xO

y

(0, –2)

(2, 4)


Gráficas de dispersión (páginas 539–542)


Respuestas:1. negativa2.no hay relación3.positiva4.positiva5.negativa6.negativa7.no hay relación8.B

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Una gráfica de dos conjuntos de datos como pares ordenados es una gráfica de dispersión.Las gráficas de dispersión pueden indicar si dos conjuntos de datos están relacionados.

Para determinar si dos conjuntos de datos están relacionados, imagina que se dibuja una recta y que la mitad de los puntos están sobre la recta y la otra mitad están debajo.

Deter- • Una recta con pendiente ascendente hacia la derecha muestra una relación positiva.mina la • Una recta con pendiente descendente hacia la derecha muestra una relación negativa.relación • Si los puntos están dispersos y no amontonados a lo largo de la recta, la gráfica

de dispersión muestra que no existe relación entre los conjuntos de datos.

Determina si una gráfica de dispersión de los datos para la edad y el peso de laspersonas menores de 21 mostraría una relación positiva, negativa o ninguna.En los niños y las personas jóvenes, a medida que la edad aumenta, también aumenta el peso en lamayoría de los casos. Una gráfica de dispersión de estos datos mostraría una relación positiva.

Prueben esto juntos1. Determinen si una gráfica de dispersión 2. Determinen si una gráfica de dispersión

de los datos para un saldo bancario y de los datos para las horas de sueño pordinero gastado mostraría una relación noche y la estatura mostraría una relación positiva, negativa o ninguna. Supongan positiva, negativa o ninguna. que todos tienen el mismo ingreso. AYUDA: ¿Influyen entre sí las las horas de AYUDA: ¿Sube o baja el saldo bancario a sueño por noche y la estatura?medida que aumenta el gasto de dinero?

Determina si una gráfica de dispersión de los datos para las siguientessituaciones podría mostrar una relación positiva, negativa o ninguna.3. temperatura y horas de luz solar

4. edad después de los 70 y los problemas de salud5. edad de una computadora y su valor6. horas de uso de baterías y la vida restante de las baterías7. número de asientos en un carro y el último dígito en su número de placa

8. Prueba estandarizada de práctica ¿Qué tipo de relación muestra la gráfica de dispersión de la derecha?A positiva B negativaC no D inversa

10 2 3 4 5 6 7 8

654321


Grafica sistemas de ecuaciones (páginas 544–547)


Un conjunto de dos o más ecuaciones se llama sistema de ecuaciones.Cuando calculas un par ordenado que es una solución de todas lasecuaciones en el sistema, has resuelto el sistema.

Resuelve El par ordenado que nombra el punto donde las dos rectas se intersecan sistemas de (o se cruzan) es la solución del sistema de ecuaciones. Las coordenadas dos ecuaciones de este par ordenado convierten en verdaderas las ecuaciones de cada usando gráficas una de las rectas. Verifica tu solución en ambas ecuaciones.

Resuelve el sistema de ecuaciones usando gráficas. y � 3x �2 y y � 2 � xPrimero haz una tabla de funciones para cada ecuación.

Calcula las coordenadas, al mirar la gráfica, del punto en donde las rectas se cruzan. (1, 1)Verifica esta solución en ambas ecuaciones.¿Es 1 � 3(1) �2? Sí.

Grafica los pares ordenados para cada ¿Es 1 � 2 �1? Sí .tabla y dibuja cada recta. La solución de este sistema es (1, 1).

Prueben esto juntos1. Resuelvan el sistema y � 2x � 3 2. Resuelvan el sistema y � x � 2

y y � x �1 usando gráficas. y y � 2x � 2 usando gráficas.AYUDA: Las rectas se intersecan en el AYUDA: Seleccionen por lo menos 3 valores cuadrante III. para x en cada ecuación.

Resuelve cada sistema de ecuaciones usando gráficas.3. y � 4x � 4 4. x � y � 9 5. 2 � x � y

y � 3x � 2 y � 13 � 2x 3x � 14 � y

6. Prueba estandarizada de práctica Caminas por el trayecto y � 6x � 8 y tu amigoRamón camina por el trayecto y � 8x � 12. ¿En qué punto se intersecan sus trayectos?A (0, 8) B (�1, 4) C (�2, �4) D (1, 14)

x 2 � x y (x, y )

�1 2 � (�1) 3 (�1, 3)0 2 � 0 2 (0, 2)1 2 � 1 1 (1, 1)2 2 � 2 0 (2, 0)

x 3x � 2 y (x, y )

�1 3(�1) � 2 �5 (�1, �5)0 3(0) � 2 �2 (0, �2)1 3(1) � 2 1 (1, 1)2 3(2) � 2 4 (2, 4)

xO

y

y = 3x – 2y = 2 – x

Respuestas:1–5. Ver clave de respuestas.1.(�2, �1)2.(0, 2)3.(�2, �4)4.(4, 5)5.(�3, 5)6.C

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Grafica desigualdades lineales (páginas 548–551)



Prueben esto juntosGrafiquen cada desigualdad.1. y 3x � 2 2. y � x � 1 3. y x � 3

Grafica cada desigualdad.

14. y � x � 6 15. y ≥ 3x – 7 16. y �2x – 2

17. y � ��12

�x – 2 18. y � �x � 1 19. y ≥ �43

�x � 2

10. y 6x – 1 11. y – x ≤ �3 12. y � 3x � 5

13. Prueba estandarizada de práctica ¿Qué par ordenado no es una solución de

y � x � 1?

A (0, 0) B (2, 3) C (3, 1) D (4, 1)

1�2

3�2

1�2

Para graficar una desigualdad, primero grafica la ecuación correspondiente. Esta es la frontera. Si la desigualdad contiene los símbolos � o , entonces usa una recta continua para indicar que la frontera está incluida en la gráfica. Si la desigualdad contiene el símbolo � o , entonces usa una recta de puntospara indicar que la frontera no está incluida en la gráfica.

Después, prueba con cualquier punto sobre la recta o debajo de ella, paradeterminar qué región es la solución de la desigualdad.

Graficadesigualdadeslineales

Respuestas: 1–12.Ver clave de respuestas.13.B

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Grafica y x � 3.Grafica la recta de la frontera y � x � 3. Como se usa en la desigualdad, haz una recta de puntos.

Prueba con un punto que no esté sobre la recta de lafrontera, como por ejemplo (0, 0).

y � x � 3 Escribe la desigualdad.

0 �?

0 � 3 Reemplaza x con 0 y y con 0.0 � � 3 Reduce.

Como (0, 0) es una solución de y � x � 3, sombrea laregión que contiene (0, 0).

xO

y

(0, –3)

(3, 0)

xO

y

(0, –3)

(3, 0)



Mapa de funcionesLos amigos de Franny le dan un mapa para que pueda encontrar la mesa depicnic en el parque. El sitio del picnic se localiza en algún lugar en lagráfica de la función f (x) � �2x �3.

1. Completa la tabla de funciones para f (x) � �2x � 3.

x �2x � 3 f(x)

0 �2(0) �3 �3

�1

�2

2. Grafica la función en el mapa.

3. ¿Cuáles puntos en el mapa podrían ser el sitio del picnic?

4. Si el sitio del picnic está en el cuadrante II del mapa, ¿en cuál punto está?

5. Hay un conjunto de columpios que está también en la gráfica de la función en el cuadrante III. ¿Cuál punto es el conjunto de columpios?

6. Un gran árbol de pacana está también en la gráfica de la función en el cuadranteIV. ¿Cuál punto es el árbol de pacana?

x

f(x)

J K

I

HG

L

B

D

F

E

C

A

O


Funciones lineales y no lineales (páginas 560–563)



Las funciones lineales tienen gráficas que son líneas rectas. Estas gráficas representantasas de cambio constantes. Las funciones no lineales no tienen tasas de cambio constantes.Por lo tanto, sus gráficas no son líneas rectas.

Identifica funciones y � x2 � 1

usando ecuaciones Como x está elevada a una potencia, la ecuación no se puede escribiren la forma y � mx � b. Así que la función es una función no lineal.

A medida que x aumenta en 2, y aumenta en 4 cada vez. La tasa de cambio es constante, así que esta es una función lineal.

Determina si cada gráfica, ecuación o tabla representa una función lineal ono lineal. Explica.

11. 12. 3.

14. y � �2 15. y � x2 16. x – y � 5

7. 8. 9.

10. Prueba estandarizada de práctica ¿Cuál ecuación representa una función lineal?

A x � y � 4 B y � �6x

� C xy � 3 D y = x3 � 1

x �3 �2 �1 0y 4 9 16 25

x 3 6 9 12y �4 �1 3 8

x 3 4 5 6y 10 11 12 13

x

y

ox

y

ox

y

o

Respuestas: 1.no lineal; la gráfica es curva2.lineal, la gráfica es una línea recta3.no lineal; la gráfica es curva4.lineal; sepuede escribir como y�0x��25.no lineal; la potencia de xes mayor que uno6.lineal; se puede escribir como y�x��57.lineal; la tasa de cambio es constante; a medida que xaumenta en 1, yaumenta en 18.no lineal; la tasa de cambio no esconstante, a medida que xaumenta en 3, yaumenta en una cantidad mayor cada vez9.no lineal; la tasa de cambio no esconstante; a medida que xaumenta en 1, yaumenta en una cantidad mayor cada vez10.A

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

La gráfica es una curva, no es una línearecta. Así que representa una función nolineal.x

y

o

x 5 7 9 11

y 8 12 16 20Identifica funcionesusando tablas

Identifica funcionesusando gráficas

Grafica funciones cuadráticas (páginas 565–568)



En una función cuadrática, la potencia mayor de la variable de entrada (generalmen-te x) es 2. Por ejemplo, y � x2, A � s2 y y � 3x2 � 5 son funciones cuadráticas.

Grafica Se grafica una función cuadrática con los mismos pasos que se usan para

funciones graficar una función lineal pero la gráfica de una función cuadrática es una

cuadráticas línea curva, no recta. Las gráficas de las funciones cuadráticas en esta lección son todas curvas, llamadas parábolas y tienen la forma de la letra U.

Grafica la función cuadrática y � �2x2 � 1. Grafica los puntos (x, y) en la última columna de Escoge algunos valores de x y haz una tabla. tu tabla. Dibuja una curva que una los puntos.

Debido a que la gráfica es curva, marca más puntos que para los de una línea recta, de modo que puedas ver la forma de la curva.

Prueben esto juntos1. Completen la tabla de funciones y 2. Completen la tabla de funciones y luego

luego grafiquen la función y � 2x2. grafiquen la función f(x) � x2.

AYUDA: Los valores y se repiten. AYUDA: Usa f(x) como y.

3. Grafica f(x) � 2x2 � 5.

4. Grafica y � 12 � x2.

5. Prueba estandarizada de práctica Determina qué par ordenado es una solución de y � x2 � x � 3.A (6, 9) B (2, �1) C (4, 17) D (�3, �15)

x �12

�x2 f(x) ( x, f( x))

�4�2

024

x 2x2 y ( x, y)�2�1

012

1�2

xO

y

y = –2x2 + 1

x �2 x2 � 1 y (x, y )

�2 �2 (�2)2 � 1 � �7 �7 (�2, �7)�1 �2 (�1)2 � 1 � �1 �1 (�1, �1)

0 �2(0)2 � 1 � 1 1 (0, 1)1 �2(1)2 � 1 � �1 �1 (1, �1)2 �2(2)2 � 1 � �7 �7 (2, �7)

Respuestas:1–4. Ver clave de respuestas.1.(�2, 8), (�1, 2), (0, 0), (1, 2), (2, 8)2.(�4, 8), (�2, 2), (0, 0), (2, 2), (4, 8)5.C

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Reduce polinomios (páginas 570–573)



Cada monomio en un polinomio se llama término. Los monomios con la mismavariable elevada a la misma potencia, tales como 2x y 3x se llaman términossemejantes. Puedes reducir polinomios que tienen términos semejantes. Unaexpresión que no tiene términos semejantes está en forma reducida.

A Reduce 2x � 3x. B Reduce 2x2 � x2 � 3.

Con las tarjetas, puedes ver que hay 5 tarjetas x. Con las tarjetas, puedes ver que hay 2 En papel, puedes sumar los términos semejantes. tarjetas x2 positivas y una tarjeta x2 negativa.Así que 2x � 3x � 5x. Dos positivas más una negativa es igual a una

positiva. O, en papel, 2x2 � x2 � x2, así que elpolinomio en forma reducida es x2 � 3.

Prueben esto juntosReduzcan cada polinomio. Si el polinomio no se puede reducir, escriban enforma reducida.1. 3 � 2q2 �3 � q2 2. 4r2 � 2r2 � r 3. 3z � 2y � 5x � 2AYUDA: Los monomios con la misma variable y potencia son términos semejantes.Todos los números sin variables son términos semejantes.

Reduce cada polinomio. Si el polinomio no se puede reducir,escribe en forma reducida.4. 5a2 � 2a � 3 5. 6d � 2r � 3d 6. c2 � 4c � 37. m4 � m � m2 � m 8. �1 � x4 � x2 � x � 5 9. t3 � t3 � t3

10. y3 � y3 � y2 � 3y3 11. w2 � 4w � 1 12. 5g � 2h � g � 3h13. 2b � 3 � 4b � 2 14. x2 � 2x � 3x2 � 4 15. 2r2 � 4r � 3r � r2 � r16. a � b � 3b � 1 17. 2y � 2y2 � 2y2 � y 18. 3a3 � 2a2 � a

19. Asuntos monetarios César puso su regalo de cumpleaños de $50 en su cuenta deahorros. También recibió $50 el año pasado y lo puso en su cuenta de ahorros.Agregando el interés x que ganó en su cuenta de ahorros, escribe una expresión enforma reducida que represente la cantidad de dinero en su cuenta de ahorros.

20. Prueba estandarizada de práctica Reduce el polinomio x2 � x � 2x2 � 3.A x2 � 2x � 3 B 4x2 � 2x � 3 C 3x2 � x � 3 D 2x2 � x � 3

�x2x2

1 1

1–x2�x x � x x x

Respuestas:1. 3q22.2r2� r3.forma reducida4.forma reducida5.3d�2r6.forma reducida7.m4�m2�2m8.x4�x2�x�49.t310.3y3� y211.forma reducida12.6g� 5h13.6b�514.4x2�2x�415.3r2� 8r16.a�2b�117.3y18.forma reducida19.100 �x20.C

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Suma polinomios (páginas 574–577)



Para sumar polinomios, suma los términos semejantes en cada polinomio.Puedes usar tarjetas de álgebra o lápiz y papel para sumar polinomios.

Calcula la suma.

Respuestas:1. 2y2�y�12.5x2�2y�73.7m2�3m�14.12x2�3x�65.18q2�9q�56.a2�a�17.3x�5y�2; 218.2x�3y; 129.x�y; 110.�5x�4y; �2311.9x�6y; 3912.2x�2y; 1013.B

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

A (x2 �2x � 1) � (x2 � 5x � 3)Usa tarjetas de álgebra para representar cada polinomio.

Usando las tarjetas, suma los términos semejantes para calcular la suma, 2x2 � 7x � 2.

B (2x2 � x � 2) � (�x2 � 3x � 2)Alinea los términos semejantes en columnas, luego suma.

2x2 � x � 2� (� x2) � 3x � 2

x2 � 2x � 4

x2 x x

x2 x x

x x x1 1

1

–1

Prueben esto juntosSumen.1. y2 � 2y � 1 2. 3x2 � y � 3 3. 4m2 � 2m � 5

� y2 � 3y � 2 � 2x2 � 3y � 4 � 3m2 � m � 4

AYUDA: 2y � (�3y) � �y AYUDA: y � (�3y) � �2y AYUDA: Los términos semejantes están en columnas.

Suma4. 7x2 � 6x � 2 5. 10q2 � 7q � 1 6. 4a2 � 4a � 4

� 5x2 � 3x � 4 � 8q2 � 2q � 6 � (�3a2) � 3a � 3

Suma. Luego evalúa cada suma si x � 3 y y � 2.7. (3x � 2y) � (2 � 3y) 8. (4x � y) � (�2x � 2y)

9. (�2x � 3y) � (3x � 4y) 10. (�4x � 3y) � (�x � y)

11. (5x � 3y) � (4x � 3y) 12. (x � y) � ( y � x)

13. Prueba estandarizada de práctica ¿Cuál es la suma de t2 � 2t � 1 y t2 � 3t � 2?

A t2 � t � 3 B 2t2 � 5t � 3 C 2t2 � 5t2 � 3 D t2 � 5t � 3

Resta polinomios (páginas 580–583)



Restar polinomios es muy similar a sumar polinomios. Puedes usar tarjetasde álgebra para restar polinomios. Puedes usar también papel y lápiz.Como restar es lo mismo que sumar el opuesto, usa este procedimientopara restar polinomios con papel y lápiz.

Calcula cada diferencia.

Respuestas:1. 2x�22.2x�63.5x�44.3y�15.2r2�2a�36.2a2�2a�27.5b2�3b�58.b2�5b�19.3x�y; �510.x�y; 111.D

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

A (3x2 �5x � 4) � (x2 � 2x � 3)Usa tarjetas de álgebra para representar alprimer polinomio.

Para restar, elimina las tarjetas que representanal segundo polinomio. Las tarjetas que quedanrepresentan la diferencia, 2x2 � 3x � 1.

B (2x2 � 4x � 3) � (�x2 � 3x � 2)Restar �x2 � 3x � 2 es lo mismo que sumar elinverso aditivo. Para calcular el inverso aditivo,halla el opuesto del término o x2 � 3x � 2.2x2 � 4x � 3

� x2 � 3x � 2

3x2 � x � 1x2 x2 x2 x x x x x

1 1

1 1

Prueben esto juntosResten.1. 4x � 4 2. 3x � 5 3. 10x � 5

� (2x � 6) � (x � 1) � (5x � 1)

AYUDA: El inverso aditivo de AYUDA: El inverso aditivo de AYUDA: Sumen los inversos 2x � 6 es �2x � 6. x � 1 es �x � 1. aditivos.

Resta.4. 7y � 2 5. 8r2 � 5a � 5 6. 7a2 � 4a � 4

� (4y � 3) � (6r2 � 3a � 2) � (5a2 � 2a � 2)

7. (4b2 � 4b �4) � (�b2 � b � 1) 8. (3b2 � 3b �3) � (2b2 � 2b � 2)

Resta. Luego evalúa si x � �3 y y � 4.9. (6x � 3y) � (3x � 2y) 10. (5x � 5y) � (4x � 4y)

11. Prueba estandarizada de práctica Resta (5x � 3y) � (2x � 4y). Luego evalúa si x � �2 y y � 5.A 13 B �29 C 6 D �11

Multiplica y divide monomios(páginas 584–587)



Para multiplicar y dividir monomios, multiplica las potencias que tienen lamisma base.

Producto Puedes multiplicar potencias que tienen la misma base al sumar sus de potencias exponentes. Así que, para cualquier número a y enteros m y n, am � an � am � n.

Cociente Puedes dividir potencias que tienen la misma base al restar sus exponentes.de potencias Así que, para cualquier número a y enteros m y n, � am � n, donde a � 0.

Multiplica o divide. Expresa usando exponentes.A x3 � x5 B

x3 � x5 � x3 � 5 ó x8

� d6 � 2 ó d4

Prueben esto juntosMultipliquen o dividan. Expresen usando exponentes.1. b � b4 2. 3. 32 � 32

AYUDA: Cuando multipliquen potencias, usen la misma base y usen un nuevoexponente que es la suma de los originales. Cuando dividan potencias, el nuevoexponente es la diferencia de los originales. Las bases sin exponentes escritos tienenun exponente de 1.

Multiplica. Expresa usando exponentes.4. r3 � r3 5. 2r2 � r2 6. 3a � a5

7. 2c � c4 8. x5 � x10 9. 47 � 49

Divide. Expresa usando exponentes.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. Prueba estandarizada de práctica Calcula el producto 2x6 � x10.A 2x16 B x16 C 2x4 D 2x60

f 14

�f 9

64

�6

12y5

�3y4

98

�92

8m7

�2m3

b12

�b7

x5

�x3

d6

�d2

d6�d2

am

�an

Respuestas:1. b52.x23.344.r65.2r46.3a67.2c58.x159.41610.b511.4m412.9613.4y14.6315.f5

16.A

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.

Multiplica monomios y polinomios(páginas 590–592)



Prueben esto juntosMultipliquen.1. �4y(y � 2) 2. n(3n2 � n � 8)

AYUDA: Usen la propiedad distributiva y sumen los exponentes cuando multipliquen potencias con la misma base.

Multiplica.

13. (x � 2)(4x) 14. a3(a � 3) 15. y4(y4 � 6)

6. 5m3(m2 � 1) 17. y(y2 � 4y � 3) 18. �x2(x3 � 2)

9. 2q2(2q � 1) 10. �a(a � 4) 11. n(3n2 � 4n � 7)

12. r3(r5 � r3 � 5) 13. (w2 � 6)(5w) 14. 3q2(q2 � 2)

15. Prueba estandarizada de práctica ¿Cuál es el producto de 2z2 y 4z2 � 2z � 8?

A 8z4 � 4z2 � 2z � 8 B 8z4 � 4z3 � 16z2

C 8z2 � 4z � 16 D 8z4 � 4z3 � 2z2 � 16

Puedes multiplicar monomios y polinomios usando la propiedad distributiva. A menudo, senecesitan también la definición de exponentes y la regla del producto de las potencias parareducir el producto de un monomio y un polinomio.

A Calcula 2b(b � 6).

2b(b � 6) � 2b(b) � 2b(6) Propiedaddistributiva

� 2b2 � 12b b � b � b2

B Calcula g3(g � 2).

g3(g � 2) � g3[ g � (�2)] Reescribe g � 2como g � (�2).

� g3(g) � g3(�2) Propiedaddistributiva

� g4 � (�2g3) g3(g) � g3 � 1 ó g4

� g4 � 2g3 Definición desustracción

Respuestas: 1.�4y2�8y2.3n3�n2�8n3.4x2�8x4.a4�3a35.y8�6y46.5m5�5m37.y3�4y2�3y8. �x5�2x29.4q3�2q210.�a2�4a11.3n3�4n2�7n12.r8�r6�5r313.5w3�30w14.3q4�6q215.B

7.

8.

4.

5.A

C

6.

C

A

C

A

B

B

B

B

3.



CoincídelosPrimero, reduce las expresiones en cada columna. Cada expresión en lacolumna izquierda corresponde exactamente a una expresión en la columnade la derecha. Escribe la letra correcta en el espacio en blanco al lado decada expresión en la columna izquierda.

________ 1. 2x � 1 � 2x � 2 A.

________ 2. (4x)2 B. 6x4 (4x)

________ 3. 6x(x � 2) C. 4(4x2)

________ 4. D. x(�3x2 � 6x � 12)

________ 5. (2x2 � x � 1) � (3x2 � x � 1) E. (7x2 � x) � (4x � 1)

________ 6. �3x5 (�5x2) F. 2(x � 5)

________ 7. 6x3 � 6x4 G. 3x2 � 4x � 5x � 3 � 2x2

________ 8. (7x2 � 3x) � (2x2 � 2x) H. (�5x2 � 2x � 1) � (4x2 � 3)

________ 9. �3x(x2 � 2x � 4) I. 2

________ 10. 6x2 � 3x � x2 � 1 J. 9x(4x6)

________ 11. 9x � x2 � 3 K. 3x � x � 1

________ 12. L. �x(5x2)

________ 13. –8x3(�3x2) M. (43)3

________ 14. N. 5x2 � 13x � x � x2

________ 15. (13x2 � 2x � 10) � (�13x2 � 4x) O. (4x2 � 5x) � (�5x2 � 4x)


6x3

�3x4

�20x3

�4x2

412

�43

45x9

�3x2

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