Resolver problemas, aprender matemáticas… y algo más

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El curso Resolver problemas, aprender matemáticas… Y algo más. Análisis de experiencias de trabajo docente, fue diseñado en la Subsecretaría de Educación Básica, por personal de la Dirección General de Desarrollo Curricular. Es parte de las acciones de difusión, asesoría y seguimiento de la implementación del currículo 2011. DIRECCIÓN GENERAL DE DESARROLLO CURRICULAR Leopoldo F. Rodríguez Gutiérrez DIRECCIÓN DE DESARROLLO CURRICULAR PARA LA EDUCACIÓN PREESCOLAR Eva Moreno Sánchez (Coord.) María Teresa Sandoval Sevilla Montserrat Vaca Bravo

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Contenido PRESENTACIÓN ..................................................................................................................................... 3

PROPÓSITO GENERAL ........................................................................................................................... 5

INFORMACIÓN GENERAL ...................................................................................................................... 5

Bloques de actividades ..................................................................................................................... 5

Recursos ............................................................................................................................................ 6

Bibliografía ........................................................................................................................................ 6

EVALUACIÓN Y ACREDITACIÓN ............................................................................................................ 7

¿EN QUÉ CONSISTE LA EXPERIMENTACIÓN PEDAGÓGICA? ........................................................... 100

Primera sesión ................................................................................................................................. 14

Desarrollo del pensamiento matemático en los niños: ¿hacia dónde orientar las prácticas? .... 14

Segunda sesión ................................................................................................................................ 20

Proponer y resolver problemas: Los retos para docentes y alumnos ........................................... 20

Tercera sesión ................................................................................................................................. 25

Proponer y resolver problemas: retos para docentes y alumnos (2ª parte) ................................ 25

Cuarta sesión. .................................................................................................................................. 27

Experimentación pedagógica: una estrategia para el aprendizaje profesional. Relaciones espaciales ........................................................................................................................................ 30

Quinta sesión ................................................................................................................................... 30

Experimentación pedagógica. Relaciones espaciales (2ª. parte). ................................................. 30

Sexta sesión ..................................................................................................................................... 34

Experimentación pedagógica. Relaciones espaciales, desplazamientos y su representación gráfica .............................................................................................................................................. 34

Séptima sesión ................................................................................................................................ 41

Experimentación pedagógica. Relaciones espaciales, desplazamientos y su representación gráfica (2ª parte) ............................................................................................................................. 41

Octava sesión .................................................................................................................................. 46

Propuestas didácticas para favorecer competencias en los niños de preescolar ........................ 46

Resolver problemas, aprender matemáticas… y algo más

Material del participante

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PRESENTACIÓN Una tarea prioritaria en la reforma de la educación preescolar es contribuir al fortalecimiento de las competencias profesionales de los docentes de este nivel educativo; en este proceso, la reflexión sobre la propia práctica ha jugado un papel fundamental como una estrategia que permite aprender a desempeñarse mejor.

La transformación de las prácticas pedagógicas es la principal finalidad de la reforma en la educación preescolar iniciada formalmente en el año 2004. Tal finalidad ha orientado el conjunto de acciones emprendidas por la SEP en apoyo a la formación profesional del personal docente, directivo y técnico de este nivel educativo. Comprender desde los distintos ámbitos de funciones qué significa centrar el trabajo docente en los niños y el desarrollo de sus competencias, es la base para construir una visión compartida sobre la función de la educación preescolar.

Frente a la tradición que por décadas ha imperado en la educación preescolar (basada en concepciones desde las cuales se considera a los niños pequeños como inmaduros y, por lo tanto como seres que aún no pueden o no saben hacer…), la implementación de la reforma pedagógica ha implicado grandes desafíos para las educadoras y el personal directivo de los Jardines de niños: reconocer a los niños pequeños como sujetos capaces de pensar, reflexionar, comprender el mundo, comunicar sus ideas y construir aprendizajes a partir de su experiencia. Esta visión exige, por una parte, aprender a trabajar de una manera distinta, a buscar alternativas para ponerlos en situaciones desafiantes para que amplíen y profundicen sus conocimientos; por otra parte, exige transformar la organización y las relaciones internas de las escuelas.

La transformación de las prácticas implica necesariamente un cambio en las concepciones sobre cómo son y cómo aprenden los niños, y en consecuencia, sobre el papel que corresponde a la educadora para hacer posible que ellos desplieguen el potencial que tienen para continuar aprendiendo.

El seguimiento que se ha sostenido durante la implementación de la reforma1 ha permitido identificar dificultades concretas que las educadoras enfrentan en el trabajo cotidiano y que se manifiestan en las preguntas que con frecuencia plantean: ¿Cómo hacer que una actividad o una situación didáctica sea interesante y retadora para los niños? ¿Qué estrategias o formas de intervención usar para hacerlos reflexionar? ¿Cómo lograr que interactúen y aprendan a trabajar en

1 Desde el 2004, con la participación de autoridades y equipos técnicos estatales, el equipo coordinador de la reforma en la Dirección General de Desarrollo Curricular de la SEP ha desarrollado un proceso sistemático de seguimiento a la aplicación del Programa de Educación Preescolar 2004; este proceso ha implicado observación del trabajo docente, entrevistas con niños, docentes, madres y padres, personal directivo y autoridades; discusión en foros diversos, reuniones nacionales, regionales y estatales en las que se analizan cuestiones relacionadas con logros y dificultades que se enfrentan en el trabajo diario, desde las distintas funciones (trabajo frente a grupo, dirección, asesoría, supervisión de zona y sector).



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equipo? ¿Qué hacer para eliminar o sustituir las actividades de rutina y aprovechar mejor el tiempo de la jornada diaria? Hay también otras preguntas que aluden, de manera específica, al trabajo con los campos formativos: ¿Cómo identificar las capacidades que los niños ponen en juego durante una situación de pensamiento matemático? ¿Cómo trabajar las matemáticas en preescolar centrándose en la resolución de problemas? ¿Qué tipos de problemas matemáticos plantear a los niños?

Interrogantes como las que se han señalado no se responden con el hecho de ofrecer propuestas concretas de secuencias de actividades que las maestras deban operar. El objetivo de la reforma va más allá: se intenta que las educadoras tomen conciencia de que el desarrollo del trabajo pedagógico demanda conocimiento sobre el tópico o contenido implicado en las situaciones, pero también conocimiento sobre el enfoque didáctico de cada campo formativo y comprensión sobre lo que implica trabajar con ese enfoque. Estas dos condiciones hacen posible la toma de decisiones sobre las formas de intervención (establecimiento de consignas, estrategias para hacer participar a los niños, organización del grupo en congruencia con lo que demandan las actividades, uso del tiempo, materiales a utilizar).

Por otra parte, y considerando que en el país hay educadoras y educadores que desarrollan un trabajo sistemático con sus alumnos propiciando el desarrollo de competencias, se ha logrado la recopilación y publicación de experiencias de trabajo docente2 que al ser analizadas y discutidas, contribuyan también al aprendizaje de los profesionales de la educación infantil. En la Dirección de Desarrollo Curricular para la Educación Preescolar se aprecia que las experiencias contenidas en El placer de aprender, la alegría de enseñar son valiosas para apoyar a las educadoras en el análisis de su propia práctica (de sus formas de intervención y de las decisiones que toman para organizar y desarrollar el trabajo con sus alumnos); el análisis de estos aspectos puede apoyar también la identificación de fortalezas, debilidades y necesidades de cambio a fin de brindar a los niños experiencias educativas que estimulen el despliegue de sus potencialidades.

Quienes analicen los relatos (ya sean docentes, asesores o directivos) seguramente se percatarán de que el análisis puede enfocarse en aspectos diversos, pues algunos relatos permiten ver mejor las competencias que los niños ponen en juego, mientras que en otros son más visibles las formas de intervención docente y las decisiones que los educadores toman para la organización del grupo o las reflexiones que les provocan éstas y lo que observan en el desarrollo de las actividades. Aprender de la experiencia de otros es una estrategia de aprendizaje profesional que se puede realizar en la medida en que se comparten experiencias entre colegas; bajo este esquema, en este curso se presenta la propuesta de trabajo con relatos de experiencias de trabajo docente.

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SEP, 2010, El placer de aprender, la alegría de enseñar. El libro contiene 23 relatos de experiencias de 3 educadoras y 1 educador –mexicanos- con sus alumnos de preescolar. Este libro es material indispensable en el desarrollo del presente curso.



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La experiencia en la reforma, así como la investigación referida a Pensamiento matemático3

que se desarrolló como parte de este proceso, constatan la necesidad de desarrollar acciones de formación profesional basadas en el estudio y la comprensión del enfoque pedagógico y de los contenidos implicados en el campo formativo, combinándolo con el análisis de experiencias y la reflexión sobre la práctica. Son éstas las prioridades a atender en este curso, con la expectativa de que las educadoras encuentren en las actividades propuestas, alternativas para identificar los rasgos deseables de la práctica, para probar nuevas o diferentes formas de trabajo sobre las cuales discutir entre colegas y de esta manera, fortalecer el desarrollo de sus competencias profesionales.

PROPÓSITO GENERAL Contribuir al fortalecimiento de las competencias profesionales de las educadoras -para mejorar su intervención docente en el campo formativo Pensamiento matemático- y del personal directivo y técnico de educación preescolar -para mejorar su desempeño en la función de asesoría-, mediante el análisis de experiencias de trabajo pedagógico con los niños y el estudio del enfoque didáctico del campo formativo.

INFORMACIÓN GENERAL El curso se desarrolla en 40 horas (8 sesiones de 5 horas cada una).

Destinatarios: Maestras y maestros frente a grupo, directivos escolares y asesores técnico-pedagógicos.

Nivel y modalidad:

Educación inicial, preescolar regular, preescolar indígena, CAPEP y educación especial

Institución que lo imparte:

Autoridades educativas estatales

Cobertura: Nacional

Bloques de actividades El curso se organiza en cuatro bloques de actividades. En el tiempo entre sesiones los participantes desarrollarán actividades de tarea (práctica en aula con alumnos de preescolar) relacionada con los elementos analizados del campo formativo Pensamiento matemático.

3 Fuenlabrada, Irma 2009: Investigación sobre la implementación del Programa de Educación Preescolar 2004 en el campo de Pensamiento matemático.



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Los bloques de actividades son los siguientes:

1. Desarrollo del pensamiento matemático en los niños: ¿hacia dónde orientar las prácticas? 2. Proponer y resolver problemas: los retos para docentes y alumnos. 3. Experimentación pedagógica.

Relaciones espaciales. Elaboración de croquis (continúa). Relaciones espaciales, desplazamientos y su representación gráfica.

4. Propuestas didácticas para favorecer competencias en los niños de preescolar.

Recursos A continuación se presenta el listado de recursos bibliográficos, audiovisuales y de papelería, necesarios para desarrollar el presente curso.

Respecto a la bibliografía, cabe mencionar que, en los casos de publicaciones de la SEP, que han sido distribuidos con un amplio tiraje en las entidades federativas, los textos no se incluyen en los anexos, por lo que es necesario solicitar a los participantes que los lleven al curso por su propia cuenta. En estos casos también se cita la página electrónica donde pueden descargarse en formato PDF.

Bibliografía Broitman, C. (2000), “Reflexiones en torno a la enseñanza del espacio”, en: De Cero a Cinco nº 22,

Novedades Educativas, Buenos Aires, pp. 24-41. Cordero R. Sergio I. (2010), “Preparando gelatinas”, en El placer de aprender, la alegría de enseñar,

México, SEP, pp. 259-272. Croquis de los alrededores del Palacio de Bellas Artes de la Cd. De México, Tomado de: “Dos

recorridos por el Distrito Federal”, en http://tomo.com.mx/2008/09/26/dos-recorridos-por-el-distrito-federal/

Fuenlabrada, Irma (2005), “¿Cómo desarrollar el pensamiento matemático en los niños de preescolar?”, en Curso de formación y actualización profesional para personal docente de educación preescolar, Vol. I, México, SEP, pp. 279-296. [Disponible en http://www.reformapreescolar.sep.gob.mx/pdf/volumen_1.pdf]

Fuenlabrada, Irma (2009), ¿Hasta el 100?... ¡No! ¿Y las cuentas?... ¡Tampoco! Entonces… ¿Qué?, México, SEP. [Disponible en http://www.reformapreescolar.sep.gob.mx/pdf/FUENLABRADA.pdf]

Fuenlabrada, Irma (2011), “Presentación” y “Consideraciones generales: algunas anticipaciones”, en ¿Es posible desarrollar el pensamiento matemático en preescolar? La realidad del aula (Reporte de la Investigación evaluativa de la implementación del Programa de Educación Preescolar 2004 en el Campo Pensamiento Matemático. Versión preliminar), México, SEP, pp. 3-5 y 32-35.

http://tomo.com.mx/2008/09/26/dos-recorridos-por-el-distrito-federal/

http://tomo.com.mx/2008/09/26/dos-recorridos-por-el-distrito-federal/

http://www.reformapreescolar.sep.gob.mx/pdf/volumen_1.pdf

http://www.reformapreescolar.sep.gob.mx/pdf/FUENLABRADA.pdf



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Hernández, María Isidra (2010), “Juego de piratas”, en El placer de aprender, la alegría de enseñar, México, SEP, pp. 219-225. [Disponible en http://www.reformapreescolar.sep.gob.mx/pdf/relatos.pdf]

SEP (2010), “El camino más corto. Ciudad”, en Juego y aprendo con mi material de preescolar, México, SEP (2ª edición), pp. 21.

SEP (2011), Programa de Estudio 2011. Educación Básica. Preescolar, México, SEP. [Disponible en http://www.reformapreescolar.sep.gob.mx/ACTUALIZACION/PROGRAMA/Preescolar2011.pdf]

SEP (2011) Tabla con elementos centrales del campo formativo Pensamiento matemático, para análisis de un relato de educación preescolar relacionado con el campo formativo Pensamiento matemático. (Se incluye en anexo 1).

Weinstein, Edith (2004), “Las decisiones del ‘día a día’ de la actividad matemática”, en Enseñar matemática. Números, formas, cantidades y juegos, Buenos Aires, Ediciones Novedades Educativas (0 a 5 La educación en los primeros años), pp. 36-50.

Recursos audiovisuales

Fuenlabrada, Irma (2011), El desarrollo de la ubicación espacial en niños de preescolar (Cátedra

Ignacio Manuel Altamirano, Barra de Verano 2011, de EDUSAT), México, SEP (Video en DVD). Reproductor de DVD (o computadora con reproductor de DVD con bocinas y proyector). Bocinas (es necesario prever que se escuche bien en toda el aula).

Papelería

Hojas tamaño carta. Lápices. Goma para borrar. Marcadores. Pliegos de papel bond. Rotafolio.

Además de los recursos mencionados, se elaborarán registros de experiencias de trabajo en

aula que serán utilizados como recursos para el análisis y la reflexión sobre las prácticas en educación prescolar.

EVALUACIÓN Y ACREDITACIÓN

Aspectos a evaluar Porcentaje Asistencia 8 (un punto por cada sesión)

Participación individual 10 Participación durante el trabajo en

colectivo 10

Productos individuales, de equipo y/o 40

http://www.reformapreescolar.sep.gob.mx/pdf/relatos.pdf

http://www.reformapreescolar.sep.gob.mx/ACTUALIZACION/PROGRAMA/Preescolar2011.pdf



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grupales (sesiones 1-8) Productos finales 32

Total 100

Asistencia Considere el 100% de asistencia para evaluar este aspecto.

Participación individual En las actividades propuestas para el desarrollo del curso se ha buscado un equilibrio entre las tareas individuales, en equipo y colectivas; sin embargo, se recomienda que en la ponderación que haga el coordinador o la coordinadora, se reconozca el esfuerzo personal de las y los participantes en cuanto al desempeño, la participación, la disposición y la dedicación individual al trabajo durante las sesiones y el curso en su conjunto.

Participación durante el trabajo en colectivo (en equipo y en plenaria) En todas las sesiones durante el trabajo en equipos y en plenarias, las y los participantes aplicarán sus habilidades de lectura y argumentación, búsqueda y selección de información, y síntesis, entre otras. Asimismo, deberán mostrar actitudes de respeto, empatía y colaboración para cumplir con la tarea colectiva. En la ponderación que se realice para efectos de evaluación, se recomienda al coordinador o la coordinadora, considerar los siguientes aspectos:

Participación en equipos y en grupo. Compromiso del equipo y del grupo para el desarrollo de la sesión y del curso. Respeto a las participaciones de los(as) otros(as) integrantes del grupo. Distribución equitativa de las tareas. Intercambio e interacción con otros equipos.

Productos

La elaboración de productos en este curso es un elemento esencial para avanzar en el estudio, el análisis y la reflexión sobre los contenidos propuestos. Por esta razón, dos criterios indispensables a considerar en la ponderación de este factor son la oportunidad y la calidad en la elaboración de los productos.

En cada sesión se señalan los productos relacionados con la evaluación individual, así como si se trata de elaboración individual o en equipos. Para el caso de la elaboración de los productos de equipos, siempre se desarrollan durante las sesiones, por lo que se recomienda considerar los criterios de “Participación durante el trabajo en colectivo“, especificados arriba, para ponderar y valorar la participación de cada integrante del equipo. Esto implica un monitoreo cuidadoso del



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trabajo en los equipos por parte del coordinador del curso; además, esta atención al trabajo de los equipos dará al coordinador elementos precisos para intervenir y poder apoyar el avance en el estudio del grupo.

El producto individual final sí es de elaboración progresiva; de modo que la versión final sólo podrá estar al terminar la última sesión del curso. La sugerencia para los participantes en el curso es que vayan elaborando notas conforme se avanza en su desarrollo. Estas notas derivarán del estudio y reflexiones personales sobre el siguiente contenido:

a) ¿Cómo explica usted el sentido que tiene para los alumnos de preescolar, la formación en pensamiento matemático?

b) Procesos de aprendizaje de los niños (rasgos que identifica en ellos, condiciones que influyen, etcétera).

c) La intervención docente para conocer a sus alumnos y favorecer sus competencias de pensamiento matemático en educación prescolar.

d) ¿Qué es necesario modificar e incorporar en las prácticas pedagógicas para favorecer las competencias de mis alumnos?

Este producto podrá elaborarse en archivo electrónico. Para su entrega es necesario

considerar que los maestros lo lleven impreso a la última sesión del curso y podrán añadir (escribiendo a mano) sus últimas reflexiones antes de dejar la sede del curso.

Para el caso de personal directivo y de asesoría, que no tienen un grupo de alumnos, el producto se dedicaría a hablar de los niños en general; en cualquier caso es fundamental que las reflexiones reflejen tanto el estudio, como el análisis de las prácticas que se proponen a lo largo del curso.

Criterios de acreditación La suma de los porcentajes que cada participante obtenga en los aspectos que refieren a la asistencia (8%), la participación individual (10%) y la participación en equipo y en pleno (10%), pueden alcanzar como máximo 28 puntos de la calificación final del curso taller. Asimismo, la suma de los productos de las sesiones (72%), pueden representar hasta 72 puntos.

Puntaje obtenido en el procedimiento de evaluación

Puntaje para el Programa de Carrera Magisterial

Entre 90 y 100 puntos 5





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¿EN QUÉ CONSISTE LA EXPERIMENTACIÓN PEDAGÓGICA?4 La experimentación pedagógica, como estrategia para el aprendizaje profesional, comprende diversas acciones y momentos de experimentación, consulta, análisis y reflexión (ver Tabla 1):

a) Comienza con el planteamiento de una situación didáctica diseñada para favorecer el desarrollo de una competencia, tomada del Programa de Educación Preescolar; su carácter distintivo –de otras situaciones didácticas- radica en que es diseñada para trabajar con adultos, para que los maestros pongan en juego sus competencias y que ello les permita obtener elementos para identificar y comprender qué implica participar en situaciones retadoras que nos demandan poner en juego capacidades (hacer inferencias, construir textos, elaborar explicaciones, resolver problemas mediante razonamientos matemáticos, poner a prueba ideas, crear obras plásticas, plantear y responder preguntas, observar, confrontar ideas y opiniones, buscar y/o acordar opciones de solución) en diversos contextos.

b) Con base en lo anterior, otro elemento importante en esta estrategia es la consulta en diversas fuentes de información científica referida al objeto con el que se interactúa al poner en juego las propias competencias (por ejemplo, en el caso de las situaciones de experimentación que hemos desarrollado con el personal directivo y técnico, se ha propiciado la consulta de información acerca del tangram, el conteo, la flotación, el cuento, el proceso de adquisición de la lengua escrita; en las situaciones que se han entregado diseñadas a los equipos estatales, se ha propiciado la consulta acerca de arco iris y escultura). Los propósitos de estas consultas son: conocer, saber más, rectificar ideas erróneas o incompletas; comprender; obtener elementos para elaborar, ampliar o profundizar explicaciones; en resumen, de lo que se trata es de aprender más acerca de los objetos de conocimiento implicados en las situaciones retadoras.

c) En esta estrategia es fundamental realizar las tareas y enfrentar los retos, además de realizar actividades de análisis y reflexión –individual y colectiva- que permitan tomar conciencia de qué implicó participar en la experiencia con las competencias que se proponen. Para ello, en esta estrategia se considera un momento en el cual se revisa la experiencia vivida.

d) En estrecha relación con lo anterior, se consulta información de carácter pedagógico con el propósito de ver, estudiar, conocer, analizar cómo los niños en educación preescolar pueden enfrentar retos interesantes, así como identificar cómo es posible provocar en ellos interés, entusiasmo y aprendizajes que valen la pena, mediante actividades que les implican poner en juego sus competencias. Para lograrlo, se ha procurado el análisis de textos que incluyen el registro de trabajo en aula con niños en edad preescolar; este análisis pretende también que los equipos que brindan asesoría obtengan elementos y puedan identificar las formas de intervención docente más pertinentes para impulsar las competencias de los niños y, en algunos casos, las contrasten con las formas de intervención que no resultan favorables o que resultan contradictorias con los propósitos y enfoques

4 Dirección de Desarrollo Curricular para la Educación Preescolar (2010), “¿En qué consiste la experimentación pedagógica?”, en El personal directivo y técnico en el proceso de aprendizaje que implica la reforma en la educación preescolar. Documento para la reflexión, México, SEP (Documento de trabajo utilizado en reunión con autoridades de educación preescolar de las entidades federativas), pp. 2-5. Versión actualizada en 2011.



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de la educación preescolar.

e) La realización de las actividades anteriores brinda elementos para esta siguiente etapa, que es diseñar una situación didáctica que sea congruente con los elementos que se han analizado y revisado, y que, además, deberá ponerse en práctica (por quien diseña la situación), con un grupo de preescolar. Si se va buscando comprensión de lo que implica poner en juego competencias propias, así como acerca de lo que significa intervenir para que los niños lo hagan también, el personal que asesora debe también hacer el esfuerzo y enfrentar el reto de diseñar situaciones y vivir la experiencia de aplicarlas con grupos de niños; sólo de esa manera pueden comprender mejor qué implica una intervención docente que favorece la participación de los niños y el desarrollo de sus competencias. En algunos casos, el diseño de la situación didáctica para trabajar con los niños puede hacerse a partir de hacer adaptaciones de la situación vivida como adultos; en otros se requiere pensar actividades completas para los niños. En este momento es fundamental prever la intervención docente en las actividades, la organización del grupo, los recursos necesarios, así como preguntas que no pueden faltar para provocar que los niños pongan en juego sus capacidades, es decir, para que desarrollen competencias.

f) La aplicación de la situación didáctica con grupo de preescolar demanda la atención en las reacciones de los niños; en términos generales: ¿qué hacen?, ¿de qué hablan?, ¿qué explicaciones elaboran?, ¿cómo son las interacciones en el grupo?, ¿en qué se manifiesta que ponen en juego la(s) competencia(s)? Es necesario hacer registros, documentar la experiencia para continuar con las actividades de análisis y reflexión.

g) A fin de que la experiencia no quede en anécdota, y de que realmente alimente el aprendizaje profesional, la secuencia continúa con sesiones de análisis y de reflexión sobre la experiencia, entre colegas. Los elementos para el registro y el análisis también son sugeridos en las fichas de trabajo de experimentación pedagógica que el equipo coordinador de la reforma entrega a los equipos estatales de base. En términos generales, de lo que se trata es de identificar qué demandaron las actividades a los niños, qué formas de intervención fueron propicias para la reflexión, la confrontación de ideas, etcétera; y qué cambia en relación con lo que se hacía antes.

La experimentación pedagógica abarca una amplia gama de actividades de experimentación, estudio, análisis, registro, reflexión con la intención de promover el aprendizaje profesional y así construir mejores elementos, ideas más sólidas para brindar asesoría al personal en los planteles.



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• Tomar del Programa de Educación Preescolar. Competencia o familia de competencias a favorecer

•Análogas a las que se plantean los niños (orientadas al desarrollo de competencias).

•Nivel de exigencia de la misma naturaleza. • Retadoras, que exijan observar, elaborar hipótesis, argumentar,

confrontar opiniones, modificar sus ideas, someterlas a prueba.

Situación para maestras/os (no para que adultos simulen ser

niños). EXPERIMENTAR ACTIVIDADES

•Para adquirir conocimiento, corregir ideas erróneas, comprender, reflexionar, explicarse…

•Seleccionar textos cuya información sea comprensible para quien asesora y quien será asesorado.

Lectura de textos (Obtener información científica,

relacionada con el contenido)

• Revisar el Programa, Módulos y otros materiales producidos en la reforma.

• Revisar una experiencia didáctica de preescolar

Análisis de textos en el ámbito didáctico

(lo que demanda la competencia)

•Diseño: ¿Cómo adaptar la que experimentaron, para trabajarla con los niños?

•¿Qué actividades? •¿Qué preguntas no pueden faltar? •¿Qué materiales, para hacerlos pensar, enfrentar y solucionar problemas…?

Situación didáctica para trabajarla con los niños

•¿A qué actividades intelectuales les obligaron las actividades de esa experiencia?

•¿Qué tuvieron que hacer para… (comprobar hipótesis, resolver el problema, etcétera)?

•¿Qué competencias y saberes se movilizan en los niños cuando participan en experiencias de este tipo?

Revisar la experiencia vivida (recapitular qué fue lo que ocurrió)

•¿Cómo reaccionan los niños a las actividades en la situación? (¿Qué hacen? ¿De qué hablan? ¿Qué explicaciones elaboran? ¿Cómo interactúan entre ellos?)

•¿Quiénes participan menos, cómo los involucra? •¿Qué aprendizajes de la competencia identifica?

Aplicación de la situación didáctica en grupo de niños

•Reflexión sobre la experiencia: para reconstruir la práctica (¿qué demandaron las actividades a los niños? ¿Qué formas de intervención propiciaron en ellos la reflexión, la confrontación de ideas, etcétera?.

• ¿Qué cambia en relación con lo que se hacía?

Reflexión sobre la práctica (Personal y compartida)

APRENDIZAJE

ILUSTRACIÓN 1. La experimentación pedagógica: Una estrategia para el aprendizaje profesional



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DESCRIPCIÓN DE LAS SESIONES



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Primera sesión

Desarrollo del pensamiento matemático en los niños: ¿hacia dónde orientar las prácticas? Introducción

En esta sesión se examinan planteamientos de estudiosos de la enseñanza de las matemáticas en preescolar, para identificar lo que suele hacerse en este nivel educativo y lo que es apropiado hacer para propiciar el desarrollo competencias en los niños.

Se revisan casos de sesiones típicas en educación preescolar con la intención de promover el análisis de la propia práctica, de lo que se pretende que los niños aprendan y formas de intervención docente favorables y poco favorables, desde la perspectiva de los planteamientos del Programa de Educación Preescolar 2011. Propósito específico

Identificar, a partir de lo que plantea el Programa de Educación Preescolar 2011 en el Campo formativo Pensamiento Matemático, qué pueden aprender los niños y qué tipos de experiencias y formas de intervención son favorables para ello. Materiales SEP (2011), Programa de Estudio 2011. Educación Básica. Preescolar, México, SEP. [Disponible en

http://www.reformapreescolar.sep.gob.mx/ACTUALIZACION/PROGRAMA/Preescolar2011.pdf] Cordero R. Sergio I. (2010), “Preparando gelatinas”, en El placer de aprender, la alegría de enseñar,

México, SEP, pp. 259-272. [disponible en http://www.reformapreescolar.sep.gob.mx/pdf/relatos.pdf]

Tabla con elementos centrales del campo formativo Pensamiento matemático, para análisis de un relato de educación preescolar relacionado con el campo formativo Pensamiento matemático.

Fuenlabrada, Irma (2005), “¿Cómo desarrollar el pensamiento matemático en los niños de preescolar?”, en Curso de formación y actualización profesional para personal docente de educación preescolar, Vol. I, México, SEP, pp. 279-296. [disponible en http://www.reformapreescolar.sep.gob.mx/pdf/volumen_1.pdf]

Producto relacionado con el trabajo de la sesión, sujeto a evaluación individual

Producto individual. Tabla: Análisis de relato de trabajo en aula y su relación con planteamientos centrales del campo formativo Pensamiento matemático en el Programa de Educación Preescolar.



http://www.reformapreescolar.sep.gob.mx/pdf/volumen_1.pdf



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Actividades

1. Reflexiones iniciales.

Individualmente. Responder por escrito la siguiente pregunta:

Personal docente: ¿Qué considero como lo más importante en el campo formativo pensamiento matemático?

Personal directivo y de asesoría: Según lo que he observado del trabajo pedagógico, ¿a qué se le da más importancia en las aulas, respecto al campo formativo pensamiento matemático?

Engrupo. Comentar las principales respuestas.

Individualmente. Leer, guiándose con las siguientes preguntas, los fragmentos de sesiones de trabajo en aula que se presentan después de ellas.

¿En qué se centra el trabajo de la maestra? ¿Qué ponen en juego los niños en las actividades que se muestran en los fragmentos

de sesiones de trabajo? ¿Qué relación hay entre lo que se observa en los fragmentos de sesiones de trabajo y

lo que se plantea en las competencias en el Programa de Educación Preescolar? (Se sugiere consultar el Programa para aclarar su perspectiva).

Fragmentos de sesiones de trabajo5

En un grupo de 2° Maestra:- ¿Qué hicimos ayer?... ¿Nadie se acuerda qué hicimos ayer? Niños: -Nooo. M:-Empezamos a hablar de las figuras geométricas, a ver vean el pizarrón porque ahí está registrado lo que hemos estado haciendo. N: -¡Un cuadrado, círculo y triángulo! M: -No, pero no todos los hicimos ayer… N: -¡El cuadro! M: -¿Pero cómo se llama? N: -¡Cuadrado! M: -Cuadrado, ¿y qué utilizamos para hacerlo? N: -¡Palitos! M: -¡Siii, palitos, ¿y cuántos lados tiene el cuadrado?

5 Tomados del seguimiento a la implementación del Programa, coordinado en la Dirección de Desarrollo Curricular para la Educación Preescolar en 2010. Los fragmentos se han seleccionado con fines de análisis y reflexión sobre el trabajo pedagógico. Los nombres de las personas involucradas han sido cambiados para preservar su anonimato.



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N: -Cuatro… M: -¿Y tiene líneas curvas o rectas? N: -Rectas.

En un grupo de 3° Maestra: ¿Qué haces? Niño: El círculo. M: ¿Cómo lo haces? N: Con la tapa y lo dibujo así (pone la tapa sobre el cuaderno y delinea el contorno)

En un grupo de 3° Maestra: -Pásenle para acá. Pásenle. Gabriel, pásale para repartir las banderas a tu equipo. ¿Ya saben como cuántas va a necesitar Gabriel? ¡A ver, shhh! ¿Cuántas banderas vas a necesitar? ….. Gabriel: –éstas… (Tomando unas pocas). M: -¿Estás seguro? No le digan. Cuántas te faltaron ¿Qué tienes que hacer para saber cuántas te faltaron? Gabriel: -Contarlas… M: -Bueno, vamos a contarlas. M: -No te oigo Gabriel (Gabriel cuenta en voz muy baja). M: -A ver, el otro equipo también va a venir por sus banderas. M: -Mariana tú, pasa tú, ¡shhh! ¡No le digan cuántas necesita! Mariana: -Seis. M: -¿Seis? bien, cuéntalas. Mariana: -Uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis. M: -¡!Shhh!! (Haciendo el ademán al resto del grupo para que no hablen mientras Mariana cuenta en voz alta). M: -Vamos a observar qué hace Mariana, si le faltan o le sobran… M: -¡Fuerte Mariana! M: -¡Shhh! M: -Déjenla a ella solita. M: -No te faltó nada? Mariana: -No. M: -¿Cómo le hizo Mariana para saber cuántas necesitaba? Niños: – ¡Pensar! ¡Contar! ¡Imaginar en su mente! M: -Pregúntenle a Mariana cómo le hizo… Mariana: -Conté a todos mis compañeros… M: -Bueno, ahora un niño de este equipo, mmmmh… ¿Qué tienes que hacer para saber cuántas hojas llevar? (El niño se queda pensativo)…Ya te dijo ahorita Mariana cómo… N: (Después de un momento) Contar. M:-Ok, hazlo… (El niño va contando a sus compañeros y luego dice ¡seis! M: -Bueno (y le da oportunidad para que el niño tome las hojas de sus manos. El niño reparte las hojas y le falta una). M: -¿Por qué le faltaría una a Iván? Algunos Niños: ¡Porque no se contó él!! Iván: -¡Ah sí es cierto!



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2. ¿Cómo desarrollar el pensamiento matemático en los niños?

Individualmente leer el texto de Irma Fuenlabrada, “¿Cómo desarrollar el pensamiento matemático en los niños de preescolar?”. Elaborar notas acerca de lo siguiente:

¿Qué prácticas respecto al trabajo con matemáticas en preescolar, son cuestionadas

por la autora? (qué tendencias señala, qué suele pedirse a los niños que hagan, con qué materiales); ¿por qué?

¿Qué destaca la autora respecto a lo que deberían hacer y aprender los niños en educación preescolar respecto a número, forma, espacio y medida?

¿Cómo puede o debe intervenir el docente para promover aprendizajes en los niños?

En equipo, comentar sus notas individuales y realizar las siguientes actividades:

Comentar: De acuerdo con Fuenlabrada, ¿qué prácticas respecto al trabajo con matemáticas en preescolar, son cuestionables? Y ¿por qué? (¿cómo explica la autora sus cuestionamientos; qué tendencias señala?, ¿qué suele pedirse a los niños que hagan, y con qué materiales?).

Señalar planteamientos del Programa (explicaciones del campo, competencias y aprendizajes esperados) que se relacionan con las propuestas de Fuenlabrada en relación con lo siguiente:

Lo que deberían hacer y aprender los niños en educación preescolar respecto a

número, forma, espacio y medida? Cómo puede o debe intervenir el docente para promover aprendizajes de los

niños?

Relacionar los planteamientos anteriores con su trabajo pedagógico (lo que hacen con sus alumnos).

En grupo, a partir de la presentación de un equipo, propiciar participaciones para dejar

establecidos los planteamientos del Programa y las propuestas centrales de Fuenlabrada, que se relacionan con ellos.

3. Análisis de experiencia de trabajo en aula.

Individualmente:

Revisar la tabla: Análisis de relato y su relación con planteamientos centrales del

enfoque del campo en el Programa (Anexo 1). Ésta contiene ideas centrales relacionadas con el campo formativo Pensamiento matemático, tomadas del Programa de Educación Preescolar.



18

Consultar la presentación del campo formativo e identificar las explicaciones e ideas más completas sobre lo que se registra en la tabla. Leer el relato “¡Preparando gelatinas!”, de Sergio I. Cordero. Usar la tabla para relacionar el relato y el programa:

Anotar en la columna de la derecha los pasajes o ideas centrales del relato (que marcaron anteriormente) que se relacionan con los planteamientos del Programa señalados en la columna izquierda de la tabla.

Es importante tener elementos para explicar lo que los niños hacen en función de las competencias de pensamiento matemático que se pretende favorecer en educación preescolar. Por esta razón es necesario consultar en el Programa de Educación Preescolar 2011 la presentación del campo formativo Pensamiento matemático, las competencias y los aprendizajes esperados.

En ternas:

Comentar lo que registraron en las tablas individuales. Con fundamentos tomados del Programa, explicar: En qué identifican que lo que los

niños hacen, tiene relación con las competencias que se pretende promover en la educación prescolar, en cuanto al aspecto Número.

Obtener conclusiones respecto a: Qué es necesario considerar en su trabajo docente para favorecer las competencias de los alumnos.

4. Qué considerar en el trabajo docente para favorecer las competencias de los alumnos.

Trabajo en grupo.

Comentarios generales sobre aspectos o ideas que hayan llamado la atención en la

revisión del relato. Presentación de las conclusiones de las ternas: Qué es necesario considerar en su

trabajo docente para favorecer las competencias de los alumnos.

Un equipo presenta sus conclusiones. Los demás equipos participan con comentarios y complementan en las partes en que se considere pertinente o necesario (de esta manera se construye un solo producto grupal).

Es importante que todos los participantes del grupo cuenten con el producto grupal final, a fin de que las ideas plasmadas (de lo que les parece “recuperable”) sean referente para desarrollar su trabajo en aula.

En grupo:



19

Comentar los productos de los equipos, a partir de la presentación de uno de ellos. Compartir las ideas centrales de los productos de equipo.

Tarea

Leer el texto de Fuenlabrada, ¿Hasta el 100?... ¡No! ¿Y las cuentas?... ¡Tampoco! Entonces… ¿Qué? (Fuenlabrada I., SEP 2009). [Disponible en http://www.reformapreescolar.sep.gob.mx/pdf/FUENLABRADA.pdf]

Elaborar fichas de trabajo referidas a:

Ideas clave sobre cómo se desarrollan las competencias en matemáticas.

¿Qué implica la resolución de problemas en un plano general? ¿Qué en lo que refiere específicamente a número?

Ideas clave sobre la relación semántica entre los datos de un problema. (Recurrir a los ejemplos para que se explicite la relación semántica).




20

Segunda sesión

Proponer y resolver problemas: Los retos para docentes y alumnos Introducción

En esta sesión, mediante la revisión de los resultados del estudio de Irma Fuenlabrada, se examinan prácticas comunes en los Jardines de niños en nuestro país, relacionadas con tradiciones, más que con el sentido formativo y lo que se busca favorecer en el desarrollo de competencias de los niños. Asimismo, se analizan aspectos esenciales a tomar en cuenta para plantear las situaciones didácticas que implican retos intelectuales a los niños: cómo trabajar en equipos, qué tipos de problemas plantearles, cómo presentar y sostener la consigna, la importancia de la confrontación de resultados.

El trabajo en esta sesión se centra en el aspecto número (del Programa de Educación Preescolar 2011). Propósito específico

Comprender qué significa para la función docente, plantear retos a los niños -relativos a resolución de problemas- para desarrollar competencias de pensamiento matemático.

Material Fuenlabrada, Irma (2009), ¿Hasta el 100?... ¡No! ¿Y las cuentas?... ¡Tampoco! Entonces… ¿Qué?,

México, SEP, (disponible en http://www.reformapreescolar.sep.gob.mx/pdf/FUENLABRADA.pdf)

Fuenlabrada, Irma (2011), “Presentación” y “Consideraciones generales: algunas anticipaciones”, en ¿Es posible desarrollar el pensamiento matemático en preescolar? La realidad del aula (Reporte de la Investigación evaluativa de la implementación del Programa de Educación Preescolar 2004 en el Campo Pensamiento Matemático. Versión preliminar), México, SEP, pp. 3-5 y 32-35.

SEP (2011), Programa de Estudio 2011. Educación Básica. Preescolar, México, SEP. [Disponible en http://www.reformapreescolar.sep.gob.mx/ACTUALIZACION/PROGRAMA/Preescolar2011.pdf] Producto relacionado con el trabajo de la sesión, sujeto a evaluación individual

Producto de equipo. Esquema, mapa conceptual (a elegir) sobre Resolución de problemas en preescolar. Retos para los niños (Actividad 2).





21

Actividades

1. La expresión del enfoque pedagógico de Pensamiento matemático en la intervención docente.

De manera individual leer el texto “Presentación” y “Consideraciones generales: algunas

anticipaciones”, de Irma Fuenlabrada y señalar las ideas relevantes que se relacionen con lo siguiente:

Importancia de la consigna en el desarrollo de una situación didáctica:

¿Qué es la consigna? ¿Qué elementos tendría que cumplir ésta? Consideraciones que es importante tener en cuenta en relación con la consigna

para el desarrollo de situaciones didácticas que implican resolver problemas.

¿Qué es necesario evitar y transformar en la educación preescolar, para trabajar de acuerdo a lo que proponen la autora y el PEP?

Rasgos de la intervención docente que son favorables para un óptimo desarrollo de

competencias matemáticas.

En equipo.

Realizar las actividades que se proponen, según el número de equipo que corresponda. En todos los casos es recomendable que incluyan experiencias propias para ejemplificar los elementos que propone y cuestiona Fuenlabrada:

Equipos Actividades

1, 3 y 5

Analizar y preparar presentación de los elementos centrales que plantea Fuenlabrada respecto a:

Importancia de la consigna en el desarrollo de una situación didáctica: ¿Qué es la consigna? ¿Qué elementos tendría que cumplir ésta? Consideraciones que es importante tener en cuenta en relación con la consigna

para el desarrollo de situaciones didácticas que implican resolver problemas. ¿Qué es necesario evitar y transformar en la educación preescolar, para trabajar de

acuerdo a lo que proponen la autora y el PEP?

2, 4 y 6

Analizar y preparar presentación de los elementos centrales que plantea Fuenlabrada respecto a la intervención docente:

Rasgos de la intervención docente que son favorables para un óptimo desarrollo de competencias matemáticas.



22

¿Qué es necesario evitar y transformar en la educación preescolar, para trabajar de acuerdo a lo que proponen la autora y el PEP?

En grupo, uno de los equipos nones expone su presentación. Los demás equipos pares

complementan y exponen sus propios ejemplos (uno por cada punto de la presentación).

2. Resolución de problemas en preescolar. Retos para los niños.

Individualmente. Identificar en el Programa de Educación Preescolar 2011 las explicaciones –en la presentación del campo-, las competencias y los aprendizajes esperados que se refieren al conteo.

En equipo. Con las fichas individuales de trabajo –producto de la lectura- ¿Hasta el 100?... ¡No! ¿Y las cuentas?... ¡Tampoco! Entonces… ¿Qué?

Identificar y elaborar tres productos (mapas conceptuales, esquemas, tablas, etc.) para

explicar:

Cómo se desarrollan las competencias en los niños, en relación con las matemáticas. Relacionar los planteamientos centrales de estas ideas con los del Programa de Educación Preescolar 2011 (presentación del campo formativo, competencias y aprendizajes esperados).

Las recomendaciones didácticas en el Programa y las que hace la Mtra. Fuenlabrada para el trabajo en preescolar.

La relación semántica entre los datos de un problema. Recurrir a los ejemplos de tipos de problemas que se presentan a continuación para explicitar la relación semántica (en cada problema: ¿qué información se conoce, qué se busca y qué acción debe realizarse para resolverlo?).

Tipos de problemas6

Agregar Claudia tenía 3 adornos para la cabeza y cuando fue a la tienda le compraron 5 más ¿Cuántos adornos para la cabeza tiene Claudia ahora? Reunir Pedro tiene 3 pelotas azules y Claudia tiene 5 rojas. ¿Cuántas pelotas tienen entre los dos? Quitar Había 8 focas jugando, 3 se fueron a nadar. ¿Cuántas focas se quedaron jugando? Igualar

6 Tomados de SEP (2005), Curso de formación y actualización profesional para el personal docente de educación preescolar. Volumen 1, México, SEP, pp. 230-231.



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Laura tiene 3 cochecitos y Luis tiene 8. ¿Cuántos cochecitos necesita Laura para tener la misma cantidad de cochecitos que Luis? Comparar Mary tiene 3 estampas y Juan tiene 8. ¿Cuántas estampas más tiene Juan que Mary? Repartir Carla tiene 9 dulces y los va a repartir entre sus 3 amigos. A todos les quiere dar la misma cantidad de dulces. ¿Cuántos dulces le tocan a cada uno?

En grupo, los equipos presentan sus productos; se sugiere que sea de la siguiente forma:

Los equipos Presentan el producto relativo a

1 y 4 Cómo se desarrollan las competencias en los niños, en relación con las matemáticas. Relacionar los planteamientos centrales de estas ideas con los del Programa de Educación Preescolar 2011.

2 y 5 Las recomendaciones didácticas que hace la Mtra. Fuenlabrada para el trabajo en preescolar.

3 y 6 La relación semántica entre los datos de un problema. Recurrir a los ejemplos de tipos de problemas para apoyar sus explicaciones.

3. Resolución de problemas matemáticos en preescolar. Retos para docentes y niños.

Individualmente. Planificar una sesión de trabajo con alumnos de preescolar, centrada en la

resolución de problemas. Usar el siguiente problema: Pedro tiene 3 pelotas azules y Claudia tiene 5 rojas. ¿Cuántas pelotas tienen entre los dos?

Identificar qué competencia y aprendizajes esperados promoverá en los niños

mediante la resolución del problema. Tomar en cuenta la organización de equipos de 4-5 niños (máximo 5). Decidir cuál será la consigna y qué hará para asegurarse de que los niños la

comprendan? Analizar cuidadosamente sus planteamientos; imaginar lo que implicará cuando los niños la escuchen y traten de llevar a cabo la acción; debe quedar claro que entre los integrantes del equipo darán una respuesta (no se trata de obtener 4-5 respuestas).

Prever cómo se promoverá la confrontación de resultados.

Es muy importante que en la planificación de esta situación didáctica (problema) consideren lo que han podido avanzar en el análisis durante el curso. Para este momento ya habrán revisado cuidadosamente algunos planteamientos del Programa de Educación Preescolar, así como algunas situaciones cuestionables y propuestas didácticas en los otros textos revisados. Tarea Poner en práctica la situación diseñada:



24

Observar, escuchar y registrar precisamente lo que los niños de un equipo hacen para resolver el problema.

Sobre su intervención, registrar notas acerca de:

¿El trabajo se centró en la resolución del problema, o hubo actividades que usted

detecta como innecesarias porque se perdió la atención en el problema? ¿Cómo logró –o no- sostener la consigna durante el desarrollo de la situación

didáctica? Cómo planteó a los niños la confrontación de resultados:

¿A quiénes pidió que explicaran su resultado (a equipos que tenían resultados o

que usaron procedimientos similares o diferentes)? ¿Cómo reaccionaron los niños ante la solicitud de dar a conocer cómo

resolvieron o –en su caso- sus resultados?

Alguna(s) dificultad(es) en su intervención con los niños. Cambios realizados a la situación didáctica diseñada y explicar por escrito por qué se

hicieron éstos y cuándo (antes o durante la situación).



25

Tercera sesión

Proponer y resolver problemas: retos para docentes y alumnos (2ª parte) Introducción

En esta sesión se continúa el análisis de lo que implica proponer y resolver problemas, para el docente y para los niños, respectivamente, con la intención de desarrollar competencias.

En correspondencia con las actividades de la sesión anterior y del trabajo práctico en aula con grupo de preescolar que quedó como tarea, en esta sesión se analizan las formas de acción de los niños y sus reacciones ante el problema propuesto, y las formas de intervención docente: la organización de las actividades, el planteamiento de la consigna a lo largo de ellas, los retos que enfrentaron los docentes tanto para coordinar las actividades, como para concluirlas y para realizar la confrontación de resultados de los niños. Un insumo esencial para el inicio de la sesión son los registros de los docentes sobre su experiencia en aula, tanto en lo que se refiere a las participaciones de los niños, como a sus propias intervenciones. Propósito específico

Identificar, a través de la reflexión, los rasgos que caracterizaron su intervención durante la experiencia de trabajo docente relacionada con la propuesta y resolución de problemas matemáticos de número. Material Fuenlabrada, Irma (2011), El desarrollo de la ubicación espacial en niños de preescolar (Cátedra

Ignacio Manuel Altamirano, Barra de Verano 2011, de EDUSAT), México, SEP (Video en DVD). SEP (2011), Programa de Estudio 2011. Educación Básica. Preescolar, México, SEP. [Disponible en

http://www.reformapreescolar.sep.gob.mx/ACTUALIZACION/PROGRAMA/Preescolar2011.pdf] Producto relacionado con el trabajo de la sesión sujeto a evaluación individual

Individual. Registro de notas personales, producto de la puesta en práctica de una situación didáctica de conteo (diseñada en la sesión anterior del curso). Actividades

1. Revisión de experiencia de trabajo en aula.

En grupo. Comentarios generales acerca de la experiencia de trabajo en aula:




26

¿Cómo se sintieron?, ¿cuál fue el principal reto que identificaron en relación con la intervención docente?

¿Qué pueden decir acerca de lo que descubrieron o identifican en las competencias de sus alumnos?

En ternas. Realizar un intercambio de la experiencia, con base en sus registros, considerando

lo siguiente:

¿Qué pueden decir acerca de lo que habían previsto y lo que sucedió en realidad? ¿De qué se percataron, en cuanto a las competencias de sus alumnos? ¿Cómo les resultó el manejo que hicieron de la consigna? (cómo la plantearon, ¿la

pudieron sostener a lo largo de la situación o actividad?, ¿fue clara para los niños y pertinente para poner en juego competencias? ¿Por qué?

¿Qué hicieron los niños para resolver el problema? ¿Cómo realizaron la confrontación de resultados? ¿Qué permitió ésta a los niños, en

cuanto a poner en juego sus competencias?, ¿por qué?

Preparar una síntesis de ideas centrales para comentar en grupo.

En grupo. Comentar las ideas esenciales del intercambio que tuvieron en ternas, con base en el mismo guión de trabajo de las ternas.



27

Cuarta sesión

Experimentación pedagógica: una estrategia para el aprendizaje profesional. Relaciones espaciales Introducción

En esta sesión se inicia una secuencia de experimentación pedagógica7 referente a las relaciones espaciales. Se realiza una situación didáctica para adultos (relacionada con la competencia “Construye sistemas de referencia en relación con la ubicación espacial”8); se consulta información y se hace análisis de la experiencia vivida.

Con base en esta parte de la secuencia de experimentación pedagógica se propone iniciar la reflexión sobre la propia práctica, a fin de identificar lo que es necesario modificar para promover competencias de pensamiento matemático en los niños. Propósitos específicos

Reflexionar acerca de lo que implica poner en juego la competencia “Construye sistemas de referencia en relación con la ubicación espacial”.

Discutir lo que los niños van a aprender sin ir a la escuela y lo que tienen que aprender en ella respecto a las relaciones espaciales, como parte del desarrollo de competencias de pensamiento matemático.

Materiales Broitman, C. (2000), “Reflexiones en torno a la enseñanza del espacio”, en: De Cero a Cinco nº 22,

Novedades Educativas, Buenos Aires, pp. 24-41. SEP (2011), Programa de Estudio 2011. Educación Básica. Preescolar, México, SEP, pp. 21-24.

[Disponible en http://www.reformapreescolar.sep.gob.mx/ACTUALIZACION/PROGRAMA/Preescolar2011.pdf]


Fuenlabrada, Irma (2011), El desarrollo de la ubicación espacial en niños de preescolar (Cátedra Ignacio Manuel Altamirano, Barra de Verano 2011, de EDUSAT), México, SEP (Video en DVD).

Reproductor de video o computadora y proyector. Bocinas (es necesario prever que se escuche bien en toda el aula).

7 Ver explicación del proceso en la pp. 11 de este documento.

8 Tomada de SEP (2011), Programa de Estudio 2011. Educación Básica. Preescolar, México, SEP, pp. 58.




28

Papelería

Pliegos de papel bond Lápices Goma para borrar

Producto relacionado con el trabajo de la sesión sujeto a evaluación individual

Individual. Reflexiones acerca de Qué es necesario cambiar en su propia práctica, a fin de organizar situaciones didácticas que realmente apoyen el desarrollo de competencias en los alumnos (actividad del punto V, inciso b, de Experimentación pedagógica). Actividades

1. Elaboración de croquis del aula.

I. Competencia.

Construye sistemas de referencia en relación con la ubicación espacial9.

II. Situación para maestros.

a) De manera individual, elaborar un croquis del espacio (aula) en que se encuentran en este momento tomando el curso.

b) En equipos de 3 personas:

Ver y comparar sus producciones gráficas. Comentar las diferencias y coincidencias (si las hay) ¿A qué las atribuyen?

c) En grupo comentar:

¿Qué tuvieron que hacer para elaborar un croquis del aula (o el espacio) en el que se

encuentran? ¿Qué les demandó representar gráficamente el espacio? ¿Qué pensaban mientras observaban el espacio y decidían cómo representarlo?

9 Op cit.



29

III. Consulta de información.

a) En grupo.

Ver el primer bloque en video (del minuto 4:46 al minuto 28) de El desarrollo de la ubicación

espacial en niños de preescolar, con Irma Fuenlabrada. Al terminar de ver esta parte del video se trabajará en torno a las siguientes cuestiones:

¿Qué saben los niños sobre ubicación espacial antes de entrar a la escuela? ¿Qué se espera que aprendan los niños en el nivel prescolar, sobre relaciones

espaciales? ¿Qué es necesario considerar en las situaciones didácticas en preescolar para

promover el desarrollo de competencias en los niños? ¿Qué problemas señala Fuenlabrada en las situaciones que -ha observado- hacen las

educadoras en las aulas?

IV. Revisión de la experiencia vivida.

a) Trabajo en equipos. A partir de su experiencia con la elaboración del croquis del aula, comentar:

¿Qué tuvieron que hacer para representar el espacio en el croquis? ¿Qué actividades

intelectuales estuvieron implicadas en la elaboración del croquis? ¿Qué relaciones de ubicación utilizaron para representar el espacio? ¿Cómo usaron el

conocimiento que tienen de las relaciones espaciales? ¿Qué competencias –aprendizajes esperados- se movilizan en los niños cuando participan en

experiencias de este tipo?

b) Comentar en grupo las ideas esenciales de sus respuestas a las preguntas anteriores. Tarea

Individualmente. Con base en lo identificado anteriormente -en las críticas y propuestas de Fuenlabrada-, reflexionar unos minutos y elaborar un escrito acerca de lo que identifica como necesario de cambiar en su práctica docente, a fin de organizar situaciones didácticas que apoyen el desarrollo de competencias en sus alumnos. Justificar sus ideas, tomando como referentes los textos y el video analizado. Este producto se considerará en la evaluación del curso.



30

Quinta sesión

Experimentación pedagógica. Relaciones espaciales (2ª parte). Introducción

En la quinta sesión continúa la secuencia de experimentación pedagógica, con el análisis de textos del ámbito didáctico; esto implica revisar experiencias de trabajo en aula en las que se expone cómo los niños resuelven problemas y realizan acciones relacionadas con las competencias (y los aprendizajes esperados) que se proponen para la educación preescolar, así como también las formas de intervención docente que lo favorecen.

Otra parte de la sesión se dedica a revisar una situación didáctica, prever los materiales y formas de intervención que se requerirán para desarrollarla con un grupo de preescolar. Cabe la posibilidad de que, de acuerdo con el conocimiento que los docentes tienen de sus alumnos, hagan ajustes o modificaciones a dicha situación didáctica.

En este punto de la sesión es importante conservar la idea central de la situación didáctica, porque interesa que la revisión y el análisis de la experiencia se puedan centrar en referentes comunes. Propósito específico Mediante la realización de las actividades de la sesión se pretende que los participantes identifiquen algunos rasgos que en las prácticas pedagógicas, propician la participación y el razonamiento matemático en los niños, en congruencia con el sentido formativo de este nivel educativo. Materiales Broitman, C. (2000), “Reflexiones en torno a la enseñanza del espacio”, en: De Cero a Cinco nº 22,

Novedades Educativas, Buenos Aires, pp. 24-41. SEP (2011), Programa de Estudio 2011. Educación Básica. Preescolar, México, SEP, pp. 21-24.

[Disponible en http://www.reformapreescolar.sep.gob.mx/ACTUALIZACION/PROGRAMA/Preescolar2011.pdf]

Producto relacionado con el trabajo de la sesión sujeto a evaluación individual Producto individual. Planificación de una situación didáctica que involucra establecer relaciones espaciales, para realizarla con grupo de educación prescolar.




31

Actividades

V. Análisis de textos en el ámbito didáctico (El espacio fuera y dentro de la escuela. ¿Qué aprenden los niños y qué hay que enseñarles?).

a) Individualmente, leer el texto de Broitman e identificar:

Problemas en el trabajo con el espacio en la escuela infantil (preescolar) y críticas que hace de las actividades que suelen realizarse en preescolar.

Broitman plantea que la escuela debe ofrecer a los alumnos oportunidades para resolver nuevos problemas y realizar conceptualizaciones:

¿Qué se espera que los niños puedan hacer? ¿Qué relación hay entre los planteamientos de Broitman y los del Programa de

Educación Preescolar 2011? Coincidencias con las explicaciones y propuestas de Fuenlabrada en “El desarrollo de la ubicación espacial en niños de preescolar” (video revisado anteriormente).

Propuestas para la enseñanza:

¿Qué tipo de problemas matemáticos referentes a las relaciones espaciales propone la

autora que resuelvan los niños? ¿Qué tipo de actividades es conveniente hacer? ¿Qué relación tienen las propuestas de problemas y actividades con los planteamientos

en la presentación del campo formativo Pensamiento matemático y con las competencias (y aprendizajes esperados) del aspecto “Forma, espacio y medida” (en este mismo campo formativo)?

Sugerencias y propuestas en relación con la intervención docente.

b) En grupo, comentar las ideas centrales de lo que identificaron en el texto de Broitman, en relación con los puntos y preguntas anteriores (en la lectura individual).

VI. Situación didáctica para trabajar con los niños.

a) En ternas, revisar la siguiente situación didáctica. Se sugiere retomar las notas y el producto

anterior (en el texto de Broitman), así como los planteamientos del Programa de Educación Preescolar 2011.

Situación didáctica de relaciones espaciales (elaboración de croquis del aula)

Competencia: Construye sistemas de referencia en relación con la ubicación espacial. Aprendizajes esperados:

Establece relaciones de ubicación entre su cuerpo y los objetos, así como entre



32

objetos, tomando en cuenta sus características de direccionalidad, orientación, proximidad e interioridad.

Explica cómo ve objetos y personas desde diversos puntos espaciales: arriba, abajo, lejos, cerca, de frente, de perfil.

Materiales (para cada niña/o):

Hoja de papel tamaño carta. Lápiz. Goma para borrar.

Actividades:

Sugerir a los niños elaborar un croquis del salón, para que otras personas (otros maestros) sepan cómo es y qué hay en él. Cada quien va a elaborar su croquis (Ver sugerencias*).

Consigna: Vamos a elaborar el croquis del salón para que otras personas sepan cómo es y qué tenemos aquí. Cada quien va a hacer su croquis; luego vamos a ver cómo los hicieron.

Comparar tres o cuatro producciones (Ver sugerencias**).

Sugerencias para coordinar el trabajo con los niños:

(*) El/la docente podría comentar a sus alumnos que se encuentra tomando un curso y que a los maestros de su grupo les gustaría saber cómo es el salón en el que trabajan; si los niños no conocen croquis, podría enseñarles el suyo.

(**) Conforme vayan elaborando el croquis, es importante que el/la educador/a observe cómo lo hacen sus alumnos; al terminar el docente propone a ciertos niños que muestren y expliquen su croquis al resto del grupo. Para seleccionar quiénes lo expondrán, es importante considerar cómo lo hicieron y valorar por qué vale la pena que esos niños expongan10. Pueden ser representaciones gráficas que no tengan nada en común, por ejemplo, y que se pueden contrastar; o puede ser que muestren diferente perspectiva (es una manera de hablar de la perspectiva con la que se ven las cosas, dependiendo de la posición del observador en relación con los objetos que se representan). En cualquier caso, es fundamental cuidar la integridad y dignidad de los niños. De ninguna manera es aceptable hacer comentarios que pueden afectar los niños (del tipo: “mira qué mal lo haces”, “no pudiste nada… porque no pones atención”, etc.). Lo importante es que el docente ponga atención a cómo lo hacen los niños, qué elementos incorporan, cómo razonan y las relaciones espaciales que utilizan. La idea es que la situación provoque que pongan eso en juego y que cada vez lo hagan de manera más precisa y clara.

Pida a los niños que anoten el nombre de los objetos que representan en su croquis. En caso necesario, anote también usted para recordar lo que ellos representaron.

10 Muchas participaciones en las aulas de prescolar son de los niños que “se hacen más visibles” todos los días: quienes levantan la mano o lideran –de cierta forma- a una parte del grupo.



33

b) Comentar en grupo la situación didáctica propuesta.

c) Comentar cómo prevén su intervención para que los niños –como dice en los aprendizajes

esperados- establezcan relaciones tomando en cuenta direccionalidad, orientación, proximidad e interioridad, y para que expliquen cómo ven los objetos.

VII. Aplicación de la situación didáctica en grupo de niños. Tarea

1. Actividad práctica en aula.

Observar, escuchar y tomar nota de formas diferentes en que los niños actúan, en función del(os) aprendizaje(s) esperado(s) que se planea los niños pongan en juego: cómo establecen las relaciones de ubicación entre su cuerpo y los demás objetos (que están en el espacio que representarán gráficamente); cómo explican lo que ven.

Tomar nota de lo que hace usted como docente para que los niños pongan en juego la

competencia prevista.

Registrar por escrito: ¿Qué relación hay entre las expectativas que tenía de sus alumnos y lo que sucedió en la práctica? ¿Qué reflexiones le provoca esta contrastación?

Recopile 4 croquis que se caractericen por diversas formas de representación. Pida al niño o a

la niña que lo hizo, que le explique lo que representó, escríbalo en otra hoja y adjúntela a la representación del(a) niño(a).

2. Presentarse a la siguiente sesión con sus registros, sus notas relacionadas con la experiencia

de trabajo en aula y con los productos de 4 niños.



34

Sexta sesión

Experimentación pedagógica. Relaciones espaciales, desplazamientos y su representación gráfica Introducción

Como parte del proceso de experimentación pedagógica, en la sesión anterior se presentó y revisó una propuesta de situación didáctica para trabajar con grupo de niños de preescolar (esto último es la tarea a realizar entre la quinta sesión y la sexta) relativa a la representación de un espacio conocido por los niños y el establecimiento de relaciones espaciales entre los objetos que se encuentran en ese espacio (su aula).

El siguiente momento en el proceso de experimentación pedagógica es la reflexión sobre la práctica. La sesión inicia con los comentarios y reflexiones acerca de la experiencia, y se avanza en el análisis didáctico, en congruencia con los planteamientos sobre el campo que se han revisado hasta el momento (en las sesiones anteriores).

En esta sesión, además se inicia otra secuencia de experimentación pedagógica, referida a desplazamientos y su representación. Cabe recordar que una manera de comprender lo que los niños ponen en juego al enfrentar retos es realizar, como adultos, acciones de naturaleza semejante, revisar la experiencia y aprender más a partir de ello. Por esta razón, y por la poca incidencia en el manejo de estos contenidos con los niños (de acuerdo con el trabajo de investigación evaluativa en el nivel preescolar, realizada por Irma Fuenlabrada), se consideró la conveniencia de iniciar inmediatamente –en este curso- una nueva secuencia de experimentación pedagógica. Propósitos específicos

Analizar aspectos de los procesos de aprendizaje de los niños y de intervención docente, fundamentales para ser tomados en cuenta en el diseño de situaciones didácticas con la intención de favorecer en sus alumnos la competencia “Construye sistemas de referencia en relación con la ubicación espacial”.

Revisar aspectos centrales del trabajo didáctico propio, con el fin de identificar aquellos aspectos que resultan positivos y lo que es necesario modificar en sus prácticas para favorecer competencias de pensamiento matemático de sus alumnos.



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Material Registros personales de experiencia de trabajo en aula con grupo de preescolar (en relación con la

competencia “Construye sistemas de referencia en relación con la ubicación espacial” 11). SEP (2011), Programa de Estudio 2011. Educación Básica. Preescolar, México, SEP. [Disponible en

http://www.reformapreescolar.sep.gob.mx/ACTUALIZACION/PROGRAMA/Preescolar2011.pdf] Notas personales tomadas del material de Fuenlabrada (video) y Broitman. Producto relacionado con el trabajo de la sesión sujeto a evaluación individual En equipo. Análisis de la experiencia de trabajo en aula (actividad VIII. b). Actividades Experimentación pedagógica (continúa secuencia de elaboración de croquis).

1. Reflexión sobre la práctica.

a) En grupo. Comentar en términos generales cómo se sintieron en la experiencia de trabajo en aula. Qué les sorprendió o conocieron de sus alumnos (que antes no sabían que ellos podían hacer).

b) En equipos de 3 personas:

Con base en las notas personales de la experiencia de trabajo en aula y los productos de sus

alumnos, comentar:

Cómo establecieron los niños las relaciones de ubicación entre su cuerpo y los demás objetos.

Cómo explicaron sus alumnos lo que hicieron. Qué hicieron como docentes para que los niños pusieran en juego la competencia

prevista. ¿Qué dificultades tuvieron para orientar a los niños para poner en juego sus competencias?, ¿cómo enfrentaron esas dificultades?

¿Qué relación hay entre las expectativas que tenían de sus alumnos y lo que sucedió en la práctica? ¿Qué reflexiones les provocó esta contrastación?

11 SEP (2011), Programa de estudio 2011. Educación Básica. Preescolar, México, SEP, pp. 58.




36

Elaborar una síntesis de su intercambio, que dé cuenta de los diversos puntos de vista y respuestas dadas a las cuestiones anteriores. Este producto será considerado en la evaluación del curso.

c) En grupo.

Presentar los productos de equipos. Cierre de la secuencia de experimentación pedagógica:

Elaborar conclusiones respecto a lo siguiente: Para favorecer competencias…

¿Qué es necesario tomar en cuenta, respecto a los procesos de aprendizaje de los niños?

¿Qué es necesario modificar (transformar o incorporar) en su práctica?, ¿por qué? Es conveniente que este producto se elabore en pliegos de papel bond y quede a la vista del

grupo para su consulta en las siguientes sesiones.

La ruta Materiales

Reproductor de DVD (o computadora con reproductor de DVD con bocinas). Rotafolio. Pliegos de papel bond. Marcadores. Croquis de los alrededores del Palacio de Bellas Artes de la Cd. De México. Hojas tamaño carta. Lápiz y goma para borrar.

Bibliografía Hernández, María Isidra (2010), “Juego de piratas”, en El placer de aprender, la alegría de enseñar,

México, SEP, pp. 219-225. (disponible en http://www.reformapreescolar.sep.gob.mx/pdf/relatos.pdf)

SEP (2008), Juego y aprendo con mi material de preescolar. Tercer grado, México, SEP, pp. 21. SEP (2011), Programa de Estudio 2011. Educación Básica. Preescolar, México, SEP. [Disponible en

http://www.reformapreescolar.sep.gob.mx/ACTUALIZACION/PROGRAMA/Preescolar2011.pdf] Fuenlabrada, Irma (2011), El desarrollo de la ubicación espacial en niños de preescolar (Cátedra

Ignacio Manuel Altamirano, Barra de Verano 2011, de EDUSAT), México, SEP (Video en DVD).





37

I. Competencia.

Construye sistemas de referencia en relación con la ubicación espacial12.

II. Situación para maestros.

De manera Individual. Escuchar atentamente las indicaciones que le darán para usar el croquis;

éstas permitirán diseñar una ruta para ubicar cinco lugares que podrá conocer en su próxima visita al centro histórico de la Ciudad de México.

12 Op. Cit.

Resolver problem

as, a

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38

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40

a) En grupo. Mencionar el nombre de los 5 lugares a los que llegaron. b) Individualmente. Diseñar una ruta diferente para visitar los mismos sitios (no es necesario que sea

en el mismo orden); evitar pasar por las mismas calles. Cabe recordar que el punto de partida debe ser la estación Hidalgo del metro.

Elaborar por escrito la descripción de su nueva ruta.

c) En parejas:

Intercambiar sus descripciones escritas de la nueva ruta. Trazar en su mapa –con un color diferente- la ruta de la descripción de su pareja.

d) En grupo responder las siguientes preguntas:

¿Qué tuvieron que hacer para trazar la primera ruta siguiendo las instrucciones? ¿Qué demandó describir por escrito el recorrido que cada uno diseñó? Con las instrucciones que recibió –en el trabajo por parejas- ¿logró trazar el mismo recorrido

que ella diseñó? ¿Por qué? ¿Qué diferencias identifica entre describir de manera oral y de manera escrita la ruta para

llegar a un lugar? III. Consulta de información.

a) En grupo.

Ver el video (a partir del minuto 28 y hasta el final) de El desarrollo de la ubicación espacial en

niños de preescolar, con Irma Fuenlabrada. Tomar nota de las ideas relevantes relacionadas con lo siguiente:

¿Qué es necesario considerar en las situaciones didácticas en preescolar para

promover el desarrollo de competencias en los niños? ¿Qué se espera que los niños aprendan:

en relación con desplazamientos? en relación con la representación gráfica de recorridos y laberintos?

¿Qué señala la autora respecto a las diferencias entre los niños? La importancia de observar los efectos de la enseñanza.

Preparar un producto para presentar en grupo.



41

Séptima sesión

Experimentación pedagógica. Relaciones espaciales, desplazamientos y su representación gráfica (2ª parte) Introducción

En esta sesión del curso continúa la secuencia de experimentación pedagógica, a partir de la revisión de la experiencia vivida; se continúa con el análisis de textos en el ámbito didáctico.

Finalmente se revisa una propuesta de situación didáctica para desarrollar en un grupo de preescolar; en este caso es posible hacer modificaciones, que se registrarán en un plan, en función de lo que -desde cada docente- sea conveniente precisar, pero no para cambiar el sentido de las actividades. Es importante conservar el sentido de éstas, puesto que se analizará qué hacen los niños y qué hace el docente para que los niños pongan en juego la competencia prevista. Con esta propuesta se busca asegurar que habrá referentes comunes para el trabajo pedagógico y para el análisis posterior. Propósitos específicos

Analizar qué implica poner en juego la competencia “Construye sistemas de referencia en relación con la ubicación espacial”14 al hacer desplazamientos y representarlos gráficamente.

Planificar una situación didáctica en la que niños de un grupo de educación preescolar pongan en juego la competencia “Construye sistemas de referencia en relación con la ubicación espacial”15.

Materiales SEP (2011), Programa de Estudio 2011. Educación Básica. Preescolar, México, SEP. [Disponible en

http://www.reformapreescolar.sep.gob.mx/ACTUALIZACION/PROGRAMA/Preescolar2011.pdf] SEP (2010), “El camino más corto. Ciudad”, en Juego y aprendo con mi material de preescolar, México,

SEP (2ª edición), pp. 21.

14 Op. Cit. 15 Id.




42


Fuenlabrada, Irma (2011), El desarrollo de la ubicación espacial en niños de preescolar (Cátedra Ignacio Manuel Altamirano, Barra de Verano 2011, de EDUSAT), México, SEP (Video en DVD).

Reproductor de DVD (o computadora con reproductor de DVD con bocinas). Papelería

Rotafolio. Pliegos de papel bond. Marcadores.

Producto relacionado con el trabajo de la sesión sujeto a evaluación individual

Individual. Plan de situación didáctica (a partir de una propuesta revisada) para desarrollar con grupo de educación preescolar. Actividades

1. Experimentación pedagógica (La ruta. Continúa). IV. Revisión de la experiencia vivida.

a) Trabajo en equipos. A partir de su experiencia con el uso del croquis del centro de la Cd. de

México, comentar:

¿Qué tuvieron que hacer para seguir las indicaciones con el uso del croquis? ¿Qué relaciones de ubicación utilizaron al usar el croquis para trazar sus desplazamientos? ¿Qué aprendizajes esperados (del Programa de Educación Preescolar) en relación con la

competencia identifican en lo que hicieron con las indicaciones y el uso del croquis? ¿Cómo usaron el conocimiento que tienen de las relaciones espaciales?

b) Comentar en grupo las ideas esenciales de sus respuestas a las preguntas anteriores.

V. Análisis de textos en el ámbito didáctico.

a) De manera individual, leer el relato “Juego de piratas”, de María Isidra Hernández. Señalar

aquellas cuestiones que llaman su atención, a partir del análisis que se ha venido realizando. Además, identificar la relación de la experiencia de los niños y las formas de intervención docente (presentadas en el relato) con los planteamientos de Fuenlabrada -respecto a desplazamientos y la representación gráfica de éstos- y del Programa de Educación Preescolar 2011.



43

b) En equipos de tres personas responder las siguientes preguntas (en relación con el relato

revisado, las notas de la conferencia de Fuenlabrada y el Programa de Educación Preescolar):

¿Cómo favoreció la situación didáctica al desarrollo de la competencia? ¿Qué evidencias podemos encontrar en el relato que den cuenta de la movilización de

capacidades de los niños? ¿Qué es importante destacar de la intervención docente? ¿Qué actitudes de los niños limita o

favorece?

c) En grupo. Comentar:

La relación entre la experiencia de los niños (en el relato) y lo que se espera que los niños hagan y aprendan, en los planteamientos de Fuenlabrada y del Programa de Educación Preescolar 2011.

La relación entre las formas de intervención docente y los planteamientos de Fuenlabrada y el Programa de Educación Preescolar, al respecto.

Obtener conclusiones: ¿Qué se puede decir en acerca de la importancia de observar los efectos de la enseñanza?

VI. Situación didáctica para trabajar con los niños.

a) Revisar la siguiente situación didáctica para trabajarla con sus alumnos (es conveniente que

utilicen la lámina de “El camino más corto. Ciudad” conforme leen las actividades de la situación, para lograr una mejor comprensión de lo que pedirán hacer a sus alumnos):

Situación didáctica de desplazamiento

Competencia: Construye sistemas de referencia en relación con la ubicación espacial16. Actividades:

Realizar desplazamientos siguiendo instrucciones, con la lámina “El camino más corto.

Ciudad” del material Juego y aprendo con mi material de preescolar, de tercer grado (pp. 21).

Describir puntos de referencia en una trayectoria avanzada. Identificar el camino más corto para ir de un punto de referencia a otro.

Consigna (1) para los niños: Vamos a usar la lámina de “El camino más corto” para recorrer

algunos caminos. Pongan una ficha donde está el carro de bomberos. Ubiquen la escuela. Si vamos de la estación de bomberos a la escuela, ¿por cuáles lugares vamos a pasar?

16 SEP (2011), Programa de estudio 2011. Educación básica. Preescolar, México, SEP, pp. 58.



44

Para esta actividad, puede ser que los niños recorran con sus dedos los trazos del paisaje. Eso es suficiente. Es importante que la educadora esté atenta para pedir a los niños la descripción de los puntos de referencia, dependiendo del camino que tomen para llegar a la escuela).

Consigna (2) para los niños: ahora vamos a averiguar ¿Cuál es el camino más corto para ir del Café a la Papelería? Para esta actividad es necesario dar fichas a los niños para que puedan medir la distancia que hay entre los dos puntos. Dar a los niños oportunidad de probar diversas rutas. Es importante proporcionarles lápiz y papel para que anoten con cuántas fichas recorren cada camino que prueben. Una vez que se ha dado a los niños tiempo suficiente para intentar varias opciones, confronten los resultados en grupo. Esto lo puede promover con la siguiente

Consigna (3): ¿Cuál es el camino más corto para ir del Café a la Papelería? ¿Cuántas fichas usaron para recorrer el camino entre el Café y la Papelería? A partir de la primera respuesta, busque quién usó menos fichas; cuando localice quién lo logró con menos fichas, pregunte cuál es el camino. Mientras el niño lo describe, pida a los demás niños del grupo que lo hagan en su lámina (en este momento de la actividad es probable que algunos niños sigan muy atentamente lo que hizo su compañero; pero también es probable que algunos sigan otros caminos, o de plano cambie de actividad. Al igual que los compañeros del grupo, trate usted de seguir -en una lámina a la vista de todos- el camino que el niño describa, y comprueben todos que usaron la cantidad de fichas que el niño dice, por la ruta que especifica (para hacer esto, tal vez le convendría cubrir con un plástico translúcido la lámina, para poder pegar con cinta adhesiva las fichas, y así controle la cantidad de fichas que va usando en el trayecto).

Materiales: Láminas de “El camino más corto. Ciudad”17 para todos sus alumnos. Cajas de fichas para trazar el camino y poder medir la distancia (contando las fichas)

entre dos puntos de referencia. Es fundamental que las fichas sean iguales, porque en esta actividad son una unidad de medida.

Hojas de papel y lápices para anotar con cuántas fichas se hace el camino entre el Café y la Papelería.

b) Elaborar el plan de situación didáctica para realizarla con un grupo de educación preescolar.

c) Comentar en grupo la situación didáctica revisada:

17 En Juego y aprendo con mi material de preescolar, México, SEP (2010), pp. 21.



45

¿Qué impresiones les deja la propuesta de situación didáctica? ¿Prevén algunas reacciones de sus alumnos? Es conveniente tomar notas personales acerca de

las expectativas que tienen acerca del desempeño de sus propios alumnos, a fin de tenerlas presentes y las puedan contrastar en la práctica en aula y comentar en la siguiente sesión.

Prever su intervención docente: para lograr que los niños describan rutas y utilicen el vocabulario adecuado sin valerse de frases como “dar vuelta aquí”, “por allá”; etc.; qué hacer con las ideas y explicaciones expresadas por los niños; cómo ayudarlos a ser explícitos en sus descripciones.

VII. Aplicación de la situación didáctica en grupo de niños. Tarea

a) Actividad práctica en aula.

Observar, escuchar y tomar nota de formas diferentes en que los niños actúan, en función del(os) aprendizaje(s) esperado(s) que se espera pongan en juego. Es decir, si se elige, por ejemplo, “Ejecutar desplazamientos y trayectorias siguiendo instrucciones”, registrar información acerca de 3-4 niños que hagan cosas diferentes para ejecutarlos.

Tomar nota de:

Lo que hace el/la docente para que los niños pongan en juego la competencia prevista. ¿Qué hacen los niños para hacerse entender? ¿Qué hacen cuando quieren hacerse

entender y no saben cómo o no pueden?

Registrar por escrito: ¿Qué relación hay entre las expectativas que tenía de sus alumnos y lo que sucedió en la práctica? ¿Qué reflexiones le provoca esta contrastación?

b) Presentarse a la siguiente sesión con sus registros y notas de la experiencia de trabajo en aula;

éstos serán considerados en la evaluación de cada participante.



46

Octava sesión

Propuestas didácticas para favorecer competencias en los niños de preescolar Introducción

En esta sesión se termina la secuencia de experimentación pedagógica relativa a desplazamientos y su representación gráfica, con el análisis de la situación didáctica desarrollada (de tarea) con grupo de preescolar. Como se ha hecho énfasis en las secuencias anteriores, es fundamental que los participantes asistan a la sesión con los registros de su trabajo docente.

Para finalizar la sesión y el curso, se analizan algunas propuestas didácticas, a la luz de los contenidos analizados durante el taller, a fin de precisar qué es necesario considerar en el planteamiento de las actividades, la organización del grupo, las consignas y otras formas de intervención docente, con la intención de favorecer competencias de pensamiento matemático de los niños. Propósitos específicos

Analizar propuestas didácticas que permitan a los niños desarrollar competencias de pensamiento matemático, referidas a las relaciones espaciales y los desplazamientos y su representación gráfica, considerando los contenidos estudiados en el curso.

Reflexionar acerca de los logros, nuevos retos y dificultades de la propia experiencia a partir de lo realizado en cada una de las sesiones.

Material SEP (2011), Programa de Estudio 2011. Educación Básica. Preescolar, México, SEP. [Disponible en

http://www.reformapreescolar.sep.gob.mx/ACTUALIZACION/PROGRAMA/Preescolar2011.pdf] Weinstein, Edith (2004), “Las decisiones del ‘día a día’ de la actividad matemática”, en Enseñar

matemática. Números, formas, cantidades y juegos, Buenos Aires, Ediciones Novedades Educativas (0 a 5 La educación en los primeros años), pp. 36-50.

Productos relacionados con el trabajo de la sesión sujetos a evaluación individual

Registro personal de experiencia de trabajo en aula con situación didáctica (planificada en sesión anterior) sobre desplazamientos y representación gráfica.

Propuestas de elementos que favorecen el desarrollo de situaciones didácticas (a partir de la revisión de propuestas pedagógicas de varios autores). Producto grupal.

Reflexiones finales.




47

Actividades

1. Experimentación pedagógica. La ruta (continúa). VIII. Reflexión sobre la práctica. En la sesión anterior se estableció el compromiso de realizar trabajo en aula, con una situación didáctica con la lámina “El camino más corto. Ciudad”, del material Juego y aprendo con mi material de preescolar. La reflexión sobre la práctica se realizará con base en los registros elaborados a partir de esa experiencia:

a) En grupo, comentar en términos generales la experiencia con la situación didáctica: ¿Cómo se desenvolvieron en el desarrollo de la situación?, ¿qué aprecian, en términos generales, en las competencias de sus alumnos?, ¿hay algo que les haya sorprendido en las reacciones de sus alumnos?

b) En equipos, con base en los registros personales:

Comentar: ¿Sobre la situación didáctica de relaciones espaciales-desplazamiento, qué

podemos decir…

en relación con los niños? En términos de las competencias (ver aprendizajes esperados en el Programa

de Educación Preescolar 2011), ¿qué demandaron las actividades a sus alumnos?

Formas diferentes en que los niños actúan, en función de los aprendizajes esperados que se previó que pusieran en juego. Registrar información de 3-4 niños que hagan cosas diferentes.

¿Qué hicieron los niños para hacerse entender? ¿Qué hicieron cuando querían hacerse entender y no sabían cómo o no podían?

en relación con la intervención docente?

Qué hizo el/la docente para que los niños pusieran en juego la competencia prevista.

en relación con la situación y consideraciones para continuar?

¿Consideran que la situación planteada fue retadora e interesante para los niños? ¿Por qué?

¿Qué cambia al trabajar en torno al espacio con los niños, en relación con lo que hacían antes?

Para volver a trabajar relaciones espaciales con sus alumnos, ¿qué tienen que tomar en cuenta?, ¿por qué?



48

Elaborar un producto que refleje las respuestas del conjunto de participantes en el equipo (lo que no quiere decir hacer una lista repetitiva de ideas).

c) En grupo. Presentar los productos de los equipos. Es conveniente que las presentaciones de

cada equipo respondan a la lógica de los rubros que se proponen arriba: En relación con los niños. En relación con la intervención docente. En relación con la situación y consideraciones para continuar.

Es decir, primero presentan todos los equipos lo relacionado con los niños, luego lo concerniente a la intervención docente, etcétera.

Para cerrar la reflexión sobre la práctica propia, elaborar conclusiones respecto a ¿Qué es necesario modificar en la práctica, a fin de promover la evolución de las competencias de los niños?

2. Revisión de propuestas didácticas para educación preescolar.

En ternas. Leer el texto de Edith Weinstein, “Las decisiones del ‘día a día’ de la actividad matemática”. Identificar:

Las aportaciones centrales de la autora en relación con los procesos de aprendizaje de los niños. Identificar con qué competencias y aprendizajes esperados se relacionan las propuestas que presenta la autora.

La intervención docente para promover los procesos de aprendizaje de los niños.

En grupo. Comentar las ideas centrales de la actividad realizada en ternas.

3. Reflexiones finales.

Individualmente. Reflexionar acerca de los logros, nuevos retos y dificultades de la propia experiencia a partir de lo realizado en cada una de las sesiones. Responder por escrito las siguientes preguntas (incluir estas reflexiones con escritura a mano en su trabajo individual final):

Con base en el estudio, el trabajo en aula y el análisis que ha desarrollado desde el inicio del curso a la fecha, ¿qué ha logrado modificar en su intervención docente? ¿en qué ha mejorado?

¿Qué nuevos retos tiene a partir de lo que el curso le ha permitido comprender?

Agregar a su producto individual final lo que considere pertinente en relación con los rubros que ya ha desarrollado.

Entregar el Producto individual final al coordinador del curso.

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¿Cómo desarrollar el pensamiento matemático en los niños de preescolar? La

importancia de la presentación de una actividad

ANEXO 2


Análisis de experiencias de trabajo docente

Curso de Formación Continua. Educación Preescolar

¿Cómo desarrollar el pensamiento matemático en los niños de preescolar? La importancia de la presentación

de una actividad*

Irma Fuenlabrada**

Referentes La Secretaría de Educación Pública editó recientemente el Programa de Educación Preescolar 2004 para orientar, a partir del ciclo escolar 2004-2005, el trabajo de las educadoras. La renovación curricular inmersa en dicho Programa, implica una apertura metodológica y una inclusión de contenidos (o su caracterización) que, de manera significativa, resultan ajenos tanto a las prácticas docentes dominantes, como a las temáticas que ordinariamente se han abordado en el nivel.

Los contenidos referidos al desarrollo del Campo Formativo del Pensamiento Matemático del preescolar, señalados en el Programa citado, refieren a diferentes pesos curriculares que este mismo programa adjudica a las diversas temáticas, a saber:

El Número (50%), que los niños:1 – Utilicen los números en situaciones variadas que implican poner en juego los principios del

conteo. – Planteen y resuelvan problemas en situaciones que les sean familiares y que implican agregar,

reunir, quitar, igualar, comparar y repartir objetos. – Reúnan información sobre criterios acordados, representen gráficamente dicha información y

la interpreten. – Identifiquen regularidades en una secuencia a partir de criterios de repetición y crecimiento.

El Espacio (18%), las Figuras (18%), y la Medida (14%), que los niños: – Reconozcan y nombren características de objetos, figuras y cuerpos geométricos. – Construyan sistemas de referencia en relación con la ubicación espacial. – Utilicen unidades no convencionales para resolver problemas que implican medir magnitudes

de longitud, capacidad, peso y tiempo. – Identifiquen para qué sirven algunos instrumentos de medición.

* SEP (2005), Curso de Formación y Actualización Profesional para el Personal docente de Educación Preescolar. Volumen I, México, pp. 279-296. ** Cinvestav-DIE, México. 1 Las temáticas enlistadas son las genéricas de las que aparecen en el Programa de Educación Preescolar 2004, porque la resolución didáctica de éstas conllevan a las específicas.

Anexo 2

¿Cómo desarrollar el pensamiento matemático en los niños de preescolar?...

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Se hacen necesarios entonces, entre otras acciones, espacios de reflexión que coadyuven a las

educadoras a reorientar su trabajo docente en concordancia con los nuevos lineamientos editados por la SEP. Particularmente, en esta presentación nos ocuparemos de la sutil diferencia, con base en tres ejemplos, entre plantear a los niños situaciones que pongan en juego sus saberes previos y sus posibilidades cognitivas; es decir, que la resolución de la situación los comprometa a un trabajo intelectual que les permita interactuar con los conceptos matemáticos que se desea aprendan.

Ubicación de la problemática

Las prácticas docentes dominantes (Nemirovsky et al., 1990) evidencian un universo limitado del conocimiento matemático que se desarrolla con los niños de preescolar. Las educadoras –en analogía a lo que hacen los maestros de la escuela primaria– han priorizado, de la enseñanza de la matemática, los contenidos aritméticos (números y cuentas) en detrimento de los contenidos geométricos (el espacio, las figuras). Y, a veces, algunas prácticas de enseñanza no han sido muy afortunadas, como es el caso del número, en que se observa una tendencia generalizada a suponer –con base en una equivocada interpretación de la Teoría Psicogenética– que siendo la síntesis de la seriación, la clasificación y el orden, significa en términos de enseñanza realizar diversas actividades de seriación (verde, rojo, amarillo, verde, rojo, amarillo…; cuadrado, círculo, triángulo, cuadrado,…, etcétera); de clasificación (con criterios cualitativos: los grandes vs. los chicos; los rojos vs. los azules, etcétera), y de orden (organizar palitos por tamaños: del más chico al más grande, etcétera). Pero Piaget se refería a la clasificación de colecciones desde criterios cuantitativos; es decir, van juntas todas las colecciones que tienen el mismo número de objetos, por ejemplo, 6 elementos, en otro paquete están las que tienen 8 o 3, etcétera, independientemente de las cualidades de los objetos que constituyen a las colecciones. Estos “paquetes de colecciones” se pueden ordenar, también en atención a un criterio cuantitativo: un paquete va después de otro si las colecciones que lo conforman tienen un elemento más que las colecciones de otro paquete; así, las que tienen 6 objetos van después de las que tienen 5, porque todas la colecciones que están en el paquete del 6 tienen un elemento más que cualquiera de las que pertenecen al paquete del 5. Finalmente este orden construye una serie: 1, 2, 3, 4, etcétera.

Datos empíricos sobre la enseñanza de la matemática en la educación preescolar señalan que las educadoras se han ocupado fundamentalmente de que los niños aprendan e identifiquen los símbolos de los números, quienes acertadamente sólo lo hacen con los primeros (hasta el 10), reducen las actividades al conteo de colecciones pequeñas para que los niños escriban las cardinalidades2

correspondientes y viceversa, a partir de un número les piden a los niños que dibujen una colección cuya cardinalidad sea el número dado; de esta manera, en muchas clases de preescolar se observa: “la clase del uno, luego la clase del dos, para seguir con la clase del tres, etcétera”;3 más adelante aparecen las sumas y restas con los números encolumnados, los signos (+, -) y la rayita para separar el resultado. Otras educadoras realizan las actividades descritas, pero consideran que trabajar sólo con los primeros números es demasiado poco, así que extienden la serie numérica oral y escrita

2 Cardinalidad es el número de objetos que tiene una colección. 3 Para cada clase se recurre a una colección, a la escritura del número correspondiente, al dibujo, etcétera.

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(ya sin relacionarlas sistemáticamente con las colecciones, llegan hasta el 100 y algunas más osadas hasta el 1 000), y también “enseñan” sumas y restas de números, pero con números de dos cifras, sin transformación4.

Respecto al trabajo con la geometría al que, como se señalará, se le da menos importancia que

al de los números, los niños correlacionan algunas figuras geométricas con su nombre (cuadrado, rectángulo, triángulo, círculo), iluminan figuras, las recortan y las pegan; hacen algunas configuraciones con ellas. En relación con el manejo del espacio, circunscriben éste a las relaciones: adelante, atrás, arriba, debajo, derecha e izquierda (esto último sin mucho éxito), y en ningún caso se desarrolla con la importancia requerida la relatividad de estas relaciones. Por ejemplo, situaciones en las que un objeto esté arriba de otro, pero debajo de un tercero, casi no aparecen.

Alternativas posibles Las prácticas docentes, sucintamente descritas, evidencian lo señalado en cuanto al universo limitado del conocimiento matemático que se desarrolla con los niños de preescolar, a lo que se agrega una ausencia de recursos didácticos. Con base en el nuevo curriculum y el enfoque para la enseñaza suscrito por la SEP (2004), las educadoras necesitan de una redefinición de sus concepciones disciplinarias que les posibilite orientar sus acciones en el proceso de enseñanza, en apego a una resolución didáctica que responda de manera más coherente a lo que actualmente se conoce sobre el proceso de aprendizaje infantil de la matemática.

Lo que la investigación en didáctica de la matemática ha mostrado en los últimos 30 años de

desarrollo, es que los niños aprenden interactuando con el objeto de conocimiento. Una manera concreta de realizar esto es plantear problemas que reten los saberes y las experiencias de los niños, quienes necesariamente, si se les permite, los pondrán en juego para resolverlos.

En esta presentación se recurre al análisis de algunas situaciones, anticipando que si bien éstas

son realizables en el preescolar, no corresponden necesariamente al inicio del proceso de aprendizaje del número, ni al de la geometría como tampoco al de la medición; simplemente se pretende abrir un espacio de reflexión sobre lo señalado en el párrafo anterior.

El número

Para trabajar con los números, por ejemplo, no es lo mismo pedirle a Genny que saque seis crayolas de un bote, que quizá lo pueda hacer y de no ser así la educadora le “ayudará a contarlas”, que pedirle que tome del bote de las crayolas, las que se necesitan para que a ella le toque una y pueda darle una a cada niño de su equipo (6), de tal manera que no le sobre ninguna crayola.

4 Los niños muestran “comprensión” de la serie oral y escrita de los números con base en las regularidades de estas series (se atoran, por ejemplo, en el 29, se les ayuda un poquito: 30; y siguen 31, 32, etcétera, o bien escriben 204 para el “veinte-cuatro”; no reconocen por qué 24 es diferente que 42, cuando estos números no están ubicados en la serie numérica escrita. Tales ausencias o confusiones no son banales, un aprendizaje eficiente y eficaz conlleva el desocultamiento de las leyes de los sistemas numéricos de base y posición, que a su vez sustentan los algoritmos de las operaciones. Pero esto es competencia de los primeros dos años de la escuela primaria y de ello no nos ocuparemos, puede consultarse (Block et al., 1991).

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La situación así planteada permite un diálogo entre el alumno y el problema, y éste es posible

si a Genny le queda claro en qué consiste la tarea; pero en la forma en que se le presentó no recibe ningún señalamiento sobre cómo debe (o se espera) que actúe. De hecho, no se necesita que Genny haya recibido las “clases de los números”; quizá lo único que sepa es la serie oral de los primeros números, o a lo mejor ni siquiera esto. Pero ello no significa que no pueda hacer algo para resolver la situación que se le propuso.

Antes de comentar las posibilidades de Genny, cabe precisar que la libertad de actuación

que se le concedió está posibilitada por las características de la tarea propuesta. En Teoría de las Situaciones Didácticas, Brousseau (1998) define a este tipo de actividades como adidácticas, representan un momento de una situación didáctica5, porque son situaciones que el maestro asume (y por tanto propone) para propiciar aprendizajes en sus alumnos. En las situaciones adidácticas el maestro se repliega de alguna manera, observando lo que sus alumnos ponen en juego para resolverlas, cuestiona sus procedimientos en caso necesario, pero procura no indicarles cómo resolverlo.

Nótese que en la situación-ejemplo, en ningún momento se le dice a Genny que cuente, esto es algo que hará si sabe hacerlo y si además lo considera conveniente y útil; si es el caso, contará a los niños de su equipo (incluyéndose) para saber cuántas crayolas debe tomar, después contará las crayolas correspondientes y estará segura que con esta manera de proceder garantiza que a cada uno le tocará una crayola y no le va a sobrar ninguna.

También puede suceder que aunque Genny sepa contar (hasta el seis o un poco más), todavía no reconozca que contar es una estrategia que le permite resolver la situación. Los números y el conteo son conocimientos que el niño debe aprender, pero esto significa prioritariamente que su maestra, en su intervención como docente, le dé la posibilidad de ir descubriendo las funciones y el uso de ese conocimiento; es decir, que vaya teniendo la oportunidad de reconocer: ¿qué tipo de problemas se resuelven con el conteo? y ¿para qué sirven los números?

Pero si Genny está en la situación descrita, todavía no sabe contar o ni siquiera sabe escribir los números, puede, por ejemplo –y es lo que muchos niños hacen–, establecer una correspondencia uno a uno entre las crayolas que va tomando y el nombre de cada destinatario (una para Juanito, otra para Pedrito, etcétera) y así resolver lo que se le solicitó.

Cabe destacar que Genny, como muchos niños que inicialmente establecen, para comparar colecciones, para igualarlas, para construirlas…, correspondencias uno a uno de manera espontánea (en el ejemplo: nombre de un compañero-una crayola), no necesita que nadie se la “enseñe”, sólo recurren a su conocimiento y a su experiencia, el que poseen en el momento de enfrentar una situación que implica al conteo. Se trata de un proceso de aprendizaje por adaptación, el niño logra desarrollar una estrategia para resolver el problema, pero no necesariamente es conciente de que en su acción subyace un nuevo conocimiento susceptible de evolucionar (hacia conocimiento 5 Una situación “no didáctica” puede producir aprendizaje, pero a diferencia de la situación didáctica, en la primera no hay alguien que tenga expresamente la intención de enseñarle a otro.

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constituido); en este caso, hacia el proceso de conteo (y a la representación simbólica de los números) que conlleva establecer también una relación uno a uno, sólo que en éste, la relación se establece entre los objetos de la colección que se están contando y la serie numérica oral (uno, dos, tres, etcétera), que irá aprendiendo conforme se involucre en diversas situaciones en que contar tenga sentido, que a su vez le van revelando que el último número que se nombra es el que indica cuántos elementos tiene la colección contada.

Las diversas situaciones en las que contar tiene sentido, son los problemas que involucran a una operación, que los niños de preescolar resuelven realizando el conteo de diversas maneras, en función de las relaciones semánticas entre los datos y no con las operaciones que la matemática ha establecido para solucionarlos. A fin de ilustrar esto, revisemos los siguientes problemas:

1. Erick tiene 2 canicas rojas y 5 canicas blancas. ¿Cuántas canicas tiene Erick? 2. Erick tiene 2 canicas rojas y su mamá le regaló 5 canicas blancas. ¿Cuántas canicas tiene Erick? 3. Erick tiene 7 canicas, le regala 2 a su hermana y las otras a su mamá. ¿Cuántas canicas le

regaló Erick a su mamá? 4. Erick tiene 2 canicas, pero quisiera tener 7. ¿Cuántas canicas le faltan a Erick para tener 7

canicas?

El problema 1 sugiere poner 2 canicas (en su defecto semillitas) en un lado, 5 en otro, juntarlas y contar desde el 1 toda la colección para obtener como resultado 7. El problema 2 se resuelve con la misma operación (2+5) que el problema 1; sin embargo, para solucionarlo, como todavía no saben sumar, los niños recurren al conteo, pero ahora se trata (para ellos) de una organización del conteo diferente a la que utilizaron en el problema 1, a saber: ponen 2 y agregan a esa colección 5 más, al terminar cuentan la colección resultante desde el 1 y obtienen 7.

Los problemas 3 y 4 son de resta (7-2), pero los niños no saben “restar”, lo que sí saben es contar pequeñas colecciones y esto es precisamente lo que utilizan. Para el problema 3 ponen 7 canicas, parten la colección en 2 y 5, porque Erick le regaló 2 a su hermana, las canicas de la otra colección son las que cuentan, así averiguan que la mamá recibió 5 canicas de su hijo. Mientras que en el problema 4 optan por poner las 2 canicas que tiene Erick, agregan las canicas suficientes para llegar al 7, el conteo ahora parte del 3 hasta llegar al 7; controlan para no confundir las que agregaron con las 2 primeras, cuentan desde el 1 hasta el 5, para encontrar el resultado.

Como se puede observar, no se requiere tomar números muy grandes (como muchas educadoras, e incluso profesores de la primaria han supuesto) para complejizar la actividad intelectual de los niños, sobre los números y sus relaciones. Desde luego, hay muchos más problemas diferentes a los descritos, que implican la suma y la resta entre el 2, el 5 y el 7, pero éste no es el espacio para analizarlos6, como tampoco lo es para analizar el proceso de representación de los números (Fuenlabrada, 2001). 6 ¿Cuántas canicas tiene Erick? Las relaciones semánticas entre los datos de un problema, de Irma Fuenlabrada (en prensa).

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El espacio y las figuras (geométricas) Lo que permite a los bebés, entre otras cosas, reconocer su biberón o cualquier otro objeto familiar, es precisamente la posibilidad que tienen de percibir su forma. Asimismo, los niños, desde antes de su ingreso al preescolar y dada su necesidad de desplazamiento en el espacio, también van reconociendo las relaciones espaciales (la ubicación de los objetos entre sí y desde un punto de referencia en particular), así son capaces de realizar diferentes trayectos para desplazarse, por ejemplo, desde su recámara hacia la cocina, por citar una de las múltiples trayectorias que pueden ejecutar, porque se han construido un mapa mental de su espacio cotidiano.

Es decir, el conocimiento del espacio, las diversas formas de los objetos que en él existen y su

ubicación en éste, es un conocimiento temprano que los niños van construyendo de manera natural (en situaciones no didácticas), para adaptarse al mundo tridimensional en que se ven inmersos. En cambio, siendo la geometría una matematización (o modelización) del espacio, su aprendizaje requiere ser enseñado, porque responde a una particular manera de representar el espacio. De esta manera, desde las diferentes formas que un niño pequeño puede reconocer en los objetos, algunas de ellas son objeto de estudio de la geometría y otras no.

Mientras que la forma de un biberón resulta muy interesante para un bebé, la forma rectangular de una ventana le tiene totalmente sin cuidado, pero no es así para la geometría; mientras para un niño pequeño la imagen mental de su espacio cotidiano le es suficiente para resolver sus problemas de ubicación y desplazamiento en él, para la geometría lo importante es la representación gráfica de ese espacio y su manipulación simbólica, el mapa de una ciudad, por ejemplo.

Una manera muy general de establecer la diferencia entre los problemas espaciales (propios del nivel preescolar) y los problemas geométricos, es señalar que los primeros se relacionan más francamente con la resolución de situaciones cotidianas de desplazamiento y ubicación; mientras que los segundos tienen que ver con el espacio representado a través de figuras y dibujos.

En preescolar, así como en el primer ciclo de la escuela primaria, se persigue que los niños

amplíen su conocimiento sobre el espacio, poniéndolos en situaciones de comunicación con algo que ya saben: ubicar objetos y desplazarse. En el proceso de comunicación explicitan, a través del lenguaje oral o con diagramas simples: la ubicación de objetos, puntos de referencia consecutivos y relaciones espaciales (que conforman un sistema de referencia).

En la expresión: el libro está adentro de la caja que está arriba de la mesa que está entre el

estante y el bote de basura. El libro es el objeto que se está ubicando, la caja, la mesa, el estante y el bote de basura son puntos de referencia consecutivos, mientras que “adentro, arriba y entre” son relaciones espaciales.

Es posible que los niños sean capaces de ejecutar consignas como la descrita y realizar el

proceso inverso, es decir, elaborar las consignas para que otros las lleven a cabo. La elaboración que los niños hacen de las consignas, es posible que en principio las comuniquen a través de la oralidad;

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luego lo harán mediante un dibujo simple. Evidentemente, producir e interpretar a través de un dibujo, es una tarea más compleja que hacerlo con la oralidad. Análogamente se espera que los niños comuniquen e interpreten desplazamientos en el espacio, descritos de manera verbal o gráfica.

Cabe señalar que ambas actividades –la ubicación de un objeto o los desplazamientos– involucran el control de puntos de referencia y de relaciones espaciales, y se diferencian en que para ubicar un objeto, los niños se ven en la necesidad de interpretar la consigna verbal (no es el caso del dibujo) “en sentido contrario” al que fue elaborada; es decir, en el ejemplo, retienen la información sobre el objeto (el libro), pero ubican primero el basurero o el estante, luego la mesa, para seguir con la caja; en cambio, la consigna de un desplazamiento la realizan en franca correspondencia con la instrucción recibida.

A diferencia del trabajo con el espacio, en la geometría (del nivel preescolar o el inicio de la primaria), para muchos niños son sus primeras experiencias para empezar a desarrollar sistemáticamente su percepción geométrica, trabajando con las figuras y los cuerpos.

En relación con el trabajo con la geometría, particularmente con las figuras geométricas7, analicemos la siguiente situación:

Supongamos, sólo por dramatizar y ponernos en un caso extremo, que la maestra de Mariana un día decide darle “la clase del cuadrado”; para ello le muestra la figura, le dice cómo se llama y aprovecha para que la niña repase (o empiece a aprender los colores), practique el recorte y el pegado; otro día, de manera análoga y a través de las mismas u otras manualidades, la maestra le presenta a Mariana el triángulo, luego quizá el rectángulo o el círculo. En el mejor de los casos, el recaudo de esas clases para Mariana será que logre, antes de ingresar a la primaria, identificar las figuras con su nombre, pero el desarrollo de su percepción geométrica ha tenido pocas oportunidades de realizarse.

Resultaría más productivo para el aprendizaje geométrico de Mariana, que su maestra le diera las figuras del Tangram (figura 1)8,

así en una misma oportunidad aparecen el cuadrado, el triángulo y

una misteriosa figura llamada romboide. ¿Qué se le puede proponer a Mariana para que ponga en juego no sólo su percepción geométrica sino que, además, le ayude a desarrollarla?

Una posibilidad entre otras, es pedirle que de esas figuras tome las que le sirvan para cubrir la flecha dibujada en una hoja (figura 2).

7 Se escoge esta situación a partir del interés observado en las educadoras por esta temática: las figuras geométricas. 8 El trabajo en el preescolar con diversos rompecabezas (Fuenlabrada, et al., 1996) es muy importante para desarrollar la percepción geométrica. En esta presentación sólo nos ocuparemos del Tangram porque, como se anticipará, interesa destacar el trabajo con las figuras geométricas, a lo que se agrega la posibilidad de construir con sus piezas distintas imágenes (peces, figuras humanas, etcétera), en función de diferentes ubicaciones espaciales de las mismas, a diferencia de las posibilidades que dan otros rompecabezas comerciales, en los que la solución es única. 9 Las figuras del Tangram se obtienen de cualquier cuadrado (como se muestra en la figura) y consiste en dos triángulos grandes, uno mediano, dos chicos, un cuadrado y un romboide.

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Es válido que la maestra explore, en el momento de entregar los Tangram, si sus alumnos ya conocen el nombre de alguna de las figuras; incluso, si lo desconocen, puede dárselos con el fin de facilitar la comunicación, “a las cosas viene bien nombrarlas por su nombre”, pero la relación figura-nombre no es la parte nodal de la clase; los nombres de las figuras ya se los irán aprendiendo Mariana y sus compañeros.

Lo esencial es qué hacen los niños para resolver la situación: ¿qué figuras seleccionan?,

¿cuántos intentos hacen para colocar una figura en el lugar que ellos creen que se puede poner?, ¿la desechan?, ¿intentan con otra?, ¿acomodan y reacomodan una figura en particular y no atinan a ubicarla?

En esas acciones fallidas o exitosas, los niños ponen en juego su percepción de la flecha contra las figuras disponibles del Tangram que, por cierto, una vez que toman una figura que les sirve se inutiliza al menos otra. Así que, como en el Tangram no hay ninguna figura que tenga la forma del dibujo, tienen que empezar a “mirar las figuras ocultas” en la flecha, que explícitamente no están, pero que ellos perciben, empiezan “a ver”: un triángulo y un cuadrado y dejan de considerar al romboide, parece que por el momento no hay nada que sugiera utilizarlo. Pero, ¿será que sirve el cuadrado que tienen?, y de los triángulos, ¿cuál? o ¿cuáles?, ¿serán dos o tres? No hay de otra…, tienen que probar.

Mariana se decide por el cuadrado y el triángulo mediano, el primero le sirvió y al colocar el segundo, queda el espacio de un triángulo de igual tamaño que el que ya puso…, no hay problema, lo bueno es que, ¡todavía quedan triángulos!, pero ¡ninguno del tamaño que ella necesita! ¿Será que su compañerito de banca le quiera prestar el triángulo que ella necesita? No, no está dispuesto, la maestra dijo que cada quien con su Tangram…, Mariana tendrá que resolverlo con sus figuras, observa los triángulos y se da cuenta que los dos pequeños pueden servirle, intenta colocarlos y “no se dejan”, “pero tiene que poderse (piensa), se ve como que sí”; cada vez está más segura, ¡por fin lo logra! (figura 3).

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Figura 3.

Figura 3.

Algunos niños, como lo hizo Mariana, utilizarán el cuadrado, el triángulo mediano y los dos chicos; sin embargo, otros optarán por un camino más sencillo usando el cuadrado y el triángulo grande (figura 4); a unos les parecerá mejor usar sólo triángulos: el grande y los dos chicos (figura 5); mientras algunos más podrán doblegar a esa figura “chueca”: el romboide (figura 6).

Evidentemente el problema de la flecha admite varias soluciones, cada una en función de la percepción geométrica de los niños. La aparición de tales soluciones, sólo es posible si la maestra de Mariana deja a sus alumnos que resuelvan la situación por sí mismos, como se observó en el caso ya analizado de Genny, cuando decide usar la relación uno a uno para resolver el problema de las crayolas.

Cabe destacar que el trabajo intelectual de Mariana y del resto del grupo, en sus intentos por resolver el problema propuesto, es totalmente geométrico y dista, por mucho, del que tienen que realizar en las “clases del cuadrado o del triángulo” descritas inicialmente, cuyo recaudo son las manualidades. En ambas situaciones –las clases de las figuras y las del Tangram–, los niños empiezan a reconocer los nombres de las figuras.

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Puede suceder que algunos niños presenten más dificultades que otros; en estos casos, la educadora, al observar sus intentos, los retoma y les presta un poco de ayuda, ello es particularmente recomendable en los casos en que los niños se estén desesperando. Por ejemplo, si Mariana insistiera en colocar un segundo triángulo mediano (que no existe en el Tangram), su maestra podría sugerirle que utilizara uno de los chicos, incluso dependiendo de las posibilidades de Mariana, podría hasta colocárselo y animarla a que complete lo que falta de la flecha.

En las actividades geométricas, a diferencia de las relacionadas con los números (las aritméticas) y las de medición, es más factible el trabajo individual que el de parejas y, en menor medida, el de equipo, porque las acciones se sustentan en lo que el niño percibe, que no siempre coincide con su compañero. Los proyectos de acción, en situaciones de este tipo, son muy personales, difícilmente las posibilidades de solución son comunicables porque conllevan a ejecuciones muy inmediatas: “se ve y se intenta”.

La medición

Desde antes de ingresar al preescolar, los niños han tenido diversas experiencias de distintas magnitudes, principalmente con la longitud, el peso, la capacidad y el tiempo. Desde luego que su conocimiento ha estado básicamente relacionado con los efectos de estas magnitudes en sus actividades cotidianas. Así, saben que su casa está más lejos de la casa de su abuelita que del mercado; que unos juguetes son más pesados que otros, unos los pueden cargar y necesitan ayuda para levantar otros o moverlos de lugar; hay juguetes o cacharros de la cocina que les sirven para contener agua pero otros no; asimismo, han registrado el paso del tiempo, por el suceder secuencial de los eventos, por la frecuencia de su repetición, aunque para ellos no es lo mismo dos horas de juego, que dos horas de visita de su mamá a la casa de su amiga, cuando ellos tienen que “comportarse”.

En cambio sus experiencias con la medición de esas magnitudes, refieren a un conocimiento

nominativo de las mismas; es decir, expresiones como: “tres metros de listón”, “un kilo de frijoles”, “dos litros de leche” o “en media hora llega tu hermana”, les son familiares, pero no les significan mucho más allá que una manera de hablar.

En preescolar el trabajo sobre la medición involucra la interacción con las magnitudes de longitud, capacidad, peso y tiempo, a través de la comparación, la estimación y la medición con unidades no convencionales. Hay una tendencia general en las prácticas de enseñanza dominantes, a disociar los distintos componentes de un concepto, en un intento de hacer “más accesible” el conocimiento a los niños; pero esto en lugar de favorecer el aprendizaje lo obstaculiza, fundamentalmente se minimiza su funcionalidad.

10 Es como si se quisiera que los niños apreciaran la

belleza de una pintura, sólo que en vez de mostrárselas completa la tapáramos con una franela e hiciéramos un orificio, para que nada más vieran un pedacito, luego moviéramos el orificio para mostrarles otro pedacito, y con esta manera de proceder pretendiéramos que se fueran haciendo una idea completa de la pintura en cuestión, ¿no sería más sensato que los dejáramos ver la pintura

10 Ejemplo de ello son las “clases” de los números o de las figuras geométricas, sobre las que ya se ha comentado.

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completa y luego ir analizando con ellos los detalles?: hay una casita…, no, parece que son dos, hay una atrás; tres personas están conversando; cerca de los árboles hay unos niños jugando con un perro, etcétera.

En preescolar suelen aparecer actividades de comparación de tamaños, a partir de mostrar diferentes pares de objetos dibujados en una hoja o en un cuaderno de trabajo (pez-ballena, osito-osote, etcétera): se solicita a los niños que diferencien iluminando o encerrando objetos grandes y chicos. Otra vez nos encontramos con una actividad, ahora referida a la longitud, que se supone que “lo grande” o “lo chico” refiere, o a la altura de los objetos (osito-osote) o a lo largo (pez-ballena), sin ninguna posibilidad física para que los niños realicen la comparación entre los objetos, por lo que el trabajo sobre la longitud se diluye una vez más, en el entreteje de las manualidades.

Una de las pocas actividades que se hacen en el preescolar sobre la longitud, es solicitar a los niños que ordenen distintos palitos por su tamaño.11 Sin embargo, se logra un trabajo más interesante y sostenido con la comparación y la estimación de las longitudes con el siguiente juego:

Organizados en equipos (4), se les entregan semillitas y dos paquetes de tiras de cartoncillo grueso: uno con ocho de distinto color y tamaño (6cm, 7cm…, 13cm12), y el otro con tiras blancas de diferentes tamaños, los mismos que las de colores. Se les anticipa que ninguna de las tiras se puede doblar ni marcar con lápiz. Dispersan en la mesa las tiras de colores, por turnos un niño toma, sin ver, una tira del paquete de las blancas y selecciona [sin tomarla, sólo con la vista] de las de colores, la que crea que es del mismo tamaño que la blanca que tomó, después verifica [ahora sí tomando la tira de color seleccionada] lo acertado de su elección; si fue correcta toma una semillita (si falló no toma ninguna) y regresa ambas tiras, la de color a la mesa (dispersándolas) y la blanca al paquete; es el turno de otro niño. El juego termina cuando alguno junte cinco semillitas.13

Al realizar el juego, los niños tienen la oportunidad de trabajar con la estimación de longitudes

y, para convencer a sus compañeros que pueden quedarse con una semillita, tienen que encontrar un recurso que les permita verificar su elección, para lo cual tendrán que comparar la longitud de las tiras, ya sea “parándolas” o “acostándolas” sobre la mesa. Juntar cinco semillitas garantiza que al menos en cinco ocasiones hayan estimado y comparado bien las longitudes, a lo que se adiciona las veces que indirectamente lo hicieron, viendo a sus compañeros.

En el transcurso del juego es muy importante que la educadora observe que sus alumnos estén haciendo correctamente la comparación de las tiras, ésta es la parte central de la actividad; ello significa que para hacerlo, un extremo de las mismas esté alineado, que queda garantizado si están “parando” las tiras, pero puede ser que haya problemas si para compararlas las tienen “acostadas”. En cuanto a la estimación de la longitud, se irá desarrollando en los niños en la medida en que tengan

11 Equivocadamente se cree que esta actividad atiende a situaciones de orden referidas a números (clasificación, seriación y orden). 12 Es claro que las medidas se señalan para la educadora, los niños las desconocen, ellos no van a trabajar con los “centímetros”. 13 El juego se puede complejizar aumentando el número de tiras de distinto tamaño. Desde luego, si con seis tiras es difícil la estimación de la longitud por parte de los niños, se pueden retirar en las primeras experiencias cuatro tiras intermedias (7cm, 9cm, 11cm, 13cm.), con las tiras que quedan, además de que son menos posibilidades de elección, la percepción de las longitudes entre ellas es más clara.

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muchas oportunidades de ponerla en juego en diversas situaciones.

Un caso extremo que tal vez suceda, es que en algún equipo ninguno de los niños sepa que alinear un extremo de las tiras (cuando están acostadas sobre la mesa) es condición necesaria para hacer la comparación y esto hay que aclararlo, pero sólo en caso de que así ocurra; es decir, lo recomendable es que los niños se autorregulen y se expliquen entre ellos la condición de la comparación de longitudes. Sin embargo, al término de la clase, la educadora propiciará una discusión colectiva sobre el particular.

Cabe destacar que un juego es algo más que una actividad lúdica porque tiene reglas, se sabe cuándo termina la actividad y quién gana; en los juegos subyacen condiciones didácticas que comprometen a los participantes a realizar bien la actividad, porque ninguno de los jugadores está dispuesto a que otro “haga trampa, por ignorancia o mala fe”.

El juego descrito propicia, como ya se dijo, el desarrollo de la estimación [de la magnitud] de la longitud planteando problemas de comparación y realizando ésta como recurso para verificar esa estimación. Se puede modificar el juego para que los niños estimen la medida de la longitud, para esto se necesita que sigan comparando, pero ahora comparan la longitud de una tira con la longitud de otra que funciona como unidad (de medida) y lo que estiman es cuántas veces creen que la (tira) unidad cabe en la tira que se quiere medir.

El juego se plantea con las mismas condiciones iniciales que el anterior (trabajo en equipo, semillas y participación por turnos), las tiras de colores pueden aumentarse a 10 (6cm, 8cm, 10cm, 12cm, 14cm, 15cm, 16cm, 18cm, 20cm y 21cm) y las tiras blancas también suman 10, de 3cm y seis tiras negras de 4cm.

Las tiras de colores se meten a una bolsita, las tiras blancas y las negras se ponen sobre la mesa. Por turnos, un niño saca una tira de color, elige “tiras blancas” o “tiras negras” y dice cuántas veces, las tiras que eligió (blancas, por ejemplo) caben en la tira de color; una vez que hizo la estimación la verifica. Si acierta, toma un semillita y regresa la tira de color a la bolsa; el juego termina cuando algún participante reúne tres semillitas.

Este juego es evidentemente más complejo que el anterior, porque ahora se trata de propiciar la medición. Los niños tendrán que generar un recurso para verificar su respuesta, como no se vale marcar ni doblar las tiras tendrán que colocar tiras unidad (blanca o negra) sobre la tira de color, o (menos probable, pero posible) trazar la longitud de ésta en una hoja blanca e ir marcando con la unidad cuántas veces cabe. Aunado a ello, es altamente probable que la unidad elegida no quepa un número exacto de veces en la tira de color (es el caso de 10cm y 14cm), bien haber elegido la unidad blanca (3cm) para medir (8cm, 10cm, 14cm, 16cm y 20cm) o querer medir (6cm, 10cm, 14cm, 15cm, 18cm y 21cm) con la unidad negra (4cm). Los niños no “le van a atinar” varias veces, pero se irán dando cuenta que es más acertado decir: “Tres blancas y un poquito”, “casi cuatro negras” o “es más de tres blancas, pero menos que cuatro”. Tendrán que proponer un cambio de regla, para aceptar este tipo de estimaciones (aproximaciones a la medida) y así ganar las semillitas, en cuyo caso se acepta el cambio, pero ahora gana quien junte cinco semillitas.

Anexo 2


14

Algunas precisiones son: el juego sobre estimación de la medida y llevar a cabo la medición

para verificarla, involucra la medición con unidades no convencionales; el centímetro es una unidad convencional, pero las tiras blancas o negras (longitudes 3cm o 4cm) no lo son. Poner a los niños en situación de medir, cuando la unidad no cabe un número exacto de veces, es una situación más frecuente en lo cotidiano.

Por esto, el sistema métrico decimal se organiza con el metro y sus múltiplos y submúltiplos. La expresión “un metro ocho decímetros” da cuenta de una medida más exacta que “más de un metro, pero menos que dos metros” o “casi dos metros”, y éstas últimas expresiones, a su vez, son una mejor aproximación a la medida que decir solamente “un metro”.

En preescolar no se pretende que los niños den medidas exactas sino aproximaciones de ésta usando unidades no convencionales, así como que trabajen con diversas unidades (el tamaño de su pie, las cuartas, varitas, etcétera) y seleccionen la unidad tomando en cuenta lo que quieren medir. Es decir, la unidad se elige en función de lo que se quiera medir; a veces conviene usar una unidad grande y otras una chica, las unidades blancas o negras usadas en el juego, no son útiles, por ejemplo, para medir la distancia entre el salón de clase y la dirección. Por eso, utilizando el sistema convencional de medidas de longitud,14 el metro no es siempre la unidad más conveniente para hacer una medición, si se quiere medir la distancia entre dos pueblos es más razonable usar el kilómetro (múltiplo del metro) y si lo que se necesita es medir el largo de un zapato es mejor usar al centímetro (submúltiplo del metro).

Los libros para los niños, diferentes tipos de organización para resolver las actividades y el material didáctico

Estudios realizados sobre la escuela primaria (Balbuena et al., 1991), muestran una sobrevaloración en el uso de los libros dirigidos a los niños, incluso la enseñanza se ha organizado alrededor de éstos; esta manera de proceder en la enseñanza tiene como recaudo el bajo nivel de conocimiento matemático que adquieren los alumnos en su tránsito por la escuela, a la vez que se anidan sentimientos de frustración y de rechazo hacia la disciplina matemática.

Esto no deja de ser un riesgo instalado en preescolar, máxime ahora que se amplían los contenidos; los niños en general, y con más razón los de preescolar que son muy pequeños, si bien pueden interactuar con el material gráfico que les ofrece algún libro, fundamentalmente deben realizar múltiples y diferentes actividades que son necesarias e ineludibles para acceder a un conocimiento con sentido (funcional) de la matemática. Es decir, el libro para los niños (en caso de existir) debe ser un recurso didáctico cuya principal función es propiciar y favorecer las actividades de aprendizaje, y no necesariamente hacer más fácil la tarea escolar de alumnos y maestros.

14 Que no se trabaja en el preescolar.

Anexo 2


15

En didáctica, lo fácil no necesariamente resulta productivo; suele confundirse este principio,

por lo que en varios libros dirigidos a alumnos proliferan ejercicios o actividades que lo que exigen de los niños es tiempo y no actividad intelectualmente productiva que les genere aprendizajes con sentido; para ello es recomendable que antes de optar por un libro, se le revise desde la perspectiva del tipo y la calidad del trabajo intelectual que propone propiciar en los niños.

Las actividades pueden realizarse en el salón de clase o en el patio, organizando a los niños en parejas o en equipos, también puede tratarse de trabajo individual o de grupo. Estas diferentes organizaciones para realizar las actividades propician, en cuanto al aprendizaje de la matemática, espacios de socialización del conocimiento y de las experiencias de (y entre) los niños y colateralmente van propiciando el desarrollo de competencias sociales tales como: exponer y compartir ideas, escuchar a otros, tomar acuerdos o en ocasiones disentir generando argumentos para exponer la propia posición.

Cabe advertir que seguramente estas diferentes organizaciones serán visualizadas, no por pocas educadoras, como una tarea compleja tratándose de niños pequeños, con el riesgo además de malograr la disciplina del grupo; sin embargo, iniciar la socialización sistemática del conocimiento desde el preescolar, habilita a los niños para su ingreso a la primaria, que comparte la misma sugerencia metodológica y por ello está asentado en el enfoque de la Propuesta. A esto se adiciona que, investigaciones como las de Rancel,15 sobre la experimentación de una secuencia didáctica en un grupo de preescolar llevada a cabo por una educadora, han mostrado no sólo su viabilidad con niños pequeños, sino fundamentalmente los beneficios sobre el aprendizaje de la matemática que ello reporta. Una de las conclusiones de dicha investigación señala cómo la educadora logró que sus alumnos trabajaran en equipo, en parejas o grupalmente a partir de una equilibrada respuesta de ella hacia sus alumnos. Por un lado, las diversas organizaciones aparecían sistemáticamente en todas las actividades del aula (no sólo las referidas a la matemática) y, por otro, la educadora daba espacios de participación a todos sus alumnos (no sólo a los que decían o hacían lo que ella pudiera esperar, como suele suceder en muchas aulas), con el tiempo esta actitud fue minimizando la natural insistencia de los niños por ser atendidos y aumentó en todos la confianza por expresarse libremente sobre sus particulares maneras de enfrentar las situaciones frente a sus compañeros y su maestra.

En muchas actividades es necesaria la interacción de los niños con material didáctico o con material escolar16 que se requiere como apoyo para su razonamiento en la búsqueda de soluciones a las problemáticas que se les propongan; pero que sirven poco para el aprendizaje si lo utilizan siguiendo indicaciones de aquella educadora cuya única finalidad es que la actividad resulte entretenida y organizada y, si es el caso, limpiecita y bien presentada. 15 Experimentación de una secuencia didáctica sobre los números, en un grupo de preescolar. Estudio de caso, tesis para obtener el grado de Maestría en Ciencias en Investigación Educativa en el Departamento de Investigaciones Educativas del Cinvestav, desarrollada por María de los Ángeles Rangel Yescas, bajo la dirección de la M. en C. Irma Fuenlabrada. Tesis en proceso de defensa para el inicio del 2005. 16 Se entiende por material didáctico: fichas de colores, tarjetas con escenas, con números colección, rompecabezas, dominós, balanzas, recipientes, etcétera; mientras que el material escolar refiere a: estambre, tijeras, crayolas, papel, etcétera.

Anexo 2


16

A título de conclusiones Una de las aspiraciones del enfoque metodológico de la Propuesta editada por la SEP es apuntalar la autonomía de los niños (competencias cognitivas) y su control sobre el aprendizaje (competencias cognitivas y afectivas; la autoestima, por ejemplo, que se adquiere de saber que es capaz de resolver situaciones sin que nadie le diga cómo hacerlo). Pero pareciera ser que el proceso de enseñanza que se deriva de dicho enfoque implica un nuevo rol de las educadoras; esto es parcialmente cierto, ya que si bien se espera (esto es lo nuevo) que las educadoras se deslinden de asumir no sólo la dirección paso a paso de la manipulación de un material sino también de lo que sus alumnos consideren necesario hacer para resolver las situaciones (en las situaciones adidácticas), también es cierto que en el proceso didáctico está previsto que las educadoras “recuperen”, por así decirlo, su rol de enseñantes, pues ellas son las que poseen el conocimiento cultural de las temáticas que se trabajan en el preescolar.

Nos parece importante advertir sobre este doble rol que se demanda a las educadoras, con el fin de prever algunas equivocadas interpretaciones de enfoques metodológicos análogos al que se sustenta en la Propuesta, en los que erróneamente se ha inferido que el docente sólo es un facilitador u observador del aprendizaje de sus alumnos desprovisto de la facultad de dar informaciones o de intervenir. Citaremos algunos ejemplos de intervención: si los niños llegan a preescolar sin el conocimiento del inicio de la serie numérica oral (ya sea porque son muy pequeños, o porque su núcleo social es de analfabetas o su lengua materna no es el español17), deben aprenderla de su maestra, porque sin ella no pueden iniciarse en el proceso de conteo,

18 lo mismo sucede con los

símbolos con los que convencionalmente se escriben los números: si no hay alguien que les diga cómo son, no los aprenderán; de la misma manera requieren que se les diga cómo se llaman algunas figuras geométricas. La prevención opera al saber en qué momento es importante dar esta información, pero sobre todo al no perder de vista que la enseñanza –desde lo que actualmente se sabe sobre procesos de aprendizaje infantil de la matemática– no es un acto de informar para que los niños puedan repetir dicha información a solicitud de su maestro, sino que su aprendizaje de la matemática se instale como una herramienta útil, eficiente y eficaz para resolver diversos problemas. De hecho, el aprendizaje conlleva el reconocimiento del significado de los diversos conceptos matemáticos (para qué sirven, qué tipo de problemas resuelven, cómo se representan), que para el preescolar refieren a los primeros números con su representación para dar cuenta del resultado, el conteo como estrategia de solución de diferentes problemas, el desarrollo de la percepción geométrica, las nociones iniciales de algunas magnitudes y los procesos de medición, por citar algunos.

17 La serie numérica oral tendrán que aprenderla y trabajar con ella en su lengua, posteriormente la aprenderán en español. 18

Recuérdese que contar pasa por establecer una correspondencia uno a uno, entre los objetos de una colección y la serie numérica oral, y los niños no lo harán si todavía no pueden mencionar los nombres de los números en orden (uno, dos, tres, etcétera).

Anexo 2


17

Bibliografía

Balbuena, Hugo, David Block, Irma Fuenlabrada, Leove Ortega y Ruth Valencia (1991), “Reflexiones en

torno a la modernización educativa. El caso de las matemáticas en los primeros grados de la escuela primaria”, en Educación Matemática, vol. 3, núm. 3, México, Grupo Editorial Iberoamérica.

Block, David, Irma Fuenlabrada, Alicia Carvajal y Patricia Martínez (1991), Los números y su representación. Propuestas para divertirse y trabajar en el aula, México, SEP (Libros del rincón).

Brousseau, Guy (1998), “Théorie des situation didactiques”, en Recherches en Didactiques des Mathématiques, París, La Pensée Sauvage.

Fuenlabrada, Irma (2001), “La numerosidad de las colecciones y los números como signos que las representan”, en Memorias (electrónicas) del VI CNIE, Manzanillo, Colima.

Fuenlabrada, Irma, Leove Ortega y Ruth Valencia (1996), “La geometría en los libros de texto de Matemáticas del primer ciclo de primaria”, en G. Waldegg y D. Block (coords.), Estudios en Didáctica, México, Grupo Editorial Iberoamérica.

Nemirovsky, Miriam et al. (1990), Informe de Investigación: Situación actual de la enseñanza de la Matemática en el Nivel Preescolar, México, Dirección General de Educación Preescolar-Sección de Matemática Educativa-Cinvestav.

SEP (2004), Programa de Educación Preescolar 2004, México.

¿Es posible desarrollar el pensamiento matemático en preescolar? Las realidades

del aula

ANEXO 3




¿Es posible desarrollar el pensamiento matemático en preescolar? Las realidades del aula1

Irma Fuenlabrada

Presentación

La investigación evaluativa de la implementación del Programa de Educación Preescolar 2004 (PEP04) en el Campo de Pensamiento Matemático, de la que deviene esta presentación responde a las asunciones del Programa de Renovación curricular y pedagógica de Educación Preescolar (ProNaE) en el que se plantea: “la necesidad de efectuar evaluaciones e investigaciones diagnósticas para conocer mejor el estado que guarda este nivel educativo, al igual que la educación inicial” (SEP, 2002:117)2.

Siendo necesario para los propósitos de este estudio entrar al aula y explorar ahí el mundo de

significados que el Programa ha propiciado en las educadoras, cuando procuran desarrollar el pensamiento matemático de sus alumnos, se opta por una indagatoria de tipo cualitativo, que toma como referencia al marco teórico de la investigación etnográfica.

Desde la perspectiva de una metodología de investigación, la etnografía no demanda la

definición inicial de un modelo teórico acabado que funcione como “referente”, es decir que delimite el proceso de indagación a través de la definición precisa de variables; sino de marcos teóricos que justifiquen las preguntas y definan los espacios y asuntos para comenzar la experiencia (Rockwell, 1986:53; Hammersley y Atkinson, 1983). Es decir, en el transcurso de la investigación se da una construcción incesante del objeto de estudio, el proceso de análisis se inicia desde la elección del espacio –en este estudio: entidades federativas, educadoras- en el que se va a hacer el levantamiento de datos y se extiende hasta el momento de escribir el reporte. “A través de él, uno descubre lo que realmente investiga” (Hammersley y Atkinson, 1983:1).

El estudio rastrea y caracteriza las componentes que dan lugar a prácticas docentes que muestren avances en la realización de los objetivos de enseñanza y de aprendizaje matemático que plantea el Programa. Así como aquellas acciones de supervisores, directivos o equipos técnicos estatales que las han impactado positivamente. También devela los desafíos que debieran asumirse a fin de orientar las acciones de capacitación y acompañamiento del equipo central y los estatales.

1 La presente publicación tiene como referente la investigación evaluativa de la implementación del Programa de Educación Preescolar 2004 en el Campo Pensamiento Matemático realizada en el Departamento de Investigaciones Educativas del Cinvestav por solicitud de la Dirección de Desarrollo Curricular para la Educación Preescolar de la SEP. Investigación: Irma Fuenlabrada (coordinación general), Ana Laura Barriendos, Lucía Moreno y Ruth Valencia (investigadores asociados). Análisis general e informe final: Irma Fuenlabrada, Lucía Moreno (colaboración). Trabajo de campo: Lucía Moreno, Leove Ortega y Ruth Valencia. Video grabación: Gatell.tv piensa e imagina. Apoyo técnico-administrativo: Bertha Vivanco. 2 Programa de renovación curricular y pedagógica de la educación preescolar, p. 117, México: Secretaría de Educación Pública, 2002.

Anexo 3

¿Es posible desarrollar el pensamiento matemático en preescolar?...

3

Entrevistar y observar nos permitió desde una perspectiva interpretativa documentar los

sentidos y significados del hacer de las educadoras. A decir de Geertz (2005:20), “el hombre (está) inserto en una trama de significados qué el mismo ha tejido, (…) la cultura es esa urdimbre y el análisis de la cultura no es una ciencia experimental en busca de leyes, sino una ciencia interpretativa en busca de significados”.

La investigación retoma información sobre el proceso de implementación del Programa, llevado a cabo por la Dirección de Desarrollo Curricular para la Educación Preescolar (DDCP) de la DGDC de la SEP; también documenta y analiza en el ciclo escolar 2008-2009, las prácticas de enseñanza de la matemática de 20 educadoras en cuatro entidades federativas (Ef1, Ef2, Ef3 y Ef4)3, así como las acciones estatales específicas que se han llevado a cabo para acompañarlas en la implementación de este campo formativo.

Las entidades federativas participantes, se seleccionaron con base en los datos proporcionados por la Dirección de Desarrollo Curricular para la Educación Preescolar. Esta Dirección suministró a la consultoría una lista de entidades, que a su juicio, se han distinguido por realizar acciones de actualización y formación a educadoras sobre cómo desarrollar en los niños de preescolar el pensamiento matemático.

La consultoría por su parte, convino con las autoridades estatales que desde su conocimiento y experiencia seleccionaran entre 4 y 8 educadoras de su entidad, que en el ciclo escolar 2008-2009 estuvieran atendiendo a grupos de 3° y que se hubieran destacado por su interés en modificar su práctica docente en apego a los lineamientos metodológicos y disciplinarios sugeridos en el PEP04.

Que fueran grupos de tercer grado responde al interés por observar el tipo de trabajo que las educadoras se plantean con los niños que están por terminar su educación preescolar y si éste está apuntalando o no a la consecución de los objetivos previstos en el PEP04.

Para completar el referente empírico, las educadoras participantes fueron video- grabadas trabajando con sus alumnos algún contenido matemático y respondieron a una entrevista a fin de completar la semblanza profesional brindada por sus autoridades; a la vez de aclarar o ahondar sobre algunas acciones observadas durante la realización de la clase.

Asimismo se video-grabó la entrevista con el responsable estatal del acompañamiento a las educadoras para documentar lo realizado en relación a los procesos de capacitación llevados a cabo para ayudarlas en la interpretación del Campo de Pensamiento Matemático. Pero sobre todo se trataba de conocer sus personales apreciaciones sobre los efectos de ese proceso, sus alcances y limitaciones.

En síntesis el referente empírico quedó conformado de la siguiente manera:

3 Estas claves procuran la salva guarda de las entidades federativas pero sobre todo de las educadoras participantes cuya práctica docente se analiza en esta investigación.

Anexo 3


4

Referente empírico

Información documentada por la Dirección de Desarrollo Curricular para la Educación

Preescolar de la DGDC de la SEP

Número de educadoras Entidad Federativa

8 Ef1

4 Ef2

4 Ef3

4 Ef4

Totales 20 educadoras 4 entidades federativas

Video grabaciones Observaciones al término del ciclo escolar 2008-2009 de

grupos de 3° o grupo mixto 2° y 3°

20 clases de matemáticas

20 entrevistas, una a cada educadora

4 responsables de la capacitación de cada una de las

entidades federativas

Para el análisis de los aspectos observados en las clases y en las entrevistas, la investigación se

orienta en la articulación de las siguientes preguntas:

A. ¿Cuáles contenidos del Campo de Pensamiento Matemático se trabajan en las aulas de

preescolar? B. ¿Cuáles de las sugerencias metodologías sobre enseñanza y aprendizaje de la matemática y de

qué manera han sido incorporadas a las prácticas docentes de las educadoras? C. ¿Qué caracteriza a los procesos de capacitación federal y estatal que impactan positivamente

a las prácticas docentes de las educadoras?

Los hallazgos se organizan en tres apartados, cada uno en correspondencia a cada una de las

preguntas anteriores.

[…]

B.1 Consideraciones generales: algunas anticipaciones

De las diversas sugerencias metodológicas del Programa, sin lugar a duda, la parte medular es el

manejo de la consigna, entendiéndose ésta como la información que la educadora da a los alumnos

sobre la tarea que van a realizar y la forma cómo la plantea.

El planteamiento de la consigna permite por las consideraciones que se comentan a

continuación, anticipar en gran medida la posibilidad de que en las aulas se estén o no realizando los

principios metodológicos del Programa de Educación Preescolar 2004.

Anexo 3


5

¿Cómo se plantea la consigna? El estudio muestra prácticas docentes en las que algunas educadoras “dosifican” la consigna. Las consignas, como se ha anticipado implican una serie de acciones, las educadoras enuncian una de éstas y esperan que los niños la realicen, verifican que la hagan y les comunican la acción siguiente y replican el proceso. Este manejo de la consigna transforma la actividad de los niños en ejecutores de una serie de instrucciones, que difícilmente saben cuál es el sentido de llevarlas a cabo.

A la vez que deja ver, las creencias que estas educadoras tienen sobre las posibilidades de sus

alumnos, de alguna manera suponen que –quizá por ser pequeños-, son incapaces de entender instrucciones que conlleven a la consecución de dos o tres acciones articuladas.

En cambio plantear desde el inicio la consigna completa, favorece un trabajo intelectual que

empieza por la comprensión de ésta; que los niños manifiestan en la organización de acciones que efectúan y controlan con el propósito de resolver la problemática -interacción con el objeto de enseñanza inmerso-, al que les enfrenta la consigna recibida.

¿Qué se plantea en la consigna? Se espera, según se señala en el PEP04, que la situación de

aprendizaje rete el conocimiento y las experiencias de los niños, y desde esta perspectiva, un recurso didáctico para la consecución de ese propósito es la problematización de alguno de los usos o de las funciones del conocimiento matemático con el que se pretende los niños interactúen.

Algunas maestras proponen a los niños situaciones que no cuestionan los saberes de los niños

que están por terminar el preescolar. Aún si se pensara que el propósito de la clase es “repasar” algún conocimiento adquirido, las situaciones observadas son pertinentes para niños que están terminando 2° o iniciando el 3° pero no finalizando éste, como es el caso de las clases documentadas en este estudio.

Por otro lado, si bien la modelización de la situación de aprendizaje se inicia con el

planteamiento de una consigna; es imprescindible además que la educadora cuando la plantea no ofrezca a los niños información acerca de cómo espera que la resuelvan. Si no se informa a los niños “cómo” deben proceder para solucionar, se propicia que los alumnos conciban diferentes caminos para resolver y consecuentemente muestren cómo están utilizando sus conocimientos y experiencias en la situación que están enfrentando: qué saben, cómo lo saben y qué les falta por aprender.

Plantear una buena consigna con las pretensiones señaladas y dejar que los alumnos averigüen cómo resolverla es uno de los desafíos más importantes y difíciles que las educadoras afrontan. Desde hace dos décadas, distintos estudios sobre las prácticas de enseñanza de las matemáticas (Nemirovsky, M et. al., 1990, Armenta y Rangel, 1990)4 y estudios más recientes (Harf,

4 (Nemirovsky, Miriam, et. al., 1990). Informe de Investigación: Situación actual de la enseñanza de la Matemática en el Nivel Preescolar. México: Dirección General de Educación Preescolar, Sección de Matemática Educativa, Cetro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN. (Armenta, Martha y Rangel, Ma. de los Ángeles, 1990) Los niños de edad preescolar inventan y resuelven problemas matemáticos de suma y resta. Tesis de Licenciatura. México: Escuela Normal de Ecatepec, 1990.

Anexo 3


6

Ruth, et. Al ,2002)5 destacan, entre otras cosas, la tendencia de las educadoras a recurrir en su enseñanza al trabajo grupal con la intención de garantizar que todos los niños transiten el mismo camino en su “aprendizaje”, “digan y aprendan lo mismo”, éste trabajo suele completarse por un acercamiento de la docente a cada niño para verificar que haya seguido las indicaciones y en su caso ayudarlo a realizarlas.

En este posicionamiento sobre la enseñanza subyace un supuesto añejo, que al ser los niños todavía muy chiquitos difícilmente pueden hacer cosas por sí mismos así que requieren de ayuda señalan las educadoras, por eso les dicen las cosas y se las repiten todas las veces que sea necesario hasta que los niños den muestra de haberlas “aprendido”. Fuenlabrada (1991:226)6 señala que la práctica educativa que se da en los jardines de niños, refiere a “un modelo repetitivo que ha reducido el aprendizaje de esta área a la realización mecánica de sus procedimientos; se ha mostrado al educando como un objeto rígido que no admite cuestionamiento, donde hay que seguir paso a paso las indicaciones del maestro”.

Sin embargo el manejo de la consigna no termina con un buen planteamiento de la tarea a realizar por parte de los niños (en los términos señalados), que de suyo ya significa un gran logro metodológico por parte de las docentes; es necesario además que la educadora la sostenga y recupere en el transcurso de la clase.

Es preciso que la maestra en su intervención (didáctica) frente a las diversas maneras de actuar de sus alumnos no pierda de vista la consigna durante la clase.

Desde esta perspectiva, se aprecia en algunas de las clases observadas (al margen de que se dé o no un buen planteamiento de la consigna) la tendencia de algunas educadoras por conducir su clase en apego a las respuestas de sus alumnos, aún cuando éstos estén realizando cosas que no respondan a lo solicitado pero que a las docentes les resulta interesante, novedoso…sorpresivo; entonces es cuando las maestras pierden el objetivo de enseñanza de su clase y dejan que ésta transcurra al real entender y hacer de sus alumnos.

Parece ser, que las educadoras que manifiestan esta tendencia, han incorporado a su práctica -en concordancia con sugerencias recibidas en los cursos de actualización-, la importancia de ‘observar y tomar en cuenta’ lo que sus alumnos hacen. Pero todavía les falta comprender que ‘observar y tomar en cuenta’ es un recurso didáctico que posibilita la consecución del objetivo central de una situación de enseñanza, por esto no debe perderse en el transcurso de la clase.

Aunado a lo anterior cabe señalar que la comprensión de lo que subyace en las diferentes maneras de actuar de los niños encuentra diversas explicaciones en relación a las acciones de la enseñanza. Esta es la razón por la que en los procesos de actualización se insiste que las educadoras desarrollen su capacidad de ‘observar y tomar en cuenta’ lo que los niños hacen para realizar la

5 (Harf, Ruth, et. Al ,2002), Raíces, tradiciones y mitos en el nivel inicial. Dimensión historiográfico-pedagógica, Cuadernos de la Biblioteca para la actualización del maestro, México: SEP, 2002. 6 (Fuenlabrada, Irma, 1991), La investigación en didáctica de la matemática. Un problema actual, Avance y Perspectiva 10, 226-230. México: Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN.

Anexo 3


7

consigna con el propósito de propiciar en las educadoras una reflexión constante sobre su práctica docente y los efectos de ésta en el aprendizaje de sus alumnos, que puede manifestarse de diversas maneras, entre las que cabe destacar:

Las respuestas de los niños en ocasiones, están en franca correspondencia a la consigna planteada pero no así a las pretensiones implícitas de la educadora.

A veces la consigna rebasa las posibilidades cognitivas de los niños y por esto sus respuestas o son “incomprensibles” o corresponden a un ajuste de la consigna que los niños hacen para poder interactuar con ella.

Otras veces, la respuesta “fuera de lugar” de los niños es consecuencia de otras condicionantes, como puede ser la organización del grupo para realizar la tarea (en equipo resolver situaciones sobre forma).

O bien, el material les resulta demasiado atractivo por lo que les da por hacer otras cosas más interesantes que lo solicitado en la consigna.

Suele pasar también que el material sea poco útil para atender la consigna por lo que es difícil que los alumnos respondan ‘coherentemente’ a ésta.

Finalmente se espera que la educadora en atención a los lineamientos metodológicos del

PEP04, organice hacia el final de la clase o en el transcurro de ella una confrontación de resultados, entendida ésta como un espacio de socialización de conocimiento, una síntesis de lo que está sucediendo en el proceso de búsqueda de solución de la consigna.

La confrontación debería realizarse con base en la articulación de dos aspectos: en primer lugar se trata de destacar los resultados no coincidentes para averiguar si son o no correctos o cuál de ellos lo es a través de las argumentaciones que puedan ofrecer los niños y en segundo lugar, poner a consideración de todo el grupo las diversas maneras de proceder que utilizaron en la indagación de la solución a la situación planteada para valorar la pertinencia de éstas; pero sobre todo para que los niños vayan reconociendo que hay diferentes estrategias para encontrar una solución.

La confrontación de resultados en los términos señalados, aparece con poca frecuencia en las clases analizadas.

Lo que se observa varias veces, es a las educadoras pidiéndole a un niño que explique a sus compañeros como está resolviendo la consigna. No se trata en ocasiones de una confrontación, más bien por el énfasis que le otorga al hecho la educadora y porque sucede cuando los niños están trabajando, es un recurso que las maestras utilizan para decirle al grupo en la voz ‘de otro’ lo que esperan que todos hagan para resolver la consigna. Es necesario aclarar que a veces -sobre todo con el trabajo sobre forma-, si bien, las educadoras interrumpen el trabajo del grupo para que vean lo que hizo un compañero, esto no significa que su intención esté en que el grupo replique lo que ese niño ha hecho sino más bien es una confrontación que se desliza en el transcurso de la clase, sin un momento especifico (al final) y que pone a disposición de los niños una manera de resolver pero no varias de las surgidas en el grupo.

Anexo 3


8

Es decir, que un alumno comparta su manera de resolver o muestre el producto de su trabajo al grupo, no es suficiente para que la confrontación de resultados se realice en el sentido sugerido en la Propuesta; es necesario que se propicie además el intercambio de conocimientos e ideas que los niños están poniendo en juego frente a la consigna. Es así que, en ocasiones, para los que están comprometidos en la búsqueda de solución representa una interrupción y para otros una oportunidad de retomar el trabajo, replicando lo que se expuso sin que medie una comprensión más allá de que ‘eso’ es lo que su maestra espera que hagan con la situación planteada.

Sin embargo, al margen de cómo se realiza la confrontación en las clases observadas, la pretensión de llevarla a cabo, no deja de ser destacable como un avance propiciado por el Programa. Los lineamientos metodológicos que se sustentan en el Programa de Educación Preescolar 2004 a los que sucintamente nos hemos referido, se articulan en las clases como se esquematiza en el siguiente diagrama.

La consigna y las otras componentes para el texto

INTERVENCIÓN DIDÁCTICA Frente a las diversas maneras de actuar delos alumnos cuando están trabajando.

ORGANIZACIÓNdel

GRUPOpara que resuelvan la

consigna

CONFRONTACIÓN De

RESULTADOS

CONSIGNA

La problematización de los diversos usos y funciones del

conocimiento matemático retan el intelecto de los niños si la educadora permite que sean

ellos mismos los que encuentren una posible

solución

La educadora OBSERVA

Si los niños están trabajando con la consigna, en caso necesario la reinstala

Cómo utilizan los alumnos su conocimiento ¿Qué saben? ¿Cómo lo saben? ¿Qué les falta por aprender?

Toma nota mental de las estrategias que están poniendo en juego los niños, para recuperar algunas de ellas en la confrontación

Reflexiones en torno a la enseñanza del espacio

ANEXO 4





Claudia Broitman

En este trabajo, Claudia Broitman señala algunos problemas y confusiones sobre la enseñanza del espacio en el Nivel Inicial. En primer lugar, distingue los intentos de abordar en la escuela el estudio de la noción operatoria de espacio del tratamiento didáctico de problemas espaciales, luego analiza críticamente ciertas ideas vigentes sobre la enseñanza de las relaciones espaciales (“concreto - gráfico - abstracto”; “vivencia - representación”, etc.) y diferencia un abordaje motriz de uno matemático. Por último, presenta el análisis de un trabajo realizado en una sala de 5 años sobre la construcción de un plano y el proceso de reelaboración del mismo.

La enseñanza del espacio en la escuela: ¿noción de espacio?

¿Se ven las patas de la silla desde arriba, Florencia? No, pero si no la silla se cae.

En el Nivel Inicial se suele reconocer el trabajo sobre las relaciones espaciales como un

contenido a ser abordado. Sin embargo, este acuerdo sobre la importancia de su tratamiento deja de ser tal cuando se analizan las diferentes propuestas de enseñanza.

Ya ha sido muy discutido y difundido que en la enseñanza de la matemática ha habido una importante confusión entre las estructuras lógico-matemáticas estudiadas por la epistemología y la psicología genéticas y los contenidos y objetivos de la enseñanza.1

Jean Brun (1980, 1994) analiza los efectos de dicha confusión en la enseñanza de la matemática. Destaca cómo la psicología genética influyó sobre la enseñanza a partir de ciertos malentendidos originados en las relaciones entre las nociones estudiadas por Piaget y la enseñanza de la matemática.

Los resultados de dicha confusión han sido suficientemente analizados: se ha producido un desdibujamiento del rol docente como enseñante al considerarlo agente de la aceleración del desarrollo, se confundió el método clínico crítico de la psicología genética con las estrategias de enseñanza, hubo una cierta reducción de conocimientos matemáticos a ser enseñados al reemplazarse éstos por nociones a abordar; se alteró, incluso, el fin social de la escuela, dejando de considerarse como el lugar para la comunicación, difusión y democratización de una selección de conocimientos socialmente relevantes para instalar la expectativa de acelerar el desarrollo.

Claudia Broitman es miembro del Equipo de Matemáticas de la Dirección de Currículum del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, docente de cursos y seminarios sobre la enseñanza de la matemática Nivel Inicial y EGB, coordinadora del área matemática de la Red Latinoamericana de Alfabetización y asesora de la Escuela para el Hombre Nuevo, de la ciudad de Buenos Aires. 1 Ver, para este punto el artículo de M. E. Quaranta, aparecido en el Nro. 2 de esta revista en 1998.

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En el Nivel Inicial, la persistencia de la confusión entre las nociones operatorias y los

contenidos (tanto para el campo numérico como para el espacial) aparentemente ha sido mayor que en el resto de los niveles. Tal vez la menor demanda social al mismo sobre la enseñanza de conocimientos, los supuestos acerca de los contenidos abordables por la edad de los alumnos, las diversas funciones sociales adjudicadas al nivel, la fuerte difusión de las ideas de las corrientes de la Escuela Nueva, fuertemente entrelazadas con las ideas estructuralistas en los discursos pedagógicos de formación de docentes del nivel, y otros factores, han contribuido a dar consistencia y relevancia a propuestas derivadas de ciertas interpretaciones educativas de la obra piagetiana.

El aplicacionismo de la psicología genética a la enseñanza, en el caso de la noción de espacio, ha tenido como efecto -como ha sucedido con la noción de número- la identificación de dicha noción como finalidad de la enseñanza o como contenido. Es frecuente encontrar, en documentos curriculares, en publicaciones para docentes y en libros de texto para niños del Jardín o de los primeros grados de las últimas décadas, la expresión “la construcción de la noción de espacio” propuesta como fin o como objeto de trabajo.

Hoy aún muchas de estas ideas siguen persistiendo y difundiéndose, sin embargo, han también circulado, en los últimos años, numerosas propuestas de enseñanza del campo numérico dirigidas a instalar su abordaje en el nivel, a partir de un análisis crítico de la noción de actividades dirigidas al desarrollo de la noción de número y asumiendo una perspectiva didáctica. El trabajo alrededor de las situaciones problemáticas, el conocimiento de la serie numérica, las funciones del número, su uso social, etc., han transformado el panorama desde aquellos momentos en los que se proponía un trabajo sobre las nociones allí llamadas “pre-numéricas”.

Sin embargo, no ha ocurrido del mismo modo para el abordaje de lo espacial. Quaranta (1998) señala que la persistencia de estas confusiones en el Nivel Inicial es más fuerte en la enseñanza del espacio que en lo referente al campo numérico, y sostiene que este fenómeno tal vez se deba a la escasa investigación en didáctica sobre su enseñanza.

A pesar de dicha área de vacancia en la investigación, creemos que es posible repensar su enseñanza a la luz del análisis crítico del aplicacionismo, teniendo en cuenta lo que hemos aprendido en estos años sobre la enseñanza en el campo numérico, tomando aportes conceptuales de la didáctica de la matemática, considerando las enseñanzas de Piaget sobre los procesos de construcción del conocimiento, partiendo de los pocos trabajos de investigación sobre la geometría y el espacio, de ciertos documentos curriculares y, por qué no, también de experiencias didácticas llevadas a cabo en escuelas.

Intentaremos aportar aquí, a partir de aquellas fuentes, algunas distinciones e ideas con el fin de revisar algunas ideas y prácticas vigentes y tender otras para reorganizar su enseñanza.

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La enseñanza del espacio en la escuela: conocimientos y problemas

Desde los aportes de la didáctica de la matemática nos preguntamos: ¿qué significa concebir al espacio como contenido? ¿Qué propuestas didácticas en el aula?, ¿qué avances se espera producir en los conocimiento de los niños?

Los niños utilizan el espacio y construyen un conjunto de conocimientos prácticos que les permiten dominar sus desplazamientos, construir sistemas de referencias (Saiz, 87; Berthelot y Salin, 1994; Castro, 1999). Estos conocimientos son aprendidos independientemente del pasaje de los niños por la escuela. Se trata de adquisiciones espontáneas en su proceso de construcción de nociones espaciales.

Esto no significa que no haya nada por enseñar en la escuela, que renunciemos a considerar como contenido el tratamiento del espacio. ¿Por qué? Berthelot y Salin (1994) muestran la gran cantidad de conocimientos espaciales útiles para resolver problemas cuya adquisición no es espontánea y señalan la importancia de un trabajo sistemático para su adquisición. Insisten en la necesidad de su abordaje en la escuela, citando a Pecheux (1990):

“Nos parece que las performances espaciales son consideradas más como dependientes de aptitudes individuales, que pueden ser eventualmente útiles para ciertos oficios, pero de las que se puede prescindir fácilmente. Ni la enseñanza elemental, ni el colegio, emprenden la enseñanza del espacio de manera estructurada. (…) En suma, en las prácticas escolares, la sistematización de los conocimientos espaciales es abandonada al azar.”

Y más adelante, interpretando el origen de su ausencia en la enseñanza:

“Conocimientos que corresponden a un sector reconocido de las matemáticas son más fáciles de legitimar (…) que conocimientos espaciales prácticos, por necesarios que sean para los alumnos, como los que permiten la utilización conveniente de un plano para ubicarse en un espacio desconocido…”

Berthelot y Salin destacan la minimización de las dificultades de adquisición de los

conocimientos espaciales. La mayor parte de los alumnos de grados superiores o de adultos no dominan convenientemente la interpretación de un plano en una actividad de anticipación espacial. Sin embargo, confían en que se podrían esperar otros resultados si el sistema de enseñanza se hiciera cargo de las competencias y conocimientos espaciales necesarios tanto para las exigencias de la vida social, como de los necesarios para futuros aprendizajes matemáticos.

Desde una perspectiva didáctica nos preguntamos por el campo de problemas espaciales que ciertos conocimientos permiten resolver. Se trata de que los niños amplíen el dominio de las experiencias espaciales. ¿Qué problemas los niños aprenderán a resolver a partir de las situaciones

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que la escuela promueva? ¿Para cuáles problemas el tratamiento didáctico será necesario, ya que no se trata de adquisiciones espontáneas?

La escuela debe ofrecer a los alumnos oportunidades para resolver nuevos problemas y realizar conceptualizaciones. Problemas y conceptualizaciones que tal vez los niños no se hubieran planteado fuera de la escuela. Se espera que los niños puedan, entre otros aspectos:

construir un lenguaje para comunicar posiciones y desplazamientos,

tomar conciencia de los problemas ligados a los cambios de punto de vista,

elaborar y utilizar representaciones sobre el espacio físico

El espacio, objeto de estudio desde diferentes puntos de vista: ¿matemática, psicomotricidad, educación física?

Una pregunta que suele estar muy presente en el trabajo con los docentes es la relación entre el abordaje del espacio desde el punto de vista de otras áreas y el que se realiza desde la matemática. ¿Las mismas actividades permiten promover aprendizajes de las diferentes áreas? ¿Es necesario abordar primero actividades desde el propio cuerpo y luego abordar su representación simbólica?

Nos encontramos aquí con otro supuesto de la enseñanza: la creencia de que los niños, para aprender en la escuela, deben atravesar ciertas etapas que van de lo concreto a lo gráfico y desde éste a lo abstracto. Esta idea, muy difundida para la enseñanza de la matemática, también se ha originado a partir del aplicacionismo de los estudios piagetianos a la enseñanza escolar y se ha fortalecido por las ideas de “activismo” de las corrientes pedagógicas de las Escuela Nueva con un importante arraigo en los primeros niveles de enseñanza.

La creencia sobre la necesidad de respetar en el aula estas etapas ha contribuido a la confusión de los aprendizajes espaciales ligados a la matemática con aquellos ligados al movimiento o a los desplazamientos. El supuesto orden produjo la organización en etapas en la enseñanza: primero la “vivencia” del espacio, luego su representación gráfica y finalmente su abstracción. Están aquí presentes unas cuantas confusiones que la evolución del conocimiento didáctico permite hoy analizar.

Resulta necesario hacer una distinción entre el uso del espacio real (desplazarse, recorrer lugares, hacer circuitos, etc.) y los aspectos matemáticos que podrían estar vinculados a cada una de dichas situaciones.

En el uso real del espacio (cuando va de la sala al baño o de su cuarto al de sus padres, cuando lanza una pelota hacia un aro, etc.) el niño no necesariamente realiza alguna conceptualización o toma de conciencia de conocimientos matemáticos en juego. De hecho, los conocimientos vinculados

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con el desplazamiento del propio cuerpo en el espacio están ligados al desarrollo espontáneo de un sujeto desde sus primero meses de vida. Es decir, no hay necesariamente actividad matemática en el desplazamiento físico.

Esto no significa que desvaloricemos aquellas propuestas elaboradas desde otras disciplinas en dirección al uso del cuerpo propio en el espacio físico, como aquéllas que se propician desde la educación física o la psicomotricidad. Simplemente señalamos la necesidad de distinguir su finalidad y destacar la posibilidad de proponer a los niños avances, en muchos casos independientes, en uno u otro campo de conocimiento.

Los problemas matemáticos relacionados con el espacio están ligados a la representación sobre dicho espacio. No se trata de los mismos problemas. El desafío en realizar un circuito involucra destrezas físicas y no necesariamente matemáticas. ¿Significa esto que no es posible abordar aspectos matemáticos a partir de un espacio real o de una actividad de desplazamiento? No se trata de descartas las propuestas de uso del espacio real o de desplazamientos efectivos, sino de preguntarse cuáles son los problemas que, en dicha situación, involucran conocimientos ligados a la matemática.

Si el problema planteado a los alumnos se resuelve exclusivamente en el ámbito del espacio real (por ejemplo, hacer el circuito mencionado), no está involucrado ningún problema matemático, ni se exige que el alumno esté reflexionando sobre las relaciones espaciales. Podría tratarse de un problema matemático la comunicación verbal o gráfica de dicho circuito, tanto sea la producción como la interpretación de instrucciones, sean éstas verbales, con un sistema de códigos o mediante una representación gráfica.

El espacio y la matemática: relaciones complejas ¿Qué relación hay entre los conocimientos matemáticos y la interpretación o elaboración de una representación gráfica o de instrucciones verbales para llevar a cabo un desplazamiento?, ¿qué tiene de “matemático” hacer o interpretar un plano? El trabajo sobre el espacio tiene unas “relaciones complejas” con el conocimiento matemático. A diferencia de lo que ocurre con los conocimientos geométricos, muchos conocimientos espaciales no tienen referente en el conocimiento formalizado de esta disciplina y sí lo tienen en las prácticas sociales (Berthelot y Salin, 1994).

Sin embargo, creemos que hay elementos del tratamiento y del trabajo alrededor del espacio que permiten vincular el tipo de actividad intelectual que involucran a la actividad matemática. ¿De qué aspectos estamos hablando?

Por ejemplo, en un problema de elaboración de un plano hay presentes ciertas cuestiones “ligadas a la actividad matemática”, como la formalización de ciertos recursos válidos para representar el tipo de tratamiento que se hace del problema, el uso de modelos o esquemas que toman en cuenta sólo la parte de lo real pertinente al problema (para un problema de ubicación

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espacial no son necesarios ciertos detalles del espacio real), la potencia del conocimiento para la anticipación, etcétera.

Veamos este último aspecto: la anticipación. Los conocimientos matemáticos permiten anticiparse a acciones no realizadas todavía, o realizar afirmaciones válidas acerca de acciones realizadas en otro espacio o en otro tiempo. Un par de ejemplos: la operación de resta nos permite calcular un resultado de una acción aún no realizada, o de una acción que transcurre en otro lugar o en otro momento. Sabemos cuántos alfajores quedarán si hay 8 y alguien come 4, podemos tener certeza del resultado de dicha acción aunque no los coman realmente, o a pesar de que los alfajores, o quien se los coma, estén lejanos en el espacio o en el tiempo. Dicho poder de anticipación de los números (Pre Diseño GCBA Primer Ciclo, 1999) es “compartido” por los conocimientos geométricos: por ejemplo, se puede averiguar la medida de un ángulo de un triángulo equilátero sin medirlo, deduciendo a partir de ciertas propiedades de las figuras. Se puede afirmar, sin medir, que todos sus ángulos miden 60°. Los conocimientos geométricos permiten anticiparse a acciones no realizadas, efectuar deducciones en el terreno intelectual, sin recurrir a realizaciones empíricas (Doc. 5 GCBA, 1998). La validez de las declaraciones, en geometría, se apoya en razonamientos que obedecen a las reglas del debate matemático (Berthelot y Salin, 1994; Marco Gral EGB, GCBA, 1999).

Ocurre del mismo modo en el conocimiento espacial: la representación gráfica de un espacio o de un recorrido permite ubicar objetos y relaciones en ausencia de dicho objeto. El lenguaje y las representaciones espaciales permiten comunicar informaciones que sustituyen la percepción (Berthelot y Salin, 1994). Para ir de un lugar conocido a otro conocido (por ejemplo, para ir del aula al baño) no se precisa de representación gráfica alguna. En cambio, hay numerosos problemas cuya resolución no es posible desplazándose. Por ejemplo, la lectura de un plano permite resolver problemas para un espacio que no es percibido directamente. O las instrucciones verbales sobre cómo realizar un circuito permiten comunicar la actividad realizada a un alumno que ha estado ausente en el momento de su realización, sin necesidad de mostrarlo efectivamente, ni de estar en el lugar físico donde se ha desarrollado la acción.

También en los conocimientos espaciales, aunque muy ligados a las prácticas sociales y al espacio real, existe un quehacer matemático (PreDiseño GCBA, 1999). La actividad matemática en los problemas espaciales está dada por la potencia para la resolución de problemas que exigen la anticipación y que no son resolubles exclusivamente en forma empírica.

El trabajo con el espacio en la escuela, desde esta perspectiva, se ubica en el conjunto de problemas ligados a la representación, son problemas que involucran algún grado de análisis o de reflexión sobre el espacio real y las relaciones que involucran.

Un tipo de problemas de representación sobre el espacio compromete problemas específicos del pasaje del espacio tridimensional, sensible, al espacio representado bidimensionalmente. Las representaciones gráficas del espacio pueden ser objeto de estudio (esquemas, mapas, planos, etc.) y a la vez ser un medio para pensar sobre las relaciones y puntos de vista en el espacio.

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“Desde una perspectiva didáctica, el dibujo y los problemas propios de la representación plana son un medio ideal para provocar intencionalmente el inicio en la conceptualización de algunos aspectos del entorno físico…” (Castro, 1999).

Una experiencia en sala de 5 años

Presentaremos ciertos problemas surgidos del trabajo con una sala de 5 años2 sobre la

representación gráfica de un espacio real: el plano de su aula. Pensamos en proponerles a los alumnos la producción de un plano del aula. La finalidad de la

situación -para la perspectiva de los niños- era la producción de un plano del aula a modo de recuerdo de su última sala de jardín. El trabajo sería incluido el último día de clases en sus cuadernos.

Los objetivos -desde el punto de vista didáctico- eran que los niños:

elaboraran un plano como recurso para comunicar posiciones de los objetos, compararan propiedades de diferentes tipos de representaciones del espacio, reflexionaran acerca de los efectos en la variación del punto de vista.

La consigna que se daría a los alumnos sería que dibujaran un plano del aula, y que para ello la

dibujaran vista “desde arriba”. Las actividades previstas (para más de una clase) eran las siguientes:3

Producción individual de la primera versión del plano. Análisis y comparación de algunas producciones. Elaboración colectiva de conclusiones para la realización de un nuevo plano. Reelaboración individual del plano.

Analicemos algunas de las decisiones tomadas:

¿Por qué proponer una situación de producción de un plano sin ofrecer primero las herramientas conceptuales para su construcción? ¿Por qué no enseñar primero a los niños cómo hacerlo y luego elaborarlo? La enseñanza clásica en matemática se ha centrado en descomponer los conocimientos y tratar de comunicarlos “por partes” y “de lo simple a lo complejo”, en este supuesto de su acumulación y organización posterior. En el trabajo con el espacio se han abordado, por ejemplo, desde dicha perspectiva, propuestas dirigidas a trabajar independientemente unas nociones de otras (arriba-abajo; adentro-afuera; izquierda-derecha) desglosando pares de conceptos que están implicados entre sí en cualquier problema de ubicación espacial.

2 Los trabajos que se presentan corresponden a la sala de 5 años TT de la Escuela para el Hombre Nuevo. Agradezco a la maestra Cecilia Segatorri y al equipo directivo de la escuela la autorización para publicarlos. 3 Estas actividades han sido inspiradas a partir del trabajo presentado por la profesora Irma Saiz en las clases sobre la Enseñanza del Espacio del Seminario Didáctica de la Matemática en el Nivel Inicial, UBA, 1998.

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Desde la perspectiva de la didáctica de la matemática actual, pensamos que dichos conocimientos, al ser enseñados aisladamente, están desprovistos de significado para los niños y no son fértiles para la resolución de problemas. Por el contrario, pensamos que se trata de promover situaciones más complejas, en las que no se intenta garantizar de entrada la homogeneidad de las producciones, sino que se provocan interacciones entre los alumnos y con el objeto en cuestión para producir avances a lo largo de varias clases. Consideramos que la aparición de diferentes formas de representación es una buena ocasión y punto de partida para poder revisarlas y compararlas.

¿Por qué hacer un mismo plano una y otra vez? ¿Por qué proponer a los niños revisar la propia producción? El objetivo del trabajo no era una evaluación de los conocimientos espaciales de los niños; por el contrario, fue pensado como una situación para aprender. Asumimos también, en matemática, la idea de producciones sucesivas, que se revisan y mejoran, sobre las que se discute colectivamente. Nos permitimos considerar el plano como una producción en “borrador” que precisará ser revisada y sobre la que habrá sucesivas versiones.

Sobre el trabajo en el aula

A partir de la consigna ya mencionada, los niños evocan otras representaciones gráficas del espacio: globos terráqueos, mapas, dibujos con instrucciones de armado, mapas de rutas, etc. (“un plano parece un mapa”, “te indica los caminos para llegar de un país al otro”, “es algo que te enseña cómo armar las cosas, por ejemplo un aerostático”, etc.). Con respecto al punto de vista de dichos dibujos, los chicos comentan que “se ve re-chiquito”, “desde el cielo”, “desde le espacio”, etcétera. Se retoma la consigna: “vamos a hacer el dibujo del aula imaginando que somos muy muy chiquitos y estamos parados arriba del ventilador de techo mirando el aula desde ahí”. Esta supuesta ubicación imaginaria del punto de vista traerá varias consecuencias no previstas:

discusiones acerca de que se pueden mover caminando por el ventilador y entonces cambian los puntos de vista;

reflexiones acerca de que como el ventilador está en movimiento, según desde qué lugar del ventilador se mire para abajo se verán o no los frentes de los objetos colgados en la pared o no.

Evidentemente, la altura del ventilador, la posibilidad de desplazamiento imaginario sobre el mismo y su constante movimiento produjeron la consideración simultánea de diferentes puntos de vista. Hoy creemos que hubiera sido mejor plantear un lugar imaginario de observador “más alto” e “inmóvil” en el espacio. Es importante aclarar que la maestra informa a los alumnos, antes de hacer la primera producción, que realizarán varios planos sucesivos, que “éste va a ser un borrador, que se va a poder cambiar, arreglar y rehacer”. Consideramos que esta aclaración a los alumnos es importante para que se predispongan desde un principio a la revisión de la propia producción y no enfaticen los detalles estéticos de la obra. Si así no fuera, les sería probablemente difícil

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aceptar realizar una revisión crítica del mismo y considerarlo una primera aproximación a un proceso de producción. También la docente informa acerca del análisis colectivo que se promoverá a partir de los diferentes trabajos. La importancia de dicha aclaración reside en que los alumnos puedan predisponerse al hecho de que compararán y analizarán críticamente las producciones propias y ajenas, y que se establecerán criterios comunes para la revisión. Por último, la maestra propone que dibujen los muebles del aula y no a las personas, ya que nos desplazábamos constantemente en el aula.

Aparecen, alrededor de las primeras producciones, los siguientes “problemas”: La ubicación de los objetos en el aula: Los niños están, en muchos casos preocupados por

tener en cuenta la ubicación de los objetos, sin embargo, les es muy costoso volcar esto en la hoja.

El punto de vista: discuten acerca de si incluir o no ciertos objetos, o los detalles del

frente de los mismos. Las proporciones: surgen diálogos y arreglos al tratar de tener en cuenta las proporciones

reales de los objetos en el dibujo. Se produce un intercambio espontáneo entre los alumnos acerca de la proporción entre los tamaños de los objetos y de los dibujos que los representan. Este diálogo es registrado con el objetivo de evocarlo en otra clase, para que sea retomado por todos los alumnos. Diego mira el aula y dibuja el pizarrón muy grande, casi en el contorno de la hoja. Fede le dice a la maestra: “Me parece que está dibujado el pizarrón muy grande” e inmediatamente a Diego “no te van a entrar las cosas, ¿eh?” Diego responde: “Las hago adentro del pizarrón” (que es lo que luego efectivamente hace). Acerca del punto de vista se produce el siguiente diálogo: Tomás ¿Qué hacés? Diego: El reglamento (se refiere a un texto escrito en un papel afiche colgado en la pared del aula). Tomás: No se va a ver. ¡Si es un papel! Si el ventilador está girando, depende de qué lado estamos mirando, si miramos de allá (señalando la parte del ventilador más cercana al reglamento) no lo vamos a ver. Sobre el mismo problema: Lautaro está dibujando la mesa vista desde el frente, es decir dibuja dos de las patas de la mesa.

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A partir de una pregunta que se le formula acerca de cómo se ven las patas de la mesa desde arriba, contesta lo siguiente: Lautaro: Si la mesa estuviera con las patas para arriba vería las patas, pero así como está sólo veo el tablero. A partir de esta afirmación, hace la segunda mesa, representando solamente el rectángulo del tablero. Le quedan dos mesas dibujadas, una “vista desde frente” y la otra “vista desde arriba”, como puede observarse en el dibujo.

Lautaro

En estos otros dibujos aparecen elementos representados frontalmente y otros desde una vista aérea. En el dibujo de Tomás: el pizarrón (de frente) y las mesas (desde arriba); en el dibujo de Marina todos los objetos se representan desde el frente excepto el ventilador.

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Tomás

Marina

¿Por qué solo las mesas y los ventiladores tienen una representación de un punto de vista diferente? Tenemos algunas ideas al respecto… El ventilador, que parece dibujado desde arriba, ¿aparece así porque en la consigna los chicos debían imaginar que estaban parados allí arriba y esto facilitó imaginárselo desde dicho punto de vista, o porque el ventilador visto desde abajo -desde donde ellos efectivamente lo ven- es igual

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que visto desde arriba? Tal vez sólo lo dibujaron como lo veían -desde abajo-, y a nosotros nos parece que está dibujado desde arriba. En el caso de las mesas, puede ser que sea más sencillo imaginarlas desde dicho punto de vista que desde objetos más altos, como la biblioteca, o que objetos con muy poco espesor, como un papel. Tal vez, la altura de los niños y su habitual interacción con las mesas, en posiciones de estar parados o sentados, les permiten tener una representación de la misma desde esa perspectiva. Con respecto al problema de la ubicación de los objetos en la hoja, Lautaro, luego de dibujar la biblioteca, toma conciencia de que la ha ubicado en un lugar que no corresponde: Lautaro (un poco enojado mientras borra): La biblioteca tiene que ir ahí (señalando otro lugar en la hoja) y no acá (mostrando el lugar donde la había dibujado).

¿Por qué? Lautaro: Porque ahí está la biblioteca (señalando la biblioteca real), ¡está al lado de la mesa! (Lautaro borra la biblioteca y la dibuja al lado de la mesa). En la segunda clase se recuerda lo realizado anteriormente y se les propone a los niños analizar algunas producciones con vistas a la revisión de la producción y a la elaboración de un segundo plano. Se invita a comparar planos seleccionados. ¿Con qué criterio han sido elegidos? Teniendo en cuenta los aspectos ya mencionados, es decir, aquéllos que en particular permitirán comparar diferentes representaciones del mismo objeto (diferentes puntos de vista para dibujar las mesas) o aportar nuevos problemas (la cuestión de la ubicación). Se decide postergar para otro momento la reflexión acerca de las proporciones de los objetos representados con los objetos reales, sin embargo, aspectos del tamaño de los dibujos son traídos por los alumnos: la relación entre el tamaño de los objetos dibujados y la distancia desde la cual se observa. Con respecto al punto de vista, comentan acerca del dibujo de la puerta del aula, realizado desde una vista frontal: Ezequiel: Para mí que la puerta está hecha desde adelante. Otro alumno agrega: Lo que está de ahí (señalando la mitad) desde el medio (haciendo gesto para abajo) no se podría ver así. Sí, porque si subís hasta allá y estamos a diez metros de altura se vería más chiquita y hay partes que no se verían, se vería más chatito. Con respecto a las diferentes mesas dibujadas es interesante destacar que la mayoría de los alumnos, frente a las dos representaciones de las mesas, acuerdan en que una corresponde al punto de vista de arriba y la otra de frente:

Si se mira de arriba no se ven las patas.

Si es de muy arriba no tiene que tener las patas.

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A pesar del acuerdo acerca de la forma de representación utilizada, los alumnos cuestionan la representación de las cuatro pequeñas circunferencias realizadas para representar las patas.

No tiene redondelitos.

Son las patas.

Sí, ¡pero no se ven! Otro aspecto a resaltar es el comentario de un alumno que interviene para mostrar que desde arriba puede ser vertical (como plano) u oblicuo (como foto aérea) y para ello produce una expresión original: “arriba-arriba” y “arriba-de costado”.

Desde “arriba - arriba” se ven así (señalando la representación de una mesa), desde “arriba- de costado” se ven así (señalando otra mesa).

Luego del trabajo colectivo, la docente propone realizar nuevamente el plano, teniendo en cuenta lo que se ha conversado sobre el mismo. Dos niños dialogan mientras inician la segunda producción:

Hay que fijarse muy bien en el tamaño.

Yo voy a hacer la mesa, el trabajo es más fácil, solo tenés que hacer lo de arriba (refiriéndose al acuerdo establecido luego de la puesta en común).

Melanie les dice a sus compañeros:

Miren bien lo que hay que dibujar. Acá abajo. (Muestra el estante que está debajo de la mesa como tratando de convencer a sus compañeros de la importancia de dibujarlo.)

Lautaro le contesta:

¡¡No, si no se ve eso desde arriba!! Algunos ejemplos de segundas producciones son los siguientes. Julián hizo, en este plano, todos los elementos vistos desde arriba.

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Juli

Lautaro adoptó diferentes puntos de vista para las mesas y para la biblioteca.

Lautaro

Aquí vemos el dibujo de Yamila de la silla. Para este dibujo, la niña trabajó durante un largo rato, comparando su producción con la silla y “peleando” con los resultados que obtenía. En primer lugar, realizó el dibujo de una forma que representaba el asiento de la misma (algo similar a un cuadrado). Mientras lo hacía, miraba el asiento desde arriba. Luego decidió dibujar los círculos

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que representan las patas -como su compañero había hecho para la mesa-. Sin embargo, continuó su producción incluyendo los caños verticales de la misma, que unen el asiento con el respaldo. Y dibujó el respaldo del mismo modo que el asiento, sólo que en éste, a pesar del mismo dibujo, el punto de vista asumido no es el mismo. Desde arriba ha dibujado el asiento, desde el frente ha dibujado el respaldo y los caños. Le quedó la siguiente silla “desplegada” luego de un arduo trabajo en el que pareció recuperar, a su modo, aspectos discutidos colectivamente.

Yamila

Los objetivos de la actividad propuesta En muchos casos, al comparar las primeras producciones con las últimas no se observan cambios importantes. ¿Esto significa que no hubo aprendizajes? Creemos que, más allá de los resultados observables en los planos producidos, fue una situación rica de trabajo para la mayoría del grupo. ¿Por qué?

No se trata exclusivamente de evaluar el producto final y los logros obtenidos en relación con el plano, si bien se espera que los alumnos avancen en sus recursos de producción e interpretación de los mismos. El aprendizaje sobre las relaciones espaciales no está dado exclusivamente por una incorporación de estrategias de representación del plano, sino también por el tipo de interacciones que promueve, por el caudal de reflexiones que se producen en la clase a partir del problema.

Ha sido citada anteriormente la idea acerca de que los problemas de la representación plana pueden ser pensados como un “medio” para provocar conceptualizaciones (Castro, 1999). La producción del mismo es una oportunidad para poner en juego relaciones espaciales, confrontarlas, revisarlas y ampliarlas. El avance está también dado por el tipo de reflexiones que éste permitió instalar.

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Asumimos -también para estos conocimientos involucrados- una perspectiva de largo plazo de

construcción de conocimientos matemáticos: valoramos la importancia de la actividad cognitiva del sujeto en el proceso de conceptualizaciones sucesivas. Los alumnos tuvieron oportunidad para tomar conciencia de lo realizado por sí mismos y por otros, explicitaron aspectos hasta ese momento implícitos, opinaron sobre la propia producción y la ajena (“no te van a entrar las cosas, ¿eh?”, “¡No, si no se ve eso desde arriba!”, “Hay que fijarse muy bien en el tamaño”, “Desde ‘arriba-arriba’ se ven así, desde ‘arriba-de costado’ se ven así”). Consideramos que estos tipos de interacciones son centrales en el proceso de aprendizaje de los conocimientos que estamos abordando y no necesariamente pueden ser incorporados inmediatamente por los niños a sus producciones.

A modo de cierre Ha sido señalada la escasa investigación didáctica sobre la enseñanza de este campo de conocimiento y, a la vez, la necesidad de incluirlo como objeto de estudio en el Nivel. No presentamos una secuencia didáctica, sino momentos de trabajo que relevan problemas con los que se encuentran los niños en la producción de un plano. Consideramos que sería necesario retomar estos aspectos con los mismos alumnos en otros momentos, tanto continuando con la producción de este plano, como con nuevos problemas que permitan a los alumnos seguir aprendiendo.

Planteamos la importancia de revisar -para esta misma actividad- la consigna a la luz de los efectos producidos en la imaginaria posición del dibujante. También sería posible pensar -para futuras actividades- en la inclusión previa en la hoja, por parte del maestro, de algunos referentes, como la puerta o la ventana en las hojas que se entregan, y proponer a los niños dibujar solamente las mesas y las sillas con aclaraciones sobre los lugares en los que se sienta cada uno de ellos. Se pude anticipar que ambas variables (un punto de vista más alto y la inclusión de referencias) podrían favorecer una mayor discusión para el problema -pendiente aún- sobre la ubicación de los objetos.

Evidentemente, es necesario profundizar en el tipo de problemas a proponer a los alumnos, analizar cómo cada pequeña decisión permite provocar o instalar nuevos aspectos del conjunto de problemas y estudiar qué debates, reflexiones y avances favorecen, vinculados al problema de la representación plana.

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BIBLIOGRAFÍA

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1996.

Las decisiones del “día tras días” de la actividad matemática

ANEXO 5




Las decisiones del “día tras día” de la actividad matemática*

Edith Weinstein La enseñanza de la matemática en la educación inicial está cambiando. Contamos con numerosos aportes bibliográficos -muchos de ellos de autores argentinos- que nos ofrecen fundamentaciones amplias acerca del nuevo enfoque de enseñanza y también propuestas didácticas, así como ejemplos de su implementación en las salas.

Por otra parte, muchos docenes están “haciendo camino” desde sus escuelas y desde sus salas, probando, analizando, reflexionando, planteándose preguntas… y sus alumnos, aprendiendo.

Esta práctica de enseñanza, ya más difundida en algunas salas, nos abre nuevos interrogantes, quizás más acotados, más específicos, más cotidianos, pero que también merecen una reflexión detenida. Cómo detectar los conocimientos matemáticos iníciales de los niños, de qué manera conformar los grupos de trabajo, qué secuencia didáctica organizar, qué relaciones establecer entre el abordaje de la matemática y las unidades didácticas y proyectos, cómo desarrollar los diferentes momentos de la clase, son algunas de las preguntas sobre las que intentaremos reflexionar, con el convencimiento de los “grandes enfoques” se vehiculizan en el “día tras día” de la clase.

Sabemos que… acordamos con… Sólo como punto de partida, sistematizamos, las ideas principales del actual enfoque de enseñanza de la matemática en la educación inicial, hoy ampliamente desarrollado y difundido en numerosos textos. Perspectiva desarrollada por la didáctica de la matemática, disciplina originada en Francia, cuyo objetivo es el estudio de las condiciones de construcción y apropiación del conocimiento matemático dentro del contexto escolar.

Los niños, todos los niños, llegan al jardín con conocimientos matemáticos diversos, heterogéneos, asistemáticos, a veces erróneos o incompletos, que construyen desde que nacen debido a su inserción familiar, social y cultural. Es tarea de la escuela reconocer dichos conocimientos iniciales para tomarlos como punto de partida para su acción educativa intencional, con la responsabilidad de hacerlos avanzar, a todos ellos, ampliándolos, socializándolos, sistematizándolos.

* Edith, Weinstein (2004), “Las decisiones del “día tras día” de la actividad matemática”, en Enseñar matemática. Números, formas,

cantidades y juegos, en Revista 0 a 5. La Educación en los Primeros Años, Buenos Aires, Ediciones Novedades Educativas, pp. 36-50. Edith Weinstein es profesora nacional de Jardín de Infantes. Profesora y licenciada en Ciencias de la Educación, Facultad de Filosofía y Letras UBA. Profesora de “Enseñanza de la Matemática en el Nivel Inicial” y de los Talleres 1, 2, 3, 4 y 5 del Trayecto de Construcción de las Prácticas Docentes del Profesorado de Educación Inicial, en el I.E.S. Sara C. de Eccleston, y en la E.N.S. N° 1 y N° 10 del GCBA. Capacitadora en Didáctica de la Matemática en el Nivel Inicial en la Escuela de Capacitación CePA del GCBA. Co-autora de textos de la especialidad.

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Las decisiones del “día tras día” de la actividad matemática

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El sujeto es un activo constructor de conocimientos en interacción con el medio, que aprende

matemática enfrentando situaciones problemáticas que impliquen un desafío, un obstáculo a esos conocimientos iniciales. En el proceso de búsqueda de respuestas, de elaboración de soluciones, desplegando acciones cognitivas y comprendiendo su finalidad, el sujeto avanzará en la construcción de sus conocimientos. El niño construirá el sentido de los conocimientos matemáticos en la medida en que los comprenda como respuestas a los problemas planteados y no por mera ejercitación o memorización; resolviendo problemas y reflexionando sobre ellos, con la intervención intencional del docente.

La interacción con los pares, con conocimientos similares o diferentes, favorece y enriquece

esta búsqueda, permitiéndole al sujeto conocer otras ideas o procedimientos de resolución y confrontarlos con los propios. El conocimiento se construye en interacción social.

El docente tiene un claro rol enseñante, de medición entre el alumno y el saber. Selecciona los

contenidos a abordar, plantea las situaciones problemáticas y resolver, guía las búsquedas y construcciones de los niños, alienta la confrontación de ideas, maneja las variables didácticas,1 coordina las puestas en común de los descubrimiento, de las dificultades, de los procedimientos de resolución puestos en juego, ayuda a poner en palabras y sintetiza los avances logrados acercándolos al saber disciplinar, toma decisiones sobre la continuidad de los contenidos y nuevos problemas a abordar por el grupo.

Los contenidos a enseñar en la educación inicial provienen de la disciplina matemática y ya no

de la psicología evolutiva. Por otra parte, los conocimientos matemáticos no están aislados, sino que constituyen redes y requieren de diversos tipos de problemas y situaciones para ser abordados.

La matemática no se aprende de una sola vez ni con una única actividad; no se trata de un

aprendizaje lineal ni sumatorio; el sujeto irá construyendo aproximaciones sucesivas a los conocimientos. Esto implica resignificar el concepto de error: más que pensar en el error como una ausencia de conocimiento pensamos en distintos momentos o etapas en la construcción de ese conocimiento, que debemos reconocer, problematizar, confrontar, generando las condiciones para que todos los alumnos avancen.

Sostiene Grecia Gálvez:2 “El objetivo fundamental de la didáctica de las matemáticas es

averiguar cómo funcionan las situaciones didácticas, es decir, cuáles de las características de cada situación resultan determinantes para la evolución del comportamiento de los alumnos y, subsecuentemente de sus conocimientos”.

1 El Equipo ERMEL sostiene que: “Variable didáctica es una variable de la situación sobre la cual el docente puede actuar y que modifica las relaciones de los alumnos con las nociones en juego, provocando la utilización de distintas estrategias de solución”. En ERMEL, Equipe de didactique des matématiques, Apprentissages numériques et résolution de problémes. 2 Gálvez, Grecia, “La didáctica de las matemáticas”, en Parra, Cecilia y Saiz, Irma (comps), Didáctica de matemáticas. Aportes y reflexiones.

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Y más adelante afirma: “Brousseau plantea que es preciso diseñar situaciones didácticas que hagan funcionar el saber, a partir de los saberes definidos culturalmente en los programas escolares. Este planteamiento se apoya en la tesis de que el sujeto que aprende necesita construir por sí mismo sus conocimientos mediante un proceso adaptativo (Piaget, 1975) similar al que realizaron los productores originales de los conocimientos que se quieren enseñar”.

“Este grupo es muy heterogéneo”

Frase habitual si las hay, a la hora en que los docentes caracterizan los saberes matemáticos, y de otras áreas, de su grupo de niños: “Algunos chicos cuentan sin problema hasta el 30, pero otros no pasan del 5”, “Tengo nenes en la sala que ya escriben los números convencionalmente, pero no son la mayoría”, “Aunque todavía no lo trabajamos, hay algunos chicos de mi grupo que ya reconocen las formas geométricas y las nombran correctamente, pero no todos”.

Cabría preguntarse, ¿hay grupos homogéneos?; el grupo de este año es muy heterogéneo en sus conocimientos matemáticos, pero el del año pasado, ¿no lo era?, ¿y el del año anterior?

Parafraseando a José Castorina,3 considero que la homogeneidad de los grupos de alumnos es sólo una “ilusión pedagógica”, fruto de las tradiciones normalizadoras y homogeneizadoras de nuestra escolarización (Davini, M., 1995). Los niños son diferentes, provienen de familias y medios diferentes, tienen experiencias diferentes, por lo tanto, los grupos-clases son intrínsecamente heterogéneos en sus conocimientos iniciales. Pero esto, más que considerarlo como un obstáculo al que inevitablemente debemos adaptarnos, con la ilusión de que el grupo del año próximo “quizás sea más homogéneo”, debemos valorarlo como una riqueza pedagógica. Esta heterogeneidad, esta diversidad de saberes, van a permitir al niño conocer otros puntos de vista, otros procedimientos de resolución; le brindarán otras ideas con las que interactuar y confrontar, obligándolo a fundamentar las propias, a ampliarlas y relativizarlas.

Se nos plantea así la dificultad, y a la vez el desafío, de trabajar desde y con esas diferencias, lo que nos obliga inicialmente a conocerlas para tomarlas como referente y punto de partida para la tarea de enseñanza en la sala.

Pero, lejos ya de la época de la toma de las pruebas operatorias piagetianas a todos los niños para conocer en qué nivel estructural se encontraban (confundiendo el rol del docente con el del investigador de la psicología genética), nos planteamos hoy otras maneras de averiguar qué saben los niños.

No se trata de una investigación descontextualizada que realizaremos al comienzo del año escolar, sino que proponemos una actitud de observación e indagación permanente que nos brinde información sobre lo que los niños conocen y manejan, como base para proponerles situaciones problemáticas que les permitan avanzar hacia la apropiación de nuevos conocimientos. Además de observar el uso espontáneo que hacen los niños de ciertos saberes matemáticos, podremos

3 Castorina, José, “Psicogénesis e ilusiones pedagógicas”, en: Castorina, J. y otros, Psicología Genética.

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indagarlos intencionalmente a través del planteo de juegos y actividades, no diferentes a los que habitualmente implementamos en la sala, observando con detenimiento cómo resuelven las situaciones planteadas: ¿cómo cuentan?, ¿conocen la serie numérica convencional?, ¿señalan los objetos haciendo correspondencia entre cada uno de ellos y el recitado de la serie numérica?, ¿usan los números para registrar cantidades o utilizan algún otro tipo de símbolo?, ¿cómo resuelven la comparación o la reunión de cantidades?, ¿cómo describen la posición de un objeto en el espacio?, ¿reconocen las formas geométricas?, ¿cómo las denominan?, ¿qué procedimientos utilizan para comparar la distancia a dos puntos diferentes del espacio?, ¿saben para qué sirven el metro y la balanza…?

Una docente de una sala de 4 años, con la intención de conocer con mayor claridad el manejo que tienen los niños de su grupo de las relaciones espaciales, decide plantearles un juego grupal, denominado “El veo-veo espacial”4. El juego consiste en que el maestro elige un objeto de la sala sin comunicarlo y los niños deben averiguar de qué objeto se trata, realizándole preguntas con respecto a su posición en el espacio. Al desarrollar el juego, la docente observa que los niños utilizan términos como arriba, abajo, adelante, atrás, al lado, pero en forma absoluta, ya que preguntan “¿está arriba?”, “¿está abajo?”, costándoles precisar arriba de qué, debajo de qué. Esta observación deberá ser la base para el diseño y planteo de situaciones problemáticas que les permitan avanzar, ampliando y relativizando sus conocimientos de partida.

Matemática, ¿dentro o fuera de la unidad didáctica y del proyecto?

Superada ya la etapa en la que “todo” debía relacionarse con la unidad didáctica (si trabajábamos sobre los animales, también las canciones debían ser de animales, así como los cuentos y las poesías, independientemente de su valor musical o literario), hoy pensamos en relaciones con sentido, sin forzamientos. Son las preguntas surgidas de los recortes o ejes de las unidades didácticas las que apelarán a las disciplinas para la búsqueda y construcción de algunas respuestas. Por lo tanto, habrá unidades en las que la matemática tenga presencia real, contribuyendo a la resolución de alguna situación surgida de la indagación en curso, constituyéndose a su vez en un buen espacio de problemas para contextualizar sus propios contenidos. Habrá otros casos, en cambio, en los que no sea necesario ni tenga sentido apelar a la matemática para resolver situaciones propias de la unidad didáctica.

Ejemplos clásicos se refieren a la indagación de los precios y el uso del dinero en unidades didácticas como “El supermercado”, “La verdulería” o “Los negocios del barrio”, o en cualquier otra situación que implique la compra-venta, en las que los niños avanzarán en la compresión de los usos del número en la vida cotidiana, su escritura convencional, por ejemplo en pesos y centavos en los precios y el acercamiento a situaciones de cálculo. A su vez, en estos contextos podrán comprender por ejemplo la utilidad de la balanza y las diferencias entre ellas en función del contexto y del elemento a pesar.

4 En González, Adriana y Weinstein, Edith, ¿Cómo enseñar matemática en el jardín?, Número-Medida-Espacio.

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Otra actividad habitualmente desarrollada en el jardín, dentro de unidades didácticas como “El barrio” o “La cuadra de la escuela”, se refiere a la indagación sobre los números de las chapas de las casas y edificios, ante preguntas cómo “¿qué número es?”, “¿por qué todos empiezan con el mismo número, pero terminan diferente?” Ésta es una ocasión interesante para analizar cuestiones del sistema de numeración referidas a la lectura y escritura de los números en situaciones reales de uso cotidiano, así como conectar a los niños con los números “grandes”.

La necesidad de interpretar el plano del zoológico para ubicar la jaula de un determinado animal o el plano de un museo para visitar cierta sala puede ser la ocasión para iniciar un trabajo matemático de interpretación y elaboración de planos con los niños, en el que abordemos contenidos referidos a las relaciones espaciales y su representación gráfica, a partir de resolver problemas surgidos de una situación concreta.

¿Qué altura debe tener el retablo que armaremos en la sala para la obra de títeres de fin de año?, ¿en qué lugar ubicaremos la “boca” de éste?, puede ser una pregunta que guíe interesantes indagaciones en las que debamos medir y comparar longitudes para resolverla, utilizando diferentes procedimientos.

Pero, seguramente, en un Proyecto de creación de cuentos que se desarrolle en la sala o en la indagación sobre la vida en la época de la Colonia, no tendrá sentido apelar a conocimientos matemáticos, centrándose la tarea en otras áreas.

También secuencias matemáticas

En forma paralela al desarrollo de las unidades didácticas o proyectos en los que se incluya o no la matemática, podremos realizar otros trabajos específicos para abordar contenidos del área.

Tenemos que tener presente que los aprendizajes son procesos complejos que no se producen de manera inmediata ni de una vez y para siempre, sino que necesitan de tiempo de elaboración y diversidad de propuestas didácticas para generar la apropiación de los contenidos pro parte de los niños. Es por ello que debemos superar el trabajo por medio de actividades unitarias, sueltas, desarticuladas unas de otras, e implementar secuencias de actividades que incluyan problemas con crecientes niveles de complejidad que permitan profundizar los logros alcanzados y avanzar hacia nuevas apropiaciones.

En este sentido, cobra especial relevancia el trabajo con variables didácticas en tanto modificaciones de las actividades producidas por el docente que generan nuevos problemas a los niños y los llevan a desplegar otras estrategias en la búsqueda y construcción de las soluciones implementando variables didácticas en las actividades es como se pueden construir propuestas secuenciadas con progresivos niveles de dificultad que permitan complejizar las situaciones problemáticas de partida.

La ampliación del campo numérico involucrado en la actividad (hasta el diez, hasta el veinte), las modificaciones en los dados a utilizar (dados con constelaciones, dados con numerales), la

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inclusión de las figuras del mazo en un juego de cartas, la modificación de las acciones requeridas en un juego espacial (observar, dictar, graficar), el incremento de participantes en los grupos de juego, las restricciones en la actividad (buscar los elementos pedidos, pero hacerlo en un solo viaje, medir pero sin utilizar las partes del cuerpo), son ejemplos de variables didácticas que pueden construir una secuencia de enseñanza.

Expresa Adriana Castro:5 “Una secuencia didáctica consiste en una serie de actividades con un progresivo nivel de complejidad en cuanto a las aproximaciones que los alumnos deberán realizar para la resolución del problema dado. (…) Cada actividad incluye el trabajo realizado en la anterior…“ La autora plantea que esta perspectiva implica revisar la idea clásica en el nivel inicial de trabajar yendo “de lo simple a lo complejo”: si nos ubicamos en el enfoque de enseñar matemática a través de problemas, debemos aceptar que cada actividad debe plantear una situación problemática al niño, que implique un obstáculo a resolver. No habría, por lo tanto, actividades “simples”, sino que deberíamos pensar entonces en ir “de lo complejo a lo más complejo”, avanzando en la construcción de los conocimientos.

Es importante considerar que cada variable didáctica que puede construir una parte o una fase de la secuencia didáctica no necesariamente implica una única actividad para el niño. Las actividades deben reiterarse para que todos los niños puedan explorar la situación, probar diferentes ideas y procedimientos, conocer los de los otros, consolidar los descubrimientos y reflexionar sobre ellos, así como manejar con mayor fluidez las reglas propias de la situación. Reconocemos, por otra parte, el placer que le causa al niño la repetición de determinados juegos o actividades lo que deberíamos facilitar permitiéndole volver a ellos, en actividades de grupo total o por propia elección, por ejemplo, como opciones del juego trabajo dentro del sector de los juegos matemáticos. También podemos pensar en introducir variantes, que si bien no implican un nuevo problema a resolver, permiten trabajar situaciones similares sin que se produzca aburrimiento en el grupo debido a la reiteración de actividades.

Veamos, a modo de ejemplo, cómo continuó el trabajo en la sala la docente que implementó el juego “Veo veo espacial” como contexto para observar el uso que realizaban los niños de su grupo de las relaciones espaciales.

Con la intención de trabajar la comunicación y reproducción de trayectos considerando elementos del entorno como puntos de referencia, plantea una propuesta en la que los niños indicarán verbalmente, a una persona que no conoce el lugar, cómo ir de la sala a la dirección del jardín. Posteriormente deberán dibujar dicho recorrido en una hoja, a modo de “mensaje gráfico”. Durante algunos días, la maestra realiza un juego en el que un niño sale de la sala y los demás esconden un objeto; el niño, al volver, es guiado verbalmente por sus compañeros, realizando un recorrido por la sala hasta lograr encontrar el objeto escondido.

5 Castro, Adriana, “Actividades de exploración con cuerpos geométricos”, en: Malajovich, Ana (comp.), Recorridos didácticos en la

Educación Inicial.

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Posteriormente, organiza una búsqueda del tesoro6 en la que los niños, a través de representaciones gráficas de diferentes lugares de la escuela, a modo de pistas, deben recorrerla hasta encontrar los consabidos caramelos-tesoro. Por último, al volver a la sala, la docente les presenta un plano de la escuela y, luego de interpretarlo, les pide que le indiquen verbalmente el recorrido realizado para que ella lo grafique en él y así poder recordar posteriormente la ubicación del tesoro y el recorrido seguido para encontrarlo.

Veamos en este caso cómo los niños se vieron enfrentados a la resolución de situaciones que

implicaban verbalizar recorridos realizados en espacios conocidos, pero de diferente amplitud (de la sala a la dirección y por toda la escuela), así como graficar recorridos conocidos o dictarlos observando su representación en un plano por parte de la maestra.

¿Todo a través del juego?

En el nivel inicial venimos trabajando con una serie de juegos, por lo general reglados y colectivos (Kamii, C. y DeVries, R., 1988), como instancias interesantes para abordar contenidos matemáticos, especialmente los referidos al número y al sistema de numeración. Es habitual encontrar a los niños en la sala jugando entusiasmados, con diferentes mazos de cartas, a juegos clásicos como “La casita robada” o “La guerra” o a adaptaciones de otros como el “Chin Chon” o “La escoba del 15”. También realizan con interés juegos de recorrido en tableros de mesa, de acuerdo con el puntaje obtenido en el dado, o resuelven juegos de puntería como el “bowling” o distintos tipos de emboque, contabilizando los tantos.

En estos contextos lúdicos, los niños se enfrentan con la situación de resolver diferentes problemas matemáticos para poder avanzar en el desarrollo del juego; las situaciones planteadas los llevan a contar objetos o espacios en un recorrido, a comparar, reunir o registrar cantidades, o a reconocer la escritura convencional de los números. Son estas situaciones problemáticas y la búsqueda de soluciones a éstas, en interacción con otros, las que le otorgarán sentido a los conocimientos matemáticos que intencionalmente queremos enseñar.

Sostiene Charnay:7 “La cuestión esencial de la enseñanza de la matemática es entonces: ¿cómo hacer para que los conocimientos enseñados tengan sentido para el alumno? (…) Y es, en principio, haciendo aparecer las nociones matemáticas como herramientas para resolver problemas como se permitirá a los alumnos construir el sentido. Sólo después estas herramientas podrán ser estudiadas por sí mismas”.

El juego del bowling es una buena ocasión para resolver un problema real de registro de cantidades (“¿Cómo hago para acordarme cuántos bolos tiré?”, “¿Cómo anoto que tiré tres bolos?”). Pero a la vez permite que niños comprendan la utilidad del registro (“Anoto para no olvidarme, para

6 . En González, Adriana y W. ob. citada. 7 Charnay, Roland, “Aprender (por medio de) la resolución de problemas”, en: Parra, Cecilia y Saiz, Irma, ob. citada.

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recordar cuántos bolos tiré y luego poder comparar con las cantidades derribadas por mis compañeros”. Es decir, para guardar la memoria de la cantidad en una situación alejada en el tiempo y/o en el espacio de la situación original). Por este motivo, no cualquier juego será útil para comprender estas relaciones. Si tengo los elementos presentes como en un juego de pesca, para saber cuántos pececitos pesqué, el procedimiento que uso es el conteo o la percepción global; no es necesario registrar las cantidades a medida que voy pescando, como sucede en el juego del bowling. Es por ello que es importante analizar detenidamente los problemas particulares que pueden plantearse en cada uno de los juegos y por lo tanto los posibles contenidos a abordar.

En el contexto de los juegos colectivos, los niños, además de resolver numerosas cuestiones matemáticas, se enfrentarán a situaciones que implican compartir y respetar reglas, escuchar opiniones y observar diferentes procedimientos de resolución, así como aceptar que sólo algunos ganan o terminan primero.

Estos juegos tienen grandes posibilidades, pero también algunas limitaciones. Es indudable su grado de convocatoria para los niños y el interés que despiertan. Pero debemos tener presente que no alcanza con las resoluciones “en acto”, durante el juego, para que haya un avance en los conocimientos, sino que son necesarios momentos de reflexión, de inicio de conceptualizaciones sobre los descubrimientos, los procedimientos utilizados, las dificultades encontradas. Y si bien el docente durante el juego puede intervenir con algunas preguntas o acciones problematizadoras, éstas deben ser medidas, acotadas, para no alterar el clima lúdico de la actividad.

Los juegos mencionados son algunos de los “clásicos” hoy en las salas, sin embargo, es posible abrir el abanico de posibilidades rescatando juegos tradicionales y otros tantos de uso social, tomando ideas de los deportes “de los grandes” o de actividades de otras áreas, como la educación física y, por supuesto, dando rienda suelta a la creatividad docente para el diseño de juegos y propuestas. Es interesante que pensemos en juegos o actividades no sólo “de mesa”, sino con usos variados de los espacios de la sala y de la escuela, en los que los niños desplegarán variedad de acciones y reflexiones. En diferentes salas hemos experimentado, por ejemplo, con adaptaciones del tejo, el criquet, la mancha broches, la búsqueda del tesoro, el balero, la taba, entre otros, incluyendo diversos problemas matemáticos a resolver. Incluso podemos pensar en el planteo de situaciones matemáticas en propuestas de juego sociodramático, como el supermercado, la verdulería, la confitería o la tienda.

Por otra parte, hay muchas otras actividades ricas e interesantes que permiten abordar contenidos matemáticos a través del planteo de problemas, pero que no son juegos o que no tienen el mismo carácter lúdico de las actividades mencionadas. La preparación de distintas recetas de cocina plantea interesantes problemas que permiten comprender la utilidad y el sentido de la medición de pesos, capacidades y tiempos. El trabajo en la huerta puede requerir resolver situaciones de medición de longitudes al determinar el tamaño del terreno, al decidir cercarlo o al evaluar la distancia en la ubicación de las semillas, así como cuestiones referidas a la capacidad en relación con el agua para el riego o de peso en el momento de la cosecha.

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Por qué trabajo en pequeños grupos

Es muy difícil imaginar una actividad matemática en la sala planteada, por ejemplo, para afianzar el conteo en los niños, en la que la totalidad del grupo hace una larga fila esperando la oportunidad de embocar pelotitas en una caja ubicada a cierta distancia para luego contarlas. La alternativa pasa, obviamente, por la división del grupo en varios subgrupos, que trabajan en forma paralela, cada uno de una caja. En este caso se reduce el tiempo de espera de los niños, se maximiza su nivel de participación y su contacto directo con el conocimiento, ya que cada uno puede jugar varias veces mejorando sus errores y logros, se alienta su autonomía para la toma de decisiones compartida y se favorece el interés por observar y seguir el proceso de todos los participantes.

Posiblemente muchos acuerden con estos planteos, sin embargo, el trabajo en pequeños grupos para el abordaje de actividades matemáticas no está aún suficientemente difundido en las salas. Motivos hay varios. Algunos docentes plantean: “No puedo estar en todos lados, si me incluyo con un grupo no puedo estar con otro…”; “Así no puedo ver el proceso de cada nene”; “Les cuesta trabajar solos, son muy chiquitos…”; “Es difícil porque algunos grupos terminan antes que otros”; “¿Y si hay errores, y si se equivocan…?”

Estos argumentos resultan atendibles; el trabajo en pequeños grupos no es natural en el niño, ni resulta fácil para el docente coordinarlo. A trabajar en pequeños grupos se aprende, lo que requiere de una enseñanza intencional y progresiva, y variadas oportunidades de trabajo para avanzar en las construcciones que esta propuesta requiere. Si bien coordinar el trabajo en pequeños grupos no es tarea sencilla, es posible y enriquecedor implementarlo, lográndose paulatinos niveles de autonomía, conocimiento y producción en los grupos de niños, incluso cierto “alivio” del docente debido a la delegación de tareas.

Esta modalidad requiere que aceptemos que los niños también aprenden solos o en interacción con sus pares, con independencia de nuestra presencia; que no todos aprenden lo mismo ni lo hacen al mismo tiempo; que de los errores también se aprende; y que el trabajo con el grupo total tampoco nos permite ver o saber fehacientemente qué sabe o qué le pasa a cada niño.

¿De qué manera organizar los grupos para la actividad matemática? Además de permitir la libre elección por parte de los niños, respetando sus afinidades naturales, el docente puede intervenir con intencionalidad en función de distintos criterios. Hemos planteado ya la riqueza que implica, para la tarea, el trabajo desde la diversidad de conocimientos y experiencias de los niños. En este sentido, conformar grupos heterogéneos permite que afloren diferentes ideas y procedimientos que amplían la mirada de todos los niños participantes, con independencia de sus puntos de partida.

Sin embargo, muchas veces en los subgrupos hay niños “más rápidos” que resuelven por los otros, sin darles tiempo de pensar o actuar. También es posible, entonces, en algunas oportunidades, armar grupos más homogéneos, que permitan a cada niño enfrentar los problemas desde sus conocimientos. Para ello resulta necesario que el docente conozca cuáles son los saberes matemáticos de su grupo. Aquí cobran relevancia las variables didácticas, que permiten proponer

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problemas diferentes a los distintos subgrupos, dentro de la misma actividad, en función de los niveles de resolución que manifiestan los alumnos, garantizando que todos se incluyan en la actividad desde sus saberes y enfrenten problemas que les generen avances en sus aprendizajes.

Graciela es maestra de una sala de 5 años. Está trabajando con juegos de recorrido. Detecta diferencias en los procedimientos que utilizan los niños y en sus logros en el momento de evaluar la cantidad obtenida en el dado para poder avanzar en el juego. Desde implementar una actividad con distintos niveles de dificultad, utilizando como variable didáctica el tipo de dados: dado común con constelaciones hasta 6, otro con constelaciones hasta 3 y otro con cifras hasta 6. Cuando los niños están en la clase de música, prepara el material en las mesas y pone en cada una un tablero con un recorrido y un dado diferente. Además, ubica los carteles con los nombres de los niños, conformando los grupos de acuerdo con lo que observó con relación a sus niveles de resolución, buscando que todos los niños enfrenten problemas durante el juego. Cuando el grupo regresa de la clase de música, les plantea: “Vamos a trabajar con los recorridos. Cada uno va a fijarse en qué mesa tiene que sentarse para jugar”. Los niños recorren la sala buscando su lugar, algunos no sin dificultad, y comienzan a desarrollar el juego.

Pero, ¿a qué llamamos “pequeño grupo”? Si volvemos a la escena inicial del juego de

emboque, en el que todo el grupo hace una larga fila, esperando su turno para arrojar las pelotitas a la caja, tampoco resolveremos el problemas dividiendo al grupo total en dos subgrupos de entre diez y quince chicos, ya que de todas formas la espera será grande y la participación, escasa. Tenemos que pensar en grupos de no más de cuatro o cinco años para que todos tengan muchas posibilidades de probar, de equivocarse, de corregir sus errores, de observar a los otros, de buscar acuerdos, de compartir. No es la cantidad de mesas con las que contamos en la sala la que debería determinar la cantidad de subgrupos a organizar, sino la idea de maximizar la participación de los chicos. Cuanto menor edad o experiencia tengan los niños del grupo, menor debería ser la cantidad de niños por cada subgrupo. Hemos experimentado, por ejemplo, empezar este tipo de actividades con niños de tres años, trabajando en parejas.

Los momentos de la actividad Una cuestión a decidir será la modalidad a adoptar para la organización general de la actividad, lo que determinará maneras diferentes de presentación de la propuesta al grupo (Violante, 1997). Existen varias opciones, entre otras:

Desarrollar la misma propuesta con todo el grupo dividido en subgrupos, previa presentación breve con el grupo total. Si se trata de un juego, se puede plantear la idea básica jugándolo durante unos minutos frente a todos, sin necesidad de desarrollarlo en su totalidad.

Realizar varias propuestas simultáneas diferentes, a modo de taller de juegos matemáticos:

varios subgrupos desarrollan juegos o actividades ya conocidos, mientras abordamos una propuesta nueva con uno de los subgrupos. La presentación puede ser el grupo total,

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nombrando las distintas alternativas, explicando la nueva propuesta particularmente al grupo que la realizará, el cual posteriormente tendrá como tarea transmitirla a los demás.

Incluir una propuesta nueva en el sector de juegos matemáticos durante el periodo de juego-

trabajo. La presentación puede ser similar a la anterior o también se puede reiterar la propuesta con distintos subgrupos a lo largo de varios días.

Estas modalidades de organización poseen ventajas y desventajas. En el primer caso, dado que

todos los grupos desarrollan la misma actividad, posiblemente en la primera vez que se realice en la sala habrá requerimientos reiterados hacia la docente. Esto sucederá hasta que los niños vayan comprendiendo y se vayan apropiando de la propuesta. La puesta en común resulta interesante, dado que permite abordar y analizar problemas vividos por todos.

En los otros casos mencionados, los niños pueden trabajar con mayor autonomía, ya que algunos subgrupos desarrollan propuestas conocidas, lo que le permite al docente abocarse con mayor detenimiento al grupo que enfrenta la propuesta nueva. La puesta en común es más diversa, ya que los grupos han resuelto problemas diferentes.

Otra cuestión a analizar es la modalidad de distribución de los materiales. Favoreceremos la autonomía, la búsqueda de acuerdos entre los niños y la organización general de la actividad, si permitimos que los mismos niños se autoabastezcan del material en función de lo que cada agrupo necesita. Tendrán que acordar entre ellos quién será el secretario o encargado y éste tendrá que resolver varias situaciones matemáticas para determinar, por ejemplo, cuántos tableros, dados y fichas deberán tomar de la mesa de los materiales y llevar para su grupo. Esta modalidad permite, además, que cada grupo comience la tarea de manera independiente, cuando ya dispone de los elementos para poder realizarla.

¿Cómo intervenir durante el desarrollo de la actividad? Evidentemente, observando el proceso seguido por los niños, detectando sus procedimientos, dificultades y logros, incluyendo acciones y preguntas problematizadoras en función del contenido a enseñar, pero cuidado de que no alteren el desarrollo o el clima de la propuesta. Sin pretender ver o estar en todo y con todos.

Un momento de particular importancia es el de la puesta en común o cierre de la actividad. Momento que permite socializar los distintos procedimientos desplegados por los niños para resolver los problemas, analizar los errores y las dificultades, poner en palabras entre todos lo sucedido y descubierto, iniciar la conceptualización y la sistematización de lo trabajado, “haciendo público lo privado”, empezando a descontextualizar algunos conocimientos “puestos en juego”, acercándolos al saber disciplinar. Aquí el docente tiene un rol relevante para hacer circular el saber en el grupo total, tomando decisiones acerca de qué aspecto se va a comentar, discutir o socializar.

Más allá de compartir “¿quién ganó?”, de obvio interés para los niños, es el momento para poner en común, por ejemplo, las diferentes maneras en que registraron los puntajes, pero también para analizar cuál resulta más clara para transmitir la información, o cómo se escribe convencionalmente el numero 12.

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No siempre es imprescindible incluir el cierre de manera inmediata a la finalización de la

actitud. Muchas veces, el clima grupal en ese momento no resulta optimo para la realización de una reflexión, pudiéndose retomar con mayor tranquilidad en otro momento. Tampoco es imprescindible realizar un cierre con posterioridad a cada actividad, sino que a veces puede resultar más rica la reflexión luego de varias actividades, o al comienzo de una segunda, retomado lo sucedido en la primera. También se puede implementar cierres parciales en los pequeños grupos.

Es importante que el docente anticipe posibles intervenciones para el momento del cierre de la actividad, que no queden en la mera descripción de lo sucedido, sino que impliquen interrogantes o comentarios ricos que amplíen la reflexión de los niños y conecten la situación con los contenidos a enseñar.

Alicia, docente de una sala de 5 años, viene desarrollando con su grupo diferentes juegos de recorrido, tipo “juego de la oca”. Para abordar el contenido “inicio en la reunión de cantidades”, plantea como variable didáctica la utilización de dos dados con constelaciones hasta tres. Los niños deberán avanzar en el tablero de acuerdo con la cantidad obtenida en los dos dados. Al finalizar la actividad, reúne al grupo en el sector de intercambio y comentan brevemente algunas de las situaciones sucedidas en los grupos. Luego Alicia pregunta: “¿Cuál era el mejor resultado que había que sacarse en los dados para poder avanzar más casillas?” Los chicos se quedan pensando... Nene 1: 6. Nene 2: 3 y 3 Alicia plantea: “¿Y con qué resultado se avanzaba menos?” Nene 3: Con el 2. Alicia: ¿Cómo? Nene 3: Con el 1 y el 1…

En este caso vemos que la docente plantea preguntas interesantes, con intencionalidad, en

función de los contenidos previstos, preguntas que focalizan la mirada en el problema fundamental que la actividad propone, que apuntan a socializar los logros, a abrir la reflexión y a lograr avances en los conocimientos de todo el grupo.

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Aquí también “momento de cierre” Con la convicción de que vale la pena transitar -por todos y para todos los involucrados- el camino propuesto, si bien no resulta sencillo, comparto, a modo de cierre, algunas reflexiones de Philippe Meirieu en su cierre de Frankenstein educador.8

“La pedagogía no puede prescindir de saberes específicos. No podemos argüir que, por cuanto que su objeto es un sujeto, la pedagogía es, en ese sentido, lo que hemos denominado ‘una acción sin objeto’, y remitirnos entonces tan sólo al carisma del educador y al azar de los encuentros favorables. Simplemente, la pedagogía no debe confundirse de tarea: la suya no consiste en idear y ajustar procedimientos hábiles para burlar la libertad del niño y sojuzgarla mejor. Consiste en idear sin cesar, aplicando a ello toda la inteligencia de que el hombre sea capaz, condiciones que posibiliten compartir saberes, el goce de descubrirlos, la felicidad de sentirse en condiciones de hacer propia la herencia de los hombres, prolongarla y superarla.”

Bibliografía Broitman, Claudia, “Análisis didáctico de los problemas involucrados en un juego en dados”, en 0 a 5. La

educación en los primeros años, No. 2, Educación Matemática, Buenos Aires, Novedades Educativas, 1998.

Broitman, Claudia, Kuperman, Cinthia, Ponce, Héctor, “Números en el Nivel Inicial”, Hola chicos, Buenos Aires, 2003.

Castorina, José, “Psicogénesis e ilusiones pedagógicas”, en: Castorina, J. y otros, Psicología Genética, Buenos Aires, Miño y Dávila, 1984.

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de Transformación de la Formación Docente, Ministerio de Cultura y Educación, Argentina, 1994.

8 Meirieu, Philippe, Frankestein educador.

Irma Fuenlabrada

¿Hasta el 100?...

¡NO!¿Y las cuentas?...

¡TAMPOCO!Entonces…

¿QUÉ?

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SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA

Alonso Lujambio Irazábal

SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN BÁSICA

José Fernando González Sánchez

DIRECCIÓN GENERAL DE DESARROLLO CURRICULAR

Leopoldo F. Rodríguez Gutiérrez

DIRECCIÓN GENERAL DE DESARROLLO DE LA GESTIÓN E INNOVACIÓN EDUCATIVA

Juan Martín Martínez Becerra

DIRECCIÓN GENERAL DE MATERIALES EDUCATIVOS

María Edith Bernáldez Reyes

DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN INDÍGENA

Rosalinda Morales Garza

DIRECCIÓN GENERAL DE FORMACIÓN CONTINUA DE MAESTROS EN SERVICIO

Leticia Gutiérrez Corona

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¿Hasta el 100?...

¡NO!¿Y las cuentas?...

¡TAMPOCO!Entonces…

¿QUÉ?

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La edición de ¿Hasta el 100?... ¡No! ¿Y las cuentas?... ¡Tampoco! Entonces… ¿Qué?

fue elaborada en la Dirección General de Desarrollo Curricular, que pertenece a la

Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública

Coordinación editorialFelipe G. Sierra Beamonte

Diseño de portada e interioresLourdes Salas Alexander

Primera edición, 2009

D. R. © Secretaría de Educación Pública, 2009Argentina 28Centro, CP 06020Cuauhtémoc, México, DF

ISBN 978–607–467–019-6

Impreso en MéxicoDistribución gratuita/Prohibida su venta

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Presentación .......................................................................07

Consideracionesgenerales ........................................................................... 09

¢4Xp�VLJQL¿FDresolver un problema? ....................................................... 31

A manera de conclusión ....................................................59

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E l texto ¿Hasta el 100?... ¡No! ¿Y las cuentas?... ¡Tampoco! Enton-ces… ¿Qué? forma parte de las acciones para impulsar la reforma pedagógica de la educación preescolar que la Secretaría de Edu-cación Pública ha llevado a cabo desde hace más de seis años.

La reforma –cuyo eje es la aplicación del Programa de Educación Pre-HVFRODU��±�WLHQH�FRPR�¿QDOLGDG�contribuir a la transformación de las prácticas educativas en el aula, de tal manera que las niñas y los niños dispongan en todo momento de oportunidades de aprendizaje interesan-tes y retadoras que propicien el logro de competencias fundamentales, partiendo siempre de los saberes y las competencias que poseen.

3DUD� ODV� HGXFDGRUDV�� DYDQ]DU�KDFLD� HO� ORJUR� GH� HVWD� ¿QDOLGDG�KD� VLJ-QL¿FDGR�XQ�SURFHVR�GH�DSUHQGL]DMH�TXH� LPSOLFD�SUREDU�FRQ�VXV�DOXPQRV�IRUPDV�GH�WUDEDMR�LQQRYDGRUDV��HTXLYRFDUVH��UHÀH[LRQDU��YROYHU�D�LQWHQWDU�y descubrir en esos intentos de cambio que los niños pequeños tienen múl-tiples capacidades y que es posible proponerles actividades que las hagan emerger.

La maestra Irma Fuenlabrada aporta en este ensayo ideas clave res-SHFWR�DO�GHVDUUROOR�GH�FRPSHWHQFLDV�HQ�ORV�QLxRV�\�D�OR�TXH�HOOR�VLJQL¿FD�HQ�HO�iPELWR�GH�ODV�PDWHPiWLFDV��VH�UH¿HUH�WDPELpQ�D�FLHUWDV�FRQFHSFLRQHV�R�creencias sobre los procesos de desarrollo y aprendizaje infantil construi-das en la tradición escolar que aún rigen el trabajo educativo cotidiano, y además ofrece consideraciones didácticas precisas que ayudarán a re-orientar la práctica docente y a fortalecer la competencia didáctica.

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¿Qué deben aprender los pequeños sobre matemáticas durante la edu-cación preescolar? ¿Es posible que desde los tres años de edad los niños resuelvan problemas matemáticos? ¿Aprenden diferente los niños de pri-mero, segundo y tercer grados de preescolar? ¿Por qué el Programa de Edu-cación Preescolar 2004 no plantea competencias para cada grado? ¿Qué deben conocer los docentes de preescolar para plantear distintos tipos de problemas a sus alumnos? ¿Qué tipos de situaciones es conveniente propo-ner a los niños para hacerlos razonar, buscar y encontrar soluciones a pro-blemas matemáticos?

A estas y otras cuestiones la maestra Fuenlabrada responde en este bre-ve pero sustancioso artículo, con ejemplos que ayudan a pensar sobre los razonamientos de los pequeños y las formas en que su maestra puede inter-YHQLU��/D�DXWRUD�LQYLWD�D�UHÀH[LRQDU�VREUH�ODV�SUiFWLFDV�SHGDJyJLFDV�TXH�QR�generan razonamiento, conocimiento ni competencias en los niños, y ofrece alternativas fundamentadas y factibles para mejorar el trabajo docente.

Con base en la experiencia obtenida en varias investigaciones sobre el razonamiento matemático de los alumnos de educación preescolar, la maestra Irma Fuenlabrada describe cómo pueden plantearse a los niños situaciones didácticas que desafíen su intelecto y explica, entre otras co-VDV�� FyPR� LGHQWL¿FDU�GLYHUVRV� WLSRV�GH�SUREOHPDV� DWHQGLHQGR� OD� UHODFLyQ�semántica entre los datos numéricos.

El estudio de este material no se agota con una lectura; es útil para el análisis y la discusión académica y sugerente para proponer a los pequeños situaciones análogas a las que ofrece el texto.

La Secretaría de Educación Pública espera que este texto contribuya a la apropiación de una propuesta de trabajo basada en la resolución de proble-mas numéricos, así como a la mejor comprensión y aplicación del Programa de Educación Preescolar 2004.

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Irma Fuenlabrada1

1 Integrante del Departamento de Investigaciones Educativas (DIE) del Centro de Investigación y de Estudios Avan-zados (Cinvestav) del IPN. Para la realización de este artículo se contó con la colaboración de Ruth Valencia Pulido, profesora de la SEP comisionada al DIE, así como de Bertha Vivanco Ocampo, auxiliar de investigación del mismo departamento.

2 Educación básica. Programa de Educación Preescolar 2004, México, SEP.

E QWUH�ODV�GLYHUVDV�GLÀFXOWDGHV�TXH�KDQ�HQIUHQWDGR�ODV�HGXFDGRUDV�DO�DSOLFDU�HO�3URJUDPD�GH�(GXFDFLyQ�3UHHVFRODU�� 3(3)��XQD�VREUH�OD�TXH�SDUWLFXODUPHQWH�QRV�RFXSDUHPRV�HQ�HVWH�DUWtFXOR�HV�

OD�FRQIXVLyQ�TXH�WLHQHQ�HQWUH�´DGTXLULU�FRQRFLPLHQWRµ�\�´GHVDUUROODU�FRP-SHWHQFLDVµ��

(Q�SULPHUD�LQVWDQFLD�WUDWDUp�GH�HVFODUHFHU�HQ�GyQGH�VH�RULJLQD�GLFKD�FRQIXVLyQ�SDUD�GHVSXpV�RIUHFHU�D�ODV�HGXFDGRUDV�FRQVLGHUDFLRQHV�GLGiF-WLFDV�TXH�OHV�D\XGHQ�D�UHRULHQWDU�VX�SUiFWLFD�GRFHQWH��GH�WDO�IRUPD�TXH�DO�WUDEDMDU�VREUH�HO�FDPSR�3HQVDPLHQWR�PDWHPiWLFR�SURSLFLHQ�TXH�ORV�QLxRV�DGTXLHUDQ�FRQRFLPLHQWR�PDWHPiWLFR�DO�PLVPR�WLHPSR�TXH�YD\DQ�GHVDUUROODQGR�FRPSHWHQFLDV��

/DV� UHÁH[LRQHV�TXH�SODQWHDUp�HQ�HVWH�GRFXPHQWR�VH�FLUFXQVFULEHQ�D�ODV�LGHDV�TXH�ODV�HGXFDGRUDV�WLHQHQ�VREUH�ORV�SULPHURV�Q~PHURV��VX�UHSUH-VHQWDFLyQ�\�HO�FRQWHR��\�D�FyPR�HVWDV�LGHDV�LQFLGHQ�HQ�OD�LQWHUSUHWDFLyQ�TXH�KDFHQ�GH�ORV�SUREOHPDV�\�GH�VX�XWLOL]DFLyQ�FRPR�UHFXUVR�GLGiFWLFR�SDUD�SURPRYHU�HO�FRQRFLPLHQWR�GH�ORV�SULPHURV�Q~PHURV�HQ�ORV�DOXPQRV�GH�SUHHVFRODU��DVLPLVPR��KDUp�DOJXQDV�DFRWDFLRQHV�VREUH�OR�TXH�VH�HVSH-UD�DSUHQGDQ�ORV�QLxRV�DO�UHVSHFWR�

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3 Saberes matemáticos de las educadoras y su incidencia en la enseñanza que realizan en el aula y El desarrollo del pensamiento matemático en niños del preescolar desde las consideraciones metodológicas del PEP04. Ambas inves-tigaciones fueron realizadas con la dirección de Irma Fuenlabrada en el DIE del Centro de Investigación y Estudios Avanzados del IPN.

4 Ruth Mercado (2006), “La organización de la enseñanza”, en I. Fuenlabrada y E. Weiss (coords.), Prácticas escolares y docentes en las escuelas primarias multigrados Conafe/Cinvestav, Sede Sur, México.

7HQLHQGR�SUHVHQWH�TXH�OD�SUHWHQVLyQ�GHO�3(3�HV�TXH�ODV�HGXFDGRUDV�SUR-PXHYDQ�el desarrollo de competencias que permitan a los niños y las niñas del país una participación plena en la vida social��6(3��RUJDQL]DUp�OD�GLVFXVLyQ�D�SDUWLU�GH�ORV�SODQWHDPLHQWRV�KHFKRV�HQ�HO�SURJUDPD��HQ�UHODFLyQ�FRQ�ODV�GRV�SULPHUDV�FRPSHWHQFLDV�VREUH�Q~PHUR��

&RQ�HO�SURSyVLWR�GH�VXVWHQWDU�HO�GHVDUUROOR�GHO�FRQWHQLGR��HQ�HVWH�GR-FXPHQWR�UHWRPDUp�DOJXQRV�KDOOD]JRV�GH�GRV�LQYHVWLJDFLRQHV��HQ�XQD�GH�ODV�FXDOHV�VH�H[SORUDQ�ODV�FUHHQFLDV�PDWHPiWLFDV�GH�ODV�HGXFDGRUDV�\�OD�RWUD�GRFXPHQWD�\�DQDOL]D�ORV�SURFHGLPLHQWRV�GH�UHVROXFLyQ�GH�SUREOHPDV�GH�QLxRV�GH�SUHHVFRODU�

¢4Xp�VLJQLÀFD�SDUD�ODV�HGXFDGRUDV� GHVDUUROODU�FRPSHWHQFLDV�HQ�ORV�QLxRV"

'HVGH�ODV�FRQVLGHUDFLRQHV�TXH�KDFH�0HUFDGR�VREUH�ORV�VDEHUHV�GRFHQ-tes��VH�SXHGH�GHFLU�TXH�ODV�HGXFDGRUDV�KDQ�HODERUDGR�LGHDV�\�FUHHQFLDV�VREUH�ODV�PDWHPiWLFDV�\�VX�UHODFLyQ�FRQ�HO�Q~PHUR� TXH�WLHQHQ�VX�RULJHQ�HQ�VX�SURSLR�WUiQVLWR�SRU�OD�HVFXHOD��HQ�VX�IRUPDFLyQ�SURIHVLRQDO��HQ�ODV�

Utiliza los números en situaciones variadas que implican poner en juego los principios de conteo.Plantea y resuelve problemas en situaciones que le son familiares y que implican agregar, reunir, quitar, igualar, comparar y repartir ob-jetos (SEP, 2004:75).

•

•

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LQWHUDFFLRQHV�FRWLGLDQDV�FRQ�VXV�SDUHV�\�SDUWLFXODUPHQWH�HQ�HO�KDFHU�\�GH-FLU�GH�VXV�DOXPQRV�IUHQWH�D�ODV�VLWXDFLRQHV�GH�HQVHxDQ]D�TXH�UHDOL]DQ�

'HVGH�HO�FLFOR�HVFRODU��ODV�HGXFDGRUDV�KDQ�HVWDEOHFLGR�XQ�GLiORJR�FRQ� OD�GHÀQLFLyQ�GH�FRPSHWHQFLDV�SODQWHDGD�HQ�HO�SURJUDPD��OD�FXDO�VHxDOD�

/DV�HGXFDGRUDV�UHDOL]DQ�HVWH�GLiORJR�FRQ�EDVH�HQ�VXV�LGHDV��FUHHQFLDV�\� H[SHULHQFLD�GRFHQWH�� DVt�� DXQTXH�GLFHQ�estar desarrollando compe-tencias,� VLJXHQ�²ODV�PiV�GH� ODV�YHFHV²�DYRFiQGRVH�D� OD� WUDQVPLVLyQ�GH�FRQRFLPLHQWR�SRU�RVWHQWDFLyQ�\�UHSHWLFLyQ��

6H� REVHUYD� WRGDYtD� HQ�PXFKRV� MDUGLQHV� GH� QLxRV� TXH� ODV� HGXFDGR-UDV�VyOR� UHWRPDQ�GH� OD�GHÀQLFLyQ�GH�competencia� OR� UHIHULGR�DO�FRQR-FLPLHQWR;�HVSHFtÀFDPHQWH�VH�KDFHQ�FDUJR�GH�ORV�SULPHURV�Q~PHURV�HQ�VX�VLJQLÀFDGR�GH�FDUGLQDO��FRQ�OD�ÀQDOLGDG�GH�OOHJDU�D�OD�UHSUHVHQWDFLyQ�\�DO�UHFRQRFLPLHQWR�GH�ORV�VtPERORV�QXPpULFRV��(VWR�VLJQLÀFD�SDUD�HOODV�OD�FXOPLQDFLyQ�GH�OD�DGTXLVLFLyQ�GHO�FRQRFLPLHQWR�GHO�Q~PHUR�\�SRU�HOOR�GH�una competencia;�OD�FXDO�VH�PDQLÀHVWD��GLFHQ��FXDQGR los niños pueden contar los elementos de una colección �GLEXMDGD� y escriben el número �FRUUHVSRQGLHQWH�� y también lo pueden hacer al revés �UHDOL]DU�OD�WDUHD�LQYHUVD��

6LQ�HPEDUJR��OD�GHÀQLFLyQ�FLWDGD�GLFH�TXH�OD�competencia�HV�´DOJRµ�PiV�TXH�XQ�FRQRFLPLHQWR�� (V�GHFLU�� VLPXOWiQHDPHQWH�DO�conocimiento TXH�SUHRFXSD�D�ODV�HGXFDGRUDV��ORV�SULPHURV�Q~PHURV��VX�UHSUHVHQWDFLyQ�\�HO�FRQWHR��GHEHQ�GHVDUUROODU�HQ� VXV�DOXPQRV�actitudes, habilidades� \�destrezas,�\�HVWR�GHEH�H[SUHVDUVH�HQ�situaciones�\ contextos diversos�

$�PDQHUD�GH�HMHPSOR��\�D�SDUWLU�GH�OD�H[SHULHQFLD��KH�GHWHFWDGR�TXH�KD\�HGXFDGRUDV�TXH�Vt�UHSDUDQ�HQ�HVH�´DOJR�PiVµ�TXH�LQFOX\H�OD�GHÀQL-FLyQ�GH�FRPSHWHQFLD.�6LQ�HPEDUJR��DO�RUJDQL]DU�OD�HQVHxDQ]D�VXSRQHQ�

Una competencia es un conjunto de capacidades que incluye conoci-mientos, actitudes, habilidades y destrezas que una persona logra me-GLDQWH�SURFHVRV�GH�DSUHQGL]DMH�\�TXH�VH�PDQL¿HVWDQ�HQ�VX�GHVHPSHxR�en situaciones y contextos diversos (SEP, 2004: 22).

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TXH�GHEHQ�KDFHU�XQD�´SDUWLFLyQµ�GH�OD�GHÀQLFLyQ�SDUD�ORJUDU�ORV�SURSyVL-WRV�HVWDEOHFLGRV�HQ�HO�3(3��

+H�REVHUYDGR�HVWH�IHQyPHQR�GH�´SDUWLFLyQµ�GH�OD�GHÀQLFLyQ�GH�com-petencia�SDUWLFXODUPHQWH�HQ� MDUGLQHV�GH�QLxRV�HQ�GRQGH� OD�GLUHFWRUD�\�HGXFDGRUDV� HVWiQ� RUJDQL]DGDV� FRPR� XQ� FROHFWLYR�� (QWUH� ORV� DFXHUGRV�FRQMXQWRV�TXH�WRPDQ�SDUD� OD�PDUFKD�H� LPSOHPHQWDFLyQ�GHO�SURJUDPD�VXFHGHQ�FRVDV�FRPR�ODV�TXH�D�FRQWLQXDFLyQ�VH�GHVFULEHQ�

/DV�PDHVWUDV�GHFLGHQ�HPSH]DU�HQ�SULPHU�JUDGR�H�LQLFLRV�GHO�VHJXQGR��SRU�ORV�conocimientos;�HVWR�HV�HTXLYDOHQWH�D�OD�´HQVHxDQ]Dµ�GHO�FRQWHR�\�OD�UHSUHVHQWDFLyQ�VLPEyOLFD�FRQYHQFLRQDO��HQ�VHJXQGR�JUDGR�H�LQLFLRV�GHO�WHUFHUR�FRQWLQ~DQ�WUDEDMDQGR�FRQ�ODV�actitudes, habilidades \ destrezas� TXH�LGHQWLÀFDQ�FRQ�HO�GRPLQLR�²SRU�SDUWH�GH�ORV�QLxRV²�GH�´OR�DSUHQGLGRµ�D�WUDYpV�GH�OD�UHSHWLFLyQ��\�HQ�WRGR�FDVR�WDPELpQ�UHÀHUH�D�XQD�DPSOLD-FLyQ�GHO�UDQJR�QXPpULFR��ÀQDOPHQWH��GHMDQ�SDUD�WHUFHU�JUDGR�HO�HVSDFLR para la utilización�GH� OR�aprendido en situaciones� \�contextos diversos� TXH�HV�HTXLYDOHQWH�DO�SODQWHDPLHQWR�GH�SUREOHPDV��

1R�REVWDQWH��HVWD�´SDUWLFLyQµ�GH�OD�GHÀQLFLyQ�GH�competencia��HV�LP-SRUWDQWH�VHxDODU�TXH�HO�GHVDUUROOR�GH�actitudes�LQYROXFUDGR�HQ�OD�GHÀQLFLyQ�VH�GHVGLEXMD�HQ�HO�WUDEDMR�VREUH�HO�FDPSR�GH�3HQVDPLHQWR�PDWHPiWLFR��SRUTXH�VH�FRQVLGHUD�TXH�ODV�DFWLWXGHV�VH�DWLHQGHQ�HQ�RWURV�FDPSRV��

'H� KHFKR�� HVWR� QR� RFXUUH� LQFRQVFLHQWHPHQWH�� ODV� HGXFDGRUDV� GDQ�FXHQWD�GH�HOOR�HQ�VXV�SODQHDFLRQHV��$O�FXHVWLRQDPLHQWR��(Q�VX�SODQHD-FLyQ� GH� HQVHxDQ]D� �PDWHPiWLFD�� ¢HQ� TXp�PRPHQWR� VH� RFXSDQ�GHO�GHVDUUROOR�GH�DFWLWXGHV"��IUHFXHQWHPHQWH�UHVSRQGHQ�TXH�GHVDUUROODU�DF-WLWXGHV�FRUUHVSRQGH�DO�FDPSR�GH�'HVDUUROOR�SHUVRQDO�\�VRFLDO�

Una educadora dice: “(trabajamos el desarrollo de actitudes) cuando les enseñamos a los niños a reconocer lo bueno que es tener actitudes favo-rables a la convivencia, al respeto a todos, [...] poco a poco van mejoran-do su actitudes, se pelean menos, no se quitan el material, esperan su turno para hablar. Hay niños que les cuesta más trabajo, pero esto tiene que ver con su casa [...] a veces son muy caprichudos [...]. Israel [por ejemplo] es hijo único, siempre quiere hacer su voluntad, no le gusta compartir; él tiene problemas con sus actitudes [de convivencia].

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&RQ�HVWD�PDQHUD�GH�HQWHQGHU�HO�GHVDUUROOR�GH�actitudes��ODV�HGXFDGR-UDV�QR�UHFRQRFHQ�OD�LPSRUWDQFLD�GH�RFXSDUVH�GH�ODV�PLVPDV�HQ�ORV�FDP-SRV�FRQ�PD\RU�FRQWHQLGR�GLVFLSOLQDU��FRPR�HV�HO�GH�PDWHPiWLFDV��

(V�IXQGDPHQWDO�TXH�OD�HQVHxDQ]D�VH�RFXSH�GH�SURSLFLDU�HQ�ORV�QLxRV�actitudes�IUHQWH�D�OR�TXH�GHVFRQRFHQ��FRPR�OR�HV�OD�actitud�GH�E~VTXH-GD�GH�OD�VROXFLyQ�GH�XQ�SUREOHPD��HQ�OXJDU�GH�HVSHUDU�TXH�DOJXLHQ��VX�PDHVWUD��OHV�GLJD�FyPR�UHVROYHUOR��

7RGDYtD�PH�HQFXHQWUR�FRQ�HGXFDGRUDV�TXH� VLJXHQ�DVXPLHQGR�TXH�VL� HOODV� QR� OHV�GLFHQ�D� ORV� QLxRV� OR�TXH�GHEHQ�KDFHU�� HOORV� ´QR�SXHGHQµ �HQFRQWUDU�OD�VROXFLyQ�� “WRGDYtD�QHFHVLWDQ�TXH�XQR�OHV�D\XGHµ��´VRQ�PX\�SHTXHxRV�\�DOJXQRV�QR�VDEHQ�TXp�KDFHUµ��´VH�GLVWUDHQ�IiFLOPHQWHµ��(VWD�PDQHUD�GH�DFWXDU�HQ�OD�HQVHxDQ]D�VH�VXVWHQWD�HQ�ODV�SUiFWLFDV�GRFHQWHV�GRPLQDQWHV�TXH�SUHFLVDPHQWH�HO�SURJUDPD��SUHWHQGH�FDPELDU�

$GLFLRQDGR�D�HVWR�~OWLPR�HV�QHFHVDULR�KDFHU�RWUD�SUHFLVLyQ�UHVSHF-WR�D� la utilización de lo aprendido en situaciones y contextos diversos��(Q� ORV�GDWRV�TXH� VH� WLHQHQ� VH�REVHUYD�TXH� ODV�HGXFDGRUDV�� VL�ELHQ�HQ-WLHQGHQ�TXH�GHEHQ�SODQWHDU�SUREOHPDV�D�ORV�QLxRV��OR�KDFHQ�KDVWD�TXH�VXV�DOXPQRV�GDQ�PXHVWUD�GH�´GRPLQLRµ�GH�ORV�FRQRFLPLHQWRV�QHFHVDULRV�SDUD�UHVROYHUORV��HV�GHFLU�� ORV�SUREOHPDV�QR�VRQ�HQWHQGLGRV�SRU�ODV�HGX-FDGRUDV�FRPR�XQ�UHFXUVR�GH�OD�HQVHxDQ]D�SDUD�SURSLFLDU�HO�DSUHQGL]DMH�GHO�FRQRFLPLHQWR�\�IDYRUHFHUOR�FRPR�VH�GLFH�HQ�HO�SURJUDPD��VLQR�FRPR�HO�HVSDFLR�HQ�GRQGH�GHEH�´PRVWUDUVHµ�OD�DGTXLVLFLyQ�GH�XQ�FRQRFLPLHQ-WR�´WHUPLQDOµ��HQWHQGLGR�FRPR�FXDQGR�ORV�QLxRV�GRPLQDQ�HO�FRQWHR�GH�FROHFFLRQHV�FRQ�ORV�SULPHURV�Q~PHURV��DOUHGHGRU�GHO��VRQ�FDSDFHV�GH�UHFRQRFHU�\�SURGXFLU� OD�HVFULWXUD�QXPpULFD�FRQYHQFLRQDO��DO�PHQRV�KDVWD�HO��\�UHDOL]DQ�FRQ�p[LWR�WDUHDV�H[SOtFLWDV�²VROLFLWDGDV�SRU�OD�HGX-FDGRUD²�GH�FRQWHR�GH�REMHWRV�HQ�XQD�FROHFFLyQ�GLEXMDGD�\�HO�UHJLVWUR�QXPpULFR�GH�VX�FDUGLQDOLGDG��\�D�SDUWLU�GH�XQ�Q~PHUR�ORV�QLxRV�OR�LQWHUSUH-WDQ�SDUD�GLEXMDU�XQD�FROHFFLyQ�TXH�OH�FRUUHVSRQGD�

6LQ� HPEDUJR�� DO� PDUJHQ� GH� TXH� ORV� SUREOHPDV� VHDQ� FRQVLGHUDGRV�FRPR�XQ�HVSDFLR�GH�´DSOLFDFLyQµ�GHO�FRQRFLPLHQWR��VH�WUDEDMDQ�SRFR�HQ�OD�HGXFDFLyQ�SUHHVFRODU�\�HQ�WHUFHU�JUDGR�FHGHQ�VX�OXJDU��HQ�DOJXQRV�FDVRV��D�OD�DPSOLDFLyQ�GHO�UDQJR�QXPpULFR�\�D�OD�RSHUDWRULD��VXPDV�\�UHV-WDV��GH�ELGtJLWRV�VLQ�WUDQVIRUPDFLyQ��

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&RQ�EDVH�HQ�HO�FRQRFLPLHQWR�DFWXDO�DFHUFD�GH�FyPR�DSUHQGHQ�PD-WHPiWLFD�ORV�QLxRV��HVWRV�FRPSRQHQWHV�²FRQRFLPLHQWR��DFWLWXGHV��KDELOL-GDGHV�\�GHVWUH]DV²�TXH�VH�HVSHUD�GHVDUUROODU�HQ�HOORV�QR�VH�HQVHxDQ�´SRU�VHSDUDGRµ��PiV�D~Q��GHEHQ�REVHUYDUVH�HQ�VLWXDFLRQHV�\�FRQWH[WRV�GLYHU-VRV�HQ�HO�SURFHVR�PLVPR�GH�DSUHQGL]DMH�

¢4Xp�VH�HQVHxD�\�TXp�VH�DSUHQGH"

(Q�OD�GHÀQLFLyQ�GH�FRPSHWHQFLDV�HQ�HO�SURJUDPD�GH�SUHHVFRODU�VH�VHxDOD�TXH�ORV conocimientos, actitudes, habilidades \ destrezas�VH�ORJUDQ�PH-GLDQWH�SURFHVRV�GH�DSUHQGL]DMH� <�HV�GHVGH�HVWD�FRQVLGHUDFLyQ TXH�DSDUHFHQ�ODV�SULPHUDV�GLÀFXOWDGHV��SRUTXH�OD�PDQHUD�FRPR�XVXDOPHQWH�ODV�HGXFDGRUDV� UHDOL]DQ� OD�HQVHxDQ]D� WRGDYtD�GLVWD�GH� OD�SRVLELOLGDG�GH�ORJUDU�OR�TXH�HO�SURJUDPD�HVWDEOHFH��$GHPiV�GH�OR�VHxDODGR�VREUH�OD�´SDUWLFLyQµ�GH�OD�GHÀQLFLyQ�GH�FRPSHWHQFLD��ODV�SUiFWLFDV�GH�HQVHxDQ-]D�HQ�PXFKRV�FDVRV�FRQWLQ~DQ�VLJQDGDV�SRU�XQD�VHULH�GH�DFWLYLGDGHV�PDWHPiWLFDV�TXH�WHUPLQDQ�VLHQGR�DFWLYLGDGHV�PDQXDOHV�

$�WtWXOR�GH�HMHPSOR��HO� UHFRQRFLPLHQWR�GH� OD� UHSUHVHQWDFLyQ�VLPEyOL-FD�GH�ORV�Q~PHURV�VH�HQWUHWHMH�FRQ�HO�EROHR�FRQ�SDSHO�FUHSp�SDUD�TXH�ORV�QLxRV�UHOOHQHQ�ODV�JUDItDV�GH�ORV�Q~PHURV�R�ELHQ��ORV�SLQWHQ�GH�FRORUHV�GLIHUHQWHV� VHJ~Q� ODV� LQGLFDFLRQHV�GH� OD�HGXFDGRUD�� ´��GH� URMR��HO� ��GH�YHUGHµ��HWFpWHUD��FRQ�DVRPEURVD�IDFLOLGDG��OD�LQWHQFLRQDOLGDG�PDWHPi-WLFD�RULJLQDO� �UHFRQRFHU� ORV�VtPERORV�GH� ORV�Q~PHURV��FHGH�VX� OXJDU��SRU� OD�SUHRFXSDFLyQ�GH�ODV�HGXFDGRUDV��D�OD�DFWLYLGDG�PDQXDO�LQPHUVD�HQ�OD� VLWXDFLyQ��

Este es el 2 (lo señala la educadora), ¿de qué color dijimos que lo vamos a pintar?, ¿rojo? (dice el niño con duda); sí, a ver, ¿cuál es el rojo? (el niño toma una crayola roja), muy bien... ese es el rojo, ahora píntalo (el núme-ro) sin salirte de la rayita.

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$Vt�� SDUD� OD� HGXFDGRUD� DFDED� VLHQGR�PiV� LPSRUWDQWH� TXH� HO� QLxR�LGHQWLÀTXH�ORV�FRORUHV H�LOXPLQH�ELHQ�\��GH�VHU�QHFHVDULR��OH�D\XGD�OOHYiQ-GROH�OD�PDQLWD�SDUD�TXH�ORV�SDGUHV�YHDQ�´OR�ELHQ�TXH�WUDEDMD�VX�KLMRµ��$O�UHVSHFWR��XQD�GLUHFWRUD�HGXFDGRUD�QRV�H[SOLFD�OR�TXH�HOOD�\�VXV�FRPSD-xHUDV�SUHWHQGHQ��´'HEHQ�VHU�SURYHFKRVDV��ODV�DFWLYLGDGHV��SDUD�TXH�ORV�QLxRV�LQWHJUHQ�YDULRV�FRQRFLPLHQWRV��8VWHG�OR�SXGR�YHU��ORV�SHTXHxRV�WUD-EDMDURQ�FRQ�ORV�Q~PHURV��ORV�FRORUHV�\�VX�PRWULFLGDG��(VWR��OD�PRWULFLGDG��HV�PX\�LPSRUWDQWH�HQ�OD�OHFWRHVFULWXUD��QR�OR�SRGHPRV�SHUGHU�GH�YLVWDµ�

)UHQWH�D�OD�REVHUYDFLyQ�GH�TXH�YDULRV�QLxRV�QR�LGHQWLÀFDURQ�ORV�Q~PH-URV�\�OD�HGXFDGRUD�VH�ORV�VHxDODED��OD�UHVSXHVWD�VLJXLy�OD�VLJXLHQWH�OyJLFD��´'H�WRGR��LGHQWLÀFDFLyQ�GH�ORV�Q~PHURV��ORV�FRORUHV�\�HO�GHVDUUROOR�GH�OD�PRWULFLGDG�� OR�PiV�GLItFLO�HV�HO�Q~PHUR��HV�DOJR�DEVWUDFWR��TXH�SRFR�D�SRFR�ORV�QLxRV�YDQ�FRPSUHQGLHQGR��SRU�HVR��D�ODV�SULPHUDV�QR�UHVXOWD��KD\�TXH�D\XGDUORV��HV�OHQWR�SHUR�ORV�QLxRV�OR�ORJUDQµ��

(VWH�HVSDFLR�QR�HV�VXÀFLHQWH�SDUD�DQDOL]DU�WRGR�OR�TXH�KD\�GHWUiV�GHO�KDFHU�\�GHFLU�GH�ODV�HGXFDGRUDV�IUHQWH�D�HVWH�VXFHVR��SRU�HO�PRPHQWR��VyOR�TXLHUR�GHVWDFDU�HO�UHFRQRFLPLHQWR�TXH�KDFHQ�GH�TXH�el número es difícil, OD�LPSRUWDQFLD�HQ�OD�HQVHxDQ]D�GHO�KHFKR�GH�TXH�ORV�QLxRV�DSUHQ-GDQ�D�LGHQWLÀFDUORV�\��GHVGH�OXHJR��D�HVFULELUORV��SHUR�PiV�LPSRUWDQWH�HV�UHSDUDU�HQ�ORV�UHFXUVRV�GLGiFWLFRV�TXH�VXHOHQ�XWLOL]DU�SDUD�ORJUDUOR��OD�UH-SHWLFLyQ��´KD\�TXH�KDFHUOR�YDULDV�YHFHVµ��

(Q� OD� VLWXDFLyQ�GHVFULWD� ²\�HQ�PXFKDV�RWUDV²� OD� UHSUHVHQWDFLyQ�FRQ-YHQFLRQDO�GH�ORV�Q~PHURV�VH�SUHVHQWD�SDUD�VHU�DSUHQGLGD�SRU�RVWHQWD�FLyQ��´(VWH�HV�HO��µ��VH�VHxDOD��\�SRU�UHSHWLFLyQ�SDUD�TXH�ORV�QLxRV�ORJUHQ�UHFRUGDUOR�\��D�OD�ODUJD��WUD]DUOR��HV�GHFLU��HQWUH�RWUDV�FRVDV��QR�VH�FRQVLGH-UDQ�HVSDFLRV�GH�DSUHQGL]DMH�SDUD�TXH�ORV�QLxRV�HQIUHQWHQ�OD�VLWXDFLyQ�GH�FRPXQLFDU�OD�FDQWLGDG�GH�XQD�FROHFFLyQ��\�FRQ�HOOR�YD\DQ�UHFRQR-FLHQGR�XQD�GH�ODV�IXQFLRQHV�GHO�Q~PHUR��

/RV�UHFXUVRV�JUiÀFRV�SDUD�H[SUHVDU�OD�FDQWLGDG�GH�REMHWRV�GH�XQD�FR-OHFFLyQ� VRQ�GLYHUVRV�\� ORV�QLxRV� ORV�PDQLÀHVWDQ� VL� VH� OHV�GD�RSRUWXQLGDG�GH�KDFHUOR��'HVGH�OXHJR�TXH�HQWUH�ODV�PXFKDV�PDQHUDV�FRPR�ORV�QLxRV�UHVXHOYHQ� ODV� VLWXDFLRQHV�GH�FRPXQLFDFLyQ�GH� OD�FDQWLGDG�DSDUHFH� OD�

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��3RU�HMHPSOR��SXHGH�UHYLVDUVH�OD�VHFXHQFLD�VREUH�FODVL¿FDFLyQ�FXDQWLWDWLYD��¿FKDV��\��GH�¿Cómo desarrollar el pensamiento matemático? Fichero de actividades para preescolar (2008).

6 Ma. de los Ángeles Rangel (2007), Experimentación de una secuencia didáctica del eje: los números, sus relaciones y sus operaciones en un grupo del nivel preescolar, tesis de maestría, DIE.

UHSUHVHQWDFLyQ�FRQYHQFLRQDO�GH�ORV�Q~PHURV��SHUR�QR�HV�QL�OD�SULPHUD�IRUPD�GH�UHVROYHU�\�SRU�VXSXHVWR�WDPSRFR�OD�~QLFD��WRGR�GHSHQGH�GH�OD�PDQHUD�FRPR�VH�SODQWHD�OD�VLWXDFLyQ�GH�DSUHQGL]DMH��\�OD�DFWLWXG�GH�OD�HGXFDGRUD�VREUH�OR�TXH�HVSHUD�GH�VXV�DOXPQRV��

3DUD�LOXVWUDU�OR�H[SXHVWR�HQ�HO�SiUUDIR�SUHFHGHQWH��UHYLVHPRV�FyPR�VH�FRQGXFH�XQD�HGXFDGRUD�6� FXDQGR� VXV� UHFXUVRV�GH�HQVHxDQ]D� UHVSRQ-GHQ�D�ORV�SODQWHDPLHQWRV�PHWRGROyJLFRV�GHO�3(3��$VLPLVPR��VH�PXHVWUDQ�ORV�HIHFWRV�GH�OD�HQVHxDQ]D��HQ�OD�PDQHUD�GH�UHVSRQGHU�GH�ORV�QLxRV�

(V�PX\�LPSRUWDQWH�DQDOL]DU�OD�PDQHUD�FRPR�OD�HGXFDGRUD�SUHVHQWD��OD�VLWXDFLyQ��FRQVLJQD��1R�OHV�GLFH�D�ORV�QLxRV�FyPR�GHEHQ�KDFHU�OD�QRWD��FRQ� GLEXMLWRV�� Q~PHURV�� XVDQGR� SDODEUDV�� HWFpWHUD�� 6RODPHQWH� HQIDWL� ]D�OD�IXQFLyQ�GH�OD�QRWD��D�SDUWLU�GHO�UHJLVWUR�GHEHQ�SRGHU�UHFXSHUDU�OD�LQIRU�PDFLyQ�TXH�HOOD�OHV�YD�D�GDU��

&DEH�GHVWDFDU�TXH�ORV�QLxRV�VDEtDQ�HVFULELU�ORV�Q~PHURV�\�UHDOL]DEDQ�HVD�WDUHD�UD]RQDEOHPHQWH�ELHQ�FXDQGR�OHV�HUD�H[SOtFLWDPHQWH�VROLFLWD-GR��SHUR�HO�REMHWLYR�GH�OD�DFWLYLGDG�QR�HV�´SUDFWLFDU�OD�HVFULWXUD�QXPpUL�FDµ�VLQR�LQVWDODU�D�ORV�DOXPQRV�HQ�XQD�VLWXDFLyQ�GH�FRPXQLFDFLyQ�²SDUD�HOORV�PLVPRV�\�SDUD� VXV�PDPiV²��GH�FDQWLGDGHV�GH�GLIHUHQWHV�FROHFFLR-

La docente en cuestión planteó a sus alumnos (de tercer grado) que el día siguiente debían traer material para hacer una maqueta. Les pi-dió que tomaran nota, “como quisieran”, de los materiales para que en su casa, “con ese recado pudieran recordar lo que les había pedido”. Lo importante es, les dijo, que “leyendo su recado puedan decirle a su mamá lo que tienen que traer para mañana”. El material solicitado fue: 10 palitos, 6 piedritas, 12 hojas y 8 cocodrilos.

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QHV��(V�GHFLU��VH�WUDWDED�GH�DYHULJXDU�TXp�LQIRUPDFLyQ�GH�ODV�FROHFFLRQHV��DVSHFWR�FXDOLWDWLYR�\�FXDQWLWDWLYR�� UHVXOWDED� VLJQLÀFDWLYD�SDUD� ORV�QLxRV��\�FRQRFHU� ORV�UHFXUVRV�JUiÀFRV�FRQ�ORV�TXH�FRQWDEDQ�SDUD�UHJLVWUDU�HVWD�LQIRUPDFLyQ��

(QWUH� ODV�GLIHUHQWHV�PDQHUDV�FRPR� ORV�DOXPQRV� UHVROYLHURQ�HO� UHJLVWUR�GH�OD�LQIRUPDFLyQ�DSDUHFHQ�FXDWUR��LPiJHQHV��\��SDUWLFXODUPHQWH�LOXVWUDWLYDV�VREUH�ODV�SRVLELOLGDGHV�GH�FRPXQLFDFLyQ�GH�FDQWLGDGHV�GH�ORV�QLxRV��/D�DFWLWXG�GH�OD�HGXFDGRUD��FXDQGR�ORV�QLxRV�LQWHQWDEDQ�UHVROYHU�FyPR�UHJLVWUDU�OD�LQIRUPDFLyQ�IXH�OD�GH�PDQWHQHUVH�HQ�QR�GHFLUOHV�FyPR�KDFHUOR��´¢&RQ�GLEXMLWRV�PDHVWUD"µ�´&yPR�XVWHGHV�TXLHUDQµ��´(V�TXH�QR�Vp�HVFULELUµ��´�1R�LPSRUWD��KD]OR�GH�RWUD�PDQHUD��FRPR�W~�TXLHUDVµ��

(V�DVt�FRPR�WDQWR�HO�PDQHMR�GH�OD�FRQVLJQD�SRU�SDUWH�GH�OD�HGXFDGRUD�FRPR�VX�DFWLWXG�DQWH�ODV�GLIHUHQWHV�GHPDQGDV�GH�ORV�QLxRV�SURSLFLD�TXH�HQ�ODV�SURGXFFLRQHV�JUiÀFDV�VH�SXHGD�UDVWUHDU�OR�TXH�HQWHQGLHURQ�GH�OD�VLWXDFLyQ SODQWHDGD�\�VXV�SRVLELOLGDGHV�SDUD�UHVROYHUOD�

3ODQWHDU�XQD�FRQVLJQD�D�ORV�QLxRV�VLQ�GHFLUOHV�FyPR�VH�HVSHUD�TXH�UH-VXHOYDQ�OD�DFWLYLGDG��FRPR�OR�KDFH�OD�HGXFDGRUD�SURWDJRQLVWD�GH�HVWH�HMHPSOR��IDYRUHFH�DO�GHVDUUROOR�GH�OD�KDELOLGDG�GH�DEVWUDFFLyQ�QXPpULFD��1R�GHEH�SHUGHUVH�GH�YLVWD�TXH�HVWR�UHVSRQGH�D�XQR�GH�ORV�SODQWHDPLHQ-WRV�FHQWUDOHV�GH�HQVHxDQ]D�VXJHULGRV�HQ�HO�SURJUDPD��

(Q�ODV�SURGXFFLRQHV�GH�ORV�QLxRV�TXHGD�FODUR�TXH�HO�DXWRU�GH�HVWH�SUL-PHU�UHJLVWUR��LPDJHQ��HQWHQGLy�TXH�SDUD�KDFHU�HO�UHFDGR�GHEtD�´HVFUL-ELUµ��LPLWD�HO�JHVWR�GH�TXLHQHV�HVFULEHQ�\�KDFH�XVR�GH�ODV�OHWUDV�TXH�VDEH�WUD]DU��SHUR�HO�UHJLVWUR�QR�FRPXQLFD�OR�TXH�QHFHVLWD�SHGLUOH�D�VX�PDPi�SDUD�KDFHU�OD�PDTXHWD��

3DUD�5RGULJR��LPDJHQ��HQ�HVWD�VLWXDFLyQ�ORV�Q~PHURV�QR�OH�VRQ�~WLOHV�SDUD�FRPXQLFDU�FDQWLGDGHV��HV�PXFKR�PHMRU�SDUD�pO�GLEXMDU�ODV�FROHFFLR-QHV��FDQWLGDG�\�FXDOLGDG��

$�'RULV��LPDJHQ��ORV�Q~PHURV�OH�́ VLUYHQµ�SHUR�QR�VRQ�OR�VXÀFLHQWHPHQ-WH�FODURV�SDUD�FRPXQLFDU�OD�FDQWLGDG��SRU�OR�TXH�WRGDYtD�QHFHVLWD�DFRP-SDxDUORV�FRQ�HO�GLEXMR�GH�ODV�FROHFFLRQHV��3RU�FLHUWR��UHJLVWURV�FRPR�HO�GH�'RULV��GH�ORV�RFKR�FRFRGULORV��HV�OR�PiV�TXH�VH�SXHGH�HVSHUDU�SDUD�TXLHQ�XWLOL]D�ORV�Q~PHURV�FRPR�FRPXQLFDFLyQ�GH�FDQWLGDGHV�SHUR�WRGDYtD�QR�VDEH�HVFULELU��SRU�OR�TXH�OD�SDODEUD�FRFRGULOR�VH�SXHGH�UHPSOD]DU�FRQ�XQ�

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GLEXMR��2EVHUYHPRV�TXH�HQ�OD�WDUHD�VROLFLWDGD�HV�LJXDOPHQWH�LPSRUWDQWH�UHJLVWUDU� OD� LQIRUPDFLyQ�FXDQWLWDWLYD�FRPR�FXDOLWDWLYD��&DEH� VHxDODU�� VLQ�HPEDUJR��TXH�OD�LQWHQFLyQ�GH�'RULV�HUD�KDFHU�RFKR�FRFRGULORV��SHUR�GDGD�OD�FRPSOHMLGDG�GHO�GLEXMR�\D�QR�VH�RFXSy�GH�KDFHU�ORV�RWURV�VLHWH��

)LQDOPHQWH��-HVVLFD��LPDJHQ��VH�DFHUFD�PXFKR�DO�WLSR�GH�UHJLVWUR�TXH�FXDOTXLHU�DOIDEHWL]DGR�SXHGH�KDFHU��XVD�ORV�Q~PHURV�\�GHVGH�VXV�SRVLEL-OLGDGHV�HVFULEH�ODV�SDODEUDV�FRUUHVSRQGLHQWHV�D�ORV�REMHWRV�GH�FDGD�FR-OHFFLyQ�

Para Rodrigo los números no le son útiles para comunicar cantidades, es mucho mejor para él dibujar las colecciones (cantidad y cualidad).

El autor de este primer registro entendió que para hacer el recado debía “escribir”; imita el gesto de quienes escriben y hace uso de las le-tras que sabe trazar, pero el registro no comuni-ca lo que necesita pedirle a su mamá para hacer la maqueta.

IMAGEN 1

IMAGEN 2

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Jessica se acerca mucho al tipo de registro que cualquier alfabetizado puede hacer, usa los nú-meros y desde sus posibilidades escribe las pa-labras correspondientes a los objetos de cada colección.

A Doris, los números le “sirven” pero no son lo VX¿FLHQWHPHQWH�FODURV�SDUD�FRPXQLFDU�OD�FDQWL-dad, por lo que todavía necesita acompañarlos con el dibujo de las colecciones. La intención de Doris era hacer ocho cocodrilos, pero dada la complejidad del dibujo ya no se ocupó de hacer los otros siete.

IMAGEN 3

IMAGEN 4

(Q�HO�HMHPSOR�GHEH�TXHGDU�FODUR�TXH� ODV�SURGXFFLRQHV�GH� ORV�QLxRV�VRQ�H[SUHVLRQHV�GH� ODV�GLVWLQWDV� IRUPDV�GH�DSUR[LPDUVH�D� OD� UHSUHVHQWD-FLyQ�JUiÀFD�GH�ODV�FDQWLGDGHV��DO�ÀQDOL]DU�SUHHVFRODU�VH�SUHWHQGH�TXH�UH-FXUUDQ�D�OD�HVFULWXUD�FRQYHQFLRQDO�GH�ORV�Q~PHURV�SRU�SURSLD�LQLFLDWLYD��QR�VyOR�SDUD�HQIUHQWDU�VLWXDFLRQHV�GH�FRPXQLFDFLyQ�VLQR�WDPELpQ�HQ�RWUDV�GRQGH�HO�Q~PHUR��VX�UHSUHVHQWDFLyQ�\�HO�FRQWHR�VHDQ�XWLOL]DGRV�

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'HVDIRUWXQDGDPHQWH�� SDUD�PXFKDV� HGXFDGRUDV� OD� HVFULWXUD� GH� ORV�Q~PHURV�VLJXH�VLHQGR�SULRULWDULD�SUiFWLFDPHQWH�GHVGH�HO�LQLFLR�GH�OD�HQ-VHxDQ]D��1R�KDQ�ORJUDGR�LQFRUSRUDU�D~Q�D�VXV�SUiFWLFDV�GRFHQWHV�UHFXU-VRV�GLGiFWLFRV�TXH�IDYRUH]FDQ�VLWXDFLRQHV�GH�DSUHQGL]DMH�HQ�ODV�FXDOHV�ORV�QLxRV�SURGX]FDQ�UHJLVWURV�SHUVRQDOHV��HQWUH�RWURV��SDUD�UHSUHVHQWDU�OD�QXPHURVLGDG�GH�XQD�FROHFFLyQ��

/D�PDQLIHVWDFLyQ�GHO�FRQRFLPLHQWR HQ�VLWXDFLRQHV�\�FRQWH[WRV�GLYHUVRV

3URPRYHU�HO�ORJUR�GHO�FRQRFLPLHQWR�HQ�VLWXDFLRQHV�\�FRQWH[WRV�GLYHUVRV�VH�HVWDEOHFH�HQ�OD�GHÀQLFLyQ�GH�competencia,�WDPELpQ�WLHQH�TXH�YHU�FRQ�ORV�SURFHVRV�GH�DSUHQGL]DMH�TXH�SRVLELOLWH�OD�HGXFDGRUD�FRQ�ODV�DFWLYL-GDGHV�TXH�SURSRQJD�\�PHGLDQWH�VX�LQWHUYHQFLyQ�GRFHQWH��8QD�SUHJXQWD�TXH�SXHGH�RULHQWDU�OD�GLVFXVLyQ�HV��¢D�ORV�QLxRV��HQ�VX�WUiQVLWR�SRU�OD�HGXFD-FLyQ�SUHHVFRODU��VH�OHV�HVWi�GDQGR�OD�SRVLELOLGDG�GH�GHVDUUROODU�FRPSH-WHQFLDV�FRUUHODFLRQDGDV�FRQ�HO�FRQRFLPLHQWR�GHO�Q~PHUR"�

8QD�PDQHUD�GH�DYHULJXDUOR�HV�VL�IUHQWH�D�VLWXDFLRQHV�\�SUREOHPDV�GL-YHUVRV��HQ�OXJDU�GH�HVSHUDU�TXH�VX�PDHVWUD�´OHV�GLJD�TXp�WLHQHQ�TXH�KD-FHUµ��ORV�QLxRV�WLHQHQ�RSRUWXQLGDGHV�SDUD�UHDOL]DU�ODV�VLJXLHQWHV�DFFLRQHV�OLJDGDV�DO�UD]RQDPLHQWR��

Buscar cómo solucionar la situación; es decir, si muestran actitud de seguridad y certeza como sujetos pensantes que son.�&RPSUHQGHU�HO�VLJQL¿FDGR�GH�ORV�GDWRV�QXPpULFRV�HQ�HO�FRQWH[-to del problema; esto es, para mostrar su pensamiento mate-mático. Elegir, del conocimiento aprendido (los números, su represen-tación, el conteo, relaciones aditivas, etcétera), el que les sirve para resolver la situación. Utilizar ese conocimiento con soltura para resolver (habilidades y destrezas) la situación planteada.

a)

b)

c)

d)

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6L�ODV�HGXFDGRUDV�KDFHQ�XQD�SHTXHxD�H[SORUDFLyQ�HQ�VX�JUXSR�\�UH-VXOWD�TXH�DO�SODQWHDU�D�VXV�DOXPQRV�XQ�SUREOHPD�TXH�LPSOLTXH�agregar, reunir, quitar, igualar, comparar y repartir objetos, ORV�QLxRV�HVSHUDQ�VXV�LQGLFDFLRQHV�SDUD�SURFHGHU��OHV�VXJLHUR�KDFHU�OD�VLJXLHQWH�YDORUDFLyQ�

'XUDQWH�OD�HGXFDFLyQ�SUHHVFRODU�HV�QHFHVDULR�TXH�ORV�QLxRV�DSUHQGDQ�FLHUWDV�FRVDV�VREUH�ORV�Q~PHURV��HVWR�OR�VDEHQ�ELHQ�ODV�HGXFDGRUDV�\�VH�KDQ�RFXSDGR�GH�HOOR�GHVGH�DQWHV�GHO�3(3��SHUR�FDEUtD�SUHJXQWDUVH��¢TXp�KDQ�DSUHQGLGR�ORV�QLxRV�FRP~QPHQWH�HQ�SUHHVFRODU"

Si los niños son de primer grado de preescolar, no hay problema, tie-nen lo que resta del año y dos más para lograr que sus alumnos desa-rrollen competencias, no sólo sobre el conocimiento de lo numérico, sino también sobre cómo actuar frente a lo que desconocen. Pero no pierdan de vista que para lograrlo es indispensable permitan a los ni-ños, sistemáticamente, que con sus propios recursos encuentren cómo resolver las diversas situaciones matemáticas que les propongan.

De no “dejarlos hacer”, en el mejor de los casos sus alumnos aprenderán a contar y a escribir los números, pero muy débilmente podrán reconocer cuáles son las situaciones en las que el número es un conocimiento útil para resolverlas.Si los niños son de segundo grado, ustedes cuentan con menos tiem-po para “enderezar el rumbo”, ¡todavía están a tiempo de replantear VX�HQVHxDQ]D��DWHQGLHQGR�GH�PDQHUD�PiV�H¿FLHQWH�ODV�RULHQWDFLRQHV�metodológicas del PEP 2004. Si los niños son de tercer grado, la situación es grave, están a punto de que sus alumnos terminen preescolar sin haber logrado al menos las dos competencias sobre número enunciadas al inicio de este ar-tículo. Independientemente de las “evidencias” recabadas, las cuales mostrarán que sus alumnos han aprendido algo sobre los primeros números (su representación, el conteo, etcétera), no están en posibi-lidad de evocar ese conocimiento para resolver situaciones variadas que implican poner en juego los principios de conteo.

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(QWRQFHV��VL�HVWRV�VRQ�ORV�DSUHQGL]DMHV�TXH�IDYRUHFHQ�ODV�HGXFDGRUDV��¢HVWiQ�PDO"��¢VRQ�LQFRUUHFWRV"�/D�UHVSXHVWD�HV�no��VyOR�TXH�HV�PX\�SRFR�

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7 Brousseau, en su artículo “Educación y didáctica de las matemáticas”, publicado en la revista Educación matemática, 0p[LFR��*UXSR�(GLWRULDO�,EHURDPpULFD��GH¿QH�FRPR�³REVWiFXOR�GLGiFWLFR´�DTXHOOR�TXH��DXVSLFLDGR�SRU�OD�HQVH-ñanza (los docentes no sólo “lo enseñan” sino, en caso de aparecer espontáneamente en al aula, lo valoran positiva-mente), se convierte en un obstáculo en el proceso de aprendizaje, en virtud de que los alumnos creen reconocer en él “la manera” de proceder.

8 De las operaciones con números de dos cifras, que también suelen verse en preescolar, emito mi opinión más adelante.

¿Cuántas tortugas hay aquí? ¡Cuatro! En la rayita, aquí abajo, escriban cuántas hay, fíjense bien, a dónde van a escribir el 4... a ver, ¿cómo se escribe el 4? (...), la “crucecita” se lee “más” y dice que vamos a juntar estas tortuguitas con las otras (...) escriban el 3 (...) y en total ¿soooon?... ¿cuántas? A ver escriban el 7 en su lugarcito.

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UHVSHFWR�D� OR�TXH�DFWXDOPHQWH� OD� LQYHVWLJDFLyQ�QRV�GLFH�TXH� ORV�QLxRV�SHTXHxRV�SXHGHQ�DSUHQGHU�\�D� OR�TXH� VH�HVSHUD�DSUHQGDQ�� VHJ~Q� VH�HVWDEOHFH�HQ�HO�3(3��

¿Cuántas tortugas hay aquí? ¡Cuatro! En la ra-yita, aquí abajo, escriban cuántas hay, fíjense bien, a dónde van a escribir el 4... a ver, ¿cómo se escribe el 4? (...), la crucecita se lee “más” y dice que vamos a juntar estas tortuguitas con las otras (...) escriban el 3 (...) y en total ¿soooon?... ¿cuántas? A ver escriban el 7 en su lugarcito.

IMAGEN 6

Dada una colección de vacas, pueden contar y escribir cuántas son; o bien, dado un número, logran dibujar una colección cuya cardinalidad corresponda a ese número.

IMAGEN 5

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5HFRUGHPRV�TXH�OD�SUHWHQVLyQ�GHO�SURJUDPD�HV�TXH�ODV�HGXFDGRUDV�SUR-SLFLHQ�HQ� VXV�DOXPQRV�HO�GHVDUUROOR�GH�FRPSHWHQFLDV��HVWR� VLJQLÀFD�TXH�el FRQRFLPLHQWR�� ODV�GHVWUH]DV�\�KDELOLGDGHV�TXH�YD\DQ�DGTXLULHQGR�HVWpQ�D�VX�GLVSRVLFLyQ�SDUD� UHVROYHU�GLYHUVDV�VLWXDFLRQHV��QR�VyOR�DO�WpUPLQR�GH�VX�HGXFDFLyQ�SUHHVFRODU�VLQR�WDPELpQ�HQ�HO�IXWXUR��ORJUDU�HVWR�KDFH�LQGLVSHQVDEOH�TXH�ODV�HGXFDGRUDV�PRGLÀTXHQ�VX�PDQHUD�GH�HQVH-xDU��FHGLHQGR�D�ORV�QLxRV�PiV�DXWRQRPtD�HQ�HO�SURFHVR�GH�DSUHQGL]DMH��

(VSHFtÀFDPHQWH�SDUD�HO�FDVR�TXH�QRV�RFXSD��OD�FXHVWLyQ�VHUtD��¢FyPR�GHVDUUROODU�HQ�ORV�QLxRV�FRPSHWHQFLDV�VREUH�OR�QXPpULFR��D�OD�YH]�TXH�GH-VDUUROOHQ�OD�FRPSHWHQFLD�SDUD�HVFXFKDU�D�VXV�FRPSDxHURV��WUDEDMDU�HQ�HTXLSR��DUJXPHQWDU��GHIHQGHU�VXV�LGHDV��HWFpWHUD"�

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¢4Xp�LGHDV�YDQ�D�GHIHQGHU"�/DV�TXH�OHV�KD\DQ�VXUJLGR�HQ�OD�E~VTXH-GD�GH�VROXFLyQ�GH�ORV�SUREOHPDV�

(V�QHFHVDULR��HQ�HVWH�PRPHQWR��UHWRPDU�OR�\D�FLWDGR�HQ�UHODFLyQ�FRQ�OR�TXH�VH�HVSHUD�TXH�DSUHQGDQ�ORV�QLxRV�VREUH�ORV�Q~PHURV��FRPR�XWLOL]DUORV�HQ�VLWXDFLRQHV�YDULDGDV�TXH�LPSOLTXHQ�SRQHU�HQ�SUiFWLFD�ORV�SULQFLSLRV�GHO�FRQWHR��¢&XiOHV�VRQ�HVWDV�VLWXDFLRQHV"�/DV�TXH�OHV�VHDQ�IDPLOLDUHV�H�LPSOL-TXHQ�DJUHJDU��UHXQLU��TXLWDU��LJXDODU��FRPSDUDU�\�UHSDUWLU�REMHWRV�

2EVHUYHPRV�TXH�XWLOL]DU�XQ�FRQRFLPLHQWR�QR�HV�OR�PLVPR�TXH�VyOR�´DG-TXLULUORµ��1R�EDVWD�FRQ�FRQRFHU� ORV�Q~PHURV�� VX� UHSUHVHQWDFLyQ�\� VDEHU�

9 El trabajo en equipo, que se espera realicen los niños, es un recurso para socializar su conocimiento; no se trata de una repartición de tareas cuyos productos individuales se reúnen posteriormente para dar cuenta de “lo que hizo el equipo”.

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FRQWDU��VLQR��FRQ�EDVH�HQ�HVH�FRQRFLPLHQWR�HV�QHFHVDULR��£TXH�SXH-GDQ�UHVROYHU�GLIHUHQWHV�VLWXDFLRQHV�

3DUD�TXH�XQ�SUREOHPD�VH�SXHGD�UHVROYHU�SRQLHQGR�HQ�MXHJR�ORV�SULQFL-SLRV�GH�FRQWHR�\�HVWR�QR�UHVXOWH�DUWLÀFLRVR��ORV�GDWRV�QXPpULFRV�LQYROXFUD-GRV�LQHYLWDEOHPHQWH�WLHQHQ�TXH�UHIHULU�D�FDQWLGDGHV�SHTXHxDV��9HDPRV�XQ�SUREOHPD�

(O�SUREOHPD� OOHYD�D� ORV�QLxRV�D�FRQWDU�XQD�FROHFFLyQ�GH�� ÀFKDV� �R�FXDOTXLHU� RWUR�REMHWR�GLVSRQLEOH�� D� pVWD�DJUHJDUOH� �� \� OXHJR�D�FRQWDU�GHVGH�HO��OD�QXHYD�FROHFFLyQ�SDUD�DYHULJXDU�TXH�VRQ��ORV�FDUULWRV�TXH�WLHQH�(ULF��6LQ�HPEDUJR��VL�HO�SUREOHPD�VH�SODQWHDUD�DVt�

&LHUWDPHQWH��VH�SRGUtD�FRQWDU�XQD�FROHFFLyQ�GH��HOHPHQWRV��SLH-GULWDV��ÀFKDV��UD\LWDV��\�OXHJR��WDPELpQ�FRQWDQGR�GH��HQ��DJUHJDU�RWUD�GH��SDUD�GHVSXpV� LQLFLDU�XQ�QXHYR�FRQWHR�GHVGH�HO� ��KDVWD�HO� ��SDUD�DYHULJXDU�TXH�(ULF�WLHQH�HVD�FDQWLGDG�GH�FDUULWRV��6LQ�HPEDUJR��HV�FODUR�TXH� OD�HVWUDWHJLD�GH�FRQWHR��D�� QR�HV� IXQFLRQDO�FXDQGR� ODV�FDQWLGDGHV�VRQ�PD\RUHV��UHVXOWD�IXHUD�GH�OXJDU�SDUD�UHVROYHU�HO�SUREOHPD�GH�FiOFXOR�LQYROXFUDGR�HQ�HO�SUREOHPD�

(Q�OD�PDWHPiWLFD�VH�KD�GHVDUUROODGR�RWUD�HVWUDWHJLD�PiV�HFRQyPLFD�\� IXQFLRQDO�SDUD�VROXFLRQDU�HO�FiOFXOR�HQ�HVWH� WLSR�GH�SUREOHPDV��pVWD��VDEHPRV��HV�OD�VXPD�

Eric tiene 4 carritos, el día de su cumpleaños le regalaron 8. ¿Cuántos carritos tiene Eric?

295547852

Eric tiene 295 carritos y le regalaron el día de su cumpleaños 547. ¿Cuántos carritos tiene Eric?

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1R�REVWDQWH��OD�RSHUDFLyQ�GH�VXPD��UHVWD��PXOWLSOLFDFLyQ�R�GLYLVLyQ��QR�HVWi� SODQWHDGD� SDUD� OD� HGXFDFLyQ� SUHHVFRODU�� SRUTXH� SDUD� FRP-SUHQGHU�GLFKD�RSHUDFLyQ�VH�UHTXLHUH�GHO�FRQRFLPLHQWR�GHO�VLVWHPD�GH�QX-PHUDFLyQ�GHFLPDO��FRQ�HO�TXH�KDELWXDOPHQWH�HVFULELPRV�ORV�Q~PHURV��\�HVWH�FRQWHQLGR�WHPiWLFR�VH�DERUGD�DO�LQLFLR�GHO�SULPHU�DxR�GH�SULPDULD�\�VH�IRUPDOL]D�KDFLD�HO�ÀQDO�GHO�PLVPR��

(QWRQFHV�ORV�GDWRV�QXPpULFRV�GH�ORV�SUREOHPDV�TXH�VH�HVSHUD�ORV�QLxRV�GH�SUHHVFRODU�SXHGDQ�UHVROYHU��GHEHQ�UHIHULU�D�FDQWLGDGHV�SHTXHxDV �SUHIHUHQWHPHQWH�PHQRUHV�D��\� ORV� UHVXOWDGRV�HVWDUiQ�DOUHGHGRU�GHO��D�ÀQ�GH�TXH�OD�HVWUDWHJLD�GH�FRQWHR�WHQJD�VHQWLGR�\�UHVXOWH�~WLO�SDUD�ORV�QLxRV��

$GHPiV��FDEH�DFODUDU�TXH�SURSRQHU�D� ORV�QLxRV� UHVROYHU�SUREOHPDV�FRQ�FDQWLGDGHV�SHTXHxDV�ORV�OOHYD��FRPR�YHUHPRV�FRQ�PiV�SUHFLVLyQ��D�HQFRQWUDUVH�FRQ�ORV�Q~PHURV�HQ�GLYHUVRV�FRQWH[WRV�\�D�XWLOL]DUORV�FRQ�VHQ-WLGR��HV�GHFLU��LUiQ�UHFRQRFLHQGR�SDUD�TXp�VLUYH�FRQWDU�\�HQ�TXp�WLSR�GH�SUREOHPDV�HV�FRQYHQLHQWH�KDFHUOR��

(Q�HO�SURFHVR�GH�UHVROXFLyQ�GH�SUREOHPDV�� ORV�QLxRV�VH�YHQ�HQ�OD�QH-FHVLGDG�GH�FRQVWUXLU�FROHFFLRQHV�FRQ�GHWHUPLQDGD�FDQWLGDG�GH�REMHWRV��GDWRV�GHO�SUREOHPD��\�UHDOL]DU�FRQ�HVDV�FROHFFLRQHV�GLYHUVDV�DFFLRQHV��FRPR� VHSDUDUODV�� XQLUODV��DJUHJDU�XQD�D�RWUD��FRPSDUDUODV��GLVWULEXLUODV��LJXDODUODV�²FRPR�VH�SURSRQH�HQ�HO�3(3��

/DV�DFFLRQHV�TXH�ORV�QLxRV�UHDOL]DQ��SRU�GHFLVLyQ�SURSLD��VRQ�VXJHULGDV�SRU�OD�UHODFLyQ�VHPiQWLFD�HQWUH�ORV�GDWRV�GHO�SUREOHPD�TXH�SUHWHQ-GHQ�UHVROYHU�

/D�LPSRUWDQFLD�GH�UHFXUULU�DO�SODQWHDPLHQWR�GH�SUREOHPDV�SDUD�SR-VLELOLWDU�HO�DSUHQGL]DMH�GHO�VLJQLÀFDGR�GH�ORV�Q~PHURV�\�HO�XVR�GHO�FRQWHR��UD-GLFD�HQ�TXH�SDUD�UHVROYHUORV�VH�QHFHVLWD�TXH�ORV�QLxRV�WHQJDQ�RSRUWXQLGDG�GH�WHQHU�H[SHULHQFLDV�TXH�OHV�SHUPLWDQ�GRV�FRVDV�

La primera es establecer la relación semántica entre los datos. Se trata GH�TXH�HQ�HO�SURFHVR�GH�DSUHQGL]DMH�ORV�QLxRV�HQFXHQWUHQ�HO�VLJQL¿FD-do de los datos numéricos en el contexto del problema y reconozcan las relaciones que se pueden establecer entre ellos para encontrar la solución. Los datos en los problemas aditivos pueden aparecer como medidas –de colecciones–, transformaciones o relaciones.

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'HSHQGLHQGR�GHO�PRPHQWR�HQ�TXH�VH�HQFXHQWUHQ�ORV�QLxRV��D�YHFHV�EDVWD�FRQ�TXH�GLJDQ�RUDOPHQWH�HO�UHVXOWDGR�\�HQ�RWUDV�RFDVLRQHV�OD�HGX-FDGRUD�SXHGH�VROLFLWDUOHV�TXH�OR�HVFULEDQ��DTXt�SXHGHQ�DSDUHFHU�UHJLV-WURV�SHUVRQDOHV�GH� OD�FDUGLQDOLGDG�GH� OD�FROHFFLyQ� UHVXOWDQWH�R�ELHQ��HO�XVR�GH�ORV�VLJQRV�QXPpULFRV�FRQYHQFLRQDOHV��HWFpWHUD��

(O�OXJDU�GH�ODV�DFFLRQHV�\�OD�RSHUDWRULD

&RQ�OD�ÀQDOLGDG�GH�TXH�ODV�HGXFDGRUDV�UHÁH[LRQHQ�VREUH�TXp�HV�OR�TXH�SHUPLWH�D�ORV�QLxRV�UHDOL]DU�GLIHUHQWHV�DFFLRQHV�FRQ�ORV�SUREOHPDV�\�SDUD�TXH�FRPSUHQGDQ�OD�LPSRUWDQFLD�GH�TXH�WDOHV�DFFLRQHV�DSDUH]FDQ�HQ�HO�SURFHVR�GH�DSUHQGL]DMH�GH�ORV�Q~PHURV��HQ�SDUWLFXODU��\�GH�OD�PDWHPiWL-FD��HQ�JHQHUDO��DQDOLFHPRV�ORV�VLJXLHQWHV�SUREOHPDV�

La segunda (igualmente importante), es que los niños de preescolar tengan recursos de cálculo para encontrar la resolución demandada en el problema (percepción de la cantidad, conteo de 1 en 1, cálculo mental de colecciones pequeñas, relaciones aditivas de los primeros números, sobreconteo, etcétera).10

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10 El manejo del cálculo en el nivel de lo simbólico –algoritmos de suma, resta, multiplicación y división, por mencio-nar algunos– son recursos de cálculo que los niños aprenderán en la primaria, y les encuentran sentido cuando se trabaja con números mayores.

Santiago tiene 2 coches rojos y 5 coches blancos. ¿Cuántos coches tiene Santiago? Santiago tenía 2 coches y su mamá le regaló 5 coches. ¿Cuántos coches tiene Santiago?

Santiago tiene 2 coches y su mamá tiene 5 coches más que Santiago. ¿Cuántos coches tiene la mamá de Santiago?

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7RGRV�ORV�SUREOHPDV�UHÀHUHQ�D�ORV�FRFKHV�GH�6DQWLDJR��H�LQYROXFUDQ�D�ORV�Q~PHURV��\��DGHPiV�VH�UHVXHOYHQ�FRQ�OD�PLVPD�RSHUDFLyQ�� 6LQ�HPEDUJR��ORV�SUREOHPDV�VRQ�GLIHUHQWHV��OOHYDQ�D�UD]RQDPLHQWRV�GLVWLQ-WRV�\�DFFLRQHV�GLIHUHQWHV�KDVWD�HO��\�HO�� HQWRQFHV��VL�WRGRV�VH�UH-VXHOYHQ�FRQ�OD�VXPD��¢VHUi�QHFHVDULR�TXH�OD�HGXFDGRUD�HQVHxH�OD�RSHUDFLyQ�GH�VXPD�SDUD�TXH�ORV�QLxRV�SXHGDQ�UHVROYHU�HVRV�SUREOHPDV"�£1R��(QWRQFHV��¢FyPR�SRGUiQ�ORV�QLxRV�UHVROYHUORV�VL�QR�VH�OHV�HQVHxDQ ODV�RSHUDFLRQHV"�

&RPSUHQGHU�TXH�´OD�VXPDµ�HV� OD�RSHUDFLyQ�TXH�UHVXHOYH�ORV�SUREOH-PDV�FLWDGRV� �\�PXFKRV�RWURV��HV�XQ�SURFHVR�GH�DEVWUDFFLyQ�DO�TXH� ORV�QLxRV�SXHGHQ�DFFHGHU�HQ�OD�HVFXHOD�SULPDULD��SHUR�HO�DQWHFHGHQWH�D�OD�RSHUDWRULD�VH�VXVWHQWD�HQ�OD�SRVLELOLGDG�GH�UHÁH[LRQDU�VREUH�ODV�GLVWLQ-WDV�DFFLRQHV�TXH�VH�SXHGHQ�UHDOL]DU FRQ�ODV�FROHFFLRQHV��D�OD�YH]�TXH�VH�YDQ�UHFRQRFLHQGR�ODV�UHODFLRQHV��DGLWLYDV��GH�ORV�SULPHURV�Q~PH-URV��HO��SXHGH�YHUVH�FRPR�XQ��\��\��\��FRPR�XQ��DO�TXH�VH�OH�TXLWDQ��XQ��GLVPLQXLGR�HQ��HWFpWHUD��VLQ�TXH�GHMH�GH�DSDUHFHU�HO��FRPR�HO�UHVXOWDGR�GH�XQ�FRQWHR�TXH�VH�UHDOL]D�GH��HQ��

6L�HQ�VX�SURFHVR�GH�DSUHQGL]DMH�VH�GD�D� ORV�QLxRV� OD�RSRUWXQLGDG�GH�UHVROYHU�VLWXDFLRQHV�QXPpULFDV FRQ�EDVH�HQ�VX�propia�H[SHULHQFLD�\�FRQRFLPLHQWRV��FRPR�VH�VXJLHUH�HQ�HO�3(3��SRGUiQ�KDFHUOR�VLQ�FR-QRFHU� ODV�RSHUDFLRQHV��XWLOL]DUiQ�HO�FRQWHR��3RU�HVWR�HV� LPSRUWDQWH�TXH�VHDQ�HOORV� TXLHQHV�GHFLGDQ�TXp� OHV� FRQYLHQH� KDFHU� FRQ� ORV� GDWRV�QXPpULFRV�GH�XQ�SUREOHPD�SDUD�UHVROYHU�OD�SUHJXQWD�UHVSHFWLYD��6RQ�HV-WDV�DFWLYLGDGHV�²LQWHUDFWXDU�FRQ� ORV�GDWRV�� WRPDU�GHFLVLRQHV� VREUH�HOORV�\�OOHYDUODV�D�FDER²�ODV�TXH�GDUiQ�VHQWLGR�D�ORV�Q~PHURV�\�DO�FRQWHR�\�HQ�JHQHUDO�DO�GHVDUUROOR�GHO�SHQVDPLHQWR�PDWHPiWLFR��

/DV�RSHUDFLRQHV� VRQ�XQ�FRQWHQLGR�GH� OD�SULPDULD�� UHDOL]DU�DFFLRQHV�VREUH�GLYHUVDV�FROHFFLRQHV�\�FRQWDU��VRQ�SURSyVLWRV�GH�SUHHVFRODU�

Santiago tenía algunos coches, le regaló 2 a Mario y a su mamá le regaló 5. A Santiago ya no le quedaron coches. ¿Cuántos coches tenía Santiago?

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/RV�Q~PHURV�HQ�HO�FRQWH[WR�GH�XQ�SUREOHPD

(Q�HO�DSDUWDGR�SUHFHGHQWH�VH�HVWDEOHFH�TXH�ORV�QLxRV�GHVDUUROODQ�VX�SHQ-VDPLHQWR�PDWHPiWLFR�FXDQGR� OD�HGXFDGRUD OHV�SHUPLWD�GHFLGLU�TXp�KDFHU�IUHQWH�D�XQ�SUREOHPD��DVLPLVPR��VH�DÀUPD�TXH�HV�IXQGDPHQWDO�SR-QHU�D�ORV�DOXPQRV�HQ�VLWXDFLyQ�GH�UD]RQDU�FRQ�ORV�GLVWLQWRV�VLJQLÀFDGRV�TXH�WLHQHQ�ORV�Q~PHURV�HQ�HO�FRQWH[WR�GH�XQ�SUREOHPD��3DUD�HOOR��HV�QHFHVDULR�TXH� OD�HGXFDGRUD�FRPSUHQGD�TXp�HV� OR�TXH�KDFH�TXH� ORV�SUREOHPDV�FRPR�ORV�GH�6DQWLDJR�\�VXV�FRFKHV�VHDQ�GLVWLQWRV��DXQTXH�WRGRV�VH�UHVXHO-YDQ�FRQ�OD�VXPD��

(Q�HO�SULPHU�SUREOHPD�HO��\�HO��VRQ�OD PHGLGD��OD�FDQWLGDG�GH�FRFKHV�URMRV�\�EODQFRV�TXH�UHVSHFWLYDPHQWH�WLHQH�6DQWLDJR�

(Q�FDPELR��HQ�HO�VHJXQGR�SUREOHPD��VL�ELHQ�HO��VLJXH�VLHQGR�XQD�PHGL-GD��ORV�FRFKHV�TXH�WLHQH�6DQWLDJR��HO��\D�QR�OR�HV��DKRUD�HVWi�IXQFLRQDQGR�FRPR�XQD WUDQVIRUPDFLyQ��SRUTXH�PRGLÀFD�OD�FDQWLGDG�GH�FRFKHV�TXH�WHQtD�6DQWLDJR��GH��TXH�WHQtD�SDVy�D�WHQHU��FRFKHV��

(Q�HO�WHUFHU�SUREOHPD��HO��QXHYDPHQWH�HV�XQD�PHGLGD��VLQ�HPEDUJR��HO��HV�XQD�UHODFLyQ. (O��HQ�HVH�SUREOHPD�QR�HV�XQD�PHGLGD��SRUTXH�QL�6DQWLDJR�QL�VX�PDPi�WLHQHQ��FRFKHV��WDPSRFR�HO��PRGLÀFD�OD�FDQWLGDG�GH�FRFKHV�GH�6DQWLDJR��FRPR�WDPSRFR�ORV�TXH�WLHQH�VX�PDPi��HQWRQ-FHV�HO��QR�HV�XQD�WUDQVIRUPDFLyQ��(O��HQ�HVWH�SUREOHPD�HVWDEOHFH�XQD�UHODFLyQ�HQWUH�OD�FDQWLGDG�GH�FRFKHV�TXH�WLHQHQ�DPERV�VXMHWRV��

(Q�HO�FXDUWR�SUREOHPD��WDQWR�HO��FRPR�HO��VRQ�WUDQVIRUPDFLRQHV��HQ�FDGD�XQR�VH�PRGLÀFy�OD�FDQWLGDG�GH�FRFKHV�GH�6DQWLDJR��\�HQ�HO�SUR-FHVR�VH�TXHGy�VLQ�FRFKHV��´UHFXSHUDUµ�OD�FDQWLGDG�GH�FRFKHV�TXH�WHQtD�DQWHV�GH�UHJDODUORV�SDVD�SRU�GHVDQGDU�HO�FDPLQR��

/RV�GLVWLQWRV�FRQWH[WRV��SUREOHPDV��HQ�ORV�TXH�DSDUHFHQ�HO��\�HO��OOHYDQ�D�ORV�QLxRV�D�UHDOL]DU�GLIHUHQWHV�DFFLRQHV��VLQ�HPEDUJR��FDEH�DFODUDU�TXH�ORV�GRV�SULPHURV�SUREOHPDV�VRQ�PHQRV�FRPSOHMRV�TXH�HO�WHUFHUR�\�HO�FXDUWR��

$�ÀQ�GH�DKRQGDU� VREUH� OD� LPSRUWDQFLD�GH�HVWDEOHFHU� OD� UHODFLyQ� VH-PiQWLFD�HQWUH�ORV�GDWRV��HV�GHFLU��UD]RQDU�VREUH�ODV�DFFLRQHV��\�GHMDU�SDUD�OD�HVFXHOD�SULPDULD�HO�UHFXUVR�GH�OD�RSHUDWRULD��FRQYHQGUtD�TXH�ODV�HGX-FDGRUDV� UHÁH[LRQHQ�WDPELpQ�VREUH� OR�TXH�KDFH�D� ORV�VLJXLHQWHV�SUREOH-PDV�GLIHUHQWHV��DXQTXH�WRGRV�VH�UHVXHOYDQ�FRQ�OD�UHVWD��²��

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5HVXOWDUtD� LQWHUHVDQWH�� DGHPiV�� TXH� ODV� HGXFDGRUDV� LPDJLQDUDQ� ODV�DFFLRQHV�TXH�VXV�DOXPQRV�SRGUtDQ�UHDOL]DU�SDUD�UHVROYHU� ORV�SUREOHPDV�DQWHULRUHV��SDUD�SODQWHiUVHORV�\�REVHUYDU�VL� OR�TXH�KDFHQ�FRLQFLGH�R�QR�FRQ�OR�TXH�LPDJLQDURQ�\�HQFRQWUDUDQ�H[SOLFDFLRQHV�DO�UHVSHFWR�

Santiago tiene 2 dulces pero quiere tener 7. ¿Cuántos dulces le faltan a Santiago para tener 7?

Mario tenía 7 dulces, le dio 2 a Genny y los otros se los dio a Santiago. ¿Cuántos dulces le dio Mario a Santiago? Mario tenía 7 dulces y se co-mió 2. ¿Cuántos dulces le quedaron a Mario?

Mario tiene 7 dulces y Genny tiene 2 dulces menos que Mario. ¿Cuántos dulces tiene Genny?

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En una fábrica se hacen archiveros de cuatro y seis cajones. Si hay 28 cajones para hacer 6 archiveros, ¿cuántos archiveros de cada tipo se pueden hacer?

1. La relación semántica entre los datos Una idea generalizada (incluso en niveles educativos posteriores al pre-escolar) es que para resolver un problema se necesita conocer primero el recurso convencional de cálculo (operaciones, ecuaciones, etcétera). De hecho, lo que sucede, como mencionamos, es que hay una confu-sión entre los dos elementos implícitos en la solución de un problema: los docentes se preocupan sobre todo por la estrategia de cálculo que per-mite la solución y minimizan o ignoran la relación semántica que debe establecerse entre los datos del problema. Esta relación semántica se rea-liza en apego al razonamiento matemático y en función de la experiencia y el conocimiento del sujeto que resuelve el problema.

Revisemos a través de un ejemplo lo dicho. Supongamos que quere-mos resolver el siguiente problema:

Si el lector o lectora se toma un momento para buscar la solución, seguramente la encontrará. En la experiencia de una investigación realizada con educadoras, una maestra dijo: “Salen cuatro (archiveros) de cuatro (cajones) y dos (archiveros) de seis (cajones)”. Ante la pregunta, ¿cómo le hizo (para saberlo)?, la respuesta fue: “Multipliqué 4 x 4 = 16 y me sobraron 12 cajones, si hubiera multiplicado por otro número no me hubieran salido los archivero de seis cajones”.

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En esa ocasión la mayoría de los participantes logró resolver el proble-ma de los archiveros con algunas variantes en el procedimiento. Sin em-bargo, nadie recurrió a la estrategia convencional (sistema de ecuacio-nes). Cuando se les preguntó si sabían lo que debían hacer para resolver ese problema de acuerdo con las matemáticas (solución convencional), algunas respuestas fueron: múltiplos, distributiva, regla de tres, conteo, operaciones. Otras educadoras, en lugar de contestar a esa pregunta querían responder: ¿qué es necesario para resolver un problema? Fue así que dijeron: “(es necesario) pensar”, “(hace falta) leer bien el problema”, “con lógica”, “poner atención” (¿a qué?, ¿a las explicaciones del maes-tro?). También hubo quienes se aventuraron a sancionar las prácticas de enseñanza dominantes: “Si los niños están mecanizados, no se puede (es-perar que resuelvan problemas)”. No obstante la diversidad de respuestas, no se mencionó la estrategia convencional: los sistemas de ecuaciones lineales, que más adelante revisaremos.

Conviene precisar que el recurso de solución de las educadoras fue aritmético, porque cuentan con conocimiento sobre los números y sus relaciones (4 x 4 = 16; 28 –16 = 12; 2 x 6 =12; 12 + 16 = 28) y desde luego re-currieron al cálculo mental con el apoyo de algunos datos. Ciertamente, HVWH�FRQRFLPLHQWR�HV�LPSRUWDQWH�SHUR�QR�VXÀFLHQWH��\D�TXH�OD�SRVLELOLGDG�de encontrar la respuesta realmente estuvo en que pudieron estable-cer la relación correcta entre los datos. Es decir, controlaron la rela-ción entre el total de cajones (28), el total de archiveros (6) y el número de cajones (6 y 4) que deberían tener los archiveros.

Efectivamente, no sólo se trataba de multiplicar o saber las tablas de multiplicación del 4 o del 2, o saber sumar (recursos de cálculo), porque en este caso la operatoria para resolver es 4 x 4 = 16, 2 x 6 = 12 y 16 + 12 = 28, y hacer esta elección entre los distintos productos y sumas posibles entre el

Es por esto que la maestra citada dice: “Si hubiera multiplicado por otro número no me hubieran salido los archiveros de seis cajones”.


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4, el 6 y el 28 proviene de lograr establecer la relación entre estos números en el contexto del problema.

Un problema equivalente11 es resuelto por los niños de primer grado, pero como no tienen el conocimiento aritmético desplegado por las educadoras, recurren –como es de esperarse– a lo que todo sujeto cog-noscente puede acceder: sus conocimientos y experiencias, que para los niños de ese grado son el dibujo y el conteo.

El razonamiento de los niños se describe a continuación, aunque cabe aclarar que para efectos de este texto, se traslada su estrategia al mismo problema planteado a las educadoras. Ellos dibujan los archiveros (6) y a todos les ponen 4 cajones.

Cuentan los cajones “utilizados” (24) y encuentran que faltan 4 cajo-nes por repartir, éstos los distribuyen de 2 en 2 para hacer archiveros de 6 cajones y así encuentran que con los 28 cajones se pueden hacer 2 archiveros de 6 cajones y 4 archiveros de 4 cajones.

11 En una fábrica se hacen archiveros, de 2 y 4 cajones. Si hay 14 cajones y con ellos se hacen cinco archiveros, ¿cuán-tos archiveros de cada tipo se pueden hacer?


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Quizá se podría caer en la tentación de pensar: ¿para qué sirve el conocimiento aritmético si el problema se puede resolver con dibujos y el conteo? Porque si en lugar de que el problema tenga como datos 6 archiveros y 28 cajones, planteara que son 1 020 cajones y con éstos se hacen 210 archiveros de 6 o 4 cajones, el cálculo mental y las relaciones aditivas y multiplicativas de los primeros números (4 x 4, 2 x 6, 16 + 12), que tan útiles resultaron para resolver el problema de los 28 cajones, se revelan LQVXÀFLHQWHV para esta situación, y los dibujos también, porque aunque se puedan dibujar, nadie está dispuesto a hacerlo con los 210 archiveros. Realmente se necesita de otro recurso, de un nuevo cono-cimiento, que viene a ser un mayor dominio de lo aritmético.

Retomemos el análisis de las soluciones al problema de los seis archive-ros. Está claro que tanto los niños como las educadoras pueden resolver-lo, pero no utilizan la estrategia convencional para ello.12 Ésta, como se anticipó, es el sistema de ecuaciones lineales que sin grandes explicacio-nes se reseña a continuación.

Determinamos que:

Escribimos el sistema de ecuaciones que establece la relación se-mántica entre los datos del problema:

12 Cabría preguntarse si todas las educadoras pasaron por la secundaria y con seguridad sus maestros de matemáticas se esforzaron en “enseñarles” los sistemas de ecuaciones lineales y los diversos métodos de solución, ¿por qué no evocan ese conocimiento para resolver el problema? Una respuesta posible es que los sistemas de ecuaciones en este caso resultan excesivos; otra posibilidad es que ese “conocimiento” sólo les sirvió para acreditar; o bien será que sus maestros se empeñaron en enseñarles y ellas, ¿se empeñaron en no aprender? Finalmente, usando la jerga DFWXDO��HVH�FRQRFLPLHQWR�OHV�UHVXOWy�SRFR�³VLJQL¿FDWLYR´�

X representa a los archiveros de 4 cajonesY representa a los archiveros de 6 cajones

X + Y = 6la suma de los archiveros del tipo X y los del tipo Y es 6


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Ahora es necesario conocer alguna manera de resolver el siste-ma de ecuaciones, entre los distintos disponibles se aplica el de “suma y resta”, que consiste en multiplicar por un número alguna de las ecuacio-nes –en este caso se tomó al número negativo - 4 y se utilizó en la primera ecuación–, para eliminar una de las variables al sumar algebraicamente las dos ecuaciones, la variable que se elimina en este caso es x:

Si bien hemos llegado a la resolución convencional, la intención no es que las educadoras enmienden su conocimiento algebraico, sino resal-tar que existen tres formas de resolver el problema.

-4x - 4y = -24 4x + 6y = 28

2y = 4

se dividen ambos miembros de la igualdad entre 2 para “depejar” la variable y:

y = 2

(VWR�VLJQL¿FD�TXH�KD\��DUFKLYHURV�GH��FDMRQHV�

Se sustituye el valor de y en la primera ecuación para encontrar el valor de x:

x + 2 = 6x = 6 – 2

se resta en ambos miembros de la igualdad -2 para “despejar” la variable x:

x = 4

&RQ�HVWH�UHVXOWDGR�KD\��DUFKLYHURV�GH��FDMRQHV�

4 x + 6 y = 28cada archivero x representa 4 cajones \ cada archivero y representa 6 cajones, la suma de cajones es 28


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Las maneras de resolverlo son diferentes porque en cada una el “sujeto que resuelve” cuenta con conocimientos matemáticos distintos (con-teo, recursos aritméticos, recursos algebraicos); cada uno de estos cono-cimientos es más complejo y potente, pero a su vez cada uno permite una gama de resolución más amplia. Con todo, independientemente del conocimiento matemático que se tenga, la posibilidad de resolver está en si el sujeto puede o no establecer la relación entre los datos para encontrar la solución.

Sin pretender minimizar la importancia del conocimiento aritmético y/o algebraico, conviene precisar que sirve de poco tenerlos, si en el proceso de aprendizaje estos conocimientos no tienen la oportunidad de instalarse como herramientas para resolver problemas. En este punto el cono-cimiento matemático encuentra su sentido y utilidad para la educación básica.

En el nivel de preescolar, el desarrollo del pensamiento matemático es susceptible de favorecerse si a los niños se les da ocasión de “recrearse” con el conteo, resolviendo problemas que involucren a los primeros 10 nú-meros (el resultado puede rebasar el 10); en este caso sus procedimien-tos tendrán que ver con juntar colecciones, separarlas, igualarlas, distri-buirlas, compararlas, pero “darles” como recurso la operatoria (sumas y restas) no tiene sentido, porque les resulta ajeno y distante a lo que ellos espontáneamente hacen cuando su conocimiento se sitúa en los prime-ros números y el conteo, aunque para muchas educadoras y padres de familia la aparición de las cuentas resulte “más matemático”, “de mayor QLYHOµ�R�FXDOTXLHU�RWUR�FDOLÀFDWLYR�VLPLODU�

En síntesis, en el nivel de preescolar es conveniente destacar lo siguiente:

Favorecer el desarrollo del pensamiento matemático de los niños de pre-escolar es darles la posibilidad de resolver problemas numéricos. Esto VLJQL¿FD�SHUPLWLUOHV�TXH�UD]RQHQ�VREUH�ORV�GDWRV�GHO�SUREOHPD�\�GHWHUPL-nen qué hacer con las colecciones.En su proceso de aprendizaje es importante que los niños vayan encontran-do formas (acciones) de responder a las distintas maneras en el contexto en el que aparecen los números (medida, transformación, relación).

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Observar lo que sus alumnos hacen al resolver problemas les da opor-tunidad a las educadoras de ver cómo actúan y percatarse de sus ra-zonamientos: que toman en cuenta, qué conocimientos matemáticos tienen y cómo los están utilizando y qué les falta aprender de los conte-nidos de preescolar. Los niños no recurren a las operaciones para resolver problemas, a menos que su maestra insista; en lugar de ello, si los deja utilizar sus propias posibilidades, hacen dibujos, interpretan los números, representan de alguna manera las cantidades, cuentan las nuevas co-lecciones que salen al actuar sobre las anteriores y así hallan la respuesta a la pregunta del problema.

Sin embargo, dejar que los niños resuelvan los problemas echando PDQR�GH�VXV�FRQRFLPLHQWRV�\�H[SHULHQFLDV�QR�VLJQLÀFD��FRPR�OR�KDQ�VX-puesto algunas educadoras, dejarlos a la “pata libre”. Si esto fuera cierto, bastaría con recomendar a los padres de familia que les pusieran pro-blemas a sus hijos (hasta podríamos darles una lista) y las educadoras podrían recoger sus bártulos y buscarse otra ocupación, pero ¡esto sería absurdo!

Para propiciar el aprendizaje es necesaria la intervención didáctica de las educadoras, quienes deben plantear el problema y anticipar las diferentes maneras como pueden responder sus alumnos; con ese re-ferente deben observar a sus alumnos en el proceso de búsqueda de solución.

Seguramente las educadoras verán en las resoluciones de sus alumnos algunos de los procedimientos anticipados y otros no; particularmente sobre estos últimos tendrán que preguntar a los niños para averiguar en qué están pensando. Aun observando que los niños están resolviendo con alguna de las maneras previstas, a veces, quieren resolver contando con los dedos, por ejemplo, y no pueden porque les es difícil realizar

En el proceso de búsqueda de solución, los niños ampliarán su cono-cimiento sobre los números e irán dominando el conteo, pero sobre todo reconocerán para qué sirve “eso” que están aprendiendo (los números y el conteo).

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las acciones (separar, agregar, unir, repartir, etc.), entonces la educado-UD�SRGUtD�DFHUFDUOHV�ÀFKDV�\�SURSRQHUOHV�TXH�LQWHQWHQ�UHVROYHU�FRQ�HVWH�recurso. En ocasiones los niños saben qué quieren hacer con las colec-ciones pero presentan algunos problemas con el conteo, entonces se les puede ayudar.

Ahora bien, si frente al problema planteado la mayoría de los niños no sabe qué hacer, una de dos: están acostumbrados a recibir ayuda y por tanto la están esperando. En este caso, la educadora tendría que pre-JXQWDUVH�TXp�VLJQLÀFD�SDUD�HOOD�SRVLELOLWDU�HO�GHVDUUROOR�GH�FRPSHWHQFLDV�en sus alumnos, o bien, el problema rebasa las posibilidades cognitiva de sus alumnos. Más adelante retomaré algunas situaciones de este tipo.

Pero si se observa que dos o tres niños van por buen camino es reco-mendable que la educadora les proponga que expliquen a sus com-pañeros lo que están haciendo. Recordemos que la socialización de conocimiento entre pares es un componente importante en el proceso de aprendizaje. No obstante hacer esto, las educadoras no pueden per-mitirse pensar que el asunto ha quedado resuelto para todo el grupo; es QHFHVDULR�TXH�UHÁH[LRQHQ�VREUH�OR�TXH�OHV�IDOWD�VDEHU�\�WUDEDMDU�FRQ�HOOR�para retomar el asunto en otras clases, con algún problema equivalente y observar si más niños muestran posibilidades de resolverlo.

2. El rango numéricoAlgunas educadoras piensan que los problemas con datos numéricos menores a 10 son fáciles de resolver, por eso dicen:

Pero, ¿los alumnos de esas educadoras sabrán resolver problemas con

números menores a 10, sin que ellas los vayan “orientando” en la búsqueda de la solución? Quizás esas educadoras avanzan sobre la serie numérica y

Es que mis niños son muy listos, ya saben muy bien los primeros (números) y se aburren […]; los niños de ahora ‘son más listos que los de antes’, por eso ya vamos como en el 100 y ya saben sumar y restar.


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la operatoria porque no saben qué hacer con los primeros números y el conteo para mantener el interés intelectual de sus alumnos.

Sin afán de desestimar los esfuerzos de las educadoras para que sus alumnos “lleguen hasta el 100 o aprendan a sumar y restar”, cabe co-mentar que los niños lo logran porque la serie numérica oral como la es-crita tienen regularidades, ¡que los niños descubren! Esta particularidad de las series (oral y escrita) no es adjudicable a las competencias docen-tes de las educadoras; lo meritorio en todo caso es el tiempo dedicado a que sus niños repasen las series numéricas. ¿Se imaginan lo que sería ´DSUHQGHUVHµ�XQD�FDQWLGDG�LQÀQLWD�GH�QRPEUHV�\�VLJQRV��XQR�SDUD�FDGD�número) si éstos no se sujetaran a cierta regularidad?

No me cabe la menor duda, es mucho más difícil ocuparse de que los niños desarrollen su capacidad para resolver problemas con los primeros números que atender a la memorización de la serie nu-mérica, no obstante que se llegue hasta el 100 o más allá. Respecto a las operaciones, lo que usualmente se hace para “enseñarlas” es informar a los niños de unas reglas y hacer que las repitan el tiempo necesario, en su salón y en sus casas con ayuda de sus papás, hasta que las “mecanicen”, SHUR�HVWR�QR�VLJQLÀFD�TXH�VHSDQ�XWLOL]DUODV�por propia iniciativa para re-solver problemas.

No está alejado de la realidad decir que los problemas con números pequeños puedan ser difíciles de resolver, o al menos que los adultos no tengamos una respuesta inmediata y sea necesario pensar un poco antes GH�HQFRQWUDU�OD�UHVSXHVWD��3RU�HVWD�UD]yQ��\�FRQ�HO�SURSyVLWR�GH�UHÁH[LRQDU�sobre el particular, intenten solucionar el siguiente problema, “rapidito y de buen modo” como se dice.

Está fácil, ¿no?, sólo tiene que ver con el 2 y el 3, números pequeños, ¿no? ¿Cuál es el problema? Además, la pregunta es familiar, se pretende

Eric tiene 2 camarones más que las tortugas que tiene Mariana, pero Genny tiene 3 pulpos menos que los camarones de Eric. ¿Cuántos animalitos tiene cada niño?


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13 En situaciones equivalentes, circunscritas a una sola relación (y no a dos como en el problema que se analiza).

averiguar cuántos animales tiene cada niño. La respuesta no es inmedia-WD�SRUTXH�OD�GLÀFXOWDG�HVWi�HQ�OD�UHODFLyQ�VHPiQWLFD�HQWUH�ORV�GDWRV�\�QR�en la magnitud de éstos.

En la experiencia con educadoras a la que he hecho alusión, algunas de las respuestas fueron: “Es cualquier número”; “no tiene solución, no HV�H[DFWR��IDOWD��VDEHU��OR�TXH�WLHQH�(ULFµ��2WUDV�UHVSXHVWDV�TXH�UHÀHUHQ�D�las relaciones involucradas son las siguientes:

Efectivamente, este problema tiene varias soluciones, pero “no es cual-quier número”, es una terna de números que cumplen con las relacio-nes “2 más que” y “3 menos que” respecto a la cantidad de camarones de Eric. Como el problema no precisa cuántos camarones tiene Eric, la mayoría de las educadoras lo suponen, siempre y cuando –dicen–, sean 5 o más camarones.

Algunas maestras (incluso de primaria), al igual que los niños,13 no acep-tan que Eric tenga, por ejemplo, 3 camarones, porque entonces Genny no tendría pulpos y el problema dice que sí tiene (pulpos). Tener pulpos VLJQLÀFD�TXH�WLHQH�PXFKRV��GRV�R�PiV��HQ�HVH�FDVR�0DULDQD�WHQGUtD�una tortuga, pero son tortugas. Para estas educadoras la terna:

Aunque desde el punto de vista de la matemática sí lo son. En esa apreciación subyace uno de los muchos problemas que tuvo la incorpo-

3 camarones, 1 tortugas, 0 pulpos, así como 4 camarones, 2 tortugas, 1 pulpo, ¡no son soluciones!

cinco (camarones), tres (tortugas) y dos (pulpos); seis (camarones), cuatro (tortugas), tres (pulpos); siete (camarones), cinco (tortugas), cuatro (pulpos).


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UDFLyQ�GH�ORV�FRQMXQWRV�HQ�OD�HVFXHOD�SULPDULD��OD�GLÀFXOWDG�GH�DFHSWDU�OD�existencia del conjunto vacío (el que no tiene elementos) y los de un ele-PHQWR��SRUTXH�HQ�HO�OHQJXDMH�FRORTXLDO�´XQ�FRQMXQWRµ�UHÀHUH�XQ�FROHFWL-vo, y éste tiene sentido si hay dos o más elementos. Este no es el espacio para argumentar sobre la validez de las soluciones 3 -1 - 0 o 4 - 2 - 1, porque ¡tenemos muchas otras para escoger!

Respecto a suponer que el problema “no tiene solución” o “no es exacto” porque es necesario precisar cuántos camarones tiene Eric, la GLÀFXOWDG�SDUD�ODV�HGXFDGRUDV�TXH�RSLQDQ�DVt�HV�TXH�HTXLYRFDGDPHQWH�suponen que los problemas sólo pueden tener una solución y no varias, como es el caso de este problema. Esta idea errónea es producto de su tránsito por el sistema educativo; “los problemas matemáticos” que sus maestros les plantearon no fueron tales, se trató de un estereotipo de pro-EOHPDV�TXH�VLHPSUH�WHQtD�ORV�GDWRV�QHFHVDULRV�\�VXÀFLHQWHV��HQ�HO�RUGHQ�en que deberían usarse para aplicar una operación y de solución úni-ca, pero como podemos apreciar, existen problemas que no se limitan a tan infortunado esquema.

Finalmente, es claro que si en lugar del problema planteado se hubie-ra propuesto:

La rapidez de la respuesta de las educadoras (no así para los niños de tres años) no proviene de que no se haga referencia a los pulpos de Genny, sino que el 3 y el 2 funcionan como medida de colecciones; en cambio, en el problema que suscitara entre las docentes tantos comen-tarios, el 3 y el 2 actúan como relaciones entre cantidades. Encontrar qué KDFHU�FRQ�ORV�GDWRV�HQ�HVWH�FDVR�HV�PiV�FRPSOHMR�TXH�HQ�HO�TXH�UHÀHUH�D�la medida de colecciones.

Es necesario aclarar que los niños de tercero de preescolar pueden resolver problemas en los que aparece una medida y una relación, tales como:

Eric tiene 3 camarones y Mariana 2 tortugas. ¿Cuántos animalitos tienen entre los dos niños?


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&RQ�XQ�SRFR�GH�PiV�GLÀFXOWDG�SXHGHQ�UHVROYHU�ORV�TXH�WLHQHQ�una re-lación:

En situaciones de este tipo, los niños tienden a pensar primero en los pulpos de Mariana y por ello proponen una cantidad operable, con la cual determinan cuántos camarones tiene Eric, pero es hasta la discusión colectiva cuando se dan cuenta que hay varias respuestas posibles.14

Resulta interesante observar que, atendiendo a lo que dice el proble-ma, los niños se involucren, por ejemplo, en el conteo de 5 pulpos que puede tener Mariana, y a esta cantidad le agreguen 2 (los camarones que tiene de más Eric), cuenten la nueva colección y concluyan que Eric tiene 7 camarones y Mariana 5 pulpos. Si los niños tienen a la mano la relación aditiva de estos números, como la tienen las educadoras, no necesitan hacer el conteo.

La actividad intelectual de resolución de problemas es totalmente di-ferente a solicitarles a los niños que sólo cuenten colecciones, en tanto el conteo tendrán que hacerlo sin perder la relación entre las cantidades sugerida en la situación.

Cuando los niños resuelven un problema, ciertamente cuentan co-lecciones pequeñas, 5, 2, 7, pero están pensando, están interactuando con la relación entre varios números; están resolviendo una situación más compleja que la acción de contar.

14 En la investigación de referencia Véase Irma Fuenlabrada, ¢&yPR�KDFHU�SDUD�TXH�ORV�QLxRV�GHO�SUHHVFRODU�YD\DQ�más allá del uno, dos, tres?, México, DIE, Cinvestav. Solamente una niña encontró distintas soluciones para este problema antes de la discusión colectiva de los resultados encontrados.

Eric tiene 2 camarones más que los pulpos que tiene Mariana. ¿Cuántos camarones tiene Eric y cuántos pulpos tiene Mariana?

Eric tiene 4 camarones y Mariana tiene 2 pulpos menos que los camarones que tiene Eric. ¿Cuántos pulpos tiene Mariana?


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Es claro que resulta fuera de lugar poner a los niños de cinco años (casi seis) a contar colecciones de 7 camarones o 5 tortugas, por esto algu-nas educadoras proponen conjuntos con mayor cantidad de elementos para que los niños practiquen el conteo, pero la función de los problemas no es realizar esa práctica; más aún, si los niños resuelven problemas con números menores y realizan actividades de conteo de colecciones ma-yores (no más de 30), no estaría mal, lo preocupante es dejar de plantear problemas por ocuparse del conteo de colecciones o llevar la serie oral hasta el 100 o más.

3DUD�HQWHQGHU�PHMRU�OD�GLÀFXOWDG�VXE\DFHQWH�HQ�los problemas que involucran a los primeros números, les sugiero que traten de resolver el siguiente problema, que también incluye números pequeños, el 2 y el 7:

Frente a este problema, en la experiencia realizada con educadoras (y con docentes de escuelas primarias15), la primera respuesta es: “El pro-blema está mal planteado“, “está incompleto”, “le faltan datos”. Ante la precisión de la coordinadora del ejercicio de que no faltaban datos y el problema está bien planteado, una educadora se aventuró a dar una respuesta: “3 canicas”.

15 Ana Laura Barriendos Rodríguez (2005), ¿Es de suma o de resta? Experiencias con situaciones aditivas para maestros de primaria, tesis de maestra en Ciencias, Departamento de Investigaciones Educativas del Cinvestav.

Eric jugó dos partidos de canicas, en el primero perdió 7 y en el segundo ganó 2. ¿Con cuántas canicas se quedó Eric al terminar de jugar?

¿De dónde salieron las 3 (canicas). Para poder jugar el segundo juego (Eric) tenía que tener una (canica), por eso al principio (del juego) tenía 8, perdió 7 (en el primer juego y se quedó con una canica) y luego ganó 2 (en el segundo juego), entonces se quedó con 3 (canicas, al término de los dos partidos).


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En cambio, otras educadoras opinaron que el resultado era “5 cani-cas”. Para ellas, Eric había empezado a jugar con 10 canicas, perdió 7 en el primer juego y se quedó con 3, luego ganó 2, así que cuando terminó de jugar tenía 5 canicas.

+XER�LQFOXVR�TXLHQHV�MXVWLÀFDURQ�OD�HOHFFLyQ�GH�ODV��FDQLFDV�DOXGLHQ-do a que la coordinadora había planteado, en algún momento, que era conveniente trabajar con los niños los problemas con números que no pasaran del 10, por eso aceptaban la argumentación externada por la educadora que dijo que Eric empezó con 8 canicas; pero ¡no con menos de 8! porque en ese caso habría que aceptar que “Eric era un niño de esos que se juegan ‘lo que no tienen’”, aunque claro, de que los hay, los hay.

Ya instaladas en que Eric no fuera un niño “tramposo” desecharon también el resultado “3 canicas”, que surge de haber empezado con 8, porque “¿cómo es que Eric iba a jugarse 2 canicas (en el segundo partido), si nada más tenía una al empezarlo?” Así que ajustaron el dato “faltante”: “Eric empezó a jugar con 9 canicas, perdió 7 en el primer par-tido y con las 2 que tenía ‘apostó’ 2, ganó y se quedó con 4 canicas al terminar los dos partidos”.

Antes de dar la respuesta, sin suponer lo que Eric tenía al empezar a MXJDU��FRQYLHQH� UHÁH[LRQDU� VREUH� OD�FDQWLGDG�GH� UD]RQDPLHQWRV�\� MXVWLÀ-caciones que originó el problema. Recordemos que los números involu-crados son pequeños, el 7 y el 2. De eso se trata, de poner a los sujetos en situación de razonar sobre las relaciones que guardan los datos en el contexto de un problema; desde luego, el problema que tantas discusio-

“¿Aaah, estaba jugando con 10 canicas?”, interpeló la coordinadora, “¿en qué parte del problema se da este dato?” Las educadoras seguían insistiendo en que al problema “le faltaban datos”, nada más que ahora lo habían solucionado del “faltante” al decir que Eric empezó a jugar con 8 o 10 canicas.


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nes ocasionara, no se puede proponer a los niños de preescolar, sino a sus maestras, ¡las educadoras!

/D�GLÀFXOWDG�GH�HVWDEOHFHU� OD�UHODFLyQ�VHPiQWLFD�HQWUH� ORV�GDWRV�GHO�problema de Eric, radica en que ambos datos son transformaciones y el resultado es otra transformación que se puede expresar en términos de una relación.

$�ÀQ�GH�H[SOLFDU�OR�GLFKR�UHVSHFWR�D�ORV�GDWRV��VH�SURSRQH�HO�HVTXHPD16

HQ�HO�TXH�VH�PXHVWUDQ�JUiÀFDPHQWH�ODV�UHODFLRQHV�TXH�VXE\DFHQ�HQ�HO�SUR-blema. En el esquema, E1, E2 y E3 representan los estados de la situación:

/RV�GDWRV��\��VRQ�WUDQVIRUPDFLRQHV�SRUTXH�PRGLÀFDQ�OD�FDQWLGDG�GH�canicas de Eric: perder 7 es una transformación negativa y ganar 2 es

-7

E1 E2 E3

+2

-5

�� (O�SUREOHPD�SHUWHQHFH�D�OD�FXDUWD�FDWHJRUtD�GH�SUREOHPDV�DGLWLYRV��VHJ~Q�OD�FODVL¿FDFLyQ�GH�9HUJQDXG��(O�QLxR��ODV�PDWHPiWLFDV�\�OD�UHDOLGDG, México, Trillas, 1985).

E1: estado inicial (dato faltante, a decir de las educadoras).E2: estado intermedio (resultado al término del primer partido).(��HVWDGR�¿QDO��UHVXOWDGR�DO�WpUPLQR�GHO�VHJXQGR�SDUWLGR��


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una transformación positiva. Ambas se expresan con números con signo (-7) y (+2), respectivamente. Perder 7 y ganar 2 es equivalente a perder 5 FDQLFDV��HV�GHFLU��(ULF�SHUGLy�ÀQDOPHQWH��FDQLFDV��OD�UHVSXHVWD�HQ�WpUPL-QRV�GH�WUDQVIRUPDFLyQ�PRGLÀFD�OD�FDQWLGDG�GH�FDQLFDV�TXH�WHQtD�(ULF�DO�inicio del juego. O bien, al terminar de jugar los dos partidos Eric se quedó con 5 canicas menos que las que tenía al empezar, respuesta en términos de relación.

Observemos que la respuesta es independiente de lo que tenía Eric al empezar a jugar, el famoso “dato faltante” no es tal, porque no es necesa-rio conocerlo para resolver el problema. La respuesta “Eric perdió 5 ca-nicas” de las que tenía al empezar es válida para cualquier valor que su-pongamos sobre la cantidad de canicas con las que Eric empezó a jugar.

Por esto, cuando las educadoras dicen que Eric se quedó con “3 ca-nicas”, parten de que inició con 8: si empezó con 8 y se quedó con 3, perdió 5. Ahora bien, si tomamos la respuesta “Eric se quedó con 4 cani-cas”, es que empezó con 9, si empezó con 9 y se quedó con 4, perdió 5. Lo mismo sucede si decimos que Eric se quedó con 5 canicas, entonces empezó con 10 y perdió 5. De hecho, las educadoras al suponer el dato inicial resolvieron casos particulares del problema planteado.

3. La numerosidad de las coleccionesA veces lo niños no pueden resolver un problema porque no tienen a mano la numerosidad de las colecciones; es decir, no se sienten seguros de poder realizar el conteo para construir una colección que tenga la cantidad indicada porque no tienen una imagen mental de ésta. Supon-gamos lo siguiente:

Con esta información respondan el siguiente problema:

En Babilianda, los biabiatenses cuando cuentan van diciendo: ba, be, EL��EDP��EHPEH��EHPEL��FDP��FDPED...


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Una manera de proceder es poner cambambe objetos, y de éstos con-tar bam, quitarlos y contar la colección resultante. Seguramente ustedes ya habrán averiguado que bam es lo mismo que decir 4, pero saben, ¿cuán-to es cambambe?, es decir, ¿pueden construir una colección que tenga cambambe objetos?, ¿saben contar (como lo harían los biabiatenses) hasta el cambambe?, ¿tienen alguna idea mental de cuánto se tardarían en hacer una colección de cambambe�ÀFKDV��FRQWDQGR�GH�ba en ba?

/DV�GLÀFXOWDGHV�TXH�WLHQHQ�FRQ�OD�VHULH�QXPpULFD�RUDO�GH�ORV�biabiaten-ses la tienen los niños cuando están aprendiendo los primeros números, conocen el inicio de la serie y algunos números “salteados”: 1, 2, 3, 4, 5, 6... 16, 18... 50, 30, 33, 500…

En función del dominio de los números, de su correspondencia con las colecciones (numerosidad) y el conteo, para algunos niños puede ser im-posible (en un momento del proceso de aprendizaje) resolver el problema de Samuel y en cambio sí resolver el problema de Sergio que se proponen a continuación:

Ambos problemas tienen la misma estructura, sólo se diferencian en las cantidades involucradas. Para algunos niños el nueve puede ser todavía un misterio, por tanto, es necesario que amplíen su conocimiento sobre la serie y el conteo para tener herramientas que le permitan solucionarlo. Sin embargo, el cinco puede ser ya de su dominio y entonces estarán en posibilidad de resolver el problema.

Samuel se comió 3 chocolates de los 9 que tenía. ¿Cuántos chocolates le quedan a Samuel?

Sergio se comió 3 chocolates de los 5 que tenía. ¿Cuántos chocolates le quedan a Sergio?

Samuel se comió bam chocolates de los cambambe que tenía. ¿Cuántos chocolates le quedan a Samuel?


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Ante esta situación, es muy importante que la educadora observe y comprenda los razonamientos de sus alumnos, como cuáles son los co-nocimientos que tienen y cuáles todavía no. Cuando están en el proceso de aprendizaje de los primeros números son muy sensibles a su magnitud en función del contexto en el que aparecen. Quizá los niños puedan contar una colección de nueve o más elementos y sin embargo no sen-tirse seguros manejando el 9 cuando aparece en problemas como el de Samuel.

Ahora bien, si resuelven el problema de Sergio, esto no garantiza que puedan solucionar el problema de Samuel. O bien, supongamos que la educadora propone el problema de Samuel y algunos niños no pueden re-solverlo, concluir que ese tipo de problemas es difícil, no es del todo cierto.

Lo que la educadora debería hacer es proponerles el problema de Sergio y el de Samuel; si pueden solucionar el primero pero no el segundo VDEUi�TXH�XQD�SRVLEOH�GLÀFXOWDG�SXHGH�VHU�OD�PDJQLWXG�GH�ORV�Q~PHURV�involucrados y no la estructura del problema.

Ésta es una, entre otras razones, por las que se establece que el Pro-grama de Educación Preescolar 2004 es un programa para el ciclo de preescolar. Los contenidos no están repartidos y no deben disgregarse en años escolares. Se espera que los niños trabajen cada año con to-dos los contenidos propuestos; lo que cambia en cada grado es la com-plejidad de las situaciones desde una perspectiva de profundización y enriquecimiento. Dicha complejidad puede provenir del rango numéri-co involucrado, o bien, de la estructura de los problemas, como puede apreciarse en el siguiente apartado.

En una ocasión, trabajando con niños, se metieron en el lío de contar una colección “grande”; en este caso es útil comentar sus respuestas: varios dijeron “son muchos”, para otro niño eran “como un millón”, a lo que un tercero dijo: “sí, son como ¡80!” Realmente, entre un millón u 80, ¿cuál es la diferencia?… ¡son muchos!


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4. La construcción de un nuevo conocimientoEn una investigación de ingeniería didáctica realizada con niños de ter-cero de preescolar,17 se les planteó el siguiente problema, ya enunciado en párrafos anteriores:

Entre las condiciones en las que se encontraban los niños participantes, cabe destacar la información de la educadora que los atendía, quien dijo que sus alumnos realizaban sistemáticamente “cálculos con sus de-dos”; se mostró orgullosa de permitir que lo hicieran e incluso lo propicia-ba. Efectivamente, frente al problema de Santiago los niños utilizaron sus GHGRV�SDUD�LQWHQWDU�UHVROYHUOR��DXQTXH�VH�REVHUYDURQ�VHULDV�GLÀFXOWDGHV�para coordinar los deditos que querían “contar”. La actividad de resolver cuánto es 2 y 3, 4 y 1, 3 y 3, etcétera, utilizando los dedos, es diferente a intentar resolver una situación de cálculo cuando lo que se tiene en la cabeza son números que deben relacionarse en el contexto de un problema. Es decir, realizar con los dedos las acciones sugeridas por la relación semántica entre los datos de un problema, en muchas ocasio-nes es imposible.

La sobrevaloración conferida por la educadora (titular del grupo ex-perimental) al recurso de los dedos para realizar cálculos en esta situa-ción se manifestó como un obstáculo didáctico (propiciado por la ense-ñanza);18 por ello, no es recomendable que las educadoras den prioridad a recursos de cálculo como, por ejemplo, sugerir que el cálculo se lleve a cabo siempre con palitos, dibujitos, deditos, u objetos, ésta es una de-

“Santiago tiene 2 dulces pero quiere tener 7. ¿Cuántos dulces le faltan a Santiago para tener 7?”

17 Irma Fuenlabrada (2006), “¿Cómo hacer para que los niños del preescolar vayan más allá del 1, 2, 3?”, Presentación en el foro “Educación temprana”, realizado en Cádiz, España, México, DIE, Cinvestav.

18 Guy Brousseau (1986), “Fundamentos y métodos de la didáctica de las matemáticas”, en E. Sánchez y G. Zubileta (comps.), Lecturas en didáctica de las matemáticas. Escuela francesa, México, Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav, pp. 1-65.


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cisión que tomarán los niños con base en sus necesidades para resolver VLWXDFLRQHV�GH�FXDQWLÀFDFLyQ��HQ�WRGR�FDVR�HV�FRQYHQLHQWH�TXH�OD�HGX-cadora les sugiera todas las posibilidades simultáneamente.

Ante la situación observada en el problema de Santiago se sugirió a ORV�QLxRV�TXH�XWLOL]DUDQ�XQDV�ÀFKDV�TXH�KDEtD�VREUH�OD�PHVD��GLEXMRV�R�OR�TXH�HOORV�FRQVLGHUDUDQ�FRQYHQLHQWH��7RGRV� ORV�QLxRV�WRPDURQ�GRV�ÀFKDV�y agregaron otras, algunos al ir añadiéndolas empezaron a contar. A la pregunta, “¿cuántos dulces le faltan a Santiago para tener 7?” La res-puesta fue ¡siete! Nuevamente se les planteó la situación completa y su respuesta fue ¡dos!�6L�ELHQ��FRPSOHWDEDQ�ÀFKDV�KDVWD� OOHJDU�DO��QR�eran capaces de anticipar que éstas no debían revolverlas con las dos TXH�\D�WHQtDQ��SDUD�DVt�SRGHU�FRQWDU�ODV�ÀFKDV�DJUHJDGDV�\�VDEHU�TXH�D�Santiago le faltan 5 dulces; entonces, se les planteó un nuevo problema, reduciendo el rango numérico:

En este caso, la respuesta fue inmediata (no precisaron de usar los de-GRV�QL�ODV�ÀFKDV��¡dos! Se siguió explorando su posibilidad de respuesta, con otras situaciones equivalentes:

Que los niños pudieran contestar correctamente en el rango numéri-co menor o igual a 5, sin utilizar el conteo, era un indicador de que ha-bían descubierto y controlaban las relaciones aditivas de esos primeros números, de que ya eran capaces de “mirar” el 4 como 2 y 2, 1 y 3, y al

Santiago tiene 2 dulces pero quiere tener 4. ¿Cuántos dulces le faltan a Santiago para tener 4?

“Santiago tiene 1 dulce pero quiere tener 4. ¿Cuántos dulces le faltan a Santiago para tener 4?” “Tres”

“Santiago tiene 2 dulces pero quiere tener 5. ¿Cuántos dulces le faltan a Santiago para tener 5?” “Tres”


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5 como 2 y 3, por ejemplo; sin embargo, desconocían que el 7 podía ser 2 y 5.

4.1. Las relaciones aditivas de los primeros númerosSe dejó por el momento el problema de Santiago de 2 y 7 dulces y se les plantearon actividades que propiciaran una ampliación de su conoci-miento sobre las relaciones aditivas de los primeros números, postu-lando que de contar con un mayor dominio de esas relaciones estarían en mejores condiciones para resolver el problema de Santiago con nú-meros mayores a 5.

(O� UHFXUVR� IXH� WUDEDMDU�FRQ� ODV� ÀFKDV�GHO�GRPLQy�19 se les pidió a los QLxRV�TXH�WRPDUDQ�WRGDV�ODV�ÀFKDV�TXH�WXYLHUDQ�FXDWUR�SXQWRV��D�ÀQ�GH�averiguar si también eran capaces de reconocer las relaciones aditivas del 4 en este nuevo contexto. No, no las reconocieron. Desordenada-PHQWH�WRPDURQ�OD�ÀFKDV��\��SHUR�D�QDGLH�VH�OH�RFXUULy�WRPDU�ODV�ÀFKDV��\��TXH�VRQ�RWUDV�SRVLELOLGDGHV�GH�´WRPDU�ÀFKDV�FRQ�FXDWUR�SXQWRVµ��HQ�GRQGH�VXE\DFHQ�H[SUHVLRQHV�GH�ODV�UHOD-ciones aditivas del 4.20

6H�OHV�SLGLy�HQWRQFHV�TXH�RUGHQDUDQ�ODV�ÀFKDV�GHO��SDUD�TXH�HPSH-]DUDQ�D�UHÁH[LRQDU�VREUH�HO�FRPSRUWDPLHQWR�GH�ORV�Q~PHURV�LQYROXFUDGRV��lo hicieron como se muestra en la imagen 7. Hubo quienes ignoraron la ÀFKD��\�DO�SHGLUOHV�H[SOLFDUDQ�OD�PDQHUD�FRPR�KDEtDQ�RUGHQDGR�ODV�ÀFKDV�UHSDVDURQ�OD�VHULH��\��TXH�DSDUHFH�HQ�OD�SDUWH�VXSHULRU�GH�ODV�ÀFKDV�\�OHV�GHVFRQFHUWy�OD��FXDQGR�VH�ÀMDURQ�HQ�OD�SDUWH�LQIHULRU�GH�pVWDV��1RWDURQ�TXH�OHV�KDEtD�VREUDGR�OD�ÀFKD��\�GHFLGLHURQ�LQFRU-SRUDUOD�D�ODV�TXH�WHQtDQ�RUGHQDGDV��LPDJHQ��DKRUD�OD�ÀFKD�´IXHUD�GH�orden” es la 4/0.

19 Se trabajó con el dominó clásico (hasta la “mula” del 6).

��/D�¿FKD��HV�XQD�UHODFLyQ�DGLWLYD�GHO��SHUR�ORV�QLxRV�QR�OD�FRQVLGHUDURQ�


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$O�SUHJXQWDUOHV��´¢HQ�TXp�OXJDU�YD�HVD�ÀFKD��VH�VHxDOD�OD��"µ��´¢HQ�dónde pueden colocarla?, decidieron acomodarla en el extremo dere-FKR��LPDJHQ��1R�OHV�FRQYHQFLy�\�ÀQDOPHQWH�OD�FRORFDURQ�HQ�HO�H[WUH-mo izquierdo (imagen 10).

&RPR�QR�KDEtDQ�VHOHFFLRQDGR�ODV�ÀFKDV��\��FRPR�UHSUHVHQWDQ-WHV�GHO��VH�OHV�VROLFLWy�TXH�GH�WRGDV�ODV�ÀFKDV�GHO�GRPLQy�EXVFDUDQ�DKRUD�´ORV��µ��FRQ�OD�SUHWHQVLyQ�GH�TXH�VH�ÀMDUDQ�HQ�ODV�GRV�SDUWHV�GH�ODV�ÀFKDV�del dominó, porque, ¡el 8 no existe en un solo lado!

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No obstante que en varias ocasiones habían trabajado con el dominó, VXSXVLHURQ�TXH�HQ�ODV�ÀFKDV�GRQGH�KD\�VHLV�SXQWRV�HQ�DOJXQD�SDUWH�GH�éstas, 6/0, 6/1, 6/2, etcétera, ¡quizá pudiera haber ocho puntos en lugar de 6!

7RPDURQ�YDULDV�ÀFKDV�GH�HVWH�WLSR��FRQWDEDQ�ORV�SXQWRV��VyOR�SDUD�OOH-gar a darse cuenta que se trataba del 6 y no del 8; entonces, tomaron una que tuviera cinco puntos en una de sus partes (imagen 11) y hasta HVH�PRPHQWR�HPSH]DURQ�D�PLUDU�WRGRV� ORV�SXQWRV�GH�OD�ÀFKD�SDUD�HQ-contrar cuáles tenían ocho puntos (imagen 12). Así aparecieron las re-ODFLRQHV�DGLWLYDV�SRVLEOHV�GHO��HQ�ODV�ÀFKDV�GHO�GRPLQy��HO��\��(Q�WRGDV�ODV�RFDVLRQHV�VH�SLGLy�H[SOLFDUDQ�SRU�TXp�OD�ÀFKD�HOHJLGD�WHQtD�ocho puntos, y empezaron a dar explicaciones como: “es que 6 y 2 son 8”, “con los 5 de aquí y los 3 de acá son 8”.

Se continuó trabajando con otros números, el 9, el 10, y se regresó al ��\�DO��SDUD�YHULÀFDU�VL�ORV�QLxRV�FRQVLGHUDEDQ�ODV�GRV�SDUWHV�GH�ODV�ÀFKDV�de dominó para “mirar” el número solicitado.

Nuevamente se planteó el problema de Santiago que, recordemos, QR�KDEtDQ�SRGLGR�UHVROYHU��DVt�FRPR�RWURV�HTXLYDOHQWHV��SDUD�YHULÀFDU�VL�HO�nuevo conocimiento de las relaciones aditivas de los primeros 10 núme-ros empezaba a instalarse como un recurso de solución, y así fue.

La importancia de que los niños dominen las relaciones aditivas de los primeros números, no sólo está en que posibilita la resolución de proble-mas de cierto tipo, sino también porque favorece la competencia de cálculo de los pequeños. El conocimiento de las relaciones aditivas mos-trará sus bondades cuando los niños se enfrenten en la escuela primaria al cálculo con números más grandes.

IMAGEN 11 IMAGEN 12


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7DPELpQ�FRQYLHQH�SUHFLVDU�TXH�HO�HPSOHR�GH� ODV� ÀFKDV�GH�GRPLQy�como recurso no muestra totalmente las relaciones aditivas. Activida-des como ¿cuántos objetos se quedaron en la bolsa?21 profundizan de manera importante el dominio de las relaciones aditivas. Esta actividad consiste en meter en una bolsa de papel, a la vista de todos los niños, 10 objetos.22 Un niño pasa y saca algunos y le dice al resto del grupo cuán-tos sacó.

Los niños tienen que averiguar cuántos quedaron en la bolsa. De manera espontánea, si por ejemplo se dice que se sacaron 3, los niños empiezan a contar utilizando sus dedos: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (conteo ascen-dente a partir de cualquier número distinto de 1); miran los dedos que utilizaron y los vuelven a contar (sobreconteo) o reconocen cuántos son, SDUD�GHFLU�TXH�VRQ��ORV�REMHWRV�HQ�OD�EROVD��(VWH�UHVXOWDGR�GHEH�YHULÀFDU-se sacando y contando los objetos que hay en la bolsa. Al jugar varias veces, los niños van adquiriendo las relaciones aditivas de los números menores a 10.

Hay muchas maneras interesantes de trabajar con las relaciones adi-tivas, la única no recomendable es pedir a los niños que “se aprendan para mañana las tablas de sumar”, o “ejercitarlos sobre la escritura de expresiones sencillas de suma (2 + 3 = 5)”; en su lugar hay que proponer actividades como las descritas (dominó, objetos en la bolsa) para que de manera natural se vean en la necesidad de recapacitar sobre las re-laciones aditivas y su interés por responder rápidamente. Propicie que las vayan aprendiendo.

21 Actividad tomada de Irma Fuenlabrada HW�DO��(2008), ¢&yPR�GHVDUUROODU�HO�SHQVDPLHQWR�PDWHPiWLFR"�)LFKHUR�GH�actividades para el preescolar, México, Irma Fuenlabrada Editora.

22 Si los niños son muy pequeños y su dominio de los primeros números no llega al 10, en la bolsa se mete una canti-dad menor, por ejemplo, seis u ocho objetos.


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5. El dominio del conteo y su alternancia con los problemas

Pedir que los niños cuenten pequeñas colecciones, por ejemplo, es una actividad útil e interesante cuando los niños no dominan bien el inicio de la serie numérica oral. En función del núcleo social de origen, algunos niños ingresan a preescolar sin ese conocimiento y muchos que lo tienen no necesariamente saben contar. Para poder empezar el proceso de conteo es ineludible conocer “de memoria” la serie oral de los pri-meros números, por lo que, independientemente del conocimiento de los niños al ingresar a preescolar, la educadora tiene que hacerse cargo de la memorización de la serie y de su uso en situaciones de conteo. En un principio se trata de hacer corresponder el nombre de los números (según aparecen en la serie) con un solo objeto de la colección que se GHVHD�FXDQWLÀFDU�

Una actividad lúdica, entre otras que favorecen este aprendizaje, es organizar a los niños en equipos, poner al centro de las mesas objetos pe-queños y dar un bote a cada uno. La educadora también tiene un bote y objetos; dice a los niños que cada quien va a meter seis objetos en su bote,23 y que se trata de un juego entre equipos. Se hace una tabla de doble entrada en el pizarrón con el nombre de los equipos para anotar los aciertos.

A veces la educadora intercala pausas (al ir mencionado la serie y realizando el conteo) para favorecer la atención de los niños. Si logran

23 Dependiendo del dominio de los niños, el rango numérico se aumenta.

La actividad consiste en que la educadora suelta cada vez y de manera pausada un objeto en el bote y en voz alta lo cuenta; simultáneamente los niños hacen lo mismo. Todos deben ir a la par: 1 (tac), 2 (tac), 3 (tac)… si el golpeteo de los objetos al caer en el bote o la mención del número correspondiente no se escucha al unísono, todos vacían su bote y se vuelve a empezar.


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llegar al 6 coordinadamente, la educadora elige un miembro de cada equipo para que pase al frente a contar los objetos de su bote; el grupo puede o no acompañar el conteo, según lo decida la educadora. Si hay seis objetos en el bote, el equipo gana un punto. La educadora aprove-FKD�HVWRV�PRPHQWRV�GH�YHULÀFDFLyQ�SDUD�SDVDU�DO�IUHQWH�D�ORV�QLxRV�TXH�REVHUYH�WLHQHQ�WRGDYtD�GLÀFXOWDGHV�FRQ�OD�VHULH�R�FRQ�HO�FRQWHR��

Se tiene la seguridad de que las educadoras han desarrollado muchos recursos para que sus alumnos aprendan a contar; la razón por la que VH�KD�GHVFULWR�XQD�DFWLYLGDG�GH�FRQWHR�HV�SDUD�UHÁH[LRQDU�DFHUFD�GH�OD�pertinencia de este tipo de actividades y comprender por qué es impor-tante realizarlas con los niños pequeños.

Para empezar a resolver problemas, en primer lugar los niños necesi-tan tener una herramienta de solución (al menos el conteo de los prime-ros seis números), pero no es cierto que empezar a plantear problemas deba postergarse hasta que los niños dominen el conteo de colec-ciones mayores a seis. Se trata de una alternancia entre actividades de conteo y resolución de problemas; la alternancia enriquece ambos procesos.

En segundo, siendo las actividades de conteo dominantes en las ideas que las educadoras tienen acerca de la enseñanza de los núme-ros pueden creer que la resolución de problemas debe, como ya se ha mencionado, realizarse hasta el tercer grado de preescolar; esto es incorrecto.

Los niños tienen que interactuar con las distintas funciones, usos y sig-QLÀFDGRV�GH�ORV�Q~PHURV��\�pVWRV�DSDUHFHQ�HQ�ORV�SUREOHPDV��<D�KHPRV�analizado que el 4, por ejemplo, puede aparecer en el contexto de un problema como medida (tiene 4 cochecitos), como transformación (per-dió 4 cochecitos) o como relación (tiene 4 cochecitos más que); aunado a lo anterior, puede ser que para resolver el problema sea necesario reco-nocer al 4 no sólo como: 1, 1, 1, 1, sino también como 1 y 3, 2 y 2, o bien, como 6 disminuido en 2.

En tercer lugar, cuando los niños dominan el conteo de los primeros 15 o 20 números, si la educadora insiste en proponerles el conteo de colec-ciones SDUD�DÀDQ]DU, para repasar, entonces el conteo se transforma en


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una situación mecánica, en la que la actividad de los niños se vuelve ejecutiva: cuentan colecciones porque se les solicita que lo hagan, pero tienen escasas posibilidades de reconocer las diversas situaciones en las que es útil usar los números y el conteo, más allá de satisfacer la demanda de su maestra. Es decir, la educadora no puede perder de vista que las pretensiones del PEP 2004 van más allá de que los niños aprendan a contar y a representar la cardinalidad de las colecciones.

Problematizar una situación implica plantear una pregunta, retar in-telectualmente a los niños. Lo que sistemáticamente se debe averiguar es cómo utilizan los niños su conocimiento y su experiencia para resolver situaciones; por ello, son los niños quienes deben decidir lo que les conviene hacer.

Una condición que es importante considerar es que la pregunta que plantea la situación, no rebase las posibilidades cognitivas de los alumnos. Veamos el siguiente problema:

Aunque el problema nos parezca simple, si los niños no dominan el conteo de los primeros seis números, no tendrán a mano ninguna ma-nera de resolverlo; como el problema se sale de su control, no se involu-cran en la búsqueda de solución y por tanto no se comprometen con el aprendizaje.

Si los niños contestaran rápidamente, ¡cinco!, lo que están diciendo es que el problema de María no retó su conocimiento: siendo éste el caso, la educadora tendría que replantear el problema (María tiene 6 peras y 7 manzanas) y observar si para resolverlo echan a andar algún recurso de cálculo, como sería, por ejemplo, poner 6 rayitas, luego 7 para contar después el total y encontrar al 13 como respuesta.

No sobra hacer la siguiente observación: supongamos que los niños saben contar (al menos hasta el 6) y la educadora sabe bien que no es lo mismo contar que resolver un problema; entonces decide ayudarles un “poco”, total, ¿qué tanto es tantito?:

“María tiene 2 peras y 3 manzanas. ¿Cuántas frutas tiene María?”


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Las educadoras que así proceden tienen que percatarse que son ellas las que resuelven los problemas, las que deciden qué hacer FRQ�ORV�GDWRV�\�FyPR�UHVROYHU�HO�FiOFXOR��FRQ�ORV�GHGRV��ÀFKLWDV��GLEXMRV��mientras que el trabajo intelectual de los niños, en el mejor de los casos, es contar hasta el 2, hasta el 3 y luego hasta el 5. Establecer la relación semántica entre los datos fue realizada por la educadora, no fue una acción producida por el razonamiento de los niños.

Quizá algunas educadoras se ubiquen “enseñando a solucionar pro-blemas” como se ha relatado, y en descargo de su actuación digan: “Yo lo hago así pero después pongo otros problemas y los niños los resuelven solos”. Aceptemos la defensa, sin conceder, ¿cuáles son los otros proble-mas que resuelven los niños solitos?, ¿ahora ya no es María sino Jazmín?, ya no son peras y manzanas sino, ¿muñequitos y muñequitas?; después, ¿aparece Pedrito con cochecitos y camiones?

Si son estos los problemas que los niños resuelven solos, la educado-ra está propiciando un proceso de resolución mecánica, porque sus alumnos están interactuando cada vez solamente con un tipo de pro-blema: ponen los muñequitos y las muñequitas, juntan y cuentan la nue-va colección; ponen los cochecitos y los camiones, juntan y cuentan. La oportunidad para los niños de pensar sobre la relación semántica entre los datos de un problema, en esta manera de proceder en la enseñanza, nunca está presente, ni cuando la educadora explica la manera de re-solver ni cuando “ellos solos” resuelven problemas que la educadora “ha explicado” inmediatamente antes.

$�YHU��¢FXiQWDV�SHUDV�WLHQH�0DUtD"�£'RRRRV��3RQJDQ�GRV�¿FKLWDV��¢\D�todos las pusieron? ¡Síííí! ¡Muy bien! Ahora díganme, ¿cuántas manzanas WLHQH�0DUtD"�£7UHHHV��£(VR�HV��PX\�ELHQ��DKRUD�SRQJDQ�WUHV�¿FKLWDV��6L�MXQWDPRV�WRGDV�OD�¿FKLWDV��WHQHPRV�WRGDV�ODV�IUXWDV�GH�0DUtD��SRUTXH�pusimos las dos peras y las tres manzanas, ¿verdad? A ver, cuéntenlas, vamos a ver quién las puede contar, ¿cuántas son? ¡Ciiiinco! ¿Todos estamos de acuerdo? Escriban el 5, a ver si lo pueden escribir.


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D ebe tenerse presente que una enseñanza que plantea propiciar el razonamiento en los niños como parte de su proceso de aprendi-zaje, como se propone en el PEP 2004, considera a la resolución

de problemas como recurso didáctico para adquirir conocimiento; HVWR�VLJQLÀFD�TXH�ORV�SUREOHPDV�VH�SODQWHDQ�QR�VyOR�SDUD�´DSOLFDUµ�XQ�FR-nocimiento al que los niños han accedido por otros medios –ejercicios de FRQWHR�\�UHSUHVHQWDFLyQ�GH�ORV�Q~PHURV��PHPRUL]DFLyQ�GH�pVWRV��SODQDV²��sino como un espacio de aprendizaje.

/DV�HGXFDGRUDV�TXH�VXSRQHQ�TXH�SULPHUR�ORV�QLxRV�´GHEHQµ�DSUHQGHU�ORV�Q~PHURV�SDUD�GHVSXpV�SODQWHDUOHV�SUREOHPDV�tipo�SDUD�TXH�YHDQ�´HQ�GyQGH�VH�XWLOL]DQµ�ORV�Q~PHURV��QR�HVWiQ�DFWXDQGR�HQ�DSHJR�DO�HQIRTXH�SHGDJyJLFR��FHQWUDGR�HQ�HO�GHVDUUROOR�GH�FRPSHWHQFLDV�QL�D�ODV�RULHQ-taciones para el trabajo docente planteadas en el programa de educa-FLyQ�SUHHVFRODU�

3DUD�IDYRUHFHU�HO�GHVDUUROOR�GHO�SHQVDPLHQWR�PDWHPiWLFR�GH�ORV�QLxRV�GH�SUHHVFRODU�D� WUDYpV�GH� OD� UHVROXFLyQ�GH�SUREOHPDV�\��FRQVHFXHQWH-PHQWH��IDYRUHFHU�HO�GHVDUUROOR�GH�ODV�FRPSHWHQFLDV��²\�QR�VyOR�GH�OD�´UH-VROXFLyQ�PHFiQLFD�GH�SUREOHPDVµ��R�GH�´ORV�Q~PHURV��VX�UHSUHVHQWDFLyQ�\�HO�FRQWHRµ²�HV�QHFHVDULR�TXH�ORV�DOXPQRV�HQIUHQWHQ�XQ�SUREOHPD�TXH�ORV�OOHYH�D�MXQWDU�FROHFFLRQHV��HQ�OD�VLJXLHQWH�RSRUWXQLGDG�XQD�VLWXDFLyQ�HQ�OD�TXH�HV�FRQYHQLHQWH�VHSDUDU�XQD�FROHFFLyQ�GH�RWUD��SRVWHULRUPHQWH�LQWHUDFW~HQ�FRQ�OD�FRPSDUDFLyQ��LJXDODFLyQ�R�GLVWULEXFLyQ�GH�FROHFFLR-nes para volver a encontrarse con un problema en el que deban juntar las colecciones.

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El asunto es que los niños cada vez se vean en la necesidad de ra-zonar sobre los números en función del contexto en el que están apareciendo y tengan que actuar en consecuencia. Si lo que pre-WHQGHPRV�HV�GHVDUUROODU�FRPSHWHQFLDV��OD�PiV�LPSRUWDQWH��HQ�PL�RSLQLyQ��es la actitud frente a lo desconocido. Ante esto –ya lo he anticipado– hay GRV�UHSXHVWDV�SRVLEOHV��HO�QLxR�HVSHUD� OH�GLJDQ�TXp�KDFHU��R�VH�SRQH�D�SHQVDU�FyPR�UHVROYHUOR��4XH�VXFHGD�XQD�R�OD�RWUD es consecuencia de lo que la educadora realice en el salón de clases.

Plantear problemas que propicien la aparición de diversas accio-nes sobre las colecciones (juntar, separar, completar, igualar, distribuir, HWFpWHUD��KDFH�LQHOXGLEOH�TXH la educadora comprenda FyPR�SXHGHQ�DSDUHFHU�ORV�Q~PHURV�HQ�HO�FRQWH[WR�GH�XQ�SUREOHPD��FRPR�PHGLGD��WLH-QH��FDQLFDV��FRPR�WUDQVIRUPDFLyQ��SHUGLy��FDQLFDV��R�FRPR�UHODFLyQ��WLHQH��FDQLFDV�PHQRV�TXH��\�FRQ�EDVH�HQ�HVWH�FRQRFLPLHQWR�GLVHxH�GLIHUHQWHV�SUREOHPDV��DQWLFLSDQGR�ODV�SRVLEOHV�PDQHUDV�FRPR�VXV�DOXP-QRV�YDQ�D�WUDEDMDU�FRQ�ORV�Q~PHURV� LQYROXFUDGRV�SDUD�YHULÀFDU�GHVSXpV�HQ�ODV�H[SHULHQFLDV�GHO�DXOD�OD�FHUWH]D�R�QR�GH�VXV�DQWLFLSDFLRQHV��OXHJR�FRQ�EDVH�HQ�HOOR�� LQWHQWH�HQFRQWUDU�H[SOLFDFLRQHV� QR� VyOR� VREUH�FyPR�UHVSRQGHQ�ORV�QLxRV��VLQR�IXQGDPHQWDOPHQWH�VREUH�OR�TXH�HOOD�KL]R�SDUD�que respondieran de esa manera.

El PEP 2004 plantea la importancia de las estrategias espontáneas de resolución como un recurso didáctico para favorecer el trabajo sobre la relación semántica entre los datos de un problema. Los co-nocimientos cambian, pero siempre subyace el pensamiento lógi-co matemático en la resolución de problemas.

3DUD�HQWUHWHMHU�GH�GLIHUHQWH�PDQHUD�OR�GLFKR�HQ�HO�SiUUDIR�SUHFHGHQ-te, regresemos al problema de los archiveros. Para resolverlo es necesario: a)�HVWDEOHFHU�OD�UHODFLyQ�VHPiQWLFD�HQWUH�ORV�GDWRV�GHO�SUREOHPD��UD]RQDU�VREUH�ORV�GDWRV��OR�TXH�VLJQLÀFD�SRGHU�FRQWURODU�HO�Q~PHUR�GH�DUFKLYHURV��la cantidad de cajones que tiene cada uno, la cantidad total de cajones disponibles, y b) haber accedido al menos a uno de los conocimientos matemáticos necesarios para solucionar el problema, que en el caso que QRV�RFXSD�VRQ�ORV�SULPHURV�Q~PHURV�\�HO�FRQWHR��ORV�Q~PHURV�\�VXV�RSHUD-FLRQHV��DULWPpWLFD��\�ORV�VLVWHPDV�GH�HFXDFLRQHV��iOJHEUD��

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Los distintos conocimientos que aparecen cuando el sujeto resuelve son un indicador de lo que sabe, pero sobre todo si lo ha aprendido de PDQHUD�VLJQLÀFDWLYD��(Q�HVWH�VHQWLGR��FDEH�DGYHUWLU�TXH�ODV�HGXFDGRUDV�no resuelven el problema de los archiveros con recursos algebraicos (al PHQRV�HQ�WRGDV�ODV�RFDVLRQHV�HQ�TXH�KH�H[SORUDGR�HVWD�VLWXDFLyQ��8QD�H[SOLFDFLyQ�SRVLEOH��DXQTXH�GXGRVD��HV�TXH�KD\DQ�FRQVLGHUDGR�TXH�XVDU�ORV�VLVWHPDV�GH�HFXDFLRQHV�´HV�XQ�UHFXUVR�GHPDVLDGR�FRPSOHMR�FXDQGR�HO�SUREOHPD�VH�SXHGH�UHVROYHU�FRQ�OD�DULWPpWLFDµ��R�ELHQ��\�HVWR�HV�PiV�SRVLEOH��HO�FRQRFLPLHQWR�DOJHEUDLFR�TXH�GHELHURQ�KDEHU�DSUHQGLGR�HQ�VX�SDVR�SRU�OD�VHFXQGDULD�QR�OHV�UHVXOWy�VLJQLÀFDWLYR��HVWR�HV��OHV�VLUYLy�SDUD�DFUHGLWDU�HO�FXUVR�GH�iOJHEUD��SHUR�QR�VH�LQVWDOy�FRPR�XQD�KHUUDPLHQWD�para resolver problemas, como conocimiento susceptible de manifes-tarse en su desempeño en situaciones y contextos diversos.

Entonces, lo que queremos de los niños de preescolar (y de todos los TXH�FXUVDQ�OD�HGXFDFLyQ�EiVLFD��HV�TXH�HO�FRQRFLPLHQWR�TXH�DGTXLHUDQ�les sea VLJQLÀFDWLYR�� OR�FXDO�TXLHUH�GHFLU�TXH�HQ�XQD� VLWXDFLyQ�GRQGH�tenga sentido usar ese conocimiento lo recuerden y lo empleen para resolver, que es equivalente a lograr el tan anhelado desarrollo de com-petencias.

'H�SRFR�VLUYH�TXH�ORV�QLxRV�VHSDQ�FRQWDU��UHFRQRFHU�\�HVFULELU�Q~PHURV�VL�IUHQWH�D�ORV�SUREOHPDV�TXH�LPSOLFDQ�DSOLFDU�FRPR�UHFXUVR�ORV�SULQFLSLRV�del conteo, no deciden hacerlo porque sus maestras de preescolar no les dieron oportunidad (en el proceso de aprendizaje, consecuencia de la HQVHxDQ]D��GH�FRPSUHQGHU�SDUD�TXp�VLUYHQ�ORV�Q~PHURV�

'HVDUUROODU�FRPSHWHQFLDV�VREUH�OR�QXPpULFR�HV�SRGHU�XWLOL]DU�HO�FRQR-FLPLHQWR�HÀFLHQWH�\�HÀFD]PHQWH�HQ�VLWXDFLRQHV�GLYHUVDV�HQ� ODV�TXH�HVH�FRQRFLPLHQWR�HVWp�LQPHUVR��3DUD�OD�HGXFDFLyQ�SUHHVFRODU�HO�FRQRFLPLHQ-WR�VREUH�OR�QXPpULFR�VH�FLUFXQVFULEH�D�TXH�ORV�QLxRV�XWLOLFHQ�ORV�Q~PHURV�en situaciones variadas que impliquen poner en juego los principios del FRQWHR��¢&XiOHV�VRQ�HVWDV�VLWXDFLRQHV"�/DV�TXH� OHV�VHDQ�IDPLOLDUHV�\� OHV�impliquen agregar, reunir, quitar, igualar, comparar y repartir objetos.

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¿Hasta el 100?… ¡No! ¿Y las cuentas?… ¡Tampoco!

Entonces… ¿Qué?VH�LPSULPLy�SRU�HQFDUJR�GH�OD�

&RPLVLyQ�1DFLRQDO�GH�/LEURV�GH�7H[WR�*UDWXLWRV��en los talleres de

con domicilio en

el mes de agosto de 2009.(O�WLUDMH�IXH�GH��HMHPSODUHV�PiV�VREUDQWHV�GH�UHSRVLFLyQ

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Resolver problemas, aprender matemáticas… y algo más

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