บทท 1 เวกเตอร (Vector) รายวชาฟสกส ส าหรบวศวกร 1

รหสวชา 2131101

โดย อ.อภชาต พองพลา

บทท1-1

ปรมาณ สเกลาร และ เวกเตอร ปรมาณสเกลาร (Scalar Quantity)

คอ ปรมาณทมเฉพาะขนาดเพยงอยางเดยวไมมทศทาง เชน มวล ปรมาตร ความหนาแนน ความดน อณหภม ฯลฯ

ปรมาณเวกเตอร (Vector Quantity) คอ ปรมาณทมทงขนาดและทศทาง ซงอาจเขยนแทนดวยลกศร โดยทความ ยาวของลกศรจะแสดงถงขนาดและสวนของหวลกศรแสดงถงทศทางของ ปรมาณเวกเตอรนน ๆ เชน ความเรว ความเรง แรง โมเมนตมฯลฯ หมายเหต เราสามารถเขยนเวกเตอรได โดยการก าหนดขนาดเวกเตอรดวย ตวอกษรโรมนทมหวลกศรก ากบ หรอเขยนเปนตวหนา(ตวทบ) กได

บทท1- 2

ตวอยางการเขยนเวกเตอร

จากรป แสดงสญลกษณ ของปรมาณเวกเตอรซงความยาวของลกศรแทน

ขนาดและหวลกศรแทนทศทางของเวกเตอร

บทท1- 3

ขนาดของเวกเตอร

ขนาดของเวกเตอร เขยนเปนคาสมบรณจะได การบวกและการลบเวกเตอร การบวกเวกเตอร การบวกเวกเตอร กบเวกเตอร แสดงไดดงรป

A A

A B

บทท1- 4

ส าหรบการบวกเวกเตอรทมมากกวา 2 เวกเตอร เชน หรอ ซงผลลพธทไดของเวกเตอรรปทางดานซายและขวาจะมขนาดและ

ทศทางเดยวกนโดยผลลพธทเกดขนจะเรยกวา เวกเตอรลพธ นนเอง

บทท1- 5

การลบเวกเตอร การลบเวกเตอร ดวยเวกเตอร หรอ

A B

บทท1- 6

องคประกอบเวกเตอร และเวกเตอรหนวย องคประกอบของเวกเตอรบนระนาบ XY (2 มต) ท ามม กบแกน X

จะมขนาดและทศทางของเวกเตอรโดยพจารณา จะได โดยท และมทศทาง

A

cosAAx

sinAAy

บทท1- 7

องคประกอบของเวกเตอรบนแกน X,Y,Z (3 มต) จะมขนาดและทศทางของเวกเตอรโดยพจารณา จะได

โดยมขนาดของ Ax, Ay, Az คอ

A

บทท1- 8

เวกเตอรหนวย คอ เวกเตอรทมขนาด 1 หนวย ดงนนเวกเตอร ใด ๆ อาจเขยนเปนเวกเตอรหนวยในทศทางเดยวกบ ได ดงนคอ

เมอ มขนาด A หนวย และ เปนเวกเตอรหนวย เวกเตอรหนวยทอย

ในแนวแกน x, y และ z คอ , และ ตามล าดบแสดงดงรปขางลาง

A

A

AA ^

a

A

^

ai j k

บทท1- 9

องคประกอบของเวกเตอรทงหมดในระบบพกดฉากในแนวแกน x, y และ z จะได

จากรปองคประกอบของ A

บทท1- 10

ดงนนจะได

บทท1- 11

ถา และ เปนเวกเตอรในระบบพกดฉากโดยม ดงนน ถาเปนการรวมเวกเตอร แบบวธการบวกเวกเตอร

A B

บทท1- 12

และ แบบวธการลบเวกเตอร

ตวอยางท 1 ก าหนดใหเวกเตอร A และ B เปนเวกเตอรบนระนาบ xy และมองคประกอบของเวกเตอรเขยนไดเปน และ จงหาขนาดและทศทางของ และ

ˆ ˆ2 3A i j

ˆ ˆ3B i j A B A B

บทท1- 13

การหาเวกเตอรลพธโดยการค านวณ พจารณา เวกเตอร A ขนาด 4 หนวย และเวกเตอร B ขนาด 4 หนวยมทศ

ท ามม 45o กบแกน x ดงรป

บทท1- 14

ถาเขยนองคประกอบของเวกเตอรตามแนวแกน x และ y ของเวกเตอรทงสอง ตามล าดบ

ถาตองการหาเวกเตอรลพธ (ผลจากการรวมเวกเตอร) ของการกระท า

กนระหวางเวกเตอรทงสองจะได R

บทท1- 15

จากรปสามรถหา ไดตามแนวแกน x

จะได

R

บทท1- 16

และเวกเตอรลพธ จะได ขนาดของเวกเตอรลพธ ทศทางของเวกเตอรลพธ

บทท1- 17

กฎโคไซน (Law of Cosine) เปนวธการค านวณอกรปแบบหนงในการหา

เวกเตอรลพธ

ก าหนดให และ ท ามม ดงรปและท าการสรางสเหลยมดานขนาน และในกรณนจะสงเกตวาเสนทแยงมมนนคอ

A B R

บทท1- 18

จะได หรอ

บทท1- 19

ทศทางของเวกเตอรลพธ จะได หรอ

บทท1- 20

หรอ กจกรรมหลงการเรยน

1.จงหาเวกเตอรหนงหนวยของเวกเตอรลพธ ซงเกดจากผลบวกของ

2. จงหาขนาดและทศทาง เวกเตอรลพธ โดยใช กฎโคไซน ของเวกเตอร A ขนาด 4 หนวย และเวกเตอร B ขนาด 4 หนวย โดยท ามมระหวางกน 45o

k4j2-i3C,k2jiB,kj-i A

บทท1- 21

การคณสเกลาร – Dot Product (Scalar Product) จากการคณขนาดของเวกเตอร A และ เวกเตอร B จะไดเปน

ปรมาณสเกลารและโคไซน (cosine) ของมมระหวางเวกเตอรทงสองนน ซงผลคณสเกลารนเขยนไดวา

จะได

ดงรป

บทท1- 22

ถาก าหนดให เวกเตอร A เปนเวกเตอรใด ๆ ในระบบพกดฉากใน 3 มต (x,y,z) ดงนน จะได

ถาตองการ

โดยท

บทท1- 23

กฎตาง ๆ ของ Scalar Product

บทท1- 24

ตวอยางท 2 ก าหนดให และ จงหามมระหวาง เวกเตอร A และ เวกเตอร B

ˆ ˆ2 3A i j ˆ ˆ4B i j

บทท1- 25

การคณเวกเตอร – Cross Product (Vector Product) จากการคณของเวกเตอร A และ เวกเตอร B จะไดเปนปรมาณ

เวกเตอรและไซน (sine) ของมมระหวางเวกเตอรทงสองและมทศตงฉากกบระนาบทประกอบขน ซงผลคณเวกเตอรนเขยนไดวา

จะได

ดงรป

บทท1- 26

รปทใชไดจรง

บทท1- 27

บทท1- 28

หรออกวธหนง โดยการหาคา determinant ในรปเมตรกซได

บทท1- 29

กฎตาง ๆ ของ Vector product

บทท1- 30

ตวอยางท 3 ก าหนดให , และ

จงหาผลลพธของเวกเตอรทเกดจาก

และ

ˆˆ ˆ3 2A i j k ˆˆ ˆ 2B i j k

ˆˆ ˆ2 3C i j k

( )A B C ( )A B C

บทท1- 31

เนอหาเพมเตม กฎ sine

บทท1- 32

การใชไดเรกชนโคไซน (Direction Cosine)

บทท1- 33

กจกรรมหลงการเรยน

1. จงหา และพนทสามเหลยมทมดานประกอบเปน

BA

บทท1- 34