Size Ramsey Number of Path Order Three Versus Cycle with order n.

Penentuan Bilangan Ramsey Sisi Graf Lintasan Berorde Tiga Terhadap Graf Siklus Berorde n.

Imam Kurniawan*, Hasmawati*, Jusmawati Massalesse*

Abstrak

Misal F , G dan H adalah graf terhubung dan sederhana. Notasi F → (G , H )menunjukkan bahwa sembarang pewarnaan 2 warna (merah – biru) pada semua sisi di F dengan ukuran tertentu mengakibatkan F selalu memuat subgraf merah G atau subgraf H biru. Bilangan Ramsey sisi r̂ (G , H ) adalah ukuran minimum dari graf F yang bersifat F →(G , H). Pada penelitian ini akan dikaji bilangan Ramsey sisi untuk pasangan graf Lintasan P3 dan graf siklus Cn. Akan ditunjukkan bahwa r̂ ( P3 ,Cn )=2n−1 ,untuk n=7 , 8. Pada penelitian ini juga dihasilkan batas bawah baru

r̂ ( P3 ,Cn ) ≥ 3n2

+2, untuk n≥ 10 dan n genap.

Kata kunci: Bilangan Ramsey sisi, bilangan Ramsey sisi terbatas, , graf lintasan berorde tiga, graf siklus.

Abstract

Let F , G ,and H is connected graph and simple. Notation F →(G , H) is refer that each coloring of two colors (red and blue) on the edge of graph F with a certain size, implicate F contains red subgraph G or contains blue subgraph H . Size Ramsey number r̂ (G , H ) is the minimum size of graph F such that F →(G , H). In this research, we will examine the pair graph path P3 and cycle Cn

. We will show that r̂ ( P3 ,Cn )=2n−1 for n=7 , 8. This research also gives new lower bound

r̂ ( P3 ,Cn ) ≥ 3n2

+2 , for even n≥ 10.

Keyword: Size Ramsey number, restricted-size Ramsey number, path of order three, cycle.

1. Pendahuluan

Graf G(V , E) adalah pasangan (V (G ) , E (G ) ) , dimana V (G) adalah himpunan berhingga yang anggotanya disebut titik (vertex), dan E(G) adalah himpunan pasangan-pasangan tak berurut dari elemen – elemen V (G) yang berbeda, disebut sisi (edge). Graf yang terdiri dari m titik dan n sisi disebut sebagai graf berorde m dan berukuran n. Graf lengkap K n adalah graf berorde n yang setiap dua titiknya bertetangga. Dua buah titik dikatakan bertetangga (adjacent) jika kedua titik tersebut terhubung oleh sebuah sisi. Sisi tersebut dikatakan terkait (incident) pada dua titik yang bertetangga tersebut. Dua titik disebut saling bebas apabila kedua titik tersebut tidak bertetangga, sedangkan dua sisi disebut saling bebas apabila kedua sisi tersebut tidak terkait pada suatu titik yang sama.

Derajat titik suatu titik vi∈V (G) dinotasikan dengan deg ( v i ) adalah banyaknya titik yang

bertetangga dengan vi. Dengan kata lain derajat titik adalah banyaknya sisi yang terkait dengan suatu

titik. Derajat titik terkecil pada graf G dinotasikan dengan δ (G) sedangkan derajat terbesar dinotasikan

*Departemen Matematika FMIPA Universitas Hasannuddin Makassar

dengan Δ (G). Jadi, jika graf G adalah graf yang terdiri dari n titik maka 0 ≤ δ (G ) ≤ deg (v i ) ≤ Δ (G )≤ n−1. Suatu graf G dikatakan sebagai graf k-reguler jika dan hanya jika δ (G )=Δ (G )=k.

Dua buah graf G(V , E) dan H (V , E) dikatakan sebagai dua buah graf yang isomorfik ketika terdapat pemetaan φ :V (G )→ V (H ) sedemikian sehingga untuk setiap pasangan titik u , v∈V (G) berlaku uv∈ E(G) jika dan hanya jika φ (u )φ ( v )∈ E(H ). Graf G1(V 1 , E1) dikatalan

sebagai subgraf dari G jika V (G1 )⊆V (G) dan E (G1 )⊆E (G ) . Jika V (G1 )=V (G), maka graf G1 dikatakan sebagai subgraf perentang dari graf G. Adapun graf komplemen dari graf G dinotasikan dengan G adalah graf yang memenuhi V (G )=V (G) dan uv∈ E(G) jika dan hanya jika uv∉ E (G ).

Operasi yang paling sering digunakan dalam teori graf adalah operasi penjumlahan graf (join graph) dan operasi penggabungan graf (union graph). Misalkan Gi adalah graf yang saling lepas dengan himpunan titik V i dan himpunan sisi Ei, i=1,2 ,…, k. Graf gabungan G¿¿ i=1¿k Gi adalah suatu graf dengan himpunan titik V=¿i=1¿k V i dan himpunan sisi E (G )=¿ i=1¿k Ei. Adapun definisi penjumlahan sejauh ini hanya pada jumlahan dua graf dengan definisi sebagai berikut: jumlah (join) G=G1+G2 adalah suatu graf dengan V (G )=V 1∪V 2 dan E (G )=E1∪E2∪{uv :u∈V 1 , v∈V 2}. Selain itu, ada juga dikenal operasi pengurangan G−H yang merupakan subgraf dari G yang diperoleh melalui penghapusan semua sisi H pada G , dengan H adalah subgraf dari G. Penghapusan titik v∈V (G) dari G ditulis G− {v } ,adalah subgraf G yang diperoleh dengan menghapus titik v dan sisi – sisi yang terkait di v dari G. Penghapusan sisi e∈ E(G) dari G ditulis G− {e }.

Terdapat beberapa jenis graf yang akan sering dibahas pada penelitian ini. Graf lintasan berorde n dinotasikan dengan Pn adalah suatugraf dengan himpunan titik V ( Pn )={u1 ,u2, …, un } dan

himpunan sisi E ( Pn )={ui ui+1|i=1 ,2,…, n−1} . Jika u1=un maka graf tersebut dinamakan graf

siklus dengan notasi Cn . Adapun graf lengkap adalah graf yang setiap dua titiknya saling bertetangga.

Gambar 1. a) Graf Lintasan. b) Graf siklus. c) Graf lengkap

Himpunan sisi X⊆V (G) dikatakan sebagai himpunan titik bebas jika untuk setiap dua titik x , y∈ X maka berlaku xy⊈E (G ) . Adapun himpunan sisi M⊆E (G) yang semua anggotanya adala sisi – sisi yang saling bebas dinamakan matching . Himpunan sisi M dikatakan matching maksimal jika M +e bukan matching, untuk setiap E ( F )−M ¿Silaban, dkk.2015). Graf G dikatakan terhubung (connected), jika untuk setiap dua titik u dan v pada graftersebut terdapat suatu lintasan yang memuat dua titik tersebut. Himpunan A⊆V (G) disebut himpunan titik pemisah dalam H , jika H−A bukan graf terhubung. Secara serupa, himpunan B⊆E (G) disebut himpunan sisi pemisah dalam H jika H−B bukan graf terhubung. Jika A={v } dan B={e }, maka v disebut titik potong (cut vertex) dan e disebut jembatan (bridge) (Hasmawati, 2015).

Bilangan Ramsey graf R(G , H) untuk sembarang graf G dan H adalah bilangan asli terkecil n sedemikian sehingga untuk setiap graf F dengan n titik memenuhi kondisi: F memuat G atau F memuat H . Notasi F → (G , H )menunjukkan bahwa sembarang pewarnaan 2 warna (merah – biru) pada semua sisi di F dengan ukuran tertentu mengakibatkan F selalu memuat subgraf merah G atau subgraf H biru. Bilangan Ramsey sisi r̂ (G , H ) adalah ukuran minimum dari graf F yang bersifat F →(G , H). Bilangan Ramsey sisi terbatas r¿ (G , H ) adalah bilangan Ramsey sisi dengan F adalah graf berorde |V (F )|=R(G , H ). Oleh karena itu dapat ditulis r̂ (G , H )≤ r¿ (G ,H ) .

Beberapa bilangan Ramsey yang telah dihasilkan adalah pada Erdös dkk. (1978) untuk pasangan graf lintasan P3 dan Pn untuk n=3 , 4,5 , …,12. Hasil tersebut dijasikan dalam table berikut:

Tabel 1. Beberapa nilai dari r̂ (P3 , Pn) oleh Erdoss dkk (1978)Pn P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12

r̂ (P3 , Pn) 3 5 6 8 10 12 13 16 16 19

Penelitian tersebut dilanjutkan oleh Imron dan Baskoro (2006) untuk n yang lebih besar, yaitu n=13 ,14 dan 15. Hasil yang diperoleh pada penelitin tersebut adalah r̂ ( P3 , P13 )=23, dan

r̂ ( P3 , P13 )=24. Selain itu, mereka juga mengoperasikan bilangan Ramsey sisi dalam bentuk

penjumlahan yaitu r̂ ( P3 , Pn)=r̂ ( P3 , Pk )+ r̂ (P3 , Pl), dengan n=k+l−1 , untuk n ganjil dan k , lgenap. Triyani (2006) dengan pasangan graf yang berbeda memperoleh W 2n+1∈Ω ( P3 , C4 ), K 5−e∈Ω ( P3 , C5 ), K6−6e∈Ω ( P3 ,C6 ) dimana Ω (G ,H ) adalah himpunan semua graf F yang memenuhi F →(G , H).

Penelitian bilangan Ramsey sisi terbatas dilakukan dengan menentukan suatu graf F berorde |V (F )|=R ( P3 ,Cn )=n(Faudree, dkk. 1974). Silaban, dkk. (2015) memperoleh hasil r¿ ( P3 ,C6 )=9 ,

sedangkan untuk n≥ 8 dan n genap, diperoleh nilai interval 3 n2

+2≤ r¿ ( P3 ,Cn ) ≤2n−1. Penelitian

dengan graf yang serupa dilakukan oleh Cymann dan Dzido (2017) dengan memperoleh r¿ ( P3 , C6 )=13dan batas atas yang lebih baik untuk n≥ 12 dan n genap yaitu r¿ ( P3 , Cn ) ≤ 2 n−2.

Kedua penelitian tersebut sangat penting dalam penelitian ini utamanya dalam penentuan batas atas untuk r̂ ( P3 ,Cn ).

2. Hasil Utama

Bagian ini memuat tiga hasil utama yang dituliskan dalam bentuk teorema berikut yang disertai dengan pembuktian

Teorema 1. r̂ ( P3 ,C7 )=13.

Bukti:

Pertama, akan ditunjukkan bahwa r̂ ( P3 ,C7 ) ≤13. Pada penelitian oleh Cymann dan Dzido (2017),

diperoleh hasil bahwa r¿ ( P3 , C6 )=13. Kkarena r̂ (G ,H )≤ r¿ (G , H ), maka 13 merupakan salah satu

batas atas untuk r̂ ( P3 ,C7 ) ,maka dapat ditulis r̂ ( P3 ,C7 ) ≤13. Graf berukuran 13 yang memenuhi

F →(P3 , C7) dapat dilihat pada gambar berikut:

Gambar 2. Graf F yang memenuhi F →(P3 , C7).

Selanjutnya membuktikan bahwa r̂ ( P3 ,C7 ) ≥13. Batas bawah tersebut dapat diperoleh dengan

menunjukkan pewarnaan pada sembarang graf F berukuran 12 sedemikian sehingga F →: ( P3 ,C7 ) . Pembuktian ini akan dibagi ke dalam beberapa kasus.

Kasus I: Graf F memuat siklus terbesar C6

Pada kasus ini graf F tidak memuat siklus C7. Oleh karena itu pewarnaan yang diberikan adalah dengan mewarnai sisi – sisi yang saling bebas pada F dengan warna merah. Dengan begitu graf F tidak memuat subgraf P3 merah dan juga tentu tidak memuat C7 biru. Pewarnaan yang serupa juga pada sembarang graf F yang sama sekali tidak memuat siklus.

Gambar 3. Pewarnaan pada graf F berukuran 13 yang tidak memuat siklus C7

Kasus II: Graf F memuat siklus terbesar C k ,dimana 9≤ k ≤12.

Pada kasus ini F akan memuat titik berderajat 3 paling banyak 6 buah titik (ketika k=9¿ . Pewarnaan yang diberikan adalah mewarnai sisi – sisi yang saling bebas sedemikian sehingga setiap titik terkait dengan paling banyak satu sisi merah untuk menghindari terbentuknya P3 merah. Dalam waktu yang bersamaan, terdapat paling banyak 6 titik yang trekait dengan paling sedikit 2 sisi biru, yang artinya tidak diperoleh C7 biru. Pewarnaan tersebut dapat dilihat pada gambar berikut:

Gambar 4. Pewarnaan pada graf F yang memuat siklus terbesar C k ,untuk C k ,dimana 9≤ k ≤12.

Kasus III: Graf F memuat siklus terbesar C 8

Untuk meksimalkan kemungkinan diperolehnya C7 , maka orde dari graf F harus sekecil mungkin. Dalam hal ini, jika F memuat siklus terbesar C8 ,maka orde dari F adalah |V ( F )|=8. Selanjutnya, jika F adalah graf 3-reguler, maka selalu terdapat himpunan sisi potong yang membagi Fmenjadi dua bagian yang masing – masing memuat siklus. Ketika sisi – sisi potong tersebut diewarnai merah, sedangkan sisi yang lain biru, maka F tidak memuat P3 merah dan juga tidak memuat C7 biru.

Gambar 5. Pewarnaan pada graf F yang memuat siklus terbesar C8, dmana Δ (F )=3 .

Jika F bukan graf 3-reguler atau dengan kata lain Δ (F ) ≥ 4 dan mengakibatkan δ (F ) ≤2. Peawrnaan yang diberikan adalah dengan mewarnai sisi – sisi yang saling bebas dengan warna merah sedemikian sehingga subgraf biru dari F tidak memuat C7 .

Gambar 6. Pewarnaan pada graf F yang memuat siklus terbesar C8, dmana Δ (F ) ≥ 4.

Kasus IV: F memuat siklus terbesar C 7.

Telah dijelaskan sebelumnya, untuk memaksimalkan ditemukannya C7 biru, maka orde dari F sekecil mungkin. Dengan orde yang sekecil mungkin yaitu |V ( F )|=7 , Cymann dan Dzido (2017) telah

menunjukkan bahwa F →: (P3 ,C7).

Pada graf tidak terhubung, pewarnaan yang dilakukan untuk menunjukkan bahwa F →: (P3 ,C7) lebih mudah. Hal ini dikarenakan ukuran dari komponen terbesar dari graf yang tidak terhubung tidak lebih besar dari ukuran dari semua graf terhubung yang sudah dirincikan sebelumnya. Akhirnya, terrbukti bahwa pada sembarang graf F berukuran 12, berlaku F →: (P3, C7). Maka dari itu diperoleh batas

bawah r̂ ( P3 ,C7 ) ≥13. Karena batas bawah bernilai sama dengan batas atas, maka diperoleh nilai

eksak r̂ ( P3 ,C7 )=13.

Teorema 2. r̂ ( P3 ,C8 )=15.

Bukti:

Sama halnya pada teorema sebelumnya, pembuktian nilai bilangan Ramsey sisi r̂ ( P3 ,C8 ) dilakukan

dengan mencari nilai batas atas dan batas bawah. Pertama akan ditunjukkan baha r̂ ( P3 ,C8 ) ≤13. Silaban, Baskoro dan Utunggadewa (2015) melakukan penelitian mengenai bilangan Ramsey sisi terbatas r¿ ( P3 ,Cn ) dengan memperoleh hasil yangsalah satunya adalah r¿ ( P3 , C8 )=15. Nilai tersebut

diperoleh dengan menunjukkan suatu graf F berukuran |E (F )|=15 yang memenuhi F → ( P3 ,C8 ) . Graf F tersebut ditunjukkan pada gambar berikut:

Gambar 7. Graf F yang memenuhi F → ( P3 ,C8 )

Karena r̂ ( P3 ,C8 ) ≤ r¿(P3 ,C8) maka 15 merupakan batas bawag untuk r̂ ( P3 ,C8 ) atau dapat ditulis

r̂ ( P3 ,C8 ) ≤15. Selanjutnya adalah membuktikan batas bawah r̂ ( P3 ,C8 ) ≥15. Batas bawah ini dapat

diperoleh dengan menunjukkan bahwa pada pewarnaan pada sembarang graf berukuran |E ( F )|=14

berlaku F →: ( P3 , C8 ) . Pada kasus sebelunnya, dapat diperhatikan bahwa pada graf yang tidak

memuat siklus C7 selalu dapat ditemukan pewarnaan sedemikian sehingga →: ( P3 ,C7 ). Di lain sisi,

kemunngkinan memperoleh C7 semakin kecil ketika orde daari graf F itu semakin besar. Oleh karena

itu, pada pembuktian batas bawah r̂ ( P3 ,C8 )hanya dilakukan pada grafF berorde 8 dan juga memuat

siklus terbesar C8 .

Untuk F memuat siklus terbesar C8 dan |V (F )|=8. Jika |V ( F )|=8 , maka banyak sisi yang bisa diberi warna merah adalah paling banyak 4 sisi yang saling lepas. Setiap titik pada F terkait dengan satu sisi merah dan satu sisi biru. Untuk memperoleh C8 biru, maka dibutuhkan paling sedikit 12 sisi, sehingga terbentuk graf reguler yang semua titiknya berderajat 3. Pada setiap graf 3-reguler selalu dapat ditemukan himpunan sisi pemisah I yang saling bebas dan diberi warna merah sedemikian sehingga graf tersebut terbagi menjadi dua siklus yang saling lepas (Silaban dkk., 2015). Untuk menghubungkan dua siklus tersebut dibutuhkan tambahan 2 sisi, sehingga F terdiri dari 14 sisi. Misalkan dua siklus tersebut adalah Cm dan Cn dimana m ,n∈ {3 ,4 ,5 } dan m+n=8.

Kasus I: m=n=4. F adalah graf yang memuat dua siklus C4 yang saling bebas. Kedua siklus ini kemudian dipisahkan oleh himpunan sisi pemisah I yang sisi – sisinya berwarna merah. Misalkan dua siklus C 4 tersebut memiliki urutan titik masing – masing u1 ,u2 , u3 , u4 , u1 dan v1 , v2 , v3 , v4 , v1. Agar kedua siklus ini terhubung dan membentuk C8biru, maka ditambahkan dua sisi yang saling lepas yang menghubungkan dua titik bertetangga di salah satu siklus ke dua titik bertetangga di siklus lainnya. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan dua sisi tersebut adalah u1 v1 dan u4 v4 yang selanjutnya disebut sebagai sisi penghubung. Akan ditunjukkan suatu pewarnaan lain yang mengakibatkan F tidak memuat subgraf P3 merah maupun C8 biru.

- Jika banyak sisi di I adalah 4, maka |E ( F−I )|=10. Struktur subbgraf F−I adalah sebagai berikut :

Gambar 8. Subgraf F−I , untuk |I|=4Karena I adalah himpunan sisi pemisah yang saling bebas dan memisahkan F menjadi dua bagian yang masing – masing memuat siklus, maka sisi I adalah sisi ux v y, dimana x , y∈{1, 2 , 3 , 4 }, x≠ 1⟺ y=1, dan x≠ 4⟺ y=4. Pewarnaan pada sembarang graf F dengan struktur tersebut dapat dilihat pada gamber berikut:

Gambar 9. Pewarnaan pada graf F yang terdiri dari dua siklus C4 dan |I|=4.

- Jika banyak sisi di I adalah 3, maka |E ( F−I )|=11. Struktur subbgraf F−I adalah sebagai berikut :

Gambar 10. Subgraf F−I , untuk |I|=3a. Misalkan I tidak terkait dengan u1artinya sisi

I={u2 v a, u3 vb , u4 vc|a , b=1 ,2 ,3 ,4 ;c=1 ,2 ,3 ,a≠ b ≠ c }. Untuk a ,b , c∈ {1 ,2 , 3 } , sisi yang berwarna merah adalah sisi u1 u2 ,u3 u4 , v1 v2 , v3 v4.

Gambar 11. Pewarnaan pada graf F, apabila sisi di I terkait dengan titik v1 , v2 , dan v3, tapi tidak terkait dengan u1

Pewarnaan serupa juga untuk a , b∈ {1 ,2 , 4 } dan c∈{1 , 2 }

Gambar 12. Pewarnaan pada graf F, apabila sisi di I terkait dengan titik v1 , v2 dan v4 tidak terkait dengan u1

Untuk a , b∈ {2 ,3 ,4 } dan c= {2,3 } , sisi yang berwarna merah adalah sisi u1 v1 dan ketiga sisi di I .

Gambar 13. Pewarnaan pada graf F, apabila sisi di I terkait dengan titik v2 , v3 dan v4. tidak terkait dengan u1

Untuk a∈ {3 , 4 }, b∈ {1 ,3 ,4 }, c∈ {1 ,3 }, sisi yang berwarna merah adalah salah satu sisi yang terkait dengan titik v2.

Gambar 14. Pewarnaan pada graf F, apabila sisi di I terkait dengan titik v1 , v3 dan v4 tidak terkait dengan u1

b. Misalkan I tidak terkait dengan u2 atau tidak terkait dengan u3 , artinya sisi I={u1 va , uh vb , u4 v c|a=2 ,3 , 4 ;b=1,2 , 3 , 4 ;c=1 , 2 ,3 ;h=2 ,3 }. Sisi yang berwarna merah adalah sisi u2 u3. Hal ini mengakibatkan antara titik u2 atau u3 hanya terkait dengan satu sisi biru.

Gambar 15. Pewarnaan pada graf F, apabila sisi di I tidak ada terkait di u2 maupun u3

c. Misalkan I tidak terkait dengan u4, artinya sisi I={u1 va , u2 vb , u3 vc|a=2 ,3 , 4 ;b , c=1 , 2 ,3 , 4 }. Untuk a∈ {2,3 }danb , c∈ {1 ,2 , 3 } ,sisi yang berwarna merah adalah sisi

u1 u2 ,u3 u4 , v1 v2 , v3 v4.

Gambar 16. Pewarnaan pada graf F, apabila sisi di I terkait dengan titik v1 , v2 dan v3 tidak terkait dengan u2

Pewarnaan serupa juga untuk a∈ {2,4 }dan b , c∈{1 ,2 , 4 }

Gambar 17. Pewarnaan pada graf F, apabila sisi di I terkait dengan titik v1 , v2 dan v4 tidak terkait dengan u2

Untuk a , b , c∈ {2 ,3 , 4 } maka setiap pewarnaan yang diberikan ada pada enam graf berikut:

Gambar 18. Pewarnaan pada graf F, apabila sisi di I terkait dengan titik v2, v3 dan v4 tetapi tidak terkait dengan u2 .

Untuk a∈ {3 , 4 } dan b , c∈ {1 ,3 , 4 } , sisi yang berwarna merah adalah salah satu sisi yang terkait dengan titik v2

Gambar 19. Pewarnaan pada graf F, apabila sisi di I terkait dengan titik v1 , v3 dan v4 tetapi tidak terkait dengan u2

- Jika banyak sisi di I adalah 2, maka |E ( F−I )|=12. Struktur subgraf F−I adalah sebagai berikut :

Gambar 20. Subgraf F−I , untuk |I|=21. Struktur pertama, dimana sisi v2v 4∈ E(F−I ).

Karena I hanya terdiri dari 2 sisi, maka hanya dua titik di antara u1 ,u2 , u3 , atau u4 yang terkait dengan sisi I .

a. Jika titik u∈{u2 , u3 } tidak terkait dengan sisi I , maka sisi yang berwarna merah adalah sisi u2 u3.

Gambar 21. Pewarnaan pada graf F, apabila salah satu sisi di I tidak terkait dengan titik u2 maupun u3.

b. Jika kedua sisi di I masing – masing terkait dengan titik u2 dan u3 ,artinya sisi I={u2ua , u3 ub∨a ,b=1 , 2, 3 , 4 }. Untuk a , b∈ {1,4 } , sisi yang berwarna merah adalah sisi u2 u3 ,u1u4 , v1 v2 ,dan v3 v4

Gambar 22. Pewarnaan pada graf F, apabila sisi di I terkait dengan titik v1 , v4 , u2 ,dan u3

Untuk a , b∈ {1 ,2 ,3 , 4 } , a ≠1 ↮: b=4, sisi yang berwarna merah adalah kedua sisi di I dan salah satu sisi penghubung (u1 v1 atau u4 v4)

Gambar 23. Pewarnaan pada graf F, untuk a , b∈ {1 , 2 ,3 , 4 } ,a≠ 1↮: b=4

2. Struktur kedua, dimana sisi u1 u3∈ E(F−I ).

Karena I hanya terdiri dari 2 sisi, maka hanya dua titik di antara u1 ,u2 , u3 , atau u4 yang terkait dengan sisi I .

a. Misalkan u1 dan u2 terkait dengan sisi I , artinya sisi I={u1 ua , u2ub|a=2, 3 , 4 ; b=1 ,2 ,3 ,4 } sisi yang berwarna merah adalah sisi u3 u4 dan sisi di I yang terkait dengan u2 .

Gambar 24. Pewarnaan pada graf F, untuk I={u1ua , u2ub∨a=2 , 3 ,4 ;b=1 ,2 ,3 ,4 }.

b. Misalkan u1 dan u3 terkait dengan sisi I , artinya sisi I={u1 ua , u3ub|a=2 ,3 , 4 ;b=1 ,2 ,3 ,4 }. Sisi yang berwarna merah adalah sisi u2 u3 .

Gambar 25. Pewarnaan pada graf F, untuk I={u1ua , u3 ub∨a=2 ,3 , 4 ;b=1 ,2 , 3 , 4 }.

Pewarnaan serupa juga diberikan ketika I terkait dengan pasangan titik u1 dan u4.

Gambar 26. Pewarnaan pada graf F, untuk I={u1ua , u4 ub∨a=2 ,3 , 4 ;b=1 , 2 ,3 , 4 }.

Begitupun ketika I terkait dengan pasangan titik u3 dan u4

Gambar 27. Pewarnaan pada graf F, untuk I={u3ua , u4 ub∨a=2 ,3 , 4 ;b=1 , 2 ,3 , 4 }.

c. Misalkan u2 dan u3 terkait dengan sisi I , artinya sisi I={u2ua , u3 ub∨a ,b=1 , 2, 3 , 4 }. Untuk a ,b∈ {1,4 }, sisi yang berwarna merah adalah sisi v2v3

Gambar 28. Pewarnaan pada graf F, apabila sisi di I terkait denga titik u2 dan u3 tapi tidak terkait dengan v2.

Untuk a , b∈ {1 , 2 ,3 , 4 } ,dimana a ≠ 1↮: b=4, sisi yang berwarna merah adalah kedua sisi I dan salah satu dua sisi penghubung (u1 v1 atau u4 v4) yang saling lepas dengan sisi I .

Gambar 29. Pewarnaan pada graf F, untuk a , b∈ {1 , 2 ,3 , 4 } ,dimana a ≠ 1↮: b=4.

d. Misalkan u2 dan u4 terkait dengan sisi I , artinya sisi I={u2 ua , u4 ub|a=1 ,2, 3 ,4 ; b=1 ,2 ,3 }. Sisi yang berwarna merah adalah sisi u3 u4 dan sisi di I yang terkait dengan u2.

Gambar 30. Pewarnaan pada graf F, untuk I={u2ua , u4 ub∨a=1,2 , 3 , 4 ;b=1 ,2 , 3 }.

3. Struktur ketiga, dimana sisi u2 u4∈E (F−I ).

Karena I hanya terdiri dari 2 sisi, maka hanya dua titik di antara u1 ,u2 , u3 , atau u4 yang terkait dengan sisi I .

a. Misalkan kedua sisi I masing – masing terkait dengan u1 dan u2 ,maka sisi I={u1ua , u2ub∨a=2 ,3 , 4 ;b=1 ,2 , 3 , 4 }. Sisi yang berwarna merah adalah sisi u2 u3.

Gambar 31. Pewarnaan pada graf F, untuk I={u1ua , u2ub∨a=2 , 3 ,4 ;b=1 ,2 ,3 ,4 }.

Pewarnaan serupa juga diberikan ketika kedua sisi I masing – masing terkait dengan titik u1 dan u4,

Gambar 32. Pewarnaan pada graf F, untuk I={u1ua , u2ub∨a=2 , 3 ,4 ;b=1 ,2 ,3 ,4 }.

atau ketika masing – masing terkait dengan titik u2danu4

Gambar 33. Pewarnaan pada graf F, untuk I={u2ua , u4 ub∨a=1,2 , 3 , 4 ;b=1 ,2 , 3 }.

b. Misalkan kedua sisi I masing – masing terkait dengan u1 dan u3, artinya sisi I={u1 ua , u3ub|a=2 ,3 , 4 ;b=1 ,2 ,3 ,4 } . Sisi yang berwarna merah adalah sisi u1 u2 dan

sisi I yang terkait dengan titik u3.

Gambar 34. Pewarnaan pada graf F , untuk I={u1ua , u3 ub∨a=2 , 3 , 4 ;b=1 ,2 , 3 ,4 }.

c. Misalkan kedua sisi I masing – masing terkait dengan u2 dan u3 ,artinya sisi I={u2ua , u3 ub∨a=2 , 3 ,4 ;b=1 ,2 , 3 , 4 }. Sisi yang berwarna merah adalah salah satu sisi penghubung (u1 v1 atau u4 v4) yang saling bebas dengan sisi I .

Gambar 35. Pewarnaan pada graf F, untuk I={u2ua , u3 ub∨a=2 ,3 , 4 ;b=1 ,2 , 3 , 4 }.d. Jika kedua sisi I masing – masing terkait dengan u3 dan u4,maka sisi

I={u3 ua , u4 ub|a=2 ,3 ,4 ;b=1 ,2 ,3 , 4 } . Untuk a , b∈ {1,4 }, sisi yang berwarna merah adalah sisi v2v3

Gambar 36. Pewarnaan pada graf F, untuk I={u3ua , u4 ub∨a=2 ,3 , 4 ;b=1 , 2 ,3 , 4 }.

Untuk a , b∈ {1 , 2 ,3 , 4 } ,dimana a≠ 1↮: b=4, sisi yang berwarna merah adalah kedua sisi I dan salah satu dari dua sisi penghubung yang saling bebas dengan sisi di I .

Gambar 37. Pewarnaan pada graf F, dimana kedua I masing – masing terkait dengan titik u1 dan u4

- Jika banyak sisi di I adalah |I|≤1, maka |E ( F−I )|≥ 13. Struktur subbgraf F−I adalah sebagai berikut :

Gambar 38. Subgraf F−I untuk |I|≤1Sisi yang berwrarna merah adalah kedua sisi penghubung yaitu sisi u1 v1 dan sisi u4 v4.

Gambar 39. Pewarnaan pada graf F, dimana |I|≤1

Kasus II: m=3 dan n=5. F adalah graf yang memuat dua siklus C3 dan C5 yang saling bebas. Kedua siklus ini kemudian dipisahkan oleh himpunan sisi pemisah I yang sisi – sisinya berwarna merah. Misalkan dua siklus C4 tersebut memiliki urutan titik masing – masing u1 ,u2, u3 , u4 dan v1 , v2 , v3 , v4. Agar kedua siklus ini terhubung dan membentuk C8biru, maka ditambahkan dua sisi yang saling lepas yang menghubungkan dua titik bertetangga di salah satu siklus ke dua titik bertetangga di siklus lainnya. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan dua sisi tersebut adalah u1 v1

dan u3 v5 yang selanjutnya disebut sebagai sisi penghubung. Akan ditunjukkan suatu pewarnaan lain yang mengakibatkan F tidak memuat subgraf P3 merah maupun C8 biru.

Misalkan himpunan sisi I={u1ua , u2ub ,u3 uc∨a=2 , 3 , 4 , 5 ;b=1,2 , …,5 ; c=1, 2 , 3,4 }.

- Jika banyak sisi di I adalah 3, maka |E ( F−I )|=11. Struktur subbgraf F−I adalah sebagai berikut :

Gambar 40. Subgraf F−I , untuk |I|=31. Struktur F−I yang pertama, dimana sisi v1 v3∈E ( F−I )

Pada struktur F−I ini, titik v2 dan v4 hanya berderajar 2.

a. Untuk a ,b , c ≠2 atau a , b , c ≠ 4, maka v2 dan v4 pada graf F tetap berderajat 2. Sisi yang diberi warna merah adalah salah satu sisi yang terkait pada v2 atau v4.

Gambar 41. Pewarnaan pada graf F, untuk struktur F−I yang pertama, dan I tidak terkait dengan titik u2 atau u4

b. Untuk a ,b∈ {2 ,4 , 5 } dan b∈ {2 , 4 }, sisi yang diberi warna merah adalah sisi v1 v5 , v3 v4 dan sisi di I yang terkait dengan v2.

Gambar 42. Pewarnaan pada graf F , untuk struktur F−I yang pertama, dan I terkait di v2, v4, dan v5.

Begitupun untuk a={2,4 } dan b , c∈{1 , 2 , 4 }.

Gambar 43. Pewarnaan pada graf F, untuk struktur F−I yang pertama, dan I terkait di v1 , v2, dan v4

c. Untuk a ,b , c∈{2,3,4 }, maka setiap pewarnaannya ada pada gambar berikut:

Gambar 44. Pewarnaan pada graf F, untuk struktur F−I yang pertama dan I terkait di v2

, v3, dan v4.2. Struktur F−I yang kedua, dimana sisi v2v 4∈ E (F−I )

Pada struktur F−I ini, titik v3 hanya berderajat 2.

a. Untuk a ,b , c ≠3 ,maka titik v2 pada graf F tetap berderajat 2. Sisi yang diberi warna merah adalah salah satu sisi yang terkait dengan titik v3.

Gambar 45. Pewarnaan pada graf F, untuk I tidak terkait di v3

b. Untuk a ,b , c ≠2 dan a , b , c ≠ 4, sisi yang berwarna merah adalah sisi v1 v2 , v4 v5 , dan sisi di I yang terkait dengan v3.

Gambar 46. Pewarnaan pada graf F, untuk I tidak terkait di v2 dan v4

c. Untuk a={2,3 } dan b , c∈{1 , 2 ,3 }, sisi yang berwarna merah adalah sisi v4 v5 dan dua sisi di I yang masing – masing terkait dengan v2 dan v3.

Gambar 47. Pewarnaan pada graf F, untuk I terkait di v1, v2, dan v3

Pewarnaan serupa juga berlaku untuk a ,b∈ {2,3,5 } dan c∈{2,3 }

Gambar 48. Pewarnaan pada graf F, untuk I terkait di v2, v3, dan v5

d. Untuk a ,b∈ {3,4,5 } dan c∈ {3,4 }, sisi yang berwarna merah adalah sisi v1 v2 dan dua sisi di I yang masing – masing terkait dengan v3 dan v4.

Gambar 49. Pewarnaan pada graf F, untuk I terkait di v3, v4, dan v5

Sama halnya ketika a={3,4 } dan b , c∈{1,3,4 }.

Gambar 50. Pewarnaan pada graf F, untuk I terkait di v1, v3, dan v4

3. Struktur F−I yang ketiga, dimana sisi v1 v 4∈ E (F−I )

Pada struktur F−I ini, titik v2 dan v3 hanya berderahat 2.

a. Untuk a ,b , c ≠2 atau a , b , c ≠3, maka titik v2 dan v3 tetap berderajat 2. Sisi yang diberi warna merah adalah salah satu sisi yang terkait dengan titik v2 atau v3.

Gambar 51. Pewarnaan pada graf F, untuk I tidak terkait di v2 atau v3

b. Untuk a∈ {2,3 } dan b , c∈{1,2,3 } sisi yang diberi warna merah adalah sisi v2v 4 dan dua sisi di I yang masing – masing terkait degan v2dan v3.

Gambar 52. Pewarnaan pada graf F, untuk I terkait di v1, v2, dan v3

Pewarnaan serupa untuk a , b∈ {2 ,3 ,5 } dan c∈{2 , 3 }

Gambar 53. Pewarnaan pada graf F, untuk I terkait di v2, v3, dan v5

- Jika banyak sisi di I adalah 2, maka |E ( F−I )|=12. Struktur subgraf F−I adalah sebagai berikut :

Gambar 54. Subgraf F−I , untuk |I|=2Pada subgraf F−I , titik u2, jika dua sisi di F−I tidak ada yang terkait dengan u2 , maka

diperoleh δ (F )=deg (u2 )=2. Pewarnaan dilakukan dengan mewarnai salah satu sisi yang terkait

dengan titik u2.

Gambar 55. Pewarnaan pada graf F, untuk I tidak terkait di u2

Jika salah satu dari sisi I terkait dengan titik u2 , maka pewarnaan dilakukan dengan mewarnai merah kedua sisi I dan salah satu sisi penghubung (u1 v1 atau u3 v5) yang saling bebas dengan sisi di I .

Gambar 56. Pewarnaan pada graf F, untuk I terkait di u2

- Jika banyak sisi di I adalah 1, maka |E ( F−I )|=13. Struktur subgraf F−I adalah sebagai berikut :

Gambar 57. Subgraf F−I , untuk |I|=1Dengan mewarnai kedua sisi penghubung u1 v1 dan u3 v5 dengan warna merah, F hanya memuat

subgraf biru yang memuat jembatan, yaitu satu sisi I . Artinya F →: ( P3 , C8 ) .

Gambar 58. Pewarnaan pada graf F, untuk |I|=1- Jika banyak sisi di I adalah 0, maka |E ( F−I )|=14. Struktur subgraf F−I adalah sebagai

berikut :

Gambar 59. Subgraf F−I ,untuk |I|=0

Pada struktur seperti ini, sisi yang diberi warna merah adalah kedua sisi penghubung u1 v1 dan u3 v5. Dengan begitu subgraf biru di F menjadi tidak terhubung dan tidak memuat C8.

Gambar 60. Pewarnaan pada graf F, untuk |I|=0

Untuk sembarang graf F yang tidak terhubung, sangat mudah ditunjukkan suatu pewarnaan yang menunjukkan →: (P3 , C8) karena komponen terbesar dari graf tidak terhubung tentu tiddak lebih besar dari graf terhubung pada ukuran yang sama. Karena pada sembarang graf F berukuran 14 selalu dapat ditunjukkan F →: (P3 , C8) maka diperoleh batas bawah r̂ ( P3 ,C8 ) ≥15. Sehingga terbukti r̂ ( P3 ,C8 )=15.

Cymann dan Dzido (2017) memperoleh r¿ ( P3 ,C8 )=14 dengan mengkonstruksi suatu graf F yang

berukuran |E (F )|=14 dan berorde |V (F )|=R(P3 , C8)=8 seperti pada gambar berikut:

Sumber: Cymann dan Dzido. 2017

Gambar 61. Graf F pada penelitian Cymann dan Dzido (2017) untuk menentukan r¿ ( P3 ,C8 ).

Padahal terdapat suatu pewarnaan sehingga graf tersebut tidak memuat P3 merah maupun C8 biru. Pewarnaan tersebut didapatkan dengan mewarnai sisi u1 u5 ,u2u4 ,dan u3 u7 dengan warna merah dan sisi yang lain berwarna biru.

Gambar 62. (a) Pewarnaan pada F yang mengakibatkan F →: (P3 ,C8). (b) Pewarnaan pada F1 yang merupakan salah satu graf di Gambar 18 yang isomorfik dengan F.

Isomorfisme untuk graf tersebut adalah pemetaan φ :V ( F )→ V ( F1 ) , yang didefinisikan dengan φ (u i)=vi, i=1 , 2 ,…, 8.

Teorema 3. Untuk bilangan genap n ≥ 10 ,berlaku

3 n2

+2≤ r̂ ( P3, Cn )≤ { 2n−1 ,∧n=102n−2 ,∧n ≥ 12 , dann genap

Bukti:

Pada penelitian yang dilakukan oleh Silaban, dkk. (2015), diperoleh batas atas unutk bilangan Ramsey sisi terbatas r¿ ( P3 , Cn ) ≤ 2 n−1, untuk n ≥ 8 dan n genap. Sedangkan Cymann dan Dzido memperoleh

batas bawh yang lebih kecil untuk n ≥ 12 dan n genap yaitu r¿ ( P3 , Cn ) ≤ 2 n−1. Karena berlaku

r̂ (G , H )≤ r¿(G , H ) maka untuk pasangan graf lintasan P3 dan siklus Cn diperoleh

r̂ (P3 ,Cn)≤{ 2n−1 ,∧n=102 n−2 ,∧n≥ 12 , dan ngenap

Selanjuntnya untuk membuktikan bahwa 3 n2

+2 adalah batas bawah untuk r̂ (P3 , Cn), akan

ditunjukkan bawha setiap pewarnaan pada sembarag graf F berukuran 3 n2

+1, berlaku F →: (P3 , Cn)

. Pembuktian akan dilangsungkan pada sembarang graf yang memuat siklus terbesar C k , dimana

n≤ k ≤ 3n2

+1.

Misalkan himpunan sisi E ( F )=E1∪E2 ,dimana E1 adalah himpunan sisi yang membentuk sikus

terbesar C k⊆F sedangkan E2 adalah himpunan sisi E(F−C k ). Oleh karena itu, |E1|=¿ E (C k )∨¿k

dan |E2|=|E ( F−C k )|=( 3 n2

+1)−k. Perbandingan kardinalitas keduanya dapat dilihat pada tabel

berikut:

Tabel 2. Perbandingan banyak sisi di E1 dan banyak sisi di E2

Kardinalitas E1 Kardinalitas E2

3n2

+1 0

3 n2 1

3 n2

−1 2

.

.

.

.

.

.

n+2 n2−1

n+1 n2

n n2+1

- Untuk n+2≤ k ≤ 3 n2

+1 dan |V (F )|=k , banyaknya sisi di E2 adalah ( 3 n2

+1)−k. Jika E2

adalah matching, maka Δ (F )=3 dan banyaknya titik yang berderajat 3 adalah sebanyak

2 ×(3 n2

+1−k)=3n+2−2k titik. Karena n+2 ≤ k ≤ 3n2

+1, maka banyaknya titik yang

berderajat 3 adalah paling banyak n−2 titik. Ketika setiap sisi yang saling lepas diberi warna merah untuk menghindari P3 merah, maka setiap titik akan terkait dengan paling banyak 1 sisi merah dan paling banyak n−2 titik terkait dengan dua sisi biru, sedangkan titik yang lain hanya terkait dengan paling banyak 1 sisi biru. Dengan begitu dipastikan bahwa F tidak memuat subgraf Cn biru. Jika tidak setiap sisi di E2 saling bebas, maka Δ (F ) ≥ 4 dan δ (F ) ≤2 , sehingga kemungkinan untuk memperoleeh C 8 biru semaki kecil.

- Untuk k=n+1 dan |V (F )|=k , banyaknya sisi di E2 adalah n2 . Jika E2 adalah matching,

maka banyaknya titik di F yang terkait dengan E2 adalah sebanyak 2×(n2 )=n titik.

Artinya ada satu titik yang hanya berderajat 2, seddangkan n titik lainnya berderajat 3. Banyak sisi yang dapat diwarnai merah untuk F yang memuat siklus terbesar Cn+1 adalah n2 sisi sedangkan yang berwarna biru adalah n+1 sisi. Terdapat satu titik yang tidak terkait

dengan sisi merah, katakanlah titik tersebut adalah u0. Sedangkan n titik lainnya masing – masing terkait dengan satu sisi merah. Subgraf biru F terdiri dari n+1 titik dan n+1sisi. Jika F memuat subgraf biru Cn, maka subgraf biru terdiri dari 1 titik berderajat 3, n−1 titik berderajat 2, dan satu titik berderajat 1. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar berikut:

-Gambar 63. Struktur subgraf biru yang memungkinkan memuat Cn.

Jika u0 adalah titik berderajat 2, maka subgraf biru pada F terdiri dari (n+1) titik berderajat 2. Sedangkan jika u0 adalah titik yang berderajat 3, maka subgraf biru pada F terdiri dari satu titik berderajat 3 dan n titik yang berderajat 2. Komposisi derajat titik dari subgraf biru yang diperoleh menunjukkan subgraf biru tersebut tidak memuat Cn biru.

- Untuk F memuat siklus terbesar Cn dan |V ( F )|=n, dapat dilihat bahwa |E2|=n2+1.

Karena |V ( F )|=n, maka terdapat paling sedikit dua sisi di E2 yang terkait dengan satu titik yang sama. Dengan begitu, diperoleh paling sedikit dua titik berderajat 4 dan Δ (F ) ≥ 4. Jika terdapat lebih dari dua titik berderajat 4 atau Δ (F ) ≥5, maka terdapat titik yang

berderajat 2, katakanlah u0. Pewarnaan yang dilakukan adalah dengan mewarnai salah satu sisi yang terkait dengan u0. Dengan begitu titik u0 hanya mengikat satu sisi biru yang artinya F tidak memuat Cn.

Jika hanya terdapat dua titik berderajat 4 dan Δ (F )=4, maka F adalah graf yang terdiri dari 2 titik yang bertetangga dan berderajat 4 dan n−2 titik berderajat 3. Misalkan e adalah sisi yang menghubungkan dua titik yang berderajat 4. Artinya F−e adalah graf 3-reguler. Pada graf 3-reguler, selalu dapat ditemukan suatu himpunan sisi pemisah sedemikian sehingga membagi graf tersebut (yaitu F−e ¿ menjadi dua bagian yang saling lepas dan masing – masing memuat siklus (Silaban dkk., 2015). Untuk menghubungkan dua bagian ini agar membentuk siklus Cn, dibutuhkan paling sedikit dua sisi. Sedangkan hanya tersisa satu sisi yaitu sisi e. Artinya dengan banyak sisi 3 n2

+1, dapat diperoleh pewarnaan pada F sehingga tidak memuat P3 merah maupun

Cn biru

Telah ditunjukkan bahwa pada sembarang graf F berukuran 3n2

+1 , berlaku F →: (P3 ,Cn) untuk

n ≥ 10 dan n genap. Oleh karena itu terbukti bahwa 3 n2

+2 adalah sebagai batas bawah untuk

r̂ (P3 ,C n).

3. Kesimpulan

Nilai eksak bilangan Ramsey sisi untuk graf lintasan berorde tiga terhadap graf siklus berorde tujuh r̂ (P3 , C7) adalah 13 sedangkan bilangan Ramsey sisi untuk graf lintasan berorde tiga terhadap graf siklus berorde delapan r̂ (P3 , C8) adalah 15. Adapun untuk siklus yang berorde lebih tinggi yaitu r̂ (P3 , Cn) untuk bilangan genap n lebih besar atau sama dengan 10 diperoleh batas

interval: yaitu berada pada interval 3 n2

+2 sampai 2n−1 ,untuk n sama dengan 10, dan berada pada

interval 3 n2

+2 sampai 2 n−2 untuk bilangan genap n lebih besar dari 10.

Daftar Pustaka

[1] Cymann, J., Dzido T. 2017. Restricted Size Ramsey Number for P3 versus Cycles. The

Electronical Journal of Combinatorics

[2] Faudree, R. J., Lawrence, S.L., Parsons, T. D., Schelp, R. H. 1974. Path-Cycle Ramsey

Numbers. Discrete Mathematics 10. 269 – 277

[3] Imron, C., Baskoro, E. T. 2006. Bilangan Ramsey Sisi dari r̂ ( P3 ,Pn) . The Electronic

Journal

[4] Silaban, D. R., Baskoro, E.T., Utunggadewa, S. 2015. On the Restricted Size Number

for P3 versus Cn. Procedia Computer Science 74. 21 – 26.

[5] Triyani. 2006. Bilangan Ramsey Sisi Kombinasi Path dan Sikel. Dipresentasikan

dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2006