MAKALAH RESUME SEISMOLOGI

“Introduction of Wavelet”

Dosen Pengampu: Sukir Maryanto, Ph. D.

Disusun Oleh:

Rendi Pradila Hab Sari (115090700111016)

PRODI GEOFISIKA-JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

2013

KATA PENGANTAR

Assalamualaikum Warrahmatullahi Wabarrokatuh.

Puji syukur kita panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat serta

hidayahnya sehingga Makalah tentang “Introduction of Wavelet” ini dapat Penulis selesaikan

sesuai dengan jadwal yang telah ditentukan. Shalawat serta salam semoga senantiasa tercurahkan

kepada junjungan kita, Nabi Muhammad SAW, sebaik-baik hamba Allah, pemimpin orang yang

bertakwa, dan pemilik kasih sayang di antara manusia. Shalawat dan salam semoga tercurah pula

pada segenap keluarganya, para sahabatnya, dan pengikut setianya sampai akhir jaman.

Makalah ini adalah makalah yang disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Seismologi

oleh mahasiswa prodi Geofisika jurusan Fisika FMIPA Universitas Brawijaya dengan dosen

pengampu bapak Sukir Maryanto, Ph. D. Didalamnya membahas tentang pengenalan wavelet

dalam metode seismik yang diambil dari presentasi Barak Hurwitz berjudul sama yang

disampaikan pada seminar Wavelet bersama Dr’ Hagit Hal-or. Selain itu beberapa kutipan,

kami ambil pula dari beberapa jurnal dan makalah. Semoga dengan hadirnya makalah resume ini

dapat memberikan manfaat serta syafa’at bagi siapapun yang membacanya. Aamiin.

Malang, 20 Desember 2013

Penulis

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Analisis Fourier adalah analisis gelombang yang mengekspansikan sinyal atau fungsi ke

dalam gelombang sinus (atau exponensial kompleks, yang ekivalen) yang terbukti sangat

berharga dalam metematika, sains dan teknik, terutama untuk fenomena periodik, tak gayut

waktu, atau stasioner. Seperti halnya Transformasi Fourier, Transformasi Wavelet digunakan

juga untuk menganalisis sinyal ataupun data. Transformasi Wavelet (TW) adalah suatu alat untuk

memilah-milah data, fungsi atau operator ke dalam komponen frekuensi yang berbeda-beda,

kemudian mempelajari setiap komponen dengan suatu resolusi yang cocok dengan skalanya.

Dalam beberapa dekade terakhir, perkembangan transformasi wavelet banyak digunakan

untuk aplikasi nyata karena mampu menggambarkan proses nonstasioner secara lebih baik. Jika

dibandingkan dengan transformasi fourier, penggunaan wavelet jauh lebih sederhana, karena

wavelet mampu menganalisis data stasioner maupun nonstasioner. Tranformasi wavelet

merupakan perbaikan dari transformasi Fourier. Transformasi Fourier hanya dapat menangkap

informasi apakah suatu sinyal memiliki frekuensi tertentu ataukah tidak, tapi tidak dapat

menangkap dimana frekuensi itu terjadi. Sebagai ilustrasi seperti pada konser musik.

Trasformasi 2 Fourier hanya bisa mengatakan apakah suatu ‘nada’ tertentu muncul, tapi tidak

dapat mengatakan kapan nada itu muncul dan berapa kali.

Dalam analisis data yang nonstasioner, transformasi fourier kehilangan lokalisasi pada

domain waktu. Analisis dari sinyal seperti itu mungkin dilakukan dengan penggeseran data.

Kekurangan dari pendekatan itu adalah kompleksitas komputasi pada algoritma dekomposisi

(Zaharov dan Fausto, 2002). Jika Transformasi Fourier hanya memberikan informasi tentang

frekuensi suatu sinyal, maka transformasi wavelet memberikan informasi tentang kombinasi

skala dan frekuensi. Selain itu, Transformasi Fourier berdasarkan pada basis sin-cos yang

bersifat periodik dan kontinu, sehingga sulit bagi kita jika ingin melakukan perubahan hanya

pada posisi tertentu (pasti akan mempengaruhi posisi-posisi lainnya)

Keuntungan menggunakan metode wavelet adalah secara otomatis memisahkan tren dari

data dan menunjukkan komponen musiman datanya. Hal tersebut yang membedakannya dengan

metode transformasi fourier yang tidak bisa menganalisis frekuensi dan waktu secara bersamaan.

Dalam makalah ini akan dibahas mengenai pengertian wavelet secara umum, kemudian juga

akan diperkenalkan transformasi wavelet, dekomposisi wavelet serta cara menganalisisnya untuk

wavelet 1D. sementara untuk 2D akan diperkenalkan piramida wavelet.

1.2 Rumusan Masalah

Dari makalah ini, rumusan masalah yang akan dibahas antara lain:

a) Apa yang dimaksud dengan wavelet?

b) Apa yang dimaksud dengan transformasi wavelet? Kenapa kita harus menggunakan

transformasi wavelet?

c) Apa komponen dasar dari wavelet?

d) Apa contoh dari wavelet?

e) Apa keuntungan menggunakan transformasi wavelet?

1.3 Tujuan

Tujuan dibuatnya makalah ini adalah untuk mengenalkan pembaca pada wavelet,

bagaimana transformasi, analisis dan dekomposisinya, keuntungannya dan contoh aplikasinya.

1.4 Manfaat

Setelah membaca makalah ini diharapkan pembaca dapat mengetahui tentang pengertian

wavelet, transformasi, analisis dan dekomposisinya, keuntungannya dan contoh aplikasinya.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Transformasi Fourier

Bagaimana transformasi Fourier bekerja? Transformasi Fourier mendekomposisi sinyal

ke bentuk fungsi eksponensial dari frekuensi yang berbeda-beda. Caranya adalah dengan

didefinisikan ke dalam dua persamaan berikut:

Dalam persamaan tersebut, t adalah waktu dan f adalah frekuensi. x merupakan notasi

sinyal dalam ruang waktu dan X adalah notasi untuk sinyal dalam domain frekuensi.

Persamaan (1) disebut Transformasi Fourier dari x(t) sedangkan persamaan (2) disebut Invers

Transformasi Fourier dari X(f), yakni x(t). Persamaan (1) dapat juga ditulis sebagai :

Cos(2_ft)+jSin(2_ft).........................................(3)

Transformasi Fourier dapat menangkap informasi apakah suatu sinyal memiliki

frekuensi tertentu ataukah tidak, tapi tidak dapat menangkap dimana frekuensi itu terjadi.

Gambar 0. Noise yang muncul pada spektrum Fourier

Misalnya kita punya dua sinyal yang berbeda. Misalkan pula keduanya mempunyai

komponen spektral yang sama. Katakan sinyal pertama mempunyai 4 frekuensi muncul

bersamaan, dan yang satu lagi mempunyai 4 frekuensi muncul bergantian. Transformasi

Fourier keduanya sama sebagaimana ditunjukkan pada gambar 1 dan gambar 2. Contoh: 4

frekuensi pada sinyal muncul Transformasi Fouriernya bersamaan.

Dari sini dapat dilihat bahwa Transformasi fourier tidak sesuai bila digunakan terhadap sinyal

yang non stasioner. (Krisnawati, tanpa tahun)

2.2 Wavelet

Istilah wavelet pertama kali digunakan tahun 1909 yang tertulis dalam thesis milik

Alfred Haar. Bentuk teoritis wavelet dikemukakan oleh Jean Morlet (dkk) di Marseille

Theoretical Physics Center.

Wavelet merupakan fungsi basis yang diisolasi dengan mengacu pada lokasi spasial

atau waktu, dan frekuensi atau angka gelombang. Setiap wavelet memiliki karakteristik

lokasi dan skala (Arobone, tanpa tahun). Basis wavelet berasal dari sebuah fungsi penskalaan

atau dikatakan juga sebuah scaling function. Scaling function memiliki sifat yaitu dapat

disusun dari sejumlah salinan dirinya yang telah didilasikan, ditranslasikan dan diskalakan.

Menurut Sydney (1998), Wavelet merupakan gelombang mini (small wave) yang mempunyai

kemampuan mengelompokkan energi citra dan terkonsentrasi pada sekelompok kecil

koefisien, sedangkan kelompok koefisien lainnya hanya mengan-dung sedikit energi yang

dapat dihilangkan tanpa mengurangi nilai informasinya. (dari Sutarno, 2010)

Wavelet dibagi menjadi 2 berdasarkan ruang dan waktu yaitu wavelet 1D (Waktu) dan

2D (Ruang). Pengertian waktu di sini adalah untuk gelombang 1D, kita memulai point

shifting dari sumber menuju akhir, sedangkan pengertian ruang di dalam wavelet 2D, point

shifting-nya 2 dimensi.

A) Wavelet Families

Wavelet merupakan keluarga fungsi yang dihasilkan oleh wavelet basis y(x)

disebut mother wavelet. Dua operasi utama yang mendasari wavelet adalah:

1) penggeseran, misalnya y(x-1), y(x-2), y(x-b), dan

2) penyekalaan, misalnya y(2x), y(4x) dan y(2jx).

Kombinasi kedua operasi inilah menghasilkan keluarga wavelet. Secara umum, keluarga

wavelet sering dinyatakan dengan formula:

dengan:

a,b Î R; a _ 0 (R = bilangan nyata),

a adalah paremeter penyekalaan (dilatasi),

b adalah perameter penggeseran posisi (translasi) pada sumbu x, dan a adalah normalisasi

energi yang sama dengan energy induk. Wavelet induk diskalakan dan digeser melalui

pemisahan menurut frekuensi menjadi sejumlah sub-sub bagian. Untuk mendapatkan

sinyal kembali dilakukan proses rekonstruksi wavelet. Beberapa contoh keluarga wavelet

adalah Haar, Daubechies, Symlets, Coiflets, dan lain sebagainya (Lihat gb. 3). (sutarno,

2010)

Gambar 3 Contoh keluarga wavelet

Ciri-ciri Wavelet Haar memiliki scaling function dengan koefisien c0 = c1 = 1.

Sedangkan Wavelet Daubechies dengan 4 koefisien (DB4) memiliki scaling function

dengan koefisien c0 = (1+√3)/4, c1 = (3+√3)/4, c2 = (3-√3)/4, c3 = (1-√3)/4.

Bagian dari keluarga wavelet ini adalah Mother wavelet, Father wavelet dan

Daughter wavelet. Father wavelet merupakan sebuah fungsi skala, mother wavelet

merupakan fungsi dari wavelet itu sendiri sedangkan daughter wavelet merupakan

turunan dari mother wavelet. Secara umum father wavelet dinyatakan sebagai:

Dari persamaan father wavelet tersebut, wavelet yang pertama (mother wavelet)

dapat dibentuk sebagai persamaan:

Dari persamaan di atas, dapat dibentuk wavelet berikutnya, dan

seterusnya) dengan cara memampatkan dan meregangkan serta menggeser-geser mother

wavelet.

B) Wavelet Transform

Transformasi merupakan proses pengubahan data atau sinyal ke dalam bentuk lain

agar lebih mudah dianalisis, seperti transformasi fourier yang mengubah sinyal ke dalam

beberapa gelombang sinus atau cosinus dengan frekuensi yang berbeda, sedangkan

transformasi wavelet (wavelet transform) mengubah sinyal ke dalam berbagai bentuk

wavelet basis (mother wavelet) dengan berbagai pergeseran dan penyekalaan (Kadir,

1998 dari Sutarno, 2010).

Transformasi wavelet merupakan pengubahan sinyal ke dalam berbagai wavelet

basis dengan berbagai pergeseran dan penyekalaan, oleh karena itu koefisien wavelet dari

beberapa skala atau resolusi dapat dihitung dari koefisien wavelet pada resolusi tinggi

berikutnya. Hal ini memungkinkan mengimplementasikan transformasi wavelet

menggunakan struktur pohon yang dikenal sebagai algoritma pyramid (pyramid

algorithm).

Transformasi wavelet merupakan suatu proses pengubahan data dalam bentuk lain

agar lebih mudah dianalisis. Proses transformasi wavelet dapat dilakukan dengan

konvolusi atau dengan proses pererataan dan pengurangan secara berulang. Proses ini

banyak digunakan pada proses dekomposisi, deteksi, pengenalan (recognition),

pengambilan kembali citra (image retrieval), dan lainnya yang masih dalam penelitian

(Zhang dkk., 2004 dari Sutarno, 2010).

Ada berbagai jenis transformasi wavelet, akan tetapi pada bagian ini lebih

menitikberatkan pada transformasi diantaranya Continyu Wavelet Transform dan

transformasi Discrete Wavelet Transform (DWT) 1-dimensi (1-D), dan transformasi

wavelet 2-dimensi (2-D). Transformasi wavelet 1-D membagi sinyal menjadi dua bagian,

frekuensi tinggi dan frekuensi rendah berturut-turut dengan tapis lolos-rendah (low-pass

filter) dan tapis lolostinggi (high-pass filter). Frekuensi rendah dibagi kembali menjadi

frekuensi tinggi dan rendah. Proses diulang sampai sinyal tidak dapat didekomposisi lagi

atau sampai pada level yang memungkinkan. Sinyal asli dapat dipulihkan kembali

melalui rekonstruksi dari sinyal yang telah didekomposisi dengan menerapkan Inverse

Discrete Wavelet Transform (IDWT). (sutarno, 2010)

a) CWT (Continu Wavelet Transform)

Cara kerja transformasi ini adalah dengan menghitung konvolusi sebuah sinyal

dengan sebuah jendela modulasi pada setiap waktu dengan tiap skala yang

diinginkan. Jendela modulasi yang mempunyai skala fleksibel inilah yang biasa

disebut induk wavelet atau fungsi dasar wavelet. (Reza, 2013)

Untuk langkah-langkah transformasinya dapat diperlihatkan pada gambar (4) di

bawah ini.

Gambar 4 langkah-langkah transformasi wavelet kontinyu (CWT)

Pada CWT, skala dan frekuensi yang lebih tinggi berkorespondensi dengan

wavelet yang paling renggang. Wavelet yang lebih renggang merupakan sinyal

kasaran utama yang diukur oleh koefisien wavelet (Gambar 5). (Hurwitz, tanpa

tahun)

Gambar 5. Hubungan tinggi rendahnya skala dengan frekuensi

Pada gambar 5 diatas, diketahui bahwa: untuk skala rendah, sinyal wavelet

mengalami pemampatan dan dia berkorespondensi dengan frekuensi yang tinggi,

sedangkan untuk skala tinggi, perubahannya kasar dan lambat sebagai bukti dia

berkorespondensi dengan frekuensi yang rendah.

b) DWT (Discrete Wavelet Transform)

Discrete Wavelet Transform (DWT) adalah salah satu transformasi wavelet yang

merepresentasikan sinyal dalam domain waktu dan frekuensi. DWT memiliki

keunggulan di antaranya mudah diimplementasikan dan efisien dalam hal waktu

komputasi. Analisis sinyal dengan DWT dilakukan pada frekuensi yang berbeda

dengan resolusi yang berbeda pula dengan mendekomposisi sinyal menjadi

komponen detail dan komponen aproksimasi. Pada transformasi ini terjadi filterisasi

dan down sampling, yaitu pengurangan koefesien pada fungsi genap (Gambar 6).

(a) (b)

Gambar 6 (a) Komponen aproksimasi (Skala tinggi, komponen sinyal ber-frekuensi

rendah (LPF)), komponen Detail (Skala rendah, frekuensi tinggi (HPF). (b) Proses

filterisasi dan down sampling.

Dibandingkan dengan CWT, transformasi DWT dianggap relatif lebih mudah

pengimplementasiannya. Prinsip dasar dari DWT adalah bagaimana cara

mendapatkan representasi waktu dan skala dari sebuah sinyal menggunakan tekhnik

pemfilteran digital dan operasi sub-sampling (Reza, 2013). DWT biasanya digunakan

untuk menghitung koefisien wavelet di segala skala yang memungkinkan. DWT ini

juga menghasilkan jumlah data yang sangat besar. Untuk menaksirkan sinyal hasil

transformasi ini dibentuk filter Low Pass dan High Pass. Keluaran dari High-pass dan

Low-pass ini bisa dilihat pada bentuk persamaan di bawah ini:

Prosesnya adalah sebagai berikut: Pada tahap pertama, sinyal (S) dilewatkan pada

rangkaian high pass filter dan low pass filter, kemudian setengah dari masing-masing

keluaran diambil sebagai sampel melalui operasi sub-sampling. Proses ini disebut

sebagai proses dekomposisi satu tingkat. Keluaran dari low pass filter digunakan

sebagai masukan diproses dekomposisi tingkat berikutnya. Proses ini diulang sampai

tingkat proses dekomposisi yang diinginkan. Gabungan dari keluaran-keluaran high

pass filter dan low pass yang terakhir, disebut sebagai koefisien wavelet, yang berisi

informasi sinyal hasil transformasi yang telah terkompresi (Gambar 7).

Gambar 7. Proses Multi-level decomposition

Pada transformasi DWT terdapat proses pengembalian kembali komponen-

komponen yang telah kita gunakan. Invers Discrete Wavelet Transform (IDWT)

merupakan kebalikan dari transformasi wavelet diskrit (DWT). Pada transformasi ini

dilakukan proses rekonstruksi sinyal, yaitu mengembalikan komponen frekuensi

menjadi komponen sinyal semula. Transformasi dilakukan dengan proses up

sampling dan pemfilteran dengan koefisien filter invers. Sehingga dalam satu sistem

transformasi wavelet menggunakan empat macam filter, yaitu low pass filter dan high

pass filter dekomposisi, dan low pass filter dan high pass filter rekonstruksi.

Gambar 8 Proses rekonstruksi pada transformasi DWT (IDWT: Invers Discrete Wavelet

Transform)

Gambar 9 (a) proses DWT dan (b) proses invers dari DWT menggunakan data wavelet

db2.

C) Wavelet Analysis

Analisis wavelet merupakan sebuah tekhnik penjendelaan variable (variable

windowing technique) dan mengijinkan penggunaan interval waktu yang panjang dimana

kita menginginkan informasi frekuensi rendah yang lebih tepat, dan daerah/ wilayah yang

lebih pendek dimana kita menginginkan komponen-komponen frekuensi yang lebih

tinggi (Reza, 2013)

Analisis wavelet mampu menunjukkan informasi sinyal yang tidak dimiliki oleh

analisis sinyal yang lain, seperti kecenderungan, titik yang putus, dan kemiripan. Karena

kemampuannya melihat data dari berbagai sisi, wavelet mampu menyederhanakan dan

mengurangi noise tanpa memperlihatkan penurunan mutu. Di bawah ini terdapat gambar

10 dimana ketika interval waktu gelombangnya panjang maka frekuensinya

gelombangnya pasti rendah, sedangkan jika waktu gelombangnya lebih pendek, maka

frekuensinya tinggi.

Gambar 10 analisis wavelet berdasarkan waktu panjang gelombang dengan

frekuensi

Keuntungan utama dari analisis wavelet ini adalah untuk menganalisis area lokal

pada sinyal yang lebih besar. Contohnya menganalisis area local seperti pada gambar di

bawah ini:

Gambar 11 Keuntungan dari analisis wavelet adalah untuk menganalisis area local

di sinyal yang lebih besar (gambar lingkaran)

Gambar 12 Perbedaan antara koefisien Fourier dan koefisien wavelet, pada

koefisien Fourier tidak bisa mendeteksi sinyal lokal akibat efek diskontinyu sinyal (kiri),

sedangkan pada wavelet bisa terdeteksi (kanan).

D) Wavelet 2D

Transformasi wavelet 2-dimensi (2-D) merupakan generalisasi transformasi

wavelet satu-dimensi. Persamaan umum untuk transformasi wavelet 2D ditunjukkan pada

rumus berikut:

DWT untuk 2D pada citra x(m,n) dapat digambarkan sama dengan implementasi

DWT 1-D, untuk setiap dimensi m dan n secara terpisah dan membagi citra ke dalam sub-

sub bidang frekuensi, sehingga menghasilkan struktur piramid. Jenis-jenis piramida yang

sering digunakan adalah :

- Gaussian,

- Laplacian

- Wavelet

Pada gambar 13 diperlihatkan gambar piramida dan comparisonnya.

Gambar 13 Jenis-jenis piramida 2D

E) Contoh Wavelet 1D dan 2D

aby

abx

abbayx

yxyx ,1, ,,

Gambar 14 Wavelet 1D

Gambar 15 Wavelet 2D

BAB III

DAFTAR PUSTAKA

Arobone, Eric. Tanpa tahun. PPT: Introduction of Wavelet. Tanpa tempat: Tanpa penerbit

Hurwitz, Barak. Tanpa tahun. Introduction of Wavelet. Disampaikan pada presentasi wavelet

bersama Dr’ Hagit Hal-or

Krisnawati. Tanpa tahun. TRANSFORMASI FOURIER DAN TRANSFORMASI WAVELET

PADA CITRA. Tanpa tempat: tanpa penerbit

Reza, Candra. 2013. Teknik Potensi Diferensial pada Transformator Daya Tiga Fasa dengan

Menggunakan Transformasi Wavelet. Universitas Pendidikan Indonesia

Sutarno. 2010. Analisis Perbandingan Transformasi Wavelet pada Pengenalan Citra Wajah.

JURNAL GENERIC. Vol.5 No.2