VEKTOR, BASIS, DIMENSI, RUANG

Fairuz Ahmad Hirzani 113110021

ahmadhirzani@gmail.com

Bab 1 Vektor

Pengertian

Vektor ini pada intinya yaitu besaran yang memiliki arah. Besaran besaran seperti panjang, suhu, luas,

dan massa merupakan besaran skalar, dengan kata lain besarannya tanpa arah. Berbeda dengan vector

yang disertai arah di setiap besarannya. Contohnya kecepatan, kecepatan itu memiliki laju yang sifatnya

skalar namun disertakan juga dengan arahnya. Kelajuan dan arahnya bersama sama membentuk

kecepatan sebagai besaran vektor. Contoh lainnya yaitu gaya dan perpindahan yang tentunya juga

mempunyai arah. Dalam pengertian lain dikatakan bahwa vektor merupakan koleksi bilangan dalam

pasangan berurutan.

Arah dalam besaran skalar bisa berupa arah dalam ruang dimensi 1, dimensi 2, atau dimensi 3.

x y z

X y

x

Penulisan vektor sendiri bisa dilakukan dengan notasi baris atau notasi kolom

Notasi Baris Notasi Kolom = ( )

= (3,4,5) ( ) (

)

Yang dimaksud dengan adalah himpunan n pasangan berurutan dengan dimensi vektor n, dalam 2 contoh diatas berarti termasuk ke dalam . Sedangkan disebut komponen vektor, atau bilangan-bilangan yang membentuk suatu vektor.

Panjang Vektor Panjang vektor ini bisa kita katakan menskalarkan besaran vektornya. Notasinya yaitu dan cara menghitungnya yaitu:

Jarak Antara 2 Vektor Menghitung jarak 2 vektor yang berimpit pada intinya itu menskalarkan selisih vektor tersebut. Karena selisih dalam 2 vektor berimpit itu jarak ujung vektor 1 dengan ujung vektor 2.

Vektor Satuan Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu. Cara mencarinya yaitu dengan membagi vektor dengan panjang vektor itu sendiri.

Operasi Pada Vektor

a) Penjumlahan Menjumlahkan vektor dengan vektor dilakukan dengan cara menjumlahkan kedua komponen vektor

yang seletak. Misalnya = (3,4,5) dan = (5,2,6) sehingga ( ) (

)=(

) + = (8,6,11).

b) Pengurangan Caranya sama saja dengan penjumlahan tapi tentunya yang berbeda yaitu operasinya dikurangkan bukan ditambah.

c) Perkalian Skalar dengan Vektor Mengalikan skalar dengan vektor intinya adalah mengalikan setiap komponen vektor dengan pengali skalar tersebut. Misalkan kita punya = (3,4,5) dan k=2. Maka perkalian antara adalah mengalikan k yaitu 2 dengan setiap komponen a 3,4, dan 5. k = (k3,k4,k5). Maka hasil perkalian tersebut adalah k = (6,8,10).

d) Perkalian Titik (dot product) Perkalian titik atau biasa disebut dot product ini adalah perkalian antara vektor dengan vektor yang menghasilkan skalar. Rumus untuk dot product:

. = Dari rumus dasar diatas bisa kita telusuri lebih bahwa

. = 0, sudutnya tegak lurus . < 0, sudutnya tumpul . > 0, sudutnya lancip Dengan catatan 0

Dengan perhitungan lebih lanjut dari rumus . = juga muncul rumus lain yaitu

. =

e) Perkalian Silang (Cross Product) Perkalian silang adalah perkalian antara vektor dengan vektor yang menghasilkan vektor lagi. Perkalian ini menghasilkan vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor tersebut. Perkalian silang hanya berlaku di dalam ruang (dimensi 3).

x

Cara menghitung perkalian silang:

Misalkan ( dan , maka

x = |

| = |

| - |

| + |

|

Penjelasan lebih detail:

|

| |

|

|

| |

|

|

| |

|

Proyeksi Orthogonal

Vektor Proyeksi Orthogonal dari terhadap

p = (a b

) Penentuan a atau b yang masuk dalam rumus tergantung gambar. Jadi jangan

lupa telaah gambar terlebih dahulu

Bagian dari b yang ortogonal terhadap a

q = b - p = b -

(

a b

a

)

a

Contoh Soal Bab 1

1. Diketahui = (- 2,2,1) , = (3,2,1) dan = (0,2,- 4)

Hitung : a)

= 0

b) ( )

= (3,4,-3)

( ) = -6 + 8 - 3

= -1

2. Diketahui a = (2,- 5,4) dan b = (1,2,- 1) . Tentukan :

= = = =3

a) Vektor proyeksi ortogonal dari b terhadap a

p = (a b

)

= (

) (2,-5,4)

= (

)

b) Bagian dari b yang ortogonal terhadap a

q = b - p = b -

(

a b

a

)

a

= (1,2,-1) (

)

= (

) (

)

= (

)

Bab 2 Sub Ruang Vektor Ruang Vektor Sebuah himpunan dikatakan Ruang Vektor jika memenuhi aksioma ruang vektor. Aksioma itu sendiri adalah sebuah sifat, sifat sifatnya yaitu: 1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan, untuk setiap

2.

3.

4. Terdapat sehingga untuk setiap berlaku

5. Untuk setiap terdapat sehingga

6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar untuk setiap dan k Riil maka

7.

8.

9.

10.

Sub Ruang Vektor Sub ruang vektor adalah ruang vektor yang merupakan sub himpunan dari ruang vektor yang lain. A dikatakan Sub Ruang dari B jika:

a) A dan A merupakan Sub Himpunan dari B

b) Berlaku sifat tertutup terhadap penjumlahan, c) Berlaku sifat tertutup terhadap perkalian, k untuk k skalar dan

Jadi A dapat dikatakan sub ruang vektor dari B selama ketiga sifat tersebut terpenuhi. Kombinasi Linear Suatu vektor dikatakan kombinasi linear dari vektor vektor jika dapat dinyatakan dengan:

Dengan adalah skalar. Nilai dari dinamakan skalar kombinasi. Merentang/Membangun Misal A adalah Ruang Vektor dan S adalah himpunan vektor di A, S={ } dengan Maka S dikatakan merentang A jika untuk setiap vektor sembarang di A merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor di S.

Dengan adalah skalar. Dalam pencarian nya lakukanlah OBE, jika dalam OBE tersebut mendapatkan solusi, baik itu solusi tunggal ataupun solusi banyak maka S merentang A. Dan apabila dalam SBE tidak memiliki solusi atau tidak konsisten maka S tidak merentang A. Untuk mengingat dalam pengerjaan, ingat cara mengerjakannya yaitu cek apakah memiliki solusi atau tidak.

maka, Vvu Vvu

vu uv

wvuwvu V0 Vu uuu 00

Vu u 0 uuuuVuk Vu

vkukvuk ulukulk ukluklulk

uu .1

Bebas Linear Misal A adalah Ruang Vektor dan S adalah himpunan vektor di A, S={ } dengan Maka S dikatakan bebas linear di A jika

hanya dipenuhi oleh . Cara ceknya lakukan OBE dan dari situ ketemu nya, dan jika semua hasilna nol maka S bebas linear di A Contoh Soal Bab 2

1. Apakah S = {A, B, C} dengan A=(

) B=(

) dan C=(

) merentang ruang vektor

M2x2? Misal sembarang,

(

) = (

)( )

(

) ~ (

) ~ (

) ~

(

)

SPL tidak memiliki solusi sehingga bukan Kombinasi Linear dari A,B,C Jadi S tidak merentang terhadap Bab 3 Basis dan Dimensi Basis Misal A ruang vektor, maka S={ } dinamakan basis A jika memenuhi:

a) S merentang A b) S bebas linear

Untuk menentukan basis yang harus kita lakukan adalah cek apakah merentang atau tidak, dan saat pengecekan merentang didapatkan solusi maka S merentang A. Namu masih belum dikatakan Basis karena pengecekan bebas linear belum dilakukan. Lakukan pengecekan bebas linear dan bila ternyata memang bebas linear. Maka kedua syarat terpenuhi dan S merupakan basis A. Dimensi

Jika S={ } sudah terbukti merupakan basis A maka jumlah anggota dari unsur basis dinamakan dimensi. Misalkan S={ } merupakan basis dari A, maka dimensi dari A adalah n. Dim(A)=n. Contoh lain apabila S={ } merupakan basis dari ruang vektor A maka dim(A)=3. dim( )=2 dim( )=4 dim(P1)=2 dim( )=3 dim( )=6 dim(P2)=3 dim( )=4 dim( )=6 dim(Pn)=n+1 Bab 4 Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Solusi Ruang solusi adalah himpunan kombinasi linear dari solusi SPL homogenya. Jika solusi SPL homogen AX=0 memiliki solusi trivial, berarti X=0 maka ruang solusi merupakan ruang vektor nol dengan dimensi nol. Kemungkinan lain jika solusinya bukan trivial maka ruang solusi akan memiliki dimensi lebih dari satu. Dimensi dari ruang solusi ini dinamakan nulitas. Ruang Baris

Misal A = (

) maka vektor barisnya yaitu:

Sedangkan ruang baris yaitu sub ruang dari yang direntang oleh vektor vektor baris. RB={ Cara menentukan basis dan dimensi ruang basis dari A: Pertama transposkan terlebih dahulu Anya. Setelah itu OBEkan A transposenya, hingga mendapatkan bilangan satu utama. Baris yang ada bilangan satu utama akan menjadi unsur basis dari Ruang Baris. Basis RB, B={ } dan dim(RB)=3 Ruang Kolom

Misal A = (

) maka kolomnya yaitu:

Sedangkan ruang kolom yaitu sub ruang dari yang direntang oleh vektor vektor baris. RB={ Cara menentukan basis dan dimensi ruang kolom dari A Pertama lakukan OBE dulu A nya, lalu setelah ketemu bilangan satu utama maka vektor kolom yang ada satu utamanya akan menjadi unsur basis dari Ruang Kolom. Basis RK, B={ } dan dim(RK)=3

Sifat: Dim(RK)=Dim(RB) Rank(A) + Nulitas(A) = n Contoh Soal Bab 4 1.

B=(

) Tentukan nulitas dan Rank dari B!

Rank(B)=dim(RB)/dim(RK) Ruang Kolom

(

) ~ (

) ~ (

)

Basis RK, B={ = (1,2,-1,0), = (2,5,-3,2)} Dim(RK)=2 Rank(B)=2 rank(B)+Nulitas(B)=n 2 + Nulitas(B)=4 Nulitas(B)=2 Jadi Nulitas(B)=2 dan Rank(B)=2

Daftar Pustaka 1. Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear. Binarupa Aksara: Tangerang 2. Danangmursita.blog.stisitelkom.ac.id