Ulangan 49 Soal (3125111220 Afifah Arifianty)
-
Upload
afifah-arifianty -
Category
Documents
-
view
249 -
download
15
description
Transcript of Ulangan 49 Soal (3125111220 Afifah Arifianty)
-1-7
7A(-7,7)
B(-1,-2)
CD
E
2
1
7
-2
-7 5
Y
X
K
Q S
P
O
R(5, -11)
9
9
-1
1
1
Nama Afifah Arifianty
Noreg 3125111220
ULANGAN GEOMETRI ANALITIK hal 53
1. Tentukan koordinat-koordinat titik-titik yang membagi garishubung titik-titik (−7,7 ) dan (−1 ,−2) , di dalam dan di luar -- di dalam, kalau titik itu antara, dan di luar kalau titik itu pada perpanjangan kedua titik yang diketahui -- , atas perbandingan 2:1
Jawab :
ACAB
= ADAE
23= AD
9AD=6
ACAB
=DCEB
23= DC
6DC=4
Sehingga akan didapatkan titik C (-3,1)
PLPR
= KLQR
→12= 6
QR→ QR=12
PLPR
= PKPQ
→12= 9
9+KQ
→ 9+KQ=18 → KQ=9
Jarak QR =12 , sedangkan jarak dari
pusat O sampai K adalah 7,
sisa jarak QR-OK = 5=R
∴ Sehingga didapat titik R(5,-11)
Geometri Analitik Page 1
2. Tunjukkan bahwa titik T(-2,0) terletak pada garis hubung A(7,-3) dan B(-5,1); tentukan perbandingan AT:TB.
Jawab: Persamaan garis
AB→y−(−3 )1−(−3 )
= x−7−5−7
( y+3 ) (−12 )=( x−7 ) (4 )
−12 y−36=4 x−28
4 x+12 y+8=0→ x+3 y+2=0
Periksa apakah T terletak di garis AB :
x+3 y+2=(−2 )+3 (0 )+2=0
Maka T terletak di garis AB
|AT|=√{ [7−(−2 ) ]2 }+ [−3−0 ]2=√(9)2+(−3)2 √90=3√10
|TB|=√{[−5−(−2 ) ]2}+[ 1−0 ]2=√(−3)2+(1)2=√10
Maka AT :TB=3√10 :√10=3 :1
3. A,B, dan C adalah titik-titik ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , dan ( x3, y3 ) ; D = tengah-tengah BC dan G
membagi AD atas perbandingan 2 : 1 ; Tentukan koordinat-koordinat titik G dan tunjukkan
bahwa ketiga garis berat segitiga ABC adalah konkuren (melalui satu titik).
A
Diketahui:
segitiga ABC
D adalah titik tengah BC
Andaikan F E
E adalah titik tengah AC
F adalah titik tengah AB
B D C
Maka
D merupakan titik tengah BC
xD=x2+x3
2
Geometri Analitik Page 2
y D=y2+ y3
2
E merupakan titik tengah AC
xE=x1+x3
2
y E=y1+ y3
2
F merupakan titik tengah AB
xF=x1+x2
2
y F=y1+ y2
2
AG :GD=2 :1
xG=x1+2 x D
3
¿x1
3+2
3 ( x2+ x3
2 )¿
x1+x2+x3
3
yG=y1+2 yD
3
¿y1
3+ 2
3 ( y2+ y3
2 )¿
y1+ y2+ y3
3
∴Maka, koordinat titik G
(x1+x2+x3
3,
y1+ y2+ y3
3)
.
Persamaan garis berat AD dengan
mAD=
y2+ y3
2− y1
x2+x3
2−x1
=y2+ y3−2 y1
x2+x3−2 x1
adalah
Geometri Analitik Page 3
y− y1=y2+ y3−2 y1
x2+x3−2 x1( x− x1 )
↔ ( y2+ y3−2 y1 ) x−¿(x2+ x3−2x1 ¿ y+ (−x1 y2−x1 y3+x2 y1+x3 y1 )=0
Persamaan garis berat BE dengan
mBE=
y1+ y3
2− y2
x1+x3
2−x2
=y1+ y3−2 y2
x1+ x3−2 x2
adalah
y− y2=y1+ y3−2 y2
x1+x3−2 x2( x−x2 )
↔ ( y1+ y3−2 y2 ) x−¿(x1+ x3−2x2 ¿ y+ (−x2 y1−x2 y3+x1 y2+ x3 y2 )=0
Persamaan garis berat CF dengan
mCF=
y1+ y2
2− y3
x1+x2
2−x3
=y1+ y2−2 y3
x1+x2−2 x3
adalah
y− y3=y1+ y2−2 y3
x1+x2−2 x3( x−x3 )
↔ ( y1+ y2−2 y3 ) x−¿(x1+ x2−2x3 ¿ y+ (−x3 y1−x3 y2+ x1 y3+x2 y3 )=0
Periksa:
[ ( y2+ y3−2 y1 ) −(x2+x3−2 x1) (−x1 y2− x1 y3+x2 y1+x3 y1 )( y1+ y3−2 y2 ) −(x1+x3−2 x2) (−x2 y1−x2 y3+x1 y2+x3 y2 )( y1+ y2−2 y3 ) −(x1+x2−2 x3) (−x3 y1−x3 y2+x1 y3+x2 y3 )]
b3+b1
→[ ( y2+ y3−2 y1 ) −(x2+ x3−2x1) (−x1 y2−x1 y3+x2 y1+x3 y1 )( y1+ y3−2 y2 ) −(x1+ x3−2x2) (−x2 y1−x2 y3+x1 y2+x3 y2 )
( y1+2 y2+ y3−2 y1−2 y3 ) −(x1+2 x2+x3−2 x1−2 x3) (−x3 y1−x3 y2+x1 y3+ x2 y3 )]b3+b2
Geometri Analitik Page 4
2
2
3
P
M
A
3
Q
B
188
20
10
15
13
→[ ( y2+ y3−2 y1 ) −(x2+ x3−2 x1) (−x1 y2−x1 y3+x2 y1+x3 y1 )( y1+ y3−2 y2 ) −(x1+ x3−2 x2) (−x2 y1−x2 y3+x1 y2+x3 y2 )
0 0 0 ]=0
∴Maka, ketiga garis berat segitiga ABC konkuren.
4. Tentukan koordinat-koordinat titik P dan Q, yang membagi segmen garis AB, A(8,10) dan B(18,20), di dalam dan di luar, atas perbandingan 2:3. Buktikan selanjutnya, bahwa MP.MQ=MB2, kalau M terletak di tengah-tengah AB.
Jawab :
Diketahui:
A (8,10)
B (18, 20)
Xp = 3 x A+2 xB
2+3=24+36
5=12
Yp =3 yA +2 yB
2+3=30+40
5=14
P (12, 14)
XA = xQ+2 xB
3
24 = XQ+36
XQ = -12
Q (-12, -10)
YA = Y Q+2 Y B
3
30 = YQ+40
YQ = -10
XM = xA +xB
2=13
YM =y A+ yB
2=15
Geometri Analitik Page 5
M (13, 15)
Buktikan bahwa MP ∙ MQ = MB2
MP = √( XP−X M)2+(Y P−Y M )2 = √2
MQ = √( XM−XQ)2+(Y M−Y Q)2 = 25√2
MP ∙ MQ = √2∙25√2 = 50
MB2 = 25+25 = 50 ∴ Terbukti
5. Tentukan luas segitiga yang bertitiksudut (6, ½), (-4, 2½) dan (-6, -3½).
Jawab :
LΔ=12 |x1 y1 1
x2 y2 1x3 y3 1|
LΔ=12 | 6
12
1
−4 212
1
−6 −312
1|LΔ=1
2 [6(212−(−3
12 ))−(−4 )( 1
2−(−3
12 ))+(−6)( 1
2−2
12 )]
LΔ=12
[6 (6 )+4 (4 )−6 (−2 ) ]
LΔ=18+8+6=32
Luas segitiga yang bertitiksudut (6, ½), (-4, 2½) dan (-6, -3½) adalah 32.
6. Jika A ( x , y ), B (−3,2 ), dan C (−4 ,−4 ) dan luas segitiga ABC adalah 1712
. Tunjukkan
bahwa 6 x− y−15=0!
Jawab:
Akan ditunjukkan bahwa 6 x− y−15=0
Geometri Analitik Page 6
Luas segitiga ¿12|x1 y1 1
x2 y2 1x3 y3 1|
352
=12 | x y 1
−3 2 1−4 −4 1|
352
=12 (x| 2 1
−4 1|+3| y 1−4 1|−4|y 1
2 1|)352
=12
( x (2+4 )+3 ( y+4 )−4 ( y−2 ) )
352
=12
(6 x+3 y+12−4 y+8 )
352
=12
(6 x− y+20 )
35=6 x− y+20
6 x− y−15=0
7. Tentukan persamaan garis yang melalui (−2 ,−5) dan yang memotong sumbu x dan sumbu y berturut-turut di A dan B, sehingga OA+2 OB=0
Penyelesaian :
Persamaan garis y=mx+c
Garis melalui (−2 ,−5) −5=−2m+c ………….. (i) y
Gsris memotong sumbu x di A( p , 0)
|OP|=p
Garis memotong sumbu y di B(0 , q) B(0 , q)
|OB|=q
Diketahui OA+2 OB=0
Maka , p+2q=0
p=−2q
m= q−00−p
= q−p
= q2 q
=12
Geometri Analitik Page 7
A( p , 0)
Subsitusikan m=12
ke (i)
−5=−2m+c
−5=−2.( 12)+c
c=−4
Maka persamaan garis yang melalui (−2 ,−5) adalah:
y=mx+c
y=( 12 ) x+4
2 y=x+8
x−2 y+8=0
8. Garis x + ay =a memotong sb-x dan sb-y berturut-turut di A dan B. Jika OA = 3OB, tentukan persamaan garis AC dengan C(0,-9). Buktikan AC tegaklurus pada AB!
Jawab:
Misal titik A ( x a , 0 ); B (0 , yb )
OA=3OB
A=3 B
Gradien garis
AB=yb−0
0−xa
=yb
−xa
=−13
Persamaan garis AB: x+ay=a
ay=−x+a
y=−1a
x+1
Maka : M AB=−1a
=−13
a=3
Garis AB memotong sb-x di A(x a , 0) y=0
Geometri Analitik Page 8
y=−1a
x+1
0=−13
x+1
13
x=1
x=3
A (3,0 )
Persamaan garis AC :
y− y1
y2− y1
=x−x1
x2−x1
y−0−9−0
= x−30−3
−3 y=−9 x+27
y=3 x−9
Gradien garis AC = 3
Bukti bahwa garis AB tegaklurus AC
M AB . M AC=−1
−13
.3=−1 (terbukti )
9. Suatu garis berkoefisien arah 34
dan melalui P(-2,-5); tentukan koordinat-koordinat titik Q
pada garis itu, kalau PQ=10.
Jawab:
‖PQ‖=√ (−2−x1 )2+(−5− y1 )2
¿√4+4 x1+x12+25+10 y1+ y1
2
¿√ x12+ y1
2+4 x1+10 y1+29
‖PQ‖=10
10 ¿√ x12+ y1
2+4 x1+10 y1+29
Geometri Analitik Page 9
102=x12+ y1
2+4 x1+10 y1+29
71=x12+ y1
2+4 x1+10 y1⋯(1)
Persamaan garis yang melalui titik P(-2,-5) dan berkoefisien 34
adalah:
y− y1=m(x−x1)
( y−(−5))=34(x−(−2))
4 ( y+5 )=3 (x+2)
{4 ( y+5 ) }2= {3(x+2) }2
16 ( y2+10 y+25 )=9(x2+4 x+4)
16 y2+160 y+400=9 x2+36 x+36
16 y2+9 x2+160 y+36 x=−364⋯(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2), maka didapat:
x1=−10 y1=−11
x2=6 y2=1
∴ Titik Q adalah (-10,-11) atau (6,1).
10. Titik P(−2 ,−3) terletak pada garis AB dengan persamaan 4 x+ay=1. Tentukan koordinat-koordinat titik-titik A dan B, jika AP=PB=10 !
Jawab :
A
P(−2 ,−3) 10
B 10
Titik P (−2 ,−3 ) terletak pada garis AB dengan persamaan 4 x+ay=1, maka diperoleh :4 x+ay=1→ 4 (−2 )+a (−3 )=1
−8−3 a=1→−9=3 a
a=−3
Geometri Analitik Page 10
Sehingga diperoleh persamaan 4 x−3 y=1 → y=4 x−13
……..(1)
Jarak AP=√(x1−x2)2+( y1− y2)
2 dengan p(−2 ,−3) dan A(x , y)
10=√( x+2 )2+( y+3 )2
10=√x2+4 x+4+ y2+6 y+9
100=x2+4 x+4+ y2+6 y+9
Substitusi dengan persamaan (1), maka diperoleh :
100=x2+4 x+4+( 4 x−13 )
2
+6( 4 x−13 )+9
100=x2+4 x+4+( 16 x2−8 x+19 )+( 24 x−6
3 )+9
x 9
900=9 x2+36 x+36+16 x2−8x+1+72 x−18+81
25 x2+100 x−800=0→ x2+4 x−32=0
( x+8 ) ( x−4 )=0
x=−8maka diperoleh y=4 (−8 )−1
3→ y=−11
x=4maka diperoleh y=4(4)−1
3→ y=5
Jadi koordinat-koordinat titik A dan B adalah (4,5) dan (−8 ,−11)
Buktikan bahwa kedua garis x=1−3t , y=1+t dan x=4−5t , y=2 t−1 berpotongan di (-11,5).
Pembahasan:
L 1≡ x=1−3 t , y=1+t
Dengan mengeliminasi t, didapat
t= y−1 → x=1−3 ( y−1 )
¿1−3 y+3
¿4−3 y
Geometri Analitik Page 11
L 1≡ x=4−3 y
L 2≡ x=4−5 t , y=2t−1
Dengan mengeliminasi t, didapat
t= y+12
→ x=4−5( y+12 )
¿ 32−5 y
2
L 2≡ x=32−5 y
2
Mencari perpotongan L1 dan L2 → eliminasi L1 dan L2
x=x
4−3 y=32−5 y
2
8−6 y=3−5 y
5= y→ x=4−3 (5 )=−11
Jadi, titik potong L1 dan L2 adalah (-11,5)
(Terbukti)
12. Kedua garis x=at−3
a, y=1−at , dan x=1−2bt . y=
2(bt−2)b
adalah sejajar. Buktikan
bahwa ab = 1.Jawab :x = x1 + aty = y1 + bt
k → x =at−3
a=−3
a+ t
y = 1 – at l → x = 1 – 2bt
y = 2(bt−2)
b=−4
b+2 t
l /¿k →u⃗ l=u⃗k
(1, -a) = (-2b, 2)1 = -2b
b = - 12
Geometri Analitik Page 12
-a = 2a = -2 a∙b = 1∴ Terbukti
13. Tentukan tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya terhadap garis 2x + y – 1= 0 dan x + 2y + 1 = 0 adalah 2:1.
misal D1:D2=2:1
Jawab :
D1=|2 x+ y−1
√22+1 |=|2 x+ y−1
√5 |D2=|x+2 y+1
√1+22 |=|x+2 y+1
√5 |
21=
|2 x+ y−1
√5 ||x+2 y+1
√5 |2=|2 x+ y−1
x+2 y+1|−2 ≤
2 x+ y−1x+2 y+1
≤ 2
(i) -2 (x + 2y + 1) = 2x + y -1
-2x - 4y -2 = 2x + y -1
4x + 5y + 1 = 0
(ii) 2(x + 2y + 1) = 2x + y -1
2x + 4y + 2 = 2x + y -1
3y + 3 = 0
y + 1 = 0
titik-titik yg memiliki perbandingan jarak terhadap garis 2x + y – 1= 0 dan x + 2y + 1 = 0 adalah 2:1 terletak pada garis 4x + 5y + 1 = 0 dan y + 1 = 0
Geometri Analitik Page 13
14. A, B, C, D adalah titik-titik (−3,3 ) , (12,6 ) , (−4 ,−3 ) , (1 ,−2 ) ; E membagi dalam segmen AB atas perbandingan 2:1. F membagi luar segmen CD atas perbandingan 3:2. Tentukan koordinat-koordinat E dan F, dan tunjukkan bahwa EF//AD!
Jawab :
X E=a XB+b X A
a+b Y E=
a Y B+b Y A
a+b
X E=2 (12 )+1 (−3 )
2+1Y E=
2 (6 )+1 (3 )2+1
X E=24−3
3 Y E=
12+33
XE=213
Y E=153
X E=7 Y E=5 ∴E=(7,5 )
X D=a XF+b XC
a+b Y D=
aY F+b Y C
a+b
1=1 XF +2 (−4 )
1+2 −2=
1Y F +2 (−3 )1+2
1=X F−8
3 −2=
Y F−6
33=X F−8 −6=Y F−6
X F=11 Y F=0 ∴F=(11,0 )
Akan ditunjukkan bahwa EF//AD.
E=(7,5 ) A=(−3,3 )
F=(11,0 ) D=(1 ,−2 )
Syarat sejajar, yaitu: m1=m2
mEF=mAD
y2− y1
x2−x1
=y2− y1
x2− x1
0−511−7
=−2−31+3
Geometri Analitik Page 14
−54
=−54
Karena mEF=mAF, maka terbukti EF//AD.
15. A, B adalah titik (1 ,−2 ) , (−3,4 ); Tentukan titik T pada garis x−2 y+4=0 ; Kalau luas ∆ ABT 13.
Jawab:
T ( X0 ,Y 0 )terletak pada garis X−2Y +4=0
Maka,
X 0−2Y 0+4=0 ……………….(1)
Luas ∆ ABT=13 , dengan A (1 ,−2 ) B (−3,4 ) T ( X0 ,Y 0)
12|X1 Y 1 1
X 2 Y 2 1X 0 Y 0 1|=13
| 1 −2 1−3 4 1X0 Y 0 1|=26
(−3 Y 0−4 X0 )−(Y 0+2 X0 )+(4−6 )=26
−4 Y 0−6 X0=26+2
−4 Y 0−6 X0=28 ……………………(2)
Eliminasi (1) dan (2)
X0−2Y 0=−4|x6
−4 Y 0−6 X0=28|x 1 +
6 X 0−12Y 0=−24
−6 X 0−4 Y 0=28 +
−16 Y 0=4
Geometri Analitik Page 15
Y 0=−14
X 0=−412
Titik T terletak pada (−412
,−14)
16. Garis-garis ax+hy+g=0 , hx+by+f =0 , dan gx+ fy+c=0 adalah konkruen ; buktikan bahwa :
abc+2 fgh−af 2−bg2−ch2=0
Jawab:
Misalkan : g1 ≡ax+hy+g=0
g2 ≡hx+by+ f =0
g3 ≡ gx+ fy+c=0
g1 g2 g3 kongruen, maka ( x0 , y0 ) sehingga ( x0 , y0 )∈ g1∩ g2 g3
Jadi : ax+hy+g=0
hx+by+ f =0
gx+ fy+c=0
(a h gh b fg f c )( x
y1)=(0
00) Karena ( x , y ,1 )≠ (000) maka |a h g
h b fg f c|=0
|a h gh b fg f c|=a|b f
f c|−h|h gf c|+g|h g
b f|¿a (bc−f 2 )−h (hc−fg )+g (hf −bg)
¿abc−af 2−ch2+ fgh+ fgh−bg2
¿abc+2 fgh−af 2−bg2−ch2=0 ∴ Terbukti
17. Tentukan panjang tali busur yang berimpit dengan sumbu-x dari lingkaran yang bergaristengah AB, kalau A(0 ,−1) dan B(2 , 3)
Geometri Analitik Page 16
Jawab:
r=12‖AB‖
¿ 12√22+ (3+1 )2
¿ 12√4+16
¿ 12
×2√5=√5
Masukkan ke persamaan lingkaran:
( x−a )2+ ( y−b )2=5
( x−1 )2+( y−1 )2=5
x2−2 x+ y2+2=5
x2+ y2−2 x−2 y=3
⟶ y=0⟶ x2−2 x−3=0
x1=−1∨ x2=3
Jadi, jarak x1 , x2=4
Maka panjang tali busur adalah 4
18. A , B ,C adalah titik-titik (3,5 ) , (−4 ,−2 ) ,(3 ,−1); tentukan titik-titik pada garis x−3 y+2=0 , yang konsiklis (selingkaran letaknya) dengan A , B dan C !
Jawab :
Terdapat tiga titik pada suatu lingkaran dengan persamaan ( x−a )2+ ( y−b )2=r2
Melalui (3,5 ) : (3−a )2+(5−b )2=r 2………… .. (i )
Melalui (−4 ,−2 ) : (−4−a )2+(−2−b )2=r2 ………… .. (ii )
Melalui (3 ,−1 ) : (3−a )2+(−1−b )2=r2 ………… .. (iii )
Eliminasi persamaan (i) dan (iii)
(3−a )2+(5−b )2=r 2
Geometri Analitik Page 17
(3−a )2+(−1−b )2=r2
(5−b )2−(−1−b )2=0→ 25−10 b+b2−1−2 b−b2=0
24=12 b →b=2
Substitusi b=2 ke persamaan (i) dan (ii)
(3−a )2+(5−2 )2=r2→ (3−a )2+9=r2 ……… ..(iv)
(−4−a )2+(−2−2 )2=r2→ (−4−a )2+16=r2 ……. ( v )
Eliminasi persamaan (iv) dan (v)
(3−a )2+9=r2
(−4−a )2+16=r2
(3−a )2− (−4−a )2−7=0→ 9−6 a+a2−16−8a−a2=7
−14 a=14 → a=−1
Substitusi a=−1 dan b=2 ke persamaan (i), maka diperoleh :
(3−(−1))2+(5−2 )2=r2→ 16+9=r2
r2=25→ r=5
Sehingga diperoleh persamaan lingkarannya :
( x+1 )2+ ( y−2 )2=25
Terdapat sebuah garis yang terletak selingkaran dengan titik-titik A , B ,C yaitu x−3 y+2=0→ x=3 y−2
Substitusi x=3 y−2 ke persamaan lingkaran ( x+1 )2+ ( y−2 )2=25, maka diperoleh :
(3 y−2+1 )2+( y−2 )2=25 → (3 y−1 )2+ ( y−2 )2=25
9 y2−6 y+1+ y2−4 y+4=25
10 y2−10 y−20=0→ y2− y−2=0
( y+1 ) ( y−2 )=0
y=−1 dan x=3 y−2 → x=−5
y=2dan x=3 y−2 → x=4
Geometri Analitik Page 18
Jadi titik-titik pada garis x−3 y+2=0 , yang konsiklis (selingkaran letaknya) dengan A , B dan C adalah (4,2 ) dan (−5 ,−1 )
20. Tentukan titik-titik potong garis singgung di titik (1,2) pada lingkaran x2+ y2=25 dengan
lingkaran x2+ y2=10.Jawab :L1 → Persamaan garis singgung di (1,2)
x1x + y1y = r2
x + 2y = 5x = 5 – 2y
Masukkan ke persamaan L2: x2 + y2 = 10(5-2y)2 + y2 = 1025 – 20y + 5y2 = 10y2 – 4y +3 = 0(y-1) (y-3) = 0∴. y = 1, x = 3 → ( 3, 1 )
y = 3, x = -1 → (-1, 3)
21. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik(1,0) dan yang menyinggung garis 3x+2y=4 dititik (2,-1)
Jawab :
pers garis singgung lingkaran yg melalui titik (1,0) adalah
Persamaan garis singgung lingkaran di titik (2,-1) dg pusat P(a,b) adalah
Samakan (1) dan (2)
Geometri Analitik Page 19
Jadi persamaan lingkaran dg P(-1,-3) dan berjari-jari
22. Tentukan persaman-persamaan garis singgung yang dapat ditarik dari titik (−3 ,−4) pada
lingkaran x2+ y2−4 x−2 y−5=0!
Penyelesaian:
Titik (−3 ,−4 ) terletak di luar lingkaran sebab:
x2+ y2−4 x−2 y−5>0
(−3 )2+(−4 )2−4 (−3 )−2 (−4 )−5>0
9+16+12+18−5>0
30>0
¿ Misal lingkaran tersebut mempunyai garis singgung:
y− y1=m ( x−x1 ) → dititik (−3 ,−4 )
y+4=m ( x+3 )
y+4=mx+3 m
y=mx+3m−4⋯⋯⋯⋯(1)
Substitusi persamaan (1) ke x2+ y2−4 x−2 y−5=0
x2+ (mx+3 m−4 )2−4 x−2 (mx+3 m−4 )−5=0
x2+m2 x2+6 m2 x−8 mx−24 m+9m2+16−4 x−2mx−6 m+8−5=0
Geometri Analitik Page 20
(1+m2 ) x2+( 6 m2−10m−4 ) x+9 m2−30m+19=0
Syarat garis menyinggung lingkaran:
D=0
(6m2−10 m−4 )2−4 (1+m2) ( 9m2−30 m+19 )=0
−60 m2+200 m−60=0
3 m2−10 m+3=0
(3m−1 ) (m−3 )=0
m1=13
atau m2=3
Untuk m1=13
, persamaan garis singgung-nya:
y− y1=m ( x−x1 )
y+4=13
(x+3 )
3 y+12=x+3
x−3 y−9=0
Untuk m2=3, maka persamaan garis singgung-nya:
y− y1=m ( x−x1 )
y+4=3 ( x+3 )
y+4=3 x+9
3 x− y+5=0
23. buktikan bahwa garissinggung pada lingkaran L1≡ x2+ y2−6 x+2 y+5=0 di titik (1,0)
menyinggung lingkaran 5 x2+5 y2=4
Jawab:
Geometri Analitik Page 21
Pusat lingkaran L1=(3 ,−1 ) , r2=5
garissinggung pada lingkaran x2+ y2−6 x+2 y+5=0 di titik (1,0)
( x−a ) ( x1−a )+( y−b ) ( y1−b )=r 2
( x−3 ) (1−3 )+ ( y+1 ) (0+1 )=5
−2 ( x−3 )+( y+1 )−5=0
−2 x+6+ y+1−5=0
y=2 x−2
Masukkan persamaan (i) ke persamaan lingkaran 5 x2+5 y2=4
5 x2+5 (2 x−2 )2=4
5 x2+5 ( 4 x2−8 x+4 )−4=0
5 x2+20 x2−40 x+20−4=0
25 x2−40 x+16=0
Karena menyinggung, maka D = 0
D=b2−4ac=0
(−40 )2−4 (25 ) (16 )=0
1600−1600=0… (terbukti)
24. Buktikan bahwa kedua lingkaran x2+ y2−6 ax+6 ay+16 a2=0 dan
x2+ y2−2 ax+6 ay+8 a2=0 berpotongan tegak lurus.
L1=x2+ y2−6 ax+6 ay+16 a2=0
A1=−6a ;B1=6 a ;C1=16 a2
L2=x2+ y2−2 ax+6 ay+8 a2=0
A2=−2a ;B2=6 a ;C1=8a2
Kedua lingkaran akan berpotongan tegaklurus apabila garis-garis singgung berimpit dengan jari-jari kedua lingkaran
∆ m1 m2 P adalah siku−siku
m1 (3 a ,−3a )
Geometri Analitik Page 22
m2 (a ,−3 a )
r1=√(3a)2+(−3 a)2−16 a2=√2 a2=a √2
r2=√(a)2+(−3 a)2−8 a2=√2 a2=a√2
Sehingga berlaku: (m¿¿1m2)2=r1
2+r22 ¿
Akan kita kerjakan untuk mengetahui apakah L1 berpotongan tegaklurus L2
(m1 m2 ¿¿2=(3 a−a )2+(−3a−(−3 a ) )2
(m1 m2 ¿¿2=(2 a)2
(m1 m2 )2=4 a2
¿2 a2+2a2
¿¿
¿ r12+r2
2
Karena (m1 m2)2=r1
2+r22 maka L1 berpotongan tegaklurus L2
25. Garis singgung di titik (4,3) pada lingkaran x2+ y2=25 memotong lingkaran x2+ y2=50 di titik-titik P dan Q; buktikan bahwa garis singgung-garis singgung di P dan Q pada lingkaran yang kedua tegaklurus sesamanya.
Jawab:
Persamaan garis singgung lingkaran x2+ y2=25 di titik (4,3) adalah:
x x1+ y y1=r2
4 x+3 y=25
x=25−3 y4
⋯ (1)
Titik potong garis singgung dengan lingkaran kedua:
Substitusi persamaan (1) ke persamaan lingkaran kedua:
( 25−3 y4 )
2
+ y2=50
625−150 y+9 y2+16 y2=800
Geometri Analitik Page 23
y2−6 y−7=0
( y−7 ) ( y+1 )=0
y1=7 atau y2=−1
x1=1 atau x2=7
∴ Titik P(1,7) dan titik Q(7,-1)
Persamaan garis singgung lingkaran kedua yang melalui titip P:
x+7 y=50 m1=−17
Persamaan garis singgung lingkaran kedua yang melalui titip Q :
7 x− y=50 m2=7
m1× m2=−17
×7=−1
∴ Terbukti bahwa garis singgung lingkaran kedua di P dan Q saling tegak lurus.
27. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (-4,2) dan (-3,-1), dan yang berpusat pada garis 3 x− y=1. Tunjukkan bahwa tali busur persekutuan antara lingkaran tadi dan lingkaran x2+ y2−2 x+4 y−4=0merupakan garis tengah lingkaran kedua.
Jawab :
Andaikan persamaan lingkaran pertama L 1≡ (x−a )2+( y−b )2=r2dengan pusat (a,b).
L 2≡ x2+ y2−2x+4 y−4=0 dengan pusat (1,-2)
L1 berpusat pada garis 3 x− y=1 ↔ y=3 x−1
Maka, pusat L1 (a ,3 a−1) …(*)
Substitusi (*) ke persamaan L1
L 1≡ (x−a )2+( y−3 a+1 )2=r2
L1 melalui (-4,2) → (−4−a )2+ (2−3 a+1 )2=r2
↔ 10 a2−10 a+25=r2 …(i)
Geometri Analitik Page 24
L1 melalui (-3,-1) → (−3−a )2+ (−1−3 a+1 )2=r2
↔ 10 a2+6a+9=r2 …(ii)
Eliminasi (i) dan (ii)
10 a2−10 a+25=r2
10 a2+6 a+9=r2 -
−16 a+16=0
a=1 →b=3a−1=3 (1 )−1=2
Jadi, pusat L1 (1,2).
Jari-jari L1 dapat dihitung dengan menghitung jarak dari pusat (1,2) ke titik yang dilalui L1 seperti (-4,2)
r=√(−4−1)2+(2−2)2=√25=5
Jadi, persamaan L 1≡ (x−1 )2+ ( y−2 )2=25
↔ x2+ y2−2x−4 y−20=0
Mencari titik potong L1 dan L2
→ eliminasi L1 dan L2
x2+ y2−2 x−4 y−20=0
x2+ y2−2 x+4 y−4=0 -
−8 y−16=0→ y=−2
Maka, persamaan tali busur persekutuan L1 dan L2 adalah garis y=−2
Persamaan tali busur melalui pusat L2 (1-2)
∴ Pers tali busur persekutuan L1 dan L2 merupakan garis tengah lingkaran kedua
29. Tentukan titik-titik yang kuasanya terhadap lingkaran
berbanding 1:2:3
Jawab : Kuasa pada lingkaran
Geometri Analitik Page 25
Kuasa pada lingkaran
Kuasa pada lingkaran
Eliminasi (5) dan (4)
Substitusi ke (6)
Rumus ABC
Geometri Analitik Page 26
Jadi titik titiknya adalah
30. Diketahui titik-titik A (2,0 ) dan B (0,3 ) . Tentukan tempat kedudukan titik C segitiga ABC,
jika selalu berlaku: A C2−B C2=1.
Jawab :
Segitiga ABC selalu berlaku A C2−B C2=1
AC= (x−2 , y ) BC= (x , y−3 )
A C2−B C2=1
(( x−2 )2+ y2 )−(x2+( y−3 )2)=1
x2−4 x+4+ y2−(x2+( y2−6 y+9 ))=1
x2−4 x+4+ y2−x2− y2+6 y−9=1
−4 x+6 y−6=0
4 x−6 y+6=0
2 x−3 y+3=0
∴ Kedudukan titik C terletak pada garis 2 x−3 y+3=0
32. diketahui titik A(0,2). Pada sumbu –x terletak titik B dan pada AB terletak titik C, sehingga A⃗B . A⃗C=16.
Jawab:
A⃗B . A⃗C=16.
Geometri Analitik Page 27
⟨ ( XB−X A ) ; (Y B−Y A )⟩ . ⟨( XC−X A ) ; (Y C−Y A ) ⟩=16
⟨ ( XB−0 ) ; (Y B−2 )⟩ . ⟨ ( XC−0 ) ; (Y C−2 ) ⟩=16
⟨ X B ; (Y B−2 )⟩ . ⟨ XC ;( Y C−Y A )⟩=16
X B XC+(Y B−2 ) (Y C−2 )=16
X B XC+Y B Y C−2Y B−2 Y C+4=16
B(X B ,Y B) berjalan pada sumbu-x, maka suatu ketika X B=XC dan Y B=¿Y C¿, sehingga:
XC XC+Y C Y C−2Y C−2Y C+4=16
XC2+Y C
2−4 Y C+4=16
XC2+Y C
2−4 Y C−12=0
Karena C(XC , Y C) terletak pada AB, dimana B(X B ,Y B) berjalan pada sumbu-x, maka:
Kedudukan titik C(XC , Y C) =XC2+Y C
2−4 Y C−12=0
36. PQ adalah tali busur variabel yang melalui fokus suatu parabola; TP adalah garis singgung di P, dan TQ sejajar sumbu simetri buktikan bahwa tempat kedudukan tengah - tengah PT adalah direktrix
Jawab :
misal : y2=4 fx;
Hint :buktik an x H=−f dimana x H=x1+x3
2
Geometri Analitik Page 28
Catatan tambahan:
y2= y3 ; y1=√4 f x1; y2=−√4 f x2;
PT merupakan garis singgung dengan persamaan
PT ≡ y . y1=2 f (x+x1)
Subitusikan T
y2 . y1=2 f (x3+x1)
x3+x1=y2 . y1
2 f
x3+x1=√4 f x1 .(−√4 f x2)
2 f
x3+x1=−4 f (√x1 x2. )
2 f
x3+x1=−2√( f −δ ) . ( f +δ )
x3+x1=−2¿
x3+x1=−2 f
→ 2 x H=x3+x1=−2 f
xH=−f ( terbukti)
Geometri Analitik Page 29
38. Talibusur PQ suatu parabola y2=4 ax melalui titik (b , 0 ). Tunjukkan bahwa garis-garis singgung di P dan Q bertemu pada garis x+b=0.
Jawab :
Akan ditunjukkan garis-garis singgung di P dan Q bertemu pada garis x+b=0
Persamaan parabola: y2=4 ax → p=a
Persamaan garis singgung parabola y2=4 ax yang melalui titik (b , 0 )adalah :
y y1=2 p ( x+x1 )
0=2 a ( x+b )
x+b=0
41. Tentukan persamaan-persamaan garissinggung yang dapat ditarik dari titik (−3 , 1) pada
parabola y2=x
Jawab :
Misalkan titik singgungnya S(x0 , y0)
Maka persamaan garis singgung di S pada parabola y2=x
Karena 4 p=1
p= 14
yy1=2 p(x+x¿¿1)¿
y0 y=12( x+x0)
Karena A(−3 ,1) pada garis singgung
→ y0=12
(−3+x0 )
Atau 2 y0=x0−3……………….(1)
Karena S ( x0 , y0 ) juga pada parabola y2=x
→ y02=x0…………….(2)
Geometri Analitik Page 30
Substitusi (2) ke (1)
2 y0= y02−3
y02−2 y0−3=0
( y0−3 )( y¿¿0+1)=0¿
y0=3 atau y0=−1
Untuk y0=3→ x0=9, diperoleh S1 (9 ,3 )
Untuk y0=−1→ x0=1, diperoleh S2 (−1 ,1 )
Jadi persamaan garis singgung di S1⟶3 y=12
(x+9 )⟶ x−6 y+9=0
Jadi persamaan garis singgung di S2⟶− y=12
(x+1 )⟶ x+2 y+1=0
42. Suatu titik terletak sebarang pada garis 2 x−3 y+8=0. Buktikan bahwa garis polar titik itu terhadap parabola y2=4 x , melalui titik (4,3) !
Jawab :
Persamaan garis polar terhadap parabola y2=4 xmelalui titik (4,3) adalah 2 x−3 y+8=0
Bukti : y y1=p(x+x1)
y2=2 px
y2=4 x p=2
Maka persamaan garis polarnya adalah 3 y=2 ( x+4 )→ 2 x−3 y+8=0 (TERBUKTI)
43. Buktikan bahwa parabola y2=4 ax merupakan tempat kedudukan pusat lingkaran yang
menyinggung sumbu-y dan lingkaran x2+ y2=2 ax.
Sketsa:
P2
P1
Geometri Analitik Page 31
L1≡ x2+ y2=2ax↔ x2+ y2−2ax=0
Maka, pusat L1 P1(a , 0) dan karena L1 menyinggung sumbu-y, jari-jari L1 r1=a
Andai L2 mempunyai pusat P2(x2 , y2) dan karena L2 juga menyinggung sumbu-y, jari-jari L2 r2=x2
|P1 P2| =r1+r2=a+x2
Dengan menggunakan rumus jarak didapat,
|P1 P2|=√(x2−a)2+( y¿¿2−0)2 ¿
(a+ x2)2=( x2−a)2+ y2
2
x12+2 a x1+a2=x2
2−2a x2+a2+ y22
4 a x2= y22
Karena P2(x2 , y2) berjalan, maka
4 a x= y2 (terbukti)
44. Lingkaran x2+ y2+2 ax+2ay=0 memotong parabola y2=ax di O dan tiga buah titik,
yang berordinat y1 , y2 , dan y3. Buktikan y1 . y2 . y3=−2 a3
Jawab :
Gambar tidak terlampir karena hanya akan memperumit penjelasan.
L1≡ y2−ax=0→ x= y2
a
Berpotongan di titik, O(x4 , y4)→ y4=0
P1≡ x2+ y2+2ax+2ay=0
subtitusikan x= y2
ax ke P1
dengan pembanding ( y− y1) . ( y− y2 ). ( y− y3 ) . ( y− y4 )=0
Geometri Analitik Page 32
karena memiliki titik potong
P1≡ x2+ y2+2ax+2ay=( y− y1 ) . ( y− y2 ) . ( y− y3 ) . ( y− y 4 )=0
↔¿
↔y3
a2 +(2 a+1 ) y2+2ay=( y− y1 ) . ( y− y2 ) ( y− y3 ) ( y−0 )=0
↔1
a2¿
↔1
a2¿
→(− y¿¿1) .(− y2) .(− y3)=2 a3( yang tidak mengandungnilai y)¿
↔ y1 . y2 . y3=−2 a3(Q . E . D .)
46. Kalau diketahui A (5,2 ) dan C (3,6 ). Tentukan kedua titik sudut lainnya dari bujursangkar ABCD. Berapa luas bujur sangkar itu?
Jawab :
Karena ABCD merupakan suatu buur sangkar, maka panjang diagonal
BD=AC=√(3−5 )2+(6−2 )2=√ (−2 )2+ (4 )2=√4+16=√20
Luas bujursangkar ABCD:
L=12
d1 d2=12
AC × BD=12√20×√20=10
L=AB ×CD=sisi× sisi=s2=10
Sehingga,
s=¿BC=CD=DA=√10
Mencari koordinan titik B
Missal titik B (m , n ), maka:
AB=√ (m−5 )2+(n−2 )2 BC=√(3−m )2+ (6−n )2
√10=√(m−5 )2+ (n−2 )2 √10=√(3−m )2+ (6−n )2
Geometri Analitik Page 33
10=m2−10 m+25+n2−4 n+4 10=9−6 m+m2+36−12 n+n2
−19=m2+n2−10 m−4 n ……. (i) −35=m2+n2−6 m−12 n ……. (ii)
Eliminasi (i) dan (ii), diperoleh:
−19=m2+n2−10 m−4 n
−35=m2+n2−6 m−12 n -
16=−4 m+8n 4 m=8n−16 m=2 n−4 ……. (iii)
Substitusi (iii) ke (ii), maka:
−35=(2n−4 )2+n2−6 (2n−4 )−12 n
−35=4 n2−16 n+16+n2−12 n+24−12 n
−35=5n2−40 n+40
5 n2−40 n+75=0
n2−8 n+15=0
(n−3 ) (n−5 )=0
n=3 ataun=5
Untuk n=3 , maka: Untuk n=5, maka:
m=2 n−4 m=2 n−4
m=2 (3 )−4 m=2 (5 )−4
m=2 m=6
∴B (2,3 ) ∴B (6,5 )
∴ Karena pada bujursangkar ABCD titik B berada di sebelah kanan titik A (5,2 ), maka titik B
yang memenuhi adalah B (6,5 )
Mencari koordinat titik D
Misal titik D ( p , q ), maka:
Geometri Analitik Page 34
DA=√(5−p )2+(2−q )2 CD=√ ( p−3 )2+ (q−6 )2
√10=√(5−p )2+ (2−q )2 √10=√( p−3 )2+ (q−6 )2
10=25−10 p+ p2+4−4 q+q2 10=p2−6 p+9+q2−12 q+36
−19=p2+q2−10 p−4 q ……. (iv) −35=p2+q2−6 p−12 q ……. (v)
Eliminasi (iv) dan (v), diperoleh:
−19=p2+q2−10 p−4 q
−35=p2+q2−6 p−12 q -
16=−4 p+8 q 4 p=8q−16 p=2q−4 ……. (vi)
Substitusi (vi) ke (v), maka:
−35=(2q−4 )2+q2−6 (2q−4 )−12 q
−35=4 q2−16 q+16+q2−12 q+24−12 q
−35=5q2−40 q+40
5 q2−40 q+75=0
q2−8 q+15=0
(q−3 ) (q−5 )=0
q=3 atau q=5
Untuk q=3 , maka: Untuk q=5, maka:
p=2q−4 p=2q−4
p=2 (3 )−4 p=2 (5 )−4
p=2 p=6
∴D (2,3 ) ∴D (6,5 )
∴ Karena pada bujursangkar ABCD titik D berada di sebelah kiri titik A (5,2 ), maka titik B
yang memenuhi adalah D (2,3 )
Geometri Analitik Page 35
48. Diketahui tiga titik , , dan .
a. Tentukan persamaan ketiga sisi segitiga itu.
b. Tentukan persamaan kedua garisbagi-dalam sudut-sudut dan .
Petunjuk : pakailah titik potongnya dengan sumbu-y untuk menyelidiki yang mana garisbagi-dalam dan yang mana garisbagi-luar.
c. Tentukan persamaan lingkaran-dalam dari segitiga itu.
d. Berapakah luas segitiga ?
Jawab :
a. Sisi pertama melalui titik dan
Vector arahnya
Persamaan garisnya adalah
Sisi kedua melalui titik , dan
Vector arahnya
Persamaan garisnya adalah
Sisi ketiga melalui titik dan
Vector arahnya
Persamaan garisnya adalah
Geometri Analitik Page 36
b. Persamaan garisbagi sudut adalah
Persamaan garisbagi sudut adalah
c. Titik jari-jari lingkaran titik potong garisbagi sudut dan .
Maka
Titik jari-jari lingkaran , maka
Persamaan lingkaran
d. Luas
49. Diketahui : A(3,4), B(-2,5), C(-1,6)
Geometri Analitik Page 37
Tentukan :
a) Titik berat segitiga ABC
Titik berat pada segitiga adalah koordinat titik potong pada tiga buah garis berat pada segitiga. Sedangkan garis berat pada segitiga adalah garis yang menghubungkan antara suatu titik sudut pada segitiga dengan koordinat titik tengah yang membagi dua ruas garis yang menghubungkan kedua titik sudut yang lainnya pada segitiga tersebut.
Misalkan P adalah titik tengah AB, maka
P( 3−22
,4−(−5)
2 )→ P( 12
,92 )
Misalkan Q adalah titik tengah BC, maka :
Q((−2)−12
,5−(−6)
2 )→ Q(−32
,112 )
Misalkan R adalah titik tengah AC, maka :
R( 3−12
,4−(−6)
2 )→ R (1,5 )
Persamaan Garis Berat CP :
Geometri Analitik Page 38
y− yc
y p− yc
=x−xc
x p−xc
y−692−6
= x+112+1
y−6−32
= x+132
32
( y−6 )=−32
(x+1)
3 y−18=−3 x−3
3 x+3 y=15
x+ y=5……….(1)
Persamaan Garis Berat BR :
y− yb
yr− y b
=x−xb
xr−xb
y−55−5
= x+21+2
y−50
= x+23
3 y−15=0
y=5… ………(2)
Persamaan Garis Berat AQ :
y− ya
yq− y a
=x−xa
xq−xa
y−4112
−6= x−3
−32
−3
y−432
= x−3−92
−92
( y−4 )=−32
(x−3)
Geometri Analitik Page 39
−9 y+36=3 x−9
3 x+9 y=45
x+3 y=15 ……….(3)
Substitusi Persamaan (2) ke persamaan (1)
Sehingga didapat 5+ y=5 atau x=0
Sehingga didapat koordinat titik berat segitiga ABC adalah (0,5)
b) Titik tinggi segitiga ABC
Titik tinggi pada segitiga adalah koordinat titik potong pada tiga buah garis tinggi pada segitiga. Sedangkan garis tinggi pada segitiga adalah garis yang menghubungkan antara suatu titik sudut pada segitiga dengan ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang lainnya dan membentuk sudut yang tegak lurus.
Persamaan Garis BC :
y− yb
yc− yb
=x−xb
xc−xb
y−56−5
= x+2−1+2
y−51
= x+21
y−5=x+2
x− y=−7
Misalkan titik tinggi pada garis itu adalah titik D sehingga didapat mBC=1, karena BC tegak
lurus AD sehingga didapat mAD=−1
Persamaan Garis Tinggi AD :
y− ya=mAD(x−xa)
y−4=−1(x−3)
y−4=x−3
x+ y=7… …. (1)
Geometri Analitik Page 40
Persamaan Garis AC :
y− ya
yc− ya
=x−xa
xc−xa
y−46−4
= x−3−1−3
y−42
= x−3−4
−4 y+16=2 x−6
x+2 y=22
Misalkan titik tinggi pada garis itu adalah titik E sehingga didapat mAC=−12
, karena AC
tegak lurus BE sehingga didapat mBE=2
Persamaan Garis Tinggi BE :
y− yb=mBE(x−xb)
y−5=2(x+2)
y−5=2 x+4
2 x− y=−9 …….(2)
Persamaan Garis AB :
y− ya
yb− ya
=x−xa
xb−xa
y−45−4
= x−3−2−3
y−41
= x−3−5
−5 y+20=x−3
x+5 y=23
Misalkan titik tinggi pada garis itu adalah titik F sehingga didapat mAB=−15
, karena AB
tegak lurus CF sehingga didapat mCF=5
Persamaan Garis Tinggi CF :
Geometri Analitik Page 41
y− yc=mCF( x−xc)
y−6=5 (x+1)
y−6=5 x+5
5 x− y=−11 …….(3)
Untuk mendapatkan koordinat titik tinggi pada segitiga maka kita harus mendapatkan titik potong antara ketiga garis tinggi AD, BE, dan CF.
Eliminasi Persamaan (2) dan (3) sehingga didapat nilai x=−23
dan y=723
, nilai x dan y ini
adalah koordinat titik tinggi pada segitiga ABC
c) Luas Segitiga ABC
Untuk mencari luas segitiga jika diketahui ketiga titik sudutnya kita cari dengan menggunakan rumus :
L=12|xa ya 1
xb yb 1xc yc 1|
Sehingga :
L=12| 3 4 1
−2 5 1−1 6 1|
Diselesaikan dengan Metode Sarrus, yaitu :
L=12| 3 4 1
−2 5 1−1 6 1||
3 4−2 5−1 6|
Didapat :
L=|12{ [15+(−4 )+(−12 ) ]− [ (−5 )+18+(−8 ) ]}|
L=|12{−1−5 }|
L=3
Geometri Analitik Page 42
d) Sudut Puncak C
Panjang AB :
|AB|=√(xa−xb)2+( ya− yb)
2
|AB|=√(3−(−2))2+(4−5)2
|AB|=√(5)2+(−1)2
|AB|=√25+1=√26
Panjang AC :
|AC|=√(xa−xc )2+( ya− yc)
2
|AC|=√(3−(−1))2+(4−6)2
|AC|=√(4)2+(−2)2
|AB|=√16+4=√20
Panjang BC :
|BC|=√(xb−xc )2+( yb− yc)
2
|BC|=√¿¿
|BC|=√(−1)2+(−1)2
|BC|=√1+1=√2
Rumus hubungan Cosinus sudut dengan garis yang berada di depannya
|AB|2=|AC|2+|BC|2+2|AC||BC|cosC
26=20+2+2√20√2 cosC
26=22+2√40 cosC
4=4√10 cosC
cosC= 44 √10
=√1010
C=71,560=71034 '
Geometri Analitik Page 43
e) Pusat dan Jari-jari Lingkaran Luar ABC
Lingkaran Luar ABC mendefinisikan bahwa titik sudut A, B, dan C terletak pada lingkaran tersebut.
Misalkan persamaan lingkaran tersebut x2+ y2+ Ax+By+C=0
Titik A (3,4) pada lingkaran sehingga :
(3)2+(4)2+ A (3)+B(4 )+C=0
3 A+4B+C=−25 …………(1)
Titik B (-2,5) pada lingkaran sehingga :
(−2)2+(5)2+A (−2)+B(5)+C=0
−2 A+5 B+C=−29…………(2)
Titik C (-1,6) pada lingkaran sehingga :
(−1)2+(6)2+ A(−1)+B(6)+C=0
−A+6 B+C=−37 …………(3)
Melakukan penyelesaian terhadap persamaan (1), (2), dan (3) dengan cara eliminasi Gauss-
Jordan sehingga di dapat nilai A=−23
, B=−223
, dan C=193
Sehingga didapatkan Persamaan Lingkaran Luar ABC nya :
x2+ y2−23
x−223
y+193
=0
Pusat lingkarannya : P(−12
A ,−12
B)=P( 13
,113 )=P( 1
3,3
23 )
Jari-jari nya :
r=√ 14
A2+ 14
B2−C
r=√ 14
.49+ 1
4.
4649
−193
r=√ 19+ 121
9−57
9
Geometri Analitik Page 44
r=√ 659
r=13
√65
f) Titik sudut D, kalau ABCD Jajargenjang.
Jika ABCD merupakan Jajargenjang maka harus terpenuhi jarak BC = Jarak AD, dan jarak AB = Jarak CD. Misalkan koordinat titik D(x,y), sehingga :
jarak BC = Jarak AD , dan |BC|=√2 (butir soal d), jadi :
|AD|=√(xd−xa)2+( yd− ya)
2
√2=√(xd−3)2+( yd−4)2
2=x2−6 x+9+ y2−8 y+16
x2+ y2−6 x−8 y+23=0 …………(1)
jarak AB = Jarak CD , dan |AB|=√26 (butir soal d), jadi :
|CD|=√(xd−xc )2+( yd− yc)
2
√26=√(xd+1)2+( yd−6)2
26=x2+2 x+1+ y2−12 y+36
x2+ y2+2 x−12 y+11=0…………(2)
Eliminasi x2+ y2 pada persamaan (1) dan (2) sehingga didapat persamaan 8 x−4 y=12 atau 2 x− y=3 atau y=2 x−3 ……… …….(3)
Substitusi nilai y ke salah satu persamaan (1) atau (2) sehingga didapat :
x1=145
, x2=4
Masukkan nilai x ke persamaan (3) sehingga didapat :
y1=−25
, y2=5
Karena koordinat D terletak di Kuadran 1, maka koordinat titik D adalah (4,5).
Geometri Analitik Page 45
g) titik P pada garis y + 2x = 0 yang berjarak sama terhadap B dan C
Misalkan koordinat titik P adalah P (x,y) :
Sehingga |PB|=|PC|
√¿¿
√¿¿
x2+4 x+4+ y2−10 y+25=x2+2 x+1+ y2−12 y+36
2 x+2 y=8
x+ y=4 …….(1)
Substitusi persamaan (1) ke Persamaan y + 2x = 0
Sehingga didapat x = - 4 lalu substitusikan ke persamaan (1) didapat y = 8, sehingga didapat koordinat titik P (-4,8).
h) titik Q pada sumbu x yang berjarak sama dari garis-garis BC dan AC .
Persamaan Garis BC : x – y + 7 = 0 (butir soal b)
Persamaan Garis AC : x + 2y – 11 = 0 (butir soal b).
Rumus jarak titik ke garis :
|d|=|Ax+By+C
√A2+B2 ||A1 x+B1 y+C1
√ A12+B1
2 |=| A2 x+B2 y+C2
√ A22+B2
2 ||(1 ) x+(−1 )(0)+7
√(1)2+(−1)2 |=|(1 ) x+(2 ) (0 )−11
√(1)2+(2)2 ||x+7
√2 |=|x−11
√5 |Kuadratkan Kedua ruas, sehingga di dapat :
x2+14 x+492
= x2−22 x+1215
5 x2+70 x+2451
=2 x2−44 x+2421
Geometri Analitik Page 46
3 x2+114 x+3=0
Dengan rumus ABC diperoleh
x=−13
(57 ±17√10)
Sehingga diperoleh koordinat titik Q :
Q(−13
(57 ± 17√10 ) , 0)
Geometri Analitik Page 47