TURUNAN PARSIAL

7.1 UMUM

Bahasan kita mengenai fungsi didepan hanyalah terbatas pada fungsi = (x) dari satuvariabel x. Suatu besaran fisika, yang secara kuantitatif kita kaitkan dengan suatu fungsi,suhu T ruang misalnya, berbeda dari satu tempat ke tempat lainnya, yang berarti =

(x,y,z), suatu fungsi daari tiga variabel x,y, dan z, yang berkaitan dengan ketiga koordinatsebuah titik dalam ruang.

Dalam bab ini kita akan membahas tentang definisi fungsi lebih dari satu variabel,diferensialnya, dan persoalan ekstrem fungsi variabel banyak, takterkendala dan yangterkendala.

7.2. PENGERTIAN TURUNAN PARSIAL (fismat3)start

Untuk memperoleh pengertian awal mengenai turunan parsial, marilah kita tinjau selembarpelat logam datar panas D yang dalam keadaan mantap tersebar suhu takseragam T.Andaikan bidang koordinat xy dipilih pada bidang pelat logam . maka sebaran suhunyadinyatakan oleh fungsi dua variaabel := ( , ) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(7.1)

Untuk mengetahui rata- rata perubahan suhu pelat ∇ per satuan panjang dalam arahsumbu x,sejauh ∆ ,untuk oirdinat yng tetap,kita hitung nisbah:∆∆ = ( , ) − ( , )∆ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(7.2)

Begitupula, rata-rata perubahan suhu ∆ persatuan panjang dalam arah sumbu –ysejauh ∆ ,untuk absis x yang tetap,diberikan oleh nisbah:∆∆ = ( , + ∆ ) − ( , )∆ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(7.3)

Lasimnya kita cendeeung menghitung peubahan suhu persatuan panjang disetiap titik(x.y). dalam hal ini,kita mengambil ∆ → 0, dan ∆ → 0,pada masing- masing nilai nisbahdiatas, kemudian menghitung limitnya ada, kita tulis:

= lim∆ → ( + ∆ , ) − ( , )∆ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(7.4 )= lim∆ → ( , + ∆ ) − ( , )∆ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(7.4 )

Berturut-turut, menyatakan perubahan suhu per satuan panjang di setiap titik

dalam arah x,dan y.

Secara matematis,dari ruas kanan pers (7.4) terbaca bahwa :

adalah fungsi f(x,y) terhadap x dengan memperlakukan y, sebagai suatu tetapan,yang

disebut turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap ; sedangkan

adalah turunan fungsi f(x,y) terhadap y dengan memperlakukan x sebagai suatu tetapan,

yang disebut turunan persial fungsi f (x,y) terhadap y .

Lambang lain yang digunakan bagi adalah fx (d,y) begitu pula bagi adalah fx (x,y) .

Secara geometris, jika x,y dan z adalah koordinat – koordinat kartesis, maka (x,y,z)menyatakan himpunan titik dalam ruang berdimensi tiga. Dalam z bergantung pada koordinatx, dany melalui persamaan = ( , ), maka himpunan titik ( , , = ( , ) menyatakansuaatu permukaan s dalam ruang berdimensi tiga , seperti diperlihatkan pada gambar 7.1.Persamaan = ( , )selanjutnya disebut persamaan pemukaan S. Himpunan titik padapersamaan S yang koordinat x-nya tak berubah, = tetap, jadi memenuhi persamaan= ( , ), terletak padasebuah kurva dengan koordinat y yang berperan sebagaiparameter kurva. Ini adalah kurva irisan bidang = dengan permukaan = ( , ),yakni kurva AB pada gambar 7.1. Begitupula, permukaan = ( , ), yakni garis CD padagambar 7.1. Jika = = tetap,maka persamaan ( , ) = disebut kontur atau tingkatkurva dari permukaan = ( , )

Z S

C

A B

D

O

Y

X

Gambar 7.1

Dengan tafsiran geometris ini, turunan parsial dan berturut-turut menyatakan

kemiringan permukaan S sepanjang kurva = ( , ) dan = ( , ).Karena turunan parsial (7.4) pada umumnya juga merupakan fungsi dari x dan y. Maka jikaditurunkan lebih lanjut kita menuliskannya sebagai berikut :≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡

Yang disebut turunan parsial kedua.(perhatika baik-baik urutan variabel pada keduapenulisan diruas kanan). Begitu seterusnya untuk semua turunan yang lebih tinggi.

CONTOH 7.2:

Misalkan ( , ) = − sin( ).maka= − cos( , ), = 2 − cos ( )= = { − cos( )} = sin= ⟨2 − cos( )⟩ = 2 − cos + cos ( )= ( − cos ( )) − 2 cos + cos ( )

= = ⟨2 − cos( )⟩ = 2 + sinDan seterusnya. Tampak bahwa

Perlu dicatat bahwa kesamaan turunan campuran ini dijamin berlaku jika fxy dan fyx kontinupada titik yang ditinjau.

CONTOH 7.2:

Tinjau persamaan gas ideal = , dengan P,V, dan T berturut-turut adalah tekanan,volume dan suhu gas ideal ; sedangkan n adalah jumlah mol gas , dan R suatu tetapan fisika ,yakni tetapan gas semesta(universal). Berikut kita akan menganggapn tetap.

Jika persamaan nya kita pecahkan bagi P, kita peroleh :

=Sebagai fungsi dari T dan V, sehingga fungsi dari T dan V, sehingga= dan = ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(7.6)Sebaiknya, pemecahan persamaan keadaan gas ideal bagi V memberikan :

= PDimana sekarang P dan T adalah variabel bebas. Dengan demikian, kita peroleh := dan = ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(7.7)

Jika T kita nyatakan sebagai fungsi dari P dan V,yakni :

Maka == dan = ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(7.8)Dari pers.(7.7) dan (7.8) kita peroleh = − = − =−1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(7.9)Perhatian ,jika ruas kiri kita perlakukan sebagai perkalian tiga buah pecahan , kita seharusnyamemperoleh nilai 1; suatu perbedaan penting yang perlu dicatat!

Jika = ( , , , … ) adalah fungsi dari tiga variabel x,y,dan z,atau lebih, kita definisikan

pula turunan parsial , , dan seperti diatas.

7.3. DIFERENSIAL TOTAL

Pada bahasan turunan parsial di atas , kita hanyalah meninjau perubahan fungsi perubahanfungsi f(x,y) terhadap pertambahan salah satu variabelnya,x atau y. Tentu saja kiat akanbertanya pula tentang bagaimanakah perubahan fungsi f(x,y) bila x dan y keduanyabertambah secara bebas?

Misalkan fungsi f(x,y) mempunyai turunan parsial di (x,y). Pertambahan fungsi f(x,y) jika xbertambah menjadi + ∆ , dan y menjadi ∆ alah :∆ = ( + ∆ , + ∆ ) − ( , )…………………………………………………(7.10)Jika ditambahkan dan kurangkan ( , + ∆ ) di ruas kanan, kita peroleh:∆ = [ ( + ∆ ∆, + ∆ ) − ( , + ∆ )] + [ ( , + ∆ ) − ( , )]........................(7.11)

Suku pertama dalam kurung siku pada ruas kanan pers.(7.11) adalah pertambahan x dalamfungsi ( , + ∆ ) dengan mempertahankan + ∆ tetap. karena itu, kita sebnarnyaberurusan dengan fungsi satu variabel x; untuk mana berlaku teorema nilai rata-rata kalukus.Teorema ini mengatakan:

Jika ( ) memiliki turunan ( ) pada setiap titik dalam selang : [ − ∆ , + ∆ ], maka[ ( + ∆ ) − ( )] = ()∆ ........................................................(7.12)

Dengan = + ∆ (0 < < 1) sebuah titik dalam selang [ − ∆ , + ∆ ]Dengan demikian ,kita dapat menulis :[ ( + ∆ , + ∆ ) − ( , + ∆ )] = ( + ∆ , +∆ )∆ .............................................(7.13)

Dengan 0 ≤ < 1. dengan cara yang sama ,penerapan teorema nilai rata-rata pada sukukedua pers.(7.11), dengan x dipertahankan tetap, menghasilkan:

│ ( , + ∆ − ( , )│= (x,y + ∆ )∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(7.14)

Dengan 0< <1

Jika turunan parsial (x,y) dan (x,y) kontinu di (x,y) , maka:(x + ∆ , + ∆ ) = (x,y)+(x,y + ∆ ) = (x,y)+

Dengan lim = 0, lim = 0, ∆ ∆ .Dengan demikian ,pers.(7.11)menjadi :∆ = (x,y)∆ + (x,y)∆ + ∆ + ∆Dengan mengambil limit∆ → 0, ∆ → 0, ℎ ( , ):df = + ..........................................................................................(7.17)

definisi diatas berlaku pula untuk fungsi dari tiga atau fungsi dari tiga atau lebih variabel,f(x,y,z,...),yakni :

df = + + +⋯ (7.18)

setiap fungsi f(x,y) yang diferensialnya df memenuhi hubungan diferensial totol (7.18)disebut diferensial eksak..

Contoh 7.3:

Hitunglah difirinsial totol fungsi f (x,y) pada contoh 6.1

PEMECAHAN :

Karena fx = y cos (xy),dan fy,dan fy = 2 – cos (x,y) kontinu,maka

persamaan (7.17) menghasilkan : df = – cos ( ) + 2 – cos( )CONTOH 7.4 : KESALAHAN RELATIF PENGUKURAN

Percepatan gravitasi dapat ditentukan dari panjang 1 dan periode T bandul matematis;rumusnya adalah : g = 4 I/ . Tentukan kesalahan relatif terbesar dalam perhitungan g jikakeselahan relatif dalam pengukuran I adalah 5%, dan T, 2%.

PEMECAHAN :

Kesalahan relatif dalam pengukuran I adalah kesalahan sebenarnya dalam pengukuransebagian dengan panjang terukur I.karena kita dapat mengukur I lebih besar atau kecil dari I

sesungguhnya, maka kesalahan relatif terbesar dI/I mungkin – 0,05 0,05. begitu pula│

dT/T │terberas adalah 0,02.karena kita menginginkan │dg/g│, kita hitung turunan dari Ln g.

Dari hubungan g = 4 I / , kita peroleh : Ln g = Ln (4 ) + – dengan demikian

dg/g = dI/I – 2 /Karena menurut keteksamaan segitiga :

dg/g = dI/I – 2 /maka, kesalahan relatif terbesar │dg/g│= 0,05 +2(0,02) = 0,09ATURAN RANTAI

Tinjaulah kembali fungsi z = f (x,y), yang secara geomitris menyatakan persaamaanpermukaan S dalam ruang. Jika variabel x dan y berubah sepanjang kurva C sebarang yangpersamaan parameternya adalah:

x = x(s), dan y = y(s)........................................................................................................ (7.19)

dengan s sebagai parameter, maka sepanjang kurva tersebut, z adalah fungsi dari s, 1 variabel:

x = f (x(s) ,y (s)) = z (s)....................................................................................................(7.20)

sehingga sepanjang kurva C:

dx = , dy = ds , dz = ds..........................................................................

(7.21)

dengan demikian, menurut pers. (7.17):

= + ........................................................................................................... (7.22)

Untuk kasus khusus :

z = f (x,y); y= f(x); x bebas

= +Perlkuasannya untuk fungsi dari n > 2 = ( , , … ) dengan masing – masingvariabelnya x,y,z...,fungsi dari m variabel u,v,w,...,(m< ) :

x = x (u,v,w,...); y= y(u,v,w...); z=z (u,v,w)

adalah langsung . menurut persamaan (7.18) :

df = dx + dy + + ..(7.23a)

karena masing – masing variabel x,y,z,...adalah jika fungsi dari u,v,w...,maka menurut dalam(7.18):

dx = du + dv+ d +⋯dy = du + dv+ d +⋯ (7.23b)

dz = du + dv+ d +⋯sisipkan (7.23b)ke dalam (7.23a) memberikan :

df = ( + + +⋯) du + + + +⋯ +⋯(7.23c)

contoh 7.5 :

Jika f = +2 – , = + , = − ,dan z = 2u,tentukanlah dan

PEMECAHAN :

Menurut pers. (7.23c):

= + += (2x + 2 )(1) + (2 − ) + (− / )(2)= 4 + 2 – − 2 /2= + += (2 + 2 )(2 ) + (2 − )(−2 ) + (− / )( )= 4vy + 2

74. FUNGSI IMPLISIT

Pada bahasan di atas,ketergantungan salah satu variabel pada yang lainnya diberikandalam bentuk eksplisit, seperti y = f(x).Berikut kita akan meninjau ketergantungan variabeldiberikan dalam bentuk implisit seperti ∅ ( , ) = . Untuk menghitung dy/dx, kita dapatterlebih dahulu memecahkan persamaan ∅ ( , ) = bagi y kemudian menurunkannyaterhadap x.Tetapi cara yang seringkali cukup rumit,dapat di atas,karena menurut pers.(7.17) :

d∅ = ∅dx + ∅

dy = 0

yang darinya kita peroleh := −( ∅/∅/ )Asalkan

∅ ≠ 0.Secarageometris,fungsiemplisit ∅( , ) = 0menyatakan sebuah kurva pada

bidang x,y. dan menyatakan kemiringan garis singgungnya di titik (x,y) dimana∅ ≠ 0

Contoh 7.6

Tentukan kemiringan garis singgu pada kurva + 2 − 4 + 7 = 3 di titik (1,−1).PEMECAHAN :

Tuliskan persamaan kurva di atasnya kebalikan denan ruas kanan nol:∅( , ) ( + 2 − 4 + 7 − 3) = 0Turunan persial ∅( , )terhadap x dan y

:∅

= (2x −4 + 7) di titik (1,−1) : ∅ = 13:∅

= (4y −4 ) di titik (1,−1) : ∅ = −8Jadi, kemiringan kurva di titik (1,−1) adalah= −( ∅/∅/ ) = − ( )( ) ]( , ) = 13/8Untuk fungsi implisit dalam tiga atau lebih variabel x, y, z...,yakni : ∅( , . , … ) = 0Menurut pers. (7.18)

Jika ∅/ ≠ 0, ℎ ∶dz = −( ∅ + ∅ +⋯)/( ∅/ )Dari persamaan ini terbaca :

= -∅

:∅

, = -∅

:∅

(7.24)

PENERAPAN DALAM TERMODINAMIKA

Penerapan turunan parsial untuk mendapatkan hubungan antara berbagai besaranfisika, lebih sering digunakan dalam cabang Termodinamika, yang mengkaji kaitan antaraenergi dan kalor.Hukum pertama Termodinamika mengatakan bahwa jika pada sebuah sistemyang berinteraksi secara termal dengan lingkungan melakukan usaha terhadap lingkungan

sebesar W,maka sistem tersebut akan mengalami pertambahan energi dalam dU, danmenerima atau melepas kalor sbanyak Q,menurut hubungan :

Q = dU + W (7.25)

Notasi Q dan W untuk membedakan bahwa pertambahan kalor, dan usaha bergantungpada jenis proses, sedangkan dU menyatakan deferensial total fungsi energi dalam sistem.Untuk sistem gas keadaan sistem ditentukan oleh suhu T,tekanan P,dan volume V,yangberkaitan melalui suatu persamaan keadaan :

F (P. V. T.) = 0

Sebagai contoh, untuk gas ideal berlaku PV =nRT.Bagi sistem gas, energi dalam U padaumumnya merupakan fungsi dari suhu T dan volume V, U(T, V),sedangkan W =PdV,dengan P tekanan gas.

Hukum Termodinamika kedua menyatakan bahwa bagi proses irreversibel (terbalikkan),kalorQ = TdS,dengan S adalah entropi. Dengan demikian,hukum pertama dapat dinyatakan

dalam diferensial total sebagai berikut :

TdS = dU + PdV, atau dU = -TdS + PdV (7.26)

Persamaan tersebut memperlihatkan bahwa energi dalam U juga merupakan fungsi darientropi S,dan volume V,U = U( S, V). Jadi, menurut rumusan diferensial total :

dU= + (7.27)

Pebandingan antara persamaan 1 dan 2 memperlihatkan bahwa berlaku hubungan := − (7.28a)

= P (7.28b)

Turunan parsial silang (3) adalah

= - ; =

Karena = , maka - = (7.29)

Persamaan kedua (4) adalah salah satu dari sehimpunan relasi Maxwell antara besaran-besaran termodinamika.

Dengan cara yang sama, diturunkan pula relasi-relasi Maxwell berikut :

= ; = ; = (7.30)

PERSOALAN EKSTREM TAKTERKENDALA

Pada fungsi dua variabel z = f(x,y), atau lebih, berlaku pla persyaratan ekstrem yangsama, yang dapat dinaar berikut. Misalkan P( , ) adalah titik ekstrem fungsi z = f(x,y).

Dengan memilih y = = tetap, maka z = f(x,y) menjadi fungsi dari variabel x, sedangkanjika dipilih x = , = tetap, maka z = f(x,y) menjadi fungsi dari satu variabel y. Dengan

demikian, belaku syarat ekstrem seperti pada fungsi satu variabel, tetapi dalam hal ini ada duapersamaan, yakni :( , ) = 0 dan ( , ) = 0Jika variabel x dan y adalah bebas, maka persoalan ekstrem ini disebut ekstrem takterkendala(unconstraint).

Untuk mencirikan jenis ekstremnya, kita perlu menghitung turunan parsial keduanya, ,, dan dan besaran :

D = det ( 7.31)

Penentuan jenis ekstremnya sebagai berikut :

Titik (a,b) adalah titik ekstrem fungsi f (x,y) jenis :

(a). Maksimum, jika : (a,b) < 0, dan D > 0(b).Minimum, , jika : (a,b) > 0, dan D > 0(c). Titik pelana ( saddle), (a,b) < 0, dan D > 0

Jika D = 0, tak ada yang dapat kita simpulkan mengenai jenis ekstrem fungsi z =f(x,y)

CONTOH 7.8 :

Carilah titik ekstrem dari fungsi f(x,y) = xy-x2-y2-2x-2y+4, dan tentukan jenis ekstremnya.

PEMECAHAN

Dari syarat ekstrem (7.30), kita peroleh :

= y-2x-2y = 0, = x-2y-2 = 0

Atau x = y = -2

Jadi titik P(-2,-2) adalah satu-satunya titik ekstrem fumgsi f. Jenis ekstremnya,kta tentukandari urunan kedua fungsi f :

= -2, = -2, = 1

Dan nilai diskriminannya di titik ( -2,-2 ) adalah titik ekstrem maksimum fungsi f. Nilaiekstremnya adalah :

F (-2,-2 ) = 8

PERSOALAN EKSTREM TERKENDALA

Pada persoalan ekstrem fungsi f(x, y, z) yang ditinjau di atas variabel x dan y berubah secarabebas. Ttapi dalam berbagai persoalan fisika dan geometri, variabel x dan y seringkalidiisyaratkan memenuhi suatu hubungan tertentu, Φ(x, y, z) = 0. Di dalam bab ini akan kitabahas dua cara pemecahannya, yaitu cara eliminasi dan pengali Lagrange.

CARA ELIMINASI :

Pada cara eliminasi, kita pecahkan dahulu persamaan kendala, Φ(x, y, z) = 0 untuk salah satuvariabel, kemudian mengunakannya untuk mengeliminasi variabel bersangkutan dari fungsi f,dan slanjutnya mencarikan nilai ekstrem fungsi f dalam variabel yang sisa. Sebagai contohtinjaulah contoh soal berikut :

CONTOH 7.9

Tentukan letak titik P(a,b) pada sebuah permukaan bidang V : x-y+2z = 2, yang jaraknyaterdekat ke titik awal 0.

PEMECAHAN

Pada bab 4 kita pelajari bahwa jarak sebuah titik Px, y, z) ke titik asal O adalah : | | =+ + 2. Karena | | minimum jika fungsi :

F(x, y, z) = x2+y2+z2

Maka kita dapat mengambil f sebagai fungsi yang hendak dicari nilai ekstremnya. Karenatitik P(x, y, z) haruslah terletak pada bidang V : x-y+2z = 2, maka persamaan bidang iniadalah persamaan kendala.

Φ(x, y, z) = x-y+2z-2 = 0

Cara jelas untuk memecahkan persoalan ekstrem terkendala ini adalah cara eliminasi, yaitumemecahkan dahulu persaman kendala bagi salah satu variabel kemudian dsisipkan ke dalamfungsi. Dari persamaan kendal kita peroleh :

Y = x + 2z -2

Sisipkan ke dalam fungsi kuadrat jarak f, memberikan :

F(x, y (x, z),z) = x2 + ( x+ 2z – 2)2 + z2

= 2x2 + 4xz + 5z2 - 4x - 8z +4

Penerapan syarat eksrem, memberikan :

Fx = 4x + 4z – 4 = 0, fz = 4x + 10z – 8 = 0

Pemecahannya memberikan : x = , dan z = . Untuk menyelidiki jenis ekstrem yang

bersangkutan, dalam variabel ( x, z), kita hitung lagi turunan parsial keduanya :

Fxx = 4, fzz = 10, fxz = fzx, = 4

Karena D = fxxfzz – f2zz = (4) (10) – 42 = 24 > 0, dan fxx > 0, maka ( , ) adalah titik ekstrem

minimum fungsi f(x, z). Koordinat dari titik pada bidang : x- y + 2z = 2 adalah y = - . Jadi

titik terdekat yang kita cari adalah : P ( , - , ).

METODE PENGALI LAGRANGE:

Persamaan kendala ( , , ) = 0 seringkali sangatlah rumit untukdipecahkan,begitupula halnya dengan pemecahan syarat ekstrem : =0, =0,atau dalam duavariabel lainya.Untuk mengatasinya,matematikawan Prancis Louis Lagrangemengembangkan model pengali Lagrane,yang menghasilkan suatu sistem persamaan setarayang relatif mudah mencari pemecahanya .Gagasan dasarnya bertolak dari hasil penalaranberikut.

Telah kita lihat bahwa syarat perlu bagi fungsi f (x,y,z) memiliki suatu nilai ekstremadalah =0, =0, =0.Karena df = + + ,maka dititik ekstrem berlaku :

df = + + = 0

(7.23)

Sebaliknya,jika df = 0,maka =0, =0, =0,karena dx,dy,dan dz bebas linear.Jika :( , , )0(7.23)

Adalah persamaan kendala juga berlaku : = + + = 0(7.34)

Kalikan pers (7.34 ) dengan sebuah parameter kemudian jumlah kan dengan persamaan(7.32) memeberikan : ( + ) + + + ( + ) = 0

(7.35)

Dengan memandang x,y,dan z bebas,maka dx,dy,dan dz juga bebas sehingga kita peroleh :( + ) = 0 , + = 0, ( + ) = 0(7.36)

Ketiga persamaan (7.36) bersama dengan persamaan kendala (7.33) memberikan empatsistem persamaan yang dapat dipecahkan bagi keempat variabel x,y,z, dan .

Sistem persamaan (7.33) dan (7.36) dapat dipandang sebagai persamaan syaratekstrem dari fungsi : ( , , ) = +CONTOH 7.10 :

Tentukanlah ukuran ketiga sisi sebuah kotak,tampa penutup atas,dengan volumemaksimum,jika luas permukaanya 108 .

PEMECAHAN :

Tinjau kotaknya berada dalam oktan pertama dan ketiga sisinya berimpit dengansumbu x,y,dan z.Maka volume kotak ini adalah xyz.Jadi fungsi yang hendak diselidikiekstremnya adalah : ( , , ) =Jumlah luas kotak tampa penutup alas adalah : L : xy + 2xz + 2yz .Karna luas permukaankotak dikendalakan bernilai 108 , maka persamaan kendalanya adalah :( , , ) = + 2 + 2 = 108

(7.37)

Persamaan (7.36) menghasilkan : + ( + 2 ) = 0+ ( + 2 ) = 0(7.38) + (2 + 2 ) = 0Untuk memecahkanya ,kalikan persamaan pertama dengan x ,kedua kalikan dengan y ,danketiga dengan z ,kemudian jumlahkan, kita peroleh :+ ( − 2 + 2 ) = 0Gunakan persamaan kendala (7.37) , memberikan :+ 108 = 0 , atau = −Sisipkan kembali nilai ini kedalam (3.78),kemudian sederhanakan kita peroleh :1 − ( + 2 ) = 01 − ( + 2 ) = 01 − ( 2 + 2 ) = 0

Dari kedua persamaan pertama kita peroleh x = y.Sisipkan x = y kedalam persamaanketiga,memberikan z = 18/y. Sisipkan x dan y kedalam persamaan pertama , menghasilkan x= 6.

Jadi x = 6, y = 6,z = 3 memberikan ukuran sisi kotak yang dikehendaki.

DUA ATAU LEBIH KENDALA.

Perluasan metode pengali Lagrange untuk persoalan mencari nilai ekstrem fungsi fdengan variabel n dan m kendala ( m < n ) ditempuh dengan cara yang sama.Tinjau fungsi := ( , , ) (7.39)

Dengan m buah kendala :( , , ) = 0 ( = 1,2, … . , ) (7.40)

Dalam hal ini , kita bentuk fungsi baru( , , , , , … , ) = + ∑ (7.41)

Dengan mengangap ( , , , , , … , ) bebas,kitaperoleh sistem persamaan berikutbagi persyaratan ekstrem fungsi F :

= + = 0 (7.42 )= + = 0 (7.42b)= + = 0 (7.42c)= = 0 ( = 1 ,2 , …… , ) (7.42d)

Pemecahanya memberikan nilai ekstrem yang dicari.

CONTOH 7.11

Carilah titik-titik pada kurva perpotongan kerucut : = + dengan bidang V : x + y- z =1 , yang jaraknya ketitik asal O adalah terdekat dan terjauh.

PEMECAHAN

Disini fungsi yang hendak dicari nilai ekstremnya adalah kuadrat jarak antara titik(x,y,z) ketitik asal O (0,0,0):

( , , ) = + +Dengan kendala :

(x,y,z) pada kerucut K : ( , , ) = + − = 0(x,y,z) pada bidang V : ℎ( , , ) = 1 + + − = 0

Untuk menerapkan metode pengali Lagrange,kita bentuk fungsi :( , , ) = + + ℎ(7.43)

Persyratan ekstrem (7.42) memberikan :2 + 2 + = 0 (7.44a)2 + 2 + = 0 (7.44b)2 − 2 − = 0 (7.44c)+ − = 0 (7.44d)1 + + − = 0 (7.44e)

Dari (7.44a) dan (7.44b) kita peroleh :( − ) = − ( − ) (7.45)

Sedangkan dari (7.44b) dan (7.44c) :( + ) = − ( − ) (7.46)

Persamaan (7.45)dipenuhi jika = atau jika ≠ y, λ = −1.Marilah kita selidiki apakah λ = −1,memberikan titik pada kurva perpotongan C . Dari (7.46)kita peroleh : + = − atau = 0Dan pers. (7.44d) memberikan : + = 0, atau = 0 , = 0.Karena titik (0,0,0) takmemenuhi persamaan bidang (7.44e) ,maka pemecahan = −1 diabaikan !

Karna itu kita peroleh pemecahan :≠ 1 dan = (7.47)

Sisipkan ( 7.47) kedalam ( 7.44e),kita peroleh :

= 1 + 2 (7.48)

Sisipkan ( 7.47) dan ( 7.48) kedalam ( 7.44d):+ − (1 + 2 ) = 02 + 4 + 1 ,yang memiliki akar –akar

: −1 ± √Jadi ,titik – titik yang dipertanyakan adalah:( −1 + √ , −1 + √ , −1 + √2 )

dan ( −1 − √ , −1 − √ , −1 − √2 )Sisipkan koordinat titk P kedalam fungsi jarak := + + = 2 + (1 + 2 ) = 6 + 4 + 1= 4 + (2 + 4 + 1) = 4 + 0 = 4

Untuk di titik P : ( ) = 4 1 − √2 + = 4 ( − √2)Untuk titik

2

2

34

2

1214)(QfQ

Jika kurva perpotongan antara kerucut K dan bidang V adalah elips, maka P adalahtitik terdekat, sedangkan Q titik terjauh ke titik asal 0(0,0,0). Sedangkan, jika C adalahhiperbola, maka P dan Q adalah titik terdekat, dari masing-masing cabang, ke titik asal 0.(selidiki jenis kurva C).

SOAL-SOAL :

TURUNAN PARSIAL :

1. Hitunglahy

zdan

x

z

, untuk setiap fungsi berikut :

(a). ,x

yz

(b). ,sin 2 yxxyz

(c). znez y 1

2. Hitunglahz

udan

y

u

x

u

,, untuk setiap fungsih berikut :

(a). ,22 xzyzxyu

(b). ,1 xynxyzu

(c).

y

xxu 1sin

3. Perlihatkan bahwa jika :

(a). 0,1tan,2

2

2

2221

y

f

x

fmakayxn

x

yyxf

(b). 0,,,2

2

2

2

2

2222

z

f

y

f

x

fmakazyxzyxf

ATURAN RANTAI :

4. Hitunglaht

u

dengan cara :

(a). Nyatakan dahulu u sebagai fungsih eksplisit dari t,

(b).Gunakan aturan rantai, jika :

(a) tytxxyxeu y ,,sin 2

(b) tezteyexzyxu ttt sin,cos,,222

5. Jika ,, xyeyxf dengan ,tan,1 122

v

uydanvunx hitunglah

.,v

fdan

u

f

6. Hitunglah 3 di (x,y,z) = (1,1,1), jika 224/,,cos yxvxyzuuvw

FUNGSIH EMPLISIT :

7. Hitunglahy

zdan

x

z

, jika :

(a). 0sin 33 zzxy

(b). 03 2 yzxzxy

NILAI EKSTREM :

8. Selidiki titik ekstrem maksimum, minimum, dan pelana serta nilai ekstrem yang

bersangkutan dari fungsih-fungsih berikut :

(a). 43322 yxyxyxz

(b). 6233 xyyxz

(c). yxz sin

9. Sebuah pelat lingkaran ,122 yx dipanasi hingga suhunya di setiap titik (x,y) adalah

: .2, 22 xyxyxT Carilah titik terpanas dan terdingin pada pelat tersebut, dan

hitung pula nilai ekstremnya.

10. Suhu t pada setiap titik dalam ruang adalah T = 400xy2. Carilah suhu tertinggi pada

permukaan bola x2 + y2 + z2 = 1.

11. Carilah nilai maksimum fungsih W = xyz pada garis potong bidang x+y+z = 40, dan z =

x + y.

BAB VIII

INTEGRAL LIPAT DAN TRANSFORMASI KOORDINAT

8.1. UMUM

Dalam fisika, kitaseringkali perlu menghitung berbagai besaran fisika total suatu benda.Sebagai contoh, masa total benda bila rapat masanya diketahui, pusat massa, momenkelembaman (inersia), medan listrik yang ditimbulkan suatu distribusi muatan, dan lainsebagainya. Dalam hal bendanya berdimensi dua atau tiga, perhitungan kita umumnyamelibatkan integral lipat.

Pada bab ini disajikan defenisi integral lipat serta beberapa teorema, contohperhitungan, dan penerapannya dalam fisika. Perhitungan integrasi suatu integral lipatdilakukan dengan merumuskannya ulang sebagai suatu integral berulang atau bertahap.Sebagai contoh, untuk menghitung massa pelat datar (berdimensi dua), integral lipatnya yangdisebut integral lipat dua, dirumuskan sebagai integral dua tahap dalam mana kita melakukandua kali integrasi. Dalam bab ini kita hanya membahas integral lipat dua dan tiga. Di sampingitu, dibahas pula transformasi koordinat pada pada variable integrasi, guna memudahkanperhitungan suatu integral lipat, yang memperkenalkan faktor determinan Jacobi. Khususnya,akan dibahas transformasi koordinat kartesis ke polar, untuk persoalan dua dimensi, dan kekoordinat silinder serta bola untuk persoalan tiga dimensi. Ketiga system koordinat initidaklah hanya penting bagi perhitungan integral lipat, tetapi juga bagi persoalan analisiskalkulus lainnya.

Bahasan bab ini akan diawali dengan pendefenisian integral lipat-2.

8.2. DEFENISI INTEGRAL LIPAT DUA

Marilah kita tinjau persoalan fisika menghitung massa total M suatu pelat datarberhingga (jadi berdimensi dua), dengan distribusi massa takseragam (nonuniform)

misalkan geometrikya berupa suatu daerah terbatas D dalam bidang kartesis xy, dengan rapat

massa atau massa per satuaan luas pada setiap titik (x,y) adalah yxf , seperti pada

gambar 8.1.y

ii yy yi

y

xi ii xx x

i

Gambar 8.1 daerah D pada bidang xy dengan elemen daerah kecil i

Kita akan menghitung dadulu nilai hampiran bagi massa totalnya. Untuk itu, daerah

pelat D kita bagi atas n-buah elemen daerah kecil n ,......,, 321 , dan memilih sebuah

titik wakil (xi,yi) didalam elemen daerah i (I = 1,2,3,….n). maka massa setiap elemendaerah si dihampiri oleh :

iyxfm 111 ,........................................................................................ (8.1)

Dengan i adalah luas elemen daerah i , massa total pelat D, dengan demikian,secara ham-piran diberikan oleh :

n

iii

n

yxfm11

111

, .................................................................. (8.2)

Hampiran diruas kanan mendekati nilai pasti M, jika pembagian elemen daerah i

dibuat sekecil mungkin sehingga 0i , yang dengan demikian meningkatkan jumlah

elemen daerah n . Jika kita memilih i berbentuk petak dengan sisi ii ydanx ,

maka iii yx , dan dalam keadaan limit diatas :

0,0,,lim11

iiii

n

iin

yxyxyxf............................. (8.3)

Limit pada ruas kanan, jika ada, dilambangkan oleh :

dxdyyxfD ,

............................................................................................. (8.4)

Yang disebut integral lipat dua (double integral) dari fungsih f (x,y) terhadap daerah D.Pembuktian keberadaan (existence) integral ini dapat dilihat pada buku-buku matematikalanjut. Juga bahwa limit M pada pers. (8.3) tidak bergantung pada cara pembagian D kedalam

elemen i , dan pemilihan titik wakil (xi, yi) dalam i . Ketiga sifat integral lipat dua berikutdapat dibuktikan melalui defenisi limit (8.3) :

(1). Jika f = f(x, y) dan g = g(x, y) dua fungsih terdefenisikan pada daerah D, maka:

D D D

gdxdyfdxdydxdygf....................................................... (8.5)

(2). Jika c sebuah tetapan, maka :

DD

fdxdycdxdycf................................................................................ (8.6)

(3). Jika D merupakan gabungan daerah D1 dan D2, atau 21 DDD , dan

,21 CDD sebuah kurva batas, maka :

21 DDD

fdxdyfdxdyfdxdy

.................................................................. (8.7)

8.3. INTEGRAL BERULANG DUA

Untuk dapat menghitung sebuah integral lipat, yang dalam pasal ini akan dikhususkanpada integral lipat dua, kita akan menggunakan suatu prosedur yang mengalihkanperhitungan integral lipat ke integral berulang. Pertama, kita akan batasi bahasannya padadaerah normal yang

Didefinisikan sebagai berikut.DEFINISI 8.2 :Suatu daerah D disebut normal terhadap :

(a) Sumbu –x,jika setiap garis tegak lurus sumbu –x hanya memotong dua kurva batas Dyang fungsi koordinatnya y = y1(x), dan y = y2(x) takberubah bentuk.

(b) Sumbu –y, jika setiap garis tegak lurus sumbu –y hanya memotong dua kurva batas Dyang fungsi koordinatnya x = x1(y), dan x = x2(y) takberubah bentuk.

Untuk kesan gambarnya, perhatikan daerah D1 dan D2 pada gambar 8.2. Daerah D1 normalterhadap sumbu –x, sedangkan D2 normal terhadap sumbu –y

y

0

y = y2 (x)

y = y1 (x)

xbxia

D1

(a)

y

0

b

x

D2

c

yi

d

x = x1 (y)x = x2 (y)

GAMBAR 8.2 (a). Daerah D1 normal terhadap sumbu -x.(b). Daerah D2 normal terhadapsumbu –y

Suatu daerah D dapat terjadi tidak normal terhadap sumbu –x maupun –y . dalam hal sepertiitu, daerah D dibagi kedalam beberapa subdaerah normal. Sebagai contoh, pada gambar 8.3,daerah D taknormal terhadap sumbu –x maupun –y, tetapi setiap subdaerah D1, D2 dan D3,normal terhadap sumbu-x(bagilah pula daerah D ke dalam sub-sub daerah yang normalterhhdap sumbu -y).

GAMBAR 8.3. Daerah D taknormal terhadap sumbu –x dan y dan y. Subdaerah D1, D2 danD3 normal terhadap sumbu –x

Sekarang, tinjaulah pelat D yang normal terhadap sumbu –x ,seperti pada gambar8.2a,dengan tepi bawah dibatasi oleh kurva y = y1(x), dan tepi atas oleh y = y2(x); sedangkantepi kiri dan kanannya masing-masing oleh garis tegak x = a, dan x = b, (b>a,bilangan tetap).Jadi, secara ringkas :

xyyxy

bxayxD 21,,

Jika rapat massa pelat D adalah f (x,y), maka integral lipat dua:

dxdyyxftD ,

Yang menyatakan massa totalnya, dihitung secara bertahap, melalui definisi limit, sebagaiberikut:

a. Ambil sebarang titik 0,1x pada sumbu-x, dengan bxa 1

b. Tarik garis x = x1, kemudian tinjau sebuah lempeng tegak dengan sumbu x = x1, dantebal ,1x dalam daerah D, yang disebut lempeng ke-i

c. Hitung lampiran massa tiap petak (i,j) pada koordinat 11, yx dalam lempeng ke-i,

0

y

x

D1D2 D3

y = y2 (x)

y = y1 (x)

x = x2 (y)

x = x1 (y)

yakni: 11111 , yxyxfm

d. Hitung massa total lempeng ke-i, sebagai limit jumlah seluruh petak di dalamnya:

0,,limlim

111

11111

yxyyxfn

mn

mn

jj

e. Massa total pelat adalah limit jumlah massa seluruh lempeng dalam D, yakni:

.0,0

,],[limlim

11

11111

1 11

ydanxdengan

xyyxfnm

mMn

j

m

i

m

i

f. Limit jumlah berulang di ruas kanan mendefinisikan integral berulang:

b

ax

xy

yy x

dxdyyxfI2

1

],

Jika kita memilih D noirmal terhadap sumbu-y, integral lipat duanya dihitung sebagai limitjumlah semua lempeng datar penyusun daerah D. Jika daerah

,,,;, 21 tetapbilangancddycyxxyxyxD maka integral lipat dua yang

bersangkutan dalam bentuk integral berulang dua adalah:

xy

yxx

d

cy

dydxyxfI2

1

],[

Bagaimana cara menghitung integral berulang (8,9), dan (8,10)? Tinjau kembali integralberulang (8,9). Berdasarkan urutan pengambilan limit jumlah (8,8), langkah perhitungannyaadalah sebgaia berikut:

1) Hitung integral tak tenatu dalam tanda kurung terhadap y dengan memperlakukan xsebagai suatu tetapan. Hasilnya, adalah suatu fungsi primitif dalam y:

dyyxfyx ,,

2) Sisipkan batas atas dan bawahnya, maka diperoleh hasil integral tentu:

xy

xy

xyxxyxdyyxfxg2

1

12 ,,,

3) Integral fungsi g(x) pada langkah (2), dari x=a s/d b, memberikan hasil akhir:

b

a

dxxgI

Langkah perhitungan yang sama dengan menggantikan x dan y, juga berlaku bagi integralberulang (8.10). (uraikan rincian langkahnya!)

CONTOH 8.1:Hitunglah lipat-2 berikut:

dxxydyIx

x

y

1

0 0

2

PEMECAHANPertama, kita mengintegrasikan dari dalam terhadap y dengan mempertahankan x tetap:

52220

0

2

2

10

2

1]

2

1 2

2

xxxxydyxy xx

Kemudian, integrasikan hasil ini terhadap integral luar, yakni terhadap variabel x, kitaperoleh:

12

1]

12

1

2

1 10

1

0

65

xdxxI

CONTOH 8.2

Hitunglah integral lipat-2 pada contoh 8.1, dengan mengintegrasikan dahulu terhadapvariabel x, kemudian terhadap y.

PEMECAHAN :Pertama, gambarkan dahulu daerah integrasi Dxy integral lipat-2 pada contoh 8.1. Dari batasntegrasinya, terbaca bahwa Dxy adalah daerah antara sumbu-x dan parabola y = x2 yangterletak antara garis x=0 dan x1, seperti pada gambar 8.4.

GAMBAR 8.4 Daerah integrasi D contoh 8.1 dan 8.2.

Untuk menentukan batas-batas integrasinya, kita tempuh langkah berikut:

Langkah 1. Selidiki apakah daerah Dxy normal terhadap sumbu-y

Karena garis normal terhadap sumbu-y hanyalah memotong kurva batas yx di kiri, dan x

=1 di kanan untuk seluruh daerah Dxy maka ia normal terhadap sumbu-y

Langkah 2. Jika ya, lanjutkan ke langlah 3. Jika tidak bagi Dxy atas sejumlah minimaldaerah normal terhadap sumbu-y, dan lakukan langkah 3 bagi setiap subdaerah.

Y

X0

y = x2

DX,Y

Langkah 3. Tarik sebuah garis sejajar sumbu-x. Potong kurva terkiri adalah batas bawah,sedangkan yang terkanan batas atas integral terdalam (terhadap x).

Karena garis normal sumbu-y memotong batas terkiri pada parabola y=x2, maka ,1 yx dan

batas terkanan pada garis x =1, maka x2 = 1.

Langkah 4. Tentukan batas terbawah dan teratas, koordinat y, dari daerah Dxy.Dari bagian daerah Dxy terbaca bahwa batas terbawahnya adalaah sumbu-x, untuk mana y =0, jadi y1 = 0. Batas terbatasnya adalah koordinat y titik potong parabola y = x2 dengan garisx = 1, yakni y = 1, jadi y2 =1.

Langkah 5. Tuliskan integral berulangnya, dan hitunglah hasilnya.

Dari hasil penjajakan pada keempat langkah diata, kita dapati bahwa pernyataan integralberurutan soal ini, adalah:

1

0

1

][y yx

dyxydxI

Integral terdalam, terhadap x adalah:

1

212

2

1]

2

1

yx

x

yxyyyxxydy

Sisipkan kembali pada integral I di atas, kemudian integrasikan terhadap y, kita peroleh:

12

1

6

1

4

1]

6

1

4

1

2

1 10

1

0

322

yydyyyI

Sehingga dengan hasil yang kita peroleh diatas.

INTEGRAL LIPAT-2 SEBAGAI VOLUME

Jika z = f(x,y) adalah sebuah persamaan permukaan, maka integral lipat-2:

D D

dxdyyxfdxdyzV ,

Adalah volume bagian ruang tegak antara daerah D pada bidang xy dengan permukaan z =f(x,y), seperti pada gambar 5.

NO.37

Mengingat kembali dari bahasan aljabar pada Bab 4, bahwa luas d adalah besar vektor d ,

yakni :

(8.17)

Dengan ,ˆ,ˆ dyjdydxidx dan x operator hasilkali silang. Karena itu, dalam pernyataan

vektor, integral lipat (8.13) berbentuk :

)(dxxdyd

xyD

dxxdyyxfI |)(|),((8.18)

Dengan demikian, jika kita melakukan perubahan variabel atau transformasi koordint dari

sistem (x,y) ke sistem (u,v)menurut persamaan transormasi :

x= x(u,v) y= y (u,v) (8.19)

Maka setiap elemen diferensial vektor transformasi menjadi :

dvv

ydu

u

xdy

dvv

xdu

u

xdx

(8.20)

Dengan vsertaudandvvdvduudu ˆˆ,ˆ,ˆ masing-masing adalah vektor satuan dalam arah

pertambahan positif u dan v pada sistem koordinat (u,v).

Elemen luas dA dalam koordinat (u,v) menjadi :

dA |||||| duxdvu

y

v

x

v

y

u

xdv

v

ydu

u

yxdv

v

xdu

u

xdxxdy

(8.21)

Atau

dudvvu

yxJdA

1

1

Dengan

v

y

u

yv

x

u

x

u

y

v

x

v

y

u

x

vu

yxJ det

,

,

(8.22)

Adalah faktor jakobi yang bersangkutan.

Disini kita akan khusus memilih transformasi koordinat yang memiliki invers. Jadi, terhadap

transformasi koordinat (8.19) terdapat pula transformasi invers,

U= u (x,y) v = v (x,y) (8.23)

Dengan faktor jacobian yang bersangkutan adalah :

y

v

x

v

y

u

x

u

yx

vuJ det

1

1

(8.24)

Karena elemen luas dA tak berubah, maka :

dxdyyx

vuJ

vu

yxJduxdv

vu

yxJdxdydA

1

1

1

1

1

1 ||

Yang adalah taat asas jika:

1

1

1

1

1

1

1

1

1 1

yx

vuJ

vu

yxatauJ

vx

yuJ

vu

yxJ

(8.25)

Sering kali dalam praktek hitungan, transformasi koordinat invers (8.23)yang

diberikan,berbentuknya rumit untuk diubah kebentuk transformasi langsung, (8.19). dalam

hal ini faktor jakobi

vu

yxJ

1

1 diperoleh dengan menghitung terlebih dahulu faktor jakobian

invers kemudian menggunakan hubungan (8.25), seperti diperhatikan pada contoh 8.5 dan 8.6

berikut.

Catatan : dalam bahasa berikut, bila faktor jacobi dituliskan tanpa argumen, J saja, maka yang

dimaksudkan adalah

yx

vuJ

1

1 , dan 1J untuk inversnya!

Hubungan (8.25), memperlihatkan bahwa kedua faktor ini tak boleh nol untuk semua nilai

(x,y) atau (u,v). Titik (x,y) atau (u,v) pada mana J=0, disebut titik singuler. Artinya, di titik

tersebut, hubungn transformasi koordinatnya tak terdefinisikan (karena tak memiliki invers).

Perubahan variabel integrasi yang lazim digunakan adalah transformasi koordinat kartesis

(x,y) ke polar (r,θ) melelui persamaan transformasi :

x = r cos θ y = r sin θ (8.26a)

Dengan transformasi invers :

xyyxr 122 tan,

(8.26b)

Faktor jakobi yang bersangkutan adalah :

rr

r

r

yxJ

cossin

sincosdet

1

1

(8.27a)

dan

221

1 det

rx

ry

ry

rx

yx

rJ

(8.27b)

Sesuai denga hubungan (8.25).

Tampak bahwa pada nilai r = 0 atau (x=0, y=0), faktor jakobi J=0 atau 1J . Titk r=0 ini

disebut titik singuler koordinat polar (r,θ).

Masalah berikut adalah pencirian pada daerah integrasi xyD dalam sistem (x,y) pada daerah

integrasi uvD dalam sistem (u,v). Di sini ditinjau peta kurva batas xyD kedalam bidang (u,v).

Penjelasan terincinya diberikan kepada ketiga soal berikut yang menguraikan langkah-

langkahnya :

Contoh 8.5

Gunakan koordinat polar (r,θ)untuk menghitung integral lipat-2 berikut :

xydxdyIxyD

Dengan xyD adalah daerah pada kuadran I dalam bidang xy yang dibatasi oleh sumbu x,

sumbu y dan lingkaran 422 yx

PEMECAHAN :

Langkah I. Tentukan peralihan integran ,),( rkegyxf

Karena f(x,y)= xy, maka terhadap transformasi koordinat polar (r,θ), ia beralih ke

pernyataan :

sincos,,,, 2rryrxfrg

Langkah II. Gambarkan daerah integrasi xyD

Y2

xyD

2 x

GAMBAR 8.8 Daerag integrasi xyD soal 8.4, dab (b). Petanya, rD

Secara sepintas xyD tampak dibatasi oleh tiga kurva yakni :

,20,0:

4:

,20,0:

3

222

1

yxC

yxC

xyC

Yang diperhatikan dalam gambar 8.8a. karena faktor jakobi, J = r, bernilai nol dititik 0,r=0,

maka untuk menghindari kesinguleran ini, kita bentuk kurva batas ke-4 4C , berupa lingkaran:

,20,: 2224 yxC

Dan pada akhirnya mengambil limit .0

Langkah III. Gambarkan peta daerah integral rD :

Untuk menggambarkan daera peta xyD pada bidang rθ, kita petakan masing-masing kurva

batas lalu mencirikan daerah batas yang diperoleh.

0tan,:

:,2,0:

1221'

1

xyxyxrC

ekurvadipetakankxyC

Disini, y adalah parameter kurva 2'C pada bidang (r,θ). Karena ,20 y maka, 20 .

Jadi, 2'C adalah penggal garis sejajar 3

'C dipetakan kepenggal garis 3'C sejajar sumbu r, yang

memotong sumbu θ di θ =π/2, dan terletak antara 4.2 Cr dipetakan ke penggal garis 4'C

sejajar sumbu θ, antara 20 , yang memotong sumbu r di r = .2

Keempat kurva dalam bidang (r,θ) ini, membatasi daerah rD berbentuk empat persegi

panjang, seperti pada gambar 8.8b.

Jadi, terhadap koordinat polar , intgral lipat-2 pada contoh ini teralihkan menjadi :

drdrrIrD sincos2

2

0

3

0

2

sincoslim

r

ddrr

2cos2

1.

4

10lim

2

0

22

4

r