Titik Ekstrim - Turunan Parsial
-
Upload
puthut-giri-winoto -
Category
Documents
-
view
389 -
download
6
Transcript of Titik Ekstrim - Turunan Parsial
7/22/2019 Titik Ekstrim - Turunan Parsial
http://slidepdf.com/reader/full/titik-ekstrim-turunan-parsial 1/23
Diferensial
Parsial
Diferensial Parsial
Titik Ekstrim
7/22/2019 Titik Ekstrim - Turunan Parsial
http://slidepdf.com/reader/full/titik-ekstrim-turunan-parsial 2/23
Parsial Diferensial Sebuah fungsi yg hanya mengandung satu variabel
bebas hanya akan memiliki satu macam turunanJika y = f (x) maka turunan y terhadap x: y’ = dy/dx
Sedangkan jika fungsi yg bersangkutan memiliki lebihdari satu variabel bebas, maka turunannya akan lebihdari satu macam, tergantung jumlah variabelbebasnya
7/22/2019 Titik Ekstrim - Turunan Parsial
http://slidepdf.com/reader/full/titik-ekstrim-turunan-parsial 3/23
Parsial Diferensial Jika y = f(x, z)
dan disebut derivatif parsial, dandisebut diferensial parsial, sedangkan dy disebutdiferensial total
Jika p = f(q, r, s)
dz z
dydx
x
ydy
x y
z y
dx
x y
dz
z y
ds s
pdr
r
pdq
q
pdp
7/22/2019 Titik Ekstrim - Turunan Parsial
http://slidepdf.com/reader/full/titik-ekstrim-turunan-parsial 4/23
Parsial Derivatif y = f(x1, x2, x3, …, xn) dimana xi (i = 1, 2, 3, …, n) adalah
variabel yg independen satu sama lainnya, tiapvariabel dapat berubah tanpa mempengaruhivariabel lainnya (variabel lainnya konstan)
Jika variabel x1 mengalami perubahan sebesar ∆x1 sedangkan variabel lainnya (x2, x3, …, xn) tetap, makay akan berubah sebesar ∆y. Maka kuosien diferensidapat ditulis:
1
3213211
1
),...,,,(),...,,,(
x
x x x x f x x x x x f
x
y nn
7/22/2019 Titik Ekstrim - Turunan Parsial
http://slidepdf.com/reader/full/titik-ekstrim-turunan-parsial 5/23
Parsial DerivatifDerivative y terhadap x1 sebagaimana contoh diatas
disebut sebagai derivatif parsial dan dilambangkandengan:
Fungsi turunannya (derivative) adalah:
10
1 1
lim x
y
x
y
x
1 x
y
7/22/2019 Titik Ekstrim - Turunan Parsial
http://slidepdf.com/reader/full/titik-ekstrim-turunan-parsial 6/23
Contoh (2): Derivative ParsialCarilah turunan parsial terhadap x1 dan x2 dari fungsi y
= f(x1, x2) = 3x12 + x1 x2 +4x2
2
dengan menganggap x2 konstan, turunan terhadap x
1
adalah:
turunan terhadap x2:21
1
6 x x x
y
12
1
8 x x x
y
7/22/2019 Titik Ekstrim - Turunan Parsial
http://slidepdf.com/reader/full/titik-ekstrim-turunan-parsial 7/23
Contoh (3): Derivative ParsialCarilah turunan parsial terhadap u dan v dari fungsi y
= f(u, v) = (u+4)(3u+2v)
dengan menganggap v konstan, turunan terhadap uadalah:
turunan terhadap v:
122623143
vuvuu
u
y
4223042
uvuu
v
y
7/22/2019 Titik Ekstrim - Turunan Parsial
http://slidepdf.com/reader/full/titik-ekstrim-turunan-parsial 8/23
Contoh (4): Derivative ParsialCarilah turunan parsial terhadap u dan v dari fungsi y
= f(u, v) = (3u – 2v)/(u2+3v)
dengan menganggap v konstan, turunan terhadap uadalah:
turunan terhadap v:
22
2
22
2
3
943
3
22333
vu
vuvu
vu
uvuvu
u
y
2
22
2
2
3
92
3
32332
vu
uu
vu
vuvu
v
y
7/22/2019 Titik Ekstrim - Turunan Parsial
http://slidepdf.com/reader/full/titik-ekstrim-turunan-parsial 9/23
Derivatif dari Parsial Derivatif Sama seperti diferensial fungsi sederhana, derivatif
fungsi majemuk juga dapat diturunkan kembali
Jika y = x3 + 5z2 -4x2z – 6xz2 + 8z – 7, maka turunanpertama y terhadap x dan z:
turunan ke-2:
22683 z xz x
x
y
812410
2
xz x z
z
y
z x x
y86
2
2
z x z x
y
128
2
x z
y1210
2
2
z x x z
y128
2
1a
1
b
2a
2
b
1 2
7/22/2019 Titik Ekstrim - Turunan Parsial
http://slidepdf.com/reader/full/titik-ekstrim-turunan-parsial 10/23
Derivatif dari Parsial Derivatifturunan ke-3:
63
3
x
y
82
3
z x
y
1aa
1ab
82
3
z x
y
122
3
z x
y
1b
a
1bb
03
3
z
y
122
3
x z
y
2aa
2ab
122
3
x z
y
82
3
x z
y
2b
a
2bb
7/22/2019 Titik Ekstrim - Turunan Parsial
http://slidepdf.com/reader/full/titik-ekstrim-turunan-parsial 11/23
Nilai Ekstrim Untuk y = f(x, z) maka y akan mencapai titik ekstrimnya
jika (necessary condition / syarat perlu):
Untuk mengetahui apakah titik ekstrim yg tercapaiadalah maksimum atau minimum, maka ( sufficient
condition / syarat cukup):
0
x
y0
z
ydan
02
2
x y 02
2
z ydan
02
2
x
y0
2
2
z
ydan
Maksimum
Minimum
7/22/2019 Titik Ekstrim - Turunan Parsial
http://slidepdf.com/reader/full/titik-ekstrim-turunan-parsial 12/23
Contoh (5): Titik EkstrimCarilah titik ekstrim dari fungsi:
y = -x2 + 12x – z2 + 10z - 45
selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebut
merupakan titik maksimum atau minimum!1) Titik ekstrim: y x dan yz = 0
y = -(6)2 + 12(6) – (5)2 + 10(5) – 45 = 16
letak titik ekstrim adalah (6, 16, 5) → 3-dimensi
60122
x x
x
y
50102 z z z
y
7/22/2019 Titik Ekstrim - Turunan Parsial
http://slidepdf.com/reader/full/titik-ekstrim-turunan-parsial 13/23
Contoh (5): Titik EkstrimCarilah titik ekstrim dari fungsi:
y = -x2 + 12x – z2 + 10z - 45
selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebut
merupakan titik maksimum atau minimum!2) Jenis titik ekstrim: y xx dan yzz :
Maka titik ekstrim adalah titik maksimum denganymax = 16
022
2
x
y02
2
2
z
y
7/22/2019 Titik Ekstrim - Turunan Parsial
http://slidepdf.com/reader/full/titik-ekstrim-turunan-parsial 14/23
LatihanCarilah titik ekstrim dari fungsi:
p = 3q2 – 18q + r 2 – 8r + 50
selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebut
merupakan titik maksimum atau minimum!
7/22/2019 Titik Ekstrim - Turunan Parsial
http://slidepdf.com/reader/full/titik-ekstrim-turunan-parsial 15/23
Optimalisasi BersyaratOptimalisasi suatu fungsi objektif (fungsi yg akan
dioptimalkan — baik maksimum atau minimum) atassuatu fungsi kendala dapat diselesaikan dgn (1)metode substitusi dan (2) metode Lagrange
Nilai optimum diperoleh ketika turunan pertama darifungsi tersebut sama dengan nol (necessary
condition)
Sedangkan untuk mengetahui apakah nilai tersebut
adalah maksimum atau minimum, dapat diselidiki dariturunan keduanya ( sufficient condition):
Jika turunan kedua < 0, maka maksimum
Jika turunan kedua > 0, maka minimum
7/22/2019 Titik Ekstrim - Turunan Parsial
http://slidepdf.com/reader/full/titik-ekstrim-turunan-parsial 16/23
Metode Substitusi Jika fungsi objektif:
z = f(x, y)
dengan u = g(x, y) → fungsi kendala
1)
manipulasi fungsi kendala menjadi persamaansalah satu variabel
2) Substitusi persamaan tersebut kedalam fungsiobjektifitasnya
3)
Cari turunan pertama dari fungsi tersebut (untukmencari nilai ekstrim)
4) Selidiki maksimum/minimum dengan mencari turunan kedua
sesuai dengan persyaratan
7/22/2019 Titik Ekstrim - Turunan Parsial
http://slidepdf.com/reader/full/titik-ekstrim-turunan-parsial 17/23
Contoh (6) Metode Substitusi π = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y .…...… (1)
dengan X + Y = 12 .......... (2)
Rearrange (2): X = 12 – Y ………. (3)
Substitusi (3) ke (1):
= 80(12 – Y) – 2(12 – Y)2 – (12 – Y)Y – 3Y2 + 100Y
= 960 – 80Y – 2(144 – 24Y – Y2
) – 12Y+ Y2 – 3Y2 + 100Y= – 4Y2 + 56Y +672 ………. (4)
7/22/2019 Titik Ekstrim - Turunan Parsial
http://slidepdf.com/reader/full/titik-ekstrim-turunan-parsial 18/23
Contoh (6) Metode SubstitusiDerivasi order ke-1 persamaan (4): dπ/dY = 0
–8Y + 56 = 0 ↔ Y* = 7
Substitusi nilai Y ke (3): X* = 12 – 7 = 5
Profit (π):
π = 80(5) – 2(5)2 – (5)7 – 3(7)2 + 100(7)
= $868
Jenis titik ekstrim:
d2π/dY2 = -8 < 0 → titik ekstrim maksimum
7/22/2019 Titik Ekstrim - Turunan Parsial
http://slidepdf.com/reader/full/titik-ekstrim-turunan-parsial 19/23
Metode Lagrange Jika fungsi objektif:
z = f(x, y)
dengan u = g(x, y) → fungsi kendala
maka:L(x, y, λ ) = f(x, y) + λ (g(x, y) – u)
Nilai optimum terjadi pada saat Lx dan Ly = 0 (necessary
condition)
Nilai optimum adalah maksimum jika Lxx dan Lyy < 0 danminimum jika Lxx dan Lyy > 0 ( sufficient condition)
7/22/2019 Titik Ekstrim - Turunan Parsial
http://slidepdf.com/reader/full/titik-ekstrim-turunan-parsial 20/23
Contoh (7) Metode Lagrange π = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y .…...… (1)
s.t. X + Y = 12 .......... (2)
Fungsi Lagrangian:
L = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y
+ λ(X + Y – 12)
Dengan menggunakan derivatif parsial, solusi
ditemukan pada saat f’(z) = 0:
0480
Y X
X
L………. (3)
7/22/2019 Titik Ekstrim - Turunan Parsial
http://slidepdf.com/reader/full/titik-ekstrim-turunan-parsial 21/23
Contoh (7) Metode Lagrange
Persamaan (3) dikurangi (4):
80 – 4X – Y + λ = 0
100 – X – 6Y + λ = 0
– 20 – 3X + 5Y = 0
01006
Y X
Y
L………. (4)
012 Y X L
………. (5)
………. (6)
7/22/2019 Titik Ekstrim - Turunan Parsial
http://slidepdf.com/reader/full/titik-ekstrim-turunan-parsial 22/23
Contoh (7) Metode Lagrange Kali (5) dengan 3 dan jumlahkan dengan (6):
3X + 3Y – 36 = 0
– 3X + 5Y – 20 = 0
8Y – 56 = 0 ↔ Y* = 7
X + 7 – 12 = 0 ↔ X* = 5 π = 80(5) – 2(5)2 – 5(7) – 3(7)2 + 100(7) = $868
Jenis titik ekstrim:
d2π/dX2 = -4 < 0
d2π/dY2 = -8 < 0 Masukkan nilai Y* & X* ke (3) atau (4), nilai λ:
λ = – 5 – 42 + 100 = – 53
titik esktrim maksimum
7/22/2019 Titik Ekstrim - Turunan Parsial
http://slidepdf.com/reader/full/titik-ekstrim-turunan-parsial 23/23
LatihanCarilah titik ekstrim dari fungsi:
z = 2x + 2y dengan kendala (syarat) x2 + y2 = 8
Jelaskan jenis titik ekstrim dan tentukan nilai ekstrimfungsi tersebut menggunakan metode :
a. Substitusi
b. Lagrange