EKONOMI PRODUKSI PERTANIAN - PERMASETA6. Syarat keharusan (necessary conditions) 7. Syar at...

12
EKONOMI PRODUKSI PERTANIAN: MAKSIMALISASI PADA HUBUNGAN INPUT-INPUT: Maksimalisasi dalam Kasus Dua Input Tatiek Koerniawati Andajani, SP.MP. Laboratorium Ekonomi Pertanian, FP-Universitas Brawijaya Email : [email protected] DESKRIPSI MODUL Modul ini menjelaskan konsep dasar maksimalisasi dan minimalisasi fungsi dengan dua atau lebih input untuk menghasilkan satu output secara matematis. Syarat keharusan (necessary condition) dan syarat kecukupan (sufficient condition) untuk maksimalisasi atau minimalisasi fungsi produksi diturunkan secara rinci. Selain itu juga akan dijelaskan mengapa pada kondisi tertentu fungsi produksi dapat dimaksimalkan atau sebaliknya, diminimalkan. Contoh fungsi dan penerapan aturan maksimalisasi dan minimalisasi juga dipelajari pada kegiatan belajar ini. Modul 5 dan 6 dirancang untuk menjadi materi pembelajaran selama 3 tatap muka yaitu TM 7 dan TM 9. Alternatif penjadwalan perkuliahan untuk bahan kajian pada modul 5 dan 6 dllanjutkan setelah ujian tengah semester, dengan penguatan penguasaan materi melalui tutorial online TUJUAN PEMBELAJARAN Kompetensi dasar yang harus dikuasai mahasiswa setelah: 1. Membaca modul dan pustaka yang disarankan 2. Mengerjakan tugas terstruktur mandiri 3. Melaksanakan tutorial online adalah menjelaskan kembali kata kunci dan definisi serta memahami konsep-konsep sebagai berikut: 1. Maksimalisasi 2. Minimalisasi 3. Turunan pertama (first order conditions) 4. Turunan kedua (second order conditions) 5. Teorema Young 6. Syarat keharusan (necessary conditions) 7. Syarat kecukupan (sufficient conditions) 8. Matriks 9. Matriks dari turunan parsial 10.Prinsip minor 11.Maksimum lokal 12.Maksimum global 13.Saddle point 14.Determinan 15.Nilai kritis (critical value) 16.Maksimalisasi dan minimalisasi tak terkendala 17.Maksimalisasi dan minimalisasi terkendala 5b SELF-PROPAGATING ENTREPRENEURIAL EDUCATION

Transcript of EKONOMI PRODUKSI PERTANIAN - PERMASETA6. Syarat keharusan (necessary conditions) 7. Syar at...

Page 1: EKONOMI PRODUKSI PERTANIAN - PERMASETA6. Syarat keharusan (necessary conditions) 7. Syar at kecukupan (sufficient conditions) 8. Matriks 9. Matriks dari turunan parsial 10. Prinsip

EKONOMI PRODUKSI PERTANIAN: MAKSIMALISASI PADA HUBUNGAN INPUT-INPUT: Maksimalisasi dalam Kasus Dua Input

Tatiek Koerniawati Andajani, SP.MP. Laboratorium Ekonomi Pertanian, FP-Universitas Brawijaya

Email : [email protected]

DESKRIPSI MODUL

Modul ini menjelaskan konsep dasar maksimalisasi dan

minimalisasi fungsi dengan dua atau lebih input untuk

menghasilkan satu output secara matematis. Syarat keharusan

(necessary condition) dan syarat kecukupan (sufficient condition)

untuk maksimalisasi atau minimalisasi fungsi produksi diturunkan

secara rinci. Selain itu juga akan dijelaskan mengapa pada kondisi

tertentu fungsi produksi dapat dimaksimalkan atau sebaliknya,

diminimalkan. Contoh fungsi dan penerapan aturan maksimalisasi

dan minimalisasi juga dipelajari pada kegiatan belajar ini. Modul 5

dan 6 dirancang untuk menjadi materi pembelajaran selama 3

tatap muka yaitu TM 7 dan TM 9. Alternatif penjadwalan

perkuliahan untuk bahan kajian pada modul 5 dan 6 dllanjutkan

setelah ujian tengah semester, dengan penguatan penguasaan

materi melalui tutorial online

TUJUAN PEMBELAJARAN Kompetensi dasar yang harus dikuasai mahasiswa setelah:

1. Membaca modul dan pustaka yang disarankan 2. Mengerjakan tugas terstruktur mandiri

3. Melaksanakan tutorial online adalah menjelaskan kembali kata kunci dan definisi serta memahami konsep-konsep sebagai berikut:

1. Maksimalisasi 2. Minimalisasi

3. Turunan pertama (first order conditions) 4. Turunan kedua (second order conditions) 5. Teorema Young

6. Syarat keharusan (necessary conditions) 7. Syarat kecukupan (sufficient conditions)

8. Matriks 9. Matriks dari turunan parsial 10.Prinsip minor

11.Maksimum lokal 12.Maksimum global

13.Saddle point 14.Determinan

15.Nilai kritis (critical value) 16.Maksimalisasi dan minimalisasi tak terkendala 17.Maksimalisasi dan minimalisasi terkendala

5b

SELF-PR

OP

AG

ATIN

G EN

TREP

REN

EUR

IAL ED

UC

ATIO

N

DEV

ELOP

MEN

T (SPEED

)

Page 2: EKONOMI PRODUKSI PERTANIAN - PERMASETA6. Syarat keharusan (necessary conditions) 7. Syar at kecukupan (sufficient conditions) 8. Matriks 9. Matriks dari turunan parsial 10. Prinsip

Page 2 of 12

Mata Kuliah / MateriKuliah 2012 Brawijaya University

MATERI PEMBELAJARAN

5.6. Konsep Dasar Maksimalisasi

Peta isokuan dapat diilustrasikan seperti kontur peta suatu bukit atau

pegunungan. Tinggi pegunungan pada suatu titik dapat diukur dari jumlah output yang

diproduksinya. Sebuah isokuan menghubungkan semua titik-titik yang memproduksi

sejumlah input yang sama, atau dengan kata lain memiliki elevasi (ketinggian bukit)

yang sama.Pada dasarnya, isokuan terdiri dari sejumlah cincin konsentrik (bayangkan

cincin-cincin konsentrik tersebut sebagai peta kontur sebuah pegunungan yang

menghubungkan titik-titik sudut elevasi atau ketinggian bukit yang sama).

Beberapa isokuan infinit dapat digambarkan, di mana setiap isokuan

menunjukkan level perbedaan output yang sedikit berbeda. Isokuan tidak berpotongan

satu sama lain. Hal ini mengimplikasikan bahwa kombinasi dua input yang sama tidak

dapat menghasilkan level output yang berbeda. Kuantitas output yang diproduksi dari

setiap kombinasi dua input bersifat unik.

Jika isokuan merupakan cincin-cincin konsentrik, maka setiap isokuan yang

digambarkan di dalam isokuan lain menunjukkan level output yang sedikit lebih tinggi

dibandingkan isokuan yang terletak di bagian luar cincin konsentrik tersebut (lihat

gambar 5.1.). Jika isokuan tidak berbentuk cincin, maka level output tertinggi biasanya

digambarkan oleh isokuan yang jaraknya terjauh dari titik pusat (origin). Setiap isokuan

mewakili kuantitas output yang berbeda.

Sedangkan bila peta isokuan digambarkan sebagai sekelompok cincin konsentrik,

maka cincin-cincin ini akan menjadi semakin mengecil ke arah pusat diagram. Semakin

tinggi level output yang dihasilkan, akan semakin kecil cincin isokuan. Hal ini

menunjukkan bahwa pilihan kombinasi dua input untuk menghasilkan output tersebut

semakin terbatas.

Cincin-cincin konsentris tersebut pada akhirnya akan menjadi satu titik yang

disebut titik global output maksimum dan merupakan posisi di mana petani hanya akan

berproduksi bila input diperoleh secara gratis atau tidak terdapat kendala utilitasi input

lainnya. Titik tunggal tersebut juga merupakan perpotongan antara dua ridge lines. MRS

isokuan dari satu titik tunggal tidak didefinisikan, namun titik ini merepresentasikan

jumlah output maksimum yang dapat diproduksi dengan mengombinasikan dua input x1

dan x2.

Nilai maksimum dan minimum keduanya memiliki nilai nol. Dengan demikian

adalah tidak mungkin membedakan nilai minimum dan maksimum hanya dari

slopenya. Dalam hal ini aturan matematika memungkinkan dibedakannya nilai minimum

dan maksimum melalui turunan kedua (second order conditions).

5.7. Fungsi Maksimum

Bagaimana kombinasi input x1 dan x2 dari fungsi produksi dua input

menghasilkan output maksimum merupakan persamaan matematika yang terdiri dari

dua prosedur sebagai berikut: Untuk fungsi produksi .)1.6...().........,( 21 xxfy turunan

pertama atau syarat keharusan untuk maksimalisasi output adalah 01 xy atau f1 =0

….(6.2.) dan 02 xy atau f2=0…..(6.3.). Persamaan (6.2.) dan (6.3.) memastikan

bahwa tititik tersebut adalah tingkatan relatif aksis x1 dan x2.

Page 3: EKONOMI PRODUKSI PERTANIAN - PERMASETA6. Syarat keharusan (necessary conditions) 7. Syar at kecukupan (sufficient conditions) 8. Matriks 9. Matriks dari turunan parsial 10. Prinsip

Page 3 of 12

Mata Kuliah / MateriKuliah 2012 Brawijaya University

Turunan kedua maksimalisasi output mensyaratkan turunan parsial dari turunan

pertama. Terdapat empat alternatif turunan kedua dari derivasi turunan pertama

terhadap x1 dan x2 yaitu:

.)4.6.(....................11

2

1

2

11 fxyxxy

.)5.6.......(..........1221

2

21 fxxyxxy

.)6.6.......(..........2112

2

12 fxxyxxy

.)7.6.(....................22

2

2

2

22 fxyxxy

Teorema Young menyatakan bahwa urutan dari diferensiasi parsial tidak berbeda sehingga f12=f21.

Maksimalisasi turunan kedua mensyaratkan f11>0 ..............(6.8.) dan f11f22>f12f21....(6.9.). Karena f12f21 non negatif maka syarat f11f22 positif untuk persamaan

(6.9) terpenuhi dan f11f22 bernilai positif hanya bila f22 negatif. Turunan pertama dan kedua ini merupakan syarat keharusan dan kecukupan untuk maksimalisasi fungsi produksi dua input.

5.8. Beberapa Contoh Ilustratif

Misal .)10.6(..........1010 2

2

2

121 xxxxy

Turunan pertama atau syarat keharusan tercapainya maksimalisasi adalah:

.)11.6......(..........0210 11 xf

.)12.6...(..............................51 x

.)13.6.....(..........0210 22 xf

.)14.6..(..............................52 x

Nilai kritik dari fungsi adalah titik di mana slope fungsi sama dengan nol. Nilai kritik dari

fungsi tersebut di atas tercapai pada saat x1=5 dan x2=5. Titik ini dapat merupakan

posisi maksimum, minimum atau titik tengah (saddle point).

Selanjutnya prinsip maksimalisasi mensyaratkan kondisi turunan kedua sebagai berikut:

.)15.6......(..........dan 0 2112221111 fffff

Untuk persamaan (6.10.) :

.)16.6........(..............................0211 f

.)17.6....(........................................222 f

.)18.6.......(..............................02112 ff

Dengan demikian .)19.6.(..........0421122211 ffff

Syarat keharusan dan kecukupan untuk memaksimalkan persamaan (6.10.) pada x1=5.

x2=5, terpenuhi. Fungsi ini diilustrasikan pada diagram A gambar 6.1.

Page 4: EKONOMI PRODUKSI PERTANIAN - PERMASETA6. Syarat keharusan (necessary conditions) 7. Syar at kecukupan (sufficient conditions) 8. Matriks 9. Matriks dari turunan parsial 10. Prinsip

Page 4 of 12

Mata Kuliah / MateriKuliah 2012 Brawijaya University

Gambar 6.1. A. Alternatif Second Order Condition (Debertin, 1986)

Pada fungsi .)20.6......(..........1010 2

2

2

121 xxxxy

Turunan pertama adalah: .)21.6....(....................0210 11 xf .)22.6........(51 x

.)23.6.........(..........0210 22 xf .)24.6........(..........52 x

Syarat minimum turunan kedua adalah .)25.6........(....................011 f

.)26.6.(..............................21122211 ffff

Untuk persamaan (6.20.) kondisi orde kedua (turunan kedua) adalah:

.)28.6........(....................2

.)27.6..(....................02

22

11

f

f

Sehingga terbukti .)29.6...(....................0421122211 ffff

Syarat keharusan dan kecukupan untuk minimalisasi persamaan (6.20) terpenuhi pada

x1=5, x2=5. Fungsi ini diilustrasikan pada diagram B gambar 6.1.

Page 5: EKONOMI PRODUKSI PERTANIAN - PERMASETA6. Syarat keharusan (necessary conditions) 7. Syar at kecukupan (sufficient conditions) 8. Matriks 9. Matriks dari turunan parsial 10. Prinsip

Page 5 of 12

Mata Kuliah / MateriKuliah 2012 Brawijaya University

Gambar 6.1.B. Alternatif Second Order Condition (Debertin, 1986)

Pada fungsi .)30.6......(..........1010 2

2

2

121 xxxxy turunan pertama adalah

.)31.6.....(..........0210 11 xf , .)32.6..(..........51 x

.)34.6.........(..........5.),33.6......(....................0210 222 xxf

Untuk persamaan (6.30.) turunan kedua adalah:

.)36.6(....................2.);35.6.......(..........02 2211 ff

.)37.6..(........................................0421122211 ffff

Syarat keharusan dan syarat kecukupan maksimalisasi dan minimalisasi untuk

persamaan (6.30.) tidak terpenuhi pada x1=5;x2=5. Fungsi ini memiliki titik tengah

(saddle point) yang unik sebagaimana diilustrasikan pada diagram C gambar 6.1. yang

menunjukkan nilai maksimum dengan arah paralel terhadap aksis x1 namum bernilai

minimum dengan arah paralel terhadap aksis x2.

Gambar 6.1.C Alternatif Second Order Condition (Debertin, 1986)

Page 6: EKONOMI PRODUKSI PERTANIAN - PERMASETA6. Syarat keharusan (necessary conditions) 7. Syar at kecukupan (sufficient conditions) 8. Matriks 9. Matriks dari turunan parsial 10. Prinsip

Page 6 of 12

Mata Kuliah / MateriKuliah 2012 Brawijaya University

Fungsi .)38.6......(....................1010 2

2

2

121 xxxxy juga memiliki titik tengah (saddle

point) serupa dengan aksis yang berkebalikan di mana nilai minimum paralae dengan

aksis x1 sedangkan nilai maksimum paralel dengan aksis x2. Permukaan fungsi ini

ditunjukkan pada diagram D gambar 6.1.

Gambar 6.1.D Alternatif Second Order Condition (Debertin, 1986)

Selanjutnya untuk fungsi )39.6(....................1022 21

2

2

2

121 xxxxxxy

Turunan pertama fungsi tersebut adalah:

.)41.6.....(....................01022

.)40.6.....(....................01022

122

211

xxf

xxf

Dengan menyelesaikan persamaan untuk nilai x2 diperoleh:

.)42.6.......(..............................1022 12 xx

.)43.6....(........................................15 12 xx

Persamaan (6.43.) dimasukkan ke persamaan (6.40.) untuk mencari 1f pada x1=0,25

(6.44.). Dan x2=5x1-5 x2=0,25

Sehingga turunan kedua fungsi adalah:

.)46.6..(....................02

.)45.6..(....................02

22

11

f

f

.)47.6(....................102112 ff

Jadi .)48.6(....................096100421122211 ffff

Walaupun syarat keharusan untuk maksimum pada x1=x2=0,25 terpenuhi, namun

syarat kecukupan (turunan kedua) tidak terpenuhi. Pada perhitungan di atas, turunan

parsial kedua 1211 ff kurang dari hasil turunan parsial silang yang kedua ( 2112 ff )

sehingga 021121211 ffff .

Pada kasus ini, titik tengah (saddle point) berbentuk seperti burung yang sedang

mengembangkan sayapnya (lihat diagram E gambar 6.1.) di mana nilai minimum

berada di satu sisi dan nilai maksimum pada sisi lain (x1,x2 =0,25). Meski demikian

Page 7: EKONOMI PRODUKSI PERTANIAN - PERMASETA6. Syarat keharusan (necessary conditions) 7. Syar at kecukupan (sufficient conditions) 8. Matriks 9. Matriks dari turunan parsial 10. Prinsip

Page 7 of 12

Mata Kuliah / MateriKuliah 2012 Brawijaya University

saddle point tak lagi paralel terhadap aksis namum bergerak di antara kedua aksis. Hal

ini merupakan dampak dari penurunan parsial silang kedua yang hasilnya lebih besar

dari penurunan langsung yang kedua.

Gambar 6.1.E Alternatif Second Order Condition (Debertin, 1986)

Pada contoh sebelumnya dijelaskan bahwa fungsi polinomial berpotensi memiliki

nilai maksima dan minima pada level x1 dan x2 positif dan finit. Jika nilai maksimum

tercapai, resultan peta isokuan akan terdiri dari sejumlah cincin konsentris yang

berpusat pada titik maksimum di mana ridge lines berpotongan pada titik maksimum

tersebut.

Contoh:

.)49.6......(..........10 5,0

2

5,0

1 xxy

.)50.6......(..........5 5,0

2

5,0

11 xxf

.)51.6.....(..........5 5,0

2

5,0

12

xxf

Turunan pertama dari persamaan (6.49.) sama dengan nol, bila masing-masing nilai x1

dan x2 diasumsikan sama dengan nol. Namun tidak terdapat kemungkinan nilai 1f dan

2f sama dengan nol pada kombinasi x1 dan x2 yang bernilai positif. Oleh karena itu

fungsi tersebut tidak memiliki nilai maksimum.

5.9. Prinsip-Prinsip Aljabar Matriks

Aljabar matriks adalah perangkat matematika yang sangat efektif untuk

menetapkan apakan suatu fungsi memiliki nilai maksimum atau minimum. Sebuah

matriks terdiri dari sejumlah angka yang disebut nilai atau elemen serta diatur dalam

baris dan kolom sebagai berikut:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

....................(6.52.)

Page 8: EKONOMI PRODUKSI PERTANIAN - PERMASETA6. Syarat keharusan (necessary conditions) 7. Syar at kecukupan (sufficient conditions) 8. Matriks 9. Matriks dari turunan parsial 10. Prinsip

Page 8 of 12

Mata Kuliah / MateriKuliah 2012 Brawijaya University

Matriks (6.52.) adalah matriks bujur sangkar 3X3, sebab memiliki tiga kolom dan

tiga baris. Untuk setiap elemen, notasi subscript menunjukkan posisi elemen

berdasarkan urutan baris dan kolom. Setiap matriks bujur sangkat memiliki determinan.

Untuk matriks 1X1 misalnya, determinannya adlaah a11. Untuk matriks bujur sangkar

2X2, determinannya adalah a11a22-a12a21. Sedangkan determinan untuk matriks bujur

sangkar 3X3 adalah a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13-a31a22a13-a11a32a23-a33a21a12.

Determinan matriks yang lebih besar dari 3X3 sangat sulit dihitung secara manual dan

umumnya untuk menghitung digunakan programasi komputer.

Prinsip minor matriks dapat diperoleh dengan menghapus seluruh baris dan

kolom pertama dari matriks selain elemen yang berlokasi di baris dan kolom pertama

(a11) dan mencari resultan determinan. Dalam contoh berikut ini, baris dan kolom

pertama dihapus dan determinan matriks 2X2 yang tersisa kemudian dihitung. Pada

contoh di atas, prinsip minor yang kedua adalah 21122211 aaaa . Prinsip minor yang

ketiga dapat dihitung dengan menghapus seluruh baris dan kolom dengan baris atau

kolom bernotasi lebih besar dari 3 sehingga resultan determinan diperoleh.

Second order condition, atau turunan kedua dapat dengan lebih mudah

dijelaskan melalui pendekatan aljabar matriks. Turunan langsung dan silang kedua dari

dua input fungsi produksi adalah matriks bujursangkar 2X2:

2221

1211

ff

ff ....................................(6.53)

Persamaan minor dari persamaan (6.53) adalah:

231222112

111

ffffH

fH

..................................................(6.54)

Dengan mengasumsikan turunan orde pertama terpenuhi, maksimalisasi turunan orde

kedua mensyaratkan prinsip minor H1 dan H2 bertanda negatif sehingga H1<01 dan

H2>0. Sedangkan minimalisasi mensyaratkan prinsip minor positif, H1 dan H2 >0.

Saddle point menghasilkan kondisi : 0;0 21 HH atau 0;0 21 HH

5.10. Contoh Penerapan Prinsip Aljabar Matriks

Ilustrasi kondisi orde kedua dapat dipelajari dari dua input polinomial sebagai berikut:

)55.6........(..........03,02,1124003.02,11240 4

2

3

2

2

22

4

1

2

1

2

11 xxxxxxxxy

Fungsi ini memiliki sembilan nilai dengan turunan pertama sama dengan nol. Setiap

nilai tersebut adalah nilai kritis (critical values) yang menunjukkan maksimum,

minimum dan saddle point. Gambar 6.1 mengilustrasikan kondisi orde kedua:

211212112111 , ffffHfH .

Fungsi ini berbeda dari fungsi sebelumnya di mana terdapat beberapa kombinasi x1 dan

x2 yang menghasilkan nilai kritis dengan slope fungsi sama dengan nol. Ada satu titik

maksimum global untuk fungsi tersebut meski terdapat beberapa local maxima.

Kondisi maksimum global dapat dibayangkan sebagai puncak gunung tertinggi di mana

local maximum sebagai puncak-puncak gunung di sekitamya. Terdapat sejumlah saddle

point . Kondisi orde kedua dapat diverifikasi dengan mencermati gambar 6.2.

Page 9: EKONOMI PRODUKSI PERTANIAN - PERMASETA6. Syarat keharusan (necessary conditions) 7. Syar at kecukupan (sufficient conditions) 8. Matriks 9. Matriks dari turunan parsial 10. Prinsip

Page 9 of 12

Mata Kuliah / MateriKuliah 2012 Brawijaya University

Gambar 6.2. Polinomial Tiga Dimensi

4

2

3

2

2

22

4

1

2

1

2

11 03,02,1124003.02,11240 xxxxxxxxy

Tabel 6.1. Nilai Kritis untuk Polinomial

4

2

3

2

2

22

4

1

2

1

2

11 03,02,1124003.02,11240 xxxxxxxxy

2x 1x

2.54 6,93 16,24

16,24

Lokal Saddle Global

Maksimum: Titik: Maksimum:

y=232,3 y=209,5 y=379,8

H1<0 H1>0 H1<0

H2>0 H2<0 H2>0

6,93

Saddle Lokal Saddle

Titik: Minimum: Titik:

y=61,9 y=39,1 y=209,5

H1<0 H1>0 H1<0

H2<0 H2>0 H2<0

2,54

Lokal Saddle Lokal

Maksimum: Titik: Maksimum:

y=84,8 y=61,9 y=232,3

H1<0 H1>0 H1<0

H2>0 H2<0 H2>0

5.11. Maksimalisasi Fungsi Profit dengan Dua Input

Kegunaan kriteria maksimalisasi fungsi produksi juga dapat dijelaskan melalui aplikasi

fungsi profit usahatani jagung, sebagai berikut:

)56.6...(..........).........,( 21 xxfy

di mana:

y : Panen jangung dalam bu/acre

1x : Jumlah pupuk K

Page 10: EKONOMI PRODUKSI PERTANIAN - PERMASETA6. Syarat keharusan (necessary conditions) 7. Syar at kecukupan (sufficient conditions) 8. Matriks 9. Matriks dari turunan parsial 10. Prinsip

Page 10 of 12

Mata Kuliah / MateriKuliah 2012 Brawijaya University

2x : Jumlah pupuk P

Semua input lain diasumsikan tidak berubah, atau sudah dimiliki oleh petani. Keputusan

yang harus diambil petani adalah mengalokasikan dua jenis pupuk N dan P untuk

memaksimalkan keuntungan usahatani.

Jumlah penerimaan atau nilai produk total yang diperoleh dari penjualan jagung dari 1

acre lahan adalah: TVP=py.........................................................(6.57)

Di mana:

p : Harga jagung per bu

y : Hasil panen jagung bu/acre

Total biaya input adalah:

)58.6......(........................................2211 xvxvTFC

Fungsi keuntungan usahatani:

)59.6.........(........................................TFCTVP

)60.6...(........................................2211 xvxvpy

)61.6.(..............................),( 221121 xvxvxxpf

Turunan pertama untuk kondisi maksimalisasi dapat disusun sebagai berikut:

)63.6.......(........................................0

)62.6........(........................................0

222

111

vpf

vpf

Persamaan (6.62) dan (6.63) mensyaratkan slope fungsi TVP terhadap kedua input

sama dengan slope fungsi TFC masing-masing input pupuk P dan K yang digunakan.

)65.6.....(..................................................

)64.6......(..................................................

22

11

vpf

vpf

Nilai produk marginal sama dengan biaya marginal masing-masing input. Bila petani

dapat membeli pupuk K dan P pada harga pasar, biaya marginal akan sama dengan

harga input yaitu v1 dan v2, sehingga:

)68.6...(........................................//

)67.6.........(..............................//

)66.6..(..............................1//

2121

2121

2211

vvff

vvpfpf

vpfvpf

Karena f1 adalah MPP x1 dan f2 adalah MPP x2 maka rasio produk marginal adalah MRTS

x1 untuk x2 atau MRTSx1x2. Oleh sebab itu titik maksimalisasi keuntungan adalah:

)70.6..(..............................//

)69.6.(............................../

2112

2121

vvdxdx

vvxMRSx

Kondisi turunan kedua juga memegang peranan penting, dengan mengasumsikan harga

input adalah v1 dan v2 maka turunan kedua fungsi profit adalah:

..(6.73).................... Young) (teorema

)72.6.(..............................

)71.6..(..............................

21122112

2222

1111

pfpf

pf

pf

Atau dalam bentuk matriks:

Page 11: EKONOMI PRODUKSI PERTANIAN - PERMASETA6. Syarat keharusan (necessary conditions) 7. Syar at kecukupan (sufficient conditions) 8. Matriks 9. Matriks dari turunan parsial 10. Prinsip

Page 11 of 12

Mata Kuliah / MateriKuliah 2012 Brawijaya University

)74.6....(..............................2221

1211

pfpf

pfpf

Kondisi maksimalisasi:

)76.6(....................0

)75.6.(..............................0

21122211

11

pfpfpfpf

pf

Prinsip minor harus dimulai dengan tanda minus. Persamaan (6.75) dan (6.76)

mensyaratkan fungsi VMP untuk x1 dan x2 berslope negatif. Dengan harga input tetap,

fungsi biaya input memiliki slope konstan sehingga MFC sama dengan nol. Pemenuhan

atas kedua persyaratan ini menghasilkan satu titik maksimalisasi profit global. Dengan

demikian pada titik maksimalisasi ini, bila petani akan menambah alokasi salah satu

input, ia harus mengurangi alokasi input lainnya, kecuali kedua input tersebut gratis.

5.12. Perbandingan Kriteria Maksimalisasi Output

Sebagai perbandingan kriteria maksimalisasi keuntungan dengan kriteria maksimalisasi

output dapat diikuti langkah-langkah sebagai berikut:

)80.6.......(..............................0

)79.6.........(....................0

)78.6.........(....................0

)77.6....(....................).........,(

21

22

1

21

1

ff

MPPxf

MPPxf

xxfy

Turunan kedua pada kondisi maksimalisasi mensyaratkan f11<0 dan f11f22>f12f21. MPP

untuk kedua input berslope negatif. Turunan pertama dan kedua merupakan syarat

keharusan dan syarat kecukupan matematik yang menentukan pusat peta isokuan dari

rangkaian cincin konsentris sebagaimana telah dijelaskan pada bagian sebelumnya.

)84.6.........(..........1//

)83.6.........(....................0

)82.6........(....................0

2211

22

11

vpfvpf

vpf

vpf

Kondisi orde kedua maksimalisasi profit mensyaratkan:

)87.6...(........................................0)(

)86.6.........(..............................0

)85.6........(....................0

21122211

2

22122211

11

ffffp

pfpfpfpf

pf

Karena p2 bernilai positif, syarat tanda turunan kedua baik untuk maksimalisasi profit

dan output sama.

TUGAS DAN LATIHAN SOAL

Kerjakan soal-soal berikut ini:

1. Apakah fungsi 21xxy memiliki titik maksimum? Jelaskan!

2. Apakah fungsi 2

2

2

1 2xxy memiliki titik maksimum? Jelaskan!

Page 12: EKONOMI PRODUKSI PERTANIAN - PERMASETA6. Syarat keharusan (necessary conditions) 7. Syar at kecukupan (sufficient conditions) 8. Matriks 9. Matriks dari turunan parsial 10. Prinsip

Page 12 of 12

Mata Kuliah / MateriKuliah 2012 Brawijaya University

3. Apakah fungsi 3

2

2

22

3

1

2

11 05,01,005,01,0 xxxxxxy memiliki titik maksimum?

Jika berapa level penggunaan input yang memaksimalkan nilai produk? 4. Misal harga output adalah Rp 3 dan masing harga input x1=Rp 5 dan harga input

x2=Rp4. Mungkinkah produksi usahatani yang dilakukan petani memperoleh

keuntungan? Jelaskan syarat keharusan dan syarat kecukupan yang harus dipenuhi!

REFERENSI Debertin, D.L., 1996, Agricultural Production Economics, Macmillan Publishing Company,

New York Samuelson, P.A., 1970, A Foundation of Economics Analysis, Atheneum, New York

RANCANGAN TUGAS

Tujuan Tugas :

Menjelaskan kembali definisi dan memahami konsep teoritis bahan kajian pada modul.

Uraian Tugas:

1. Obyek garapan: tugas dan latihan soal pada modul 6 2. Batasan tugas:

a. Tugas yang diberikan pada modul 6 adalah tugas individual dikumpulkan dalam waktu satu minggu melalui e-learning

b. Mahasiswa diperkenankan mendiskusikan jawaban tugas dengan anggota

kelompok yang lain c. Mahasiswa diwajibkan menghimpun seluruh materi perkuliahan baik print out

modul, hand out, catatan kuliah dan tugas-tugas yang diberikan selama satu semester

d. Menghimpun dan mengelola informasi dalam urutan yang logik dan mengelola

informasi agar dapat menjadi sumber pembelajaran yang baik adalah salah satu learning skill yang harus dimiliki oleh mahasiswa. Oleh karena itu seluruh materi

belajar yang telah dihimpun akan dievaluasi oleh tim dosen sebagai indikator proses belajar Anda.

3. Metodologi dan acuan tugas:

a. Tugas individu diketik dengan margin kiri dan kanan masing-masing 3 cm. Tuliskan nama, NIM pada halaman cover. Berikan nomor halaman pada lembar kerja Anda

di sudut kanan bawah. Jangan lupa menuliskan keterangan tugas yang Anda kerjakan dan pengerjaan harus berurutan dari tugas nomor 1,2 dan seterusnya.

b. Tugas individu dikumpulkan tiap minggu, pengaturan jadual pengumpulan tugas

diumumkan secara online pada e-learning 4. Keluaran tugas: satu dokumen tugas individu yang diupload.

Kriteria Penilaian:

1. Kejelasan dan kelengkapan penguasaan konsep-konsep utama modul 6. 2. Kemampuan mengomunikasikan gagasan kreatif dan partisipasi pada diskusi

online