PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut:...
Transcript of PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut:...
![Page 1: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/1.jpg)
PERSAMAAN DIFERENSIAL
(DIFFERENTIAL EQUATION)
M E T O D E E U L E R
M E T O D E R U N G E - K U T T A
![Page 2: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/2.jpg)
PERSAMAAN DIFERENSIAL
• Persamaan paling penting dalam bidang rekayasa,
paling bisa menjelaskan apa yang terjadi dalam
sistem fisik.
• Menghitung jarak terhadap waktu dengan
kecepatan tertentu, 50 misalnya.
50dt
dx
![Page 3: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/3.jpg)
![Page 4: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/4.jpg)
Rate equations
![Page 5: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/5.jpg)
PERSAMAAN DIFERENSIAL
• Solusinya, secara analitik dengan integral,
• C adalah konstanta integrasi
• Artinya, solusi analitis tersebut terdiri dari banyak
‘alternatif’
• C hanya bisa dicari jika mengetahui nilai x dan t.
Sehingga, untuk contoh di atas, jika x(0) = (x saat
t=0) = 0, maka C = 0
dtdx 50 Ctx 50
![Page 6: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/6.jpg)
KLASIFIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL
Persamaan yang mengandung turunan dari satu
atau lebih variabel tak bebas, terhadap satu atau
lebih variabel bebas.
• Dibedakan menurut:
• Tipe (ordiner/biasa atau parsial)
• Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)
• Liniarity (linier atau non-linier)
![Page 7: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/7.jpg)
SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL
• Secara analitik, mencari solusi persamaan
diferensial adalah dengan mencari fungsi integral
nya.
• Contoh, untuk fungsi pertumbuhan secara
eksponensial, persamaan umum:
kPdt
dP
![Page 8: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/8.jpg)
Rate equations
![Page 9: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/9.jpg)
But what you really want to know is…
the sizes of the boxes (or state variables) and how they change through time
That is, you want to know:
the state equations
There are two basic ways of finding the state equations for the state variables based on your known rate equations:
1) Analytical integration
2) Numerical integration
![Page 10: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/10.jpg)
Suatu kultur bakteria tumbuh dengan kecepatan
yang proporsional dengan jumlah bakteria yang
ada pada setiap waktu. Diketahui bahwa jumlah
bakteri bertambah menjadi dua kali lipat setiap 5
jam. Jika kultur tersebut berjumlah satu unit pada
saat t = 0, berapa kira-kira jumlah bakteri setelah
satu jam?
![Page 11: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/11.jpg)
• Jumlah bakteri menjadi dua kali lipat setiap 5 jam, maka k = (ln 2)/5
• Jika P0 = 1 unit, maka setelah satu jam…
SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL
kPdt
dP
dtkP
dPt
t
P
P
1
0
1
0
)(ln 0
0
ttCkP
P
ktePtP 0)(
)(1)1()1)(
5)2(ln
(eP
1487.1
![Page 12: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/12.jpg)
Rate equation State equation (dsolve in Maple)
The Analytical Solution of the Rate
Equation is the State Equation
![Page 13: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/13.jpg)
THERE ARE VERY FEW MODELS IN ECOLOGY THAT CAN BE SOLVED
ANALYTICALLY.
![Page 14: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/14.jpg)
SOLUSI NUMERIK
• Numerical integration
• Eulers
• Runge-Kutta
![Page 15: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/15.jpg)
Numerical integration makes use of this relationship:
Which you’ve seen before…
Relationship between continuous and discrete time models
*You used this relationship in Lab 1 to program the
logistic rate equation in Visual Basic:
1 where,11
tt
K
NrNNN t
ttt
tdt
dyyy ttt
![Page 16: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/16.jpg)
, known
Fundamental Approach of Numerical Integration
y = f(t), unknown
t, specified
y
t
yt, known
dt
dy
yt+t, estimated
tdt
dyyy ttt
yt+t,
unknown
![Page 17: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/17.jpg)
Euler’s Method: yt+ t ≈ yt + dy/dt t
1 where,1
tt
K
NrNNN t
tttt
dtdN
Calculate dN/dt*1
at Nt
Add it to Nt to
estimate Nt+ t
Nt+ t becomes the new Nt
Calculte dN/dt * 1 at new Nt
Use dN/dt to estimate next Nt+ t
Repeat these steps to estimate the state
function over your desired time length
(here 30 years)
Nt/K with time, lambda = 1.7, time step = 1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0 10 20 30 40 50
time (years)
Nt/K
![Page 18: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/18.jpg)
EXAMPLE OF NUMERICAL INTEGRATION
dy
dty y 6 007 2.
Analytical solution to dy/dt
Y0 = 10
t = 0.5
point to
estimate
![Page 19: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/19.jpg)
y
Euler’s Method: yt+ t ≈ yt + dy/dt t
yt = 10
m1 = dy/dt at yt
m1 = 6*10-.007*(10)2
y = m1*t
yest= yt + y
t = 0.5
y
estimated y(t+ t)
analytical y(t+ t)
dy
dty y 6 007 2.
![Page 20: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/20.jpg)
20
RUNGE-KUTTA
METHODS
![Page 21: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/21.jpg)
MOTIVATION
• We seek accurate methods to solve ODEs that do
not require calculating high order derivatives.
• The approach is to use a formula involving
unknown coefficients then determine these
coefficients to match as many terms of the Taylor
series expansion.
21
![Page 22: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/22.jpg)
SECOND ORDER RUNGE-KUTTA METHOD
22
possible. as accurate as is that such
,,,
:Problem
) ,(
),(
1
21
22111
12
1
i
ii
ii
ii
y
wwFind
KwKwyy
KyhxfhK
yxfhK
![Page 23: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/23.jpg)
TAYLOR SERIES IN ONE VARIABLE
23
hxandxbetweenisxwhere
xfn
hxf
i
hhxf
f(x)n
nn
i
n
i
i
)()!1(
)(!
)(
of expansion SeriesTaylor order The
)1(1
)(
0
th
Approximation Error
![Page 24: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/24.jpg)
DERIVATION OF 2ND ORDER RUNGE-KUTTA METHODS – 1 OF 5
24
)(),('2
),(
:as writtenis which
)(2
),( :ODE solve toUsed
ExpansionSeriesTaylor Order Second
32
1
3
2
22
1
hOyxfh
yxfhyy
hOdx
ydh
dx
dyhyy
yxfdx
dy
iiiiii
ii
![Page 25: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/25.jpg)
DERIVATION OF 2ND ORDER RUNGE-KUTTA METHODS – 2 OF 5
25
)(2
),(),(
:
),(),(),(
),('
ationdifferenti rule-chainby obtained is ),(' where
32
1 hOh
yxfy
f
x
fhyxfyy
ngSubstituti
yxfy
f
x
f
dx
dy
y
yxf
x
yxfyxf
yxf
iiiiii
![Page 26: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/26.jpg)
TAYLOR SERIES IN TWO VARIABLES
26
),( and ),( between joining line theon is),(
),()!1(
1 ),(
!
1
...
2!2
1
),(),(
1
0
2
2
22
2
22
kyhxyxyx
errorionapproximat
yxfy
kx
hn
yxfy
kx
hi
yx
fhk
y
fk
x
fh
y
fk
x
fhyxfkyhxf
nn
i
i
![Page 27: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/27.jpg)
DERIVATION OF 2ND ORDER RUNGE-KUTTA METHODS – 3 OF 5
27
) ,(),(
:ngSubstituti
) ,(
),(
thatsuch ,,,:Problem
1211
22111
12
1
21
Kyhxfhwyxfhwyy
KwKwyy
KyhxfhK
yxfhK
wwFind
iiiiii
ii
ii
ii
![Page 28: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/28.jpg)
DERIVATION OF 2ND ORDER RUNGE-KUTTA METHODS – 4 OF 5
28
...),( ),( )(
... ),( )(
...),( ),(
:
...),() ,(
22
22211
12211
1211
11
iiiiii
iiii
iiiiii
iiii
yxfy
fhw
x
fhwyxfhwwyy
y
fK
x
fhhwyxfhwwyy
y
fK
x
fhyxfhwyxfhwyy
ngSubstituti
y
fK
x
fhyxfKyhxf
![Page 29: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/29.jpg)
DERIVATION OF 2ND ORDER RUNGE-KUTTA METHODS – 5 OF 5
29
2
1 ,1 :solution possible One
solutions infinite unknowns 4 withequations 3
2
1 and ,
2
1 , 1
:equations threefollowing theobtain we terms,Matching
)(2
),(),(
...),( ),( )(
:for expansions twoderived We
21
2221
32
1
22
22211
1
ww
wwww
hOh
yxfy
f
x
fhyxfyy
yxfy
fhw
x
fhwyxfhwwyy
y
iiiiii
iiiiii
i
![Page 30: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/30.jpg)
2ND ORDER RUNGE-KUTTA METHODS
30
2
1 and ,
2
1 ,1
: thatsuch ,,, Choose
) ,(
),(
2221
21
22111
12
1
wwww
ww
KwKwyy
KyhxfhK
yxfhK
ii
ii
ii
![Page 31: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/31.jpg)
ALTERNATIVE FORM
22111
12
1
) , (
),(
KuttaeOrder Rung Second
KwKwyy
KyhxfhK
yxfhK
ii
ii
ii
31
22111
12
1
) , (
),(
FormeAlternativ
kwkwhyy
khyhxfk
yxfk
ii
ii
ii
![Page 32: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/32.jpg)
CHOOSING , , W1 AND W2
32
Corrector Singlea with' is This
),(),(22
1
),(
),(
:becomes methodKutta -eOrder Rung Second
2
1 ,1 then,1 choosing example,For
011211
12
1
21
s Method Heun
yxfyxfh
yKKyy
KyhxfhK
yxfhK
ww
iiiiiii
ii
ii
![Page 33: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/33.jpg)
CHOOSING , , W1 AND W2
33
Method Midpoint theis This
)2
,2
(
)2
,2
(
),(
:becomes methodKutta -eOrder Rung Second
1 ,0 ,2
1 then
2
1 Choosing
121
12
1
21
Ky
hxfhyKyy
Ky
hxfhK
yxfhK
ww
iiiii
ii
ii
![Page 34: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/34.jpg)
2ND ORDER RUNGE-KUTTA METHODS ALTERNATIVE FORMULAS
34
211
1i2
1
2
1
2
11
) ,(
),(
)0(select mulas Kutta ForeOrder Rung Second
KKyy
KyhxfhK
yxfhK
ii
i
ii
2
11 ,
2
1, :number nonzeroany Pick
1 ,2
1,
2
1
12
2122
ww
wwww
![Page 35: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/35.jpg)
SECOND ORDER RUNGE-KUTTA METHOD
EXAMPLE
CISE301_Topic8L4&5
35
8269.32/)1662.018.0(4
2/)1()01.01(
1662.0))01.()18.0(1(01.0
),(
18.0)1(01.0)4 ,1(
:1STEP
1 ,01.0 ,4)1(,1)(
RK2using (1.02) find tosystem following theSolve
21
30
20
1002
30
20001
32
KKxx
tx
KxhtfhK
txxtfhK
hxtxtx
x
![Page 36: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/36.jpg)
SECOND ORDER RUNGE-KUTTA METHOD
EXAMPLE
36
6662.3)1546.01668.0(2
18269.3
2
1)01.1()01.001.1(
1546.0))01.()1668.0(1(01.0
),(
1668.0)1(01.0)8269.3,01.1(
2 STEP
21
31
21
1112
31
21111
KKxx
tx
KxhtfhK
txxtfhK
![Page 37: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/37.jpg)
1 RK2,Using
[1,2]for t Solution
,4)1(,)(1)( 32
xttxtx
37
![Page 38: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/38.jpg)
2ND ORDER RUNGE-KUTTA
)( iserror global and )( iserror Local
2
) ,(
),(
corrector singlea withmethod s Heun' toEquivalent
RK2as Know 1, of valueTypical
23
211
12
1
hOhO
kkh
yy
hkyhxfk
yxfk
ii
ii
ii
38
RK2
![Page 39: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/39.jpg)
HIGHER-ORDER RUNGE-KUTTA
39
Higher order Runge-Kutta methods are available. Derived similar to second-order Runge-Kutta. Higher order methods are more accurate but require more calculations.
![Page 40: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/40.jpg)
3RD ORDER RUNGE-KUTTA
40
RK3
)( iserror Global and )( iserror Local
46
)2 ,(
)2
1 ,
2(
),(
RK3asKnow
34
3211
213
12
1
hOhO
kkkh
yy
hkhkyhxfk
hkyh
xfk
yxfk
ii
ii
ii
ii
![Page 41: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/41.jpg)
4TH ORDER RUNGE-KUTTA
41
RK4
)( iserror global and )( iserror Local
226
) ,(
)2
1 ,
2(
)2
1 ,
2(
),(
45
43211
3i4
2i3
12
1
hOhO
kkkkh
yy
hkyhxfk
hkyh
xfk
hkyh
xfk
yxfk
ii
i
i
ii
ii
![Page 42: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/42.jpg)
HIGHER-ORDER RUNGE-KUTTA
654311
543216
415
324
213
12
1
7321232790
)7
8
7
12
7
12
7
2
7
3 ,(
)16
9
16
3 ,
4
3(
)2
1 ,
2
1(
)8
1
8
1 ,
4
1(
)4
1 ,
4
1(
),(
kkkkkh
yy
hkhkhkhkhkyhxfk
hkhkyhxfk
hkhkyhxfk
hkhkyhxfk
hkyhxfk
yxfk
ii
ii
ii
ii
ii
ii
ii
42
![Page 43: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/43.jpg)
EXAMPLE 4TH-ORDER RUNGE-KUTTA METHOD
43
)4.0()2.0(4
2.0
5.0)0(
1 2
yandycomputetoRKUse
h
y
xydx
dy
RK4
![Page 44: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/44.jpg)
EXAMPLE: RK4
)4.0(),2.0(4
5.0)0(,1
:Problem
2
yyfindtoRKUse
yxydx
dy
44
![Page 45: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/45.jpg)
4TH ORDER RUNGE-KUTTA
45
RK4
)( iserror global and )( iserror Local
226
) ,(
)2
1 ,
2(
)2
1 ,
2(
),(
45
43211
3i4
2i3
12
1
hOhO
kkkkh
yy
hkyhxfk
hkyh
xfk
hkyh
xfk
yxfk
ii
i
i
ii
ii
![Page 46: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/46.jpg)
EXAMPLE: RK4
8293.0226
7908.12.016545.01),(
654.11.0164.01)2
1,
2
1(
64.11.015.01)2
1,
2
1(
5.1)1( ),(
432101
2003004
2002003
2001002
200001
kkkkh
yy
xyhkyhxfk
xyhkyhxfk
xyhkyhxfk
xyyxfk
)4.0(),2.0(4
5.0)0(,1
:Problem
2
yyfindtoRKUse
yxydx
dy
5.0,0
1),(
0.2
00
2
yx
xyyxf
h
46
See RK4 Formula
Ste
p 1
![Page 47: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/47.jpg)
EXAMPLE: RK4
2141.1226
2.0
0555.2),(
9311.1)2
1,
2
1(
9182.1)2
1,
2
1(
1.7893 ),(
432112
3114
2113
1112
111
kkkkyy
hkyhxfk
hkyhxfk
hkyhxfk
yxfk
)4.0(),2.0(4
5.0)0(,1
:Problem
2
yyfindtoRKUse
yxydx
dy
8293.0,2.0
1),(
0.2
11
2
yx
xyyxf
h
47
Ste
p 2
![Page 48: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/48.jpg)
EXAMPLE: RK4
)4.0(),2.0(4
5.0)0(,1
:Problem
2
yyfindtoRKUse
yxydx
dy
xi yi
0.0 0.5
0.2 0.8293
0.4 1.2141
48
Summary of the solution
![Page 49: PERSAMAAN DIFERENSIAL - kuliah.ftsl.itb.ac.id · lebih variabel bebas. •Dibedakan menurut: •Tipe (ordiner/biasa atau parsial) •Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada)](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022013018/5d184a5088c993fd3f8c90d5/html5/thumbnails/49.jpg)
SUMMARY
• Runge Kutta methods generate an accurate
solution without the need to calculate high order
derivatives.
• Second order RK have local truncation error of
order O(h3) and global truncation error of order
O(h2).
• Higher order RK have better local and global
truncation errors.
• N function evaluations are needed in the Nth order
RK method.
49