Diferensial & Optimalisasi -...

Diferensial & OptimalisasiDiferensial Fungsi Majemuk

Optimalisasi

Penerapan dalam ekonomi

Achmad Fahrurozi -Universitas Gunadarma

1

Parsial Diferensial

• Sebuah fungsi yg hanya mengandung satu variabelbebas hanya akan memiliki satu macam turunanJika y = f(x) maka turunan y terhadap x: y’ = dy/dx

• Sedangkan jika fungsi yg bersangkutan memilikilebih dari satu variabel bebas, maka turunannyaakan lebih dari satu macam, tergantung jumlahvariabel bebasnya


2

Parsial Diferensial

• Jika z = f(x, y)

dan disebut derivatif parsial, dandisebut diferensial parsial, sedangkan dz disebutdiferensial total

• Jika p = f(q, r, s)

dyy

zdx

x

zdz

x

z

y

z

dx

x

z

dy

y

z

dss

pdr

r

pdq

q

pdp


3

Parsial Derivatif

• y = f(x1, x2, x3, …, xn) dimana xi (i = 1, 2, 3, …, n) adalah variabel yg independen satu sama lainnya, tiap variabel dapat berubah tanpa mempengaruhivariabel lainnya (variabel lainnya konstan)

• Jika variabel x1 mengalami perubahan sebesar ∆x1

sedangkan variabel lainnya (x2, x3, …, xn) tetap, maka y akan berubah sebesar ∆y. Maka kuosiendiferensi dapat ditulis:

1

3213211

1

),...,,,(),...,,,(

x

xxxxfxxxxxf

x

y nn


4

Parsial Derivatif

• Derivative y terhadap x1 sebagaimana contohdiatas disebut sebagai derivatif parsial dandilambangkan dengan:

• Fungsi turunannya (derivative) adalah:

10

1 1

limx

y

x

y

x

1x

y


5

Contoh (2): Derivative Parsial• Carilah turunan parsial terhadap x1 dan x2 dari

fungsi y = f(x1, x2) = 3x12 + x1x2 +4x2

2

dengan menganggap x2 konstan, turunan terhadapx1 adalah:

turunan terhadap x2:

21

1

6 xxx

y

12

2

8 xxx

y


6

Contoh (3): Derivative Parsial• Carilah turunan parsial terhadap u dan v dari

fungsi y = f(u, v) = (u+4)(3u+2v)

dengan menganggap v konstan, turunan terhadapu adalah:

turunan terhadap v:

122623143

vuvuu

u

y

4223042

uvuu

v

y


7

Contoh (4): Derivative Parsial• Carilah turunan parsial terhadap u dan v dari

fungsi y = f(u, v) = (3u – 2v)/(u2+3v)

dengan menganggap v konstan, turunan terhadapu adalah:

turunan terhadap v:

22

2

22

2

3

943

3

22333

vu

vuvu

vu

uvuvu

u

y

2222

2

3

92

3

32332

vu

uu

vu

vuvu

v

y


8

Derivatif dari Parsial Derivatif• Sama seperti diferensial fungsi sederhana, derivatif

fungsi majemuk juga dapat diturunkan kembali

• Jika y = x3 + 5z2 -4x2z – 6xz2 + 8z – 7, makaturunan pertama y terhadap x dan z:

turunan ke-2:

22 683 zxzxx

y

812410 2

xzxz

z

y

zxx

y86

2

2

zxzx

y128

2

xz

y1210

2

2

zxxz

y128

2

1a

1b

2a

2b

1 2


9

Derivatif dari Parsial Derivatifturunan ke-3:

63

3

x

y

82

3

zx

y

1aa

1ab

83

xzx

y

122

3

zx

y

1ba

1bb

03

3

z

y

122

3

xz

y

2aa

2ab

123

zxz

y

82

3

xz

y

2ba

2bb


10

Nilai Ekstrim

• Untuk y = f(x, z) maka y akan mencapai titikekstrimnya jika (necessary condition):

• Untuk mengetahui apakah titik ekstrim yg tercapaiadalah maksimum atau minimum, maka (sufficient condition):

0

x

y0

z

ydan

02

2

x

y0

2

2

z

ydan

02

2

x

y0

2

2

z

ydan

Maksimum

Minimum


11

Contoh (5): Titik Ekstrim• Carilah titik ekstrim dari fungsi:

y = -x2 + 12x – z2 + 10z - 45selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebutmerupakan titik maksimum atau minimum!1) Titik ekstrim: yx dan yz = 0

y = -(6)2 + 12(6) – (5)2 + 10(5) – 45 = 16letak titik ekstrim adalah (6, 16, 5) → 3-dimensi

60122

xx

x

y

50102

zz

z

y


12

Contoh (5): Titik Ekstrim• Carilah titik ekstrim dari fungsi:

y = -x2 + 12x – z2 + 10z - 45

selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebutmerupakan titik maksimum atau minimum!

2) Jenis titik ekstrim: yxx dan yzz :

Maka titik ekstrim adalah titik maksimumdengan ymax = 16

022

2

x

y02

2

2

z

y


13

Latihan

• Carilah titik ekstrim dari fungsi:

p = 3q2 – 18q + r2 – 8r + 50

selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebutmerupakan titik maksimum atau minimum!


14

Optimalisasi Bersyarat• Optimalisasi suatu fungsi objektif (fungsi yg akan

dioptimalkan—baik maksimum atau minimum) atassuatu fungsi kendala dapat diselesaikan dgn (1) metodesubstitusi dan (2) metode Lagrange

• Nilai optimum diperoleh ketika turunan pertama darifungsi tersebut sama dengan nol (necessary condition)

• Sedangkan untuk mengetahui apakah nilai tersebutadalah maksimum atau minimum, dapat diselidiki dariturunan keduanya (sufficient condition):

Jika turunan kedua < 0, maka maksimum

Jika turunan kedua > 0, maka minimum


15

Metode Substitusi

• Jika fungsi objektif:

z = f(x, y)

s.t. u = g(x, y) → fungsi kendala

1) manipulasi fungsi kendala menjadi persamaansalah satu variabel

2) Substitusi persamaan tersebut kedalam fungsiobjektifitasnya

3) Cari turunan pertama dari fungsi tersebut(untuk mencari nilai ekstrim)

4) Selidiki maksimum/minimum dengan mencari

turunan kedua sesuai dengan persyaratan


16

Contoh (6) Metode Substitusi• π = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y .…...… (1)

• s.t. X + Y = 12 .......... (2)

• Rearrange (2): X = 12 – Y ………. (3)

• Substitusi (3) ke (1):

= 80(12 – Y) – 2(12 – Y)2 – (12 – Y)Y– 3Y2 + 100Y

= 960 – 80Y – 2(144 – 24Y – Y2) – 12Y+ Y2 – 3Y2 + 100Y

= –4Y2 + 56Y +672 ………. (4)


17

Contoh (6) Metode Substitusi• Derivasi order ke-1 persamaan (4): dπ/dY = 0

–8Y + 56 = 0 ↔ Y* = 7

• Substitusi nilai Y ke (3): X* = 12 – 7 = 5

• Profit (π):

π = 80(5) – 2(5)2 – (5)7 – 3(7)2 + 100(7)

= $868

• Jenis titik ekstrim:

d2π/dY2 = -8 < 0 → titik ekstrim maksimum


18

Metode Lagrange

• Jika fungsi objektif:

z = f(x, y)

s.t. u = g(x, y) → fungsi kendala

maka:

L(x, y, λ) = f(x, y) + λ(g(x, y) – u)

Nilai optimum terjadi pada saat Lx dan Ly = 0

(necessary condition)

Nilai optimum adalah maksimum jika Lxx dan Lyy < 0

dan minimum jika Lxx dan Lyy > 0 (sufficient

condition)


19

Contoh (7) Metode Lagrange• π = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y .…...… (1)

• s.t. X + Y = 12 .......... (2)

• Fungsi Lagrangian:

L = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y

+ λ(X + Y – 12)

• Dengan menggunakan derivatif parsial, solusiditemukan pada saat f’(z) = 0:

0480

YX

X

L ………. (3)


20

Contoh (7) Metode Lagrange

• Persamaan (3) dikurangi (4):

80 – 4X – Y + λ = 0

100 – X – 6Y + λ = 0

–20 – 3X + 5Y = 0

01006

YX

Y

L………. (4)

012

YX

L

………. (5)

………. (6)


21

Contoh (7) Metode Lagrange• Kali (5) dengan 3 dan jumlahkan dengan (6):

3X + 3Y – 36 = 0

–3X + 5Y – 20 = 0

8Y – 56 = 0 ↔ Y* = 7

X + 7 – 12 = 0 ↔ X* = 5

• π = 80(5) – 2(5)2 – 5(7) – 3(7)2 + 100(7) = $868

• Jenis titik ekstrim:

d2π/dX2 = -4 < 0

d2π/dY2 = -8 < 0

• Masukkan nilai Y* & X* ke (3) atau (4), nilai λ:

λ = –5 – 42 + 100 = –53

titik esktrim maksimum


22

Latihan

• Carilah titik ekstrim dari fungsi:

z = 2x + 2y dengan kendala (syarat) x2 + y2 = 8

Jelaskan jenis titik ekstrim dan tentukan nilaiekstrim fungsi tersebut!


23


24

Permintaan Marjinal

• Apabila 2 macam barang mempunyai hubungandalam penggunaannya, maka permintaan atasmasing-masing barang akan fungsional terhadapharga kedua barang tersebut

• Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb) maka:

a

a

P

QdPermintaan marjinalakan A berkenaandengan Pa

b

a

P

QdPermintaan marjinalakan A berkenaandengan Pb

a

b

P

QdPermintaan marjinalakan B berkenaandengan Pa

b

b

P

QdPermintaan marjinalakan B berkenaandengan Pb


25

Elastisitas Permintaan Parsial

• Elastisitas permintaan (price elasticity of demand)

Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb), makaelastisitas permintaan atas perubahan hargabarang itu sendiri:

1) Barang a

2) Barang b

b

b

b

b

b

bb

Qd

P

P

Qd

P

Qdd

%

%

a

a

a

a

a

aa

Qd

P

P

Qd

P

Qdd

%

%


26

Elastisitas Permintaan Parsial• Elastisitas Silang (cross elasticity of demand)

Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb), makaelastisitas silang yang mengukur kepekaanperubahan permintaan suatu barang berkenaandengan perubahan harga barang lainnya:

1) Elastisitas silang barang a dengan barang b

2) Elastisitas silang barang b dengan barang a

b

a

a

b

a

bba

Qd

P

P

Qd

P

Qd

%

%

a

b

b

a

b

aab

Qd

P

P

Qd

P

Qd

%

%


27

Elastisitas Permintaan Parsial• Elastisitas Silang (cross elasticity of demand)

Jika dan < 0 untuk Pa dan Pb tertentu, maka hubungan antara barang a dan barang b adalah saling melengkapi (komplementer); karena kenaikan harga salah satu barang akandiikuti penurunan permintaan atas keduanya

Jika dan > 0 untuk Pa dan Pb tertentu, maka hubungan antara barang a dan barang b adalah saling menggantikan (substitusi); karena kenaikan harga salah satu barang akandiikuti kenaikan permintaan barang lainnya

ab ba

ab ba


28

Contoh (8) Elastisitas 2 Barang• Fungsi permintaan atas 2 barang ditunjukkan sbb:

Qda(Pa2)(Pb

3) – 1 = 0

Qdb(Pa3)(Pb) – 1 = 0

• Hitunglah elastisitas permintaan masing-masingbarang dan bagaimanakah hubungan antara keduabarang tersebut?

1) Elastisitas permintaan:

manipulasi bentuk persamaan permintaan:

32

32

1

ba

ba

a PPPP

Qd13

3

1

ba

ba

b PPPP

Qd


29

Contoh (8) Elastisitas 2 Barang1) Elastisitas permintaan:

cari Qda’ dan Qdb’:

bentuk persamaan elastisitas permintaannya:

Barang a: elastis, barang b: elastis-uniter

332

ba

a

a PPP

Qd 23

ba

b

b PPP

Qd

2232

33

ba

aba

a

a

a

aa

PP

PPP

Qd

P

P

Qdd

113

23

ba

bba

b

b

b

bb

PP

PPP

Qd

P

P

Qdd


30

Contoh (8) Elastisitas 2 Barang2) Elastisitas silang:

cari turunan pertama atas a dan b:

bentuk persamaan elastisitas silangnya:

Hubungan kedua barang adalah komplementer

143

ba

a

b PPP

Qd423

ba

b

a PPP

Qd

3332

42

ba

bba

a

b

b

aab

PP

PPP

Qd

P

P

Qd

3313

14

ba

aba

b

a

a

bba

PP

PPP

Qd

P

P

Qd


31

Fungsi Biaya Gabungan

• Andaikan sebuah perusahaan memproduksi 2 barang A dan B, dimana fungsi permintaan ataskedua barang dicerminkan oleh QA dan QB

sedangkan fungsi biaya C = f(QA, QB)

maka:

Penerimaan dari barang A: RA = QA x PA = f(QA)

Penerimaan dari barang B: RB = QB x PB = f(QB)

Penerimaan total: R = RA + RB = f(QA) + f(QB)

• Fungsi keuntungannya:

П = R – C = [f(QA) + f(QB)] – f(QA, QB) = g(QA, QB)


32

Fungsi Biaya Gabungan

• Keuntungan akan optimum ketika П’ = 0:

• Titik optimum adalah maksimum jika П’’ < 0:

0

AQ0

BQ

02

2

AQ0

2

2

BQ


33

Contoh (9) Fungsi Biaya Gabungan• Biaya total yg dikeluarkan sebuah perusahaan yg

memproduksi dua barang, X dan Y, adalah:

C = QX2 + 3QY

2 +QXQY

Harga jual per unit masing-masing barang adalahPX = 7 dan PY = 20

• Berapa unit tiap barang harus diproduksi agar keuntungan maksimum?

• Berapakah besarnya keuntungan maksimum?


34

Contoh (9) Fungsi Biaya Gabungan• Berapa unit tiap barang harus diproduksi agar

keuntungan maksimum?

RX = PXQX = 7QX RY = PYQY = 20QY

R = 7QX + 20QY

П = 7QX + 20QY – QX2 – 3QY

2 – QXQY

7 – 2(20 – 6QY) – QY = 0

33 – 11QY = 0 → QY = 3

QY = 3 → 20 – 6(3) – QX = 0 → QX = 2

027

YX

X

QQQ

0620

XY

Y

QQQ


35

Contoh (9) Fungsi Biaya GabunganJika ПXX dan ПYY < 0 maka titik maksimum:

• Besarnya keuntungan maksimum:

П = 7(2) + 20(3) – (2)2 – 3(3)2 – (2)(3)

П = 37

• Soal ini juga dapat diselesaikan melalui persamaanmarjinalnya, П akan maksimum ketika MR = MC:

MRX = MCX dan MRY = MCY

022

2

XQ06

2

2

YQ


36

MU dan Keseimbangan Konsumsi• Jika kepuasan konsumen U dan barang-barang yg

dikonsumsinya qi = (i = 1, 2, 3, …, n) maka:

U = f(q1, q2, q3, …, qn )

• Seandainya untuk penyerderhanaan, diasumsikanbahwa seorang konsumen hanya mengkonsumsi 2 macam barang, X dan Y, maka fungsi utilitasnya:

U = f(x, y)

Fungsi utilitas U = f(x, y) merupakan persamaankurva indiferensi (indifference curve)—kurva ygmenunjukkan berbagai kombinasi konsumsi X danY yang memberikan tingkat kepuasan yang sama


37

MU dan Keseimbangan Konsumsi• Derivatif pertama dari U terhadap X dan Y

merupakan fungsi utilitas marjinal parsialnya:

• Budget Line (garis anggaran):garis yang mencerminkan kemampuan konsumenmembeli berbagai macam barang berkenaan dgnharga masing-masing barang dan pendapatankonsumen. Jika M adalah pendapatan konsumendan Px dan Py harga barang X dan Y maka:

M = xPx + yPy

x

UUtilitas marjinalberkenaan denganbarang X

y

UUtilitas marjinalberkenaan denganbarang Y


38

MU dan Keseimbangan Konsumsi

• Keseimbangan konsumsi—suatu keadaan atautingkat kombinasi konsumsi beberapa barang yang memberikan tingkat kepuasan optimum—tercapaipada saat kurva indiferensi bersinggungan(tangent) dengan budget line konsumen

• Optimalisasi dpt diselesaikan dengan membentukpersamaan Lagrange dan derivatif pertama = 0:

L = f(x, y) + λ(xPx + yPy – M)

0,

xx Pyxf

x

L 0,

yy Pyxf

y

L


39

MU dan Keseimbangan Konsumsi• Manipulasi Lx dan Ly:

• Utilitas marjinal (MU) = U’ = f ‘(x, y), maka:

Keseimbangan konsumsi tercapai apabila hasilbagiutilitas marjinal dari setiap barang atas harganyaadalah sama

x

xxx

P

yxfPyxf

x

L ,0,

y

y

yyP

yxfPyxf

y

L ,0,

y

y

x

x

P

yxf

P

yxf ,,

y

Y

x

X

P

MU

P

MU


40

Contoh (10) Utilitas Optimum• Kepuasan seorang konsumen dari mengkonsumsi

barang X dan Y ditunjukkan oleh persamaan:

U = x2y3

Jumlah pendapatan konsumen Rp 1000 dan hargabarang X dan Y adalah Rp 25 dan Rp 50

• Carilah fungsi utilitas marjinal untuk setiap barang

• Berapakah utilitas marjinal jika konsumenmengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y?

• Apakah dengan mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y konsumen memaksimumkan utilitasnya?

Jika tidak, carilah kombinasi barang X dan Y akanmemberikan tingkat kepuasan optimum


41

Contoh (10) Utilitas Optimum• Carilah fungsi utilitas marjinal untuk setiap barang

• Berapakah utilitas marjinal jika konsumenmengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y?

32xyx

U

223 yxy

U

6151613)14(23

x

U 993721314322

y

U


42

Contoh (10) Utilitas Optimum• Apakah dengan mengkonsumsi 14 unit X dan 13

unit Y konsumen memaksimumkan utilitasnya?

• Kombinasi X dan Y yg memaksimumkan utilitas:

50

99372

25

61516

y

y

x

x

P

MU

P

MU

50

3

25

2 223 yxxy

P

MU

P

MU

y

y

x

x

223223 34322 yxxyyxxy

xyx

x

y

y

4

3

4

3 2

2

3


43

Contoh (10) Utilitas Optimum• Kombinasi X dan Y yg memaksimumkan utilitas:

• Substitusi nilai y = ¾ x kedalam persamaan λ:

x = 16, maka

Utilitas maksimum:

010005025

yx

L

16010004

35025

xxx

12164

3 yy

44236812163232 yxu


44

MP dan Keseimbangan Produksi• Jika jumlah keluaran P dan input yang digunakan

xj = (j = 1, 2, 3, …, n) maka fungsi produksinya:

P = f(x1, x2, x3, …, xn )

• Seandainya diasumsikan bahwa seorang produsenhanya menggunakan 2 macam input, K dan L, maka fungsi produksinya:

P = f(k, l)

Fungsi produksi P = f(k, l) merupakan persamaankurva isoquant—kurva yg menunjukkanberbagai kombinasi penggunaan input K dan L yang memberikan tingkat produksi yang sama


45

MP dan Keseimbangan Produksi• Derivatif pertama dari P terhadap K dan L merupakan

fungsi produk marjinal parsialnya:

• Isocost:garis yang mencerminkan kemampuan produsenmembeli berbagai macam input berkenaan dgn hargamasing-masing input dan jumlah dana yg dimiliki. JikaM adalah jumlah dana yg dianggarkan, PK dan PL hargainput K dan L maka:

M = K x PK + L x PL

k

PProduksi marjinalberkenaan denganinput K

l

PProduksi marjinalberkenaan denganinput Y


46

MP dan Keseimbangan Produksi• Keseimbangan produksi—suatu keadaan atau

tingkat penggunaan kombinasi faktor-faktorproduksi secara optimum, yakni tingkat produksimaksimum dengan kombinasi biaya terendah(least cost combination)—tercapai pada saat kurvaisoquant bersinggungan (tangent) dgn isocost

• Optimalisasi dpt diselesaikan dengan membentukpersamaan Lagrange dan derivatif pertama = 0:

Z = f(K, L) + λ(KPK + LPL – M)

0,

KK PLKf

K

Z 0,

LL PLKf

L

Z


47

MP dan Keseimbangan Produksi• Manipulasi Lx dan Ly:

• Utilitas marjinal (MP) = P’ = f ‘(K, L), maka:

Produksi optimum dgn kombinasi biaya terendah akantercapai jika hasibagi produk marginal masing-masinginput terhadap harganya adalah sama

K

KKK

P

LKfPLKf

K

Z ,0,

L

LLL

P

LKfPLKf

L

Z ,0,

L

L

K

K

P

LKf

P

LKf ,,

L

L

K

K

P

MU

P

MP


48

Fungsi Produksi Cobb-Douglas• Dinyatakan dengan:

dimana:A : Total factor productivityK : CapitalL : Laborα dan β : elastisitas output

• Jika:α + β = 1 → constant return to scaleα + β > 1 → increasing return to scaleα + β < 1 → decreasing return to scale

LAKP


49

Contoh (11) Utilitas Optimum• Seorang produsen mencadangkan Rp 96 untuk

membeli input K dan L. Harga per unit input K adalah 4 rupiah dan input L adalah 3 rupiah. Jikafungsi produksi adalah P = 12KL, berapa unit tiapinput harus digunakan agar produksi optimum danberapakah produksi optimum tersebut?


50

Diferensial & Optimalisasi -...

Documents

Transcript of Diferensial & Optimalisasi -...